О курсѣ математики въ женскихъ гимназіяхъ.

Въ настоящее время на очереди вопросъ о женскомъ образованіи, скоро, вѣроятно, возобновится обсужденіе программъ женскихъ гимназій, поэтому своевременно высказаться по возбужденному вопросу, основываясь на непосредственныхъ наблюденіяхъ.

Пишущему эти строки приходилось преподавать въ женскихъ учебныхъ заведеніяхъ, экзаменовать многихъ, окончившихъ курсъ въ различныхъ среднихъ женскихъ учебныхъ заведеніяхъ, наконецъ, завѣдывать одной изъ женскихъ гимназій.

Несомнѣнно, что у оканчивающихъ курсъ въ среднихъ женскихъ учебныхъ заведеніяхъ познанія по математикѣ не высоки, что занятіями математикой многія изъ нихъ затрудняются, но отъ чего зависятъ эти явленія и нужно-ли стремиться къ измѣнеію требованій и въ какую сторону—вопросъ, который стоитъ обсужденія.

Математическія науки имѣютъ такое важное и опредѣленное значеніе въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ, что нѣтъ, кажется, школъ, въ которыхъ-бы онѣ не преподавались, какъ въ школахъ общеобразовательныхъ, такъ и практическихъ. Что-же заставляетъ вводить математику въ программы учебныхъ заведеній? Причины двѣ: 1) спеціальное вліяніе математическихъ наукъ на развитіе; 2) практическое значеніе послѣднихъ. Математика, какъ наука, обладаетъ особымъ методомъ изслѣдованія, примѣнимымъ въ различныхъ отрасляхъ знаній, когда таковыя накопятся въ достаточномъ количествѣ и дадутъ возможность точно опредѣлить основныя данныя науки и ихъ соотношенія (чего достигли въ настоящее время физика, механика, астрономія, отчасти ботаника, химія, пытаются достигнутъ политическая экономія и другія). Мы лично думаемъ даже, что математика (математическій анализъ, исключаемъ геометрію) не болѣе, какъ наука о методѣ, примѣненіе котораго требуетъ, конечно, знанія тѣхъ общихъ свойствъ величинъ, которыми пользуются при примѣненіи ме-

тода. Но во всякомъ случаѣ никто не станетъ спорить, что въ математикѣ преобладающее значеніе имѣетъ методъ изслѣдованія. Образовательное вліяніе математики, конечно, и зависитъ отъ ея метода и необходимости достигнутъ значительной степени отвлеченія въ мышленіи, чтобы можно было усвоить этотъ методъ, а тѣмъ болѣе, чтобы примѣнять его хотя-бы въ самой элементарной формѣ. Работа, которая должна быть произведена, чтобы усвоить математическія знанія, вліяетъ на развитіе, она-то и цѣнна, оставляя тотъ слѣдъ, который не исчезнетъ, хотя-бы математическія знанія утратились.

Практическое значеніе математики заключается въ широкомъ примѣненіи основныхъ ея числовыхъ соотношеніи—не только въ наукахъ, но и въ практическихъ дѣлахъ, а счетъ необходимъ даже въ обыденной жизни. Всякая почти практическая работа требуетъ разсчета и измѣренія, чтобы можно было хорошо ее выполнитъ; чѣмъ сложнѣе работа, тѣмъ болѣе сложныхъ разсчетовъ она требуетъ. Чѣмъ лучше принимающійся за работу умѣетъ впередъ разсчитать количество ожидаемой работы и ея результаты, тѣмъ лучше можетъ онъ обдумать работу (напр., инженеръ, архитекторъ, механикъ и т. д.).

Но женскія гимназіи преслѣдуютъ цѣли общеобразовательныя, а не практическія, и должны быть практичны лишь настолько, чтобы большинство учащихся не считало-бы всѣ сообщаемыя знанія совершенно ненужными, сознавало-бы возможность найти имъ примѣненіе. Относительно женскихъ учебныхъ заведеній, мы думаемъ, практичность, о какой говоримъ мы, гораздо легче соблюсти, чѣмъ въ мужскихъ гимназіяхъ, потому что женщины очень многія знанія склонны будутъ всегда пріобрѣтать, какъ тѣ знанія, которыя имъ необходимы для первоначальнаго обученія дѣтей, своихъ собственныхъ, или ихъ семьи, или-же и чужихъ. Мы думаемъ, что такую склонность слѣдуетъ развивать, потому что всего лучше, если въ семьѣ первоначальное обученіе ведетъ мать, которая всегда всѣхъ ближе должна быть къ ребенку и всѣхъ лучше должна была-бы его понимать и приспособляться къ нему въ первые годы его жизни. Но не можемъ не замѣтить, что одно время распространены были ложныя мнѣнія о необходимости для женщинъ знанія геометріи въ ихъ практической жизни, напримѣръ, для кройки платьевъ и т. п. Врядъ-ли кого подобныя увѣренія дѣйствительно убѣдили, потому что въ жизни обладающій искусствомъ кройки никакихъ понятій изъ геометріи не имѣютъ. Въ дѣйствительной жизни, безъ занятій какимъ-либо теоретическимъ или практическимъ дѣломъ, т.-е. въ сферѣ ежедневныхъ сношеній людей, нужно только знаніе счета и умѣнье разобраться въ простѣйшихъ числовыхъ

соотношеніяхъ, т.-е. знаніе ариѳметики. Разсмотреніе болѣе сложныхъ соотношеніи, выражаемыхъ непремѣнно формулой и потому доступныхъ только алгебрѣ, можетъ быть полезно въ обыденной жизни, но надобность въ нихъ рѣдко встрѣчается.

Гимназіи должны быть общеобразовательнымъ, должны давать разностороннее развитіе умственныхъ и нравственныхъ силъ человѣка, дѣлать его способнымъ пользоваться своими силами и давать смыслъ и содержаніе его послѣдующей жизни, давать идеалы, къ которымъ потомъ человѣкъ стремится. Разумѣется, чѣмъ познанія будутъ шире, тѣмъ вліяніе ихъ въ извѣстномъ направленіи будетъ сильнѣе. Ограниченіе здѣсь является уже съ другой стороны: отъ необходимости соблюдать гармонпо въ развитіи различныхъ силъ учащихся, отъ ограниченности ихъ силъ и времени обученія, требующихъ большой экономіи въ программахъ, наконецъ, отъ необходимости считаться съ особенностями натуръ учащихся.

Смѣшно, конечно, было - бы говорить о непосредственномъ нравственномъ вліяніи математики, но косвенно она должна оказывать и такое вліяніе. Занятія математикой развиваютъ способность къ отвлеченному мышленію, постоянно требуя такого отвлеченія, а развитіе такой способности не можетъ не повліять на общій складъ понятій, на развитіе способности и привычки глубже вдумываться и правильнѣе строить разсужденіе. Геометрія особенно способна, при правильномъ ходѣ занятій, развивать пониманіе необходимости тщательнаго и разносторонняго обсужденія всякаго вопроса, даже при кажущейся очевидности его рѣшенія, не всегда, однако, подтверждающейся. Такія занятія геометріей должны развить привычку къ осторожности въ сужденіяхъ (кромѣ, конечно, развитія представленія формъ предметовъ и навыка въ дедуктивныхъ выводахъ въ извѣстной области знаній). Вліяніе-же образовательное собственно, вліяніе математики на развитіе способности къ отвлеченному мышленію, несомнѣнно. Ниже остановимся на опредѣленіи роли математики среди другихъ предметовъ подробнѣе.

Въ настоящее время сильно стали распространяться узкія сужденія о необходимости давать въ школѣ лишь знанія нужныя и примѣнимыя въ жизни. Какъ будто утрачивается сознаніе, что школа должна дать прежде всего возможно широкое развитіе силъ человѣка и тѣ идеалы, къ которымъ онъ будетъ стремиться. Какая польза человѣку, если онъ весь міръ пріобрѣтетъ, а душу утратитъ? Практическіе люди и знанія нужны, безъ нихъ жить нельзя, но худо жить безъ стремленій, стоящихъ выше обыденной жизни. Излишяя практич-

ностъ въ строѣ школы всегда ведетъ къ развитію эгоизма въ учащихся, и потому мы стоимъ за то, чтобы въ практическую школуг даже и низшую, люди переходили изъ какой-либо общей школы. Чѣмъ. шире будетъ курсъ практической школы, чѣмъ шире должна быть впослѣдствіи дѣятельность учащихся въ ней, тѣмъ шире должна быть ихъ предварительная общая подготовка, да не съузится кругозоръ ихъ и не обратятся они въ машину пріобрѣтательскую (Мы не касаемся вопроса о томъ, что именно должно составлять содержаніе, курса общеобразовательной школы, говоримъ только о принципахъ).

Посмотримъ теперь, каково положеніе математики въ нашихъ женскихъ гимназіяхъ и каковы могутъ быть вліянія особенностей женской натуры на постановку разсматриваемаго нами предмета.

Надо сознаться, что плохи познанія нашихъ гимназистокъ по математикѣ. Большинство, даже огромное большинство поражаетъ своимъ, неумѣньемъ думать въ области математики сколько-нибудь самостоятельно, своимъ; стремленіемъ «выучитъ» и теорію и даже пріемы примѣненія ея къ частнымъ случаямъ, своею растерянностью и молчаливымъ протестомъ противъ всякихъ разспросовъ (Протестъ выражается; обиженнымъ видомъ, унылостью тона отвѣтовъ и только при сильномъ недовольствѣ заявленіемъ: «мы этого не учили»). Вы видите не только неумѣнье думать, но и нежеланіе думать. Обыкновенно на ариѳметикѣ знаютъ правила дѣйствій, знаютъ правила рѣшенія задачъ извѣстныхъ типовъ, но анализировать рѣшеніе задачи, разсматривать способы повѣрки, давать теоретическія объясненія дѣйствій; не могутъ, даже не интересуются ими. По алгебрѣ въ женскихъ гимназіяхъ вѣдомства Императрицы Маріи знаютъ въ большинствѣ гимназій правила производства первыхъ трехъ дѣйствій, дѣленіе производятъ плохо; разлагать многочлены на множители и производить вычисленія съ дробными алгебраическими количествами не умѣютъ; знакомы съ пріемами рѣшенія уравненій первой стеиени съ однимъ и двумя неизвѣстными, но только уравненій съ численными коэффиціентами, буквенные употребляютъ рѣдко, знакомы съ рѣшеніемъ квадратныхъ уравненій, но, примѣняя формулу рѣшенія, рѣдко знаютъ, какъ ее получили; механизмъ извлеченія квадратнаго корня изъ чиселъ знаютъ, но только механизмъ, — вотъ всѣ скудныя познанія по алгебрѣ. Въ гимназіяхъ вѣдомства Мин. Нар. Пр. курсъ алгебры нѣсколько шире; ученицы отчасти знакомы и съ разложеніемъ алгебраическихъ многочленовъ на множителей, могутъ рѣшать уравненія и съ алгебраическими коэффиціентами при неизвѣстныхъ (только несложныя уравненія), наконецъ, имѣютъ понятія о логариѳмахъ и мо-

гутъ примѣнять ихъ къ вычисленіямъ. Справедливость требуетъ замѣтить, что въ нѣкоторыхъ гимназіяхъ того и другаго вѣдомства курсъ алгебры значительно выше по усвоенію матеріала учащимися, но не шире. Бываетъ и такъ, что въ нѣкоторыхъ гимназіяхъ онъ падаетъ еще ниже. Мы знаемъ гимназпо, въ которой на выпускномъ экзаменѣ по ариѳметикѣ на билетахъ обозначались нумера задачъ, которыя были рѣшены во время года, и предлагать другія задачи ее позволялось.

По геометріи знанія гимназистокъ повыше. Курсъ геометріи на плоскости часто знаютъ порядочно (но не во всѣхъ гимназіяхъ), могутъ самостоятельно соображать, напримеръ, о частныхъ случаяхъ доказываемой теоремы; о несоизмѣримости величинъ, впрочемъ, рѣдко упоминается, понятія о предѣлахъ не дается; нерѣдко ученицы могутъ рѣшать простенькія задачи на вычисленіе и на построеніе; но доказательства теоремъ часто заучиваютея безъ достаточнаго пониманія смысла повторяемыхъ разсужденій; говорятъ, напримѣръ, что «вверхъ» они могутъ доказать теорему, а «внизъ» не могутъ (подъ этимъ выраженіемъ слѣдуетъ понимать направленіе линій, проведенныхъ на сдѣланномъ на доскѣ чертежѣ). Стереометрія большею частью не проходится, а изъ ея области даются только формулы выраженія поверхностей и объемовъ тѣхъ, которыя разсматриванія въ курсѣ мужскихъ гимназій. Иногда въ курсъ стереометріи вводятся доказательства нѣкоторыхъ теоремъ относительно взаимнаго положенія линій и плоскостей въ пространствѣ. По нашимъ наблюденіямъ, объемъ курса геометріи въ женскихъ гимназіяхъ колеблется больше, чѣмъ объемъ курсовъ ариѳметики и алгебры—въ зависимости отъ качествъ преподавателя. Встрѣчалось и значительное пониженіе уровня познаній аіо геометріи противъ сейчасъ указаннаго средняго уровня.

Въ восьмыхъ классахъ (педагогическихъ) гимназій Министерства Народнаго Просвѣщенія тѣ ученицы, которыя избираютъ математику однимъ изъ главныхъ предметовъ, т.-е. желающія получить право преподаванія математики въ трехъ младшихъ классахъ гимназій, по программѣ должны пройти курсъ математики въ объемѣ курса мужскихъ гимназій, включая и тригонометрію. Избирающія математику главнымъ предметомъ, конечно, чувствуютъ къ ней большее или меньшее расположеніе, но только немногія успѣваютъ дѣйствительно достигнутъ хорошаго усвоенія всего курса: одинъ годъ—слишкомъ короткое время для усвоенія значительнаго курса, особенно при той слабой подготовкѣ, которая описана выше; а чтобы усвоить математическій курсъ мужскихъ гимназій необходимы занятія, сопровождае-

мыя практическими упражненіями въ математическихъ выкладкахъ іг съ нѣкоторыми роздыхами. Невозможно, напримеръ, проходить курсъ, математики только передъ экзаменами, какъ это часто дѣлаютъ студенты-юристы и другіе. Переходъ въ восьмой классъ, по нашимъ наблюденіямъ, въ большинствѣ случаевъ дѣйетвуетъ замѣчательнохорошо на ученицъ, не только потому, что большая часть занятій относится къ избраннымъ ими главнымъ предметамъ, но и по быстрому умственному развитію, проявляющемуся нерѣдко въ ученицахъ, до того времени никогда не поднимавшихся выше средняго уровня. И не смотря на такія благопріятныя условія, только весьма немногія успеваютъ овладѣть курсомъ въ той-же мѣрѣ, какъ гимназисты - мужчины. Даетъ себя чувствовать и вообще непривычка къ отвлеченному мышленію.

Таковъ, повторяемъ, насколько приходилось наблюдать, дѣйствительный уровень математическихъ познаній въ женскихъ гимназіяхъ.. Трудно назвать его удовлетворительнымъ. Но отчего это зависитъ: отъ особенностей-ли склада женскаго ума, какъ думаютъ многіе, отъ неудовлетворительной постановки преподаванія, или-же отъ какихъ-либо иныхъ еще причинъ? Къ чему слѣдуетъ склониться: къ измѣненію-ли объема курса и въ какую сторону, или къ признанію только необходимости измѣненія лишь способа веденія дѣла?

Мы признаемъ, что ученицы женскихъ гимназій мало знакомы съ. математикой, не особенно сочувствуютъ ей и ея методу (предпочитая заучиваніе), болѣе склонны къ занятіямъ такъ-называемыми «словесными» предметами, но по этимъ причинамъ не можемъ еще согласиться съ мнѣніемъ о необходимости сократить существующій курсъ, математики въ женскихъ гимназіяхъ. Во-первыхъ, мы думаемъ, что въ настоящее время очень трудно опредѣлить, какая доля наблюдаемаго нерасположенія ученицъ къ занятіямъ математикой зависитъ отъ дѣйствительнаго природнаго качества женскаго ума и какая доля отъ привитой многолѣтней привычки считать, что математика ненужна женщинамъ (мысль, распространенная и среди самихъ гимназистокъ нашего времени). Замѣтимъ еще, что на распространеніе такой идей среди ученицъ должна была вліять и постановка самаго дѣла, развивавшая скуку на урокахъ математики. Мысль о недостаткѣ способностей къ занятіямъ математикой могла быть развита въ ученицахъ, благодаря господствовавшимъ взглядамъ, которыя часто выслушивались ученицами и поэтому усваивались еще съ дѣтства. Если-бы еще склонность къ занятіямъ математикой проявлялась въ женщинахъ какъ рѣдкое исключеніе, мы могли-бы скорѣе согласиться съ мыслыо о нерасположеніи женскаго ума къ математикѣ; но мы не мало встрѣчали такихъ уче-

ницъ, которыя охотно и успѣшно занимались математикой. Ихъ меньше (говорю, конечно, о % отношеніи), чѣмъ занимающихся математикой среди гимназистовъ мужскихъ гимназій, но и послѣднихъ немного, всего 3 — 6 на классъ, рѣдко больше; а такая небольшая разница въ склонностяхъ вполнѣ объяснима исторически развившимися взглядами, усваиваемыми молодежъю, вовсе не по зависимости отъ органическихъ причинъ. Вѣдь не болѣе какъ 30 лѣтъ тому назадъ въ. женскихъ институтахъ (женскія гимназіи тогда еще только что были основаны) переводили ученицъ изъ класса въ классъ независимо отъ ихъ успѣховъ, а слабыхъ по математикѣ (читай—ариѳметикѣ) просто освобождали отъ занятій неудобнымъ предметомъ. Нерасположеніе къ предмету въ женскихъ гимназіяхъ должно было развиваться и отъ существующій до настоящаго времени постановки курса математики въ гимназіяхъ вѣдомства Императрицы Маріи, а отчасти переносилось и въ гимназіи Министерства Народнаго Просвѣщенія. Представьте себѣ положеніе ученицы, которую шесть и даже семь лѣтъ заставляютъ заниматься ариѳметикой, да еще почти не давая пищи для работы мысли, заставляя учить правила и ограничиваясь ими. Поневолѣ надоѣстъ, и придешь къ мысли, что предметъ скученъ и ненуженъ. Сравнимъ съ такимъ фактомъ: обыкновенно считаютъ, что дѣти нуждаются въ «отвѣтѣ» данной задачи, т.-е. въ указаніи результата, который долженъ получиться. Если отвѣтъ не данъ, дѣти волнуются, передѣлываютъ задачу нѣсколько разъ, на разные лады, не будучи увѣрены въ правильности своего рѣшенія, и тратятъ даромъ много времени. Но мы знаемъ такую начальную школу, въ которой дѣтямъ никогда не дается «отвѣта» предложенной задачи, но задачи для самостоятельной работы, конечно, предлагаются въ такомъ родѣ, какія уже рѣшались. Учащіеся вполнѣ привыкали къ этому, привыкали полагаться на свое размышленіе, предварительно обдумывать условія задачи—и тогда уже приниматься за ея рѣшеніе. Они привыкали къ самостоятельности, и отсутствіе отвѣта поэтому ихъ не смущало. Такой результатъ несомнѣнно выше работы съ погоней за отвѣтомъ; при правильной постановкѣ дѣла съ самаго начала подобное требованіе не считается дѣтьми обременительнымъ. При подчиненіи-же господствующимъ обычаямъ отказъ въ сообщеніи «отвѣта» дѣйствительно затрудняетъ учащихся. Этимъ примѣромъ я хочу сказать, что существующее нерасположеніе большинства ученицъ гимназій къ математикѣ можетъ зависѣть не отъ природнаго склада женскаго ума, а отъ причинъ внѣшнихъ, современныхъ и историческихъ. Приведенный выше примѣръ доказываетъ, что обычныя затрудненія учащихся

могутъ сами собой исчезнутъ при иной постановкѣ дѣла, при требованіи самостоятельности отъ учащихся. Отъ чего именно зависитъ нерасположеніе ученицъ къ математикѣ—мы рѣшать не беремся, по отсутствію достаточнаго количества данныхъ, но по личнымъ наблюденіямъ склонны думать, что нерасположеніе это зависитъ отъ плохой постановки дѣла, но не природныхъ наклонностей ученицъ. Мы думаемъ такъ потому, что за рѣшеніе ариѳметическихъ задачъ ученицы принимаются въ младшихъ классахъ охотно, геометріей, при сколько-нибудь разумномъ преподаваніи ея, большинство занимается охотно, только алгебру не любятъ почти всегда, а ариѳметику—цачиная съ среднихъ классовъ. Но повторяемъ сказанное нѣсколько выше: какъ-же не надоѣсть ариѳметикою, когда обучаютъ ей въ гимназіи 6—7 лѣтъ, да притомъ во все это время не даютъ матеріала для работы мысли, потому что теоріей ариѳметики почти не занимаются, все время отдается рѣшенію задачъ по данному шаблону. Учащіяся дѣвочки также могутъ долго интересоваться лишь такой работой, которая требуетъ работы мысли; въ младшихъ классахъ дѣти интересуются и механической работой, которая для нихъ представляетъ еще интересъ новизны, а по возрасту потребность въ дѣятельности мысли еще слабо развита, главное, не устойчива, быстро перемѣняетъ предметы, па которые обращается. Дѣти охотно пишутъ, вычисляютъ, учатъ стихи и т. п., въ старшемъ возрастѣ такія занятія большинство встрѣчаетъ съ неудовольствіемъ, если съ ними не связана, не выражается ими работа мысли, или они не имѣютъ какой-либо спеціальной цѣли. Съ другой стороны, въ ученицахъ гимназій (и даже у женщинъ вообще) мало развита способность и привычка къ отвлеченному мышленію, а потому и наклонность къ математическому мышленію. Ученицы больше избалованы, чѣмъ мальчики, дома часто слышатъ рѣчи о томъ, что женщинамъ математика ненужна. Мальчики и юноши избалованы меньше, всѣ побуждаютъ ихъ окончить курсъ, на недоучившагося юношу смотрятъ съ пренебреженіемъ, тогда какъ на женщину, вышедшую замужъ до окончанія курса—никогда. Юноша дома, можетъ быть, часто слышитъ рѣчи о трудности математики, но ему не твердятъ о ея безполезности, какъ твердятъ о безполезности древнихъ языковъ, и онъ безропотно, хотя и съ трудомъ учится математикѣ и всячески возстаетъ противъ древнихъ языковъ, и часто прямо твердитъ: «все равно, учи, не учи—ихъ одинаково позабудешь». Въ томъ, что ученицы женскихъ гимназій тяготятся занятіями ариѳметикой въ продолженіе 6 лѣтъ безъ теоріи, мы готовы видѣть скорѣе благопріятный признакъ.

Говорятъ, что женщины болѣе склонны къ словеснымъ наукамъ,

легче ихъ усваиваютъ. Мы съ этимъ совершенно согласны,—въ настоящее время, по приведеннымъ причинамъ, иначе и быть не могло. Но изъ этого вовсе не слѣдуетъ еще, что математическія науки имъ недоступны и не должны преподаваться. Мы думаемъ, что юношамъ также словесныя науки легче даются, чѣмъ математика. Женщинамъ легче даются занятія словесностью, чѣмъ юношамъ, первыя больше интересуются произведеніями изящной литературы, охотнѣе ихъ изучаютъ и легче усваиваютъ, потому что раньше, больше и тоньше знаютъ людей и ихъ взаимныя отношенія. Слѣдуетъ-ли изъ этого, что нужно было-бы ослабить занятія юношей литературой? Нѣтъ, мы думаемъ наоборотъ, что пониженіе уровня литературнаго образованія за послѣднее время сказывается въ пониженіи идеаловъ и меньшей склонности къ идеаламъ, въ повышеніи эгоистическихъ стремленій и въ большей узкости кругозора у кончающихъ курсъ.

Мы приходимъ такимъ образомъ къ другому вопросу, поставленному въ началѣ статьи: нужно-ли измѣнять курсъ математики въ женскихъ гимназіяхъ въ ту или другую сторону?

Но нашему взгляду на значеніе общеобразовательной школы, мы сейчасъ-же скажемъ, что математика должна входить въ курсъ женскихъ гимназій, а въ какомъ размѣрѣ—разберемъ нѣсколько подробнѣе.

Ариѳметика, въ обычномъ значеніи этого слова, въ нашихъ программахъ охватываетъ собою простѣйшія числовыя соотношенія, которыя могутъ быть разрѣшены однимъ изъ четырехъ дѣйствій (ариѳметическихъ) или группою ихъ, требуетъ знакомства съ числомъ, какъ выраженіемъ величины предметовъ, и съ понятіями о дѣйствіяхъ, выражающихъ происходящія измѣненія въ состояніи величинъ (дѣйствительно происходящія измѣненія или только представляемыя нами), т.-е. соединеніе ихъ въ одну, отнятіе одной изъ другой, повтореніе и дѣленіе на части, наконецъ, изученія, нѣкоторыхъ свойствъ и чиселъ (уже не первоначальныхъ величинъ, а соотношеніи ихъ), какія необходимо знать для производства дѣйствія надъ дробными числами, разложимости чиселъ на множителей, общаго наибольшаго дѣлителя чиселъ и наименьшаго кратнаго, и т. д. Числовыя отношенія, входящія въ представленія о дѣйствіяхъ, настолько просты, общедоступны и встрѣчаются на каждомъ шагу въ обыденной жизни, что нѣкоторое представленіе о нихъ имѣютъ дѣти, только что поступающія въ школу. Они разрѣшаютъ вопросы, требующіе примѣненія одного изъ ариѳметическихъ дѣйствій, если данныя выражаются малыми числами. Если дѣти настолько малы, что не могутъ произвести вычисленія даже съ однозначными числами, то и тогда могутъ выразить, что нужно сдѣ-

лать для рѣшенія предложеннаго имъ вопроса, на наглядныхъ пособіяхъ—что и доказываетъ обладаніе представленіями объ основныхъ ариѳметическихъ дѣйствіяхъ тѣми дѣтьми, которые еще и считать не умѣютъ.

Занятія ариѳметикой требуютъ постояннаго упражненія въ счетѣ, потомъ—въ производствѣ дѣйствій надъ цѣлыми и дробными числами. Чтобы занятія эти давали не только извѣстные навыки, необходимые для всякаго грамотнаго человѣка, но давали-бы пищу и его уму, нужно эти занятія соединить съ объясненіемъ того, что дѣлается, нужно давать теорію дѣйствій и необходимыхъ для ихъ производства свойствъ чиселъ. Такимъ образомъ складывается роль ариѳметики въ школѣ: она приводитъ ребенка отъ безсознательныхъ и наглядныхъ упражненій къ теоріи, весьма красивой и ясной, показывающій простыя общія начала во всѣхъ тѣхъ на первый взглядъ разнообразныхъ упражненіяхъ, которыя встрѣчались при работѣ, особенно съ дробными числами. Если это дѣйствительно будетъ сдѣлано, если учащіеся сознательно перейдутъ отъ усвоенія отдѣльныхъ фактовъ къ объясненію ихъ, а потомъ къ обобщенію цѣлаго ряда ихъ, развѣ не поймутъ они значеніе не только ариѳметической теоріи, но и вообще значенія обобщенія? Какой иной предметъ можетъ дать другой примѣръ столь-же выработанной, столь-же простой и, вмѣстѣ, отвлеченной теоріи? Возможно-ли оставнть учащагося безъ разъясненія значенія обобщеній? Мы думаемъ, нельзя. Но необходимо, чтобы учащіеся въ общеобразовательной школѣ не только усвоили обобщенія, но учились на практикѣ доходить до обобщеній, и необходимо, чтобы имъ разъяснялось значеніе такихъ обобщеній. Напомнимъ, наконецъ, что знаніе ариѳметическихъ дѣйствій безусловно необходимо. Неужели простительно не воспользоваться этими знаніями для достиженія образовательной цѣли, которая притомъ едва-ли на какомъ-либо другомъ матеріалѣ можетъ быть такъ удобно достигнута? Нужно-ли заботиться о такомъ образовательномъ вліяніи на ученицъ женскихъ гимназій? Отвѣтъ, намъ кажется, ясенъ. А, вѣдь, въ женскихъ гимназіяхъ большею частью и не пробовали придавать такое значеніе занятіямъ ариѳметикой, учили только правила. Большой промахъ, недостатокъ заботы объ основательности развитія.

Алгебра начинаетъ съ обобщенія, постоянно имѣетъ дѣло съ общими законами чиселъ и отвлеченными соотношеніями величинъ, часто приходя даже къ количествамъ, условно вводимымъ. Такимъ образомъ она постоянно требуетъ общихъ разсужденій, слѣдовательно, сильно отвлеченныхъ, но за-то приходящихъ къ гораздо болѣе широкимъ и

полнымъ результатамъ. Важнѣйшую часть ея составляетъ теорія уравненій, которыя, радикально измѣняя пріемъ рѣшенія численныхъ вопросовъ сравнительно съ ариѳметикой, приводятъ къ изслѣдованію такихъ вопросовъ, которыхъ въ ариѳметикѣ разсматривать невозможно. Высокая стеиеыь отвлеченія, требуемая алгебраической работой, разумѣется, способствуетъ развитію способности къ отвлеченному мышленію и анализу разсматриваемыхъ соотношеніи, но по своей значительной трудности (именно по ея отвлеченности) требуетъ большаго количества времени и напряженія въ работѣ. Здѣсь мы встрѣчаемся съ конфликтомъ, такъ сказать, полезнаго образовательнаго вліянія предмета съ необходимостью значительной затраты силъ, которая вызывается его усвоеніемъ, чего совершенно не было при занятіяхъ ариѳметикой.

Существующія въ настоящее время знанія по алгебрѣ у ученицъ гимназій вѣдомства Императрицы Маріи, по своей незаконченности и ограниченпо механическими правилами дѣйствій надъ алгебраическими количествамъ почти безъ примѣненія ихъ даже къ рѣшенію уравненіи (вводится уравненіе только съ численными коэффиціентами), имѣютъ ничтожное образовательное значеніе и должны быть или пополнены, или совсѣмъ оставлены. Въ томъ видѣ, какъ они теперь существуютъ, алгебраическія познанія ученицъ никакого знакомства съ алгебраическимъ методомъ рѣшенія и изслѣдованія вопросовъ не даютъ, а сила математики и образовательное ея значеніе заключаются именно въ ея методѣ. Стоитъ вниманія только сообщаемое знакомство съ численными уравненіями, которое, взятое въ отдѣльности, отнимаетъ немного времени, но можетъ расширить кругозоръ учащихся, знакомя съ новымъ способомъ рѣшенія вопросовъ, являясь новымъ шагомъ къ обобщенію. Безцѣльность знаній, сообщаемыхъ по алгебрѣ, конечно, должна еще больше усиливать затрудненія ученицъ женскихъ гимназій и должна усиливать нерасположеніе къ предмету, не дающему пищи для ума.

Въ женскихъ гимназіяхъ Министерства Народнаго Просвѣщенія курсъ алгебры нѣсколько полнѣе, какъ было указано выше; входитъ въ курсъ рѣшеніе уравненій первой и второй степени—съ буквенными коэффиціентами, отчасти разложеніе многочленныхъ количествъ на множители, играющіе такую важную роль во всѣхъ алгебраическихъ вычисленіяхъ, а самое важное—дается знакомство съ логариѳмами, которыя сами но себѣ (помимо общаго отношенія къ предмету) обыкновенно нравятся, хотя, можетъ быть, и затрудняютъ, и способны вліять на развитіе мысли независимо отъ ихъ значенія въ курсѣ. Но и здѣсь

курсъ алгебры очень неполонъ, не заключаетъ совсѣмъ изслѣдованія рѣшеній неонредѣленныхъ уравненій, вообще тоже очень мало знакомитъ съ математическимъ анализомъ.

При существующихъ условіяхъ, при нерасположеніи большинства ученицъ къ математикѣ, мы думаемъ, что было-бы совершенно неблагоразумнымъ вводить въ курсъ женскихъ гимназій знакомство съ алгебраическимъ апализомъ, такъ какъ это заставило-бы значительно усилить существующій курсъ и возбудило-бы протестъ родителей, который вполнѣ передался-бы учащимся, а учащими вводился-бы безъ внутренняго убѣжденія въ его нёобходимости. Дѣйствительно, результаты, которыхъ при этихъ условіяхъ можно надѣяться достигнуть, почти навѣрно не окупятъ затраченнаго времени и труда. Неужели-же, скажутъ намъ, возможно оставить женщинъ безъ такого сильнаго орудія для развитія способности къ отвлеченному мышленію, какъ математика, если мы хотимъ и считаемъ нужнымъ дать имъ серьезное и возможно полное общее образованіе? Нѣтъ, нельзя, но остается еще геометрія. О значеніи геометріи мы сейчасъ скажемъ, а теперь замѣтимъ, что ради полноты курса геометріи слѣдуетъ оставить въ курсѣ женскихъ гимназій тѣ свѣдѣнія изъ алгебры, которыя нужны для возможностпо рѣшенія несложныхъ уравненій съ алгебраическими коэффиціентами и извлеченіемъ квадратныхъ корней изъ чиселъ—для рѣшенія геометрическихъ задачъ. Для той-же цѣли и для общей цѣли математическаго курса желали-бы мы удержать и статью о логариѳмахъ,—впрочемъ, не особенно на этомъ настаивая, Курсъ-же геометріи въ женскихъ гимназіяхъ, по нашему мнѣнію, слѣдуетъ расширить, поставить болѣе основательно, т.-е. требовать не только знанія доказательствъ, но и разбора ихъ, умѣнья выводить частныя слѣдствія, группировать теоремы, вообще умѣнья разсматривать и пониманія строя доказательства, его значенія и его пріемовъ.

Мы говоримъ, что женщины очень часто страдаютъ недостаткомъ навыка къ отвлеченному и послѣдовательному мышленію, недостаткомъ знанія строя доказательствъ, въ то-же время обладая въ высшей степени способностью быстро схватывать сообщенное, тонко вникать въ него и вѣрно понимать, особенно если сообщаемое касается области соціальныхъ наукъ или взаимныхъ отношеній людей, но не развивать усвоенное разсужденіемъ. Въ этомъ, конечно, много виновата школа, мало дающая матеріала для отвлеченнаго послѣдовательнаго мышленія. Этотъ недостатокъ весьма важно пополнить, и первымъ предметомъ, который всего легче и вмѣстѣ основательно можетъ послужить для указанной цѣли, является геометрія.

Геометрія способствуетъ развитію способности къ разсужденію, потому что занятія ею постоянно требуютъ таковыхъ разсужденій, именно чисто дедуктивныхъ выводовъ. Каждое изъ доказательствъ въ геометріи представляетъ совершенно законченое цѣлое, ясное по построенпо, всегда (за весьма немногими исключеніями) краткое и легко провѣряемое въ своихъ выводахъ; оно доступно для дѣтей, хотя первое время усвоеніе его, по необычности работы, требуетъ отъ учащихся значительнаго напряженія. Для перехода къ разсужденію въ геометріи нужно только ясное представленіе тѣхъ формъ, о которыхъ предстоитъ разсуждать. Во всякой другой наукѣ для достиженія возможности дедуктивныхъ выводовъ нуженъ предварительно большой запасъ знаній (хотя бы, напримѣръ, въ физикѣ); ни въ какой наукѣ разсужденія не могутъ быть такъ полны, закончены и просты, какъ въ геометріи: геометрія разсматриваетъ такіе предметы и соотношенія ихъ (формы, въ которыхъ можно разсматривать видъ, величину, взаимное положеніе частей этихъ формъ и проистекающія изъ того соотношенія ихъ, или-же цѣлыхъ формъ), которые существуютъ только при покоѣ и неизмѣнномъ состояніи этихъ предметовъ, а потому не могущіе подвергнуться измѣненію ни отъ какихъ причинъ, не входящихъ въ данныя условія теоремы. Соотношенія предметовъ, разсматриваемыя въ другихъ наукахъ, касаются происходящихъ измѣненій въ состояніи или движеніи предметовъ, а потому могутъ зависѣть нѳ только отъ причинъ, принятыхъ во вниманіе при выводѣ, но и отъ новыхъ причинъ, которыя не были предусмотрѣны (Напримѣръ, зная что всѣ тѣла могутъ нагрѣваться, можно было-бы думать, что температура тѣла будетъ тѣмъ выше, чѣмъ сильнѣе будешь его нагрѣвать; оказывается однако, что температура воды не поднимется выше 80° по R., если мы будемъ нагрѣвать воду въ открытомъ сосудѣ; какъ-бы сильно мы ни подогрѣвали воду, мы только заставимъ ее сильнѣе кипѣть; деревянное масло нельзя нагрѣть до его кипѣнія: оно раньше станетъ разлагаться; въ наглухо закрытомъ сосудѣ вода будетъ нагрѣвать выше 80°, а при извѣстной температурѣ разорветъ сосудъ). Вотъ почему дедуктивные выводы во всѣхъ другихъ наукахъ требуютъ знанія многихъ фактовъ и никогда не могутъ быть такъ полны и закончены, какъ геометрическіе. Въ этомъ великое преимущество геометрическихъ дедукцій въ педагогическомъ отношеніи, дѣлающихъ геометрію гораздо доступнѣе всякой другой. Въ примѣненіи къ задачамъ учащіеся могутъ даже вести самостоятельно вполнѣ законченныя дедуктивныя изслѣдованія. Съ помощью чертежа учащіеся очень часто могутъ сами провѣрить свои теоретическіе выводы. Само собою понятно, что при-

вычка къ геометрической дедукціи не дастъ умѣнье разсуждать во всѣхъ случаяхъ, но непремѣнно повліяетъ до извѣстной степени, заставитъ понять необходимость осторожности въ заключеніяхъ, необходимость провѣрки умозаключеніе заставитъ вникнуть въ разсужденіе и признать его силу. Все это результаты очень важные. Для дѣвицъ, которыя вообще имѣютъ очень мало случаевъ учиться дедукціи, геометрія—неоцѣнимый предметъ. Для достиженія образовательной цѣли, повторяемъ, необходимо не заучиваніе доказательствъ, но возможно глубокое вниканіе въ нихъ, разсмотрѣніе всего строя доказательствъ и его пріемовъ, т.-е. обученіе разсужденію и упражненія въ самостоятельномъ его примѣненіи. Наглядный курсъ геометріи въ общеобразовательной школѣ безполезенъ; мы скажемъ, что въ женскихъ гимназіяхъ онъ вреденъ, такъ какъ отнимаетъ послѣднюю возможность учить дедукціи, недостатокъ которой сильно чувствуется въ средѣ женщинъ. Утверждаемъ, что геометріи всѣ учащіеся, развѣ за весьма немногими исключеніями, учатся охотно, если ихъ учатъ разсуждать, имогутъ заниматься ею успѣшно. Время на расширеніе курса геометріи найдется безъ увеличенія общаго числа уроковъ по математикѣ, если ариѳметика будетъ заканчиваться раньше, не позже 4-го класса, что необходимо сдѣлать, какъ мы старались доказать. Только въ старшемъ классѣ полезно сохранить уроки ариѳметики, чтобы можно было съ большею основательностью (благодаря возрасту) повторить курсъ ариѳметики и тѣмъ придать еще новую силу сознанію важности теоріи.

Выразимъ кратко практическія заключенія, къ которымъ пришли:

1) Въ женскихъ гимназіяхъ курсъ ариѳметики слѣдуетъ ограничить первыми четырьмя классами, въ то-же время придавъ ему теоретическую основу, и дать время на повтореніе ариѳметики въ выпускномъ классѣ съ расширеніемъ теоретическихъ объясненій.

2) Курсъ алгебры въ настоящемъ его видѣ безполезенъ; желательно такое измѣненіе его, при которомъ онъ далъ-бы свѣдѣнія, полезныя для основательной постановки курса геометріи, включая и статью о логариѳмахъ. Въ случаѣ затрудненій въ установленіи общаго нлана курса женскихъ гимназій, послѣдняя статья можетъ быть исключена, даже сокращенъ на практикѣ объемъ другихъ статей.

3) Курсъ геометріи долженъ бытъ расширенъ и ему необходимо придать отчасти философскую окраску, а также ввести упражненія въ рѣшеніи и разборъ задачъ на построеніе.

Для тѣхъ, которые опасаются затрудненій для ученицъ по математикѣ, замѣтимъ, что слѣдовало-бы допускать окончаніе курса и та-

кими дѣвицами, которыя, по мнѣнію педагогическаго совѣта, добросовѣстно занимались, но не могли овладѣть или курсомъ геометріи, или какого-нибудь другого одного предмета. Всякій педагогъ-практикъ знаетъ, что въ дѣйствительности это и теперь дѣлается во всякой школѣ, педагогическій совѣтъ которой еще не омертвѣлъ въ формализмѣ: ставятъ, по обсужденіи всѣхъ успѣховъ и условій, удовлетворительную отмѣтку и потому предмету, въ которомъ учащійся сплоховалъ.

В. Латышевъ.