Геометрія въ городскихъ училищахъ (по Положенію 31 мая 1872 г.).

Въ «малыхъ народныхъ училищахъ», первыхъ нашихъ общеобразовательныхъ элементарныхъ училищахъ, основанныхъ при Имп. Екатеринѣ II «Коммиссіей училищъ», геометріи вовсе не преподавали; въ уѣздныхъ училищахъ, по уставу 1804 г., преподавались «начальныя правила геометріи», но какъ шло дѣло—мы никакихъ указаній не нашли: учебника для введеннаго курса издано не было.

По уставу 1828 г., геометрію въ уѣздныхъ училищахъ положено преподавать одинъ годъ (въ третьемъ классѣ) «безъ доказательствъ» и только до стереометріи. Въ 1830 г. было издано Министерствомъ Народнаго Просвѣщенія «Руководство къ геометріи для уѣздныхъ училищъ», составленное Ѳ. Буссе, которымъ вполнѣ и опредѣлился курсъ, существовавшій въ дѣйствительности вплоть до пятидесятыхъ годовъ.

Въ книгѣ Буссе курсу геометріи данъ въ значительной степени теоретическій оттѣнокъ, хотя очень многія теоремы и не доказываются, а въ истинности утверждаемаго предлагается убѣдиться наглядно. Тотъ и другой элементъ прямо указаны въ предисловіи. На книгѣ очень замѣтно вліяніе Дистервега, имя котораго упоминается въ предисловіи. Въ примѣчаніи къ § 14 данъ образецъ того, какъ вести работы. Рекомендуется наведеніе учащихся на заключеніе, въ дѣйствительности почти подсказываемое учителемъ.

О томъ, какъ преподавать геометрію, повидимому, думали тогда мало, такъ какъ мы нашли только одну (до конца пятидесятыхъ годовъ) статью по этому вонросу, напечатанную въ «Педагогическомъ Журналѣ» за 1833 г., именно переводъ введенія къ книгѣ Дистервега «Raumlehre» (описанія куба, призмъ, цилиндра, пирамидъ, конуса и шара). Въ статьѣ объясняется, почему «ученіе о пространствѣ» надо вводить въ курсъ и что должно составлять его содержаніе. Рекомендовалось преобразовать геометрію «въ элементарный видъ», такъ какъ геометрія древнихъ неспособна быть пищею для дѣтскаго ума

Описаніе формъ, должно, по мнѣнію автора статьи, развить «способность наглядности». Описанія тѣлъ, однако, нельзя считать занятіями геометріей, потому что изученія свойствъ формъ при такихъ описаніяхъ тѣлъ быть не можетъ; подобныя занятія можно считать только за упражненія, заставляющія выработалъ отчетливыя представленія о тѣхъ формахъ, свойства которыхъ изучаются геометріей.

Въ 1843 г. была издана геометрія Литтрова для народныхъ школъ и для подготовленія желающихъ заниматься впослѣдствіи геометріей Евклида. Въ ней геометрическія истины разъясняются наглядно, безъ доказательства ихъ путемъ разсужденія. Переходъ отъ нагляднаго усвоенія геометрическихъ фактовъ къ доказательству тѣхъ-же фактовъ разсужденіемъ въ дѣйствительности невозможенъ, особенно для дѣтей, только-что начинающихъ учиться разсужденію (а переводчикъ геометріи Литтрова думалъ, что книга полезна и для подготовки къ поступленію въ среднія учебныя заведенія). Мысль о томъ, что лучше наглядно пройти весь курсъ геометріи, чѣмъ пройти «съ доказательствами» часть предмета, справедливо только отчасти; «наглядное» усвоеніе цѣлаго предмета и усвоеніе доказательствъ—понятія различныя.

Кромѣ курса Литтрова, были изданы (до Крымской войны) еще нѣкоторые другіе для начальнаго обученія (Фуасси, Геометрія и землемѣріе для первоначальнаго обученія, народныхъ школъ и сельскихъ жителей 1842 г.; Ламе-Флери, Краткая геометрія для дѣтей, 1847 г. и др.). Значенія они не имѣли, да ихъ и нельзя назвать хорошими курсами; но они интересны для насъ въ томъ отношеніи, что появленіе ихъ выражаетъ мысль о необходимости распространить обученіе геометріи и на начальныя школы. Однако-же, эта мысль не сложилась въ какія-либо опредѣленныя формы, даже упомянутыя руководства скорѣе были лишь сокращенными теоретическими курсами, чѣмъ приспособленными къ начальному обученію. Въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ курсу геометріи придавали большое образовательное значеніе, но по многимъ прямымъ свидѣтельствамъ современниковъ видно, что въ дѣйствительности преподавалась она плохо. Понятно, что въ уѣздныхъ училищахъ не могла она идти хорошо. Еще въ 70-хъ годахъ намъ приходилось встрѣчать преподавателей математики въ уѣздныхъ училищахъ, которые сами не знали предмета и даже считали маленькую «Элементарную геометрію» Дистервега, переведенную на русскій языкъ въ шестидесятыхъ годахъ, очень трудной книжкой.

Съ оживленіемъ русскаго общества въ концѣ пятидесятыхъ годовъ развилось стремленіе улучшить обученіе въ школахъ и распространить образованіе въ массѣ народа. Всѣ усилія первое время обратились на

улучшеніе методовъ обученія, потому что до того времени школы дѣйствительно мало приспособлялись къ силамъ и развитію учащихся; тогда господствовала исключительно вѣра въ образовательную силу теоріи, только и заботились о возможно лучшемъ и простомъ изложеніи теоріи. Улучшеніе методовъ обученія въ шестидесятыхъ годахъ видѣли въ примѣненіи наглядности ко всѣмъ предметамъ обученія и постепенномъ обобщеніи наблюденій (наведенія), да еще заботились о возбужденіи интереса къ ученью. Отсюда явилось и увлеченіе преподавательскими курсами; таковые курсы предлагали почти по всѣмъ предметамъ школьнаго обученія. Эти увлеченія отразились и на геометріи. Прежде любили говорить, что геометрія—практическая логика. Теперь говорили, что обученіе геометріи надо начинать «нагляднымъ ознакомленіемъ дѣтей съ формами правильныхъ тѣлъ посредствомъ разсматриванія ихъ», о необходимости строить курсъ геометріи на обобщеніи ряда практическихъ задачъ, а иногда предполагалось и весь курсъ вести при помощи наглядныхъ пособіи. Говорили собственно о томъ, какъ «начинать» преподаваніе, но на практикѣ объ этомъ забывали и вели весь курсъ съ маленькими дѣтьми одинаково «нагляднымъ путемъ». Въ статьяхъ о преподаваніи математики нерѣдко предлагалось начинать обученіе геометріи съ дѣтьми лѣтъ 10-ти и даже моложе, предлагалось вводить геометрію въ народныя школы, составлялись и соотвѣтствующія руководства, но всѣ эти размышленія примѣнялись только въ частныхъ школахъ и при домашнемъ обученіи. Въ существовавшихъ сельскихъ школахъ геометрія не преподавалась, въ уѣздныхъ училищахъ по прежнему учили по руководству Буссе, плохо его понимая, а въ гимназіяхъ (кромѣ военныхъ) дѣло шло по старому. Недостатокъ практической провѣрки высказываемыхъ взглядовъ, вѣроятно, и вызвалъ неопредѣленность и неустойчивость взглядовъ. Часто въ одной и той-же статьѣ говорилось о томъ, какъ важно путемъ наведенія доводить учащихся до усвоенія геометрическихъ истинъ и о томъ, что надо заботиться о развитіи навыка къ строгому и отвлеченному мышленію (въ геометріи—дедуктивное). Въ издававшихся руководствахъ однѣ теоремы доказывались, другія пояснялись наглядно, третьи оставлялись и безъ всякаго объясненія.

Положеніе о городскихъ училищахъ 31 мая 1872 г., по которому геометрія вводится съ 3-го года обученія и преподается 4 года, потребовало рѣшенія вопроса о томъ, какъ преподавать, Уже 17 лѣтъ существуютъ новыя училища, но до сихъ поръ для нихъ изданы только временныя программы.

Какъ поставленъ курсъ геометріи теперь въ городскихъ училищахъ? Къ чему слѣдуетъ стремиться при обученіи геометріи?

Прежде, чѣмъ отвѣтить на эти вопросы, мы намѣренно кратко указали на существовавшіе прежде взгляды на преподаваніе геометріи. Нѣсколько разъ они измѣнялись, а въ шестидесятыхъ годахъ сдѣлались неопредѣленными, даже нѣкоторые старались «совмѣстить несовмѣстимое», какъ упомянуто выше. Мы не имѣли въ виду подробно говорить о томъ, что предлагалось прежде, хотѣли только указать, что никакого опредѣленнаго взгляда установлено не было.

Чтобы отвѣтить на поставленные нами вопросы, придется начать нѣсколько издалека,—придется коснуться значенія городскихъ училищъ.

Мы думаемъ, что городское училище есть начальная общеобразовательная школа. Большинство учащихся въ ней не оканчиваетъ курса, какъ и въ другихъ общеобразовательныхъ школахъ всѣхъ степеней. (Въ начальныхъ школахъ у насъ, по отчетамъ Мин. Нар. Пр., до окончанія курса ежегодно выходитъ, приблизительно, вдвое больше, чѣмъ по окончаніи курса; впрочемъ, отношеніе это, хотя и очень медленно, но улучшается. Въ церковно-приходскихъ школахъ, насколько извѣстно по имѣющимся отчетамъ отдѣльныхъ епархіи, процентъ оканчивающихъ курсъ еще много ниже). Большинство оканчивающихъ курсъ въ городскихъ училищахъ не идетъ въ другія общеобразовательныя школы, прежде всего по недостатку средствъ*), отчасти по трудности перехода въ другія учебныя заведенія, отчасти по нежеланію продолжать ученье. Чаще переходятъ изъ городскихъ училищъ въ спеціальныя (профессіональный) училища, чтобы впослѣдствіи можно было имѣть большій заработокъ. Эти соображенія приводятъ насъ къ заключенію, что городскія училища, какъ общеобразовательныя, должны давать возможно разностороннее общее образованіе. Стремленіе къ разносторонности должно ограничиваться только работой объ основательности сообщаемыхъ знаній и развитія. Но курсъ городского училища долженъ быть законченнымъ курсомъ, не долженъ стремиться къ подготовкѣ учащихся къ поступленію въ среднія общеобразовательныя школы. Законченность курса не простая фраза; забота о законченности должна отражаться на выборѣ предметовъ обученія, какъ потомъ придется указать и относительно геометріи. При стремленіи подготовлять въ городскихъ училищахъ къ среднимъ учебнымъ заведеніямъ, пришлось-бы при выборѣ предме-

*) Недостатокъ средствъ нетолько мѣшаетъ тратить ихъ на обученіе, но заставляетъ еще стремиться какъ можно скорѣе имѣть заработокъ.

товъ обученія подчиняться курсу послѣднихъ; а ихъ курсъ, опираясь на возможность посвятить ему больше времени, свободнѣе выбираетъ и распредѣляетъ предметы обученія. Эта свобода, чѣмъ дальніе мы живемъ, тѣмъ большее получаетъ значеніе, такъ какъ кругъ нашихъ знаній быстро расширяется; въ то-же время стаиовится все болѣе и болѣе необходимымъ каждому человѣку запасаться какъ можно большимъ количествомъ знаній; а потому вопросъ объ экономіи силъ учащихся, о выборѣ предметовъ обученія, о способахъ обученія пользованію знаніями такъ, чтобы не терялась изъ виду руководящія идея. Прошло то время, когда считали необходимымъ чуть не для каждаго предмета вводить «пропедевтическій курсъ». Теперь ясно, что къ усвоенію одного предмета долженъ подготовивъ другой предметъ, если не непосредственно, то тѣмъ, что занятія имъ развиваютъ тѣ способности и даютъ тѣ знанія, которыми необходимо уже владѣть при занятіяхъ новымъ предметомъ. Оттого свобода въ выборѣ и распредѣленіи предметовъ обученія получаетъ такое важное значеніе въ современной школѣ.

Но мы утверждаемъ, что стремленіе къ законченности курса, отказъ отъ желанія подготовлять въ городскихъ училищахъ къ поступленію въ среднія общеобразовательныя школы нисколько не мѣшаютъ сдѣлать для меньшинства, желающаго продолжать обученіе, переходъ въ среднія школы вполнѣ возможнымъ,—разумѣется, при нѣкоторомъ напряженіи силъ, такъ какъ должны потребоваться дополнительныя занятія. Никакой бѣды въ томъ, что потребуется нѣкоторое напряженіе, мы не видимъ; напротивъ, думаемъ, что оно послужитъ хорошимъ мѣриломъ силъ для самихъ учащихся. Важно, какъ для отдѣльныхъ лицъ, такъ и для государства, чтобы талантливые люди въ городскихъ школахъ не терялись, имѣли-бы возможность найти себѣ дорогу. Но важно это именно относительно болѣе способныхъ или, по крайней мѣрѣ, особенно энергичныхъ людей, нотому что нѣтъ ничего несчастнѣе людей, желающихъ подияться выше другихъ, но не обладающихъ на то достаточными силами; они обвиняютъ всѣхъ, плачутся на судьбу и не замѣчаютъ того, что виноваты прежде всего они сами, взявшись за дѣло, не соотвѣтствующее ихъ силамъ, и не желая отъ него отказаться. Непризнанные таланты тяжелую ведутъ жизнь. Да и другимъ людямъ пользы они не приносятъ. Истинный талантъ при нѣкоторой помощи себя проявитъ, это и есть признакъ таланта. Мы знаемъ жизненные примѣры того, что люди, учившіеся и теперь въ низшихъ школахъ, при обладаніи способностями и энергіей, успѣвали получать безъ всякаго ущерба для

себя высшее образованіе, подготовляясь къ необходимымъ для того экзаменамъ въ знаніи курса средней школы (гимназіи, реальнаго училища). Если позаботиться объ облегченіи для нихъ такого искуса, то вполнѣ можно достигнутъ того, что таланты въ городскихъ училищахъ затериваться не будутъ. Если они будутъ немного запаздывать окончаніемъ курса въ высшемъ учебномъ заведеніи, то и это не бѣда, по нашему мнѣнію. Мы запасаемся знаніями во время нахожденія въ учебныхъ заведеніяхъ, когда этому дѣлу посвящаемъ все время; выходя въ жизнь, принимаясь за какую-либо дѣятельность, кромѣ профессорской, лишь въ очень рѣдкихъ случаяхъ можемъ мы значительно расширять запасъ научныхъ знаній, потому что жизненная дѣятельность сама но себѣ требуетъ массы времени; да молодому человѣку и для себя пожить хочется. Окончаніе курса высшаго учебнаго заведенія въ 24—25 лѣтъ даетъ возможность пріобрѣсти уже, благодаря возрасту, болѣе широкій кругозоръ и большій запасъ знаній.

Но довольно объ. этомъ. Надѣемся, что достаточно выяснили свою точку зрѣнія на значеніе городского училища. Будучи общеобразовательной школой, оно вовсе не должно стремиться къ выбору непремѣнно тѣхъ предметовъ, которые имѣютъ практическое значеніе, но должно быть только практично въ выборѣ, т.-е. выбирать такіе, вліяніе которыхъ на развитіе понятно или родителямъ, или самимъ учащимся, которые по силамъ учащимся, могутъ интересовать ихъ; а если будетъ удобно, то полезно показать и практическія примѣненія усвоеннаго знанія. Если-же окончившій курсъ городского училища не пріобрѣтетъ даже никакихъ практическихъ знаній, но разовьется умственно и усвоитъ гуманное отношеніе къ людямъ, уваженіе къ людямъ и ихъ труду и къ знанію, то и это будетъ важнымъ результатомъ какъ лично для окончившаго курсъ, такъ и для государства. Очень нуждается наше общество въ «просвѣщеніи». Если-же онъ вынесетъ изъ школы сознаніе необходимости честно трудиться и жить не только для себя, но помогать и другимъ, то, право, будетъ совсѣмъ хорошо, и дѣло такой человѣкъ себѣ найдетъ.

Умственное и нравственное развитіе даетъ школа. Первое дается обученіемъ собственно, второе—разъясненіемъ религіи нашей и отношеніемъ школы къ учащимся.

Значеніе каждаго учебнаго предмета въ школѣ должно прежде всего опредѣляться его свойствами. Геометрія—наука по преимуществу дедуктивная, поэтому занятія ею, кромѣ сообщенія извѣстнаго рода знаній, содѣйствуетъ развитію способности къ разсужденію дедуктивному. Таково образовательное значеніе геометріи. Для дости-

женія возможно большаго вліянія занятій геометріей необходимо разъяснить не только факты геометрическіе, но и способы усвоенія ихъ; чѣмъ тщательнѣе будутъ такія разъясненія и убѣдительнѣе для учащихся, тѣмъ глубже будутъ послѣдніе вдумываться.

Геометрическіе факты въ большинствѣ случаевъ, хотя не всѣ (напримѣръ, несоизмѣримость величинъ), могутъ быть усвоены и провѣрены наглядно. Такой путь усвоенія даже доступнѣе для начинающихъ, но онъ не наученъ, потому что не даетъ возможности достаточно провѣрить фактъ и ноказать его общность. То и другое зависитъ отъ того, что наглядное усвоеніе факта не раскрываетъ тѣхъ условій, отъ которыхъ онъ зависитъ, и не доказываетъ причинной связи между ними. Наглядное усвоеніе факта, не давая достаточной точности знанія, нѣкоторыя геометрическія понятія дѣлаетъ совершенно недоступными, какъ, напримѣръ, упомянутое выше понятіе о несоизмѣримости величинъ. Мѣняется способъ усвоенія фактовъ при наглядномъ изученіи геометріи, поэтому видоизмѣняется и образовательное вліяніе. Нѣтъ сомнѣнія, что и при такомъ веденіи дѣла она будетъ вліять на развитіе, но не будетъ способствовать развитію способности къ дедукціи, будетъ требовать лишь наблюденія и обобщенія—къ нимъ-то способности и будутъ развиваться. Здѣсь кстати замѣтить, что наша умственная работа опирается, главнымъ образомъ, на три элемента: наблюденіе, обобщеніе и умозаключеніе. Первое представляетъ главнѣйшій и основной источникъ нашихъ знаній, второе—основной источникъ обработки пріобрѣтенныхъ знаній (образованіе понятій), а вмѣстѣ съ тѣмъ и возможности пользованія ими, третье—даетъ возможность человѣку внести его субъективный элементъ въ изученіе природы, не только матеріи, но и духа, расширяетъ область познаванія и измѣняетъ его пріемы. Само собою понятно, что развить хотя отчасти, если только это возможно, всѣ три элемента весьма желательно; если какого-либо изъ нихъ не хватаетъ, развитіе учащагося будетъ очень неполное. По времени въ дѣтяхъ, прежде всего, проявляется, конечно, способность къ наблюденію, потомъ къ обобщенію, но обыкновенно въ значительной степени развивается только послѣ 3—4 лѣтъ пребыванія въ школѣ; въ значительной степени мышленіе начинаетъ развиваться еще позже, не ранѣе 14—16-лѣтняго возрастъ и при ненремѣнномъ условіи обученія. Только особенно даровитыя натуры достигаютъ умственнаго развитія и безъ посторонней помощи; но и для нихъ руководительство опытнаго человѣка въ высшей степени полезно.

Для развитія каждаго рода способностей необходимо упражненіе,

a матеріалъ для него даетъ тотъ или другой учебный предметъ; но необходимо для успѣха дѣла, чтобы преподаваніе предмета соотвѣтствовало его свойствамъ. Элементарное обученіе можетъ упрощать и ограничивать содержаніе сообщаемыхъ знаній, но ни въ какомъ случаѣ не искажать ихъ характера. Поэтому не всякій предметъ умѣстно дѣлать предметомъ начальнаго обученія. Подготовка къ прохожденію предметовъ, требующихъ въ большей степени разсужденія, напр., логики, физики и т. h., дается просто возрастомъ.

Въ городскихъ училищахъ по Положенію 31-го мая 1872 г.,какъ дающихъ законченное общее образованіе и для большинства учащихся вмѣстѣ съ тѣмъ и окончательное, весьма желательно если не развить, то хотя затронуть всѣ три упомянутые элемента, необходимые для умственной дѣятельности, если только возможно сдѣлать это съ достаточною основательностью. Матеріалъ для наблюденія всегда выбрать не трудно, не мало такихъ предметовъ, которые требуютъ постоянно обобщенія въ области знаній, доступныхъ для начинающихъ, и потому удобны для введенія въ число учебныхъ предметовъ начальной школы и разовьютъ способность къ обобщенію. Но о тѣхъ и другихъ мы говорить не будемъ. Для развитія способности къ умозаключеню дедуктивному въ начальной школѣ матеріалъ найти трудно. Подходящій матеріалъ (какъ было недавно указано нами въ статьѣ о преподаваніи математики въ женскихъ гимназіяхъ*) даетъ только геометрія. И то съ трудомъ. Мы уже сказали, что способность къ мышленію начинаетъ сильно развиваться не ранѣе, какъ въ 14—16-лѣтнемъ возрастѣ—какъ разъ въ то время, когда большинство оканчиваетъ курсъ ученія въ городскомъ училищѣ. Однако, геометрія даетъ настолько доступный матеріалъ, что его могутъ хорошо усвоить и учащіеся въ городскихъ училищахъ. Говоримъ это на основаніи 17-лѣтнихъ наблюденій надъ учащимися нѣсколькихъ десятковъ городскихъ училищъ различныхъ губерній.

Наглядный курсъ геометріи оказать вліяніе на развитіе способности къ дедукціи не можетъ, потому что занятія имъ такой работы не требуютъ.

Мы увѣрены, что лица, близко стоящія къ дѣлу, согласятся съ нами, что колебаній въ выборѣ между теоретическимъ и нагляднымъ курсомъ быть не можетъ: въ городскихъ училищахъ долженъ преподаваться теорететическій курсъ геометріи, какъ единственнаго предмета, могущаго дать доступный матеріалъ для развитія необходимаго

*) См. «Русская Школа» 1892 г. октябрь, «О курсѣ математики въ женскихъ гимназіяхъ», стр. 129—143.

элемента умственной работы (дедуктивнаго умозаключенія), имѣющаго громадное значеніе и для нровѣрки нашихъ знаній, безъ которой знанія всегда будутъ малоцѣпны. Индуктивной-же работы предлагать въ геометріи не слѣдуетъ.

Изъ этого положенія мы дѣлаемъ дальнѣйшія заключенія. Переходъ къ дедукціи отъ предшествовавшихъ упраяженій въ наблюденіи и обобщеніи наблюденій для учащихся труденъ, такъ какъ характеръ работы долженъ совершенно измѣниться и полагаться приходится (вѣрнѣе, приходится привыкать полагаться) не на то, что видимъ, а на разсужденіе. Если разсужденіе приводитъ къ тому-же заключенію, которое непосредственно представляется зрѣнію (напримеръ, что прямые углы равны, что треугольники равны, въ случаѣ равенства ихъ сторонъ)—начинающимъ заниматься геометріей оно кажется совершенію излишнимъ и даже болѣе: затемняющимъ то, что само по себѣ понятно, страннымъ и искусственнымъ. Если разсужденіе приводитъ къ заключеніямъ, касающимся такихъ фактовъ, которые непосредственно не представляются глазамъ, то оно кажется очень труднымъ и на первыхъ порахъ мало интереснымъ. (Нанримѣръ, возможность трехъ случаевъ при наложеніи другъ на друга треугольниковъ, имѣющихъ порознь равныя стороны; доказательство теоремы о томъ, что внѣшній уголъ треугольника больше внутренняго, съ нимъ несмежнаго и т. н.; особенно часто—отдѣльныхъ частностей доказательствъ). Нужна большая тщательность въ работѣ, чтобы постепенно разъяснить цѣну разсужденія и не испортить дѣла съ самаго начала. Если преподающій при встрѣчѣ съ затрудненіями будетъ разъясненія дѣлать наглядно, а тѣмъ болѣе, если онъ будетъ доиускать цѣлыя наглядныя доказательства, то онъ поможетъ учащимся въ данную минуту, но страшно затруднитъ пониманіе разсужденій, отвратитъ отъ нихъ, т.-е. сильно испортитъ дѣло. Поэтому въ высшей степени важно ни въ какомъ случаѣ не смѣшивать теоретическаго курса съ нагляднымъ. Лучше совсѣмъ пропустить доказательство, сильно затрудняющее учащихся и доказывающіе то, что считается учащимися само собою понятнымъ (хотя-бы упомянутое равенство прямыхъ угловъ), чѣмъ замѣнять, хотя-бы временно, разсужденіе нагляднымъ доказательствомъ, придавая этимъ послѣднему въ глазахъ учащихся большую силу, чѣмъ разсужденію, что совершенно ошибочно. Какъ можемъ мы требовать потомъ, чтобы ребенокъ призналъ преимущество темнаго для него и необычнаго разсужденія передъ яснымъ и вполнѣ убѣдительнымъ для него и привычнымъ наблюденіемъ? Разъ допустивши наглядныя доказательства, мы этимъ

самымъ заставимъ учащихся постоянно стремиться къ замѣнѣ разсужденія нагдядностью. Мы думаемъ, что въ геометріи возможно пріучить къ разсужденію только потому, что оно касается области свойствъ и соотношеній формъ, которая до начала занятій геометріей мало обращала на себя вниманіе дѣтей и кажется имъ совершенно новою, неизвѣстною. Попробуйте заставить дѣтей разсужденіемъ приходить къ такому заключенію (изъ другой области знаній), которое имъ уже знакомо—и вы увидите, какъ это трудно сдѣлать. Вполнѣ естествеяно, что учащіеся, подчиняясь требованію учителя, все-же не будутъ усваивать разсужденіе, а станутъ просто его заучивать. Но тогда пользы отъ занятій геометріей будетъ очень мало.

Въ городскихъ училищахъ трудность начала занятій геометріей еще болѣе увеличивается тѣмъ, что приступать къ нимъ приходится раньше, чѣмъ-бы слѣдовало при нормальныхъ условіяхъ. Способность и склонность къ разсужденію начинаетъ развиваться лишь въ 14— 16-лѣтнемъ возрастѣ, а учащіеся въ городскихъ училищахъ должны иачинать занятія геометріей не позже 12—14 лѣтъ, такъ какъ 14— 16 лѣтъ они уже кончаютъ ученье; а для достиясенія серьезныхъ результатовъ необходимо учить геометріи непремѣнно 2—3 года, не меньше двухъ. Этого требуетъ новизна дѣла, необходимость осторожности въ веденіи дѣла и большого количества упражненій, чтобы могъ развиться хотя нѣкоторый навыкъ къ нимъ. Сравнительная простота геометрическихъ разсужденій, распаденіе ихъ на отдѣльныя, совершенно законченныя, но краткія разсужденія (доказательства отдѣльныхъ теоремъ) дѣлаютъ, однакоже, какъ мы уже сказали, возможнымъ основательное усвоеніе курса и даже развитіе большой любви къ занятіямъ геометріей (прямое доказательство доступности работы). Разсуждать о геометрическихъ формахъ можно только тогда, когда представленія этихъ формъ совершенно отчетливы. Въ 14—16 лѣтъ учащіеся, благодаря достигаемому къ этому времени общему развитію, обладаютъ представленіями, по крайней мѣрѣ, плоскихъ формъ. Для достиженія отчетливости представленій во всякомъ случаѣ достаточно одного-двухъ уроковъ. Нельзя того-же сказать о дѣтяхъ 12—14 лѣтъ, которыя приступаютъ къ занятіямъ геометріей въ городскихъ училищахъ, поэтому необходимо позаботиться о выработкѣ геометрическихъ представленій, прежде чѣмъ будемъ заставлять разсуждать о свойствахъ формъ, т.-е. доказывать теоремы. Представленія о формахъ могутъ быть выработаны только разсмотрѣніемъ этихъ формъ, никакими объясненіями оно создано быть не можетъ. Сколько потребуется времени и работы, чтобы такія представленія выработа-

лись, зависитъ отъ общей подготовки учащихся. Занятія разсмотрѣніемъ формъ его слѣдуетъ только считать занятіями геометріей: послѣдняя изучаетъ свойства формъ, разсматривая ихъ, какъ уже установленныя въ нашемъ сознаніи. Это замѣчаніе имѣетъ на практикѣ довольно важное значеніе. Разсмотрѣніе формъ должно предшествовать занятіямъ геометріей и составлять содержаніе приготовительнаго курса геометріи. (Оговоримся теперь-же, что мы считаемъ его неизбѣжнымъ въ городскомъ училищѣ, но вовсе не необходимымъ самимъ по себѣ; въ среднихъ школахъ считаемъ его ненужнымъ). Разсмотрѣніе формъ не равнозначуще простому указанію ихъ на какихъ-либо предметахъ. Въ геометріи мы изучаемъ не тѣ формы, которыя принадлежатъ дѣйствительнымъ тѣламъ, а существующія только въ нашемъ представленіи, гипотетическія; дѣйствительныя формы не подчиняются точнымъ соотношеніямъ, нѣтъ, напримѣръ, точныхъ круговъ, квадратовъ, а только формы, близкія къ названнымъ геометрическимъ. Такой пріемъ изученія формъ дѣлаетъ изслѣдованіе гораздо болѣе удобнымъ и общимъ, но въ то-же время и болѣе точнымъ, указываетъ и тотъ идеалъ формы, къ которому на практикѣ надо стремиться. Въ самомъ дѣлѣ, въ дѣйствительности нѣтъ даже двухъ тождественныхъ формъ; въ геометріи всѣ круги одного радіуса, вообще всякія однородныя фигуры, опредѣляемыя однѣми и тѣми-же данными, тождественны—это очень выгодно, дѣлаетъ число изучаемыхъ формъ гораздо меньшимъ, изслѣдованіе болѣе легкимъ, такъ что формы проще опредѣляются. Изслѣдованіе точной геометрической формы легко примѣняется къ существующимъ въ дѣйствительности, близкимъ къ разсмотрѣнной формѣ, но не наоборотъ. Чѣмъ ближе реально-существующая форма подходитъ къ геометрической, тѣмъ доступнѣе становится разсчетъ и опредѣленіе той роли, которую будетъ играть форма разсматриваемаго тѣла въ предстоящемъ явленіи. Напримѣръ, чѣмъ ближе форма оси механизма къ цилиндрической въ геометрическомъ смыслѣ, тѣмъ точнѣе можетъ быть разсчитано дѣйствіе механизма, тѣмъ оно будетъ правильнѣе. Понятно, что создать общія представленія о геометрическихъ формахъ невозможно простымъ указаніемъ на реально существующія формы; таковыя представленія могутъ быть только выработаны изъ ряда частныхъ представленій. Вотъ почему необходимо въ городскомъ училищѣ удѣлить нѣкоторое время на прохожденіе приготовительнаго курса.

В. Латышевъ.

(Окончаніе слѣдуетъ).

ГЕОМЕТРІЯ ВЪ ГОРОДСКИХЪ УЧИЛИЩАХЪ (по положенію 31-го мая 1872 года).

(Окончаніе).

Чрезвычайно интересный вопросъ для практика-педагога: соотвѣтствуетъ-ли высказаннымъ соображеніямъ обязательныя, хотя и временная программа геометріи для городскихъ училищъ? Да, въ основѣ, по нашему мнѣнію, соотвѣтствуетъ. Главное требованіе, высказанное нами — курсъ долженъ быть теоретическій. Такой характеръ курса ясно выраженъ программой. Мы говорили о необходимости выработки общихъ представленій о геометрическихъ формахъ. Съ этою цѣлью и въ программѣ введенъ приготовительный курсъ, по нашему мнѣнію, даже слишкомъ обширный (Мы слышали, что въ проектированныхъ измѣненіяхъ въ городскихъ училищахъ его предполагаютъ сократить). Въ дѣйствующей программѣ ясно выражено еще требованіе примѣнять усвоенныя геометрическія знанія къ рѣшенію практическихъ задачъ (съемкѣ плановъ, измѣренпо разстояніи и предметовъ и т. п.). Мы думаемъ, что такія примѣненія усвоенныхъ уже геометрическихъ знаній не только вполнѣ умѣстны, но и очень полезны. Мы возставали противъ построенія курса геометріи на началахъ наглядности, противъ усвоенія геометрическихъ фактовъ путемъ наблюденія, но обратный порядокъ, примѣненіе отвлеченнаго знанія къ окружающему, усилитъ въ ребенкѣ интересъ къ пріобрѣтеннымъ знаніямъ, оживитъ работу еще сильнѣе, научитъ еще болѣе цѣнить знанія, заставитъ еще полнѣе и глубже вникнуть въ усвоенное, наконецъ, будетъ способствовать выработкѣ умѣнья пользоваться отвлеченными знаніями. Все это входитъ въ планъ работы общеобразовательной школы.

Однако, дѣйствующую программу мы далеко не считаемъ безукоризненною. Основы ея хороши, но на ней отразилось связанное съ увлеченіемъ наглядностью и желаніемъ «наводить» учащихся стре-

мленіе вводить концентрическіе курсы чуть-ли не всѣхъ предметовъ. По программѣ первый годъ посвящается приготовительному курсу. Относительно него замѣчанія мы уже высказали. Во второй годъ назначается пройти: о взаимномъ положеніи прямыхъ и свойствъ ихъ въ зависимости отъ ихъ положенія (свойства перпендикуляра, наклонныхъ, параллельныхъ), о построеніи и измѣреніи прямыхъ на мѣстности, объ условіяхъ равенства и отношеніи площадей прямоугольниковъ, измѣреніе площадей ихъ, сообщеніе понятій о равновеликости и подобіи фигуръ, понятіе о масштабѣ, о прямыхъ параллелепипедахъ, ихъ отношеніи и измѣреніи. Въ 3 и 4 годы полагается пройти: объ отношеніи и измѣреніи угловъ; повторить пройденное о параллельныхъ линіяхъ (съ дополненіями); о треугольникахъ и ихъ свойствахъ; о многоугольникахъ, о свойствахъ параллелограммовъ; объ окружностяхъ и ихъ свойствахъ; о взаимномъ положеніи 2-хъ окружностей; о вписанныхъ и описанныхъ фигурахъ; о подобіи трехугольниковъ и многоугольниковъ; объ измѣреніи площадей и равновеликихъ фигурахъ; олиніяхъ въ пространствѣ; объ измѣреніи поверхностей и объемовъ тѣлъ. Эти требованія очевидно выражаютъ желаніе ввести концентрическій курсъ (въ двухъ кругахъ). Но геометрическій матеріалъ такому распредѣленію поддается съ большимъ трудомъ и натяжками. Если мы хотимъ познакомить учащихся сперва въ краткихъ чертахъ съ цѣлымъ предметомъ, то приходится говорить какъ о свойствахъ отдѣльно взятой геометрической формы (о соотношеніяхъ ея частей), такъ о сравненіи двухъ или нѣсколькихъ формъ между собою, относительно ихъ размѣровъ (равновелики или нѣтъ), относительно вида или формы ихъ (подобны или нѣтъ, симметричны и т. п.), относительно тождественности ихъ, равенства (одновременно подобны и равновелики), опредѣлить ихъ отношенія. Разсмотрѣніе такихъ соотношеніи требуетъ хорошаго знанія пропорцій, обладанія довольно развитыми понятіями объ измѣреніи, чего не можетъ быть у начинающихъ учиться геометріи въ городскихъ училищахъ. Говорить-же объ этомъ кратко— значитъ ничего не выяснитъ; разъяснить наглядно—положительно не слѣдуетъ при занятіяхъ геометріей, вредно. Съ другой стороны, мы вовсе не видимъ надобности знакомить начинающихъ со всѣмъ содержаніемъ предмета. Во-первыхъ, такое ознакомленіе съ цѣлымъ предметомъ въ главныхъ чертахъ (если содержаніе, матеріалъ предмета допускаетъ это) полезно въ первое время обученія, давая болѣе широкое освѣщеніе отдѣльнымъ фактамъ, на первыхъ-же порахъ давая чувствовать существованіе связи между отдѣльными фактами, слѣдовательно, способствуетъ большей глубинѣ пониманія сообщаемаго. Но

когда дѣти учились уже нѣсколько лѣтъ и пріобрѣли изъ опыта пониманіе существованія связи между фактами, тогда потребность въ концентраціи курсовъ уменьшается, а потомъ она становится даже излишней, такъ какъ во всякомъ случаѣ времени на концентрическіе курсы тратится больше, чѣмъ при отсутствіи концентраціи; въ то-же время, вслѣдствіе большаго развитія учащихся и пріобрѣтенныхъ знаній, выясненіе связи между сообщаемыми фактами становится возможнымъ непосредственно при самомъ усвоеніи этихъ фактовъ, и даже возможно предварительное указаніе связи между ними.

Во - вторыхъ, геометрическій матеріалъ важенъ въ педагогическомъ отношеніи не столько по указанію связи между отдѣльными свойствами формъ (въ существующихъ учебникахъ на это очень мало обращается вниманія), сколько по возможности полнаго изслѣдованія каждаго вопроса путемъ умозаключеній, важенъ по сообщаемымъ пріемамъ работы. Связь между отдѣльными частями курса и между теоремами каждаго отдѣла вполнѣ удобно можетъ быть указываема по окончаніи каждаго отдѣла, а потомъ и всего курса.

Отказъ отъ попытки концентрическаго расположенія матеріала программы приведетъ къ значительному выигрышу времени, которое и можетъ быть обращено на обогащеніе курса упражненіями относительно пройденнаго и на увеличеніе количества матеріала. Матеріалъ, указываемый дѣйствующею программою, довольно скуденъ и пополнить его полезно.

Существенную особенность программы, впрочемъ, обычную для программъ начальныхъ школъ, составляетъ ограниченіе курса геометріей на плоскости; изъ стереометріи сообщаются только свѣдѣнія относительно выраженій поверхностей и объемовъ тѣлъ, безъ доказательствъ. Мы этому вполнѣ сочувствуемъ. Пройти полный курсъ элементарной геометріи въ городскихъ училищахъ немыслимо по недостатку времени. Представляется, поэтому, вопросъ: что слѣдуетъ предпочесть: нроходить-ли кратко весь курсъ, или-же пройти геометрпо на плоскости болѣе подробно, за-то пройти основательно, а изъ геометріи въ пространствѣ сообщить только практически важные факты? Считая главною задачею школы развитіе силъ учащихся, мы безъ колебаній стоимъ за второе рѣшеніе, потому что дѣйствительное усвоеніе матеріала, развитіе и умѣнье работать достигаются только при тщательномъ изученіи научнаго матеріала; при быстромъ прохожденіи курса, безъ большаго количества упражненій, учащіеся работаютъ больше памятью, заучиваютъ пройденное и—скоро его забываютъ. Геометрія, требуя новаго рода работы, отвлеченной и трудной для начинающихъ, особенно нуждается въ тщательной разработкѣ.

Опредѣливъ цѣль преподаванія геометріи и характеръ программы курса, какъ мы его понимаемъ, остановимся теперь на разсмотрѣніи тѣхъ средствъ, которыми эта цѣль можетъ быть достигнута.

Во-первыхъ, пріобрѣсти умѣнье работать можно только при исполненіи работы. Работа должна быть сознательна, поэтому должны быть разъясняемы ея пріемы и вновь примѣняемы къ другимъ случаямъ. Научиться работать или хотя-бы только понять работу до начала самой работы, по нашему мнѣнію, вообще невозможно; тѣмъ болѣе относится это къ работѣ геометрической. Поэтому мы считаемъ не только существовавшіе «переходные» курсы отъ разсмотрѣнія тѣлъ къ теоретическому курсу неудачными, но и самую мысль о такомъ курсѣ ошибочною. Нельзя научиться плавать, не ходя въ воду. Пониманіе работы, особенно отвлеченной, можетъ быть достигнуто не иначе, какъ при исполненіи этой работы.

Но нельзя не считаться съ тѣмъ, что учащійся (особенно въ городской школѣ), приступая къ занятіямъ геометріей, совсѣмъ не умѣетъ еще разсуждать. Требовать отъ ребенка, чтобы онъ сразу перешелъ отъ привычки опираться на наблюденіе къ отвлеченному разсужденію, невозможно. Между тѣмъ теоремы о свойствахъ прямыхъ линій и угловъ, по необходимости стоящія въ началѣ курса, относятся къ такимъ фактамъ, изъ которыхъ многіе считаются учащимися уже извѣстными (судятъ они наглядно), напримѣръ, что вертикальныя углы равны, что прямые углы равны, что изъ точки, данной на прямой, можно возставить къ ней только одинъ перпендикуляръ и т. п. Если въ городскомъ училищѣ мы станемъ на первыхъ-же порахъ доказывать такія теоремы, учащимся покажется страннымъ, зачѣмъ толкуютъ пространно о томъ, что имъ вполнѣ понятно. Многіе утверждаютъ, что необходимо съ самаго начала требовать точности, тогда только учащіеся будутъ вѣрно направлены. Мы думаемъ, что эти размышленія вызываются лишь самообольщеніемъ. Ученикъ 11—12 лѣтъ обыкновенныхъ способностей не можетъ точно разсуждать, сколько-бы ни старались разъяснить ему такія отвлеченныя разсужденія, какъ упомянутыя выше, и принужденъ, наконецъ, заучить доказательство. Гораздо разумнѣе, по нашему мнѣнію, не касаться первое время подобныхъ вопросовъ. Если для ученика какой-либо фактъ представляется аксіомой, хотя въ дѣйствительности требуетъ доказательства, не пытайтесь опровергнуть его мнѣніе тотчасъ-же, но и не подтверждайте его, пусть онъ и считаетъ этотъ фактъ пока аксіомой. Когда-же пройдетъ нѣсколько времени, учащіеся кое - что будутъ знать, поразовьются и привыкнутъ къ геометрическимъ разсужденіямъ, имъ

уже будутъ непремѣнно нравитъся эти разсужденія, тогда можно вернуться къ теоремамъ, которыя были допущены, какъ аксіомы. Учащіеся если даже еще затруднятся понять ихъ, то уже не будутъ внутренне протестовать противъ доказательства такихъ теоремъ, которыя имъ кажутся непосредственно понятными. Если-же учитель успѣетъ разъяснить, какъ легко ошибиться, допуская заключенія на глазъ, и докажетъ учащимся ошибочность какихъ-либо заключеній, сдѣланныхъ ими подобнымъ образомъ, то, очень можетъ бытъ, ему удастся довести учащихся до сознанія нёобходимости доказательства теоремъ, принятыхъ прежде за аксіомы.

Вѣдь и наука не сразу дошла до той степени отвлеченія, которой хотятъ требовать тотчасъ-же отъ учащихся.

Во-вторыхъ, ставя цѣлью преподаванія геометріи въ городскихъ училищахъ обученіе тому роду мышленія, котораго требуетъ усвоеніе теоретическаго курса, мы этимъ самымъ требуемъ отъ учащихся серьезной работы и очень далеки отъ другого увлеченія шестидесятыхъ годовъ—стремленія сдѣлать занятія прежде всего и во что-бы то ни стало интересными. Мы думаемъ, что во всякомъ дѣлѣ есть очень много черной работы, обходя которую мы самое дѣло можемъ обратить въ забаву. Много черной работы приходится на долю учащихся и въ школѣ, да и должно приходиться, чтобы изъ учащихся вышли серьезные работники, не боящіеся труда. Но рядомъ съ этимъ мы считаемъ необходимымъ, чтобы всякая работа, которую ведутъ учащіеся, заключала-бы въ себѣ долю интереса; безъ этого не можетъ быть охоты къ работѣ, а слѣдовательно и успѣха. Примѣняя сказанное къ геометріи, мы находимъ, что не слѣдуетъ на первыхъ порахъ долго останавливаться на разсмотрѣніи теоремъ о прямыхъ линіяхъ и объ углахъ. Для начинающихъ такія теоремы почти никакого интереса не представляютъ и ничего не говорятъ ихъ уму; значенія этихъ теоремъ учащіеся не понимаютъ, потому что, по новизнѣ предмета и по своей молодости, не представляютъ вовсе содержанія будущей работы.

По этимъ и по высказаннымъ нѣсколько выше соображеніямъ, мы считаемъ необходимымъ въ городскихъ училищахъ по возможности скорѣе переходить къ изученію свойствъ фигуръ, что вполнѣ возможно.

Привычка къ геометрическому разсужденію не можетъ развиться быстро, поэтому не должно быть очень быстрой смѣны пріемовъ доказательствъ. Нужно, чтобы учащійся на значительномъ числѣ близко стоящихъ по времени примѣровъ могъ усвоить тотъ или другой пріемъ, т.-е. весьма желательно по возможности располагалъ теоремы, осо-

бенно въ началѣ курса, по роду доказательствъ. Наконецъ, преподаваніе педагога отличается отъ преподаванія ремесленника тѣмъ, что первый не только заставляетъ учащагося подражать себѣ, но разъясняетъ пріемы своей работы, учитъ самостоятельности и требуетъ ея. Къ занятіямъ геометріей, какъ исключительнымъ въ городскомъ училищѣ по содержанію, эти требованія примѣняться должны больше, чѣмъ къ занятіямъ другими предметами, хотя на практикѣ далеко не всегда такъ бываетъ. Пріемы доказательствъ геометрическихъ теоремъ безъ особыхъ затрудненій могутъ быть показаны послѣ (непремѣнно послѣ) ряда теоремъ, при доказательствѣ которыхъ извѣстный пріемъ примѣнялся; когда-же онъ будетъ указанъ, слѣдуетъ требовать отъ учащихся, чтобы они, при встрѣчѣ съ новой теоремой такого-же рода, привыкали впередъ опредѣлять, какимъ пріемомъ она можетъ быть доказана*). Тогда полезно требовать и соображеній о томъ, какъ этотъ пріемъ примѣнить. Однимъ словомъ, мы считаемъ аналитическій ходъ доказательства наиболѣе удобнымъ при обученіи геометріи, однако не во всѣхъ теоремахъ. Если анализъ условій выходитъ очень длиннымъ, слѣдуетъ излагать доказательство иначе, синтетически. Для развитія умѣнья самостоятельно работать чрезвычайно важное значеніе имѣютъ также упражненія въ рѣшеніи задачъ, въ выводѣ частныхъ слѣдствій доказанной теоремы, въ самостоятельномъ доказательствѣ легкихъ теоремъ. Подобныя упражненія важны не только сами по себѣ, но и потому ободряющему вліянпо, которое оказываетъ на учащихся самый маленькій успѣхъ, достигнутый ими, въ рѣшеніи задачъ или самостоятельно придуманномъ доказательствѣ теоремы.

Кромѣ объясненія пріемовъ работы, нужны еще и другія указанія, помѣщать которыя въ учебникѣ крайне неудобно: они должны быть предметомъ живой рѣчи учителя, потому что требуютъ приспособленія къ развитію учащихся и вообще состоянію, въ которомъ они находятся.

Матеріалъ геометрическаго курса распадается на отдѣльныя, законченныя части — доказательства теоремъ; какъ было сказано, это представляетъ большія выгоды для усвоенія, но также и неудобства: раздробленность матеріала мѣшаетъ ясно видѣть цѣлое,—поэтому, по окончаніи отдѣловъ курса, полезно дѣлать обзоръ содержанія цѣ-

*) Требовать впередъ указанія пріема доказательства не надо въ каждой теоремѣ, а только часто требовать; всякія однообразныя требованія утомляютъ учащихся и являются причиной ослабленія интереса.

лаго отдѣла; иногда полезны сравненія отдѣловъ, напримѣръ, статьи объ условіяхъ равенства фигуръ со статьей объ условіяхъ подобія. При обзорѣ отдѣловъ слѣдуетъ останавливаться на разъясненій соотношеній между отдѣльными теоремами. Напримѣръ, въ статьѣ о равенствѣ фигуръ слѣдуетъ разсмотрѣть основныя условія равенства трехугольниковъ, какое число условій должно быть дано въ каждой теоремѣ о равенствѣ, потомъ видоизмѣненіе этихъ условій при отнесеніи ихъ къ частнымъ видамъ трехугольниковъ (напр., условія равенства прямоугольниковъ, равнобедренныхъ, равностороннихъ трехугольниковъ), условія равенства другихъ прямолинейныхъ фигуръ и пр. При подобной группировкѣ теоремъ учащимся значительно меньше фактовъ надо будетъ запоминать и помнить связный матеріалъ легче. Хорошо подраздѣлять теоремы на особенно важныя и менѣе важныя, объясняя, почему та или другая теорема особенно важна.

Каждая геометрическая теорема состоитъ изъ двухъ частей : условій и слѣдствія; доказательство теоремы состоитъ въ раскрытіи причинной зависимости между данными условіями и слѣдствіемъ, т.-е. объясненіемъ того, что изъ данныхъ условій непремѣнно вытекаетъ указанное слѣдствіе и при опущеніи хотя одного изъ условій нельзя будетъ утверждать существованіе указаннаго въ теоремѣ слѣдствія (данныя условія были необходимъ), а прибавляя какое-нибудь условіе къ даннымъ, мы можемъ прибавить такое, которое противорѣчитъ прежнимъ—тогда никакого вывода (слѣдствія) сдѣлано быть не можетъ; если-лсе новое условіе не противорѣчитъ даннымъ, то оно является лишнимъ, потому что и безъ него теорема могла быть доказана (данныхъ, значитъ, было достаточно). Если условіе является лишнимъ, но и не противорѣчитъ даннымъ, —очевидно, оно само является слѣдствіемъ данныхъ.

Подобныя разъясненія состава теоремъ, хода доказательства и его значенія мы считаемъ важными. Дѣлаться они должны постепенно, когда накопится нѣсколько разобранныхъ отдѣльныхъ примѣровъ.

При рѣшеніи задачъ очень полезно пріучать къ разбору рѣшенія, именно къ опредѣленію того, сколько рѣшеній можетъ быть получено, всегда-ли рѣшеніе возможно, а если не всегда, то при какихъ соотношеніяхъ данныхъ рѣшеніе задачи становится невозможнымъ; напримѣръ, построеніе трехугольника по даннымъ 3-мъ сторонамъ становится невозможнымъ, ваша сумма двухъ меньшихъ изъ данныхъ сторонъ (вѣрнѣе—данныхъ отрѣзковъ прямыхъ, которымъ стороны искомаго трехугольника должны быть равны) будетъ равна третьей или

меньше ея. Короче можно сказать: очень полезно пріучать къ анализу рѣшенія задачи.

Итакъ, курсъ геометріи въ городскихъ училищахъ долженъ быть теоретическимъ курсомъ, учащимъ разсужденію, по преимуществу дедуктивному. Для достиженія цѣли предлагаемый матеріалъ долженъ быть очень тщательно разрабатываемъ, какъ каждая теорема въ отдѣльности, такъ и цѣлаго курса; важно упражнять въ рѣшеніи геометрическихъ задачъ и самостоятельномъ доказательствѣ легкихъ теоремъ.

Замѣтимъ еще, что, рекомендуя аналитическое изложеніе доказательствъ, какъ пріемъ обученія разсужденію*), мы должны оговориться, что изложеніе найденнаго уже доказательства удобнѣе вести въ обратномъ порядкѣ, т.-е. синтетически, начиная съ условій. Для начинающихъ, конечно, очень трудно излагать доказательство не въ той формѣ, какъ оно разбиралось, и требовать такой перемѣны совсѣмъ не слѣдуетъ; но если ученикъ самъ станетъ излагать иначе, хотя-бы только потому, что онъ готовился къ уроку по книгѣ, останавливать его не слѣдуетъ,—надо требовать только сознательности отвѣта.

Аналитическое доказательство больше требуетъ размышленія отъ учащагося, такъ какъ онъ сейчасъ-же долженъ указывать причины, по которымъ слѣдствіе можетъ быть опредѣлено; поэтому-то аналитическая выработка доказательства полезна въ педагогическомъ отношеніи. При синтетическомъ изложеніи доказательствъ мы говоримъ о томъ, какъ пользуемся условіями, какія дѣлаемъ вспомогательныя построенія, но почему именно мы поступаемъ такъ, а не иначе, съ какою цѣлью дѣлаемъ то или другое построеніе—не указывается; это разъясняется только тогда, когда теорема доказана. Вотъ отчего синтетическое изложеніе доказательствъ меньше заставляетъ думать. За-то оно почти всегда выходитъ короче, стройнѣе и изящнѣе—препятствовать развитію навыка такъ излагать не слѣдуетъ; а если учащимся такая перемѣна изложенія доказательства, когда оно окончено и выяснено, дается, то къ такому изложенію пріучать слѣдуетъ.

Вообще можно сказать, что во время увлеченій наглядностью обученія и преувеличенныхъ заботъ о поддержаніи интереса къ занятіямъ совсѣмъ мало обращали вниманіе на пріученіе къ хорошему

*) Начинаютъ съ разбора слѣдствія, которое должно быть доказано, потомъ опредѣляютъ пріемъ, которымъ оно можетъ быть доказано, обдумываютъ то, какъ именно этимъ пріемомъ воспользоваться, зная, что каждымъ изъ условій теоремы воспользоваться необходимо нужно.

и обработанному изложенію учащимися пройденнаго. Единственное средство научить изложенію—упражнять въ изложеніи усвоеннаго. Другими словами: необходимо спрашивать пройденное, заставлять учащихся не только отвѣчать на вопросы, но безъ всякой помощи учащаго излагать все доказательство и внимательно слѣдить за правильностью и точностью рѣчи. Спрашиваніе урока помогаетъ вырабатывать рѣчь не только тому ученику, который отвѣчаетъ, но и тѣмъ, которые слушаютъ. Зная, что придетъ и его очередь отвѣчать, каждый заботливый ученикъ вслушивается, какъ отвѣчаютъ другіе, и старается приготовиться къ отвѣту, обдумываетъ свой отвѣтъ заранѣе. Такую нодготовку къ отвѣту слѣдуетъ всегда поощрять, указывая, какъ надо готовиться. Одно время такой подготовки боялись, думали, что она пріучаетъ зубрить,—и учащіеся совсѣмъ не умѣли излагать. Сознательно-ли отвѣчаетъ ученикъ или только заучилъ отвѣтъ—опытному учителю провѣрить очень легко. Съ тою-же дѣлью выработки рѣчи учитель долженъ иногда самъ излагать доказательства теоремъ (выгодно—наиболѣе трудныхъ), чтобы давать образцы хорошаго изложенія, которому учащіеся должны подражать.

Мы требуемъ приготовленія уроковъ учащимися. Какъ-же ихъ приготовлять: по записямъ въ терадяхъ со словъ учащаго, или по книгѣ? Въ городскихъ училищахъ ученики хорошо записать за учителемъ не могутъ, часто не только дѣлаютъ ошибки, но даже искажаютъ сказанное, почти всегда записываютъ неполное—нужна книга. По ней ученикъ можетъ возобновить въ памяти слышанное на урокѣ, не исказитъ его и будетъ имѣть передъ глазами образецъ изложенія доказательствъ. Геометрія требуетъ новаго рода работы, очень тщательной и точно выражающій,—помощь нужна. Если-же ученикъ что-либо запомнилъ по неправильнымъ записямъ, поправить искаженное очень трудно: ученикъ уже крѣпко усвоилъ приготовленное. Мы рекомендуемъ въ городскихъ училищахъ по возможности близко держаться избранной книги. Когда-же какія-нибудь отступленія отъ нея учитель признаетъ необходимыми (или ему очень захочется что-нибудь измѣнить, дополнить), слѣдуетъ о томъ предупредить учащихся и потомъ провѣрить записанное ими.

Въ заключеніе приводимъ примѣрную программу того, что можетъ быть пройдено въ городскихъ училищахъ, съ указаніемъ тѣхъ разъясненій состава теоремъ и хода доказательствъ, какія полезно дать учащимся. Эта программа, около 10 лѣтъ тому назадъ, была выработана на собраніяхъ учителей городскихъ училищъ подъ нашимъ руководствомъ.

Въ этой программѣ вопроса о несоизмѣримости величинъ не разсматривается, понятіе о предѣлахъ также не дается, опущены теоремы, доказательства которыхъ носятъ алгебраическій характеръ, такъ какъ въ городскихъ училищахъ алгебры ученики не знаютъ; стереометрія собственно не проходится, но дается понятіе о положеніи линій въ пространствѣ, объ измѣреніи поверхностей и объемовъ геометрическихъ тѣлъ. Вообще, объемъ программы тотъ-же, какъ и въ дѣйствующей программѣ для городскихъ училищъ, но нѣсколько больше разработанъ матеріалъ. Возможность осуществленія программы испытана долголѣтней практикой.

Программа 4-го отдѢленія.

Опредѣленіе прямой и окружности; различные виды кривыхъ. Хорда; отличіе ея отъ дуги. Прямая есть кратчайшее разстояніе между двумя точками. Ломаныя линіи. Прямая опредѣляется двумя точками, дуга круга—радіусомъ и центромъ (двумя точками не опредѣляется). Уголъ между линіями.

Различная величина линій. Понятіе объ отношеніи линій.

Различная величина угловъ. Зависимость величины угла отъ наклона сторонъ. Независимость величины угла отъ длины сторонъ. Возможность замѣны измѣренія угла измѣреніемъ дугъ (Такъ какъ при равенствѣ угловъ дуги равны, если проведены изъ вершинъ угловъ равными радіусами, а когда одинъ уголъ больше другого, тогда и дуга въ 1-мъ углу во столько-же разъ больше, чѣмъ въ другомъ, т.-е. отношенія дугъ и угловъ всегда равны, то, узнавъ одно отношеніе, знаемъ и другое). Возможность проводить дуги для измѣренія угловъ какимъ угодно радіусомъ (Ученики всего яснѣе видятъ это, когда между сторонами угла заключается */« окружности).

Примѣчаніе. Указывается случай только соизмѣримыхъ дугъ.

Линіи, пересѣкаясь между собою, образуютъ фигуры. Построеніе трехугольниковъ, равныхъ данному (Учащіеся, обыкновенно, строя равный трехугольникъ, берутъ двѣ стороны, равныя сторонамъ даннаго, и углы, заключающіеся между ними, строятъ равными; иногда-же наталкиваются на другой случай—построеніе равнаго трехугольника по сторонѣ и двумъ прилежащимъ къ ней угламъ даннаго). Число необходимыхъ частей.

Невозможность взять больше трехъ условій (Эти теоремы указываютъ на существованіе зависимости между частями трехугольника). Равныя стороны лежатъ въ равныхъ трехугольникахъ противъ рав-

ныхъ угловъ. Доказательства этихъ теоремъ должны дать поводъ къ указанію на доказательство и его значеніе.

Поясняется также, что при найденныхъ условіяхъ всякіе трехугольники равны. Четырехугольники при такихъ-же условіяхъ могутъ быть равны и неравны (Необходимо прибавить еще новыя условія: свойства трехугольниковъ и четырехугольниковъ различны; предыдущія теоремы выражаютъ свойства трехугольниковъ). Равенство трехугольниковъ, когда три стороны одного равны порознь сторонамъ другого (Сперва построеніе, потомъ объясненіе). Необходимость доказательства (объясненія). Ошибочность обратнаго заключенія.

Условія равенства четырехугольниковъ и окружностей.

Зависимость между сторонами трехугольника: сумма двухъ сторонъ трехугольника всегда больше третьей его стороны, а разность двухъ сторонъ всегда меньше третьей (остальной).

Задачи на построеніе фигуръ по различнымъ даннымъ.

Разные виды трехугольниковъ вслѣдствіе различной величины угловъ. Сходящіяся линіи всегда образуютъ два угла, называемые смежными. Вертикальные углы. Прямые углы. Перпендикуляръ. Тупые и острые углы. Наклонныя линіи.

Условія равенства прямоугольныхъ трехугольниковъ*) (Условія проще, потому что въ названныхъ трехугольникахъ всегда есть по равному углу). Условія равенства равнобедренныхъ и равностороннихъ трехугольниковъ (Тоже будутъ проще).

Противъ равныхъ сторонъ въ трехугольникахъ лежатъ равные углы (Это выводится наложеніемъ: трехугольникъ перегибается по линіи, дѣлящей уголъ равнобедреннаго трехугольника пополамъ).

Равенство угловъ выводится изъ равенства трехугольниковъ.

Равенство ихъ опредѣляется безъ наложенія. Равенство данныхъ линій нельзя показать безъ измѣренія; но когда онѣ представляютъ собою стороны трехугольниковъ, то равенство ихъ зависитъ отъ равенства другихъ частей, и потому въ немъ убѣждаемся безъ измѣренія. Условія и слѣдствія теоремъ.

Другія теоремы о равенствѣ линій или угловъ доказываются подобнымъ-же образомъ (Линія, дѣлящая пополамъ уголъ при вершинѣ равнобедреннаго трехугольника, дѣлитъ трехугольникъ на два трехугольника. Равенство наклонныхъ, равноудаленныхъ отъ основанія

*) При доказательствѣ равенства прямоугольныхъ трехугольниковъ, у которыхъ гипотенузы и острые углы равны, разъясняется, что изъ одной точки на прямую можно опустить только одинъ перпендикуляръ.

перпендикуляра. Равенство высотъ въ равныхъ трехугольникахъ. Перпендикуляръ, опущенный изъ центра на хорду, дѣлитъ ее пополамъ. Перпендикуляры, опущенные изъ центра на равныя хорды, равны. Равенство перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ вершинъ равныхъ угловъ трехугольника на противулежащія стороны и т. п.). Пріемъ доказательства равенства линій и угловъ. Понятіе о геометрическомъ мѣстѣ*). Примѣры.

Противъ большой стороны лежитъ большій уголъ, Обратная теорема. Внѣшній уголъ больше каждаго изъ внутреннихъ, съ нимъ несмежныхъ. Охватывающая ломаная больше той, которую она охватываетъ. Пріемъ доказательства подобныхъ теоремъ.

Перпендикуляръ короче наклонной. Изъ наклонныхъ больше та, которая болѣе удалена, Точки, находящіяся внѣ перпендикуляра, возставленнаго изъ середины прямой. къ одному концу ея ближе, чѣмъ къ другому. Понятіе о перпендикулярѣ, какъ разстояніи.

Кратчайшее разстояніе отъ точки до окружности. Равныя разстоянія—наклонныя равноудаленныя. Дальнѣйшее разстояніе отъ точки до окружности. Касательная линія. Проведеніе касательной.

Понятіе о параллельныхъ линіяхъ.Условіе параллельности (напр., равенство накрестъ лежащихъ угловъ). Свойство параллельныхъ между параллельнымъ Свойство угловъ, образуемыхъ параллельными линіями, а также перпендикулярными (Указаніе на равенство угловъ вслѣдствіе опредѣленности положенія ихъ сторонъ относительно другъ друга). Сумма угловъ трехугольника. Задачи на вычисленіе.

Задачи на построеніе, заключающія въ себѣ два условія, изъ которыхъ каждому приходится удовлетворять отдѣльно (Многія рѣшаются при помощи построенія геометрическихъ мѣстъ).

Приложенія къ практикѣ: проведеніе и измѣреніе линій на землѣ. Построеніе угловъ на землѣ и измѣреніе ихъ. Рѣшеніе нѣкоторыхъ вопросовъ относительно измѣренія и опредѣленія направленія недоступныхъ линій.

2-й годъ (курсъ 5-го отдъленія).

Четырехуголышки и многоугольники. Различные ихъ виды. Расположеніе ихъ въ рядъ. Свойства діагоналей четырехугольниковъ. Раз-

*) Мѣсто точекъ, имѣющее одно и то-же свойство; окружность, напримѣръ, есть геометрическое мѣсто точекъ, равноудаленныхъ отъ центра; перпендикуляръ, возстановленный изъ середины данной прямой, есть геометрическое мѣсто точекъ, равноудаленныхъ отъ концовъ этой прямой и т. п.

личіе свойствъ различныхъ видовъ параллелограммовъ. Причины дѣлимости діагоналей пополамъ. Причины равенства діагоналей прямоугольника, равнобочной трапеціи, квадрата. Причина дѣлимости угловъ, чрезъ которые проходитъ діагональ, въ ромбѣ и квадратѣ пополамъ. Перпендикулярность діагоналей въ ромбѣ, квадратѣ и ромбоидѣ (Зависимость каждаго свойства отъ извѣстнаго условія. Появленіе новыхъ свойствъ зависитъ отъ прибавленія условій, опредѣляющихъ частный видъ фигуры. Указаніе на примѣры. Объясненіе необходимости пользованія условіями теоремы при доказательствѣ. Примѣры). Опредѣленіе теоремы и доказательства.

Свойства трапеціи. Тѣ-же свойства принадлежатъ всѣмъ параллелограммамъ.

Свойства общія всѣмъ многоугольникамъ. Пріемъ доказательствъ. Задачи и вопросы. Условія равенства многоугольниковъ. Пріученіе къ выводу частныхъ случаевъ. Предложеніе теоремъ для доказательства ихъ учениками безъ посторонней помощи.

Доказательства нѣкоторыхъ частныхъ свойствъ, которыя полезны для дальнѣйшаго и доказываются болѣе искусственно, чѣмъ прежде. Если двѣ стороны трехугольника равны двумъ сторонамъ другого, а углы, между этими сторонами заключающіеся, неравны, то большому углу противулежитъ большая сторона. Сомнительный случай равенства трехугольниковъ. Измѣреніе угловъ, вписанныхъ въ окружности и описанныхъ.

Приложеніе предыдущихъ теоремъ къ новымъ случаямъ. Большая хорда соотвѣтствуетъ большей дугѣ, и обратно Построеніе вписанныхъ и описанныхъ правильныхъ многоугольниковъ, удвоеніе числа, ихъ сторонъ и т. п.

Касательныя. Теоремы о касательныхъ къ окружности.

Нѣкоторыя новыя доказательства прежнихъ теоремъ, напримѣръ, третьяго случая равенства трехугольниковъ и т. п. Задачи (Въ томъ числѣ: дѣленіе линій, угла пополамъ, проведеніе перпендикуляра, опредѣленіе центра окружности и т. п.).

Условія касанія и пересѣченія окружностей. Задачи.

Повтореніе всего предыдущаго и рѣшеніе задачъ, требующихъ подыскиванія соотвѣтствующихъ теоремъ.

Понятіе о равенствѣ, равномѣрности и подобіи фигуръ (Необходимость выбрать общую мѣру для измѣренія площадей. Всего легче сравниваются между собою фигуры съ прямыми углами). Сравненіе площадей прямоугольниковъ. Принятіе за мѣру квадрата (Неудобство принять другія правильныя фигуры за мѣру). Расположеніе всѣхъ

фигуръ въ рядъ при сравненіи и измѣреніи ихъ. Смыслъ употребляемыхъ выраженій. Опредѣленіе площадей сложныхъ фигуръ (разбиваются на болѣе простыя части). Задачи на вычисленіе. Повтореніе и обзоръ отдѣла. Формулы окружности и площади круга.

3-й годъ (курсъ 6-го отдѢленія).

Для опредѣленія подобія фигуръ необходимо знать случай, когда получаются пропорціональныя линіи. Относящіяся къ тому теоремы. Задачи на вычисленіе (Порядокъ расположенія отрѣзковъ въ пропорціи). Признаки подобія трехугольниковъ. Общій пріемъ доказательствъ (Другой пріемъ, пригодный только въ нѣкоторыхъ случаяхъ). Сходство признаковъ подобія съ признаками равенства треугольниковъ. Выводъ послѣднихъ изъ первыхъ.

Выводъ частныхъ случаевъ (подобіе прямоугольныхъ трехугольниковъ, равнобедренныхъ, равностороннихъ и т. п.). Подобіе многоугольниковъ (Прежній пріемъ доказательствъ сложныхъ случаевъ).

(Подобіемъ фигуръ можно воспользоваться для доказательства пропорціональности линій. Пріемъ доказательствъ). Приложеніе теоремъ о подобіи трехугольниковъ въ различныхъ случаяхъ (пропорціональности хордъ, касательныхъ, линій прямоугольныхъ трехугольниковъ и т. п.). Обзоры пройденныхъ отдѣловъ (Сравненіе теоремъ, къ нимъ относящихся).

Задачи. Предложеніе теоремъ для доказательствъ.

Теорема Пиѳагора. Ея приложеніе.

Разсмотрѣніе болѣе трудныхъ теоремъ, относящихся къ пройденному курсу.

Практическія приложенія къ съемкамъ.

Изъ стереометріи надо дать выраженія поверхностей и объемовъ важнѣйшихъ видовъ тѣлъ, а если позволитъ время, то полезно провести параллель между свойствами линій, находящихся въ плоскости, и линій въ пространствѣ.

В. А. Латышевъ.