ИЗВЕСТИЯ

Тверского Педагогического ИНСТИТУТА.

Выпуск III.

BERICHTE

DES PÄDAGOGISCHEN INSTITUTS in Twer.

Heft III.

Тверь.—1927 г.

Феликс Клейн и его реформа математического образования.

С именем скончавшегося 22 июня 1925 г. германского профессора Ф. Клейна у каждого преподавателя математики соединяется воспоминание о том замечательном реформистском движении в области математического образования, которое в начале XX в. охватило широчайшие педагогические круги и повело к существенным изменениям в традиционной постановке преподавания математических наук. Действительно, это движение было вызвано деятельностью Ф. Клейна, который с замечательною убедительностью выяснил необходимость реформ в преподавании математики на всех ступенях обучения, указал их конкретное содержание и с изумительной настойчивостью добивался их осуществления. При этом, его внимание привлекали все стороны учебного дела, и он вносил в разработку всех возникающих вопросов кипучую энергию, колоссальную эрудицию и исключительный талант. В общем, в истории математического образования трудно указать другое лицо, которое оставило бы столь яркий след своей деятельности, как Ф. Клейн.

Но педагогические вопросы не были главной специальностью Ф. Клейна: он был одним из виднейших современных ученых-математиков. Эта ученая деятельность его наложила несомненный отпечаток на его реформаторские идеи в области преподавания математики, а потому она должна быть рассмотрена хотя бы в общих чертах.

Ф. Клейн родился в 1849 г. Шестнадцати лет он уже поступил в Боннский университет, где стал заниматься преимущественно физикой и скоро обратил на себя внимание читавшего этот предмет профессора Плюккера, который сделал даже его своим ассистентом. Но Плюккер был знаменитым геометром; Клейн заинтересовался его работами, сам увлекся геометрией и при окончании университета написал работу на геометрическую тему. По смерти Плюккера, Клейн в 1868 г. перешел в Геттингенский университет, где вместе с другим известным геометром, профессором Клебшем, работал над редактированием посмертного издания трудов Плюккера по геометрии. Так как и Плюккер и Клебш были сторонниками наглядности в области геометрии, то под их влиянием и Клейн навсегда усвоил любовь к проведению возможно большей наглядности в геометрических изысканиях и придавал большое значение математической интуиции.

Почувствовав, что из него может выйти славный ученый, Клейн стал продолжать свое математическое образование. В то время главнейшими центрами математической науки в Европе были Париж, где в особенности выдавались Эрмит и Дарбу, и Берлин, где первое место занимал Вейер-

штрасс. Клейн поступил сперва в Берлинский университет, но чисто аналитическое направление Вейерштрасса не удовлетворяло его, к геометрическим же изысканиям Клейна Вейерштрасс отнесся несочувственно. Поэтому Клейн в Берлине продолжал работать самостоятельно. В это время он близко сошелся с знаменитым впоследствии норвежским математиком Софусом Ли, с которым впоследствии вместе написал несколько ученых трудов. Вместе с Ли, Клейн отправился в Париж, где слушал лекции Дарбу, Жордана и др. французских ученых, но в особенности заинтересовался лекциями Жордана по теори групп, созданной тоже французским ученым, гениальным, безвременно умершим, Галуа. Эту теорию он затем, с величайшим искусством и успехом, применял в своих работах. Из Франции он собирался поехать в Англию, к В. Томсону, но в это время был избран приват-доцентом Геттингенского университета, а потому вернулся в Германию. После недолгого пребывания в Геттингене, он был избран в 1872 г. ординарным профессором Эрлангенского университета, при чем, в качестве вступительной лекции, произнес замечательную по глубине содержания речь: «Сравнительное обозрение новейших геометрических систем». Эта так называемая «Эрлангенская программа» Клейна была переведена на многие европейские языки, в том числе и на русский1). В ней Клейн, исходя из понятия групппы, об'единяет и классифицирует различные современные течения в области геометрии. В 1875 г. он перешел профессором в Мюнхен, где заинтересовался вопросами прикладной математики и связью их с чистой математикой. Здесь же Клейн стал заниматься вопросами о постановке высшего математического образования и организовал особые курсы для наиболее подготовленных слушателей. Теми же вопросами он продолжал заниматься и в Лейпциге, где был профессором с 1880 по 1886 г., но главным образом он предавался в это время чисто научным изысканиям, при чем написал ряд работ первостепенного значения, каковы: «О Риманновой теории алгебраических функций и их интегралов», «Исследование об икосаедре и о решении уравнения 5-й степени», «Лекции по теории эллиптических модулярных функций», «Введение в высшую геометрию», «О неэвклидовой геометрии» и пр. Совместно с Ли, им были написаны работы по теории групп и подстановок, о решении уравнений 5-й, 6-й и 7-й степени, об интегрируемых формах дифференциальных уравнений. Кроме того, он редактировал сочинения Мебиуса, Гаусса и др., а также журнал «Mathematische Annalen» и пр.—вообще развил широчайшую научную деятельность.

В 1886 г. Клейн сделался профессором Геттингенского университета, где и оставался до самой своей смерти. В течение почти сорока лет он был славою и гордостью Геттингенского университета и германской математической науки. В 1892 г. Клейн стал главою преподавания математики в Геттингенском университете, и с этих пор начинается его реформа-

1) Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований. Д-ра Ф. Клейна. Пер. Д. М. Синцов. Казань. 1896.

торская деятельность—прежде всего на физико-математическом факультете этого же университета. Он привлек к преподаванию в Геттингене наиболее выдающихся современных ученых, из которых достаточно назвать, пользующихся мировой известностью, Гильберта и Минковского. При нем была расширена и пополнена математическая библиотека и создана особенная «математическая читальня», где лица, занимающиеся математикой могли получать всевозможнейшие необходимые им книги, журналы, литографированные лекции и пр. Для студентов была составлена особая брошюра: «Советы и раз'яснения студентам математического и физического отделений Геттингенского университета», в которой весьма подробно раз'яснена постановка преподавания физики и математики в университете и даны ценные указания, как следует заниматься, чтобы достигнуть наилучшего успеха. Но гораздо большее значение, чем эти внешние улучшения в деле постановки преподавания, имели проведенные Клейном реформы университетского преподавания по существу. В этом отношении Клейн находил, что традиционное преподавание математики на физико-математических факультетах страдает излишней абстрактностью; даваемое образование слишком формально и часто направлено не столько на сущность изучаемого учения, сколько на его логическое развитие. В результате, у учащихся, по окончании университета, остается лишь воспоминание о скуке и о непреодолимых трудностях учения. Средствами улучшения постановки преподавания Клейн считал введение возможной наглядности в обучение, приложение приобретаемых сведений к изучению природы и применение их в практической жизни. С этой целью Клейн употребил все усилия, чтобы достигнуть наибольшей конкретности и наглядности в преподавании: им были организованы превосходные кабинеты наглядных геометрических пособий и моделей, счетных машин, вычислительных и механических приборов, геодезических инструментов и пр. Для повышения интереса к изучаемому материалу и лучшего усвоения его, Клейном были введены в широких размерах практические занятия, коллоквиумы, специальные курсы и пр. Сам Клейн читал много курсов самого разнообразного содержания, почти ежегодно их изменяя; благодаря талантливости изложения, глубине содержания и интересу затрагиваемого материала, они пользовались большой известностью и привлекали слушателей не только из Германии, но и из других стран. Такою же славою пользовались и созданные Клейном математические семинарии, эти истинные лаборатории научной математической мысли, на которых участники, под его руководством, вводились в область самостоятельной научной работы. Эти семинарии оказали чрезвычайно благотворное влияние на подготовку многих будущих ученых и профессоров математики, в том числе и некоторых русских молодых ученых, командировавшихся за границу для подготовки к профессорской деятельности.

Умелой организацией университетского преподавания Клейн приобрел себе настолько почетную известность, что в 1893 г. был командирован

Германским правительством на конгресс в Чикаго по вопросам университетского образования. С этого конгресса, под влиянием знакомства с американскими учебными завелениями, он вернулся еще более горячим, чем прежде, сторонником об'единения преподавания прикладной и чистой математики. Он высказал и стал энергично проводить смелую мысь о том, что наряду с высшими техническими школами, технические дисциплины должны изучаться в университетах. Именно при университетах, аналогично медицинскому факультету, должны быть учреждены технические факультеты или технические институты. При этом соотношения между высшими техническими школами и университетом формулированы Клейном в докладе, сделанном в обществе немецких инженеров 6 декабря 1895 г. следующим образом:

«Мы держимся того мнения, что связи между математикой и физикой, с одной стороны, и технической наукой—с другой, как в области исследования, так и в области преподавания должны быть развиваемы гораздо серьезнее и ближе, чем это было до сих пор.

При этом в области ведения технических школ должно остаться все то, что имеет непосредственное отношение к задачам практики и к образованию инженеров.

Университет же будет разрабатывать вопросы физико - техники с научно теоретической точки зрения и в этой форме преподносить студентам математикам и физикам".

В многочисленных других докладах, Клейн указывал выгоду от сближения чистой и прикладной математики для обоих сторон: прикладная наука будет обогащать теоретическую науку вопросами и задачами, заимствованными из практики и живой действительности; чистая же математика будет искать и давать решение этих вопросов, часто недоступных для прикладной науки. Осуществляя этот синтез теоретической и прикладной науки, Клейн стал читать, наряду с отделами чистой математики, и множество прикладных наук, каковы: электротехника, теория упругости, теория сопротивления материалов и пр., причем и эти его курсы отличались богатством идей, интересным содержанием и талантливым изложением. Но эти идеи Клейна об объединении преподавания в университете чистой и прикладной математики первоначально встретили возражения как со стороны инженеров, так и университетских деятелей. Первые боялись вторжения в область их компетенции университетских математиков, вторые же опасались замутить чистую науку и «научный идеализм» практическими приложениями. Правительство сначала тоже отказалось давать средства на технические институты, проектируемые Клейном. Но он постепенно с'умел переубедить своих противников, а за средствами на учреждение институтов обратился к частным пожертвованиям, которые быстро и доставили ему нужные суммы. В результате, Геттингенский университет обогатился первоклассными рассадниками прикладной науки в виде институтов аэродинамики, технической механики, термодинамики, электротехники, геофи-

зики, математической статистики и др. Эти институты вскоре приобрели блестящую репутацию, и по образцу их стали возникать аналогичные учреждения при других германских университетам Высокое состояние германской промышленности и техники, несомненно, стоит в непосредственной связи с работою этих очагов технического знания.

Попутно Клейн коснулся и вопроса о постановке высшего технического образования и высказал в этом отношении тоже ряд здравых и ценных идей. По его мнению, математика в высших технических школах преподается оторванно от ее приложений, между тем как она «должна органически врасти в умственный горизонт будущих инженеров и укрепиться в нем более прочным образом, чем теперь». Курсы математики, читаемые в специальных технических школах, должны быть приспособлены к техническим дисциплинам; полная теоретическая ясность должна в них соединяться с практической приложимостью и составлять с прикладною наукою одно неразрывное целое. В этих видах желательно составление новых курсов высшей математики с примерами из области техники.—Как известно, это последнее пожелание Клейна осуществилось на практике, и мы имеем в настоящее время не мало хороших курсов высшей математики, написанных специально для инженеров, естественников разных специальностей, химиков, статистиков и пр.

Почти с самого начала своей профессорской деятельности Клейн заинтересовался вопросом о подготовке преподавателей математики в средней школе и уделял этому вопросу самое пристальное внимание. Как и в других странах, в Германии учителя математики в то время набирались из лиц, окончивших физико-математический факультет; некоторые из них проходили, сверх того, педагогические курсы или годичный практикантский стаж. Клейн находил такую постановку подготовки преподавателей математики и физики неудовлетворительной.

Университетские дисциплины, по их высоте и абстрактности, мало дают для будущего преподавателя средней школы. Педагогические же курсы и пробный практикантский год страдают узким профессионализмом, приучая кандидата только к практике школьного дела. Но этого мало: сейчас можно было бы охарактеризовать систему подготовки кандидатов в учителя матеметики, как систему двойного забвения. Действительно, поступая в высшую школу, молодой человек, изучая высшую математику, совершенно забывает элементарную математику. Сделавшись же, по окончании университета, преподавателем средней школы, он начисто забывает высшую математику, с которой больше уже не имеет никакого дела и о которой у него остается лишь одно воспоминание. Такое жалкое положение дела не должно быть терпимо. Средствами для улучшения его должно быть уже упомянутое реформирование преподавания в университете в смысле введения в него большей наглядности и практических занятий, наиболее пригодных для учителей, каковы занятия по черчению, измерениям, обозрению учебной литературы и пр. Но, сверх того, необходимы специальные курсы

и семинарии, которые устанавливали бы и освежали многочисленные связи между высшею и элементарною математикой. К ним могли бы быть присоединены беседы о природе и целях математического образования на всех ступенях. Необходимо, чтобы от будущего преподавателя требовалось прослушание в университете и отчетливое знание дисциплин, близко стоящих к вопросам преподавания, каковы: теория чисел, история математики, теория функций, начертательная геометрия. Особенно желательно чтение курсов элементарной математики с высшей точки зрения, устройство летних и вакационных курсов, на которых учителя могли бы освежать свои знания и знакомиться с новейшими достиженияии в научной области. Во избежание односторонности, полезно временное пребывание кандидатов в преподаватели математики на естественном отделении; желательно также их обучение в течение хотя бы трех семестров в высших технических учебных заведениях. В общем, «учитель должен высоко стоять над тем уровнем знаний, который ему приходится излагать, и в точности знать все те подводные скалы и мели, чрез которые он должен проводить своих учеников». Особенно важным для будущих педагогов Клейн считал хорошее знание истории математики, которое позволяет вести преподавание генетическим методом.

Свои идеи относительно подготовки преподавателей математики и физики Клейн проводил и на деле в Геттингентском университете. Он часто читал студентам специальные курсы о целях и значении преподавания математики в школе, о связи элементарной математики с высшей, разбирал отдельные главы элементарной математики с высшей точки зрерия. Не щадя своего времени и сил, он устраивал пасхальные и вакационные курсы для учителей математики, на которых он сам и его сотрудники знакомили слушателей в доступной форме с новыми научными достижениями в области математики, физики, техники и пр. Многие из этих курсов были затем отпечатаны или литографированы и получили, благодаря их высоким качествам, широкое распространение. Из них на русский язык были переведены: Ф. Клейн. «Лекции по избранным вопросам элементарной геометрии». Пер. Н. Парфентьева, под ред. проф. Д. Синцова и «Вопросы элементарной и высшей математики». Пер. Крыжановского, под ред. В. Ф. Кагана.

С 1900 г. Клейн заинтересовался вопросом о реформе школьного преподавания математики и почти до конца своей жизни не переставал им заниматься самым серьезным образом. Поводом к началу его деятельности в этом направлении послужили хлопоты, начатые в это время германским обществом естествоиспытателей и врачей о допущении лиц, окончивших реальные училища, в университеты. В связи с этим естественно возникал вопрос о пересмотре учебных планов и программ средних учебных заведений, и Клейн воспользовался этим случаем для постановки на обсуждение вопроса о реформе среднего математического образования. Главным пунктом его предложений при этом было введение в курс средней

школы элементов высшей математики. Такое обновление школьной программы вызывается, по его мнению, отсталостью школьной математики от научной: в то время как элементы аналитической геометрии и анализа уже свыше двухсот лет не только открыты и разучены, но и широчайшим образом применяются в практической жизни, в средней школе о них даже не упоминается. Поэтому программа математики в современных школах, в сущности, является средневековой, и учащиеся в ней оказываются разобщенными с современной культурой, базирующейся на основном понятии высшей математики—понятии о функции и функциональном изменении величин. В силу этих соображений, Клейн решительно выступил с предложением введения элементов высшей математики в программу средней школы и отстаивал свои взгляды, как в комиссии по вопросам образования, учрежденной при обществе германских естествоиспытателей и врачей, так и на различных с'ездах и конференциях.

В 1902 г. на помощь Клейну пришло случайное обстоятельство: во Франции, под влиянием известного геометра Дарбу, были введены новые программы математики для средних учебных заведений, содержащие элементы высшей математики. Это нововведение было вызвано во Франции существующей там системой строгих конкурсов при приеме в высшие учебные заведения, заставляющей все время повышать требования к поступающим абитуриентам средней школы. Клейн указывал, что Франция опережает Германию в деле математического образования и требовал ускорения в рассмотрении его предложений. Поэтому в 1903 г. была образована особая комиссия из наиболее выдающихся ученых и педагогов Германии, которая согласилась с доводами Клейна и выработала новую программу математики для средних школ. Эта программа, известная под именем Меранского учебного плана, составленная в 1905 г., обсуждалась и перерабатывалась в 1906, 7 и 8 г.г. В 1906 г. она была одобрена на математическом с'езде в Геттингене, который вынес следующую резолюцию:

«Потребности научной современной жизни выявляют с достаточной ясностью необходимость, а усовершенствование методов математического преподавания делают возможным, чтобы ученики средних учебных заведений (гимназий, реальных гимназий и высших реальных училищ) были ознакомлены с идеями, которые с XVIII в. нашли свое полное выражение в форме исчисления безконечно малых».

Меранская учебная программа была детально разработана для гимназий. В ней в основу обучения математике кладется понятие о функции и ее графическом представлении; понятие о функциональном изменении величин должно проводиться систематически во всех классах, в результате чего учащиеся должны приучиться к функциональному мышлению. В школах с большим числом часов по математике, чем в гимназиях, т. е. в реальных гимназиях, высших реальных училищах и некоторых других Меранская программа рекомендует ввести ознакомление с основными понятиями высшей математики о производной, дифференциале и интеграле. Эти понятия

должны развиваться на простейших примерах геометрического и аналитического характера. Понятие о производной должно даваться, исходя из понятия о касательной, и распространяться на все изучаемые в школе функции; оно должно прилагаться к нахождению наибольших и наименьших величин, а в механике—к понятиям скорости и ускорения. Для определения площадей, об'емов, механической работы и пр. должно вводиться понятие о сумме бесконечно-большого числа членов и суммирование производиться чрез простое интегрирование. Усвоенные простейшие формулы исчисления бесконечно-малых дадут удобное, доступное для понимания учащихся вспомогательное средство для решения таких задач из математики и физики, которые ранее решались применением искусственных и трудно понимаемых приемов.

Вводя в учебный план новый материал, Меранская программа отнюдь не предполагает увеличения числа часов на прохождение математики. Необходимое для изучения новых статей время должно получиться от сокращения некоторых устаревших и мало нужных отделов прежнего курса, каковы: решение уравнений 3-й степени, непрерывные дроби, способ неопределенных коэффициентов и т. п., а также—вследствие уменьшения в некоторых случаях точности вычислений, напр., замены пятизначных логарифмических таблиц—четырехзначными. Экономия времени должна также получаться от более тесного слияния разных отделов математики в одну стройную систему.

К этим изменениям в традиционной программе школьной математики были присоединены, по указаниям Клейна, те основные принципы, которые он стремился проводить в своем университетском преподавании, т. е. наглядность, связь чистой математики с прикладными отделами и применимость математики к практике. Поэтому рекомендуется всемерно содействовать развитию у учащихся наглядных геометрических представлений, пользуясь для этого рисованием, черчением, построением и рассмотрением геометрических моделей, измерениями и пр. Это поведет к развитию у учащихся интуиции и пространственного представления, но в то же время не должна быть упущена и логическая сторона математики; наоборот, к ней должно возвращаться на протяжении всего курса. В старших классах учащиеся могли бы быть даже познакомлены с аксиоматикой и философской пропедевтикой. Кроме того, на протяжении всего курса должны делаться возможные приложения математики к вопросам физики, механики, космографии и техники.

Изложенные идеи Клейна о реформе преподавания математики, после глубокого обсуждения, были одобрены в разных инстанциях, и германское правительство предоставило комиссии по проведению реформы пять школ для соответствующего опыта. Но Клейн, не довольствуясь обсуждением вопроса в Германии, решил выдвинуть его на международное обсуждение, для чего воспользовался IV международным математическим конгрессом, заседавшим в апреле 1908 г. в Риме. На этом конгрессе, по инициативе

Клейна, было внесено американским профессором Смитом и принято предложение об организации особой международной комиссии по реформе преподавания математики. При этом Ф. Клейн был избран президентом этой комиссии. Задача этой комиссии была двоякая: рассмотреть существующую постановку преподавания математики в различных странах и наметить необходимые реформы. Для осуществления этих целей должны были быть организованы в различных странах особые национальные подкомиссии. Они должны были представить к следующему международному конгрессу, имеющему состояться в 1912 г. в Кембридже, подробные отчеты о постановке математического образования в отдельных странах. В этих отчетах должны были быть приведены сведения о применяемых учебных планах и программах, о пособиях, способах контроля познаний учащихся, о постановке подготовки преподавателей и пр., а также соображения о желательных реформах.

Учреждение международной комиссии по реформе преподавания математики, а также национальных подкомиссий повело к большому оживлению педагогической работы в области математического образования во всех европейских и некоторых других странах. Центром этого реформистского движения была Германия, где председателем национальной подкомиссии был Ф. Клейн, проявлявший неутомимую деятельность. Но и в других странах шла оживленнейшая работа: собирались с'езды и конференции, устраивались выставки математических пособий, издавались математические журналы и книги по вопросам реформы и пр. Так, у нас в России было два оживленно работавших всероссийских с'ездов преподавателей математики в 1912 и 1914 г.г. Ко времени международного конгресса в Кембридже в 1912 г. и конференции в Париже в 1914 г. национальные подкомиссии разных стран собрали и издали обширные и ценные материалы по первой части поставленной им задачи, именно по вопросу о существующей постановке преподавания математики. Но в том же 1914 г. разразилась мировая война; участники международной комиссии оказались во враждующих государствах, и деятельность ее прекратилась

Таким образом, международная комиссия не выполнила своей второй и главнейшей задачи: выработать план реформы математического образования, и потому о тенденциях реформы, задуманной Клейном, удобнее всего судить по Меранской программе, Эта программа, со времени ее появления, многократно обсуждалась в различных обществах и в печати; последняя переработка ее, сделанная германской комиссией по математическому и естественно-научному образованию, относится к 1922 г. Однако, эти пересмотры программы не внесли в нее существенно новых идей, и она попрежнему является как бы лозунгом реформы. Такая неизменность основ обучения математике, выдвинутых Клейном, показывает, что его учебный план далеко опередил свое время и не может быть легко и полностью реализован на практике.

Действительно, на пути к осуществлению идей Меранской программы существует не мало препятствий самого серьезного свойства. Из них чисто внешним, но трудно устранимым является вопрос, откуда взять времени для вновь вводимого материала из области высшей математики? Те сокращения обычного учебного плана, которые рекомендовались сторонниками реформы и были приведены выше, могут дать лишь совершенно незначительный выигрыш времени. Но еще более сомнений вызывает возможность осуществления основной цели, которую Клейн ставит новому преподаванию математики: пробудить и развить в учащихся так называемое «функциональное мышление», т.-е. приучить смотреть на все трактуемые величины, как на изменяющиеся, иначе—статический характер мышления заменить динамическим. Принимая во внимание, что понятие о функции в математической науке появилось и развилось позже других основных понятий, каковы число и уравнение, и что ход умственного развития учащихся, согласно биогенетическому закону, имеет тенденцию следовать в общих чертах тому пути, которым шло человечество в его целом, приходится признать, что понятие о функции может оказаться трудным для понимания учащихся, как это можно заметить и на некоторых студентах высших учебных заведений. Тем не менее, ознакомление учащихся с некоторыми видами функциональной зависимости и ее графического представления, при умелом ведении преподавания, может быть полезным. То же следует сказать и о вводимых в курс средней школы основных понятиях из области анализа: о производной, дифференциале и интеграле. Сам Клейн оговаривается, что это введение не должно содержать никакого формализма или глубоких научных обоснований, а должно базироваться на простейших и наглядных примерах из области алгебры и геометрии.

Но для полного успеха дела необходим целый ряд благоприятных условий, которые прекрасно формулированы в докладе проф. Беке на парижской конференции в апреле 1914 г. о первых опытах реформы:

«Все ответы доказывают, что введение понятия о функции и начал дифференциального и интегрального исчислений в курс средней школы везде встречает сочувствие со стороны преподавателей. Во многих местах, особенно там, где реформа осуществилась по инициативе самих преподавателей, при их активном участии, или даже по их доброй воле, это сучувствие доходит до энтузиазма. Преподаватели считают делом чести хорошо продуманное преподавание новых предметов, и если они умеют соблюсти чувство меры, имеют под руками хороший учебник и могут побеждать трудности методы верною рукою и основательным знанием науки, то результаты не замедлят сравниться с их усердием».

Никаких сомнений не вызывает другая сторона предположенной реформы: проведение в преподавании принципов наглядности, слияние математики с родственными науками и применимость ее к жизненным вопросам и задачам. Развитие пространственных представлений, тесная связь

математических дисциплин между собою и с физикой, механикой и космографией, применение математических знаний к практике—все это является могучим средством для возбуждения в учащихся интереса к математике и более глубокого ее понимания, в результате чего должна явиться живая способность к пользованию математическим аппаратом. Но ясно, что и в указанных областях требуется еще большая методическая работа и немалые усилия преподавателей, чтобы осуществить в должной мере замечательные методические принципы, завещанные Клейном.

Все изложенное указывает в достаточной мере на то, что реформа математического образования в средней школе, предложенная Клейном, остается пока в значительной степени в области идеала и для своего осуществления требует долгой и напряженной методической работы современного поколения преподавателей. Но эта работа обещает в будущем весьма ценные плоды, как об этом убежденно говорит в цитированном уже докладе проф. Беке.

И. Чистяков.

Résumé.

F. Klein et sa réforme de l'enseignement des mathématiques.

Education de M. Klein. Obtention d'une chaire fi l'université de Goettingue Idées de M. Klein sur les méthodes d'enseignement des mathématiques dans les écoles supérieures. Plans de préparation des maîtres des mathématiques. Réforme de l'enseignement mathématique dans les écoles secondaires. Programme de Meran. La Commission Internationale de la reforme d'éducation mathématique. Conclusion.

I. Tchistiakov.