В.И.ЗЫКОВА

ОЧЕРКИ ПСИХОЛОГИИ УСВОЕНИЯ НАЧАЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ

УЧПЕДГИЗ 1955

В. И. ЗЫКОВА

ОЧЕРКИ ПСИХОЛОГИИ УСВОЕНИЯ НАЧАЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ

ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Москва 1955

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение ......................... 3

Глава 1. Психологический анализ особенностей усвоения геометрических понятий

Соотнесение слова и чертежа на этапе введения понятий 9

Соотнесение слова и чертежа на этапе применения понятий ........................... 22

Соотнесение слова и чертежа при усвоении родовых геометрических понятий................... 37

Влияние житейского значения терминов на усвоение геометрических понятий................... 40

Усвоение понятия при рассмотрении его в связи с другими понятиями...................... 49

Усвоение отношения, как существенного признака понятий ........................... 56

Заключение..................... 60

Глава 2. Психологический анализ процесса решения геометрических задач на вычисление

Понимание условия задачи и выполнение чертежа ... 64

Анализ процесса решения задач............ 72

Операция переосмысливания фигур в процессе решения задач........................... 83

Использование чертежа в процессе решения задач ... 92

Рассматривание чертежа в процессе решения задач . . . 105

Заключение...................... 114

Глава 3. Психологический анализ процесса усвоения доказательств теорем

Понимание чертежа в процессе усвоения доказательства теорем......................118

Усвоение рассуждений в процессе доказательства теорем 141

Заключение ......................161

Зыкова Вера Ивановна.

Очерки психологии усвоения начальных геометрических знаний.

Редактор С. А. Пономарёв. Технический редактор Джатиев.

84Х1081/за^\5а%. Ю.25. (8,48). Уч.-изд. л. 8,48. Тираж 2 000 экз. А (Х913. Учпедгиз, Москва, Чистые пруды, 6. Заказ № 405 .

[Яф>1КХ01вафия Крымиздата, г. Симферополь, ул. Кирова, 23. Цена без переплёта 2 р. 30 к. Переплёт 50 к.

ВВЕДЕНИЕ

Вопросы преподавания начального курса геометрии в средней школе на протяжении многих лет привлекают к себе особое внимание педагогов и методистов. Объясняется это тем, что в процессе усвоения начальных геометрических знаний перед учащимися возникает ряд серьёзных затруднений, обусловленных особенностями самой геометрии.

И. В. Сталин в труде «Марксизм и вопросы языкознания» характеризует геометрию как науку, «которая даёт свои законы, абстрагируясь от конкретных предметов, рассматривая предметы, как тела, лишённые конкретности, и определяя отношения между ними не как конкретные отношения таких-то конкретных предметов, а как отношения тел вообще, лишённые всякой конкретности»1.

Начальный курс геометрии предъявляет большие требования к умению учащихся абстрагироваться от конкретных окружающих предметов, к умению отвлечённо мыслить.

В связи с этим -встают вопросы о том, как должен быть организован педагогический процесс, чтобы трудности абстрагирования преодолевались учащимися, каковы рациональные принципы составления учебника по начальному курсу геометрии и т. д. Эти вопросы могут быть выяснены только в том случае, если особенности процесса усвоения учебного геометрического материала будут подвергнуты всестороннему научному исследованию т. е. будет установлена зависимость конкретных особенностей усвоения от конкретных педагогических

1 И. В. Сталин, Марксизм и вопросы языкознания, 1950, стр. 24.

условий. Поэтому особое значение приобретает изучение процесса усвоения геометрических знаний в различных педагогических условиях.

Предназначенные для учителя-математика средней школы «Очерки» созданы на основе ряда исследований, которые систематически проводились автором в период 1946—1951 гг. Задачи исследований заключались в изучении особенностей усвоения геометрических знаний учащимися шестых классов. Решение поставленных задач осуществлялось через организацию наблюдений на уроках геометрии и через проведение индивидуальных и коллективных экспериментов с учащимися ряда школ г. Москвы. Работа проводилась в классах учителей, начинающих педагогическую деятельность, более опытных и учителей с большим педагогическим стажем1.

Основные вопросы, составившие предмет исследований, заключались в выяснении того, как влияет используемая геометрическая наглядность на процесс усвоения знаний, как соотносятся в этом сложном процессе усвоения объяснения учителя, с одной стороны, и используемая наглядность, с другой, каковы особенности применения полученных знаний при решении задач и при доказательстве теорем.

Большое внимание было уделено выяснению трудностей, которые встают перед учащимися в процессе усвоения геометрических знаний, и установлению причин, обусловливающих эти трудности. Естественно, что в связи с этим анализ ошибочных ответов учащихся занял в исследовании большое место. Однако делались попытки подвергнуть анализу и те случаи усвоения, когда результаты его были правильными.

Книга имеет три главы. Первая глава посвящена психологии усвоения геометрических понятий. Процесс усвоения понятий изучался в условиях использования

1 Работа велась в 528-й женской, 626-й женской и 518-й мужской школах Кировского района, в 150-й мужской и 164-й женской школах Ленинградского района и в 103-й мужской школе Киевского района в классах педагогов М. И. Гудвилович, К. К. Уваровой, О. В. Кожуховой, А. В. Виляевской, Н. В. Косаревой, Н. Г. Стобровского, И. И. Головиной, Д. К. Перфиловой, К. М. Липкина, О. С. Воронцовой и А. Н. Соколовой. Всем названным товарищам автор приносит глубокую благодарность за помощь и участие в проводимых исследованиях.

стандартных чертежей и в условиях широкой вариации формы и положения на плоскости показываемых фигур1.

Вопрос о вариации формы и положения геометрических фигур поднимался как в психологической, так и в методической печати. В психологическом исследовании изучался процесс доказательства теорем на книжных и изменённых чертежах2. В исследовании показывается необходимость в процессе изучения теорем обучать учащихся «видеть» на чертеже существенные, общие соотношения и несущественные, единичные и отделять их друг от друга. С этой целью рекомендуется словесно формулировать, какие элементы чертежа могут изменяться и как, не нарушая существенных отношений.

О значимости варьирования признаков геометрических фигур говорится также в работах методиста Г. А. Владимирского. «Важным является метод вариации формы и положения изучаемой по чертежу фигуры совместно с обобщением содержащихся в фигуре геометрических соотношений»3. Им же разработана система упражнений на узнавание некоторых геометрических фигур в условиях вариации их формы и положения4.

Наши наблюдения на уроках показывают, что использование одних стандартных геометрических чертежей обедняет запас геометрических представлений у учащихся, создаёт трудности при рассматривании чертежей в процессе решения задач и доказательства теорем. Между тем в практике преподавания геометрии во многих случаях оказывается, что учителя ограничиваются ис-

1 Стандартными чертежами мы называем такие чертежи, в которых геометрические фигуры имеют одну и ту же форму и занимают одно и то же положение, совпадающее с формой и положением фигур в учебнике геометрии для VI класса (Киселёва). Иногда такие чертежи называют книжными. Говоря о вариациях формы фигуры, мы имеем в виду изменения в соотношении элементов, например изменение длины сторон треугольника в возможных для треугольника пределах.

2 Е. Н. Кабанова-Меллер, Роль чертежа в применении геометрических теорем, «Известия» АПН РСФСР, 1950, № 28.

3 Г. А. Владимирский, Экспериментальное обоснование системы и методики в развитии пространственного воображения, «Известия» АПН РСФСР, 1949, № 21.

4 Г. А. Владимирский, О методах использования чертежа в преподавании геометрии, журн. «Математика в школе», 1946, № 4.

пользованием одних стандартных чертежей. В связи с этим экспериментальное изучение особенностей усвоения геометрических знаний в условиях использования стандартных чертежей и в условиях вариации признаков фигур приобретает важное значение.

Вариация чертежей в порядке экспериментального обучения была осуществлена учительницей 150-й мужской школы Ленинградского района И. И. Головиной. В её классах с первого урока геометрии широко варьировались форма и положение на плоскости показываемых геометрических фигур. Наряду с этим были введены систематические упражнения в узнавании фигур. На классной доске давался чертёж и ставилась задача назвать все или какие-то определённые имеющиеся на нём фигуры.

Со второй четверти учебного года вариация признаков геометрических фигур осуществлялась также в классах учителя 164-й женской школы К. М. Липкина.

Во второй главе даётся анализ процесса решения задач на вычисление. Задачи на вычисление привлекли внимание автора потому, что в шестых классах они вводятся раньше, чем задачи на доказательство и построение, и, как правило, в силу своей доступности используются больше по сравнению с последними. При исследовании процесса решения задач внимание сосредоточивалось не на вычислениях, а на геометрической стороне решения. И, несомненно, что общие особенности мыслительных процессов, отражающих геометрическую сторону решения, в какой-то степени характеризуют процесс решения задачи на построение и доказательство.

Третья глава посвящена анализу процесса усвоения доказательств теорем.

Известно, что учащиеся VI класса усваивают доказательства теорем с большим трудом. Но какие конкретные трудности они испытывают, чем обусловливаются эти трудности и каковы пути их преодоления — эти вопросы остаются недостаточно выясненными. Выяснение поставленных вопросов имеет общее значение, поскольку задача научить учащихся логическому доказательству не снимается при любой системе изучения теорем в VI классе. Пути решения этой задачи могут быть различны. В книге по геометрии для учащихся VI класса Н. Н. Никитин рекомендует опытное изучение первых

теорем1. Однако такое изучение правильно рассматривается автором как этап, позволяющий учителю подвести учащихся к овладению логическим доказательством.

Следует подчеркнуть, что настоящая книга ни в какой мере не претендует на психологический анализ усвоения всего учебного материала по программе геометрии для VI класса. Многие из важных разделов учебной работы остались пока неосвещёнными. Так, в книге отсутствует анализ решения задач на построение и доказательство.

В настоящее время наша советская школа широко осуществляет идею политехнического обучения. Решается задача связать обучение геометрии с окружающей жизнью, с производительным трудом советских людей, выработать у учащихся умения и навыки применять полученные знания при решении практически ценных задач.

В связи с этим стала общепризнанной необходимость проведения широких наблюдений за пространственными формами окружающих предметов с учащимися шестых классов, накопления у них богатого запаса реальных геометрических представлений, создания практических навыков. Всё больше и больше раздаётся голосов за введение опытного пропедевтического курса геометрии в пятых классах, обеспечивающего хорошую подготовку учащихся к овладению систематическим курсом геометрии.

Перечисленные задачи ставят перед педагогами, методистами и психологами много актуальных вопросов, требующих научного разрешения. Встаёт необходимость исследовать конкретные формы связи геометрических знаний с окружающей действительностью, процесс формирования практических навыков и умений, организацию проведения измерительных работ на местности и т. д.

Настоящая книга, построенная на исследованиях, относящихся к 1946—1951 гг., естественно, не отвечает прямо на вопросы, непосредственно связанные с осуществлением политехнизации обучения геометрии в шестых классах. Вместе с тем она не теряет своего значения при решении указанных вопросов, поскольку своим содержанием направлена на устранение формализма в

1 Н. Н. Никитин, Начальный курс геометрии для семилетней школы. Учебный материал для VI класса, М., 1952.

знаниях учащихся. Книга призывает педагогов-математиков к достижению у учащихся прочных, глубоких и практически действенных знаний, к раскрытию связей, имеющихся между геометрическими понятиями, к созданию у учащихся системы знаний, к использованию в обучении идеи преобразования, идеи развития понятий, к лучшему использованию в обучении слова и наглядности.

Глава 1

ПСИХОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОСОБЕННОСТЕЙ УСВОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ1

Соотнесение слова и чертежа на этапе введения понятий

Как уже ранее указывалось, при использовании геометрических чертежей преподаватели зачастую ограничиваются стандартными чертежами. Поэтому проведённое в 150-й школе (а частично и в 164-й) опытное обучение создало возможность изучать процесс усвоения геометрических понятий в существенно различных условиях. В одних наблюдаемых классах при введении нового понятия учащимся показывалась одна фигура и в дальнейшем форма и положение её повторялись. В других классах чертились несколько фигур различной формы и в разном положении и при этом указывалось, какие признаки фигур подвергаются изменению, и вместе с тем всегда подчёркивалось, что существенные признаки, т. е. признаки, входящие в определение фигуры (понятия), остаются без изменения.

Прежде всего заметим, что варьирование признаков фигур, когда оно было введено с первого урока геометрии, принималось учащимися как нечто совершенно естественное. Например, для них было одинаково легко чертить угол вершиной вверх и вниз и в любом другом по-

1 Наблюдения и эксперименты по этой теме проводились в 1949/50 учебном году в 626-й, 164-й, 103-й, 150-й школах и в 1950/51 учебном году в 518-й школе. В основных экспериментах исследовалось 36 учащихся (12 отличников по геометрии, 12 — среднеуспевающих и 12 слабоуспевающих). В дополнительных экспериментах исследовалось 12 учащихся (4 отличника, 4 среднеуспевающих и 4 слабоуспевающих).

ложении, как и воспринимать его в любом положении. В той школе, где к варьированию признаков фигур приступили во второй четверти, необычное положение фигуры первое время вызывало у учащихся удивление и даже протест. «Возьмём прямую», — говорит учитель и чертит её в наклонном положении по отношению к краю доски. «Зачем такая? Это не прямая!» — раздаются голоса в классе. Учитель спрашивает: «Какая же это линия?» Учащиеся отвечают: «Кривая! Прямая так не бывает!»

Эти факты говорят о том, что учащиеся одинаково легко привыкают воспринимать и чертить геометрические фигуры стандартными или, наоборот, различными по своей форме и положению. Однако, привыкнув к стандартным чертежам, учащиеся переживают трудности при встрече с нестандартной фигурой. Очевидно, что усваиваемое понятие достаточно легко и быстро связывается (ассоциируется) у учащихся с фигурами определённого вида. В силу этого процесс восприятия и узнавания фигур приобретает известную системность, т. е. протекает в соответствии с имеющимися связями. Когда учитель говорит, что он начертит прямую, учащиеся вследствие проявления связи между термином «прямая» и прямыми определённого вида ожидают увидеть определённую прямую. Появление прямой в необычном положении, естественно, не соответствует их ожиданию. Проявившаяся связь получает необычное завершение. Учащиеся дезориентированы. В силу своей непосредственности они бурно реагируют на «ошибку» учителя. Однако после соответствующих разъяснений учащиеся быстро перестраиваются. Связь между усвоенным понятием и соответствующими фигурами становится у них более расширенной, более верной.

Перейдём теперь к выяснению вопроса, какое влияние на процесс усвоения понятий имели указанные выше различия в педагогическом процессе.

В школах, где использовались только стандартные геометрические чертежи, наблюдалось, что учащиеся на том же самом уроке, на котором они знакомились с новым понятием, вносили в содержание этого понятия (включали в число его признаков) частные признаки показанной фигуры.

Приведём конкретные факты.

В одной из школ вводилось понятие «вертикальные

углы». Углы были начерчены в стандартном виде (см. черт. 1). Учительница объяснила, что два угла называются вертикальными, если стороны одного служат продолжением сторон другого. Затем она доказала, что вертикальные углы равны между собой. В конце урока учащимся был задан вопрос: «Что мы сегодня узнали?» Одна из учениц ответила: «Мы узнали, что вертикальные углы равны. Вертикальные углы—это такие углы, у которых стороны равны».— «Иди, начерти вертикальные углы, — сказала учительница, — и покажи, какие стороны равны».— «Я начертила и думала, что у них стороны равны», — смущённо ответила ученица с места.

В другой школе вводились понятия «радиус» и «диаметр». Учитель начертил в окружности два радиуса (см. черт. 2) и объяснил, что такое радиус. Затем он спросил: «Сколько радиусов можно провести в окружности?» Одна ученица ответила: «В окружности можно провести два радиуса». Вторая: «Сколько угодно». Через некоторое время на доске были начерчены два диаметра (см. черт. 3). Следует обратить внимание на упорядоченность расположения радиусов и диаметров. После объяснения, что называется диаметром, в числе других вопросов был поставлен тот же вопрос: «Сколько диаметров можно провести в окружности?» Одна ученица ответила:

Черт. 1.

Черт. 2. Черт. 3.

«Сколько угодно». Вторая: «В окружности можно протесты два диаметра».

В третьей школе учащихся ознакомили с расположением и названиями углов, которые образуются при пересечении двух прямых третьей. Начерченные на доске углы были пронумерованы (см. черт. 4). На следующем уроке при нумерации углов на доске цифры 7 и 8 оказались переставленными. Ученику К. было предложено назвать внешние накрест лежащие углы. К. сказал: «Внешние накрест лежащие углы — второй и седьмой, первый и восьмой». Учительница обратила внимание на то, что названные им углы расположены не накрест, а по одну сторону секущей. Ученик объяснил: «А я не так выучил, у меня второй и седьмой, первый и восьмой».

Во всех приведённых случаях, перечисление которых можно было бы продолжить, учащиеся принимали частные признаки показанных фигур за существенные признаки вводимых понятий, т. е. относили к усваиваемому понятию не только те признаки, о которых говорил учитель, но и те, которые они сами вычленяли на чертеже. Таким образом, они не отделяли существенных признаков фигур от их частных признаков, относящихся только к показанным фигурам.

Подобные факты наблюдались во всех школах, где при введении понятия показывалась одна фигура или несколько, но одной формы и в одном положении.

В том классе, где форма и положение фигур варьировались с начала года, автор не встретился с таким случаем, чтобы ученик принял частный признак показанной фигуры за существенный признак, входящий в содержание понятия. В 164-й школе в первой четверти учитель пользовался только стандартными чертежами, и в этот период «прилипчивость» учащихся к чертежу была особенно большой. В дальнейшем же, как только признаки фигур стали варьироваться, указанные факты стали встречаться всё реже и реже.

Черт. 4.

Такой результат обучения является вполне закономерным. В условиях вариации признаков фигур учащиеся не могли связывать вводимое понятие с частными признаками фигур. Например, они не могли ввести признак «равенства» сторон в содержание понятия «вертикальные углы», так как показанные им вертикальные углы в одних случаях имели «равные» стороны, а в других случаях «неравные»1. Исключалась и возможность различать углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей, по признаку их обозначения, так как они обозначались по-разному. Например, на уроке в 150-й школе на одном чертеже углы были обозначены цифрами, на другом — буквами, а на третьем были проведены две секущие и углы обозначались и цифрами, и буквами.

Следовательно, варьирование признаков фигур помогало учащимся отделять существенные признаки, входящие в содержание понятий, от частных признаков показанных фигур, тогда как стандартность чертежей затрудняла эту операцию.

Чтобы понять причину затруднений, важно учесть, что учащиеся во многих случаях не представляют себе показанную фигуру иначе, чем она показана, не осознают возможность изменить её в своём представлении или изменяют её очень ограниченно. С фактами ограниченного изменения показанной фигуры в представлении учащихся автор встретился также на уроках.

Например, в одной школе при введении понятия «диаметр» учительница начертила на доске один диаметр в вертикальном положении. На вопрос о количестве диаметров в окружности ученица ответила: «В окружности можно начертить два диаметра». Оказалось, что она представила второй диаметр в горизонтальном положении.

Наблюдаемые факты дали повод провести специальную серию экспериментов с целью выяснить, какой объём2 имеет усвоенное учащимися геометрическое понятие в том случае, если им показывались только стандарт-

1 Пользуясь здесь и далее терминами учащихся «равные» и «неравные» стороны углов, мы, конечно, понимаем их ошибочность, поскольку стороны углов есть лучи, и предостерегаем читателя, что использование их в работе с учащимися было бы неправильным.

2 Под объёмом понятия, имеющегося у данного ученика, понимается совокупность фигур, которые он подводит под данное понятие.

ные фигуры, и как учащиеся выходят в своих представлениях за пределы показанных фигур.

Эксперименты (проводились с учащимися различной успеваемости по геометрии, т. е. изучались сильные ученики, средние и слабые. Были взяты два понятия: «диаметр» и «прямой угол». Задача заключалась в том, чтобы выяснить, как учащиеся представляют себе количество диаметров и их положение в окружности и в каких положениях они представляют себе прямой угол. Чтобы учащиеся хорошо понимали наши вопросы относительно положения диаметра и прямого угла, мы воспользовались понятием «отрезок», которое было введено на первых уроках, и добились понимания, что отрезки прямой линии могут отличаться друг от друга не только по длине, но и по положению на плоскости.

Оказалось, что пять учеников (из двенадцати) действительно понимали, что в окружности можно провести сколько угодно диаметров. У остальных же, менее успевающих, учащихся представление о диаметре оказалось ограниченным тем числом их, которое было показано, или оно было незначительно расширено. Были учащиеся, которые чертили только один диаметр, причём всегда или в вертикальном, или в горизонтальном положении. Другие учащиеся чертили два диаметра в тех же положениях и говорили, что в окружности можно начертить только два диаметра. Некоторые же учащиеся чертили четыре диаметра, опять-таки расположенными упорядоченно (см. черт. 5). Характерно, что один из учеников, начертив четыре диаметра, после некоторой паузы начертил пятый диаметр и тогда сказал, что в окружности можно провести сколько угодно диаметров.

Черт. 5. Черт. 6.

Примерно такие же результаты получились в экспериментах с прямым углом. Три ученика (из двенадцати) сразу же сказали, что прямой угол можно начертить в любом положении, и действительно чертили его в любых положениях. Другие же учащиеся сумели начертить угол только в четырёх положениях (см. черт. 6), соответствующих углам квадрата, когда стороны его начерчены параллельно краям тетради или классной доски, хотя некоторые из них и говорили, что прямой угол может занимать любое положение. В отдельных случаях ученики чертили прямой угол только в одном положении (см. угол слева на черт. 6) и придать ему другое положение не смогли1.

Приведённые данные говорят о том, что геометрические представления у многих учащихся были ограничены симметричным и упорядоченным расположением фигур. Остановимся на том, как осуществлялся процесс расширения объёма указанных понятий у учащихся с помощью экспериментатора (педагога).

Ученик Д. — средний.

Экспериментатор. Начерти окружность и в ней диаметры2.

Д. чертит окружность и два диаметра: один в вертикальном положении, другой в горизонтальном.

Экспериментатор. Сколько диаметров можно провести в окружности?

Д. Два.

Экспериментатор. А ещё можно провести? Д. Больше нельзя.

Экспериментатор показывает окружность и диаметр, начерченный под углом в 45° по отношению к нижнему краю листа бумаги.

— Что это?

Д. Диаметр.

Экспериментатор. Сколько же диаметров можно начертить?

Д. Ещё два (проводит диаметры, как на черт. 5). Экспериментатор показывает новый лист бумаги, на

1 В дальнейшем указанное положение прямого угла будем называть стандартным положением.

2 Для краткости здесь и в дальнейшем не приводятся те разделы протоколов, где учащиеся давали определения понятий. Если определение ученика оказывалось неправильным, в беседе выяснялась ошибка и вносилось исправление.

котором начерчен диаметр примерно под углом 60° к краю листа.

Д. Сколько угодно, я ошибся, думал — только два. Экспериментатор. Почему ты так думал? Д. Я спутал, потому что так показывали. Ученик С. — слабый.

Экспериментатор. Начерти прямой угол. С. чертит угол в стандартном положении. Экспериментатор. Можно начертить прямой угол в другом положении? С. Нет, нельзя.

Экспериментатор показывает прямой угол в положении третьего угла слева (на черт. 6). — Что это?

С. Прямой угол.

Экспериментатор. Сколько же положений может иметь прямой угол?

С. Два. (Пауза.) Нет, сколько хочешь.

Экспериментатор. Начерти угол в разных положениях.

С. долго думает, наконец, чертит угол в положении четвёртого угла на чертеже 6; затем опять большая пауза, и он чертит угол в положении второго угла.

Экспериментатор. Начерти ещё.

С. Больше нельзя, только четыре.

Экспериментатор показывает прямой угол в новом положении (см. угол слева на черт. 7).

— Что это?

С. Прямой угол, значит, восемь (чертит четыре угла в положениях, показанных на черт. 7).

Экспериментатор показывает угол © новом положении (см. черт. 8).

— Что это?

Черт, 7. Черт. 8.

С. Прямой угол, значит, сколько хочешь; показывали только так, я не знал.

Как видно из протоколов, учащимся было трудно представить себе знакомую им фигуру в новом положении. Для такого представления нужен был «сдвиг», «толчок» со стороны. Если такой «сдвиг» совершался под воздействием показанной фигуры, положение которой могло быть дополнено симметричными положениями этой же фигуры, то у учащихся представления о положении фигуры расширялись в пределах только этого симметричного расположения. Получалось ступенчатое расширение представлений, которое автор наблюдал и в классе: от одного диаметра ученики приходили к представлению о двух, от двух — к четырём, от четырёх — к множеству. Примерно те же ступени имели место в расширении представлений о прямом угле. Сначала один угол, потом четыре, от четырёх представление расширялось до восьми, и затем наступало понимание, что прямой угол может иметь бесконечное число положений на плоскости. Конечно, указанные ступени в расширении представлений совсем не являются обязательными для учащихся. И среди наших испытуемых были ученики, которые очень быстро, увидев третий диаметр, уже понимали, что диаметров может быть сколько угодно.

Ступенчатое расширение представлений происходит в условиях, когда учащимся показываются фигуры в упорядоченных и симметричных положениях. Следовательно, упорядоченность и симметричность расположения фигур, с одной стороны, способствуют расширению представлений учащихся, помогают им выйти за пределы показанной фигуры, с другой стороны, сами же начинают ограничивать, задерживать расширение представлений, как только учащиеся используют определённый «круг» упорядоченного расположения фигур.

Чем же объясняется обнаружившееся воздействие упорядоченности и симметричности? Во внешкольном и учебном опыте учащиеся часто встречаются с симметричным строением и расположением предметов. В условиях восприятия геометрических фигур, строение и положение которых является стандартным, фигуры и их элементы связываются в сознании учащихся с признаком их упорядоченного и симметричного строения и положения. Образованию связей способствуют уже ранее связанные в

силу контраста понятия: вертикально — горизонтально; вверх — вниз; справа — слева и т. д. На основе образовавшихся связей восприятие одного геометрического элемента вызывает у учащихся представление о других, симметрично расположенных элементах. Так, диаметр в вертикальном положении вызывал у учениц представление о диаметре в горизонтальном положении. Восприятие прямого угла в одном положении вызывало представление о прямых углах, расположенных соответственно углам квадрата.

Выход за пределы упорядоченного и симметричного расположения геометрических элементов, очевидно, нарушал привычность восприятий и представлений, чем и вызывал у учащихся затруднения. Но как только переход от представления фигур, расположенных упорядоченно, к представлению их расположенными неупорядоченно оказывался осуществлённым, у учащихся наступало действительное понимание, что фигура может занимать какое угодно положение на плоскости1.

Трудность перехода от фигур, расположенных упорядоченно, к фигурам, расположенным неупорядоченно, особенно рельефно выступила у тех учащихся, которые заявили, что прямой угол может иметь сколько угодно положений, но начертить его в положениях, выходящих за пределы упорядоченного расположения, не смогли.

Рассмотрим протокол занятий с одним учеником.

Ученик Д. — средний по успеваемости.

Экспериментатор. Начерти прямой угол.

Д. чертит угол в стандартном положении.

Экспериментатор. Можно прямой угол начертить в другом положении?

Д. Можно.

Экспериментатор. Сколько положений может иметь прямой угол?

Д. Сколько угодно, вот (чертит ещё три угла в положениях на черт. 6). (Большая пауза.)

Экспериментатор. Сколько ты углов начертил?

1 Термин «фигура» употребляется нами для удобства изложения в широком значении. Фигурой мы называем не только угол («Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом». Киселёв, Геометрия, Учпедгиз, 1952, стр. 9), но также диаметр, перпендикуляр и т. д. В школе же понятие «фигура» должно иметь принятое точное значение.

Д. Четыре.

Экспериментатор. Черти дальше, в других положениях.

Д. Больше нельзя, только четыре.

Экспериментатор показывает прямой угол в положении на чертеже 7.

Д. Ещё можно четыре угла (чертит).

Экспериментатор. А ещё можно?

Д. Нет.

Экспериментатор показывает угол в положении на чертеже 8.

Д. Можно сколько угодно.

Экспериментатор. Почему же ты сам не начертил?

Д. Я не знал, что прямой угол может быть так. Экспериментатор. Ты же говорил, что он может быть в разных положениях. Д. Я не проверил.

Очевидно, что Д. и некоторые другие ученики только потому правильно сказали, сколько положений может иметь прямой угол, что они уже усвоили: отрезок прямой может иметь сколько угодно положений, диаметров в окружности можно провести сколько угодно. Отсюда у них возникала правильная мысль, что и прямой угол может занимать сколько угодно положений. Однако, высказав это положение, учащиеся не смогли его реализовать, так как фактическое представление о положении прямого угла у них было ограниченным. Самостоятельно перейти через границу упорядоченного расположения углов они не могли.

Из этих фактов можно видеть, что словесная формулировка ученика не всегда адэкватно отражает его действительное понимание, что она может быть мало содержательной, если ей (формулировке) не соответствует достаточный запас конкретных представлений ученика. С другой стороны, и словесная формулировка учителя не понимается всеми учениками так, как думает учитель, когда он сообщает учащимся существенные признаки понятий. Именно те учащиеся, запас конкретных представлений которых оказывался бедным, в условиях использования одной фигуры, не усваивали объяснений учителя и принимали частные признаки показанной фигуры за существенные признаки понятий.

В частности, трудно рассчитывать на полное усвоение учащимися объяснений учителя в тех случаях, когда учитель даёт только косвенные указания на то, что геометрическая фигура может занимать различное положение.

Например, при сведении понятия «радиус» учащимся говорилось, что радиус «соединяет центр окружности с точками окружности» или «с какой-либо точкой окружности». Говоря о многих точках на окружности, учителя, очевидно, рассчитывали на то, что учащиеся в своих представлениях не ограничатся показанными одним-двумя радиусами. И действительно, одни учащиеся при таком объяснении и при условии восприятия одного-двух радиусов правильно понимали, что радиусов в окружности может быть сколько угодно. Другие же учащиеся не усваивали объяснений и ограничивали свои представления о радиусе показанными радиусами.

Во многих же случаях учащиеся не получали в объяснениях учителя ни прямых, ни косвенных указаний, которые помогали бы им расширить представление о показанной фигуре. Например, при сведении понятия «вертикальные углы» учащимся раскрывались их существенные признаки, но о том, что углы могут занимать различное положение на плоскости, что стороны их можно продолжать бесконечно и т. д., — об этом ни в одном классе (за исключением 150-й школы) не говорилось. Однако и при таких условиях часть учащихся, опираясь на имеющиеся знания, что стороны угла есть лучи, и на запас своих представлений, оказывалась способной усвоить понятие в соответствующем объёме. У некоторых же учащихся объём усвоенных понятий оказывался ограниченным показанными фигурами.

В 150-й школе учительница, варьируя форму и положение фигур, давала при этом прямые пояснения. Например, при введении понятия «вертикальные углы» она сказала: «Вертикальные углы необязательно чертить так, как в учебнике. Они могут занимать и такое, и такое положение (показывает на доске), и величина углов может быть различной» (демонстрирует). Таким образом, вариация фигур в 150-й школе сопровождалась словесным объяснением, и только при этом условии создавалась возможность обогатить запас конкретных представлений учащихся при усвоении понятий.

Из всего сказанного следует, что в условиях исполь-

зования стандартных чертежей создаётся нежелательная разобщённость воздействия объяснений учителя, с одной стороны, и геометрической наглядности — с другой. Учитель, вводя новое понятие, ставит цель, чтобы учащиеся усвоили существенные признаки, входящие в его содержание. Но эта цель не достигается полностью, так как стандартные чертежи, помимо воли и намерения учителя, действуют на учащихся в другом направлении, т. е. наталкивают их на принятие частных признаков фигур в качестве их существенных признаков. Наиболее развитые учащиеся следуют за объяснениями учителя, и наглядность не оказывает на них отрицательного воздействия. Менее развитые учащиеся, геометрические представления которых бедны, попадают в «плен» к наглядности, и объяснения учителя по отношению к ним в значительной мере теряют свою организующую и направляющую силу. Вследствие этого у последних знания, формирующиеся на основе объяснений учителя, и знания, возникающие на основе восприятия чертежа, оказываются разобщёнными, не соответствующими друг другу. Например, ученик правильно запоминает, что диаметром называется всякая хорда, проходящая через центр окружности, и вместе с тем представляет только два-четыре диаметра, расположенных строго определённым образом. Очевидно, что ёмкость усвоенного учеником термина, обозначающего понятие («диаметр»), оказывается узкой, т. е. термин сигнализирует учащимся лишь весьма ограниченное количество объектов из числа тех, которые ему соответствуют в действительности. При таком положении усвоенное слово (знание) получается мало содержательным, формальным, оно не может выполнять всех присущих ему функций.

В условиях вариации признаков фигур используемая наглядность действует в том же направлении, что и объяснения учителя. В этих условиях слово учителя организует восприятие чертежа, его понимание учащимися, оно направляет процесс усвоения понятий, т. е. осуществляет свою регулирующую роль в полной мере. В результате этого знания, полученные в процессе объяснений учителя, и накопленные представления оказываются у учащихся соответствующими друг другу. Выражением соответствия является «многообъемлемость» слова, обозначающего понятие, т. е. его свойство «сиг-

нализировать» учащимся множество соответствующих фигур. Усвоенное таким образом слово оказывается способным выполнять те функции, о которых писал И. П. Павлов в последней лекции о работе больших полушарий головного мозга: «Конечно, слово для человека есть такой же реальный условный раздражитель, как и все остальные... но вместе с тем и такой многообъемлющий, как никакие другие...

Слово, благодаря всей предшествующей жизни взрослого человека, связано со всеми внешними и внутренними раздражениями, приходящими в большие полушария, все их сигнализирует, все их заменяет...»1.

Соответствие между словом и образом достигается у учащихся в условиях широкой вариации формы и положения показываемых фигур, сопровождаемой объяснениями учителя. При этом нет необходимости давать слишком много вариаций. Важно только, чтобы среди показываемых фигур были две-три фигуры, форма и положение которых не являются стандартными.

Соотнесение слова и чертежа на этапе применения понятий

Изложенные выше факты относились к этану введения понятий.

В дальнейшем, когда перед учащимися встала задача применять усвоенные понятия при решении различного рода задач, в частности при нахождении фигуры среди других, имеющихся на чертеже, при узнавании отдельно начерченных фигур и т. п., узкий объём усвоенных понятий вызывал затруднения. Многие учащиеся не узнавали фигур, имеющих нестандартную форму или занимающих необычное положение на плоскости.

Например, в одной из школ на уроке доказывалось, что любая точка, взятая на «биссектрисе угла, находится на одинаковом расстоянии от сторон угла. Учительница начертила на доске угол и биссектрису его. Из точки F, взятой на биссектрисе, она опустила перпендикуляр на сторону угла, расположенную горизонтально (см. черт. 9). Вызванная к доске ученица легко нашла прямой угол

1 И. П. Павлов, Лекции о работе больших полушарий головного мозга. Полное собрание сочинений, т. 4, 1951, стр. 429.

в образовавшемся треугольнике BFK. Затем учительница, обратив внимание учащихся на то, что она прикладывает деревянный треугольник катетом к стороне AB, провела перпендикуляр из точки F на сторону AB и снова вызвала ученицу показать, где образовался прямой угол. Вызванные одна за другой три слабые ученицы не смогли показать прямой угол. Они упорно указывали на углы при точке F. Только четвёртая вызванная к доске ученица назвала прямым углом угол BNF. Причина этого факта заключалась в том, что прямой угол в том положении, в каком находится угол BNF, учащимся в этом классе не показывался. Прямые углы им показывались только в стандартном положении.

На уроке в другой школе учащиеся не узнали прямоугольный треугольник, когда он оказался в необычном для них положении. Вначале учительница показала учащимся деревянный прямоугольный треугольник в положении, когда прямой угол прилежал к основанию, которым служит катет (см. треугольник слева на черт. 10)1. Все учащиеся сказали, что треуголь-

Черт. 9.

Черт. 10.

1 В дальнейшем такое положение прямоугольного треугольника мы будем называть стандартным.

ник прямоугольный. Затем учительница повернула треугольник прямым углом вверх (см. треугольник справа на черт. 10), приставила к доске, мелом обвела его контуры и сказала: «А можно прямоугольный треугольник и так начертить». Ученик Б. (средний) поднял руку и с недоумением сказал: «Какой же это прямоугольный треугольник, если там нет прямого угла?» Учительница удивилась: «Как же ты не разглядел? Ведь вот же я повернула треугольник» — и вновь показала классу деревянный треугольник в одном и другом положениях.

В экспериментах с учащимися разных школ обнаружилось, что наблюдаемые на уроках факты являются не случайными и не единичными. В каждой школе, где использовались только стандартные чертежи, многие учащиеся не узнавали знакомых им фигур в нестандартном положении и, в частности, не узнавали прямоугольный треугольник в положении прямым углом вверх.

А именно в таком нестандартном положении мы и предъявляли его учащимся (см. черт. 11). Если учащиеся не узнавали начерченный треугольник как прямоугольный, им показывался в том же положении (прямым углом вверх) деревянный треугольник. Приведём типичные протоколы опытов с учащимися.

Ученица К. (средняя). Этот треугольник остроугольный, так как у него острые углы (про начерченный).

Экспериментатор (показывает деревянный треугольник прямым углом вверх). А этот?

К. Здесь тоже все углы острые.

Экспериментатор (придаёт треугольнику стандартное положение). А теперь?

К. Вот прямой угол, этот треугольник прямоугольный.

Экспериментатор (возвращает треугольник в прежнее положение). А теперь?

К- Теперь остроугольный.

Экспериментатор (снова придаёт треугольнику стандартное положение). А теперь? К. Прямоугольный.

Экспериментатор (возвращает треугольник в прежнее положение). Теперь?

Черт. 11.

К. Остроугольный.

Экспериментатор. Куда же исчезает прямой угол?

К. Молчит.

Экспериментатор. Может прямой угол исчезнуть?

К. Нет, значит этот (показывает на верхний угол),— прямой угол; я думала, что прямой угол может быть только так (чертит прямоугольный треугольник прямым углом «вниз»).

Ученик Ц. (слабый, 103-я школа) говорит о начерченном треугольнике:

— Этот треугольник остроугольный, потому что все углы острые.

Экспериментатор (показывает деревянный треугольник). А этот какой? Ц. Остроугольный.

Экспериментатор (придаёт треугольнику стандартное положение). Какой?

Ц. Прямоугольный, потому что один угол прямой.

Экспериментатор (возвращает треугольник в прежнее положение). Теперь?

Ц. Остроугольный.

Экспериментатор. Куда же исчез прямой угол?

Ц. Не знаю.

Экспериментатор. Он исчез? Ц. Исчез.

Экспериментатор (показывает треугольник в стандартном положении). Так был? Ц. Был.

Экспериментатор (повёртывает треугольник прямым углом «вверх»). А так? Ц. Не стало.

Экспериментатор. Куда же он пропал?

Ц. (смущённо улыбается). Вот он (показывает на верхний угол). Я по этим смотрел (показывает на нижние углы).

Приведённые факты говорят о том, что учащиеся считали прямоугольным треугольником только такой треугольник, прямой угол которого располагался «внизу». Поэтому при узнавании треугольника они смотрели только на нижние углы, оставляя верхний угол без внима-

ния. «Я по этим (т. е. по нижним углам) смотрел», — говорит ученик Ц. «Я думала, что прямой угол может быть только так» (т. е. «внизу»), — сказала ученица К.

На первый взгляд кажется странным, что при повёртывании деревянного треугольника, совершающемся перед их взором, учащиеся называли один и тот же треугольник то прямоугольным, то остроугольным. Но это явление становится понятным, если иметь в виду, что при узнавании треугольника учащиеся опирались только на одно определённое положение прямых углов: если при основании (снизу) углы острые, то треугольник остроугольный, если же один из этих углов прямой, то треугольник прямоугольный. Когда учащиеся утверждали, что прямой угол «исчез», то они, конечно, и имели в виду только то, что он был «внизу» и потом его на этом месте не стало.

Учащиеся знали, что существенным признаком понятия «прямоугольный треугольник» является наличие в нём прямого угла. При определении понятия они формулировали именно этот признак. Однако при узнавании треугольника учащиеся оперировали совсем другим признаком, а именно: прямой угол в треугольнике может находиться только «внизу». Этот признак, относящийся к частным случаям прямоугольного треугольника, они принимали за существенный признак понятия, так как в прямоугольных треугольниках, которые они видели в классе и в учебнике, прямой угол находился, как правило, в таком положении. Важно заметить, что признак, которым руководствовались учащиеся при узнавании треугольника, не формулировался ими при определении прямоугольного треугольника. На этом этапе такое явление характерно и для других случаев. Например, многие учащиеся не считали углы смежными, если вершина углов располагалась «не на середине», а была резко смещена «к концу» стороны одного из углов. Однако при определении понятия «смежные углы» учащиеся никогда не говорили о местоположении вершины углов и формулировали только существенные признаки.

Таким образом, недостаточное соотнесение знаний, сформированных на основе изучения определений понятий, с теми знаниями, которые возникли на основе восприятия чертежей, на этапе применения понятий обнаружилось ещё более рельефно. С одной стороны, в процес-

се заучивания определений у учащихся возникли связи (ассоциации) между словесно сформулированными существенными признаками понятий. С другой стороны, в процессе восприятия стандартных чертежей у учащихся возникли связи между геометрическими фигурами и их повторяющимися частными признаками. Те и другие связи были ограниченными, т. е. они проявлялись только в той области, в которой они возникли. Первые из них, возникнув в области словесных формулировок, и проявлялись только в ответ на словесное задание дать определение. Вторые же, возникнув в процессе восприятия чертежей, проявлялись в условиях их восприятия, например, при задании узнать предъявленную фигуру.

Совершенно ясно, что подобный тип усвоения понятий, характеризующийся разрывом между умением учащихся сформулировать существенные признаки, входящие в содержание понятия, и умением применить их на практике, не является желательным. Основная педагогическая задача заключается в том, чтобы предотвратить возникновение такого типа усвоения. Для этого в процессе варьирования признаков важно подчёркивать учащимся, что частные признаки фигур оказываются непостоянными, тогда как существенные признаки их сохраняются всюду, и очень важно путём упражнений научить учащихся пользоваться последними на практике.

Наряду с указанными приёмами учитель должен изыскивать и другие педагогические приёмы как для предотвращения разрыва между словесными знаниями учащихся и их умением пользоваться ими практически, так и для его устранения у учащихся. Например, в одном классе учительница, встретившись с фактом неузнавания многими учащимися деревянного прямоугольного треугольника, когда он показывался прямым углом вверх, применила очень простой и вместе с тем весьма эффективный приём, который помог учащимся усвоить, что от изменения положения фигура не изменяет своих существенных признаков. Когда один из лучших учеников класса, К-н, назвал прямоугольный треугольник остроугольным, учительница сказала: «К-н, встань перед классом». К-н встал. «Теперь, — сказала она, — наклонись». К-н наклонился. «Мальчики, К-н это или не К-н?» — обратилась она к классу. «К-н», — отвечали ученики. «Теперь сядь». К-н сел. «А теперь, может быть, это уже

не К-н?»— спросила она снова класс. «К-н»,—дружно и весело отвечали учащиеся. — «Так почему же, когда К-н меняет своё положение в пространстве, он остаётся К-н, а когда прямоугольный треугольник изменяет своё положение, вы называете его то прямоугольным, то остроугольным? Может прямоугольный треугольник от перемены положения стать остроугольным?»

Учащиеся отвечали: «Нет, не может».

Эффективность использованного приёма заключается в том, что учительница обратилась к жизненному опыту учащихся и ярко подчеркнула, что изменение положения тела в пространстве не влечёт за собой изменения существенных признаков его.

Трудности узнавания нестандартных фигур свидетельствуют о том, что «застревание» на частных признаках фигур, которое имело место на этапе введения понятий, в дальнейшем, в условиях применения стандартных чертежей, не только не исчезает, но становится ещё более распространённым явлением.

Наряду с фактами суженного объёма понятий, заключавшимися в том, что учащиеся не узнавали фигур, входящих в объём знакомых им понятий, на уроках и в экспериментах встретились факты неправомерного расширения объёма понятий. Они заключались в том, что учащиеся подводили под понятие такие фигуры, которые на самом деле к нему не относились, но имели признаки, сходные с признаками фигур, относящимися к нему. Рассмотрим теперь эти факты.

На уроке вводилось понятие «углы с общей вершиной, расположенные по одну сторону прямой». Вводимые углы были получены на чертеже приёмом прибавления по одному углу (см. черт. 12). На вопрос учительницы: «Что же мы получили?» — класс дружно ответил: «Смежные углы».

Ответ учащихся был ошибочным, так как на чертеже было пять углов, тогда как смежных углов всегда два. Смежные углы, конечно, входят в этот чертёж, однако

Черт. 12.

вопрос учительницы касался полученных .пяти углов, и учащиеся прекрасно это понимали. Несмотря на то что на этом уроке учащимся было сделано соответствующее разъяснение, та же самая ошибка позднее ©новь имела место в этом же классе.

На уроке доказывалась теорема о сумме углов треугольника. По ходу доказательства учащимся был задан вопрос: «Что можно сказать про сумму углов при точке С?» (см. черт. 13). Одна ученица ответила: «Эти углы в сумме равны 180°, потому что они смежные». Никто из учащихся не исправил ответ, так как все были согласны с нею. При выяснении, почему учащиеся в том и другом случае принимали показанные углы за смежные, оказалось, что они исходили из того, что видели на чертеже развёрнутый угол, как и у смежных углов, и общую сторону углов.

В другой школе учитель поставил перед учащимися такой вопрос: «Если мы возьмём точку и несколько лучей, выходящих из неё в разные стороны, что мы получим?» Ученица ответила: «Окружность». Оказалось, что она вспомнила, как на одном из чертежей были начерчены радиусы, расходящиеся из центра в разные стороны.

Следует обратить внимание на то, что признаки, на которые опирались учащиеся, подводя фигуры под то или иное понятие (развёрнутый угол, общая сторона, центр окружности и радиусы), легко усматриваются на чертеже, т. е. они хорошо наглядно выражены.

Опираясь при узнавании фигур на одни признаки (наглядно выраженные), учащиеся не привлекали других существенных признаков. Например, при подведении образовавшейся фигуры под понятие «смежные углы» учащиеся не пользовались признаком количества смежных углов (их всегда два). Вместе с тем ошибочное узнавание фигур объясняется совсем не тем, что учащиеся не знали существенных признаков понятий. Учащиеся

Черт. 13.

того класса, в котором наблюдалось неправильное подведение фигур под понятие смежных углов, очень добросовестно учили определения, часто повторяли их на уроках, и определение смежных углов (как было специально проверено) они знали.

Причина ошибочных ответов учащихся заключалась в расхождении между знаниями существенных признаков понятий и умением оперировать ими при узнавании фигур.

При ошибочном подведении под понятие учащиеся оперировали не совокупностью существенных признаков понятия, а только каким-либо одним признаком, который они вычленяли во вновь показанной им фигуре. Ещё более ярко оперирование одним признаком при узнавании новой фигуры обнаружилось в условиях эксперимента. Учащимся четырёх школ показывались три фигуры: окружность, эллипс и замкнутая кривая неправильной формы с обозначением «центра» (см. черт. 14). Учащимся говорилось: «Назови знакомые фигуры». Так как две фигуры справа не были знакомы учащимся, мы удовлетворялись ответом, что эти фигуры не окружности или что они не знают, какие это фигуры. Третья часть учащихся назвала эти фигуры окружностями, причём, за исключением отдельных учеников, все они правильно определяли понятие «окружность». Даже после правильного воспроизведения определения некоторые слабо успевающие ученики продолжали называть показанные фигуры окружностями. Приведём два типичных протокола.

Ученица А. (слабая, 626-я школа). Это окружность, это окружность и это окружность.

Экспериментатор. Скажи: что называется окружностью?

А. Окружностью называется кривая замкнутая линия,

Рис. 14.

все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Эта (показывает на третью фигуру) — кривая замкнутая линия, а эта (показывает на первую) — прямая замкнутая, нет, эта — тоже кривая замкнутая, но у неё на одинаковом расстоянии от центра, а здесь (показывает на третью) — на разном.

Экспериментатор. Значит, точки окружности могут находиться на одинаковом расстоянии от центра и на разном?

А. Могут.

Экспериментатор. Значит, это неважно? А. Я не знаю, это важно.

Экспериментатор. Ну, скажи, где же здесь окружности?

А. Эта — окружность, эта — окружность, но не на одинаковом расстоянии, эта — окружность тоже не на одинаковом.

Экспериментатор. Почему же ты думаешь, что все эти фигуры — окружности?

А. Потому что кривые замкнутые.

Ученица М. (слабая, 164-я школа). Здесь окружность и эта — окружность, а эта — ломаная окружность.

Экспериментатор. Что же мы называем окружностью?

М. Окружностью называется кривая замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра.

Экспериментатор. Скажи: где же здесь окружности?

М. Это окружность и это окружность, но у этой окружности точки не на одинаковом расстоянии, а эта— окружность ломаная и точки тоже не на одинаковом расстоянии.

Экспериментатор. Значит, неважно, на одинаковом расстоянии точки или не на одинаковом?

М, Неважно, но если определять ровную окружность, то это надо сказать, а если точки не на одинаковом расстоянии, то эта окружность не будет ровной.

Экспериментатор. Почему же ты считаешь, что эти фигуры — окружности?

М. Потому, что все точки можно соединить с центром, и потому, что кривые замкнутые.

Из протоколов видно, что ученики в процессе узнавания фигур хорошо оперировали признаком замкнутости кривой и не оперировали признаком расстояния точек окружности от центра, хотя они формулировали его при определении окружности. Это указывает на то, что существенные признаки, входящие в содержание понятия, были для них неодинаково существенны при узнавании фигур. Существенными признаками для них оказались признаки, наглядно более ярко выраженные (замкнутость кривой, наличие центра и т. д.). Характерно при этом, что словесно воспроизведённый признак расстояния точек окружности от её центра не оказал своего регулирующего воздействия и не перестроил у этой группы учащихся процесс узнавания.

Учащиеся другой группы, вначале тоже ошибочно узнававшие предъявленные фигуры, после воспроизведения всех существенных признаков стали оперировать ими, в результате чего они правильно отделили окружность от других фигур.

Ученица Ф. (сильная, 626-я школа). Это окружность, и это окружность, и это окружность. Это всё окружности, потому что кривые замкнутые, но только форма не та: эта более выпуклая и вогнутая (показывает на третью фигуру), а эти идут прямо.

Экспериментатор. А ты помнишь, что называется окружностью?

Ф. Окружностью называется кривая замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра.

Экспериментатор. Скажи теперь, какие это фигуры?

Ф. Это окружность и это окружность, только здесь не все точки на одинаковом расстоянии от центра; тогда это не окружность и это не окружность.

Экспериментатор. Почему же ты думала, что окружности?

Ф. По кривой.

Экспериментатор. Разве ты не помнила определение?

Ф. Нет, я его помнила, но думала — по кривой. Ученик Ц. (слабый, 103-я школа). Это всё окружности.

Экспериментатор. Почему ты так думаешь?

Ц. У них есть центр.

Экспериментатор. Только поэтому?

Ц. (смущённо). Нет, в окружности все точки одинаково удалены от центра.

Экспериментатор. Сколько же здесь окружностей?

Ц. Три... (пауза). А это не окружность, все точки не одинаково удалены; и эта не окружность, не одинаково удалены.

Экспериментатор. Почему же ты сразу не посмотрел?

Ц. Я по центру смотрел.

Для учащихся этой группы в процессе узнавания фигур существенными признаками являлись те же самые наглядно выраженные признаки. Однако существенно, что словесное формулирование признака расстояния от центра до окружности оказало на них своё регулирующее воздействие и перестроило процесс узнавания предъявленных фигур.

В дальнейшем возник вопрос: будут ли наглядно выраженные признаки окружности (замкнутость кривой и наличие центра) в такой же мере существенными для учащихся при узнавании фигур в другой ситуации? В предъявленных фигурах указанные признаки имелись налицо. В дополнительной серии экспериментов учащимся показывались две фигуры: окружность, у которой точка центра не была обозначена, и кривая незамкнутая линия, все точки которой были расположены на одинаковом расстоянии от центра (см. черт. 15). Важно было убедиться, будут ли учащиеся оперировать указанными признаками при узнавании фигур, если в предъявленных фигурах они отсутствуют.

Результаты оказались следующими. Две трети учащихся утверждали, что фигура без обозначенного центра не является окружностью, потому что в ней «нет центра».

Ученик О. (сильный). Это ничем не назовёшь, так как нет центра.

Черт. 15.

Ученик С. (слабый). Это не окружность, так как нет центра, мало ли где мы поставим центр; вот тут (показывает вбок), и тогда точки будут не одинаково удалены от центра.

Ученик П. (сильный). Это не окружность, так как нет центра и нельзя сравнить расстояние до точки окружности; центр можно поставить в разных местах, и тогда не будет одинаково.

Но особенно характерно, что никто из учащихся не назвал последнюю фигуру окружностью.

Ученик С. (слабый). Это не окружность, а просто кривая, так как не соединяется.

Ученик П. (средний). Это дуга, потому что не замкнутая.

Ученик Л. (сильный). Не окружность, а дуга, так как не замкнутая, и т. д.

Таким образом дополнительный опыт подтвердил ранее сделанное предположение, что для учащихся, ошибочно подводивших показанные фигуры под понятие, в любых условиях наиболее существенными признаками усвоенного понятия выступали признаки, наглядно ярко выраженные.

Правильно протекал процесс узнавания фигур на чертеже 14 у тех учащихся, которые не только формулировали существенные признаки понятия, но и оперировали ими при решении поставленной задачи.

Ученица И. (сильная, 164-я школа). Это окружность, прямая замкнутая, все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра, а это кривая замкнутая и это кривая замкнутая.

Экспериментатор. Можно сказать, что все эти фигуры есть окружности?

И. Нет, у окружности все точки на одинаковом расстоянии от центра; здесь только одна окружность.

Ученица Б. (сильная, 626-я школа). Эта—окружность, а эта — кривая линия и точка внутри, эта — тоже кривая.

Экспериментатор. Это окружность?

Б. Нет, окружность — это кривая линия, которая находится на одинаковом расстоянии от центра, эти две — не окружности, а просто замкнутые фигуры.

Ученик 3. (слабый, 150-я школа). Это окружность, а это изогнутая кривая и тут изогнутая кривая.

Экспериментатор. Можно сказать, что все эти фигуры — окружности?

3. Нет, окружность — это замкнутая загнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии.

Экспериментатор. От чего?

3. От центра, а это не окружности (показывает на вторую и третью фигуры), у них не одинаковые расстояния.

Как видно, учащиеся правильно отделяли окружность от неокружностей только в том случае, когда они оперировали всеми существенными признаками, входящими в определение понятия. Задача отдифференцировать окружность от других фигур, сходных по отдельным признакам с окружностью, являлась для учащихся необычной.

В наблюдаемых нами классах подобного рода задач учащиеся систематически не решали. В силу этого ошибочное подведение под понятие встречалось часто в наших экспериментах и касалось многих понятий. Так, под понятие прямой линии в ряде случаев учащиеся подводили кривые дугообразной формы и, в частности, линию окружности по признаку «у неё нет извилин» или «если её (окружность) разрезать и разогнуть, будет прямая линия». В ряде случаев учащиеся называли перпендикуляром отрезок, расположенный отвесно, и т. д.

В связи с этим встаёт важная педагогическая задача — создавать у учащихся в процессе усвоения того или иного понятия точное различение фигур, относящихся к понятию, от фигур, сходных с ними. С этой целью необходимо в процессе введения понятия показывать учащимся фигуры, не только относящиеся к нему, но и также сходные по отдельным признакам, которые к нему не относятся. Необходимо при этом специально указывать на существенные их различия.

При изучении процесса узнавания фигур выделились, как видно из приведённых материалов, два типа усвоения.

Первый тип усвоения характеризуется тем, что учащиеся умеют не только формулировать признаки понятий при определении их, но и умеют применять совокупность признаков при решении задач. Такого рода знания возникают у учащихся на основе правильного соотношения связей, образующихся при усвоении определений по-

нятий, и связей, образующихся при восприятии чертежей. Благодаря этому учащиеся могут пользоваться полученными знаниями в различных условиях: и в процессе определения понятий и при узнавании фигур. Именно такие связи, как указывал И. П. Павлов, и лежат в основе образования правильных знаний, потому что «связываются два явления, которые в действительности постоянно связаны»1.

Второй тип усвоения характеризуется тем, что учащиеся в процессе определения формулируют одни признаки, а при решении задач пользуются другими.

Такого рода знания возникают у учащихся на основе неправильного соотнесения связей, образующихся в процессе объяснений учителя и в процессе восприятия геометрических чертежей. Вследствие разрыва между указанными связями знания учащихся проявляются только в той области, в которой они и возникли. Неправильно соотнося знания определяемых признаков понятий со знаниями, возникшими на основе воздействия геометрической наглядности, учащиеся часто не улавливают постоянных геометрических отношений, существующих в действительности. Такой тип усвоения лежит в основе возникновения формальных знаний, т. е. знаний, правильных по форме, но по существу безжизненных, не применимых на практике в силу оторванности их от действительности. Усвоенные таким образом понятия характеризуются суженным объёмом, так как учащиеся, опираясь на частные признаки фигур, подводят под понятия не все фигуры, соответствующие им.

В условиях использования широкой вариации признаков фигур все учащиеся усваивают геометрические понятия в соответствии с первым типом. В условиях же использования одних стандартных чертежей первый тип усвоения достигается преимущественно хорошо успевающими учащимися. Слабо успевающие учащиеся достигают его только по отношению к наглядно выраженным признакам (замкнутость кривой при усвоении понятия «окружность» и т. д.). В силу того, что одни признаки понятий учащиеся усваивают в соответствии с первым типом, а другие признаки — в соответствии со вторым, в процессе узнавания фигур они оперируют не совокуп-

1 «Павловские среды», т. 3, 1949, стр. 262.

ностью существенных признаков, а лишь некоторыми из них, вследствие чего объём усвоенных понятий неправомерно расширяется.

И. П. Павлов, создавая учение о двух сигнальных системах, подчёркивал, что условием эффективной деятельности второй сигнальной системы (специально человеческой речевой) является её правильная соотнесённость с первой сигнальной системой (системой непосредственных сигналов): «Следовательно, нормальный человек, хотя он пользуется вторыми сигналами... будет пользоваться второй сигнальной системой эффективно только до тех пор, пока она постоянно и правильно соотносится с первой сигнальной системой, т. е. с ближайшим проводником действительности»1.

Можно предположить, что в основе охарактеризованных выше типов усвоения признаков понятий лежит различное соотнесение сигнальных систем у учащихся. В тех случаях, когда учащиеся усваивали понятия в соответствии с объяснениями учителя и умели применять их в различных ситуациях, в основе образования знаний лежало правильное соотнесение деятельности второй сигнальной системы с первой. В тех же случаях, когда учащиеся усваивали определяемые признаки понятий формально, в отрыве от геометрической практики, очевидно, правильного соотнесения между сигнальными системами у учащихся не было.

Соотнесение слова и чертежа при усвоении родовых геометрических понятий

Вопрос о правильном соотнесении объяснений учителя с использованием геометрической наглядности приобретает особую остроту в процессе усвоения таких понятий, как «линия», «угол», «треугольник», «многоугольник» и т. д. Указанные понятия в логике принято называть родовыми понятиями. Содержание родового понятия составляют признаки, общие для видовых понятий, входящих в состав этого родового понятия. Например, содержание понятия «угол» составляют следующие признаки: угол образуется двумя лучами, выходящими из

1 «Павловские среды», изд. Академии наук СССР, т. 3, 1949, стр 318.

одной точки; величина угла определяется степенью расхождения лучей друг от друга, и т. д. Эти признаки являются общими для всех углов, т. е. они имеют место у острого, прямого и других углов.

С точки зрения особенностей усвоения родовых понятий важно заметить, что фигуры, которая бы соответствовала родовому понятию и не соответствовала бы видовому, нет. Нет фигуры, которая была бы вообще «угол», вообще «линия», а есть острые, прямые углы, прямые, кривые линии и т. д.

Наблюдения на уроках показывают, что родовые понятия не всегда вводятся в шестых классах, т. е. не все учителя сообщают учащимся, какие признаки являются общими для острого, прямого и других углов, для прямой, кривой линии и т. д. Вместе с тем термины «линия», «угол», «треугольник» используются на уроках часто.

В тех школах, где вводились родовые понятия, возникала опасность разрыва между усваиваемыми признаками родового понятия и наглядными геометрическими образами. Например, в одной школе учащимся сказали, что линия есть след движущейся точки, и предложили представить себе горящий уголёк, вращаемый в темноте. При этом учащимся не было сказано, что прямую, кривую и ломаную линию можно рассматривать как след движущейся точки. В результате этого оказалось, что только хорошо успевающие учащиеся отнесли указанный признак ко всем конкретным линиям; многие ученицы отнесли его только к кривым линиям (очевидно, представляя вращающийся уголёк). Некоторые учащиеся не отнесли этот признак ни к прямым, ни к кривым и, заучив предложение «линия есть след движущейся точки», не связывали его ни с каким конкретным образом.

Таким образом, признак родового понятия «линия», оторванный от конкретных линий, оказался у некоторых учащихся бессодержательным. Педагогические условия, в которых возникло это явление, ясны: признак родового понятия не был выведен из признаков видовых понятий и не был в достаточной степени конкретизирован отнесением его к частным понятиям. Чтобы избежать указанного разрыва между общими понятиями и образами, важно, чтобы при введении родовых понятий учащиеся под руководством учителя рассматривали признаки соответствующих видовых понятий, выделяли признаки, об-

щие для всех видовых понятий, и в дальнейшем прочно связывали выделенные общие признаки с конкретными геометрическими фигурами. Такой путь обеспечивает содержательность родового понятия, так как это есть путь от конкретного к абстрактному.

Правильное соотнесение признаков родовых и видовых понятий не только обеспечивает содержательность родового понятия, его связь с геометрическими образами, но обеспечивает также усвоение понятий в системе.

В школьной практике у учащихся VI класса только знания о треугольниках объединяются в логически стройную систему. Общее понятие «треугольник» рассматривается в системе понятия «многоугольник» и в свою очередь соотносится с частными видами треугольников, которые подразделяются по признаку соотношения сторон и по признаку соотношения углов. Изучение треугольников в системе, несомненно, делает знания учащихся более прочными и способствует развитию логического мышления учащихся. Однако возможности изучения понятий в системе совсем не ограничиваются изучением треугольников. Можно начинать систематизировать знания учащихся о линиях и углах. Учащиеся должны уметь правильно соотносить общее понятие «линия» с частными или видовыми понятиями прямой, кривой, ломаной линии.

Помимо правильного соотнесения общего понятия «угол» с частными понятиями острого, прямого, тупого, развёрнутого и полного угла, учащиеся должны правильно соотносить изучаемые ими группы углов (смежные, вертикальные углы и т. д.). Среди них наиболее общим понятием является понятие об углах с общей вершиной. Углы с общей вершиной делятся на углы, составляющие полный угол, к которым, кроме общего вида углов с общей вершиной, относятся вертикальные углы (имеются в виду обе пары), на углы, составляющие развёрнутый угол (частным видом последних являются смежные углы), и на углы, сумма которых не представляет определённой величины. К последним относятся прилежащие углы. Логическая соподчинённость указанных понятий может отображаться в схемах, которые будут служить наглядной опорой для учащихся при усвоении системы понятий.

Отсутствие системы понятий у учащихся при изуче-

нии линий и углов, неумение рассматривать смежные углы как частный случай прилежащих углов, две пары вертикальных углов как частный случай углов с общей вершиной, составляющих полный угол, и т. д. — лишает учащихся возможности гибко оперировать понятиями при решении задач.

Влияние житейского значения терминов на усвоение геометрических понятий

И. М. Сеченов в труде «Элементы мысли» писал: «...данная мысль может быть усвоена или понята только таким человеком, у которого она входит звеном в состав его личного опыта...»1.

В этом положении раскрывается основной принцип усвоения новых знаний. Новые знания усваиваются учащимися на основе имеющихся старых знаний, приобретённых не только в школе, но и вне её.

Ряд терминов, которыми обозначаются геометрические понятия, оказываются знакомыми для учащихся из их предшествующего жизненного опыта, например «линия», «угол», «вершина», «сторона», «смежные» и т. д. Житейское значение терминов в одних случаях совпадает в основном с их научным значением, а в других случаях житейское и научное значение терминов совершенно расходятся друг с другом. В зависимости от того, совпадает или расходится значение указанных терминов, влияние их на процесс усвоения геометрических понятий оказывается различным.

Наблюдения в школах показали, что воздействие житейского значения терминов на процесс усвоения геометрических понятий педагогами недостаточно учитывается, вследствие чего в процессе усвоения геометрических понятий у учащихся возникает ряд затруднений. Рассмотрим особенности усвоения тех геометрических понятий, которые обозначаются терминами, имеющими и в житейском обиходе примерно то же самое значение.

В ряде школ на уроках были проведены специальные наблюдения за тем, как вводилось понятие «смежные углы». Оказалось, что при введении этого понятия ника-

1 И. М. Сеченов, Избранные философские и психологические произведения, 1947, стр. 447.

кой связи с житейским понятием «смежные» не устанавливалось.

С целью выяснить, как учащиеся будут усваивать понятие «смежные углы», если содержание отношений, отражённых в этом понятии, показать учащимся на знакомых им в жизни предметах, в 150-й школе был осуществлён экспериментальный урок.

Сообщив тему урока «Смежные углы», учительница провела с учащимися беседу, в которой выяснила, встречались ли учащиеся со словом «смежные» раньше и как они его понимают. Оказалось, что некоторые учащиеся встречались с этим словом в выражениях «смежные дворы», «смежные огороды». Было установлено, что смежные огороды — это огороды, примыкающие друг к другу, имеющие общую границу (забор, межу). Учительница рассказала учащимся, что когда земля находилась в частном пользовании крестьян, каждый крестьянин имел свою распаханную полосу земли, которая от соседней смежной полосы отделялась межой, что межа — это узкая полоса земли, обычно поросшая травой и служащая общей границей между двумя распаханными полосами, что теперь это слово употребляется редко, так как межи распаханы колхозами. После беседы учительница начертила смежные углы и объяснила, что углы называются смежными, так как у них тоже одна сторона общая, а две другие продолжают друг друга.

На последующих уроках связи между указанными понятиями закреплялись, учащиеся придумывали новые примеры смежных предметов.

В экспериментах мы выясняли, как учащиеся разных школ усвоили понятие «смежные углы» и как они связывали его с житейским понятием «смежные».

В тех школах, где связь между этими понятиями не устанавливалась, сразу же обнаружилось, что многие учащиеся вместо выражения «смежные углы» употребляли выражение «смежный угол». Даже определяя понятие, они говорили так: «Смежным углом называется такой угол, у которого одна сторона общая, а две другие стороны продолжают друг друга», или: «Сумма смежного угла равна 180°». Выяснилось, что «смежным углом» учащиеся называли развёрнутый угол, а под общей стороной в некоторых случаях подразумевали стороны, продолжающие друг друга. Отнесение понятия «смеж-

ные» к одному углу уже явно говорило о том, что учащиеся не усвоили признак отношения между двумя углами. Чтобы установить, владеют ли эти учащиеся житейским понятием «смежные», перед ними ставился вопрос: какие комнаты называются смежными? Только отдельные учащиеся смогли правильно ответить на поставленный вопрос. Они указали, что смежные комнаты расположены рядом, но признаком общей стены не пользовались. Большинство же учащихся ответить на этот вопрос не смогло или же вкладывало в понятие «смежные» совсем другое содержание.

Ученица Л. (средняя, 164-я школа). Смежные углы — значит смешанные, один угол смешан с другим. Смежные комнаты — смешанные комнаты: тут и кушают, и варят, всё делают.

Ученица Ан. (слабая, 626-я школа). Смежные комнаты, которые одинаковые.

Экспериментатор. Как одинаковые?

Ан. По величине одинаковые.

Ученица С. (слабая, 164-я школа). Смежные комнаты — общие, в них каждый может войти, например в кухню каждый может войти.

Таким образом, большинство учащихся, недостаточно хорошо усвоивших понятие «смежные углы», не владело и житейским понятием «смежные».

Только те учащиеся, которые хорошо усвоили признак отношений между смежными углами, смогли разобраться в поставленном вопросе о смежных комнатах.

Для учащихся 150-й школы поставленный вопрос не представил никакой трудности, и ошибочных ответов в отношении смежных углов почти не было. Следовательно, раскрытие отношения смежности между конкретными предметами помогло учащимся этой школы усвоить эти же отношения между отвлечёнными фигурами (углами).

Эксперименты показали, что житейское значение слова «смежные», употребляемого сравнительно редко, не является известным всем учащимся. Поэтому положительное влияние житейского значения этого термина может иметь место только в том случае, если педагог раскроет содержание его учащимся на знакомых и близких предметах, а затем, опираясь на раскрытые признаки, введёт понятие «смежные углы».

Положительное влияние житейского значения терми-

нов может быть использовано при введении многих геометрических понятий, например понятия «высота треугольника», «угол», «сторона треугольника» и т. д.

Когда учитель показывает учащимся ту или иную геометрическую фигуру или элемент её и называет их, не опираясь на известные им термины, то оказывается, что воспроизведение названий может вызывать затруднения.

Например, некоторые учащиеся через несколько часов после урока, на котором вводилось понятие «угол», не могли воспроизвести названий элементов угла (вершина, стороны) или воспроизводили их с трудом.

Ученик Д. (средний). Точка В (вершина угла) называется (пауза) верховой точкой (пауза), верхней точкой (пауза), верхушкой. (Воспроизвести слово «вершина» не мог.)

Экспериментатор. Что же отходит от вершины угла?

Д. Прямые лучи.

Экспериментатор. Как они называются?

Д. На С (пауза). (Воспроизвести не мог.)

Ученик П. (слабый). Точка, от которой отходят линии, называется (пауза) верховой (пауза), нет, вер шиной; линии называются лучи, так как отходят от точки.

Экспериментатор. Как же называются эти лучи в угле?

П. (долго думает). Забыл.

Экспериментатор. Стороны угла. Ты разве не слыхал, что такое «сторона»?

П. Слыхал. Сторона — где родился, наша сторона.

Экспериментатор. На какой стороне парты ты сидишь?

П. На правой.

Экспериментатор. Тебе понятно, почему эти лучи называются сторонами?

П. Они лежат напротив: один слева, другой справа; один выше, другой ниже.

Необходимо при этом подчеркнуть, что при установлении сходства между житейским и научным значением термина в некоторых случаях должно быть установлено и различие. Например, когда учащиеся говорят, что вершина угла — «потому что тут тоже заострено, тоже сходятся лучи, а у юры склоны сходятся», то важно им ука-

зать, что вершина горы всегда расположена вверх от её подножия, тогда как вершина угла и его стороны могут занимать различное положение на плоскости.

Перейдём к рассмотрению особенностей усвоения тех геометрических понятий, которые обозначаются терминами, имеющими существенно иное житейское значение. Например, на усвоение геометрических понятий «опустить перпендикуляр на прямую» и «восставить перпендикуляр к прямой» оказывало воздействие значение житейских понятий «опустить» и «восставить», т. е. поднять. Содержание геометрических и житейских понятий в данном случае различно, так как существенным признаком геометрических понятий является положение точки по отношению к прямой, а существенным признаком соответствующих житейских понятий является направление вверх или вниз.

В школах, где нами наблюдалось введение указанных понятий, учащимся ни слова не говорилось о том, что признаки геометрических понятий отличны от признаков соответствующих житейских понятий. Больше того, педагоги показывали учащимся только те случаи проведения перпендикуляра к прямой, в которых направление перпендикуляра соответствовало признакам житейских понятий, т. е. при введении понятия «опустить перпендикуляр на прямую» брался случай, когда точка находилась выше прямой и, следовательно, перпендикуляр опускался сверху вниз. При введении же понятия «восставить перпендикуляр к прямой» брался случай проведения перпендикуляра от прямой вверх.

В экспериментах с учащимися разных школ были использованы различные случаи проведения перпендикуляра к прямой. Ученику давалась прямая и точка (на прямой или вне прямой) и ставилась задача провести перпендикуляр и назвать проделанную операцию в терминах: «восставили перпендикуляр к прямой», «опустили перпендикуляр на прямую».

Оказалось, что почти половина учащихся усвоила указанные понятия в соответствии с житейским содержанием данных терминов. Приведём один из типичных протоколов.

Ученик Р. (средний) решает задачу, в которой точка О даётся ниже прямой. Р. проводит перпендикуляр на прямую.

Экспериментатор. Что ты сделал? Р. Восставил перпендикуляр.

Экспериментатор. Почему ты говоришь «восставил»?

Р. Потому что снизу вверх.

Экспериментатор (берёт точку на прямой и восставляет перпендикуляр вниз). Как теперь сказать?

Р. Это опустили перпендикуляр, потому что сверху вниз.

Экспериментатор. Почему ты думаешь, что если сверху вниз, то всегда опускают?

Р. Потому что всегда опускают сверху вниз, а поднимают снизу вверх.

Такого же рода понимание было и у ряда других учащихся. Только наиболее сильная часть учащихся следовала в усвоении этих понятий за указаниями учителя и сумела преодолеть воздействие житейского значения терминов1.

Отрицательное воздействие житейского значения терминов наблюдалось нами на уроках и при введении понятия «развёрнутый угол». Форма развёрнутого угла не соответствует признакам понятия «угол», которое сложилось у учащихся до школы и не изменилось существенно в тот период, когда учащиеся ознакомились с острым, прямым и тупым углами. Введение понятия «развёрнутый угол» оказывается возможным только тогда, когда учащиеся уже овладели знанием общих признаков угла. Когда мы пробовали до введения родового понятия «угол» показывать учащимся развёрнутый угол и при этом спрашивали, можно ли начерченную фигуру назвать углом, во всех случаях ответы были отрицательными. Однако знание общих признаков «угла» само по себе полностью не снимает трудностей при введении понятия «развёрнутый угол». Нужны ещё продуманные приёмы его введения. Сравним эффективность двух приёмов введения понятия «развёрнутый угол», которые применялись в двух школах.

В одной школе учительница использовала приём складывания углов. Она сложила два произвольных

1 Автор поддерживает высказываемое методистами положение о целесообразности заменить трудные для усвоения понятия «восставить перпендикуляр к прямой» и «опустить перпендикуляр на прямую» одним понятием «провести перпендикуляр к прямой».

угла PN F и MNP (см. черт. 16) и обратила внимание учащихся на угол MNF, как на сумму двух углов. Затем она предложила прибавить ещё один угол и, начертив луч NK (см. черт. 17), сказала: «Мы прибавили угол KNM и получили в сумме угол KNF. Верно это?» Учащиеся отвечали: «Нет, неверно!», «Это не угол!», «Это просто прямая». — «Нет, это угол и называется развёрнутым», — сказала учительница.

Состояние протеста, которым был охвачен класс, исчезло лишь после того, как учительница обратила внимание учащихся на то, что у развёрнутого угла есть и вершина, и два луча, выходящие из неё, т. е. указала на общие признаки угла.

В 164-й школе учитель использовал приём развёртывания угла. Неподвижный луч OB был начерчен мелом.

Подвижным лучом служил натёртый мелом шнурок, закреплённый в вершине угла кнопкой. В желаемом месте шнурок оставлял чёткую ровную меловую линию. Учитель передвигал шнурок справа налево, и угол постепенно увеличивался. Постепенность увеличения угла учащиеся видели по образующимся промежуточным углам, внутреннюю область которых они отмечали дугами (см. черт. 18). Когда подвижный луч образовал с неподвижным лучом развёрнутый угол АОВ, учитель сказал: «Мы развернули угол. Как можно назвать его?» Ученицы ответили: «Раз-

Черт. 16. Черт. 17.

Черт. 18.

вёрнутым углом». — «Какой же угол называется развёрнутым углом?» — спросил учитель. Одна ученица сказала: «Угол, у которого две стороны уходят бесконечно». Учитель уточнил: «Угол, у которого стороны продолжают друг друга».

При использовании приёма сложения углов учащимся трудно было понять, что развёрнутый угол есть угол, потому что на чертеже он появлялся совершенно неожиданно. Учащиеся не устанавливали никакой связи между лучами KN и NF, не видели в этих прямых линиях лучей, исходящих из одной точки. Эти условия являются благоприятными для воздействия житейского значения слова «угол».

Приём развёртывания угла более эффективен, так как в самом названии «развёрнутый угол» закреплена идея об его образовании путём развёртывания. Учащиеся, воспринимавшие весь процесс развёртывания угла, легко поняли, что развёрнутый угол есть угол. Они с самого начала развёртывания угла мыслили луч АО в связи с лучом ВO, поэтому и в развёрнутом угле лучи АО и ВО воспринимались ими легко, как стороны угла. Таким образом, при использовании приёма развёртывания угла влияние житейского значения слова «угол» оказалось устранённым.

Отрицательное влияние житейского значения терминов на усвоение геометрических понятий обнаружилось и на целом ряде других понятий. В отдельных случаях отрицательное влияние оказывало значение терминов, усвоенных при изучении других учебных предметов. Так, на усвоение понятия «вертикальные углы» оказывало влияние значение термина «вертикально». В содержании указанных терминов нет ничего общего, но на это обстоятельство в наблюдаемых нами классах внимание учащихся не обращалось. В результате этого мы встретились с фактами, когда некоторые учащиеся считали вертикальными углами только те углы, одна из осей симметрии которых располагалась вертикально.

Ученик Ц. (слабый, 103-я школа). Вертикальные углы — вот (чертит). Они равны, у них стороны равны, сами равны и стороны равны, они называются вертикальными, потому что вертикально стоят.

Экспериментатор (указывает на пару тупых углов). А это какие углы?

Ц. Если их повернуть, они станут вертикальными.

Экспериментатор. А острые углы тогда останутся вертикальными?

Ц. Нет, они тогда не будут вертикальными.

Ученица К. (слабая, 164-я школа) (чертит вертикальные углы). Здесь четыре угла.

Экспериментатор. Все вертикальные?

К. Нет, острые, два острых.

Экспериментатор. А ещё есть вертикальные углы?

К- Нет, больше нет.

Экспериментатор (указывает на тупые углы). А эти углы какие? К. Эти углы тупые.

Экспериментатор. Они будут вертикальными?

К. Нет, у вертикальных углов стороны вертикально и углы вертикально, а тупые углы лежат не вертикально.

Под воздействием житейского значения термина «пересекать» некоторые учащиеся неправильно усваивали понятие «пересекаться в точке». С этим понятием они связали только такие случаи пересечения прямых, когда прямые продолжались за точку пересечения. Если же прямые (или одна из них) не продолжались за точку пересечения, учащиеся не считали такие линии пересекающимися. Поэтому определение: «основание перпендикуляра есть точка пересечения перпендикуляра с прямой» — ими не принималось. Даже в той школе, где учащиеся особенно хорошо заучивали определения понятий, они ни в одном случае на протяжении года не воспользовались указанным определением и заменяли его своими, например: «основание перпендикуляра есть точка, от которой отходит перпендикуляр».

В школах, где использовались стандартные чертежи, отрицательное влияние житейского значения терминов сказывалось в большей степени, чем в школах, где чертежи варьировались. Например, в 150-й школе совсем не встречались случаи, чтобы учащиеся связали понятие «вертикальные углы» с понятием «вертикально». Использование одних стандартных чертежей усиливает отрицательное влияние житейских понятий вследствие того, что повторяющиеся признаки в стандартных фигурах часто совпадают с признаками житейских понятий.

Усвоение понятия при рассмотрении его в связи с другими понятиями

Процесс раскрытия признаков геометрических понятий по курсу VI класса носит различный характер. Существенные признаки некоторых понятий раскрываются сразу, например, признаки вертикальных углов.

В других же случаях признаки понятий раскрываются на ряде этапов, каждый из которых характеризуется рассмотрением изучаемого понятия в связи с другим понятием. Яркий пример рассмотрения одного понятия в связи с другим понятием даётся Ф. Энгельсом на примере изучения свойств треугольника.

«После того, как синтетическая геометрия до конца исчерпала свойства треугольника, поскольку последний рассматривается сам по себе, и не в состоянии более сказать ничего нового, перед нами благодаря очень простому, вполне диалектическому приему открывается некоторый более широкий горизонт. Треугольник более не рассматривается в себе и сам по себе, а берется в связи с некоторой другой фигурой, кругом... Благодаря этому стороны и углы получают совершенно иные определенные взаимоотношения, которых нельзя было открыть и использовать без этого отнесения треугольника к кругу, и развивается совершенно новая, далеко превосходящая старую, теория треугольника...»1.

Подобно тому как в истории математики треугольник обогатился новыми свойствами, когда он стал рассматриваться во взаимной связи с кругом (благодаря чему развилась новая отрасль математики — тригонометрия), так и некоторые понятия в пределах курса VI класса обогащаются признаками, когда они изучаются в связи с другими понятиями. К таким понятиям относятся: «перпендикуляр к прямой», «биссектриса угла», «угол», «смежные углы» и т. д. Например, понятие «перпендикуляр к прямой» раскрывает свои признаки на четырёх этапах. Сначала оно рассматривается в связи с понятием «смежные углы» (общая сторона равных смежных углов), затем в связи с понятием «прямой угол» (сторона прямого угла), далее в связи с понятием «треугольник» (высота треугольника) и, наконец, в связи с понятием «геометри-

1 Ф. Энгельс, Диалектика природы, 1952, стр. 212.

ческое место точек». Через три этапа проходит изучение понятия «биссектриса угла»: биссектриса угла, биссектриса угла треугольника и биссектриса угла как геометрическое место точек, равно удалённых от сторон угла.

Мы рассмотрим процесс усвоения понятия «перпендикуляр к прямой», поскольку оно является одним из основных понятий в VI классе. Внимание при этом будет обращено на то, как в педагогическом процессе совершался переход от рассмотрения его в связи с одним понятием к рассмотрению его в связи с другим и как учащиеся дифференцировали признаки перпендикуляра, раскрытые им на разных этапах изучения.

Во всех наблюдаемых школах, за исключением 518-й, о которой мы скажем позднее, педагогический процесс строился таким образом, что при переходе к рассмотрению перпендикуляра в связи с новым понятием ранее раскрытые его признаки не обобщались и учащимся не говорилось, что далее они встретятся с перпендикуляром как стороной прямого угла или как с высотой треугольника. Иногда это приводило к тому, что учащиеся противились рассматривать перпендикуляр в связи с новым понятием. Например, в одной школе учащимся были показаны равные смежные углы. Было установлено, что углы прямые, что они равны между собой, что общая сторона таких углов называется перпендикуляром. Когда учащиеся ответили на ряд контрольных вопросов: что называется перпендикуляром, где его основание (точка О) и т. д., учительница сказала: «Возьмём теперь прямой угол отдельно. Можно сказать, что АО перпендикулярна OB?» Учащиеся отвечали: «Нет!», «Можно!» — «Кто считает, что АО перпендикуляр?» — стала выяснять учительница. Половина класса подняла руки. «А кто считает, что АО не перпендикуляр?» Подняла руки вторая половина класса. «Тот, кто считает, что АО не перпендикуляр, неправ», — разрешила спор учительница. «Как же так, — недоумевала вслух одна ученица, — ведь это не по правилу, в правиле говорится о двух углах, а здесь один».

Таким образом, многим учащимся было трудно узнать в стороне прямого угла перпендикуляр к прямой, так как при переходе к изучению перпендикуляра как стороны прямого угла учительница не создала у учащихся установки на то, что перпендикуляр к прямой встречается не

только как общая сторона равных смежных углов, но и в других фигурах. Она не предупредила, что учащиеся познакомятся с перпендикуляром как стороной прямого угла и узнают, что есть общее и различное у перпендикуляра как стороны прямого угла с перпендикуляром как общей стороной равных смежных углов. Следует заметить, что и в других школах признаки перпендикуляра как стороны прямого угла не раскрывались учащимся, несмотря на то что этот вид перпендикуляра к прямой является наиболее общим. В результате этого трудность его узнавания оказалась типичной трудностью для учащихся различных школ.

На каждом этапе изучения понятия «перпендикуляр к прямой» были проведены эксперименты, направленные на выяснение того, как учащиеся усвоили новые признаки этого понятия и как эти новые признаки соотносятся с изученными ранее. После того как учащиеся познакомились с перпендикуляром к прямой как общей стороной смежных углов и как стороной прямого угла, была проведена первая серия экспериментов. Оказалось, что почти половина учащихся не считала сторону прямого угла перпендикуляром к прямой.

Ученица И. (сильная, 164-я школа). Нет, это не перпендикуляр, потому что нет развёрнутого угла.

Ученица Ш. (средняя, 626-я школа). Это не перпендикуляр, а просто прямой угол, перпендикуляр образует два прямых угла.

Ученик А. (слабый, 150-я школа). Перпендикуляр — это общая сторона двух смежных равных углов, а это просто сторона прямого угла.

Ученица А. (слабая, 626-я школа). Нет, это сторона прямого угла; перпендикуляр делит произвольную прямую пополам, а тут один прямой угол, а у перпендикуляра всегда два угла.

Ученик Ц. (слабый, 103-я школа). Нет, это не перпендикуляр, потому что не делит угол пополам.

Очевидно, что перпендикуляр как сторона прямого угла в указанных педагогических условиях многими учащимися не усваивался. Не принимая сторону прямого угла за перпендикуляр к прямой, учащиеся указывали на отсутствие следующих признаков: нет развёрнутого угла, нет двух прямых углов, не делит угол пополам (развёрнутый угол). Оперирование указанными признаками

с очевидностью свидетельствует о том, что существенный признак понятия «перпендикуляр к прямой», а именно признак отношений между двумя прямыми, не был усвоен учащимися. Это обстоятельство можно объяснить тем, что в заучиваемом определении «перпендикуляр к прямой есть общая сторона равных смежных углов» существенный признак отношения между прямыми не выражен достаточно явно.

Характерно, что из числа тех учащихся, которые рассматривали сторону прямого угла как перпендикуляр к прямой, только некоторые опирались на признак отношений между двумя прямыми. Часть же учащихся, давших правильный ответ, основывалась на внешних, несущественных признаках.

Ученик Д. (слабый, 103-я школа). AB будет перпендикуляр, потому что, если продлить (имеет в виду вторую сторону), будет два смежных угла.

Ученица А. (средняя, 626-я школа). AB можно назвать перпендикуляром, потому что тоже стоит прямо.

Кроме того, заслуживает внимания и следующий факт. Те учащиеся, которые называли одну сторону прямого угла перпендикуляром к другой прямой, в то же самое время не считали последнюю перпендикуляром по отношению к первой прямой. Они также не считали перпендикуляром по отношению к общей стороне смежных равных углов стороны углов, составляющие одну прямую.

Ученица Б. (сильная, 626-я школа). Эта прямая линия не будет перпендикуляром, потому что это стороны равных прямых углов.

Ученица Б. (сильная, 164-я школа). Эта линия не будет перпендикуляр, потому что это развёрнутый угол, это две стороны, к ним проведён перпендикуляр.

Ученик О. (сильный, 103-я школа). Не будет, так как это основание, это сторона прямого угла.

Ученик А. (средний, 150-я школа). AB — это же прямая, на которую проведён перпендикуляр.

Учащимся трудно было осознать указанные стороны прямых углов как перпендикуляры по отношению к другим сторонам, потому что эти стороны уже были ими осознаны в плане других понятий: «Это сторона, на которую проведён перпендикуляр», «Это развёрнутый угол» и т. д. Именно на эти функции сторон и указывали

учащиеся, когда они заявляли, что эти стороны не перпендикуляры. Чтобы осознать их как перпендикуляры по отношению к другим сторонам, нужно совершить операцию переосмысливания, т. е. мыслить их одновременно в плане различных понятий. Оказывается, что операция переосмысливания во многих случаях не выполняется учащимися самостоятельно. Поэтому прямые указания учителя на взаимную перпендикулярность сторон прямого угла приобретают большое значение при усвоении этого понятия.

После того как было введено понятие «высота треугольника», была проведена вторая серия экспериментов. В этой серии обнаружилось, что в результате воздействия понятия «высота треугольника» учащиеся изменили признаки перпендикуляра как общей стороны равных смежных углов. Получив задание начертить перпендикуляр к прямой и дать его определение, они правильно чертили два равных смежных угла. Следовательно, сам образ, соответствующий этому понятию, оставался у них неизменённым. Определение же понятия почти у половины учащихся стало другим, т. е. соответствующим новому этапу усвоения.

Ученик Л. (средний, 103-я школа). Перпендикуляром называется отрезок прямой, проведённый из вершины на основание.

Экспериментатор. Где же вершина?

Л. показывает на верхнюю точку перпендикуляра.

Экспериментатор. А основание?

Л. показывает на нижнюю точку его.

Ученица Ф. (сильная, 626-я школа). Перпендикуляром называется высота, опущенная из вершины на основание; вершина — это точка Д (показывает на верхнюю точку), а основание — это AB (показывает вторую прямую).

Ученица Б. (сильная, 164-я школа). Перпендикуляр — это отрезок, опущенный из вершины на какую-либо сторону; это высота смежных углов, потому что они прямые и равны.

Из приведённых примеров ясно, что в определение перпендикуляра, взятого в системе смежных углов, учащиеся перенесли признаки, определяющие высоту треугольника. Некоторые учащиеся прямо называли перпендикуляр высотой смежных углов. Прямая, на которую

он опускался, выступила в сознании учащихся как основание; верхняя точка перпендикуляра осозналась как его вершина, т. е. произошла своеобразная «модернизация» определяемых признаков перпендикуляра как общей стороны равных смежных углов.

После рассмотрения перпендикуляра, проведённого через середину отрезка как геометрического места точек, равноудалённых от концов отрезка, эксперименты были вновь проведены во всех классах, т. е. учащимся вновь давалось задание начертить перпендикуляр и сообщить его признаки, начертить высоту треугольника и рассказать, что такое высота. Повторилось то же самое явление. Признак перпендикуляра как геометрического места точек (все точки его расположены на одинаковом расстоянии от концов отрезка) учащиеся перенесли и на перпендикуляр как общую сторону смежных углов, и на перпендикуляр как высоту треугольника. При этом опять-таки характерно, что задание начертить перпендикуляр и начертить высоту треугольника выполнялось учащимися точно, т. е. наглядные образы перпендикуляров они хорошо соотносили с указанными понятиями. Определялись же понятия следующим образом:

Ученик Д. (слабый, 103-я школа). Перпендикуляром называется линия, опущенная из вершины на середину основания.

Ученик А. (слабый, 150-я школа). Перпендикуляр — это общая сторона смежных углов, если она восставлена не из любой точки, а из середины и все точки её на одинаковом расстоянии от концов основания.

Ученица А. (слабая, 626-я школа). Высотой называется перпендикуляр, который проходит через середину основания.

Ученица У. (слабая, 164-я школа). В треугольнике высота идёт из вершины на середину основания и каждая точка одинаково удалена от концов.

Итак, признаки перпендикуляра, раскрытые на различных этапах его изучения, не соотносились учащимися точно с определёнными этапами. Очевидно, что дифференциация образов перпендикуляра осуществлялась учащимися легко, не требуя от них особых усилий. Дифференциация же признаков, проходившая в плане словесных формулировок, достигалась с большим трудом.

Известную роль в неправильном перенесении при-

знаков перпендикуляра из одной системы понятий в другую систему играла стандартность чертежей, ошибочно подчёркивающая сходство признаков. Так, в стандартном чертеже смежных углов основание перпендикуляра располагается на середине отрезка. Этим частным признаком учащиеся иногда и оперировали при узнавании перпендикуляра, однако при определении его они не формулировали этот признак. После того как они познакомились с перпендикуляром как геометрическим местом точек, у которого основание располагается на середине отрезка, этот новый признак перпендикуляра они легко перенесли на старое понятие, так как для такого переноса стандартные чертежи уже создали благоприятную почву. Теперь они не только оперировали этим признаком при узнавании перпендикуляра, но и формулировали его.

Однако при устранении стандартности чертежей указанное явление переноса признаков не исчезает полностью. В 150-й школе стандартности чертежей не было, явление же неправомерного переноса признаков с одного этапа на другой всё же имело место.

В значительной мере устранить явление переноса признаков удалось только в том классе (VI класс 518-й школы), в котором учительница Н. В. Косарёва каждый раз подводила итог тем знаниям о перпендикуляре, которые были получены учащимися на определённом этапе его изучения, и создавала у них установку на изучение перпендикуляра в связи с новым понятием.

В этом классе первое знакомство с перпендикуляром учащиеся получили в системе понятия «прямой угол». При введении перпендикуляра как стороны прямого угла учащимся подчёркивался признак отношения между двумя прямыми. Основным определением перпендикуляра являлось определение его как прямой, которая с другой прямой образует прямой угол. При переходе к изучению перпендикуляра как общей стороны равных смежных углов и затем как высоты треугольника учащимся подчёркивалось, что признак отношений между двумя прямыми сохраняется всюду и вместе с тем на каждом этапе изучения перпендикуляр к прямой приобретает свои особые признаки.

Усвоение отношения как существенного признака понятий

При анализе ранее приведённых фактов неоднократно обнаруживалось, что учащиеся легко вычленяют в геометрических фигурах наглядные признаки (количество углов, замкнутость кривой, наличие центра и т. д.). Гораздо труднее усваиваются ими отношения между геометрическими элементами. Особенно ярко указанная трудность выступает при усвоении тех понятий, существенным признаком которых является признак отношения их к другим понятиям. К таким понятиям относятся: «перпендикуляр к прямой», «биссектриса угла», «высота треугольника» и т. д. Нельзя мыслить перпендикуляр независимо от другой прямой, биссектрису угла независимо от угла и т. д.

Наблюдения на уроках показали, что при введении указанных понятий внимание учащихся специально не направлялось на признак отношения между геометрическими элементами, т. е. им никогда не указывалось, что, например, наклонная, перпендикуляр не существуют сами по себе, без отношения к другим прямым. Понимание этих отношений считалось как само собой разумеющееся.

Так, на уроке в одной из школ автор наблюдал, как ученица не поняла значения признака отношений при усвоении вводимого понятия и сигнализировала об этом учителю, но учитель не сделал соответствующего разъяснения. На уроке вводилось понятие «наклонная к прямой». На доске были начерчены неравные смежные углы.

Учитель. Если смежные углы неравны, то общая сторона их называется наклонной. Запишите. А теперь мы ещё начертим наклонную.

Ученица. А можно чертить наклонную без развёрнутого угла?

Учитель. Почему без развёрнутого? С развёрнутым.

Чертит на доске прямую в том положении, какое обычно занимает наклонная в стандартных чертежах смежных углов.

Учитель. Не подумайте, что это наклонная. Это просто прямая, а вот так проведём наклонную (проводит). Это будет наклонная (см. черт. 19).

Совершенно очевидно, что ученица не поняла основ-

ное, т. е. то, что наклонная должна мыслиться только в отношении «к другой прямой. Именно в этом-то и состоит суть понятия. Для ученицы же вторая прямая (или, как она называла её, «развёрнутый угол») казалась лишней. Однако учитель не уловил смысл заданного ему вопроса и не подчеркнул всему классу, что наклонная сама по себе, без отношения к другой прямой, мыслиться не может.

В экспериментах также обнаружилось, что не все учащиеся усваивают признак отношений между понятиями как существенный признак понятия. Некоторые учащиеся усваивали указанные понятия вне отношений их к другим понятиям и во всяком случае не придавали признаку отношений существенного значения.

Среди фигур, предъявляемых учащимся для узнавания, находились отрезки прямой, начерченные в различных положениях, и смежные углы, у которых тупой угол располагался справа (см. черт. 20).

Слева начерченный отрезок принимался некоторыми учащимися за перпендикуляр к прямой.

Черт. 19.

Черт. 20.

Ученица Ф. (сильная, 626-я школа). Это перпендикуляр, опущен правильно, только никуда не опущен, нет прямой.

Экспериментатор. Если нет прямой, то будет это перпендикуляр? Ф. Пожалуй, нет.

Экспериментатор. Почему же ты думала, что перпендикуляр?

Ф. Так всегда опускают.

Ученик Д. (слабый, 103-я школа). Это перпендикуляр, перпендикуляр — прямая.

Экспериментатор. Что называется перпендикуляром?

Д. Прямая, опущенная из вершины на середину основания.

Экспериментатор. Где же вершина и где основание?

Д. Вершина вот (указывает на верхнюю точку прямой), а основания нет, но его можно начертить.

В ещё большем количестве случаев учащиеся принимали за наклонные следующие два отрезка, показанные на том же чертеже, причём обоснования были аналогичны приведённым выше: «Потому что наклонно лежит», «Наклонно расположена».

Тупой угол в составе смежных углов принимался некоторыми учащимися за внешний угол треугольника.

Ученик Ш. (слабый, 150-я школа). Это внешний угол.

Экспериментатор. Внешний угол чего? Ш. Треугольника.

Экспериментатор. А где треугольник? Ш. Его нет.

Экспериментатор. Так как же без треугольника?

Ш. Тогда смежные углы.

Экспериментатор. А почему ты назвал внешним углом?

Ш. Он снаружи угла.

Ученица Ш. (средняя, 626-я школа). Это внешний угол треугольника, потому что он находится вне угла.

Экспериментатор. Вне треугольника?

Ш. Нет, треугольника здесь нет; если провести сторону, будет треугольник.

Экспериментатор. Почему же ты думаешь, что это внешний угол треугольника?

Ш. Потому что он вне угла и сторона продолжена.

Все полученные факты характеризуются тем, что учащиеся подводили под усвоенное понятие такие фигуры (или геометрические элементы), которые могли им соответствовать, если бы они находились в известных отношениях с другими фигурами (геометрическими элементами). Например, тупой угол мог бы являться внешним углом треугольника, если бы он был образован продолжением одной ив сторон треугольника. Отсутствие необходимого треугольника, а также прямых, которые бы составляли с перпендикуляром и наклонными соответствующие углы, замечалось учащимися, но вместе с тем учащиеся не придавали этому обстоятельству большого значения, удовлетворяясь указанием на то, что каждый из недостающих элементов легко восстановить: «Основания нет, но его можно начертить», «Треугольника кет, но если провести сторону, будет треугольник» и т. д.

Особенно ярко указанное отношение к недостающим элементам чертежа проявилось у ученика Л.

Ученик Л. (слабый, 103-я школа) (говорит про первый отрезок слева). Это прямая, но если бы площадку сделать, то перпендикуляр; если бы угол, — то биссектриса или высота в треугольнике. Это (про второй отрезок) наклонная или гипотенуза.

Экспериментатор. Что такое гипотенуза?

Л. Сторона треугольника.

Экспериментатор. Так это гипотенуза?

Л. Гипотенуза, но ещё нужны два катета.

Экспериментатор. А без катетов можно её назвать гипотенузой?

Л. Нет, так-то нельзя.

Экспериментатор. Почему же ты говоришь, что гипотенуза?

Л. Гипотенуза тоже так лежит. Это (про третий отрезок) тоже гипотенуза, тоже наклонная, а если повернуть, будет высота.

Л. как будто осознаёт, что назвать отрезок гипотенузой нельзя, так как не хватает до треугольника ещё двух сторон. Вместе с тем он недостаточно оценивает и отсутствие их, так как, согласившись, что без катетов ги-

потенузы не бывает, следующий отрезок снова называет гипотенузой.

Недооценка отсутствующих элементов в фигуре с очевидностью свидетельствует о том, что учащиеся не усвоили отношение как существенный признак самих понятий (отношение между двумя прямыми при усвоении перпендикуляра, отношение внешнего угла треугольника К треугольнику и т. д.). Существенный признак этих понятий учащиеся подменили конкретными частными признаками фигур, повторяющимися в стандартных чертежах. Этими частными признаками (положением перпендикуляра и наклонной, формой и положением внешнего угла треугольника) учащиеся оперировали при узнавании показанных фигур. В процессе же определения этих понятий учащиеся формулировали действительно существенные признаки их. Следовательно, здесь снова обнаружился у учащихся тот тип усвоения, для которого характерно наличие разрыва между формулировкой признаков и их фактическим применением.

В школах, где стандартность чертежей была изжита, указанные факты встречались в значительно меньшем количестве. Однако полностью их удалось изжить только при том условии, когда вариативность фигур сопровождалась специальными разъяснениями учителя.

В 150-й школе признаки всех фигур варьировались примерно одинаково. Специальные же разъяснения имели место только при введении понятия «перпендикуляр». В этом случае учащимся разъяснялось и в дальнейшей работе закреплялось, что перпендикуляр сам по себе, без отношения к другой прямой, не мыслится, что признак отношения между двумя прямыми является существенным признаком этого понятия. Оказалось, что учащиеся этой школы не делали указанных выше ошибок применительно к перпендикуляру. В отношении же наклонной и внешнего угла треугольника ошибки имели место у отдельных учащихся.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Заключая главу об особенностях усвоения геометрических понятий, необходимо подчеркнуть следующие положения, вытекающие из изложенного.

Использование одних стандартных геометрических

чертежей является неполноценным использованием геометрической наглядности, влекущим за собой в процессе усвоения геометрических понятий ряд нежелательных последствий, снижающих успеваемость учащихся. В этих условиях объяснения учителя и геометрическая наглядность действуют в разных направлениях, вследствие чего объяснения в значительной мере теряют свою руководящую и организующую силу. Геометрическая наглядность наталкивает учащихся на выделение частных признаков фигур в качестве существенных признаков понятия, вследствие чего процесс абстрагирования (мысленного отвлечения) существенных признаков понятий от частных признаков воспринимаемых фигур вызывает у многих учащихся затруднения. Не преодолевая трудностей абстрагирования, учащиеся усваивают определяемые признаки понятий только в словесном плане, на практике же пользуются признаками, выделенными при восприятии стандартных чертежей. Опираясь на частные признаки фигур в процессе их узнавания, учащиеся неправомерно суживают объём усвоенных понятий.

При усвоении существенных признаков, входящих в содержание понятия, учащиеся скорее и лучше усваивают те из существенных признаков, которые более наглядно выражены в фигурах (замкнутость кривой в окружности и т. д.). Оперируя при узнавании фигур наглядно выраженными признаками в отрыве от совокупности других существенных признаков, учащиеся затрудняются дифференцировать фигуры, сходные по некоторым признакам, но относящиеся к разным понятиям, и вследствие этого неправомерно расширяют объём усвоенных понятий.

Использование стандартных чертежей усиливает отрицательное воздействие житейских терминов, создаёт благоприятные условия для смешения признаков, раскрытых при изучении понятия на разных этапах, каждый из которых характеризуется рассмотрением изучаемого понятия в связи с другим понятием, способствует неправомерному перенесению признаков с одного этапа изучения на другой.

В условиях широкой вариации признаков фигур объяснения учителя и геометрическая наглядность действуют в одном направлении. В этих условиях объяснения учи-

теля организуют учащихся на правильное восприятие чертежа, вследствие чего учащиеся легко абстрагируют существенные признаки, входящие в содержание понятий, от частных признаков конкретных фигур и овладевают умением использовать полученные знания при решении различного рода задач. При вариации признаков фигур, в процессе которой используется нестандартное соотношение между элементами фигур и их нестандартное и несимметричное расположение, у учащихся создаётся богатый запас представлений, при котором объём усвоенных понятий оказывается соответствующим их содержанию (совокупности существенных признаков).

В этой главе затронута только часть вопросов, связанных с изучением процесса усвоения геометрических понятий. В дальнейшем встаёт необходимость изучить процесс усвоения понятий в условиях осуществления широкой связи обучения с окружающей действительностью, в условиях осознания учащимися практической ценности получаемых знаний как с целью понимания особенностей этого процесса, так и с целью выявления лучших форм связи обучения с жизнью.

Большую ценность представляет также изучение того, как у учащихся формируются геометрические понятия и представления в период обучения в начальной школе и в V классе и какую роль играют эти знания в VI классе.

В связи с вопросом о варьировании формы и положения изучаемых фигур возникает вопрос о том, не является ли необходимым в процессе формирования геометрических понятий создавать у учащихся опорные образы фигур. Некоторые методисты и педагоги считают важным, чтобы вновь изучаемое понятие прочно связалось у учащихся с одним образом фигуры, наиболее удобно и легко воспринимаемым, и лишь после этого считают возможным расширять представления учащихся путём варьирования формы и положения изучаемой фигуры. Автор не изучал этого вопроса, однако, основываясь на наблюдениях за усвоением понятий в условиях широкой вариации признаков фигур, склонен думать, что создание опорных образов не является необходимым,

что для учащихся, не имеющих опыта рассматривания геометрических чертежей, одинаково удобно воспринимать новую для них фигуру в любом положении. Практически же ценнее прочно связывать новое понятие не с одним, а с совокупностью образов.

В проведённом исследовании был сделан упор на изучение роли чертежа и на соотнесение чертежа и объяснений учителя в процессе усвоения понятий, тогда как изучению процесса усвоения словесных формулировок уделено мало внимания. Между тем усвоение геометрических определений и других предложений, несомненно, имеет свои особенности и трудности.

Не затронут в книге вопрос и об индивидуальных особенностях учащихся в процессе усвоения понятий, имеющий большое значение в педагогической практике. Поставленные вопросы требуют дальнейших исследований в этой области.

Глава 2

ПСИХОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССА РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ1

Понимание условия задачи и выполнение чертежа

Первое, с чем встречается ученик при решении геометрической задачи,—это с необходимостью усвоить условие и в соответствии с ним выполнить чертёж. Нередко учащиеся не справляются с задачей только потому, что не понимают условия или не могут начертить нужные фигуры. Не каждый учитель, предлагая учащимся решить задачу дома, продумывает условие задачи с точки зрения того, будет ли оно понято учащимися и смогут ли они выполнить нужный чертёж. Например, учащиеся одного класса не смогли решить заданную на дом задачу, так как не сумели построить равносторонний треугольник на боковой стороне равнобедренного треугольника2. Одни из них не понимали, что боковая сторона равнобедренного треугольника принимается за сторону равностороннего треугольника. Другие понимали это, ко не могли себе представить положение равностороннего треугольника.

Существует ряд причин, которые, по нашим наблюдениям, затрудняют понимание условия и выполнение чертежа.

Нередко учащиеся шестых классов не понимают

1 Основные наблюдения и эксперименты по этой теме проводились в 1946/47 и в 1947/48 учебных годах в 528-й школе, в 1948/49 учебном году — в 164-й и 150-й школах.

2 Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. I, 1940, задача № 2, § 3.

условия, краткость изложения которого достигается нанизыванием нескольких придаточных предложений, вынесением конечного вопроса задачи в начало условия и такой формой указания данных, которая рассчитана на догадку учащихся. Перечисленные особенности в изложении условия имеют место в задачах, помещённых в стабильном учебнике. Для экспериментальных целей нами была использована задача, в которой отмеченные особенности получили наиболее яркое выражение: «Определить острый угол, если перпендикуляр, восставленный из его вершины к его биссектрисе, составляет со сторонами его два угла, из которых тупой вдвое больше острого»1.

В этой задаче даны острый угол, его биссектриса и перпендикуляр к биссектрисе, восставленный из вершины острого угла. Но учащиеся должны вычленять перечисленные данные из условия, так как прямых указаний в форме «дано то-то и то-то» нет.

На уроке в 150-й школе эта задача давалась одной половине класса для самостоятельного решения, причём после решения учащимся было предложено написать о трудностях решения.

Некоторые учащиеся из нерешивших задачу написали так:

Ученик Б. Я не понимаю, как это «составляет со сторонами его два угла». С чьими сторонами?

Ученик С. Мне непонятно, какой угол найти; тут много острых углов.

Ученик Е. Я не знаю, где вершина перпендикуляра и как это «к его биссектрисе».

Совершенно ясно, что эти учащиеся запутались в придаточных предложениях и не поняли, о какой вершине и о сторонах чего говорится в условии. И самое характерное, что они не сумели начертить нужные фигуры. Они не понимали, как строить чертёж к этой задаче.

Это же условие, сформулированное короткими фразами, с прямым указанием данных, последовательность расположения которых помогала учащимся правильно построить чертёж, не вызвало затруднений подоб-

1 И. С. Тер-Степанов, Сборник геометрических задач на вычисление, 1912.

ного рода у второй половины учащихся этого же класса1.

Следует сказать, что указанные особенности в изложении условия задач встречались учащимся при решении арифметических задач и там, на знакомом материале, они уже не вызывали особых затруднений. При переходе к решению геометрических задач перед учащимися возникли новые трудности, обусловленные главным образом необходимостью построить чертёж. И в этом случае усложнение формулировки условия создало для многих учащихся большие трудности.

Очевидно, что для учащихся шестых классов, геометрический опыт которых ещё мал, более приемлемым является такое изложение условия, в котором данные указываются прямо и чётко и расположение их соответствует последовательности в построении чертежа.

В некоторых случаях трудность понимания условия вызывалась специфичностью выражений, отражающих геометрические отношения. Не понимая выражения «построить на боковой стороне равнобедренного треугольника равносторонний треугольник», учащиеся пристраивали к равнобедренному треугольнику равносторонний треугольник с размерами, не соответствующими условию (см. черт. 21).

Встретив в задаче выражение «прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла, отсекает от его сторон равные отрезки»2, учащиеся не понимали, какие отрезки на чертеже имеются в виду. Предлагая задачу, содержащую в условии подобного рода выражения, учитель обязан проконтролировать, все ли учащиеся понимают их правильно.

Выполнение чертежа является специфической и новой для учащихся операцией при решении задач. Причиной наибольшего количества затруднений учащихся при выполнении чертежа является недостаточный запас геометрических представлений и их слабая подвижность.

1 «Дан острый угол и его биссектриса. Из вершины угла к биссектрисе восставлен перпендикуляр. Перпендикуляр образует со сторонами острого угла два угла, из которых один тупой, а второй острый. Тупой угол вдвое больше острого. Определить данный острый угол».

2 Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, 1951, стр. 11, зад. 21(1).

Учащиеся справляются с выполнением чертежа, когда требуется начертить знакомую им фигуру: смежные углы, вертикальные углы и т. п. Когда же возникает необходимость соотнести каким-либо образом знакомые фигуры, то это вызывает у них большие затруднения. В начале четвёртой четверти в четырёх наблюдаемых нами классах учащимся была предложена следующая задача: «Два равных тупых угла имеют общую вершину и общую сторону, а две другие их стороны взаимно перпендикулярны. Найти величину тупых углов». Примерно 40% учащихся не смогли выполнить заданный чертёж. Только пользуясь вырезанными из картона двумя тупыми углами, они смогли найти нужное им положение. Вначале же многие учащиеся чертили смежные углы, исходя из признака общей стороны двух углов и общей вершины. Заметив, что один из углов получается острый, они делали вывод, что задача составлена неверно, что она невыполнима.

Ученица Ф. (слабая, 626-я школа). Начертить два тупых угла нельзя, так как если один тупой, то другой будет острый.

Ученица А. (слабая, 164-я школа). Если сторона общая, то углы смежные, но один смежный угол тупой, а другой не бывает тупой.

Привлечение понятия «смежные углы» свидетельствует о слабости анализа условия задачи учащимися. Слабость анализа выражалась в том, что учащиеся вычленяли из условия только один знакомый им признак

Черт. 21.

общей стороны двух углов и пользовались им в отрыве от других данных.

Трудность построить чертёж к этой задаче, очевидно, заключалась и в том, что учащиеся не могли представить два тупых угла в заданном отношении.

Некоторые учащиеся представили себе два равных тупых угла с общей вершиной как вертикальные углы.

Начертить так, чтобы углы одновременно имели и общую сторону, они не смогли. Показательна работа ученика А. (слабый, 103-я школа). На его листке были начерчены два изолированных друг от друга тупых угла, затем на чертеже рядом эти углы были начерчены присоединёнными друг к другу вершинами. Присоединить их же сторонами он не сумел (см. черт. 22). Некоторые учащиеся, наоборот, начертили два тупых угла с общей стороной, но не сумели расположить их так, чтобы при этом и вершина их была общей (см. черт. 23). Очевидно, подчинить расположение углов двум условиям — чтобы они имели общую вершину и общую сторону — представляло для них большую трудность.

Чертежи отдельных слабо успевающих учащихся весьма интересны с точки зрения того, как учащиеся представляют общую вершину и общую сторону двух углов (см. черт. 24). На двух чертежах слева учащиеся начертили тупые углы с общей стороной. Чтобы получить общую вершину углов, один из них соединил пря-

Черт. 22.

мыми вершины углов и точку пересечения прямых принял за общую вершину углов; второй с этой же целью из точки О на общей стороне углов провёл прямую; точку О он тоже принял за общую вершину тупых углов. На последнем чертеже за общую вершину углов принята точка О — точка пересечения двух сторон углов, а прямая AB — за общую сторону углов. Повидимому, в представлении этих учащихся общей вершиной двух углов может быть точка пересечения двух прямых, выходящих из вершин этих углов, а общей стороной их — прямая, соприкасающаяся своими точками со сторонами углов.

Ранее указывалось, что учащиеся во многих случаях не усваивают понятия перпендикуляра к прямой как стороны прямого угла.

В задачах, где встречалась именно эта разновидность перпендикуляра к прямой, учащиеся переживали затруднения при изготовлении чертежа. Покажем характер трудностей при выполнении чертежа к следующей задаче: «Дан угол 140°. Из вершины его к сторонам угла проведены перпендикуляры по внешней области угла. Определить угол между перпендикулярами». Начертив данный угол, некоторые учащиеся сразу же заявили о невозможности проводить перпендикуляры из вершины угла.

Ученик Ц. (слабый, 103-я школа). Из вершины провести перпендикуляры нельзя, так как будет один угол.

Ученица Б. (сильная, 164-я школа). Если из вершины, то будет катет, а не перпендикуляр; перпендикуляр — когда произвольная прямая.

Из 36 учащихся, решавших задачу, у 25 были затруднения при выполнении чертежа. Большинство учащихся проводило перпендикуляры не из вершины угла, а из точек на сторонах углов (см. черт. 25). Приведённые

Черт. 23.

чертежи с очевидностью говорят о том, что учащиеся стремились получить два смежных угла1. Такое же стремление обнаружилось и у тех учащихся (из 25), которые проводили перпендикуляры из вершины угла. Например, ученица К. (средняя, 626-я школа) провела перпендикуляры к сторонам угла из вершины угла, но при этом стороны угла продолжила за его вершину (см. черт. 26). На вопрос, почему она продолжила стороны угла, К. отвечала: «Чтобы было два прямых угла».

Черт. 24.

Черт. 25.

1 На третьем чертеже слева ученица Б. (средняя, 626-я школа) получила острый угол, так как, приложив транспортир, она отсчитала 140° слева.

Ученица И. (слабая, 164-я школа) провела перпендикуляр к стороне угла из вершины угла, но добавила к нему снизу ещё прямую, чтобы образовалось два прямых угла (см. черт. 27).

Нетрудно понять, что необходимость оперировать перпендикуляром к прямой как стороной прямого угла вызывала у учащихся противоречие с определением перпендикуляра как общей стороны равных смежных углов. Это противоречие приняло своеобразную форму у ученика М. (средний, 150-я школа). М. быстро и правильно выполнил чертёж к этой задаче и легко решил её. В беседе после решения он определил перпендикуляр к прямой как общую сторону равных смежных углов. Сторону же прямого угла, показанного отдельно, он не счёл перпендикуляром к прямой: «Это не перпендикуляр, так как не сторона двух равных смежных углов». Тогда экспериментатор обратился к его чертежу и спросил: «Будет ли прямая BF служить перпендикуляром к стороне ВС?»1.

М. Нет, так как нет смежных углов.

Экспериментатор. По условию задачи требовалось провести перпендикуляры к сторонам угла.

М. Я провёл.

Экспериментатор. Ты же говоришь, что BF нельзя считать перпендикуляром.

М. По формулировке нельзя, а раньше я так проводил, и мы считали перпендикуляром.

Черт. 26. Черт. 27.

1 М. проводил прямую BF как перпендикуляр к стороне ВС данного угла ABC.

Таким образам на практике М. овладел понятием перпендикуляра к прямой как стороной прямого угла, но господствующее в классе определение перпендикуляра как общей стороны равных смежных углов создавало у него противоречие в рассуждениях.

В VI классе 518-й школы перпендикуляр к прямой был введён как сторона прямого угла и именно этот вид перпендикуляра к прямой рассматривался как основной. Учащиеся этого класса, выполняя указанный чертёж, ни в одном случае не старались получить смежные углы. Но многие из них, как и учащиеся других школ, испытывали технические затруднения при проведении перпендикуляра к той стороне угла, которая не располагалась горизонтально. Прикладывая деревянный прямоугольный треугольник к этой стороне и вершине угла, они не могли найти его правильное положение. В этом случае причиной затруднений являлась недостаточно разнообразная практика обращения с прямоугольным треугольником и бедный запас представлений о положении прямого угла на плоскости. Проводя перпендикуляр к указанной стороне, некоторые учащиеся говорили, что угол получится острый, «косой» и т. д.

Отмеченные трудности в понимании условия и выполнении чертежа не исчерпывают всех затруднений, которые встают перед учащимися при решении геометрических задач. Некоторые из них возникают в самом процессе решения задачи. К рассмотрению этого вопроса мы и переходим.

АНАЛИЗ ПРОЦЕССА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Операция вычленения простой задачи в процессе решения сложной задачи

Задачи на вычисление условно можно подразделить на простые и сложные. Под простой следует понимать задачу, в условии которой даётся одно понятие и решение сводится к использованию свойства его. Примерами простых задач могут служить следующие:

«Один из смежных углов равен 35°. Найти второй угол».

«В треугольнике ABC угол А равен 70°, угол В равен 60°. Найти угол С» и т. п.

В сложной задаче даётся несколько понятий. Процесс решения сложных задач различен. Однако типичной операцией при решении сложных задач является выделение простых задач. Указанная операция выступает особенно ярко в тех задачах, решение которых сводится к последовательному решению простых задач. Для изучения особенностей её нами были взяты две такие задачи.

Первая. «В треугольнике АБС угол А равен 35°, угол С — 63°. Из вершины угла В проведена биссектриса угла до пересечения со стороной АС в точке D. Найти углы BD А и BDC»1.

Решение этой задачи сводится к решению четырёх простых задач. В первой из них при использовании свойства суммы углов треугольника находится угол В. Во второй при использовании свойства биссектрисы угла находится половина угла В. В третьей вновь используется сумма углов треугольника и находится один из искомых углов. В четвёртой находится второй искомый угол и рациональнее всего через использование свойства суммы смежных углов.

Вторая. «В треугольнике ABC угол А равен 20° л угол С равен 60°. Из вершины угла В проведена биссектриса угла и высота треугольника. Найти угол между биссектрисой угла и высотой треугольника» (см. черт. 29).

Первые две простые задачи сходны с первыми двумя в предыдущей задаче. Последующий ход решения может быть различен. Наиболее рациональный ход рассуждений включает решение ещё двух простых задач: нахождение острого угла в прямоугольном треугольнике и нахождение искомого угла как разности между двумя известными углами.

Чтобы решить указанные сложные задачи, нужно в

Черт. 28.

1 Чертежи к этим задачам учащимся давались готовыми (см. черт. 28).

каждой из них последовательно выделять одну за другой простые задачи и решать их. Операция выделения простой задачи во многих случаях затрудняла учащихся. Затруднения были установлены в экспериментах с учащимися следующим образом. Перед решением сложной задачи учащимся предлагалось решить несколько простых задач, из которых составлялась сложная. Разумеется, числовые данные простых задач не совпадали с данными сложной задачи, и порядок решения простых задач был также изменён. Например, перед решением первой из указанных выше сложных задач учащиеся решали следующие простые задачи.

1. «Один из смежных углов равен 65°. Найти второй угол».

2. «В треугольнике KMN угол К равен 80°, угол M равен 54°. Найти угол N».

3. «Угол KMN равен 142°. MD — биссектриса угла KMN. Найти угол DMN».

Сложная задача предлагалась только тем учащимся, которые правильно (со стороны рассуждений) решали простые задачи. Оказалось, что умение решать изолированные простые задачи совсем не совпадает с умением решать эти же задачи в составе сложной задачи. Из 28 учащихся различной успеваемости, решивших все простые задачи, 20 учащихся затруднялись вычленить ту или иную простую задачу в составе сложной. Причины, затруднявшие вычленение простых задач, оказались весьма разнообразными, что важно учесть в педагогической практике.

Одна из причин заключалась в том, что многочисленность данных создавала у некоторых учащихся растерянность. «Я вначале растерялась,—сказала ученица Д. (средняя, 164-я школа), — тут и высота, и биссектриса, и треугольники; не знала, с чего начать».

Подобная растерянность свидетельствует о неумении

Черт. 29.

проанализировать условие, т. е. быстро понять, какие свойства понятий могут быть использованы при решении этой задачи, какие промежуточные величины нужно определить, чтобы подойти к нахождению искомой величины, к решению основного вопроса задачи. В анализе условия большую роль играют связи, выработанные у учащихся при решении простых задач. Такие связи помогают учащимся выделять простые задачи. Например, в условии задачи даётся треугольник с двумя известными углами. Эти данные должны сигнализировать учащимся о возможности определить третий угол треугольника. Характерно, что в простой задаче, когда давался один треугольник с двумя известными углами, эти данные почти для всех учащихся служили «сигналами» к решению простой задачи. Только в единичных случаях учащиеся не решали её. В сложной задаче эти же данные для некоторых учащихся как бы переставали сигнализировать о возможности найти третий угол треугольника. Очевидно, что учащиеся не вычленяли этих данных из условия с достаточной отчётливостью. Кроме того, решение простой задачи стимулируется не только данными, например, в приведённой задаче двумя известными углами треугольника, но и вопросом задачи— найти третий угол треугольника. В сложной задаче вопрос о нахождении третьего угла, естественно, отсутствовал и наличие двух известных углов должно было стимулировать учащихся на постановку его. Однако не для всех учащихся указанный стимул оказывался достаточным, и вопрос ставился ими только в том случае, когда экспериментатор, действуя распространённым в педагогической практике приёмом наводящих вопросов, помогал вычленить известные и неизвестные углы в треугольнике. После этого учащиеся быстро решали простую задачу. Например, ученица Р. (слабая), приступая к решению первой сложной задачи, останавливается на том, что искомые углы в сумме составляют развёрнутый угол, вспоминает о биссектрисе угла. Её попытки решить задачу оказываются безрезультатными. Экспериментатор предлагает ей вспомнить, что даётся в условии. Р. говорит, что угол А равен 35°, угол С—63°, упоминает о биссектрисе угла В. Воспроизведение этих данных не выводит Р. из затруднений. Экспериментатор усиливает помощь: «Какие углы нам известны и в каком треуголь-

нике?» Р. отвечает правильно. «А какой не известен?»— «Угол В», — отвечает Р. и в тот же момент быстро складывает известные углы, находит угол В и делит его пополам.

Ученик Ф. (слабый), приступая к решению второй сложной задачи, последовательно повторяет все данные, обращает внимание на то, что высота образовала два прямоугольных треугольника, вспоминает, что прямой угол имеет 90°, находит сумму прямых углов и т. д. Экспериментатор просит его ответить, какие углы m треугольнике ABC известны и какие не известны. Ф. правильно отвечает на поставленный вопрос, быстро находит угол В, а затем его половину.

Приведённые примеры говорят о трудности для учащихся поставить промежуточный вопрос при решении сложной задачи. Для выработки такого умения очень полезны упражнения в постановке ©опроса при решении простых задач. Например, учащимся даётся незаконченная задача: «В треугольнике ABC угол А равен 35°, а угол В равен 65°». Предлагается поставить к ней вопрос и найти на него ответ.

В отдельных случаях учащиеся, выделяя в условии задачи два угла, решали не геометрическую задачу (найти третий угол треугольника), а только арифметическую (найти сумму этих углов). Найденная ими сумма не использовалась в дальнейшем. Например, ученица Е. (слабая) рассуждает так: «Нам дано, что угол А равен 35°, а угол С — 63°; надо узнать, чему равны два угла. Они равны 98°, a BD—биссектриса, она образует два смежных угла, их сумма равна 180°—и т. д. Задача — определить неизвестный угол в треугольнике— ученицей Е. не ставится. Можно сказать, что в таких случаях у учащихся функционировали не геометрические, а чисто арифметические связи, т. е. при наличии двух известных величин у них легко выделялась задача — найти их сумму.

У наиболее слабых учащихся арифметические связи, как более ранние и прочные, определяли весь ход решения геометрической задачи. В результате этого получаемые результаты оказывались в полном несоответствии с чертежом.

Например, ученица К. решает первую сложную задачу: «63°+35°=98°; это мы узнали вместе угол А и угол

С, а угол BDA и угол BDC—смежные, они в сумме равны 180°; если от 180° отнять 98°, то получится 82°, это угол В, эти углы смежные; надо от 180° отнять 63°, а 82° разделим пополам; 82°:2=41°, после к 82° прибавим 41°, будет 123°, а теперь от 180° отнимем 123° — и будет 57°; 57°—это угол BDC».

Оперируя геометрическими понятиями и числовыми данными, К., по существу, занимается арифметикой, совершенно не обращая внимания на возникающее несоответствие между её рассуждениями и чертежом; она не видит, что углы Л, В и С не входят в состав смежных углов, что вычитание суммы углов Л и С из суммы смежных углов не может привести к нахождению угла В и т. д.

Ученица П. при решении второй задачи, правильно выделив угол В, в дальнейшем решении производит вычисления, совсем не соответствующие расположению фигур на чертеже: «Угол В равен 100°, теперь найдём угол К BD; угол D прямой, а угол К острый, от 100° отнимем 90°, получится 10°, угол К=10°».

П. не видела, что угол В и угол D принадлежат разным треугольникам, и не подумала, почему, вычитая угол D из угла В, она получит угол К. В основе её решения лежало чисто арифметическое знание: если из двух величин одна больше другой, то можно определить разность между ними.

Умение выделить простую геометрическую задачу при решении сложной задачи имеет огромное значение, но оно ещё не обеспечивает полностью решение последней.

Важно, чтобы выделенная простая задача являлась необходимой для решения сложной задачи. В ряде случаев учащиеся выделяли простые задачи, которые являлись ненужными для решения взятых сложных задач, а в некоторых случаях даже лишёнными смысла. Например, ученица Д. (слабая) при решении первой сложной задачи находит угол В в данном треугольнике, а затем выделяет задачу: «Мы нашли третий угол В, теперь найдём вместе угол Л, угол В и угол С». Определив половину угла В, ученица Д. снова решает подобную задачу: «Нам теперь известны угол Л, угол С, половина угла В и половина угла В, надо найти все их вместе, надо их сложить». Выделенные ученицей задачи не имеют никакого

смысла, так как их вопросы направлены на поиски уже известных величин.

Выделение лишних задач часто сопровождает поиски правильного пути в решении задачи и всегда свидетельствует о том, что ученик или «не заглядывает» в решении вперёд, или «заглядывает» неверно, или совсем не оценивает значение выделенной простой задачи для общего хода решения, или оценивает неправильно. Подобное явление обнаружено психологами при решении арифметических задач и расценивается ими как отсутствие умения заглядывать в решении вперёд.

В тех же педагогических условиях более сильные учащиеся достаточно быстро овладевают умением решать сложные геометрические задачи. Основой этого умения является образование у них прочных геометрических связей между имеющимися данными и решением определённых задач. Образованные связи функционируют у этих учащихся как при решении изолированных простых задач, так и при решении их в составе сложных. Такие учащиеся не затруднялись в выделении простых задач, и у них легко возникал общий план решения. Например, сильная ученица Ш., прочитав условие первой сложной задачи и попутно рассмотрев чертёж, сразу же решает первую простую задачу, затем вторую и так без всяких затруднений до конца. В беседе она говорит: «Задача лёгкая, сразу всё ясно, раз известны два угла, легко найти третий, а тут биссектриса и можно найти половину угла, а потом ясно, что тут треугольники — два треугольника; можно было взять и тот треугольник, ABD, и всё равно найдёшь угол, а тут смежные углы, в сумме 180°, и ясно, как найти второй угол».

Аналитико-синтетическая деятельность Ш. при чтении условия задачи осуществлялась правильно. Ш. легко расчленила условие задачи на его составные части (анализ) и таким образом выделила известные величины. Затем она правильно объединила их для решения простых задач (синтез). При этом Ш. хорошо понимала, в какой последовательности нужно решать простые задачи и какие свойства фигур нужно было использовать.

Решение сложных геометрических задач связано с умением рассматривать чертежи. Нередко выделение простой задачи затрудняло учащихся потому, что они не видели на чертеже нужную фигуру. Особенно трудно уз-

наются учащимися фигуры, положение и форма которых оказываются нестандартными. В чертежах к указанным задачам учащиеся иногда не усматривали смежных углов или внешних углов треугольников.

Ученица Р. (слабая). Не видела смежных углов, потому что в треугольнике; если бы не было сторон AB и ВС, то я бы сказала, что смежные.

Ученица К. (слабая). Я думала, что раз треугольник, то и внешних углов внутри не бывает.

Ученица Б. (слабая). Не было бы стороны AB, сразу было бы видно, что внешний угол треугольника.

То, что учащиеся не видели нужную фигуру на чертеже, и являлось во многих случаях причиной неумения решить задачу, или уклонения от верного пути, или решения менее рациональным способом. Учащиеся тех школ, в которых господствовало применение стандартных чертежей, испытывали большие трудности при рассмотрении чертежа. Опыт систематических упражнений в рассматривании сложных чертежей, осуществлённый в 150-й школе, принёс самые положительные результаты: учащиеся стали «геометрически» наблюдательны, быстро ориентировались в чертежах. Не раз на уроке наблюдалось, что при решении задач неожиданно для учителя учащиеся выделяли на чертеже такие фигуры и такие соотношения между ними, которых ещё не успел заметить и сам учитель.

При анализе решения сложных задач обнаружился психологически интересный факт: слабоуспевающие учащиеся проявляли своеобразную инертность мыслительного процесса, в силу которой они решали простую задачу тем же самым способом, какой ими был применён при решении одной из предшествующих простых задач, хотя в данном случае этот способ оказывался нерациональным.

Например, при решении первой задачи учащиеся, определив один из смежных углов путём складывания двух известных углов треугольника и вычитания их суммы из суммы углов треугольника, находили второй смежный угол таким же путём, т. е. пользовались суммой углов второго треугольника, хотя проще было бы определять второй угол как смежный известному. При этом выяснилось, что такой путь решения учащиеся избирали и в тех случаях, когда они хорошо видели смежные углы и зна-

ли их свойство. Даже в том случае, когда экспериментатор перед решением задачи намеренно обращал внимание учащихся на то, что в чертеже имеются смежные углы, и удостоверялся в знании их суммы, учащиеся не перестраивали путь решения.

Такого же рода инертность мысли проявлялась у учащихся при нахождении острого угла в прямоугольном треугольнике при решении второй задачи. Учащиеся, как правило, складывали известный острый угол с прямым углом и .вычитали полученную сумму из 180°, вместо того чтобы использовать известную им сумму острых углов в прямоугольном треугольнике.

На вопрос, почему выбирался более длинный путь решения, учащиеся давали ответы, явно указывающие на то, что длинный, но проторённый путь решения казался им легче.

Ученица К. Потому что как первый угол находила, так и второй.

Экспериментатор. Наверно, ты забыла, что эти углы смежные?

К. Нет, не забыла, но так легче, потому что два известных угла, нужно их сложить и от 180° вычесть.

Экспериментатор. Почему же легче? Разве два действия делать легче, чем одно?

К. Потому что сразу... я так хотела... не знаю.

Ученица Б. Сразу увидела другой треугольник и сразу подумала, как надо решить.

Экспериментатор. Разве смежных углов не видела?

Б. Видела, но решала с треугольником.

Повидимому, слабоуспевающим учащимся трудно использовать новый способ действия в условиях, когда применим старый, более привычный для них способ. Чтобы устранить указанную инертность мыслительного процесса, нужны специальные упражнения на оперирование различными способами нахождения неизвестных геометрических величин.

Достаточно частым явлением, затрудняющим вычленение простой задачи, является забывание известных величин. Чаще всего забывание наблюдается в тех случаях, когда известные величины используются не в начале решения и не сразу после их нахождения, а через некоторое время, в течение которого находятся другие величи-

ны. Так, при решении второй сложной задачи учащиеся находили углы, составляющие половину угла В, но не пользовались ими сразу после их нахождения. Когда наступал момент выделения последней задачи (нахождение искомого угла как разности между половинным углом В и углом, составляющим часть его), оказывалось, что учащиеся забывали про известный им угол, составляющий половину угла В, а поэтому выделить нужную задачу не могли. Забывание резко снизилось, когда учащимся было предложено по мере нахождения углов утолщать стороны известных углов в области их вершин или проводить дуги в знак того, что угол известен.

В некоторых случаях известная величина воспринималась учащимися как известная только в составе определённой геометрической фигуры. Она же при рассмотрении её в составе другой фигуры воспринималась учащимися как неизвестная. Например, при решении второй задачи учащиеся пользовались известным по условию углом С, чтобы определить третий неизвестный угол треугольника ABC. Когда через некоторое время появлялась необходимость использовать тот же угол С как известный острый угол прямоугольного треугольника DBC, учащиеся считали угол С неизвестным, забывая, что он уже был ими использован. На вопрос, почему происходило забывание, учащиеся давали следующие ответы:

Ученица Б. (слабая). Потому что угол С был в треугольнике ABC, а тут маленький треугольник, и я забыла, думала, что неизвестный.

Ученица М. (слабая). Я забыла, что угол С равен 60°, думала, что неизвестный, потому что он равен 60° в треугольнике ABC, а в треугольнике DBC он тоже равен 60°, а я забыла, думала, что он неизвестный.

Ученик Ф. (слабый). Если бы треугольник ABC, я бы не забыл про угол С, вспомнил бы, а тут другой треугольник, и я забыл.

Забывание учащимися угла С как известного утла объясняется трудностью отнести его к другому треугольнику, мыслить его одновременно известным и в одном и в другом треугольнике. Когда учащиеся мыслят тот или иной геометрический элемент в составе одной фигуры, отнесение его же к другой фигуре требует переосмысливания его значения, переключения его из одной системы отношений в другую систему. Как будет показано даль-

ше, операция переосмысливания фигур и их элементов вызывает трудности в процессе решения задач у многих учащихся.

И, наконец, последнее, на что необходимо указать при рассмотрении вопроса о трудностях выделения простых задач из состава сложной: выделение простой задачи иногда неправомерно определяется особенностями чертежа, которые зависят от точности его выполнения. Например, многие учащиеся, решая вторую задачу, принимали треугольник КВС за равнобедренный, так как он таким казался им на чертеже, а высоту BD—за биссектрису угла КВС. В соответствии с этим они выделяли задачи: найти искомый угол (угол KBD) как половину угла КВС или найти угол КВС, если углы при основании равнобедренного треугольника равны по 60°. Некоторые ученики, приступая к решению задач, принимали угол В за прямой, так как на чертеже он казался им прямым. Исходя из этого, они находили половину его и т. д.

Выделение задач «по чертежу» (назовём это явление так, поскольку учащиеся исходили из того, что они видели на чертеже, не обращаясь к условию задачи) в значительной мере отвлекало учащихся от правильного решения. Надо принять во внимание, что это весьма распространённое явление при решении задач учащимися VI класса. Так, из 27 учащихся, подвергавшихся исследованию, 18 учеников выделяли задачи «по чертежу», причём некоторые из них при решении одной сложной задачи выделяли по 2—3 задачи «по чертежу». В том факте, что учащиеся строили простую задачу, исходя из особенностей чертежа, не связанных с условием сложной задачи, проявляется особое отношение учащихся к геометрическому чертежу, которое можно характеризовать исключительной доверчивостью их к чертежу и отсутствием потребности сопоставить чертёж с условиями задачи. Вопрос об отношении учащихся к условию задачи и чертежу в процессе решения задач и приёмах, способствующих устранению подобных ошибок «по чертежу», был изучен автором в специальной серии экспериментов, результаты которой изложены дальше.

Многообразие причин, затрудняющих операцию выделения простой задачи при решении сложной задачи, говорит о необходимости тщательно изучать процесс ре-

шения каждого ученика, не справляющегося самостоятельно с решением задач в классе и дома, вскрывать причины его трудностей и соответствующими приёмами и упражнениями устранять их.

Операция переосмысливания фигур в процессе решения задач

Процесс решения геометрических задач требует от учащихся умения рассматривать геометрическое явление с разных сторон, относить один и тот же геометрический элемент к различным фигурам, одну и ту же фигуру к различным понятиям. Такого рода мыслительные операции затрудняют учащихся, что иногда обнаруживается и при усвоении понятий, когда возникает необходимость посмотреть на знакомую им фигуру под другим углом зрения.

Например, учащиеся усваивают, что угол образуется двумя лучами, выходящими из одной точки. Если перед ними ставится вопрос, можно ли сказать, что две прямые, пересекаясь в одной точке, образуют угол, то некоторые учащиеся отвечают на этот вопрос отрицательно, так как, во-первых, они привыкли думать про стороны угла только как про лучи, выходящие из одной точки, а во-вторых, с понятием «пересекаться» у них связываются такие случаи пересечения прямых, когда прямые продолжаются за точку пересечения.

При решений некоторых задач перед учащимися встаёт необходимость рассматривать одну и ту же фигуру з плане двух (а иногда и больше) понятий. Изучение того, как учащиеся совершают переход от одного понятия к другому, проводилось на двух следующих задачах.

Первая. «Пересечением двух прямых образованы две пары вертикальных углов, из которых одна пара втрое больше другой. Определить углы»1.

На чертеже к этой задаче углы являются попарно вертикальными углами (первое понятие), и одновременно все они являются углами с общей вершиной, расположенными вокруг неё (второе понятие). Решение этой задачи при использовании указанных понятий требует от

1 А. А. Лямин и Т. Ф. Сваричевский, Методический сборник задач на вычитание, 1913.

учащихся выполнения операции переосмысливания данных углов, т. е. перехода от первого понятия ко второму.

Вторая. «Параллельные прямые AB и CD пересечены третьей прямой EF. Один из внутренних углов равен 130°. ОМ—биссектриса этого угла. Определить углы, которые образует биссектриса ОМ с прямой CD»1.

В этой задаче двум понятиям соответствует прямая ОМ. Она одновременно является биссектрисой угла (первое понятие) и пересекающей параллельные прямые (второе понятие). В обеих задачах первое понятие даётся по условию прямо; для использования вторых понятий непосредственного основания в условиях нет.

Чтобы исследовать, как выполняется учащимися операция переосмысливания фигур и какие трудности возникают у них в процессе решения, нужно было по возможности исключить из процесса решения другие трудности. С этой целью перед решением взятых задач учащимся давались для решения простые задачи, каждая из которых требовала умения оперировать в отдельности первыми и вторыми понятиями. Решение простых задач должно было показать, умеет ли ученик оперировать понятиями, знает ли он хорошо их признаки. Перед решением первой задачи учащимся давались следующие простые задачи.

1. Один из вертикальных углов равен 64°. Чему равен второй угол?

2. Из точки О выходят три луча, образующие три равных между собой угла. Определить эти углы.

Эти задачи требовали умения оперировать понятием

Черт. 30.

1 Задача взята из задачника Рыбкина (1940, стр. 12, § 4, №2). В задачу внесены изменения: упрощены числовые данные, более резко оттенены данные понятия. Так как учащиеся, которых исследовал автор, решали указанную по задачнику задачу, чертёж был дан в повёрнутом виде (см. черт. 30).

вертикальных углов и понятием углов с общей вершиной, расположенных вокруг неё. При решении их от учащихся требовались подробные объяснения.

Первая задача, требующая операции переосмысливания, является типовой задачей на части. Чтобы не получилось затруднений по той причине, что учащиеся попросту забыли, как решается задача на части, кроме двух указанных простых задач, была дана ещё третья простая задача, в которой требовалось определить величину смежных углов, если отношение между ними равнялось 2:1.

Перед решением второй задачи учащиеся решали две простые задачи, одна из которых была на применение понятия биссектрисы угла, а вторая —на применение понятия пересекающей параллельные прямые и понятия внутренних накрест лежащих углов.

В результате проведённых исследований выяснилось, что наиболее сильные учащиеся справляются с операцией переосмысливания фигур без особого труда. Остальные же учащиеся при выполнении её испытывают трудности. Трудности проявлялись в процессе решения в двух формах. Большинство учащихся, использовав первое понятие, не осознавало возможности осуществить переход ко второму понятию. Причём интересно отметить, что для некоторых учащихся план решения задачи был ясен. Остановимся, например, на рассуждениях ученицы Г. (слабая) при решении первой задачи.

Г. Дано: угол АОС и угол DOB вертикальные, угол AOD и угол СОВ вертикальные. Угол АОС и угол DOB втрое больше, чем угол AOD и угол СОВ. Определить угол АОС, угол DOB, угол AOD и угол СОВ (пауза). Вертикальные углы равны. Эта задача на части, всего одна плюс три—будет четыре части. А как же находить, чему равна часть? Неизвестна ни эта пара, ни эта пара, ничего неизвестно, в смежных углах была известна сумма, здесь ничего не известно.

Г. не знает, как найти выход из затруднения. План решения задачи ей ясен, это — задача на части. Но где взять суммарную величину градусов, от которой нужно находить одну часть, она не знает. Никакого намёка на переход ко второму понятию в её рассуждениях нет.

В иной форме проявлялись затруднения у других учащихся.

Ученица Ф. (средняя, решала вторую задачу). Дано, что AB параллельна CD, EF—секущая, угол БОК равен 130°, ОМ—биссектриса. Нужно найти углы OMD р ОМК. Эти углы в сумме составляют 2d (180°), угол ОМК и угол OMD равны 2d; когда провели биссектрису, образовался равнобедренный треугольник ОКМ, угол ОМК острый, а рядом — тупой; острый будет меньше (пауза).

Экспериментатор. Повторите, что дано по условию.

Ф. Дано, что AB параллельна СД, EF—секущая. А! Теперь поняла, потому что угол КМО и угол ВОМ... если возьмём эту биссектрису... Да, ведь это биссектриса, не секущая. Ну что ты будешь делать!

В отличие от Г., которая не догадывалась при решении первой задачи посмотреть на вертикальные углы, как на углы с общей вершиной, Ф. при решении второй задачи поняла, что нужно использовать равенство внутренних накрест лежащих углов КМО и ВОМ. Назвав указанные углы, она решила рассказать, как они образованы. И тут, вместо обычной секущей, которая образует с параллельными линиями углы, Ф. наткнулась на биссектрису угла. Это обстоятельство поставило Ф. в тупик. Именно то, что прямая оказалась биссектрисой угла, заставило её отказаться от выполнения правильно намеченного плана решения. Ф. затруднилась выполнить операцию переосмысливания, и только с помощью наводящих вопросов экспериментатора она смогла преодолеть трудность.

Анализ процесса решения и бесед, которые проводились после решения с каждым учащимся, показал, что основная причина, затруднявшая осуществление перехода от одного понятия к другому, заключалась в тормозящем воздействии первого понятия. Именно потому, что геометрическая фигура была дана учащимся как фигура, отнесённая к определённому понятию, учащимся или не приходило в голову относить её ещё и к другому понятию, или, если процесс решения наталкивал их на такую возможность, они оказывались не в состоянии реализовать её. Воздействие первых понятий нашло яркое отражение в ответах учащихся на вопрос, почему они сами не видели, что углы имеют общую вершину или что ОМ есть секущая.

Ученица И. Не знаю, вот казалось—вертикальные углы и вертикальные.

Ученица 3. Я не знала, что две пары вертикальных углов — это углы, имеющие общую вершину. Я думала, что вертикальные углы есть только вертикальные, и мы иначе не проходили.

Ученица Т. Я думала, что это только биссектриса, а уж потом догадалась, что она секущая.

Ученица М. Потому что она дана биссектрисой; если бы было отдельно, как EF, а то она и биссектриса и секущая; сразу трудно.

Эти ответы красноречиво говорят о том, что для учащихся привычно было рассматривать каждую фигуру в плане только одного понятия. Между тем с фактами одновременного соответствия фигуры нескольким понятиям учащиеся встречались. Достаточно вспомнить теорему о свойствах равнобедренного треугольника, биссектриса угла при вершине которого одновременно является медианой и высотой треугольника. Но очевидно, что на такие факты внимание учащихся специально не направлялось, а главное, эти факты оказались необобщёнными, т. е. учащимся не было сказано в общей форме, что в геометрии одна и та же фигура может часто соответствовать разным названиям (понятиям). В связи с этим уместно напомнить афоризм, что «математика есть искусство называть одно и то же разными именами и разные вещи называть одним и тем же именем»1.

Как выяснилось далее, трудности перехода ко второму понятию вызывались и тем, что соответствующие им фигуры имели необычную форму и положение на плоскости. Учащиеся привыкли видеть углы с общей вершиной, расположенные вокруг неё, и секущую в определённом виде: чтобы углов было не менее пяти, чтобы секущая продолжалась за точки пересечения. В рассматриваемых фигурах указанные несущественные признаки отсутствовали, и их отсутствие мешало учащимся совершать операцию переосмысливания. Эту трудность учащиеся также отметили в своих высказываниях после решения.

Ученица С. Я не знала, что вертикальные углы —

1 Цитирую по статье Б. Журавлёва «О математическом зрении» в журнале «Математика в школе» (1940, № 5, стр. 73).

это углы, имеющие общую вершину; я думала, что углы, имеющие общую вершину, только вот такие углы (см. черт. 31).

Ученица М. Тут они (углы с общей вершиной) расположены так, как расположены вертикальные, а поэтому незаметно, что вершины их расположены в одной точке. Вот в таком чертеже (чертит углы, как и С.) сразу же видна точка и углы вокруг неё, а тут (показывает на вертикальные) я не могу выразиться: там они выделяются вокруг точки, а тут нет.

Ученица Е. Я подумала, что ОМ — секущая, но не твёрдо; она не так расположена (повёртывает чертёж, чтобы параллельные линии заняли горизонтальное положение).

Ученица К. Я думала, что EF — секущая, а ОМ не считала совсем за секущую, просто считала прямой, потому что она маленькая.

Несущественные признаки (расположение углов с общей вершиной, их число, длина секущей и т. п.), на которые опирались учащиеся при узнавании фигуры, представляют собой часто повторяющиеся признаки стандартных фигур. В силу своей повторяемости эти признаки неправомерно приобрели для учащихся значение существенных признаков понятий и мешали учащимся переосмысливать фигуры. Даже такой несущественный признак, как количество секущих, оказал своё влияние на признание ОМ в качестве секущей.

Экспериментатор. Почему же ОМ было трудно принять за секущую?

Ученица Б. Потому что уже есть секущая.

Экспериментатор. Разве таких задач, чтобы было две секущих, не было?

Ученица Б. Нет, не было; одна — секущая, а другая—перпендикуляр или биссектриса, а двух секущих не было.

И, наконец, третье, что являлось причиной затруднений при выполнении операции переосмысливания — это изолированное усвоение родственных понятии. Понятие

Черт. 31.

вертикальных углов является частным случаем углов с общей вершиной, расположенных вокруг неё. Отношения между этими понятиями учащимся не раскрывались, поэтому они не устанавливали, что общая вершина углов является общим признаком обоих понятий. Вследствие этого они и не усматривали общей вершины у вертикальных углов.

Ученица С. Я не могла понять, что это тоже общая вершина и вокруг неё углы; теперь я это отлично понимаю.

Экспериментатор. А раньше как же понимала?

Ученица С. Я понимала, что они образованы от пересечения двух прямых.

Ученица М. Я раньше думала, что две линии пересекаются в одной точке.

Экспериментатор. В чём же были трудности?

Ученица М. Я думала, что углы только вертикальные, и просто не обращала внимания, что тут точка и углы вокруг неё; я думала, что пересекаются линии... так ведь всегда чертим (показывает, как чертятся вертикальные углы).

Объективно условия видения общей вершины у вертикальных углов и у углов с общей вершиной, начерченных учащимися (см. черт. 31), одинаковы. Между тем в одном случае учащиеся видели общую вершину, а в другом она ими не выделялась. Объясняется это тем, что при изучении углов с общей вершиной педагог обращал внимание учащихся на общую вершину. При изучении же вертикальных углов на точку пересечения прямых как на общую вершину углов внимание учащихся не направлялось. Учащиеся самостоятельно не переосмыслили точку пересечения прямых, не придали ей значения общей вершины углов, а поэтому вертикальные углы не отнесли к углам с общей вершиной, расположенным вокруг неё.

Чтобы устранить трудности при выполнении операции переосмысливания, следует обращать внимание учащихся на случаи соответствия фигур двум и более понятиям, указывать на возможности таких случаев при решении задач, ввести необходимое варьирование фигур и, наконец, раскрыть учащимся связи между родственными понятиями. Последнее из указаний, естественно, порождает

вопрос о том, доступно ли учащимся понимание отношений между понятиями. Для решения возникшего вопроса весной 1948 г. опытным педагогом 528-й школы М. И. Гудвилович были проведены экспериментальные уроки, цель которых заключалась в раскрытии связей между видовыми и родовыми понятиями. Были взяты три пары понятий: «прилежащие углы» и «смежные углы»; «углы с общей вершиной, расположенные вокруг неё» и «вертикальные углы»; «равнобедренный треугольник» и «равносторонний треугольник».

Принципиальная сторона методики обучения заключалась в том, что взаимоотношения между понятиями раскрывались учащимся при опоре на наглядность и устанавливались они самими учащимися в процессе активной мыслительной деятельности.

На первом уроке проводилась проверка домашнего задания. Учащиеся выполняли на классной доске необходимые чертежи, давали определения понятий и указывали их признаки. Затем ставилась задача сравнить признаки каждой пары понятий. При выполнении этой задачи учащиеся легко устанавливали различие признаков: смежные углы в сумме равны 180°, а прилежащие не равны; вертикальные углы равны между собой, а углы с общей вершиной не равны — и т. д. Сходство же признаков ими почти не замечалось. Чтобы создать условия, благоприятные для установления сходных признаков самими учащимися, учительница чертила на доске ряд прилежащих углов, последовательно приближающихся к смежным и заканчивающихся смежными углами (см. черт. 32). Не давая никаких разъяснений, она обратилась к классу с вопросом: что можно сказать о прилежащих и смежных углах?

Видя на чертеже, как постепенно увеличивалась сумма прилежащих углов и как в конце концов это привело к тому, что прилежащие углы обратились в смежные, учащиеся легко выделили общие признаки этой пары понятий.

Черт. 32.

Приведём типичные ответы учащихся и отметим, что активность их на уроке была максимальной.

«Оказывается, смежные углы принадлежат к прилежащим углам».

«Смежные углы постепенно произошли от прилежащих, у них также общая вершина и общая сторона».

«Смежные углы образовались от прилежащих, у них общая сторона, общая вершина. И у прилежащих то же».

«Смежные углы — это те же прилежащие углы, только смежные углы в сумме равны 180°, а прилежащие не равны, но у них есть и общие признаки».

Ответы учащихся дали возможность педагогу подвести их к обобщению следующего рода: смежные углы можно рассматривать как углы прилежащие, потому что смежные углы имеют общую сторону и общую вершину, как и прилежащие углы. Но у смежных углов есть и собственные признаки: сторона одного угла составляет продолжение стороны другого угла и сумма углов равна 180°.

Аналогичная работа была проведена с парой понятий — углами с общей вершиной и вертикальными углами. Учительницей был начерчен ряд постепенно изменяющихся углов с общей вершиной, переходящих в вертикальные углы (см. черт. 33). Учащиеся самостоятельно указали их общий признак—общую вершину углов.

На дом было дано задание начертить такой ряд равнобедренных треугольников, чтобы изменение сторон их привело к образованию равностороннего треугольника, перечислить общие признаки треугольников и найти частные признаки равностороннего треугольника.

Проверка домашнего задания на следующем уроке показала, что оно было посильным для всех учащихся. На этом же уроке были перенесены в тетради ряды изменяющихся фигур и записаны сделанные обобщения. Конечно, заучивать сделанные обобщения учащимся не предлагалось.

Черт. 33.

Через две-три недели после указанных уроков учащимся этого класса (в индивидуальных экспериментах) была предложена задача с вертикальными углами, вызвавшая затруднения у большинства учащихся других классов в конце прошлого года. На этот раз затруднения в переосмысливании фигуры замечались только у отдельных слабых учениц. Все остальные учащиеся легко решили задачу и в беседе указывали на то, что в процессе решения они вспомнили, что две пары вертикальных углов являются одновременно углами с общей вершиной, расположенными вокруг неё, и что их сумма равна 360°. Следовательно, они опирались на знание отношений между понятиями и на знание их общих признаков. Некоторые учащиеся отмечали, что общие признаки понятий они увидели на чертеже.

Ученица Д. Я посмотрела на чертёж и увидела общую вершину всех четырёх углов.

Ученица К. Видно, что вершины углов расположены в одной точке... Я посмотрела на них и сразу вспомнила, что это углы при одной вершине и сумма всех углов равна 360°.

Повидимому, усвоение общих признаков ещё целиком опиралось на восприятие чертежа, т. е. имело наглядную основу. Учащимся нужно было воспринимать фигуру, чтобы видеть в ней признаки второго понятия.

Характерно, что трудности отдельных слабых учащихся на этот раз проявлялись не столько в переходе к другому понятию, сколько в припоминании, чему равна сумма всех углов, или в припоминании названия фигуры и т. п.

Проведённые опыты показали, что учащиеся VI класса при соответствующей организации педагогического процесса могут мыслить понятия в связях друг с другом, могут, опираясь на восприятие чертежа, устанавливать общие признаки родственных понятий и применять полученные знания при решении задач.

Использование чертежа в процессе решения задач

В использовании условия задачи, в выделении простых задач есть много общего с теми операциями, которые выполняются учащимися при решении арифметических задач. Использование геометрического чертежа есть

сложный процесс, с которым учащиеся встречаются впервые в VI классе. Естественно, что этот сложный процесс имеет свои особенности и свои трудности. Одна из особенностей, широко присущая учащимся шестых классов, заключается в переоценке роли чертежа, в исключительно большой «доверчивости» к нему. В первое полугодие при решении задач доверчивость учащихся может проявляться в крайней форме. Например, ученик Д. (слабый, 518-я школа)1, решая заданную на дом задачу: «На прямой AB взята точка С, и из неё проведён луч CD так, что угол ACD в 4 раза более угла BCD. Определить величину этих углов»2, взял прямую, на ней точку С, из которой на глаз провёл луч так, чтобы углы соответствовали заданному соотношению, и затем быстро способом частей нашёл, что один угол равен 36°, второй — 144°. На вопрос, как провести проверку результата, Д. взял транспортир и стал измерять начерченные им углы. Оказалось, что один угол был равен 38°, а другой — 142°.

«Неточно, 142° и 38°», — сказал Д. — «Какой же ответ правильнее?» — был задан ему вопрос. — «142° и 38° — это правильно, потому что 142°+38° — будет 180°». — «Но и к 144°+36° — будет 180°». — «Да, значит, правильнее проверять транспортиром, потому что точнее».

Для Д. сделанный им чертёж являлся не просто наглядным средством, помогающим видеть, с какими углами он имеет дело, как расположены углы и т. п. Для него начерченные углы были именно теми углами, которые он должен был определить, а поэтому, с его точки зрения, измерение транспортиром оказывалось более надёжным, чем вычисление.

Ошибка Д. не есть единичное явление. Экспериментируя с учащимися, автор в некоторых случаях давал готовые чертежи к задачам, и тогда нередко учащиеся начинали решение с измерения искомых углов с помощью транспортира.

Односторонняя направленность учащихся на чертёж проявляется особенно ярко при решении таких задач, на чертежах к которым не все фигуры, необходимые для ре-

1 Пример заимствован из наблюдений педагога Н. В. Косаревой.

2 Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, 1940, стр. 6, задача № 21.

шения, даются по условию прямо. Некоторые из них образуются на чертеже в результате соотношения элементов тех фигур, которые даются по условию прямо. Поясним оказанное на конкретных задачах, которые были использованы в экспериментах с учащимися.

Первая. «Даны смежные углы АОС и СОВ. Угол СОВ равен 48°. Через вершину смежных углов проведён перпендикуляр DK к общей стороне ОС. Определить углы, которые перпендикуляр DK образует с другими сторонами смежных углов».

В условии задачи даны прямо смежные углы и перпендикуляр к общей стороне смежных углов. Перпендикуляр к общей стороне смежных углов с другими сторонами их образует вертикальные углы (см. черт. 34). Понятие вертикальных углов является тем понятием, которое не даётся по условию прямо, а используется на основании связей с понятиями, данными прямо.

Вторая. «Даны вертикальные углы АОС и DOB. Угол АОС равен 40°. Из вершины О восставлен перпендикуляр OK к сторонам СО и DO. Определить утлы, образованные перпендикуляром со сторонами АО и ВО» (см. черт. 35).

В этой задаче, наоборот, по условию прямо даются вертикальные углы (и перпендикуляр к одной из прямых). На чертеже же образуются смежные углы. Использование их также имеет основанием связи с понятиями, данными прямо1.

Чтобы совершенно обоснованно пользоваться поня-

Черт. 34. Черт. 35.

1 Сходство задач и чертежей нужно было для того, чтобы при относительно равных условиях сравнить результаты решения.

тиями, которые не даются по условию прямо, надо понимать, что эти понятия связаны с понятиями, данными прямо. В таких случаях принято говорить, что «это вытекает (или следует) из условия». Однако дать пояснение, каким образом это «вытекает» из условия, т. е. сделать переход от непосредственно данных понятий к опосредованно данным, является для учащихся шестых классов достаточно сложным. Например, в первой задаче переход может быть сделан так: стороны смежных углов АО и OB продолжают друг друга, следовательно, AB есть прямая линия. DK есть перпендикуляр, следовательно, это тоже прямая линия. Эти прямые пересекаются в точке О. От пересечения прямых образуются вертикальные углы.

Наблюдая в экспериментальной обстановке, как учащиеся решают взятые задачи, автор ставил целью выяснить, как пользуются учащиеся понятиями, не данными по условию прямо, как осознают они основания для их использования.

Со специальной целью некоторые углы были взяты со столь небольшой разницей в величине, что на чертеже они выглядели равными. В первой задаче угол СОВ имел 48°, а прилежащий к нему угол ВОК — 42°. Во второй задаче угол АОС имел 40°, а прилежащий к нему А OK— 50°. Соображения были таковы: если учащиеся пользуются чертежом в соответствии с условием и осознают, что между фигурами, о которых говорится в условии прямо и о которых прямо не говорится, существуют связи, то «видимым равенством углов» они не воспользуются в решении. Если же учащиеся воспользуются «видимым равенством углов», то это будет говорить о том, что учащиеся пользуются чертежом в отрыве от условия.

При анализе решений выяснилось, что учащиеся не испытывали никаких затруднений, когда пользовались в решении нужными фигурами, не данными по условию прямо. То обстоятельство, что смежные и вертикальные углы не были упомянуты в условии, не вносило никаких затруднений. Другое дело, что во многих случаях учащиеся не видели на чертеже эти фигуры. Вертикальные углы на чертеже к первой задаче не замечались некоторыми учащимися, потому что они были расположены необычным образом. На чертеже ко второй задаче не все учащиеся видели смежные углы, так как внутри одного

из углов проходила прямая и изменяла привычный образ смежных углов.

Когда учащимся в беседе после решения задач было указано на то, что про эти фигуры в условии прямо не говорится, и был поставлен вопрос, откуда может быть известным, что углы вертикальные или углы смежные, то оказалось, что только отдельные, наиболее сильные учащиеся понимали, что эти фигуры связаны с условием задачи. Они в общем правильно указали на понятия, данные прямо.

Ученица А. (решала 1-ю задачу). Сторона AB — прямая, пересекается другой прямой... дан перпендикуляр; это—прямая линия, это—продолжение одна другой.

Ученица С. (решала 1-ю задачу). Потому что перпендикуляр проходит под наклоном к AB, потому что это прямые и проходят через точку О.

Большинство же учащихся не устанавливало никакой связи с условием задачи и при объяснении обращалось непосредственно к чертежу.

Ученица К. (средняя). Это видно на чертеже; это не дано нам, но это видно.

Ученица Л. (сильная). Сразу посмотришь — и видно, что смежные углы.

Ученица А. (средняя). На чертеже видно, что углы вертикальные; по условию они не даны, но это видно на чертеже.

Ученица Т. (слабая). Известно по чертежу: вот так положили чертёж, и линии пересекаются, и видно, что углы вертикальные.

Следовательно, используя фигуры, данные по условию опосредованно, учащиеся не испытывали никакой потребности вспоминать про условие, и то, что они видели фигуры на чертеже, служило для них достаточным основанием для использования. Однако это совсем не означало, что учащиеся не могли понять, что эти понятия связаны с условием. Попросту у них не была воспитана привычка обращаться к условию. Но, как только был поставлен вопрос, можно ли показать из условия, что углы вертикальные (или смежные), т. е. как только мысль учащихся была направлена на условие, все они ответили на вопрос положительно и примерно так же, как учащиеся А. и С. (ом. выше), попытались установить связи между понятиями.

Кроме фигур, данных по условию непосредственно и опосредованно, учащиеся пользовались в решении и такими особенностями чертежа, которые никак не были связаны с условием. Причём они пользовались не только кажущимся равенством указанных углов, но и «равенством» других углов. Так, при решении первой задачи {см. черт. 34) многие учащиеся сочли за равные углы AOD и СОВ, AOD и DOC, АОС и DOB, АОС и АОК. При решении второй задачи, кроме того, что учащиеся принимали АО за биссектрису угла СОК, они принимали угол АОК за равный углу DOB, затем за равный углу KOD и т. д.

Ошибок подобного рода было достаточно много (18 учащихся сделали 22 ошибки), причём в большем количестве они допускались слабыми учащимися.

Когда перед учащимися ставились вопросы, почему они считают углы равными, откуда известно, что они равны, дано ли это по условию, то выяснилось, что основанием для использования равенства углов служил всё тот же чертёж.

1. Экспериментатор. Почему ты считаешь, что угол СОВ равен углу ВОЮ

Ученица С. (средняя). По чертежу так получается... можно измерить транспортиром.

2. Экспериментатор. Почему ты считаешь OB биссектрисой угла СОЮ (1-я задача.)

Ученица С. (слабая). Потому что она делит угол пополам.

Экспериментатор. Откуда же это известно? С. По чертежу.

Экспериментатор. А по условию? С. Это не дано.

Экспериментатор. Если по условию не дано, что OB — биссектриса, можно её считать биссектрисой?

С. Можно, потому что OB делит угол СОК пополам.

Подобный характер носили ответы и других учащихся.

Таким образом, учащиеся пользовались фигурами, данными по условию опосредованно, и особенностями чертежа, не связанными с условием, на одном и том же основании, а именно на основании непосредственного видения их на чертеже. Это говорит о том, что в процессе, решения задач учащиеся VI класса широко используют чертёж а отрыве от условия задач.

Чтобы предупредить и устранить использование чертежа в отрыве от условия задачи, нужно воспитать у учащихся правильное отношение к чертежу. Для этого необходимо увеличить практику обращения учащихся с чертежом, разъяснять им, что при решении задач на вычисление чертёж делается в полном соответствии с условием, однако точность его выполнения только приблизительная. Поэтому принимать всё имеющееся на чертеже как за данное нельзя. Нужно научить учащихся пользоваться чертежом в соответствии с условием. Несомненно, при этом самое трудное для учащихся заключается в том, чтобы научиться понимать, что вытекает из тех данных, которые даются по условию прямо, и научиться отделять на чертеже то, что дано по условию, от того, что только «кажется», что не связано с условием задачи. Условием такого отделения, или дифференцирования, является понимание того, как связаны между собой понятия, данные по условию непосредственно, с понятиями, определяемыми условием опосредованно. Законно возникает вопрос: могут ли учащиеся устанавливать связи между указанными понятиями? Чтобы выяснить поставленный вопрос, с учащимися было проведено пять экспериментальных занятий в форме уроков, на которых был произведён анализ ошибок учащихся при решении задач и затем были раскрыты связи между понятиями. На этих занятиях были использованы другие задачи, так как приведённые выше служили в качестве контрольных задач после экспериментальных занятий. На первом занятии была использована следующая задача: «Угол АБС равен 130°. Из вершины его к сторонам угла восставлены перпендикуляры, идущие по внешней области угла. Определить угол между перпендикулярами к сторонам угла». Чертёж на доске был дан готовым (см. черт. 36). Некоторое время учащиеся решали задачу самостоятельно. Когда в решении отдельных учащихся явно наметилось ошибочное использование чертежа, они были вызваны к доске. Одна из учениц исходила в решении из ошибочно усмотренного равенства трёх тупых углов: угол АБС— =углу АВК=углу DBC. Она нашла сумму этих углов (130X3) и вычислила искомый угол, отняв из полученной суммы данный по условию угол и два прямых угла.

Вторая ученица продолжила сторону ВС за вершину В

и продолжение стороны приняла за биссектрису прямого угла ABD, мотивируя тем, что при наложении острые углы совпадут.

Ошибочные решения были записаны на доске, рядом было записано правильное решение, и был произведён сравнительный разбор их, в процессе которого были вскрыты причины ошибок учащихся. Тут же было отмечено, что в правильном решении была использована фигура, о которой в условии прямо не сказано (углы с общей вершиной, расположенные вокруг неё). Связь этой фигуры с фигурами, данными по условию прямо, была раскрыта в следующей форме: в условии задачи дан тупой угол и перпендикуляры к сторонам его. Стороны угла — прямые; перпендикуляры к сторонам — тоже прямые. Если несколько прямых исходят из одной точки, они образуют углы с общей вершиной, расположенные вокруг неё.

Проделанная работа создала возможности подвести учащихся к следующему обобщению: в условии некоторых геометрических задач не говорится о всех фигурах, нужных в решении. Надо научиться понимать не только то, что сказано в условии прямо, но и то, что следует (или вытекает) из условия. Перед учащимися была поставлена цель: научиться пользоваться чертежом в соответствии с условием задачи, т. е. научиться отделять фигуры на чертеже, связанные с условием, от фигур, с условием не связанных.

Период обучения продолжался месяц, а затем в индивидуальных экспериментах учащимся были даны для

Черт. 36.

решения старые задачи, но только с той существенной разницей, что решавшие ранее первую задачу теперь решали вторую, и наоборот. Кроме того, каждая ученица решала ещё две новые задачи, на чертежах к которым имелись фигуры, данные по условию опосредованно1.

Как и в старых задачах, на чертежах к этим задачам некоторые углы приближались по своей величине к равным, а некоторые треугольники по длине сторон — к равнобедренным и равносторонним. Решение задач после обучения носило контрольный характер, а поэтому никаких указаний и напоминаний учащимся не делалось.

При решении контрольных задач большинство учащихся, используя фигуры, данные по условию опосредованно, обращалось за обоснованиями к условию. Только отдельные слабые учащиеся продолжали основываться на том, что они видят их на чертеже. Однако изложить логически последовательно, как понятия, данные по условию прямо, связаны с понятиями, данными не прямо.

Черт. 37. Черт. 38.

1 «В прямоугольном треугольнике ABC острый угол А равен 35d. Из вершины прямого угла на гипотенузу проведена высота BD и биссектриса ВК. Определить угол между высотой и биссектрисой» (см. черт. 37).

«В треугольнике ABC из вершины угла А проведена прямая до пересечения со стороной ВС. Доказать, что угол ЛОВ больше угла С» (см. черт. 38).

было трудно для всех учащихся. В их рассказе, как правило, отдельные звенья пропускались, менялись местами друг с другом и т. д. Когда же учащимся ставились конкретные вопросы, которые помогали им устанавливать последовательность в изложении звеньев, то вскрыть эти звенья оказывались способными почти все учащиеся. И это имеет большое значение, так как самое главное в данном случае заключается не в том, чтобы учащиеся умели последовательно изложить обоснования, а в том, чтобы они практически могли разобраться в чертеже и понимали, что на чергеже связано с условием и что с ним не связано.

Анализ решения задач показал, что большинство учащихся научилось правильно понимать чертёж. Ошибки, заключающиеся в использовании особенностей чертежа, не связанных с условием, резко уменьшились. Если до обучения 18 учениц, решив по одной задаче, сделали 22 ошибки, то после обучения эти же учащиеся, решив по три задачи, сделали 14 ошибок, из них 11 ошибок было сделано слабыми ученицами.

Некоторые ошибки были допущены учащимися по «старой привычке», которая оказывалась сильнее полученных знаний. Но как только в беседе учащиеся вспоминали о том, что надо проверять себя условием, они мгновенно понимали, что допустили в решении ошибку. Приведём примеры.

1. Экспериментатор. Почему ты считаешь треугольник ABC равнобедренным? (См. черт. 38.)

Ученица Г. (сильная). По рисунку... по чертежу, а по условию — нет.

Экспериментатор. Из чего же ты исходила?

Г. Из чертежа; это неверно, надо проверять себя условием, я решила неверно (решает снова).

2. Экспериментатор. Почему ты считаешь треугольник ACD равнобедренным? (См. черт. 38.)

Ученица И. (средняя). Потому что сторона AD равна стороне АС.

Экспериментатор. Откуда это известно?

И. Я... потому что я посмотрела — и он равнобедренный.

Экспериментатор. Из условия это вытекает? И. Нет... значит, это неверно; надо по-другому (решает снова).

3. Экспериментатор. Почему ты считаешь треугольник ВСК равносторонним? (См. черт. 37.)

Ученица Т. (слабая). У него все стороны равны.

Экспериментатор. Откуда это известно?

Т. Это в условии не сказано... он не равносторонний.

Отдельные же слабые учащиеся допускали ошибки в решении потому, что ещё не научились различать фигуры на чертеже. Они усвоили необходимость обращаться к условию, но, не умея установить связи между понятиями, чисто внешне связывали с условием и то, что действительно вытекало из него, и то, что совсем из него не вытекало. Например, ученица М. так ответила на вопрос, почему она считает один из треугольников равнобедренным: «В условии сказано, что из вершины А проведена прямая AD до пересечения с противоположной стороной СВ, и отсюда следует, что треугольник равнобедренный». М. не понимала, что из сказанного ею совсем не вытекает, что треугольник равнобедренный. Она усвоила только внешний приём обращения к условию. Внутренние же связи между понятиями остались для неё скрытыми.

Эти факты говорят о том, что правильное отношение к чертежу у некоторых учащихся можно воспитать только длительной и систематической работой. Кроме того, надо учитывать, что и те учащиеся, которые не допускали в решении ошибок, всё же ещё не могли изжить совсем ту «доверчивость» к чертежу, которая стала для них привычной. Когда фигура на чертеже имела стандартный вид, т. е. обычную форму и обычное положение на плоскости, у них не возникала мысль о связи этой фигуры с условием. Например, ученица А. (средняя) решает задачу верно, но в использовании фигур она опирается главным образом на то, как выглядит фигура.

Экспериментатор. Когда ты решала, тебе было понятно, как вытекает из условия, что углы смежные?

А. Это просто видно на чертеже, что углы смежные.

Экспериментатор. Значит, ты не думала, почему углы смежные?

А. Не помню... по-моему, не думала.

Экспериментатор. А ты не боялась ошибиться?

А. Нет, это же сразу видно.

Экспериментатор. А вот одной девочке было видно, что угол АОК равен углу АОС. (См. черт. 35.)

А. Это неверно.

Экспериментатор. Но ведь ей так было видно.

А. Угол СОК прямой... биссектриса в таком положении не бывает, только так (чертит прямой угол и биссектрису его в стандартном положении).

Экспериментатор. Ну, а если угол в таком положении? (Чертит прямой угол и биссектрису его не в стандартном положении.)

А. Но из условия не вытекает, что АО — биссектриса.

Экспериментатор. Верно. Но почему же ты не подумала про условие, когда встретила смежные углы?

А. Потому что они расположены так, как всегда расположены, и поэтому сразу видно, что они смежные.

В дальнейшей беседе выясняется, что А. правильно понимает, как связано образование смежных углов на чертеже с условием. Но в процессе решения она не вспоминает про условие, а опирается на своё непосредственное восприятие фигур. Поэтому она ещё может допускать ошибки, и, действительно, в одной из задач она принимает треугольник за равнобедренный только потому, что он ей таким кажется.

На более высоком уровне были те учащиеся, которые в процессе решения контролировали себя при использовании чертежа условием, а поэтому могли оценивать правильность своих рассуждений и исправлять намечающиеся ошибки.

Например, ученица С. (средняя) при решении одной из задач хотела принять прямую за биссектрису угла, но удержалась от ошибки. Когда С. раздумывала над этим, экспериментатор спросил её, о чём она думает. «Да, — ответила С, — это я думаю неверно; я думаю, что если бы луч OD делил угол пополам, то можно было бы узнать угол AOD и угол DOC».

Под воздействием чертежа у С. возникла мысль принять луч DO за биссектрису угла, но она поняла ошибочность своей мысли и удержалась от ошибки.

В беседе после решения и другие учащиеся указывали на намечавшиеся у них в решении ошибки.

Ученица Б. (средняя). Тут я немного не разобралась с углами; на вид этот треугольник равнобедренный, а на самом деле разносторонний.

Экспериментатор. Каким же ты считала его в решении?

Б. Я думала, что равнобедренный, но не надолго... это не дано и не следует, значит, мы ошибаемся и нельзя думать, что равнобедренный.

Таким же образом предупредила намечавшуюся в решении ошибку ученица Г. (сильная). После решения она сказала так: «Я подумала, что треугольник равнобедренный... потом вспомнила, что по условию не дано и не следует, и не стала так делать».

Опыт обучения показал, что при соответствующем объяснении, как правильно пользоваться чертежом в решении задач, и наглядном сравнении ошибочного и правильного использования чертежа учащиеся VI класса способны научиться различать на чертеже фигуры, определяемые условием и случайные. Только по отношению к некоторым наиболее слабым учащимся необходим индивидуальный подход, в процессе которого следует применять особые упражнения, чтобы достигнуть желаемого результата.

Следует сказать, что воспитание правильного отношения учащихся к чертежу нужно начинать в самом начале года, не оставляя без внимания ни одного случая ошибочного использования чертежа. Между тем, по наблюдениям автора, подобные ошибки учащихся не подвергаются учителями разбору. Только опытная учительница А. В. Виляевская на уроке в VI классе однажды обратила внимание на ошибку ученицы, которая, доказывая теорему о том, что две наклонные, опущенные из одной точки на прямую, равны, если их проекции равны, заявила, что наклонные равны, потому что видно, что они равны. Учительница очень удачно использовала широко распространённый в психологических учебниках рисунок, восприятие которого убедительно показывает, что при некоторых условиях наша зрительная оценка величины предметов может быть искажённой. Она начертила на доске два параллельных друг другу отрезка, с помощью циркуля показала, что они равны, и затем пристроила к ним дополнительные линии, которые резко изменили

Черт. 39.

восприятие длины отрезков (см. черт. 39). Проведённый опыт произвёл большое впечатление на учащихся.

Поставив задачу воспитать у учащихся правильное отношение к чертежу и выработать умение пользоваться чертежом в соответствии с условием, педагог может при решении первой же задачи, на чертеже к которой окажется фигура, данная по условию опосредованно, обратить внимание учащихся на то, что в решении была использована фигура, о которой в условии прямо не сказано, и показать учащимся, каким образом она связана с условием, не требуя от учащихся повторения и заучивания сделанных им рассуждений. В дальнейшем же для достижения цели будут необходимы систематические указания учителя на связи между условием и чертежом и разбор ошибок учащихся.

Рассматривание чертежа в процессе решения задач

Анализ процесса решения задач, результаты которого были изложены в предыдущих параграфах, показал, что, с одной стороны, для многих учащихся шестых классов характерной является направленность на чертёж, на использование его в отрыве от условия задачи. С другой стороны, было показано, что в силу недостаточного геометрического опыта учащиеся не умеют рассматривать чертёж, т. е. часто не видят на нём фигур, которые даются по условию опосредованно и при этом имеют нестандартный вид. Но с ещё большим трудом учащиеся устанавливают на чертеже соотношения между фигурами и элементами фигур. Вспомним, что и при выполнении чертежа учащиеся очень затруднялись передать заданное соотношение между фигурами (начертить два тупых угла с общей стороной и общей вершиной).

Для каждого педагога, преподающего геометрию в средней школе, совершенно понятно, что умение рассматривать чертёж, т. е. видеть на нём фигуры и соотношения между фигурами и их элементами, является одним из основных умений, которые необходимы для решения геометрических задач. Имеются задачи, решение которых по существу сводится к установлению соотношений между фигурами и их элементами. Решение таких задач представляет большую трудность для учащихся. В экспериментах, цель которых заключалась в изучении опе-

рации рассматривания чертежа учащимися, были использованы две подобного рода задачи1.

Первая. «В равнобедренном треугольнике АБС с основанием АС боковая сторона AB продолжена за вершину В на расстояние BD и точка D соединена с вершиной С. Определить АС, если периметр треугольника CDB равен 24 см, а периметр треугольника ADC равен 39 см»2 (см. черт. 40).

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать равенство боковых сторон в равнобедренном треугольнике АБС, мысленно перенести сторону ВС из треугольника BDC на место стороны AB и увидеть, что сумма сторон AD и DC в треугольнике ADC равна периметру треугольника BDC, который дан по условию3. Когда указанное соотношение между сторонами треугольников будет решающему ясно, ему останется найти Л С, вычтя из

Черт. 40. Черт. 41.

1 Эксперименты проводились с учащимися 164-й и 150-й школ в 1948/49 учебном году.

2 Гуль, Сборник геометрических задач, 1940, § 2, задача № 27.

3 Эту задачу можно решить алгебраическим путём, последовательно записав сумму сторон треугольников ADC и BDC и затем произведя вычитание. Но такое решение с точки зрения геометрии не является ценным. Указанная запись должна только оформлять сделанное решение.

суммы сторон треугольника ADC сумму сторон AD и CD. Таким образом, вычислительная сторона в решении этой задачи крайне проста.

Вторая. «В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB равна 14 см; из её середины D проведён к ней перпендикуляр DE до пересечения со стороной ВС, и точка Е соединена с точкой А; периметр треугольника АЕС равен 24 см. Определить длину АС»1 (см. черт. 41).

При решении этой задачи надо установить, что отрезки АЕ и BE являются равными наклонными к прямой AB. Установление равенства наклонных затруднено тем, что о равенстве их проекций в условии говорится косвенно. Установив равенство наклонных, надо увидеть, что сумма двух сторон АЕ и ЕС в треугольнике АЕС равна боковой стороне ВС, которая известна. Как только указанное соотношение элементов установлено, задача оказывается решённой, так как нахождение АС сводится к нахождению разности между периметром треугольника АЕС и суммой сторон АЕ и ЕС.

Таким образом, решение той и другой задачи сводится по существу к умению рассмотреть чертёж и выделить на нём нужные соотношения элементов. Заметим, что указанные соотношения элементов фигур определяются условиями задач, однако, непосредственного намёка на необходимость выполнения этих операций решающий не получает. Это обстоятельство выступало причиной того, что многие учащиеся просто не догадывались сравнивать фигуры на чертеже, находить у них равные элементы, искать ключ к решению в соотношении элементов.

Обратившись к чертежу при решении первой задачи, большинство учащихся с сожалением и некоторым удивлением отмечало, что дан равнобедренный треугольник, а боковая сторона не известна, и ничто не известно, и делать с ним нечего. Отсутствие известной боковой стороны явно смущало их. На вопрос, как же они стали бы решать задачу, если была бы известна боковая сторона, они давали ответы примерно такого типа:

Ученица А. (слабая): «Если известна одна боковая сторона в равнобедренном треугольнике, то можно

1 Н. Рыбкин, Сборник задач по геометрии, ч. 1, 1951, стр. 10, задача № 23.

узнать, чему равна другая, потому что в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны».

Совершенно понятно, что в предшествующем опыте решения геометрических задач у учащихся образовались следующие связи: если известна одна из сторон равнобедренного треугольника и периметр его, то можно найти неизвестные стороны. Эти связи и проявлялись у учащихся при решении взятых задач, поскольку были даны равнобедренные треугольники. Однако воспроизведение этих связей в данном случае не помогало учащимся, так как для решения знакомых простых задач не хватало данных. Использование же равенства боковых сторон равнобедренного треугольника для сравнения длины сторон в разных треугольниках являлось для учащихся совершенно новой операцией, и они не догадывались о её выполнении.

Внимание учащихся в соответствии с прежним опытом решения задач было направлено на числовые данные.

При решении первой задачи учащиеся обратили внимание на то, что известны периметры двух треугольников, и вычленяли задачу: найти разность между ними. Геометрические рассуждения учащихся при решении указанной задачи не являлись правильными, так как полученный результат они не относили к стороне АС, а относили или к сумме сторон AB и АС, или к сумме всех сторон треугольника ABC. Вычитая периметр треугольника BCD из периметра треугольника ACD, учащиеся на чертеже мысленно отсекали треугольник BCD, и тогда в остатке получались стороны AB и АС; или же при отсечении треугольника BCD учащиеся как бы мысленно расщепляли сторону ВС на две части, и тогда в остатке получалась сумма всех трёх сторон.

При решении второй задачи учащиеся находили сторону ВС как боковую сторону равнобедренного треугольника, находили сумму боковых сторон, половину боковой стороны, т. е. использовали известную боковую сторону равнобедренного треугольника для решения различных простых задач, знакомых в прежнем опыте. Рассмотреть же, что отрезки АЕ и BE являются равными наклонными к стороне AB, и установить равенство между суммой сторон АЕ и ЕС и боковой стороной ВС большинство учащихся без помощи не смогло.

Некоторые вычлененные учащимися задачи совсем не соответствовали расположению фигур на чертеже и соотношению их элементов. Например, ученик С. (слабый) находил сумму боковых сторон треугольника ABC, а затем из этой суммы отнял периметр треугольника АБС и результат отнёс к стороне АС. Его действия с числами были оторваны от чертежа.

Таким образом, у учащихся не была воспитана направленность на поиски нужного соотношения элементов фигур. Между тем при некоторой (иногда самой незначительной) помощи многие из учащихся быстро схватывали нужное соотношение элементов — и задача оказывалась решённой.

Интересно отметить, что сами учащиеся, с одной стороны, правильно оценивали трудности решения взятых задач и отмечали, что без помощи они не смогли бы увидеть нужное соотношение фигур.

С другой стороны, эти же учащиеся, не справившиеся с задачами самостоятельно, сидевшие над ними достаточно долго, дружно заявляли, что задачи лёгкие. Учащиеся считали задачи лёгкими, очевидно, потому, что трудность их решения концентрировалась в одном пункте, а именно в установлении соотношения между элементами фигур. Как только трудность оказывалась преодолённой и то, что на чертеже было «закрытым», становилось «открытым», понятным, весь путь решения делался для учащихся простым и ясным, не требующим ряда сложных вычислений.

И на самом деле, операция рассматривания чертежа, являясь одной из важных операций при решении геометрических задач, не включает в себя чего-то особо сложного. Но, чтобы учащиеся справлялись с этой операцией, нужно систематически обучать их выполнению её так же, как обучают детей действиям над числами. Прежде всего нужно создать у учащихся направленность на рассматривание чертежа, показав им на одной-двух задачах, что установление определённого соотношения между элементами чертежа очень важно для решения.

Очень полезно рассказать учащимся, как в процессе решения взятых задач отдельные наиболее сильные ученики использовали удачный приём, который помог им самостоятельно установить соотношение между элементами фигур. Этот приём заключался в мысленном переме-

щении элементов фигур на чертеже, в подстановке одного элемента на место другого.

Ученик Б. на вопрос, как он увидел, что сумма сторон AD и DC равна периметру треугольника BCD, ответил так: «Я мысленно перемещал сторону ВС и поставил её на место AB; я всегда так делаю».

Тем же приёмом мысленного перемещения пользовался ученик В. при решении второй задачи: «Я АЕ повернул мысленно вверх, вверх пошла точка А, и АЕ встало на место BE, и стало видно, что ВС равно АЕ плюс ЕС».

Указанный приём является только частным приёмом для установления соотношений между элементами фигур. Для того же, чтобы учащиеся умели хорошо рассматривать чертёж в процессе решения задач, нужны ещё систематические упражнения, и такие упражнения целесообразно начинать в первые месяцы обучения геометрии, ставя перед учащимися задачу найти на чертеже знакомые им фигуры, сравнить величину углов, дуг, отрезков, отметить общие вершины и общие стороны углов, разные вершины и разные стороны углов и т. д.

Задачи на сравнивание величины углов, дуг, отрезков и т. п. полезны ещё и в связи с тем, что на рассматривание геометрического чертежа в некоторых случаях отрицательное влияние оказывает жизненный опыт сравнивания величин предметов, который учащиеся приобретают вне школы. Влияние этого опыта сильнее всею сказывается в первое время, когда у учащихся геометрический опыт ещё крайне мал. Приведём ряд соответствующих наблюдений на уроках и в экспериментах, чтобы показать, как учащиеся, следуя жизненному опыту, допускают ошибки в рассматривании геометрического чертежа.

При введении понятия «угол» учащимся было разъяснено, что стороны угла являются лучами, что луч можно продолжать в одну сторону безгранично и что длина начерченной части его не изменяет величины угла, которая определяется наклоном лучей друг к другу. На модели угла с подвижными лучами было показано, как с изменением наклона лучей изменяется величина угла. Затем на доске учительница начертила два угла: больший «с короткими сторонами» и меньший «с длинными сторонами» (см. черт. 42).

Классу был задан вопрос, который из начерченных

углов больше. Были опрошены шесть учениц. Трое из них дали правильный ответ, что угол 1 больше угла 2. Ответы остальных трёх учениц были ошибочными.

Ученица Ф. (слабая). Угол 2 больше угла 1, так как он длиннее.

Ученица Ан. (слабая). Угол 2 больше, так как он занимает больше места.

Ученица Ар. (слабая). Угол 1 больше угла 2, но угол 2 длиннее, поэтому они равны.

Эти учащиеся, хотя и слышали от учительницы, что стороны угла есть лучи, которые можно бесконечно продолжать, не могли при сравнении конкретных углов преодолеть влияние жизненного опыта и сказать, что угол, «занимающий больше места» и имеющий «длинные стороны», меньше угла, «занимающего меньше места» и имеющего совсем «короткие стороны». Их жизненный опыт, согласно которому длинный предмет при прочих равных условиях всегда является больше короткого, вступил в противоречие с геометрическим знанием о длине сторон угла и подчинил его себе.

Аналогичную ошибку допускали учащиеся и при сравнивании развёрнутого и полного угла. В другой школе при введении указанных углов учитель напомнил учащимся, что стороны угла есть лучи и от длины начерченной части луча величина угла не изменяется. Когда же была поставлена задача сравнить величину развёрнутого и полного угла, то некоторые учащиеся приняли за больший развёрнутый угол, «потому что он длинее», «потому что у него стороны разошлись, а у полного сошлись», «потому что стороны занимают больше места, чем у полного».

Отрицательное влияние жизненного опыта на сравнение углов постепенно изживалось, как только учащиеся стали овладевать приёмом накладывания одного угла на

Четр. 42

другой, ознакомились с градусным измерением углов. В экспериментах, которые проводились в середине учебного года, учащимся предлагалось сравнить приведённые выше пары углов и затем ещё давались два прямых утла с различной «длиной» сторон (см. черт. 43).

Проведённые эксперименты показали, что жизненный опыт продолжал оказывать своё влияние, но к этому времени учащиеся научились преодолевать его.

Ученик Ш. (слабый) сравнивал прямые углы: «Вообще они одинаковы, так как они по 90°, а на чертеже тут (пауза) вот этот (пауза), если наложить один на другой, то будут одинаковы, у этого линии больше (пауза), но у этого тоже можно сделать больше (пауза); они одинаковы, потому что оба по 90°».

Ш. понимал, что углы равны, но его, как и некоторых других учащихся, смущало, что на чертеже один угол выглядит больше другого. В процессе решения поставленной задачи у Ш. происходила борьба между его знаниями и непосредственным схватыванием величины углов. В итоге он произвёл оценку величины углов в соответствии с полученными знаниями. Так было и у других учащихся, но в отдельных случаях непосредственная величина углов оказывала большее влияние и подчиняла себе полученные знания.

Ученица С. (слабая). Угол первый 90°, а этот меньше градусов, значит, он меньше.

Экспериментатор. Измеряй углы.

С. (измеряет углы транспортиром). Этот 90° и этот 90°.

Экспериментатор. Какие же это углы?

С. Прямые.

Экспериментатор. Что можно сказать про их величину?

С. Угол первый больше, а угол второй меньше, потому что он маленький.

Черт. 43.

Ещё более трудной для учащихся оказалась задача на определение величин двух дуг, относящихся к окружностям, различным по радиусам, но соответствующих одному центральному углу (см. черт. 44). Перед учащимися ставилась задача определить в градусах дугу AB и дугу CD, если центральный угол О равен 30°.

Учащиеся хорошо определяли, сколько градусов имеет дуга, если известен центральный угол, опирающийся на эту дугу, и наоборот, по известной дуге могли определить центральный угол. Они также знали, что центральные углы, имеющие определённое количество градусов, не изменяют свою величину в зависимости от величины окружности, тогда как дуги с одинаковым количеством градусов будут разными по длине в зависимости от длины окружности. Знания этих положений проверялись перед решением указанной выше задачи. Несмотря на это, многие учащиеся допустили ошибку в отношении дуги CD.

Ученик К. (сильный). Дуга AB равна 30°, а дуга CD больше дуги AB, значит, и градусов больше.

Ученица А. (средняя). Угол 30° и дуга AB равна 30°, a CD равна 60°, так как если измерить, то CD в два раза больше дуги AB.

При определении дуги AB эти учащиеся давали верный ответ, потому что они опирались на знание о соответствии центрального угла и дуги, на которую он опирается. При определении дуги CD они не соотнесли её, как и дугу AB, с углом, а соотнесли её с дугой AB. В результате неправильного соотнесения геометрических элементов перед учащимися возникла задача сравнить две дуги, принадлежащие различным окружностям. Эта неправильно вычлененная задача вызвала к действию обычный жизненный подход к оценке двух предметов, который и привёл учащихся к ошибочному ответу.

Как только на чертеже дугу AB прикрывали кусочком картона, т. е. создавали обычные условия для соотнесе-

Черт. 41.

ния дуги CD с углом, эти же учащиеся быстро выполняли соотнесение и исправляли свой ответ.

Учащиеся, которые сразу же рассматривали чертёж правильно, т. е. соотносили дугу CD, как и дугу AB, с центральным углом, давали верные ответы.

Ученица Ш. (средняя). Угол 30°, значит, и АВ=30° и CD=30°, потому что какой угол, такие и дуги.

Ученик 3. (средний). Дуга АВ=30° и дуга CD=30°, ведь к одному углу, значит, по 30°.

Таким образом, отрицательное влияние жизненного подхода к оценке величины геометрических элементов при решении поставленной задачи имело место лишь в тех случаях, когда учащиеся неправильно производили соотнесение элементов на чертеже.

Следовательно, задача научить учащихся рассматривать чертёж, правильно соотносить элементы чертежа и находить в правильном соотнесении элементов ключ к решению задач встаёт перед педагогом уже при решении самых элементарных задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Геометрические задачи на вычисление разнообразны по своему характеру, однако, при решении их выделяется ряд типичных операций, овладение которыми в значительной мере определяет умение решать задачи.

Прежде всего учащиеся должны учиться анализировать условие задачи, т. е. правильно понимать отношения между данными фигурами и их элементами и в соответствии с этим выполнять чертёж. Выполнение чертежа является сложной деятельностью, требующей от учащихся умения передавать в графическом виде словесно выраженные геометрические отношения (начертить два тупых угла, имеющих общую вершину и общую сторону). Создание указанных умений требует специальных упражнений и приобретения прочных навыков в обращении с геометрическими инструментами (линейкой, циркулем, наугольником).

Достаточно трудной операцией при решении сложных задач является операция выделения простых задач. Во многих случаях неумение решить задачу объясняется тем, что учащиеся выделяют не геометрические, а ариф-

метические задачи. В таких случаях, как правило, их рассуждения оказываются не в соответствии с расположением фигур на чертеже, а оперирование геометрическими понятиями является чисто внешним, формальным.

Выделение из сложной задачи нужной геометрической задачи требует от учащихся умения «заглянуть вперёд», чтобы наметить хотя бы самый схематичный ход решения и тем самым оценить значение выделенной задачи. Такое умение есть сложная аналитико-синтетическая деятельность.

Умение решать сложную задачу в значительной мере определяется умением рассматривать чертёж. В ряде случаев трудности решения заключаются только в том, что учащиеся не видят на чертеже нужную фигуру. Вычленение знакомой фигуры из сложного чертежа оказывается трудным, если форма и положение её не стандартны и если другие элементы чертежа пересекают внутреннюю область фигуры, тем самым видоизменяя её. Особенно трудным для учащихся при рассматривании чертежа оказывается понимание имеющихся отношений между фигурами и их элементами. Насколько учащиеся с трудом изображают на чертеже словесно сформулированные отношения между фигурами (и их элементами), настолько же с трудом ими обнаруживаются переданные на чертеже отношения. Поэтому рассмотрению чертежа в VI классе должно уделяться особое внимание, тем более, что в ряде случаев учащиеся не выделяют нужных соотношений только потому, что их внимание направлено не на чертёж, а на действия с числовыми данными.

Решение сложной задачи требует от учащихся умения пользоваться чертежом в соответствии с условием задачи. Типичная ошибка учащихся шестых классов заключается в том, что они пользуются в решении такими особенностями фигур, которые не определяются условием, а непосредственно усматриваются на чертеже. Условием, благоприятствующим использованию указанных особенностей чертежа, является использование фигур, данных по условию опосредованно. Поэтому перед педагогом встаёт задача научить учащихся отличать определяемые условием особенности чертежа от его случайных, не связанных с условием особенностей.

И, наконец, решение сложной задачи связано с умением выполнять операцию переосмысливания фигур,

т. е. с умением использовать одну и ту же фигуру в плане нескольких понятий. Выполнение этой операции затрудняет многих учащихся по ряду причин, из которых основная заключается в том, что первое понятие, в плане которого осознана фигура, оказывает тормозящее воздействие на переход к использованию этой же фигуры в плане другого понятия. Для устранения трудностей переосмысливания фигур необходимо факты соответствия фигуры двум и нескольким понятиям делать предметом усвоения, раскрывать учащимся отношения между понятиями (смежные углы и прилежащие углы и т. д.) и научить их узнавать знакомые им фигуры в различной форме и в различном положении.

В данной главе изложены результаты изучения процесса решения задач на вычисление. Многие вопросы остались не изученными и в этой области. Нами были взяты сложные задачи на вычисление, легко разделяющиеся на простые задачи, задачи, требующие переосмысливания фигур, требующие умения раскрывать заданные на чертеже соотношения между геометрическими элементами. Однако геометрические задачи на вычисление не ограничиваются указанными типами задач. Есть задачи, имеющие другие особенности, и анализ трудностей их решения представляет большой интерес. В частности, нами не изучалось решение практических задач, требующих применения геометрических знаний. Не исследовался вопрос о понимании учащимися практической ценности обычных учебных задач.

Остался нетронутым также вопрос о сопоставлении вычислительного решения и решения посредством измерений на аккуратно выполненном чертеже. Можно ожидать, что сопоставление указанных решений является эффективным приёмом для создания у учащихся правильного понимания роли чертежа, особенно в условиях, когда вначале производится измерение, а затем происходит проверка полученного результата через вычисления. В книге отсутствует анализ решения задач на построение и доказательство. Изучение решения этих задач представляет большой интерес. В задачах на построение имеет место своеобразное соотнесение слова (условия

задачи и применяемых положений), чертежа (наброска) и действий ученика при построении заданной фигуры. Включение практических действий с циркулем и линейкой в решение задачи делает этот тип задачи особенно ценным при осуществлении политехнизации обучения.

Анализ решения задач на доказательство ценен для понимания особенностей логического мышления учащихся, что важно для всей методики обучения геометрии.

Глава 3

ПСИХОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССА УСВОЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ

Понимание чертежа в процессе усвоения доказательства теорем

Первая задача, которая встаёт перед учащимися при усвоении доказательства теорем,—это задача усвоить текст теоремы и в соответствии с ним научиться выполнять чертёж. Чтобы правильно выполнить чертёж, учащиеся должны уметь правильно расчленять текст теоремы на условие и заключение. В тех школах, где учителя при анализе конкретной теоремы ограничивались только указанием на то, что в теореме является условием и что заключением, не упражняя учащихся в расчленении одного от другого, последние часто допускали ошибки, занося в данные и то, что требуется доказать, и то, что дополнительно строится на чертеже для доказательства.

Опытная учительница 518-й школы Н. В. Косарёва при введении новых теорем упражняла учащихся в расчленении текста их на условие и заключение, в результате чего учащиеся овладели этим умением. Ценно, что новые для учащихся понятия «условие теоремы» и «заключение» она связала со старыми понятиями, знакомыми им, и тем самым сразу внесла ясность в их содержание. Такая связь была осуществлена ею при введении первой же теоремы — о сумме смежных углов.

1 Наблюдения за усвоением доказательств теорем и эксперименты с учащимися по этой теме проводились в 1949/50 учебном году в 626-й, 164-й, 150-й и 103-й школах и в 1950/51 учебном году в 518-й школе.

Вначале теорема сообщалась учащимся как задача: «Даны два смежных угла. Нужно узнать, чему равна их сумма». На модели углов с подвижной общей стороной учащимся было показано, что сумма смежных углов составляет сумму двух прямых углов, или 180°. После этого учительница сообщила учащимся, что решённая задача является первой теоремой, которую они будут изучать, и сформулировала её.

«Какое же условие нам было дано в этой задаче?» — спросила она класс. Дети отвечали, что были даны два смежных угла — острый и тупой. «То, что дано, в теореме называется условием теоремы, а что мы с вами узнали в задаче?» Дети отвечали, что сумма смежных углов равна 180°, или двум прямым углам. «То, что мы с вами узнали в задаче, в теореме об этом говорится (сумма смежных углов равна 180°) и называется заключением теоремы», — пояснила она и сообщила детям, что в каждой теореме есть условие и заключение, и поупражняла учащихся в расчленении текста теоремы на условие и заключение.

Систематические упражнения детей в расчленении условия и заключения каждой теоремы привели к тому, что учащиеся перестали в этом испытывать трудности.

Чертёж к новой теореме, как правило, учитель чертит сам, ученики копируют его в тетради, а затем ещё воспринимают в учебнике. Поэтому сам процесс построения чертежа к теореме, как правило, не вызывает затруднений. При построении чертежа следует только постоянно обращать внимание учащихся на разграничение того, что строится по условию, от того, что строится самим доказывающим для доказательства. Про последнее учащиеся 518-й школы удачно говорили: «Это мы строим сами».

Трудности построения чертежа возникали у учащихся главным образом в тех случаях, когда при доказательстве теоремы учителя, останавливаясь на одном случае доказательства, не разбирали полностью другие случаи. Например, в классе доказывалось, что внешний угол треугольника больше одного из внутренних углов, не смежных с ним. В отношении же второго угла учащимся давались только указания о продолжении второй стороны треугольника (показывалось, как продолжается вторая сторона, на старом чертеже), о проведении медианы из вершины другого угла и т. д. В некоторых классах уча-

щимся предлагалось разобрать указанный случай дома.

По нашим наблюдениям, большинство учащихся с домашним заданием не справлялось, и именно потому, что они не могли построить чертёж. В одном психологическом исследовании показано, что для многих учащихся VI класса представить себе тот же чертёж в повёрнутом виде — очень трудная задача1. Но следует сказать, что в 150-й школе, где чертежи широко варьировались, большинство учащихся правильно приготовило чертёж для второго случая, пользуясь словесными указаниями учительницы.

Не справившись с домашним заданием, учащиеся быстро забывали, с какой целью учитель продолжал вторую сторону треугольника. Однако зрительный образ продолженной стороны треугольника у них оставался. В дальнейшем, когда в экспериментах выяснялось, как была усвоена та или иная теорема, некоторые учащиеся, приготовляя чертёж к этой теореме, продолжали обе стороны треугольника, внешний же угол использовали только один. На вопрос, зачем нужно было продолжать вторую сторону, они отвечали, что так было начерчено на доске. Эти факты говорят о необходимости рассматривать каждый случай доказательства на особом чертеже. Тогда с каждым случаем доказательства у учащихся будет связываться определённый зрительный образ.

В методической литературе многократно отмечалось, что учащиеся VI класса не понимают необходимости логического доказательства теорем, поскольку доказываемое положение кажется им очевидным без доказательства. Одна из причин этого правильно замеченного факта кроется в том особом отношении учащихся к геометрическому чертежу, о котором уже говорилось в предыдущих главах. Трудность выйти в своих представлениях за пределы показанных фигур, «застревание» на частных особенностях чертежа приводит к тому, что учащиеся относят рассуждения учителя только к показанному чертежу. В силу этого доказательность рассуждений теряет для них смысл при любых условиях, т. е. и тогда, когда чертёж в чём-то не соответствует условию теоремы, и тогда, когда он полностью ему соответствует. На-

1 Е. Н. Кабанова-Меллер. Роль чертежа в применении геометрических теорем, «Известия АПН РСФСР», выпуск 28, 1950.

пример, в одной школе доказывалась теорема о двух наклонных, проведённых из одной точки на прямую и одинаково удалённых от основания перпендикуляра. Чертёж на классной доске выполнялся ученицами по указанию учителя. Одна из учениц начертила отрезок АО (ом. черт. 45) и разделила его пополам. Вторая из точки В провела перпендикуляр к прямой и на нём взяла точку С. Третья из точки С провела наклонные АС и ОС. Наклонная ОС выглядела на чертеже короче наклонной АС.

«Будем доказывать, что наклонная АС равна наклонной ОС», — сказал учитель. — «Они не равны», — подала реплику одна из учениц. Не обратив внимания на замечание ученицы, учитель изложил классу доказательство и, как только он произнёс последнюю фразу: «Следовательно, мы доказали, что наклонная Л С равна наклонной ОС», — ученица громко сказала: «К. M., а ведь видно же, что они не равны».

Очевидно, что логические рассуждения учителя были для неё неубедительны, так как отвлечься от воспринимаемого чертежа она не смогла.

В другой школе на уроке доказывалось, что данный треугольник ABD является равнобедренным, если отрезок ВС — биссектриса угла В и угол 1 равен углу 2 (см. черт. 46). Чертёж полностью соответствовал условию. Вызванный к доске мальчик начал доказательство с утверждения, что треугольник равнобедренный, так как сторона AB равна стороне BD. Учительница остановила его: «Это нужно доказать; нельзя так думать, надо исходить из данных». Когда было доказано, что треугольник ABC равен треугольнику BCD, учительница сказала: «Вот теперь мы можем сказать, что сторона AB равна стороне BD, так как в равных треугольниках все элементы соответственно равны». Мальчик ответил:

Черт. 45.

«Это было видно и сразу, до доказательства». И он не мог понять, почему нельзя было сразу принять треугольник за равнобедренный, если ясно видно, что сторона AB равна стороне BD. Для него проведённое доказательство тоже теряло смысл.

Как видно, убедительность логического доказательства не определяется для учащихся точностью выполнения чертежа. Решающее значение имеет то обстоятельство, как выступают для учащихся объяснения учителя по отношению к чертежу. Если они выступают для учащихся только своей конкретной стороной, т. е. связываются в сознании с одним воспринимаемым чертежом, тогда все особенности чертежа, естественно, становятся существенными для учащихся, логическая же сторона доказательства оказывается непонятной: с одной стороны, нельзя доказывать того, чего нет на чертеже; с другой стороны, зачем доказывать то, что и так видно.

Если же объяснения учителя выступают своей обобщённой стороной, т. е. учащиеся относят рассуждения учителя ко многим соответствующим чертежам, данный же чертёж является для них лишь наглядной опорой рассуждений, — при этом условии существенное для учащихся оказывается не в особенностях показанного чертежа, не в том, выглядят ли на нём наклонные равными или неравными, а в том, какими даны элементы чертежа по условию теоремы и как их нужно понимать в соответствии с доказательством её. При этом условии ученик становится способным усваивать логическое доказательство теоремы.

Умение относить рассуждения ко многим чертежам находится в прямой зависимости от запаса конкретных геометрических представлений у учащихся, от понимания ими роли чертежа в процессе доказательства.

На факт зависимости процесса усвоения доказа-

Черт. 46.

тельств от запаса геометрических представлений указывали крупные советские методисты. Н. А. Глаголев считал, что логический курс геометрии, начинающийся с VI класса, не потому затруднителен для учащихся, что их общее развитие не позволяет овладеть сущностью доказательств, а потому, что ученики не накопили достаточного количества геометрических образов.

Я. С. Дубнов1, намечая задачи преподавания геометрии в семилетней школе, на первое место выдвигает задачу развить у учащихся правильные геометрические представления.

Эту же задачу решает Н. Н. Никитин в учебниках по геометрии для V и VI классов2. Богатство иллюстративного материала в учебниках, введение системы разнообразных упражнений и практических действий учащихся с геометрическими телами и жизненными предметами — всё это направлено на создание у учащихся богатого запаса представлений, на развитие абстрагирующей стороны мышления, на создание возможностей в VI классе «сравнительно свободно и естественно перейти к постепенному и последовательному введению дедукции»3.

«Застревание» учащихся на частных особенностях показанного или выполненного ими самими чертежа приводит не только к тому, что рассуждения теряют смысл, но так же, как и при решении задач, вызывает так называемые «ошибки от чертежа».

Например, доказывая теорему о свойствах внешнего угла, ученица М. (сильная) приняла углы при точке Е за прямые (см. угол 1 и угол 2 на черт. 47), чем и обосновала их равенство. В беседе она объяснила так: «Мне бросилось в глаза, что они прямые».

Подмена логических рассуждений ссылкой на чертёж гораздо чаще допускалась учащимися тех школ, в которых доказательство теоремы всегда проводилось на книжном стандартном чертеже, в которых отсутствовала

1 Я. С. Дубнов, Геометрия в семилетней школе, «Известия АПН РСФСР», выпуск № 6, 1947.

2 Н. Н. Никитин, Начальный курс геометрии для семилетней школы, часть 1 (для V класса), 1951; части 1 и 2 (для VI класса), 1952.

3 Н. Н. Никитин, Начальный курс геометрии для семилетней школы, часть 1 (для V класса). (См. предисловие автора.)

работа с моделями фигур. В таких условиях учащиеся связывали рассуждения с конкретным зрительным образом и все частные особенности этого образа приобретали для них существенное значение.

Из всего сказанного совершенно ясно, какое большое значение приобретает вариация чертежей при усвоении доказательства теорем. В процессе вариации чертежей усвоенное учащимися понятие и усвоенные в доказательстве теоремы рассуждения связываются у учащихся не с одной, а с множеством разнообразных фигур. И эти многообразные связи обеспечивают учащимся умение выходить за пределы показанной фигуры, преодолевать её частные особенности.

Поэтому обсуждаемый в методической литературе вопрос о том, частного или общего вида фигуру лучше использовать при введении новой теоремы, при правильном использовании геометрической наглядности снимается с обсуждения. Использование тех и других фигур является обязательным, и, как правило, совершенно неважно, какая из них будет использована раньше, а какая позже. В 150-й школе при доказательстве теорем использовались те и другие фигуры. Например, при доказательстве теоремы о свойствах внешнего угла треугольника использовались чертежи, в которых внешний угол треугольника был тупым и острым, располагался справа от треугольника и слева. Поскольку признаки фигур варьировались систематически, переход от фигур одного вида к фигурам другого вида не вызывал у учащихся затруднений.

Весьма важным в процессе усвоения доказательств теорем является вопрос о том, должен ли чертёж в точности соответствовать условию теоремы. Было бы неправильно думать, что точность выполнения чертежа не имеет значения, поскольку усвоение логических рассуждений не зависит от неё.

Чертёж, точно соответствующий условию теоремы,

Черт. 47.

создаёт у учащихся правильные зрительные образы. Если учитель говорит, что для доказательства теоремы нужно провести медиану, и проводит её так, что она действительно выглядит проходящей через середину стороны треугольника, у ученика возникает верный образ медианы, который свяжется с соответствующими рассуждениями учителя. Следовательно, точный чертёж (относительно точный, поскольку он делается «на глаз») способствует возникновению верных связей между словесными формулировками учителя и наглядными образами.

В дальнейшем чертёж к теореме служит опорой мышления учащихся. И если он правильно подсказывает ученику ход мысли, если он способствует воспроизведению верных связей, образованных в опыте ученика, значит, он выполняет свою функцию.

При неправильных зрительных образах у учащихся могут возникать ошибочные связи, которые в дальнейшем влекут за собой ошибки в рассуждениях. Типичной ошибкой учащихся при доказательстве теоремы о свойстве внешнего угла треугольника является проведение биссектрисы угла вместо медианы. Одна из причин этой ошибки кроется в нечётком образе той прямой, которая проводилась в треугольнике.

В проведённом исследовании автор встретился с рядом фактов, когда неправильно выполненный чертёж вызывал у учащихся ошибки даже в той части доказательства, которая была усвоена твёрдо. Например, слабый ученик 150-й школы доказывая теорему о свойстве внешнего угла треугольника, вместо медианы провёл биссектрису угла треугольника (см. черт. 48). Вследствие допущенной ошибки треугольник ABE оказался не соответствующим в своих размерах треугольнику ENC, тогда как по ходу доказательства они должны быть равны. Равными же на чертеже выглядели треугольники АЕС и EN С. К. сказал: «У нас получилось два треугольника:

АЕС и ENC; они равны». Тут он запнулся. Учитель спросил: «Какие треугольники мы рассматриваем?» Тогда К. исправил свою ошибку: «Треугольники ABE и ENC».

Учитель. А почему ты сказал сначала про треугольник АЕС?

К. Треугольник ABE у меня неравный.

К. твёрдо знал, какие треугольники нужно было рассматривать, он знал, что они равны между собой. Но когда «а чертеже он увидел равными другие треугольники, он ошибочно назвал их. Это типичная ошибка «от чертежа», вызванная несоответствием чертежа условию теоремы.

Следовательно, чертёж должен выполняться в соответствии с условием теоремы, но при этом вполне достаточно той точности, которая достигается хорошим глазомером. Правильно поступала учительница 518-й школы Н. В. Косарёва, постоянно подчёркивая учащимся, что при доказательстве теорем допускается делать чертёж «от руки». Такое замечание предостерегало учащихся от излишней доверчивости к чертежу и приучало к мысли, что на чертеже всегда возможны некоторые отклонения от данных условия. Ошибки при построении чертежа нередко возникают у учащихся в силу того, что они не связывают в достаточной степени процесс построения чертежа с процессом доказательства теоремы. Например, ученик О. (средний), доказывая в классе теорему о зависимости между сторонами треугольника, внешне воспроизвёл чертёж как будто бы верно (см. черт. 49). На самом деле он не откладывал на продолжении стороны AB отрезок, равный стороне ВС. Он просто взял произвольно точку D примерно там, где она и должна быть. На вопрос учительницы, где он взял точку D, О. ответил: «Вот здесь» — и указал пальцем. Никаких связей между дополнительным построением, в результате которого полу-

Черт. 49.

чался равнобедренный треугольник, и ходом рассуждений у О. не было. Он не осознал, какое значение в ходе рассуждений имеет равнобедренный треугольник, а поэтому он его и не строил.

Для изучения вопроса, как учащиеся осознают значение каждой фигуры, которая используется ими в процессе доказательства теоремы, была проведена специальная серия экспериментов. Учащимся давалось обычное для них задание—доказать теорему. Была взята теорема о свойстве внешнего угла треугольника. Если ученик справлялся с доказательством, т. е. правильно формулировал теорему, делал верный чертёж и воспроизводил ход рассуждений (самостоятельно или с некоторой помощью экспериментатора), ему задавались следующие вопросы: для чего проводилась медиана? Где было использовано свойство вертикальных углов? Как было использовано в доказательстве равенство треугольников? и т. д.

Доказывая теорему, учащиеся говорили, что в треугольниках ABE и CEF (см. черт. 47) сторона BE равна стороне СЕ, так как медиана поделила сторону ВС пополам. Установив равенство других элементов, учащиеся делали вывод, что треугольники равны по признаку равенства двух сторон и углу, заключённому между ними, и т. д.

Таким образом, доказывая теорему, учащиеся воспроизводили цепь суждений. В последовательной цепи суждений использование свойств одних фигур выступало основанием для установления свойств других фигур. Например, использование свойства медианы являлось одним из оснований для установления равенства треугольников, а использование равенства треугольников являлось основанием для установления равенства двух углов — и т. д. Ответы на поставленные вопросы и требовали от учащихся умения воспроизвести связи между двумя непосредственно следующими друг за другом суждениями. Такие связи являются определёнными, однозначными и лежат в основе понимания непосредственного значения используемых в доказательстве фигур.

Однако следует учесть, что в ответах на поставленные ©опросы правомерно воспроизведение не только указанных связей, но и связей между положениями до-

казательства, которые следуют не непосредственно друг за другом, а имеют между собой промежуточные звенья. Например, в данном случае не будет ошибкой сказать, что медиана стороны ВС проводилась как для того, чтобы установить равенство треугольников ABE и CEF, так и для того, чтобы установить равенство углов В и BCF, чтобы доказать, что внешний угол BCD больше внутреннего угла В. Заметим, что доказываемое в теореме положение является общим следствием всех рассуждений, следствием, обусловленным использованием свойств всех фигур. Связи между положениями, не следующими непосредственно друг за другом, в отличие от ранее указанных, ближайших, условно назовём отдалёнными связями. Отдалённые связи, как видно, являются менее определёнными, многозначными, так как с одним основанием можно связать несколько суждений.

Результаты проведённых экспериментов показали, что половина учащихся, в которую входили преимущественно хорошо успевающие учащиеся, воспроизводила ближайшие связи, что указывает на понимание ими непосредственного значения используемых фигур в доказательстве. Например, на вопрос, для чего проводилась медиана, были получены следующие ответы:

Ученик М. (сильный, 150-я школа). Медиану проводим для того, чтобы сторону ВС поделить пополам, и нужны равные стороны, чтобы треугольники были равны по первому признаку.

Ученица Б. (сильная, 164-я школа). Чтобы образовались равные треугольники.

Ученица М. (сильная, 626-я школа). Чтобы доказать, что треугольник ABE равен треугольнику CEF.

Ученица А. (слабая, 626-я школа). Чтобы BE равнялось ЕС и треугольник ABE равнялся треугольнику EFC.

Для второй же половины учащихся, в которую входили преимущественно слабо успевающие учащиеся, воспроизведение ближайших связей оказалось гораздо более трудным процессом, чем воспроизведение отдалённых связей. На тот же вопрос о значении медианы учащиеся давали такие ответы.

Ученица Н. (слабая, 626-я школа). Чтобы узнать, что внешний угол больше угла В и больше угла А.

Ученица Л. (средняя, 164-я школа). Чтобы доказать, что угол В равен углу BCF.

Ученица Б. (слабая, 626-я школа). Чтобы доказать, что угол В меньше угла BCD.

Самая отдалённая связь — связь с конечным доказываемым положением — воспроизводилась учащимися наиболее легко.

Когда учащиеся затруднялись воспроизвести однозначные связи, им оказывалась помощь. Два приёма оказались наиболее эффективными. Один из ник заключался в том, чтобы направить мысль учащихся на свойство фигуры.

Экспериментатор. С какой целью мы проводили медиану стороны ВС?

Ученица Б. Чтобы доказать, что угол В меньше угла BCD.

Экспериментатор. Разве можно доказать это сразу?

Б. Чтобы получился треугольник CEF, и тогда угол В будет меньше угла BCD.

Экспериментатор. Какое свойство имеет медиана?

Б. Она разделила сторону ВС пополам (пауза). BE равна ЕС, чтобы доказать, что треугольники равны.

Напоминание о свойстве использованного понятия (фигуры) уточнило связи. Б. вспомнила о равных сторонах треугольников, и тогда связь между делением стороны пополам и установлением равенства треугольников оказалась воспроизведённой. Такое же действие оказывало напоминание о свойстве понятия и у других учащихся. Очевидно, что в процессе доказательства теоремы у учащихся устанавливаются связи не между самой фигурой (медианой и др.) и последующим звеном доказательства (установлением равенства треугольников), а между свойством фигуры (разделила сторону пополам) и последующим звеном.

Второй приём наталкивал учащихся на сравнение свойств двух фигур и тем самым направлял их мысль на свойство использованной фигуры. Перед учащимися ставился вопрос: нельзя ли было бы вместо медианы провести биссектрису угла?

Экспериментатор. Для чего проводится медиана на сторону ВС?

Ученица H. (слабая, 626-я школа). Чтобы узнать, что внешний угол больше угла А и больше угла В.

Экспериментатор. Может быть, можно было провести биссектрису угла, а не медиану?

Н. Биссектриса делит угол пополам, а медиана делит сторону ВС пополам, значит, BE равно ЕС, и треугольники будут равны.

Экспериментатор. Для чего проводится медиана на сторону ВС?

Ученик Я. (слабый, 103-я школа). Не знаю; чтобы доказать, что угол BCD больше угла В.

Экспериментатор. Как ты думаешь, можно было бы доказать теорему, если провести не медиану, а биссектрису угла?

Я. Медиана делит основание на две части, а биссектриса угол разделила бы.

Экспериментатор. Что же для доказательства нужно: чтобы сторона поделилась пополам или угол?

Я. Сторона. Если бы отрезки не были равны, то не были равны и треугольники.

Так как указанные приёмы способствовали воспроизведению однозначных связей, отражающих непосредственное значение используемых фигур, и, следовательно, способствовали осознанному использованию чертежа к теореме, они применимы на практике. Кроме того, при использовании этих приёмов легко обнаруживается непонимание или ошибочное понимание учащимися значения используемой в доказательстве фигуры. Приведём соответствующие случаи.

Экспериментатор. Можно ли вместо медианы провести биссектрису угла?

Ученица Ф. (слабая, 164-я школа). Биссектриса тоже идёт до стороны, пересекает, значит, это всё равно, хотя биссектриса делит угол, а медиана—сторону. Но так как биссектриса тоже пересекает, то, конечно, это можно.

Доказывая теорему, Ф. проводила медиану, но, как выяснилось, цель её проведения Ф. не осознавала достаточно ясно. Главное значение медианы для Ф. оказалось в том, что медиана пересекает сторону треугольника. В некоторых же случаях учащиеся осознавали значение проведённой медианы ошибочно.

Экспериментатор. Можно ли провести биссектрису угла, а не медиану?

Ученик Г. (средний, 103-я школа). Нет, это большая разница: биссектриса делит угол пополам, а медиана делит сторону; биссектриса не делит сторону, а это надо для доказательства, у нас же не получатся вертикальные углы, если не разделить пополам.

Г. ошибочно понимал значение медианы, связав проведение её с образованием вертикальных углов. Когда ему было предложено провести биссектрису угла и посмотреть, образуются ли вертикальные углы, Г. сам вскрыл свою ошибку и сумел верно установить значение медианы.

Экспериментатор. Попробуй, проведи биссектрису угла и посмотри, образуются ли вертикальные углы.

Г. (проводит). Образуются... но тогда не будет (пауза). Конечно, всё равно и медиана и биссектриса, всё равно образуются вертикальные углы. Я сейчас проверю, почему надо медиану, а не биссектрису, надо подумать (пауза). Если провести биссектрису угла, то стороны-то не будут равны и не будет равных элементов в треугольниках.

Указанные приёмы, конечно, не являются единственными, с помощью которых учитель может уточнять образующиеся у учащихся связи в процессе доказательства теорем и контролировать действительное понимание учащимися значения каждого понятия, использованного в доказательстве.

Недостаточный запас геометрических образов, связанных с каждым понятием, у учащихся тех школ, в которых использовались только стандартные книжные чертежи, как было показано во второй главе, создавал затруднения в узнавании фигур при решении задач. Такие же затруднения испытывали учащиеся и в процессе доказательства теорем. Остановимся на анализе отдельных фактов, чтобы показать, в чём заключались конкретные затруднения учащихся.

При доказательстве теоремы о свойстве внешнего угла треугольника во многих случаях учащиеся не узнавали вертикальных углов, хотя и говорили о том, что углы равны между собой. Вместо того, чтобы говорить, что угол 1 равен углу 2, как углы вертикальные, учащиеся говорили, что угол 1 равен углу 2, как углы, заключённые между равными сторонами.

Характерно, что указанную ошибку допускали уча-

щиеся, которые хорошо знали, какие углы называются вертикальными и каким свойством обладают вертикальные углы.

Например, ученица 626-й школы А. (средняя) в доказательстве этой теоремы допустила такую ошибку. В беседе выяснилось, что она знала, какие утлы называются вертикальными. Приведём протокол беседы.

Экспериментатор. Почему угол 1 равен углу 2?

А. Потому что они заключены между равными сторонами.

Экспериментатор. Как называются такие углы? А. Не знаю.

Экспериментатор. Начерти эти углы отдельно от других фигур.

Ученица чертит, причём не так, как чертят вертикальные углы (пересечением двух прямых), а сначала чертит угол 1, потом к нему пристраивает угол 2 (см. черт. 50).

Экспериментатор. Какие это углы?

А. Получаются, как вертикальные.

Экспериментатор. Какие углы называются вертикальными?

А. Вертикальными углами называются утлы, у которых стороны одного угла служат продолжением сторон другого угла, у них свойство, что они равны.

Экспериментатор. Будут ли углы 1 и 2 вертикальными? А. Будут.

Экспериментатор. А почему ты их не называла?

А. Не додумалась бы ни за что (пауза). Если бы отдельно начертить, тогда бы (пауза)... я их видела в треугольнике.

Экспериментатор. Как же ты так неправильно выучила, что углы равны, потому что стороны равны? А ты бы подумала, верно ли это, задала бы себе такой вопрос, начертила бы много углов и разобралась бы сама.

Черт. 50.

А. Я просто выучила и не понимала; я не рассмотрела, что углы вертикальные (пауза); потом, зачем проводили медиану, — я не разбиралась так; я никогда себе не задаю вопросы и я не знаю, как задавать себе вопросы.

Выяснилось, что учащиеся, допускавшие указанную ошибку, как ученица А., заучивали доказательство теоремы по учебнику, а в учебнике написано: «Треугольники ABE и EFC равны, так как при точке Е они имеют по равному углу, заключённому между равными сторонами»1.

Автор учебника в этой фразе указывает на равные элементы двух треугольников. Многие учащиеся понимают содержание её так, как понимала ученица А., т. е. углы при точке Е равны, потому что эта углы заключены между равными сторонами. Такое понимание обусловливается в данном случае тем, что учащиеся, привыкнув видеть вертикальные углы в стандартном положении, не узнавали их на чертеже к этой теореме, несмотря на то, что при введении теоремы учитель называл углы вертикальными. Этот факт говорит о необходимости при изложении текста доказательства теорем в учебнике для учащихся VI класса приводить основания каждого положения и по возможности текст изложения приблизить к изложению его учителем в классе.

Как показала практика преподавания геометрии в шестых классах 150-й школы, большое значение для правильного понимания чертежа к теореме имеет «характеристика чертежа» перед доказательством теоремы. Выполнив чертёж в соответствии с условием теоремы, учительница просила учащихся указать на все фигуры, имеющиеся, на нём, и охарактеризовать, исходя из условия теоремы, каждую из них, т. е. указать, какого вида треугольники, какого вида углы и т. д.2. При подобного рода предварительном анализе чертежа учащиеся не испытывают затруднения в понимании его в процессе доказательства, что помогает усваивать ход рассуждений учителя.

1 А. П. Киселёв, Геометрия, Учпедгиз, 1939, стр. 26.

2 Приём «характеристики чертежа» заимствован нами из практики опытного педагога математики 528-й женской средней школы Д. А. Слоним.

Правильное понимание и использование чертежа в процессе доказательства теорем зависит ещё и от того, в какой мере учащиеся понимают содержание специфических вспомогательных понятий, которыми пользуется учитель и которые встречаются в учебнике. К таким понятиям, например, относятся понятия: «соответственно равны», «часть угла» и т. д. На первый взгляд содержание этих понятий кажется настолько простым для усвоения, что нет необходимости останавливаться на них. Так и думают некоторые учителя, не останавливаясь специально на разъяснении подобного рода понятий. Между тем, не зная точного содержания этих понятий, учащиеся допускают ошибки в понимании чертежа к теоремам, а следовательно, неправильно усваивают доказательства. Покажем влияние неправильного усвоения указанных понятий на усвоение теоремы о свойствах внешнего угла треугольника.

С понятием «соответственно равные элементы» учащиеся встречаются ещё при доказательстве признаков равенства треугольников. Но так как в тех теоремах обычно берутся два треугольника в одинаковом положении и обозначаются одинаковыми буквами (например, один треугольник обозначается ABC, а другой—А\ВХС\), то учащиеся легко понимают, какие элементы этих треугольников соответствуют друг другу.

В теореме о свойствах внешнего угла треугольника учащиеся встречаются с таким случаем, когда соответственно равные углы в равных треугольниках оказываются в разных положениях и обозначенными разными буквами. Учащиеся, не усвоившие понятия «соответственно равные элементы», принимали за соответственно равные углы В и F (см. черт. 47, стр. 124). Доказывая эту теорему, ученица К. (слабая, 164-я школа) говорит: «По первому признаку равенства треугольников они (треугольники) равны, а в равных треугольниках углы соответственно равны, угол В равен углу F».

В беседе экспериментатор спрашивает ученицу, почему она считает угол В и угол F соответственно равными. К. отвечает: «Потому что угол В лежит вверх и угол F лежит вверх и так накладываем треугольники».

Совершенно очевидно, что К. руководствовалась расположением соответственно равных углов в треуголь-

никах, равенство которых доказывалось в предыдущих теоремах. Признаки же этого понятия для К. и для ряда других учащихся остались нераскрытыми.

Удачно раскрыты были признаки этого понятия учительницей 103-й школы А. Н. Соколовой. Её объяснение было таким: соответственно равными углами в двух равных треугольниках будут углы, управляемые равными сторонами, а соответственно равными сторонами—стороны, управляющие равными углами. Показывалось, как при изменении длины стороны треугольника изменяется величина противоположного ей угла и с изменением величины угла изменяется длина противоположной ему стороны. Следовательно, признаком понятия являлся признак управления, или признак зависимости длины стороны от величины противолежащего угла, и, наоборот, величины угла от длины противолежащей стороны треугольника.

В 150-й и 528-й школах давалась более простая формулировка этой же зависимости: в двух равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны, или в двух равных треугольниках большей стороне соответствует большая сторона, меньшей — меньшая. Усвоив признаки указанного понятия, учащиеся этих школ правильно разбирались в чертеже к теореме о свойствах внешнего угла треугольника и могли поправлять себя в случае допущенной ошибки.

Ученик Л. (средний, 103-я школа). Треугольники равны, а в равных треугольниках все элементы соответственно равны, угол В равен углу F... нет, нет, угол В управляется стороной АЕ, а АЕ равна EF, a EF управляет углом BCF, значит, угол В равен углу BCF.

Ученик С. (средний, 150-я школа). В равных треугольниках все элементы соответственно равны, угол В равен углу F, нет, нет, не так: ведь угол F не лежит против равной стороны, угол В лежит против стороны АЕ, а против равной EF лежит угол С (BCF).

Допущенная ошибка в нахождении соответственно равного утла влекла за собой и другую ошибку, которая была связана с усвоением второго понятия — «часть угла». По ходу доказательства угол BCF, соответственно равный углу В, нужно было рассматривать как часть внешнего угла BCD. Учащиеся же частью внешнего угла

считали угол F. При этом они приводили следующее основание: угол F лежит внутри внешнего угла, значит, он — часть внешнего угла. В единичных случаях за часть внешнего угла принимался угол FEC, так как «он лежит на стороне внешнего угла».

Когда учащимся было предложено начертить на бумаге угол и показать часть его, то многие из них брали угол, пересекали стороны его прямой и говорили, что угол поделился на две части (см. черт. 51). Совершенно ясно, что учащиеся не знали признака этого понятия, хотя много раз проводили биссектрису угла, т. е. делили угол на две равные части.

Очевидно, что в работе с учащимися шестых классов точное раскрытие содержания вспомогательных геометрических понятий имеет большое значение.

Особого внимания заслуживает вопрос о понимании чертежа к тем теоремам, которые доказываются способом предположения (или способом от противного). Чертежи к этим теоремам условны. Во-первых, на них изображаются геометрические явления, которые допускаются только в целях доказательства. Например, изображается пересечение двух перпендикуляров к одной прямой, которые на самом деле не пересекаются. Во-вторых, изображение указанных явлений в силу ограниченности размеров классной доски и тетрадей делается также условным: вместо постепенно сходящихся и пересекающихся где-то вдали перпендикуляров изображаются две пересекающиеся ломаные линии. Условность изображения того, что предполагается в целях доказательства, и условность самого предполагаемого факта требуют от учащихся большого умения отвлекаться от конкретного чертежа. Трудность преодолеть конкретность чертежа, на которую многократно указывалось при анализе предшествующего материала, с особой силой проявляется у учащихся при усвоении условных чертежей.

С условностью изображения учащиеся сталкиваются

Черт. 51.

на первых же уроках геометрии при усвоении понятия «точка». Учащимся говорится, что геометрическая точка измерений не имеет, что точка, изображённая мелом или карандашом, является только грубым изображением геометрической точки. Геометрическая же точка — это очень маленькая точка, как, например, укол тонкой булавкой. Такое объяснение автор слышал в нескольких школах.

Оказалось, что понять условность изображения точки, условность сделанного сравнения с уколом булавки учащимся было трудно. Это обнаружилось в решении задач, которые требовали умения оперировать не изображённой, а геометрической точкой. Например, в одной школе учитель начертил на доске произвольную прямую, взял на ней точку и поставил перед классом такой вопрос: «Сколько решений имеет задача взять точку на прямой?» Одна из учениц ответила: «У этой задачи бесконечное множество решений, потому что прямая бесконечна».— «А если бы взять отрезок, — тогда сколько решений?» — был поставлен второй вопрос.— «Надо было бы сосчитать»,—ответила ученица, а вторая сказала так: «Нам не известно, сколько точек, так как отрезок может быть маленький и большой».— «Возьмём самый маленький», — предложил учитель, но так как учащиеся молчали, то он продолжал: «Это трудно, на самом маленьком отрезке можно взять бесконечное множество точек». — «Как же так? — сказала ученица. — Например, возьмём отрезок в один сантиметр. И что же: точку нагромоздить на точку?»

Учитель. Пусть даже один миллиметр — и тогда можно поставить точек сколько угодно. Как мы представляем точку?

Ученица. В виде укола. Ну, как же: если уколы делать на бумаге, вся бумага проколется; как же это?

Геометрическую точку можно представлять в виде маленькой точки, но при этом надо знать, что и такое представление является только приближённым, только условным. Учащиеся же, представляя себе маленькую точку или след от укола булавки, не усваивают условности этих представлений и тем самым «опредмечивают» геометрическую точку, присваивают ей свойство хотя бы самого мелкого предмета занимать некоторое пространство.

При введении понятия «точка» лучше обходиться без всяких сравнений, которые неизбежно опредмечивают понятие. Учительница 518-й школы не вводила никаких сравнений при формировании у учащихся понятия «точка». Она раскрыла существенный признак этого понятия так: точка измерений не имеет, т. е. пространства не занимает, и затем указала на грубость изображения точек. В наблюдаемом нами классе учащиеся гораздо лучше справлялись с указанной выше задачей, чем учащиеся тех школ, в которых вводились указанные сравнения. Следовательно, усвоенное ими понятие «точка» было более правильным.

Приём сравнения, приводящий к нежелательным результатам при усвоении понятия «точка», в других случаях использования условного чертежа приносит большую пользу. Та же учительница при доказательстве теоремы о параллельности двух перпендикуляров к одной прямой удачно сравнивала допускаемое пересечение перпендикуляров с кажущимся пересечением рельсов в какой-то далеко видимой точке. При этом она разъясняла, что классная доска не позволяет начертить перпендикуляры пересекающимися далеко и поэтому изображение их предполагаемого пересечения очень грубое. Такое подведение учащихся к пониманию условного чертежа устраняло трудности его понимания.

В тех же случаях, когда учащимся не давалось никаких разъяснений, как следует понимать условный чертёж, учащиеся не понимали его условности, т. е. воспринимали показанный чертёж так, как он был начерчен.

Приведём примеры. Доказывая теорему о параллельности двух перпендикуляров к одной прямой, учитель сказал: «Допустим, что они (перпендикуляры) пересекутся где-то в точке Р», — и изобразил на доске их пересечение (см. черт. 52). «Но тогда сколько же перпендикуляров оказалось у нас опущенными из точки Р?» — обра-

Черт. 52.

тился он с вопросом к классу. Вместо ожидаемого ответа, что из точки Р оказались опущенными два перпендикуляра, учащиеся дали несколько различных ответов, из которых каждый был по-своему логичен. Одна из учениц сказала, что из точки Р опущено четыре перпендикуляра, так как каждый из отрезков она приняла за перпендикуляр. Вторая сказала, что из точки Р опущено три перпендикуляра. Учитель спросил: «А где же третий?» Ученица ответила: «Его можно провести по середине». Третья ученица дала такой ответ: «Из точки Р не опущено ни одного перпендикуляра».

Совершенно очевидно, что в своих ответах учащиеся исходили из представления перпендикуляра, который создавался у них в процессе усвоения этого понятия. Принять начерченные ломаные линии за перпендикуляры к прямой они не могли, так как это противоречило тому, что они знали о перпендикуляре. Они не понимали условности чертежа и не представляли себе изображённые перпендикуляры пересекающимися где-то очень далеко.

Такая же трудность возникла у учащихся другой школы, когда им доказывалась параллельность двух прямых по признаку равенства соответственных углов. На доске были начерчены две прямые, пересечённые третьей, и обозначены равные соответственные углы (см. черт. 53). Учительница сказала: «Для доказательства мы предположим, что прямые AB и CD где-то далеко пересеклись в точке Я. Тогда получится треугольник OPE. Будет OPE треугольником?» В классе поднялся шум: «Нет!», «Не будет!», «Какой же это треугольник!» Хотя учительница и дала разъяснение, что этих ломаных линий не должно быть, что на самом деле получится треугольник, на лицах многих учащихся выражалось сомнение.

Условным изображением пересечения двух прямых учащиеся не пользовались как наглядной опорой, чтобы представить себе прямые пересекающимися где-то вдали. Они воспринимали их пересекающимися так, как это бы-

Черт. 53.

ло изображено. Но при таком восприятии чертежа указания учителя на образование треугольника оказались противоречащими тому, что фактически видели учащиеся, а видели они пятиугольник. При объяснении этой же теоремы опытная учительница А. В. Виляевская вместо одного чертежа использовала несколько чертежей. На первом чертеже были показаны две параллельные прямые, пересечённые третьей, и отмечены равные соответственные углы. Когда учащимся разъяснялся вопрос о предполагаемом пересечении параллельных прямых, на втором чертеже пересечение их было произведено так, что получился треугольник (ом. черт. 54). На третьем чертеже таким же образом было показано пересечение прямых по другую сторону секущей (см. черт. 55).

Введение третьего чертежа тоже имело своё значение, так как учащиеся видели, что когда прямые предполагаются пересечёнными с одной стороны, они не предполагаются пересечёнными с другой.

Опыт использования трёх указанных чертежей при доказательстве признака параллельности прямых дал хорошие результаты. Изображение предполагаемого пересечения прямых в таком виде не вызывало у учащихся противоречия с ранее усвоенными понятиями1.

Таким образом, внесение некоторых изменений в чертёж при доказательстве указанных теорем может способствовать усвоению их учащимися.

Черт. 54. Черт. 55.

1 Такого же рода чертежи при изучении этих теорем рекомендуются в книге «Методика преподавания математики» под общей редакцией С. Е. Ляпина, Учпедгиз, 1952, стр. 356—359.

Конечно, методические приёмы, способствующие правильному усвоению условного чертежа, не ограничиваются указанным приёмом улучшения самого чертежа. Необходимо дополнительное изучение этого вопроса, однако ясно, что создание эффективных методических приёмов должно ставить целью воспитать у учащихся умение правильно воспринимать условный чертёж, умение преодолевать конкретность его изображения.

Усвоение рассуждений в процессе доказательства теорем

В доказательстве любой теоремы выделяются две стороны, тесно взаимосвязанные друг с другом.

1. Последовательность, или порядок рассуждений.

2. Обоснованность, или доказательность рассуждений.

Последовательность рассуждений представляет собой непрерывную цепь звеньев, следующих друг за другом в логическом порядке, подчинённом цели и идее доказательства. В основе усвоения последовательности рассуждений лежат связи между двумя следующими друг за другом суждениями. Образуется цепь последовательно устанавливаемых суждений. Например, при усвоении доказательства теоремы о равенстве треугольников по признаку равенства двух сторон и угла, заключённого между ними, наложение треугольников производится так, чтобы совместились вершины равных углов и две стороны этих же углов получили одну направленность. Совпадение двух сторон по их направленности является началом рассуждений по двум линиям. Во-первых, за указанным положением устанавливается совмещение концов этих сторон (или, что то же, совмещение двух других вершин треугольников); во-вторых—совпадение направленности двух других сторон, а за последним положением — совмещение концов этих двух других сторон (или двух третьих вершин треугольников) и т. д. Последовательность отдельных положений, а следовательно, и связи между ними определяются общей целью доказательства и логикой его замысла (т. е. пути).

Каждое положение в цепи рассуждений нуждается в обосновании. Для обоснования того или иного положения в цепи рассуждений привлекаются известные учащимся аксиомы и теоремы, а также данные условия теоремы и выполненные самим доказывающим построения. Напри-

мер, для обоснования того, что вершины Л и А\ накладываемых друг на друга треугольников совместятся (при условии, если уже совместились вершины В и В\ и стороны AB и А\В\ приняли одинаковое направление), привлекается данное по условию равенство сторон AB и А\В\. А для обоснования того, что стороны АС и А\С\ этих же треугольников совместятся друг с другом (при условии, что совпали вершины Л и Л] и С и Ci), привлекается аксиома: через две точки можно провести только одну прямую. Связи между устанавливаемым положением и его обоснованием являются по своему характеру причинно-следственными связями.

Образование связей между следующими друг за другом суждениями обеспечивает последовательность рассуждений в процессе доказательства, образование же связей между суждением и его обоснованием обеспечивает доказательность, обоснованность рассуждений.

В каждом классе, где велись наблюдения на уроках, находились учащиеся, которые могли последовательно изложить доказательство теоремы и обосновать при этом каждое положение. Однако подавляющее большинство учащихся самостоятельно не справлялось с доказательством теорем. Та же самая картина обнаружилась и в экспериментах с учащимися. Доказывая теорему, многие учащиеся пропускали отдельные звенья в цепи рассуждений. Причём, как правило, они не замечали свои пропуски, Приведём типичный случай доказательства теоремы учеником 518-й школы.

Ученик М. (сильный) доказывал один из признаков равенства треугольников (см. черт. 56) : «Наложим треугольник ABC на треугольник А\В\С\ так, чтобы сто-

Черт. 56.

рона AB пошла по стороне А\ В\ и точка В совпала сточкой В\. Тогда вследствие равенства сторон точка А совместится с точкой А\. Сторона ВС пойдёт по стороне ßiCb а АС пойдёт по Л1С1, так как между двумя точками можно провести только одну прямую. Так как все элементы совпали, то треугольники равны».

Ученик М. не заметил, что из его рассуждений выпало звено, в котором нужно было оказать о совпадении точек С и Ci, и в дальнейшем он говорило совпадении сторон АС и А\С\ таким образом, как будто бы совпадение точек С и Ci было им установлено. Правильно обосновав свои рассуждения в случае совпадения точек А и А\ и совпадения сторон АС и Л id, M. не привёл обоснований, почему сторона ВС пошла по стороне ßiCi. В беседе выяснилось, что М. прекрасно знал, что точка С должна совпасть с точкой Сь и мог без всяких затруднений пояснить, почему сторона ВС пошла по стороне ßiCi.

У многих учащихся выпадали звенья из разных частей доказательства теоремы. Выпавшие звенья иногда составляли целую часть доказательства. В этом отношении типично доказательство теоремы о свойствах внешнего угла треугольника учеником 150-й школы.

Ученик С. (слабый). «Нам надо провести луч из точки Л на середину ВС (см. черт. 47, стр. 124); отложим равное расстояние и соединим точку F с точкой С, потом у нас получатся равные углы; угол В равен углу BCF, но нам дан внешний угол, угол BCF меньше внешнего угла, он половину здесь составляет, угол BCF равен углу В и значит, угол В меньше внешнего угла».

Из доказательства ученика С. целиком выпало рассмотрение треугольников ABE и EFCf которое занимает значительную часть доказательства этой теоремы. Характерно, что в беседе С. воспроизвёл все выпавшие звенья и привёл правильные обоснования своих рассуждений, допустив только один раз ошибку в отношении сторон AB и CF, которую он тут же исправил.

Экспериментатор. Почему угол BCF равен углу ß?

С. Потому что против равных сторон лежат равные углы.

Экспериментатор. Где? С. В равных треугольниках.

Экспериментатор. Разве нам даны равные треугольники?

С. Нет, они не даны, но мы доказываем: если две стороны и угол, заключённый между ними, одного треугольника равны двум сторонам и углу, заключённому между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Экспериментатор. Какие же треугольники равны?

С. ABE и EFC; BE равна ЕС, так как проведена через середину, CF равна AB, потому что угол В равен углу С.

Экспериментатор. Разве эти углы равны?

С. Нет, вертикальные углы, и АЕ равна EF, а СЕ равна BE; теперь мы заключаем, что треугольники равны.

Экспериментатор. Почему ты не сказал этого, когда доказывал?

С. Забыл.

В нарушении последовательности рассуждений при доказывании теорем можно видеть полное сходство с тем фактом, который обнаружился и при анализе решения задач. Когда перед учащимися ставилась задача изложить последовательно рассуждения при переходе от понятий, данных по условию непосредственно, к понятиям, данным по условию опосредованно, учащиеся не справлялись с поставленной задачей. Из их рассуждений закономерно выпадали отдельные звенья или менялись местами и т. п. Всё это говорит о том, что сохранить последовательность рассуждений в процессе доказательства теорем для большинства учащихся представляет большую трудность. В дальнейшем будет показано, при каких условиях последовательность рассуждений сохраняется лучше.

Нарушение последовательности рассуждений проявлялось у учащихся не только в форме выпадения звеньев. (Последнее встречалось наиболее часто и имело место на протяжении всего учебного года.)

Приходилось также наблюдать, что учащиеся в процессе доказывания повторяют одно и то же положение несколько раз. Сам факт повторения одного и того же положения указывает на то, что учащиеся не могут в достаточной мере управлять своими рассуждениями. В ряде случаев повторению предшествовала какая-либо ошибка

в доказательстве (пропуск звена, неправильное обоснование и т. п.). Повидимому, осознание допущенной ошибки затормаживало мыслительный процесс учащихся, в результате чего и появлялось своеобразное «топтание на месте».

Ученица К. (средняя, 626-я школа) доказывала теорему о внешнем угле треугольника: «Проведём медиану АЕ (см. черт. 47) и продолжим на её длину до точки F и соединим F с точкой С. Нам надо доказать, что треугольники равны. АЕ равна EF, BE равна ЕС, а мы знаем, что и угол 1 равен углу 2, как углы вертикальные; эти треугольники равны; они равны по двум сторонам и углу, заключённому между ними; угол BCF составляет часть внешнего угла, и этот угол равен углу В, так как сторона BE равна стороне ЕС и они равны то первому признаку равенства треугольников. Мы знаем, что если две стороны и угол одного треугольника равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. Треугольник ABE равен треугольнику EFC, значит, угол В равен углу BCF, а угол BCF составляет часть внешнего угла, следовательно, угол BCD больше угла ß».

При рассмотрении треугольников ABE и EFC ученица К. верно устанавливает равные элементы (не приводя обоснований во всех случаях) и правильно указывает, по какой теореме треугольники равны. Затем она пропускает звено, в котором нужно было установить равенство углов В и BCF, и переходит к сравнению величины угла BCF с внешним углом треугольника. Но, очевидно, она замечает пропуск звена, так как тут же возвращается к нему и при этом повторяет снова все рассуждения, связанные с установлением равенства треугольников. Повторение в её доказательстве занимает относительно большое место. Возвратившись после повторения уже ранее сказанных положений к сравнению величины угла BCF с величиной внешнего угла треугольника, К. быстро и верно заканчивает доказательство.

Иногда, повторяя одни и те же положения, учащиеся оказываются не в силах вырваться из их круга и оставляют доказательство, если не получают помощи от педагога. Примером этого может послужить доказательство той же теоремы учеником 103-й школы.

Ученик М. (слабый). «Проведём медиану АЕ (см.

черт. 47), продолжим и точку F соединим с точкой С. У нас два треугольника: ABE и EFC; у них АЕ равна EF—мы одинаково откладывали; угол 1 равен углу 2, так как медиана делит треугольник пополам, а углы эти равны, а требуется доказать, что угол BCD больше угла В, угол BCD тупой, а угол В и угол А острые, а внешний угол треугольника больше каждого, не смежного с ним; один угол тупой, а два другие острые, угол А острый и угол В острый, а нам требуется доказать, что угол BCD больше угла А и больше угла ß».

M., приступив к рассмотрению треугольников, правильно установил равенство одной пары сторон и равенство углов. Обоснование к равенству углов он дал неверное, после чего рассуждения о треугольниках он оставил и, обратившись к тому, что требуется доказать в теореме, начал повторять задачу доказательства в различной форме, чередуя это с указанием на форму углов. Повторив несколько раз одни и те же положения, М. оставил доказательство, не в силах восстановить прерванную цепь рассуждений.

Экспериментатор был вынужден оказывать помощь в дальнейшем несколько раз, и тогда ученик М. восстановил всё доказательство, хотя при этом испытывал затруднения и один раз снова отклонился от правильных рассуждений, начав разговор про углы Л, F и В.

Экспериментатор. Скажи, почему угол 1 равен углу 2? Как называются такие углы?

М. Это углы вертикальные, значит, треугольник ABE равен треугольнику EFC, потому что у них АЕ равно EF, a BE равно ЕС и угол 1 равен углу 2, а раз треугольники равны, то угол А равен углу F, они острые, а внешний угол BCD, угол А и угол В острые.

Экспериментатор. Расскажи про угол В.

М. Угол В равен углу BCFy они лежат против равных сторон.

Экспериментатор. Верно. А что мы можем сказать про угол BCF?

М. Да, угол BCF — часть внешнего угла, а угол В равен углу BCF, а угол BCF — только часть угла, значит, угол BCF меньше внешнего угла и угол В меньше внешнего угла.

Самое интересное в приведённой беседе заключается

в том, что, как только экспериментатор придавал рассуждениям правильное направление, т. е. восстанавливал нарушенную цепь связей, М. каждый раз верно воспроизводил ряд звеньев в этой цепи. Следовательно, он знал доказательство теоремы, но он не мог ещё свободно управлять своими рассуждениями. Связи между отдельными звеньями доказательства были у М. ещё настолько непрочны, что малейшая трудность сбивала его с правильного пути.

Нарушение последовательности рассуждений выражалось также и в том, что учащиеся включали в доказательство лишние звенья. Включение лишних звеньев чаще всего объяснялось тем, что в процессе доказательства проявлялись связи, образованные при усвоении понятий, решении задач и т. д.

При доказательстве теоремы о внешнем угле треугольника ученик К. (слабый, 103-я школа), рассматривая вертикальные углы, установил равенство не только нужной пары углов, но и второй: «Получились вертикальные углы; угол 1 равен углу 2, а угол 3 равен углу 4» (см. черт. 57). То, что он сказал, было верно, однако равенство углов 3 и 4 в доказательстве не используется, и К., упомянув о них, ими не пользовался. Это лишнее звено включилось в доказательство К- как результат проявления связи, образованной ранее при нахождении и обозначении двух пар вертикальных углов.

Включение лишних звеньев имело место в ряде доказательств учащихся.

Характерно, что трудность выдержать последовательность рассуждений в процессе доказывания теоремы сочетается у учащихся с трудностью заметить нарушение последовательности в доказательстве какого-либо другого ученика. В одной из школ учительница систематически работала над тем, чтобы учащиеся внимательно следили за ответами своих товарищей и указывали на все допущенные ошибки. В результате такой работы учащиеся научились слушать ответы товарищей и подмечали много ошибок и неточностей. Однако они никогда не указы-

Черт. 57.

вали на пропущенные звенья в процессе доказательства теорем. Трудность заметить пропуск звена обнаружилась также в следующем эксперименте.

На трёх отдельных листках было написано доказательство теоремы о равенстве треугольников по двум сторонам и углу, заключённому между ними. Тут же были начерчены данные треугольники. На первом листке, который давался учащимся, доказательство было написано без ошибок, о чём и говорилось учащимся. На втором листке из доказательства было выпущено звено о совпадении двух вершин треугольников. (Именно то звено, которое выпало из доказательства ученика М. — см. стр. 143.) Перед чтением второго доказательства первый листок убирался и учащимся говорилось, что в доказательстве на втором листке есть одна ошибка, которую они должны найти. Учащиеся могли читать доказательство теоремы и думать над ним столько, сколько им хотелось. Из доказательства на третьем листке было выпущено другое звено, а именно рассуждение о совпадении сторон по их направленности вследствие равенства углов, заключённых между равными сторонами. Учащимся говорилось, что в доказательстве на третьем листке есть также одна ошибка.

Результаты этих экспериментов показали, что для учащихся шестых классов было крайне трудно найти ошибку в последовательности рассуждений. Только наиболее сильные учащиеся обнаруживали пропуск звена. При чтении текста можно было наблюдать, что учащиеся с большим вниманием читают каждую фразу доказательства и в каждой из них ищут ошибку, но так как каждая из написанных фраз сама по себе была правильной, то действительная ошибка не обнаруживалась.

Чтобы обнаружить пропуск звена в рассуждениях, надо следить за логикой их развёртывания, а большинство учащихся этого не делало. Даже в том случае, когда учащимся указывалось пропущенное звено рассуждений на втором листке, а затем давался третий листок, ряд учащихся (и не только слабо успевающих) не мог найти ошибку.

Нередко учащиеся допускали ошибки и в обосновании положений доказательства. Как было показано на ряде раннее приведённых примеров, учащиеся пропускали обоснования положений доказательства. При этом во

многих случаях оказывалось, что учащиеся знают пропущенные обоснования. Кроме того, они часто приводили неправильные обоснования.

Характерной ошибкой учащихся при обосновании рассуждений является смешение причин, которые обусловливают совмещение сторон и точек при наложении фигур. Весьма часто совпадение сторон по их направленности учащиеся объясняют равенством сторон, а совмещение вершин треугольников — равенством углов. Причиной указанного смешения является непонимание зависимости между направленностью сторон и величиной углов в фигуре, между длиной сторон и положением их концов.

Чтобы учащиеся хорошо понимали зависимость между указанными элементами, нужны разнообразные упражнения с наложением картонных или даже просто бумажных треугольников друг на друга. Однообразные упражнения не достигают цели. В одном из классов при прохождении теоремы о свойствах равнобедренного треугольника учащиеся работали на уроке с бумажными треугольниками, перегибая их по биссектрисе угла при вершине треугольника. Учительница несколько раз обращала внимание учащихся на то, что боковые стороны принимают одинаковое направление, потому что углы равны. По ответам учащихся можно было думать, что они хорошо поняли эту зависимость. Когда же она предложила взять биссектрису другого угла, стала по ней перегибать треугольник и спросила, примут ли стороны этого угла одинаковое направление, то многие учащиеся ответили отрицательно, основываясь на том, что стороны не равны.

Упражнения с моделями треугольников приносят учащимся огромную пользу. В тех школах, где они имели место, учащиеся меньше ошибались при обоснованиях доказываемых положений, так как указанные зависимости между сторонами и углами были ими усвоены на практике.

В ряде школ учителя ограничивались словесными объяснениями, пользуясь только чертежом на доске и за ставляя учащихся мысленно представлять наложение треугольников. В этих школах многие учащиеся хотя и приводили в процессе доказательства верно заученные обоснования, но на самом деле указанную зависимость не

понимали. Ошибки в обоснованиях встречались у них чаше.

Упражняться в том, чтобы представлять, какое положение займёт сторона накладываемого треугольника, куда упадёт конец стороны и т. п.,— очень полезно для учащихся, но такие упражнения уместны после того, как все учащиеся поймут указанные зависимости на моделях.

Весьма частой ошибкой при обоснованиях рассуждений является также смешение аксиом и теорем. Например, при доказательстве равенства треугольников по двум сторонам и углу, заключённому между ними, используется аксиома о проведении одной прямой через две точки, а при доказательстве равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам — следствие из этой аксиомы о пересечении двух прямых в одной точке. Сходство аксиомы со следствием (говорится о прямых и точках) ведёт к смешению их, и учащиеся постоянно подменяют аксиому следствием, и наоборот. Возможность смешения аксиомы и следствия учитывается опытными педагогами. Так, в 518-й школе учительница Н. В. Косарёва многократно закрепляла связи между теоремами и указанными положениями, ставя в классе такие вопросы: какая аксиома используется при доказательстве такой-то теоремы? Где мы пользуемся следствием о пересечении двух прямых в одной точке? и т. д.

В процессе доказывания теоремы, когда перед учащимися стоят обе задачи, т. е. задача выдержать последовательность рассуждений и задача обосновать каждое положение, та и другая многими учащимися не разрешаются в полной мере. Каждая из них по-своему трудна для учащихся, наличие же двух задач усугубляет трудности. Поэтому, когда учащиеся освобождаются от одной из них, то с оставшейся они справляются лучше, чем сразу с двумя.

На уроках и в экспериментах мы встретились с рядом случаев, когда учащиеся, доказывая теорему, воспроизводили правильно последовательность положений, но совсем не приводили их обоснований. Чаще всего таким способом доказывались теоремы, в которых имело место наложение треугольников. Произвольность первых мысленно производимых действий (наложение треугольника ABC на треугольник А\В\С\ так, чтобы вершина В совпала с вершиной ßi и т. д.) переносилась учащи-

мися на все остальные рассуждения, и они перечисляли последовательно совпадение всех элементов треугольников.

Так, например, доказывал теорему о равенстве треугольников ученик 518-й школы С. (слабый): «Теорема доказывается способом наложения. Мы треугольники наложим, чтобы сторона AB пошла по А\ВЬ точка А совместилась с точкой Ль а точка В совместилась с точкой В и чтобы угол Л совместился с углом А\ и сторона Л С пошла по стороне А\С\, точки Л и С пошли по точкам А\ и Ci и чтобы сторона ВС пошла по стороне В\С\. Так как все стороны совместились, то треугольник ABC равен треугольнику А\В\С\».

С. последовательно рассказал, какие элементы совмещаются друг с другом при наложении треугольников, но ни одно из положений не было им обосновано. В беседе выяснилось, что С. знал обоснования.

Приведём протокол беседы.

Экспериментатор. Если мы наложим точку Л на точку А\ и сторона AB пойдёт по стороне А\В\, то почему точка В совпадёт с точкой Bi?

С. Потому что эти стороны равны.

Экспериментатор. А почему сторона АС пойдёт по стороне Л]Ci?

С. Потому что точка Л совместится с точкой Au

Экспериментатор. Подумай.

С. Потому что угол Л равен углу А\.

Экспериментатор. Куда упадёт точка С?

С. Точка С упадёт в точку Си потому что Л и Л1 совпали, а стороны равны.

Экспериментатор. Что будет со стороной ВС?

С. ВС совпадёт с В\С\, потому что эти точки-то совпали, В совпала с В и а С совпала с С\.

Экспериментатор. Почему же ВС совпадёт с ßiCi, если совпали эти точки?

С. ВС совпадёт с ßiCi, потому что через две точки можно провести только одну прямую.

Экспериментатор. Почему ты не говорил этого, когда доказывал?

С. Потому что всё трудно говорить.

Подобное явление имело место и в ряде других случаев. Учащиеся знали обоснования, а в процессе доказательства ими не пользовались. Психологически интерес-

но, что для самих учащихся доказательство без объяснений не переставало быть доказательством и субъективно они оставались довольны своими рассуждениями. «Всё ясно», «всё понятно», — говорили они, когда их спрашивали, всё ли им ясно в их доказательстве. «Доказал ли ты теорему?» — спрашивали мы ученика П. — «Доказал, — отвечал П. — углы при основании равнобедренного треугольника равны».

Экспериментатор. А почему ты ничего не объяснил?

П. Забыл.

Ответы остальных учащихся на последний вопрос были примерно такими же.

Когда экспериментатор брал на себя задачу установления последовательности рассуждений при доказательстве теоремы и требовал от учащихся только правильных обоснований, учащиеся опять-таки справлялись с обоснованиями лучше, чем в обычных условиях доказывания.

Приведём протокол занятий со средним учеником 518-й школы 3., которому было предложено доказать равенство треугольников по двум сторонам и углу, заключённому между ними: «Дано: треугольник ABC и треугольник А\В\С\,АВ равна АгВи АС равна А\С\ и угол А равен углу А\\ требуется доказать, что треугольники равны. Мы наложим треугольник ABC на треугольник i4ißiCi, чтобы точка А совместилась с точкой А\ и AB пошла по А\В\\ вследствие равенства этих сторон точка В совпадёт с точкой В\, сторона ВС совпадёт с ВхС{у так как мы ВС наложили на В\С\, чтобы они совместились. Вследствие равенства этих сторон точка С совпадёт с точкой Си Так как элементы треугольника ABC равны элементам треугольника А\В\С\9 следовательно, треугольники равны».

3. правильно рассказал, как накладываются треугольники и почему точка В совместится с точкой ßi. Затем он пропустил из доказательства совпадение по своей направленности сторон АС и А\С\ и совсем неправильно рассказал о совмещении остальных элементов. С доказательством теоремы он не справился.

Экспериментатор. Теперь будем доказывать по вопросам. Я буду задавать тебе вопросы, а ты на каждый вопрос постарайся ответить верно, так мы вме-

сте и докажем теорему. Каким способом доказывается эта теорема?

3. Теорема доказывается способом наложения.

Экспериментатор. Как мы накладываем треугольники?

3. Мы накладываем треугольники так, чтобы точка А совместилась с точкой А\ и сторона AB пошла по стороне А\В\.

Экспериментатор. Верно. А что будет с точкой В?

3. Точка В совместится сточкой В\ вследствие равенства этих сторон.

Экспериментатор. Да. А что будет со стороной Л С?

3. АС пойдёт по стороне А\С\, так как (пауза) угол А равен углу А\.

Экспериментатор. Что будет с точкой С?

3. Точка С совместится с точкой Сь потому что сторона АС равна стороне А\С\.

Экспериментатор. Что будет со стороной ВС?

3. ВС совместится с В\С\, так как точка В равна точке В\, а точка С равна точке Ci.

Экспериментатор. Что случилось с элементами треугольников ABC и А\В\С\?

3. Они все совпали.

Экспериментатор. Что мы можем сказать про треугольники?

3. Треугольники равны.

На все вопросы, за исключением вопроса о совмещении сторон ВС и В\С\, ученик 3. дал правильные ответы. Когда было выяснено, почему совмещаются стороны ВС и В\С\, экспериментатор предложил 3. самому доказать теорему, подчеркнув, что всё надо рассказывать по порядку и всё надо объяснять так, как он объяснял в ответах на вопросы.

Ученик 3. Наложим треугольник ABC на треугольник А\В\С\, чтобы точка А совпала с точкой А\, сторона AB совместилась со стороной А\В\\ точка В совместится с точкой В и сторона АС пойдёт по стороне А\С\, точка С совместится с точкой Ci, а ВС пойдёт по В\С\У так как между двумя точками можно провести только одну прямую.

Постановка двух задач — рассказать всё по по-

рядку и дать обоснования — явно создала для ученика 3. затруднения.

Первую задачу он выполнил, т. е. последовательно рассказал, какие элементы совмещаются при (наложении треугольников, но никаких обоснований не привёл, за исключением того последнею звена, объяснить которое он раньше не мог. Ученик не закончил доказательство теоремы.

Экспериментатор указал 3. на то, что было правильно в его доказательстве и чего не хватало в нём. Снова на все вопросы, поставленные в том же порядке, 3. даёт верные ответы и снова ему предлагается доказать теорему полностью.

Ученик 3. Наложим треугольник ABC на треугольник A\Bid так, чтобы точка А совпала с точкой А\\ AB пойдёт по стороне А\Ви АС пойдёт по стороне Л id; вследствие равенства этих сторон точка С совместится с точкой Ci, потому что угол А равен углу Ai. ВС совместится с В\Си так как между двумя точками можно провести одну прямую. Треугольники совместились, следовательно, они равны.

Теперь 3. старался выполнить обе задачи, но выполнение их опять-таки оказалось неполным. Из рассуждений 3. выпало звено о совмещении точек В и В\. Обоснования также не были приведены полностью, так как он не сказал, почему сторона АС пошла по стороне А\С\. Вероятно, потом он вспомнил про это, так как дальше совсем некстати указал на равенство углов А и А\.

Самое интересное и важное здесь в том, что каждая из задач по отдельности выполнялась им хорошо. Он мог последовательно рассказать о совмещении всех элементов треугольника, не приводя обоснований. Когда последовательность рассуждений устанавливалась экспериментатором в форме поставленных вопросов, 3. давал правильные обоснования каждому положению доказательства.

Доказать же теорему полностью, выполнив обе задачи, ему ещё явно было не по силам. Такие же трудности были и у других учащихся, которые не справлялись с доказательствами теорем. Наряду с пропусками в рассуждениях появлялись пропуски обоснований и ошибочные обоснования.

В методической литературе многократно указывалось

на то, что усвоение логических доказательств трудно для учащихся шестых классов. Поэтому важно было исследовать, какие конкретные трудности встают перед учащимся и какие методические приёмы оказываются наиболее эффективными в педагогическом процессе.

Совершенно ясно, что чем прочнее у учащихся будут связи, образованные в процессе усвоения обоснований отдельных положений доказательства, с одной стороны, и чем прочнее будут связи между отдельными положениями доказательства, с другой стороны, тем легче будет учащимся доказывать теоремы, т. е. одновременно справляться с двумя задачами в едином сложном процессе доказывания.

Методические приёмы, которыми бы мог воспользоваться учитель для обучения последовательности рассуждений, разработаны недостаточно. Основной методический приём заключается в том, что учитель даёт в своём рассказе образец рассуждений, которому должны следовать учащиеся. Справедливо отметить, что хороший образец рассуждений, которого, кстати, учащиеся VI класса не находят в своём учебнике, приносит большую пользу. Автор наблюдал, что некоторые учащиеся повторяли доказательство теоремы непосредственно за учителем лучше, чем через несколько дней, в течение которых они учили теорему. Однако этот приём не является универсальным, как думают некоторые учителя, ограничиваясь применением его одного. В одной из школ Москвы молодая учительница, желая, чтобы все учащиеся её класса знали теоремы, организовала дополнительные уроки, на которых каждая ученица доказывала перед классом теорему о свойствах равнобедренного треугольника с её помощью. Однако не все ученицы, выслушав доказательство 30—33 раза, сумели повторить его самостоятельно.

Повторение одной и той же теоремы в таком количестве раз является педагогически неоправданным приёмом, так как неизбежная при этом однообразность работы притупляет мыслительную деятельность учащихся, непроизводительно отнимает много времени и сил у учителя и учащихся и в лучшем случае способствует механическому запоминанию доказательства.

Несомненно, что больший эффект приносят те методы, которые заставляют учащихся усваивать теорему

творчески. Самостоятельный анализ доказательства теорем учащимися приносит огромную пользу, но он непосилен всем учащимся.

Со стороны посильности для всех учащихся более применимым является метод развёртывания доказательства через решение задач, рекомендуемый опытным педагогом 528-й средней школы г. Москвы Д. А. Слоним1. Прежде чем доказывать новую теорему, Д. А. рекомендует весь ход доказательства преобразовать в ряд последовательно следующих друг за другом задач, решение которых осуществляется учащимися и приводит их к «открытию» доказываемого в теореме положения. В результате решения задач учащиеся получают план доказательства, который записывается на доске, и, сформулировав с помощью учителя теорему, доказывают её обычным путём. Этот метод обеспечивает активность всех учащихся, так как все решают задачи, которые формулирует учитель, все участвуют в составлении плана доказательства и, конечно, более активно слушают доказательство, которое выполняется по плану одним из учащихся.

Составление плана доказательства облегчает учащимся задачу сохранить последовательность рассуждений. Поэтому очень полезна математическая запись доказательства, к которой прибегают многие учителя и которая сохраняется в тетрадях учащихся. Математическая запись выполняет функцию плана, если учащиеся правильно ею пользуются. По нашим наблюдениям, правильное использование записи удаётся не всем учащим-

1 Д. А. Слоним, Доказательство теорем методом решения задач. Рукопись, представленная на «Педагогические чтения» в 1948/49 учебном году.

Метод изучения теорем путём решения задач Д. А. Слоним имеет только внешнее сходство с «методом целесообразных задач» С. И. Шохор-Троцкого, который считал необходимым поставить учеников в положение изобретателей, открывающих для себя через решение задач познанные человечеством знания. Принципиальное различие этих методов в том, что Д. А. Слоним использует решение задач с целью достижения мыслительной активности всех учащихся при усвоении теорем, не считая момент «открытия» принципиальным путём усвоения знаний учащимися. С. И. Шохор-Троцкий придавал моменту «открытия» знаний при решении задач особое значение, так как исходил из ложного положения о том, что ребёнок в своём развитии должен повторять путь развития человечества.

ся. Некоторые учащиеся, правильно воспроизведя математическую запись на классной доске, сводят доказательство теоремы к прочтению этой записи. Очевидно, составить связный рассказ, т. е. восполнить промежуточные звенья доказательства, сделать переходы от одного звена к другому, для некоторых учащихся трудно. С таким же явлением мы встретились и в контрольных работах, когда учитель ставил задачу сначала воспроизвести математическую запись доказательства, а потом написать его связно. Запись воспроизводилась точно, а связный рассказ не получался. Вводя математическую запись, учитель должен следить за правильным её использованием всеми учащимися и вырабатывать умение доказывать теорему по предложенному плану.

Неразработанной оказывается и методика обучения правильным обоснованиям положений доказательства. Несомненно, что при усвоении признаков равенства треугольников огромное значение для образования прочных связей между положениями доказательств и их обоснованиями имеет раскрытие зависимостей между совмещением сторон треугольников и величиной углов, между совмещением вершин треугольников и длиной сторон на моделях.

Эффективность этого приёма объясняется тем, что указанные зависимости раскрываются учащимся наглядно и при этом на материале, который близок к окружающим предметам. Картонный или деревянный треугольник — это такой же конкретный предмет, как книга, доска и др. Особенно важно, чтобы учащиеся не только смотрели, как работает с моделью учитель, но и работали бы с нею сами. Работа руками означает проторение новых нервных путей, по которым идёт образование соответствующих связей в мозгу учащихся. Чем больше нервных путей, тем крепче полученные знания.

Так как доказательство теоремы в целом является трудным для учащихся процессом, методика выявления действительных знаний учащихся, т. е. методика опроса, в этом разделе приобретает особое значение. Опытные педагоги умеют сочетать опрос учащихся с обучением их доказательству теорем. Прежде всего они подходят к учащимся дифференцированно, т. е. учитывают, какие учащиеся могут доказывать теоремы самостоятельно, а какие из них нуждаются в помощи.

При опросе учащихся, которым ещё трудно доказывать теоремы самостоятельно, широко применяется система вспомогательных вопросов, выявляющая действительные знания учащихся. В ряде случаев педагоги считают правильным давать учащимся прямые указания, о чём они должны говорить дальше, и т. д. Покажем на конкретном примере, как опытная учительница А. В. Виляевская вела опрос слабой ученицы К.

Ученица К. была вызвана к доске отвечать теорему о свойствах биссектрисы угла при вершине равнобедренного треугольника. Прежде всего учительница облегчила ответ К., ограничив её задачу доказательством только того, что биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является одновременно медианой и высотой. К. делает чертёж (см. черт. 58) и говорит: «Дан треугольник ABC, и дана биссектриса BD; нам требуется доказать, что биссектриса есть одновременно медиана и высота».

Учительница. Запиши, что дано.

К. Дано: треугольник ABC, угол первый равен углу второму, AB равна ВС (записывает); требуется доказать, что биссектриса есть медиана и высота (пауза).

Учительница. Как записать, что BD — медиана?

К. AD равна DC (записывает) .

Учительница. А как записать, что BD — высота?

К. BD перпендикулярна АС (записывает), треугольник ABD будем вращать около биссектрисы, и вследствие равенства утла 1 и угла 2 стороны совпадут, а вследствие равенства сторон точка А совпадёт с точкой С, а точка D и точка В останутся на своём месте; и угол 3 равен углу 4 (пауза).

Учительница. Скажи про отрезок AD и DC.

К. Они совпали, потому что точка А совпала с точ-

Черт. 58.

кой С, а между двумя точками можно провести только одну прямую, значит, BD — медиана.

Учительница. Теперь расскажи про углы 3 и 4.

К. Угол 3 равен углу 4.

Учительница. Почему?

К. Они тоже совпали.

Учительница. Что у них совпало?

К. У них стороны совпали, a BD перпендикулярна АС, значит, BD — высота.

Учительница. Как можно назвать угол 3 и угол 4?

К. Эти углы смежные, а общая сторона смежных углов является перпендикуляром.

Учительница. Каких смежных углов? Любых?

К. Нет. Когда смежные углы равны, значит, они прямые и общая сторона — перпендикуляр, а значит, она — высота.

Как видно из записи урока, учительница всё время направляла рассуждения К-, указывала ей, что нужно делать дальше, ставила перед ней вопросы, напоминала о необходимости дать обоснования, заставляла уточнять свою мысль и т. д. При такой помощи знания К. были выявлены полностью и вместе с тем К. получила возможность поучиться доказывать теорему.

В беседе с автором учительница сказала: «Все учащиеся не могут сразу научиться доказывать теоремы. Сильные ученицы (перечисляет фамилии) уже сами доказывают. Остальным же сначала надо помогать, направить их в этом деле, а потом уже требовать. Средние учащиеся к концу года уже начнут овладевать доказательствами, а слабеньким ещё и потом придётся помогать, пока они окрепнут».

Разумно помогая, учительница одновременно и обучала учащихся и выявляла их знания.

Большую ошибку допускают те учителя, которые ограничивают свою задачу при опросе учащихся формальным прослушиванием того, что может сказать сам ученик. Не оказывая разумной помощи учащимся, для которых доказательство теорем является сложным и трудным процессом, они фактически и не выявляют действительных знаний и не используют опрос для обучения их доказательству теорем. Приведём запись опроса слабой ученицы в другой школе.

Ученица Ф. была вызвана к доске отвечать ту же теорему. Ф. начертила треугольник и начала доказательство: «Нам дан равнобедренный треугольник ABC; AB равна ВС и угол 1 равен углу 2; требуется доказать, что AD равна DC, угол 3 равен углу 4 и угол 5 равен углу 6».

Учитель. Так и в теореме сказано?

Ф. Нет, в равнобедренном треугольнике (пауза); тогда было так записано.

Учитель. А что было записано?

Ф. Биссектриса угла в равнобедренном треугольнике одновременно является медианой и высотой, углы при основании равны. Пусть BD делит угол при вершине; требуется доказать, что BD есть медиана и высота. Повернём треугольник вокруг BD, чтобы угол А упал на угол С.

Учитель. А вдруг не упадёт? Ф. Чтобы сторона AB упала на сторону ВС. Учитель. А вдруг не упадёт? Ф. Чтобы сторона AB пошла по стороне ВС. Учитель. А вдруг не пойдёт? Ф. Чтобы треугольник ABD упал на треугольник BDC.

Учитель. Чтобы теорема была выучена, надо говорить, почему AB пойдёт по ВС. Садись.

Ф. (идёт на место). Потому что угол первый равен углу второму.

Если бы педагог дал ученице прямые указания относительно того, как надо сформулировать теорему, выделить, что дано и что нужно доказать, если бы в процессе доказательства он поставил вопросы, почему сторона AB пойдёт по стороне ВС и т. д., он достиг бы больших результатов, так как смог бы выяснить, как в действительности знает теорему Ф., и, направляя рассуждения Ф., он одновременно учил бы её и других учащихся последовательным рассуждениям.

Если при этом учесть, сколько огорчений себе и учащимся доставляет учитель, предъявляя в отношении доказательств одни и те же требования всем учащимся, сколько неверия в свои силы и отвращения к геометрии невольно порождает он у учащихся, и сравнить с тем требовательным, но бережным отношением к каждому ученику, которое проявляют опытные педагоги-мастера,—

необходимость дифференцированного подхода к учащимся, необходимость учитывать особенности и силы различных учащихся в процессе доказательства теорем становится неоспоримой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Усвоение геометрических доказательств учащимися шестых классов связано с преодолением ряда серьёзных трудностей.

Во-первых, отвлечённость, или абстрактность, геометрических рассуждений при доказательстве теорем требует от учащихся умения отвлечься от конкретности используемых чертежей. Многие учащиеся при усвоении доказательств не поднимаются сразу на ступень усвоения отвлечённых геометрических рассуждений и относят последние к показанному чертежу. Наиболее ярко указанная особенность усвоения доказательств проявляется у учащихся в отношении теорем, доказываемых способом предположения, поскольку чертежи к этим теоремам отличаются особой условностью. Пути преодоления указанной трудности заключаются в том, чтобы на начальном этапе изучения геометрии через широкую вариацию признаков фигур создать у учащихся богатый запас разнообразных подвижных представлений и тем самым обеспечить «многообъемлемость» усваиваемого слова и его регулирующую роль при рассмотрении чертежа. При изучении же теорем, доказываемых способом предположений, необходимы особые разъяснения учителя, подводящие учащихся к пониманию условного чертежа.

Во-вторых, при усвоении доказательств учащиеся встают перед необходимостью усвоить строго последовательную цепь рассуждений, в которой каждое положение должно быть обосновано. При усвоении доказательств, с одной стороны, у учащихся образуются связи между последовательно идущими друг за другом геометрическими положениями. С другой стороны, каждое положение учащиеся связывают с определённым обоснованием, в качестве которого могут выступать теоремы, аксиомы, вспомогательные построения и ранее сделанные рассуждения. Тем самым в едином сложном процессе дока-

зательства теоремы создаются две задачи: сохранить последовательность рассуждений и обосновать каждое положение.

Сочетание указанных задач для многих учащихся оказывается трудным. Справляясь с каждой из задач в отдельности, учащиеся не могут выполнить их одновременно. Типичными ошибками учащихся являются нарушение последовательности рассуждений (пропуск звеньев, их перестановка, введение лишних звеньев, повторение одних и тех же положений и т. д.) и пропуск обоснований.

В значительной мере трудности усвоения теорем усугубляются тем обстоятельством, что изложение доказательств в существующем учебнике геометрии (Киселёва) совершенно не соответствует возрастным особенностям учащихся.

Трудности овладения логическими доказательствами при изучении теорем вызывают необходимость пересмотреть программные требования к учащимся в этом разделе. Очевидно, что требование строить длинную цепь логических рассуждений не соответствует подготовке и развитию учащихся, особенно в первое полугодие. В этот период более соответствующим возрастным особенностям учащихся является путь опытного изучения теорем, подводящий учащихся к овладению логическими доказательствами.

Сочетание опытного изучения теорем с изучением их логических доказательств хорошо осуществлено в учебнике геометрии Н. Н. Никитина1. Каждое доказываемое положение (понятие о теореме в этом учебнике даётся в конце года) вначале устанавливается опытным путём (через решение задач, непосредственным измерением и т. д.), а затем выводится путём логических рассуждений, которые изложены ясно и доступно для понимания учащихся.

При использовании пути опытного изучения теорем встаёт ряд вопросов, решение которых важно для практики обучения. Прежде всего встаёт вопрос о том, в какой период правильнее осуществлять переход от опытного изучения теоремы к её логическому доказательству.

1 Н. Н. Никитин, Начальный курс геометрии для семилетней школы. Учебный материал для VI класса, Москва, 1952.

В указанном выше учебнике переход к логическим доказательствам осуществляется при изучении самых первых теорем, начиная с теоремы о равенстве вертикальных углов. Далее важно изучить, какими конкретными путями необходимо подводить учащихся к овладению логическими рассуждениями, чтобы достигнуть у учащихся понимания значимости логических рассуждений. Большое значение имеет вопрос о том, какою наглядностью необходимо пользоваться при опытном и логическом изучении теорем и какие формы сочетания объяснений учителя с наглядностью являются наиболее правильными. Важно изучить, какие особенности и трудности имеет процесс применения усвоенных теорем при решении задач учебного и практического характера.

* * *

Настоящие «Очерки» представляют собой начальный этап психологического изучения сложной проблемы усвоения геометрического материала учащимися шестых классов. В них представлены результаты исследований, направленных на раскрытие особенностей и трудностей усвоения начальных геометрических знаний и на поиски путей для повышения эффективности обучения. Изложенные результаты ни в какой мере не исчерпывают всей совокупности вопросов, которые встают перед педагогом, преподающим геометрию в шестых классах, и особенно сейчас, когда наша школа осуществляет политехнизацию обучения. Многие вопросы ещё совсем не затронуты в «Очерках», многие вопросы только поставлены для дальнейшего их изучения.

Задача «Очерков» заключается не только в том, чтобы изложить результаты проведённых наблюдений и экспериментов, но и в том, чтобы показать педагогу необходимость тщательного изучения и продумывания причин, затрудняющих процесс усвоения геометрического материала, и в том, чтобы побудить педагогов принять активное участие в проводимых исследованиях. Участие педагогов, непосредственно осуществляющих процесс обучения, в исследовании особенно ценно и крайне важно сейчас, когда перед школой стоит задача обеспечить прочное усвоение знаний учащимися, выработать у них разнообразные умения и навыки применять полученные

знания при решении практических вопросов, создать понимание значения получаемых знаний для науки и практики социалистического строительства.

Только совместными усилиями педагогов, методистов и психологов, руководствуясь основными положениями диалектического материализма и опираясь на достижения передовой советской науки, можно добиться нужных успехов в преподавании геометрии в средней школе.