В.И.Зыкова

ФОРМИРОВАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ УМЕНИЙ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

ИНСТИТУТ ПСИХОЛОГИИ

Педагогическая библиотека учителя

В. И. ЗЫКОВА

ФОРМИРОВАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ УМЕНИЙ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Под редакцией члена-корреспондента АПН РСФСР Н. А. МЕНЧИНСКОЙ

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Москва 1963

Печатается по решению Ученого совета Института психологии АПН РСФСР

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ........ 3

Формирование практических умений, связанных с использованием чертежных инструментов........17

Формирование практических умений в процессе измерительных работ на местности..........55

Заключение..............186

Литература............. 198

Вера Ивановна Зыкова

ФОРМИРОВАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ УМЕНИЙ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Редактор Л. С. Деноткина Переплет А. Д. Смелякова Худож. редактор Т. И. Добровольнова Корректоры В. А. Седова, Л. С. Кейль

Сдано в набор 15/VI 1962 г. Формат 84ХЮ87з2 Бум. л. 3,12

Уч.-изд. л. 10,86 Тираж 20 000 экз.

Подписано к печати 4/IX 1962 г. Печ. л. 12,5 (условных 10,25)

Цена 39 коп. Зак. 320

Изд-во АПН РСФСР, Москва, Погодинская ул., 8. Типография Изд-ва АПН РСФСР, Москва, ул. Макаренко, 5/16.

ВВЕДЕНИЕ

Формирование у учащихся практических умений и навыков при изучении различных учебных предметов приобретает большое значение в условиях политехнической школы. Осуществление этой задачи способствует сближению обучения с жизнью и подготовке учащихся к участию в производительном труде. Овладевая практическими умениями и навыками, учащиеся глубже проникают в смысл получаемых знаний и приобретают опыт применения их в конкретной действительности.

В процессе преподавания каждого учебного предмета имеются широкие возможности формирования у учащихся практически полезных умений. В курсе геометрии такие возможности создаются в работе с чертежными инструментами и различного рода измерительными приборами, при моделировании тел, практическом определении объемов и поверхностей предметов, измерении площадей и т. д. Большое количество практических умений формируется у учащихся в процессе овладения измерительными работами на местности.

Несмотря на то что вопрос о формировании практических умений и навыков является очень важным, до сих пор он разрабатывался недостаточно. В психологической и методической литературе не были освещены, в частности, особенности формирования практических умений у школьников в процессе обучения геометрии. А это важно для более правильной организации и методики проведения практических работ, в том числе и измерительных работ на местности. Этому вопросу и был посвящен ряд исследований автора, результаты которых изложены в данной книге.

Центральное место среди понятий, используемых

автором, занимает понятие «умение», поэтому необходимо кратко остановиться на вопросе о том, как трактуется содержание этого понятия в психологической литературе.

При изучении способов выполнения практических действий в психологии употребляются два понятия — умения и навыки. До сих пор содержание этих понятий четко не разграничено. В ряде учебных пособий до последнего времени умения отождествлялись с навыками («Психология» под редакцией проф. К. Н. Корнилова, 1948; «Психология» проф. Т. Г. Егорова, 1955 и т. д.).

В последние годы, в значительной мере под воздействием педагогической практики, направленной на формирование у учащихся трудовых и политехнических умений, вопрос о разграничении содержания понятий «умение» и «навык» встал более остро. В результате дискуссии о содержании этих понятий, проведенной на страницах журналов «Советская педагогика» и «Вопросы психологии», выяснилось, что принимавшие в ней участие психологи и представители педагогической науки были единодушны в вопросе о необходимости различать указанные понятия1.

В значительной части психологических работ, в том числе и в ряде учебников психологии [36], [31], развивается следующая точка зрения на умения и навыки: в основе различения этих понятий лежит различная степень осознаваемости способа действия. Умения — это способы выполнения действий, совершающиеся на основе полученных знаний и требующие полного осознавания всех выполняемых операций, входящих в состав действия. Навык же, в отличие от умения, является способом действия, автоматизированным в результате упражнения и поэтому не требующим осознавания каждой отдельной операции. Это не означает, что обладающий навыком совершает действия бессознательно, — контроль за выполнением их осуществляется постоянно. Поэтому, как правильно указывается в учебнике психологии [36], в случае небходимости (изменение условий, препятствие, ошибка и т. п.) способ действия сразу же становится предметом сознавания.

1 «Советская педагогика», 1953, № 10, 1955, № 1; «Вопросы психологии», 1955, № 3, 1957, № 1.

Характеризуя умение, многие авторы — Н. Д. Левитов [31], Н. А. Рыков [39], С. В. Янанис [50] и др. —указывают в качестве его существенного признака выбор правильных приемов для достижений цели.

Д. Н. Богоявленский и Н. А. Менчинская [4], рассматривая формирование умений более широкого типа, а именно умений применять знания при решении различных задач, также неоднократно подчеркивают связь этой проблемы с вопросом о выборе наиболее эффективных приемов решения.

Таким образом, вопрос о выборе приемов решения задач и об овладении ими является одним из важных при изучении процесса формирования умений. На этапе первоначального овладения умением операция выбора приема нередко вызывает трудности. А у человека, обладающего навыком, между целью и условиями работы и приемами (или способами) выполнения действий уже устанавливаются прочные связи. Большинство психологов признает, что навыки всегда формируются в процессе упражнений, тогда как умения могут формироваться по-разному: «с места», т. е. без упражнений, и в результате их.

Различаются только что сформированные, или первоначальные, умения и умения развитые, характеризующиеся тем, что владеющий ими может выполнять действие в различных вариациях. Навык формируется на основе умения; в свою очередь он может стать основой для овладения развитым умением, мастерством.

Разделяя изложенную точку зрения на умения и навыки, мы и исходили из нее в нашем исследовании.

Другая точка зрения на умения и навыки имеется у Е. И. Бойко [5], [6]. Автор считает неправильным пользоваться субъективным признаком осознаваемости действий для различения умений и навыков. Объективное же основание для их различения он видит в том, что приобретенная готовность человека к действию представляет сложное приспособление его к двум условиям: к изменению жизненных ситуаций, требующих различных действий, и к постоянству некоторых условий, требующих стереотипных действий. Таким образом, в умении подчеркивается момент приспособления действия к изменениям ситуации. Уметь сделать — значит примениться к различным условиям для достиже-

ния цели. Навык же предполагает повторение определенных условий и соответствующих им способов действий. Овладеть навыком — значит данный способ выполнения действия применять в определенных повторяющихся условиях.

Следует согласиться с Е. И. Бойко, что при развитом умении, в основе которого лежит обобщенное знание и представление о способах выполнения действия, действительно происходит легкое приспособление к изменению жизненных условий. Вместе с тем первоначально сформированное умение не характеризуется легкой приспособляемостью к изменениям ситуации. В частности, в проведенном исследовании, где мы имели дело с первоначально сформированными у учащихся практическими умениями, приспособление к новым условиям вызывало у многих трудности. Следовательно, признак легкого приспособления к любым условиям нельзя отнести ко всем умениям, без учета этапа их формирования и связанного с ним качественного своеобразия.

Завершая изложение основных точек зрения на умения и навыки, следует сказать, что, конечно, установить резкую грань между этими способами действий нельзя, поскольку умения могут постепенно превращаться в навыки, а навыки в свою очередь могут стать основой приобретения новых умений или совершенствования имеющихся. Вместе с тем различение их продуктивно, поскольку это качественно разные способы действия, при изучении которых встают наряду с общими и свои специфические проблемы. Так, при изучении формирования навыков специфической является проблема автоматизированности действия, кривой упражнений, т. е. зависимости формирования навыка от количества упражнений, распределения их во времени и т. д. При изучении умений, как уже указывалось ранее, такой проблемой является выбор правильных приемов для достижения цели. Человек, владеющий умением, может варьировать свои действия, приспосабливать их к конкретным условиям, достигать одной и той же цели по-разному. Умения могут формироваться разными путями. В частности, собственноручное выполнение действия не является обязательным условием для формирования многих умений, особенно на первом этапе.

Рассматривая литературу по вопросу о путях фор-

мирования умений, мы вынуждены одновременно иметь в виду и навыки, поскольку в психологической литературе умения и навыки далеко не всегда разграничиваются.

В психологии вопрос о формировании умений и навыков включается в широкую проблему развития произвольных, или сознательно регулируемых движений. Исследованию этой проблемы посвящена монография А. В. Запорожца [19], обобщающая большой экспериментальный материал, накопленный в отечественной и зарубежной литературе, а также полученный автором и коллективом сотрудников, работающих под его руководством. Результаты этой работы представляют большой интерес для решения ряда проблем педагогической психологии и, в частности, для изучения процесса формирования практических умений у школьников. Автор устанавливает, что успешность овладения действиями у детей зависит от того, в какой мере при обучении обеспечивается их ориентировочная деятельность. В этой связи раскрывается существенное противоречие в методе обучения, основанном на подражании наглядному образцу действия: оно легко приводит детей к требуемому результату, избавляя их от поисков и ошибок, и вместе с тем лишает их необходимой самостоятельной ориентировки в содержании действия, которая обеспечивает полноту и глубину усвоения движений.

Другие результаты дает обучение, обеспечивающее самостоятельную ориентировку ребенка. Так, для детей среднего и старшего дошкольного возраста путь самостоятельных проб решения задачи, когда нужно самостоятельно отыскать правильное действие, является трудным. В этих условиях обучение происходит медленнее и сопровождается большим количеством ошибок. Однако в дальнейшем обнаруживается, что действия, сформированные у детей путем самостоятельных проб, более приспособлены к новым условиям.

В монографии прослеживается эффективность различных способов обучения в преддошкольном, дошкольном и младшем школьном возрасте. Показывается, что способность к подражанию и к овладению действием на основе словесной инструкции развивается у детей постепенно. В младшем дошкольном возрасте при овладении несложными движениями более эффективен путь «пас-

сивных движений», когда взрослый помогает ребенку выполнить движение. Однако уже на следующих ступенях развития дошкольников и младших школьников обучение методом «пассивных движений» дает низкие результаты по сравнению со способами наглядного показа и словесных указаний.

Конечно, эффективность способа обучения в большой степени зависит от сложности задачи, которая стоит перед детьми. При сравнительно легкой задаче дети могут правильно действовать на основе словесной инструкции. Трудная задача может потребовать применения тех способов обучения, которые не являются уже эффективными на данном этапе развития детей.

Указанная закономерность проявляется и при обучении школьников. В нашем исследовании мы встретились с такими фактами, когда отдельные наименее развитые учащиеся овладевали некоторыми практическими умениями путем «пассивных движений», так как поставленная задача оказывалась для них трудной, в то время как их сверстники овладевали этими же умениями на основе объяснений и показа.

Общие закономерности формирования умений были прослежены в ряде исследований последних лет, посвященных формированию графических умений и навыков.

Условия успешного овладения письмом младшими школьниками раскрыты в монографии Е. В. Гурьянова [16]. Автор придает большое значение сознательному выполнению упражнений. Приступая к письму, учащиеся всегда должны четко осознавать, что им нужно воспроизвести, из каких элементов состоит воспроизводимая буква и как они должны действовать, чтобы достигнуть цели.

Четкое осознавание задачи и особенно способа действия является основным условием формирования не только графических, но и других практических умений. Вместе с тем автор подчеркивает важность активного стремления учащихся к совершенствованию результатов своей деятельности.

Е. В. Гурьянов устанавливает очень важный момент в процессе формирования умений — необходимость расчленения стоящей перед учащимися задачи. Сложная задача овладения письмом осваивается учащимися по этапам (изображение графических элементов, затем

букв, слов, предложений, затем упражнения на скорость и т. д.). Кроме того, автор рекомендует четко выделять отдельные операции при выполнении каждого конкретного упражнения.

Автор показывает, что наряду с расчленением поставленной задачи эффективно временное упрощение ее с той целью, чтобы учащиеся могли научиться соблюдать важные для формирования данного умения требования. Одна из основных трудностей при овладении письмом заключается в том, что учащиеся не справляются одновременно с графической задачей и соблюдением гигиенических и технических требований. Начиная писать, учащиеся сразу же нарушают нужную позу, не следят за положением тетради, пера и руки. В этом случае эффективным оказывается упрощение графической задачи до постановки точек. В условиях максимально упрощенного упражнения у учащихся легче воспитывается самоконтроль за положением тела, рук и тетради во время письма.

Процесс формирования у учащихся графических умений на уроках черчения, геометрии и рисования исследовался Б. Ф. Ломовым [29]. В его книге раскрывается сложное взаимодействие между умениями, создаваемыми в процессе обучения указанным предметам. Отсутствие единых требований нередко вызывает отрицательное влияние одних умений на другие. Так, графические умения, сформированные на уроках рисования, нередко задерживают формирование умений на уроках геометрии, а последние — формирование умений на уроках черчения.

Автор обоснованно ставит вопрос о введении в школе единого графического режима, устраняющего подобные противоречия в требованиях и результатах обучения.

При изучении формирования трудовых умений учащихся на уроках ручного труда (Е. В. Гурьянов [15], Т. Н. Боркова [7], [8]) устанавливаются два вида деятельности школьников: репродуктивная, основанная преимущественно на воспроизведении действий, показанных учителем, и конструктивная, в основе которой лежит самостоятельное мышление учащихся. Важнейшая особенность конструктивной деятельности — самостоятельный анализ трудового процесса, понимание

взаимоотношений между действиями, целью действий и условиями работы, практическое применение усвоенных знаний.

На основе репродуктивной деятельности у учащихся формируются первоначальные трудовые умения, однако при этом не всегда достигается умение выполнить то же самое изделие самостоятельно. Если учащиеся, изготовляя картонную коробку или папку для тетрадей, выполняли одну за другой нужные операции «под диктовку» учителя, то оказывалось, что во многих случаях они не могли сделать потом эти же вещи самостоятельно. И наоборот, при активном анализе условий изготовления вещи и участии в планировании предстоящих операций учащиеся лучше улавливали взаимосвязь между отдельными операциями и лучше усваивали порядок сложного действия. Характерно, что в том и другом случае учащиеся выполняли все операции сами, но в одном они были только пассивными исполнителями, в другом же — активными участниками всего процесса изготовления вещи. Умение самостоятельно выполнять трудовое задание обнаруживали также те учащиеся, которых специально обучали действовать по неполной инструкции, предусматривающей разъяснение только главных действий.

Одним из путей формирования практических умений у учащихся являются их наблюдения за действиями учителя или другого лица. Наглядный показ выполнения задачи, сопровождаемый объяснениями, находит широкое применение в школе. В исследованиях Н. А. Рыкова [38], [39] показывается значение этого пути, не уступающего по своей эффективности другим способам формирования практических умений. Автор экспериментально сравнивал результаты формирования практических умений у учащихся VII класса на уроках зоологии в условиях непосредственного выполнения ими действий и в условиях наблюдения за чужими действиями. Изучалось формирование умения вскрывать лягушку и пользоваться такими приборами, как опыливатель, опрыскиватель, капкан и т. д. Как оказалось, в тех и других условиях учащиеся одинаково хорошо овладевали умениями.

Мы охарактеризовали основные особенности формирования практических умений у детей, установленные в

проведенных исследованиях. Однако исследованиями охвачены далеко не все учебные предметы, в процессе изучения которых формируются практические умения у школьников. Между тем, чтобы выявить все многообразие условий формирования умений и оценить эффективность различных способов обучения, необходимо исследовать этот процесс на различном учебном материале и на разных ступенях обучения.

В нашем исследовании ставилась задача раскрыть особенности процесса формирования практических умений у учащихся VI класса на уроках геометрии. Как известно, в VI классе учащиеся приступают к изучению систематического курса геометрии и в этот период они приобретают большое количество различных практических умений, связанных с использованием чертежных инструментов: линейки, чертежного треугольника, транспортира, циркуля и т. д. По линейке они проводят прямые, циркулем и линейкой производят действия над отрезками и углами, с помощью транспортира строят и измеряют углы, чертежный треугольник используют при проведении перпендикуляров к прямым, высот в треугольниках и т. д.

Все эти умения составляют основу для овладения более сложной деятельностью, в частности, построением геометрических фигур при решении задач на построение, измерительными работами на местности, работами по черчению.

На протяжении всего года обучения программа по геометрии предусматривает проведение измерительных работ на местности. В процессе их проведения у учащихся также формируются различные умения, начиная с элементарного провешивания прямых на местности и кончая сложными умениями производить съемку плана участка.

Значение измерительных работ в школе для осуществления политехнизации обучения с достаточной полнотой раскрыто в методической литературе. Прежде всего отмечается легкость перехода от измерений в учебном плане к общественно полезным измерениям. Так, в работах В. В. Репьева [41], [42] указывается, что практические занятия на местности могут иметь не только учебный характер, но и стать полезными для хозяйства школы, колхоза, коммунальных учреждений; что с ис-

пользованием плана местности для решения тех или других практических задач сталкиваются люди самых различных профессий: техники коммунальных строительств, геологи-разведчики, гидрологи, занимающиеся вопросами орошения и осушения земель, землемеры, специалисты по лесному хозяйству, техники водного, железнодорожного транспорта и т. д. Таким образом, измерительные работы на местности создают хорошую подготовку учащихся к овладению многими производственными процессами, тем более что, как указывают П. Я. Дорф и А. О. Румер [18], употребляемые в школе приборы и приемы работы отличаются от производственных только большей простотой и меньшими требованиями точности.

Многие авторы — Б. Н. Белый [3], Д. М. Смычников [44], В. В. Репьев [41] и т. д. — отмечают, что в процессе овладения измерительными работами у учащихся пробуждается живой интерес к математике.

Почти во всех пособиях указывается на огромное значение измерительных работ для развития пространственных представлений и пространственного воображения учащихся. Отмечается, что в процессе работы на местности у учащихся развивается способность видеть геометрические образы на плоскости и в пространстве (В. Г. Кайрис [26]), что условное изображение колышками геометрических фигур заставляет их в своем воображении достраивать фактически не изображенные элементы (В. В. Репьев). Кроме того, признается доступность измерительных работ для учащихся и их большое воспитательное значение.

Основным содержанием методических пособий и руководств является описание измерительных работ с распределением их по классам, описание измерительных приборов и принципов их использования, раскрытие содержания основных понятий (план и карта, масштаб, азимут) и т. д. Методические указания касаются главным образом вопросов организации работ и даются сравнительно скупо. Отчасти это объясняется нежеланием авторов ограничивать инициативу учителей при проведении измерительных работ в школе. Так, в пособии П. Я. Дорфа и А. О. Румера [17; 4] говорится, что «инструкции в тексте преднамеренно не слишком подробны. Главное, что должны усвоить учащиеся в первую оче-

редь, — это сущность предстоящей работы, ее смысл. Для этого достаточно общих направляющих указаний. В деталях работы, ее промежуточных звеньях ценнее всего самостоятельное творчество работающих, счастливые находки, привычка сознавать и чувствовать себя участником трудового коллектива, идущего к общей цели».

Сравнительно небольшое количество методических указаний можно объяснить также слабой изученностью того, как учащиеся овладевают измерительными работами на местности, в чем трудности этого процесса, какие ошибки являются типичными. В частности, невыясненным остается вопрос о том, какие требования к пространственной ориентировке следует предъявлять при измерительных работах и как следует развивать у учащихся восприятие пространственных отношений.

Указания на конкретные затруднения учащихся и на их ошибки встречаются в методических руководствах очень редко.

В психологической литературе процесс усвоения измерительных работ, предусмотренных программами средней школы, специально не рассматривался. Имеются работы, раскрывающие особенности формирования представлений о протяженности у учащихся начальных классов. Так, в исследованиях H. М. Яковлевой [48] и О. П. Сергеевич [43] показывается, что учащиеся выделяют существенный признак мер длины (постоянную длину метра, сантиметра и т. д.), а также соотношение между метром и другими мерами длины только в конкретной измерительной деятельности, создающей у них прочные наглядные образы. О. П. Сергеевич вносит существенную поправку в понимание методистами таблицы мер как наглядного выражения системы мер, устанавливая, что числовые соотношения в таблице мер являются, напротив, абстрактным выражением наглядного соотношения между мерами. В этой работе также показывается, что овладение умением чертить план местности (площадки, класса и т. п.) связано для учащихся с трудностью отвлечься от конкретных свойств предметов (их высоты и др.).

Д. К. Гилев [14] изучал процесс развития глазомерной оценки длины отрезков на местности и особенности формирования навыка определять направления по сто-

ронам горизонта у учащихся V—VII классов. Автор устанавливает, что на первом этапе учащиеся решают поставленные задачи развернуто, например при оценке расстояния они мысленно укладывают на нем длину отрезка, принятого ими за единицу измерения, сопровождая этот процесс вспомогательными движениями рук. На втором этапе приемы работы учащихся изменяются в сторону сокращения развернутых действий, при этом показатели точности определения направлений и длины расстояний повышаются.

Большой интерес для изучения процесса измерительных работ на местности, в частности работ по съемке плана участка, представляет исследование Ф. Н. Шемякина [47]. Автор изучал процесс решения задач «путь» и «площадь» учащимися I—VII классов. При решении задачи «путь» учащиеся должны были начертить по представлению план своего пути из школы домой или обратно. Задача «площадь» заключалась в выполнении плана знакомой площади также по представлению, т. е. учащиеся должны были пространственно разместить на бумаге здания, памятники, скверы и другие объекты. Автор рассматривает способы решения этих задач учащимися разных классов и устанавливает два типа топографических представлений: ранее возникающий тип «Карта-путь», при котором отображается мысленно прослеживаемый путь передвижения по местности, и позднее развивающийся — «Карта-обозрение», отображающий системы взаимного расположения предметов на местности. Первый нужен при узнавании направлений и расстояний между пунктами пути и характеризуется постепенностью прослеживания пространственных отношений. Второй — необходим для пространственного определения каждого пункта местности по отношению ко всей совокупности других пунктов и характеризуется одновременностью их мысленного охвата.

Результаты проводимого нами исследования в той его части, где рассматриваются особенности формирования практических умении в процессе съемки плана местности, оказались близкими к результатам исследования Ф. Н. Шемякина.

В нашем исследовании изучался процесс формирования практических умений, связанных с использованием чертежных инструментов и проведением измери-

тельных работ на местности, у учащихся шестых классов. При изучении особенностей этого процесса два основных вопроса были в центре нашего внимания:

1) соотношение теоретических знаний, полученных учащимися на уроках геометрии, с формирующимися у них практическими умениями;

2) особенности восприятия учащимися пространственных отношений в процессе овладения практическими умениями.

Известно, что только при опоре на знания можно успешно формировать сложные практические умения у учащихся. Однако важно было выяснить, какого рода знания играют решающую роль при овладении практическими умениями, в частности в какой мере учащиеся могут опираться на теоретические знания (понятия, аксиомы, теоремы); всегда ли знание о том, как нужно действовать, обеспечивает успешное выполнение действия; играет ли при этом роль уровень усвоенных знаний, и в частности умение дать словесный отчет о своих действиях. Изучению последнего вопроса в исследовании уделялось большое внимание.

Большое значение в исследовании получил также вопрос о восприятии пространственных отношений. Уже предварительные наблюдения за работой учащихся с чертежными инструментами в классе и измерительными приборами на местности показывали, что процесс формирования практических умений предъявляет значительные требования к развитию пространственных представлений учащихся, к их умению ориентироваться на чертеже и на местности. Эти требования являются особенно высокими в работах по съемке плана участка, поскольку учащиеся должны различать пространственные направления по движению часовой стрелки и против ее движения при обозначении вершин участка и выполнении его плана, совершать переходы от ориентировки на местности к ориентировке на чертеже и обратно при измерении участка и т. д.

Наряду с изучением поставленных вопросов мы стремились возможно полнее раскрыть возникающие перед учащимися трудности и проанализировать причины их ошибок. В связи с этим в исследовании наряду с наблюдениями и экспериментами, направленными на выяснение особенностей формирования практических

умений, широко использовался психолого-педагогический эксперимент. Его задача заключалась в практической проверке эффективности тех принципов и конкретных способов обучения, которые создавались в результате анализа полученного ранее материала. При этом в экспериментальном обучении большое значение придавалось тем методам, которые способствовали умственному развитию учащихся и развитию восприятия ими пространственных отношений. Психолого-педагогические эксперименты в классе осуществлялись как самими учителями, так и автором.

Первый раздел книги посвящен изучению процесса формирования у школьников практических умений, связанных с использованием чертежных инструментов (линейки, чертежного треугольника, транспортира) на уроках геометрии.

Во втором разделе — основной части книги — дан анализ формирования практических умений в процессе измерительных работ на местности.

В исследовании не ставилось цели охватить полностью все измерительные работы, предусмотренные программой по курсу геометрии в VI классе. Вместе с тем мы проследили процесс формирования практических умений у учащихся, начиная с самых простейших (провешивание прямых на местности) и кончая наиболее сложными (съемка плана участка).

В заключении изложены основные итоги исследования и педагогические рекомендации, вытекающие из их результатов.

Основная экспериментальная работа проводилась автором на протяжении ряда лет в содружестве с коллективом учителей-математиков средней школы № 518 Москвы, систематически обсуждавших результаты наблюдений и экспериментов автора и активно участвовавших в проведении психолого-педагогических экспериментов. В книге использованы также наблюдения на уроках геометрии в ряде других школ Москвы.

Автор выражает глубокую благодарность за участие в работе заслуженной учительнице РСФСР Н. В. Косаревой, учителям В. С. Зверевой, А. Т. Рогову, Т. П. Удальевой, председателю методического объединения математиков школы № 518 В. М. Серову, а также дирекции и всему коллективу учителей школы.

ФОРМИРОВАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ УМЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧЕРТЕЖНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Практические умения пользоваться чертежными инструментами (линейкой, циркулем, чертежными треугольниками и т. п.) начинают формироваться у учащихся VI класса с первых уроков геометрии. Естественно, что при изучении этого процесса важно было выяснить, какими методическими приемами пользуются учителя. С этой целью были проведены наблюдения на уроках геометрии у учителей с разным опытом работы в школе и с различной квалификацией. В результате наблюдений выявлены два основных типа обучения, каждый из которых характеризуется особым соотношением между словесными объяснениями учителя и его практическими действиями.

Первый тип обучения мы покажем на примере урока, посвященного раскрытию понятия «перпендикуляр к прямой». В процессе урока учащиеся овладевали умением пользоваться чертежным треугольником. Приведем отрывок из протокола урока.

На доске начерчены прямая и наклонная к ней. Учитель постепенно увеличивает угол наклона и объясняет, что при этом наклонная может занять такое положение, когда между прямыми образуется прямой угол (рис. 1).

Учитель. В этом случае прямая уже не будет называться наклонной. Она будет иметь свое название —

Рис. 1

«перпендикуляр к прямой» (пишет на доске: перпендикуляр; учащиеся пишут в тетрадях и копируют чертеж).

Перпендикуляром мы называем такую прямую, которая с другой прямой образует прямые углы. Перпендикуляр можно проводить не только вверх от прямой, но и вниз (прикладывает чертежный треугольник и проводит перпендикуляр вниз от прямой; учащиеся выполняют это же в своих тетрадях).

Мы можем проводить прямые в любых направлениях (берет несколько прямых на доске в различных положениях и проводит к ним с помощью чертежного треугольника перпендикуляры). Смотрите, и перпендикуляры к ним идут в различных направлениях; все зависит от того, как нам дана прямая. Только заметьте, что везде образовались прямые углы; если прямой угол не образуется, это уже не будет перпендикуляр, это будет наклонная (учащиеся копируют чертежи в тетрадях).

Как видно из протокола урока, учитель, сосредоточив свои объяснения на понятии «перпендикуляр», не пояснил вовсе, как пользоваться чертежным треугольником, чтобы проводить перпендикуляр к прямой. Он много раз показывал учащимся, как это нужно делать, и ни разу не пояснил своих действий. Учащиеся, выполняя чертежи в тетрадях, копировали его действия. Таким образом, умение проводить перпендикуляр к прямой создавалось на данном уроке только на основе зрительного восприятия действий учителя с чертежным треугольником, без сочетания их со словесными объяснениями.

Оказалось, что в таких условиях учащиеся мало обращали внимание на действия учителя с чертежным треугольником. Они старались провести прямые в том же положении, как на доске. Для них не имело значения, как при этом накладывается чертежный треугольник. Так, ученица Катя М. при накладывании чертежного треугольника располагала катет его ниже прямой (рис. 2), ученица Лена К. проводила перпендикуляры по гипотенузе чертежного треугольника (рис. 3), а ее соседка — просто по линейке и т. д. На вопрос, почему чертежный треугольник не накладывался ими правильно, учащиеся со смущением говорили, что они не заметили, как его накладывал учитель, и вместе с тем

Рис. 2

Рис. 3

отмечали, что у них чертежи сделаны совсем так, как на доске.

Нужно сказать, что урок, на котором учитель не объяснял ученикам, как пользоваться чертежным инструментом, является исключением. Мы приводим его лишь для того, чтобы показать первый тип обучения в развернутом виде. Однако мы нередко встречались с этим типом обучения, наблюдая за обучением отдельным операциям, входящим в то или иное практическое умение.

Второй тип обучения практическим умениям характеризуется достаточно правильным сочетанием объяснений учителя с наглядным показом действий с чертежными инструментами. Приведем выдержки из протокола урока в другой школе.

После проверки домашнего задания учитель сообщает классу тему урока:

— Сегодня я буду объяснять новый материал и учить вас пользоваться чертежными инструментами. Вы узнаете, что называется перпендикуляром к прямой (на доске пишет число, тему урока и чертит неравные смежные углы).

Не приводя подробного протокола урока в той части, где вводилось понятие «перпендикуляр», отметим только, что учитель использовал тот же прием изменения наклона общей стороны смежных углов, обращая вни-

мание учащихся на то, что при увеличении острого угла соответственно уменьшается тупой угол и наконец они становятся равными, т. е. прямыми.

Учитель. Теперь научимся проводить перпендикуляры к прямым. Возьмем прямую; в каком направлении ее провести — решительно все равно. Возьмем в таком положении (чертит несколько наклонно).

Ученик (с места). Зачем криво?

Учитель. Это все равно. Возьмем точку О на прямой. Нужно из точки О провести перпендикуляр к прямой AB. Беру линейку и накладываю на прямую (показывает классу), потому беру чертежный треугольник и прикладываю его катетом к линейке так, чтобы вершина прямого угла совпадала с точкой О (показывает). Теперь остается по второму катету провести прямую, которая и будет перпендикуляр (чертит). Запишем: ОК_1_АВ (объясняет запись). Кто сумеет провести перпендикуляр к прямой MD из точки К (чертит прямую и точку на доске)?

К доске выходит ученик Петя Д. Он правильно накладывает линейку, затем чертежный треугольник, проводит перпендикуляр и делает запись.

Учитель. Хорошо. Теперь разберем другой случай: нам дана прямая и точка вне прямой (чертит прямую и точку). Видите, точка С лежит не на прямой MD\ нужно из точки С провести перпендикуляр к прямой MD.

Смотрите, я снова накладываю линейку на прямую (показывает), а теперь прикладываю чертежный треугольник катетом к линейке и подвожу его к точке С (показывает классу движение треугольника); провожу прямую. Прямая СО будет перпендикуляром к прямой MD (записывает). Возьмем теперь прямую ВС и точку К вне прямой. Кто сумеет провести?

К доске выходит Коля Р. Он правильно прикладывает линейку к прямой, но не может справиться с чертежным треугольником. Наконец прикладывает его ги-

Рис. 4

потенузой к точке К (рис. 4). Учитель подходит и помогает подвинуть треугольник катетом к точке К.

На этом уроке учитель объяснял ученикам, как проводить перпендикуляры к прямым, пользуясь чертежными инструментами. Объяснение сопровождалось показом соответствующих действий. Чертеж выполнялся на классной доске. Учащиеся воспроизводили действия учителя.

Наблюдения за тем, как ученики выполняли работы в своих тетрадях, показывали, что все учащиеся старались воспроизвести действия учителя с чертежными инструментами. Следовательно, в этих условиях обучения прием использования чертежного инструмента осознанно усваивался учащимися. Поэтому дети гораздо лучше справлялись с работой, чем в предыдущем классе. Они старались правильно наложить треугольник, хотя некоторым учащимся не удавалось сразу соотнести его катеты с прямой и точкой на чертеже.

Формирование практических приемов работы с чертежными инструментами, основанное на втором типе обучения, по нашим наблюдениям, широко распространено в школе.

В дальнейшем мы сосредоточили свое внимание на изучении процесса формирования следующих умений: умения строить и измерять углы с помощью транспортира и умения проводить высоты в треугольниках с помощью чертежного треугольника. Эти умения являются наиболее сложными в программе VI класса, овладение ими вызывает наибольшие трудности; и, наконец, они находят большое применение при измерительных работах на местности.

Каждое из указанных умений состоит из ряда операций. Например, умение измерить угол включает в себя следующие операции: 1) наложение центра полуокружности на вершину угла; 2) совмещение радиуса со стороной угла; 3) нахождение на транспортире того ряда градусных делений, который начинается от указанной стороны, иначе — нахождение 0° у стороны, которая совмещена с радиусом транспортира; 4) нахождение в этом ряду (по этой дуге) деления, соответствующего направлению второй стороны угла.

Чтобы установить, все ли из указанных выше операций сопровождаются показом и объяснениями учителя,

рассмотрим выдержки из протоколов нескольких уроков, посвященных формированию умения измерять углы. 1-й урок.

Учитель. Чтобы измерить угол, нужно сделать его центральным углом. Для этого я кладу транспортир так, чтобы вершина угла совпала с центром транспортира, а сторона угла — с диаметром транспортира (показывает). А теперь я отсчитываю градусы от 0°. Смотрите, как я отсчитываю (делает рукой соответствующие движения). Получается 70° (показывает на транспортире 70°). Значит, этот угол равен 70°. А теперь посмотрите, как я приложу транспортир к другой стороне угла и опять отсчитаю от 0°, и смотрите (показывает), все равно будет 70°.

2-й урок.

Учитель. Как же пользоваться транспортиром? Я накладываю центр транспортира на вершину угла, а его радиус должен пойти по стороне угла (показывает). Теперь смотрим, сколько же будет градусов. Смотрите, на транспортире цифры идут слева направо и справа налево. Мы находим 0° (показывает рукой 0°) и отсчитываем градусы справа налево до другой стороны угла (показывает). Смотрите, против второй стороны — 60° (показывает). Запишем: угол ABC равен 60°.

Как видно из приведенных записей, первые две операции— наложить центр транспортира на вершину угла и совместить его радиус со стороной, как правило, и объясняются и показываются учащимся. Третья же операция — определить тот ряд, по которому нужно вести отсчет градусов, часто учащимся только показывается. Учитель говорит, что градусные деления идут справа налево и слева направо и что нужно считать от 0°, но самый существенный признак этой операции, т. е. что нужно найти 0°, расположенный у стороны, по которой идет радиус транспортира, — не всегда называет. Он предлагает учащимся смотреть, от какого 0° ведется отсчет градусов. Следовательно, в этом случае учащиеся должны сами, на основе зрительного восприятия действий учителя, выделить и осознать этот признак. На первый взгляд такая задача кажется очень легкой, так как ясно видно, что учитель отсчитывает градусы от 0°, расположенного у стороны, совмещенной с транспортиром. Однако с этой задачей справляются не все уча-

щиеся и в значительной мере потому, что она не встает перед ними, так как учитель не ставит вопроса, от какого 0° нужно отсчитывать градусы.

Не всегда формулируется и четвертая операция. По нашим наблюдениям, подобное сочетание наглядного показа выполнения операций и объяснений является распространенным.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С УЧАЩИМИСЯ

Для того чтобы выяснить, как в типичных для школы условиях формируются практические умения у учащихся, какие затруднения и ошибки оказываются характерными, мы проводили индивидуальные эксперименты. Между уроком, на котором начиналось формирование умения, и экспериментами обычно проходили одна-две недели.

Умения измерять и строить углы с помощью транспортира изучались у 15 учащихся. (5 из них хорошо успевали по геометрии, 5 средне и 5 слабо)1. Сначала учащимся предлагалось рассказать, как они будут измерять или строить угол, а затем практически измерить и построить несколько углов.

Соответственно изучалось умение проводить высоты в треугольниках с помощью чертежного треугольника у 19 учащихся (6 хор., 7 сред, и 6 слаб.), причем предварительно выяснялось, знает ли ученик, что называется высотой треугольника, и умеет ли проводить перпендикуляр к прямой. Обнаружившиеся при этом недостатки сразу же устранялись.

Требуя от учащихся рассказов о предстоящих действиях, мы сопоставляли их с умением выполнить эти действия. Результаты сопоставления приведены в табл. 1 (данные приведены в %).

Если сопоставить рассказы учащихся о предстоящих действиях при измерении и построении углов и проведении высот, то результаты оказываются примерно одинаковыми: наиболее полно отвечали хорошо успевающие учащиеся и наименее полно — слабо успевающие.

1 В дальнейшем мы везде будем обозначать успеваемость учащихся сокращенно: хор., сред., слаб.

Таблица 1*

Группы учащихся по успеваемости

Измерение углов

Построение углов

Проведение высот

названо

выполнено

названо

выполнено

названо

выполнено

Хорошая......

75

100

62,8

94,2

83,3

100

Средняя ......

60

90

54,2

97,0

53,6

47,6

Слабая .......

45

50

40

46,8

37,4

25

* Выполнение операций учитывалось при проведении высот в остроугольных треугольниках.

Характерно, что даже наиболее развитые учащиеся не воспроизводили в рассказе всех операций. Следовательно, даже для них осознать в расчлененном виде каждый из этих сложных процессов было трудно.

При измерении и построении углов учащиеся всех групп правильно выполняли большее число операций, чем называли. Следовательно, из рассказов выпадала часть таких операций, которыми практически ученики владели. Иное соотношение получилось у учащихся слабой и средней группы при проведении высот: некоторые названные операции не были выполнены правильно. Таким образом, мы получили разные соотношения между рассказами о выполнении операций и практическим их выполнением.

Вместе с тем из таблицы видно, что умение дать словесный отчет и практически выполнить операции всюду прямо соотносится с успеваемостью учащихся. Хорошо успевающие учащиеся давали наиболее полные отчеты о своих действиях и хорошо выполняли их. У средне успевающих и слабо успевающих учеников словесные отчеты были менее обстоятельными, что в общем соответствует более низкому уровню развития их практических умений.

Однако такое сопоставление дает только самое общее количественное представление о соотношении умения рассказать и умения практически выполнить операции, но не раскрывает качественных различий между учащимися. Не менее важно сопоставить ответы

учащихся и в другом отношении: сравнить, как рассказывали о своих действиях учащиеся разных групп, были ли существенные различия в их ответах.

Для выяснения этого вопроса сопоставим типичные ответы хорошо успевающих и слабо успевающих учащихся.

Владимир С. (хор.). Чтобы построить угол, нужно начертить линию, середину транспортира поставить в точке и чтобы диаметр стоял на линии, потом отсчитываем снизу градусы и поставим точку, потом проведем линию.

Владимир К. (хор.). Буду измерять угол так: на транспортире есть насечка и ее нужно приложить к вершине угла, сторона транспортира идет по стороне, а другая сторона будет показывать градусы.

Борис Ф. (хор.). Чтобы провести высоту из вершины треугольника на основание, надо взять прямоугольный треугольник, приложить одним катетом к основанию и двигать, чтобы второй катет подошел к вершине, и тогда провести линию — это будет высота.

Юрий Н. (слаб.; задача построить угол). Сперва палочку сделаю, на центр палочки поставлю транспортир и проведу.

Люся И. (слаб.; задача измерить угол). Приложим вершину угла к центру и отсчитаем с правой стороны.

Экспериментатор. Почему же с правой? Разве всегда градусы отсчитываются с правой стороны?

Люся И. Потому что с правой стороны угол.

Валерий Б. (слаб.; задача провести высоты). Поставим треугольник на сторону О и потом проведем линию из вершины А.

Из приведенных ответов видно, что хорошо успевающие ученики не просто называют больше операций. Они отражают последовательно развертывающийся процесс того или иного действия. Ответы слабо успевающих учеников характеризуются называнием отдельных операций, которые как бы выхватываются из сложного действия. Например, Юрий Н. характеризует сложное действие построения угла, включающее семь операций, только тремя, которые на языке математики звучат так: проведу луч; центр транспортира наложу на вершину угла; проведу второй луч. Из его ответа выпадают: со-

вмещение радиуса со стороной; нахождение дуги с делениями, по которой следует отсчитывать градусы; отсчет их; постановка точки.

Однако дело не только в этом. Словесные отчеты хорошо успевающих учеников носят более обобщенный характер: в них говорится об измерении и построении любого угла, о проведении любой высоты в любом треугольнике. Ответы слабо успевающих учеников конкретны. Например, ученица Люся И. говорит об измерении лишь такого угла, сторона которого идет вправо от вершины. Валерий Б. рассказывает о проведении конкретной высоты АО в конкретном треугольнике. В своих рассказах они не смогли «оторваться» от тех конкретных углов и высот, с которыми имели дело раньше.

Можно сказать, что если рассказ первых осуществлялся на уровне понятий, т. е. был достаточно абстрактен и обобщен, то рассказ вторых больше соответствовал уровню конкретных представлений. Особенности словесных отчетов учащихся отражают в известной степени и особенности их мыслительной деятельности.

При анализе рассказов учащихся мы учитывали, какие операции назывались чаще и какие реже. Можно предположить, что операции, называемые чаще, осознавались лучше и выступали как более существенные.

Подсчет названных операций показал, что в рассказе об измерении и построении углов учащиеся чаще всего указывали на операции наложения центра транспортира на вершину угла (12 ответов из 15) и отсчитывания градусов (12 ответов из 15), а реже всего — на операции совмещения радиуса со стороной угла (5 ответов из 15) и постановки точки против соответствующего деления (6 ответов из 15). Совсем не называли учащиеся операцию определения дуги, по которой нужно отсчитывать градусы, и очень редко — операцию нахождения стороны, противоположной вершине, из которой проводится высота (4 ответа из 19).

Полученные данные показывают, что не все операции в одинаковой степени осознаются учащимися и, следовательно, мыслятся одинаково существенными. Лучше осознаются операции, с которых начинается действие и которые требуют физических движений. Менее всего представлены в рассказах учащихся операции, не требующие действий с приборами: найти дугу, по которой

нужно вести отсчет; найти сторону треугольника, противоположную данной вершине. Очевидно, на осознавание этих операций нужно обращать особое внимание в процессе формирования практических умений.

Психологически интересным является вопрос о том, как учащиеся, не называя операции и, следовательно, не вычленяя ее, справляются с ее выполнением. Возьмем операцию нахождения дуги делений, по которой следует вести отсчет градусов. Нужно сказать, что в трудных случаях, когда измерение или построение угла происходит при необычном его положении или когда угол включается в сложную фигуру, например в план участка при проведении измерительных работ на местности, многие учащиеся не справляются с этой операцией и ошибаются в отсчете градусов. В простых случаях измерения и построения углов ярко обнаруживается расхождение между практическими действиями учащихся и осознаванием этих действий. Например, если сторона угла, от которой нужно вести отсчет, направлена горизонтально вправо или влево от вершины угла, большинство учащихся практически безошибочно отсчитывают градусы по соответствующей дуге. Действуя практически верно, они в то же время, как правило, не могут ответить на вопросы о том, почему они отсчитывали градусы по этой, а не по другой дуге, как они определяли, что градусы нужно было отсчитывать именно по этой дуге.

Некоторые учащиеся в ответ на поставленные вопросы просто заявляли, что не понимают, почему они так действуют.

Владимир К. (хор.). Этого я не понимаю, иногда я отсчитываю градусы с этой стороны, а иногда с той, но я не могу сказать, почему я отсчитываю с этой стороны, а не с той.

Владимир Ш. (слаб.). Зависит от того, как положишь транспортир; сейчас справа надо считать (пауза), не могу сказать, почему тут справа, а по-другому положишь (кладет)—слева.

Многие учащиеся указывали на такие признаки этой операции, которыми в действительности они не могли бы пользоваться, не допуская ошибок.

Геня К. (слаб.). Отсчитываю с той стороны, где линия побольше, чем транспортир.

Люда К. (слаб.). Потому что с этой стороны строим угол и здесь ближе к центру.

Сергей С. (сред.). Считаю, с какой удобнее; здесь удобно справа, а можно считать и слева.

Вася С. (хор.). Считаем градусы с той стороны, куда наклон второго луча.

Когда этим учащимся показывали на практике, что они неправильно выделили признак, то назвать существенный признак они все-таки не могли. Здесь мы видим яркий пример неумения осознать в понятиях и облечь в словесную форму то, что было усвоено только в плане представлений о действии.

На основе представлений у учащихся, несомненно, возникала связь между 0°, от которого шел отсчет, и той стороной угла, на которую накладывался транспортир. Очевидно, эта связь и действовала в несложных условиях решения задачи, не переходя из области представлений в область понятий.

Осознавание некоторыми учащимися существенного признака операции нахождения нужной дуги делений требовало детального сопоставления конкретных случаев ее выполнения.

Покажем этот процесс на одном примере.

Любе К. (сред.) дается луч, идущий от точки А вправо, и луч, идущий от точки В влево; ставится задача построить углы по 50°. Люба строит углы правильно.

Экспериментатор. Сравни, с какой стороны ты отсчитывала градусы, когда строила угол А и угол ß?

Люба К. Когда я строила угол А, я отсчитывала справа, а когда строила угол В, то отсчитывала слева.

Экспериментатор. Почему ты отсчитывала с разных сторон?

Люба К. Чтобы углы вышли.

Экспериментатор. А как ты догадалась, что в одном случае нужно было отсчитывать справа, а в другом слева?

Люба К. Не знаю, я всегда так отсчитываю.

Экспериментатор. Посмотри, в каком направлении идет луч от точки А?

Люба К. Вправо.

Экспериментатор. А от точки В?

Люба К. Влево.

Экспериментатор. Как же сказать, с какой стороны нужно отсчитывать градусы?

Люба К. Нужно отсчитывать, если луч идет вправо, то и отсчитывать справа, а если луч влево, то и отсчитывать слева.

Экспериментатор. А если луч идет не вправо и не влево, а, например, вверх или немного вниз, тогда как?

Люба К. Не знаю (задумывается); тогда все равно положим транспортир — и нужно от луча, всегда нужно с той стороны, куда луч.

Типичным здесь является переход к общему выводу через конкретный вывод. Сначала ученица устанавливает конкретное соответствие между направлением луча и началом отсчета градусов («если луч идет вправо, то и отсчитывать справа»). Чтобы сделать общий вывод, ей потребовались новые вариации в положении луча, выходящие за пределы освоенных ею случаев отсчета градусов. Учащиеся, не осознававшие признака нахождения луча, как правило, осознавали его в условиях, когда положение данного луча варьировалось.

Наиболее развитые учащиеся более или менее точно формулировали этот признак.

Гарри В. (хор.). Градусы нужно отсчитывать от линии.

Слава F. (сред.). Отсчитываю градусы от одного луча до другого.

Люся П. (сред.). Отсчитываем от транспортира, когда прикладываем к лучу.

Владимир В. (хор.). Отсчитываем от той стороны, на которую кладем транспортир.

Как выяснилось, эти ученики правильно осознали признак отсчета градусов уже в процессе объяснений учителя и могли сразу же пользоваться им практически.

Рассмотрим, что затрудняло учащихся при измерении и построении углов. Прежде всего — наложение транспортира. Здесь возникала необходимость одновременно выполнить операции совмещения центра с вершиной угла и радиуса — со стороной. Выполняя одну операцию, учащиеся в этот момент упускали выполнение другой: накладывая центр транспортира на вершину угла, не накладывали радиус на сторону, а иногда, наоборот, накладывали радиус на сторону так, что центр

оказывался где-то посередине луча. Например, Люда И. (слаб.) при наложении транспортира совместила только радиус со стороной. Когда ей указали на ошибку, она совместила центр с вершиной, а радиус сдвинула со стороны угла. Следовательно, ученица могла выполнить ту и другую операцию отдельно, но выполнить их вместе ей было трудно. Ее умение накладывать транспортир не достигало еще такого уровня, когда она могла бы объединить отдельные операции в целое действие.

Здесь мы встретились с теми типичными трудностями слияния отдельных операций в целостный акт, которые были установлены Е. В. Гурьяновым [16] при изучении формирования навыка письма и других навыков.

Вместе с тем трудности при наложении транспортира возникали из-за недостаточного развития пространственных представлений учащихся, из-за неподвижности этих представлений. Если сторона угла, на которую нужно было наложить транспортир, занимала нестандартное положение, учащиеся нередко затруднялись соответствующим образом повернуть транспортир; иногда они вертели его в разных направлениях, прежде чем находили нужное положение. Это показывает, что четкого образа, который бы позволял самым экономным способом придать транспортиру соответствующее положение, у них еще не было.

Наибольшее количество ошибок при измерении и построении углов связано с отсчетом градусов. Преобладающей ошибкой был отсчет градусов не по той дуге делений, в результате чего, строя острый угол, учащиеся получали тупой, и наоборот.

Одна из причин таких ошибок заключается в том, что многие учащиеся не осознают существенного признака операции нахождения нужной дуги, о чем уже говорилось ранее. Поэтому они нередко опираются на ошибочно выделенные признаки («удобнее отсчитывать», «лучше видно», «ближе к центру» и т. д.). Сказывается и слишком быстрый переход учащихся от развернутого выполнения операции отсчета градусов к свернутому, которое характерно для уровня развитого умения или даже навыка. Обладающий таким навыком, конечно, не нуждается в специальном отыскивании 0°,

примыкающего к данной стороне угла, и прослеживании взором или с помощью карандаша шкалы делений, по которой идет возрастание градусов. При самом беглом взгляде на транспортир и даже на какую-то часть его он сможет легко ориентироваться и сделать правильный отсчет. Когда же учащиеся, не закрепив в достаточной мере свое умение отсчитывать градусы при развернутом выполнении указанных операций, преждевременно переходят к беглой ориентировке на транспортире, они часто ошибаются в выборе дуги, а в ряде случаев и не пытаются найти нужную дугу, отыскивая на транспортире только заданное число градусов. При этом нередко бывает, что десятки градусов оказываются отсчитанными в одном направлении, а единицы — в другом. Так, например, Слава Е. (сред.) при построении угла в 84° просто находит цифру 80° и от нее отсчитывает 4°, но так как цифра 80° была взята не по той дуге, а 4° отсчитывались в обратном направлении, построенный угол оказался равным 104°.

Ошибки в отсчете градусов связаны также с неравномерностью упражнений учащихся в построении углов справа налево и слева направо. Во время наблюдений в классе можно было заметить, что учащимся приходится отсчитывать градусы преимущественно справа налево. В экспериментах они лучше справлялись с построением углов в этом направлении, чем в направлении слева направо. Чтобы получить дополнительные данные по этому вопросу, в одном из шестых классов была проведена контрольная работа. Было дано задание построить по данным размерам несколько углов. Каждый ученик получил лист бумаги с индивидуальным заданием. При построении одних углов лучи давались в таком направлении, чтобы отсчет градусов шел справа налево, при построении других — слева направо.

Оказалось, что с построением углов при отсчете справа налево учащиеся справились в 83,8% работ, с построением углов при отсчете слева направо — в 54,8% работ.

Результаты контрольной работы подтвердили наше предположение о том, что ошибки в отсчете градусов слева направо связаны с недостаточностью упражнений в таком отсчете. Вместе с тем эти результаты, как и данные индивидуальных экспериментов, указывают на сле-

дующие особенности формирования умений у разных учащихся: у одних (преимущественно хорошо успевающих) формируемые умения сразу оказываются приспособленными к различным условиям, у других же (преимущественно слабо успевающих) приспособленность умения к разным условиям находится в зависимости от характера упражнений, от широты вариаций используемых случаев. В условиях преобладания одного типа упражнений умения оказываются преимущественно приспособленными к ним, и нужны другие типы упражнений, чтобы сделать умения более широкими. Следовательно, у одних учащихся независимо от условий формирования сразу же образуются обобщенные умения; для формирования обобщенных умений у других необходимо широкое варьирование условий, разнообразие упражнений.

В конце года в классах были проведены контрольные работы. При этом ставилась цель выяснить, в какой мере учащиеся смогут воспользоваться умением работать с транспортиром в несколько измененных условиях. Для этого наряду с задачами измерить и построить отдельные углы ставились задачи измерить несколько углов, связанных общими сторонами, и построить углы в такой же системе (когда последующий угол строится «а стороне предыдущего). Заметим, что практические работы (съемка плана местности и др.) требуют умения измерять и строить связанные между собой углы.

Оказалось, что изолированно данные углы учащиеся измерили правильно в 78,6% случаев, углы же, связанные между собой, — в 75,8%. Аналогичные результаты были получены и при построении углов: отдельно заданные углы правильно строились в 74,0% случаев; углы, заданные в системе, — в 71,3% случаев. Следовательно, имея дело с системой углов, учащиеся испытывали дополнительные трудности. Эти трудности нашли свое выражение в большом количестве неточно измеренных и неточно построенных углов (имеются в виду грубые неточности, свидетельствующие о смещении транспортира), в ошибках при отсчете градусов и частом изменении заданного угла. Последнее поясним на следующем примере: если давался отрезок AB и ставилась задача построить угол ABC, затем BCD и т. д., то уча-

щиеся нередко вместо угла ABC строили угол ВАС, иногда достигая этим возможность отсчитывать градусы справа налево.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что при формировании у учащихся умения работать с транспортиром необходимо включать в число упражнений измерение и построение углов в составе фигур различной сложности.

Перейдем к рассмотрению вопроса о формировании умения проводить высоты в треугольниках. При изучении этого процесса был поставлен вопрос о соотношении между умением определить понятие высоты треугольника и практическим умением Проводить высоты в треугольниках, т. е. вопрос о соотношении межлу теоретическими знаниями и практическими умениями учащихся. Несомненно, что формирование практических умений определяется не только знанием операций, входящих в состав умения, но также и знанием существенных признаков понятий, с которыми оно связано. Из практики обучения известно, что существенные признаки высоты треугольника (перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону) всегда используются при выработке умения накладывать чертежный треугольник в процессе проведения высот. Общее соотношение между знанием признаков высоты треугольника и умением проводить их представлено в табл. 2. Данные приведены в процентах.

Таблица 2

Группы учащихся по успеваемости

Дано правильных определений

Проведено высот в треугольниках

остроугольных

тупоугольных

Хорошая (I)......

Средняя (II)......

Слабая (III)......

80

30

16

100

38,5

22,3

93,3

16,6

5,5

Общая тенденция, которую отражает таблица, заключается в том, что чем лучше учащиеся знают существенные признаки понятия, тем лучше они овладевают умением проводить высоты. Однако по отношению к II и III группе учащихся таблица отражает и значитель-

ную зависимость их умения от условий проведения высот. Если при проведении высот в остроугольных треугольниках их практическое умение в какой-то мере превышает их знания о существенных признаках высоты, то при проведении высот в тупоугольных треугольниках оно резко снижается.

Типичным для хорошо успевающих учащихся является соответствие между умением сформулировать признаки высоты и практическим умением провести высоты. Типичным для слабо успевающих является соответствие между слабыми знаниями и слабым умением проводить высоты.

Однако в ряде конкретных случаев мы встретились с несоответствием между указанными умениями. Некоторые учащиеся, умеющие дать определение высоты, обнаруживали полное неумение практически проводить высоты. Рассмотрим один пример.

Николай П. (сред.). Высотой треугольника называется линия, опущенная под прямым углом из точки на противоположную сторону.

При задании провести высоты в остроугольном треугольнике Николай П. проводит медиану АО. При повторном определении он уточняет признаки понятия:

«Высотой треугольника называется линия, опущенная под прямым углом из вершины на противоположную сторону; я провел медиану, а нужно провести перпендикуляр». Прикладывает чертежный треугольник гипотенузой к вершине Л, проводит перпендикуляр к основанию, затем при таком же положении чертежного треугольника проводит перпендикуляры к основанию из других вершин и концы перпендикуляров соединяет пунктирной линией, проходящей через вершину А (рис. 5).

Как видно, правильно формулируя существенные признаки высоты, Николай П. не умеет проводить их с помощью чертежного треугольника, у него даже нет правильного образа высоты, так как за нее он принимает

Рис. 5

и медиану и просто перпендикуляры к основанию треугольника.

Среди учащихся, с которыми велись индивидуальные эксперименты, у трех мы встретили подобное соотношение между умениями. У четырех учащихся соотношение между умением сформулировать определение и провести высоту было обратным. Рассмотрим один из таких случаев.

Юрий Н. (слаб.) на вопрос, что называется высотой треугольника, отвечает: «Катет и гипотенуза».

Экспериментатор. Ты назвал стороны прямоугольного треугольника, а нужно сказать, что называется высотой треугольника.

Юрий Н. молчит. При задании провести высоту з остроугольном треугольнике он правильно проводит ее из вершины на основание треугольника.

Экспериментатор. Скажи теперь, что же называется высотой?

Юрий Н. Прямая из вершины на сторону треугольника.

Экспериментатор. Через вершину можно провести сколько угодно прямых до пересечения с противоположной стороной (проводит несколько). Будут они высотами треугольника?

Юрий Н. Нет, не будут, надо проводить ровно. (Снова правильно ставит чертежный треугольник и подводит его катет к вершине заданного треугольника.) Когда сойдется, тогда надо проводить высоту.

Как видно из ответов ученика, у него есть правильный образ высоты в остроугольном треугольнике, который он хорошо отличает от других прямых, проведенных из вершины на основание; у него также сформировалось умение пользоваться чертежным треугольником при проведении высоты на сторону, расположенную горизонтально. И вместе с тем Юрий Н. не может сформулировать существенные признаки высоты; он хорошо «видит», что высота проводится под прямым углом (иначе бы не отличал ее от других прямых), но не осознает этого признака высоты в понятиях, в словах. Можно сказать, что этот признак осознается им в образе и активно используется при решении наглядной задачи отличить высоту от других прямых, проведенных из той же вершины на ту же сторону, но этот образ не переве-

ден в сферу понятий, слов или переведен неточно («надо ровно»).

Именно потому, что некоторые учащиеся, подобно Юрию Н., опираясь на наглядные признаки высот, не могут мыслить их абстрактно, отвлеченно от конкретного чертежа, они справляются с проведением высот только в простых случаях. В более сложных условиях, когда высоту нужно провести не на стандартно расположенную сторону, они часто допускают ошибки. Один или два правильно сформировавшихся конкретных образа высоты не обеспечивают правильного проведения любых высот.

Следовательно, у одних учащихся разрыв между практическим умением провести высоту и умением сформулировать ее существенные признаки характеризуется трудностью перейти от слов к действию, воплотить их в наглядную форму, в чертеж. Заученные слова оказываются не связанными с соответствующими образами и действиями. У других учащихся этот же разрыв характеризуется трудностью перейти от образа и действия к слову, сформулировать словесно те существенные признаки понятия и существенные особенности своих действий, на которые учащиеся фактически опираются при проведении высот.

Явление разрыва между словом и образом, абстрактным и наглядным в процессе усвоения знаний учащимися уже было установлено в ряде психологических исследований. Обобщив накопленные факты, Д. Н. Богоявленский и Н. А. Менчинская [4] указывают, что одни учащиеся «цепляются» за наглядное, с трудом усваивая общие положения, другие же, наоборот, быстро «отрываются» от наглядного и оперируют словами, не соотнося их в должной мере с реальной действительностью, с образами.

В нашем исследовании выявлено, что разрыв между словом и образом у учащихся в процессе формирования практических умений влечет за собой разрыв между словом и действием.

Учащиеся с нарушенным соотношением слова и действия требуют индивидуального подхода: одним необходимо делать больше практических упражнений с чертежными приборами, рассматривать и изготовлять чертежи, другим — упражнения, способствующие формированию четкой математической речи, свободному

использованию терминов, адекватному отражению в речи особенностей чертежа, действий над ним и т. д.

При изучении умения проводить высоты в остроугольном треугольнике из других вершин (не на горизонтальное основание) мы обнаружили следующую особенность в действиях учащихся. Тот же Юрий Н. (слаб.) на вопрос, можно ли в этом треугольнике провести еще высоты, отвечает: «Можно, из вершины В на сторону АС», а ставит чертежный треугольник снова на основание ВС и подводит его к вершине А, как и при проведении первой высоты.

Экспериментатор. Если высоту нужно провести на сторону АС, то чертежный треугольник нужно приложить катетом к какой стороне?

Юрий Н. К стороне АС. (Снова прикладывает треугольник к стороне ВС. Понимая, что у него с чертежным треугольником не получается, берет линейку и проводит заданные высоты.)

Неумение повернуть чертежный треугольник катетом к сторонам, расположенным не горизонтально, очень типично для слабо успевающих учащихся. Здесь проявляется расхождение между пониманием действия и умением его выполнить.

Учащиеся правильно говорили, что высоту нужно провести к такой-то стороне, а их руки «не слушались» и выполняли не заданное новое действие, а старое, ранее выполнявшееся, т. е. накладывали треугольник на горизонтальное основание. Такое несоответствие между заданным и выполняемым действиями иногда вызывало удивление у самих учащихся. Например, Владимир Ш. (слаб.), дважды наложив чертежный треугольник на горизонтально расположенную сторону, сказал: «Обратно не получается, надо к стороне ВС, а получается к АС».

По-видимому, это объясняется прежде всего отсутствием у ученика четкого представления, как при таком положении стороны и вершины треугольника пространственно соотнести с ними катеты чертежного треугольника. В ряде случаев учащимся удавалось наложить катет чертежного треугольника на сторону, но при этом другой катет оказывался направленным не к вершине, а от нее. Учащиеся явно затруднялись произвести нужные движения руки с чертежным треугольником. Можно

предположить, что у них также не сложилось еще представление о характере соответствующего движения. А представление об уже освоенном движении при наложении катета на горизонтально расположенную сторону оказывалось навязчивым и затормаживало другие движения, в силу чего учащиеся как бы вопреки своему желанию прикладывали чертежный треугольник к одной и той же стороне. Все это говорит о том, что процесс наложения чертежного треугольника при проведении высот оказывается для ряда учащихся весьма сложной деятельностью.

Особую трудность представляет проведение высот в тупоугольных треугольниках. Если учащиеся и овладевают умением правильно накладывать чертежный треугольник при проведении высот в остроугольном треугольнике, это не избавляет их от значительных затруднений при проведении высот в тупоугольном треугольнике, так как этот процесс требует весьма тонких различений при восприятии чертежа, достигнуть которые не всем учащимся удается сразу. Эти различения мы покажем при анализе ошибок.

Анализ ошибок при проведении высот в треугольниках

При проведении высот в треугольниках учащиеся допускают большое количество ошибок, которые на первый взгляд кажутся очень различными. Однако причины их возникновения весьма сходны между собой, и поэтому все ошибки можно объединить в три основные группы.

1. Оперирование отдельными признаками высоты.

Проведение высот требует умения оперировать всеми существенными признаками понятия «высота треугольника». Иногда учащиеся используют не все, а только часть признаков. Ярким примером может служить проведение всех трех «высот» из одной вершины остроугольного треугольника (рис. 6). Принимая все

Рис. 6

три отрезка за высоты, учащиеся опираются только на один признак, т. е. на то, что высота проводится из вершины треугольника, не принимая во внимание остальные. Такого рода ошибки чаще возникают в первоначальный период овладения умением и характерны для наиболее отстающих учащихся.

2. Неправильное оперирование существенными признаками высоты.

Подавляющее большинство ошибок при проведении высот возникает в результате того, что учащиеся неправильно оперируют признаками этого понятия. Рассмотрим «высоты», изображенные на рис. 7.

Проводя их таким образом, учащиеся как будто бы опираются на все признаки высоты: отрезки идут от вершин треугольника к противоположным сторонам и образуют прямые углы. Кажущееся наличие всех признаков высоты вводит учащихся в заблуждение. Они хорошо знают, что высота образует прямой угол, но не различают, с какой стороной этот угол образуется1, а поэтому накладывают чертежный треугольник то на одну сторону, то на другую; иногда же накладывают его на ту из сторон, которая расположена наиболее удобно, привычно. Неразличение сторон, образующих прямые углы, очень часто ведет к тому, что в одном треугольнике учащиеся сочетают правильное проведение высот с неправильным. В ряде случаев учащиеся также недифференцированно выполняют операцию продолжения сторон тупого угла, т. е. смешивают продолжение сторон за его вершину с продолжением их в обратном направлении и даже с продолжением гипотенузы за вершины острых углов. В отдельных случаях за продолжение сторон учащиеся принимают просто пунктирную линию, касающуюся вершины тупого

Рис. 7

Рис. 8

1 Со стороной, противоположной вершине, или со стороной, выходящей из вершины.

угла (рис. 8). Это свидетельствует об отсутствии у них даже грубой дифференциации элементов чертежа при проведении высот.

3. Перенесение особенностей проведения высот из одного вида треугольников в другой.

В остроугольном треугольнике все три высоты проходят внутри его, в тупоугольном две высоты опускаются на продолжение сторон угла. В ряде случаев учащиеся смешивают эти особенности, т. е. в остроугольном треугольнике проводят две высоты вне треугольника и, наоборот, в тупоугольном все высоты проводят внутри его (рис. 9). Здесь проявляется известное в психологии явление интерференции умений и знаний, когда близкие по своему содержанию умения или знания смешиваются между собой, вследствие, чего происходит неправильный перенос особенностей с одного объекта на другой (так, смешиваются сходные по своему содержанию правила правописания, правила действий над дробями и т. д.).

Как видно, неправильное проведение высот — результат того, что учащиеся либо не умеют оперировать совокупностью всех существенных признаков высоты, либо при выполнении той или иной операции смешивают стороны треугольников, направления продолжений сторон, виды треугольников. При этом сказывается и слабость пространственной ориентировки учащихся на чертеже при отыскании стороны, противоположной вершине, особенно в условиях, когда одна или две высоты уже проведены.

Рис. 9

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИМ УМЕНИЯМ

В процессе индивидуальных экспериментов с учащимися мы главным образом раскрывали особенности уже сформировавшихся к тому времени умений, их соотношение с усвоенными знаниями, характер ошибок учащихся и причины их возникновения Вместе с тем собранный материал не создавал достаточной возможности проследить сам процесс их формирования, чтобы лучше понять психологическую природу затруднений учащихся. Поэтому представляло интерес выяснить, как учащиеся со слабо сформировавшимися практическими умениями будут овладевать ими дальше, какие трудности возникнут в этом процессе, какие приемы обучения окажутся более эффективными и много ли потребуется усилий, чтобы довести их умения до степени совершенно свободного и правильного выполнения задачи.

С целью выяснения указанных вопросов мы начали систематические занятия с двумя ученицами — Раей К. и Люсей У., которые, по отзывам учительницы математики, были наиболее слабо успевающими в классе, но вместе с тем очень старательными, желающими хорошо учиться. Такое желание поддерживало у них живой интерес к нашим занятиям, которые проходили один-два раза в неделю после уроков.

Обе девочки слабо успевали не только по математике, но почти по всем учебным предметам. На уроках математики они всегда оставались пассивными и малозаметными, редко поднимали руки, хотя очень внимательно слушали объяснения и старательно выполняли задания. Гораздо живее они проявляли себя на переменах и после уроков, принимая самое активное участие в делах класса: собирали железный лом, работали на пришкольном участке, убирали класс, причем все делали с удовольствием, умело и быстро.

Знакомство с жизнью и положением девочек в семье показало, что познавательные интересы их развивались слабее в сравнении с развитием их трудовых умений. Рае К. из-за болезни матери приходилось систематически заниматься всеми домашними делами. Приготовление уроков требовало также большого напряжения, так как в семье никто не мог оказать ей какую-либо помощь.

Поэтому свободного времени для чтения книг у Раи почти не оставалось, к тому же читать она не любила и предпочитала ходить с подругами в кино или гулять на улице. Дома же очень любила вышивать и уроки рукоделия считала самыми любимыми.

Обязанности Люси У. в семье были менее сложными, но она, как и Рая, почти не читала книг, уделяя свободное время главным образом физкультурным занятиям (посещение кружков в клубе и в школе) и вышиванию. Любимыми уроками Люси были уроки физкультуры. Подготовка домашних заданий также вызывала у нее трудности, но дома ей всегда кто-либо помогал, т. е. трудную задачу решал брат, ошибки в упражнениях исправлял отец и т. д. Их помощь, по-видимому, не приносила особой пользы Люсе, так как, хотя домашние задания у нее всегда были выполнены, она не обнаруживала на уроках понимания материала и с классными работами справлялась плохо.

Занятия с ученицами мы начали с уточнения самых первых понятий по геометрии: «прямая», «луч», «отрезок», «точка», «углы» и т. д. Сразу же выяснилось, что материал, связанный с изучением углов, они знали нетвердо: в ряде случаев смешивали острый и тупой угол, не узнавали прямого угла, если он чертился не в стандартном положении. Следовательно, первая задача заключалась в уточнении их знаний и расширении представлений, что достигалось упражнениями в изображении и узнавании различных фигур и формулировании их признаков.

Умение измерять и строить углы с помощью транспортира у этих учениц было не сформировано: при задании измерить острый угол Рая наложила транспортир верно, а Люся, совместив центр с вершиной угла, повернула транспортир на 90° по отношению к его правильному положению. Увидев это, Рая тотчас придала своему транспортиру такое же положение. Остальные операции выполнялись ими также с ошибками и неуверенно. Представление о процессе измерения углов было у девочек крайне нерасчлененным, о чем можно судить по их словесным отчетам.

Рая К. Я наложила транспортир на вершину, потом смотрела на транспортир и здесь 24°.

Люся У. Поставила на вершину половину транспортира и измерила — 55°.

Таким образом, чтобы сформировать у учениц умение работать с транспортиром, нужно было научить их выделять отдельные операции и хорошо осознавать, как они выполняются. С этой целью мы добивались от учащихся точной словесной формулировки каждой операции, которую им предстояло выполнить, и лишь после этого они выполняли ее. Проговаривание предстоящих операций осуществлялось, конечно, только на первых порах, и уже не требовалось, как только учащиеся начинали достаточно уверенно их выполнять. Однако потребность в проговаривании возникала каждый раз, когда изменялись условия измерения и построения углов. Так, научившись накладывать транспортир на горизонтально расположенные лучи, ученицы затруднялись наложить его на лучи, идущие в других направлениях, и особенно им было трудно наложить транспортир на вертикально расположенный луч. Умея строить углы разной величины, они не могли справиться с задачей построить угол, равный 180°, и т. д. Потребовалось три занятия, чтобы достигнуть достаточно гибкого умения пользоваться транспортиром при измерении и построении углов.

Те же трудности имели место и при овладении умением проводить высоты. После объяснения материала в классе учащиеся не могли сформулировать определение высоты или даже просто рассказать о ее существенных признаках. Практически они овладели умением проводить только одну высоту из вершины остроугольного треугольника на горизонтально расположенное основание. Другие высоты они не только не могли провести, но даже плохо понимали, на какую сторону из каждой вершины надо их проводить. Прежде всего пришлось уделить внимание операции нахождения стороны, противоположной вершине.

Труднее всего было научить накладывать чертежный треугольник на стороны, расположенные негоризонтально.

Приведем выдержки из записи занятий.

Люся У. (чертит треугольник ABC). Сначала проведу высоту из вершины В на противоположную сторону АС (сторона расположена горизонтально).

Она правильно накладывает чертежный треугольник катетом на сторону АС и, подведя второй катет к вершине В проводит высоту.

— Теперь,— говорит она,— проведем высоту из вершины А на противоположную сторону ВС. (Прикладывает треугольник катетом на сторону АС.)

Экспериментатор. На какую сторону нужно наложить транспортир.

Люся. На сторону ВС, потому что ВС лежит против вершины А.

Придает чертежному треугольнику различные положения, но наложить его катетом на сторону ВС не может. Взяв ее руку, экспериментатор помогает ей выполнить соответствующее движение. Наконец, треугольник наложен катетом на сторону ВС (рис. 10), нужно его двигать по стороне ВС, пока второй катет не коснется вершины А. Люся не может выполнить этого и двигает треугольник по направлению к себе, отрывая его от стороны и постепенно подводя к вершине А (рис. 11). Снова приходится накладывать треугольник на сторону ВС и помогать Люсе выполнить соответствующее движение, чтобы треугольник, не отрываясь от стороны, коснулся вторым катетом вершины А.

Рис. 10 Рис. 11

При проведении высоты из вершины С на сторону AB Люся снова затрудняется наложить треугольник и снова не может двигать его так, чтобы он не отрывался от стороны.

Примерно такая же затрудненность в движениях и

у Раи. Однако с проведением высот в остроугольных треугольниках учащиеся справляются сравнительно быстро (за два занятия). Труднее всего научить их проводить высоты в тупоугольном треугольнике. Больше всего затрудняет нахождение противоположной стороны: против тупого угла сторона находится сравнительно быстро, но против острых — учащиеся находят стороны не сразу, упорно называя или сторону против тупого угла или сторону того же острого угла. Когда им удалось первый раз с помощью экспериментатора провести все три высоты, они еще настолько плохо ориентировались на чертеже и настолько чувствовали себя неуверенными, что просили разрешения «срисовать» треугольник с проведенными высотами, чтобы смотреть на него дома, так как им казалось, что они сразу же все забудут и не смогут выполнить задания.

И действительно, на следующем занятии, когда тупоугольный треугольник в том же положении был начерчен экспериментатором на чистых страницах тетрадей, ученицы все время заглядывали на предыдущие, копируя старый чертеж. Очевидно, провести высоты без наглядной опоры они еще не могли. Проделав два упражнения с треугольником в том же положении, ученицы как будто приобрели некоторую ориентировку. Тогда треугольник был дан в новом положении. Задание оказалось непосильным. Люся провела высоту из вершины тупого угла и от дальнейшей работы отказалась. Рая провела высоту внутри треугольника правильно, при проведении же двух других механически скопировала

Рис. 12

положение линий на старом чертеже. (На рис. 12 показаны два треугольника: на левом треугольнике высоты проведены правильно, на правом положение высот скопировано.)

Снова процесс проведения высот в треугольнике, данном в новом положении, был подвергнут подробному анализу: ученицы выделили в треугольнике все элементы, нашли стороны, противоположные вершинам треугольника, подробно разобрали, как накладывается транспортир на противоположную сторону, где при этом образуется прямой угол и т. д.

Работая с чертежом, на котором треугольник был дан в новом положении, ученицы выполняли каждую операцию, предварительно проговорив, как и что они будут делать. При этом их затрудняло и отыскание нужных элементов, и наложение треугольника. Даже проведя высоту, учащиеся не всегда могли сказать, где же образовался прямой угол, какая линия какой перпендикулярна. Вследствие этого было введено правило— после проведения высоты делать запись о перпендикулярности прямых. В конце концов стал вырабатываться такой порядок действий: ученицы говорили вслух, из какой вершины они хотят провести высоту и на какую сторону; на какую сторону катетом будут накладывать треугольник; к какой вершине подводить второй катет; где образуется прямой угол, и лишь после этого выполняли действия. Проведя высоту, они делали запись, например А01.ВС. Подобная схема действий помогала вычленить на чертеже нужные элементы и расчлененно представить себе процесс проведения высоты.

Проведя таким образом высоты в трех-четырех треугольниках, ученицы приобрели некоторую уверенность и стали проводить высоты, делая весь анализ про себя. Конечно, при этом они еще допускали ошибки, так как треугольники каждый раз давались им в новом положении и с различным соотношением элементов (то сильно вытянутые, то обычной формы, тупым углом вниз, вверх, в разные стороны).

Необходимость в такого рода упражнениях свидетельствовала о том, что ученицы, располагая необходимыми знаниями и умением проводить высоты в одних случаях, вместе с тем не могли достаточно свободно

действовать в каждом новом случае. Очевидно, поэтому они и были слабо успевающими. Хорошо развитый ученик, однажды усвоив, как нужно проводить высоты, проводит их в любом треугольнике, т. е. у него сразу, «с места» образуется обобщенное умение. У наших учениц долгое время накапливались только частные умения проводить высоты в треугольниках, т. е. они осваивали проведение высот при одном положении треугольника, потом при другом, третьем и т. д. Каждое новое положение треугольника вызывало трудности и каждый раз им снова приходилось устанавливать соотношения между его элементами (вершинами и противоположными сторонами), повторять существенные признаки выполнения каждой операции и т. д. И лишь в процессе этих упражнений постепенно стало создаваться обобщенное умение, которое позволяло на новом чертеже видеть знакомые соотношения и признаки. Такое умение формировалось не сразу по отношению к разным высотам. Так, ученицы довольно быстро овладели умением проводить высоту из вершины тупого угла, но долго затруднялись проводить высоты из вершин острых углов тупоугольного треугольника. Эти трудности в значительной мере были устранены изменением порядка операций. Раньше ученицы проводили высоту из вершины тупого угла, потом находили сторону, противоположную одной из вершин острого угла, продолжали ее пунктирной линией и проводили вторую высоту, затем эта же система операций повторялась ими при проведении третьей высоты. Мы заметили, что уже проведение первой высоты в какой-то мере видоизменяло чертеж и тем самым затрудняло дальнейшую ориентировку. При проведении второй высоты ученицы часто не могли найти сторону, противоположную вершине, несмотря на то, что перед проведением высот они устанавливали, из какой вершины на какие стороны нужно проводить высоты в данном треугольнике.

Мы стали обучать учениц следующему порядку операций:

1) найти тупой угол и продолжить стороны за его вершину;

2) из вершины тупого угла провести высоту на противоположную сторону;

3) провести вторую высоту из вершины одного из острых углов;

4) провести третью высоту из вершины второго острого угла.

В этой схеме действий основным ориентиром является тупой угол, отыскание которого на чертеже само по себе не представляет трудности. С этим углом мы связали последовательное выполнение двух операций: продолжить стороны его за вершины и провести высоту из его вершины. Мы предполагали, что выполнение первой операции будет облегчать в дальнейшем нахождение сторон при проведении высот из вершин острых углов.

Наше предположение оправдалось. В этих условиях учащиеся действительно стали легче ориентироваться на чертеже при проведении второй и третьей высот, меньше допускать ошибок и вскоре овладели умением свободно проводить высоты в любом треугольнике. В классной контрольной работе на изучение и построение углов и проведение высот в треугольниках они не сделали ошибок и получили высокие оценки.

Чем же объяснить, что учащиеся с таким трудом овладевали обобщенными умениями? Почему эти умения возникали у них не сразу?

Анализ возникающих трудностей и путей их преодоления свидетельствует о слабости аналитической деятельности учащихся. В силу этого постоянно возникала необходимость расчленять каждое действие на операции.

Проявлялась и слабость синтетической деятельности, что вызывало необходимость многократно повторять существенные признаки каждой операции в процессе варьирования треугольников. И наконец, у учащихся были недостаточно развиты пространственные представления (трудности ориентировки на чертеже, трудности соотнесения чертежных инструментов с чертежом).

Очевидно, указанные особенности мыслительной деятельности учащихся и обуславливали трудности формирования практических умений.

Отсюда стало ясно, что основной путь обучения, который привел бы к успешному формированию практических умений, а также и усвоению знаний, — это путь развития мыслительной деятельности, развития у учащихся более высокого уровня абстрактного мышления и восприятия пространственных отношений.

ОПЫТ ОБУЧЕНИЯ ГРУППЫ УЧАЩИХСЯ

В следующем учебном году мы обучали тем же практическим умениям группу наиболее слабо успевающих учащихся, выделенных учительницей математики из двух шестых параллельных классов. Группа состояла из 13 человек (6 мальчиков и 7 девочек).

Руководствуясь выводами, сделанными на основе обучения двух учащихся, основное время на занятиях мы посвятили развитию активной мыслительной деятельности учеников на материале геометрии, развитию их пространственных представлений, геометрической наблюдательности и т. д.

Занятия проводились один раз в неделю на шестом уроке, при этом собственно формированию практических умений мы отводили минимальное время (от 5 до 10 минут урока).

Уточняя содержание геометрических понятий, пройденных в классе, мы показывали учащимся геометрические фигуры в различных положениях; учили их видеть геометрические формы в окружающих предметах и их изображениях. Ученики решали задачи, способствовавшие развитию восприятия пространственных отношений. Большое место занимали задачи на изображение знакомых фигур в различных соотношениях друг с другом, например: начертить два острых угла, имеющих общую сторону и разные вершины; имеющих общую вершину, но не имеющих общей стороны, и т. д. Учащиеся с большим интересом относились к различного рода играм. Для развития глазомера проводилась игра — кто точнее определит длину отрезка, проведенного на доске, высоту двери класса, ширину шкафа, величину угла и т. д.; для развития умения видеть геометрические формы — кто больше заметит геометрических фигур и их элементов в классе, на картине. Для развития геометрической наблюдательности учащиеся упражнялись в рассматривании чертежей. Например, рассматривая чертеж, пока-

Рис. 13

занный на рис. 13, ученики должны были увидеть на нем все треугольники (выделенные ими треугольники ученики записывали в своих тетрадях и затем сравнивали, кто увидел больше).

Наряду с работой, направленной на повышение уровня умственного развития учащихся, систематически велась работа по овладению практическими умениями работать с чертежными инструментами. При проведении ее мы также старались заставить учащихся быть активнее, думать, наблюдать и т. д. Например, чтобы подвести учащихся к расчлененному осознаванию каждого действия, к осознанному выполнению каждой операции, мы приучали их внимательно наблюдать за выполнением операций. Поясним этот прием на примере расчленения умения строить угол.

К доске вызвали ученика Бориса А. и дали ему задание рассказать, как строится угол, и затем построить угол, равный 30°.

Борис. Я провожу линию и измеряю транспортиром.

Ответ был подвергнут обсуждению. Ученики отметили, что Борис назвал только одно действие (в работе с учащимися термин «операция» не использовался) — провести луч, а чтобы построить угол, нужно произвести несколько действий.

Учащимся было предложено внимательно следить за действиями Бориса, который после этого приступил к построению угла в 30°.

Когда угол был построен, все учащиеся подняли руки, но слово было предоставлено еще раз Борису А. Он сказал: «Нужно провести луч, потом наложить транспортир на вершину, начиная с половины, и потом смотреть на транспортир и отметить точку». После уточнения его формулировок учащиеся с места назвали еще две операции: нужно отсчитать 30° и провести второй луч. Всего ученики назвали пять операций. Тогда перед учащимися была поставлена такая задача: вы назвали чять действий, а всего нужно было назвать семь. Постройте в своих тетрадях угол в 50° и внимательно проследите за своими действиями, чтобы найти еще два. Учащиеся быстро принялись за работу и одну операцию — наложить радиус транспортира на сторону — вычленили быстро, однако последнюю, седьмую операцию обнаружить никому не удалось.

Тогда с еще большим интересом все следят за действиями вызванной к доске Марии П., которая строит угол в 80°. Учащиеся называют ряд несущественных действий, например: нужно взять транспортир в руки; нужно наложить линейку и взять транспортир; нужно взять карандаш и т. п.

Последнюю операцию они обнаруживают лишь с помощью наводящих вопросов: «По какой дуге нужно отсчитывать градусы? На транспортире деления идут справа налево по одной дуге и слева направо по другой, как же определить, какой дугой следует пользоваться?»

Разбор операции определения дуги, по которой нужно в каждом случае отсчитывать градусы, способствует выделению и осознаванию существенного признака выполнения этой операции: градусы нужно отсчитывать по той дуге, начало делений которой, т. е. 0°, расположено у луча, совмещенного с радиусом транспортира.

Примерно такому же анализу было подвергнуто умение проводить высоты в треугольниках. Так как при всем этом учащимся было трудно рассказать о выполненных операциях, сформулировать определение понятия и т. д., мы требовали от работающих у классной доски, чтобы они сначала говорили о том, что они хотят сделать, и только потом производили соответствующую операцию. Такой прием способствовал развитию речи учеников, осознанному выполнению каждой операции и вместе с тем помогал организации коллективной работы. Проговаривая предстоящую операцию, учащийся, работающий у классной доски, как бы ставил задачу для себя и для работающих за партами.

При проведении высот в тупоугольных треугольниках мы сразу обучали учащихся тому порядку операций, который сложился к концу обучения Раи К. и Люси У., и убедились в том, что он способствует более быстрому овладению умением. Если Рая К. и Люся У. провели высоты в 14 тупоугольных треугольниках, после чего они перестали ошибаться и приобрели полную свободу движений, то при групповом обучении для достижения той же успешности было использовано только 9 тупоугольных треугольников.

Занятия с группой учащихся продолжались в течение двух месяцев. Через месяц после их окончания в

классах были проведены контрольные работы, включавшие задачи на измерение и построение углов и на проведение высот в треугольниках. Представляло интерес сравнить результаты выполнения работ учащимися, проходившими экспериментальное обучение и обучавшимися в обычных условиях. Взяв контрольные работы, проверенные учителем математики, мы выделили работы 13 учащихся, занимавшихся с нами (1-я группа), и отдельно учли результаты остальных 49 учащихся (2-я группа).

Результаты оказались следующими: учащиеся 1-й группы правильно построили и измерили 22 угла из 26 (84,6%), учащиеся 2-й группы — 85 углов из 98 (86,6%). Как видно, успехи в формировании умения работать с транспортиром были практически одинаковыми, т. е. учащиеся первой группы почти достигли того уровня умения, которым овладели все другие учащиеся в обычных условиях обучения.

Иной результат получился при проведении высот в треугольниках. Учащиеся 1-й группы правильно провели 70 высот из 78 (89,7%), тогда как учащиеся 2-й группы провели правильно только 216 высот из 294 (73,5%). Другими словами, если учащиеся 1-й группы допустили 10,3% ошибок, то учащиеся 2-й группы — 26,5%, т. е. более чем в два раза по сравнению с первой группой.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что при соответствующих условиях обучения все учащиеся могут успешно овладеть практическими умениями в курсе геометрии VI класса.

Приемы работы, способствующие развитию мыслительной активности учащихся, восприятию пространственных отношений, развитию геометрической наблюдательности, а также и те приемы, которые были направлены непосредственно на формирование практических умений, вполне применимы в условиях работы с классом. Часть работ, например, рассматривание чертежей, выделение геометрических форм в окружающих предметах, упражнения в проведении высот и построении углов, может выполняться как домашние задания.

Все учащиеся, проходившие обучение, по отзывам учителя, стали более осознанно усваивать учебный ма-

териал по геометрии и, за исключением одной девочки, получили удовлетворительные отметки за год.

В дальнейшем эффективность приема обучения проводить высоты в тупоугольных треугольниках была проверена учительницей математики В. С. Зверевой, работавшей в трех параллельных шестых классах.

Методика работы в классах была одинаковой и различие было введено лишь при обучении умению проводить высоты в тупоугольном треугольнике. В двух классах (VI «б», VI «в»), которые являлись экспериментальными, учащиеся обучались выполнять операции в том порядке, который использовался при обучении группы слабо успевающих учащихся.

В VI «а» классе указанный порядок операций не был введен: и учительница и учащиеся проводили высоты в любом порядке, как это и принято обычно. Таким образом, VI «а» был контрольным классом.

Классы и по числу учащихся и по успеваемости были примерно одинаковы1.

VI «а» — 38 учащихся (12 хор., 14 сред., 12 слаб.)

VI «б» —37 » (12 хор., 14 сред., 11 слаб.)

VI «в» —37 » (13 хор., 12 сред., 12 слаб.)

Из наблюдений на уроках мы установили, что основные трудности при проведении высот во всех классах были связаны с наложением чертежного треугольника и с ориентировкой на чертеже.

И все же учащиеся экспериментальных классов лучше справлялись с нахождением сторон, противоположных вершинам.

Результаты формирования умения проводить высоты в тупоугольных треугольниках выявлялись в процессе контрольных работ, причем каждый учащийся получал лист, на котором были заранее начерчены треугольники в самых различных положениях и с различным соотношением сторон. Первая работа была проведена в январе, вторая в марте.

В табл. 3 представлены полученные результаты (число правильных решений дано в процентах).

1 Успеваемость учащихся по геометрии учитывалась к началу прохождения темы «Треугольник».

Таблица 3

Работы

Экспериментальные классы

Контрольный

„б“

„в“

„а“

1-я контрольная (январь)

81,1

84,7

67,6

2-я контрольная (март)

84,2

84,3

69,6

Как видно, результаты проведения высот в экспериментальных классах были выше, чем в контрольном.

Различия в характере ошибок были связаны прежде всего с выполнением операции продолжения сторон тупого угла. В контрольном классе имели место 7 ошибок такого рода. В экспериментальных классах мы не встретили ни одной ошибки при продолжении сторон тупого угла.

При анализе ошибок учитывалось, допускал ли ученик ошибку в одной или в двух контрольных работах. Если учащиеся допускали ошибки при проведении высот и в первой и во второй работах, мы считали, что у них умение не сформировалось или сформировалось в крайне слабой степени. Оказалось, что таких учащихся в VI «в» классе было 4 (1 хор., 1 сред., 2 слаб.), в VI «б» классе также 4 (1 хор., 2 сред., 1 слаб), тогда как в VI «а» их было 9 (2 хор., 3 сред., 4 слаб.).

Таким образом, использование приема выполнения операций в определенной последовательности при проведении высот в тупоугольных треугольниках оказалось эффективным и в условиях классного обучения.

ФОРМИРОВАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ УМЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ РАБОТ НА МЕСТНОСТИ

ФОРМИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРАКТИЧЕСКИХ УМЕНИЙ

Обучение измерительным работам на местности начинается с формирования у учащихся наиболее простых умений: обозначить вехой точку, провешить прямую, построить с помощью эккера прямой угол, провешить перпендикуляр к прямой и т. д. В основе формирования этих умений лежат знания, полученные на уроках геометрии, а также умения с помощью чертежных инструментов (линейки, треугольника и т. д.) проводить прямую линию, строить углы, перпендикуляры к прямым и т. д.

Проведенные нами на протяжении ряда лет наблюдения показывают, что процесс изображения точки вехой, а прямой линии — рядом стоящих вех, несмотря на значительное отличие способа их изображения по сравнению с привычным, не вызывает у учащихся затруднений. Они легко усваивают указания учителя изображать точки вехами и правила провешивания прямой линии. Конечно, на первых порах расставленные ими вехи часто отклоняются от вертикального положения и не всегда стоят на одной прямой, но эти погрешности легко устраняются, если учитель сразу же обращает на них внимание и требует точности в выполнении работы.

Вместе с тем учащиеся постоянно затрудняются употреблять полученные геометрические знания в новых условиях, а поэтому они допускают ошибки, которые не наблюдаются в классе. Так, например, начиная прове-

шивать прямую на местности, учащиеся часто встают в позу провешивающего прямую уже при обозначении вехой второй точки — закрывают один глаз и тщательно наблюдают за тем, как ставится вторая веха, подавая при этом знаки стоящему с ней. На вопрос, что они делают, учащиеся обычно отвечают так: «Смотрю, чтобы веха встала по прямой», «Ставим вторую веху по прямой» и т. д. Нелепость такого действия обычно осознается учениками, когда им предлагают поставить вторую веху так, чтобы она не находилась на прямой с первой вехой. Однако и при этом некоторые учащиеся делают попытку найти указанное положение, один-два раза переставляют вторую веху и каждый раз обдумывают, стоит она с первой вехой по прямой или не стоит. Лишь практически убедившись, что вторая веха всегда стоит по прямой с первой, они начинают вспоминать свойства прямой линии, Совершенно очевидно, что в этих случаях, работая с вехами, они не опираются на свои знания.

Близкий к этому факт мы наблюдали при провешивании двух пересекающихся прямых. Эта задача сама по себе также не вызывала трудностей у учащихся; некоторые из них, провешивая прямые, ставили в точку пересечения две вехи и объясняли: «Чтобы было видно, что в этой точке пересекаются две прямые, эта веха — этой прямой (показывает рукой одну прямую), а эта веха — той (показывает вторую)».

Стремление учащихся физически представить в точке пересечения элементы одной и другой прямой свидетельствует о том, что учащиеся оперируют вехой не как условным обозначением геометрической точки, которая не имеет измерений и не занимает пространства, а как обычным предметом, обладающим физическими свойствами и занимающим свое место.

Подобные факты показывают, что учащимся трудно оперировать полученными геометрическими знаниями в условиях работы на местности. Возник вопрос, объясняются ли эти затруднения главным образом плохим знанием признаков понятий точки и прямой линии или же основная причина лежит в особенностях условий работы на местности, в особенностях нового способа изображения точки и прямой линии. Для выяснения этого вопроса в одном классе на уроке был повторен материал

о свойствах геометрической точки и прямой линии. Учащиеся вспомнили, что геометрическая точка измерений не имеет, т. е. места в пространстве не занимает и лишь условно обозначается точкой от нажима карандаша или мела. Они проводили на доске и в тетрадях прямые через одну, через две точки и при этом формулировали соответствующие свойства прямой.

Убедившись, что учебный материал усвоен учащимися в достаточной степени, мы провели индивидуальные эксперименты с 12 учащимися (4 хор., 4 сред, и 4 слаб.). Перед ними ставились следующие задачи: провешить прямую, провешить две пересекающиеся прямые; через данную точку провешить три прямые, пользуясь вехами настольного размера1.

Наблюдая за работой учащихся, мы выясняли, в какой мере в своих действиях они опираются на геометрические знания, и ставили перед ними дополнительные вопросы. В частности, представляло интерес установить, как учащиеся решат вопрос о возможности провешивания второй прямой между крайними вехами провешенной прямой.

Результаты экспериментов оказались следующими. Только трое учащихся начали провешивание прямой с постановки третьей вехи, понимая, что первые две, как бы они ни были поставлены, определяют направление прямой. Все остальные учащиеся «провешивали» по прямой вторую веху и на вопрос, можно ли две вехи поставить не по прямой, в трех случаях уверенно отвечали: «Можно» — и при этом сдвигали вторую веху. «Вот, — сказал Лева М. (слаб.), сдвинув веху, — они стоят не по прямой». И Саша У. (сред.), сдвинув вторую веху, сказал: «Они стоят косо»,— имея в виду направление вех по отношению к краю стола. В шести случаях учащиеся не ответили сразу на вопрос, но все сделали попытку поставить две вехи не по прямой и затем, смутившись, говорили: «Нельзя, потому что через две точки всегда можно провести прямую», «Все равно они стоят по прямой, как ни поставишь» и т. д.

Таким образом, трое учащихся смогли сразу опереться на полученные знания, шесть учащихся привле-

1 Вехи имели толщину карандаша, высоту 20 см и стояли на небольших подставках; по окраске соответствовали обычным.

кли знания лишь после безуспешных попыток действовать вопреки им; трое учащихся самостоятельно не смогли оперировать знаниями при решении данной задачи.

Вторая задача — провешить две пересекающиеся прямые — всеми учащимися была решена правильно. Провешивая вторую прямую, учащиеся чаще принимали одну из вех первой прямой за точку пересечения или же обозначили ее новой вехой, но в двух случаях даже не обозначали точки пересечения вехой и на вопрос, пересеклись ли прямые, ответили положительно, указав на то место, где примерно находилась точка пересечения. В тех случаях, когда в точке пересечения находилась веха, экспериментатор снимал ее и спрашивал, можно ли теперь сказать, что прямые пересекаются. Большинство учащихся ответило положительно, например:

«Можно, так как точка пересечения все равно есть, только она не обозначена» (Виктор К., хор.), «Можно, прямые вот здесь пересекаются» (Таня С, сред.) и т. д. Только трое учащихся после изъятия вехи перестали считать прямые пересекающимися, «потому что нет общей точки», «нет точки пересечения».

При решении этой задачи твердое знание свойств геометрической точки, по-видимому, предотвратило ошибки и помогло учащимся мыслить точки пересечения прямых отвлеченно, без опоры на конкретную веху. Лишь отдельные учащиеся не смогли подняться на такой уровень и мыслили точку пересечения как конкретную, обозначенную вехой.

Задача провешить три прямые через одну точку не вызвала никаких трудностей — все учащиеся легко вспомнили, что через одну точку можно провести сколько угодно прямых.

К вопросу о том, можно ли между крайними вехами провешенной прямой провести еще одну прямую, учащиеся отнеслись по-разному. Половина учащихся (4 хор,. 2 сред.) сразу решили вопрос правильно: «Нельзя, так как между двумя точками можно провести только одну прямую» (Витя П., сред.), «Нельзя, так как вторая сольется, потому что между двумя точками можно провести только одну прямую» (Ира Ж., хор.). Другие учащиеся (2 сред., 4 слаб.) сразу же взялись за провеши-

вание второй прямой, причем ставили сначала вехи между стоящими, потом несколько выдвигали их, чтобы «вторую прямую» было видно. В конце концов все они убеждались в бесплодности своей попытки, и это заставляло их припомнить положение, что между двумя точками можно провести только одну прямую.

В целом проведенные эксперименты показали, что достаточно хорошее знание свойств геометрической точки и прямой линии в значительной мере помогает учащимся оперировать этими понятиями в условиях нового способа изображения геометрических элементов на местности и тем самым способствует формированию практических умений, необходимых для усвоения более сложных измерительных работ.

Вместе с тем даже при условии достаточно хорошего знания свойств геометрической точки и прямой новый способ их изображения создает ряд трудностей и ошибок, которые не возникают в обычных условиях проведения прямых. Так, перед учащимися практически никогда не встает вопрос о том, лежат ли две точки, которые им даются или которые они сами ставят, на прямой или не лежат, так как на основе опыта работы с линейкой учащиеся легко проводят прямую через две точки. Перед ними также никогда не возникает вопрос, где и как образуется точка пересечения двух прямых; имея самый небольшой опыт проведения прямых, учащиеся не будут пытаться на бумаге проводить вторую прямую через две точки.

В чем же заключаются особенности нового способа изображения геометрических элементов на местности, вызывающие трудности при овладении практическими умениями?

В методических работах указывается на своеобразие изображения геометрических элементов на местности и на особенности их восприятия. Так, В. В. Репьев [41] отмечает, что на местности учащиеся фактически не видят прямой, отрезка, треугольника, они должны создать их в воображении и действовать как с обычными отрезками треугольниками.

М. А. Знаменский [22] пишет, что при обычном проведении прямой линии учащийся мало обращает внимания на ее свойства. На местности создаются лучшие условия для того, чтобы глубже понять эти свойства,

так как прямая не прочерчивается, а отмечается точками, и учащимся легче показать, что для определения прямой достаточно двух точек.

Наблюдения авторов являются правильными, но в их работах не затронут вопрос об особенностях мыслительной деятельности учащихся, которые вызваны способом изображения точки и прямой на местности. Действительно, восприятие учащимися геометрических элементов на местности не только значительно отличается от восприятия их в обычном изображении, но, можно думать, по своим особенностям является обратным. Поясним эту мысль: прямая, проведенная на бумаге, воспринимается как сплошная, целостная линия, расчлененность которой на отдельные точки не осознается всякий раз учащимися. Даже те ее точки, которые выделяются по ходу решения задачи и обозначаются буквами, фактически не выступают в восприятии учащихся как-то иначе по сравнению с другими точками прямой.

На местности же, наоборот, учащиеся видят лишь некоторые точки прямой, т. е. точки, обозначенные вехами, и не видят их непрерывного ряда, которым обладает прямая линия. Обозначенные вехами точки получают в их восприятии явное преимущество перед теми, которые нужно воображать, мыслить.

Следовательно, способ изображения на бумаге помогает целостному, синтетическому восприятию прямой, и нужна анализирующая, расчленяющая работа мысли, чтобы видеть отдельные точки. И наоборот, способ изображения прямой на местности способствует ее расчлененному восприятию, и нужна синтезирующая мыслительная деятельность, чтобы создать в воображении из отдельных точек целую линию и более сложные геометрические фигуры.

Кроме того, изображение геометрических элементов и фигур на местности оказывается еще более условным, чем изображение их на бумаге или на классной доске. На бумаге и на классной, доске точка — это только след нажима карандаша или мела, который можно видеть, но трудно осязать. Веха и колышек — достаточно большие предметы, которые можно брать в руки, переставлять и за которыми мыслить геометрическую точку, не занимающую пространства, конечно, труднее.

В предыдущей работе автора [20] было установлено,

что у учащихся шестых классов при решении задач и доказательстве теорем возникает ряд затруднений, связанных с тем, что они не понимают условности обычного изображения точки, а также условности чертежей, особенно к теоремам, доказываемым способом предположений. Эти затруднения объясняются недостаточным уровнем развития абстрактного мышления учащихся, в силу чего они не могут «оторваться» от конкретных особенностей чертежа.

Совершенно очевидно, что отвлечься от материальной конкретности вех и колышков учащимся во много раз труднее. Многосторонняя ощутимость их физических свойств вступает в еще более глубокое противоречие со знаниями о свойствах геометрической точки и прямой, чем это наблюдается в условиях работы с чертежом. Именно поэтому при решении задач, требующих применения геометрических свойств фигур, учащиеся в первую очередь считаются с физическими свойствами вех, исходят из них и допускают ошибки. Восприятие незаполненных промежутков между вехами наталкивает учащихся на мысль о возможности заполнения их новыми вехами, образующими вторую прямую. Конкретная веха, стоящая в одном ряду других вех, с трудом мыслится как точка другого ряда вех, пересекающего первый, и т. д.

Вместе с тем, как показывают наблюдения, эти трудности являются вполне преодолимыми. Четкое осознавание свойств геометрических элементов уже само по себе помогает учащимся правильно разрешать возникающее противоречие между непосредственным опытом и знаниями. Еще более лучшие результаты могут быть достигнуты, если учащимся оказывать разумную помощь в преодолении трудностей, если перед ними ставить такие задачи, которые будут способствовать синтезированию в процессе восприятия оторванных друг от друга вех-точек, помогать учащимся выйти за пределы восприятия, содействовать развитию более высокого уровня их мыслительной деятельности и воображения.

Поэтому при формировании простейших практических умений нельзя удовлетворяться только тем, что учащиеся приобретают умение провешивать прямые, углы и т. д., и не ставить перед ними задач, упражняющих в применении полученных знаний в условиях рабо-

ты на местности. Следует учитывать, что отсутствие помощи в преодолении указанных трудностей на первом этапе формирования практических умений будет неизменно сказываться при формировании более сложных умений, так как эти трудности снова встанут перед учениками.

Когда учащиеся научатся провешивать прямые, задача провешить острый или тупой углы (без указания точного размера) также не вызывает у них трудностей. Однако затруднения появляются при формировании последующих более сложных умений. Это связано главным образом с необходимостью перенести в условия работы на местности ту довольно сложную систему операций, которая складывается у учащихся в процессе обучения пользоваться чертежными инструментами.

Иногда же трудности появляются в результате того, что сложившееся в условиях работы на местности умение подвергается некоторой перестройке.

Рассмотрим такого рода случай при формировании умения строить на местности с помощью эккера углы в 45 и 135°. При построении углов с помощью транспортира учащиеся всегда совмещают центр его с вершиной угла. Поэтому требование ставить эккер (точнее, точку пересечения планок эккера, или диагоналей квадрата) в вершину угла при провешивании с его помощью прямых углов легко усваивается учащимися. При провешивании углов в 45 и 135° вершина угла перемещается от точки пересечения планок эккера на конец какой-либо планки, т. е. совмещается с булавкой на конце планки (рис. 14). Такое изменение в положении вершины угла нарушает сложившуюся у учащихся систему действий

Рис. 14

с транспортиром и эккером при провешивании прямых углов, формирование которой начинается еще в V классе.

По нашим наблюдениям, указанному изменению з действии с эккером не всегда придается достаточное значение при формировании умения строить углы в 45 и 135°, т. е. учитель главным образом показывает, как провешиваются углы, сам же принцип применения эккера объясняет недостаточно. Поэтому учащиеся с трудом овладевают этим умением. Представляло интерес выяснить, какое влияние на процесс формирования умения строить углы в 45 и 135° оказывает осознавание перемещения вершины угла с точки пересечения планок на конец планки. С этой целью был проведен эксперимент. Во всех бригадах учащихся, кроме одной, экспериментатор не только показывал, как с помощью эккера провешивается угол в 45°, но и обращал внимание учащихся на то, что вершина угла перемещается от точки пересечения планок на конец планки эккера. В одной бригаде ученик Слава П. сам сообразил, как в таких случаях эккер используется. Ничего не объясняя, он просто показал учащимся, как с помощью эккера провешивается угол в 45°.

Через несколько дней учащиеся в индивидуальном порядке, с эккером в руках, рассказывали, как провешивается угол в 45°. В бригаде, где не давалось объяснений, только пять учащихся из девяти могли сделать это правильно. И характерно, что почти все учащиеся долго рассматривали эккер, повертывали его разными сторонами, чтобы найти указанный угол. Те, кто не смог его найти, искали угол от точки пересечения планок, т. е. пользовались эккером так же, как и при провешивании прямых углов. Во второй бригаде с задачей справились восемь человек из девяти. Все они уверенно принимали за вершину угла конец планки (точнее, торчавший штифт). Таким образом, осознавание существенного признака использования эккера при провешивании угла в 45° оказало положительное влияние на процесс формирования этого умения.

При формировании умения провешивать перпендикуляры к прямой с помощью эккера перед учащимися встает задача перенести в условия работы на местности ту систему операций, которая сложилась у них при проведении перпендикуляров к прямой с помощью чертеж-

кого треугольника. Как и в обычных условиях, на местности различаются два случая провешивания перпендикуляра к прямой: из точки на прямой и из точки вне прямой. При формировании этого умения действия с эккером соответствуют действиям с чертежным треугольником при проведении перпендикуляров. Как чертежный треугольник независимо от положения данной точки всегда совмещается катетом с прямой, так и эккер всегда ставится на прямую так, чтобы одна его планка приняла направление прямой. Именно при таком положении чертежного треугольника и эккера достигается правильное построение прямого угла. Зависимость же действий от положения точки выражается только в том, что движением по прямой второй катет чертежного треугольника (и соответственно вторая планка эккера) подводится или к точке на прямой или к точке вне прямой.

Владея умением проводить перпендикуляры к прямым с помощью чертежного треугольника, учащиеся не сразу овладевают умением провешивать перпендикуляры на местности. Поразительно часто они допускают ошибку, которую мы покажем на примере работы с эккером ученика Вити А. (слаб.).

При провешивании перпендикуляра к прямой из точки вне прямой Витя А. ставит эккер в данную точку таким образом, что одна из планок примерно параллельна прямой. По направлению второй планки Витя провешивает «перпендикуляр» к прямой.

Так как учащиеся ошибаются в установлении эккера главным образом при решении задачи провешить перпендикуляр из точки вне прямой и очень мало, когда точка дается на прямой, это дает основание предположить, что место эккера ошибочно определяется ими в зависимости от положения данной точки.

Как же могла возникнуть у учащихся эта ошибочная связь между положением точек и местом эккера? Возникновение ее, по-видимому, объясняется несколькими причинами. Во-первых, следует учесть, что, работая с чертежным треугольником, учащиеся только внешне совершают одинаковое движение его по прямой, подводя второй катет к данным точкам. Психологически же их действия различны, поскольку в одних случаях движение направлено на точку, лежащую на прямой,

а в других случаях на точку, лежащую вне прямой. Эта различная ориентировка в действии с чертежным треугольником — ориентировка на точку в зависимости от ее положения,— очевидно, и порождает связь между положением точки и эккера. При этом нужно принять во внимание, что, хотя эккер имеет тот же принцип устройства, как и чертежный треугольник (его планки также образуют прямой угол), внешне он совсем не похож на треугольник, и наличие острой ножки, поддерживающей планки, может наталкивать учащихся на мысль о совмещении ее с данной точкой.

Немаловажное значение при этом имеет также слабо развитая у учащихся на этой ступени обучения способность различать геометрически обоснованное построение от необоснованного, произвольного. Поэтому учащиеся допускают много ошибок при решении задач на построение, так как в одних случаях они действуют обоснованно, а в других на глаз. Ставя эккер в точку вне прямой, они также не различают того, что параллельность планки эккера прямой линии устанавливается ими произвольно.

Анализ причин ошибок показывает, что даже весьма несложная система действий, сформированная у учеников в процессе учебной работы, не всегда легко переносится ими в условия работы на местности и что на процесс переноса оказывают влияние психологические особенности сформировавшихся действий учащихся, особенности измерительных приборов и т. д.

Подробнее на анализе переноса умений из одних условий в другие мы остановимся при рассмотрении более сложного умения определять недоступные расстояния.

ФОРМИРОВАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ УМЕНИЙ ОПРЕДЕЛЯТЬ НЕДОСТУПНЫЕ РАССТОЯНИЯ НА МЕСТНОСТИ

Та же задача — правильно применить в условиях работы на местности сформированные в учебной работе умения — встает перед учащимися при определении недоступных расстояний. Она значительно усложняется, поскольку определение недоступных расстояний является более сложным процессом, включающим в себя значительно большее количество операций, чем провеши-

вание перпендикуляра к прямой. Сложность системы действий мы покажем на решении задачи определить длину болота (озера) построением равных треугольников, которая наиболее часто используется в школах.

При решении этой задачи в классе учащиеся ставят точки по краям объекта, ограничивая тем самым искомое расстояние, затем выбирают еще одну точку для образования треугольника, с помощью линейки проводят стороны его и продолжают их за вершину, с помощью циркуля откладывают на продолжении их отрезки, равные указанным сторонам, и затем соединяют прямой образовавшиеся вершины второго треугольника. Как видно, действия в этой системе имеют определенный порядок и выполняются с помощью чертежных инструментов. Создаваемая система действий связывается у учащихся с теоретическими рассуждениями, направленными на доказательство равенства построенных треугольников и тех сторон их, одна из которых является доступной, а вторая — недоступной непосредственному измерению, а также с выводом о том, что по длине непосредственно измеряемой стороны можно судить о длине рассматриваемого объекта (болота, озера и т. п.).

При переходе от решения задач на определение недоступных расстояний в классе к определению реально существующих расстояний учащиеся должны строить на местности такие же треугольники, с теми же равными элементами и руководствоваться при этом тем же ходом рассуждений. Следовательно, путь решения задачи остается прежним. Существенно новое заключается лишь в том, что процесс построения учащиеся должны осуществлять уже не линейкой и циркулем, а новыми средствами — с помощью вех и рулетки.

Изучая процесс перехода от решения учебной задачи к определению недоступных расстояний на местности, мы ставили целью выяснить, в какой мере созданная система действий с чертежными инструментами при выполнении чертежа треугольников обеспечивает умение учащихся построить соответствующие треугольники на местности и каковы особенности этого процесса.

Работа проводилась на двух задачах: «Определить длину болота» и «Определить ширину реки». Прежде всего были проведены наблюдения на уроках в двух

классах у разных учителей. При объяснении этих задач в том и другом классах на классной доске схематично изображались болото и река и затем строились треугольники с равными элементами (рис. 15). Далее проводилось доказательство равенства треугольников и делался вывод о равенстве их сторон, одна из которых соответствовала длине болота или ширине реки. Указывалось, что, соответственно, другие из равных сторон доступны непосредственному измерению и по их длине можно узнать искомую величину.

При объяснении, как определить длину болота и ширину реки на местности, учащимся показывали вехи в натуральную величину и эккер, а затем рассказывали, используя чертеж, как ставятся вехи по краям болота (или на берегу реки), как провешиваются стороны треугольников, как они измеряются рулеткой, как образуются при этом равные треугольники и по длине какой стороны определяется длина объекта.

На следующем уроке геометрии при опросе учащиеся выполняли соответствующие чертежи, проводили доказательство равенства треугольников и рассказывали, как определяются недоступные расстояния на местности.

После наблюдений за работой учащихся этих классов на уроках с ними проводились индивидуальные эксперименты. На одном занятии учащиеся упражнялись в провешивании прямых линий, построении прямых углов с помощью эккера и измерении отрезков

Рис. 15

с помощью рулетки. На втором — каждому ученику сначала предлагалось воспроизвести решение задачи на чертеже. При этом особое внимание обращалось на то, чтобы при построении треугольников учащиеся правильно выполняли операции с линейкой, чертежным треугольником и циркулем, т. е., пользуясь линейкой, проводили стороны первого треугольника, затем продолжали их за вершину; пользуясь циркулем, откладывали равные отрезки (задача на определение длины болота); пользуясь чертежным треугольником, правильно строили прямые углы (определение ширины реки). Следя за выполнением этих операций и уточняя их, мы отрабатывали у учащихся ту систему действий, которая создавалась у них при построении чертежей в классе. Необходимо было, чтобы все учащиеся, взятые нами для эксперимента, достаточно уверенно выполняли указанные операции при построении чертежей. Поэтому, если учащиеся, решая задачу обычным путем, допускали какие-либо ошибки и неточности в построении треугольников или испытывали затруднения при доказательстве их равенства, мы оказывали соответствующую помощь до тех пор, пока не появлялась уверенность в полном осознавании учениками всего решения задачи.

После этого каждому ученику предлагалось рассказать, как он будет ту же самую задачу решать на местности, т. е. как он будет практически определять длину болота или ширину реки. Эта часть работы была направлена на выяснение того, в какой мере рассказы учащихся о предстоящих действиях на местности будут соответствовать практическому выполнению ими действий, и, следовательно, в какой мере учитель может на основании рассказов судить о способности учащихся правильно выполнить работу на местности.

Далее учащиеся должны были определить величину заданного объекта. Практическое решение задач осуществлялось учащимися в условиях работы на школьном дворе и в условиях использования настольных измерительных приборов. На школьном дворе учащиеся измеряли длину взрыхленной площадки для прыжков (5—6 м), пользуясь вехами стандартного размера и рулеткой. В классе им предлагалось определить длину болота и ширину реки, которые были нарисованы цветными карандашами на листах ватманской бумаги.

Заданные расстояния, конечно, только условно принимались за недоступные. Измерение таких расстояний было удобно в экспериментальных целях, так как можно было проследить за всеми действиями каждого учащегося.

Выполнение работы на дворе и в классе также создавало возможность выяснить, в какой мере использование комнатного полигона и настольных приборов может заменить проведение работ на местности. Этот вопрос также имеет важное значение, потому что, во-первых, не всякая школа располагает пришкольным участком, а во-вторых, проведение работ на местности ограничено сезоном.

Индивидуальные занятия были проведены с 44 учащимися, имевшими различную успеваемость по геометрии (14 учащихся с хорошей успеваемостью, 14 со средней и 16 со слабой). Задачу на определение длины болота решали 34 учащихся, при этом 13 (4 хор., 4 сред., 5 слаб.) проводили работу на школьном дворе и 21 (7 хор., 7 сред., 7 слаб.) —в классе. Задача на определение ширины реки решалась 10 учащимися (3 хор., 3 сред., 4 слаб.) также в классе.

При практическом определении длины болота или ширины реки каждый учащийся проводил всю работу самостоятельно. На дворе при работе с рулеткой ученику помогали удерживать один конец ленты учащиеся младших классов, иногда экспериментатор. В случае затруднений при построении треугольников на местности мы сначала рекомендовали учащимся припомнить чертеж. Если это не помогало, разрешалось чертеж рассматривать.

Прежде всего отметим, что все учащиеся с большим интересом относились к поставленной задаче практически определить заданное расстояние. С большой охотой они выполняли действия с вехами и измерительными приборами.

Следует также отметить, что возможность проверки решения задачи непосредственным измерением заданного расстояния оказывала свое специфическое воздействие. Учащиеся очень радовались и удивлялись при совпадении результатов непосредственного и опосредованного измерения расстояния, как будто оно было неожиданным. «Смотрите, и здесь ровно 5 м 45 см»,

«Вот интересно, и здесь получилось так же», «Ой, ровно-ровно 65 см»,— говорили они, осуществив по нашему указанию проверку полученного результата непосредственным измерением объекта.

Эмоциональное переживание совпадения результатов измерений говорит о том, что хотя все учащиеся усвоили рассуждения при решении указанных задач и говорили, что, измерив сторону треугольника, тем самым определили длину болота или ширину реки, однако смысл этого вывода для некоторых из них, по-видимому, оставался весьма отвлеченным и по-настоящему осознавался только в процессе выполнения практической работы.

Небезынтересно отметить, что даже старшие школьники, как об этом пишет учитель математики Г. А. Аханов [2], переживали подобное же удивление, когда они впервые, на основе сделанных расчетов, практически выполнили модель и затем непосредственным измерением убедились в совпадении всех ее размеров со сделанными расчетами.

Теперь рассмотрим результаты проведенных с учащимися экспериментов. Оказалось, что переход от абстрактного решения задач к практическому не вызвал затруднений у 19 учащихся из 44. В это число вошли все хорошо успевающие (14 человек) и несколько средне успевающих (5 человек). Посмотрим, как рассказывали о предстоящих действиях учащиеся этой группы, и сопоставим рассказы с практическими измерениями.

Евгений К. (хор.) решал задачу измерить длину болота на столе. После решения задачи на чертеже ему предложили рассказать, как он будет измерять длину болота на местности.

Евгений К. Сначала я расставлю вехи по одной прямой, чтобы из-за одной вехи не было видно другой, потом расставлю вехи по другой прямой, чтобы они пересеклись, и измерю стороны. Треугольники будут равны, а тогда можно измерить третью сторону и узнаем длину болота.

Экспериментатор развертывает лист бумаги с нарисованным болотом и предлагает Евгению К. определить его длину.

Рис. 16

Ученик ставит вехи по краям болота (рис. 16), затем провешивает пересекающиеся прямые, измеряет отрезок между вехами / и 3 и откладывает его на продолжении до вехи 5; так же производит измерение с другой стороны и ставит веху 4\ измеряет отрезок между вехами 4 и 5, получает 84 см. При проверке (измерении отрезка между вехами 1 и 2) результат оказывается верным.

Сергею К. (хор.) после решения задачи на чертеже предлагается рассказать, как он будет измерять ширину реки на местности.

Сергей К. Я бы взял на том берегу ориентир и против него поставил веху, чтобы она была ровно по линии, затем под прямым углом к этой линии поставил бы вехи, чтобы они были ровно и можно было натянуть веревку, взять отрезок, измерить его и продолжить, и снова поставил бы вехи под прямым углом от реки, чтобы они были по прямой линии; если эту линию измерить, то и будет ширина реки.

Экспериментатор развертывает на столе лист бумаги с нарисованной рекой и предлагает Сергею определить ее ширину. Ученик ставит веху против ориентира на другом берегу реки и с помощью эккера провешивает вдоль берега прямую перпендикулярно прямой, направленной на ориентир (рис. 17); измеряет отрезок между вехами 1 и 2 и откладывает равный ему до вехи 3. Затем ставит на место вехи 3 эккер и провешивает еще прямую под прямым углом. Просматривая направление прямой от ориентира на том берегу и через веху 2, находит вершину треугольника и обозначает ее вехой 4. Измеряет отрезок между вехами 3 и 4, получает 68 см, измеряет расстояние от вехи / до реки — 3 см, вычисляет ширину реки — 65 см. Результат оказывается правильным.

Рис. 17

Как видно из протоколов, учащиеся достаточно последовательно рассказывали о предстоящих действиях и правильно представляли пространственные отношения между элементами треугольников на местности. Конечно, их рассказы имели недостатки. Так, они часто пропускали отдельные операции, выражали свою мысль математически неточно. Однако эти недостатки рассказа не свидетельствовали о существенных недостатках в понимании процесса построения треугольников на местности. Все учащиеся этой группы последовательно выполняли все операции, правильно строили треугольники и получили достаточно точные результаты измерения.

Нахождение длины площадки на дворе также не вызвало никаких затруднений у учащихся. В этих условиях некоторые выполняли действия даже более рационально, чем это делали другие при работе на столе. Рассмотрим, как проводит измерения один из учащихся.

Борис С. (хор.) рассказывает в классе о предстоящих действиях так: «Для измерения на местности нужна рулетка и вехи. Нужно выбрать точку, поставить веху и по краям болота две вехи, чтобы образовался треугольник, потом провешить расстояния по прямой, измерить и снова провешить по прямой, чтобы стороны были равны; полученные точки соединить — тоже провешить прямую и эту сторону измерить и узнаем длину болота».

Взяв вехи и рулетку, Борис С идет на школьный двор, где ему предлагается определить длину площадки для прыжков. Ученик ставит вехи по краям площадки, затем провешивает две прямые, обозначив точку их пересечения вехой (см. рис. 16). Далее с помощью мальчика, который по его указанию прижимает к земле конец мерной ленты у вехи /, Борис измеряет отрезок между вехами 1 и 3, удваивает полученный результат и, не передвигая конец рулетки к вехе 3, как это делало большинство, развертывает рулетку дальше по прямой до нужного деления и ставит веху 5. Так же он проводит измерение и с другой стороны.

Такое выполнение операции измерения стороны и откладывания равного ей отрезка на продолжении являлось рациональным, так как не требовало передвижения помощника. Вместе с тем более уместным оно

было в условиях работы на дворе, так как при измерении на столе учащимся удобнее было передвинуть руки с лентой, чем раздвигать их на длину двух сторон треугольника. Таким образом, некоторые учащиеся, работая на дворе, могли не только правильно строить треугольники, но и творчески использовать возможности, которые создавались при измерении сторон рулеткой, не копируя механически процесс отложения равных отрезков циркулем. Именно этим и характеризовался наиболее высокий уровень выполнения операций.

По-иному протекал процесс перехода от решения задач в абстрактном плане к их практическому решению у другой группы учащихся. В этой группе (9 сред, и 16 слаб.) возникали различного рода затруднения при практическом измерении объектов.

Прежде всего отметим характерные особенности рассказов учащихся о предстоящих действиях. В одних случаях эти рассказы характеризовались крайней нерасчлененностью. Приведем ряд примеров.

Рая К. (слаб.). Поставила бы вехи, чтобы по прямой строго вертикально, и потом провела бы линию, натянула бы веревку (пауза), рулеткой бы измерила.

Евгений Б. (слаб.). Провел бы мысленно линию и рулеткой бы измерил, провел бы перпендикуляр.

Валерий Б. (слаб.). Так же буду измерять, измеряю стороны.

Экспериментатор. А как ты их построишь?

Валерий Б. Вехами.

Эти учащиеся говорили о своих действиях в очень общей форме, не расчленяли процесс построения на ряд последовательно выполняемых операций, а выхватывали из их системы какую-либо одну («провел бы линию», «измерил бы рулеткой») и главным образом указывали на средства измерения.

Рассказы других учащихся этой же группы характеризовались, наоборот, чрезмерной конкретностью.

Людмила П. (слаб.). Надо встать на берегу болота и поставить веху в точку А, потом отойти на расстояние и поставить веху в точку В и измерить расстояние до точки О. Получился треугольник, и от точки О отмерить расстояние, равное стороне ВО, и все.

Тамара Н. (сред.). Мы ставили бы вехи вот здесь, в точку А, и в точку В, и в точку С, и между ними,

и дальше бы шли и измеряли бы рулеткой и отложили бы на продолжении до точки К и до точки D.

В этих рассказах порядок действий как будто бы устанавливался, однако только на основе восприятия чертежа. Учащиеся следовали за буквенными обозначениями точек и линий чертежа, не отрываясь от него, не преодолевая его конкретности. Таким образом, если они и достигали в своем рассказе расчлененности процесса построения треугольников на отдельные операции, то достигали его только в конкретной форме, при опоре на чертеж.

Эти особенности словесного планирования предстоящих действий были связаны с неумением учащихся выполнить операции при практическом определении расстояний. При этом нужно сказать, что характер трудностей и ошибок учащихся в процессе работы на столе и на дворе был в основном одинаков. И количество ошибок в работе на дворе было не на много больше.

Что же затрудняло учащихся этой группы? В 12 случаях из 25 (1 сред., 11 слаб.) учащиеся не могли правильно воспроизвести треугольники на местности. Они неправильно расставляли вехи. Построенные ими фигуры лишь отдаленно напоминали соотношение между равными треугольниками на чертежах (рис. 18).

Как правило, сделав неудачную попытку построения треугольников, учащиеся прекращали работу, пока не получали помощи со стороны экспериментатора. В отдельных же случаях они проявляли настойчивость и делали несколько попыток построить треугольники. Например, работая на столе, Рая К. строит одну за другой три фигуры, показанные на рис. 19 В каждой из них есть треугольники, но они не расположены в нужном соотношении друг с другом. Те же трудности испытывает Элла Н. при определении ширины «реки» (рис. 20). Она каждый раз строит два прямоугольных треугольника (один из них отмечен звездочками), но не может расположить их в нужном пространственном соотношении.

В привычных условиях решения эти учащиеся умели построить два равных треугольника, могли указать их равные элементы и сделать нужный вывод, т. е. они знали решение задачи, как и учащиеся первой группы. Однако их знания были настолько конкретными, что ученики не могли оперировать ими без опоры на чертеж.

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Усваивая знания, учащиеся второй группы не достигали того уровня абстракции и обобщения, какое достигалось учащимися первой группы. Это хорошо было видно уже при анализе словесных отчетов учащихся о предстоящих действиях. Если они в своих рассуждениях следовали за конкретными линиями чертежа, то могли рассказать и о том, что нужно сделать на местности. Если же они пытались рассказывать без опоры на чертеж, их рассказ оказывался нерасчлененным, последовательная система действий не восстанавливалась. Способы решения задач ими не были обобщены, а поэтому и не могли быть использованы в условиях работы на местности.

Характерно, что наиболее эффективную помощь этим учащимся при построении треугольников оказывал совет вспомнить чертеж и «приложить» его к местности. Ученику говорили: «Вспомни, как были расположены треугольники на чертеже? Какой вершине соответствует эта веха?» Если учащиеся принимались «расставлять» на столе или на дворе привычные точки А, В, С... то образы треугольников восстанавливались легче. При этом начинала восстанавливаться и система действий, т. е. учащиеся принимались провешивать прямые и измерять отрезки. Это обстоятельство также свидетельствует о том, что учащиеся этой группы переносили систему действий из одних условий в другие не на основе логических рассуждений, а при опоре на представление конкретного чертежа.

Остальные 13 учащихся (8 сред., 5 слаб.) второй группы пространственно правильно располагали треугольники, но при построении их пропускали отдельные операции: или не измеряли отрезков и не откладывали равных им, или не провешивали сторон второго треугольника по прямой со сторонами первого. В результате этого построенные треугольники оказывались неравными, а результат измерения неверным. Рассмотрим примеры.

Тамара Н. (сред.) измеряет длину площадки на дворе. Первый треугольник строит правильно (рис. 21).

Рис 21

измеряет отрезок между вехами 1 и 3 и откладывает равный ему за вершину до вехи 4\ соответственно с другой стороны откладывает отрезок до вехи 5. Не проверяя, стоят ли вехи 4 и 5 по прямой со сторонами первого треугольника, измеряет расстояние между ними. Результат оказывается неправильным.

Игорь К. (сред.) измеряет длину «болота» на столе, ставит вехи 1 и 2 по краям «болота», затем провешивает две пересекающиеся прямые (рис. 22) и, не откладывая равных отрезков, измеряет расстояние между вехами 4 и 5. Результат получается неточным.

Как видим, эти учащиеся в процессе практического измерения не могли воспроизвести всю систему действий. Выпадение отдельных операций также оказалось связанным со слабым обобщением решения в обычных условиях. Когда обнаруживалось, что результат измерения неправилен, ни один учащийся не проверял своих действий, опираясь на логику рассуждений. Все они проверяли только правильность выполненных действий. Так, Тамара Н. проверила, правильно ли она измерила отрезки и отложила равные им, но не обратила внимания на то, составляют ли стороны треугольников прямую. Игорь К., наоборот, проверил, хорошо ли он провешил прямые, но не измерял отрезков, и т. д.

Естественно, что учащиеся не обнаруживали своих ошибок.

Как правило, ошибка обнаруживалась только при воспроизведении процесса построения треугольников

Рис. 22

на бумаге. Если учащиеся, глядя на чертеж, начинали вспоминать порядок своих действий в классе, они устанавливали, какая операция была пропущена. Это обстоятельство говорит о том, что система действий, которая была ими усвоена в классе, также была настолько слабо обобщена и настолько отвечала лишь условиям решения на чертеже, что при переносе в условия работы на местности она легко нарушалась.

В отдельных наблюдаемых нами случаях нарушение целостной системы действий проходило при формальном выполнении всех необходимых операций учащимися. Такие случаи имели место в процессе работы на школьном дворе. Определяя длину площадки, три ученика (слабо успевающих по геометрии) произвели все операции, необходимые для построения треугольников, но выполнение одних операций оказалось у них не согласованным и противоречащим смыслу других. Рассмотрим, как действовал один из этих учеников.

Валерий Б. вначале не мог построить треугольники. После припоминания чертежа и мысленного размещения на местности точек А, В, С и т. д. он правильно строит треугольник (вехи 1, 2, 3 на рис. 23), затем провешивает прямые за его вершину и говорит: «Там циркулем откладывали, а здесь рулеткой». Измеряет отрезок между вехами 1 и 3 и откладывает равный ему отрезок не по провешенной прямой, а в сторону, снимает с прямой веху 5 и ставит ее на конец отложенного отрезка (см. пунктирные линии на рис. 23). Далее он измеряет отрезок между вехами 2 и 3 и также откладывает равный ему в сторону от провешенной прямой, снимает веху 4 и ставит ее на новое место. Измеряет расстояние между вехами 4 и 5. Результат определения длины площадки, конечно, оказывается неправильным. При указании посмотреть, правильно ли строились треугольники, Ва-

Рис. 23

лерий обнаружить ошибку не может. Считает, что он все сделал правильно.

Ни при построении треугольников, ни при проверке их построения учащиеся не воспроизводили целостной системы действий, в которой каждая операция связана с другими. Они воспроизводили только отдельные, не связанные друг с другом операции: провешивание сторон выполнялось ими само по себе, без всякой связи с их измерением, а измерение — без всякой связи с провешиванием прямых. Однако, несмотря на разобщенное осознавание и выполнение операций, учащиеся осознавали конечную цель своих действий. Они завершали работу измерением расстояния между вехами 4 и 5 и относили результат измерения к длине площадки.

В отдельных случаях нарушение целостной системы действий у учащихся было связано с утратой цели построения треугольников. Так, в условиях работы на столе четверо учащихся, строя треугольники для измерения длины «болота» или ширины «реки», измеряли искомые величины непосредственно и «подгоняли» размеры сторон треугольников. Рассмотрим два примера.

Вячеслав Е. (слаб.) при определении длины «болота» не произвел измерения сторон первого треугольника и не отложил равных им отрезков. Построив треугольники, заметил, что второй получился больше первого. Тогда он с помощью мерной ленты стал сравнивать длину отрезка между вехами 4 и 5 и длину «болота», а затем сдвигать вехи 4 и 5, подгоняя длину отрезка между вехами к длине «болота». Вячеслав четыре раза измерял указанные расстояния и после каждого раза сдвигал или раздвигал вехи. Еще не достигнув равенства отрезков, он стал внимательно рассматривать чертеж построенных им треугольников при решении этой задачи, после чего выполнил пропущенную операцию измерения отрезков, получил равные треугольники и правильно определил длину «болота».

Другой ученик, Евгений П. (сред.), с большими трудностями, несколько раз заглядывая в чертеж, построил треугольники для измерения ширины «реки». Закончив построение, он сказал: «Все». Между тем ширина «реки» осталась неизвестной, так как ученик не измерил катета, длина которого соответствовала этой ширине. В ответ

на вопрос, какова же ширина «реки», Евгений взял в руки мерную ленту и непосредственно произвел ее измерение.

Можно предположить, что в этих случаях учащиеся упускали из виду задачу практически определить величину заданного им объекта и с помощью вех, г. е. новыми средствами, решали старую учебную задачу— построить два равных треугольника. Для математика такое деление единой по существу задачи на две, вероятно, будет странным. Психологически же следует учесть, что, решая задачи на определение недоступных расстояний на чертеже, учащиеся направляют свои практические действия только на построение двух равных треугольников. Далее же они проводят абстрактные рассуждения, в результате которых устанавливается, что по длине стороны второго треугольника можно узнать длину болота (или другого объекта), но длина стороны второго треугольника практически не измеряется.

В приведенных выше решениях учащиеся как раз и не производили практического измерения указанных сторон. Очевидно, задача построить равные треугольники, как более привычная, вытеснила из сознания психологически новую задачу — измерить сторону треугольника, соответствующую искомой величине.

Конечно, такое вытеснение было временным, и через некоторое время учащиеся приходили к осознаванию необходимости измерить сторону треугольника. Осознавание этой задачи наступало по-разному. Так, Вячеслав Е. осознает ее постепенно сам, в процессе многократного подравнивания сторон и затем рассматривания чертежа. По-иному этот процесс протекает у Евгения П. У него особенно ясно выступает как бы расщепление задачи на учебную и практическую. Закончив построение треугольников, он считает, что задача решена. Когда же экспериментатор спрашивает о ширине «реки», то эту практическую задачу Евгений П. решает в полном отрыве от ранее решенной учебной задачи построения треугольников, т. е. измеряет ширину «реки» непосредственно. Лишь прямой вопрос экспериментатора, зачем же строились треугольники, заставляет ученика осознать цель построения треугольников и нелепость своих действий. Он восклицает: «Ой, что же я делаю?!», после

чего измеряет сторону треугольника, построенного на берегу «реки», и тем самым определяет ширину ее.

Поскольку указанные случаи наблюдались в условиях работы на столе, можно думать, что задача опосредованно определить величину объекта, который легко измерить непосредственно, также представляет для учащихся некоторую психологическую трудность. Возможность измерить объект непосредственно в какой-то степени лишает смысла измерение опосредованным путем, отвлекает учащихся от основной цели построения треугольников и вызывает ошибочные действия. Чтобы устранить эту трудность, очевидно, лучше в этих условиях не ставить перед учащимися цель определить величину болота (или реки), как это было в наших экспериментах. Решение задач здесь лучше рассматривать как подготовительный этап к измерению действительно недоступных расстояний на местности. Если учащиеся будут видеть цель этой работы в том, чтобы приготовиться к измерению действительно недоступных расстояний, им будет понятно, почему они должны с помощью вех строить треугольники и опосредованным путем определять длину «болота», которую легко измерить непосредственно.

Рассмотрев полученные факты, можно сказать, что формирование практических умений, которые необходимы для определения недоступных расстояний, совершается у учащихся на основе переноса целостной системы действий из условий работы в классе в условия работы на местности. Этот перенос у разных учащихся осуществляется по-разному.

Некоторые учащиеся легко переносят систему действий из одних условий в другие, что объясняется хорошо расчлененным и обобщенным пониманием ими всего хода решения задач в классе. Такое понимание отражается и в рассказе учащихся о предстоящих действиях на местности. Планируя свои действия, они оперируют представлениями о чертеже и воображаемой местности, не нуждаясь в опоре на восприятие чертежа. Выполняя работу на местности, они уверенно и целесообразно, с учетом конкретных условий, производят практические действия и в некоторых случаях обнаруживают способность их рационализировать. Можно сказать, что эти учащиеся овладевают практическими умениями опреде-

лять недоступные расстояния на местности в процессе решения учебных задач.

В этих же условиях обучения другие учащиеся не овладевают практическими умениями определять расстояния на местности. Сформировавшаяся в процессе учебной работы система действий, обеспечивающая построение треугольников на чертеже, с трудом переносится ими в новые условия и легко разрушается в процессе переноса. Как было показано, учащиеся не всегда могут на местности пространственно правильно разместить треугольники, пропускают при их построении отдельные операции или выполняют их без согласования друг с другом. Чтобы восстановить систему действий, они вынуждены опираться на восприятия, т. е. обращаться к чертежу и размещать на местности конкретные точки А, В, С, D и т. д. Процесс воспроизведения системы действий в новых условиях в силу своей трудности настолько поглощает сознание учащихся этой группы, что в некоторых случаях они теряют основную цель построения треугольников, т. е. заменяют практическую задачу — определить с помощью построенных треугольников размер заданного объекта — учебной задачей: построить два равных треугольника.

Сформированная в учебных условиях система практических действий у этих учащихся легко разрушается, потому что они плохо расчленяют и обобщают ход решения задачи. Это находит свое отражение в рассказах учащихся о предстоящих практических действиях, которые также характеризуются или крайней нерасчлененностью или чрезмерной конкретностью, свидетельствующей о том, что ученикам трудно отвлечься от конкретного чертежа, от его буквенных обозначений.

Полученные результаты показывали, что при выработке практических умений у учащихся нужно формировать системы действий в расчлененном и обобщенном виде.

Эта задача решалась нами в следующем учебном году в ходе дополнительных занятий с двумя группами слабо успевающих учащихся, взятых из двух параллельных шестых классов.

В одной группе было 11 учащихся (7 мальчиков и 4 девочки), в другой 14 (9 мальчиков и 5 девочек). Занятия начались сразу же после прохождения в классе

материала об определении недоступных расстояний на местности.

Процесс расчленения системы действий при построении треугольников проводился в обычных условиях построения чертежа, т. е. ученики под руководством экспериментатора выделяли и формулировали каждую операцию, устанавливали значение ее в процессе построения равных треугольников. Например, учашиеся говорили, что сначала нужно поставить по краям болота две точки, и ставили их. Затем выяснялось, что отрезок между этими точками равен длине болота, которую нужно определить, что эти точки будут вершинами треугольника, а отрезок между ними стороной его. Далее устанавливалось, что эти точки при измерении на местности будут обозначаться вехами. Ученикам показывали вехи натурального размера. Таким путем на занятиях с той и другой группой учащихся были выделены, выполнены и подвергнуты анализу одна за другой все операции.

Труднее было создать условия, которые бы способствовали обобщенному пониманию производимых действий. Накопленный опыт психологических исследований в области обучения подсказывал нам необходимость варьировать способ построения треугольников. Как известно из ряда исследований, в условиях варьирования учебного материала учащиеся скорее и правильнее делают нужные обобщения (Е. Н. Кабанова-Меллер [28], В. И. Зыкова [20], А. З. Редько [40], А. М. Орлова [35] и т. д.).

В качестве варьирующего способа построения треугольников был взят способ их построения с помощью вех настольного размера. При этом учащимся разъяснялось, что цель работы заключается не в том, чтобы определить таким путем заданное расстояние, а в том, чтобы овладеть различными способами построения треугольников и тем самым подготовиться к построению треугольников на местности.

Наряду с основной задачей сформировать у учащихся систему действий, которая бы легко переносилась из условий работы в классе в условия работы на местности, мы ставили вторую задачу — экспериментально сравнить эффективность разных путей формирования практических умений у учащихся.

В психологической литературе, посвященной изучению эффективности различных методов формирования практических действий учащихся при усвоении учебного материала, была установлена положительная роль тех методов, которые обеспечивают активность учащихся (Е. В. Гурьянов [15], Т. Н. Боркова [7], М. Ф. Морозов [33], С. М. Козловский [27] и т. д.). Положительное значение мыслительной активности учащихся в процессе овладения практическими умениями работать с чертежными инструментами было также показано в первой главе настоящей книги.

Вместе с тем в исследованиях устанавливается эффективность другого пути формирования практических умений у учащихся. Так, Н. А. Рыков [38, 39] показал, что наблюдения учащихся за чужими действиями в процессе формирования практических умений, связанных с усвоением учебного материала по зоологии, дают не меньшую эффективность, чем собственноручное выполнение действий учащимися.

Представляло интерес сравнить эффективность указанных методов при формировании практических умений, связанных с усвоением геометрического материала. С этой целью обучение строить равные треугольники с помощью настольных вех проводилось по-разному в выделенных группах.

В первой группе учащихся (11 человек) занятия строились так: каждый получал лист бумаги, на котором карандашной линией были очерчены границы «болот», 15—20 палочек высотой 10 см, кусочек пластилина и мерную ленту. Ставя палочки на небольшие пластилиновые подставки, учащиеся получили вехи, которыми можно было работать на столах1. Была поставлена задача — построить равные треугольники таким же образом, как они должны строиться на местности. При этом указывалось, что весной каждый из учеников должен будет определить длину какого-либо объекта на школьном дворе.

Во второй группе (14 человек) была поставлена та же самая задача, но только построение равных треугольников производил экспериментатор. Учащихся расстави-

1 Занятие проводилось в классе, оборудованном столами (а не партами), длина «болота» варьировалась от 20 до 40 см.

ли вокруг достаточно большого стола, на котором лежал лист ватманской бумаги с нарисованным «болотом», и они только наблюдали за действиями экспериментатора. Последний с помощью вех настольного размера (высотой 20 см) выполнял каждую операцию, предварительно назвав ее и поясняя, как она должна выполняться.

В первой группе проводить занятия было легко, так как учащиеся активно работали с вехами и мерной лентой. Сам процесс построения треугольников вызывал у них интерес, и трудности возникали лишь при выполнении отдельных операций.

Во второй группе проведение занятий было затруднено необходимостью сдерживать естественную активность учащихся. «Обреченные» на наблюдения за действиями экспериментатора, учащиеся пытались «подсказывать» порядок действий и неоднократно обращались с просьбой позволить им самим строить треугольники.

Эти занятия были проведены в конце февраля, а в конце апреля и начале мая проводились констатирующие индивидуальные эксперименты с учащимися. Методика индивидуальных экспериментов была прежней. Вначале учащиеся воспроизводили решение задачи на чертеже, затем им предлагалось рассказать, как они будут проводить измерение на местности. После этого каждый ученик, захватив вехи и рулетку, шел с экспериментатором на школьный двор, где производил практическое определение длины той же площадки для прыжков.

Полученные результаты построения треугольников на дворе мы сравнили с результатами построения треугольников, которые были получены во время экспериментов, проведенных в прошлом году, взяв для этой цели работы 16 учеников, слабо успевающих по геометрии. Напомним, что последние переходили к практическому определению расстояний непосредственно после решения задачи в абстрактно-логическом плане, т. е. не имели возможности наблюдать за построением треугольников в условиях работы на столе или строить треугольники, пользуясь вехами уменьшенного размера. Сравнительные результаты решения показаны в табл. 4 (см. стр. 86).

Как видно из таблицы, слабо успевающие учащиеся, работа с которыми в предшествующем году ограничива-

Таблица 4

Время экспериментов

Количество учащихся

Правильное построение треугольников

Пространственные ошибки

Пропуск операций

Несогласованное выполнение операций

1955/56 учебный год . . .

16

68,7

81,2*

18,7

1956/57 учебный год ....

25

76

8

16

* Следует учитывать, что учащиеся, не умевшие сначала пространственно правильно расположить треугольники, в дальнейшем при построении их пропускали операции; процент допущенных ошибок вычислялся всюду от общего количества работ в данной группе.

лась решением задач в абстрактно-логическом плане, совершенно не справлялись с практическим определением длины объекта на местности. Все они при построении треугольников затруднялись и допускали ошибки.

Учащиеся с такой же успеваемостью, у которых формирование практических умений в классе протекало в условиях вариации способов построения треугольников, в большинстве случаев справились с построением треугольников на местности и допустили сравнительно немного ошибок. Повышение успешности решения задач следует поставить в связь с повышением уровня обобщенного понимания хода их решения. Если ранее рассказы учащихся о предстоящих действиях на местности характеризовались крайней нерасчлененностью или чрезмерной конкретностью, указывающей на трудность отвлечения от чертежа, то теперь в 13 случаях из 25 они носили достаточно обобщенный характер и отражали ясное понимание хода практических действий. Приведем примеры.

Виктор К. Поставлю вехи по бокам болота и на берегу тоже веху и от одной точки до другой поставлю вехи, чтобы линия была прямая. Ее надо измерить и продолжить, и потом другую тоже так же посмотреть,

ровно ли поставлены, и тоже продолжить, и если треугольники равны, то можно узнать длину болота.

Михаил З. Поставим на концах болота вехи и станем еще ставить вехи, чтобы была прямая линия, и после еще прямую, и где сойдутся прямые, посмотрим, сколько вех поставили (пауза). Нет, мы измеряем и после продолжим прямые и полученные точки соединим и метром измеряем.

Тамара Ж. Я поставлю вехи точно так же, как и на чертеже, сначала по краям болота, потом по одной прямой и потом по другой прямой, и отмечу точку О, где сходятся прямые, и я продолжу прямые дальше и потом беру и измеряю расстояние циркулем, нет не циркулем, а рулеткой, и поставлю буквы (пауза); нет, вехи, и тогда измеряю.

Основным в приведенных рассказах является преодоление учениками конкретности при описании операций. Конечно, в ряде случаев потребность опереться на буквенные обозначения треугольников проявлялась у учащихся, как, например, у Тамары Ж., но уже в слабой степени. Несмотря на неточность выражений, которая, как мы видели ранее, имела место и у хорошо развитых учащихся, рассказы этих учащихся отражают уже достаточно расчлененную и вместе с тем целостную систему действий.

Однако не все учащиеся и в новых условиях обучения смогли достигнуть умения в обобщенном виде рассказать о предстоящих действиях. В той и другой группе были учащиеся, рассказы которых по-прежнему были совсем не расчлененными или же следовали за буквенными обозначениями чертежа. Существенных различий, зависящих от метода обучения, в рассказах учащихся не было, хотя несколько лучшие результаты в обобщенном понимании хода решения задач показали учащиеся, сами выполнявшие действия. Не было у них также неправильных рассказов, которые в двух случаях допустили ученики, наблюдавшие за действиями. Сравним по группам результаты построения треугольников (см. табл. 5 на стр. 88).

Из таблицы видно, что подавляющее большинство учащихся той и другой группы успешно справились с построением треугольников на местности. У учащихся, наблюдавших за действиями экспериментатора, не-

Таблица 5

Способ обучения

Количество учащихся

Правильное построение (в %)

Неправильное построение (в %)

пространственные затруднения

пропуск операций

1-я группа, выполнявшая действия

11

81,8

-

18,2

2-я группа, наблюдавшая за действиями

14

71,4

14,3

14,3

сколько больше ошибок, чем у учеников, собственноручно выполнявших все действия. Следовательно, в условиях обучения, когда при построении чертежа производится подробный анализ системы действий, затем сопоставляются способы выполнения каждого действия в классе и на местности и, наконец, эти действия закрепляются практическим построением треугольников в классе, — в этих условиях формирование практических умений обеспечивается у большинства учащихся как при непосредственном выполнении ими действий, так и при наблюдении за действиями других.

При этом можно предположить, что из всех перечисленных выше средств, которыми мы добивались успеха, решающее значение имело то, что учащиеся получали наглядные представления о действиях на местности. Это содействовало формированию более широких представлений о способах построения треугольников и тем самым помогало им выйти за пределы восприятия чертежа, преодолеть его конкретность.

В нашем исследовании не представлены результаты наблюдений за процессом определения учащимися действительно недоступных расстояний. Можно предположить, что этот процесс в своих общих особенностях будет совпадать с особенностями работы на школьном дворе. Однако несомненно, что в этих условиях появится новое отношение учащихся к работе, ориентировка в гораздо большем пространстве может вызвать новые трудности и т. д. Изучение этого процесса должно стать предметом дальнейших исследований.

ФОРМИРОВАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ УМЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ СЪЕМКИ ПЛАНА УЧАСТКА

В процессе съемки плана участка соотношение между выполнением чертежа (плана участка) и измерениями участка более сложно, чем при практическом определении недоступных расстояний. В последнем учащиеся совершают один переход от чертежа к построению геометрических фигур на местности; при этом система их действий при построении треугольников на чертеже и на местности одинакова, хотя и осуществляется с помощью различных средств.

Процесс съемки плана участка требует нескольких переходов от участка к чертежу и обратно: так, рассмотрев участок, учащиеся сначала выполняют план его в приближенном виде (абрис, или набросок плана участка), затем, пользуясь им, производят измерения на участке и после этого, в соответствии с полученными данными, строят план участка.

В процессе этой работы формируются две системы действий, и каждой соответствуют различные практические умения. Целью одной из систем является измерение участка; ей соответствуют умения выделить геометрическую форму участка, провести с помощью рулетки, угломера, компаса и других приборов необходимые измерения. Цель второй системы действий — построение чертежей (абриса и плана); она требует умения воспроизвести геометрическую форму участка на абрисе, осуществить с помощью чертежных инструментов (линейки, циркуля, транспортира и т. д.) построение плана участка.

Основная задача нашей работы заключалась в том, чтобы раскрыть особенности процесса формирования практических умений, связанных с измерением участка и построением его плана, показать основные трудности и ошибки учащихся и посмотреть, при каких условиях можно достигнуть лучших результатов. Вместе с тем представляло интерес изучить и такие вопросы, связанные с формированием указанных выше умений:

1. Каковы особенности восприятия участка учащимися, когда они его рассматривают до выполнения абриса и в процессе его измерения?

2. Какую роль играет абрис в переходе учащихся от

восприятия участка и его измерения к построению плана?

3. При каких условиях обучения овладение съемкой плана участка наилучшим образом способствует общему и математическому развитию учащихся и их политехническому образованию?

Условия и методика обучения в классах

В соответствии с действующими программами проводилось обучение двум способам съемки плана: обходом по периметру и разбивкой на треугольники.

Методика обучения строилась в соответствии с указаниями, которые были получены учителями математики на семинаре по теме «Измерительные работы на местности в средней школе», проходившем при Московском городском институте усовершенствования учителей (руководитель семинара — П. Я. Дорф), и с учетом рекомендаций, изложенных в методической литературе.

Следует отметить, что общие указания для проведения съемки плана участка в методических пособиях и статьях примерно одинаковы. Так, всюду предусматривается объяснение содержания каждой работы в классе, использование определенных измерительных приборов, подготовка бригадиров, разделение учащихся на бригады для работы на местности и т. д. Но по ряду конкретных вопросов (измерение азимута одной стороны участка или всех граничных сторон, построение абриса с учетом азимута его стороны или без учета и т. д.) существуют разные точки зрения.

Работа проводилась в двух параллельных шестых классах, обучающихся математике у одного педагога. Элементарные практические умения (провешивать прямую, строить прямые углы с помощью эккера и т. д.) были сформированы у учащихся в начале года.

Объяснение работ по съемке плана участка проводилось учителем на трех уроках геометрии.

На первом уроке учащихся подробно познакомили с устройством измерительных приборов (рулетки, компаса, угломера) и приемами их использования. Об устройстве рулетки и компаса учащиеся уже имели некоторое представление, угломер являлся для них новым

прибором (рис. 241). На этом же уроке была проведена работа над понятиями «азимут» и «масштаб». Ход урока был таким, В классе провешивалась прямая; подробно рассмотрев устройство рулетки, ученики измеряли длину провешенного отрезка. Затем провешивался угол, который с помощью угломера также измерялся учащимися. Измерение угла проводилось от произвольного деления лимба с последующим нахождением разности двух показателей, полученных при наведении алидады по направлениям сторон угла.

Далее ставилась задача начертить построенный угол, учитывая его положение по отношению к сторонам горизонта. Здесь было дано понятие об азимуте и способе его измерения — измерялось несколько азимутов и на доске чертилась их схема (рис. 25). Когда были получены данные об азимуте стороны построенного угла, его величине и длине отрезков сторон, учащиеся под руководством учителя делали построение угла на доске и в тетрадях. При отложении отрезков сторон проводилась работа над понятием «масштаб». Содержание первого

Рис. 24 Рис. 25

1 Угломер состоит из круга (лимба), разделенного по окружности на 360°. В центре лимба подвижно закреплена металлическая пластинка (алидада), на концах которой возвышаются диоптры (пластинки с прорезями) для визирования направления сторон угла. Лимб, укрепленный на треножнике, помещается в вершину измеряемого угла. Разность между показателями при наведении алидады в направлении сторон угла и есть его величина.

урока подготовляло учащихся к усвоению способов съемки плана участка, объяснение которых проводилось на двух последующих уроках геометрии.

На втором уроке учащиеся познакомились со способом съемки плана обходом по периметру. В классе с помощью вех натуральной величины строили пятиугольный участок, вершины которого обозначались А, В, С, D, Е в направлении по ходу часовой стрелки. Установив, сколько углов и сторон имеется на участке и какова их сравнительная величина, ученики чертили абрис на доске и в тетрадях (рис. 26). Учащимся разъясняли, что абрис, или набросок плана «на глаз», показывает, как расположены стороны и углы участка по отношению друг к другу; вместе с тем указывали, что положение участка на абрисе не соотнесено со сторонами горизонта.

Далее устанавливали и записывали, какие элементы участка подлежат измерению, после чего учащиеся проводили измерения участка. Перед построением плана выбирали масштаб1 и вносили поправки в размеры углов2. План участка одновременно чертили на доске и в тетрадях: проводили линию меридиана, на ней брали точку А и строили азимут стороны AB; затем в масштабе откладывали сторону AB, строили угол ABC, от-

Рис. 26

1 Так как длина сторон построенного в классе участка не превышала 7—8 м, то для построения плана в тетрадях удобным являлся масштаб 1 : 100, а на доске 1 : 10.

2 Сумма внутренних углов пятиугольника вычислялась по формуле S = 2d (п — 2). Разность между этой суммой и суммой углов, полученной в результате их измерения, распределялась по всем углам участка.

кладывали сторону ВС и т. д. Последнюю вершину Е соединяли прямой с первой вершиной А.

На третьем уроке таким же образом объяснялся способ съемки плана участка разбивкой на треугольники. Внутри пятиугольного участка ставили веху, от которой проводили отрезки к вершинам участка. В каждом треугольнике учащиеся измеряли две стороны и угол между ними, вершину которого обозначали поставленной внутри участка вехой (рис. 27). При этом способе съемки плана измерение углов не требует переноса угломера и производится последовательным повертыванием алидады от направления на одну вершину участка к направлению на другую, третью и т. д. Измерив углы, учащиеся вспоминали, что сумма углов, расположенных вокруг точки, равна 360°. Подсчитав сумму измеренных углов, они вносили поправки в их величины. Построение плана начинали также с проведения линии меридиана и построения азимута стороны OA. На уроке учащиеся строили планы участков в тетрадях, дома — на отдельных листах.

После проведения работы в классе учащиеся были разделены на бригады по 5—6 человек и под руководством учителя проводили съемку плана участка на школьном дворе. Одновременно работали две бригады, причем каждая на своем участке производила съемку плана сначала одним, а затем другим способом. Строго контролировалось, чтобы каждый учащийся провел измерения с рулеткой, угломером и компасом. Когда

Рис. 27

первые две бригады заканчивали работу, на смену им приходили две другие. Работа на дворе проводилась во внеучебное время.

С целью изучения роли абриса при измерении участка и построении его плана в методику обучения в параллельных классах было внесено следующее различие. В одном классе (VI «а») объяснения велись в полном соответствии со сделанным выше описанием. В другом же классе (VI «б») понятие об абрисе не вводилось, и учащиеся проводили съемку плана, непосредственно рассматривая построенные участки в классе и на школьном дворе. План участка ученики строили и в классе и дома на основе полученных данных и представления о геометрической форме участка. Чтобы они достигли более четкого представления, рассматриванию участка уделялось несколько больше внимания и после измерений учащимся всегда предлагалось еще раз внимательно посмотреть на участок и запомнить, как расположены его стороны и вершины.

В остальном работа проводилась так же, как и в VI «а» классе.

Следует оговориться, что, осуществляя в одном классе обучение съемке плана без абриса, мы не ставили вопроса о том, нужен абрис или нет, поскольку он является важным документом при проведении геодезических работ, создающих возможность разделения труда (одни производят измерения, другие чертят планы).

РЕЗУЛЬТАТЫ НАБЛЮДЕНИЙ ЗА РАБОТОЙ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ И НА ШКОЛЬНОМ ДВОРЕ

То обстоятельство, что в одном классе в процессе объяснения измерительных работ был использован абрис, а в другом нет, сразу же существенно отразилось на работе учащихся. Учащиеся VI «а» класса, воспринимая построенный участок и его абрис, казалось, не испытывали никаких затруднений в ответах на вопросы о том, какие стороны и углы имеются на участке, где они расположены, на сколько треугольников разделен участок, как называются треугольники, где стороны каждого из них и т. д. Создавалось впечатление, что произвести анализ построенного участка для учащихся не составляет труда.

Иная картина получилась в классе, где абрис не вводился, и учащиеся были вынуждены все время обращаться к непосредственному восприятию участка. Сравнительно легко они ответили на вопрос, сколько углов и сколько сторон имеет построенный участок. Однако показать стороны каждого угла или сказать, на сколько треугольников разбит участок и где границы каждого треугольника, сумели не все. Несколько учеников, стоя у вершины угла, одну из сторон его показывали неверно. С трудом устанавливали они количество треугольников. Несмотря на то что учитель, объясняя способ разбивки на треугольники, вставал у вехи, обозначавшей общую вершину треугольников, и движением руки показывал, в каком направлении от нее идут отрезки, соединяющие ее с вершинами А, В, С, D, Е, и называл их (OA, OB, ОС, OD и ОЕ), на вопрос о том, сколько же получилось треугольников, одна из учениц ответила, что получилось два треугольника. Вторая поправила: «Нет, треугольников четыре». Затем раздались голоса с мест: «Шесть!», «Пять!», «Три!».

Лишь после того как были выделены границы каждого треугольника (АОВ, ВОС, COD, DOE, ЕОА) все учащиеся поняли, что образовалось пять треугольников.

Те же особенности мы наблюдали и в условиях работы на дворе. Учащиеся VI «а» класса, пользуясь абрисом, без особого труда находили на участке нужные стороны, треугольники и т. д. Для учеников VI «б» класса ориентироваться на участке было явно труднее. Прежде чем наводить алидаду по стороне того или иного угла, они нередко принимались восстанавливать порядок обозначения вершин: указывая рукой на вехи, называли вершины А, В, С, D, Е, после чего им уже легче было выделить на участке нужную сторону угла, нужный треугольник.

В остальном работа протекала одинаково. Основные трудности у школьников того и другого класса наблюдались при определении азимута и измерении углов, но так как в условиях коллективной работы трудно было выявить все особенности овладения практическими умениями, учесть все возникающие трудности и ошибки учащихся, далее с ними были проведены индивидуальные эксперименты.

МЕТОДИКА И РЕЗУЛЬТАТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Индивидуальные эксперименты проводились с 18 учащимися из каждого класса, причем 9 (3 хор., 3 сред, и 3 слаб.) проводили съемку плана участка одним способом, остальные другим.

Порядок эксперимента был таким: сначала учащемуся предлагали рассказать, как он будет производить съемку плана участка, при этом предупреждали, что нужно рассказывать по порядку, с чего будет начинаться работа, как она будет производиться и чем закончится. Такие отчеты нужны были для того, чтобы выяснить, в какой мере учащиеся представляют себе последовательность действий и какое место в их рассказе будет отводиться каждому из действий.

Рассказ расценивался нами как последовательный, если учащиеся, называя действия, не нарушали при этом логики деятельности. Так, например, рассказывая об измерении участка, учащиеся могли сначала говорить об измерении сторон, а потом об измерении углов и азимута или наоборот, так как и порядок этих действий мог быть разным. Если же учащиеся сначала говорили об измерении участка, а потом о выполнении абриса, или сначала о построении сторон, а потом о выборе масштаба, это было непоследовательно.

Прослушав рассказ, мы предлагали учащимся произвести съемку плана участка, который строился с помощью настольных вех на отдельном столе. Стол стоял так, чтобы ученики могли свободно ходить вокруг него. При измерении участка они пользовались тем же компасом и тем же угломером (снятым со штатива), которые были использованы в классе и на дворе; вместо рулетки оказалось удобнее пользоваться сантиметровой лентой.

Приборы для измерения и чертежные инструменты для построения плана лежали перед учащимися на другом столе, за которым они сидели рядом с экспериментатором. Всю работу, начиная с обозначения вершин участка, ученик выполнял самостоятельно. В случае затруднений или ошибок экспериментатор приходил на помощь лишь после того, как выяснял, что хотел сде-

лать учащийся и почему он действовал так, а не иначе. Весь процесс работы подробно записывался.

Начнем изложение результатов экспериментов с анализа устных рассказов учащихся. Особенности их имеют большое сходство с особенностями рассказов учащихся при определении недоступных расстояний. Так, прежде всего они характеризуются различной степенью расчлененности. Одни учащиеся называли от 8 до 11 операций (из 13), другие — от 3 до 7. Правда, с помощью вопросов последние могли существенно дополнить свой рассказ. В ряде случаев учащиеся VI «а» и VI «б» классов в своем рассказе следовали за конкретными обозначениями участка, на котором ранее работали.

Логическая последовательность действий оказалась нарушенной в рассказах большинства учащихся: изменялся порядок действий, но еще чаще многие действия выпадали из рассказа. По своим особенностям рассказы учащихся очень напоминали процесс доказательства теорем на этой же ступени обучения, анализ которого сделан в ранее изданной книге автора [20].

Как часто учащиеся говорили о каждом действии, показано в табл. 6.

Таблица 6

Порядок действий

Общее количество рассказов

Количеств о называний действий

Процент называний

Обозначение вершин

36

6

16,7

Разбивка участка на треугольники

18

9

50,0

Выполнение абриса

18

5

27,8

Подготовка журнала записей

36

4

11,1

Измерение сторон

36

32

88,9

Измерение углов

36

35

97,2

Измерение азимута

36

20

55,5

Вычисление суммы углов и внесение поправок

36

8

22,2

Выбор масштаба

36

7

19,4

Проведение линии меридиана

36

21

58,3

Построение азимута

36

10

27,8

Построение сторон

36

30

83,3

Построение углов

36

29

80,5

Если условно разделить перечисленные действия на основные и подготовительные, отнеся к первым прямо направленные на измерение участка и построение плана, а ко вторым — выполняемые для подготовки к измерению участка и построению плана, то из таблицы видно, что учащиеся значительно чаще называли основные действия (измерение сторон, углов и построение их) и значительно реже — подготовительные (подготовка журнала записи, обозначение вершин, выбор масштаба и т. п.).

Такое явление можно поставить в связь с тем, что в процессе измерения участка и построения плана ученики активно действуют с измерительными приборами и чертежными инструментами и при этом получают реальные результаты (узнают величину углов, сторон, наносят на план стороны и т. д.). Подготовительные же операции не имеют столь выраженного действенного характера и результат их носит только подсобный характер.

После рассказа учащиеся производили съемку плана четырехугольного участка, построенного на столе. Наши наблюдения за деятельностью учащихся в процессе съемки плана подтвердили тот факт, что они в первую очередь осознают значение основных действий. Во многих случаях школьники прежде всего брались за угломер и линейку и лишь при напоминании о необходимости подготовиться к измерению участка чертили абрис и готовились к записи результатов измерений. Закончив измерения, они так же поспешно брались за линейку, чтобы приступить к построению плана, пропуская такие действия, как вычисление суммы углов, внесение поправок и выбор масштаба.

Первоначальная ориентировка на четырехугольном участке после съемки плана пятиугольного участка в классе и на дворе не вызвала каких-либо существенных трудностей.

АНАЛИЗ ПРОЦЕССА ИЗМЕРЕНИЯ УЧАСТКА

Измерение сторон участка не вызывало затруднений, но они были значительными при измерении углов участка и азимутов. С измерением азимутов сумели справиться только по четыре человека из каждого класса

(2,2%). Остальные учащиеся (28) сделали свыше 60 различных ошибок. Примерно такие же результаты были и при измерении углов участка. Учащиеся VI «а» класса правильно измерили 16 углов (22% от общего количества измеренных ими углов). Несколько лучшие результаты были у учащихся VI «б» (24 угла — 33,3%).

Что же вызывало затруднения у учащихся?

Следует отметить, что между практическими умениями определять величину азимута с помощью компаса и величину угла участка с помощью угломера есть много общего, так как устройство этих приборов и их использование в принципе одинаковы. Поэтому некоторые трудности и ошибки оказались весьма близкими.

Сопоставляя характер операций при измерении азимутов и углов участка, а также основные трудности при их выполнении, мы выделили три группы сходных между собой операций: а) операции установления компаса и угломера в вершине углов; б) операции визирования стрелки компаса и алидады по сторонам угла; в) операции отсчета градусов.

Рассмотрим, что затрудняло учащихся при их выполнении.

Операции установления компаса в вершине азимута соответствует операция установления угломера в вершине угла. Наши эксперименты показали, что некоторые учащиеся недостаточно осознают необходимость выполнения этих операций. Например, Вера Ш. (слаб., VI «а») берет компас и кладет его на угломер, находящийся на другом столе. Все остальные операции она выполняет правильно: определяет по стрелке направление на север, ориентирует компас, наводит спичку1 на веху и устанавливает величину азимута. Ученики помещали компас не в вершину азимута в десяти случаях.

В девяти случаях учащиеся так же ставили угломер не в вершину измеряемого угла, а просто на стол. Например, Ира К. (сред., VI «а») при измерении первого угла на участке ставит угломер не в вершину угла, а просто на стол, и наводит алидаду на веху. Катя Д. (слаб., VI «б») пытается измерять угол участка, поста-

1 Школьный компас не имел устройства для визирования на объект, и учащиеся пользовались спичкой с заостренным концом.

вив угломер на другой стол, и оттуда делает наводку на вехи.

В ряде случаев эти ошибки свидетельствовали о том, что в процессе работы в классе и на дворе учащиеся улавливали только внешнюю связь между положением компаса и угломера и измерением углов, но не улавливали существенных связей. Особенно хорошо это видно на примере с компасом. При измерении азимутов в классе и на дворе компас для придания ему устойчивого положения мы клали на угломер, находящийся в вершине азимута. Некоторые учащиеся, как и Вера Ш., осознали эту связь между положением компаса и угломера чисто внешне, не поняв главного, т. е. того, что оба прибора находились в вершине угла. В результате этого в экспериментах они заменяли операцию установления компаса в вершине угла операцией установления компаса на угломере.

В других же случаях эти ошибки, по-видимому, являлись результатом того, что ученики не осознавали операции помещения приборов в вершине углов в тот момент, когда приступали к работе. Основанием для такого предположения является следующий факт: стоило учащимся задать вопрос, куда ставится угломер при измерении угла (или компас при измерении азимута), как они сразу же давали правильный ответ и выполняли эту операцию. Следовательно, ученики не выполняли ее не потому, что не знали, куда ставятся приборы. Вместе с тем никто из учащихся не мог объяснить, почему они не ставили угломер (или компас) сразу в вершину угла. Они отвечали так: «Забыл», «Забыла», «Не знаю», «Я знал, что в вершину, но не сразу вспомнил», «Сама не знаю, почему» и т. д.

Следует принять во внимание, что на первом этапе формирования умения каждая отдельная операция требует осознанного выполнения. Если бы измерения углов с помощью угломера и азимутов с помощью компаса были для учащихся достаточно привычными действиями, тогда и при недостаточном осознавании каждой операции они ставили бы приборы на свое место, т. е. имели бы навык обращения с приборами. Но так как такого навыка у учащихся еще не было, то можно предположить, что когда они брали в руки угломер или компас, желание как можно скорее действовать прибо-

ром, т. е. повертывать алидаду в направлении вех или отпускать стрелку компаса и определять направление на север, в какой-то мере подавляло осознавание необходимости других операций. Однако пропущенная операция установления прибора в вершину угла сразу же осознавалась, как только экспериментатор задавал направляющий вопрос. Характерно при этом, что вопросы экспериментатора не подсказывали, куда нужно ставить прибор.

Подобные случаи, когда вопрос экспериментатора, не дающий намека, как нужно выполнить ту или иную операцию, и лишь сигнализирующий учащимся о каком-то неблагополучии в их действиях, приводил к нужному результату, постоянно встречались в наших экспериментах не только при измерении учащимися азимутов и углов, но и при выполнении других действий. Это показывает, что процесс распределения внимания на все операции, входящие в состав того или другого умения, на первом этапе овладения умением осуществляется многими учащимися с трудом, оказывается у них нестойким и легко заменяется обратным процессом — процессом концентрирования внимания на отдельных операциях. Поэтому-то осознавание и выполнение одних операций как бы подавляет и временно затормаживает осознавание и выполнение других.

Такого рода факты психологи наблюдали при изучении процесса овладения младшими школьниками сложной деятельностью письма. Так, Е. В. Гурьянов [16] показывает, что дети, приступающие к овладению письмом, сравнительно легко воспроизводят показываемые учителем положения корпуса, головы, рук, ног и тетради, когда эта задача стоит отдельно, но как только дети приступают к письму, их поза тотчас же нарушается. Основную причину этого явления автор видит в том, что учащиеся еще не могут осознавать свои мышечные ощущения и, следовательно, контролировать положение тела в тот момент, когда их сознание направлено на письмо. Только постепенно, когда учитель помогает учащимся осуществлять самоконтроль в процессе письма, у них создается система связей, обеспечивающая соблюдение гигиенических и графических правил.

Очевидно, что прочные связи, обеспечивающие правильное выполнение всех операций при овладении уме-

нием работать тем или другим измерительным прибором на местности, не сразу образуются и у учащихся VI класса. У одних учащихся эти связи образуются сразу, у других — только в процессе упражнений.

Обращает на себя внимание и тот факт, что учащиеся, не помещавшие компас в вершину азимута, помещали угломер в вершину угла, и наоборот. Следовательно, они не осознавали общего смысла той и другой операции.

Перейдем к рассмотрению второй группы операций.

При измерении азимута школьники учатся определять по стрелке компаса направление на север, а с помощью заостренной спички — направление по стороне участка. При измерении угла участка соответствующие операции заключаются в том, что учащиеся наводят алидаду угломера в направлении одной стороны угла и затем в направлении другой.

При выполнении этих операций нередко оказывалось, что учащиеся смешивают как концы стрелки компаса (7 случаев), так и концы алидады (11 случаев), т. е. направление на север определяют по южному концу стрелки, а алидаду повертывают к себе тем концом, который имеет натянутую нить, сливающуюся с вехой при визировании. Одна из причин подобных ошибок в том, что условия различения этих деталей не были достаточно благоприятными. В классе, когда учитель обращал внимание учеников на различие концов стрелки компаса и концов алидады, не все могли четко воспринимать эти достаточно мелкие детали, так как приборов на партах не было. Когда же измерения проводились на дворе, объяснения учителя уже были забыты. И хотя неправильные действия учащихся всегда устранялись, однако не было возможности каждый раз повторять объяснения.

Нужно заметить, что смешивание концов стрелки компаса было в известной мере связано и с неумением учащихся контролировать свои действия другими путями. Показывая неправильно направление на север, они нередко имели возможность осознать свою ошибку по положению солнца. Приведем один пример.

С Владимиром X. (сред., VI «а») эксперимент проводился в первом часу дня. Комната была освещена прямыми солнечными лучами. Ученик, отпустив стрел-

ку компаса, принял за северный конец стрелки южный и показывал рукой направление на север прямо навстречу солнцу. Замечание экспериментатора о том, что сейчас немногим более 12 часов дня, не произвело никакого впечатления. Только прямой вопрос, может ли солнце глядеть на нас с севера, привел Владимира в некоторое замешательство, после чего он понял свою ошибку.

Ученики слабо контролировали получаемый результат и тогда, когда допускали ошибки при повертывании алидады от направления на одну сторону угла к направлению на другую сторону. При таком повертывании лимб угломера должен оставаться неподвижным. В некоторых случаях учащиеся вместе с алидадой сдвигали и лимб и не всегда замечали, что результат измерения оказывался явно несоответствующим величине угла. Например, Владимир Б. (хор., VI «б») при визировании алидады в направлении стороны OA получил 66°; при визировании в направлении стороны OB он неловко повернул алидаду, увлекая за ней весь лимб, и получил 74°. «Значит, угол АОВ равен 8°»,—сказал он, не замечая несоответствия. Таким же путем он измерил угол ВОС и получил 9°. Явно несоответствующие величине углов результаты заставили его задуматься. «Ой, я неверно измеряю, надо же не все вертеть!» — понял он свою ошибку и измерил правильно.

Трудности и ошибки в процессе измерения участка, на анализе которых мы остановились, не имели существенных различий по характеру или по количественному отношению у учащихся того и другого класса. Сейчас мы перейдем к рассмотрению тех особенностей процесса измерения углов участка, которые определялись различиями методики обучения, т. е. находились в зависимости от того, работали учащиеся с абрисом или без него. Эти особенности связаны с визированием алидады в направлении второй стороны угла. Переводя алидаду от одной стороны угла к другой, учащиеся нередко ошибочно визировали на веху, расположенную по диагонали (съемка обходом по периметру). Непосредственная причина ошибки заключалась в том, что веха, располагавшаяся по диагонали от вершины измеряемого угла, находилась на пути движущейся алидады и поэтому раньше попадала в поле зрения смотрящего через прорезь алидады, чем веха, стоящая на стороне угла. Учащиеся,

работавшие без абриса (VI «б»), допустили 5 ошибок наведения алидады не на ту веху; работавшие с абрисом (VI «а») — 13 ошибок.

Рассмотрим особенности выполнения этой операции на анализе конкретных примеров. Напомним, что абрис,, как правило, лежал на том столе, где учащиеся выполняли подготовительную работу к измерению участка, а участок располагался на другом столе. В этих условиях измерение углов совершалось следующим образом.

Люся Д. (слаб.) измеряет угол DAB: наводит алидаду по стороне AB, потом ошибочно по диагонали АС.

Экспериментатор. Покажи и назови стороны угла.

Люся Д. показывает и называет: «AB и АС». Потом идет к абрису, находит и называет стороны AB и AD и делает над абрисом движение рукой от вершины А в направлении каждой стороны. Те же движения от вехи А она повторяет на участке. Измерив угол DAB, переставляет угломер в вершину угла ABC, правильно наводит алидаду по стороне ВС и останавливается, не зная, где вторая сторона. Быстро идет к абрису, снова делает движение рукой в направлении сторон ВС и ВА, возвращается к участку и наводит алидаду в направлении стороны ВА. При измерении угла BCD также идет к абрису, но экспериментатор закрывает абрис и предлагает Люсе на участке найти стороны угла. Она правильно показывает и называет сторону СВ, потом ошибочно показывает диагональ CA, но быстро сама поправляется и показывает сторону CD.

Ира Г. (сред.) измеряет тупой угол ABC, сразу же ошибочно наводит алидаду по диагонали BD.

Экспериментатор. Где стороны угла ABC?

Ира показывает и называет диагональ BD.

Экспериментатор. Разве отрезок BD может быть стороной угла ABC?

Ира подходит к абрису, смотрит на абрис и на участок, сравнивает расположение сторон, затем идет к участку и правильно измеряет угол ABC, после чего ставит угломер в вершину угла BCD и снова идет к абрису.

Экспериментатор закрывает абрис и предлагает найти стороны угла на участке. Ученица на участок не смотрит, поднимает голову вверх и что-то напряженно обду-

мывает, затем идет к участку и правильно показывает стороны СВ и CD.

Экспериментатор. О чем ты думала?

Ира Г. Я вспоминала, как идут стороны.

Как видно из протоколов, учащимся было трудно находить на участке стороны измеряемого угла. Если они предварительно не определяли положение сторон угла по абрису, то при повороте алидады часто визировали веху, стоящую по диагонали. Чувствуя неуверенность в своих действиях, они обращались к абрису. Следовательно, абрис являлся опорой для пространственной ориентировки на участке. И действительно, когда учащиеся VI «а» класса проводили измерение углов участка в классе и на школьном дворе, они имели на руках абрис и не испытывали трудностей в нахождении сторон угла. В условиях индивидуальных экспериментов трудности нахождения сторон обнаружились у многих учащихся только потому, что абрис лежал на другом столе. Прежде чем начать измерение следующего угла, ученики каждый раз подходили к абрису. Движением рук они как бы переносили направление сторон с абриса на участок и этим помогали себе определять на участке направление сторон измеряемого угла. Отыскание нужных сторон на самом участке без помощи абриса было для них настолько затруднительным, что ученица Ира Г., например, сначала, не глядя на участок, восстанавливала в памяти образ чертежа участка, чтобы представить себе, как идут стороны угла, а затем уже находила их на участке.

Характерно, что, отыскав с помощью абриса стороны одного угла, учащиеся не уясняли при этом расположение сторон следующего угла и вынуждены были снова обращаться к абрису. Создавалось впечатление, что они каждый раз осуществляют ориентировку только на одной части участка, только в пределах измеряемого угла, не представляя в достаточной степени взаиморасположение всех элементов участка.

Учащиеся VI «б» класса, работавшие без абриса, испытывали больше затруднений при рассмотрении участка в классе и на школьном дворе, чем учащиеся VI «а» класса. Несколько по-иному протекал у них и процесс измерения углов. Приведем примеры.

Рая А. (сред.) при измерении угла DAB наводит

алидаду по стороне AB и потом ошибочно по диагонали АС.

Экспериментатор. Покажи стороны угла.

Рая показывает сторону AB и диагональ АС. Чувствуя неуверенность в правильности своих действий, пробегает взглядом по вершинам участка, показывает рукой каждую веху и называет их: «А, В, С, D», после чего показывает и называет стороны угла правильно: «Нет, стороны AB и AD».

Таня X (слаб.) при измерении угла ABC наводит алидаду по стороне ВС и потом ошибочно по диагонали BD.

Экспериментатор. Какой угол измеряешь?

Таня показывает и называет вехи: «С, В, D». Подумав, говорит: «Нет, я перепутала, А, В, C, D, значит угол ABC, надо на веху А». Измеряет угол ABC верно, затем ставит угломер в точку С, говорит: «Теперь измеряем угол С, вехи А, В, С, D, значит, стороны СВ и CD» — и измеряет угол.

Таня К. (хор.) при измерении угла ABC ошибочно наводит алидаду по диагонали BD и в результате измерения угла получает величину 79°. Говорит: «Что-то не похоже, ведь угол тупой, — пробегает взором по вершинам и называет вехи: —А, В, С, D. Ой! Я не на ту веху». Измеряет угол ABC верно.

Как видно, учащиеся VI «б» класса, испытывая затруднения при нахождении сторон измеряемого угла, были вынуждены последовательно пробегать взглядом по всем вершинам участка, чтобы восстановить порядок их следования. Такой прием помогал им не только определять положение сторон измеряемого угла, но и схватывать пространственные отношения между всеми элементами участка. Так, допустив однажды неправильное наведение алидады по диагонали, при измерении последующих углов учащиеся этого класса никогда не повторяли ошибки, тогда как в VI «а» эта ошибка повторялась часто.

Таким образом, пользуясь абрисом, учащиеся как будто легче преодолевали трудности пространственной ориентировки на участке, но зато нередко схватывали пространственные соотношения между элементами участка только по частям: сначала соотношение между сторонами одного угла, затем другого, третьего и т. д.

И наоборот, отсутствие абриса вызывало большие трудности в пространственной ориентировке на самом участке и вместе с тем вынуждало учащихся постоянно совершать обозрение участка в целом, что, очевидно, помогало схватывать пространственные соотношения между всеми его элементами.

Можно сказать, что если у учащихся VI «а» класса в процессе измерения углов восприятие пространственных отношений носило характер постепенно протекающего процесса, по частям охватывающего участок, то у учащихся VI «б» класса было стремление к целостному обозрению участка, к схватыванию пространственных отношений между всеми его элементами, что положительно сказывалось на формировании практического умения измерять углы.

Визированию алидады в направлении второй стороны угла при измерении углов с помощью угломера соответствует операция визирования спички по стороне участка при измерении азимута с помощью компаса. При выполнении ее учащиеся VI «а» класса также допустили в два раза больше ошибок, чем учащиеся VI «б». Можно предположить, что такой результат также был связан с указанными выше особенностями ориентировки на участке. Однако мы не могли уловить каких-либо различий в характере ошибок или затруднений. Чаще всего учащиеся того и другого класса направляли спичку по стрелке компаса, т. е. на север, или сдвигали ее с вершины угла (поскольку спичка не закреплялась, как алидада) и лишь в отдельных случаях наводили ее не на ту веху.

Как видно, операции при измерении азимутов и углов участка имеют много общего. Однако в процессе обучения ученикам не указывают на соответствие операций, так же как и на сходство измерительных приборов, что, с нашей точки зрения, задерживает процесс формирования у них обобщенных умений.

При отсчете градусов на компасе и угломере (третья группа операций) также имеются возможности производить соответствующие друг другу операции. Эти возможности в обучении не используются, т. е. отсчет градусов выполняется по-разному. Так, при измерении азимутов учащиеся обучаются ориентировать компас — совмещать начало отсчета градусов (0°) с направлением

северного конца стрелки. При измерении же угла этой операции соответствует повертывание лимба угломера так, чтобы начало отсчета градусов (0°) совместилось с направлением одной из сторон участка. Учащихся этому не обучают. Они отсчитывают градусы при том случайном положении лимба, которое оказалось при установлении угломера в вершине измеряемого угла. При этом делают два отсчета против алидады, направленной сначала на одну и затем на другую сторону, и затем находят разность между показателями.

Различие в способах отсчета градусов на компасе и угломере вызывало следующие ошибки учащихся: с одной стороны, они в ряде случаев не выполняли операции ориентировки компаса, т. е. действовали с ним, как с угломером; с другой стороны, измеряя угол, они часто принимали, как на компасе, один отсчет на лимбе за величину угла.

Нужно сказать, что и помимо этого отсчет градусов на компасе и угломере вызывал у учащихся большие затруднения. Так, при отсчете градусов на компасе многие учащиеся плохо усваивают условность делений, поскольку самые мелкие деления на нем не соответствуют 1°. Они часто забывают об этом и принимают их величину за 1°. Вместе с тем они не умеют устанавливать, чему соответствуют мелкие деления на компасе, хотя для этого нужно решить задачу из трех действий, доступную учащимся начальной школы (найти разность между двумя числовыми показателями; найти число делений между ними; сосчитать, сколько градусов приходится на каждое деление). Психологическая трудность заключается лишь в том, что учащиеся сами должны найти эти данные и сами составить задачу.

При отсчете градусов на угломере наибольшие затруднения появлялись тогда, когда начало отсчета (0°) оказывалось во внутренней плоскости угла. Помимо того, что учащиеся не умели устанавливать, величину каких дуг нужно суммировать, они, как правило, не замечая положения 0°, действовали обычным путем, т. е. находили разность между показателями. С другой стороны, некоторые учащиеся, предвидя, что будет трудно отсчитывать градусы при таком положении 0°, старались устанавливать лимб так, чтобы 0° не попадал внутрь угла, и это, с нашей точки зрения, было очень разумно.

Но оказалось, что такая хитрость не всем была под силу. Так, Наташа 3. (слаб., VI «а»), измерив два угла при таком положении лимба, когда 0° оказывался внутри их, и мучительно долго высчитывая размеры их, и в третий раз поставила лимб в такое же положение, экспериментатор не выдержал и осторожно спросил: «Разве обязательно 0° должен быть внутри угла?» — «Нет»,—ответила Наташа, но повернуть лимб не решилась. Перед измерением четвертого угла ученице предложили так поставить лимб, чтобы 0° не был внутри угла. Наташа долго его вертела и все же 0° расположила внутри угла. Она явно предпочитала не разнообразить способы отсчета градусов, чтобы не появились новые затруднения.

Заканчивая рассмотрение особенностей процесса измерения участка, остановимся на вопросе о том, почему пространственная ориентировка на участке оказалась для учащихся труднее, чем ориентировка на абрисе (чертеже). Почему учащиеся при опоре на абрис легко находили нужные элементы на участке, а не пользуясь абрисом, испытывали затруднения в ориентировке, преодоление которых в конечном счете положительно сказывалось на формировании умений измерять углы?

Чем объяснить, что абрис, на котором отображена абстрагированная геометрическая форма участка, оказывался для учащихся более простым и понятным объектом, чем сам участок, и служил им опорой для ориентировки?

На первый взгляд факт более легкой ориентировки на чертеже участка и более трудной на самом участке кажется противоречащим общепризнанному педагогическому принципу идти в обучении от конкретного к абстрактному, от простого к сложному, от явления к закономерности. Казалось бы, участок должен быть для учащихся более конкретным и понятным объектом, чем его абстрактный чертеж. Очевидно, вопрос о конкретном и абстрактном, о простом и сложном нельзя решать безотносительно к той задаче, которая стоит перед учащимися, без учета тех знаний и умений, которыми обладают учащиеся. Так, задача создать у детей яркие и живые представления о предметах и явлениях действительности может быть наилучшим образом решена в условиях непосредственных наблюдений за ними. Задача же проникнуть в понимание сути изучаемых явле-

нии, усвоить их существенные признаки и познать их закономерности требует иных условий.

В ряде психологических исследований уже описаны аналогичные факты, когда восприятие натуральных предметов оказывалось для учащихся более трудным, чем восприятие их наглядных изображений. Так, в статье А. С. Бородулиной [9] указывается, что учащиеся V класса, изучавшие строение цветка, рассматривая в классе различные натуральные цветы, усвоили материал хуже, чем учащиеся параллельного класса, которые, рассматривая натуральные цветы, наряду с этим пользовались таблицами, на которых органы цветов были изображены в увеличенном виде. Процесс выделения органов цветка при рассмотрении только живых цветов оказался трудным прежде всего потому, что учащиеся легко отвлекались от изучаемого вопроса, любуясь расцветкой лепестков, вдыхая аромат цветка и т. д. Главное же заключалось в том, что не все, рассматривая тычинки и пестики различных цветков, могли составить общее представление об этих органах и поэтому не всегда их узнавали в новых цветках. Изучение органов цветка по таблицам в параллельном классе помогло учащимся увидеть главное, общее в их строении, а нахождение этих частей в натуральных цветах научило видеть это главное в конкретных разновидностях или особенностях каждого цветка. Поэтому и в неизвестных раньше натуральных цветах учащиеся этого класса скорее и правильнее находили их части.

Трудности восприятия натуральных объектов в сравнении с восприятием их абстрагированных изображений показаны и в ряде других исследований. Эти трудности порой бывают настолько велики, что при переходе от восприятия изображения к восприятию натуры учащиеся не могут их преодолеть самостоятельно. Так, в исследовании П. М. Якобсона [49] учащиеся VII—VIII классов, рассматривая изображения рычагов на таблицах, хорошо понимали принципы их использования. С конструированием же технических моделей, которые требовали использования рычагов, учащиеся не справлялись, так как рычагов на моделях не видели. Даже при настойчивом требовании экспериментатора использовать рычаги многие учащиеся все же их не замечали.

H. П. Булатов [10] указывает, что учащиеся, изучавшие на уроках физики электромотор, хорошо понимали его устройство на схематической упрощенной модели, в настоящем же действующем электромоторе не узнавали частей.

По существу та же особенность была обнаружена при решении различного рода задач, когда учащиеся, овладев умением решать учебные задачи, т. е. оперировать абстрактно-логическим материалом (физическими формулами, геометрическими теоремами и т. д.), затруднялись произвести те же самые операции на жизненно-конкретном материале (исследования З. И. Калмыковой [24], Э. А. Флешнер [45], В. И. Зыковой [21] и т. д.).

Указанные факты были подвергнуты психологическому анализу в книге Д. Н. Богоявленского и Н. А. Менчинской [4]. В ней отмечается, что используемые в этих случаях средства наглядности (таблицы, схемы, чертежи и т. п.) оказываются эффективными в силу того, что, с одной стороны, воспринимаются с помощью тех же органов чувств, что и натуральные предметы (зрение, осязание). Но в отличие от последних они более доступны, так как освобождают восприятие от массы несущественных деталей. При восприятии же натуральных предметов учащиеся должны выделять существенные признаки из массы несущественных деталей, что и вызывает трудности. С другой стороны, средства наглядности раскрывают существенные черты натурального предмета в обобщенном виде, что приближает их воздействие к воздействию слова. Как слово, обобщая множество сходных предметов или явлений, способствует формированию общих понятий, так и схематизированное зрительное представление модели цветка, рычага, электромотора и т. д. создает возможности оперировать обобщенными образами при анализе аналогичных предметов. Вместе с тем эффективное использование форм наглядности требует сопоставления их с натуральными объектами, как это проводилось в исследовании А. С. Бородулиной.

Геометрический чертеж, в частности абрис участка, относится к такому виду наглядности. На абрисе учащиеся видят геометрическую форму участка, отвлеченную от всего лишнего и несущественного. Кроме того,

на абрисе имеются буквенные обозначения, которые помогают им ориентироваться. На участке же учащиеся видят стоящие вехи и другие предметы (камни, доски, бугры и ямы — на школьном дворе; парты, стол и т. п. — в классе), которые они не должны рассматривать как нечто существенное. Вместо вех они должны представлять геометрические точки, соединенные между собой прямыми. Следовательно, рассматривая участок, учащиеся прежде всего должны воссоздать в своем воображении геометрическую форму участка, а затем, отделив ее от самого участка, сохранить этот образ в своем сознании и оперировать им в процессе работы, т. е. при переходах от измерения одного угла к измерению другого и т. д. Конечно, все эти операции требуют большего напряжения внимания, воображения, памяти и т. д. Задача значительно облегчается, когда учащиеся видят геометрическую форму участка на абрисе. Освобожденный от всего лишнего и снабженный буквенными обозначениями (А, В, С, D, Е), абрис в наглядной форме раскрывает перед учащимися пространственные соотношения между элементами участка. Именно потому, что углы участка, его стороны оказываются на абрисе абстрагированными от конкретных вех и конкретных особенностей местности, они могут восприниматься как конкретные углы и стороны, т. е. как определенные геометрические отрезки, получившие буквенные обозначения. Поэтому учащимся легче схватывать соотношения между ними и, опираясь на восприятие абриса, легче ориентироваться на самом участке.

И, вероятно, в этом можно видеть один из примеров тех возможностей лучшего проникновения в понимание конкретного, живого явления, которое создается переходом к абстрактному.

Таким образом, абрис в значительной мере облегчает учащимся процесс пространственной ориентировки на участке, но вместе с тем он способствует установлению пространственных соотношений между отдельными элементами, без охвата взаимоположения сторон и углов участка в целом. Напротив, условия работы без абриса, затрудняя ориентировку учащихся на участке, вынуждают их целостно воспринимать пространственные соотношения между элементами участка, что положительно сказывается на процессе измерения углов.

ПОДГОТОВКА К ПОСТРОЕНИЮ ПЛАНА УЧАСТКА И ПОСТРОЕНИЕ ЕГО

Характерно, что операции, направленные на подготовку построения плана — выбор масштаба и внесение поправок в размеры углов, часто выпадавшие из рассказов учащихся, нередко выпадали и из их деятельности. Особенно часто пропускалась операция внесения поправок в размеры углов, поскольку выполнение ее не вызывалось самим процессом построения плана. Если же учащиеся забывали выбрать масштаб до построения плана, то вынуждены были делать это впоследствии, так как не могли строить стороны участка в натуральную величину. Особенности выполнения этих операций мы раскроем в процессе анализа построения сторон и углов участка.

Рассмотрим вначале общие результаты — количество (в %) правильно построенных элементов на планах участка (табл. 7), используя при этом не только данные индивидуальных экспериментов с учащимися, но и данные контрольных работ1.

Таблица 7

Классы

Азимуты

Углы

Стороны

эксперименты

контрольные

эксперименты

контрольные

эксперименты

контрольные

VI „а“ (с абрисом)

38,8

54,1

42,5

56,1

63,5

61,5

VI „б“ (без абриса)

44,4

63,2

51,1

57,6

60,3

68,4

Итого

41,6

58,5

45,6

56,8

62,7

64,9

На основании этих данных можно видеть, что построение азимутов и углов вызывало у учащихся большие трудности, чем построение сторон, что вообще является

1 Контрольные работы проводились в классах в конце года. Ставилась задача — построить план участка по готовым данным. Учащиеся получали листы бумаги, в верхней части которых были записи, измерений и абрис участка (в VI «а» классе) или просто записи с указаниями, что участок имеет четырехугольную форму и вершины его обозначены А, В, С, D по ходу часовой стрелки.

закономерным, так как умения строить азимуты и углы более сложны по составу операций в сравнении с умением строить стороны1.

Мы покажем далее, что и несколько лучшие результаты в построении элементов участка являются не случайными у учащихся, работавших без абриса.

Более низкие показатели построения элементов участка на плане в процессе индивидуальных экспериментов в сравнении с контрольными работами можно объяснить, с одной стороны, тем, что в экспериментах учитываются более полно все трудности, ошибки и промахи учащихся, которые не видны в уже выполненной работе, например трудности при наложении транспортира и т. п. С другой стороны, в экспериментах исключается посторонняя помощь, опора на работу соседа и т. д., что всегда в какой-то степени присутствует в контрольных работах. И, наконец, следует принять во внимание, что ошибки, допущенные в индивидуальных экспериментах, всегда подвергались разбору с учащимися.

Рассмотрим процесс построения азимутов. Напомним, что каждый ученик при построении плана должен был: 1) провести вертикальную линию, обозначающую меридиан; 2) обозначить на ней точку, из которой на участке проводилось измерение азимута стороны AB (съемка обходом) или стороны OA (съемка разбивкой на треугольники), следовательно, точки А или О; 3) построить по транспортиру азимут от направления на север по ходу часовой стрелки.

Наибольшие трудности у учащихся вызывало соблюдение правил построения азимута, т. е. необходимость отсчитывать градусы от направления на север по ходу часовой стрелки. Нарушение этих правил составляет основную группу ошибок (15 ошибок в экспериментах и 21 ошибка в контрольных работах). Причины их различны.

В ряде случаев учащиеся VI «а» класса нарушали правила построения азимута под влиянием восприятия абриса. Рассмотрим такого рода пример.

Альберт Ш. (слаб., VI «а») построил азимут сторо-

1 Учащимся не предъявлялось требований проводить линии определенной толщины,

ны AB, равный 45°, от направления на юг, против движения часовой стрелки.

Экспериментатор. Скажи, как нужно строить азимут?

Альберт Ш. Нужно строить от направления на север, по часовой стрелке.

Экспериментатор. Как же ты построил?

Альберт Ш. От юга.

Экспериментатор. Почему?

Альберт Ш. Я посмотрел на абрис, и сторона AB идет с юга на север, и если отложить 45° от юга, то примерно так и будет.

Ученик знал правила построения азимута, но действовал вопреки им, так как руководствовался положением стороны участка на абрисе. Почему же он руководствовался положением стороны, а не правилами, которые верно формулировал?

Такого рода явления разобщенности словесных знаний и практических умений, связанных с восприятием геометрического чертежа, часто встречаются у учащихся VI класса. Правильно формулируя существенные признаки прямоугольного треугольника, они не узнают его на чертеже в необычном положении, например прямым углом вверх. Хорошо зная, что все прямые углы равны, не всегда могут признать равными углы, если один из них будет иметь очень длинные стороны, а другой — совсем короткие и т. д. В этих случаях учащимся трудно преодолеть то противоречие, которое возникает между непосредственным восприятием чертежа и знаниями. Для этого у них слишком мал запас конкретных представлений и слишком мал опыт построения фигур, поэтому влияние чертежа часто оказывается сильнее их знаний.

Именно -в таком положении и оказывались учащиеся, когда при построении азимута стороны участка непосредственно видели направление ее на абрисе. Очевидно, зрительное восприятие оказывалось настолько сильным, что учащиеся действовали в соответствии с ним, а не с правилами построения азимутов.

Однако нарушение правил построения азимутов было связано не только с отрицательным влиянием абриса. В том и другом классе были учащиеся, которые оперировали не всеми правилами, а только частью их. Напри-

мер, они пользовались только одним указанием отсчитывать градусы от направления на север и не принимали во внимание направления по движению часовой стрелки и против него. Так, Ира П. (сред., VI «а») строит азимут стороны AB, равный 35°, от направления на север против движения часовой стрелки. На вопрос, как строится азимут, она отвечает правильно, но показать, в какую сторону нужно отсчитывать градусы, не может.

Особенно много ошибок в экспериментах и контрольных работах было допущено при построении азимутов больше 180°. Типичной являлась следующая ошибка.

Евгений Ж. (сред., VI «б») при построении азимута в 275° отсчитал 180° от направления на север по движению часовой стрелки и, повернув транспортир влево, отсчитал оставшиеся 95° также от направления на север, но уже против движения часовой стрелки, объяснив свое действие так: «Чтобы от севера».

В этих случаях возникало противоречие между необходимостью отсчитывать остаток градусов (свыше 180°) от направления на юг, чтобы тем самым выдержать направление по ходу часовой стрелки, и правилом строить азимут от направления на север. Поэтому учащиеся вносили «поправку», отсчитывая, как Евгений Ж., остаток градусов от направления на север.

Часть ошибок при отсчете градусов объяснялась неумением определить дугу, по которой нужно было отсчитывать градусы, и просто невыполнением этой операции. Например, Таня К. (хор., VI «б») построила азимут, равный 25°, от направления на юг против движения стрелки. На вопрос, как строится азимут, ответила правильно: «От направления на север, по ходу часовой стрелки»,— а на предложение проверить, как ею построен азимут, ошибку не заметила. Оказалось, что она просто находила на транспортире деление, соответствующее 25°, не рассматривая, на какой дуге оно находится («Не смотрела, на какой дуге, а просто нашла 25°»).

Несформированность умения работать с транспортиром сказывалась и при наложении его на линию меридиана. Учащиеся всегда совмещали центр транспортира с вершиной азимута, но нередко придавали ему наиболее обычное положение, как если бы сторона угла была проведена горизонтально, что не соответствовало направлению линии меридиана. При этом иногда они действи-

тельно затруднялись повернуть транспортир так, чтобы его диаметр совмещался с линией меридиана. Иногда же это объяснялось недостаточно четким осознанием выполняемой операции. В последних случаях достаточно было спросить: «Разве так накладывается транспортир?»—как они тут же придавали ему правильное положение.

В основном по этой же причине учащиеся пропускали построение азимута (в VI «а»— 6 ошибок, VI «б»— 8 ошибок). Начертив линию меридиана, они сразу же строили угол участка. Иногда же не строили его потому, что не понимали, зачем он нужен. В единичных случаях не проводили и линии меридиана.

В контрольных работах, помимо указанных, были ошибки, не встречавшиеся в экспериментах. Так, в 10 случаях учащиеся, построив азимуты сторон AB и OB, затем обозначали эти стороны как ВА и ВО. Конечно, это влекло за собой другие ошибки в расположении участка на плане. Перестановка буквенных обозначений не всегда являлась результатом простого недосмотра. Как выяснилось, в некоторых случаях учащиеся считали возможным переставлять буквы, так как ранее знали, что отрезок AB можно читать как отрезок ВА и сторону фигуры можно записать ВС и СВ. Когда им говорили, что при построении азимута стороны участка такая перестановка букв недопустима, это, естественно, «противоречило» их прежним знаниям, и всегда возникала необходимость практически показать учащимся различие между азимутом стороны AB и азимутом стороны ВА.

Мы не будем останавливаться на случаях неточного построения азимутов, которые связаны с небрежностью при наложении транспортира, при отсчете градусов и т. д. Отметим лишь, что при проверке контрольных работ такого типа необходимо выяснять причины ошибок как при анализе самой работы, так и в беседе с учащимися. В ряде случаев сравнительно нетрудно установить, что учащиеся при построении азимута откладывали градусы не в том направлении; но не всегда удается понять, произошла ли эта ошибка из-за незнания правил, неумения отсчитывать градусы по транспортиру или из-за желания сохранить на плане то положение стороны, которое она имела на абрисе,

В беседе с учащимися, как правило, причины ошибок устанавливаются гораздо легче, что создает возможности дальнейшего их предупреждения.

Формируя у учащихся умение измерять и строить азимут стороны участка, надо также учитывать, что при измерении и построении азимута одной и той же стороны (AB или OA) учащиеся приобретают весьма ограниченный опыт и не могут по-настоящему понять соотношение между сторонами горизонта и положением участка по отношению к ним. Усвоив, что при построении азимута стороны AB план участка приобретает определенное положение по отношению к северу, они, как правило, осознают эту связь не в общем, а в частном виде, т. е. считают, что участок приобретает такое положение только при построении азимута взятой стороны и никакой другой. Когда мы ставили перед учащимися вопрос о том, осталось бы таким же по отношению к северу положение участка или оно изменилось бы, если измерить азимут другой стороны, например ВС, то лишь немногие ответили правильно. Для большинства же был типичен ответ Веры Ш.: «Конечно, изменилось бы, ведь азимут был бы другим, значит, и все пошло бы по-другому». И они с большим интересом относились к тому, что план, построенный по азимуту другой стороны участка, оказывался в том же самом положении по отношению к северу, как и построенный по азимуту стороны AB.

Анализ процесса построения углов участка

Остановимся коротко на выполнении операции внесения поправок в размеры углов. Учащиеся без особого труда усваивали порядок внесения поправок. Вместе с тем они нередко допускали ошибки в решении вопроса о том, прибавлять или отнимать получившуюся в сумме углов разность. Приведем примеры.

Шамиль М. (сред., VI «б»). Сумма углов равна 363°, а нужно 360°, значит надо прибавить 3°.

Виктор О. (сред., VI «б»). Сумма углов 362л, нужно 360°, надо приписать еще 2° (пауза); тогда еще больше будет,— надо отнять.

Вера Ш. (слаб., VI «а»). Сумма получилась 359°, тогда отнимем 1° от какого-либо угла.

Люся Б. (слаб., VI «а»). Сумма углов 367°, а нужно 360°, нужно 7° прибавить.

Принято считать, что ошибка есть результат испытываемой трудности при решении задачи или усвоении учебного материала. Очевидно, ошибки могут порождаться и обратной ситуацией, т. е. когда задача слишком легка и поэтому не стимулирует учащихся к напряжению умственных сил, о чем и говорят приведенные примеры.

Как выяснилось, учащиеся ошибались только потому, что нахождение разности, которая обычно не превышала 10, казалось им настолько легким, что они по-настоящему не вникали в соотношение чисел, недостаточно контролировали себя и часто говорили наугад. Устранить такого рода ошибку им было нетрудно.

Переходя к анализу процесса построения углов участка, отметим, что особенности его, естественно, во многом общие с особенностями процесса построения азимутов, так как в том и другом случае работа проводится с транспортиром.

Построение азимута всегда предшествует построению углов участка, поэтому в ряде случаев учащиеся переносили правила построения азимутов на построение углов. Прежде всего это проявлялось в том, что они строили углы участка не от его сторон, а от линии меридиана, т. е. так, как строится азимут.

Юра Г. (слаб., VI «б») строит угол АОВ и затем угол ВОС от линии меридиана по движению часовой стрелки и поясняет: «Чтобы план был правильный, надо от севера».

Вера Ш. (слаб., VI «а») строит углы АОВ и ВОС от линии меридиана и рассуждает: «Это линия азимута, от нее нужно строить углы».

Иногда же под воздействием правил построения азимута учащиеся отсчитывали градусы не по той дуге. Сергей 3. (хор., VI «а») при построении угла ABC, равного 50°, отсчитал градусы по другой дуге. Заметив, что угол получился тупым, Сергей сказал: «Я ошибся, думал, что надо отсчитывать с севера, как азимут».

Как видно из примеров, под влиянием усвоенных правил построения азимута учащиеся легко приходили к ошибочному обобщению о необходимости подчинить одним и тем же правилам построение всех углов.

Основные же трудности при построении углов участка, как и при построении азимутов, оказались связанными с наложением транспортира и отсчетом градусов. Так, в экспериментах было 28 случаев неправильного наложения транспортира и 20 ошибок в отсчете градусов. Ошибки в отсчете градусов преобладали и в контрольных работах. Надо сказать, что хотя к этому времени учащиеся уже владели умением строить тупые и острые углы, но их опыт не был разнообразным. В процессе же построения плана положение сторон участка оказывалось различным. Кроме того, вершина угла часто находилась не на конце луча, как к этому привыкли учащиеся, а где-то в середине. Поэтому, наложив транспортир, они видели прямую не с одной стороны транспортира, а с обеих. В этих условиях, прежде чем решать вопрос, с какой стороны нужно отсчитывать градусы, нужно было установить, в каком направлении от вершины угла идет его сторона и в каком ее продолжение. Не имея опыта, учащиеся часто ошибались в отсчете градусов. При этом характер ошибок в основном оставался прежним, т. е. учащиеся находили нужное деление не на той шкале; отсчитывали десятки градусов в одном направлении, единицы — в другом и т. д. Такого рода ошибки допускали учащиеся VI «а» и VI «б» классов примерно в одинаковом количестве.

Трудности, возникающие при построении углов участка, вызывались не только тем, что нужно было совместить центр транспортира с вершиной угла, его диаметр— со стороной и правильно отсчитать градусы. При построении плана участка выполнение этих ранее знакомых учащимся операций не всегда обеспечивало правильное построение углов. При построении углов участка важно также достигнуть правильного расположения участка относительно той его стороны, положение которой определилось построением азимута. Поэтому нужно было при наложении транспортира придать ему такое положение, которое обеспечивало бы второй стороне строящегося угла правильное направление.

В наших экспериментах мы встретились с такими случаями, когда учащиеся, совмещая центр транспортира с вершиной угла и диаметр — со стороной угла, строили угол в обратном направлении.

Рассмотрим ошибку такого рода на примере.

Саша Т. (сред., VI «а») при построении угла ABC ошибочно повертывает транспортир на 180° по отношению к его правильному положению и строит угол, направляя, таким образом, сторону ВС против движения часовой стрелки (рис. 28). Затем он находит вершину С, строит угол BCD, и так до конца. План участка оказывается зеркально расположенным по отношению к его правильному положению, которое на рис. 29 показано пунктиром.

Как видно, непосредственной причиной зеркального построения плана участка являлось неправильное наложение транспортира на сторону, положение которой было определено по отношению к северу. Если учащиеся допускали ошибку при построении первого угла, то дальнейшее построение они, естественно, продолжали в неправильном направлении и обычно не замечали этого.

Если же подобное наложение транспортира происходило при построении второго, третьего и т. д. угла, то учащиеся сами замечали свою ошибку, потому что участок терял замкнутость формы. Таким образом, если первый угол строился правильно, но в дальнейшем придать плану неправильное положение при способе съемки обходом по периметру было почти невозможно.

Во время индивидуальных экспериментов в 10 случаях план был построен зеркально (6 — учениками VI «а» и 4 — учениками VI «б»),

Рис. 28 Рис. 29

В контрольных работах учащиеся VI «а» класса сделали 14 ошибок, связанных с зеркальным построением плана, а учащиеся VI «б» — 8 ошибок. Чтобы понять, почему возникали эти ошибки, раскроем как общие причины зеркального построения плана, так и специфические, определяемые условиями работы учащихся.

Из психологической литературы известно, что факты зеркального изображения имеют место как у дошкольников, так и у школьников на различных ступенях обучения. Так, С. Л. Рубинштейном [37], П. Л. Горфункелем [13] и другими авторами отмечается большое количество случаев зеркального изображения букв и цифр дошкольниками и младшими школьниками в процессе овладения письмом. С. Л. Рубинштейн связывает эти явления с недостаточностью развития у детей постоянства восприятия формы предметов, которое становится привычным для взрослого. Для взрослого, например, естественно воспринимать и изображать дом фундаментом вниз и крышей вверх, а буквы в их принятом положении. Для детей, с точки зрения ряда авторов, такое постоянство в восприятии не является характерным. Они могут изображать дом или рассматривать его изображение одинаково успешно в любом положении; это же наблюдается при восприятии и изображении букв и цифр. П. Л. Горфункель отмечает, что дети младшего школьного возраста недостаточно различают буквы по их признакам (форме, право- и левосторонней обращенности и т. д.).

Однако следует сказать, что не все психологи придерживаются такого взгляда на восприятие и изображение предметов детьми младшего возраста. В экспериментальном исследовании К. И. Вересотской [11] устанавливается, что знакомые предметы, изображенные в перевернутом виде, узнаются детьми труднее и требуют более длительного рассматривания, чем в обычном положении.

В исследовании Б. Ф. Ломова [29] устанавливается, что ошибки зеркального изображения являются типичными в первых работах по черчению. Изображая рисунок предмета по данному чертежу или строя одну проекцию по двум другим, учащиеся седьмых классов часто перемещают детали предмета с левой стороны на правую или наоборот. Автор объясняет эти факты недоста-

точной дифференцированностью и подвижностью пространственных представлений учащихся.

Факты зеркального изображения в работах школьников находят объяснение в монографии Б. Г. Ананьева [1], посвященной проблеме развития пространственно-различительной деятельности человека. Последовательно прослеживая процесс развития у детей восприятия пространства, автор показывает, что факты зеркального изображения в общей системе других пространственных ошибок младших школьников являются следствием недостаточной сформированности их пространственных различений, что в свою очередь связано у детей семи-восьми лет с неполным и неустойчивым преобладанием правой руки над левой. Автор устанавливает, что в основе зеркального изображения букв и цифр лежит главным образом неразличение правого и левого направлений. Вместе с тем вследствие сложной деятельности письма учащиеся нередко смешивают и те направления, которые они уже научились хорошо различать, например направления «вверх-вниз».

В нашем исследовании факты зеркального построения плана оказались также связанными с неразличением пространственных признаков при обозначении вершин участка.

Покажем на конкретных примерах, какие признаки учащиеся не различали и какие трудности они испытывали в процессе различения этих признаков.

Ира М. (сред., VI «а») построила план зеркально.

Экспериментатор. Правильно ты построила план?

Ира М. Правильно.

Экспериментатор. Сравни свой план с абрисом.

Ира М. Все так, только А на плане внизу, а там наверху, и форма немножечко не такая.

Экспериментатор. А еще в чем различие?

Ира М. Не вижу.

Экспериментатор. Посмотри, в каком направлении идут вершины А, В, C, D на абрисе и на плане.

Ира М. (пожимает плечами). Так же.

Экспериментатор. Посмотри, как они идут на абрисе. (Делает круговые движения рукой по ходу часовой стрелки.) Как они идут?

Ира М. По часовой стрелке.

Экспериментатор. А на плане? (Делает движение рукой.)

Ира М. Против часовой стрелки.

Экспериментатор. Почему ты сама не заметила этого?

Ира М. Не знаю, не видела.

Юра К- (слаб., VI «б») построил план зеркально.

Экспериментатор. Правильно ли ты построил план?

Юра К. Правильно.

Экспериментатор. Посмотри, как расположены вершины на участке и как ты расположил их?

Юра К. (смотрит). Похоже, все так.

Экспериментатор. В каком направлении идут вершины А, В, С, D на участке? (Делает движение рукой над вехами.)

Юра молчит.

Экспериментатор. Посмотри, у тебя на плане вершины от точки А расположены в этом же направлении? (Делает движение рукой над планом.)

Юра К. (смотрит). В этом же.

Экспериментатор. Посмотри еще раз. (Делает круговые движения рукой по ходу часовой стрелки над участком и обратные над планом.) Разве это одинаковые направления?

Юра молчит.

Экспериментатор. Скажи, в каком направлении я веду рукой от вехи А? (Делает медленное движение.)

Юра К. По часовой стрелке.

Экспериментатор. А теперь? (Делает обратное движение над планом.)

Юра К. Теперь в другую сторону.

Экспериментатор. Почему ты построил вершины в другом направлении, против движения часовой стрелки?

Юра К. Потому что я не заметил.

Как видно из приведенных протоколов, учащиеся не замечали своих ошибок в построении плана, потому что не различали направлений в расположении вершин участка на плане и на абрисе (или участке) и того, какие направления принято обозначать терминами «по ходу ча-

совой стрелки» и «против хода часовой стрелки». Задача— сравнить план и абрис (или план участка с участком), как правило, не приводила к успеху, так же как и прямо поставленные вопросы, в каком направлении следуют вершины участка на плане и абрисе (или на участке). У большинства учащихся различение указанных направлений наступало в условиях, когда экспериментатор движением руки показывал одно и другое направление. В отдельных же случаях, как, например, с Юрой К., приходилось несколько раз совершать движения рукой в том и другом направлении, чтобы ученик начал их различать.

Затруднения учеников при различении этих направлений объясняются прежде всего тем, что их редко приходится различать в жизненной практике. Если учащиеся и совершают движения в том и другом направлениях при завинчивании и развинчивании гаек, винтов, крышек с винтовой нарезкой и т. д., то, как правило, не осознают их в понятиях «по ходу часовой стрелки» и «против хода часовой стрелки». Большое значение имеет и то обстоятельство, что в процессе усвоения съемки плана участка, когда обозначались его вершины, измерялся азимут, строился план, учащимся говорили только про направление «по ходу часовой стрелки». Им не называли обратного направления и не употребляли названия «против хода часовой стрелки». Очевидно, используя одно понятие без противопоставления его другому, противоположному, учащиеся не смогли научиться различать указанные направления. Нетрудно представить, что если бы дети усваивали понятие «направо», не противопоставляя его понятию «налево», вряд ли они научились бы их различать.

Между тем в обширной методической литературе, посвященной измерительным работам в школе, употребляется только одно понятие «по ходу часовой стрелки». Ни в одной работе мы не встретились с употреблением противоположного понятия и с указанием на необходимость учить детей различать эти направления.

Зеркальность при построении плана оказалась также связанной с особенностями аналитико-синтетической деятельности учащихся при восприятии чертежей (а иногда и участка). Анализируя процесс сравнения плана и абриса, мы обнаружили, что учащиеся сравнивали их не

в целом, а только положение отдельных сторон и отдельных вершин.

Приведем примеры.

Саша Т. (сред., VI «а») план построил зеркально.

Экспериментатор. Посмотри на свой план, правильно ли он построен?

Саша Т. Правильно, все сошлось.

Экспериментатор. Посмотри на абрис и сравни его с планом.

Саша Т. (смотрит). Похоже, там точка В вверху, а точка D внизу, и на плане так же, правильно.

Альберт Ш. (слаб., VI «а») план построил зеркально.

Экспериментатор. Посмотри на абрис и сравни свой план с ним.

Альберт Ш. (смотрит). Одинаковы.

Экспериментатор. Посмотри, лет ли между ними различия?

Альберт Ш. Линии почти так же, на абрисе точка В на севере и тут на севере.

Как видно, учащихся интересовало, совпадет ли положение отдельных вершин и сторон на плане и абрисе. Если совпадало расположение одного или двух элементов, учащиеся считали план правильным. Расположение других элементов просто не принималось ими во внимание.

Когда в беседе после построения плана мы выясняли, почему учащиеся строили тот или другой угол в обратном направлении, то оказалось, что в одних случаях они просто не замечали ошибки, а в других — руководствовались положением соответствующих элементов на абрисе (или на участке). Вот характерные ответы: «Потому что я посмотрела на абрис, и сторона ВС идет с юга на север» (Ира К., сред., VI «а»), «Если бы в ту сторону, было бы неверно, потому что точка С должна быть на севере» (Виктор О., слаб., VI «а»), «Потому что ОС должна идти вниз, как и там» (Вера Ш., слаб., VI «а»), «Я посмотрела, сторона CD идет слева направо, я так и поставила транспортир» (Таня X., слаб., VI «б») и т. д.

Схватывая на абрисе (или на участке) положение отдельных сторон и вершин, учащиеся, как видно, не схватывали в то же время эти элементы во взаимоположении с другими сторонами и вершинами участка.

Подобный уровень анализа (и синтеза) при решении различного рода задач уже раскрыт в ряде психологических исследований (3. И. Калмыкова [23], А. А. Люблинская [30], Н. А. Менчинская Î32], M. Н. Шардаков [46] и др.). Он получил название «элементного анализа».

Д. Н. Богоявленский и Н. А. Менчинская [4], обобщив в своей книге большой экспериментальный материал по этому вопросу, различают «элементный анализ, неадекватный поставленной задаче», т. е. не соответствующий ей, и «элементный анализ, соответствующий задаче». Общей особенностью неадекватного элементного анализа является выхватывание отдельных элементов из их совокупности и оперирование ими без соответствия с другими элементами, входящими в целое. Уровень такого анализа всегда связан с недостаточным развитием, отставанием синтеза.

Анализ, который обнаруживали наши учащиеся в процессе построения плана, очевидно, соответствовал уровню неадекватного элементного анализа, поскольку положение отдельных элементов участка не соотносилось ими с положением других элементов. Выделяя на абрисе (или на участке) положение отдельных элементов, учащиеся не производили необходимого синтеза, т. е. не схватывали в ряде случаев взаимоотношения элементов участка в целом.

По-видимому, работа с абрисом более способствовала такому уровню аналитико-синтетической деятельности учащихся. Еще на этапе измерения углов работавшие с абрисом обнаруживали склонность к схватыванию сначала положения сторон одного угла, затем другого и т. д., тогда как работавшие без абриса вынуждены были чаще обозревать в целом взаимоположение всех элементов на участке. Можно предположить, что это обстоятельство оказало влияние и на процесс построения плана. И количество ошибок, и данные бесед свидетельствуют о том, что учащиеся VI «а» класса, строя углы не в том направлении, руководствовались главным образом положением отдельных сторон и вершин на абрисе, тогда как учащиеся VI «б» только в отдельных случаях принимали во внимание положение отдельных элементов на участке. Иные условия восприятия участка в процессе съемки и необходимость при построении плана опираться главным образом на свои

представления о взаимоположении элементов участка более способствовали тому, что ученики VI «б» класса схватывали их не разрозненно, не по частям, а в целом, что в известной мере и предостерегало их от неправильного расположения элементов участка на плане.

Такое предположение соответствует результатам исследования Ф. Н. Шемякина [47]. В его исследовании учащиеся, умевшие одновременно обозреть пространственные соотношения между объектами городской площади, более правильно размещали их на плане, чем те, которые схватывали взаимоположение объектов, размещенных на площади, по частям, постепенно.

Возвращаясь к нашему исследованию, мы должны сказать, что учащиеся того и другого класса, правильно построившие план участка по расположению его элементов, достигали этого не всегда достаточно осознанно. Только часть наиболее развитых из них сознательно строили углы в направлении движения часовой стрелки, понимая, что построение угла в обратном направлении повлечет за собой неправильное расположение участка на плане. На вопрос, почему они строили такой-то угол в этом, а не в обратном направлении, такие ученики отвечали: «Строить в обратном направлении было бы неправильно», «Тогда план был бы неверный» или: «Строил так, как на участке идет», и т. п.

В большинстве же случаев учащиеся, построившие план правильно, на этот вопрос отвечали: «Это все равно, можно было бы строить угол и в другом направлении», «От этого ничего бы не изменилось» и т. п. Сравнивая свой правильно построенный план с абрисом, некоторые расценивали его как неверный только потому, что расположение отдельных вершин, сторон или величина элементов на плане и абрисе оказывались различными. Например, Владимир С. (слаб., VI «а») расположил участок на плане правильно. На вопрос, почему он строил угол ABC в эту сторону, а не в другую, ответил: «Потому что на абрисе ВС идет вниз, я смотрел». «Правилен ли твой план?»—был задан ему второй вопрос. После сравнения плана и абриса ученик ответил: «Нет, неправилен, стороны по величине одинаковы, но сторона AD на плане больше; угол А тупой там и там, а угол В — острый, это правильно».

На тот же вопрос Коля П. (слаб., VI «а»), также

построивший план правильно, ответил: «По измерению план правильный, а по буквам нет, там, на абрисе, точка А вверху, а тут точка А внизу, значит неправильно» и т. д.

Оказалось, что многие из этих учащихся также не видели различий между правильно и зеркально построенным планом. Хотя в ряде случаев они считали зеркально построенный план неверным, но не всегда могли установить различие в направлениях вершин участка.

Таким образом, неразличение пространственных признаков, а также уровень неадекватного элементного анализа обнаруживались не только у тех учащихся, которые допускали ошибки в расположении элементов участка на плане, но и у многих из тех, кто этих ошибок не делал.

При зеркально построенном плане участка изменялось направление расположения вершин на участке, однако порядок их — А, В, С, D — сохранялся. Только в редких случаях учащиеся допускали нарушение последовательности в расположении вершин, так как при этом изменялась форма участка. Во время экспериментов они сами замечали такие ошибки. Например, Катя Д. (слаб., VI «б») угол АОВ построила правильно, при построении следующего угла ВОС она повернула транспортир в обратную сторону и в том же направлении построила угол COD (рис. 30). Не закончив построения, она сказала: «Нет, не так сделала, все перепутала, совсем буквы по-другому».

В связи с этими фактами возник вопрос о том, как различают направления по движению часовой стрелки и против ее движения учащиеся более старшего возраста и возникнут ли у них те же трудности, какие мы обнаружили у школьников шестых классов. Для выяснения этого было проведено обучение съемке плана участка обходом по периметру трех групп: 11 учащихся VII класса, 7 учащихся VIII класса и 4 взрослых (нематемати-

Рис. 30

ков), имеющих хорошее общее развитие. Методика оставалась прежней, но время обучения было несколько сокращено, поскольку цель создавать прочные умения не ставилась. После обучения проводились индивидуальные эксперименты.

В результате экспериментов выяснилось, что трудности различения указанных направлений имели место во всех группах. При построении плана участка учащиеся VII класса допустили 2 ошибки зеркального расположения, учащиеся VIII класса — 2 ошибки и взрослые—1.

При сравнении зеркально построенного плана с абрисом вначале ошибка не замечалась, однако стоило экспериментатору обратить внимание на направление вершин на плане и абрисе, и учащиеся и взрослые быстро замечали ошибку. Только в одном случае потребовалось прибегнуть к показу направлений движением руки.

Рассмотрим пример.

Людмила M. (VIII класс) построила азимут стороны AB правильно, при построении угла ABC транспортир наложила в обратном направлении; план получился зеркальным.

Экспериментатор. Правилен ли план? Людмила М. Правилен.

Экспериментатор. Сравните план с абрисом.

Людмила М. Все так же.

Экспериментатор. В каком направлении мы строили угол ABC?

Людмила М. Я по часовой стрелке строила (прикладывает транспортир). Нет, не по часовой стрелке, сама не знаю, почему так построила.

Экспериментатор. Получился ли план правильным?

Людмила М. По-моему, правильный.

Экспериментатор. В какую же сторону нужно строить план?

Людмила М. Нужно по часовой стрелке (строит план правильно), они равны, они одинаковы.

Экспериментатор. Который же план участка правильный?

Людмила М. Этот план правильный, потому что здесь стороны идут по часовой стрелке, как и на участке, а тут наоборот.

Как видно, ученица не сразу обнаружила свою ошиб-

ку и увидела разницу в направлений вершин участка, не сразу поняла, какой из планов участка является верным. Однако она смогла различить направления без опоры на движение руки.

Вместе с тем характерно, что учащиеся, построившие план правильно, также не всегда осознавали необходимость построения первого угла в определенном направлении. Приведем типичный пример.

Сергей З. (VII класс) план построил правильно.

Экспериментатор. Почему угол ABC строил в эту сторону, а не в ту?

Сергей З. А это все равно, можно и в ту сторону.

Экспериментатор. Построй угол в другую сторону и весь план.

Сергей З. (строит план в зеркальном положении). Они одинаковы (пауза), но точка А смотрела на север, а теперь на юг, так строить нельзя, все должно смотреть как на местности, так и на плане, а у нас не так.

Экспериментатор. Какое же различие?

Сергей З. Положение точек стало другим, точки стали в противоположную сторону.

Экспериментатор. Ты сразу это понял?

Сергей З. Нет, не сразу, теперь понял.

Как видно, Сергей З. сначала не различал правильно и зеркально построенные планы, но затем он быстро установил различие в направлении вершин. Таким образом, учащиеся VII—VIII классов и взрослые в отличие от учащихся VI класса более быстро переходили от неразличения направлений вершин участка на плане к их различению.

Полученные нами данные подтверждают положение о том, что процесс различения пространственных признаков не заканчивается в детстве или на какой-либо определенной возрастной ступени. Достигая высокого уровня различения одних направлений, и школьники, и взрослые могут находиться на более низком уровне различения других.

Анализ процесса построения сторон участка

При построении сторон участка прежде всего требуется выбрать масштаб, а затем с помощью линейки отложить в масштабе длину каждой стороны. При этом

наиболее трудной операцией для учащихся является выбор масштаба.

На затруднения при выборе масштаба учащимися шестых классов указывается в методическом исследовании В. Г. Кайрис [26]. В книге Б. Ф. Ломова [29] отмечается, что действия масштабного преобразования на уроках черчения оказываются трудными даже и для учащихся VII—VIII классов. В первый период обучения черчению они часто строят чертеж без учета площади листа бумаги, изображают части предмета в разных масштабах. Основную причину трудностей при определении масштаба автор видит в недостаточной прочности и подвижности связей между пространственными и количественными представлениями учащихся, что в свою очередь объясняется недостаточным опытом измерения.

Учащиеся, участвовавшие в наших экспериментах, обучались при выборе масштаба соотносить длину наибольшей стороны участка с размерами листа. Однако этим приемом владели немногие, при этом использовали его по-разному. Наиболее развитые учащиеся сначала выбирали масштаб, а затем, используя размер какой-либо стороны участка, проверяли, в какой мере он пригоден.

Так, например, выбирала масштаб Светлана А.

Светлана А. (сред., VI «а»). Возьмем масштаб I : 50 (пауза), нет, не такой, возьмем 1 : 5, AB — 60 см, значит, будет 12 см, это крупный, тогда 1 : 20 (пауза) это мелкий; 1:5 — крупный, а 1 : 20 — мелкий, тогда возьмем 1 : 15 (пауза), нет, лучше 1 : 10.

Сначала Светлана А. называет случайные соотношения, но в процессе проверки их пригодности постепенно приближается к наиболее соответствующему в данных условиях масштабу.

Обратным был путь при использовании этого же указания у других учащихся. Сначала они уменьшали длину конкретной стороны, а затем уже находили отвлеченное соотношение между отрезками.

Люба К. (сред., VI «б»). Масштаб будет 1 : 50.

Экспериментатор. Почему ты берешь такой масштаб?

Люба К. Потому что так брали на дворе. Экспериментатор. На дворе участок был гораздо больше этого, посмотри на длину сторон.

Люба К. OA равна 52 см, отложим 5,2 см.

Экспериментатор. Какой же это будет масшштаб?

Люба К. 1 : 1.

Экспериментатор. Подумай.

Люба К. 1:5.

Экспериментатор. Во сколько раз ты уменьшила 52 см?

Люба К. 1 : 10.

Чаще выбирали масштаб таким путем слабо успевающие учащиеся. Нужно сказать, что они, как правило, довольно быстро выполняли операцию уменьшения длины стороны, что, по-видимому, объясняется полученным ими опытом построения сторон на листе бумаги из школьной тетради. Обычно в этих условиях длина сторон в масштабе выражается однозначным числом сантиметров (с десятыми долями). Поэтому учащиеся сразу же уменьшали длину стороны участка так, чтобы получить однозначное число. Вторая же операция — определить, какой же это будет масштаб, затрудняла их значительно больше. Характерно, что Люба К. пытается угадать масштаб. Она называет случайные соотношения 1:1, 1 : 5 и только с помощью экспериментатора приходит к верному ответу. Попытки угадывать в этих случаях были характерны и для других учащихся. По-видимому, это было связано с их неумением устанавливать соотношения между различными величинами, в том числе и числовыми, с неумением переходить от конкретных соотношений к абстрактным и обратно. Об этом же свидетельствуют и часто возникающие противоречия в понимании абсолютного и относительного значений чисел при выборе масштаба. Когда учащиеся слышали оценку выбранного масштаба как слишком крупного (или наоборот) и желали взять более мелкий, то в ряде случаев они уменьшали абсолютное значение числа, т. е. вместо 1 : 5 брали 1 : 3, и, следовательно, достигали обратного результата.

Вместе с тем большей частью ученики выбирали тот масштаб, который они уже раньше использовали. В приведенных выше примерах учащиеся прежде всего называют масштаб 1 : 50, который применялся ими при съемке плана участка на школьном дворе и который явно не соответствовал условиям работы на столе. Это

показывает, что связи, возникшие у них в опыте работы, отличались узостью и неподвижностью.

Преодоление трудностей при формировании умения правильно выбирать масштаб, конечно, требует в первую очередь обогащения опыта учащихся. Вместе с тем, как показывают наши наблюдения, обучение конкретным приемам выбора масштаба, в частности приему соотнесения одной из сторон участка с размерами листа, облегчает им выполнение этой сложной задачи.

Перейдем к анализу процесса построения сторон участка на плане. Когда длина стороны в масштабе уже оказывалась известной, отложить ее по линейке не представляло особых затруднений.

В индивидуальных экспериментах мы встретились только с двумя случаями неправильного отсчета по линейке (в одном случае отсчет велся от конца линейки, в другом — от 1°), но в очень многих случаях наблюдали неправильное прикладывание линейки к лучу (0° не точно примыкал к началу луча, линейка отходила ог луча или закрывала один конец его и т. д.). Из-за того, что у учащихся было слабо сформировано умение правильно пользоваться линейкой, они допускали большое количество неточностей в контрольных работах при построении сторон участка.

В экспериментах же большую по численности группу сшибок составило построение сторон в произвольном размере (не соответствующем числовым данным)1. Рассмотрим условия возникновения этих ошибок на конкретных примерах.

Владимир X. (сред., VI «а») построил азимут стороны OA и, не откладывая в масштабе длину ее, поставил на прямой точку и обозначил буквой А.

Экспериментатор. Как ты нашел точку А?

Владимир X. А я ее не находил.

Экспериментатор. А почему же ты ее поставил в этом месте?

Владимир X. Потому что я построил азимут стороны OA; когда мы строим азимут OA, находим сторону OA.

Еще чаще строились произвольно стороны участка

1 Первую группу (25 ошибок) составляют ошибки, связанные с выбором масштаба и вычислениям.и по масштабу.

в условиях, когда на построенном луче хорошо выделялась точка, которой ученик фиксировал направление луча при отсчете градусов по транспортиру. Эти вспомогательные при построении угла точки учащиеся нередко принимали за вершины углов.

Коля П. (слаб., VI «а»), построив все углы треугольников при точке О, не строил ни одной стороны, а обозначил вспомогательные точки, оставшиеся на лучах, как вершины углов участка и соединил их прямыми.

На вопрос, как он откладывал длину сторон, ответил так: «Я строил угол, и получалась сторона».

Как видно, эти учащиеся не улавливали различия между нахождением направления стороны и построением ее как отрезка определенной длины. Эти две совершенно разные операции осознавались ими как одна операция. Можно предположить, что в этих случаях большое влияние оказывал хорошо закрепившийся опыт буквенного обозначения углов, в соответствии с которым учащиеся относят буквы к произвольно взятым на сторонах угла точкам и при этом, очевидно, не всегда осознают, что стороны углов не ограничиваются обозначенными точками. Поэтому и возникает ошибочное слияние операций построения угла и построения его сторон.

В ряде случаев учащиеся принимали вспомогательные точки за уже найденные вершины участка. Миша К. (хор., VI «б») построил азимут стороны АВ, провел луч и точку, поставленную в процессе работы с транспортиром, обозначил буквой В. На вопрос, как он нашел точку В, ответил: «Ой, это же точка от транспортира, я ее увидел и думал, что отложил сторону AB».

Произвольное построение сторон и, в частности, факты использования вспомогательных точек являются очень типичными ошибками для учащихся VI класса. Эти ошибки мы наблюдали не только в процессе построения плана участка, но и при решении задач на построение.

Как видно, на этой ступени обучения учащиеся не всегда осознают процесс построения углов и его сторон как отрезков, расчлененно. Две различные операции осознаются ими как одна. Вместе с тем они не всегда умеют различить геометрически обоснованное построение от необоснованного, произвольного, что особенно ярко обнаруживается при решении задач на построение.

Нередко учащиеся осуществляют построение геометрической фигуры не на основе заданной зависимости между ее элементами, а на основе своего представления о взаимоположении их.

Такой уровень понимания зависимости между элементами геометрических фигур в процессе их построения является более низким в сравнении с уровнем понимания зависимости между числовыми величинами, который достигается этими же учащимися при решении арифметических задач. Следовательно, здесь мы встречаемся с тем закономерным временным снижением уровня в усвоении знаний, который характерен на этапе овладения новым и более сложным материалом. Как отмечается в книге Д. Н. Богоявленского и Н. А. Менчинской [4], сдвиги на более низкий уровень наблюдаются у учащихся при переходе от изучения целых чисел к изучению дробей, а на более старших ступенях обучения — при овладении более сложным материалом.

Представляет интерес анализ некоторых случаев использования двух разных масштабов при построении сторон участка на плане в контрольных работах учащихся. Таких случаев было 10 и они не встречались з экспериментах. Разобраться в причинах возникновения этой ошибки во всех случаях трудно, но иногда можно с достаточной достоверностью предположить, чем объяснялись действия учащихся.

Например, Валерий Е. (сред., VI «а») сторону AB, равную 6,5 м, построил в масштабе 1:50. Отложив на листе по линейке 13 см, он занял много места и откладывать следующие стороны участка в том же масштабе не мог. Следующие стороны он построил в масштабе 1 : 100, не указав в работе ни того, ни другого масштаба.

Двое других учащихся воспользовались двумя масштабами с целью «подравнять» длину сторон участка на плане. Рассмотрим один из этих случаев.

Евгений К. (слаб., VI «б») три отрезка, идущие от точки О к вершинам участка, а именно OA — 3,8 м, OB — 5,4 м и ОС — 3,5 м построил в масштабе 1 : 100, который и был указан в работе; последний же, наиболее длинный отрезок OD, равный 8 м, он построил в масштабе 1 : 200, т. е. вместо 8 см отложил по линейке только 4 см.

Как можно предположить, ученики подравнивали стороны, чтобы сохранить точку О в «центре» участка, так как при отложении действительной длины отрезка OD точка О сместилась бы в сторону. Нужно заметить, что учащиеся очень часто делают ошибочное обобщение, считая, что точка О внутри участка должна обязательно находиться в середине его и что смещение ее с середины невозможно.

Вопрос о местоположении точки внутри участка при разбивке его на треугольники мы несколько подробнее осветим дальше.

Анализ ориентировки учащихся на построенном плане участка

Когда учащиеся заканчивали построение плана, с ними всегда проводилась беседа. В процессе этой беседы выяснялось, как учащиеся ориентируются на построенном плане и как они могут воспользоваться планом для определения периметра участка.

Для выяснения умения учащихся ориентироваться на плане по сторонам горизонта им ставились такого рода вопросы: «Какая сторона участка является северной (или наиболее северной), южной, восточной, западной? Какая вершина участка наиболее северная, южная, восточная, западная?»

Оказалось, что все учащиеся умели показать на плане направление на север, юг, запад, восток и редко ошибались в отношении вершин. В нахождении же сторон они нередко ошибались. Так, в ряде случаев они называли как северную ту сторону, которая была обращена на запад или восток. Например Рая П. (сред., VI «а») указывает на стороны AB и CD участка как на северные, тогда как они обращены на восток и запад, и объясняет свой ответ так: «Потому что они идут на север».

Такой ответ был типичным для шестиклассников и свидетельствовал о том, что они не различали двух понятий: «обращенность прямой к северу» и «направленность прямой на север». Различение этих понятий достигалось особенно легко, если учащиеся представляли себе на месте участка здание, расположение стен которого соответствует положению сторон участка. На вопрос, окна какой стены этого здания об-

ращены на север, все учащиеся отвечали правильно.

В отдельных случаях ученики называли северной стороной участка сторону AB, «потому что AB строили от севера по часовой стрелке» (Люба К., сред., VI «б»), «К линии север-юг она ближе всех» (Юра Г., слаб., VI «б»). Эти учащиеся признаком северной стороны участка считали близость к линии меридиана.

Эти примеры свидетельствуют о необходимости уточнения некоторых понятий, связанных с ориентировкой на плане по сторонам горизонта. Важно также проконтролировать в классе и в процессе работы на школьном дворе (в поле), как учащиеся находят на участке и плане стороны, обращенные на север, восток, юг, запад и направленные на север, восток, юг, запад.

В наших экспериментах были случаи, когда учащиеся, правильно определив обращенность сторон участка к сторонам горизонта на плане, не могли затем найти эти же стороны на участке. Ира П. (сред., VI «а») на плане правильно называет северной сторону DA, а на участке показывает сторону CD, положение которой по отношению к ученице соответствовало положению стороны DA на плане. Ира ошибочно перенесла прием определения стороны участка по сторонам горизонта с плана на участок, не приняв во внимание, что на плане и на участке ориентировка происходит по-разному: на плане отсчет идет от направления вверх, которое условно принимается за направление на север; на участке же ориентация по сторонам горизонта происходит с помощью компаса.

В отдельных случаях влияние этого приема оказывалось настолько сильным, что учащиеся подчиняли ему показания компаса. Например, Катя Д. (слаб., VI «б») ошибочно показала на участке сторону AB, принимая ее за северную. Затем по указанию экспериментатора воспользовалась компасом, но снова назвала северной сторону AB, так как в направлении этой стороны на компасе расположилась буква С, стрелка же компаса показывала на сторону ВС, которую Катя правильно считала северной стороной участка на плане. Приведем выдержку из протокола.

Экспериментатор. Как же так получается, что на плане одна сторона северная, а на участке — совсем другая?

Катя Д. (думает, смотрит на компас). Я ошиблась, на участке тоже ВС, вот стрелка — прямо на ВС.

Экспериментатор. Почему ты ошиблась?

Катя Д. Я думала, что на участке северная сторона как на плане, вот там (показывает рукой вперед).

Такого рода факты говорят о том, что умение ориентироваться на местности с помощью компаса не во всех случаях достигается формированием умения измерять азимут стороны участка. Очевидно, упражнения с ориентировкой по компасу нужно делать более разнообразными.

* * *

Умение учащихся воспользоваться готовым планом для решения практических вопросов исследовалось следующим образом. В одних случаях перед учащимися ставился вопрос в общей форме: «Можно ли по этому плану определить периметр участка?» В других случаях формулировка этого же вопроса была конкретной: «Можно ли по этому плану определить длину забора участка?» Эти вопросы мы задавали только тем учащимся, которые производили съемку плана способом разбивки, на треугольники, так как при способе обходом по периметру все дело свелось бы к подсчету суммы длин сторон.

Все учащиеся положительно ответили на вопросы, и большинство (13 человек из 18) сумели правильно определить периметр участка (или длину его забора) по плану. Приведем пример.

Владимир X. (сред., VI «а»).

Экспериментатор. Скажи, можно ли по плану определить периметр участка?

Владимир X. Да, так как у нас есть масштаб (измеряет на плане стороны участка и находит их общую длину) 50 см, масштаб 1 : 10, значит, в 10 раз больше, 500 см, или 5 м.

Экспериментатор. Проверь на участке.

Владимир X. измеряет стороны участка, находит периметр — 4 м 87 см.

В пяти случаях учащиеся не справились с заданием. Двое не сразу отделили задачу определить периметр участка по плану от задачи найти его непосредственным измерением Они измеряли стороны на участке и парал-

лельно на плане. Юра Г. (слаб., VI «б»), определив периметр участка на плане, не мог назвать его действительной величины. Он принимал результат измерений на плане за действительную длину сторон участка. У учащихся этой группы возникали также затруднения, когда им нужно было воспользоваться масштабом и провести соответствующие вычисления.

* * *

Разбивая участок на треугольники, мы делаем вспомогательные построения, перенесением которых на план достигается построение плана самого участка. Вспомогательные построения могут включать элемент произвольности, так, например, точку внутри участка, которая затем соединяется с его вершинами, можно взять в любом месте участка, свободном от предметов, загораживающих вершины участка, и даже вне его. Перемещение указанной точки будет влиять на соотношение сторон и углов треугольников, но ни в какой мере, конечно, не окажет влияния на соотношение сторон и углов участка.

В наблюдаемых классах в процессе объяснения съемки плана способом разбивки на треугольники учащимся не говорили об этой особенности вспомогательных построений. При обозначении точки внутри участка учащиеся также не задумывались над тем, в каком месте участка она берется и что произойдет, если ее переместить в другое место. Между тем представляло интерес выяснить, различают ли учащиеся при построении плана основные и вспомогательные построения. Для выяснения этого в самом конце занятий мы ставили вопрос о том, как повлияло бы на съемку плана участка перемещение точки О в другое место.

Меньшая часть опрошенных нами учащихся сумела правильно решить поставленный вопрос.

Миша К. (хор., VI «б»). Точку О можно взять в любом месте, потому что эти вехи (показывает на вершины участка) все равно остались бы на месте.

Экспериментатор. А что изменилось бы?

Миша К. Изменилась бы длина сторон от точки до вех, а вот эти стороны (показывает на стороны участка) не изменились бы, потому что это стороны участка, их нельзя изменить, а от точки О до вех можно.

Саша С. (хор., VI «а»). Как бы это повлияло? План бы вышел.

Эксперимента топ. Что же бы на плане изменилось?

Саша С. Изменились бы расстояния от вех до точки О, а форма участка не изменилась бы.

Эти учащиеся легко отделили вспомогательные построения от основных, так как понимали, что изменения, внесенные перемещением точки О, не влекут за собой изменения в форме участка. Для большинства же поставленный вопрос оказался трудным. Приведем типичный пример рассуждений.

Люба К. (сред., VI «б»). Если бы мы взяли точку О в другом месте, план был бы неправильный.

Экспериментатор. Почему?

Люба К. Потому что изменилось бы расстояние между вехами.

Экспериментатор. Между какими вехами?

Люба. К. Между точкой О и вехами.

Экспериментатор. И что тогда было бы?

Люба К. Весь план был бы другой.

Экспериментатор. Ну, а форма участка осталась бы такой же или изменилась?

Люба К. Конечно изменилась бы.

Экспериментатор. Возьми точку О в другом месте участка и сделай съемку плана.

Люба К. (делает съемку плана и сравнивает новый план со старым). Вот, совсем по-другому.

Экспериментатор. Сравни форму участка на том и другом плане.

Люба К. Форма такая же, только точка О на другом месте.

Экспериментатор. Это очень важно?

Люба К. Нет, значит, можно и на другом месте брать точку О, но нужно, чтобы она была обязательно внутри.

Таким образом, большинство учащихся понимали, что перемещение точки О внутри участка влечет за собой изменение расстояний от нее до вершин, и считали, что в результате этого изменяется форма участка. Их уверенность в этом была непоколебимой, и, лишь построив план участка с новым положением точки О, они могли практически отделить основные неизменяемые

построения от вспомогательных. Характерно, что, когда учащиеся достигали различения указанных элементов и начинали понимать, что перемещение точки О не оказывает влияния на соотношение сторон участка, они могли перемещать ее только внутри участка. Предложение переместить точку О за пределы участка снова вызывало у них решительный протест.

Этот факт очень близок к тому, что мы наблюдали раньше при изучении процесса усвоения геометрических понятий и формирования соответствующих представлений. Как было ранее установлено, в условиях использования стандартных чертежей представления некоторых учащихся о диаметре, о прямом угле являются весьма ограниченными и в ряде случаев расширение их происходит ступенчато: например, от представления о двух диаметрах учащиеся переходят к представлению о четырех, от четырех — к множеству [20].

Если учитель, объясняя съемку плана участка способом разбивки на треугольники, будет брать точку О в середине участка, можно быть уверенным, что у какой-то части учащихся представления о месте этой точки будут ограничены только «серединой» участка. Для того чтобы учащиеся поняли возможность перемещения точки, учитель должен провести дополнительную работу. При этом у многих учащихся следующей ступенью в расширении представлений о месте этой точки будет являться внутренняя площадь участка, а затем только площадь вне участка.

* * *

Анализ собранного материала показал, что измерительные работы на местности требуют значительного развития аналитико-синтетической мыслительной деятельности учащихся и довольно высокого уровня восприятия пространственных отношений.

Овладевая практическими умениями, учащиеся постоянно испытывают затруднения в расчлененном осознавании действий и различении направлений при обозначении вершин участка в процессе его съемки. Вместе с тем характерными для них были трудности синтезирования геометрического образа и целостного схватывания пространственных отношений между элементами участка.

Во многих случаях умения учащихся оставались малообобщенными, что мешало правильному выполнению сходных операций в процессе измерения участка и переносу усвоенной системы действий из одних условий деятельности в другие.

Все эти особенности формирования практических умений были учтены при осуществлении психолого-педагогического эксперимента, который проводился в шестых классах на протяжении двух последующих лет. Основная задача эксперимента заключалась в том, чтобы найти способы обучения, которые поднимали бы учащихся на более высокий уровень восприятия пространственных отношений и развития мыслительной деятельности.

МЕТОДИКА И УСЛОВИЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Разрабатывая методику обучающего эксперимента, мы прежде всего учли опыт обучения съемке плана без абриса. Этот опыт говорил о важном значении упражнений учащихся в ориентировке на участке без опоры на чертеж для понимания взаимоположения элементов в целом. Поэтому большое внимание в экспериментальном обучении уделялось подробному анализу участка до введения абриса. Учащиеся рассматривали, сколько сторон и углов имеет участок, какова их сравнительная величина, их последовательность, где находятся стороны каждого угла, треугольника, как проходят диагонали и т. д. Лишь после того, как учащиеся легко находили на самом участке каждый угол и стороны его, отличая их от диагоналей, и могли быстро показать границы каждого треугольника, вводился абрис.

Успешное усвоение любого явления (предмета, факта, закономерности) обеспечивается прежде всего раскрытием его существенных признаков. Ставя задачу сформировать у учащихся более высокий уровень восприятия пространственных отношений в процессе съемки плана участка, мы считали необходимым раскрыть перед ними существенные признаки пространственных отношений между элементами участка. В качестве таких признаков были выделены следующие: порядок следования вершин друг за другом (А, В, С, D, Е) и направле-

ние его (по ходу часовой стрелки или против него). Выделение этих признаков на участке и сохранение их на абрисе и на плане обеспечивает пространственно правильное размещение элементов участка на плане. Мы предполагали, что, если учащиеся будут знать эти признаки и, в частности, различать указанные направления при обозначении вершин участка, они смогут более организованно схватывать взаимоположение всех сторон и вершин, т. е. обозревать их не по частям, а в целом, и это будет предостерегать их от ряда ошибок при измерении участка и построении его плана. Следовательно, задача заключалась в том, чтобы научить учащихся выделять на участке указанные признаки и пользоваться ими в процессе съемки плана. Чтобы при этом выяснить зависимость продвижения учащихся в восприятии пространственных соотношений от степени активности их мыслительной деятельности, были созданы различные условия обучения в двух параллельных классах. В одном классе учащиеся были поставлены в условия, которые вынуждали их активно пользоваться существенными признаками пространственных отношений. В другом классе использование этих признаков достигалось способами, не требующими активной мыслительной деятельности.

Конкретная методика обучения заключалась в следующем. В одном классе учащиеся учились выделять на участке, а затем и сохранять на чертежах порядок следования вершин друг за другом и принятое направление этого порядка в таких условиях, когда направления в обозначении вершин широко варьировались, т. е. в одних случаях вершины обозначались по ходу часовой стрелки, а в других — против хода часовой стрелки. Кроме того, в этом классе варьировались стороны, азимут которых измерялся, и поэтому построение плана начиналось от разных сторон и от разных вершин.

Введение вариаций, по нашим предположениям, должно было способствовать формированию у учащихся умения проводить измерения и строить план более осознанно и вместе с тем создавать гибкость и подвижность их пространственных представлений.

В другом классе учащимся также разъясняли, что при измерении участка и построении его плана нужно опираться на выделенные существенные признаки, в

частности каждый раз при съемке плана они учились различать направления «по ходу часовой стрелки» и «против хода ее». Как и в первом классе, им показывали, что при построении угла на стороне, положение которой было определено по азимуту, в обратном направлении, т. е. против хода часовой стрелки, расположение участка на плане оказывается зеркальным. Однако практически в этом классе была сохранена рекомендуемая в методической литературе однотипность обозначения вершин участка по ходу часовой стрелки, так же как и постоянное измерение азимута одной и той же стороны участка (AB).

Мы предполагали, что выделение существенных признаков пространственных отношений на участке, абрисе и плане будет также способствовать более осознанному усвоению всей работы; напротив, шаблонность в ее выполнении будет задерживать развитие учащихся в восприятии пространства, так как в этих условиях процесс построения плана требует главным образом воспроизведения заученной системы операций.

Обучение по изложенной методике осуществлялось в шестых классах школы № 518 дважды (в 1957/58 и 1958/59 учебных годах). Обучение было повторено в 1958/59 учебном году с целью получить его результаты в условиях использования нашей методики учителем математики1 (в 1957/58 учебном году экспериментальное обучение осуществлялось автором).

Следует сказать, что в первый год мы не имели возможности оказывать какое-либо влияние на учебный процесс в шестых классах до момента обучения съемке плана участка. В течение года измерительные работы на местности, предусмотренные программой V—VI классов, проводились в самом минимальном размере (провешивание прямых, измерение шагами и рулеткой). Работе по овладению чертежными инструментами также не уделялось особого внимания.

При обучении съемке плана участка основными приемами формирования практических умений были разъ-

1 Учитель математики А. Т. Рогов, получивший образование в Московском городском педагогическом институте им. В. П. Потемкина, имел к тому времени двухлетний опыт преподавания математики в средних и старших классах.

яснение и показ действий с измерительными приборами, расчленение каждого действия на отдельные операции и предупреждение ошибок путем противопоставления правильного выполнения операций ошибочному. Используя прием противопоставления, мы предполагали, что при усвоении любого положительного явления, факта и действия опора на знание противоположного, отрицательного создает большую прочность в знании положительного, потому что в самом процессе противопоставления учащиеся совершают активное сравнение, в результате чего положительный факт приобретает как бы контрастный фон, резко и отчетливо его оттеняющий.

Д. Н. Богоявленский и Н. А. Менчинская [4], обобщая результаты исследований, направленных на изучение процессов абстрагирования в ходе усвоения знаний, отмечают положительное влияние установления правильного соотношения между позитивной и негативной сторонами материала. Учащиеся должны знать не только то позитивное, что подлежит отвлечению, но осознать и несущественные признаки материала, от которых происходит отвлечение.

При изучении усвоения правил поведения также отмечается, что дети-дошкольники остро реагируют на случаи отрицательного поведения, чтобы тем самым утвердить себя в знании положительных форм поведения [12].

Прием противопоставления правильного выполнения той или другой операции ошибочному не является новым и находит свое место в педагогической практике. Но, как правило, он не используется так систематично, как был использован нами в первый год экспериментального обучения.

Покажем использование этого приема на примере формирования у учащихся умения измерять азимут стороны участка. После того как ученикам объясняли и показывали в классе, как измеряется азимут, их спрашивали, можно ли измерять азимут этой стороны, положив компас просто на стол или в другую вершину участка. «Конечно, нельзя», — отвечали учащиеся. Тогда им говорили, что иногда такие ошибки имеют место. При определении северного и южного концов стрелки компаса учитель спрашивал, какие следствия повлечет за собой смешивание их. Учащиеся отвечали: «Тогда север

оказывается на юге, а юг — на севере, запад — на востоке, а восток — на западе» и т. д.

В следующем учебном году создались более благоприятные условия для подготовки учащихся к тому, чтобы они овладели съемкой плана участка. Учитель, проводивший экспериментальное обучение, преподавал математику в классах второй год. В пятых классах он полностью выполнил с учащимися все предусмотренные программой работы на местности и в шестых классах осенью продолжал их. Таким образом, у учащихся был достаточный опыт провешивания и измерения прямых, они умели работать с эккером и компасом (определение сторон горизонта), строили прямоугольные участки и т. д. В зимний период в классах были использованы настольные приборы для решения задач на определение недоступных расстояний.

В течение учебного года большое внимание уделялось также формированию практических умений работать с чертежными инструментами (линейкой, циркулем, транспортиром). В частности, при формировании умения строить углы с помощью транспортира особое внимание обращалось на то, чтобы ученики правильно выделяли все операции.

Некоторые изменения, внесенные в частные приемы формирования практических умений, будут раскрыты при изложении результатов обучения.

Порядок проведения экспериментального обучения как в первый, так и во второй год был таким: в феврале-марте во внеучебное время проводилась подготовка бригадиров; в апреле на работу в классе отводилось три урока. На первом уроке учащиеся знакомились с измерительными приборами (рулеткой, угломером, компасом); проводилась работа над понятиями «масштаб» и «азимут». На втором и третьем уроках объяснялись способы съемки плана участка. Как и раньше, был использован способ съемки плана обходом по периметру и способ разбивки на треугольники. Разбивка на треугольники проводилась новым способом, а именно провешиванием диагоналей (рис. 31). На первом году экспериментального обучения в каждом треугольнике измерялись все три стороны и, следовательно, построение треугольников шло по трем сторонам; на втором — две стороны и угол между ними. Измерение разных

элементов треугольника не лишало нас возможности сравнивать результаты обучения и вместе с тем помогало выяснить некоторые особенности процесса измерения участка и построения его плана по указанным элементам.

Во внеучебное время бригады учащихся по 5—6 человек производили съемку плана участка тем и другим способом на школьном дворе, после чего каждый учащийся выполнял построение двух планов дома.

В порядке выполнения домашних заданий учащиеся и в дальнейшем упражнялись в построении плана участка на основе данных им размеров сторон, углов и азимутов.

В первый год обучения работа проводилась в VI «а» и VI «б» классах, причем в VI «а» осуществлялся принцип варьирования направлений при обозначении вершин участка и сторон при измерении азимута. Учащиеся же класса VI «б» работали по установленной методике (без вариаций). При проведении обучения в следующем учебном году варьирование осуществлялось в VI «в», а без вариаций работал VI «г» класс.

После работы на школьном дворе с учащимися каждого класса проводились индивидуальные эксперименты. На первом году экспериментального обучения в них участвовали 17 учащихся (5 хор., 7 сред, и 5 слаб.) из VI «а» и 12 (3 хор., 5 сред, и 4 слаб.) из VI «б» класса. Каждый учащийся производил съемку плана участка двумя способами. На втором году экспериментального обучения в индивидуальных экспериментах участвовали по 12 учеников (4 хор., 4 сред., 4 слаб.) из каждого класса.

Рис. 31

В конце года в классах проводилось по две контрольных работы. Содержанием одной из них служило построение плана двух участков, измеренных разными способами1. Содержание второй составляли задачи, направленные на выяснение вопроса, в какой степени введенные в обучение различия повлияли на развитие у учащихся восприятия пространственных отношений.

Наряду с проведением экспериментального обучения в VI «а», VI «б», VI «в» и VI «г» классах обучение съемке плана участка проводилось в двух параллельных шестых классах (в VI «д» в 1957/58 учебном году, в VI «ж» —в 1958/59).

Задача обучения в этих классах заключалась в выяснении эффективности двух методических приемов, которые, по нашему предположению, представляли интерес для предупреждения ошибок в пространственном расположении элементов участка на плане. Один из этих приемов, рекомендуемый Д. М. Смычниковым [44], заключается в измерении азимутов всех сторон участка. Этот прием предлагается для упражнений в измерении и построении азимутов и достижения большей точности в построении плана участка, измеренного обходом по периметру. Мы использовали этот прием в VI «д» классе.

В VI «ж» классе мы пользовались приемом построения абриса по азимуту стороны участка. Этот прием рекомендуется Ф. Л. Начапкиным при съемке плана обходом по периметру [34], П. Я. Дорфом и А. О. Румером при съемке плана по ходовой линии [18].

Важно было выяснить, в какой мере оба приема способствуют правильному построению плана участка, как в условиях их использования формируются практические умения и происходят ли при этом какие-либо сдвиги в развитии у учащихся восприятия пространственных отношений.

Естественно, что в этих классах вводилось одно понятие «по ходу часовой стрелки», так как введение противоположного мешало бы выяснению поставленных вопросов. Также не использовались вариации при измерении азимутов. Учащиеся всегда обозначали вершины участка по ходу часовой стрелки и измеряли азимуты от вершины А.

1 Эту работу не удалось провести в VI «б» классе.

В остальном обучение в VI «д» и VI «ж» классах протекало так же, как и в VI «а», VI «б», VI «в» и VI «г» классах, т. е. учащихся обучали съемке плана участка обходом по периметру и разбивкой на треугольники способом проведения диагоналей. Были уравнены и другие условия обучения, т. е. таким же оставалось количество уроков на объяснение материала и проведение измерений на школьном дворе, количество упражнений дома и т. д. После обучения также проводились индивидуальные эксперименты с учениками (15 учащихся из VI «д» класса и 12 из VI «ж»). В конце года были проведены контрольные работы, как и в параллельных классах.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ

Процесс рассмотрения построенного участка в классе и на дворе до введения абриса всегда вызывал трудности. Нельзя сказать, что эти трудности возрастали для учащихся тех классов, в которых осуществлялось варьирование направлений при обозначении вершин участка. По нашим наблюдениям, для них одинаково естественно было обозначать вершины его как в том, так и в другом направлении. Обозначив вершины участка А, В, С, D, Е в направлении по ходу часовой стрелки или против хода часовой стрелки, учащиеся ориентировались на участке, учитывая это обстоятельство.

После съемки плана участка на школьном дворе проводились индивидуальные эксперименты, а в конце года — контрольные работы.

Перейдем к рассмотрению результатов экспериментов и контрольных работ.

Результаты измерения участка

Сравнивая количественные результаты измерения азимутов до экспериментального обучения и после проведения его, а затем сравнивая в таком же плане результаты измерения углов участка, мы получили весьма близкие соотношения между результатами измерения азимутов и углов.

В табл. 8 представлено количество правильно измеренных азимутов и углов (в %).

Таблица 8

Время измерения

Азимуты

Углы участка

До экспериментального обучения .......

22,2

27,7

Первый год экспериментального обучения . . .

34,4

32,7

Второй год экспериментального обучения . . .

64,5

75,0

Как видно из таблицы, формирование рассматриваемых умений было более успешным в период экспериментального обучения и особенно при повторении его. Эти успехи следует отнести как за счет общих изменений условий обучения, так и за счет некоторых частных методических приемов обучения отдельным операциям.

Как уже говорилось выше, в первый год экспериментального обучения большое внимание уделялось предупреждению ошибок при измерении азимутов и углов участка. С этой целью правильное выполнение операций при измерении азимутов и углов участка противопоставлялось их ошибочному выполнению. Очевидно, такой прием оказывал положительное воздействие, хотя и использовался только в течение того небольшого отрезка времени, когда ученики непосредственно занимались работами по съемке плана местности. К лучшим результатам привела систематическая подготовка учащихся к овладению этими же умениями, проведенная в течение второго года обучения, в процессе которой прием противопоставления был также использован.

Значительное влияние на формирование умений измерять азимуты и углы участка оказало также осознавание учащимися сходства операций, которое устанавливалось в обучении. Учащимся указывалось на сходство следующих операций: совмещение компаса и угломера с вершиной измеряемых углов; совпадение стрелки компаса с направлением на север и совмещение направления алидады угломера с направлением стороны угла и т. д. Вместе с тем было устранено отмечавшееся ранее несоответствие между операцией ориентации компаса, когда начало отсчета градусов совмещается с на-

правлением северного конца стрелки, и свободными положениями лимба при измерении углов участка.

В первый год экспериментального обучения ставилась задача выяснить, в какой мере учащиеся могут сами перейти от одного способа отсчета градусов на угломере к другому способу. Поэтому сначала им показывали способ измерения углов при свободном положении лимба, в индивидуальных же экспериментах, после того как они измеряли таким способом один угол, ставилась задача найти другой способ измерения угла, при котором бы отпадала необходимость производить вычисления. Конкретно задача формулировалась так: «Посмотри внимательно на угломер и догадайся, как следует его ставить, чтобы при повертывании алидады было сразу видно, какому числу градусов равен угол, т. е. не нужно было бы вычислять разность».

В процессе решения поставленной задачи выделились три группы учащихся, почти равные по количеству.

Учащиеся первой группы (3 хор., 3 сред., 2 слаб!) легко перестроили способ отсчета градусов. Они сразу же уловили связь между условием задачи и возможностью повертывать лимб началом отсчета градусов по направлению стороны угла и вместе с тем сумели практически воспользоваться этим способом при измерении последующих углов участка. Приведем примеры того, как ученики овладевали этой операцией.

Саша Ш. (хор., VI «б») первый угол участка измеряет старым способом. Экспериментатор ставит задачу найти новый способ отсчета градусов.

Саша Ш. Чтобы не считать! Это интересно (смотрит на угломер). На 0° (повертывает алидаду к 0° и направляет на одну веху, затем на другую), вот, 49°.

Так же успешно ученик измеряет остальные углы.

Тамара М. (слаб., VI «б»), прослушав задачу, смотрит на угломер, подводит 0° к стороне угла, направляет алидаду на веху, затем повертывает ее в направлении второй стороны угла и обнаруживает, что алидада движется не в сторону нарастания числа градусов, а в обратную, быстро повертывает начало отсчета градусов на лимбе ко второй стороне угла и движет алиладу по направлению к первой, смотрит на лимб и говорит: «Вот, 132°». Безошибочно измеряет остальные углы.

Учащиеся второй группы (3 хор., 5 сред., 3 слаб.) не

всегда сразу догадывались о возможности совмещать начало отсчета градусов с направлением стороны угла и, кроме того, испытывали затруднения при овладении этим способом отсчета.

Наташа С. (сред., VI «а») при измерении первого угла очень долго вычисляет разность между 246° и 133°. Экспериментатор ставит задачу найти новый способ отсчета градусов. Наташа долго смотрит на угломер, ставит его по-старому и снова вычисляет разность.

Экспериментатор. Подумай еще, как воспользоваться угломером, чтобы не находить разность.

Наташа снова очень долго смотрит на угломер и повертывает 0° к стороне угла, но неудачно, при направлении алидады ко второй стороне угла получает показатель 238°, принимает это число за величину угла.

Экспериментатор. Посмотри, разве может этот угол иметь такую величину?

Наташа С. Нет.

Экспериментатор. Ты правильно сделала, что направила 0° по стороне угла, но допустила небольшую ошибку и поэтому получила такое большое число. Ты знаешь, в чем твоя ошибка?

Ученица отрицательно качает головой.

Экспериментатор. У угла две стороны, и нужно подумать, к какой стороне подвести 0°.

Наташа быстро изменяет положение лимба и находит величину угла — 122°. Следующий угол измеряет верно.

Миша С. (слаб., VI «а»). При измерении первого угла нулевое деление лимба попадает внутрь угла, и ученик лишь с помощью учителя определяет его величину.

Экспериментатор ставит задачу найти новый способ измерения угла. Миша повертывает нулевое деление лимба к себе, думает, затем повертывает его к стороне угла, но неудачно, при повертывании алидады ко второй стороне получает 286°. Говорит: «286°, а там 0°, не знаю».

Экспериментатор. А ты помнишь, на сколько градусов делится окружность?

Миша С. На 360°. А! Надо отнять, 74°.

Экспериментатор. Ты неудачно поставил 0°, и поэтому пришлось считать; при измерении следующего угла поставь угломер так, чтобы не считать.

Миша С. пожимает плечами, выражая этим сомнение в том, удастся ли ему поставить угломер, направляет 0° к стороне угла, чуть-чуть движет алидаду и смотрит. Говорит: «Нет, опять считать». Повертывает нулевое деление к другой стороне угла и измеряет угол: «64°.— Очень доволен, улыбается.— Как хорошо! Можно было так все углы измерить?»

Экспериментатор. Конечно.

Миша С. при измерении следующего угла сразу ставит угломер верно.

Как видно, учащиеся не сразу догадывались, в чем заключается принцип нового отсчета градусов, а затем не понимали, с какой стороной угла нужно соотнести нулевое деление — 0°. Миша решает этот вопрос пробами. Сначала он ставит 0° наугад к одной из сторон и легким движением алидады определяет, пошла ли она в сторону увеличения или уменьшения числа градусов. Такой способ соотнесения 0° со стороной угла часто наблюдался при самостоятельном овладении этой операцией, но учащиеся, как правило, быстро переходили к более правильному приему. Уже при измерении следующего угла Миша смотрит на то, в каком направлении идет увеличение числа градусов на лимбе, и правильно соотносит 0° со стороной.

Третью группу (1 хор., 4 сред., 5 слаб.) составили учащиеся, не овладевшие новым способом отсчета градусов на угломере в процессе измерения углов участка.

Люся Ф. (хор., VI «а») долго думает над поставленной задачей, затем говорит: «А! На 0°», — но ставит 0° внутри угла и измеряет угол по-старому.

Экспериментатор. Подумай еще, как можно воспользоваться угломером, чтобы не считать.

Люся Ф. (смотрит на угломер). Не знаю (ставит его свободно и вычисляет разность).

Экспериментатор. А все-таки попробуй использовать угломер по-другому.

Люся Ф. Не знаю, я лучше так (измеряет последний угол участка по-старому).

У Люси как будто промелькнула догадка использовать начало отсчета градусов на лимбе, но она не приложила усилий, чтобы подумать над этим вопросом.

У некоторых учащихся этой группы проявилось еще более ярко выраженное нежелание искать новый способ

отсчета градусов. Особенно характерным является случай с Таней Ц.

Таня Ц. (сред., VI «а») измеряет первый угол старым способом. Эспериментатор ставит задачу найти новый прием измерения углов. Ученица, не обращая внимания на сказанное им, ставит угломер по-старому, получает величины 150° и 55°, медленно вычисляет разность.

Экспериментатор. А теперь поставь так угломер, чтобы не нужно было считать.

Таня Ц. (решительно). Нет, я лучше так, чтобы считать (ставит угломер по-старому, получает большие числа, считает долго и неверно).

Экспериментатор. А теперь сделай так, чтобы не считать.

Таня Ц. (с некоторым испугом на лице машет рукой). Нет, нет, я не знаю, лучше я так измерю.

Экспериментатор. Да ведь тут нет ничего трудного, нужно только 0° направить по одной стороне угла. А по какой стороне, ты сообрази сама, посмотри на деления угломера и сообрази.

Таня не смотрит на деления, быстро повертывает 0° к стороне угла, при этом неудачно. Лишь с помощью экспериментатора ей удается измерить последний угол участка, совместив начало отсчета градусов с нужной стороной угла.

Таким образом, одни учащиеся «открывали» новый способ отсчета градусов и овладевали им без труда, другие достигали этого с большими усилиями, третьи самостоятельно этого сделать не могли. Нельзя при этом не заметить, что учащиеся разных групп проявляли разное отношение к поставленной задаче. Одни принимали ее охотно, относились к ней с интересом; другие же часто не принимали задачу, сопротивляясь необходимости решать ее.

Различное отношение учащихся к поставленной задаче, по-видимому, отражает характерные особенности их мыслительной деятельности. У одних учащихся процесс мышления гибок и подвижен; как правило, они легко достигают положительного результата при решении различных задач. Поэтому задача перестроить способ измерения углов, самим внести изменения в формирующееся умение не только не вызывала протеста, а, наоборот, повышала интерес к работе. Такие учащиеся ак-

тивно и охотно перестраивали свои действия, многие напряженно думали, искали решения; они спокойно относились к случайным неудачам и добивались успеха.

У других мыслительная деятельность отличается неподвижностью, инертностью. Процесс думания их затрудняет, и они стараются избежать его. Многие из этих учащихся без труда усваивали старый способ отсчета, поскольку он был указан учителем и не требовал напряженной работы мысли. Задача подумать и перестроить свои действия не вызывала у них интереса, и они с ней не справлялись, В большей или меньшей мере у них проявлялось желание сохранить старый, уже усвоенный путь измерения углов.

На втором году экспериментального обучения с самого начала работы с угломером учащимся VI «в» и VI «г» классов был показан новый способ отсчета градусов. Им говорилось, что как при измерении азимута начало отсчета градусов (0°) на компасе совмещается с направлением северного конца стрелки, так и при измерении углов участка нужно совмещать начало отсчета градусов на угломере с одной из сторон угла.

В процессе индивидуальных экспериментов специально учитывалось, как учащиеся ставят угломер, в какой мере они соотносят направление делений на лимбе от 0° с направлением сторон угла. Выяснение этого вопроса было тем более интересным, что на лимбе двух школьных угломеров направление делений было различным: у одного по ходу часовой стрелки, у другого — против хода часовой стрелки. Следовательно, учащиеся должны были каждый раз пространственно соотносить направления делений и сторон, и это было очень полезно для развития их пространственной ориентировки.

Оказалось, что умение правильно ставить лимб угломера вполне сформировалось у 11 учащихся из 24, участвовавших в экспериментах. Эти учащиеся или совсем не делали ошибок при отнесении 0° к стороне угла или допускали ошибку только при измерении первого угла, остальные же углы измеряли правильно.

У 13 учащихся никакой устойчивости в этом умении не было. Некоторые углы они измеряли, удачно поставив лимб угломера, когда движение алидады ко второй стороне угла совпадало с увеличением числа градусов на лимбе, а некоторые при неудачном его положении,

когда движение алидады совпадало с уменьшением числа градусов от 360°. При этом правильное и неправильное положение лимба перемежалось. Например, Наташа М. (сред., VI «б») при измерении первого угла участка угломер ставит правильно, при измерении второго— неправильно и поэтому вычисляет разность между 360° и 273°; при измерении третьего — правильно, при измерении четвертого — ошибочно.

Характерно, что на первом году экспериментального обучения, когда ставилась задача отыскать новый способ отсчета градусов, преимущество имели учащиеся, хорошо усваивающие теоретический материал по геометрии. Они скорее «открывали» принцип нового способа отсчета градусов. В условиях же, когда этот принцип был раскрыт и задача заключалась в том, чтобы наиболее успешно им воспользоваться, оказалось, что лучше действуют ученики, обладающие практической умелостью. При этом их практическая умелость не всегда соотносилась прямо со способностью усваивать теоретические знания. Это видно из следующих данных. В группу с устойчивым умением вошли 11 учеников (3 хор., 4 сред, и 4 слаб.) и в группу с неустойчивым умением — 13 (5 хор., 4 сред., 4 слаб.). Как видно, хорошо успевающие учащиеся не были преобладающими в первой группе и слабо успевающие — во второй.

Наши наблюдения за действиями учащихся с угломером также свидетельствовали о том, что некоторые из них, хорошо успевая в усвоении теоретического материала, оказывались практически неумелыми. Ярким примером может служить Галя Ж.

Галя очень способная и развитая девочка. Она хорошо успевала по математике. Усвоение учебного материала не вызывало у нее трудностей. Галя быстро соображала при решении задач в теоретическом плане. В практических же делах Галя малоопытна, у нее не было достаточной ловкости даже в обычных движениях. При измерении первого и второго углов она ставила угломер неудачно и делала вычисления. Только при измерении третьего угла при некоторой помощи экспериментатора ей удалось придать лимбу угломера правильное положение; с трудом она достигла этого и при измерении четвертого угла. На следующем занятии она снова ставит угломер неудачно и лишь при измерении

второго угла достигает умения ставить его правильно.

Другие же учащиеся, с трудом усваивая теоретический материал, не справляясь в классе с решением задач и доказательством теорем, обнаруживали хорошие практические навыки. Они быстро ориентировались в конкретной обстановке и легко соображали, как нужно воспользоваться угломером.

Приведем наиболее яркие примеры.

Володя С. (слаб., VI «в») мало читает, с трудом усваивает теоретический материал, но любит и умеет вы выполнять ручную работу. Дома, под руководством отца, он столярничал, хорошо рисовал, выпиливал и т. д.

При измерении углов участка он уверенно устанавливал лимб в нужном направлении, не допустив ни одной ошибки ни на первом, ни на втором занятии.

Нина К. (слаб., VI «б») очень слабо успевала по геометрии, совсем не справлялась с решением учебных задач, но во время практических работ оказалась очень сообразительной. Например, при записи углов участка, подлежащих измерению, она указала только три угла. На вопрос экспериментатора, почему она записывает не все углы, ответила: «А две последние вершины мы соединяем»,— т. е. практически для построения плана, как она правильно подметила, нужны не все углы.

Характерно, что Нина не могла рассказать, как нужно измерять углы угломером, но все углы измерила самостоятельно, уверенно придавая лимбу правильное положение.

Очевидно, при овладении таким сравнительно несложным умением, как правильное установление лимба, большое значение имел практический опыт пространственной ориентировки в действиях с различными предметами. Учащиеся, обладающие таким опытом, часто не осознавая пространственных соотношений в такой степени, чтобы рассказать о них, могли практически ими пользоваться и действовали безошибочно. И наоборот, имеющие слабый опыт практической пространственной ориентировки, не умеющие практически мыслить затруднялись пользоваться угломером, хотя и могли рассказать, как нужно им пользоваться.

Случаи расхождения способности усваивать теоретический материал с практической умелостью и сообрази-

тельностью не были многочисленными. У большинства учащихся эти способности находились в соответствии друг с другом.

До обучения новому способу отсчета градусов ошибки при выполнении этой операции преобладали над другими ошибками при измерении углов, и, как мы ранее указывали, особую трудность представлял тот случай, когда 0° оказывался внутри угла. Введение нового способа совершенно сняло эти трудности. Кроме того, исчезли ошибки, когда за величину угла принимался один показатель лимба.

До экспериментального обучения большое количество ошибок учащиеся допускали также при повертывании алидады, которая часто направлялась по диагонали участка. Эти ошибки связаны были с трудностью ориентировки на участке. Для преодоления ее учащиеся часто обращались к абрису.

В процессе экспериментального обучения учащиеся упражнялись в ориентировке на участке без опоры на абрис. Эти упражнения оказали положительное влияние на процесс измерения углов, что видно по снижению числа ошибок при наведении алидады. Так, до экспериментального обучения число наведений алидады на диагональ составляло 25% к числу измеренных углов, в первый год обучения оно составляло соответственно 16,8 и во второй—12,5%. После обучения случаи обращения к абрису как к опоре для ориентировки на участке наблюдались очень редко, учащиеся легко преодолевали возникающие трудности и без этого.

Введение вариаций при обозначении вершин участка и выборе сторон при измерении азимута не оказало какого-либо существенного влияния на результаты измерений участка. Можно лишь указать на то, что учащиеся, измерявшие азимут разных сторон, чаще выбирали сторону, азимут которой был меньше 180°, и так как это несколько облегчало операцию отсчета градусов на компасе, они делали меньше ошибок, чем те, которые всегда измеряли сторону AB.

Измерение сторон, как и до обучения, не вызывало трудностей. Остановимся лишь на одной особенности восприятия сторон треугольников, на которые разбивался участок. В процессе индивидуальных экспериментов учащиеся строили четырехугольный участок и разбивали

его на два треугольника, измеряя в каждом из них все стороны. В тех случаях, когда они обозначали общую сторону двух треугольников (диагональ) по-разному, т. е. в одном треугольнике как АС, а в другом как CA, они нередко измеряли ее также дважды. Например, Толя С. (слаб., VI «б») общую сторону один раз записал как BD, а второй раз как DB. Только измерив ее второй раз, он осознал, что это одна и та же сторона, и смущенно сказал: «А я и говорю, что это одно и то же». Если вспомнить, что иногда учащиеся не различали азимут стороны AB от азимута стороны ВА, то становится очевидной необходимость добиться, чтобы они четко различали те случаи, где перестановка обозначений возможна и где она недопустима.

Результаты построения плана участка

Рассмотрим на табл. 9 результаты построения азимутов, углов и сторон участка до экспериментального обучения и после него (данные приведены в %).

Таблица 9

Время работы

Азимуты

Углы

Стороны

эксперименты

контрольные

эксперименты

контрольные

эксперименты

контрольные

До экспериментального обучения ....

41,6

58,5

46,6

56,8

62,8

64,9

Первый год экспериментального обучения

62,1

55,2

51,7

52,6

75,4

73,0

Второй год экспериментального обучения

66,7

68,8

57,3

74,5

84,7

72,9

Количество правильно построенных элементов участка как по данным индивидуальных экспериментов, так и по данным контрольных работ свидетельствует о том, что в процессе экспериментального обучения практические умения строить план участка оказались у учащихся также лучше сформированными, чем до обучения. Исключение представляют лишь данные построения ази-

мутов и углов в контрольной работе, проведенной с учащимися VI «а» класса в первый год обучения1.

Однако различие между результатами построения плана на первом и втором годах обучения не является столь же значительным, как это было при измерении участка. Объясняется это тем, что при измерении участка основные трудности, связанные с отсчетом градусов по угломеру, на втором году обучения были сняты перестройкой этой операции. Способы же построения плана оставались одинаковыми.

Посмотрим, какое влияние на процесс построения плана оказывало выделение признаков пространственных соотношений между элементами участка (порядок следования вершин друг за другом—А, В, С, D и направление его на участке), различение направлений «по ходу часовой стрелки» и «против хода часовой стрелки», которому обучались учащиеся, и те различия в обучении, которые вносились осуществлением вариаций.

До экспериментального обучения неразличение направлений «по ходу часовой стрелки» и «против хода часовой стрелки» влекло за собой ошибки зеркального построения плана. Рассмотрим количество этих ошибок (по отношению к общему количеству построенных планов, в %) по годам обучения и затем по классам (табл. 10).

Таблица 10

Время работы

Эксперименты

Контрольные

До экспериментального обучения

27,7

15.7

Первый год обучения .......

18,9

15,6

VI „а“ класс (с вариациями) ....

20,5

15,6

VI „б“ класс (без вариаций) . . .

16,6

Второй год обучения ......

14,6

17,3

VI „в“ класс (с вариациями) . . .

25

18,7

VI „г“ класс (без вариаций) . . .

4,1

16,1

Как видно из таблицы, в результате обучения количество случаев зеркального построения планов участка снизилось по сравнению с их количеством до обучения

1 По-видимому, это связано с несколько неблагоприятными условиями проведения контрольной работы; в VI «б» классе контрольная работа не проводилась.

(исключение представляют лишь результаты контрольной работы на втором году экспериментального обучения, где имело место некоторое повышение количества ошибок). Снижение количества случаев зеркального построения плана, которое отчетливо выявилось в индивидуальных экспериментах, свидетельствует о положительном влиянии на процесс построения плана умений различать направления при обозначении вершин участка и опираться при построении плана на существенные признаки пространственных отношений на участке. Вместе с тем из таблицы видно, что снижение ошибок значительнее у учащихся тех классов, где построение плана осуществлялось по шаблону, чем в тех, где использовались вариации.

Такой результат следует признать закономерным, если принять во внимание, что учащиеся VI «а» и VI «в» классов выполняли работу в значительно более трудных условиях, чем учащиеся VI «б» и VI «г». Вариации в расположении вершин участка и построение плана от разных его сторон требовали большей гибкости пространственных представлений учащихся и усложняли процесс различения направлений. Однако далее мы покажем, что значительная часть допущенных ошибок возникла по причинам, которые уже не свидетельствовали о низком уровне восприятия пространственных отношений учащимися. Сейчас же остановимся на тех качественных изменениях в процессе построения плана, которые произошли под влиянием обучения и которые лежат в основе полученных результатов.

Прежде всего отметим, что после обучения действия учащихся при построении плана стали более осмысленными. Появилось умение планировать размещение вершин участка на плане. Так, прежде чем строить тот или другой угол, учащиеся стали рассуждать, в каком направлении они обозначили вершины участка и где примерно на плане должна быть та или другая вершина. Приведем примеры.

Саша Ш. (хор., VI «б») правильно находит положение стороны AB и вершину В. Далее карандашом он делает движение от точки А по ходу часовой стрелки и говорит: «А, В, а точка С примерно будет здесь». Построив угол ABC и найдя вершину С, он снова карандашом делает движение в направлении вершин А, В, С и определяет

примерное положение точки Д после чего строит угол BCD.

Володя С. (слаб., VI «в»), построив сторону CD, примеряет карандашом место вершины В, сначала ставит карандаш вниз от стороны CD, потом вверх и тогда уверенно строит угол CDB, направив транспортир вниз (рис. 32). Правильно закончив построение треугольника CDB, Володя смотрит на абрис и, увидев вершину А вверху, неправильно строит угол BDA от стороны CD вверх, но вовремя контролирует себя. «Совсем не так, тогда будет A, D, В, С, а нужно А, В, С, D (смотрит на план). Вот где будет точка Д»,— правильно показывает примерное положение точки и правильно строит угол BDA.

Галя Ж. (хор., VI «в»), построив сторону CD, говорит: «Теперь угол CDA, он пойдет... (намечает карандашом место вершин А и В сначала в одном направлении, потом в другом). Это по часовой стрелке, а у нас против, значит, сюда»,— правильно строит угол CDA.

Прием примерного определения положения вершин участка на плане был использован на уроках для того, чтобы лишний раз показать учащимся направление, в котором идет построение плана. Использование его учащимися для первоначального размещения элементов участка на плане было настолько удачным, что далее мы уже рекомендовали им этот прием. Как показывают приведенные примеры, предварительное размещение вершин помогало учащимся правильно передать на плане

Рис. 32

пространственные соотношения между элементами участка, различать направления «по ходу часовой стрелки» и «против хода часовой стрелки», создавало у учеников умение контролировать свои действия при построении плана и в ряде случаев предупреждало ошибки при построении углов.

В процессе экспериментов мы специально выясняли вопрос о том, в какой мере сознательно учащиеся относились к построению угла на стороне, положение которой было определено по азимуту. Напомним, что при неправильном построении этого угла они часто строили план участка зеркально и, как правило, не замечали этого.

Мы спрашивали учащихся, почему они строили угол в том, а не в другом направлении. Приведем ряд типичных ответов.

Светлана А. (сред., VI «а»).

Экспериментатор. Почему угол ABC ты строила в эту сторону, а не в ту?

Светлана А. Если бы я построила в ту сторону, тогда бы все пошло по часовой стрелке, а у нас нужно против1.

Саша К. (слаб., VI «б»).

Экспериментатор. Почему угол ABC ты строил в эту сторону, а не в ту?

Саша К. Тогда было бы неправильно, не получился бы план, точка D была бы совсем в другую сторону.

Экспериментатор. А в какую сторону?

Саша К. (показывает). Вот в эту.

Экспериментатор. Может быть, в эту сторону правильно?

Саша К. Нет, неправильно, нужно по часовой стрелке, у нас по часовой стрелке, правильно.

Лара Д. (сред., VI «в») при построении угла ABC поворачивала транспортир и в ту и в другую сторону, но все же построила угол правильно.

Экспериментатор. Почему ты построила угол ABC в эту, а не в ту сторону?

1 Несмотря на специальные разъяснения, все учащиеся пропускали слова «по ходу», «по движению» и говорили: «по часовой стрелке», «против часовой стрелки». В их ответах мы сохранили эту неточность.

Лара Д. Потому что у меня названия вершин идут по часовой стрелке.

Как видно из ответов, учащиеся совершенно осознанно строили углы в нужном направлении. Следовательно, различение направлений при обозначении вершин участка и поставленная задача сохранить на плане принятое направление в значительной мере помогали им избегать ошибочного построения угла.

Знание существенных признаков пространственных отношений между элементами участка способствовало также умению правильно оценить построенный план. Когда ставился вопрос, правилен ли план, то типичными ответами были следующие:

Лилиана С. (хор., VI «а»). Можно проверить: на участке по часовой стрелке и на плане то же, значит, правильно.

Люся С. (сред., VI «г», план построила зеркально). Нужно посмотреть, идут ли вершины от точки А по часовой стрелке (смотрит), а у меня не так, у меня против часовой стрелки, значит неправильно.

Сима П. (сред., VI «в»). Правильно, тут против часовой стрелки. Я смотрел на абрис, чтобы так вышло, и у меня вышло.

Света К. (слаб., VI «а»). Правильно, углы правильно получились.

Экспериментатор. А как проконтролировать?

Света К. (смотрит на план). А у меня неверно, по часовой стрелке, вот где я начала ошибаться (показывает на вершину В).

Как видно, при оценке своего плана учащиеся не сравнивали положения отдельных вершин или сторон на плане и на абрисе, как это многие делали раньше, а смотрели, сохранилось ли на плане то направление при обозначении вершин, которое было принято ими на участке. Такой контроль часто помогал им увидеть ошибки в построении плана (см. ответы Люси С. и Светы К.).

Все это говорит о положительном воздействии на процесс построения плана выделения существенных признаков пространственных отношений между элементами участка.

Конечно, не все учащиеся сразу смогли овладеть различением направлений «по ходу часовой стрелки» и «против хода часовой стрелки» в процессе построения

плана. В ряде случаев они смешивали эти направления, в результате чего план участка оказывался неправильным. Покажем трудности различения направлений на конкретных примерах.

Люба Н. (слаб., VI «а», правильно строит азимут стороны ВС). Теперь угол BCD; нужно, чтобы получилось по часовой стрелке (строит как раз в обратную сторону, и весь план оказывается в зеркальном положении).

Экспериментатор. Правильно ли ты построила план?

Люба Н. Правильно, по часовой стрелке.

Экспериментатор. Покажи рукой, в каком направлении движется стрелка на часах.

Люба Н. (показывает правильно). Значит, неверно, вышло против часовой стрелки.

Борис З. (хор., VI «а», правильно находит положение стороны AD и планирует размещение вершин). На участке от точки А по часовой стрелке, значит, и на плане так; значит, В и С должны быть здесь (показывает обратное направление, угол А строит не в ту сторону, и план оказывается зеркальным).

Экспериментатор. Правильно ли ты построил план?

Борис З. Сейчас проверю, нужно по часовой стрелке. Ой, против вышло, надо по-другому, вот где должны быть В и С (показывает и строит план верно).

Из примеров видно, что учащиеся хорошо осознавали, в каком направлении должны расположиться вершины участка на плане, говорили об этом направлении, а практически действовали наоборот. Следовательно, направление, в котором они располагали вершины, принималось ими за обратное. Смешивание направлений и являлось основной причиной ошибочного построения плана после обучения. Чаще смешивали направления учащиеся, работавшие в условиях вариаций, потому что различать направления, когда построение плана идет от стороны ВС или CD, гораздо труднее, чем при построении его от стороны AB. В первом случае нужно проследить за началом и концом движения вершин, т. е. идти от построенной стороны в противоположных направлениях до воображаемого замыкания сторон участка в точке А, а затем установить, как при этом от воображаемой

точки А расположатся другие вершины. При построении же плана от стороны AB нужно только продолжить порядок вершин в принятом направлении. В этом случае направление прослеживается от начальной точки к конечной, причем начальная точка уже закреплена на плане и служит опорой при выполнении операции.

Следовательно, ошибки зеркального построения плана, допущенные в условиях осуществления вариаций, говорят лишь о трудностях различения направлений, а не о низком уровне восприятия пространственных отношений, подобном тому, который обнаруживался у учащихся при копировании положения элементов участка на абрисе. Характерно, что при проверке плана после обучения учащиеся достаточно легко находили свои ошибки, и ни в одном случае экспериментатору не приходилось делать движения рукой, чтобы помочь им различить направления. Правда, сами учащиеся нередко помогали себе движением карандаша при предварительном размещении вершин и проверке правильности плана. Дугообразные движения карандаша в том или другом направлении, очевидно, выполняли роль чувственной опоры при установлении нужного направления. Зная, что вершины участка расположены в направлении движения часовой стрелки, учащиеся над планом воспроизводили движением карандаша движение часовой стрелки и соотносили с ними направление вершин на плане. Точно такую же роль играют движения рук у детей-дошкольников, когда им нужно различить направления «направо» и «налево». Не зная, которая рука у них правая и которая левая, но зная, что правой они здороваются и держат вилку, дети делают соответствующие движения и этим самым сначала узнают свою правую руку, а затем левую (А. Я. Колодная [25]).

Конечно, в некоторых случаях ошибки зеркального построения плана возникали не потому, что учащиеся пытались и не могли различить указанные направления. Иногда они просто забывали контролировать и не замечали, в каком направлении располагается план. В единичных случаях учащиеся копировали положение сторон участка на абрисе. Зрительное восприятие чертежа оказывало на учащихся сильное воздействие, подчиняло полученные знания, и они в построении плана следовали за абрисом.

Характерной была борьба между воздействием чертежа и полученными знаниями у двух учениц. Правильно построив планы участка и заметив расхождения в положении отдельных вершин на плане и абрисе, они стали сомневаться в правильности своих планов. На вопрос, правилен ли план, Галя К. (сред., VI «б») ответила: «Правилен (пауза), нет, неправилен. Здесь у нас сделано по-другому (показывает на абрис), тут А не в том месте (пауза), но так как тоже по часовой стрелке, то это не ошибка».

При построении второго плана у нее были аналогичные колебания: «Правильно (пауза), нет, неправильно. Нужно А сюда поставить (показывает на плане вершину В); нет, правильно, потому что от точки А все идет по часовой стрелке».

Люба К. (слаб., VI «б») на тот же вопрос ответила: «Нет, неправильно, здесь (показывает на абрис) АС совсем не там (пауза); нет, правильно, здесь А, В, С, D и на плане тоже так, по часовой стрелке».

Как видно, когда учащиеся вспоминали существенные признаки правильно построенного плана (порядок обозначения вершин и направление его), они преодолевали свое желание сравнивать положение отдельных элементов на плане и на абрисе и оценивали план правильно.

Мы показали, что процесс построения плана стал более осознанным. Большинство учащихся овладело приемами планирования своих действий и контроля за правильностью выполнения их, что помогало избежать многих ошибок и устранять сделанные. Следовательно, общие результаты обучения, проведенного в соответствии с ранее раскрытыми принципами (выделение существенных признаков пространственных соотношений, различение направлений, внимание к ориентировке учащихся на участке и т. д.), оказались положительными.

Теперь важно установить, какое же значение имело введение вариаций. Из анализа материала видно, что построение плана в условиях осуществления вариаций вызывало трудности, требовало большого напряжения мыслительной деятельности учеников и влекло увеличение числа зеркальных построений плана по сравнению с количеством этих же ошибок в классах, где вариации не вводились.

Используя принцип вариаций в методике обучения, мы ставили задачу выяснить, в какой мере активизация мыслительной деятельности в процессе построения плана будет способствовать повышению уровня восприятия пространственных отношений у учащихся. Для выяснения этого вопроса в классах проводились контрольные работы, содержание которых составляли три типа задач, требующих подвижности пространственных представлений. В трех задачах 1-го типа требовалось начертить два острых или тупых угла в следующих соотношениях друг с другом:

1) чтобы вершина и одна сторона были общими;

2) чтобы сторона была общая, а вершины разные;

3) чтобы вершина была общая, а стороны разные.

В задачах 2-го типа нужно было провести высоты в тупоугольном треугольнике, положение которого варьировалось1. Содержание задач 1-го и 2-го типа не выходило за рамки полученного геометрического опыта, но в работе с учащимися других шестых классов было установлено, что решение их вызывает у многих затруднения.

Наиболее трудными были задачи 3-го типа. Учащиеся должны были узнать знакомую фигуру (квадрат, треугольник, прямоугольник) в сечении геометрического тела (куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды). Так как таких задач они раньше не решали, мы показали, как в сечении цилиндра получается круг, эллипс, прямоугольник. Задача на узнавание формы сечения тела была включена в контрольную работу потому, что одна из задач должна была быть более трудной. При этом условии можно более четко выяснить наличие или отсутствие сдвигов в развитии учащихся.

Задачи на узнавание формы сечения не только формулировались, но и сопровождались чертежом геометрического тела, на котором обозначались точки прохождения пересекающей плоскости. Кроме того, в процессе выполнения контрольных работ учащиеся могли рассматривать стоящие на столе модели геометрических тел.

Для выполнения контрольной работы все учащиеся в классе получали по листу бумаги, на котором были напечатаны условия задач и сделаны соответствующие

1 В этих классах порядок выполнения операций при проведении высот в тупоугольных треугольниках, указанных в главе I, не вводился.

чертежи или оставлено место для их выполнения. При решении задач на узнавание формы сечения тела нужно было рядом с чертежом тела начертить соответствующую фигуру и надписать ее название (квадрат, прямоугольник, треугольник).

В табл. 11 приведено количество правильных решений задач (в %).

Таблица 11

Типы задач

Первый год обучения

Второй год обучения

VI „а“ ктасс (с вариациями;

VI „б“ класс (без вариаций)

VI „в“ класс (с вариациями)

VI „г“ класс (без вариаций)

1-й

86.8

76,4

88,4

76.6

2-й

78,2

65,3

68.1

41.7

3-й

34,7

12,5

43,4

25,0

Как видно из таблицы, у учащихся, выполнявших съемку плана участка в условиях осуществления вариаций, результаты решения задач были лучше, чем у работавших по шаблону. Различие в результатах особенно выявилось при проведении высот в тупоугольных треугольниках и узнавании формы сечения. Очевидно, та активная мыслительная деятельность, которая необходима была при построении плана участка, и то напряжение пространственного воображения, которое вызывалось постоянной перестройкой этого процесса, положительно сказались на общем развитии восприятия пространственных отношений. В развитии учащихся этих классов произошли некоторые сдвиги, которых не было у работавших без вариаций.

Таким образом, выполнение съемки плана участка в условиях вариаций хотя и вызывает больше затруднений и ошибок, чем выполнение съемки плана в обычных условиях, но вместе с тем способствует развитию пространственного воображения учащихся, гибкости и подвижности их представлений.

Остановимся на особенностях решения задач.

Из задач 1-го типа (начертить два угла в заданных соотношениях) наиболее трудной оказалась задача начертить углы с общей стороной и без общей вершины.

Типичные ошибки представлены на рис. 33. Из трех первых чертежей видно, что за общую сторону двух углов ученики могут принимать общую прямую, на которой эти углы построены. На последнем чертеже представлена ошибка, заключавшаяся в смешении понятий «общая сторона двух углов» и «общая сторона двух треугольников». Все эти ошибки свидетельствуют о том, что некоторые учащиеся не достигают умения изображать знакомые фигуры в различных соотношениях друг с другом.

При проведении высот в тупоугольном треугольнике ошибки были подобны тем, которые мы рассматривали в первой главе, поэтому нет необходимости на них останавливаться.

Задачи на определение формы сечения оказались для учащихся трудными. Несмотря на сделанные объяснения, многие из них подменяли поставленную задачу задачей указать форму части тела. Например, Таня H. (VI «г»), рассмотрев чертеж куба (рис. 34), нарисовала половину куба, рассеченного по диагональной плоскости, и написала: «Получилась призма». Так же понял задачу узнать форму сечения трехгранной призмы Саша Ш. (VI «г»). Он написал: «При сечении получилась призма более меньших размеров, чем прежняя».

Рис. 33

Рис. 34

Рис. 35

Типичной ошибкой было также узнавание формы сечения тела в том виде, как оно непосредственно воспринималось на чертеже, без внесения поправок. Так, сечение куба, параллельное его граням, расположенным сбоку по отношению к воспринимающему (рис. 35), ученики, как правило, не узнавали как квадрат. Они чертили параллелограмм, т. е. ту фигуру, которую непосредственно воспринимали.

При определении формы сечения геометрического тела наиболее четко определились различия в знаниях учащихся, работавших в условиях осуществления вариаций (VI «а» и VI «в») и в обычных условиях (VI «б» и VI «г»). Прежде всего характерно, что учащиеся VI «б» и VI «г» классов чаще отказывались от решения задачи (22,7%), чем учащиеся VI «а» и VI «в» классов (8,7%). Следовательно, для них задача была особенно трудной. Показательно и то, что у учащихся классов VI «б» и VI «г» преобладающей ошибкой являлось выделение части тела вместо формы его сечения (31,8%). Очевидно, они могли произвести анализ тела, т. е. расчленить его на две части, но не могли отличить форму сечения от формы отчлененной части тела. Учащиеся же VI «а» и VI «в» классов лучше осознавали задачу определения формы сечения тела. Ошибочное выделение ими частей тела вместо формы его сечения составляет только 6,5%. Но вместе с тем они во многих случаях не могли правильно определить форму сечения, оставаясь на уровне непосредственного ее восприятия, не внося в этот сложный процесс соответствующих поправок. Такого рода ошибки были преобладающими (32,6%).

Таким образом, задачи на узнавание формы сечения тела являлись трудными для учащихся всех классов, однако лучшие результаты решения были у учеников, которых обучали съемке плана участка в условиях вариаций. Следовательно, у них произошли некоторые сдвиги в восприятии пространственных отношений.

Особенности построения плана при разбивке участка на треугольники по диагоналям

В процессе экспериментального обучения разбивка участка на треугольники производилась путем проведения диагоналей, причем на первом году эксперименталь-

ного обучения учащиеся строили треугольники по трем сторонам, а на втором году — по двум сторонам и углу, заключенному между ними. Остановимся на тех особенностях построения плана участка, которые определялись указанными способами построения треугольников.

Построение треугольников по трем сторонам начинается с построения одной из сторон. Этим определяется на плане положение двух вершин. Из них, как из центров, проводятся дуги радиусами, равными соответствующим сторонам треугольника. Точка пересечения дуг и будет третьей вершиной.

Операция проведения и пересечения дуг вызывала у некоторых учащихся затруднения; они не могли достигнуть пересечения дуг. Например, Светлана А. (сред., VI «а») при построении треугольника ABC провела дуги АС и ВС соответствующими радиусами, но расположила их слишком далеко от точки пересечения и не знала, что делать дальше (рис. 36). «А они не пересекаются»,— сказала Светлана. В таком же положении оказался Борис 3. (хор., VI «а») при построении треугольника ADC, так как дугу АС он провел почти в противоположную сторону от точки пересечения и, естественно, при проведении дуги DC не достиг пересечения. «Не пересекаются»,—сказал он и также не знал, как поступить дальше.

Во всех этих случаях трудность возникала по двум причинам. Во-первых, учащиеся не соотносили «на глаз» пересечение дуг, «не чувствовали», где должна образоваться точка пересечения и поэтому начинали проведение дуг слишком далеко от нее. Во-вторых, ученики не осознавали возможности продолжить дуги до пересечения, так как в их опыте построения треугольников по трем сторонам проводились короткие дуги и у них возникло ошибочное обобщение, что дуги должны быть только короткими. Наблюдая в классах процесс построения треугольников по трем сторонам (при прохождении темы «Треугольники»), мы не встречали подобных ошибок.

Рис. 36

Возможно, в условиях, когда даются три отрезка, непосредственное восприятие их длины помогает учащимся определить примерное положение точки пересечения дуг. При построении же плана учащиеся не имели отрезков и раскрывали циркуль, пользуясь масштабной линейкой. Очевидно, в первом случае они имели чувственную опору, тогда как во втором опирались главным образом на представление о длине отрезков. Этим и обусловлено проведение дуг, при котором их пересечение не достигалось. Правомерность нашего предположения подтверждается следующим случаем.

Толя Г. (сред., VI «а», построил сторону ВС, произвольным радиусом провел две дуги и точку пересечения обозначил буквой Л).

Экспериментатор. Скажи, как ты строил треугольник?

Толя Г. Я провел две дуги и точку пересечения соединил прямыми.

Экспериментатор. Каким же радиусом ты провел дуги?

Толя Г. А это все равно.

Ученик хорошо освоил операции с циркулем, но не осознал, что радиусы дуг должны соответствовать размерам сторон. В дальнейшей беседе выяснилось, что Толя Г. хорошо помнил, как строится треугольник по трем сторонам, размеры которых давались в виде трех отрезков. Так как при построении плана отрезки начерчены не были, он решил, что можно проводить дуги любого радиуса. Размеры сторон в момент построения треугольника не воспринимались им как данные отрезки. «Это же числа, а не отрезки»,— говорит он и с удивлением осознает, что отрезки заданной величины получаются на масштабной линейке.

Этот случай свидетельствует о том, что длина отрезка, данная непосредственно на чертеже, и длина его, данная только в числовом выражении, могут оказывать различное влияние на характер действий учащихся.

Рассмотрим особенности пространственного расположения элементов участка на плане.

Непосредственной причиной зеркального построения плана, как и раньше, являлось построение элементов участка в обратном направлении. В одних случаях это

было проведение дуг, в других — построение угла треугольника. Разберем один пример.

Лида Б. (слаб., VI «б») строит по азимуту сторону AB, причем близко к нижнему краю листа, дуги АС и ВС проводит в обратном направлении, соответственно пристраивает второй треугольник ACD (рис. 37).

Экспериментатор. Правилен ли план?

Лида Б. Нужно от точки А идти по часовой стрелке и здесь так: А, В, С, D (пауза); нет; здесь неправильно, не по часовой стрелке.

Экспериментатор. Почему ты провела дуги АС и ВС в обратном направлении?

Лида Б. Я думала, что план по эту сторону будет (показывает рукой правую сторону от линии C-Ю).

Экспериментатор. Только поэтому?

Лида Б. (смущенно). Там внизу мало места.

Как видно, ученица считала правильным располагать план по одну сторону от линии меридиана, к тому же для построения его в нужном направлении на листе не было места. Построив первый треугольник зеркально, Лида в том же направлении пристроила и второй треугольник. Таким образом, процесс возникновения ошибки был таким же, как и при построении плана участка, измеренного ранее показанными способами. Во всех случаях неверный шаг, сделанный в начале построения, как правило, определял положение всего плана.

Как мы писали ранее, при разбивке участка на треугольники от точки внутри его построение второго и третьего углов не в том направлении допускалось учащимися редко. Если же оно допускалось при построении плана способом обхода по периметру, то при этом нарушалась замкнутость фигуры, что учащиеся сразу же замечали.

Не так обстояло дело при разбивке участка на треугольники по диагоналям. Правильное построение первого треугольника совсем не гарантировало от непра-

Рис. 37

вильного расположения второго треугольника. Покажем это на примерах.

Таня П. (сред., VI «а») первый треугольник ARD построила правильно, при построении второго треугольника BDC провела дуги не из вершин В и D, а из вершин А и В, т. е. построила треугольник не на диагонали BD, а на стороне AB (рис. 38).

Экспериментатор. Правилен ли твой план?

Таня П. Правилен.

Экспериментатор. А как проконтролировать?

Таня П. По часовой стрелке, мы назвали по часовой стрелке и здесь. Ой, а у меня буквы не так, значит неправильно.

Экспериментатор. Почему ты провела дугу DC из точки А?

Таня П. Не знаю, думала, что треугольник пойдет вниз.

Виктор Б. (хор., VI «в») первый треугольник ADC построил правильно, при построении угла CAB ошибочно наложил транспортир на вершину С и сторону CD. В результате вместо треугольника ABC он построил треугольник BCD. На плане также оказался нарушенным порядок следования вершин (рис. 39).

Рис. 38

Рис. 39

Как в первом случае непосредственной причиной ошибки являлось проведение дуги не из той вершины и, следовательно, построение треугольника не на той стороне, так и во втором случае причина была аналогичной— ученик построил угол второго треугольника не от той вершины и не на той стороне.

Такого рода ошибки при разбивке участка на треугольники от точки внутри него составляли 5,5% от общего количества построенных треугольников. При разбивке участка на треугольники по диагоналям эти же ошибки составляли 20,6% на первом году экспериментального обучения и 25% на втором.

Увеличение количества ошибок в нарушении порядка следования вершин нельзя отнести только за счет неумения учащихся работать с чертежными инструментами. Во-первых, если накладывание транспортира на сторону и вершину угла могло представлять для учащихся трудность, то наложение ножки циркуля на вершину угла само по себе не является трудным. Во-вторых, на формирование умения накладывать транспортир на втором году обучения обращалось больше внимания, в результате чего случаи неправильного наложения транспортира при построении углов, составлявшие 24,4% к числу измеренных до экспериментального обучения, снизились соответственно до 10,8%.

По-видимому, следует принять во внимание, что построение треугольников, образованных проведением прямых от точки внутри участка, по существу сводится к последовательному построению углов с общей вершиной. Сначала учащиеся строят углы и их стороны, а затем уже соединяют прямыми вершины участка. Построение же углов оказывается довольно однообразным: первый угол строится от луча OA и построением этого угла находится направление луча OB, второй угол строится от луча OB и тем самым находится направление луча ОС и т. д.

Такое же единообразие наблюдается при построении углов на плане участка, измеренного способом обхода по периметру, поскольку каждый следующий угол строится от конца только что построенной стороны. Построил учащийся сторону и от нее строит угол; построил угол, получил новую сторону участка — и от нее опять строит угол.

Введение вариаций при этих способах съемки не устраняет указанного единообразия при построении элементов, а создает лишь другую очередность, т. е. первой построенной стороной может быть не AB, а любая другая, и соответственно другим будет первый угол, построенный на этой стороне.

При построении треугольников, образованных проведением диагоналей, такого единообразия не наблюдается. Во-первых, к построению второго треугольника учащиеся приступают, когда построение первого уже закончено и, следовательно, на чертеже имеются три стороны и три вершины. Во-вторых, если даже первым всегда будет строиться треугольник ABC, то положение его в зависимости от величины азимута оказывается на плане разным, и поэтому учащиеся не могут механически пристраивать к нему второй треугольник. Они вынуждены каждый раз устанавливать, от каких вершин нужно проводить дуги или строить угол, где находятся данные вершины и данные стороны. Таким образом, возникает новая задача— определить на плане, от каких вершин и сторон нужно строить угол второго треугольника или проводить дуги. Эта задача значительно усложняется, если диагонали проводятся от разных вершин (АС, BD) и на участке углы для измерения выбираются при разных вершинах. В этих условиях, построив первый треугольник, учащиеся ошибаются в выборе элементов, от которых нужно строить второй треугольник. При этом частой была ошибка, когда транспортир или циркуль совмещался с «нужной вершиной, а построение угла или проведение дуги происходило не от той стороны.

Иногда же учащиеся и не пытались разбираться в конкретных соотношениях между элементами строящегося плана, а опирались на связи, образовавшиеся у них в процессе обучения. Так, в трех случаях на вопрос, почему транспортир накладывался на такую-то вершину, учащиеся отвечали, что на эту вершину (обозначенную такой же буквой) накладывался транспортир в классе. Частному случаю, который имел место в классе, они придавали общее значение.

Нужно заметить, что в условиях нашего обучения часть подобного рода ошибок все же предупреждалась самими учащимися. Они контролировали, сохраняются ли существенные признаки пространственных соотношений

на участке при построении плана. Однако, как мы указывали, такой контроль не всегда осуществлялся учениками в процессе построения плана.

При разбивке участка на треугольники проведением диагоналей нужно было правильно определить в каждом треугольнике его элементы (стороны и угол), подлежащие измерению. Построить один треугольник можно по любым двум сторонам и углу, заключенному между ними. При построении системы треугольников нужно выбирать не любые две стороны и угол между ними, а такие, которые создавали бы возможность пристраивать один треугольник к другому. Наши учащиеся не всегда могли правильно решить эту задачу, поскольку, как мы указывали раньше, они не всегда различали построение фигур, основанное на использовании данных, от произвольного их построения. В ряде случаев они выбирали такие элементы, при сочетании которых построить план участка было нельзя. Например, Николай Ц. (сред., VI «в») планировал измерение углов, лежавших против диагонали, и измерение азимута стороны ВС (рис. 40). Он не осознавал, что при этих данных возможно построение только одного треугольника ABC, пристроить же к нему треугольник ADC по двум взятым сторонам и углу между ними нельзя.

Иногда учащиеся правильно определяли стороны и углы треугольников, подлежащие измерению, но для измерения азимута брали сторону, лежащую против известного угла. Такой выбор лишал возможности построить на плане даже один треугольник.

В этих случаях учащиеся не умели мысленно проследить за процессом построения треугольников и поэтому не могли контролировать правильность своего выбора. Кроме того, у них был очень незначительный опыт в построении фигур, поэтому возможность построения одного треугольника они распространили на построение

Рис. 40

нескольких треугольников. В таких случаях было очень полезно предоставить учащимся возможность в самом процессе построения плана убедиться в том, что их выбор неудачен.

Рассмотренные особенности построения плана при способе разбивки на треугольники проведением диагоналей свидетельствуют о том, что этот способ предъявляет еще более высокие требования к восприятию пространственных отношений по сравнению с требованиями при построении плана участка, измеренного обходом по периметру или разбитого на треугольники от точки, взятой внутри его.

Анализ процесса построения плана по азимутам и абрису, ориентированному по сторонам горизонта

В VI «д» классе учащиеся обучались строить план участка по азимутам1. При съемке обходом по периметру учащиеся измеряли азимуты всех сторон, при съемке разбивкой на треугольники — азимуты первых двух сторон, что создавало возможность построить на плане один треугольник. Следующие треугольники пристраивались к нему обычным путем (по трем сторонам).

Наблюдая за тем, как учащиеся измеряют азимуты на участке, мы не отметили ничего нового.

При построении же плана участка по азимутам появилась новая ошибка в наложении транспортира: учащиеся совмещали радиус транспортира не с линией меридиана, а с построенной стороной участка, т. е. действовали так, как если бы строили не азимут, а угол участка (рис. 41). Характерно, что в процессе индивидуальных экспериментов, когда повторялись правила построения азимутов, такие ошибки были единичными. В контрольных же работах на построение плана участка они составили 43,6% к числу построенных азимутов. Очевидно, работая самостоятельно, учащиеся значительно ослабляли контроль за своими действиями и поэтому, воспринимая на чертеже две прямые — линию меридиа-

1 При .построении плана по азимутам сначала, как обычно, учащиеся строили азимут одной стороны (AB) и затем в масштабе откладывали ее длину. Через точку В проводили вторую линию меридиана и от этой л,инии по тем же правилам строили азимут второй стороны (ВС) и т. д.

на и только что построенную сторону участка, не всегда четко различали, от которой из них должны строить азимут. Эта трудность не возникает при построении азимута первой стороны участка, так как при этом достигается только одна цель — ориентировать положение стороны участка по отношению к северу. При построении же последующих азимутов наиболее реальным результатом оказывается не столько ориентировка сторон участка по отношению к северу, сколько построение углов участка. Зная, что построением азимута достигается построение угла участка, учащиеся могут испытывать затруднения при наложении транспортира, выбирая между линией меридиана и построенной стороной угла.

Наибольший интерес при анализе результатов обучения в VI «д» классе представлял вопрос о том, в какой мере при построении плана учащиеся справлялись с пространственным расположением участка. Напомним, что в отличие от других экспериментальных классов, в этом классе учащихся не обучали выделять на участке те существенные признаки пространственных соотношений между элементами участка, которые помогали бы сознательно располагать стороны и углы участка на плане. Вместе с тем мы предполагали, что прием построения плана по азимутам может предупреждать ошибки в пространственном расположении участка на плане.

Наше предположение оказалось правильным. Ни в индивидуальных экспериментах, ни в контрольных ра-

Рис. 41

Рис. 42

ботах мы не встретились с зеркальным расположением плана. Такой результат можно объяснить только тем, что построение азимута второй стороны участка придает ей правильное направление, и вследствие этого учащиеся правильно строят тот угол участка, от которого, как было показано ранее, главным образом и зависит, будет ли план построен зеркально или правильно.

Ошибки в пространственном расположении участка на плане наблюдались в этом классе при построении второго треугольника, который пристраивался учащимися к первому. Например, Наташа С. (сред.), правильно построив треугольник ABC, дугу CD проводит из точки С и дугу AD из точки В (рис. 42). Этим она нарушает порядок следования вершин участка и изменяет его форму. Такого рода ошибки имели место в 13,3% работ.

Характерно, что, построив план участка по азимутам, учащиеся не могли проверить его правильность. На вопрос, правилен ли план, мы получали следующие ответы.

Володя М. (хор.). План правильный.

Экспериментатор. Как проверить?

Володя М. Еще раз измерить углы, стороны.

Миша П. (сред.). Сейчас проверю, надо измерить углы. Угол А равен 113° (прикладывает транспортир), а у меня 111°, неправильно.

Толя Г. (сред.). Нет, неправильный, не такой план, тут точка А не там.

Шура А. (хор.). Правильно, все так, AD тоже на севере.

Из ответов видно, что учащиеся оценивали правильность построения плана или со стороны точности размеров построенных углов, сторон и азимутов, или сравнивая положение отдельных элементов участка на плане и на абрисе. Такое сравнение нередко приводило к неправильной оценке плана и, как мы уже говорили, характеризовало низкий уровень восприятия пространственных отношений.

Таким образом, строя план участка по азимутам, учащиеся достигали хорошего результата в расположении участка на плане, не сознавая существенных признаков пространственных соотношений между элементами участка. В силу этого они не могли правильно оценивать построенный план со стороны расположения на нем элементов участка.

Учащихся VI «ж» класса обучали строить абрис по азимуту стороны AB. Порядок съемки плана был таков: обозначив вершины участка и рассмотрев его, учащиеся измеряли азимут стороны AB. Затем они строили абрис: проводили линию меридиана и с помощью транспортира строили азимут стороны AB. Остальные элементы участка пристраивали к стороне AB «.на глаз». Далее учащиеся проводили измерения сторон и углов участка.

Построение абриса по азимуту не внесло затруднений в процесс измерения участка. При анализе же процесса построения плана как в индивидуальных экспериментах, так и в контрольных работах выступила следующая закономерность: особенности построения плана определялись особенностями абриса. Наиболее четко это видно в контрольных работах. Так, при построении абриса учащиеся допустили 16 ошибок. Из них 12 относились к построению азимута (в двух случаях азимут не строился, в трех — строился не в соответствии с данным размером, в шести — нарушались правила отсчета градусов и в одном — сторона AB была обозначена как сторона ВА). В четырех случаях учащиеся построили абрис зеркально. Все указанные ошибки были повторены при построении плана участка.

В индивидуальных экспериментах при построении абриса было допущено 12 ошибок. Из них 9 заключались в неправильном построении азимута и 3 — в зеркальном построении абриса. К ошибкам, связанным с построением азимута, было сразу же привлечено внимание учащихся, и эти ошибки были устранены на абрисе. На зеркальность же построения абриса экспериментатор сознательно не направлял внимания учащихся, желая выяснить, будут эти ошибки повторяться или устраняться при построении плана. Оказалось, что при построении плана азимут строился правильно, а ошибки, связанные с зеркальным построением абриса, были повторены.

Только в 7 случаях при построении плана учащиеся сделали ошибки, которых не было при построении абриса. Они заключались в том, что учащиеся накладывали транспортир не на ту вершину или не на ту сторону, когда пристраивали треугольник к уже построенному. Из этого можно сделать вывод, что даже в условиях восприятия абриса, ориентированного по сторонам горизонта, некоторые учащиеся с трудом ориентируются на

чертеже, когда им нужно выделить вершины и стороны, чтобы к одному треугольнику пристроить другой (при разбивке участка на треугольники по диагоналям).

Следование за абрисом при построении плана и оценка правильности плана путем сравнения его и абриса ярко отразились в ответах учащихся на вопросы, правилен ли план и почему тот или другой угол строился в определенном направлении. Приведем ряд типичных ответов.

Таня Б. (хор.). Нужно посмотреть на абрис. Угол ADC острый и угол ABC острый, а углы DAB и DCB — тупые; тут точка А — на север, а точка С — на юг и на плане также.

Галя М. (слаб.). Надо проверить по абрису. Все правильно, даже очень сходно, на абрисе сторона DA вверху и на плане вверху, а СВ немножко идет вниз и на плане тоже вниз.

Саша В. (хор.). Потому что я смотрел на абрис, точка А лежит на линии, точка В слева, а точка С справа, и я построил угол ABC в эту сторону, как на абрисе.

Из ответов видно, что при построении углов и оценке построенного плана учащиеся руководствовались положением отдельных элементов на абрисе, не соотнося их с положением других элементов и участка в целом. Такой способ оценки плана, как было установлено ранее, является характерным для учащихся, находящихся на низком уровне анализа (неадекватный элементный анализ).

Таким образом, при построении абриса по азимуту стороны участка процесс построения плана не требует активной мыслительной деятельности учащихся, так как сводится к копированию положения отдельных элементов участка на абрисе.

Как и в других экспериментальных классах, в VI «д» и VI «ж» в конце учебного года проводились контрольные работы для выявления сдвигов в развитии восприятия пространственных отношений. Учащимся предлагалось решить те же самые задачи: начертить два угла в указанных соотношениях друг с другом (1-й тип), провести высоты в тупоугольном треугольнике (2-й тип) и узнать форму сечения геометрического тела (3-й тип). Количество правильных решений задач (в %) представлено в табл. 12.

Таблица 12

Задачи

Классы

VI „д“

VI „ж“

1-Й тип . .

77,4

74,6

2-й тип . .

61,9

50,6

3-й тип . .

14,2

23,4

Если сравнить данные табл. 12 с количеством правильных решений в тех классах, где работа по съемке плана участка осуществлялась в условиях вариаций и без вариаций, то они ниже результатов, достигнутых учащимися, работавшими в условиях вариаций, и близки к результатам решения задач в тех классах, где съемка плана осуществлялась без вариаций (см. табл. 11 на стр. 170). При этом сходство результатов решений задач является не только количественным. Напомним, что учащиеся, строившие план участка по шаблону (без вариаций), часто отказывались определить форму сечения геометрического тела (22,7%) или вместо формы сечения рисовали отсеченную часть тела (31,8%). Учащиеся VI «д» и VI «ж» классов также не решали эти задачи в 15% случаев и рисовали часть тела в 23,4%.

Таким образом, обучение съемке плана участка в условиях построения плана по азимутам и построения абриса по азимуту не обеспечивает в достаточной степени развитие восприятия пространственных отношений у учащихся. В этих условиях процесс построения плана не требует от учащихся активной мыслительной деятельности, так как правильность его в значительной мере достигается автоматически, через построение азимутов или путем копирования положения отдельных элементов на абрисе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Наши наблюдения на уроках геометрии показали, что основным способом формирования практических умений у учащихся является (наглядный показ выполнения действия учителем, сопровождающийся объяснениями. Вместе с тем обучение некоторым операциям иногда ограничивается только показом их выполнения. Например, учащимся показывают, как отсчитываются градусы при построении или измерении конкретных углов, и при этом не объясняют, почему отсчет ведется по этой, а не по другой дуге и чем нужно руководствоваться, чтобы находить нужную дугу (расположением 0° у стороны, по которой направлен диаметр транспортира).

В соответствии с этими различиями в обучении практические умения формируются у учащихся на разной основе: в одних случаях на основе представления о действии и сознавания существенных признаков выполнения его, в других — только на основе представления о действии.

Различным основаниям выполнения действий соответствуют различные уровни овладения действиями. При правильном соотнесении знаний и представлений, как правило, формируются обобщенные умения, функционирующие в различных условиях. Умения, сформированные на основе одних представлений о выполнении действия, чаще всего оказываются узкими, приспособленными только к привычным условиям.

Уровни овладения умениями определяются не только способами обучения. В значительной мере они зависят и от индивидуальных особенностей учащихся: от уровня их развития, практического опыта, наблюдательности и т. д. Одни дети, овладевая умениями через наглядный

показ, осознают действия на уровне усвоенных ими геометрических понятий. Другие же дети и те действия, которые на уроке сопровождались исчерпывающими объяснениями, выполняют на уровне представлений.

Индивидуальные особенности учащихся находят свое отражение и в быстроте овладения практическими умениями. Одни овладевают обобщенными умениями, приспособленными к различным условиям работы, сразу, «с места», на основе объяснений учителя и того минимального количества упражнений, которое обеспечивается в классе, а нередко и в процессе наблюдений за действиями других. Другие овладевают этими же умениями постепенно, в результате длительных упражнений. Требуется дополнительная работа, чтобы они осознали действие в расчлененном виде. Прослушав объяснение учителя, видя, как он действует с прибором, например с угломером, и выполнив под его руководством измерение угла, учащиеся могут не выделить все выполненные ими операции и, следовательно, не осознавать их в такой степени, чтобы рассказать о них. Первоначальные умения их, как правило, оказываются приспособленными к конкретным условиям и всякое применение их в других условиях вызывает затруднения. Научившись проводить высоты в тупоугольном треугольнике при одном его положении на плоскости, учащиеся не могут провести их при другом положении треугольника. Чтобы достигнуть ступени обобщенного умения, они нуждаются в накоплении ряда частных умений, на основе которых у них и возникает обобщенное понимание действия.

Уровень овладения практическими умениями, как правило, находит свое отражение в словесном планировании действий (в рассказах о предстоящих действиях). Учащиеся, умеющие рассказать о своих действиях в достаточно общей и последовательной форме, как правило, успешно справляются с практической задачей, причем сложившаяся у них система действий легко переносится из одних условий работы в другие.

Учащиеся, рассказы которых характеризуются крайней нерасчлененностью (отражением единичных, не связанных друг с другом операций) или чрезмерной конкретностью, свидетельствующей о трудности отвлечения от особенностей чертежа или участка, как правило, не могут выполнить практическую задачу без опоры на

чертеж. Сложившаяся у них система действий оказывается приспособленной только к определенным условиям работы и при переносе ее в другие условия легко распадается.

Однако у некоторых учащихся наблюдаются расхождения между особенностями словесного планирования действий и умением их выполнить. Встречаются учащиеся, проявляющие хорошие способности к усвоению теоретических знаний по геометрии, легко решающие задачи в теоретическом плане и легко усваивающие рассуждения при доказательстве теорем. При овладении измерительными работами они также могут хорошо рассказать, как нужно практически действовать, и вместе с тем оказываются практически неумелыми, несообразительными и неловкими. Другие, наоборот, с трудом усваивают теоретические знания, затрудняются в решении задач и доказательстве теорем, не могут последовательно рассказать о том, как нужно провести ту или иную работу на местности. Но с измерительными работами хорошо справляются, обнаруживают умение ориентироваться в конкретных условиях, оказываются практически сообразительными и ловкими. Очевидно, в процессе обучения необходим индивидуальный подход к учащимся, направленный на развитие практической умелости у одних и развитие способностей к усвоению теоретических знаний у других.

В рассказах о предстоящих действиях отражается также осознавание значения отдельных операций и действий. Оказалось, что учащиеся лучше осознают значение действий, связанных с использованием измерительных приборов и чертежных инструментов, чем таких, как приготовление журнала записи измерений или внесение поправок в величину измеренных углов участка и т. п. Последние нередко выпадают не только из рассказов учащихся, но также и из их практической деятельности. Следовательно, на осознавание значения такого рода действий нужно обращать особое внимание.

Последовательность действий при выполнении таких сложных работ, как съемка плана участка, усваивается учащимися легче, если работа расчленяется на этапы. В использованных способах съемки участка выделялись четыре этапа: подготовка к измерению участка (рассмотрение участка, выполнение абриса, подготовка журнала

записи измерений); измерение участка; подготовка к построению плана (выбор масштаба, внесение поправок в величину углов); построение плана. Запоминая последовательность этапов съемки, учащиеся связывали с каждым из них определенные операции.

Формирование практических умений на уроках геометрии предъявляет достаточно высокие требования к развитию восприятия пространственных отношений и к уровню мыслительной деятельности учащихся. Эти требования выдвигаются на первых уроках геометрии, как только начинается обучение действиям с чертежными инструментами и выполнение несложных работ на местности.

Овладевая умением работать с чертежными инструментами (линейкой, транспортиром, угольником и т. д.), учащиеся должны правильно соотносить положение инструмента с положением элементов чертежа. Не имея достаточного развития в восприятии пространственных отношений, они не всегда успешно справляются с этой задачей. Здесь нередко возникает расхождение между осознаванием задачи и способом ее выполнения, с одной стороны, и умением практически выполнить действие — с другой. Отчетливо понимая, из какой вершины треугольника и на какую сторону нужно провести высоту, и, следовательно, зная, к какой стороне нужно приложить катет чертежного треугольника, учащиеся не умеют выполнить этой операции и часто заменяют ее наложением чертежного треугольника на горизонтально расположенную сторону, поскольку эта операция оказывается для них привычной.

Без особого труда они усваивают правила изображения точки и прямой линии на местности, однако при этом затрудняются оперировать их свойствами и поэтому допускают ряд ошибок. Причины этих трудностей лежат, во-первых, в том, что ученики воспринимают на местности вместо целостных линий отдельные точки и, следовательно, должны воссоздавать образ фигуры в своем воображении.

Такой процесс требует преимущественно синтезирующей мыслительной деятельности, в то время как в обычных условиях восприятия чертежа осуществляется преимущественно анализирующая, расчленяющая деятельность учащихся.

Во-вторых, способ изображения геометрических элементов на местности является еще более условным, чем на чертеже, и поэтому учащимся особенно трудно мыслить такие физически ощутимые предметы, как вехи и колышки, в качестве геометрических точек, не занимающих места в пространстве. Поэтому очень важно уже в процессе формирования элементарных практических умений ставить перед учащимися задачи, требующие умения оперировать свойствами геометрической точки и прямой линии, а в дальнейшем — свойствами геометрических фигур. Наши исследования показывают, что трудности оперирования свойствами геометрической точки и прямой линии, не преодоленные учащимися в процессе овладения элементарными умениями (провешить прямую, перекрещивающие прямые и т. д.), неизбежно встают перед ними в дальнейшем, при овладении более сложными работами на местности.

Установление пространственных соотношений на местности оказывается для учащихся значительно более сложным процессом, чем установление их на чертеже. Справляясь с построением равных треугольников для определения длины недоступных расстояний (длины болота, ширины реки и т. п.) на чертеже, учащиеся во многих случаях не справляются с построением тех же самых треугольников на местности. Они не могут пространственно правильно расположить их по отношению друг к другу и по отношению к измеряемому объекту. Наряду с этим они часто пропускают выполнение отдельных операций (провешивание сторон треугольников по прямой, отложение равных отрезков), вследствие чего треугольники оказываются неравными.

В процессе съемки плана участка учащиеся также испытывают затруднения в ориентировке на участке и значительно лучше ориентируются на чертеже (абрисе). Поэтому, производя измерения на участке, они испытывают потребность в опоре на абрис. Однако постоянная опора на чертеж в процессе измерений не способствует целостному охватыванию пространственных соотношений между элементами участка. И наоборот, преодоление трудностей пространственной ориентировки на участке путем его детального анализа до введения абриса положительно сказывается на процессах измерения участка и построения его плана.

Сравнительная легкость ориентировки на абрисе и трудности, возникающие при ориентировке на участке, связаны с особенностями восприятия абриса как геометрического чертежа и участка как натурального предмета. На абрисе учащиеся воспринимают геометрическую форму участка в отвлечении от несущественных деталей, что облегчает ее восприятие. Кроме того, на абрисе форма участка выступает в виде знакомой геометрической фигуры (четырехугольника, пятиугольника), имеющей буквенные обозначения, в силу чего соотношения между элементами оказываются более наглядно выраженными, чем на участке.

Значительные требования к восприятию пространственных отношений предъявляет процесс построения плана участка, в частности задача расположить элементы участка в нужном соотношении друг с другом. Типичной ошибкой является зеркальное построение плана. Эта ошибка связана с неразличением направлений «по ходу часовой стрелки» и «против хода часовой стрелки» при обозначении вершин участка, а так же с низким уровнем аналитико-синтетической деятельности учащихся при рассматривании абриса и плана.

Одна из причин неразличения этих направлений заключается в том, что в процессе обучения съемке плана участка используется только одно понятие «по ходу часовой стрелки», без противопоставления его противоположному понятию. Мало требований к различению этих направлений и осознаванию их в понятиях предъявляет и жизненная практика.

Не различая направлений «по ходу часовой стрелки» и «против хода часовой стрелки», учащиеся строят и оценивают свой план, руководствуясь положением отдельных сторон и вершин участка на абрисе, не соотнося их с положением других элементов. Уровень такого неадекватного элементного анализа обнаруживался не только у учащихся, строящих план зеркально, но и у многих других, не допускавших ошибок при построении плана. Сравнивая положение отдельных элементов на плане и абрисе, учащиеся нередко оценивали и правильно построенный план, как неправильный.

В тех же условиях обучения съемке плана неразличение направлений «по ходу часовой стрелки» и «против хода часовой стрелки» и связанная с ним зеркальность

построения плана обнаруживаются и у более старших школьников (VII—VIII классов). Однако они быстрее переходят от неразличения к различению направлений, чем учащиеся шестых классов, которым, как правило, необходимо демонстрировать эти направления движениями рук.

Ошибочное размещение элементов участка на плане выражается также и в нарушении порядка следования вершины (А, В, С, D, Е). Особенно часто эти ошибки возникают при построении плана участка, разбитого на треугольники по диагоналям. При этом способе съемки плана построение элементов участка более вариативно, в силу чего задача нахождения вершин и сторон, от которых нужно осуществлять построение, оказывается более трудной.

При способах съемки плана обходом по периметру и разбивкой на треугольники от точки внутри участка построение элементов является более однотипным и поэтому более легким.

Среди указанных способов съемки плана участка способ разбивки на треугольники проведением диагоналей предъявляет наибольшие требования к восприятию пространственных отношений.

Формирование практических умений осуществлять построение геометрических фигур на чертежах и на местности оказалось связанным с преодолением трудности различать обоснованное построение (по данным условия, измерений) от построения произвольного, необоснованного (в любом размере, соотношении, положении). Различение указанных построений является психологически сложным для учащихся шестых классов, поскольку эти построения тесно переплетаются в процессе решения задач (построение биссектрисы угла строго обосновано, но вспомогательные дуги проводятся произвольными радиусами). Не различая обоснованного построения от произвольного, они часто первое подменяют вторым. Так, провешивая перпендикуляр к прямой из точки вне прямой, учащиеся ставят эккер в данную точку и фактически провешивают перпендикуляр на глаз. Одним из эффективных приемов обучения различать обоснованное и произвольное построение является сопоставление правильного и ошибочного построений.

На основе полученных результатов был проведен ряд психолого-педагогических экспериментов в классах и с группами учащихся. Главная задача экспериментального обучения заключалась в том, чтобы поднять учащихся на более высокий уровень восприятия пространственных отношений и мыслительной деятельности.

При решении этой задачи мы стремились прежде всего добиться того, чтобы учащиеся расчлененно осознавали каждое действие. Одним из приемов для достижения и проверки осознавания действия было требование словесных отчетов о его выполнении. Выполнение каждой операции, входящей в состав того или другого умения, сопровождалось называнием существенных признаков ее выполнения.

В процессе обучения мы придавали особое значение осознаванию существенных признаков пространственных соотношений между элементами участка в процессе съемки плана. В качестве этих признаков выделялись порядок следования вершин друг за другом (А, В, С.) и направление этого порядка от вершины А. Учащимся разъяснялась необходимость сохранять эти признаки на абрисе и плане.

Значительное место в обучении занимали упражнения в овладении умениями. Особое внимание уделялось упражнениям в пространственной ориентировке на местности (нахождение сторон, углов, треугольников и т. д.) и различении направлений «по ходу часовой стрелки» и «против хода часовой стрелки» при обозначении вершин участка.

Большое значение в экспериментальном обучении придавалось активизации мыслительной деятельности в процессе восприятия учащимися пространственных соотношений и при достижении уровня расчлененного сознавания действий. Одним из путей активизации являлось варьирование условий деятельности при съемках плана участка (варьирование направлений при обозначении вершин участка и его сторон при измерении азимута). С целью активизации мыслительной деятельности учащихся при овладении умениями работать с чертежными инструментами использовался прием самостоятельного расчленения действий на операции с включением элементов соревнования и игры.

Основной цели экспериментального обучения соответствовала также задача формирования обобщенной системы действий. В одних случаях эта задача решалась путем варьирования положения фигур на чертежах или способа изображения фигур. Первое широко использовалось при формировании обобщенных умений работать с чертежными инструментами (варьирование положения углов при их измерении, построении и т. д.). При формировании обобщенной системы действий для определения недоступных расстояний варьировался способ изображения фигур (на бумаге, с помощью настольных вех).

В других случаях учащимся разъясняли общность принципа построения измерительных приборов (транспортира, компаса, угломера) и общность ряда операций при измерении и построении углов с помощью этих приборов. Для достижения общности операций отсчета градусов на этих приборах была перестроена операция отсчета градусов на угломере при измерении углов на местности (в соответствии с ориентацией компаса по направлению на север угломер ориентировался по направлению одной из сторон угла).

При формировании трудного для большинства учащихся умения проводить высоты в тупоугольных треугольниках система действий их была подчинена определенному порядку, облегчающему процесс ориентировки на чертеже.

Осуществление указанных принципов в обучении способствовало достижению учащимися более высокого уровня восприятия пространственных отношений и мыслительной деятельности в процессе овладения практическими умениями. Это положительно сказалось на результатах формирования умений.

На основе расчлененного осознавания действий с чертежными инструментами, существенных признаков выполнения операций и варьирования положения фигур у большинства слабо успевающих по геометрии учащихся сформировалась обобщенная система действий при измерении и построении углов, а также при проведении высот в треугольниках.

В условиях вариации способов изображения треугольников при овладении умением определять недоступные расстояния у подавляющего большинства учащихся

сформировалась расчлененная и обобщенная система действий, легко переносимая в условия работы на местности.

В результате осознавания существенных признаков пространственных соотношений между элементами участка в процессе съемки его плана, а также в результате упражнений в пространственной ориентировке на участке до введения абриса учащиеся более целостно схватывали взаимоположение между элементами участка, что положительно сказалось на результатах измерения участка и особенно на результатах построения плана.

Процесс построения плана стал осуществляться учащимися более сознательно: большинство из них овладело приемом мысленного размещения вершин участка и приемом контроля за правильностью его построения. Неадекватный элементный анализ при построении и оценке правильности плана наблюдался лишь в единичных случаях. В связи с этим уменьшилось число зеркальных построений плана. Кроме того, после обучения зеркальное построение плана, как правило, уже не являлось следствием низкого уровня восприятия пространственных отношений и мыслительных операций. Главным образом оно порождалось трудностями различения направлений при расположении вершин участка в условиях варьирования направлений и сторон, от которых начиналось построение плана. В этих условиях процесс построения плана всегда протекал по-новому, от разных сторон участка и в разных направлениях. Постоянная перестройка действий влекла за собой некоторое увеличение ошибок по сравнению с тем количеством, которое допускалось учащимися, строившими план участка всегда в одном и том же порядке, по одному и тому же шаблону. Однако при решении других задач, требовавших высокого уровня подвижности пространственных представлений и пространственного воображения, учащиеся, упражнявшиеся в построении плана участка при осуществлении вариаций, имели лучшие результаты по сравнению с работавшими без вариаций. Следовательно, упражнения в построении планов участка, требующие постоянного напряжения мыслительной деятельности и пространственного воображения учащихся, способствуют сдвигам в развитии восприятия пространственных отношений. Такие сдвиги не обеспечиваются упражнениями в

построении плана по шаблону, так как в этих условиях учащиеся главным образом воспроизводят сложившуюся систему действий.

Результаты экспериментального обучения показывают, что количество ошибок в работах без учета их характера и условий возникновения не может являться критерием оценки работы учеников и эффективности методики обучения. Исследованием установлены две основные категории ошибок при формировании практических умений: легкоустранимые и требующие усилий для их устранения.

Легкоустранимые ошибки возникают, во-первых, при решении легких задач, не стимулирующих в достаточной степени мыслительную деятельность. Например, при решении вопроса о том, какую поправку нужно внести з величину измеренных углов, учащиеся часто ошибаются в выборе действия, так как задача сводится к тому, чтобы прибавить или отнять несколько единиц. Во-вторых, легко устранимые ошибки являются характерными для первого этапа формирования умений, когда выполнение каждой операции требует полного осознавания, а поэтому всякое отвлечение внимания от выполнения операций часто вызывает ошибочное действие. Такого рода ошибки легко устраняются самими учащимися, как только они получают сигнал о каком-то неблагополучии в действиях. Например, достаточно спросить, как нужно работать с компасом или угломером, как учащиеся осознают ошибку и выполняют действие правильно.

К категории ошибок, требующих усилий для устранения, относятся ошибки двух видов. Одни из них возникают как следствие недостаточного уровня развития учащихся (неадекватный анализ, частичное схватывание пространственных соотношений, неразличение направлений, непонимание зависимостей и т. д.) или как следствие их плохих знаний. От этих ошибок следует отличать ошибки, возникающие на более высоком уровне развития. Например, ученик, работая над построением плана, хорошо знает, в каком направлении он должен строить данный угол, ставит задачу построить его в нужном направлении, но в условиях вариаций ошибается в различении направлений. Несомненно, такая ошибка коренным образом отличается от аналогичной ошибки построения угла в обратном направлении, когда уче-

ник не различает направления, в котором нужно строить угол, от обратного и не ставит задачи различать их.

В исследовании экспериментально изучалась эффективность приемов построения плана участка и абриса по азимутам. Изучение показало, что эти приемы способствуют снижению ошибок в расположении элементов участка на плане (при условии правильного построения абриса), но снижение происходит не за счет осознанного выполнения операций, а за счет автоматического устранения трудностей при построении плана, в частности трудности построения первого угла участка в нужном направлении. Построение плана по абрису, ориентированному по сторонам горизонта, сводится к копированию положения отдельных элементов на абрисе, не схватывается их расположение в целом. Таким образом, построение плана участка в условиях обучения указанным приемам не только не продвигает учащихся в развитии восприятия пространственных отношений, а, наоборот, задерживает это развитие.

Следовательно, при оценке эффективности методов и приемов обучения важно учитывать, в какой мере они способствуют развитию учащихся.

Проблема формирования практических умений на уроках геометрии требует дальнейшего изучения. Проведенные исследования не охватывают всех видов умений, формируемых у учащихся VI класса в процессе усвоения геометрических знаний. Вместе с тем важно раскрыть особенности этого процесса и на других ступенях обучения в восьмилетней школе (V, VII, VIII классов) и при изучении других учебных предметов (физика, ботаника и т. д.).

При изучении процесса формирования практических умений возник ряд вопросов, которых мы не касались в исследовании. Прежде всего представляет интерес изучение особенностей переноса сформированных умений в условия производительного труда, изучение их сохранности на продолжительном отрезке времени, взаимодействие умений и т. д.

Важное значение для решения этой проблемы имеет также изучение и обобщение опыта передовых учителей и школ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ананьев Б. Г., Пространственное различение, изд. ЛГУ, 1955.

2. Аханов Г. А., Систематическое проведение практических работ в процессе преподавания математики. Доклад на Педагогических чтениях АПН РСФСР (рукопись).

3. Белый Б. Н., Измерительные работы на местности в связи с преподаванием математики в средней школе. Диссертация на соискание ученой степени кандидата наук, Киев, 1953.

4. Богоявленский Д. Н. и Менчинская Н. А., Психология усвоения знаний в школе, М., Изд-во АПН РСФСР, 1959.

5. Бойко Е. И., К постановке проблемы умений и навыков в современной психологии, «Советская педагогика», 1955, № 1.

6. Бойко Е. И., Еще раз об умениях и навыках, «Вопросы психологии», 1957, № 1.

7. Боркова Т. Н., Формирование систем сложных действий у учащихся начальных классов на уроках ручного труда. Тезисы докладов на совещании по вопросам психологии труда, М., Изд-зо АПН РСФСР, 1957.

8. Боркова Т. Н., Психологические особенности самостоятельной работы учащихся на уроках ручного труда. Сб. «Обучение ручному труду в начальной школе», под ред. Е. В. Гурьянова, М., Учпедгиз, 1959.

9. Бородулина А. С., Психологические особенности применения натуральных предметов в качестве наглядных пособий на уроках естествознания, «Ученые записки МГУ», т XXXVI. вып. 2, М., 1954.

10. Булатов Н. П. Опыт проведения практических работ с политехническим содержанием по физике в VII классе, «Известия АПН РСФСР», вып. 58, ,М., 1954.

11. Вересотская К. И., Узнавание изображений предметов в зависимости от изменения положения их в пространстве. Сб. «Вопросы психологии глухонемых и умственно отсталых детей», под ред. Л. В. Занкова и И. И. Данюшевского, М., Учпедгиз, 1940.

12. Горбачева В. А., К освоению правил поведения детьми дошкольного возраста, «Известия АПН РСФСР», вып. 1, М., 1945.

13. Горфункель П. Л., Опыт исследования зрительных компонентов в первоначальных навыках письма, «Известия АПН РСФСР», вып. 86, М., 1956.

14. Гилев Д. К., Оперирование пространственными представле-

ниями в процессе формирования навыков определения направлений и расстояний. Автореферат диссертации на соискание степени кандидата наук, М., 1960.

15. Гурьянов Е. В., Конструктивная деятельность учащихся на уроках ручного труда. Сб. «Обучение ручному труду в начальной школе», под ред. Е. В. Гурьянова, М., Учпедгиз, 1959.

16. Гурьянов Е. В., Психология обучения письму, М., Изд-во АПН РСФСР, 1959.

17. Дорф П. Я. и Румер А. О., Измерения на местности, М., Изд-во АПН РСФСР, 1955.

18. Дорф П. Я. и Румер А. О., Измерения на местности, М., Изд-во АПН РСФСР, 1957.

19. Запорожец А. В., Развитие произвольных движений, М., Изд-во АПН РСФСР, 1960.

20. Зыкова В. И., Очерки психологии усвоения начальных геометрических знаний, М., Учпедгиз, 1955.

21. Зыкова В. И., Психологический анализ применения геометрических знаний к решению задач с жизненно конкретным содержанием. Сб. «Психология применения знаний к решению учебных задач», под ред. Н. А. Менчинской, М., Изд-во АПН РСФСР, 1968.

22. Знаменский М. А., Измерительные работы на местности, М., Учпедгиз, 1956.

23. Калмыкова З. И., Процессы анализа и синтеза при решении арифметических задач, «Известия АПН РСФСР», вып. 61, М., 1954.

24. Калмыкова З. И., Уровни применения знаний к решению физических задач. Сб. «Психология применения знания к решению учебных задач», под ред. Н. А. Менчинской, М., Изд-во АПН РСФСР, 1958.

25. Колодная А. Я., Развитие дифференцировки «правого»— «левого» у детей дошкольного возраста, «Известия АПН РСФСР», М., 1958.

26. Кайрис В. Г., Работы на местности в курсе математики средней школы. Диссертация на соискание ученой степени кандидата наук, Калинин, 1953.

27. Козловский С. М., Роль ориентировочно-исследовательской деятельности в формировании двигательных навыков у младших школьников, «Доклады АПН РСФСР», 1957, № 2.

28. Кабанова-Меллер Е. Н., Роль чертежа в применении геометрических теорем, «Известия АПН РСФСР», вып. 28, М., 1950.

29. Ломов Б. Ф., Формирование графических знаний и навыков у учащихся, М., Изд-во АПН РСФСР, 1959.

30. Люблинская А. А., Анализ и синтез в учебной работе младшего школьника, «Ученые записки ЛГПИ им. А. И. Герцена», т. 159, 1958.

31. Левитов Н. Д., Детская и педагогическая психология. Учебное пособие для педагогических институтов, М., Учпедгиз, 1960.

32. Менчинская Н. А., Психология обучения арифметике, М., Учпедгиз, 1955.

33. Морозов М. Ф., Воспитание самостоятельности мысли школьников в учебной работе, М., Учпедгиз, 1959.

34. Начапкин Ф. Л., Школьный теодолит, М., Изд-во АПН РСФСР, 1957.

35. Орлова А. М., Психологический анализ процесса овладе-

ния понятием «сказуемое» учащимися начальной школы. Сб. «Во просы психологии усвоения грамматики и орфографии», под ред. Д. Н. Богоявленского, М.. Изд-во АПН РСФСР, 1959.

36. Психология. Учебник для педагогических институтов, под ред. А. А. Смирнова и др., М., Учпедгиз, 1956.

37. Рубинштейн С. Л., Основы общей психологии, М., изд. 2, М., Учпедгиз, 1946.

38. Рыков Н. А., К вопросу об образовании умений, «Советская педагогика», 1953, № 10.

39. Рыков Н. А., О природе двигательных умений, «Вопросы психологии», 1957, № 1.

40. Редько А. З., Усвоение исторических понятий учащимися V—VII классов, «Известия АПН РСФСР», вып. 28, М., 1950.

41. Репьев В. В., Практические работы по математике на местности (Пособие для учителей математики средней школы), Горький, 1953.

42. Репьев В. В., Общая методика преподавания математики, М., Учпедгиз, 1958.

43. Сергеевич О. П., Формирование представлений о пространстве у детей в связи с усвоением элементов геометрии и географии, «Известия АПН РСФСР», вып. 86, М., 1956.

44. Смычников Д. М., Измерительные работы на местности в курсе математики средней школы (Пособие для учителей V— X классов средней школы), М., Учпедгиз, 1953.

45. Флешнер Э. Л., Психология усвоения и применения школьниками некоторых физических понятий. Сб. «Психология применения знаний к решению учебных задач», под ред. Н. А. Менчинской, М., Изд-во АПН РСФСР, 1958.

46. Шардаков М. Н., Очерки психологии школьника, М., Учпедгиз, 1955.

47. Шемякин Ф. Н., Ориентация в пространстве, «Психологическая наука в СССР», т. I, М., Изд-во АПН РСФСР, 1959.

48. Яковлева Н. М., Особенности усвоения мер длины учащимися I и II классов, «Известия АПН :РСФОР», вып. 86, М, 1956.

49. Якобсон П. М., Психологическая характеристика конструктивной деятельности учащихся VI—VII классов. Материалы совещания по психологии, М., Изд-во АПН РСФСР, 1957.

50. Янанис С. В., Об осознаваемом и автоматизированном в умении и навыке, «Вопросы психологии», 1957, № 1,