Н. И. ЗИЛЬБЕРБЕРГ

УРОК МАТЕМАТИКИ

ПОДГОТОВКА И ПРОВЕДЕНИЕ

Оглавление

Предисловие

Глава I. Общая методическая разработка темы учителем -база будущей успешной совместной работы учителя и класса над темой .............................. 5

Глава II. От общей методической разработки темы к лекции для школьников........................... 23

Глава III. Урок решения ключевых задач — основа обучения учащихся работе над задачами.................. 44

Глава IV. Методика подготовки урока решения обучающих задач ................................. 62

Глава V. Сотрудничество учащихся и учителя при подготовке и проведении урока-консультации............ 73

Глава VI. Методика подготовки и проведения зачетов в школе............. 96

Глава VII. В центре внимания урока анализ результатов зачета, ученик, помощь ему, его развитие........... 126

Глава VIII. Письменный контроль и оценка знаний учащихся на контрольной работе..................... 163

Н.И.ЗИЛЬБЕРБЕРГ

УРОК МАТЕМАТИКИ

ПОДГОТОВКА И ПРОВЕДЕНИЕ

КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» АО «УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА» 1996

УДК 372.8 ББК 74.262.21 3-61

Рецензенты: учитель математики школы № 566 Санкт-Петербурга В. И. Рыжик; кандидат педагогических наук Л. О. Денищева) учитель математики школы № 856 Москвы Е. С. Смирнова.

Зильберберг Н.И. 3-61 Урок математики: Подготовка и проведение: Кн. для учителя. — М.: Просвещение: АО “Учеб. лит.”, 1995.-178с: ил. — ISBN 5-09-004619-0.

Книга написана на основе опыта учителей математики Р.Г.Хазанкина (г.Белорецк), А.В.Ефремова (г.Бугульма) и передовых учителей Челябинской области. Эта книга не набор рецептов, а знакомство с “педагогической кухней” новаторов. Автор показывает, как можно сделать урок интересным ученику и учителю, включить их в совместное творчество.

В книге описана методика подготовки уроков различных видов: уроков-лекций, уроков по решению ключевых задач, уроков-консультаций и т.д.

Книга адресована учителям, студентам и всем интересующимся обучением детей математике.

ББК 74.262.21

Учебное издание

Зильберберг Наум Иосифович

УРОК МАТЕМАТИКИ

Подготовка и проведение

Зав. редакцией Т.А.Бурмистрова. Редактор Л.В.Туркестанская. Младший редактор Л.И.Заседателева. Художественный редактор Е.Р.Дашук. Художники Ю.В. Пахомов, О.М. Шмелев. Технический редактор С.С.Якушкина. корректор Л. Г. Новожилова. ИВ № 16163

Компьютерная верстка, диапозитивы фирмы “Л.В.М.-СКРИПТ”, 930-68-91. Изд. лиц. № 010001 от 10.10.91. Подписано к печати 31.10.95. Формат 60Х,071б. Бум. офсетн. № 2. Гарнитура тайме. Усл. печ. л. 11,0. Усл. кр.-отт. 11,38. Уч.-изд.

л. 11,09. Тираж 30 000 экз. Заказ № 1330. Ордена Трудового Красного Знамени издательство “Просвещение” Комитета Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. АО “Учебная литература”. 117571, Москва, проспект Вернадского, 88. Московский педагогический государственный университет. Отпечатано на Саратовском ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинате Комитета Российской Федерации по печати. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.

ISBN 5-09-004619-0

© Зильберберг Н.И., 1995 © Издательство “Просвещение”, 1995

ПРЕДИСЛОВИЕ

Опыт лучших учителей страны. Можно ли его использовать в другой ситуации, другому лицу? Эта проблема была всегда в центре внимания учителей, но ее многоаспектность и неоднозначность приводят к тому, что их мнения существенно отличаются друг от друга. Значительная часть считает, что опыт всегда индивидуален и его принципиально нельзя распространять. Автор убежден, что, несмотря на индивидуальный характер опыта, его удастся использовать в массовой практике, но для этого требуется изменить сами исследования опыта. Какие изменения следует внести? Их много, но главное связано со следующим обстоятельством.

Любой педагогический опыт представляет собой объект, который может быть отнесен к категории сложных систем, поэтому при его изучении главное должно быть направлено не на отдельные элементы (как бы они ни были интересны), а на взаимосвязи, на выявление системных свойств, определяющих хорошие результаты. Отсутствие внимания к системным свойствам заставляет исследователя добиваться как можно более точного дублирования форм и методов изучаемого опыта. А вот это не всегда возможно, и мы уверены, что не всегда целесообразно. В обоснование можно привести такую аналогию: человек давно заметил, что птицы и насекомые летают благодаря крыльям, он затратил много сил, чтобы летать таким образом, но все его попытки можно признать неудачными. Люди бы не летали и до сих пор, если бы стремились копировать природу. Человечество, выявив системное свойство — полет возможен благодаря созданию подъемной силы крыла, сумело воплотить его в другой конструкции, а это и позволяет ему летать. Применительно к проблеме изучения и использования педагогического опыта это означает (по нашему предположению) : необходимо выявить системные свойства анализируемого педагогического явления и разработать комплекс средств, которые обеспечат сохранность этих свойств. Это позволяет перенести опыт в другие условия и использовать в практике работы школ.

Поскольку проблема, рассматриваемая в этой работе, достаточно сложна, автор решил пойти по такому пути. Прежде всего отказался от рассмотрения теоретических вопросов изучения и распространения педагогического опыта (позиция автора по этой проблеме отражена в его работе "Системный подход к анализу опыта работы

учителя": Методические указания для студентов педвуза и учителей. — Магнитогорск, 1987), а также прямого описания опыта Р.Г.Хазанкина (интересующийся этими вопросами читатель может обратиться к литературе 1-3). При этом автор ограничил себя только рамками классных форм работы и сделал попытку рассмотреть подготовку к урокам по единой схеме: задачи урока, действия учителя в ходе подготовки к уроку, ход урока, задания учащимся и т.д.

Уважаемые коллеги! Вашему вниманию предлагается работа, которая во многом отличается от уже изданных по передовому опыту. Вот почему, даже если вы с чем-то не можете согласиться или некоторые предлагаемые в книге решения педагогических либо математических задач не соответствуют вашим представлениям, автор просит: не принимайте поспешных решений, дочитайте книгу до конца и сделайте попытку использовать ее в практике.

Автор надеется, что материал, изложенный в книге настроит учителя на критический пересмотр своей профессиональной деятельности, а учитель, желающий совершенствовать свою профессиональную деятельность, найдет в книге то, что ему полезно, а также откроет проблемы, над которыми следует подумать. Если же часть читателей сделает попытку использовать формы и методы работы, представленные в книге, то автор сочтет свою задачу выполненной.

Автор

Глава I. ОБЩАЯ МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ УЧИТЕЛЕМ — БАЗА БУДУЩЕЙ УСПЕШНОЙ СОВМЕСТНОЙ РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ И КЛАССА НАД ТЕМОЙ

Математическая истина только тогда должна считаться вполне отработанной, когда она может быть объяснена всякому из публики, желающему ее усвоить.

К. Е. Жуковский

Из этой главы читатель узнает:

1. Как учесть интересы разных групп учащихся.

2. Как выбрать направления реализации межпредметных связей.

3. В чем состоят “требования жизни” и как их учесть.

4. Как выделить главное содержание.

5. Каким образом прогнозировать возможные затруднения учеников и выбрать средства их предупреждения.

6. Как выбрать алгоритмы решения типовых задач.

7. Как выделить и отработать методы составления и решения задач по теме.

8. Как подготовиться к работе над теоретической частью программы.

Представим себе хирурга, выполняющего сложную операцию, в ходе которой выяснилась необходимость каких-то изменений. Может ли он остановить операцию, броситься к изучению литературы, а потом продолжить операцию? Скорее всего нет, ему придется принимать решение. Что ему в этом поможет? Конечно, не только интуиция, но и готовность к такому повороту событий. Эта готовность обеспечивается не только учебой в институте, работой над собой, но и изучением опыта других хирургов, самоподготовкой к выполнению нужных действий. Вот такой предварительной

самопроверки и не хватает очень часто учителям, которые желают использовать опыт лучших. Дело осложняется и тем, что по многим причинам учителя испытывают затруднения в профессиональной деятельности, которые обусловлены слабой сформированностью таких педагогических умений, как анализ результатов учебного процесса и др.

Исследования автора показали, что преодолеть эти и другие затруднения можно, если предложить учителю реальный путь самопроверки с помощью методических разработок тем школьной программы. Эти разработки не связаны с опытом какого-то конкретного учителя, но предлагаемая в книге система уроков ориентирована на опыт известных учителей (В.Ф. Шаталова, Р.Г. Хазанкина, А.В. Ефремова и др.).

Итак, при методической разработке темы выделим следующие шаги:

1. Изучение программы темы и учет “требований жизни”.

2. Анализ учебного материала.

3. Методы решения и составления задач по теме.

4. Методическая отработка основных теорем.

5. Выбор алгоритмов решения типовых задач.

В первую очередь учитель обращается к программе: определяет вопросы теории, знания и умения, которые должны быть сформированы у всех учеников; число часов, отводимое на изучение темы1.

Конечно, нельзя ограничиться только простым изучением программы и обязательных результатов обучения. Здесь нужен критический анализ требований школьной программы. Успех работы над темой во многом зависит от того, как учителю при подготовке удастся учесть “требования жизни”. Что здесь имеется в виду?

Прежде всего учителю следует учитывать интересы учащихся класса. Дело в том, что в любом классе имеется значительное число учащихся, которые готовятся поступать в институты, где требуется серьезная математическая подготовка. Поэтому учитель не может ограничиться только программными и обязательными результатами обучения.

Следующее “требование жизни” связано с реализацией межпредметных связей. Причем речь идет не только об использовании знаний учащихся по математике при изучении других предметов, но и о реализации следующих направлений: согласование во времени изучения материала по смежным дисциплинам и определение рациональной последовательности в изучении учебных дисциплин; обеспечение преемственности в формировании понятий; единство подходов к формированию познавательных умений и

1 Для конкретизации материала уроков учителю полезно обратиться к обязательным результатам обучения [4].

навыков практического характера (данное направление прежде всего предполагает формирование у учащихся умений самостоятельно работать с литературой, наблюдать, выполнять эксперименты, измерять, строить графики и вычислять); обеспечение единства в интерпретации содержания понятий, формирование которых осуществляется на разных предметах; использование знаний и умений, а также навыков, приобретенных по другим предметам; устранение дублирования и т.д.

Кроме этих направлений, в связи с введением курса информатики можно указать еще важное направление реализации межпредметных связей — обеспечение единого подхода к формированию умений разрабатывать алгоритмы.

Понятно, что школа не существует вне своего окружения. Отсюда ясно, что при изучении темы учителю приходится проводить работу по ориентации учащихся на те профессии, которые актуальны в настоящее время. Здесь полезно показать учащимся, как математические методы могут быть использованы в известных ребятам профессиях.

При отборе материала учитывается подготовка учащихся класса, результаты работы над предыдущими темами. На основе этого учитель определяет материал для повторения.

Еще одно “требование жизни” связано с учетом возможностей учителя. Придется критически взглянуть на свою педагогическую деятельность. К примеру, скованность учителя не позволяет ему эмоционально излагать материал. Следовательно, нужна более тщательная подготовка учителя (возможно, потребуется обратиться к литературе по ораторскому искусству). При отсутствии интереса учащихся к предмету следует обратиться к литературе, где рассматривается проблема формирования познавательного интереса.

На следующем шаге разработки темы учитель соотносит весь отобранный материал со своим опытом педагогической деятельности. Это позволяет уточнить затраты времени на изучение темы в целом и по отдельным урокам, определить содержание материала предстоящей лекции. Обращаясь к опыту, учителю требуется ответить на следующие вопросы: что не удалось при изучении данной темы и почему? В чем причина неудач? Как их можно преодолеть? Что удалось и чем это было обусловлено? Поиск ответов на такие вопросы заставит учителя обратиться к методической литературе, опыту своих коллег.

Представим себе, уважаемый читатель, что мы выполнили уже описанные шаги. Что получилось? Сразу очевидно, что материала стало значительно больше. Из дальнейшего будет ясно, что его объем должен быть увеличен. Это приводит к необходимости осуществить сортировку материала, в ходе которой учителю нужно решить, где, когда, на каком уроке будет рассматриваться каждая из частей. Главная часть — тот материал, который будет изучаться

на уроках, далее — материал для занятий кружка, факультатива, индивидуальных заданий учащимся, специальный материал для работы со старшими школьниками.

Наиболее сложно определить, что отнести к главному материалу. Под “главным содержанием” будем понимать ту часть материала, без усвоения которой не могут быть решены задачи изучения темы. Ответ на вопрос о главном на каждом этапе обучения предполагает оценку учителем значимости соответствующей части материала. Решение данного вопроса не просто и не всегда является однозначным. Рассмотрим некоторые способы выделения главного.

Первый способ связан с постановкой учителем вопросов: для чего изучается данный материал? Где он будет использоваться в дальнейшем? Если учитель не знает ответов на эти или аналогичные вопросы, то, разумеется, материал не может быть отнесен к главному.

К примеру, предстоит изучение темы “Тригонометрические уравнения и неравенства”. Понятно, что материал связан с формулами решения простейших тригонометрических уравнений. Что главное в данном случае: запоминать формулы, знать их наизусть или выводить? Только отдельные учителя отвечают: “Главное-уметь выводить”. Основная же масса уверена, что следует помнить формулы, поэтому формулы решения простейших уравнений должны быть отнесены к главному. Но здесь важно учитывать, что недопустимо категорическое, ничем не обоснованное (с точки зрения ученика) требование — всем непременно выучить формулы. Учитель, определив главное, должен выбрать психологически правильную линию поведения, которая заставит ребят самостоятельно открыть, что формулы лучше помнить (не будет ошибок, удается определить метод решения, установить особенности задачи, систематизировать материал и т.п.).

Кроме того, учителю следует “помогать” ученикам запомнить нужные формулы: дать название отдельным формулам (формулы понижения, формулы удвоения, дежурные формулы и т.п.. Учитель укрупняет их, показывая, что отдельные формулы можно объединить, если читать слева направо и наоборот), указать методы самопроверки правильности использования формул и т.п.

Автор, постоянно заботясь о читателях, задал и себе вопрос: “Понятно ли читателю, как, задавая себе вопросы, выделить главное?” Перечитав эту часть, он пришел к выводу, что большинство читателей могли не уяснить, как это делать практически, а другие заявят: “Мы и так задаем себе такую уйму (в том числе и упомянутые здесь) вопросов, а ответить на них не можем ни самостоятельно, ни после чтения книг, ни после участия в работе курсов”. Пришлось признать правоту читателей. Поэтому потребовалось рассмотреть другой путь выделения главного на основе анализа учебного материала.

Анализ материала удобно проводить на основе какой-либо модели его. В частности, можно использовать графовую модель учебного материала. Для построения модели требуется:

а) разобрать математическое содержание отобранного материала;

б) разбить материал на логически завершенные и самостоятельные части;

в) выявить логические связи частей;

г) выделить в тексте структурные элементы (определения, утверждения, алгоритмы, иллюстрации и т.п.);

д) изучить характер логических обоснований различных частей;

е) соотнести упражнения с выделенными в пункте б) частями.

Каждая часть изображается кругом или прямоугольником с соответствующим номером. Эти круги (или прямоугольники) соединяются стрелками, которые и отражают логическую подчиненность частей (направление стрелок выбирается в соответствии с переходом от посылок к следствию). Для отображения на модели упражнений в каждую фигуру вписываются номера упражнений, выполнение которых непосредственно связано с данной частью или способствует усвоению этой части материала. Тем самым мы получили графовую модель материала, которая и будет использоваться, в частности, для выделения главного.

Учителю предстоит найти ответы на следующие вопросы: какие части используются чаще других? Без усвоения каких частей знания учащихся будут формальными? Какие части используются в дальнейшем? Какие части являются наиболее сложными? На основе каких частей достигается усвоение обязательных результатов обучения?

Автор, думая о читателях, помнит их реплики, предвидит новые: “Та же самая ситуация: опять вопросы без ответов. Говорильня!” Ситуация действительно похожа на описанную ранее, но она в корне отлична от нее. Дело в том, что в нашем распоряжении есть модель материала, которая позволяет дать ответы на вопросы. Приведем некоторые из таких ответов:

а) фрагмент, из которого исходит наибольшее количество стрелок, является главным, так как его усвоение необходимо для овладения наибольшим числом последующих фрагментов;

б) к главному содержанию следует отнести тот материал, который используется при изучении последующих тем, а также в других предметах, так как пробелы в усвоении данных фрагментов приведут к значительным затратам времени при изучении последующих тем, снижению результативности работы учащихся на уроке и дома, обусловят затруднения учащихся при изучении других предметов и т.п.;

в) главными следует признать и те фрагменты, на основе которых обеспечивается достижение обязательных результатов обучения;

г) тот фрагмент учебного материала является самым сложным, который опирается на наибольшее число частей, опирается на наиболее удаленные (по времени) части учебного материала, не может быть сведен к алгоритмической деятельности, недостаточно методически отработан в учебнике и т.д.

Теперь автор настоятельно советует читателю остановиться, обдумать изложенное, повторить “стандартные ответы”, изучить модель по рисунку 1, ответить на вопросы:

1. Какая часть является главной и почему?

2. Какая часть является наиболее сложной?

3. В какой части ученики могут испытывать наибольшие затруднения?

4. Как диагностировать эти затруднения?

5. Чем диагностировать эти затруднения?

6. Чем обусловлены типичные ошибки, появляющиеся при изучении фрагмента с номером 5?

Графовая модель незаменима при выполнении анализа умственной деятельности учащихся, изучающих данную тему. Анализ предполагает: а) изучение мыслительных операций, которые должны использовать школьники при изучении материала; б) определение знаний и умений, которые могут быть добыты учениками самостоятельно; в) выявление логических операций, необходимых при работе с различными частями текста, и т.д.

На следующем шаге разработки темы можно приступить к прогнозированию затруднений учащихся и возможных типичных ошибок.

Приведем пример. Предположим, что мы построили модель материала темы “Периодичность тригонометрических функций”. Наше внимание естественно обращается к тому фрагменту, в котором речь идет о нахождении периода функции. Особенностью изложения может быть признано “скрытое” изложение алгоритма нахождения периода функций. Обратимся к упражнениям вида:

Найти период функции у = sin х + cos х.

Пусть Т — период данной функции. Тогда для каждого X е D (у) = R справедливо равенство

Положим в этом равенстве х = 0, тогда получим:

Рис. 1

Отсюда ученик должен определить возможное значение Г, а далее обосновать, что одно из найденных Т действительно является периодом функции. Но при нахождении Т фактически решается тригонометрическое уравнение, а это изучается в следующей теме, поэтому ученики будут испытывать затруднения при нахождении Т.

Отсюда ясно, что на данном этапе разработки темы следует более пристальное внимание уделить выявлению особенностей изложения материала в учебнике. К таким особенностям могут быть отнесены: а) введение новых терминов, понятий, алгоритмов и т.д. без точных определений или доступных объяснений; б) нечеткое выделение существенных и несущественных признаков понятий; в) неявное использование понятий, положений, не изученных ранее, и т.д.

Кроме того, для выявления затруднений учащихся желательно изучить требования к учащимся к овладению общеучебными умениями. Это позволит учителю: а) выявить навыки учебного труда, которые не сформированы у учащихся, но им необходимы, дополнительно уточнить задачи уроков применительно к отдельным группам учащихся); б) установить, какие из общеучебных умений можно продолжить формировать при работе над темой; в) определить наличие в системе упражнений учебника упражнения для формирования общеучебных умений; г) спрогнозировать возможность самостоятельного изучения отдельных частей материала.

Известно, что значительная часть ошибок и затруднений учащихся связана с реализацией алгоритмов решения типовых задач. Чем это вызвано? Исследования показывают, что ошибки возникают под влиянием двух основных причин, каждая из которых связана с недостатками подготовки учителя к уроку. Одна обусловлена необоснованным выбором алгоритмов для работы с учащимися, а другая — недостаточной работой с учащимися по формированию у них умений реализовать алгоритмы решения задач. Дело в том, что учителя не только формально относятся к выбору алгоритмов решения типовых задач (выбирают в основном те, которые приведены в учебнике, методическом пособии, использовались при изучении учителя в то время, когда он сам учился в школе), но практически не знают методов разработки и проверки алгоритмов.

При составлении алгоритмов требуется: выделить все шаги алгоритма и действия учащихся для выполнения каждого из них; выполнить необходимые теоретические обоснования; продумать письменное оформление реализации алгоритма; выбрать методы самоконтроля; отобрать задачи для формирования у учащихся умений реализовывать алгоритм.

Читателя, естественно, ждет пример. Но каким он должен быть? Продумывая ответ, автор пришел к выводу, что это должен быть такой пример, который, с одной стороны, известен основной массе

учителей, а с другой — должен продемонстрировать интересные моменты. Пусть требуется выбрать алгоритм решения примеров типа:

Найти lim —;—- при условии, что а1x02 + b1х0 + c1 = а2х02 + b2х0 + с2 = 0 и b2-4а2с2> 0.

Автор неоднократно обращался к многочисленной учительской аудитории. Как правило, учителя предлагают следующий алгоритм:

1. Решить уравнение aix2 + blx + cï = 0.

2. Разложить трехчлен а\Х2 + b\Х + С\ на множители.

3. Решить уравнение а^2+ Z?2X + c2= 0.

4. Разложить трехчлен а2х2+ b2х+ с2 на множители.

5. Выполнить сокращение.

6. Применить теорему о пределе частного.

Для проверки алгоритма можно рассмотреть типичные задания с “большими” и “малыми” числами. Берем задание с “большими” числами:

Найти

Можно легко убедиться в ошибочности предлагаемого алгоритма, ибо ученики не могут решить уравнение 123х2+ 249х — 372= 0.

Теперь естественно обратиться к вопросу: как найти алгоритмы решения задач? Известно, что нет единого способа это сделать, но учитель должен знать некоторые способы построения, а именно, что алгоритм может быть построен:

1) на основе использования известного утверждения;

2) путем обобщения решения задачи;

3) путем использования новых операций;

4) обобщением результатов решения частных задач.

Читателю предлагается, используя каждый из этих путей, получить иные алгоритмы нахождения пределов.

На следующем шаге методической разработки темы учителю важно повторить и систематизировать методы решения задач по разрабатываемой теме. Для этого требуется: а) выделить типы задач по разрабатываемой теме; б) определить методы решения этих задач; в) выбрать названия методов; г) продумать способы систематизации методов решения; д) разработать оборудование кабинета математики, предназначенного для вывешивания в кабинете; е) отобрать методы решения, которые будут использоваться при работе с учащимися; ж) продумать методику знакомства учащихся с избранными методами решения.

Выделение достаточно полной системы методов решения задач по конкретной теме заняло бы слишком много места, поэтому

ограничимся примером только одной задачи из школьного курса геометрии:

Найти сумму углов пятиконечной звезды (рис. 2). Первый метод. Угол AMR — внешний угол треугольника МСЕ, поэтому ∠AMR = ∠ С + ∠E.

Угол ARM — внешний угол треугольника BRD, поэтому ∠ ARM = ∠B + ∠D.

Тогда

∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = ∠A + ∠AMR + ∠ARM= 180°.

Данный метод можно назвать — используй теорию.

Второй метод. Через три точки А, В и Е проведем окружность (рис. 3). Предположим, что точки С и D не лежат на построенной окружности (если лежат, то ответ сразу очевиден). Рассмотрим только случай, когда С и D вне окружности (остальные рассматриваются аналогично). Обозначим новую точку пересечения АС с окружностью через Q и соединим ее с Е. Легко убедиться, что ∠AC1E = ∠ACE + ∠CECU поэтому сумма углов звезды ABC1DE равна сумме углов исходной звезды. Повторяя это рассуждение (D1 — точка пересечения с окружностью), мы получаем звезду ABC1D1E, сумма углов которой равна сумме углов исходной и все вершины которой лежат на окружности. Теперь, используя теорему о вписанном угле, легко получаем, что

∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°.

Данный метод естественно назвать — сведи задачу к рассмотрению частного случая или используй вспомогательную окружность.

Читателю предлагается самостоятельно найти другие методы решения данной интересной задачи.

Рис. 2 Рис. 3

При выделении методов решения задач по теме следует помнить о типичной ошибке учителей — попытке выделить методы решения при работе над сложными задачами. Сложность задач во многом и обусловлена тем, что она имеет практически единственный метод решения.

Сложная, но интересная и важная работа предстоит при повторении методов составления задач.

Читатель вправе спросить: зачем это нужно? Прежде всего для формирования у учащихся умений решать задачи учитель должен иметь достаточное число упражнений. Как правило, в учебниках и задачниках имеются упражнения на основные методы, но учесть все конкретные особенности учащихся ни учебник, ни дополнительные источники не могут. Поэтому перед учителем довольно часто возникает проблема — найти задачу с “определенными свойствами”. Опыт показывает, что на поиск затрачивается неоправданно много времени (да и не всегда успешно). Гораздо эффективнее знать методы составления задач и, пользуясь ими, конструировать задания. Для этого следует: а) изучить известные задачи и продумать способы составления аналогичных задач; б) выяснить, каким образом могут быть реализованы общие методы составления задач применительно к изучаемой теме; в) определить методы составления задач на основе методов их решения (из числа отобранных к работе с учащимися); г) выявить методы составления задач, которые специфичны для изучаемой темы.

Методы могут быть такими:

Первый метод. Если введено некоторое математическое понятие, то можно рассмотреть уравнение, в котором неизвестное связано с этим понятием. К примеру, если мы введем понятие [а], то можно рассмотреть уравнение, в котором неизвестное х содержится в аргументах новой функции. Таким образом, могут быть предложены уравнения:

Второй метод. Берется какой-либо пример, а далее некоторые числовые данные заменяются другими.

Из уравнения [х] = 2 на основе этого метода получаем:

Третий метод. В известных примерах числовые данные заменяются параметрами.

В исходном примере: решить уравнение [х] = 2 — выделяется число 2, которое может быть заменено параметром. Получим:

Решение последнего уравнения содержит элементы исследований, так как нужно учесть условие ае Z, вспомнив определение целой части.

Числовые данные можно заменить не только параметром, но и некоторой функцией, зависящей от параметра:

Этот метод, путем выделения специальных областей изменения параметра, приводит к интересным заданиям. В ходе решения можно просто указать некоторые дополнительные условия, а можно на основе ограничений на параметры доказать какие-либо утверждения о свойствах функции, зависящих от параметров, а потом решить примеры.

Например, при решении уравнения [х] — 0,5л (а + 1) можно рассматривать не любые значения параметра, а ограничиться только целыми значениями а. В этом случае можно дать ответ в следующем виде:

Если 0,5а (а + 1) g Z, то хе [0,5а (а + 1); 0,5 (а2 + а+ 2)). В остальных случаях решений нет.

Этот ответ получится без учета условия ае Z. Учет же условия ûgZ позволяет легко доказать, что 0,5а (а + 1)eZ, при любом a g Z. Отсюда в нашем случае сразу получаем ответ:

Теперь возможно предложить следующий прием (специфический для уравнений с целой частью).

Взять некоторое утверждение, в котором речь идет о том, что какое-либо выражение принимает в некотором множестве значений параметра только целые значения. Далее решить уравнение, в котором левая часть [ле], а в правой части рассматриваемое выражение.

Вот несколько заданий:

Четвертый метод. Берется какой-либо пример. Анализируются объекты, которые входят в условие, и заменяются другими. К примеру, если в условие входит некоторая функция, то она может быть заменена другой.

Возвращаясь к уравнению [х] = 2, устанавливаем, что под знаком целой части переменная х входит в первой степени (фигурирует функция у= х), тогда замена приводит к таким уравнениям:

Левую часть уравнения [х] = 2 можно связать с функцией у= z, где z- [х]. Взяв вместо функции другие функции, получаем новые уравнения:

Существенно, что на вопрос, как будем решать все эти уравнения, без труда можно ответить, что нужно предварительно решить уравнение относительно целой части, а потом решить уравнения вида [x] = а. Если, к примеру, в классе решаются показательные уравнения, а нужно включить задание с целой частью X, то, используя данный метод, легко составляем такие уравнения:

Пятый метод. Здесь предполагается анализ числовых данных, входящих в задачу, замена некоторых из них функциями. Вернемся вновь к рассмотренному ранее заданию:

Решить уравнение [х] = 2.

В этом примере фигурирует число 2. Оно может быть заменено некоторой функцией от аргумента х. Получаются довольно сложные уравнения:

Может возникнуть вопрос: как же можно решать такие уравнения? Попробуем действовать, как при решении уравнения вида [х] = а. Точнее, нас интересуют не все значения функции, стоящей в правой части, а только целые, поэтому можно обозначить эту функцию через n, а потом выразить х через n и подставить в уравнение. Рассмотрим только первое уравнение. Итак, 3x+ 2е Z.

Пусть 3x+ 2= п

Уравнение примет вид:

Из определения целой части получаем:

Тогда получим следующие значения

Шестой метод. В примере, который содержит уравнение, переходят от уравнения к неравенству.

Рассматриваемый пример приводит к следующим заданиям:

1. Решить неравенство [х]> 2.

2. Решить неравенство [х] < 2.

3. Решить систему неравенств j^.^ ^ix-4> 0

Применение предыдущих приемов с рассматриваемым приводит к новым заданиям.

Решить неравенство:

Седьмой метод. Берется некоторое известное учителю утверждение, ученикам предлагается доказать его. К примеру, известны следующие утверждения:

Отсюда ученикам может быть предложено три задачи, в ходе решения которых они и доказывают утверждения 1-3.

Восьмой метод. Одна сложная задача разбивается на систему вспомогательных, решение которых позволяет получить решение сложной задачи.

К примеру, для решения задачи “Доказать, что при любом ne N число [(2+ V3)”] нечетно" можно предложить следующую систему задач:

1. Доказать, что

2. Доказать, что

3. Проверить, что

4. Доказать, что

5. Доказать, что

Повторением методов решения и составления задач работа над ними не заканчивается. Учителю предстоит принять ряд педагоги-

ческих решений: какие новые методы будут изучаться со всем классом? Какие методы будут повторяться? Какие из методов будут использованы во внеклассной работе? Как проверять усвоение методов? В соответствии с ответами на эти вопросы будет выполняться методическая обработка методов. Пусть, к примеру, учитель считает, что какой-то из методов решения задач будет использоваться при работе с классом. В этом случае ему скорее всего придется продумать такие моменты:

1. Идея метода.

2. Выбор примера для первого знакомства.

3. Способ выполнения анализа условия с целью определения метода решения.

4. Возможности самоконтроля деятельности по решению примеров.

5. Методы усложнения заданий, решаемых рассмотренным методом.

6. Подготовка банка заданий.

7. Стереотипы мышления, которые мешают при реализации метода, и способы их преодоления.

На следующем шаге методической разработки темы учителю предстоит проработать как профессиональному математику основные утверждения по определенной схеме (которую при желании можно изменить).

Автор предлагает такую схему:

1. Выделение признаков условия и заключения.

2. Методы доказательства.

3. Проверка значимости признаков условия.

4. Формулировка и проверка истинности обратных теорем.

5. Возможные обобщения теоремы.

6. Возможные применения теоремы.

Деятельность по реализации данной схемы учителям частично знакома (пункты 1, 4, 6), а по пунктам 2, 3 и 5 не знакома и является новой. Учителя, как правило, ограничиваются только методом доказательства, приведенного в учебнике. Для иллюстрации обратимся к одной из самых известных теорем — теореме Виета — и попытаемся найти доказательство, отличное от приведенного в учебнике. Прежде всего следует обратиться к условию теоремы: x1 и х2 — корни уравнения х2 + рх + q = 0 и попытаться получить из него следствия.

Одним из способов получения следствий является замена объектов их определениями: x1 и х2 — корни, поэтому

Теперь сопоставим эти равенства с теми, которые следует получить:

Важно установить, чем похожи эти равенства и чем отличаются. Наблюдение показывает:

а) состав элементов один и тот же:

б) структура другая.

Теперь естественно задать себе вопрос: как ликвидировать эти отличия? Отсюда и возникает идея “разделить” коэффициенты р и q. Ученики легко находят несколько путей реализации идеи: выразить q из одного равенства и подставить в другое; вычесть из одного равенства другое.

Если избрать любой из них, то после тривиальных преобразований легко получаем:

Теперь требуется рассмотреть два случая: 1) x1 = х2; 2) x1 + х2 + р = 0. В обоих случаях читатель легко завершит доказательство теоремы.

Мы не имеем возможности полностью реализовывать всю схему работы, поэтому обратимся к пятому пункту — обобщения теоремы. Познакомимся с некоторыми способами обобщения, которые будем иллюстрировать утверждениями и задачами.

1. Обобщение по размерности. Известно следующее утверждение:

Если M е AB, то для любой точки О существуют такие числа а и ß, что

Пользуясь обобщением по размерности, приходим к утверждению:

Если M лежит в плоскости ABC, то для любой точки О найдутся такие числа а, ß, у, что

2. Обобщение путем отбрасывания условий. Данный способ особенно эффективен при решении задач. В частности, он используется тогда, когда не удается решить какую-либо задачу. С этой целью мы отбрасываем какое-либо условие или заменяем его на более слабое, а потом решаем новую задачу:

Доказать, что при ne N выполняется неравенство

Здесь может быть отброшено условие ne N. Тогда, введя функцию у= 3(1+x2+x4)- (1+x+x2)2 при x> 1 и используя производную, легко устанавливаем, что у> 0 при х> 1.

3. Обобщение на основе рассмотрения частных случаев. Этот метод особенно эффективен в том случае, если желательно угадать ответ. Рассмотрим известный пример:

Найти хп, если хп= 1 + 3 + 5 + ... + (2x - 1).

Обращаемся к частным случаям:

Это позволяет обобщить утверждение, высказав гипотезу, что хn = n2, а потом ее и доказать.

4. Обобщение на основе метода доказательства. В ходе поиска решения задачи или доказательства теоремы мы нашли нужный метод. Анализируя метод, выясним, что он может быть использован в более общей ситуации. Это позволяет сформулировать и доказать обобщение утверждения.

Известна задача: Если в параллелограмме соединить середины смежных сторон, то полученный четырехугольник — параллелограмм.

Читатель, анализируя метод доказательства, легко получит известное обобщение.

5. Обобщение путем изменения. Анализируя объекты, которые входят в известное утверждение, заменяем их на другие и пытаемся сформулировать и доказать обобщения.

Обратимся к теореме Виета. В условии речь идет о трехчлене х2+ рх+ q- 0. Что можно менять? Это зависит от человека, который пытается обобщать, а точнее, какие объекты он увидит. Дело это творческое, и не существует единого рецепта. Обратимся к записи, где выделена часть объектов, которые могут быть изменены:

Читатель без труда сформулирует возможные обобщения. 6. Обобщение как усиление. Этот метод поясняем на примере доказательства неравенства

Введем функцию у = Чх*+ 1. Легко убедиться, что при х > 0 она возрастает и график является выпуклым вниз (рис.4).

Рассмотрим криволинейную трапецию OABD. Очевидно, что ее площадь S\ может быть вычислена по формуле

Площадь криволинейного треугольника АСЕ находится по формуле

Отсюда ясно, что в условии предлагается доказать, что

Так как площадь квадрата OCFD равна 9, то достаточно убедиться, что площадь криволинейного треугольника BEF меньше 0,0001. Укажем координаты “нужных” точек:

Теперь рассмотрим точку N (3; 3,01). Пользуясь выпуклостью вниз графика функции у — л/лс4* 1, легко убедиться, что площадь криволинейного треугольника BEF меньше площади треугольника NEF. Докажем неравенство SNEF < 0,0001 (это больше, чем нам нужно) :

Отсюда и получаем требуемое неравенство.

7. Обобщение на основе соединения. При данном способе обобщения новые утверждения получаются путем рассмотрения свойств объектов из разных тем (отметим, что этот метод отражен в названии наук — биофизика, биохимия, математическая биология и др.).

Известны следующие утверждения:

1. а) Если x1 и х2 — корни трехчлена х2 + рх + q = 0, то x1 + А = Р2—2 q.

б) Если х1 и х2 любые числа, a р = — (х1 + х2), q = х1 х2, то x1 и х2 — корни уравнения х2 + рх + q = 0.

Рис. 4

2. Пусть M — точка касания вписанной в прямоугольный треугольник окружности с гипотенузой AB и AM = m, MB = n (рис.5). Доказать, что площадь треугольника равна тп.

Соединяя эти утверждения, можем сформулировать следующие задания:

Если тип- отрезки, на которые точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, разбивает гипотенузу, то:

где с - гипотенуза, a S — площадь треугольника.

Мы познакомились с “новым” методом доказательства известной теоремы, рассмотрели обратные утверждения, изучили некоторые обобщения. Будем ли мы использовать этот материал на лекции (или другом уроке)? Как вообще использовать материал и для чего он нужен (ведь он недоступен всем ученикам) ? Однозначного ответа нет и быть не может. Все зависит от класса, учителя. Но важно осознать, что это математика и учитель как профессионал должен выполнить эту работу применительно к основным утверждениям.

Последнему шагу при методической разработке темы — выбору алгоритмов решения типовых задач — автор достаточно уделил внимания и считает важным напомнить читателю, что все подготовленные им материалы, составляющие информационное обеспечение его профессиональной деятельности, не должны пропасть.

Опыт показал, что эти материалы лучше вносить в специальные тетради. В них должны быть отражены: все известные учителю методы решения задач по теме, задачи на каждый метод (с решениями или без них — на усмотрение учителя) с точными указаниями источников, из которых взяты эти задачи, список литературы. Автор убежден, что такие материалы каждый учитель должен готовить сам, а работа по их созданию помогает профессиональному росту учителя и серьезно экономит его время.

Представим себе ситуацию. Мы выполнили разработку темы, а учебники поменялись. Зачеркнет ли смена учебников нашу работу? Автор убежден, что вдумчивый читатель признает, что ни в коей мере, так как эта работа не привязана к конкретному учебнику.

В заключение отметим, что общая методическая разработка темы, выполненная учителем, является основой для повышения эффективности и результативности познавательной деятельности учащихся, способствует вовлечению ребят в активную и интенсивную самостоятельную работу, формирует интересы к знаниям.

Рис. 5

Глава II. ОТ ОБЩЕЙ МЕТОДИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКИ ТЕМЫ К ЛЕКЦИИ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

Все отвлеченные понятия пояснять, как только можно, и примерами, и задачами, и приложениями...

М.В. Остроградский

Из этой главы читатель узнает:

1. Как заинтересовать ребят материалом лекции.

2. Как сделать, чтобы были вопросы учеников на лекции.

3. Какие способы можно использовать для обучения конспектированию.

4. В чем состоит исследовательская деятельность и как включить в нее школьников.

5. В чем трудности проведения лекций и способы их преодоления.

6. Как можно проводить на лекции обучение составлению задач и для чего это нужно.

Подготовка лекции для младших школьников

Младшие школьники в данном случае это те школьники, которые впервые изучают данную тему и которым предстоит сдавать зачет и выполнять контрольную работу.

Прежде всего следует сказать несколько слов о структуре лекции. В ней можно выделить три части: введение, основную часть и заключительную часть. Каждая часть имеет свою задачу, способы ее решения, поэтому можно рассматривать их по отдельности.

Вступительная часть лекции по математике выполняет следующие функции:

1. Заинтересовать материалом лекции, создать положительный эмоциональный настрой.

2. Показать ребятам значимость новой темы и познакомить с основными задачами изучения темы.

3. Установить связь между тем, что изучалось ранее, и тем, что будет рассматриваться при работе над новой темой.

4. Включить класс в активную работу на лекции, содействовать установлению контакта между учениками и учителем.

Очевидно, что реализация этих функций существенно определяется особенностями класса, учителя, материалом темы. Учитель испытывает трудности с материалом для вводной части? Что это могут быть за материалы?

Начнем с седьмого класса. Что нравится ребятам данного возраста? Прежде всего играть, а им предстоит изучать геометрию. На первых страницах учебника рассказывается о неопределяемых и определяемых понятиях геометрии — точка, прямая, плоскость, множество и т.д. Все ли семиклассники заинтересуются такой геометрией? Вряд ли. Поэтому во вводной части лекции школьникам следует сообщить, что они приступают к изучению одной из самых древних и интереснейших наук — геометрии. На уроках в старших классах они будут решать сложные и увлекательные геометрические задачи, а сейчас, пока они еще семиклассники, могут смотреть на геометрию как на увлекательную игру по определенным правилам. Когда игра интересна всем учащимся? Что такое игра вообще? С помощью учеников выясняется, что игра требует сообразительности, она интересна только тогда, когда все ученики соблюдают определенные правила игры. Когда игра разрушается? Когда один из участников нарушил правила. Начинаются споры, обиды, и конец игре. Что же нужно для того, чтобы начать играть в геометрию? Нужны правила. Причем эти правила должны быть понятны каждому учащемуся. Чтобы отличить правила игры “Геометрия” от правил других игр, договариваемся называть эти правила аксиомами. Далее совместно с учащимися и будем изобретать эти правила.

Игры с семиклассниками могут быть построены и на их... незнании. Учитель приходит в класс, и ребята обращают внимание на необычность его поведения. Скоро все становится ясным. Учитель рассказывает: “Вчера была передача Кашпировского. На меня он произвел неожиданное воздействие: я научился чрезвычайно быстро и безошибочно выполнять в уме операции над числами. Хотите я продемонстрирую вам свои новые способности?” Получив радостное согласие, учитель предлагает классу посоревноваться с ним в вычислениях. Выбирается жюри.

Первый тур. Учитель просит кого-нибудь из ребят назвать два последовательных натуральных числа. Пусть школьник назовет 129 и 130. Теперь учитель и класс вычисляют на скорость 1302-1292.

Читатель, конечно, понимает, что победителем, причем мгновенно, выйдет учитель.

Второй тур. Вновь учитель обращается к одному из учеников и просит того назвать любые два числа. Пусть ученик назвал 1,43 и 2,51. Теперь класс и учитель соревнуются при вычислении выражения

Понятно, что учитель, пользуясь формулами сокращенного умножения, легко побеждает в соревновании. Изменяя задания, неизменно побеждая, учитель в конце концов добьется от ребят фразы типа: “Хитренький. Вы что-то знаете! ” “Да, я действительно что-то знаю, — заявляет учитель. — Вы также узнаете это что-то сегодня на лекции и сможете быстро выполнять такие вычисления”. Далее можно перейти ко второй части лекции по теме “Формулы сокращенного умножения ”.

Для восьмиклассников и более старших ребят такие игры уже не проходят, но их можно заинтересовать, если показать ограниченность знаний в тех аспектах, в которых они справедливо уверены, убедить их в расширении возможностей выполнять какие-либо трудные действия; рассказать интересные исторические сведения об ученых, достижениях и т.п.; показать применение материала лекции в тех или иных специальностях; высказать какое-либо нестандартное обещание; организовать деятельность учащихся таким образом, чтобы ребята самостоятельно “открыли” самую важную теорему предстоящей лекции; включить школьников в диспут и т.п.

Продемонстрируем некоторые из таких вариантов вступления на примере лекции “Теорема Пифагора”.

Первый вариант. Учитель предлагает рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами 300 и 400 и задает вопрос: “Определяется ли гипотенуза данного треугольника однозначно?” Ученики отвечают утвердительно. Свой ответ обосновывают. Тогда учитель просит назвать длину гипотенузы данного треугольника. Ученики осознают, что они не могут этого сделать, хотя в принципе гипотенуза определяется однозначно. Таким образом, ребята ощутили ограниченность своих знаний.

Второй вариант. Учитель предлагает школьникам мысленно перенестись в далекие времена, в Египет, чтобы обратиться к строительству пирамид. “Как люди строили прямые углы на местности? Какие использовались инструменты? Отсюда они сами формулировали для себя задачу: ”Построить прямой угол на спортплощадке“. Учитель может первоначально ограничить их в средствах, запретить использовать ”нужные" приборы. Далее учитель сообщает, что на основе материала лекции они легко решат задачу построения на местности прямого угла, используя... три веревки (так же решали эту задачу египтяне).

Третий вариант. Начать урок с рассказа о личности Пифагора. Особый интерес у семиклассников вызывает легенда о первом появлении Пифагора перед народом в Кротоне1. Уместно привести известную шутливую формулировку теоремы Пифагора.

Четвертый вариант. Ученикам предлагается в тетради построить любой прямоугольный треугольник. Далее путем непосредственного измерения определить длины катетов и гипотенузы, затем на доске заполняется следующая таблица:

Катеты

Гипотенуза

Квадраты катетов

Квадраты гипотенуз

а

b

с

а2

b2

с2

3

4

5

9

16

25

12

5

13

144

25

169

Ученикам дается задание выполнить анализ данных таблицы, высказать гипотезу, перепроверить ее, сформулировать теорему. Пятый вариант. Формулируется две практические задачи:

1. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 4, а гипотенуза 5. Можно ли, не пользуясь построением, найти второй катет?

2. Как с помощью нескольких веревочек и линейки построить на местности прямой угол?

Далее формулируется задача лекции и переходят к основной части лекции.

Шестой вариант. “Фантастика! Вчера у нас в школе появился инопланетянин и предложил нам выбрать пластинки из очень дорогого неизвестного нам металла. Он положил на стол прямоугольный треугольник, а потом на катетах и гипотенузе построил квадраты из упомянутого металла. Все пластинки однородные и одинаковой толщины. От нас зависит выбор: взять квадратную пластинку, построенную на гипотенузе, или две квадратные пластинки, построенные на катетах (это условие инопланетянина). Что мы выбираем?” Ребята высказывают предложения, спорят, экспериментируют.

Основная часть лекции сопровождается вопросами к классу: “А как вы думаете?”, “Предложите свои варианты”, “Приведите опровергающий пример, попробуйте доказать самостоятельно, повторите доказательство, сформулируйте правило, определение или теорему”. Такие вопросы стимулируют учащихся к активной работе на лекции, помогают им не “выключаться” из процесса познания.

1 Березин Н.Н. Теорема Пифагора //Квант. — 1972. — № 3. — С.18.

Как бы хорошо ни была подготовлена лекция и как бы ни было высоко желание учителя успеть на уроке изучить целостный кусок учебного материала, он должен прерывать свою лекцию вопросами: “Кому не понятно? Где непонятно? Кому понятно?”

Важно, чтобы учитель не просто констатировал понимание или непонимание, а побуждал школьников к тому, чтобы они признавались, где и что им не понятно. Когда школьник поднимает руку и просит повторить какое-либо утверждение или доказательство всей теоремы, учитель ни в коем случае не должен раздражаться, наоборот, он должен очень доброжелательно и с большим уважением к задавшему вопрос повторить все сначала, но более обстоятельно, после чего не забыть поинтересоваться, удовлетворен ли ученик его ответом. Очень важно создать такую атмосферу на уроках, когда ученики не боятся “ляпнуть глупость”, задать любой вопрос или, наоборот, попытаться дать ответ на вопрос учителя либо товарищей. Пусть лучше учитель не успеет что-то изучить на уроке, чем недовольным тоном прервет ученика, задавшего вопрос, или вовсе не допустит вопроса.

Вопросы учеников на лекции чрезвычайно важны по многим соображениям, но не следует думать, что они появятся сами собой. Ребят слишком “долго и умело” отучали это делать начиная с детского сада или начальной школы. Значит, учителю следует учить ребят вести себя на лекции. Так, одно из главных правил — на лекциях должны быть вопросы. Казалось бы, это правило легко реализовать, ибо “любой дурак может задать столько вопросов, что и 100 умных не ответят”. Но на самом деле не так, поскольку способность задавать вопросы является верным признаком активной мыслительной деятельности.

Ученики начинают на лекциях задавать вопросы, если учитель: а) указывает некоторые направления, в которых можно искать “интересные вопросы”; б) “предоставляет” возможность задавать вопросы; в) охотно и терпеливо отвечает на все их вопросы; г) знает способы стимулирования ребят к постановке вопросов; д) создает обстановку, при которой престижно задавать вопрос, а непрестижно промолчать в тех случаях, когда что-либо непонятно.

Поэтому при подготовке к лекции на данном этапе важно знать некоторые способы обучения учащихся задавать вопросы.

Например, приступая к изложению доказательства какой-либо теоремы, учитель говорит ученикам: “После разбора доказательства у вас должен быть вопрос. Если вопроса не будет, то вы чего-то не поняли”. Какую теорему отобрал при этом учитель? Он взял такую теорему, в доказательстве которой следует рассмотреть несколько случаев, учитель перечислил все случаи, но какой-то из них не рассмотрел. Ученики и должны сформулировать вопросы типа: "Как рассмотреть такой-то случай? Почему не рассмотрели

такой-то случай?" Как правило, нужный вопрос чаще всего не задается. Как вести себя учителю?

Надо заранее спланировать свое поведение. Лучше всего обратить внимание ребят на то, что они должны сделать. Затем попросить сравнить с тем, что выполнили. После этого вызвать одного из лучших учеников и предложить восполнить доказательство (желательно “вычислить” такого, а лучше нескольких, которые не справятся). Обязательно закончить разбор доказательства. Что вынесут ребята из описываемой ситуации? Они осознают: а) наличие перебора предполагает правильное планирование перебора и рассмотрение всех возможных случаев; б) если учитель (или в учебнике) какой-либо из случаев не рассмотрел, то это означает, что следует задать вопросы: почему такой-то случай не рассмотрен? Как рассмотреть данный случай? Все ли случаи рассмотрены? И т.п.; г) им “выгодно” задавать вопросы.

Второй способ связан с выполнением домашнего задания. Им, к примеру, предлагается на дом задание: построить правильные: а) треугольник; б) четырехугольник; в) шестиугольник, вписанные в окружность радиуса R = 5.

На следующем уроке учитель сообщает, что ждет от них “хороший” вопрос по домашнему заданию. Конечно, вопросов нет, причем ученики не понимают настойчивости учителя. Ведь они действительно могут построить требуемые многоугольники (более того, их построение описывается в учебнике). Но учитель настойчиво “требует” от них вопрос по заданию.

Довольно трудно, если вообще возможно, описать реакцию большинства учеников класса на вопрос, который хотел услышать от них учитель и который сформулировал “счастливчик”: “Как построить правильный пятиугольник?” Здесь и недоумение (ведь вопрос-то напрашивался), и огорчение (ведь вопрос мог задать я), и желание в следующий раз придумать вопрос (причем не только тот, который ждет учитель), и благодарность учителю, рост его авторитета (ведь внимание учителя, его настойчивость привели к появлению вопроса). Поучителен и ответ, так как он показывает, что можно упустить самые сложные и лежащие на виду вопросы. Отсюда они начинают понимать, что домашнее задание — источник вопросов, с которыми следует отправляться на урок.

При работе над теоремами по приведенной ранее схеме (с. 18) учитель не только знакомит с примерами ее реализации, но и обращает внимание ребят на то, что пропуски шагов позволяют ученикам просить учителя восполнить пробел. Попытаемся проследить непосредственно на лекции появление вопросов. Для этого отправимся на лекцию по теме “Теорема Виета”. Учитель формулирует теорему (после введения) и доказывает ее (как в учебнике). Ученики, обращаясь к различным пунктам схемы, подкидывают вопросы:

1. Не могли бы привести другой метод доказательства? (2-й пункт.)

2. Где используется то, что многочлен второй степени? (3-й пункт.)

3. Как формулируется обратная теорема и верна ли она? (4-й пункт.)

4. Можно ли обобщить теорему? (5-й пункт.) И др.

Учитель, а он готов отвечать на эти вопросы (ведь большинство из них он предвидел, разрабатывая тему), с удовольствием отвечает на них. Часть вопросов оставит без ответа (предложив ребятам найти ответы самостоятельно), на другие будет отвечать. Найдутся читатели, которые зададут хороший вопрос: “Ведь учитель знал некоторые вопросы. Не лучше ли было не ждать их от учеников, а сразу затронуть в лекции?” Конечно, будут и такие варианты лекций, но ситуация, при которой вопрос следует от учеников, чрезвычайно перспективна. Автор видит в ней глубокий смысл. Во-первых, если вопрос последовал со стороны ученика, то ребята объективно признают, что они являются инициаторами его разбора. Раз они инициаторы, то вопрос им интересен, поэтому внимание к нему устойчиво. Во-вторых, сейчас они задают вопрос учителю по классической теореме, потом при решении задач в классе (не без участия учителя), а затем при выполнении домашних заданий. Им становится интересно не только задавать вопросы, но и искать ответы на них первоначально с учителем или одноклассниками, а далее самостоятельно. Понятно, что это развивает мышление учащихся. Важно подчеркнуть, что при этом осуществляется профориентация на профессию математика, а также учителя математики. В-третьих, вопросы учеников и ответы учителя на них приводят к тому, что авторитет учителя растет, ученики осознают, что они “творят” лекцию совместно с учителем.

Наконец, вопросы на школьной лекции позволяют учителю обоснованно проявить интерес и понимание к ученику, подчеркнуть момент общности, а также выразить искреннее одобрение. Автор убежден, что наличие или отсутствие вопросов на лекциях в школе свидетельствует о демократичности или авторитарности стиля работы учителя.

На лекции учитель может предложить и специальные упражнения, которые иллюстрируют реальные случаи появления вопросов.

1. Сейчас я изложу доказательство теоремы (решение задачи), после чего вы должны мне задать вопрос, наличие которого может свидетельствовать о полном понимании.

2. Я сформулирую вопрос, а вы должны после разбора доказательства теоремы на него ответить.

3. Откройте учебник на с.***, прочитайте текст и сформулируйте вопросы, которые связаны с этим материалом.

4. Теперь я сформулирую вопросы, которые было целесообразно задать в ходе лекции, но которые не последовали. Посмотрим, можете ли вы ответить на эти вопросы.

Выбор конкретных средств обучения поведению на лекции осуществить достаточно сложно, но следует помнить — нельзя давить на учеников.

Очень важно при подготовке лекции для младших школьников продумать, как вести обучение конспектированию материала лекции.

Прежде всего следует установить: имеют ли школьники общее представление об учебнике? Знают ли они о роли названий разделов, параграфов? Ведь каждый заголовок параграфа — своеобразный ориентир для ученика, так как, указывая на объект изучения, помогает ему установить главное, настраивает на определенную работу.

Так, название параграфа “Теорема Пифагора” ориентирует на изучение основной теоремы, подсказывает школьнику, что следует разобрать метод ее доказательства, так как он может быть использован при решении задач, и т.д. Название таких параграфов, в которых объединены два объекта (“Параллельность прямых и плоскостей”, “Декартовы координаты и векторы в пространстве”), ориентирует прежде всего на выявление связи между ними.

Познакомимся с некоторыми ситуациями, которые учитель может использовать для обучения учеников конспектированию.

Приступая к изучению отобранной части материала, учитель обращается к ученикам: “Теперь в течение пяти минут будем рассматривать важный материал, его требуется законспектировать так, чтобы вы могли дома по своим записям изучать материал”. Далее в течение пяти минут читается лекция (разумеется, медленно, так как это первые шаги обучения конспектированию). После изложения выбранной части учитель прямо на уроке, проходя по рядам, просматривает конспекты школьников и кратко комментирует: “Очень много слов, поэтому не успел. Молодец, придумал свои обозначения. Хорошо, удачно отразил самое главное и математически точно”. И т.п.

Таким образом учитель не только обращает внимание ребят на то, что при конспектировании следует выделить главное, использовать символику, но и оценивает работу отдельных школьников, при необходимости знакомит их с удачными находками одноклассников, организует обмен опытом конспектирования внутри класса, знакомит их с ориентирами, пользуясь которыми они в ходе лекции самостоятельно решают, что следует включать в конспект.

К примеру, если учитель произнес: “Сейчас рассмотрим важный для теории пример”, то его следует внести в конспект. А что делать, если таких слов не последовало? Ученик должен задать себе вопросы: "Могу я придумать такой пример? Были уже аналогичные

примеры?“ Если ответ утвердительный, то пример не следует включать в конспект. В другой раз ученик слышит слова: ”Будем доказывать теорему тем же способом, который приведен в учебнике". Это также ориентир для ученика, по которому он может поступить двояко: а) оставить место в конспекте для изложения доказательства, которое выполнит дома; б) может попытаться вести записи на лекции, а потом сравнить с изложением доказательства в учебнике и внести необходимые коррективы.

Специальные графические средства (подчеркивание, выделение) помогают представить конспектируемый материал в наиболее запоминающейся форме.

Другая ситуация.

Учитель излагает материал около десяти минут. Далее обращается к ученикам: “Теперь я покажу вам конспект данного фрагмента лекции, который я бы составил, если бы учился с вами и слушал эту же лекцию”. Оказывается, в ходе лекции, выполняя записи на доске, учитель составил конспект фрагмента лекции (возможен и другой вариант, при котором учитель на скрытой части доски готовит свой конспект, а затем показывает его ученикам).

После чего ведется примерно такая беседа:

- Ребята, почему я не включил этот пример?

- А почему включил другой?

- Что означает знак вопроса в конспекте?

- Как я обозначил наиболее сложные части?

Трудно ожидать полных и правильных ответов. Поэтому учитель должен проявить терпение, уделяя особое внимание обоснованиям.

Учителю важно иметь набор упражнений для учащихся, предназначенных для обучения конспектированию. Приведем примеры.

1. Ученикам непосредственно в классе предлагается изучить конкретную часть материала учебника, выявить пробел в изложении. Далее идет разбор данной части (в это время ученики ничего не пишут). Домашнее задание: составить конспект, уделяя внимание ликвидации пробела.

2. Приступая к изучению какой-либо теоремы, учитель просит школьников бегло прочитать текст учебника, а потом в ходе лекции акцентирует внимание на тех вопросах, которые в учебнике не затронуты, но которые следует отразить в конспекте.

3. Школьникам предлагается взять конспект товарища и, пользуясь им, рассказать содержание того или иного фрагмента лекции. После этого ученику можно предложить прокомментировать конспект своего товарища.

4. Учитель подбирает специальную статью из журнала “Квант”, а далее, после разбора материала учебника, предлагает законспектировать ее непосредственно на уроке.

Ясно, что работа по обучению конспектированию требует дополнительных затрат времени, поэтому объем материала первых

лекций должен быть существенно меньше. Возрастание объема должно идти постепенно, с учетом возможностей класса.

В ходе лекции учитель излагает значительно больший материал, чем на других уроках, поэтому необходимо систематизировать знания учащихся. Для этих целей можно использовать различные классификационные схемы, таблицы с обобщенными планами ответов и т.п. [6].

Развивая у учащихся интерес к математике, обучая поведению на лекции, формируя умения конспектировать, эмоционально и методически правильно излагая материал, мы можем не добиться желанных результатов, если не научим своих учеников запоминать.

Учитель постоянно должен уделять внимание обучению учащихся приемам запоминания: это использование стимулирующих звеньев, мысленное составление плана, выделение опорных пунктов, реконструкции, соотнесения [7, с. 35-37]. Разумеется, здесь не должно быть “много теории”, а обучение должно вестись в форме обмена опытом между учениками и учителем, одноклассниками, младшими и старшими школьниками.

Важный момент подготовки лекции для младших школьников — планирование их исследовательской деятельности при работе над темой. Здесь можно указать несколько возможных путей привлечения ребят к исследовательской деятельности.

Прежде всего работа с утверждениями (определениями понятий, задачами) по схеме. Учитель предлагает школьникам выполнить такую работу самостоятельно. Разумеется, учитель должен быть готов оказать помощь. Но читатель вправе задать вопросы: “А как проверить работу ученика? Где? Когда?” Другие заявят: “У учителя нет возможности проверять эту деятельность ребят”. Это действительно так. Но дело в том, что он и не планирует это делать непосредственно. Дав школьнику такое исследовательское задание, учитель должен подготовить старшеклассника так, чтобы он на зачете мог побеседовать по схеме с младшим: проверить выполнение отдельных пунктов, исправить ошибки, обсудить те пункты, с которыми младший не справился.

Второй путь обеспечения учащихся исследовательской деятельностью — имитация важной подготовительной работы профессионального математика. О чем идет речь? Представим, что перед математиком возникла необходимость попытаться решить какую-либо известную нерешенную математическую задачу. Примется ли он сразу ее решать или начнет с другой? Конечно, не сразу, так как это делать нецелесообразно. Дело в том, что по этой задаче уже много “наработано”, апробированы какие-то подходы, получены результаты. Поэтому математик начнет с того, чтобы познакомиться с работами, которые примыкают к кругу вопросов, связанных с решаемой им задачей. Исходя из этих соображений видим, что ученика можно привлечь к исследовательской деятельности на

доступном ему уровне, если поручить разобрать статью из журнала или книги, посвященную задаче или доказательству теоремы. Подбираемый материал должен удовлетворять определенным условиям:

1. Содержать интересную математическую идею (метод), которую можно использовать не только при изучении текущей темы, но и при изучении последующих тем.

2. Материал статьи должен быть связан с материалом изучаемой темы, опираться на него, но не сводиться к дублированию.

3. Статьи должны быть написаны ясным языком, интересно.

4. Существенно, чтобы вместе со статьей в доступных школьнику изданиях он мог найти разнообразные задачи по теме (от сравнительно простых до сложных задач).

Что школьнику предстоит сделать с этой статьей? Прежде всего разобрать математическое содержание, восполнить пробелы доказательств, которые имеются в статье, прорешать основные задачи, подобрать новые задачи. В завершающей части работы над статьей школьник готовит сообщение для внеклассного занятия.

Довольно часто, чтобы решить сложную математическую задачу, от математика требуется изменить подход к ней. Исследовательская деятельность школьников может быть связана с тем, что ему предлагается, например, определение, отличное от приведенного в учебнике: скалярным произведением векторов а b называется число, равное 0,5(|й + 5|2 — | ä\2 — | 5|2).

Ученику предстоит продумать геометрический смысл данного определения, изучить его свойства, установить его связь с тем определением, которое изучалось на уроке, и т.д.

Привлечь ребят к исследовательской деятельности удается, если научить их различным методам обобщения: обобщению по аналогии, обобщению как усилению и т.п.

С целью включения школьников в исследовательскую деятельность можно проводить различные конкурсы по решению задач. К примеру, классу предлагается решить одну задачу, но... максимально возможным числом способов.

Учитель вправе спросить: “О какой исследовательской деятельности семиклассников может идти речь?” Конечно, здесь автор называет такие традиционные виды деятельности:

1. Решение системы задач.

2. Самостоятельное составление задач.

3. Участие в конкурсах и олимпиадах.

Понятно, что задание должно соответствовать возрасту и возможностям ребят, программе. Кроме того, ученикам нравится все необычное. А нельзя ли привлечь сказку для исследовательской деятельности шестиклассников?

Сюжеты сказок, сочиненных ребятами, должны быть незамысловатыми, без неожиданных поворотов, с малым количеством действующих лиц, но вызывать интерес одноклассников.

Самостоятельное открытие теорем — еще одно направление исследовательской деятельности школьников. Ребятам на лекции предлагается собрать и проанализировать какие-либо экспериментальные данные, высказать и перепроверить гипотезу. Затем при условии подтверждения гипотезы в ходе лекции ищется ее доказательство.

Так, на лекции, посвященной теореме Виета, ученикам предлагается решить набор квадратных уравнений вида х2 + рх + q = 0 и заполнить таблицу:

N

р

q

х1

х2

После этого им предлагается изучить данные таблицы и высказать предположения о связях коэффициентов р и q с корнями.

Выполнив описанные шаги подготовки лекции, учитель приступает к завершающему этапу — подготовке плана проведения лекции. Конечно, нет и не может быть единого рецепта, как это сделать, но в плане может быть указано:

1. Тема лекции.

2. Задачи обучения, воспитания и развития школьников.

3. Способ обеспечения положительной мотивации.

4. Утверждения, которые будут разбираться на лекции (по схеме, частично, самостоятельно и т.п.).

5. Вопросы обучения поведению, формирования общеучебных умений, систематизации материала.

6. Содержание и организация самостоятельной работы учащихся на лекции (конспектирование, ответы на вопросы учителя, формулировка вопросов, поиск ошибок и их исправление, выполнение заданий и т.п.).

7. Исследовательские задания школьников.

8. Домашнее задание к следующему уроку и теоретические вопросы, выносимые на зачет.

9. Даты зачета, список литературы.

У учителя может возникнуть вопрос: “Записывать ли текст лекции?” Ответ может быть только один: “Это зависит от учителя. Записи должны быть удобны учителю. Важно, чтобы для профессиональной деятельности учителя сложная работа не пропала даром”.

“А вдруг лекция не получится?”- спросите вы. Лекция иногда не получается даже у опытного лектора, поэтому не стоит драматизировать отдельные неудачи. Важно выявить причины, по которым лекция не удалась. Причины могут быть следующими:

1) из вполне понятных и хороших побуждений учитель отобрал слишком большой объем учебного материала;

2) учитель вовремя не почувствовал, что отдельные ученики перестали его понимать (при подготовке следующих лекций следует предусмотреть способы самопроверки деятельности учителя; вести наблюдение за отдельными учениками; увеличить число фрагментов, которые следует изложить дважды; предложить отдельным школьникам повторить иные рассуждения и т.п.);

3) в математическое содержание лекции вкралась ошибка, которую ни учитель, ни ученики вовремя не заметили и обнаружили с некоторым опозданием. Это привело к нарушению ритма лекции, для предупреждения таких ситуаций желательно, чтобы учитель в ходе подготовки лекции необходимые выкладки воспроизводил не только в памяти, но и письменно, полезно задавать себе дежурные вопросы: “Откуда следует то или иное утверждение? Как проверить результат? Почему такой ответ?”;

4) лектор начал импровизировать, и его “занесло в сторону”. Это можно предупредить, если соблюдать правило: на первых порах от плана лекции отступления возможны только при наличии вопросов учащихся;

5) необоснованно много внимания учитель уделил деталям, а главное упустил;

6) учитель мог оказаться сбитым с толку неожиданным вопросом ученика (чтобы этого не случилось, требуется больше внимания уделять работе с утверждениями, стремиться задавать себе “дикие”, неожиданные вопросы и т.п.).

Автор перечислил лишь некоторые причины, по которым лекция может не получиться, но имеется еще много других.

И чтобы не продолжать список, отвечу на некоторые вопросы, которые мог бы задать автору каждый учитель.

Какой не должна быть школьная лекция?

Лекция не должна быть пересказом учебника. Дело в том, что письменное изложение материала имеет свою логику, свой стиль, свою форму и размеры. “Лекция же — это жизнь, она похожа на свершающее перед всеми действие, и лектор должен пользоваться всеми данными, пока он не почувствует, что в мысли слушателей проникла та идея, которую он хотел в них запечатлеть”1.

Отсюда ясно, что в школьной лекции присутствуют и эмоции, и повторы (наиболее сложных частей), формулировки, отличные от проводимых в учебнике. Возможно также обращение к наглядности, использование цвета, других обозначений, иное расположение чертежа, увеличение числа чертежей и т.д.

Каждый учитель в своей жизни выслушал сотни лекций, постепенно сложился стереотип: лекция — монолог лектора. Может

1 Космодемьянский А.А. Теоретическая механика и современная техника. — М.: Просвещение, 1975. — С. 159.

ли учитель в течение 45 мин увлекаться монологом? Это нежелательно. Причем, чем меньше возраст учеников, тем короче должен быть монолог. “Лекцию нужно читать (”совершать“) при активном участии аудитории, вместе с аудиторией, а не перед нею, переживая каждый раз при изложении давно известного лектору материала всю свежесть и новизну его первого восприятия”1.

Школьная лекция не должна быть слишком сложной или чрезмерно насыщенной различными фактами. Дело в том, что лекция ведь рассчитана не только на желающих, нельзя забывать, что ученики не всегда осознают необходимость учебы, не всем математика одинаково дается.

Случается, что учитель не укладывается в отведенное на лекцию время. Представление о том, что учитель должен обязательно успеть на уроке все запланированное, ошибочно, поэтому крайне вредно. Ведь многие ученики из-за спешки учителя перестают воспринимать ход событий, при этом они вынуждены присутствовать на уроке, фактически отсутствуя на нем. “Чрезмерная поспешность при обучении может существенно уменьшить его пользу. Результат обучения оценивается не количеством сообщаемой информации, а качеством ее усвоения и развитием способностей обучаемого к дальнейшему самостоятельному образованию”2.

Какой должна быть школьная лекция?

Урок-лекция — это прежде всего урок приобщения школьников к творческой деятельности на учебном материале. Это урок соразмышления учителя и учеников. Он должен быть подготовлен и проведен таким образом, чтобы при рассмотрении целой темы был обеспечен научный уровень изучаемого материала и, с другой стороны, были бы обеспечены доступность, изящество и красота. Именно в ходе лекции пробуждается интерес школьников к математике. Вот как высказывают свое мнение об уроке-лекции сами учащиеся: “У нас она дух захватывает, когда видим, как красиво и стройно получается у учителя. И нам самим хочется участвовать в создании такой красивой теории, на таких уроках мы учимся думать, записывать и даже говорить” [3].

Таким образом, очевидны следующие требования к школьной лекции:

1. Лекция должна быть интересной и для учащихся и для учителя.

2. Научный уровень лекции должен соответствовать уровню развития учащихся класса, одна и та же лекция не может дублироваться в различных классах.

1 Космодемьянский А.А. Теоретическая механика и современная техника. — М.: Просвещение, 1975. — С. 159.

2 Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучение. — М.: 1977. — С. 20.

3. Лекция должна быть обучающей, развивающей и воспитывающей.

4. Тема лекции должна естественным образом вытекать из ранее изученного и прокладывать тропинку к последующему.

5. Лекция должна быть совместным делом учащихся и учителя.

6. Должна быть емкой, целостной, размерной, ритмичной, обстоятельной.

7. Главные мысли должны быть повторены несколько раз, выписаны аккуратно на доске и законспектированы учениками.

КАК ПОСТУПИТЬ УЧИТЕЛЮ, ЕСЛИ КТО-ТО ИЗ УЧАЩИХСЯ НЕ СЛУШАЕТ ЛЕКЦИЮ?

Каждый, кто когда-либо присутствовал на лекции, ловил себя на том, что в некоторые моменты он отвлекся. Причем происходило это совершенно непроизвольно. И это естественно, однако учителю это мешает. Как же быть в такой ситуации?

Начнем с того, что заметим: ни в коем случае нельзя кричать на учеников. Можно лишь дружелюбно сделать им замечание. А лучше всего дать им понять, что они отвлеклись, не делая вообще замечаний. В этом мастерство учителя, его такт. Ну, а если учащиеся опять отвлекаются? Учитель должен искать причину в себе. Лекция малоинтересна, не увлекла учеников, возможно, просто слишком монотонна или ребята, может быть, устали. В этом случае учитель должен моментально перестроиться: найти интересные, яркие сравнения, сопоставления, показать ученикам свою личную заинтересованность в том, чтобы им был понятен материал лекции. Вот как образно о таком мастерстве говорил Н.В.Гоголь: “Он не должен довольствоваться тем, что его некоторые понимают; его должны понимать все. Чтобы делать доступнее, он не должен быть скуп на сравнения. Как часто понятное еще более поясняется сравнением!.. Он не должен говорить слишком много, потом, что этим утомляет внимание слушателей и потом, что многосложность и большое обилие предметов не дадут возможности удержать всего в мыслях”.

Если сама по себе лекция хорошо подготовлена и проходит на доступном для учащихся уровне, то она вызывает безусловный интерес. Однако уповать лектору только на свое мастерство маловато, ибо перед ним все-таки дети. Стимулировать их к активной работе целесообразно поощрениями. Понятно, что речь идет не о выставлении оценки, а об уместной человеческой похвале: “Очень хорошо! Молодец! Здорово!”

Важная роль отводится заключительной части лекции. В ней учитель помогает ребятам систематизировать материал, советует им, как работать над материалом темы, останавливается на

некоторых возможных трудностях ребят, предлагает некоторые “хитрые” вопросы по материалам лекции и т.п.

Анализ опыта различных учителей показывает, что развитие ребят идет быстрее, если учитель использует вертикальную педагогику, т.е. привлекает старших школьников к работе с младшими. Для обеспечения этой работы требуется подготовить старших ребят к принятию зачетов. Для этого их нужно подготовить теоретически, педагогически и психологически. С этой целью можно использовать лекции по материалам повторения, поэтому естественно на основе общей методической разработки темы подготовить специальную лекцию для старших.

Подготовка лекции для старших школьников

Старшими школьниками мы считаем тех, которые повторяют материал темы (они его изучали в прошлом году) и готовятся принимать зачет у своих подшефных (подробнее об этом будет идти речь при рассмотрении методики проведения зачетов).

В этой лекции отсутствует введение, она ближе к вузовской лекции. Учитель значительно реже обращается с вопросами к классу, доказывает только основные утверждения.

Вместе с тем при подготовке лекции для старших школьников добавляются новые элементы — указание тех теоретических вопросов, в которых младшие могут испытывать затруднения, методы их определения и способы оказания помощи, разбор сложных задач, целенаправленное обучение школьников составлению задач по теме лекции.

Наиболее интересный вопрос для учителя — методика обучения составлению задач. При подготовке лекции учитель обращается к известным ему методам составления задач. Ему предстоит отобрать те, которые будут использоваться в работе с учениками. Далее отобранный метод он “обрабатывает” таким образом, чтобы его можно было использовать при работе со школьниками. Подбирает специальные упражнения для учеников, которые предназначены для обучения составлению задач. Рассмотрим пример.

В инженерном конструировании, при решении различных проблем, используется матрица взаимодействия [8]. Для ее построения выделяют те признаки, с которыми хотят сформулировать задачу. Составляют матрицу, в которой каждый из признаков может быть сопоставлен с другим. Сопоставление пар элементов может приводить к появлению новых интересных и неожиданных задач, позволяет преодолевать стереотипы мышления.

Предположим, что после изучения функции у = ах2 + bх + с учениками были указаны такие признаки, характеризующие свойства этой функции:

1. Область определения, формула.

2. Непрерывность.

3. Производная (существование и формула).

4. Нули функции.

5. Экстремумы.

6. Промежутки монотонности.

Для нас не важен порядок расположения признаков, а также их полнота. Могут быть изменены и названия.

Теперь строим матрицу взаимодействия — таблицу, в которой 6 строк и 6 столбиков.

Выбираем какой-либо элемент матрицы. К примеру, элемент 4-5. Четвертый признак — нули функции, а пятый — экстремумы. Сопоставляем их друг с другом. Это приводит к заданию: Может ли максимум функции у = ах2 + bх + с, а < 0, быть ее корнем?

Использовать матрицу взаимодействия в таком ее виде может быть и нецелесообразно, поэтому возможна дополнительная переработка следующим образом. В ходе лекции для девятиклассников по теме “Решение уравнений, сводимых к квадратным” предлагается классу перечислить те функции, которые были изучены к этому времени. Ребята вспоминают:

Теперь ребятам сообщается, что у нас имеются часы с “оригинальным” циферблатом: только пять делений, вместо цифр формулы функций (рис. 6).

Рассмотрим теперь какое-либо положение стрелок на наших часах. Для формулировки задания берем "типич-

Рис. 6

ного" представителя функции, на которую указывает одна стрелка, а потом — представителя, указанного другой стрелкой, ставим между ними знак равенства (неравенства), если речь идет о составлении уравнения (неравенства). Таким образом приходим к заданию: решить уравнение

2х + 3 = \ х\.

Эти часы прежде всего помогают учителю заинтересовать ребят повторением решения известных уравнений. Интереснее решать “свои” примеры, чем те, которые предлагает учитель.

Могут быть использованы часы в игре, направленной на повторение методов решения и составление задач.

Учитель устанавливает какое-либо положение стрелок и предлагает ученикам первого варианта составить задания для учеников второго варианта. Ученики составляют задания, затем обмениваются уравнениями. Теперь им предстоит не только убедиться, что уравнения составлены в соответствии с положениями стрелок, но и решить их. В заключение ученики вновь обмениваются тетрадями и выполняют проверку решений. Понятно, что в этом случае ребята учатся осуществлять самоконтроль своей деятельности (ведь им в скором времени предстоит контролировать решение уравнений, которые выполняли их подшефные). Важно при этом, что таким образом учитель добивается открытого дублирования решения однотипных заданий: ведь не секрет, что большинству ребят справедливо не нравится многократно решать задания одного типа.

С целью обучения ребят преодолению стереотипов своей деятельности учитель вновь выбирает какое-либо положение стрелок, а потом на доске выписывает уравнения, составленные ребятами. Очень быстро ребята осознают, что они начинают повторяться. Учитель же не спешит менять положение стрелок. Отдельные школьники прекращают выписывать новые уравнения. Что это -отвлечение? Нет, так как видно, что они над чем-то задумались. Поднимается рука. “А ведь можно проводить какие-либо преобразования в уже составленных уравнениях, тогда получатся новые уравнения, а иначе дублирование”, — высказывается ученик. Очень важно поддержать идею школьника и обратиться к новым заданиям.

При необходимости требуется обсудить вопрос о тех изменениях, которые можно вносить. Ребята могут указать: выполнение операций над функциями (сложение, умножение и т.п.), увеличение числа функций, суперпозицию, введение параметра, запись в виде неравенства и т.д. Теперь вновь можно обратиться к новым заданиям, методам их решения. Если исходным было уравнение

2х + 3 = I XI,

то, выполняя изменения, школьники предлагают уравнения:

Существенно, чтобы учитель сам включился в деятельность по составлению задач. Наблюдая за деятельностью учащихся, важно увидеть интересные идеи. Пусть у одного из школьников “появилось” уравнение ^t"=|||x-l|-l|-l|.

Учитель может попросить автора записать условие на доске, обсудить метод его решения, а далее обратиться к школьникам: “Это очень интересное задание. Теперь я покажу, как можно сделать его еще интереснее. Я предлагаю следующее задание: При каком а уравнение я*\Сс~=|.||*-1|-1|-1| имеет: 1) пустое множество решений; 2) один корень; 3) три корня; 4) четыре корня?”

Ученики охотно воспринимают новое направление.

Работа по составлению задач позволяет подготовить старших к принятию зачета, повторить на более высоком уровне методы решения задач. В ходе составления задач реализуется подлинное сотрудничество учителя с учениками, ребят друг с другом. Теперь учителю предстоит определить направление исследовательской деятельности старших школьников. То, что школьники “выросли” на один год, представляет новые возможности для учителя и учеников.

Действительно, на лекции можно воспользоваться знаниями школьников и организовать дело таким образом, что ребята сами придумывают исследовательские задания. Само же исследование может быть проведено как на лекции, так и задано ученикам на дом. Приведем пример.

На лекции по теме “Четырехугольники” учитель может предложить ребятам вспомнить свойства параллелограмма. Общими усилиями могут быть приведены следующие (рис. 7):

Рис. 7

Конечно, ученики знают приведенные в учебнике признаки параллелограммов, но ведь свойства 1-14 позволяют сформулировать, а потом и доказать другие признаки. Получение новых признаков и является содержанием исследовательской деятельности школьников. На лекции учитель может выделить специальное время, а ребята могут работать в группах, пытаясь доказать “свои” признаки. Далее идет разбор предложений школьников. К примеру, могут быть доказаны следующие утверждения:

1. Если ∠BAD = ∠BCD и ∠ABC = ∠ADC, то четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2. Если каждая диагональ четырехугольника разбивает его на два треугольника равной площади, то четырехугольник — параллелограмм,

3. Если S або = Scdo и AD = ВС, то ABCD — параллелограмм.

4. Если ВО = DO и ∠BAD = ∠BCD, то четырехугольник ABCD — параллелограмм.

5. Если SAB0 = Scdo и Sado = Sbco, то ABCD — параллелограмм.

Конечно, учитель может добавить “свои” свойства и признаки, а ребятам надо либо доказать их, либо опровергнуть. Так, свойства 9 и 10 учитель может заменить на такие два:

9' РаВС — Рadc у

10' Pabd = Pbcd (Рхк ~ периметр треугольника с вершинами X, Y, Z).

Ученикам может быть предложено доказать следующее утверждение:

Если в четырехугольнике ABCD выполняются равенства ВО = DO и Раро — Рвсоч то ABCD — параллелограмм.

Так как школьникам предстоит опрашивать своих подшефных по теории, то очень важно спланировать работу по подготовке учащихся к такой деятельности. Опыт показывает, что эффективно для этой цели может быть использована имитация на лекции опроса по теории.

Учитель просит одного или нескольких школьников подготовиться к опросу по конкретным вопросам теории. Далее он вызывает одного из школьников, сообщает цель вызова и переходит к имитации.

Ученик ведет опрос, а “сдает” зачет учитель. Учитель при этом может играть роли разных школьников — от хорошо знающего и любящего математику до ученика, который... не знает таблицу умножения. В том случае, когда младший допускает ошибку, а старший ее не заметил (не прореагировал и класс), учитель делает остановку. Ученик превращается в младшего, а учитель — в старшего. Учитель показывает, каким образом должен был посту-

пить старший. При необходимости идет повторное переключение и дублирование опроса.

Может сдавать зачет ученик, а опрашивать учитель. Он не просто формулирует вопросы, фиксирует ошибки, проводит исправление, а каждый раз объясняет ребятам, почему задан данный вопрос (каким его можно заменить), какую работу (в уме) он выполнил (после ошибки сдающего), чтобы выбрать направление работы, почему он дал то или иное задание школьнику и т.п.

Можно к доске вызывать одновременно двух учеников. В этом случае один будет сдавать зачет, а другой принимать его. Здесь также важны замечания учителя, разбор допущенных ошибок.

В заключительной части лекции для старших школьников учитель знакомит ребят со списком вопросов теории, которые вынесены на зачет, расставляет акценты, т.е. указывает вопросы, по которым желательно опросить всех младших, вопросы, без знания которых не может быть речи о выставлении положительной оценки. На этом же этапе он сообщает о тех “пропусках”, которые заметил в работе младших школьников. К примеру, младшие на лекции не спросили учителя, как формулируется обратное утверждение к основной теореме. Он специально не заострил внимание младших на этом, а старших попросил “обязательно” задать всем этот вопрос. Практика показывает, что так “подготовленная учителем” работа старших с младшими приводит к тому, что младшие очень быстро осознают: “Если я не задам вопрос учителю на уроке, то мне нужно будет искать ответ самому на зачете”. Они начинают понимать, что прежде всего они заинтересованы в вопросах учителю.

В заключение главы укажу, что трудности учителей, начинающих использовать лекции, связаны:

1) с недостатками профессиональной подготовки (неумение проводить анализ материала учебника, не систематизированы методы решения задач по темам школьного курса математики, стандартный подход к решению многих педагогических задач, неумение оперативно составить задачу или сформулировать вопрос “с нужными свойствами”, слабые знания возможностей использования материала основных тем школьной математики для воспитания и развития школьников и т.п.);

2) с желанием непременно все успеть, с неумением психологически объяснить затруднения учащихся при работе над темой и выбрать адекватные средства, с незнанием способов, которыми можно заинтересовать учащихся, поддерживать их интерес, с неумением учитывать психологические особенности класса, проводить анализ умственной деятельности, которую необходимо осуществить для усвоения материала, и т.п.;

3) со слабой материальной базой школ.

Глава III. УРОК РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ — ОСНОВА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РАБОТЕ НАД ЗАДАЧАМИ

Решение собственно учебных задач имеет для ученика глубоко личностный смысл и в результате позволяет овладеть ему качественно новыми методами ориентации в мире, в людях, в самом себе, приводит к развитию деятельности, сознанию, личности к развитию творческого мышления.

В.В.Давыдов

Из этой главы читатель узнает:

1. Как подготовить и провести урок решения ключевых задач.

2. О методах выбора ключевых задач.

3. Как активизировать учащихся на данном уроке.

Каждому учителю математики понятны объективные трудности, возникающие у учеников при переходе от теории к практике, т. е. при решении задач. В литературе рассматриваются различные подходы к обучению учащихся решению задач. С одним из них я познакомлю читателя в этой главе. Он построен на ключевых задачах. Эти задачи — своеобразные опоры для решения других, в том числе и нестандартных математических задач. Идея состоит в том, что можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых ученик будет в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме. Этот минимум должен включать 5-7 задач.

Так как ключевые задачи предполагается использовать при работе со всеми учащимися, то в число ключевых войдут задачи, для решения которых известен алгоритм решения. Следовательно, читатель вправе возразить: “Если известен алгоритм решения, то ключевая задача всегда стандартная, а в литературе неоднократно отмечается, что обучение алгоритмам слабо развивает мышление учеников”. Действительно встречается такая точка зрения, хотя это не так.

Во-первых, в этом утверждении содержится неточность, так как общие методы (применительно к каждой конкретной теме) должны опираться на алгоритмы решения типовых задач (без этого они не работают).

Во-вторых, перед школой поставлена задача формирования алгоритмической культуры школьников, для решения которой школьников важно знакомить с алгоритмами решения различных задач.

В-третьих, разработка алгоритмов решения ключевых задач является творческой деятельностью, поэтому совместная деятельность учителя и учащихся на уроке по выбору, обоснованию и систематизации алгоритмов решения безусловно способствует, а не тормозит развитию школьников. Наконец, нельзя забывать, что для успешного решения нестандартных математических задач важное значение имеет личный опыт ученика, приобретенный им в процессе обучения. Использование опыта при поиске методов решения задач особенно эффективно осуществляется путем узнавания в новых задачах последовательности ключевых задач (а эта деятельность не сводится к алгоритмической и безусловно свидетельствует о развитии мышления школьников).

Как подготовить и провести урок решения ключевых задач? Один из возможных алгоритмов подготовки данного урока можно представить в виде блок-схемы:

1. Изучение программы и определение умений, которые должны быть сформированы у всех учеников после изучения темы

2. Систематизация методов решения задач по изучаемой теме

1

3. Отбор ключевых задач по изучаемой теме

i

4. Проработка ключевых задач по определенной схеме

1

5. Выбор методов решения ключевых задач, которые будут использоваться при работе с учащимися

6. Изучение затруднений и возможных ошибок учащихся при реализации отобранных алгоритмов, их диагностика, способы предупреждения их преодоления

7. Обоснование последовательности разбора ключевых задач с учащимися

1

8. Планирование проведения урока

Часть этих работ (блоки 1 и 2) мы уже выполняли в ходе подготовки к уроку лекции, поэтому обратимся к третьему блоку. Отобрать ключевые задачи можно различными способами, кроме того, возможны различные системы ключевых задач (в зависимости от особенностей класса, учителя и т.п.). Рассмотрим некоторые методы выбора ключевых задач.

Первый метод основан на умениях, которые должны быть сформированы у учеников после изучения темы [2, с.59]. Для отбора задач требуется просмотреть известные учителю задачи по теме и соотнести их с умениями, которые планируется сформировать. Далее выбирается минимальное число задач, овладев умениями решать которые школьник сможет решить любую задачу из учебника, а также задачи определенного уровня сложности. Эту процедуру выбора можно представить наглядно. С этой целью составим специальную таблицу. В таблице по горизонтали перечислены умения, а по вертикали указаны номера задач (из учебника или любого задачника). В ходе просмотра задач в соответствующей строке и столбце будем ставить 1, если решение задачи способствует формированию умения (оно используется), и 0 в противном случае.

Номера задачи

Умения

1

2

3

4

5

6

7

162

1

0

0

0

0

0

0

163

0

1

1

0

0

0

0

164

1

0

0

0

1

0

0

165

1

0

0

0

0

0

0

166

1

0

0

0

0

0

0

Задачи выбираем таким образом, чтобы их число было 5-7 и были задействованы все умения 1-7. Существенно, чтобы наиболее сложные умения были задействованы не в одной, а в нескольких задачах, чтобы задачи не были однотипными как по методам решения, так и по условию, чтобы уровень их сложности выбирался в соответствии с особенностями предшествующей подготовки учащихся и учитывал ближайшую зону развития учеников. Кроме того, при выборе ключевых задач следует опираться на следующие критерии:

1. Соответствие программе по данной теме.

2. Степень использования при изучении последующих тем.

3. Затраты времени по обучению учащихся решению задач.

4. Оптимальность алгоритмов решения задач.

5. Возможность поразить учащихся красотой решения.

Рассмотрим тему “Периодичность функций”. После изучения данной темы каждый школьник должен уметь:

1. Пользуясь периодичностью тригонометрических функций, находить значения тригонометрических функций углов, которые не содержатся в таблице.

2. Доказывать периодичность функций вида sin осе, cos осе, tgocc, ctgect.

3. Доказывать отсутствие периода у функций на основе определения и свойств периодических функций.

4. Находить основной период некоторых функций.

Если соотнести эти умения с задачами из учебника и известных задачников, то список ключевых задач может быть таким:

Задача 1. Вычислить: a) sin 1025°; б) cos (-5108°); в) tg589°.

Задача 2. Доказать, что функция у = tg 3x является периодической, и найти ее основной период.

Задача 3. Доказать, что функция f, которая определена на R и при всех X удовлетворяет тождеству fix + а) = f(x)\(a≠0), является периодической.

Задача 4. Найти основные периоды следующих функций: а) у = cos2x; б) у = sin3x.

Задача 5. Доказать, что функция у -х +sinx не является периодической.

Задача 6. Доказать, что функция у = cos* + cosV2~Jt не является периодической.

Второй метод выделения ключевых задач можно назвать методом исключения и дополнения. Для его реализации обращаемся к задачам из учебника. Читаем первую задачу — она первый кандидат на включение в систему ключевых задач. Переходим к следующей задаче. Здесь возможно несколько вариантов:

1. Она аналогична первой. В этом случае сравниваем первую и вторую. Учителю предстоит решить, оставить в списке возможных кандидатов первую или вторую (единого рецепта нет и не должно быть, решать учителю).

2. Она существенно отличается от первой и не включает первую. В этом случае эту задачу следует добавить к возможным кандидатам.

3. Вторая задача отличается от первой, но включает в себя первую. Чаще всего это означает, что первую следует исключить, а вторую включить в число возможных кандидатов.

Далее переходим к следующей задаче и процедура повторяется. Если проделать это со всеми задачами учебника, то остается 5-6 задач. Они и будут включены в число ключевых задач, отобранных на основе учебника. Теперь учителю следует задать себе вопрос: "С моей профессиональной точки зрения, достаточно ли моим

ученикам уметь решать задачи только из учебника?" Если ответ утвердительный, то процедура выделения ключевых задач (для этого учителя и класса) окончена. Если же ответ отрицателен, то выбор ключевых задач следует продолжить, обратившись к дополнительным источникам.

Обратимся к примеру выбора ключевых задач по теме “Тригонометрические уравнения”. Первые кандидаты — уравнения вида sinx = a, cosx = a, tgx = а. Следующее уравнение -уравнение вида A sin2 х + В sin x + С = 0. Метод его решения известен, поэтому не будем рассматривать. Для нас важно, что решение этого уравнения сводится к решению одного или двух уравнений вида sinx = а1 и sinx = а2. Отсюда ясно, что вторая задача включает решение и первой задачи. Исключать ли первую задачу из системы ключевых? Попытаемся доказать, что этого делать не стоит.

1. Если не акцентировать внимание учеников на решении простейших тригонометрических уравнений, то это приведет ко многим ошибкам учащихся.

2. Решение простейших уравнений относится к обязательным результатам обучения, поэтому мы не можем их игнорировать.

3. На решении этих уравнений основано решение тригонометрических неравенств. Эти и другие соображения убеждают нас, что нельзя исключить первую задачу из числа ключевых задач.

Таким образом, у нас имеется одна ключевая задача и один кандидат на включение в число ключевых задач. Переходим к следующим задачам. Это приводит нас к задаче вида A sin2 X + В cos X + С = 0. Соотнеся ее с предыдущей, легко устанавливаем, что она сводится к решению второй задачи. Здесь требуется решить: какое из уравнений A sin2 * + Z? sin де + С = 0 или A sin2 X + В cos X + С = 0 оставить в списке?

Ответ зависит от особенностей класса. К примеру, если класс не умеет обобщать, то в числе кандидатов следует оставить первое уравнение, а второе уравнение можно будет использовать на уроке решения ключевых задач для обучения обобщению. В том же случае, если класс знаком с методом обобщения, основанным на выявлении объектов, фигурирующих в задаче, и замене их на другие, то в числе кандидатов следует оставить уравнение

Если закончить процедуру выбора ключевых задач на основе учебника, то получим задачи:

1. Решить уравнения:

2. Найти корни:

3. Найти решения:

4. Решить уравнение

В том случае, если учитель считает, что его ученики не могут ограничиться учебником и он обращается к дополнительным источникам, то в число ключевых задач (при выполнении описанной процедуры отбора) можно включить задачи:

5. Решить уравнение

6. Решить уравнения:

7. Решить уравнение

Следующий способ выделения ключевых задач основан на методах решения задач по изучаемой теме, которые учитель отобрал для работы с учащимися. Выбор осуществляется в такой последовательности:

1. Изучается набор задач в учебнике и дополнительных источниках.

2. Задачи соотносятся с методами решения, отобранными для работы с учащимися.

3. Выбирается 5-7 задач, при решении которых будут задействованы все отобранные учителем методы решения задач.

Обратимся к теме “Площади многоугольников”. Предположим, что в соответствии с особенностями класса учитель для работы отобрал следующие методы решения задач:

1. Примени известные формулы.

2. Выполни разбиение фигуры.

3. Используй свойство аддитивности.

4. Используй подобие фигур.

5. Выполни непосредственное вычисление.

6. Используй метод оценки.

7. Используй метод включения и исключения.

8. Переконструируй фигуру.

9. Используй свойство монотонности.

Если соотнести задачи по теме “Площади” с методами 1-8, то система ключевых задач может быть такой (предложена Р.Г.Хазанкиным) :

Задача 1. Пусть О — точка пересечения медиан треугольника ABC, тогда площади треугольников АОВ, ВОС и АОС равны (при ее решении задействованы методы первый, второй, пятый и др.).

Задача 2. Пусть О — любая точка, расположенная внутри треугольника ABC, A1 — точка пересечения АО с ВС. Доказать, что

S Аос ' S лов — CA1 : A1В (при ее решении могут быть использованы методы первый, четвертый, пятый).

Задача 3. Пусть р — полупериметр, r — радиус вписанной окружности в треугольник ABС. Доказать, что S abc = pr (решение основано на методах: первом, втором, третьем).

Задача 4. Если ABCD — трапеция с основаниями AB и DC, О — точка пересечения диагоналей АС и BD. Доказать, что площади треугольников AOD и ВОС равны (решение данной задачи может быть дано различными методами: первый, второй, четвертый, седьмой и др.).

Задача 5. В прямоугольном треугольнике известны длины катетов а и b. Найти длину биссектрисы треугольника, проведенной из вершины прямого угла (в решении используются первый, третий методы).

Задача 6. Пусть К — середина боковой стороны AD трапеции ABCD, KEL ВС и Е е ВС. Доказать, что площадь трапеции равна произведению длин отрезков КЕ и ВС (решение может быть выполнено с применением методов первого, второго, пятого, седьмого и восьмого).

Задача 7. Доказать, что sin20° = — (в решении используется свойство монотонности площади и шестой метод).

Важно, что наиболее сложные методы заложены не в одной, а в нескольких ключевых задачах. Это дает возможность показать различные варианты реализации метода.

Следующий метод выбора ключевых задач можно назвать комбинаторным. Для его реализации следует выделить объекты, которые фигурируют в задачах той или иной темы, рассмотреть возможные комбинации этих объектов, а потом для наиболее важных комбинаций подобрать задачу.

Для примера выделим комбинаторным методом систему ключевых задач по теме “Касательная к кривой”.

В задачах данной темы фигурируют кривая, точка касания, касательная. Какие комбинации возможны? Даны кривая и точка касания, найти касательную; даны кривая и информация о касательной, найти точку касания; восстановить функцию по касательной и точке касания (для определенного класса функций).

Анализ задач и их отбор приводят к следующей системе задач (предложена Р.Г.Хазанкиным):

Задача 1. Составить уравнение касательной к параболе у = X2, которая: а) проходит через точку (2; 4) ; б) проходит через точку (2; -5).

Задача 2. Составить уравнение касательной, которая задана уравнением у = х2 + 2х — 1, если касательная: а) параллельна прямой у = 2х — 5; б) перпендикулярна прямой у = 4* — 1.

Задача 3. Найти уравнение параболы у = х2 + ах + b, если известно, что она касается прямой у = х в точке х = 1.

Задача 4. Составить уравнение прямых, которые касаются одновременно парабол у = х2 + х — 2 и у = -х2 + 1х — 11.

В заключение отметим, что ключевые задачи можно выделять и комбинируя различные методы выделения и что к приведенным приемам следует подходить как к возможным, но не обязательным.

Перейдем к блоку 4. Нам предстоит проработать эти задачи по определенной схеме. Напомним ее:

1. Признаки условия и заключения.

2. Различные методы решения.

3. Обратное утверждение и его истинность.

4. Возможные обобщения задачи.

5. Возможные применения задачи.

Подробная проработка всех задач одной системы заняла бы очень много времени, поэтому мы рассмотрим только одну задачу по теме “Площади”, а именно задачу 4 (см. с.50). Причем перейдем сразу ко второму пункту. Рассмотрим следующие методы решения:

Непосредственное вычисление. Прежде всего сделаем попытку выделить общие или равные элементы треугольников, а далее попытаемся выбрать из множества известных формул для площадей те, в которые входят равные или общие элементы. Легко заметить, что треугольники AOD и СОВ имеют равные углы AOD и СОВ (они вертикальные), поэтому обращаемся к следующим формулам:

Saod = 0,5 ⋅ АО ⋅ DO ⋅ sin ос и SB0C = 0,5 — ВО — СО — sin ос, где а = ∠AOD.

Нам требуется доказать справедливость равенства

0,5 ⋅ АО ⋅ DO ⋅ sin ос = 0,5 ВО ⋅ СО sin а, или АО DO = СО ⋅ ВО.

Как можно установить данное равенство? Ответ напрашивается сам собой — из подобия треугольников. Каких? Треугольник АОВ подобен треугольнику COD по первому признаку (рис. 8). Из подобия этих треугольников следует, что

Отсюда АО ⋅ DO = ВО ⋅ СО. Умножая обе части этого равенства на 0,5 sin а, получаем

Включение и исключение. К каждому из треугольников AOD и ВОС добавим треугольник АОВ. Получим два новых

Рис. 8 Рис. 9

треугольника — ABD и ABС. У этих треугольников AB — общая сторона, а высоты, проведенные на нее, равны, поэтому S^c = S^d .

Теперь к треугольникам ABD и ABC применяем свойство аддитивности: SAOB + SA0D = SA0B + SBOC, или SAOD = Sboc.

Выполни разбиение. Проведем через точку пересечения диагоналей О прямую, параллельную основаниям трапеции (рис.9). Пусть она пересечет стороны AD и ВС в точках M и N. Примем без доказательства, что МО = N0 (это можно доказать, рассматривая подобные треугольники DMO и DAB, а потом CON и CAB, а также DOC и BOA). Теперь очевидно, что

Социальная справедливость. Очевидно, что

поэтому

Применим к ABCD, ABD и ABC свойство аддитивности:

Выполняя приведение подобных, получаем Saod = Sboc -От отношения площадей перейди к отношению отрезков. Треугольники AOD и DOC имеют одну высоту, проведенную на стороны АО и ОС, поэтому

Аналогично доказывается, что SB0C SD0C = ВО : DO.

Так как треугольники АОВ и DOC подобны, то получаем, что АО : СО = ВО : DO, поэтому

Откуда

Используй подобие и метод включения и исключения. Пусть Г — точка пересечения боковых сторон AD и ВС трапеции ABCD (рис. 10). Легко доказать, что треугольники АТВ и CTD подобны. Из подобия этих треугольников получаем:

Применяя свойство аддитивности к треугольникам АТС и BTD, получаем:

Из второго равенства находим, что Saod = SBoc ⋅ Используй подобие. Пусть DE и BF — высоты треугольников AOD и ВОС, проведенные на стороны АО и СО соответственно. Очевидно, что DE и BF являются высотами треугольников DOC и BOA, проведенными к сторонам ОС vi АО соответственно. Так как треугольники АОВ и COD подобны, то можно записать пропорцию:

Можно было привести и другие решения задачи, но ограничимся этими.

При переходе к третьему пункту схемы учащиеся чаще всего формулируют обратную задачу так: Если О — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD и Saod = Sboc, то ABCD -трапеция.

Прежде чем начинать искать доказательство составленной задачи самостоятельно, желательно проверить гипотезу о ее

Рис. 10

справедливости. Для этих целей желательно брать “хорошие” объекты. Если взять параллелограмм, то можно убедиться, что сформулированное утверждение неверно. В таких случаях возможны два варианта дальнейших действий — можно отказаться от попыток сформулировать и доказать обратное утверждение (вероятно, существует много случаев, когда это целесообразно делать), а можно попытаться уточнить формулировку обратного утверждения. Если в данном случае избрать второй вариант действий, то приходим к задаче: Если О — точка пересечения диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD и Saod = SBoc, то AB || CD.

Мы не будем останавливаться на доказательстве данного утверждения, но отметим, что оно может быть проведено многими способами.

Обратимся к обобщениям задачи. Ранее мы уже знакомились с методами обобщения: замена объекта, изменение числа и обобщение по методу решения (см. с. 19). Попытаемся применить эти методы.

Сразу непонятно, на что следует заменить треугольники и как заменить их число, поэтому обратимся к обобщению на основе методов решения. Нам не удалось найти обобщения, построенные на первых двух методах (может быть, это удастся читателю). Обращение к этому методу позволило сформулировать и доказать следующие утверждения:

1. Если ABCD — трапеция, О — точка пересечения диагоналей, MN параллельна основаниям, О е MN, M е AD, N е #С, M1 е (ОМ], N1 е (ON], ОМ1 = ON1, то площади треугольников ADM1 и BCN1 равны.

2. В условиях предыдущего утверждения площади четырехугольников AODN1 и BOCM1 равны.

После доказательства данных утверждений можно попытаться применить к обобщению метод замены объектов. Теперь для него больше возможностей, так как появился новый объект — отрезок MN. Попытаемся его заменить. На что? Проведем прямую, параллельную основаниям трапеции, но отличную от MN. Предположим, что эта прямая пересечет AD, АС, BD и ВС соответственно в точках Р, Q, R и S (рис.11). Что нам известно о новой конструкции? Легко доказать, что PQ = RS. Равенство длин и параллельность DC и AB позволяют получить новое обобщение.

Рис. 11

3. Площади треугольников ADQ и BRC равны.

Понятно, что его можно доказать, используя метод разбиения. А другие методы? Оказывается, новый метод получается... применением ключевой задачи.

4. Если U и V — две точки, которые находятся на прямой RS и одинаково удалены от точек Q и R, то площади многоугольников AQDU и BRCV равны.

Под возможными применениями мы понимаем использование не только самих ключевых задач, но и способов их решения, которые нам удастся найти. К примеру, рассмотрим некоторые решения задачи: Каждая диагональ выпуклого четырехугольника делит его площадь пополам. Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом.

Почему эта задача на применение разбираемой ключевой задачи? Это видно из различных методов ее решения. Приведем некоторые из них:

1. Пусть О — точка пересечения диагоналей четырехугольника. Согласно условию

Поэтому площади треугольников AOD и ВОС равны. Следовательно, AB || DС. Аналогично доказывается, что AD || ВС.

2. Согласно условию площади треугольников ABD и BCD равны. Поэтому высоты АЕ и С F этих треугольников, проведенные на BD, равны (рис. 12). Теперь легко доказать, что прямоугольные треугольники АОЕ и COF равны, и, следовательно, АО = СО. Аналогично доказывается, что ВО = DO.

3. Пусть O1 — середина диагонали BD. Тогда площади треугольников CDO1, ВО1С и ADO1 и ВО1А равны. Отсюда следует, что

А это значит, что O1 е АС, т. е. О — середина BD. Аналогично доказывается, что АО = СО.

Уже эти решения показывают, что в данной задаче используются как ключевые задачи по теме “Площади”, так и методы их решения.

Рис. 12

Итак, мы отобрали ключевые задачи и нашли многие, основанные на различных идеях методы решения. Читатель вправе задать вопрос: “Что, все они будут использованы на уроке решения ключевых задач?” Ответ: “И да, и нет”. Да, потом, что они готовы к применению на уроке или в работе с учениками на внеклассных занятиях. Нет, потом, что они будут использованы только частично, да и то в том случае, если будут вопросы со стороны школьников. На данном этапе подготовки урока учителю важно выбрать те решения ключевых задач, которые будут использоваться при работе с классом. Предпочтение отдается тем методам, которые применимы к более широкому множеству задач.

Теперь следует определить последовательность ключевых задач, в которой задачи будут разбираться на уроке. При этом следует учитывать следующие рекомендации:

1. Начинать лучше всего с самых простых ключевых задач.

2. Задачи, при решении которых приходится выходить за рамки школьной программы, которые наиболее удалены от обязательных результатов обучения, лучше всего разбирать в конце урока.

3. Если при решении какой-либо ключевой задачи может быть использована другая ключевая задача (или метод ее решения), то эта задача должна разбираться ранее (в этом случае учащиеся тренируются в распознавании и применении ключевых задач).

4. Самые красивые и яркие задачи лучше отнести на вторую часть урока, чтобы под влиянием работы с ними ученики преодолели естественную усталость.

5. Желательно чередовать задачи, требующие обширных записей, с теми, которые не предполагают громоздких письменных обоснований.

6. Те ключевые задачи, которые как-то связаны с предыдущей темой, лучше включить в число первых, а активно используемые в последующих темах желательно разбирать позднее.

И наконец, можно перейти к завершающему этапу — планированию урока. Часть работ мы уже сделали — отобрали задачи и методы их решения, определили последовательность разбора, при необходимости подготовили наглядные материалы, подобрали систему вспомогательных упражнений. Таким образом содержательная часть урока уже спланирована. Теперь предстоит продумать самостоятельную деятельность учащихся на уроке на разных его этапах: работа при анализе условия и заключения, реализация ребятами отдельных шагов алгоритма и решений в целом, запись решений в тетрадь, постановка вопросов, возникающих в ходе урока, поиск ответов на вопросы одноклассников и учителя, систематизация методов решения ключевых задач.

Чтобы урок решения ключевых задач послужил стартовой площадкой для самостоятельного поиска учащихся, важно при

работе над задачами создавать и умело поддерживать познавательную напряженность учащихся.

Как этого добиться? Ответ, казалось бы, напрашивается сам собой — использовать идеи проблемного обучения. Докажем, что это не так.

Во-первых, если обратиться к любой из ключевых задач и методам их решения, то сразу понятно, что эти задачи довольно сложны для школьников, которые с ними сталкиваются впервые. Поэтому активное и сознательное участие в анализе проблемной ситуации смогут принять только отдельные, наиболее подготовленные школьники.

Во-вторых, так как от сформулированности умений решать ключевые задачи зависит результативность совместной работы учителя и учащихся над темой, то учителю все равно придется несколько раз повторять решение ключевых задач.

В-третьих, известно, что проблемное изучение требует значительно больших затрат времени, а это приведет к тому, что на полный разбор любой системы ключевых задач придется затратить чрезмерно много времени.

В-четвертых, как показывает практика, в условиях проблемного разбора ключевых задач достаточно сложно управлять познавательной деятельностью школьников. А это приводит к тому, что значительное число школьников не усваивает методы решения ключевых задач. Важно при этом и то обстоятельство, что в ходе репродуктивного изложения учитель может довольно чутко реагировать на запросы школьников, своевременно включая дополнительные упражнения, повторяя отдельные места, ставя дополнительные вопросы, оказывает оперативную помощь своим ученикам. Поэтому при разборе решений ключевых задач следует обратиться к лекции. Учитель прежде всего выявляет и фиксирует на доске условие разбираемой ключевой задачи, далее, “размышляя вслух”, знакомит ребят с логическими приемами нахождения истины, на основе которых выбирается тот или иной подход к решению. Вполне вероятно, что первоначально избирается путь, который не позволяет найти решение. Для ребят такая ситуация важна тем, что они учатся гибкости мышления, умению отказаться от избранного метода, переключиться на другую идею. С удивлением и благодарностью узнают, что, оказывается, учитель может заблуждаться и ошибаться, не сразу определять правильный метод, они учатся преодолевать свои затруднения.

После того как найден правильный метод решения задачи, учитель выполняет необходимые обоснования и приводит на доске (не акцентируя на этом внимания школьников) образец письменного оформления практически всех ключевых задач. Ученики чаще всего только следят за решением учителя, не делая записей в тетради.

С целью экономии времени учитель при обучении ребят оформлению решений может использовать классный математический уголок.

Имеет смысл организовать в кабинете и выставку лучших тетрадей старших школьников, с грамотными и безупречными решениями ключевых задач.

Учителям, которые начинают использовать урок решения ключевых задач, можно рекомендовать еще одно средство, облегчающее ученикам их работу над темой, — подготовку альбомов с решениями (учителя) ключевых задач по теме. Эти альбомы хранятся в кабинете математики, а ученики могут обращаться к ним в любое время.

Успехи урока решения ключевых задач во многом обусловлены тем, станут ли учащиеся заинтересованными свидетелями, соучастниками поиска учителя. Урок напоминает своеобразную игру по правилам, которые никто специально не оговаривал, но все их знают. На этом уроке царит “корпоративный дух”, поддерживаются свои традиции. “Корпоративный климат” урока позволит добиться одновременно двух, казалось бы, несовместимых целей урока: развития творческих возможностей каждой личности в отдельности и достижения высоких показателей в умениях решать математические задачи.

Ученики четко осознают, что учитель “разыгрывает” решение какой-то ключевой задачи, а их ход в игре — задать достаточное число “нужных всем — учащимся и учителю” — вопросов. Каждый понимает, что если вопросов не последует, более того, если не будет задан какой-либо “нужный” вопрос, то проиграют все (но в первую очередь ученики). Поэтому после решения каждой задачи со стороны учеников следуют многочисленные вопросы: где используется в решении та или иная часть условия? Как сформулировать обратную задачу? Верна ли она? Нельзя ли обобщить задачу? Как по-другому можно найти решение ключевой задачи? Какие частные случаи имеет смысл рассмотреть?

Успех урока во многом определяется и доброжелательными ответами учителя. Учитель, прежде чем отвечать на вопрос, чаще всего благодарит за него. После ответа обращается к автору вопроса и интересуется: “Удовлетворен ли ты ответом?” И только в случае положительного исхода продолжает урок. Понятно, что довольно часто ученики могут задать вопросы, которые учитель не предусмотрел в ходе подготовки к уроку. Поиск ответов на такие вопросы чаще всего требует серьезных затрат времени, так как требуется выполнить выдвижение и проверку гипотез, прокрутить в голове те или иные варианты. Но учитель идет на эти затраты времени, так как в ходе поиска ответа ученики, не ощущая имитации, вовлекаются в естественный поиск ответов, не замечая при этом, что учитель управляет их деятельностью.

Для уяснения методики проведения урока важно осознать, что отсутствие вопросов после разбора решения ключевой задачи не всегда означает, что задача усвоена. Для того чтобы убедиться, что учащиеся поняли (в том случае, если вопросов не последовало), учителю лучше всего обратиться к конкретному ученику с предложением рассказать решение ключевой задачи. Учителю следует подготовить себя к такой ситуации, что ни вызванный школьник, ни другие ребята не дадут правильного ответа. Подготовка должна выразиться не в том, что у него готов солидный набор нравоучений, а в том, что он должен качественно выполнить анализ ситуации и найти правильный способ отреагировать. В отдельных случаях учитель может не отвечать на вопросы школьников, а предложить поискать ответ самостоятельно. При этом он напоминает, что при необходимости они вернутся к таким вопросам на уроке-консультации.

Каждый учитель знает, что ученики довольно часто допускают ошибки при решении известных им задач. В связи с этим там, где это возможно, учителю следует знакомить с методами самоконтроля, показывать, как сам выполняет самоконтроль при решении и оформлении задач. Этой же цели служат и специальные упражнения, которые учитель предлагает ученикам: выполнить самостоятельное решение и сравнить свои записи с теми, которые выполнены на доске учителем или учеником; провести взаимопроверку решений; найти ошибку, “допущенную” учителем, и т.д.

Существенно, чтобы ученики могли дома самостоятельно потренироваться в решении задач, близких к ключевым (по своему желанию). Желательно познакомить класс со списком задачников, в которых они могут найти такие задачи, прокомментировать эти источники, отметив основные.

Какое домашнее задание получают ученики после урока решения ключевых задач? Ответ на него не может быть получен, если мы не осознаем, что означает контролировать усвоение решения ключевых задач. Контролю подлежит: а) умение школьников распознавать ключевые задачи; б) умение правильно решать и письменно оформлять решение ключевых задач; в) умение осуществлять самоконтроль деятельности по решению ключевых задач.

В связи с этим ребятам не предлагаются на дом какие-то сложные задачи или однотипные задания, призванные натаскать в решении ключевых задач, а подбираются специальные упражнения, предназначенные для отработки умений реализовывать методы.

Приведем упражнения для иллюстрации метода социальной справедливости.

Упражнение 1. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, О — точка пересечения его диагоналей АС и BD. Перечислите все многоугольники, которые при этом получаются.

Упражнение 2. Пусть ABCD — параллелограмм, Е — точка на стороне AB, К — на стороне CD, точка Е соединена отрезками с

точками С и D, К — с точками А и В. Укажите все треугольники, которые при этом получаются.

Упражнение 3. Пусть ABCD- трапеция, К — середина боковой стороны AD. Точка К соединена отрезками с точками В и С Укажите все многоугольники, которые при этом получаются.

Упражнение 4. Пусть ABC — произвольный треугольник, а К — середина стороны AВ. Докажите, что площади треугольников АСК и ВСК равны.

Упражнение 5. Пусть ABCD — трапеция. Укажите все пары треугольников, сумма площадей которых равна площади трапеции ABCD.

Упражнение 6. Пусть ABCD — параллелограмм, точка Р взята на стороне AB, а точка О — на AD. Укажите многоугольники, сумма площадей которых равна площади параллелограмма ABCD.

Упражнение 7. Пусть ABCD — трапеция с основаниями AB и CD, Е и F — произвольные точки на сторонах AB и CD. Укажите два треугольника, сумма площадей которых равна площади трапеции.

Упражнение 8. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, точка К — середина AB, а точка F — середина CD. Укажите два треугольника, сумма площадей которых равна половине площади ABCD. Можно ли указать четырехугольник, площадь которого равна половине площади ABCD?

Упражнение 9. Пусть О — точка пересечения медиан AN и ВМ треугольника ABC (рис. 13). Докажите, что Saob = Scmon .

Решение. Так как M и N — середины АС и ВС соответственно, то

Рис. 13 Рис. 14

Поэтому Sacn + SBMC = Sabc- Применим к каждому из треугольников ACN, ВМС, ABC свойство аддитивности: Saom + Scmon + Sbon + Scmon — SАов + S амо + Scmon + S bon. Приводя подобные, получаем: Saob = Scmon-

Упражнение 10. Найдите еще два решения упражнения 9.

Упражнение 11. Пусть ABCD — квадрат, N — любая точка стороны DC, a M — стороны AD; Р = AN n ВЫ, Q = MC n AN, R = СМ n BN (рис. 14). Докажите, что Sbpqr — SАрм + Sdmqn + «Sc&v.

Решение. Из свойств квадрата SABN = 5CÄM = ~ 5ЛАС£>, получаем: 5abcd = »Sa^^ + Scbm .

Применив свойство аддитивности к ABCD, ABN и СВМ, получим требуемое равенство.

Алгоритм — реализация метода социальной справедливости -включает такие шаги:

1. Выделить многоугольник, содержащий многоугольники, о которых идет речь в условии задачи.

2. Доказать, что его площадь равна сумме площадей “специальных” многоугольников (которые содержат сравнимые многоугольники) .

3. Применить свойство аддитивности к многоугольнику из первого пункта и многоугольникам из второго пункта.

4. Выполнить приведение подобных.

Осознавая необходимость систематизировать ключевые задачи и методы их решения, учитель может рекомендовать ученикам вести справочники. Устраняясь внешне от этой работы, на самом деле учитель должен помогать ребятам и управлять этой деятельностью. При желании ребята в справочники могут включать не только методы решения задач, но и примеры реализации, дополнительные теоретические сведения, интересные школьные задачи и т.п. В этих справочниках находят отражение и те вопросы, которые сформулировал учитель.

В заключение отметим, что эффективность урока зависит от:

1) знания учителем состава задач по теме и методов их решения;

2) владения методами выделения ключевых задач и умелой их реализации;

3) отсутствия формализма в требованиях по овладению умениями решать ключевые задачи;

4) способности предвидеть затруднения, типичные ошибки учащихся и выбрать методы их предупреждения;

5) умения правильно организовать контроль за умениями решать ключевые задачи и качественно провести анализ результатов контроля.

Глава IV. МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ УРОКА РЕШЕНИЯ ОБУЧАЮЩИХ ЗАДАЧ

Ты обеспечь очаг дровами, потом уж требуй света и тепла.

Фазу Алиев

Из этой главы читатель узнает:

1. Как выбрать систему обучающих задач.

2. Как учесть особенности отдельных групп учащихся.

3. Как можно обучать систематизации задач и методов их решения.

4. Каким образом можно активизировать деятельность школьников.

На предыдущем уроке школьники познакомились с интересной системой ключевых задач, систематизировали методы решения, получили ответы на свои вопросы. Но только наивный человек, далекий от школы, возьмется утверждать, что все ученики класса овладели методами решения задач, даже близких к ключевым задачам, смогут их распознать и применить к решению других задач. Для того чтобы идея ключевых задач работала, нужен специальный урок, который можно назвать уроком решения обучающих задач.

К основным задачам данного урока можно отнести: тренировку учащихся в решении ключевых задач; обучение распознаванию ключевых задач; ознакомление школьников с решениями задач, сводящихся к решению последовательности ключевых задач; систематизацию методов решения задач по теме; обучение учащихся решению задач в ходе выполнения специальных упражнений.

Обобщенная блок-схема подготовки урока включает следующие элементы:

1. Для каждой из ключевых задач учитель подбирает систему обучающих задач.

2. Проводится группировка задач, определяющая: а) задачи, которые будут разбираться в классе учителем совместно с учени-

ками; б) задачи для решения на уроке учениками без помощи учителя; в) задачи, предназначенные для работы дома; г) задачи, которые учитель будет использовать при работе со старшими; д) задачи, которые предлагаются ученикам для добровольного решения; е) задачи для исследования школьников; ж) задачи, предназначенные для включения в контрольную работу.

3. Задачи, отобранные для использования на уроке, учитель выстраивает в последовательность, в которой будет проводиться работа с ними непосредственно на уроке.

4. Выбирает методы работы с каждой из задач, отобранных к уроку. Подбирает упражнения, облегчающие усвоение, предупреждающие затруднения и ошибки, готовящие к распознаванию задач. Продумывает способы маскировки и упрощения задач, способы их усложнения, составления и т.п.

5. Продумывает способы систематизации задач.

6. Подбирает зачетные карточки (из числа использованных в прошлые годы) по изучаемой теме, которые будут “работать” на уроке.

Рассмотрим более подробно практические действия учителя при выполнении этих шагов. Самый важный и ответственный первый шаг — выбор системы обучающих задач.

В психолого-педагогической литературе можно встретить различные подходы к обучению учащихся решению математических задач [9, 10,]. В любом из них выделяются такие действия ученика: распознавание типа задачи и метода ее решения; реализация избранного метода решения; анализ опыта работы над задачей. Автор убежден, что в планируемой системе обучающих задач должны быть представлены: задачи на распознавание (т. е. задачи, в которых следует распознать ту или иную ключевую задачу. В этих задачах не должно быть сложных решений, более того, они не будут письменно оформляться); задачи на реализацию каждого из отобранных к работе с учениками методов (конечно, эти задачи почти наверняка могут быть решены разными методами, но если обучающая задача отобрана для отработки конкретного метода, то он должен быть не только реализован при ее решении, но и чем-то интересен, зачастую это наиболее целесообразный метод, а возможно, наиболее неожиданный); задачи на применение (в них отрабатываемая задача служит вспомогательной при решении другой задачи).

Понятно, что полные системы обучающих задач мы не можем привести (а тем более выполнить их разбор), поэтому ограничимся лишь примерами.

В первом примере обратимся к системе обучающих задач для однородных уравнений в теме “Тригонометрические уравнения”. К уравнениям на распознавание могут быть отнесены следующие:

Задания можно сформулировать так:

Докажите, что уравнение является однородным. Покажите, что уравнение может быть сведено к решению однородного. Можно ли решить уравнение, сведя его к однородному второй степени? И т.д.

Перейдем к методам решения. Пусть уравнение уже приведено к следующему виду:

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно sin осе:

А это — уравнение вида a sin а х + b cos а х = 0, где а, b — числа. Это — однородное уравнение первой степени (аФ 0). Решение его известно, поэтому опускается.

Второй метод решения исходного уравнения основан на делении обеих частей уравнения на cos2 а х.

Задания на реализацию обоих методов могут быть типа:

Решить уравнения двумя способами:

Кроме того, в систему обучающих задач должны быть включены задания на применение однородных уравнений. Это могут быть:

более сложные задания на непосредственное решение однородных уравнений; уравнения, решение которых сводится к решению нескольких уравнений, среди которых хотя бы одно является однородным.

Какими же методами составления уравнений пользуется учитель? Так, для получения нужных уравнений рассмотрим однородную функцию относительно переменных н, v:

Теперь вместо и подставим sin х + sin 3x, а вместо v — sin 2 х и запишем уравнение:

Получаем однородное уравнение второй степени относительно sin X + sin 3 X и sin 2 х. Решение может быть выполнено любым из двух указанных методов (возможны и другие решения).

Выбирая вместо u и v другие функции, содержащие тригонометрические функции, мы можем получить много разнообразных, довольно сложных заданий. Кроме того, для усложнения можно выполнить дополнительные преобразования уравнения, цель которых “спрятать” однородное уравнение. Таким образом, можем получить уравнения:

Другой путь получения интересных заданий может быть таким. Рассмотрим два однородных уравнения:

Составляем следующие уравнения:

Могут быть подготовлены к уроку и специальные упражнения:

1. Открыть учебник и указать номера задач, которые относятся к той или иной конкретной ключевой задаче.

2. Назвать ключевые задачи, к решению которых сводится задача из учебника.

3. Составить задачу, которая аналогична некоторой задаче из учебника.

4. Назвать методы самоконтроля, которые можно использовать при реализации решения задачи из учебника.

5. Выполнить проверку решения отдельной задачи.

6. Усложнить и оценить задачи из учебника.

7. Составить задание, при выполнении которого использовались две конкретные ключевые задачи.

8. Проверить правильность выполнения упражнения по составлению задач.

9. Ваш товарищ испытывает затруднение при решении конкретного задания. Как вы оказали бы ему помощь?

10. Составить тригонометрическое уравнение, одним из ответов которого получается х — 2кп, n е Z.

Для активизации деятельности учащихся желательно вовлечь школьников в соревнования по решению задач. Для этого учитель подбирает такие задания, которые могут быть решены разными методами, например упражнение:

11. Найти максимальное число способов решения уравнения

Теперь обратимся к ключевой задаче (см. с. 50) : Пусть ABCD -трапеция с основаниями AB и DC, О — точка пересечения диагоналей АС и BD. Доказать, что площади треугольников AOD и ВОС равны.

Приведем задачи на распознавание данной ключевой задачи.

Задача 1. Пусть ABCD — трапеция, M и N- середина оснований AB и CD, Р = AN n DM, Q — СМ n BN. Доказать, что площадь четырехугольника MQNP равна сумме площадей треугольников ADP и BCQ. Обобщите задачу.

Почему она относится к задачам на распознавание? Дело в том, что достаточно провести отрезок MN, рассмотреть два четырехугольника AMND и BCNM, а потом “увидеть” применение ключевой задачи. Обучающий характер данной задачи связан и с тем обстоятельством, что после решения задачи учитель предлагает найти ошибку в решении. Ошибка связана с тем, что ученики утверждают, что оба четырехугольника AMND и BCNM являются трапециями. Коллективный поиск ошибки — прекрасное обучение самоконтролю.

Задача 2. В четырехугольнике ABCD диагональ АС является биссектрисой угла BAD и АО ⋅ ВО = СО ⋅ DO, где О — точка пересечения диагоналей четырехугольника. Найти ВС, если AB = 7.

В этой задаче достаточно “узнать” задачу, обратную той же ключевой, а далее, воспользовавшись параллельностью AD и ВС, доказать, что треугольник ABC равнобедренный и ВС- AB- 1.

Задача 3. Пусть Р — точка пересечения продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD, а точка Q — сторон AD и ВС. Известно, что площади треугольников APD и AQB равны. Доказать, что BD || IIQ.

Для овладения методом включения и исключения в обучающую систему задач можно включить:

Задача 4. Пусть О — точка пересечения медиан AD и CP треугольника ABC: а) доказать, что площади треугольников АОР и COD равны; б) выполняя дополнительное построение, доказать равенство площадей этих же треугольников.

Задача 5. Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС, О — точка пересечения ее диагоналей, Е-точка пересечения боковых сторон AB и DС. Доказать, что площади треугольников АОВ и COD равны.

Для обучения использованию подобия можно включить задачи:

Задача в. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС площадь треугольника AOD равна SIf а площадь треугольника ВОС равна S2, О — точка пересечения диагоналей. Найти площадь трапеции.

Задача 1. Пусть AD и СЕ — высоты остроугольного треугольника ABС. Доказать, что треугольник ABC подобен треугольнику BDЕ. Чему равно отношение площадей треугольников ABC и BDE?

Задача 8. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых — треугольники, площади которых Sh S2, S3. Найти площадь треугольника.

Следующая задача предназначена для отработки метода разбиения.

Задача 9. В шестиугольнике противоположные стороны попарно параллельны и равны. Если соединить через одну любые три вершины шестиугольника, то получится треугольник. Доказать, что площадь этого треугольника равна половине площади шестиугольника.

В решении следующих задач может быть использован метод социальной справедливости:

Задача 10. На сторонах AB, ВС и АС треугольника ABC выбраны точки A1, B1, C1 так, что

Пусть

Доказать, что площадь треугольника MNP равна сумме площадей треугольников АА M\ BBjN и CCjP.

Задача 11. Пусть AD и ВС -основания трапеции ABCD, О — точка пересечения диагоналей трапеции. Через В и С проведены параллельные прямые, первая из которых пересекает АС и AD в точках Р и M, а вторая — BD и AD в точках Q и N (рис. 15). Что больше: площадь пятиугольника MPOQN или сумма площадей треугольников АВР и CDQ?

Задача 12. Если M и N— середины противоположных сторон AD и ВС выпуклого четырехугольника и известно, что сумма площадей треугольников AND и ВМС равна площади четырехугольника ABCD, можно ли утверждать, что в данном четырехугольнике стороны AD и ВС параллельны?

Задача 13. Пусть К — середина стороны AD выпуклого четырехугольника, КЕ ⊥ CD, Е е CD и площадь четырехугольника ABCD равна КЕ — CD. Доказать, что AB || CD.

У нас получилось довольно много задач, поэтому правомерен вопрос: “Что, все эти задачи решать на данном уроке?” Конечно, нет. Учителю предстоит выбрать задачи для работы в классе, домашней работы, повторения. Это второй шаг.

Выполнение третьего и четвертого шагов во многом зависит от особенностей класса, поэтому здесь могут быть указаны только общие соображения:

1. Желательно умело варьировать уровень сложности задач.

2. Оказывать дифференцированную помощь ученикам в овладении методами решения задач, привлекая одноклассников.

3. Предусмотреть занятость всех групп учащихся работой.

4. Организовать обмен опытом решения задач.

5. Подготовить специальные упражнения для отдельных групп учащихся в соответствии с их особенностями.

Остановимся только на последнем пункте. Предположим, что учитель выделил группу ребят, которые не умеют анализировать условия задач. Для этих школьников он готовит специальные упражнения. Приведем примеры.

Рис. 15

Упражнение 12. Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС, О — точка пересечения ее диагоналей, Е — точка пересечения продолжений боковых сторон AB и DC

1. Указать пары подобных треугольников.

2. Сравнить площади треугольников АСЕ и BDE.

3. Доказать, что площади треугольников АОВ и COD равны.

Упражнение 13. 1) По условиям предыдущего упражнения

доказать, что треугольники ВОС и DOA подобны. Провести высоты этих треугольников и записать различные пропорции. 2) Доказать, что площади треугольников АОВ и COD равны.

Для обучения систематизации методов решения задач по изучаемой теме учитель готовит свой вариант справочника, с которым и знакомит учеников непосредственно на уроке. К примеру, одна страница может быть подготовлена так, как показано на рисунке 16.

Понятно, что учитель такую страницу готовит постепенно непосредственно на уроке, на глазах школьников, не сообщая им то, что он готовит страницу из справочника. Переходя же к обучению систематизации, он сообщает, что на доске его вариант страницы из справочника, объясняет, почему он имеет такой вид, какие изменения могут быть внесены (в связи с возможностями учащихся).

Для обучения систематизации методов решения задач разнообразными способами можно подготовить специальный стенд, на котором поместить перечень изучаемых методов с примерами на весь период изучения темы или дать специальные задания школьникам, а потом их материалы отразить на стенде или систематизирующие материалы поручить подготовить старшим школьникам.

Большой интерес вызывает включение в данный урок аукциона по решению одной задачи, который в данном случае может быть проведен по таким правилам:

1. Свой метод может показывать любой ученик класса, который сигнализирует об этом поднятием руки.

2. Решение задачи можно написать на листке, а при рассказе решения можно его использовать.

3. После рассказа решения можно задавать вопросы, отмечать ошибки. Если выявленные пробелы автор не восполнит, то решение не принимается.

4. Если автор решения не смог восполнить выявленный пробел, а это сделал другой ученик класса, то он признается автором решения.

5. Победителем аукциона признается тот ученик, который рассказал последний метод решения (независимо от числа других методов).

Так как с учениками отработаны ключевые задачи и выполнены специальные упражнения, то это позволяет организовать совместную деятельность учителя и учеников таким образом, что задачу для будущего аукциона ученики формулируют сами. Приведем пример.

Рис. 16

После разбора системы ключевых задач по теме “Площади многоугольника” учитель в конце урока предлагает такое задание: Установить свойство параллелограмма, связанное с диагоналями и площадями.

Довольно быстро формулируется такое свойство: Если ABCD -параллелограмм, то каждая его диагональ разбивает параллелограмм на два треугольника равной площади.

Далее предлагается сформулировать обратное утверждение. После нескольких попыток ученики приходят к следующей формулировке: Если каждая диагональ четырехугольника разбивает его на два треугольника равной площади, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Эта задача и предлагается ученикам в качестве домашнего задания. Здесь же учитель сообщает ребятам, что по ней будет проводиться аукцион.

Урок решения обучающих задач представляет еще одну дополнительную возможность — включать дополнительные вопросы теории в виде обучающих задач. Например, при изучении темы “Вписанный угол” не был рассмотрен вопрос об измерении углов с вершиной внутри и вне круга. На уроке решения обучающих задач уместно предложить ребятам вопросы:

1. Как найти величину угла с вершиной внутри круга?

2. Как найти величину угла с вершиной вне круга?

3. Как найти величину угла, образованного двумя касательными, проведенными из одной точки к окружности?

Мы не имеем возможности рассмотреть все вопросы методики проведения даже одного урока. И он, читатель, вправе спросить: “На двух предыдущих уроках в основном работал учитель. Где же активность учеников? Как развивать умственные способности учащихся?” Вопросы справедливые и интересные.

Для этого следует помнить аксиоматическое положение: главное условие развития учащихся — активная умственная деятельность учащихся. Обучение только тогда является действенным, когда “забегает вперед” развития, только в том случае, если ученик работает в зоне ближайшего развития. Поэтому ясно, что ученик сначала должен первоначально выполнить какие-то задания под руководством учителя, а потом самостоятельно. Отсюда понятно, что на уроке решения обучающих задач должны быть использованы идеи проблемного обучения, так как ученики предыдущими уроками подготовлены к активному участию в анализе проблемной ситуации и поиску методов ее разрешения.

Необходимость отработать какие-то конкретные умения приводит к необходимости дублировать задания, выполнять воспроизводящие задания. Отсюда ясно, что нельзя признать проблемное изложение единственно допустимым.

Существенно, чтобы ученики осознавали выполненную ими деятельность. Поэтому учитель после решения задачи обращается к ученикам с вопросами: “Почему мы использовали данный метод? Могли ли использовать такой-то метод? Проще ли было решение, если мы использовали другой метод?”

Обсуждение этих вопросов необходимо и потому, что они позволяют всем ребятам понять решение каждой задачи непосредственно на уроке, поддержать внимание ребят на нужном уровне. Этой же цели могут служить традиционные самостоятельные работы, резервные задания для учеников, записанные в определенной части доски.

Особого разговора заслуживает вопрос: как обеспечить заинтересованность ребят? Ведь урок предназначен для отработки уже изученных методов решения задач, а это не всегда интересно (особенно хорошо успевающим ребятам). Простое требование (должны решать и пусть решают) не “работает”. Здесь важно обеспечить самостоятельность учащихся, умело варьировать уровень сложности — не интересны очень легкие и чрезмерно сложные задачи. В ходе подготовки к уроку они и подбираются так, чтобы обеспечить учеников задачами, решение которых приносит радость и ученикам, и учителю. Ä как реагировать учителю на трудности учеников?

Здесь учитель должен быть артистом. Одним ученикам сообщить, что он также не может решить задачу, так как не может выполнить какое-то действие (ученикам становится интересно, так как, оказывается, они его могут сделать). Другим ученикам достаточно сказать, что он видит ошибку, которую они допустили и которую им предстоит найти самостоятельно (для них интересно найти “свою невидимку” — ошибку). Третьей группе ничего не надо говорить, а достаточно “хитро” улыбнуться (ученики, скорее всего, поймут, что они самостоятельно должны найти решение). Понятно, что единого рецепта нет, но учителю следует помнить: он помощник, советчик, генератор идей, критик и т.п.

В заключение отметим, что успех урока решения обучающих задач зависит от следующих факторов: соответствует ли система обучающих задач особенностям класса; умеет ли учитель психологически точно реагировать на ситуации, возникающие на уроке; может ли учитель заинтересовать учащихся решением обучающих задач и поддерживать интерес школьников на нужном уровне; правильно ли организована работа по систематизации; знает ли учитель основные затруднения учеников, умеет ли выбрать адекватные средства их предупреждения и преодоления и др.

Глава V. СОТРУДНИЧЕСТВО УЧАЩИХСЯ И УЧИТЕЛЯ ПРИ ПОДГОТОВКЕ И ПРОВЕДЕНИИ УРОКА-КОНСУЛЬТАЦИИ

То, что знаем, — ограничено, а то, чего мы не знаем, — бесконечно.

П.Лаплас

Из этой главы читатель узнает:

1. Как готовятся к уроку школьники.

2. Как готовится к уроку учитель.

3. Как готовить ребят к уроку-консультации.

Урок-консультация проводится в рамках школьного расписания. К этому уроку ученики дома готовят карточки с условиями задач и вопросами по изучаемой теме, которые их интересуют. На карточках указывают фамилию и имя, полный текст условия и источник, откуда была взята задача. Карточки ученики сдают до начала учебного дня в день проведения консультации. Откуда берут ребята задачи? Из учебника, дополнительных задачников, журналов “Квант” и “Математика в школе”, из числа предложенных учителем на предыдущих уроках, зачетных карточек по изучаемой теме, которые имеются в кабинете математики.

Основными задачами урока-консультации являются: оказание помощи ученикам в учебе, ликвидация пробелов в знаниях ребят, обучение учащихся решению сложных математических задач (переформировке задач, расчленению на ключевые, обобщению и т.п.), знакомство учащихся с новыми методами решения задач по теме, обучение составлению математических задач, создание ситуаций успеха, передача опыта учителя по решению задач своим ученикам, организация общения учителя и учащихся при решении сложных задач.

При подготовке к консультации ученик чаще всего выполняет такие действия:

1. Готовит вопросы теории, включенные в зачет, и определяет те вопросы, которые он не разобрал.

2. Изучает методы решения задач по теме и выявляет затруднения при их решении.

3. Пытается решить задачи, которые вызвали затруднения.

4. Просматривает дополнительные источники, в которых содержатся задачи по теме, и отбирает “кандидатов” для включения в карточку.

5. Отбирает задачи, которые он не может решить, а также такие задачи, которые (по мнению ученика) чем-то могут заинтересовать класс и учителя.

6. Составляет карточку к уроку-консультации.

Каким образом составляется карточка? Остановимся на этом вопросе подробнее. Ученик, просматривая задачи, задает себе вопрос: “Могу ли я решить данную задачу?” Задав вопрос, он выполняет мысленную прикидку, делает реальные попытки решить и т.д. Если ответ утвердительный или он решил задачу, то чаще всего задача не будет включена в карточку (она будет включена в карточку, если в ходе ее решения школьнику пришлось использовать что-то, что, по его мнению, может представлять интерес для других ребят). В случае отрицательного ответа и после различных неудачных попыток найти решение ученик фиксирует задачу и источник, в котором она находится. Тем самым эта задача попадает в число кандидатов на включение в карточку. После просмотра всех источников, имеющихся в распоряжении ученика, у него набирается довольно много задач (от 10 до 20 задач у разных школьников). Теперь он, исходя из личных соображений, выполняет группировку отобранных задач. Часть задач (их большинство) будет пытаться решить самостоятельно. По другой части будет обращаться к своему научному руководителю — ученику, который принимает у него зачет. Остальные задачи, как правило, это от трех до пяти задач, включаются в карточку к уроку-консультации.

Такая деятельность учащихся при подготовке к уроку важна для ученика по многим соображениям. Прежде всего ученик, по своему желанию, обращается к дополнительным источникам, без принуждения работает над задачами, которые не задавались. “Примерка” к задачам по существу своеобразная рефлексия, которая выше, чем простое решение задач, заданных учителем. Важно, что ребята учатся работать с книгой, овладевая умением учиться. Трудно переоценить значение этой работы и потому, что она “заставляет” ученика общаться со старшими школьниками в условиях учебной деятельности. Это приводит к тому, что работа над изучаемой темой становится общим делом двух ребят (ведь старший не сразу может ответить на вопрос по задаче, они делают совместные попытки решить задачу, ищут и ликвидируют ошибки друг друга и т.д.).

Приведем примеры двух карточек к консультации по теме “Неравенства”.

I.

1. Доказать неравенство х2 + у2 + z2 ^ 16 для всех значений переменных, удовлетворяющих условию х + у + z = 6.

2. Доказать, что

3. Доказать неравенство

4. Доказать неравенство

5. Доказать, что если р> 0, g > 0, то

II.

1. Доказать, что для любых положительных чисел аи а2, an выполняется неравенство

2. Доказать, что для любых положительных чисел о, b, с выполняется неравенство

3. Доказать, что для любого натурального n справедливо неравенство

4. Найти наибольшее значение функции

5. Доказать, что если 0 < x < 1, а и е iV, то

Читатель сам может оценить качество выполнения домашнего задания, а ребята на вопрос о том, что они учитывают при подготовке к уроку, отвечают: "Важно придумать не сложное, а интересное задание, идея решения которого оригинальна, красива.

Дело в том, что в этом случае получается содержательный урок“. ”Не трудна ли подготовка к этому уроку?“, — спросите вы. ”Конечно, подобрать задание, которое будет рассматриваться на консультации, довольно сложно, но не трудно. К этому уроку мы начинаем готовиться сразу после лекции", — ответят ребята.

Деятельность учащихся непосредственно на уроке-консультации -это знакомство с решением задач, запись решения тех задач, которые интересуют школьника, овладение опытом учителя по решению “неожиданных задач”, знакомство со стратегией поиска решения учителем, изучение эвристических соображений, которые используются при поиске решения, и т.д.

Довольно часто после консультации собираются группы ребят, чтобы решить задачи, которые не разбирались подробно на уроке, а учитель указал только идею решения.

Теперь обратимся к подготовке учителя. Прежде всего следует отметить, что значительная часть подготовки к данному уроку учителем уже выполнена в ходе общей разработки темы и подготовки к предыдущим урокам. Отметим то, что теперь “работает” на урок-консультацию: а) повторение учителем методов решения задач, которые активно используются при работе с задачами; б) выявление затруднений учащихся при решении задач по теме и определение той помощи, которую следует оказать (без этой работы сама идея проведения урока-консультации не может быть реализована); в) повторение методов составления задач по изучаемой теме.

Основной этап подготовки — работа с карточками учеников до урока.

Цель — отобрать вопросы теории и задачи для разбора на уроке, которые могут позволить учителю оказать помощь ученикам, создать ситуацию успеха, развивать интересы школьников, их творческие возможности.

При работе над карточками учеников учитель выполняет несколько процедур (операций). Опишем три из них:

Процедура факторизации, состоит в том, что из множества задач, содержащихся в карточках, он выделяет группы, близкие в некотором смысле по содержанию, методам решения, трудностям, с которыми могут встретиться ученики при поиске решения задач, и т.п.

Пусть в карточках различных учеников к уроку по теме “Неравенства” учитель обнаружил следующие задания:

1. Доказать, что

2. Доказать:

3. Доказать, что при любых m и n справедливо неравенство

4. Верно ли неравенство

5. Доказать неравенство

6. Найти наименьшее значение выражения:

7. Доказать неравенство:

Учитель может выделить группы: а) задания, которые могут быть решены методом выделения квадрата одного или нескольких выражений. Это задачи 3, 4, 6,а, 7,в; б) задачи, в которых следует применить свойство выпуклости некоторых (связанных с задачами) функций. В эту группу входят задачи 1 и 2; в) задачи, решение которых построено на использовании неравенства Коши, — задачи 6,6, 7,а, 7,6.

После выполнения процедуры факторизации учителю предстоит для каждой выделенной группы (из задач, входящих в группу или составленных учителем) выбрать одну задачу таким образом, чтобы работа с ней на уроке помогла ученикам класса в решении всех задач группы.

Процедура обобщения, состоит в том, что вместо группы задач (возможно, выделенных при факторизации) учитель рассматривает “новую” задачу, которая является обобщением всех задач группы. Понятно, что если решить эту обобщенную задачу, то путем подстановки конкретных значений получаем решение всех задач группы.

Пусть в карточках к уроку по теме “Решение уравнений, сводящихся к квадратным” учитель обнаружил задания: 1. Решить уравнение:

2. Найти все значения n, при которых уравнение х 4 + (n — 1) х3 + jt2 + (n-l)jt+l=0 имеет не менее двух различных отрицательных корней.

Применяя процедуру обобщения, он формулирует следующую задачу:

Решить уравнение ах4 + bх3 + сх2 + bх + а = 0 .

Очевидно, что каждое из уравнений, предложенных учениками к уроку, сводится к частному случаю уравнения, выделенного учителем. Практика показывает, что разбор общего уравнения позволяет ученикам самостоятельно решать “свои” задачи из карточек. При этом учитель (после разбора обобщенной задачи) обращается к тем ученикам, которые хотели бы рассмотреть частный случай. Каким набором данных из общего получается их уравнение? Какие шаги следует сделать? Как осуществить самоконтроль своей деятельности? Эти вопросы целесообразно задавать не только для того, чтобы убедиться, получили ли школьники желаемую помощь, но и для того, чтобы все школьники осознали метод решения задачи.

Процедура объединения — формулировка одной задачи, разбор которой обеспечит знакомство школьников с решением нескольких задач. Здесь учитель просто сообщает метод решения одной задачи или проводит ее решение, а конкретная реализация может проводиться учениками в ходе дальнейшей работы над темой.

Пусть в карточках к уроку по теме “Применение производной” учитель выделил следующую группу задач:

1. Найти наибольшее значение функций:

2. Найти наименьшее значение функций:

Конечно, каждая из этих задач легко решается с помощью производной, но учитель специально выделил эту группу задач, так как решение каждой из них сводится к умелому использованию неравенства Коши:

Он рассказывает идею решения, при необходимости показывает ее реализацию на одном из неравенств.

Ученикам же предстоит самостоятельно решить, доказывать неравенство из своей карточки или можно этого не делать.

Выполнение этих процедур позволяет установить минимум задач, которые нужно разобрать на уроке. Этот минимум отбирается учителем таким образом, чтобы обеспечить ответы на все вопросы учащихся, кроме тех, которые выходят за рамки изучаемой темы (к этим вопросам он возвращается при изучении последующих тем). Далее учитель выбирает последовательность разбора задач. Первыми следуют те задачи, которые в максимальной мере могут активизировать класс. Кроме того, если одна и та же идея лежит в основе метода решения разных задач или решение задач связано с преодолением одного и того же затруднения, то первой будет разбираться такая задача, в которой идея более прозрачная, чтобы ученики, усвоив новую идею, могли ее применить уже в более сложной ситуации, при поиске решения последующей задачи.

Как не покажется парадоксальным, но основная трудность в проведении уроков-консультаций состоит в том, что к первым консультациям ребята не подготовят карточек. Дело обстоит именно так. Попытаемся объяснить это. В большинстве случаев учащиеся привыкают к тому, что в классе и дома они выполняют аналогичные задания (фактически так и происходит). Кто же может составить карточки в этом случае? Хорошие ученики? Нет, так как они усвоили решение задач на уроке, поняли теорию, поэтому легко и безупречно выполняют очередное домашнее задание. Они не составят карточку, так как у них нет никаких проблем. Ученики, которые систематически не выполняют домашнее задание? У них также нет проблем, так как они не выполняли и не собирались выполнять задание, следовательно, карточку они не подготовят.

Отсюда ясно, что учитель должен быть готов к тому, что на первые консультации ребята не составят карточки и потребуется терпеливая и кропотливая работа по обучению школьников.

Начинать нужно с учебника. К примеру, не получив карточек к консультации, учитель вызывает лучшего ученика класса к доске. Фиксирует внимание класса на том, что у него нет вопроса, демонстративно открывает учебник и предлагает ему выполнить задание (как правило, это — сложное задание, с которым ученик объективно не может справиться). Не читая нотаций, учитель обращает внимание ученика у доски и всего класса на то обстоятельство, что данную задачу можно было включить в карточку к уроку-консультации.

Итак, первыми начинают готовить карточки лучшие ученики. Учитель благодарит ребят за них, что является стимулом для других

групп учащихся. Таким образом учитель показывает, что задачи из учебника — источник задач к уроку-консультации.

Довольно скоро, получив и изучив карточки к уроку-консультации, учитель замечает, что в карточках только задачи из учебника. Тогда он вызывает (чаще всего опять одного лучшего) ученика к доске и предлагает ему решить задачу, которая разбиралась на уроке (или в учебнике есть подробное решение). На лице учеников легко читается недоумение (задачу решали, вызван лучший ученик). Ученик также удивлен, легко расправляется с задачей, а дальше его ждет... сюрприз — сформулировать и решить обратную задачу. Довольно быстро выясняется, что ни ученик у доски, ни класс не могут решить новую задачу. Таким образом, ученики осознают, что задачи из учебника могут быть изменены переходом к обратной задаче, к аналогичной задаче и т.п. Все “самостоятельно” сформулированные задачи чутко улавливаются учителем, находят у него признание и поддержку. Так в карточках появляются задачи, которых не было в учебнике.

Обращаясь к теоремам и задачам учебника, обучая ребят формулировать на их основе новые вопросы и задачи, учитель учит ребят работе с текстом, указывает им направления работ с учебником при подготовке к последующим урокам-консультациям.

Далее следует похвала ученику за то, что ему удалось придумать такую интересную и неожиданную задачу. Реакция учителя, его поддержка ученика приводят к тому, что все заинтересованы и всем хочется (быстрее других) найти решение задачи (на лицах многих учеников читается сожаление — почему не они предложили задачу, на лицах других — уверенность в том, что в следующий раз они придумают что-либо такое же интересное). Другая ситуация -задачу на уроке никому не удалось решить, более того, не видно вообще, как подойти к ее решению. Поиск решения продолжается и на перемене, очень быстро в него включаются и старшеклассники. Задача интересует всех. Например, текст одной такой задачи: Требуется измерить данный угол без помощи транспортира.

На уроке-консультации ни учитель, ни ученики не решили эту задачу. На следующем уроке учитель “забыл” о задаче, но ученики не забыли — они просят вернуться к ней. Учитель честно сообщает, что он не знает решения задачи, несмотря на многие попытки решить ее. Обращается к классу. Решение еще не найдено, но безусловно будет продолжено до тех пор, пока задача не будет кем-либо побеждена (учителем, старшими школьниками или младшими ребятами). Идет негласное соревнование. Вдруг на одном из уроков геометрии выясняется, что у семиклассницы есть решение. Класс “требует” вызвать ее к доске. Учитель охотно идет навстречу пожеланиям класса. После напоминания формулировки задачи ученица выходит к доске и... обращается с вопросом к автору задачи (а не к учителю): "Нет транспортира, а всем другим можно

пользоваться?" Гордый и великодушный автор, конечно, дает свое разрешение. Тогда девочка разжимает кулак, в котором все видят... обыкновенные часы. Она устанавливает их так, что начало секундной стрелки совпадает с вершиной угла, дожидается момента, когда стрелка совпадает с одной стороной угла, фиксирует момент совпадения с другой стороной и... сообщает градусную меру угла. Трудно, практически невозможно описать реакцию класса и учителя. Все поражены, завидуют, недоумевают (почему не они). Конечно, это праздник, так как задачу победили. Но здесь вновь все зависит от учителя, так как он понял, что задача решена, но...

Помогает учителю и ученикам при подготовке к уроку схема работы над задачей. Учитель может познакомить ребят с набором возможных вопросов, которые желательно оформить в виде таблицы и поместить в классе.

Признаки условия и заключения

Где используется данный признак при решении задачи? Можно ли получить часть заключения, опираясь только на часть признаков условия? Можно ли отдельный признак условия заменить на другой?

Метод решения

В чем идея решения задачи? Не могли бы вы показать другой метод решения задачи? Известна такая идея решения задачи, не могли бы вы ее реализовать? Почему отказались от такого метода решения задачи? Можно ли предложить новую задачу, которая использует такой же метод решения? Какой метод решения можно признать оптимальным? Будут ли в дальнейшем новые методы решения этой же задачи? Как описать данный метод в справочнике?

Оформление решения задачи

Как оформить решение задачи? Можно ли опустить обоснование данного факта? Правильно ли я обосновал данную часть утверждения? Не могли бы вы показать другое обоснование? Почему в учебнике отказались от такого обоснования? Как будет применено обоснование, если будут внесены изменения в условие?

Обратные задачи и их истинность

Как сформулировать обратное утверждение? Не могли бы вы доказать или опровергнуть обратное утверждение? Правильно ли я сформулировал обратное утверждение? В чем ошибка при формулировке обратного утверждения? Как доказать, что данная формулировка обратного утверждения ошибочна? Какие методы доказательства обратных утверждений известны? Истинно ли такое обратное утверждение?

Существенность признаков условия

Будет ли верно утверждение, если отбросить данный признак условия? Какая часть утверждения сохранится, если провести изменения в условии? Верно ли такое доказательство, не опирающееся на данный признак? Как показать существенность такого

признака? Правильно ли я доказал существенность данного признака?

Обобщение задачи

В каких направлениях можно вести обобщение задачи? Верно ли такое обобщение? Приведите пример обобщения данной задачи. Правильно ли я доказал обобщенную задачу? Известны ли следующие методы решения задачи, а также выполняется ли более общее утверждение, как его доказать? Не могу опровергнуть следующее обобщение задачи. Не могли бы помочь его опровергнуть? Я решил обобщенную задачу, но метод решения не нравится. Не могли бы познакомить с идеей другого решения? Как сформулировать пространственное обобщение задачи? Можно ли данные задачи объединить, сформулировать одну обобщенную задачу? Какие методы обобщения известны? Покажите реализацию метода обобщения на задаче из данной темы.

Применение задачи

Для решения каких задач может использоваться данная задача? Не могли бы привести практическую ситуацию, анализ которой опирался бы на данную задачу? Укажите возможные применения задачи. В каких случаях целесообразно использовать метод решения данной задачи?

Заметим, что, несмотря на положительное отношение учителя к ученикам, задающим вопросы на уроке, в каждом классе есть несколько таких, которые находят интересные вопросы, но стесняются их задавать на уроке. Как правило, они обращаются со своими вопросами на перемене или после урока. Желательно, чтобы учитель похвалил ребят за интересный вопрос, но просил учеников обращаться с вопросами непосредственно на уроке-консультации, так как, во-первых, при этом повышается эффективность деятельности учителя (ответ на вопрос слышат все ученики), а во-вторых, появляется возможность похвалить ученика в присутствии товарищей, что не только стимулирует его дальнейшую работу, но позволяет другим ученикам увидеть, что они упустили данный вопрос из поля зрения.

Итак, при подготовке к уроку-консультации учитель отобрал вопросы теории и 5—7 задач, на которых он будет останавливаться на уроке. Как же проходит урок?

Прежде всего учитель отвечает на вопросы теории. Он терпеливо ведет свой рассказ (часто подробнее, чем в лекции, но не обязательно тем же методом), просит повторить учеников наиболее сложные места, убеждается, что задавший вопрос действительно понимает то, в чем затруднялся (фамилии учеников, задавших теоретический вопрос, если он обычен, не называются).

Наибольший интерес представляет разбор задачи. Конечно, задачи значительно отличаются одна от другой, поэтому методы разбора их весьма разнообразны. Но за всем этим разнообразием

Рис. 17 Рис. 18

можно выделить несколько схем работы над задачами (эти схемы выбираются на основе степени знакомства учителя с задачей).

Задача известна учителю. В этом случае он (в ходе подготовки к уроку) сделал прогноз о возможных затруднениях школьника. Прежде чем показать решение, учитель может проиллюстрировать проявление этих затруднений на других задачах, которые либо разбирались на уроке, либо известны школьникам. Приведем пример.

Задача. Через точку пересечения Е продолжений боковых сторон AB и CD трапеции ABCD проведена прямая т, пересекающая основания ВС и AD в точках M и К. Прямые ВК и КС пересекают AM и MD соответственно в точках О и Р. Докажите, что площадь четырехугольника ОМРК равна сумме площадей треугольников АОВ и CDP.

Учитель обращает внимание на то, что бывают случаи, когда в задачах имеются лишние условия, от которых следует отвлечься. Он указывает, что для облегчения поиска решения следует сделать новый чертеж, на котором изображать только часть фигуры. Затем он приступает к решению задачи.

В соответствии с замечаниями он не включает в рассмотрение точку Е (чертеж принимает новый вид, рис. 17), производит сокращение числа элементов на чертеже, делая при этом несколько попыток (обосновывая свой отказ от каждой из них). Это позволяет получить новые чертежи (рис. 18). На них ученики без труда узнают ключевую задачу по теме площади и легко заканчивают решение задачи.

Работа над задачей на этом не заканчивается. Учитель предлагает ученикам (желающим) выполнить задания:

1. Обобщите задачу.

2. Решите задачу: Через точку Е продолжений боковых сторон AB и CD трапеции ABCD проведена прямая т, пересекающая основания ВС и AD трапеции соответственно в точках M и К. Прямые AM и MD пересекают ВК и КС соответственно в точках О и Р. Докажите, что SMPKo не зависит от положения секущей.

Рис. 19

3. Решите задачу: Докажите, что если два треугольника AED и ABF (рис. 19), получающиеся при продолжении противоположных сторон выпуклого четырехугольника ABCD до их пересечения, равновелики, то одна из диагоналей делит другую пополам.

Эти дополнительные задания, с одной стороны, помогают ученикам учиться преодолевать затруднения в решении задач, а с другой — позволяют привлечь учеников “скрытно” и добровольно повторять решения задач, опираясь на ключевые задачи предыдущих тем.

Схема разбора над известной задачей может меняться в зависимости от того, какой ученик ее предложил. Разберем один из возможных вариантов — ученик, прежде чем включить задачу в карточку, делает много попыток найти решение (учитель знает об этом из наблюдений за ним). В этом случае, прежде чем приступить к решению задачи, учитель обязательно спросит у ученика о тех попытках, которые он предпринимал. Таким образом, первый этап работы над задачей проходит в форме своеобразного консилиума: ученик рассказывает о нескольких попытках, а учитель высказывает соображения о целесообразности, перспективности каждой из них. Такой разбор важен для всех, так как ученики могут практически наблюдать: преждевременный отказ ученика от попытки (нужна настойчивость), чрезмерные затраты времени на реализацию ложной идеи (учитель отверг ее моментально, применив проверку на правдоподобие), отказ из эстетических соображений (задача геометрическая, а ученик пытается проводить длинные нудные вычисления) .

Познакомившись с попытками школьника, учитель обязательно найдет способ похвалить его за проведенную работу. Далее он напомнит методы решения задач, которые не были использованы учеником, обоснует целесообразность использования одного из них, а

потом покажет его реализацию. Рассмотрим пример.

Задача. Прямая пересекает стороны треугольника ABC в точках M и К, отсекая треугольник ВМК, площадь которого равна половине площади треугольника ABС. Докажите, что справедливо неравенство

Ученик познакомил учителя со следующими методами решения, которые он пытался реализовать: рассмотреть случай МАГ У АС, а потом общий случай свести к этому частному. Ученику не удалось это сделать. Тогда учитель попробовал реализовать данную идею. Прежде всего он проверил справедливость утверждения при МК и АС. Далее перешел к общему случаю (МК не параллельно АО.

По предложению ученика ввел МХКХ (рис. 20), параллельную АС, такую, что

Теперь предложил ребятам получить и обосновать возможные следствия. Ученики сразу же указали:

“Что нам известно о числах, произведение которых постоянно?” -следующий вопрос учителя. Ученики вспоминают, что сумма таких чисел будет минимальной, когда они равны. “Какое следствие теперь может быть получено?” — естественный вопрос. После некоторых раздумий записано:

Следовательно,

Ученики убедились, что данную идею можно было реализовать.

Рис. 20

Далее учитель обращает внимание, что неравенство между геометрическими величинами может быть установлено методом от противного (до этого данный метод не использовался в теме площади). Затем познакомил учеников со вторым методом решения задачи.

В заключение работы над задачей им была предложена следующая задача (для желающих) : Прямая пересекает стороны AB и ВС треугольника ABC в точках M и К. Известно, что площадь треугольника МВК равна площади четырехугольника АМКС. Докажите, что

Понятно, что для реализации приведенной схемы работы над задачами учитель должен знать задачи, содержащиеся в наиболее распространенных задачниках, а также основные затруднения, с которыми встретятся ученики при реализации различных методов решений, должен уметь быстро придумывать контрпримеры и обосновывать отказ от реализации той или иной идеи.

Задача новая и сложная. Схема работы над задачей будет иной (хотя здесь учитель также может познакомиться с теми попытками, которые предпринимал школьник в ходе поиска решения). В данном случае учитель более подробно проводит анализ условия задачи, делает самые различные попытки найти решение. Очень важно, что ученики осознают (они видят это неоднократно), что учитель (так же, как и они) не сразу может найти верный путь, что он может ошибаться как при высказывании гипотез, так и при их реализации, что у него имеется целый ряд методов и стратегия перебора этих методов при поиске решения (ведь методы он пробует на глазах учеников, причем в определенной последовательности, формулируя при этом одни и те же вопросы), что он умеет отказаться от неудачного плана, активно использует чертеж в ходе поиска решения (иногда проведя для этого точные построения). Таким образом, работая над новой сложной задачей, учитель передает школьникам свой опыт работы с математическими задачами. Всегда ли учитель справляется с решениями незнакомых задач, отобранных им к уроку-консультации? Конечно, нет. Может ли учитель предвидеть, какие из отобранных задач ему скорее всего не удается решить на уроке? Опыт учителя, его умение оценить сложность задач, знание своих возможностей, безусловно, позволяют ему с высокой вероятностью определить те задачи, с которыми ему скорее всего не справиться при решении их на консультации. Может быть, целесообразно не включать эти задачи к разбору на уроке? Зачем тратить драгоценное время урока? Авторитет учителя, не пострадает ли он, так как ученики увидят, что ему не удалось решить задачу? Эти естественные вопросы могут возникнуть и у

читателя. Опыт показывает, что авторитет учителя после уроков-консультаций стремительно растет. Ведь ученики прекрасно осознают, что он по своей инициативе держит перед ними экзамен. С другой стороны, следует четко осознать, что большой вред приносит стремление учителя доказать ученикам, что он может решить любую задачу. В младших (5-7) классах это приводит к тому, что ученики (считают, что задача получается сразу или не получается совсем) при малейшем затруднении прекращают попытки решить задачу -ждут, когда учитель сообщит безошибочное решение. В старших же классах... ученики осознают, что учитель специально отбирает и использует только те задачи, решение которых у него записано в тетради, поэтому они не верят ему, когда он пытается им внушить, что он только здесь нашел решение задачи. Они перестают обращаться к нему с незнакомыми задачами, так как он имеет богатый арсенал о πоворок (от чрезвычайной занятости до: “Задачу предложили тебе, поэтому решай самостоятельно”). Автор неоднократно задавал хорошим ученикам, с которыми он занимался в секции научного общества, один и тот же вопрос: “Как вы думаете, любую ли задачу ваш учитель решает (свой ответ обоснуйте)?” Чаще всего следовал отрицательный ответ и затем обоснования (которые автор вынужден был признать верными). Другой вопрос: “Можете ли вы обратиться к учителю, чтобы он оказал вам помощь в решении нужных задач?” Здесь нередко следовал также отрицательный ответ. А когда пытался выяснить причину, то чаще всего ученики отмечали, что обращаться не будут, так как в лучшем случае последует отказ. Еще один важный вопрос: “А хотели бы ученики получать помощь от учителя в решении тех задач, которые их интересуют?” Все школьники единодушны: “Конечно, хотели бы ”.

Поиск решения задачи, которую учитель отобрал к консультации и которую не удалось решить на уроке, становится общим делом (учеников и учителя), сближает всех, делая единомышленниками. Нам неоднократно приходилось наблюдать такие сценки.

У одного из учеников появилась новая идея решения неподдающейся задачи. Ее разбор проводится после урока. В кабинете вместе с учителем собралось 5-7 ребят. У них на всех... одна ручка и... один листок бумаги. Тот, у кого ручка и бумага, делает попытку реализовать идею. Остальные наблюдают за попытками, вносят новые предложения. Ручка и бумага “незаметно” переходят из одних рук в другие, потом в третьи... Вот эти общие ручка и бумага незаметно сближают всех (ведь у каждого из них есть своя ручка, могли бы найти и бумагу, но никто не делает попыток уединиться). Чаще всего (после нескольких попыток) в результате совместной деятельности задача получает решение. Эмоциональный подъем при этом испытывают ученики и учитель. Разбор решения такой задачи проводится вне урока. На него никто не приглашается, но

удивительное дело: об этом узнают все. К моменту разбора собираются все желающие (это может быть несколько человек, а могут быть и два класса). Рассказ решения доверяется тому ученику, который первым довел решение задачи до конца. Далее учитель отметит учеников, которые высказали идеи, использованные в ходе решения, расскажет о тех интересных идеях, которые не удалось реализовать (но над реализацией которых следует подумать), предложит ученикам обобщить задачу, сформулировать и решить обратную и т.д.

Из предыдущего ясно, что при проведении консультаций деятельность учителя во многом построена на импровизации. Парадокс, но она не является принципиально новой, ибо ему заранее известно несколько вариантов своих действий, каждый из которых избирается в соответствии с обстановкой на уроке. Помогает ему знание методов решения и составления наиболее сложных задач по теме. “Работает” на учителя и его информационное обеспечение.

Вернемся к ходу урока. Учитель показывает поиск решения задач. А ученики? Они следят за рассуждениями учителя, помогают ему, задавая вопросы, высказывая идеи решения, отмечая ошибки. Здесь важны два момента. Ясно, что ученики не в состоянии полностью записать решения всех задач на уроке-консультации. Не сложится ли такая ситуация, что ученики не усвоят их решения, т. е. фактически не будут знать ответы на свои вопросы? Результаты зачетов показывают, что этого не происходит. Дело в том, что внимание школьников предельно активизируется. Все понимают, что на уроке важно все, его успех зависит от совместной деятельности учителя и учащихся. Важно учителю узнать ответ и на такой вопрос: “Интересен ли разбор задач на уроке разным школьникам? ”

Поставим себя на место того ученика, который следит за попытками учителя решить ту задачу, которую он включил в свою карточку. Имеются ли благоприятные моменты, интересен ли ему этот разбор, научит он его или нет? К числу благоприятных моментов можно отнести инициативу ученика в постановке задачи, похвалу со стороны учителя, новизну задачи для других учеников класса.

Разбор задачи безусловно интересен школьнику. Действительно, учитель начинает разбирать условие задачи (ученик это уже сделал дома при подготовке к уроку). На этом этапе школьник имеет возможность проверить себя, выявить, что ускользнуло от его внимания, какое из следствий могло быть им получено дополнительно. Причем существенно, что в ходе разбора условия учитель, обращаясь к классу, ведет личный разговор с автором задачи, учеником, который ему ее предложил. Для учителя это также важно, ибо, наблюдая за реакцией этого ученика, он может не только установить свои просчеты, ошибки (экономя тем самым время), но

и выявить те моменты, которые ускользнули от школьника, а это помогает ему не только осознать характер затруднений ученика, но и найти метод решения задачи.

Далее учитель переходит к поиску метода решения. Интересная деталь — довольно часто учитель первоначально делает те же попытки, которые делал ученик (узнает об этом только школьник). Ученик затратил довольно много времени на реализацию той или иной попытки, которая не привела к цели. А учитель? Он объясняет классу, почему предпринимает каждую из попыток, далее пытается реализовать и... терпит неудачу. Теперь объясняет классу причину отказа от дальнейших попыток решать задачу в избранном направлении (ученики осознают объективность отказа), показывает, какие результаты попытки следует запомнить и зафиксировать (ведь они могут пригодиться в дальнейшем поиске). Далее учитель привлекает новые идеи. Вполне возможно, что они уже не учитывались школьником, поэтому он с интересом включается в работу по их реализации (в дальнейшем он вернется к вопросу: “Почему эта идея не возникла у него?”). Таким образом, школьник ощущает свою сопричастность к удаче в поиске решения задач. Еще выше эта сопричастность осознается тогда, когда учителю не удается на уроке найти решение задачи. Парадокс. Учитель терпит неудачу — ему не удалось найти решение задачи. Это должно мешать учителю и ученикам, а на самом деле — тяга учеников к учителю, их стремление включиться в поиск, помочь найти решение задачи. В этом развивающий эффект урока. Существенно при этом, что ученики видят цепь поисков, ошибок, находок, которые присущи научному познанию, т.е. на уроке-консультации моделируется научный поиск и ученики видят образцы его на доступном им уровне. Они погружаются в исследовательскую деятельность, видят, как работают теоретические сведения, методы решения задач, осознают роль интуиции, сообразительности, смекалки, умения распознать ключевые задачи в новой ситуации. Все это не только придает учебной деятельности исследовательский характер, но и сближает учеников с учителем, старшими школьниками и друг с другом. Существенно при этом, что ученики четко осознают, что характер затруднений у них и у учителя при решении задач один и тот же, они учатся не пасовать перед ними, а сначала с помощью учителя, а затем самостоятельно преодолевать их. Вот этой сопричастностью поиска метода решения задач урок-консультация и интересен всем ученикам класса и учителю.

Критически настроенный читатель (а на такого рассчитывает автор), вероятно, может задать много вопросов по данному уроку, но среди них должен быть такой: “Задачи предлагают ученики, но выбирает учитель. Он же решает их (хотя и с помощью учеников). В чем развивающий эффект этого урока?” Действительно, это очень

важный вопрос, от ответа на который зависит целесообразность проведения урока-консультации.

Развивающий эффект сказывается уже самим отбором задач. “Здорово, мы с тобой включили, казалось бы, разные задачи, а оказывается, что это одна задача. Если бы сами додумались, что это одна задача, то справились бы с ее решением” — такие реплики учеников друг другу приходится слышать после консультации.

Добавим, что урок-консультация способствует развитию умений анализировать, синтезировать, обобщать, формирует готовность затрачивать длительные умственные усилия.

Заметим, что довольно часто урок-консультация не заканчивается со звонком. Учитель в конце урока договаривается с теми учениками, которые хотели бы получить конкретные ответы на вопросы, помещенные в их карточках, о дополнительной консультации (проводится во внеурочное время). Интересно, что на такие консультации без лишних напоминаний приходят порою больше, чем на отдельные занятия математического кружка.

Проводить или не проводить консультации, каждый учитель будет решать самостоятельно, но для принятия окончательного решения важно учесть следующие моменты:

1. При подготовке к проведению урока часто обнаруживается, что не все ключевые задачи разобраны в классе, поэтому учитель может во время консультации восполнить пробел, включив соответствующую задачу в число разбираемых на уроке (процедура дополнения).

2. Карточки, которые подготовили ученики к уроку-консультации, могут быть использованы учителем как дидактические материалы при повторении темы, организации контроля, подготовке к олимпиадам и т.п.

3. Зная о предстоящем уроке, учитель ставит себя в такие условия, при которых он вынужден просматривать большинство задачников по теме, соответствующие статьи из журналов “Квант” и “Математика в школе”.

4. Вопросы учащихся учитель использует для обобщения математических утверждений, обучения учащихся обобщению задач, знакомства учащихся с приемами составления новых задач.

5. В ходе уроков-консультаций учитель получает возможность узнать учеников с лучшей стороны, вовремя увидеть динамику продвижения учеников, выявить наиболее любознательных и наиболее пассивных, вовремя поддержать тех, кто испытывает затруднения.

6. Интересные вопросы учеников дают возможность учителю провести урок на высоком эмоциональном и научном уровне, стимулируют его творчество, позволяют учителю учиться у учеников. После такого урока учитель испытывает удовлетворение от своего труда.

Что дают уроки-консультации ученикам?

1. Такие уроки позволяют ученикам увидеть живой пример работы над незнакомой задачей, осознать, что они могут научиться работать так же. Мастерство учителя должно состоять в том, чтобы показать ученикам, что ничего нет невозможного, если они достаточно вооружены теоретически и методами решения ключевых задач.

2. Имеются ученики, которые не обладают способностями выйти к доске в присутствии всего класса и вслух объяснить решение новой задачи. Однако среди них много трудолюбивых молчунов. Умно заданный вопрос в письменной форме позволяет им получить одобрение со стороны учителя и признание со стороны товарищей, что способствует созданию благоприятного микроклимата класса.

3. Подготовка учащихся к уроку-консультации стимулирует их работу с различной учебной и научно-популярной литературой, а также формирует у учеников привычку (которая вообще свойственна детям, но, к сожалению, чаще всего безвозвратно теряется) задавать вопросы не только на уроках математики, но и на других уроках.

Укажу ряд трудностей для учителей, которые пожелают использовать консультации:

1. Привычка учащихся к репродуктивной деятельности, приводящая к тому, что ученики не могут приготовить интересные карточки к консультации, а значит, учителю не с чем ее проводить.

2. Слабая материальная оснащенность кабинета учебной и научно-популярной литературой, что обусловливает низкий уровень задач, включаемых учениками в карточки.

3. Учителю психологически трудно представить себе ситуацию, когда он перед классом начнет решать новую задачу, которая может не получиться.

4. Недостаточное внимание учителей информационному обеспечению своей профессиональной деятельности.

Среди читателей будут учителя, которые являются руководителями методических объединений, и автор считает, что им могут помочь материалы для заседаний объединения по данному уроку.

Так как от владения методами решения и составления задач зависит результативность проведения консультаций, то первое заседание имеет смысл посвятить повторению методов решения задач и методической обработке. Для иллюстрации обратимся к решению уравнения методом пристального взгляда.

Начнем с алгоритма, который сводится к таким двум шагам:

1. Изучить уравнение и угадать один из его корней.

2. Доказать, что других корней нет, или, пользуясь знанием корня, найти остальные.

Далее можно выполнить ряд упражнений. Упражнение 1. Угадайте корень уравнения:

Упражнение 2. Выберите число а таким образом, чтобы X = 2 было корнем уравнения

Упражнение 3. Функция

убывает.

Докажите.

Упражнение 4. Как ведет себя функция

Упражнение 5. Решите уравнение

а) путем возведения в квадрат;

б) сведением к системе;

в) используя сопряженные выражения;

г) методом пристального взгляда.

Упражнение 6. Решите уравнение х3 + 3x — 4 = 0 методом пристального взгляда.

Упражнение 7. Изучите следующую запись:

Сопоставьте с уравнением

Решите его и составьте несколько уравнений таким же способом.

Упражнение 8. Составьте уравнение, которое можно решить методом пристального взгляда: а) логарифмическое; б) иррациональное; в) показательное; г) тригонометрическое; д) алгебраическое.

Упражнение 9. Предложите упражнение по теме “Интеграл”, которое можно решить методом пристального взгляда.

Упражнение 10. Не используя производную, найдите наименьшее и наибольшее значения функции. Зная эти значения, предложите уравнение, которое может быть решено методом пристального взгляда и которое: а) не имеет решения; б) имеет единственное решение; в) не имеет решения и содержит два неизвестных.

Упражнение 11. Изучите свойства функции

и составьте задания на решение уравнений.

Упражнение 12. 1) Изучите решение следующего уравнения:

Решение. Так как I3 + 21-3 = 0, то х = 1 является корнем исходного уравнения. Вычитая из уравнения x3+2x2-3 = 0 равенство 13 + 2- I2—3 = 0, получаем:

Ответ: х =1.

2) Разберите данный текст и подготовьте сообщение о решении этого примера.

3) Предложите уравнение, решаемое методом пристального взгляда, которое имеет три решения.

Упражнение 13. Решите методом пристального взгляда следующую задачу:

Прямые AA1 и АA2 делят угол ВАС на три равных угла, а ВВХ и ВB2 делят угол ABC на три равных угла (рис. 21). Найти угол х.

Упражнение 14. M и N- произвольные точки на основаниях трапеции ABCD (рис. 22). Прямые AM и ВМ пересекаются с прямыми DN и CN соответственно в точках Р и Е. Известно, что Sadp = т » Sbce = n. Найдите площадь четырехугольника MPNE.

Упражнение 15. Составьте программированное пособие для обучения решению уравнений методом пристального взгляда.

Одно из следующих заседаний можно посвятить проведению деловой игры “Консультация”. Эта игра используется для преодоления недостатков профессиональной подготовки учителей. В игру имеет смысл включить: а) фрагменты, которые провоцируют участников на “стандартные ошибки”; б) задание, которое “вам известно” и ничего нового не может принести; в) задания, которые “недоступны” учащимся определенного класса; г) задания, которые не могут выполнить все участники игры.

Рис. 21 Рис. 22

Окончательно имеем:

Пример. Одному из участников игры, выполняющему роль учителя математики восьмого класса, предлагается провести разбор задания: "Решить уравнение

а также оценить целесообразность разбора его на консультации в восьмом классе".

Если предлагается стандартное решение (двукратное возведение в квадрат обеих частей уравнения), то обязательно найдутся участники игры, которые могут заявить: “Разбор данного примера ничего не дает, так как учитель повторяет известные шаги”. Здесь ведущий может проявить артистизм, согласиться с участниками во время их обоснований, а потом... обратиться к ним со словами: “Забудем о том решении, которое мы сегодня уже слышали, посмотрим на пример и попытаемся угадать корень”. Участники легко угадывают корень. “А теперь, — продолжает ведущий, -докажем, что других корней нет”. Все решение уместилось в одну строчку, участники смотрят на оба решения. Теперь они поняли, что этот пример они не осознали до конца, что проявили формализм, что использование его на уроке-консультации безусловно будет способствовать развитию школьников. Получение этого вывода -основная цель данного фрагмента.

Тщательно следует подойти к выбору фрагмента, в котором предстоит имитация работы с новой сложной задачей на уроке-консультации. Лучше строить этот фрагмент на материале алгебры. Например, участникам игры предлагается провести консультацию по такому уравнению:

Конечно, консультация вызовет серьезные трудности, поэтому участников можно познакомить с таким решением.

Умножим обе части уравнения на 54 и запишем уравнение в виде

откуда находим единственный корень уравнения

Теперь участникам следует обсудить, как использовать это уравнение на консультации. Чаще всего имеет смысл обобщить уравнение, рассмотреть следующее:

в котором b2 = 3 ас. Читателю предлагается самостоятельно найти решение уравнения в общем случае, а также попытаться проконсультировать по уравнению

В целом игру можно проводить в форме заседания математического объединения учителей математики, на котором учителя знакомятся с уроком-консультацией. Завуч (руководитель методобъединения) расскажет о задачах урока, методике его проведения. Далее слово предоставляется “скептикам”, которые должны найти различные доводы против использования данного урока в практике работы школы. Эти доводы должен проанализировать и доказать их ошибочность “оптимист” — участник игры, цель которого не только раскритиковать “скептика”, но и доказать целесообразность, возможность и перспективность использования уроков-консультаций в школе.

Участник игры, выполняющий роль завуча (ведущего), не должен касаться трудностей проведения уроков-консультаций, приемов составления задач. Лучше всего, если он ограничится рассказом о задачах и ходе урока, приведет несколько иллюстраций. Очень ответственно требуется подойти к выбору участников, выполняющих роль “скептиков”. Лучшими исполнителями данной роли бывают те учителя, которые могут чутко уловить слабости в выступлениях других, организовать дискуссию, кратко, корректно, обоснованно вести ее, вовремя и точно задать “нужные” вопросы, оценить и признать правильность доводов другой стороны. Практика показывает, что роль “скептиков” удается наиболее авторитетным учителям, которые сами охотно заимствуют опыт других (как правило, против таких “скептиков” другие участники объединяются и стараются опровергнуть их доводы). При этом часто в игре возникают такие ситуации, в которых “оптимисты” не могут ничего противопоставить доводам “скептиков”. Руководителю лучше не вмешиваться, не помогать, но условиться до игры с ведущим, что в таких случаях по правилам деловой игры возможно переключение -“скептик” превращается в “оптимиста” и ему предстоит “разбить” свои же доводы. В таких ситуациях и проявляется преимущество авторитетных учителей, ибо участники имеют возможность убедиться, насколько грубо “скептик” продумывает свои доводы. Только в том случае, если не удается преодолеть доводы “скептика” “новому оптимисту”, может включиться в игру руководитель.

Роль “оптимистов” удается молодым учителям, которые интересуются вопросами методики, восприимчивы к новому. Очень важна их подготовка. С ними желательно до игры обсудить некоторые доводы “скептиков”, помочь подготовить некоторые материалы, отработать различные аспекты подготовки учителя к проведению консультаций в школе. В частности, им могут быть указаны задачники, в которых широко представлены задачи по теме игры, дидактические материалы (образцы карточек могут подготовить школьники).

Глава VI. МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ И ПРОВЕДЕНИЯ ЗАЧЕТОВ В ШКОЛЕ

Способности развиваются тем успешнее, чем чаще в своей деятельности человек добирается до потолка своих возможностей и постепенно поднимает этот “потолок” все выше и выше.

Б.Н.Никитин

Из этой главы читатель узнает:

1. Каковы задачи зачетных уроков.

2. Как готовятся учащиеся к участию в зачете.

3. Каким образом выбираются пары учащихся.

4. Как проходит зачет.

5. В чем специфика зачетов в 5—7 классах и выпускных классах.

Во многих школах для проведения контроля за знаниями и умениями учащихся сегодня применяются зачеты. Учителя за свою жизнь много сдали различных зачетов, поэтому ответы на многие вопросы, связанные с подготовкой и проведением зачетов, им известны. Это действительно так, если бы главной и основной задачей зачета был бы контроль. Описываемая в книге система зачетов предполагает, что главная задача зачетов — развитие творческих возможностей учащихся путем индивидуальной работы непосредственно на зачете. Другими задачами зачета являются: оказание помощи ученикам в учебе силами старших школьников; организация общения младших школьников со старшими в условиях учебной деятельности; формирование интереса к работе с людьми, накопление опыта работы с людьми; формирование умения учиться; выявление пробелов в знаниях, умениях и навыках; проверка усвоения теории, умений решать ключевые задачи, выполнения домашних заданий, ведения тетради; обучение решению сложных математических задач; предупреждение зазнайства, неверия в свои силы.

Простое перечисление задач урока показывает, что такой урок довольно сложно подготовить, тем более если в зачете участвуют

два класса. Тот класс, который сдает, будем называть младшим, а принимающий зачет — старшим. Мы должны познакомить читателя с подготовкой к проведению зачета учителя, младших и старших школьников.

Значительная часть подготовки учителя к проведению зачета уже выполнена при подготовке методической разработки темы. Действительно, учитель:

1) определил главный материал темы и отразил его в вопросах по теории к зачету;

2) выделил ключевые задачи и проработал их с учениками на уроках;

3) оказал помощь ученикам, которые испытывали затруднения при изучении теории или интересовались задачами на уроке-консультации;

4) повторил методы составления и решения задач, подготовил специальные материалы для работы с учениками;

5) на основе изучения новинок научно-популярной литературы выявил новые задачи по теме;

6) по карточкам учеников к уроку-консультации получил представление о затруднениях учеников и собрал интересный банк задач по теме.

Теперь предстоит завершить подготовку учащихся к проведению зачета. Дело облегчается тем, что осталось подготовить только один класс — старший, так как младшие школьники были подготовлены на предыдущих уроках. Остановимся на некоторых направлениях подготовки учителя на завершающем этапе, уделив особое внимание первым зачетам, в которых принимают участие старшие школьники.

Прежде всего учителю предстоит привести в систему свои впечатления о младших школьниках, которые у него сложились в результате анализа проведения уроков, предшествующих зачету. При необходимости следует обратиться к психологической литературе, в которой обсуждаются особенности соответствующего возраста. Об этом ему предстоит рассказывать старшим школьникам.

По типу оказываемой младшим школьникам помощи можно выделить следующие (известные в психологии) группы, нуждающиеся в:

1) стимулирующей помощи;

2) эмоционально-регулирующей помощи;

3) исправляющей помощи;

4) организующей помощи;

5) обучающей помощи.

Каждая из этих групп детей требует определенного руководства учебной деятельностью (определенные задания, соответствующие объяснения и контроль за выполнением домашней работы, специальная помощь и т.д.). С этой целью к ученикам первой группы лучше подобрать такого научного руководителя (так называют старшего школьника), который сделает все, чтобы младший поверил

в свои силы, который будет стимулировать его к самостоятельному выполнению заданий, оказывать при этом тактично, терпеливо, можно сказать, незаметно, ненавязчиво свою помощь. Делать это будет не при “организованных учителем встречах”, а на перемене “при случайных встречах”, может быть, на занятиях в спортивной секции, по дороге домой, дома и т.п. Для второй группы целесообразно выбрать таких школьников, которые терпеливы, чутки, могут вовремя похвалить своего подшефного или, наоборот, будут требовательными, могут высказать ему свое порицание (оно непременно будет учтено младшим). Старшие, прикрепленные к школьникам третьей группы, прежде всего должны иметь педагогическую жилку, так как им приходится учить своих подшефных общеучебным умениям (выделять главное, работать с различными текстами, конспектировать и т.д.), они сами должны хорошо конспектировать, уметь объяснять, подбирать упражнения, проводить анализ условий решаемых задач. Так как учащиеся четвертой группы нуждаются прежде всего в оказании организующей помощи, то им предстоит работать с такими школьниками, которые организованны, всегда успевают сделать все запланированное, имеют разнообразные интересы. Наблюдения показывают, что старшим удается оказывать запланированную помощь своим подшефным, привлекая их к занятиям секций, кружков, в которых они сами участвуют. Этим самым они больше времени (не только в школе) общаются с младшими, оказывая на них соответствующее влияние. Наконец, для пятой группы школьников учитель подбирает таких шефов, которые сами нуждались в таком виде помощи и с которыми терпеливо, последовательно повторялась программа по математике, порою с пятого класса.

Данный этап подготовки к зачету завершается тем, что учитель разбивает два класса (к примеру, восьмой и девятый, девятый и десятый) на пары учащихся, которые будут работать на зачете. Среди этих пар имеются “жестко” закрепленные.

Таких пар два типа. К первому типу относятся те пары, в которых у младших школьников серьезные пробелы в знаниях и умениях, т.е. младшие нуждаются прежде всего в обучающей помощи. К таким ребятам назначаются старшие, которые терпеливы, которые умеют объяснять, тактичны и будут исполнять все предложения учителя. Второй тип устойчивых пар определяется по старшим школьникам. Учитель очень дорожит временем тех ребят, которые имеют успехи в олимпиадах, поэтому им предстоит работать с потенциальными олимпийцами, готовя их к олимпиадам, передавая свой опыт подготовки и участия в них (довольно часто такие старшие школьники имеют не одного, а несколько подшефных). Попасть им в подшефные мечтает каждый младший, хотя знает, что сдавать им зачет сложнее всего.

Остальные пары не являются жесткими, поэтому их состав может меняться, инициатива при этом чаще всего исходит от младшего. Автору неоднократно приходилось беседовать с теми младшими,

которые просили сменить им научного руководителя. Нас интересовали причины такого обращения. Среди ответов были такие: “Дает неинтересные, нудные задачи, требующие в основном вычислений, писанины”, “Очень легко сдается зачет, а уверенности в том, что знаешь, нет”, “Не очень серьезно подходит к составлению зачетной карточки, поэтому берет задачи из задачников, которые учитель нам рекомендовал” и т.д. Парадокс, но ни разу не были указаны такие причины, как придирки, сложные задачи, неправильные оценки, личная неприязнь.

Конечно, учитель не пойдет на поводу у младшего, не станет сразу менять ему научного руководителя. Он наблюдает за парой на зачете, обратится к зачетной карточке, найдет средство помочь старшему (если он нуждается в помощи).

Понятно, что для решения задач, стоящих перед зачетом, требуется подготовить старших теоретически и педагогически. Если теоретическая подготовка осуществляется на лекции для старших, то педагогическая подготовка включает: повторение известных школьнику (с прошлого года) методов решения задач и изучение новых методов; знакомство старших с возможными затруднениями младших, с методами диагностики затруднений, их предупреждения и оказания помощи; обучение ребят формулировать вопросы, выявлять проблемы, придумывать нужные примеры, реагировать на ошибки подшефного, выставлять оценки; обучение общению на зачете, терпению, разумной требовательности; подготовку школьниками материала для принятия зачета; знакомство школьников с требованиями к заданиям, правилами выставления оценок и т.д. Такую работу со старшими учителю предстоит планировать.

На теоретической подготовке старших остановимся более подробно. Итак, к моменту принятия зачета для старших должна быть прочитана лекция (методику ее подготовки уже рассматривали) и составлена ими зачетная карточка (каждый составляет для своего подшефного). С этой целью отводится обычно два часа. На лекции учитель:

1) излагает только основные вопросы, указывая тем самым школьникам ориентир, по которому они будут отбирать материал для опроса по теории;

2) основные теоремы доказывает новыми для школьников методами, но там, где это возможно (делается это для того, чтобы повторение было интересным, развивало учащихся, а также, чтобы старшие познакомили младших с этими методами); дает рекомендации, как использовать методы доказательства основных утверждений непосредственно на зачете;

3) всячески активизирует внимание школьников. К примеру, допускает пробелы, ошибки, причем чаще всего те, которые допускают младшие при ответе, или те, которые он “специально допустил на лекциях для младших”, а они не заметили (делается это не только для того, чтобы старшие были внимательны на лекции, но и для того, чтобы они могли квалифицированно беседовать с

младшими по доказательству утверждений, обучая одновременно младших поведению на лекции, работе с материалом лекции, обоснованию утверждений, ответу на зачете).

Приведем пример. В ходе лекции для старших школьников учитель приводит уже известное нам доказательство теоремы Виета. Так как х1, х2 — корни уравнения х2+ рх+ 0, то справедливы равенства

Вычитая из первого второе и применяя группировку, приходим к равенству

Отсюда

Теперь, подставляя значение р = — (х1 + х2) в равенство xî+ pxi+ q = 0, получим:

и из равенства q — x1 х2 = 0 следует Х1 х2 = q.

“Какой недочет имеется в данном доказательстве? Как его ликвидировать?” — обращается с вопросами учитель к классу. Ученики выявляют пробел в доказательстве (не рассмотрен случай Х\ — хг = 0). Далее учитель сообщает ребятам, что он сознательно допустил такой пробел на лекции у младших, и показывает, как следует провести разбор этого доказательства с младшими. В частности, в этом случае он рекомендует старшим предложить подшефному доказать теорему Виета данным методом, дать ему возможность сделать эту ошибку, указать ее и попросить восполнить пробел. (Читатель скажет, что младший этого не сделает. Действительно, но это специально организовано и подготовлено.)

Здесь же учитель сообщает старшим, что их подшефные должны доказать самостоятельно. В нашем примере он говорит о том, что на лекции для младших доказал только равенство x1 + х2 — -р, а второе равенство x1 х2 = q предложил доказать самостоятельно. На консультации не последовало вопроса со стороны младших: “Как доказать равенство x1x2 = q ?” Учитель не стал специально на нем останавливаться, а теперь рекомендует старшим попросить каждого школьника доказать его и провести работу по обучению поведения на лекции и консультации.

Во время лекции учитель довольно часто выходит за пределы школьной программы, сообщая дополнительные теоретические сведения. Так, при повторении теоремы Виета он знакомит учащихся с понятием симметричного многочлена и основной теоремой о

симметричных многочленах. Таким образом, ученикам становится понятным, почему, используя теорему Виета, можно, не решая квадратное уравнение, найти значение любого симметричного многочлена от его корней. Это позволяет им составлять не только свои задания на вычисление значений многочленов, но и более общие задачи (например, найти значение не симметричного многочлена, а значение симметричной функции).

Другой вариант вынужденного выхода за рамки программы -обобщение утверждений, разбираемых на лекциях. Если в лекции для младших школьников по теореме Виета нецелесообразно рассматривать ее обобщение на многочлен третьей степени, то в лекции для старших это можно сделать, что позволяет ученикам (особенно работающим с лучшими школьниками) предлагать очень интересные, составленные самостоятельно задания. Приведем примеры (взятые из карточек):

1. Пусть хь хъ хъ — корни уравнения хъ + рх2 + qx+ г = 0. Доказать, что x1 + х2 + хъ = — р , XiX2 + х2 хъ + х3 xi = q , Х1 х2 хъ = — г.

2. Решить систему уравнений

3. Решить системы уравнений:

Понятно, что у старших школьников нет нужных знаний по психологии, поэтому учителю приходится их учить и в этом плане. С этой целью он сам много внимания должен уделять изучению психологических особенностей способами диагностики. К примеру, ученику предлагается изучить контрольную работу, которую выполнял его подопечный после изучения предыдущей темы. “Но ведь многие учителя не справляются с анализом контрольных работ, а вы сообщаете о том, что учитель предлагает выполнить эту работу школьнику! — воскликнет читатель. — Я уверен, что ученик не справится с таким делом”. Конечно, если учитель дает такую работу человеку, который не имеет представления о школьнике, который не подготовлен к изучению контрольной, которому не интересно выполнять анализ, то он не справится. Но дело все в том, что старший уже принимал зачет у младшего, потому минимум 45 минут беседовал с тем по материалу контрольной. Он проверил теоретические знания подшефного, просмотрел тетрадь, выставил за нее оценку школьнику, поэтому имеет обширную информацию о данном ученике. Важно и то, что учитель дает конкретные рекомендации по проведению диагностики, которые представлены в схеме:

Изучение результатов деятельности подшефного (контрольные работы, тетради, решение задач из карточек)

Выявление сильных и слабых сторон деятельности младшего школьника

Выявление возможных затруднений. Доказательство наличия затруднений

Определение возможных направлений работы до зачета и на зачете

Беседа с учителем после зачета и определение вида помощи

В соответствии с этой схемой учитель советует при изучении контрольных работ выявить те задачи, которые младшему школьнику удалось решить, затем задачи, с которыми он не справился. Теперь требуется, сопоставив методы решения первых и вторых, выявить сильные и слабые стороны в деятельности подшефного, установить, какие из умений у младшего оказались не сформированными. К примеру, старшему известно, что при решении отдельных задач возможны следующие затруднения: ученик не может выделить все признаки условия, не может получить следствия из условия задачи, не может узнать ключевую задачу, не может решить определенную ключевую задачу, не может осуществить самоконтроль своей деятельности, не может выполнить преобразования и т.д.

Для выявления каждого из этих затруднений школьникам известны некоторые методы. Беседа с учеником, в ходе которой младший рассказывает условия задач, помогает установить старшему, умеет ли его подшефный анализировать условия задач. При необходимости он (возможно, с помощью учителя) подберет специальные упражнения для младшего, чтобы научить его выявлять все признаки условия. Чтобы выявить затруднения, связанные с решением определенных ключевых задач, старший в зачет по очередной теме включит специальную задачу. Вновь познакомившись с тем, как младший решает ее на зачете, он получит подтверждение о возможных затруднениях. При необходимости по правилам зачета он не только поможет ученику в решении ключевой задачи, вызывающей затруднения, но и здесь же убедится в том, что ученик научился ее решать, предложив ему самостоятельно

решить специально заготовленную задачу (а может быть, и несколько). Для выявления других затруднений и оказания помощи ученики действуют в соответствии с их характером.

Опыт показывает, что они очень охотно занимаются (часто неосознанно) изучением младших школьников. Основная цель -оказать помощь своим подшефным. Важно при этом, что им в такой работе большую помощь оказывают их учебные дела. Дело в том, что с ними такую же работу проводили (или проводят в настоящее время старшие ребята), поэтому они видели образцы оказания помощи и могут определять направления работы с младшими. Нельзя забывать и о том, что они в любой момент могут обратиться за помощью к учителю (в том числе и на уроке).

При необходимости учитель обращает внимание старшего на то, что в ходе определения возможных направлений оказания помощи требуется учесть: историю учебы подшефного, отношения в семье, физическое развитие, потребность общения младшего, его отношение к труду, отношение к людям, к себе, самооценку, внеучебные интересы, впечатлительность, особенности возраста и т.п.

Подготовка старших к управлению познавательной деятельностью младших достигается за счет того, что учитель дает конкретные указания о типах задач, которые следует включить в зачетные карточки отдельным группам учащихся, как следует формулировать задачу.

Дальнейшая подготовка старших к зачету осуществляется при работе над задачами, а также в ходе самостоятельной работы. Результатом подготовки является зачетная карточка — домашнее задание старшего по математике в день зачета. Как ясно из предыдущего, карточка является результатом совместного педагогического творчества учителя и ученика.

Мы уже довольно подробно рассмотрели подготовку учителя и совместную теоретическую подготовку учителя и учащихся. Обратимся к совместной работе над задачами. Можно выделить до тридцати различных направлений в совместной работе учителя и учащихся. Остановимся на некоторых из них.

1. Повторение методов решения ключевых задач. Учитель формулирует ключевую задачу. Затем предлагает ребятам решить ее или определить метод ее решения (при необходимости выполняются подробные решения). Далее учитель знакомит школьников с возможными затруднениями их подшефных, методами их диагностики и способами оказания помощи. Ученики и учитель приводят интересные задачи, которые тесно связаны с разбираемой ключевой задачей, методами ее решения.

Так, после повторения решения ключевой задачи учитель приводит задачу, которая появилась в журнале “Квант”:

Задача. В параллелограмме ABCD выбраны произвольным образом точка Е на стороне AB, a F на стороне CD. Точка Е соединена с точками D и С, a F — с точками А и В. Пусть M и N

соответственно точки пересечения прямых AF и DE, BF и СЕ. Докажите, что

После разбора решения учитель дает рекомендации: как познакомить учеников с методом решения задачи; как сформулировать задачу в карточке (оказывается, лучше заменить параллелограмм на квадрат, что позволит обучать подшефных обобщению задач); предлагает рассмотреть другие решения задачи, поработать с обратным утверждением; советует, для каких групп учащихся целесообразно включать данную задачу в зачетную карточку и в какой формулировке (так, для хорошо успевающих учеников усложнить задачу, поставив вопрос неопределенно: что больше — Smfne или Samd + Sbnc ?).

И наконец, подводит к необходимости обобщить задачу на случай пространства.

Так как школьники забыли ключевые задачи, то при их повторении создается возможность “завлекать” их в тупиковые ситуации, которые они сооружают себе сами. В этом случае повторение ключевой задачи начинается с того, что учитель предложит ребятам такую громоздкую задачу (условие записано на доске):

Пусть ABCD — трапеция, О — точка пересечения диагоналей, Е -точка пересечения боковых сторон, M и N — точки пересечения ЕО с основаниями ВС и AD. Обозначим через Р точку пересечения прямых AM и BN, а через Q точку пересечения CN и DМ. Что больше: площадь четырехугольника MPNQ или сумма площадей треугольников АВР и CDQ?

Ученики, приступая к решению, вспоминают, что M и N -середины оснований, пытаются это применить в решении, физически ощущают громоздкость условия. Учеников подзадоривает иронический взгляд учителя, который, загадочно улыбаясь, переходит от одного стола к другому, проводя наблюдение и не делая замечаний. Но вдруг раздается веселый, радостный смех в одном конце класса, потом возглас учителя: “Конечно”. Вновь смех, взаимное покачивание головами учителя и какого-нибудь ученика. Ирония учителя становится всем понятной. Задача решается методом пристального взгляда с использованием ключевой, путем обобщения. Далее учитель дает психологическое объяснение ситуации — в задаче для отвлечения внимания приведены лишние условия, которые мешают увидеть решение, — и вновь рекомендации, как использовать ее на зачете.

2. Разбор новых интересных задач по теме зачета. Покажем на примере, как это делается, а потом выделим возможную схему работы над такой задачей. Следует учесть, что так как здесь могут

быть представлены довольно сложные задачи, то иногда учитель дает отдельным школьникам специальные задания до урока. Так, ученику, готовящемуся принимать зачет по теме “Решение уравнений, сводящихся к квадратным”, предлагается дома решить уравнение

Приступая же к работе с этим уравнением в классе, учитель дает ученикам достаточное время для осознания его сложности, а потом просит ученика, решавшего его дома, показать свое решение.

Приведем решение одного из учеников.

1. X = 5 является корнем данного уравнения, что проверяется непосредственно.

2. Пусть X≠5, поэтому обе части можно разделить на 5 — х. Получаем:

Выделяя целую часть по каждому из корней, получаем:

3. Теперь, выполнив замену

приходим к уравнению

Решая его, получаем:

Это уравнение решений не имеет. Ответ: х = 5 .

Далее проводится стихийная пресс-конференция, главным действующим лицом является ученик, так как ему приходится отвечать на вопросы. В первую очередь интересует: “Как удалось найти решение? ”

Учитель терпеливо и радостно выслушивает как вопросы, так и ответы. Наконец вопросы иссякают, и тогда всех ждет... неожиданность — предложение учителя: "Найдите ошибку в решении

уравнения. Я не знаю, где она, но знаю, что ответ неверен". В классе сцена, аналогичная сцене из известной пьесы Гоголя, так как школьники поражены неожиданным поворотом. Далее несколько попыток, которые бурно анализировались, неудачные отвергались. Ошибка была найдена, и один из учеников был вызван к доске. Он начал с того, что указал ошибку — рассмотрен случай 5 — X > 0, поэтому

Далее он рассмотрел случай 5 — х < 0. Тогда решение после той же замены свелось к решению уравнения

откуда у= 3. Решение исходного:

из которых условию 5 — X < 0 удовлетворяет только первое значение х.

После разбора решения первым и вторым учениками учитель обсуждает с ребятами типичные ошибки, которые возможны при решении уравнения, объясняет причину их появления, предлагает ряд упражнений для их предупреждения в будущем. Кроме того, он указывает последовательность вспомогательных упражнений для оказания помощи младшим:

1) выделение целой части;

2) решение иррациональных уравнений;

3) внесение множителя под знак корня.

Далее проводится специальная работа по составлению аналогичных заданий. Делается это по двум причинам. Во-первых, составляя задачи, старшие школьники осваивают новые методы решения задач. Во-вторых, составление задач позволяет избежать одних и тех же задач в разных карточках. Важно и то обстоятельство, что в результате составления задач экономится время старших ребят при составлении карточки.

Довольно успешно ребята составляют задачи, пользуясь алгоритмом, предложенным учителем. К примеру, по той же теме учитель может предложить такой алгоритм составления уравнений четвертой степени:

1. Возьмите любой многочлен Р{ (х) не выше второй степени.

2. Рассмотрите любой многочлен Р2 (х) также не выше второй степени.

3. Вычислите, используя формулу а2 — b2, многочлен Р\(х) -Р21х).

4. Раскройте скобки, выполните приведение подобных.

5. Составьте уравнение.

Далее учитель, обращаясь к ученикам, просит составить уравнение данным методом. Пусть Р\(х) = х2+ 2х+ 5 и Рг (х) = X2—2х — 1. Теперь легко можно получить уравнение

Сразу возникают естественные вопросы: “Как ученик должен найти решение данного уравнения? Как работать с ним на зачете?” (ведь ученики отлично понимают, что найти представление многочлена je4 — \2х — 5 в виде произведения двух многочленов X2—2х — 1 и х2+ 2х+ 5 “случайно”, путем добавления и вычитания “нужных” членов довольно сложно). Здесь учитель знакомит школьников с методом неопределенных коэффициентов, который позволяет найти требуемое разложение, и совместно с одним из учащихся класса реализует поиск нужного разложения.

Если читатель еще раз обратится к описанию данного направления, то он согласится с тем, что схема работы над задачей в данном случае имеет вид:

1. Формулируется задача и дается время на ее обдумывание.

2. Проводится своеобразная пресс-конференция, цель которой рефлексировать решение школьника.

3. Обсуждаются пробелы в решении и возможные типичные ошибки, методы их обнаружения, способы оказания помощи.

4. Уточняется решение.

5. Определяется метод составления задач разбираемого типа.

6. Выполняются упражнения по составлению задач и скрытое дублирование решений “нужных” задач.

7. Даются рекомендации по использованию задач на зачете.

3. Выполнение специальной системы упражнений, предназначенных как для повторения методов решений, так и для обучения составлению задач. Приведем несколько упражнений.

Упражнение 1. Решите уравнение

а) путем возведения обеих частей в куб;

б) переходом к системе уравнений;

в) используя сопряженное выражение;

г) заменой переменных.

Упражнение 2. Известно, что функция у = ^lx2+ х + 1 + Vx 2 — X + 1 принимает наименьшее значение, равное 2, при X = 0. Используя этот факт, составьте:

1) иррациональное уравнение, которое не имеет решений;

2) иррациональное уравнение, которое имеет корни;

3) уравнение, в условии которого фигурирует число к;

4) неравенство, которое имеет пустое множество решений;

5) неравенство, которое верно при всех х;

6) уравнение, содержащее параметр.

Упражнение 3. Исследуйте на монотонность, ограниченность и выпуклость функцию

На основе проведенного исследования предложите задания по темам “Алгебраические уравнения” и “Неравенства”.

Упражнение 4. Известно, что а-b < \а\-|b|, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда а иЪ сонаправлены ( или хотя бы один из векторов нулевой).

1. Объясните, каким образом было составлено следующее задание:

Решить уравнение

2. Составьте аналогичную задачу.

3. Докажите, что для любых а, b, х и у справедливо неравенство

Упражнение 5. Изучите следующий текст:

Решить уравнение

Перепишем его следующим образом:

Теперь, возведя обе части в квадрат и выполнив очевидные преобразования, получаем:

Легко видеть, что уравнение может быть записано в следующем виде:

Новое уравнение является однородным 2-й степени относительно

Выполняя деление обеих частей уравнения на х + 4 * О, а затем выполняя замену ; сводим решение уравнения к следующему квадратному:

Корнями являются числа z1 = 1, z2 = 1,5. Теперь находим значения г.

Так как х > 5, то корнями исходного уравнения являются числа:

Вам предлагается:

1. Определить и ликвидировать пробелы, которые вы обнаружите в данном тексте.

2. Продумайть и предложить способы самоконтроля.

3. Отметить типичные ошибки, которые могут быть допущены.

4. Составить аналогичные задания.

5. Решить составленное вами уравнение.

4. Знакомство с новыми способами реализации известного ученикам метода решения задач.

Рассмотрим пример. Учитель предлагает ученикам доказать неравенство

Все попытки доказать данное неравенство оказались безуспешными. Тогда учитель напоминает школьникам об одном известном методе решения — “разделяй и властвуй” — и предлагает вновь попытаться найти решение. Переходя от ученика к ученику, учитель убеждается, что разумных попыток найти решение не видно. После этого он показывает, как составлять аналогичное задание: берем два известных неравенства

Тогда для какого-то множества допустимых значений х (ученикам предстоит самостоятельно выяснить, для каких значений) эти неравенства могут быть записаны в следующем виде:

Сложим эти неравенства, получим:

Теперь можно рассмотреть вопрос о том, в каких случаях возможно равенство. Исследования показывают, что в данном случае достижение равенства невозможно. Это позволяет предложить следующее задание:

Доказать неравенство

Так как неравенство составлено на глазах учеников, а его решение может быть легко найдено на основе составления, то ученики быстро находят решение исходного неравенства. Далее проводится работа по составлению аналогичных заданий и обсуждается вопрос о том, для каких групп учащихся имеет смысл включить в зачетную карточку такие задания и как работать с ними на зачете.

5. Знакомство школьников с новыми методами решения известных задач. В ходе подготовки школьников к приему зачетов по теме

“Неравенства” учитель предлагает выяснить: “Какое из двух чисел log2 3 или log5 7 больше?”

Так как старшим школьникам уже известна формула перехода к одному основанию, то они пытаются применять ее, но реализовать эту идею не удается.

Прежде всего учитель объясняет причину, по которой не следует осуществлять переход к одному основанию, ведь младшим еще не известен этот материал, поэтому нельзя рассчитывать, что удастся объяснить формулу всем ученикам, да и не стоит этого делать.

После этого он знакомит учеников с методом, который можно назвать “метод увеличительного стекла”. Идея его состоит в том, что если разность между числами не улавливается, то ее надо увеличить. Каким образом? Можно простым умножением, иногда возведением в квадрат и др.

В нашем случае

Рассмотрим числа

Теперь очевидны неравенства

Отсюда очевидно, что

Важно обратить внимание учеников на то, что чаще всего недостаточно одного увеличения, а требуется делать несколько попыток. Учитель обращает внимание на то, что сравнительно просто сформулировать аналогичные задания, дает рекомендации о требованиях к заданиям, которые следует включать в карточку: исходное задание следует использовать для знакомства с методом решения, а для ученика нужно подобрать другое задание, в котором он должен проявить терпение, пытаясь выполнить умножение на 2, 3 и т.д. Такие задания не следует включать для самых слабых (к ним можно вернуться позднее).

6. Разбор известных задач, решаемых новым методом, на основе материала повторяемой темы. Приведем пример. Школьникам после изучения темы “Подобие” известно следующее утверждение: Доказать, что точка пересечения боковых сторон трапеции, середин оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.

После лекции по теме “Площади” учитель вновь обращается к этой задаче. Чем это вызвано? Дело в том, что в ходе работы над этой темой доказаны прямая и обратная теоремы Чевы. А это позволяет дать красивое решение задачи.

1. К треугольнику AED, прямым АС, BD и EN, проходящим через общую точку О (рис. 23), применим теорему Чевы:

2. По теореме Фалеса

3. Учитывая эти равенства, получаем: AN = ND .

4. Теперь легко проверяется, что ВЫ = MC.

К этой же задаче можно вернуться в теме “Векторы”, рассмотрев красивое векторное решение, а также еще раз в теме “Параллельное проектирование”. Причем важно, что каждый раз получается решение короче и красивее предыдущего.

Так как трапецию, данную в условии задачи, можно рассматривать как образ при параллельном проектировании любой трапеции, то будем считать, что проектируемая трапеция равнобедренная. У нее указанные точки лежат на одной прямой. Отсюда следует, что у нашей трапеции точки Е, М, О, N также лежат на одной прямой, так как при параллельном проектировании сохраняется принадлежность точек одной прямой, а также AN = ND (сохраняется отношение отрезков).

7. Решение задач максимально возможным числом способов. Приведем пример. Необходимо найти наибольшее значение функции

Прежде всего очевидно, что при х< 0 и у< 0, поэтому наибольшее значение будем искать при х> 0.

Решение 1. По неравенству Коши получаем:

При уменьшении знаменателя значение нашей дроби (напомним: х> 0) возрастает, поэтому

Причем равенство достигается тогда и только тогда, когда

Рис. 23

Решение 2. Будем рассматривать значения х > 0. Запишем у в следующем виде:

Применяя неравенство Коши к ах и -, получаем:

Решение 3. Решим более общую задачу: найти множество значений функции

Для этого достаточно ответить на вопрос: "При каких у уравнение

(относительно х) имеет решение?"

Перепишем его в следующем виде:

Чтобы это уравнение имело решение, требуется, чтобы его дискриминант был неотрицательным:

Окончательно имеем:

Отсюда

Решение 4. Для нахождения max у найдем у ' и применим ее к стандартному поиску наибольшего значения функции.

8. Целенаправленное обучение обобщению задач. Учитель подбирает такую задачу, которая может быть обобщена (в частности, он в известной задаче добавляет какое-нибудь лишнее условие). Ученикам предлагается ее решить, а потом одним из методов обобщения сформулировать обобщение и попытаться доказать или опровергнуть новое утверждение. Приведем пример.

Задача. Дана равнобедренная трапеция ABCD (ВС || AD). Точки Р, M, Q , N являются серединами сторон AB , ВС, CD , DA соответственно. Докажите, что отрезки PQ и MN точкой пересечения делятся пополам.

Ученики легко решают данную задачу.

На предложение учителя обобщить задачу одни используют обобщение по методу доказательства. Это позволяет им сформулировать и доказать такое утверждение:

Если ABCD — трапеция (ВС || AD), точки Р, M, Q, N являются серединами сторон AB , ВС, CD , DA соответственно, то отрезки PQ и MN точкой пересечения делятся пополам.

Другие ребята выполняют обобщение путем замены объектов. К примеру, формулируется и доказывается такое утверждение: Если ABCD — трапеция (ВС || AD), точки Р , M, Q , N выбраны на сторонах AB, ВС, CD, DA так, что

АР :РВ = СМ : ВМ = AN : ND = CQ : QD,

то отрезки PQ и MN точкой пересечения делятся пополам.

9. Имитация работы с задачами из карточки на зачете. Учитель просит одного из учеников подготовить зачетную карточку по теме зачета для своего подшефного и принести ее к следующему уроку. До урока он выписывает все задания из карточки на закрытую часть доски. Приведем задания по теме “Неравенства”.

1. Используя метод математической индукции, доказать неравенство

2. Доказать неравенство

3. Доказать, что если а> 0, то

4. Доказать, что если а> 0, b> 0, то

5. Какому из промежутков [2; 3], [3,1; 3,5], [3,6; 4,5] принадлежит число

6. Доказать неравенство

Эта карточка составлена для очень хорошего ученика. К доске вызываются два ученика. Одному из них предстоит сдавать зачет

по одному из заданий (которое укажет учитель), а другому принимать. Например, учитель указал второе задание, потом дает время на подготовку (готовятся оба и класс в целом, так как в любое время может быть произведена замена учеников). Через некоторое время младший дал следующее решение: После возведения в квадрат приходим к неравенству

Учитель благодарит школьников и обращается к автору карточки: “Предполагается ли дополнительная работа с данной задачей на зачете?” Конечно, после получения положительного ответа учителю и ученикам будет интересно узнать о том, какая работа будет проводиться. Неожиданный ответ: “То, что мы видели, — это только для среднего ученика, а мой подшефный увлекается математикой, охотно и много решает сам, поэтому в принципе я и не собирался ”проверять“ такое решение — он его знает и выполнит безупречно”. На зачете предполагается рассмотреть такое задание: Дана функция у = . “Нарисовать” график этой функции и выяснить направление выпуклости функции.

Оказывается,

при а > 0, b > 0. Если теперь взять

и записать установленное неравенство, то получим то, которое требуется доказать.

Отсюда стало понятно, что старший “заложил” интересную работу с младшим. Для учителя важно, чтобы ребята увидели “всю кухню” ученика, поэтому он вновь спрашивает: “Теперь по этому заданию все?” Ученик отлично понимает учителя, он предвидел этот вопрос. “Нет, не все”, — раздается ответ. И далее: “Я предполагаю поработать со своим подшефным над обобщением данного неравенства”. К примеру, легко доказывается неравенство

Учитель благодарит автора за прекрасную работу и просит ребят задать по карточке вопросы, которые их интересуют. Остановимся на некоторых из них:

1. Какие ключевые задачи и в каких заданиях имеются? (Первая задача — ключевая на метод математической индукции, четвертая -на использование свойства скалярного произведения, шестая — на метод “разделяй и властвуй”.)

2. Зачем включено громоздкое пятое задание? (Это задание из вступительной работы в тот институт, в который предполагает

поступать младший. Пятое задание и взято из вступительной работы в этот институт.)

3. Можно ли четвертое задание выполнить, не пользуясь свойством скалярного произведения? (Да, любое такое задание можно выполнить возведением в квадрат и выделением суммы квадратов выражений.)

Сразу последовала просьба показать реализацию. Ученик попросил дать 2-3 минуты. Интересно, что он делает в это время? Идет на место, берет свой справочник, что-то смотрит и заявляет, что решение готово. Вот оно:

"Я обобщу неравенство

Возведу в квадрат и раскрою скобки (если левая часть отрицательна, то неравенство очевидно):

После перенесения всех членов в правую часть и приведения подобных получаю:

Это неравенство очевидно".

Для чего нужна такая пресс-конференция? Прежде всего для передачи опыта учеников друг другу, а также для создания ситуации успеха. Ведь все видят и осознают, что учитель гордится учеником, который выполнил качественно, творчески большой объем работы. Конечно, на этом можно закончить имитацию. Но будет хорошо, если учитель сможет добавить что-либо свое. Ученики понимают, что это импровизация учителя, они от него ее ждут (иногда они настойчивы настолько, что, не ожидая конца пресс-конференции, обращаются с вопросом к учителю: “А что Вы можете добавить?”). Поэтому, давая задание ученикам, учитель заранее готовится отвечать на их возможные вопросы. В данном случае он обращается: “С чем ассоциируется у вас ^2 ?” Ответы кратко фиксируются на доске: с диагональю квадрата, сторона которого 1, с гипотенузой равнобедренного треугольника, катет которого 1, с синусом и косинусом угла в 45°.

Теперь уточняющий вопрос: "Как связан с косинусом — /

Ученики отвечают, что 2cos-. Тогда преобразуем первый корень в левой части:

Теперь ученики сами преобразуют и второй корень:

Доказываемое неравенство принимает вид:

Последнее очевидно.

Все восхищены, но через некоторое время: “А можно ли обобщить?” — спрашивает ученик. Учитель “отфутболивает” этот вопрос ученикам. Они убеждаются, что обобщенное неравенство легко доказывается этим красивым способом, и они понимают, чем можно заменить

При желании учитель говорит: “Сейчас я могу так испортить условие примера, что прямо ни один из рассмотренных нами методов не будет работать, хотя объективно неравенство я упростил”. Все заинтересованы, а учитель не заставляет себя долго просить, поэтому предлагает доказать следующее неравенство:

Ученики обдумывают новое задание. Оказывается, его можно решить сведением к уже рассмотренному, если усилить неравенство. Сразу появляется вопрос, а верно ли такое:

Учитель подтверждает, что это интересно, но лучше этим заняться на внеклассных занятиях. Далее он продолжает: "Я думаю, что такие красивые идеи следует довести до младших школьников, поэтому приведу несколько примеров, которые вам могут пригодиться:

Пример 1. Доказать тождество

Пример 2. Решить уравнение

(тригонометрическая замена имеет вид х — р cos а, 0 < а < ^).

Пример 3. Найти решения уравнения

принадлежащие интервалу (0,6; 1) (замена x= cost1,

Пример 4. Решить уравнение

Пример 5. Найти решения уравнения

которые лежат в интервале (0; 1) (замена х = cos г,

Эти довольно разнообразные задания учитель приводит для того, чтобы старшие школьники повторили решение примеров (не только с использованием тригонометрической замены).

Таким образом, в ходе реализации различных направлений в совместной работе ученики получают возможность:

1) определить характер заданий, которые следует включать в зачетные карточки;

2) познакомиться с образцами карточек, анализом их состава и рекомендациями учителя;

3) выявить изменения, которые следует внести;

4) познакомиться с интересными заданиями, методами усложнения и упрощения задания.

Учащимся нравится такая работа, они начинают осознавать ответственность за участие в зачете, учатся друг у друга и у учителя. “Но как ученики справляются с подготовкой зачетных карточек?” — может спросить читатель. Конечно, лучшим ответом было бы просто привести все зачетные карточки по одной теме. К сожалению, это невозможно, поэтому ограничимся примерами одной карточки:

1. Решить: а) уравнение

б) неравенство | х — 8 |

в) систему уравнений

2. Построить графики функций:

3. Сколько решений имеют уравнения и система уравнений в зависимости от параметра а:

4. Записать уравнения функций, эскизы графиков которых представлены на рисунках 24 и 25.

Таким образом, ученикам под непосредственным руководством учителя удается составить интересные карточки. Но внимательный читатель, который соотнесет карточки, приведенные нами, с тем, что делал учитель на уроке, вправе спросить: “Как ученики работают над карточками дома? Какие они еще имеют материалы для принятия зачета?” Это очень важные вопросы.

Беседы со школьниками позволили установить примерную последовательность шагов, которую выполняют старшие при подготовке карточки дома.

Прежде всего они по своему конспекту повторяют теоретический материал темы, прорабатывают по известной схеме (см. с. 18) основные теоремы. Далее соотносят вопросы к зачету, указания учителя, особенности своего подшефного. Они определяют те вопросы теории, которые обязательно поставят перед младшим. Здесь же они продумывают некоторые контрпримеры, ловушки, тонкости и т.д.

На следующем шаге вспоминают решения ключевых задач, пытаются найти новые решения этих задач. Дальше они выбирают

Рис. 24 Рис.25

задачи, которые будут использовать для проверки умений решать ключевые задачи. Здесь же вносятся элементы творчества: ключевая формулируется нестандартно, в одной задаче объединяются две или больше ключевых задач и т.д.

Значительное время занимает просмотр задачников, журналов “Квант”, “Математика в школе”, зачетных карточек за прошлые годы. Ученик не просто просматривает, а пытается ответить на вопросы: “Решил бы он сам данную задачу? Следует ли ее вносить в зачетную карточку? Как она была составлена?” Тем самым ученики повторяют решения очень многих задач, постепенно отбирают те задачи, которые могут быть включены ими в зачетную карточку. Важно то, что считается общепринятым, — задачи лучше всего переделать, они не должны дублировать задачи из задачников. Далее они пытаются, посмотрев на задачи с точки зрения учителя, окончательно определить те (из изучаемой темы), которые будут включены в карточку. Теперь наступает время проверить отобранные задачи.

Важно получить для себя ответы на вопросы: “Хорошо ли замаскировано решение задачи? Имеется ли какая-нибудь дополнительная работа с задачей? Что узнает подшефный после разбора задачи? Не дублируют ли задачи друг друга? Будут ли доступны задачи? Есть ли сложные задачи?” Поиск ответов на данные вопросы и позволяет откорректировать состав задач.

Теперь уже школьник в состоянии подготовить окончательный и полный текст карточки, что он и делает. Но подготовка к зачету для него не заканчивается, так как школьник подбирает еще специальные материалы для проведения зачета: задачи, аналогичные тем, которые содержатся в карточках (используются, если были затруднения или ошибки, и для проверки усвоения); вспомогательные задачи (используются, чтобы помочь ученику самостоятельно найти решение задач); более сложные задачи (для развития возможностей учащихся, для домашнего задания), необходимые формулы; методы решения задач по теме зачета (используются, чтобы на зачете помочь младшему при составлении справочника); более сложные задания по предыдущей теме (для углубленной подготовки младших).

Мы попытались показать в общих чертах процесс совместной деятельности учителя и учащихся при подготовке их к принятию зачета. Очевидно, что результативность зачета во многом определяется качеством этой предварительной работы. С необходимостью готовить ученика связана одна из трудностей использования описываемой зачетной системы — появление новых педагогических задач, которые учителю не приходилось решать в предыдущей педагогической деятельности. Первая из этих задач воспитательная. Приходится учить общению на зачете, воспитывать уважительное,

доброжелательное, но требовательное отношение старших к младшим. Вторая задача ~ обучение старшеклассников составлению зачетных карточек (в частности, составлению “своих” задач) в ходе повторения материала. Как видно, научить этому совсем непросто. Однако отметим, что составление зачетных карточек позволяет не только повторить весь материал темы прошлого года, а как бы изучить его заново, на более высоком уровне. Дело в том, что составление новых задач для зачетных карточек — это качественно новая ступень в математическом развитии школьников.

Позволим себе высказать утверждение: если школьник умеет составлять задачи, то решать их он умеет тем более. Практика показывает, что, для того чтобы подготовить к составлению зачетных карточек, требуется кропотливая систематическая работа учителя на каждом уроке.

Хочет или не хочет старший школьник, участвуя в принятии зачета, он принимает на себя некоторые учительские функции. Следовательно, он должен быть готовым выполнять их. Старший оказывает педагогическое воздействие на своего подшефного, поэтому он должен владеть некоторыми приемами такого воздействия.

Прежде всего младшим школьникам необходимо поощрение. Значение этого трудно переоценить. Во-первых, своевременное поощрение способствует закреплению положительных сдвигов, во-вторых, поощряемые поступки служат эталонами для дальнейших действий младшего, в-третьих, средством, позволяющим наладить контакт между старшим и младшим, заинтересовать их друг другом, в-четвертых, оно помогает младшему школьнику правильно оценить свои силы и способности, свои возможности, выработать чувство уверенности, гордости за свой учебный труд, желание работать больше и лучше, в-пятых, поощрение позволяет изменить положение младшего в коллективе.

Старшие школьники чаще всего используют такие виды поощрения: одобрение (выражается короткой репликой, подтверждающей, что подшефный правильно выбрал метод решения, верно его реализует и т.д.); похвала (более развернутая характеристика деятельности младшего: “Ты знаешь, я не ожидал от тебя, что ты догадаешься использовать этот метод. А ты не только догадался, но и подробно обосновал его реализацию, правильно выполнил все шаги. Здорово! Так держать!”); награда (это более значительное поощрение, применяемое в тех случаях, когда младший чем-то поразил старшего). Существенно, что похвала не выражается в оценке, а проявляется в смене характера задач, объеме материала, подлежащего контролю.

Учитель предупреждает о вреде неоправданного поощрения. Незаслуженное поощрение обесценивает его психологическое воздействие, дискредитирует зачетную систему в целом, подрывает

авторитет старшего школьника. Учитель обращает внимание, что эффективность поощрения повышается, если поощрение будет своевременным и гласным.

Другой прием воздействия на младших, с которым учитель знакомит старших, — моральная поддержка и укрепление веры в свои силы. Старший школьник создает такую ситуацию, в которой младший школьник, нуждающийся в определенной моральной поддержке, может в чем-то проявить себя, а тем самым изменить отношение к себе класса в лучшую сторону.

Прием этот особенно применим к таким молчунам, которые не могут быстро, с эффектом решить задачу, робки и застенчивы. Робость и застенчивость могут являться следствием совершенно различных причин: это пробелы в предыдущей подготовке, обстановка в классе, неправильные отношения в классе, меланхолический темперамент, неверно сложившиеся отношения с учителями и т.д.

Данный прием требует от старшего школьника (и учителя) веры в то, что в каждом школьнике имеется что-то положительное, каждый может усвоить школьную программу по математике. Задача старшего — раскрыть, прежде всего для младшего, эти возможности. Прием требует создания такой обстановки, в которой младший смог бы проявить свои возможности в полной мере. Иногда прием реализуется не на зачетном уроке. В этом случае подготовку к реализации осуществляют совместно учитель и старший школьник путем координации своих действий.

Младший школьник постоянно не успевает готовиться к зачету. Тогда старший школьник и учитель принимают решение подготовить младшего к зачету раньше путем дополнительных занятий старшего с младшим. Далее учитель в ходе подготовки к зачету младших поручает разбор одного теоретического вопроса старшему школьнику, а он “неожиданно” предлагает это выполнить своему подшефному, а учитель... соглашается.

Можно было бы остановиться на том, как учитель знакомит старших с такими приемами педагогических воздействий, как просьба, одобрение, активизация сокровенных чувств школьника, доверие и др., но дело не в их числе. Нам кажется, что рассмотренного уже достаточно, чтобы получить представление о том, как можно готовить старших к использованию приемов педагогических воздействий.

Итак, читатель познакомился с разнообразной работой, которую проводит учитель с учениками для подготовки их к зачету. Теперь расскажем, как проходит зачет.

Для сдачи зачетов отводится два урока. На первом из них школьник, получив зачетную карточку, специально подготовленную для него, приступает к решению задач. Эта ситуация внешне

напоминает обычную многовариантную контрольную работу. Но имеется ряд существенных отличий. Прежде всего ученику не нужно затрачивать время на переписывание в чистовик, поскольку на втором уроке ему предстоит в течение 45 минут отвечать как по теории, так и по практике старшекласснику, составившему карточку.

На втором уроке в одном, а чаще в двух кабинетах встречаются два класса (у обоих классов на этот час в расписании стоит математика), ребята распределяются по парам, и начинается сдача зачета. По выбору старшего (а иногда по просьбе младшего) определяется первая задача, которую будут разбирать на зачете. В ходе рассказа младшего в любом месте старший при необходимости задает вопросы, которые помогут установить, понимает ли младший то, что он рассказывает. На зачете можно услышать:

- Докажешь мне это?

- Конечно, попробую.

- А правильно ли ты высчитал?

- Давай вместе посчитаем.

- Посмотрим, что получится.

- Я что-то у тебя не понял.

- Дай я расскажу тебе все сначала.

- А второй способ доказательства ты знаешь?

Если в ходе зачета обнаруживается непонимание сути дела или пробелы в знаниях, сдающий зачет тут же получает необходимые разъяснения. Оставаться пассивным слушателем младшему не удается, поскольку принимающий зачет старшеклассник нацелен на то, чтобы младший товарищ понял материал, чтобы научился применять теорию или известный алгоритм к решению задачи.

Типичной ситуацией, характеризующей сдачу зачета, является следующая: старший школьник, разъяснив сдающему зачет теорему или решение задачи, не успокаивается на этом, а здесь же просит его повторить все рассуждения, устанавливая тем самым, действительно ли понял его подопечный то, в чем затруднялся ранее. Эти ситуации необычны для младших, так как они привыкли к тому, что учитель, задав вопрос: “Тебе понятно, что я тебе рассказал?”, ведет опрос или рассказ далее. Здесь же ученик, рассказав младшему решение какой-либо задачи и услышав от него, что он разобрался, довольно часто убеждается, что до истинного понимания далеко. В таких случаях старший в сдержанных выражениях выскажет недовольство: "Знаешь, мы взрослые люди, учимся для себя, а не для дяди. Если ты утверждаешь, что понял, то должен по крайней мере воспроизвести решение самой задачи или аналогичной. Ты же этого сделать не можешь. Если тебе было непонятно, то надо было сказать, я бы в этом случае рассказал решение еще раз. Давай придерживаться правила: если тебе хоть какая-то часть не ясна, то нужно спрашивать. Договорились? А теперь слушай

еще раз“. Далее следует повторный рассказ и обращение к младшему: ”Что непонятно?“ Довольно быстро младший начинает понимать, что простым кивком он не отделается, поэтому он досконально расспрашивает старшего в случае необходимости, а тот объясняет. Естественными и традиционными на зачетах являются следующие вопросы и задания: ”Докажи еще раз. Почему? Откуда это следует? А что будет, если ...? Приведи контрпример. Составь аналогичную задачу, обратную задачу. Обобщи утверждение. Рассмотри частный случай. Проверь результат и т.д.".

Заканчивается зачет тем, что принимающий выставляет в зачетную карточку три оценки: за ответ по теории, за решение задач из карточки, за ведение рабочей тетради. При этом каждая из выставленных оценок мотивируется. Иногда сдающему зачет предлагается самому оценить свой ответ. В случае получения неудовлетворительных оценок (или оценок, которые не удовлетворяют младшего) школьники сами договариваются о сроке повторения зачета, который проводится уже не на уроке.

Понятно, что зачеты в старших, 9-11 классах должны отличаться от зачетов в 6-8 классах. Отличие обусловлено как возрастом ребят, так и задачами проведения зачетов.

Психологические особенности ребят таковы, что, чем младше школьник, тем им труднее “высидеть” и работать самостоятельно целый урок, для них важно общение со старшими.

Исходя из этого зачет в 6-8 классах проводится за один урок и чаще всего без зачетных карточек. Важно выделить материал, опрос по которому проводится на каждом зачете. Зачет чаще всего начинается с опроса по этим вопросам (неважно — зачет по алгебре или геометрии). К этим инвариантным вопросам можно отнести: формулы сокращенного умножения, признаки равенства треугольников, действия с дробями, решение линейных и квадратных уравнений, теорему Пифагора и т.д. За эту часть теории выставляется оценка отдельно.

Постоянное возвращение к опросу ранее изученного позволяет ученикам неоднократно проговорить многочисленные теоремы, правила, признаки, формулы, которыми изобилует программа, сознательно заучивать самый необходимый материал. Может показаться читателю, что постоянное возвращение к некоторым вопросам должно привести к нежеланию младших работать на зачете. Однако этого не происходит. Дело в том, что ребятам нравится отвечать правильно и осознанно. Они с удовольствием отвечают на “стандартные вопросы”. Кроме того, формируется уверенность у младших.

Специфика зачетов в 6-7 классах проявляется и в том, что первоначально ученикам указывается достаточно малое число задач (чаще всего только 5), по которым будет проводиться опрос на зачете.

Далее это число возрастает. Затем будут привлекаться задачи из одного дополнительного (известного ученикам, чаще всего содержащего решения) задачника, потом из двух и т.д.

Специфика зачетов в младших классах состоит в том, что они могут быть проведены в форме различных игр, в ходе которых ребята соревнуются друг с другом в решении задач.

Понятно, что в выпускных классах должна быть изменена форма зачета. Здесь зачеты принимает учитель. Скорее всего они будут проводиться после уроков.

Учитель после последнего урока записывает на доске в своем кабинете условия заданий (их от 4 до 8), называет 7-8 ребят, которым предстоит в этот день сдавать зачет. Ребята уходят домой, потом в определенный час приходят в кабинет математики, рассаживаются каждый за отдельный стол и приступают к выполнению заданий. Учитель приходит на час позднее и начинает последовательно опрашивать школьников. За час-полтора проводится опрос всех. Те, которые получили неудовлетворительные оценки, пересдают зачет с одной из последующих групп.

В выпускном классе зачет может проводиться в форме деловой игры. Для этого школьники выбирают 5-6 человек из класса, которым вместе с учителем предстоит избрать форму проведения зачета и подготовить необходимые материалы. Возможная форма зачета — лабораторная работа. Учитель знакомит ребят с требованиями, предлагает один из вариантов, а ученики готовят все необходимые материалы для проведения лабораторной работы. В том случае, если в школе имеются ЭВМ, лабораторные могут быть выполнены с помощью специальных программных средств.

Проведение зачета требует от учителя хорошей профессиональной подготовки, прежде всего опыта совместной работы с учащимися, заинтересованности в успехах ребят, умения диагностировать состояние знаний, включиться при необходимости в проведение зачета, не обидев старшего. Еще один важный момент—отсутствие давления на старших. Старшие должны участвовать в зачете добровольно. Практика показывает, что при подготовке зачета велика роль информационного обеспечения учителя, поэтому успех во многом зависит от того, как учитель готовит его.

Предлагаемая система зачетов лучше всего “работает”, если в обоих классах ведет преподавание один и тот же учитель. Подавляющая же часть учителей предпочитает иметь нагрузку в параллельных классах. Правомерен вопрос: “Как быть, если учитель не согласен переходить на другую структуру нагрузки?” Практика многих школ говорит о том, что и в этом случае удается эффективно использовать зачеты, если организовать кооперацию учителей, работающих в разных параллелях. В этом случае учителя должны скооперировать свою деятельность таким образом, чтобы оба класса (под руководством своих учителей) были готовы к принятию зачета.

При таком варианте учителя естественно включаются в обмен опытом своей деятельности, помогают друг другу.

А теперь читатель может спросить: “Где взять время на проведение зачетов? Ведь программой на это время не предусмотрено”. Парадокс заключается в том, что описанная система зачетов позволяет экономить время на прохождении программного материала. Попытаемся это доказать.

При отсутствии зачетов добрую половину учебного времени учитель вынужден затрачивать на опрос учащихся у доски. Проведем простой арифметический подсчет. Если спрашивать на каждом уроке 3-4 ученика, потратив на каждого 5 минут, учителю понадобится для опроса всего класса приблизительно десять уроков. Получается, что за эти десять уроков каждый ученик говорит в среднем всего 5 минут.

А проведение зачета требует всего два урока. Причем здесь каждый школьник говорит не 5 минут, а намного больше.

Кроме того, резко возрастает эффективность всех остальных уроков, так как, во-первых, учитель работает все 5 минут со всеми учащимися класса, будь то урок-лекция, урок решения ключевых задач или консультация, во-вторых, ученики постоянно помнят, что им предстоит в ближайшее время сдача зачета по всему изучаемому материалу, в-третьих, школьники, принимающие зачет, систематически повторяют материал прошлого года, составляя зачетные карточки, благодаря чему учителю не нужно затрачивать много времени на повторение. Таким образом, в целом получается выигрыш во времени при явном повышении качества знаний и умений учащихся.

Отметим, что эффективность зачетов во многом связана с тем, что за ними следует специальный урок анализа результатов зачета, который проводит учитель на основе зачетных карточек, результатов зачета и своих наблюдений.

Глава VII. В ЦЕНТРЕ ВНИМАНИЯ УРОКА АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ЗАЧЕТА, УЧЕНИК, ПОМОЩЬ ЕМУ, ЕГО РАЗВИТИЕ

Учиться анализировать! Рассматривать все явления школьной жизни через призму педагогического анализа их причин! — вот важнейшая задача перестройки школы. Именно ее решение может избавить нас от глубочайшего формализма в обучении и воспитании.

Януш Корчак

Из этой главы читатель узнает:

1. Каковы задачи урока.

2. Как провести анализ результатов зачета.

3. Как разбить класс на “близкие” группы.

4. Как планируется работа отдельных групп.

5. Как проходит урок.

К основным задачам данного урока можно отнести:

1) разбор вопросов теории, которые плохо усвоены учащимися;

2) разбор задач, которые не были решены на зачете, психологическое объяснение неудач;

3) разбор задач, которые на зачете получили интересные решения;

4) знакомство школьников с новыми задачами, методами их решения и составления;

5) характеристика знаний учащихся, обсуждение пробелов в знаниях, умениях. Планирование работы по их ликвидации;

6) выполнение корректирующих заданий непосредственно на уроке;

7) стимулирование учебно-познавательной деятельности школьников.

Решение этих довольно разноплановых задач урока обусловливает сложность его подготовки и проведения. Сложность связана с

тем, что: 1) приходится анализировать умственную деятельность учащихся, которая представляет собой довольно неудобный объект для исследования; 2) в ходе анализа приходится опираться на то, что получено “на выходе” в ходе взаимного обучения учащихся, при выполнении принципиально различных заданий (существенно, что учителю в принципе не удается собрать полную информацию, так как значительная ее часть не фиксируется учениками письменно, поэтому он должен проводить анализ в условиях дефицита информации); 3) результаты, полученные на зачете, во многом определяются знаниями, умениями и навыками учащихся по предыдущим темам, психологическими особенностями обучаемых, поэтому учителю для проведения анализа требуется собрать, отработать, учесть огромный объем информации, которой нет в чистом виде. Отсюда ясно, что решения придется принимать в сложных, противоречивых условиях; 4) методика проведения такого урока практически не разработана, поэтому учитель не только не видел аналогов уроков данного типа, но не может найти ответы в психолого-педагогической литературе на вопросы: как готовиться к уроку? Что понимать под анализом результатов зачета? Как проводить урок?

Под анализом результатов зачета мы будем понимать особый вид деятельности учителя, направленной на изучение педагогического явления с целью построения его модели с последующей оценкой и педагогическим объяснением результатов, прогнозированием будущей деятельности учащихся — старших и младших. Опираясь на данное определение, легко выявляем шаги, которые следует выполнить учителю, чтобы подготовить и провести урок по теме “Анализ результатов зачета”:

1. Сбор информации о ходе зачета и его результатах.

2. Построение модели (или системы моделей).

3. Эксперименты на модели. Объяснение результатов.

4. Составление плана будущего урока.

5. Проведение урока.

6. Постановка задач дальнейшего обучения, воспитания и развития применительно к классу в целом и к отдельным группам учащихся.

Сбор информации учитель проводит до зачета, а также непосредственно на зачете (напомним, что зачет для младших школьников делится на два урока, а для старших — один урок).

Учитель начинает вести наблюдение сразу, как только школьники получили зачетные карточки. В первую очередь он обращает внимание на тех ребят, которые сидят и ничего не делают. Наблюдения за такими школьниками он ведет незаметно. Подходит к ребятам не сразу: ведь ученик может просто обдумывать условия, выбирать метод решения, составлять план и т.д. Основная цель наблюдений в этот период урока — определить, нужна ли помощь

школьнику и в чем она может заключаться. Сделать это не так просто, так как карточку составлял не учитель, а ученик и ему неизвестно, какую задачу ученик пробовал решать или решает в данный момент. Здесь учитель должен проявить терпение, а главное — не спешить. Для того чтобы выяснить причину, учитель подробно изучает задания из карточки, при необходимости он обратится к ученику с вопросами: какие задачи он пробовал решить? Почему не решает какую-то из задач? Над какой задачей работает в настоящее время? В какой последовательности предполагает решить задачи? В чем он видит сложность решаемой задачи? И т.д.

Кроме того, учитель, анализируя задачи из карточки, определяет наиболее целесообразный порядок решения задачи (соотносит его с тем, который избрал школьник), продумывает различные методы решения задачи, которой занят в данный момент школьник (сравнивает известные ему методы с тем, который пытается реализовать ученик). Все эти довольно сложные, трудно уловимые действия нужны учителю для того, чтобы проверить и уточнить причины затруднений (одновременно запоминая их). Но выявить характер затруднений не самое главное и сложное. Учителю требуется почти моментально, в условиях неполной информации, опираясь на свои знания особенностей младшего, задач и методов их решения, принять решение — как реагировать на затруднения ученика.

Понятно, что единого рецепта нет и не может быть, так как все определяется особенностями ученика, как он работал при изучении темы, какие задачи включены в зачетную карточку. К примеру, если ученик не работал при изучении темы в меру своих сил и возможностей, то трудности должны быть осознаны самим учеником. Как поступить в этом случае учителю? Скорее всего помощь такому школьнику не должна быть оказана, но при этом важно показать ученику, что учитель осознал, зафиксировал в памяти его затруднения, вызванные несерьезным отношением к своим учебным делам. (Здесь важно, что ученик на зачете не услышит ни одного слова о своей плохой работе по изучению темы от учителя. На уроке анализа результатов зачета учитель может высказать критические замечания по работе ученика, к чему привело халатное отношение к учебным делам. Там же ему будет оказана помощь, в которой отказано на зачете.)

Другая ситуация — ученик старается, пытается выполнять все задания, активно обращается за помощью (к учителю, старшему школьнику), но ему трудно (из-за пробелов в предшествующей подготовке). Конечно, никто не должен упрекать учителя, если он такому школьнику окажет помощь. Под помощью мы понимаем не простое указание метода решения, не само решение задачи за ученика.

Помощь ученику можно оказать, если: 1) указать отдельные ключевые задачи, к решению которых сводится задача, вызвавшая затруднения; 2) обратить внимание школьника на отдельные важные элементы условия, ускользнувшие по какой-либо причине от него; 3) напомнить об аналогичной задаче, разбираемой на уроке; 4) привести вспомогательную задачу, которая должна помочь школьнику найти путь к решению задачи или реализовать его; 5) предупредить о возможной типичной ошибке или указать на одну из них, допущенную школьником; 6) обратить внимание на другие задачи, содержащиеся в карточке, которые проще или могут прояснить поиск решения задачи, а также изменить порядок решения задач из карточки; 7) указать несколько методов, которыми целесообразно попытаться решить задачу.

А не мешает ли это на уроке другим ученикам? Опыт свидетельствует, что ученики, которым оказывается помощь, очень чутко к ней относятся, но они ее... не ждут. Отрываются они от выполнения заданий только тогда, когда учитель обратился к ним непосредственно. В этом случае они слушают его внимательно, но никаких записей не ведут. Другие же ребята заняты решением задачи: у них в карточках совершенно другие задачи, поэтому на разговор учителя и ученика они не отвлекаются.

Учитель наблюдает за тем, как школьники реализуют план решения задач. Здесь его интересуют: 1) планы, которые намечаются школьниками; 2) альтернативные варианты, которые рассматривались; 3) методы решения, которые школьник пытался применить и на каких остановился; 4) самоконтроль деятельности по решению задач; 5) ключевые задачи, которые школьник выявил. Для сбора этой информации учителю приходится вести продолжительные наблюдения за поведением ученика, за его деятельностью по решению задач (учителя интересует, как ученик исследует чертеж: заслоняет рукой или бумагой отдельные части чертежа, выделяет отдельные фигуры, проводит точные построения, позволяющие высказать гипотезы, рассматривает частные случаи задач, обобщает условия задачи и т.д.). Учителю приходится задавать специальные вопросы.

“Как ты определил, что следует свести к решению данной ключевой задачи?” — вопрос учителя к ученику, за которым велось наблюдение. Выслушав ответ школьника, он может дополнительно поинтересоваться: “А как ты узнал, что следует использовать другую ключевую задачу (называется конкретная задача) ? ” Данные вопросы и ответы учеников позволяют учителю выявить, владеют ли школьники методами распознавания ключевых задач. В случае, если обнаружится слабое владение методами распознавания, учитель учтет это при подготовке к уроку анализа результатов зачета.

В другой ситуации наблюдения и вопросы учителя, ответы учащихся, результаты решений показали, что ребята научились

хорошо распознавать задачи, могут правильно указать требуемую для решения последовательность ключевых, но в ходе реализации решений задач (в том числе и ключевых) допускают значительное число ошибок. Здесь учитель начнет критически анализировать прежде всего свою деятельность. Теперь он должен обратиться к методам решения ключевых задач, которые использовались при обучении младших, и методам самоконтроля, которые рекомендовал школьникам для проверки решения, и ответить себе на вопросы: достаточно ли времени, которое учитель выделил школьникам для оформления решения задач? Сколько задач было решено для тренировки учащихся? Допускают ли ученики ошибки, которые он предвидел и старался предотвратить? Как оформили ученики решения задач, используемых на уроке? Как выполняли домашние работы? Были ли в карточках к уроку-консультации задачи, связанные с теми, в которых на зачете отмечены ошибки? Включил ли в число разбираемых на консультации эти задачи? Какие задачи включили ученики, допустившие ошибки на зачете, в карточки к консультации? Конечно, учителю важно получить ответы на эти вопросы оперативно. Имеет ли он такую возможность? Да, имеет. В этом одно из преимуществ зачетов.

Действительно, ученики обеспечены работой, поэтому учитель может искать ответы на свои вопросы. С этой целью он берет тетради у лучших учеников (ведь в этих тетрадях он может увидеть свои ошибки в чистом виде. В работе других категорий учащихся ошибки учителя накладываются на ошибки учащихся, получается сложная картина, которую за короткий срок не изучишь) и просматривает их на зачете. Если он установил, что на уроках решения ключевых и обучающих задач не было уделено достаточное внимание самоконтролю деятельности по решению задач, то учитель может подсесть к школьнику (или даже собрать возле учительского стола несколько ребят) и рассказать ему о соответствующем методе самоконтроля, причем может быстро выполнить решение одного из примеров, попросить школьника объяснить, уделив особое внимание самоконтролю.

Далее учитель продолжит наблюдение за ребятами, так как ему важно убедиться, как они, используя метод самоконтроля, находят допущенные ранее ошибки. Как они восприимчивы к помощи, которую он им оказал? Не нужна ли дополнительная помощь?

Если учитель определит, что он не уделил достаточного внимания оформлению решения (в большинстве просмотренных им тетрадей решение задачи оформлено плохо), то вновь может показать решение задачи, уделив особое внимание оформлению (иногда решение такой задачи учитель выполняет на доске). Напомним, что задачи придумывают старшие школьники, поэтому совпадение задач маловероятно. Кроме того, не следует опасаться*

что ученик изучит решение на доске, ведь свою задачу должен будет решать самостоятельно. А если учесть, что на зачете умение выполнить решение проверяется неформально, то понятно, что такая оперативная помощь педагогически допустима и даже целесообразна, так как позволяет избежать многих конфликтов.

Другими будут действия учителя, если в ходе изучения информации выяснится, что одну из ошибок учитель не предусмотрел. В этом случае он быстро устанавливает характер ошибки, продумывает задания, которые позволяют выяснить, допускает или не допускает младший школьник эту ошибку, а также задания, которые позволяют провести корректирующую работу с учеником непосредственно на зачете. Далее в перерыве учитель соберет старших ребят в другом классе, сообщит им об этой ошибке, познакомит с методом диагностики и заданиями, которые он подобрал, и попросит старших обратить внимание на эту ошибку. При необходимости начало зачета он несколько задержит.

Пусть, к примеру, на зачете по теме “Решения систем уравнений” учитель увидел у нескольких школьников следующее “решение” системы (в разных карточках были аналогичные системы) :

Рассмотрим систему

и далее верное решение новой системы.

Ошибка связана с тем, что ученики считают Vö“2” = а (на самом деле Vô“2” = I а |), поэтому рассмотрен случай х — у > 0 и требуется рассмотреть еще случай х-у < 0.

Учитель установил, что такие системы не рассматривались при изучении темы, хотя в карточках к уроку-консультации были аналогичные задания. Поэтому, собрав старших в другом кабинете до начала урока, он поблагодарил их за включение таких систем. Выяснилось, что эта система взята из зачетной карточки, по которой

старший в прошлом году сдавал зачет. Хорошо, что старшие частично исправили ошибку учителя, включив такую систему в карточку. Но теперь требуется исправить ошибку учащихся. Учитель объясняет, как составляются аналогичные системы, и приводит образец одной из них:

Быстро выполнив решение, учитель покажет ряд дополнительных упражнений, которые позволяют предупредить ошибки. Следует отметить, что наблюдение за учениками, изучение карточек помогают учителю еще в одном аспекте. Довольно часто, изучая карточки, он обращает внимание на появление различных, но чем-то похожих, взаимосвязанных заданий. Учитель пытается выявить их единство. Так, на зачете по теме “Неравенства” вдруг учитель отметил появление следующих заданий:

1. Докажите, что для любых положительных чисел а, b, с справедливы неравенства

2. Если а1 > а2 > а3 > 0, bх > b2 > bъ > 0, то

3. Если а > 0, b > 0, с > 0, то

4. Если аи аъ ... , an — стороны выпуклого n-угольника (n > 3), то

5. Если аи аъ an неотрицательны, то

6. Если а, b, с положительны, то

7. Если а1, а2,.. , an положительны, то

Здесь к > m > 0, к е N, m е N.

Конечно, большинство из данных неравенств не являются для учителя новыми, поэтому он мог бы при желании отыскать книги, в которых они содержатся. Но “внезапное и одновременное” их появление говорит ему о многом. Видно, появился новый задачник, а чаще новая статья в журнале “Квант” или “Математика в школе”. Ребята получили журналы, а в школу они еще не поступили. Как выяснить? Обратиться к старшим. Учителю легче это сделать, так как он знает старших, которые составляли зачетные карточки.

Пусть учитель выяснил, что в “Кванте” № 12 за 1985 год появилась статья “Упорядоченные наборы чисел и неравенства”. На зачете учитель никак не станет работать с данной статьей, а вот при подготовке к уроку анализа результатов зачета он безусловно учтет статью, проработав ее по следующей схеме: 1) изучит содержание статьи; 2) выявит новый метод решения и составления задач; 3) определит известные задачи, которые очень изящно, неожиданно могут быть решены новым методом; 4) установит различные варианты реализации нового метода составления и решения; 5) продумает, как познакомить с этим материалом младших и старших; 6) как использовать материалы статьи по внеклассной работе; 7) какие новые задачи (по материалам статьи) могут быть взяты к предстоящему уроку.

Если в ходе наблюдений за учеником учитель пришел к выводу, что ученик не усвоил алгоритм решения какой-либо ключевой задачи, то учитель может обратиться к его рабочей тетради. Для него важно выявить причину, почему это произошло. Здесь его вновь интересуют вопросы (применительно к ученику и конкретной задаче): 1) Как оформлено решение ключевой задачи в тетради школьника (иногда просмотр тетради заставляет учителя просмотреть тетради у нескольких учеников, которые близки к данному ученику по каким-либо характеристикам)? 2) Какие вопросы подготовил ученик к уроку-консультации (близки ли задачи из карточки к консультации к той, решение которой не усвоено школьником)? 3) Как могло случиться, что ученик не получил помощи по решению ключевой задачи ни от учителя, ни от старшего школьника)? 4) Обращался ли школьник за помощью к старшему (может быть, пара учеников подобрана не очень удачно, вероятно, следует попробовать другой вариант, а может быть, требуется оказать помощь старшему)? 5) Как ученик справляется с другими

задачами из карточки, опирающимися на решение данной ключевой задачи?

Поиск ответов на сформулированные вопросы помогает учителю установить, как реагировать ему в данном случае. Чаще всего он обращается к старшему школьнику. Но учитель понимает, что старший школьник не учитель, поэтому ему явно недостаточно указать ключевую задачу, с решением которой не справляется младший (старший установит это сам в ходе зачета), а следует дать соответствующие рекомендации, как вести работу с младшим.

Иногда учитель обращает внимание на отдельных школьников, которые решают известную (практически ключевую) задачу, но выполняют при этом какие-то необъяснимые (для учителя) действия. Что делать в этом случае? Главное, в такой ситуации не следует торопиться. Нужно продолжать наблюдение за этим учеником. Часто учитель (и ученик) бывает вознагражден за терпение — выясняется, что для решения известной задачи школьник использовал “новый оригинальный” метод решения (может быть, новый для данного класса). Учитель не будет беспокоить школьника дополнительными вопросами, связанными с неожиданным методом решения задачи, непосредственно на зачете (хотя обязательно попытается вспомнить какие-либо истоки появления новинки).

Понятно, что такая ситуация не может выпасть из поля зрения учителя, она слишком выигрышна для учителя и ученика. Для учителя важно не просто зафиксировать, запомнить эту ситуацию, а выжать из нее все, что возможно.

Прежде всего он вновь обращается к зачетным карточкам. Теперь его в первую очередь интересует: 1) есть ли ученики, , которых зачетные карточки содержат аналогичные задачи; 2) как они решают эту или близкую к ней задачу (вполне возможно, что здесь просто появилась новая статья, о которой он пока не знает). Но интересен и другой случай — задача, близкая к изученной, содержится в нескольких карточках, но все ученики ее решают стандартно, методом, который повторяет метод решения аналогичных задач на уроке. На этот случай у учителя заготовлен целый список вопросов для младшего: 1) Откуда он узнал такой интересный метод решения? 2) Кто ему сообщил или где изложен данный метод? 3) Известны ли школьнику другие задачи, решаемые данным методом? 4) Знает ли он стандартное решение?

Учитель не только внимательно выслушает ответы ученика, но и попросит его подготовить сообщение о методе решения задачи к уроку анализа результатов зачета, не рассказывая о нем одноклассникам до урока. Уделит учитель специальное внимание и старшему школьнику, осуществляющему руководство учебной работой младшего. Здесь его прежде всего интересует то, что позволило его подшефному найти оригинальное решение. В любом случае учитель найдет способ поблагодарить старшего за хорошо выполняемую

Рис. 26 Рис. 27

работу. Эта похвала очень важна для учителя и ученика, она во многом сближает их.

Приведем пример. У нескольких учеников в зачетных карточках по теме “Применение производной” оказалась следующая задача: В полукруг радиуса г вписать прямоугольник наибольшей площади таким образом, чтобы две его вершины лежали на диаметре, а две другие — на окружности.

Большинство учащихся решили задачу так:

Пусть ВС = X, а О — центр круга (рис. 26). Тогда из треугольника ОВС находим по теореме Пифагора Площадь S(x) прямоугольника ABCD находится по формуле

Найдем наибольшее значение S (х) при 0 < х < R (случаи х = 0 и х = R не имеют геометрического смысла):

Далее легко проверяется, что при

площадь примет наибольшее значение.

Некоторые школьники привели другое решение. Вместо нахождения наибольшего значения функции S(x) на (0; R) они искали наибольшее значение функции/(x) = x2R2-xA на (0; R). Конечно, нахождение критической точки, да и доказательство того, что f(x) при x = принимает наибольшее значение, проще, чем в первом решении. Но ни первое, ни второе решение не может заинтересовать, точнее, поразить учителя, заставить его включить задачу в число разбираемых на уроке анализа результатов зачета.

Следующее решение данной задачи привел только один ученик: Пусть О — центр круга, а МО ⊥ AB (рис. 27). Тогда очевидно, что

Поэтому наибольшая площадь будет тогда, когда а = 90°. Следовательно, max S (х) = R2.

Конечно, это — оригинальное решение известной (из учебника) задачи, поэтому она была включена учителем в число разбираемых на уроке. В беседе с учеником учителя интересует вопрос: “Что побудило его искать новое решение этой стандартной задачи?”

Еще один “дежурный” вопрос: “Известны ли ученику другие методы решения этой задачи?” Так, при разборе рассматриваемой задачи были приведены и такие решения:

Отразим полукруг симметрично относительно диаметра, содержащего сторону AB (рис. 28). Тогда S^cd = 0,5 ⋅ SCddx сх -

Нам известно, что среди четырехугольников, вписанных в окружность радиуса R, большую площадь имеет квадрат, поэтому

max S (х) = R2.

Тогда, так как CDD\ G — прямоугольник, то CD1 — диаметр. Следовательно,

где ß — угол между диагоналями прямоугольника CDD\ ∈ (рис. 29). Тогда наибольшая площадь будет при ß = 90°. Значит, max S (х) = R2.

Вновь проведем МО так, как показано на рисунке 27, и соединим точку О с точками С и D. Легко доказать, что A AOD = A DOM = А ОСМ = А ОВС. Поэтому

где у — угол между радиусами ОС и OD. Наибольшая площадь получится тогда, когда у = 90°. Получим max S (х) = R2.

Рис. 28 Рис. 29

Сведем решение задачи к исследованию функции /(*)= л2R2-x4 (здесь мы были уверены, что далее последует производная, но, увы, опять сюрприз):

Отсюда ясно, что

Только настойчивость учителя заставила ученика привести решение задачи с применением производной, хотя школьник не удержался при этом: “Это самое неинтересное решение. Из пушки по воробью”. Пришлось с ним согласиться.

Анализ такой ситуации много дает учителю в плане совершенствования своей профессиональной деятельности. Практика показывает, что избежать стереотипов педагогического мышления без помощи ребят очень трудно, если вообще возможно.

Важно при этом и то обстоятельство, что ситуация с разобранной задачей помогает ученикам осознать неисчерпаемость математики, ее красоту.

Сбор информации не прекращается и с началом общения старших и младших, во время ответа. Учитель молча наблюдает за работой отдельных пар школьников. При этом его может интересовать: 1) вопросы теории, которые плохо усвоены младшими, ошибки, которые они допускают при ответе; 2) характер затруднений, испытываемых младшими при изучении теории, ответах; 3) пробелы в доказательствах, допускаемые младшими; 4) как оказывают помощь младшим старшие школьники, как они убеждаются, что младшие действительно разобрались в том, в чем ранее затруднялись; 5) какие дополнительные материалы подготовили старшие для проведения зачета; 6) могут ли старшие обосновать свои решения.

Всю собранную информацию учителю требуется сопоставить с тем, как он излагал теоретические вопросы на уроке, как они изложены в учебнике, в тех книгах, которые он рекомендовал школьнику. При необходимости учитель может обратиться к конспектам ребят, пытаясь установить истинные причины затруднений.

Конечно, бывают случаи (и их немало), когда установить, даже за два урока, причины затруднений не удается. В таких случаях учитель обратится к старшему и попросит его понаблюдать за работой младшего, попробовать различными способами оказывать помощь в учебе (а не только на зачете) и более тщательно проверять домашние работы. Ученики охотно выполняют просьбы учителя, так как с ними старшие ребята работали так же. После уроков они всегда найдут возможность встретиться с младшим. Довольно часто

можно услышать: “Знаешь, я хочу более тщательно подготовиться к зачету, поэтому мне надо посмотреть тетрадь с конспектами и домашними работами. Покажи их мне — я посмотрю в твоем присутствии”.

Здесь читатель вправе спросить: “А что произойдет, если старший увидит, что младший не выполняет домашних заданий?” Нельзя сказать о том, какой будет точная реакция (она не определяется жестко), но конфликта не будет (учитель заранее должен подготовить старших к такой возможности, обращает внимание на необходимость терпения и настойчивости). Чаще всего старший спросит: “Вот здесь ты не выполнил домашнее задание. Почему?” Если следует ответ: “Не мог”, тогда предложение старшего: “Давай разберемся вместе”. А если ответ: “Я его не делал”, то как будет реагировать старший? “Да, я понимаю, что бывают случаи, когда домашнее задание по математике можно не делать (много задано уроков по другим предметам, а до зачета несколько дней), это твое право. Но подумай, всегда ли ты правильно пользуешься этим правом? Вспомни результаты предшествующего зачета. Завтра встретимся вновь, убедительно прошу обратить внимание на домашние работы. Среди задач есть интересные, но нет трудных”, — обратится старший к младшему. Если на следующий день выяснится, что младший вновь ничего не делал, то старший, уже не спрашивая согласия младшего, скажет: “Давай будем делать твои задания вместе”. “А если младший откажется, -спросит дотошный читатель, — что тогда будет?” Конфликта не будет, скорее всего, старший обратится к учителю — они будут вместе думать над вопросом, как привлечь младшего к выполнению домашних заданий. Единого рецепта нет, все зависит от обстоятельств, а здесь важно, что действуют учитель и ученик вместе.

Случается, что ответ школьника на зачете ничем не примечателен, в карточке содержатся только известные задачи, решает их ученик стандартными методами. Но неожиданно ответ ученика на зачете может привлечь внимание учителя. Чем это вызвано? Чаще всего это означает, что учитель с радостью отмечает: у ученика наметился существенный сдвиг к лучшему. Наблюдение в этом случае учитель ведет для того, чтобы выявить, как закрепить и ускорить положительные изменения. Учителю важно точнее установить, что требуется сделать для ускорения развития школьника (какие дать рекомендации старшему, как похвалить учеников и т.д.).

В зачете участвуют двое — старший и младший. Они общаются в условиях учебной деятельности. Для учителя важно получить информацию об этом. Его интересует: 1) как они начинают зачет (взаимные приветствия, жесты и т.д.) ; 2) каким тоном формулирует вопрос старший, как делает замечания, исправления (не мешает ли он при этом младшему, не дергает ли его); 3) как реагирует

младший на замечания, исправления (соглашается ли со старшим, обоснованно ли спорят, корректен ли и т.д.); 4) как ведут себя школьники в случае возникновения разногласий (действительно ли приходят к взаимопониманию или остаются на своих позициях); 5) удовлетворены ли ребята общением друг с другом на зачете. Здесь своевременная помощь старшим может предупредить конфликтную ситуацию. Кроме того, учитель может предусмотреть меры по укреплению авторитета старших. Воспитанию требовательности и доброжелательности по отношению к младшим тоже следует уделить внимание.

Но вот зачет окончен. Всю ли информацию собрал учитель? Оказывается, нет. Но детей же нет! Да, действительно, нет, но ведь есть их результаты деятельности. Какие? Зачетные карточки-результаты деятельности старших (их домашняя работа). Результаты решения задач — продукт деятельности младших.

Прежде всего учителю требуется изучить состав задач, содержащихся в карточках. Напомним, что задач бывает очень много, поэтому учителю приходится их группировать. Основные группы задач выделяются по их отношению к ключевым. Для каждой из таких групп учитель (в ходе подготовки к уроку) должен будет решить вопрос о включении задач из данной группы для разбора на уроке.

Особенно интересны учителю группы взаимосвязанных задач, в которых отрабатывается что-либо или уточняются (или противопоставляются) результаты. Приведем пример. В зачетных карточках по теме “Неравенства” учитель выделил три неравенства.

Докажите неравенство при положительных а, b, с:

Чтобы понять, как использовать неравенства на уроке, рассмотрим совместно с учителем решение каждого из примеров.

а) Так как а> 0, b> 0, о 0, то

Поэтому

б) Пусть Тогда

Теперь, используя при положительных m и n неравенство — + — > 2, получаем:

Прежде чем переходить к последнему неравенству, отметим, что мы могли не доказывать первое неравенство, так как из второго следует первое. Но эти задачи, приведенные вместе, показывают последовательное уточнение результата, демонстрируя при этом различные методы доказательства неравенств.

в) Так как а > 0, b > 0, с> 0, то каждая из дробей

является правильной дробью. Известно, что правильная дробь увеличится, если к числителю и знаменателю прибавить одно и то же положительное число, поэтому

Складывая эти неравенства, получаем:

Интересно, что в первых примерах получена оценка снизу, а в этом неравенстве — сверху. Реализована интересная идея доказательства.

Вновь учитель должен решить, как использовать и использовать ли вообще на уроке эти задачи. Здесь требуется вспомнить, отрабатывались ли идеи, содержащиеся в этих заданиях с учениками, или нет. Если отрабатывались, то группа задач останется в памяти учителя интересной группой, которая в будущем будет где-то использована, а если нет, то скорее всего учитель использует ее в работе с учащимися на уроке анализа результатов (см. об этом дальше).

Специальную группу составляют новые задачи. Каждую из таких задач учитель не просто решает, а пытается выявить метод (или методы), которым она была составлена. Учитель продумывает схему работы над задачей: изучает условие и заключение, идею и метод решения, пытается найти обобщение задачи, формулирует и проверяет истинность обратных задач, пытается найти различные

решения, определить оптимальный метод или самое красивое решение. На основе этой информации учитель определяет не только возможные способы обучения младших школьников поиску выходов из тупиковой ситуации, но и то, какие интересные возможности упустили старшие школьники, не проработав задачу по полной схеме, не включив в карточки интересные и целесообразные задачи.

К примеру, в карточках по теме “Площади” учитель отметил интересную новую задачу: Прямая AD делит треугольник ABC на два треугольника. Докажите, что радиус г круга, вписанного в треугольник ABC, меньше суммы радиусов гх и rг кругов, вписанных в треугольники ABD и ACD.

Прежде всего он решает задачу.

Пусть р — полупериметр треугольника ABC, рх — полупериметр треугольника ABD, р2 — полупериметр треугольника ACD. Очевидно, что p1< р, р2< р и Sabc= SAbd + SACD -

Теперь воспользуемся формулами

Далее из равенства рг = рх гх + р2 rг находим

Затем учитель пытается найти обобщение. Для этого делит сторону ВС на большее число частей, разбивая исходный треугольник на несколько треугольников. Задача легко обобщается. А почему разбивать только за счет стороны ВC1 Это позволяет ему сформулировать и доказать следующее утверждение: Если треугольник ABC разбит на некоторое число треугольников, не имеющих общих внутренних точек, то радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, меньше суммы радиусов окружностей, вписанных в новые треугольники.

Вспоминая метод обобщения, он задает себе вопросы: “А почему я разбивал треугольник только на треугольники? А на что я могу разбить еще?” Ответом служит новое утверждение: Если многоугольник, в который можно вписать окружность, разбить на многоугольники, не имеющие общих внутренних точек и, в каждый из которых можно вписать окружность, то радиус окружности, вписанной в исходный многоугольник, меньше суммы радиусов, вписанных в новые многоугольники.

Разумеется, профессиональному математику известно утверждение, которое сформулировал и доказал учитель, но ведь он делает это не для того, чтобы совершить какое-либо математическое открытие, а для того, чтобы учить делать такие открытия учеников. Поэтому учитель решает, ищет, обрабатывает такие задачи, которые не являются новыми в математике, но являются новыми для

Рис. 30 Рис. 31

подавляющей части учеников, на которых можно показать ученикам все аспекты исследовательской деятельности в области математики.

В данной задаче удалось выполнить обобщение в полном объеме, причем тем же методом. В действительности это не всегда удается, более того, для развития учеников важно находить такие задачи, которые не могут быть обобщены в полной мере, а для доказательства нужно избрать новый метод. Рассмотрим пример такой задачи по теме “Площади”: Докажите, что площадь любого параллелограмма, лежащего внутри треугольника, не превосходит половины площади этого треугольника.

Это, вообще говоря, известная задача. Нельзя ли ее обобщить? Попробуем использовать следующий метод обобщения — заменим объекты, фигурирующие в задаче, на другие. На что заменить параллелограмм? Ближе всего равнобедренная трапеция. Будет ли верно утверждение с равнобедренной трапецией? Если ее рассматривать произвольным образом, то нет.

Действительно, пусть ABC — произвольный равносторонний треугольник (рис. 30), a MN — прямая, параллельная AB, проведенная достаточно близко к С, тогда площадь трапеции AMNB “очень мало” отличается от площали треугольника ABС. Теперь очевидно, что внутри трапеции AMNB можно взять равнобедренную трапецию, площадь которой “мало” отличается от площади AMNB.

Такое “нестрогое доказательство” показывает, что простое обобщение невозможно. Конечно, можно оставить попытки обобщить данное утверждение. Иногда надо уметь и отказываться. Но чаще всего следует предпринять новые попытки, изучив неудачные; в этом контрпримере MN параллельна основанию. А если прямые параллельны не стороне, а другой линии? К примеру, высоте CD (CD J. AB)? Пусть ND = a AD, DQ = ߣD (рис. 31). Из подобия треугольников AMN и ACD получаем:

а из треугольников BQP и BDC имеем: PQ = (1 -ß) CD. Тогда

Понятно, что если основания трапеции параллельны CD, а точки М, Р, N лежат внутри треугольника ABC, то площадь такой трапеции подавно меньше половины площади ABС. Таким образом, получаем следующее обобщение: Если основания трапеции, расположенной в равностороннем треугольнике ABC, параллельны ее высоте, то площадь трапеции меньше половины площади треугольника ABC.

Новые попытки обобщения естественны — заменить равносторонний треугольник на другой. Прежде всего на равнобедренный. Анализ метода доказательства показывает, что замена на равнобедренный треугольник (АС = СВ) допустима. Следующий шаг -попытаться заменить равнобедренный треугольник на произвольный (рис. 32).

Здесь уже нельзя ограничиться эвристическими рассуждениями, которыми мы пользовались при опровержении первого обобщения. Но контрпример можно строить для специального треугольника.

Пусть AD= 8я, BD = 32а, a MN= ^CD, PQ=±CD. Тогда легко находим, что ND= 2а, DQ= 24а. Отсюда

Рис. 32 Рис. 33

Получили, что замена равнобедренного треугольника на произвольный невозможна. Опять вопросы: “Как быть? Закончить работу над задачей или продолжить?”

Будем пытаться обобщать. Делаются новые попытки. “А почему мы пытаемся сравнивать с площадью треугольника ABC?” — задает вопрос учитель. А с чем можно сравнивать? Вновь попытки.

Пусть D — любая точка на стороне AB треугольника ABC, MN || CD, PQ || IID (рис. 33). Тогда площадь четырехугольника MNPQ меньше наибольшей из площадей треугольников ACD и BCD.

Пусть MN = aCD, PQ = ß CD, AD = у AB, BD = (1 -y)AB, a h -высота трапеции (рассматривать следует только трапецию, так как для параллелограмма утверждение доказано). Прежде всего h = NQ, поэтому

Легко понять, что

наибольшая из площадей треугольников ACD и BCD.

Теперь можно пытаться рассмотреть произвольный четырехугольник, делать другие попытки. Но нам было важно показать возможные образцы действий учителя и учащихся.

Интересно, что бывают ситуации, при которых требуется не обобщение новой задачи, а, наоборот, выбор частного случая или более простого задания. Приведем пример. Пусть в зачетной карточке по теме “Решение уравнений, сводимых к квадратным” учитель встретил такое задание:

Решить уравнение

Это — новое уравнение, так как известные методы решения (кроме применения формулы Кардано) не приводят к цели. Учитель знакомится с решением, которое приводит старший школьник:

Мы оставим без внимания беседу с учеником, в ходе которой учитель выясняет истоки появления уравнения, и попытаемся спрогнозировать необходимые действия учителя.

Само уравнение и метод его решения очень интересны. “Но как использовать его на уроке? Что требуется с ним сделать?”-эти и другие близкие вопросы сформулирует для себя учитель.

Начать, вероятно, имеет смысл с анализа решения, цель которого выявить способ составления аналогичных заданий. В результате этого учителю “придется” доказать такое утверждение:

Если уравнение третьей степени имеет вид:

то его решение может быть получено решением двух квадратных уравнений.

Действительно, так как kd≠0, то уравнение равносильно системе

Преобразуем уравнение:

Будем рассматривать это уравнение как квадратное относительно к и решим его по известному алгоритму:

Утверждение доказано.

Читатель вправе спросить: “Мы говорим, что не всегда требуется обобщение, а сами вновь его выполнили. Зачем это?” Обобщение показывает, что не следует знакомить весь класс не только с данным утверждением, но и с уравнением, приведенным выше. Для класса учителю следует выбрать другой пример либо облегчить задание.

Таким образом учитель прорабатывает наиболее интересные новые задачи. Разумеется, не все эти задачи будут использованы на предстоящем уроке, но в любом случае рано или поздно они будут использованы на уроке или во внеклассной работе. Теперь уже вместо значительного числа задач учитель выделил несколько групп и переходит к изучению результативности решения задач из зачетных карточек.

Для этого он изучает специальные знаки, которыми старшие прямо в карточках отмечают результаты решения. В зачетных карточках можно увидеть возле каждой из задач один из четырех знаков: +, -, ±, + . Знак + старший ставит в том случае, когда задача решена полностью и младший рассказал ее решение. Если задача отмечена знаком ±, то учитель знает, что задача решена верно, но в ходе решения или рассказа были допущены недочеты (при желании, побеседовав с младшим или старшим, он может уточнить, какие именно). Знаком + отмечаются те задачи, которые не решены на зачете, но наблюдались правильные подходы или интересные идеи. Ставя знак -, старший сообщает учителю, что задача не решена и не было разумных попыток решить ее (вполне возможно, что школьник даже не приступал к ее решению). Сравнивая задачи, решенные школьниками, с теми, которые им не удалось решить, сопоставляя методы решения тех и других, анализируя последовательности ключевых задач (к решению которых они сводятся), привлекая на помощь свои наблюдения на зачете, учитель пытается объяснить результаты решения задач. Естественно, так как объем информации очень велик, то приходится отбрасывать часть информации, производить ее перегруппировку и т.д.

Далее учитель переходит к построению модели класса. Прежде всего необходимо решить, какая модель требуется. Учитель помнит, что основная задача урока анализа результатов зачета — оказание помощи ученикам (в усвоении теории, решении задач), выполнение корректирующей работы. Но помощь ученикам нужна разная в соответствии с индивидуальными особенностями учащихся. Если учитель будет пытаться оказать индивидуальную помощь каждому ученику, то либо ему придется затратить очень много времени на

подготовку урока, либо потребуется не один, а значительно большее число уроков. Выход? В модели класс должен быть представлен несколькими группами учащихся, которые близки по определенным характеристикам. Разбиение класса на группы наиболее ответственный момент в построении модели (здесь идет укрупнение информации, выбирается основная часть путем отбрасывания всего второстепенного с точки зрения оказания помощи).

Для этого учитель использует следующие данные: свои наблюдения в период, предшествующий изучению темы, информацию контрольных работ по предыдущей теме, наблюдения и информацию, собранные непосредственно на зачете, и т.д.

Обозначив учащихся, например, треугольником с соответствующим номером:

Л, ,Д2,A3,... , Д„ , ключевую задачу по изучаемой теме:

K3i , К32, К33, вопрос теории, выносимый на зачет:

BTi, ВТ2, ВТ3,

учитель легко составит схему, которая поможет разбить класс группы. Если какой-то из учащихся испытывает затруднения решении ключевой задачи, то от соответствующего треугольника задаче проводится сплошная стрелка; если же какой-либо ученик не смог ответить на один из вопросов теории, то проводится соответствующая пунктирная стрелка. Изучая эту наглядную дель, учитель выделяет группы учащихся, которые имеют общие затруднения. Это первая модель класса.

Теперь учитель соотносит каждой ключевой задаче известные методы ее решения (а не только те, которые он использовал при работе с младшими, а также доказательства теорем). Это позволяет перейти к следующей модели класса, в которой указаны не только ученики, задачи и вопросы, но и методы решения и доказательства соответствующих элементов.

Далее, опираясь на методы решения, доказательства, информацию об учениках, учитель выявляет затруднения, которые испытывают ученики каждой из групп, продумывает и обосновывает их. Эта модель класса и будет использоваться при подготовке к уроку (ведь учителю требуется установить вид работы с каждой группой непосредственно на уроке).

До перехода к качественному анализу каждого элемента модели (групп учащихся) требуется построить модель множества задач из зачетных карточек. Мы уже описывали те действия, которые выполняет учитель при работе над задачами, поэтому укажем только элементы этой модели: 1) группы задач, вызвавших затруднения, которые связаны с определенными ключевыми задачами; 2) новые задачи вместе с теми материалами, которые получил учитель при

работе с ними; 3) задачи, которые получили новое интересное решение; 4) задачи, которые не являются новыми, но объединены какими-либо соображениями учителя; 5) задачи, которые добавил учитель; 6) методы составления задач, которые использовали старшие при подготовке зачетных карточек.

На следующем шаге учитель приступает к качественному изучению результатов сдачи зачета каждой группой учащихся в отдельности. Здесь ему придется активно использовать свои знания психологии, методики преподавания математики, при необходимости обратиться к коллегам, старшим школьникам, самим учащимся и т.д. Исследование лучше всего проводить по какой-либо специальной схеме, возможно, формализованной (в этих схемах должно найти отражение то, как ученики изучают условия задач, какие методы пытаются реализовать, успешность реализации, вычислительные навыки, умение учиться, ошибки школьников, трудности, которые они испытывают, решенные задачи и т.д.).

Для подготовки к уроку анализа результатов важно не только провести качественный анализ отдельных групп, но и сравнить результаты различных групп. Учитель сопоставляет алгоритмы решения задач, используемых различными группами, и те алгоритмы, которые использовал учитель на уроках (со старшими и младшими), состав задач и результативность их решения, трудности в ответах на вопросы теории. Теперь у него есть возможность дополнить модель характеристиками каждой группы.

Важность построенной учителем модели связана с тем обстоятельством, что на ее основе будет осуществляться планирование деятельности каждой группы учащихся на уроке анализа результатов зачета. Модель класса учитывается учителем и тогда, когда он обращается к старшим школьникам, чтобы они оказали конкретную помощь своим подшефным в ходе последующего обучения, и тогда, когда учитель готовит задания на урок с целью оказания оперативной помощи непосредственно на уроке.

Опираясь на модель, учитель может провести мысленные эксперименты, связанные с подготовкой плана урока. Например, учитель хочет выявить целесообразность проведения каких-либо работ на уроке. Допустим, выполнение работ приводит к формированию определенных умений, которые помогут избежать затруднений в решении ключевых задач. Учитель, используя модель, прослеживает, к каким изменениям в результативности приведет овладение школьниками этими умениями. Это позволяет проследить за изменением состава группы, установить порядок выполнения различных работ.

Или учителю нужно выявить те изменения, которые следует внести в множество алгоритмов решения ключевых задач. Допустим, для одной из них он будет использовать новый алгоритм, позволяющий ученикам избежать ряд ошибок, тогда это приведет к изменению результативности и состава затруднений. Как и в первом

случае, на модели учитель проследит за изменениями. Если же новый алгоритм позволяет решать и больший объем задач, то, значит, он расширяет возможности учащихся, поэтому скорее всего отпадет необходимость в проведении некоторых работ. Каких именно, учитель может выявить на основании модели.

Учитель также может “проиграть” на модели общий метод обучения, общие задачи для нескольких групп, осуществить прогнозирование результативности, выявить, что он будет объяснять сам, учащихся какой группы вызывать к доске, какие материалы подготовить для каждой группы и т.д.

Итак, материалы для оказания помощи учащимся на уроке анализа результатов зачета учитель будет готовить на основе модели.

От мысленных экспериментов учитель переходит к окончательному объяснению результатов зачета. Для этого он обращается к отдельным взаимосвязанным задачам и пытается ответить на вопросы: почему они выполнили отдельные задания конкретным способом (особенно в тех случаях, когда эти способы отличаются от используемых учителем)? Почему не сформированы такие-то умения? И др.

К примеру, пусть одной из групп, взятых из модели, не усвоено решение конкретной ключевой задачи. Учитель, рассмотрев различные методы решения задачи и умения, на которые они опираются, устанавливает, какие умения должны быть предметом специального формирования на уроке анализа результатов зачета. Далее, так как в ходе предшествующих этапов моделирования учитель сопоставлял алгоритмы решения одних и тех же задач, выполняемых учащимися разных групп, то это позволяет ему установить, каким образом осуществлять формирование нужных умений практически.

В этом же случае, если ученики не могли решить задачи, которые не являются ключевыми, действия учителя будут несколько другими. Прежде всего он попытается определить, решением каких ключевых можно представить решение данной задачи. Это позволяет выявить трудности, которые испытывают ученики при распознавании ключевых задач, и определить, каким образом им может быть оказана помощь.

В любом случае требуется найти психологические объяснения результатов, определить, каким образом будет проводиться работа с учащимися на уроке или вне его, кто будет проводить эту работу.

Понятно, что ни для учителя, ни для учащихся неприемлем путь, при котором все ученики класса выполняют одинаковые задания, ибо состояние знаний, умений, трудности, испытываемые учащимися, принципиально различны, поэтому объяснение результатов тесно связано с планированием деятельности учащихся и учителя на уроке и вне его каждой из групп учащихся. Отсюда ясно, что требуется особенно тщательно продумать последовательность разбора задач на уроке и согласовать по времени работу различных групп. Одно из неизменных условий — работа на уроке

должна быть организована так, чтобы всем ученикам она была интересна, чтобы все получили требуемую помощь, чтобы не было групп учащихся, которые бы бездействовали.

Из сказанного ясно, что деятельность учителя по объяснению результатов довольно сложная, возможно, потребуется повторный анализ модели и построенная ранее модель дополнится теми видами работ и заданий, которые учитель считает нужным провести с учащимся каждой группы. Теперь, используя дополненную модель, учитель может приступить к планированию урока.

Прежде всего он планирует работу учащихся, успешно справившихся с задачами из зачетных карточек. Для них урок — прекрасная возможность попробовать свои силы в самостоятельном решении новых математических задач. С этой целью учитель готовит для учащихся новые интересные задания повышенной сложности, которые подобраны им из зачетных карточек, материалов вступительных экзаменов в различные вузы страны, заданий олимпиад. Работу этих учащихся на уроке учитель планирует как самостоятельную, хотя, если сочтет необходимым, может дать до урока инструкции по решению отдельных задач. Отметим, что заданий всегда намного больше, чтобы ученики могли выбрать интересующие их. Приведем примеры.

Так, по теме “Неравенства” учитель данной группе учащихся предложил следующие задания:

1. Найти наименьший член последовательности:

2. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения

при условии 1 < х2+ у2< 2.

3. Найти наименьшее значение выражения

4. Что больше:

5. Решить систему уравнений:

6. Решить уравнения:

7. Решить систему

8. При каком значении а уравнение 1+ sin2 х = cos x имеет единственное решение?

Чтобы читатель мог понять, насколько сложная и разнообразная работа предстоит ребятам, достаточно выполнить хотя бы часть этих заданий. Если учесть, что с большинством заданий ученики не сталкивались до данного урока, то понятно, что урок анализа результатов не пройдет для них даром.

Но читатель вправе спросить: “Где ребята могут получить помощь по решению этих примеров?” Помощь может быть оказана учителем, старшими школьниками и... младшими. Да, да, младшими. Ведь основная часть заданий была взята из зачетных карточек. По правилам зачета в случае затруднений старший должен рассказать решение задачи младшему (а потом проверить, понял ли его подшефный), поэтому решение таких задач ребята могут рассказать одноклассникам.

Но интересно, зная, что помощь может быть оказана одноклассниками, ребята довольно часто обращаются к старшим. Закончился урок анализа результатов зачета. В класс входят старшие ребята. К одному из них подходит подшефный и просит объяснить решение одного из примеров. “Ты знаешь, я не могу сразу решить. А какие методы ты пробовал? — спрашивает старший. — Я бы посоветовал вот такой метод. Давай попробуем”. Старший и младший садятся за стол и делают многочисленные попытки решить задачу. Удается решить не сразу и не всегда. И это не главное. Важно, что старшие и младшие общаются, активно обмениваются опытом по решению математических задач, учатся оказывать и воспринимать помощь. Если задача долго не получается, то младший может включить такую задачу в карточку к уроку-консультации по следующей теме или обратиться к учителю на внеклассных занятиях.

Учащиеся, которые успешно справились с заданиями на зачете, могут привлекаться к оказанию помощи одноклассником непосредственно на уроке. С этой целью учитель сообщает школьникам, какую работу они должны провести с одноклассниками и сколько им на эту работу дается времени, а также в какое время они должны будут приступить к ее выполнению и сколько времени на нее отводится.

Более тщательно планируется работа групп учащихся, которые испытывают серьезные затруднения в учебе. Здесь возможны различные варианты.

Обеспечив заданием одну группу, учитель работает с другой. В плане предусматриваются не только специальные упражнения для формирования определенных умений, но и знакомство школьников

с природой ошибок методами их выявления и преодоления. Основная задача предстоящей работы — коррекция знаний и умений каждой группы непосредственно на уроке.

Естественно, что в плане урока учителем особое место отводится изложению теоретических вопросов, которые вызвали серьезные затруднения. Учитель тщательно продумывает изложение этих вопросов. Вероятнее всего, потребуется новый метод изложения. Действительно, ребята могли задать вопросы по теории на консультации, но не задали. Были уверены в себе, а оказалось — что-то не поняли. Другой метод изложения нужен и для того, чтобы заинтересовать повторным рассказом уже изложенного материала всех учащихся класса. С этой же целью изложение материала планируется поручить школьникам (старшим или младшим), которые не только хорошо усвоили соответствующий теоретический вопрос, но могут удачно его изложить.

В то время как учащийся разбирает теоретические вопросы, учитель ведет наблюдения за реакцией различных групп учащихся, записями, которые они ведут. Главное — установить, поняли ли ребята то, в чем ранее затруднялись. Кроме того, вопросы учителя еще раз напоминают школьникам — на лекции следует задавать вопросы, обращают внимание всех учеников класса на материал, который хотя и тесно связан с изученной темой, но выходит за рамки программы. В этих случаях учитель указывает источники, где ученики могут познакомиться с этим материалом глубже. Довольно часто он обращается к софизмам, интересным задачам, обобщениям.

Так, при решении иррациональных уравнений учениками используется формула (а+ b)3 = а3 + bъ + bаЬ (а+ b).

Учитель предлагает ребятам задания, при выполнении которых они должны обобщить эту формулу. Например:

Решите уравнение

Решается это уравнение путем возведения обеих частей в четвертую степень с использованием новой формулы (которую ученики должны вывести самостоятельно):

После ее применения получим квадратное уравнение относительно произведения корней.

Конечно, учитель не упустит возможности показать ошибку, если действовать по шаблону. С этой целью после решения предыдущего уравнения он предложит ребятам решить уравнение

“Формалисты”, решая этот пример, дважды попадают в ловушку. Первый раз, когда начинают решать пример с применения формулы для (x + у)4. Второй раз — при записи ответа, указывая X = а, х- b (при а< b число b не является корнем, а при а> b число а не является корнем).

Решается же это уравнение методом пристального взгляда. Один корень легко угадывается, а отсутствие других корней следует из свойства выпуклости функции у =tfx или из неравенства

Для желающих учитель дает задание, в котором они могут искать дальнейшие обобщения:

Решить систему уравнений

Для решения системы потребуется вывести следующую формулу:

В другом случае учитель приводит ошибочное доказательство какой-либо из теорем изученной темы и предусматривает с учениками разбор софизма на уроке.

Планирует учитель и еще один вид работ с учащимися -изучение тех методов, с помощью которых были составлены те или иные задачи из зачетных карточек. Обычно эти методы вызывают интерес у всех учащихся, поэтому знакомство с ними учитель планирует в части урока, т.е. когда учащиеся устали.

Знакомство с методами составления (на уроке анализа результатов зачета) учитель проводит различными способами.

1. Учитель сам сообщает метод составления и приводит примеры реализации. Так, в теме “Решение уравнений и систем на основе свойств функций” он знакомит учащихся с методом пристального взгляда. Здесь же он может попросить кого-нибудь из учеников составить свое задание. Интересно, что здесь же продолжается работа по преодолению шаблона в мышлении. Так, на предложение составить уравнение, которое можно решить методом пристального взгляда, часто школьники приводят уравнение вида

Учитель обращает внимание на шаблонный подход и просит разнообразить уравнения. Теперь уже ученики предлагают уравнения:

Здесь для реализации метода решения им приходится затрачивать усилия, привлекая самые различные идеи.

2. Учитель просто выписывает несколько уравнений, которые были составлены одним и тем же методом, а ученики сами должны выявить метод.

Учитель выписал уравнения:

Ученики после нескольких попыток раскрыли механизм составления: 1) взять уравнение, которое сводится к решению квадратного; 2) сделать в нем замену переменных; 3) замаскировать замену.

3. Учитель просит ребят назвать какое-либо число (номер задачи из какого-либо задачника), затем по названному ребятами числу он записывает на доске пример и просит назвать метод составления.

4. Учитель предлагает упражнения, содержащие элемент игры.

Упражнение 1. Я запишу несколько заданий. Среди них будут такие задания, которые составлены двумя методами. Вам нужно разбить их на две группы и указать методы, которыми составлены задания:

1. Решить уравнение

2. Решить систему

3. Решить уравнение

4. Решить систему

5. Решить уравнение

6. Сколько корней имеют системы уравнений:

7. Решить уравнение

8. Решить уравнение

Упражнение 2. Среди заданий назвать все, которые составлены конкретным методом (называется конкретный метод).

Упражнение 3. Читать задания по порядку и называть метод его составления и решения.

Упражнение 4. Разобраться в решении нового задания и выявить метод составления аналогичных заданий.

Упражнение 5. Составить задание, в решении которого использовались различные методы.

Упражнение 6. Выделить все методы, которыми могут быть составлены задачи, содержащиеся в учебнике по изучаемой теме.

Упражнение 7. Предложить свой метод составления задач.

Упражнение 8. Изучить зачетную карточку и назвать все методы составления задач.

Упражнение 9. Выбрать одну из задач по изученной теме и составить аналогичную задачу, обратную, обобщенную.

Упражнение 10. Выделить методы, которыми пользовался автор вашего задачника.

Упражнение 11. Предложить игру, в которой ее участники должны соревноваться в составлении задач.

Упражнение 12. Составить физическую задачу, которую следует решить методом сведения к решению известной задачи.

Конечно, далеко не все эти упражнения будут использованы учителем на уроке. На это нет времени, да и необходимости. Здесь важно, чтобы соблюдалась преемственность (первоначально отработать один метод, затем более сложный и т.д.), чтобы ученики ощущали потребность не только указывать метод составления, но и реализовывать его до конца. Поэтому от учителя требуется чуткое управление работой. К примеру, учащиеся выполнили упражнение 9. Учитель обращается к классу: “Я видел задания, которые вы составили. Молодцы, правильно выполнили упражнение. Но теперь каждый решает свою задачу”. Ученики быстро включаются в работу, каждый решает свою задачу, поэтому дело спорится. Решение закончено. “Теперь поменяйтесь тетрадями и проверьте составление и решение задачи. Побеседуйте друг с другом”, — продолжает учитель. Что этим достигается? Осуществляется скрытое дублирование; создается ситуация, в которой ученики являются инициаторами своей работы, обмениваются опытом составления и решения задач; расширяется объем и репертуар общения детей друг с другом (которое, естественно, будет продолжаться и вне урока); организуется педагогическое сотрудничество детей друг с другом и учителя; ребята учатся обсуждать результаты своей деятельности; уходят с урока скука и однообразие, исчезает ощущение дрессировки, жесткого управления, у учеников формируется уверенность в своих силах, появляется желание как составлять задачи, так и решать их.

Если учитель при составлении плана чувствует, что у него еще остается время, то он обратится к тем задачам (из зачетных карточек), появление которых на зачете ему было не очень ясно. Поэтому ему прежде всего требуется установить, действительно ли эти задачи чем-то связаны, откуда они появились. Допустим, появилась новая статья в журнале “Квант”. Учитель прежде всего изучит данную статью. Его интересует: 1) стоит ли учеников на уроке знакомить с ней; 2) если стоит, то как это сделать; 3) как использовать материал статьи на уроке или внеклассном занятии; 4) нет ли в журнале других материалов, которые можно использовать на уроке.

Учитель считает: статья доступна ученикам и с ней следует их познакомить. В старшем классе есть школьник, который стал серьезно заниматься и включил в зачетную карточку задачи из статьи. Его подшефный начал делать серьезные успехи, поэтому требуется поддержать старшего. С этой целью учитель может подготовить старшего сделать сообщение на уроке у младших по статье. Учитель всегда найдет возможность поблагодарить старшего за успешную

работу с младшим. Понятно, что этим не только достигается поддержка старшего, но и укрепляется его желание работать с младшим, повышается его авторитет. Важно при этом, что ученики осознают — такая работа с материалами журнала “Квант” поддерживается учителем, они начинают регулярно читать журнал. А это позволяет им качественнее готовиться к консультациям и зачетам.

Обязательным элементом каждого урока анализа результатов зачета является характеристика состояния знаний большинства учеников класса. При этом особое внимание уделяется не тем, кто плохо сдал зачет, нерегулярно готовился к урокам, а тем ученикам, которые путем постоянной самостоятельной работы успешно продвигаются в математическом развитии. Для учеников, которые остановились в своем развитии или даже снизили свои показатели, можно предусмотреть индивидуальные беседы после урока.

Существенно, что в плане находит отражение и смена характера учебно-познавательной деятельности отдельных учащихся. Особенно охотно и при малейшей возможности учитель вовлекает школьников в работу с дополнительной литературой.

В заключительной части плана учитель подбирает задачи по теме, которые не нашли отражения в карточках учеников, но с которыми следует познакомить всех желающих (хотя решение их не является обязательным). Так, к уроку анализа зачетов по теме “Неравенства” учитель может включить следующие задания:

1. Докажите, что треугольники с длинами сторон а, b, с и a1, b1, c1 подобны, если и только если

2. Докажите, что

если стороны треугольника ABC связаны зависимостью

3. Докажите, что углы любого треугольника удовлетворяют неравенству

4. Докажите, что если последовательно соединить середины сторон выпуклого: а) пятиугольника; б) шестиугольника; в) n-угольника, где n > 4, то площадь полученного многоугольника составит не меньше половины площади исходного.

5. Пусть X, у, z — положительные числа, такие, что 2х+ V3~y + 3z = 1. Оцените xyz-

6. Если а, b, с — стороны некоторого треугольника, то

Докажите.

7. Сравните числа

8. Решите уравнения:

9. В круге, площадь которого равна 1, расположено 1986 точек. Докажите, что можно выбрать три из них так, что площадь треугольника с вершинами в этих точках будет меньше чем 0,0011.

10. Решите систему уравнений

Как учитель подготовил эти задачи? Прежде всего на основе модели задач, построенной ранее. Соотнеся методы решения задач, отраженные в задачах из зачетных карточек, с известными ему методами, учитель выделяет те методы, которые по какой-то причине не нашли отражения в зачетных карточках. Теперь он решает вопрос о том, следует ли познакомить с каким-то из этих неиспользуемых методов учащихся. (Требуемые задачи подбирает из задачников, составляет соответствующие задания сам или поручает подобрать старшим школьникам.)

Так, при решении приведенных упражнений могут быть использованы следующие методы: 1) геометрическая иллюстрация (задача 1); 2) сведи к известному (задачи 5-6); 3) метод оценок (задача 8); 4) принцип Дирихле (задача 9); 5) правило крайнего (задача 10) и др.

Понятно, что таких задач не должно быть много, но их отбор должен быть очень тщательным. Сам разбор задач должен показать школьникам (как старшим, так и младшим), что имеются новые возможности для совершенствования своих знаний и умений, поэтому решения отобранных задач не должны быть чрезвычайно сложными. Разбираемые задачи должны находиться в зоне ближайшего развития абсолютного большинства учащихся класса.

Итак, учитель построил модель класса — группы учащихся, совершивших “близкие” ошибки или получивших “близкие” результаты, провел группировку и отработку задач, выполнил анализ модели и проимитировал на ней различные варианты урока, подготовил план проведения урока. Как же проходит сам урок?

В самом начале урока учитель берет журнал и просит учеников в определенной последовательности (за теорию, практику, ведение тетради) назвать оценки, полученные каждым из них на зачете. Некоторым покажется, что это излишние затраты времени — учитель мог выставить оценки до урока. Но учитель сознательно идет на такие дополнительные затраты времени. Почему? Прежде всего воспитывается честность. Кроме того, каждый учащийся на виду у

своих одноклассников, о результатах его зачета знают все и никто не хочет “выглядеть дураком в глазах старших”, а также ребята узнают, к кому в классе в случае затруднений они могут обратиться за оперативной помощью. Сами ребята говорят так: “Если ко мне за помощью обратился одноклассник, а я ему отказал, то это может быть воспринято как ошибочная оценка моих знаний на зачете. А я всегда должен подтверждать оценку. Кроме того, мне никто не отказывает в помощи, поэтому, несмотря на занятость, я найду время, чтобы помочь любому однокласснику. На одноклассниках я учусь оказывать помощь своим подшефным”.

Довольно часто бывает ситуация, когда школьник вместо трех оценок называет две, одну или ни одной. Это означает, что им на зачете получены плохие оценки или оценки, которые его не удовлетворяют, и он будет пересдавать. Пересдача зачета состоится в удобное время для школьников (место сдачи — дома или в школе).

Далее учитель переходит к изложению теоретических вопросов, которые вызвали затруднение учеников. Здесь ему не приходится затрачивать время на то, чтобы заинтересовать школьников материалом. Дело в том, что ребята знают, что учитель остановится на трудностях своих одноклассников, а им важно их знать, так как они сами могут испытывать аналогичные трудности при изучении последующих тем. Изложение учитель ведет довольно быстро, но пристально следит за реакцией в основном тех ребят, которые испытывали затруднения. Мы уже отмечали ранее, что иногда изложение отдельных вопросов поручается ученику (старшему и однокласснику), а метод изложения теоретических вопросов существенно опирается на результат анализа учителя.

После этого ребята работают по группам, выполняя специально подготовленные для них задания.

Выполнение заданий учителя на уроке анализа результатов зачета проверяют старшие школьники к следующему зачету, но ребята знают, что оценка за эту работу им не будет выставлена, поэтому они могут и не выполнять задания. Практика же показывает, что на уроке анализа результатов зачета все ученики очень внимательны: учитель инструктирует каждую группу только один раз (групп ведь несколько), а сами задания он специально подобрал для учащихся в соответствии с их особенностями. Кроме того, им известно, что за этим уроком будет контрольная работа. В нее учитель включит часть заданий для проверки понимания той части материала, в которой на зачете ученик испытывал затруднения. Известно ему и то обстоятельство, что старшие в зачетные карточки по следующим темам включают задания, отвечающие на вопрос: “Научился ли подшефный решать те задачи, в которых затруднялся ранее?” Поэтому лучше внимательно слушать учителя на уроке, чем потом несколько раз краснеть перед старшим, учителем, одноклассниками.

Так как задачи отобраны учителем с учетом особенностей тех групп, для которых они предназначены, то сам разбор интересен всем, кто в нем должен участвовать. Поэтому желательна такая последовательность разбора задач: первыми должны разбираться задачи, вызвавшие затруднения у большинства ребят класса. Почему? А потому, что, объяснив решение этих задач, учитель сможет обеспечить работой большее число ребят. Важно при этом, что он окажет помощь максимальному числу школьников (напомним, что оказание помощи ученикам — основная задача данного урока).

Казалось бы, странно, что за разбором следят даже сильные ребята, , которых были другие задания. Это довольно странно и неожиданно. Почему же они следят? Им важно услышать от учителя не только метод (при достаточной настойчивости они его найдут сами, ибо задачи несложные), но и причины, по которым на зачете не удалось найти решение. Большинство из них осознают, что они могут испытывать аналогичные затруднения при решении других задач. Кроме того, они пытаются ответить на вопрос: “Справился бы я с этой задачей, если бы она оказалась в моей карточке?”

Ну а учащиеся других групп? Какой смысл следить им за разбором этих задач? Ведь у них другие задачи. Другие-то другие, но они как-то связаны (а ученики по ответам учителя умеют уловить эту связь). А главное, познакомившись с методами составления одних задач, школьники довольно просто разгадывают методы составления задач, которые учитель подобрал для них. А следовательно, находят и метод решения задач. Нельзя забывать, что материал, который понятен школьникам, безусловно интересен им, поэтому разбор этих задач (за которыми они следят по своей инициативе) формирует устойчивый интерес к решению математических задач.

Разбирая решение какой-либо задачи, учитель просит одного ученика повторить какой-либо шаг решения, другого провести обоснование какого-либо места в решении, третьего просит показать, где в решении используется та или иная часть условия задачи, и т.д. Тем самым задача разбирается несколько раз, причем одновременно ученики знакомятся и с методами составления задач.

Особое место в разборе задач играет анализ причин затруднений. Причем важно само указание учителя на необходимость проведения анализа учениками. Учитель знакомит с психологическими объяснениями затруднений. Говорит, что затруднения естественны, их испытывают все люди, но важно научиться их преодолевать. К примеру, ученик не использовал полностью информацию, которая содержалась в условии задачи, не осуществил самопроверку (это привело к появлению ошибки, легко устранимой, но полностью искажающей подход к решению), наложил дополнительные условия (которые привели к значительному уменьшению поля поиска), поспешно выполнил дополнительное построение (это привело к тому, что чертеж стал необозримым, поэтому не удалось выделить

нужные математические объекты), проявил догматизм, своевременно не отказавшись от ошибочно избранного плана решения, не сделал попыток найти другой путь (затратил много времени на попытку доказать ошибочное утверждение) и т.д.

Для обучения учащихся анализу затруднений учитель каждый раз, начиная решать задачу, обращается к ним с вопросом: “В чем трудности решения данной задачи?”, пытаясь выявить возможные методы преодоления этих трудностей. Приведем пример.

Учитель предложил решить уравнение

Последим за беседой учителя и учеников.

- В чем трудность решения данного примера? — вопрос учителя.

- Очень высокая степень х, — отвечает один из учеников.

- Причем если будет выполнено приведение подобных, то будут степени jt4, х3, де2, х, — добавляет другой.

- Поэтому не имеет смысла приводить к общему знаменателю, -подводит итог учитель.

- А в чем трудности решения уравнений высоких степеней? — новый вопрос учителя.

- Трудно найти замену. Не всегда удается разложить на множители. Нет алгоритма решения, — отвечают учащиеся.

- Правильно, но нужно знать некоторые способы, которые позволяют “вычислять” метод решения. К примеру, если неизвестных больше, чем уравнений, то это будет метод оценки (а как его реализовать?). Если высокие степени двух функций, то попытайся использовать однородность. А что следует попытаться предпринять, если в уравнение входят квадраты? — спрашивает учитель.

Ученики обсуждают, советуются друг с другом, а учитель... не торопится. Наконец, общими усилиями выясняется, что следует выделять квадрат суммы или разности выражений. Теперь слово берет учитель:

- Вот вы остановились на каком-то методе. Теперь важно преодолеть две ошибки: первая — очень быстро, необоснованно отказаться от его реализации, вторая — потратить чрезмерно много времени на попытку его реализовать. Вот это действительно трудно. Ибо нет рецепта на все случаи жизни. Мой вам совет: если есть возможность, то пробуйте один из них, а если не получается, то попробуйте все остальные возможности, а потом начинайте фундаментально пробовать реализовать один из них.

"Какие возможны методы при решении уравнения? — задает учитель себе вопрос и рассуждает вслух: — Выделять квадрат суммы выражений х и — или квадрат разности этих выражений

должен сделать ту или другую попытку, а потом проанализировать то, что получится".

При этом имеет смысл вызвать к доске двух ребят и поручить одному (более шустрому) использовать сумму (это не приведет к нужному решению), а другому — разность выражений. Далее ученики совместно с учителем пытаются анализировать обе попытки и общими усилиями находят метод решения. Важно при этом, что учитель возвращает их к началу поиска решения. Ученики осознают, в чем была трудность примера и как в ходе поиска решения она была преодолена. Отметим, что такая работа нацеливает старших школьников на аналогичную беседу со своими подшефными.

К разбору известных задач, которые на зачете получили нестандартное решение, учитель привлекает весь класс. Начинается такой разбор как обычно. Учитель читает задачу классу и просит ребят указать метод ее решения.

Большинству учеников класса метод решения задачи известен. Чутье и мастерство учителя на данном этапе урока проявляются в том, что ему “надо угадать” ученика, который твердо знает и безупречно выполнит стандартное решение разбираемой задачи. В глазах многих учеников можно прочитать недоумение — ведь ничего нового, интересного нет, зачем же их оторвали от работы?! Учитель же терпеливо выслушивает рассказ, следит, чтобы не были упущены детали. Более того, проявляет так несвойственный ему догматизм. Постепенно учитель приближается к ученику, нашедшему новое решение. Вот они уже рядом, смотрят друг на друга. В глазах у обоих веселые искры: оба знают то, что еще не знают остальные ученики класса. “Да, реализован правильный метод решения, — отмечает учитель. — Я бы так же решал эту задачу до вчерашнего дня, но теперь я ее так решать не буду. Думаю, что и вы будете ее решать иначе. Дело в том, что ваш одноклассник предложил такое оригинальное решение, которое поразило меня. Все, что в математике оригинально, то одновременно и красиво, оптимально в некотором смысле”, — заканчивает он. Далее школьник, выполнивший другое решение, приглашается к доске. Обращения к классу, с тем чтобы все слушали внимательно, не требуется, ибо все заинтересованы, радуются за одноклассника, его шефа (завидуют в хорошем смысле). Скорее всего эта задача будет носить имя ученика, который дал новое ее решение.

Мы уже приводили пример такой задачи (см. с. 135). Отметим только, что учитель благодарит ученика за рассказ решения, предлагает ему ответить на все вопросы одноклассников. А их интересует многое: “Как удалось найти новое решение? Кто помогал? Знает ли другие задачи, которые решаются этим же методом? Есть ли другие методы решения этой же задачи?” На часть вопросов ответы ребята получают после урока.

Учитель же обращается к классу с вопросом: “А кто еще пытался решить задачу на нахождение наибольшего или наименьшего значения без производной?” Если в классе есть такие ребята (ведь во время зачета учителю не под силу зафиксировать все подобные

случаи), то он очень внимателен к таким ребятам, просит их показать свои решения, помогает рассказать товарищам.

Кроме того, учитель, если сочтет нужным, подготовит другие задачи, которые проще и красивее решать без производной, а также специальные задачи, которые вроде бы далеки от производной, а на самом деле в ходе решения следует применить производную.

Ясно, что сообщение учителя, что кто-то из ребят нашел нестандартное решение известной задачи, позволяет ему создавать ситуации успеха. К мнению же ученика начинают прислушиваться, ждут от него интересных и плодотворных идей при поиске решения задач. Это заставляет и ученика работать более активно, придает ему уверенность в своих силах.

В заключение урока учитель кратко характеризует состояние знаний большинства учеников класса, уделяет особое внимание тем, кто не стоит на месте, а путем интенсивной самостоятельной работы продвигается в математическом развитии. Тем самым осуществляется стимулирование учебно-познавательной деятельности. Ученики ждут и с интересом выслушивают характеристики учителя. Сообщение этих характеристик — это своеобразная постановка задач перед школьниками, причем перед старшими и младшими, указание на то, что они должны делать и как сотрудничать, чтобы решить задачи. Это действительно так, так как эти характеристики учитель не только доводит до старших, но и использует их при постановке задач обучения, воспитания и развития на последующих этапах обучения.

Далее учитель планирует работу по ликвидации пробелов в предшествующей подготовке. Здесь ему важно не только просто сообщить младшему, что он должен делать, но и включить в эту работу старшего, организовать их совместную деятельность. Это довольно тонкая часть работы учителя, так как старший не учитель — ему нужны точные указания, какую работу и как следует проводить.

Домашнее задание на этом уроке, как правило, можно не задавать, но все ученики знают, что на следующем уроке будет проводиться контрольная работа, поэтому они самостоятельно, учитывая характеристики своего ответа со стороны старшеклассника и учителя, рекомендации учителя на данном уроке, планируют и осуществляют подготовку к контрольной работе.

В заключение отметим, что для успешного проведения такого сложного урока важно помнить ряд условий, которые обеспечивают его высокую эффективность: обязательный анализ зачетных карточек и результатов зачета; умение учителя точно определить психологические причины затруднений; оптимальный выбор форм и методов работы на уроке для каждой из выделенных групп учащихся; оперативность в проведении анализа и сообщения его результатов ученикам; умелое использование старших школьников для оказания помощи.

Глава VIII. ПИСЬМЕННЫЙ КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ НА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Надо постоянно знать сегодняшний уровень дел в школе и иметь ясное представление о том, каким он должен быть. Именно объективное знание позволит верно направлять усилия... вооружает перспективой.

М.Г.Захаров

Из этой главы читатель узнает:

1. Каковы задачи урока.

2. Как отобрать задания для контрольной работы.

3. Как учесть особенности разных групп учащихся.

Прочитав предыдущую главу, критически настроенный читатель может спросить: “На зачет младших затрачено два урока, учеников основательно опросили по теории, проверили умения решать задачи. Нужно ли тратить еще один урок на проведение контрольной работы?” На этот вопрос можно ответить так: “Действительно, для проверки объективности оценок, выставленных на зачете, контрольная работа не нужна. Практика показывает, что преднамеренная необъективность возможна только на первых зачетах (причем в сторону занижения). Но старшие и младшие ребята должны убедиться в объективности этих оценок”.

Кроме того, контрольная работа предназначена для проверки умения решать основные классы ключевых задач, правильно оформлять письменно решение, для развития мышления учащихся, подготовки школьников к выпускным экзаменам, для формирования уверенности учащихся в своих силах и возможностях.

Контрольная работа должна вселять в учеников не страх, не неуверенность, а желание деятельности, указывать направление работы, в котором следует совершенствоваться. В соответствии с задачами проведения урока учитель прежде всего должен найти ответ на вопрос: “Что контролировать?”

Частично ответ на этот вопрос учитель уже знает. Действительно, в ходе подготовки лекции учитель определил цели изучения новой темы, выделил ключевые задачи, новые задачи по теме, основные знания и умения, которыми должны владеть все ученики класса после изучения темы. Это позволяет ему не только установить основные типы заданий, которые должны быть включены в контрольную работу, но и получить первую модель предстоящей контрольной работы. Далее, проводя специальные наблюдения в ходе зачета и при подготовке к уроку анализа результатов зачета, учитель сравнивает свою модель с тем, как ребята справляются с задачами из зачетных карточек. Здесь возможны различные ситуации.

В первой, наиболее распространенной ситуации учитель убеждается, что все школьники справляются с решением определенной ключевой задачи. Они уверенно распознают задачу, безошибочно рассказывают обоснования решения. Это позволяет учителю прийти к выводу, что задача усвоена учениками, поэтому нет смысла включать ее (в виде самостоятельного задания) в контрольную работу.

Во второй ситуации учитель определит, что часть учеников испытывает непреодолимые трудности в решении какой-либо ключевой задачи. Мы уже сталкивались с этой ситуацией, поэтому отметим, что в ходе урока анализа результатов зачета учитель проводит специальную работу по оказанию помощи ученикам, но включать такую задачу не станет (для проверки усвоения он попросит старших на зачете по новой теме включить соответствующие задания в зачетную карточку).

Итак, после зачетного урока уточняется список задач, которые будут включены в контрольную работу по теме.

Для формирования у учащихся таких качеств мышления, как гибкость (характеризуется: а) легкостью перехода от одного способа решения задачи к другому, умением найти различные способы; б) умением видоизменить способ решения задачи в соответствии с особенностями новой задачи и на основе ранее разобранных задач; в) умением отказаться от привычного способа решения, найти новый метод решения стандартной задачи, найти идею или способ решения новой нестандартной задачи), самостоятельность (характеризуется: а) умением внести элемент новизны в способы решения задач; б) умением найти способ решения задачи без посторонней помощи; в) умением составить новые задачи), рациональность (характеризуется: а) оптимальностью избираемых способов решения задач; б) владением методами поиска решений задач; в) умением обосновать избираемый метод решения задач), критичность (характеризуется: а) умением дать оценку способам решения задач; б) умением осуществить самоконтроль своей деятельности; в) умением прогнозировать результат использования

различных способов осуществления деятельности), в контрольные работы учитель, кроме стандартных задач, должен включать специальные задачи.

Для развития мышления учащихся должны быть включены задания: а) требующие использования нового способа действия; б) допускающие различные методы решения; в) в которых удачно “замаскирован” изученный метод решения; г) включающие элемент догадки. Ученик должен выявить, почему задание включено в контрольную работу, как оно соотносится с изученной темой.

Полезно включить в контрольную работу и такие задания, формулировка которых прямо говорит о том, что их решение должно быть выполнено средствами изученной темы, а на самом деле оптимальным является метод, который изучался в предшествующих темах.

К примеру, в контрольную работу по теме “Применение производной” можно включить задачу: На гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами аиЬ найдите точку, расстояние между проекциями которой на катеты имеет наименьшее значение.

Большинство учащихся скорее всего стандартно отнесутся к решению — введут переменную, составят целевую функцию, исследуют ее с помощью производной. На самом деле такой подход свидетельствует о шаблоне в мышлении, ибо задача имеет изящное геометрическое решение.

Пусть M — любая точка на гипотенузе, а точки N и Р — ее проекции на катеты АС и ВС (рис. 34). Расстояние между проекциями равно NР. Требуется найти наименьшее значение для NP . Легко видеть, что MNCP — прямоугольник, поэтому NP = MС. Следовательно, NP будет наименьшим тогда, когда СМ наименьшее. Теперь без труда находим, что

На развитие учеников “работают” и задания, метод решения которых изучался на уроках, но его реализация требует каких-то новых идей.

Так, в контрольную по теме “Применение производной” учитель может включить задание: Решить уравнение 6х-5х = 11. Оно может быть решено методом пристального взгляда следующим образом.

Так как 62-52 = 36-25 = 11, то X = 2 — решение исходного уравнения. Введем вспомогательную функцию у = 6х-5 х. Докажем, что она возрастает на [0; + °°), используя производную.

Рис. 34

Действительно, у' = 6*ln6-5xln5, так как при x> 0 6х> 5х и In 6 > In 5. Следовательно, наше уравнение имеет единственный корень X = 2, так как при х < 0 левая часть отрицательна. Эта же идея может быть реализована иначе.

Прежде всего проверяем, что х = 2 — решение уравнения. Так как 5*> 0, то наше уравнение равносильно следующему:

Теперь без производной очевидно, что функция возрастает, а ^4 убывает, поэтому единственное решение уравнения х = 2 найдено.

Довольно часто одно из заданий, содержащихся в контрольной работе, специально предназначается для того, чтобы познакомить ребят с каким-либо новым методом. Так, в контрольную работу по теме “Иррациональные уравнения” учитель включил задание:

Решить уравнение

Это уравнение допускает векторное решение.

Важно отметить, что в само выполнение работы учитель может внести элементы игры, соревнования. С этой целью он сообщает, что одно из заданий было на вступительной работе на тот или иной факультет известного вуза, что с этим заданием на олимпиаде очень удачно справился знакомый ребятам выпускник школы или задание, доступное семиклассникам, включенное в контрольную работу, не могли выполнить выпускники средней школы во время вступительных экзаменов. Таким образом, ученики проигрывают для себя ситуации вступительных экзаменов (для них шанс получить ответ на вопрос: “А справился бы я с данной задачей на вступительном экзамене?”), соревнуются не только друг с другом, но и с выпускниками.

Конечно, контрольные работы для учеников 8-9 классов и 10—11 классов отличаются по сложности заданий. Если в работах для восьмиклассника и девятиклассника содержатся задания, которые аналогичны разбираемым в классе, то работы для учеников 10-11 классов содержат задания, которые не решались ни на уроке, ни дома, не разбирались учителем в ходе урока-консультации.

Основными задачами итоговых работ являются: 1) подготовка к экзаменам; 2) определение сформированности умений решать основные типы задач, которые традиционно включаются в работы на выпускных и вступительных экзаменах; 3) обучение поведению на экзаменах, выбору последовательности решения задач; 4) ознакомление учащихся с новыми сложными задачами и методами их решения; 5) сбор информации об учащихся, на основе которой будут вноситься окончательные коррективы подготовки; 6) пред-

ставление учащимся возможностей накопить опыт решения задач в условиях цейтнота; 7) повторение методов решения задач.

Для систематизации методов решения задач по изученной теме, обучения составлению задач и развития учеников интересны домашние контрольные работы.

Для подготовки таких работ учитель выделяет методы составления задач или теоретические сведения, которые, по его мнению, активно “работают” при решении задач по теме и должны быть известны ребятам. Далее учитель сообщает эти сведения и методы ученикам и предлагает им составить задания по каждому направлению.

Так, при изучении темы “Площади” можно выделить следующие направления:

1. Свойство аддитивности площади.

2. Свойство монотонности площади.

3. Свойство инвариантности площади.

4. Площади и иррациональность.

5. Изопериметрическая задача.

6. Задача на нахождение фигур с максимальной и минимальной площадями.

7. Площади и геометрические преобразования.

8. Идея перевертывания.

9. Метод включения и исключения.

10. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

11. Отношение площадей треугольников, которые имеют одну или две равные стороны.

12. Обобщение задач.

13. Обратная задача.

14. Разрезание.

Ученикам предстоит по каждому разделу изобразить или составить задачу.

Приведем примеры задач, составленных учащимися.

Аддитивность

1. Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.

2. Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Диагонали AD, BE, CF являются диаметрами этой окружности. Докажите, что Sabcdef = 2 ⋅ Sace .

Монотонность

1. Пусть а, b, с — стороны треугольника, а ос, ß, у — углы треугольника, которые им противолежат. Докажите неравенство

2. Докажите, что в треугольнике для сторон а, b, с справедливо неравенство (а + b)2 > с2. Выясните геометрический смысл неравенства.

Инвариантность

1. В квадрате со стороной а соединены середины двух смежных сторон между собой и с противоположной вершиной квадрата. Определите площадь треугольника.

2. Докажите, что площадь трапеции равна произведению длины одной из непараллельных сторон и длины перпендикуляра, проведенного через середину другой боковой стороны на первую.

Иррациональность

1. Дан треугольник, у которого один угол равен 30°, а длины сторон равны целым числам. Может ли площадь треугольника быть равна Vl83~ ?

2. Может ли площадь многоугольника (необязательно выпуклого), все вершины которого лежат в узлах квадратной сетки, быть равной

Изопериметрическая задача

1. Пусть M — невыпуклая фигура. Докажите, что существует выпуклая фигура меньшего периметра и большей площади.

2. Впишите в полуокружность трапецию максимальной площади.

Задачи на максимум и минимум

1. Длины сторон треугольника не превосходят 1. Докажите, что площадь треугольника не превосходит ^.

2. Докажите, что среди всех треугольников с фиксированным углом а и площадью S наименьшую длину стороны ВС имеет равнобедренный треугольник с основанием ВС.

Идея геометрических преобразований

1. В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0,001. Докажите, что площадь этой фигуры не превосходит: а) 0,34; б) 0,287.

2. Даны выпуклый n-угольник с попарно параллельными сторонами и точка О внутри его. Докажите, что через точку О нельзя провести больше n прямых, каждая из которых делит площадь n-угольника пополам.

Идея перевертывания

1. Дан четырехугольник со сторонами а, b, с, d. Докажите, что площадь четырехугольника не превосходит.

Метод включения и исключения 1. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности, причем полуокружности на катетах обращены во внешнюю сторону, а на гипотенузе — во

внутреннюю. Докажите, что площадь образовавшихся “луночек” равна площади данного треугольника.

2. В трапеции проведены диагонали. Докажите, что площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны.

Отношение площадей подобных фигур

1. Дана трапеция ABCD. Пусть AB, DC — основания, О — точка пересечения диагоналей трапеции, S cod = Si, SAob = S2. Докажите, что площадь трапеции равна (VsT+ VsT)2.

2. Одна из сторон треугольника разделена на n равных частей и через точки деления проведены прямые, параллельные другой стороне. Найдите отношение площади данного треугольника к площади треугольника, отсеченного одной из параллельных прямых.

Отношение площадей двух треугольников, имеющих равные стороны

1. Пусть Р — внутренняя точка треугольника ABC и площади треугольников АВР, АСР, ВСР равны. Докажите, что Р — точка пересечения медиан треугольника ABC.

2. Пусть точки A1, В1, C1 лежат соответственно на сторонах ВС, АС, AB треугольника и

Докажите, что прямые АА1, ВВ1, СC1 пересекаются в одной точке.

Обобщение задач

1. Докажите, что сумма площадей кругов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади круга, построенного на гипотенузе.

2. Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр описанного многоугольника, проходит через центр вписанной окружности.

3. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле

где р — полупериметр, а, b, с, d- длины сторон.

Обратная задача

1. В полукруг вписана равнобедренная трапеция так, что меньшее основание равно боковой стороне, большее основание — диаметр полукруга. Докажите, что эта трапеция имеет наибольшую площадь среди всех трапеций, вписанных в полукруг.

2. Пусть ABCD — четырехугольник, M — середина AD, ME -перпендикуляр CD, Е g CD. Докажите, что если Sabcd = ME ⋅ AC, то AB || IID.

3. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке Р, причем сумма площадей треугольников АВР и CDP равна сумме площадей треугольников ВСР и ADР. Докажите, что точка Р является серединой одной из диагоналей.

Разрезание

1. Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей из его диагоналей.

2. В трапеции ABCD точка M является серединой стороны AD, ME ⊥ CD, Е g CD. Докажите, что площадь трапеции ABCD равна ME ⋅ ВС.

3. Пусть т, n — отрезки, на которые вписанная окружность разбивает гипотезу прямоугольного треугольника. Докажите, что площадь треугольника равна тп.

Это сравнительно новый вид контрольных работ, поэтому остановимся на них несколько подробнее. Прежде всего отметим некоторые особенности.

1. Ученики не решают задачи, а подбирают их в определенном направлении.

2. В контрольную включено только конечное число направлений, которые счел нужным учитель. Ученики же реально осознают другие направления, поэтому им не очень понятен принцип, которым руководствовался учитель при выборе направлений.

3. Деятельность учеников здесь неизмеримо сложнее, чем решение (пусть и новых задач). Действительно, нужно проиграть возможные методы решения и установить возможность включения задачи в то или иное конкретное направление. Поэтому нередко одна и та же задача попадает в разные направления. Это свидетельствует о том, что ученики не могут ограничиться просто решением задачи, они должны рассмотреть возможность реализации решений.

4. Ученики в ходе выполнения этой работы включаются в деятельность, которая свойственна деятельности профессионального математика: обобщение задач, формулировка обратных утверждений. Они как бы открывают заново то, что уже известно. Кроме того, понятно, что формулировка обобщений и обратных утверждений не может быть выполнена по жесткому алгоритму, поэтому здесь присутствует элемент творчества. Даже в том случае, если ученик берет известную задачу, ему требуется установить возможность отнесения задачи к обобщению другой задачи. Действительно, ученик осознает возможность использовать то или иное средство в более общей ситуации.

Познакомим читателя с тем, как ребята выполняют данную работу.

1. Каждое из направлений, указанное учителем, записывают в своих справочниках, иллюстрируют их примерами, которые приводил учитель при знакомстве с ним.

2. Просматривают задачники, содержащие задачи по теме, стараясь по условию или на основе решения задач определить возможность их отнесения к тому или иному направлению.

3. Применяя методы варьирования (изучение данных, формулировку аналогичных, добавление новых условий и т.д.), изменяют условия задач.

4. Готовят текст контрольной работы, выписывая тексты соответствующих задач.

Читатель вправе спросить: “А что, если ребята подойдут формально к выполнению работы, т.е. напишут те задачи, которые предложил учитель, или возьмут первые допустимые задачи?” В первом случае ничего страшного нет. А второй случай невозможен. Чтобы доказать это, попробуйте взять любой задачник, в котором содержатся задачи по теме “Площади”, и подобрать задачи по двенадцатому направлению — обобщение задач. Дело в том, что довольно сложно сказать о конкретной задаче, можно ли ее считать допустимой, т.е. отнести к тому или иному направлению. “В чем же эффект такой работы?” — спросите вы. В самом выполнении: деятельность учащихся новая для них, поэтому интересна, способствует развитию.

Домашние контрольные работы позволяют ребятам очень интересно обмениваться опытом работы над темой, что безусловно способствует улучшению качества подготовки учеников. Нам представляется, что работа допускает уникальную возможность — такие контрольные работы можно использовать для того, чтобы старшие школьники сдавали зачеты младшим. Это целесообразно по следующим соображениям: 1. Учитель излагает материал младшим, конечно, не ограничивается теми направлениями, которые он определил в прошлом году. Он экспериментирует, пробует другие направления, приводит другие задачи. Эти моменты не известны старшим, поэтому в результате зачета старшие несомненно узнают что-то новое. 2. Старшие увидят младших с новой стороны (ведь они будут спрашивать). Вероятно, они будут копировать своих шефов. Это позволит выявить свои недостатки. 3. Вполне возможна экономия сил учителя, так как он получит “неожиданных помощников” при подготовке старших к экзаменам. 4. Создается основа для оценки на зачете и старшего и младшего. 5. Будет расширен обмен опытом между школьниками, определено новое, естественное общение старших и младших в условиях учебной деятельности. 6. Дети, готовясь к выполнению анализа своей деятельности, учатся критически подходить к выполнению своей работы. 7. Старшие лучше узнают младших, оперативнее осознают необходимость более серьезно готовиться к принятию зачета. 8. Учитель может иметь

уникальную возможность управлять деятельностью старших, используя элементы занимательности, неожиданности.

Понятно, что учитель, который предлагает ребятам такие контрольные работы, должен проводить специальную работу по подготовке ребят. Здесь имеет смысл привести некоторые упражнения.

Упражнение 1. Возьмите одну из задач, решенных в классе, определите, какие данные можно в ней изменить. Приведите изменения, а потом выполните решение.

Упражнение 2. Изучите упражнения, которые относятся к теме “Квадратные уравнения”. Возьмите два метода составления уравнения и укажите номера упражнений, которые относятся к каждому из них.

Упражнение 3. Пусть требуется решить задачу: Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = ——— Изучите следующее решение: у входит в множество значений функции тогда и только тогда, когда уравнение у = ——— (относительно х) имеет решение. Определим множество значений у, при которых уравнение имеет решения:

1) При у = 0 получаем, что -7х- О, или х= 0.

2) Пусть у≠О, тогда ух2 -2х + у = 0 относительно х является квадратным. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен: D = 4-4yy>0, или у2< 1. Отсюда — 1 < у < 1. Таким образом, наибольшее значение функции равно 1, а наименьшее -1.

Предложите другие виды функций, для которых может быть использован этот же метод при нахождении наибольшего или наименьшего значения.

Найдите наибольшее и наименьшее значения следующего выражения:

Найдите наибольшее и наименьшее значения следующего выражения:

Попытайтесь применить этот метод к решению следующих задач:

1. Даны две параллели и точка А между ними, служащая вершиной прямого угла прямоугольного треугольника, у которого другие две

вершины лежат на каждой из параллелей. Какое положение нужно дать треугольнику, чтобы его площадь была наименьшей?

2. Три абсолютно упругих шара А, В, С расположены так, что их центры лежат на одной прямой. Масса шара А равна М. Масса шара С равна т. Шар А со скоростью v ударяет в шар В, который, получив некоторую скорость, ударяет в свою очередь шар С. Какова должна быть масса шара В, чтобы скорость шара С оказалась наибольшей?

3. На странице книги печатный текст должен занимать S квадратных сантиметров. Верхние и нижние поля должны быть по а сантиметров, левое и правое -по b сантиметров. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Упражнение 4.

1. Сформулируйте к каждому из утверждений в таблице обратное утверждение. Проверьте их справедливость. Формулировки обратных утверждений запишите в третий столбец.

2. Выберите из учебника или задачников задачи, которые связаны с этими свойствами, а еще лучше составьте их сами. Условия задач запишите в четвертом столбце.

Упражнение 5. Выберите еще несколько утверждений, относящихся к прямоугольному треугольнику, и составьте таблицу, которая продолжает таблицу из упражнения 4.

Упражнение 6. К какой из тем курса алгебры могут быть отнесены следующие задачи, если сообщим, что они могут быть сведены к решению одной и той же задачи?

1. На плоскости даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Найдите на прямой, проходящей через точки В и С, такую точку М, сумма квадратов расстояний от которой до А, В, С была бы наименьшей.

2. Два тела двигаются по сторонам прямого угла с постоянными скоростями vi и v2 по направлению к вершине, от которой в начале движения первое находится на расстоянии а, второе — на расстоя-

нии b. Через сколько времени от начала движения расстояние между ними будет наименьшим?

Упражнение 7. Изучите следующие уравнения:

1. Выделите методы решений уравнений и проведите классификацию этих уравнений по методам решений.

2. Придумайте дополнительные задания на каждый из методов решения.

3. Выберите два метода и составьте уравнение, решение которого свелось бы к использованию обоих методов.

По сложным темам можно провести домашние контрольные работы по теории. Так, после изучения темы “Производная” ученикам можно предложить оформить письменно доказательства теорем о производной частного, о производной сложной функции, о производной обратной функции.

Ученики могут избрать, конечно, самый простой путь -переписать доказательства теорем из учебника. Учителю не следует опасаться: в хорошо подготовленном классе этого не происходит. Как же работают школьники? Они изучают конспект лекции, знакомятся с изложением материала в учебнике, изучают статьи из “Кванта” или дополнительные источники, которые рекомендовал учитель, выбирают различные методы доказательства утверждений, оформляют доказательства теорем.

Проверяют работы старшие школьники до зачета, но оценки за них в журнал не ставятся, хотя результаты учитываются на зачете (из опроса может быть исключена часть вопросов, именно те вопросы, на которые в контрольной получены безукоризненные

ответы). Кроме того, на зачете используются сами работы. Старший, выделив ошибку, указывает ее подшефному и просит исправить или дать необходимое пояснение. В случае непонимания или затруднений младшему оказывается необходимая помощь.

Контрольные работы могут проводиться и в форме лабораторных работ. Особенно эффективна такая форма в случае использования вычислительной техники. При этом могут быть использованы такие важные качества, как обучаемость, т.е. восприимчивость к помощи, умение работать с книгой и т.д. С этой целью непосредственно на контрольной школьникам могут быть предложены материалы, в которых ученик должен изучить какой-либо дополнительный материал, а потом выполнить специальное задание.

Широкие возможности для использования в ходе письменного контроля представляют тесты, которые могут быть специально подготовлены для конкретных целей. Приведем пример теста, предназначенного для оценки умений учащихся проводить обоснование решения уравнения:

1. Что может случиться при традиционном решении уравнения

путем возведения в куб:

а) потеря корней;

б) получится уравнение, равносильное исходному;

в) могут появиться посторонние корни?

2. Решая уравнение

ученик выполнил приведение подобных. Что при этом может произойти:

а) потеря корней;

б) получится уравнение, равносильное исходному;

в) могут появиться посторонние корни?

3. Укажите причины потери корней:

а) возведение в квадрат или куб;

б) сокращение дробей;

в) вынесение множителя из-под знака корня;

г) внесение множителя под знак корня;

д) приведение подобных;

е) деление обеих частей уравнения на одну и ту же функцию;

ж) умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию;

з) возведение в куб;

и) приведение к общему знаменателю.

4. Решите уравнение

и выполните все необходимые обоснования.

Что же обеспечивает высокую эффективность контрольных работ? На первое место следует поставить подбор задач, который дает возможность не только установить уровень сформулированных умений, осуществить диагностику затруднений, но и значительно способствовать развитию учащихся. Понятно, что сложность поиска решения задач находится в зоне ближайшего развития школьников, т.е. школьники теоретически и практически готовы к выполнению заданий. Но для того чтобы выполнить эту работу, они должны сделать что-то такое, что до контрольной не делали. Для одних учащихся новое в том, что за отведенное время предстоит выполнить значительно больший объем работ, чем им удавалось делать ранее. Новизна для других появляется в том, что ученик сам должен открыть необходимость и возможность применения известного аппарата.

В заключение отметим, что контрольные работы оказывают большое воспитательное влияние на ребят, развивая интерес, формируя уверенность. Школьники убеждаются, что тот, кто работает регулярно, тот получает хорошие результаты. Ученики ценят положительное отношение к себе учителя и учащихся, для них престижна только честная отметка, списывание отсутствует. Кроме того, работы подбираются из вариантов вступительных работ в разные вузы страны, несут элементы игры — школьники представляют себе, что они уже на экзамене в институт. Им интересно узнать, могли бы они сдать экзамен, какие получили бы оценки. Очень часто их шефы (старшеклассники, которые принимали у них зачеты) на вступительных экзаменах выполняли эти же работы, они знают и помнят результаты, поэтому соревнуются прежде всего с ними. Понятно, что такое соревнование настраивает на честное выполнение работы. Элемент соревнования вносит учитель. Он всегда интересуется работами, которые выполняли его ученики на вступительных экзаменах по математике (помнит их результаты, ошибки). Включая задания, он сообщает школьникам, что они будут писать работу, за которую на вступительном экзамене была получена отличная оценка. Желает ребятам отлично выполнить работу. Эффективность контрольных работ связана с тем, что они имеют четкую диагностическую направленность, ибо по их результатам учитель будет формулировать задачи обучения, воспитания и развития школьников на следующих этапах. Контрольные работы учеников отражают результаты их учебной деятельности на протяжении целой темы. Ученикам важно узнать не только результаты. Их интересуют в первую очередь причины, которые не позволили им выполнить отдельные задания, другие возможные подходы к решению задач, сравнить свои результаты с результатами старшеклассников и т.д. С этой целью учитель готовит и проводит специальный урок — анализ результатов контрольной работы.

Литература

1. Зильберберг Н.И., Канунникова Р.А. Формы работы Р.Г.Хазанкина — учителя методиста шк. № 14 г. Белорецка// Математика в школе. -1986. — № 2. — С. 18-22.

2. Зильберберг Н.И. Приобщение к математическому творчеству. — Уфа: Башкирское книжное издательство, 1988.

3. Хазанкин Р. Г. Как увлечь учеников математикой// Народное образование. — 1987. — № 10. — С.46-49.

4. Планирование обязательных результатов обучения математике/ Л.Ф. Денищева, Л.В. Кузнецова, И.А. Лурье и др.; Сост. В.В. Фирсов. — М.: Просвещение, 1989.

5. Штернберг Л.Ф. Скоростное конспектирование. — М.: Высш. школа, 1988.

6. Каплан Б.С. и др. Методы обучения математике. — Минск: Народная асвета, 1981.

7. Груденов Я.И. Психолого-педагогические основы методики обучения математике. — М.: Педагогика, 1987.

8. Джон Дж. Инженерное и художественное конструирование. — М.: Мир, 1978.

9. Якиманская И.С. Развивающее обучение. — М.: Педагогика, 1979.

10. Фридман Л.М., Турецкий К.Н. Как научиться решать задачи. — М.: Просвещение, 1989.

11. Платонов К.К. О системе психологии. — М.: Мысль, 1972. — С.125-128.

12. Загоруйко Н.Г. Методы распознавания и их применение. — М., 1972.

13. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения. -М.: Педагогика, 1977.