А.В. Ястребов

ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ В ВУЗЕ КАК МОДЕЛЬ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВО «Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского»

А. В. Ястребов

ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ В ВУЗЕ КАК МОДЕЛЬ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Ярославль 2017

УДК 372.851 ББК 74.262.214 Я 85

Печатается по решению редакционно-издательского совета ЯГПУ им. К. Д. Ушинского

Рецензент:

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, доцент кафедры теоретической информатики, кандидат физико-математических наук Ю. А. Белов

Ястребов, А. В.

Я 85 Обучение математике в вузе как модель научных исследований. - Ярославль: РИО ЯГПУ, 2017. - 306 с.

ISBN 978-5-87555-604-3

В монографии изложена концепция обучения математике, суть которой отражена в её названии. Выявлены некоторые неотъемлемые свойства математики, наличие которых не зависят ни от области математики, ни от исторического периода её развития, ни от уровня обсуждаемых исследований. Обоснована целесообразность моделирования этих свойств в учебном процессе. Сформулированы принципы написания задачников по математике и на их основе построен ряд оригинальных коллекций заданий. Предложена модель подготовки группы студентов к исследовательской деятельности. Разработан специальный язык для полного и компактного описания модели. Описан процесс изобретения автором некоторых математических теорем.

Книга предназначена для преподавателей математики вузов, аспирантов-математиков, студентов-математиков бакалавриата и магистратуры, школьных учителей. Особую целевую группу составляют преподаватели и студенты педагогических вузов.

УДК 372.851 ББК 74.262.214

ISBN 978-5-87555-604-3

© ФГБОУ ВО «Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского», 2017 © Ястребов А. В., 2017

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.............................7

Введение, или Происхождение идеи............... 9

Глава 1. Фундаментальные свойства математических исследований и общие вопросы их моделирования . ... 16

1.1. Двусторонняя ориентация обзора литературы........ 16

1.2. Об инвариантном ядре различных подходов к математическому образованию................ 18

1.3. Математика как «неопределяемое понятие» педагогики математики, или Классики о сущности математики..... 20

1.4. Математика в общенаучном и естественно-научном контексте.............................24

1.4.1. Понятие науки и государственный стандарт математического образования.............. 24

1.4.2. Место математики в контексте естественных наук . . 25

1.4.3. Типичные математические умозаключения...... 28

1.4.4. Сценарий 1. Изучение прямоугольных треугольников как научная задача........... 33

1.5. Математика в контексте психолого-педагогических наук . . 38

1.5.1. Психология, педагогика и математика......... 38

1.5.2. Психология творчества и математика..........42

1.5.3. Сценарий 2. Чётность, периодичность и дифференцируемость функций............. 45

1.6. Содержание математических исследований и учебные курсы..........................52

1.7. Некоторые реалии математического образования...... 54

1.8. Промежуточный итог и точка ветвления........... 58

1.9*. Некоторые вопросы, предшествующие проектированию технологии обучения математике............... 62

1.9.1. О необходимости точных определений.........62

1.9.2. Контекстность и фрагментарность как объективные обстоятельства функционирования основных элементов процесса обучения математике....... 64

1.9.3. Дуалистичность как объективное обстоятельство функционирования основных элементов процесса обучения математике................... 66

1.9.4. Некоторые выводы.................... 68

Глава 2. Моделирование исследовательской деятельности 69

в учебном процессе и его описание с помощью графа соответствия.......................

2.1. Модель - это схема или слово? Постановка задачи..... 69

2.2. Граф соответствия как язык описания педагогических явлений..............................71

2.2.1. Определение графа соответствия и примеры графов. . 71

2.2.2. Применение графа соответствия для описания межпредметных связей..................77

2.3. Модель подготовки академической группы студентов к исследовательской деятельности...............88

2.3.1. Содержание модели................... 88

2.3.2. Граф соответствия и определение модели по Штоффу 95

2.3.3. Свойства описания модели с помощью графа соответствия.................... 97

Глава 3. Принципы конструирования задачников по математике......................... 100

3.1. Сборник задач по математике в свете требований современной методики..................... 100

3.1.1. Моделирование научных исследований и различные формы учебной работы........... 100

3.1.2. Об эволюции учебников и задачников......... 102

3.1.3. О влиянии педагогики на задачник по математике . . 106

3.2. Упражнение, задача, контекст задачи и моделирование научных исследований..................... 112

3.2.1. О терминах «упражнение» и «задача»......... 112

3.2.2. Тиражирование заданий и контекст заданий...... 115

3.2.3. О моделировании некоторых свойств научных исследований....................... 118

3.3. Принципы построения задачника по математике.......119

3.4.* Многофункциональность упражнения и многофакторность умения.............................. 126

3.4.1. Основные утверждения................. 126

3.4.2. Основные утверждения в свете некоторых методических концепций................ 129

Глава 4. Технология построения банка заданий........ 134

4.1. Отношения эквивалентности и восстановительная персонализация......................... 136

4.2. Отношения эквивалентности, пропедевтическая персонализация и развивающее обучение........... 149

4.2.1. Построение числовых множеств............ 150

4.2.2. Разбиение плоскости и внутренность геометрической фигуры................. 153

4.2.3. От параллельных прямых до факторгрупп....... 158

4.3. Векторные пространства и базовая персонализация..... 163

4.4*. Двусторонняя ориентация банка заданий.......... 178

Глава 5. Специальные аспекты моделирования научных исследований.......................... 182

5.1. Банк заданий как средство приобщения к современным математическим исследованиям: алгебры Ли......... 182

5.2. Цикл задач как средство обнаружения новой теоремы .... 189

5.3. Пучок задач как отражение процесса редукции....... 197

5.4. Укрупнённая дидактическая единица как простейшая модель исследовательской деятельности, или УДЕ и структурирование проблемы.............. 201

5.4.1. Концепция укрупнения дидактических единиц . ... 201

5.4.2. Первый замечательный предел............. 203

5.4.3. Педагогическая рефлексия................ 206

5.5. Конструирование математических объектов и его отражение в задачах....................... 208

5.5.1. «Дискриминация» дивергентных способностей . . . . 208

5.5.2. Расширение класса элементарных функций средствами элементарной математики......... 209

5.5.3. Длительность изучения функций и её математико-педагогическое следствие......... 215

5.5.4. Регулярные функции и особые точки.......... 216

5.6. Принцип преемственности как средство построения заданий по математическому анализу............. 220

5.6.1. Один из аспектов преемственности в преподавании математического анализа................ 220

5.6.2. Построение матрицы упражнений............ 222

5.6.3. Математические и педагогические свойства матрицы упражнений................... 227

5.6.4. Об инструментальной роли педагогических принципов........................ 229

Глава 6. Некоторые способы выявления эмпирико-теоретического дуализма математики в учебном процессе....................... 230

6.1. Физика как источник основных теорем 230

дифференциального исчисления................

6.1.1. О математическом анализе и его связи с физикой . . . 230

6.1.2. Логика доказательств и физическое происхождение условий некоторых математических теорем...... 233

6.1.3. Сценарий 3. Обнаружение основных теорем дифференциального исчисления............ 236

6.1.4*. Логический анализ теорем............... 241

6.1.5*. Применения теорем дифференциального исчисления 246

6.1.6. «Многоязычность» математики и её эмпирико-теоретический дуализм............ 248

6.2. Натурный эксперимент как методическая основа введения первоначальных понятий теории вероятностей........ 248

6.3. Компьютерный эксперимент как средство выявления эмпирико-теоретического дуализма математики....... 254

6.3.1. Второе пришествие экспериментальной математики? 254

6.3.2. Компьютер как сложный физический прибор..... 257

6.3.3. Два начала математики и их воздействие на интеллектуальное развитие студентов......... 260

6.3.4*. Мягкий манифест экспериментальной математики. . 267

Глава 7. Личные истории маленьких изобретений...... 269

7.1. Неравенство Ки Фана и геометрические преобразования вещественной прямой...................... 270

7.1.1. Неравенство Ки Фана как источник исследовательских задач................. 270

7.1.2. Принцип отбора исследовательских задач для школьников...................... 274

7.1.3. Краткий педагогический анализ............. 275

7.2. «Приоритетный спор» между Коши и Маклореном, или История одной ошибки..................... 277

7.3. «Полуэкспериментальный» вывод формулы суммы углов невыпуклого многоугольника................. 283

7.3.1. «Потерянное» доказательство.............. 283

7.3.2. Поиск идеи........................ 284

7.3.3. Необходимые термины и доказательство теоремы . . 286

7.3.4. Заключительные замечания............... 291

Открытый финал.......................... 294

Библиографический список.................... 296

Предисловие

Всем, кто интересуется математикой и методикой её преподавания, я настойчиво рекомендую эту книгу. Во-первых, в ней обсуждаются принципы преподавания, дидактические единицы, педагогические сценарии, модели обучения и многое другое, что обычно входит в исследования по методике преподавания математики. Во-вторых, в ней присутствуют многие продвинутые разделы математики, такие как представления групп или алгебры Ли, которые вполне уместны в математических исследованиях и которые крайне редко встречаются в исследованиях методических. В-третьих, в книге содержатся многие десятки математических задач, которые группируются в интересные педагогические сценарии. Местами текст выглядит так, как если бы он был предназначен для задачника и только по недоразумению попал в монографию. В-четвёртых, в книге присутствуют вопросы психологии математического творчества и показан генезис некоторых конкретных математических результатов.

Понятно, что многоаспектность книги может не удовлетворить многих. Методически ориентированный читатель может счесть математический компонент книги слишком сложным, математически ориентированный читатель может счесть методический компонент книги малополезным, философски ориентированный читатель может счесть методологический компонент книги недостаточным, и т.д. На мой взгляд, книга представляет собой гармонический продукт серьёзных размышлений автора. Больше всего убеждает в этом взаимовлияние и взаимопроникновение двух главных компонентов книги, математики и педагогики. Сложные разделы математики выстраиваются в простые педагогические сценарии, которые гасят сложность, высвечивают сущность и позволяют автору добиться поставленных целей. Таков, например, раздел 5.1 об алгебрах Ли. Педагогические принципы становятся инструментом построения оригинальных коллекций задач. Таков, например, вроде бы затасканный принцип преемственности, с помощью которого автор строит оригинальную матрицу из 44-х задач по математическому анализу. Среди этих задач есть совершенно таинственные, например, оценка 1 + 3+ — + — + —'""^7< 26,5. Попробуйте доказать её, и вы увидите, что это непросто. Дочитайте до раздела 5.6, и вы увидите, что она получается благодаря малюсенькой модификации канонической оценки с помощью геометрической прогрессии, которая 300 лет кочует из учебника в учебник. В нахожде-

нии этой модификации и состоит искусство автора. Обобщённо говоря, автор работает в синтетической области под названием Педагогика Математики, где оба слова следует писать с большой буквы. Именно в этом и состоит красота книги.

Чтение книги оставляет ощущение того, что автор имеет, образно говоря, «двойное научное самосознание». С одной стороны, он является математиком, то есть человеком, стремящимися ставить новые задачи, формулировать новые теоремы, вводить новые понятия. С другой стороны, и это не менее важно, он являются преподавателем математики, то есть человеком, изобретающим новые методики преподавания тех или иных её разделов.

Работа учёного всегда окрашена личными чувствами независимо от того, проявляются ли они в написанных им текстах. Автор не уклоняется от проявления своих чувств, добавляя в книгу психологический ингредиент. Во введении описано происхождение основной идеи данной книги, а в её последней главе - процесс изобретения автором некоторых математических теорем.

Каждый из 9-ти параграфов главы 1, каждый из 3-х параграфов главы 7, каждая из глав 2-6 по отдельности - это фактически самостоятельные произведения, которые можно читать независимо друг от друга и в произвольном порядке. Но лучше всего читать книгу в заданном автором порядке, тогда можно ощутить её целостность.

Дорогой читатель, если Вы сейчас держите эту книгу в руках, я очень рад за Вас: читайте и получайте удовольствие!

Заслуженный деятель науки России, профессор А. Г. Мордкович

Анализ природы интеллектуальной деятельности в любой области - задача не из лёгких, даже если эта область не так далека от основного круга интеллектуальных усилий большинства людей, как математика. Анализ природы интеллектуальной деятельности труден по существу: какую бы сферу интеллектуальной деятельности мы ни взяли, анализировать её несравненно труднее, чем непосредственно заниматься ею.

Дж. фон Нейман

Введение, или Происхождение идеи

Идея этой книги возникла почти случайно и родилась в обстоятельствах необычных, непривычных и, быть может, внутренне противоречивых. Они были настолько странными, что автор позволит себе написать часть Введения от первого лица.

В сентябре 1989 года я неожиданно был командирован на Кубу в качестве научного консультанта (asesor cientifico) кафедры алгебры и геометрии Высшего педагогического института города Пинар-дель-Рио. Неожиданность поездки была вызвана тем, что я заменял какого-то заболевшего специалиста из неизвестного мне вуза. Бюрократическая система зачастую не предполагает предварительной подготовки командируемого, поэтому никто не объяснял мне ни характера будущей работы, ни стоящих передо мной задач. В результате я не был готов ни морально, ни содержательно. Как ни странно, такая неподготовленность помогла мне самостоятельно поставить научную задачу в тех обстоятельствах, с которыми я столкнулся.

Прежде всего, выяснилось, что мне предстоит читать лекции отнюдь не студентам, а преподавателям кафедры, то есть людям, знающим большое количество математических фактов. Я сознательно не употребляю слова «знающим математику», потому что довольно быстро обнаружил ментальные барьеры в сознании моих слушателей, которые отделяли друг от друга разные части математики. Например, на вопрос о том, образует ли множество непостоянных линейных функций группу относительно композиции, я получил неожиданный полуответ в форме полувопроса: «Но ведь функции изучаются на кафедре математического анализа?!» Таким образом, процесс составления разумной программы моих лекций приобрёл неожиданное измерение.

Вторым неблагоприятным обстоятельством оказалось состояние библиотеки. Буквально последние дни доживали переведённые на испанский язык книги Г. М. Фихтенгольца по математическому ана-

лизу и H. В. Ефимова по высшей геометрии. В силу сложного экономического положения Кубы и СССР было очевидно, что невозможно ожидать ни переиздания советских учебников, ни написания и издания новых учебников кубинскими авторами. Таким образом, подготовка учителей математики могла перейти в область устного предания. Положение было явно ненормальным и требовало улучшения.

Естественный выход из создавшегося положения виделся в следующем: научить моих слушателей писать учебную литературу по математике. Попытка создать программу такого обучения породила серию задач. Прежде всего, нужно было выработать целесообразные принципы написания учебников и/или задачников по математике. Очевидно, что учебная литература должна способствовать реализации процесса обучения, поэтому до решения первой задачи нужно было решить вторую задачу: понять, в чем состоят характеристические свойства того способа преподавания математики, который я считаю целесообразным. Вторая задача оказалась не так проста, как казалось на первый взгляд, потому что многое в обучении математике уже предопределено. Действительно, содержание преподавания определяется программой или стандартом, формулировки определений и теорем стали каноническими, доказательства теорем отшлифованы временем. Получается, что учебный курс может приобрести индивидуальные черты только в том случае, если преподаватель отразит в нем важные свойства своей личной исследовательской деятельности. Таким образом, до решения второй задачи нужно было решить третью задачу: понять, каковы характеристические черты исследовательской деятельности в области математики.

Так постепенно частный вопрос о работе научного консультанта кафедры стал превращаться в научную проблему. Сменим и мы стиль изложения.

Содержание настоящей книги относится одновременно к двум областям педагогики: теории и методики профессионального образования и теории и методики обучения и воспитания в области математики. Её актуальность вызвана тем обстоятельством, что ряд разнохарактерных явлений в образовании приводит к необходимости решения одной и той же научно-педагогической задачи. Опишем кратко некоторые из этих явлений.

1. Существует значительная асимметрия в подготовке учителей школы и преподавателей вуза. Действительно, профессионально-педагогический компонент в подготовке учителей основан на обшир-

ной и глубоко разработанной системе курсов психологии, педагогики, общей и конкретной методики преподавания предметов, которые, в свою очередь, опираются на проверенные научные теории и включают в себя элементы современных исследований. Тем самым созданы все предпосылки для того, чтобы будущий учитель приобщился к исследовательской работе в области педагогики математики и продолжил её в качестве учителя. В то же время и «в нашей стране (да и за рубежом) отсутствует сложившаяся система подготовки кадров для преподавательской работы в вузе» [113]. Хотя цитируемая мысль высказана достаточно давно, она остаётся справедливой и в настоящее время. Трудно представить себе студента-математика или аспиранта-математика классического университета, который имеет организационную возможность приобщиться к исследовательской работе в области педагогики математики, которую он будет продолжать в качестве преподавателя вуза. Ситуация представляется в достаточной мере неестественной, поскольку умения, формируемые преподавателем вуза у своих студентов, существенно сложнее и разнообразнее тех умений, которые формирует учитель у школьников.

В отношении научной работы в области математики положение оказывается прямо противоположным. Хотя представление об учителях-исследователях сложилось достаточно давно и потребность в них велика, вряд ли можно говорить об общепринятой системе подготовки таких учителей. Напротив, аспиранты-математики - будущие преподаватели вузов - практически целиком сосредоточены на исследовательской работе в области математики и весьма мало заняты подготовкой к будущей преподавательской деятельности.

Описанная асимметрия могла бы быть устранена, если бы удалось решить следующую Проблему: выявить важнейшие, базовые, быть может, характеристические свойства научных исследований, не зависящие ни от исторического периода математики, ни от предметной области внутри неё, ни от уровня ведущихся исследований, и показать возможность их моделирования в учебном процессе. Тем самым появилась бы возможность для целенаправленной подготовки будущих учителей математики к исследованиям в области математики и будущих преподавателей вуза - к педагогической деятельности.

2. Существует объективная потребность в создании технологии написания учебной литературы для вузов. Подчеркнём, что речь идёт не столько о написании хороших учебников или задачников, которые рано или поздно устареют, сколько о формировании традиций подго-

товки методического обеспечения учебного процесса. Международный аспект этой проблемы уже затронут, однако даже для развитых и богатых стран вопрос стоит достаточно остро. Действительно, государственные стандарты образования предусматривают необходимость формирования исследовательских умений, причём как в школе, так и в вузе. Между тем абсолютное большинство учебников (если не все они) написано синтетическим методом. Этот метод весьма хорош для изложения результатов деятельности математиков, однако в реальной деятельности математиков синтетический метод является далеко не единственным и не доминирует так, как это происходит в учебной литературе.

В сложных системах, к которым относится и система образования, идут разнонаправленные процессы, которые в идеале должны уравновешивать и гармонизировать друг друга. Наряду со стандартизацией образования происходит его регионализация, диверсификация его форм, автономизация вузов и т.д. В этих условиях научно-педагогическому сообществу необходимо иметь некие общие ориентиры при написании учебной литературы и качественные критерии её оценки. Возможность моделирования базовых свойств научных исследований в учебном процессе могла бы служить таким критерием.

3. Учебники и задачники по математике, рассматриваемые как виды учебной литературы, эволюционируют с различной скоростью. Например, анализ университетских учебников математики показывает, что в течение 70-х годов XX века произошла смена их поколений, которая выразилась в значительном обновлении содержания, используемой символики, во внимании к контексту, в который включён изучаемый материал, и в ряде других черт. В отличие от учебников, задачники на протяжении многих и многих лет сохраняют некоторые свои характеристические черты, такие, как ориентированность на технические навыки, завуалированность принципов составления, изолированность взаимосвязанных задач, что не позволяет говорить о смене поколений. Данная диспропорция вызвана тем, что учебники, вольно или невольно, следуют за развитием науки, а для задачников отражение новых научных знаний не считается обязательным. Положение можно было бы изменить и уравнять скорости развития двух основных видов учебной литературы, если бы удалось решить Проблему, обозначенную в пункте 1.

Все сказанное определило тему данной книги и её цель, которая состоит в решении описанной проблемы.

Естественно, что описание проблемы во многом предопределяет этапы её решения и всю структуру дальнейших действий автора. В нашем случае для достижения общей цели придётся решить следующие частные задачи.

A) Выявить основные свойства научных исследований, о которых идёт речь в пункте 1 при описании Проблемы.

Б) Показать принципиальную возможность моделирования этих свойств в рамках образовательных стандартов. Обосновать педагогическую целесообразность такого моделирования с точки зрения профессиональной направленности преподавания математики. (Заметим, что принципиальная возможность и педагогическая целесообразность - это две разные сущности.)

B) Сформулировать принципы построения учебной литературы, предназначенной для моделирования базовых свойств научных исследований в учебном процессе.

Г) Главное относится к педагогическому образованию: мы хотим показать, что обучение математике в педагогическом вузе действительно может быть организовано как модель научных исследований.

Разумеется, любая задача разрешима только в том случае, если процесс её решения базируется на тех или иных положениях, отчётливо сформулированных или неявно подразумеваемых, тщательно обоснованных или просто декларируемых. В нашем случае мы исходим из следующей гипотезы:

• существует глубокий параллелизм между исследовательской работой учёного и учебной деятельностью студента, причём как в отношении конкретных умственных действий, так и в отношении форм организации обоих видов деятельности;

• черты сходства двух видов деятельности могут быть обнаружены на самых ранних стадиях обучения.

Структура книги такова. В первой главе содержится обзор литературы, цель которого состоит в выявлении имманентных свойств математики, не зависящих ни от предметной области внутри неё, ни от уровня математических исследований, ни от исторического периода её развития. Именно эти свойства будут впоследствии положены в основу авторской методики обучения математике в вузе.

Во второй главе строится модель подготовки академической группы студентов к исследовательской деятельности в области математики. Описание этой модели проводится в специальных терминах,

главным из которых является понятие графа соответствия между двумя рядами объектов.

В третьей главе анализируются особенности эволюции различных видов учебной литературы, в частности, задачников. Излагаются взгляды автора на понятия «упражнение» и «задача» и формулируются принципы построения задачников по математике.

В четвёртой главе показано, что сформулированные принципы являются эффективным инструментом насыщения задачника конкретными упражнениями и задачами. Подробно описан процесс построения задачника применительно к двум областям: отношениям эквивалентности и линейной алгебре.

В пятой главе показано, что те же самые принципы, применённые к построенному задачнику, позволяют конструировать педагогические сценарии изучения различных тем и моделировать при этом важные свойства математики в целом. В частности, выявляется взаимосвязь процессов обнаружения теоремы, редуцирования задачи, структурирования проблемы с такими устоявшимися в методике математики системами задач, как цикл задач, пучок задач и укрупнённая дидактическая единица. Кроме того, показаны возможности традиционного задачного материала в обучении студентов конструированию математических объектов с заранее заданными свойствами. Наконец, предложен сценарий работы с матрицами, который базируется на чрезвычайно простой математической технике, однако приобщает студентов к изучению алгебр Ли.

В шестой главе обсуждаются три педагогических сценария, которые способствуют выявлению эмпирико-теоретического дуализма математики. Они показывают, как мысленные эксперименты в области физики связны с математическим анализом, как натурные эксперименты с предметами связаны с теорией вероятностей, как связаны между собой протекающие в компьютере физические процессы, компьютерный эксперимент, теоретическая трактовка его результатов, интеллектуальное развитие студентов.

В седьмой главе описан процесс изобретения автором нескольких математических теорем. Главным здесь являются отнюдь не сами теоремы, а те сложные, противоречивые и неоднозначные рассуждения, с помощью которых они были получены.

В завершающем разделе книги рассматриваются некоторые возможности для дальнейших исследований, которые, по мнению автора, представляют интерес.

В каждой главе теоретические конструкции сопровождаются упражнениями, задачами и педагогическими сценариями, использующими задачи или группы задач. Их назначение двояко. С одной стороны, математический материал иллюстрирует теоретические соображения в области методики преподавания. С другой стороны, мы всегда пытаемся показать происхождение конкретных задач и обосновать педагогическую целесообразность их применения. По нашему мнению, происхождение и обоснование целесообразности подчас важнее самой задачи.

Некоторые разделы книги отмечены звёздочкой. Её наличие означает, что при первом (или быстром) чтении помеченный раздел может быть пропущен, поскольку его содержание не используется в изложении основных мыслей книги. Вместе с тем, раздел всегда связан с содержанием книги в целом и может служить предметом последующих размышлений.

Эта книга не могла бы быть написана без участия многих и многих людей, с которыми автору приходилось контактировать: без преподавателей, у которых он учился, без студентов, которых он учил, без коллег, с которыми он обсуждал отдельные вопросы... Не будучи в состоянии перечислить всех, кто так или иначе повлиял на содержание книги, автор выражает благодарность своим соавторам, труды которых цитируются в ней: Г. Н. Большаковой, Н. А. Валеевой, Н. М. Епифановой, М. Л. Зуевой, С. И. Калинину, Т. Н. Карповой, Е. Н. Корнеевой, Н. А. Меньшиковой, И. Н. Муриной, Н. Н. Новосёловой, С. В. Турунтаеву, М. В. Шабановой, своему брату М. В. Ястребову.

Глава 1

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ И ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИХ МОДЕЛИРОВАНИЯ

В главе содержится обзор литературы, цель которого состоит в выявлении имманентных свойств математики, не зависящих ни от предметной области внутри неё, ни от уровня математических исследований, ни от исторического периода её развития. Именно эти свойства будут впоследствии положены в основу авторской методики обучения математике в вузе.

1.1. Двусторонняя ориентация обзора литературы

Любое исследование начинается с анализа литературы. В соответствии с заглавием наш анализ будет ориентирован на потребности двух групп пользователей. С одной стороны, он будет подчёркнуто приземлённым. Каждое положение, извлечённое из того или иного источника, мы будем рассматривать под следующим углом зрения: что может и чего не может оно дать для организации обычного, повседневного преподавания математики в вузе, в частности, в педагогическом вузе. Под «обычным и повседневным» мы понимаем в буквальном смысле то, что означают эти слова: обычный, а не столичный и не экспериментальный вуз; подготовка учителей для массовой, а не профильной школы; базовый курс алгебры, геометрии или математического анализа, а не специальный курс или спецсеминар; обычная академическая группа, а не специально сформированная группа талантливых студентов. Для контраста процитируем одного из ведущих математиков XX века Н. Винера: «Лучший и, пожалуй, единственный способ обучать хорошо подготовленных студентов, занимающихся наукой, - это делать что-то вместе с ними» [25, с. 336]. Соглашаясь по существу с высказанной мыслью, автор обращает внимание на то, что Н. Винер не задаётся вопросом о том, кто и как хорошо подготовит студентов и привлечёт их к занятиям наукой. Мы концентрируемся на начальных этапах высшего образования, на которых особенно трудно воспроизводить в учебном процессе базовые свойства научных исследований и вырабатывать у студентов соответствующие навыки.

Для того чтобы ещё отчётливее подчеркнуть одну из сторон нашего подхода, сравним сказанное в предыдущем абзаце с концепцией О. А. Иванова, посвященной подготовке преподавателей про-

фильных школ. Одно из её основных положений звучит так: «Обучение на математических факультетах университетов должно быть направлено на подготовку специалиста - учителя высшей квалификации - с профессиональными навыками научного работника и учителя-методиста» [54, с. 31]. (Курсив Иванова.) При этом во главу угла ставятся так называемые интегративные курсы, которые характеризуются двумя особенностями: во-первых, изложение материала происходит не строго последовательно, а группируется вокруг определённых понятий, математических идей и утверждений; во-вторых, в этом изложении понятия и идеи элементарной математики связываются с общими математическими понятиями, идеями и утверждениями, известными студентам по базовым университетским курсам [54, с. 51]. Такой подход, будучи естественным и, по мнению автора, правильным, поневоле оказывается достаточно узким: учитель высшей квалификации с навыками научного работника позиционируется как преподаватель профильной школы, хотя массовая школа нуждается в таких учителях в той же, если не в большей, мере и имеет огромное поле деятельности для учителя-исследователя; подготовка учителя высшей квалификации становится прерогативой математических факультетов университетов, хотя педагогический вуз не только может, но и должен ставить перед собой такую задачу; чтение интегративных курсов откладывается до завершения базовых курсов, тем самым задерживая начало формирования исследовательских навыков. В отличие от сказанного, концепция моделирования научных исследований, к разработке которой мы сейчас приступаем, ориентирована на воспроизведение свойств исследовательской деятельности в условиях изучения базовых курсов математики в вузе, в частности, в обычном педагогическом вузе.

С другой стороны, наш анализ литературы призван удовлетворить потребности, если так можно выразиться, воспитателей научной элиты. Мы попытаемся выявить такие положения, которые могут стать основой теории исследовательского обучения студентов, причём с первых дней их пребывания в вузе. Естественно предположить, что большой массив студентов, привлечённых к научным исследованиям в процессе обучения, выдвинет из своей среды некоторое количество специалистов, которые сделают математические исследования содержанием своей профессиональной деятельности. Пусть эта группа выпускников достаточно узка, но именно из неё будет формиро-

ваться преподавательский корпус, без которого невозможно «расширенное воспроизводство» системы образования.

Забегая вперёд, выскажем парадоксальное утверждение: обе задачи, приземлённая и элитарная, восходят к одним и тем же научным положениям.

1.2. Об инвариантном ядре различных подходов к математическому образованию

Перспективы развития математического образования в России тесно связаны с достижениями в методике преподавания математики, понимаемой в широком смысле этого слова. От того, насколько эффективными окажутся теоретические концепции, методические системы, образовательные технологии и проч., используемые педагогическим сообществом, зависит и понимание общественностью роли математики в современном мире, и заинтересованность учащихся в изучении математики, и конкретные результаты обучения. В этих условиях возрастает роль тех методологических основ, на которые опирается проектировщик педагогического продукта и от которых, в конечном счёте, зависят свойства этого продукта. Постараемся понять, в какой мере согласованы подходы различных авторов.

Хорошо известно, что разные науки сильно отличаются друг от друга. В своей знаменитой статье «Математик» [95] Дж. фон Нейман сравнивает две весьма близкие науки - математику и теоретическую физику. Указывая на целый ряд общих свойств, он характеризует отличия следующим образом: «Цели теоретической физики устанавливаются в основном «извне», в большинстве случаев потребностями экспериментальной физики... Этим объясняется, почему предмет изучения теоретической физики всегда необычайно сосредоточен: усилия физиков-теоретиков почти всегда сосредоточены в одной или двух весьма чётко очерченных областях. В 20-е годы и в начале 30-х годов <ХХ века> такой областью сосредоточения была квантовая механика, а с середины 30-х годов всеобщее внимание стали привлекать элементарные частицы и строение атомного ядра... В математике мы сталкиваемся с иной ситуацией. Математика подразделяется на великое множество разделов и подразделов, сильно отличающихся по характеру, стилю, целям и значимости. Математика представляет собой прямую противоположность предельной сосредоточенности теоретической физики».

Если предпринять попытку сравнения математики с методикой её преподавания, то картина «феодальной раздробленности» становится ещё более впечатляющей, поскольку касается не только интересов специалистов, но и самого объекта исследования. Приведём два примера.

Перечисляя основные психологически ориентированные модели школьного обучения, М. А. Холодная называет следующие пять: свободную модель (Р. Штейнер, Ф. Г. Кумбе и др.), личностную модель (Л. В. Занков, М. В. Зверева и др.), развивающую модель (Д. Б. Эльконин, В. В. Давыдов и др.), активизирующую модель (А. М. Матюшкин, М. М. Махмутов и др.), формирующую модель (П. Я. Гальперин, Н. Ф. Талызина и др.) [126, с. 307-308]. Добавим к этому списку предлагаемую ею модель обогащающего обучения, концепцию укрупнения дидактических единиц П. М. Эрдниева, в значительной мере ориентированную на математику, компетентностный подход, системно-деятельностный подход, а также целый ряд концепций вузовского математического образования, появившихся в последние десятилетия.

Для школьного и вузовского преподавателя математики столь большое разнообразие концепций приводит к тому, что комплексное, одновременное использование достижений и рекомендаций каждой из них оказывается достаточно трудным или невозможным просто в силу их обилия и разнообразия. Более того, трудность такого рода только возрастает по мере дальнейшей разработки перечисленных концепций и появления новых.

Понизим уровень общности анализируемых объектов и рассмотрим не модели обучения, а образовательные технологии. Здесь мы наблюдаем не меньшее, если не большее, разнообразие взглядов. Так, Д. Г. Левитес отмечает «отсутствие согласованных представлений о самом предмете: что есть «образовательная технология», «технология обучения», «технологический подход в обучении». (Автору удалось насчитать в литературе более сотни определений!)» [79, с. 151]. В обзоре Г. К. Селевко [112] описано 50 различных технологий. Их концептуальные положения излагаются в терминах, слабо связанных друг с другом. Классификационная характеристика технологии, даже будучи сильно формализованной, содержит 12 параметров, каждый из которых принимает до 10 значений. В результате выбор технологии, который сегодня существует у учителя и преподавателя вуза, представляет для него трудность не меньшую, чем создание

собственной технологии обучения, а приобщение студентов-математиков к достижениям педагогических технологий чрезвычайно затруднено.

По мнению автора, существует серьёзная опасность, что методика преподавания математики будет развиваться по пути наименьшего сопротивления и что по мере удаления от своего источника -математики - она превратится в нагромождение деталей и сложностей. Одним из методов улучшения ситуации может служить выявление инвариантного ядра различных концепций математического образования. Речь идёт о поиске таких положений (принципов, аксиом, утверждений и проч.), которые либо уже входят в большинство из концепций, либо могли бы войти в них в качестве составной части в процессе их развития. Полемически заостряя мысль, можно сказать, что речь идёт о поиске таких положений, учёт которых в той или иной форме был бы весьма желателен как при существующих подходах, так при тех, что с неизбежностью появятся в недалёком будущем.

Для нас важно, что необходимость построения инвариантного ядра различных педагогических концепций оказывается тесно связанной с теми базовыми свойствами математики, о которых шла речь во Введении. Действительно, математическое образование, на каких бы теоретических посылках оно ни базировалось, призвано сформировать в сознании учащихся адекватный образ математики. В силу этого общие положения любой педагогической концепции должны быть тесно связаны с имманентными свойствами математики, не зависящими ни от предметной области внутри неё, ни от уровня математических исследований, ни от исторического периода её развития. Ниже будет предпринята попытка выявления некоторых из таких свойств.

1.3. Математика как «неопределяемое понятие» педагогики математики, или Классики о сущности математики

Проектировщик педагогического продукта в области педагогики математики должен разрешить, хотя бы для себя самого, несколько очевидных, но сложных, задач: 1) назвать и дать определения основным элементам процесса обучения математике; 2) выявить объективные обстоятельства (рамочные условия), в которых функционируют перечисленные элементы; 3) выявить базовые свойства, жела-

тельно характеристические, перечисленных элементов; 4) декларировать цели применения технологии; 5) предложить способы достижения декларируемых целей.

Отметим, что первые три задачи фактически предшествуют этапу непосредственного проектирования. Ниже будет предпринята попытка частичного решения поставленных задач.

Перечислить элементы, то есть составные части, процесса обучения математике достаточно просто - это математика как наука, студент, преподаватель и канал передачи информации. Гораздо сложнее дать определения этим элементам. Между тем точные определения необходимы по той простой причине, что от наших взглядов на сущность элементов будет зависеть весь проектируемый и реально организуемый педагогический процесс. Покажем, что даже в случае первого и «простейшего» элемента - математики - наблюдается широкий спектр точек зрения.

Наиболее полное академическое издание «Математическая энциклопедия» трактует понятие математики традиционно, то есть как науку о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира [85, стб. 560]. При этом появление новых разделов математики рассматривается как выявление новых типов количественных отношений и пространственных форм. «Энциклопедический словарь юного математика» даёт несколько более широкую трактовку: «Возможно, нужно сказать, что математика имеет своим объектом изучения пространственные формы, количественные отношения и логические конструкции» [135, с. 172-174]. При этом необходимость расширения традиционного определения обосновывается появлением областей математики, не связанных ни с количественными отношениями, ни с пространственными формами: математической логики и дисциплин, связанных с программированием для ЭВМ.

Конкурирующая точка зрения выражена в статье Н. Бурбаки «Архитектура математики» [18]. Согласно ей математику следует определить как науку о математических структурах, основными типами которых являются алгебраические, топологические и порядковые. Однако такая точка зрения содержит внутренний конфликт, который мы изложим в трактовке И. Р. Шафаревича: «Когда на вопрос - что изучает математика? - отвечают: «множества с заданными в них отношениями» или «структуры», то это вряд ли можно признать ответом. Ведь среди континуума мыслимых множеств с заданными в них отношениями или структур реально привлекает математиков

очень редкое, дискретное множество, и смысл вопроса как раз и заключается в том, чтобы понять, чем же особенно ценна эта исчезающее малая часть, вкрапленная в аморфную массу» [130, с. 7].

Одна из категоричных точек зрения на объект математики принадлежит В. И. Арнольду: «Математика является экспериментальной наукой - частью теоретической физики и членом семейства естественных наук» [5, с. 20]. Более сбалансированная точка зрения выражена Дж. фон Нейманом: «Наиболее характерная отличительная черта математики состоит в её особом отношении к естественным наукам и вообще любой науке, интерпретирующей факты на уровне более высоком, чем чисто описательный» [95].

Разумеется, список различных подходов к определению предмета математики может быть расширен, однако даже приведённого списка достаточно для понимания того обстоятельства, что проектировщик педагогического продукта вынужден работать в условиях «понятийного вакуума». Действительно, приступая к проектированию, преподаватель математики вынужден принять одну из точек зрения на предмет математики. Более того, он вынужден либо принять одну из многочисленных точек зрения на сущность педагогического процесса, либо предложить своё понимание. При этом во втором случае трудно надеяться на то, что личная точка зрения проектировщика окажется более полной и/или объективно верной, чем конкурирующие точки зрения; трудно рассчитывать, что она будет воспринята в качестве таковой значительной частью педагогического сообщества.

Возвращаясь к началу раздела, поставим вопрос о том, может ли преподаватель вуза и учитель школы точно и обосновано определиться в своих философских взглядах на природу математики и разрабатывать новые методические продукты в соответствии с ними. Парадоксально, но на этот вопрос придётся ответить одновременно и отрицательно, и утвердительно. С одной стороны, в 1944 году один из крупнейших математиков XX века Г. Вейль писал следующее: «Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой, в конечном счёте, математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит, в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно му-

зицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным.» (Цитируется по книге [64, с. 16].) Трудно ожидать, что рядовому педагогу удастся решить ту задачу, которую пока не удалось решить великим математикам. С другой стороны, мы видим многочисленные примеры блестящего творчества в области обучения математике. Трудно предположить, что оно было бы возможным, если бы Мастера не имели адекватных взглядов на природу математики, пусть неполных, несовершенных, не сформулированных словесно.

Итак, мы вынуждены констатировать, что попытка найти в литературных источниках общепринятое определение понятия «математика» оказалась безуспешной. По понятным причинам автор сознательно отказывается от попыток внести свою лепту в конструирование такого определения. К сожалению или к счастью, такой отказ не освобождает от необходимости создания эффективных методик обучения математике и, следовательно, от необходимости проникновения в сущность математики, проникновения с максимально доступной автору глубиной. Нижеследующее наблюдение подсказывает один из возможных шагов в этом направлении.

По-видимому, на границе между философией математики и педагогикой математики происходит нечто, весьма похожее на переход от содержательной математической теории к теории аксиоматической. Действительно, неопределяемые понятия математической теории находят своё описание в виде аксиом. Подобно этому, не нашедшее пока своего определения или даже неопределяемое понятие математики постепенно (медленно и мучительно) находит своё адекватное отражение в виде методических рекомендаций для педагогического сообщества, передающего математические знания и навыки математической деятельности следующему поколению. Было бы естественным сделать этот стихийный процесс целенаправленным, то есть выявить имманентные свойства математики, о которых шла речь во Введении и в разделе 1.2, и систематически воспроизводить их в учебном процессе. Так в третий раз мы приходим к необходимости изучения одного и того же объекта, пока гипотетического, - списка фундаментальных свойств математики.

Сразу сделаем две оговорки. Во-первых, вышеупомянутое наблюдение пока не является обоснованным, так что читатель вправе усомниться в наличии описанного феномена и последующего вывода.

Впрочем, определённый (веский) аргумент в пользу высказанного утверждения сделан в диссертации [143]. Во-вторых, любой список имманентных свойств математики как науки окажется неполным, поскольку математическое творчество, как и любой другой вид творчества, бесконечно сложен. Важно сделать его, если так можно выразиться, минимально достаточным. Последнее означает, что искомый список должен обладать двумя взаимно дополнительными свойствами: 1) действительно характеризовать математику в её важнейших аспектах; 2) быть возможно более кратким.

К поиску такого списка мы сейчас и приступаем.

1.4. Математика в общенаучном и естественно-научном контексте

Приступая к обзору литературы, мы постараемся не просто перечислить фундаментальные свойства математики, подлежащие моделированию в учебном процессе, но выявить те причины, которые заставляют нас обратить внимание именно на них. С этой целью мы рассмотрим разнохарактерные литературные источники, которые, будучи объективно объединены некоей общей идеей, тем не менее, редко рассматриваются одновременно. Мы надеемся, что в процессе их сравнительного анализа объединяющая идея будет становиться всё более и более ясной для читателя, а список искомых свойств математики приобретёт определённую полноту и убедительность.

1.4.1. Понятие науки и государственный стандарт математического образования

Структура нашего обзора в определённой мере отражает структуру определения науки: «Наука - сфера человеческой деятельности, функцией которой является выработка и теоретическая систематизация объективных знаний о действительности... Понятие науки включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и результат этой деятельности - сумму полученных к данному моменту научных знаний...» [94]. (Если не оговорено противное, то курсив в цитатах принадлежит мне.-А.Я.) В соответствии с этим будут рассмотрены две группы литературных источников: работы, относящиеся к математической и педагогической деятельности, и работы, касающиеся содержания образования. В свою очередь первая группа разбивается на две подгруппы: работы по философии и истории математики и работы, связанные с исследованиями в области образования. Вторая группа включает в себя монографическую литературу по ма-

тематике, вузовские учебники и задачники, а также отдельные школьные учебники.

Анализ процитированного определения науки выявляет несколько обстоятельств. Во-первых, это понятие дуалистично, поскольку включает в себя две разные сущности: деятельность отдельного учёного (научного сообщества) и результат этой деятельности. Во-вторых, слово «деятельность» употребляется дважды, вольно или невольно подчёркивая тем самым равноправие этих сущностей. В-третьих, процитированный текст из энциклопедии легко можно быть перефразирован применительно к математике следующим образом: «Понятие математики включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и продукт этой деятельности - сумму полученных к данному моменту математических знаний».

Разумеется, сделанная перефразировка не проясняет сущность понятия «математика», однако удивительным образом даёт ориентир для её преподавания. Действительно, образование должно формировать в сознании студентов адекватный образ науки, поэтому объективно возникает естественное требование к математической подготовке: обучение математике должно быть ориентировано, причём одновременно и в равной мере, как на передачу системы математических знаний, так и на формирование умений и навыков деятельности внутри математики. В частности, это требование относится к подготовке учителя математики. В сложившихся условиях, когда деятельностная природа математики недостаточно раскрывается в процессе обучения, преподавателям следует акцентировать именно деятельностный компонент математики и выдерживать этот акцент до тех пор, пока в студенческом сообществе не сформируется устойчивое представление о равноправии обоих компонентов математики.

Ещё более удивительно, что сформулированное требование, вытекающее из самых общих соображений, совпадает с положениями юридического документа - Государственного образовательного стандарта. Получается, что новый стандарт образования в определённом отношении представляет собой возврат к истокам, а это обстоятельство вполне позитивно.

1.4.2. Место математики в контексте естественных наук

Хорошо известно, что математика возникла из практических потребностей людей. Необходимость пересчитывать различные сово-

купности предметов в процессе обмена и торговли привела к понятию счета. Необходимость собирать налоги постепенно привела к представлению о том, что к любому количеству собранного можно добавить ещё одну единицу собираемого. Так формировалось представление о натуральном ряде и математическая дисциплина арифметика. Геометрия возникла из практики измерения земельных участков и нахождения объёмов тел. В дальнейшем потребности астрономии и геодезии привели к созданию плоской и сферической тригонометрии. Теория вероятностей начиналась с анализа азартных игр, а по-настоящему развилась под влиянием потребностей страхового дела (страхование судов от пожаров). Статистика первоначально носила название «Политическая арифметика», так как зародилась из потребности оценки состояния государственных дел. Математический анализ, появление которого свидетельствовало о возникновении современной математики, делал свои первые шаги как физико-геометрическая наука.

Содержание исторического контекста становления математики делает вполне естественной процитированную выше мысль В. И. Арнольда о том, что математика является экспериментальной наукой. В этом контексте стало практически неизбежным возникновение обширной литературы о взаимосвязи математики и естественных наук, в особенности физики, поскольку практически все крупные представители этих наук внесли определённый вклад в развитие этой темы. Мы не ставим своей целью проведение детального обзора взглядов и мнений широкого круга специалистов. По нашему мнению, для целей педагогики математики достаточно проанализировать представления немногих или даже одного авторитетного учёного, который высказал бы систему взглядов о взаимосвязях математики и её внешней среды. К счастью, такой автор и такой литературный источник существует - это Дж. фон Нейман и его знаменитая статья «Математик» [95], написанная в 1947 году.

Дж. фон Нейман описывает взаимодействие математики с естественными науками вполне диалектически. Первая половина его основного тезиса звучит так: «Развитие математики самым тесным образом связано с естественными науками... Некоторые из наиболее ярких движущих идей современной математики (по моему глубокому убеждению - все лучшие идеи) берут своё начало в естественных науках». Иллюстрируя эту мысль, фон Нейман использует научные дисциплины в целом: геометрию, математический анализ, философию

и теорию познания. Дополним его аргументацию перечнем отдельных понятий математики, которые возникли под влиянием естественных наук или просто внутри них: число и фигура; функция, отражающая детерминистический способ описания явлений окружающего мира; вероятность, отражающая стохастический способ описания явлений окружающего мира; производная функции, описывающая скорости изменения природных процессов. Впечатляющий перечень. Вторая половина основного тезиса фон Неймана дополняет первую: «Любому математику очень трудно поверить в то, что математика -наука чисто эмпирическая и что все математические идеи имеют эмпирическое происхождение». Так, чрезвычайно слабые связи с эмпирикой имеют, по мнению фон Неймана, алгебраическая символика, топология, теория множеств, теория функций действительного переменного.

Автора этих строк впечатляет взаимодействие двух половин основного тезиса фон Неймана: «Самой природе математики присуща двойственность особого рода. Эту двойственность необходимо отчётливо осознавать, иметь в виду и учитывать при размышлениях о природе интеллектуальной деятельности в области математики. Двоякий лик - подлинное лицо математики, и я не верю, чтобы природу математического мышления можно было бы рассматривать с какой-нибудь упрощённой единой точки зрения, не принося в жертву самую сущность.»1

Интересно, что мы второй раз столкнулись с дуалистическими свойствами математики. Действительно, в предыдущем подразделе мы говорили о единстве деятельности и результата, образно говоря, о деятельностно-продуктивном дуализме математики. Сейчас мы говорим о единстве эмпирического и теоретического начал математики, образно говоря, об эмпирико-теоретическом дуализме. Попытаемся показать, что появление дуалистических свойств в наших рассуждениях не является случайным. Для этого обратимся к другим наукам.

Хорошо известно, что одним из важных положений философии является гегелевский закон о взаимодействии (единстве и борьбе)

1 Не могу устоять перед соблазном рассказать о том, как в 1968 году академик А. Н. Колмогоров говорил мне, студенту второго курса, о видах математической интуиции и называл три главные: геометрическую интуицию, физическую интуицию и интуицию на тождественные преобразования. При этом своим личным достоинством он считал физическую интуицию, позволившую ему сделать знаменитые работы по турбулентности.

противоположностей. В качестве первичного принципа квантовой механики лежит корпускулярно-волновой дуализм материи, согласно которому всем объектам - электрону, нейтрону, протону и т.д. - присущи одновременно и корпускулярные, и волновые характеристики. Биологические объекты также обладают целым спектром дуалистических свойств, одно из которых относится к биосфере в целом: эволюция жизни на Земле непрерывна, но непрерывность данного процесса осуществляется путём смены дискретных форм её существования - биологических видов.

Разумеется, приведённый список дуалистических свойств разнотипных объектов далеко не полон и, быть может, раздражающе краток. Здесь он приведён с единственной целью - показать, что появление дуалистических свойств математики в рамках книги по педагогике математики вполне естественно. Ниже мы вернёмся к обсуждению дуалистических свойств различных наук.

1.4.3. Типичные математические умозаключения

Прежде всего, обратимся к взглядам крупнейших математиков XIX-XX вв. на сущность создаваемой ими науки. Анализируя природу математического творчества, А. Пуанкаре в своей книге «Наука и гипотеза» (1902 г.) пишет следующее: «Какова природа умозаключения в математике? Действительно ли она дедуктивна, как думают обыкновенно? Более глубокий анализ показывает, что это не так, -что в известной мере ей свойственна природа индуктивного умозаключения, и потому-то она столь плодотворна. Но от этого она не теряет своего характера абсолютной строгости...» [109, с. 8]. Вопрос о сущности математического творчества оказывается для А. Пуанкаре настолько важным, что он возвращается к нему вновь и вновь в своих последующих книгах «Ценность науки» и «Наука и метод», написанных в 1905 г. и 1908 г. соответственно. Дедуктивное и индуктивное начала математики выступают в виде конкретных проявлений деятельности математика - логики и интуиции соответственно. Замечательно, что вопрос о соотношении логики и интуиции решён поистине диалектически: «... Интуиция и логика играют каждая свою необходимую роль. Обе они неизбежны. Логика, которая одна может дать достоверность, есть орудие доказательства; интуиция есть орудие изобретательства» [109, с. 8].

Рисуя творческий портрет Б. Римана, Ф. Клейн пишет: «Венец здания математической теории состоит, конечно, в убедительном до-

казательстве всех её утверждений... Но тайна гениальной работы мысли - умение находить новые постановки проблем, угадывать новые теоремы, извлекать ценные результаты и устанавливать важные связи - останется навсегда. Если не вырабатывать новых точек зрения, не ставить новых целей, то математика со всеми её строгими логическими доказательствами вскоре исчерпает себя и в ней начнётся застой, ибо иссякнет запас питающих её веществ. Поэтому развитию математики в известном смысле более всего содействуют те, кто наделён не столько способностью к проведению строгих доказательств, сколько интуицией. Нет сомнения, что Риман является тем из математиков последних десятилетий, кто и поныне оказывает наибольшее влияние». (Цитируется по [22, с. 260].) О самом Ф. Клейне один из крупнейших математиков XX века Г. Вейль сказал, что «главным оружием математической методологии Клейна было интуитивное постижение взаимосвязей [Verstehen], основанное на наглядном усмотрении». (Там же; курсив Г. Вейля.) В своей книге [1, гл. 8], посвященной психологии процесса изобретения в области математики, Ж. Адамар приводит целый ряд парадоксальных случаев интуиции, связанных с творчеством П. Ферма, Б. Римана, Э. Галуа, А. Пуанкаре и оказавших существенное влияние на развитие математики.

Основа, на которой базируется интуиция создателей математики, чрезвычайно выразительно описана в книгах Д. Пойа [100, 102, 101]. Ею оказывается совокупность методов, применяемых в естественных науках: наблюдение, эксперимент, гипотеза, неполная индукция, аналогия, правдоподобные рассуждения в широком смысле слова. Помимо вышеупомянутых авторов, в пользу такого взгляда в разное время и по разным поводам высказывались Гаусс, Декарт, Кеплер, Кирхгоф, Лаплас, Лейбниц, Ньютон, Рассел, Шур, Эйлер, Эрмит [100, 102]. Известный российский математик С. А. Яновская пишет об Эйлере, что он «не только с непревзойдённым до сих пор успехом пользовался индуктивными методами в математике, но откровенно сообщал читателю пути, по которым он шёл в своём математическом творчестве» [102, с. 10]. Таким образом, математика предстаёт в трудах классиков как индуктивная, эвристическая наука.

В историческом плане так было всегда. Д. Пойа, названный в справочнике [15] «основоположником современной эвристики», указывает на своих предшественников, которых мы перечислим в порядке, обратном хронологическому: Больцано (1781-1848), Лейбниц

(1646-1716), Декарт (1596-1650), Папп (ок. 300 н.э.). В свою очередь Папп в качестве создателей эвристики называет Евклида (ок. 340 - ок. 287 до н.э.) и Аполлония (2-я половина III в. - 1-я половина II в. до н.э.). Б. Больцано посвятил более восьмидесяти страниц своего исчерпывающего изложения логики предмету эвристики. Г.-В. Лейбниц оставил неоконченное сочинение «Искусство изобретения». Что касается Р. Декарта, то он рассматривал эвристические методы не столько в своём знаменитом «Рассуждении о методе» [41], сколько в менее известном сочинении «Правила для руководства ума» [42]. Таким образом, естественно сделать вывод, который мы выскажем словами С. А. Яновской: «Над вопросом о том, возможна ли теория, предметом которой являются не математические доказательства, а способы догадываться о таких доказательствах, открывать математические истины и решать математические задачи, люди бьются ещё со времён античной древности» [102, с. 13].

Итак, одной из важнейших характеристик математики является её индуктивно-дедуктивный дуализм, равноправие интуиции и логики, изобретательства и доказательности на всех этапах её развития.

Естественно, что преподавание должно адекватно отражать изучаемый предмет, в частности, преподавание математики должно в полном объёме раскрывать её индуктивно-дедуктивный дуализм. В сложившихся условиях, когда индуктивная природа математического творчества недостаточно раскрывается в процессе преподавания, когда абсолютное большинство учебников написано дедуктивным методом, а задачники в значительной мере ориентированы на тренировку в выполнении алгоритмов, преподавателям следует акцентировать индуктивное начало математики и выдерживать этот акцент до тех пор, пока в студенческом сообществе не сформируется устойчивое представление о равноправии обоих компонентов математики.

Чрезвычайно важным является то обстоятельство, что для классиков науки размышления о природе умственных действий в области математики оказываются тесно связанными с вопросами её преподавания. Вновь обратимся к А. Пуанкаре, теперь уже к педагогическим аспектам его работ: «Без неё (интуиции - А.Я.) молодые умы не могли бы проникнуться пониманием математики; они не научились бы её любить и увидели в ней лишь пустое словопрение; без неё особенно они никогда не сделались бы способными применять её» [109, с. 165].

Ключевая мысль А. Пуанкаре указывает на сходство мыслительных процессов исследователя и студента: «Нам нужна способность, которая позволяла бы видеть цель издали, а эта способность есть интуиция. Она необходима исследователю в выборе пути, она не менее необходима для того, кто идёт по его следам и хочет знать, почему он выбрал его» [109, с. 166].

Будучи нашим современником, Д. Пойа в своих книгах [100-102] показывает возможность и целесообразность взгляда на математику как на разновидность эвристики, причём делает это на чрезвычайно широкой предметной базе, а именно, на основе задач по арифметике, алгебре, геометрии, математическому анализу, теории вероятностей, топологии, в области «высшей» математики и в области «элементарной» математики. С. А. Генкин [33], В. А. Гусев [38] и многие другие авторы предлагают материал той же идейной направленности для внеклассной работы по математике. Крупный математик, автор широко известного учебника по математическому анализу, член международной комиссии по математическому образованию Л. Д. Кудрявцев, выдвигая основные положения преподавания математики в вузе, пишет следующее: «ПОЛОЖЕНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ. Целью обучения математике является приобретение учащимися определённого круга знаний, умение использовать математические методы, развитие математической интуиции, воспитание математической культуры» [74, с. 89]. И далее: «ПОЛОЖЕНИЕ ВОСЬМОЕ. На первых порах надо отдавать предпочтение индуктивному методу, постепенно подготавливая и используя дедуктивный подход» [74, с. 127].

Описанные выше представления порождают целый ряд вопросов. Как организовать базовый курс алгебры, геометрии и т.д. для классического или педагогического университета, который, оставаясь в рамках государственных образовательных стандартов, в равной мере представляет индуктивное и дедуктивное начала математики? В какой мере такой курс полезен для будущих учителей массовой школы? Какие ещё свойства научных исследований подлежат воспроизведению в учебном процессе? Несмотря на то, что частичные ответы на них рассеяны в литературе, ни одно из известных автору руководств, ставящее себе целью высветить индуктивное начало математики в той же мере, что и дедуктивное, не покрывает целиком материал базового математического курса. По-видимому, для анализа отрасли знаний - методики преподавания математики - в полной мере применимо высказанное А. Н. Колмогоровым правило о том, что

«нужно изучать методологию учёного в первую очередь непосредственно по его научным работам, а не по его методологическим высказываниям» [68, с. 92]. Справедливости ради следует сказать, что задача создания такого руководства чрезвычайно трудна.

Одна из идей, которые целесообразно использовать при его построении, подсказывается историей математики. Работы Д. Я. Сройка [120], Ф. Клейна [66] и ряда других авторов показывают чрезвычайно большую роль гипотез в развитии математики. Гипотеза, затрагивающая существенно важные проблемы, становится фактом математики задолго до того, как она доказана или опровергнута, является мощным стимулом развития теории независимо от того, является она истинной или ложной. Самый известный пример такого рода связан с открытием неевклидовой геометрии. Примерно две тысячи лет существовала гипотеза о том, что так называемый пятый постулат Евклида о параллельных линиях является не постулатом, а теоремой. Как выяснил Н. И. Лобачевский, гипотеза оказалась ошибочной, однако в процессе осознания этого факта предшественниками Н. И. Лобачевского было получено много интересных геометрических теорем, а само построение геометрии Лобачевского привело к кардинальному изменению взглядов не только на геометрию и математику в целом, но и на представления о физической картине мира. Другой известный пример - проблема Ферма, сформулированная в XVII в. и решённая в 1993 г. В процессе работы над ней была создана теория алгебраических чисел [106] и получены глубокие результаты по алгебраической геометрии.

Коль скоро роль гипотез в деятельности учёных велика, естественно попытаться увеличить роль гипотез, высказываемых студентами в процессе обучения. Попросту говоря, необходимо насытить изучение математической дисциплины циклами задач, в процессе решения которых студенту необходимо сначала сформулировать утверждение, и лишь затем доказать его. Проблема построения системы таких задач, которая обеспечивала бы потребности базового курса в целом по той или иной математической дисциплине, пока остаётся открытой.

Завершая математическую часть настоящего обзора, отметим, что вопрос о соотношении логики и интуиции в математике (а значит, и в её преподавании!) целесообразно рассматривать ещё в двух аспектах: в связи с естественнонаучным происхождением многих математических понятий и в связи с кризисом оснований математики.

Первое направление отражено, помимо статьи Дж. фон Неймана [95], в книге М. Клайна [65]. По поводу второго направления, показывающего «нелогичное развитие логичнейшей из наук», укажем работы М. Клайна [64] и А.Н. Колмогорова [68].

Итак, анализ работ по философии и истории математики позволяет сделать следующие выводы. Во-первых, выявлены некоторые неотъемлемые свойства математики: деятельностно-продуктивный, эмпирико-теоретический и индуктивно-дедуктивный дуализм. Во-вторых, естественно высказать гипотезу о том, что названные свойства целесообразно моделировать в учебном процессе.

1.4.4. Сценарий 1. Изучение прямоугольных треугольников как научная задача

Покажем, что три дуалистических свойства математики, выявленные в предыдущих подразделах, можно легко проиллюстрировать на весьма простом математическом материале. С этой целью мы рассмотрим один из возможных сценариев изучения теоремы Пифагора. Сразу скажем, что самостоятельное получение учащимися этой теоремы было основной целью конструируемого нами занятия. Опишем сценарий урока.

Весь класс поделим на две группы, каждая из которых будет работать над предложенными задачами. Процесс работы поделим на три этапа. Каждый этап будет включать в себя решение поставленных задач, а его итогом будет служить обмен между группами самостоятельно полученной информацией. Промежуточный результат будет представлять собой либо конкретное решение задачи, либо новую задачу, вытекающую из предыдущей.

Сформулируем шесть задач, занумерованных парой чисел, первое из которых является номером группы, а второе - номером задачи, предлагаемой этой группе.

Группа 1

Группа 2

Задача 1.1. Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 3 см и 4 см.

Задача 1.2. Два прямоугольника со сторонами 3 см и 4 см разрезаны по диагонали. Поместите четыре половинки в новый квадрат, сторона которого равна а)

Задача 2.1. Постройте квадрат со стороной 1 дм и найдите диагональ этого квадрата.

Задача 2.2. Два квадрата со стороной 1 дм разрезаны по диагонали. Сложите из четырёх половинок новый квадрат, сторона которого равна диагонали исход-

диагонали исходного прямоугольника; б) 7 см. Вычислите площадь квадрата двумя способами.

ного квадрата. Вычислите площадь нового квадрата двумя способами.

Задача 1.3. Два прямоугольника со сторонами а и Ь разрезаны по диагонали. Поместите четыре половинки в новый квадрат, сторона которого равна а) диагонали исходного прямоугольника; б) а + Ъ. Вычислите площадь квадрата двумя способами.

Задача 2.3. Найдите число, квадрат которого равен двум.

В первых задачах для обеих групп ученикам требуется найти длину диагонали. Найти длину можно двумя способами: либо воспользоваться одной из известных формул, либо измерить её. На момент проведения занятия формула, связывающая диагональ со сторонами, ученикам неизвестна, поэтому решить поставленную задачу они смогут только при помощи собственных измерений.

Педагог, знающий теорему Пифагора, имеет веские основания считать, что ученики первой группы получат примерно одинаковый результат, а именно 5 см. Тем не менее, ученики не могут с полной уверенностью сказать, что длина диагонали равна 5 см, поскольку любое измерение не является абсолютно точным. Сомнения усилятся, поскольку результаты измерений второй группы не будут одинаковы, а окажутся примерно таковы: 14 см 1 мм; 14 см 2 мм; 14 см 1,5 мм и т.п. Будучи выраженными в дециметрах, они равны 1,41 дм; 1,42 дм; 1,415 дм и т.п. Тем самым ученики пришли к разногласиям, которые нужно будет разрешить каким-либо образом. Этой цели будут служить последующие задачи.

Рис.1. Рис.2. Рис.3.

Решение вторых задач основано на использовании метода площадей. При решении задачи 1.2(a) первая группа получает фигуру, изображённую на рис. 1. (Составление такого «паззла» является самым сложным элементом решения.) Поскольку полученный квадрат является объединением единичного квадрата со стороной 1 см и четырёх равных прямоугольных треугольников, его площадь можно вычислить двумя способами: S = х2 и S = I2 + ^ ■ 3 ■ 4 ■ 4. Приравняв правые части, получим, что х = 5. При решении задачи 1.2(6) получается фигура, изображённую на рис. 2. Аналогичные соображения приведут к тому же ответу х = 5. Таким образом, ученикам первой группы удаётся теоретически обосновать результаты сделанных измерений.

При решении задачи 2.2 вторая группа получает фигуру, изображённую на рис. 3. Поскольку квадрат со стороной х является объединением четырёх непересекающихся прямоугольных треугольников, его площадь можно вычислить двумя способами: S = х2 и S = - • 1 ■ 1 ■ 4. Приравняв правые части, получим, что х = 2. Тем самым решение геометрической задачи породило алгебраическую задачу. В идейном плане взаимосвязь алгебры и геометрии - это важный элемент преподавания, тем более важный, что для учащихся он не знаком или непривычен.

Решив вторую задачу, ученики обеих групп обмениваются полученными результатами. Итог информационного обмена состоит в том, что ученики первой группы подтверждают правильность своего предположения, а ученики второй группы представляют свой результат в виде новой задачи, которая требует решения.

Здесь целесообразно спросить учеников всего класса, какие выходы из данной проблемной ситуации они могут предложить. Новая задача будет заключаться в решении уравнения вида х2 = 2, поэтому вполне естественно, что учащиеся сформулируют её в словесной форме: найти такое число, квадрат которого равен двум. Именно в этот момент и формулируются третьи задачи для обеих групп.

При решении третьих задач ученики двух групп окажутся в совершенно разных положениях. Первая группа может воспользоваться модификацией рисунка 1. Действительно, достаточно заменить больший катет 4 см на больший катет b, а меньший катет 3 см на меньший катет а. Тогда сторона внутреннего квадрата окажется равной b — а, а равенство приобретёт вид

а)2, откуда следует, что х2 = Ъ2 + а2. Последняя формула означает, что квадрат большей стороны прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон. Таким образом, ученики самостоятельно (или почти самостоятельно) получают теорему Пифагора.

Ученика второй группы обнаруживают, что равенству х2 = 2 не удовлетворяет ни один из ранее найденных результатов измерений. Действительно, прямыми вычислениями, например, на калькуляторе, получаем, что 1,412 < 2, то есть результат первого измерения «чересчур мал». Аналогично, 1,422 > 2 и 1,4152 > 2, то есть результаты двух других измерений «чересчур велики». Попытки подбора другого числа, лежащего между 1,41 и 1,415, также не удовлетворяют требуемому равенству. Тем самым ученики второй группы обнаружили Проблему, которая нуждается в разрешении.

По мнению автора, ученики располагают информацией, достаточной для первого шага в разрешении Проблемы. Действительно, пусть конечная десятичная дробь не заканчивается нулём. Тогда она не может служить решением уравнения х2 = 2 ! Дело в том, что по правилу умножения в столбик последняя цифра квадрата изучаемой дроби равна последней цифре квадрата последнего десятичного знака, а это не нуль. Между тем, 2 = 2,00 ... О, так что требуемое равенство не выполняется. Впрочем, вне рассмотрения пока остались бесконечные периодические дроби, так что Проблема пока не решена.

При обмене информацией целесообразно предоставить первое слово ученикам первой группы, которые добились конкретного результата. Здесь будет уместно, и даже необходимо, отметить значимость полученной теоремы, включив в урок некоторые исторические сведения. Известно, например, что рис. 1 появился, по меньшей мере, в 2000 г. до н.э. [20, с. 8].

По окончании выступления учеников второй группы необходимо предложить высказать гипотезу по поводу решения предложенной им задачи. Ею будет предположение, что числа, квадрат которого равен двум, не существует. В этот момент следует отметить, что ученики первой группы, сами того не подозревая, нашли и сформулировали теорему: если дробь - не сократима, где к,п - натуральные числа, то

Итоги данного занятия служат основанием для последующего изучения рациональных и иррациональных чисел.

Проведём педагогико-математический анализ описанного сценария. Прежде всего, заметим, что он позволяет проиллюстрировать дуалистические свойств математики, выявленные в предыдущих подразделах. Во-первых, очевидно, что школьники получают теорему Пифагора в значительной мере самостоятельно, при минимальной помощи учителя. Это означает, что они усваивают не только математический результат - формулировку теоремы - но и элементы деятельности математика-исследователя. Тем самым в процессе преподавания иллюстрируется деятельностно-продуктивный дуализм математики. Во-вторых, очевидно, что изучение теоремы Пифагора начинается с измерений сторон конкретных, весьма специфических прямоугольных треугольников, а заканчивается доказательством общей теоремы. Другими словами, конечным этапом индуктивных рассуждений служит дедуктивное обоснование полученных выводов. Тем самым в процессе преподавания иллюстрируется индуктивно-дедуктивный дуализм математики. В-третьих, школьники работают с бумагой, карандашом, линейкой, ножницами, то есть с объектами материального мира. В результате экспериментов с материальными объектами возникает утверждение об идеальных математических объектах - прямоугольных треугольниках. Тем самым в процессе преподавания иллюстрируется эмпирико-теоретический дуализм математики.

Для нас важно, что абстрактные свойства математики в целом, общность которых достигает методологического уровня, иллюстрируются на весьма простом материале, входящем в стандарт образования.

Отметим одно обстоятельство, которое пока не вышло на первый план: процесс изучения теоремы Пифагора предусматривает обмен решениями задач, то есть результатами личной или групповой математической деятельности. Тем самым в процессе преподавания иллюстрируется единство личностного и социального начала математики.

Обсудим тот же самый сценарий с позиций системно-деятельностного подхода Л. Г. Петерсон [99]. Прежде всего, очевидно, что обсуждаемый сценарий позволяет реализовать принцип деятельности. Кроме того, очевидно, что на протяжении всего занятия ученики делились полученными результатами между собой: сначала внутри каждой из групп, а потом между группами. Таким образом, каждый ученик получил информацию несколькими способами, а

именно, лично и через общение с одноклассниками, что способствует формированию критического мышления. Кроме того, был реализован принцип комфортности, предполагающий возможность для каждого из учеников высказать своё мнение.

Итог предложенного занятия служит основанием для изучения рациональных и иррациональных чисел, тем самым выполняется принцип непрерывности, предполагающий, что результат изучения одной темы служит началом изучения другой темы.

Итак, конкретный математический материал, педагогический подход к его изучению и методология математики оказываются в неразрывном единстве.

Ниже мы продолжим поиск тех фундаментальных свойств математики, которые целесообразно выявлять в учебном процессе.

1.5. Математика в контексте психолого-педагогических наук

Продолжая обзор литературы, мы рассмотрим математику в другом контексте, а именно, в контексте психолого-педагогических наук. В этом разделе мы выявим ещё два свойства математики, которые целесообразно моделировать в учебном процессе, причём сделаем это разыми способами: из чисто эмпирических соображений, с помощью анализа работ по детерминации индивидуального сознания и с помощью анализа работ по психологии творчества.

1.5.1. Психология, педагогика и математика

Начнём с некоторых общих соображений, базирующихся на личном опыте автора и его окружения.

Любая профессия накладывает отпечаток на психологию её обладателя. Одной из важнейших характеристик научного творчества является полная самостоятельность учёного в постановке и решении тех вопросов, которыми он занимается. Даже с том случае, когда проблема приходит к научному работнику извне, носит общий характер и её решением занимается несколько исследователей или групп исследователей, даже в этом случае учёный полностью самостоятелен в уточнении формулировки общей проблемы, в подразделении её на промежуточные этапы, в методах решения конкретных вопросов, возникающих по ходу общей проблемы, и так далее. Кратко говоря, каждый исследователь решает уникальную, единственную в своём роде задачу. Естественно, что постоянное взаимодействие с объективной реальностью, процесс непрерывного постижения её сути накладывают сильнейший отпечаток на его личность, формируют у

него совершенно особое мироощущение. Главные компоненты его -желание и способность к длительному и большому усилию, направленному на решение стоящей задачи. Любая творческая работа настолько сложна, требует такой концентрации духовных и физических сил, что может быть выполнена только при наличии мощной внутренней мотивации. Естественным, а быть может, и единственным мотивом является сочетание общезначимости предполагаемого результата и того факта, что этот результат будет преподнесён человечеству лично его изобретателем.

Сделанные наблюдения дают нам дополнительные ориентиры для поиска тех свойств математики, которые подлежат воспроизведении в учебном процессе. Во-первых, уникальность решаемых задач превращает человека в носителя уникального склада ума. Удивительно, но именно уникальность склада ума названа М. А. Холодной в качестве одного из пяти критериев оценки эффективности образовательного процесса [126, с. 299, 304]. Во-вторых, в научной работе отчётливо видно единство личностного и социального начала, своего рода личностно-социальный дуализм. В-третьих, и это главное, вузовская педагогика не может проходить мимо описанных обстоятельств и обязана в той или иной мере воссоздавать в процессе преподавания и изучения математики психологическую атмосферу научного исследования, уникального и общезначимого одновременно. К счастью, высказанные общие соображения хорошо согласуются с данными психологии, к изложению которых мы сейчас и приступаем.

Описание психологических корней концепции моделирования научных исследований в процессе преподавания следует начать со взглядов Л. С. Выготского на детерминацию индивидуального сознания человека. Описывая генезис высших психических функций, Л. С. Выготский указывал, что первичным является коллективная деятельность человека, производной от которой служит его индивидуальная деятельность. Коллективно-социальную или внешнюю деятельность людей Л. С. Выготский связывал с интерпсихическими процессами, а индивидуальную (или внутреннюю) деятельность человека - с интрапсихическими. Переход от коллективно-социальной к индивидуальной деятельности является, в сущности, процессом интериоризации. В концентрированном виде взгляды Л. С. Выготского могут быть представлены таким образом: «Мы можем сформулировать общий генетический закон культурного развития в следующем виде: всякая функция в культурном развитии ребёнка появляется на

сцену дважды, в двух планах, сперва - социальном, потом - психологическом, сперва между людьми как категория интерпсихологическая, затем внутри ребёнка как категория интрапсихологическая. Это относится одинаково к произвольному вниманию, к логической памяти, к образованию понятий, к развитию воли» [27, с. 145]. Следует отметить, что в некоторых философско-психологических работах обсуждаются существенные особенности именно такого понимания процесса детерминации. Так, В. А. Лекторский пишет: «Индивидуальный субъект, его сознание и познание должны быть поняты, учитывая их включенность в различные системы коллективной практической и познавательной деятельности» [80, с. 281]. И далее: «Коллективный субъект существует в известном смысле вне каждого отдельного индивидуального субъекта. Коллективный субъект выявляет себя и законы своего функционирования не столько через внутренние структуры сознания индивида, сколько через внешнюю предметно-практическую деятельность и коллективно-познавательную деятельность с системами объективированного знания» [80, с. 283].

Естественно спроецировать эти положения на высшее образование. Понимая под функцией в развитии студентов первичные навыки исследовательской работы, естественно рассматривать три субъекта педагогического процесса: студента (индивидуальный субъект), академическую группу студентов, понимаемую как единое целое (коллективный субъект), и преподавателя, рассматриваемого как организатора познавательной деятельности первых двух субъектов с системой объективированного знания, в нашем случае математики. Управляя интер- и интрапсихологическими процессами деятельности, преподаватель должен работать одновременно в двух направлениях. Во-первых, следует в максимальной степени персонифицировать задания, превращая действия студента по решению задач в преимущественно внутренние, индивидуальные, интрапсихологические. Во-вторых, следует организовать в академической группе обмен информацией, самостоятельно полученной студентами при выполнении заданий, превращая тем самым их действия в коллективные, интерпсихологические. Разумеется, при таком подходе встаёт вопрос о создании методического обеспечения, то есть о запасе упражнений, достаточном для полной персонификации заданий, и о заданиях, результаты выполнения которых могут служить предметом информационного обмена.

Отметим авторское мнение об одном обстоятельстве, не обсуждавшемся ранее: наличие как индивидуального, так и коллективного субъекта педагогического процесса указывает на границы применимости индивидуализации обучения.

Персонификацию заданий и обмен информацией можно трактовать в рамках теории А. Н. Леонтьева о деятельности и её психическом отражении [82]. Согласно одному из её положений, «главными процессами деятельности выступают интериоризация внешней её формы, приводящая к субъективному образу действительности, и экстериоризация её внутренней формы как опредмечивание образа, как его переход в идеальное свойство предмета» [39, с. 224]. Можно считать, что лекции, демонстрация образцов решения задач и другие действия преподавателя, внешние по отношению к студенту, в результате интериоризации превратятся в его внутренние действия по решению задач, а затем перейдут во внешние действия по отношению к другим студентам (экстериоризация) в процессе обмена самостоятельно полученной информацией.

Теория поэтапного формирования умственных действий (П. Я. Гальперин, Н. Ф. Талызина и др. [28-30]) указывает, прежде всего, перечень этапов умственных действий. Так, второй этап - ориентировочная основа действий - указывает на разные типы ориентировки, в частности, на ориентировку III типа по П. Я. Гальперину [29], которая связана с переходом ребёнка к опосредованному, теоретическому мышлению. Коль скоро, согласно работам В. В. Давыдова, П. Я. Гальперина и др., такой тип ориентировки доступен детям младшего школьного возраста, естественно предположить, что он доступен и студентам педагогического вуза. Более того, поскольку студенты, став учителями, будут формировать у школьников ориентировку на теоретический стиль мышления, они сами нуждаются в опыте, пусть небольшом, самостоятельно проводимых теоретических обобщений. Это указывает на необходимость создания задач-обзоров, в которых нужно рассмотреть совокупность объектов, сформулировать на их базе обобщающее утверждение и доказать его. Последний этап умственных действий - этап социализированной речи «про себя» - может быть усилен и доведён до логического завершения в процессе обмена информацией, предметом которой служат результаты, самостоятельно полученные студентами в процессе решения задач-обзоров. Тем самым этап внутренней речи выливается в публичные выступления, которые важны как в плане формирования профессио-

нально-педагогических навыков, так и в общем плане выработки коммуникативных способностей.

Мы видим, что различные психологические теории указывают на необходимость организации информационного обмена между студентами в процессе преподавания. Весьма важно, что на то же самое указывает анализ форм функционирования науки. С организационной точки зрения научное сообщество является весьма сложным образованием с разветвлённой иерархией и многокомпонентными отношениями принадлежности. В него входят отдельные учёные, творческие коллективы, исследовательские институты, учебные заведения, научные журналы, органы по присуждению учёных степеней, национальные академии, международные комитеты. Очевидно, что необходимым (и, возможно, достаточным) условием функционирования такой системы является информационный обмен между её элементами. На практике он весьма интенсивно осуществляется посредством публикаций, конференций, семинаров, через систему Интернет и т.д. Коль скоро в реальном научном мире объективно существует некое важное явление, оно должно в той или иной форме отражаться в процессе преподавания.

1.5.2. Психология творчества и математика

Понятие научной деятельности включается в более широкое понятие творческой деятельности, поэтому естественно обратиться к работам по психологии творчества и формированию творческой активности студентов.

Большинство авторов отмечают необходимость формирования мотивов творческой деятельности, включения студентов в непосредственное решение творческих задач, формирования у них готовности к этой деятельности. За общей логикой творческого процесса стоит психологическое содержание каждой его фазы. Так, Я. А. Пономарев [103] выделяет следующие фазы творчества: 1) фаза логического анализа, для которой характерна опора на знание и высокий уровень осознания процессов и действий; 2) фаза интуитивного решения; 3) фаза вербализации интуитивного решения, на которой оказывается осознанным не только результат, но и способ решения; 4) фаза формализации вербализованного решения, придание найденному решению окончательной, логически завершённой формы.

Среди различных выводов, которые можно сделать из анализа данного перечня, отметим следующие. Во-первых, задание, выполня-

емое с помощью алгоритма, не является творческим, причём даже в том случае, когда его исполнение требует концентрации внимания, длительных усилий и знания серьёзных математических фактов. При выполнении такого задания отсутствуют или до предела сокращаются вторая и третья фаза творческого процесса. Поскольку значительная часть упражнений в существующих задачниках носит алгоритмический характер, перед преподавателями стоит проблема создания большого количества творческих заданий, содержание которых полностью охватывает материал базовых математических курсов. Во-вторых, перечень фаз творчества подсказывает форму организации занятий, которая естественно вытекает из четвёртого этапа творческой деятельности: автор логически завершённого решения сообщает его результаты своим товарищам. Так мы в очередной раз пришли к необходимости персонификации заданий и организации информационного обмена.

Интересно одно обстоятельство, отмечаемое В. В. Афанасьевым: «В психолого-педагогической литературе не сложилось единого мнения о понятиях «творчество», «творческая активность», «творческая деятельность» [9, с. 9]. Если сузить рассматриваемый объект и говорить только о научном творчестве и только о математике, то его можно определить как самостоятельную формулировку и доказательство новых для субъекта утверждений. Такое определение хорошо согласуется с точкой зрения Я. А. Пономарева: «Из ... психологического критерия творчества следует, что психологически научное открытие (изобретение) имеет два существенных признака: одним из них оказывается интуитивный момент, другим - формализация интуитивно полученного эффекта» [104, с. 181]. При этом новизна утверждения и его социальная значимость играют подчинённую роль. По этому поводу В. В. Афанасьев пишет: «С субъективной точки зрения творчество и его развивающий эффект определяются самим процессом, даже если конечный его продукт не обладает социальной ценностью и новизной. Например, если субъект творчества не создавал ничего социально ценного, кто-то раньше сделал это открытие, задача была новой лишь для данного субъекта и окружающих его лиц. Во всех этих случаях могут иметь место процессы, характерные для творчества, хотя конечный результат творческого процесса не может быть объективно отнесён к нему» [10, с. 16]. История математики изобилует примерами того, как субъективно новое (и первоклассное) исследование оказывалось на самом деле не новым или новое (и пер-

воклассное) исследование не считалось заслуживающим внимания в течение значительного промежутка времени. Излагая одно из утверждений Дж. Брунера и соглашаясь с ним, В. В. Давыдов пишет, что «умственная деятельность школьников и учёных имеют одну и ту же природу (различие здесь в степени, а не в роде). Поэтому учебные предметы целесообразно строить в соответствии со способами изложения самих научных знаний» [39, с. 355]. Сам Дж. Брунер ещё более категоричен: «Школьник, изучающий физику, является физиком, и для него легче изучать науку, действуя подобно учёному-физику...» [17, с. 17]. (Курсив Дж. Брунера.) Такой взгляд на научное творчество открывает широкие возможности для воспроизведения в учебном процессе важнейших свойств научных исследований.

Общая установка такого рода, вытекающая из работ по психологии и философии математики, поддерживается анализом ряда дидактических исследований. В. И. Загвязинский в книге [47] изучает противоречия процесса обучения, а в своих последующих книгах [48, 49] применяет полученные результаты к организации педагогического творчества учителей. При этом его взгляды выражены достаточно определённо. Так, в аннотации ко книге [48] «Учитель как исследователь» он пишет: «Исследовательские элементы органически присущи педагогической деятельности. Творчески работающий учитель поэтому всегда выступает и как исследователь». Более поздняя книга В. И. Загвязинского [49, с. 134-143] прямо ставит перед педагогическим образованием вопрос о необходимости «обучать творчеству». Л. Ф. Спирин в книге [118, раздел V] предлагает эвристическую программу анализа педагогических ситуаций и решения педагогических задач, что совершенно неожиданно перекликается с эвристическим анализом математических ситуаций в книгах Д. Пойа. В его общепедагогической профессиограмме учителя достаточно много места уделено чертам научного стиля мышления: системности, рефлексивности, эвристичности и т.д. [119, с. 11-12], которые должны формироваться не только педагогикой, но всем комплексом изучаемых дисциплин, включая математику.

Вопрос об исследовательской деятельности учителей тщательно проработан в авторской педагогической технологии В. М. Монахова. В соответствии со своей концепцией «рассеянных методических знаний» [89, с. 21, 85] он считает, что методические знания учителей-практиков должны быть собраны, систематизированы и научно обоснованы в итерационном процессе создания его педагогической тех-

нологии. Он предлагает уровневый механизм включения учителя в её создание, который позволит участвовать в нем всем учителям в соответствии с их знаниями, опытом и желанием. Естественно, что учитель рассматривается им как соавтор педагогической технологии [89, гл. 6]. В. М. Монахов говорит о необходимости целенаправленного создания школьного учебника нового поколения [89, гл. 5]. Более того, он задаёт два полемически острых, но совершенно естественных вопроса: «Как можно исторически быстро сформировать нового учителя? Как при этом преодолеть непреодолимый за последние тридцать лет анахронизм нашего высшего педагогического образования?» [89, с. 82] Один из возможных путей решения этой проблемы - моделирование базовых свойств научных исследований в учебном процессе.

Итак, анализ психолого-педагогических работ выявляет фундаментальное свойство научной деятельности - её личностно-социальный дуализм. Последнее означает, что научная деятельность в весьма высокой степени персонифицирована и что она неотделима от информационного обмена между её субъектами.

Отметим, что к нашему списку дуалистических свойств математики добавилось четвёртое свойство - личностно-социальный дуализм. В следующем подразделе мы приведём ещё один педагогический сценарий, позволяющий иллюстрировать дуалистические свойства математики на весьма простом материале

1.5.3. Сценарий 2. Чётность, периодичность и дифференцируемость функций

В качестве отправной точки рассмотрим следующее

Упражнение [93, № 537]. Докажите, что если f(x) = —/(—*) и f(x) дифференцируема, то f'(x) = f'{—x).

Поскольку утверждение, которое необходимо доказать, сформулировано в явном виде и приходит к студенту извне, то единственное, что остаётся ему делать - это действовать по формальным правилам, например, продифференцировать исходное равенство. При этом требуемый результат получается автоматически.

Другой сценарий работы с данным материалом основан на применении групповой технологии. Академическая группа студентов разбивается на три микрогруппы (МКГ), каждая из которых получает одно и то же текстовое задание, касающееся различных математических объектов.

Текстовое Задание. Рассмотрите в совокупности группу функций и найдите их общее свойство. Вычислите производные этих функций и выясните, обладают ли они каким-либо общим свойством. Сформулируйте гипотезу и докажите её истинность.

МКГ-1. Функции-, х , sinx, shx, sgnx.

МКГ-2. Функции х , —, cosх, |х|, Д(х).

МКГ-3. Функции cos х, tg 2х, sin Зх, const, {х}.

Здесь const - это функция-константа, {х} - это дробная часть числа X, а функции sgn и Л определяются равенствами sgnx: =

Знак : = означает равенство по определению, причём двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Прежде всего, бросается в глаза лингвистический компонент Текстового Задания. В нем участвуют шесть глаголов, выделенных курсивом, соответствующих шести различным умственным действиям. Доказательство, столь характерное для математики, стоит последним в списке и в данной задаче является отнюдь не самым трудным.

Методологический компонент Текстового Задания выявляется в процессе его выполнения. Как правило, студентам непонятно выражение «найти общее свойство». Преподавателю приходится возвращать их к общей схеме исследования функций и напоминать, что им известны многие свойства функций, выраженные посредством понятий: область определения, чётность, периодичность, асимптота, ограниченность, монотонность, экстремум, непрерывность, дифференцируемость. Одним из методов поиска общих свойств является метод исключения. Первая МКГ, например, обнаруживает, что данный ряд функций содержит как периодические, так и непериодические функции (sinx их3 соответственно), так что периодичность не является их общим свойством. То же самое можно сказать о большинстве свойств из числа упомянутых. Исключение составляет нечётность всех функций и, с некоторой оговоркой, их дифференцируемость (оговорка состоит в недифференцируемости функции sgn в одной точке своей области определения). Вычисление производных показывает, что все они четны. Так естественным образом рождается гипотеза: «Если функция нечётна и дифференцируема, то её производная

четна». Проверка справедливости этой гипотезы приводит к формальному доказательству, то есть к дифференцированию равенства f(x) = -f (-х) и переводу гипотезы в статус теоремы.

Нетрудно заметить, что все функции, исследуемые второй МКГ, являются чётными, а их производные - нечётными, что приводит студентов к общей гипотезе о смене чётности при дифференцировании. Аналогично, все функции, исследуемые третьей МКГ, являются периодическими, причём их производные также периодичны с тем же самым периодом; так возникает общая гипотеза об инвариантности свойства периодичности по отношению к дифференцированию.

При данной организации математического материала действия преподавателя становятся очевидными: распределить задания между микрогруппами студентов с тем, чтобы представитель каждой из них сообщил полной академической группе результаты решения. Тем самым личностно-социалъный дуализм математики получит своё адекватное отражение в процессе преподавания.

Весьма важно, что приведённый сценарий групповой работы отражает также два других дуалистических свойства математики: её деятельностно-продуктивный и индуктивно-дедуктивный дуализм. Действительно, при решении Упражнения студент усваивает теорему, то есть математический продукт, полученный другими людьми, а при выполнении Текстового Задания усваивается и продукт, и элементы математической деятельности по его получению. С другой стороны, выполнение Текстового Задания наглядно демонстрирует необходимость как индуктивных, так и дедуктивных рассуждений в математике. Первые превалируют на стадии выдвижения гипотезы, вторые -на стадии её обоснования.

Технический компонент Текстового Задания интересен тем, что каждая МКГ получает функцию, заданную словесно, которую, в силу этого, «неудобно» дифференцировать. Это функции sgn х, А(х), [х] и |х|. Первые две из них не дифференцируемы в нуле, потому что имеют разрыв этой точке, третья не дифференцируема во всех целочисленных точках по той же причине, а четвертая не дифференцируема в нуле, т.к. её график имеет «излом» в этой точке. Тем не менее, прямыми вычислениями можно получить, что sgn' X = А' (х) = и что {х} = 1, если X £ Z. Дифференцировать модуль

проще и интереснее. Дело в том, что |х| = Vx2. По правилам дифференцирования получаем, что \х\' = (Vx2) = ^ = — = — = —.

Ещё один аспект технического компонента связан с моментом постановки Текстового Задания. Студент может выполнить задание описанным выше способом, если в момент его формулировки он уже знает теорему о производной сложной функции и теорему о вынесении константы из-под знака производной. Если же эти факты ещё не известны, то придётся применить более изощрённые рассуждения, основанные на определении производной:

Математический компонент Текстового Задания выявляется в процессе ответов на дополнительные вопросы. Например, полезно ответить на следующий вопрос: можно ли записать производные функций sgn х, А(х) и {х}, заданные словесно, в виде функций, заданных аналитически? Несложный, но психологически трудный ответ таков: sgn'x = А'(х) = 0/х и

Интерпретируем эти ответы разными способами. Прежде всего, мы видим, что в некоторых случаях функцию, заданную словесно, можно задать аналитически. Таковы, например, функции \х\, sgn'x, А'(х) и {х}', которые поначалу задаются словесно и лишь со временем приобретают своё аналитическое выражение.

Для второй интерпретации привлечём понятия элементарной и неэлементарной функции. Заметим, что функции sgn х, А(х) и {х} не являются элементарными. Действительно, они разрывны в некоторых точках, а элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения. В то же время, последние равенства показывают, что их производные являются элементарными функциями. Получается, что первообразные элементарных функций 0/х и--не являются элементарными. Так своеобразно (пусть и причудливо) осуществляется пропедевтика представлений о функциях, интегрируемых или не интегрируемых в конечном виде.

Третье наблюдение состоит в том, что функции sgn х и А(х) обладают парадоксальными свойствами: их производные равны, однако

функции не отличаются друг от друга на аддитивную константу, поскольку sgnx — Л(х) = еслих < 0' 0 наблюдение находится в кажущемся противоречии с условиями постоянства функции и следствием из него. Студентам полезно разобраться в том, что противоречия на самом деле нет, поскольку производные обеих функций определены не на промежутке, как того требует теорема, а на объединении промежутков.

Обратимся к педагогическому компоненту Текстового Задания. С этой целью проанализируем, какие действия выполняют студенты и какие ключевые компетенции при этом формируются. Итак, группа студентов вынуждена работать в команде, выполняя предложенное им задание, то есть они должны объяснять, оказывать помощь в выполнении задания, принимать эту помощь и т.д. Более того, сценарием предусмотрено сообщение группы о результатах работы, а также коллективное обсуждение результатов и/или сообщений в целом, где необходимо слушать и анализировать, выражать специальным языком свои мысли, выступать перед аудиторией, вести полемику и участвовать в дискуссии, задавать уточняющие вопросы, аргументировать и доказывать, что, несомненно, способствует формированию у студентов коммуникативной компетенции в смысле А. В. Хуторского [127].

Текстовое Задание обладает несомненным преимуществом в формировании ключевых компетенции по сравнению с Упражнением, поскольку учащиеся выполняют действия, которые редко предлагаются в задачниках. Прежде всего, все глаголы, упомянутые в описании лингвистического компонента Задания, связаны с учебной деятельностью. Кроме того, на этапе обсуждения результатов между микрогруппами учащиеся должны сравнивать объекты, классифицировать, обобщать, выделять главное, устанавливать причинно-следственные связи. Самостоятельная работа способствует тому, что учащиеся планируют свою работу в определенных временных рамках, учатся анализировать не только изучаемый материал, но и свою деятельность по работе с этим материалом, а также деятельность своих товарищей. Студенты приобретают навыки рефлексии и самоанализа выполняемых действий. Все эти действия способствуют формированию у студентов учебно-познавательной компетенции [127].

Особенность данного Текстового Задания, как уже отмечалось выше, в том, что студенты не получают в самом тексте упражнения готового результата с требованием лишь подтвердить его, доказать. Им приходится самим получать новое свойство дифференцируемости нечётной функции, а вместе с тем ещё ряд свойств для других функций. Таким образом, студенты вынуждены добывать самостоятельно новую информацию. Они анализируют предложенные математические объекты и их свойства. Учащиеся самостоятельно организовывают и преобразовывают информацию. Кроме того, они сохраняют информацию, фиксируя результаты работы в тетради. Наконец, на заключительном этапе работы между микрогруппами передают информацию другим лицам. Поэтому помимо коммуникативной и учебно-познавательной компетенции в результате такой деятельности формируется также и информационная компетенция [127].

Обсуждаемые результаты становятся достоянием всей академической группы студентов. В процессе такой работы каждый имеет возможность оценить свой собственный вклад. Студент может проанализировать собственные успехи или неудачи, сравнивая свою работу с работой других. Многие из них получают в результате мощный стимул для осуществления подобной деятельности вновь и ее совершенствования. Многие студенты ответят для себя на вопросы: насколько добросовестно они поработали, в чем достоинства и недостатки их работы, что надо делать в следующий раз, чтобы достичь лучшего результата. У многих такой самоанализ происходит подсознательно, внешне проявлясь в отношении к предложенному заданию. Если студент доволен своей работой, то и задание понравилось и он готов выполнять подобные этому снова. Если же он не удовлетворен, то будет высказывать недовольство этим заданием. Так или иначе, данное текстовое задание способствует формированию у студентов компетенции личного самосовершенствования [127].

Сознательная или подсознательная оценка своей роли в деятельности группы ясно указывает на социальную природу рассматриваеиого математического задания. От того, как одна МКГ проанализирует свои функции и их свойства, зависят знания не только ее членов, но и членов других МКГ. В силу того, что каждая микрогруппа является источником новой информации для двух других, их знания тоже зависят от этого. В этой ситуации проявляется

такой компонент социально-трудовой компетенции как социальная ответственность. Оговоримся лишь, что в данной ситуации это касается не всех студентов. Те, кто хочет «отсидеться», делая вид, что работает, вполне может проделать это, переложив свою личную ответственность на других членов группы. Исправить ситуацию здесь может преподаватель, который имеет представления об успехах каждого учащегося. Он может особым образом контролировать деятельность таких учащихся, в частности, доклад по результатам работы всей группы может быть сделан самым слабым студентом в данной микрогруппе.

Кроме личной и социальной ответственности здесь можно говорить о социальном взаимодействии между членами одной микрогруппы, между микрогруппами, а также между студентами и преподавателем. Учащиеся «примеряют» на себя новые социальные и трудовые роли: исполнителя, руководителя, докладчика, помощника, контролирующего лица и т. д. Все это способствует формированию социально-трудовой компетенции [127].

Все вышесказанное позволяет сделать вывод о том, что использование описанного сценария способствует формированию ряда ключевых компетенций, а именно: коммуникативной, учебно-познавательной, информационной, социально-трудовой и компетенции личного самосовершенствования. Из семи ключевых компетенций используемого нами списка А. В. Хуторского [127] мы не отметили только общекультурную компетенцию и ценностно-смысловую компетенцию. Однако это не значит, что формирование данных компетенций не происходит при работе с данным сценарием. Более подробно об этом можно прочесть в статье [52].

В заключение раздела заметим, что Сценарий 1 о прямоугольных треугольниках также выявляет личностно-социальный дуализм математики, поскольку предполагает информационный обмен между двумя частями класса. Так два сценаия, простые и даже примитивные с технической точки зрения, позволяют выявить несклько имманентных свойств математики, общность которых чрезвычайно высока.

1.6. Содержание математических исследований и учебные курсы

Говоря о характеристических свойствах исследовательской работы, невозможно обойти философский вопрос о взаимном влиянии общего и частного, науки и учёного, математики и отдельного математика. Каждый учёный является продуктом современной ему науки.

Во-первых, он был сформирован системой образования, которая, в свою очередь, сложилась под влиянием господствующих научных взглядов. Во-вторых, и главное, решаемые им проблемы порождены существующей на данный момент суммой знаний. В этом смысле влияние науки на отдельного её представителя является определяющим. С другой стороны, сама наука сложилась как результат труда отдельных учёных. Это особенно хорошо видно при изучении её истории: у истоков математического анализа стояли Ньютон и Лейбниц, аксиоматический метод построения математических теорий пришёл к нам благодаря Евклиду, Ферма сформулировал проблему, занимавшую мир на протяжении 200 лет и породившую много интересных результатов, и т.д.; число примеров огромно.

Вопрос об особенностях взаимовлияния науки и учёного может разрабатываться в разных направлениях. Нас интересует его непосредственный результат - современность текущих исследований.

Современность - вольный или невольный атрибут всякого научного исследования, наличие которого не зависит от воли и желания его автора. Причина такого неразрывного единства проста и прозаична: никто не будет печатать и читать научных работ, если в них не изучаются находящиеся в центре внимания математические объекты, или не вводятся новые, достойные изучения объекты, или не выявляются новые свойства классических объектов, и т.д. Кратко говоря, несовременное, в широком смысле, исследование обречено на прекращение. Перед преподавателем стоит проблема насыщения занятий таким материалом, который вводит студента в круг изучаемых наукой объектов. Это действительно непростая проблема, однако одно из возможных направлений её решения подсказывается самой постановкой вопроса. Поскольку корни продвинутых математических теорий лежат в классической математике, можно предположить, что простейшие объекты этих теорий входят в стандарт образования. Кроме того, частные случаи многих утверждений могут быть сформулированы как упражнения, предлагаемые студентам.

Проиллюстрируем справедливость этого предположения на материале линейной алгебры. Стандартным упражнением на принадлежность к категории служит вопрос о том, является ли данное множество с определёнными на нём операциями векторным пространством, и задача педагога состоит в подборе содержательных примеров. Эти примеры в изобилии поставляются нам различными математическими теориями. Например, теория полей даёт нам пространства

комплексных чисел и квадратичных расширении рациональных чисел. Теория представлений даёт нам пространства многочленов с различными наборами симметрий, а также матричные пространства, соответствующие алгебрам комплексных, дуальны и двойных чисел. Теория алгебр Ли даёт нам большой набор пространств матриц с дополнительными свойствами. Функциональный анализ даёт пространства функций с различными ограничениями на непрерывность и дифференцируемость, а кроме того, пространства различных последовательностей.

Систематические рассуждения такого типа и отбрасывание чрезмерно сложных объектов позволили автору сконструировать банк [141] из полутора сотен примеров различных векторных пространств, что многократно превосходит количество пространств в известных задачниках. При этом все примеры укладываются в рамки стандарта для педагогических вузов. Более того, все они в той или иной мере ориентированы на профессию будущего учителя математики, а значительная часть непосредственно связана со школьной программой. Так, непрерывность и дифференцируемость - обязательный материал школьного учебника, комплексные числа изучаются в профильных математических классах, решения квадратных уравнений из школьного учебника являются элементами квадратичных расширений, и т.д. Благодаря такому банку появляется весьма важная для интеллектуального развития студентов возможность рассматривать многие простейшие школьные объекты с новой, более высокой точки зрения. Например, такие обязательные для школьной математики объекты изучения, как множество линейных функций или множество арифметических прогрессий, оказываются двумерными векторными пространствами. Процесс построения такого банка описан в диссертации [143]. Мы сделаем это ниже, в главе 4.

Очевидно, что большой набор векторных пространств может служить источником индивидуальных заданий теоретического характера. Принципы формирования индивидуальных заданий из данного банка задач будут обсуждаться там же, в главе 4. Здесь мы отметим только три возможности: использование «изолированных» упражнений; иллюстрация последовательно возникающих определений и теорем курса линейной алгебры на примере одного пространства, исследуемого персонально одним студентом или группой студентов; организация групп задач различного назначения. Последнюю возможность мы будем обсуждать более подробно в связи с выявлением в

процессе занятий индуктивно-дедуктивного и личностно-социального дуализма математики.

1.7. Некоторые реалии математического образования

1. Рассмотрим идею моделирования научных исследований в свете опыта реформы высшего образования в Германии в начале XIX века, содержание которой мы изложим по работе Г. Вейля «Университеты и наука в Германии» [22, с. 306-326]. Вильгельм Гумбольдт (брат великого учёного Александра Гумбольдта - А.Я.) разработал проект Берлинского университета, основной идеей которого было объединение общего и специального образования, а также преподавания и научных исследований. Предполагалось, что предметом образования должны быть те фундаментальные исследования, которые именно сегодня открывает наука на своём переднем крае. Более того, предполагалось, что образование должно быть непосредственно встроено в научные исследования. Будучи поддержан такими философами, как Фихте и Гегель, данный проект был реализован, и Берлинский университет постепенно стал образцом для других германских университетов. С организационной точки зрения университеты того времени выполняют «четыре связанные между собой основные функции: (1) дают общенаучное образование, передавая молодому поколению культурное и интеллектуальное наследие в наиболее зрелом и чистом виде; (2) дают специальное образование, выпуская священников, судей и адвокатов, врачей, учителей средней школы... (в частности, философский факультет готовит учителей средней школы); (3) проводят научные исследования; (4) прививают навыки самостоятельной исследовательской деятельности. Функции (3) и (4) считаются наиболее важными, в особенности на философском факультете» [22, с. 312]. Господствующий подход к преподаванию выражается следующим образом: «Филолог, историк, математик или физик читает свои лекции так, как если бы его аудитория состояла исключительно из научных работников или профессоров; он игнорирует тот факт, что на самом деле большинство его слушателей составляют студенты, готовящие себя для чисто практической деятельности - на поприще школьного учителя; впрочем, быть может, напротив, он отдаёт себе в этом отчёт, но полагает при этом, что самым ценным достоинством учителя должно быть настоящее научное образование». (Там же.)

Разумеется, такой подход не свободен от критики, и она прозвучала как из уст некоторых организаторов системы образования, так и из уст некоторых крупных учёных, например, Ф. Клейна, бывшего не только знаменитым математиком, но и первым председателем Международной комиссии по математическому образованию (1908 г.), создателем фундаментального труда по элементарной математике. Однако при всем возможном критицизме не будем забывать, что Германия тех лет создала одну из лучших, или лучшую, систему школьного образования. Что касается долговременных последствий реформы, то тут мнения разноречивы. Г. Вейль пишет, что «никогда прежде, да и впоследствии, не удавалось преобразовать старые институты в соответствии с заданной идеей» [22, с. 311]. Напротив, В. Кинелёв [63] пишет, что «в последующие сто с лишним лет этот идеал был реализован в лучших университетах мира». Однако в любом случае опыт такого рода не является широко распространённым. Дело, повидимому, в радикализме концепции В. Гумбольдта и предписанности желаемого результата. Идея моделирования научного творчества в учебном процессе представляется более гибкой, поскольку допускает неизоморфность объекта и модели, предполагает варьирование глубины моделирования в широких пределах в соответствии с конкретными условиями преподавания, имеет целью постепенное наращивание глубины моделирования по мере достижения промежуточных результатов.

2. Какова бы ни была концепция высшего педагогического образования, она должна учитывать те условия, в которых придётся работать будущему учителю. Применительно к математике одно из таких условий - способности учащихся - рассматривалось в монографии В. А. Крутецкого «Психология математических способностей школьников». Анализ структуры математических способностей школьников [73, раздел III] показывает, что логика рассуждений, которая обычно ассоциируется с представлениями о математике, играет не большую роль, чем способность к обобщениям. Об этом свидетельствуют как опросы учителей, так и опросы математиков-профессионалов [73, с. 206, 209]. Экспериментальное исследование выявило четыре группы учащихся, из которых только одна состоит из детей, не способных обобщать математический материал по существенным признакам с помощью учителя. Остальные три группы демонстрируют способность к обобщениям, причём дети из двух групп делают обобщения самостоятельно [73, с. 280]. У способных детей «это обобщение при

решении некоторых задач принимает характер максимального обобщения сразу («с места»), когда после непосредственного знакомства с принципом решения по данной формуле или схемой решения типовой задачи эта формула или схема решения без дополнительных упражнений, без специальной тренировки распространялась на самые различные варианты примеров или задач соответствующего типа, охватывая все разнообразие комбинаций несущественных признаков» [73, с. 264]. При этом способность к широкому обобщению проявляется у этих детей весьма ярко, несмотря на их возраст (10-14 лет) [73, с. 274]. Более того, «стремление к решению задач в обобщённой форме ... приобретает характер своеобразной потребности... Их не надо ставить перед задачей обобщать какие-либо математические объекты, отношения или действия - они это делают охотно по собственной инициативе» [73, с. 276]. На этом фоне ясно, что студенты педагогического вуза нуждаются в таком опыте изучения математики, когда они не просто наблюдают за процессом обобщения на лекциях или в книгах, а сами регулярно производят их при решении учебных задач. Так мы вновь приходим к необходимости в вузовских задачниках особых задач-обзоров.

3. Среди условий, в которых придётся работать выпускнику педагогического вуза, естественно рассмотреть используемые им школьные учебники. Для примера выделим группу учебников для начальной школы, написанных Б. Н. Истоминой и др. [56-58]. Их особенность состоит в том, что они сразу, с первого класса приобщают школьника к умственным действиям, характерным для исследователя. Об этом говорят типичные группы содержащихся в них задач. 1) По какому закону составлен данный ряд картинок (геометрических фигур, чисел, числовых выражений, равенств, неравенств)? 2) Найдите лишнее в данном ряде картинок (геометрических фигур, чисел, числовых выражений, равенств, неравенств)? 3) По каким признакам можно разбить на две группы данный набор геометрических фигур (чисел, числовых выражений, равенств, неравенств)? Такие задачи используются систематически и пронизывают весь учебник. Благодаря им дети привыкают к поиску закономерностей и обобщений (задача 1), к установлению основания классификации (задача 2), к выбору основания классификации (задача 3). Тем самым изучение рутинных арифметических операций органически вписывается в формирование интеллектуальных навыков высокого уровня, а само обучение приобретает ярко выраженный развивающий характер. Готовясь к работе

по таким учебникам, студент должен приобрести личный опыт решения задач на обобщения и классификацию. Подчеркнём: не опыт наблюдения за обобщениями, выполняемыми преподавателем или автором учебника, а личный опыт решения.

Важно, что упомянутые учебники отнюдь не являются исключением. Существует достаточно много других учебников, в которых акцент сделан на развитие детей в широком плане. В этой связи упомянем концепцию Л. В. Занкова и написанные на её основе учебники. В книге «Обучение и развитие» им выдвинуты дидактические принципы, имеющие тесную взаимосвязь, вне которой существовать не могут: обучение на высоком уровне трудности; ведущая роль теоретических знаний; быстрый темп при изучении программного материала; осознание учащимися процесса своих действий; систематическая работа над развитием всех учащихся, в том числе наиболее сильных и наиболее слабых [50, с. 112-120]. По нашему мнению, эта концепция, созданная для начальной школы, в достаточной мере пригодна для потребностей высшей школы.

4. Сравнивая учебники Б. Н. Истоминой с задачниками по базовым курсам алгебры и математического анализа для педагогического института, легко заметить, что последние имеют другую ориентацию. Абсолютное большинство содержащихся в них заданий носит характер точных указаний: «вычислить» (сказано, что нужно вычислить), «найти» (сказано, что нужно найти), «доказать, что» (сформулировано утверждение, подлежащее доказательству) и т.д. Практически отсутствуют задания, в которых студент должен сначала сформулировать утверждение, вытекающее из условия задачи, а затем доказать его. Вычислительные задания полностью основаны на применении изучаемых в лекционном курсе алгоритмов, могут быть решены с помощью вычислительной техники (например, программой Matematica), так что выполняющий их студент играет роль живого компьютера. Задания с элементами нестандартности редки, затеряны среди тысяч рутинных упражнений и не образуют того подмножества, на основе которого можно было бы формировать творческую активность студентов. Не случайно учебный процесс нуждается в дополнительной литературе, специально посвященной формированию нестандартного мышления. Учёные ярославской школы вносят в создание такой литературы свой посильный вклад. Для примера укажем работы З. А. Скопеца [36, 115].

5. Анализ монографической литературы по математике выявляет одно обстоятельство, которое мало используется в педагогическом образовании: первоначальные понятия и факты самых современных направлений математики без труда могут быть проиллюстрированы в рамках программы педагогического вуза; чрезвычайно часто это можно сделать в рамках школьной программы. Материал может относиться к теории непрерывных групп, теории представлений групп, алгебрам Ли и ещё целому ряду разделов математики. Для математика это естественно, поскольку корни продвинутых теорий лежат в классической математике. Для методиста здесь кроется большой резерв для выработки концептуальных положений, для насыщения задачников конкретными упражнениями, для пропедевтической работы по отношению к последующим этапам вузовского и послевузовского образования. Обобщённо говоря, здесь кроется резерв для иллюстрации в процессе преподавания такой важной черты научной деятельности, какой является современность текущих исследований. В частности, перед педагогическим образованием стоит непростая задача -продемонстрировать возможность модернизации изучаемых курсов, превращения их в более современные при одновременном усилении их профессионально-педагогической направленности, сохранении времени на их изучение и освоении той же, а не более сложной, математической техники.

По убеждению автора, было бы целесообразно анализировать все вышеперечисленные реалии математического образования именно в рамках концепции моделирования научных исследований в учебном процессе. Разумеется, для этого необходимо сформулировать её положения в возможно более точных терминах. Мы предпримем попытку такого изложения в следующей главе.

1.8. Базовые свойства исследовательской деятельности, или Точка ветвления

Мы видим, что разнохарактерные литературные источники независимо друг от друга, исходя из разных предпосылок и пользуясь разной терминологией, говорят приблизительно об одном и том же. Суть этих высказываний, выраженная на педагогическом языке, может быть сформулирована следующим образом: обучение математике в вузе должно быть ориентировано на подготовку специалиста, владеющего в равной мере системой математических знаний и умением вести научную деятельность в области математики. Другими слова-

ми, обучение математике должно быть моделью научных исследований. При этом очевидно, что точность и полнота модели зависят от профиля вуза, от специальности студента и от других условий преподавания, внешних по отношению к математике.

Объектом моделирования научной деятельности в учебном процессе выступает группа из шести свойств математики:

1. содержания современных математических исследований;

2. уникальности научного творчества;

3. деятельностно-продуктивного дуализма математики;

4. эмпирико-теоретического дуализма математики;

5. личностно-социального дуализма;

6. индуктивно-дедуктивного дуализма.

Заметим при этом, что только первое из них более или менее тесно связано с современностью, а остальные свойства являются неотъемлемыми свойствами математики и не зависят ни от исторического периода математики, ни от конкретной области математики, ни от уровня обсуждаемых исследований.

В определённом, специфическом смысле можно утверждать, что на преподавателе математики лежит нравственная обязанность отразить перечисленные свойства математических исследований в учебном процессе. Если некое свойство X действительно является неотъемлемым свойством математики, то весьма трудно найти причину для того чтобы не учитывать его при проведении занятий. Например, если индуктивные и дедуктивные рассуждения неизбежно используются всеми математиками, если они не существуют друг без друга, то очевидно, что их неразрывное единство должно быть в той или иной форме внедрено в сознание студентов. Другое дело, что ссылок на литературные источники недостаточно для доказательства того факта, что перечисленные свойства математики действительно отражают её сущность и делают это достаточно полно. Вот здесь и возникает «точка ветвления», поскольку наше дальнейшее исследование может идти различными путями.

1. Как мы уже говорили, предлагаемый список свойств научных исследований, подлежащих воспроизведению в учебном процессе, неполон, поскольку никакой список подобного рода не может быть полон. Естественное направление развития наших представлений состоит обоснованном расширении предложенного списка, то есть в поиске других фундаментальных свойств математики, выявление ко-

торых повысило бы качество её преподавания. Чтобы не усложнять изложение, мы продолжим пользоваться идеей дуализма.

Первой естественной задачей является изучение взаимодействия дискретного и непрерывного начал математики. Действительно, многие непрерывные математические объекты строятся на основе объектов дискретных. Каноническим примером является множество вещественных чисел, которое строится с помощью натуральных чисел. Обратно, интересной задачей является изучение действий дискретных групп на непрерывных объектах [13]. Впрочем, трудно добавить что-то новое в эту область после фундаментального труда [37] под названием «Конкретная математика», в самом названии которого объединились понятия «континуальная» и «дискретная».

Второй естественной задачей является изучение взаимодействия экспериментального и теоретического начал математики. В настоящее время стали легко доступны интерактивные математические среды, которые позволяют включить в учебный процесс систематическое использование математических экспериментов [114]. Исследовательское обучение математике с помощью интерактивных геометрических сред является направлением и перспективным, и модным, и чрезвычайно интересным. Дело в том, что использование компьютеров в образовании дало спектр разнохарактерных результатов. Оно подняло на новый уровень возможности организации исследовательского обучения, что, безусловно, позитивно. Оно же породило негативный эффект, выразившееся в ослаблении мотивации к дедуктивным рассуждениям со всеми вытекающими последствиями. Кроме того, было выявлено единство экспериментального и теоретического начал математики, неэффективность освоения одного из них без участия другого [163].

Итак, список фундаментальных свойств математики можно было бы расширить и исследовать педагогические эффекты моделирования расширенного списка в учебном процессе.

2. Переходя ко второму возможному направлению развития, следует подчеркнуть достоинства уже сформированного списка.

Прежде всего, он обладает определённой логической завершённостью, поскольку его успешная реализация обеспечивает постепенное вхождение студентов в предметную область деятельности учёных (свойство 1), формирует в академической группе студентов психологическую атмосферу исследовательской деятельности (свойство 2), приобщает студентов к организационным формам функционирования

науки (свойство 5), тренирует их в производстве типичных для математики умозаключений (свойство 6), выявляет деятельностную природу математики (свойство 3), позиционирует математику в системе других наук (свойство 4).

Кроме того, приведённый список свойств математики удовлетворяет требованию конструктивности, поскольку в достаточной мере ясен способ моделирования каждого из них в учебном процессе. Так, современность ведущихся исследований вводится в процесс математического образования путём адаптации научных фактов до уровня учебных задач. Уникальность научного пути исследователя воспроизводится в учебном процессе благодаря высокой или полной персонификации заданий. Эмпирико-теоретический дуализм математики усваивается студентами благодаря специальной организации лекций, выявляющих естественно-научное происхождение многих понятий и теорем математики. Три оставшихся дуалистических свойства математики моделируются путём использования педагогических сценариев, подобных приведённым выше. В частности, индуктивный компонент значительной части математических умозаключений моделируется путём предоставления студентам достаточного количества задач-обзоров, в которых требуется сделать обобщающий вывод на основе рассмотрения ряда упражнений. Обмен информацией, происходящий в научном мире, воссоздаётся путём обмена результатами, самостоятельно полученными студентами в ходе практических занятий или при подготовке к ним, в частности, при решении задач-обзоров.

Доказательство целесообразности использовании приведённого списка базовых свойств математики должно включать в себя следующие этапы.

А) Прежде всего, необходимо доказать принципиальную возможность моделирования выявленных свойств в рамках государственных образовательных стандартов, поскольку заранее неочевидно, что стандарты математического образования, будучи достаточно бедными, допускают это.

Б) Кроме того, необходимо доказать педагогическую целесообразность моделирования выявленных свойств, поскольку естественно предположить, что реализация принципиальной возможности может потребовать чрезмерных ресурсов (временных, интеллектуальных, психологических). Доказательство такого рода должно быть конструктивным, поэтому потребуется создать соответствующее ме-

тодическое обеспечение и всесторонне проверить его в различных педагогических ситуациях.

В) Наконец, необходимо обосновать принципы построения учебной литературы, в особенности задачников, предназначенной для моделирования базовых свойств научных исследований в учебном процессе.

3. Обучение математике происходит в вузах разных типов: классических университетах, педагогических, технических, экономических вузах. Основные задачи подготовки специалистов в этих вузах отличаются друг от друга, поэтому в каждом случае необходимо сбалансировать потребности профессиональной направленности обучения, потребности послевузовской научной деятельности и задачу моделирования научных исследований в учебном процессе.

4. Можно считать, что сформированный список свойств математики характеризует её в достаточной степени. В этом случае на его основе можно сформировать педагогическую модель выявления сущности научных исследований в учебном процессе.

Говоря о направлениях исследования 1- 4 в общем плане, можно высказать следующее утверждение: необходимо создать метод моделирования научных исследований в учебном процессе и очертить границы его применимости. В работах автора [142, 143] эти задачи в определённой степени решены, однако многие вопросы остаются открытыми.

В настоящей книге мы сделаем несколько шагов в каждом из названных направлений, в результате чего исследование окажется ... незавершённым. По нашему мнению, разработка каждого из них будет весьма плодотворной, а значит, потребует такого времени, ума и усилий, какими автор не располагает. Тем интереснее.

1.9*. Некоторые вопросы, предшествующие проектированию технологии обучения математике

Вернёмся к основным элементам процесса обучения математике, которые были перечислены в разделе 1.3: математике как науке, студенту, преподавателю и каналу передачи информации. Постараемся решить, хотя бы частично, те задачи, которые были сформулированы о них в этом разделе.

1.9.1. О необходимости точных определений

В разделе 1.3 мы были вынуждены констатировать, что попытка найти в литературных источниках общепринятое определение поня-

тия «математика» оказалась безуспешной. Тот же самый «понятийный вакуум» мы наблюдаем при обсуждении других элементов процесса обучения математике, потому что описания известных автору технологий не дают точных определения данных понятий. Более того, при попытке сформулировать точные определения мы сталкиваемся с существенными трудностями, вызванными двойственной природой определяемых понятий.

Начнём с понятия «студент». Очевидно, что студент является одновременно и объектом обучения (в частности, объектом воздействия педагогической технологии), и субъектом, изучающим математику, без активного участия которого невозможен педагогический процесс. В качестве субъекта педагогического процесса студент представляет собой индивидуальное явление, для которого крайне трудно или просто невозможно сформулировать общее определение. В то же время он является членом особой социальной группы, то есть явления массового, а массовое явление должно иметь по возможности точное определение, полезное для проектирования педагогической технологии. Здесь уместно сравнение с физическим явлением - газообразным состоянием вещества. Мы не можем определить скорость движения каждой молекулы газа, но мы можем определить среднюю скорость движения молекул путём измерения температуры. Автор рискует высказать предположение о том, что одним из направлений развития методики преподавания математики будет поиск статистических характеристик студенческой (преподавательской) среды.

Одной из групп пользователей педагогической технологии, быть может, основной группой, являются преподаватели. Естественно, что проектировщик должен учитывать свойства пользователей: их мотивы, ценностные ориентации, знания, умения, навыки трудовой деятельности и проч. В противном случае может оказаться, что спроектированная технология может быть воспроизведена не всеми преподавателями, а только некоторой их частью. Если доля преподавателей, способных воспроизвести педагогическую технологию, достаточно мала, то возникает сомнение в том, что результат проектирования действительно есть технология, поскольку воспроизводимость является одним из основных критериев технологичности. Повидимому, большинство проектировщиков педагогических технологий делают неявное предположение о том, что существует значительная группа преподавателей, которые разделяют мотивы и ценности проектировщиков, ставят аналогичные педагогические цели, облада-

ют теми же или большими знаниями и умениями в области практического преподавания. Именно этой категории пользователей и предназначается проектируемая технология. Для каждой из создаваемых технологий данное предположение может оказаться как верным, так и неверным, однако если ориентироваться на это предположение, то возникает следующая неприятная дилемма. С одной стороны, вероятность справедливости сформулированного предположения, а значит и количество потенциальных пользователей технологии, тем выше, чем ближе к «среднестатистической норме» находится интеллектуальный багаж проектировщика. С другой стороны, для создания эффективной технологии нужны оригинальные идеи, а значит и сам проектировщик должен быть личностью неординарной, поэтому расчёт на стихийное возникновение широкой группы единомышленников может оказаться неверным. Данное противоречие может быть снято путём описания области применимости технологии, в частности, путём возможно более точного описания того, какими «свойствами» (знаниями, умениями и проч.) должен обладать потенциальный пользователь.

Описанное в литературе (см., например, [79]) многообразие точек зрения на основные элементы образовательной технологии, а также отсутствие общепринятых определений некоторых понятий, затрудняет процесс проектирования. Тем не менее, проектирование педагогических технологий представляет собой явление, обусловленное объективной необходимостью, порождённой как потребностями общества (что очевидно), так и логикой развития науки. Дело в том, что «педагогика - прикладная наука, и подобно всем прикладным дисциплинам не может не быть технологической» [79, с. 150]. Взгляд на педагогику как прикладную науку является достаточно устоявшимся. Например, книга С. И. Гессена «Основы педагогики» [34], изданная впервые в 1923 г., имеет подзаголовок «Введение в прикладную философию». Именно объективная потребность технологизации педагогического процесса заставляет нас обратиться к рамочным условиям функционирования элементов технологии и к базовым свойствам этих элементов.

1.9.2. Контекстность и фрагментарность как объективные обстоятельства функционирования основных элементов процесса обучения математике

Сосредоточимся на двух рамочных условия, в которых функционирует каждый элемент педагогической технологии. При этом под

рамочными условиями мы будем понимать объективные, то есть не зависящие от воли и намерений проектировщика, свойства педагогического процесса. В рамках данного раздела будем называть эти свойства контекстностью и фрагментарностью элементов педагогической технологии. Отметим, что эти термины носят рабочий характер и в случае необходимости могут быть заменены на другие при условии сохранения их сути.

О контекстности математики мы, фактически, уже говорили, когда в разделе 1.3 излагали мысль Дж. фон Неймана о том, что сущность математики может быть осознана только в её соотношении с другими науками, в контексте других наук [95]. Очевидно, что для проектировщика педагогической технологии учёт этого объективного обстоятельства является вполне естественным.

Для нас важно, что и другие вышеперечисленные элементы педагогической технологии обладают этим же свойством. Если говорить о преподавателе, то ни один из них не обучает студентов в одиночку. Обучением занимается педагогический коллектив, который, с одной стороны, формируется под влиянием составляющих его членов, а с другой стороны, оказывает влияние на каждого своего члена. (Трудно себе представить, что один из учителей школы работает, например, в рамках концепции развивающего обучения, а другой придерживается идеологии вальдофской школы.) Это обстоятельство мы называем контекстностью преподавателя, рассматриваемого как элемент педагогической технологии. Очевидно, что для проектировщика технологии необходимо описать в той или иной форме взаимное влияние объекта (преподавателя) и контекста (коллектива).

Контекстность студента также вполне очевидна. Ни один из студентов не обучается в одиночку, а является членом академической группы, вуза, системы образования. Влияние ближайшего окружения на его мотивы, цели и другие проявления психики весьма велико, так что мы вновь приходим к выводу о том, что проектировщик технологии должен, вольно или невольно, описать взаимное влияние объекта (студента) и контекста (студенческой группы). В следующем параграфе мы обсудим этот вопрос с других позиций.

Контекстность канала передачи информации связана с его зависимостью от уровня техники и социальной организации общества. Папирус как физический носитель информации и обучение при храмах, папирус и античные библиотеки, бумага как носитель информации и средневековые университеты, магнитные носители информа-

ции и Интернет - вот четыре ситуации, каждая из которых определяют свойства канала передачи информации от поколения к поколению.

Итак, четыре разнохарактерные элемента педагогической технологии обладают одним общим свойством, который мы назвали контекстностью.

Говоря о фрагментарности процесса изучения математики, следует начать с того, что при любых стандартах образования студент изучает лишь незначительный фрагмент математики. Например, студент педагогического вуза осваивает математические результаты, относящиеся в лучшем случае к концу XIX века. Между тем задачи математического образования глобальны в том смысле, что в результате получения образования в долговременной памяти студента должен сформироваться адекватный образ математики, причём математики современной. Перед проектировщиком педагогической технологии встаёт непростая задача: по незначительному фрагменту математики воссоздать адекватный образ математики вообще. Очевидно, что для этого проектировщику придётся по возможности точно указать базовые свойства математики, которые и будут выявляться и внедряться в сознание студента в процессе применения технологии.

Другие основные элементы педагогической технологии также обладают свойством фрагментарности. Преподаватель, как правило, знаком с незначительной областью математики и владеет ограниченным (пусть даже большим) арсеналом методов педагогического воздействия. Студент может затратить на изучение предмета только часть, причём весьма небольшую, своего времени, поскольку должен изучать другие предметы и решать свои социальные и житейские проблемы. Канал передачи информации также зачастую весьма несовершенен по самым разным причинам. По мнению автора, хорошее, то есть достаточно полное, описание технологии обучения математики должно учитывать свойство фрагментарности.

1.9.3. Дуалистичность как объективное обстоятельство функционирования основных элементов процесса обучения математике

Мы уже подробно говорили в разделах 1.4 и 1.5 о наличии целого спектра дуалистических свойств математики. Кроме того, в разделе 1.5 мы описали двойственность детерминации высших психических функций человека, что свидетельствует о дуалистичности студента как компонента педагогического процесса. В силу сказанного

мы не будем сейчас развивать эту тему. Для нас важно, что другие элементы также обладают свойством дуалистичности.

Дуалистичность канала передачи информации имеет как очевидные внешние проявления, так и глубокие неочевидные причины. Прежде всего, бросается в глаза, что знания переходят от поколения к поколению двумя путями: через письменные источники и путём устной передачи. С одной стороны, трудно представить себе специалиста, который в процессе получения образования не читал бы книг и довольствовался лишь лекциями и практическими занятиями, пусть даже идеально организованными. Такой специалист не был бы способен самообучаться в течение последующей трудовой деятельности и по современным (да и по старинным) меркам имел бы низкую квалификацию. С другой стороны, было бы нереальным рассчитывать, что студент в состоянии усвоить необходимый для специалиста объем информации только по книгам, пусть даже идеально написанным, не прибегая к помощи преподавателя, осуществляемой в виде лекций, практических занятий и других форм работы. Менее очевидные причины дуалистичности канала передачи информации очень ярко описаны С. И. Гессеном [34]. Излагая предельно кратко его взгляды на цели научного образования, отметим, что предметом передачи от поколения к поколению являются, с одной стороны, сведения, знания, информация в чистом виде, а с другой стороны, метод научного познания. Если знания могут быть переданы в каждой из двух упомянутых форм, то метод научного познания хранится и передаётся только путём «устного предания» (смотри [34, глава VIII, особенно раздел 4]). По мнению автора, отмеченное обстоятельство указывает на границы применимости дистанционного обучения.

Что касается преподавателя, то, по-видимому, следует говорить о его плюралистической роли в процессе преподавания. Во-первых, преподаватель одновременно изучает математику и создаёт её путём изобретения новых теорем. Во-вторых, он является пользователем педагогических технологий и их проектировщиком. В-третьих, он одновременно выполняет социальный заказ общества (что очевидно) и формирует его; например, представление о ключевых компетенциях сложилось во многом под влиянием членов педагогического сообщества. В-четвертых, преподаватель одновременно передаёт информацию следующему за ним поколению и воспитывает его. По мнению автора, рассмотрение функций преподавателя с точки зрения их плюралистичности заслуживает отдельного описания.

1.9.4. Некоторые выводы

Сказанное позволяет сделать простой, но достаточно трудно выполнимый вывод, который состоит в следующем. Хорошее описание технологии обучения математике должно содержать 1) определения элементов технологии; 2) описание рамочных условий их функционирования; 3) перечень базовых свойств элементов; 4) перечень свойств, описывающих взаимодействие элементов и содержащего их контекста. При этом основной элемент - математика - должен быть описан с особой тщательностью, поскольку пользователь технологии должен отчётливо представлять себе, какие свойства математики должны остаться в долговременной памяти студента в качестве её адекватного образа.

Отметим, что данные пожелания, высказанные в абстрактной форме и во многом недоступные для самого автора, в определённой степени реализованы в описании концепции школьных учебников А. Г. Мордковича. Отметим некоторые совпадения, выделяя курсивом высказывания А. Г. Мордковича, сформулированные в разное время и по разным поводам. 1) Математика - гуманитарный предмет, который позволяет человеку правильно ориентироваться в окружающей действительности. Здесь сформулирован общий взгляд на математику и сказано, что она может быть правильно понята только в её отношениях с содержащим её контекстом - окружающей действительностью. 2) В математике реальные процессы описываются на особом математическом языке в виде математических моделей. Здесь указаны два базовых свойства математики, которые и должны быть усвоены любым культурным человеком в качестве её адекватного образа. 3) Учебник - книга для чтения, предназначенный для школьников, родителей и учителей. Здесь описаны предполагаемые свойства пользователей технологии.

Список совпадений мог бы быть расширен, но дело не в широте списка. По мнению автора, само наличие совпадений является косвенной гарантией важности обсуждаемых вопросов, поскольку разные специалисты пришли разными путями к одним и тем же предметам обсуждения.

Глава 2

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ И ЕГО ОПИСАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ГРАФА СООТВЕСТВИЯ

В главе строится модель подготовки академической группы студентов к исследовательской деятельности в области математики. Описание этой модели проводится в специальных терминах, главным из которых является понятие графа соответствия между двумя рядами объектов.

2.1. Модель - это схема или слово? Постановка задачи

Большинство диссертаций по методике преподавания математики содержит в себе модели тех или иных педагогических процессов. Это вполне естественно, поскольку одним из результатов научного исследования является обобщение чего-либо: педагогического опыта автора и/или его предшественников, ранее известных теоретических положений, педагогических экспериментов и т.д. Не стала исключением и диссертация автора этих строк [143]. На рис. 4 представлена разработанная в ней «Модель подготовки академической группы студентов к исследовательской деятельности». В определённом смысле она является типичной. Действительно, эта модель, как и многие другие модели, состоит из блоков, которые наделены конкретным содержанием, обозначенным внутри них. Эти блоки соединены стрелками, у которых также подразумевается наличие некоего содержания, хотя оно и не декларируется явно, как это делается в отношении блоков.

С данной моделью и с многочисленными моделями своих коллег автор этих строк многократно проделывал такой эксперимент. Респонденту, не знакомому с содержанием исследования, предъявлялась модель и ставился следующий вопрос: «Какую новую информацию об объекте моделирования вы узнали с помощью этой модели?» Автору никогда не удавалось получить отчётливого ответа. Правда, встречались блестящие импровизации «на заданную тему», в которых респонденты воспроизводили некоторые положения разработчиков модели, изложенные в тексте исследования. Однако даже и в этом случае излагаемые респондентом положения не вытекали из предъявленного рисунка, а были получены им (угаданы? обдуманы ранее?) внелогическим путём.

Описанная ситуация порождает ряд вопросов. Во-первых, целесообразно ли называть моделями рисунки типа рис. 4? По мнению автора, ответ является отрицательным. Действительно, мы обнаружили, что схема, лишённая контекста, не несёт новой информации о моделируемом объекте. В то же время, согласно классическому определению В. А. Штоффа, «Под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что её изучение даёт нам новую информацию об этом объекте» [134, с. 19]. Следовательно, взятая сама по себе, схема не может иметь название «модель». По-видимому, под моделью целесообразно понимать неразрывное единство текста и схемы. Во-вторых, следует ли считать, что в том исследовании, откуда был извлечён участвовавший в эксперименте рисунок, действительно разработана заявлен-

Рис. 4. Модель подготовки академической группы студентов к исследовательской деятельности

ная модель? Для автора этих строк ответ, безусловно, является утвердительным, поскольку все необходимые обоснования и формулировки всех необходимых положений содержатся в тексте исследования. В-третьих, и это главный вопрос, как следует описывать модель педагогического процесса? Другими словами, как избежать обнаруженного внутреннего противоречия при описании педагогических моделей? Ответу на этот вопрос посвящена настоящая глава.

Предварительный подход к ответу состоит в следующем. С одной стороны, схема типа той, что представлена на рис. 4, весьма похожа на граф. Действительно, блоки естественно отождествить с вершинами графа, а стрелки - с его рёбрами. С другой стороны, очевидно и различие между схемой и графом, поскольку в графе все вершины, равно как и рёбра, равноправны между собой, а в схеме каждый блок имеет собственный смысл. Что же считать главным, сходство или различие? Идея состоит в том, чтобы а) главным считать сходство; б) представлять граф в виде матрицы, как это обычно делается с большими графами; в) модифицировать матричное представление таким образом, чтобы элементы матричного представления графа содержали информацию о сущности как вершин, так и рёбер. Приступим к реализации этой идеи.

2.2. Граф соответствия как язык описания педагогических явлений

2.2.1. Определение графа соответствия и примеры графов

Хорошо известно, что графом называется конечное множество точек (вершин), часть из которых соединена друг с другом линиями (рёбрами). Хорошо известно также, что графы широко применяются в самых различных областях деятельности. Например, с помощью графов можно изобразить такие далёкие друг от друга объекты как атлас железных дорог, сетевой график строительства, классификация полупростых алгебр Ли и т.д. Естественно, что графы начали проникать в методику преподавания математики в качестве средства визуализации изучаемых математических объектов. Приведём несколько примеров.

Простейшим примером использования графов является визуализация таких понятий как инъективность и сюрьективность отображения /. На рис. 5 показаны примеры таких отображений: инъективно-

го (рис. 5а), не инъективного (рис. 56, 5в), сюръективного (рис. 5в), не сюръективного (рис. 5а, 56).

Уже этот простой пример показывает, что вершины графа не вполне «равноправны», потому что элементы области отправления отображения изображены кружочками, а элементы области прибытия - квадратиками. Таким образом, фигура на рис. 5, чрезвычайно похожая на граф, не является таковым с формальной точки зрения. (Термины «область отправления» и «область прибытия» взяты из книги [132, с. 172].)

Другим примером является использование графов в качестве средства визуализации задач по теории вероятностей. Для иллюстрации рассмотрим задачу Гюйгенса [11, с. 37, 38].

Задача. В урне 2 белых и 4 черных шара. Один азартный человек держит пари с другим, что среди вынутых трёх шаров будет ровно один белый. В каком отношении находятся шансы спорящих?

Одно из решений основано на построении вероятностного графа (рис. 6) и вычислений вероятностей возможных исходов. Вероятнос-

Рис. 6. Вероятностный граф к задаче Гюйгенса

Рис. 5а. Рис. 56. Рис. 5в.

ти исходов можно найти, перемножив вероятности событий, изображённых на рис. 6 как веса рёбер.

Полное решение можно найти в [11, с. 37, 38]. Сейчас важнее отметить двойственность ситуации. С одной стороны, вероятностный граф является фигурой, весьма похожей на граф. С другой стороны, вероятностный граф не является графом с формальной точки зрения, поскольку вершины не равноправны (чёрная и белая), а ребра снабжены «весами» - вероятностями наступления событий.

Третьим примером является часто встречающееся изображение методической системы в смысле А. М. Пышкало в виде полного графа (рис. 7).

Здесь отличие от первоначального понятия графа является ещё более выразительным. Так, каждая из вершин имеет собственный смысл, а наличие ребра означает взаимное влияние двух соединённых рёбрами компонентов системы. Заметим, что суть и характер влияния совсем не отражены на рис. 7. Они и не могут быть отражены на рисунке в силу большого объёма соответствующей информации.

С целью единообразного описания широкого круга ситуаций, иллюстрируемых «графоподобными» фигурами, мы введём понятие графа соответствия между двумя рядами объектов.

Определение. Графом соответствия между двумя рядами объектов Д, А2,..., Ак и В19 В2,..., Вп называется прямоугольная таблица, обладающая следующими свойствами: 1) строки таблицы занумерованы с помощью объектов А], А2,..., Ак;2) столбцы таблицы занумерованы с помощью объектов В19 В2,..., Вп; 3) в клетке, соответствующей сроке Д и столбцу В , содержится информация Сц о взаимосвязи этих объектов.

Сразу заметим, что информация которая должна содержаться в соответствующей клетке, может физически не помещаться в ней в силу большого объёма. Эту трудность можно преодолеть с помощью техники гиперссылок: достаточно, чтобы содержание Сц клетки

Рис. 7.

представляло собой гиперссылку на тот фрагмент текста документа, в котором описаны соответствующие взаимосвязи.

Приводя примеры графов соответствия, мы будем заботиться о том, чтобы сделать эти примеры возможно боле разнообразными.

Пример 1. Простейшим примером графа соответствия являются таблицы умножения, которые сопровождают изучающего математику на всем протяжении обучения. В первом классе школы дети изучают таблицу сложения, фрагмент которой представлен в таблице 1. На первом курсе университета студенты изучают таблицу умножения базисных элементов алгебры комплексных чисел (таблица 2), а в послевузовской практике - алгебры кватернионов (таблица 3). Все три таблицы характерны тем, что оба ряда объектов совпадают и представляют собой список перемножаемых элементов, а также тем, что в клетках таблицы стоят соответствующие произведения. Во всех трёх таблицах нумерующие элементы залиты серым цветом.

Таблица1. Таблица 2. Таблица 3.

Сложение в N. Умножение в С. Умножение в Н.

Пример 2. Обычный граф очень часто задают в виде матрицы, у которой элемент ац равен количеству рёбер, соединяющих вершины vt и V\. Например, классический граф на рис. 8, связанный с задачей о кенигсбергских мостах, можно задать как граф соответствия в виде таблицы 4. Здесь оба ряда объектов представляют собой перечень вершин графа.

Рис. 8.

Таблица 4. Кенигсбергские мосты.

Пример 3. В теории конечных геометрий используются матрицы инцидентности, которые описывают отношение инцидентности между точками Р. и прямыми / . Если за первый ряд объектов принять список точек, а за второй ряд - список прямых, то матрицу инцидентности можно представить в виде графа соответствия, если в клетке таблицы поместить информацию об инцидентности (I) или неинцидентности (отсутствие знака) между соответствующими объектами, точкой и прямой. Например, геометрия Фано, в которой имеется 7 точек и 7 прямых, задаётся как граф соответствия в виде таблицы 5.

Таблица 5. Геометрия Фано.

Пример 4. Отображение конечных множеств также можно задать в виде графа соответствия, если в качестве первого ряда объектов принять область отправления функции, в качестве второго ряда объектов -область прибытия функции, а в клетках таблицы поместить информацию о наличии отношения «образ-прообраз» между соответствующими элементами двух множеств (символ f) или об отсутствии такого соотношения (отсутствие знака). Например, отображение на рис. 56 можно представить как граф соответствия в виде таблицы 6.

Таблица 6. Отображение.

Пример 5. Сводку результатов о графиках квадратичных функций у = ах2 + Ьх + с, где а * О, представим в виде графа соответствия (таблица 7) следующим образом. В качестве первого ряда объектов выберем два неравенства, а < О и а > О, которым может удовлетворять старший коэффициент. В качестве второго ряда объектов выберем три соотношения, D<0, D = 0 и D>0, которым может удовлетворять дискриминант. Связи

Таблица 7. Квадратичные функции.

между объектами разных рядов обозначим буквами Сц и выпишем для примера две из них.

Связь Clt: Графиком является парабола, которая не имеет общих точек с осью абсцисс и ветви которой направлены вниз.

Связь С2з: Графиком является парабола, которая имеет две общие точки с осью абсцисс и ветви которой направлены вверх.

Заметим, что в данном конкретном случае можно обойтись без ссылок на фрагмент текстового документа, а попросту поместить в клетку таблицы 7 соответствующий рисунок.

Пример 6. Представим в виде графа соответствия тот вероятностный граф, который используется при решении задачи Гюйгенса.

Таблица 8. Задача Гюйгенса.

С этой целью перенумеруем его вершины в лексикографическом порядке: корень дерева на рис. 6 обозначим через v0; затем вершины, соответствующие извлечению первого шара обозначим, двигаясь сверху вниз, через vlt и х>12\ затем вершины, соответствующие извлечению второго шара, обозначим через i?2i, v24, также двигаясь сверху вниз; наконец, оставшиеся вершины обозначим через î731, v37. В результате у нас получится таблица размера 14 на 14. В её клетки поместим информацию о цвете извлечённого шара и о вероятности извлечь этот цвет. Диагональные клетки зальём серым.

В таблице 8 приведена та часть графа соответствия, которая нужна для дальнейших расчётов. Для примера найдём, какова вероятность того, что последовательность извлекаемых шаров будет такова: Чёрный-Белый-Чёрный. Для этого достаточно стартовать с вершины v0 и двигаться по таблице вдоль ступенчатой линии, которая обозначена звёздочками, перемножая при этом соответствующие вероятности.

Сравнивая рис. 6 и таблицу 8 с точки зрения удобства вычислений, мы видим, что оказались в «пограничной ситуации». При малом количестве вершин вероятностный граф более нагляден, чем граф соответствия, а проводимые с его помощью вычисления не слишком сложны. В то же время, при большом количестве вершин даже простое изображение вероятностного графа может оказаться невозможным, следовательно, невозможны и дальнейшие вычисления. Граф соответствия, напротив, поддаётся машинной обработке и может быть сделан сколь угодно большим, а вычисления на его основе легко алгоритмизируются.

Покажем, что граф соответствия целесообразно применять в методике преподавания математики.

2.2.2. Применение графа соответствия для описания межпредметных связей

Преподаватели математики, работающие в технических учебных заведениях, вынуждены прилагать специальные усилия для того, чтобы мотивировать своих студентов к изучению математики. Дело в том, что роль математики в становлении и развитии специальных дисциплин является отнюдь не очевидной и остаётся неясной для студентов либо в течение длительного времени, либо навсегда. Со своей стороны, преподаватели специальных дисциплин, заинтересованные в глубоком изучении своего предмета, также вынуждены выявлять роль математики. Те и другие нуждаются в полном и наглядном описании взаимосвязей между математикой и специальными дисциплинами. То же самое можно сказать об учебных заведениях экономической или юридической направленности, и вообще любой направленности, которая изучает явления на уровне более глубоком, чем чисто описательный.

В поисках средств наглядности, с помощью которых можно было бы описывать межпредметные связи математики, ряд исследователей обратились к графам. Например, в работе Н. В. Скоробогатовой [116, с. 96] с помощью графа описывается взаимосвязь между эле-

ментами математического аппарата и физическими понятиями. Фрагмент графа представлен на рис. 9. При всей информативности, существенный недостаток такого графа состоит в том, что он декларирует наличие связей между отдельными темами математики и физики. При этом остаётся недоказанным действительное наличие этих связей, остаётся необъяснённым характер этих связей, остаётся не выявленной их научная основа и т.п. Тем самым восприятие такого графа превращается для читателя в акт веры или неверия, то есть в акт, лежащий вне науки. Покажем, что графы соответствия могут устранить этот недостаток. Сделаем, однако, два предварительных замечания.

Во-первых, дисциплина «математика» имеет, по крайней мере, два компонента: изучаемые ею теоретические вопросы и решаемые ею типичные задачи. На рис. 10 эти компоненты отражены на разных «концах» вертикальной оси. При составлении графа акцент может быть сделан, по тем или иным причинам, на одном из них. Во-вторых, составитель графа может иметь разные цели. Одна из естественных целей - выявление связей математики со всем спектром изучаемых специальных дисциплин (спецдисциплин, СД). Другая, не менее естественная цель состоит в углублённом выявлении взаимосвязей математики с одной дисциплиной, выбранной по тем или иным соображениям. На рис. 10 эти две цели отражены на разных «концах» горизонтальной оси.

Рис. 9. Граф согласования.

Рис. 10. Типология графов соотвествия.

Таким образом, мы получили простейшую типологию графов соответствия, применяемых для описания межпредметных связей и математики, которая отражена на рис. 10. Граф типа I выявляет взаимосвязи теоретических вопросов преподавания математики со всем спектром спецдисциплин, изучаемых в учебном заведении данного типа. Граф типа II выявляет взаимосвязи теоретических вопросов математики с содержанием одной из спецдисциплин. Граф типа III выявляет типичные математические задачи, применяемые при изучении одной из спецдисциплин. Наконец, граф типа IV выявляет весь спектр тех типичных математических задач, которые используются при изучении всех спецдисциплин данного учебного заведения.

Отметим, что выбор преподавателем графа того или иного типа обусловлен теми целями, которые он ставит перед собой. Отметим также, что возможно построить «тотальный» граф, который охватывает теоретические и практические вопросы всех разделов математики и все разделы всех спецдисциплин.

Ниже будут приведены примеры графов типа IV и типа II, построенные для колледжа технического профиля, который готовит студентов по специальности «Компьютерные сети».

Пример графа типа IV. Первый ряд объектов Mt представляет собой перечень разделов курса математики, изучаемых в колледже.

Mi - Действия с матрицами.

М2 - Системы линейных уравнений.

М3 - Векторная алгебра.

М4 - Аналитическая геометрия.

М5 - Комплексные числа.

М6 - Дифференциальное исчисление функций одного действительного переменного.

М7 - Интегральное исчисление функций одного действительного переменного.

М8 - Теория рядов.

М9 - Вероятность случайных событий. Mjo - Математическая статистика. Mii - Алгебра логики.

Второй ряд объектов S{ состоит из перечня спецдисциплин и решаемых в них типичных профессиональных задач.

51 - Электротехника: расчёт электрических цепей постоянного тока.

52 - Электротехника расчёт электрических цепей переменного тока.

53 - Электротехника: расчёт характеристик постоянного электрического тока.

54 - Электротехника: расчёт количества электричества, протекающего через цепь.

55 - Электротехника: расчёт надёжности электрической цепи.

56 - Электротехнические измерения: статистическая обработка результатов измерений.

57 - Основы программирования: программирование графических объектов.

S § - Основы программирования: программирование с помощью циклов различного типа.

Sç - Микросхемотехника: расчёт логических функций и функциональных схем.

Sjo - Теория передачи информации: расчёт помехоустойчивости при передаче информации.

Su - Проектирование компьютерных сетей: расчёт параметров компьютерной сети.

Структура графа соответствия между рядами объектов представлена в таблице 9.

Опишем взаимосвязи Су, которые существуют между соответствующими объектами. Для этого приведём типичные задачи, решаемые в процессе изучения спецдисциплин и покажем, что они сводятся к типичным математическим задачам.

Связи Сц, С21. Расчитайте токи в цепи постоянного тока, изображенной на рис. 11, если известны следующие данные: Rt =

Таблица 9. Типичные задачи математики и спецдисциплин

Решение. Воспользовавшись законами Кирхгофа, получим систему линейных уравнений ] 15/3 — 20/2 = 9 . Далее её можно решить либо с помощью метода Гаусса, либо с помощью обратной матрицы, либо по формулам Крамера.

Связи С32, С52. Определите полное сопротивление электрической цепи однофазного синусоидального тока, изображённой на рис. 12, которая обладает следующими характеристиками: Ù = 127 В, гх = 15 Ом, г2 = 10 Ом, г3 = 15 Ом, Сг = 60 мкФ, С3 = 90 мкФ, L2 = 80 мГн.

Решение. При решении задачи каждое сопротивление представляется в виде комплексного числа в алгебраической форме, которое затем переводится в показательную форму:

Для определения полного сопротивления необходимовоспользоваться формулой Z = Z± H—Это означает, что придётся выполнить целую серию арифметических действий в разных формах и серию переводов из одной формы в другую: сложить числа в

Рис. 11. Расчёт цепи постоянного тока

знаменателе в алгебраической форме, перевести результат в показательную форму, выполнить умножение и деление в показательной форме, перевести результат в алгебраическую форму, сложить в алгебраической форме первое сопротивление и полученную дробь и, наконец, перевести результат в показательную форму.

Связь С. Источник напряжения с ЭДС s = 200 В и внутренним сопротивлением г = 100 Ом замкнут на реостат. При каком токе мощность во внешней цепи будет максимальной?

Решение. Мощность во внешней цепи равна Р = UI. Применяя закон Ома для полной цепи, получим, что Р = si — ri2. Далее полученная функция от аргумента / исследуется на экстремум либо методами дифференциального исчисления, либо методами элементарной математики.

Связь С74. Вычислить количество электричества, протекающее через цепь за промежуток времени [0,01; 1], если ток изменяется по формуле

Решение. За элементарный промежуток времени протекает количество электричества dq = 1(f) dt. Значит, общее количество электричества равно

Рис. 12. Полное сопротивление цепи переменного тока.

Связь С95. Пусть заданы надёжности работы элементов электрической цепи: рг = 0,8; р2 = 0,7; р3 = 0,6; р4 = 0,5. Элементы отказывают независимо друг от друга. Найдите надёжность схемы, приведённой на рис. 13.

Рис. 13. Надёжность.

Решение. При решении задачи воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятности. Получим, что вероятность безотказной

работы цепи вычисляется по формуле р = 1 — ((l — (р3 — р3(1 — Pi)(l — Р2))) (1 — Р4)^, что после упрощения даёт результат V = Р1Р2Р3Р4 - Р1Р2Р3 - Р2Р3Р4 - РгРзР* + РгРз + Р2Р4, а после подстановки численных данных ответ р = 0,522.

Связь Cio,6- Многократные независимые равноточные измерения ряда параметров электрических сигналов дали результаты, представленные в таблице 10. Определить доверительный интервал, между границами которого с доверительной вероятностью р = 0,99 находится истинное значение данного параметра, а также относительную квадратичную погрешность результата измерения.

Таблица 10. Амплитуда импульса

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Амплитуда импульса (кВ)

0,113

0,115

0,118

0,114

0,116

0,117

0,118

0,112

0,116

10

11

12

13

14

15

16

17

18

АИ

0,117

0,110

0,112

0,115

0,117

0,116

0,118

0,112

0,115

Решение. При решении даннй задачи необходимо воспользоваться методами математической статистики и вычислить среднее значение величины, точечную оценку среднего квадратичного отклонения, оценку среднего квадратичного отклонения для выборочной средней. Затем по полученным данным нужно определить коэффициент Стьюдента с учетом надежности и вычислить величину доверительного интервала.

Связи С57, С47. Известны координаты точки и вершин треугольника. Определите, лежит ли точка внутри, на границе или вне этого треугольника, если дана точка К(—2,5) и вершины треугольника Л(2,3),Я(-1,7),С(4,-3).

Решение. Для ответа на вопрос необходимо воспользоваться псевдоскалярным произведением векторов ä{a1,a2} и b{b1,b2}, вычисляемым по формуле а'Ь\ = \Ь Ъ = ai^2 — a2^i- Вычислим величины псевдоскалярных произведении [Ж,ля], [вк, В с], [СК, CÀ\. Если все три произведения одного знака, то точка лежит внутри треугольника. Если в тройке чисел имеются разные знаки, то точка лежит вне треугольника. Если одно произведение равно нулю, а

два остальные имеют одинаковый знак, то точка лежит на стороне треугольника. Если два произведения равны нулю, а третье отлично от нуля, то точка совпадает с вершиной треугольника.

Связь С88- Используя разложение в ряд Тейлора, составьте программу для нахождения значения sinx с заданной точностью s.

Решение. Разложим функцию sin х в ряд Тейлора: sin х = х —. С помощью цикла высчитываем значение суммы одного, двух, трёх и т.д. членов ряда, проверяя на каждом шаге условие > s. Если условие выполнено, то высчитывается следующий член ряда и соответствующая сумма; если условие не выполнено, то вычисления заканчивается и результат выводится на экран.

Связь Сц,9. Составьте логическую функцию по функциональной схеме, представленной на рис. 14, и определить сигнал на выходе, если А = О, В = 1.

Решение. При составлении логической функции пользуемся соответствием между логическими элементами схемами и логическими операциями. Получаем формулу алгебры логики и вычисляем ее значение при заданных значениях переменной.

Связь C9jo- Пропускная способность канала связи в системах связи зависит от появления ошибки внутри канала. На вход канала могут подаваться два сигнала, х1 их2. При правильной передаче сигнала первый из них воспринимается на выходе как у1, а второй - как у2. Канал тратит 40% времени на передачу сигнала х1, а остальное время - на передачу сигнала х2. Вероятность правильной передачи сигнала хг равна 0,7, а вероятность правильной передачи сигнала х2 равна 0,9.

Рис. 14. Логическая функция.

Рис. 15. Передача сигнала.

Известно, что на выходе получен сигнал уг. Какова вероятность того, что входной сигнал равнялся

Решение. Для решения задачи целесообразно составить вероятностный граф, изображённый на рис. 15. Искомая вероятность вычисляется по формуле Байеса.

Связи C9jlf С7о,11- Определите, сколько персональных компьютеров следует подвергнуть обследованию в порядке случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка (в процентах к среднему сроку службы компьютера) не превышала 3%. Коэффициент вариации среднего срока службы компьютеров по данным предыдущих обследований составляет 15%, а вся партия состоит из 1250 компьютеров.

Решение. Для определения числа необходимых исследований п воспользуемся формулой для бесповторного отбора п = -—. В ней значение t определяется из таблицы Стьюдента.

Пример графа II типа (таблица 11). Первый ряд объектов М{ представляет собой перечень разделов курса математики, изучаемых в колледже.

М] - Векторная алгебра.

М2 - Линейная алгебра.

М3 - Комплексные числа.

М4 - Дифференциальное исчисление функции одного действительного переменного.

М5 - Интегральное исчисление функции одного действительного переменного.

М6 - Преобразование графиков функций.

М7 - Теория погрешностей.

М8 - Алгебра логики.

Второй ряд объектов St представляет собой перечень важных теоретических вопросов, изучаемых в дисциплине «Электротехника».

51 - Расчёт электрических цепей постоянного тока. Законы Ома и Кирхгофа.

52 - Электромагнитная индукция.

53 - Расчёт электрических цепей переменного тока.

54 - Электроизмерительные приборы и измерения.

55 - Трансформаторы.

56 - Электрические машины.

57 - Полупроводниковые приборы.

Опишем взаимосвязи Су, которые существуют между соответствующими объектами. Для этого приведём перечень важных вопросов, решаемых в процессе изучения спецдисциплины «Электротехника» и покажем, какие знания из различных разделов математики необходимы студентам при изучении этих вопросов.

Таблица 11. Теоретические вопросы математики и электротехники

Связи С]3, С]5, С]& При построении векторных диаграмм последовательных и параллельных ÄLC-цепей требуются знания о линейных операциях с векторами, причём как в геометрическом, так и в координатном виде. Эти же знания требуются при построении векторных диаграмм при анализе работы трансформатора синхронного генератора.

Связь С21. При расчёте характеристик цепей постоянного тока требуются знания о методах решения систем линейных уравнений с несколькими переменными.

Связи Сзз, С55, С36. При расчёте характеристик переменного синусоидального тока требуются знания о представлении комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной форме, переводе из одной формы в другую, выполнении действий с комплексными числами, записанными в различной форме. Эти же знания требуются при расчёте характеристик трансформатора и асинхронного двигателя.

Связи С42, С45. При нахождении значения ЭДС индукции по закону Фарадея в общем случае и расчёте характеристик трансформатора требуется знание определения производной и методов дифференцирования.

Связь С53. При расчёте действующего и среднего значения переменного тока требуются знания о методах вычисления определённого интеграла.

Связи Cfö, Сб7. При построении графиков характеристик переменного тока и полупроводниковых приборов требуются знания о преобразованиях графиков функции (сдвиг, деформация, отображение).

Связь С74. При расчёте погрешностей показаний электроизмерительных приборов требуются знания о методах вычисления абсолютной и относительной погрешности.

Связь С87. При нахождении характеристик простейших логических устройств требуются знания о составлении таблицы истинности логических операций, формулах алгебры логики.

В заключение отметим ряд достоинств отображения межпредметных связей с помощью графа соответствия. Прежде всего, такой граф не просто показывает наличие связей между объектами, но и несёт полную информацию о содержании этих связей. Кроме того, режим гиперссылок делает навигацию весьма простой. Наконец, описание взаимосвязей может корректироваться преподавателем в зависимости от педагогических условий: типа учебного заведения, специальности, на которой ведётся преподавание, от целей изучения дисциплины, конкретных целей составления графа, особенностей контингента студентов и т.д.

2.3. Модель подготовки академической группы студентов к исследовательской деятельности

2.3.1. Содержание модели

Начнём с перечисления объектов графа. Пусть

• Aq — социальный заказ общества математическому образованию;

• А\— цель математического образования;

• А2- свойства математики, позволяющие считать её наукой;

• Аз — свойства математики, характеризующие её место в системе наук;

• A4 — свойства математики как социального явления;

• As — типичные умозаключения в математике;

• Aß — психологические особенности работы математика;

• А7 -рекомендации к отбору материала для проведения занятий;

• А8 - результаты обучения.

Структура графа соответствия представлена в таблице 12.

Таблица 12. Структура графа соответствия

Прежде чем давать формулировки взаимосвязей Су, укажем смысл основных ячеек графа.

1) В диагональной ячейке С0о описан социальный заказ общества системе математического образования. Его можно считать элементом внешней среды по отношению к разрабатываемой модели.

2) В диагональной ячейке Сц, залитой серым, описаны цели математического образования.

3) В диагональных ячейках С22 - Сбб, выделенных с помощью жирных границ, описаны те имманентные свойства математики, которые подлежат моделированию в учебном процессе.

4) В диагональной ячейке С77, выделенной с помощью пунктирных границ, описаны рекомендации к отбору материала для занятий. По существу в ней описано то содержание реальных математических исследований, которое может быть отражено (смоделировано) в учебном процессе.

5) В диагональной ячейке С88, залитой серым, описаны планируемые результаты обучения математике.

6) В ячейках, расположенных выше главной диагонали, описано влияние объекта А\ на объект А} при / < j.

7) В ячейках, расположенных ниже главной диагонали, показана потенциальная возможность коррекции наших представлений об объекте А-19 стоящем в соответствующем столбце.

Теперь мы ввели все обозначения, необходимые для описания заявленной модели. Приступая к описанию 28 взаимосвязей между объектами графа, отметим, что мы не будем соблюдать их линейный порядок, а объединим их в следующие смысловые группы:

В дальнейшем описании конец смысловой группы обозначается символом //.

Связь С00: Социальной целью образования является подготовка специалиста, способного самостоятельно формулировать проблемы в сфере своей профессиональной деятельности, решать их и доводить результаты решения до своих коллег. Кратко говоря, высшее образование должно воспитывать специалиста с самосознанием исследователя. При этом не важно, будет ли это инженер-исследователь, учитель-исследователь или математик в узком смысле этого слова.

Связь Coi: При формировании целей математического образования необходимо учитывать социальный заказ общества на подготовку специалиста с самосознанием исследователя.

Связь Сп: Математическое образование, на каких бы теоретических посылках оно ни базировалось, призвано сформировать в сознании учащихся адекватный образ математики. В силу этого в процессе образования необходимо выявить фундаментальные, имманентные свойства математики, которые не зависят ни от предметной области внутри неё, ни от уровня математических исследований, ни от исторического периода её развития. Именно в этом состоит цель математического образования.

При выявлении имманентных свойств математики целесообразно руководствоваться принципом Моделирования Научных Исследований (МНИ) в учебном процессе: обучение математике в вузе должно быть моделью исследовательской работы в области математики. Применительно к педагогическому вузу целесообразно модифицировать принцип МНИ: обучение математике в педагогическом вузе должно быть моделью исследовательской работы в области математики и/или методики преподавания математики. //

Связь С\2: Прежде всего, следует указать то свойство (или те свойства) явления под названием «математика», которое позволяет считать её наукой и которые, в силу этого, должны быть выявлены в учебном процессе.

Связь Сц'. Математике присущ деятельностно-продуктивный дуализм (ДПД), суть которого состоит в следующем: понятие математики включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и продукт этой деятельности - сумму полученных к данному моменту математических знаний.

Подробное описание и обоснование ДПД, а также других дуалистических свойств математики, сделано в статье [144] и в разделах 1.4 и 1.5.

Связь С27: Из наличия ДПД математики вытекает естественное требование к математической подготовке: обучение математике должно быть ориентировано, причём одновременно и в равной мере, как на передачу системы математических знаний, так и на формирование умений и навыков деятельности внутри математики.

Очевидно, что необходимо выработать конкретные рекомендации по выполнению этого требования. Они будут сформулированы при описании связи С77. //

Связь Сц: Следует указать то свойство математики, которое характеризует её место в системе наук и которые, в силу этого, должны быть выявлены в учебном процессе.

Связь С33: Математике присущ эмпирико-теоретический дуализм (ЭТД) источников её развития, суть которого состоит в следующем: существует два типа движущих идей современной математики: идеи естественнонаучного, эмпирического происхождения и теоретические идеи, появившиеся внутри математики.

В качестве обоснования повторим мысль Дж. фон Неймана, процитированную в разделе 1.4: «Наиболее характерная отличительная черта математики состоит в её особом отношении к естественным наукам и вообще любой науке, интерпретирующей факты на уровне более высоком, чем чисто описательный». И далее: «Двоякий лик -подлинное лицо математики, и я не верю, что природу математического мышления можно было бы рассматривать с какой-нибудь единой упрощённой точки зрения, не принося при этом в жертву самую сущность».

Связь С37: Необходимо выработать конкретные рекомендации по выявлению ЭТД математики. Они будут сформулированы при описании связи С77. //

Связь Си. Следует указать то свойство математики, которое характеризует её как социальное явление и описывает взаимодействие науки под названием «математика» и представителя этой науки -учёного-математика. Очевидно, что в силу важности этого свойства оно должно быть выявлено в учебном процессе.

Связь С44: Математике присущ личностно-социальный дуализм (ЛСД), суть которого состоит в том, что имеют место несколько дополняющих друг друга фактов: (а) каждый математический

результат изобретается лично тем или иным конкретным математиком; (б) математика может существовать только благодаря наличию особого социального института - научного сообщества: (в) изобретённый результат становится фактом науки только в результате его принятия научным сообществом; (г) процесс принятия нового результата включает в себя обмен информацией о содержании нового результата и различные виды экспертных оценок.

Связь С47: Необходимо выработать конкретные рекомендации по выявлению ЛСД математики. Они будут сформулированы при описании связи С77. //

Связь Ci5: Следует выявить тип (или типы) умозаключений, типичные для математики, которые, в силу своей типичности, должны быть выявлены в учебном процессе.

Связь С55: Математике присущ индуктивно-дедуктивный дуализм (ИДД), суть которого в том, что природа умозаключения в математике является одновременно и индуктивной, и дедуктивной. Интуиция, основанная на индуктивных умозаключениях, служит средством первичного получения результата, а логика, основанная на дедукции, служит средством его строгого обоснования.

Вновь отсылаем читателя к разделу 1.4, где приведено подробное обоснование этого утверждения.

Связь С57: Необходимо выработать конкретные рекомендации по выявлению ИДД математики. Они будут сформулированы при описании связи С77. //

Связь Си'. Следует выявить характерные психологические особенности работы математика-исследователя и выявить их в учебном процессе.

Связь С66: Работе математика-исследователя присуще свойство, которое мы назовём уникальностью научной деятельности (УНД).

Суть его проста: математик решает уникальную, единственную в своём роде задачу, предназначенную только ему.

Мотивом к длительному и большому усилию, которого требует научная работа, является сочетание общезначимости предполагаемого результата и того факта, что результат будет преподнесён человечеству лично его изобретателем.

Связь С67: Необходимо выработать конкретные рекомендации по выявлению в учебном процессе УНД математика-профессионала. Они будут сформулированы при описании связи С77. //

Связь С if. С целью выявления фундаментальных, имманентных свойств, присущих математике как науке, необходимо сделать следующее:

• сформулировать принципы отбора математических курсов, включаемых в стандарт образования, и их содержания;

• сформулировать принципы отбора теоретического и задачного материала, который предназначен для реализации стандарта образования.

Кратко говоря, необходимо отобразить в учебных курсах содержание математических исследований (СМИ), ведущихся в настоящее время или проведённых в прошлом.

В рамках данной книги мы не будем заниматься принципами первой группы, поскольку стандарт образования уже сформирован. Принципы второй группы мы сформулируем в разделе «Связь С77» в форме практических рекомендаций по конструированию педагогических сценариев и организации занятий. Многочисленные сценарии, базирующиеся на конкретном математическом материале, могут быть найдены в работах [143, 144] и некоторых других.

Связь С77: 1) Целесообразно предлагать студентам такие задания, в процессе выполнения которых они смогут сделать некоторые самостоятельные выводы (ДПД).

2) Целесообразно распределять задания между частями академической группы с целью получения каждой микрогруппой таких утверждений, которые будут служить предметом информационного обмена (ЛСД).

3) Целесообразно формулировать задания таким образом, чтобы при их выполнении приходилось делать как индуктивные, так и дедуктивные умозаключения (ИДД).

4) Целесообразно добиваться максимально возможной персонификации заданий (УНД).

5) В практике преподавания уже давно существует традиция, которая состоит в выявлении естественнонаучного происхождения некоторых важных математических понятий: производной, интеграла, дифференциального уравнения. Целесообразно усилить эту традицию путём рассмотрения задач, приводящих к понятию системы линейных уравнений, понятию группы и т.д. (ЭТД).

6) Целесообразно адаптировать важные математические теоремы и/или этапы их доказательства до уровня учебных задач. Тем са-

мым содержание реальных математических исследований (СМИ) будет отражено в учебном процессе.

Важно, что сделанные рекомендации не просто обобщают опыт конкретного преподавателя математики, или являются точкой зрения научной школы, или обоснованы психологами, или широко распространены и т.п. Важно, что они описывают имманентные свойства математики и, следовательно, существуют объективные причины, которые побуждают преподавателей следовать им. //

Связь С78: Следует выявить, как рекомендации по содержанию и проведению занятий влияют на результаты обучения.

Связь С88: Планируемые результаты применения изложенной концепции состоят в том, что студенты приобретут

• глубокие знания, умения и навыки в области математики и её изучения;

• первоначальные умения в области исследовательской деятельности:

S умение ставить математическую задачу,

S умение высказывать гипотезу или гипотезы,

S умение планировать исследование, то есть разбивать поставленную задачу на вспомогательные задачи,

S умение применять формальные математические знания для решения конкретной и новой задачи. //

Связь С82: Анализ реальных результатов обучения и их сравнение с планируемыми результатами покажет, нуждаются ли в коррекции (или дальнейшей разработке) наши представления о деятельностно-продуктивном дуализме математики и вытекающие из них рекомендации.

Связь С83: Анализ реальных результатов обучения и их сравнение с планируемыми результатами покажет, нуждаются ли в коррекции (или дальнейшей разработке) наши представления об эмпирико-теоретическом дуализме математике и вытекающие из них рекомендации.

Связь С84: Анализ реальных результатов обучения и их сравнение с планируемыми результатами покажет, нуждаются ли в коррекции (или дальнейшей разработке) наши представления о личностно-социальном дуализме математики и вытекающие из них рекомендации.

Связь С85: Анализ реальных результатов обучения и их сравнение с планируемыми результатами покажет, нуждаются ли в коррек-

ции (или дальнейшей разработке) наши представления об индуктивно-дедуктивном дуализме математики и вытекающие из них рекомендации.

Связь С86: Анализ реальных результатов обучения и их сравнение с планируемыми результатами покажет, нуждаются ли в коррекции (или дальнейшей разработке) наши представления об уникальности научной деятельности математика и вытекающие из них рекомендации.

Связь Cgii Анализ реальных результатов обучения и их сравнение с планируемыми результатами покажет, нуждаются ли в коррекции (или дальнейшей разработке) наши представления об общих целях математического образования и вытекающие из них рекомендации. //

На этом заканчивается описание «Модели подготовки академической группы студентов к исследовательской деятельности». Автор надеется, что эта модель заинтересует потенциального читателя и будет использована им в дальнейшей работе.

2.3.2. Граф соответствия и определение модели по Штоффу

Покажем, что граф соответствия, содержащийся в предыдущем подразделе, действительно является моделью подготовки к исследовательской деятельности в смысле определения модели по Штоффу (раздел 2.1). С этой целью определим ту категорию людей, которые получают новую информацию об объекте изучения - математике как сфере деятельности - посредством изучения её модели и применения этой модели в реальном учебном процессе. Для этого нам придётся описать объекты интереса и результаты деятельности трёх субъектов, так или иначе связанных с моделью, - разработчика модели (Р), пользователя модели (П) и студента (С). Схематически они представлены на рис. 16-18.

Рис. 16. Активность разработчика. Рис. 17. Активность пользователя. Рис. 18. Активность студента.

Интерес разработчика - автора настоящего текста - направлен на объект изучения X, которым в нашем случае является математика

как сфера деятельности и философия математики (рис. 16). Результаты анализа, описанные в главе 1, личный научный опыт и трудно формализуемые интуитивные соображения синтезируются в виде модели М, которая описана в предыдущем подразделе и является основным результатом деятельности разработчика. По нашему мнению, разработанная модель обладает многими чертами науки математики. В дальнейшем мы будем выражать это обстоятельство в одной из двух форм, M « X или X « М, ставя на первое место модель или объект в зависимости от того, что является главным для того человека, который имеет дело с тем и другим.

На этапе разработки модели студент не является основным объектом интереса разработчика, а служит для него чем-то вроде теоретико-прагматического «критерия осмысленности или бессмысленности» конечного продукта. Действительно, не имеет смысла разрабатывать модель педагогического процесса, суть которого не может быть понята студентом, субъектом этого процесса.

Для пользователя, то есть преподавателя вуза, решившего применить на практике обсуждаемую модель, основным объектом интереса является именно она (рис. 17). В любом случае пользователю придётся наполнить модель конкретным содержанием: отдельными задачами и системами задач, педагогическими сценариями, индивидуальными заданиями, эвристическими приёмами и так далее до бесконечности. Особо следует позаботиться об организации «математической рефлексии», поскольку она способствует выявлению фундаментальных свойств математики: её деятельностной природы, её дуалистических свойств, субъективной и/или объективной уникальности научной работы и т.д.

Наряду с моделью, объектом интереса пользователя является та часть курса математики, преподавание которого пока не вошло в сферу применения модели. Причин к этому две. Во-первых, целесообразно расширить сферу применения модели до её естественных границ. Во-вторых, «внешняя» по отношению к модели часть математики может дать дополнительный стимул для разработки модели.

Разумеется, студент как объект педагогического воздействия также сходит в круг интересов пользователя, поскольку качественное преподавание учитывает свойства студента, понимаемые в широком смысле: его мотивы, интересы, ценности, работоспособность и проч.

Итогом деятельности пользователя является информация, предоставляемая студенту в процессе обучения. Заметим, что она во-

все не обязательно совпадает с информацией, воспринятой студентом.

Основными объектами интереса студента является изучаемая им математика и преподающий её педагог (рис. 18). Именно эти объекты являются источниками (активными или пассивными) той информации, которая в конце концов будет освоена студентом. Очевидно, что существенная часть информации о математике как о сфере деятельности усваивается студентом в процессе использования модели, причём двумя путями сразу: в процессе стихийного осознания студентом свойств модели, отражающих свойства научной работы, и в процессе рефлексии по поводу них, сознательно организованной преподавателем. В результате получается, что использование в процессе преподавания модели научных исследований даёт студенту новую информацию о математике как о сфере деятельности, а это как раз и согласуется с определением модели по Штоффу.

В заключение подраздела следует отметить, что преподаватель, впервые знакомящийся с обсуждаемой моделью, также как и студент, получает в новую информацию о математике в процессе этого знакомства.

2.3.3. Свойства описания модели с помощью графа соответствия

Помимо сути модели, её важное свойство состоит в способе её описания с помощью графа соответствия. Обсудим свойства предложенного способа описания.

Первое свойство графа соответствия состоит в том, что он является локализованным, точным и полным описанием педагогической модели. Действительно, предложенное выше описание имеет явно обозначенное начало и конец, занимает 7 страниц и включает в себя все необходимые определения и обозначения. Кроме того, оно хорошо структурировано. Безотносительно к тому, как оценивать качество написанного здесь текста, ничто не мешает сделать его сколь угодно точным, полным и глубоким.

Второе свойство графа соответствия состоит в его гибкости. Действительно, описание связей Су может быть адаптировано пользователем применительно к конкретной педагогической ситуации. Например, оно может быть детализировано пользователем в той степени, которая нужна именно ему, в частности, в весьма высокой степени. Оно может быть снабжено полными и глубокими обоснованиями высказываемых положений, разнообразными примерами педаго-

гических сценариев и проч. Оно может уточняться в связи с накоплением общего педагогического опыта, в связи с накоплением опыта использования модели, в связи с развитием представлений о моделируемом объекте и т.д.

Третье свойство графа соответствия - это возможность эволюции модели без изменения её идеологии. Действительно, в случае естественно возникшей необходимости разработчик модели может ввести в неё новые связи вида Су. Например, в нашем случае могут быть введены связи С23, С24 и т.п. между теми свойствами математики, которые подлежат моделированию в учебном процессе. Кроме того, могут быть рассмотрены дополнительные свойства математики, подлежащие моделированию в учебном процессе, за счёт введения новых объектов А9, А]0и т.д. Тем самым будет увеличена полнота моделирования, а увеличение полноты моделирования является одним из естественных направлений педагогического исследования.

Важно, что если модель будет развиваться во времени, то её эволюция будет происходить за счёт усилий двух групп людей - разработчиков и пользователей. Тем самым она перестанет быть законченным, статичным объектом, а начнёт жить самостоятельной жизнью.

Наконец, четвертым свойством графа соответствия является хорошая согласованность с традиционным описанием моделей в виде схем. Действительно, подробные пояснения к схеме типа той, что представлена на рис. 4 в разделе 2.1, легко преобразуются в граф соответствия. Обратно, схема легко может быть восстановлена по графу соответствия.

Сравнивая два способа описания модели, в виде схемы и в виде графа соответствия, следует отметить относительные достоинства и недостатки каждого из них. Схема лаконична, выразительна и может быть охвачена «одним взглядом». Очевидно, что семистраничный граф соответствия не обладает таким свойством. Зато, в отличие от схемы, граф соответствия не допускает различных толкований, содержит все необходимые формулировки, является полным, точным и может развиваться во времени. Такое сочетание свойств говорит о том, что было бы естественным использовать схему и граф одновременно. Например, наш подход можно было бы начать с такой преамбулы: «Описание модели подготовки академической группы студентов к исследовательской деятельности будем проводить в соответ-

ствии со следующей схемой». Далее следовало бы предъявить рис. 4 из раздела 2.1, а затем - граф соответствия из текущего раздела.

Глава 3

МОДЕЛИРОВАНИЕ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПОСРЕДСТВОМ ЗАДАЧНОГО МАТЕРИАЛА

В главе анализируются особенности эволюции различных видов учебной литературы, в частности, задачников. Излагаются взгляды автора на понятия «упражнение» и «задача» и формулируются принципы построения задачников по математике.

3.1. Сборник задач по математике в свете требований современной методики

В предыдущей главе мы назвали шесть базовых свойств математики, которые подлежат моделированию в учебном процессе, свойств разнотипных, сложных и глубоких. Сама постановка задачи порождает естественные вопросы о том, в каких формах, какими методами и средствами целесообразно осуществлять такое моделирование. Теперь мы приступаем к их обсуждению.

3.1.1. Моделирование научных исследований и различные формы учебной работы

На первый взгляд, принцип моделирования научных исследований (МНИ) - это всего лишь простая констатация того, что уже имеется в повседневной практике. Действительно, разве лекции не должны вскрывать генезис понятий, первичные идеи теорем, возникновение и развитие теории и её приложений, то есть логику науки? Разве курсовые и дипломные работы не должны быть первыми научными сочинениями студента? Разумеется, на оба вопроса следует ответить утвердительно, однако дальше начинаются всяческие «но».

Выявление компонентов исследовательской работы показывает, что лекции не приспособлены для моделирования большинства из них. Лекция - коллективное действие, целью которого служит передача информации от преподавателя к студенту. Пользуясь нашей терминологией, можно сказать, что лекция знакомит студента с содержанием математики-продукта, но не позволяет ему заниматься математикой-деятельностью. Она не заставляет студента выполнять уникальную, предназначенную только ему работу и не позволяет организовать систематический обмен информацией, полученной в результате личной деятельности. Во многих случаях, особенно на младших курсах, весьма трудно ввести в лекцию содержание современных исследований, поскольку её основное наполнение посвящено

рутинным, но совершенно необходимым вещам: математической технике, базовым алгоритмам, образцам решения стандартных задач. Лекция удобна для выявления эмпирико-теоретического дуализма математики, однако и в этом случае студент поневоле остаётся достаточно пассивным. Лекция относительно неплохо «приспособлена» для выявления индуктивно-дедуктивного дуализма математики, однако и здесь лектор испытывает трудности, т.к. демонстрация индуктивного компонента математики весьма трудоёмка. Например, если проанализировать способы введения понятия группы, то большинство учебников (а значит и лекций) ограничивается формальнологическим определением. Чтобы понять причины интереса к этому понятию, студенту придётся обратиться к некоторым нестандартным источникам, например, к началам теории Галуа, где группы возникли исторически, или к статье Н. Бурбаки «Архитектура математики» [18]; то и другое не предназначено для первого чтения.

Функция приобщения студентов к научным исследованиям вряд ли может быть целиком возложена на курсовые работы как вид учебной деятельности. Организационная причина состоит в том, что курсовая работа не затрагивает ни курсы обучения, предшествующие её написанию, ни учебные дисциплины, не связанные с её темой. Кратко говоря, слишком многое остаётся вне процесса моделирования. Другая причина не менее серьёзна. Дело в том, что при всей своей напряжённости, деятельность студента на лекции носит по преимуществу репродуктивный характер. В этом смысле вузовская лекция вольно или невольно развивает консервативное начало школьной математики, когда основная функция учащегося - понять и запомнить, когда знания приходят к нему извне, от педагога или книги, когда формулировка проблемы не видоизменяется в зависимости от промежуточных результатов, и т.д. К моменту написания курсовой работы у студента сформировано преимущественно конвергентное мышление, накоплена многолетняя, колоссальная инерция репродуктивной деятельности, ориентации на готовые задания, привычка выполнять алгоритмы, образно говоря, желание действовать «по правилам». В силу этого он испытывает большие трудности при написании курсовых работ, а сами работы зачастую носят реферативный характер.

Поскольку ни лекции, ни курсовые работы не воспроизводят в достаточной мере базовые свойства научных исследований, необходимо изучить возможности практических занятий для такого воспроизведения. Ниже будет показана возможность полноценного мо-

делирования базовых свойств научных исследований в процессе проведения практических занятий по математике в педагогическом вузе. Будет подробно рассказано, как осуществляется моделирование. Мы надеемся, что некоторое сужение задачи позволит добиться более полного её решения.

Говоря о практических занятиях, естественно обратиться к задачнику как к виду учебной литературы. Этому и будет посвящено окончание данного раздела.

3.1.2. Об эволюции учебников и задачников

Покажем, что задачники как вид учебной литературы эволюционирую медленнее учебников.

В 1969-1971 годах в России был опубликован целый ряд руководств по линейной алгебре, соответствующих университетскому курсу: И. М. Гельфанд [32], Н. В. Ефимов, Э. Р. Розендорн [46], А. И. Мальцев [84], Г. Е. Шилов [131]. Десять лет спустя, в 1980 году, появилась книга А. И. Кострикина и Ю. И. Манина [72] «Линейная алгебра и геометрия». Сохраняя основное содержание предшествующих учебников, она, в то же время, включала в себя ряд новых вопросов: язык теории категорий и категорные свойства векторных пространств, самосопряжённые операторы и тензорные произведения в квантовой механике, пространство Минковского, группу Витта, алгебру Клиффорда, алгебраические многообразия и многочлены Гильберта, кэлерову метрику на проективном пространстве. Обобщённо говоря, в книгу вошли новые математические объекты, которые к тому времени оказались в центре внимания математиков и которые продолжают оставаться там до настоящего времени. Дополняя анализ содержания чисто арифметическими подсчётами, можно показать, что примерно 20% от общего объёма книги посвящено новым объектам и взаимосвязям линейной алгебры, которые, по существовавшей на тот момент традиции, не входили в университетский курс. Кратко говоря, произошла смена поколения учебников, причиной которой явились изменения, произошедшие в «высших» этажах математики. Отметим, что линейная алгебра не является исключением. Тот же результат получается при сравнении учебников по общей алгебре ([78] и [71]) и дифференциальной геометрии ([110] и [97]), написанных в разное время.

В отличие от учебников, задачники на протяжении многих и многих лет сохраняют некоторые свои характерные черты. Рассмот-

рим три из них: ориентированность на технические навыки, изолированность взаимосвязанных задачи и завуалированность принципов составления задачников.

Первое свойство почти очевидно и порождено неизбежным соответствием между содержанием лекционного курса и содержанием практических занятий. Например, как только на лекции изучено понятие производной, так на практических занятиях, а значит и в задачнике, должны появиться упражнения такого типа: «Пользуясь определением производной, найдите производную функции f(x) = •••». Как только на лекции рассмотрены правила дифференцирования и составлена таблица производных, так на практических занятиях, а значит и в задачнике, должны появиться упражнения такого типа: «Вычислите производную функции f(x) = •••». И так далее, по всем предметам, на протяжении многих лет. Разумеется, такие упражнения абсолютно необходимы и весьма полезны. Тем не менее, концентрация на упражнениях технического характера уводит внимание студентов и преподавателей от того обстоятельства, что математику в его исследовательской работе приходится, помимо вычислений и доказательств, производить умственные действия другого вида: сравнивать разнородные объекты, вводить новые понятия, высказывать гипотезы, формулировать новые теоремы, делать обобщения, находить выразительные частные случаи общих утверждений и т.д. Получается, что при традиционном подходе мы имеем задачник не по «математике-науке», а по «математике-учебному предмету». Между тем, если мы хотим готовить специалиста с самосознанием исследователя, то это следует делать с первых шагов обучения в вузе посредством всех форм учебной деятельности, в частности, путём использования специальным образом написанных задачников.

Обсуждая второе свойство задачников - изолированность взаимосвязанных задач - обратимся к конкретному материалу и приведём несколько примеров.

Одной из «неизбежных» тем курса математического анализа является интегрирование методом замены переменной. Задачник Н. Я. Виленкина [23, разд. 3, гл. 1, § 2] предлагает выбор из 58 задач такого типа. Выбор этот является избыточным, что естественно, и при этом нет ни одной видимой причины для того, чтобы преподаватель предложил студенту интеграл J ————-, затерянный среди десятков других [23, № 80.3, с. 207]. Между тем именно этот интеграл

используется при изучении сходимости рядов с положительными членами для установления сходимости ряда с общим членом ап = — [24, №71.4, с. 15]. Как мы видим, две взаимосвязанные задачи находятся в разных томах задачника [23], [24]. Они могут изучаться на разных курсах под руководством разных преподавателей, так что взаимосвязь фактов вполне может оказаться скрытой от студента. Между тем, именно накопление взаимосвязей составляет важную часть процесса образования.

Другим примером является взаимосвязь между сходимостью последовательности

и сходимостью ряда

Эти задачи тесно связаны идейно, однако разделены во времени интервалом в год и находятся в разных томах задачника [23], [24] (№№ 336.1 и 80.4 соответственно).

Даже эти очевидные примеры показывают, что поиск сколько-нибудь значительного количества взаимосвязей непрост. Тратить на него время тем более обидно, что все сюжетные линии давно известны автору задачника и не прописаны явно лишь в силу существующей традиции.

Имея намерение обсудить ниже принципы составления задачников, поставим два предварительных вопроса. Должна ли соблюдаться преемственность обучения в вузе по отношению к школе? Должна ли подборка упражнений по изучаемой теме быть полной в том или ином смысле, то есть раскрывать возможно большее количество свойств рассматриваемых понятий? До тех пор, пока эти вопросы стоят в общей форме, большинство преподавателей ответит на них, по всей вероятности, положительно. Вместе с тем, анализ многих задачников показывает, что и принцип преемственности, и принцип полноты нарушаются в самых простых и очевидных случаях.

Рассмотрим, например, такое сложное понятие, каким является понятие экстремума. Мы считаем его сложным, в особенности для школьников, по двум причинам: во-первых, оно включает в себя два квантора, и во-вторых, оно не алгоритмично и не позволяет отыскивать точки экстремума. В лучшем случае оно позволяет доказать, что предъявленная точка является (или не является) точкой экстремума. Для освоения этого понятия студенты нуждаются в решении многих разнохарактерных упражнений, однако, педагогические возможности популярных задачников в этом отношении ограничены. Так, задачник Н. Я. Виленкина и др. [23, § 9] содержит всего лишь одну функцию с

разрывом в точке экстремума (№ 314.2) и всего лишь четыре функции, которые не дифференцируемы в точке экстремума (№№ 303.2, 309.2, 316.2, 329.2), одна из которых - простейшая функция у = |х|, а остальные три являются модификациями функции у = х2^3. То же самое можно сказать о задачниках Н. А. Давыдова и др. [40] и Г. Н. Бермана [14]. Получается, что набор упражнений создан не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации применения методов дифференциального исчисления для его отыскания. Тем самым обнаруживается неполнота подборки упражнений на экстремум, которая какое-то время остаётся скрытой от пользователя, особенно от студента.

Ниже, в разделе 5.5, мы покажем, что существуют многочисленные типы строгого локального минимума, обладающих различными сочетаниями монотонности (в открытых односторонних окрестностях точки экстремума), односторонней непрерывности и дифференцируемости в точке экстремума. По этому поводу см. также [60, с. 227].

Говоря о преемственности обучения, рассмотрим характерное для математического анализа умение оценивать выражение. По наблюдениям нескольких поколений преподавателей оценка выражения вызывает у студентов чрезвычайно большие затруднения, причём как на стадии формирования, так и на стадии применения. Причина затруднений состоит в том, что к тому моменту, когда студент-первокурсник начинает изучение математического анализа, у него уже накоплен стереотип выполнения тождественных преобразований. В этих условиях преемственность преподавания должна выражаться в разрушении стереотипа тождественных преобразований путём решения достаточно большого количества задач типа «Оцените выражение...». Такие задания можно давать с первых дней изучения анализа, но именно этого и не происходит в популярных задачниках. В упомянутой книге [23] задачи на оценку выражений начинают рассматриваться лишь при изучении теоремы Вейерштрасса о монотонных последовательностях. При этом умение оценивать выражение, не будучи ещё сформированным, уже входит в качестве составной части в задачу на применение теоремы Вейерштрасса. Таким образом, принцип преемственности в преподавании оказывается, в определённом смысле, нарушенным.

Ниже, разделе 5.6, мы сконструируем подборку задач, которая обеспечивает преемственность преподавания анализа в отношении оценки выражений. По этому поводу см. также [60, с. 203-211].

Приведённые примеры показывают, что и полнота набора упражнений, и преемственность преподавания являются для авторов задачников не столько принципами, которым нужно следовать во что бы то ни стало, сколько некими естественными пожеланиями, которые можно выполнять лишь частично. Здесь необходимо сделать важную оговорку. Мы вовсе не считаем, что задачники должны быть написаны неким определённым, идеальным способом. Мы лишь хотим подчеркнуть, что принципы составления задачников действительно завуалированы, скрыты от читателя. Приходится предпринимать определённые усилия, подчас большие, чтобы понять то, что было известно автору задачника изначально, а именно, что может и чего не может дать используемый задачник.

Подчеркнём, что всё сказанное о задачниках отнюдь не носит оценочного характера. Упомянутые задачники, как и многие другие, полностью соответствовали целям своего написания. На них воспитывались многие поколения преподавателей и студентов, включая автора этих строк. Мы всего лишь хотим констатировать, что задачники эволюционируют медленнее учебников и что их важные черты - ориентация на технику, изолированность взаимосвязанных задач и завуалированность принципов составления - не позволяют говорить о смене поколения задачников.

3.1.3. О влиянии педагогики на задачник по математике

Говоря о задачнике, мы базируемся на системно-деятельностном подходе к преподаванию. Согласно ему, задачник - это средство организации деятельности всех участников процесса обучения, то есть преподавателя, студента и студенческой группы, рассматриваемой как единое целое. Естественно поэтому считать, что задачник по стандартному курсу тем лучше, чем более разнообразные виды деятельности могут быть организованы на его основе. В этой связи заметим, что тенденции современного преподавания буквально заставляют педагога организовывать формы деятельности особой направленности. Опишем кратко некоторые из таких тенденций и вытекающие из них требования к задачнику.

Важной характеристикой современного обучения математике является его личностная ориентация, его постепенная (постепенно растущая) персонализация, которая выступает в разных формах: уровневой дифференциации, профильной дифференциации, индивидуализации... В её основе лежит то простое обстоятельство, что про-

цесс освоения человеком того или иного понятия, навыка или круга идей происходит у разных людей по-разному в силу личных особенностей мышления. Оптимизация этого процесса возможна только в том случае, когда педагог располагает системой специальным образом подобранных упражнений, с помощью которой он может составлять задания, предназначенные персонально конкретному студенту. Эта система должна включать в себя упражнения разных типов и обеспечивать возможность одновременного решения нескольких педагогических задач. Укажем три направления персонализации обучения, которые неизбежно вытекают из практических потребностей. Условно назовём их базовой, восстановительной и пропедевтической персонализацией.

Во-первых, система заданий должна вырабатывать у студентов прочный навык решения стандартных упражнений. Распространённая практика отработки стандартных навыков, например, решения систем линейных уравнений, неестественна с психологической точки зрения. Действительно, сначала на практических занятиях группа из 20-25 человек одновременно решает одни и те же системы линейных уравнений, а затем получает в качестве домашнего задания вновь одинаковые системы. Гораздо естественнее выглядит предоставление каждому студенту своего, личного набора стандартных упражнений, не имеющегося у других студентов (базовая персонализация). Такой подход даёт существенно больший эффект по сравнению с традиционным по той простой причине, что точнее имитирует ситуацию, в которой находится специалист, окончивший вуз. Разумеется, от преподавателя требуется либо огромный запас стандартных упражнений и способность быстро ориентироваться в них, либо умение очень быстро составлять стандартные упражнения с заранее заданными свойствами.

Во-вторых, желательно, чтобы система заданий по данной теме предусматривала возможность ликвидации пробелов в знаниях студентов, возникших при изучении предыдущих тем (восстановительная персонализация). Поясним на примере, о каких упражнениях идёт речь. В течение многих лет практика показывает, что некоторая часть студентов-первокурсников не знает тригонометрических формул. При этом преподаватель не имеет времени для специальных занятий тригонометрией, а задания типа «повторить» или «выучить по школьному учебнику» оказываются совершенно неэффективными. Более того, у нас мало оснований надеяться на их эффективность.

Действительно, ученик ещё в школе получал задания «повторить» или «выучить», и если в школе стимулирующая роль таких заданий оказалась недостаточной для него, то вряд ли можно ожидать, что она существенно возрастёт в вузе. Один из естественных путей снятия данного противоречия состоит в использовании таких упражнений, которые для своего решения потребуют знания тригонометрических формул в качестве составной части. С этой точки зрения восстановительную роль по отношению к тригонометрии могут играть многие разделы самых разных математических курсов, например, комплексные числа, интегрирование, геометрические преобразования. Очевидно, что роль восстановительной персонализации особенно велика на младших курсах, однако и в дальнейшем она продолжает играть определённую роль, поскольку пробелы в знаниях студентов образуются по самым разным причинам.

В-третьих, педагогу необходимы задания разной степени сложности и трудности, величина которых выбирается в зависимости от успехов и заинтересованности конкретного студента. Этот блок заданий должен обслуживать сильных студентов, имеющих ярко выраженные профессиональные интересы отнюдь не обязанных равняться на студентов среднего уровня (пропедевтическая персонализация). Здесь необходимы системы заданий различного назначения, например, такие, решение которых способствует углублённому изучению какого-либо раздела математики и подводит студентов к решению задач научно-исследовательского характера. Тем самым будет осуществляться пропедевтика по отношению к работе студентов на последующих курсах и их обучению в магистратуре или аспирантуре. Очевидно, что с такими заданиями будет работать сравнительно небольшое количество студентов, однако это именно те студенты, из числа которых будет впоследствии пополняться преподавательский корпус и которые будут обеспечивать «расширенное воспроизводство» системы образования.

Итак, современный задачник по математике должен быть таким, чтобы на его основе можно было организовать работу со студентами в каждом из трёх направлений. Для того чтобы обеспечить персонализацию освоения базовых навыков, потенциальному автору задачника придётся составить полный список таких навыков. Для каждого навыка нужна будет классификация ответов, которые могут получиться при применении соответствующих методов решения. Для ответов каждого типа нужен набор упражнений, которые имеют ответ

именно данного типа, причём достаточно большой для самых маленьких подслучаев. Например, при освоении метода Гаусса решения систем линейных уравнений нам нужны системы как совместные, так и несовместные, среди совместных - определённые и неопределённые, а среди неопределённых - имеющие многообразия решений разных размерностей. Для обеспечения возможности восстановления утраченных навыков автору придётся составить список сопутствующих навыков, которые желательно восстанавливать при решении стандартных упражнений. Естественно, что при составлении банка стандартных упражнений следует заботиться о том, чтобы с его помощью можно было при необходимости восстанавливать возможно большее количество сопутствующих навыков. Для обеспечения опережающего развития талантливых студентов автору придётся классифицировать упражнения по уровням сложности, а также организовывать системы упражнений специального назначения.

Таким образом, дифференцированная работа со студентами требует создания многофункционального банка задач, большого по объёму и хорошо структурированного. Очевидно, что многообразие взаимосвязей между упражнениями является достаточно сложным (или, по крайней мере, громоздким) и не может быть в полном объёме воспринято использующим задачник педагогом ни при первом, ни при втором чтении. По существу, освоение задачника представляет собой некую научно-методическую проблему, и проходит достаточно много времени, прежде чем преподаватель осознает все те возможности, которые заложены в задачнике и которые были известны автору задачника изначально. Между тем, это время могло бы быть потрачено на новые исследования и, в частности, на совершенствование того же задачника. В силу этого желательно иметь в задачнике специальный дидактический раздел, который позволит преподавателю легко и в большом количестве создавать индивидуальные задания различного назначения, объёма и уровня сложности. В нём целесообразно поместить классификации упражнений и коллекций упражнений по различным признакам, описание взаимосвязей между ними, а также алгоритм составления индивидуальных заданий. Заметим, что такой классифицирующий раздел отсутствует в известных автору задачниках. Между тем, в современных условиях он легко может быть выполнен в виде компьютерной программы, сопровождающей сборник задач.

Мы видим, что для персонализации обучения желателен задачник весьма сложной структуры. Эта сложность приобретает ещё одно измерение, если мы обратимся к другой тенденции современного процесса обучения - его профессиональной направленности. Естественно считать, что учебные курсы по одному и тому же разделу науки должны существенно отличаться друг от друга в зависимости от будущей профессии слушателей. Таковы, например, курсы линейной алгебры для будущих математиков, будущих инженеров и будущих учителей. В курсе линейной алгебры для будущих математиков акцент делается на максимальную общность утверждений, математические конструкции, на классификацию аксиоматически определённых объектов. Для инженера главными являются вопросы построения и эффективности вычислительных алгоритмов. Для учителей на первый план выступает идея преемственности обучения в школе и вузе, идея связи курса линейной алгебры с соответствующими школьными предметами, взаимосвязь абстрактных понятий линейной алгебры со школьными понятиями.

Применительно к педагогическим вузам концепция профессиональной направленности обучения была разработана А. Г. Мордковичем [90-92]. Каждый принцип этой концепции предъявляет к процессу обучения, его методического обеспечения и, в частности, к задачнику достаточно строгие, хотя и естественные, требования. Например, согласно принципу рациональной фундаментальности студенту «необходима фундаментальная, но не оторванная от нужд приобретаемой профессии математическая подготовка..., овладение своим предметом в пределах, далеко выходящих за рамки школьного курса». Применительно к задачнику это означает, что в нём должны содержаться, с одной стороны, достаточно продвинутые задачи, характеризующие объекты и методы современных исследований, а с другой стороны - специализация (конкретизация, адаптация) этих задач до того уровня, когда они превращаются в обычные упражнения вузовского или школьного типа. Согласно принципу бинарности «основой построения математической дисциплины в педвузе должно стать объединение общенаучной и методической линий, придающее предмету двустороннюю значимость». Одной из возможностей реализации этого принципа при построении задачника могла бы стать организация коллекции задач, которые показывают, как простые и достаточно разрозненные понятия школьной математики требуют для своего единообразного описания перехода к абстракциям

более высокого уровня. (Хорошим примером могло бы служить то, как школьные понятия поворота, симметрии, производной и т.д. приводят к абстрактному понятию линейного оператора.) Работа с такими коллекциями задач раскрывает, с одной стороны, методологию математики как науки, а с другой стороны - конкретную методику введения новых понятий. Согласно принципу непрерывности «математические курсы должны участвовать в процессе непрерывного постижения <студентом> педагогической деятельности, содействовать тому, чтобы студент с первых дней обучения в вузе переводился с позиции школьника на позицию учителя». Добавим: учителя-учёного, создателя новых педагогических технологий. Применительно к задачнику это означает, что, перестав однажды быть простым иллюстратором лекционного материала и став средством организации деятельности студента, задачник должен оставаться таковым до конца курса.

Ситуация становится ещё сложнее, если мы будем учитывать третью тенденцию современного образования - тенденцию самостоятельного изучения отдельных вопросов программы. Действующие стандарты выделяют достаточно большое время, предназначенное для самостоятельной работы и, в частности, для самостоятельного изучения некоторых тем. Ориентация повседневного преподавания на самостоятельную работу смыкается с достаточно давней традицией такого изучения математики, при котором освоение того или иного её раздела происходит в результате самостоятельного решения большой серии специальным образом подобранных упражнений. Примером может служить книга В. Б. Алексеева «Теорема Абеля в задачах» [4], написанная на основе работы автора со школьниками. Известными руководствами такого типа являются книги И. М. Глазмана и Ю. И. Любича [35] по линейной алгебре, А. В. Архангельского и В. И. Пономарёва [8] по топологии, Г. Лефора [83] по алгебре и анализу, В. Ф. Бутузова и др. [19] по классическому анализу. Отметим, однако, что литература такого сорта не используется широко. Причина понятна: освоение материала «в задачах» - очень трудоёмкий, подчас чрезмерно трудоёмкий процесс, который не может быть рекомендован всем студентам в отношении всех дисциплин. В то же время, использование традиционны учебников и, тем более, задачников для самостоятельного изучения математики вряд ли является оптимальным, т.к. они явно или неявно предполагают параллельное и полномасштабное чтение лекций. Проблема состоит в том, чтобы при

построении нового задачника соединить достоинства двух существующих подходов. Для этого необходимо выработать критерии отбора таких тем и разделов математики, которые целесообразно изучать именно «в задачах», а также критерии оценки коллекций упражнений, предлагаемых для изучения конкретной темы.

Всё вышесказанное позволяет заключить, что требования, налагаемые тенденциями современного преподавания, превращают удовлетворяющий им задачник в достаточно сложную конструкцию, обладающую глубокими внутренними взаимосвязями и имеющую разнообразные применения. Отсюда естественным образом вытекают несколько дальнейших шагов нашего изложения. Прежде всего, мы должны высказать наши взгляды на понятия «упражнения» и «задача» и сформулировать принципы построения задачника, удовлетворяющего вышеперечисленным требованиям. Кроме того, мы должны выявить инструментальную роль наших принципов, то есть построить с их помощью задачник по одному из разделов математики. Наконец, мы должны показать, что построенный задачник позволяет моделировать базовые свойства научных исследований в учебном процессе.

Приступаем к первому пункту нашей программы.

3.2. Упражнение, задача, контекст задачи и моделирование научных исследований

В настоящем разделе обсуждаются термины, приведённые в заголовке. С этой целью с методической точки зрения рассматриваются различные по форме и уровню сложности вопросы, которые могут быть заданы о двух простых математических объектах. Даётся трактовка предлагаемых заданий с точки зрения концепции обучения математике как модели научных исследований.

3.2.1. О терминах «упражнение» и «задача»

В рамках данной книги условимся о следующей терминологии. Под упражнением будем понимать задание, которое выполняется с помощью алгоритма, известного студентам. Под задачей будем понимать задание, для решения которого студенту требуется выполнить какое-либо неформализуемое действие.

Рассмотрим две группы: мультипликативную группу С* комплексных чисел и матричную группу G, состоящую из матриц вида

Задание 1. Докажите, что отображение /: (С* —> G, заданное равенством

(1)

является изоморфизмом.

Согласно нашей терминологии, данное задание является упражнением, причём весьма несложным. Действительно, утверждение, которое требуется доказать, сформулировано в явном виде. Доказательство гомоморфности осуществляется прямой проверкой, базирующейся только на определениях: вычисляя f{a + bi)f{c + di), мы воспользуемся определением (1) и правилом умножения матриц, а вычисляя /'((а + bï){c + di)), мы воспользуемся правилом умножения комплексных чисел и определением (1); в обоих случаях получим один и тот же результат . Поверка биективности отображения также осуществляется просто.

Задание 2. Является ли отображение (1) изоморфизмом алгебр?

Это задание также является упражнением. Если оно и отличается от предыдущего, то только в чисто психологическом плане. Действительно, существуют два априорных ответа: «да» или «нет». Один из них с неизбежностью будет получен студентами, если выполнить проверку по тому алгоритму, который используется при решении предыдущего задания.

Задание 3. Докажите, что группы С* и G изоморфны.

Это задание следует считать задачей, несмотря на то, что утверждение, которое необходимо доказать, сформулировано в явном виде. Действительно, для его решения студенту придётся выполнить неформализуемое действие, а именно, сконструировать отображение (1). Лишь после этого производится формальная проверка его свойств, воспроизводящая решение задания 1.

Задание 4. Изоморфны ли группы Г и С?

Это задание является задачей, которая несколько труднее предыдущей. Действительно, хотя направление поиска и указано

(изоморфность), утверждение об алгебрах не сформулировано. Для выполнения задания придётся выполнить уже два неформализуемых действия: основываясь на интуиции, сделать выбор между положительным и отрицательным ответами, в случае выбора первого из них сконструировать определение (1) и лишь затем сделать формальную проверку свойств отображения. При этом на каждом из этапов могут быть допущены ошибки, так что учащийся до самого конца решения не может быть уверен в правильности своих действий.

Задание 5. Какая связь существует между группами (С* и Gl С одной стороны, данный вопрос содержит элемент подсказки, так как его форма предполагает наличие некой связи, которую просто предстоит обнаружить. С другой стороны, от учащегося требуется достаточный математический опыт, то есть понимание того, что взаимосвязи между двумя группами могут быть обусловлены их гомоморфностью или изоморфностью. Только после того, как студент догадается вести поиск в этом направлении, он может приступать к неформализуемым действиям предыдущей задачи.

Задание 6. Существует ли связь между группами С* и Gl Отличие этого задания от предыдущего - чисто психологическое, поскольку вопрос не имел бы смысла, если бы его автор не предполагал наличие какой-либо связи. В то же время, форма вопроса допускает «задачи-провокации», когда вместо группы G будет предложена группа, неизоморфная и негомоморфная группе С Например, мы можем заменить группу G на матричную группу G', состоящую из матриц вида (очень маленькое отличие!). Если мы сформулируем задание 6 применительно к группам (С* и G\ то ответ будет отрицательным, и для студентов будет непросто выявить причину отличия.

Задание 7. Связана ли группа С* с какой-либо матричной группой?

Очевидно, что это чисто поисковая задача, которая не может быть предложена на практических занятиях в качестве одного из заданий. В той же мере очевидно, что умение формулировать поисковые задачи необходимо для математика-профессионала.

Мы видим, что об одних и тех же объектах можно задать серию все более усложняющихся вопросов. Одно из направлений улучшения математической подготовки студентов может состоять в том, что

по мере обучения в вузе упражнения постепенно заменяются задачами, формулировки которых все более и более приближаются к формулировкам, характерным для реальной науки.

Разумеется, невозможно задать одновременно все вопросы о приведённых нами группах. Было бы желательно иметь родственные пары объектов и усложнять вопросы применительно к парам.

3.2.2. Тиражирование заданий и контекст заданий

Все задания предыдущего раздела, даже самые трудные из них, могут иметь в глазах учащихся несколько искусственный характер, так как не предъявляется никаких причин, в силу которых следует изучать группу G (в отличие от группы С* !). Поисковое задание 7 отличается некоторой неопределённостью, поскольку студентам неясно, почему, собственно, нужно искать связь с матричной группой (ведь группа (С* и без того проста и естественна) и как производить такой поиск. По-видимому, выяснение причин интереса к матричным группам невозможно без использования контекста, в который могут быть «встроены» предыдущие задания.

Рассмотрим ситуацию с точки зрения стандартных алгоритмов линейной алгебры: проверки свойств линейности отображения и построения матрицы линейного оператора. Для этого воспроизведём стандартную конструкцию левого сдвига на алгебре для некоторых частных случаев.

Считая, что С - двумерная вещественная алгебра и z = а + Ы Е С, построим отображение Lz \ С —> (С по формуле Lz(u) := zu. Пользуясь свойствами операций над комплексными числами, нетрудно доказать, что Lz является линейным оператором. Если вычислить матрицу оператора Lz в стандартном базисе (1, £), то получим матрицу вида (а -Ъ\. Теперь появление группы G в заданиях 1-7 станет для студентов более естественным.

Мы можем проделать линейно-алгебраические упражнения из предыдущего абзаца для различных алгебр из следующего списка.

1. Двойные числа

2. Дуальные числа

3. Квадратичные расширения

4. Кубическое расширения

5. Расширения четвертой степени рассматриваемое как алгебра над Q.

6. То же самое расширение, рассматриваемое как алгебра над

7. То же самое расширение, рассматриваемое как алгебра над

Результаты вычислений могут быть сведены в таблицу 13.

Таблица 13. Алгебраические расширения и матрицы.

Теперь мы можем извлечь методическую пользу не только из отдельных заданий, относящихся к двум первоначальным группам, но и из контекста, в котором они находятся. Во-первых, многократное повторение ситуации показывает студентам, что появление матричных объектов в заданиях 1-7 отнюдь не случайно. Во-вторых, преподаватель имеет возможность постепенно усложнять свои вопросы, переходя от одной пары объектов к другой: предложить задание 1 применительно к группе (С* и ее матричному образу, предложить задание 2 применительно к мультипликативной группе Ш)©*, и т.д.

Анализ таблицы 13 даёт учащимся достаточный материал для двух достаточно серьёзных математических выводов.

1) Построение матриц, соответствующих элементам всех рассмотренных алгебр, не зависело ни от множества векторов, ни от природы поля, ни от размерности пространства. Во всех случаях применялась единообразная конструкция - левые сдвиги. Это вплотную подводит студентов к общему утверждению: для каждой конечномерной алгебры можно построить её матричный образ.

2) Таблицу 13 можно рассматривать с другой точки зрения. Можно считать, что мультипликативная группа С* вложена в алгебру С, то есть (С* с (С. Благодаря этому каждый элемент группы действует в векторном пространстве С как левый сдвиг и порождает соответствующую ему матрицу. То же самое можно сказать о других вложениях Ю)©* с Ю)©, Dun* с Ой и т.д. Как же следует поступать, если мы имеем конечную группу H и хотим построить её матричное представление? Предыдущие примеры подсказывают, что необходимо построить объемлющую алгебру, на которой группа H действовала бы посредством левых сдвигов. Именно это и делается во всех стандартных руководствах при построении групповой алгебры над полем (см., например, [81, с. 504]).

Автор считает необходимым отметить, что его студентам практически всегда удавалось самостоятельно сделать вышеприведённые выводы после того, как результаты из таблицы 13 были получены и суммированы в концентрированном виде.

Употребляя педагогическую терминологию, можно сказать, что материал, собранный в таблице 13, порождает проблемную ситуацию, которая находит естественное разрешение при систематическом изучении теории представлений. Благодаря этому два математических вывода органически вписываются в систему изучения алгебры в педагогическом университете: они являются одной из конечных точек

регулярного курса и могут служить отправной точкой для спецкурса, спецсеминара или аспирантского исследования.

Таким образом, тиражирование однотипных заданий применительно к нескольким алгебрам создаёт контекст исходного задания и может оказаться полезным с различных точек зрения.

3.2.3. О моделировании некоторых свойств научных исследований

Рассмотрим предложенный выше материал в рамках представлений автора о преподавании математики как о модели научных исследований.

Задания 1-7 и содержание таблицы 13 являются первыми, простейшими фактами теории представлений групп. Получается, что изучая стандартный программный материал об изоморфизмах групп и о линейных операторах, студенты знакомятся с началами продвинутой математической теории. Тем самым в преподавании математики отражается одно из свойств научной деятельности - содержание математических исследований. С точки зрения методики преподавания важно, что такое знакомство осуществляется на обычном, технически простом материале. Поиск возможно большего числа областей, допускающих подобное моделирование, может составить одно из направлений методических исследований.

Таблица 13 содержит достаточно много примеров. Преподаватель имеет возможность распределить их между микрогруппами студентов и предложить каждой из микрогрупп одно или несколько заданий типа 1-7. Решения и ответы могут быть доложены на практических занятиях, так что целостная картина возникнет в сознании каждого из учащихся как результат обмена информацией, полученной членами коллектива в процессе самостоятельной деятельности. Тем самым выявляется личностно-социальный дуализм математики, который воссоздаётся в процессе преподавания в виде информационного обмена, непрерывно происходящий между членами научного сообщества.

Выводы предыдущего подраздела о возможности регулярного представления алгебр и о необходимости построения групповой алгебры базируются на рассмотрении серии примеров и на поиске того общего, что объединяет их. Тем самым предложенный материал выявляет одно из важных свойств математики - её индуктивно-дедуктивный дуализм.

Итак, мы показали, что одно конкретное задание и его контекст позволяют выявить три из шести базовых свойств научных исследований, которые, с нашей точки зрения, целесообразно моделировать в учебном процессе (раздел 1.8). Для нас важно, что моделирование свойств научных исследований может быть сделано на технически простом математическом материале. По мнению автора, такое моделирование представляет собой одну из узловых точек, в которых могут сойтись интересы педагога, математика и специалиста по методике её преподавания.

Если согласиться с тем, что развитие отдельного студента повторяет, в трансформированном виде, путь развития науки, то то же самое и с тем же основанием можно сказать об академической группе студентов. Так мы ещё раз приходим к той точке зрения, что процесс преподавания предполагает наличие трёх равноправных участников -преподавателя, студента и студенческой группы, рассматриваемой как единое целое. Реализация принципов групповой педагогики на чисто математическом материале представляет собой интересную проблему.

В разделе 2 появление матричных групп было мотивировано с помощью рассмотрения нескольких алгебр с единой точки зрения. При этом возникает вопрос о происхождении самих этих алгебр. Отметим, что рассмотренные расширения поля Q появляются в контексте проблемы разрешимости уравнений в радикалах, принадлежат к числу простейших числовых полей и содержатся в классических руководствах по алгебре для педагогических вузов (см., например, [98]). Алгебры двойных и дуальных чисел являются примерами гиперкомплексных систем, которые исторически возникли при попытках построить числа, играющие в отношении трёхмерного пространства ту же роль, что и комплексные числа в отношении плоскости (см. [61]). Таким образом, все алгебры естественным образом соприкасаются с программой по математике для педагогического вуза.

3.3. Принципы построения задачника по математике

В разделе 3.1. было показано, что реалии современного преподавания предъявляют к задачнику весьма существенные требования. Эти требования столь многочисленны и разнообразны, что могут показаться и оказаться в действительности трудновыполнимыми. Образно говоря, они являются чем-то вроде тактико-технических данных самолёта, который ещё предстоит спроектировать и построить.

По существу же все они представляют собой педагогическую часть программы написания современного задачника по математике. Возникает естественный вопрос: какими принципами следует руководствоваться потенциальному автору задачника, чтобы из бесконечного множества возможных упражнений составить систему упражнений, обладающих необходимыми педагогическими свойствами?

Каковы бы ни были искомые принципы, было бы весьма желательно, чтобы они служили инструментом построения задачника и выполняли ряд функций. Их генерирующая функция состоит в том, чтобы служить источником конкретных упражнений, причём в возможно большем количестве. Структурирующая функция состоит в том, чтобы располагать упражнения с систему, которая, рассматриваемая как единое целое, предназначена для решения определённых педагогических задач. Наконец, стимулирующая функция состоит в том, чтобы способствовать развитию во времени задачников как вида учебной литературы.

Предложим два принципа, которые существенно облегчают решение данной проблемы и, быть может, окажутся достаточными для её решения. Первый из них является модификацией принципа Моделирования Научных Исследований (МНИ). Второй назовём принципом Единства Банка Заданий и Методики Его Использования, или кратко, Задания + Методика (З+М).

Принцип МНИ применительно к задачникам: задачник является средством моделирования на практических занятиях различных аспектов научно-исследовательской работы.

Данное утверждение является весьма сильным, на первый взгляд, слишком сильным. Оно предполагает, что задачник будет выполнять чрезвычайно тонкие и важные функции, которые могут показаться несвойственными ему именно в силу своей глубины и нетривиальности. Он выглядит как ещё одно требование к задачнику, а вовсе не как средство выполнения предыдущих требований. Дело, однако, обстоит несколько сложнее. Прежде всего, заметим, что единственным источником наполнения задачника конкретными заданиями служит математический и педагогический опыт научного сообщества, преломлённый через личный опыт автора задачника. В силу этого задачник вольно или невольно является отражением процессов, происходящих в математике и её преподавании. Принцип моделирования означает только то, что это отражение должно быть использовано, причём, целенаправленно и возможно боле эффективно. Второе, на

что следует обратить внимание, - это неполнота любой модели. Полной, изоморфной моделью научного творчества является научное творчество, и только оно, и очевидно, что его сутью не может быть работа с задачником, пусть сколь угодно «хорошим». Другое дело, что можно говорить о тех или иных аспектах работы учёного, которые могут быть воспроизведены в процессе использования задачника.

Единство Банка Заданий и Методики Его Использования: задачник по учебной дисциплине является описанием методики изучения этой дисциплины на практических занятиях, включающее в себя, в качестве составной части, собственно банк заданий.

Кратко поясним, что мы понимаем под методикой освоения учебной дисциплины в контексте данной работы. Выделим здесь три её аспекта: целевой, технологический и структурный.

Прежде всего, следует указать основные качественные цели проведения практических занятий и взаимодействие этих занятий с другими видами учебной работы. Детализация целей потребует выявления перечня технических и исследовательских умений и навыков, вырабатываемых в процессе изучения дисциплины. Для каждого умения/навыка необходимо указать этапы его формирования, а для каждого этапа - соответствующие номера заданий. Обобщённо говоря, автор задачника выступает как проектировщик методики изучения дисциплины и вольно или невольно предлагает некоторые элементы педагогической технологии, используемой при освоении дисциплины.

Структурный компонент методики наиболее сложен и интересен. По естественным причинам расположение заданий практически всегда является линейным и соответствует последовательности изучения материала. Линейность расположения приводит к тому, что задания, объединённые в сознании автора задачника одной математической или педагогической идеей, оказываются расположенными далеко друг от друга. Для пользователя эта взаимосвязь отнюдь не является очевидной и может остаться вообще неизвестной. Например, такие тесно соприкасающиеся друг с другом темы как геометрические преобразования, комплексные числа и матрицы вида

изучаются не только в разное время, но и в разных учебных дисциплинах. Методика изучения включает в себя перечень идей, объединяющих упражнения в группы по тому или иному признаку. Тем самым линейный набор заданий приобретает внутреннюю структуру, которая предоставляет педагогу весьма широкие возможности для

организации практических занятии, возможности, далеко выходящие за рамки выработки чисто технических навыков.

Покажем, что оба принципа тесно взаимодействуют между собой и при этом каждый из них выполняет по отношению к задачникам генерирующую, структурирующую и стимулирующую функции.

Генерирующая функция принципа МНИ состоит в том, что переработка различных математических теорий в учебный материал даёт для задачника многочисленные упражнения и задачи. Ясно, однако, что построенное с его помощью множество заданий обязательно несёт на себе первоначальную, грубую структуру, отражающую строение математики как науки: последовательность, традиционные для математики формулировки, некоторые взаимосвязи и проч. В своём первозданном виде это множество заданий не может служить задачником, т.к. оно не приспособлено к требованиям педагогического процесса: может оказаться нарушенным правило «от простого к сложному», отдельные задания могут оказаться чересчур трудными, могут отсутствовать упражнения, формирующие некоторые из необходимых технических навыков, и т.д. Здесь вступает в дело принцип З+М. Его основная роль состоит в том, чтобы особым образом переработать математический фольклор, преобразовать его в приемлемую для восприятия систему заданий, образно говоря, переработать математическое сырье в педагогический продукт. В процессе такой переработки выявляются взаимосвязи между отдельными заданиями, формируется система вырабатываемых навыков, упражнения и задачи выстраиваются в порядке, удобном для изучения и в то же время отражающем логику науки. Таким образом, влияние второго принципа является, в основном, структурирующим. Однако в процессе создания методической части задачника потребуется указать не только вырабатываемые навыки, но и этапы их формирования, а также ввести в задачник упражнения и задачи, обеспечивающие выработку каждого навыка на каждом из этапов. Порождённое чистой математикой множество упражнений не может быть столь тщательно проработанным, так что недостающие звенья приходится заполнять, руководствуясь вторым принципом. Тем самым проявляется его генерирующая функция.

Стимулирующая функция принципа МНИ осуществляется путём «отслеживания» процессов, происходящих в науке. Как только та или иная научная теория появляется на свет и занимает своё место в системе математических знаний, так сразу в отношении неё можно

поставить два вопроса: допускает ли она переработку части своего материала в профессионально ориентированную систему заданий, и если да, то целесообразно ли включение этой системы в учебный процесс? При положительном ответе на оба вопроса использование новых заданий, а значит и приобщение к новой теории, окажется вполне естественным.

Конечно, появление обучающих заданий возможно только после появления научной теории, и в этом смысле стимулирующая роль принципа МНИ оказывается вторичной. Тем не менее, анализ учебной литературы показывает, что адаптирующая работа отнюдь не проделана в отношении многих и многих направлений математики. Таковы, например, ставшие классикой теория представлений групп и теория групп и алгебр Ли. О представлениях групп мы говорили в разделе 3.2, а об алгебрах Ли будем говорить в разделе 5.1. Важно, что будет показана возможность достаточно глубокого проникновения в эти разделы математики при помощи предельно простых технических средств, предусмотренных программой педагогических вузов.

Систематическая адаптирующая работа не только даёт нам новый взгляд на классические объекты, не только подводит вплотную к современным исследованиям, но и порождает новые возможности для использования старой литературы. Например, ставший редкостью «Курс высшей алгебры» Л. Я. Окунева [98] оказывается насыщенным примерами супералгебр! Ситуация любопытна, т.к. учебник был опубликован в 1966 г., а теория супералгебр оформилась в самостоятельную научную дисциплину на рубеже 70-80 гг. прошлого века.

Таким образом, принцип МНИ - это, образно говоря, рука на пульсе науки. Отметим, что его стимулирующая роль существенно возрастёт, если ориентировать его не только на математику, но и на методику её преподавания.

Говоря о стимулирующей роли принципа З+М, сравним реально существующую ситуацию с той гипотетической ситуацией, которая могла бы возникнуть при достаточно широкой его поддержке.

В настоящее время у преподавателя есть только один способ осмысления педагогических возможностей задачника - решить все содержащиеся в нём задания. Этот способ, несомненно, имеет ряд достоинств, однако, по мнению автора, его следует считать чрезмерно трудоёмким, поскольку речь подчас идёт о нескольких тысячах заданий!

Другая ситуация предполагает явное декларирование математико-педагогических целей изучения данной дисциплины, описание вырабатываемой системы умений и навыков, указания средств достижения этих целей... При переходе от первой ситуации ко второй мы, прежде всего, можем рассчитывать на улучшение качества задачников. Действительно, явное описание методики их использования вольно или невольно приведёт к достаточно серьёзной экспертизе задачников со стороны педагогического сообщества и его повседневной практики. При этом в работе автора задачника усилится собственно педагогический компонент, так как ему придётся не просто подбирать упражнения и задачи, а заботиться об осмыслении и формулировании принципов подбора заданий.

Вторым следствием, которого можно ожидать, является повышение эффективности использования задачника преподавателями вузов. Прежде всего, развёрнутое изложение методики является средством достижения некоторого первоначального уровня преподавания, то есть некоего уровня воздействия на студентов, понижение которого было бы неестественным. Кроме того, если перед преподавателем поставлены конкретные цели изучения дисциплины, то тем самым ему предоставлены ориентиры для самого широкого педагогического творчества. Можно заняться детализацией целей изучения данной дисциплины, совершенствованием системы умений и навыков, подбором новых заданий, вырабатывающих данный навык, и т.п. В результате взаимного влияния задачника и использующих его преподавателей рано или поздно возникнет представление о задачниках нового поколения, воздействующих на студентов более эффективно, чем существующие. Тем самым можно надеяться, что изложение методики использования задачника послужит стимулом для непрерывного совершенствования задачников во времени. Заметим также, что оно будет способствовать раннему вовлечению начинающих преподавателей в процесс педагогического творчества.

Естественно ожидать, что наличие в задачнике методики его использования окажет непосредственное воздействие на студентов как на читателей. Действительно, предварительная формулировка целей изучения данной дисциплины и предложенный перечень умений и навыков будут вырабатывать у студентов понимание перспектив обучения, а значит, будут способствовать сознательности усвоения материала и, как следствие, повышению качества знаний. Наличие методики особенно полезно для студентов педагогических вузов, так как в

процессе изучения математики будет происходить их знакомство с элементами методики преподавания математики в вузе. При этом можно не ограничиваться простым знакомством, а сделать предложенную в задачнике методику предметом самостоятельного изучения, например, на спецкурсах или спецсеминарах.

Для студентов педагогических вузов ещё один интересный эффект состоит в том, что знакомство с элементами методики преподавания математики в вузе предшествует систематическому изучению методики преподавания математики в школе. При этом изучение математической дисциплины в вузе и знакомство с элементами методики её преподавания происходит одновременно, а это способствует формированию весьма важного педагогического навыка - умения перерабатывать научную теорию в учебный курс.

Мы видим, что следование принципу З+М целесообразно с различных точек зрения и весьма плодотворно для каждого из компонентов сложной системы «Автор задачника - Задачник - Преподаватель - Студент». Его реализация порождает большие возможности для совершенствования задачников во времени и постижения студентом педагогической деятельности.

Ниже, в главе 4, мы предложим реализацию принципов МНИ и З+М путём предъявления различных систем заданий и описания способов их построения. При этом каждый раз будут показаны два обстоятельства: а) отдельные задания и системы заданий возникали благодаря применению декларируемых принципов к математическому фольклору, то есть к множеству заданий, рассеянному по литературе и передаваемому изустно; б) применение тех же принципов к полученной коллекции заданий подсказывает методику её использования на практических занятиях. Выделение базовых свойств математического творчества оказывается плодотворным в следующем смысле: каждое из них порождает большое количество конкретных упражнений, из которых могут быть составлены задачники самого разного назначения. При этом требования к задачнику, изложенные в разделе 3.1, будут выполняться естественным образом и достаточно легко.

Сказанное в предыдущем абзаце означает, что принципы МНИ и З+М составляют основу технологии написания задачников, которая незримо присутствует во Введении. Несмотря на то, что заявка на владение такой технологией выглядит амбициозно, она вполне укладывается в существующую традицию. Например, Дж. фон Нейман в

своей знаменитой статье «Математик» [95] указывает на различие между работой математика и анализом содержания его деятельности: «Анализ природы интеллектуальной деятельности в любой области знания - задача не из лёгких, даже если эта область не так далека от основного круга интеллектуальных усилий большинства людей, как математика. Анализ природы интеллектуальной деятельности труден по существу: какую бы сферу интеллектуальной деятельности мы ни взяли, анализировать её несравненно труднее, чем заниматься ею». Мысль фон Неймана в полной мере относится к написанию учебной литературы. Мы надеемся, что декларируемые принципы действительно окажутся полезными для будущих авторов.

3.4.* Многофункциональность упражнения и многофакторность умения

В разделе сформулированы два утверждения, связанные с процессом формирования математических умений. Будучи взаимно противоположными, они, по мнению автора, хорошо дополняют друг друга.

3.4.1. Основные утверждения

Первое утверждение, которое мы назовём многофункциональностью упражнения, формулируется так: упражнение формирует, как правило, не одно умение, а целую группу умений.

Проиллюстрируем это на материале курса алгебры и теории чисел. Для этого рассмотрим следующую задачу.

Задача. Подкольцо IL кольца Ж порождает бинарное отношение Т на Ш. следующим образом:

Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то найдите фактор-множество Ж/Т.

Решение. Прежде всего, отметим, что появление такой задачи при изучении отношений эквивалентности вполне естественно. Действительно, при построении теории чисел в рамках базового курса алгебры и теории чисел мы вместо включения 2с1 используем включение Gm с Ж, где Gm - множество чисел, кратных m Ф О,1, а вместо бинарного отношения Т - отношение сравнения = по модулю m; сами же отношения Т и = определяются единообразно.

Доказательство того факта, что Т - отношение эквивалентности, основано на свойствах операций над вещественными числами. Например, транзитивность доказывается следующим образом:

Переходя к описанию фактор-множества, нетрудно заметить, что любые различные числа полусегмента [0,1) попарно неэквивалентны и что любое вещественное число эквивалентно одному из чисел данного полусегмента. Таким образом, фактор-множество построено, однако результат построения недостаточно хорош, поскольку с тем же основанием можно назвать фактор-множеством многие другие объекты, например, полусегмент [а, а + 1) при произвольном а, полуинтервал (а, а +1], объединение сегмента и интервала [0,1/2] U (3/2,2) и т.д. Для канонического описания фактормножества нужно вспомнить, что полусегмент [0,1) находится во взаимно-однозначном соответствии с полусегментом [0,2л:), который, в свою очередь, находится во взаимно-однозначном соответствии с окружностью 5, заданной стандартными параметрическими уравнениями. Образуя композицию этих соответствий, мы можем получить каноническое отображение f-.Ж/Т —> S, определяемое параметрическими уравнениями jy = sin 2nt.

Итак, фактор-множество является окружностью: Ш/Т = S.

Приведённая схема решения показывает, что задача по своему происхождению является алгебраической, результат формулируется на геометрическом языке, а значительная часть доказательства осуществляется с помощью техники, характерной для математического анализа. Таким образом, данная задача действительно формирует группу разнохарактерных умений.

Отступим от основной линии изложения и наметим развитие данной задачи в двух направлениях, геометрическом и алгебраическом.

Бинарное отношение Т на Ж порождает бинарное отношение 7\ на множестве IR2, которое определяется следующим образом:

Другими словами, две точки из IR2 находятся в бинарном отношении 7\, если их первые координаты эквивалентны в смысле отношения Т.

Нетрудно доказать, что 7\ - отношение эквивалентности. Из его определения вытекает, что для факторизации Ж2 = Ж X Ж по 7\ нужно профакторизовать по Т первый множитель декартова произведения, откуда следует, что Ж2/7\ = (Ж/Т) х 1 = 5 х 1. Очевидно, что декартово произведение окружности 5" на прямую Ж является цилиндром.

Аналогично, отношение Т на Ж порождает бинарное отношение Т2 на множестве Ж2, которое определяется следующим образом:

Другими словами, две точки из Ж2 находятся в бинарном отношении Т2, если их соответственные координаты эквивалентны в смысле отношения Т.

Нетрудно доказать, что Т2 - отношение эквивалентности. Из его определения вытекает, что для факторизации Ж2 = Ж X Ж по Т2 нужно профакторизовать по Т каждый множитель декартова произведения, откуда следует, что Ж2/Т2 = (Ж/Т) х (Ж/Т) =5x5. Декартово произведение двух окружностей - это тор. Таким образом, исходная алгебраическая задача получила хорошее геометрическое продолжение.

Эту же задачу можно рассматривать с точки зрения теории групп, поскольку (Ж, +) - это группа. Каждое вещественное число а порождает класс эквивалентности a G Ж/Т. Если определить операцию сложения на Ж/Т с помощью формулы а + b := а + Ь, то можно доказать, что это определение корректно и что пара (Ж/Т, +) образует группу.

Вспомним теперь об отождествлении фактормножества с окружностью: классы эквивалентности а и b из фактормножества соответственно отождествляются с точками А = (cos 2ла, sin 2nd) и В = (cos2nb, sm2nb) на окружности. В силу этого операция сложения классов индуцирует операцию сложения точек: А + В = С = (cos 2п(а + Ь), sin 2л(а + Ь)). Естественно поставить вопрос о том, как найти положение точки С на окружности, зная положения точек А и В. Совершенно аналогично можно построить операции над точками цилиндра и тора и поставить задачу о выяснении геометрического смысла этих операций. Таким образом, как исходная задача, так и её продолжение формируют целую группу умений из различных разделов математики.

Второе из основных утверждений, которое мы назовём многофакторностью умения, формулируется так: умение формируется, как правило, под воздействием многих разнохарактерных упражнений.

Дело в том, что умение нельзя считать сформированным в момент сообщения студенту его формально-логической базы, то есть формулы, теоремы, алгоритма и т.д. Для его полного формирования необходима как стадия пропедевтики, так и стадия применения. Последняя, в свою очередь, состоит из двух частей: непосредственного применения и вхождения умения в качестве составной части в более сложный комплекс умственных действий. Например, вряд ли можно считать, что учащийся овладел тригонометрическими формулами в тот момент, когда они были впервые выведены преподавателем или даже получены самостоятельно. Их полное освоение происходит в процессе решения тригонометрических уравнений и неравенств, доказательства тригонометрических тождеств, исследования тригонометрических функций, вычисления интегралов от тригонометрических функций, действий с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, и т.д. Умение приводить матрицу к ступенчатому виду оказывается полностью сформированным в результате решения систем линейных уравнений, исследования таких систем с параметрами, применения метода неопределённых коэффициентов в алгебре и математическом анализе, выполнения более чем полутора десятков алгоритмов линейной алгебры. Умение дифференцировать формируется не только при выполнении упражнений на технику дифференцирования, но также при исследовании функций и построении их графиков, при дифференцировании интегралов с переменным верхним пределом, при исследовании функций многих переменных, при изучении функций комплексного переменного.

Перечисленные и многие другие примеры выявляют одно объективное обстоятельство: многие математические умения и навыки, которые начали формироваться ещё в школе, доводятся до совершенства в вузе в процессе решения упражнений и задач самых разнообразных типов.

3.4.2. Основные утверждения в свете некоторых методических концепций

Рассмотрим сформулированные выше основные утверждения с точки зрения двух различных методических концепций: авторской

концепции обучения математике как модели научных исследований (см. [142, 143] или предыдущие главы настоящей книги) и теоретических основ подготовки преподавателей профильных школ О. А. Иванова [54].

Согласно первой из них обучение математики в педвузе должно быть моделью исследовательской работы в сфере математики и методики её преподавания [142, с. 17]. При этом одним из свойств научной работы, подлежащих воспроизведению в учебном процессе, является содержание современных математических исследований. Моделирование этого свойства предполагает введение студентов в круг объектов, изучаемых наукой в настоящее время, знакомство с типичными исследовательскими задачами [142, с. 19-20]. Для педагогических вузов, в отличие от классических университетов, это чрезвычайно сложная задача, поскольку преподаватели вынуждены оставаться в рамках государственных образовательных стандартов, которые, к сожалению, достаточно бедны.

Покажем, что, несмотря на свою простоту, задачи предыдущего раздела готовят студентов к восприятию таких современных математических понятий, как группы Ли и однородные пространства. В предыдущем разделе было показано, что на окружности, цилиндре и торе можно ввести алгебраические операции, удовлетворяющие аксиомам группы. Тем самым в поле зрения студентов возникает необычное явление, когда предмет изучения несёт на себе одновременно две разнотипные структуры, а именно, является и геометрическим объектом, и группой. Ретроспективный взгляд показывает, что эта ситуация встречалась достаточно часто, хотя ей, быть может, и не уделялось должного внимания. Действительно, целый ряд хорошо знакомых геометрических объектов несёт на себе групповую структуру: прямая (группа Ж по сложению), прямая с выколотой точкой (группа Ш* = М\{0} по умножению), открытый луч (группа положительных чисел по умножению), плоскость (группа Ж2 по сложению), плоскость с выколотой точкой (группа С* = <С\{0} по умножению). К этому списку из восьми примеров можно при желании добавить спирали на комплексной плоскости

каждая из которых образует мультипликативную группу. Их изучение естественно вписываются как в курс математического анализа, так и в курс дифференциальной геометрии. В перспективе, при изучении кватернионов, можно рассмотреть мультипликативную группу

кватернионов с единичной нормой, или другими словами, трёхмерную сферу, несущую на себе групповую структуру. Отметим, что изучение кватернионов до недавнего времени включалось в программу педагогических вузов; см., например, [75, с. 299]. Таким образом, мы получаем достаточно богатую «зоологию» особых математических объектов, отталкиваясь от которой можно начать систематическое изучение групп Ли. Важно, что этот список примеров возник на базе весьма простой математической техники.

Для введения представлений об однородных пространствах напомним определение действия группы на множестве: группа G действует на множестве М, если задано отображение A\G х M —» M, удовлетворяющее свойствам

здесь Ад(х) := А(д,х) и е 6 G - единица группы.

Каждое действие А порождает отношение эквивалентности 7" на множестве М, заданное следующим образом:

Фактормножество М/Т' называется однородным пространством относительно группы G.

Приведённая конструкция, несмотря на свою высокую абстрактность, имеет самое непосредственное отношение к курсу математики в педагогическом вузе. Действительно, в случае, когда G = TL, M = Ш, а действие задаётся равенством Ад (х) := g + х, простая проверка показывает, что Т = Т' и, следовательно, окружность является однородным пространством относительно группы Ж. Естественно, что цилиндр и тор также оказываются однородными пространствами. В тезисах докладов [140] показано, что представление о трёх классических геометриях - евклидовой, сферической и Лобачевского - как об однородных пространствах может быть сформировано в базовом курсе геометрии для педагогического вуза; более полное изложение см. в [143, с. 177-184]. Итак, мы вновь видим, что простые задачи позволяют приобщать студентов к первоначальным понятиям продвинутой математической теории.

Необходимость такого приобщения становится очевидной, если обратиться к теоретическим основам подготовки преподавателей математических школ. Определяя цели их подготовки, О. А. Иванов пишет: «Обучение на математических факультетах университетов

должно быть направлено на подготовку специалиста - учителя высшей квалификации - с профессиональными навыками научного работника и учителя-методиста» [54, с. 31-32]. При этом во главу угла ставятся так называемые интегративные курсы, которые характеризуются двумя особенностями: во-первых, изложение материала происходит не строго последовательно, а группируется вокруг определённых понятий, математических идей и утверждений; во-вторых, в этом изложении понятия и идеи элементарной математики связываются с общими математическими понятиями, идеями и утверждениями, известными студентам по базовым университетским курсам [54, с. 53]. Теоретико-методической основой соответствующего практикума по решению задач является понятие пучка задач, под которым понимается «такая их совокупность, определяющей характеристикой которой является наличие разнотиповых взаимосвязей между отдельными составляющими эту совокупность задачами, обеспечивающее включение обратной связи в процесс их решения» [54, с. 58].

Нетрудно видеть, что рассмотренные выше математические задачи как раз и характеризуются наличием разнотипных взаимосвязей между рассматриваемыми объектами, группируясь при этом вокруг одного понятия - отношений эквивалентности. Таким образом, они могут рассматриваться и в качестве маленького фрагмента интегративного лекционного курса, и в качестве пучка задач из сопутствующего ему практикума.

Заметим, что приведённые выше многофункциональные упражнения в полной мере учитывают потребность в выявлении базовых, характерных, специфических свойств математики. Действительно, они формируют представления о фундаментальных приёмах деятельности математика: о факторизации и об отождествлении изоморфных объектов. Их узловой, опорный характер обусловлен, помимо прочего, их повторяемостью во времени. Действительно, к ним можно обращаться с различных точек зрения при изучении отношений эквивалентности, комплексных чисел, теории групп, теории функций комплексного переменного, оснований геометрии, поскольку окружность можно трактовать самыми разными способами: как множество комплексных чисел с единичным модулем, как мультипликативную подгруппу группы С*, как множество чисел вида е1<р, как однородное пространство.

Мы видим, что многофункциональные упражнения, возникшие, казалось бы, из чисто математических соображений, оказываются по-

лезными с точки зрения двух различных педагогических концепций, возникших независимо друг от друга. Мы трактуем это обстоятельство как проявление закономерности, сформулированной А. Пуанкаре: «Размышлять о том, каким образом лучше всего внедрить новые понятия в девственный ум ребёнка, - значит в то же время размышлять о том, каким образом эти понятия были приобретены нашими предками; значит, следовательно, размышлять об их истинном происхождении, а это, по существу, значит размышлять об их истинной природе» [109, с. 286].

Глава 4

ТЕХНОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ БАНКА ЗАДАНИЙ

В данной главе реализованы общие положения предыдущих глав применительно к линейной алгебре и бинарным отношениям. Выбор этих разделов не случаен. В настоящее время линейная алгебра в том смысле, как понимают этот термин современные математики, является наиболее широко используемым аппаратом для всех разделов чистой и прикладной математики - от теории алгебраических чисел до квантовой механики, не говоря уже об алгебраической топологии или функциональном анализе. В то же время, при изучении вещественных векторных пространств размерностей 2 и 3 сразу же обнаруживается, что линейная алгебра и элементарная геометрия отличаются друг от друга только языком: каждую из них можно понимать как перевод другой. Отношения эквивалентности являются той естественной темой, с которой можно начать целенаправленную реализацию предлагаемой концепции: с одной стороны, школьный курс математики насыщен отношениями эквивалентности, а с другой стороны, они присутствуют на всех уровнях математики и во всех её областях. Таким образом, реализация теоретических положений применительно к выбранным разделам фактически означает их реализацию применительно к математике вообще. Заметим, кстати, что о «всепроникающем» характере теории групп можно сказать практически то же самое, что было сказано о двух вышеупомянутых разделах.

В данной главе мы несколько сузим объект обсуждения и будем говорить только о подготовке учителя математики, а не о математическом образовании вообще. Автор надеется, что такая концентрация позволит полнее реализовать теоретические положения. Впрочем, названные разделы математики являются неотъемлемой частью педагогического образования, так что их изучение может в полной мере выявить базовые свойства научных исследований.

Очевидно, что задачник, с помощью которого происходит моделирование научных исследований в учебном процессе, не может быть сконструирован как простая компиляция. Помимо постоянно используемых заданий, педагогическая ценность которых проверена многими поколениями преподавателей, автору пришлось придумать многочисленные задания и подборки заданий, обеспечивающие реализацию поставленных целей. Процесс отбора известных заданий и изобрете-

ние новых был подчинён ряду принципов, или, образно говоря, математический фольклор был пропущен через ряд фильтров.

Фильтр 1, Математический отбор. Математический прототип задания должен принадлежать такому направлению математики XIX-XX века, которое устойчиво развивается, по крайней мере, несколько десятков лет. Ориентиром служит информационное издание ВИНИТИ «Итоги науки и техники», серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».

Фильтр 2, Нормативный отбор. Отобранное или придуманное задание должно укладываться в рамки образовательного стандарта и не требовать для своего решения дополнительных сведений, находящихся вне программы педагогического вуза. Впрочем, говоря о стандартах, мы трактуем их расширительно, включая в них материал, изучавшийся в педагогических вузах в последние полвека.

Фильтр 3, Профориентационный отбор. Задание должно быть ориентировано на потребности будущего учителя, понимаемые в широком смысле. Например, его решение должно актуализировать знания из школьной программы, или должно показывать новые свойства объектов школьной математики, или должно быть началом индивидуальной образовательной траектории студента и т.д.

Фильтр 4, Личностно ориентированный отбор. Задания должны позволять преподавателю математики организовывать различные направления персонализации обучения: базовую, восстановительную и пропедевтическую.

Главное, что мы пытались показать в этой главе, состоит в следующем: принципы МНИ и З+М являются эффективным инструментом насыщения задачника конкретными упражнениями и задачами. Это достигается путём описания процесса построения многочисленных коллекций заданий. Для каждой из них показано её происхождение из той или иной математической теории, раскрыта её внутренняя структура, выявлены её связи с материалом школьной программы и, наконец, продемонстрированы педагогические возможности её использования. Будучи по замыслу автора полифункциональными, эти коллекции ориентированы одновременно на выполнение стандартов образования, на практические потребности будущего учителя и на выработку умений математика-профессионала. Мы надеемся, что попытка такого синтеза будет признана удачной.

4.1. Отношения эквивалентности и восстановительная персонализация

Особое внимание к отношениям эквивалентности во многом определяется как свойствами этого понятия, так и временем его изучения в различных математических курсах. С одной стороны, школьный курс математики насыщен бинарными отношениями, в частности, отношениями эквивалентности: равенство (чисел, функций, векторов); порядок (строгий и нестрогий); равносильность (уравнений, неравенств); конгруэнтность (отрезков, треугольников); гомотетия и подобие треугольников; параллельность, перпендикулярность и скрещиваемость прямых; параллельность и перпендикулярность плоскостей; сонаправленность и противонаправленность лучей. С другой стороны, с помощью отношений эквивалентности строятся многие объекты вузовского курса: множества целых, рациональных и вещественных чисел, кольца классов вычетов, линейные многообразия, факторгруппы, проективные пространства. С помощью отношений эквивалентности вводится понятие ориентации пространства и понятие направления той или иной размерности. Наконец, отношения эквивалентности традиционно изучаются в начале курса алгебры и теории чисел. Всё сказанное позволяет считать, что естественной целью изучения данной темы является обеспечение преемственности между обучением в школе и обучением в вузе. Применительно к нашей теме суть преемственности состоит в том, чтобы в результате её изучения студент приобрёл новую, более широкую точку зрения на объекты школьного курса и увидел, что многие разнородные объекты этого курса являются отношениями эквивалентности. На основе этой новой точки зрения студент движется дальше, конструируя с помощью отношений эквивалентности новые математические понятия.

Отметим, что раннее изучение отношений эквивалентности делает эту тему тем рубежом, на котором целесообразно начать изучение математики в рамках предлагаемой нами концепции моделирования научных исследований в учебном процессе.

В данном разделе мы опишем процесс построения коллекции заданий, которая позволит организовать персонализацию заданий по изучаемой теме. Кроме того, мы обсудим происхождение упражнений и задач коллекции и их возможные применения на более поздних стадиях изучения математики.

Как уже упоминалось, многие студенты-первокурсники недостаточно хорошо знают школьную программу. При этом значительная

часть из них не имеет навыков самостоятельной работы, достаточных для обучения в вузе. При таких «начальных условиях» деятельность педагога должна иметь максимально возможную эффективность во всех аспектах процесса преподавания: педагогических, психологических и собственно математических. Укажем в этой связи на некоторые общепринятые методы улучшения учебного процесса: выработку в студентов прочных навыков самостоятельной работы, ориентацию обучения на потребности будущего учителя, пропедевтическую направленность изучаемой темы по отношению к последующим темам курса. Конечно, список методов можно было бы существенно расширить, однако мы ограничимся кратким списком по той простой причине, что их удачное применение достаточно для качественного усвоения знаний, разумеется, при положительном отношении студентов к процессу обучения.

Предлагаемая ниже методика изучения темы «Отношения эквивалентности» основана на строго индивидуальных домашних заданиях, которые можно оформить в виде дидактических материалов (см., например, [139]). Эти материалы отличаются двумя особенностями: а) задания подобраны таким образом, что процесс их решения помимо своей основной функции - выработки «институтских» навыков -заставляет студента повторять те или иные разделы школьной программы; б) задачи скомпонованы таким образом, что преподаватель легко может составлять из них индивидуальные работы различного назначения, объёма и уровня сложности.

Опишем процесс создания такого задачника, то есть постараемся объяснить, почему мы предлагаем именно такие, а не иные задания. Подчеркнём, что для читателя будет важен не только (и не столько) окончательный набор упражнений и задач, но и процесс формирования задачника.

Допустим, что одному или нескольким студентам необходимо повторить материал о тригонометрических функциях. В связи с этим рассмотрим задачу об отношениях эквивалентности, в которой фигурирует простейшая из них.

Задача 1. На множестве Ж действительных чисел задано бинарное отношение Т, такое, что aTb ^sina = smb. Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то найдите класс эквивалентности, порождённый а) числом 1; б) числом 2; в) числом 1000.

Обсуждение. Очевидно, что ответ на первый вопрос является утвердительным. Для нахождения класса эквивалентности 1, порождённого числом 1, необходимо решить уравнение sinx = sinl, и практика показывает, что это отнюдь не праздное упражнение, поскольку некоторые студенты дают неправильные ответы х = 1 или X = 1 + 2пп, п ЕЖ. Разумеется, применение общей формулы даёт верный ответ х = (—l)n arcsin(sin 1) + пп, п Е Ж, и поскольку aresin (sin 1) = 1, получаем, что х = (— l)n + пп, п ЕЖ.

При нахождении класса 2, порождённого числом 2, студенты, как правило, действуют по шаблону и «попадают в ловушку»: решая характеризующее класс 2 уравнение sinx = sin 2, они находят, что X = (—l)n aresin (sin 2) + пп, а затем применяют формулу arcsin(sin2) = 2 (!?) и окончательно получают, что х = (—1)п ■ 2 + пп, п ЕЖ. Хотя данный ответ верен, мы не можем принять это рассуждение, поскольку и arcsin(sin2) 2. Для получения правильного решения приходится вспоминать определение арксинуса, учитывать, что л — 2 Е ^, и пользоваться формулой приведения sin 2 = sin (п — 2). Только после этого мы получаем, что X = (—l)n arcsin(sin 2) + пп = (— l)n arcsin(sin(7r — 2)) + пп = (— 1)п(п — 2) + пп, или, после необходимых упрощений, х = (—l)fc • 2 + пк, к ЕЖ.

Читатель, видимо, согласится с тем, что описанная процедура достаточно сложна для студента, однако он вынужден её проделывать. Как же быть с классом 1000 и характеризующим его уравнением sinx = sin 1000? Кустарная процедура типа вышеописанной почти невозможна, потому нам придётся вывести или сообщить студентам утверждение, несколько более общее, чем в школьном учебнике: если х0 - какое-либо решение уравнения sinx = а, то любое число вида = (—1)пх0 + пп, п ЕЖ, является решением, причём все решения исчерпываются числами данного вида.

Таким образом, для нахождения класса эквивалентности нам приходится вспоминать школьным материал о простейших тригонометрических уравнениях и даже несколько дополнять его.

Очевидно, что задача 1 может быть модифицирована заменой синуса на все другие тригонометрические функции, изучаемые в школе, - косинус, тангенс и котангенс. При их решении придётся, во-первых, вспомнить другие тригонометрические уравнения из числа

простейших. Во-вторых, формальная замена синуса на тангенс в формулировке задачи 1 невозможна, т.к. она приведёт к некорректному высказыванию; некорректность возникнет из-за того, что область определения тангенса не есть Ж. Применительно к тангенсу задача 1 может быть сформулирована в следующем виде.

Задача 1.1. На области определения тангенса задано бинарное отношение Г, такое, что aTb <=>tga = tgb. На каком множестве задано отношение Г? Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то найдите класс эквивалентности, порождённый а) числом 1; б) числом —; в) числом 150.

Если мы хотим показать студентам некоторые элементы педагогического творчества, то мы можем предложить им другую, более сложную и трудную модификацию задачи 1.

Задача 1.2. Сформулируйте задачу 1 применительно к тангенсу и котангенсу.

Мы считаем задачу 1.2 труднее и сложнее задачи 1.1 по двум причинам: во-первых, студенты - это вчерашние школьники, а школьников почти не учат самостоятельным формулировкам проблем; во-вторых, велика вероятность того, что не будет замечено несовпадение области определения тангенса и множества Ж.

Отметим, что даже тривиальное введение числовых параметров приносит определённую пользу. Зададим, например, бинарное отношение Т так, как сказано в следующей задаче.

Задача 1.3. aTb <=^> sinzra = sin7z:b.

Построение класса 1, порождённого числом 1, приведёт к уравнению sin их = sin и, откуда х = п, п G 2. Таким образом, утверждение о классе эквивалентности приобретает несколько более конкретный характер.

Наш первый, предварительный вывод состоит в том, что изучение отношений эквивалентности даёт материал для восстановления некоторых технических навыков в области тригонометрии. Покажем, что то же самое можно сказать и о других разделах школьного курса математики.

Допустим, что одному или нескольким студентам необходимо повторить материал о некоторых типах уравнений. В связи с этим рассмотрим задачу об отношениях эквивалентности, в которой фигурирует простейшее из уравнений - квадратное.

Задача 2. Пусть функция /: R —> Ш. задана равенством f(x) ••= X2 — 2х + 2. На множестве Ш. задано бинарное отношение Т следующим образом: аТЬ <=>/(а) = f(_b). Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, найдите класс эквивалентности, порождённый а) числом 3; б) числом 4; в) числом 1; г) числом —1. Есть ли среди найденных классов совпадающие?

Обсуждение. Для поиска класса 3, порождённого числом 3, потребуется решить уравнение х2 — 2х + 2 = З2 — 2-3 + 2, которое имеет корни х = 3 и х = — 1. Таким образом, 3 = {3,-1}. Вычисления других классов дают следующие результаты: 3 = (—1) = {3, — 1}; 4 = {4, -2}; Ï = {1}.

Любопытно, что в данном списке есть одноэлементные и двухэлементные множества. Случайно ли замеченное нами отличие? Для ответа на этот вопрос продолжим задачу 2.

Задача 2.1. Найдите такое число Я, что порождённый им класс эквивалентности Я а) пуст; б) состоит из одного элемента; в) состоит из двух элементов; г) состоит более, чем из двух элементов.

Обсуждение. Для нахождения класса Я потребуется решить уравнение х2 — 2х + 2 = Я2 — 2Я + 2, или х2 — 2х + (2Я — Я2) = О, то есть квадратное уравнение с параметром. Дискриминант этого уравнения вычисляется по формуле D = (1 —Я)2. Дискриминант неотрицателен, поэтому уравнение разрешимо при любом Я, следовательно, класс Я не пуст, как и положено по общей теории. Квадратное уравнение не может иметь более двух решений, поэтому класс Я состоит не более чем из двух элементов. Квадратное уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда D = О, то есть при Я = 1, поэтому единственным одноэлементным классом является класс 1.

Приведённое решение задачи 2.1 показывает, что приходится постоянно «переводить» имеющуюся информацию с языка квадратных уравнений на язык отношений эквивалентности и обратно. Такой перевод является весьма полезным на ранних (да и на более поздних) стадиях обучения математике.

Выше мы привели аналитические решения задач 2 и 2.1, Однако возможны и графические решения! Они весьма поучительны, т.к. обнаруживается, что для нахождения классов эквивалентности придётся построить график функции /, заданной равенством f(x) ••= х2 — 2х +

2, а затем применить две стандартные графические процедуры школьного курса: построение значения функции в конкретной точке и построение всех точек, в которых функция принимает заданное значение. Графиком функции / является парабола, и наши предыдущие результаты приобретают геометрический смысл: единственный одноэлементный класс 1 порождён абсциссой вершины параболы X = 1, а каждый из двухэлементных классов, например, 3 = {3,-1}, состоит из чисел, которые при изображении на оси абсцисс оказываются симметричными относительно 1.

Задачи 2 и 2.1 допускают многочисленные модификации путём замены функции /, причём новые задачи можно предлагать как в аналитическом, так и в графическом варианте. Примерами могли бы служить функции, заданные равенствами /(х) := ||х — а\ — Ь\, где Ъ > О, д{х) •= \а(х — а)(х — /?)|, h(x) '•= (х — а){х — /?)(х — у) и т.п. При этом получаются классы эквивалентности не только одно- и двухэлементные, но и с большим числом элементов. Выбор функций, их количество, тип решения и многое другое определяются потребностями преподавания в конкретной группе студентов.

Допустим, что одному или нескольким студентам необходимо повторить материал о графиках функций. В связи с этим рассмотрим задачу об отношениях эквивалентности, в которой фигурирует простейший из графиков.

Задача 3. С помощью отображения /: Ж2 —> Ж, определяемого равенством /(х,у) '•= у — х2, на множестве Ж2 задано бинарное отношение Т следующим образом: (a,b)T(c,d) f(a,b) = f(c,d). Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то найдите класс эквивалентности, порождённый а) точкой (1,1); б) точкой (2, 4); в) точкой (2, 5); г) точкой (-2, 3). Какую геометрическую фигуру представляет собой каждый класс? Есть ли среди найденных классов совпадающие?

Обсуждение. Легко видеть, что поиск класса (1,1) задаётся следующий цепочкой эквиваленции: (х,у) Е (1,1) <=> (х,у)Г(1,1) <?=> у — X2 = 1 — I2 <=> у = X2. По определению графика функции класс (1,1) - это график функции у = х2, то есть парабола. Аналогично получаем, что класс (2,4) = (1,1), класс (2,5) - это график функции у = X2 + 1, а класс (—2,3) - это график функции у = х2 — 1. Решение задачи в общем виде показывает, что каждый класс эквивалент-

ности является графиком функции у = х2 + с. Таким образом, разбиение множества Ш2 на классы эквивалентности представляет собой разбиение плоскости на конгруэнтные параболы, каждая из которых получена из стандартной параболы у = х2 путём сдвига вдоль оси ординат.

Вновь, как и при решении задачи 2.1, мы видим, что приходится переходить с языка бинарных отношений на язык школьной математики и обратно.

Очевидно, что при необходимости вспомнить со студентами графики других функций мы можем видоизменить задачу 3, рассматривая другие отображения /, например, fix,у) '•= у — sinx, д(х) •= у — 2х и т.д.

Допустим, что одному или нескольким студентам необходимо повторить материал о графиках уравнений. В связи с этим рассмотрим задачу об отношениях эквивалентности, в которой фигурирует простейший из них.

Задача 4. С помощью отображения /: R2 —> М, определяемого равенством f(x,y) ••= х2 + у2, на множестве Ш2 задано бинарное отношение Т следующим образом: (а, Ь)Т(с, d) <=>/(а, Ь) = f(c, d). Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то найдите класс эквивалентности, порождённый а) элементом (0,0); б) элементом (1,1); в) элементом (— 1/V2,1/V2); г) элементом (1,2). Какую геометрическую фигуру представляет собой каждый класс? Есть ли среди найденных классов совпадающие?

Обсуждение. Легко видеть, что поиск класса (0,0) задаётся следующей цепочкой эквиваленции: (х, у) g (0,0) ф=> (х, у)Т(0,0) ф=>х2 + у2 = О2 + О2 <=> (х, у) = (0,0). Таким образом, класс (0,0) состоит из одной точки - начала координат. Анлогичные рассуждения для дпугих классов показывают, что каждый из классов (- 1/V2, 1/V2) и (1,0) задается уравнением X2 + у2 = 1, то есть является окружностью радиуса 1 с центром в начале координат, а класс (1,2) является концентрической с ней окружностью радиуса V5. Решение задачи в общем виде показывает, что разбиение множества Ш.2 на классы эквивалентности является разбиением плоскости на концентрические окружности.

Очевидно, что видоизменяя функцию / в задаче 4, мы можем получить графики самых разнообразных уравнений.

Интересно, что комбинация задач 3 и 4 несёт пропедевтическую нагрузку по отношению к представлению о неявном задании функции. Действительно, при решении задачи 3 класс эквивалентности задаётся уравнением вида у = х2 + с, а при решении задачи 4 - уравнением вида X2 + у2 = с, и разница меду ними только в том, что в первом случае у явно выражается через х.

Допустим, что одному или нескольким студентам необходимо повторить материал об ортогональном проектировании. В связи с этим рассмотрим задачу об отношениях эквивалентности, в которой фигурирует проектирование на прямую.

Задача 5. На плоскости фиксирована прямая /. На множестве точек плоскости задано бинарное отношение Т следующим образом: точки А и В находятся в отношении Т Тогда и только тогда, когда при ортогональном проектировании на прямую / они переходят в одну и ту же точку. Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то найдите класс эквивалентности, порождённый фиксированной точкой А.

Легко видеть, что класс эквивалентности А представляет собой прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную прямой I.

Задача 5 допускает многочисленные модификации за счёт изменения проектируемой фигуры и фигуры, на которую производится проектирование. Некоторые примеры содержатся в следующей таблице 14.

Таблица 14. Проектирование.

Проектируемая фигура

Куда проектируется

Геом. вид класса эквивалентности

Полуплоскость

Граница полуплоскости

Луч

Открытый круг

Выделенный диаметр

Открытый отрезок

Замкнутый круг

Выделенный диаметр

Замкнутый отрезок, точка

Прямоугольный треугольник (часть плоскости)

Один из катетов

Замкнутый отрезок, точка

Прямоугольный треугольник (контур)

Один из катетов

Точка, две точки, замкнутый отрезок

Очевидно, что список примеров можно было бы существенно увеличить. Кроме того, мы можем видоизменить аппарат проектиро-

вания, рассматривая, например, не ортогональное, а центральное проектирование. Это ещё больше расширило бы список примеров, причём до такого количества, которое, возможно, стало бы излишним.

Допустим, что одному или нескольким студентам необходимо повторить материал о свойствах систем линейных уравнений. В связи с этим рассмотрим задачу об отношениях эквивалентности, в которой фигурируют простейшие свойства систем.

Задача 6. С помощью отображения /: Ш2 —> Ш2, определяемого равенством /(х,у): = (х + Зу, — х + 4у), на множестве IR2 задано бинарное отношение Т следующим образом: (a,b)T(c,d) <=^/(а,b) = f(c,d). Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то найдите класс эквивалентности, порождённый а) элементом (0,0); б) элементом (1,2).

Обсуждение. Легко видеть, что поиск класса (0,0) задаётся следующей цепочкой эквиваленции:

Таким образом, поиск класса эквивалентности привёл к необходимости решить систему линейных уравнений. Решая её, получим, что X = у = 0, то есть класс эквивалентности (0,0) является одноэлементным множеством: (0,0) = {(0,0)}. Аналогично находим, что (Щ = {(1,2)}.

Очевидно, что задача 6 может быть видоизменена за счёт другого выбора отображения /. Рассмотрим одну из таких модификаций.

Задача 6.1. Пусть /(х, у) := (х + Зу, 2х + 6у).

Обсуждение. Поиск классов (0,0) и (1,2) приведёт к системам f х + Зу = 0 f х + Зу = 7 (2х + 6у = 0 И (2х + 6у = 14 соответственно- в силу пропорциональности уравнений в этих системах получаем, что 1) (х,у) G (0,0) ф=> X + Зу = 0, то есть класс (0,0) представляет собой прямую, проходящую через начало координат; 2) (х, у) G (1,2) <=> х + Зу = 7, то есть класс (1,2) представляет собой прямую, параллельную прямой (0,0).

Почему же столь похожие по формулировке задачи 6 и 6.1 имеют столь различные решения? На первом этапе изучения можно ограничиться наблюдением пропорциональности или непропорциональности полученных уравнений, или, что то же самое, наблюдени-

ем пропорциональности или непропорциональности пар коэффициентов в двух определениях отображения /. Истинная причина, однако, состоит в том, что отображение / представляет собой линейный оператор, невырожденный в задаче 6 и вырожденный в задаче 6.1. В контексте изучения линейных операторов поиск класса эквивалентности - это поиск полного прообраза некоторого вектора. Полный прообраз вектора является линейным многообразием, нульмерным в случае невырожденного оператора (одноэлементный класс эквивалентности) и имеющим размерность ядра в случае вырожденного оператора (класс эквивалентности - прямая). Таким образом, мы видим, что задача об отношениях эквивалентности несёт пропедевтическую нагрузку по отношению к изучению линейных операторов.

Завершим процесс построения заданий и проведём качественный анализ построенного. До сих пор мы акцентировали внимание на поиске классов эквивалентности и на тех технических навыках, которые для этого необходимы. Однако поиску класса эквивалентности должно предшествовать доказательство того факта, что Т является отношением эквивалентности. Представим себе студента, который выполнил не одно, а несколько заданий типа 1-6. Он обязательно заметит, что доказательства свойств отношения Т происходит во всех случаях одинаково. У него возникнет естественное желание пропустить эти доказательства. Как должен реагировать преподаватель? С одной стороны, обнаружение аналогии является частью мышления учёного, а с другой стороны, отказ от точных доказательств противоречит научному мышлению. Преподавателю следует добиться, чтобы студенты абстрагировались от некоторых частных характеристик задач и рассмотрели ситуацию в общем виде. Это не так уж трудно. Действительно, влияет ли на доказательство свойств отношения Г природа аргумента отображения /? Нет, т.к. аргументы могут быть и действительными числами (задачи 1, 2), и арифметическими векторами (задачи 3, 4, 6), и точками плоскости (задача 5). Влияет ли на доказательство свойств отношения Т природа значений отображения /? Нет, т.к. значения / могут быть числами, векторами и точками. Наконец, используем ли мы формулу, задающую отображение /? Нет, не используем; эта формула может вообще отсутствовать (задача 5). Остаётся абстрактная ситуация: даны множества А и В, отображение f:A —> В и бинарное отношение Т, индуцируемое на множестве А отображением /.

Человек, который поставил задачу в общем виде (а мы убедились, что это не так уж трудно), во многом проник в ход мыслей автора, приведших к построению рассмотренной выше системы задач. Раскроем полностью источник возникновения этих задач и покажем, что они появились как результат целенаправленного использования изучаемых принципов МНИ и З+М. Для этого воспроизведём, в удобных для нас обозначениях, конструкцию так называемой ядерной эквивалентности (её можно найти в одном из следующих источников: К. Куратовский [77, с. 21]; П. С. Александров [3, с. 16]; Математическая энциклопедия [87, стб. 1030]).

Отображение f:A —> В множества А во множество В индуцирует на множестве А бинарное отношение Т следующим образом:

аГЬ»/(а) = /(Ь).

Предложение 1. Бинарное отношение Т является отношением эквивалентности. Класс эквивалентности а, порождённый элементом а G Л, задаётся формулой а~ = /-1(/(а)), то есть является полным прообразом элемента f{a).

В дальнейшем построенное бинарное отношение Т будем называть ядерной эквивалентностью.

Предложение 2. Любое отношение эквивалентности на множестве А можно рассматривать как ядерную эквивалентность при подходящем выборе множества В и отображения /.

Покажем теперь, как работают декларируемые принципы, как с их помощью была построена система заданий.

Начнём с того, что принцип МНИ заставляет нас знакомить студентов с объектами современной науки. Это с неизбежностью приводит нас к утверждению, содержащемуся в предложении 1, причём мы не можем игнорировать это утверждение в силу предложения 2. Можно ли включить предложение 1 в задачник в качестве одного из заданий, предварив его словами «докажите, что»? Разумеется, да, т.к. доказательство предложения 1 ничуть не сложнее, чем решение каждой из задач 1-6. Однако даже беглый взгляд с методической точки зрения показывает, что было бы нецелесообразно ограничиться простым доказательством этого факта. Во-первых, данное утверждение является чересчур абстрактным для студента-первокурсника, поскольку он не может представить себе ничего конкретного, что стояло бы за данным фактом. Он оказывается поставленным перед чем-то законченным и не в состоянии понять, как математики пришли к дан-

ному утверждению. Естественно, что в такой ситуации у него нет никакого стимула для размышлений. Во-вторых, доказанный факт оказывается изолированным, не включённым в единое смысловое поле, не подкреплённым ни обобщениями, ни следствиями, ни другими фактами того же уровня общности. Данная задача, рассматриваемая как дидактическая единица в смысле П. М. Эрдниева [136, с. 66-74], явно нуждается в укрупнении, потому что абстрактный изолированный факт будет быстро забыт студентом, даже если он был понят в момент изучения. Здесь вступает в силу принцип З+М. Он требует, чтобы, помимо самих упражнений, задачник содержал методику их изучения. Два методических приёма напрашиваются сами собой. Во-первых, один из возможных способов изучения абстрактных фактов состоит в следующем: педагог специализирует, конкретизирует, адаптирует общую конструкцию до уровня понимания студента, а затем проводит его по пути «от конкретного к абстрактному». Здесь важно только, чтобы адаптированная конструкция не утрачивала существенных, характерных черт конструкции общей. Во-вторых, естественной сопутствующей целью изучения математики на ранних стадиях обучения (отношения эквивалентности изучаются в первом семестре) является восстановление школьных знаний. Работа в этих двух направлениях и породила серию задач 1-6, которая при желании может быть расширена до весьма большого объёма.

Обсудим теперь некоторые из тех возможностей организации работы студентов, которые предоставляет преподавателю описанная система заданий. Главная из них уже упоминалась: студент, выполнивший задания 1-6 или сходные с ними, приходит к необходимости сформулировать и решить обобщающую задачу (предложение 1). Более подробно: а) деятельность студента при выполнении заданий 1-6 была самостоятельной; б) деятельность студента породила внутреннюю необходимость обобщения; в) формулировка и доказательство обобщающего утверждения посильны для студента. Таким образом, человек, пришедший к доказательству предложения 1, совершает полноценный акт математического творчества. С высокой вероятностью можно утверждать, что полученный результат будет усвоен прочно.

Возможность варьирования формулировок также является весьма полезной. Представим себе, что для каждого из заданий 1-6 мы имеем по 10 модификаций, занумерованных в естественном порядке. Возникает следующая таблица номеров заданий.

Таблица 15. Модификации заданий.

Тригонометр. функции

Уравнения

Графики функций

Графики уравнений

Проектирование

Системы линейных ур-ий

1

11

21

31

41

51

2

12

22

32

42

52

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

10

20

30

40

50

60

Каждая из модификаций задания является типичным представителем того столбца, в котором она находится. У педагога появляется возможность составления на этой базе работ двух типов, которые мы назовём обзорной и тематической. При составлении одного варианта обзорной работы мы выбираем по одному заданию из каждого столбца. При решении такого варианта студенту требуется использование широкого списка школьных технических навыков, а у преподавателя появляется возможность проверить их наличие или установить их отсутствие. Именно поэтому работа называется обзорной. Если обнаружится, что тот или иной технический навык утрачен, полностью или частично, можно предложить тематическую работу, или попросту, решение нескольких или всех задач данного столбца.

Таковы чисто организационные аспекты использования данного блока заданий, однако есть и содержательный аспект. Очевидно, что количество вариантов, обзорной работы может быть сделано чрезвычайно большим, и у преподавателя есть возможность предоставить каждому студенту свой собственный вариант. Это означает, что каждый студент подходит к задаче-обобщению по своему личному пути, то есть именно так, как это происходит в реальной науке. Таким образом, тиражирование однотипных заданий оказывается отнюдь не бесполезным.

Ниже мы неоднократно будем встречаться с ситуацией, когда блок заданий разделён на однотипные группы, подобно тому, как это сделано в предыдущей таблице.

Не может ли случиться так, что возможности использования той или иной системы заданий, предусмотренные автором при её составлении, будут не поняты и не востребованы преподавателем? Вообще говоря, да, однако этого не случится, если банк заданий будет снабжён методикой их использования.

Подведём некоторые итоги. Во-первых, мы продемонстрировали, что принципы МНИ и З+М являются инструментальными, то есть

с их помощью может быть построена система заданий, обладающая интересующими преподавателя свойствами. Процесс построения этой системы выявляет генерирующую роль каждого из принципов, а также структурирующую роль второго из них. Конкретно-математический материал, к которому были приложены исследуемые принципы, относиться одновременно и к школьной, и к вузовской программе, так что получаемая система заданий является профессионально ориентированной. Во-вторых, МНИ обладает свойством бифункциональности. Для составителя задачника он является источником конкретных упражнений и задач. В свою очередь, построенная с его помощью система заданий позволяет педагогу воссоздавать в процессе преподавания некоторые базовые свойства математики: её содержание, уникальность математической деятельности, её индуктивно-дедуктивный и деятельностно-продуктивный дуализм. В-третьих, оба исследуемых принципа действуют в тесном единстве, причём как на стадии построения системы заданий, так и на стадии её применения.

4.2. Отношения эквивалентности, пропедевтическая персонализация и развивающее обучение

В предыдущем разделе мы показали, что банк задач по теме «Отношения эквивалентности» может служить инструментом для восстановительной персонализации процесса изучения алгебры. При этом мы сознательно ограничили себя в целях, ориентируясь при изучении отношений эквивалентности преимущественно на технические навыки школьного уровня. Тем не менее, даже при таком самоограничении мы невольно подошли к обобщению наших действий, выразившемся в получении Предложения 1.

В данном разделе акценты расставлены иначе. Мы будем рассматривать такие отношения эквивалентности, изучение которых ориентировано на возможно более продвинутые сферы математики. При этом остаются в силе ограничения, общие для всей книги, а именно, мы нигде не выходим за рамки программы для педагогических вузов. Более того, мы ориентируемся на возможно более простую математическую технику. Как и в предыдущем разделе, мы разобьём задачи на несколько циклов. Такое подразделение преследует две цели. Во-первых, содержание термина «развивающее обучение» зависит от того, на каком конкретном материале реализуется развитие учащихся. В соответствии с этим мы выделим некоторые

специальные аспекты опережающего характера обучения и обозначим те сферы, по отношению к которым предлагаемые задачи играют пропедевтическую роль. Во-вторых, мы покажем метод построения системы заданий - использование внутриматематических связей.

4.2.1. Построение числовых множеств

Задача 1. На множестве M х N задано бинарное отношение Т следующим образом: пары (m, п) и (р, q) находятся в отношении Г, если m + q = р + п. Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то найдите класс эквивалентности, порождённый а) парой (2,2); б) парой (п,п); в) парой (3,2); г) парой (п + 1,п); д) парой (4,5); е) (п,п + 1). Есть ли среди найденных классов совпадающие?

Известно [95, с. 100-101], что если на фактор-множестве (N X N)/Т естественным образом ввести операции сложения и умножения, то оно превратится в кольцо, которое называется кольцом целых чисел. При этом классы эквивалентности (п, п), (п + 1,п) и (n, п + 1) отождествляются с числами 0,1, — 1 G Ж соответственно.

Задача 1.1. На множестве Ж х N задано бинарное отношение Т следующим образом: пары (m, ri) и (р, q) находятся в отношении Г, если mq = пр. Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то найдите класс эквивалентности, порождённый а) парой (5,1); б) парой (5п, п); в) парой (2,3); г) парой (4,6); д) парой (р, q), где р и q являются взаимно простыми.

Известно [95, с. 106-108], что если на фактор-множестве (Ж X N)/T естественным образом ввести операции сложения и умножения, то оно превратится в поле, которое называется полем рациональных чисел. При этом, если числа р и q взаимно просты, то класс эквивалентности (р, q) отождествляется с несократимой дробью - G Q. В частности, при q = 1 получаем отожествление класса (р, 1) с целым числом р G Q.

Определение. Последовательность f:N —> Q рациональных чисел называется фундаментальной, если для любого положительного числа е существует такое натуральное число N, что из неравенств п > N и к > N следует неравенство \f(n) — f(k)\ < е.

Задача 1.2. На множестве F фундаментальных последовательностей рациональных чисел задано бинарное отношение Т следующим образом: последовательности / и g находятся в бинарном отношении Т, если для любого положительного s существует такое нату-

ральное число N, что из неравенства п> N следует неравенство l/OO ~ д(п)\ < £• Является ли Т отношением эквивалентности?

Известно [95, с. 136-137], что если на фактор-множестве F/T естественным образом ввести операции сложения и умножения и отношение порядка, то оно превратится в архимедово поле, которое называется полем вещественных чисел.

Решение задач 1-1.2 приводит нас к последовательным расширениям числовых множеств M с 2 с Q с R. Известно, однако, что исторически положительные рациональные числа возникли раньше целых отрицательных [108, с. 157]. У нас имеется возможность предложить студентам другие отношения эквивалентности, приводящие к расширениям N с Q+ с Q.

Задача 1.3. На множестве M х N задано бинарное отношение Т следующим образом: пары {m, ri) и (р, q) находятся в отношении Г, если mq = пр Т. Докажите, что Т является отношением эквивалентности.

Известно, что (N х N)/T представляет собой множество Q+ положительных рациональных чисел.

Задача 1.4. На множестве Q+ х Q+ задано бинарное отношение Т следующим образом: пары (m, ri) и (р, q) находятся в отношении Т, если m + q = р + п. Докажите, что Т является отношением эквивалентности.

Известно, что (Q+ х Q+)/T представляет собой множество Q рациональных чисел.

В какой мере правомерно раннее появление заданий 1-1.4? Не лучше ли отложить их рассмотрение до того момента, когда они будут регулярным образом изучаться при построении числовых систем? С нашей точки зрения, эти задачи следует решить как можно раньше, при первоначальном изучении отношений эквивалентности, то есть на первом курсе. Приведём решение задачи 1 и покажем, что при чрезвычайной технической простоте оно формирует у студента навыки достаточно высокого уровня.

1) Для любых натуральных чисел тип справедливо равенство m + п = m + п, откуда, в силу определения Г, следует, что (m, ri)T(m, ri).

Таким образом, рефлексивность бинарного отношения Т на множестве M X M порождается рефлексивностью бинарного отношения — на множестве N.

2) Симметричность бинарного отношения Т вытекает из следующей цепочки импликаций: (m,ri)T(p,Q)=$m + q = p + n=$p + п = m + q => (р, q)T(m, ri).

Таким образом, симметричность бинарного отношения Т на множестве N X M порождается симметричностью бинарного отношения = на множестве N.

((тп, п)Т(р, q) (v o)T(r s) '

В силу определения Т на может быть переписана в виде

Сложив оба равенства, получим, что m + q + р + s = p + n = r + q. Пользуясь коммутативностью и ассоциативностью сложения в М, мы можем показать, что числа р + q в правой и левой частях равенства «взаимно уничтожаются» и оно принимает вид m + s = п + г, или (вновь коммутативность) m + s = г + п. В силу определения Т получаем, что (rn,ri)T(r,s).

Таким образом, транзитивность бинарного отношения Т на множестве N XN порождается коммутативностью и ассоциативностью сложения в N.

Мы видим, что все доказательства весьма просты. Не случайно в учебнике В. И. Нечаева [95, с. 38] задания 1 и 1.1 предложены именно в качестве упражнений и не сопровождаются решениями. В то же время, приведённые рассуждения вскрывают важное обстоятельство, которое, как правило, неизвестно студентам-первокурсникам: свойства конструируемых объектов (отношение Т) индуцируются свойствами элементов конструкции (сложение и равенство в Щ. Понимание этого факта является необходимым этапом в формировании математической культуры студентов.

Наибольшую трудность в решении задач 1-1.4 представляет собой доказательство транзитивности отношения Т на множестве фундаментальных последовательностей. Приведём его, так как оно поучительно с технической точки зрения.

Выберем положительное число г. Соотношение fTg означает, что существует натуральное число Nlt такое, что неравенство п > Nt влечёт за собой неравенство \f(n) — g(n)\ <-. Соотношение gTh означает, что существует натуральное число N2, такое, что неравенство п> N2 влечёт за собой неравенство \g(n) — h(rï)\ < -. Построим число N = max{N1; N2}, выберем номер п > N и оценим сверху ве-

личину \f(n) — h(ri)\. Вычитая и добавляя число g (ri) под знаком модуля и пользуясь неравенством треугольника, получаем, что |(/(п) - ginj) + {д{п) - h(n))\ < \f(ri) - g(n)\ + \g{ri) - h(n)\ < - + -<£. Отсюда следует, что jTh.

Отметим, что приведённое доказательство является типичным для математического анализа. Включение его в курс алгебры объясняется тем обстоятельством, что оно иллюстрирует единство математики не только на идейном уровне, но и на уровне технических приёмов. Кроме того, отношения эквивалентности в курсе алгебры могут изучаться раньше, чем последовательности в курсе математического анализа, так что приведённое доказательство готовит студентов к восприятию такого сложного рассуждения, каким является оценка выражений.

Всё сказанное позволяет считать, что при решении задач 1-1.4 развивающий характер обучения выражается в пропедевтической функции решаемых задач по отношению к изучению числовых систем и, отчасти, математического анализа и истории математики.

4.2.2. Разбиение плоскости и внутренность геометрической фигуры

В данном разделе мы обсудим некоторые отношения эквивалентности, которые можно использовать для углубления наглядных, первоначальных геометрических представлений.

Задача 2. Пусть на прямой / фиксирована точка А. На множестве 1\{А] задано бинарное отношение Т следующим образом: точки В и С находятся в отношении Г, если точка А не лежит на отрезке [В, С]. Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то перечислите классы эквивалентности.

Задача 2.1. Пусть на плоскости п фиксирована прямая /. На множестве 7г\/ задано бинарное отношение Т следующим образом: точки А и В находятся в отношении Г, если прямая / и отрезок [А, В] не пересекаются. Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то перечислите классы эквивалентности.

Если стоять на наглядной точке зрения, на которой находится абсолютное большинство школьников, то утвердительные ответы на вопросы задач 2 и 2.1 вполне очевидны. При этом в обоих случаях количество классов эквивалентности равно двум. В задаче 2 эти классы являются лучами, а в задаче 2.1 - полуплоскостями. Несколько иначе обстоит дело, если мы будем решать те же задачи в рамках ак-

сиоматической теории, например, в рамках аксиоматики, предложенной А. Д. Александровым [2]. Так, разбиение прямой на два луча с помощью точки является теоремой [2, с. 62], а разбиение плоскости на две полуплоскости с помощью прямой является аксиомой [2, с. 30, 97]. Сопоставление различных точек зрения на изучаемый вопрос всегда полезно. Более того, одной из целей изучения оснований геометрии является сравнение наглядного и аксиоматического подходов к построению геометрии. Например, в той же книге [2] первые две главы носят выразительные названия «Практические основания геометрии» и «Аксиоматические основания геометрии». Задачи 2 и 2.1 показывают, что отношения эквивалентности вносят свою лепту в процесс сравнительного анализа.

Задача 2.2. Пусть на плоскости л фиксирована простая замкнутая кривая Т. На множестве л\Т задано бинарное отношение Т следующим образом: точки А и В находятся в отношении Г, если их можно соединить непрерывной траекторией, не пересекающей Т. Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то перечислите классы эквивалентности.

Здесь, как обычно, простая замкнутая кривая - это множество точек, гомеоморфное единичной окружности, а возможность соединения точек А и В непрерывной траекторией означает наличие непрерывного отображения а: [0,1] —> я, такого, что а(0) = А и = В (см., например, Ж. Дьедонне [45, с. 294]).

О двух вопросах, содержащихся в задаче 2.2, следует говорить отдельно. Первый вопрос, касающийся свойств бинарного отношения Г, является чрезвычайно общим, абстрактным вопросом. Дело в том, что строение гомеоморфного образа окружности может быть весьма сложным. Даже в не слишком трудном случае замкнутой ломаной, изображённой на рис. 19, её гомеоморфность единичной окружности требует некоторых рассуждений. Тем не менее, решение этого вопроса может быть получено элементарными средствами. Приведём необходимые доказательства, поскольку они в достаточной мере поучительны.

Рис. 19. 150-угольник.

1) Для точки A G TT\!F построим постоянное отображение а: [О,1] —> л, определённое равенством а (г): = А. Его непрерывность очевидна, так же как и равенства а(0) = = А. Следовательно, АТА, так что бинарное отношение Т рефлексивно.

2) Если АТВ, то существует непрерывная траектория а: [О,1] —> 7Г, соединяющая точки Л и В и не пересекающая Т, то есть такая, что а(0) = Л, = В и а([0,1]) П Т = 0. Рассмотрим траекторию сс\ [О,1] —» л:, заданную равенством а(г) := а{1 — г). Она соединяет точки В и А, т.к. а(0) = а(1) = В и я (1) = а(О) = Л. Кроме того, она непрерывна, т.к. является композицией непрерывных отображений а и t н» 1 — t. Наконец, она не пересекает J7, поскольку <*([0Д]) = ^([ОД]). Согласно определению бинарного отношения 7 получаем, что ВТ А, а это означает симметричность Т. На наглядном языке мы можем сказать, что траектории а иа представляют собой две разные параметризации кривой а([0,1]) = сс([0,1]), при которых точки a(t) и ä(t) движутся по кривой в противоположных направлениях, от А к В и от В к А соответственно.

3) Пусть точки А, В и С таковы, что АТВ и ВТС. Первое утверждение означает, что существует непрерывная траектория а: [0,1] —> л:, такая, что а(0) = А, а(1) = В и а([0,1]) П 7 = ф. Второе утверждение означает, что существует непрерывная траектория ß : [0,1] —> 7Г, такая, что /?(0) = В, /?(1) = С и /?([0,1]) П J7 = ф. Построим траекторию у: [0,1] —> тг, заданную равенством

и покажем, что она удовлетворяет определению Т. Во-первых, она соединяет А и С, поскольку у(0) = а(0) = А и у(1) = /?(1) = С. Во-вторых, она не пересекает Т, поскольку у([0,1]) = а([0,1]) U /?([0,1]), откуда, в силу теоретико-множественного равенства, следует, что у([0,1]) П 7 = (а([0,1]) и /?([0,1])) П Т = (а([0,1]) П Я U №([0,1]) П Я = ф U ф = ф. В-третьих, траектория у непрерывна. Её непрерывность в точке с G [0,0.5) следует из теоремы о композиции непрерывных отображений а и t i-» 2t. Непрерывность в точке с G (0.5,1] следует из теоремы о непрерывности композиции непрерывных отображений ß и t 2t — 1. Наконец, непрерывность в точке с = 0.5 следует из прямых вычислений: a) limt^0 5_о y(t) = limt^05_0 a(2t) = а(1) = ß; б) lim^o.5+or(0 = lim^o.5+o^(2t-l)=^(0) = ß; в) у(0.5) = а(Х) = В. Итак, траектория у действительно удовлетворяет определению бинарного отношения Г, следовательно, АТС и бинарное отношение Т транзитивно.

Мы привели подробный ответ на первый вопрос задачи 2.2 для того, чтобы выявить и подчеркнуть одно важное, на наш взгляд, обстоятельство: хотя используемая техника имеет топологическое происхождение, она ничуть не сложнее той, которая осваивается студентами в первом семестре обучения. Действительно, мы использовали простое теоретико-множественное равенство (L U M) П N = (L Г) N) U (М П N), терему о непрерывности композиции непрерывных отображений, непрерывность постоянного отображения и определение непрерывности, то есть факты, входящие в самый обычный курс анализа. Более того, даже логика рассуждений во многом повторят логику решения стандартных задач. Рассмотрим, например, типичную задачу на «состыковку графиков»: исследовать на непрерывность функцию г, заданную равенством fix) •= 12х — 1, если X > 1 (Н. А. Давыдов и др. [40, № 409]). Легко видеть, что доказательство непрерывности функции / во всех точках области определения, включая точку с = 1, проводится в точности по той же схеме, что и доказательство непрерывности траектории у. Отметим, что задачи на «состыковку графиков» присутствуют во многих задачниках (см.,

например, H. Я. Виленкин [23, № 506.1, 508.1, 513.1-517]; Г. Н. Берман [14, № 221, 223, 224]).

Мы видим, что решение задачи 2.2 в процессе изучения отношений эквивалентности является весьма желательным. Во-первых, задача демонстрирует тесное единство алгебры, геометрии и анализа. Во-вторых, она готовит студентов к восприятию более продвинутых разделов математики.

Второй вопрос задачи 2.2, вопрос о перечислении классов эквивалентности, составляет содержание знаменитой теоремы Жордана. Как известно, таких классов два [45, с. 294]. Доказательство этой теоремы может быть простым или сложным в зависимости от того, насколько общий вид имеет простая замкнутая кривая 7. Если 7 -треугольник, четырёхугольник или окружность, то перечисление классов эквивалентности тривиально, т.к. представляет собой определение внутренности и внешности геометрической фигуры, имеющееся в школьном учебнике. В общем случае доказательство теоремы является весьма трудным. Достаточно сказать, что даже такое классическое руководство по математическому анализу, каким является книга Г. М. Фихтенгольца, не содержит доказательства теоремы Жордана и ограничивается ссылкой [124, т. 2, с. 187], а доказательство в книге Ж. Дьедонне использует технику аналитических функций и занимает 4 страницы [45, с. 294-298]. Между тем, существует уровень общности, который существенно углубляет представления студентов о внутренности/внешности геометрической фигуры и который, в то же время, не требует чрезмерно сложных доказательств. Мы имеем в виду ситуацию, когда простая замкнутая кривая 7 является многоугольником. Нетрудно показать, что наглядные представления действительно нуждаются в углублении. Попробуем, например, выяснить, какие точки плоскости находятся внутри 150-угольника, изображённого на рис. 19. Прежде всего, это делается не мгновенно. Кроме того, мы обнаружим, что среди точек, находящихся «в самом центре» рисунка, имеются как внутренние, так и внешние точки. Наконец, возможны ещё более причудливые многоугольники (например, нарисованные компьютером), ситуация с которыми ещё более запутана. Необходимо иметь инвариантное определение внутренней точки, не связанное с конкретным видом многоугольника. Как это часто бывает, определение появляется в процессе изучения ситуации.

Приведём схему доказательства теоремы Жордана для многоугольников, содержащегося в книге Р. Куранта [76, с. 297-298]. Оно основано на следующей идее. Выберем какое-либо направление, не параллельное ни одной из сторон многоугольника Т. Через точку А £ Т проведём луч в выбранном направлении и вычислим количество точек пересечения этого луча со сторонами многоугольника Т. При этом, если луч проходит через вершину многоугольника Т, то эта точка идёт или не идёт в счёт как точка пересечения луча с Т в зависимости от того, расположены ли прилежащие стороны многоугольника 7 по разные стороны от луча ли по одну и ту же его сторону. Очевидно, что все точки из п\Т разобьются на два класса: в один класс попадут точки, для которых луч имеет нечётное число пересечений с Т, а в другой - точки, для которых луч имеет чётное число пересечений с Т. Показано следующее: 1) две точки одного класса могут быть соединены ломаной, не имеющей общих точек с Т; 2) если две точки принадлежат разным классам, то любая соединяющая их ломаная имеет общие точки с Т. Точки первого класса называются внутренними точками многоугольника Т, а точки второго класса называются внешними по отношению к многоугольнику Т. Отметим, что доказательство теоремы, как и книга Р. Куранта в целом, «не предполагает иных сведений, кроме тех, которые содержатся в хорошем школьном курсе» [76, с. 8].

Всё сказанное позволяет считать, что при решении задач 2-2.2 развивающий характер обучения выражается в углублении геометрических представлений.

4.2.3. От параллельных прямых до факторгрупп

Задача 3. Докажите, что отношение параллельности на множестве прямых на плоскости является отношением эквивалентности. Что представляет собою каждый класс эквивалентности?

Рассматривая эту задачу, мы используем определение параллельности прямых, сформулированное в учебнике А. Н. Колмогорова и др. [67, с. 119], согласно которому прямая параллельна сама себе. Решение первой части задачи почти очевидно для учеников и представляет собой просто использование нового языка: свойство а II а следует называть рефлексивностью, свойство а II Ъ => Ъ II а следует называть симметричностью и т.д. Чуть сложнее вопрос о классах эквивалентности. Все ученики понимают, что класс эквивалентности состоит из пучка параллельных между собой прямых, но мало кто

знает, что класс эквивалентности является (по определению) новым геометрическим объектом - направлением.

Сопоставление задач 2-2.2 и задачи 3 обнаруживает известную асимметрию в представлениях учебников. С одной стороны, каждый школьник знает, что такое луч, полуплоскость и внутренность круга, но не понимает, что в определении этих объектов явно или неявно участвуют бинарные отношения. С другой стороны, школьники, фактически, знают, даже если не употребляют слово «эквивалентность», что параллельность - это отношение эквивалентности, но плохо представляют себе геометрический смысл класса эквивалентности. Ликвидация этой асимметрии является одной из задач преподавателя вуза.

Нетрудно видеть, что задача 3 может быть модифицирована разными способами. Некоторые из таких способов перечислены в таблице 16.

Таблица 16. Направления различных размерностей.

Бинарное отношение

Класс эквивалентности

Сонаправленность лучей на плоскости

Ориентированное направление на плоскости

Параллельность прямых в пространстве

Одномерное направление в пространстве

Сонаправленность лучей в пространстве

Одномерное ориентированное направление в пространстве

Параллельность плоскостей в пространстве

Двумерное направление в пространстве

Сонаправленность полуплоскостей в пространстве

Двумерное ориентированное направление

Другим направлением модификации задачи 3 является использования других языков для описания прямых. В задаче 3.1 используется язык уравнений, а в задаче 3.2 - язык векторов.

Задача 3.1. На множестве линейных уравнений с двумя неизвестными задан бинарное отношение Т следующим образом: уравнения ах + by = с и atx + bty = ct находятся в бинарном отношении Г, если строки матрицы ^ ^ ^ пропорциональны. Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то найдите класс эквивалентности.

Задача 3.2. В векторном пространстве V задан ненулевой вектор а (два неколлинеарных вектора а и ft). Векторы х и у находятся в бинарном отношении Г, если их разность коллинеарна вектору а (компланарно векторам а и ft). Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то найдите класс эквивалентности.

Легко видеть, что в задачах 3 и 3.1 рассмотрено одно и то же отношение эквивалентности. В задаче 3.2 класс эквивалентности, порождённый вектором р, представляет собой множество векторов у, удовлетворяющих равенству у = р + <ш, а £ M. (у = аа + ßb, a, ß G Ж), это параметрическое уравнение прямой с направляющим вектором а (плоскости с направляющими векторами а и ft), то есть в этой задаче речь вновь идёт о параллельности между классов эквивалентности и исходным объектом - вектором а (плоскостью векторов а и ft). Заметим, однако, что в задачах 3 и 3.2 рассматриваются совершенно разные отношения эквивалентности, т.к. в первом случае речь идёт о параллельности прямых, а во втором - об эквивалентности точек, отождествлённых с концами радиус-векторов.

У учащегося, решившего перечисленные выше упражнения, может возникнуть естественный вопрос о целесообразности использования различных языков описания одного и того же понятия, в данном случае, понятия параллельности. Поставим перед ним следующую проблему: зная, что такое одномерное и двумерное направление в пространстве, дать определение ^-мерного направления в -мерном пространстве. Очевидно, что сделать это на базе наглядных представлений, то есть на базе задачи 3, невозможно, однако при использовании векторной алгебры требуемое определение получается без большого труда. Введём в рассмотрение линейную оболочку < а > вектора а (линейную оболочку < a, b > векторов а и ft). Тогда определение бинарного отношения Т может быть сформулировано так:

Естественным образом получается следующее обобщение.

Задача 3.3. Пусть в векторном пространстве V задано А>мерное подпространство L. Векторы х и у находятся в бинарном отношении Т, если их разность принадлежит L. Является ли Т отношение эквивалентности? Если да, то найдите класс эквивалентности.

Легко видеть, что класс эквивалентности является линейным многообразием р + L и что каждое ^-мерное направление порождает-

ся подпространством. Обычно фактор-множество V/T обозначается через V/L и называется фактор-пространством по подпространству L.

Переменим точку зрения на векторное пространство V и подпространство L и подчеркнём, что (V, +) - это группа, a (L, +) - её подгруппа. Очевидно, что задачу 3.3 можно попытаться сформулировать для других аддитивных групп, прежде всего для тех, которые поставляются нам школьной математикой. Одна такая формулировка, касающаяся группы (IRL, +) и её подгруппы (Ж, +), уже была сделана в разделе 3.4 и оказалась достаточно интересной. Рассмотрим теперь аддитивную группу Ж и её подгруппу Гт, состоящую из чисел, кратных фиксированному числу m Ф ОД, — 1.

Задача 3.4. Целые числа аи b находятся в бинарном отношении Г, если а — b g Гт. Является ли Т отношением эквивалентности? Если да, то найдите классы эквивалентности, порождённые числами ОД, —1. Перечислите все классы эквивалентности.

Обычно фактор-множество Ж/Т обозначается через Жт и называется кольцом классов вычетов по модулю т.

Вновь переменим точку зрения и попытаемся сформулировать две предыдущие задачи не только для аддитивных групп, но и для групп, в записи которых используется мультипликативная терминология. Сделаем это для группы, изучению которой в педагогических вузах уделяется достаточно много времени, а именно, для группы аффинных преобразований2 плоскости.

Задача 3.5. Пусть Л - группа аффинных преобразований плоскости и Т - группа параллельных переносов. Зададим на <Л бинарное отношение ~ следующим образом: аффинные преобразования fug обладают свойством f~g, если / о д~г g Т, то есть если преобразование f ° д~г - параллельный перенос. Является ли ~ отношением эквивалентности?

Нетрудно доказать, что ответ на вопрос задачи является утвердительным. Известно (А. М. Комиссарук [69, с. 86]), что любое аффинное преобразование разлагается в композицию центроаффинного преобразования и параллельного переноса. В силу этого класс эквивалентности / состоит из всех тех аффинных преобразований, у кото-

2 Преобразование плоскости называется аффинным, если оно сохраняет простое отношение трёх точек. Более подробно: если точки А, В и С связаны векторным равенством АС = ÀAB, то их образы А\ В' и С связаны равенством А'С = ÀA'B' с тем же самым коэффициентом Я.

рых центроаффинная часть совпадает с центроаффинной частью преобразования /. Другими словами, фактор-множество <Л/~ является множеством центроаффинных преобразований.

Легко видеть, что задача 3.5 может быть видоизменена самыми разнообразными способами. Например, вместо подгруппы параллельных переносов можно рассматривать подгруппы преобразований первого рода, движений, конформных преобразований, эквиаффинных преобразований и т.д. Можно сузить объемлющую группу и вместо группы сЛ рассматривать, например, группу центроаффинных преобразований. При этом в качестве подгруппы по-прежнему могут выступать центроаффинные преобразования первого рода, движения и проч. Такое сужение полезно по нескольким причинам. Во-первых, мы сможем сформулировать задачи на языке линейных операторов. Во-вторых, мы сможем рассматривать отличные от евклидова скалярные произведения и выделять подгруппы, сохраняющие их. В-третьих, мы сможем поставить вопрос о матричной характеризации различных подгрупп, а также переформулировать задачу 3.5 на языке матриц.

Следует ли нам становиться на ещё более общую точку зрения и рассматривать вместо группы аффинных преобразований и подгруппы параллельных переносов группы и подгруппы общего вида? Это возможно и даже нетрудно, однако представляется более естественным сделать это в процессе регулярного изучения теории групп, тем более, что пропедевтическая работа уже проделана нами при изучении отношений эквивалентности.

Теперь мы можем указать причину, в силу которой цикла задач 3-3.5 имеет ярко выраженный развивающий характер. Ею является возможность включения простейшего понятия о параллельности в широкий контекст естественных обобщений, которые шаг за шагом приводят студента к достаточно сложному понятию факторгруппы. При этом развивающий характер цикла задач может быть существенно усилен за счёт специальной методики его изучения. Методика базируется на том простом факте, что каждая из задач данного цикла может быть сформулирована разными способами. Следовательно, у преподавателя имеет возможность построить несколько (достаточно много) циклов задач, которые будут выполнять в точности те же педагогические функции, что и исходный цикла задач 3-3.5. Предложив их для проработки нескольким микрогруппам студентов, преподаватель будет моделировать, по крайней мере, два компонента

реального научного процесса. Во-первых, путь обучающихся «от простого к сложному», от параллельности к факторгруппам будет в значительной степени персонифицирован. Во-вторых, возникнет база для обмена информацией между микрогруппами студентов. Тем самым, будут проиллюстрированы два свойства научной деятельности, о которых мы упоминали в разделе 1.8: уникальность научной деятельности и её личностно-социальный дуализм. Ниже мы ещё встретимся с циклами задач, организованными подобным образом.

4.3. Векторные пространства и базовая персонализация

В данном разделе предложен материал, который позволит персонализировать процесс изучения теоретических вопросов линейной алгебры. Мы сознательно не касаемся изучения многочисленных вычислительных алгоритмов линейной алгебры, поскольку персонализация процесса выработки вычислительных навыков решается сравнительно просто, а именно, с помощью генераторов упражнений. Идея одного из таких генераторов содержится, например, в [143, § 11].

Очевидно, что для проработки теоретических вопросов на практических занятиях необходимо иметь большой набор векторных пространств. Формированию этого набора, который мы для краткости будем называть Большим Банком, посвящен данный раздел.

Приступая к построению Большого Банка, мы исходим из необходимости придать ему многостороннюю ориентацию. Прежде всего, в него входят векторные пространства, которые, фактически, изучаются в школе, хотя и не называются при этом векторными пространствами: линейные и квадратичные функции, квадратичные расширения множества рациональных чисел, комплексные числа... Кроме того, в нём имеются пространства, возникающие при изучении различных математических теорий, например, теории полей, теории представлений, теории алгебр Ли. Наконец, в нём представлены пространства различных размерностей, а именно, «малых» размерностей 2, 3, 4, 5, конечномерные пространства произвольной размерности и, что особенно трудно для студентов, бесконечномерные пространства.

Как обычно, мы не выходим за рамки программы педагогических вузов. Из каких бы «высоких сфер» ни выбирались примеры векторных пространств, все они доступны пониманию студентов. Немногочисленные трудные случаи сопровождаются комментариями.

Упражнения из Большого Банка разбиты на группы, которые мы будем называть «меню». Именно из этих «меню» преподаватель сможет выбирать «блюда» для практических занятий. Для каждого меню будет указано его происхождение и некоторые его особенности, интересные с той или иной точки зрения.

Все задания данного раздела однотипны в том смысле, что каждое из них предполагает поиск ответов на три вопроса. 1) Является ли множество вместе с заданными на нём операциями сложения и умножения на элемент поля векторным пространством над этим полем? 2) Если да, то какова размерность этого пространства? 3) Если размерность конечна, то каков базис? Во всех случаях операции предполагаются стандартными.

Почти очевидно, что процесс построения большого набора однотипных заданий является долгим, скрупулёзным и ... скучным. Чтобы избавить читателя от скуки, заранее приведём некоторые количественные характеристики Большого Банка. В нём содержится 250 упражнений на принадлежность к категории, в том числе 180 векторных пространств и 70 объектов, не являющихся пространствами. В частности, среди векторных пространств имеется 51 пространство «малой» размерности, 46 бесконечномерных пространств, 23 пространства из «школьного курса» математики. Желая разнообразить «фауну» линейной алгебры, мы рассматриваем пространства над 7-ю разными полями. Мы надеемся, что предлагаемая коллекция упражнений заинтересует читателя.

Меню 1. Векторные пространства размерности 2

В меню 1-4 читатель встретится с экзотическими обозначениями и названиями, например, с непонятным обозначением sl2 или термином «разрешимая алгебра Ли». При быстром чтении их вполне можно опустить и обращать внимание лишь на специфику скрывающихся за ними объектов. Если же возникнет желание углубиться в суть дела, то необходимые определения легко можно найти в справочной литературе.

Вид вектора

Обозначение

Название, примечание

Школьная математика

1.

(а,Ь)

Ш2

Плоскость

2.

а + Ы

С

Комплексные числа

3.

а + Ь42, a,b G Q

Q(V2)

Квадратичное расширение

4.

(а, а + d,a + 2d,... )

Арифметич. прогрессии

Симметрия и однородность

Матричные представления алгебр

Алгебры Ли

Меню 2. Векторные пространства размерности 3

Школьная математика

Симметрия и однородность. Геометрия

Алгебры Ли

Меню 3. Векторные пространства размерности 4

Школьная математика

Симметрия и однородность

Алгебры Ли и их суммы

Меню 4. Векторные пространства размерности 5

Прямые суммы алгебр Ли из меню 2-4

Меню 5. Числовые множества как векторные пространства

Примеры и контрпримеры из Меню 5-8 даёт нам теория полей.

Всюду в дальнейшем F - это поле, a F с F - его подполе. Суть каждого из заданий данной группы - истолкование аксиом поля в терминах линейной алгебры.

52

53

54

55

56

57

58

59

Множество векторов (В)

С

Ж

Ж

Q

F

F

Поле скаляров (С)

Ж

Q

Ж

Q

Q

F

F

В комментариях преподавателя нуждается процесс нахождения размерности в заданиях 56 и 54. Полное доказательство того, что dim^IR = оо, производится методом от противного: если предположить, что dim^IR = п, то можно доказать, что множество вещественных чисел счётно, используя счетность множества рациональных чисел и теорему о счетности декартова произведения счётных множеств. Очевидно, что при первоначальном знакомстве с линейной алгеброй подобные рассуждения недоступны студенту, т.к. в них используется материал, который будет изучаться только через 2-3 семестра. По-видимому, правильным является следующий подход: сообщить, что dim^IR = оо, а затем с помощью этого факта доказать, что dim^C = оо.

Меню 6. Числовые множества как векторные пространства.

Контрпримеры

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

В

ж

Q

Ж

Ж

Q

Ж

Ж

Ж

С

Z

ж

z

ж

с

ж

с

Q

Ж

С

При решении заданий этой группы продолжается истолкование аксиом поля в терминах линейной алгебры. В каждом из случаев свойства операций над векторами и свойства умножения вектора на скаляр выполняются, так что суть задания состоит в том, чтобы понять, почему соответствующий объект не является векторным пространством. В заданиях 60-63 причина в том, что множество скаляров «слишком узко» и не образует поля (соответствующая структура образует модуль над кольцом Ж [72, с. 452]). В заданиях 64-69 поле скаляров «слишком широко в том смысле, что умножение вектора на скаляр выводит произведение из множества векторов.

Меню 7. Расширения поля рациональных чисел

Рассмотрим в контексте линейной алгебры три расширения поля рациональных чисел: Q(V2), Q(V5) и Q(V2,V3). Все они являются составными алгебраическими расширениями, причём первые два -простыми алгебраическими расширениями [105, с. 12].

В известном смысле мы не можем уклониться от изучения алгебраических расширений. Действительно, если мы решаем квадратное уравнение ах2 + Ъх + с = 0 с целыми коэффициентами, то его дискриминант, как правило, не является точным квадратом. Следовательно, корни X = — — ± ^- y[D такого уравнения принадлежат квадратичному расширению Q(VD). Таким образом, задания данной группы позволяют осмыслить школьный материал на новом уровне. Заметим, что изучение квадратичного расширения Ж с С не вызывает никаких вопросов, поэтому естественно заняться расширением Q с Q(V2) и, в более широком контексте, другими расширениями поля Q. Именно так поступает Л. Я. Окунев [98], когда в самом начале курса, в § 1, приводит Q(V5) и Q(V3) в качестве примеров числовых колец. А. Г. Курош [78, с. 281] приводит доказательство единственности простого алгебраического расширения, а это позволяет нам легко доказать, что множество Q(V2,V3) является полем.

Связь со школой подкрепляется чисто техническими приёмами решения некоторых задач. Докажем, например, что в задании 75 размерность векторного пространства равна 2. Для этого нам придётся применить простейшие, «детские» преобразования - группировку слагаемых и вынесение за скобки общего множителя. Действительно,

На языке линейной алгебры это означает, что вектор z представлен в виде линейной комбинации базисных векторов 1 и л/3 с коэффициентами а + и с + соответственно. Таким образом, отнюдь не простой результат получен с помощью простейших средств. Для сравнения заметим, что в задании 77 группировку слагаемых и вынесение за скобки необходимо делать несколько иначе.

В каждом из заданий 70-78 размерности пространств не превосходят 4. Это служит доступной для студентов иллюстрацией общей теоремы о том, что составное алгебраическое расширение является конечным расширением [105, с. 19].

Меню 8. Расширения поля рациональных чисел. Контрпримеры

Задания 79-81 похожи на задания 60-63 в том смысле, что поле скаляров «слишком узко». Остальные задания данной группы похожи на задания 64-69 с том смысле, что поле скаляров «слишком широко». При этом используются простые факты из школьного курса математики: а) произведение рационального и иррационального числа почти всегда иррационально (82-84); б) правила действий с радикалами. Например, при решении упражнения 85 можно рассуждать так:

произведение вектора л/2 на скаляр равно л/32, следовательно, не принадлежит множеству векторов.

Итак, при выполнении заданий из Меню 5-8 студенты используют свои знания о числах, переосмысливая их в контексте линейной алгебры.

Меню 9. Арифметические пространства

Мы уже работали с семью различными полями, связанными друг с другом соотношением «быть подполем»:

(*)

Задания данного меню образуются просто: подполе фиксируется, а объемлющее поле умножается само на себя в смысле декартова произведения.

Каждое задание Меню 9 целесообразно выполнить в нескольких модификациях: а) п = 2; б) п = 3; в) п - произвольное натуральное число, большее 3.

В данной группе два бесконечномерных пространства, рассматриваемых в заданиях 95 и 93. Их бесконечномерность можно доказать, используя факт dim^IR = оо и работая с одним из компонент (например, с первым) арифметического вектора из Жп.

Меню 10. Арифметические пространства. Контрпримеры

Задания Меню 10 группируются по тому же принципу, что и задания Меню 7. Для их выполнения необходимо использовать школьные знания о числах. Например, выполняя задание 120 при п = 2, можно рассуждать так: умножив вектор (V3, a) G Q(V3)2 на скаляр получим пару чисел (л/27-25, л/5а) g Q(V3)2, поскольку

Меню 11. Матрицы

Для построения упражнений из Меню 11 мы используем систему полей (*) и их подполей, а также приём, аналогичный тому, который был применён при построении Меню 9: фиксируем подполе, а числа из объемлющего поля берём в качестве элементов матрицы.

Ниже обозначение Mmn(F) будет означать множество прямоугольных матриц с m строками и п столбцами с элементами из поля F, а обозначение Mn(F) - множество квадратных матриц порядка п с элементами из того же поля.

Каждое из заданий 121-136 целесообразно выполнить в нескольких модификациях: а) п = 2; б) п = 3; в) п - произвольное натуральное число, большее 3. Каждое из заданий 137-153 целесообразно выполнить а) при «малых» т и п; 6) при произвольных т и п.

Меню 12. Матрицы. Контрпримеры

Задания Меню 12 составлены по тому же принципу, что и задания Меню 8 и 10.

Меню 13. Полиномы. Примеры и контрпримеры

Идея «арифметизации» системы (*) полей и подполей, реализованная в Меню 9 и 11, распространяется на многочлены от одного и двух переменных с различными ограничениями на их степень, симметрию и однородность.

Для заданий Меню 13 примем следующие обозначения.

• F[x] - кольцо многочленов от одного переменного над полем F.

• F[x, у] - кольцо многочленов от двух переменных над полем F.

• F[x]n - множество многочленов степени п от одного переменного.

• F[x, у]п - множество многочленов степени п от двух переменных.

• F[x]<n - множество многочленов степени от одного переменного, степени которых не превосходят п.

• F[x,y]<n - множество многочленов степени от двух переменных, степени которых не превосходят п.

• Fs[x,у] - множество симметрических многочленов степени от двух переменных.

• Fa [х, у] - множество кососимметрических многочленов степени от двух переменных.

• Fh[x,y]n - множество однородных многочленов степени п от двух переменных.

• Fsh[x,у]п - множество однородных симметрических многочленов степени п от двух переменных.

Считается, что нулевой многочлен принадлежит каждому из этих множеств.

Подменю 13.1. Степени полиномов

Проанализируем структуру заданий 172-175, которые образуют одну из типичных групп в Подменю 13.1. Прежде всего, задание 174 даёт типичный пример конечномерного пространства. Кроме того, задания 172 и 175 дают примеры бесконечномерных пространств. Заметим, однако, что причины бесконечной размерности этих двух пространств сильно отличаются друг от друга. В случае 175 пространство является бесконечномерным из-за «узости» поля Q, подобно тому, как это было в заданиях 56, 95 и 125, а в случае 172 размерность бесконечна из-за наличия бесконечного количества степеней одночленов. Наконец, типичный контрпример 173 связан с типичным школьным рассуждением: при сложении многочленов степень суммы может оказаться меньше степеней слагаемых.

Подменю 13.2. Симметрия и однородность

Сравним задания 197 и 218, каждое из которых связано с фиксированием степени в различных множествах многочленов, симметрических и однородных соответственно. В случае 197 мы получаем контрпример, так как сложение симметрических многочленов может привести к понижению степени. Случай 218 не образует контрпримера, т.к. при сложении однородных многочленов одинаковой степени либо получается многочлен той же степени, либо нулевой многочлен. Таким образом, фиксирование степени не всегда даёт контрпример.

Меню 14. Функции. Примеры и контрпримеры

В упражнениях этой группы рассматриваются различные функциональные множества и выясняется, являются ли они векторными пространствами над Ж относительно стандартных операций. Таким образом, в условия задачи мы будем включать только множество векторов.

В дальнейшем через ВА обозначается множество отображений множества А во множество В.

227. Множество RR вещественных функций вещественного аргумента.

228. Множество чётных функций из RE.

229. Множество нечётных функций из Шш.

230. Множество функций из RE, которые не являются ни чётными, ни нечётными.

231. Множество ограниченных функций из МЕ.

232. Множество неограниченных функций из Шг.

233. Множество периодических функций из Мм с рациональными периодами.

234. Множество периодических функций из Шж.

235. Множество Ш^а,ь^ отображений числового отрезка [а, Ь] в IRL

236. Множество L(c) функций из Mf-a,b\ имеющих предел в фиксированной точке с G [а, Ь].

237. Множество lR[a,b^\L(c) в обозначениях предыдущей задачи.

238. Множество Z/(c) функций из П&[а,ь], удовлетворяющих условию \imx^cf(x) = 0 для некоторой фиксированной точки с G [а,Ь].

239. Множество L"(c) функций из П&[а'0], удовлетворяющих условию \imx^c fÇx) = 1 для некоторой фиксированной точки с G [а, Ь].

240. Множество L[a,b] функций из Ш[а,ь\ имеющих предел в каждой точке отрезка [а, Ь].

241. Множество M^a'b\L[a,b] в обозначениях предыдущей задачи.

242. Множество С (с) функций из Ш[а,ь\ непрерывных в фиксированной точке с G [а, Ь].

243. Множество функций из Щ[а,ь\ разрывных в фиксированной точке с G [а, Ь].

244. Множество С [а, Ь] функций, непрерывных на отрезке [а, Ь].

245. Множество Ш[а'ь\С[а, Ь] в обозначениях предыдущей задачи.

246. Множество С1 (с) функций из Щ[а,ь\ дифференцируемых в фиксированной точке с G [а, Ь].

247. Множество функций из Щ[а,ь\ не имеющих производной в фиксированной точке с G [а, Ь].

248. Множество С1 [а, Ь] функций, дифференцируемых на отрезке [а, Ь].

249. Множество М^а,ь^\С1[а, Ь] в обозначениях предыдущей задачи.

250. Множество С°°(а, Ь) функций, бесконечно дифференцируемых на интервале (а, Ь).

Очевидно, что при решении задач из Меню 14 используется аналитический материал либо из школьной программы, либо из её

непосредственного продолжения: определение и свойства операции над функциями (227, 235), чётность (228-230), ограниченность (231, 232), периодичность (233, 234), предел (236-241), непрерывность (242-245), дифференцируемость (246-250). Например, при выполнении заданий 236, 238 и 239 применяются теоремы о пределе суммы функций и о пределе произведения функции на константу. При выполнении заданий 237 и 241 применяется «неудобный» для студентов приём - переход к контрпримеру и демонстрация того факта, что при сложении функций, не имеющих предела в данной точке, может получиться функция, имеющая предел. Некоторые из фактов достаточно тонки. Например, сумма двух периодических функций с рациональными периодами периодична, так что множество из задания 233 является векторным пространством. В то же время, сумма двух периодических функций не всегда является периодической (простейшую пару такого типа образуют функции f(x) = sinx и д(х) = cosV2x), так что множество из задания 234 не является векторным пространством. Таким образом, при выполнении заданий из Меню 14 студент использует свои знания о функциях, переосмысливая их в контексте линейной алгебры.

Завершая данный раздел, выскажем утверждение, важное с нашей точки зрения: 180 примеров разнотипных векторных пространств над различными полями образуют ту базу, которая достаточна для полной персонификации изучения теоретических вопросов линейной алгебры.

Завершая данную главу, вернёмся к её основному утверждению: принципы МНИ и З+М являются эффективным инструментом насыщения задачника конкретными упражнениями и задачами. Повидимому, по завершении главы можно считать, что это утверждение доказано или, по крайней мере, всесторонне проиллюстрировано.

4.4*. Двусторонняя ориентация банка заданий

В предыдущих разделах данной главы мы предложили несколько коллекций заданий различного назначения. Суммируем то, что было сказано выше о происхождении этих коллекций и об их взаимосвязях с материалом школьной программы.

Начнём с Большого Банка заданий по линейной алгебре из раздела 4.3. Из содержания заданий видно, что он формировался под влиянием многих разделов математики - математического анализа, многомерной геометрии, ряда разделов алгебры, таких, как теория

полей, теория многочленов, теория матриц. Даже такие продвинуты по отношению к педагогическим вузам и удалённые от их непосредственных задач теории, как теория представлений групп и теория Ли, дали серию интересных и несложных примеров. Парадоксально, но Большой Банк оказывается весьма полезным для подготовки учителя. Покажем это. Начнём с того, что перечислим некоторые из педагогико-математических возможностей Большого Банка.

1. Прежде всего, в Большом Банке сделан обзор тех векторных пространств алгебраической природы, которые, фактически, изучаются в школе, хотя и не называются при этом векторными пространствами (соответствующие разделы Меню 1-4).

2. Сделан аналогичный обзор на аналитическом материале школьной программы и её непосредственного продолжения (Меню 14).

3. Дано истолкование простейших числовых полей - Q, Ж и С -на языке линейной алгебры (Меню 5 и 6).

4. Получена дополнительная информация об этих простейших полях. Во-первых, геометрическая интерпретация комплексных чисел, первоначально построенная вне линейной алгебры, приобретает следующий вид: (С есть двумерное векторное пространство над Ж (задание 53). Во-вторых, вводится важный пример бесконечномерного пространства - пространство Ж над полем Q (задание 56).

5. Приведён новый для студентов взгляд на квадратные уравнения с точки зрения расширения полей. Появляется возможность истолкования равенств с радикалами в контексте линейной алгебры (Меню 7).

6. В том же контексте рассматриваются операции над числами различной алгебраической природы, в частности, действия с радикалами (Меню 8).

7. Научные факты, выявленные в пунктах 3-6, могут быть прочно закреплены в сознании студентов благодаря возможности их многократного повторения при изучении различных групп пространств (Меню 9-13).

Рассмотрим приведённый выше перечень с точки зрения концепции профессионально-педагогической направленности преподавания математики, принадлежащей А. Г. Мордковичу [91].

Прежде всего, Большой Банк вскрывает и хорошо иллюстрирует взаимосвязи линейно-алгебраического материала со школьным курсом математики, или, другими словами, показывает преемственность

школьного и вузовского образования. Тем самым реализуется принцип ведущей идеи [91]. Кроме того, хотя задачи Большого Банка используют доступные школьникам средства, сами они в разумной мере сложны и могут входить в серьёзные педвузовские и университетские курсы. Тем самым реализуется принцип рациональной фундаментальности [91]. Очевидно, что с Большим Банком можно работать с первых дней изучения линейной алгебры, а при желании и с первых дней обучения в вузе. Ниже мы покажем, что на его основе можно моделировать все те характеристические свойства научной работы, которые были упомянуты в разделе 2.3. Следовательно, Большой Банк позволяет реализовать принцип непрерывности [91], согласно которому преподаватель должен активно, с первых дней обучения в вузе, переводить студента с позиций учащегося на позиции исследователя. Наконец, при распределении циклов задач из Большого Банка среди отдельных студентов или микрогрупп студентов вполне уместен рассказ о его происхождении, о подборе его Меню, о структуре каждого из Меню, о способах формирования распределяемых циклов задач и проч. Благодаря этому будет реализован принцип бинарности [91], согласно которому следует добиваться единства общенаучной и методической линий в преподавании математики.

Сказанное позволяет сделать следующий вывод: Большой Банк, создававшийся как отражение современного состояния линейной алгебры и предназначавшийся для формирования навыков математика-профессионала, оказался в высокой степени ориентированным на потребности будущего учителя. Такая двусторонняя ориентация Большого Банка является проявлением общего феномена дополнительной функции педагогического инструмента, описанного в статье [53].

Остановимся на двух важных вопросах, связанных со сделанным выводом. Часто ли встречаются в практике преподавания такие темы, которые допускают формирование двусторонне ориентированного набора заданий? Автор убеждён, что да. Развёрнутый ответ на этот вопрос должен был бы состоять в предъявлении большого списка тем и сопутствующих им коллекций заданий. Краткий ответ, фактически, уже дан в виде описания банка заданий по отношениям эквивалентности в разделах 4.1. и 4.2.

Даёт ли Большой Банк реальную возможность для воссоздания в процессе преподавания фундаментальных свойств научной работы? Утвердительный ответ на этот вопрос будет обоснован в следующей главе, однако аргументы общего характера в его пользу могут быть

приведены уже сейчас. Дело в том, что Большой Банк формировался как результат целенаправленного применения принципов МНИ и З+М к математике. Естественно ожидать, что система заданий, порождённая реальными научными процессами, в свою очередь может быть применена в преподавании для их моделирования.

Глава 5

СПЕЦИАЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

В предыдущей главе было показано, что принципы МНИ и З+М, будучи применёнными к математическому фольклору, позволяют сформировать задачник, обладающий некоторыми заранее предписанными ему свойствами. В этой главе мы сделаем следующий шаг и попытаемся показать, что применив те же самые принципы к построенному задачнику, мы получим многочисленные и полезные педагогические сценарии, предназначенные для моделирования различных аспектов исследовательской деятельности.

5.1. Банк заданий как средство приобщения к современным математическим исследованиям: алгебры Ли

В диссертации [143, § 17] показано, что на базе заданий из Большого Банка, построенного в предыдущей главе, можно начать изучение некоторых математических теорий весьма высокого уровня. При этом важно, что такое изучение основано на использовании заданий, ориентированных на потребности будущего учителя и не требует никакой дополнительной информации: ни новых примеров, ни новых конструкций, ни новых теорем.

В разделе 3.2 мы уже рассматривали взаимосвязь простых алгоритмов линейной алгебры с теорией представлений групп. В данном разделе мы покажем, что простейшие упражнения на умножение матриц и биективность отображений подводят студентов к осмыслению весьма серьёзных фактов из теории групп и алгебр Ли. Заметим, что все определения и теоремы данного параграфа, касающиеся групп и алгебр Ли, можно найти в учебнике [107].

Прежде всего, введём определение алгебры Ли.

Определение. Алгеброй Ли называется векторное пространство V, на котором введено билинейное умножение [,], обладающее следующими свойствами:

(косая симметрия),

(тождество Якоби).

Простые примеры показывают, что это абстрактное определение вполне укладывается в программу педагогических вузов.

Пример 1. Алгеброй Ли является трёхмерное пространство V с заданной на нем ориентацией, если считать, что умножением в алгебре служит векторное произведение [х, у] векторов х иу.

Пример 2. Алгеброй Ли является множество квадратных матриц порядка и, если определить умножение [,] с помощью равенства [А,В]: = AB - В А.

В обоих случаях проверка косой симметрии и тождества Якоби производится прямым вычислением.

Приведём три серии заданий по четыре упражнения в каждой. Занумеруем задания с помощью пар чисел, первое из которых обозначает номер серии, а второе - номер упражнения в серии. Будем предлагать эти серии отдельным микрогруппам студентов.

МКГ-1. Здание 1.1. Образует ли множество nl9 состоящее из матриц вида А = ^ алгебру Ли относительно умножения [,]?

(Здесь и далее рассматриваются матрицы с вещественными элементами.)

Решение. Утвердительный ответ получается прямым вычислением:

Задание 1.2. Для матрицы А из задачи 1.1 найдите матричную экспоненту, определяемую равенством ехрЛ := еА •= Е + А + А2/2\+А3/3\ + -

Решение. Поскольку А2 = 0, получаем, что еА = Е + А =

Легко видеть, что матрица А является необратимой, а матрица еА - обратимой. Это наблюдение порождает следующую задачу.

Здание 1.3. Образует ли множество N±, состоящее из матриц вида X = ( J группу относительно обычного умножения матриц?

Решение. Для матриц X = *) и ^ = (n l) из множества N-l получаем, что XY = * ^ ^) е Nt. Кроме того, Х-1 = (о I*) G и ^ G ^i- ^ силу признака подгруппы получаем утвердительный ответ.

Задания 1.1—1.3 показывают, что возникло отображение ехр: щ —> N± матричной алгебры Ли щ в матричную группу N±.

Задание 1.4. Является ли отображение ехр биективным?

Решение. Выберем произвольную матрицу X = G iVj и решим относительно А = ^ ^ G % матричное уравнение ел = X.

В силу задания 1.2 оно переписывается в виде

имеет единственное решение Л = откуда и следует биективность.

Теперь первая микрогруппа может сделать следующий вывод.

Вывод 1. Существует биективное отображение матричной алгебры Ли щ на матричную группу Ыг.

Опишем теперь работу второй микрогруппы.

МКГ-2. Задание 2.1. Образует ли множество п3, состоящее из сверхтреугольных матриц вида

алгебру Ли относительно умножения [,]?

Решение получается прямым вычислением.

Задание 2.2. Для матрицы А из задания 2.1 найдите еА.

Решение. Прямые вычисления показывают, что А2 = и А3 = 0, поэтому

Мы вновь видим, что матрицы еА имеют особый вид. Вновь рассмотрим множество таких матриц.

Задание 2.3. Образует ли множество N3, состоящее из матриц вида

группу относительно обычного умножения матриц?

Решение. Для матриц из множества N3 получаем, что .

(1 —X xz — y\ 0 1 -z £iV3.B силу признака 0 0 1 / подгруппы получаем утвердительный ответ.

Задания 2.1-2.3 показывают, что возникло отображение ехр: п3 —> N3 матричной алгебры Ли п3 в матричную группу N3. Задание 2.4. Является ли отображение ехр биективным?

Решение. Выберем произвольную матрицу и решим относительно А матричное уравнение переписывается в виде Приравнивая одноимённые элементы и выражая а, Ъ и с через х, у и z, находим единственное решение а = X, с = z и b = у — xz/2, или в матричном виде А =

Существование и единственность решения означают биективность отображения.

Теперь вторая микрогруппа может сделать следующий вывод. Вывод 2. Существует биективное отображение матричной алгебры Ли п3 на матричную группу N3.

Опишем теперь работу третьей микрогруппы.

МКГ-3. Задание 3.1. Образует ли множество г2, состоящее из матриц вида А = № J, алгебру Ли относительно умножения [, ]?

Решение. Утвердительный ответ получается прямым вычислением: [ДС] = (" ЪЖ d\-(° *\(° Ч) = ("f

Задание 3.2. Для матрицы А из задания 3.1 найдите еА. Решение разбивается на две части в зависимости от значения параметра а.

Особый случай: а = 0. Из задания 1.2 следует, что

Общий случай: а Ф 0. Методом математической индукции нетрудно доказать, что Ап = у J, поэтому

Очевидно, что

Для нахождения суммы второго ряда домножим и разделим его на общий член a, a затем к сумме прибавим и вычтем 1. Получим, что

Окончательно получаем, что

В третий раз мы видим, что матрица еА имеет особый вид. Повидимому, два следующих задания могут быть предугаданы студентами.

Задание 3.3. Образует ли множество r2, состоящее из матриц вида (Z "Q, где х > 0, группу относительно обычного умножения матриц?

Решение. x = (~ и z = \)ш множества ^2 получаем, что xz = (*z xu +У) G r2. Кроме того, е G r2 и х~г = (\1х —у / х\ ' "Y J G /?2- В силу признака подгруппы получаем утвердительный ответ.

Задания 3.1-3.3 показывают, что возникло отображение ехр: г2 —> r2 матричной алгебры Ли г2 в матричную группу r2. Задание 3.4. Является ли отображение ехр биективным?

(X у\ q ^) G r2 и решим относительно матрицы А = № G г2 матричное уравнение еА = x. Рассмотрим два случая.

Особый случай: х = 1. В решении задания 1.4 было показано, что матрица А единственным образом по формуле А = (® *\

Общий случай: х Ф 1. Уравнение еА = X можно переписать в развернутом виде, ( а / = V0 1/' откуда

Окончательно получаем, что решение уравнения еА = X существует и единственно, а это и означает биективность отображения ехр.

Теперь третья микрогруппа может сделать следующий вывод.

Вывод 3. Существует биективное отображение матричной алгебры Ли х2 на матричную группу R2.

Проведём педагогико-математический анализ заданий 1.1-3.4 с целью ответить на два вопроса. 1) В какой мере эти задания вводят студентов в тематику современных математических исследований? 2) В какой мере эти задания соответствуют программе педагогических вузов?

1. Задания 1.1-3.4 показывают, что матричные алгебры Ли тесно связаны с матричными группами. Трёхкратное повторение одной и той же конструкции наводит студентов на мысль о том, что подмеченное обстоятельство не случайно, а является проявлением некоей закономерности. Тем самым мы получаем прекрасную отправную точку для систематического изучения теории Ли.

2. Задания 1.1-3.4 показывают, что предлагаемый материал полностью укладывается в программу педагогического вуза. Более того, примеры алгебр Ли и решения задач нельзя отнести к категории сложных. Тем самым оказывается, что банк заданий, ориентированный на потребности будущего учителя математики, в достаточной мере отражает состояние такого продвинутого раздела математики, каким является теория Ли.

3. Легко видеть, что имеют место включения щ с г2 и N± с R2. Тем самым блок упражнений, состоящий из двух циклов 1.1-1.4 и 3.1-3.4, иллюстрирует соответствие между подалгебрами алгебры Ли и подгруппами группы Ли. Кратко и весьма наглядно оно может быть выражено в виде коммутативной диаграммы

Здесь горизонтальные стрелки означают тожественные отображения, верти-

кальные стрелки обозначают экспоненциальные отображения, а коммутативность диаграммы означает, что id о ехр = ехр ° id.

4. Весьма интересно, что алгебро-геометрический материал заданий 1.1-3.4 тесно связан с курсом математического анализа. Прежде всего, это ряды, участвующие в задании 3.2. Кроме того, покажем, что особый случай нахождения матрицы еА может быть получен из общего случая с помощью предельного перехода. Пусть А = Qjj ^ и а Ф 0. Тогда

Так неожиданно оказалось, что матричные вычисления связаны с непрерывностью показательной функции у = ех и классической эквивалентностью бесконечно малых х~ех — 1 при X -> 0. На абстрактном языке этот факт можно выразить в виде равенства ехр о lima^0 = lim о ехр, означающего коммутативность соответствующей диаграммы.

5. Матричные группы Nt, N3 и R2 имеют простой геометрический смысл, связанный с аффинными преобразованиями прямой и плоскости. (Всю необходимую информацию об аффинных преобразованиях можно найти в книге А. М. Комиссарука [69].) Так, матричная группа R2 изоморфна группе аффинных преобразований прямой, сохраняющих её ориентацию, а матричная группа N1 изоморфна группе таких преобразований прямой, которая сохраняет ориентацию и расстояние. Кроме того, матричные группы N± и N3 можно рассматривать как группы центроаффинных преобразований плоскости и пространства соответственно. Если считать, что матрица является матрицей линейного оператора X в базисе (elfe2), то X - это родственное преобразование с осью родства < ег> [69, с. 130, 84, 64]. Аналогично, если считать, что матрица I 0 1 z I является матрицей оператора X в базисе (elt е2, е3), то X - это родственное преобразование с осью родства < ег > и плоскостью родства < elf е2 > [69, с. 233, 214].

6. В контексте теории Ли алгебры щ и п3 являются нильпотентными, а алгебра г2 - разрешимой; при этом индексы указывают на их

размерность. Более того, согласно теореме Энгеля любая нильпотентная алгебра Ли может быть представлена с помощью сверхтреугольных матриц, а согласно теореме Ли любая разрешимая алгебра может быть представлена с помощью треугольных матриц. Именно так и обстоит дело в нашем случае.

7. В заключение отметим, что задания 1.1-3.4 образуют так называемую матрицу упражнений, которую было бы естественно задать в виде таблицы, в клетках которой расположены номера заданий.

Таблица 17. Алгебры Ли

Вопрос Объект

Образует ли объект алгебру Ли?

Найдите матричную экспоненту.

Образует ли группу...?

Биективна ли экспонента?

щ

1.1

1.2

1.3

1.4

2.1

2.2

2.3

2.4

*2

3.1

3.2

3.3

3.4

Каждая строка посвящена изучению одного объекта. При движении по строке меняется вопрос, задаваемый об объекте изучения, а при движении по столбцу меняется объект изучения при сохранении вопроса о нём. Ниже, разделе 5.6, мы рассмотрим другую матрицу упражнений, посвященную другим математическим объектам.

5.2. Цикл задач как средство обнаружения новой теоремы

Очевидно, что в практической деятельности любого математика стихийно возникают проблемы самых различных типов. Приходится уточнять формулировку решаемой задачи или даже кардинально менять её, приходится искать руководящую идею (гипотезу) для её решения, приходится разбивать задачу на несколько промежуточных задач т.д. Приходится проводить длинные и сложные вычисления, придумывать дополнительные построения, конструировать примеры и контрпримеры и т.д. Очевидно также, что проблемы, как правило, не изолированы, а взаимосвязаны друг с другом, что в реальной жизни они возникают группами, причём в самых причудливых сочетаниях.

Отражением «группового» характера реальных математических проблем в процессе обучения математике является рассмотрение различных систем задач. В литературе можно встретить упоминание о группах задач, цепочках задач, блоках задач, пучках задач, укрупнён-

ных дидактических единицах и т.д. Процитируем Г. В. Дорофеева [44].

«Каждая задача, рассматриваемая сама по себе, обычно представляет некоторое изолированное утверждение или требование и предполагает выполнение определённых действий для её решения. Между тем учитель, ставящий задачу перед учащимися, ... преследует, как правило, более общие цели, для него конкретная задача является лишь одной из многих, узкочастным средством для достижения более общих целей - формирования или закрепления нового понятия, получения новых или активизации старых знаний, демонстрации определённого метода рассуждений ... и т.п.»

<...> «Каждая конкретная задача имеет определённый набор связанных с ней задач, определённую окрестность - по содержанию, по методам рассуждений, кругу используемых понятий. Более того, каждая задача входит в некоторый букет окрестностей, связанных с той или иной её особенностью ...»

<...> «Невозможно, очевидно, сформулировать какие-либо достаточно определённые «алгоритмы» построения окрестности конкретной задачи, и поэтому важной представляется систематизация разнообразных приёмов варьирования задач, достаточно общая в теоретическом плане и в то же время эффективная в плане практическом. Такая систематизация является ... необходимым средством обучения учителей ... умению видеть взаимосвязи отдельных внешне разрозненных задач, самостоятельно составлять циклы задач, объединённые общими идеями.»

По мнению автора, «невозможность» алгоритмизации процесса построения окрестности задачи связана с бесконечным разнообразием тех сочетаний проблем, которые возникают в деятельности математика. Тем не менее, мы рискнём высказать одно соображение, которое представляется нам полезным: совокупность заданий, предлагаемых студентам при изучении конкретной темы, должна быть отражением тех исследовательских действий, которые выполняют математики в своей работе.

В этом контексте мы рассмотрим одну из параллелей такого сорта, а именно, взаимосвязь между циклом заданий, выполняемым студентами в учебном процессе, и обнаружением теоремы, выполняемым математиком-исследователем.

Под циклом заданий понимается последовательность заданий, связанных друг с другом таким образом, что результаты их выполне-

ния выявляют общее свойство исследуемых математических объектов.

Предложим несколько циклов заданий, основанных на упражнениях из Большого Банка. Введём необходимые обозначения.

Если поля F и F связаны отношением включения F с F, то поле F называется расширением поля F, а поле F называется сужением поля F.

Тот факт, что векторы alt а2,...,ап образуют базис пространства V над полем F, будем записывать в виде BF(V) = {аъ а2,ап). Будем считать, что проверка свойства «быть базисом» известна студентам и освоена ими.

В арифметическом пространстве Fn над полем F существует стандартный базис, состоящий из векторов

ег = (1,0, ...,0,0) е2 = (0,1, ...,0,0)

еп.г = (0,6, ...Д',0) еп = (0,0, ...0,1).

Цикл 1. Рассмотрите в совокупности следующие пары упражнений из Большого Банка: 52, 53; 91, 92; 169, 170; 121,122. Постарайтесь подметить какую-либо закономерность.

Обсуждение. 1) Если выписать пространства, фигурирующие в указанных задачах, то становится понятно, что в каждой паре рассматривается некое множество векторов над двумя разными полями, а именно, над полями комплексных и вещественных чисел. Это означает, что для решения общей задачи необходимо заполнить следующую таблицу.

Таблица 18. План решения.

52, 53

91,92

169, 170

121,122

Векторы

С

сп

Мп(€)

dime

dimE

2) Пусть z = а + Ы g (С. Очевидно, что z = z ■ 1. На языке линейной алгебры это означает, что вектор z (левая часть равенства) представляется в виде линейной комбинации (из одного слагаемого) вектора 1 g С с коэффициентом z (правая часть равенства). Это означает, что пространство имеет базис из одного вектора 1 и, следовательно, размерность 1.

Очевидно также, что z = а ■ 1 + b • i. На языке линейной алгебры это означает, что вектор z представляется в виде линейной комбинации векторов 1 и i с коэффициентами а и Ь. Это означает, что пространство имеет базис из двух векторов и, следовательно, размерность 2. Разумеется, нужно ещё проверить линейную независимость векторов 1 и i над полем Ж, однако это делается стандартным способом.

Итак, нам известны размерности, стоящие в первом столбце таблицы 18.

3) Выполним задания 91 и 92 при п = 2. Пусть (z,u) G (С2, где z = а + Ы и и = (с + di). Очевидно, что (z,u) = z(l,0) + u(0,l) = zet + ue2. Это означает, что Ъс(£2) = (elfe2) и dim(C((C2) = 2.

При изучении пространства С2 над Ж необходимо разложить вектор (z,u) по некоему гипотетическому базису с вещественными коэффициентами. Сделаем это: (z, и) = zex + ие2 = (а + Ы)е1 + (с + di)e2 = ае-L + се2 + bÇie-^) + d(ie2). На языке линейной алгебры это означает, что вектор (z, u) G С2 представим в виде линейной комбинации четырёх векторов el9 е2, iel9 ie2 с вещественными коэффициентами. Проверив их линейную независимость, мы убедимся, что они образуют базис.

Итак, Вщ> ((С2) = (е1; е2, ie±, ie2) и dimE(C2) = 4.

4) Нетрудно понять, каков алгоритм построения неизвестного базиса ВЕ(С2), если нам известен базис SC((C2): нужно каждый вектор известного базиса умножить на i и приписать новые векторы к известному базису.

5) Теперь, после сделанного наблюдения, нетрудно выполнить задания 91 и 92 в общем виде: известно, что Ъс(€п) = (е1; ...еп) и dimc(Cn) = n, поэтому SE(Cn) = (elt..., еп, ielt..., ien) и dimE(Cn) = 2n.

6) Известно, что размерность пространства C[x]<n над С равна п + 1, поскольку его базис состоит из многочленов /0(х) := 1, fx(x) := X, ... fn(x) := хп. Согласно сделанному наблюдению, размерность пространства <С[х]<п над Ж равна 2(n + 1), поскольку его базис должен состоять из многочленов fo(x) •= 1, f\(x) '•= X, ... /пО^) := xn, /n+iC*0 := i, /п+гОО := ix> ••• /2(n+i)C*0 := ixn- Разумеется, в данный момент это утверждение ещё не доказано, однако его правдоподобность весьма велика. Нужно просто сделать проверку, которую мы опускаем.

7) Совершенно аналогично мы получаем, что размерность пространства МП(С) над полем Ш равна 2п2, поскольку размерность МП(С) над полем (С равна п2.

Окончательно, в конце Цикла 1 мы получаем следующую таблицу. Из неё видно, что при сужении поля комплексных чисел до поля вещественных чисел размерность исходного пространства умножается на два. Это наблюдение позволяет нам высказать гипотезу о подскоке размерности при сужении поля.

Таблица 19. Вещественная размерность комплексных пространств

52, 53

91,92

169, 170

121,122

Векторы

С

cn

Mn(Q

dimc

1

п

п + 1

п2

dimM

2

2п

2(71+1)

2п2

Гипотеза 1. Если dimc(^) = п, то dimM(l/) = 2п.

Разумеется, эту гипотезу нужно проверять, однако полное доказательство этого утверждения ничуть не сложнее, чем этап 3) в рассмотрении нашего цикла, разве что является чуть более громоздким.

С педагогической точки зрения очевидно, что Цикл 1 представляет собой достаточно громоздкое задание, которое может оказаться чересчур трудным для одного студента. Тем не менее, он вполне посилен для микрогруппы из нескольких студентов.

Обсудим некоторые дальнейшие возможности, которые предоставляет педагогу Большой Банк. Во-первых, к той же самой гипотезе можно прийти на основе многих других циклов заданий. Таков, например, цикл, состоящий из заданий 52, 53; 91, 92; 215, 216; 137, 138. Использование двух различных циклов задач, приводящих к одной гипотезе, имеет прообразы в деятельности математиков: проверка доказательства, повторное открытие и т.п. Во-вторых, и это главное, можно построить родственные циклы, чрезвычайно похожие на рассмотренный цикл по своей сущности, но достаточно сильно отличающиеся по своим внешним характеристикам.

Цикл 2. Рассмотрите в совокупности следующие пары упражнений из Большого Банка: 70, 71; 97, 98; 127, 128; 143,144. Постарайтесь подметить какую-либо закономерность.

Обсуждение. 1) Если выписать пространства, фигурирующие в указанных задачах, то становится понятно, что в каждой паре рассматривается некое множество векторов над двумя разными полями,

а именно, над полями Q(V2) и Q. Это означает, что для решения общей задачи необходимо заполнить следующую таблицу.

Таблица 20. Размерность и квадратичное расширение

2) Пусть z = а + Ъу12 G Q(V2). Очевидно, что z = z ■ 1. На языке линейной алгебры это означает, что вектор z (левая часть равенства) представляется в виде линейной комбинации (из одного слагаемого) вектора 1 G Q(V2) с коэффициентом z (правая часть равенства). Это означает, что пространство имеет базис из одного вектора 1 и, следовательно, размерность 1.

Очевидно также, что z = а ■ 1 + Ъ ■ V2. На языке линейной алгебры это означает, что вектор z представляется в виде линейной комбинации векторов 1 и л/2 с коэффициентами а и Ъ. Это означает, что пространство имеет базис из двух векторов и, следовательно, размерность 2. Разумеется, нужно ещё проверить линейную независимость векторов 1 и V2 над полем Q, однако это делается стандартным способом.

Итак, нам известны размерности, стоящие в первом столбце таблицы 20.

Нетрудно заметить, что первые два пункта решения Цикла 2 практически дословно повторяют соответствующие пункты решения Цикла 1, с той разницей, что вместо сужения (С => Ж стоит сужение Q(V2) з Q, а вместо мнимой единицы i стоит л/2. Можно проверить, (это нетрудно, хотя и канительно), что такое сходство имеет место до самого конца решения, в результате чего мы придём к следующей гипотезе.

Гипотеза 2. Если dim^^ (У) = п, то diniQ(K) = 2гг.

Мы уже упоминали о том, что Большой Банк содержит в себе пространства над семью полями. Это позволяет нам организовать другие циклы, аналогичные приведённым.

Цикл 3. Рассмотрите в совокупности следующие пары упражнений из Большого Банка: 74, 75; 101, 102; 131, 132; 147,148. Постарайтесь подметить какую-либо закономерность.

Обсуждение. 1) Если выписать пространства, фигурирующие в указанных задачах, то становится понятно, что в каждой паре рассматривается некое множество векторов над двумя разными полями, а именно, над полями Q(V2,V3) и Q(V2). Это означает, что для решения общей задачи необходимо заполнить следующую таблицу.

Таблица 21. Размерность и двойное расширение.

2) Пусть z = а + Ьу[2 + сл/З + ал/в Е Q(V2, л/3). Очевидно, что z = z ■ 1. На языке линейной алгебры это означает, что вектор z (левая часть равенства) представляется в виде линейной комбинации (из одного слагаемого) вектора 1 g Q(V2,V3) с коэффициентом z (правая часть равенства). Это означает, что пространство имеет базис из одного вектора 1 и, следовательно, размерность 1.

Если мы хотим исследовать пространство над полем Q(V2), то коэффициенты при векторах должны принадлежать этому полю. Чтобы добиться этого, преобразуем вектор z = а + Ьу[2 + сл/З + dV6 к удобному для нас виду. С этой целью сгруппируем два первых слагаемых и два последних слагаемых, а затем из второй группы вынесем за скобки л/З. Вектор примет вид

Очевидно также, что z = (а + Ьу/2) ■ 1 + (с + dyfï) ■ л/3. На языке линейной алгебры это означает, что вектор z представляется в виде линейной комбинации векторов 1 и V3 с коэффициентами а + и с + dV2. Это означает, что пространство имеет базис из двух векторов и, следовательно, размерность 2. Разумеется, нужно ещё проверить линейную независимость векторов 1 и л/3 над полем Q(V2), однако это делается стандартным способом.

Итак, нам известны размерности, стоящие в первом столбце таблицы 21.

Нетрудно заметить, что первые два пункта решения Цикла 3 практически дословно повторяют соответствующие пункты решения Циклов 1 и 2, с той разницей, что вместо ранее используемых сужений мы работаем с сужением Q(V2, л/3) з Q(V2), а вместо мнимой

единицы i (Цикл 1) или л/2 (Цикл 2) стоит л/3. Можно проверить, что такое сходство имеет место до самого конца решения, в результате чего мы придём к следующей гипотезе.

Гипотеза 3. Если dim^^ ^ (V) = п, то dim^^ (V) = 2п.

Заметим, что мы свели нашу достаточно громоздкую задачу к ранее решённым задачам с помощью простого «детского» приёма -группировки слагаемых и вынесения за скобки общего множителя.

Цикл 4. Рассмотрите в совокупности следующие пары упражнений из Большого Банка: 72, 73; 99, 100; 129, 130; 145, 146. Постарайтесь подметить какую-либо закономерность.

Обсуждение. Фактически, нужный приём уже отработан. Сначала мы извлекаем следствие из равенства z = z ■ 1 и получаем, что dim^3^Q(V5) = 1. Затем мы извлекаем следствие из равенства z = а ■ 1 + Ъ ■ л/5 + с ■ л/25 и получаем, что dimQQ(V5) = 3, поскольку вектор z разлагается по базису Ъ = (1, VS, л/25). Выполнив дальнейшую часть решения мы придём к следующей гипотезе.

Гипотеза 4. Если dim^3^(V) = п, то diniQ(K) = Зп.

Цикл 5. Рассмотрите в совокупности следующие пары упражнений из Большого Банка: 74, 78; 101, 105; 131, 135; 147, 151. Постарайтесь подметить какую-либо закономерность.

В этом цикле задач речь идёт об одних и тех же множествах векторов над разными полями, а именно, над полями Q(V2,V3) и Q. Приведём без обсуждения ту гипотезу, которая возникает при анализе этого цикла.

Гипотеза 5. Если dinw^^ (У) = п, то diniQ(K) = An.

Итак, мы пять раз встретились с одной и той же ситуацией: рассмотрение цикла заданий позволяет нам высказать гипотезу, которая в результате проверки становится новой теоремой. Выражая ту же мысль другими словами, мы можем сказать, что цикл задний является педагогическим отражением того процесса обнаружения теоремы, которое производят математики в процессе исследования.

Здесь необходимо сделать некоторые замечания. Во-первых, в реальных математических исследованиях процесс обнаружения теоремы может происходить многими разными способами, а не только тем, который мы описали выше. Анализ этих способов и их дальнейшая дидактическая адаптация до уровня учебных задач могли бы существенно обогатить процесс обучения математике. Во-вторых, для

реализации того сценария изучения размерностей, который был описан в данном разделе, требуется большая подготовительная работа, состоящая в насыщении банка задний многочисленными необходимыми заданиями. В-третьих, разбиение достаточно большого множества заданий на циклы позволяет организовать в академической группе студентов работу по выявлению личностно-социального дуализма математики. Достаточно распределить циклы по микрогруппам студентов и организовать обмен информацией о результатах решения задач.

Покажем, что предложенный материал позволяет сделать обобщение второго уровня. Для этого достаточно оставить вне поля зрения циклы задач как таковые и сосредоточиться на гипотезах, рассматриваемых в качестве теорем. Мы видим, что все пять утверждений имеют общую структуру. Пять раз мы видим, что при сужении поля происходит «подскок» размерности пространства, выражающийся в её увеличении в несколько раз. Пять раз исходная размерность умножается на число, равное размерности поля над своим сужением. В результате многократного повторения ситуации вполне естественной становится следующая гипотеза.

Гипотеза 6 (обобщение второго уровня). Если dimFV = п и dim^F = р, то dim^V = пр.

В заключение раздела заметим, что предлагаемые нами циклы заданий следует применять гибко. Мы отнюдь не утверждаем, что их изучение является обязательным или даже желательным, потому что положительный или отрицательный ответ на подобный вопрос зависит от той конкретной педагогической ситуации, в которой находится преподаватель. Как обычно, целесообразность применения конкретных заданий должна быть предметом анализа, а их эффективность -предметом экспериментальной проверки.

5.3. Пучок задач как отражение процесса редукции

Понятие пучка задач появилось в 90-х годах в работах О. А. Иванова. Оно выступает в качестве элемента концепции специальной математической и методической подготовки преподавателей профильных математических школ. Изложим, по необходимости кратко, её основные положения.

Подготовка преподавателей профильных школ осуществляется на математических факультетах университетов. Цель её состоит в следующем: «Обучение на математических факультетах университе-

тов должно быть направлено на подготовку специалиста - учителя высшей квалификации - с профессиональными навыками научного работника и учителя-методиста» [54, с. 31]. (Курсив О. А. Иванова.) Основу подготовки составляют принципы фундаментальности и интегративности, каждый из которых имеет сложную структуру. Согласно принципу фундаментальности теоретической подготовки, «профессиональные знания, умения и навыки формируются на основе фундаментальных знаний» [54, с. 19]. При этом О. А. Иванов имеет в виду не только собственно математическую подготовку. Не менее важно фундаментальное образование в области элементарной математики, под которым понимается «знание некоторой совокупности понятий и фактов «высшей» математики как целостной системы знаний в их взаимосвязях с понятиями, утверждениями и конкретными задачами элементарной математики» [54, с. 28]. «Принцип рефлексии в процессе обучения состоит в использовании процесса научения для анализа роли используемых методических принципов и частных методик в результативности процесса обучения и, как следствие, формирование системы убеждений будущих преподавателей» [54, с. 38]. Фундаментальные знания и рефлексия процесса обучения дают основу для реализации принципа полифоничности обучения. Согласно ему наиболее целесообразна такая организация обучения, при которой возможно соединение различных содержательно-методических линий как в процессе изложения теоретического материала, так и при формировании практических умений и навыков. При этом обязательными линиями являются обобщающее повторение и формирование потребностей в углублении знаний [54, с. 68]. Реализация принципов фундаментальности, рефлексии и полифоничности обучения даёт кумулятивный эффект в обучении, когда «относительно небольшое количество приобретаемой новой информации обеспечивает фазовый переход в системе знаний обучаемых и «большой взрыв» в их интеллектуальном развитии» [54, с. 62]. Наконец, одновременная реализация всех вышеперечисленных принципов имеет своим следствием выполнение принципа интегративности обучения. Интегративность означает органическое единство нескольких линий образования: единство фундаментальных знаний в области математики, психологии, педагогики и методики преподавания математики; единство знаний в области элементарной и высшей математики; единство собственно профессиональной подготовки и

мировоззрения в области образования. Полная формулировка принципа содержится в [54, с. 71].

Уже на этом этапе изложения ясно, что подготовка учителя фактически является подготовкой учёного. Об этом говорит прямая декларация при формулировке целей. Об этом же говорит важная роль принципа фундаментальности, который включает в себя не только его традиционное содержание, но и расширительную трактовку -фундаментальность элементарно-математического компонента подготовки. Наконец, об этом же говорит методологический компонент концепции - формирование потребности в углублении знаний и мировоззрения в области образования. Для нас важно, что за теоретическим компонентом подготовки учёного с неизбежностью последует и деятельностный компонент, то есть моделирование научных исследований в учебном процессе.

Реализация сформулированных выше принципов может быть достигнута благодаря интегративным лекционным курсам, которые читаются по завершении базовых математических курсов и характеризуются двумя особенностями: во-первых, изложение материала происходит не строго последовательно, а группируется вокруг определённых понятий, математических идей и утверждений, образующих так называемый пучок понятий и утверждений; во-вторых, в этом изложении понятия и идеи элементарной математики связываются с общими математическими понятиями, идеями и утверждениями, известными студентам по базовым математическим курсам [54, с. 53].

Практикумы по решению задач организуются на основе пучков задач. Под пучком задач понимается такая их совокупность, определяющей характеристикой которой является наличие разнотипных взаимосвязей между отдельными составляющими эту совокупность задачами, обеспечивающее включение обратной связи в процесс их решения [54, с. 58].

Проанализируем процесс решения пучка задач из книги [54, с. 54] с целью выявить связь этого процесса с общенаучным процессом редукции.

Пучок задач.

1. Решите неравенство

2. Решите неравенство

3. Докажите, что уравнение 2 cos2x = к (4 cos х — 3) имеет решение при любом целом к.

Обсуждение. Прежде всего, заметим, что предложенные задачи разнотипны, т.к. одна относится к числу иррациональных неравенств, другая - к числу логарифмических неравенств, а третья представляет собой тригонометрическое уравнение с параметром. Рассмотрим те идеи, которые могут быть положены в основу решения задач. Именно уровень первоначальных идей позволит нам выявить глубинную общность решаемых задач.

Идея решения задачи 1. Введём новое переменное по формуле t '•= ух. С помощью нового переменного неравенство можно переписать в виде ^—^ < 1. Новое неравенство означает, что для его решения нужно рассмотреть функцию /(t): = ^, а затем найти те значения аргумента г, при которых график функции лежит не выше прямой с уравнением у = 1. Разумеется, при этом необходимо помнить, что t = л/х > 0. Главное здесь в том, что для решения алгебраической задачи необходимо построить график рациональной функции.

Идея решения задачи 2. Введём новое переменное по формуле t := log2 X. С помощью нового переменного неравенство можно переписать в виде ^—- < 2. Новое неравенство означает, что для его решения нужно рассмотреть ту же самую функцию /(0: = ^~~£» а затем найти те значения аргумента г, при которых график функции лежит не выше прямой с уравнением у = 2. Разумеется, при этом необходимо помнить, что t Ф 0, потому что переменная х находится в основании логарифма и не может быть равна 1. Вновь мы видим, что для решения алгебраической задачи необходимо построить график рациональной функции, причём той же самой.

Идея решения задачи 3. Введём новое переменно по формуле t := 2 cos X. С помощью нового переменного уравнение можно переписать в виде ——- = к. Новый вид уравнения показывает, что для его решения нужно рассмотреть ту же самую функцию /(0: = ^3^ и понять, какие целые значения к она может принимать. Разумеется, при этом необходимо помнить, что переменная t удовлетворяет неравенству —2 < t < 2.

Полный педагогический анализ данного пучка задач содержится в книге [54, с. 34, 56]. Для нас сейчас важно то, что разнотипные алгебраические задачи редуцируются к одной аналитической задаче -

построению графика рациональной функции. Последнее сравнительно легко выполняется средствами дифференциального исчисления. Напомним, что редукция - это общенаучный метод, который имеет разные оттенки в разных науках. В математике под редукцией понимают логико-методологический приём сведения сложного к простому. В нашем конкретном случае такое сведение осуществляется путём замены переменной.

Заметим, что понятие редукции позволяет дать косвенную оценку «пользы», которую приносит тот или иной раздел математики: простой или относительно простой раздел X тем полезнее, чем шире многообразие задач, редуцируемых (то есть упрощаемых) к разделу X.

Многочисленные примеры пучков задач и соответствующих им способов редукции приведены в книге [55].

5.4. Укрупнённая дидактическая единица как простейшая модель исследовательской деятельности, или УДЕ и структурирование проблемы

5.4.1. Концепция укрупнения дидактических единиц

Концепция укрупнения дидактических единиц (УДЕ) в обучении математике была создана П. М. Эрдниевым и его коллегами в 60-70-х годах XX века. Помимо многочисленных статей, она была подробно изложена в ряде монографий, например, [64]. Результатом её внедрения стало появление учебников по математике с первого по пятый класс, основанных на теоретических положениях данной концепции. Ориентируясь первоначально на математический материал младшего и среднего звена школы, она постепенно распространялась на разделы, которые с равным основанием могут быть отнесены и к старшей школе, и к вузу. Так, методика УДЕ была успешно испытана при совместном изучении понятий «производная» и «первообразная», «дифференциал» и «интеграл». Вместе с тем, анализ учебной литературы для классических и педагогических университетов показывает, что она не обеспечивает возможности применения методики УДЕ для изучения курса математического анализа в целом. Возникает естественный вопрос о причинах ограничения в сфере применения методики: принципиальная невозможность, практическая затруднённость, инерция традиций или что-либо ещё.

В настоящем разделе показано, что задачный материал по математическому анализу легко может быть преобразован в форму, удо-

влетворяюшую требованиям теории и методики УДЕ. Для иллюстрации этого утверждения выбрано одно из понятий курса математического анализа - эквивалентные бесконечно малые - и проведено сравнение тех умственных действий, которые выполняет студент при традиционном и авторском подборе упражнений. Акцент, как обычно, делается на выявление общности умственных действий студента и математика-исследователя.

Разумеется, изучение эквивалентных бесконечно малых представляет собой лишь небольшой фрагмент курса, однако его преобразование показывает тот метод, который при желании может быть применён для преобразования других разделов курса математического анализа.

Понятие укрупнённой дидактической единицы возникает в работах П. М. Эрдниева постепенно. Сначала оно является, образно говоря, мечтой: «Укрупнённая дидактическая единица - это клеточка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью. Укрупнённая дидактическая единица обладает качествами системности и целостности, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти» [64, с. 6]. Разумеется, любой преподаватель был бы рад владеть набором таких замечательных «клеточек».

Затем определение УДЕ формулируется в психолого-педагогических терминах: «Укрупнённой дидактической единицей мы называем систему родственных единиц учебного материала, в которой симметрия, противопоставления, упорядоченные изменения компонентов учебной информации в совокупности благоприятствуют возникновению единой логико-пространственной структуры знания. Это определение в известной мере примыкает к определению понятия функциональной системы... По П. К. Анохину, система - совокупность не только взаимодействующих, но и взаимоСОдействующих компонентов, ориентированных на получение фокусированного полезного результата» [63, с. 5]. Это определение содержит несколько больше информации, чем первое, однако не даёт никаких указаний на то, как следует составлять такие УДЕ на материале математического анализа.

Наконец, определение УДЕ формулируется на языке конкретной методики в виде своеобразного алгоритмического предписания по её составлению: «Опыт обучения на основе укрупнения единиц усвоения показал, что основной формой упражнения должно стать много-

компонентное задание, образующееся из нескольких логически разнородных, но психологически состыкованных в некоторую целостность частей, например: а) решение обычной «готовой» задачи; б) составление обратной задачи и её решение; в) составление аналогичной задачи... и решение её; г) составление задачи по некоторым элементам, общим с исходной задачей; д) решение или составление задачи, обобщённой по тем или иным параметрам исходной задачи. Разумеется, вначале в укрупнённое упражнение могут войти лишь некоторые из указанных вариаций» [64, с. 14]. В дальнейшем мы будем пользоваться именно этим определением.

Для нас важно, что структура многокомпонентного задания в значительной мере воспроизводит структуру деятельности профессионального математика. Действительно, математик самостоятельно формулирует задачи [пункты б) и д)]; ищет методы решения классов задач, то есть работает с группами аналогичных задач [пункт в)]; изучает соотношение между необходимыми и достаточными условиями того или иного факта, то есть работает со взаимно обратными утверждениями [пункт б)]; получает обобщения математических фактов [пункт д)]. Учебный характер укрупнённой единицы усвоения выражается преимущественно в том, что решение «обычной готовой» задачи поставлено на первое место. Следовательно, успешное применение методики УДЕ объективно означает, что в процессе преподавания воспроизводятся некоторые важные характеристики математических исследований. Таким образом, теория П. М. Эрдниева и более поздняя концепция о целенаправленном моделировании базовых свойств научных исследований в учебном процессе, представленная в [66], находятся в хорошем согласовании.

Отметим, что способность составлять задания, варьировать их компоненты в соответствии с конкретными методическим целями, получать обобщения изучаемых утверждений относятся к важным профессиональным умениям учителя независимо от того, какой педагогической концепции он придерживается. Таким образом, использование теории и методики УДЕ в педагогическом вузе представляется не только естественным, но и желательным с различных точек зрения.

5.4.2. Первый замечательный предел

Приведём небольшую УДЕ, состоящую из шести заданий, и проанализируем процесс её составления и решения.

Задание 1. Вычислите предел limx^0 . Ответ получается прямым вычислением:

(1).

Задание 2. Составьте задание, обратное заданию 1 в том или ином смысле, и решите его.

Поиск формулировки. Прежде всего, следует понять, какое задание могло бы считаться обратным к заданию 1. Для этого воспроизведём структуру равенства (1):

(2)

В квадратных скобках отметим знаком «+» те компоненты задания 1, которые известны из условия, и знаком «?» тот компонент, который следует найти:

(3)

Очевидно, что в искомом задании следует сделать неизвестным другой компонент структуры, сохранив по возможности остальные компоненты. Например, неизвестным компонентом мог бы стать числитель дроби:

(4)

Формулировка. Найдите функцию /(х), удовлетворяющую равенству limx^o = 3. Приведите возможно большее количество примеров таких функций.

Решение. В данной формулировке задания важно то, что речь идёт о большом количестве примеров, поскольку три примера очевидны: f(x) = Зх, /(х) = sin3x, f{pc) = 3 sinx. Проведём решение в несколько этапов.

1) Поделим на 3 обе части исходного равенства и внесём делитель под знак предела в числитель'. limx^0—-— = 1. Получаем, что функции X и /(х)/3 являются эквивалентными бесконечно малыми. Естественно, что в качестве функции f(x)/3 можно взять любую функцию из стандартной цепочки эквивалентных бесконечно малых:

(5)

Итак, мы получаем первую серию ответов: /i(x) = Зх, /2ОО = 3 sinx, /з(х) = 3 tgx, Д(х) = 3 aresin X и т.д.

2) Поступим несколько иначе, а именно, поделим на 3 обе части исходного равенства и внесём делитель под знак предела в знаменатель: limx_>o~~r = 1« Рассуждая так же, как в пункте 1, получим новую серию ответов: Д(х) = sin3x, f6(x) = tg3x, /7(х) = е3х — 1, /8(х) = 1п(1 + Зх) и т.д.

3) Возможна ещё одна серия ответов, например, такая: /-(х) = fi(x)(p(x) + î/>(x), где /i(x) - одна из функций двух предыдущих серий, функция ср{х) удовлетворяет соотношению limx^0<p(x) = 1, а функция ф(х) является бесконечно малой более высокого порядка, чем X. Таким образом, мы получаем весьма большое разнообразие ответов.

Заметим, что с формальной точки зрения мы выполнили задание 2, поскольку нашли искомые функции, однако описать множество ответов нам не удалось. Более того, попытка дать такое описание превращается в самостоятельную и весьма трудную проблему. Так происходит переход от конвергентного мышления, связанного с поиском точного ответа, к дивергентному мышлению, связанному с самостоятельной постановкой и решением математических задач.

Задание 3. Сформулируйте и решите задание, аналогичное заданию 2.

Решение. Возможна тривиальная аналогия, когда единственным отличием нового задания от предыдущего является функция, стоящая в знаменателе. Мы предпочитаем не столь прямую аналогию и меняем место неизвестного компонента задания, делая неизвестным знаменатель.

Формулировка. Найдите функцию #(х), удовлетворяющую равенству ит^о~т5~г= 3. Приведите возможно большее количество примеров таких функций.

Решение задания 3 аналогично решению задания 2 и также приводит к открытой проблеме по описанию множества ответов.

Задание 4. Сформулируйте и решите задание, обобщающее задание 3.

Решение. Одно из возможных обобщений равенства, используемого в формулировке задания 3, состоит в замене значения предела на произвольное число.

Формулировка. Считая, что число а Ф 0, найдите функцию п(х), удовлетворяющую равенству limx^0 —— = а.

Можно свести его к заданию 3 путём умножения обеих частей на равенства на дробь 3/а или же решить его, не апеллируя к предшествующим задачам.

Конструируя задания 1-4, мы поочерёдно объявляли неизвестным тот или иной элемент формулы (2). Если мы теперь видоизменим оставшийся элемент х -> 0, то получим следующее задание.

Задание 5. Найдите число ft, для которого выполняется равенство \\mr_>h-= 1.

Решение. Поскольку знаменатель дроби стремится к нулю, а сама дробь имеет конечный предел, то числитель дроби должен стремиться к нулю при X -> ft. В силу непрерывности синуса получаем, что sin ft = О, откуда ft = ттп, п ЕЖ. Прямой проверкой получаем, что при нечётном п значение ft не удовлетворяет требуемым условиям, а при чётном п - удовлетворяет. Окончательно, Ъ = 2пк, к ЕЖ. Полезно нарисовать на одном чертеже график числителя и различных возможных знаменателей.

Обобщением задания 5 по нескольким признакам является следующее задание.

Задание 6. При каких соотношениях между параметрами a, ft, с, d выполняется равенство limx^ö/а ^ = dl Считаем при этом, что параметры а и с отличны от нуля.

Решение может быть получено с помощью рассуждений, аналогичным тем, что были предложены при решении задания 5. Можно также использовать более сильное техническое средство - правило Лопиталя - Бернулли раскрытия неопределённостей.

5.4.3. Педагогическая рефлексия

Нетрудно видеть, что работа с заданиями 1-6 предусматривает выполнение целого комплекса дополняющих друг друга умственных действий. Прежде всего, решается стандартное вычислительное задание (№ 1). Оно дополняется рассмотрением задания, обратного к данному в том или ином смысле; так, № 2, № 3 можно считать обратными по отношению к № 1. Предлагается самостоятельно сформулировать два утверждения (№ 3, 4). При этом одно из них является задачей, аналогичной ранее решённым; так, № 3 аналогичен № 2. Другое самостоятельно формулируемое утверждение - № 4 - обоб-

щает ранее рассмотренное утверждение № 3. В дополнение к этому рассматривается утверждение, обобщающие другие одновременно по нескольким признакам; так, № 6 обобщает утверждения №№ 3-5. Таким образом, задания 1-6 образуют типичную укрупнённую дидактическую единицу.

Важно, что эти задания образуют УДЕ не только с формальной, но и с содержательной точки зрения. Прежде всего, они образуют целостный блок упражнений, поскольку относятся к одной теме - первому замечательному пределу. Кроме того, этот блок упражнений имеет многочисленные взаимосвязи с системой математических знаний, имеющихся у студента на момент его изучения. Действительно, при выполнении заданий используется цепочка эквивалентных бесконечно малых, сравнение порядка малости двух бесконечно малых, понятие непрерывности функции, правило Лопиталя - Бернулли, решение простейшего тригонометрического уравнения, формулы приведения. Весьма широко используется конструирование функций, приводящее к открытой, незавершённой задаче, которая естественным образом вытекает из первоначального задания (№№ 2-4). Наконец, одно из заданий - № 5 - идейно связывает аналитические рассуждения с графическими образами.

Итак, для выполнения заданий УДЕ приходится использовать систему ранее изученных знаний. Это означает, что в процессе её рассмотрения вольно или невольно осуществляется обобщающее повторение математического материала. В этом смысле наша УДЕ является пучком задач. Коль скоро это так, то было бы естественным ожидать, что где-то в процессе решения нам придётся редуцировать проблему к какому-либо сравнительно простому материалу. Мы и делали это, сводя все задания к цепочке эквивалентных бесконечно малых (5).

Важным пунктом решения послужило структурирование задачи в виде равенства (2). Благодаря этой структуре становится естественным метод составления заданий: последовательно объявлять неизвестными различные элементы структуры, придавая остальным элементам структуры конкретные значения. В литературе совокупность заданий, сформированная таким способом, получила название «деформированная задача». Этот последний термин представляется нам дисгармоничным. Мы бы предпочли говорить о методе составления заданий и называть его «дрейфом неизвестного».

Итак, на примере изучения первого замечательного предела мы

видим, что традиционный задачный материал по математическому анализу может быть преобразован к виду, удовлетворяющему требованиям теории и методики укрупнённых дидактических единиц. Перечень умственных действий, применяемых при работе с конкретной УДЕ, позволяет сделать следующий вывод: применение методики УДЕ объективно означает воспроизведение в процессе преподавания важных свойств математических исследований. Здесь уместно вернуться к мысли Дж. Брунера, которая уже цитировалась в разделе 1.5: «Школьник, изучающий физику, является физиком, и для него легче изучать науку, действуя подобно учёному-физику...» [67, с. 17]. (Курсив Брунера.) По-видимому, мысль, высказанная об изучении физики, в полной мере справедлива в отношении математики.

5.5. Конструирование математических объектов и его отражение в задачах

5.5.1. «Дискриминация» дивергентных способностей

Хорошо известно, что курсы математики университетов и педагогических вузов насыщены разнообразными математическими конструкциями. Так, из множества вещественных чисел строятся многомерные арифметические пространства, а из них, в свою очередь, проективные пространства. Из квадрата на «обычной» плоскости строятся поверхности, как простые вроде цилиндра или тора, так и достаточно непривычные вроде листа Мёбиуса или бутылки Клейна. Из отрезка «обычной» прямой могут быть построены множества, обладающие совершенно необычным набором свойств. Например, канторово множество [31, с. 111-113] является несчётным, но имеющим меру нуль, замкнутым, но нигде не плотным. Гигантское разнообразие математических объектов породило потребность в их «коллекционировании» и систематизации. Отражением этой потребности можно считать, например, книгу [31] «Контрпримеры в анализе».

Очевидно, что не существует методов для гарантированного построения новых математических объектов; сами слова «метод» и «новизна» находятся в определённом противоречии или даже исключают друг друга. Говоря психологическим языком, от математика требуются дивергентные способности, «проявляющиеся в готовности выдвигать множество в равной мере правильных идей относительно одного и того же <конструируемого> объекта» [126, с. 357].

Естественно, что в процессе обучения в вузе студенту-математику должны быть предоставлены возможности для развития

его дивергентных способностей. К сожалению, традиции преподавания математики сильно ограничивают эти возможности, поскольку задачники перенасыщены заданиями-приказами: найти (предел, производную, интеграл), вычислить (площадь, объем), решить (уравнение, неравенство), доказать (тождество, неравенство) и т.д. Выполнение таких заданий развивает способности другого типа, а именно, конвергентные способности, «которые обнаруживают себя в показателях эффективности переработки информации, в первую очередь, в показателях правильности и скорости нахождения единственно возможного (нормативного) ответа в регламентированных условиях деятельности» [126, с. 360].

Удивительно, но дивергентные способности, столь важные для математика, в не меньшей мере нужны школьному учителю. Дело в том, что в своей повседневной работе учитель тоже занимается конструкторской деятельностью. Прежде всего, он конструирует уроки на основе учебника, дополнительной литературы и имеющихся у него знаний. Кроме того, учитель конструирует систему решаемых учениками задач на основе задачника, дополнительной литературы и личного педагогического опыта. Наконец, он конструирует контролирующие мероприятия на основе решённых учениками задач и конкретной педагогической ситуации, сложившейся на момент контроля. Эта деятельность имеет две характерные черты: во-первых, она не алгоритмизируема и имеет творческий характер и, во-вторых, поставленные учителем цели могут быть достигнуты многими различными способами. Действительно, для любой темы можно разработать большое количество разнохарактерных уроков, каждый из которых эффективно раскрывает её. Вновь мы видим потребность в дивергентных способностях мышления, которые должны формироваться всеми учебными предметами, включая математику.

Ниже мы предложим материал по теме «Элементарные функции», который может быть использован для развития дивергентных способностей мышления.

5.5.2. Расширение класса элементарных функций средствами элементарной математики

Элементарные функции - это класс функций EF, состоящий из многочленов, показательных функций, логарифмических функций, тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций, а также функций, полученных из перечисленных выше с помо-

щью четырёх арифметических действий и композиции, применённых конечное число раз. Этот класс функций чаще всего встречается в приложениях математики, однако в педагогическом отношении он, в определённом смысле, «неудобен». Во-первых, входящие в него функции отнюдь не просты. Например, определение синуса включает в себя понятие движения и длины дуги, которые, в свою очередь, требуют тщательного введения и усвоения. Во-вторых, некоторые простые явления невозможно проиллюстрировать с помощью элементарных функций. Например, разрывная функция, обладающая свойством односторонней непрерывности, не может быть элементарной, поскольку элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Для устранения этого недостатка присоединим к классу элементарных функций одну неэлементарную функцию - сигнум, заданную равенством

(1)

Под расширенным классом элементарных функций EF будем понимать такой класс функций, который получается из элементарных функций и сигнума с помощью четырёх арифметических действий и композиции, применённых конечное число раз. Очевидно, что EF с FF.

Присоединение функции сигнум к классу элементарных функций представляется вполне естественным с различных точек зрения. Психологически эта функция известна школьнику, фактически, с шестого класса, когда он знакомится с отрицательными числами. Логически она весьма проста, гораздо проще, чем синус или логарифм. Наконец, она хорошо вписывается в ряд простейших элементарных функций, описывающих физические явления. Действительно, линейная функция описывает прямолинейное равномерное движение, квадратичная - равноускоренное движение, синус - колебательное движение, а показательная - естественный рост и радиоактивный распад. В свою очередь сигнум описывает изменение коэффициента преломления света на границе двух сред, а также изменение потенциальной энергии материальной точки, находящейся на одной из двух ступенек.

Рассмотрим неэлементарную функцию Д(х), заданную равенством Д(х) •= L ~.

Почти очевидно, что функция А(х) принадлежит классу EF. Действительно, прямой проверкой можно убедиться, что

Л(х) = 1 -sgn2(x). (2)

Правую часть формулы (2) полезно рассмотреть с методической точки зрения в контексте изучения темы «Преобразования графиков функций». Действительно, если рассмотрим последовательность функций У\ = sgnx, у2 = sgn2(x), уз = -sgn2(x), у4 = 1 - sgn2(x), то каждому переходу от предыдущей функции к последующей соответствует преобразование графика, причём, второе и третье преобразование изучаются в школе, а первое преобразование в данной конкретной ситуации является весьма простым.

Интересно, что существуют другие формулы для выражения Л(х) через sgn х, например, Л(х) = 1 — sgn(x2).

Выясним, какие из известных неэлементарных функций принадлежат классу EF.

Предложение. К расширенному классу элементарных функций принадлежат следующие неэлементарные функции: функция Дирихле характеристическая функция числового промежутка < a, b >, целая часть числа [х] и дробная часть числа {х}.

Доказательство. 1) Для функции Дирихле справедливо равенство

(3)

На первый взгляд, трудно назвать элементарной такую функцию, которая определяется с помощью бесконечного суммирования. К счастью, при фиксированном х количество ненулевых слагаемых в левой части формулы (3) не превосходит единицы: если х иррационально, то все слагаемые равны нулю, а если рационально, то слагаемое при а = X равно единице, а остальные слагаемые равны нулю.

2) Прямой проверкой убеждаемся в следующем: а) характеристическая функция промежутка [0, +оо) задаётся равенством

(4)

б) характеристическая функция промежутка (0, +оо) задаётся равенством

(5)

в) характеристическая функции промежутка [ОД) задаётся равенством

(6)

Для промежутков других типов рассуждения и результаты аналогичны.

3) Заметим, что при фиксированном п выполняются соотношения

Теперь легко видеть, что

(7)

Здесь в отношении бесконечного суммирования справедливо то же самое рассуждение, которое приведено после формулы (3): при фиксированном х лишь одно слагаемое бесконечной суммы отлично от нуля.

4) По определению дробной части числа {х} '•= х — [х], что и завершает доказательство.

Укажем на некоторые из педагогических возможностей, которые дают изложенные выше представления и факты. Для этого обсудим несколько лёгких, но нестандартных задач конструктивного характера.

Задача 1. Постройте функцию из класса EF, односторонне непрерывную в какой-либо точке и разрывную в этой точке. Постройте её график.

Ответ: /(х) = sinx + sgnx + Л(х), д(х) = х2 +sgnx — А(х) и т.п. Здесь функция /(х) непрерывна справа в точке 0 и разрывна в ней, а функция д(х) непрерывна слева в точке 0 и разрывна в ней.

Очевидно, что эта задача носит явно дивергентный характер, т.к. множество искомых функций бесконечно и не поддаётся описанию.

Задача 2. Принадлежит ли классу EF «кусочно-элементарная» функция /(х) := 2 9 Всякая ли кусочно-элементарная функция принадлежит классу EF1

Решение. Ответ на первый вопрос утвердителен, поскольку /00 = Х(-оо,2) ' X2 + Х[2,+оо) ■ sinx G EF. Ответ на второй вопрос задачи является отрицательным. Например, функцию д(х) •= , которая по своему определению похожа на /(х), невозможно представить как сумму её компонентов с коэффициентами в виде характеристических функций. Действительно, предположим противное, то есть наличие равенства д(_х) = jfaOOV—х + Хг 00 т X, где Xi ~ характеристические функции каких-либо промежутков. В этом случае мы не сможем подставить под знак функции д(х) никакого аргумента, поскольку положительные значения аргумента невозможно подставить под знак радикала, а неположительные значения невозможно подставить под знак логарифма.

Задача 3. Пусть h(x) = f{x) + ЯЛ(х — 2), где функция f(x) определена в задаче 2. Подберите параметр Я так, чтобы

а) функция h(x) была непрерывна слева в точке 2;

б) была непрерывна справа в точке 2;

в) была непрерывна в точке 2;

г) имела локальный минимум в точке 2;

д) имела локальный максимум в точке 2;

е) не имела бы в точке 2 локального экстремума. Решите задачу аналитически и графически.

Ответ: а) Я = 4 — sin 2; б) Я = 0; в) такого Я не существует; г)Я<0; Ä)A>4-sin2; е) 0 < Л < 4 - sin2.

Задача 4. Постройте функцию, которая имела бы локальный минимум и при этом

а) убывала слева от точки минимума и возрастала справа от неё;

б) возрастала слева от точки минимума и убывала справа от неё;

в) возрастала слева и справа от точки минимума;

г) убывала слева и справа от точки минимума;

д) не была монотонна ни справа, ни слева от точки минимума.

Ответ:

Рассмотрение примеров а)-д) в совокупности весьма полезно для студентов, поскольку выявляет одно неочевидное для них обстоятельство: наличие локального минимума не связано, вообще говоря, с характером монотонности функции в окрестности точки экстремума. Более подробно об «экзотических» экстремумах рассказано в статье [88]. В частности, в ней приведено 13 разнотипных экстремумов и проанализированы причины возникновения типичных студенческих ошибок, связанные с восприятием понятия экстремума.

Отметим, что факты, изложенные в доказательстве Предложения, могут быть сформулированы в виде задач и предложены учащимся для самостоятельного решения с последующим извлечением следствий. Например, график функции А(х) словесно может быть описан в виде последовательности «константа-подскок-константа». График функции Л(х — а) + Л(х — Ь) может быть описан в виде последовательности «констант» и «подскоков», причём подскоки происходят в нужных нам точках а и Ь. Это наблюдение наталкивает на мысль о том, что нужно определить функцию с «подскоками» во всех рациональных точках, как это сделано в формуле (3), что и даёт нам функцию Дирихле.

Говоря о конструировании аналитических объектов, невозможно не упомянуть известную книгу «Контрпримеры в анализе» [31]. Несомненно, что процесс её написания потребовал от её авторов незаурядных дивергентных способностей, поскольку она насыщена весьма тонкими и интересными примерами. Вместе с тем, углубляя знания читателя в области математического анализа, она совсем не развивает его дивергентные способности (впрочем, перед авторами стояла совершенно другая задача). Действительно, книга написана в форме «вопрос - ответ», причём неискушённый читатель, как правило, не понимает ни причину возникновения вопроса, ни способ получения ответа. Очевидно, что преподаватель, желающий развивать дивергентные способности студентов в области математики, должен позаботиться о включении в задачники соответствующих упражнений, а в процесс преподавания - соответствующих мотивировок.

В заключение подраздела отметим, что для представителей любой профессии необходимы как конвергентные, так и дивергентные способности мышления. Формирующие их задачи двух типов играют в математическом образовании свои особые роли и не заменяют друг друга. Оптимальное соотношение разнотипных задач должно быть определено в экспериментальном порядке.

5.5.3. Длительность изучения функций и её математико-педагогическое следствие

Умение ставить и решать задачи в сфере своей профессиональной деятельности является одним из важнейших качеств специалиста. Поскольку данное умение является сложным по структуре, трудно формируется и достаточно быстро утрачивается, вырабатывать его следует с первых дней обучения в вузе. Ниже мы остановимся на некоторых особенностях курса математического анализа и покажем, как можно использовать их для развития умения ставить и решать нестандартные задачи.

Объектом изучения в курсе математического анализа является функция. Одна из особенностей курса состоит в том, что на протяжении длительного времени объект изучения остаётся неизменным. Благодаря этой особенности математического курса у преподавателя появляется возможность использовать простой педагогический приём: при рассмотрении того или иного понятия приучать студентов к постановке вопроса о взаимосвязи данного понятия со всеми предыдущими понятиями и фактами. Например, при изучении дифференцируемости функции естественным образом возникают вопросы о том, как связана дифференцируемость с алгебраическими операциями над функциями, с чётностью функции, с периодичностью функции, с непрерывностью функции. Со временем данные вопросы найдут своё решение, и при этом выяснится то неочевидное для студентов обстоятельство, что соответствующие утверждения имеют различную значимость с точки зрения математики. Так, связь между дифференцируемостью и алгебраическими операциями отражена в учебниках разных поколений [123, 51], причём в обоих случаях этому посвящены отдельные параграфы или разделы параграфов. Иначе смотрят авторы на связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Г. М. Фихтенгольц характеризует соответствующий факт как «простое утверждение, имеющее приложение в дальнейшем» [123, с. 198— 199], а В. А. Зорич вообще относит его к разряду примеров [51, с. 198]. Связи между дифференцируемостью функции и её чётностью (периодичностью) оказываются ещё мене важными и не отражены в учебниках. Их можно найти в задачниках, где они фигурируют в качестве упражнений [93, № 537]. Заметим, что математическая и педагогическая значимости того или иного утверждения могут быть различными. Например, в разделе 1.5 мы рассмотрели сценарий занятия, в котором связь между дифференцируемостью и чётностью исполь-

зуется для выявления достаточно сложного феномена - дуалистических свойств математики.

Отметим три простых, но важных для педагогического процесса, обстоятельства. Во-первых, постановка вопросов описанного типа доступна студентам. Даже если решение вызывает трудности, это другой аспект обучения. Во-вторых, по мере накопления новых понятий многократно повторяется ситуация, в которой от студента требуется формулировка математических вопросов, поэтому имеется достаточная база для выработки соответствующего умения. В-третьих, вопросы, поставленные студентами самостоятельно, останутся в поле их зрения на протяжении достаточно длительного времени. Это может способствовать как усвоению материала, полученного в процессе поиска ответов, так и формированию целостной картины курса математического анализа.

5.5.4. Регулярные функции и особые точки

Хорошо известно, что если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Отсюда следует, что имеет место включение С1 с С с F, где С1 - это множество функций, дифференцируемых во всех точках вещественной оси, С - это множество функций, непрерывных во всех точках вещественной оси, a F -это множество функций, определённых во всех точках вещественной оси. Данное простое соотношение между множествами оказывается, в определённом смысле, неудобным, если мы попытаемся с его помощью определить принадлежность некоторых конкретных функций к одному из множеств. Действительно, функция у = |х| дифференцируема во всех точках, кроме одной, поэтому её нельзя отнести к множеству С1, а приходится относить к множеству С. Аналогично, функция у = sgn X дифференцируема во всех точках, кроме одной, в которой разрывна, поэтому её нельзя отнести не только к множеству С1, но и к множеству С, а приходится относить к множеству F. Таким образом, из-за одной точки происходит исключение функции из специального множества.

Здесь уместно отослать студентов к понятию особой точки. Соответствующая статья в «Математической энциклопедии» [86, стб. 113-125] показывает, что представлениями об особых точках пронизаны многие разделы математики: особые точки имеют аналитические функции, алгебраические многообразия, комплексные гиперповерхности, алгебраические кривые, векторные поля, дифферен-

циальные уравнения, дифференцируемые отображения и т.д. Для наших целей удобна следующая трактовка понятия об особой точке: «Иногда особыми точками называются точки, отличающиеся каким-либо свойством от других точек кривой; см., напр., перегиба точка, прекращения точка, излома точка...» [86, стб. 124]. В этом контексте функции модуль и сигнум имеют особые точки, правда, разных типов.

Очевидно, что мы можем говорить об особых точках только в том случае, если определим понятие «не особой», регулярной точки и связанное с нею понятие регулярной функции. В связи с этим перед студентами естественным образом возникают следующие задачи.

1. Основываясь на понятиях непрерывности и дифференцируемости функции, разработать систему точек зрения на понятие регулярной функции и особой точки.

2. Для каждой из сформулированных точек зрения построить систему примеров функций, которая содержала бы в себе а) примеры регулярных функций; б) примеры функций, имеющих особую точку; в) примеры функций, имеющих возможно большее количество особых точек.

Приведём пример одной из точек зрения на регулярные функции и особые точки. Всюду в дальнейшем будем рассматривать функции, определённые в каждой точке вещественной оси.

Функция называется регулярной, если она разрывна в каждой точке вещественной оси. Точка называется особой, если функция непрерывна в этой точке и не дифференцируема в ней. Очевидно, что примером регулярной функции является функция Дирихле. Для функции f(x) = xD(x) точка х0 = 0 является особой, поскольку функция /(х) непрерывна в этой точке, не дифференцируема в ней и разрывна в остальных точках.

Описанный взгляд на регулярные функции и особые точки отражён в первой строке нижеследующей таблицы 22. Общая структура таблицы такова. Входная клетка второго столбца таблицы содержит начало определения регулярной функции, различные продолжения которого находятся в других клетках этого столбца. Аналогично, входная клетка третьего столбца содержит начало определения особой точки, различные продолжения которого находятся в других клетках этого столбца. При этом они согласованы с ранее данным определением регулярной функции, находящимся в той же строке.

Третий столбец содержит две функции, первая из которых регулярна, а вторая имеет особую точку.

Таблица 22. Регулярные функции и особые точки.

Функция называется регулярной, если она

Точка называется особой, если функция в ней

Примеры функций

1

всюду разрывна

непрерывна и не дифференцируема

y = D(x), у — xD(x)

2

всюду непрерывна и нигде не дифференцируема

разрывна

У = У(х),

y = V(x) + A(x)

3

всюду разрывна

дифференцируема

y = D{x), У = x2D(x)

4

всюду дифференцируема

разрывна

У = х2,

у = х2 + Л(х)

5

всюду непрерывна и нигде не дифференцируема

дифференцируема

У = V(x), y = x2V(x)

6

всюду дифференцируема

непрерывна и не дифференцируема

у = sin X, у=\х\

Помимо функции Дирихле и функции Л(х), в третьем столбце таблицы используется функция Ван-дер-Вардена V(x), которая непрерывна во всех точках вещественной оси и не дифференцируема ни в одной из них. Конструкция последней описана в книге [31, с. 42-43, 52-53].

Для примера рассмотрим предпоследнюю клетку последнего столбца таблицы и покажем, что функция f(x) = x2V(x) всюду непрерывна, дифференцируема в нуле и не дифференцируема в остальных точках. Действительно, она является произведением непрерывных функций, и поэтому непрерывна. Дифференцируемость в нуле доказывается по определению:

Для точки х0 Ф О и некоторой её окрестности справедливо равенство V{pc) = f(x)/x2. Если мы предположим, что функция f{x) дифференцируема в точке х0, то по теореме о производной частного получим, что функция V(x) также дифференцируема в этой точке, что невозможно. Итак, если в качестве регулярных рас-

сматривать всюду непрерывные и нигде не дифференцируемые функции, а в качестве особой точки рассматривать точку дифференцируемости, то переход от функции V{x) к функции fix) = x2V(x) представляет собой переход от регулярной функции к функции, имеющей одну особую точку.

Заметим, что идея построения функции Ван-дер-Вардена основана на «сгущении особенностей» [31, с. 43]. В этом контексте можно сказать, что умножение функции Ван-дер-Вардена на х2 приводит к «сглаживанию особенности» в одной точке.

Для каждой из вышеприведённых шести точек зрения на регулярные функции и особые точки построим примеры функций, имеющих более одной особой точки. При этом мы сохраним нумерацию подходов, содержащуюся в таблице.

1. Умножив функцию Дирихле на произведение нескольких различных двучленов, получим функцию fix) = (х — аг){х — а2) ... (х — an)D(x), имеющую особые точки аг, а2,..., ап. Умножив функцию Дирихле на синус, получим функцию g ix) = sin(7rx)D(x), у которой особые точки заполняют множество целых чисел.

2. Функция f{x) = V{x) + 2?=i Д(х — ап) имеет особые точки

У функции g ix) = V(x) + Snez— п) особые точки заполняют множество целых чисел. Отметим, что бесконечное суммирование не приводит к проблемам, поскольку при фиксированном X лишь одно слагаемое из суммы отлично от нуля.

3. Умножив функцию Дирихле на произведение нескольких различных двучленов, возведённых в квадрат, получим функцию fix) = (х — ах)2(х — a2)2 ... (х — an)2D(x), имеющую особые точки a-l, a2,..., ап. Умножив функцию Дирихле на квадрат синуса, получим функцию g ix) = sin2 in х) Dix), y которой особые точки заполняют множество целых чисел. Сопоставляя кратности корней многочленов в пунктах 1 и 2, мы видим, что наличие однократного корня обеспечивает непрерывность без дифференцируемости, а наличие двукратного корня приводит к дифференцируемости.

4. Функция fix) = 2?=i А(* — ап) имеет особые точки аъ a2,...,an. У функции gix) = £nGZA(x —п) особые точки заполняют множество целых чисел.

5. Здесь уместно воспользоваться той же идеей, что и при конструировании функций из пункта 3, с той разницей, что умножаться на «гладкую» функцию будет не функция Дирихле, а функция Ван-дер-Вардена: функция fix) = (х — ах)2(х — а2)2 ... (х — an)2V(x)

имеет особые точки аъ а2,..., ап, а у функции д{х) = sin2(7rx) V(x) особые точки заполняют множество целых чисел.

6. Особые точки легко конструируются из многочленов с однократными корнями, синуса и модуля. Так, функция /(х) = |(х — ах)(х — а2) ... (х — ап)| имеет особые точки аъ а2,..., ап, , a у функции д{х) = I sin(7Tx) | особые точки заполняют множество целых чисел.

В заключение отметим, что рассмотренный выше математический материал обладает некоторыми психолого-педагогическими особенностями, которые, с нашей точки зрения, заслуживают внимания. Во-первых, студенты тренируются в правильной постановке серьёзных математических вопросов в такой ситуации, которая психологически комфортна для них, поскольку с математической точки зрения она является весьма простой. При этом математическая техника, необходимая для разрешения вопросов, также проста и даже примитивна. Это позволяет использовать данный материал с самого начала обучения в вузе, то есть сразу приобщать студентов к элементам исследовательской деятельности. Во-вторых, необходимость постоянного и достаточно быстрого переключения с одной точки зрения на регулярность и особенности на другую точку зрения на тот же предмет способствует формированию такого важного показателя интеллекта как гибкость мышления. В-третьих, необходимость конструирования функций, наделённых специальными свойствами, способствует формированию дивергентных способностей мышления. Последнее представляется особенно ценным для студента педагогического вуза, поскольку преподавательская деятельность не формализуема и требует от педагога именно дивергентных способностей.

5.6. Принцип преемственности как средство построения заданий по математическому анализу

5.6.1. Один из аспектов преемственности в преподавании математического анализа

Одним из умений, формируемых в курсе математического анализа, является оценка выражений. С чисто математической точки зрения данное умение должно быть тщательно проработано. Прежде всего, оно используется с самого начала изучения предела последовательности. Например, при освоении понятия «предел последовательности» необходимо доказывать равенства типа

пользуясь при этом только определением предела последовательности. Для этого приходится рассматривать неравенство

и неоднократно оценивать сверху его левую часть, причём так, чтобы оценивающее выражение оставалось меньше г. Кроме того, при дальнейшем изучении анализа оценка выражений используется при доказательстве таких важных фактов, как существование числа е, признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с положительными членами, теорема о почленном интегрировании функциональной последовательности, теорема Абеля о сходимости степенного ряда и многих других.

Необходимость достаточно большой тренировки в оценке выражений вытекает из многолетних наблюдений нескольких поколений преподавателей, согласно которым оценка выражений вызывает у студентов наибольшие затруднения, причём как на стадии формирования, так и на стадии применения.

Наконец, потребность в тщательной проработке данного умения вытекает из сравнительного анализа умственных действий школьников, с одной стороны, и студентов, приступающих к изучению курса анализа, с другой стороны. Действительно, трудности студентов легко объяснимы. Во-первых, психологически трудно перейти от привычных заданий типа «решить» (уравнение, неравенство), «доказать» (тождество, теорему), «вычислить» (площадь, объем) к новому заданию «оценить выражение». Во-вторых, эта психологическая трудность усугубляется объективным обстоятельством - большим по времени и объёму опытом предшествующей математической деятельности. Остановимся на этом более подробно.

К тому моменту, когда студент-первокурсник начинает регулярное изучение математического анализа, он уже имеет огромный опыт выполнения тождественных преобразований. Этот опыт начинает формироваться в первом классе, когда невычисленная сумма типа 2+3 преобразуется в вычисленную сумму 5. Затем следуют законы арифметических действий, которые обобщают первоначальные умения. В основной школе выполнение тождественных преобразований выступает в виде применения формул сокращённого умножения и простейших тригонометрических тождеств, которые выполняются для всех значений входящих в них переменных, а также тождеств на множествах, справедливых при определённых соотношениях между переменными. К последним относятся, например, определения тан-

генса и котангенса, формула Vöft = VäVb и многие другие. В старших классах тождественные преобразования выступают в новом обличий, а именно в виде применения таблиц производных и первообразных. Одновременно появляются дополнительные тождества на множествах - свойства логарифмов и степеней.

Навык выполнения тождественных преобразований, рассматриваемый сам по себе, чрезвычайно важен, поскольку он образует основу для дальнейшего изучения математики. Однако по отношению к умению оценивать выражения он играет отрицательную роль, поскольку многолетний опыт тождественных преобразований порождает колоссальную инерцию мышления, не позволяющую перейти от изобретения выражений, равных данному, к поиску выражений, которые больше или меньше данного.

В этих условиях преемственность в преподавании анализа должна выступать в необычном виде: необходимо преодолеть стереотип тождественных преобразований и сформировать умение выполнять дополнительное и достаточно трудное действие — оценку выражений. Самый первый и естественный шаг состоит в том, чтобы предоставить студенту достаточно большое количество упражнений типа «оценить выражение». Удивительно, но классические задачники не дают педагогу такой возможности! Например, задачники [14, 23, 40, 43] не содержат задач такого типа. Некоторой «компенсацией» служат содержащиеся в них задачи на применение теоремы Вейерштрасса о монотонной ограниченной последовательности, например, №№216, 217, 220 в книге [14], №№333.1-339.1 в книге [23], №№ 262-273 в книге [40], №№ 50-57 в книге [43]. Однако мы не можем считать эту «компенсацию» полноценной, поскольку при их решении выясняется, что несформированное умение оценивать выражение является составной частью более сложной задачи.

Итак, мы видим, что общепризнанный принцип преемственности преподавания математики нарушается в достаточно простом и очевидном случае. В то же время этот педагогический принцип подсказывает необходимость составления достаточно большого набора упражнений на оценку выражений.

5.6.2. Построение матрицы упражнений

Отмеченное в предыдущем разделе несовершенство задачников, состоящее в отсутствии относительно простых упражнений на оценку выражения и наличии более сложных упражнений на теорему Вей-

ерштрасса, подсказывает лёгкий выход: рассмотреть выражения, содержащиеся в вышеупомянутых задачах, и дать задание оценить их сверху или снизу. Такие задания можно предлагать задолго до того, как студенты начали систематически изучать последовательности и их пределы. Если это будет сделано, то при решении задач на применение теоремы Вейерштрасса студентам придётся возвращаться к ранее решённым задачам, а значит, будет осуществлено обобщающее повторение.

О позитивной роли обобщающего повторения писал целый ряд авторов, например, О. А. Иванов [54, с. 68]. Согласно ему наиболее целесообразна такая организация обучения, при которой возможно соединение обобщающего повторения и формирования потребностей в углублении знаний, причём как в процессе изложения теоретического материала, так и при формировании практических умений и навыков. В нашей ситуации это означает, что желательно неоднократное применение обобщающего повторения. Для этого в дополнение к заданиям двух упомянутых типов нужно иметь задания третьего типа, при выполнении которых студенту придётся обращаться к ранее решённым задачам на применение теоремы Вейерштрасса.

Итак, педагогический анализ указывает на один из недостаточно проработанных элементов в структуре существующих задачников и подсказывает, в каком направлении следует работать над его улучшением. К счастью, содержание курса анализа позволяет осуществить намеченную педагогическую программу. Действительно, хорошо известна следующая взаимосвязь: оценка выражений - теорема Вейерштрасса - сходимость рядов - сравнение скоростей роста функций. Эта взаимосвязь позволяет сформировать так называемую матрицу заданий. Под матрицей заданий понимается совокупность заданий, которая занумерована парами чисел и обладает следующим свойством: при изменении первого элемента пары меняется одна характеристика задания, а при изменении второго элемента пары - другая характеристика.

Рассмотрим совокупность 44-х задач, занумерованных элементами четырёхстолбцовой матрицы, представленной в таблице 23.

Предъявляя упражнения, подчеркнём, что их совокупность однородна как по строкам, так и по столбцам.

Задания из первого столбца с номерами k.l формулируются единообразно: оцените сверху следующие выражения. Ответы, подчас неожиданные, приведены после двойной черты //.

Таблица 23. Оценка выражений и её следствия.

Оценка

Теорема

Сходимость

Сравнение

выражений

Вейерштрасса

ряда

скоростей роста

1.1

1.2

1.3

1.4

2.1

2.2

2.3

2.4

• • •

• • •

• • •

• • •

11.1

11.2

11.3

11.4

Задания из второго столбца с номерами к.2 также формулируются единообразно: выясните, сходится ли последовательность (5П), заданная равенством из задачи k.l, то есть из соответствующей задачи первого столбца.

Задания из третьего столбца с номерами к.З также формулируются единообразно: выясните, сходится ли ряд £п=о ап-> гДе общий член ряда ап имеет тот же вид, что и последнее слагаемое в определении Sn из задачи к.2, то есть из соответствующей задачи второго столбца (в задаче 11.3 суммирование начинается с п = 1).

Наконец, все задачи из четвёртого столбца с номерами к.4 также формулируются единообразно: найдите limn^œ ап, где ап -общий член ряда из задачи к.З, то есть из соответствующей задачи третьего столбца.

Проанализируем решения некоторых задач из первого столбца, которые являются самыми сложными задачами данной матрицы упражнений. При решении именно этих задач и формируется умение оценивать выражения.

Решение задачи 1.1 является каноническим и приводится во многих учебниках. В выражении Sn сгруппируем все слагаемые, в полученном выражении заменим все неединичные сомножители всех знаменателей на наименьший из них, то есть на 2. От этого все знаменатели, кроме первого, уменьшатся, а все дроби увеличатся, поэтому получим неравенство . Выражение в скобках является суммой конечного числа членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 1/2. Заменим её на сумму бесконечного числа членов геометрической прогрессии с тем же первым членом и с тем же знаменателем. От этого сумма увеличится, поэтому получим неравенство 5П<1 + ^1 + ^ + ^7 + "')• Вычисляя сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим, что Sn < 3.

Решение задачи 2.1. 1) Попытаемся использовать ту же самую идею, которую использовали при решении задачи 1.1, а именно, оценим слагаемые в последовательности (5П) с помощью членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Трудность состоит в поиске этой прогрессии. Для её преодоления введём обозначение ап := Зп/п\ для слагаемых, входящих в последовательность (Sn).

2) Поделив ап+1 на ап, найдём соотношение между последующим и предыдущим слагаемыми:

(1)

3) Соотношение (1) имеет определённое сходство с рекуррентным определением геометрической прогрессии, поскольку слагаемое ап+1 получается из предыдущего слагаемого ап путём умножения на множитель ^-j-j-. В то же время очевидно и различие, поскольку множитель не является постоянным, как того требует определение reo-

метрической прогрессии. Тем не менее, можно сделать следующее наблюдение: а) если п > 3, то —— < 1; б) самое большое значение множителя —— получается при п = 3 и равно -. В силу этого при п > 3 выполняется соотношение ап+1 < -ап. Таким образом, слагаемые выражения Sn могут быть заменены членами геометрической прогрессии со знаменателем -. Теперь поиск прогрессии закончился, что позволяет приступить к оценке выражения.

4) В выражении Sn сгруппируем первые три слагаемые и все остальные слагаемые, а затем из второй группы слагаемых вынесем за скобки общий множитель 33/3!. Получим, что

5) Вычислим выражение в первой скобке и коэффициент при второй скобке. Кроме того, во второй скобке заменим все сомножители знаменателя на наименьший из них, то есть на 4. Получим что

6) Во второй скобке стоит сумма конечного числа членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 3/4. Заменив её суммой бесконечной геометрической прогрессии, будем иметь

Для того чтобы более ярко выявить взаимосвязь элементов данной матрицы, приведём решения задач из третьей строки. Эта строка является типичной в том смысле, что для каждой строки взаимосвязь между стоящими в ней задачами та же, что и для задач третьей строки.

Решение задачи 3,1, Сначала сгруппируем слагаемые, включив в первую группу первые четыре слагаемые, а во вторую группу все остальные. Вычислив значение первой группы и вынеся из второй группы общий множитель— = —, получим, что Sn = — +

Оценим выражение суммы в скобках, заменив каждый множитель в знаменателе слагаемых наименьшим множителем 5:

Очевидно,

что в скобках стоит сумма конечного числа членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 4/5. Заменив эту конечную сумму суммой бесконечно убывающей прогрессии, получим новую оценку: Sn = — + — (1 — - ) = 77.

В решении этой задачи присутствуют как стандартный ход, а именно, замена суммы однотипных слагаемых суммой членов геометрической прогрессии, так и менее стандартный ход, а именно, предварительная группировка слагаемых. Суть в том, что необходимо отделить столько слагаемых, чтобы значение п в знаменателе стало не меньше, чем 4. Аналогичные рассуждения приводят к решению обобщающей задачи 4.1.

Решение задачи 3.2. Как показано в задаче 3.1, последовательность (5П) является ограниченной. Её возрастание следует из рекуррентного соотношения Sn = Sn_t + —. В силу теоремы Вейерштрасса она имеет предел.

Решение задачи 3.3. Последовательностью частичных сумм для исследуемого ряда является последовательность (5П) из задачи 3.2. Поскольку она имеет предел, то ряд сходится. Из оценки Sn < 77 и теоремы о предельном переходе в неравенстве следует, что Tin=o~- ^ 77.

Решение задачи 3.4. Выражение под знаком предела является общим членом ряда из задачи 3.3. Поскольку он сходится, общий член стремится к нулю.

5.6.3. Математические и педагогические свойства матрицы упражнений

Прежде всего, отметим, что рассмотренная совокупность упражнений содержит в себе информацию, которая в определённом смысле является новой. Разумеется, оценка выражения из задачи 1.1 является канонической, однако оценки для остальных выражений рассеяны по литературе и труднодоступны для студентов. Автору оказалось легче самостоятельно получить эти результаты, чем отыскать их в первоисточниках. Оценки из задач 4.1, 7.1 и 10.1 не содержатся в доступных авторам книгах, хотя наверняка можно предполагать, что они известны.

Сходимость рядов, фигурирующих в задачах 1.3-11.3 из третьего столбца матрицы упражнений, обычно устанавливается с помощью

признака Даламбера. Предварительное решение соответствующих задач на оценку выражений даёт другую возможность, а именно, решение на основе определения сходимости; при этом возникает дополнительная информация об оценке суммы ряда.

Задачи 1.1-11.1 дают достаточно большой материал для введения в математический багаж студентов представления о точности оценки выражений, которому, к сожалению, не уделяется должного внимания. Для этого достаточно слегка модифицировать первоначальные решения. Например, при решении задачи 3.1 можно отделить не четыре первые слагаемые, как мы делали выше, а пять или шесть, сохранив остальной ход решения. При этом получается более точная оценка. Фактически, мы можем говорить о серии все более и более уточняющихся оценок.

Рассматривая в совокупности задачи из первого столбца, нетрудно заметить, что в нем содержатся обобщения разного уровня. Так, задача 4.1 является обобщением трёх предшествующих задач, задача 7.1 является обобщением двух предшествующих задач, а задача 10.1 является обобщением задач 5.1-9.1, включая ранее полученное обобщение 7.1. То же самое можно сказать о соответствующих задачах других столбцов.

Решения задач из четвёртого столбца дают нам новые, по сравнению с первым курсом, доказательства известных фактов, касающихся сравнения скоростей роста функций: показательная функция растёт быстрее, чем степенная (задача 10.4), факториал растёт быстрее, чем показательная функция (задача 4.4), а степенно-показательная функция растёт быстрее, чем факториал (задача 11.4). Новые доказательства, полученные в процессе изучения рядов, проще первоначальных (ср., например, доказательство в книге Г. М. Фихтенгольца [123, T. I, с. 66]), что демонстрирует эффективность математики. В то же время, мы ещё раз получаем материал для обобщающего повторения.

С методической точки зрения построенная совокупность задач является матрицей упражнений в смысле П. М. Эрдниева, поскольку каждая задача имеет два признака (изучаемая тема и математический объект), меняющиеся при перемещении по строкам и столбцам. О пользе укрупнения знаний с помощью матриц упражнений подробно рассказано в книге [137, разд. 13].

Совокупность задач, расположенных в одном столбце, легко перерабатывается в укрупнённую дидактическую единицу [137, с. 14].

Действительно, она содержит «обычные готовые» задания и обобщения полученных результатов, а формулировка заданий, аналогичных уже имеющимся, легко может быть получена путём видоизменения числовых параметров. Таким образом, основные признаки укрупнённой дидактической единицы оказываются налицо.

Построенную матрицу упражнений естественно рассматривать в рамках концепции обучения математике как модели научных исследований. Действительно, педагог имеет возможность предложить отдельным микрогруппам студентов совокупности задач данной матрицы (например, строки или столбцы) с последующим сообщением полученных результатов на практических занятиях. Тем самым в процессе преподавания будут продемонстрированы два важных свойства научных исследований: уникальность научного творчества и личностно-социальный дуализм математики.

5.6.4. Об инструментальной роли педагогических принципов

Обычно принципы организации педагогического процесса или отдельного его аспекта рассматриваются как налагаемые на него требования, соблюдение которых либо обязательно, либо крайне желательно. При этом провозглашённый принцип, вообще говоря, не указывает средств, с помощью которых он может быть реализован. Однако возможна и другая точка зрения, которая была выражена нами в разделе 3.3: целесообразно искать такие педагогические принципы, которые могли бы служить инструментом построения задачника и выполняли бы в отношении него ряд функций: генерирующую, структурирующую и стимулирующую (см. также [142, с. 38]).

Содержание данного раздела реализует высказанную мысль в отношении конкретного материала. Действительно, содержание первых двух разделов показывает, что первоначальный импульс для построения достаточно большой матрицы упражнений был дан принципом преемственности обучения, а её структура во многом была определена принципами преемственности и целесообразностью организации обобщающего повторения.

Глава 6

НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ ВЫЯВЛЕНИЯ ЭМПИРИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ДУАЛИЗМА МАТЕМАТИКИ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

Изучение математики даёт достаточно много примеров, которые показывают, как математические понятия зарождаются вне математики. Традиционно при изучении математического анализа формулируются физические задачи, приводящие к понятию производной, определённого интеграла, дифференциального уравнения. Ничто не мешает распространить такой подход на другие области математики и говорить о физических задачах, приводящих к понятию системы линейных уравнений, об экономических задачах, приводящих к математической задаче линейного программирования, о практических и научных задачах, приводящих к понятию функции, и т.д. Тем не менее, по мере изучения того или иного математического курса выявление эмпирико-теоретического дуализма (ЭТД) математики затрудняется, потому что участники процесса обучения оказываются «вдалеке» от истоков науки, от тех нематематических причин, в силу которых возникают новые математические понятия.

В данной главе обсуждаются три педагогических сценария, которые способствуют выявлению ЭТД. Они показывают, как мысленные эксперименты в области физики связны с математическим анализом, как натурные эксперименты с предметами связаны с теорией вероятностей, как связаны между собой протекающие в компьютере физические процессы, компьютерный эксперимент, теоретическая трактовка его результатов, интеллектуальное развитие студентов.

6.1. Физика как источник основных теорем дифференциального исчисления

6.1.1. О математическом анализе и его связи с физикой

Двойственная природа математики особенно ярко проявляется при изучении математического анализа. Дело в том, что свои первоначальные шаги математический анализ делал как физико-геометрическая наука, а его первоначальные результаты описывали свойства физически наблюдаемых величин и/или свойства геометрических фигур. Вот что писал по этому поводу известный российский математик А. Н. Крылов: «Ньютон открыл и дал основы исчисления бесконечно малых, исходя из понятий механических и геометриче-

ских». Исторически сложилось так, что создатели математического анализа - Ньютон, Лейбниц, Эйлер, братья Бернулли и другие - не были «чистыми» математиками, а имели серьёзные труды в области механики, физики, астрономии и других наук. Естественно, что в их сознании не было «перегородки», отделяющей математику от физики. Изучение движений тел давало материал для введения математических понятий, а математические теоремы позволяли описывать движения тел и находить физические законы. Преподаватель, приступающий к изложению математического анализа, может попытаться так организовать его изучение, чтобы студенты получили и усвоили информацию примерно тем же путём, каким усвоили её создатели математического анализа.

Обращаясь к опыту детей, следует сказать, что они наблюдают движения тел с самого раннего возраста. Им хорошо знакомы такие понятия, как «быстро» и «медленно», так что они могут сравнить скорости движения разных тел, например, автомобиля и пешехода. Они легко могут сравнить скорости движения прыгуна на батуте в верхней и нижней точке, достаточно хорошо описывают движение поезда в момент смены направления движения и т. п.

Все сказанное означает, что преподаватель, приступающий к изложению математического анализа, имеет перед собой двойственную задачу. Во-первых, он должен актуализировать в сознании учащихся те знания из курса физики, которые будут способствовать пониманию теорем математического анализа. Во-вторых, он должен совместно с учащимися применить эти физические знания для получения и понимания математических теорем.

Приведём те сведения из школьного курса физики, которые известны учащимся к моменту начала изучения математического анализа.

Предположим, что мы изучаем движение материальной точки Р вдоль прямой / (рис. 20а). Зададим на этой прямой две базисные точки О и £ и включим часы (рис. 206). Благодаря этому, нашим физико-геометрическим понятиям - прямая, движение, материальная точка - будут поставлены в соответствие понятия математического анализа. Прежде всего, мы можем рассматривать точку О в качестве начала отсчёта и поставить в соответствие ей число 0. Кроме того, отрезок ОЕ можно рассматривать в качестве единицы измерения длины и можно поставить в соответствие точке Е число 1. В этом случае прямая / превратится в числовую ось, которую мы будем обо-

значать через Os. Наконец, каждому моменту времени t соответствует координата s(t) той точки оси Os, в которой находится в данный момент движущаяся материальная точка Р (рис. 20в). Окончательно мы получаем соответствие t ь-> s(t), которое выступает одновременно в двух качествах: в физике оно называется законом движения материальной точки, а в математике - вещественной функцией вещественного аргумента.

Рис. 20. Движение и функция.

Рис. 21. Направление движения и знак скорости

Скоростью прямолинейного равномерного движения тела называется путь, пройденный телом в единицу времени: v = s/t. Принято считать, что скорость тела положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда тело движется в положительном (отрицательном) направлении оси Os (рис. 21). Средней скоростью тела за промежуток времени [а, Ь] называется отношение перемещения движущегося тела к длине промежутка времени:

6.1.2. Логика доказательств и физическое происхождение условий некоторых математических теорем

Выведем из физических соображений некоторые ограничения на функцию, которая может служить законом движения макроскопического тела, а затем сравним их с условиями основных теорем дифференциального исчисления.

(А) Начнём с простого соображения о том, что реальный физический эксперимент имеет своё начало и конец, то есть протекает за конечный отрезок времени. В силу этого можно считать, что закон движения тела представляет собой функцию, определённую на отрезке [а,Ь].

(Б) Рассмотрим более глубокий вопрос о том, всякая ли числовая функция числового аргумента может служить законом движения для некоторого физического тела. Наивный, но любопытный студент может задать такой вопрос в отношении многих хорошо известных ему функций: s(t) = aresin t и т.д. При этом в некоторых случаях ответ хорошо известен (равноускоренное и колебательное движение в первом и втором случае соответственно), а в других - отнюдь не очевиден.

Приведём наглядные соображения в пользу следующего утверждения: закон движения макроскопического тела является непрерывной функцией. Полное доказательство содержится в статье [145].

Допустим, что функция, выражающая закон движения, имеет бесконечный разрыв. Такова, например, функция s(t) - ^—-. Анализируя эту формулу на языке физики, мы получим, что в течение ограниченного промежутка времени [0,1) тело уйдёт из точки с координатой ^(0) = 1 на бесконечность. Очевидно, что это противоречит естественным физическим представлениям.

Допустим, что функция, выражающая закон движения тела, имеет разрыв типа «скачок», как это показано на рис. 22.

Анализируя данный чертёж на языке физики, мы получим следующее: тело равномерно движется от начала отсчёта до точки с координатой р, затем мгновенно оказывается дальше от начала отсчёта, чем точка q, не занимая при этом промежуточных положений, а затем продолжает равномерное движение. Очевидно, что это противоречит естественным физическим представлениям.

Рис. 22. Непрерывность закона движения

(В) Приведём наглядные соображения в отношении такого утверждения: среди функций, описывающих движение макроскопического тела, всегда можно выбрать дифференцируемую функцию. Более подробное рассмотрение этого утверждения содержится в статье [145].

Пусть лёгкий упругий шарик падает на массивную плиту и отскакивает от неё. Для изучения движения шарика можно построить две модели. Первая из них основана на следующих простых допущениях: 1) шарик представляет собой материальную точку; 2) отскок происходит мгновенно. Вторая модель базируется на двух других допущениях: 1) шарик представляет собой тело конечного объёма, а закон движения описывает положение центра тяжести шарика; 2) отскок происходит за конечное время за счёт деформации шарика. Нетрудно видеть, что первая модель представляет собой функцию, не дифференцируемую в те моменты времени, которые соответствуют моментам отскока. В то же время вторая модель является функцией, дифференцируемой при любых значениях аргумента.

Мы оставляем в стороне вопросы об адекватности данных моделей физическому явлению, об удобстве использования каждой из них, о целесообразности выбора той или иной модели при исследовании движения шарика в разные моменты времени. Здесь мы хотим лишь подчеркнуть, что каждая пара допущений является вполне естественной.

Теперь нетрудно показать, что далеко не всякая функция может служить законом движения реального физического тела. Рассмотрим,

например, три последние функции из того списка, который приведён в пункте (Б), и будем считать, что они определены на отрезке [0,1]. Функция s(t) = sgn t разрывна на указанном отрезке, поэтому она не может служить законом движения реального физического тела. Функция s(t) = aresin t также не может служить законом движения тела, поскольку в противном случае тело достигло бы бесконечно большой скорости в момент окончания движения. Действительно, v(t) = s'(t) = l/«J\-t2, так что v(t) —»оо при t —» 1. Если предположить, что функция s(f) = 4t является законом движения тела, то мы придём к ещё более парадоксальному результату: тело начинает своё движение с бесконечно большой скорости. Действительно, v(t) - s'(t) -1/2yft, потому v(t) —> 00 при t —> 0.

Обратимся теперь к основным теоремам дифференциального исчисления. Теорема Лагранжа и многочисленные следствия из неё справедливы для функций, которые удовлетворяют ряду условий: функции определены на замкнутом отрезке, непрерывны на нем и дифференцируемы внутри него. Очевидно, что эти условия полностью совпадают с теми свойствами законов движения тел, которые выведены в пунктах (А)-(В) из чисто физических соображений. Тем самым выявляется двойственная природа условий теорем дифференциального исчисления. С одной стороны, введение этих условий вызвано потребностями логики, поскольку каждое из них используется при доказательстве теорем, а невыполнение любого из них приводит к тому, что теоремы перестают быть справедливыми. С другой стороны, мы обнаружили, что эти чисто логические ограничения на функции оказались детерминированными свойствами окружающего нас физического мира.

В дальнейшем мы будем пользоваться следующим рабочим определением: будем говорить, что функция f(x) подобна закону движения тела, если она определена на отрезке [а, Ь], непрерывна на нем и дифференцируема на интервале (а, Ь).

Рассуждения, приведённые в пунктах (А)-(В), означают, что между множеством функций, являющихся законами движения, и множеством функций, подобных закону движения, существует отношение включения: первое множество включается во второе, но не совпадает с ним.

6.1.3. Обнаружение основных теорем дифференциального исчисления

Идея методики изучения основных теорем дифференциального исчисления проста и естественна. Она состоит в том, чтобы побудить учащихся к обоснованному переносу свойств функций из класса законов движения тела на более широкое множество - класс функций, подобных закону движения тела. Для реализации этой идеи можно поступить следующим образом: актуализировать знания учащихся из курса физики, а затем поставить такие физические вопросы, перевод которых на язык математики приведёт к формулировкам основных теорем.

Предложим учащимся четыре вопроса, первые два из которых являются вспомогательными, а вторые два - основными.

Вопрос 1. Тело движется по прямой в течение некоторого отрезка времени. Сравните минимальную скорость vmin, максимальную скорость V и среднюю скорость v .

Практика показывает, что примерно 2/3 учащихся даёт правильный ответ на этот вопрос: v <v <v . При этом ещё более 10% школьников дают «почти правильный» ответ v < v < v . Этот последний, формально неверный, ответ мы называем «почти правильным», потому что он не учитывает всего лишь один частный случай -случай равномерного движения.

Вопрос 2. Тело движется по прямой в течение некоторого отрезка времени. Сравните минимальную скорость vmin, максимальную скорость vmx и мгновенную скорость v(r) в произвольный момент времени t.

Практика показывает, что 30-40% учащихся дают правильный ответ vITlin < v(t) < vm, и ещё примерно столько же дают «почти правильный» ответ vmin < v(t) < vmx. Вновь мы называем ответ «почти правильным», потому что он не учитывает только один частный случай - случай совпадения момента времени t с моментом экстремальной скорости.

Два сформулированных вопроса выполняют функцию актуализации знаний. Они воссоздают на уроке математики атмосферу урока физики, заставляют учащихся мыслить в уже освоенных категориях: движение, скорость, мгновенная скорость и т.д. Значительное ко-

личество правильных ответов показывает, что знания физики представляют собой педагогически значимую величину.

На два нижеследующих вопроса ложится основная смысловая нагрузка, т.к. именно они приводят учащихся к самостоятельной или полусамостоятельной формулировке основных теорем математического анализа.

Вопрос 3. Тело движется по прямой в течение некоторого отрезка времени. Справедливо ли следующее утверждение: существует момент времени, такой, что скорость тела в этот момент равна средней скорости тела?

Очевидно, что существует только три априорных ответа на этот вопрос: 1) да; 2) нет; 3) не знаю. Один из этих ответов и предлагается выбрать учащимся.

Разъясним математическую и физическую сущности вопроса 3. Пусть [а,Ь] - промежуток времени, в течение которого движется тело, s(t) - закон движения тела, a v(t) - его мгновенная скорость. Утвердительный (и верный) ответ на вопрос 3 означает, что существует момент времени t0, такой, что

(1)

Скорость является производной пути по времени: v(t0) = s'(t0).

Средняя скорость по определению равна v = ——. Подставляя эти выражения в равенство (1), получим формулу

(2)

которая представляет собой формулу Лагранжа.

Практика показывает, что примерно 70% учащихся дают правильный ответ. Кроме того, в случае необходимости учитель может сделать дополнительные пояснения, помогающие выбрать правильный ответ. Действительно, в процессе движения скорость варьируется между своим минимальным и максимальным значением. Естественно предположить, что в какой-то момент времени её значение совпадёт со средней скоростью тела.

Вопрос 4. Тело движется по прямой в течение некоторого отрезка времени, причём в конечный момент времени оно возвращается в исходное положение. Какова скорость тела в момент наибольшего удаления?

Очевидно, что существует четыре априорных ответа на этот вопрос: 1) больше нуля; 2) меньше нуля; 3) равна нулю; 4) не знаю. Один из этих ответов и предлагается выбрать учащимся.

Для выяснения сущности вопроса 4 воспользуемся предыдущими обозначениями. Верный ответ состоит в том, что скорость тела в момент наибольшего удаления равна нулю. Если t0 - момент наибольшего удаления, то v(/0) = 0, или s'(t0) = 0. Получается, что если s(b) - s(a) (тело возвращается в исходное положение), то существует момент времени t0 такой, что s'(t0 ) = 0. Это утверждение является теоремой Ролля.

Для облегчения выбора правильного ответа на вопрос 4 учитель может провести следующие дополнительные рассуждения. Для определённости будем считать, что в момент наибольшего удаления t0 тело имеет положительную координату. Допустим, что скорость тела в момент t0 положительна. Тогда по инерции тело продвинется ещё «чуть-чуть» дальше, так что момент t0 не может быть моментом наибольшего удаления. Допустим, что скорость тела в момент времени t0 отрицательна, то есть тело движется по направлению к началу отсчёта. Тогда, опять-таки в силу инерции тела, в «близкий предшествующий» момент времени тело также двигалось по направлению к началу отсчёта, то есть находилось от начала отсчёта дальше, чем в момент времени t0. Вновь мы видим, что момент t0 не является моментом наибольшего удаления. Остаётся одна возможность - нулевая скорость. Впрочем, дополнительные рассуждения могут и не понадобиться, т.к. на практике процент правильных ответов на вопрос 4 столь же велик, как и на вопрос 3.

Покажем теперь, как подвести школьников к самостоятельной формулировке гипотез, доказательство истинности которых превратит эти гипотезы в теоремы математического анализа.

1) Ответ на вопрос 3 показывает, что для закона движения тела s(t) существует момент времени tQ, для которого справедлива формула (2). Если мы распространим это утверждение на более широкое множество - на множество функций, подобных закону движения тела - то придём к следующей гипотезе.

Гипотеза 1 (Лагранж). Если функция /(х) подобна закону движения тела на отрезке [а, Ь], то существует такое значение аргумента х0, что

2) Ответ на вопрос 4 показывает следующее: если в конечный момент времени тело возвращается в исходное положение, то существует момент времени t0, такой, что для закона движения тела справедливо равенство s'(t0) = 0. Если мы распространим это утверждение на более широкое множество - на множество функций, подобных закону движения тела — то придём к следующей гипотезе.

Гипотеза 2 (Ролль). Если функция /(х) подобна закону движения тела на отрезке [а,Ь] и f(a) = f{b), то существует такое значение аргумента х0, что f'(x0) = 0.

3) Выведем из физических соображений критерий постоянства функции. Тот факт, что тело покоится в течение некоторого промежутка времени, можно выразить в одной из двух равносильных форм. Во-первых, можно сказать, что координата тела является константой, а во-вторых, что скорость тела тождественно равна нулю:

s(t) = const о Тело покоится <=> s'(t) = 0. Удалив из рассуждения промежуточные звенья, мы получим, что для любого закона движения тела справедливо утверждение s(t) = const <=> s'(t) = 0. Если распространить полученную эквиваленцию на более широкий класс функций, а именно, на множество функций, подобных закону движения тела, то мы придём к следующей гипотезе.

Гипотеза 3 (критерий постоянства функции). Функция, подобная закону движения тела, постоянна тогда и только тогда, когда её производная тождественно равна нулю:

f (х) = const <=> f'(x) - 0.

4) Выведем из физических соображений достаточное условие монотонности функции. Если скорость тела положительна, то это означает, что оно движется вперёд без остановок и, следовательно, его координата возрастает. Другими словами, получаем, что для любого закона движения тела справедливо следующее утверждение:

s'(0 = v(t) > 0 => s(r) возрастает.

Если распространить полученную импликацию на более широкий класс функций, а именно на множество функций, подобных закону движения тела, то мы приходим к следующей гипотезе.

Гипотеза 4 (достаточное условие монотонности). Если функция подобна закону движения тела и её производная положительна, то функция возрастает:

f\x) > О => f(x) возрастает.

Подобные рассуждения можно было бы провести в отношении других теорем дифференциального исчисления. Многократные проверки показали, что учащиеся справляются с задачей распространения свойств движений на более широкий класс функций и самостоятельно получают в виде гипотез все основные теоремы дифференциального исчисления.

В заключение отметим, что возникновение математических утверждений в виде гипотез отнюдь не заменяет их строгого логического доказательства, даже если в процессе самостоятельного получения этих утверждений обучаемые продемонстрировали способность к математическому творчеству. В то же время нельзя недооценивать этот творческий акт. Прежде всего, весь массив изучаемых теорем появляется в короткое время, погружая учащихся в самую сердцевину математического анализа. Это обстоятельство даёт преподавателю большую свободу в отношении дальнейших действий. Так, проверку гипотез можно сделать немедленной или отсроченной, выполнить эту проверку самому или отослать учащихся к учебнику, заняться применением этих гипотез в физике или математике и проч. Выбор педагогом того или иного способа действий зависит от конкретной ситуации.

В качестве упражнения предлагаем читателю самостоятельно решить следующую задачу.

Задача. 1) Ответьте на следующий вопрос из области физики: «Тело движется по прямой в течение некоторого отрезка времени и в конечный момент времени возвращается в исходное положение. При этом оно меняет направление движения только один раз. Какова скорость тела в момент наибольшего удаления?» 2) Выведите из вашего ответа утверждение, касающееся функций и точек их локального экстремума.

Указание. Сравните это задание с вопросом 4 и гипотезой 2 данного пункта.

6.1.4*. Логический анализ теорем

Один из методов логического анализа той или иной теоремы состоит в том, чтобы выявить существенность каждого из её условий. Для этого нужно показать, что при отбрасывании того или иного условия заключение теоремы перестаёт быть справедливым.

Напомним, что каждое из условий теоремы Ролля является существенным, то есть ни одно из них не может быть отброшено. Воспроизведём эти условия.

1. Функция /(х) определена на отрезке [а, Ь].

2. Функция /(х) непрерывна на отрезке [а, Ь].

3. Функция f(x) дифференцируема на интервале (а,Ь).

4. f(a) = f(b).

1*. Прежде всего, мы не можем отбросить первое из условий, потому что в этом случае мы не сможем даже сформулировать несколько из оставшихся условий теоремы, так что сама формулировка теоремы потеряет смысл. Действительно, пусть функция определена на полусегменте [а, Ь). В этом случае невозможно сформулировать ни условие 2, ни условие 4. Если из отрезка [а, Ь] выколоть одну промежуточную точку с и рассмотреть функцию, определённую на множестве [а, с) U (с, Ь], то в этом случае невозможно сформулировать ни условие 2, ни условие 3.

2*. Допустим, что функция f(x) удовлетворяет условиям 1, 3 и 4 теоремы Ролля и не удовлетворяет условию 2, то есть является разрывной хотя бы в одной точке отрезка [а,£>]. В качестве примера можно рассмотреть функцию f(x)= , определённую на отрезке [0,1]. Прямым вычислением получаем, что её производная находится по формуле f'(x) = 1^0 при 0 < х < 1. Отсюда следует, что для функции /(х) не выполняется заключение теоремы Ролля и, следовательно, условие 2 теоремы является существенным.

3*. Допустим, что функция f(x) удовлетворяет условиям 1, 2 и 4 теоремы Ролля и не удовлетворяет условию 3, то есть не имеет производной хотя бы в одной точке интервала (а, Ь). В качестве примера можно взять функцию g(x)=|x|, определённую на отрезке [—1,1]. Прямым вычислением получаем, что её производная находится по

формуле

Отсюда следует, что для функции /(х) не выполняется заключение теоремы Ролля и, следовательно, условие 3 теоремы является существенным.

4*. Допустим, наконец, что функция f(x) удовлетворяет условиям 1, 2 и 3 теоремы Ролля и не удовлетворяет условию 4, то есть её значения на концах отрезка различны. В качестве примера можно рассмотреть функцию h(x) = x, определённую на отрезке [0,1]. Её производная находится по формуле h\x) = 1^0. Отсюда следует, что для функции h{x) не выполняется заключение теоремы Ролля и, следовательно, условие 4 теоремы является существенным.

Приведённый выше логический анализ использует весьма простые функции - линейную и модуль. Тем не менее, анализ такого рода психологически труден для учащихся. Одна из причин состоит в том, что такой анализ противоречит многолетнему математическому опыту детей. Действительно, в течение многих лет школьник был ориентирован на то, чтобы доказывать различные утверждения, проводя при этом общие рассуждения. Цель логического анализа прямо противоположна, поскольку требует опровергнуть заключение утверждения, приводя при этом контрпример. Другая причина состоит в том, что при поиске или построении контрпримера учащийся имеет чрезвычайно большую свободу и весьма мало ориентиров, указывающих на то, в каком направлении нужно мыслить. Наконец, рассматриваемая теорема имеет одну особенность, связанную с соотношением между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Обратимся к пункту 2* нашего анализа, в котором мы отказываемся от условия непрерывности на отрезке [а,Ь] и сохраняем остальные условия. Как правило, от учащихся ускользает тот факт, что мы сохраняем требование дифференцируемости на интервале (а,Ь), вследствие чего искомая функция должна быть непрерывна на интервале (а,Ь). Тем самым оказывается, что искомая разрывная функция должна иметь разрыв в граничной точке отрезка [а, Ь]. Именно такой пример и был предъявлен в пункте 2*.

Отдельного разговора заслуживает вопрос о том, какое умственное действие совершает учащийся при работе с контрпримерами -поиск или построение. Поиск - это выбор нужного объекта из списка объектов, известных учащемуся. Построение - это изобретение нуж-

ного объекта, не существовавшего ранее или не служившего объектом рассмотрения. На первый взгляд, учащиеся должны осуществить поиск, поскольку в приведённых контрпримерах используются хорошо известные функции: линейная и модуль. Тем не менее, более подробное рассмотрение говорит о том, что мы изобретаем контрпример. Для примера рассмотрим функцию h(x)-x, где хе[0,1], из пункта 4* и сравним её со стандартной функцией ф(х) = х. Как правило, от учащихся ускользает тот факт, что это совершенно разные функции! У них разные области определения, разные множества значений и разные графики. Одна из них ограничена, а другая не ограничена. Одна из них является нечётной, а другая - функцией общего вида. Таким образом, переходя от хорошо известной функции ф(х) = X к новой функции h(x) - X, где х е [0,1], учащийся делает маленькое изобретение, а это всегда трудно. Ещё более трудным является изобретение функции f(x) из пункта 2*, поскольку для этого учащемуся придётся проделать несколько неформализуемых действий, причины каждого из которых трудноуловимы: рассмотреть линейную функцию, сузить её на отрезок [0,1], изменить значение функции в точке 1.

Частный пример с функциями ф(х) = х и h(x)-x, где хе[0,1], иллюстрирует одно общее обстоятельство: при сужении функции на некоторое подмножество её области определения новая функция может потерять многие свойства своего прототипа и приобрести новые свойства. Именно это обстоятельство можно использовать при определении обратных тригонометрических функций. Действительно, функция ф(х) = sin X необратима, поскольку является периодической.

В отличие от неё, функция

обратима, поскольку монотонно возрастает на области определения. Это даёт возможность дать определение арксинуса как функции, обратной к функции \|/(х).

В качестве упражнения рекомендуем читателю самостоятельно провести логический анализ теорем, сформулированных в предыдущем разделе в виде гипотез 1, 3, 4.

Разумеется, приведённый выше метод логического анализа теоремы не является единственно возможным. Простым, но эффективным приёмом такого анализа является выявление в тексте доказательства тех его фрагментов, в которых использовано то или иное

условие теоремы. Другой приём относится к теоремам, имеющим вид импликации ^4 => В. Для таких теорем целесообразно систематически задавать два взаимосвязанных вопроса: 1) Является ли необходимое следствие посылки А, то есть утверждение В, условием, достаточным для выполнения утверждения AI 2) Является ли условие А, достаточное для выполнения утверждения В, необходимым следствием утверждения В1 Оба эти вопроса можно объединить в один: справедлива ли обратная теорема 5 => AI Например, применительно к достаточному условию монотонности вопросы могут звучать так: 1) Достаточно ли возрастания функции на отрезке [а,Ь] для положительности её производной? 2) Является ли положительность производной на отрезке [а, Ь] необходимым следствием возрастания функции?

3) Справедливо ли утверждение, обратное достаточному условию монотонности? Ответы на эти вопросы являются отрицательными, что следует из рассмотрения канонического примера - функции /(х) = x3, рассматриваемой на отрезке [-1,1].

Ещё одним приёмом логического анализа теорем может считаться решение задач, в которых требуется выяснить применимость изучаемой теоремы к тому или иному конкретному объекту. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Задача. Применима ли теорема Лагранжа к данной функции на данном отрезке?

Решение. 1) В формуле, задающей функцию f(x), оба слагаемых непрерывны во всех точках вещественной оси. Производная имеет вид f'{x) = cos х + —т= и существует во всех точках интервала (0,2). Отсюда следует, что теорема Лагранжа применима к функции /(х) на отрезке [0,2].

2) Решая задание 2, мы получим ту же самую формулу для производной и можем повторить наши аргументы о непрерывности функции. Однако производная не существует в точке 0 из интервала (-1,1). Отсюда следует, что теорема Лагранжа не применима к функции f(x) на отрезке [-1,1].

Итак, применимость или неприменимость теоремы Лагранжа существенным образом зависит не только от аналитического задания функции, но и отрезка, на котором она рассматривается.

3) В формуле, задающей функцию g(x), уменьшаемое и вычитаемое непрерывны во всех точках вещественной оси. Кроме того, уменьшаемое и вычитаемое дифференцируемы во всех точках интервала за исключением точки 0. Покажем, что функция g(x) дифференцируема также и в точке 0. Воспользуемся определением производной:

Знаки плюс или минус на последних шагах наших вычислений соответствуют знаку переменной t и, следовательно, друг другу. Окончательно получаем, что функция g(x) дифференцируема во всех точках интервала

Отсюда следует, что теорема Лагранжа применима к функции g(x) на отрезке

Решая задание 3, мы встретились с ситуацией, часто ускользающей от внимания учащихся: сумма двух недифференцируемых функций может быть дифференцируемой.

4) В формуле, задающей функцию g(x), уменьшаемое и вычитаемое непрерывны во всех точках вещественной оси. Кроме того, уменьшаемое дифференцируемо во всех точках интервала —,— .

Однако в точке я имеется существенная особенность: уменьшаемое дифференцируемо, а вычитаемое - нет. Следовательно, функция g(x) не будет дифференцируемой в одной из точек изучаемого интервала, а значит, теорема Лагранжа не применима к функции g(x) на отрезке

Завершая обсуждение задачи, отметим следующее. В процессе решения мы не просто проверили применимость теоремы Лагранжа,

тренируясь тем самым в её логическом анализе. Попутно мы совершили повторение некоторой части ранее изученного материала, обнаружив при этом ряд тонких моментов.

6.1.5*. Применения теорем дифференциального исчисления

Применение основных теорем дифференциального исчисления и их взаимосвязи с другим математическом материалом раскрываются как в теоретической части курса путём выведения следствий, так и в процессе решения задач. Приведём несколько примеров, которые, с нашей точки зрения, достаточно выразительны.

Задача 1. Функция f(x)-ex обладает тем свойством, что она равна своей производной: (ех)' = ех. Существуют ли ещё какие-нибудь функции, обладающие этим свойством?

Решение. Пусть функция f{x) такова, что f'(x) = f(x). Рассмотрим вспомогательную функцию ф(х) =- и вычислим ее производную:

Поскольку это равенство выполняется при всех х, получаем, что ф(х) — С — const. Из определения функции ф(х) имеем: f(x)-Cex. Прямой проверкой получаем, что функции из полученного семейства действительно обладают требуемым свойством. Этим исчерпываются все решения уравнения f'(x) = f(x).

Уравнение f'(x) = f(x) - это новый для учащихся тип уравнений, в котором неизвестным является функция (а не число, как это бывает обычно) и которое содержит неизвестную функцию и её производную. Таким образом, педагогико-математическая суть задачи 1 состоит в том, что в процессе решения мы выявляем для учащихся связь теоремы Лагранжа с дифференциальными уравнениями, осуществляя тем самым пропедевтику понятия «дифференциальное уравнение».

Задача 2. Докажите, что уравнение х3 + Зх - 6 = О имеет только один корень.

Решение. Рассмотрим многочлен f(x) = х3 + Зх - 6. Его степень нечётна, поэтому он имеет корень. Остаётся доказать единственность корня. Дальнейшее решение задачи может зависеть от того, на каком этапе изучения она предлагается учащимся. Приведём решение зада-

чи для того момента учебного процесса, когда терема Ролля уже известна, а достаточное условие монотонности ещё не изучено. Допустим, уравнение имеет два корня р и q, первый из которых меньше второго. К многочлену /(х) и отрезку [р, q] применима теорема Ролля, поскольку f(p) = f(q) = 0. Следовательно, должно существовать число с из интервала (p,q), такое, что f'(c)-0. Однако это невозможно, поскольку f\x) = Зх2 + 3 > 0.

Итак, задача 2 выявляет для учащихся связь теоремы Ролля с алгебраическими уравнениями.

Задача 3. Докажите, что при 0 < х < — выполняется неравенство

Решение. На промежутке рассмотрим функцию

Её производная f'(x) - (tg х - x)(tg х + х) поло жительна на интервале

т.к. на этом интервале х > 0, tgx > 0 и tg X > X. На основании теоремы о монотонности функции можно утверждать, что f(x) монотонно возрастает на промежутке 0,— .

Поскольку в начальной точке промежутка /(0) = 0, то в остальных точках промежутка / (х) > 0, то есть

Итак, задача 3 выявляет для учащихся связь теоремы о монотонности функции с неравенствами. Кроме того, доказанное неравенство усиливает ранее изученное неравенство tg х > х. Наконец, осуществляется пропедевтика (правда, выраженная достаточно слабо) представлений о разложении функции в степенной ряд: выражение х + - это сумма двух первых ненулевых членов ряда Тейлора по степеням X для тангенса.

6.1.6. «Многоязычность» математики и её эмпирико-теоретический дуализм

Покажем, что в чисто математическом контексте эмпирико-теоретический дуализм математики принимает специфическую форму - форму перекодировки информации с одного языка на другой.

С этой целью рассмотрим традиционную задачу аналитической геометрии о выведении параметрических уравнений прямой проходящей через точку А(х0)у0) в направлении вектора а = (a,ß). Для точки Х(х, у) справедлива следующая цепочка эквиваленции:

С лингвистической точки зрения первое высказывание цепочки X G / относится к синтетической евклидовой геометрии: точка лежит или не лежит на прямой, прямые пересекаются или не пересекаются и т.п.

Второе высказывание АХ || а относится к геометрии векторов: векторы коллинеарны или не коллинеарны, сонаправлены или противонаправлены и т.п. Третье высказывание АХ = ta относится к векторной алгебре, поскольку включает в себя равенство векторов и операцию умножения вектора на число. Четвёртое высказывание это координатная запись векторного равенства. Наконец, последнее высказывание можно трактовать либо в рамках математического анализа как параметрическое задание функции, либо в рамках физики как описание движения материальной точки вдоль линии. По мнению автора, такая «многоязычность» математики является одной из причин её высокой эффективности, следовательно, многоязычность заслуживает специальных усилий по её выявлению.

6.2. Натурный эксперимент как методическая основа введения первоначальных понятий теории вероятностей

Человек, приступающий к ознакомлению с новой для себя областью знания, вольно или невольно усваивает большое количество терминов. Это в полной мере относится и к учащемуся, приступающему к изучению теории вероятностей. Учитель может облегчить для него этот процесс, если будет систематически использовать те выражения бытового русского языка, которые перешли в математику и приобрели там статус точных терминов. Так, превращение свинца в

золото невозможно (вспомните историческое заблуждение!). Падение астероида на Землю мало вероятно, хотя такие случаи имели место. Мы достоверно знаем, что день сменяется ночью. Хороший урожай яблок в этом году - событие случайное, так как урожай может быть и хорошим, и плохим. Данный список примеров выбран нарочито приземлённым, однако выработка терминов в науке очень часто базируется именно на наглядных соображениях. Вот что пишет по этому поводу Декарт: «Всякий раз, когда я хочу ввести новый специальный термин, я выбираю его из слов, находящихся в употреблении, и то из них, которое мне кажется самым подходящим, я всегда употребляю в установленном мной значении» [111, с. 134].

Опишем игру, в результате которой в обиходе учащегося появится целый список теоретико-вероятностных терминов [16].

Игра. В закрытом пакете находится 10 предметов, а именно, 5 мандаринов, 2 яблока, 2 конфеты и 1 лимон. Учитель предлагает учащимся угадать, какие предметы находятся в пакете, обещая затем реально извлечь эти предметы и показать классу. Два заранее вызванных помощника фиксируют на доске ответы.

Заметим, что хотя ситуация выглядит крайне неопределённой, из неё можно извлечь некоторую информацию. Действительно, 10 предметов небольшого объёма позволяют сделать вывод, что в пакете находятся маленькие предметы. Можно показать сквозь пакет, что там находится нечто круглое. Наконец, утверждение о том, что в пакете находится нечто съедобное, является одной из двух естественных альтернатив и напоминает детскую игру.

Итак, учитель «для затравки» предлагает слово «съедобное», а затем учащиеся высказывают другие гипотезы. После нескольких гипотез начинается реальное извлечение предметов, результаты которого также фиксируются. В итоге на доске возникает какой-либо список предметов, например, такой: съедобное, несъедобное, фрукт, лимон, игрушка, цитрус, маленький предмет, мячик, конфета, яблоко, мандарин.

Заметим, что следует позаботиться о том, чтобы в списке слов появились такие, которые соответствуют и невозможным, и достоверным событиям. Это нетрудно сделать, потому что учитель является участником игры и наравне со всеми вносит свои предложения.

Теперь нужно проанализировать эту игру и классифицировать события, случившиеся в результате извлечения предметов, реального или гипотетического.

Классификация событий. Нетрудно видеть, что в нашем эксперименте некоторые события произойдут обязательно, например, извлечение съедобного предмета. Другие не могут произойти, например, извлечение игрушки. Третьи случайны, то есть могут произойти, а могут и не произойти, например, извлечение конфеты. Подчеркнув соответствующие слова разными способами, получим классифицированный список, который выглядит следующим образом:

съедобное, маленький предмет,

несъедобное, игрушка, мячик,

цитрус, конфета, яблоко, мандарин, фрукт, лимон. Очевидно, что жирным курсивом, курсивом и обычным шрифтом отмечены достоверное, невозможное и случайное события соответственно.

Теперь учащиеся психологически готовы к введению терминов и выявлению классификации событий.

Будем называть испытанием такое действие, которое осуществляется при выполнении совокупности некоторых условий. В нашей игре условиями являются закрытый пакет с определённым набором предметов в нем, а действием является извлечение предмета.

Будем называть исходами испытания те простейшие события, реальные или гипотетические, которые могут произойти в результате испытания. Они называются также элементарными событиями. В нашей игре имеется четыре реальных исхода испытания - извлечение мандарина, яблока, конфеты, лимона.

Будем называть событием, связанным с испытанием, или просто событием, исход испытания или какую-либо комбинацию исходов испытания. В нашей игре примерами событий являются извлечение цитруса (комбинация исходов мандарин - лимон), извлечение фрукта (комбинация исходов мандарин - лимон - яблоко), а также извлечение чего-либо съедобного.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти при данном испытании. В нашей игре примерами невозможных событий являются извлечение мячика или извлечение игрушки.

Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит при данном испытании. В нашей игре примерами достоверных событий являются извлечение маленького предмета и извлечение съедобного предмета.

Наконец мы подходим к центральному определению. Событие называется случайным, если при данном испытании оно может про-

изойти или не произойти. В нашей игре можно извлечь лимон или нечто другое, следовательно, извлечение лимона является случайным событием. Аналогично, случайными событиями являются извлечение конфеты, яблока, фрукта и т.д.

Суммируем итоги наших рассуждений и фиксируем их в виде рис. 23. Мы видим, что события подразделяются на невозможные и возможные. Возможные события, в свою очередь, подразделяются на достоверные и случайные. Именно случайные события будут предметом нашего дальнейшего изучения, поэтому на рис. 23 они выделены в рамку.

Заметим, что при работе в классе целесообразно предъявлять не сразу весь рис. 23, а заполнять его постепенно по мере накопления терминов. На данный момент целесообразно заполнить пять верхних блоков и оставить место для трёх нижних.

До сих пор мы проводили качественный анализ нашего испытания, не привлекая для анализа числа. Теперь проведём количественный анализ и выявим с его помощью типологию шансов наступления того или иного события.

Типология шансов. Рассмотрим и оценим шансы наступления некоторых событий, связанных с проведённым испытанием. Для этого заполним таблицу 24.

1. Естественно считать, что если событие не наступает никогда или происходит в одном-двух случаях из 10, то оно имеет мало шансов для реализации. Если же событие происходит в восьми-девяти случаях из 10 или же наступает обязательно, то оно имеет много шансов для реализации. Сделаем соответствующие записи в предпоследнем столбце таблицы. Мы видим, что ряд клеток столбца остались пустыми. Это означает, что оценить шансы с бытовых позиций затруднительно, или, другими словами, такая оценка зависит от важности события с точки зрения оценивающего. Действительно, вполне допустимо проиграть 5 из 10 партий в шахматы, или, что то же самое, проиграть одну партию из двух. Однако было бы совершенно недопустимо, если бы одна болезнь из двух заканчивалась смертью больного.

2. Примем следующее соглашение. Если событие имеет мало шансов для реализации, то оно называется маловероятным. Если же событие имеет много шансов для реализации, то оно называется весьма вероятным. Занесём эти термины на рис. 23.

Рис. 23. Классификация событий

3. Сравним два события, «извлечение лимона» и «извлечение мандарина». У какого события больше шансов для реализации?

Таблица 24. Оценка шансов.

Много ли шансов достать ... ?

Шанс

Число

Оценка

1

лимон

1 шанс из 10

1/10

Мало шансов

2

конфету

2 шанса из 10

2/10

Мало шансов

3

яблоко

2 шанса из 10

2/10

Мало шансов

4

мандарин

5 шансов из 10

5/10

5

цитрус

6 шансов из 10

6/10

6

фрукт

8 шансов из 10

8/10

Много шансов

7

не мандарин

5 шансов из 10

5/10

9 8

не яблоко не лимон

8 шансов из 10

9 шансов из 10

8/10 9/10

Много шансов

Много шансов

1

0

не цитрус

4 шанса из 10

4/10

1 1

съедобное

10 шансов из 10

10/10

Много шансов

1

2

не съедобное

0 шансов из 10

0/10

Мало шансов

Из таблицы видно, что лимон извлекается в одном случае из 10 возможных, а мандарин - в пяти случаях из десяти. На русском языке это выражается двумя равноправными способами:

а) извлечение лимона менее вероятно, чем извлечение мандарина;

б) извлечение мандарина более вероятно, чем извлечение лимона.

4. Сравним два события, «извлечение конфеты» и «извлечение яблока». У какого события больше шансов для реализации? Из таблицы видно, что шансы этих событий равны, а именно, 2 шанса из 10. Аналогично, шансы событий «извлечь фрукт» или «извлечь не яблоко» также равны, а именно 8 шансов из 10. Будем называть два события равновозможными, если они имеют равные шансы для реализации. Занесём этот термин на рис. 23. Теперь он полностью завершён.

Тренировка. После того, как первоначальные термины введены, целесообразно провести тренировку, которая должна быть достаточной для их полного усвоения. Содержание такой тренировки, её характер и длительность зависят от тех педагогических условий, в которых работает конкретный учитель, так что их организация остаётся на усмотрение читателя.

Приведём примеры таких упражнений. Следует подчеркнуть, что мы отнюдь не считаем нижеследующие упражнения обязательными или достаточными для достижения наших целей.

1. В условиях вышеописанной игры вставьте слова «более вероятно, чем» или «менее вероятно чем» вместо многоточия.

а) Извлечение конфеты ... извлечение мандарина.

б) Извлечение мандарина ... извлечение конфеты.

в) Извлечение цитруса ... извлечение лимона.

г) Извлечение лимона ... извлечение цитруса.

2. Испытанием является бросание игральной кости. Вот некоторые вопросы, которые можно поставить перед учащимися.

а) Перечислите возможные исходы испытания. Равновозможны ли они?

б) Назовите какие-либо события, связанные с испытанием, но не являющиеся его исходами.

в) Приведите несколько примеров достоверных событий.

г) Приведите несколько примеров невозможных событий.

д) Равновозможны ли два события: «выпадение простого числа» и «выпадение нечётного числа»?

е) Равновозможны ли два события: «выпадение делителя числа 6» и «выпадение делителя числа 4»? Если нет, то выразите этот факт двумя способами.

Очевидно, что даже простые испытания порождают большое количество вопросов, причём для данных примеров список возможных вопросов отнюдь не исчерпан. Одним из естественных способов тренировки школьников является постановка ими каких-либо собственных вопросов, задаваемых одноклассникам.

Педагогическая рефлексия. Анализируя извлечение предметов из пакета, мы естественным образом и в игровой форме ввели достаточно много терминов, а именно, девять. По-видимому, одним из компонентов педагогического искусства является умение подобрать частный пример, на котором будут отчётливо видны все закономерности общего случая. Автор убеждён, что подбор таких примеров возможен для многих или даже для большинства тем математики. В целесообразности таких примеров мы и попытались убедить читателя.

Точные определения. В заключение приведём одно из определений вероятности события - классическое определение вероятности.

Несколько исходов испытания образуют полную группу событий, если в результате испытания произошло хотя бы одно из них.

Если события из полной группы событий попарно несовместны, то в результате испытания появится точно одно из них.

Вероятностью события называется отношение числа исходов, благоприятствующих этому события, к общему числу всех равновозможных, несовместных элементарных событий, образующих полную группу событий: Р(А)- — .

6.3. Компьютерный эксперимент как средство выявления эмпирико-теоретического дуализма математики

6.3.1. Второе пришествие экспериментальной математики?

В разделе 1.4 мы упоминали о том, что многие разделы математики выросли из практических потребностей людей и из сопутствующего им эмпирического и экспериментального опыта. Мы не будем

развивать здесь эту мысль, потому что она многократно, подробно и всесторонне обсуждалась разными авторами и была ярко проиллюстрирована. Для примера укажем книги М. Клайна [64, 65]. Для нас важно, что влияние эмпирического начала математики менялось в процессе её развития.

На самых ранних стадиях развития математики экспериментальное начало математики было доминирующим, что с высоты исторического опыта представляется вполне естественным. Затем в трудах Аристотеля и Евклида сформировалось и ярко проявилось её теоретическое начало, которое «отвоевало» себе одну из областей математики - геометрию. При этом вплоть до XVII в. развитие числовых систем и алгебры разительно отличалось от развития геометрии, поскольку считалось, что алгебра не является особой областью математики, которая нуждается в логическом обосновании. Экспериментируя с отрицательными, иррациональными и комплексными числами, математики зачастую «не верили» в эти числа или испытывали сомнения самой разной природы, и только превосходное согласование с результатами физических наблюдений и экспериментов заставляло их «поверить» в значимость применяемой алгебры [64, гл. V]. Не случайно цитируемая глава носит название «Нелогичное развитие логичнейшей из наук».

Тем не менее, по мере построения логических обоснований арифметики, алгебры и математического анализа теоретическое начало математики стало выходить на первый план. По-видимому, этот процесс был обусловлен двумя причинами. Во-первых, возможности экспериментирования были не столь уж велики. Во-вторых, и это главное, доминирующим стало убеждение, которое можно сформулировать следующим образом: сколь бы очевидны ни были результаты наблюдений и/или экспериментов, сколь бы правдоподобны ни были сопутствующие им рассуждения, существует только один способ проверки истинности математических гипотез - дедуктивное доказательство. По мнению автора, теоретическое начало математики приобрело максимальное влияние на её развитие во второй половине XIX - первой половине XX века. Апофеозом этого влияния, быть может, дисгармоничным апофеозом, является представление Бурбаки о математике как о теории структур.

Положение стало меняться во второй половине XX века. Во-первых, в области вычислительной техники были достигнуты впечатляющие успехи. Появились сначала большие вычислительные маши-

ны, затем персональные компьютеры, а впоследствии и суперкомпьютеры. Благодаря этому стали доступны такие эксперименты, о которых в предшествующие годы даже не задумывались. Во-вторых, появились области человеческой деятельности, в которых стало практически невозможно проводить натурные эксперименты. Например, испытания ядерного оружия были сначала ограничены, а потом и запрещены международными договорами, так что его совершенствование продолжалось за счёт моделирования на ЭВМ. Исследование безопасности атомных реакторов или крупных химических производств не могло включать в себя натурные эксперименты не только в силу их чрезмерной дороговизны, но и в силу экологических и этических причин, так что и здесь пришлось прибегать к помощи вычислительной техники. В-третьих, в конце 70-х годов XX века появились автоматизированные системы научных исследований. Первоначально они использовались лишь для компьютерной поддержки проведения и обработки данных экспериментов в области химической технологии, а затем стали быстро распространяться и на другие сферы научной деятельности. Это привело к возникновению понятия «компьютерный эксперимент». Трудно разобраться во всём хитросплетении и взаимовлиянии различных факторов, и уж тем более трудно назвать основной из них. Тем не менее, в книге [128, с. 27] третий фактор назван «решающим» в том смысле, что именно он изменил отношение математиков к экспериментам.

Постепенно в математике стали накапливаться такие решения сложных проблем, неотъемлемым этапом которых были компьютерные эксперименты. Прецедентом такого рода послужила проблема четырёх красок, которая была решена с помощью компьютерных экспериментов в 1976 г. [122, с. 453-458]. Другим примером послужила проблема Кеплера о максимальной плотности упаковки шаров, решённая в 1998 г. и опубликованная лишь в 2005 г. в связи с трудностью проверки результатов [128, с. 32-33]. Вообще появление компьютерных экспериментов сделало возможным не только включение описания экспериментов в математические публикации, но и представление результатов, способ формального доказательства которых пока неизвестен. Разумеется, появились печатные органы, публикующие такие результаты, например журнал «Expérimental Mathematics», который начал издаваться в Нью-Йорке в 1992 г.

Изменения математических представлений о соотношении теории и эксперимента нашли своё отражение в области математическо-

го образования. Об использовании компьютеров в преподавании начали говорить в 60-е годы прошлого века, а с середины 80-х годов начали активно создаваться соответствующие программные продукты: Cabri Géomètre, The Geometer's Sketchpad (или «Живая математика»), Eukleides, GeoNext, GRACE, Crocodile Mathematics, Kig, Cindirella's Café, GeoGebra, «1С: Математический Конструктор» и т.д.

Широкая практика применения программных продуктов потребовала создания учебных пособий по их использованию, и, разумеется, они появились. Для примера укажем пособие [12].

Очевидно, что практический опыт преподавания с использованием компьютера требует теоретического осмысления. Помимо многочисленных статей, отражением теоретического осмысления в монографической литературе могут служить книги [114, 128].

Все вышеперечисленные процессы - важные, сложные, неочевидные, неоднозначные - нашли своё отражение в научных дискуссиях на различных форумах. Для примера укажем два текста. Один из них - это «Манифест экспериментальной математики» [129], написанный Р. В. Шаминым, руководителем «Группы экспериментальной математики», которая была создана в 2008 г. на базе Института океанологии им. П. П. Ширшова РАН и Российского университета дружбы народов. Другой текст - это альтернативный «Мягкий манифест экспериментальной математики» [160], написанный в 2015 г. автором этих строк и профессором М. В. Шабановой.

Итак, практические потребности в компьютерных экспериментах, математические успехи в этой области, обеспеченность вычислительной техникой, использование экспериментов в образовании, теоретическое осмысление педагогического опыта - все говорит об изменении наших представлений об экспериментальном компоненте математики и, быть может, о возрастании его роли. Возможно, что полемически заострённый заголовок данного подраздела не столь уж полемичен.

6.3.2. Компьютер как сложный физический прибор

Отступим от основной линии нашего изложения и опишем (предельно кратко) тот научно-технологический базис, на котором построен «прибор для математического экспериментирования», попросту говоря, компьютер. Это отступление не является праздным, потому что естествоиспытатель, и студент/школьник здесь не является исключением, должен знать, на чём основана работа его прибора,

сколько стоит прибор, сколько стоит эксперимент и проч. С исторической точки зрения очевидно, что такие приборы, как спиртовка и колбы с реактивами, аналитические весы, осциллограф, электронный микроскоп, ускоритель элементарных частиц принадлежат разным периодам развития науки. Так вот, на каких открытиях основана работа компьютера?

В 1830-е годы было открыто явление полупроводимости. Потребовался примерно век для создания физики полупроводников. В 1947 году был создан первый полупроводниковый транзистор, а в 1958 году - первая интегральная схема. Параллельно с физикой шло создание первых вычислительных машин, сначала механических, потом электроламповых, потом полупровдниковых. Для создания операционных систем потребовались исследования по логике и другим математическим дисциплинам, связанным с программирование для ЭВМ. Исследования эти были столь глубоки и обширны, что затронули даже определение математики, о чём было сказано в разделе 1.3.

В настоящий момент мы можем констатировать, что компьютеры служат человечеству чуть более полувека. При этом их функционирование происходит при соблюдении двух рамочных условий. Во-первых, компьютеры потребляют электричество, а значит, для их работы требуется создание энергетической системы государства в целом. Во-вторых, далеко не все страны умеют производить компьютеры, а значит, для их работы экономика должна была стать глобальной.

Всё перечисленное выше физико-математическое, технологическое, экономическое, цивилизационное богатство используется в учебном процессе для того, чтобы студенты и школьники могли переоткрыть то, что удалось открыть древним грекам с помощью рисования палочкой на песке или в лучшем случае рисования на папирусе с помощью заточенного стебля тростника. Подчеркнём со всей определённостью, что мы не оцениваем соотношение между «интеллектуальной стоимостью прибора» и «интеллектуальным результатом эксперимента» с какой бы то ни было точки зрения. Боле того, мы считаем, что педагогическая задача приобщения многих людей к математическому творчеству оправдывает почти любые усилия. Тем не менее, человек, осваивающий математику, должен знать, что за его право на математические эксперименты была заплачена значительная цена. Усилия предыдущих поколений накладывают на нас обязательство преподавать и учиться честно и с напряжением.

Итак, компьютер является сложным физическим прибором, то есть объектом материального мира. Следовательно, любой компьютерный эксперимент - это эксперимент с объектом материального мира.

Покажем, что при постановке компьютерного эксперимента в области евклидовой геометрии, мы, фактически, осуществляем другой эксперимент, а именно, вычислительный эксперимент над дискретным множеством точек.

Дискретность имеет два проявления. Визуальное проявление дискретности связано с понятием разрешения экрана. Действительно, в паспорте любого монитора указана его разрешение, например, 1680x1050 пикселей. Это означает, что все доступные взгляду объекты геометрии - прямые, окружности, треугольники и т.д. - изображаются с помощью конечного множества маленьких точек, количество которых известно и равно 1764000 = 1680 ■ 1050. Зная размеры экрана, нетрудно подсчитать размеры одной точки. Получается, что представление о бесконечной прямой, состоящей из исчезающе малых точек, формируется с помощью конечного множества точек известного нам размера. Впрочем, такая ситуация вполне соответствует разрешающим возможностям человеческого глаза. Во всяком случае, прямая линия на мониторе компьютера выглядит ничуть не «хуже», чем прямая линия на бумаге, нарисованная карандашом.

Алгебраическое проявление дискретности состоит в том, что экспериментатору доступны только рациональные числа. Например, в теоретических рассуждениях вполне может появиться точка А = (О; л/2) с ординатой V2 или отрезок длины п. Построить их с помощью компьютера невозможно. Разумеется, можно построить объекты, приближающиеся к указанным с весьма высокой точностью, однако приближённое не есть точное.

Вычислительный характер геометрических компьютерных экспериментов завуалирован. Действительно, пользуясь инструментами GeoGebra, мы можем построить отрезок длиной 5 см или угол с мерой 43 . Мы можем найти, что площадь треугольника равна 10 см , а его медиана делится центроидом в отношении 2:1. Все выглядит так, как если бы компьютер измерял искомые величины, подобно тому, как это делал бы человек с измерительными приборами.

Ситуация изменится, если мы попытаемся найти расстояние между точками А = (0,0) и В = (0,0.000000000000001). Выбрав инструмент «Расстояние или длина» и нажав на обозначения точек на

панели объектов, мы найдём, что \АВ\ = 0.000000000000001 = Ю-15 см. Этот результат позволяет понять, что делает GeoGebra, измеряет расстояния или вычисляет их. Дело в том, что расстояние 10~15 см примерно в 1000 раз меньше, чем размеры атомного ядра! В настоящее время не существует инструментов для непосредственного измерения таких расстояний, и в обозримом будущем такие инструменты не появятся. Следовательно, школьник или студент может почти самостоятельно прийти к выводу, известному специалистам: при определении расстояний интерактивная математическая среда GeoGebra вычисляет расстояния, исходя при этом из некоторых данных. Как только в рассуждениях появляется слово «вычисляет», сразу возникают вопросы о том, с какой точностью производятся вычисления, как изменятся результаты при изменении точности и т.п. Геометрические следствия приблизительности вычислений в интерактивных математических средах обсуждались автором в статье [159].

Итак, утверждения о свойствах фигур евклидовой геометрии, полученные экспериментальным путём, представляют собой перенос результатов вычислительного эксперимента над конечной геометрией. Правомерность такого переноса каждый раз нуждается в теоретическом обосновании - дедуктивном доказательстве.

Теперь мы можем сделать следующий Вывод. Проводя эксперименты, мы работаем с компьютером как с объектом материального мира, а получаем при этом гипотезы о свойствах чисел и геометрических фигур, то есть о свойствах идеальных математических объектов. Таким образом, компьютерный эксперимент является специфическим проявлением эмпирико-теоретического дуализма математики.

6.3.3. Два начала математики и их воздействие на интеллектуальное развитие студентов

При всём разнообразии компьютерных экспериментов у них есть общее предназначение. Оно состоит в том, чтобы помочь экспериментатору произвести наблюдение и сформулировать гипотезу, основанную на его результатах. Образно говоря, компьютер должен дать экспериментатору ту или иную «подсказку».

Приведём типологию компьютерных «подсказок». Сразу скажем, что она базируется на личных педагогических наблюдениях автора, не является общепринятой, нуждается в анализе с самых разных позиций, в уточнениях и т.п. Тем не менее, у предлагаемой типологии

есть вполне естественное основание, а именно, степень убедительности той или иной «подсказки». Мы будем говорить, что «подсказки» бывают убедительными, неоднозначными, лукавыми и некорректными. Перейдём к определениям и примерам.

Результаты компьютерного эксперимента будем называть убедительными, если на их основе можно сделать некоторый вывод, и притом только один.

Пример убедительного результата даёт экспериментальное решение следующей задачи.

Задача 1. В разностороннем треугольнике ABC проведите медиану AM, высоту АН и биссектрису AS. Каково взаимное расположение точек M, H и 5?

Обсуждение. Проведя требуемые линии, школьник-экспериментатор обнаружит, что точка S лежит между точками M и Н. Такое расположение точек сохраняется при любом перемещении точки А, поэтому возникает гипотеза, которая является единственно разумной: в разностороннем треугольнике основание биссектрисы лежит между основанием медианы и основанием высоты.

Результаты компьютерного эксперимента будем называть неоднозначными, если на их основе могут быть сформулированы, по крайней мере, две гипотезы.

Пример неоднозначного результата даёт экспериментальное решение следующей задачи.

Задача 2. Сравните центральный и вписанный углы, опирающиеся на какую-либо дугу окружности.

Обсуждение. Построим какую-либо окружность с центром в точке О, точки А, В и С на окружности, а также отрезки OA, OB, CA и СВ. На глаз видно, что LAOB > ААСВ. Ещё со времён начальной школы учащимся известно, что сравнение двух различных величин производится при помощи двух вопросов: «на сколько единиц одна величина больше другой» и «во сколько раз одна величина больше другой». Для ответа на эти вопросы придётся измерить величины углов с помощью инструмента «Угол». Вот здесь и начнётся самое интересное.

Очевидно, что мы можем варьировать положение центра, радиус окружности, величину дуги AB и положение точки С. При стандартных настройках школьник-экспериментатор сталкивается с результатами нескольких типов:

В первом случае центральный угол вдвое больше вписанного. Во втором и третьем случаях это неверно, причём неравенства имеют разный смысл: во втором случае АЛОВ — 2ААСВ < О, а в третьем случае АЛОВ — 2аАСВ > 0. Эти результаты, определённые и неопределённые одновременно, порождают по крайней мере две гипотезы: 1) если центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу, то центральный угол вдвое больше вписанного; 2) если центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу, то разность jLAOB — 2/.ACB принадлежит интервалу (2 — г, 2 + £), где положительное число г следует найти.

Результаты компьютерного эксперимента будем называть лукавыми, если они кажутся убедительными и если их неоднозначность может быть обнаружена только в результате специальных усилий.

Пример лукавого результата даёт экспериментальное решение следующей задачи.

Задача 3. Каково взаимное расположение медиан треугольника?

Обсуждение. Построив все необходимое, школьник-экспериментатор увидит, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Такое положение будет сохраняться при любом перемещении вершин треугольника, а значит, при любой его форме и размерах. Такой результат естественным образом порождает следующую гипотезу: медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Желая усилить правдоподобие гипотезы, можно найти координаты точек Р, Q и R, являющихся попарными пересечениями медиан. При стандартных настройках мы получим одинаковые наборы координат у всех трёх точек, то есть подтверждение гипотезы.

Все в корне изменится, если предпринять специальное усилие, а именно, произвести округление до 15 разрядов! В этом случае точки Р, Q и R могут «расклеиться», то есть мы можем получить, что они либо попарно различны, либо две совпадают, а третья отличается от них. В обоих случаях у нас появится треугольник без центроида со всеми вытекающими отсюда последствиями. Таким образом, грубое округление до 2-х разрядов и тонкое округление до 15-ти разрядов дают разные ответы на вопрос о взаимном расположении медиан треугольника.

Заметим, что для человека, научное мировоззрение которого находится в процессе формирования, ситуация является достаточно

сложной. Действительно, когда 13- или 14-летний ребёнок смотрит на каплю воды невооружённым глазом, то она кажется ему блестящей, чистой и прозрачной. Когда же он рассматривает её в микроскоп, то видит в ней песчинку, соринку и инфузорию-туфельку. Таким образом, грубый инструмент - глаз и тонкий инструмент - микроскоп дают разные ответы на вопрос о структуре капли воды.

Сравнение эксперимента с каплей и эксперимента с медианами выявляет одно из различий между физическим и математическим экспериментом. Во-первых, долго или коротко, но выясняется, что при изучении капли истину показывает более точный инструмент, а при изучении медиан - более грубый. Во-вторых, и это главное, при изучении капли «противоречие в показаниях инструментов» разрешается с помощью дальнейших экспериментов, а при изучении медиан экспериментальное разрешение противоречия невозможно, так что приходится прибегать к дедуктивным рассуждениям.

Результаты компьютерного эксперимента будем называть некорректными, если они содержат внутреннее противоречие.

Пример некорректного результата даёт экспериментальное решение следующей задачи.

Задача 4. Найдите сумму углов треугольника.

Обсуждение. Измерив углы er, ß и у с помощью инструмента «Угол» и вычислив в строке ввода их сумму Л = а + ß + у, школьник-экспериментатор сталкивается с результатами двух типов:

В первом случае школьник, не знающий теоремы об углах треугольника, получает интересный и красивый результат. Во втором случае результат внутренне противоречив. Действительно, если сложить «в столбик» значения углов а, ß и у, то получим число 179.99 , a не 180 . Получается, что интерактивная математическая среда сообщает нам не сумму измеренных углов, а некий заранее предписанный результат.

Обсудим то педагогическое воздействие, которое оказывают на школьника экспериментальные данные упомянутых четырёх типов.

Парадоксально, но убедительные эксперименты наносят школьнику довольно большой вред, особенно на ранних этапах обучения. Они порождают иллюзию, что эксперимент даёт точный ответ на поставленный вопрос. Эта иллюзия с трудом поддаётся коррекции, по-

тому что продолжает ту традицию экспериментального освоения теоретических знаний, которая сложилась в начальной школе и которая описана автором в статье [163]. Если в начальной школе экспериментальное освоение теоретических фактов является неизбежным, то в основной школе, когда начинается освоение теоретического компонента математики, продолжение старой традиции представляется не вполне уместным. По мнению автора, именно доминирование убедительных экспериментов в практике преподавания порождает экспериментально-теоретический разрыв и все его негативные последствия [161-163].

Неоднозначный эксперимент более полезен, поскольку естественным образом порождает потребность в разрешении неоднозначности. При этом школьник имеет возможность мыслить в двух направлениях: 1) делать дальнейшие шаги по экспериментальному исследованию ситуации; 2) сразу переключиться на теоретическое исследование проблемы. Например, дальнейшее экспериментальное решение задачи 2 заставляет школьника-экспериментатора использовать всё более и более высокую точность округления, в результате чего разность АЛОВ — 2/.АСВ становится всё меньше и меньше: сначала она не превосходит 0.01, затем 0.001 и т.д. Во-первых, новые наблюдения заставляют его отказаться от гипотезы 2. Во-вторых, они не доказывают гипотезу 1, потому что точность вычислений имеет ограничения. В-третьих, и это главное, школьнику не удастся решить задачу о соотношении углов чисто экспериментальными методами, так что придётся переключиться на дедуктивные рассуждения. Именно такое единство эксперимента и теории представляется автору наиболее ценным.

Лукавые эксперименты почти столь же полезны, как и неоднозначные, однако здесь педагог может столкнуться с определёнными трудностями. Дело в том, что весьма часто выявление неоднозначности экспериментальных данных связано с максимально высокой точностью округления, например, до 15-ти разрядов. Это может оказаться затруднительным для шести- или семиклассников, и в любом случае требует дополнительного времени, которого, как правило, нет. Впрочем, эти ограничения не играют большой роли в рамках дополнительных занятий.

По мнению автора, некорректные экспериментальные данные почти бесполезны. Единственный позитивный эффект их использования состоит в обнаружении некорректности и, как следствие, в вос-

питании критического отношения к любым экспериментальным данным. Повторим мысль, высказанную в работе [163]: основа мировоззрения математика-экспериментатора состоит в том, что любое наблюдение, даже над самыми простыми объектами, нуждается в теоретическом осмыслении.

**Очевидно, что различные методы решения одной и той же задачи оказывают разное воздействие как на процесс усвоения знаний, так и на интеллектуальное развитие школьников. Для иллюстрации этого утверждения приведём теоретическое решение задачи 1, а затем сравним его с экспериментальным решением.

Решение задачи 1. 1) Сначала проведём предварительное рассуждение. Пусть для определённости точка H лежит между точками M и С (рис. 24). Тогда

(1)

Рис. 24а Основание биссектрисы. Рис. 246

2) Допустим, что S = M, то есть медиана совпадает с биссектрисой. Тогда треугольник ABC является равнобедренным, что невозможно по условию.

3) По той же причине невозможно совпадение S = Н.

4) Допустим, что точка 5 лежит между точками В и M (рис. 24а). Тогда в силу первых двух неравенств системы (1) и свойства биссектрисы угла треугольника получаем противоречивое неравенство

5) Допустим, что точка S' лежит между точками H и С (рис. 246). Тогда в силу третьего неравенства системы (1) и определения биссектрисы получим противоречивое неравенство

6) Таким образом, реализуется последняя из оставшихся возможностей - точка S лежит между точками M и Я.

Перечислим те умственные действия, которые вынужден проделать школьник для теоретического решения задачи 1.

Прежде всего, ему придётся принять одно из естественных соглашений, выраженное в пункте 1. Кроме того, ему придётся проделать изощрённое логическое рассуждение пунктов 2-6, то есть реализовать доказательство методом разбора случаев. Наконец, школьнику придётся применить четыре (!) теоремы: теорему о проекции и наклонной; теорему о проекции и угле между наклонной и перпендикуляром; теорему о свойствах равнобедренного треугольника; теорему о биссектрисе угла треугольника. В дополнение заметим, что мы сравниваем отрезки и углы, не используя понятие длины отрезка и меры угла.

Сравнивая экспериментальное и теоретическое рассуждение, связанное с задачей 1, мы можем констатировать следующее. Экспериментальное рассуждение позволяет обнаружить искомое свойство, является весьма кратким и очень убедительным. Оно не требует предварительных знаний. Единственное, что нужно для его выполнения, - это умение щелкать мышкой и переносить точки.

Чертёж карандашом по бумаге также позволяет обнаружить искомое свойство, хотя и с некоторыми усилиями. Последующие теоретические рассуждения позволяют доказать его истинность. Разумеется, процесс доказательства требует неких предварительных знаний и умения производить целый комплекс сложных логических действий. Рефлексия по поводу решения, стихийная или целенаправленно организованная, включает новый факт в систему геометрического знания, тем самым дополняя её.

Таким образом, педагог может счесть, что перед ним стоит дилемма: выбрать экспериментальный метод получения конкретного результата, метод быстрый и убедительный, или выбрать теоретический метод, более трудоёмкий и требующий предварительных знаний и умений. К счастью, эта дилемма во многом надумана. С одной стороны, мы передаём школьнику систему математических знаний, а экспериментальный метод в его примитивном виде даёт изолированное, «атомарное» знание. Мы передаём школьнику умение работать внутри математики, в частности, планировать и производить сложные логические действия, а примитивно-экспериментальный метод не предоставляет такой возможности. Следовательно, педагог вынуж-

ден, хочет он того или нет, использовать традиционную, «теоретическую» математику. С другой стороны, хорошо известно, что процесс возникновения понятий и формулировок теорем неформализуем, что они рождаются внелогическим путём [1]. Следовательно, педагог вынужден, хочет он того или нет, вводить в процесс обучения такие ситуации, которые дают школьнику первичный материал для высказывания им тех или иных гипотез. Роль экспериментов в создании таких ситуаций неоценима.

Перефразируя П. Л. Капицу [62, с. 196], мы можем сказать: эксперимент - хорошая вещь, но доказательное рассуждение остаётся навсегда.

6.3.4*. Мягкий манифест экспериментальной математики.

Хорошо известно, что математика, как и всякая наука, имеет двойственную природу. С одной стороны, она представляет собой деятельность по получению нового знания в своей специфической области, а с другой стороны, она является суммой знаний, накопленных к данному моменту. Из этого следует, что в процессе преподавания математики на всех уровнях целесообразно добиваться от студентов и школьников как усвоения математических фактов, так и овладения исследовательскими умениями в области математики, причём то и другое должно происходить одновременно и в равной мере. В частности, процесс обучения должен включать в себя математические эксперименты, поскольку математика в процессе своего становления была наукой экспериментальной и до настоящего времени сохранила оба свои начала, теоретическое и экспериментальное.

Деятельность исследователя с объектами материального мира или их идеальными образами будем относить к области экспериментальной математики, если её результатами являются гипотезы о свойствах математических объектов и/или математические понятия или предпонятия.

В разное время и у разных народов существовали различные инструменты проведения математических экспериментов. К ним относятся кубики для игры в кости, игральные карты и монеты; квадратные листы бумаги для оригами; реальные циркуль, линейка и папирус, а впоследствии бумага; идеальные циркуль и линейка; транспортир, двусторонняя линейка и шаблон прямого угла; компьютер и т.д.

Среди инструментов, с помощью которых ставятся математические эксперименты, особая роль принадлежит компьютеру. Его воз-

можности в постановке экспериментов настолько велики, с его помощью получены настолько интересные и разнообразные результаты, что в последнее время стали говорить о возникновении экспериментальной математики как об особой области математики и об отождествлении математического эксперимента с компьютерным экспериментом. По-видимому, слова «возникновение» и «отождествление» представляют собой некую гиперболу и в этом смысле не точны, однако они отражают новую реальность - резкое возрастание роли экспериментального компонента математики.

Важно, что математические эксперименты стали активно использоваться в сфере образования. Цифровые образовательные ресурсы позволяют организовать математический эксперимент в рамках реального учебного процесса. Это обстоятельство породило сильные позитивные эффекты, с одной стороны, и выявило серьёзные риски, с другой стороны.

Перед математическим и педагогическим сообществами стоит благородная цель - научиться использовать экспериментальные методы для развития математики и педагогики математики.

Глава 7

ЛИЧНЫЕ ИСТОРИИ МАЛЕНЬКИХ ИЗОБРЕТЕНИЙ

В педагогической среде мало обсуждается то обстоятельство, что практически всё население страны приобщено к математике. Действительно, школьники изучают большое количество теорем. Благодаря этому они приобретают первоначальный опыт доказательных рассуждений и полноценной аргументации, которые так нужны в сложной социальной среде любому человеку независимо от его профессии. Студенты математических, естественнонаучных, технических, экономических специальностей продолжают интенсивное изучение теорем, поскольку математика составляет неотъемлемую часть приобретаемой ими профессии. Будущих учителей математики специально обучают методике изучения теорем. Во всех этих случаях речь идёт именно об изучении известных науке теорем, то есть о продукте работы математиков. При этом остаётся в стороне другой, быть может более важный, процесс - процесс изобретения теорем, то есть деятельность математиков.

В повседневной жизни достаточно сложно найти тексты, выявляющие генезис того или иного конкретного математического утверждения, хотя, разумеется, они существуют. Примером может служить книга Ж. Адамара [1], посвящённая психологии процесса изобретения в области математики. В ней описаны удивительные случаи интуиции, которые привели классиков - Галуа, Пуанкаре, Римана, Ферма и других - к открытиям, повлиявшим на последующее развитие математики. Благодаря этому книга Адамара даёт читателям высокие образцы научного творчества. Парадоксально, но именно высота образцов может привести к тому, что их будет трудно использовать в повседневной, рутинной практике научно-педагогической жизни. Действительно, речь зачастую идёт о таких областях математики, в которых не работает, и никогда не будет работать, так называемый рядовой специалист. Величина интуитивного, внелогического скачка в понимании сущности исследуемого объекта зачастую столь велика, что оказывается недоступной для обычного человека. Ещё более трудной оказывается дидактическая обработка процесса изобретения, с помощью которой преподаватель мог бы приобщить к исследовательской деятельности студентов и школьников.

Настоящая глава вносит определённую лепту в установление баланса, поскольку автор - типичный рядовой специалист - описыва-

ет три случая того процесса изобретения теоремы, который произошёл с ним лично. Каждый раз за основу берётся некая математическая работа и подробно описывается ход появления на свет новой теоремы: возникновение «из ниоткуда» первоначальной идеи, формулировка гипотезы, трудоёмкое доказательство, выявление взаимосвязей и т.д. Кратко говоря, описан генезис конкретного математического результата со всеми его сложностями и противоречиями. Таким образом, в главе присутствует та математическая деятельность, которая может стать объектом моделирования в учебном процессе.

Переходя на язык образов, можно сказать, что в главе пойдёт речь о «приключениях» рядового математика, о процессе размышлений, о результатах, ошибках и проч. Автор попытается смешать стили и сочинить текст, который соединяет в себе черты научной статьи и детективного рассказа, в котором присутствуют классики и современники, открытия и забвение, надежды и разочарования... Именно поэтому в данной главе повествование будет идти от первого лица.

7.1. Неравенство Ки Фана и геометрические преобразования вещественной прямой

7.1.1. Неравенство Ки Фана как источник исследовательских задач

Я познакомился с неравенством Ки Фана в 2009 году, будучи вполне зрелым (или даже перезрелым) специалистом. Когда человек на седьмом десятке лет знакомится с новой для себя областью знания, его восприятие может оказаться субъективным, или эмоционально окрашенным, или нестандартным... Нужно учитывать это и не давать эмоциям перехлёстывать через край. Нужно использовать собственную нестандартность во благо, то есть для постановки новых содержательных задач. Попытаюсь описать то впечатление, которое произвело на меня знакомство с неравенством Ки Фана по книге С. И. Калинина [59], которая является одним из наиболее полных современных руководств в этой области.

В книге [59, гл. IV] всё начинается с классической конструкции Ки Фана (1961 г.). Рассматриваются п положительных чисел а1г а2,... ап из промежутка (0, Они подвергаются преобразованию

a'i = 1 — щ, i = 1, п. (1)

Обе группы состоят из положительных чисел, поэтому для каждой из них можно составить их средние арифметические Ап и А'п и средние

геометрические Gn и G'n. Оказывается, для них справедливы неравенства

(2) (3)

При этом равенство достигается тогда и только тогда, когда все исходные числа равны между собой.

Неравенства (2) и (3) называются мультипликативным неравенством Ки Фана и аддитивным неравенством Ки Фана соответственно. При этом первое из них следует из второго.

Оба неравенства Ки Фана, особенно мультипликативное, показались мне чрезвычайно красивыми. Действительно, если в мультипликативном неравенстве «стереть» знаменатели, то оно превратится в классическое неравенство Коши Gn < Ап для первой группы чисел, а если «стереть» числители, то оно превратится в неравенство Коши G'n < А'п для второй группы чисел.

Несмотря на красоту результата, дальнейшее чтение породило определённую неудовлетворённость, которая постепенно усиливалась и стала переходить в раздражение. Действительно, сначала неравенство Ки Фана было доказано методом прямой и обратной индукции, что заняло 3 стр. Потом оно же было доказано методом оценки (4 стр.), затем оно было выведено из неравенства Иенсена (2 стр.), затем обосновано средствами дифференциального исчисления (7 стр.), и конца этой сложной, хотя и красивой, математике не предвиделось. Между тем «в тылу», то есть совершенно необъяснённым, оставалось кричащее различие между условиями, которые требуются для выполнения неравенств Коши и Ки Фана. Так, для выполнения неравенства Коши требуется положительность чисел, то есть вполне естественное ограничение, которое не может быть ослаблено. В противоположность этому, для выполнения неравенств Ки Фана требуется странное, труднообъяснимое ограничение - принадлежность исходных чисел полуинтервалу (О, -I. Особое удивление у меня вызывало число - и формула (1), происхождение которой я совсем не понимал. Так возникла естественная задача, пока не математическая, а число психологическая, - выявить природу непонятного.

Решение задачи пришло таинственным образом, когда мне вдруг пришло в голову переписать формулу (1) в виде 1 1 = -. Такая запись означает, что точка - находится посередине между точками at и

а[. Другими словами, преобразование н» а\ является центральной симметрией с центром 1/2. Получается, что вся конструкция Ки Фана означает следующее: конфигурация точек подвергается центральной симметрии с центром 1/2, лежащим правее неё, затем для двух конфигураций, исходной и новой, составляются их арифметико-геометрические средние, а затем уже четыре арифметико-геометрических средних сравниваются между собой тем или иным способом.

Данное простое наблюдение оказалось плодотворным в том смысле, что породило настоящую математическую задачу.

Задача. Пусть на вещественной прямой задана конфигурация U = (а1; а2,..., ап) положительных чисел. Пусть (р - геометрическое преобразование вещественной прямой, которое переводит исходную конфигурацию в новую конфигурацию U' = (p(U). Каким условия должно удовлетворять геометрическое преобразование <р, чтобы четыре арифметико-геометрических средних удовлетворяли неравенству Ки Фана —Нт < —Нт?

Разумеется, задача имеет разные модификации в зависимости от того, какое геометрическое преобразование рассматривается. Эти модификации можно суммировать следующим образом: какова связь неравенств Ки Фана с

1. параллельными переносами вдоль вещественной прямой?

2. симметриями относительно различных центров, лежащих правее конфигурации, леве неё или внутри неё?

3. гомотетиями вещественной прямой?

4. аффинными преобразованиями вещественной прямой?

5. инверсиями вещественной прямой?

6. дробно-линейными преобразованиями?

В статьях [152-154] были реализованы первые три пункта этой программы, а также частично реализован пункт 5. Приведём примеры полученных результатов.

При изучении параллельных переносов конфигурация U подвергается действию параллельного переноса Th \ Ж —> Ш на величину h. Оказывается, что арифметико-геометрические средние конфигураций U я U' = Th(U) обладают следующими свойствами:

1) при h > 0 выполняется аддитивное неравенство Ки Фана

2) при h < О выполняется парадоксальное аддитивное неравенство Ки Фана A(Ur) — A(U) > G(U') — G(U), из которого следует парадоксальное мультипликативное неравенство с^,^ ^ асц'У

3) A(U') - G(U') —> О при h +00.

Утверждение пункта 3 означает, что при параллельном переносе конфигурации точек в положительном направлении она всё больше и больше становится похожа на тривиальную конфигурацию, у которой все числа равны. При этом она остаётся конгруэнтной исходной конфигурации!

При изучении симметрий нетривиальная конфигурация U подвергается действию симметрии S у. Ж —> Же центром Я. Оказывается, что существует и единственно число Я0, которое обладает следующими свойствами: 1) если Я > Я0, то выполняется аддитивное неравенство Ки Фана A(U')-A(IJ) < G(U')-G(U), где U' = SÄ(U); 2) если Я < Я0, то выполняется парадоксальное аддитивное неравенство A(U') - A{U) > G(U') - G(U), из которого следует парадоксальное мультипликативное неравенство , > Аси,у 3) если Я = Я0, то, несмотря на нетривиальность конфигурации, выполняются равенства

При изучении гомотетий вещественной прямой рассматривается гомотетия Яд : Ж —> Ж с центром Я и коэффициентом р. Прежде всего, на плоскости ЛОр выявлена область допустимых гомотетий данной конфигурации, то есть множество таких точек, что гомотетия Яд переводит все точки исходной конфигурации в положительную полуось вещественной прямой. Кроме того, на плоскости ЛОр найдена кривая Ки Фана, то есть множество таких точек области допустимых гомотетий, что, несмотря на нетривиальность конфигурации, для них выполняются равенства A(Ur) — A(U) = G(U') — G(U) и G , = -J-JT. Наконец, показано, что кривая Ки Фана делит область допустимых гомотетий на части, в одних из которых выполняется неравенство Ки Фана A(U') — A(U) < G(JJ') — G(U), а в других - парадоксальное неравенство Ки Фана A(U') - A(U) > G(U') - G(U) [153, 154].

Итак, я частично разобрался с тем, что было непонятно мне при первом чтении. Нужно было решить, как можно применить новые для

меня знания в практической деятельности. Тут на помощь пришли следующие соображения.

Очевидно, что неравенство Ки Фана относится к области элементарной математики, поскольку для его записи используются только четыре арифметических действия и извлечение корня. Возникает интересный парадокс: с одной стороны, период элементарной математики закончился (в Зап. Европе) в начале XVII века, а с другой стороны, неравенство Ки Фана было открыто всего полвека назад. Этот парадокс порождает естественный вопрос о том, с чем я столкнулся, с единичным фактом или с неким историческим феноменом. Частичный ответ содержится в статье [157] о так называемых поздних открытиях элементарной математики.

«Элементарность» неравенства Ки Фана ставит вопрос о том, в какой мере оно доступно для школьников, можно ли с его помощью приобщать их к математическим исследованиям. Здесь мне придётся переключиться с математики на педагогику математики и попытаться понять, что такое научная работа школьника.

7.1.2. Принцип отбора исследовательских задач для школьников

Практическому педагогу известно, что школьники, обладающие способностями в области математики, подразделяются, грубо говоря, на два типа. Одни обладают «быстрым» умом, способны в течение ограниченного времени предложить несколько нестандартных идей, выполнить большое количество действий, решить одну или несколько сложных задач. Другие обладают «медленным», но от этого не менее глубоким умом. Для продуктивной работы им требуется время и стимулы для размышлений. Школьники первого типа имеют широкие возможности для реализации своих способностей и потребностей путём участия в математических олимпиадах или играх типа «Математический бой». Возможности школьников второго типа до сравнительно недавнего времени были ограничены. К счастью, теперь они имеют возможность участвовать в научных конференциях школьников.

С 1998 года в г. Ярославле проводится научная конференция школьников «Открытие», поддерживаемая Министерством образования России, Департаментом образования Администрации Ярославской области и Управлением образования мэрии г. Ярославля (см. сайт http://www.edu.yar.ru~pcollege/ конференции). Организатором конференции является Провинциальный Колледж, а попросту говоря,

одна из школ г. Ярославля. В конференции участвуют школьники 9— 11 классов, которые представляют свои доклады на конкурс по различным наукам, таким, как математика, физика, химия, биология, география, а также по целому спектру гуманитарных дисциплин. Ежегодно 500-600 старшеклассников участвуют в конференции, представляя как центральные, так и весьма удалённые регионы нашей страны. Иногда приезжают иностранные участники, например, из Армении, Чехии, Финляндии.

В течение всех этих лет я участвовал в конференции в качестве научного руководителя школьников, подготовив при этом более десяти дипломантов различного уровня. Мой опыт подсказывает следующее.

Научный руководитель школьника сталкивается с целым рядом трудностей уже на этапе формулировки задачи. С одной стороны, содержательная математическая задача, которая могла бы считаться научной работой школьника, зачастую труднодоступна или даже недоступна для него, поскольку требует серьёзной предварительной подготовки. С другой стороны, доступная для школьника проблема, пусть даже очень трудная, часто не может рассматриваться как научная работа, даже если сделать поправку на возраст школьника. По моему мнению, одним из методов разрешения данного противоречия может служить выполнение следующего принципа: научная математическая проблема, решаемая школьником, должна иметь своим источником либо материал школьной программы, либо дополнительный материал той же сложности, что и школьная программа.

Некоторые результаты следования этому принципу описаны в статьях [150, 158]. В частности, описан опыт пятилетнего проекта по совместному получению результатов раздела 7.1.1 мною и руководимыми мной школьниками. Таким образом, неравенство Ки Фана послужило источником задач как для математика-исследователя, так и для математика-педагога.

7.1.3. Краткий педагогический анализ

Проанализируем процесс получения школьниками математических результатов раздела 7.1.1 в контексте обогащающей модели обучения М. А. Холодной [126]. Несколько утверждений являются очевидными.

А) В процессе решения задачи учащийся приобретает яркий опыт творческой деятельности.

Б) Длительные занятия привлекательной деятельностью формируют у школьника устойчивый интерес к ней.

В) В результате самостоятельной или совместной с руководителем математической деятельности возрастает компетентность школьника в определённой области математики, в нашем случае - в теории неравенств Ки Фана. Важно, что учащийся не просто формально знакомится с понятиями и фактами теории, а оперирует ими, поскольку его цель состоит в формулировке и доказательстве теорем.

Перечислим виды деятельности, которые выполняет школьник: он слушает лекции преподавателя; читает книги; консультируется с преподавателем; выполняет тренировочные упражнения; ставит исследовательскую задачу, самостоятельно или с помощью преподавателя; решает исследовательскую задачу; делает литературную запись решения; набирает текст на компьютере; готовит выступление, в частности, презентацию; делает пробные выступления в школе и/или вузе; участвует в конференции. Перечень видов деятельности весьма велик, причём каждый из них является достаточно сложным. Весьма важно, что школьнику приходится заниматься всеми этими видами деятельности одновременно или почти одновременно, или другими словами, он постоянно переключается с одного вида работы на другой. Тем самым приобретается существенный опыт саморегуляции.

В процессе исследований школьник выступает исполнителем разных социальных ролей. Прежде всего, он находится в тесном творческом и личном контакте с преподавателем вуза, что для школьника, да и для студента младших курсов, само по себе необычно. Кроме того, достаточно быстро он становится обладателем навыков и носителем знаний, которыми не обладают его одноклассники. В процессе тренировочных выступлений он выступает в роли преподавателя. Наконец, на конференции школьник выступает в роли исследователя, который сообщает научному сообществу о результатах своей творческой деятельности. При этом важно, что он имеет возможность сравнить свои личные достижения с достижениями других школьников, которые заняты деятельностью того же самого типа. Вышеперечисленное - компетентность в особой области знаний и интерес к ней, опыт творческой деятельности и саморегуляции, конкретные математические навыки и исполнение разных социальных ролей - все это формирует уникальный ментальный опыт учащегося.

Собрав вместе слова, выделенные жирным курсивом - компетентность, интерес, творчество, саморегуляция, уникальность - мы видим, что исследовательская деятельность формирует именно те компоненты интеллекта человека, которые, согласно обогащающей модели обучения М. А. Холодной, целесообразно рассматривать при оценке результатов обучения математике (преподавателем или учителем) и изучения её (школьником или студентом).

Окончательно мы можем сделать вывод о том, что деятельность научного руководителя, изначально направленная на подготовку математика-профессионала, оказывается хорошо согласованной с психолого-педагогической концепцией обогащающего обучения. Повидимому, эта согласованность носит объективный характер и выявляет универсальное влияние чисто математической подготовки на процесс образования в целом.

В заключение отметим, что приведённый выше перечень видов деятельности и их краткое описание позволяет утверждать, что в процессе исследовательской работы школьников формируются многие, если на все, ключевые компетенции, сформулированные в одном из популярных списков ключевых компетенций А. В. Хуторского: 1 ) ценностно-смысловая компетенция; 2) общекультурная компетенция; 3) учебно-познавательная компетенция; 4) информационная компетенция; 5) коммуникативная компетенция; 6) социально-трудовая компетенция; 7) личностная компетенция - самосовершенствование [127].

7.2. «Приоритетный спор» между Коши и Маклореном, или История одной ошибки

Эрудированный человек мгновенно поймёт, что никакого реального приоритетного спора между Коши (1789-1857) и Маклореном (1698-1746) не могло возникнуть по той простой причине, что первый из них родился через 43 года после смерти второго. Тем не менее, такой «спор» возникнет как историко-логическая коллизия, но об этом речь пойдёт ниже.

Сначала сформулирую то, что знают все математики. Пусть даны п положительных чисел х1гх2,... ,хп. Хорошо известно, что их среднее арифметическое А и среднее геометрическое G связаны неравенством Коши

A>G. (1)

Оно подробно изучалось разными авторами, о чем можно прочесть, например, в знаменитой монографии [125] или более новой книге [59]. Одним из направлений такого изучения является поиск уточнений неравенства Коши. При этом под аддитивным уточнением неравенства Коши понимается возможность обоснования неравенств типа Ап> Gn + г, где г > 0, а под мультипликативным уточнением - возможность обоснования неравенств типа Ап > Gns, где s > 1 [59, с. 204]. Очевидно, что в обоих случаях речь идёт о поиске величины ап, удовлетворяющей неравенству Ап > ап > Gn.

Зная то, что знают все, я занимался изучением взаимосвязей неравенства Ки Фана с гомотетиями вещественной прямой. Задача состояла в следующем. Если Н% - гомотетия вещественной прямой с центром Я и коэффициентом р, то из исходной конфигурации U = (х1;х2, ...хп) точек вещественной прямой можно получить новую конфигурацию U' = (х[,х2, —х^), где х[ = Н^(х{), а затем для каждой из конфигураций вычислить их средние арифметические A(U) и A(U') соответственно и их средние геометрические G(U) и G((/'). Как это принято в теории неравенств Ки Фана, можно сравнить величины и A,U,^. Оказывается [153, 1541, что если исходная конфигурация нетривиальна, то для одних точек вида (Я, р) на координатной плоскости ЛОр выполняется неравенство Ки Фана А(и'У для других выполняется парадоксальное неравенство Ки Фана , > А(-игу а для третьих, и это самое интересное, выполняется равенство —jj- = А^и,у Множество таких точек назовем кривой Ки Фана.

В статье [154] было показано, что та часть кривой Ки Фана, которая лежит в четвёртом квадранте координатной плоскости ЯОр, задается равенством Я = -—, где в - это корень уравнения а опк - это элементарная симметрическая функция степени к от п переменных хл, Хп,... Ху,. Напомним, что она задаётся равенством

(2)

где n = 2, к, к = 1, п.

В этом месте рассуждений я был удивлён видом коэффициентов многочлена: Апапк — C%AkGn. Дело в том, что в структуру коэффициентов на равных основаниях входят среднее арифметическое, среднее геометрическое, элементарные симметрические функции и числа сочетаний. Все выглядит так, как если бы коэффициенты многочлена состояли из фрагментов некоей формулы, которая никому неизвестна и которую, естественно, следует придумать.

В попытках придумать формулу я рассуждал примерно так.

Очевидно, что

С одной стороны, две формулы становятся «похожи» одна на другую, потому что в правых частях стоят элементарные симметрические функции. В то же время, они сильно отличаются друг от друга, потому что в первой формуле присутствует знаменатель, но отсутствует радикал, а во второй формуле присутствует радикал, но отсутствует знаменатель. Сходство можно усилить, если ввести в рассмотрение корень первой степени и знаменатель единицу, благодаря чему формулы примут вид

Сходство можно усилить ещё больше, если выразить два знаменателя через числа сочетаний, благодаря чему формулы примут вид А = соответственно.

Теперь показатель корня, степень элементарной симметрической функции и верхний индекс у числа сочетаний равны друг другу и принимают значение 1 в первой формуле или п во второй формуле. Если мы хотим, чтобы эти величины могли принимать значение к, то надо просто ввести «похожие» функции

(3)

Нетрудно видеть, что при переходе от апк к рпк мы сначала «нормируем» величину апк, поделив её на количество слагаемых в правой части равенства (2), а затем извлекаем корень соответствующей степени. Благодаря этому выполняются равенства рп1 = А и рпп = G, а все функции рпк становятся однородными функциями степени 1.

Однородные функции можно попытаться сравнить по величине, причём мы знаем, что неравенство Коши можно переписать в виде Pni ^ Рпп- Естественно предположить, что остальные рпк при к = 2, п — 1 лежат между крайними значениями рп1 и рпп. Так появилась следующая гипотеза.

Гипотеза. Величины рпк удовлетворяют нестрогим неравенствам

А = рп1 > рп2 > ••• > Рпи = G. (4)

При этом равенство достигается либо везде, либо нигде, причём тогда и только тогда, когда хг = х2 = ••• = хп.

Процесс формулировки гипотезы был для меня достаточно поучительным. С одной стороны, неравенства (4) красивы и даже эффектны. С другой стороны, приведшие к ним соображения, высказанные ниже формулы (2), слабы, нелогичны, основаны на чисто эстетических, то есть недоказательных, рассуждениях. Однако никаких других, более глубоких соображений у меня не было! Быть может, опыт такого рода может служить иллюстрацией мысли, высказанной Дж. фон Нейманом по поводу мотивов математической деятельности: «Думаю, что вряд ли ошибусь, если скажу, что критерии отбора <задач>, которыми руководствуется математик, так же как и его критерии успеха, носят в основном эстетический характер» [95].

В тот момент, когда гипотеза уже была сформулирована, а её истинность ещё не установлена, я совершил профессиональную ошибку: не обращаясь к первоисточникам, я начал доказывать формулу (4) и, в конце концов, доказал, потратив на это несколько более полугода. Полгода (!) эта формула была доминантой всей моей жизни, подобно тому, как три карты доминировали в сознании пушкинского Германна, но результат был сладок! Все это время меня вдохновляло то, что в учебной литературе я нигде не встречал ни одного намёка на формулу (4), хотя, повторюсь, она очень красива. Все это время я боялся того, что формула уже известна, т.к. трудно надеяться на «недосмотр» классиков. Так и случилось. В книге [125, с. 69, теор. 52] я обнаружил теорему Маклорена:

Pni ^ Рп2 ^ ^ Рпп- (5)

Вот это был удар! Нокдаун. «Падая», я успел заметить небольшую разницу между формулами (4) и (5)3.

...Возврат к работе начался с анализа сделанного наблюдения. Если ограничиться уже приведёнными ссылками, то получается что в 1729 г. Маклорен обнаружил интересное соотношение (5) между элементарными симметрическими функциями, однако ничего не сказал ни о среднем арифметическом, ни о среднем геометрическом, как ее-

3 Так и вспомнишь В. С. Высоцкого: «Вот апперкот, я на полу и мне нехорошо».

ли бы он не знал о них. В это невозможно поверить. Спустя почти сто лет, в 1821 г., Коши доказал неравенство (1) о взаимосвязи среднего арифметического и среднего геометрического [125, с. 29-30], «не заметив» при этом, что оно является мгновенным следствием теоремы Маклорена. В это трудно поверить. Вот и историческая загадка, и «приоритетный спор»4. Современные источники не проясняют ситуацию. Так, в книге [59, с. 154] по поводу неравенства (1) написано следующее: «Приводим доказательство неравенства, приписываемое Коши». А кто же на самом деле придумал приводимое доказательство? Поневоле вспомнишь шутку Арнольда: «Если какой-нибудь предмет имеет персональное наименование, то это никогда не бывает имя первооткрывателя» [6, с. 9].

Полученный результат оказался известен, значит, необходимо было оценить достоинства метода доказательства. И тут мне «повезло». Дело в том, что оба доказательства теоремы Маклорена, изложенные в книге [125, с. 69-71], носили алгебраический характер, а моё доказательство было чисто аналитическим. Полностью оно опубликовано в статье [155]. Его идея состоит в том, чтобы использовать понятие условного экстремума функции нескольких переменных. Приведём его краткое изложение.

Рассмотрим поверхность 5, задаваемую неявным уравнением апк(.х1> —>хп) ~ С-п = 0,к > 2. На этой поверхности рассмотрим числовую функцию o~nk-i'S —> Ш. и найдём её условный экстремум.

1) Методом Лагранжа покажем, что точка х = (1,1, ...Д) является единственной критической точкой изучаемой функции на поверхности S.

2) Покажем, что х - это точка локального минимума.

3) Покажем, что х - это точка глобального минимума, который равен С^-1.

4) Покажем, что для произвольных положительных чисел точка z = лежит на поверхности S.

5) В силу глобальности минимума имеем

Отсюда легко выводится неравенство

4 Отсылаем читателя к нелицеприятному мнению Абеля о Коши, изложенному в книге [7, с. 26, сноска].

Читатель, находящийся «в теме», легко увидит суть приведённых рассуждений: берётся схема одного из доказательств неравенства Коши [59, с. 196-198] и реализуется применительно к функциям апк и (тпк-1. Одна беда - реализовать её отнюдь не легко, потому что приходится прибегать к дополнительным ухищрениям. Да и в самой схеме [59, с. 196-198] не обоснованы утверждения (справедливые!) пунктов 2 и 3. Они в полном объёме обоснованы в другой книге [123, п. 214, с. 473-474], однако там обсуждается неравенство Коши только для четырёх чисел.

Итак, я «уговорил» себя (и убеждён, что правильно) опубликовать результат ради популяризации красивой теоремы и расширения границ применимости полезного метода доказательства. При попытке отразить суть статьи в заголовке возникла коллизия. С логической точки зрения теорема Маклорена является уточнением неравенства Коши, однако с хронологической точки зрения невозможно уточнить неравенство, ещё не вошедшее в научный обиход. В результате было выбрано эпатирующее историков название [155].

В заключение скажу о поразившей меня книге [59]. В ней собрано 31 (тридцать одно) доказательство неравенства Коши. Помимо доказательства Коши в ней изложено 13 различных индуктивных доказательств, 4 доказательства с использованием вспомогательных неравенств, 2 доказательства на основе метода Штурма. Неравенство Коши выводится из неравенства Иенсена, из неравенства Бернулли, из некоего более общего неравенства. Помимо алгебры для доказательства используются три различных аналитических подхода. Словом, у меня было, чем пользоваться.

Очевидно, что я больше не повторю допущенную мной ошибку, однако об уже сделанной ошибке ничуть не жалею. Полгода я жил, как первопроходец, а что может быть лучше?

Большинство важных событий в жизни человека происходит в окружении друзей, и моя история не стала исключением. С. И. Калинин (Киров) привлёк моё внимание к тематике неравенств, особенно неравенств Ки Фана. Когда формула (4) была уже давно придумана, а доказательство её никак не получалось, П. А. Корнилов (Ярославль) организовал компьютерный эксперимент, убедивший меня в целесообразности дальнейших усилий. О. А. Иванов (Петербург) показал мне теорему Маклорена в книге [125]. Всем им я глубоко признателен.

Что же дальше? В туристической среде живёт популярный тост: «За новые маршруты со старыми друзьями!» Так вот, я надеюсь найти уточнения неравенств Ки Фана, но это будет уже совсем другая история.

7.3. «Полуэкспериментальный» вывод формулы суммы внутренних углов невыпуклого многоугольника

7.3.1. «Потерянное» доказательство

Естественно, что в процессе руководства научной работой школьников я следовал принципу, сформулированному в разделе 7.1.2: научная проблема, решаемая школьником, должна иметь своим источником материал школьной программы. Опишу процесс применения этого принципа в одной конкретной ситуации.

Хорошо известно, что если «-угольник является выпуклым, то сумма £ его внутренних углов вычисляется по формуле

(1)

На этом фоне ученики практически самостоятельно поставили вопрос о том, по какой формуле вычисляется сумма внутренних углов невыпуклого многоугольника.

Заглянув в энциклопедию [85, стб. 750], мы мгновенно нашли ответ: по той же самой формуле! Вопрос как таковой оказался исчерпанным, однако попытка найти доказательство не удалась, потому что упомянутые в энциклопедии литературные источники не содержали его. То же самое повторилось со второй и третьей энциклопедией, а также с теми книгами, которые были доступны нам на тот момент.

Так мы попали в ситуацию «потерянного» доказательства и были вынуждены решать следующую дилемму. Очевидно, что доказательство существует и, следовательно, где-то опубликовано, так что для его отыскания требуется только терпение и усидчивость - качества достойные, но какие-то «неинтересные». Не лучше ли потратить время и усилия на поиск собственного доказательства? Правда, при этом мы сильно рисковали, т.к. было неясно, удастся ли придумать собственное доказательство, будет ли оно оригинальным или станет повторным изобретением уже известного доказательства, сколько времени потребуется на его получение... В конце концов мы решили рискнуть.

7.3.2. Поиск идеи

По определению многоугольник является ломаной линией, обладающей некоторыми специальными свойствами. Почти очевидно, что в поисках метода следует «отступить назад» и начать изучение многоугольника с изучения ломаных линий.

Начнём с того, что с помощью интерактивной математической среды GeoGebra нарисуем четырёхзвенную ломаную ABC DE и измерим положительно ориентированные углы /.ABC, /.BCD и I.CDE (рис. 25). Пользуясь инструментом «Переместить», подвигаем среднюю вершину С в разных направлениях.

Нетрудно заметить, что величины В, С и D соответствующих углов изменяются по-разному. Если точка движется «на север», то величина С уменьшается, а величины В и D увеличиваются. Если точка движется «на юг», то величина С увеличивается, а величины В и D уменьшается. Если точка движется вдоль отрезка [CD], то величина D не меняется, величина В увеличивается, а величина С уменьшается. Подвигав точку в разных направлениях, мы убеждаемся, что если один из углов увеличивается, то, по крайней мере, один из оставшихся углов уменьшается, и обратно. Такая «противонаправленность» изменений порождает естественный вопрос о том, не компенсируется ли изменение одной из величин противоположным изменением двух оставшихся. Ответом на этот вопрос может служить первое наблюдение: если в строке ввода вычислить сумму величин В, С и D и если перемещения точки «малы», то В + С + D = const. Разумеется, пока мы не знаем, каков геометрический смысл константы и что означает словосочетание «малое перемещение».

Уточним первое наблюдение. Рассмотрим точку С' внутри отрезка [BD] и на луче [СС) отложим точку С" на «небольшом расстоянии», то есть на таком, что отрезок [СС] не имеет общих точек с прямыми (AB) и (DE) (рис. 26). Второе наблюдение расширяет пер-

Рнс. 25. Фрагмент границы.

вое: если точка X движется вдоль отрезка [СС"], то В +X + D = const.

Третье наблюдение многокомпонентно. Во-первых, в тот момент, когда X совпадает с С, происходит вырождение четырёхзвенной ломаной в ломаную с меньшим числом звеньев. Во-вторых, вершина ломаной С становится «фиктивной вершиной» с углом 180° при ней. В-третьих, сумма углов остаётся постоянной вне зависимости от того, с какой стороны движущаяся точка X приближается к точке С. Другими словами, неважно, какая ломаная вырождается в трёхзвенную, то ли ломаная ABC'DE с «выступом» BC"D, то ли ломаная ABCDE со «впадиной» BCD.

Это последнее обстоятельство подсказывает нам основную идею доказательства: спрямлять, когда это можно, границы многоугольника, добавляя при этом фиктивные вершины.

Повторимся: пока мы не знаем, что означает слово «можно» в данном контексте.

Четвёртое наблюдение показывает, что не всё так просто. Например, если в ломаной на рис. 27 перемещать точку С, то мы обнаружим скачкообразное изменение константы В + С + D. Подскок константы является однократным и происходит в тот момент, когда направление изменяющегося отрезка [DC] совпадает с направлением постоянного отрезка [DE]. Это означает, что для корректного применения основной идеи необходимо уточнить все те понятия, ко-

Рис. 26. Постоянство суммы углов.

Рис. 27. Что значит "можно"?

торые в процессе наблюдений пока остались необъяснёнными. Сделаем это.

7.3.3. Необходимые термины и доказательство теоремы

Для дальнейшего изложения полезно рассматривать многоугольник как часть плоскости, ограниченной замкнутой ломаной линией, своего рода остров в океане. Расширим наш географический тезаурус с помощью четырёх точных терминов: мыс, монолитный мыс, бухта, чистая бухта. Хотя эти термины не являются математическими, они будут полезны для дальнейшего доказательства.

Определение 1. Будем говорить, что три последовательные вершины В, С, D многоугольника образуют мыс Ж = BCD, если существует отрытый круг а) с центром в точке С, такой, что пересечение круга а) с открытым треугольником AB CD состоит из внутренних точек изучаемого многоугольника.

Определение 2. Мыс Ж = BCD называется монолитным, если он обладает двумя свойствами: 1) все внутренние точки AB CD являются внутренними точками многоугольника; 2) все внутренние точки отрезка [BD] являются внутренними точками многоугольника.

Невыпуклый четырёхугольник на рис. 28а имеет три мыса: Ж1 = BCD, М2 = СВР и Ж3 = CDP. Первый из них не является монолитным, поскольку точки ABDP не являются внутренними точками многоугольника. Два других мыса являются монолитными. Многоугольник на рис. 286 имеет мыс M = BCD, который не является монолитным, поскольку его монолитность нарушается за счёт отрезка [PQ]. Многоугольник на рис. 28в имеет мыс Ж = BCD, который так-

Рис. 28. Мыс и типы мысов.

же не является монолитным, поскольку его монолитность нарушается за счет точки Р.

Определение 3. Будем говорить, что три последовательные вершины В, С, D многоугольника образуют бухту Ъ = BCD, если существует отрытый круг а) с центром в точке С, такой, что пересечение круга о) с открытым т