А. В. Ястребов

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЕ ОБУЧЕНИЕ МαТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВО «Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского»

А. В. Ястребов

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЕ ОБУЧЕНИЕ МαТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ

Ярославль 2018

УДК 372.851 ББК 74.262.21 Я 85

Печатается по решению редакционно-издательского совета ЯГПУ им. К. Д. Ушинского

Рецензент:

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, профессор кафедры алгебры и математической логики, доктор физико-математических наук Н. В. Тимофеева

Ястребов, А. В.

Я 85 Исследовательское обучение математике в школе. - Ярославль: РИО ЯГПУ, 2018. - 158 с.

ISBN 978-5-00089-240-4

В монографии изложена концепция обучения математике, суть которой отражена в её названии. Даны определения исследовательски ориентированного и исследовательского обучения математике. Показано, как исследовательская ориентация обучения математике может быть реализована в начальной школе, в основной школе и в полной средней школе. Приведена коллекция разнотипных педагогических сценариев, с помощью которых школьники знакомятся с общенаучными методами исследования, повторно, вслед за классиками, изобретают математические теоремы и определения, выполняют полномасштабные личные исследования. В сценариях показано взаимодействие теоретического и экспериментального компонентов математики. Отражён личный опыт автора по руководству исследованиями школьников.

Книга предназначена для всех, кто связан с преподаванием математики: учителей школ, преподавателей вузов, студентов-математиков педагогического образования. Особую целевую группу составляют преподаватели и студенты педагогических вузов.

УДК 372.851 ББК 74.262.21

ISBN 978-5-00089-240-4

© ФГБОУ ВО «Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского», 2018

© Ястребов А. В., 2018

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие......................................... 5

Введение, или Постановка задачи....................... 7

1. Постановка задачи................................... 7

2. Основные определения............................... 11

3. Структура книги..................................... 17

Глава 1. Исследовательский компонент школьных учебников математики.............. 19

1.1. Методы научного исследования или механизмы мыслительной деятельности?......................... 19

1.2. Некоторые типичные упражнения в контексте общенаучных методов исследования.................. 20

1.3. Интеллектуальные задачи с различных точек зрения..... 26

1.3.1. Насыщены ли школьные учебники интеллектуальными задачами?.................. 26

1.3.2. Утилитарная и идейная польза интеллектуальных задач........................ 29

1.3.3. «Дальнодействие» интеллектуальных задач....... 32

1.3.4. Об отношении к интеллектуальным задачам....... 40

1.4. О типологии ориентации процесса обучения............ 42

Глава 2. Исследовательское обучение на уроках математики в основной школе........ 52

2.1. Элементы исследовательской деятельности как фактор освоения базового курса математики.................. 52

2.2. Повторное изобретение теорем на уроках математики .... 60

2.2.1. Школьный материал как передний край науки..... 60

2.2.2. Наблюдение в математике, или Теорема о биссектрисе угла треугольника......... 62

2.2.3. Повторный эксперимент, или Теорема о медианах треугольника................ 67

2.2.4. Противоречивость экспериментальных данных, или Теорема о сумме углов треугольника............. 71

2.2.5. Роль эксперимента в обнаружении теорем-критериев, или Признак параллельности прямых ... 73

2.2.6. О продуктивных сценариях и математических экспериментах.................. 78

2.3. О повторном изобретении определений школьниками .... 79

2.4. Дуалистические свойства математики в школьном курсе: обзор............................................. 86

Глава 3. Большие проекты, или

Внеурочные исследования школьников......... 91

3.1. Принцип отбора исследовательских задач для школьников 91

3.2. Расстояние от точки до геометрической фигуры......... 94

3.2.1. О пловце, береге и расстоянии от точки до фигуры . 94

3.2.2. Измерение расстояний, эквидистанты, равноудаленность............................. 96

3.2.3. Педагогическая рефлексия...................... 108

3.3. Числовая мера разносторонности треугольника......... 108

3.3.1. Постановка задачи............................. 109

3.3.2. Наблюдение и основное определение............. 109

3.3.3. Свойства индексов разносторонности............ 112

3.3.4. В поисках «самого неправильного» треугольника .. 118

3.3.5. Педагогическая рефлексия...................... 123

3.4. Гиперкомплексные числа малых размерностей. Часть 1 .. 123

3.4.1. Предварительные замечания.................... 123

3.4.2. Двумерные алгебры и первая классификационная теорема.............. 125

3.4.3. Типология алгебр и отсутствие «трёхмерных» чисел 128

3.4.3.1. Постановка задачи...................... 128

3.4.3.2. Типология алгебр....................... 129

3.4.3.3. Необходимые леммы.................... 131

3.4.3.4. Доказательство основного утверждения .... 135

3.4.4. Педагогическая рефлексия...................... 136

3.5. Гиперкомплексные числа малых размерностей. Часть 2 .. 139

3.5.1. Первоначальные сведения о гиперкомплексных числах и нестандартные процедуры удвоения...... 139

3.5.2. Таблицы умножения для двукратных удвоений алгебры R.................................... 141

3.5.3. Попарная изоморфность и неизоморфность двукратных удвоений. Классификационный результат 144

3.5.4. Педагогическая рефлексия...................... 148

Заключение.......................................... 151

Приложение. Экспериментально-теоретический стиль

преподавания и изучения математики...... 153

Библиографический список............................ 158

Предисловие

Дорогой читатель! Вы держите в руках книгу с интригующим названием «Исследовательское обучение математике в школе». Она представляет собой продукт серьезных и глубоких размышлений автора, который, насколько мне известно, давно работает над моделированием элементов исследовательской деятельности в учебном процессе.

Педагогическую общественность давно интересует вопрос, какую методику обучения математике в школе следует использовать для того, чтобы сформировать у учащихся опыт исследовательской деятельности? В настоящей книге предпринята попытка ответа на этот вопрос, причём весьма удачная.

Автор предлагает называть обучение математике в школе исследовательски ориентированным, если оно предоставляет учащемуся возможность приобрести первоначальный опыт использования общенаучных методов исследования и тех конкретных умственных действий, которые производят математики-исследователи, приобрести представление об элементах методологии математики, приобрести первоначальный опыт полномасштабного личного исследования в области математики. В то же время автор считает, что неразумно подвергать всех школьников трудностям исследовательского обучения, потому что интересы большинства из них либо лежат вне математики, либо попросту не сформированы. Именно поэтому исследовательское обучение в книге существует как возможность, которая будет использована каждым школьником и каждым учителем в той мере, в какой они захотят и смогут. Для учителя приобщение учеников к исследовательской деятельности не является предписанным, и быть может, недостижимым результатом, а служит естественным ориентиром в его труде.

В книге представлены многочисленные и весьма интересные конкретные педагогические сценарии, в которых описано, как выявить свойства математических исследований в процессе изучения стандартных теорем школьного курса математики. Представлены и некоторые исследовательские проекты, выполненные школьниками под руководством автора. Следует отметить, что результаты этих проектов выходят далеко за рамки стандартного школьного курса математики, что говорит об эффективности развиваемого подхода. Не менее интересен педагогический аспект математических проек-

тов: генезис математических задач, скрупулезное отделение педагогической работы руководителя от математической работы исполнителя, анализ возникавших трудностей и многое другое.

Книга написана прекрасным литературным языком, читать её интересно и познавательно не только с методико-математической точки зрения, чему способствует широкая эрудиция автора. Всем, кто интересуется математикой и методикой ее преподавания, я рекомендую эту книгу.

Заслуженный деятель науки РФ,

лауреат премии Президента РФ в области образования, доктор педагогических наук,

профессор А. Г. Мордкович

Хороший учитель, выбирая подходящие задачи и преподнося их соответствующим образом, может предложить даже среднему классу нечто весьма близкое к самостоятельному исследованию.

Д. Пойа

Введение

1. Постановка задачи

Где-то в религиозных текстах написано, что бог создал человека по своему образу и подобию. Удивительно, но точно так же действуют все люди, так или иначе связанные с воспитанием и образованием. Желая сделать своего ребёнка успешным и полезным членом общества, родители обучают его всему, что знают сами. В частности, они стараются передать ему свой личный опыт творческой деятельности, причём делают это тем настойчивее, чем более серьёзны их собственные успехи. Желая сделать результаты своего педагогического труда возможно более значимыми, учителя активно приобщают своих учеников к разнообразным видам творчества -предметным олимпиадам, конференциям школьников, разнообразным проектам и т.д. Желая внести вклад в развитие науки, профессора вузов и работники академических институтов обучают и воспитывают учёных нового поколения, своих преемников, которые могли бы продолжить развитие научных теорий, направлений, школ.

Такое желание, инстинктивное или осознанное, слабое или сильное, нашло своё отражение в теоретических взглядах на сущность педагогического процесса. Приведём некоторые примеры и попытаемся выделить то общее, что их объединяет. Сразу оговоримся, что мы не ставим целью ни формирование полного списка родственных друг другу педагогических концепций, ни детальное описание их сущности. Для наших целей будет достаточен краткий выразительный список и указание на основной феномен, объединяющий их.

Метод проектов хорошо известен. Его суть состоит в том, что участники проекта решают какую-либо практическую задачу, по ходу работы над которой они определяют, какие дополнительные знания и умения в области математики нужны для достижения результата, затем приобретают их и применяют для решения задачи. В

определённом смысле метод проектов является вполне естественным, потому что он воспроизводит в трансформированном виде деятельность создателей математики. Действительно, потребности государственного управления (налогообложения) привели к практической задаче измерения земельных участков различных форм, а эта задача, в свою очередь, привела к постепенному построению геометрии. Задача описания движений тел привела к постепенному введению в научный обиход ряда конструкций, понятий, теорем и т.д., которые впоследствии образовали дифференциальное исчисление. Задача об изучении свойств искривлённых поверхностей привела к созданию дифференциальной геометрии. История математики даёт огромное количество примеров такого рода, и дело вовсе не в их количестве. Для нас важно, что участники проекта воспроизводят важные черты деятельности исследователей, создателей математики. Те и другие для решения задачи обращаются к специальным математическим знаниям, и разница только в том, что школьники или студенты используют имеющиеся знания, а исследователи создают новые знания. Кратко говоря, исполнители учебного проекта моделируют, с той или иной степенью детализации, исследовательскую деятельность создателей науки.

Если метод проектов является доминирующим методом обучения, то принято говорить о проектном обучении. Оно было широко распространено в первой половине XX века в ряде крупных стран, таких, например, как США и СССР. Доминирование метода проектов означает, что моделирование исследовательской деятельности в учебном процессе рассматривалось, справедливо или нет, как одна из основных форм организации обучения.

Проблемное обучение акцентирует другой аспект исследовательской деятельности. В его основе лежит понятие проблемной ситуации, которая создаётся учителем в процессе обучения и которая разрешается впоследствии в той или иной форме и в той или иной степени. Очевидно, что проблемное обучение воспроизводит в процессе преподавания один из этапов работы математика - постановку задачи. Очевидно также, что такое воспроизведение не является абсолютно точным, потому, например, что математик полностью самостоятелен в постановке решаемых им задач, а школьник или студент попадают в проблемную ситуацию благодаря педагогическому воздействию преподавателя. Таким образом, мы вновь сталкиваемся с моделированием исследовательской деятельности в учебном про-

цессе, осуществляемом с той степенью полноты, которая адекватна возрастным особенностям учащихся и конкретным педагогическим условиям.

Генетический подход «к преподаванию математических дисциплин заключается в том, что методика обучения предмету должна опираться, по мере возможности, на естественные пути и методы познания, присущие соответствующей науке. Обучение должно следовать путям происхождения знания» [27, с. 50]. Разумеется, сформулированная мысль нуждается в разъяснении, уточнении, развитии, в описании конкретных способов её применения и проч. В книге И. С. Сафуанова [27, гл. 3, § 1] описан вклад Ф. В. А. Дистервега, Ф. Клейна, Г.-В. Лейбница, Д. Пойа, А. Пуанкаре, О. Тёплица и ряда других авторов в разработку генетического подхода. Главное, однако, уже сказано: использование генетического подхода к преподаванию математики означает разумное воспроизведение в учебном процессе основных этапов развития математики и соответствующих им способов исследования.

О том же самом говорит современный генетический подход, описанный в [14, с. 45-61]. Этот подход «требует от учителя (а прежде всего от учёных методистов) конструирования моделей такой учебной деятельности, которая была бы подобна научной деятельности» [14, с. 59]. Заранее скажем, что ниже мы будем широко использовать метод конструирования продуктивных моделей учебной деятельности.

Онтогенетический подход к обучению математике, разрабатываемый С. Р. Когаловским, представляет собой современный генетический подход, следующий системе из нескольких положений, взаимно дополняющих друг друга. Два главных положения состоят в следующем. «IV. Продуктивное освоение ведущих строгих понятий требует сообразования с идеей развития, сопровождающегося преображениями способов мыследеятельности, ... освоением новых механизмов понимания» [14, с. 70]. И далее: «V. Наличествующий опыт учащегося, его знания, логика его рассуждений недостаточны для самостоятельного осознания им принципиальной ограниченности возможностей осваиваемых им протопонятий и представляемых ими прототеорий. Столкновение с пограничными ситуациями и осознание учащимся посредством этого необходимости восхождения к строгим понятиям является ... продуктивным ... и природосооб-

разным средством его математического и общего интеллектуального развития» [14, с. 72-73].

Выделенные курсивом фрагменты основных положений говорят о том, что онтогенетический подход концентрируется на воспроизведении в учебном процессе такого специфического аспекта деятельности математика, каким является создание точных определений сложных математических понятий. Это вполне естественно, потому что появление нового раздела математики невозможно без его основного понятия, определённого достаточно строго.

Ряд крупных математиков, одновременно являющихся специалистами в области педагогики математики, придерживается идеи о взаимосвязях процесса исследования и процесса обучения. Например, X. Фройденталь предлагает пользоваться методом «переоткрытии», который он считает разновидностью сократовского метода: «Я хотел бы считать, что в ходе обучения изучаемое как бы создаётся или открывается заново. Поэтому факты не преподносятся в готовом виде, и школьник прослеживает их возникновение» [30, с. 77]. Разумеется, не всё так просто, и высказанная основная мысль нуждается в уточнении: «Переоткрытие» в сократовском методе не следует понимать буквально: оно не настоящее, а стимулированное... Инициатива в сократовском методе принадлежит учителю. Он не только помогает ученику, он показывает, как происходит «переоткрытие», излагает его ученику» [30, с. 78].

Ярким или даже непревзойдённым пропагандистом исследовательской деятельности учащихся является Д. Пойа. Не только содержание, но и структура его книг и логика названий подчёркивают основное направление его мысли. Так, одна из глав книги [4] «Математическое открытие» называется «Догадка и научный метод» и включает в себя параграф «Научно-исследовательская работа на уровне средней школы», который содержит ключевую мысль, ставшую эпиграфом: «Хороший учитель, выбирая подходящие задачи и преподнося их соответствующим образом, может предложить даже среднему классу нечто весьма близкое к самостоятельному исследованию». Впрочем, изолированная цитата не даёт ответа на вопрос о том, какая задача является «подходящей» и какой метод работы с нею является «соответствующим».

Итак, мы имеем несколько подходов к преподаванию, возникших у разных авторов, в разное время и под влиянием разных причин, которые, тем не менее, говорят примерно об одном и том же -

о целесообразности воспроизведения в учебном процессе тех или иных аспектов исследовательской деятельности в области математики. Попытаемся извлечь некоторые выводы из всего вышесказанного. Это тем более необходимо, что выявленная нами «мозаичная целостность» теоретических взглядов указывает на некое противоречие.

С одной стороны, основная идея достаточно широко распространена в педагогическом сообществе и стала привычной, а для части учителей и преподавателей вузов она стала прямым руководством к действию. Мы знаем, что существуют специализированные учебно-научные центры (СУНЦы), например, в Москве и Новосибирске. Несколько десятилетий назад появились научные конференции школьников, например, «Колмогоровские чтения» (СУНЦ МГУ, Москва), Российская конференция «Открытие» (Ярославль) и ряд других. Сами термины «исследовательское обучение», «исследовательский подход к обучению» и т.п. достаточно прочно вошли в обиход математиков-методистов. Например, в книге [31, разд. 1.3] подробно описана история становления и развития идей исследовательского подхода к обучению математике в России и за рубежом. Наконец, основная идея проникла в нормативные документы. Так, Федеральный государственный образовательный стандарт общего образования определяет необходимость формирования у учащихся опыта исследовательской деятельности.

С другой стороны, сама многочисленность родственных подходов, отличающихся, тем не менее, друг от друга, позволяет считать, что ни один из них не разработан достаточно подробно и вряд ли может претендовать на универсальность, понимаемую в том или ином смысле. Во всяком случае, ни одна «линейка» школьных учебников не декларирует, что использующие её дети пройдут исследовательское обучение.

Так перед нами возникает следующая Задача: какую методику обучения математике в школе следует использовать для того, чтобы сформировать у учащихся опыт исследовательской деятельности?

В настоящей книге предпринята попытка её решения.

2. Основные определения

Приступая к решению сформулированной задачи, мы начнём с одного наблюдения чисто литературного характера: в имеющихся сочинениях достаточно трудно найти формальные, компактные, ло-

кализованные в тексте определения подходов, упомянутых выше. Приходится читать многие и многие страницы для того, чтобы понять, что же представляет собой обсуждаемый подход. Например, описание исследовательского обучения в книге [31] занимает 26 страниц, однако читателю весьма трудно извлечь из текста точное определение. Справедливости ради скажем, что поиск кратких и точных определений, да ещё в гуманитарной области, представляет собой чрезвычайно трудную, а быть может, и неразрешимую задачу. Тем не менее, постановка такой задачи неизбежна. По нашему глубокому убеждению, краткие, отчётливые, подобные математическим определения нужны хотя бы для того, чтобы стать объектом дальнейшего усовершенствования, даже если в процессе анализа и обсуждения они подвергнутся метаморфозам или будут отвергнуты.

Методологическим фоном наших представлений об исследовательском обучении в школе служит определение науки: «Наука -сфера человеческой деятельности, функцией которой является выработка и теоретическая систематизация объективных знаний о действительности... Понятие науки включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и результат этой деятельности - сумму полученных к данному моменту научных знаний...» [18]. (Если не оговорено противное, то курсив в цитатах принадлежит автору. - А.Я.) Из этого определения вытекает естественное требование к математическому образованию: обучение математике должно быть ориентировано, причём одновременно и в равной мере, как на передачу системы математических знаний, так и на формирование умений и навыков исследовательской деятельности внутри математики.

Психологическим фоном наших представлений об исследовательском обучении в школе служат два положения: о «трёхсубъектности» педагогического процесса и о его субъектно-объектном дуализме. Первое из них означает, что в педагогическом процессе участвуют три субъекта: учитель, ученик, понимаемый как индивидуальный субъект, и класс, понимаемый как коллективный субъект. Второе положение означает, что каждый из участников одновременно является и субъектом педагогического процесса со своими ценностями, приоритетами, целями и проч., и объектом воздействия со стороны других участников. Успешность процесса обучения в целом обусловлена адекватностью целенаправленных действий каждого участника-субъекта, восприимчивостью каждого участни-

ка-объекта к внешним воздействиям и правильной реакцией каждого участника на внешние воздействия. Такая точка зрения излагалась автором в ряде работ, например, в диссертации [32] или статье [45].

Мы рискнём и сразу сформулируем наши взгляды на исследовательское обучение математике в школе. Они будут выражены в виде двух определений и их последующего обсуждения.

Определение 1. Обучение математике в школе называется исследовательски ориентированным, если оно предоставляет следующие возможности:

1) приобрести первоначальный опыт использования общенаучных методов исследования;

2) приобрести первоначальный опыт использования тех конкретных умственных действий, которые производят математики-исследователи;

3) приобрести представление об элементах методологии математики;

4) приобрести первоначальный опыт полномасштабного личного исследования в области математики.

Определение 2. Обучение математике конкретного школьника называется исследовательским, если в отношении этого школьника реализована каждая из возможностей, перечисленных в определении 1.

Дадим некоторые пояснения, касающиеся взаимосвязей этих двух определений и детализирующие первое из них.

Начнём с того, что отметим очевидное, но важное обстоятельство: определяемые объекты различны, хотя и родственны друг другу. Исследовательски ориентированное обучение существует как возможность, предоставляемая школой, и как каждая возможность, она может быть использована, не использована или использована частично. В отличие от этого, исследовательское обучение представляет собой уже реализованную возможность. Например, исследовательски ориентированное обучение класса может быть исследовательским по отношению к ученику NN и не быть таковым по отношению к ученику XX.

Отметим менее очевидное, но не менее важное обстоятельство: обсуждаемые виды обучения относятся к разнотипным субъектам. Согласно определению 1, исследовательски ориентированное обучение математике осуществляется в школе, то есть касается не

только того или иного индивидуального субъекта, но и коллективного субъекта - класса в целом. В отличие от этого, исследовательское обучение всегда относится к конкретному школьнику, наделённому, как правило, теми или иными позитивными качествами: математическими способностями, интересом к творчеству, любознательностью и т.п.

Отмеченные обстоятельства влекут за собой ряд следствий.

Во-первых, обучение класса в целом вряд ли может быть исследовательским, даже если исследовательская ориентация обучения грамотно спланирована и удачно реализована. Планирование «суперрезультата» было бы нереалистичным и главное - ненужным, поскольку интересы большей части класса либо лежат вне математики, либо просто не сформированы. Другое дело - предоставление возможностей. Конкретный учитель реализует эти возможности в той форме и в том объёме, который адекватен потребностям и способностям класса. Конкретный ученик реализует их в той форме и в том объёме, который адекватен его личным потребностям.

Во-вторых, перечисляя возможности исследовательски ориентированного обучения, мы говорим обо всём очень осторожно: опыт личного исследования первоначальный, а не обширный или многосторонний; представление об отдельных элементах методологии математики, а не о методологии в целом и тем более не о регулярном изучении методологии; и т.д. Такой подход является гибким и предоставляет учителю возможности уровневой дифференциации в реализации исследовательской ориентации обучения. Кроме того, он позволяет избежать погони за предписанным и, быть может, недостижимым результатом, позволяет избежать имитации исследовательской деятельности вместо реальной деятельности.

В-третьих, обсуждаемые виды обучения должны охватывать как регулярные, повседневные уроки, так и внеурочную творческую деятельность учащихся. Без исследовательски ориентированных заданий, предлагаемых классу в целом, невозможно выявить учащихся, предрасположенных к занятиям математикой. Без творческих заданий, выполняемых во внеучебное время, невозможно приобрести личный опыт исследовательской деятельности.

В-четвёртых, и это главное, исследовательски ориентированное обучение должно охватывать весь период обучения в школе. Оно не может закончиться в 9-м классе, потому что у школьника не будет возможности провести полномасштабное личное исследова-

ние в области математики. Оно не может начаться в 10-м классе и состоять из подготовки к конференции или из выполнения проекта, потому что дефицит времени не позволит познакомиться ни с общенаучными методами исследования, ни с элементами методологии математики. Для организации исследовательски ориентированного обучения важны все педагогические ресурсы: младшие, средние и старшие классы школы, урочная и внеурочная деятельность, наблюдение за действиями учителя и личные действия...

Поясним теперь, что подразумевается под отдельными пунктами определения 1.

Говоря об общенаучных методах исследования, мы имеем в виду их канонический набор: анализ и синтез; конкретизацию, обобщение и абстрагирование; индукцию и дедукцию; аналогию; сравнение; классификацию. Добавим сюда два естественнонаучных метода - наблюдение и эксперимент, которые стали доступны на уроках математики благодаря появлению интерактивных математических сред. Заметим, что никакой список такого рода не является полным, так что учителю придётся сознательно ограничить себя неким педагогически целесообразным перечнем.

Говоря об умственных действиях математика-исследователя, мы руководствуемся здравым смыслом и, в качестве фона, сведениями из истории математики. Очевидно, что математики формулируют новые задачи, причём как для себя лично, так и для математического сообщества. Очевидно также, что они решают задачи. В процессе решения им приходится формулировать гипотезы, которые после проверки их истинности либо отвергаются, либо приобретают статус теорем. Попросту говоря, математики формулируют и доказывают теоремы. Процесс решения сложной задачи редко бывает неделимым, «атомарным» актом, поэтому математикам приходится отыскивать последовательности вспомогательных задач. Обобщённо говоря, им приходится планировать свою деятельность. Наконец, математикам приходится изобретать новые определения для обозначения и формализации тех явлений, с которыми им приходится сталкиваться. Повторимся: никакой список умственных действий математика-исследователя не является полным, так что учителю придётся сознательно ограничить себя неким педагогически целесообразным перечнем.

Говоря о методологических знаниях, мы налагаем на них требование минимальной достаточности. С одной стороны, они долж-

ны быть достаточными, то есть давать представление о методологии математики, адекватные уровню первоначального знакомства с ними. С другой стороны, из всех возможных достаточных наборов знаний следует выбрать тот из них, который минимален по объёму и наиболее прост по содержанию. Речь может идти об общих свойствах математики, не зависящих ни от области математических исследований, ни от уровня исследований, ни от исторического периода развития математики. Перечни таких свойств могут быть различными. Мы будет ориентироваться на простую систему из четырёх дуалистических свойств математики, изложенную в работах [33] или [40]. Там же приведено теоретическое обоснование каждого из них и показана возможность их использования для конструирования конкретных педагогических сценариев.

Математике присущ деятельностно-продуктивный дуализм. Это означает, что понятие математики включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и продукт этой деятельности - сумму полученных к данному моменту математических знаний.

Математике присущ эмпирико-теоретический дуализм источников её развития. Это означает, что существует два типа движущих идей современной математики: идеи естественнонаучного, эмпирического происхождения и теоретические идеи, появившиеся внутри математики.

Математике присущ личностно-социальный дуализм. Это означает, что имеют место несколько дополняющих друг друга фактов: (а) каждый математический результат изобретается лично тем или иным конкретным математиком; (б) математика может существовать только благодаря наличию особого социального института - научного сообщества; (в) изобретённый результат становится фактом науки только в результате его принятия научным сообществом; (г) процесс принятия нового результата включает в себя обмен информацией о содержании нового результата и различные виды экспертных оценок.

Математике присущ индуктивно-дедуктивный дуализм. Это означает, что природа умозаключения в математике является одновременно и индуктивной, и дедуктивной. Интуиция, основанная на индуктивных умозаключениях, служит средством первичного получения результата, а логика, основанная на дедукции, служит средством его строгого обоснования.

Говоря о личном опыте математического исследования, мы подразумеваем решение учащимся серьёзной математической задачи с последующим сообщением на конференции школьников, разработку проекта в области математики или прикладной математики, постановку математического эксперимента и т.д. Попросту говоря, мы говорим о буквальной реализации пункта 4 определения 1.

Итак, если руководствоваться определениями 1 и 2, то организация исследовательского или исследовательски ориентированного обучения математике в школе превращается в объёмную, сложную и серьёзную педагогическую задачу. Как каждая серьёзная задача, она порождает ряд отрезвляющих вопросов. Разрешима ли эта задача хотя бы в принципе? Если да, то не окажется ли процесс решения чересчур затратным, не потребует ли он чрезмерного напряжения сил учителя или большинства школьников? Как согласуются высокие цели и существующий стандарт образования, достаточно бедный? Как преобразовать материал школьных учебников к той форме, которая будет формировать у учащихся исследовательские умения?...

К счастью, ответы на эти и подобные им вопросы являются положительными, и в основной части книги мы попытаемся доказать это. К счастью, и содержание многих школьных учебников, и практика их использования во многом являются исследовательски ориентированными, хотя и не декларируют это в явной форме.

3. Структура книги

Три главы книги относятся к начальной школе, основной школе и полной средней школе соответственно.

В первой главе показано, что многие учебники по математике позволяют без специальных усилий реализовать некоторые из тех возможностей, о которых говорится в определении исследовательски ориентированного обучения. Так, некоторые учебники для начальных классов активно приобщают школьников к применению общенаучных методов исследования.

Во второй главе предложена система педагогических сценариев, с помощью которых целый ряд теорем и определений может быть повторно, вслед за классиками, изобретён учащимися. При описании этих сценариев мы руководствовались двумя требованиями: а) теорема или определение должны быть выбраны из базового, регулярного курса школьной математики; б) описание сценария

должно содержать способ переработки традиционного сценария, предусмотренного учебником, в продуктивный сценарий нужного нам типа. Мы надеемся, что применение предлагаемого нами способа дидактической обработки математического материала будет использовано читателями в отношении других теорем и определений школьного курса.

В третьей главе предложено описание некоторых больших проектов, выполненных школьниками под руководством автора. В этом описании предпринята попытка не только представить конечный математический результат, но и описать процесс его получения, отделив педагогическую работу руководителя от математической работы исполнителя.

В Приложении описаны базовые утверждения экспериментально-теоретического стиля преподавания и изучения математики. Рассмотрение экспериментального компонента математики оказалось необходимым в связи с тем, что многие классические результаты школьного уровня были получены экспериментальными методами.

Глава 1

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ КОМПОНЕНТ ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКОВ МАТЕМАТИКИ

Вопросы преподавания важны прежде всего сами по себе, а затем и по другим причинам: размышлять о том, каким образом лучше всего внедрить новые понятия в девственный ум ребёнка, - значит в то же время размышлять о том, каким образом эти понятия были приобретены нашими предками; значит, следовательно, размышлять об их истинном происхождении, а это, по существу, значит размышлять об их истинной природе.

А. Пуанкаре

В главе показано, что школьные учебники по математике насыщены упражнениями, выполнение которых заставляет учащихся активно применять общенаучные методы исследования. Появившись в первом классе, такие упражнения на протяжении ряда лет составляют педагогически значимое множество. Выработанные в процессе их решения умения и навыки являются одной из основ успешного овладения математикой в старших классах и первым шагом в реализации исследовательской ориентации обучения

1.1. Методы научного исследования или механизмы мыслительной деятельности?

Очевидно, что в результате изучения математики в сознании учащегося должен возникнуть её образ, обладающий многосторонней адекватностью. С одной стороны, он должен быть адекватен возможностям человека данного конкретного возраста и данного уровня интеллекта. С другой стороны, он должен отражать важные, желательно, характеристические свойства математики. В частности, это означает, что учащийся должен получить представление о тех общих методах научного исследования, которые используются в математике.

На первый взгляд, эта задача чересчур трудна для того, чтобы возлагать её решение на школу. Действительно, с формальной точки зрения необходимо сформировать у школьников представление о науке и проводимых в ней исследованиях, сформировать представление о методе исследования, дать характеристику каждому из об-

суждаемых методов и, возможно, пролить свет на их общенаучный характер. При такой формулировке задачи решить её в школе действительно трудно, а то и невозможно. Покажем, что этого и не нужно делать!

Хорошо известно, что наука создаётся как совокупный результат работы отдельных учёных. Об этом говорят утвердившиеся в истории математики названия многих десятков именных объектов: аксиома Архимеда, теорема Фалеса, алгоритм Евклида... Это означает, что Архимед, Фалес, Евклид и другие учёные (имя им - легион) анализировали, синтезировали, сравнивали, классифицировали и т.д., то есть проделывали все те умственные действия, которые мы теперь называем общенаучными методами исследования. Другими словами, методы научного исследования одновременно выступают как механизмы мыслительной деятельности конкретного человека.

Можно с уверенностью утверждать, что исследователи выполняли эти действия задолго до того, как сами термины «анализ», «синтез» и т.д. были ведены в науку. Это обстоятельство подсказывает нам полезную идею: можно обучать детей использованию механизмов мыслительной деятельности - анализу, синтезу и т.д. - не обременяя их теоретическими знаниями, излишними в юном возрасте.

Ниже мы покажем, что эта идея действительно полезна. Более того, она реализуется в ряде школьных учебников, начиная с начальной школы.

1.2. Некоторые типичные упражнения в контексте общенаучных методов исследования

Приведём несколько простых упражнений для начальной школы и покажем, что для их выполнения приходится использовать широкий набор общенаучных методов исследования.

Задача 1. Разложите в две коробочки фигурки, изображённые на рис. 1. Объясните, почему вы разложили их именно так.

Обсуждение. Поначалу с помощью наводящих вопросов учителя, а потом и самостоятельно, школьник начинает понимать, что лежащая перед ним картинка состоит из нескольких предметов. Предметы эти разноцветны, либо красные, либо синие. Предметы имеют разные размеры, потому что среди них есть и большие, и маленькие. Наконец, предметы имеют разную форму, а именно, форму

кружков и форму квадратиков. Так целостная, синкретическая картинка разбивается на отдельные объекты, причем каждый объект приобретает индивидуальные характеристики - цвет, размер и форму. Очевидно, что учащийся произвёл анализ.1

В процессе решение задачи рано или поздно будет выполнено её требование - разбиение фигурок на две разные группы. Этих двух групп не было в условии задачи, следовательно, они представляют собой некую новую сущность, сконструированную на основе

Буквы внутри фигурок означают цвета: К - красный, С - синий.

Рис. 1. Сортировка фигур

1 Анализ - это совокупность мыслительных операций, состоящая в разложении изучаемого объекта на характерные для него составные элементы, выделении в нем отдельных свойств, изучении каждого элемента или свойства объекта в отдельности.

проведённого анализа. Очевидно, что новая сущность была сконструирована в процессе синтеза.2

Естественно считать, что анализ и синтез - неизбежные компоненты процесса решения любой задачи. Действительно, трудно представить себе задачу, которая могла бы быть решена без осмысления её условия в той или иной форме, то есть без расчленения условия на составные части, то есть без анализа, а само наличие требования задачи предполагает проведение синтеза. На этом фоне гораздо интереснее понять, какие умственные действия лежат в основе анализа и синтеза.

В нашем случае естественно считать, что анализ производится при помощи операции сравнения.3 Действительно, фигурки бывают большие и маленькие (сравнение размеров), красные и синие (сравнение цветов), круги и квадраты (сравнение форм). Конечно, такой способ сравнения можно счесть примитивным, потому что он представляет собой простую констатацию различий. Однако здесь вряд ли стоит говорить о примитивизме, потому что сравнение производится по разным признакам, причём практически одновременно. Кроме того, заметим, что первые опыты сравнения не могут не быть простыми.

Когда школьники поняли, что каждая фигурка обладает тремя свойствами, то раскладывание фигурок по коробочкам производится относительно просто. Например, в одну коробочку кладутся БОЛЬШИЕ фигурки, а в другую - МАЛЕНЬКИЕ. Такой способ распределения означает, что из трёх свойств фигурок - цвет, размер и форма - главным свойством считается размер, а цвет и форма считаются свойствами второстепенными. Естественно, что второстепенными свойствами пренебрегают, отбрасывают их, а раскладывание по коробочкам производят на основе главного свойства. Так школьники совершают логический приём абстрагирования4

2 Синтез - это совокупность мыслительных операций, состоящая в соединении элементов или свойств изучаемого объекта, полученных при анализе, в установлении взаимосвязей между частями и получении знания об этом объекте как о едином целом.

3 Сравнение - это мыслительная операция, состоящая в установлении сходных и различных свойств в предметах и явлениях.

4 Абстрагированием - это логический приём, состоящий в отделении общих существенных свойств ... от прочих несущественных или необщих свойств рассматриваемых предметов ... и отбрасывании последних.

Чрезвычайно важно, что наша задача имеет ещё два решения, то есть предполагает возможность других способов абстрагирования. Так, если главным свойством фигурок считать цвет, то они распределятся на КРАСНЫЕ и СИНИЕ, а если главным будет признана форма фигурок, то они распределятся на КРУЖКИ и КВАДРАТИКИ.

Очевидно, что каждая фигурка попадёт хотя бы в одну коробочку и что ни одна фигурка не может лежать в двух коробочках одновременно. Это означает, что школьник произвёл классификацию5 фигурок по тому или иному признаку. Выбор главного свойства, на основании которого произведено раскладывание по коробочкам, является выбором основания классификации.

Итак, мы видим, что в процессе решения простой задачи школьник совершил умственные действия весьма высокого уровня: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, классификацию. Другими словами, он применил пять из десяти общенаучных методов исследования.

Приведём другие задачи и подвергнем их анализу той же идейной направленности, что и анализ задачи 1.

Задача 2. На рис. 2 изображено несколько фигурок. Какую фигурку следует поставить вместо знака вопроса? В какой цвет её следует покрасить?

Обсуждение. Поначалу с помощью наводящих вопросов учителя, а потом и самостоятельно, школьник начинает понимать, что лежащая перед ним картинка состоит из девяти разноцветных предметов. Первая строка состоит из красных предметов, а вторая -из синих. Вероятно, третья строка тоже состоит из одноцветных предметов. Два из них имеют зелёный цвет, следовательно, третий предмет тоже должен быть зелёным.

В первой строке расположены три разнотипные фигурки: круг, квадрат и треугольник. Во второй строке тоже расположены разнотипные фигурки, причём те же самые, правда, в другом порядке. Вероятно, в третьей строке должны быть расположены те же самые

5 Классификацией математических объектов из множества А называется разбиение множества А на классы, то есть выделение семейства непустых подмножеств, обладающего следующими свойствами: 1) каждый объект из множества А попадает хотя бы в одно из подмножеств семейства; 2) два различных подмножества семейства не имеют общих элементов.

Буквы внутри фигурок означают цвета: К - красный, С - синий, 3 - зелёный.

Рис. 2. Недостающая фигура

фигурки. Треугольник и квадрат уже лежат, следовательно, недостающий предмет является кругом.

Итак, вместо знака вопроса следует поставить зелёный круг.

Очевидно, что в процессе решения задачи школьник дважды применил рассуждение по аналогии.6 Первый раз это было сделано в отношении цвета строки, а второй раз - в отношении компонентного состава строки. С помощью аналогии было сделано обобщение.7 Наконец, в рассуждении присутствовал элемент дедукции,8 который лингвистически выражается словом «следовательно».

Вновь мы видим, что в процессе решения простой задачи школьник совершил умственные действия весьма высокого уровня:

6 Аналогия - это умозаключение, в котором на основе сходства объектов в некоторых свойствах и отношениях высказывается суждение о сходстве этих объектов в других свойствах и отношениях.

7 Обобщением называется логический приём, состоящий в переходе от единичного к общему или от менее общему к более общему.

8 Дедукция - логическое умозаключение от общего к частному, от общих суждений к частным или другим общим выводам.

аналогию, обобщение, дедукцию. Другими словами, он применил ещё три из десяти общенаучных методов исследования.

Задача 3. Продолжите раскраску бус у первого человечка на рис. 3. У второго человечка покрасьте бусы так же, как и у первого.

Обсуждение. Часть бус у первого человечка уже покрашена. Бусинки покрашены в два цвета, которые следуют один за другим: красный-синий-красный-синий. Нужно просто продолжить эту последовательность и оставшиеся бусинки, начиная с пятой, покрасить в такие же цвета: красный-синий-красный-синий.

Очевидно, что здесь мы рассуждаем по аналогии. Можно сказать, что рассуждение по аналогии производится с помощью неполной индукции.9

Раскрашивая бусы у второго человечка, мы применяем рассуждение по аналогии в чистом виде, потому что берём ту же са-

Буквы внутри фигурок означают цвета: К - красный, С - синий.

Рис. 3. Раскраска бус

9 Индукция - логическое умозаключение от частных, единичных случаев к общему выводу, от отдельных фактов к обобщениям. Неполная индукция -умозаключение, логический приём мышления, в результате которого информация о некоторых элементах множества распространяется на все элементы множества или на множество в целом.

мую последовательность цветов.

Таким образом, в данной задаче мы использовали ещё один общенаучный метод исследования - индукцию.

Задача 4. Поставьте вместо звёздочек такие цифры, чтобы неравенство * 2 > 8 * оказалось верным.

Обсуждение. На момент решения этой задачи школьники знают правило сравнения многозначных чисел. Применяя это правило к двум двузначным числам, ученик понимает, что вместо первой он может поставить только две цифры, 8 или 9. Если поставить 8, то по тому же правилу вместо второй звёздочки можно поставить только две цифры, 1 и 0. Так мы получим два решения, 82 > 81 и 82 > 80. Если же вместо первой звёздочки поставить 9, то вместо второй можно поставить любую цифру. Так мы получим ещё десять решений: 92 > 80, 92 > 81, ... 92 > 89.

Применение общего правила к конкретным объектам является полномасштабной дедукцией. Благодаря ей для каждой звёздочки были выбраны те конкретные значения цифр, которые следует подставить вместо них. Другими словами, школьник провёл операцию конкретизации.10

Все вышеприведённые рассуждения позволяют сделать общий вывод: несложные задачи, типичные для начальной школы, приобщают учащихся к применению широкого спектра общенаучных методов исследования.

Ниже мы покажем, что выявленное обстоятельство имеет далеко идущие последствия и содержит в себе большие позитивные возможности для организации исследовательски ориентированного обучения школьников.

1.3. Интеллектуальные задачи с различных точек зрения

1.3.1. Насыщены ли школьные учебники интеллектуальными задачами?

Сколь бы хороши и выразительны ни были подобранные выше задачи, они не окажут желаемого эффекта, если количество подобных задач будет незначительным. Для того чтобы воздействие группы задач стало заметным, их количество должно быть достаточным для длительного и систематического решения, их сюжеты

10 Конкретизацией называется логический приём, состоящий в переходе от более общего к менее общему или от общего к единичному.

должны быть разнообразны, их сложность должна варьироваться и проч.

Покажем, что некоторые учебники математики для начальной школы содержат многочисленные задания, для выполнения которых школьнику придётся использовать общенаучные методы исследования. Для краткости речи будем в дальнейшем называть их интеллектуальными задачами.

Для примера мы рассмотрели книгу [20], которая представляет собой одну из четырёх частей учебника для первого класса. Прежде всего, мы выяснили, что предметной основой интеллектуальных задач являются либо рисунки, либо числа и действия с ними, либо геометрические фигуры. Кроме того, мы подсчитали количество интеллектуальных задач и их распределение по страницам учебника и по предметной основе. Результаты подсчётов представлены в таблице 1.

Таблица 1. Распределение интеллектуальных задач

Страницы

1-5

6-10

11-15

16-20

21-25

26-30

31-35

Рисунки

9

10

9

3

9

5

3

Арифметика

1

4

8

6

Геометрия

2

1

3

1

1

1

ВСЕГО

11

11

12

4

14

14

10

Страницы

36-40

41-45

46-50

51-55

56-60

61-65

Всего

Рисунки

1

1

3

1

54

Арифметика

11

11

11

11

6

3

82

Геометрия

3

2

1

2

4

21

ВСЕГО

15

14

14

11

9

7

157

Прежде всего, таблица показывает, что общее число интеллектуальных задач равно 157. Такое количество, приходящееся на первую четверть учебного года, следует считать достаточно большим. Видно также, что основная часть задач носит арифметический характер, несколько меньшая часть задач предполагает работу с рисунками, а остальные задачи - с геометрическими фигурами (рис. 4).

Кроме того, интеллектуальные задачи достаточно равномерно распределены по тексту учебника с западением в первой трети и некоторым уменьшением в его конце (рис. 5).

Наконец, распределения разнотипных задач несколько отличаются друг от друга. Задачи о рисунках достаточно широко пред-

ставлены в первой трети учебника, а затем их количество уменьшается практически до нуля. Арифметические задачи, напротив, поначалу отсутствуют, затем их количество постепенно нарастает, а с середины учебника они становятся доминирующими, причём распределены равномерно. Геометрические задачи немногочисленны и равномерно распределены по тексту учебника (рис. 6).

Рис. 4. Предметная основа интеллектуальных задач

Рис. 5. Распределение интеллектуальных задач

Рис. 6. Распределение интеллектуальных задач в зависимости от предметной основы

Такое сочетание различных распределений представляется вполне естественным. Действительно, работа с рисунками позволяет школьникам решать интеллектуальные задачи до того, как началось изучение собственно арифметики. Однако рисунки не могут составлять основное содержание курса математики, поэтому они постепенно заменяются числами и действиями с ними. При этом работа с геометрическими фигурами служит фоном, не слишком интенсивным, но достаточно интенсивным.

Проведённый анализ позволяет сделать следующий вывод. Автор учебника [20] сознательно поставил во главу угла решение интеллектуальных задач. Благодаря этому уже в начальной школе создаётся основа для приобретения первоначального опыта использования общенаучных методов исследования. Тем самым реализуется первый пункт определения исследовательски ориентированного обучения.

1.3.2. Утилитарная и идейная польза интеллектуальных задач

Основная функция интеллектуальных задач указана в выводе предыдущего раздела. Опишем теперь некоторые другие эффекты, которые производит процесс решения таких задач.

Утилитарная, сиюминутная польза интеллектуальных задач состоит в том, что их сюжеты допускают постановку многочисленных дополнительных вопросов. Для примера обратимся к задачам 1-4 из раздела 1.2, поставим к ним дополнительные вопросы и обсудим возможные ответы на них.

Задача 1 (о разложении фигурок по коробочкам, рис. 1).

1) Сколько квадратов изображено на рисунке?

2) Сколько красных фигур изображено на рисунке?

3) Каких фигур на рисунке больше, больших или маленьких?

4) Каких фигур на рисунке больше, красных или синих?

5) Каких фигур на рисунке больше, маленьких синих фигур или красных квадратов?

Первые два вопроса относительно просты, потому что связаны с пересчётом фигур из некоторого ряда. «Изюминка» вопросов состоит в том, что в процессе пересчёта школьнику придётся неоднократно и быстро (!) распознавать основной признак фигуры и абстрагироваться от двух других признаков.

Третий вопрос чуть сложнее, потому что требует пересчёта фигур в двух рядах. Впрочем, школьник может воспринять его как весьма простой, поскольку «сразу видно», что больших фигур всего три, а маленьких фигур много.

Четвёртый вопрос достаточно сложен, потому что требует пересчёта фигур в двух рядах и последующего сравнения результатов. К тому же каждый из рядов наделён определённой структурой, и структуры эти различны. Ряд красных фигур состоит из четырёх компонентов: маленькие красные круги, маленькие красные квадраты, большой красный круг, большой красный квадрат. Ряд синих фигур состоит из трёх компонентов: маленькие синие круги, большой синий круг, маленький синий квадрат. Разумеется, школьник не рассуждает таким способом, как описано в данном тексте, однако выявленная нами сложность незримо присутствует в процессе решения и «мешает» ему.

Пятый вопрос, с нашей точки зрения, ещё сложнее. Во-первых, при подсчёте маленьких синих фигур придётся «отбраковать» большой синий круг, а при подсчёте красных квадратов - все красные круги, и большие, и маленькие. Во-вторых, и это главное, школьник столкнётся с «вопросом-провокацией», потому что результаты подсчётов окажутся одинаковыми.

Разумеется, в процессе обсуждения рис. 1 можно поставить и другие вопросы, однако дело не в их количестве или сложности. Главное состоит в том, что в подсознание (а затем и в сознание) школьника закладывается представление о том, что любая решённая задача порождает новые и подчас непростые вопросы. Другими словами, всё происходит точно так же, как в «высокой» науке.

Задача 2 (о поиске неизвестной фигурки, рис. 2). По поводу задачи 2 мы поставим вопросы не столько учебного, сколько «идейного» характера.

1) Можно ли ставить задачу 2 перед дальтоником или перед слепым человеком?

2) Как будут решать задачу 2 такие люди?

Ответы в достаточной мере понятны. Вопрос о цвете искомой фигурки становится бессмысленным. Для слепого фигурки, повидимому, должны быть закреплены на плоскости. Остальная часть решения не претерпит изменений.

Разумеется, вопросы о дальтонизме или слепоте могут показаться, и оказаться в действительности, грубоватыми и неприемлемыми для школьников младших классов. К счастью, вопрос может быть переформулирован в игровой форме: «А как бы решила задачу твоя умная собака, которая не различает цветов?»

Главное состоит в том, что приемлемость или неприемлемость задачи и характер её решения зависят от личных свойств и предшествующего опыта человека, которому она предназначена.

В этой связи интересен анекдотический случай, который произошёл в процессе обсуждения задачи 2 с магистрантами педагогического университета. Одно из предложенных решений звучало так: искомой фигуркой является круг, потому что расположение остальных фигур симметрично относительно главной диагонали. Пришлось объяснять магистрантам, что они «испорчены» тщательным изучением линейной алгебры, в результате которого они знают понятия матрицы, её главной диагонали, её побочной диагонали, симметрической матрицы, кососимметрической матрицы и т.д.

Задача 3 (о раскраске бус, рис. 3). Выше мы выяснили, что бусы второго человечка должны быть раскрашены в такие цвета:

красный-синий-.. .-красный-синий.

Будет ли правильным другой ответ:

синий-красный-.. .-синий-красный?

С одной стороны, он неверен, потому что у первого человечка ниже руки расположена красная бусинка, а у второго - синяя, в результате чего раскраски являются различными. С другой стороны, человечки могут положить бусинки на пол и уйти. Раскраска бус при этом не изменится, однако обе нитки бус окажутся почти неотличимыми друг от друга, потому что последовательность цветов будет зависеть от того, с какой стороны нитки мы начнём перечисление цветов. Если же человечки свернут нитки бус в кольца, как это и положено, то раскраски станут полностью идентичными.

Этот пример показывает, что оценка правильности или неправильности ответа часто зависит от точности формулировок и привходящих обстоятельств. Вновь мы видим, что всё происходит точно так же, как в «высокой» науке.

Задача 4 (об истинности неравенства). Конструируя истинные неравенства на основе структуры * 2 > 8 *, мы получили 12 решений, то есть очень много. А сколько решений мы получим, если попытаемся сконструировать истинные неравенства на основе структуры 1) * 2 > 9 *; 2) * 1 > 9 *; 3) * 0 > 9 * ?

Несмотря на чрезвычайно большое сходство между исходной задачей и заданиями 1)-3) нашего дополнительного вопроса, количества решений будут существенно различаться. Так, в случае 1) существует два решения: 92 > 91 и 92 > 90. В случае 2) существует единственное решение 91 > 90, а в случае 3) решений нет.

Так ученик начальной школы сталкивается с ситуацией отсутствия решений, подобно тому, как математик-исследователь сталкивается с неразрешимыми задачами.

Предшествующий анализ начинался с поиска непосредственной, утилитарной пользы от рассмотрения задач 1-4. Удивительно то, что этот анализ довольно быстро привёл нас к обсуждению важных свойств исследовательской деятельности вообще. Повидимому, достаточно часто оказывается, что утилитарная и идейная польза задач трудноотделимы друг от друга.

1.3.3. «Дальнодействие» интеллектуальных задач

В разделе 1.3.1 мы показали, что с первых дней обучения в школе ученик начинает приобретать первоначальный опыт использования общенаучных методов исследования. Покажем, что такой опыт оказывается полезным далеко за пределами начальной школы

и применимым для решения математических задач самых разных типов.

Мы ограничимся двумя важнейшими методами - анализом и синтезом, которые формируют у школьников представления о целом и о части целого. Взаимодействие этих двух представлений состоит том, что при решении задач приходится постоянно совершать две мыслительные операции, взаимно дополняющие друг друга: выделение из целостного объекта какого-либо его компонента и восстановление объекта по какой-либо его части.

Рассмотрим четыре задачи, относящиеся к разным годам обучения и разным разделам математики. Первая из них относится к изучению арифметики в 6-м классе.

Задача 1 ([8, № 186(2)]). Найдите число, 25% которого равны

Обсуждение. Уже сама формулировка задания подсказывает, что решение должно состоять из двух частей. Действительно, прежде чем восстанавливать искомое число по известному проценту от него, нужно найти значение написанного выражения.

Рассматриваемое выражение можно трактовать разными способами. С одной стороны, оно является отнюдь не самым сложным выражением из числа тех, которые встречаются в учебнике. С другой стороны, оно содержит 82 символа! Очевидно, что оперировать всеми ими одновременно невозможно, поэтому придётся расчленить его на части. К счастью, эти части «видны» и представляют собой два слагаемых, которые можно вычислять независимо друг от друга.

Второе слагаемое существенно проще первого как по «площади записи», так и по количеству операций, поэтому его можно «оставить на потом».

Первое слагаемое тоже состоит из двух частей: конкретного делимого 6,4 и сложного делителя, записанного в квадратных скобках.

Делитель также состоит из двух слагаемых, которые вычисляются независимо друг от друга. Каждое слагаемое представляет собой дробь, которая состоит из двух частей - числителя и знаменателя, которые также вычисляются независимо друг от друга.

Сказанное означает, что прежде чем произвести первую арифметическую операцию, школьник должен расчленить целостное выражение на смысловые группы, причём проделать это многократно. При этом каждый раз необходимо запомнить те смысловые группы, которые временно остаются вне анализа и к которым придётся вернуться впоследствии.

Итак, не самая сложная арифметическая задача 6-го класса требует для своего решения изощрённого анализа, который окажется труднодоступным без предварительной подготовки в начальной школе.

Вторая задача относится к изучению алгебры в 8-м классе.

Задача 2 ([7, № 4.69(a)]). Упростите выражение

Va3 — b3 + a2b — ab2, если a > b > 0.

Обсуждение. Данная задача также является отнюдь не сложной. Особенность её решения состоит в том, что по фрагментам подкоренного выражения восстанавливаются, а затем и применяются, целостные формулы. Так, выражение а3 — Ь3 ассоциируется с формулой

и3 — у3 = (и — v)(u2 + uv + V2), (1)

благодаря которой его можно заменить на выражение (а — Ь)(а2 + ab + b2). В свою очередь, выражение a2b — ab2 ассоциируется с формулой

и{у — w) = uv — uw, (2)

благодаря которой его можно заменить на выражение ab (а — Ь). В результате этих рассуждений исходное выражение приобретёт вид

7(а - Ь)(а2 + ab + Ь2) + аЬ(а - Ъ).

Ещё раз вынося за скобки общий множитель а — Ь, мы преобразуем выражение к виду

V(a-b)(a2 + 2ab + b2).

Здесь фрагмент а2 + 2ab + b2 подкоренного выражения ассоциируется с формулой

(и + V)2 = и2 + 2uv + V2, (3)

благодаря которой его можно заменить на выражение (а + Ь)2. Окончательно получаем, что исходное выражение равно

V(a - b)(a + Ь)2 = (а + fc)Va - b .

Итак, в процессе решения конкретной задачи мы восстанавливали общие формулы (1), (2) и (3), а затем применяли их. Интерес-

но, что применяя формулу (1), мы заменяли её левую часть на правую, а применяя формулы (2) и (3), мы заменяли правую часть на левую.

Повторимся: не самая сложная алгебраическая задача 8-го класса требует для своего решения анализа и синтеза, которые окажутся труднодоступными без предварительной подготовки в начальной школе.

Третья задача относится к изучению математического анализа в 11-м классе.

Задача 3. Постройте график функции, заданной равенством f(x) = х(х — 1)(х — 2).

Обсуждение. В процессе решения предыдущей задачи мы трижды использовали однотипное рассуждение: фрагмент выражения ассоциировался с целостной формулой, которая затем была применена к этому фрагменту. Интересно, что похожее рассуждение применяется в общепринятой схеме исследования функций: алгебро-аналитическое исследование даёт информацию об отдельных свойствах функции, по которым затем строится её целостный график.

В нашем случае построение графика происходит в несколько этапов. Во-первых, алгебраическое исследование знакопостоянства функции говорит о том, что

(4)

Во-вторых, алгебро-аналитическое исследование знакопостоянства производной говорит о том, что

(5)

В-третьих, формулы (5) ассоциируются с двумя теоремами: достаточным условием монотонности и достаточным условием экстремума. Восстанавливая их в памяти и применяя их, мы получаем следующие утверждения:

В-четвёртых, мы визуализируем утверждения (4) и (6). Утверждение (4) означает, что график функции расположен в заштрихованных областях (рис. 7). При этом переход графика из одной области в другую происходит в точках 0(0,0), А(1,0) и В(2,0). Два последних утверждения системы (6) позволяют вычислить локальные экстремумы функции:

Благодаря этому на графике функции появляются ещё две точки, С и D (рис. 7).

Наконец, мы синтезируем результаты визуализации и информацию о промежутках монотонности из системы (6). В результате получается целостный график, изображённый на рис. 8. Итак, целостное исследование функции разбито на пять частей: алгебраическое исследование, алгебро-аналитическое исследование, восстановление и применение двух теорем, визуализация утверждений, синтез фрагментарной информации и получение целостного объекта.

Вновь мы видим, что типичная и не очень сложная задача по математическому анализу требует для своего решения взаимодействия представлений о целом и его части. Без предварительной систематической подготовки в выполнении анализа и синтеза такая задача окажется труднодоступной.

Рис. 7. Визуализация результатов аналитического исследования

Рис. 8. График функции

Рис. 9. График «квадратичной функции»

Заметим, что последний этап - построение графика по результатам исследования - является не формализуемым и, как следствие, может приводить к результатам, которые не соответствуют действительности и которые, тем не менее, трудно назвать ошибками. В педагогической практике автора был случай, когда на вопрос о виде графика функции у = х2 был предъявлен ответ, представленный на рис. 9. На нём правильно отражены чётность функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, точка экстремума, тип экстремума и экстремальное значение, но...

Четвёртая задача относится к изучению геометрии в 8-м классе.

Задача 4 (8 класс). Докажите следующее утверждение: если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке Р, то имеет место равенство

РА-PB = PC-PD. (7)

Обсуждение. На рис. 10 показано условие задачи. Равенство (7) выглядит как фрагмент теоремы об основном свойстве пропорции:

Рис. 10. Теорема о пересекающихся хордах

Считая отрезки в правой части равенства (7) крайними членами и применяя эту теорему, получим сначала структуру

- = -, (9)

а затем формулу

ü = РА (10)

PC PB v '

Равенство (10) выглядит как фрагмент определения подобных треугольников. Трудность в том, что ни в условии, ни в предыдущих рассуждениях никаких треугольников нет. Единственный «намёк» содержится в формуле (10): нужно рассмотреть треугольники, образованные теми точками, которые фигурируют в левой (правой) части формулы, то есть треугольники РАС и PDB. Проведя недостающие отрезки (пунктир на рис. 10), мы видим, что эти треугольники действительно подобны, поскольку углы при вершине Р вертикальны, а углы при вершинах А и D опираются на одну и ту же дугу.

Так рождается стандартное доказательство методом восходящего анализа:

Заметим, что не существует формальных правил, которые обеспечивали бы переход от структуры (7) именно к формуле (10). Совершенно аналогичные рассуждения могут привести нас не к формуле (10), а к формуле

(11)

Дальнейшие рассуждения от этого не изменятся, просто необходимо будет рассмотреть другие треугольники.

В очередной раз мы видим, что при решении несложной геометрической задачи пришлось восстанавливать целостную терему по её фрагменту, а затем применять эту теорему к имеющимся данным. Очевидно, что для таких действий необходима длительная тренировка.

Теперь мы можем сделать общий вывод: опыт анализа и синтеза, приобретённый в начальной школе, оказывается полезным далеко за её пределами и применимым для решения математических задач самых разных типов.

Было бы весьма интересно построить примеры той же идейной направленности в отношении остальных общенаучных методов исследования.

1.3.4. Об отношении к интеллектуальным задачам

Выше мы показали, что интеллектуальные задачи могут быть положены в основу учебников для начальной школы, что они обладают сложной структурой, что их воздействие многоаспектно, что их польза может проявляться как непосредственно, так и через длительные промежутки времени... В этих условиях весьма важно, чтобы в педагогическом сообществе сформировалось правильное отношение к интеллектуальным задачам, адекватное их значимости. Опишем некоторые из тех «идеологических ошибок» в восприятии интеллектуальных задач, которые время от времени совершаются разными людьми.

Естественно, что школьники обращаются за помощью к родителям, а те зачастую обнаруживают, что их учили математике совсем не так, как учат их детей. Действительно, раскраска бус или раскладывание фигур по коробочкам мало похожи на пересчёт, счёт, таблицу умножения и другие элементы математики, которые считались её сутью несколько десятилетий назад. При этом упускается из виду, что в процессе изучения математики современные

школьники изучают не только математику, что приобретённые знания и умения будут востребованы далеко за её пределами.

Учителя начальной школы зачастую уклоняются от рассмотрения интеллектуальных задач или считают их полезным «довеском» к основному содержанию математики. Действительно, трудно связать раскраску бус и раскладывание по коробочкам с построением графиков и доказательством теорем, и уж тем более трудно связать первоначальный опыт ребёнка с опытом творческой деятельности подростка-старшеклассника.

Учителя основной школы находятся в сложном положении. В одной стороны, они вынуждены «смотреть назад» и оценивать возможности детей в решении интеллектуальных задач, развивая успехи и корректируя недостатки. С другой стороны, они вынуждены «смотреть вперёд» и вовлекать детей в творческую работу. То и другое входит в противоречие с решением рутинных, повседневных и совершенно необходимых педагогических задач.

Учителя старших классов, привлекающие детей к решению творческих задач в области математики, достаточно часто испытывают серьёзные трудности, которые, впрочем, воспринимаются ими как вполне естественные. Проблема состоит в том, что причины этих трудностей многочисленны и разнотипны: недостатки в постановке математической задачи, недостаточные математические способности детей, мощная инерция репродуктивной учебной деятельности и многое другое. Среди этих причин достаточно трудно или даже невозможно выделить те, которые были связаны с недостаточной тренировкой в решении интеллектуальных задач, тем более что тренировка эта происходила много лет назад.

По глубокому убеждению автора, для успешной реализации исследовательски ориентированного обучения коллективу конкретной школы, педагогическому сообществу в целом, ученикам и родителям было бы целесообразно выработать особое, «пассеистическое» отношение к процессу обучения. Ученик, который совместно с семьёй и школой готовит себя к выполнению той или иной, но всегда серьёзной, социальной роли, мог бы чувствовать себя не только наследником великих научных традиций, но и их частью. В этом случае прошлое присутствует в настоящем, развивается и движется вперёд, а собственная деятельность воспринимается как накопление и приращение того, что достигнуто ранее: ещё один построенный чертёж, ещё одна доказанная теорема, ещё один компь-

ютерный эксперимент, ещё один локальный успех. Автору крупно повезло, потому что он испытал огромное удовольствие от обучения в такой атмосфере. К счастью, оно доступно всем.

1.4. О типологии ориентаций процесса обучения

Выше мы говорили об исследовательски ориентированном обучении математике в школе. Представим его на фоне других ориентации педагогического процесса, которые стихийно сложились к данному моменту, или апробируются, или проектируются, или обсуждаются педагогическим сообществом... Быть может, тот фон, который образуют друг для друга разные типы обучения, поможет выявить их сравнительные достоинства.

Хорошо известно, что причиной возникновения ранней математики11 были практические вопросы. Древние египтяне и древние греки вынуждены были измерять земельные участки, поэтому они начали изучать прямоугольники и треугольники. Они начали изучать окружности, потому что были вынуждены проектировать арены, водные резервуары и тому подобные объекты. Практически неизбежное следствие «инженерного» происхождения математики состояло в том, что ранняя математика была эмпирической наукой. В культуре того времени представление о том, что математическое утверждение может быть доказано, не было ещё развитой идеей. Правила арифметических действий были сформированы практикой вычислений, а для «доказательства» геометрического «факта» достаточно было сделать разумное изображение.

Естественный для педагога вопрос состоит в том, чтобы понять, в какой мере и в каких формах эмпирическое начало математики присутствует в образовании школьников.

Нашу версию ответа на этот вопрос начнём с анализа того, каким образом в начальной школе изучается переместительный закон сложения: а + Ъ = Ъ + а. Сначала школьники делают наблюдение над результатами сложений двух количеств однотипных объектов в различном порядке: 2 + 3 равно пяти, а 3 + 2 тоже, оказывается, равно пяти; 6 + 4 равно десяти, и 4 + 6 тоже равно десяти; и т.д. После серии испытаний, длина которой зависит от конкретной педагогической ситуации, формулируется правило о том, что от переста-

11 Термин «ранняя математика», по мнению автора, очень удачный, заимствован из книги С. Кранца [16, с. 19].

новки слагаемых сумма не меняется. Очевидно, что переместительный закон сложения представляет собой теоретический факт, однако он не доказан в том смысле, что он не выведен логически из общих положений. В силу малого возраста и опыта учащихся невозможно ни провести доказательство, ни сформулировать какие-либо общие положения, адекватные развитию детей. К счастью, с психологической точки зрения обсуждаемый факт прекрасно обоснован: его подтверждает огромное количество примеров, абсолютная невозможность привести контрпример, а главное, полное отсутствие потребности в поиске контрпримеров. Таким образом, теоретический факт обоснован экспериментально.

Другим примером использования экспериментальных методов в обучении математике является введение правила нахождения неизвестного слагаемого (начальная школа) на основе интуитивных представлений учащихся об основном свойстве измерения отрезков и опыте решения задач на нахождении длины части отрезка по длине целого отрезка и известной части (рис. 11).

Рис. 11. Нахождение неизвестного слагаемого

Ещё одним примером является введение (6-й класс) правила переноса слагаемого из одной части уравнения в другую, которое обосновывается с помощью модели весов (рис. 12).

Рис. 12. Правило переноса слагаемого

Весьма важно, что такое соотношение экспериментального и теоретического начал характерно для первых лет обучения математике. Перечислим ещё несколько фактов, изучаемых в том же стиле: 1) сочетательный закон сложения (умножения); 2) переместитель-

ный закон умножения; 3) распределительный закон умножения относительно сложения; 4) правило прибавления нуля; 5) правило умножения на единицу; 6) правило умножения на нуль; 7) правило нахождения неизвестного вычитаемого (уменьшаемого, множителя, делителя, делимого); 9) правило сложения (вычитания, умножения, деления) в столбик; 10) правило сложение (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями; 11) основное свойство обыкновенной дроби... Перечень это далеко не полон, однако он позволяет сформулировать следующее утверждение: с первого по шестой класс освоение математики осуществляется преимущественно экспериментальными методами.

Здесь уместно вспомнить известную мысль Дж. Брунера: «Школьник, изучающий физику, является физиком, и для него легче изучать науку, действуя подобно учёному-физику» [4]. (Курсив Брунера.) Естественно предположить, что освоение математики экспериментальными методами формирует у школьников и конкретные навыки, и менталитет математика-экспериментатора.

Интересно, что школьник, обладающий первичными навыками математика-экспериментатора, подвергается в седьмом и последующих классах суровому испытанию - освоению теоретического компонента математики. В седьмом классе начинают формироваться представления о том, что одни утверждения могут быть выведены из других утверждений чисто логическим путём. Возникают такие понятия, как теорема и аксиома. В связи с понятием теоремы оказываются необходимыми новые понятия: условие теоремы, заключение теоремы, доказательство теоремы. В связи с понятием доказательства возникает представление о методах доказательства, и начинают накапливаться конкретные методы: метод тождественных преобразований в алгебре, метод дополнительных построений в геометрии, общенаучный метод от противного и т.д.

Естественно, что частично сформированные навыки математика-экспериментатора взаимодействуют с формирующимися навыками математика-теоретика. Инерция мышления, которая сама по себе неизбежна, необходима и во многих случаях полезна, приводит к тому, что поначалу такое взаимодействие носит характер противодействия. Быть может, трудности многих школьников при освоении геометрии обусловлены именно тем, что в предшествующие годы они хорошо усвоили стиль мышления математика-экспериментатора.

В этих условиях естественная задача педагога состоит в том, чтобы гармонизировать взаимодействие двух начал математики, экспериментального и теоретического. Если говорить в общем плане, то такая гармонизация должна означать формирование у школьников целого комплекса представлений. Во-первых, необходимо сформировать первичные представления о теоретическом методе познания действительности, описанные выше, а затем начать их интенсивное развитие. Во-вторых, необходимо обеспечить переход от примитивного эмпиризма начального обучения к полноценным математическим экспериментам, которые стали возможны благодаря доступности интерактивных математических сред. В-третьих, и это главное, необходимо сформировать правильное представление о взаимодействии теории и эксперимента в математике. Важно сформировать убеждённость в том, что любое утверждение, полученное экспериментальным путём, должно быть осмыслено теоретически, то есть доказано или опровергнуто с помощью известных теорем.

По мнению автора, желаемая гармонизация отнюдь не достигнута, и тому есть несколько причин разного уровня значимости. Главная из них состоит в том, что в гармонизации нуждаются не только теоретическая и экспериментальная деятельность школьника и учителя, но и целый ряд других компонентов длительного, 11-летнего изучения математики в школе.

В данном разделе мы предложим одну из типологий возможных ориентации процесса обучения математике. В её основе будут лежать различные сочетания тех «значений», которое принимают три естественные характеристики процесса обучения: информационная, методологическая и организационная. Приступим к описанию заявленной типологии.

Начнём с простого утверждения: в процессе обучения математике в мозгу школьника постоянно происходят преобразования информации. Они подразделяются, по крайней мере, на два типа, наличие которых достаточно очевидно. Первый тип преобразований можно было бы назвать первичным освоением информации. Если чуть упростить ситуацию, то речь идёт об освоении определений и теорем. То и другое подробно описано в разнообразной методической литературе, например в [7, гл. III, IV]. Преобразования второго типа происходят в процессе исследовательской деятельности уча-

щихся. Литература на эту тему необозрима. Укажем классические книги Д. Пойа [21-23] и две современные книги [40, 31].

Визуализацией того, что сказано в предыдущем абзаце, может служить ось под названием Информация, на которой отложены две точки: ОИ - освоение информации, и ИД - исследовательская деятельность.

Выше мы говорили о методологии математики в том смысле, что констатировали наличие двух групп методов, экспериментальных и теоретических. Визуализацией этого обстоятельства может служить ось под названием Методы, на которой отложены две точки: Э - экспериментальные методы, и Т - теоретические методы.

Ещё одно простое утверждение относится к организационным формам процесса обучения. Оно состоит в том, что деятельность школьников подразделяется на учебную и внеучебную. Визуализацией этого обстоятельства может служить ось Формы, на которой отложены две точки: У - учебная деятельность, и ВУ - внеучебная деятельность.

Изобразим на одном чертеже то, что сказано выше о визуализации. С этой целью оси Информация, Методы и Формы изобразим в виде осей абсцисс, ординат и аппликат соответственно. При этом точки ОИ, Э и У поместим одновременно в начало координат. Если через оставшиеся точки ИД, Т и ВУ провести плоскости, параллельные координатным плоскостям, то возникнет куб, изображённый на рис. 13(a). Обозначим этот куб стандартным образом как ОАВС01А1В1С1 (рис. 13(6)). В результате каждая вершина куба приобретёт три координаты. Например, точка С приобретет координаты С (ИД, Э, У), а точка Аг приобретает координаты Аг(ОИ, Т, ВУ). Именно эти координаты и будут характеризовать общую ориентацию процесса обучения математики, так что рис. 13(a) и 13(6) являются визуализацией той «типологии ориентации», о которой говорилось в названии раздела.

Очевидно, что мы будет говорить о восьми различных ориентациях процесса обучения математике. Перечислим их, апеллируя к рис. 13, приводя формальные описания этих ориентации и давая краткие комментарии.

1. О(ОИ, Э, У): Обучение математике ориентировано на освоение информации при помощи экспериментальных методов в учебное время.

Обозначения к рис. 13: ОИ - освоение информации; ИД - исследовательская деятельность; Э - экспериментальные методы; Т - теоретические методы; У -учебная деятельность; ВУ - внеучебная деятельность.

Рис. 13. Типология ориентации учебного процесса

Фактически мы уже говорили, что такая ориентация характерна для изучения математики в начальной школе. Трудно или невозможно организовать регулярную внеучебную работу в начальной школе, а быть может, этого и не нужно делать. Было бы не реалистичным говорить об исследовательской деятельности детей 7-10 лет. В этих условиях исследовательская ориентация обучения состоит в решении большого количества интеллектуальных задач, описанных в предыдущих разделах. Образно говоря, интеллектуальные задачи сдвигают ориентацию обучения от точки О к точке Л.

2. А(ОИ, Т, У): Обучение математике ориентировано на освоение информации при помощи теоретических методов в учебное время.

Такая ориентация реализуется на уроках геометрии в 7-м классе, если учитель ограничивается книгой [1] и каким-либо задачником. Возникает двойственная ситуация. С одной стороны, использование учебника и задачника неизбежно, поскольку речь идёт о начале регулярного курса геометрии. В силу этого неизбежными являются элементы вышеописанной ориентации, а её доминирование, если таковое имеет место, выглядит вполне естественным. С другой стороны, накоплен значимый опыт использования экспериментальных методов при изучении геометрии, отражённый, например, в книгах [31, 19]. Кроме того, накоплен опыт исследователь-

ской деятельности учеников основной школы, отражённый, например, в книге [28]. Очевидно, что использование значимого опыта на уроках математики является весьма желательным.

Здесь мы подходим к трудной и важной педагогической задаче. Дело в том, что содержание книг [31, 19, 28] относится преимущественно к внеучебной работе школьников, то есть ко кружкам, факультативам, конкурсам, конференциям и т.д. При этом остаётся неясным, какую методику должен использовать учитель, чтобы его ученики могли самостоятельно или полусамостоятельно изобрести теоремы из учебника математики. Остаётся неясным, насколько регулярным должно быть «повторное изобретение» теорем. Наконец, остаётся неясным, каким должно быть соотношение теоретических и экспериментальных методов в процессе такого изобретения. Во второй главе будет предпринята попытка частичного решения этой задачи.

3. В(ИД, Т, У): Обучение математике ориентировано на исследовательскую деятельность при помощи теоретических методов в учебное время.

По мнению автора, реализация обучения описанного типа является маловероятной. Во-первых, работа по освоению информации (координата ОИ) является неизбежной и требует времени, хотя, конечно, первичная информация может осваиваться в процессе исследовательской деятельности. Во-вторых, исследовательская деятельность по изучению той или иной темы требует большего времени, чем традиционное её изучение с помощью объяснений учителя и чтения учебника. В-третьих, в случае успеха исследовательской деятельности в учебное время она почти неизбежно будет распространена на время внеучебное, а это несколько изменит (скорректирует) ориентацию обучения.

По-видимому, обучение описанной ориентации в наибольшей мере реализуется в СУНЦах. Было бы естественным преобразовать опыт изучения математики в СУНЦах к тому виду, который может быть использован в профильных (и не только в профильных) классах.

4. С(ИД, Э, У): Обучение математике ориентировано на исследовательскую деятельность при помощи экспериментальных методов в учебное время.

По мнению автора, реализация обучения описанного типа ещё менее вероятна, чем реализация предыдущего типа В(ИД, Т, У).

Отход от типа 3 к типу 4 означал бы отказ от теоретических методов в пользу экспериментальных. Во-первых, такой отказ было бы трудно объяснить, а во-вторых, чрезмерный акцент на экспериментальных методах имеет негативное побочное действие - экспериментально-теоретический разрыв, описанный, например, в книге [31, разд. 2.4]. Очевидно, что в процессе исследовательской деятельности школьников необходимо гармоничное сочетание теоретических и экспериментальных методов. К сожалению, не сформировалось единого мнения о том, что такое «гармоничное сочетание теоретических и экспериментальных методов» применительно к математике. Не вдаваясь в теоретизирование, автор пытался представить образец гармоничного исследования в книге [40, разд. 7.3]. Ещё одна попытка будет предпринята ниже, в разделе 3.3.

5. О1(ОНИ, Э, ВО): Обучение математике ориентировано на освоение информации при помощи экспериментальных методов во внеучебное время.

Организуя занятия школьников во внеучебное время, учитель школы и преподаватель вуза обладают достаточно большой свободой. Они могут сосредоточиться как на исследовательской работе школьников, так и на освоении ими новой информации, а используемые ими методы могут быть как теоретическими, так и экспериментальными. Повторимся: использование экспериментальной математики во внеучебной работе со школьниками хорошо представлено в книгах [31, 19]; там же можно найти ссылки на литературу.

6. А1(ОНИ, Т, ВО): Обучение математике ориентировано на освоение информации при помощи теоретических методов во внеучебное время.

Очевидно, что с течением времени взгляды педагогов на внеучебную деятельность школьников претерпевают те или иные изменения. Проиллюстрируем эволюцию взглядов на некоем частном, но выразительном примере, в котором отразились характерные свойства общей ситуации.

В 1962-1966 гг., то есть с 8-го по 11-й класс, автор обучался в Юношеской математической школе при Ярославском государственном педагогическом институте им. К. Д. Ушинского. Сохранился документ с перечнем изученных курсов. Приводим его.

1. Элементарная геометрия.

2. Элементы векторной алгебры.

3. Элементы дифференциального и интегрального исчисления.

4. Вопросы оснований геометрии.

5. Элементы конечной математики.

6. Элементы высшей алгебры.

Из перечня видно, что педагогический коллектив прилагал основные усилия к тому, чтобы передать школьникам важную, но хорошо известную информацию. При этом даже не заходило речи о самостоятельном исследовании какой бы то ни было математической проблемы, пусть самой простой. По умолчанию предполагалось, что молодой человек способен произвести самостоятельное исследование только по достижении определённого уровня образованности. Применяемые методы изложения были чисто теоретическими и не содержали никакого намёка на возможность экспериментирования в математике, хотя преподаватели были хорошо осведомлены об эмпирическом происхождении ранней математики. По умолчанию предполагалось, что экспериментальный период математики закончился, и далее она будет развиваться теоретическими методами.

Мы видим, что представления полувековой давности существенно отличаются от современных взглядов, однако сказанное выше отнюдь не носит характер критики. Просто появились новые психологические данные об интеллектуальных возможностях детей и о позитивном влиянии научного сообщества на процесс образования. Появились большие возможности для постановки математических экспериментов. Был накоплен значимый опыт руководства научными исследованиями школьников. Автор отдаёт дань уважения своим преподавателям, которые проявили энтузиазм и изощрённый ум в деле математического образования в условиях неширокой теоретической парадигмы и стеснённых технических возможностей.

7. В1(ИД, Т, ВО): Обучение математике ориентировано на исследовательскую деятельность при помощи теоретических методов во внеучебное время.

Именно такая ориентация обучения порождает результаты, которые впоследствии представляются на конференциях школьников. Многолетнее участие автора в конференции «Открытие» показывает, что на ней ни разу не были представлены результаты математических экспериментов.

В рамках теоретической традиции были выполнены проекты, описанные в разделах 3.2, 3.4 и 3.5.

8. С1(ИД, Э, ВО): Обучение математике ориентировано на исследовательскую деятельность при помощи экспериментальных методов во внеучебное время.

Возможно, что именно в этом направлении будут эволюционировать исследования школьников. Весомым аргументом в пользу такого утверждения является содержание книг [31, 19]. Наша лепта в это направление содержится в разделе 3.3. В нем предложено описание проекта, который, будучи в целом теоретическим, невозможен без небольшой по объёму, но значимой экспериментальной части.

В заключение мы рискнём сделать небольшой прогноз, в котором будут отражены наши мечты об идеальном учебном процессе. Мы надеемся на то, что ориентация математического образования будет, образно говоря, дрейфовать к центру куба, изображённого на рис. 13(a). При этом освоение информации (ОИ) и исследовательская деятельность (ИД) будут сближаться и позитивно воздействовать друг на друга, экспериментальные (Э) и теоретические методы (7) будут находиться в гармонии, а учебная (У) и внеучебная деятельность (ВУ) школьников окажутся тесно связанными.

Глава 2

ЭЛЕМЕНТЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

Что значит преподавать? - Это значит систематически побуждать учащихся к собственным открытиям.

Г. Спенсер

В главе показано, что программа основной школы позволяет естественным образом ввести в её изучение элементы деятельности математика: постановку вопросов, а значит и решение вытекающих из них задач; первичное обнаружение новых утверждений, которые поначалу существуют в виде гипотез; проверку истинности утверждений-гипотез или, что то же самое, доказательство новых теорем; изобретение определений... Деятельность математика многогранна и не поддаётся полному охвату.

2.1. Элементы исследовательской деятельности как фактор освоения базового курса математики

Мы начнём с первичного, но отнюдь не простейшего, - с постановки вопросов. Уже говорилось о том, что в начальной школе математический материал осваивается преимущественно эмпирическими методами с элементами теории. В седьмом классе перед школьником начинает разворачиваться безбрежное море теоретического знания. Естественно, что человеку нужны ориентиры, которые, однажды возникнув, будут помогать ему на протяжении всего процесса обучения. Такие ориентиры могут принимать самые разнообразные формы. Например, они могут принимать вид постоянно повторяющихся вопросов, или часто встречающихся конфигураций, или регулярно используемых методов, или полезных эвристических приёмов... Для нас важно, что эти ориентиры, обнаруженные математиками древности, могут помочь современному школьнику повторить в ускоренном виде путь построения геометрии. Сосредоточимся на некоторых из этих ориентиров и попытаемся продемонстрировать их педагогическую значимость.

Вопрос о конфигурации12. Геометрия неявно присутствует в жизни человека задолго до того, как он начал её систематическое

12 Конфигурация - это внешнее очертание, а также взаимное расположение предметов или их частей.

изучение. К ней приводят простейшие вопросы. Далеко ли от дома до школы? Проходит ли Транссибирская магистраль через Ярославль и Кострому? Находятся ли города Киржач и Зарайск в Московской области? Оказывается, что от дома до школы недалеко, примерно километр. По карте видно, что Транссиб проходит через Ярославль и не проходит через Кострому. По ней же видно, что Киржач не находится в Московской области, а Зарайск находится, хотя Киржач примерно в полтора раза ближе к Москве, чем Зарайск. Во всех этих случаях речь идёт о взаимном расположении геометрических объектов: двух точек (двух зданий), точки и линии (город и дорога), точки и плоской фигуры (город и область).

Игру в объекты можно естественным образом продолжить на первых уроках геометрии. Представим себе двух людей с завязанными глазами, которые рисуют геометрические фигуры на одном листе бумаги, один красным карандашом, а другой - синим. Если каждый из них нарисует по точке, то они, скорее всего, не совпадут, но могут и совпасть. Если один из людей нарисует прямую, а другой точку, то точка, скорее всего, не попадёт на линию, но может и оказаться на ней. Если игроки нарисуют прямую линию каждый, то разноцветные прямые, скорее всего, пересекутся, но могут и не пересечься. Более того, они могут и совпасть. Во всех этих случаях речь идёт о взаимном расположении геометрических объектов: двух точек, точки и прямой, двух прямых.

Итак, один из фундаментальных вопросов геометрии звучит следующим образом: «Каково взаимное расположение двух геометрических объектов?»

Приведём примеры ситуаций, в которых постановка нашего вопроса вполне естественна. Попытаемся также выявить те моменты изучения геометрии, когда сама постановка этого вопроса оказывает значимое развивающее воздействие.

1) Каково взаимное расположение основания равнобедренного треугольника И биссектрисы противолежащего угла? После некоторых рассуждений выясняется следующее. Во-первых, биссектриса проходит через середину основания, то есть является медианой. Во-вторых, она пересекает основание под прямым углом, то есть является его высотой.

2) Каково взаимное расположение стороны треугольника И средней линии, проведённой через середины двух других сторон?

После некоторых рассуждений оказывается, что эти отрезки параллельны.

3) Каково взаимное расположение трёх медиан (биссектрис, высот) треугольника? Оказывается, что три медианы (биссектрисы, высоты) проходят через одну точку.

Уже эти простейшие примеры выявляют ряд поучительных моментов.

Во-первых, благодаря вопросам объекты изучения оказываются чётко определёнными, а это облегчает школьникам понимание ситуации.

Во-вторых, изучение ситуации начинается с постановки вопроса, как это обычно и происходит в «высокой» науке.

В-третьих, окончательный результат математического изучения нуждается в словесном выражении, и это словесное выражение становится формулировкой теоремы. Вновь на уроке все происходит примерно так, как это имеет место в математике.

В-четвертых, теорема перестаёт быть неким утверждением, пришедшим к школьнику извне (то есть неизвестно откуда) и требующим (по неизвестным причинам) своего осмысления, а превращается в продукт его личной деятельности. Заметим, что сам переход от математических рассуждений к словесной формулировке результата является отдельным интеллектуальным действием междисциплинарного характера, которое подчас оказывается непростым.

В-пятых, благодаря первичному характеру вопроса и вторичному характеру формулировки теоремы учитель и ученик приобретают определённую свободу действий на пути от вопроса к ответу. Например, ответ на вопрос 1 может быть получен путём теоретических рассуждений, как это сделано, например, в учебнике [1, с. 35]. В то же время можно спланировать эксперимент в интерактивной математической среде: построить произвольный треугольник ABC, провести биссектрису AD, измерить отрезки AB, AC, DB и DC, а затем перемещать вершину А, стараясь добиться такого ее положения, чтобы отрезки AB и АС приобрели равную длину. Если это удастся сделать (во многих случаях это отнюдь не легко), то равенство или примерное равенство отрезков DB и DC подскажет верный ответ. Подчеркнём, что мы не оцениваем сейчас достоинства или целесообразность каждого из двух подходов. Для нас важно, что участники педагогического процесса имеют свободу выбора.

Итак, мы привели некоторые аргументы в пользу того, что освоение новой теоремы должно начинаться с постановки вопроса. Интересно, что эти аргументы имеют разную природу. Так, первый и четвёртый аргумент носят по преимуществу психологический характер, второй и третий относятся к свойствам математики как науки, а последний в значительной мере относится к педагогике. С нашей точки зрения, разнотипность аргументов в пользу одного утверждения усиливает их значимость.

Рис. 14. Каково взаимное расположение треугольников?

Очевидно, что для разных этапов обучения характерны разные способы использования вопросов о конфигурации. Поначалу такие вопросы ставятся преимущественно учителем. Для учеников они служат образцами постановки математических вопросов, к которым они со временем привыкают и научаются формулировать. Постепенно школьники вовлекаются в процесс постановки вопросов и, как нам кажется, приобретают определённый опыт в их постановке.

В этой связи заметим, что вопрос о взаимном расположении геометрических фигур может оказаться достаточно сложным. Например, хорошо известно, что три средние линии треугольника разбивают его на четыре конгруэнтных (равных) треугольника. Каково же взаимное расположение исходного треугольника и каждого из четырёх треугольников, изображённых на рис. 14? Ответ звучит неожиданно для школьников, да и для многих студентов. Оказывается, что все треугольники гомотетичны исходному треугольнику

ABC, правда, при этом центры гомотетий и коэффициенты гомотетий могут различаться. Так, треугольник AFD гомотетичен треугольнику АБС с центром А и коэффициентом -, а треугольник ED F гомотетичен треугольнику ABC с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом — -.

В заключение отметим следующее: в книге [1] ответ на вопрос 3 формулируется в начале 7-го класса, а доказательство истинности ответа приводится только в 8-м. Тем самым в учебник проникает типичная для науки ситуация, когда формулировка утверждения и его доказательство отделены друг от друга неким промежутком времени, порой весьма длительным.

Вопрос о пропорции13. В начальной школе дети осваивают метод сравнения двух различных величин. Он имеет вид двух разнотипных, но в равной мере приемлемых вопросов: «на сколько единиц больше?» и «во сколько раз больше?». Интересно, что в геометрии равноправие вопросов исчезает!

Рис.15. Какой вопрос уместнее?

Для иллюстрации нарисуем на клетчатой бумаге треугольник ABC и проведем его среднюю линию DE (рис. 15). Если спросить, на сколько клеток средняя линия короче основания, то легко получить очевидный ответ - на три клетки. Если задать тот же вопрос о треугольнике А1В1С1 и его средней линии D1E1, то ответ будет другим - на шесть клеток. Между тем, треугольники имеют совершен-

13 Пропорция - это определенное соотношение частей между собой.

но одинаковую форму, так что вопрос «на сколько единиц больше?» никак не характеризует соотношение между стороной треугольника и его средней линией. В отличие от первого вопроса, второй вопрос «во сколько раз больше?» в обоих случаях имеет один ответ - в два раза больше. Очевидно, что один и тот же ответ для двух фигур одинаковой формы отражает важное соотношение между двумя отрезками.

Итак, ещё один из фундаментальных вопросов геометрии звучит следующим образом: «Во сколько раз одна геометрическая фигура больше другой?»

Приведём примеры других ситуаций, в которых постановка нашего вопроса вполне естественна. Попытаемся показать, что сама постановка вопроса зачастую оказывает значимое развивающее воздействие.

1) Мы уже говорили о том, что три медианы треугольника имеют общую точку. Очевидно, что эта точка делит каждую медиану на две части, большую и меньшую. Во сколько раз одна часть больше другой? После некоторых рассуждений оказывается, что в два раза. Так школьник узнает, что визуальные наблюдения могут иметь теоретические объяснения.

2) Мы уже говорили о том, что три биссектрисы треугольника имеют общую точку. Очевидно, что эта точка делит каждую биссектрису на две части, большую и меньшую. Во сколько раз одна часть больше другой? После некоторых действий (например, измерений и вычислений) оказывается, что вопрос не имеет смысла, потому что отношение отрезков является различным для разных биссектрис, а кроме того, меняется в процессе варьирования треугольника. Так школьник узнает, что визуальные наблюдения могут быть обманчивы и, следовательно, их справедливость нуждается в теоретическом объяснении.

3) Если построить вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, то нетрудно заметить, что центральный угол больше вписанного. Во сколько раз один угол больше другого? В статье [43] описаны противоречивые результаты компьютерного эксперимента. Так, для многих углов оказывается, что центральный угол ровно вдвое больше вписанного, поэтому можно счесть подмеченное обстоятельство закономерностью. Однако для других углов это не совсем так, например

(Здесь АС AB - это центральный угол, опирающийся на дугу СВ, а LCDB - это вписанный угол.) Конечно, разница между центральным углом и удвоенным вписанным углом невелика и составляет одну сотую градуса, но она существует. Увеличение точности вычислений не приводит к разрешению противоречия, потому что при каждой точности встречаются противоречащие друг другу результаты измерений. Так школьник узнает, что буквалистское истолкование результатов компьютерных экспериментов может приводить к парадоксальным результатам и, в силу этого, малополезно. Он узнает, что инструментом разрешения противоречия между показаниями двух экспериментов является дедуктивное доказательство.

Выше мы привели несколько аргументов в пользу утверждения о том, что своевременная постановка вопросов о конфигурации придаёт изучению геометрии исследовательски-ориентированный характер. Можно утверждать, что эти же аргументы с полным основанием применимы к вопросам о пропорции.

Фундаментальные конфигурации. Одной из простейших фигур курса геометрии является отрезок. Внутренние точки отрезка обычно воспринимаются школьниками как «равноправные», как нечто «безличное», не обладающее какими-либо интересными индивидуальными свойствами. Покажем, что это не так, что есть на нем одна точка, особое положение которой предопределяет многие свойства геометрических фигур. Мы имеем в виду середину отрезка. Действительно, вокруг этого понятия разворачивается настоящий «геометрический детектив», который мы попытаемся описать.

Завязкой «детектива» служат две простые теоремы. Во-первых, если вершину равнобедренного треугольника соединить с серединой основания, то построенный отрезок окажется и биссектрисой угла, и высотой, и осью симметрии. Во-вторых, множеством точек, равноудалённых от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к нему.

Треугольник имеет три стороны и, следовательно, три середины. С ними ребёнок может «играть» весьма длительное время.

Если соединить две середины их трёх, то получим отрезок, фигурирующий в теореме о средней линии треугольника.

Если соединить три середины последовательно, то треугольник разобьётся на четыре равных треугольника, подобных исходному.

Если каждую из середин соединить с противоположной вершиной, то получим теорему о медианах треугольника. При этом треугольник разобьётся на шесть треугольников, которые, и это удивительно, равновелики.

Если через середины всех сторон треугольника провести перпендикуляры к сторонам, то окажется, что они пересекаются в одной точке, которая равноудалена от вершин треугольника.

Если через середины трёх сторон треугольника провести окружность, то поначалу ничего не удаётся заметить. Однако если дополнительно провести высоты, то основания высот совпадут с точками пересечения окружности и сторон (или их продолжений), а сама окружность пройдёт через середины отрезков между ортоцентром и вершиной. Так получается, что из девяти замечательных точек окружности Эйлера шесть являются серединами некоторых отрезков.

Четырёхугольник имеет четыре стороны и, следовательно, четыре середины. И с этими серединами можно долго «играть».

Если последовательно соединить середины сторон четырёхугольника, то получится параллелограмм.

Если соединить середины противоположных сторон, то четырёхугольник разобьётся на четыре четырёхугольника. Оказывается, что сумма площадей двух «диагональных» четырёхугольников, единственной общей точкой которых является вершина, равна сумме площадей двух других диагональных четырёхугольников. (В книге [5, с. 26] это утверждение носит красивое жаргонное название «1-я теорема о бабочках».)

Очевидно, что диагональ четырёхугольника делит его на два треугольника. Оказывается, они равновелики тогда и только тогда, когда эта диагональ проходит через середину второй диагонали.

Если четырёхугольник оказывается трапецией, то её средняя линия играет особую роль.

Если четырёхугольник оказывается параллелограммом, то середины диагоналей совпадают с точкой их пересечения.

В треугольной пирамиде можно проделать следующие построения: найти середину ребра, затем середину скрещивающегося ребра, а затем середину отрезка, соединяющего найденные точки. Оказывается, что результат не зависит от того ребра, с которого начаты построения. (Автор назвал бы это утверждение «теоремой о многих серединах».)

Итак, «детектив» прочитан, хотя и может иметь продолжение. Он означает, что середина отрезка участвует во многих теоремах курса геометрии, которые изучаются в течение целого ряда лет. Естественно зафиксировать это понятие в качестве ориентира в море геометрических теорем в качестве одного из опорных понятий, которое может помочь школьнику осмысливать изучаемое.

Эристики. Очевидно, что освоение математики невозможно без решения большого количества задач. В свою очередь, решение задач окажется малопродуктивным, если учащийся не будет осваивать, накапливать, систематизировать и применять полезные эвристические приёмы. Практика преподавания геометрии накопила большое количество таких приёмов. Например, в справочнике [25, с. 209-222] приведено 11 приёмов доказательства равенства двух отрезков, 11 приёмов доказательства параллельности прямых, 13 приёмов доказательства перпендикулярности прямых, 10 приёмов доказательства принадлежности трёх точек одной прямой. Освоение всего этого богатства может показаться школьнику непосильной и потому неинтересной задачей. Впрочем, такое впечатление можно исправить, если сознательно попытаться запустить механизм положительной обратной связи: чувства исследователя, хотя бы минимальные, заставят начать освоение эвристических приёмов, а успешное применение приёмов будет стимулировать исследовательское поведение.

В заключение отметим, что наш список продуктивных вопросов отнюдь не является полным, равно как не являются полными ни список полезных конфигураций, ни список эвристических приёмов. Мы лишь хотим обратить внимание на необходимость их изначального существования и последующего пополнения. Именно они формируют исследовательское поведение школьников и способствуют превращению преподавания в исследовательски ориентированное.

2.2. Повторное изобретение теорем на уроках математики

2.2.1. Школьный материал как передний край науки

В педагогическом сообществе мало обсуждается то обстоятельство, что все факты школьного курса математики когда-то находились на переднем крае науки. Это можно сказать и о таблице умножения, и о теореме Пифагора, и об арифметической прогрессии... Естественно, что можно было бы сконструировать продук-

тивные сценарии изучения математики, в процессе реализации которых школьники совершали бы повторные изобретения теорем из школьного учебника, причём практически самостоятельно или с минимальной помощью учителя.

Польза от сценариев такого рода несомненна, поскольку они могут стать первыми шагами будущего математика к высотам науки: сначала человек приобщается к повторному изобретению известных теорем под руководством учителя и/или преподавателя, затем повторно изобретает известные теоремы в условиях уменьшающейся помощи, а затем постепенно подходит к самостоятельным исследованиям. При этом развивающий эффект такого рода деятельности определяется тем фактом, что при её осуществлении имеют место психические процессы, характерные для истинного, общественно значимого математического творчества.

В то же время, использование продуктивных сценариев наталкивается, по крайней мере, на две объективные трудности. Во-первых, опыт показывает, что реализация продуктивных сценариев требует больших временных ресурсов, которыми школа не обладает. Во-вторых, и это главное, для многих школьников преобладание продуктивных сценариев может стать антимотиватором изучения математики. Действительно, повторное изобретение теоремы, пусть и при помощи учителя, может оказаться непосильным для многих учащихся, в то время как освоение этой же теоремы экстенсивным, репродуктивным методом является вполне доступным.

По нашему мнению, в этих условиях целесообразно придерживаться линии поведения, которую мы условно назовём «Инструментальная мастерская». Суть её в следующем.

1) Создать продуктивные сценарии изучения всех без исключения теорем школьного курса математики.

2) Решать в экспериментальном порядке и с учётом конкретных педагогических условий все вопросы, связанные с использованием продуктивных сценариев: использовать ли их вообще, использовать систематически или эпизодически, какова должна быть частота их систематического использования, каковы те конкретные теоремы, изучение которых даёт наибольший развивающий эффект, и т.д.

Если определённая часть педагогического сообщества будет придерживаться описанной линии поведения, то естественно предположить, что с течением времени конкретные сценарии будут со-

вершенствоваться, библиотека сценариев будет пополняться, а опыт использования продуктивных сценариев будут накапливаться. В результате возникнет по-настоящему эффективная коллекция педагогических инструментов, которая позволит реализовать исследовательски ориентированное обучение математике в школе.

Поясним малоиспользуемый термин «педагогический инструмент», смысл которого мы заимствуем из статьи [11]. Под педагогическим инструментом будем понимать совокупность компонентов педагогического процесса, оказывающих воздействие на образовательный результат. Педагогическим инструментом является, например, упражнение или задача, направленная на формирование конкретного умения/навыка, а также система задач. Педагогическим инструментом является продуктивный сценарий, который знакомит школьника с элементами исследовательской деятельности. «Крупным» педагогическим инструментом является учебная дисциплина, а также блок однородных учебных дисциплин, например, блок фундаментальных математических дисциплин в педагогическом вузе. Кроме того, педагогическим инструментом является содержание учебной дисциплины, а также учебное пособие, реализующее это содержание. Сюда же можно отнести различные педагогические концепции, создаваемые и применяемые для достижения тех или иных конкретных целей.

Покажем, что теоремы школьного курса математики допускают их изучение с помощью продуктивных сценариев, причём трудозатраты на конструирование таких сценариев отнюдь не велики. Сделаем это на примере четырёх важных теорем школьного курса геометрии.

2.2.2. Наблюдение в математике, или Теорема о биссектрисе угла треугольника

Построим произвольный треугольник ABC и проведем в нем биссектрису BD (рис. 16). Очевидно, и совсем не удивительно, что биссектриса делит сторону АС треугольника на две неравные части, большую и меньшую. Определенный интерес вызывает следующее наблюдение: к большей части основания прилегает большая сторона треугольника. Такое положение имеет место для любых треугольников всевозможных форм и размеров, так что наблюдение школьников отражает, по-видимому, некую качественную закономерность. Однако настоящий интерес вызывает количественная сторона ситуации.

Сформулируем наш «дежурный» вопрос о пропорции применительно к однотипным неравным отрезкам. Во сколько раз большая часть основания превосходит меньшую часть? Во сколько раз большая из двух других сторон треугольника превосходит меньшую? Вычислив в интерактивной математической среде необходимые отношения, мы получим, что они равны! (Применительно к рис. 16 — = — = 1.57.) Равенство отношений имеет место для любых треугольников всевозможных форм и размеров. Оно выполнятся как при стандартной настройке округления до двух разрядов, так и при более тонких настройках до трёх, четырёх, десяти разрядов.

Этот эксперимент даёт веские основания для следующей гипотезы: биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на два отрезка, пропорциональные прилежащим сторонам. Так может происходить эмпирическое обнаружение теоремы.

К сожалению, существует одно обстоятельство, которое делает наш эксперимент не вполне убедительным: при настройке окургления до 15 разрядов существуют треугольники, для которых — Ф —. Их совсем не трудно обнаружить, двигая вершины с помощью инструмента Перемещать. Получается, что однотипные эксперимен-

Рис. 16. К большей части основания прилегает большая сторона

ты, осуществляемые с разной точностью, дают различные результаты. Разрешить это противоречие с помощью других экспериментов представляется затруднительным или невозможным, поскольку предел точности, предоставляемый компьютером, уже достигнут. В этих условиях единственным средством для снятия противоречия между двумя экспериментами является дедуктивное доказательство.

Приведём готовый чертёж (рис. 17) и систему вопросов, с помощью которых доказательство теоремы может быть получено школьниками в высокой степени самостоятельно. Мы надеемся, что читатель сочтёт предполагаемые ответы учеников весьма вероятными.

В-1. Какие геометрические фигуры изображены на рис. 17? 0-1. Треугольник АБС.

В-2. Ответ правильный, но малополезный, потому что на рисунке изображено много треугольников. Мы поговорим о них, а пока скажите, какя фигура в определенном смысле уникальна?

0-2. Угол АБС.

В-3. Как расположен луч AD относительно сторон угла? (Наш «дежурный» вопрос!)

О-З. Он является биссектрисой.

В-4. Есть ли среди многочисленных треугольников подобные? 0-4. Да. Например, AAFD-ACED В-5. А почему?

0-5. Два угла равны, потому что вертикальны, а два других угла являются прямыми по построению.

В-6. Верно. Запишите факт подобия в виде равенств.

В-7. А есть ли еще пара подобных треугольников? Если да, то почему вы так решили?

0-7. Да, есть. ABFA~ABEC, потому что два угла являются прямыми по построению, а два других угла равны, поскольку образо ваны биссектирсой и стороной угла.

В-8. Верно. Запишите факт подобия в виде равенств.

В-9. Имеются ли пропорциях Ответов 6 и 8 одинаковые ототношения?

0-9. Да. Это отношение —.

В-10. Объедините все равенства Ответов 6 и 8 в одну серию.

О-10. Получится, что — = — = — = — = —.

В-11. А теперь самое интересное! Удалите с рис. 17 все элементы, которые не принадлежат треугольнику ABC. В соотвествии с этим, в равенствах Ответа 10 удалите те отношения, в которых есть обозначения точек, удаленных с чертежа. Что случится с чертежом и с серией равенств?

Рис. 17. Свойство биссектрисы угла треугольника

О-11. С чертежа придется удалить отрезок ЕС (за исключением точки С) и отрезок F А (за исключением точки А). Кроме того, придется заменить лучи В A, BD и ВС отрезками В А, BD и ВС соответственно. В результате рис. 17 превратится в рис. 16.

Из формул Ответа 10 придется удалить те отношения, в которых участвуют быквы F и Я, то есть придется удалить первое, второе и четвертое отношения. В результате останется формула

В-12. Связан ли полученный результат с той гипотезой, которая возникла в результате эксперимента?

0-12. Да, связан. Наш анализ рис. 17 показывает, что гипотеза оказалась справедливой.

В-13. Можно ли теперь считать, что она является теоремой? Можно ли было считать ее теоремой раньше, до того, как мы провели анализ рис. 17?

0-13. Да, теперь ее можно считаь теоремой. Раньше этого было сделать нельзя, потому что эксперимент при округлении до 15 разрядов противоречил ей.

Обсудим некоторые особенности приведенного сценария, которые важны по тем или иным причинам.

С педагогической точки зрения для учителя важно, что в процессе реализации рассмотренного сценария ученик самостоятельно обнаруживает закономерность, самостоятельно даёт или пытается дать её словесное выражение. В результате теорема становится результатом личной деятельности, а не внешним фактом, пусть и пришедшим из авторитетного источника.

С математической точки зрения важно, что в процессе реализации сценария становится ясен метод доказательства, причём его суть легко поддаётся словесному выражению - метод подобия. Интересно, что после реализации сценария педагог приобретает большую свободу действий. Можно построить аналитическое рассуждение, приведшее к рис. 17 и, как следствие, к найденному доказательству. Можно использовать метод подобия другим способом, проведя через вершину треугольника прямую, параллельную одной из его сторон. Можно рассмотреть совсем другое доказательство, основанное на теореме Фалеса, или третье доказательство, основанное на методе площадей. Все это методико-математическое богатство описано в книге [44, разд. 1].

С методологической точки зрения важна последовательность действий: качественное наблюдение и простой вычислительный эксперимент, приводящий к гипотезе; тонкий вычислительный эксперимент, «опровергающий» гипотезу; снятие противоречия с помощью дедуктивного доказательства. Заметим, что для человека, научное мировоззрение которого находится в процессе формирования, ситуация является достаточно сложной. Действительно, когда 13- или 14-летний ребёнок смотрит на каплю воды невооружённым глазом, то она кажется ему блестящей, чистой и прозрачной. Когда

же он рассматривает её в микроскоп, то видит в ней песчинку, соринку и инфузорию-туфельку. Таким образом, грубый инструмент (глаз) и тонкий инструмент (микроскоп) дают разные ответы на вопрос о структуре капли воды.

Сравнение эксперимента с каплей и эксперимента с биссектрисой выявляет одно из различий между физическим и математическим экспериментом. Во-первых, долго или коротко, но выясняется, что при изучении капли истину показывает более точный инструмент, а при изучении биссектрисы - более грубый. Во-вторых, и это главное, при изучении капли «противоречие в показаниях инструментов» разрешается с помощью дальнейших экспериментов, а при изучении биссектрисы экспериментальное разрешение противоречия невозможно, так что приходится прибегать к дедуктивным рассуждениям. Мы ещё не раз будем встречаться с таким обстоятельством.

2.2.3. Повторный эксперимент, или Теорема о медианах треугольника

1. Отступим от основной линии нашего изложения и отметим, что повторные, уточняющие эксперименты в области физики составляют её неотъемлемую часть. Например, оценки и прямые измерения скорости света в вакууме происходят в течение вот уже 400 лет, начиная с 1620 г. (О. Рёмер) и далее в 1728 г. (Дж. Брэдли), в 1849 г. (Ф. Физо), в 1876 г. (М. Корню), в 1902 г. (А. Перротен), в 1926 г. (А. Майкельсон), в 1950 г. (Э. Бергштранд). Наконец, в 1975 г. Генеральная конференция по мерам и весам установила «окончательное» значение скорости света. Интересно, что для этого пришлось переписать в других терминах эталонное определение метра.

Покажем, что физический подход может быть полезен при изучении такой классической математической теоремы, какой является теорема о медианах треугольника. С этой целью рассмотрим несложный педагогический сценарий.

2. В предыдущем разделе мы упоминали о том, что в 7-м классе школьникам предлагают построить на бумаге треугольник и три его медианы, убедиться в том, что медианы пересекаются в одной точке, а затем найти отношение большей части медианы к меньшей. Эксперимент отнюдь не сложен, и школьники с лёгкостью получают нужные утверждения. Правда, доказательство откладывается до

8-го класса [1, с. 33-34], но это даже хорошо, т.к. даёт повод вернуться к эксперименту непосредственно перед доказательством.

При повторном эксперименте естественно использовать инструмент более точный, чем карандаш, линейка и циркуль, например, интерактивную математическую среду GeoGebra. Вот здесь школьники встречаются с неожиданным обстоятельством: для одних треугольников искомое отношение равно в точности 2:1, а для других треугольников это не совсем так! Двигая, например, одну из вершин с помощью инструмента Перемещать, нетрудно найти треугольник АБС (рис. 18а), у которого FP = 2,73, а PC = 5,47 Ф 2FP. Получается, что однотипные эксперименты, осуществляемые с разной точностью, дают различные результаты. Получается, что более точный инструмент делает ненадёжной исходную гипотезу, такую простую и естественную на первый взгляд. Хуже того: неравенство PC 2FP может встретиться при любой точности округления, доступной компьютеру. В силу этого представляется затруднительным или невозможным разрешить это противоречие с помощью других экспериментов, поскольку предел точности, предоставляемый компьютером, уже достигнут. В этих условиях единственным средством для снятия противоречия между двумя экспериментами является дедуктивное доказательство, для которого придётся провести предварительный теоретический анализ.

Приступая к теоретическому анализу, заметим, что на готовом чертеже медианы треугольника выглядят вполне «равноправными» в том смысле, что каждая из них проходит через точку пересечения двух других. В то же время, очевидно, что во временном отношении

Рис. 18. Медианы треугольника

они не равноправны, потому что сначала мы проводим первую медиану (например, AD), затем вторую медиану BE, и только потом третью медиану CF. В этой связи было бы естественным сначала проанализировать взаимное расположение первых двух медиан (вновь «дежурный» вопрос!), и лишь затем анализировать положение третьей медианы. Сформулируем наш вопрос следующим образом: «Через какую точку первой медианы AD проходит вторая медиана ВЕ?>

Пусть Р - точка пересечения медиан AD и BE (рис. 186). Выше была высказана гипотеза о том, что — = — = -. Да, эта гипотеза ненадёжна, но другой гипотезы у нас нет. Попытаемся проверить её истинность.

Очевидно, что пропорциональность четырёх отрезков может быть связана с подобием треугольников, однако на рис. 186 нет подобных треугольников! Для их построения проведём отрезок DE (рис. 18в).

Дальнейшие рассуждения являются стандартными и весьма лаконичными [1, с. 146]. Из свойств средней линии DE вытекает, что AAPB~ADPE, причем — = — = — = -. Получается, что вторая медиана проходит через такую точку Р первой медианы, которая делит её в отношении 2:1, считая от вершины. При этом сама вторая медиана делится точкой Р в таком же отношении.

Анализируя теперь взаимное расположение первой и третьей медиан, получим, что третья медиана проходит через ту же самую точку Р и делится ею в том же отношении, что и доказывает теорему.

3. Возвратимся к началу рассмотренного сценария и воспроизведём его общую структуру. При этом выделим курсивом те его элементы, которые не поддаются формализации. По нашему мнению, именно наличие неформализуемых элементов сценария превращает его в модель исследовательской деятельности.

1) Проводится эксперимент, который порождает гипотезу.

2) Проводится уточняющий эксперимент, который делает гипотезу ненадёжной. Противоречие между результатами экспериментов порождает потребность в его устранении. Естественный способ снятия противоречия - это дедуктивное обоснование истинности гипотезы.

3) Делается наблюдение о временном неравноправии медиан, которое даёт основание для упрощения конфигурации.

4) Исследование конфигурации из трёх медиан сводится к более простому исследованию конфигурации из двух медиан. При этом вопрос об их взаимном расположении приобретает специальную форму.

5) Приводится аналитическое рассуждение о целесообразности использования подобных треугольников, а затем строятся подобные треугольники.

6) Проводится стандартное доказательство из школьного учебника математики.

Увеличим уровень схематизации нашего сценария. Выписав с этой целью ключевые слова из пунктов 1-6, получим последовательность из 11-ти (!) пунктов: эксперимент —> гипотеза -^уточняющий эксперимент —> противоречие —> потребность в снятии противоречия —> дедуктивное обоснование истинности —> наблюдение о «неравноправии» медиан —> редукция —> аналитическое рассуждение —> дополнительное построение —> формальное доказательство.

Итак, изучение несложной теоремы школьного курса математики можно организовать так, что в нем будут присутствовать многие важные элементы исследовательской деятельности. С нашей точки зрения, подобные сценарии следует использовать целенаправленно и регулярно. Разумеется, и тут мы повторимся, частота их использования должна учитывать конкретные педагогические условия.

4. Обсудим вопрос об отношении к результатам измерений в области физики и в области математики.

Выше уже говорилось о том, что скорость света неоднократно оценивалась или измерялась разными учёными. Первые оценки дали результаты 220000 км/сек (1676 г.) и 308000 км/сек (1728 г.). Прямые измерения также давали разные результаты: 313000 км/сек (1849 г.), 298000 км/сек (1862 г.), 299796 км/сек (1926 г) и др.

Здесь следует отметить одно интересное, но мало обсуждаемое обстоятельство: в определённом, весьма специфическом, смысле значение скорости света не является важным для физиков! Действительно, скорость света такова, какова она есть, и забота исследователей состоит в максимальной точности измерений, а не в том зна-

чении, которое получится в результате «правильных», «хороших», точных измерений.

В отличие от исследователей в области физики, для школьника-исследователя важными оказываются не только точность измерений, но и собственно результат измерений. Действительно, если при всех измерениях большая часть медианы вдвое длиннее меньшей части, то школьник (возраст которого весьма мал!) имеет достаточные основания для выдвижения гипотезы о соотношении частей. Если же при различных измерениях получаются разные результаты, то основания для выдвижения гипотезы «размываются» и становятся ненадёжными. К счастью, эти основания не исчезают бесследно, а дедуктивные рассуждения спасают ситуацию.

В заключение приведём современные данные о скорости света: 299792458 м/сек при абсолютной погрешности 1,2 м/сек. Оценив относительную погрешность в процентах, мы увидим, что проделанное измерение является грандиозным научным достижением, свидетельством величия человеческого духа.

2.2.4. Противоречивость экспериментальных данных, или Теорема о сумме углов треугольника

В самом «нежном» возрасте ребёнку можно предложить следующий эксперимент: вырезать из бумаги треугольник, оторвать от него уголки (пунктир - линии отрыва), а затем уложить их так, как показано на рис. 19, то есть совместить вершины, совместить стороны, а к двум свободным приложить линейку. Всё получится без больших усилий, так что естественным образом возникнет гипотеза: сумма углов треугольника равна развёрнутому углу.

Рис. 19. Простой эксперимент с углами треугольника

Конечно, эта гипотеза не очень надёжна, потому что нарисованные стороны треугольника имеют некоторую толщину, потому что трудно гарантировать прямолинейность разрезов, потому что трудновато точно совместить вершины и стороны... Тем не менее, гипотеза возникла, так что естественно попытаться увеличить её правдоподобие с помощью более точного инструмента. Вот здесь экспериментатора подстерегает неожиданность.

Если в интерактивной математической среде GeoGebra нарисовать треугольник и померить его углы, то мы получим результаты двух типов. У одних треугольников сумма углов окажется равной в точности 180°, а у других она будет отличаться от 180°, как это показано на рис. 20. Интересно, что если в строке ввода вычислить сумму I, = а + ß + у, то в обоих случаях на панели объектов получим результат £ = 180 . Все выглядит так, как если бы GeoGebra складывала не те числа, которые появились на её полотне, а какие-то другие числа, дающие заранее предписанную сумму.

Рис. 20. Сумма углов треугольника равна...?

Итак, школьник видит, что один и тот же эксперимент даёт два результата, противоречащие друг другу. Как обычно, противоречие между двумя разными результатами снимается с помощью дедуктивных рассуждений.

Идея доказательства заложена в простом эксперименте (рис. 19), в котором три угла треугольника прилежат к одной прямой. Если на рис. 20 мы проведём произвольную прямую через вершину С, то угол С будет прилежать к ней «так, как надо», хотя два других угла не будут связаны с углами А и В. Если теперь проведенную прямую «пошевелить» и сделать параллельной прямой AB, то в силу критерия параллельности все три угла треугольника окажутся приложенными к построенной прямой так, что в сумме дадут развернутый угол.

Очевидно, что в предыдущем абзаце описана структура канонического доказательства из школьного учебника [1, с. 69-70]. Мы надеемся, что проведение двух экспериментов и апелляция к одному из них позволят школьнику не просто следить за рассуждениями учебника, а стать «соавтором» доказательства.

2.2.5. Роль эксперимента в обнаружении теорем-критериев, или Признак параллельности прямых

Хорошо известно, что теоремы-критерии играют в математике особую роль, поскольку позволяют сравнительно легко установить наличие или отсутствие интересующего нас свойства математического объекта. Пусть, например, нам нужно установить делимость на 3 некоего 20-значного числа. Из-за большой величины это число невозможно даже набрать на обычном инженерном калькуляторе, однако его делимость на 3 легко устанавливается с помощью критерия делимости: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Очевидно, что изучению теорем-критериев следует уделять повышенное внимание. Это относится, в частности, к этапу обнаружения теоремы. В этой связи рассмотрим одну задачу о параллельных прямых, которая предлагается учащимся до того, как изучен признак параллельности.

Задача. На чертеже, выполненном учителем в среде GeoGebra, нарисованы две пары прямых: пунктирные прямые а и b и обычные прямые с и d (рис. 21). Внешне все выглядит так, как будто прямые попарно параллельны: a II b и с II d. Известно, однако, что на самом деле одна и только одна параллельность имеет место. Проведя дополнительные построения и измерения, выясните, которая пара состоит из параллельных прямых. При этом запрещается следующее: открывать панель объектов, вводить на полотно GeoGebra оси коор-

динат и сетку, увеличивать точность округления, выходить за пределы экрана.

Рис. 21. Где параллельность?

Обсуждение задачи начнём с замечания о том, что запреты достаточно точно воспроизводят обстановку измерений на местности. Действительно, на местности нет ни осей, ни сетки, ни координат точек, ни уравнений прямых. Точность измерения приборов является фиксированной. Как правило, крайне трудно выйти за пределы изучаемого участка земли, а выйти за него на большое расстояние и продолжить измерения просто невозможно. В этих условиях попытаемся воспользоваться нашими знаниями о параллельных прямых, пока крайне скудными.

Первый эксперимент и первая неудача. На момент получения задачи школьникам известно, что две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются [1, с. 23]. Этот факт подсказывает нам следующие действия: 1) выбрать на прямой а какую-либо точку; 2) опустить перпендикуляр на прямую Ь; 3) измерить углы между построенным отрезком и каждой из прямых а и Ь; 4) проделать те же

самые действия 1-3 применительно к прямым с и d; 5) дать геометрическое истолкование полученным результатам.

Вот здесь школьника подстерегает неудача. Дело в том, что все четыре измеренных угла оказываются прямыми. Получается, что прямые а и Ъ перпендикулярны первому из построенных отрезков, то есть параллельны между собой, а прямые с и d перпендикулярны второму из построенных отрезков, то есть тоже параллельны между собой. Между тем, по условию задачи имеет место только одна параллельность.

Второй эксперимент и вновь неудача. На момент получения задачи школьники обладают только теми теоретическими знаниями о параллельных, которые использовались (неудачно!) в первом эксперименте. Придётся действовать в соответствии со здравым смыслом.

Рассмотрим две заведомо не параллельные прямые и две точки на одной из них. Если из этих точек опустить перпендикуляры на другую прямую, то они должны быть разной длины. При этом разница между их длинами должна быть тем больше, чем дальше друг от друга отстоят исходные точки. Это рассуждение подсказывает следующие действия: 1) выбрать на прямой а две точки, Аг и А2, первую возле левого края экрана, а вторую возле правого; 2) из выбранных точек опустить перпендикуляры АгВг и А2В2 на прямую Ъ (здесь Blt В2 £ Ь); 3) измерить их длины; 4) проделать те же самые действия 1-3 применительно к прямым с и d; 5) дать геометрическое истолкование полученным результатам.

Здесь школьников вновь подстерегает неудача, поскольку длины построенных отрезков оказываются равными: = |Л2^21 и I^iAlI = 1^2^21- Как бы ни трактовать равенство длин, мы придем к противоречию. Действительно, если мы предположим, что из равенства = |Л2^21 вытекает параллельность а II Ь, то придется считать, что из равенства IClDJ = |C2D2| вытекает параллельность с II d, а наличие двух параллельностей противоречит условию задачи. Если же мы предположим, что из равенства = И2#2| вы_ текает «непрараллельность» а -Ц Ь, то придется считать, что из равенства ICi= K2D2I также вытекает «непараллельность» с -Ц d. Отсутствие хотя бы одной параллельности также противоречит условию задачи.

Итак, две неудачи подряд говорят о том, что перед очередным экспериментом необходимо провести хороший теоретический анализ.

Элементы теоретического анализа. Обратим внимание на то, что при проведении первого эксперимента участвующие в нем линии играли различные роли: прямые а и b были объектами изучения, а отрезок, соединяющий две точки на них, выступал в качестве инструмента изучения. При этом мы анализировали взаимное расположение (вновь основной вопрос!) прямых и отрезка, то есть объекта и инструмента.

В связи с этим поставим простой для учителя (но не для школьников!) вопрос: как ввести числовую характеристику взаимного расположения двух прямых? Очевидно, что такой характеристикой является величина угла, точнее говоря, величина одного из четырёх углов, образующихся при пересечении двух прямых.

Пересечём изучаемые прямые а и b третьей прямой / и попытаемся сравнить взаимные расположения двух пар объектов: прямых а и /, с одной стороны, и прямых b и /, с другой стороны. Очевидно, что изучаемые прямые расположены по отношению ко вспомогательной прямой / либо одинаково, либо по-разному. В первом случае должны быть равны между собой те два угла, которые характеризуют взаимное расположение каждой из изучаемых прямых и вспомогательной прямой. Во втором случае эти углы должны быть различными. Проще говоря, нужно сравнить угол между прямыми а и / и угол между прямыми b и /.

Для единообразного способа сравнения углов примем следующее соглашение: будем рассматривать углы, лежащие одновременно по разные стороны от прямой / и между прямыми а и b (накрест лежащие) [1, с. 53].

Теперь мы можем приступить к третьему эксперименту.

Третий эксперимент и гипотеза. Выберем по точке на прямых а и Ь, соединим их отрезком и измерим накрест лежащие углы. Проделаем те же самые построения для другой пары прямых: выберем по точке на прямых с и d, соединим их отрезком и измерим накрест лежащие углы.

Удивительно, но результаты измерений будут сильно отличаться друг от друга! Для прямых а и b накрест лежащие углы окажутся равными. Они будут оставаться равными при любых

перемещениях выбранных точек. Во втором случае все будет иначе. Действительно, для одних отрезков накрест лежащие углы окажутся равными, однако найдутся такие отрезки, для которых накрест лежащие углы будут отличаться друг от друга. На рис. 22 отмечено равенство накрест лежащих углов для прямых а и Ъ и отличие некоторых накрест лежащих углов для прямых с и d.

Любой эксперимент делается для того, чтобы его результаты получили некое содержательное истолкование. В нашем случае такое истолкование может иметь вид Гипотезы: прямые а и Ъ одинаково расположены относительно любого пересекающего их отрезка, поэтому они параллельны; прямые с и d имеют разное расположение относительно пересекающих их отрезков, поэтому они не параллельны.

Разумеется, наша гипотеза не является точным решением задачи, хотя и выглядит весьма правдоподобной. Для этого нужно сформулировать и доказать критерий параллельности прямых.

Рис. 22. Пунктирные прямые параллельны?

Впрочем, теперь школьники-экспериментаторы находятся «в одном шаге» от формулировки теоремы, а доказательство может быть выполнено стандартным способом [1, с. 53-54].

В заключение раздела раскроем «тайну» построения прямых на рис. 21 и 22. Она заключена в следующей таблице.

Обозначения

Координаты

Расположение прямой

а = AB

А (0,7) В (6,7)

Горизонтальная прямая.

b = CD

C(0,5) D(6,5)

Горизонтальная прямая.

c = EF

£(0,2) F(6,2)

Горизонтальная прямая.

d = GH

G(0,0) Я(500,0.02)

Наклонная прямая, угловой коэффициент к = 0.00004.

Очевидно, что горизонтальные прямые а и b параллельны, а горизонтальная прямая с не параллельна наклонной прямой d. Интересно, что инструменты Перпендикуляр и Расстояние оказываются недостаточно чуткими для того, чтобы обнаружить слабый наклон прямой d, а инструмент Угол обнаруживает «какой-то непорядок», который служит косвенным свидетельством непараллельности прямых.

2.2.6. О продуктивных сценариях и математических экспериментах

Итак, мы рассмотрели продуктивные сценарии изучения четырёх важных теорем школьного курса математики. Сценарии характерны тем, что в процессе их реализации школьники имеют возможность повторного изобретения изучаемых теорем, причём практически самостоятельно или с минимальной помощью учителя. В связи с этим несколько обстоятельств заслуживают отдельного анализа.

Прежде всего, очевидно, что переработка обычного, рутинного изучения теорем по школьному учебнику в продуктивный сценарий не столь уж трудна и не требует какого бы то ни было изменения школьной программы. Просто нужно уделять внимание деталям процесса изобретения теорем и не «спрямлять» этот процесс, пропуская его этапы.

Кроме того, очевидно, что реализация продуктивных сценариев требует несколько большего времени, чем тратится обычно при буквальном следовании школьному учебнику. С одной стороны, противоречие между необходимым временем и временем, имеющимся в наличии, носит объективный характер и должно учиты-

ваться в той или иной форме. С другой стороны, автор убеждён, что выявленное противоречие не столь уж велико и может быть преодолено за счёт мастерства учителя. Во всяком случае, следует приложить усилия для его преодоления, поскольку потенциальный выигрыш от реализации продуктивных сценариев весьма велик.

Наконец, обращает на себя внимание тот факт, что во всех четырёх сценариях мы использовали математический эксперимент. Парадоксально, но в рамках данной книги использование эксперимента является обстоятельством предопределённым и случайным одновременно. С одной стороны, естественно предположить, что рассмотренные теоремы были изобретены (или открыты) именно в процессе экспериментальной деятельности математиков древности, так что повторное изобретение теорем школьниками является своего рода исторической реконструкцией. В этом смысле использование эксперимента является предопределённым. С другой стороны, вполне возможно, что для других теорем школьного курса предпочтительными окажутся продуктивные сценарии чисто теоретической природы. В этом смысле обсуждение эксперимента в рамках данной книги является случайным.

Интересно, что рассмотренные сценарии обладают неким, если так можно выразиться, «стилистическим единством». Действительно, теоретические рассуждения и эксперимент оказываются неотделимыми друг от друга; эксперимент естественным образом порождает правдоподобную гипотезу, а более точный эксперимент уменьшает её правдоподобие; единственным «арбитром» в «конфликте» двух экспериментов оказывается дедуктивное рассуждение... Мы обсудим взаимодействие теоретического и экспериментального начал математики в разделе «Приложение».

2.3. О повторном изобретении определений школьниками

Как уже говорилось, математикам приходится изобретать новые определения для обозначения и формализации тех явлений, с которыми им приходится сталкиваться. Если мы хотим приобщить наших учеников к процессу изобретения определений, нам придётся создать для этого специальные сценарии, в процессе реализации которых школьники будут совершать некоторые умственные действия, проделанные ранее математиками-первооткрывателями. Другими словами, нам придётся придерживаться линии поведения, которую ранее мы назвали «Инструментальной мастерской»:

• создать продуктивные сценарии изучения всех определении школьного курса математики;

• решать в экспериментальном порядке и с учётом конкретных педагогических условий все вопросы, связанные с использованием продуктивных сценариев: использовать ли их вообще, использовать систематически или эпизодически, какова должна быть частота их систематического использования, каковы те конкретные определения, изучение которых даёт наибольший развивающий эффект, и т.д.

Если определённая часть педагогического сообщества будет придерживаться описанной линии поведения, то естественно предположить, что с течением времени конкретные сценарии будут совершенствоваться, библиотека сценариев будет пополняться, а опыт использования продуктивных сценариев будут накапливаться. В результате возникнет по-настоящему эффективная коллекция педагогических инструментов, которая позволит реализовать исследовательски ориентированное обучение математике в школе.

Возможно, читатель заметил следующее: по поводу изучения определений автор высказывает то же самое суждение, которое было высказано ранее по поводу изучения теорем. Сделано это сознательно, причём почти в тех же словах, потому что автор убеждён в его справедливости. В то же время, изобретение теорем и изобретение определений - это два разных процесса, и автор совершенно по-разному оценивает роли школьников, участвующих в них.

С одной стороны, автор высоко оценивает способность школьников повторно изобретать математические теоремы. В этом его убеждает личный опыт математической деятельности в студенческие, аспирантские и последующие годы, относительная простота конструирования продуктивных сценариев, а также, и это главное, многочисленные примеры «переоткрытий» теорем школьниками, которые автор наблюдал в своей педагогической практике. С другой стороны, автор достаточно низко оценивает способность школьников повторно изобретать математические определения. Такой пессимизм (не побоимся этого слова) основан как на объективной стороне дела, так и на его субъективном восприятии. Действительно, изобретение определений, равно как и изобретение теорем, является неформализуемым, внелогическим процессом. Однако для изобретателя теорем существует «помощь» в виде разнообразных эвристик, экспериментов, правдоподобных рассуждений в смысле

Д. Пойа [23], а для изобретателя определений такой «помощи» не существует. К тому же не следует забывать, что речь идёт о детях, совсем не имеющих опыта выявления сущности математических объектов и выражения этой сущности в виде текстов. Будучи математиком, автор отчётливо помнит, какого напряжения требовало от него конструирование новых определений, и понимает, что было бы нереалистичным рассчитывать на такие же усилия со стороны школьников. Впрочем, не все так безнадёжно. Как бы ни относиться к оптимизму-пессимизму того, другого или третьего автора, следует делать то, что возможно. Сосредоточимся на позитивном.

По-видимому, человеческий мозг имеет эволюционно сложившееся, «синергетическое» свойство организовывать поступающую информацию в такие группы, которые удобны для запоминания. На бытовом уровне это проявляется, например, в структуре телефонных номеров. Так, никто не запоминает телефон в виде 731986 (семьсот тридцать одна тысяча девятьсот восемьдесят шесть), а представляет его в виде 73-19-86. Причина в том, что в первом случае придётся запомнить шесть единиц информации, а во втором случае - только три. При этом телефон 45-84-58 скорее всего запомнится в виде 458-458 (две единицы информации).

Нечто подобное происходит с математикой на школьном уровне. Когда-то математиками древности было замечено, что середина отрезка играет особую роль, поскольку участвует во многих теоремах, в частности, в теоремах о треугольниках. Очевидно, что было бы неудобно в разных ситуациях и по много раз повторять весьма длинное словосочетание «отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны». Вместо него когда-то был введён краткий и выразительный термин «медиана». Вместо длинного словосочетания «самая длинная сторона прямоугольного треугольника» был введён термин «гипотенуза». Таких примеров много.

Происхождение некоторых терминов-сокращений существенно сложнее и не сводится к простому наблюдению и желанию сделать математическую речь краткой и выразительной. Дело в том, что они могут быть введены только после доказательства той или иной теоремы. Таков, например, термин «центроид» приобретает смысл только после того, как доказана теорема о том, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке. Таков же термин «ортоцентр» - точка пересечения высот треугольника, а также неча-

сто употребляющийся термин «инцентр» - точка пересечения биссектрис треугольника.

Впрочем, усвоение терминов вышеописанных типов не является слишком трудным для школьников. Настоящую трудность представляют собой такие понятия, которые затрагивают сущность изучаемых явлений. Руководствуясь своими личными взглядами, приведём список таких понятий в виде таблицы. Читатель легко может составить свой собственный список объективно сложных и трудных для школьника понятий. При этом он может использовать неплохой теоретико-прагматический критерий трудности конкретного понятия: если удаётся сконструировать или найти в литературе продуктивный сценарий изучения понятия, значит, трудность его усвоения не слишком велика.

Поясним один неочевидный элемент содержания таблицы: понятие предела последовательности помещено в раздел алгебры. Дело в том, что без понятия (или предпонятия) предела последовательности крайне трудно или невозможно понять, что такое сумма (произведение) иррациональных чисел. Следовательно, останется по существу не понятым понятие площади прямоугольника с иррациональными сторонами.

Повторимся: автор не возьмёт на себя смелость утверждать, что он может составить продуктивные сценарии изучения всех понятий, приведённых в таблице. Тем не менее, некоторые шаги в этом направлении удаётся сделать. Так, в книге [40, разд. 6.2] описан натурный эксперимент, который подводит школьников к самостоятельному усвоению понятия «вероятность события». В разделе

Раздел

Понятие

Геометрия

Расстояние от точки до геометрической фигуры

Длина, площадь, объем

Простое число

Алгебра

Иррациональное число

Предел последовательности

Стохастика

Вероятность события

Анализ

Функция

Предел функции

Непрерывность функции

Производная функции

3.2 настоящей книги приведён продуктивный сценарий изучения понятия «расстояние от точки до геометрической фигуры», а также вытекающая из процесса изучения исследовательская программа для школьников. В разделе 3.3 приведён компьютерный эксперимент, который позволяет естественным образом ввести понятие «числовая мера разносторонности треугольника». Наконец, в данном разделе мы приведём продуктивный сценарий изучения понятия простого числа.

Примем следующее соглашение: каждый педагогический сценарий предлагается учащимся в тот момент, когда они ничего не знают о предмете изучения.

ПРОСТОЕ ЧИСЛО

Наш сценарий основан на решении двух задач и анализе этих решений.

Задача 1. Для каждого из чисел 1, 2, 12 выпишите все натуральные делители. Разбейте множество M = {1, 2, ••• , 12} на несколько групп в соответствии с количеством делителей. Целесообразно ли применять этот способ разбиения ко всему множеству натуральных чисел?

Обсуждение. Первые две части задачи являются простыми и даже примитивными, поскольку требование разбить какое-либо множество на группы встречается детям уже в первом классе, основание для разбиения указано явно, а делители находятся просто, о чем свидетельствует следующая таблица. Теперь множество M разбивается на пять групп. В первую группу Ах = {1} входит одно число 1, имеющее точно один делитель; во вторую группу А2 = {2, 3, 5, 7, 11} входит пять чисел, имеющих по два делителя каждое; в третью группу А3 = {4, 9} входит два числа, имеющих по три делителя каждое; в четвертую группу А4 = {6, 8, 10} входит три числа, имеющих по 4 делителя каждое; наконец, в последнюю группу

Число

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Делит.

1

1, 2

1, 3

1, 4, 2

1, 5

1, 6, 2,3

1, 7

1, 8, 2, 4

1, 9, 3

1, 10, 2, 5

1, 11

1,12, 2, 3, 4, 6

Кол-во делит.

1

2

2

3

2

4

2

4

3

4

2

6

А6 = {12} входит единственное число из множества М, имеющее шесть делителей.

Третья часть задачи существенно сложнее для школьников, чем первые две части, поскольку она непривычна и носит теоретический или даже методологический характер. Тем не менее, попытаемся извлечь общее суждение из некоторых конкретных вычислений.

Попытаемся, например, найти какие-нибудь делители 18-значного числа 235764911583123343. Прежде всего, последняя цифра числа показывает, что оно не делится на 2 и, следовательно, ни на одно чётное число. Кроме того, оно не делится на 5 и, следовательно, ни на одно число, кратное пяти. Сумма цифр этого числа равна 70, следовательно, оно не делится на 3 и ни на одно число, кратное трём. Проверим, является ли число 7 делителем изучаемого числа. Даже эта, казалось бы, простая проверка оказывается трудоёмкой. Действительно, изучаемое число не может быть набрано на обычном инженерном калькуляторе, поскольку количество цифр в нем слишком велико. Школьнику остаётся выполнить деление в столбик, которое, и автор проверил это, заканчивается неудачей. И что же делать дальше?

Конечно, можно проявить упорство (а в данном случае упрямство) и попытаться искать другие делители, однако уже на данном этапе размышлений видно, что способ, вполне хороший для разбиения на группы первых 12-ти чисел натурального ряда, совсем не годится для больших чисел и должен быть отвергнут. Итак, нецелесообразно применять описанный способ разбиения на группы к натуральному ряду в целом.

Формально задача 1 решена, однако результат порождает некую неудовлетворённость. Действительно, интуитивно ясно, что количество делителей является некоторой существенной характеристикой числа, подобно тому, как существенными характеристиками являются количество его разрядов, его чётность или нечётность и т.п. Так возникает новая задача, которая имеет почти гуманитарный характер.

Задача 2. Придумайте метод разбиения натурального ряда на группы чисел, связанный с количеством его делителей. Дайте имена выявленным группам.

Обсуждение. Вычисления, проделанные при составлении таблицы, дают определённую информацию для решения задачи.

Во-первых, очевидно, что число 1 уникально в том смысле, что не существует другого натурального числа, которое имело бы точно один делитель. Следовательно, целесообразно исключить число 1 из списка натуральных чисел и делить на группы только оставшееся множество M = {2, 3, 4,...}.

Во-вторых, очевидно, что каждое число п Е M имеет в качестве делителей числа 1 и п, то есть имеет не менее двух делителей.

В-третьих, как видно из примеров, встречаются числа, имеющие точно два делителя, и числа, имеющие более двух делителей.

Так выявляются два типа чисел из множества М: числа, имеющие точно два делителя, и числа, имеющие более двух делителей. Конечно, такая классификация чисел «грубее» той, что была получена при решении задачи 1, зато она снимает проблему нахождения делителей больших чисел. Действительно, любое число имеет либо точно два делителя, либо более двух, и третьего не дано, и при этом совершенно неважно, известен ли нам список этих делителей.

Осталось дать имена найденным типам чисел. Для этого проделаем простой эксперимент из области, граничащей с арифметикой и литературой одновременно: запишем числа из выявленных классов в виде произведений, располагая множители в порядке их неубывания. Вот тут и выявляется существенная разница между числами из наших групп. Числа из первой группы могут быть записаны в виде произведения единственным образом. Так, 3 = 1-3, 11 = 1 ■ 11 и т.п. Числа из второй группы могут быть записаны в виде произведения несколькими способами. Так, 8 = 1-8 = 2-4, 12 = 1-12 = 2- 6 = 3- 4и т.п. Очевидно, что единственность разложения на множители говорит об относительной простоте числа, а наличие нескольких разложений - о его относительной сложности.

Так возникает традиционное определение: натуральное число р, большее 1, называется простым, если оно имеет только два натуральных делителя, 1 и р; в противном случае оно называется составным.

Итак, задача 2 решена. Как обычно, решённая задача порождает разнообразные вопросы. Остановимся на двух из них, математическом и педагогическом.

Когда перед математиком (в частности, школьником) возникает новое определение, поначалу всегда стоит вопрос о том, насколько оно полезно или бесполезно. Ответ прост: чем больше содержа-

тельных теорем удаётся доказать на основе нового определения, тем более оно полезно, тем более существенны свойства математического объекта, описанные определением. Специфика арифметики состоит в том, что глубокие теоремы о простых числах могут быть доказаны непосредственно после их определения. Таковы теоремы о бесконечности множества простых чисел и о разложении натурального числа на простые множители. При доказательстве используются классические методы дедуктивных рассуждений - метод от противного и метод математической индукции соответственно.

Педагогический вопрос состоит в том, насколько полезен или бесполезен описанный выше сценарий введения понятия простого числа. По-видимому, ответ на этот вопрос заключён в сущности сценария: учитель конструирует определение вместе со школьниками. Прежде всего, мы видим три субъекта деятельности: учителя, отдельного ученика и класс как единое целое [45]. Кроме того, мы говорим о совместной деятельности этих субъектов. Наконец, и это главное, определение именно сконструировано, а не предъявлено и предложено для запоминания. Благодаря такому сценарию происходит знакомство школьника с элементами работы математиков-исследователей. Благодаря такому сценарию математик становится педагогом, а педагог - математиком.

2.4. Дуалистические свойства математики в школьном курсе: обзор

Как уже говорилось во Введении, первоначальное знакомство школьников с элементами методологии математики может происходить в процессе выявления таких свойств математики, которые не зависят ни от области математических исследований, ни от уровня исследований, ни от исторического периода развития математики. Перечни таких свойств могут быть различными. Мы будем ориентироваться на простую систему из четырёх дуалистических свойств математики, о которых говорилось во Введении. В книге [40, гл. 1] подробно обосновано объективное существование каждого из дуалистических свойств и показана возможность их использования для конструирования конкретных педагогических сценариев.

Приведём некоторые конкретные рекомендации по конструированию педагогических сценариев.

1) Целесообразно предлагать школьникам такие задания, в процессе выполнения которых они смогут сделать некоторые самостоятельные выводы.

Благодаря таким заданиям школьники будут знакомиться не только с новыми математическими фактами, но и участвовать в процессе их получения. Тем самым на уроках будет проиллюстрировано наличие деятельностно-продуктивного дуализма математики.

2) Целесообразно распределять задания между частями класса с целью получения каждой микрогруппой таких утверждений, которые будут служить предметом информационного обмена.

В процессе информационного обмена на уроках будет проиллюстрировано наличие личностно-социального дуализма математики.

3) Целесообразно формулировать задания таким образом, чтобы при их выполнении приходилось делать как индуктивные, так и дедуктивные умозаключения.

Благодаря таким заданиям на уроках будет проиллюстрировано наличие индуктивно-дедуктивного дуализма математики.

4) В практике преподавания уже давно существует традиция, которая состоит в выявлении естественнонаучного происхождения некоторых важных математических понятий: производной, интеграла и т.д. Целесообразно усилить эту традицию путём рассмотрения задач, приводящих к понятиям школьного курса математики: функции, уравнения, вероятности и т.д.

Благодаря таким заданиям на уроках будет проиллюстрировано наличие эмпирико-теоретического дуализма математики.

Важно, что сделанные рекомендации не просто обобщают опыт конкретного преподавателя математики, или являются точкой зрения научной школы, или обоснованы психологами, или широко распространены и т.п. Важно, что они описывают неотъемлемые свойства математики и, следовательно, существуют объективные причины, которые побуждают преподавателей следовать этим рекомендациям.

Сколь бы естественными и разумными ни казались высказанные советы, они нуждаются в конструктивном доказательстве их полезности в виде конкретных сценариев, которые можно было бы оценить путём анализа их происхождения, метода их конструирования, способов их применения и, наконец, достигнутых педагогиче-

ских результатов. Таких сценариев достаточно много, хотя, разумеется, они не покрывают всего содержания обучения. К тому же они рассеяны по литературе и относятся не только к школьному, но и к вузовскому курсу математики.

Приведём краткий обзор, в котором обозначим те источники, по которым можно познакомиться со сценариями описанного типа. Мы надеемся, что знакомство с ними вдохновит читателя на создание собственных материалов той же идейной направленности. В своём обзоре мы коснёмся только того математического материала, который относится к школьному курсу.

Геометрия. Хорошо известно, что теорема Пифагора имеет многочисленные доказательства. Естественно, что существуют не менее многочисленные сценарии изучения этой замечательной теоремы. В книге [40, разд. 1.4.4] школьникам, не знакомым с теоремой Пифагора, предлагается научная задача об изучении свойств прямоугольных треугольников. Сценарий построен таким образом, что в процессе его реализации выявляются все четыре дуалистических свойства математики. Главное состоит в том, что формулировка теоремы Пифагора появляется в процессе словесного описания результатов самостоятельной (или почти самостоятельной) деятельности школьников.

Другой сценарий относится к стереометрии [42]. В нем предложена подборка провокационных (внутренне противоречивых) задач, подобных следующей: найдите объем правильной четырёхугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 4, а угол между боковыми гранями равен 90°. В процессе решения, но не ранее, выясняется, что таких пирамид не существует! С подобным обстоятельством сталкивается несколько микрогрупп школьников, поскольку однотипные провокационные задачи разного содержания были предложены нескольким микрогруппам. Так возникает повод для обмена информацией и, в более общем плане, вопрос о допустимых соотношениях между элементами геометрических фигур. Изучение допустимых соотношений - это хороший повод для занятий, существенно углубляющий знания школьников.

Анализ. В книге [40, разд. 1.5.3] рассмотрен сценарий изучения взаимосвязей между чётностью, периодичностью и дифференцируемостью функций. При его реализации школьники получают теоремы следующего типа: если функция является чётной и дифференцируемой, то её производная является нечётной. Даже если кто-

то сочтёт теорему малополезной, для нас важно, что она получена школьниками самостоятельно.

В статье [34] рассматривается сравнение скоростей изменения функции и её аргумента. Более точно, даётся ответ на четыре модификации одного вопроса: на каком промежутке из области определения

• функция растёт быстрее, чем растёт её аргумент;

• функция растёт медленнее, чем растёт её аргумент;

• функция убывает быстрее, чем растёт её аргумент;

• функция убывает медленнее, чем растёт её аргумент? Эти вопросы формулируются применительно ко всем функциям из школьного курса: степенным функциям при разных показателях степеней, показательным функциям при разных основаниях, логарифмическим функциям при разных основаниях, тригонометрическим и обратным тригонометрическим функциям. Тем самым поиск ответа на вопросы становится чересчур трудоёмким для одного человека и требует организации групповой работы. Отсюда с неизбежностью выявляется личностно-социальный, индуктивно-дедуктивный и деятельностно-продуктивный дуализм математики.

Алгебра. В статье [34] описано простое наблюдение над квадратными уравнениями, которое может послужить основой продуктивного сценария и дать школьникам пищу для размышлений. Пусть, например, домашнее задание состояло в решении четырёх квадратных уравнений, которые выписаны вместе с их решениями в виде таблицы:

Уравнения

Корни

Уравнения

Корни

Как правило, школьники обращают внимание на ряд особенностей: а) на особенности корней данных уравнений; б) на связь корней с коэффициентами уравнений; в) на взаимосвязь между коэффициентами уравнения. В этих условиях учитель ставит естественную задачу по обобщению сделанных наблюдений и выражению этого обобщения в словесной форме. Когда (и если) это удаётся сделать, то школьникам предлагаются два задания: а) по общему правилу составить новые уравнения данного вида и проверить правильность сделанного предположения, решив их; б) провести стро-

гое доказательство сформулированного утверждения. Заметим, что в данном случае доказательство сформулированного утверждения имеет ряд особенностей, хотя и выполняется по хорошо известным формулам для решения квадратных уравнений.

Другой алгебраический сценарий также приведён в статье [34]. Он базируется на большой коллекции из 14-ти однородных уравнений разных типов: однородных алгебраических уравнениях с двумя переменными; однородных тригонометрических уравнениях с одним переменным; однородных уравнениях с двумя переменными разных типов, а именно, неизвестного х и тригонометрической функции sinx; однородных уравнениях с параметрами последнего из упомянутых типов. Следует заметить, что разнотипность переменных придаёт алгебраическому сценарию аналитический компонент. Действительно, однородное уравнение sin2х — Захsinx + 2а2X2 = 0 при положительных а сводится к совокупности уравнений [sin X = ах . Очевидно, что данная совокупность не может быть решения аналитическими методами, поэтому определение количества её решений на некотором интервале связна с построением графиков функций.

В заключение раздела дадим ещё несколько разнохарактерных ссылок. По мнению автора, иллюстрация эмпирико-теоретического дуализма математики вызывает наибольшие трудности. Именно поэтому гл. 6 книги [40] посвящена именно ему. Связь продуктивных сценариев обсуждаемого в книге типа и междисциплинарного подхода к преподаванию отражена в статье [35], а их связь с компетентностным подходом - в статье [34].

Глава 3

БОЛЬШИЕ ПРОЕКТЫ

Решение задач является наиболее характерной и специфической разновидностью свободного мышления.

Уильям Джеймс

В главе предложено описание нескольких больших проектов, выполненных школьниками под руководством автора. Цель каждого из них была, фактически, заявлена во Введении: предоставить исполнителям возможность приобретения опыта полномасштабного личного исследования в области математики. В этом описании предпринята попытка не только представить конечный математический результат, но и описать процесс его получения, отделив педагогическую работу руководителя от математической работы исполнителя.

3.1. Принцип отбора исследовательских задач для школьников

В педагогической среде мало обсуждается то обстоятельство, что практически всё население страны приобщено к математике. Действительно, школьники изучают большое количество теорем. Благодаря этому они приобретают первоначальный опыт доказательных рассуждений и полноценной аргументации, которые так нужны в сложной социальной среде любому человеку независимо от его профессии. Студенты математических, естественнонаучных, технических, экономических специальностей продолжают интенсивное изучение теорем, поскольку математика составляет неотъемлемую часть приобретаемой ими профессии. Будущих учителей математики специально обучают методике изучения теорем. Во всех этих случаях речь идёт именно об изучении известных науке теорем, то есть о продукте работы математиков. При этом остаётся в стороне другой, быть может более важный, процесс - процесс изобретения теорем, то есть деятельность математиков.

В повседневной жизни достаточно сложно найти тексты, выявляющие генезис того или иного конкретного математического утверждения, хотя, разумеется, они существуют. Примером может служить книга Ж. Адамара, посвящённая психологии процесса изобретения в области математики. В ней описаны удивительные случаи интуиции, которые привели классиков - Галуа, Пуанкаре, Римана, Ферма и других - к открытиям, повлиявшим на последую-

щее развитие математики. Благодаря этому книга Адамара даёт читателям высокие образцы научного творчества. Парадоксально, но именно высота образцов может привести к тому, что их будет трудно использовать в повседневной, рутинной практике научно-педагогической жизни. Действительно, речь зачастую идёт о таких областях математики, в которых не работает, и никогда не будет работать, так называемый рядовой специалист. Величина интуитивного, внелогического скачка в понимании сущности исследуемого объекта зачастую столь велика, что оказывается недоступной для обычного человека. Ещё более трудной оказывается дидактическая обработка процесса изобретения, с помощью которой преподаватель мог бы приобщить к исследовательской деятельности студентов и школьников. Сосредоточимся на исследовательских задачах для школьников.

Практическому педагогу известно, что школьники, обладающие способностями в области математики, подразделяются, грубо говоря, на два типа. Одни обладают «быстрым» умом, способны в течение ограниченного времени предложить несколько нестандартных идей, выполнить большое количество действий, решить одну или несколько сложных задач. Другие обладают «медленным», но от этого не менее глубоким умом. Для продуктивной работы им требуется время и стимулы для размышлений. Школьники первого типа имеют широкие возможности для реализации своих способностей и потребностей путём участия в математических олимпиадах или играх типа «Математический бой». Возможности школьников второго типа до сравнительно недавнего времени были ограничены. К счастью, теперь они имеют возможность участвовать в научных конференциях школьников.

С 1998 года в г. Ярославле проводится научная конференция школьников «Открытие», поддерживаемая Министерством образования России, Департаментом образования Администрации Ярославской области и Управлением образования мэрии г. Ярославля (см. сайт http://www.edu.yar.ru~pcollege/конференции). Организатором конференции является Провинциальный Колледж, а попросту говоря, одна из школ г. Ярославля. В конференции участвуют школьники 9-11 классов, которые представляют свои доклады на конкурс по различным наукам, таким, как математика, физика, химия, биология, география, а также по целому спектру гуманитарных дисциплин. Ежегодно 500-600 старшеклассников участвуют в кон-

ференции, представляя как центральные, так и весьма удалённые регионы нашей страны. Иногда приезжают иностранные участники, например, из Армении, Чехии, Финляндии.

В течение всех этих лет автор участвовал в конференции в качестве научного руководителя школьников, подготовив при этом более десяти дипломантов различного уровня. Приобретённый опыт подсказывает следующее.

Научный руководитель школьника сталкивается с целым рядом трудностей уже на этапе формулировки задачи. С одной стороны, содержательная математическая задача, которая могла бы считаться научной работой школьника, зачастую труднодоступна или даже недоступна для него, поскольку требует серьёзной предварительной подготовки. С другой стороны, доступная для школьника проблема, пусть даже очень трудная, часто не может рассматриваться как научная работа, даже если сделать поправку на возраст школьника. По мнению автора, одним из методов разрешения данного противоречия может служить выполнение следующего принципа: научная математическая проблема, решаемая школьником, должна иметь своим источником либо материал школьной программы, либо дополнительный материал той же сложности, что и школьная программа.

Некоторые результаты следования этому принципу описаны в статьях [36, 38] и в книге [40]. Он оказался применимым ко многим областям математики. В разные годы школьники под руководством автора получили обобщение игры в «пятнадцать», нашли однопараметрические подгруппы в мультипликативной группе комплексных чисел, выявили некоторые взаимосвязи между неравенствами Ки Фана и геометрическими преобразованиям вещественной прямой, сравнили между собой некоторые теоремы евклидовой и псевдоевклидовой геометрии...

В данной главе содержится описание трёх проектов. Первый из них связан с понятием расстояния. Математическая задача проекта возникла в результате анализа донаучного опыта школьников в восприятии понятия расстояния и содержания школьных учебников. Оказалось, что опыт детей довольно велик, так что на его фоне содержание учебников выглядит достаточно бедным. Второй проект связан попыткой введения числовой меры разносторонности треугольника [41]. Он представляет собой теоретическое осмысление следствий из простого компьютерного эксперимента. Третий

проект связан с классификацией чисел «малых» размерностей, а именно размерностей 2, 3 и 4.

3.2. Расстояние от точки до геометрической фигуры

Настоящий проект начинается с анализа житейского, донаучного опыта школьников в области геометрии. На этом фоне рассматривается содержание школьного учебника геометрии. Выявляется противоречие между достаточно богатым геометрическим опытом детей и относительной простотой (первоначальностью, примитивностью) школьного учебника. Оно и порождает задачу, которая даёт школьнику первоначальный опыт математического исследования.

3.2.1. О пловце, береге и расстоянии от точки до фигуры

Мы начнём наш анализ с шуточного рассказа, из которого сделаем серьёзный геометрический вывод. Значимость нашего рассказа существенно возрастёт, если по его окончании читатель самостоятельно оценит тот минимальный возраст детей, в котором они способны понять его основное содержание. Конец рассказа будет отмечен смайликом ©.

Рассказ. Три друга, Петя, Ваня и Саня, пришли в точку X на берегу морской бухты и поплыли (рис. 23). Едва они отплыли, у Пети свело ногу, поэтому он решил возвратиться на берег. Куда ему нужно плыть, вперёд, назад, направо или налево? Очевидно, что ему нужно плыть назад, потому что ближайшей точкой берега является точка X. При этом Пете придётся проплыть расстояние, равное длине отрезка РХ.

Ваня и Саня поплыли дальше. Когда они приплыли в точку V, Ваня почувствовал сильную усталость, поэтому он решил возвратиться на берег. Куда ему нужно плыть, вперёд, назад, направо или налево? Очевидно, что ему нужно плыть налево, потому что ближайшей точкой берега является точка Y. При этом Ване придётся проплыть расстояние, равное длине отрезка VY.

Саня продолжал плыть вперёд, однако решил держаться поближе к берегу, и правильно сделал. Когда он доплыл до точки S, в лицо ему плеснула высокая волна, он наглотался воды и был вынужден возвратиться на берег. Куда ему нужно плыть, вперёд, назад, направо или налево? Очевидно, что ему нужно плыть напра-

во, потому что ближайшей точкой берега является точка Z. При этом Сане придётся проплыть расстояние, равное длине отрезка SZ. Одинаково ли поступают друзья в сложной или даже критической ситуации? На первый взгляд, они действуют по-разному, потому что один плывёт назад, другой налево, а третий направо. На самом же деле они действуют совершенно одинаково, потому каждый из них плывёт к ближайшей точке берега. Давайте дадим следующее шуточное определение: «Расстоянием между пловцом и берегом называется расстояние от пловца до ближайшей точки берега». ©

Мы видим, что наш рассказ является отнюдь не трудным для восприятия детей, и его основное содержание понятно школьнику и в 8-м, и в 7-м классе, а на самом деле и в более раннем возрасте, нижнюю границу которого трудно определить. Между тем, в процессе рассказа дети сталкиваются со сложным геометрическим объектом. Действительно, спасительный берег может оказаться чрезвычайно изрезанным, может включать с себя криволинейные участки, может иметь вид островков и т.д. Автор исходит из следующего

Рис. 23. Куда плыть?

предположения: житейский, донаучный опыт детей достаточен для того, чтобы осмыслить и понять вышеприведённое шуточное определение.

Сделанное предположение означает, что школьный учебник должен развивать те представления детей, которые сложились у него до начала регулярного изучения расстояний. В определённом, весьма специальном, смысле такого развития не происходит, потому что в курсе планиметрии изучается только расстояние от точки до прямой, а в курсе стереометрии - от точки до плоскости. При этом остаётся непонятым, как измерить расстояние от точки до луча, до отрезка, до окружности и т.п. Другой вопрос, а нужно ли большинству школьников такое углублённое понимание. Здесь мы не обсуждаем данный вопрос, более того, осознаем возможность отрицательного ответа. Однако даже в этом случае изучение расстояний от точки до сложных геометрических фигур может иметь место в виде исследовательской работы школьников. Один из многих возможных проектов был реализован под руководством автора в рамках программы «Открытие».

Итак, после анализа нескольких ситуаций, подобных описанной в рассказе, дети готовы к восприятию следующего определения.

Определение. Расстоянием от точки А до геометрической фигуры $ называется расстояние от точки А до ближайшей к ней точки X фигуры

Очевидно, что это определение не применимо к тем ситуациям, когда фигура % не содержит точки, ближайшей к точке А. Примером может служить открытый круг и любая точка Л, открытый луч и точка А на его продолжении, и вообще такие ситуации возникают достаточно часто. Тем не менее, в рамках данного раздела мы будем пользоваться именно этим определением, потому что оно расширяет житейские представления детей о расстоянии. Если же кто-либо из учеников заметит несовершенство определения, это будет хорошим поводом обсудить его обобщение.

3.2.2. Измерение расстояний, эквидистанты, равноудаленность

Обсудим несколько задач, которые естественным образом вытекают из всего вышеизложенного.

Задача 1. Опишите алгоритм нахождения расстояния от точки до каждой из фигур следующего списка: прямая, луч, отрезок, угол, окружность, треугольник, четырёхугольник.

Обсуждение. 1) Как уже было сказано, понятие расстояния от точки до прямой анализируется в учебнике. Поскольку любая наклонная к прямой длиннее перпендикуляра к ней, расстояние от точки до прямой равно длине отрезка перпендикуляра, проведённого из точки к прямой.

2) Алгоритм измерения расстояния от точки до луча / с вершиной V представлен на рис. 24. Приведём его словесное описание: «Через вершину V луча / проведем вспомогательную прямую, перпендикулярную ему. Эта прямая разделит плоскость на две полуплоскости, одна из которых содержит луч, а друга не содержит его. Если точка С содержится в первой полуплоскости, то расстояние от точки С до луча / равно длине перпендикуляра, опущенного из точки С на луч. Если точка А содержится во второй полуплоскости, то расстояние от точки А до луча I равно длине отрезка AV.»

Очевидно, что рис. 24 и текст в кавычках содержат одну и ту же информацию, закодированную разными способами. Если в процессе занятия сначала появляется рисунок, то текст в кавычках целесообразно рассматривать как алгоритмическое предписание, которое уточняет чертёж. Если же сначала появляется текст, то чертёж служит его визуализацией. По наблюдениям автора, школьникам существенно легче построить чертёж, чем составить объясняющий его текст. Это обстоятельство является хорошим поводом для

Рис. 24. Расстояние от точки до луча

того, чтобы продемонстрировать школьникам неразрывное единство математики и естественного языка, а также выявить взаимосвязь учебных дисциплин «математика» и «русский язык».

Заметим, кстати, что ни рис. 24, ни текст не объясняют, как измерить расстояние от точки до луча, если точка находится на штрих-пунктирной линии. Если это обстоятельство будет замечено школьниками, то возникнет хороший повод обсудить «неполноту» алгоритмического предписания, применимость обеих частей предписания в данном особом случае, принадлежность или непринадлежность границы полуплоскости самой полуплоскости и проч.

3) Очевидно, что для определения расстояния от точки до отрезка нужно провести две вспомогательные прямые, проходящие через его концы и перпендикулярные к нему. Они разобьют плоскость на три области, так что в процессе измерения расстояния возникнет «точка ветвления», в которой нужно будет выбрать один из трёх образов действия. Предлагаем читателю самостоятельно построить чертёж и сформировать поясняющий его текст.

4) Измеряя расстояние от точки до угла, треугольника и четырёхугольника, школьник вынужден комбинировать действия, описанные в пп. 2 и 3. Парадоксально, но мы можем сказать, что сложность измерения увеличивается и не увеличивается одновременно. С одной стороны, количество областей на плоскости увеличивается, а вместе с ним увеличивается количество действий по измерению расстояния. С другой стороны, каждое из этих действий уже было описано в пп. 2 или 3.

5) Измеряя расстояние от точки А до окружности с центром в точке О, нужно построить луч [OA), найти пересечение X луча и окружности, а затем измерить расстояние \АХ\.

Итак, решая задачу 1, школьник развивается, по крайней мере, в двух направлениях. Во-первых, он углубляется в суть понятия «расстояние» и может осмыслить школьные определения с новых позиций. Во-вторых, он видит, что при решении даже простой задачи приходится делать многочисленные дополнительные построения и конструировать их словесные описания. При этом конструирование словесных описаний оказываются отдельным, достаточно сложным литературным упражнением.

Теперь, когда мы умеем измерять расстояние от точки до различных геометрических фигур, мы можем сформулировать две но-

вые задачи: о поиске эквидистанты и о поиске множества точек, равноудалённых от двух данных фигур.

Прежде всего, введём понятие эквидистанты. На первый взгляд, это понятие относится отнюдь не к школе, а к вузовскому курсу оснований геометрии, к тому его моменту, когда студентам рассказывают, что эквидистанта прямой в геометрии Лобачевского не является прямой. С другой стороны, нахождение эквидистанты геометрической фигуры является задачей вполне житейской. Действительно, по какой траектории должен двигаться катер, чтобы находиться на постоянном расстоянии от изрезанной береговой линии? (Этот академический вопрос может приобрести политическое звучание, если неизвестная эквидистанта является границей 200-мильной прибрежной зоны государства.)

Эквидистантой геометрической фигуры называется множество точек (геометрическое место точек, или ГМТ) плоскости, удалённых от данной фигуры на одинаковое расстояние.

Задача 2. Найдите эквидистанты каждой из следующих фигур: точка, прямая, луч, отрезок, угол, окружность, треугольник, четырёхугольник.

Обсуждение. Пусть каждая точка эквидистанты удалена от исходной геометрической фигуры на расстояние г > 0.

1) Очевидно, что эквидистантой точки является либо окружность радиуса г при положительном г, либо точка при г = 0.

2) Очевидно, что при положительном г эквидистанта прямой представляет собой пару прямых, параллельных исходной прямой.

3) Эквидистанты луча и отрезка при положительном г представлены на рис. 25 и 26.

Заслуживает внимания механическое истолкование эквидистанты отрезка. Её можно трактовать как траекторию точки, находящейся на ленте движущегося транспортёра, а также как форму гусеницы трактора. В связи с механической интерпретацией эквидистанты можно решать обратные задачи, например, такую: для какой геометрической фигуры её эквидистанта имеет форму велосипедной цепи?

4) Эквидистанта угла состоит из двух компонент связности (рис. 27). Одна из них находится внутри угла, а другая вне его. Первая представляет собой угол, конгруэнтный исходному, а вторая -«угол со сглаженной вершиной». Мы вновь сталкиваемся с ситуа-

Рис. 25. Эквидистанта луча

Рис. 26. Эквидистанта отрезка

цией, в которой отнюдь не просто дать словесное описание чертежа, понятного с математической точки зрения. Именно нетривиальность такого литературного упражнения в сочетании с его доступностью (математика понятна!) делает это упражнение полезным для школьников.

5) Форма эквидистанты окружности радиуса R зависит от соотношения между г и R. Если 0 < г < R, то эквидистанта состоит из двух концентрических окружностей (рис. 28), одна из которых содержится вне круга, а другая внутри него. С ростом г радиус внешней окружности растёт, а внутренней уменьшается. При достижении равенства г = R внутренняя окружность вырождается в точку (центр исходной окружности), а при г > R внутри исходного круга не остаётся точек эквидистанты.

6) Форма эквидистанты треугольника состоит из двух компонент и зависит от величины г. Компонента эквидистанты, внешняя по отношению к треугольнику, представляет собой «треугольник со

Рис. 27. Эквидистанта угла

Рис. 28. Эквидистанта окружности

сглаженными вершинами», подобно тому, как это имеет место для угла. Внутренняя компонента эквидистанты при «малых» г является треугольником, который гомотетичен исходному. При этом цен-

тром гомотетии является точка пересечения биссектрис. По мере роста г внутренняя компонента эквидистанты сначала уменьшается, затем вырождается в точку (центр вписанной окружности), а затем исчезает. Полезным упражнением для школьника является построения соответствующих чертежей на бумаге или построение динамического чертежа в интерактивной математической среде.

7) Для четырёхугольника вид внутренней компоненты эквидистанты зависит не только от величины г, но и от вида исходного четырёхугольника. С ростом г внутренняя компонента эквидистанты преобразуется по одной из следующих схем: Четырёхугольник -> Треугольник -» Точка -> Пустое множество, Четырёхугольник -» Отрезок -» Пустое множество. Повторимся: для школьника весьма полезно разобраться во всех хитросплетениях между величиной г, формой исходного четырёхугольника и типом вырождения эквидистанты.

Мы видим, что в процессе решения задачи 2 продолжается развитие школьника. Прежде всего, он применяет обобщённое понятие расстояния в конкретных ситуациях. Кроме того, он знакомится с такими понятиями, как эквидистанта, компонента связности, вырождение фигуры. Наконец, он подходит к необходимости строить динамические чертежи, зависящие от одного параметра -расстояния.

Следующая задача проекта в буквальном смысле рождается на страницах школьного учебника. Действительно, в нем содержится теорема о геометрическом месте точке, равноудалённых от концов отрезка, а также теорема о геометрическом месте точек, равноудалённых от сторон угла и лежащих внутри него. В обоих случаях можно сказать, что рассматривается множество точек, равноудалённых от двух геометрических фигур: точки и точки в первом случае и луча и луча во втором случае. На этом фоне естественно рассмотреть следующее обобщение.

Задача 3. Найдите множество точек плоскости, равноудалённых от двух геометрических фигур, если фигуры выбраны из следующего списка: точка, прямая, луч, окружность.

Обсуждение. Решение данной задачи имеет ряд особенностей. Первая из них состоит в том, что школьник сталкивается с необходимостью достаточно детального планирования своего исследования. Первый этап планирования происходит ещё до того, как начинаются какие бы то ни было математические действия.

Во-первых, из списка фигур, предложенного в задаче, можно образовать 10 неупорядоченных пар фигур в соответствии с нижеследующей таблицей.

Точка

Прямая

Луч

Окружность

Точка

1

2

3

4

Прямая

5

6

7

Луч

8

9

Окружность

10

Таким образом, оказывается, что предстоит изучить 10 ситуаций, никак не связанных или слабо связанных друг с другом.

Во-вторых, многие из этих ситуаций требуют дальнейшего планирования своих действий. Например, в случае 10, когда выбраны две окружности а)г и ù)2 радиусов R± и R2 соответственно, необходимо рассмотреть ряд особенностей в соответствии со следующим меню.

1. Радиусы различны.

1.1. Окружности и соответствующие круги не имеют общих точек.

1.2. Окружности касаются внешним образом.

1.3. Окружности пересекаются в двух точках.

1.4. Окружности касаются внутренним образом.

1.5. Одна из окружностей лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью.

2. Радиусы равны.

2.1. Окружности и соответствующие круги не имеют общих точек.

2.2. Окружности касаются внешним образом.

2.3. Окружности пересекаются в двух точках.

2.4. Окружности совпадают.

Таким образом, ситуация 10 распадается, в свою очередь, ещё на 9 случаев.

В-третьих, и это парадоксально, планирование как таковое в некоторых случаях захлёбывается и должно перемежаться с исследованием тех случаев, которые удаётся выделить к данному моменту. Такова, например, ситуация 8, в которой изучается множество точек, равноудалённых от двух лучей. Действительно, два луча могут быть коллинеарны или разнонаправлены. Коллинеарные лучи могут быть сонаправлены или противонаправлены. Противонаправ-

ленные лучи могут лежать на разных прямых или на одной прямой. Противонаправленные лучи, лежащие на одной прямой, могут пересекаться или не пересекаться... Очевидно, что для полного исследования придётся составить многоуровневое меню, которое трудно сконструировать на момент начала решения.

Рис. 29. Равноудалённость от сторон угла

Вторая особенность исследования состоит в том, что промежуточные результаты оказываются непредсказуемыми, причём даже в тех случаях, которые кажутся знакомыми. Рассмотрим, например, множество точек, равноудалённых от двух разнонаправленных лучей с общей вершиной. На первый взгляд, множеством точек, равноудалённых от сторон угла, является его биссектриса. Это действительно так, если иметь в виду только точки, лежащие внутри угла. Если же искать равноудалённые точки на всей плоскости, то в процессе измерения расстояния от точки до луча придётся рассуждать так же, как в п. 1 обсуждения задачи 1. В результате к биссектрисе придётся добавить заштрихованную часть плоскости (рис. 29), ограниченную лучами, перпендикулярными двум исходным лучам.

Третья особенность исследования (неожиданная даже для автора как научного руководителя) состоит в том, что в качестве искомых множеств появляются кривые второго порядка во всем их многообразии. С ними мы сталкиваемся в самом начале исследования при изучении ситуации 2 из таблицы, когда разыскивается множество точек, равноудалённых от точки и прямой. Согласно определению [2, гл. IV] это парабола. Здесь самое время познакомить школьника с вузовским учебником по аналитической геометрии, вывести уравнение параболы или изучить его вывод по учебнику, и вообще предпринять какие-либо действия, расширяющиеся кругозор школьника и адекватные педагогической ситуации.

Рис. 30. Равноудаленность от непересающихся окружностей

Парабола не является единственным примером. Перейдём к ситуации 10, в которой изучается множество точек плоскости, равноудалённых от двух окружностей. Рассмотрим, например, окружности из пункта 1.1 меню, то есть окружности разных радиусов, у которых соответствующие замкнутые круги не имеют общих точек (рис.30).

Пусть X - произвольная точка искомого множества. Вид этого множества можно получить, если рассмотреть следующую цепочку эквиваленций:

Последнее утверждение этой цепочки означает, что разность расстояний от произвольной точки X до двух фиксированных точек 0г и 02 есть величина постоянная. Согласно определению [2, гл. IV] это гипербола (точнее, одна из её ветвей) с фокусами 0гя 02.

В качестве другого примера рассмотрим окружности из пункта 1.3 меню, то есть окружности разных радиусов, пересекающиеся в двух точках (рис. 31). Пусть X - произвольная точка искомого множества, лежащая в объединении кругов, но не лежащая в их пересечении. Вид этого множества можно получить, если рассмотреть следующую цепочку эквиваленций:

Рис. 31. Равноудалённость от пересекающихся окружностей-1

Последнее утверждение этой цепочки означает, что сумма расстояний от произвольной точки X до двух фиксированных точек 0г и 02 есть величина постоянная. Согласно определению [2, гл. IV] это эллипс с фокусами 0±я 02.

Итак, три основные кривые второго порядка мы получили единообразным способом как множества точек, равноудалённых от двух геометрических фигур. Распавшиеся кривые второго порядка могут быть получены тем же способом.

Здесь естественным образом возникает ситуация, которая требует от школьника выхода за границы имеющихся у него знаний и рассмотрения ситуации с некоей более высокой точки зрения. Для этого нужно просто продолжить исследование двух пересекающихся окружностей и найти точки из пересечения кругов, которые равноудалены от окружностей (рис. 32). Пусть X - произвольная точка искомого множества. Вид этого множества можно получить, если рассмотреть следующую цепочку эквиваленций: р(Х, сог) = р(Х, о)2) ^ХА=ХВ <=> 0гА - 0±Х = 02В - 02Х <^> Rt - 0гХ = R2- 02Х <=> 0гХ - 02Х = R1 - R2. Вновь мы видим, что искомые точки X лежат на гиперболе с фокусами 0г и 02. Если искать равноудаленные точки вне объединения кругов, то мы придём к той же гиперболе.

Окончательно мы получаем, что искомое множество является объединением эллипса и гиперболы.

Здесь возникает «точка роста» для школьника-математика, проходя которую он существенно расширяет границы своих предыдущих знаний. Действительно, он узнал, что эллипс и гипербола задаются уравнениями — + — = 1 и —--- = 1 соответственно, в силу чего являются кривыми второго порядка. А далее нужно использовать школьные знания! Поскольку искомое множество является объединением кривых, то оно должно задаваться либо совокупно-

Рис. 32. Равноудалённость от пересекающихся окружностей-2

стью двух предыдущих уравнений, либо единым уравнением

(fi + ^2 — 1 ) i~î — ~1 — = 0.

Последнее уравнение и означает, что искомое множество является кривой четвертого порядка, более точно, распавшейся кривой.

3.2.3. Педагогическая рефлексия

Очевидно, что в любом проекте существуют барьеры, без преодоления которых возникновение и/или дальнейшее развитие проекта невозможно. В нашем случае таким барьером является работа научного руководителя, осуществляемая им до начала проекта. Действительно, руководитель должен проанализировать содержание школьного учебника с более высоких, чем обычно, математических позиций, должен понять, что понятие расстояния от точки до сложной геометрической фигуры вполне доступно для школьника, должен придумать методику введения общего определения... Кратко говоря, руководитель должен проделать целый ряд неформализуемых действий, направленных на постановку математической задачи для школьника.

Школьник - исполнитель проекта - вольно или невольно существенно расширяет свой математический арсенал. Даже если говорить только о понятиях, то он знакомится с обобщением понятия расстояния, с обобщением понятия равноудалённости, с определением эквидистанты, с представлением о вырождении геометрической фигуры, с представлением о кривых различных порядков. Однако более важным, с нашей точки зрения, является процесс приобретения навыков научной деятельности: участие в постановке задач, планирование своей работы, скрупулёзная проработка пунктов плана, получение вышеупомянутых обобщений... Разумеется, на уровне школы процесс приобретения навыков научной деятельности находится в самом начале, однако ситуация начала неизбежна, а научная задача, рождённая на страницах учебника, чрезвычайно полезна для интеллектуального развития школьника.

3.3. Числовая мера разносторонности треугольника

Настоящий проект имеет несколько особенностей, которые могут показаться интересными. Во-первых, математическая задача основана на чрезвычайно простых соображениях и не требует для своей формулировки практически никакой предварительной подготовки. Во-вторых, основная идея решения возникает в результате

компьютерного эксперимента, необходимость которого отнюдь не вытекает из формулировки задачи и целесообразность которого, вообще говоря, не очевидна. В-третьих, оттолкнувшись от эксперимента, исследование школьника течет в сугубо теоретическом русле [41].

3.3.1. Постановка задачи

Представим себе, что на вертикальной стене нарисован равнобедренный треугольник ВАС с горизонтальным основанием АС длиною 1 м и вертикальной высотой В M длиною 1,5 м.

Будем смещать вершину В параллельно основанию. Более точно, рассмотрим три её положения: 1) Въ где ВВг = 1 мм; 2) В2, где ВВ2 = 2 см; 3) В3, где ВВ3 = 40 см. Нарисуем треугольники ВХАС, В2АС и В3АС, а боковые стороны исходного треугольника сотрем.

Можно с уверенностью сказать, что человек со стандартным глазомером сочтёт разносторонний треугольник ВгАС равнобедренным. Возможно, он не заметит разносторонность треугольника В2АС. Если же подозрения в разносторонности возникнут, то их можно будет легко подтвердить, найдя с помощью отвеса высоту В2Н и убедившись с помощью нити того же отвеса, что H не является серединой стороны АС. Что же касается треугольника В3АС, то он изначально будет восприниматься как разносторонний и не будет находиться в ассоциативной связи с каким бы то ни было равнобедренным треугольником.

Обобщённо говоря, на интуитивном уровне человек ощущает, что три разносторонних треугольника ВгАС, В2АС и В3АС являются разносторонними как-то «по-разному», что они имею различные «количества разносторонности».

Слова в кавычках, будучи интуитивно понятными, не обладают точным математическим смыслом. Так возникает математическая

Задача 1. Ввести числовую меру разносторонности треугольника и изучить её свойства.

3.3.2. Наблюдение и основное определение

Один из подходов к решению задачи подсказывает наблюдение за динамическим чертежом, который можно создать в какой-либо интерактивной математической среде, например, в GeoGebra.

Изобразим равнобедренный треугольник В0АС и отметим середину M его основания АС (рис. 33).

Через точку В0 проведем прямую параллельную основанию, и отметим на ней точку В. Построим треугольник ВАС, проведем биссектрису BS угла В и совместим точку В с точкой В0. Двигая точку В вдоль прямой I (скажем, «направо»), будем наблюдать за движением точки 5.

Очевидно, что в исходный момент времени точка S будет совпадать с точкой М. В начале движения точки В точка S будет удаляться от точки M, а затем начнет приближаться к ней. По мере удаления точки В «в бесконечность» точка S будет неограниченно приближаться к точке М, но никогда не будет совпадать с ней.

Дадим геометрическое истолкование наблюдаемым физическим явлениям.

В самом начале движения длина отрезка В А увеличивается, а длина отрезка ВС уменьшается. Следовательно, отношение — возрастает, а значит, возрастает и равное ему отношение —. В силу возрастания этого последнего отношения происходит удаление точки S от точки М. Образно говоря, треугольник ВАС становится все менее и менее «похож» на равнобедренный.

По мере того, как точка В уходит все дальше и дальше, начинает превалировать другой фактор. Очевидно, что самая длинная сторона В А удовлетворяет неравенству В А < ВС + CA, откуда сле-

Рис. 33. Как движется основание биссектрисы?

дует, что В А — ВС < CA и--1 < —. В процессе движения точки В длина стороны CA остается постоянной, а длина стороны ВС стремится к бесконечности, откуда следует, что--> О и--1 -> О, а значит,--> 1. Образно говоря, последнее соотношение можно истолковать так: треугольник ВАС становится все более и более «похож» на равнобедренный треугольник с «почти равными» сторонами В А я ВС.

Итак, сделанное наблюдение показывает, что сходство или несходство треугольника ВАС с равнобедренным связано с величиной расстояния MS между основаниями медианы и биссектрисы.

Дадим теперь точные определения.

Определение 1. Медианно-биссектральной частью стороны треугольника называется отрезок, концами которого являются основания медианы и биссектрисы, проведённые к этой стороне.

Для краткости будем называть их mô-частью или w^-отрезком стороны треугольника.

Определение 2. Индексом разносторонности угла А называется число, равное отношению длины wè-части противоположной стороны к этой стороне.

Отметим одно неочевидное обстоятельство: определение индекса разносторонности угла похоже на определение давления в физике. Действительно, давление р, производимое силой F на фигуру площади S, измеряется по формуле р = -, то есть представляет собой силу, приходящуюся на единицу площади. Подобно этому, индекс разносторонности представляет собой ту часть тб-отрезка, которая приходится на единицу длины стороны треугольника.

Условимся в дальнейшем употреблять следующие обозначения.

1) Будем считать, что против углов треугольника АБС лежат стороны а, Ь, с соответственно, для которых выполняется соотношение

а<Ь <с. (1)

2) Длину wè-части стороны а будем обозначать через Аа.

3) Индекс разносторонности угла А будем обозначать через iA. В наших обозначениях

3.3.3. Свойства индексов разносторонности

Первые два утверждения связывают стороны треугольника с его индексами разносторонности.

Предложение 1. Стороны треугольника и его индексы разносторонности связаны формулами

(3)

Доказательство. Для всех сторон треугольника запишем теорему о делении этой стороны биссектрисой противолежащего угла (рис. 34).

Рис. 34. Медианно-биссектральные отрезки

Получим, что

В первой из формул (4) числитель и знаменатель правой части почленно поделим на а. В силу формулы (2) получим первую из формул (3). С двумя другими формулами можно поступить аналогично, с той разницей, что делить нужно на с и Ъ соответственно.

Теорема 2. Индекс разносторонности угла треугольника выражается через длины образующих его сторон по формулам

(5)

Доказательство. Если к первой из формул (3) применить основное свойство пропорции и выразить из полученного равенства индекс iA, то получим первую из формул (5). Остальные формулы получаются аналогично.

Следствие. Индексы разносторонности углов треугольника принадлежат промежутку [0; 0,5)

Доказательство непосредственно следует из формул (5).

Следующие три утверждения связывают индексы разносторонности и понятие подобия треугольников.

Предложение 3. Если треугольники ABC и А'В'С' подобны, то индексы разносторонности соответствующих углов равны.

Доказательство. Если коэффициент подобия равен /с, то по определению а' = ка, Ъ' = kb и с' = кс. С помощью первой из формул (5) получаем, что

Остальные формулы получаются аналогично.

Предложение 4. Если два индекса разносторонности треугольника АБС соответственно равны двум индексам разносторонности треугольника А'В'Сто такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть для определённости выполняются равенства iA = iA, и iB = iBl. Из первого равенства следует, что - —— = - ■ . Домножим равенство на 2, применим основное свойство пропорции, раскроем скобки и приведём подобные члены.

Получим, что сЬ' = с'Ь, откуда — = —. Аналогично из второго ра-

венства получаем, что — = —. И двух полученных пропорций вытекает подобие треугольников.

Доказательство для других пар равных индексов проводится аналогично.

Интересно, что предложение 4 по своей логической структуре похоже на признак подобия треугольников по двум углам.

Предложение 5. Индексы разносторонности определяют стороны треугольника с точностью до подобия.

Доказательство. В формулах (3) придадим стороне b конкретное значение 1. Тогда из них следует, что с = ——— и а = ——-. Окончательно получаем, что а:Ь:с = ——- : 1: ———. Аналогичные результаты получаются, если придавать конкретное значение не параметру b, а другим параметрам.

Следующее утверждение связывает между собой все три индекса разносторонности.

Теорема 6. Индексы разносторонности треугольника удовлетворяют равенству

U - 1в + ic - 4iAiBic = 0. (6)

Доказательство. Первую из формул (3) умножим на вторую и поделим на третью. Получим равенство - • - : - = — i • _, : _. , из которого следует, что

(7)

Применив к полученному равенству основное свойство пропорции, раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим требуемое равенство (6).

В определённом смысле можно считать, что теорема 6 аналогична теореме о сумме углов треугольника. Действительно, зная два индекса разносторонности треугольника, можно по формуле (6) найти третий индекс, подобно тому, как по двум углам треугольника можно найти третий.

И формула (6), и в особенности формула (7) показывают, что индекс разносторонности среднего по величине угла В играет особую роль по отношению к другим индексам. Это будет выявлено с

помощью следующих двух утверждений о сравнении различных индексов.

Предложение 7. Если стороны треугольника удовлетворяют соотношению а < Ъ < с, то для индексов разносторонности выполняются неравенства

iB > iA и iB > ic. (8)

Доказательство. Поделив индекс iB на индекс iA, получим, что

В силу условия теоремы каждая из дробей в правой части равенства больше единицы или равна ей, поэтому -г- > 1 и iB > iA.

Второе неравенство доказывается аналогично.

Итак, чуть-чуть упрощая ситуацию, можно сказать, что средний по величине угол обладает наибольшим индексом разносторонности.

Следующий пример показывает, что соотношение типа «больше-меньше» между индексами разносторонности самого маленького и самого большого угла треугольника не является общим для всех треугольников.

Пример 1. Для каждого из треугольников Тг,Т2 и Т3, стороны которых заданы в таблице, вычислите индексы разносторонности углов и сравните их по величине.

а

Ъ

с

24

36

52

24

36

56

24

36

54

Решение. 1) Прямым вычислением по формулам (5) получаем, что индексы разносторонности треугольника 7Х принимают значения , так что выполняется неравенство 2) Для треугольника Т2 значения индексов другие: iA = —, ic = — и iß = —, так что выполняется другое неравенство:

3) Для треугольника Т3 значения индексов самые интересные: 1а = То' 1с = w и lß = 26, поэтому одно из неравенств превращается в равенство: iA = ic < iB.

Итак, мы видим, что разные по величине углы могут иметь одинаковые индексы разносторонности. Объяснение данного феномена даёт следующее утверждение.

Предложение 8. Пусть стороны треугольника удовлетворяют соотношению а < b < с. Тогда справедливы следующие утверждения. 1) iA < ic тогда и только тогда, когда среднее геометрическое сторон а и с меньше средней стороны Ъ. 2) iA > ic тогда и только тогда, когда среднее геометрическое сторон а и с больше средней стороны Ь. 3) iA = ic тогда и только тогда, когда среднее геометрическое сторон а и с равно средней стороне Ъ.

Доказательство. Докажем первое утверждение. В силу формул (5) неравенство iA < ic равносильно неравенству < ^-j-^.

Пользуясь основным свойством пропорции, раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим неравенство ас < Ь2, откуда и следует требуемое.

Два других утверждения теоремы доказываются аналогично.

Утверждение 3 предложения 8 можно трактовать как аналог теоремы Пифагора для треугольников с равными индексами разносторонности iA и ic. Действительно, оно означает, что ас = Ь2. Другими словами, для треугольников с равными индексами разносторонности обращается в нуль квадратичная форма f(a, b, с) = ас — Ь2, подобно тому, как для прямоугольных треугольников обращается в нуль другая квадратичная форма, а именно, д(а,Ъ,с) = а2 + Ъ2-с2.

Следующие два предложения выявляют геометрические следствия, вытекающие из достижения равенства в неравенствах (8).

Предложение 9. Пусть стороны треугольника удовлетворяют соотношению а < b < с. 1) Если iB = iA, то ic = 0 и а = Ь, то есть треугольник является равнобедренным. 2) Если iB = ic, то iA = 0 и b = с, то есть треугольник является равнобедренным. 3) Если все три индекса разносторонности равны между собой, то треугольник является равносторонним.

Доказательство. 1) Если в формуле (6) положить iB = iA, то она примет вид ic — 4iAic = 0, откуда ic(l — 4iA) = 0. Второй

сомножитель отличен от нуля в силу следствия из теоремы 2, поэтому ic = 0. По второй из формул (5) получаем, что а = Ь.

Доказательство второго утверждения получается аналогично. Третье утверждение следует из первых двух.

Следующее утверждение является обратным к предложению 9.

Предложение 10. Если индекс разносторонности самого малого или самого большого угла равен нулю, то два других индекса разносторонности равны между собой и треугольник является равнобедренным. Если индекс разносторонности среднего по величине угла равен нулю, то два других индекса тоже равны нулю и треугольник является равносторонним.

Доказательство. Если iA = 0, то по формуле (6) iB = ic, а если ic = 0, то по той же причине (6) iB = iA. Если в формулах (8) положить iB = 0, то два других индекса тоже обратятся в ноль.

Следующее предложение показывает возможность построения нового треугольника, в определённом смысле ассоциированного с исходным треугольником.

Теорема 11. Если длины трёх отрезков численно равны индексам разносторонности углов какого-либо разностороннего треугольника, то из них можно построить новый треугольник.

Доказательство. Если в левой части формулы (6) отбросить неотрицательный член 4iAiBic, то она превратится в неравенство Ïa ~ h + ic > 0> или iB < iA + ic. В силу предложения 7 получается, что самый длинный отрезок меньше суммы двух других, откуда вытекает возможность построения нового треугольника.

Следующий пример выявляет существенное отличие между индексами разносторонности и длинами тЪ-отрезков: из тЪ-отрезков далеко не всегда можно построить новый треугольник.

Пример 2. Для каждого из треугольников Тг и Т2, стороны которых заданы в таблице, вычислите длины mô-отрезков и сделайте выводы.

а

Ъ

с

3

4

6

т2

0,24

1

1,2

Решение. 1) Для треугольника Tt прямым вычислением по формулам (2) и (5) получаем, что Аа = а • iA = | ■ = ^ ■ = 0,3.

Аналогично получаем, что Ль = - ~ 0,66, Дс = - ~ 0,43. Очевидно,

что самый длинный тЬ-отрезок Дь короче суммы двух других тЪ-отрезков, поэтому из них можно построить треугольник.

2) Для треугольника Т2 ситуация оказывается иной. Действительно, Да = — « 0,01, Дь = - « 0,33 , Дс = — « 0,37. Очевидно, что самый длинный wè-отрезок Дс длиннее суммы двух других mb-отрезков, поэтому из них невозможно построить треугольник.

3.3.4. В поисках «самого неправильного» треугольника

До сих пор мы определяли индексы разносторонности отдельных углов треугольника, однако не определяли меру разносторонности треугольника в целом. Сформулируем её определение.

Определение 3. Индексом разносторонности треугольника АБС, стороны которого удовлетворяют соотношениям а < b < с, называется число

I :=iA-iB + ic. (9)

С геометрической точки зрения в определении 3 речь идёт об алгебраической сумме сторон треугольника из предложения 11 : из суммы двух коротких сторон треугольника вычитается самая длинная его сторона.

Предложение 12. Индекс разносторонности треугольника принадлежит промежутку [0; 1).

Доказательство немедленно следует из того факта, что каждый из индексов разносторонности угла принадлежит промежутку [0; 0,5).

Заметим, что оценка сверху является весьма грубой и ниже будет существенно уточнена.

Теорема 13. Индекс разносторонности треугольника равен нулю тогда и только тогда, когда треугольник является равнобедренным.

Доказательство. В силу формулы (6) определение индекса разносторонности треугольника может быть переписано в виде I := iA — iB + ic = 4iAiBic. Если / = 0, то один из сомножителей последнего произведения равен нулю, а это значит, что треугольник является равнобедренным. Обратно, если треугольник является равнобедренным, то один из сомножителей равен нулю, а значит и / = 0.

Предложения 9 и 13 означают, что для равнобедренных треугольников достигается нижняя граница того числового промежут-

ка, которому, согласно предложению 12, должен принадлежать индекс разносторонности треугольника. Поставим теперь задачу о точном определении верхней границы индекса разносторонности треугольника.

Задача 2. Какова точная верхняя грань индекса разносторонности / треугольника? Достигается ли она?

Образно говоря, мы решаем задачу о том, «насколько разносторонним» может быть треугольник и существует ли «самый разносторонний» треугольник.

Прежде всего, введём необходимые обозначения, переводящие задачу 2 на язык формул.

Пусть средняя сторона Ъ = 1. Тогда две другие стороны треугольника удовлетворяют неравенствам 0<а<1<сиа + 1>с. Это означает, что для решения задачи 2 нужно будет установить наличие или отсутствие глобального экстремума функции / в незамкнутой ограниченной области V (рис. 35), задаваемой системой неравенств

(10)

Рис. 35. Область для поиска глобального экстремума

Начнём с того, что решим вспомогательную задачу.

Задача 2'. Найдите глобальный экстремум функции / в замкнутой ограниченной области 2), задаваемой системой неравенств

(11)

Решение задачи основано на трёх леммах.

Лемма 1. Функция / не имеет локальных экстремумов внутри области Ъ.

Доказательство. Прежде всего, выразим функцию / через стороны треугольника. По формулам (9) и (5) получим, что

Ка, с) = —---— + —— . (12)

Функция / представляет собой сумму рациональных функций от двух аргументов, которая не обращается в нуль внутри области D. В силу этого в экстремальной точке, если таковая существует, должны обращаться в нуль частные производные — и —.

Применяя формулы дифференцирования и приводя подобные члены, находим, что — = -——-— и — = -————. Приравняв к нулю частные производные, получим систему Г(с-1)(а2-с) = 0 Она распадается на совокупность четырех систем и дает два решения: а = с = 0ио = с=1. Первая точка лежит вне области 2), а вторая - на ее границе, что и доказывает лемму.

Лемма 2. На горизонтальной и вертикальной частях границы области D функция / тождественно равна нулю.

Доказательство. На горизонтальной части границы с = 1, поэтому формула (12) принимает вид I(a, 1) = 0. На вертикальной части границы а = 1, поэтому формула (12) принимает вид /(1, с) = 0.

Заметим, что лемму 2 можно вывести из геометрических соображений, поскольку горизонтальная и вертикальная части границы области Ъ соответствуют равнобедренным треугольникам.

Лемма 3. Наклонная часть границы области V содержит точно одну точку локального экстремума а. При этом точка а является корнем уравнения а4 — 2а3 — 7а2 — 2а + 1 = 0, принадлежит интервалу (0; 1) и представляет собой точку локального максимума.

Доказательство. Для наклонной части границы области Ъ выполняются соотношения 0<о<1ис = От1, поэтому формула (12) принимает вид

(13)

Дифференцируя функцию ср, получим, что ер'(а) = ^а+2у + — — Приводя дроби к общему знаменателю, а затем приводя подобные члены, получим, что (р (а) = --—-—-—.

Очевидно, что для поиска точек экстремума функции (р нужно найти корни и промежутки знакопостоянства многочлена f(x) = х4 — 2х3 — 7х2 — 2х + 1. Это можно сделать разными способами.

Прежде всего, можно построить в интерактивной математической среде график многочлена /(х) = х4 — 2х3 — 7х2 — 2х + 1 и наглядно увидеть, что он имеет точно один корень на отрезке [0; 1]. Приближенное с недостатком значение этого корня с точностью до 10 знаков получено нами в среде GeoGebra. Оно таково: а « 0,2559980601.

Кроме того, можно вычислить значения многочлена f(x) в точках —2,-1,0,1,3,4 и по чередованию знаков убедиться, что многочлен имеет точно один корень на каждом из отрезков [—2; —1], [—1; 0], [0; 1], [3; 4]. Приближенное значение корня на отрезке [0; 1] можно найти любым из известных методов.

Наконец, можно решить уравнение х4 — 2х3 — 7х2 — 2х + 1 = 0 методом Феррари и выразить в радикалах точное значение корня а.

Теперь решение задачи 2 может быть сформулировано в виде следующей теоремы.

Теорема 14. Точная верхняя грань множества значений индекса разносторонности / треугольника по незамкнутой области D равна 1(а, а + 1). Она не достигается.

Доказательство. 1) Из лемм 1-3 следует, что точка с координатами Е(а, а + 1) является точкой глобального экстремума функции / в замкнутой области D, поэтому для любой точки Г (а, с) G Ъ выполняется неравенство 1(а, а + 1) > /(а, с).

2) Соединим точки Е и Т отрезком. В силу непрерывности функции / в области D она принимает все значения между I(a, а + 1) и /(а, с).

3) Из двух предыдущих пунктов доказательства следует, что число 1{а, а + 1) является точной верхней гранью изучаемого множества. Поскольку неравенство в первом пункте доказательства является нестрогим, точная верхняя грань не достигается.

Следствие 1. Индекс разносторонности треугольника принадлежит промежутку [0; 1(а, а + 1)) и принимает все значения из этого промежутка.

Сформулируем не вполне строгий, «вольный», качественный результат решения задачи 2. Он состоит в том, что «самого разностороннего» треугольника не существует в природе, и что для любого треугольника можно построить другой треугольник с большим индексом разносторонности.

Следствие 2. Точная верхняя грань множества значений индекса разносторонности приближённо равна 0,022228.

Доказательство. По теореме 14 получаем, что

В заключение приведём алгоритм построения динамического чертежа, с помощью которого можно строить треугольники, у которых значения индекса разносторонности приближаются к верхней грани.

1. С помощью инструмента Отрезок с фиксированной длиной постройте вспомогательный отрезок длины а, выбрав при этом достаточно точное значение числа а.

2. С помощью инструмента Отрезок с фиксированной длиной постройте отрезок АС длины 1.

3. С помощью инструмента Циркуль постройте окружность радиуса а с центром в точке С.

4. С помощью инструмента Точка на объекте постройте точку В на окружности.

5. С помощью инструмента Отрезок постройте отрезки AB и СВ.

Треугольник ABC является искомым. При стремлении точки В вдоль окружности к точке пересечения окружности с продолжением

стороны АС индекс разносторонности треугольника будет стремиться к своей точной верхней грани.

3.3.5. Педагогическая рефлексия

Нетрудно видеть, что с технической точки зрения материал подразделов 3.3.1-3.3.3 является весьма простым и вполне доступен для школьников 8 класса. Несколько сложнее раздел 3.3.4, однако автор убеждён, что при помощи научного руководителя одарённый старшеклассник вполне может освоить его содержание.

Здесь с неизбежностью встаёт вопрос о мере той помощи, которую вправе оказывать научный руководитель, потому что вопрос этот порождает неприятную и трудноразрешимую дилемму. С одной стороны, можно было бы предложить школьнику «не просчитанную» задачу, решение которой до конца неизвестно даже научному руководителю. В этом случае его работа вполне может называться научной, однако весьма велика вероятность того, что команде «руководитель-ученик» не удастся получить сколько-нибудь значимых результатов. Было бы неэтичным подвергать команду серьёзному риску неудачи. С другой стороны, если предложить школьнику хорошо просчитанную задачу, то возникает вопрос об авторстве полученного результата. Излагая на конференции школьников «собственный» научный результат, ученик может внутренне осознавать свою несамостоятельность, а такая коллизия может нанести серьёзный ущерб нравственному воспитанию молодого человека.

По-видимому, в настоящее время вопрос о мере допустимой помощи школьнику не имеет общепринятого решения, так что каждый руководитель отвечает на него в соответствии с собственным опытом и мировоззрением. Автор с удовольствием высказывает своё субъективное мнение о том, что в большинстве случаев вышеупомянутая дилемма разрешается достойно.

3.4. Гиперкомплексные числа малых размерностей. Часть 1

3.4.1. Предварительные замечания

Проект, описанный в данном разделе, отличается от двух предыдущих в целом ряде отношений. Если предыдущие проекты относились к геометрии, то в настоящем проекте решались чисто алгебраические задачи. Кроме того, каждый из предыдущих проектов был реализован в течение одного года одним исполнителем, в то

время как настоящий проект был рассчитан на двух исполнителей, которые работали над ним в течение двух последних классов школы. Другими словами, проект занял три года (2002-2003 и 2003-2004 учебные года). Третье отличие состоит в «возрастной ориентации» проекта, если так можно выразиться. Геометрические проекты рождались буквально на страницах учебника и не требовали от школьника дополнительной информации. Они вполне могли быть реализованы юношей/девушкой из 8-го или 9-го класса. Алгебраический проект был ориентирован на учащихся старших классов. В нем использовалась серьёзная дополнительная литература [13], которая, впрочем, «рассчитана на учащихся математических школ и просто всех интересующихся математикой» [13, с. 5]. Содержание проекта сознательно было выбрано настолько сложным, чтобы его реализация потребовала от исполнителей всего их интеллектуального багажа и серьёзных волевых усилий.

Здесь автор должен признаться, что как руководитель проекта он допустил ошибку, которая, к счастью, не оказалась фатальной. Дело в том, что восприятие необходимой математической информации и решение основных задач оказалось несколько более трудным для исполнителей, чем это предполагалось в начале работы. Впрочем, эти трудности были преодолены благодаря большой концентрации школьников и методическим усилиям руководителя. В нашей ситуации в полной мере подтвердилась мысль основателя кибернетики Н. Винера: «Математика - наука молодых. Иначе и быть не может. Занятия математикой - это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости» [6, с. 37].

В нижеследующем описании проекта причудливым образом переплелась информация двух типов. С одной стороны, часть сведений о гиперкомплексных числах была усвоена школьниками стандартным учебным способом, то есть из лекций и практических занятий научного руководителя и из чтения книг. С другой стороны, самая важная часть информации была получена школьниками самостоятельно в процессе решения ими исследовательских задач. Для того чтобы ярче высветить личные результаты школьников, мы используем следующий приём: текст, содержащий описание работы руководителя и учебную информацию, будет отмечен вертикальной чертой на полях. Это соглашение будет действовать на протяжении разделов 3.4.2 и 3.4.3.

3.4.2. Двумерные алгебры и первая классификационная теорема

С самого начала работы было ясно, что для реализации проекта исполнителям потребуется освоить существенный дополнительный материал. Для его освоения в условиях ограниченных временных ресурсов была выбрана следующая структура работы.

Комплексные числа были изучены в сентябре, то есть задолго до того времени, которое было предусмотрено программой математической школы. Для единообразия изложения и введения необходимых обозначений приведём схему изложения теории комплексных чисел. Сразу скажем, что источники информации для школьников были сознательно выбраны контрастными в следующем смысле: лекционное изложение делало акцент на формальной стороне теории, а необходимые мотивировки и содержательные подходы извлекались ими из книги [13], чтение которой считалось обязательным. Разумеется, руководитель не жалел времени на сопоставление двух подходов, если это было необходимо.

Итак, комплексным числом называется выражение вида z = а + Ы, где a, b G R. и i £ Ж.

Сложение комплексных чисел z = a + binu = c + di определяется покомпонентно, то есть с помощью равенства

z + и := (а + с) + (Ь + d)i.

Всюду в дальнейшем будет подразумеваться, что сложение, в каких бы алгебрах оно ни происходило, определено покомпонентно.

Умножение комплексных чисел определяется с помощью равенства

zu = (а + bï)(c + di) ••= (ас — bd) + (ad + bc)i. (1)

Теорема 1. Свойства сложения и умножения комплексных чисел являются теми же самыми, что и свойства сложения и умножения действительных чисел:

1) сложение коммутативно, ассоциативно, имеет нейтральный элемент 0 = 0 + 0Î, любой элемент z обратим в том смысле, что существует элемент и, который в сумме с z дает 0;

2) умножение коммутативно, ассоциативно, имеет нейтральный элемент 1 = 1 + 0£, любой ненулевой элемент z обратим в том смысле, что существует элемент и, который в произведении с z дает 1;

3) умножение дистрибутивно относительно сложения.

В процессе изучения часть свойств была доказана на лекциях, а другая часть получена школьниками самостоятельно.

Следующая теорема непосредственно вытекает из формулы (1).

Теорема 2. Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами.

i)i2 = -i;

2) Чтобы умножить комплексное число на вещественное, нужно каждый компонент комплексного числа умножить на вещественное число.

3) Если оба комплексных сомножителя z и и являются вещественными числами, то их произведение, определяемое формулой (1), совпадает с умножением действительных чисел.

Доказательство. 1) Прямым вычислением по формуле (1) получаем, что

£2 = i. i = (о + li)(0 + 10 = (0 ■ 0 - 1 ■ 1) + (0 ■ 1 + 1 ■ 0)i = -1 + 0i = -1.

2) Вещественность комплексного числа z означает, что z = а + 0L Подставляя Ъ = 0 в формулу (1), получим, что (а + 00(с + dl) •= (ас — 0 ■ d) + (ad + 0 ■ c)i = ас + adi.

3) Третье утверждение получается аналогично.

По завершении построения алгебры (С комплексных чисел школьникам были предъявлены две другие, «родственные» им алгебры: алгебра Ю)© двойных чисел и алгебра Онд дуальных чисел. (В обозначениях участвуют две первые буквы английских слов double - двойной и dual - дуальный.)

Двойным числом называется выражение вида z = а + bj, где а, Ъ G Ж и у £ IRL Сложение двойных чисел z = а + bj и и = с + dj определяется покомпонентно, а умножение - с помощью равенства

zu = (а + bj)(c + dj) '•= (ас + bd) + (ad + bc)j. (2)

Дуальным числом называется выражение вида

z = а + be, где a, b G Ж и г g IRL

Сложение дуальных чисел z = a + &£ я и = с + de определяется покомпонентно, а умножение - с помощью равенства

zu = (а + Ье)(с + de) ••= ас + (ad + Ьс)г. (3)

Первая задача носила, если так можно выразиться, общенаучный характер.

Задача 1. Попарно сравните три алгебры: комплексные числа (С, двойные числа D© и дуальные числа Ю)м.

Обсуждение. В определённом смысле программа действий школьников достаточно очевидна. Действительно, сравнить два объекта - это значит выявить их сходные и различные свойства. При этом длинный список свойств комплексных чисел был получен ранее. Это означает, что нужно было рассмотреть каждое из свойств комплексных чисел из теорем 1 и 2 и проверить, выполняется ли оно в алгебре двойных (дуальных) чисел. Таким образом, программа действий является хотя и обширной, но достаточно простой, особенно если учесть, что образец действий по проверке того или иного свойства был предъявлен при изучении комплексных чисел.

В результате школьники получили следующие утверждения.

Теорема 3. 1) Элемент z = х + у] G ED© необратим по умножению тогда и только тогда, когда у = +х.

2) Мнимая единица ] обладает свойством j2 = 1.

3) Остальные свойства комплексных чисел, фигурирующие в теоремах 1 и 2, справедливы для алгебры двойных чисел.

Образно говоря, двойные числа отличаются от комплексных в двух отношениях: в них «много» элементов, необратимых по умножению, и мнимая единица имеет иное характеристическое свойство.

Теорема 4. 1) Элемент z = х + у s G Dm необратим по умножению тогда и только тогда, когда х = 0.

2) Мнимая единица г обладает свойством г2 = 0.

3) Остальные свойства комплексных чисел, фигурирующие в теоремах 1 и 2, справедливы для алгебры дуальных чисел.

Вновь мы можем сказать, что дуальные числа отличаются от комплексных в двух отношениях: в них «много» элементов, необратимых по умножению, и мнимая единица имеет иное, уже третье по счету, характеристическое свойство.

Здесь наступает один из психологически важных моментов проекта, потому что школьники сталкиваются с необычной, новой для себя ситуацией. Дело в том, что на координатной плоскости хОу каждый радиус-вектор г = (х, у) с координатами х и у может быть истолкован тремя разными способами: как комплексное число г = z = X + yi, как двойное число г = z = х + yj и как дуальное число г = X = X + у г. Другими словами, мы построили три различные двумерные алгебры. В этих условиях любой любопытный чело-

век, даже далёкий от математики, может поставить естественный вопрос: а есть ли ещё какие-то двумерные алгебры, отличные от перечисленных? Итак, перед участниками проекта возникает следующая задача.

Задача 2. Перечислите все двумерные алгебры, которые можно было бы считать «числами» на том основании, что они обладают большинством свойств, описанных в теоремах 1 и 2.

Ответом на этот вопрос служит следующая теорема.

Теорема 5. Пусть двумерная алгебра Л, состоящая из элементов вида z = а + Ь0 (а, Ъ G Ж, 0 g Ж), обладает следующими свойствами.

1) Умножение действительного числа а = а + 00 G Л на произвольный элемент алгебры и = с + dQ G Л дает тот же результат, что и в случае комплексных чисел, то есть

(а + 00) (Ь + с0) = (Ь + с0)(а + 00) = ab + ас0.

2) Выполняется однородность относительно умножения на вещественное число, то есть равенство

(azt) ■ (bz2) = (ab) ■ (ztz2).

3) Имеет место левая и правая дистрибутивность, то есть

z(u + v) = zu + zv, (и + v)z = uz + vz.

Тогда алгебра Л есть фактически одна из трех следующих алгебр: комплексных чисел, двойных чисел, дуальных чисел.

Таким образом, знакомство школьников с классификациями математических объектов переходит на новый уровень. Если раньше они осваивали системы определений, классифицирующих объекты (простые и составные числа; остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники), то теперь они встретились с теоремой, классифицирующей объекты.

Теорема 5 доказана в книге [13, § 2]. Школьники осваивали её как с помощью лекций руководителя, так и посредством чтения. Важно, что доказательство содержит некую конструкцию, которая была использована в процессе дальнейших самостоятельных исследований.

3.4.3. Типология алгебр и отсутствие «трёхмерных» чисел

3.4.3.1. Постановка задачи

Итак, мы построили три алгебры: комплексные, двойные и дуальные числа. Одна из этих алгебр - комплексные числа - оказалась

алгеброй с делением. Действительно, любое комплексное число z можно поделить на любое ненулевое число и.

Опыт построения и изучения трёх алгебр наводит на мысль пойти дальше и рассмотреть «трёхмерные» числа вида а + Ы + су, где а,Ь,с - произвольные действительные числа, a i и ] - некоторые символы. Можно было бы попытаться построить алгебру, которая удовлетворяет условиям теоремы 5, однако в книге [13, с. 16] сформулировано «запретительное» утверждение: алгебру трёхмерных чисел с делением построить невозможно! При этом не приведено никаких аргументов в пользу такого категоричного (и, что важно, непривычного) запрета.

Здесь руководитель должен объяснить школьникам, что они попали в ситуацию, типичную для чтения научной литературы: некоторые факты формулируются без доказательства, так что для полного понимания текста читатель должен самостоятельно придумать их или отыскать их в других источниках.

Так перед школьниками возникает задача доказать утверждение, не доказанное в книге. Его точная формулировка будет приведена ниже, в разделе 3.4.3.4, а пока мы сконцентрируемся на необходимых сведениях и типологии алгебр.

3.4.3.2. Типология алгебр

В данном разделе собраны те понятия алгебры, которые потребуются для доказательства основного утверждения.

Прежде всего, мы формулируем понятие векторного пространства в том виде, в каком оно определено в вузовских учебниках, например, в книге [15].

Всюду, если не оговорено противное, мы будем использовать следующие соглашения. 1) Векторы обозначаются жирными латинскими буквами: а, Ь, ...х,у,... Нулевой вектор обозначается жирным символом 0. 2) Все векторные пространства рассматриваются над полем вещественных чисел. Вещественные коэффициенты обозначаются, как правило, греческими буквами: а, ß,... Х,р,...

До сих пор мы употребляли термин «алгебра» в смысле естественного языка, то есть в его почти житейском смысле. Дадим теперь его точное определение.

Определение 1. Алгеброй Л называется векторное пространство, в котором определено умножение векторов друг на друга, обладающее следующими свойствами.

1) Выполняется левая и правая дистрибутивность, то есть

а(Ь + с) = ab + ас, (Ь + с)а = ba + са.

2) Выполняется однородность относительно умножения на вещественное число, то есть равенство

(аа) ■ (ßb) = (aß) ■ (ab).

С помощью специальных определений выделим некоторые типы алгебр.

Определение 2. Алгебра называется коммутативной, если умножение обладает свойством

ab = ba.

Определение 3. Алгебра называется ассоциативной, если умножение обладает свойством

a(bc) = (ab)c.

Определение 4. Алгеброй с единицей называется алгебра, в которой существует особый элемент 1, такой, что для любого a G сЛ выполняются равенства

а ■ 1 = 1 ■ а = а.

В дальнейшем символы 1 и 1 будут иметь разный смысл: первый означает вещественное число 1, а второй - единичный элемент алгебры.

Определение 5. Алгебра называется алгеброй с делением, если для любого а 0 и для любого b каждое из уравнений ах = b и у а = b имеет единственное решение.

Определение 6. Подмножество Л' алгебры Л называется подалгеброй алгебры сЛ, если оно само является алгеброй относительно тех же самых операций сложения, умножения, умножения на вещественное число.

Определение 7. Две алгебры <Л и Ъ называются изоморфными, если существует отображение / из алгебры <Л в алгебру Ъ, которое обладает следующими свойствами:

1) взаимной однозначностью;

2) f(a + Ь)= /(о) + f(b);

3) f(ab) = f(a)f(b);

4) f(Aa) = Äf(a).

Разумеется, все понятия были проиллюстрированы примерами и, что не менее важно, контрпримерами из школьного курса математики.

3.4.3.3. Необходимые леммы

В данном подразделе собраны вместе те леммы, которые будут необходимы для доказательства основного утверждения раздела. Они были получены школьниками либо самостоятельно, либо с минимальной помощью научного руководителя.

Лемма 1. Многочлен третьей степени имеет корень. Он разлагается либо в произведение трёх линейных множителей, либо в произведение линейного множителя и квадратичного множителя с отрицательным дискриминантом.

Доказательство было получено участниками проекта традиционным для математического анализа методом в процессе ответов на вопросы руководителя.

Лемма 2. Если произведение двух элементов алгебры с делением равно нулю, то один из сомножителей равен нулю.

Доказательство. Исследуем сначала, чему равно произведение произвольного элемента а на нулевой элемент. Для этого вычислим выражение а(Ь + 0) двумя способами. С одной стороны, а(Ь + 0) = ab. С другой стороны, а(Ь + 0) = ab + а0. Приравняем два результата: ab = ab + аО. Сократив на ab, получим, что а0 = 0.

Пусть теперь ab = 0. Если а = 0, то лемма доказана. Если а Ф 0, то сопоставим уравнение ах = 0, равенство ab = 0 и результат первого этапа доказательства а0 = 0. Два последних равенства означают, что уравнение имеет решения х = Ьих = 0.В силу определения алгебры с делением решение является единственным, поэтому b = 0.

Лемма 3. Ассоциативная алгебра с делением имеет единичный элемент.

Доказательство. 1) Очевидно, что сначала мы должны сконструировать единичный элемент. Для этого рассмотрим конкретный ненулевой элемент а0 G Л и уравнение ха0 = а0. Оно имеет решение х = е, в силу чего выполняется равенство

еа0 = а0. (4)

Теперь нам нужно доказать, что сконструированный элемент действительно является единичным, то есть обладает двумя следующими свойствами:

(Vb G c/Z) be = Ь, (5)

(Vc G c/Z) ее = с. (6)

2) Для доказательства утверждения (5) рассмотрим произвольный элемент Ъ G <А и проанализируем другое уравнение, а именно уравнение

ха0 = Ьа0. (7)

Очевидно, что оно имеет решение х = Ь. С другой стороны, если мы домножим равенство (4) на Ъ слева и воспользуемся ассоциативностью, то получим равенство

(Ье)а0 = Ьа0. (8)

Сопоставив равенство (8) и уравнение (7), получим ещё одно решение X = be. В силу единственности решения be = b. Итак, утверждение (5) доказано.

3) Для доказательства утверждения (6) рассмотрим произвольный элемент с G <А и проанализируем третье уравнение, а именно уравнение

by = be. (9)

Очевидно, что оно имеет решение у = с. С другой стороны, если мы домножим равенство (5) на с справа и воспользуемся ассоциативностью, то получим равенство

Ь(ес) = be. (10)

Сопоставив равенство (10) и уравнение (9), получим ещё одно решение у = ее. В силу единственности решения ее = с. Итак, утверждение (6), а вместе с ним и лемма в целом, доказаны.

Мы привели полные доказательства лемм 2 и 3 для того, чтобы проиллюстрировать некое противоречие. С одной стороны, доказательства являются не слишком сложными. Действительно, в них не более трёх логических ходов, которые включают в себя простые действия: домножения равенств, использование ассоциативности, понятие решения уравнения. С другой стороны, они достаточно трудны для школьника, потому что требуют от него изощрённой логики, к которой он не привык: учёта некоммутативности умножения, скрупулёзного использования ассоциативности, работы с уравнениями неочевидного происхождения и т.п. По мнению автора, именно сочетание небольшой сложности и большой трудности обогащает интеллект участников проекта.

Следующая лемма носит геометрический характер. В то же время, она удивительным образом связана с аналитической леммой 1.

Лемма 4. Любой элемент а трехмерной алгебры <Л с единицей 1 удовлетворяет равенству а2 = Я1 + иа при подходящих коэффициентах Ли и.

Доказательство. 1) Если а || 1, то равенство очевидно, поэтому в дальнейшем рассматриваем случай a -H" 1, то есть два линейно независимых вектора 1 и а.

2) Рассмотрим теперь три вектора: 1, а и а2. Если они линейно зависимы, то именно добавленный вектор а2 линейно выражается через два другие, а это и означает выполнение искомого равенства. В силу этого будем считать их линейно независимыми.

3) Итак, мы имеем базис из трёх векторов 1, а и а2. Любой вектор, в частности а3, линейно выражается через базисные векторы: а3 = а а2 + ßa + yl. Другими словами,

а3 - аа2 - ßa-yl = 0. (11)

Рассмотрим многочлен fix) = х3 — ах2 — ßx — у ■ 1 с теми же самыми коэффициентами, что и в равенстве (11). В силу леммы 1 он разлагается либо в произведение fix) = (х — и)(х — v)(x — w), либо в произведение fix) = (х — и)(х2 — их — Я), где дискриминант квадратного трёхчлена отрицателен. Выясним, которая из этих двух возможностей действительно реализуется.

4) Допустим, что f{x) = (х — и)(х — v)(x — w). Подставим вместо переменного х элемент a G <А. В силу равенства (11) получим, что /(а) = 0 = (а - ul)(a — vl)(a — wl). Поскольку Л является алгеброй с делением, последнее равенство равносильно совокупности равенств а = vi. Каждое из них означает, что вектор а коллинеарен вектору 1, а это противоречит соглашению пункта i).

5) Допустим, что f{x) = (х — и)(х2 — их — X). Подставим вместо переменного х элемент a G <А. В силу равенства (11) получим, что fia) = 0 = (а — ul)(a2 — иа — AI). Поскольку <Л является алгеброй с делением, мы получаем совокупность равенств

Первое равенство выполняться не может, поскольку оно противоречит соглашению пункта 1). Следовательно, выполняется второе равенство, откуда следует, что а2 = Я1 + иа, а это и требовалось доказать.

Следствие. Если а2 = Я1 + иа, то дискриминант квадратного трехчлена х2 — их — À отрицателен.

Лемма 5. Если элемент а ассоциативной алгебры Л с делением не коллинеарен 1, то совокупность %а элементов вида al + ßa образует подалгебру, изоморфную алгебре комплексных чисел.

Доказательство. 1) Покажем сначала, что подмножество %а является подалгеброй. Для этого нужно показать его замкнутость относительно сложения, умножения и умножения на число.

A) Пусть z = al + ßa и и = yl + Ôa. Тогда z + и = 0 + у)1 + (/? + <э)аЕ 0Са.

Б) Перемножая элементы z и и, получим, что zu = ayl + (aÔ + ßy)a + ßOa2. Согласно лемме 4 а2 = Я1 + иа. Подставив его выражение в последнее равенство, раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим, что zu = (ay + ß8X)l + (aÔ + ßy + ßöu)a G Xa

B) Замкнутость относительно умножения на число очевидна, поскольку yz = у (al + ßa) = (yd)l + (yß)a G Жа.

Итак, подмножество Жа является подалгеброй алгебры Л.

2) Покажем, что подалгебра %а изоморфна алгебре комплексных чисел. Для начала перепишем равенство а2 = Я1 + иа в виде а2 — иа = XI и выделим полный квадрат из левой части. Получим, что

(.-it)1 + (12)

Дальнейшие рассуждения зависят от знака числового коэффициента в правой части.

А) Пусть ЯН--= 0. Тогда равенство (12) примет вид а — -1 = 0, а это означает, что вектор а коллинеарен 1. Противоречие.

Б) Пусть Я + > 0. Если считать, что Я + ^- = /с2, то равенство (12) можно преобразовать к виду [а — ^1^ = к21, откуда следует, что (а -11 - kl) (а -11 + fcl) = 0. Если а -11 - /cl = 0, то это означает, что вектор а коллинеарен вектору 1, а это противоречие. Аналогичное противоречие получим, если приравняем к нулю второй сомножитель последнего равенства.

В) Пусть Я + — < 0. Если считать, что Я + — = —к2, то равенство (12) можно преобразовать к виду (a — ^lj = — /с21, откуда следует, что

Введём обозначение в •= - а — — 1. В сочетании с равенством (13) оно означает следующее: во-первых, а = /с0 + -1, и во-вторых, 02 = -1.

Подставим полученное выражение для а в выражение произвольного элемента подалгебры: z = al + ßa = al + ß укв + ^lj = (а + 0 1 + /?/с0. Коэффициенты при 1 и 0 являются вещественными числами и 02 = — 1, поэтому подалгебра JCa изоморфна алгебре комплексных чисел.

Здесь необходимо сделать два замечания. Первое из них касается употребления термина «лемма». С одной стороны, утверждения лемм 4 и 5 достаточно серьёзны, а доказательства их достаточно сложны. В силу этого они вполне могли бы называться теоремами. С другой стороны, нашей целью является доказательство утверждения об отсутствии «трёхмерных» чисел, поэтому все вспомогательные утверждения естественно называть леммами.

Второе замечание является гораздо более серьёзным и касается вопроса о том, могут ли школьники самостоятельно изобрести пять нетривиальных утверждений, высказанным в леммах 1-5. Очевидно, что ответ является отрицательным, поэтому пока не ясно, на каком основании эти леммы были включены в доклад школьников в качестве самостоятельного результата. Мы ответим на этот вопрос в разделе 3.4.4.

3.4.3.4. Доказательство основного утверждения

Сформулируем теперь наше основное утверждение Теорема 6. Не существует трёхмерных ассоциативных алгебр с делением.

Доказательство. Допустим, что такая алгебра Л существует. Рассмотрим две различных подалгебры Хр и Kq. Поскольку каждая из них изоморфна алгебре комплексных чисел, можно изначально

выбрать векторы р и q таки образом, чтобы р = —1 = q . Кроме того, в силу различия алгебр (то есть различия двух двумерных плоскостей в трёхмерном пространстве) векторы 1, р и q образуют базис.

Разложим по базису произведение порождающих векторов:

pq = al + ßp + yq. (14)

Пусть y = 0. Тогда равенство (14) примет вид pq = al + ßp. Домножим новое равенство на элемент р слева: p(pq) = ар + ßp2. Если воспользоваться ассоциативностью умножения и равенством р2 = — 1, то мы получим, что — q = ар — ßl, откуда q = ßl — ар. Последнее равенство означает, что векторы 1, р и q не образуют базис, что противоречит их построению.

Пусть в равенстве (14) у Ф 0. Домножим его слева на элемент р, а затем воспользуемся ассоциативностью и равенством р2 = — 1. Получим, что — q = ар — ßl + ypq, откуда

pq = -l--p--q. (15)

Каждое из равенств (14) и (15) представляет собой разложение вектора pq по базису. В силу единственности разложения мы можем приравнять соответствующие коэффициенты, в частности, третьи коэффициенты: у = — -. Отсюда следует, что у = —1, а это невозможно для вещественного числа у. Полученное противоречие означает ложность сделанного допущения и истинность теоремы.

3.4.4. Педагогическая рефлексия

Обсудим теперь, насколько самостоятельными были школьники в процессе работы с леммами 1-5 и теоремой 6.

Анализ вопроса целесообразно начать с того, что чтение учебников, к которому привыкли школьники, серьёзно отличается от чтения дополнительной литературы. Дело в том, что эти два вида книг используются для достижения разных целей. Работа с учебником проводится с целью передачи системы знаний и умений, поэтому учебники, как правило, читаются последовательно, страница за страницей, и переход к последующей теме возможен только после усвоения предыдущей. Дополнительная литература читается с иными целями: с целью поиска информации, необходимой для решения возникшей ранее задачи; с целью постановки новой исследовательской задачи; с общей целью выбора области для будущей исследо-

вательской деятельности... В силу сказанного чтение дополнительной литературы обладает несколькими важными особенностями: нелинейностью чтения, избирательностью чтения и скрупулёзностью анализа текста [37].

В нашем случае названные особенности проявились следующим образом. В аннотации ко книге [13, с. 2] сказано, что целью её является «разыскание «алгебр с делением» (теорема Фробениуса)...». Заглянув на стр. 117, мы находим её формулировку.

Теорема (Г. Фробениус, 1878 г.). Любая ассоциативная алгебра с делением изоморфна одной из трёх алгебр: алгебре действительных чисел, алгебре комплексных чисел или алгебре кватернионов.

При всей серьёзности и «молодости» этой теоремы (изобретённой менее 150 лет назад) в ней почти все если не понятно, то знакомо. Действительно, термины «алгебра» и «ассоциативность» вполне привычны, заклинанию «на ноль делить нельзя» не сложно придать расширительный смысл, так что непонятными остаются всего лишь два термина: «изоморфизм» и «кватернион».

Вернувшись к началу, то есть к последовательному чтению книги, мы на стр. 16 находим утверждение теоремы 6. Оно интересно и неинтересно одновременно. С одной стороны, если человек знает теорему Фробениуса, то из неё мгновенно вытекает теорема 6, так что все тривиально. С другой стороны, а знаем ли мы теорему Фробениуса? Скорее нет, т.к. два термина пока не понятны, не говоря уже о доказательстве. Так перед школьниками возникает альтернатива: освоить теорему Фробениуса и вывести из неё теорему 6 или сконструировать её независимое доказательство.

Изучение теоремы Фробениуса мгновенно уничтожит проект, т.к. вместо исследовательской деятельности школьникам придётся заняться деятельностью учебной, то есть слушать лекции, читать книги, выполнять тренировочные упражнения. К тому же неизбежно возникнут вопросы, деструктивные в данной ситуации: зачем все это нужно, почему мы изучаем именно эту область, а не иную, и проч. Наконец, руководителю известно, что доказательство теоремы Фробениуса является весьма сложным. Во всяком случае, оно никогда не изучалось в педагогических вузах, так что нужны веские причины для его изучения детьми. Так мы приходим к необходимости отыскать самостоятельное доказательство теоремы 6.

Первый шаг поиска прост, поскольку «запретительные» утверждения часто доказывается методом от противного. Но уже следующий шаг полностью непонятен. Единственный ориентир состоит в том, чтобы посмотреть, каким способом доказывается теорема Фробениуса, и модифицировать этот способ для трёхмерного пространства. Таким образом, мы вынуждены вновь обратиться к «далёким» страницам книги [13, с. 117-120]. Там мы обнаруживаем, что существенную роль в доказательстве играют подалгебры Кр и Xq, конструируемые особым способом и обладающие специальными свойствами. Так перед школьником-исследователем постепенно возникает лемма 5, а затем леммы 4, 3, 2, 1. Так школьник постепенно понимает, что логика исследования и логика изложения отличаются друг от друга.

Попытаемся дать теореме 6 качественную характеристику путём её отнесения к тому или иному классу теорем. Можно было бы назвать её «запретительной теоремой», как мы уже писали ранее, однако такой термин не используется. Можно было бы назвать её «теоремой отсутствия» в том смысле, который противоположен смыслу словосочетания «терема существования». К сожалению, и этот термин не используется. Можно было бы считать её классификационной теоремой, однако этому препятствует характер полученного результата - классифицируемых объектов (алгебр со специальными свойствами) не существует. В конце концов, мы назвали её «слабой формой теоремы Фробениуса» на том основании, что доказательство теоремы 6 представляет собой модификацию доказательства теоремы Фробениуса применительно к размерности 3.

По мнению автора, все сказанное позволяет считать, что школьники были вполне самостоятельны (или достаточно самостоятельны) в своей математической деятельности.

В заключение отметим красоту доказательства теоремы 6. Распространённый способ получения противоречия состоит в том, чтобы получить для одного вектора два разных разложения по базису. Где же взять такой вектор? Тут мы и обнаруживаем, что в нашем распоряжении есть только два вектора р и q, порождающие подалгебры. В этих условиях рассмотрение произведения pq и вся последующая эквилибристика почти неизбежны.

3.5. Гиперкомплексные числа малых размерностей. Часть 2

Рассмотренные нами комплексные, двойные и дуальные числа охватываются более общим понятием гиперкомплексной (сверхкомплексной) системы чисел. Мы изложим элементы теории таких чисел, следуя книге [13, § 5, 6] и слегка модифицируя обозначения с целью удобства дальнейшего изложения. Акцент будет сделан на процедурах удвоения гиперкомплексных чисел. При этом будет рассмотрена как стандартная процедура удвоения [13, с. 36], так и две нестандартные процедуры, определяемые нами в рамках данного проекта.

Ниже мы вновь используем «соглашение о вертикальной черте», которая отделяет учебную информацию от личных результатов исполнителей. Оно будет действовать на протяжении всего раздела 3.5.

3.5.1. Первоначальные сведения о гиперкомплексных числах и нестандартные процедуры удвоения

Гиперкомплексным числом мы будет называть выражение вида z = а01 + + a2Î2 + —Ь ßn*n> гДе ао> аъ •••» ап ~ эт0 произвольные вещественные числа, а 1, ii, ... in - это некоторые символы (которые мы будем иногда называть «единицами»).

Сложение и вычитание гиперкомплексных чисел определяется покомпонентно. Умножение гиперкомплексных чисел z и и определяется в несколько этапов.

1) Во-первых, считается, что 1 ■ ia = ia ■ 1 = ia при любом а от 1 до п.

2) Во-вторых, каждое слагаемое первой суммы умножается на каждое слагаемое второй суммы.

3) В-третьих, указывается, чему равно каждое из произведений вида iaiß, то есть задается система равенств

*a\ß = Paß.ol + Paß.lh ----+ Paß,nin- (1)

4) В-четвертых, произведения (aaia) ■ (bain) переписываются в виде ttab^(îaî^), затем iaiß заменяются по формуле (1) и, наконец, приводятся подобные члены. В итоге снова получается некоторое выражение вида (1).

Нетрудно доказать, что умножение гиперкомплексных чисел ассоциативно, дистрибутивно и однородно относительно умножения на вещественное число.

Каждое гиперкомплексное число z = а01 + axix + a2i2 + —Ь anin порождает сопряженное ему гиперкомплексное число z, определяемое формулой z: = а01 — axi\ — a2ii ~----ап*п-

Определение. Удвоением гиперкомплексной системы чисел Л называется новая гиперкомплексная система чисел <A[i], которая строится следующим образом.

1) Её элементы представляют собой выражения вида щ1 + u2U где щ, и2 G Л и i g Л.

2) Сложение определяется покомпонентно.

3) Умножение определяется по формуле

{UX\ + U2l)(vtl + V2i) := (ЩУХ - Щи2) + (у2Щ + Ы2Щ)1 (У1)

Нетрудно доказать, что умножение в удвоенной алгебре ассоциативно, дистрибутивно и однородно относительно умножения на вещественное число.

Добавим к описанной стандартной процедуре удвоения две нестандартные процедуры.

С помощью символа j построим алгебру <ЯЦ], определяя сложение покомпонентно, а умножение по формуле

(щ1 + u2j)(vxl + v2f) := {uxvx + Щи2) + (у2щ + и2Щ)}. (У2)

С помощью символа е построим алгебру Л[е], определяя сложение покомпонентно, а умножение по формуле

(щ1 + îi2£)(Vil + V2£) := UtVt + (v2Ux + и2Щ)Е. (У3)

По формулам (У])-(У3) нетрудно доказать, что i2 = — l,j2 = 1 и f2 = 0.

Отступим теперь от общих конструкций и вернёмся к «самому началу», то есть к алгебрам малых размерностей. Если учесть, что число, сопряжённое вещественному числу, равно ему самому, то мы сразу получаем следующие утверждения.

1) Алгебра комплексных чисел является удвоением алгебры вещественны чисел с помощью стандартной процедуры удвоения (У0, то есть С = МЩ.

2) Алгебра двойных чисел является удвоением алгебры вещественны чисел с помощью первой нестандартной процедуры удвоения (У2), то есть D© = ШЦ].

3) Алгебра дуальных чисел является удвоением алгебры вещественны чисел с помощью второй нестандартной процедуры удвоения (У3), то есть Dm = Ш[е].

Если теперь к каждой из трёх полученных алгебр применить каждую из трёх процедур удвоения, то получим девять алгебр. Перечислим их:

В этих обозначениях встречаются индексы при одинаковых корневых буквах у мнимых единиц. Каждый раз это означает, что данные единицы являются разными, однако обладают общим характеристическим свойством. Так, в первом обозначении i îl5 однако i2 = i\ = -1.

Наличие девяти различных, но единообразно построенных, алгебр естественным образом порождает следующую задачу.

Задача. Выяснить, нет ли среди полученных девяти алгебр изоморфных друг другу. Если да, то найти все попарно изоморфные алгебры, доказав тем самым, что оставшиеся алгебры попарно не изоморфны.

3.5.2. Таблицы умножения для двукратных удвоений алгебры R.

Очевидно, что никакое изучение алгебр невозможно до тех пор, пока не построены таблицы умножения. Школьники в начале проекта не имеют опыта построения таких таблиц, поэтому они нуждаются в образце, который будут использовать в дальнейшем. Такой образец даёт им руководитель, который подробно рассказывает о том, как строится таблица умножения для первой из алгебр l№> *i] = С точностью до обозначений мы получаем алгебру кватернионов, которая обладает целым рядом интересных свойств. Например, это некоммутативная, но ассоциативная алгебра с делением, элементы которой могут быть записаны в виде z = al + Ы +

cix + dk, где к: = a a,b,c,d - вещественные числа. При этом таблица умножения имеет вид

Теперь, когда образец предъявлен, школьники самостоятельно, но под контролем руководителя, строят таблицу умножения следующей из алгебр, а именно, алгебры = <С[/]. В некоторых источниках, например, в [24, с. 554], она называется алгеброй антикватернионов.

Опишем подробно процесс построения таблицы умножения.

Элемент q = zl + uj G €\J] может быть представлен в виде q = zl + uj = (а + bi)l + (с + di)j = al + bi + cj + dij. Если ввести обозначение if =: k, то q = al + bi + cj + dk. Составим таблицу умножения для элементов i, j, k.

Фактически, часть её уже составлена, поскольку i2 = — 1, j2 = 1 и if — k:

Продолжим заполнять пустые клетки таблицы, двигаясь последовательно по строкам слева направо.

1) Пользуясь ассоциативностью умножения и характеристическим свойством единицы i, получим, что ik = i(if) = (ii)J = — k.

2) Пользуясь формулой (У2) и определением единицы к, получим, что

В частности, мы получили полезное равенство fi = —ij, означающее антикоммутативность единиц inj.

3) Используя определение единицы к, последнее равенство, ассоциативность умножения и характеристическое свойство единицы j, получим, что jk = j(jf) = -j(ji) = -(jj)i = — i

Если использовать все свойства, перечисленные в пунктах 1)— 3), то нетрудно проделать вычисления, представленные в пунктах 4)-6).

Суммируя все результаты о попарных произведениях единиц, мы получаем следующую таблицу умножения:

Теперь, когда школьники познакомились с образцом составления таблиц и самостоятельно составили одну из них, построение остальных семи таблиц становится вполне посильным и зависит только от их трудолюбия. Приведём перечень всех девяти таблиц умножения, полученных в результате двукратного удвоения алгебры вещественных чисел.

Перечень таблиц умножения

Бросается в глаза сходство полученных таблиц умножения. Во-первых, все они кососимметричны. Это означает, что элементы, стоящие на симметричных местах относительно главной диагонали, противоположны друг другу. Во-вторых, в каждой из них на глав-

ной диагонали стоят элементы 1, —1 и 0, присутствующие в том или ином количестве и расположенные в том или ином порядке. Естественно, что возникает потребность в объяснении причин сходства и в выявлении различий.

На уровне, если так можно выразиться, «гуманитарном» можно было бы предвидеть как сходство, так и различия алгебр. С одной стороны, все они получены единообразно, поэтому появление сходства у различных алгебр вполне естественно. С другой стороны, процедуры удвоения различны и при однократном удвоении приводят к разным результатам, поэтому появление различий у сходных алгебр также вполне естественно. Эти общие соображения нужно насытить математическим содержанием, что и будет сделано в следующем разделе.

3.5.3. Попарная изоморфность и неизоморфность двукратных удвоений. Классификационный результат

В достаточной мере очевидно, что свойства алгебры зависят от того, каковы характеристические свойства мнимых единиц, образующих её базис. В таблице эти свойства отражаются на её главной диагонали, где содержатся квадраты этих единиц. Естественно предположить, что те алгебры, у которых диагонали таблиц отличаются только порядком элементов, окажутся изоморфными. Это предположение подтверждается следующей теоремой.

Теорема 1. Имеют место следующие изоморфизмы: R[i,j] « R\j, i] « ШЦ.иЪ Щ*> е] « R[e, i], R\J,s] « R[e,f].

Доказательство. Сначала изложим идею доказательства первого изоморфизма R[i,j] ~ R\J, i].

Анализ таблиц умножения для двух алгебр показывает, что в обеих на главной диагонали находятся два элемента 1 и один элемент -1, правда, на разных местах: в первой алгебре элемент -1 стоит в начале диагонали, а во второй алгебре - в середине нее. Очевидно, что положение элемента —1 на диагонали изменится, если поменять порядок базисных элементов 1, у, Î, к. Рассмотрим процесс изменения порядка более подробно.

Каждый элемент q 6 R\J, i] имеет вид q = al + bj + ci + dk. Его можно представить в другом виде: q = al — с(—i) — b(—f) — d(—k). Введем новые обозначения следующим образом:

i':=-i, J' := к' := -к. (2)

Теперь произвольный элемент алгебры приобретает вид q = al — ci' — bj' — dk'. Другими словами, произвольный элемент q G WL\j, i] разложен по новому базису, а именно, по базису 1, V, j', к'.

Составим таблицу умножения для неединичных элементов нового базиса. При вычислении каждого из девяти произведений новой таблицы мы будем использовать одну и ту же последовательность действий: сначала используем обозначения (2), затем таблицу умножения в алгебре WL\j, i], а затем вновь обозначения (2), если они потребуются.

Подставив результаты вычислений в искомую таблицу умножения, получим следующее:

Если сравнить полученную таблицу умножения с таблицей умножения для IR[î,y], то мы увидим, что они различаются только обозначениями. Это и доказывает изоморфизм двух алгебр.

Остальные три изоморфизма доказываются аналогично.

При желании можно рассмотреть отображение /: JR[î,y] —> R\j, i], определяемое равенством f(al + bi + cj + dk) •= al + bi' + cj' + dk', и прямой проверкой доказать, что оно является изоморфизмом.

Обозначения (2), рассматриваемые с геометрической точки зрения, означают, что при переходе от базиса 1, у, i, к к базису 1, i', )', /с' мы заменили векторы j, i, к на противоположные и изменили порядок следования двух векторов у и i.

Следствие. Если алгебру вещественных чисел удваивать с помощью одних и тех же единиц, вводящихся в различных порядках, то полученные алгебры окажутся изоморфными.

Доказательство сразу следует из первого, третьего и четвёртого изоморфизмов теоремы 1.

Если исключить из рассмотрения изоморфные экземпляры алгебр, то вместо девяти алгебр у нас останется только пять:

R[Mi], M[i,f], R[i,é\, R\j,e], RIccJ. (3)

Относительно них справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Алгебры из списка (3) попарно не изоморфны.

Доказательство. Мы сделаем несколько однотипных шагов: рассмотрев какую-либо алгебру из списка (3), мы докажем, что она не изоморфна каждой из последующих алгебр списка. Начнём с первой алгебры.

Шаг 1. Алгебра R[Mi] не изоморфна каждой из четырех оставшихся алгебр ЩЬ, j], R[i,é\, R[/,c], R[e,£i].

1) Прежде всего, докажем, что ix] является алгеброй с делением. Рассмотрим ненулевой элемент q = al + bi + cix + dk G R[i, ii] и уравнение qx = г. Домножив его справа на сопряженный элемент q, получим уравнение q qx = qr. Произведя умножение взаимно сопряжённых элементов по таблице, получим, что (а2 + Ь2 + с2 + d2)x = qr. Поскольку коэффициент при х отличен от нуля, мы можем поделить на него обе части уравнения и выразить х. Рассуждая аналогично, мы можем решить уравнение yq = г

2) Докажем теперь, что каждая из четырёх оставшихся алгебр не является алгеброй с делением. Для этого достаточно показать, что в каждой из них существует делитель нуля. Напишем их: 1 + ; G R[i,j], е G R[l,e], е G R[/,c], e G R[e,eî ].

3) Если теперь мы предположим, что алгебра ÏÏL[i, ix] изоморфна какой-либо из оставшихся алгебр, то предположение будет противоречить утверждениям пунктов 1 ) и 2)

Шаг 2. Алгебра не изоморфна каждой из трех оставшихся алгебр е], ШЦ,е], R[f,£i].

1) Допустим, что IR[î,y] ~ M[i, е]. Во второй алгебре существует ненулевой элемент г, квадрат которого равен нулю, следовательно, в первой алгебре тоже должен существовать ненулевой элемент zl + uj, где z, и G С, квадрат которого равен нулю: (zl + uj)2 = 0. Вычислив левую часть по формуле (У2), получим равенство

(z2 + uu)l + (uz + ul)j = О, из которого следует система {7^ ~\~ TAU — 0 . Из второго уравнения системы следует, что либо uz + и = 0 и = 0, либо z = — 1. В обоих случаях мы придем к противоречию. Действительно, если и = 0, то из первого уравнения следует равенство z = 0, а это означает, что искомый ненулевой элемент оказался нулевым. Если z = — 1, то из первого уравнения системы следует, что йи = — 1. Это невозможно, потому что произведение двух взаимно сопряжённых комплексных является суммой квадратов вещественной части и мнимой части.

2) Если мы предположим наличие изоморфизмов M[1,7] « П&[/,е] или JR[i,y] « D&[e,£i], то мы можем дословно повторить рассуждение пункта 1) и прийти к противоречию.

Шаг 3. Алгебра г] не изоморфна каждой из двух оставшихся алгебр е], Ш[е, £t]

1) Допустим, что е] « е]. В первой из алгебр существует ненулевой элемент i, квадрат которого равен —1, следовательно, во второй алгебре тоже должен существовать ненулевой элемент zl + ue, где z, и G Do, квадрат которого равен —1, то есть должно выполняться равенство (zl + иг)2 = —1. Вычислив левую часть по формуле (У3), получим равенство z2l + (uz + uz)e = — 1, из которого следует система j ( _ . Первое из уравнений системы неразрешимо в области двойных чисел. Действительно, если z = а + ßj, то из уравнения z2 = — 1 следует, что (а + ßj)2 = — 1, а отсюда вытекает равенство (а2 + ß2) + 2аßj = —1. Следовательно, а2 + ß2 = — 1, а это равенство противоречиво.

2) Допустим, что « Щс,^]. В первой из алгебр существует ненулевой элемент i, квадрат которого равен —1, следовательно, во второй алгебре тоже должен существовать ненулевой элемент zl + ие±, где z, it £ Dm, квадрат которого равен —1, то есть должно выполняться равенство (zl + ие{)2 = —1. Вычислив левую часть по формуле (Уз), получим равенство z2l + (uz + uz)e1 = — 1, из которого следует система j ( _ . Первое из уравнений системы неразрешимо в области дуальных чисел. Действительно, если z = а + /?£, то из уравнения z2 = — 1 следует, что (а + ßs)2 =

— 1, а отсюда вытекает равенство а2 + 2aßj = —1. Следовательно, а2 = — 1, а это равенство противоречиво.

Шаг 4. Алгебры Щ), е] и Ш[е, £\\ не изоморфны друг другу.

Допустим, что ~ Ще, £±\. В первой из алгебр существует элемент j, обладающий двумя свойствами: а) он не коллинеарен 1; б) его квадрат равен 1. Следовательно, во второй алгебре тоже должен существовать элемент zl + ue1, где z, и G De, обладающий свойствами а) и б).

Начнём с уравнения (zl + ue^)2 = 1. Вычислив левую часть по формуле (У3), получим равенство z2l + (uz + uz)e1 = 1, из которого следует система j ( _ . Пусть z = а + ßa. Тогда система примет вид {et2 + 2(xßs = 1 p , или в равносильной форме l2a/? = 0. Из первого равенства системы следует, что а = ±1, а из второго и третьего следует, что ß = 0 и и = 0. Окончательно получаем, что искомый элемент алгебры Ш[е, имеет вид (±1)1 + 0е1. Этот элемент коллинеарен 1, то есть и не удовлетворяет свойству а). Тем самым мы пришли к противоречию. Итак, теорема 2 доказана.

Наш общий вывод состоит в том, что теоремы 1 и 2 классифицируют алгебры, полученные с помощью двукратных удвоений алгебры вещественных чисел. Таким образом, мы самостоятельно получили ещё один полноценный классификационный результат.

3.5.4. Педагогическая рефлексия

Теперь, по завершении текста раздела, становятся понятны некоторые особенности проекта в целом. Кратко опишем их.

Первая особенность проекта состояла в том, что он имел большой объем. Именно поэтому он выполнялся в течение трёх лет, именно поэтому его выполняли два участника, именно поэтому он состоял из двух достаточно независимых частей. В этих условиях руководитель решал несколько задач, организационных и содержательных одновременно.

Во-первых, нужно было поддерживать интерес участников в течение длительного времени.

Во-вторых, нужно было распределить между участниками разные фрагменты вычислительной работы. При этом было весьма важно, чтобы каждый из участников не терял из виду общую стратегию исследования и был в курсе результатов товарища, более того, мог бы проверить его вычисления и в случае необходимости продолжить их.

В-третьих, распределение работ должно было быть продуктивным и, следовательно, справедливым. В условиях проекта это означало, что каждое задание каждому участнику должно было обладать двумя свойствами, конфликтующими друг с другом: с одной стороны, оно должно было быть посильным, а с другой стороны, требовать от участника практически всех его интеллектуальных ресурсов. Руководитель потратил много времени и использовал всю свою интуицию для составления разумных заданий. К сожалению (или к счастью), словесное описание такого рода работы недоступно ему.

В-четвертых, и это главное, необходимо было поддерживать в команде атмосферу научного исследования, которое приведёт к получению нового (или субъективно нового) результата.

Повторимся: автор не может описать, каким образом были решены сформулированные организационно-содержательные задачи, но они были решены, потому что проект был реализован.

Вторая особенность проекта связана с высокой абстрактностью тех объектов, которые были использованы в нем. Действительно, школьники 10-го и 11-го классов работали с алгебрами, с типологией алгебр, с изоморфизмами, гиперкомплексными системами и т.д. В этих условиях задача руководителя состояла в том, чтобы сделать эти понятия сначала знакомыми для школьников, потом привычными, потом не слишком трудными, потом интересными и т.д. Это было сделано в рамках обучающего компонента проекта. В нашем тексте этот компонент отражён с помощью вертикальной черты. К сожалению, обучающий компонент не мог быть представлен в полном объёме, однако мы надеемся, что читатель получил адекватное представление о нем.

Третья особенность проекта была связана с чрезвычайной, непривычной для школьников скрупулёзностью вычислительной работы. Действительно, приходилось представлять один и тот же элемент алгебры в разных формах, целесообразных для дальнейших рассуждений; выбирать одну из трёх процедур удвоения, именно ту,

которая применима для дальнейших вычислений; находить произведения базисных векторов то по одной таблице, то по другой, каждый раз выбирая ту из них, которая имеет отношение к вычисляемому произведению... Поначалу руководителю приходилось исправлять большое количество ошибок, которые, конечно же, заводили в тупик. Постепенно количество ошибок уменьшалось и к концу проекта достигло уровня, естественного для математического исследования.

Четвертая особенность проекта была связана с личными свойствами научного руководителя. Дело в том, что в начале проекта руководитель не располагал той информацией, которая содержится в тексте книги. У него был некоторый (не очень большой) опыт работы в области алгебры, была убеждённость в своей способности решить поставленную им самим задачу, была надежда (впоследствии реализованная) увлечь школьников решением новой задачи, однако не было ни формулировок теорем, ни формулировок лемм, ни способов доказательства. Образно говоря, руководитель шёл «на две недели впереди» школьников. Разумеется, такая ситуация вполне могла закончиться крахом, поэтому она не может быть рекомендована читателю. Парадоксально, но именно опасность ситуации, а она не скрывалась от участников проекта, на определённом этапе поддерживала интерес школьников и придавала драйв нашей совместной работе.

Заключение

Швейцарские законы регламентируют использование удобрений на тех лугах, где пасутся коровы, из молока которых делают знаменитый швейцарский сыр. Этот пример показывает, насколько серьёзно относятся к своей деятельности тамошние сыроделы.

Если сравнить изготовление сыра с образованием школьника, ориентированного на исследовательскую деятельность, то становится понятным, что последнее должно быть длительным, многоэтапным и иметь весьма серьёзное теоретическое обоснование и методическое обеспечение. Конечно, обсуждаемые сущности настолько далеки друг от друга, что их сравнение может показаться некорректным, однако ясно, что изготовление высококачественного продукта требует длительной и тщательной предварительной подготовки. Именно поэтому автор и предлагает начинать исследовательски ориентированное обучение в младших классах и выдерживать эту линию до последних дней в школе. Именно поэтому автор и предлагает подчинить этой цели «все»: обычные уроки, внеурочную деятельность, экспериментальный и теоретический компоненты математики... Впрочем, и выигрыш для школьника может оказаться велик: знакомство с общенаучными методами исследования, приобщение к элементам деятельности математика и т.д.

Такой максимализм мог бы показаться чрезмерным, если бы не оказалось, что повседневная практика уже подготовила многое для реализации той концепции, которая изложена в книге. Действительно, содержание первой главы показывает, что существуют учебники для начальных классов, которые целенаправленно знакомят детей с общенаучными методами исследования. Содержание второй главы показывает, что традиционный материал может быть переработан в продуктивные сценарии преподавания и изучения математики, причём без чрезмерных усилий. Содержание третьей главы показывает, что многие научные задачи возникают буквально на страницах школьного учебника или дополнительной литературы того же уровня сложности.

Впрочем, энтузиазм уравновешивается некоторыми отрезвляющими вопросами, ответы на которые отнюдь не очевидны для автора. Ощущают ли учителя начальной школы, что они стоят в начале длительной работы по формированию школьника с менталитетом исследователя? Если да, то все хорошо, а если нет? Осознают

ли учителя основной школы, что существенная часть пятиклассников неплохо подготовлена к решению интеллектуальных задач и, следовательно, необходимо развивать эту готовность? Станут ли они перерабатывать материал учебника в продуктивные сценарии, привлекая, если нужно, математические эксперименты? Очевидно, что какая-то часть учителей делает это, но насколько она велика, и задаёт ли она тон в жизни школьных коллективов? Видят ли учителя старших классов те научные задачи, которые могут быть сформулированы на материале школьных учебников? Будут ли они ставить перед отдельными старшеклассниками такие задачи или предпочтут готовить всех без исключения к единому государственному экзамену? Программы конференций школьников показывают, что многие учителя активно занимаются научным руководством своих учеников, однако, повторимся, задают ли они тон в жизни школьных коллективов?

Сказанное означает, что организация исследовательски ориентированного обучения вполне посильна как для сообщества учителей, так и для конкретных коллективов, хотя этот процесс является объективно сложным и психологически трудным. Можно сказать иначе: для решения сложной и трудной задачи - организации исследовательски ориентированного обучения - существует целый ряд педагогических инструментов и определённая традиция.

Обобщённо говоря, организация исследовательски ориентированного обучения математике является той задачей, которая лежит в «зоне ближайшего развития» математического и педагогического сообщества. Нам было бы целесообразно сделать усилие и перейти в новое качество.

Приложение

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СТИЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ И ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

1. Литературная задача

В данном разделе речь пойдёт о новой, необычной для автора литературной задаче. Поскольку возникновение новой задачи всегда носит очень личный характер, позволим себе в рамках данного раздела говорить от первого лица.

В рамках магистерской программы «Математическое образование в профильной школе» мне довелось читать курс «Современные концепции математического образования». Работая над лекционным описанием различных концепций, я обратил внимание на то, что в литературе стихийно установились некие традиции изложения их содержания. Например, первоисточник [9] чётко говорит, что концепция развивающего обучения Л. В. Занкова базируется на пяти принципах. Каждый из них имеет название и точную формулировку. Каждая формулировка сопровождается разъяснением её сути. Наконец, описано взаимодействие принципов и показано, что они образуют целостную систему, так что исключение любого из них обесценивает остальные. При этом все написано достаточно компактно, несмотря на монографический характер книги. Удивительно, но точно такую же структуру имеет изложение концепции подготовки преподавателей профильных школ О. А. Иванова [12] и изложение концепции профессионально-педагогической направленности обучения математики А. Г. Мордковича. Получается, что три концепции создавались в разное время, разными авторами, с разными целями, для разных типов учебных заведений, однако имеют весьма схожую структуру изложения их содержания.

Естественно, что курс о современных концепциях математического образования обязательно должен содержать описание тех больших педагогических возможностей, которые появились в последние десятилетия в связи с разработкой и постепенным распространением интерактивных математических сред. К сожалению, достаточно трудно отыскать в литературе компактное изложение теории, описывающей применение математических экспериментов в учебном процессе. Его нет ни в монографиях [31, 29], ни в учебных пособиях [3, 17], ни в других известных мне источниках. Так возникла потребность в написании краткого изложения, образно гово-

ря, «аксиоматики» концепции применения математических экспериментов в учебном процессе.

Эта потребность усилилась в ходе написания настоящей книги, потому что продуктивные сценарии изучения большинства входящих в неё математических объектов оказались так или иначе связанными с экспериментом. Итак, задача настоятельно требовала своего решения.

Следует сразу сказать, что поставленная задача оказалась психологически трудной для меня и, в определённом смысле, дерзкой. Действительно, у меня нет собственных результатов в области экспериментальной математики, и я не являюсь основным разработчиком педагогической концепции в нужной области. С другой стороны, будучи дерзкой, поставленная задача не была авантюрной, потому что я участвовал в разработке некоторых аспектов концепции [31, 46], а также участвовал в извлечении теоретических следствий из простеньких математических экспериментов [39, 41]. В результате я взялся за решение литературной задачи.

В следующем разделе Приложения будет представлена своего рода «аксиоматика» концепции, в которой описывается экспериментально-теоретический стиль преподавания и изучения математики. Я далёк от того, чтобы считать эту «аксиоматику» чем-то законченным и подобным аксиоматикам известных математических теорий. Повторю почти дословно то, что было сказано во Введении: я глубоко убеждён в том, что краткие, отчётливые, подобные математическим положения концепции нужны хотя бы для того, чтобы стать объектом дальнейшего усовершенствования, даже если в процессе анализа и обсуждения они подвергнутся метаморфозам или будут отвергнуты.

2. Основные положения концепции

КОНСТАТАЦИИ И ЗАДАЧИ

1. Известно, что в начальные периоды своего развития математика представляла собою эмпирическую науку, основанную на наблюдениях, извлечённых из практики правилах, позднее на экспериментах. Естественная педагогическая задача состоит в том, чтобы адекватно отразить экспериментальное начало математики в учебном процессе.

2. В определённый исторический период в математике появилось понятие доказательства (Фалес и др.). С этого времени в мате-

матике возникло и стало усиливаться теоретическое начало. Одним из важнейших этапов его развития стал аксиоматический метод (Евклид и др.), который определил эволюцию математики на многие столетия. Естественная педагогическая задача состоит в том, чтобы адекватно отразить теоретическое начало математики в учебном процессе.

3. В связи с изобретением интерактивных математических сред появились новые, большие возможности для введения экспериментов в процесс преподавания. Естественная задача состоит в том, чтобы использовать эти возможности для реализации пп. 1-2.

4. Взаимодействие теоретических и экспериментальных методов в преподавании должно быть гармоничным в следующем смысле.

А) В учебном процессе должно быть отражено реальное соотношение теоретических и экспериментальных методов в математике как науке.

Б) Взаимодействие теоретических и экспериментальных методов в учебном процессе должно быть гибким в «локальном» и «глобальном» смысле. Во-первых, оно должен допускать варьирование в зависимости от педагогической ситуации, то есть от изучаемой темы, от возможностей класса, от традиций преподавания и т.д. Во-вторых, оно должно допускать уточнения, видоизменения, пересмотр и проч. с целью отражения меняющихся тенденций в математике как науке.

СОГЛАШЕНИЯ О МАТЕМАТИКЕ

5. В рамках данного текста будем считать, что результатами деятельности математика являются формулировки новых проблем, высказанные гипотезы, доказанные теоремы, математические предпонятия или понятия.

6. Деятельность исследователя с объектами материального мира будем относить к области экспериментальной математики, если её результатами являются формулировки новых проблем, высказанные гипотезы, доказанные теоремы, математические предпонятия или понятия.

7. Деятельность исследователя по выявлению свойств математических объектов будем считать теоретической, если в процессе неё не производится математических экспериментов.

8. Компьютер рассматривается в качестве объекта материального мира на основании того, что он потребляет электричество и изготовлен из металлов, полупроводников, пластических масс, жидких кристаллов и других материалов.

ТИПОЛОГИЯ СТИЛЕЙ ПРЕПОДАВАНИЯ И ИЗУЧЕНИЯ

9. Стиль проведения занятия будем называть экспериментальным, если выполняются два условия: А) целью занятия является экспериментальное обнаружение того или иного свойства математического объекта; Б) экспериментальные данные считаются достаточным обоснованием обнаруженного свойства.

10. Стиль проведения занятия будем называть теоретическим, если выявление свойств математического объекта и их доказательство осуществляется без использования эксперимента.

11. Стиль проведения занятия будем называть экспериментально-теоретическим, если выполняются два условия: А) имеет место этап планирования эксперимента, которое осуществляется на основе теоретических знаний, имеющихся на данный момент; Б) результаты эксперимента подлежат обязательному объяснению и обоснованию на теоретическом уровне. Таким образом, полномасштабный эксперимент выступает как связующее звено между эмпирическим и теоретическим началами математики.

12. Стиль проведения каждого конкретного занятия определяет преподаватель. В то же время, доминирование того или иного стиля на протяжении длительного времени не может зависеть от взглядов преподавателя, а должно быть обусловлено объективными обстоятельствами. Так, доминирование экспериментального стиля в начальной школе практически неизбежно, однако должно сопровождаться введением элементов теории всегда, когда это возможно и целесообразно. Доминирование теоретического стиля при изучении геометрии в основной школе вполне допустимо, однако должно сопровождаться проведением экспериментов, позволяющих обнаружить свойства геометрических объектов. Обобщённо говоря, область эффективной применимости экспериментально-теоретического стиля преподавания и изучения математики должна быть определена на основе осмысления опыта педагогического сообщества.

БЛИЖАЙШИЕ ПОСЛЕДСТВИЯ И ДАЛЬНЕЙШИЕ РАЗРАБОТКИ

13. Использование интерактивных математических сред может иметь многочисленные положительные эффекты. Главным из них является привлечение многих учеников к исследовательской деятельности: наблюдениям, высказыванию гипотез, их подтверждению или опровержению и т.д. В результате формируется опыт исследовательской деятельности учащихся в области математики, расширяется их математический кругозор, совершенствуется визуальное мышление, возникают умения и навыки компьютерного моделирования математических объектов и т.д.

14. Использование интерактивных математических сред может иметь негативные побочные последствия, причём достаточно серьёзные. Главным из них является так называемый экспериментально-теоретический разрыв. Он выражается в том, что у школьников резко падает мотивация к проведению дедуктивных доказательств, следствием чего является уменьшение способности к дедуктивным рассуждениям, падение интереса к теоретическому поиску, трудность или даже невозможность постановки новых задач путём логического преобразования решённой задачи и т.д.

15. Педагогический сценарий использования интерактивной математической среды считается качественным (допустимым), если он обладает двумя взаимно дополнительными свойствами: А) сценарий оказывает позитивное воздействие на учащихся в смысле п. 13; Б) негативное воздействие на учащихся в смысле п. 14 отсутствует или является минимальным.

16. Каждое из положений 1-15 нуждается в дальнейших и возможно более глубоких разработках, определённая часть которых уже, фактически, сделана. Кроме того, нуждается в дальнейших разработках концепция в целом, что неизбежно приведёт к формулировке новых и уточнению уже высказанных положений.

Библиографический список

1. Атанасян, Л. С, и др. Геометрия. 7-9 классы. - М.: Просвещение, 2010. -384 с.

2. Базылев, В. Т., и др. Геометрия. Учеб. пособие для студентов I курса физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1974. -351 с.

3. Безумова, О. Л. и др. Обучение геометрии с использованием возможностей GeoGebra: учебно-методическое пособие. - Архангельск: КИРА, 2011. - 140 с.

4. Брунер, Дж. Процесс обучения. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. -84 с.

5. Вавилов, В. В., Красников, 77. М. Математические коллоквиумы. Часть 1. - М.: Школа им. А. Н. Колмогорова СУНЦ МГУ, 2006. -64 с.

6. Винер, Н. Я - математик. - М.: Наука, 1967. - 356 с.

7. Галицкий, М. Л., Гольдман, А. М., Звавич, Л. И. Сборник задач по алгебре.-М.: 1997.-271 с.

8. Дорофеев, Г. В., Петерсон, Л. Г. Математика. 6 класс. Часть 1. -М.: Издательство «Ювента», 2014. - 112 с.

9. Занков, Л. В. Избранные педагогические труды. - М.: Педагогика, 1990. - 424 с.

10. Зуева, М. Л., Ястребов, А. В. Использование сценариев групповой работы для формирования ключевых компетенций // Математика, физика, экономика и физико-математическое образование: Материалы конференции «Чтения Ушинского» физико-математического факультета. - Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К. Д. Ушинского, 2005. - С. 160-166.

11. Зуева, М. Л., Ястребов, А. В. Феномен дополнительной функции педагогического инструмента // Ярославский педагогический вестник. Психолого-педагогические науки: научный журнал. - Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2010. - № 2. - С. 126-130.

12. Иванов, О. А. Теоретические основы построения специальной математической и методической подготовки преподавателей профильных школ. - СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997. - 80 с.

13. Кантор, И. Л., Солодовников, А. С. Гиперкомплексные числа. -М.: Наука, 1973.- 144 с.

14. Когаловский, С. Р. К проблеме модернизации математического образования (онтогенетический подход к обучению математике

старших школьников). - LAP Lambert Academic Publishing, 2012. -124 с.

15. Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. - М.: Физико-математическая литература, 2001. - 368 с.

16. Кранц, С. Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя проверить. -М.: Лаборатория знаний, 2016.-320 с.

17. Ларин, С. В. Компьютерная анимация в среде GeoGebra на уроках математики: учебное пособие. - Ростов-на-Дону: Легион, 2015.- 192 с.

18. Наука // Большая Советская Энциклопедия: Т. 17. - М.: Советская Энциклопедия, 1974. - С. 323-330.

19. Павлова, М. А., Шабанова, М. В., и др. Экспериментальная математика: учеб. пособие / под общ. ред. М. А. Павловой. - Архангельск: Изд-во АО ИОО, 2017.- 184 с.

20. Петерсон, Л. Г. Математика «Учусь учиться». 1 класс. Ч. 1. -М.: Издательство «Ювента», 2012.

21. Пойа, Д. Как решать задачу. - М.: Учпедгиз, 1959. - 207 с.

22. Пойа, Д. Математическое открытие. - М.: Наука, 1970. -452 с.

23. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. - М.: Наука, 1975. - 464 с. 2.

24. Розенфельд, Б. А. Многомерные пространства. - М.: Наука, 1966.-647 с.

25. Рыбакова, Т. Л., Суслова, И. В. Математика. Школьный справочник. -Ярославль: «Академия развития», 1997. - 240 с.

26. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике в средней школе. - М.: Просвещение, 2002. - 224 с.

27. Сафуанов, И. С. Теория и практика преподавания математических дисциплин в педагогических институтах: монография. -Уфа: «Магрифат», 1999. - 107 с.

28. Сгибнев, А. И. Исследовательские задачи для начинающих. -М.: МЦНМО, 2015.- 136 с.

29. Сергеева, Т. Ф., Шабанова, М. В., Гроздев, С. И. Основы динамической геометрии. - М.: АСОУ, 2014. - 160 с.

30. Фройденталь, Г. Математика как педагогическая задача. Т. 1. -М.: Просвещение, 1982. - 209 с.

31. Шабанова, М. В., Овчинникова, Р. П., Ястребов, А. В. и др. Экспериментальная математика в школе. Исследовательское обу-

чение: коллективная монография. - М.: Издательский дом Академии Естествознания, 2016. - 300 с. doi: 10.17513/пр.141

32. Ястребов, А. В. Моделирование научных исследований как средство оптимизации обучения студента педагогического вуза: дисс... докт. пед. наук. - Ярославль, 1997. - 386 с.

33. Ястребов, А. В. Дуалистические свойства математики и их отражение в процессе преподавания // Ярославский педагогический вестник. -2001. -№ 1. - С. 48-53.

34. Ястребов, А. В. Сценарии групповой работы при изучении математики // Вопросы методики обучения математике в средней школе: Учебное пособие. - Изд-во ЯГПУ им. К. Д. Ушинского, 2002.-С. 113-121.

35. Ястребов, А. В. Междисциплинарный подход к преподаванию математики // Ярославский педагогический вестник. - 2004. -№3.-С. 5-15.

36. Ястребов, А. В. Школьный учебник как источник исследовательских задач // Учебный год. - 2007. - Вып. 1. - С. 12-11.

31. Ястребов, А. В. Исследовательская работа школьников как сфера инновационной деятельности учителей // Математика в образовании: сб. статей. Вып. 7 / под ред. И. С. Емельяновой. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2011. - С. 85-92.

38. Ястребов, А. В. Неравенства Ки Фана в исследованиях школьников // Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования: материалы Между нар. науч. конф. (Архангельск 16-21 ноября 2014 г.). - Архангельск: САФУ, 2014.-С. 126-131.

39. Ястребов А. В. «Полуэкспериментальный» вывод формулы суммы внутренних углов невыпуклого многоугольника // Ярославский педагогический вестник = Yaroslavl pedagogical bulletin: научный журнал. - Ярославль: РИО ЯГПУ, 2015. - № 6. - С. 31-37.

40. Ястребов, А. В. Обучение математике в вузе как модель научных исследований: монография. - Ярославль: РИО ЯГПУ, 2017. - 306 с. (Книга доступна в электронной библиотеке eLibrary.ru)

41. Ястребов, А. В. Числовая мера разносторонности треугольника I Математическое образование. - 2017. № 3. - С. ?? (В печати)

42. Ястребов, А. В., Меньшикова, Н. А., Епифанова, Н. М. Выявление дуалистических свойств науки в процессе преподавания

элементарной математики // Ярославский педагогический вестник. - 2006. - № 4. - С. 87-93.

43. Ястребов А. В., Новоселова Н. Н. Геометрические следствия приблизительности вычислений с помощью интерактивных математических сред // Ярославский педагогический вестник: научный журнал. - 2015. - № 4. - С. 61-72.

44. Ястребов, А. В., Суслова, И. В., Корикова, Т. М. Методика преподавания математики: теоремы и справочные материалы. - М.: Издательство Юрайт, 2017.- 173 с.

45. Ястребов, А. В., Шабанова, М. В. Три участника педагогического процесса и субъектно-объектный дуализм их взаимодействия // Актуальные проблемы обучения математике и информатике в школе и вузе в свете идей Л.С. Выготского / материалы III Международной научной конференции, 17-19 ноября 2016 г. // Под ред. М.В. Егуповой, Л.И. Боженковой. - ФГБОУ ВО «Московский педагогический государственный университет» (МПГУ), Издатель Захаров СИ. («СерНа»), 2016. - С. 395-400.

46. Ястребов А. В., Шабанова М. В. О типологии результатов компьютерных экспериментов в обучении школьников // Труды международной научной конференции 28 сентября -2 октября 2015, Армения, Горис, Москва, РУДН. Том 1: «Образование, наука и экономика в вузах и школах. Интеграция в международное образовательное пространство. - Ер.: Астхик Гратун, 2015. - С. 400-403.

Научное издание

Александр Васильевич Ястребов

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЕ

ОБУЧЕНИЕ МаТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ

Монография

Технический редактор выпускных сведений С.А. Сосновцева

Подписано в печать 12.03.2018 Формат 60x90 1/16 10,5 печ. л. Тираж 500 экз. Заказ № 22

Издано в ФГБОУ ВО «Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского» (РИО ЯГПУ) 150000, г. Ярослваль, ул. Республиканская, 108/1

Отпечатано в типографии ФГБОУ ВО «Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского 150000, г. Ярославль, Которосльная наб., 44 Тел.: (4852) 32-98-69