Воронец А. М. Очерки по методике математики в школах 1 ступени : пособие для учителей и слушателей пед. техникумов. — М. : Раб. просвещения, 1925. — 158 с. — Обзор учеб. лит.: с. 147—157.

А. М. Воронец

ОЧЕРКИ

по

МЕТОДИКЕ МАТЕМАТИКИ

В ШКОЛАХ 1 СТУПЕНИ

Пособие для учителей и слушателей педтехникумов

Допущено Научно-Педагогической Секцией Государственного Ученого Совета

А. М. Воронец

ОЧЕРКИ ПО МЕТОДИКЕ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛАХ 1 СТУПЕНИ

Пособие для учителей и слушателей педтехникумов

Допущено Научно-Педагогической Секцией Государственного Ученого Совета

ИЗДАТЕЛЬСТВО

РАБОТНИК

ПРОСВЕЩЕНИЯ

МОСКВА — 1925

Москва, Главлит № 37006, 1925 г. Тираж 8000 экз. Калуга 1-я Государственная типо-литография.

Предисловие.

С полным сознанием трудности предпринятой работы и многих недочетов ее исполнения я решаюсь выступить в печати с этой книгой, в которой я излагаю свои соображения о преподавании математики в нашей реформированной школе I ступени. Здесь зафиксирован в общем тот курс методики, который я веду на многочисленных конференциях и съездах по переподготовке учительства, на школьном отделении агропедфака 2-го Московского Государственного университета и в Московском педтехникуме имени Профинтерна.

Изложенное в этой книге я называю очерками по методике, так как нисколько не претендую ни на полноту изложения, ни на освещение всех вопросов, сопряженных с методикою математики. Некоторых существенных вопросов, как, например, о развитии техники арифметических действий с числами до 1000, я не касаюсь вовсе. Такие вопросы прекрасно разработаны еще до революции и хорошо трактуются в новейших задачниках. Я стремился выдвинуть и посильно осветить те вопросы, которые возникли в процессе школьной реформы и являются в настоящее время наиболее острыми для учительства, так как в методической литературе очень мало соответственных указаний. Мой скромный вклад незначителен как количественно, так и качественно, тем более, что он вытекает преимущественно из моей самостоятельной и изолированной работы; я вношу, так сказать, некоторые конкретные предложения, чтобы сдвинуть с мертвой точки нашу методическую математическую литературу, и надеюсь, что оценка моих предложений, в положительном или в отрицательном смысле, принесет пользу.

Как при чтении курса методики в аудитории, так и при изложении предлагаемых очерков моя мысль направлена к учительству, разделяющему принципы реформированной школы, но затрудняющемуся, без конкретных указаний, как вести дело по-новому. Мое основное и единственное желание — помочь моим младшим и менее опытным товарищам. Насколько моя помощь приемлема, покажет их оценка моего труда. Усердно прошу сообщать мне все недоумения, возражения и запросы, адресуя их Издательству „Работник Просвещения“ (Москва, Воздвиженка, 10) для передачи мне.

А. Воронец.

10 января 1925 г.

I. Новые программы.

Схемы ГУС'а уничтожили в школах I ступени предметное преподавание, заменив его комплексным. Тем не менее остается в силе распределение предметных материалов в соответствии с возрастными группами, так как совершенно очевидно, что всякая комплексная тема должна быть доступна учащимся не только в отношении своего основного содержания, но главным образом в отношении средств исследования. Так, в первой возрастной группе нельзя разбирать тот числовой материал избранной темы, который выходит за пределы возрастного понимания числа. Возьмем для примера одну из начальных тем: „семья“. С детьми 8-летнего возраста можно говорить о численном составе семьи, о том, на сколько душ в одной семье больше, чем в другой, но в первом триместре первого года еще рано ставить вопрос: на сколько лет отец старше сына? В процессе исследования различных вопросов, об'единяемых комплексными темами, учащиеся в школах I ступени должны научиться между прочим арифметическим действиям с числами целыми и дробными. Этого никто не может отрицать. Но столь же очевидно и то, что нельзя оперировать числами любой величины, прежде чем не будет усвоена техника операций с числами скромного размера. Стало быть, известная постепенность в математических упражнениях остается, иначе мы пришли бы к абсурду. Вот эту-то постепенность математического обучения в отдельных возрастных группах, или, иначе сказать, об'емное содержание математических навыков, приобретаемых учащимися в течение учебного года, я и называю предметною программой по математике. Такого рода программа напечатана и в схемах ГУС'а и мы знаем, например, что на первом году требуется выполнить следующую программу по математике.

„Все действия в пределах первых двух десятков. Все действия с круглыми десятками до 100. Половинные и четверти доли. Меры длины и веса. Умение обращаться с часами: час, минуты, полчаса, четверть часа. Квадрат, треугольник, прямоугольник, круг“. (Новые программы для ед. тр. шк. Вып. I. Гос. Изд. 1923 г., стр. 50.)

Эта цитата с полною очевидностью указывает на то, что раздельные программы продолжают существовать; я не

стал бы останавливаться на таких азбучных истинах, если бы не слышал мнений или предположений учительства и даже инструкторов, что в настоящее время упразднены всякие предметные программы. Это, конечно, не так; но схемы ГУС'а и сопровождающие их раз'яснения чрезвычайно мало говорят о методических вопросах и в частности о том, что касается собственно математики. Причина этого обстоятельства понятна: центр тяжести новых схем лежит в идее комплекса, следовательно, отдельные учебные дисциплины не дифференцируются. Тем не менее я полагаю, что учительство, проводя комплексное преподавание, все же интересуется тем, как и при новом положении наилучшим и наибыстрейшим способом научить детей, например, операциям с десятичными дробями, когда и в какой группе приступить к этим операциям и т. п.

В отношении об'емного содержания математического курса дело в общем не изменилось по сравнению с 1918 г., когда старая школа была преобразована в единую трудовую. Тогда дореволюционные программы подверглись коренной ломке, и преподавание математики было реформировано, пожалуй, более углубленно, чем других учебных предметов, например, естествознания. Старая программа по математике, которую можно охарактеризовать признаком строгой систематичности, сменилась программою, построенною по принципу широкой концентричности. Эта смена оказалася не столь чувствительною в двух младших группах школ I ступени, как в двух старших. В самом деле, еще до революции в тех классах, которые соответствовали теперешним двум младшим группам школ I ступени, дети оперировали с простейшими дробями (г/2, !/4, !/в), знакомились с некоторыми мерами, а иногда и с геометрическими фигурами. Такого рода упражнения встречались в начальных учебниках и пособиях по математике, например, у Беллюстина, Гольденберга и др. Но с третьего года начиналась детальная систематизация: целые числа, отвлеченные, таблица мер, именованные числа; на четвертом году - признаки делимости, разложение чисел на первоначальные делители, общий наибольший делитель, общее наименьшее кратное, дроби простые, дробные именованные числа, десятичные дроби, метрическая система мер. О пятом годе, где изучались знаменитые правила: простое и сложное тройное, смешения, цепное, учета векселей и пр., я не буду говорить здесь подробно по двум причинам: во-первых, пятый год отошел ко второй ступени, а во-вторых, еще в 1896 г., при обсуждении вопроса о реформе школьных программ, были сделаны предложения об из'ятии из курса математики перечисленных „правил“, как архаического балласта. Последний был выброшен за борт школы в 1918 г. новыми программами, которые, впрочем, не сразу вошли

в жизнь. В 1919—1923 годах я лично наблюдал в разных школах, как учащиеся решали по старинке задачи на сложное тройное правило, на смешение 2-го рода и т. п., при чем учащие оправдывались тем, что иначе нельзя, так как учащиеся, при переходе в другую школу, на поверочном испытании по математике должны будут решать подобные задачи. Не ручаюсь за то, что теперь повсеместно покончили с „правилами“, несмотря на появление схем ГУС'а.

Особая уродливость в прежней „систематичности“ преподавания математики заключалась в том, что при изучении отвлеченных чисел нельзя было говорить об именованных, при операциях с числами целыми исключить дроби и т. д. Строгая разграниченность традиционных глав арифметики сменялась обособленностью отделов математики, и в дальнейшем мы встречали нелепые задачи на обязательное применение собственно арифметики, когда та же задача легко решается алгебраически, на затруднительное применение исключительно геометрии, когда дело просто решалось тригонометрически, и т. д. В задачниках всегда имелись заключительные отделы общие, смешанные, повторительные, где как будто об'единялось то, что было пройдено разрозненно; были даже специальные задачники „микстурного“ типа, в которых каждая задача представляла собою нагромождение вопросов чуть ли не по всему курсу. Таковы были задачники Арбузова, Мининых и Назарова, Боголепова и др. по арифметике, Верещагина, Клионовского и др. по алгебре. В настоящее время такие книги являют собою курьезные памятники дореволюционной схоластики школьного преподавания математики. Это схоластическое направление было разрушено лозунгами единой трудовой школы, но разрушено более декларационно, чем фактически; в самом деле, принципы новой школы резко противоречат прежним устоям преподавания предметного, отвлеченного и имевшего основною целью формальное развитие учащихся, но новые принципы далеко еще не получили широкого практического распространения, так как кадровое учительство оказалось совсем неподготовленным к проведению в жизнь школьной реформы; оно, сочувствуя реформе, не могло немедленно взяться за дело, потому что не было учебных пособий, на которые можно опереться для нового преподавания. Затем слишком велика сила привычки к старому, испытанному, чтобы с легким сердцем сразу порвать с прошлым и безбоязненно, уверенно начать по неизведанному новому. Требовалось много времени для того, чтобы новые принципы стали ясными учительству как в теоретическом, так и в практическом отношении. Теперь уже совсем не слышно возражений против нового курса преподавания математики (я говорю пока о курсе до появления схем ГУС'а); оппозиция

исчезла не потому, что она раздавлена физически, а по той причине, что самые упорные защитники старого академизма подались в сторону освежения приемов преподавания математики. Произошел колоссальный сдвиг, после которого органически не может быть возвращения к стилю Евтушевского, Малинина и Буренина, Комарова и т. п.

Программы трудовой школы построены, как я уже сказал, между прочим на принцице концентричности и фузионизма, т.-е. слияния в одно целое искусственно раз'единенных раньше глав и отделов математики. Разрушены ненужные перегородки между числами отвлеченными и именованными, целыми и дробными, арифметикою и алгеброю, арифметикою и геометриею и т. д. Каждый год обучения охватывает вопросы собственно арифметики, в том числе арифметики чисел и отвлеченных, и именованных, и целых, и дробных, алгебры и геометрии. В этом заключается существенное отличие новых программ от старых, в которых был единственный пункт слияния арифметики с геометриею, именно меры длины, поверхности и об'ема, при чем этот благодарный для живого преподавания материал превращался в скучное зазубривание трудных числовых соотношений, в роде того, что один кубический фут равен 1728 кубическим дюймам, и в не менее скучное и безжизненное применение квадратуры и кубатуры, как, например, решение такой задачи: сколько придется заплатить за прямоугольный участок земли, имеющий в длину 0,375 версты, в ширину 0,48 версты, если цена одной квадратной сажени равна 38,5 коп.? Следует отметить, что я привел для образца сравнительно безобидную задачу, между тем как большинство их доходило до рекордных нелепостей.

Когда бесповоротно осужденный старый принцип сменяется новым, ему противоположным, то всегда, как бы по третьему закону механики Ньютона (всякое действие вызывает равное противодействие), происходит слишком резкое перегибание палки в другую сторону. Так и случилось при составлении новых программ. Всем памятна первая примерная программа для трудовой школы, составленная в 1918 г. Нар. Ком. Просв.; в этой программе для школ первой ступени, которая захватывала тогда 5 лет обучения, идея фузионизма отделов математики была выявлена настолько ярко, что на пятом году обучения включались даже элементы тригонометрии; верная мысль приблизить математику к решению практических вопросов была утрирована до такой степени, что на первом же году сказались иллюстративные вопросы, недоступные данной возрастной группе. Такие шероховатости постепенно исчезали в различных программах, составлявшихся в 1919 — 1921 годах; за эти годы повсеместно разрабатывались программы и теперь трудно подсчитать,

сколько вариантов было напечатано. Я лично знаком с 12 вариантами, составленными в авторитетных учреждениях центра и окраин, но уклоняюсь здесь от детального их разбора, считая это дело более интересным теперь для историка, чем для методиста, так как из всех вариантов можно вывести нечто среднее, вполне определенное и законченное и то, что остается в силе при новых схемах ГУС'а. Само собой разумеется, что я имею пока в виду только об'емное содержание программы.

Никакая программа не должна и не может быть бронированною, жесткою. Слишком велико разнообразие местных условий и обстоятельств, а потому нельзя подчинить все школы одному и тому же обязательному образцу. Персональный и численный состав учащихся, их предварительная подготовка, инвентарь учебных пособий, средства снабжения, условия транспорта для экскурсий и т. д., и т. д. представляют собою такие могущественные факторы, которые стихийно влияют на выполнение заданной программы. Наконец, нельзя упускать из вида индивидуальность учащих и не давать педагогу возможности действовать, в известных границах, свободно и творчески. Педагогическое дело тускнеет и обрастает корою рутины, когда стремятся превратить его в ремесло выполнения разработанных рецептов; наоборот, если смотреть на преподавание, как на творческое искусство, и предоставить ему возможность искать и прокладывать новые пути, то только тогда рождаются новые идеи и эксперименты, из которых происходит прогресс школы.

Сделанная оговорка позволяет мне предложить теперь следующую программу математики для отдельных возрастных групп школ первой ступени.

1 год. Все действия с числами в пределах первых двух десятков. Сложение и вычитание до 100. Числовые уравнения. Доли 1/2, 1/1 и Ч9, сложение и вычитание дробей с знаменателями 2 и 4. Метр с подразделениями на четвертые доли, дециметр, литр и килограмм с подразделениями на восьмые доли. Показания термометра. Циферблат часов. Год, месяц, дни, недели, час, минута. Знакомство с фигурами: квадрат, прямоугольник, треугольник, круг. Куб, брусок и шар.

2 год. Все действия с числами в пределах первой сотни. Сложение и вычитание до 1000. Числовые уравнения. Доли 0,1 и 0,01; процент. Сложение и вычитание дробей с знаменателями 2, 4 и 8, умножение таких дробей на целое число. Сложение и вычитание дробей с знаменателями 10 и 100. Километр, центиметр и миллиметр. Грамм. Секунда. Табелькалендарь. Год простой и високосный. Угол, транспортир. Квадратура прямоугольника и квадрата. Прямолинейные диаграммы. Нивелирование. Высотомер.

3 год. Все действия с целыми числами любой величины. Признаки делимости на 2 и на 5. Доля 0,001. Сложение и вычитание дробей с знаменателями 10, 100 и 1000, умножение таких же дробей на целое число. Вычисление процентных и нромилльных соотношений. Гектолитр. Тонна. Показатель степени. Квадратура треугольника, равнобочной трапеции, многоугольника, произвольного контура. Квадратные меры. Ар, гектар. Эккер. Обмер в натуре прямоугольного участка земли. План комнаты, небольшого здания. Чтение плана участка земли. Круговые диаграммы.

4 год. Признаки делимости на 4, 25, 3 и 9. Число первоначальное. Общий наибольший делитель и наименьшее кратное несложных чисел. Действия с дробями простыми и десятичными. Приближенные вычисления. Килограмм-метр, калория; оценка мощности работы. С'емка плана несложного участка земли. Вычисление длины окружности и площади круга. Кубические меры. Кубатура призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара. График. Чтение и составление буквенных формул.

Изложенная программа должна рассматриваться только как примерная. Она вытекает, как результативная, из работ многих комиссий и выявляет современное направление по отношению к преподаванию математики. Я подчеркиваю название программы примерною, так как отдельные ее вопросы могут быть перенесены, по усмотрению учащего и без всякого нарушения общего принципа, из одной возрастной группы в другую. Я не сопровождаю предложенную программу подробною об'яснительною запискою, потому что все основные вопросы, как-то: метрология, геометрия, алгебра и другие, будут разобраны мною достаточно подробно в соответственных главах этой книги. Я ограничусь пока немногими замечаниями.

Можно считать программу слишком обширною по об'ему и трудно выполнимою при современных условиях, когда еще не изжита общая разруха в отношении школьного снабжения, когда еще нет вполне подходящих печатных пособий и т. д. Но речь идет сейчас не о том, что касается насущного дня; я говорю о программе, желательной и выполнимой в школе, работающей в нормальных условиях. Скоро ли подойдем мы к ним вплотную, это другой вопрос; что сейчас трудно, это верно, но ведь нужно же стремиться к лучшему и невозможно говорить о реформе, поддаваясь пессимистическому настроению, вытекающему из временных затруднений. Затем существует еще одно веское соображение в пользу некоторой лишней нагрузки программы. Подавляющее большинство населения ограничивает и, к сожалению, еще очень долго будет ограничивать свое образование школою первой ступени. Поэтому последняя должна давать первый

концентр образования законченным и дать по возможности больше, так как весьма немногие пополнят свои знания вне школы, самообразованием. Вот по какой причине я настаиваю на удержании в программе мер работы и мощности. По существу я отнес бы этот вопрос на более позднее время; если бы я был уверен, что большая часть учащихся получит, например, семилетнее образование, я согласился бы на перенесение оценки работы и мощности даже на 7-й год. Но если школа, доступная большинству, ограничена четырьмя годами, то в эти годы надо во что бы то ни стало втиснуть трактуемый вопрос. Двигатели и машины разного рода настолько глубоко проникают в нашу жизнь, что школа, обучающая своих питомцев мерам длины, веса, времени и т. д., не может не научить мерам работы и ее мощности. По тем же соображениям приходится включать в четвертую группу с'емку плана и другие вопросы, а перегружая эту группу, поневоле приходится несколько форсировать предыдущие группы.

В изложенной программе дан перечень или сухой инвентарь тех вопросов, которые подлежат изучению; в этом перечне есть некоторая систематичность и явное разобщение отделов математики. Читатель не должен усматривать в этом противоречия новому принципу фузионизма. Я уже высказал, что говорю об об'емном содержании программы; следовательно, я просто перечисляю то, что на каком году обучения надо сделать. А как это сделать, в какой последовательности — указано довольно определенно в новом издании программ ГУС'а (Гос. Изд. 1924 г.).

Принцип концентрического построения программы очевиден. В самом деле, из перечня, касающегося первой возрастной группы, мы видим, что он обнимает математику довольно разносторонне, но в пределах небольших чисел, не свыше 100. В дальнейшем программа концентрически раздвигает размеры оперируемых чисел. Эти пределы, в соответствии с возрастными нормами учащихся, были установлены еще давно, сначала интуитивно и разрозненными опытами, а затем научно. Экспериментальная педагогика достигла в этом отношении серьезных успехов; она уже знает, какой круг восприятий доступен определенному возрасту. Мы пользуемся трудами европейских и американских ученых, так как у нас еще не было массового обследования детей разных возрастов и в зависимости от социальных условий.

В связи с программою находится вопрос о предварительной подготовке учащихся. Наши школы первой ступени принимают в младшую возрастную группу детей около 8 лет и неграмотных. В больших городах, где имеются детские дома и сады, значительная часть детей поступает в школы, уже умея читать, немного считать и писать. Такая подготовка является огромным облегчением для труда учащего

в первой группе: он получает в готовом виде то, что достигается ценою продолжительных занятий, при таких условиях школьная программа может быть расширена. Деревенские дети растут в менее благоприятной обстановке, среди малограмотных взрослых, при отсутствии книг и педагогически ценных игр; таким образом с деревенскими детьми приходится начинать действительно с азов, а потому сельскому учительству достается тяжелее. Но в отношении математики дело обстоит все же лучше. Жизнь научает счету и вне школы, научает и взрослых и детей. Трудно представить себе недефективного ребенка 8 лет, выросшего даже в самой глухой деревне, который не видел монет, не считал денег, не знал из практики долей: половина, одна четверть, не понимал ходовых мер и т. п. Наличие таких математических понятий, несомненно, облегчает выполнение школьной программы.

II. Роль математики в комплексе и методы преподавания.

Новые программы распределяют весь учебный материал по определенным темам, об'единяющим в своем содержании разного рода общеполезные сведения и развитие навыков. Такого рода об'единения совсем не было в старой школе. Все отдельные учебные дисциплины шли каждая по своей дороге, без всякого взаимного соответствия, и поэтому некоторые вопросы всплывали в разное, часто неподходящее, время и в различном освещении. Учащиеся зазубривали зимою стихотворения на осенние мотивы, весной слушали об отлете птиц и т.д. Здесь дело не в распределении материала по временам года; такое распределение было знакомо еще в дореволюционной литературе, например, по хрестоматии Острогорского; дело в том, что об отлете птиц на зиму упоминается и в литературе, и в биологии, но эти учебные предметы не координировали своего общего материала, и поэтому школьные занятия были калейдоскопичными. Внимание и интерес учащихся не могли сосредоточиться на затронутой теме; мысль должна была перебегать с одного предмета на другой без всякой органической связи. Об'единение всех учебных дисциплин в одно гармоничное целое представляет собою огромное достоинство новых программ. Но их построение еще глубже, оно об'единяет весь учебный материал на почве изучения природы и человека, труда и общества. Целевая установка школьного дела получилась совершенно иная—вместо лоскутных сведений, большею частью отвлеченных, мы имеем планомерное изучение тех факторов, из которых слагается жизнь и деятельность людей. Изучение идет концентрически, от легкого к сложному, сообразно временам года, по определенным темам, распадающимся естественно на подтемы.

Какое отношение имеет математика к описанному стройному, но сложному комплексу?

Теперь не приходится говорить о связи математики с другими учебными предметами; такая связь, конечно, существует и имеет свое значение, но теперь приходится ставить вопрос шире и спрашивать о связи математики с данною темою. Нет такой темы, всесторонняя разработка

которой может обойтись без математики. Может случиться, что соответственная математическая разработка непосильна для данной возрастной группы, но зато она вполне доступна для другой группы. Возьму для примера тему „Октябрьская революция“. Она встречается во всех возрастных группах. Какие материальные блага получили рабочие и крестьяне от революции? Рабочий работал 6 дней в неделю по 12 часов, следовательно, был занят в течение недели 72 часа; при 8-часовом рабочем дне он занят 48 часов в неделю, следовательно, выиграл 24 часа или целые сутки в неделю! За год это составит почти два месяца. Крестьяне получили бывшую помещичью землю. Так, например, в Никольской волости Раненбургского уезда, Рязанской губернии, крестьяне имели до революции 4186 десятин пахотной земли, а в настоящее время 9587 десятин пашни (Методические письма. Письмо 2-е. „Наша волость“. 2-е изд. Из-во „Работник Просвещения“. Москва 1924 г. 25 к.); в означенной волости насчитывается 1054 двора с населением 5861 человек; сколько пашни прибавилось в среднем на двор, на душу? Поставленные вопросы, конечно, не исчерпывают всех благ, полученных рабочими и крестьянами, эти вопросы представляют собою маленькую частицу того, что можно исследовать математически по отношению к выбранной теме, они взяты только для примера, для доказательства двух тезисов: 1) всякая тема допускает математическую разработку; это доказано хотя бы двумя приведенными вопросами, касающимися темы „Октябрьская революция“, каковая тема, казалось бы, исключительно обществоведческая, представляется многим не допускающею математического вмешательства; 2) разработка темы может оказаться непосильной для одной возрастной группы, но зато подходящею для другой группы; это доказывается теми же двумя приведенными вопросами; в самом деле, вопрос о рабочих может быть решен во второй группе, но не в первой, так как числовые операции 12 — 8, 4.6 преждевременны в октябре месяце первого года обучения; вопрос о крестьянах может быть решен только в третьей группе, так как мы имеем дело с числами, превышающими тысячу.

Из сказанного вытекает вопрос: как же поступить в том случае, если данная тема не поддается математической разработке в данной группе? Я думаю, что ответ должен быть простым: оставить без соответственной разработки и никоим образом не придумывать искусственных вопросов, иначе легко впасть в карикатуру. Не следует навязывать программам ГУС'а того, чего они не требуют; надо с полною определенностью усвоить, что всякий комплекс должен быть естественным и что всякое насилование идеи комплекса притягиванием к любой теме, во что бы то ни стало, всех отраслей знания представляет собой абсурд и нарушение

той жизненной правды, которая положена в основу идеи комплекса. Возвращаясь к теме „Октябрьская революция“, полагаю, что в этой теме нет места для биологии и что задача: „в день праздника революции учащиеся устроили шествие колонною по 4 человека в ряд; всего рядов было 12; сколько учащихся было в колонне?“ — никакого логического отношения к революции не имеет.

Если учащий не располагает готовым материалом для избранной темы или не может сам придумать безусловно подходящего материала, то лучше совсем обойти по отношению к этой теме ту или иную отрасль знания, чем сочинять неподходящее и насиловать логику и правду. Лучше исследовать тему односторонне, но верно, чем многосторонне, но искусственно и неправдиво. Педагог не должен забывать великой истины, что учебный материал должен быть правдив и что именно эта истина лежит в основе новой широкой схемы школьного образования. Насилование комплекса представляет собою неверное понимание схем ГУС‘а.

При выборе материала для разработки комплекса надо проявлять величайшую осторожность и относиться строгокритически к печатным сведениям, так как и авторы учебников не свободны от разного рода ошибок. Разумеется, учащие не ответственны за ошибки и опечатки в книгах, когда пользуются сообщаемыми сведениями; но все же следует относиться вдумчиво ко всякого рода источнику. Хуже всего сочинять числовые задания без серьезных для того оснований. Не меньшая осторожность требуется при подборе содержания задач для разработки данной комплексной темы, и потому, если учащий затрудняется в подборе задачи, то лучше совсем не решать задач, чем решать неподходящие или нежизненные и повторять таким образом ошибки дореволюционной школы.

Я высказал, что каждая тема может быть разработана математически. Большею частью математические вопросы напрашиваются сами собою и остается только искать в справочниках надежные числа, если нельзя обойтись наблюдениями и измерениями самих учащихся. Но каждая тема распадается на подтемы, и может случиться, что какая-либо подтема не поддается математическому учету. Это вполне возможно, и тогда такая подтема должна остаться вне участия математики. Иногда учитель не находит помощи ни в печатном пособии, ни в догадке; и в этом случае придется помириться с пробелом. Иногда помощь приходит от учащихся, и за нее следует крепко уцепиться, всемерно ее использовать. Приведу пример, произведший на меня большое впечатление. При обсуждении в педтехникуме темы „приготовления к зиме“ я заметил, что, поскольку приготовления делаются человеком, математический материал получается обильный

и очевидный: расчеты запасов топлива, кормов, продовольствия и т. д.; но если разбивать тему на подтемы, как это делается в школах, а именно если расчленять приготовления к зиме человека, животных, птиц и даже насекомых, то я затруднился бы посоветовать подходящий материал; задачи в роде: „в саду было 20 птиц, из них 15 улетели на зиму, сколько осталось?“ были, конечно, забракованы. Дело клонилось к единодушному признанию названных подтем безнадежными, как вдруг одна из слушательниц предложила навести справки, сколько пуха собирается с гуся позднею осенью или в начале зимы. Это был прекрасный выход из положения.

Я рекомендую учительству собираться по. об'единениям в начале каждого триместра и коллективно разрабатывать как последовательность тем и подтем, так и их содержание. Совместная работа ведет к значительному обогащению учебного материала, так что члены коллектива собирают нужные сведения из различных источников.

Математика, участвуя в разработке каждой комплексной темы, должна, кроме того, развиваться сама по себе в смысле приобретения учащимися навыков. Речь идет не о предметном преподавании математики, как самодовлеющего учебного предмета, а о развитии математических навыков, необходимых для разработки комплексных тем. Развитие навыков никоим образом не может происходить внутри комплексных тем, особенно на первых двух годах обучения, так как размер чисел, над которыми оперируют дети двух младших возрастных групп, невелик, а потому математический анализ тем первых двух лет не может проникать глубоко. Кроме того, первые темы (в течение почти двух дет) вызывают только легкие задачки определенного содержания, которые невозможно решать долгое время, иначе они попросту надоедят учащимся. Возьмем для примера одну из первых тем: „состав семьи“; тема ставит очевидные задачки: „сколько едоков в твоей семье?“, „на сколько едоков больше, чем в соседней?“, „на сколько лет ты старше своей сестры?“ и т. д.; но ведь нельзя же решать такие задачи ежедневно целую неделю. Пора приниматься за писание цифр, за записывание действий. Такое занятие легко импульсировать любою темою, но оно должно происходить и независимо от текущей темы, так как всякого рода навыки приобретаются в систематическом, методически продуманном распорядке. Без вычислений так называемых строчек и столбиков обойтись невозможно в реформированной школе. Серьезную, даже тяжкую, ошибку делает тот, кто утверждает, что программы ГУС'а упразднили специальные счетовые упражнения как устные, так и письменные. Учительство боится таких упражнений, как бы ревизор не упрекнул

в ведении дела по старинке. Такие многочисленные случаи мне известны; они выявляют большое, принципиальное недоразумение. В самом деле, программы ГУС'а дают нам широкую схему исследования окружающих нас явлений, при чем основным стержнем исследования является обществоведение. Никакое серьезное исследование не обойдется без калькуляций, без графической интерпретации. Возьмем для примера заключительную тему четвертой группы: „Первое мая— международный праздник всех трудящихся“. Допустим, что ее разрабатывает обществовед. Он, несомненно, расскажет учащимся историю рабочего движения, приведшего между прочим к установлению международного праздника труда. Но ведь история состоит не только в хронологии и в биографии вождей движения. Самое движение обусловлено глубокими материалистическими или экономическими причинами, вскрытие которых требует сообщения огромного числового материала и исследования разного рода функциональных зависимостей. Слушатель должен быть достаточно подготовлен к пониманию чисел и их графического изображения; кроме того, роль слушателя не может быть пассивною. Только тот хорошо воспринимает сообщаемые ему числовые расчеты, кто умеет сам их проделать. Я полагаю, что не стоит тратить больше слов на доказательство необходимости хорошо знать арифметику для исследования обществоведческих вопросов. Я подчеркиваю эти вопросы, так как обществоведение является краеугольным камнем программ ГУС'а. Но, кроме того, никто не может отрицать практической пользы усвоения школьного курса математики для обыденной жизни, для труда. Работа образованного рабочего более экономична и продуктивна, чем работа неграмотного. Мелиорация крестьянского хозяйства не удастся до тех пор, пока числовые расчеты не проникнут глубоко в среду земледельцев. Я отсылаю читателей к моей статье „Математика на службе в деревне“, напечатанной в № 10 журнала „Народный Учитель“ за 1924 г.; в этой статье я стремился посильно выяснить, какую огромную культурную роль может сыграть рациональная постановка преподавания математики в сельской школе.

Итак, приобретение математических навыков в об'еме курса школы I ступени необходимо без всяких оговорок и сомнений. Навыки же, какие бы они ни были, приобретаются детьми лишь в порядке длительных повторных и систематических упражнений. Математические навыки, более, чем другие, требуют определенной последовательности, строго продуманной; они менее зависят от времен года или от других явлений и обстоятельств, чем занятия другими специальностями. Странно было бы изучать весною стихотворения, описывающие осень; не менее странно было бы изучение майского жука в ноябре месяце, но весна, например,

сама по себе не обладает такими свойствами, чтобы в течение ее месяцев изучать дроби, а не целые числа, меры веса, а не меры длины и т. д. В младшей группе чисто-арифметический материал располагается в таком порядке: числа до 10, числа до 20, счет круглыми десятками, нумерация чисел до 100. Обратного или перетасованного порядка быть не может. Следовательно, нельзя связать одну из первых тем „Состав семьи“ со счетом круглых десятков; ее можно связать только со счетом в пределах первого десятка. Отсюда и из предыдущего вытекает неизбежное и естественное отношение математики к системе комплексного преподавания, которое можно формулировать следующими тезисами.

1. Участие математики в разработке очередных тем увеличивается прогрессивно в каждой возрастной группе и в каждом триместре любой группы, начинаясь в первом триместре первой группы с решения немногих легких задачек.

2. Каждая очередная тема использовывается или для жизненного применения уже приобретенных математических знаний, или для импульсирования приобретения новых знаний, или для того и другого.

3. Независимо от участия математики в разработке очередных тем, занятия математикою должны происходить и в особое время, вне очередной темы для развития разного рода навыков, необходимых для разработки последующих тем и приобретаемых в строгой методической последовательности.

Последним тезисом я хочу подчеркнуть необходимость отдельных занятий по математике, столь же неизбежных, как и занятий для приобретения грамотности в родном языке. Возьму для примера вопрос о делении трехзначного числа на двухзначное. Чтобы учащиеся усвоили такое деление, они должны много раз его совершить при разных числовых заданиях. Никакая жизненная тема не дает нам упражнений с отвлеченными числами. Всякий жизненный вопрос, вытекающий из очередной темы, ставит ту или иную задачу обязательно с именованными числами, ставит, повторяю, задачу, а не отвлеченный числовой пример. Поэтому, если ограничиваться только тем материалом, который содержится в данной теме, мы получим только задачи. При решении задачи внимание учащихся разбивается на решение поставленного вопроса и на сопряженные с этим числовые выкладки, при чем, очевидно, что центр внимания должен быть обращен на решение задачи, а не на процесс вычислений. Решение задачи требует гораздо более времени, чем производство тех выкладок, которые ведут к ее решению. Поэтому приобретение технических навыков счета путем только решения задач потребует колоссальной затраты

времени в ущерб всем остальным занятиям в школе. Ясно, что необходимы и упражнения в действиях с отвлеченными числами, следовательно для выполнения всех широких задач новой программы надо заниматься и специальными счетовыми упражнениями. Казалось бы, что все это настолько очевидно, что не заслуживает столь пространной защиты. Но я знаю, что программы ГУС'а понимались и, может быть, понимаются неправильно в том смысле, что комплексная система яко бы исключает специальные упражнения для развития грамотности и уменья считать.

По вопросу о математической разработке комплексных тем я предостерегаю учительство от однообразного отношения ко всем темам и шаблона в деталях. Как часто приходилось наблюдать следующие положения. Разрабатывается тема „фабрика“; дело сводится к диаграммам и к вычислениям квадратуры и кубатуры. Следующая тема „крестьянское хозяйство“; опять диаграммы, квадратура и кубатура. Дальше „ремесло“ и снова диаграммы, квадратура и. кубатура. И так далее, и так далее. Такой скучный, я бы сказал даже удручающий, подход к делу имеет очевидные причины: материал, подходящий для разнообразной разработки тем, распылен в печатных источниках так, что одному человеку не под силу его собрать; учительство, не имея в руках комплексного справочника и будучи перегружено многогранною работою, лишено возможности обстоятельно готовиться к каждой отдельной теме и невольно идет по пути среднего шаблона. Со временем, когда учебная литература разработает полнее и глубже современные больные вопросы, дело пойдет лучше, а пока все-таки хочется высказать пожелание, чтобы каждый учитель, по мере сил и возможности, стремился к улучшению приемов преподавания и к большему разнообразию учебного материала. Это может быть достигнуто до некоторой степени следующим способом: пусть каждый учитель вменит себе в правило делать выписки при чтении книг, газет и журналов; накопляемый таким образом материал сообщается и обсуждается на собраниях в об'единениях. Еще более помогло бы делу концентрирование такого материала в определенном периодическом издании, и я хотел бы этими строками вызвать инициативу наиболее удобного для учительства разрешения одного из больных современных вопросов.

В главе о диаграммах читатель найдет указания, как можно разнообразить хотя бы внешний вид диаграмм. Здесь же я коснусь одной детали в отношении вопроса о кубатуре разного рода построек. Кубатура здания далеко не всегда интересна. Если во время экскурсии на железнодорожные сооружения учащимся предлагается обмерить кубатуру вокзала, то это будет ошибкою. Кубатура вокзала не даст

ответа ни на какой интересный по существу вопрос и упражнение в обмере, ради лишнего упражнения, неосновательно, так как для этого упражнения не стоит посещать жел.-дор. станцию: школьное здание и соседние для этой цели достаточны. Но среди жел.-дор. построек встречаются особые, такие, кубатура которых интересна сама по себе. Например, неподвижные и подвижные цистерны для хранения нефти в других местах почти не встречаются. Кубатура пакгаузов тоже заслуживает внимания с точки зрения количества вмещающихся разных предметов. Кубатура фабричного корпуса, в котором производится работа, не имеет большого значения, но кубатура общежития, в котором проживают рабочие, дает материалы для ценного исследования. Таким образом я хочу сказать, что, ставя вопрос о кубатуре данного сооружения, необходимо прежде всего уяснить себе, для чего это нужно и насколько это интересно не обсолютно, а по сравнению с другими сооружениями.

Такой же критицизм следует проявлять по отношению к любому вопросу. Не всякая диаграмма интересна или выявляет такую особенность, которая заслуживает внимания. Не всякая калькуляция ведет к поучительным результатам. Я думаю, что всегда можно выбрать наиболее яркое, выпуклое; конечно, для этого нужен огромный выбор материала, а поэтому надо всемерно стремиться к его собиранию.

Необходимо еще предостеречь учительство от такого неверного понимания комплексной разработки очередной темы, которое приводит к задачам, имеющим только общие слова с текстом темы, но не имеющим с темою никакой логической связи. Допустим, например, что прорабатывается тема „домашние животные“ и из нее выделяется подтема „кошка“. В большинстве случаев дети решают тогда такие задачи:

на дворе 4 кошки; одна убежала, сколько осталось?

сколько лап у 5 кошек?

Эти задачи никакого отношения к избранной подтеме не имеют, кроме повторения слова „кошка“. Замените в тексте приведенных задач слова кошка любым из слов: собака, лошадь, овца, коза и т. д., и получится одно и то же. Что характерного в отношении кошки то, что несколько их усмотрено на дворе? Разве число ног или лап у кошки тоже особенно-примечательно? Какой поучительный вывод можно сделать из того, что у 5 кошек всего 20 лап?

Может быть задача: „на крыше 4 кошки, одна убежала, сколько осталось?“ лучше отвечает цели, так как эдесь подстановка слов собака, лошадь и т. д. неуместна? Конечно нет, так как наблюдение или простое констатирование факта, что на крыше замечены 4 кошки, не представляет собою изучения кошки. Между тем идея комплексного преподавания состоит в том, что избранная тема исследуется и изучается

всесторонне, исследуется всеми способами, которые подходят к делу, а никак не в спряжении или склонении данного слова. Математика должна принять участие в посильном изучении и исследовании поставленного вопроса, а не решать задачи, в тексте которых только встречается избранное слово и которые вопроса нисколько не исследуют.

Если меня спросят, какие же задачи относятся к подтеме „кошка“, я отвечу, что, может быть, ни одна задача не подойдет. И в этом никакой беды нет. Математическое участие в разработке темы состоит не только в решении задач; ведь всякая задача должна преследовать исследовательскую цель, поэтому не всегда можно построить исследовательское вычисление. Я думаю, что подтема „кошка“ обойдется без решения задач, но эта же подтема допускает следующую математическую проработку: измерить рост кошки и сравнить его с ростом других животных, сравнить число зубов кошки и их особенности с числом зубов собаки, мыши. Такое исследование дает мало материала для счетовых упражнений, но я уже выяснял, что, кроме математической разработки очередной темы, должны существовать отдельные занятия математикою для приобретения и развития навыков. В процессе счетовых упражнений цитированные задачи уместны, но им не должно быть места в комплексной разработке темы. Если на очереди тема „зима“ и учитель предлагает задачу: „на салазках каталось 5 детей, к ним подошли еще 2 детей, сколько собралось детей?“ то пусть учитель не думает, что он разрабатывает с учащимися подтему „зимние игры“, так как подсчет собравшихся на катке детей не есть исследование процесса катания на салазках. Может быть, эта подтема не допускает никакой математической проработки в первой группе; тогда математический элемент просто и естественно выпадает из данной подтемы.

В отмеченном мною неверном понимании пригодности задач для комплекса, наблюдаемом теперь в очень широком масштабе, я не могу винить учительство, так как оно повторяет ошибку авторов задачников, составленных „применительно к схемам ГУС'а“. Я полагаю, что научно-педагогическая секция ГУС'а должна относиться строже к содержанию задач, печатаемых под флагом комплексной разработки тем.

В непосредственную связь с системою комплексного преподавания принято ставить вопрос о методах обучения. Многочисленные конференции тратят массу времени на дискуссию, какой метод наилучший, этот вопрос ставится обыкновенно во всей его полноте и остается неразрешенным. Прежде всего ошибочно обобщать дело и полагать, что комплексная система требует определенного метода. Изучение литературы, знакомство с мерами веса, наблюдения природы, изучение

быта рабочего и т. д. представляют собою процессы неоднородные и зачастую настолько резко отличающиеся один от другого, что об единстве методов, ведущих к регулированию названных процессов, не должно быть речи. Методов, известных по их не всегда верной классификации, великое множество. В статье А. Дарского „Школы II ступ, гор. Москвы по материалам заключительного учета“ („Вестник Просвещения“, № 10 за 1923 г., стр. 132) мы находим следующий перечень методов, упоминающихся в школьных отчетах: лекционный, реферативный, экскурсионный, лабораторный, иллюстративный, исследовательский, эвристический,, сократический, акроаматический, комплексный, коррелятивный, комбинационный, демонстративный. Список, конечно, не полон, существуют и изобретаются и другие названия, Я не собираюсь распутывать правильность и смысл перечисленных терминов, я имею в виду подчеркнуть ту путаницу понятий, в которую вовлечено учительство при его трудной работе. Ограничимся пока тем, что методов много, и поищем ответа на вопрос, какому из методов отводится преобладающая роль в комплексном преподавании и какие методы опорочены этою системою. Наиболее распространенное мнение то, что комплексное преподавание требует преимущественного применения исследовательского метода и осуждает метод лекционный. Такой теоремы математика доказать не может, но нетрудно доказать другую: любой метод и хорош и плох; он хорош там, где он к месту, и плох там, где он неуместен; другими словами, весь школьный курс провести одним методом нельзя, и наилучшим методом следует признать разумную комбинацию различных методов.

Воздерживаясь от вторжения в чуждые мне специальности, я ограничиваю поставленный вопрос точкою зрения преподавания математики и разберу сначала ряд частных примеров.

1. Запись сложения многозначных чисел. Я могу об'яснить запись в немногих словах и потом предложить учащимся самостоятельные упражнения. В момент об'яснения я применяю лекционный метод. Я могу поступить иначе; я даю детям на руки учебник, открываю его на подходящей странице и предлагаю разобраться самим; этот метод, вероятно, следует назвать лабораторным. Можно применить и метод эвристический: пусть учащиеся сами изобретают форму записи сложения. Вряд ли в данном случае уместен метод экскурсионный. Я полагаю, что в приведенном примере лучше всего прибегнуть к лекционному способу.

2. Формула площади треугольника. Здесь придется предпочесть метод эвристический (см. главу о геометрии), так как учащиеся сами легко выведут искомую формулу.

3. Меры веса. Ясно, что тут отпадают методы лекционный, эвристический и другие. Необходимо, чтобы учащиеся активно взвешивали разные предметы; следовательно, здесь наилучшим методом явится лабораторный.

4. Знакомство с устройством железнодорожного полотна может быть осуществлено комбинацией экскурсионного и лабораторного методов, так как надо пойти к полотну и производить разного рода измерения.

5. Решение вопросов, связанных с интерполированием на графике, разумнее всего проводить исследовательским методом.

Таких примеров можно привести бесчисленное множество. Оказываетя, что в одном случае наиболее целесообразным является один метод, в другом случае—другой. Вот почему я высказал, что лучше всего комбинировать методы, выбирая в каждом отдельном случае наиболее подходящий. Как же производит* выбор? Он может быть подсказан или удачно составленным учебником, или советом другого человека, или личным чутьем педагога.

Можно ли возражать против достоинств исследовательского метода? Конечно, нет. Целесообразно ли провести весь курс исследовательским методом? Разумеется, нет, решительно нет. Не целесообразно потому, что иногда он непосилен учащимся, а иногда требует колоссальной затраты времени. Например, решение вопроса о преимуществах метрической системы или о кубатуре круглых тел исследовательским методом определенно непосильно школьникам I ступени. Между тем для усвоения признаков делимости сам собою напрашивается метод исследовательский. Безошибочно можно утвердить, что весь курс математики в школе I ступени невозможно провести исследовательским методом, но что этот метод должен найти свое место в некоторой части курса.

Одинаково, с соответственными изменениями, можно высказаться по отношению и к другим методам. Каждый метод имеет свои выдающиеся достоинства и вреден в монопольном положении.

Переводя вопрос на практическую почву, я утверждаю, что вообще наилучший метод тот, которым владеет учитель. Если преподаватель достигает хороших и быстрых результатов своим излюбленным методом, то пусть он и применяет этот метод. Неумелое использование прекрасного, самого по себе, метода может искалечить дело. Тем не менее нельзя рекомендовать педагогу довольствоваться определенною, застывшею для него, формою. Хороший педагог никогда не должен быть доволен собою и всегда должен искать улучшений. Надо внимательно прислушиваться ко всем новым начинаниями, пропускать их через строгий фильтр

бесстрастной критики, усваивать то, что признано полезным, и вносить в свою работу освежающую струю. Но никогда не следует применять нового метода до серьезной его проработки.

Что же касается злободневного, особенно по отношению к школе II ступени, вопроса о Дальтон-плане, то я не усматриваю, в реальных условиях существования нашей школы первой ступени, возможности осуществлять теперь этот план. Имея в виду отсутствие в школах элементарнейших приборов, как-то: стенные часы, весы с разновесками, компас, термометр и т. д., боязливо рекомендуя пользование миллиметрового бумагою и т. д., неуместно говорить о том, как проводить курс математики по Дальтон-плану. Это—вопрос будущего. Когда школы будут снабжены всеми необходимыми пособиями, тогда будет своевременно поставить этот интересный вопрос, но и то, я полагаю, по отношению к третьей и четвертой группам. Дальтон-план значительно суживает активность преподавателя, предоставляя последнему мало заметную роль и перенося центр активности на учащихся. Всемерно разделяя идею максимального повышения активности учащихся, я тем не менее полагаю, что в двух младших группах школы I ступени дети нуждаются в постоянном руководительстве педагога. Для работы по Дальтон-плану надо выучиться работать. Дети, предоставленные с первого же дня в школе сами себе, не выучатся работать, так как они ничего не знают, ничего не умеют, они еще неграмотны, они не знают, что такое школа и чему и как надо учиться. Здесь без активности педагога дело не обойдется; но она нисколько не исключает одновременной и величайшей активности учащихся.

III. Метрология.

Чем ниже культурный уровень народа, тем меньше потребность в числовом учете всякого рода взаимоотношений; как только последние приобретают организованную форму, так сейчас же неизбежно появляются условные меры. Уже меновая торговля требует мер длины, об'ема и веса; затем возникают деньги, тоже как мера экономических операций. В истории культуры можно проследить интересную эволюцию мер у разных народов, приведшую к установлению единой системы мер, об'единяющей все человечество. Как бы ни был интересен вопрос о происхождении и видоизменении различных систем мер, в том числе и нашей, — в этой книге нет места для его изложения, тем более, что в настоящий момент перед учительством встала серьезная и ответственная задача преподавать меры по-новому, по-новому как в отношении системы мер, так и в отношении целей и методов преподавания. Замена наших обиходных мер метрической системой обусловлена декретом 14 сентября 1918 г., а изменение приемов преподавания метрологических сведений диктуется новыми школьными программами.

Здесь необходимо высказаться относительно обеих новых сторон дела. Сначала коснусь самой метрической системы, вызывающей много кривотолков в обывательских сферах и, к сожалению, среди интеллигенции. Приходится слышать, что введение метрических мер в нашем государстве, где более 50% населения неграмотно, вызывает непреодолимые затруднения, что даже образованному человеку, привыкшему к определенным мерам, очень трудно переучиваться и приспосабливаться к новым, что у нас, вследствие нашей общей бедности, не скоро окажется достаточного количества эталонов метра, литра и килограмма и т. д. Я не собираюсь ни перечислять, ни предугадывать всех возражений против метрической системы, так как это совершенно бесполезно, потому что основной подход к делу неверен. Если что-либо целесообразно и ведет к прогрессу, то не стоит тратить времени на сетования, что реформа трудна; наоборот, следует как можно энергичнее преодолевать все затруднения и во что бы то ни стало добиваться прогресса. Иначе мы останемся в состоянии обломовской прострации и не сдвинемся с места.

Никто не станет возражать против того, что трехполье и чересполосица представляют собой убийственные явления в крестьянском хозяйстве, что переход на многополье и цельность обрабатываемого участка необходим в кратчайшее время и что следует срочно устранять отмеченное зло. Но последнее осбзнано и потому против соответственных реформ не слышно возражений. Значение же метрической системы до сих пор понимается неверно, вследствие чего она воспринимается с неудовольствием. Причина неверного понимания реформы мер кроется в дореволюционном преподавании метрической системы, с которою мы знакомы по старым учебникам, учившим нас, что преимущества метрической системы заключаются в следующих двух принципах. Первый — тот, что метрическая система построена на природной величине — на реальной длине одной сорокамиллионной части Парижского меридиана, в то время как все остальные системы не имеют единой природной базы; из метра, основной меры длины, происходят литр и килограмм, даже франк, как монетная единица латинского союза (Франция, Швейцария, Бельгия, Италия, Греция и др.) и равная стоимости 5 граммов чистого серебра. Между тем другие системы мер не имеют органической связи между единицами длины, веса, денег и т. д. Второй принцип метрической системы, выгодно отличающий ее от остальных, заключается в десятичных подразделениях; поэтому вычисления значительно упрощаются. Нам давали наглядные примеры. В самом деле: 5 килограммов 4 гектограмма 8 декаграммов 3 грамма 6 дециграммов 7 центиграммов и 2 миллиграмма быстро раздробляются в миллиграммы и в ответе получается 5483672 миллиграмма; между тем раздробление 5 берковцев 8 пудов 17 фунтов 28 лотов 2 золотников 69 долей в доли требует длительных вычислений. Пример весьма убедительный, но совсем в ином смысле! Это пример тех бессмысленных упражнений в составных: именованных числах, наполнявших дореволюционные задачники, и мне еще придется вернуться к этому частному вопросу, а пока обращаюсь к мотивировке преимуществ метрической системы. Если основываться на тех принципах, которые только что изложены и знакомы нам по дореволюционным учебникам, то действительно трудно стать убежденным сторонником реформы 14 сентября 1918 г. Наш аршин нисколько не менее „природен“, чем метр. Аршин есть длина шага взрослого человека среднего роста, поэтому, если заставить тысячу взрослых людей шагать, измерить длину шагов и взять среднюю величину из многих измерений, можно получить весьма точный эталон аршина; длина земного меридиана не есть величина неизменная, так как поверхность земного шара еще не находится в состоянии устойчивого равновесия. Затем между нашими мерами

существует соотношение, подобное зависимости килограмма от метра. Действительно, аршин содержит 28 дюймов, и юоо кубических дюймов воды весят 1 пуд.

Это соотношение полезно помнить на случай определения веса предмета без взвешивания, когда мы знаем об'ем предмета в кубических дюймах. Наконец, десятичность подразделений в метрической системе теперь совсем не такая строгая, как устанавливалась в первоначальном проекте. Один километр делится не на 10 и не на 100, а на 1000 частей; промежуточные подразделения не употребляются. Точно так же из мер емкости остались лишь гектолитр и литр, из земельных мер—гектар и ар. Но самое важное то, что в обиходе всякая метрическая мера делится на половини, четверти и восьмушки, совершенно так же, как и у нас. Мы покупаем, например, 15/8 фунта, а не 1 фунт 20 лотов мяса, 21/4 аршина, а не 2 аршина 4 вершка материи; и в тех странах, где принята метрическая система, покупают 1х/4 килограмма, а не 1 килограмм 2 гектограмма и 5 декаграммов, V8 литра, а не 1 децилитр, 2 центилитра и 5 миллилитров и т. д. Таким образом те козыри метрической системы, которые выдвигались раньше, оказались мифическими и совсем не убедительными. Их надо оставить и принять во внимание, что главное и единственное преимущество метрической системы состоит в ее международности. Метрическая система сама по себе далека от совершенства и требует поправок, но она была задумана для устранения тех неудобств, которые вызываются в международных сношениях различиями в мерах, построена на принципах, приемлемых всеми национальностями, и стала международным достоянием. Никакие изменения в метрической системе мер невозможны без единодушных постановлений международных конференций, и таковые уже происходили. Все, что об'единяет и сближает народы, заслуживает величайшего внимания и требует неотложного проведения. Допустим, что аршины, пуды и ведра научнее, удобнее, чем метры, килограммы и литры, все равно, надо без сожалений и колебаний от нцх отказаться и скорее войти в культурное единение с другими государствами, которые не принуждают нас к принятию их мер, а которые сами восприняли международные меры. Такое единение приобретает с каждым годом все большее значение, так как мировая экономика перестала быть собранием розрозненных районных явлений и уже приближается к монолитному состоянию. Мировой товарообмен теперь не тот, каким он был 100 лет тому назад; дело совсем не в масштабе мировой торговли, а в ее органическом значении для любого района. Слишком очевидно то, что все, ведущее к затруднению мирового товарообмена, не вызывает прогресса и наоборот; так же очевидно и то, что единство мер значительно

облегчает взаимоотношения государств. Вот почему мы должны всемерно содействовать скорейшему введению у нас общей для всех народов метрической системы мер. При этом необходимо иметь в виду, что реформа мер должна быть проведена в население через школу и что школе, являющейся очагом культуры и прогресса, не следует дожидаться того времени, когда взрослые, а через них и дети освоятся с новыми мерами. Путь должен быть противоположный: пусть неграмотные взрослые научатся от школьников.

Преподавание метрических мер не вызывает затруднений с методической точки зрения. Тех школьных работников, которые испытывают какие-либо сомнения и опасения, я должен успокоить простым указанием на то, что во всех западных государствах начальная школа не знает других мер, кроме метрических, и что преподавание мер начинается с первого года обучения. Почему же мы не можем поступать так, как это делается много лет в Европе? Я думаю, что опасения учительства происходят от дореволюционного разучивания метрической системы, от зазубривания залпом огромного количества трудных названий. Известно, что для названий мер, больших основной, установлены, как приставки, греческие слова: мириа—10000, кило—1000, гекто—100, дека—10 и для мер, меньших основной,—латинские слова: деци—10, центи—100, милли—1000; таким образом для каждого из основных названий метр, грамм и литр могут быть 7 производных мер. Все они заучивались, но без всякой пользы. Научная, техническая и жизненная практика сохранила лишь немногие из производных названий, но зато ввела немногие добавочные слова. В настоящее время имеют употребление лишь следующие метрическ. меры:

Меры длины: километр, метр, дециметр, центиметр, миллиметр, микрон.

Меры емкости для жидких тел: гектолитр, литр.

Меры веса (точнее массы): тонна, килограмм, грамм и миллиграмм.

Земельные меры: гектар и ар.

Квадратные и кубические меры не имеют специальных названий; к мерам длины присоединяют или слово квадратный, или кубический.

Из 14 вышеупомянутых названий для школ I ступени остаются лишь 12, так как микрон и миллиграмм следует отнести к курсу школ II ступени. Оставшиеся 12 мер должны быть распределены по годам обучения следующим образом:

1 группа знакомится с метром, дециметром, литром и килограммом, при чем подразделения литра и килограмма берутся на половины, четверти и восьмушки, а метра— сначала на половины и четверти, а затем на десятые доли, т.-е. на дециметры.

II группа изучает километр, центиметр, миллиметр и грамм.

III группа—гектолитр, тонна, гектар, ар и квадратные меры.

IV группа—кубические меры, меры работы и мощности.

Предлагаемое распределение устраняет опасения в перегрузке учащихся усвоением новых терминов и является, в полном соответствии с духом новых программ, концентрическим.

Каждая мера должна быть усвоена учащимися с помощью целого ряда активных упражнений и соображений. Мало сделать преподавание наглядным, мало сделать усвоение активным в смысле непосредственных измерений; необходимо, чтобы учащиеся, путем разного рода исследований, познали данную меру всесторонне и наиболее конкретно. Этот тезис, которому я придаю очень большое значение, я не замедлю раз'яснить.

В первой возрастной группе, когда дети усвоят все арифметические действия над числами от 1 до 10, следует ознакомить их с метром. Любая из очередных комплексных тем может служить этой цели. Весьма подходящею темою является „наш класс“. Каковы размеры классной комнаты в длину, ширину и высоту? Протяжение комнаты в длину и в ширину легко оценить шагами, но такая оценка неопределенна. Шаг учащегося и шаг учащего суть величины, сильно разнящиеся одна от другой. Для определенности оценки протяжения существует особая мера, называемая метром. Само собою разумеется, что учащимся первой группы преждевременно сообщать, что такое метрическая система мер, что метр равен 1:40000000 части парижского меридиана и т. д. Метр должен явиться как первая, самостоятельная мера; никаких об'яснений в этот момент не нужно. Учащиеся видят эталон метра, демонстрируемый учителем. Этот эталон должен быть сделан из деревянной планки. Учащиеся вырезывают из развернутого листа газетной бумаги (одна из больших столичных газет) полоски той же длины, как и показываемая им планка, перегибают полоску пополам, еще раз пополам и получают полоску, разделенную на четверти метра. Затем учащиеся сделают дома деревянные планки, разметят на ней четверти метра по имеющейся бумажной полосе. Теперь начинаются многократные измерения метром окружающих предметов сначала в классной обстановке, а потом в домашней. Такого рода измерения уже делаются в современных школах, и потому мне не придется останавливаться подробна на этом вопросе. Замечу только, что для измерений удобно соединять учащихся парами и что необходимо, чтобы каждое измерение было записано в тетради связною фразою, в роде „длина

классной комнаты—7!/4 метра“. Одновременно следует научить детей записывать дроби 1/4, уа и 3/4. Описанное ознакомление с метром нельзя не признать активным, но я не считаю возможным удовольствоваться этим. Я настойчиво рекомендую исследование всевозможных предметов, длину или вышину которых можно оценивать одним метром, двумя метрами, половиною или четвертью метра и т. п. Необходимо, чтобы учащиеся, после очень многих и разносторонних измерений, сознательно и верно отвечали на вопросы: выше или ниже метра обеденный стол? на какой высоте от пола делается сиденье стула или табуретка? Какой длины обыкновенная кровать? Какие животные имеют рост в V4> 1U> 1 и 2 метра? Радует ли крестьянина рожь в поле, если она имеет рост в 1 метр? Овес вышиною в 1 метр? Какой ширины тротуар и мостовая в переулке, на большой улице? Какова ширина деревенской улицы, проселка, большака? Какие взрослые кусты имеют рост в 1 метр? И т. д. Только при таких наблюдениях и измерениях окружающих предметов учащиеся будут относиться сознательно к метру, как к мере длины, и будут понимать протяжения. Из описанных наблюдений, производимых многократно, развивается глазомерная оценка длины и высоты, подчеркнутая в программах Наркомпроса 1918 года. Я лично не разделяю увлечения развивать в учащихся школ I ступени глазомерную оценку. Не считая ее бесполезною, я думаю, что значение ее сильно преувеличено. Конечно, было бы очень хорошо, если бы каждый умел определить достаточно точно на-глаз размеры комнаты или вес свертка, но я предпочитаю во всем точность, даваемую измерением или взвешиванием, а затем полагаю, что хорошо развитая глазомерная оценка есть дело но существу профессиональное и достигается специальными упражнениями. Так, красноармеец должен определять расстояние в поле, почтовый служащий—не подлежит ли письмо добавочной оплате и т. д.; подобные обстоятельства, где глазомерная оценка очень важна, являются, конечно, слишком специальными.

Сказанное относительно способов усвоения метра распространяется, с надлежащими изменениями, и на остальные меры длины, кро.\ е дециметра, который нам нужен только для подхода к литру. Измерения дециметром можно вовсе опустить; в течение всего первого года обучения школьники измеряют метром и его подразделениями на четвертые доли.

Вторая возрастная группа измеряет метрами и центиметрами, при чем попутно выучивается записывать результат измерений в виде 128 центиметров или 1,28 метра, т.-е. усваивает запись десятичных дробей со знаменателем 100. Все измерения, сделанные в прошлом году, т.-е. в первой группе, полезно повторить, на измерять с значительно большею точностью, а именно до одного центиметра.

Кроме того, следует измерять разные предметы только центиметрами с подразделениями на миллиметры и выучиться записывать: 5,6 центиметра или 56 миллиметров. Необходимо развить среди учащихся понимание того, что́ следует измерять метрами, что́ центиметрами и что́ миллиметрами. Это понимание развивается с помощью многократных измерений различных предметов и коллективного обсуждения, какая мера является в данном случае наиболее подходящею. В результате должны получаться сознательные ответы на вопросы: какой длины зубья у грабель? каковы размеры кирпича по длине, ширине и толщине? какова толщина теса? каковы размеры пиленого куска сахара? длина колоса ржи? длина зерна ржи? и т. д. В условиях городской жизни подобные вопросы тоже легко подобрать.

Третья возрастная группа знакомится с километром и, конечно, не описательно, а активным промером. В сельской школе очень легко организовать обмер километра и даже обратить это дело в общественно важное. Не следует пожалеть нескольких учебных дней в теплое время года, например, в сентябре, для всесторонне полезного обмера километровых расстояний, при чем попутно учащиеся могут сделать ряд ценных географических и биологических наблюдений. Цель измерений километра в деревне двойная: во-первых, она преследует активное знакомство с самою крупною для земных расстояний мерой, а во-вторых, пора оживить наш проселок столбами с обозначением километров. Школы определенного района, например, волости, должны сговориться между собою о плане измерений, о смычке работ отдельных школ. Удобно взять исходным пунктом железнодорожную станцию или село, имеющее особо важное местное значение; тогда одна или несколько школ обмеривают по проезжим дорогам километры от избранного пункта, вкапывают в надлежащих местах столбы с соответственными обозначениями и указаниями, откуда и куда ведет дорога, а затем передают работу соседней школе, которая начинает измерения от одного какого-либо, уже установленного, столба, продолжает до передачи своей соседней школе. Тогда район покроется культурными указаниями пути, к очевидной пользе местного населения, и постепенно изживется то безобразное обстоятельство нашей деревни, про которое говорят, что „версты баба мерила клюкой, да махнула рукой“. Описанная культурная работа отпадает для школьников крупного города; в таком случае все же необходимо, чтобы учащиеся III группы сделали специальную загородную экскурсию для обмера в натуре расстояния, равного одному километру. Во всяком случае важно, чтобы учащиеся, сделав самостоятельный промер километра, почувствовали эту меру глазами, руками и ногами и оценили ее по отношению ко времени:

во сколько минут пешеход, идя ровным шагом, проходит один километр?

Техника измерения километрового расстояния, при помощи самодельных приспособлений, в высшей степени проста. Надо взять бечевку длиною в 100 метров, привязать концы ее к колышкам; первый колышек вбивается в землю у начального пункта, бечевка протягивается вдоль дороги, пока не придется вбить второй колышек при натянутой бечевке. В местах излома или поворотов дороги вбиваются вспомогательные колышки, дающие направление натянутой бечевке. Когда будет пройдено 10 раз расстояние в 100 метров, получится расстояние в 1 километр.

Очень важно приучить учащихся, конечно, начиная с III группы, к двоякой оценке расстояния: километрами и временем, учитывая условия данной формы транспорта. Взрослый пешеход, идя ровным шагом, проходит в час около 5 километров. Учащийся 10 лет проходит в среднем 4 километра в час. Крестьянская лошадь идет шагом 5 километр, в час, а если кое-где, например, под гору, потрусит рысцой—то 7 килом. Московский извозчик везет со скоростью 9 килом, в час, а московский трамвай проходит около 12 килом, в час. Опираясь на приведенные сведения, нетрудно перевести оценку расстояния, данную в километрах, на время.

Я уже высказал, что микрон, как мера длины, может быть опущен из курса школ 1 ступени и перенесен в курс II супени, так как микрон встречается исключительно в тонких научных расчетах, и учащиеся познакомятся с ним на уроках физики. Но с малыми протяжениями полезно знакомить учащихся IV группы, так как получается превосходное упражнение на деление десятичных дробей. В самом деле, если, например, книга, содержащая 280 страниц, имеет толщину 13 миллиметров, то толщина одного листика бумаги, из которой сделана книга, равна 13<140 или приблизительно 0,093 миллиметра. Здесь мы имеем интересный и поучительный для учащихся пример, как весьма малая величина, не поддающаяся непосредственному измерению, может стать известною благодаря косвенному измерению и вычислению.

В первой возрастной группе учащиеся, после обстоятельного изучения метра, знакомятся с литром. Учащий должен заранее изготовить из бумаги или тонкого картона кубическую коробку, ребра которой равны одному дециметру, и запастись стеклянною банкою, на наружной поверхности которой наклеены узенькие полосочки бумаги, указывающие уровень воды в об'еме и целого литра; эти бумажные

мешки должны быть сделаны после вливания в банку четверти, затем половины, трех четвертей и, наконец, целого литра воды с помощью хорошей градуированной мензурки,

которую можно найти в любой школе II ступени или в ближней аптеке. Учащий показывает коробку емкостью в один литр, а затем банку с отметками по V* литра. Учащиеся приносят в класс по обыкновенной бутылке, вливают в нее два раза по 1/4 литра воды и отмечают снаружи уровень воды в обоих случаях бумажными полосками. Удобно брать бумажки от краев листов с почтовыми марками. Имея бутылку с пометками в lU и х/2 литра, учащиеся должны обмерить дома емкость разной посуды: бидона для молока, самовара, чугунного котелка для варки супа, четвертной бутыли, ведра и т. д. Обмеры, сделанные учащимися, обсуждаются в классе; сравниваются емкости разных самоваров, подсчитывается, сколько стаканов вмещает данный самовар, для чего узнается, сколько стаканов содержит литр; оценивается удойность коров; подсчитывается, сколько литров воды поглощает человек в своем суточном питании (чай, суп, квас и т. д.), сколько литров воды требуется, чтобы напоить лошадь, корову, овцу, сколько воды тратится на поливку цветов в горшках, стоящих на окнах, сколько ведер и, следовательно, литров расходуется ежедневно в домашнем хозяйстве.

Гектолитр, как более крупная мера (100 литров), не имеет большого значения в деревенском обиходе. В городе гектолитр применяется при учете снабжения населения водою из водопровода; так как при этом получаются большие числа, то знакомство с гектолитром проводится в третьей группе городской школы.

Гектолитр и литр суть меры исключительно жидких тел и применяются для оценки количества воды, молока, вина и растительного масла, редко для бензина и керосина. Даже растительное масло отпускается преимущественно по весу. А так как легкое (столовое) виноградное вино совсем не встречается в обиходе наших центральных губерний, то жизненное применение гектолитра и литра гораздо более узко, чем мер длины и веса.

После знакомства с литром школьники первой группы, изучают килограмм с подразделениями на половину, четверть и восьмую долю. Учащимся сообщается, что вес воды в об'еме одного литра называется килограммом. По существу это, конечно, не так, потому что килограмм есть масса воды в об'еме литра при добавочных ограничительных условиях; но школьникам первой ступени трудно усвоить разницу между массою и весом тела. Поэтому мы должны сознательно допускать научную неточность, говоря школьникам, что килограмм есть мера веса; эта ошибка диктуется педагогическими соображениями.

Каждая школа должна быть снабжена весами и гирями, так как невозможно преподавать меры веса отвлеченно,

по-книжному, без многочисленных взвешиваний. Но, к величайшему прискорбию, наши школы, особенно деревенские, лишены самых необходимых приборов. Приходится считаться с ужасною действительностью, что в подавляющем большинстве школ нет весов, и искать надлежащего выхода. Весы и гири должны быть сделаны в таком случае самим преподавателем. Ровно отструганная деревянная планка послужит коромыслом, два одинаковых картонных или деревянных круга или квадрата—чашами, бечевки одинаковой длины—подвесами. Такие самодельные весы подвешиваются за середину коромысла к деревянному кронштейну, приделываемому к классной стене. Гири делаются из мешочков, наполняемых мелкими камешками, но не песком, так как песок все же гигроскопичен, и выверяются на настоящих весах, для чего учителю придется побывать или в кооперативной лавке, или в школе II ступ. Необходимо сделать по два экземпляра гирь в 1, l/2, lU и V8 килограмма и, конечно, надписать химическим карандашом на каждом мешочке его весовое достоинство. На таких самодельных весах, несмотря на их сомнительную равноплечность и чувствительность, можно производить достаточно точное взвешивание, если прибегнуть к так называемому способу тарирования. Испытуемый предмет кладется на одну чашу весов и уравновешивается каким-либо грузом (тарою), например, коробкою с песком или камешками; снимаем испытуемый предмет, кладем на его место гири и уравновешиваем тару; тогда мы можем утверждать, что вес испытуемого предмета равен весу гирь, так как эти два груза уравновешивают, при всех прочих равных условиях, один и тот же третий груз—тару.

Учащиеся должны сделать себе, по описанному образцу, весы и гири и взвешивать разнообразные грузы, но, разумеется, не всякие, а такие, вес которых не превышает 2 килограммов (5 фунтов), так как самодельные весы не выдержат больших тяжестей и поломаются. Таким образом учащиеся познакомятся активно с грузами от г/8 до 2 килограммов; но и в этих пределах можно сделать многое. Необходимо, чтобы учащиеся не только взвешивали разнообразные предметы, но и отвешивали определенные веса разных продуктов, чтобы постепенно привыкнуть к оценке веса по об'ему и по мускульным ощущениям руки. Пусть учащиеся взвесят дома (как взвешивать—они узнают в классе и первые взвешивания проделают на глазах учителя) разную посуду и разные предметы; взвесив по частям все принадлежности зимней одежды, они узнают ее общий вес; вес учебных принадлежностей, носимых из дома в класс? вес полена? и т. д. Все добытые сведения оглашаются и обсуждаются в классе, из них естественно вытекают разные счетовые вопросы,

т.-е. задачки, например: на сколько шуба Пети тяжелее шубы Оли? если 4 книги весят 1 килограмм, то сколько весит каждая? вес п.устой миски V2 килограмма, вес той же миски с водою 2 килограмма, сколько весит вода? сколько это литров воды? Затем учащимся предлагается отвешивать дома определенные грузы: отвесь в отдельном пакетике 1/2 килограмма сухого песка и принеси в класс. Такие пакетики сличаются на классных весах. Отрежь себе 74 килограмма хлеба; довольно ли тебе такого куска к завтраку? Отсыпай в мешок несколько раз по 2 килограмма песка и каждый раз поднимай мешок одною рукою. Заметь и запиши в тетради, сколько килограммов песка ты можешь поднять в мешке с пола на табуретку. В классе обнаружится, кто самый сильный, на сколько килограммов Миша поднимает больше, чем Маня. Указанным взвешиванием по частям, т.-е. определением веса мешка с песком (приблизительно 12—16 килограммов), учащиеся подводятся к подниманию сравнительно больших грузов, например, веса человека; и когда учитель поведет своих питомцев в кооперативную лавку и взвесит их всех на десятичных весах, то дети будут понимать смысл именованных чисел в роде 30 килограммов.

Взвешивания продолжаются и в последующих группах с постепенным усложнением вопроса и соответственных вычислений. Например, во второй группе возможны следующие действия: отвесь один килограмм картофеля, причем подбирай картофелины примерно одинакового размера; сосчитай, сколько картофелин пошло на один килограмм, и вычисли в граммах средний вес одной, зная, что килограмм содержит 1000 граммов. При этом надо ознакомиться конкретно с граммом, для чего делаются особые весы, совсем легкие—аптекарского типа. Легкая спица будет коромыслом, маленькие картонные кружки или квадраты (чашки) подвешиваются на нитках; разновески надо сделать из кусочков жести и выцарапать обозначения. Разумеется, такие разновески делаются по хорошим образцам на хороших весах самим учителем, а затем дети копируют себе по классным весам, изготовленным учителем. Нужно сделать набор разновесок в 10, 5, 3,1 и 7о грамма. Полезно знать, что серебряная монета (новой чеканки) в 50 коп., т.-е. полтинник, весит 10 граммов, а рублевик 20 граммов; но монетами в 20, 15 и 10 коп. неудобно пользоваться, как разновесками, так как гривенник весит не 2 грамма, а 1,85 грамма, пятиалтынный не 3, а 2,78 грамма. Отсутствие пропорциональности в весах монет в 10 и 50 коп. об'ясняется тем, что рублевики и полтинники чеканятся из сплава, в котором 90% чистого серебра и 10% лигатуры, а гривенники, пятиалтынные и двугривенные—из сплава, содержащего по 50% чистого серебра и лигатуры.

Школьники второй группы знакомятся с граммом на такого рода опытах: взвесь чайную ложку сахарного песка, один кусок пиленого сахара, порцию соли, которую мать кладет в котелок с супом, и т. д. Отвесь 2 грамма орехов или жолудей, 1 грамм соли и сообрази, довольно ли такого количества соли, чтобы посыпать ломоть хлеба? Сколько весит лист почтовой бумаги с конвертом (обыкновенное письмо)? Сколько весит непочатый карандаш? и т. д.

В третьей группе возможны более сложные опыты. Возьми небольшое сырое полено, взвесь его, запиши календарную дату и вес; положи полено на шкаф и взвешивай регулярно каждую неделю в определенные дни, каждый раз записывай день взвешивания и вес; продолжай поступать так в течение двух месяцев и вычерти график убыли веса полена. Эти графики выставляются рядом на стене классной комнаты и сличаются; учащиеся убедятся в том, что ломаные линии, вычерченные порознь, имеют один и тот же тип. Взвешивай ежедневно, в течение двух недель, один и тот же кусок хлеба, вычерти график. Сравнить все такие графики. В летнее время, когда принесешь из леса грибов, взвесь их; очисти грибы для сушки и узнай вес сырых грибов; высуши грибы и узнай вес сухих. Проследи постепенную убыль веса. Такие же опыты в отношении сушки вишен, яблок, картофеля; не забывай все записывать с сопровождением календарных дат и заметок, как что сушилось, в печке или на солнце. Те же самые опыты полезно повторить в четвертой группе с добавлением вычислений процентных отношений и графического изображения процентных изменений. Чрезвычайно важно, чтобы такие опыты проделывались всеми учащимися отдельно, а затем необходимо сличать добываемые результаты и, следовательно, изучать массовый опыт и делать коллективно определенные выводы. При этом поучительны средние величины и отдельные наибольшие уклонения, или свидетельствующие об ошибках опыта или происходящие от особых обстоятельств, которые необходимо выяснить.

Учащиеся третьей группы должны ознакомиться с тонноюЭто единственная мера, которую придется преподать описательно, так как чрезвычайно трудно организовать непосредственное взвешивание груза в одну тонну, или 1000 килограммов, или приблизительно 61 пуд. Можно, впрочем, предложить учащимся принести в мешках по 10—12 килограммов, песка и ссыпать его в кучу, пока не наберется одна тонна. Следует отметить, что тонна, как мера веса, принята преимущественно в морской практике, что вне морского дела всякие тяжелые грузы, как бы велики они ни были, оцениваются килограммами. Таким образом для обихода земледельца или фабричного рабочего тонна не может

иметь большого значения, а потому настаивать на большом количестве упражнений с вычислением тонн не приходится.

В результате изучения мер веса учащиеся должны отчетливо понимать такие величины: вес взрослого человека среднего роста и сложения, грузопод'емность товарного вагона, вес кирпича, грузопод'емность крестьянской лошади по проселочной дороге и т. п. Само собою разумеется, что здесь следует отличать абсолютные числа от относительных; если грузопод'емность товарного вагона или вес кирпича суть постоянные величины, то вес человека или грузопод'емность лошади суть величины, которые нельзя оценивать с отчетливою определенностью; в таких случаях необходимо понимать границы, между которыми содержится рассматриваемая величина. Важно, чтобы учащиеся сразу отметили несообразность сообщений, что взрослый человек весит 30 килограммов, что рабочий при кладке стен несет на спине 100 кирпичей и т. п.

В четвертой группе следует ознакомить учащихся чз малыми долями грамма, при чем получается прекрасное упражнение с десятичными дробями. Отвесить 1 грамм зерен ржи, сосчитать число зерен и вычислить средний вес одного зерна. Взвесить 3 листа писчей бумаги и вычислить вес 1/64 части четвертушки. Взвесить моток тонкой проволоки и вычислить вес погонного центиметра такой проволоки. Такие опыты и вычисления легко придумывать.

Следует сообщить учащимся IV группы, что дозы лекарств исчисляются граммами и их десятыми долями. Обычный порошок хины, аспирина и т. п. весит 0,3 грамма. Прежние аптекарские меры — граны, скрупулы и т. д.— вышли повсеместно из употребления и потому ни изучения, ни даже упоминания не заслуживают.

Меры времени должны быть усвоены концентрически, начиная с первого года обучения, и также максимально конкретно. Я настойчиво рекомендую начинать рабочий день в каждой группе сообщением календарного числа, пока учащиеся не освоятся вполне с годичным календарем. В первую группу дети поступают неграмотными; тем не менее с первого же дня следует сказать, например: „сегодня третье сентября“. Пусть эти слова воспринимаются сначала не вполне сознательно; это не беда, дети постепенно привыкнут понимать, так как в комплексной проработке широкой темы „времена года" (схема I года, колонка „природа и человек) необходимо изучение календаря; это изучение не может быть проведано залпом, оно должно быть разбито на концентрические части. Дети начинают с наблюдений осенних явлений и занимаются ими в течение осенних месяцев: сентября, октября и ноября. Эти названия месяцев появляются первыми. Одновременно дети усваивают названия

и последовательность дней недели, а самые числа месяцев остаются пока названиями и только во второе полугодие можно будет использовать арифметическую сущность этих чисел. В первом полугодии дети будут слышать: сегодня 1 сентября, среда; сегодня 2 сентября, четверг и т. д.; здесь внимание сосредоточивается на смене дней недели и на том, что переживается первый осенний месяц. 1-го октября и 1-го ноября уместно задать детям вопрос: сколько осенних месяцев осталось до наступления зимы? В течение осенних месяцев, после того, как дети запомнят (не зубрением, а ежедневным упоминанием — в продолжение нескольких недель) дни недели, нужно спрашивать: сколько дней осталось до конца недели (началом недели считается воскресенье). Во втором полугодии центр внимания переносится на календарные числа, и детям предлагаются вопросы: сегодня 20 марта; сколько дней осталось до следующего месяца? В том же втором полугодии дети знакомятся с римскою нумерациею (до 12), с часовым циферблатом, с делением суток на 24 часа и часа на 7а и lU часа и П°Д конец года на 60 минут, чтобы прочесть вполне определенно показание часовых стрелок. Необходимо добавить, что в каждой классной комнате должен висеть отрывной суточный календарь, а в комнатах, начиная со второй группы, кроме того, самодельные табель-календарь и суточный, состоящий из рамы (деревянной или картонной), в которую вкладываются подвижные картонки с надписями месяцев, чисел и дней недели, так что такой календарь выглядит, как изображено на черт. 1. Дежурный по классу обязан отрывать, перед началом занятий, вчерашний листок на отрывном календаре, зачеркивать вчерашнее число на табель-календаре и устанавливать как следует подвижной календарь. Во второй группе тоже необходимо сообщать ежедневно календарную дату и определять ее место по отношению к дням осеннего и весеннего равноденствий и зимнего и летнего солнцестояний. Например: сегодня 20 ноября; что длиннее: день или ночь? Когда восходит и заходит сегодня солнце (эти сведения добываются из отрывного печатного календаря)? Сколько часов и минут продолжается сегодня день и сколько ночь? Это изо дня в день записывается, и получается прекрасный материал для месячного, а затем годичного графика темных и светлых часов суток. Необходимо ежедневно справляться по календарю о фазе луны>

Черт. 1.

отмечать дни новолуний и полнолуний. В той же группе дети знакомятся с секундою и проделывают ряд опытов: сколько цифровых или буквенных знаков можно написать, при скорописи, но разборчиво, в одну секунду? Сколько шагов при быстром беге делается в секунду? Во сколько секунд читается, не торопливо, а с должною дикциею, какоенибудь недлинное стихотворение или басня? Сколько слов выговаривается при этом в секунду? Тот же опыт по отношению к отчетливой скороговорке. Такие опыты, которые нетрудно разнообразить, дают конкретное понимание определенного промежутка времени.

Учащиеся третьей группы должны, при вышеописанных условиях, хорошо понимать календарь. Теперь необходимо сообщить астрономические обоснования календаря и какие меры времени взяты из природы, а какие придуманы. Год и сутки обусловлены вращением земли около солнца и своей оси; час, минута и секунда—меры искусственные, а месяц и неделя имеют отношение к луне: месяц есть несколько удлиненный, и не всегда одинаково, лунный год, т.-е. промежуток оборота луны около земли, а неделя есть приблизительная продолжительность лунной фазы.

Оценка промежутков времени в связи с трудовыми процессами заслуживает серьезного внимания и должна проводиться обстоятельно с третьего года обучения. Желательно производить учеты; сколько времени занимает, например, дойка коровы, умолот определенного количества снопов, вспашка участка земли, перекопка ручным заступом квадратного метра земли на огороде и т. п. Следует заметить, сколько времени отнимает переписка от руки некоторого печатного отрывка, сосчитать в нем число типографских знаков и сравнить с работою опытной машинистки и наборщика, набирающего около 800 знаков в час. Сколько времени требует вдумчивое прочтение газеты или печатного листа книги (16 страниц)? Сколько времени расходуется ежедневно на утренний завтрак, обед и ужин? И т. д. Такого рода исследования производятся учащимися или в одиночку, или по-двое, а затем добытые результаты оглашаются в классе и обсуждаются, после чего вычисляется средняя величина, как наиболее вероятная оценка из массового опыта.

Вопрос об изучении квадратных и кубических мер излагается мною в особой главе о геометрии.

Меры бумаги, т.-е. десть и стопа, имеют гораздо меньшее значение, чем меры длины, веса и времени, и могут найти свое место во второй и последующих группах при разработке таких комплексных тем, в которых встретится снабжение бумагою школ, канцелярий или печатания газет и книг.

Перечисленными мерами исчерпывается тот перечень, который существовал и в дореволюционных программах,

но преподавался исключительно книжно, отвлеченно, вне реального понимания изучаемых мер. Тем не менее означенный перечень мер не может считаться полным без включения мер работы и мощности, каковые в прежнее время не имели того огромного значения, которое они приобрели теперь. Машина проникла глубоко в обиход нашей жизни. Не говоря о машинах, служащих нам для транспорта и работающих на фабриках и заводах, следует иметь в виду, что швейная машина, велосипед, мясорубка и т. д. стали доступны широким кругам населения. Автомобиль и аэроплан перестали быть диковинками, трактор и электрофицирующие установки проникают в деревню. Почти каждый нумер газеты содержит сведения об установке там или здесь двигателя во столько-то сил. Поэтому незнание мер работы и мощности является в настоящее время несомненным невежеством. Эти меры необходимо преподать в школах I ступени, конечно, в четвертой группе; методические соображения отодвинули бы изучение означенных мер в более старшие группы, но нельзя пройти мимо того обстоятельства, что огромная масса населения еще долгое время будет получать образование только в школах первой ступени; поэтому школа должна научить всех тем мерам, которые приобрели теперь существенно важное значение.

Единицею работы считается то усилие, которое требуется для поднятия одного килограмма, по отвесному направлению, на высоту одного метра. Такая работа называется килограммметром. Поэтому поднятие 5 килограммов на высоту 4 метров есть работа 5.4 = 20 килограмм-метров; очевидно, что та же работа получится при поднятии 4 килограммов на высоту 5 метров. Человек, весящий 60 килограммов и поднявшийся на пятый этаж, при высоте каждого этажа в 3 метра совершил работу 60.12 = 720 килограмм-метров. Эта оценка вследствие непривычности термина „килограмм-метров“ не является достаточно наглядною или легко понимаемою. Поэтому следует ознакомиться и с другою мерою работы—с калориею. Малою калориею называется то количество тепла, которое требуется для согревания одного грамма воды на один градус Цельсия. Большою калориею называется то количество тепла, которое требуется для согревания одного килограмма или одного литра воды на один градус Цельсия. Ясно, что большая калория в 1000 раз больше малой. Чтобы вскипятить литр воды, взятой при комнатной температуре 15° Реомюра или 12° Цельсия, надо затратить 100—12 = 88 больших или 88000 малых калорий. Но всякая механическая работа производит тепло и, наоборот, всякое тепло может произвести механическую работу. Каждый, даже ребенок, по опыту знает, что руки согреваются, если потереть одну о другую, знает, как сильно согревается человек, напрягающий свои

мускулы при тяжелой работе. Нетрудно об'яснить детям причину работы паровозов, фабричных машин и т. д.; машины эти работают благодаря сгоранию топлива, т.-е. благодаря теплу. Таким образом устанавливается органическая связь между теплотою и механическою работою и сообщается добытое наукою знание, что малая калория равносильна 0,427 килограмм-метра, а большая калория равносильна 427 килограмм-метра. Если человек, как сказано выше, совершил работу, равную 720 kg-m, то она равна ^=1,7 больших калорий, т.-е. человек, весящий 60 kg и поднявшийся на высоту 12 метров, совершил работу достаточную, чтобы нагреть литр воды почти на 2 градуса. Заметим, для постановки самостоятельных задач, что;

1 час ходьбы производит 281 б. калорий

1 „ езды на велосип. (при отсутств. ветра) п 312 „ „

1 „ ходьбы в гору п 576 „

Тяжелая работа в течение рабочего дня „ 3900 „ „ Швея „ „ 1500 ,

Оценка работы калориями гораздо нагляднее. Нетрудно усмотреть в расчетах по переводу килограмм-метров в калории и обратно материал для жизненных задач.

Килограмм-метр или калория оценивают произведенную работу без отношения ко времени. Если груз в 16 килограммов приблиз. 1 пуд) поднимается на высоту 2 метров (приблиз. 1 саж.), то производится работа 16.2 = 32 kg-m. Взрослый человек поднимет этот груз (например, мешок зерна) сразу и перенесет на нужную высоту; ребенок 5 лет не поднимет пудового мешка, но пуд зерна перетаскает на высоту 1 сажени в несколько приемов и следовательно произведет ту же работу, что и взрослый, но в течение более долгого промежутка времени. Муравей тоже перетаскает пуд зерна по зернышку и потратит на это массу времени. Взрослый человек сильнее ребенка, ребенок сильнее муравья, а потому одна и та же работа производится ими в разные промежутки времени. Чем кто сильнее, тем скорее будет произведена одна и та же работа. Поэтому работа, оцененная по отношению ко времени, дает нам меру мощности. Единицею меры мощности считается 75 килограмм-метров в секунду (75); эта единица называется в обиходе „сила“. Если мы читаем фразу: „мотор в 10 сил“, то ее надо понимать так, что мотор обладает мощностью поднятия 750 килограммов на высоту одного метра в одну секунду или поднятия 1 килограмма на высоту 750 метров в одну секунду или поднятия 75 килограммов на высоту 10 метров в одну секунду и т. д. Мощность „силы“ равняется мощности 10 взрослых рабочих. Поэтому работа двигателя в 10 сил заменяет мускульное, напряжение 100 рабочих. Волховстрой, устанавливающий машины в 30000 сил, даст

работу, которую могла бы выполнить огромная армия из 300000 рабочих.

Насос, поднимающий 90 килограммов воды на высоту 20 метров в 5 секунд, обладает мощностью в 90520 : 75=360: 75= 5 сил. Искомое число округлено здесь до целых единиц, так как „аптекарская" точность в данном вопросе не имеет смысла.

Необходимо выяснить еще оценку работы по передвижению предметов в горизонтальном направлении. Усилие, передвигающее груз в а килограммов по горизонтальному направлению, равно аЬ килогр., где Ъ есть так называемый коэффициент трения, соответствующий обстоятельствам Вот специальная справочная таблица. Коэффициент трения равен:

Повозка при дороге по сыпучему песку 0,22

по проселочной дороге, в зависимости от ее состояния. . . . от 0,08 до 0,16

по грязному шосс 0,035

по сухому, хорошему шоссе 0,023

по булыжной мостовой 0,033

„ по хорошей торцовой мостовой 0,018

„ по асфальтовой мостовой 0,013

Сани на деревянных полозьях по снегу и льду. . . . 0,035

„ „ обитых железом полозьях 0,02

Железнодорожные вагоны 0,004

Если телега с грузом весит 30 пудов или 50 килограммов, то лошадь, везущая этот воз по грязному шоссе, делает усилие, равное 50.0,035= 1,75 килогр., и на протяжении одного километра совершает работу 1,75.1000=1750 килограммметров, т.-е. работу поднятия 50 килограммов на высоту 1750 :50 = 35. метров.

На основании изложенного материала учащиеся сами поставят и решат ряд интересных жизненных вопросов, например, насколько легче лошади тащить воз на железных полозьях но снегу, чем такого же веса воз на колесах по проселку?

Если груз a kg передвигается не по горизонтальному пути, а по наклонному, то сила тяги в гору вычисляется но формуле а (Ъ + с), где Ь есть знакомый уже коэффициент трения, а с есть дробь, числитель которой показывает, на какую вышину поднимается дорога, а знаменатель—на каком протяжении дороги произошел данный под'ем. Например, дорога длиною в 1000 метров делает под'ем на 17 метров, тогда с = 0,017. Заметим, что на равнинных железных дорогах наибольшее значение с допускается равным 0,01.

Если груз передвигается под гору, то предыдущая формула преобразуется так: а.(Ь — с).

IV. Задачи.

Задачею, в арифметическом смысле, принято называть вопрос, решение которого требует числовых операций. Для развития навыков в числовых операциях можно предлагать учащимся отвлеченные упражнения и задачи; отвлеченные упражнения неизбежны, но сами по себе скучны и потому ограничиться ими нельзя. Естественно, возникают задачи как для оживления дела, так и для применения арифметических действий к решению практических жизненных вопросов; такая применимая арифметика была названа Магницким (1703 г.) „арифметика политика или гражданская“. Магницкий был автором первого печатного в России учебника математики; с тех пор прошло немногим более 200 лет, но во что выродились задачи Магницкого, большая часть которых действительно имели гражданское значение! Во второй половине XIX века окончательно выработался тип задачника, по которому обучалось много поколений вплоть до революции. Задачники Евтушевского, Малинина и Буренина, Верещагина и др. выдержали десятки изданий и воспитали отвращение к решению задач и предубеждение против математики вообще.

Каким требованиям должны удовлетворять допустимые в школе арифметические задачи? Могут ли они иметь фантастическое содержание? Допустимы ли задачи, вызывающие чувство нравственной брезгливости? Можно ли вводить в задачи числовые задания, противоречащие здравому смыслу или жизненной правде? Педагогично ли выбирать сюжеты, абсолютно чуждые учащемуся? Педагогично ли сочинять усложнения для решения задачи ради самого усложнения? Хорош ли дидактический прием нагромождения таких искусственных и посторонних условий, при которых совершенно стушевывается основной вопрос? Хорошо ли подбирать числовые задания так, чтобы после одоления груды выкладок получить округленный ответ? Полезно ли воспитывать в учащихся привычку не проверять выкладок, не считать вычисления ответственными?

Отрицательный ответ на перечисленные вопросы напрашивается сам собою и аргументировать его—значит ломиться в открытую дверь. Одинаково не стоит доказывать, что всякая задача должна: 1) иметь безусловно жизненное содержание, понятное учащимся; 2) быть абсолютно свободною от искусственных нагромождений и специально придуманных усложнений; 3) оперировать над числовыми заданиями, соответствующими жизненной правде, иначе говоря, взятыми из фактических или естественных условий; 4) вести решающего не к заранее подобранному ответу, а к ответу, вытекающему из вычислений; 5) приучать к ответственности вычислений и к умению дать верный и осмысленный ответ на поставленный вопрос.

Подавляющее большинство задач, наполняющих напечатанные до революции задачники, совершенно не удовлетворяют перечисленным требованиям и, как раз наоборот, построены на тех принципах, которые нельзя не признать неверными и даже вредными. Это легко доказать. В самом деле, задачи, в которых говорится о бассейнах, курьерах, разноцветных сукнах, смесях и т. п., принадлежат к числу фантастических; подобных фактов в жизни не встречается. Мелькающие на каждой странице любого задачника сюжеты: „купец купил“..., „барышник купил"..., „сколько прибыли получится“—безусловно недопустимые в школьном обиходе. Дело не в купле-продаже, а в постоянных расчетах барыша или убытка; в самом деле, недостойно воспитывать детей на таких соображениях. Ведь особо привлекательная чистота детской души в значительной степени зависит от незнакомства с материальными расчетами, которые накладывают на человека тяжелый отпечаток; чем позднее жизнь заставит в них окунуться, тем лучше; зачем же вводить разлагающее начало в детскую душу, зачем культивировать пропедевтику спекуляции? Сомнительным в нравственном отношении я считаю и такой сюжет: „отец платит сыну за каждую верно решенную задачу а коп., а за неверно решенную задачу штрафует на в коп. и т. д.“. Такого рода задачи все же встречались, хотя и не слишком часто.

Нагромождение побочных условий и усложнение вопроса считались как бы обязательными. Очевидно, предполагалось, что учащиеся могли обнаружить свои знания лишь решением очень сложных задач. Иначе ничем нельзя об'яснить той искусственной сложности, которая увеличивалась в каждом задачнике постепенно и в заключительном отделе доходила до чудовищных размеров. Приведу несколько примеров, которые я не подбирал с умыслом, а которые попались мне так: я раскрывал книгу наугад и брал случайно попавшееся.

Вот задача № 3727 из 20-го издания задачника Малинина и Буренина.

„Некто был должен по трем векселям, всего столько рублей, сколько надо положить в банк по б°/о, чтобы через 2 года 4 месяца иметь капитал, достаточный для покупки прямоугольного участка земли в 0,576 версты длины и 22/о версты ширины по 38 рублей за десятину. Валюта первого векселя относилась к валюте второго, как 2,375 :2; валюта третьего—к валюте второго, как 0,0625:0,04. Все три векселя были учтены коммерческим способом по 6 % и за них уплачено было 4639 р. 60 к. За первый вексель заплачено больше, чем за второй, на столько рублей, сколько надо взять фунтов сахарного песка в 13*/2 коп- за Фунт\ чтобы, смешав его с 12 п. 34 ф. песка в П1/» коп., получить песок в 4 р. 80 к. пуд. За второй вексель заплачено меньше, чем за третий, на столько рублей, сколько золотников чистого золота содержится в 10 фунтах золота 69,65 пробы. Определить, за сколько месяцев до срока учтен каждый вексель".

По поводу такой задачи прежде всего напрашивается замечание спартанца, который, прослушав красноречивую речь афинянина, сказал: „я не понял конца, потому что забыл начало“. В самом деле, чего только нет в цитированной задаче! Вычисление площади земельного участка с переводом квадратных верст в десятины, учет векселей, правило смешения, проба золотой вещи, правило процентов, правило пропорционального деления—все это свалено в одну кучу, разобраться в которой весьма не легко. Но самое тяжкое то, что в заданиях сплошная фальшь и противоречия жизненной правде. Разве мы об'ясняемся друг с другом шарадами или загадками? Представим себе такие диалоги: „сколько вы задолжали?“ — „Столько, сколько нужно для покупки участка земли такой-то меры и ценности“. — „Какова валюта вашего векселя?“—„Она равна числу фунтов сахарного песка“. Такие разговоры можно слышать только в доме умалишенных. Когда участки земли меряются верстами и даже тысячными долями версты? При каких обстоятельствах и для чего устраивается смесь из разных сортов сахарного песка? Как технически организовать смешение нескольких десятков пудов сахарного песка? Разве когданибудь фунт сахарного песка расценивался в четвертых долях копейки? Пуд сахара мог стоить 4 р. 50 к., но фунт такого сахара никогда не продавался по II1/1 коп. Разве где-нибудь и когда-нибудь проба золотых вещей определялась с точностью до сотой доли единицы? Зачем же все эти бессмысленные нагромождения? Только для того, чтобы получилась „содержательная“ задача, чтобы учащийся мог обнаружить свои познания в арифметике. Но разве это арифметика? Это какая-то кабалистика!

Другой пример—задача № 3132 из 6-го издания задачника Верещагина.

„Крестьянин ехал из деревни в город со скоростью 8,(3) версты в час; таким образом он должен был прибыть туда в 9 ч. 40 м. утра. Не доезжая lSll20/9 от 1111/© версты до города, крестьянин встретил

своего знакомого, ехавшего по той же дороге, но с другой скоростью, и поехал рядом с ним обратно и со скоростью этого знакомого; проехав так 3,75 версты, он опять стал продолжать свой путь по направлению к городу со своею прежней скоростью и прибыл туда в 10,61(6) часа утра. 1) С какою скоростью ехал знакомый крестьянина и в котором часу он выехал из города? 2) С какой скоростью должен был бы ехать первый крестьянин после того, как он расстался со своими знакомыми, дабы приехать в город в определенный ранее срок, т.-е. в 9 час. 40 мин. утра?“

В этой задаче жизненно лишь то, что крестьянин ехал из деревни в город и встретил своего знакомого. Остальное все нелепо. Крестьянин встретил своего знакомого на том примечательном пункте, который отстоит от города на расстоянии 1S1I2% от 1111/9 версты! Как конкретно отмерить V9 версты? После приключения в дороге крестьянин приехал в город в 10,61 (6) часа утра! На какой планете время отмечается такими числами?

Но вот еще более поразительный пример (задача № 3157 из 6-го изд. задачника Верещагина):

„Два брата, будучи на работе в поле, расположились в полдень обедать. Обед, принесенный их женами, состоял лишь из гречневой каши и масла; вес каши для старшего брата относился к весу каши для младшего, как 0,8(3): 0,(6), и отношение веса масла для старшего к весу масла для младшего было 1,16; вес же всего масла составлял 40°/о веса каши того и другого брата вместе. Лишь только они хотели приняться за еду, как к ним подошел сельский учитель, которого они и пригласили отобедать вместе с ними, и для этого сложили всю кашу и все масло в один сосуд. Каждый из троих с'ел поровну, т.-е. по трети всей каши и по трети всего масла. По окончании обеда учитель в благодарность за угощение заплатил братьям 5*/з% с 4 р. 50 к. Предполагая, что цена фунта каши относится к цене фунта масла, как 0,1(6): 0,24(9), разделить между братьями деньги, выданные сельским учителем“.

В этой задаче интересны: тонкие арифметические расчеты хозяек, варивших кашу, и сельского учителя, вкус обедавших, евших в сущности не кашу с маслом, а масло с кашей (вес масла составлял 40% веса каши), дележ денег и пр.

И вот сколько поколений решали такие задачи, находя их противными, трудными, но не смешными! Сколько тысяч учителей с искренно серьезным видом диктовали такие задачи печальным учащимся! Никто не смеялся, все думали, что делают нужное, но затруднительное дело. А теперь допустимы ли в школе такие задачи?

Я предвижу замечание читателя: не стоит теперь и говорить об этих задачах, бесповоротно осужденных и не могущих возродиться вновь, так как схемы ГУС'а требуют разработки исключительно жизненных тем. Теоретически это верно, но только теоретически. Если „гражданская арифметика“ Магницкого выродилась в цитированные задачи, если последние решались много, много лет без признаков смеха

учащих и учащихся, то я не вижу гарантий, что подобные задачи не воскреснут под флагом комплексного преподавания. Разве цитированная задача относительно крестьянина, ехавшего в город, не может вызвать соблазна использовать ее для темы „деревня и город?“ Задача о двух братьях и сельском учителе, обедавших в поле, тоже как будто формально отвечает теме „смычка интеллигенции с крестьянством“. Я никого не имею в виду обидеть, но думаю, что такие ошибки возможны. Мало того, я лично наблюдал их за последнее время в тех школах, где организовано комплексное преподавание. Я слышал задачу: „обоз шел 9 дней, ежедневно по 16 часов, со скоростью 5 верст в час; какое расстояние прошел обоз?“ Эта задача была предложена во второй группе в связи с разбором известного стихотворения Н. А. Некрасова и путешествия Ломоносова из Холмогор в Москву; в этой задаче нет такой утрировки, как в предыдущих, но все же противоречие жизненной правде есть. Учитель и учащиеся не заметили противоречия и удовлетворились ответом, полученным из вычислений. Между тем лошадь не может тащить воз 9 дней под ряд по 16 часов в сутки, а потому обоз не мог пройти в 9 дней вычисленных 720 верст.

Приведенными цитатами из дореволюционных задачников я хотел резко подчеркнуть вкоренившуюся у нас привычку не замечать качества числовых заданий и относиться к ним непродуманно, я хочу предостеречь учительство от повторения таких ошибок, которые становятся особенно грубыми теперь, когда школа строится на принципе: от жизни к ученью и от ученья к жизни. Теперь числовые задания не могут быть произвольными, выдуманными и взятыми небрежно; они должны быть взяты из окружающей жизни и, следовательно, безукоризненно правдивы. Что же касается побочных усложнений задачи, то цитирование старых нелепых задач имеет большое значение и теперь, так как часто приходится слышать тревожные вопросы учащих: всякая жизненная тема, разрешаемая начальною арифметикой, требует в большинстве случаев применения одного действия, редко двух или трех действий; поэтому, если давать учащимся только жизненные задачи и не усложнять последние искусственно, то учащиеся привыкнут решать только простенькие задачи и не приобретут навыков разбираться в сложных вопросах? Затем, если нужно проверить познания учащихся, то как это сделать на задачке, решение которой требует только одного или двух действий?

Действительно, всякая жизненная задача чрезвычайно проста в отношении плана решения и количества действий, и поэтому учащиеся, решая исключительно жизненные задачи, никогда не приобретут навыков решения искусственно сложных, так называемых разборных задач. В прежнее время

печатались специальные задачники, например, Комарова, Терешкевича, кружка преподавателей и другие, где задачи распределялись по типам; в прежних методических руководствах, например, Шохор-Троцкого, Егорова и др., подробно разбиралось решение задач по типам. Так было, но так не будет. Задачи „по типам“ все без исключения искусственные, зачастую противоречат жизненной правде и здравому смыслу, а потому им не место в реформированной школе; разборные, сложные задачи вызывают, как думали и говорили, развитие смекалки, следовательно имеют педагогическую ценность. Но ведь это один из вредных предрассудков старины. Сколько лет работали над развитием своеобразной смекалки и что получилось? Вспомним рассказ Чехова „Репетитор“. Как мастерски описал наш великий художник затруднения, испытанные гимназистами первого и седьмого классов при решении разборной задачи! Вникните в педагогическую сущность дела. Гимназисту первого класса, и отнюдь не дефективному, прививают смекалку, но без помощи репетитора обойтись нельзя; репетитор, гимназист 7-го класса, уже одолевший в свое время развитие арифметической смекалки, вновь очутился лицом к лицу с разборною задачею и оказался перед нею столь же беспомощным, как и репетируемый младший товарищ. Сколько бы методистов ни собралось спорить по вопросу о ценности разборных задач, лучше, чем это сделал Чехов, решить вопрос нельзя. И в то время, когда русские школьники мучились над задачами „по типам“, американцы выбросили из школы этот хлам и занялись делом. Сравните задачник Верещагина (или другой аналогичный) с книгою Норрис и Смит, Практическая арифметика (Гос. Изд. 1923 г. 2-е изд.). Там курьеры, бассейны, смеси двух родов, а здесь расчеты передачи движения, действия машин, их мощности и т. д. Кто и где получит развитие нужной смекалки?

Остается вопрос, как проверять знания учащихся, предлагая им простенькие, жизненные задачи? Обходя соображения относительно необходимости и целесообразности проверки знаний учащихся, я скажу, что и простенькие задачки дают полную возможность обстоятельно и рационально произвести экзамен, если действовать по французскому образцу, принятому в соответственных случаях. У нас было принято давать на всяком экзамене одну, но трудную задачу, а во Франции на всякого рода испытаниях предлагается решить в течение определенного промежутка времени несколько легких задачек. Допустим, что дано 10 легких вопросов и отводится полчаса; ясно, что те, которые за это время представят верное решение 8 задач, обладают большими познаниями и навыками, чем те, которые одолеют только 2—3 задачки; так обстоит дело на конкурсном испытании;

если же последнее необходимо в абсолютном смысле, то почему не выспросить экзаменуемого обстоятельно по всему курсу, давая ему опять-таки ряд легких задачек?

Если же все-таки существует беспокойство относительно трудности задач, то я спешу успокоить сомневающихся: задачи, нужные новой школе, в одном смысле труднее прежних с их искусственными, побочными нагромождениями. Я имею в виду ответственность вычислений и округление ответа. На этом вопросе стоит остановиться.

В старой школе учащийся, решив задачу, условия которой занимают половину печатной страницы (в роде мною цитированных), и получив округленный ответ, вздыхал облегченно и произносил или вслух, или про себя традиционную фразу: „задача вышла“. Округленность ответа служила как бы гарантией верного решения. Так составлялись задачи. Возьмите любую хитроумную задачу из сборников Малинина и Буренина, Верещагина, Боголепова и др., загубите для решения потребный продолжительный промежуток времени и вы непременно получите простенький ответ. Так разрешались выкладки над самыми экзотическими числами и дробями; мы к этому привыкли органически, и рецензенты ученого комитета мин. нар. просв, хвалили тех авторов, которые удачно подбирали аршинные числа и дроби для получения маленького результативного числа. Вспомните свое прошлое, с какою тревогою и волнением вы подбирались к последнему действию, ведущему к ответу, и ждали, что получится? Если заключительное деление совершается без остатка и частное получается приятное—вы были спокойны—задача вышла. Сложная дробь в ответе—явное указание на ошибку в решении! Задача не вышла! Когда учащийся проверял свое решение? Только в том случае, если в ответе не получилось округленного числа. Между тем действительно жизненная задача приводит в исключительных случаях к округленному ответу. В подавляющем большинстве случаев приходится округлять ответ сообразно различным добавочным условиям. Возьмем для примера несколько жизненных вопросов.

Кооператив, насчитывающий 377 членов, закупает сахар по расчету 5 кг. на каждого; сколько сахара придется закупить?

Умножив 5 кг. на 377, мы получим 1885 кг.; но последнее число не может служить ответом на поставленный вопрос. Сахар закупается в такой партии оптом, надо принять во внимание вес единицы оптовой упаковки и отчислить определенный процент на провес и на неизбежную рассыпку. Надо на месте, в кооперативе, узнать эти добавочные условия, прежде чем давать такую задачу учащимся. Мы видим здесь,

как жизненные обстоятельства естественно усложняют кажущийся простым вопрос.

Паровоз скорого поезда расходует 17 кг. угля на каждый километр пробега; вычислить расход угля на расстоянии 156 кг.

Умножив 17 кг. на 156, мы получим 2652 кг. Это число, конечно, не может служить ответом, так как 17 кг. представляют собою средний расход угля на один километр пробега, расход, вычисленный по многим отчетам. Число 2652 есть число приблизительное, а не абсолютно точное, поэтому мы его округлим и скажем, что на расстоянии 156 кт. паровоз израсходует от 2600 до 2700 кг. угля.

Содержание в детском доме 63 детей стоило в течение года 28572 р. 64 к. Вычислить расход суточного содержания одного ребенка.

Несмотря на то, что для решения этой задачи придется сделать два действия, план решения вряд ли вызовет затруднения со стороны учащихся; задача решается одним из трех следующих способов:

(2857264 к: 365) : 63 (2857264 к : 63):365 2857264 к: (365 . 63)

Какой способ ни избрать, ни одно деление не совершается без остатка. Принимая во внимание,что 28572 р. 64 к. представляют собою точный (по ответственному отчету) годовой расход по содержанию детского дома, необходимо вычислить суточное содержание одного ребенка с точностью большею, чем одна копейка, так как, если мы округлим ответ до целых копеек, мы уклонимся от точного годичного расхода на сумму до 1 к.. 365 . 63 = 229 р. 95 к., на очень заметную величину. Поэтому среди учащихся может возникнуть вопрос: какой из трех упомянутых способов ведет к более точному ответу? Если этот вопрос не будет поставлен самими учащимися, то учащий должен его поставить и предложить решить задачу всеми тремя способами. Из всех числовых операций выяснится, что можно удовлетвориться ответом 1 p. 24V4 коп.

Приведенные мною три примера выясняют достаточно наглядно, что жизненные задачи чрезвычайно просты в отношении плана решения; в самом деле, когда задача сводится к одному, к двум действиям, учащиеся не затрудняются, какое именно действие нужно сделать и с какими числами, и, следовательно, не попадают в положение, описанное в чеховском рассказе „Репетитор“. Но те же самые простенькие задачи вызывают целый ряд побочных соображений для обработки ответа, и вот получается неожиданное ослож-

нение, но совсем иного порядка, чем в старых разборных задачах. Если последние ценились, как средство для развития смекалки, но смекалки, я скажу, неприменимой, то соображения, относящиеся к обработке ответа на жизненный вопрос, должны быть признаны гораздо лучшим материалом для общего развития учащихся, развития именно жизненного, а не отвлеченного и отнюдь не специфически утилитарного.

Затем жизненные задачи должны воспитывать ответственность вычислений, чего органически не могли делать задачи отвлеченные, искусственные. Последние не заинтересовывали учащихся и вызывали формальное к себе отношение; решавшие задачи интуитивно угадывали их никчемность и, следовательно, проделывали все выкладки без всякого воодушевления, нудно, совершенно так же, как вообще работает человек, когда он или не видит смысла в данной работе или когда ему очевидно, что она бесполезна. Ясно, что при таких условиях не может быть речи о чувстве ответственности работы. Если отсутствие этого чувства у рабочего губит производство, то в педагогическом отношении формализм со стороны учащихся представляет собою не менее грозное явление. Тягостное времяпровождение в школе и дома ради школы создает отвращение к учебному делу, убивает любознательность, активность, парализует чувство долга и ответственности и воспитывает поэтому бюрократа во всех жизненных обстоятельствах. Необходимо подчеркнуть это отрицательное явление, свившее себе прочное гнездо в старой школе, и указать строителям новой школы на то, что учебная работа должна быть осмысленною, способною захватить учащихся и воспитать ответственность работы. В этом отношении жизненные задачи дают богатый материал. В самом деле, всякий расчет, имеющий жизненное значение, не может вызвать у учащихся чувство скуки и бессмысленной тяготы; затем каждый, делающий расчет, понимает, что последний ничего не стоит, если в нем имеются ошибки, что следует дать верный ответ на поставленный вопрос. Отсюда вытекает между прочим понимание того, что нет ошибок грубых и не грубых, что всякая ошибка есть грубая ошибка. Дифференцирование ошибок по категориям создалось на почве балльной системы оценки познаний учащегося и вообще регламентации воздействия на учащихся за ту или иную провинность; если ученик, решавший сложную задачу, действовал по верному плану, но где-нибудь при сложении счел 2 + 5 = 8, то эта ошибка считалась легкою, об'яснялась случайным недосмотром и влекла за собою понижение балла на одно очко. Получить балл 4 вместо 5— это еще не катастрофа. Но если ученик сделал умножение там, где следовало произвести Деление, то решение задачи, вследствие допущенной грубой ошибки, признавалось неудо-

влетворительным со всеми проистекавшими отсюда тяжкими последствиями. Так воспитывалось из поколения в поколение странное отношение к ошибке. Между тем не все ли равно, какую ошибку сделает кассир при составлении отчета: запишет ли он на приход то, что относится к расходу, или ошибется в сложении при подведении итога? В обоих случаях отчет неверен и его надо переделывать, т.-е. искать и исправить ошибку. Не все ли равно, какую ошибку сделал инженер при расчете толщины балки, долженствующей выдержать определенную нагрузку, применил ли он неверную формулу интегрирования или сделал неверное вычитание? Опятьтаки в обоих случаях расчет одинаково негоден. Школьники, как будущие граждане, должны воспитаться в сознании, что всякая ошибка аннулирует результат вычислений, что всякое вычисление должно быть тщательно проверено, прежде чем сдано с рук. Ведь только бесшабашные, не заслуживающие ни уважения, ни доверия люди представляют, работая на службе, непроверенные ведомости и отчеты. Какой, дорожащий своим местом и социально воспитанный, кассир позволит себе представить итог дневной выручки, не проверив тщательно этого итога? Кто из школьных работников составляет небрежно платежные ведомости? Легко согласиться с тем, что взрослые зачастую „стараются“ на службе только из побуждений так называемого шкурного вопроса; но невозможно мириться с таким отношением ко всякой общественной работе. Необходимо социальное воспитание, при котором сознание обще-государственного блага перевешивает персональные расчеты; такое воспитание должна дать школа, и одним из частных средств этого воспитания является развитие у школьника ответственности его работы, а в этом развитии не малую роль играет ответственное решение жизненных задач. К такой категории задач надо отнести в первую очередь всякого рода статистический материал, который должен быть в возможно большем количестве использован во всех возрастных группах; при этом следует выбирать преимущественно тот материал, который наглядно указывает на недопустимость ошибки. Например, в первой группе, при начальном обучении счету, полезны вопросы: сколько едоков в твоей семье? Сколько голов скота у тебя во дворе? В котором часу начинаются занятия в школе? В дальнейшем подобного рода вопросы облегчаются тем, что учащиеся постепенно воспринимают понимание увеличивающихся по размеру чисел; тогда с каждым месяцем можно усложнять разработку статистических данных. К концу первого года возможно составление ежедневных ведомостей о манкировках, о ходе температуры, инвентаря классной комнаты. На втором году: инвентарь школьной библиотечки, учет населения в деревне с распределением по категориям: мужчины, жен-

щины, грамотные, неграмотные и т. д., учет стада и т. и. На третьем году — учет всякого рода в целых числах с нахождением средних величин, на четвертом году всевозможные расчеты с дробными числами.

Учащие должны приучить своих питомцев с первого же года представлять непременно проверенные решения задач: разумеется, это относится главным образом к письменному решению. Учитель не должен принимать тетради, не спросив: проверил? Если нет, садись и проверяй. При этом учащиеся должны приучиться делать все записи аккуратно, по возможности каллиграфически. Недопустимы записи, похожие на бутерброд с икрою. Цифры и знаки действий должны выглядывать, как хорошие солдаты на смотру: стройные ряды, столбцы, цифры одинакового роста. Учитель должен быть неумолимым в отношении качества записей и добиться, хотя бы ценою неприятного детям переписывания, аккуратной, нарядной записи.

В отношении поверки решения задачи я не имею в виду традиционных правил проверки арифметических действий. Этим правилам я не придаю большого значения. Дело совсем не в том, какой прием проверки избран. Важно то, что проверка делается с наибольшею тщательностью и добросовестностью. Важно то, что сам вычислитель озабочен получением верного ответа и с своей стороны принял все меры, чтобы избежать какой бы то ни было ошибки. Разумеется, от ошибки не гарантирован никто, так как не ошибается только тот, кто ничего не делает. Учитель должен проявить величайшую чуткость и никоим образом не должен корить учащегося, сделавшего ошибку при очевидной идеальной добросовестности; в таких случаях надо ласково исправить ошибку и успокоить юного вычислителя, что он не виноват, что случайный недосмотр может произойти с каждым, что ошибки встречаются все же очень редко, когда относишься к делу должным образом.

Я высказал, что не придаю большого значения ходовым правилам проверки арифметических действий. Вот почему. Когда сообщают, что „для проверки сложения надо переставить слагаемые и вновь их сложить; если результат получился прежний, значит сложение произведено верно", то среди учащихся создается впечатление, что указанный рецепт гарантирует от ошибки. Представим себе встречающееся иногда положение, когда что-то защелкнет, как говорят, в мозгу и от сложения 5 и 2 получается 6, сколько раз ни возвращаться к этому сложению; тогда сумма 354+125 не будет отличаться в результате от суммы 125+354. Разумеется, если существует неотвязная мысль, что 5+2=6, то делу не поможет никакая проверка. Но я больше всего боюсь формального отношения к вычислениям. Если ошибка произошла при наличии абсолютной добросовестности вычисли-

теля, никакой беды нет; но если вычислитель понадеялся не на себя, а на рецепт, дело грозит культивированием формального авторитета. Учащийся должен притти к сознанию, что проверка сложения вычитанием или деления умножением и т. п. только помогает делу, но не гарантирует безошибочности; вместе с тем учащиеся должны привыкнуть к максимальному, обязательному самоконтролю, который является наилучшим регулятором при исправлении случайных промахов.

Обращаюсь теперь к вопросу о составлении и выборе задач для учащихся. В прежнее время этот вопрос решался чрезвычайно просто: учитель мог выбрать любой из допущенных к школьному употреблению задачников и провести на нем весь курс. В настоящее время дело сильно усложнилось отсутствием печатных пособий, удовлетворяющих требованиям новой системы комплексного преподавания. Учащие предоставлены сами себе; хотя на книжном рынке появилась обширная литература по вопросам комплексного преподавания и в ней имеется много ценных общих и частных замечаний и указаний, но пока не хватает самого нужного рядовому учительству: учебника или пособия, в котором было бы конкретно и детально изложено, как вести преподавание изо дня в день в той или иной возрастной группе. Мы имеем прекрасные книги по отдельным специальностям, например, Афанасьева — Методика родного языка в трудовой школе, Циглера — От игры к счету (на немецком языке), Игнатьева и Соколова—Наблюдай природу, и другие, но синтеза всех специальностей в едином учебнике еще нет. В отсутствии такого об'единящего учебника заключаются наиболее существенные затруднения учительства. Я полагаю, что учительство не скоро дождется такой книги; я был бы рад ошибиться, но пока не вижу об'ективных данных для скорого составления желательней книги. И я лично, излагая в этой книге свои соображения о преподавании математики, стараюсь посильно помочь учительству только в частном направлении и большего сделать пока не могу.

Привычка и сравнительное удобство пользования печатным задачником вызывают среди учительства чувство беспомощности, когда подходящего к новым требованиям задачника не существует. Я думаю, что такого нельзя и составить, что нужда в задачнике преувеличена и что легко обойтись без него.

В самом деле, какие задачи уместны в двух младших группах, где размеры чисел, над которыми производятся операции, весьма ограничены? Здесь возможны лишь задачкивопросики, которые ни изобретать, ни печатать не стоит. „Брату 9 лет, а сестре 7 лет; на сколько лет брат старше сестры?“ — „Маня нашла 5 грибов, а Коля на 3 гриба

больше; сколько грибов нашли они оба вместе?“ — „Мама сорвала 9 яблок, одно оставила себе, а остальные отдала поровну двум детям; по скольку яблок получил каждый ребенок?“ Когда читаешь такие задачи в книге, то грустно и досадно становится. Для чего затрачены труды автора и наборщика и бумага? Я бы ответил: ради пустословия. Неужели учащий не может сам „придумывать“ такие задачи? Когда преподаватель в классной комнате, не держа в руках книги, обращается к учащимся и спрашивает: „Миша, сколько тебе лет?“ — „8“. — „А твоей сестре?“ — „5“. — „На сколько лет ты старше?“, то эта задача звучит жизненно и живо. Но та же самая задача в печатной книге противна, так как вряд ли кто станет с удовольствием перечитывать такой текст. Между тем я считаю только ту книгу интересною, которую и читаешь и перечитываешь с интересом или к которой часто прибегаешь за справками. Если книга не удовлетворяет этим требованиям, она не интересна и не нужна. С другой стороны, составители подобных задач невольно оскорбляют учителя: ты не можешь сам придумать такие задачи, так вот тебе готовая шпаргалка.

Я категорически отрицаю надобность печатания простеньких задач-вопросов для двух младших групп. Любая комплексная тема в схемах ГУС'а вызывает сама собою напрашивающиеся задачки. Дело обстоит иначе в двух старших группах I ступени, но и здесь собственно задачника тоже не нужно. Здесь нужен темник-справочник, и прав был П. Казанцев, автор книги „Схема задачника для сельской школы I ст.“ Гос. Изд. 1920. г. К сожалению, опыт Казанцева, ценный как пионерский, оказался не вполне удачным вследствие бедности содержания; еще более жалко то, что идея, так или иначе реализованная Казанцевым, не получила должного развития. Книжки Добровольского „Математика в I ступ.“ и Ланкова „Математика на службе труда“ построены по тому же верному принципу, но также не велики по об'ему и не богаты разнообразием материала. Я не собираюсь восполнить в настоящей книге указанный пробел, так как последняя разрослась бы тогда до нежелательного об'ема; может быть, я выполню эту работу в отдельной книге, а пока, в главе о разработке комплексных тем, я изложу хоть часть того материала, который, по моему мнению, является гораздо более существенным, чем готовые, составленные задачи. Большая часть готовых задач носит на себе печать выдуманности, искусственности, а следовательно, противоречит принципам новой школы. Дело должно быть поставлено так, чтобы задача составлялась, на основании справочного материала, самим учителем, а еще лучше— самими учащимися. Без печатного справочного материала, конечно, нельзя обойтись, потому что невозможно собрать

своими силами достаточно интересных и необходимых сведений. Например, хорошо собрать статистические данные об урожае в данной местности; но, чтобы сравнить эти данные с урожаем других мест, надо иметь соответственные сведения.

Допустим, что учащиеся составляют ведомость урожая ржи в своей деревне; каждый сообщает в классе, что у такого-то домохозяина при такой-то запашке уродилось столько-то. Из этих сообщений сами собою вытекают задачи: общий итог урожая? Средняя урожайность на гектар? Сравнение с нормальною урожайностью, например, в Германии (справочник)? Сколько килограммов приходится в среднем на едока? и т. д. Тут не приходится проявлять особой находчивости при составлении подобных вопросов, представляющих собою именно те задачи, которые соответствуют духу новой школы. Рядовой учитель, даже учащиеся не затруднятся постановкою вопросов, естественно вытекающих из добытых чисел. Вот в каком направлении можно говорить о составлении задач самими учащимися.

Я подошел вплотную к одному частному вопросу, о котором много говорилось и который осуществлялся в школе неверно. Я имею в виду увлечение идеей, чтобы учащиеся сами составляли задачи; эта идея навязывалась зачастую, как предписание учащим со стороны инструкторов. Сочинение задач детьми сводилось обыкновенно к варианту числовых заданий в определенной теме. Вот характерный образец, прослушанный мною в одной школе. Дети решали задачки на сложение и стали, по предложению учащего, сочинять новые: 1) мама дала мне 10 баранок и папа дал 15 баранок; сколько баранок получил я?; 2) мама дала мне 20 кон. и папа дал мне 15 коп.; сколько копеек получил я?; 3) садовник посадил один раз 10 роз и в другой раз 5 роз; сколько роз посадил садовник?; 4) мама дала мне 20 карандашей и папа дал мне 10 карандашей; сколько карандашей досталось мне?; остальные 6—7 задач все имели сюжетом: мама дала мне... Мы видим, что из десятка сочиненных задач только одна обнаруживает крупицу оригинальности; остальные представляют собою повторение одних и тех же слов. В приведенном мною примере нет никакой утрированности; именно так всегда и бывает, когда детей заставляют „сочинять“ задачи ради сочинения. Тут нет ничего педагогически ценного; наоборот, получается бесполезная трата времени. Другое дело, когда сведения, добытые самими учащимися или сообщенные им, вызывают естественные вопросы, требующие арифметических расчетов. Тогда вытекает хорошая ценная задача. Если вы измеряете рост учащихся или взвешиваете их, то последние сами сочинят задачи: кто и на сколько выше или тяжелее того-то? А вам останется наталкивать учащихся на углубление исследовательских вопросов, в роде того, какой сред-

кий рост всей группы, сколько уклоняется в ту и другую стороны от среднего роста или веса и т. п.

Мною было высказано резко и определенно, что всякая задача должна быть жизненною и безыскусственною. Необходимо обратить внимание на два исключительных положения. Во-первых, иногда вполне допустима некоторая фантастичность, связанная с каким-либо научным вопросом. Например, для ясного понимания расстояния от земли до солнца можно поставить вопрос: во сколько времени прошел бы это расстояние поезд, идущий без остановок со средней скоростью 100 километров в час? Или для уяснения количества осадков, выпадающих в течение года в данной местности, почему не задаться соображением, какой глубины получилось бы озеро определенной площади? Здесь фантастика имеет служебное значение, как наглядная иллюстрация больших чисел. Во-вторых, не только допустимы, но и желательны задачи-шутки, даваемые от поры до времени для оживления класса. Я не могу возражать против старой как мир задачки: летела стая гусей и т. д. Математическим развлечениям должно быть отведено заметное место в школе: в этом отношении следует подражать французам, у которых соответственная учебная литература чрезвычайно богата и интересна. Указанные две категории задач, не относящиеся к жизненным, могут быть использованы не в виде основной системы, а лишь в виде добавлений, подобно пряностям в здоровом домашнем столе.

Я бы добавил, но на этом не настаиваю, еще третью категорию задач, которые, по моему мнению, желательно использовать в двух младших группах, но которые не имеют непосредственного отношения к жизненным вопросам. Я имею в виду задачи комбинаторического содержания, следуя заветам Фребеля, придававшего комбинаторике важное значение для обучения детей счету. Я предлагаю задачки такого образца: 1) написать все трехзначные числа, изображаемые с помощью каких-нибудь трех цифр: получится 27 комбинаций; 2) сколькими способами можно распределить 5 предметов между двумя лицами; оказывается 30 способов; 3) сколькими и какими способами можно разместить 4 пассажиров в четырехместном купэ? 24 способа; 4; сколькими и какими способами можно наклеить на конверт почтовых марок на 6 коп., имея марки достоинства в 1, 2 и 3 коп.? 7 способов; 5) сколькими и какими способами можно одеть куклу, имея 4 разноцветных платка, 4 разноцветных кофты и 4 разноцветных юбки? 64 способа. Тут полезно рисовать одинаковые фигурки и соответственно их раскрашивать. 6) Азбука для слепых состоит из выпуклых точек, размещаемых в 6 ячейках изображенной фигуры (черт. 2);

Черт. 2.

буквы и знаки изображаются от одной до шести точками; сколько разных знаков (и какие именно) можно сделать при всех комбинациях точек? 63 знака; больше, чем существует букв в алфавите, цифр и знаков препинания. Этими шестью примерами я, конечно, не исчерпал всех комбинаторических тем, я привел только показательные образцы. Такого рода упражнения я отношу к категории математических развлечений, продолжая настаивать на том, что последние имеют важное значение в деле обучения, именно как витамины и пряности среди необходимых белков, жиров и углеводов.

V. Счет в уме.

Ценность умения быстро считать в уме не может подлежать сомнению: слишком очевидна практическая польза от возможности обойтись без карандаша и бумаги при решении простеньких жизненных задач или при беглом подсчете. Поэтому упражнения в умственном счете должны занимать видное место в школьных занятиях арифметикой.

С. А. Рачинский в предисловии к своей книжке „1001 задача для умственного счета“ говорит: „что касается до пользы, которую приносят ученикам упражнения в умственном счете, то ее не следует преувеличивать. Способность к нему — способность весьма специальная и от других независимая, нередко сильно развитая в детях ума самого ограниченного. Тем не менее способность эта полезна и в отношении практическом, и как средство для здоровой умственной гимнастики“.

В последних строках С. А. Рачинский отдает дань общераспространенному до революции мнению, что главное значение школьного преподавания математики заключается в гимнастике мозга, в развитии логического мышления; такая целевая установка преподавания математики оправдывала решение никчемных в практическом, бессмысленных в жизненном отношении разборных, хитроумных задач, оправдывала и общее отвлеченное преподавание математики. Школа, созданная революцией, категорически отвергает всякий академизм, гимнастику мозга ради этой гимнастики; гимнастика мозга, несомненно, необходима, но в направлении жизненном, практическом. А поэтому та гимнастика мозга, которая ведет к полезному жизненному уменью — быстро подсчитать в уме, безусловно полезна и должна остаться в обиходе новой школы. Я не мог не выделить без особого раз'яснения слова Рачинского относительно умственной гимнастики, потому что иначе читатель заподозрел бы меня в апологии дореволюционного академизма, но выписанные мною строки имеют для меня большое значение в отношении оценки способности быстро считать в уме. Действительно, Рачинский глубоко прав, называя эту способность специальною и зачастую присущею весьма ограниченным людям. Иноди, Диаманди и другие лица, поражавшие своими способностями производить в уме

ичень сложные числовые операции, ни-в чем больше не выдвинулись. В противовес этому приходится отметить, что многие выдающиеся ученые - математики (самый яркий пример — А. Пуанкаре) отличались изумительною беспомощностью при подсчете в уме небольших чисел. Весьма важно, чтобы преподаватели не делали неверных предсказаний относительно учащихся, резко выдающихся в отношении умственного счета; дурно считающие могут оказаться впоследствии хорошими математиками и, наоборот, самые заурядные люди могут вырасти из блестящих счетчиков.

Итак, не преувеличивая значения умственных вычислений, но считая их безусловно полезными и даже необходимыми, следует ввести соответственные упражнения на всем протяжении занятий по арифметике. Ясно, что на первом году обучения счет в уме неизбежно предшествует письменному счету, так как еще неграмотные дети уже понимают кое-что в счете и могут решать в уме некоторые задачки. Поэтому, до обучения детей арифметическому чтению иписьму, упражнения в счете будут преимущественно устные, а затем уступят свое место письменным вычислениям. Тем не менее д после того вычисления в уме должны занимать некоторую долю классного времени. Я полагаю, что необходимо и достаточно уделять ежедневно 10 —15 минут для счета в уме; необходимо—потому, что каждое детское упражнение должно быть часто повторным, иначе не может быть нужного результата; достаточно—потому, что в 10 — 15 минут можно проделать много вычислений, а при большей их продолжительности, принимая во внимание их неизбежную интенсивность, они могут вызвать вредное утомление. Опытность учащего, учитывающего все сопутствующие обстоятельства, как, например, активность и подготовку учащихся, качество материала для счета и т. д., лучше всего определит продолжительность отдельного сеанса вычислений в уме.

С. А. Рачинский в том же предисловии к своей книжке говорит: „я почти никогда не пользовался печатными задачниками, но постоянно импровизировал задачи возрастающей сложности, сообразные с силами учеников. Импровизация эта не стоила мне ни малейшего труда и, вероятно, придавала этим урокам то необыкновенное оживление, которое поражало эсех посетителей моей школы“. И далее: „только постоянная умственная работа его (учителя) во время уроков возбуждает подобную же работу в умах учеников“.

Эти строки я считаю существенно важными для учителя. Немногими словами изложены простые, но часто забываемые истины. Разве можно возражать что-нибудь против того, что учащиеся работают интенсивно только тогда, когда работает учитель, и что энергия учащихся возрастает, когда они слышат живую речь учителя, а не вычитывание им

из книжки? Секрет увлекательности уроков С. А. Рачинского оказался простым: педагог импровизировал задачи. Эта увлекательность увековечена на известной картине БогдановаВельского „Устный счет“; художник, ученик С. А. Рачинского, изобразил хорошо знакомую ему обстановку урока любимого учителя.

Если учащий почему-либо не может импровизировать задачи для счета в уме, то он должен симулировать импровизацию, а именно; подготовиться к уроку, подобрать примеры и задачи, подзубрить их, а в классе сообщать подготовленный для упражнений материал, как будто импровизированный.

Цитируя слова С. А. Рачинского, я не думаю пропагандировать его книжку для школьного употребления; его задачи в настоящее время устарели и свой век отжили, а, кроме того, они в общем трудны для счета в уме.

Материал для упражнений в умственном счете должен соответствовать прежде всего наличной подготовке учащихся. Поэтому на первом году обучения в школе и даже ранее полезно прибегать к некоторым играм арифметического и комбинаторического содержания (см. отдельную главу), наблюдая за тем, чтобы размер оперируемых чисел соответствовал детскому пониманию. В дальнейшем материал для умственного счета будет состоять из примеров и задач. Относительно задач приходится лишний раз повторить, что они должны быть свободны от всякой искусственности и должны согласоваться с жизненною правдою как в отношении темы, так и состава чисел. Что же касается примеров, т.-е. упражнений с отвлеченными числами, то здесь не только допустим, но даже желателен такой подбор чисел, чтобы учащиеся знакомились с некоторыми примечательными свойствами чисел, например: 1+2 + 3=6; 3.3 + 4.4 = 5.5; 5.5 + 12.12 = 13.13; 37.3 = 111; (36:2) + (36:3) + (36:6) = 36; Vi + Vt + Ve = 1; 7.11.13 = 1001 и т. п. Чрезвычайно важно, чтобы материал для упражнений в умственном счете сообщался учащимся двояко: или диктованием задания, без записи на доске, или только молчаливою записью на доске. В первом случае будет упражняться слуховомоторная память, во втором зрительная. Оба вида памяти существенно важны и нуждаются как в диференцированном, так и в сочетательном развитии. Между прочим исследования психологов показали, что феноменальные счетчики Иноди, Диаманди и другие обладали гипертрофиею (переразвитием) или зрительной памятью (Диаманди) или слуховомоторной (Иноди). Задачи, которые решал Диаманди, необходимо было написать на доске; беглого взгляда на доску было достаточно, чтобы Диаманди запомнил надолго полученный зрительный образ, он мог повторить безошибочно записанные цифры по строкам и по столб-

дам, совершенно так же, как если бы мы читали написанное. Но Диаманди не мог решить задачу, если ему ее только диктовали; Иноди, наоборот, запоминал задания не по зрительным ощущениям, а по слуховомоторным. Затем большую роль играет, конечно, огромная практика и знание некоторых приемов, упрощающих вычисления.

К упражнениям в умственном счете я отношу следующие специальные, преимущественно для развития зрительнокомбинаторной памяти. Учитель должен заранее сделать и раскрасить большие плакаты с изображением симметрично или иначе расположенных фигур, чисел, показывать учащимся плакаты на весьма короткое время, на одно мгновение и требовать ответа, что и сколько чего они видели. Вот образец для плакатов (черт. 3).

Такого рода плакаты можно сочинять сколько угодно; за один сеанс следует использовать 2 — 3 плаката и один и тот же вторично не показывать. Прежде чем показать плакат, надо предупредить учащихся: вы увидите (сообразно содержанию плаката) кружки; скажите потом, сколько кружков вы видели? вы увидите дом, сколько в нем окон? вы увидите кружки красные и зеленые, сколько зеленых и сколько красных? вы увидите разноцветные полоски, перечислите порядок цветов; сделайте то вычисление, которое указано (пл. 15); какие числа вы видели (пл. 10)? вы увидите слово (пл. 12 и 17), сколько в нем букв? сколько раз обмотана веревка вокруг палки (пл. 18)?

Упражнения с подобными плакатами на первых 3 возрастных группах чрезвычайно оживляют дело. Я обращаю внимание на плакат 14, с помощью которого можно констатировать редкий, но все же встречающийся, дефект зрения— дальтонизм (тождественное восприятие красного и зеленого цветов).

Быстрота счета в уме зависит между прочим от приема счета. Существует очень много приемов, называемых упрощающими счет. Возьму для примера такой „упрощенный“ прием сложения. „Два двухзначных числа, взятые одно между 10 и 19, а другое между 90 и 99, или одно между 20 и 29, а другое между 80 и 89, или одно между 30 и 39, а другое между 70 и 79 и т. д., дают в сумме 100, сложенное с суммою простых единиц обоих слагаемых“ (А. А. Лямин. Физико-математическая хрестоматия. Т. 1, стр. 202). Гораздо проще складывать числа непосредственно, чем запомнить, а для учащихся, кроме того, усвоить приведенный прием. Этого примера, я думаю, достаточно, чтобы согласиться с следующими положениями:

1) простота приема есть дело условное; всякий вариант привычного правила одному кажется простым, другому сложным; простейший прием, без сомнения, тот, который

хорошо усвоен и стал привычным; а еще лучше тот прием, который придуман самим вычислителем;

2) припоминание для каждого отдельного случая специального приема более трудно и занимает больше времени, чем непосредственное вычисление.

Поэтому было бы большою ошибкою сообщать учащимся много разных приемов; число последних надо свести к минимуму и самые приемы следует вводить при разучивании основного правила, т.-е. так, чтобы эти приемы стали привычными с самого начала. Выбор приемов следует предоставить учащему, так как только те приемы хорошо передадутся учащимся, которыми владеет учащий. Интересующихся различными приемами, упрощающими вычисления, отсылаю к книгам: Мартель—Приемы быстрого счета. Гос. Изд., В. Гречушкин—Арифметический задачник. 4-е изд. Думнова 1917 г. Во всяком случае не следует переоценивать значения разных приемов вычислений, имеющих целью их упрощение, и, следовательно, сделать вычисления более быстрыми. Быстрота вычислений в уме развивается главным образом от практики. Поэтому для достижения успеха следует побольше и почаще упражняться. Учащий должен поставить себе общим правилом обходиться без письменных выкладок во всех случаях, когда можно вычислить в уме, и постепенно приучить к тому же учащихся. В этом отношении необходима строгая постепенность и осторожность; пока учащиеся не окрепли в счете вообще, их следует заставлять разрешать все сомнительные вычисления письменно.

Остается указать на то, как организовать общую работу устного счета в многолюдном классе, Ведь необходимо сделать так, чтобы все учащиеся упражнялись и чтобы учащий мог знать успешность каждого. Для этого удобен следующий способ, много лет и с хорошими результатами применявшийся мною на практике. До вычислений все учащиеся получают по листочку (7в или Vie листа) бумаги, на котором они должны записать свою фамилию и перенумеровать у левого края листка столько строк, сколько отдельных задачек или примеров учитель предполагает дать, Я давал обычно 8—10 вопрооов. На листочках учащиеся записывают в соответственных строках ответы на те вопросы, примеры и задачи, которые последовательно даются. Учащему легко следить даже за многолюдным классом, действительно ли все вычисления производятся в уме. Для каждого из этих вычислении дается столько времени, сколько нужно большинству учащихся; это количество времени легко определяется учащим по наблюдению за записыванием ответов и за ожиданием со стороны кончивших вычисления следующего задания. По окончании вычислений листочки отбираются, и учащиеся должны записать в свои тетради все предложенные задали

и вновь получить ответы, хотя бы письменно. Пока учащиеся заняты этим делом, учащий просматривает листочки, сравнивал с заранее заготовленным списком, отмечает на листочках неверные ответы, подводит для себя итог чисел сделанных ошибок и задач, оставшихся нерешенными, а затем, когда учащиеся закончат вторичные вычисления, возвращает листочки по принадлежности. Тогда учащиеся будут иметь возможность проконтролировать и проанализировать свои ошибки. В итоге получится совершенно законченная работа. Необходимо добавить, что учащий должен давать столько времени для обдумывания ответа, сколько это нужно для большинства; в классе всегда найдется некоторый процент учащихся, которые не поспевают проделывать все вычисления в течение заданного срока; следует предупреждать, что не успевший решить данную задачу оставляет соответственную строчку пустою и обдумывает следующую с того момента, когда последняя сообщена. В нормальном порядке ведения дела процент отсталых постепенно, но заметно, уменьшается.

VI. Механизация счета.

До той механизации деловых вычислений, когда инженер оперирует логарифмической линейкой и арифмометром, школе первой ступени, конечно, еще очень далеко. Тем не менее школа первой ступени должна принять посильное участие в реализации идеи механизации счета, хотя бы в самой подготовительной стадии. Если школы второй ступени, фабзавучи и рабфаки мало обращают внимания на механические приемы вычислений, то это не должно смущать школы первой ступени. Там дело не может наладиться, в отношении развития механизации счета, главным образом по материальным—надо надеяться, временным—условиям: у нас слишком мало вычислительных линеек и арифмометров, они недоступны учащейся молодежи. А школе первой ступени не нужны эти дорого стбящие приборы; она для решения более простых задач, может обойтись скромными средствами. Нужны обыкновенные торговые счеты, которые стоят недорого и имеют широкое распространение, а остальные приспособления легко сделать домашним способом.

Прежде всего несколько слов относительно самой идеи механизации счета, почему я выделяю ее в самостоятельную, хотя и короткую, главу.

Техника всякого рода сделала за последнее время и продолжает делать гигантские успехи; всевозможные расчеты умножаются и усложняются. Продукции сельского хозяйства, фабрик и заводов увеличиваются настолько быстро, что итоги, сводившиеся недавно к миллионам, выражаются теперь миллиардами и скоро достигнут триллионов. Транспорт расширяется всесторонне: и в отношении способов, и в отношении количества передвижений. Товарообмен государственного и международного масштабов также разросся и будет непрерывно увеличиваться. Мировая экономика оценивается грандиозными числами, и мы уж привыкли к числовым расчетам при обсуждении любого явления общественной жизни. Калькуляция перестала быть достоянием одной лишь торговли, притом оптовой; без калькуляции не обходится никакое дело. Но всякого рода подсчет, вычисления не являются чем-либо самодовлеющим; они представляют собою лишь средство для решения того или

иного вопроса. Поэтому, так как принцип экономии времени и труда требует упрощения всего того, что является вспомогательным, необходимо сделать возможно легким процесс калькуляции, следовательно, его механизировать. Никакая машина думать за человека не может, но всякая машина, разгружающая труд, полезна.

В отношении вычислений механизация их состоит не только в применении собственно машин, в роде арифмометра и приборов, как, например, логарифмическая линейка, но и в использовании разного рода справочных таблиц. Логарифмирование с помощью таблиц есть процесс, весьма близкий к механическому. Точно так же нахождение квадратного или кубического корня по печатным таблицам не есть вычисление по существу, так как вычислительная работа уже произведена, результаты ее напечатаны и остается воспользоваться уже готовым материалом.

Для школ первой ступени можно найти гораздо более механических приемов вычислений, чем принято думать. Начну с описания подходящих приборов.

Уже в первой возрастной группе можно механизировать сложение и вычитание весьма простеньким приспособлением, состоящим из двух деревянных планок или бумажных полос, градуированных на центиметры. Пусть надо сложить 27 и 14. Приставим (черт. 4) нулевую черту второй планки к тому месту первой, где у последней обозначено 27. Тогда черта второй планки, обозначающая 14, придется под той чертой первой планки, где обозначено 41. Ясно, что с помощью такого прибора легко производить и вычитание. Само собой разумеется, что описанный прибор не должен заменить собой сознательного сложения; он должен быть использован после усвоения учащимися принципа и процесса сложения и быть дополнением к практике сложения. Затем прибор будет иметь значение как первый этап к проведению в обиходе школы механизации счета; с этой точки зрения я полагаю, что Циглер, автор книжек „От игры к счету“, методически прав, рекомендуя описанный прибор для занятий в первой группе. Наконец, прибор имеет еще то значение, что учащиеся, пользуясь им, действуют не только мыслью, но и руками; получается повышенная активность и конкретность работы, что весьма важно для школьников младшего возраста. Прибор позволяет делать умножение и деление; в первом случае, например, если нужно умножить 16 на 3, мы возьмем 3 полоски по 16 центиметров и приложим их рядом, начиная с нулевой точки, к одной из планок. Если нужно сделать

Черт. 4.

деление, то придется ограничиться случаем деления по содержанию; при этом (напр., 28 : 7) мы сделаем полоски по 7 центим, и посмотрим, сколько таких полосок уложится на протяжении 28 центиметров. Если при делении получается остаток, то последний виден весьма наглядно.

Тот же прибор при миллиметровом градуировании применим во второй группе.

Обыкновенные так называемые торговые счеты представляют собою действительно деловой прибор, механизирующий вычисления. Счеты имеют весьма широкое и заслуженное распространение. Интересно отметить, что русские счеты до войны стали проникать в Европу, и в 1910—1913 гг. в германских правительственных и частных учреждениях можно было видеть вывезенные из России счеты. Встречаются виртуозы, проделывающие чрезвычайно быстро умножение и деление на счетах; но по существу счеты наиболееполезны для сложения и вычитания. Вводя счеты в школьный обиход, следует ограничить их применение только сложением и вычитанием, так как лишь в этом случае мы имеем подлинную механизацию вычислений. Когда на счетах делается умножение или деление, то самые счеты играют второстепенную роль, так как самые вычисления производятся собственно в уме. Поэтому в дальнейшем будет говориться лишь о сложении и вычитании с помощью счет.

Счеты ни в каком случае не должны быть пособием для обучения сложению и вычитанию; счетами можно пользоваться только после того, как учащиеся овладели этими арифметическими действиями. Я хочу подчеркнуть особенно резко тот тезис, что учащиеся должны сначала выучиться считать, прежде чем пользоваться механическими приборами. Последние имеют своим назначением упростить, ускорить процесс вычислений, когда центр тяжести работы находится вне этого процесса. Но если вычисления важны сами по себе, если они имеют образовательное или воспитательное значение, то главная роль и принадлежит самому процессу вычислений, тогда механизирующие приспособления могут принести вред. Итак, механизация счета в школе не есть метод обучения, а заслуживает серьезного внимания как подготовка к практическим ответственным вычислениям и притом, повторяю, лишь после того, как учащиеся выучились считать. На основании изложенных соображений я настаиваю на использовании счет никак не ранее третьей возрастной группы и решительно расхожусь с теми, которые советуют практиковать на счетах детей даже первой группы. Я бы предложил использовать указание схем ГУС'а, в которых колонка под заглавием „Труд“ назначает для третьей группы изучение хозяйства местного края; при этом изучении учащиеся неизбежно столкнутся с разного рода

статистическими таблицами, и вот пользование счетами легко будет импульсировать подведением итогов или проверкою готовых итогов длинных столбцов слагаемых. После этого, когда учащиеся овладеют прибором, можно рекомендовать постоянно пользоваться счетами, если нужно произвести сложение многих слагаемых и проверить сумму вычитанием. По опыту знаю, что учащиеся третьей группы очень быстро усваивают пользование счетами; я не думаю, чтобы нужно было распространяться о том, как об'яснять учащимся оперирование со счетами. Дело слишком простое.

К механическим приборам для умножения следует отнести так называемые „палочки“ Непера (1550—1617 г.г.), творца таблиц логарифмов. Следует сделать из толстого картона или, еще лучше, из дерева планки. Каждая из них состоит из 9 квадратов, при чем в 8 из них проводятся диагонали, все одного направления, как указано на черт. 5. Верхние квадраты, свободные от диагоналей, содержат однозначные числа от 0 до 9 включительно. В остальных квадратах надписываются произведения верхнего однозначного числа

Черт. 5.

от 2 до 9 включительно. При этом каждое произведение представляется в виде двухзначного числа, цифра десятков которого пишется над диагональю, а цифры единиц под диагональю. Если произведение однозначно, например, 2.4=8, то оно все же изображается с помощью двух цифр, а имено 08. На чертеже наши планки изображены слитно, вплотную одна к другой; на самом деле они раздельны; чертеж надо разрезать по вертикальным перегородкам.

С помощью палочек Непера умножение производится следующим образом. Допустим, что надо умножить 627 на 83. Положим рядом (черт. 6) те палочки, в верхних частях которых имеются числа 6, 2 и 7. Найдем ту строку, в которой записаны результаты умножения на 8; эта строка отмечена на черт, знаком +. Складываем однозначные числа в этой строке по диагональным направлениям, т.-е. находим сумму: 415 Найдем теперь ту строку, 8в6 в которой записаны резуль5016 таты умножения на 3. Эта строка отмечена на чертеже знаком + +. Складываем однозначные числа в этой строке по диагональным направлениям, т.-е. находим сумму: 102 Остается сложить обычным порядком полученные частные произведения 5016 и искомое произведение 1881 равно 52041.

Если множимое содержит повторяющиеся цифры, то надо иметь соответственное число палочек. Например, если множимое равно числу 39892, то надо иметь две одинаковые палочки, верхние части которых содержат цифру 9. Поэтому полезно заготовить палочки с дубликатами. Следует иметь в виду, что иногда удобнее переставить множимое и множитель. Само собой разумеется, что палочками Непера имеет смысл пользоваться только при умножении многозначных чисел или длинных десятичных дробей.

К приему Неперовых палочек весьма близко подходит индусский способ умножения, тоже почти механический, но не требующий никаких приспособлений, кроме разлиновки бумаги в квадратную сетку. Пусть надо умножить 57086 на 2913. Размещаем данные числа по квадратным клеткам, так

Черт. 6.

как указано на чертеже 7, и проводим в тех клетках, над которыми и справа от которых надписаны цифры множимого и множителя, диагонали одного и того же направления.

Черт. 7.

В каждой клетке, где имеется диагональ, вписываем произведение двух однозначных чисел: стоящего в верхнем столбце и стоящего в правой строке; при этом расщепляем произведение, как и в палочках Непера, так, что цифра десятков произведения пишется над диагональю, а цифра единиц произведения—под диагональю. Складываем теперь в диагональных направлениях однозначные числа, т.-е. производим сложение следующих слагаемых: Результат сложения окажется написанным в левой стороне таблицы и он читается, начиная с верхнего левого угла вниз и затем направо к наружному правому углу. Искомое произведение есть 166291518. Описанный способ чрезвычайно удобен для перемножения многозначных чисел и длинных десятичных дробей, он совсем не требует умственного напряжения, так как дело сводится к таблице умножения, является способом действительно механическим и практическим. Я лично настолько привык

к этому способу умножения, что к другому, даже обычному, не прибегаю.

К механизации вычислений относится также пользование готовыми таблицами. Для школ II ступени мною составлен специальный справочник „Справочник по математике для учащихся в школах II ст.“ Гос. Изд. 2-е изд. 1923 г. 1 р., в котором имеется много таблиц по переводу русских мер в метрические и обратно, процентных отношений и др. Я полагаю, что для школьников I ступени не следует печатать таких таблиц. Необходимо, чтобы школьники I ступени сами составляли такие таблицы и уже потом пользовались ими. Составление таблиц дает возможность развивать технику счета и представляет собою полезную, производственную работу. В третьей возрастной группе учащиеся должны составить таблицы произведений двухзначных чисел.

Для этого надо взять листы бумаги возможно больших размеров, аккуратно разлиновать в квадратную сетку, надписать сверху (черт. 8) множимые и множители, а в соответственных клетках вписать произведения, которые получаются по строкам или столбцам простым сложением (на счетах!). Может быть, понадобится несколько листов бумаги, чтобы сделать достаточно полную таблицу умножения двухзначных и некоторых трехзначных чисел. Такую работу можно выполнить по частям коллективом класса; тогда получится весьма полная справочная таблица. Точно так же коллективною работою класса могут быть составлены таблицы разложения чисел от 1 до 1000 на первоначальные множители, процентных отношений однозначных и двухзначных чисел, переведенных таблиц русских мер в метрические и т. д. Таблицы этого рода пригодятся и в третьей группе, а особенно в четвертой, когда учащиеся приступят к составлению отчетов, смет и разного рода расчетов.

Весьма важно участие школы во всех статистических работах района. Собирание всякого рода статистических данных и их обработку следует поручить школьному коллективу. При этом достигаются две цели: школа будет втянута в окружающую общественную жизнь, и государство будет нести минимальные расходы на статистический аппа-

Черт. 8.

рат; кроме того, собирание и обработка статистических данных представляют собою богатейший материал для жизненного применения математических навыков. Вот здесь, когда школьники, разумеется, старшей возрастной группы, будут заняты общественной работой и ответственными вычислениями, очень и очень пригодятся разного рода заранее составленные справочные таблицы, которые и сыграют роль механизаторов счета. Затем умение пользоваться разного рода справочными таблицами очень ценно в практическом отношении; поэтому приучение школьников к пользованию готовыми таблицами следует считать делом существенно важным и обязательным в программе занятий по математике. Я бы прибавил еще одну частность: с третьей группы следовало бы ознакомить учащихся с издаваемым ежегодно, даже два раза в год, официальным путеводителем по железным дорогам и пароходам и задавать составление кратчайших маршрутов между отдаленными друг от друга городами и вычисление проездной платы со взрослых и детей в вагонах жестких, мягких, без приплаты и с приплатой за скорость и плацкарту. Такого рода вычисления могут принести серьезную пользу местному населению, особенно в деревне: школа явится справочным бюро, в котором крестьяне смогут узнать, сколько стоит проезд до определенного города, сколько времени поезд находится в пути и т. д. Во всяком случае означенные расчеты окажутся необходимыми при математической разработке комплексной темы „транспорт“ или „связь города с деревней“.

Таблицы, о которых сказано выше (см. черт. 8), и использование Неперовых палочек позволяют механизировать деление больших чисел. Деление есть самое затруднительное из четырех арифметических действий и вот как легко свести его к простенькому делу. Пусть надо разделить 580562 на 13.

Берем готовую таблицу произведений двухзначных чисел на однозначные (см. черт. 8). Глядя на таблицу, мы сразу усматриваем, что в числе 58 число 13 содержится 4 раза, так как 52 < 58 < 65. Старшая цифра частного (4) найдена. Нам нет надобности умножать делитель (13) на 4, так как такое произведение имеется в таблице. Подписываем готовое произведение, вычитаем и сносим следующую цифру делимого. В дальнейшем поступаем, как уже сказано. Мы замечаем, что деление сводится к легкому вычитанию.

Пусть надо разделить 23610547 на 627. Составляем из Неперовых палочек число 627 (см. черт. 6) и подводим

итог в каждой строке палочек. Тогда мы получим готовые произведения числа 627 на однозначные числа, которые и устраняют наибольшие затруднения при делении, а именно—соображения, сколько раз делитель содержится в данной части делимого. В самом деле, первая цифра частного получается от деления 2361 на 627. Чтобы найти верную цифру, надо прикидывать в уме, а может быть, даже подвычислить сбоку. Вот этот самый трудный момент деления устраняется подготовленными произведениями числа 627 на однозначные числа. Глядя на эти произведения, мы видим сразу, что в 2361 число 627 содержится 3 раза, так как 1881 < 2361 < 2508. Деление сводится к вычитанию.

Рекомендуя вниманию учительства палочки Непера и описанный прием деления, добавлю, что я лично разучился производить иначе умножение и деление больших чисел, вернее сказать, я перестал пользоваться традиционными приемами, так как механический способ дает огромную экономию времени и избавляет от лишнего напряжения мысли.

VII. Диаграммы и графики.

В дореволюционное время школа знала диаграммы и графики только по учебникам географии, появившимся лишь в текущем столетии. Любопытно отметить, что та же самая география захватила в свои руки право вычерчивания плана классной и жилой комнаты для подготовки к пониманию карты. Математика не занималась планами, в ее учебниках планов не было... Характерно и то, что популяризатором графического изображения статистических сведений был у нас не математик, а профессор политической экономии И. X. Озеров.

Программы единой трудовой школы по реформе 1918 г. отвели графическому методу надлежащее место, правильно поручив истолкование его математике, а применение—всем учебным дисциплинам. Диаграммы и графики появились во всех пособиях по математике для школы 1 ступени, изданных после 1918 г. Обществоведение, естествознание также стали широко пользоваться графическим истолкованием числовых сведений. Получилось даже противоположное—перепроизводство диаграмм. Теперь нет в СССР, классной комнаты, в которой не были бы развешаны по стенам многочисленные диаграммы работы самих учащихся. Школьники младшей группы уже занимаются диаграммами. Неизбежная реакция после дореволюционного игнорирования графического метода переходит тот предел умеренности, когда слишком частое применение нового приема грозит сделать последний надоедливым и потому обременительным для учащихся. Мне приходилось уже слышать жалобы детей, что им опротивело вычерчивать диаграммы. Во избежание такого прискорбного обстоятельства необходимо соблюдать осторожность по отношению к количеству предлагаемых графических упражнений и стремиться разнообразить их и по внешнему виду и по содержанию.

Диаграмма дает нам наглядное изображение различных величин, взятых при определенных числовых значениях; на диаграмме мы сравниваем величины. Последние мы изображаем или отрезками, или прямоугольными полосками, или частями круга, или художественными рисунками. Например, мы можем изобразить распределение населения земного шара

по государствам отрезками разной длины, или частями прямоугольной полосы, или секторами круга, или изображением людей (разного роста, при чем сравнительные величины роста дают понятие о сравнительной численности населения) определенных национальностей. Таким образом диаграмма дает нам возможность делать сравнение определенных величин. График же раз'ясняет изменение данной величины в зависимости от изменения другой, следовательно, дает наглядное изображение функциональной зависимости; для построения графика применяется метод координат, обыкновенно прямоугольных координат Декарта. Можно и не знать научного обоснования координат как для чтения, так и для вычерчивания графиков; принцип дела настолько понятен каждому, даже школьнику 3-й и 4-й группы, что нет никакой нужды прибегать к научной терминологии. Для построения графика обыкновенно откладывают по горизонтальному направлению последовательные значения одной величины, а по вертикальному направлению соответственные значения другой величины, изменяющейся в зависимости от изменения первой; соседние концы вертикальных отложений соединяются между собою, и на чертеже получается ломаная линия (по существу дела кривая), характеризующая ход изменения исследуемой величины. Для построения графика особенно удобна бумага, разлинованная в квадратную клетку, или, еще лучше, миллиметровая бумага, которая снова стала изготовляться и появилась в продаже по недорогой сравнительно цене. Лист миллиметровой бумаги, имеющий длину один метр и ширину 71 центиметр, стоит 30 коп.; такого листа хватит на очень много графиков.

Очевидно, что диаграмма по идее проще графика; поэтому график вводится в школе гораздо позднее диаграммы. В схемах ГУС'а слова „составление простейших линейных диаграмм“ значатся в программе весенне-летнего семестра второго года. Это правильно в том отношении, что более раннее вычерчивание диаграмм не приводит к хорошим результатам. Я полагаю, что школьники первой группы еще не могут разбираться в диаграммах вполне сознательно и, кроме того, вряд ли ими заинтересовываются; школьники первой группы представляют собою детей, еще не втянувшихся в научный смысл изучаемого и ценящих в изобразительном искусстве не прямолинейную точность, а весьма вольную образность. Затем диаграмма должна быть исполнена хорошо; а дети 8 лет еще не могут вычертить как следует прямолинейную фигуру, даже с помощью линейки по клетчатой бумаге. Диаграммы, выполняемые школьниками первой группы, всегда выглядят непривлекательно. Совсем другое дело детские рисунки; сколь бы плохи они ни были с точки зрения взрослого, они понятны и милы детям, как

их собственные произведения; в намалеванных уродливых фигурах дети видят то, что они хотели изобразить; к правильному изображению они привыкают позднее и постепенно. Вот почему я считаю диаграмму с ее правильными, строгими очертаниями не вполне доступной или, лучше сказать, мало интересной для детей первой группы. Учащиеся второй группы, особенно к концу года, уже резко разнятся в психологическом отношении от учащихся первой группы; они втягиваются в замену воображения реализмом, в организованность, в схематизацию с помощью правильных, инструментальных форм. Конечно, и учащиеся второй группы еще не сумеют вычертить хорошей диаграммы, но при собственном старании и настойчивости учителя достигнут приличных результатов. Само собой разумеется, что во второй группе возможны лишь прямолинейные диаграммы, выполняемые на клетчатой бумаге с помощью линейки. Затем выполнению диаграмм должно предшествовать их чтение. Для этого учитель должен озаботиться приисканием или изготовлением показательных диаграмм. Диаграммы, помещаемые в задачниках, неудовлетворительны для первого знакомства, так как имеют малые размеры, некрасивы и напечатаны без красок. Чрезвычайно важно, чтобы первое впечатление было сильным, чтобы у учащихся возникло желание подражать, по мере сил, нарядности показательных диаграмм.

Первое знакомство с диаграммою легко связать с весеннею темою „наш огород“ в сельской школе или „деревенские работы“ в городской школе. В первом случае показательные диаграммы будут говорить о распределении огородного участка по отдельным посевам картофеля, лука, моркови и т. д., о числах дней созревания разных овощей и т. д.; во втором случае — о сравнительной урожайности на земле удобренной и неудобренной, при трехпольи и многопольи и т. д. Диаграммы об'ясняются, при чем особое внимание обращается на масштаб для оценки сравниваемых величин, учащиеся измеряют сравниваемые фигуры миллиметровою шкалою и переводят диаграмму на числовую таблицу, записываемую в тетради. После показательных диаграмм читаются те, которые имеются в учебнике или в периодических изданиях — журналах и газетах, при чем сначала выбираются простые, прямолинейные диаграммы. Когда учащиеся привыкнут к чтению диаграмм, следует упражнять их в составлении и в вычерчивании диаграмм; здесь приходится повторить о необходимости выбора на первых порах легкого в арифметическом смысле материала. Это необходимо, во-первых, потому, что учащиеся второй группы оперируют над числами, не превышающими 1000, а во-вторых, потому, что при первых упражнениях в составлении диаграмм центр внимания должен быть обращен на сформирование внешности чертежа

и на его исполнение, но не на арифметические расчеты. Позднее, в третьей группе, центр тяжести графической работы следует перенести на вычисления.

Возьмем для примера сведения о средней продолжительности созревания сельскохозяйственных растений в центральных губерниях:

Озимая рожь созревает 340 дней.

Овес ... „ 115 „

Ячмень. . . „ 120 „

Лен ... . „ 105 „

Гречиха „ 90 „

и переведем эти сведения на диаграмму, которую вычертим на четвертушке бумаги, разлинованной в квадратную сетку. Первый вопрос, который следует предложить коллективному обсуждению класса, это — как расположить диаграмму? Какой край бумаги удобнее выбрать верхним? Эти вопросы обсуждаются в связи с заданными числами. Удобно ли будет отметить один день одною клеткою? Не лучше ли отметить одною клеткою 10 дней? Может быть, еще лучше отметить одною клеткою 5 дней? Тогда вместо заданных чисел 340, 115, 120, 105 и 90 придется изобразить числа 68, 23, 24, 21 и 18. Если эти числа будут изображены полосами разной длины, то какую ширину надо выбрать для полос? Чем шире полоса, тем она короче. Нам нельзя выбирать широкие

Черт. 9.

полосы, так как число их равно 5 и они могут не поместиться на нашем листке бумаги; с другой стороны, чем шире полосы, тем меньше они будут разниться друг от друга длиною. Между тем нам необходимо сделать так, чтобы разница длины полос была отчетливою. Попробуем сделать полосы шириною в 2 клетки; тогда самая длинная полоса должна иметь длину 68:2=34 клетки. Сосчитав число клеток по длинной стороне четвертушки бумаги, мы увидим, что полоса длиною в 34 клетки едва умещается на листке и что не останется места для надписей. Поэтому решаем сделать полосы шириною в 3 клетки. Тогда длины полос будут соответственно 68:3=222/3, 23:3=72/8, 24:3=8, 21:3=7 и 18:3=6. Теперь обводим по линейке (черт. 9) пять полос шириною по 3 клетки и длиною 222/3, 72/3> 8, 7 и 6 клеток, при чем две трети клетки откладываем по глазомеру. Диаграмма должна сопровождаться пояснительными надписями, сделанными как можно более тщательно. С первого же раза следует приучить учащихся делать надписи, подражая печатным буквам, соблюдая одинаковую вышину букв и одинаковые интервалы между словами. Затем необходима надпись, поясняющая величины на чертеже; в данном случае следует указать, что одна клетка чертежа соответствует, как мы выбрали, пяти дням.

Раскрашивание диаграмм—дело трудное, посильное учащимся не ранее 5-го года обучения; хорошее раскрашивание акварельными красками требует исполнения чертежа на ватманской бумаге, широкой кисти, очень хороших красок и сноровки руки. Раскрашивание цветными карандашами редко удается. Обыкновенно получается непривлекательная пятнистость, уместная и неизбежная в рисунке, но недопустимая на чертеже. Чертеж всегда должен выглядеть нарядным, чистым, ровным, строгим. Совсем не беда, если чертеж исполнен карандашом. Карандашный чертеж можно сделать очень аккуратно и он будет выглядеть прекрасно. Так как школьники первой ступени, особенно сельских школ, вряд ли будут обладать рейсфедерами, а с помощью обыкновенного пера слишком трудно обвести чертежные линии чернилами, то придется ограничиться карандашным исполнением чертежа, но, повторяю, следует требовать величайшей тщательности исполнения. Если учащиеся обнаружат стремление раскрашивать диаграммы, то лучше всего пользоваться разноцветною бумагою, вырезывать из нее (после соответственного чертежа на обратной стороне) необходимые полосы или фигуры и наклеивать последние на вычерченную диаграмму, для которой следует выбирать в таком случае бумагу потолще. Наклеивать надо свежим клейстером, хорошо разглаживать и высушивать под прессом.

Черт. 10.

Учащиеся должны составить несколько таких прямолинейных диаграмм, чтобы овладеть пониманием дела и техникою исполнения. Но длительное занятие одним и тем же, а главное—при однообразии внешней формы, может прискучить. Я высказал уже желательность разнообразия внешнего вида диаграмм, а теперь приведу несколько примеров таких форм, которые еще не надоели и вместе с тем просты в смысле исполнения. Вот мы имеем (черт. 10) диаграмму времени рождения и смерти русских классиков, писателей и поэтов. Я не претендую на полноту этого списка, я пользуюсь только теми данными, которые я сам собрал. Благодаря миллиметровой бумаге, на которой вычерчена диаграмма, мы легко можем распознать годы рождения и смерти каждого из перечисленных писателей; например, не трудно усмотреть, что Л. Толстой родился в 1828 г. и умер в 1910 г. Исследование диаграммы позволяет решить много интересных вопросов, из которых упомяну следующие: 1) с кем из писателей и поэтов мог видеться А. П. Чехов по окончании курса гимназии (или университета)? 2) какие десятилетия прошлого века надо считать временем наибольшего расцвета русской поэзии? Диаграмма дает материал и для легких арифметических подсчетов: кто жил дольше всех, какова средняя продолжительность жизни всех поименованных лиц и т. д.

Указанный тип диаграммы очень удобен для наглядной записи работ по огороду, если мы по тому же плану отметим, когда посеяно какое растение, когда оно взошло, когда созрело или взято с огорода и т. д.

На следующей диаграмме (черт. 11), которую я заимствовал из книги С. Н. Жаркова „Метеорологические наблюдениявшколе“, 2-е изд., Гос. Изд., Москва, 1923 г., стран. 228, рис. 77, изображена так называемая „роза ветров“. Здесь от центральной точки отложены в 8 направлениях, основных по отношению к странам света, отрезки, длины которых про-

Чорт. 11.

порциональны числам, указывающим средние числа наблюденных направлений ветра. Наблюдения делались 3 раза в день и из наблюдений в течение многих лет получились для декабря те средние числа, которые надписаны. Дробные числа получились потому, что они являются средними за несколько лет. Диаграмма сразу обнаруживает, что преобладающее направление ветра в декабре отмечается юго-западным сектором.

Такой внешний тип диаграммы подходит для изображения разнообразных статистических данных, например:

Сравнительная частота смертных случаев в СССР, по месяцам года.

январь 96 май 87 сентябрь 88

февраль 84 июнь 123 октябрь 84

март 96 июль 158 ноябрь 82

апрель 89 август 120 декабрь 93

Для построения соответственной диаграммы придется провести из одной точки 12 лучей, образующих друг с другом одинаковые углы; для этого следует провести сначала две взаимно перпендикулярные прямые, а затем разделить каждый из образовавшихся прямых углов на 3 равные части; это деление можно произвести или известным циркульным построением, или с помощью транспортира.

Диаграмму, подобную розе ветров (черт. 11), можно вычертить в городской школе большого города, собрав сведения, в каком направлении от школы проживают учащиеся данного класса или, еще лучше, всей школы. Для этого учащиеся рассматривают план города и находят места школы и своего дома; каждое показание записывается, а потом подводятся итоги.

В третьей возрастной группе возможны круговые диаграммы. Для построения их очень удобен процентный транспортир, т.-е окружность, разделенная на 100 равных частей. Такие транспортиры стали появляться в новых книгах, например в книге В. В. Добровольского: „Графический метод в школе“, Гос. Изд. Москва, 1924 г., в моей книге „Пособие по математике для 1-го года сельской школы II ступ.“, Гос. Изд. Москва, 1925 г., и др. Массовое производство процентных транспортиров, при очень дешевой продажной цене, предприняло Госманапо (Гос. мастерские наглядных пособий, Москва, здание Политехнического музея). С помощью процентного транспортира очень легко и прочесть и составить круговую диаграмму, причем для составления ее надо сделать перевод данных чисел в процентные отношения.

Допустим, что мы хотим изобразить распределение животных в сельском стаде, зная, что в нем 58 лошадей, 97 коров, 170 свиней и 248 овец. Так как в стаде всего

58+97+170+248=573 голов, то число лошадей составляет 1^=0,10 = 10%, число коров ~=17%, свиней ^ = 30% и овец —=43°/0. Поверка: 10-f-l 7+30+43 = 100. В таких вычислениях нет смысла вычислять доли процента, так как на маленьком круге дуга, равная 0,01 всей окружности, едва видна; надо округлять до целых единиц процента и потом проверить общий итог: он должен равняться 100. Накладываем вычерченный нами круг на процентный транспортир так, чтобы центры кругов совпали; отмечаем точками на нашем листе бумаги нужные деления транспортира, приставляем линейку к одной из точек и к центру и проводим соответственный радиус в нашем круге. Таким образом мы проведем несколько радиусов, которые разделят наш круг на секторы; длины дут и площади секторов будут пропорциональны намеченным числам, в данном случае 10, 17, 30 и 43. Само собою разумеется, что построению круговых диаграмм должно предшествовать знакомство с вычислением процентных отношений.

В третьей же группе возможно чтение и построение простейших графиков, а в четвертой группе можно заняться этим делом несколько основательнее и ознакомить учащихся с интерполированием и экстраполированием.

График следует вычерчивать или на бумаге, разлинованной в квадратную клетку, или, еще лучше, на миллиметровой бумаге. Последняя должна сделаться очень ходовым школьным пособием. Учащиеся первой ступени не сумеют сделать хорошую линовку для графика, они должны пользоваться готовою, отчетливою линовкою, так как иначе получится плохой чертеж и, следовательно, профанация графика.

На графике по горизонтальному направлению обыкновенно откладываются одинаковые промежутки времени, а по вертикальному направлению величины, пропорциональные числовым значениям исследуемой величины, соответствующим данному моменту времени. Следует иметь в виду, что масштабы для величин по горизонтальному и по вертикальному направлениям могут быть различными, так как эти величины разнородные. Например, если мы исследуем изменение температуры воздуха по часам суток, то мы имеем здесь дело с двумя величинами: температура и время, которые меряются различными единицами; поэтому мы можем откладывать на чертеже промежутки времени в одном масштабе, а температурные изменения — в другом. Тот же пример раз'ясняет нам то, что на графике, при соединении соседних вертикальных отложений, получается резко выраженная ломаная линия, когда эти отложения далеки одно от другого,

т.-е. когда горизонтальные промежутки велики; наоборот, линия, выявляемая графиком, тем более приближается к кривой, чем меньше промежутки времени. Если мы измеряем температуру больного два раза в сутки (утром и вечером) и наносим показания термометра на клетчатую бумагу, то получаем график в виде резкой ломаной. Но самопишущий прибор, отмечающий непрерывно температуру воздуха, вычерчивает более или менее плавную кривую.

Составлению графика, так же как и по отношению к диаграмме, должно предшествовать чтение и исследование готовых графиков. Учителю следует добыть или заготовить несколько показательных графиков. Привожу для образца следующие графики, которые следует скопировать на больших листах, в сильно увеличенном виде, чтобы было возможно демонстрировать в классе.

На черт. 12 имеем ход температуры больного воспалением легкого. Очень наглядны резкие повышения температуры

Черт. 12.

в день заболевания и падение на седьмом дне; это падение, как начало выздоровления, называется благоприятным кризисом. Чтение графика состоит в переводе чертежа на табличную запись температуры. Сличение графика с таблицею приводит к бесспорному заключению, насколько графическое изображение нагляднее и яснее характеризует изучаемое явление.

На черт. 13 мы видим нормальный суточный ход силы ветра при хорошей погоде летом по наблюдениям в Ленинграде (из книги С. Н. Жаркова: „Метеорологические наблюдения в школе“, 2-е изд., Гос. Изд., Москва, 1923 г., стр. 177, рис. 60). По горизонтальному направлению отложены промежутки времени по 2 часа, при чем начало суток (полночь) отмечено цифрою 0, полдень—числом 12 и начало следующих суток—числом 24. По вертикальному направлению указана сила ветра, измеренная скоростью движения воздуха; скорость обозначена числом метров в секунду. График показывает, что воздух спокойнее всего (надо помнить, что речь идет о хорошей погоде летом) в ночные часы от 4 до 6 часов и имеет наибольшее движение от 14 до 16 час, т.-е. от 2 до 4 час. дня. Этот график йадо также перевести на числовую таблицу; я еще вернусь к нему, так как он весьма удобен для интерполирования.

Черт. 13.

Для построения третьего показательного графика я рпиведу только числовые сведения, так как самое построе-

ние, после вышеприведенных примеров, не может причинить учащим серьезных затруднений. Средние месячные температуры воздуха в Москве по наблюдениям за 35 лет с 1872 г. по 1906 г. выражаются следующими числами градусов Цельсия.

январь —9,5 май -+14,9 сентябрь... +8,4

февраль —7,9 июнь -j-18,1 октябрь....

март —1,4 июль +18,9 ноябрь —4,3

апрель -J-7,8 август +14,4 декабрь —9,7

График, который получится, имеет значение в двух отношениях. Во-первых, температуры будут отложены вверх и вниз от нулевой горизонтальной черты, и мы увидим наглядное изображение положительных и отрицательных чисел. Во-вторых, этот график будет интересно сличить с тем, который получится на основании школьных наблюдений. Пользуюсь случаем настойчиво рекомендовать учительству организацию метеорологических наблюдений, тем более, что они выдвинуты на видное место программою ГУС'а. Эта организация, благодаря неоднократно цитированной мною прекрасной книге С. Н. Жаркова, значительно облегчается; книга обстоятельно указывает, какие ценные наблюдения могут делать школьники, даже нерасполагаяприборами. Но термометр, хотя бы и недорогой, должен быть в числе обязательных школьных пособий. Учитель обязан принять все зависящие от него меры, чтобы школа обладала термометром. Если органы снабжения не дают самого термометра или денег на его приобретение, то надо найти местные средства, хотя бы путем обложения родителей учащихся. Как производить наблюдения — я отсылаю читателя к книге С. Н Жаркова и в дальнейшем буду предполагать, что наблюдения ведутся регулярно, изо дня в день, записываются и на основании записей вычисляются между прочим средние месячные температуры и средняя годовая. Когда многие школы в различных местностях соберут такой материал за несколько лет, то государство получит неоцененные данные для изучения климата того или иного района. Каждому должно быть ясным, насколько важно знание местного климата в земледельческой стране; а мы, к нашему стыду, этого не знаем и продолжаем относиться небрежно к вопросу первостепенной важности. Если старая школа не сумела завести правильные метеорологические наблюдения, то игнорирование их новою школою будет непростительным грехом. Кроме общегосударственного значения метеорологических наблюдений, они важны и в учебном отношении; они дают богатейший материал для разного рода действительно жизненных и математически разнообразных задач. И вот, говоря о построении графиков, мы столкнулись вплотную с метеорологическими наблюдениями, особо ценными для обсу-

ждаемого вопроса. Наблюдения, сделанные учащимися, необходимо использовать для построения графиков. Кроме того, следует брать разного рода обществоведческий материал, например, рост населения, промышленности, транспорта и т. д. Построение каждого графика требует серьезных арифметических расчетов и чертежного искусства; мы усматриваем, что в одном деле сливаются математика, изобразительное искусство и вопрос из естествознания или обществоведения, так что в общем получается безыскусственный и действенный комплекс.

График не только дает нам наглядное изображение изменения исследуемой величины, он позволяет нам вычислять, с достаточною приблизительностью, некоторые неизвестные значения той же величины, заключающиеся между двумя известными значениями той же величины; такое вычисление промежуточного значения между двумя данными называется интерполированием. Оно может быть произведено и без чертежа, т.-е. без графика, простыми арифметическими расчетами. Допустим, например, что нам известно, что в одном городе в 1910 г. было 49 тысяч жителей, а в 1920 г. было 56 тысяч жителей, и что население этого города непрерывно увеличивалось; сколько жителей было в том же городе в 1917 году? Мы получим ответ на основании следующих рассуждений. За промежуток времени с 1910 по 1920 годы, т.-е. за 10 лет, население города увеличилось на 56 — 49 = 7 тысяч человек, следовательно в течение одного года население увеличивалось в среднем на 0,7 тысячи, а поэтому за промежуток с 1910 по 1917 годы, т.-е. за 7 лет, увеличение равно 0,7. 7 = 4,9 тысячи, или, округляя до целых единиц, 5 тысячам. Итак, в 1917 г. население города было 49 -|- 5 = 54 тысячи. Ясно, что этот ответ приблизительный. Неточность ответа происходит, конечно, не от того, что мы округлили число 4,9 до 5, а от того что мы предполагали, что население города увеличивалось равномерно из года в год, иначе говоря, увеличивалось по закону прямой пропорциональности, чего на самом деле не бывает. Если величина изменяется по закону прямой пропорциональности, то график величины представляет собою прямую линию; при другом законе изменения получается кривая линия. Но очень короткая дуга всякой кривой линии мало отличается от прямолинейного отрезка, и мы часто на практике отождествляем, без видимой ошибки, малую дугу кривой с прямым отрезком. Например, когда мы стреляем из ружья в близкую цель, мы прицеливаемся так, как будто пуля полетит по прямой линии; на самом же деле пуля двигается по кривой линии (параболе), но короткая дуга такой параболы почти совпадает с прямолинейным отрезком. Если же целятся из ружья на далекую дистанцию,

то приходится учесть кривизну пути пули; известно, что на военных винтовках есть особая поднимающаяся мушка для далекого прицела. Из приведенного примера становится понятным, что вычисление промежуточной величины тем хменее надежно, чем дальше друг от друга крайние значения величины, между которыми мы интерполируем.

Интерполирование значительно облегчается графиком. Вернемся к черт. 13, на котором изображен суточный ход силы ветра; допустим, что этот чертеж составлен на основании наблюдений, производившихся через каждые два часа, именно в четные часы. Тогда очевидно, что для того, чтобы узнать, какова была сила ветра в промежуточные часы, например, в 19 час. или в 7 час. вечера, надо провести к горизонтальной прямой, на которой обозначены часы, в точке, отмечающей 19 часов (на средине между 18 и 20), перпендикуляр до встречи с кривою. Этот перпендикуляр, как видно из чертежа, встретит кривую линию на высоте, обозначенной слева числом 4,5. Итак, в 7 час. вечера сила ветра была равна 4,5 метра в секунду.

Предлагаю составить график роста народонаселения в России по следующим данным:

и узнать, с помощью графического интерполирования, число миллионов жителей для некоторых годов, не значащихся среди приведенных данных, например, в 1825, 1861, 1877 годах и др.

Интерполирование между узкими пределами приводит к удовлетворительным в смысле приблизительности результатам и поэтому широко практикуется при разного рода калькуляциях. Обратимся теперь к экстраполированию, т.-е. к определению значения исследуемой величины, находящегося вне данных, или известных значений. В этом случае мы не знаем дальнейшего хода изменения величины, мы делаем более или менее вероятное предположение; в переводе дела на график мы имеем кривую, обрывающуюся в какой-либо точке, и хотим продолжить эту кривую. Но как она пойдет, мы не знаем; мы можем только делать предположения, основанные на изучении наличного хода кривой. Рассмотрим, например, черт. 14, изображающий рост населения некоторого города; числа, помеченные в левой стороне чертежа, указывают число тысяч жителей. Сколько жителей будет в этом городе в 1930 г.? Кривая (сплошная) остановилась, как

видно, на точке, показывающей, что в 1924 г. в городе числилось 49 тысяч жителей. Как пойдет кривая дальше?

Черт. 14.

Предполагаем, что до 1930 г. в городе не случится таких экстренных обстоятельств, которые изменят ход роста населения, наблюдавшийся до сих пор. Тогда мы можем продолжить кривую (это сделано на чертеже пунктиром) сообразно ее предыдущему течению и найдем, что в 1930 г. число жителей достигнет, вероятно, 58 тысяч. Способ получения этого числа и называется экстраполяцией; она всегда более или менее гадательна, но другого способа нет, когда мы хотим сделать наиболее вероятное предсказание. Такого рода вычисления безусловно необходимы и неизбежны при планировании всякого хозяйства во всяком масштабе. Развивая промышленность, сеть железных дорог, школ и т. д., государственные деятели должны производить много вычислений, основанных на экстраполяции имеющихся данных. Школьники, изучающие государственное хозяйство, начиная от его основной ячейки—крестьянского двора, через волость, уезд, губернию и т. д. должны познакомиться с методом предсказаний при составлении графиков. Это занятие вполне доступно учащимся четвертой группы и легко может быть связано с различными обществоведческими темами и подтемами.

VIII. Математические игры и развлечения, числовые курьезы.

Игры, содержащие арифметический, комбинаторический, геометрический и вообще математический материал, могут служить превосходным пособием для обучения детей математике. Особая ценность такого пособия состоит в том, что учащиеся, играя, не замечают, что упражняются в математических навыках; игра более свойственна детскому возрасту, чем учоба, и вызывает максимальную активность со стороны учащихся. Игры должны быть использованы в школе по двум соображениям. Первое то, что игры, организуемые школою, делают менее заметным переход ребенка от абсолютно вольного режима к школьному и представляют собою ценное педагогическое средство; а второе—то, что школа, культивируя образовательные игры, благотворно повлияет и на взрослых членов семьи учащегося. В нашей глухой деревне дети играют в бабки, чижика, лапту, городки; эти игры имеют лишь спортивное значение, как движение на открытом воздухе; образовательный элемент отсутствует. Взрослые не знают других игр, кроме азартных карточных. О разумной, интересной и совместной игре взрослых и детей говорить не приходится; это явление, весьма распространенное в европейских государствах, вовсе не наблюдается у нас. Между тем об'единение всех членов семьи в часы досуга веселою увлекательною игрой внесло бы культурную струю в деревенский быт. Школа может помочь этому, прививая детям хорошие игры, например, avanti или рич-рач, в которых материальный интерес отсутствует, но имеется безобидный азарт, способный увлечь и взрослого.

К сожалению, хороших, образовательных игр изобретена немного и, кроме того, они редко встречаются на рынке игрушек. Государство должно организовать издательство математических игр, привлечь к редактированию таких игр компетентных лиц и установить щедрое поощрение изобретателей новых игр, заслуживающих одобрения с педагогической точки зрения.

Перехожу к перечислению и критике известных игр, при чем делю их на две категории: игры коллективные и игры в одиночку, обычно называемые головоломками.

Игры коллективные.

1. Домино следует признать отличною игрою для дошкольников и школьников первой группы, так как оно содержит элементы комбинаторики, геометрических фигур и упражняет в усвоении чисел от 1 до 6 по зрительным образам (фигурные числа Песталоцци). Игру можно ограничить процессом составления цепи открытых шашек; тогда выигрыш определяется только освобождением от имеющихся на руках шашек и игра не содержит элемента счета. Но во второй половине первого года можно ввести в игру счет, оценивая проигрыш по числу очков оставшихся на руках шашек; этот счет можно усложнить условиями, что шашка, содержащая в одной из половин пустышку, оценивается двойным числом очков на второй половине и что наличность у одного из проигравших двойной пустышки увеличивает весь проигрыш вдвое. Геометрический элемент игры может быть усилен требованием складывать фигуру определенной формы, например, в виде квадрата или прямоугольника или греческого орнамента и т. д. Домино удобно тем> что легко изготовляется домашними средствами, например, из толстого картона; каждая шашка должна иметь форму двойного квадрата. Заслуживает особого внимания домино, в котором вместо шаблонных круглых очков делаются художественные рисунки предметов, вызывающих представление об определенном числе (глаза вместо числа 2 и т. п.). Следовало бы об'явить конкурс на составление такого художественного домино и затем широко размножить премированную модель. Игра усложняется и приобретает большую математическую ценность, если прибавить число шашек, сделав старшую не 6/6, а 9/9. Существует еще интересный в счетовом отношении вариант игры в домино, при старшей шашке 6/6, когда к свободному концу шашки приставляется новая так, чтобы сумма очков на прикладываемых друг к другу половинках была равна 7. К пустышке прикладывается только пустышка. Этот вариант почему-то называется „козырное домино“.

2. Арифметическое лото, состоящее из 3-полосных карт с числами от 1 до 90, размещенными по 5 чисел в каждой полосе, упражняет играющих только в чтении и ВЫ1 оваривании однозначных и двухзначных чисел и совершенно не содержит элемента счета. Поэтому такое арифметическое лото не представляет собою большой ценности в образовательном отношении и может служить в первой возрастной группе лишь пропедевтическим упражнением в знакомстве с двухзначными числами. Лото легко может быть изготовлено домашними средствами. Необходимо, чтобы шашки с обозначенными на них числами были одинаковой

формы и размера, иначе равновероятность извлечения из мешка той или другой шашки будет нарушена. Что же касается изготовления карт, то расстановка на них чисел может быть произвольною. Число карт, исчерпывающих все комбинации, огромно и равно числу сочетаний из 90 элементов по 15.

3. Игра в крестики, состоящая из заполнения крестиками клеток квадратной фигуры и подсчета числа занятых клеток по горизонтальному, вертикальному и диагональным направлениям, достаточно содержательна в отно шении счета и заслуживает внимания для второй группы. Геометрический элемент в игре ничтожен и даже исчезает, если клетчатая фигура, крестики и зачеркивание делаются небрежно. Недостатком игры следует признать ее скучноватость и еще более то, что в процессе игры требуемая фигура делается от руки, небрежно.

4. Игра в „извощика“ вряд ли может быть причислена к математическим и не заслуживала бы упоминания, если бы не встречалась в методических указаниях (И. И. Грацианский. Первые шаги). Числа, отмечающие пункты, между которыми совершается путаное передвижение, имеют значение не арифметическое, а лишь знаков отличия или названия пунктов. Траектории движения безусловно неинтересны в геометрическом отношении. Комбинаторика отсутствует. Остается упражнение в своеобразной смекалке, которое по недоразумению попадает в математический инвентарь методических пособий. Оставив в стороне математику, следует воспользоваться случаем для указания на отрицательную сторону трактуемой игры, так как бедность ее замысла и процесса позволяет играющим делать небрежный чертеж, между тем как азбука педагогики запрещает всякую небрежность. Затем читателю может показаться странным и мелочным с моей стороны обращение внимания на всегда возмущающее меня явление — выдирание листка бумаги для такой игры. Манеру вырывать бумагу из тетради для случайных надобностей я могу назвать только отвратительною.

5. Avanti (итальянское слово: вперед). Эта превосходная игра встречается и теперь среди продажных лото под разными названиями: цирк, козел и т. д. Большой картон, в продаже сложенный вчетверо и по размеру равный развернутому листу бумаги, разделен на 120 одинаковых клеток (черт. 15), расположенных в 10 рядов и перенумерованных так, как указано на черт. Каждый играющий получает шашку определенного цвета или формы. Число играющих не должно быть велико, не более 6, так как иначе каждому приходится долго ждать своей очереди. Игроки выбрасывают две обыкновенные игральные кости, т.-е. два

Черт. 15.

одинаковые кубика, на гранях которых отмечены фигурным способом или цифрами числа от 1 до 6. Сумма чисел, вскрывшихся на верхних гранях костей, определяет, на сколько клеток подвигается вперед шашка игрока. Выигрывает тот, кто раньше достиг клетки 120. Интерес игры и безобидный азарт получаются от под'емов и падений шашки на карте, так как некоторые клетки соединены восходящими линиями, а другие нисходящими. Игрок, ставший, например, на клетку 32, поднимается на клетку 93, или ставший на клетку 103 опускается на клетку 22. Таким образом непрерывного движения нет; движение капризно, и игрок, опередивший других, может в следующую очередь оказаться сзади всех. Игра может быть изготовлена домашними средствами; места и вышина под'емов и спусков могут быть расположены произвольно, но желательно разнообразно и так, чтобы общее число под'емов было равно числу спусков. Необходимо добавить условие, что попавший на верхнюю строку подвигается по ней после выбрасывания только одной кости и что выигрышную клетку 120 нельзя перескочить, т.-е., например, стоящий на клетке 116 может выиграть одним ударом, лишь вскрыв на кости число 4. Если вскроется больше, то делается отражение от клетки 120 назад. Таким образом стоящему на пороге выигрыша приходится иногда долго ждать счаст-

ливого вскрытия подходящей грани. Эта игра, доступная учащимся второй группы, способна увлечь и взрослых: так забавны капризы передвижения.

6. Лото Архимеда. Так назвал я игру, придуманную мною для упражнения детей второй группы в таблице умножения. Делаются 5 карт, на которых изображены числа: 1) 16, 28, 32, 40, 45, 54 и 72; 2) 24, 25, 30, 35, 36, 42 и 56; 3) 20, 28, 36, 40, 48, 49 и 63; 4) 24, 30, 35, 45, 54, 64 и 72; 5) 20, 32, 42, 48, 56, 63 и 81. Играющих 5, и каждый получает по карте и по 7 шашек для покрытия чисел на карте. Игроки выбрасывают по очереди две кости, т.-е. два одинаковые кубика, на гранях которых изображены числа: 4, 5, 6, 7, 8 и 9; вскрытые на верхних гранях числа перемножаются, и если полученное произведение имеется на карте играющего, то он закрывает это число, если же полученного произведения нет на карте, то очередь игрока пропадает безрезультатно. Каждый игрок закрывает числа только в своей очереди, так что владелец третьей карты (см. выше) не закрывает числа 48, если владелец первой карты выкинул 6X8. Выигравшим считается тот, кто раньше закроет все числа своей карты; число очередей выбрасывания костей должно быть одинаковым для всех игроков. Математический недочет игры состоит в том, что не все карты равноценны, так как вероятность получения в произведении 36 больше, впрочем, на ничтожную величину, других чисел.

7. Прыжки до 100 0. Так назвал я игру для упражнения учащихся второй группы в таблице умножения и в сложении до 1000. Число играющих не более 5—6, так как иначе каждому придется долго ждать своей очереди. Играющие выбрасывают два одинаковые кубика, на гранях которых изображены числа от 4 до 9 включительно; числа на вскрытых гранях перемножаются, и игрок записывает полученное произведение. В следующую очередь тот же игрок прибавляет новое произведение к предыдущему и т. д. Число очередей у всех игроков должно быть одинаковым. Выигрывает тот, кто раньше достигнул числа 1000, а если в п-ой очереди несколько игроков превзошли 1000, то выигрывает тот, у кого получилось большее число.

8. Бросание мешка. Игра хороша тем, что число играющих может быть большое; весь класс может принять участие. Все играющие делятся на две партии. Необходимо сшить мешочек из плотной материи, насыпать чистого, сухого песка так, чтобы вес мешочка был равен приблизительно V2 килограмма, и хорошенько зашить мешочек. Игра происходит в зале или в просторной классной комнате, где на полу много свободного места. На полу вычерчиваются мелом, привязанным к бечевке, три концентрические окружности,

радиусы которых последовательно равны приблизительно 50, 75 и 100 центиметрам. Играющие становятся на расстоянии 4—5 метров (это расстояние может быть по желанию увеличено или уменьшено) от наружной окружности и бросают мешок, стараясь, чтобы он лег во внутреннем круге. Место, откуда производится бросание, отмечается на полу меловою чертою. Жребием устанавливается, какая партия начинает, но в дальнейшем каждая партия имеет одинаковое число бросаний мешка; сначала бросает первый игрок первой партии, за ним первый игрок второй партии, потом второй из первой партии и т. д. Если мешок ляжет во внутреннем круге, то партия присчитывает себе 3 очка; если мешок ляжет во внутреннем кольце—2 очка, если в наружнем кольце—1 очко; если мешок окажется вне большого круга, то партия теряет 2 очка; если же мешок ложится на черту внутренней окружности, то присчитывается 2 очка; на черту средней окружности—1 очко, на черту наружной окружности—удар пропадает безрезультатно. Каждый игрок действует в пользу своей партии и выигрывшею считается та, которая собрала за определенное число очередей больше очков. Заинтересованность обеих партий заставляет всех участников считать. В отношении счета игра доступна младшей группе. Но ее можно использовать и в других возрастных группах, заменив основные числа 3, 2 и 1 любою другою тройкою чисел, например, 6, 4 и 2 или 15, 10 и 5 и т. д.

9. Бросание кольца. На наружной стене дома ввинчиваются на одинаковых расстояниях друг от друга крюки или вбиваются наклонные втулки; число крюков или втулок произвольно, но не более 12. С расстояния 3—4 метра от стены бросается железное или сплетенное из ивы кольцо так, чтобы оно повисло на крюке или на втулке; в этом случае партия присчитывает себе столько очков, сколько написано под крюком или втулкою; подписанные числа могут быть произвольными. Порядок игры такой же, как и предыдущей. Игра при соответсвенном подборе чисел доступна любой возрастной группе и проходит оживленно, развивая одновременно меткость руки и глаза.

10. Рич-рач, или тише едешь, дальше будешь. Делается квадратная картонная доска размером приблизительно в развернутый лист бумаги; на карте вычерчивается фигура, изображенная на чертеже, при чем удобно сделать одинаковые кружки, обводя карандашом двугривенный. Некоторые кружки, как указано на черт. 16 одинаковыми метками, надо раскрасить одною и тою же краскою, всего понадобится 4 цвета. Тех же цветов делаются по 4 шашки, устанавливаемые на местах в стороне от крестовины. В игре участвуют 4 человека. Требуется одна игральная кость, т.-е. кубик, на гранях которого обозначены числа от 1 до 6.

Черт. 16.

Каждая шашка входит на крестовину только в том случае, если кость вскрыла 1 или 6, а затем подвигается вперед, держась левой стороны, по наружным кружкам крестовины, пока не обойдет ее кругом и не выйдет в свой внутренний ряд. Выиграл тот, кто раньше других проведет свои 4 шашки кругом в свой ряд. Шашка подвигается вперед на столько мест, сколько очков вскрылось на кости. Если шашка должна стать на кружок, уже занятый чужою шашкою, то последняя сбивается с места и возвращается на первоначальное положение в стороне от крестовины, откуда может снова начать полный обход, когда кость вскроет 1 или 6. Игрок может подвигать вперед любую из тех своих шашек, которые уже стоят на крестовине. Вскрытие на кости числа 6 дает право на повторное бросание кости. Игра доступна младшей возрастной группе и, подобно игре Avanti, дает много оживления, способного заразить и взрослых.

11. Продовольственная лавка. Игра может занять большое число детей и повторяться при перераспределении ролей между играющими. Необходимо заготовить: 1) предметы, которые изобразят в игре продовольственные продукты, например: песок—вместо муки, шишки—карто-

феля, камешки—сахара и т. д.; 2) весы с гирями, лучше 2—3 весов и несколько комплектов гирь. Весы и гири можно изготовить домашним способом, а взвешивать способом тарирования (см. главу о метрологии); 3) листочки бумаги, лучше разноцветные, для обозначения денежных знаков. Играющие распределяют между собою роли приемщиков товара, продавцов, покупателей, контролеров, кассира и ревизоров. Производится учет товара, затем продажа его покупателям; контролеры составляют счета, кассир принимает деньги, ревизоры проверяют счета, кассу, и в заключение производится учет оставшегося товара и составляется отчет. Игра весьма богата разнообразным счетовым материалом и наиболее подходит для второй возрастной группы, давая подготовку к пониманию реальных операций кооперативной лавки.

12. Шашки и шахматы почти не содержат математического элемента, но, благодаря упражнениям в комбинаторике, заслуживают серьезного внимания. Труднейшая из всех игр — шахматы — отличается особым благородством и далека от материальных расчетов. Чтобы сделаться хорошим шахматистом, надо ознакомиться с игрою возможно ранее. Дети в возрасте 7—8 лет отлично усваивают ходы шахматных фигур. Не следует думать, что способности к шахматной игре и к математике тождественны; более того, выдающийся шахматист представляет собою зачастую весьма ограниченного человека и, наоборот, видный ученый или государственный деятель может оказаться посредственным шахматистом.

Что касается шашек, то эта сравнительно легкая игра имеет недурные варианты, как, например, игра в поддавки, в волки и овцы и т. д.

Игры в одиночку, головоломки.

1. Магические квадраты, т.-е. квадраты, состоящие из 9, 16, 25 и т. д. клеток, в которых размещаются числа 1 — 9, 1 —16, 1—25 и т. д. так, чтобы сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и в каждой из двух главных диагоналей была одна и та же и соответственно равна 15, 34, 65 и т. д., вообще 11 ] —, где п—число клеток в одной строке или в одном столбце. Выдающиеся по сообразительности учащиеся могут найти общее теоретическое решение магического квадрата.

Можно усложнять квадраты не числом клеток, а размерами чисел, например, задать квадрат из 9 клеток с расстановкою чисел от 18 до 26 так, чтобы суммы по строкам, по столбцам и по главным диагоналям были равны 66.

Вместо квадратов можно брать и другие фигуры, например, как изображено на черт. 17, где числа от 1 до 12 размещаются так, чтобы любые 4 числа, лежащие на одной прямой линии, и внутренние 6 чисел давали одну и ту же сумму, а именно 26.

2. Пифагорова головоломка встречалась в продаже среди игрушек и заслуживает самого широкого распространения. Деревянный или из толстого картона квадрат распиливается на 7 частей, как показано на черт. 18, а именно на 2 неодинаковые квадрата, параллелограмм и на 2 пары равнобедренных прямоугольных треугольников.

Из этих 7 кусочков складываются самые разнообразные и замысловатые фигуры, которые в отпечатанном виде прикладывались к коробочке с распиленным квадратом. Достаточно указать несколько образцов, а именно предложить сложить: 1) прямоугольник, 2) треугольник, 3) прямоугольную раму с квадратным отверстием внутри, 4) печатные большие буквы Г и Т, 5) крест. Упражнения этого рода доступны со второй возрастной группы, имеют непосредственное отношение к комбинаторике и довольно близкое к геометрии, так как при складывании фигур приходится иметь дело с симметрией их частей, с превращением фигур в им равновеликие и т. д.

3. Задача кон я—обойти конем всю шахматную доску, начиная с произвольной клетки — принадлежит к упражнениям исключительно комбинаторического характера. Но не лишнее вспомнить, что великий Эйлер занимался теорией этой задачи и дал ее решение. Учащихся заинтересовывает размещение стихотворения из 64 слов по слогу в каждой клетке шахматной доски с переходом от одного слога к другому ходом коня и расшифровывание подобной записи, заранее сделанной.

4. Расстановка 8 ферзей на шахматной доске так, чтобы ни одна ферзь не была под ударом другой, есть также комбинаторическое упражнение, доступное учащимся 1-й группы. Задача может быть упрощена расстановкой 4 или 5 ферзей на доске, содержащей соответственно 16 или 25 клеток.

5. Солитер — хорошее упражнение комбинаторического характера, но не может иметь широкого распространения вследствие затруднительности изготовления доски

Черт. 17.

Черт. 18.

с ямками и шариков домашним способом и дороговизны готового прибора.

6. Ханойская башня—отличное упражнение для детей 1-й группы и легко изготовляется своими средствами. На доске укрепляются отвесно, на некотором расстоянии друг от друга, 3 палочки. На одну из палочек надеваются просверленные в центре деревянные кружочки, диаметры которых заметно уменьшаются снизу вверх. Задача состоит из перенесения всех кружков с одной палочки на другую при соблюдении следующих двух условий: 1) не переносить за один прием более одного кружка и 2) снятый кружок переносить или на свободную палочку или же накладывать на кружок большего диаметра, но ни в каком случае не на меньший. Легко вычислить, что число перенесений кружков равно 2П—1, где п есть число кружков. Поэтому число кружков не должно быть большим. Вполне достаточно брать 8 кружков, так как в этом случае, для решения задачи, придется сделать 28—1 = 255 перенесений. Если же мы возьмем 9 кружков, то минимальное число перенесений <>УДет уже 29—1 = 511.

7. Такен, так же как и солитер, обязательно упоминается во всех книгах, касающихся математических развлечений. В квадратном ящичке или коробке укладываются вплотную 16 одинаковых квадратных шашек так, что лицевая поверхность шашки составляет Vie площади дна коробки. Шашки перенумеровываются числами от 1 до 15 включительно и одна остается пустою. Последняя удаляется из коробки, а, остальные перетасовываются и вновь укладываются в коробке так, чтобы в правом нижнем углу образовалось свободное место. Задача состоит в том, чтобы, не вынимая шашек из коробки, а только передвигая их в плоскости дна коробки за счет постоянно имеющегося свободного места, расположить шашки в последовательном порядке, т.-е. чтобы в четырех рядах коробки шашки легли в порядке нумеров: 1) 1, 2, 3 и 4; 2) 5, 6, 7 и 8; 3) 9, 10, 11, 12; 4) 13, 14, 15 и пустое место. Игра имеет разработанную теорию, которая, как и практика, показывает, что после легкой укладки первых 12 шашек задача неразрешима, если в последнем ряду оставшиеся три шашки оказались в порядке 13, 15, 14 или 14, 13, 15 или 15, 14, 13. Прибор для игры легко может быть изготовлен домашним способом. Игра, доступная детям даже 1-й группы, скучна и не имеет математической ценности.

8. Расстановка в очередь. Игра имеет несколько вариантов, названий и происходит яко бы из „исторических“ фактов.

1-й вариант (историк Иосиф). Расставить по окружности 40 белых кружков (шашек) и один черный так, чтобы, начав

отсчитывать с первого места по 3, выбрасывать третий кружок и т. д. и чтобы в результате на окружности остался только один черный кружок.

2-й вариант (христиане и магометане на корабле во время бури). Расставить по окружности 15 белых и 15 черных кружков так, чтобы, начав отсчитывать с первого места по 9, выбрасывать каждый девятый кружок и т. д. и чтобы в результате на окружности остались только черные кружки. Игра доступна детям 1-й группы, но скучна и бедна в математическом отношении.

9. Разрезная шахматная доска. Вычертить на картоне, раскрасить и вырезать 14 фигурок, изображенных на черт. 19. Задача игры — собрать из этих 14 фигурок шахматную доску. Прекрасное упражнение, доступное со второй возрастной группы, в отношении счета, геометрических и комбинаторических соображений. Задача совсем не так легка, как кажется. Решение ее следует записать с помощью соответственного чертежа.

Черт. 19.

10. Игры со спичками. Под таким заглавием была напечатана в 1912 г. Одесским издательством Матезис книжка С. Тромгольд. Очень хорошая книжка, содержащая много остроумных задачек, легко решаемых детьми первой группы и дающих материал для первоначального геометрического развития. Некоторые темы, встречающиеся в книжке С. Тромгольд, использованы в книге Е. Г. Шалыт „Наглядная геометрия“. Гос. Изд. 1923 г.

Изложенный мною список игр одиночных и коллективных далеко не полон. Я умышленно обхожу такие неинтересные игры, как, например, чет-нечет, Ним, и не считаю заслуживающими рекомендации все комбинации с колодою игральных карт, несмотря на то, что некоторые из них не лишены счетового элемента. Уж очень опошлено у нас

употребление игральных карт, сводящееся в конце-концов к безобразному денежному азарту. Придется отложить на долгое время, до культурного оздоровления наших массовых „развлечений“, использование карт для образовательной цели. Последняя должна быть руководящею в школьных начинаниях, а потому приходится действовать осторожно, чтобы не превратить безобидную игру во вредное, в социальном смысле, времяпровождение.

К математическим развлечениям в школе I ст. я отношу еще решение задач-шуток, задач-загадок и вообще забавных задачек. Я придаю очень большое значение элементу занимательности в младших школьных группах, но не разделяю направления Лезана, рекомендующего делать из элемента занимательности фундамент школьных занятий. Русская пословица: „делу время, а потехе час“, излагает верную и мудрую мысль; было бы большим извращением поступать по принципу „потехе время, а делу час“, но без „потехи“ детям обойтись нельзя. От поры до времени и в школьной обстановке дети должны встряхнуться, культурно позабавиться. Дети просидели добросовестно над вычислениями, несколько устали, и вот учитель предлагает, для оживления настроения, задачу-шутку. Очень хороший педагогический прием. Учащие могут найти большой арсенал забавных задач в книгах: Литцман. „Веселое и занимательное в числах и фигурах“. Издание Френкеля. Москва, 1923 г., Игнатьев. „В царстве смекалки“ I ч. Гос. Изд. 1924 г., Горячев и Воронец. „Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики“. Москва, 1903 г.

Рекомендуемые мною игры и развлечения я не связываю ни с какою комплексною темой, так как не строю на них системы школьного обучения. Я обращаю лишь внимание учащих, как между прочим использовать разумно, весело и небесцельно школьный и внешкольный досуг.

В главе о новых программах я высказал, что комплексное преподавание отнюдь не отрицает приобретения учащимися навыков, в том числе навыков в счете. Теперь я хочу показать, какими приемами можно оживить чисто-счетовые операции, вычисления над отвлеченными числами. Я предлагаю давать учащимся второй группы упражнения на отгадывание слов и фраз. Для этого перенумеруем наш алфавит, так, что каждой букве соответствует свое нумерное число:

Выберем для отгадки какое-нибудь слово, например, гроза. Этим буквам, в последовательном порядке, отвечают числа 4, 16, 14, 8 и 1. Составим пять строк на вычисления так, чтобы ответы в наших строках были равны этим числам, например:

(5.12) —(7.8)= 4 (91 :13)+ (72: 8) = 16 100 —69 —17 = 14 (24.3) —(16. 4) = 8 (27 + 37) — (28 + 35) = 1

Учащиеся, произведя вычисления, найдут последовательно числа 4, 16, 14, 8 и 1 и, справившись с алфавитом, отгадают задуманное слово. Вычисления такого рода проходят оживленно и приучают к аккуратному счету, так как всякая ошибка ведет или к искажению слова, или к несуществующему слову. Можно составлять таким образом небольшие фразы, можно предложить учащимся самим составлять такие примеры для отгадывания слов другими товарищами. Составление примеров учащимися вызывает повышенную активность и чувство ответственности счетовых выкладок.

В третьей и четвертой группах удобно использовать некоторые числовые курьезы для развития техники счета. Например, если обратить внимание учащихся на такую любопытную комбинацию: 122 = 144 и 212 = 441, и указать, что она. не единственная, учащиеся станут искать и, конечно, найдуг другие: 132= 169 и 312 = 961, 1022 = 10404 И 2012 = 40401 и др. Комбинация 6 . 21 = 126 влечет за собою искание подобных и открытие 3 . 51 = 153 и 8 . 86 = 688.

Деление 97524:10836 примечательно тем, что пятизначные делимое и делитель изображаются всеми цифрами, встречающимися лишь по одному разу, и тем, чтб получается целое частное 9. Учащиеся поищут и найдут новые подобные комбинации: 95823:10647 = 9 и 95742:10638 = 9.

Интересны следующие свойства чисел:

Указанные исследования приводят к интересным результатам, заинтересовывающим учащихся и побуждающим искать примечательные свойства чисел.

Заслуживают также внимания следующие комбинации:

32 + 42 = 52; 33 + 43 + 53 = 63; 113+ 123+ 133+ 143 = 203;

12345679.9= 111111111; 1 +23 + 45 + 67 + 89 = 225; 11. 13 + 352. 7 = 352352.

Более трудные соотношения:

28 + 59 -4- 61 = 31 4- 49 4- 68 и 282 + 592 4- 612 = 312+492+682 17 + 59 +68 = 28 + 37-4- 79 и 1?2 + 59* + 6g2 = 282+372+792 76479 = 3202 — 1612= 204 — 17 * = 106 — 314.

Изыскание любопытных свойств чисел в простейших приведенных примерах доступно подавляющему большинству учащихся и ведет к большой практике числовых операций, которая и имеется в виду для развития техники письменного счета. Трудные соотношения надо сообщать лишь избранным учащимся, обнаружившим повышенный интерес к числам; исследователи этого рода могут оказаться впоследствии сильными математиками.

Область простых дробей также открывает разные курьезы, которые удобно использовать для развития техники операций с дробями. Например, интересна древне-египетская манера разлагать дробь на сумму дробей с числителями, равными единице:

(из книги В. И. Лебедева „Как постепенно обобщалось понятие о числе“. Москва, 1917 г.).

Учащимся достаточно сообщить идею разложения дроби и показать 2—3 примера из указанных, а затем учащиеся сами найдут остальные разложения, для чего много поупражняются в сложении и вычитании дробей.

Интересны комбинации: 8у: 21 = ~; 65у: 92 = у.

Когда будет пройдено и хорошо усвоено сокращение дробей, не мешает показать один из трех следующих примеров: ^ = — , —=—, — = —у в которых верное сокращение дроби достигается беззаконным зачеркиванием по одинаковой цифре в числителе и знаменателе; учащиеся, проделав много упражнений, найдут и остальные два примера. Конечно, нужно им сказать, что показанный пример не единственный и что следует поискать еще подобных дробей.

IX. Некоторые частные вопросы преподавания арифметики.

В этой книге я совсем не касаюсь методики развития устных и письменных вычислений в пределах до 1000, так как этот вопрос прекрасно разработан давно и хорошо изложен, например, в книге А. И. Гольденберга „Беседы по счислению“. Тот же вопрос хорошо трактуется в новейших задачниках. Что же касается целых чисел любого размера, дробей и процентных отношений, то эти вопросы и раньше были разработаны слабее, а теперь приобрели усиленное значение. Осветить эти вопросы во всей их полноте я не имею возможности, так как тогда моя книга разрослась бы до огромных размеров. Я поэтому ограничусь пока немногими замечаниями, которые вызовут дальнейшую разработку дела.

1. Чтение и запись больших чисел. Я считаю серьезною ошибкою начинать курс III группы с общепринятого, в дореволюционных задачниках, чтения и записи больших чисел, так как это является нарушением принципа концентрического изучения чисел. Учащиеся второй группы оперируют с числами до 1000 и знают, следовательно, разряды: единицы, десятки и сотни. В третьей группе надо последовательно завоевывать каждый разряд и подбирать примеры и задачи так, что сначала появляются тысячи и, когда они усвоены, переходим к вычислениям с 5-значными числами, читаем десятки тысяч и т. д. Дальше дело идет само собою скорее, и учащиеся быстро усваивают сотни тысяч, миллионы, десятки и сотни миллионов. Миллиард—по-моему, последний разряд, на котором должна окончиться их систематизация. Упражнения в выговаривании чисел с большим числом цифр я считаю схоластическими. Следует заметить, что еще не существует международной договоренности относительно значения слов биллион, триллион и т. д. В 1871 году число 1000000000 называлось французами миллиардом, а немцами— биллионом, и это дало повод к серьзному недоразумению при переговорах об условиях мира, так как немцы потребовали 5 биллионов франков контрибуции (5000000000), а французы поняли по-своему это число так: 5000000000000. Не может быть авторитетного ответа на вопрос, что такое биллион: тысяча миллионов или миллион миллионов? Числа,

превышающие миллиард, не имеют большого жизненного значения. В статистических ведомостях, где речь идет о больших числах, числа округляются до целых миллионов или целых тысяч, так что размер числа сильно сокращается, а наименование изменяется. На вопрос: сколько угля добыто в 1912 г. в России, мы вполне довольствуемся ответом: 31,3 миллиона тонн. Ответ в виде „31298716 тонн“ нельзя даже признать удовлетворительным, так как даже сотни тонн при 31 миллионе тонн не имеют никакого значения; ответ в последней форме следует считать пустословием. Население государства мы оцениваем целым числом миллионов, население города—целым числом тысяч. Вообще при оценке чего-либо мы смотрим на старшие разряды числа. Учащихся следует приучить к такой оценке и к манере записывать ответ, после решения задачи с большими числами, в компактной форме. При таком подходе к делу отпадает само собою выговаривание экзотических чисел, чем в старину мучили учащихся. См. „великое число словенское“ в книге В. К. Беллюстина „Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики“.

2. Арифметические действия с большими числами. Я настойчиво рекомендую приучать к сложени ю двух или немногих слагаемых с левой стороны к правой; это особенно верно для устного счета [87 -f-74 = 80 -f- 70 -f-f-7+ 4 = 150+11 = 161]; это полезно и для письменных вычислений. Точно так же удобно производить вычитание, начиная со старших разрядов. Что же касается умножения и деления, то этот вопрос рассмотрен мною в главе о механизации счета. Здесь же я только замечу, что традиционные приемы арифметических действий вовсе не единственные и далеко не лучшие. Мы производим действия так, как нас учили, и учим так, как сами знаем. Если мы знаем единственный прием, например, умножения, то мы его и преподаем. Рекомендуя ознакомиться с названною выше книгою В. К. Беллюстина, я отмечаю одно из ее достоинств, состоящее в том, что автор сообщает много разных приемов действий. Читатель волен выбрать понравившийся ему прием и культивировать его в школе. Я лично предпочитаю индусский прием (см. главу о механизации счета) умножения нашему традиционному.

3. Признаки делимости. Признаки делимости на 2, 5, 4, 25 и 3 безусловно надо знать как для составления общего знаменателя данных дробей и сокращения дроби, так и вообще для разных соображений при вычислениях. Будучи сторонником концентрического построения всего курса математики, я полагаю, что признак делимости на 2 должен быть усвоен в первой группе вместе с разделением чисел на четные и нечетные. Признаки делимости на 5 и 3

легко могут быть усвоены во второй группе, при чем отыскание признаков достигается исследовательским или эвристическим методом. Тот же метод может быть применен в третьей группе для нахождения признаков делимости на 4,25 и 9. Частые упражнения во второй группе с делением двухзначных чисел на однозначные с остатком и без остатка должны открыть существование первоначальных чисел 11, 13,17, 19 ит. д. В третьей группе список первоначальных чисел может быть продолжен до начала третьей сотни известным способом Эратосфенова решета: пишется ряд всех чисел, без пропуска, от 1 до 300 или до другого предела, затем вычеркиваются все четные числа, как делящиеся без остатка на 2; присчитывая к числу 3 постепенно по три, мы вычеркнем все числа, кратные трем; присчитывая к 5 по пяти, мы вычеркнем все числа, кратные пяти и таким образом просеем, как через решето, все числа, кратные меньшим; в списке останутся лишь числа 1,2,3,5,7,11,13 и т. д., т.-е. первоначальные.

Признаки делимости на 7,11 и др. практического значения не имеют, непосильны в эвристическом отношении школьникам первой ступени и, следовательно, не должны загромождать собою программу по математике.

Разложение числа на первоначальные делители, нахождение общего наибольшего делителя и наименьшего кратного не заслуживают выделения в самостоятельную главу, как это делалось в дореволюционное время, когда производились

сокращения таких бессмысленных дробей, как -уу^Ц^“* или не менее бессмысленные сложения, в роде

i0_0 32359 | лл01 46439 , 64189 , коо. 131489

1873 87373 + 6421 П9П9 + 4845 U8379 + 5834 2755бТ

(Е. Д. Конашевич, „Сборник арифметич. примеров“. Часть II. Дроби, стр. 21—26).

Для операций с дробями, числители и знаменатели которых суть огромные числа, конечно, необходимы вспомогательные средства в виде разложения чисел на первоначальные делители и т. д. Но если мы согласимся ограничить курс простых дробей (здесь невольно приходится забежать вперед) самыми несложными дробями, то все вспомогательные операции сами собою отпадают. Поэтому я считаю возможным опустить нахождение общего наибольшего делителя и заниматься нахождением общего наименьшего кратного простым подбором только при сложении и вычитании дробей, только применительно к каждому отдельному случаю, но никак не самостоятельно без дальнейшей цели.

4. Простые дроби. Здесь приходится высказаться прежде всего по много раз дебатировавшемуся вопросу: с каких дробей следует начинать—с простых или десятичных? Было время, когда сторонники предварительного изучения

простых дробей считались консерваторами, а их противники либералами. Это было сплошным недоразумением; оно еще более очевидно теперь, когда концентрическое построение программы решительно и бесповоротно взяло верх над систематическим. В самом деле, уже в первой группе дети знакомятся с половиною, четвертыми и восьмыми долями; во второй группе делают сложение и вычитание простых дробей с знаменателями 2, 4 и 8, а также десятичных с знаменателями 10 и 100. Вычисление процентных отношений, вполне уместное в третьей группе, заставляет еще ближе познакомиться с долями 0,01 и даже 0,001. Таким образом учащиеся придут в четвертую группу с некоторым запасом знаний относительно дробей. А в четвертой группе с каких дробей начинать? Этот вопрос решается тем, что простые дроби изучаются только для всестороннего уяснения свойств дроби, но не для практических вычислений с ними, так как в деловых вычислениях простые дроби вытеснены десятичными. Существенные свойства дробного числа познаются, конечно, на простых дробях. Поэтому не может подлежать сомнению, что в четвертой группе должен быть пройден сначала курс простых и притом простеньких дробей с тем, чтобы перейти к калькуляциям со всякими десятичными дробями.

Понятия о дроби правильной, неправильной должны быть обстоятельно выяснены. Не менее важно раз'яснить понятие о дроби обращенной и, следовательно, о двух величинах, взаимно обратных. Дробь 3/5 (правильная) обратна по величине дроби б/3 (неправильная); дробь 72 обратна дроби 21х или целому числу 2; целое число 5 обратно дроби Vs. Не следует упустить из вида представления целого числа в виде дроби, например, з==6/о==15/5=18/6 и т. д. Исключение целого числа из неправильной дроби и обращение смешанного числа в неправильную дробь представляют собою также важные преобразования. Особое внимание должно быть обращено на свойство дроби сохранять неизменяемость величины при умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число; на этом свойстве построено сокращение дробей и приведение их к общему знаменателю при сложении и вычитании. При выяснении означенного свойства непременно следует показать на числовых примерах и наглядными иллюстрациями, что при других преобразованиях, например, при умножении или делении только числителя или только знаменателя или при прибавлении к числителю и знаменателю одного и того же числа, дробь изменяется по величине. Учащиеся должны отчетливо понимать, например, что -j——-\-^\ не-

равенство дано здесь в буквенных обозначениях, но учащиеся усваивают его на числовых примерах и формулируют словесно. Сокращение дробей производится на многочисленных примерах, но обязательно несложных. Более трехзначного числа в знаменателе никоим образом брать не следует, да из трехзначных чисел надо выбирать особо примечательные, как, например, 125, 144, 225, 256, 360 и т. п. Большинство примеров на сокращение дробей следует ограничить двухзначными знаменателями. Так как, для разгрузки курса от лишнего балласта, мы исключим разложение чисел на первоначальные множители и нахождение общего наибольшего делителя, то при сокращении дробей можно мириться с сокращением в несколько приемов. Например, если учащиеся не усмотрят сразу, что дробь 96/168 сокращается на 24, то пусть сокращают последовательно, хотя бы на 2, 2, 2 и 3. Необходимо достигнуть того, чтобы учащиеся производили все описанные операции с простыми дробями в уме; при этом члены дроби должны быть не более двухзначных чисел. Само собой разумеется, что операции с дробями следует производить, кроме того, письменно, но такие вычисления, как, например, 3l/3 = 10/3, 24/36 = 2/3, 25/6 = 41/6 и т. п. должны производиться быстро в уме.

Сложение и вычитание дробей всегда усваивается очень легко. Если встретится затруднение, то хорошо прибегнуть к методу графическому, излагаемому теперь почти во всех задачниках. Вообще же в четвертой группе прибегать к наглядным пособиям при изучении дробей можно только в тех случаях, когда учащиеся обнаруживают некоторую отсталость; в нормальных условиях пора поставить на очередь работу отвлеченной мысли. Этими словами я никоим образом не пропагандирую отвлеченного преподавания вообще. Я только отмечаю, что наступает такой момент, когда учащиеся уже могут обойтись без наглядности. Если в первой группе счет должен обязательно производиться на конкретных предметах, которые дети видят или осязают, то в третьей группе уже нет смысла обставлять наглядностью вычисление 357 + 269. В четвертой группе учащиеся еще взрослее, и чрезмерная наглядность, чем иногда педагоги излишне увлекаются, может быть оскорбительною.

В курсе дробей самым больным местом является умножение. Воздерживаясь от исторического обзора этого вопроса и от критики всех предлагавшихся определения умножения, вывода и об'яснения правила, я выскажу то, что не вижу другого выхода из трудного положения, как определить умножение дробей следующим образом: умножить одну дробь на другую — значит получить третью дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей и знаменатель которой тоже равен произведению данных

знаменателей. Здесь правило умножения включено в определение, но я лично не умею поступить иначе, так как все другие определения и об'яснения меня не удовлетворяют. Формулированное мною определение умножения я иллюстрирую учащимся графически. Пусть надо умножить 3/5 на 1/2- Из курса 3-й группы учащиеся знают, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон; поэтому умножение 3/5 на 7* сводится к нахождению площади прямоугольника, стороны которого суть 3/5 и У2, например, метра. Вычерчиваю по клетчатой бумаге (см. черт. 20) квадрат, стороны которого равны по длине 10 (наименьшее кратное данных знаменателей 5 и 2) клеткам, и этот отрезок считаю изображением метра. Тогда заштрихованный прямоугольник имеет площадь 3/5.1/2 квадр. метра и содержит 6.5 = 30 клеток. Квадратный же метр в избранном масштабе содержит 100 клеток. Таким образом получившийся прямоугольник составляет ,7^ = т^ части квадрата. Мы видим наглядно, что-5- ^ =5~2 = То* После такого показательного примера следует предложить учащимся сделать самостоятельно несколько подобных чертежей.

Когда выяснено умножение дробей, то об'яснение деления уже не вызывает затруднений. Так как деление есть действие, обратное умножению, то деление дроби:— на дробь ^ можно заменить умножением дроби у на дробь ^, обратную дроби -j-

Числовые примеры на умножение и деление простых дробей должны быть весьма несложные, но необходимо вводить в примеры и смешанные числа.

Нахождение части данного числа путем умножения его на дробь, несомненно, заслуживает проработки и не затрудняет учащихся. Обратная задача, т.-е. нахождение числа по данной его части, обыкновенно достается труднее, и я полагаю, что эту задачу следует ограничить в 4-й группе простейшими случаями, когда доля числа дается в виде правильной дроби, а самая часть — целым числом. Например, вполне возможны упражнения в роде: найти число, 2/з которого равны 16. Более трудные случаи, например: найти число, 12/5

Черт. 20.

которого равны 23/*, следует отложить, по моему мнению, до пятой группы, когда учащиеся познакомятся с составлением и решением уравнений.

5. Десятичные дроби. В них должен быть центр тяжести арифметического курса четвертой группы. По опыту знаю, что прохождение действий с десятичными дробями удается сравнительно легко.

Чтение и запись десятичных дробей должна итти так же концентрически, как целых чисел. Учащиеся в третьей группе уже познакомились с долями десятыми, сотыми и тысячными. Более мелкие доли познаются постепенно. Далее точного выговаривания миллионных долей итти не стоит. Если же встретится, например, дробь 0,0014306 (коэффициент линейного расширения бетона), то ее можно выговарить так: „нуль целых, а после запятой идут цифры: нуль, нуль, единица, четыре, три, нуль, шесть“. Необходимо добиться отчетливого понимания, как изменяется дробь при переносе запятой вправо или влево. Это необходимо для умножения и деления дробей.

Упражнения в действиях с десятичными дробями постепенно усложняются в отношении, так сказать, длины дробей с тем, чтобы учащиеся не боялись выкладок с любыми десятичными дробями. Деловые калькуляции зачастую имеют дело с длинными дробями, и поэтому техника операций с десятичными дробями должна быть хорошо развита в четвертой группе. Благодарным и жизненным материалом для действий с десятичными дробями является перевод русских мер в метрические и обратно.

Особого внимания заслуживает обращение простых дробей в десятичные, так как, повторяю, все жизненные расчеты делаются теперь с десятичными дробями. Поэтому, если в числе заданий встречается простая дробь, то, до решения задачи, надо обратить ее в десятичную. Обратная задача, т.-е. обращение десятичной дроби в несократимую простую, может быть вовсе опущена, как не имеющая теперь практического значения.

Известно, что не всякая простая дробь обращается в законченную десятичную, что иногда получается бесконечная, но всегда периодическая дробь, период которой иногда трудн найти. Например, = 0,(0344827586206896551724137931). Учащиеся сами натолкнутся на периодичность дробей и обратят внимание на это обстоятельство, а наиболее любознательные потребуют углубления вопроса; здесь мы сталкиваемся с математическою темою, которой, конечно, нет места в школьном курсе, но которая может послужить превосходным материалом для кружковой работы.

Нахождение периода, исследование признаков, по которым простая дробь обращается в законченную десятичную или в периодическую, и обращение периодической дроби чистой и смешанной в простую не имеют практического значения, а поэтому справедливо из'яты из программы трудовой школы. Но те же вопросы, не без пользы для математического развития, могут быть перенесены в добавочную, кружковую работу, около которой собираются учащиеся, выявившие сознательное тяготение к математике и избравшие себе в дальнейшем путь углубленного математического образования.

Когда при обращении простой дроби в десятичную получается периодическая, то последнюю следует обрывать на соответствующей данной задаче цифре. Например, пусть требуется сложить -j и 0,1457; мы оборвем периодическую дробь -g =0,83333... на четвертой цифре после запятой, так как второе слагаемое ограничено десятитысячными долями; получим ~ + 0,1457 = 0,8333 +0,1457 = 0,9790 — 0,979. Если бы пришлось разделить ^ на °ДЗ, то мы оборвем дробь = 0,58 (3) на второй цифре после запятой, так как делитель дан в сотых долях.

В заключение сказанного о десятичных дробях приходится упомянуть о забытом теперь распоряжении Нар. Ком. Проев, заменить при начертании десятичных дробей традиционную запятую точкою, поставленною у верхней четверти цифры, изображающей единицы. Согласно означенному распоряжению, сделанному, кажется, в 1920 г., дробь 2,5 должна была бы быть записанною так: 2 5. Это англо-американская манера записи, имеющая за собою серьезные основания. В самом деле, прочтите запись: „Сложить 2,5, 3,145, 2,86 и 4,16“.

В этой записи запятые, как знаки препинания, перемешиваются с запятыми, относящимися к десятичным дробям. Запись

„Сложить 2*5, 3*145, 2*86 и 4-16“ уже никаких недоумений не вызывает.

Пользуюсь случаем высказать пожелание, чтобы забытое распоряжение Нар. Ком. Проев, было повторено, но уже для обязательного исполнения.

6. Процент. Процентные отношения. Новые программы дают верную установку понятия о проценте. Вместо дореволюционного „правила процентов“, сводивше-

гося к вычислениям прибыли на капитал, капитала по прибыли и т. д., теперь следует заниматься вычислением процентных отношений, наглядно иллюстрирующих исследуемые величины. Вычисление основывается на определении процента, как сотой доли; процентное отношение двух чисел есть дробное число, выраженное в сотых долях единицы и равное частному от деления меньшего числа на большее. Понятие о проценте и вычисление процентных отношений настолько элементарны, что вполне доступны школьникам III группы. Учащиеся должны усвоить, что 1=100 , Ч2—Ь0%, 74—25%, zll—76%, 1ls—i2,b%. Приведенные записи усваиваются не столько символически, сколько по существу, на конкретных примерах. В классе 40 учащихся, мальчиков и девочек поровну; какой процент мальчиков? Так как мальчиков половина всего числа учащихся, то, стало быть,, их 50°/о. Такой же процент и девочек. Как изменились бы проценты числа, если в классе из 40 человек 10 мальчиков? 1 /4о^-1/4=0,25=25,,/о.

В селе 27 дворов крыты железом, остальные 49 дворов крыты соломою. Какой процент дворов, крытых железом? В селе всего 27-f-49=76 дворов; число дворов, покрытых железом, составляет 27/76 долю всех дворов; следовательно,, для ответа надо перевести дробь 27/76 в десятичную с знаменателем 100. Получаем 0,36. Ответ: 36°/0.

При решении таких задач мы сталкиваемся с понятием о дроби, как результате деления одного числа на другое, с символикою дроби и с преобразованием дроби в десятичную. Казалось бы, что все это относится непосредственно к четвертой группе и преждевременно для третьей. На самом деле, я полагаю, это не так. Понятие о дроби учащиеся имеют уже в первой группе; символика дроби тоже известна с первой группы, где необходимо приучать к записям 1/2,1/4,1/8. Остается обращение дроби в десятичную. В третьей группе, независимо от трактуемого вопроса, учащиеся усваивают доли 1/10 и 1/100 и записи 0,1 и 0,01; тогда уже совсем не трудно рассуждать так: сколько раз содержится 76 в 27? Ни разу; записываем 0 и ставим запятую. Раздробляем 27 в десятые доли, их получится 270. Число 76 содержится в 270 три раза и т. д. Вся эта операция вполне уместна в третьей группе. В четвертой группе продолжается вычисление процентных отношений, что особенно важно при составлении диаграмм и при решении разного рода жизненных задач.

Дореволюционные задачи на вычисление процентов надо, конечно, оставить. Но вполне уместно делать вычисления наращения процентов по вкладам в трудовые сберегательные кассы. Для таких вычислений никакого специального „правила“ не требуется. Вопрос решается на основании заданий по здравому смыслу.

7. Пропорции. Их, несомненно, следует отнести к курсу II ступени. Упоминаю здесь о пропорциях только потому, что часто слышу вопросы, в какой группе их изучать.

8. Тройное правило, правило смешения и т. д. из'яты из программ трудовой школы в 1918 году, так как действительно представляют собою схоластический мусор. Идея пропорциональности, заключающаяся в так называемом тройном правиле, сама по себе чрезвычайно проста и доступна детям младшей группы. Задача: „сколько следует заплатить за 5 яблок, если 3 яблока стоят 6 коп.?“ непосредственно относится к „тройному правилу“, но решается без всяких ненужных слов, попросту, в первой группе. Никакого специального „правила“ не требуется там, где действует здравый смысл. Одинаково учащиеся второй группы, не зная „правил“, легко решат задачу: „как разделить 75 руб. между тремя рабочими, из коих один работал 4 дня, второй 5 дней и третий 6 дней?“ Между тем эти задачи на „правило пропорционального деления“. Все „правила“ заключительной части арифметики в дореволюционной школе представляют собой или нелепые усложнения простеньких идей или вычисления нереальных комбинаций, в роде смешения разных сортов вина и т. д. Очевидно, что в трудовой школе не может быть места извращению здравого смысла и жизненной правды.

X. Алгебра в школах I ступени.

Между арифметикой и алгеброй есть разница только формальная, но никак не по существу; разница состоит в обозначениях и в том, что так называемая арифметика, вернее сказать, школьная арифметика, производит только 4 действия над числами очень немногих категорий, а именно над числами целыми и дробными, при чем дроби ограничиваются лишь конечными. Совершенно естественно, что в курс школ первой ступени не могут войти обобщения понятия о числе и усложненные операции над числом, так как возрастная норма учащихся препятствует усвоению таких понятий. Если школьники первой ступени выучатся оперировать быстро и верно с целыми и дробными числами для решения соответственных жизненных вопросов, то школа, в отношении арифметической программы, выполнит свое назначение. Тем не менее весьма полезно затронуть и в школе первой ступени некоторые вопросы, обычно относимые к алгебре. Я имею в виду числовые уравнения, символ показателя степени, символ скобок, буквенные обозначения и прогрессии. Скобки и числовые уравнения встречались и в дореволюционных задачниках, при чем упражнения, содержащие скобки, доходили до чудовищных размеров. Например, во второй части задачника Конашевича встречаются упражнения, не помещающиеся в одной строке и грандиозные настолько, что целая страница убористой печати содержит только 4 — 5 упражнений. Такое использование скобок есть грубая утрировка. В школе допустимы короткие числовые упражнения, содержащие лишь круглые скобки; прямые скобки могут появиться только в исключительных случаях, а фигурные следует оставить в наследство школе второй ступени. Я полагаю, что упражнения со скобками можно ввести во второй половине первого года и затем широко использовать во второй группе, при чем рекомендую давать параллельные примеры с одними и теми же числами со скобками и без скобок; это особенно важно, когда перед скобкою ставится знак вычитания. Я имею в виду примеры такого рода:

1) 20 —(8 + 3);

2) 20— 8 4-3.

Различие в получаемых ответах (в первом случае 9, а во втором 15) очень наглядно поясняет значение скобок, как особого рода символа порядка производимых действий. Разумеется, надо соблюдать осторожность при составлении таких параллельных примеров, чтобы не получить в одном из двух случаев отрицательного числа; например, не годятся два такие упражнения:

20 —(17 —15) И 20—17 — 15, потому что во втором получаемый ответ равен—12.

Что касается числовых уравнений, то они представляют собою превосходное математическое упражнение, являющееся пропедевтическим к основному методу математического анализа. Поэтому я вполне присоединяюсь к составителям программ 1918 г. для трудовой школы, подчеркнувшим необходимость решать в школе I ступени числовые уравнения. Я полагаю, что последние можно ввести сравнительно рано, а именно в первой группе сейчас же вслед за письменными упражнениями в сложении и вычитании. Когда дети привыкнут к записям в роде 3 + 4 = 7 или 8 — 2 = 6, следует давать уравнения в роде х = 2 + 7, 5 + х= 8 и 6 — х = 4.

Такие уравнения должны раз'ясняться параллельными вопросами: какое число получится от сложения 2 и 7; какое число надо прибавить к 5, чтобы получить 8; какое число надо отнять от 6, чтобы получить 4. Одновременно сообщается, что отыскиваемое число обозначается латинскою буквою „х“-—икс. Здесь приходится решительно поддержать тех, кто протестует против замены икса знаком вопроса; я тоже нахожу недопустимым записи в роде 5 + ? = 8. Начертание буквы икс не может затруднять учащихся, так как эта буква имеется и в русском алфавите, произношение „икс“ также легко. Но дело не в этом, а в международности математической символики. В математике нет символа „?“. Знак восклицательный при букве—тот имеет общепризнанное значение, как знак факториала или произведения последовательных чисел натурального ряда; так n!=l.2.3.... (п—1). п. Но запись 5 + ? = 8 не будет международно-понятною, между тем как представитель любой национальности без колебаний поймет запись 5 +х = 8. Международность должна быть для всех священною и нарушать ее не следует никому и никогда, как бы пустячным ни казалось дело.

Возвращаясь к уравнениям указанного типа, я добавлю, что они должны иллюстрироваться подходящими задачками, так, например, уравнение 5 + х = 8 может быть переведено на задачу: Ваня нашел под одним деревом 5 грибов и несколько грибов под другим деревом, а всего он нашел 8 грибов; сколько грибов он нашел под вторым деревом? Такие задачки сочиняются или учителем или учащимися, и решение записывается в форме уравнения.

В дальнейшем уравнения будут встречаться после усвоения каждой новой операции. После практики в умножении и делении чисел от 1 до 20 предлагаются уравнения типов: х.3 = 12; 5.х=10; 15:х = 3; х: 2 = 8, и к таким уравнениям подбираются задачки.

В последующих группах уравнения усложняются в отношении чисел, но не следует, по моему мнению, усложнять тип уравнения. Я воздержался бы от задания решить уравнение 5 — (х — 2) = 4, находя его преждевременным, в отношении трудности, для школы I ступени.

Символ показателя степени чрезвычайно прост и удобен для сокращения записей. Повторные умножения встречаются и в арифметической практике, и в особенности при решении геометрических вопросов, как-то: при определении площади квадрата и об'ема куба. Поэтому я предлагаю приучить детей третьей группы записывать произведение 2.2.2. в виде 23, вычислять выражения в роде З2, 52, З3 и т. д., ограничивая показатели числами 2 и 3. Большие показатели необходимы только для числа 10, чтобы записывать сокращенно числа: 1000= Ю3, 10000= 104, 1000000= 105, миллион=106, миллиард =109. Полезно обратить внимание учащихся на экономию места и набора записью 109 вместо слова миллиард или числа 1000000000, предложив подсчитать в каждом из этих трех случаев число типографских знаков.

Если бы школа первой ступени содержала более возрастных групп, чем 4, как в настоящее время, то я не рекомендовал бы знакомить учащихся четвертой группы с буквенными обозначениями, а предложил бы отложить этот вопрос до пятого года, так как учебный материал четвертой группы и без того велик. Но, учитывая печальное обстоятельство, что большинство учащихся ограничивают свое образование школою первой ступени, я полагаю, что следует затронуть в четвертой группе поставленный вопрос. Его разрешение, хотя бы самое поверхностное, необходимо потому,, что в различных справочниках и вообще в книгах, вполне доступных окончившему курс школы первой ступени, встречаются буквенные формулы. Понимание их, конечно, не вызывает серьезных затруднений, но оно значительно облегчается своевременным об'яснением в школе.

В разных популярных книгах по сельскому хозяйству встречается, например, эмпирическая формула Вольфа для вычисления веса свежего навоза:

Х=(1 + Ь). 4,

где х обозначает искомый вес навоза, а—вес сухого вещества корма, выданного животным, и Ъ—вес подстилки. Эта формула позволяет земледельцу быстро подсчитать, сколько

навоза накопилось во дворе; разумеется, для этого нужно было делать учет корма и подстилки.

Вот для примера и другая, более сложная, формула: вес (в пудах) полусухого соснового бревна равен

где d есть толщина (в вершках) бревна в отрубе, и к есть длина (в саженях) бревна. Формула удобна для определения веса без взвешивания, а самые вычисления, конечно, доступны школьнику 4-й группы во втором полугодии.

Для того, чтобы приучить детей к буквенным обозначениям, я предлагаю использовать правила действий с простыми дробями. Когда учащиеся усвоят на числовых примерах означенные действия, усвоят не только рецепт действия, но и его об'яснение, тогда легко пояснить записи:

Точно также легко об'ясняются записи:

которыми формулируется закон переместительности в сложении и умножении.

Материалом для буквенных записей могут служить и формулы площади квадрата, прямоугольника, треугольника, трапеции, об'ема разных тел.

Дальше составления таких формул, смысл которых хорошо известен учащимся, и чтения несложных математических и эмпирических формул с вычислением их при определенных числовых заданиях в четвертой возрастной группе итти не следует. Для образца подобных вычислений приведу формулу, по которой можно узнать, на какой день недели пришлась или придется определенная календарная дата. Вычисляется остаток от деления числителя на знаменателя следующей дроби:

где а есть номер данного года, *—целое частное (остаток отбрасывается) от деления числа а на 4, b—число дней, протекших с 1 января данного года по данное число включи-

тельно; 23 число постоянное, которое вычитается, если год а простой. Ели же год а високосный, то вычитается не 23, а 24. Если остаток от деления числителя на 7 равен 1, то в ответе получаем воскресенье; если остаток равен 2, то выходит—понедельник и т. д., если 6—пятница, если же остаток есть 0, то—суббота. Следует иметь в виду, что формула применима лишь для старого стиля. Поэтому, прежде чем производить вычисления, надо перевести календарную дату на старый стиль. На какой день недели придется 7 мая 1929 г.? По старому стилю это выходит 24 апреля 1929 г., год не високосный. Имеем:

а = 1929 ; ~ = 482 ; b = 31 + 28 + 31 + 24 — 114

а + 1 +b —23 = 1929 + 482 + 114 — 23 = 2502.

Остаток от деления 2502 на 7 равен 3; следовательно, 7 мая 1929 года (по нов. стилю) придется на вторник.

Учащиеся заинтересуются и вычислят, на какие дни недели пришлись выдающиеся события, например, 7 ноября 1917 года, 21 января 1923 года и др., вычислят, кто в какой день недели родился; попутно можно сообщить, что в старину дни недели посвящались небесным светилам, следы чего сохранились в европейских языках:

воскресенье—день солнца (немецк. Sonntag, англ. Sunday),

понедельник—день луны (нем. Montag, англ. Monday, франц. Lundi),

вторник—день Марса (франц. Mardi),

среда—день Меркурия (франц. Mercredi),

четверг—день Юпитера (франц. Jeudi),

пятница—день Венеры (франц. Uendredi),

суббота—день Сатурна (англ. Saturday).

Кроме солнца и луны, здесь упоминаются самые яркие планеты солнечной системы. Весьма важно направить интерес учащихся к наблюдению планет и к чтению популярных книг по астрономии для получения сведений об этих планетах и для уяснения того, что календарь зависит от условий, в которых находится данная планета, что у каждой планеты свой календарь, иногда сильно отличающийся от нашего; например, на Сатурне год длится в 30 раз больше нашего, а сутки содержат только 10 наших часов.

Решение задач на прогрессии, если ограничиться числовыми примерами, относится собственно к арифметике. При развитии навыков в счете и раньше практиковались, да и теперь практикуются, упражнения в постепенном присчитывании одного и того же числа; такого рода упражнения производятся и в младшей группе. Например, дается число 5 и предлагается последовательно прибавлять число 3; получается ряд 5, 8, 11, 14 и т. д., т.-е. разностная (или арифметическая) прогрессия. Обратный счет дает убывающую

прогрессию. Счет круглыми десятками, круглыми сотнями тоже приводит к прогрессиям. Я полагаю, что весьма полезно, начиная со второй возрастной группы, составлять при упражнениях в умственном или письменном счете кратные (или геометрические) прогрессии, т.-е. ряды, образующиеся последовательно умножением (или делением). Например, дается число 3 и предлагается последовательно умножать на 2; получается краткая прогрессия 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192 и т. д. Или дается число 512 и предлагается последовательно делить на 2. Для таких упражнений учителю полезно иметь в виду таблицу степеней чисел 2, 3 и 5:

Во всех описанных упражнениях на составление прогрессий надо обрывать получающийся ряд чисел там, где или самое вычисление становится трудным (в уме или письменно), или число выходит за пределы понимания данной возрастной группы.

В третьей группе можно предлагать последовательно прибавлять дробное число или умножать последовательно на дробное число, например, составлять ряды:

3, 4^ 6, 7^ 9 и т. д. или 64, 64.| = 96> 144> 216> 324 и т. д.

В четвертой группе можно использовать любые дроби.

В третьей же группе, а особенно в четвертой можно предлагать подсчитывание суммы всех чисел законченного ряда. Здесь открывается благодарный материал для исследовательской работы учащихся. Если предложить учащимся написать ограниченную разностную прогрессию, например,

7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55

и поискать в ней примечательных числовых соотношений, то, несомненно, учащиеся переоткроют истину, что сумма членов прогрессии, равно удаленных от начала и конца, равна сумме крайних членов. Также откроется закон образования членов прогрессии. Затем, если предложить учащимся написать произвольную прогрессию, например,

5, 8, 11, 14, 17, 21,

подписать под этим рядом тот же ряд, но в обратном порядке 21, 17, 14, 11, 8, 5 и сложить оба ряда, складывая числа парами (два числа, стоящие в одном столбце), то учащиеся откроют формулу

суммы членов разностной прогрессии, которая в буквах записывается так: Si = ./

где S есть искомая сумма, а — первый член, и — последний и m — число членов ряда.

В связи с этим очень хороши задачи: 1) Сколько придется заплатить за рытье колодца глубиною а метров, если за рытье первого метра взимается Ь рублей, а за рытье каждого последующего метра на с рублей больше, чем за предыдущий? Числа о, Ъ и с следует взять из местных условий по обсуждении вопроса с учащимися. 2) Свободно падающее тело (без начального толчка) проходит, как известно из курса физики, в первую секунду 4,9 метра, а в каждую последующую секунду на 9,8 метра больше, чем в предыдущую. Сколько секунд падает дождевая капля с высоты а метров? Какую скорость имеет капля в последнюю минуту падения? Число а обсудить и выбрать по метеорологическим данным; оно не менее 200 метров. 3) Население С. С. С. Р. достигает в настоящее время 130 миллионов и удваивается через каждые 50 лет. Когда население достигнет миллиарда?

XI. Геометрия в школах I ступени.

В дореволюционное время преподавание геометрии в школах, соответствующих теперешней первой ступени, ограничивалось мерами линейными, квадратными и кубическими, при чем собственно геометрический элемент отодвигался на второстепенное место, а центр тяжести переносился на утомительные арифметические операции с составными именованными числами целыми, а потом и дробными. Казалось бы, что определение площади фигуры и вычисление об'ема тела представляют собою богатый материал для интересных и жизненных задач. Но старая школа была пропитана духом схоластичности и отвлеченности, а поэтому на жизненность учебного материала не обращалось почти никакого внимания Свойства, хотя бы простейшие, геометрических фигур не изучались в начальной школе по той причине, что всякое свойство формулируется теоремою, а никакая теорема не мыслилась без доказательства. Так как строго логическое доказательство недоступно школьникам младшего возраста, то систематический „научный“ курс геометрии отодвигался на вторую ступень, а первая довольствовалась перечисленными мерами длины, поверхности и об'ема, которые заучивались без проникновения в их геометрический смысл.

Еще до революции раздавались голоса, что основные положения геометрии заслуживают изучения в начальной школе, как материал, удобопонятный раннему возрасту учащихся и полезный для облегчения прохождения, дальнейшем, систематического курса. Появились учебники пропедевтической геометрии. Между ними следует упомянуть „Геометрию для уездных училищ“, составленную профессором А. Ю. Давидовым, автором известного учебника для гимназий. Этот учебник геометрии для уездных училищ выдержал к 1918 году 32 издания и примечателен тем, что содержит достаточное число задач и упражнений практического характера.

Программы математики дла школ I ступени, составленные в начале революции, выдвинули геометрию на очень почетное место, и сообразно с этим в нашей учебной литературе появилось множество учебников, большею частью оригинальных. Как ни странно, но арифметических задач-

ников составлено за последние годы меньше, чем учебников начальной геометрии для I ступени, список которых довольно длинен. В самом деле, следующие авторы дали нам свои курсы пропедевтической геометрии: А. М. Астряб, Ф. X. Вольф, И. Гордон, М. Н. Иовлев, И. Н. Кавун, П. Н. Карасев, Н. И. Козлов, В. Кемпбель, А. Р. Кулишер, П. Мартин и О. Шмидт, Ф. Г. Миккельсар, А. И. Никитин, Я. И. Перельман, Е. Г. Шалыт и Г. Шаррельман.

Пособия, составленные поименованными авторами, рассчитаны на использование в третьей и четвертой группах, а может быть, как, например, обе части учебника И. Н. Кавуна, и на пятую группу, относящуюся уже ко второй ступени. Только книга Е. Г. Шалыта дает некоторый материал, который может быть использован в младших группах, а именно, в первой и во второй; в этом отношении книга Е. Г. Шалыта (наглядная геометрия) выгодно отличается от аналогичных.

Все поименованные пособия по геометрии для школ I ступени излагают свойства простейших фигур, числовую зависимость между элементами фигур, квадратуру и кубатуру, иллюстрируют геометрические формы и их свойства жизненными примерами и содержат практические задачи и упражнения. Как ни отличаются друг от друга все эти пособия в отношении манеры изложения, распланировки материала, количества и качества задач и т. д., все они об'единяются тем общим свойством, что представляют собою пособия как бы для предметного преподавания геометрии. Яснее сказать, эти пособия трактуют собственно геометрию; жизненные иллюстрации раз'ясняют геометрические истины; задачи и упражнения решают геометрические вопросы. Решение их требует, конечно, арифметических действий, но арифметика играет здесь служебную, подчиненную геометрии, роль, но органически с геометрией не связана. Поэтому все перечисленные пособия по геометрии не могут служить непосредственно системе комплексного преподавания; их отношение к комплексу может быть только косвенным, а именно в том отношении, что учитель будет искать и находить в таких книгах отдельные кусочки для включения в разработку очередной комплексной темы. Таким образом напечатанные за революционные годы пособия по геометрии послужат лишь в помощь учителю, но никак не в виде учебников, выдаваемых на руки учащимся. В библиографической главе этой книги читатель найдет описание индивидуальных особенностей учебников геометрии.

Геометрический материал содержится и во всех арифметических задачниках, появившихся за последние годы; в них геометрия теснее переплетается с арифметикою, но занимает второстепенное место. Тут на первом плане арифметика, в которую вкрапливаются местами геометри-

ческие упражнения. Такое построение курса математики, конечно, более правильно. Ведь с первой ступени не должно быть отдельной арифметики и отдельной геометрии; должна быть единая математика, которая, кроме того, согласно схемам ГУС'а, должна раствориться в общей комплексной системе. Но если говорить специально о математике, следует прежде всего держаться принципа единой математики и, принимая во внимание, что основной базой обучения начальной математики является арифметика, необходимо признать, что при построении курса математики в школе первой ступени равнение должно итти на арифметику. Это нисколько не роняет количественного и качественного значения геометрии; дело только в том, что нельзя делать курс геометрии основным и пристраивать к нему арифметику. Последняя не уложится тогда в правильные методические рамки. Наоборот, если мы возьмем основою, в методическом отношении, арифметику и к ней будем пристраивать геометрию, то последняя не пострадает, так как ее материал доступен самым разнообразным перетасовкам.

Арифметические задачники, напечатанные в революционные годы, а именно С. В. Зенченко и В. Л. Эменова— „Жизнь и знание в числах“ (для 2, 3 и 4 годов обучения), Е. Звягинцева и А. Бернашевского—„Живой счет“ (по 3 части для сельских и для городских школ), А. В. Ланкова— „Арифметический задачник на основе обществоведения“ (для 1—4 годов), Д. В. Волковского—„Математика для детей“ (пока в 2 частях), В. В. Егорова, П. А. Карасева и А. А. Фроловского—„Новый сборник задач“ (счет до 1000), И. И. Грацианского и И. Н.Кавуна—„Сборник арифметических упражнений“, В. В. Добровольского—„Математика для I ступени“ я др.—все содержат более или менее богатый и разнообразный геометрический материал, который насыщает главным образом части, предназначенные для 3 и 4 годов обучения. Те же выпуски задачников, которые составлены для двух младших возрастных групп, содержат значительно менее геометрического материала, сводящегося притом к познанию мер длины и площади и сравнительно мало касающегося геометрических форм. Я думаю, что авторы не использовали всех возможностей, которые и уместны и полезны в первых двух годах обучения. Разумеется, изучение свойств геометрических фигур преждевременно в двух младших группах, но предварительное знакомство с фигурами, комплексируемое с рисованием и счетом, весьма легко, доступно детям и их интересует.

Дети первой группы, пока еще не научились читать, писать и хорошо считать, уже могут рисовать по клеточной бумаге разные фигурки и заниматься при этом счетом. Возьму для примера одну из первых тем по программам

ГУС'а—состав семьи. Пусть дети обведут карандашом отдельно столько клеток, сколько членов имеется в семье. Если семья небольшая, то учащийся обводит клетки, говоря про себя: отец, мать, брат, старшая сестра, младшая сестра и я сам; сколько же всего клеток? Здесь будет порядковый счет видимых фигур, изображающих людей, и знакомство с квадратом, пока без соответствующей терминологии. Если окажется, что у кого либо семья очень большая, то учащийся все же обводит отдельные клетки, говоря про себя: бабушка, отец, мать, тетка, брат Иван, брат Михаил, брат Сергей, сестра Мария, сестра Ольга, сестра Анна, сестра Вера и я сам; сколько всего клеток? Тут, может быть, учащийся запутается в счете или просто не сумеет сосчитать. Вероятно, что и другие учащиеся не сосчитают. В таком случае получается естественный подход к обучению счету. Для упражнений в счете однозначных чисел удобно использовать фигурки, образцы которых изображены на черт. 21. Учитель разлиновывает классную доску в квадратную сетку, вычерчивает такие фигурки, предлагает детям срисовывать их на клетчатой бумаге и считать, сколько клеток содержится внутри данной фигуры. При этом счете развивается подготовка к групповому счету, и глаз приучается к распознаванию симметрии. На чертеже даны примерные фигурки; сочинять их легко. Надо предложить и детям сочинять такие фигурки. Последние имеют, несомненно, большое геометрическое значение и создаются в процессе повышенной, активности. Получается в своем роде лабораторная работа. Когда дети освоятся хорошо со счетом до 10, можно вернуться к рисованию фигур, но более сложных, как изображено, напр., на черт. 22. Здесь также приучение глаза к симметрии и подготовка к групповому счету. Во второй группе также можно вернуться к счету, но уже обязательно групповому,

Черт. 21.

Черт. 22.

с помощью вычерчивания разного рода фигурных линий, как изображено на черт. 23; такие линии проводятся в тетради во всю ширину страницы, и при этом подсчитывается длина линии по отношению к ширине одной клетки. Группирование частей каждой линии, для счета, очевидно. Весьма желательно, чтобы учащиеся сами придумывали разные фигурные линии.

Такого же рода упражнения возможны со спичками. Дети складывают из спичек квадраты, треугольники и другие геометрические фигуры, считают число фигур и затем число спичек, израсходованных на фигуры. Из спичек можно складывать всевозможные узоры, фигурки людей, животных; конечно, следует требовать при этом счета числа спичек.

Графическое изображение долей единицы на клетчатой бумаге встречалось и в дореволюционных пособиях, а теперь встречается еще чаще и потому настолько общеизвестно, что я прохожу мимо этого прекрасного, наглядного способа изучения дробей. Я остановлюсь на одном частном приеме наглядного сложения дробей, знаменатели которых суть 2, 4 и 8, так как этот прием не использован ни в одном печатном пособии. Я опять прибегаю к фигуркам, вычерчиваемым на клетчатой бумаге. Черт. 24 сразу поясняет дело. Надо подсчитать, во сколько раз площадь данной фигуры более одной клетки. На фигурках ясно видны доли целой клетки; счет следует производить группами, тогда получится упражнение и в умножении дробей. Здесь тоже приходится повторить пожелание, чтобы учащиеся сами составляли фигуры.

Из описанных упражнений с фигурами и спичками вытекает знакомство детей с квадратом, прямоугольником и треугольником. Так как речь идет о первой возрастной группе, то знакомство с перечисленными фигурами должно ограничиваться пониманием того, что обозначают слова „квадрат“, „прямоугольник“ и „треугольник“. Никоим образом не следует ни сообщать детям строгих определений геометрических форм, ни требовать точного описания этих форм. Понимание детьми указанных терминов удостоверяется ответами на вопрос, где в окружающей обстановке встре-

Черт. 23.

чается та или иная форма. Какую форму имеют: сидение табуретки, скамьи, отверстия колодца, подпорки стенной полки и т. д.? Если учащиеся понимают особенности перечисленных форм, значит, они поняли все, что нужно. Точно так же выясняются термины: круг, куб, брусок и шар. Я останавливаю внимание преподавателей на том, что слово „брусок“ гораздо легче усваивается, чем „прямоугольный параллелепипед“; последний термин следует отнести ко второй ступени. Знакомство с кругом возникает при обведении на бумаге контура монеты, отверстия стакана и т. д.; детям первой группы рано еще давать в руки циркуль или его суррогат в виде бумажной полоски с булавкою. Кубики сами по себе хорошо знакомы детям, а прекрасною моделью бруска является спичечная коробка или кирпич. Шар знаком по мячику. Очень важно, чтобы дети лепили из глины кубики, бруски и шары и вырезывали из картофелин кубики и бруски; вылепленные предметы могут служить, кроме того, для счета как порядкового, так и группового.

Черт. 24.

Во второй группе дети должны познакомиться с градусным делением окружности и с пользованием транспортиром для обмера углов. О минутах и секундах следует умолчать, отнеся знакомство с ними к школе второй ступени. Во второй группе надо приучить пользоваться линейкою с циркулем, лучше всего циркульного ножкою, надевающеюся на карандаш. Дети чертят углы, измеряют их транспортиром, им же измеряют углы по межам на плане, вычерчивают окружности, вырезывают круги из бумаги, перегибают круг для образования 4, 8 и 16 одинаковых секторов. Учащиеся должны усвоить, что такое центр окружности или круга, радиус, диаметр или поперечник. Слово сектор можно и не упоминать, заменяя его определенною частью круга. Следует показать деление прямого угла на 3 равные части и, следовательно, деление окружности и крута на 12 рав-

ных частей. Такое деление необходимо для устройства цифер блата часов, для некоторых диаграмм и т. д. В той же группе учащиеся усваивают определение площади квадрата и прямоугольника. Это делается с помощью вычерчивания квадратови прямоугольников разных величин по квадратной сетке и подсчетом числа клеток внутри фигуры. Детям легко переоткрыть формулы площадей этих двух фигур и пусть они сами сделают открытие. Не надо давать готовых формул, ничего не надо подсказывать. Надо предложить вычерчивать фигуры, конечно, небольшие, и считать сколько клетов занимает фигура по длине, по ширине и сколько клеток внутри. После этого следует предложить самостоятельные работы: обмер площади классной комнаты, окна, домашней комнаты и т. д.

Первоначальные геодезические работы, как-то: провешивание прямых линий вообще, провешивание с помощью эккера перпендикулярных и параллельных линий, обмер в натуре площади прямоугольного участка земли, простейшее нивелирование и пользование высотомером, можно поделить между второю и третьего группою, работая со второю группою весною и с третьего осенью. На протяжении полугода тут не будет заметной возрастной разницы между учащимися обеих групп, а потому упомянутый геодезический материал можно перетасовывать по желанию преподавателя. Означенные работы описаны весьма обстоятельно в нескольких из напечатанных пособий, а потому я, для экономии об'ема настоящей книги, обхожу этот вопрос. Я замечу только, что под простейшим нивелированием я понимаю обмер откоса берега реки, насыпи, земляной выемки, оврага с помощью планки (самая удобная в 2 метра длины) и плотничьего ватерпаса, а под высотомером—узкую линейку (приблизительно ги метра длины), туго вращающуюся около гвоздя, вбитого через середину линейки к верхнему краю палки, втыкаемой в землю. На черт. 25 горизонтальный уровень земли изображен линиею BE; АВ есть предмет (дерево, фабричная труба, радио-мачта и т. д.), высоту которого желательно определить. Высотомер вбит в землю в точке D, высота палки есть CD, а линейка MN визирована на вершину А предмета АВ и на точку Е на земле, отмечаемую камешком и т. п. Высотомер втыкается в землю в произвольном расстоянии от АВ, и линейка устанавливается так,

Черт. 25.

чтобы из конца N была видна вдоль линейки точка А; затем, не трогая линейки, заходят с другой стороны и от конца М визируют через линейку MN точку Е. Расстояния BE и DE измеряются непосредственно. Высота АВ во столько раз больше высоты CD, во сколько раз BE больше, чем DE. Я считаю этот прием определения высоты предмета наиболее надежным из всех, описываемых в учебниках. Известный способ определения высоты по теням дает весьма неточные результаты, но он очень импонирует учащимся, почему не следует его категорически отвергать. Лучше всего применить оба способа, указав, почему способ измерения теней менее надежен.

В третьей группе, при провешивании коротких перпендикулярных прямых, следует использовать древний египетский прием, основанный на том, что треугольник, стороны которого суть 3, 4 и 5 линейных единиц,—прямоугольный, при чем прямой угол образован сторонами, равными 3 и 4. Это свойстве треугольника, представляющее собою частный случай теоремы Пифагора, учащиеся усвоят, начертив на клетчатой бумаге прямоугольный треугольник с катетами в 3 и 4 клетки; обмерив гипотенузу, учащиеся убедятся, что длина ее равна точно 5 клеткам. Надо начертить несколько таких треугольников, принимая за единицу длины не одну клетку, а 2,3 и т. д.; тогда катеты будут соответственно 6 и 8, 9 и 12 клеток и т. д., а гипотенуза окажется длиною 5 2—10, 5.3 = 15 клеток и т. д. Попутно приходится сказать, что теорема Пифагора в общем виде должна быть отнесена к курсу школы второй ступени, но учащиеся третьей группы должны усвоить термины „катет“ и „гипотенуза“. Необходимо преподать, путем самостоятельных работ самих учащихся, свойства равнобедренного треугольника; эти свойства нужно знать, например, для понимания устройства стропил под крышею.

Когда учащиеся убедятся в свойстве треугольника со сторонами 3, 4 и 5, они возьмут три бечевки, длиною, например, 3, 4 и 5 метров, и прикрепят один конец первой и один конец второй бечевки к первому колышку; второй конец второй бечевки и первый конец третьей—ко второму колышку и второй конец третьей бечевки и второй конец первой бечевки—к третьему колышку. Растянув бечевки и вбив колышки в землю, мы получим ясно обозначенный прямой угол, вдоль сторон которого можно провешивать взаимно перпендикулярные прямые. Этот способ очень удобен для устройства тока на гумне, прямоугольных грядок, площадки для игр и т. д., вообще когда устраиваемый участок земли не велик.

Учащиеся 3-й группы должны ознакомиться с равнобедренною трапециею, так как придется для разных практических целей вычислять ее площадь. Но сначала надо

вывести формулу площади треугольника; это должны сделать сами учащиеся после следующих упражнений. На клетчатой бумаге вычерчиваются различные треугольники, как показано на черт. 26, сначала прямоугольные, дополняемые (пунктирные линии на чертеже) до прямоугольного. Потом непрямоугольные треугольники, тоже дополняемые до прямоугольника и разрезаемые высотою на две части. Советую избегать таких случаев, когда высота треугольника проходит вне его; для этого надо выбирать за основание самую длинную сторону треугольника. Указанные построения и расчеты, проделанные с несколькими треугольниками, приведут к открытию искомой формулы. Нет никакой надобности знакомить учащихся школ I ступени с параллелограммом и ромбом; эти фигуры войдут в курс II ступени. Когда формула площади треугольника выведена, следует проделать ряд измерений площадей треугольников, начерченных на нелинованной бумаге; основания и высоты треугольников (высоты проводятся с помощью линейки и угольника) измеряются миллиметрами, следовательно площадь будет получаться в квадратных миллиметрах. После этого на нелинованной бумаге вычерчиваются разнообразные многоугольники, в том числе могут быть и параллелограммы, выделять которые под специальным названием не стоит. Многоугольники делятся на возможно меньшее число треугольников (лучше всего проведением диагоналей), вычисляются площади отдельных треугольников и, наконец, суммируются. Необходимо выделить, как выше было сказано, равнобедренную (иначе равнобочную) трапецию. Сделав несколько раз на клетчатой бумаге чертеж равнобедренной трапеции и проведя вспомогательные линии, обозначенные на черт. 27 пунктиром, учащиеся сами выведут формулу, что площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. Одновременно с вычислением площадей фигур учащиеся должны усвоить две весьма важные истины. Первая состоит в том, что две одинаковые по площади (равновеликие) фигуры могут иметь и вообще имеют различные по длине границы (периметры); эта истина легко обнаруживается из построения на клетчатой бумаге нескольких прямоугольников, имеющих одну и ту же площадь, но разные формы; начертим, например, три прямоугольника, соседние стороны которых равны соответственно 9 и 4, 12 и 3, 6 и 6; площади всех трех прямоугольников действительно одинаковы, так

Черт. 26.

Черт. 27.

как каждый содержит 36 клеток; но границы у них разные, а именно равны соответственно 26, 30 и 24; учащиеся обнаруживают при этом, что наименьшую границу или межу имеет квадрат. Вторая истина состоит в том, что площади подобных фигур пропорциональны квадратам сходственных сторон; эта точная формулировка геометрической теоремы трудна для понимания школьников третьей возрастной группы и сообщена только к сведению преподавателя; учащиеся могут усвоить теорему в следующей, более простой обработке; начертим, по клетчатой бумаге, прямоугольник и определим его площадь; возьмем, например, прямоугольник со сторонами 3 и 4; его площадь равна 12; начертим второй прямоугольник со сторонами 6 и 4; той же формы второй прямоугольник, как и первый? нет; какова площадь второго прямоугольника? 24; во сколько раз больше, чем первого? в 2 раза; начертим третий прямоугольник со сторонами 6 и 8; какова его форма? такая же, как у первого; какова площадь третьего? в 4 раза более, чем первого; верно ли, что стороны третьего вдвое длиннее, чем первого? да; а площадь третьего в 2 раза больше, чем первого? нет; во сколько же раз больше? в 4 раза; начертим четвертый прямоугольник, стороны которого суть 9 и 12; та же ли форма, как первого? да; во сколько раз площадь четвертого больше, чем первого? в 9 раз; если бы мы начертили пятый прямоугольник со сторонами 12 и 16, т.-е. в 4 раза большими, чем у первого, то во сколько раз площадь пятого прямоугольника будет больше, чем первого? в 16 раз; теперь начертим ряд квадратов, стороны которых суть последовательно 2, 3, 4, 5 и т. д.; каковы их площади? 4, 9,16,25 и т. д.; какая закономерность подмечается здесь? 2.2 = 4, 3.3 = 9, 4.4 = 16 и т. д.; вообразим два квадрата, из которых у одного сторона в 10 раз больше, чем у другого; во сколько раз площадь одного больше, чем у другого?

Описанные упражнения имеют целью подготовить определение площади фигуры, начерченной в известном масштабе. Мы подбираемся таким образом к вычислению площади (к квадратуре) по данному плану жилого помещения или участка земли.

Параллельно с геометрическими приемами вычисления площадей прямолинейных фигур следует показать способ приближенной оценки площади с помощью готовой квадратной сетки. Для этого особенно удобна миллиметровая бумага. Промаслим кусок миллиметровой бумаги и высушим ее; бумага станет достаточно прозрачною, настолько, что контуры фигуры отчетливо видны из-под наложенной сверху промасленной бумаги. Черт. 28 изображает неправильный четыреугольник, на который наложена промасленная миллиметровая бумага. Определение площади четыреугольника

в квадратных миллиметрах производится непосредственным подсчетом, затруднений не вызывает, но, конечно, дает только приблизительный результат, так как мы усматриваем разные доли квадратного миллиметра, оцениваем эти доли по глазомеру и суммируем их с некоторым округлением. Указанный прием незаменим для приближенной оценки площади неправильных фигур, например, листьев того или другого дерева. Из курса ботаники можно получить справку, сколько воды испаряет в определенный промежуток времени квадратная единица древесного листа; обратимся к молодой, например, 4-хлетней яблоне, подсчитаем число ветвей, число листьев на одной ветви, общее (приблизительное) число листьев и подсчитаем, сколько воды испаряет летом наша яблонька в сутки.

Знакомство с масштабом возникло еще во второй группе при построении простейших прямолинейных диаграмм. В третьей группе надо углубить понимание масштаба и заняться чтением и составлением несложных планов жилых помещений, хозяйственных построек и небольших участков земли. Так же, как и в отношении диаграмм и графиков, составлению планов должно предшествовать их чтение, для чего учитель добывает или изготовляет показательные планы. Такие планы, соответственно реальной практике, должны быть раскрашены; раскраска обыкновенно делается акварельными красками; в крайности можно обойтись цветными карандашами. Начинаем с плана жилого помещения, на котором надо прежде всего изучить условные обозначения и смысл раскраски; с этой целью беру черт. 29, на котором представлены все виды встречающихся знаков и окрасок. Красный цвет (кр) обозначает каменные или кирпичные стены, желтый (ж)--деревянные стены или перегородки, синим цветом (с) закрашивается половина печки, кухонного очага, вообще всякого отопительного приспособления. Числа 1, 2, 3 и 4 поставлены на плане у окон с двойными рамами, 5 — у окна € одною рамою, 6 и 7 — у дверей в каменных стенах, 8 — у двери в деревянной перегородке; места в стенах, занятые окнами или дверями, не закрашиваются. Число 11 поставлено у изображения лестницы; стрелка указывает направление движения по лестнице, следовательно, первая ступенька не у двери (6), а у окна (5); число узких полосок на изображении лестницы показывает число ступеней, поэтому видно, что на этой лестнице 14 ступеней.

Черт. 28.

После усвоения обозначений на плане учащиеся измеряют, с помощью приложенного масштаба, размеры (длину и ширину) комнат; вычисляют их площадь, исключая места, занятые печами; определяют толщину стен и перегородок, ширину окон и дверей, размеры печей. Затем учащиеся составляют на клетчатой, а еще лучше на миллиметровой бумаге, план классной комнаты, а после — своей избы или комнаты. Если по внешнему виду нельзя определить, какая стена: деревянная или каменная, то это узнается постукиванием; каменная стена дает глухой звук, а деревянная — звонкий. Центр внимания при составлении плана сосредоточивается на соблюдении масштаба, который должен быть обязательно приложен к плану. Учащиеся должны основательно понять, что план без масштаба не имеет смысла.

Черт. 29.

От плана классной и жилой комнаты учащиеся переходят к составлению плана небольшого здания, например, школьного, городской квартиры в несколько комнат и крестьянского двора. Если здание содержит 2 или 3 этажа, то план каждого этажа составляется отдельно. Затем составляется план небольшого прямоугольного участка земли, например, огорода, крестьянской усадьбы и т. д. Семку плана Прямолинейного, но не прямоугольного участка я отношу к четвертой группе.

Определение площади фигур требует знания квадратных мер. Познание квадратного метра, квадратного центиметра

и кв. миллиметра достается легко. Кв. метр должен быть обведен углем или мелом на стене и на полу классной комнаты; кв. центиметр и кв. миллиметр вычерчиваются в тетради. Земельные меры ар и гектар должны быть усвоены столь же активно, как меры длины и веса, а именно учащиеся должны сами обмерить на каком-нибудь пустыре ар и гектар, зная, что ар равен 100 кв. метр., а гектар равен 100 арам или 10000 кв. метров. Ар и гектар обмериваются в виде квадратов со сторонами соответственно 10 и 100 метрам; для обмера пользуются эккером и мерной тесьмою или бечевкою, градуированною на метры. Пониманию величины ара и гектара содействует расстановка учащихся по меже этих участков, лицом внутрь участка; тогда учащиеся образуют живые вехи по границам участка и отчетливо обозревают отмеренный участок.

В четвертой группе вводится небольшое усложнение составления планов, а именно планы неправильных четырехугольников и многоугольников, проходимых по всем направлениям. Если дело касается комнаты не прямоугольной формы (когда стены дома образуют между собою острый или тупой угол) или небольшого огорода, то я рекомендую триангуляционный способ, состоящий в разбивке данной фигуры на треугольники и в обмере всех сторон этих треугольников. Вернемся к черт. 28 и предположим, что четыреугольник ABCD изображает снимаемый на план участок. Измеряем длины АВ, ВС, CD, DA и АС; тогда мы можем построить, в определенном масштабе, треугольник АБС и пристроить к нему треугольник ACD; построение производится с помощью циркуля. Если снимаемый на план участок земли сравнительно большой, то придется прибегнуть к помощи эккера или самодельной астролябии; по этому делу я отсылаю читателя к моей книге „Пособие по математике для 5-го года обучения в сельской школе“, или к книге С. В. Орлова „Первые работы по измерению земли“, или к книге Н. И. Козлова „Практическая геометрия, курс сельской школы“, или к книге Н. И. Ткаченко „С'емка планов“.

Способ определения площади фигуры по плану мною описан выше, а теперь добавляю, что учащимся следует указать еще на другой прием, а именно на палетку, состоящую из полупрозрачной бумаги, на которой вычерчена квадратная сетка, при чем каждый квадрат изображает ар или гектар—соответственно масштабу плана. Удобно пользоваться для устройства палетки миллиметровой бумагой. Допустим, что план земельного участка составлен в таком масштабе, что каждому миллиметру чертежа соответствует 10 метров в натуре; следовательно, чертеж дает уменьшение линейных размеров в 10000 раз,а площади в 100002=100000000 раз. Поэтому одному гектару в натуре, равному 10000 кв.

метров или 10000 10000=100000000 кв. центиметров, должен соответствовать на плане один кв. центиметр; тогда берем для палетки миллиметровую бумагу, промасливаем ее, высушиваем, покрываем план и считаем квадратные центиметры; их число и покажет нам число гектаров в натуре.

Меры об'ема и вычисление об'емов тел я отношу к четвертой группе, так как эта часть математики сравнительно трудна для усвоения, а младшие группы и без того имеют весьма содержательную программу. Я допускаю, чтоив третьей группе можно заняться кубатурою в простейших случаях, но предпочитаю серьезно заняться этим вопросом в четвертой группе.

Уяснение об'емных соотношений затруднительно в том смысле, что наглядность и активность требуют сравнительно сложных приспособлений. Надо иметь разборный кубический дециметр и набор многих одинаковых кубиков (не менее 64). R первом случае учащиеся скоро поймут, что кубич. дециметр, ребро которого равно 10 центиметрам, в 10.10.10 = 1000 раа более кубич. центиметра. Во втором случае строятся кубы из 8, 27 и 64 кубиков и становится ясным, что об'ем куба увеличивается в 23, З3 и 43 раз, когда ребро увеличивается в 2, 3 и 4 раза. Из одинаковых кубиков строятся бруски (прямоугольные параллелепипеды), например, в 2 слоя ко 3 4=12 кубиков в каждом слое; такой брусок содержит 2.3.4=24 кубика.

После таких упражнений становится понятным измерение об'ема ящика, комнаты, вообще тела в форме прямоугольного параллепипеда. Для лучшего понимания числа куб. метров, содержащихся в об'еме классной комнаты, следует сколотить из 12 планок, длиною по одному метру каждая, остов куба и поставить его в пустом углу комнаты. Кубические центиметры учащиеся должны вырезывать из картофелины, пользуясь для обмера миллиметрового линейкою. Это прекрасное лабораторное упражнение.

Вывод формул об'ема призмы, цилиндра, пирамиды и конуса гораздо труднее обставить наглядностью и активностью, но все же возможно. Учащиеся вырезают из крупной картофелины брусок и разрезают его по диагональной плоскости; получаются две одинаковые треугольные призмы, об'ем каждой из которых, очевидно, равен половине об'ема бруска. Возьмем теперь другой брусок, поставим его на стол и разрежем брусок по отвесному направлению на две неравные части. Во сколько раз об'ем одной части больше другой? Очевидно, во столько раз, во сколько раз площадь основания одной части больше площади основания другой; следовательно, об'ем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту. Теперь можно определить об'ем кормушки для скота, канавы, насыпи железнодорожного полотна и т. д.

С об'емом пирамиды дело обстоит еще труднее. Я не знаю другого приема, кроме взвешивания. Вырезаем из картофеля или брюквы треугольную призму (черт. 30) и находим ее вес. Делаем разрез через вершины А, В и С, получаем треугольную пирамиду, вес которое оказывается равным одной трети веса пирамиды. Отсюда получается вывод, что об'ем треугольной пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту. Вырезаем многоугольную пирамиду, разрезаем ее через вершину и диагонали основания, выходящие из одной точки, на части, представляющие собою треугольные пирамиды с одною и тою же высотой. Так как об'ем многоугольной пирамиды равен сумме об'емов ее частей — треугольных пирамид, то ясно, что об'ем многоугольной пирамиды равен одной трети произведения площади многоугольника в основании на высоту пирамиды. Об'ем пирамиды приходится определять для вывода формулы об'ема конуса. Об'ем пирамиды сам по себе нам не нужен, так как эта форма редко встречается в практике, но умение вычислить об'ем конуса весьма важен, так как куча зерна на гумне, куча щебня и т. д. имеют коническую форму, а нахождение об'ема кучи ведет к определению ее веса, что практически чрезвычайно существенно. Если по каким-либо причинам усвоение об'ема цилиндра и конуса, а также усеченной пирамиды вызовет затруднения, то я предпочел бы дать учащимся соответственные формулы догматически, чем тратить время на нудные занятия.

В той же четвертой группе учащиеся должны узнать измерение длины окружности и площади круга. Этот вопрос может быть поставлен и раньше учения об об'емах, но после ознакомления с десятичными дробями. Определение длины окружности легко произвести опытным путем при участии всех учащихся класса. Им раздаются разные круглые предметы: тарелка, ведро, стакан, обруч, дно круглой коробки и т. д. Учащиеся измеряют в миллиметрах длину окружности и ее диаметр, а затем вычисляют, во сколько раз первая длина более второй, при чем это кратное отношение находится целым числом и тысячными долями единицы. При таком массовом опыте, когда обмерялись разные окружности, получается чрезвычайно убедительный результат: большинство учащихся найдут 3,141 или 3,142. Вероятно, будут ответы, более или менее сильно уклоняющиеся от среднего числа 3,14...; в таких случаях учащиеся будут искать и найдут ошибку или в измерении, или в вычислениях. Итак, будет добыта важная истина: для получения длины окружности следует умножить длину диаметра на постоянное и отвлеченное

Черт. 30.

число 3,14. Следует сообщить учащимся, что это замечательное число, носящее особое название я (пи), равно бесконечной дроби 3.141592..., и дать для последующих вычислений таблицу:

7г = 3,14159

С помощью этой таблицы можно быстро вычислить длину окружности, радиус которой известен. Допустим, что радиус равен 17,3 центиметра, тогда диаметр равен 34,6 центиметров. Но 34,6 = 30 + 4 + 0,6, поэтому

Десятичные доли, стоящие правее пунктирной черты, мы отбрасываем при сложении, так как они выражают сотые и более мелкие доли миллиметра; сотые доли центиметра, равные десятым долям миллиметра, мы все-таки складываем, так как сумма десятых долей миллиметра может дать несколько целых миллиметров; мы получили после сложения 98,68 центиметров и округляем это число до целых миллиметров: 98,7. Попутно следует раз'яснить учащимся, что допускаемая нами неточность не имеет никакого значения в практическом отношении, так как сделанное нами округление касается одной—двух десятых долей миллиметра величины, незаметной глазу и исчезающей при числе 98 слишком центиметров, т.-е. почти при целом метре.

Из предыдущего вытекает, что для определения диаметра, если длина окружности известна, надо разделить длину окружности на тс, или умножить длину окружности на - = 0,3183. Воспользуемся второю таблицею:

Если мы измерили длину некоторой окружности и нашли 75,8 центиметров, то диаметр равен:

Вычисление радиуса, если известен диаметр, не должно вызывать затруднений.

Площадь круга определяется как сумма площадей секторов, которые, когда их много, уподобляются треугольникам; каждый такой треугольник имеет основанием маленькую дугу, похожую на прямолинейный отрезок, а высотою—очевидно, радиус. Тогда площадь круга получается равною (я опускаю подробности, которые понятны) тт. г2, где г есть величина радиуса. Вычисление площади круга производится с помощью первой из сообщенных таблиц.

Теперь мождо указать на формулы об'ема цилиндра и конуса. Цилиндр рассматривается, как призма с круглым основанием, а конус, как пирамида с круглым основанием. Если вывод формул об'ема призмы и пирамиды был сделан, то нетрудно вывести формулы об'ема цилиндра конуса; в противном случае можно дать эти формулы догматически. Точно так же догматически сообщается формула об'ема шара; но я полагаю, что без такой формулы легко обойтись в курсе школы I ступени. О частях шара и говорить не приходится. Если же встретится практическая надобность узнать об'ем предмета в форме шара, полушара, вообще круглой или криволинейной формы, то проще всего прибегнуть к измерению литром, если предмет полый, или к погружению в градуированный сосуд с водою, если предмет не представляет собою посуды, и узнать об'ем по вытесненной воде.

Кубатура, т.-е. вычисление об'ема, имеет разнообразнейшие практические применения, а потому заслуживает серьезного внимания в курсе математики. Практические применения очевидны: кубатура классной и жилой комнаты по отношению к числу пользующихся данным помещением людей, кубатура складочных помещений (пакгаузы, трюмы, вагоны и т. д.) по отношению к количеству вмещаемых товаров или предметов, кубатура земляных работ по отношению ко времени исполнения и к оплате труда, кубатура сложенного сена или соломы, кучи зерна или щебня или песка и т. д. для определения общего веса без взвешивания далеко не исчерпывают всех действительно жизненных

и производственных вопросов, решение которых сводится между прочим к вычислению об'ема. Пользуюсь случаем повторить сказанное мною в главе о метрологии относительно важности умения определять вес предмета без взвешивания. Для этого нужно узнать об'ем предмета в метрических мерах и умножить об'ем на удельный вес предмета. Если об'ем найден в

кубич. центиметрах, то об'ем выразится в граммах

дециметрах „ „ „ килограммах

„ метрах „ „ тоннах.

Так как вес воды в об'еме кубич. центиметра равен грамму, в об'еме куб. децим.—килограмму, в об'еме кубич. метра—тонне, а удельный вес дается числом, показывающим, во сколько раз данный предмет тяжелее или легче воды, взятой в том же об'еме. Для справок, нужных при решении разных задач, привожу следующую таблицу удельного веса:

Бетонная кладка, окрепнувшая 1,97

крупный. 2,28

Булыжный камень < средний . 2,11

мелкий . 1,85

Жерновой камень ........ 2,48

негашеная...... 0,86

известь гашеная в порошке.. 0,66

Кирпич............ 1,62

Щебень булыжный..... 1,85

кирпичный...... 1,18

Глина в грунте......... 1,81

Песок сухой 1,50

влажный......... 1?69

Земля в выемке........ 1.67

Дерн ............

Железо...... 7,7

Сталь...... 7,8

Чугун...... 7,2

Дуб...... 0,82

Клен, ясень, береза 0,7

Липа, ольха ... 0,58

Осина ..... 0,43

Сосна ...... 0,6

Ель ...... 0,55

Лед при 0е. . . . 0,93

Снег рыхлый . . . 0,098

Торф сухой, ... 0,39

Сено слежавшееся 0,14

Рожь....... 0,77

Мука....... 1,56

XII. Лабораторные занятия.

Работа школьника наиболее плодотворна тогда, когда она ведется лабораторным методом, т.-е. когда учащийся приобретает полезные сведения путем самостоятельных опытов, измерений и исследований. Но, очевидно, нельзя провести все обучение лабораторно. Некоторые вопросы органически не помещаются в лабораторные рамки. Например, по отношению к математике, механизм арифметических действий, всякого рода символика и другие вопросы не могут быть проработаны без активного об'яснения учителя. Но те вопросы, которые поддаются лабораторному методу, так и должны быть поставлены. Хотя лабораторный метод требует значительно больше времени, чем лекционный и другие, следует иметь в виду, что проигрыш во времени покрывается выигрышем в качестве усвоения.

Рассмотрим, что может быть проработано лабораторно в отдельных возрастных группах.

1-й год. Деление, наиболее трудное для учащихся из арифметических действий, т.-е. получение частного и остатка, легко усваивается с помощью следующих занятий.

Сначала учащиеся делают бумажные коробочки. Для этого берется прямоугольный листок бумаги и перегибается внутрь по пунктирным линиям, указанным на черт. 31. Угловые прямоугольники перегибаются по направлению к коротким сторонам и излишние концы коротких стенок загибаются назад, так что

Черт. 31.

получается аккуратная и довольно прочная коробочка (см. черт. 32). Коробочку можно получить и другим, вероятно, всем известным, способом — многократным перегибанием квадратного листка бумаги; но в этом случае коробка и менее прочна и менее изящна. Каждый учащийся должен изготовить себе по нескольку коробок, не менее 6. Затем каждый учащийся получает однородные предметы, например, спички или зерна фасоли, или камешки и т. п. Работа состоит теперь в том, что учащийся должен отсчитать определенное число предметов, например, 10 спичек, и разложить их поровну в нескольких коробочках, например, в 4. При этом получаются частные и остатки, которые записываются в следующей табличке, вычерчиваемой учащимися в тетради, разлинованной в квадратную клетку. В верхней отроке записываются делимые числа, в левом столбце—числа, на которые делят (числа коробок). Под делимым числом, против соответственного делителя, записываются рядом частные (сколько предметов оказалось в коробке) и остатки. Таблица показывает, что произведено 12 делений, из коих в 7 случаях получился остаток. Пользуюсь случаем повторить не раз высказываемое мною замечание, что учащиеся должны с первого же года обучения привыкать к делению с остатком и потому не бояться остатка, как это имело

Черт. 32.

место в дореволюционной школе, когда наличие остатка вызывало подозрение в неблагополучности решения задачи. Деление, производимое при решении истинно жизненных задач, очень редко обходится без остатка. Я полагаю, что следует вести упражнения на деление так, чтобы учащиеся получили впечатление, что деление без остатка представляет собою редкий случай, а никак не наоборот.

К лабораторным занятиям в первой группе следует отнести порядковый и групповой счет на конкретных предметах или на фигурах, рисуемых учащимися В этой книге читатель найдет образцы геометрических фигур, вычерчиваемых детьми по клетчатой бумаге и служащих для упражнений в счете. Кроме того, заслуживают внимания композиции всевозможных фигурок из квадратов, прямоугольников, равносторонних и равнобедренных прямоугольных треугольничков, вырезанных из разноцветного картона. Для этого надо обклеить листы картона разноцветною глянцевитою бумагою, вычертить на оборотной стороне картона фигурки (см. черт. 33) так, чтобы AB=AC=DM=DE=FG=HK= KL=HL=3 cm., FN=6 cm., вырезать эти фигурки, раздать учащимся по нескольку фигурок каждого сорта и разных цветов и предложить составлять разные симметричные узоры. Учащийся подсчитывает каждый раз, сколько фигурок он использовал для комбинационной фигуры, срисовывает ее в тетрадь и раскрашивает цветными карандашами соответственно своей композиции. Здесь получается упражнение в комбинаторике, симметрии и пока только зрительном знакомстве с простейшими геометрическими фигурами.

Черт. 33.

Очевидно, что все упражнения, касающиеся усвоения мер длины и веса (см главу о метрологии), относятся к лабораторным занятиям.

2-й год. В этой возрастной группе метрологические упражнения становятся более содержательными, и, следовательно, лабораторные занятия могут быть поставлены шире.

Измерения разного рода протяжений следует соединить с аккуратною и систематичною записью получаемых результатов. Допустим, что учащиеся измеряют размеры своей жилой комнаты. Необходимо требовать, чтобы в тетради появилась запись следующей формы.

Моя комната:

Длина комнаты .... 6 метров 15 центиметров.

Ширина „ .... 4 „ 70 „

Вышина „ .... 3 „ 85 „

Дверь: вышина .... 3 „ 16

ширина .... 2 „ 05

Окно: вышина .... 2 „ 87

ширина .... 2 „ 36 „

Запись должна быть сделана по возможности каллиграфически, т.-е. чисто, четко, равными строками с буквами одинакового роста и с цифрами тоже одинакового роста, при чем рост цифр должен превышать в 2 раза рост строчных букв и равняться росту больших начальных букв. Этим будет достигнута четкость и внешняя нарядность, которая особенно нужна в математических записях; кроме того, будет исполняться правильное требование Нар. Ком. Прос. о приучении школьников к разборчивому письму. В дореволюционное время существовали специальные уроки чистописания, на которых учащиеся выводили скучные строки однообразных частей букв, затем целых букв, а впоследствии копировали неинтересные прописи или списывали случайный текст из случайной книги. Такие упражнения были оторваны от других занятий и сами по себе не могли заинтересовать учащихся; уроки чистописания принадлежали обыкновенно к числу самых нудных уроков. Новая школа не должна повторять старых ошибок, не должна воскрешать противных специальных уроков чистописания. Но новая школа обязана обратить серьезнейшее внимание на четкость письма; для этого надо искоренять всякую торопливую, неряшливую запись и культивировать нарядность всякого рода записей. В этом отношении математика может оказать наиболее заметную помощь, так как неорганизованные математические записи имеют отрицательную ценность, затемняя усвоение математической сущности дела и способствуя появлению лишних ошибок.

Многократное взвешивание, необходимое во второй группе для усвоения килограмма и грамма, позволяет поставить ряд разнообразных опытов, выполняемых учащимися самостоятельно. Полезны, например, следующие упражнения. 1) Отвесить один килограмм картофеля ровной, средней величины и вычислить средний вес в граммах одной картофелины; проверить на малых весах. 2) Взвесить обычную порцию сахарного песка для одного стакана чая (2 чайных ложки), вычислить суточное и месячное потребление сахара. 3) Сколько сухих зерен фасоли весят один грамм? Здесь обнаружится, что гирька в один грамм почти уравновешивается тремя зернами; следовательно, одно зерно фасоли

весит Vs грамма. Получится в своем роде разновеска на случай надобности отвесить нормальную дозу хины, аспирина и др. несильных лекарственных порошков, так -как 11в грамма соответствует привычной старой аптекарской дозе в 5 гран для взрослого человека. 4) Сколько тыквенных семечек весят один грамм? Такие упражнения можно разнообразить до бесконечности.

В главе о геометрии читатель найдет материал для лабораторных занятий во второй группе. Сюда же надо причислить составление простейших диаграмм.

3-й год. К лабораторным занятиям относятся все упражнения, касающиеся усвоения остальных метрических мер длины, веса и площадей (см. главы о метрологии и геометрии), а также построение диаграмм. Последнее дело расширяется и углубляется в третьей группе, а поэтому займет достаточно времени, проводимого лабораторно. Кроме того, обширный и благодарный материал доставляется моделированием геометрических тел. Учащиеся делают выкройки развернутых на плоскости граней тел, перегибают по ребрам и склеивают. Наилучшим материалом для изготовления таких моделей является плотная неразлинованная бумага или ватманская бумага; хорошо использовать и плотную миллиметровую бумагу, но в этом случае надо устроить так, чтобы все ребра тела были равны целым числам центиметров и чтобы миллиметровая разлиновка приходилась снаружи

Черт. 34.

тела; тогда площади всех граней будут отчетливо выражаться целыми числами квадратных центиметров, и модель будет выглядеть нарядно. Склеивание производится холодным клейстером без комков. Существенно важно сделать выкройку так, чтобы число склецваемых граней было наименьшим. На черт. 34 изображена выкройка полной поверхности прямой треугольной призмы, основание которой суть одинаковые треугольники CED и C'E'D' со сторонами ED=E'D,=2 ст., СЕ=С,Е,=3 ст. и CD=CfD'?=4 ст. Боковые ребра призмы суть AAf (DD,)=BB»==CCI=4 ст; таким образом грань CDCfDr есть квадрат. Эта подробность сама по себе несущественна, но важно, чтобы учащиеся обнаружили ее самостоятельно. Для склеивания оставлены у ребер АВ, ВС, DD', А'В' и В'С' язычки, отгибаемые под прямым углом. Сначала грань АВВ'А' склеивается с язычком при DD' так, чтобы ребро ААГ совпало с DD', потом грань CED наклеивается на язычки при АВ и, ВС и, наконец, грань C'E'D' наклеивается на язычки при А'В> и В'C'

Начальными упражнениями по моделированию следует избрать составление выкройки и склеивание бруска (спичечной коробки) и куба; при этом учащиеся имеют в руках готовую модель и оперируют при достаточной наглядности. Затем можно перейти к склеиванию разных призм, пирамид и цилиндра. Если склеить большие коробки цилиндрической или призматической формы, без крышек, то такие коробки могут оказаться полезными в домашнем хозяйстве для укрытия пищи от пыли и мух, что имеет весьма большое значение в санитарном отношении.

Аккуратно склеенные коробки необходимы для лабораторной же проработки кубических мер. Учащийся склеивает кубик с ребром, равным одному цинтиметру, а затем еще кубики с ребрами, равными соответственно 2,3, 4 и 5 центим. Все эти кубики делаются без верхней грани. Насыпая в полученные кубические коробки сухой чистый песок и взвешивая отдельно каждую коробку с песком, учащийся убедится, что если первый кубик весит а граммов, то следующие весят соответственно 8 а, 27 а, 64 а и 125 а граммов. Песок в коробке, имеющей форму обыкновенного ящика (прямоугольный параллелепипед),с размерами 4X3X2 Дентимвесит 24а. граммов (4. 3. 2). Ряд такого рода опытов приведет учащихся к познанию того, что об'ем призматического (а также цилиндрического) тела равен произведению площади основания на высоту. С пирамидами, а следовательно и с конусом, дело обстоит значительно сложнее; поэтому кубатура пирамидальных тел откладывается до четвертого года обучения. Что же касается цилиндра, то для изготовления его модели нет надобности в точном расчете соответствия длины окружности основания с длиною прямо-

угольника, являющегося разверткою боковой поверхности; проще всего взять длину прямоугольника несколько большею длины окружности вырезанного круга и полученный излишек прямоугольника наклеить на его начало.

4-й год. К лабораторным занятиям непосредственно относятся все упражнения, касающиеся измерения протяжений и веса и описанные в главах о метрологии и о геометрии; я подчеркну здесь определение толщины листа бумаги в книге или тетради; определение веса одного зерна по счету числа зерен, весящих 1 или V2 грамма; взвешивание через одинаковые промежутки времени высыхающего полена, расчеты процентной убыли веса и вычерчивание соответственного графика. Очевидно, что и все геодезические работы, рекомендуемые в четвертой группе, относятся к лабораторным занятиям. К ним же надо отнести построение диаграмм и графиков.

Моделирование геометрических тел следует продолжать Учащиеся изготовят модели разных пирамид, полных и усеченных, а затем конуса полного и усеченного. Такое занятие имеет ценность в отношении активного и наглядного знакомства с геометрическими формами, часто встречающимися в жизни. В самом деле правильная 4-угольная пирамида дает модель палатки, крыши над колодцем или сарайчиком; 8-угольн. пирамида—шатровой крыши. Усеченные пирамиды дают формы куч песка, булыжника и т. д. Кроме того, описанные многогранники подготовляют учащихся к усвоению кубатуры тел. Я рекомендую еще моделирование сельско хозяйственных и простейших городских и других построек: изба, сарай, 2-этажный дом, 3-этажный фабричный корпус, неподвижная цистерна для хранения нефти, 6-гранная железнодорожная водокачка с граненою или конусообразною крышею, фабричная труба и т. д. Такие модели хорошо раскрашивать и изображать окна, двери и т. д. При изготовлении таких моделей, представляющих собою комбинированные многогранники, учащиеся встретятся с целым рядом подлинно геометрических соображений, которые весьма полезны для развития пространственных представлений. Я присоединил бы сюда моделирование радио-станции с ее мачтами (деревянные спицы, прикрепленные к доске), закреплениями мачт (наклонные нити) и антенною (нити), моделирование железнодорожного полотна (лепка из глины) с рельсами (выкрашенные под цвет железа деревянные планки) и телеграфными столбами (спицы) с проводами (нити) и путевыми знаками. В этих моделированиях наличие богатого геометрического элемента очевидно.

Остается высказаться относительно связи всех предлагаемых лабораторных занятий с комплексным преподаванием. Прежде всего, поскольку школьное обучение имеет одною

из своих целей приобретение учащимися полезных навыков, в том числе математических, всякие лабораторные исследования и упражнения с жизненным, доступным детям, материалом не могут противоречить схемам ГУС'а. Затем описанные занятия, касающиеся усвоения метрологии, геодезической практики, построения диаграмм и графиков, с полною очевидностью вливаются в разработку отдельных комплексных тем. Одинаково нет надобности, я полагаю, доказывать, что моделирование построек, радио станции, железнодорожного полотна и т. д. может быть непосредственно приурочено к определенным темам. Наконец, если некоторые упражнения не имеют естественной связи с очередною темою, но являются своевременными с точки зрения методической проработки математического курса, то я лишний раз повторю и подчеркну, что часть учебного времени должна быть посвящена развитию навыков в счете, независимо от обязательной разработки срочной темы. Иначе дети так и не выучатся как следует счету, что и происходит при неверном, узком и одностороннем понимании схем ГУС'а.

XIII. Обзор учебной литературы.

Учебная литература по математике для школ первой ступени, считая только книги, напечатанные в революционные годы, численно весьма велика, но книг, которые можно уверенно рекомендовать учительству, немного. Это происходит от того, что с 1918 года школьные программы вариировались много раз; затем схемы ГУС‘а коренным образом изменили постановку школьного дела. Школьная реформа не может еще считаться законченною, в нее, несомненно, будут внесены разные поправки; а пока авторы учебных книг еще не чувствуют под собою твердой почвы и приспосабливаются к определенному моменту; вследствие этого зачастую получается такое положение, что книга является к моменту своего появления на книжном рынке уже устаревшею.

Нижеследующий список книг будет неполным ко времени напечатания этой книги. Вероятно, появятся новые. Тем не менее я делаю обзор существующей литературы с целью ориентировать учительство по вопросу о лучших книгах и о таких, которые пользы не приносят.

I. Арифметические задачники.

1. К. П. Арженников. Сборник задач по математике для школ I ступени. 5 частей. 2-е изд. Костромского Губ. Изд-ва 1922 г.

Сборник был составлен, когда школа I ступ. состояла из 5 групп; поэтому задачник не удовлетворяет комплексному преподаванию. Задачи вполне жизненны и доступны учащимся. Геометрия, начиная с III части, излагается обстоятельно, но с преобладанием теории, в ущерб практике.

2. А. М. Астряб. Арифметический задачник для деревни. Вып. 1, первый год обучения, 80 стр. Госуд. Изд. Украины, 1924 г. 25 коп.

Автор ограничивается монографическим изучением чисел первого десятка вне всякого комплекса. Методическая часть разработана слабо. Очень плохие рисунки.

3. Ф. Борисов и В. Сатаров, а) Сборник задач и примеров для усвоения метрической системы. 48 страниц. Госуд. Изд. Москва, 1923 г. 30 коп.; б) Наглядный сборник арифметических задач и примеров. Госуд. Издат. 60 коп.; в) Сборник арифметических задач. Часть I. Гос. Изд. 50 коп.

Ни одна из этих трех книг не может быть рекомендована, так как авторы не отрешились от дореволюционного обычая предлагать нежизненные и схоластические упражнения.

4. Д. Л. Волковский. Математика для детей. Части I и II для первого и второго годов обучения. Печатается Гос. Изд. в Москве.

Известный автор задачников „Детский мир в числах“ предпринял их переработку в соответствии с программами ГУС‘а и прекрасно справился с новым делом. Материал разбит по временам года и по темам и безукоризненно разработан в методическом отношении. Считаю задачник в новом издании наилучшим из аналогичных.

5. С. П. Глазенап. Народный задачник для школ I ступ. Часть I—126 стр., II—124 стр., III—106 стр. Госуд. Изд. Ленинград. 1923 г.

Залачник насыщен сельскохозяйственным материалом, вполне жизненным и интересным. Многие задачи могут быть использованы для обработки комплексных тем, касающихся деревенского быта, хотя весь задачник построен не по программам ГУС‘а. Для навыков в счете упражнения многочисленны и методически верно подобраны.

6. И. И. Грацианский, а) Первые шаги. 1-й год обучения — 71 стр. Изд. „Начатки Знаний“, Ленинград. 1919 г. б) Сборник арифметических задач — 208 стр. 70 коп. 9-е изд. Изд-ва „Просвещение“. Ленинград. 1922 г.

Первая книга ближе к методическому пособию для учителя, чем к задачнику, и к схемам ГУС‘а никакого отношения не имеет. Некоторые указания, сделанные автором, спорны. Вторая книга тоже не соответствует программам ГУС‘а, но содержит задачи жизненные, преимущественно на целые числа любой величины, много геометрических упражнений. Задачи в общем несколько трудны.

7. И. И. Грацианский и И. Н. Кавун. а) Сборник арифметических упражнений. 1-й год обучения. Книга ученика. б) Руководство к означенному сборнику. Книга учителя. Гос. Изд. Ленинград. 1924 г.

Сборник формально удовлетворяет программам ГУС‘а, так как материал расположен по временам года и по темам. Методическая часть безукоризненна. Очень хорошие рисунки. Книга учителя — весьма ценное пособие.

8. Е. Горбунова, Е. Посадова и И. Цунзер. Живые числа, живые мысли, руки за работой. Книга 1-я, 140 стр., 65 коп. Гос. Изд. Москва.

Пособие для первого года, написано жизненно, интересно. Упражнения поставлены так, что требуют большой активности учащихся, но вне комплекса.

9. В. В. Добровольский. Математика для I ступ. Части I и II. Гос. Изд. Москва. 1924 г.

Материал для упражнений расположен по темам в последовательности программ ГУС‘а. Автор обратил наибольшее внимание на формальное удовлетворение требований новых программ и слабо развил упражнения для навыков в счете. Встречается не мало упражнений, непосильных учащимся.

10. В. В. Егоров, П. А. Карасев и А. А. Фроловский. Новый задачник по математике для школ I ступ. Числа до 1000. Гос. Изд. Москва. 1924 г.

Капитально переработанное издание, достигает значительного приближения к программам ГУС‘а. Прекрасно развиты упражнения для приобретения навыков в счете. Задачник может быть с успехом использован в двух младших группах.

11. Е. Звягинцев и А. Бернашевский. а) Живой счет в городской школе. Вып. 1, 64 стр., 20 коп., вып. 2, 103 стр., 30 коп., вып. 3, 100 стр., 30 коп. б) Живой счет для сельских школ. Часть I, 77 стр., 30 коп.; часть II, 115 стр. 35 коп.; часть III, 128 стр., 40 коп. Гос. Изд. Москва. 1924 г.

Задачники не вполне соответствуют программам ГУС‘а, но содержат безусловно жизненные задачи с явным уклоном в сторону естествознания. Много хорошего и правильно расположенного материала для развития техники счета.

12. С. В. Зенченко и В. Л. Эменов. Жизнь и знание в числах. 2-й год обучения, 51 стр., 25 коп., 3-е изд.; 3-й год, 56 стр., 50 коп., 3-е изд.; 4-й год, 91 стр., 4-е изд. Гос. Изд. Москва. 1923 г.

Задачники не вполне соответствуют программам ГУС‘а, но заслуживают серьезного внимания, так как, несмотря на сравнительно скромный об'ем, содержат прекрасно подобранный, жизненный материал для развития навыков в счете. Задачники ближе к деревенскому быту, чем к городскому, и превосходят все остальные количеством обществоведческих тем.

13. А. В. Ланков. Арифметический задачник на основе обществоведения. 1-й год, 124 стр., 55 коп.; 2-й год, 126 стр., 55 к.; 3-й год, 94 стр., 40 к.; 4-й год, 102 стр., 45 к. Из-во „Работник Просвещения“. Москва. 1923 г.

Задачники до некоторой степени соответствуют программам ГУС‘а, но обществоведческих тем содержат нисколько не более, чем другие задачники. Методическая часть развита слабо. Встречается много упражнений или невыполнимых, или непосильных учащимся. В скором времени появится новое, капитально переработанное, издание Гос. Изд.

14. К. Ф. Лебединцев. Счет и мера (арифметика в связи начатками геометрии). Часть I, 187 стр., 1 руб.; часть II, 207 стр., 1 руб. Гос. Изд. Ленинград 1923 г.

Задачник был составлен до появления схем ГУС‘а. Задачи жизненны. Весь материал посилен учащимся, разработан безукоризненно в методическом отношении и очень хорош для развития навыков в счете.

15. А. В. Сатаров. Арифметический задачник для школ I ступ. в метрических мерах. Вып. 1-й. Год обучения первый. 126 стр. Гос. Изд. Москва. 1923 г.

Задачник не только не соответствует праграммам ГУС‘а, но построен по принципам дореволюционной рутины. Книга никоим образом не может быть рекомендована.

16. И. С. Тер-Степанов. Сборник задач по арифметике. Вып. 1-й. Первый год обучения. 164 стр. Гос. Изд. Ленинград. 1923 г.

Соответствия с программами ГУС‘а нет. Материал для развития техники счета обильный, но подобран шаблонно и как-то скучно.

Из вышеизложенного списка я выделяю, как наиболее отвечающие современным требованиям или как наилучшие в методическом отношении, задачники Д. Л. Волковского, В. В. Егорова, П. А. Карасева и А. А. Фроловского, С. В. Зенченко и В. Л. Эменова, К. Ф. Лебединцева.

II. Пособия по геометрии.

1. А. М. Астряб. а) Наглядная геометрия. 159 стр. 1 руб. Гос. Изд. Ленинград. 1922 г. б) Задачник по наглядной геометрии. Изд. 2-е. 90 к. Гос. Изд. 1924 г.

Курс излишне теоретичен и потому мало подходит для школьников 1 ступени.

2. Ф. X. Вольф. Практическая геометрия. Вып. 1-й (для учащихся). 45 стр., 25 коп. Вып. 2-й (для преподавателя). 77 стр. Гос. Изд. Москва. 1923 г.

Второй выпуск поглощает первый. Главное внимание обращено на знакомство с геометрическими формами, основной метод — графический. Упражнения легкие, возможны в 3 и 4 группах.

3. М. Н. Иовлев. Практическая геометрия. 3-е изд. 116 стр. Гос. Изд. Москва. 1923 г.

Курс изложен преимущественно теоретически, практических упражнений весьма мало. Встречаются неудачные определения и серьезные недочеты в изложении.

4. И. И. Козлов. Геометрия для сельских школ. Гос. Изд. Ленинград. 1924 г.

Прекрасная книга, трактующая живо, интересно и доступно основные задачи землемерия, столь важные в деревенском быту. Одна из лучших книг по этому насущному вопросу.

5. И. Н. Кавун. Начальный курс геометрии. Часть I. 118 стр.; часть II. 116 стр. Гос. Изд. Ленинград. 1923 г.

Серьезный, обстоятельный курс пропедевтической геометрии. Изложение безупречное. Весь предложенный материал, вследствие его обилия, невозможно проработать в первой ступени.

6. П. А. Карасев. а) Геометрия на подвижных моделях. 102 стр. Гос. Изд. Москва. 1923 г. б) Геометрия на перегибании листа бумаги.

Автор удачно разрешает частные вопросы наглядного преподавания некоторых вопросов геометрии. Учитель с пользою может заимствовать сообщенные приемы.

7. В. Кемпбель. Наглядная геометрия. 4-е издание. Владивосток. 1922 г.

Книга уже отжила свой век; она была пионерскою по вопросу о наглядном преподавании геометрии, а теперь превзойдена другими в смысле большего приближения к жизни и производству.

8. А. Р. Кулишер. Учебник геометрии. Ступень I. Гос. Изд. Берлин. 1922 г.

Серьезно разработанный курс, подходящий для 3 и 4 групп городской школы. Много очень удачно подобранных жизненных иллюстраций.

9. П. Мартин и О. Шмидт. Геометрия дома, поля и в мастерских. 120 стр. Гос. Изд. Ленинград. 1923 г.

Изложение слабо в систематическом отношении, но сообщаемый материал весьма ценен, так как дает указания, как разрабатывать некоторые комплексные темы.

10. Ф. Г. Миккельсар. Учебник геометрии для школ. I ступ. 127 стр. Гос. Изд. 1921 г.

Один из первых, по времени появления, курсов начальной геометрии В настоящее время книга устарела, так как изложение страдает теоретичностью.

11. А. И. Никитин. Первая ступень из геометрии. 86 стр. 20 коп. 6-е изд. Гос. Изд. Ленинград. 1923 г.

Книга рассчитана на 3 и 4 возрастные группы, но изложение не везде доступно школьникам; автор оказывает слишком много внимания определению геометрических понятий, но иногда неудачно. В упражнениях встречаем задания, противоречащие жизненной правде.

12. С. В. Орлов. Первые работы по измерению земли. 67 стр. Гос. Изд. Москва. 1921 г. (Появилось второе издание 1924 г.)

Мастерски описано самодеятельное изготовление эккера, буссоли, дальномера и др. приборов, а также пользование ими для мензульной, буссольной, маршрутной с'емки плана. Указано, как делить по плану участки земли на равные части. Полезные указания о приближенных вычислениях. Книгу следует признать настольного для сельского учителя.

13. Я. И. Перельман. Практические занятия по геометрии. 176 стр. Гос. Изд. Ленинград. 1923 г.

Очень интересно составленная книга, дающая ряд превосходных практических упражнений, комплексирующих геометрию с другими отраслями знания. Хотя автор предназначил свой труд школам I ступ., я полагаю, что книга более соответствует учащимся II ступ.

14. Н. И. Ткаченко. С'емка планов. 31 стр. Изд. „Работник Просвещения“ (Педагогические курсы на дому№ 3). Москва. 1924 г.

Брошюра излагает живо и отчетливо простейшие задачи землемерия, решаемые с помощью самодельных приборов, а потому заслуживает внимания.

15. Е. Г. Шалыт. Наглядная геометрия. Элементарный практический курс. 216 стр. Гос. Изд. Ленинград. 1923 г.

Очень хороший курс, содержащий много практических задач. Книга выгодно отличается от аналогичных тем, что содержит материал, доступный младшим возрастным группам.

16. Г. Шаррельман. Творческая геометрия. 1 руб. Изд. „Работник Просвещения“.

Серьезная книга, обращающая много внимания на активность учащихся; в основе метод исследовательский. Практических примеров мало, общий тон теоретический.

В виду того, что геометрические вопросы включены почти во все арифметические задачники, в школах I ступ. не встречается потребности в специальном учебнике геометрии. Поэтому перечисленные книги имеют значение только как пособие для учителя. Наибольшего внимания заслуживают книги И. И. Козлова, С. В. Орлова и Е. Г. Шалыта.

III. Методические пособия и руководства.

1. Д. Л. Волковский. а) Методическое руководство к числам первого десятка. 1 руб. б) Руководство к задачникам „Детский мир в числах“, часть I, 1 р. 40 к., часть II, 1 р. 10. Гос. Изд. Москва.

Эти книги, независимо от их отношения к определенному задачнику, имеют самостоятельное значение, как обстоятельное пособие по методике устного и письменного счета.

2. А. Герлах. Как преподавать арифметику в духе творческого воспитания. 190 стр. 65 к. Гос. Изд. Берлин. 1922 г.

Немецкий педагог высказывает много прогрессивных мыслей, подходящих к духу нашей реформированной школы; он — убежденный сторонник жизненности задач и принципа обучения счету для решения жизненных вопросов. Книга касается только арифметики.

3. А. И. Гольденберг. Беседы по счислению. 175 стр. 1 р. 60 к Гос. Изд. Москва. 1923 г.

Очень обстоятельно и серьезно изложена методика устного и письменного счета. Относительно решения этого частного вопроса я считаю книгу А. И. Гольденберга наилучшею.

4. С. В. Зенченко и В. А. Эменов. Методическое руководство к задачникам „Жизнь и знание в числах“. 78 стр. 2-е изд. Гос. Изд. Москва. 1923 г.

Небольшая книжка делится на 2 неравные части: меньшая излагает, и притом весьма сжато, разные методические указания, а большая представляет собою справочник разных полезных сведений преимущественно по сельскому хозяйству. Этот справочник весьма ценен, как материал для разработки различных комплексных тем.

5. М. А. Знаменский. Математика летом. 24 стр. Изд. Отдела реформы школы Нар. Ком. Просв. 1918 г.

Брошюра излагает очень живо и хорошо тот материал, который может быть разработан в летней школе. Брошюра уже устарела, так как ее содержание растворилось теперь в задачниках, где материал расположен по временам года.

6. П. Казанцев. Схема задачника для сельской школы I ступ. 62 стр. Гос. Изд. Москва. 1920 г.

Книжка не утратила своего значения, так как автор излагает, как обходиться без готовых задач. Этот вопрос особенно важен в условиях комплексного преподавания.

7. В. М. Куперштейн и Е. Г. Шалыт. Записки по методике арифметики. 160 стр. 2-е изд. Часть I. Из-во „Сеятель“. Ленинград. 1923 г.

Книга излагает главным образом приемы развития навыков в счете. Изложение серьезное и обстоятельное.

8. В. А. Лай. Первый год обучения арифметике. 39 стр. Из-во „Работник Просвещения“. Москва. 1923 г.

В этой брошюре напечатана лишь часть замечательного труда немецкого методиста. Автор научно обосновывает методы обучения и в этом отношении он не имеет соперников.

9. А. В. Ланков. а) Математика в трудовой школе. 167 стр. Из-во „Работник Просвещения“. Москва. 1923 г. б) Устный счет. Очерки по теории и практике устных вычислений. Из-во „Работник Просвещения“. Москва. 1923 г.

Первая книга выясняет значение математики в реформированной школе и трактует поэтому наименее разработанные вопросы; автор внес свою посильную лепту, но эти вопросы требуют более детального освещения. Вторая книга является пока единственной, написанною русским автором, методикой устного счета, дает много полезных указаний, но не исчерпывает поставленного вопроса.

10. К. Лезан. Новые пути ознакомления детей с математикою. 127 стр. 50 коп. Гос. Изд. Берлин. 1922 г.

Методических указаний в книге мало; все они сводятся к тому, что следует всемерно использовать принцип занимательности. Такое направление, конечно, односторонне. Книга содержит главным образом забавные задачи и софизмы, которые в более разнообразном и интересном виде напечатаны в других книгах (см. дальше).

11. К. Ф. Лебединцев. а) Математика в народной школе. I ступень. 126 стр. Изд. журнала „Народный Учитель“. Москва. 1918 г. б) Введение в современную методику математики. Гос. Изд. Укр. 94 стр. 40 коп. Киев 1925 г.

Первая книга освещает вопросы: упрощенные приемы вычислений, курс дробей, преподавание геометрии; изложение интересное. Некоторые другие вопросы, затронутые в книге, уже утратили свое значение, например, о разделении задач по типам. Вторая книга заслуживает внимания, так как излагает вполне современные вопросы, но, к сожалению, немногие.

12. Ф. Мартель. Быстрый счет. 2-е изд. 81 стр. Гос. Изд. Москва. 1923 г.

Сильно сокращенное и очень плохо переделанное издание превосходной книги того же автора „Приемы быстрого счета“ (155 стр. Петербург. 1910 г.).

13. Я. И. Перельман. Новые и старые меры. 31 стр. 15 коп. Изд. журнала „В мастерской природы“. 1920 г.

Брошюра заслуженно выдержала много изданий, так как излагает очень живо простейшие и наглядные соответствия между русскими мерами и метрическими; такие соответствия полезно использовать при преподавании метрических мер.

14. Г. А. Уэнтуорт и Е. М. Рид. Первоначальная арифметика. Часть I. 244 стр. 1 руб. 50 коп. Гос. Изд. Москва. 1923 г.

Интересная книга, выясняющая постановку дела в американских школах, может быть использована у нас только частично.

15. В. Г. Фридман. Методика арифметики. 187 стр. Гос. Изд. Москва. 1923 г.

Методические указания касаются главным образом развития навыков в счете и в общем близки к указаниям А. И. Гольденберга. На вопросы, связанные с новыми программами ГУС‘а, ответа нет.

16. Д. Юнг. Как преподавать математику. (Перепечатывается Гос. Изд.)

Очень обстоятельная и серьезная книга. На вопросы о комплексном преподавании ответов нет, но указания о жизненном преподавании математики весьма ценны. Так же ценно изложение методов исследовательского, эвристического и др.

Методическая литература, представленная 19 поименованными книгами, или дает исчерпывающий ответ на вопрос о развитии техники счета (как, например, книга А. И. Голь-

денберга), или достаточно полные ответы на некоторые частные вопросы, например, об устном счете (книги А. В. Ланкова и Ф. Мартеля). Эти вопросы были обстоятельно разработаны еще до революции. Вопросы же, касающиеся новых требований нашей реформированной школы, пока почти не разработаны.

IV. Математические развлечения и игры.

1. В. Аренс. Математические игры и развлечения. 147 стр. 1 руб. Из-во „Петроград“. Ленинград. 1924 г.

Довольно полный сборник, но применимый в школах I ступ. менее чем наполовину.

2. А. Ф. Вебер. Хитрые загадки — нехитрые отгадки. В мире чисел 62 стр. Из-во „Мысль“. Ленинград. 1924 г.

Мало оригинальный сборник, но пригодный тем, что все задачи могут быть решены чисто арифметически.

3. И. Я. Герд. Игры для детей всех возрастов. 210 стр. 2 руб. Из-во Брокгауз-Эфрон. Ленинград. 1924 г.

Очень полное собрание всевозможных игр спортивных, комнатных и общеобразовательных, в том числе и математических. Весьма полезная книга для учителя, затрудняющегося наполнить детский досуг разнообразными и разумными играми.

4. Е. И. Игнатьев. В царстве смекалки. Книга I. Гос. Изд. Москва. 1924 г.

Переработанное издание в связи с современностью. Учитель извлечет много ценного материала.

5. В. Литцман. Веселое и занимательное в числах и фигурах. 163 стр. Из-во Френкель. 1923 г.

Исключительно интересная и оригинальная книга, резко выделяющаяся свежестью и разнообразием материала. Каждый любитель математики перечитает несколько раз с увлечением эту книгу.

6. Я. И. Перельман. а) Веселые задачи. 124 стр. Из-во „Начатки знаний“. Ленинград. 1919 г. б) Загадки и диковинки в мире чисел. 132 стр. Из-во „Наука и Жизнь“. Ленинград. 1923 г. в) Числа великаны. Ленинград. 1925 г.

Живо и интересно написанные книги дают освежающий материал для любителей математики.

7. Я. В. Успенский. Избранные математические развлечения. 262 стр. Изд. „Сеятель“. Ленинград. 1924.

Содержание в общем мало интересно и не вполне подходящее для школ I ступени.

8. Г. Шуберт. Математические развлечения и игры. 187 стр. 1 р. 80 к. 2-е изд. „Mathesis“. Одесса. 1923 г.

Мало оригинальный сборник содержит почти тот же материал, который находим в книгах В. Аренса и Я. В. Успенского.

V. Разные книги для учителя.

1. В. К. Беллюстин. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. 204 стр. 1 руб. Госуд. Издат. Москва. 1922 г.

Первая по времени в нашей литературе популярная история арифметики. Некоторые исторические сведения устарели и не соответствуют новейшим данным. Очень ценно описание различных приемов арифметических действий. Книга должна быть рекомендована.

2. А. М. Воронец. Справочник по математике для учащихся в школах II ступ. 208 стр. 1 руб. 2-е изд. Гос. Изд. Москва. 1923 г.

Собрание формул по всему курсу элементарной математики, 4-значные таблицы логарифмов и много всевозможных справочных таблиц для перевода мер, для разного рода вычислений.

3. И. Н. Кавун. Приближенные вычисления. Курс элементарный. 125 стр. Гос. Изд. 1922 г.

Превосходная книга, весьма полезная учителю, затрудняющемуся приемами приближенных вычислений: частично должна быть использована в преподавании.

4. Э. Норрис и К. Смит. Практическая арифметика. 246 стр. 2-е изд. Гос. Изд. 1923 г.

Превосходный учебник для технических школ. Для трудовой школы учитель с пользою заимствует применение мер работы и мощности2 расчеты передачи движения и др. технические задачи.

5. Г. Н. Попов и А. М. Воронец. Математический словарь. 128 стр. 80 коп. Изд. Френкель. 1923 г.

Об'яснение математических терминов, встречающихся в курсе элементарной математики; исторические справки.

6. Г. Н. Попов. Псаммит Архимеда. 96 стр. Из-во „Сеятель“. Ленинград. 1923 г.

Книга комментирует труды Архимеда, в том числе знаменитую работу „Псаммит“ об исчислении песчинок во вселенной. Может быть использована для усвоения смысла больших чисел.

7. Г. Н. Попов. Очерки по истории математики. 166 стр. Из-во Френкель. 1923 г. (Второе издание напечатано в 1925 г.)

Книга читается с неослабевающим интересом. Сообщаются новейшие данные о математической культуре Вавилона, Египта, индусов и греков. Вопросы метрологии, счета, геометрии в мастерском изложении автора приобретают серьезное методическое значение.

8. Н. А. Самгин. Календарь, его значение и реформы. 40 стр. Гос. Изд. 1923 г.

Хорошее описание астрономических обоснований календаря, его истории. Весьма полезно для ознакомления.

Книги, перечисленные в этом последнем разделе (V), вместе с немногими, выдвинутыми мною в предыдущих (I—IV), представляют собою ту библиотечку, которую я считаю настоятельно необходимой для переподготовки учительства по математике применительно к новым программам.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Предисловие 3

I. Новые программы 5

II. Роль математики в комплексе и методы преподавания 13

III. Метрология 25

IV. Задачи 43

V. Счет в уме 59

VI. Механизация счета 66

VII. Диаграммы и графики 75

VIII. Математические игры и развлечения, числовые курьезы 90

IX. Некоторые частные вопросы преподавания арифметики 104

X. Алгебра в I ступени 114

XI. Геометрия в I ступени 121

XII. Лабораторные занятия 139

XIII. Обзор учебной литературы 147