ГОРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. А. М. ГОРЬКОГО

Вопросы методики преподавания стереометрии

ГОРЬКИЙ — 1961

ГОРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. А. М. ГОРЬКОГО

Вопросы методики преподавания стереометрии

Сборник статей под редакцией В. В. Репьева

ГОРЬКИЙ—1961

К 50-ЛЕТНЕМУ ЮБИЛЕЮ ГОРЬКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. М. ГОРЬКОГО (1911—1961 гг.)

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ

Ученые записки, выпуск 32.

Предисловие

Тезисы ЦК КПСС и Совета Министров СССР, а также Закон, принятый Верховным Советом СССР, о связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в стране вызвали перестройку системы общего среднего образования, разработку новых учебных планов, пересмотр учебных программ. Вместе с тем эти документы выдвинули многие важные проблемы, к числу которых в первую очередь относится проблема о связи воспитания и обучения с жизнью, с трудом, с коммунистическим строительством, проблемы об активизации методов обучения, о поднятии эффективности преподавания и др. Эти проблемы исследуют педагогика и частные методики, в том числе и методика преподавания математики.

Группа научных работников кафедры алгебры и геометрии ГГПИ им. А. М. Горького за последние годы занималась изучением некоторых актуальных проблем систематического курса стереометрии; в этом принимали участие и некоторые учителя школ. В результате сочетания индивидуальной и коллективной работы написана серия статей, которые вошли в настоящий сборник.

В сборнике рассматриваются некоторые общие актуальные вопросы методики преподавания стереометрии, которые доводятся до конкретных рекомендаций.

На основании руководящих документов в области народного образования В. В. Репьев в статье «Некоторые проблемы преподавания стереометрии» рассматривает вопросы: о повышении уровня геометрического образования, о формировании марксистско-ленинского мировоззрения при обучении стереометрии, о связи преподавания

стереометрии с производственным обучением и производительным трудом, об активизации методов обучения.

В работе М. И. Савина «Из истории стереометрии» дается исторический очерк зарождения стереометрических знаний под влиянием практики, производства. В статье, в частности, рассматривается состояние стереометрических знаний у вавилонян, египтян, индийцев, развитие стереометрии в древней Греции и в Западной Европе в XV—XVII веках. Учитель, желающий дать учащимся исторические справки о возникновении и развитии стереометрических знаний, найдет в этой работе подходящий материал.

Во второй статье В. В. Репьева «О наглядности в преподавании стереометрии» рассматриваются основные причины недостаточного применения наглядности в некоторых школах, кратко излагаются основы наглядного обучения стереометрии, а также пути реализации принципа наглядности, основные пути оснащения математического кабинета. В статье дается примерный план оборудования кабинета в той части, которая связана с преподаванием геометрии.

Последующие две статьи, написанные учителем средней школы № 45 г. Горького А. И. Раевым, «Портативный стереометрический прибор» и «Стереометрический прибор из органического стекла» хорошо показывают, что может сделать для оснащения математического кабинета творчески работающий педагог. Вместе с тем статьи A. И. Раева содержат обстоятельный материал, дающий возможность любому учителю, стремящемуся улучшить постановку геометрического образования в средней школе, создать в школе силами учащихся копии описанных приборов.

В. М. Квашнева в статье «К вопросу о связи преподавания стереометрии с жизнью, с трудом» развивает положения, что при формировании стереометрических понятий и связанных с ними образов, при изложении некоторых теорем ценно опираться на те вещи, с которыми учащиеся имеют дело в производственной практике, на те представления, которые обусловлены этой практикой. Используя металлообрабатывающее производство.

B. М. Квашнева приводит значительное количество задач, связанных с производством, а равно и задач, решаемых по чертежам. В статье рассматриваются примеры органи-

зации и проведения математических и комплексных экскурсий к объектам производства.

Г. П. Сенников в большой работе «Задачи на построение в школьном курсе стереометрии» рассматривает в методическом плане проблему о решении стереометрических задач на построение. В работе изложены доступные для учащихся аксиомы, лежащие в основе решения конструктивных задач, приведено значительное число задач с решениями, обстоятельно изложена методика решения задач на построение сечений тел плоскостью. В последней части работы изложено более строгое учение о конструктивных задачах. Это поможет молодому учителю повысить свою научную квалификацию в этом вопросе.

Содержание сборника не претендует на исчерпывающее решение современных методических проблем преподавания стереометрии. Коллектив авторов рассматривает сборник только как одну из первых попыток в этом направлении. Однако учитель найдет в сборнике материал для размышлений и для применения в практической деятельности.

Отзывы и критические замечания о сборнике просим направлять по адресу: г. Горький, Советский район, площадь Минина, Педагогический институт им. А. М. Горького, Кафедра алгебры и геометрии.

В. РЕПЬЕВ

В. В. РЕПЬЕВ

НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРЕПОДАВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

В Законе об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР четко сформулирована главная задача советской школы. Такой задачей является «подготовка учащихся к жизни, общественно полезному труду, дальнейшее повышение уровня общего и политехнического образования, подготовка образованных людей, хорошо знающих основы наук, воспитание молодежи в духе глубокого уважения к принципам социалистического общества, в духе идей коммунизма». Закон указывает и ведущее начало обучения и воспитания; таким началом «должна стать тесная связь обучения с трудом, с практикой коммунистического строительства».

Главная задача школы и ведущее начало обучения и воспитания дают возможность установить и раскрыть основные руководящие положения о преподавании математики и, в частности, стереометрии в советской средней общеобразовательной трудовой школе с производственным обучением.

В связи с изучением арифметики и систематического курса планиметрии в 8-летней школе учащимся сообщаются некоторые факты из стереометрии, преимущественно связанные с вычислением площадей поверхностей и объемов некоторых тел. Сообщение стереометрических фактов делается в некоторой системе, обусловленной курсом планиметрии, но оно не носит характера систематического курса стереометрии, хотя бы упрощенного: доказательства отсутствуют, сущность предложений выясняется путем наблюдений, эксперимента, т. е. устанавливается с помощью неполной индукции. Знание стереометрических

фактов полезно: оно находит применение в практике —в разнообразных видах производительного труда, в быту. Такое изучение стереометрии обогащает представления учащихся о формах и отношениях трехмерного пространства и подготавливает изучение систематического курса стереометрии для тех, кто по окончании 8-летней школы пожелает продолжать образование.

Систематический курс стереометрии начинается в 10-м классе средней школы.

В дальнейшем рассматриваются только те проблемы и вопросы преподавания стереометрии, которые относятся к систематическому курсу.

1. О повышении уровня геометрического образования

В формулировке главной задачи школы указывается на необходимость дальнейшего повышения уровня общего и политехнического образования, на необходимость подготовки образованных людей, хорошо знающих основы наук. Эти общие положения относятся и к школьному курсу элементарной геометрии, которая является существенной неотъемлемой частью общего и политехнического образования.

Средняя общеобразовательная трудовая школа с производственным обучением укомплектовывается молодежью в возрасте 15—18 лет. На этот период падает ранний юношеский возраст, характеризующийся повышением всех видов психической деятельности. Развивается большая, чем в подростковом периоде, самостоятельность мышления, нарастает последовательность и систематичность его, возникает критическое отношение к мышлению других.

В раннем юношеском возрасте совершенствуется воля, развивается воображение и, в частности, пространственное, появляется интерес к творчеству, формируются основы мировоззрения.

Происходящие изменения психической деятельности, её развитие обусловлены возрастными физиологическими факторами и в особенности общественной средой, воспитанием и обучением. В этом отношении весьма значительна роль школьного воспитания и обучения. Оказывает

влияние новый весьма существенный фактор воспитания и обучения — производственное обучение, направленное на приобретение прочных знаний и навыков по некоторой специальности, и производительный труд.

Разностороннее развитие психической деятельности в раннем юношеском периоде создает благоприятные условия для общего и политехнического образования, в частности, для изучения математики и того раздела ее, который нас интересует в этой работе — стереометрии.

Несмотря на благоприятные условия умственное развитие учащихся не позволяет дать строго логическое изложение курса стереометрии: он представляет своеобразное сочетание логических построений и выводов с наглядными представлениями. Система аксиом школьного курса неполна: в ней представлены многие (но не все) аксиомы группы соединения, имеются аксиома параллельности и группа аксиом непрерывности (аксиома Архимеда и аксиома Кантора) ; в ней отсутствуют аксиомы порядка и конгруентности (или движения). Неполнота системы аксиом приводит к тому, что при изложении доказательств приходится опираться на такие положения, которые не предусмотрены аксиомами, а кажутся очевидными на основе представления геометрических образов.

Однако несовершенство школьной системы аксиом и логической структуры курса не мешают при изучении стереометрии усилить внимание логическому построению геометрии. С этой целью целесообразно обратить внимание учащихся на основные понятия (точка, прямая, плоскость) и применяемые в школьном курсе основные отношения (лежать, непрерывность) ; подчеркнуть при этом, что основные понятия вводятся через абстракцию от соответствующих материальных форм и отношений, что их нельзя ввести путем определения, ибо они являются первыми. Уместно дать обзорное повторение уже ранее введенных аксиом и пополнить аксиоматику новыми аксиомами соединения, полезно напомнить введение понятий через определения, структуру определений и познакомить на примерах, если этого не было сделано ранее, с доказательствами существования.

Изучить школьный курс математики это означает не только овладеть математическими фактами и доступны-

ми приложениями их в практике, но овладеть и методами, свойственными этому курсу. Следует раскрывать на конкретных примерах сущность основных методов стереометрии, учить сознательно применять их; например, на подходящем материале рассмотреть теоремы с необходимым условием, с достаточным условием и, что особенно важно, с необходимым и достаточным условиями, вместе с тем показать, что последние выделяют характеристический признак математического объекта.

В отношении доказательств повышается, поскольку это позволяет система аксиом, требовательность к логическим обоснованиям; это выполняется и при изложении теорем и при решении разнообразных задач.

До сих пор курс стереометрии в школе по содержанию весьма близок к тому, как он сложился у древних греков, как он развит в «Началах» Евклида и трудах Архимеда. Однако современные научные курсы стереометрии значительно обогатились новым материалом и новыми методами. В частности, в них уделяется большое внимание отображениям по установленным правилам одних фигур на другие. Отображение — одно из общих и весьма важных понятий современной математики, имеющее большое теоретическое значение и весьма широкое применение в практике.

В курсе планиметрии учащиеся познакомились с некоторыми отображениями (переводами) фигур и, может быть, с преобразованием плоскости. Они познакомились с отражением от прямой, от точки, паралелльным переносом, гомотетией.

При изложении стереометрии целесообразно в доступном виде культивировать понятие об отображении и, в частности, о преобразовании пространства. Например, учащиеся знакомятся с симметрией относительно плоскости, центральной симметрией, осевой симметрией. Этот новый для школьных курсов материал начинает прокладывать себе дорогу в школьных учебниках и программах.*

Усиление внимания логической структуре стереомет-

* Н. А. Глаголев, А. А. Глаголев, Геометрия, стереометрия, изд. 4, переработанное, под редакцией А. А. Глаголева. Учпедгиз, 1958.

Проект программ по математике, ж. «Математика в школе» № 4 за 1959 г.

рии естественно приводит к тому, чтобы обратить достаточное внимание на основания при выполнении построений, при решении задач на построение.

Геометрические места точек и прямых и метод геометрических мест имеют широкое применение как в геометрических дисциплинах (например, аналитической геометрии), так и в других, пользующихся математическими методами (например, механике). Геометрические места применяются при обосновании некоторых теорем (например, об описании сферы около многогранников, о вписании сферы в многогранники), они имеют значение при решении разнообразных задач, особенно на построение.

Иногда приходится наблюдать, что преподаватель игнорирует знакомство с геометрическими местами, понятие о геометрическом месте не расширяется, совершенно исключается решение задач методом геометрических мест точек и прямых. Такая работа дефектна.

Теоремы о некоторых геометрических местах устанавливаются при изучении программных вопросов, другие изучаются в порядке задач на отыскание геометрических мест. Умело поставленное решение задач методом геометрических мест может привести к открытию новых для учащихся мест точек и прямых.

2. Формирование научного мировоззрения

Советская средняя школа воспитывает подрастающее поколение в духе самых прогрессивных идей — идей коммунизма. А это прежде всего означает, что она призвана формировать у молодежи основы единственно научного познания мира — марксистско-ленинское мировоззрение. Формирование осуществляется всей совокупностью, всей системой воздействия школы на подрастающее поколение и особенно изучением основ наук, в том числе и основ математической науки. Правильное преподавание стереометрии вносит свой вклад в выполнение этой задачи.

Для формирования научного мировоззрения прежде всего важно в доступной форме и правильно раскрыть предмет элементарной геометрии. Известно, что математика имеет своим объектом пространственные формы

и количественные отношения действительного мира.* Так как геометрия — часть математики, то данное Энгельсом описание объекта математики применимо и к элементарной геометрии. Отражение пространственных форм и отношений материального мира в сознании человека приводит к формированию понятий, к формированию геометрических образов. Таким путем получаются геометрические понятия тела, поверхности, линии, точки и соответствующие геометрические образы, их разнообразные виды и совокупности, находящиеся в различных отношениях. Эти отношения весьма разнообразны. Из них можно выделить отношения взаимного расположения (внутри, вне, между и другие) и отношения по величине (равны, больше, меньше). Легко усмотреть, что геометрические отношения также отражения в нашем сознании отношений, существующих между вещами материального мира; например, инцидентность (соединение, сочетание) геометрических образов и понятий является отражением соответствующих отношений реальных пространственных форм: межевой столб («точка») принадлежит межнику («прямой»), ватерлиния («линия») лежит на борту судна («поверхности»).

Важно также показать, что зарождение начатков стереометрических знаний у народов древности—египтян, вавилонян, китайцев и других — обусловлено практической деятельностью человека и человеческого общества — земледелием, другими видами производства (гончарное дело), строительством (каменотесное дело), торговлей и связанным с ней мореплаванием. Практика побуждала интересоваться формами вещей, находить вместимость жилищ и житниц, объемов котлованов для построек. Практика побуждала искать ответы и на многие другие вопросы, связанные с пространственными формами и отношениями. Начальное накопление геометрических фактов носило эмпирический характер. В этот период геометрические знания представляли серию разрозненных фактов, серию правил — предписаний о том. как надо действовать и вычислять при решении той или другой практической задачи. Правила — предписания истолковывались на конкретных задачах.

* Ф, Энгельс, Анти-Дюринг, 1950, стр. 37.

Весьма вероятно, что в конце эмпирического периода накопления геометрических фактов начинает подмечаться возможность вывода одних фактов из других; так, например, зная правило вычисления объема прямоугольного параллелепипеда, легко вывести из него правило вычисления объема любого прямого параллелепипеда, а затем прямой треугольной призмы и любой прямой призмы.

Важно показать, что и дальнейшее развитие стереометрии происходит в одних случаях под непосредственным влиянием практики (развивающегося производства, усложняющегося строительства, а также под влиянием производственных отношений), в других случаях опосредствованно через другие научные области. Например, торговые сношения по морям способствуют развитию мореплавания и астрономии, а последняя обусловливает особый интерес к сфере, ее свойствам, к решению сферических треугольников. Строительное дело в некоторых случаях (строительство улучшенных дорог, водопроводов, бассейнов) опирается на топографические данные: появляется интерес к решению плоских треугольников.

В отношении формирования мировоззрения полезно показать, что геометрические понятия, связанные с ними геометрические образы и их отношения являются отражениями в сознании человека действительных пространственных форм и отношений. Исходным методом создания геометрических понятий и соответствующих образов, как уже отмечалось, является абстракция: путем отвлечения от всяких свойств материальных тел и отношений, кроме пространственных (формы, размеров, положения) формируются основные понятия геометрии. Ф. Энгельс указывает: «...чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины....»*

Например, строительство из бамбука жилищ цилиндрической формы, изготовление сосудов из коры дерева, из глины постепенно приводит к общему представле-

* Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1950, стр. 37,

нию цилиндра; отделяя форму от конкретного содержания, получаем возможность изучать эту форму в чистом виде.

Конечно, и многие понятия, которые в наше время вводятся путем определений, вошли в геометрию через абстракцию: определять такие понятия стали значительно позже того времени, когда начали пользоваться ими; например, в первой книге «Начал» Евклид пользуется понятиями «длина», «равные» (в смысле конгруентные) фигуры, но не дает соответствующих определений.

Известно, что основные понятия — «вещи» и отношения их — в аксиоматически построенном курсе геометрии допускают различные интерпретации, лишь бы «вещи» и отношения удовлетворяли системе аксиом. Используемая в школьном курсе интерпретация — исторически первая, она обусловлена практикой. Оперирование с точками, прямыми, плоскостями «привычного» вида—результат практической деятельности человека: точка — пылинка, песчинка, иное тело, размерами которого пренебрегают, прямая — натянутая нить, от толщины которой отвлекаются, плоскость — отшлифованная поверхность зеркала. Отсюда точка — укол или след острия карандаша на бумаге, прямая— след, отбитый на доске натертой мелом натянутой нити, или линия, прочерченная по ребру линейки на бумаге, плоскость — пластинка, толщина которой не учитывается. Эти наглядные образы привычны, естественны, хотя вовсе не обязательны для развития абстрактной геометрической теории.

Применяемые методы доказательств являются отражениями закономерностей внешнего мира в сознании человека, отражениями оперирования людей в практике с реальными пространственными формами. В школьном курсе геометрии и в частности стереометрии эти методы устанавливаются частично законами и правилами логики, частично они предусматриваются аксиомами и частично непосредственно заимствуются из практики оперирования материальными пространственными формами. Во всех случаях они обусловлены практикой. В. И. Ленин указывал: «Законы логики суть отражения объективного в субъективном сознании человека», «...практика человека, миллиарды раз повторяясь, закрепляется в сознании человека фигурами логики. Фигу-

ры эти имеют прочность предрассудка, аксиоматический характер именно (и только) в силу этого миллиардного повторения».*

Применяемые в школьном курсе стереометрии аксиомы представляют непосредственное или опосредственное отражение в сознании результатов практической деятельности человека. Например, аксиома измерения отражает опыт непосредственного измерения отрезка некоторым единичным отрезком: в практике всегда наблюдалось, что откладывая последовательно единичный отрезок на измеряемом от одного из его концов, мы достигаем другой конец или «перешагиваем» через него. В практике много раз наблюдалось и использовалось то, что три «материальные точки», не расположенные на «прямой», вполне определенно фиксируют положение «материальной плоскости».

Такие методы доказательств, как наложение одной фигуры на другую, как выполнение различных операций над значениями величин, вносятся в курс геометрии непосредственно из практики оперирования людей с материальными формами и отношениями. Косвенное доказательство и способ приведения к абсурду, по-видимому, навеяны судебной практикой.

Итак, основания школьного курса геометрии есть отражения в сознании человека реальных пространственных форм и отношений между ними. Эти основания обусловлены практикой человечества.

Происхождение оснований элементарной геометрии оказывает существенное влияние на всю структуру этой дисциплины. С одной стороны геометрия излагается на основе установления понятий, с применением доказательств, с другой стороны эти понятия и выводы связаны с наглядными геометрическими образами. Например, равенство при некоторых условиях двух двугранных углов устанавливается путем доказательства и одновременно используются соответствующие геометрические образы. Своеобразное соединение геометрических абстракций и логических обоснований с наглядностью образов является характерным для всей системы элементарной геометрии и особенно стереометрии. Оно служит основанием того, что при изложении геометрии в учеб-

* В. И. Ленин, Философские тетради, 1947. стр. 158, 188.

никах и на уроках широко используются чертежи геометрических фигур.

Возможность построения курса геометрии на неполной системе аксиом объясняется тем, что геометрические образы и их взаимное расположение позволяют непосредственно усматривать некоторые свойства и отношения их, не вытекающие из принятых аксиом. Это непосредственное усмотрение восполняет дефекты системы аксиом. Например, в школьных курсах геометрии не всегда вводится аксиома непрерывности, однако образы прямой, окружности, сферы побуждают мыслить их непрерывными. В этих курсах нет и аксиом порядка, однако наглядные представления побуждают мыслить, что если в плоскости лежит треугольник и прямая, пересекающая одну сторону треугольника, то она обязательно пересекает одну из двух других сторон или проходит через противоположную вершину.

Описанное происхождение оснований геометрии из практики обуславливает широкую приложимость геометрических фактов и методов во многих других науках и в разнообразных областях практической деятельности человека. В формировании мировоззрения молодого поколения большое значение имеет показ приложений геометрии, а еще большее значение принадлежит умениям и навыкам применять знания в общественно полезном труде — в производстве, строительстве, быту.

Вскрывая перед учащимися предмет и основной метод геометрии в формировании понятий, возникновение и развитие геометрических знаний под влиянием практики, образование методов логического обоснования также из практики, приложимость геометрических фактов и методов, развивая умения и навыки применять эти факты и методы в общественно полезном труде, педагог-математик сделает вклад в формирование у учащихся марксистско-ленинского мировоззрения.

3. О связи с производственным обучением

Подготовка учащихся к жизни, общественно полезному труду, повышение уровня политехнического образования необходимо требуют тесной связи обучения математике и, в частности, стереометрии с производствен-

ным обучением, с другими учебными дисциплинами, пользующимися математикой, с практикой коммунистического строительства.

Как осуществить это ведущее начало обучения и воспитания в преподавании стереометрии?

Связь стереометрии с техникой, производством многообразна и может вскрываться различными путями. Наметим основные из них.

При формировании новых для учащихся стереометрических понятий в одних случаях можно обойтись без наглядных пособий, в других полезны и даже необходимы такие пособия; нередко используются и те пространственные представления школьников, которые они приобрели ранее самыми разнообразными путями. Если при формировании нового понятия преподаватель не использует те представления учащихся, которые они приобрели при работе в мастерских, в период производственной практики, в общественно полезном труде, то наблюдаются такие случаи, когда учащиеся не видят тех реальных форм и отношений, к которым применимо понятие. Оно, несмотря на связь с геометрическими образами, остается в сознании учащихся абстрактным, оторванным от жизни, от практики.

С педагогической точки зрения значительно выгоднее и эффективнее такое формирование новых понятий, при котором широко используются представления учащихся, приобретенные на производстве, в общественно полезном труде, в практике. При таком формировании новое понятие предстанет перед учащимися как практически нужное и полезное, границы применения понятия к реальным пространственным формам и отношениям расширяются, сокращаются ошибки, связанные с неправильным использованием понятия. Кроме того, повышается интерес к обучению, а это надежный залог успеха деятельности педагога и учебной работы учащихся.

Поясним примерами. Предстоит сформировать понятия о цилиндрической поверхности, цилиндре и прямом круговом цилиндре. Демонстрируется образование цилиндрической поверхности образующей — при заданной кривой — направляющей. Цилиндрическая поверхность простирается в том и другом направлениях образующей безгранично. Демонстрируется цилиндрическая

поверхность (часть её) с помощью листа бумаги отмечается одна из возможных направляющих и образующая. В практике приходится наблюдать на материальных телах части (куски) цилиндрических поверхностей. Естественно рассмотреть вопрос, где в производстве можно наблюдать формы, дающие представления о цилиндрической поверхности. Можно ожидать, что учащиеся приведут удачные примеры. Ремень шкива, лента плоского ленточного конвейера дают представления о «куске» цилиндрической поверхности.

После введения понятия о прямом круговом цилиндре учащиеся укажут много примеров применения материальных цилиндров в машинах: цилиндры используются в конструкциях паровых машин (в частности, локомобилей, паровозов), они применяются в поршневых компрессорах, служащих наряду с другими видами компрессоров для сжатия и подачи различных газов под давлением выше атмосферного; поршни таких машин дают представление о цилиндре; такое представление дают и валки мельничные гладкие в вальцевых станках, служащих для размельчения зерна в крупу или муку. Число таких примеров легко возрастает, ибо материальные цилиндры и их комбинации являются составными частями многих машин. Конечно, полезно обратить внимание на цилиндрические поверхности и цилиндры в быту.

При формировании понятий о прямом круговом конусе, об усеченном конусе учащиеся также укажут, где такие формы применяются на производстве, в практике. Для передачи вращательного движения иногда используется как цилиндрическая так и коническая фрикционная передача, основанная на силе трения между цилиндрами или конусами, касающимися по образующим; в лимбах поверхности, на которых наносятся градусные деления, иногда имеют коническую форму (лимб дает представление об усеченном конусе) ; одна из машин для дробления твердых материалов — горных пород, руд — носит название «конусная дробилка» в силу того, что ее работающие механизмы имеют форму конусов. Будут указаны и бытовые вещи, имеющие форму конуса или усеченного конуса.

Полезно производственные операции использовать для наведения учащихся на новые для них теоремы. Представим, например, что учащиеся познакомились с

понятием перпендикуляра к плоскости и предстоит изложить теорему о признаке перпендикулярности прямой к плоскости.

Определение нельзя непосредственно применить к установлению наличия перпендикулярности прямой к плоскости: невозможно выполнить проверку, образует ли прямая а со всякой прямой плоскости а прямой угол — прямых на плоскости бесконечное множество. Поэтому необходимо установить признак, по которому проверка перпендикулярности была бы возможна и выполнялась легко. Не приходилось ли кому-либо на производстве, на практике проверять перпендикулярность материальных «прямых» к «плоскостям»? Учащиеся приводят примеры. При насадке махового колеса на ось требуется, чтобы ось была перпендикулярна к плоскости колеса. Оказывается, проверку перпендикулярности выполняют только по отношению двух прямых плоскости колеса и этого достаточно, чтобы ось была перпендикулярна к всякой прямой плоскости, а значит, и к плоскости. Правильна ли такая проверка? Оправдывается ли она с точки зрения геометрии.

Ответ дает следующая теорема: «Прямая, перпендикулярная к двум пересекающимся прямым, лежащим на плоскости, перпендикулярна ко всякой прямой этой плоскости».*

Задача — естественное связующее звено теории с производительным трудом, с практикой. За последние годы школьные задачи несколько обновились, но с точки зрения основной задачи это обновление явно недостаточно: нет тесной связи с производительным трудом.

В отношении подбора задач нужна активная деятельность каждого преподавателя и школьных коллективов учителей математики; эта деятельность должна быть направлена на использование местных производительных объектов, особенно тех, на которых работают учащиеся. Преподаватели подбирают числовой материал и составляют задачи, связанные с производительным трудом или строительством. Полезно привлечь к этому и школьников: они принесут в класс те задачи, с которыми им пришлось уже встретиться в процессе производительного

* Приведена формулировка обобщенной теоремы о признаке перпендикулярности прямой к плоскости по сравнению с той, которая бытует в нашей школе.

труда. Особую ценность имеют задачи, которые непосредственно связаны со строительными планами школы, с выполнением заказов школьными мастерскими. Конечно, нельзя отказываться от задач, правдоподобных производственным: такие задачи или аналогичные им могут возникать в процессе труда. Однако следует избегать задач псевдотехнических: они бесполезны в отношении трудового и политехнического обучения.

За последние годы сформулировалось требование не загромождать школьные математические задачи сложными техническими сюжетами, требующими значительного времени для осмысливания. Положение правильное, однако требует поправок. Участие школьников в работе в мастерских, в производительном труде на предприятиях промышленного производства значительно расширяет технический кругозор учащихся и позволяет внести большее разнообразие в сюжеты задач, связанные с трудом, техникой и производством.

Приведем примеры сюжетов задач.

1) Дан план фундамента здания, намеченного для постройки. Рассчитать, сколько кубических метров земли предстоит вынуть при рытье котлована, если средняя глубина котлована равна 2 м. а) Стены котлована отвесны, б) Стены котлована наклонены под углом 60° к его основанию.

2) Даны горизонтальная и вертикальная проекции вещи, которую надо сделать из жести. Выполнить разметку этой детали . (На уроках математики делается на листе бумаги).

3) Узнать, сколько тонн силоса можно заложить в силосную траншею. Произвести необходимые измерения в натуре. 1 ж3 силоса при закладке в силосную яму или траншею весит 5,5—6 ц.

Для политехнического и трудового обучения весьма большое значение имеют методы изображения форм трехмерного пространства на плоскости. Известно, что чертеж — язык техники. Умения и навыки читать чертеж, правильно изображать на чертеже являются необходимым условием успешной работы квалифицированного рабочего. Чтобы представить для рассмотрения рационализаторское предложение, надо изложить его на языке чертежей, рассчетов и сопроводить объяснительной запиской.

Методы изображения рассматриваются в курсе черчения, но в этом курсе невозможно дать логическое обоснование способов изображения. Преподавание стереометрии частично покрывает указанный недостаток курса черчения. К современному изложению стереометрии в школе предъявляется требование дать обоснование параллельному проектированию фигур на плоскость, хорошо овладеть навыками культурно и быстро пользоваться параллельной проекцией при изображении пространственных форм. Знание параллельного проектирования обеспечивает знакомство с некоторыми частными видами проекций, применяемыми в технике.

При решении некоторых задач на построение учащиеся познакомятся с центральным проектированием форм трехмерного пространства на плоскость; например, таким проектированием приходится пользоваться при построении сечения пирамид плоскостью.

Уже углубленное проникновение в методы изображения повышает роль геометрии в политехническом образовании, сближает с практикой и расширяет возможность для молодого поколения в овладении многими профессиями, требующими знания этих методов. Роль стереометрии в политехническом образовании еще более усилится, если преподаватель покажет значение ортогонального проектирования на горизонтальную плоскость в топографии при составлении планов и карт кусков земной поверхности, особенно при изображении рельефа местности с помощью горизонталей. Приложение ортогонального проектирования в топографии находит широчайшее применение в народно-хозяйственном строительстве: в проектировании больших и малых гидроэлектростанций, при строительстве обводнительных и оросительных каналов, при проектировании новых городов с их современным сложным хозяйством, при мелиорации заболоченных земельных угодий, при проектировании и строительстве железных и других дорог и т. д.; оно имеет большое оборонное значение. Полезно уметь бойко и безошибочно читать карту с изображенным рельефом в горизонталях и решать по карте топографические задачи. Ограниченность учебного времени может помешать сделать это на уроках; естественно возникает потребность в организации топографических кружков; устанавливается связь преподавания стереометрии и географии.

4. Структура и методы школьного курса стереометрии

В разнообразных приложениях геометрии имеют значение не только геометрические факты, но и методы, которые применяются в курсе. Вот почему очень важно учить школьников не только знать и уметь применять в практике стереометрические факты, но четкому осознанию методов, какими пользуются в стереометрии, и умению применять их не только при рассмотрении чисто стереометрических вопросов, но и в других научных дисциплинах, пользующихся математическими методами, в технике и практике. Овладение методами математики, в том числе и геометрии, является существенным звеном политехнического образования.

В этом отношении прежде всего представляет интерес общая схема построения стереометрии, общая структура курса. Не являясь строго выдержанной дедуктивной системой, школьный курс стереометрии все же дает возможность познакомить школьников с общими характерными чертами дедуктивной системы. Учащиеся узнают, почему основные понятия вводятся без непосредственных определений, почему необходимы аксиомы и почему они не могут быть доказаны. Учащиеся узнают, каково значение аксиом: они (аксиомы) описывают отношения между основными понятиями и косвенно определяют последние; они служат первыми исходными посылками для умозаключений при доказательстве первых, а нередко и последующих теорем. Аксиомы в некоторой мере устанавливают, какими способами и приемами можно оперировать понятиями и тем самым предопределяют способы доказательств.

Учащиеся вспомнят, как обычно вводятся последующие понятия (определяемые), как строятся определения и в связи с этим познакомятся с доказательствами существования.

Существование фигуры доказывается возможностью построить соответствующую фигуру. Например, при введении понятия призмы указывается на возможность построения соответствующего тела. Существование правильных многогранников доказывается построением каждого из них.

Однако в школьном курсе стереометрии не всегда

даются теоремы существования: они опускаются для сокращения и упрощения изложения. В таких случаях существование считается очевидным и по сути оправдывается наглядными представлениями, обусловленными существованием соответствующих материльных тел и отношений. Так, например, вводится понятие о многогранном угле, прямом круговом цилиндре, сферическом сегменте.

На указанных основаниях — основных понятиях и аксиомах, определяемых понятиях и определениях развертывается в последовательности системы теорем и следствий из них. Таков характер построения стереометрии и геометрии в целом, такова схема дедуктивной системы.

При рассмотрении этой схемы естественно уделить внимание дедуктивному методу, вскрыть его сущность и сопоставить с неполной индукцией.

По своей структуре школьный курс стереометрии носит преимущественно синтетический характер: он пред. ставляет не строгую синтетическую систему. Это позволяет напомнить школьникам, что понимается под элементарным синтезом, каков характер синтетических доказательств, каковы положительные и отрицательные стороны синтетического метода. Многократные применения синтетических доказательств с подчеркиванием их особенностей дают возможность учащимся осознать характерные черты этого метода.

Так как в учебниках стереометрии различные формы аналитического метода при доказательстве теорем встречаются реже по сравнению с синтетическим, то осознание этих форм в большой мере зависит от деятельности педагога. Это его дело подобрать некоторое количество теорем из школьного курса (например, теоремы о двух и трех перпендикулярах) и показать на них применение аналитического метода; это от него зависит подобрать серии задач на доказательство и предложить школьникам найти аналитические доказательства или найти синтетические доказательства путем применения аналитических методов. Учитель вскроет и сущность различных форм аналитического метода, сопоставит их с синтетическим, покажет положительные и отрицательные стороны и ограниченность применения при изложении стереометрии.

Еще богаче оттенки и вариации аналитического метода при решении задач на вычисление и построение: в одних случаях метод помогает найти план решения и дать синтетическое решение, в других более мощные алгебраические формы дают решение, в третьих удобно сочетаются различные формы этого метода. И здесь велика роль педагога; глубокое продумывание им использования различных форм метода, сочетаний и вариаций их и разъяснение на конкретных задачах их применения даст возможность выработать умения и навыки пользоваться ими наиболее целесообразно.*

Геометрия богата отдельными способами и приемами доказательств. Некоторые из них представляют интерес, далеко выходящий за пределы геометрии. С многими отдельными способами доказательств учащиеся уже освоились ранее — при изучении планиметрии; пользование другими надо совершенствовать при изложении стереометрии.

Здесь прежде всего надо вспомнить метод пределов. За последние годы сделаны попытки избежать его в курсе геометрии. Одобрить такие попытки нельзя: метод пределов имеет широкое применение не только в математике, но и в других науках, например, в физике, механике, технических дисциплинах. Методу пределов целесообразно уделить внимание и в курсе стереометрии; для этого имеется достаточно поводов.

Уже в 5-м классе дети встречаются с предложениями, в которых идет речь о необходимых и достаточных условиях. К числу этих предложений относятся все теоремы (по школьному, правила) о признаках делимости чисел. Однако не только в 5-м, но и последующих классах 8-летней школы умственное развитие учащихся мешает уяснить особенности теорем с необходимым и достаточным условиями. Положение меняется в средней школе. Здесь умственное развитие допускает возможность познакомить учащихся с тем, что разумеется под необходимым условием, под достаточным условием и, наконец, как понимать и доказывать теоремы с необходимым и достаточным условиями. Преподаватель най-

* В. В. Репьев, Общая методика преподавания математики, Учпедгиз, 1958.

дет поводы, чтобы достаточно обстоятельно остановиться на этом вопросе и провести соответствующие упражнения.

Две теоремы о трех перпендикулярах: 1) «Прямая, проведенная на плоскости и перпендикулярная к проекции наклонной, перпендикулярна к самой наклонной» (необходимое условие), 2) «Прямая, проведенная на плоскости и перпендикулярная к наклонной, перпендикулярна к ее проекции» (достаточное условие), можно объединить в одной формулировке: «Прямая, проведенная на плоскости, перпендикулярна к наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к проекции наклонной».*

При рассмотрении геометрических мест точек или прямых также приходится иметь дело с необходимым и достаточным условиями.

Полезно использовать теоремы — задачи с необходимым и достаточным условиями. Вот примеры таких теорем:

1) Около пирамиды можно описать сферу в том и только в том случае, если можно описать окружность около ее основания.

2) Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда призма прямая и около основания ее можно описать окружность.

5. О методах обучения

Коммунистическому обществу нужны люди, умеющие творчески подходить к решению производственных и технических проблем, могущие творить и созидать, коллективно и индивидуально решать простые и сложные технические задачи, способные вносить предложения, рационализирующие производственные процессы. Значит, коммунистическому обществу нужны люди активные и инициативные, с развитым мышлением и воображением, в частности, с хорошо развитым пространственным воображением, с творческими устремлениями, готовые к физическому и умственному труду. Следова-

* Приведены обобщенные формулировки теорем о трех перпендикулярах.

тельно, воспитание и обучение молодого поколения должно вестись такими методами, которые дают возможность развивать указанные качества. Требуется пересмотр и обновление методов обучения и воспитания. В тезисах ЦК КПСС и Совета Министров СССР об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в стране сказано: «Перестройка школьного образования потребует изменения не только содержания, но и методов обучения в сторону всемерного развития самостоятельности и инициативы учащихся. Следует повысить наглядность обучения, широко использовать кино, телевидение и т. п., преодолеть абстрактность в преподавании основ наук и производства».

Чем выше общее и умственное развитие учащихся, тем полнее и шире можно использовать активные методы обучения и самостоятельную работу учащихся. В этом отношении преподавание стереометрии, приходящееся на два старших класса средней школы, находится в особо благоприятных условиях. Содержание курса стереометрии также способствует более полному применению активных методов обучения: геометрические образы и их отношения обладают высокой степенью наглядности, они, являясь отражениями в сознании соответствующих материальных прообразов, непосредственно связаны с действительными пространственными формами и отношениями. Такое положение благоприятно для использования активных методов обучения.

В отношении усиления активности учащихся полезно в начале изложения нового раздела, главы выдвигать те основные проблемы, которые подлежат рассмотрению. Это особенно ценно, если постановка проблем связывается с практикой, с производительным трудом. Такой подход к изложению нового материала, к развитию существенных умений и навыков полезен и в отношении частей главы и даже особо важных теорем. Постановка проблемы для раздела, главы или части ее вызывает интерес к ней, мобилизует внимание, а в иных случаях при активном участии школьников возможно в самых общих чертах наметить и содержание материала.

Приступая к изложению стереометрии, педагог в яркой и живой исторической справке сообщит, что привело к зарождению стереометрических знаний, какие пробле-

мы решались, что способствовало дальнейшему развитию стереометрии, сообщит и о достижениях в этой части геометрии древних греков, покажет значение стереометрических знаний в практике нашей эпохи. Историческая справка в некоторой мере выявит те проблемы, которые изучаются в стереометрии и вскроет их практическую ценность. Как отмечалось ранее, справка имеет разностороннее воспитательное значение.

Перед изложением паралелльного проектирования фигур трехмерного пространства на плоскость педагог кратко и убедительно сообщит или вскроет в беседе с учащимися» что изображение геометрческих образов трехмерного пространства на плоскости имеет громадное значение во многих науках (например, физике, химии), в технических дисциплинах (например, машиноведении, архитектуре), в промышленном производстве (например, литейном, тракторном деле). Важно овладеть языком чертежей, уметь хорошо читать и правильно передавать мысли на языке чертежей. Предстоит познакомиться с широко применяемым способом изображения фигур на плоскости — параллельным проектированием. Этот способ лежит в основе нескольких частных приемов проектирования фигур на плоскость, которые находят большое применение в науках и их приложениях.

Вопросу о составлении разверток поверхностей многогранников или круглых тел естественно предпослать указание на деятельность разметчика, когда требуется подготовить изготовление из жести тела, заданного чертежом.

При формировании новых понятий также используются приемы, активизирующие учащихся. В одних случаях целесообразно привлечение реальных пространственных форм, представлений о них, в других уместно выполнение построений, как воображаемых в пространстве, так и с помощью чертежей, в третьих полезно отыскание реальных форм и отношений, к которым применимо понятие. При формировании понятий возможны разнообразные сочетания указанных приемов. Во всех случаях учащиеся привлекаются к тому, чтобы они самостоятельно формулировали определение.

При формировании понятия о многогранном угле естественно использовать те прообразы углов, которые

имеются в окружающей обстановке, но они однообразны, поэтому привлекаются модели многогранных углов. Учащиеся дают формулировку определения.

При формировании понятия «призма» демонстрируется несколько призм (прямых и наклонных с различными основаниями), затем принципиально выполняется воображаемое построение призмы и изображение его на чертеже. При этом построение является доказательством существования.

Учащиеся формулируют определение и приводят примеры прообразов призмы, обусловленные их трудовой деятельностью.

Такие приемы сообщения новых понятий активизируют пространственное воображение и мышление учащихся, конкретизируют новые понятия, вскрывают их применимость в практике.

Школьная лекция по математике не требует высокой активности учащихся. Однако совершенно отказываться от использования этого метода нет оснований, хотя и увлекаться им не рекомендуется. Хорошая школьная лекция имеет ценные качества: она требует напряжения воли слушателей, воспитывает внимание, учит слушать, понимать и конспектировать. Метод экономен в отношении учебного времени и дает образец стройного, полного и законченного изложения. Трудную теорему об объеме треугольной пирамиды преподаватель может изложить лекционным методом.

По сравнению со школьной лекцией заслуживают предпочтения разнообразные виды изложения нового материала, будящие и развивающие творческие силы учащихся — разнообразные эврические методы (эвристическая беседа, ее разновидности, допускающие большее проявление инициативы и творчества).

Стереометрический материал в некоторых своих частях допускает коллективную творческую разработку учащимися отдельных законченных вопросов. Поясним примером. Учащиеся изучили определение прямого кругового цилиндра, познакомились с некоторыми его свойствами (некоторыми видами сечений, касательной плоскостью), уяснили, что понимается под площадью боковой поверхности цилиндра, получили формулы для вычисления боковой и полной поверхности, научились строить развертку поверхности, узнали, что понимается

под объемом цилиндра и как объем вычисляется. Закончив изучение цилиндра в обзорной беседе, обращается внимание на общий план и отдельные приемы этого изучения. Рассмотрение прямого кругового конуса идет по такому же плану. Вот здесь-то учащиеся и могут развивать свои творческие силы. Классный коллектив, руководимый учителем, легко получит ответы на следующие вопросы: какие фигуры получаются в сечении конуса плоскостью, перпендикулярной оси, проходящей через ось, проходящей через вершину? какая плоскость называется касательной к конусу и какими свойствами она обладает? какая пирамида называется вписанной в конус? что принимается за боковую поверхность конуса и как получается формула для вычисления площади боковой и полной поверхности? как составить развертку боковой поверхности конуса? что принимается за объем конуса и как получить формулу для вычисления объема?

На очереди изучение усеченного конуса. И здесь применим тот же план. Вновь возможна ценная творческая работа коллектива учащихся.

Восстановив в памяти прямые и обратные теоремы о перпендикуляре, наклонных, проведенных из одной точки к прямой, и их проекциях, учащиеся легко сформулируют аналогичные теоремы стереометрии и дадут доказательства их.

Умения и навыки читать математический учебник, а в порядке внеклассной работы доступную по содержанию математическую книгу, представляют интерес в политехническом образовании: технические книги пишутся языком, близким к языку математических. Эти умения и навыки в будущем пригодятся тем, кто по окончании школы решит продолжить образование.

Поэтому целесообразно практиковать самостоятельное изучение по учебнику нового материала и на уроках и дома. Такое изучение является одним из видов самостоятельной работы. В отношении развития творческих сил учащихся этот прием обучения не представляет интереса, однако в воспитательном отношении он полезен: развивается усидчивость и воля, стремление преодолевать трудности, вырабатываются умения работать над книгой с карандашом и листом бумаги, проверять себя самостоятельным воспроизведением доказательств.

Для самостоятельной работы по учебнику рекомендуется подбирать такой материал, который нетруден по содержанию, хорошо изложен в учебнике и легко усваивается; например, вопрос о симметрии относительно плоскости, о симметрии относительно точки можно предложить для изучения по книге.

Современные учебники для старших классов рассчитаны на то, что работа учащихся по ним происходит после изложения материала на уроке. Они отличаются краткостью, близкой к конспективности и не приспособлены для самостоятельной работы над ними. Возникает проблема о создании иных учебников, более удобных для самостоятельного изучения их. Такие учебники будут полезны для всех типов средних школ и для заочного обучения.

При решении задач целесообразно применять разнообразные педагогические методы и приемы. В периоды развития новых умений и навыков, в периоды усвоения новых методов полезна коллективная фронтальная работа по решению задач; при этом используются различные эвристические приемы, разновидности эвристического метода. Однако фронтальным решением злоупотреблять не следует: инициатива учащихся, особенно сильной части их, стесняется, ограничивается.

Целесообразно значительно шире применять более активные методы и самостоятельные работы учащихся.

Прежде всего надо указать коллективное, а также самостоятельное, решение задач по материалу первой части стереометрии, сопровождающееся конструированием из подручного материала моделей (дощечки, металлические спицы, пластилиновые или резиновые шарики). Такое конструирование на первых порах полезно; оно способствует образованию пространственных представлений, помогает развитию пространственного воображения, оно дает возможность усмотреть те функциональные зависимости, которые необходимы для решения. Конечно, при этом используются разнообразные формы аналитического метода.

При изучении многогранников и круглых тел целесообразно организовать решение задач на вычисление по раздаваемым вещам: разумно подобранным деталям механизмов и столярного производства, моделям тел.

Это — один из видов лабораторной работы. При этом желательно прежде всего дать общее решение задач, получить ответ в виде буквенного выражения, а затем уже найти числовое значение. При таком решении ученик на глаз устанавливает вид тела, проверяет глазомерную оценку формы измерениями, производит необходимые измерения для последующего решения, а значит, имеет дело с приближенными значениями величин и пользуется приближенными вычислениями. Этот вид самостоятельной работы учащихся требует соответствующего материального обеспечения: надо иметь измерительные приборы и наборы вещей. Перед школьными коллективами учителей математики стоит задача подбирать и сохранять раздаточный материал, пополнить математический кабинет измерительными приборами: стоит и другая задача прорешать все подготовляемые задачи, найти приближенные ответы. Без этого трудно контролировать результаты самостоятельной работы учащихся.

Полезна самостоятельная работа в решении задач по чертежам тел, составленным в одной из тех проекций, какие применяются в технике и производстве, в частности, в проекциях Монжа. Так как многие тела отличаются простотой своих форм, то при использовании метода Монжа нередко можно довольствоваться проекциями на две плоскости — горизонтальной и вертикальной.

Значительную ценность имеют практические работы вне стен школы. Здесь могут решаться чисто учебные задачи: составить план учебного цеха и вычислить объем его, найти объем овощехранилища, вес силоса в траншее.

Особенно ценно, если практические работы связаны с общественно полезным трудом и используются школой, колхозом, совхозом, органами коммунального хозяйства. Например, задача о составлении плана вертикально-горизонтальной съемки заболоченного лугового участка и разработка проекта его осушения (нужен не учебный, а технический нивелир и теодолит) перерастет во внеклассную общественно полезную работу.

М. И. САВИН

ИЗ ИСТОРИИ СТЕРЕОМЕТРИИ

Руководствуясь решениями XXI съезда партии по идейно-политическому воспитанию подрастающего поколения, наша школа не может ослаблять внимания к идейно-мировоззренческой стороне воспитания в процессе изучения основ наук. Школа должна воспитывать не просто умельца, хорошего мастера, хорошо знающего математику и другие науки, но человека с коммунистическими взглядами. Чтобы обеспечить воспитание в духе коммунизма в процессе обучения математике необходимо, чтобы изучение математики было построено на материалистической основе, чтобы показывалось развитие основных понятий математики. История математики есть одно из средств коммунистического воспитания в процессе изучения математики в школе.

Существенным недостатком обучения математике в школе является слабое использование истории математики в учебном процессе. Пример игнорирования вопросов истории математики дают пробные учебники по стереометрии. В этих учебниках нет ни слова из истории математики.

История в преподавании математики дает возможность показать учащимся роль и влияние практики на развитие математики. Историзм в преподавании математики позволяет проследить историю развития основных понятий математики и тем самым создает условия для глубокого усвоения основ науки и ее методов. Все это способствует развитию у учащихся диалектического мышления и формирования марксистско-ленинского мировоззрения.

Цель очерка состоит в том, чтобы изложить основной материал по истории стереометрии, который может быть

использован учителем при изучении в школе соответствующих разделов программы по стереометрии.

Опыт показывает, что использование исторических сведений при изучении математики в школе помогает учителю успешнее решать задачи обучения математике в средней школе. Умелое использование исторических сведений — одно из средств повышения эффективности урока. Исторические сведения могут способствовать созданию положительного настроя учащихся к изучению математики, вызвать заинтересованность учащихся, способствовать образованию устойчивого интереса, а это необходимые предпосылки дпя проявления усилий к тому, чтобы хорошо знать математику.

В настоящем очерке нет возможности подробно описать методику изучения истории математики в процессе изучения математики в школе. Основные положения состоят в следующем.

При использовании материала по истории математики исторические сведения не должны быть случайными эпизодическими и тем более не должны механически сопровождать изложение курса математики в школе.

Наиболее желателен такой путь включения исторических сведений, который помогал бы вскрывать связи данного вопроса с предшествующими и последующими частями курса, указывал бы на историческую перспективу развития математики, на значение изучаемого вопроса в практической деятельности.

Исторические сведения не должны отвлекать внимание учащихся от конкретного материала урока, а должны усиливать внимание и интерес к этому материалу. Они могут сообщаться на уроках в виде кратких лекций или бесед.

Для изучения исторического материала могут использоваться рефераты, выполненные учащимися под руководством учителя. В целях большей наглядности целесообразно использовать рисунки, таблицы, фотографии, чертежи, портреты, диапозитивы.

При изучении исторических сведений на уроке учитель указывает, что и как учащиеся должны записывать в своих рабочих тетрадях (имена ученых, даты их жизни, названия их работ).

Решение исторических задач можно использовать как одну из форм изучения исторических сведений по

математике. Учет знаний учащихся по историческим сведениям можно проводить путем включения соответствующих вопросов при проверке знаний по математике (при устном опросе и в контрольных работах).

Далее мы остановимся на некоторых исторических сведениях, которые учитель может использовать на уроках.

Простейшие сведения по геометрии у доисторического человека

В процессе трудовой деятельности человек в самые отдаленные времена встречался с вещами, которые имели определенную форму. Палка — дубина, камень — клин, мотыга, ямы для ловли зверей, пещера, как углубление в горе. На этих и подобных этим вещах доисторический человек фиксировал свое внимание, производил многократные сравнения вещей, имеющих определенное назначение, а значит и определенную форму. Так на протяжении многих тысяч лет в многократных сравнениях вещей определенной формы складывались простейшие геометрические познания у первобытного человека.

Ф. Энгельс в «Анти-Дюринге» говорит: «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны подвергаться сравнению, прежде чем можно было дойти до понятия фигуры».*

В процессе длительного сравнения вещей, имеющих определенную форму, происходит формирование понятий о фигуре и форме тел. При этом большую роль играли хозяйственные, чисто бытовые нужды человека (создание жилищ, одежды, орудий труда).

Утверждения буржуазных историков, в частности Мориса Кантора, о том, что простейшие геометрические знания формируются у человека в связи с суевериями, совершенно неверны.

Историко-этнографические и археологические исследования дают возможность сделать вывод о том, что

* Ф. Энгельс. Анти-Дюринг. Госполитиздат, 1953, стр. 37.

геометрические знания на ранних этапах создавались в связи с практикой. Человек, сменив кочевье на оседлую жизнь, занявшись земледелием, оценивал, пусть в самых грубых чертах, размер собранного хлеба, сложенного в кучи, скирды. Строитель даже самых примитивных построек должен был как-то учитывать материал, подсчитывать, сколько потребуется материала для постройки. Такая, многократно повторенная практика, привела человека к мысли пользоваться свойствами простейших тел — куба, бруса (прямоугольного параллелепипеда), цилиндра. Так из практической деятельности, жизненных задач зарождалась геометрия, возникали основные математические понятия и, в том числе, основные понятия стереометрии.

«Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики»*.

Мы не знаем, как давно и где возникли первые простейшие геометрические представления. Если мы знаем что-нибудь о далеком прошлом, то прежде всего по дошедшим до нас памятникам письменности, которая возникла значительно позднее того, как сложились на почве практических потребностей простейшие геометрические правила для определения площади фигур, объема простейших тел. Геометрические сведения накапливались в результате практической деятельности народов в течение тысячелетий.

Сведения по стереометрии у древних народов Вавилона, Египта, Индии.

Геометрия, как и всякая другая наука, создавалась постепенно, усилиями многих людей, на протяжении многих веков. О геометрических знаниях народов древнего Вавилона (часть современного Ирака) мы узнаем по древним памятникам культуры — вавилонским глиняным плиткам, на которых сохранились клинописные записи. Эти глиняные плитки в большом количестве находят при раскопках. Они относятся ко времени 5000—

* Ф. Энгельс. Анти-Дюринг. Госполитиздат, 1953, стр. 37.

4000 лет до нашей эры, и по ним ученые нашего времени прочитали о математических достижениях вавилонян. Кроме этого, в древних памятниках вавилонской архитектуры встречаются геометрические формы в виде куба, шестигранной призмы, цилиндра, конуса, что также указывает на достаточно высокий уровень геометрических знаний у народов Вавилона. Но вавилоняне не только знали о существовании различных геометрических фигур, они умели также определять их площади и объемы. Геометрические тексты представляют планы полей, на которых указаны размеры площади таких фигур, как треугольник, прямоугольник, трапеция. Задачи в математических текстах касаются практических вопросов, как например, исчисления количества людей необходимого для выполнения определенных земельных работ, как-то: рытье каналов, сооружение фундаментов под постройки, сооружение плотин, дамб. Все эти сооружения не могли строиться без знания определенных правил из геометрии. Вавилоняне вычисляли длину окружности и площадь круга, принимая тг= 3. Они пользовались правилом, которое связывало площадь круга и длину окружности. В современной записи это правило представляется так: К » гДе К — есть площадь круга, С — есть длина окружности.

Наряду с простейшими случаями вычисления объемов, например, куба, прямоугольного параллелепипеда (бруса), в математических текстах древних вавилонян имеются правила для вычисления объема цилиндра, усеченного конуса. В памятниках древневавилонской культуры встречаются шестигранные призмы, например, призма Сенахериба, испещренная письменами, хранится в Лондонском музее.

Геометрические орнаменты на каменных плитах, сохранившихся от той древнейшей эпохи, указывают на то, что у древних вавилонян чрезвычайно сильно было развито чувство симметрии. Клинописные математические тексты и другие документы материальной культуры дали возможность установить характер и достижения в геометрии народов Вавилона. Таким образом, корни нашей элементарной геометрии находятся в древнейших местах Двуречья Тигра и Ефрата и создавались веками под воздействием производственной практики людей.

Многое из того, что изучается сейчас в школьной геометрии, было известно и древним египтянам. Ученые узнали о характере и достижениях геометрии египтян из древнейших памятников «Московского папируса» и «Лондонского папируса».

Московский папирус относится к периоду около 1800 года до нашей эры. Он был приобретен русским собирателем древних памятников Голенищевым в 1893 году, а в 1912 году он перешел в собственность Московского музея изящных искусств. В этом папирусе ученые прочитали и задачи по геометрии.

Лондонский папирус относится к периоду 2000—1700 лет до н. э. Этот папирус написан Ахмесом — писцом фараона (царя) Рауса. Найден и пробретен английским собирателем Райндом, поэтому его часто называют папирусом Райнда. Можно сказать что уже к периоду 2400—1500 годов до н. э. египтяне имели достаточный запас математических знаний. Математические знания древних египтян носили прикладной, практический характер. Происхождение египетской геометрии связано с хозяйственными задачами. Нужно было определять площади полей, емкость зернохранилищ, размеры земельных насыпей (дамб), ограждающих поля от затопления водой, определять объемы земли, которая вырывалась при устройстве каналов и т. д.

Из геометрических задач лондонского папируса и московского папируса видно, что египтяне умели определять площадь прямоугольника, треугольника, трапеции, они имели правило и для вычисления площади круга. Площадь круга они принимали равной площади квадрата со стороной 8/9 d, где d есть диаметр круга. В московском папирусе среди геометрических задач есть задача на определение объема усеченной пирамиды. Нахождение способа определения объема усеченной пирамиды с квадратным основанием является одним из больших достижений египетской геометрии. Пример задачи на усеченную пирамиду из Московского папируса: «Если тебе называют усеченную пирамиду 6 локтей в высоту, 4 в нижней стороне, 2 в верхней стороне, вычисляй с этой 4, возводя ее в квадрат. Получится 16, удвой 4, получится 8. Вычисляй с этой 2, возводя ее в квадрат; получится 4. Сложи эти 16 с этими 8 и с 4. получается 28. Вычисли 3 от 6 (т. е. раздели 6 на 3) по-

лучается 2. Вычисли 28 два раза; получается 56. Смотри: она есть 56. Ты нашел правильно»*.

Если выразить решение этой задачи на нашем современном языке, то получается точная формула объема правильной усеченной пирамиды с квадратным основанием, т. е. К = — (а2 + а6 + 62).

В папирусе имеются задачи на вычисление вместимости хлебных амбаров.

Вот пример такой задачи:

«10 локтей в его длину, 10 его ширина, 10 его высота. Что составляет входящее в него зерно». Подобные задачи указывают на источники возникновения и формирования геометрических понятий и знаний у египтян. И здесь практика и производственная деятельность людей вызывала к жизни математические знания.

Необходимо указать на косвенные свидетельства наличия больших геометрических знаний у египтян — на постройки. Как известно, пирамиды являются грандиозными усыпальницами фараонов. Основная идея постройки пирамиды — это устремление ввысь к небу. Пипирамиды достигают огромных размеров, например, пирамида, построенная фараоном Хеопсом, имеет квадратное основание, сторона которого равна 233 метрам, а высота пирамиды 147 метрам. Постройка таких грандиозных сооружений требовала от строителей достаточно хороших геометрических знаний. Но надо сказать, что ни у египтян, ни у вавилонян не было геометрии, как науки. Их геометрические знания являлись только результатом накопленного опыта на почве чисто практических потребностей.

Одновременно с развитием математики в Египте и Вавилоне шло развитие ее и в Индии. Особого успеха достигли в Индии арифметика и алгебра. В развитии геометрии народы Индии не имели столь значительных достижений, в сравнении с достижениями в арифметике и алгебре. В планиметрии индийцы развивали вопросы, связанные с равновеликостью и равносоставленностью фигур. Им известен был прямоугольный треугольник и свойства его сторон.

В древней Индии очень хорошо было развито строи-

* Г. П. Попов. Очерки по истории математики, изд. 1923.

тельное искусство, которое не могло развиваться без геометрических знаний у строителей. Квадратные плиты были основным строительным материалом. Равновеликость фигур определялась по числу этих плит. Эта практическая задача выдвинула проблему равновеликих фигур.

Развитие стереометрии в древней Греции.

Весьма большая часть школьной геометрии была уже известна греческим математикам. Можно сказать что основные понятия и выводы школьной геометрии были созданы древнегреческими математиками. Вот почему, изучая историю математики, мы особое внимание обращаем на характер и достижения греческой математики.

«Мы вынуждены, как и в столь многих других областях, все вновь возвращаться к достижениям того маленького народа, универсальная одаренность и деятельность которого обеспечили ему в истории развития человечества место, на какое не может претендовать ни один другой народ».*

Как мы уже говорили, ни у вавилонян, ни у египтян не было геометрии как науки, но они подготовили тот материал по геометрии, который постепенно в более позднее время был использован древними греками при создании геометрии как науки. Греческие ученые этот материал развили дальше, систематизировали его, дали логические доказательства и установили научные методы в геометрических исследованиях.

Государства древней Греции сложились в восточной части Малой Азии и на юге Италии и Сицилии.

Обилие островов, естественных гаваней, бухт способствовали раннему развитию мореплавания. Связь Греции с Малой Азией и Египтом определила взаимное влияние культур этих народов. Греция неизбежно подвергалась влиянию восточной техники, ремесла, торговли и духовной культуры. Благодаря мореплаванию торговле и колонизации у древних греков развилось хозяйство, увеличились богатства, развилась техника и рас-

*Ф. Энгельс. Диалектика природы, 1948, стр. 27,

ширились знания в самых различных областях. И в Греции практика, производственная деятельность общества оказывала воздействие и на развитие геометрии.

В период экономического и культурного расцвета древней Греции геометрия достигла высокого по тем временам теоретического развития.

Задачи, которыми занимались греческие геометры VI—V веков до н. э., после усвоения египетского и вавилонского наследства, также возникают из простейших запросов строительного дела, земледелия и навигации.

Осуществляет путешествие в Египет Фалес из Милета (около 640—548 до н. э.). Ему приписывается ряд открытий в планиметрии. Он измерил высоту египетской пирамиды по отбрасываемой ею тени» чем очень удивил египетского фараона (черт. 1).

Несколько позднее путешествует по Египту, Вавилону Пифагор с острова Самоса (около 564—473 до н. э.), который собирает интересующие его сведения и с ними возвращается на родину (Рис. 1). Пифагору и его школе приписывают учение о шарообразности земли и других небесных тел. Пифагор и его ученики доказывали ряд теорем о правильных многоугольниках. В области пространственной геометрии Пифагор и его ученики изучали некоторые свойства куба, тетраэдра и додекаэдра.

Новое в геометрии греческих ученых периода VI—IV веков до н. э. то, что они не ограничиваются приближен-

Черт. 1

ными решениями геометрических задач, найденными опытным путем, а стремятся найти точные решения, строго логически доказать предложения. Это уже новый путь развития геометрии. Большой вклад в развитие геометрии этого периода вносят своими трудами Демокрит и Евдокс.

Демокрит (460—370) также путешествовал по Египту, Вавилону, Индии. Он разработал атомистическую теорию строения мира. По мнению Демокрита, объективно и вечно существует материя, состоящая из неизменных, неделимых частиц-атомов, образующих все многообразные тела, и бесконечного пустого пространства, в котором движутся атомы. Он выдвинул представление, что геометрические фигуры состоят из атомов, например, отрезки— это ряды атомов. Такое представление объясняется тем, что во времена Демокрита геометрические фигуры еще не отрывались от реальных вещей в той мере, как это делают теперь. Исходя из атомистических представлений, создается способ определения площадей, и объемов тел. Площадь вычислялась как сумма рядов, составленных из атомов, а объем как сумма атомных слоев.

Наиболее значительные достижения в геометрии IV века сделаны Евдоксом (около 408—355), который разработал теорию пропорций, распространил понятие пропорциональности чисел и на величины, несоизмеримые. При помощи особого метода ему удалось прийти к измерению объема усеченной пирамиды. В тесной связи с теорией пропорций Евдокса стоит его разработка так называемого метода исчерпывания. Этот метод доказательства играл большую роль во всей математике греков, как средство доказательства теорем, в которых мы в настоящее время пользуемся понятием предельного перехода.

Рис 1

Основанием метода Евдокса служит следующее положение. Если от какой-либо величины отнять половину или более, с остатком проделать ту же операцию и так же поступать все дальше, то возможно дойти до такой величины, которая будет меньше любой величины. Позднее Архимед выразил этот метод в известном предложении, ставшем одной из аксиом геометрии.

Аксиома Архимеда. Если даны два любых отрезка AB и CD (AB больше CD), то на прямой AB можно отложить от точки А отрезок CD последовательно столько раз, что получится отрезок АЕ, больший или равный AB.

Смысл аксиомы состоит в утверждении, что любой отрезок можно измерять с помощью любой единицы измерения.

Египтяне получили правило вычисления объема эмпирическим путем. Наибольших успехов древнегреческая математика достигает в III веке до н. э. Этот период был блистательным периодом развития математической науки. Развитие механики, оптики, требования военной механики, запросы мореплавания, гидротехнические сооружения — все это поставило перед математикой множество новых задач. И математики III века очень успешно отвечали требованиям жизни. В этот период жили великие древнегреческие математики Евклид, Архимед, Аполлоний Пергский. Ими создана стереометрия, которую изучают в нашей средней школе.

Евклид (III в до н. э.) — выдающийся деятель математической наука древней Греции (Рис. 2).

О жизни Евклида сохранилось мало сведений. Известно, что он жил в египетском городе Александрии. Образование получил в Афинах. Одним из его учителей был Аристотель. Евклид написал несколько замечательных работ по математке. Но всеобщую известность он приобрел своим трудом по геометрии, который называется «Начала». В «Началах» собрано и подвергнуто логической переработке то, что было достигнуто в геометрии за предыдущие века. В этом сочинении все основные геометрические знания предшествующих поколений изложены с очень большой систематичностью и геометрической строгостью. «Начала» были первым полным руководством элементарной математики и первым полным памятником математических знаний греков, сохранившимся до наших дней. Это произведение в течение

многих столетий было единственным руководством по геометрии в школах. И в наше время в школах геометрия изучается по учебникам, содержание которых тесно связано с «Началами» Евклида.

«Начала» состояли из 13 свитков—книг, общим объемом около 600 страниц. Все эти книги можно разделить на 4 следующие части: первые 6 книг содержат планиметрию; седьмая, восьмая и девятая книги содержат арифметику (теорию чисел); десятая книга содержит учение о соизмерных и несоизмерных отрезках; четвертая часть, состоящая из 11, 12 и 13 книг, содержит стереометрию. В одиннадцатой книге даются определения из стереометрии. Например, определяется, что такое телесная фигура. Выясняется, что называется наклонной к плоскости и т. п.

Примеры определений по Евклиду.*

1. Тело есть то, что имеет длину, ширину и глубину.

2. Граница же тела — поверхность.

3. Прямая будет перпендикулярная к плоскости, если она со всеми прямыми, касающимися ее и находящимися на этой плоскости, образует прямые углы.

Мы здесь имеем определения-описания, они представляют собой типичные античные определения. Такие определения логически не действующие. Они представляют интерес с теоретической и методической точки зрения. Вслед за определениями в 11 книге содержится ряд основных предложений стереометрии, которые излагаются примерно так, как они и сейчас формулируются в школьных учебниках и как излагаются на уроках геометрии в старших классах средней школы.

Рис. 2

* «Начала» Евклида, книги XI—XV. Государственное издательство ТТЛ, 1950.

Примеры предложений по Евклиду.*

1. Всякая призма, имеющая треугольное основание, разделяется на три равные друг другу пирамиды, имеющие треугольные основания.

2. Всякий конус есть третья часть цилиндра, имеющего с ним то же самое основание и одинаковую высоту.

Существование рассматриваемых тел и фигур Евклид доказывает построением. Такой подход к доказательству существования изучаемых фигур он осуществлял и в планиметрии. В одиннадцатой книге Евклид излагает учение об объемах параллелепипедов и призм.

В двенадцатой книге рассмотрено учение об объемах пирамид и круглых тел. Главным в 12 книге является изложение метода исчерпывания, с помощью которого Евклид доказывает теоремы об объемах тел.

Метод исчерпывания в течение почти двух тысяч лет был единственным строго обоснованным приемом исследования предельных отношений. Попытки замены этого громоздкого метода более удобным оказались наиболее успешными только в конце 17 века, когда была создана теория исчисления бесконечно малых величин. Двенадцатая книга представляет самую глубокую по идейному содержанию часть творения Евклида.

Тринадцатая книга посвящена теории правильных многогранников. В ней доказывается, что 5 видов правильных многогранников являются единственными.

Через все сочинение Евклида проходит стремление привести все известные ему знания по геометрии в последовательно продуманную систему и логически вывести их из небольшого числа первоначальных определений, аксиом. Однако «Начала» не одинаково совершенны во всех своих частях. Это несовершенство касается основных понятий, аксиом. Многие ученые математики пытались на протяжении более чем 2000 лет устранить недостатки «Начал». Но все эти попытки были безуспешны. И только великий русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856) достиг успешного устранения несовершенства «Начал» созданием неевклидовой геометрии. (Рис. 3).

Собранные Евклидом в XI—XIII книгах сведения по

* «Начала» Евклида, книги XI—XV. Государственное издательство ТТЛ, 1950.

Рис. 3 Рис. 4

стереометрии дополнил, углубил и расширил древнегреческий математик Архимед (около 287—212 гг. до н. э.). (Рис. 4).

Жил Архимед в греческом городе Сиракузах на острове Сицилия. Когда его отчизне угрожала опасность быть разгромленной врагами, он выступил в защиту родины не только как военный инженер, но и как организатор обороны. Архимед был пламенным патриотом. Во всех странах мира до сих пор почитают великого ученого Греции Архимеда Сиракузского.

Архимед — один из самых выдающихся ученых античности. Мы можем об этом говорить с уверенностью потому, что большинство его работ сохранилось. До нашего времени дошли следующие сочинения Архимеда: 1) «О шаре и цилиндре», 2) «Измерение круга», 3) «Исчисление песчинок», 4) «Квадратура круга», 5) «Геометрические головоломки», 6) «О плавающих телах», 7) «О равновесии плоских фигур и центре тяжести», 8) «О спиралях» и др. Характерны для творчества Архимеда прикладные тенденции. Проблемы, его интересующие, относятся к области теоретической и практической механики, к области физики, инженерного искусства. Архимед открывает основной закон гидростатики, изобре-

тает водяной винт, который при его жизни уже использовался при поливке полей. Он открывает закон рычага и использует его при устройстве грузо-подъемных машин. В геометрии особое внимание уделяется вопросам метрики. Этим геометрия Архимеда отличается от геометрии Евклида.

Проблемы метрики в геометрии разрабатывались Архимедом в связи с прикладными тенденциями в его творчестве. Архимед — основатель механики, а механика требовала вычисления масс, а вместе с этим площадей и объемов, центров тяжести, значит, требовалась метрическая геометрия. На этом и было сосредоточено внимание Архимеда в геометрии. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось вычисление разнообразных площадей и объемов.

При определении площадей и объемов Архимед пользовался атомистическими представлениями строения вещества. Площадь он рассматривал как «сумму» параллельных линий, объем — как «сумму» площадей поперечных сечений тела. Для суммирования элементов площади или объема Архимед применил понятие центра тяжести. Таким методом он получал результаты, которые потом строго доказывал методом исчерпывания. Архимед развил и усовершенствовал метод исчерпывания. Применяя этот метод к многочисленным задачам, он получил очень ценные результаты, в которых видны зачатки интегрального исчисления, важнейшего метода современной математики.

Как применял Архимед метод исчерпывания в доказательстве геометрических предложений, показывает С. Я. Лурье в книге «Архимед». Надо доказать, что боковая поверхность конуса равна произведению длины окружности основания на половину образующей.

Пусть площадь основания конуса К, радиус этого основания г, образующая конуса /, средняя пропорциональная между г и / пусть равна т. Пусть M есть площадь круга с радиусом m, a S — боковая поверхность конуса.

Надо доказать, что S = M.

Допустим, что S не равно М, тогда оно либо больше, либо меньше М. Пусть S>M.

Около окружности M опишем и в окружность M впишем подобные друг другу многоугольники так, чтобы

отношение между их площадями было меньше 5 : М. Около окружности К опишем и в окружность К впишем многоугольники, подобные первым двум. Около конуса опишем пирамиду и в конус впишем пирамиду. Эти пирамиды имеют основаниями многоугольники, которые вписаны и описаны около окружности К.

Пусть площадь многоугольника, описанного вокруг К, равна /О, а описанного вокруг M равна Mi; пусть площадь многоугольника, вписанного в /(, равна а вписанного в М, равна ЛЬ; пусть боковая поверхность описанной пирамиды равна Si. Тогда:

Ki : Mi = г2 : m2 = г : 1 = Ki : Si отсюда Mi = Su

По условию Mi : M2ZS : M, a значит, Si : M2<S : M. Но это невозможно Si>S, a M2<M. Поэтому первое отношение не меньше, а больше второго.

Итак, неравенство S>M невозможно. Аналогично можно доказать, что боковая поверхность конуса 5 не может быть меньше М\ значит S = M или S = ^m2=Tz rl, что и требовалось доказать.

Таким методом Архимед доказывал и ряд других теорем и более трудных.

Архимед, как мы видим, прибегал к громоздким геометрическим построениям, чтобы языком геометрии доказать предложения математики.

В области пространственной геометрии Архимед разрабатывал вопросы, относящиеся к шару и цилиндру. В своем трактате «О шаре и цилиндре» он доказывает следующие предложения.

1. Поверхность шара в четыре раза больше площади большого круга.

2. Поверхность шарового сегмента равна площади круга, имеющего радиусом прямую, проведенную от вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием.

3. Цилиндр, имеющий основанием большой круг шара, а высотой его диаметр (т. е. цилиндр, описанный около шара), имеет объем, равный трем вторым объема, и поверхность, равную трем вторым поверхности шара. Рассматривается и ряд других предложений.

Стереометрия обязана Архимеду и другим исследованием. Он исследовал полуправильные многогранники, вычислил объемы многих тел вращения.

В трудах Архимеда стереометрия достигла высокого уровня развития. Можно сказать что благодаря Архимеду элементарная геометрия в современном ее понимании была окончательно установлена: в нее вошли основные положения «Начала», учение Архимеда об окружности, о шаре, цилиндре.

Дальнейшее развитие геометрии в древней Греции продолжается в трудах Аполлония (271 —197 до н. э.) из Перги (город в Малой Азии). Основным трудом Аполлония являются его «Конические сечения», в которых изложено учение о сечениях конуса.

В творчестве Архимеда и Аполлония математика древности достигла наивысшего расцвета, после чего она уже вплоть до нового времени не принимала такого размаха и особенно той глубины, которой достигла у этих ученых. После эпохи Евклида, Архимеда и Аполлония дальнейшее развитие геометрии в древней Греции, Египте приостановилось. Главной причиной этого явилось общее расстройство и упадок хозяйственной и политической жизни народов, населявших Грецию, Египет и Малую Азию. На протяжении почти 1500 лет (от II века до н. э. и до XII века новой эры) в Западной Европе не только не развивалась геометрия, но и то, что было достигнуто в эпоху Евклида, Архимеда и Аполлония, не усваивалось и забывалось.

Развитие математики в этот период происходило успешно в Индии, Средней Азии. У народов этих стран развиваются арифметика, алгебра, тригонометрия. В области геометрии они ничего нового не внесли по сравнению с древнегреческими учеными.

Развитие стереометрии в Западной Европе в XV—XVII веках.

С XV века в западноевропейских государствах развивается буржуазное общество, закладываются основы новой науки. Создание новых отношений людей в процессе производства и развитие производительных сил влекло за собой развитие науки, в первую очередь естествознания. В XV веке западноевропейские ученые производят переводы трудов Евклида, Архимеда, Аполлония с греческого языка. Успехи древнегреческих уче-

ных в области геометрии становятся достоянием математиков Западной Европы. Математика народов средней Азии также становится достоянием европейцев.

Начиная с XV века западноевропейские математики не только осваивают достижения древнегреческой геометрии и достижения в математике народов восточных стран, но и разрабатывают новые проблемы в математике. Первые самостоятельные достижения европейской математики относятся к тригонометрии и к алгебре. Они вызваны были бурным ростом производительных сил в Европе эпохи Возрождения и большими достижениями в области естествознания. В середине XV века начинает развиваться качественный анализ в химии, производятся первые исследования падения тел.

В 1492 году происходит открытие магнитного склонения. В 1498 году осуществляется плавание вокруг Африки. XVI век еще более знаменателен достижениями в области естественных наук. Коперник своими открытиями производит революцию в представлениях о мире, Галилео Галилей открывает законы качания маятника и падения тел. Начала создаваться современная механика. Мощное развитие дальнего мореплавания настойчиво требовало знания астрономии и начатков механики. После того как Кеплер открыл, что планеты обращаются вокруг Солнца по эллипсам, а Галилей установил, что брошенный камень летит по параболе, надо было вычислять эти эллипсы, находить параболы, по которым летят ядра из пушек. Надо было фактически вычислять объемы самых различных тел. Все эти вопросы вызвали к жизни развитие новых математических наук—аналитической геометрии и учение о бесконечно малых величинах. Задачи, которые ставились практической жизнью в новое время, нельзя было решить методами математики, созданными в древней Греции и народами восточных стран. В античном мире не было и не могло быть условий для перехода к высшей математике. Такие условия появились в XVI—XVII веках, в период зарождения и развития капитализма.

Многое сделано в XVI—XVII веках в Западной Европе и в развитии стереометрии. Большое значение в создании новых методов в математике и в развитии стереометрии в новое время имели труды И. Кеплера (1571 — 1630). Он одним из первых употребил метод бесконечно

малых в решении геометрических задач. При вычислении объемов тел Кеплер заменяет громоздкий метод исчерпывания методом бесконечно малых величин. Например, шар он рассматривает как бы состоящим из бесконечно большого числа конусов, вершины которых лежат в центре, а основания — на поверхности шара, и таким путем находит его объем. Доказательства теорем Кеплером с помощью метода бесконечно малых не строги, ибо они не являются полными и совершенными. Кеплер пользуется предельным переходом при использовании бесконечно большого числа бесконечно малых величин, не сформулировав понятия предела, не разработав общих правил вычисления пределов. Методы Кеплера представляют собой первую стадию в развитии истинно научных методов, в решении проблемы квадратуры. Он делает первый шаг в замене кустарных приемов античной математики регулярным методом бесконечно малых.

Дальнейшее развитие учения о площадях в XVII веке находит место в трудах итальянского ученого Кавальери (1598—1647). В своем труде «Геометрия» Кавальери разработал новый метод определения площадей и объемов. Для нахождения площади фигуры или объема он рассматривал фигуру как состоящую из отдельных прямолинейных параллельных сечений или параллельных плоскостей тела. Кавальери сформулировал следующий принцип: если при пересечении двух тел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то объемы тел равны между собой.

На основе принципа Кавальери докажем теорему об объеме шара.

Теорема. Объем шара равен

Чертеж 2.

Доказательство. На плоскости Р расположены шар, цилиндр и конус. Радиус шара R, радиус основания цилиндра R и высота цилиндра /?. Радиус основания конуса R и высота конуса R. Через вершину Оз конуса проведем плоскость, параллельную плоскости Р. Эта плоскость пройдет через верхнее основание цилиндра и рассечет шар по большому кругу Ох. Проведем еще одну плоскость, параллельную плоскости Р на расстоянии от нее, равном X. Эта плоскость пересечет конус по кругу Сз Дз, цилиндр по кругу Сг Дг и шар по кругу CiDj. Радиус круга СуДх равен СгВъ а СхВг^ =1/C7V - OA2 =VR2-(R-x?=V 2Rx—x2

Радиус круга C2D2 равен D2B2, a D2B2=R.

Радиус круга С3Ь3 равенD3ß3=ß303, т. к. тр -к C303D3 равнобедренный. BB03=:R—x, значит Dß^—R—x

Теперь можно вычислить площади кругов Сг01} C2D2 и C3D3.

Площадь круга(C1D1)=Tz(2Rx—x2) (C2D2)=*/?2 (CsD3)=k(R-xY Отсюда видно, что k(2Rx—х2)-\-к R2+tz(R—x)2=kR2, т. е. площадь круга С20г = пл. круга GDi + пл. круга CzDz.

На основании принципа Кавальери можно утверждать, что объем цилиндра (K2F2) = объему полушара (EiAiFi) + объем конуса. (fcOzLz).

Отсюда: объем полушара (EiAiFi) = объему цилиндра (^2^2) — объем конуса (/C303Z,3) или объем полушара

Объем шара равен

Пример вывода формулы объема шара с помощью принципа Кавальери дан в учебнике А. П. Киселева — Геометрия, ч. II, стр. 88, издание 1952. Принцип Кавальери явился историческим прообразом современного принципа интегрального исчисления.

До работ Кеплера и Кавальери методы вычисления площадей и объемов были чрезвычайно сложные и зависели от частных свойств фигур. Не было общего метода, а были отдельные приемы вычисления площадей и объемов.

Труды Кеплера и Кавальери в геометрии XVII века отвечали требованиям практической жизни нового буржуазного общества.

Дальнейшее развитие элементарной геометрии и, в частности, стереометрии происходит в тесной связи с развитием высшей математики. Проблемы, идущие из элементарной геометрии, теперь решаются с помощью методов высшей математики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Математика, ее содержание, методы и значение, т. I, Издание Академии Наук СССР, 1956.

2. А. Д. Александров, Геометрия, Б. С. Э., т. 10.

3. Г. Н. Попов, Очерки по истории математики, ГИЗ, 1923. 4. В. П. Шереметьевский, Очерки по истории математики, ГИЗ, 1940.

5. Г. Н. Попов, Псамит Архимеда, ГИЗ 1922.

6. Историко-математические исследования, вып. 1, ГИЗ, 1948.

7. Г. Вилейтнер, Хрестоматия по истории математики, выпуск 2, изд. 1932 г.

8. Ф. Кэджори, История элементарной математики, изд. 1910 г.

9. Математическое просвещение, выпуск 11, 1937.

10. С. Я. Лурье, Архимед, Издательство Академии Наук СССР, 1945.

11. Б. Кавальери, Геометрия, ГИЗ, 1940.

12. И. Кеплер, Стереометрия винных бочек, ОНТИ-ГТТИ, 1935.

13. Г. Вилейтнер, История математики от Р. Декарта до середины 19 века, Учпедгиз, 1960.

В. В. РЕПЬЕВ

О НАГЛЯДНОСТИ В ПРЕПОДАВАНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ

1. Почему недостаточно применяется наглядность

Как обстоит дело в наших школах с реализацией принципа наглядности при обучении стереометрии?

Изучение работы школ показывает, что есть еще школы, и с малым и с большим числом учителей математики, в которых наглядные пособия по стереометрии легко помещаются на полке небольшого канцелярского шкафа. В число этих пособий обычно входят некоторые простейшие модели геометрических тел, имеющие малую ценность в отношении изучения систематического курса стереометрии. Есть еще учителя, которые далеко неполно используют и это скудное оборудование и нередко ограничиваются наглядностью, сводящейся к чертежам фигур на классной доске. Нам вспоминается первый урок курса стереометрии, данный одним учителем, на котором не было использовано ни одной модели, ни одного чертежа, а руки педагога покоились в карманах его костюма. Встречаются, верно, нечасто и такие учителя, которые высказываются против применения моделей фигур, мотивируя это тем, что они не помогают, а мешают обучению.

Иногда в отношении бедности оборудования приводится оправдание, что школа получает небольшие средства для приобретения наглядных пособий и что эти средства тратятся на пополнение других кабинетов и лабораторий. Однако при этом забываются другие пути оборудования наглядными пособиями, более сильные в отношении пополнения кабинета и более интересные в отношении эффективности обучения.

Имеются и такие школы и коллективы учителей математики, которые пополняют математические кабинеты приборами, моделями, стенными таблицами и другим учебным инвентарем, причем основным источником пополнения являются учебная и внеклассная работа учащихся. Большое количество самодельных наглядных пособий по стереометрии можно наблюдать на выставках, организуемых институтами усовершенствования учителей, органами народного образования, педагогическими кабинетами и школами. Имеются учителя, творчески работающие по созданию новых пособий, каких еще не было в практике школ. Все это — значительные шаги вперед по сравнению с инертным отношением к пополнению кабинета.

Однако и здесь не всегда можно удовлетвориться деятельностью коллективов учителей: она часто лишена целенаправленности, плановости, продуманности и носит заметные следы случайности. Это объясняется тем, что учитель главное видит в том, чтобы ученик делал, мастерил, а что и как он делает, это не так важно. Если получается хорошая модель, она сохраняется, пополняет фонды кабинета; если модель неинтересна или плоха, она уничтожается. А это приводит к тому, что кабинет пополняется стихийно и не всегда так, как нужно для выполнения современных задач математического образования.

Почему же недостаточно применяется наглядность в преподавании стереометрии?

Причины разнообразны, их много и нередко они действуют комплексно.

К числу причин относится отрыв обучения от жизни, от практики и труда, что неизбежно приводит к формализму в преподавании. Играет роль и недостаточная методологическая квалификация некоторых учителей, приводящая к недопониманию того, что марксистско-ленинская теория познания является идейной основой принципа наглядности. Слабое знание некоторой частью учительства психологии, психологии подростка и юноши, в частности, слабое знание психологии мышления в понятиях, мешает уяснению роли чувственных данных для понятийного мышления. Иногда недостаточная педагогическая и методическая квалификация учителя, слабое знание методической литературы приводит к недооценке

активных методов обучения, самостоятельной работы учащихся и беспомощности в оснащении математического кабинета.

К сожалению, приходится назвать и равнодушное отношение некоторых учителей к педагогической работе, формальное выполнение ее, что порождает потерю квалификации, утрату интереса к ее повышению, что делает труд учителя неприятной обязанностью, а все это приводит к безразличному отношению к наглядным средствам обучения.

В слабом использовании наглядности значительная вина падает на директоров и заведующих учебной частью школ: они мирятся с отсутствием наглядных пособий, не предъявляют в этом отношении требований к коллективам учителей математики, не заботятся о повышении квалификации тех из них, которые в этом нуждаются. Повинна и инспектура органов народного образования, не предъявляющая серьезных требований к администрации школ и учительству в отношении повышения качества обучения, эффективности урока и применения наглядности.

2. Основания наглядного обучения стереометрии

Изложенное побуждает кратко напомнить основания принципа наглядности при обучении математическим дисциплинам.

Марксистско-ленинская теория познания — теория отражения — служит идейным основанием принципа наглядности.

Геометрические пространственные формы, качественные и количественные отношения, методы и способы оперирования с ними при доказательствах являются отражениями в сознании вещей и отношений действительного мира, практики работы с ними. Путем абстракции создавались многие не только начальные, но и определяемые понятия; практика помогала их формировать и отбирать, практика наметила и те проблемы, решением которых надо заниматься.

Учебное познание пространственных форм, отношений и методов оперирования с ними сохраняет все характерные признаки познания в широком смысле слова, но

происходит в особых условиях: оно направлено на сообщение материала хорошо познанного, совершается под руководством педагога и при наличии учебных руководств.

Советская психология учит, что абстрактное мышление, мышление в понятиях, неизменно опирается на чувственный материал, что оно всегда связано с чувственными данными; оно способно далеко выходить за пределы чувственного, но не порывает с ним. Мышление в понятиях окажется тем продуктивнее, чем богаче чувственная основа его, т. е. чем полнее оно подготовлено наглядностью.

В процессе учебного познания пространственных форм и отношений, структуры и методов геометрии особо необходимо помнить о связи абстрактного с конкретным, ибо абстрактное формируется на базе конкретного, а значит, неразумный отрыв абстрактного от конкретного чреват формализмом, оторванностью от жизни. Значит, психология учебного познания необходимо свидетельствует в пользу широкого использования наглядности.

Правильное применение принципа наглядности при обучении стереометрии дает возможность глубже и полнее раскрыть политехническое значение геометрии, установить более тесные связи с трудовым, с производственным обучением и производительным трудом. Это осуществляется и при введении учащихся в учебные проблемы и при их изложении, и особенно в приложениях стереометрии. Значит, перестройка среднего образования, выполнение основного начала обучения — связи с трудом, с практикой немыслима без усиления наглядного обучения.

Стоящие перед учителем проблемы по активизации методов обучения, по поднятию эффективности урока могут быть решены только на базе полного использования наглядности. Организация лабораторно-практических и практических работ, связь с общественно полезным трудом, с трудовым и производственным обучением нельзя осуществить с пустыми руками. Значит, активизация методов обучения предполагает значительное пополнение инвентаря учебного оборудования и усиление наглядности.

Итак, изложенное показывает, что имеются многие веские аргументы в пользу значительного повышения роли принципа наглядности при обучении систематиче-

скому курсу стереометрии- Мало того, перестройка средней школы требует пересмотра способов и путей использования наглядности. Если ранее придавали большое значение демонстрациям, то теперь этого уже недостаточно, необходимы лабораторно-практические и практические работы.

3. Средства наглядного обучения

В ближайшие четыре года систематический курс стереометрии будут изучать юноши, которые длительный период занимались формами и отношениями двумерного пространства, а формы и отношения трехмерного пространства почти совершенно не входили в круг их рассмотрения. Такое положение создает трудности при переходе к изучению стереометрии. В дальнейшем с введением новых программ во всех классах 8-летней школы эти трудности несколько сгладятся: учащиеся в VII и VIII классах познакомятся с многими трехмерными формами и овладеют геометрическими фактами, связанными с ними.

Широкое и умелое применение наглядности при изложении стереометрии—одно из важнейших средств в преодолении трудностей: наглядность обогащает пространственные представления, делает более четкими те образы, которые сопровождают введение понятий, изложение теорем, способствует развитию пространственного воображения.

Изучение систематического курса стереометрии падает на старшие классы, что даст возможность расширить взгляд на средства наглядного обучения по сравнению с 8-летней школой.

К числу средств наглядного обучения стереометрии относятся: а) вещи и отношения их окружающего материального мира, в частности, и те, с которыми учащиеся имеют дело в процессе производственного обучения и производительного труда, б) специально изготовленные модели фигур, на которых удобно наблюдать пространственные формы и отношения, в) чертежи и рисунки с изображением фигур, как заблаговременно изготовленные на чертежной бумаге, так и выполненные на классной доске и в тетрадях, г) пространственные представления

учащихся, сформировавшиеся при наблюдении вещей и отношений действительного мира, при использовании вещей при работе над ними, в частности, и те представления, которые сформировались в результате трудового и производственного обучения, д) образы двухмерного и трехмерного пространств, которые на данном этапе обучения учащиеся могут представить или вообразить, е) часто встречающиеся в практике приборы и инструменты, применяемые в черчении, при измерении отрезков, углов, площадей и объемов.

При изложении многих стереометрических фактов и частично при решении различного вида задач большое значение имеют демонстрационные наглядные пособия. Для демонстраций применяются и такие модели, которые обслуживают один или малое число фактов, например, модель фигуры, получаемой при доказательстве теоремы о двух перпендикулярах, шар, разрезанный на части, которые встречаются в курсе (сегмент, сектор, слой). Не следует пренебрегать теми пособиями, на которых демонстрируется малое количество фактов: некоторые из них незаменимы или трудно заменимы.

Однако наибольшее значение имеют те модели, которые допускают демонстрацию многих фактов. К числу таких приборов относятся, например, ряд пособий, изготовленных учителем г. Горького А. И. Раевым, статьи которого помещены в этом сборнике.

В современных условиях особое значение приобретают такие наглядные пособия, которые служат раздаточным материалом во время самостоятельных занятий учащихся. Из них надо выделить два основных вида: а) раздаточный материал, используемый для создания моделей фигур при решении различных задач и прежде всего вычислительных, решаемых при изучении первой части стереометрии, б) раздаточный материал в виде элементарных тел, их простейших сочетаний, используемый для выполнения разнообразных стереометрических расчетов, требуемых соответствующими задачами. Первый вид раздаточного материала служит для конструирования и овеществления тех фигур, о которых идет речь в задачах; изготовленная модель имеет разностороннее значение, в частности, она помогает найти те функциональные зависимости, которые лежат в сюжетах задач и служат ключом к их решению, она полезна для последующего изо-

бражения фигуры чертежом; конструирование—действенное средство обогащения пространственных представлений. Лабораторно-практические работы над вторым видом раздаточного материала в некоторой мере сближают школьное решение задач с практикой: ученику предъявляется требование оценить на глаз, с каким видом тела или сочетаний тел он имеет дело, проверить эту оценку соответствующими измерениями, произвести необходимые измерения для решения поставленной задачи, выполнить решение в общем виде и сделать вычисления для получения приближенных ответов. Такая деятельность ученика также имеет разностороннюю ценность, в частности она является сильным средством борьбы с формализмом в знаниях, способствует сближению преподавания с жизнью.

4. Пути оснащения математического кабинета

В наше время пополнение математического кабинета учебными пособиями должно стать делом всего коллектива учителей математики школы. Целесообразно разработать общий план этого пополнения на 2—3 года. Программы по математике во многих случаях содержат конкретные указания, что необходимо иметь школе для организации и проведения лабораторных, лабораторно-практических и практических работ учащихся. Изучение программ, а также методической литературы позволяет сделать план пополнения кабинета достаточно конкретным. Общий план дает возможность наметить план мероприятий на ближайший учебный год. В нем предусматривается, какими видами работ будет руководить каждый педагог и какие организационные мероприятия используются для этого.

Укажем основные пути, которые целесообразно использовать для оборудования кабинета.

1. Программы по математике предусматривают проведение лабораторно-практических занятий. Некоторые из них полезно использовать для изготовления раздаточного материала и подготовки его применения на уроках в дальнейшем. Поясним примером.

В VII классе предстоит провести практические занятия по определению площадей поверхностей и объемов

простейших призм—прямых треугольных и четырехугольных. Каждому ученику предстоит дать тело. Для проведения таких занятий надо иметь раздаточный материал— модели тел, подходящие производственные детали (хотя бы деревообделочной мастерской). Значительную часть этого материала можно получить путем организации лабораторно-практической работы, проводимой в выпускном классе. Преподаватель на отдельных карточках (билетах) указывает название тела, его размеры. Задание дается общее: 1) по данным размерам на листе чертежной бумаги начертить развертку поверхности тела, указанного в карточке, 2) вырезать эту развертку и изготовить тело, 3) на основе измерений полученного тела вычислить площади боковой и полной поверхности и объем тела, 4) сдать изготовленную модель с соответствующими выкладками преподавателю. Для большей жесткости чертежную бумагу полезно подклеить обыкновенной бумагой, это придаст моделям большую прочность. Надо избегать изготовления тел слишком малых и слишком больших размеров, например, предлагается сделать призму, в основании которой треугольник со сторонами 7, 8, 9 см,, с высотой 11,2 см. Вычисление площади поверхностей и объема выполнять не по заданным размерам, а по полученным путем измерений изготовленного тела, так как размеры последнего могут отличаться от проектных.

В дальнейшем каждая из моделей изготовленной серии нумеруется, на отдельном листе под соответствующим номером указываются приближенные значения площадей боковой и полной поверхностей и объема тела. Это — ответы, которые будут нужны в дальнейшем. Модели с листком ответов хранятся в особой коробке.

Аналогично описанному на лабораторно-практических занятиях можно изготовить раздаточный материал для других тем 8-летней школы: а) набор цилиндров и простейших сочетаний их, б) набор правильных треугольных, четырехугольных и шестиугольных призм, в) набор правильных треугольных, четырехугольных, шестиугольных пирамид и простейших сочетаний их с прямыми призмами, г) набор конусов и простейших сочетаний их с ранее изученными телами. Если возможно, эти наборы следует пополнить подходящими производственными деталями.

2. В практике некоторых школ получили распростра-

нение индивидуальные домашние задания по изготовлению наглядных пособий, чаще всего моделей для отдельных стереометрических задач. Плановое и продуманное использование таких заданий может оказаться надежным источником пополнения кабинета.

Этим путем также можно изготовить раздаточный материал по той или другой теме- Например, если педагог ставит задачу обеспечить раздаточным материалом лабораторно-практическую работу в VIII классе по теме «Поверхность и объем пирамиды», то в индивидуальных карточках (билетах) он укажет название и необходимые размеры тела и даст общее задание, аналогичное тому, которое только что приведено. В результате школа получит набор нужных тел и приближенные значения площадей полных поверхностей и объемов их.

Однако домашние задания по изготовлению моделей можно использовать с большим эффектом, если учесть индивидуальные особенности каждого ученика, любовь к конструктивному творчеству, пристрастие к тому или другому виду труда и наличие в распоряжении ученика инструментов и материалов. Если в семье ученика имеется верстак и столярный инструмент, то целесообразно поручить ему работу по дереву; если в распоряжении ученика имеется слесарный инструмент, то он получит и соответствующее задание.

Можно шире использовать творчество учащихся в в поисках подходящих конструкций. Педагог знакомит ученика с назначением модели, с идеей ее устройства и оставляет простор для творческих исканий конструкции модели. Работа организуется по плану: а) задание, б) составление учеником проекта со всеми расчетами, в) одобрение проекта педагогом, г) изготовление модели по проекту, д) сдача и оценка работы ученика.

Пусть, например, требуется сделать правильную четырехугольную пирамиду, на которой было бы возможно демонстрировать значительное количество сечений поверхности пирамиды плоскостью. Работая над составлением проекта, ученик решает сделать пирамиду из обыкновенного стекла со стороной основания 20 см, высотой 26 см, основание не вделывать, сечения изготовить из подклеенной чертежной бумаги с яркой окраской. Проект составляется со всеми расчетами, указываются формы и размеры каждого сечения. В проекте предусматриваются

разнообразные положения секущей плоскости. Плоскость проходит: а) через сторону основания и середину высоты, б) через сторону основания перпендикулярно противоположной грани, в) через середины двух соседних сторон основания и середину высоты, г) через диагональ основания перпендикулярно боковому ребру, д) через середины двух соседних боковых ребер перпендикулярно к основанию и т. д. В результате получится ценная модель для демонстраций при решении многих задач.

В то же время другие учащиеся выполнят из стекла модели куба, правильной шестиугольной призмы, правильной шестиугольной пирамиды для демонстраций разнообразных плоских сечений этих тел. Учащиеся изготовят конус и серию тел, вписанных в него (куб, правильную треугольную, четырехугольную, шестиугольную призму, шар и др.), причем конус сделают так, что половина его боковой поверхности будет снята, это позволит вкладывать в него вписанные тела.

Таким путем можно обогатить математический кабинет многими полезными моделями для демонстраций и самостоятельной индивидуальной работы учащихся.

3. Наш опыт и опыт других педагогов показывает, что модельно-математические кружки учащихся, кружки «умелые руки» при правильном руководстве могут внести значительные вклады в пополнение математических кабинетов. Такие кружки должны быть немногочисленны, 10—12 человек, они могут быть укомплектованы учащимися VII—VIII классов, их можно организовать и из учащихся старших классов.

В качестве материала используются чертежная, цветная, миллиметровая бумага, тонкий картон, фанера, обыкновенное и органическое стекло, жесть, проволока различного диаметра, цветные шелковые нити, канцелярский клей. Необходимы немногие общедоступные инструменты: ножи, ножницы, алмаз, острогубцы, плоскогубцы, паяльники, напильники, шило, металлические линейки и угольники, чертежные приборы.

Кружок может производить наборы многих видов плоских фигур и наборы моделей тел, которые согласно программе используются при лабораториях и лабораторно-практических занятиях, и многие приборы для демонстраций. Например, кружок может изготовить модель треугольной призмы, рассеченной на три равновеликие

пирамиды, модель, состоящую из треугольной пирамиды и серии соответственным образом вставленных в нее призм (используется при доказательстве теоремы о равновеликости двух треугольных пирамид с равновеликими основаниями и равными высотами) и другие. Применяя разделение труда между участниками кружка, его бригады могут взяться за изготовление копий достаточно сложных приборов по имеющимся экземплярам или по описаниям их в методической литературе, в частности, могут быть изготовлены приборы, описание которых дано в статьях А. И. Раева, напечатанных в этом сборнике.

4. Коллективу учителей математики совместно с учителями труда полезно продумать, что, не нарушая процесса обучения труду, можно сделать в учебных мастерских силами учащихся для математического кабинета. В этом отношении особый интерес представляют деревообрабатывающие, картонажные и металлообрабатывающие мастерские.

Деревообрабатывающая мастерская может дать разнообразные детали столярного производства, которые пополнят раздаточный материал по стереометрии; здесь же изготовляются различные доски, служащие основами учебных приборов, например, доски для координатных сеток, для самодельного тригонометра, универсального круга. При обучении первой части стереометрии полезно иметь раздаточный материал, состоящий из небольших дощечек из мягкого дерева, заостренных металлических спиц разной длины и картонных пластинок. Такой материал позволяет конструировать многие модели фигур, встречающихся в задачах. Дощечки делаются в столярной мастерской в количестве 20—30 штук. В этой же мастерской делаются топографические приборы — эккеры, мензулы, высотомеры и др.

В картонажной мастерской можно сделать многие планиметрические и стереометрические модели.

В металлообрабатывающей мастерской делаются отдельные детали для приборов: отвесы, винты, барашки, углы для скреплений, а также модели круглых тел и различных сочетаний круглых тел, которые пополняют наборы, предназначенные для раздачи учащимся.

5. До сих пор многие коллективы учителей математики далеко недостаточно используют школьные учебные мастерские в целях пополнения математического кабине-

та. А это одинаково плохо и для математического образования и для трудового обучения. Одна из нитей, связывающих школьную математику с жизнью, идет через школьные учебные мастерские.

6. Математические отделения физико-математических факультетов теперь готовят преподавателей математики и черчения. Объединение этих двух дисциплин в руках одного педагога является мероприятием, от которого выигрывает преподавание каждой из них. Уроки черчения или домашнюю работу по этой дисциплине преподаватель использует для изготовления: 1) настенных таблиц, используемых с разнообразными целями, 2) наборов карточек со стереометрическими задачами на чертежах. Настенные таблицы по стереометрии могут быть следующих видов: а) с образцами решений с объяснениями различных вычислительных задач, б) с образцами выполнения чертежей в принятых в технике и на производстве проекциях, в) с чертежами фигур к некоторым теоремам и задачам, отличающимися сложностью и трудной выполнимостью, г) с чертежами фигур в параллельной проекции и принятых частных видов ее для упражнений в чтении.

Наборы карточек с задачами на готовых чертежах обеспечивают как раздаточный материал самостоятельную работу учащихся по решению вычислительных стереометрических задач. Среди них будут задачи на вычисление площадей поверхностей и плоских сечений тел, различного вида углов, объемов и др.

Если преподавание черчения не сосредоточено в руках учителя математики, то необходима договоренность между преподавателями двух дисциплин о том, что могут сделать учащиеся на уроках черчения для пополнения математического кабинета.

7. Предприятия, шефствующие над школами, предприятия, где протекает производственная практика учащихся, где они включаются в производительный труд, могут оказать большую помощь в пополнении кабинета. Чтобы в этом отношении правильно использовать предприятие, преподаватели математики обязаны познакомиться с технологией производства, с оборудованием его, уяснить, чем может помочь предприятие, а вместе с тем наметить, что нужно для кабинета и что из этого нельзя сделать внутри школы. В отношении пополнения кабинета многое может сделать комсомольская организация предприятия.

Как видно, источники, по которым может идти пополнение математического кабинета, весьма разнообразны. Важно привести в действие их, заставить работать в интересах школы. А это целиком зависит от учителей математики, от их инициативы, творческих исканий и организаторских способностей.

Конечно, мы не против того, чтобы школа приобретала наглядные пособия в магазинах. Однако нельзя рассчитывать только на это: магазины имеют крайне ограниченный выбор математических пособий, да и школы имеют небольшие средства на их приобретение. В частности, совершенно невозможно купить крайне необходимый раздаточный материал.

5. План оборудования математического кабинета

План пополнения кабинета наглядными пособиями составляется и обсуждается математической комиссией школы; уже в процессе составления плана точно устанавливается, в какой мере окажут помощь учебные мастерские, преподаватели черчения, шефствующие предприятия. План согласуется с заведующим учебной частью и директором школы. Необходимо иметь весьма скромные средства на приобретение различных материалов и некоторых инструментов.

В план включается: а) название вещей, подлежащих изготовлению, б) количество их и сроки изготовления; пути изготовления вещей, г) кто из учителей руководит и отвечает за изготовление, д) отметка о выполнении.

План составляется единый по всем математическим дисциплинам и классам. Для целей нашей работы достаточно привести часть плана, связанную с преподаванием геометрии и особенно стереометрии, причем ограничимся только первыми столбцами плана.

Название вещей, подлежащих изготовлению

Количество вещей а сроки

Пути изготовления.

1) Модели кубов и прямоугольных параллелепипедов из подклеенной чертежной бумаги и дерева. (Раздаточный материал для вычисления площадей поверхностей и объемов в V кл.).

40 Математический кружок VIII кл. и деревообделочная мастерская.

2) Модели Квадратов, прямоугольников и фигур, представляющих сочетания указанных, из тонкого картона, жести, фанеры (для вычисления периметров и площадей в V кл.).

3) Модели многоугольников—прямоугольников, треугольников, параллелограммов, трапеций и простейших сочетаний их из картона, фанеры, жести (для вычисления площадей в VII кл.)

4) Модели прямых треугольных и четырехугольных призм из подклеенной чертежной бумаги и дерева (для вычисления площадей поверхностей и объемов в VII кл.).

5) Модели цилиндров, простейших сочетаний их из чертежной бумаги, металла (детали машин — втулки, оси) (для вычисления площадей поверхностей и объемов в VII кл.).

6) Планы земельных участков в крупных масштабах в форме многоугольников (для вычисления площадей в VIII кл.).

7) Модели правильных многоугольников, простейших сочетаний их с кругом из картона, фанеры, жести (для вычисления площадей в VIII кл.).

8) Модели правильных призм и пирамид, простейших сочетаний их из чертежной бумаги (для вычисления площадей поверхностей и объемов в VIII кл.).

9) Пары моделей правильных призм и пирамид: а) треугольных, б) четырехугольных, в) шестиугольных из жести. В каждой паре

40 Учащиеся VI кл. в порядке домашней работы и в мастерских.

40 Учащиеся VIII класса в порядке домашней работы и в мастерских.

40 Учащиеся XI кл. в порядке классных занятий.

40 Учащиеся XI кл. в порядке домашней работы.

40 Учащиеся XI кл. в порядке домашней работы.

40 Учащиеся XI кл. в порядке домашней работы.

40 Учащиеся XI кл. в порядке классных занятий.

3 пары Металлообрабатывающая мастерская.

тел основания и высоты соответственно равны. В призмах не вделываются по одному основанию, в пирамидах не вделываются основания. Каждая пара моделей служит для опытной проверки теоремы об объеме пирамиды.

10) Модели разнообразных призм и их сочетаний из чертежной бумаги, дерева, металла (для решения разнообразных вычислительных задач в XI кл.).

11) Модели разнообразных полных и усеченных пирамид, их сочетаний между собою и призмами из чертежной бумаги, металла, дерева (для решения разнообразных вычислительных задач в XI кл.).

12) Модели цилиндров, полных и усеченных конусов, их сочетаний между собой из чертежной бумаги, металла, дерева (для решения задач в XI кл.).

13) Модели цилиндров, полных и усеченных конусов, их сочетаний с многогранниками из чертежной бумаги, металла, дерева (для решения задач в XI кл.).

14) Карточки с изображением многогранников и их сочетаний в принятых в технике проекциях (для решения в XI кл. задач по чертежам).

15) Карточки с изображением круглых тел и сочетаний их с многогранниками в проекциях, принятых в технике (для решения задач в XI кл. по чертежам).

35 Учащиеся XI, кл. в порядке домашней работы. Мастерские, предприятие.

35 То же.

35 То же.

35 То же.

35 На уроках черчения

35 На уроках черчения

16) Набор дощечек из мягкого дерева, картонных пластинок, стальных спиц разной длины, резиновых шариков (для моделирования фигур при решении задач по первой части стереометрии).

20 наборов Мастерские

ЛИТЕРАТУРА

1. В. В. Репьев, Общая методика преподавания математики, Учпедгиз, 1958.

2. П. Я. Дорф, Учебные пособия по математике в средней школе, Учпедгиз, 1955.

3. Е. М. Больсен, Литература по наглядным пособиям, журнал «Математика в школе», № 3 за 1955 г. (В статье содержится большой перечень книг и статей о наглядных пособиях).

4. В. В. Репьев, Этюды по методике решения стереометрических задач на вычисление, ГГПИ им. Горького, 1956.

5. Журнал «Математика в школе».

А. И. РАЕВ

ПОРТАТИВНЫЙ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПРИБОР

Портативный стереометрический прибор является конструктивным наглядным пособием по школьному курсу геометрии трехмерного пространства.

Он предназначен для демонстрации фигур стереометрических задач: 1) на все виды многогранников, 2) на сечение тел плоскостью, 3) на комбинации многогранников. На нем демонстрируются фигуры для теорем первого раздела курса стереометрии и теорем, связанных с изучением многогранников и их свойств.

Ряд известных до сих пор конструктивных наглядных пособий имеют следующие общие недостатки:

а) Для построения пространственных фигур в них используются панели с ограниченным количеством точек, выполненных в виде крючков, отверстий или колец, в которых крепятся цветные шнуры, образующие контуры геометрических тел.

б) Точки крепления шнуров неподвижны. Ограниченное количество узловых точек и их неподвижное расположение на панели ограничивает демонстрационные возможности приборов.

в) Во многих конструктивных приборах построение моделей многогранников неизбежно связано с одной или двумя панелями.

Призмы и усеченные пирамиды, например, конструируются между двумя параллельными плоскостями. Плоскости при этом вместе с другими крепежными деталями отвлекают внимание учащихся от построений фигуры, а, главное, загораживая собою часть модели, снижают наглядные качества пособий.

Портативный стереометрический прибор не имеет панелей.

В нем осуществлена идея подвижности узловых точек по концентрическим окружностям, благодаря чему он, имея большие возможности в построении пространственных фигур, во много раз портативнее любого из приборов того же назначения.

Достаточно сказать, что в картонную коробку стереометрического прибора*, выпускаемого в настоящее время фабрикой «Природа и Школа», вмещается 60 портативных стереометрических приборов этой конструкции вместе с их футлярами.

Прибор не нуждается в использовании демонстрационного столика, так как он очень легкий и имеет специальную ручку, чтобы держать модель.

Портативный стереометрический прибор содержит небольшое количество деталей:

1. Стальной стержень с резьбой и гайками на концах (рис. 1, деталь I).

Рис. 1.

2. Барашек, навинчивающийся на стержень сверху для закрепления кронштейнов (рис. 1, деталь 3).

3. Ручка, навинчивающаяся на стержень, закрепляющая кронштейны снизу (рис. 1, деталь 2).

4. Восемь длинных стальных кронштейнов с крючка-

* Стереометрический прибор автора Раева А. И.

ми на концах и 6 кронштейнов вдвое короче (рис. 1, деталь 4 и 5).

5. Два растяжимых шнура разного цвета длиною в 1,5 и 2,5 м и нерастяжимый шнур длиною в 1,2 ж.

Примеры использования портативного стереометрического прибора при изучении стереометрии

Для построения пирамиды на один конец стального стержня надеваются кронштейны и зажимаются навинчивающейся ручкой в нужном положении относительно друг друга.

На верхний конец стержня навинчивается барашек. Затем очерчивается контур пирамиды путем натяжения цветного растяжимого шнура между крючками на кронштейнах и барашком (рис. 2).

Рис. 2. Рис. 3.

Кронштейны имеют возможность поворачиваться в плоскости, перпендикулярной к стальному стержню. Их концы и середины при этом очерчивают концентрические окружности, точки которых могут быть использованы для построения различных плоских фигур, служащих основаниями пирамид (рис. 3).

Таким образом можно построить правильные пирами-

ды и пирамиды с произвольными основаниями.

Если сверху на стальном стержне зажать барашком кронштейн, то за вершину пирамиды можно взять его конец или середину, т. е. любую точку на двух концентрических окружностях (рис. 4).

Высоты в пирамидах могут совпадать с ребрами, лежать в одной из граней или располагаться вне пирамиды.

На рис. 5 и 6 показаны некоторые примеры оснований пирамид. Основания высот отмечены в них точками.

Для построения призм на верхнем конце металлического стержня закрепляются кронштейны соответственно параллельно нижним так, чтобы, соединив их концы или середины цветным шнуром, получить сначала контуры оснований, а затем и всю модель (рис. 7, 8 и 9).

Рис. 4.

Рис. 5. Рис. 6.

Основаниями призмы могут быть различные многоугольники (рис. 5 и 6).

Усеченные пирамиды строятся аналогично призмам (рис. 10).

Достаточно яркое представление о цилиндре, конусе и усеченном конусе создается вращением призм и пирамид, так как в образовании поверхности вращения участвуют шесть образующих — боковых ребер (рис. 11).

Рис. 7. Рис. 8.

Конструкция прибора дает возможность строить комбинации моделей. Например, во все призмы вписываются

Рис. 9. Рис. 10.

пирамиды, а в усеченные пирамиды можно вписать призмы и пирамиды (рис. 10).

Сечения тел строятся с помощью нерастяжимого мягкого цветного шнура, который закрепляется на ребрах путем незавязанной петли вокруг ребра фигуры (рис. 4и7).

Прибор не содержит панелей-плоскостей, однако на нем можно собрать модели, демонстрирующие все случаи

Рис. 11. Рис 12.

Рис. 13. Рис. 14.

взаимного расположения плоскостей в пространстве (перпендикулярность и параллельность плоскостей, пересечение их под любым углом), а это создает возможность удачно демонстрировать большое количество теорем раздела «Прямая и плоскость», например, теорему о параллельности прямой и плоскости (рис 12), теорему о линиях пересечения двух плоскостей третьей плоскостью (рис. 13), теоремы о сравнительной длине перпендикуляра и наклонных (рис. 14), теорему о перпендикулярности прямой к одной из двух параллельных плоскостей (рис. 15), теорему о трех перпендикулярах (рис. 16), теоремы о перпендикулярности двух плоскостей и следствия, теоремы о двугранных и многогранных углах и многие другие по курсу стереометрии X и XI классов.

Изготовление портативного стереометрического прибора

Детали прибора не многочисленны, просты и однотипны, что облегчает их изготовление.

Работу с учащимися удобнее проводить в школьной слесарной мастерской, имея небольшое количество проволоки, диаметром в 5 и 2 мм, тиски, нарезной инструмент, круглогубцы, паяльник, зубило и молоток.

Рис. 15. Риз. 16.

Стержень (рис. 1, деталь I) изготавливается из отрезка стальной проволоки диаметром в 5 мм и длиною в 250 мм. С обоих концов на нем нарезается резьба на 20 лш, навинчиваются гайки, которые очень легко подобрать, или напаиваются шайбы — упоры.

Из 3-миллиметрового железа вырубается выкройка барашка (рис. 1, деталь 3), просверливается отверстие и нарезается резьба. Ветви барашка отгибаются вверх.

Ручку (рис- 1, деталь 2) можно приготовить из удачно подобранной трубки, в которой нарезается внутренняя резьба. В крайнем случае ручку можно заменить вторым барашком.

Для изготовления кронштейнов (рис. 1, детали 4 и 5) необходимо заготовить из стальной проволоки диаметром в 2 мм нужное количество (по числу деталей) отрезков длиною в 185 и 110 мм. Одни концы их изогнуть круглогубцами в виде колец и затем разбить молотком до толщины в 1 мм, вторые, наоборот,, сначала разбить, а затем выгнуть из них крючки по рис. № 1 (детали 4 и 5).

В серединах больших кронштейнов напаиваются (в обхват) выступы-крючки, изготовленные из тонкой жести.

Все детали прибора покрываются черным лаком или окрашиваются черной масляной краской для того, чтобы они были менее заметными на фоне классной доски.

Если не удается достать цветной резиновый шнур, можно шнуры в белой оплетке длиною в 1,5 и 2,5 м ярко окрасить анилиновой краской.

Для построения сечений следует использовать мягкую узкую ленточку или веревочку, сплетенную из ниток мулине. Все шнуры на концах имеют петли.

Для хранения деталей портативного стереометрического прибора изготавливается картонный футляр небольшого размера (3X2X26 см).

Уменьшив размеры деталей в 2—3 раза, можно приготовить очень удобный прибор для индивидуального использования его учащимися при лабораторных работах и решении задач.

Стержень, упоры на нем и барашки легко изготовить из велоспицы и 4-х нипелей.

Чрезвычайная портативность этого прибора (детали которого свободно уместятся в коробочку из-под авторучки) позволит учащимся всегда иметь его при себе.

А. И. РАЕВ

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПРИБОР ИЗ ОРГАНИЧЕСКОГО СТЕКЛА

Стереометрический прибор из органического стекла является конструктивным пособием для демонстрации геометрических тел и сечений их плоскостью.

Нельзя не согласиться с тем, что стеклянные модели обладают наилучшими наглядными качествами по срав-

Рис. 1. Рис. 2.

Рис. 3.

нению с моделями, изготовленными из непрозрачных материалов.

Наглядные пособия из стекла обычно представляют из себя совокупность неизменных тел с сечениями или вписанными фигурами. Они обеспечивают наглядностью ограниченное количество задач (по числу фигур в наборе). Производственные образцы таких наборов стоят дорого, так как их изготовление связано с большой затратой труда и материалов.

Рис. 4. Рис. 5.

В предлагаемом приборе из органического стекла фигуры даны не в готовом виде, а моделируются с помощью 2-х основных деталей — ширмочек с прямоугольными и треугольными створками (рис. 1, 2). Например, только одной ширмочкой из прямоугольников можно создать правильные, неправильные призмы, в том числе параллелепипеды с различными основаниями—ромбом, параллелограммом, квадратом, прямоугольником (рис. 3, 13, 14, 15, 17).

Рис. 7. Рис. 8.

Все пирамиды легко вписываются в призмы. В полные и усеченные пирамиды вписываются правильные призмы, шары, конусы, цилиндры и другие тела- Во всех пирамидах, призмах и кубе строятся любые сечения плоскостью.

Прибор дает возможность обеспечить демонстрациями большое количество задач на комбинации фигур, большинство задач на сечение тел плоскостью и многие другие задачи школьного курса стереометрии.

Сколько потребовалось бы стекла на изготовление равноценного по объему демонстраций набора стеклянных фигур! Прибор заменяет 150—170 моделей-одиночек, а на его изготовление расходуется оргстекла меньше, чем на создание двух отдельных фигур.

Модели крепятся на светло окрашенной плоскости, в которой рельефно изображены фигуры оснований тел. Пять правильных многоугольников из органического стекла и металлическая спица используются при построении усеченных пирамид, для чего достаточно спицу с надетым на нее многоугольником установить внутри пирамиды. Куб получается путем отсечения верхней части от четырехугольной правильной призмы, для этого внутри призмы вставляется спица, с надетым на нее квадратом (рис. 17).

Картонная ширмочка из четырех створок и четыре многоугольника обеспечивают построение призмы в правильных полных и усеченных пирамидах (рис. 9).

Рис 9.

Рис. 10.

Создание моделей, иллюстрирующих задачи на комбинации круглых тел с многогранниками, дело достаточно сложное. Неслучайно в большинстве средних школ этот раздел стереометрии обеспечивается наглядностью чрезвычайно слабо.

В стеклянном приборе вписанные круглые тела (шары, конусы, цилиндры, усеченные конусы) создаются вращением их осевых сечений внутри многогранников. Например, для вписания шара в шестиугольную правильную пирамиду надо взять из картонного набора, изображенного на рис. 7, круг с резиновыми петлями по диаметру, надеть его на спицу-ось и привести во вращение за конец спицы, выступающей сверху над пирамидой. Остановив круг, учитель получает модель, удобную для анализа и решения, в которой ярко выделены отдельные элементы фигур, используемые при решении задачи — осевое сечение шара и его радиус, высота, апофема, радиус вписанной окружности в основание пирамиды (рис.10).

Рис. 11. Рис. 12.

Аналогичным образом получаются вписанные цилиндры, конусы, усеченные конусы в полных и усеченных пирамидах (рис. 11, 12). Кроме осевых сечений, для цилиндров и усеченных конусов, даются верхние и нижние основания в виде картонных кругов, что обеспечивает большую наглядность моделям.

Сечение тел плоскостью — один из наиболее трудных и интересных разделов стереометрии, требующий доста-

точно развитого пространственного воображения учащихся. Искажение в изображениях чертежа ведет к затруднениям в решении задач.

Для демонстрации сечений используется набор цветных картонных многоугольников двух видов (рис. 8-а, б) и яркий нерастяжимый шнур. В призмы и в куб картонные прямоугольники вставляются сверху (рис. 14, 15, 16).

Удобно вставить секущую плоскость внутрь пирамиды, отогнув одну или две ее грани (рис. 16). Сечения в пирамидах можно строить, надевая сверху «картонные плоскости» (рис. 18, 19) с вырезанными в них фигурами сечений.

Такой способ дает возможность наблюдать не только

Рис. 13. Рис. 14.

Рис. 15. Рис. 16.

сечение тела, но и положение секущей плоскости; кроме того, он обеспечивает построение сечений на любой высоте при различных положениях секущей плоскости.

Диагональные сечения и многие другие можно показывать красным шнуром, который зажимается в прорезах на гранях фигур (рис. 10, 20). Яркий нерастяжимый шнур используется также при построении диагоналей, высот, апофем, радиусов, для выделения тех элементов моделей, на которые надо обратить особое внимание учащихся при доказательстве теорем или решении задач.

На приборе учащиеся практически могут проверить правильность решения задач на сечения, вставив в по-

Рис. 17. Рис. 18.

Рис. 19. Рис. 20.

строенную фигуру многоугольник, вырезанный из плотной бумаги по размерам, полученным в результате вычислений.

Изготовление стереометрического прибора из органического стекла

Учащиеся могут начать изготовление прибора с плоскости, которая является основой для построения всех моделей. Для этого на обыкновенной бумаге вычерчивается два чертежа (можно использовать копировку). Чертежи (рис. 3) наклеиваются на фанерные прямоугольники. Один из них распиливается на части, которые затем с клеем набиваются на второй прямоугольник, при этом фигура оказывается выполненной рельефно с помощью пазов.

Готовая плоскость дважды окрашивается масляной краской в светлый тон (светло-голубой, бледно-розовый или др.).

Для изготовления деталей, изображенных на рисунках 1, 2, 4, лучше всего использовать органическое стекло толщиной в 1—2 мм- На органическом стекле чертилкой или шилом вычерчиваются по картонному набору фигуры и вырезаются лобзиком или шиповкой.

Торцы треугольных створок (рис 2) можно окрасить красным лаком, а прямоугольных — синим (рис. 1). Отверстия на фигурах из оргстекла очень легко прокалываются раскаленным на спиртовке шилом.

Створки соединяются в ширмочку петлями из капроновой жилки сечением в 0,4—0,5 мм.

Из стальной проволоки диаметром в 2—3 мм изготовляется спица (рис. 5) длиною 230 мм. На расстоянии 105 мм от заостренного ее конца напаивается колечко— упор для закрепления оснований усеченных пирамид и куба.

Все остальные детали делаются из окрашенного картона или картона, оклеенного цветной бумагой.

Для изготовления четырехстворчатой ширмочки (рис- 6) необходимо вырезать восемь прямоугольников и склеить их попарно, соединяя полученные створки между собой полосками материи. Верхние основания призм вырезаются отдельно.

В осевых сечениях шаров, цилиндров, конусов (рис. 7, 10, 12) делаются по оси вращения две туго завязанные резиновые петли, в которые продевается спица-ось. Кроме осевых сечений, для цилиндров и усеченных конусов делаются верхние и нижние основания — круги из картона с отверстиями в центре.

В картонных сечениях (рис. 8-а, б) проводятся линии, используемые при решении.

Особую методическую ценность имеет вторая часть работы по созданию прибора, связанная с изготовлением моделей вписанных тел и сечений плоскостью. Она требует от учащихся использования теоретических знаний в практической работе, дает возможность проверить расчеты. Например, прежде чем изготовить многоугольник сечения призмы (пирамиды) учащиеся решают соответствующую задачу, получают необходимые размеры, формы сечения, вычерчивают и вырезают его из картона. Вставив полученное сечение в призму (пирамиду), они наглядно убеждаются в правильности или ошибочности своих рассуждений и вычислений.

Все детали стереометрического прибора могут храниться в картонной коробке размером 220X315X40 лш, на внутренней стороне крышки которой следует указать их перечень.

В. М. КВАШНЁВА

К ВОПРОСУ О СВЯЗИ ПРЕПОДАВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ С ЖИЗНЬЮ, С ТРУДОМ

I

Новые цели и задачи, стоящие перед школой, новый характер обучения требует, чтобы содержание каждого предмета было связано с жизнью, чтоб оно учило учащихся практическому приложению усваиваемых знаний в жизни, в труде.

В связи с этим больше места должно быть уделено самостоятельной работе с учебником, с различного рода справочной литературой, с измерительными приборами, а также графическим и расчетно-графическим измерительным работам.

До сих пор наблюдается, что учащиеся, имея неплохие знания по предмету, подчас не умеют применять их при решении практических задач. Объяснить это можно тем, что школьный курс математики нередко оторван от сферы материального производства, отсутствуют связи между теорией и практикой.

Для того, чтобы преодолеть отрыв обучения от жизни, очевидно, необходимо вырабатывать у учащихся больше ассоциаций между изучаемыми законами науки и разнообразными явлениями жизни, в первую очередь с теми, с которыми они столкнутся в процессе труда.

В настоящее время недопустимым является преподавание математики, оторванное от сферы материального производства, когда учащихся не знакомят с прикладным значением математики, с ее ролью в производственной деятельности людей.

«Математика,—говорила Н. К. Крупская,—должна помочь математически осмыслить все процессы произ-

водства, организацию труда, дать целый ряд расчетов и внести конкретность во все освещаемые в процессе изучения... вопросы».

«Необходимо, чтобы та работа, которую производит ребенок, была связана с изучением математики, чтобы арифметические, алгебраические и геометрические знания были связаны с производством, способствовали лучшему его пониманию».*

Требования, предъявляемые Н. К. Крупской к методике преподавания математики, с необходимостью должны быть выполнены в настоящее время в связи с ранним включением наших учащихся в производительный труд.

Математике учить надо так, чтобы учащиеся видели ее вокруг себя.

Все предметы, сделанные руками человека, имеют ту или иную геометрическую форму.

Надо, чтобы свойства геометрических тел, выраженные теоремами, были прочно связаны с конкретными материальными объектами, чтобы была ясна роль математики в жизни, в производстве, в сельском хозяйстве.

Преподаватель должен так построить преподавание математики, чтобы самые отвлеченные математические правила иллюстрировались конкретными примерами, чтобы знания по математике помогали найти более простые и рациональные способы выполнения практических работ.

II

Рассмотрим некоторые вопросы преподавания стереометрии в связи с производственной практикой учащихся.**

Хорошо известно, что учащиеся при изучении начал стереометрии испытывают большие затруднения, вызываемые главным образом слабо развитым пространственным воображением. Частичному устранению этих затруднений способствует широкое применение наглядности. Наглядность сейчас следует понимать значительно шире,

* Н. К. Крупская, Соч., т. IV, стр. 311.

** При написании данной статьи был использован некоторый опыт преподавания математики в школах № 123 и 50 г. Горького в связи с практикой учащихся на предприятиях металлообрабатывающей промышленности.

вкладывая в нее содержательную практическую деятельность.

В процессе практического отношения к объекту труда учащиеся более глубоко овладевают его геометрическими свойствами. Задача преподавателя заключается в том, чтобы не оставить без внимания эту деятельность учащихся и использовать ее в интересах обучения стереометрии.

Рассмотрим некоторые примеры применения наглядности при формировании некоторых стереометрических понятий и изучении новых теорем. (Примеры связаны с металлообрабатывающей промышленностью). Понятие прямой, перпендикулярной к плоскости, можно рассмотреть с использованием частей сверлильного станка (факт перпендикулярности оси сверла плоскости станка).

Рассмотрение вопроса начинается, как правило, с определения и признака перпендикулярности прямой к плоскости.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к двум непараллельным прямым, лежащим в этой плоскости. Прежде чем перейти к доказательству признака перпендикулярности прямой и плоскости, учащимся следует предложить вопрос о том, как практически можно определить перпендикулярность прямой и плоскости (какие части сверлильного станка устанавливаются перпендикулярно и как это проверить).

Перпендикулярность сверла (рис. 1) плоскости стола сверлильного станка определяется двумя прямоугольными наугольниками (так говорят на производстве).

Учитель уточняет, что фактически здесь речь идет о том, что перпендикулярность прямой к двум

Рис. 1.

непараллельным прямым плоскости, влечет за собой перпендикулярность прямой к плоскости — затем формулируется теорема и рассматривается ее доказательство.

Можно привести и пример, связанный с пробиванием отверстий пробойником или бородком. Для того, чтобы пробить отверстие, пробойник устанавливают так, что его ось располагается перпендикулярно к поверхности листа (рис. 2).

Учащиеся хорошо знают, что не всегда слесарный инструмент устанавливается перпендикулярно к обрабатываемой плоскости.

Зубило, например, следует устанавливать так, чтобы его ось составляла с обрабатываемой плоской поверхностью угол, примерно, 30—35° (рис. 3).

Под этим же углом устанавливается ось крейцмейселя к обрабатываемой поверхности при прорубании узких канавок. Эти примеры являются прекрасной иллюстрацией при рассмотрении угла прямой линии с плоскостью.

Еще большие затруднения вызывает изучение раздела стереометрии.

Рис. 2.

Рис. 3.

«Параллельные прямые и плоскости». Этот материал кажется учащимся отвлеченным и в то же время очевидным, поэтому на него следует обратить особое внимание.

Рассматривая вопрос о параллельности прямой и плоскости, следует избегать стандартного расположения прямой и плоскости в пространстве.* Полезно рассматривать случаи их различного расположения, причем, случаи, наиболее часто встречающиеся в производстве.

В горизонтально-фрезерном станке ось шпинделя параллельна плоскости стола станка. Обработка цилиндрической поверхности, некоторые способы обработки конусов на токарном станке производятся при условии параллельности оси обрабатываемой детали плоскости станины станка.

В разделе «Параллельные плоскости» прежде, чем дать определение параллельных плоскостей, полезно предложить учащимся привести примеры параллельных плоскостей, знакомые им из производственной практики. Приводится пример параллельных тисков (рис. 6). Параллельные тиски характерны тем, что их подвижная губка при раскрывании тисков перемещается так, что ее рабочая поверхность остается все время параллельной рабочей поверхности неподвижной губки. Примером параллельных плоскостей служат также направляющие станины токарного станка.

Рис. 4.

Рис. 5.

* Во всех учебниках геометрии при доказательстве признака параллельности прямой и плоскости дается стандартный чертеж.

После ряда примеров учащиеся самостоятельно дают определение параллельных плоскостей.

Опираясь на некоторый производственный опыт учащихся, можно добиться того, что они сами сформулируют признак параллельности плоскостей. Перед учащимися ставится вопрос, с чего следует начать обработку детали, противоположные грани которой параллельны.

Учащиеся знают, что в большинстве случаев обработке предшествует разметка. Вспоминается сущность и назначение разметки. На заготовке (рис. 7) с помощью рейсмаса проводятся риски, определяющие параллельные грани детали. Вспомнив этот процесс, учащиеся без особого труда формулируют признак параллельности двух плоскостей.

Хороший наглядный материал при изучении темы «Двугранные и многогранные углы» дает токарный резец. При рассмотрении этой темы можно использовать и другой наглядный материал, но изучение двугранных, многогранных и линейных углов на примере токарного резца особенно ценно, ибо во время работы на токарном станке учащимся неоднократно приходится иметь дело с различными углами токарного резца, составляющими его геометрию.

Геометрически головка резца представляет собой трехгранный угол. Грани 1 и 2, пересекаясь, образуют двугранный угол, а ребро его является главной режущей кром,кой. Ребро двугранного угла, образованного пересечением 1 и 3 граней, является вспомогательной режущей кромкой. Вершина трехгранного угла является вершиной резца.

В процессе резания особо важное значение имеют так

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

Рис. 9.

называемые главные углы резца: 1. главный задний угол — а 2) передний угол—у 3) угол заострения— ß 4) угол резания—а , (рис. 9).

Главные углы резца являются линейными углами, измеряемыми в главной секущей плоскости.* В понятии главных углов резца подчеркивается как раз тот факт, что линейный угол двугранного угла лежит в плоскости, перепендикулярной его ребру.

С помощью токарного резца демонстрируются двугранные углы различной величины. Величина переднего угла резца берется в зависимости от обрабатываемого материала. Для обработки отливок (чугун), имеющих твердую корку, следует брать резец с передним углом, равным 90°.

Следовательно, некоторые виды токарных резцов помогают формировать понятие перпендикулярных плоскостей.

С перпендикулярными плоскостями мы встречаемся и при проведении слесарных операций, в частности, при обрезании узких длинных полос. При обрезании узких длинных полос полотно ножовки ставится перпендикулярно плоскости ножовочного станка.

Огромную массу деталей, применяемых в машиностроении составляют детали, имеющие форму геометрических тел вращения (цилиндр, кольцо, конус и другие), обработка этих деталей производится на токарном станке.

* Главной секущей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная проекции режущей кромки резца на основную плоскость резца.

К моменту изучения темы «Тела вращения» учащиеся имеют довольно полное представление о токарном, фрезерном и других станках, так как все они проходили курс машиноведения и проводили занятия в учебных мастерских, а часть из них проходит производственную практику на металлообрабатывающих станках механических цехов. В процессе производственного обучения и, может быть, производительного труда они имели дела с многими частями механизмов, в которых имеются цилиндрические и конические формы.

Поэтому понятие цилиндра, конуса и усеченного конуса можно иллюстрировать теми жизненными примерами, теми пространственными формами, с которыми учащиеся уже встречались в производстве.

Форму цилиндрической поверхности имеют валы и оси, являющиеся неотъемлемой частью всех станков и других механизмов.

Затем рассматриваются детали, имеющие тоже цилиндрическую форму, но на поверхности которых нанесены некоторые изменения.

Форму цилиндра имеют фрезы, носящие специальное название — цилиндрические, у них зубья расположены по поверхности цилиндра; фрезы торцевые, у которых зубья расположены на торцевой и цилиндрической поверхностях цилиндра; фрезы дисковые, у которых зубья расположены как на цилиндрической, так и на одной или обеих торцевых поверхностях цилиндра (рис. 11). Форму цилиндра имеет основание винта. Винтом называют цилиндрический (иногда с малой конусностью) стержень, имеющий на своей поверхности канавку, которая вьется

Рис. 10.

вокруг него по винтовой линии, оставляя на поверхности выступающую винтовую нитку.

Все названные цилиндрические тела учитель демонстрирует на уроке.

Рис. 11.

Не менее часто в производстве встречаются детали и части станков, имеющие форму конуса, усеченного конуса.

Демонстрируется поперечный разрез шпинделя токарного станка (рис. 12).

Учащиеся вспоминают, что шпиндель станка изготовляется пустотелым со сквозным отверстием. В передней части шпинделя это отверстие расточено на конус. Затем учитель демонстрирует угловую или конусную фрезу, у которой зубья расположены на конусной поверхности. Учитель демонстрирует центр токарного станка, учащиеся разбирают геометрические формы, которые его составляют, короткая часть А центра является конусом, а более длинная часть Б — хвостом, она имеет форму усеченного конуса (Рис. 13). Хвост центра изготовляется с небольшой конусностью и точно пригоняется к таким же конусным гнездам шпинделя

Рис 12.

передней и задней бабок. Угол при вершине осевого сечения конуса может быть различным от 60°до 90°, но не более.

Давая понятие цилиндра, конуса, усеченного конуса, учитель сразу показывает учащимся, что их можно рассматривать как тела, полученные от вращения прямоугольника, прямоугольного треугольника и прямоугольной трапеции вокруг соответствующей оси.

Перед учащимися ставится вопрос: есть ли какая-нибудь разница в получении тела вращения в геометрическом понимании и в жизни (при обработке детали на токарном станке).

Тела вращения, воображаемые учащимися, возникают как бы сразу от вращения плоской фигуры вокруг некоторой неподвижной оси.

В практике тело, имеющее эти воображаемые формы, возникает постепенно (например, при обработке на токарном станке), по мере срезания слоя металла вращающейся заготовки, образующей поверхности вращения является линия, которую описывает вершина токарного резца при своем перемещении относительно обрабатываемой заготовки.*

Если вершина резца описывает прямолинейный отрезок, то резец вытачивает тела, ограниченные либо цилиндрической, либо конической поверхностями, либо некоторой комбинацией этих поверхностей. Следовательно, полученные детали имеют форму: либо прямого кругового цилиндра, либо прямого кругового конуса, либо те-

Рис. 13.

* На самом деле в процессе проточки образующей поверхности детали является узкая винтовая лента, получающаяся в результате сложения двух движений — поступательного движения резца и вращательного движения обрабатываемой детали. Если учащиеся не обратят сами внимания на этот факт, учителю не стоит на это обращать внимания.

ла, которое можно разложить на несколько частей, каждая из которых является цилиндром или конусом.

Если вершина резца описывает криволинейный отрезок, поверхность вращения может иметь самые разнообразные формы. В частности, если вершина резца описывает дугу окружности, то мы получим сферическую поверхность.

Объяснение полезно сопровождать демонстрацией соответствующих деталей.

Приведем пример лабораторной работы, которую возможно провести с учащимися в связи с изучением темы «Круглые тела».

Лабораторная работа по геометрии на тему «Цилиндр». Учащимся дается деталь*, выточенная на токарном станке, которая представляет собой сочетание цилиндров различных размеров; предлагается изобразить

Задача. Вычислить объем стальной детали марки /ю, выточенной на токарном станке, и машинное время, необходимое на ее изготовление, если подача токарного станка равна 6 » число оборотов шпинделя п об/мин, глубина резания t мм. Деталь изготовлялась из круглой заготовки диаметра d мм.

Обозначения: S—подача токарного станка за один оборот детали, п — число оборотов шпинделя в минуту, t — глубина резания в миллиметрах, 5 — плотность металла, du d2 — диаметры детали в миллиметрах, 1ь h — длина частей детали в миллиметрах, V — объем, Y— вес, Т— машинное время.

Эскиз.

Рис, 14.

* Каждый учащийся получает индивидуальное задание.

Формулы для вычисления.

Результаты измерения и вычисления.

Средства измерений и вычислений.

Масштабная линейка, штангенциркуль, таблицы плотности и удельных весов, таблица логарифмов или логарифмическая линейка.

эту деталь, вычислить ее объем и т. д. Все необходимые размеры учащиеся определяют самостоятельно.

Перед началом работы с учащимися вспоминаются некоторые технические факты, необходимые для выполнения работы.

1. Вычисляя объем, учащиеся рассматривают данную деталь как комбинацию двух цилиндров, отсюда объем детали равен:

Машинное время на один проход длиной L

За один проход резца диаметр детали уменьшается на 2 t (удвоенная глубина резания). Для того, чтобы уменьшить диаметр детали от d до du а затем до d2 надо сделать соответственно и проходов.

Следовательно, машинное время на проточку детали от диаметра d до d2 равно:

Следует отметить, что задача решается при условии, что обработка детали велась при одной и той же скорости вращения.

Выполняя лабораторную работу, учащиеся имеют дело с приближенными значениями величин, вычисления

ведутся без строгого учета погрешностей, вычисляется относительная и абсолютная погрешность.

III

Большое практическое значение имеют задачи производственного характера, их решение учит учащихся применять полученные знания на практике, показывает значение математики для решения практических задач, возникающих в производственной деятельности людей, способствует глубокому усвоению основ наук, помогает осмыслить некоторые моменты производства с точки зрения количественных соотношений изучаемого явления.

Математические задачи редко возникают на практике в той отвлеченной форме, в какой они обычно предлагаются задачниками. В реальной жизни, в технике, в прикладных науках математическая основа задачи большей частью заполняется, затушевывается специальными для данной отрасли элементами, из которых ее необходимо выделить прежде, чем приступить к решению.

Но умение отыскать в конкретной задаче ее математическую основу, установить вид функциональных зависимостей между величинами, т. е. перевести реальный вопрос на язык геометрии, алгебры, требует особого навыка; этот навык не может быть приобретен упражнениями исключительно на готовых схемах, обычно предлагаемых задачниками.

Современные задачники должны иметь достаточное количество задач производственного содержания, ибо школа должна готовить учащихся к решению задач практического характера, особенно тех задач, данные которых получаются из жизни.

Вопрос о необходимости решения практических задач в курсе средней школы ставит новый вопрос о том, каким методическим требованиям должны удовлетворять задачи такого рода.

Какая бы задача ни давалась учащимся, она должна удовлетворять основным педагогическим требованиям: задача должна относиться к изучаемой теме и служить более прочному ее усвоению.

Кроме того, всякая задача практического содержания должна удовлетворять следующим требованиям:

1. Условие задачи должно быть реальным, иметь со-

временное техническое содержание. Постановка вопроса должна быть максимально жизненной.

2. Числовые данные практической задачи должны быть взяты из жизни, из производства. Недопустим искусственный подбор этих данных. Ответ должен быть дан с условием и учетом приближенных вычислений.

3. Условие задачи должно составляться по знакомому учащимся материалу.

4. Задача должна иметь четко выраженное математическое содержание, в то же время вопрос задачи не должен противоречить постановке вопроса на производстве.

5. Задача, по возможности, должна решаться теми же методами и средствами, которыми она выполняется на производстве, с использованием необходимых инструментов.

Желательны задачи, числовые данные которых получаются измерением, на чертежах.

Неплохо, если решение одной или нескольких задач составят некоторое целостное представление хотя бы об одной из производственных операций.

Содержание каждой производственной задачи имеет специальную терминологию. Желательно подбирать такие задачи, с технической терминологией которых учащиеся в основном знакомы из курсов других дисциплин, производственных практикумов или экскурсий.

Содержание задач не должно быть переполнено терминологией, особенностями технического характера, чтобы не создавать больших трудностей в понимании задачи.

Все величины, входящие в производственную задачу, связаны между собой функциональной зависимостью, которую можно выразить уравнением F (а, в, с... к) = 0.

В производственном процессе приходится, как правило, по известным величинам а, Ь, с,-., определять к. Задачи этого вида заслуживают преимущественного внимания. Однако учащимся можно предлагать задачи, где приходится искать значение любой из величин уравнения. Задачи этого вида являются как бы пропедевтическими задачами к решению производственных вопросов.

Мы считаем, что с учащимися надо решать задачи каждого из указанных видов.

Следует еще отметить, что задачи производственного

характера целесообразно решать в конце прохождения математической темы, когда ее материал уже достаточно хорошо усвоен учащимися, и они получили прочные навыки в решении различного типа задач по данной теме.

IV

Почти каждая тема школьного курса математики, особенно геометрии и тригонометрии, дает возможность решать задачи производственно-технического характера.

Проиллюстрируем высказанные выше предложения конкретными примерами.

Тема: «Многогранники».

1. Определить объем снимаемой стружки при следующих условиях работы:

dm2Lyi=15ü мм, п—50 об/мин, Ь—8, мм ср=45°

путь резца в минуту 25 мм (где b — ширина стружки, ср — угол в сечении стружки).

При решении задачи выясняется сначала технический смысл задачи, затем ее математическая сущность.

Искомый объем можно представить как объем призмы с основанием f=t. s* и высотой, равной скорости резания. (Скорость резания вычисляется не по наибольшему, а но среднему диаметру поверхности резания.)

После этого задача решается в общем виде: Q=f.vcp.;f=t. s;vcp. = ^^;t^b.s\n9; dcp.=dmax-t

Теперь можно приступить к вычислению искомой величины.

* f == t : s — основная формула геометрии точения, t — глубина резания, s — подача — перемещение резца за один оборот изделия.

Эту же задачу можно решить иным способом. Объем стружки, снимаемой в минуту, можно представить как разность объемов цилиндров с высотой, равной минутной подаче п • s:

2. На токарном станке обтачивается вал диаметром D = 180 мм и длиной / = 1200 мм. Определить время обработки изделия, если известно, что скорость резания

V = 140 м1мин\ S = 0,8 мм1об.

За одну минуту обрабатывается поверхность s-и мм2, а вся поверхность So обрабатывается за t минут, отсюда

3. На токарном станке обрабатывается деталь, имеющая форму усеченного конуса. Определить ее объем, если угол поворота фланца суппорта при обработке детали равен а, диаметры осевого сечения детали равны D мм и d мм.

4. Какой длины заклепку с потайной головкой надо взять, чтобы соединить металлические части общей толщины q = 12 мм? Размеры заклепки таковы: d = 5 мм. D = 9 мм, h = 2 мм (рис. 15).

Рис. 15.

При расчете длины стержня следует исходить из следующего. Заклепка обычно вставляется в отверстие, часть стержня при этом выступает наружу. Под ударом молотка выступающая часть меняет форму и образует вторую головку; этой второй головке с помощью соответствующей обжимки придают ту же форму и те же раз-

меры, какие имела первая. Заклепку для этого следует выбрать определенной длины. При расчете длины стержня исходят из того, что объем выступающей части должен равняться объему головки.

Применительно к нашей задаче имеем l=q—h+x, где /—расстояние от края шляпки до конца заклепки. Головка заклепки представляет собой усеченный конус с объемом, равным y2^h(D2-{-d2+Dd).

Выступающая часть является цилиндром, ее объем равен

Исходя из свойств равновеликости, имеем

затем делаются вычисления.

Мы рассмотрели случай, когда головка заклепки имеет форму усеченного конуса, в практике встречаются также заклепки с цилиндрической и сегментной головкой.

5. Какой длины заклепку с полукруглой головкой надо взять, чтобы соединить металлические части общей толщины ^7=12 мм. Размеры заклепки: D = 9,2 мм, h = 3 мм, d = 5 мм. Головка имеет форму шарового сегмента с размерами: h = 3 мм, D = 9,2 мм, г = 4,6 мм.

6. Цилиндр диаметром в 75 мм и высотой 150 мм вытачивается из прямоугольного бруса сечением 80 ммХ 80 мм и длиной в 175 мм. Определить, сколько металла пропадает в стружке.

7. Определить размер заготовки для поковки. Форма и размеры указаны на рис. 16.

При решении задачи надо исходить из следующих положений. Вес заготовки при изготовлении поковки слагается из веса поковки и материала, идущего на угар и обсечки,—около 10% (рис. 16).

Определить размеры заготовки:

1. Объем первой части:

2. Объем второй части:

3. Объем всей поковки:

4. Полный объем заготовки с учетом 10% на угар и обсечки.

Большую роль в деле развития учащихся играют задачи на чертежах и по эскизам технических деталей.

Рис. 16.

Детали машин, механизмов имеют обычно правильные геометрические формы. Рабочий, глядя на чертеж, эскиз, должен уметь выделить геометрические тела, составляющие деталь, для того чтобы сделать в случае необходимости расчет, подсчитать затрату времени, вычислить наиболее рациональный расход материала, судить о точности форм изготовленной детали.

1. С помощью горизонтально-фрезерного станка делается выемка призматической формы. Вычислить объем детали и объем вынутого материала (размеры даны на рисунке 17).

При решении задачи такого типа учащиеся прежде всего выясняют, какие геометрические формы образуют обрабатываемую деталь, затем выясняется геометрический смысл задачи, составляется план ее решения.

Данная деталь представляет собой правильную че-

тырехугольную призму, из которой вынута прямая призма с прямоугольным треугольником в основании.

Ответ:

Рис. 17.

V

Важным звеном в вопросе осуществления связи преподавания математики с производством, с техникой являются математические и комплексные экскурсии на предприятия промышленного производства.

Приведем пример экскурсий, которые можно провести при изучении стереометрии.

Экскурсия в механическую мастерскую

Экскурсия проводится в связи с прохождением темы «Круглые тела».

Объект экскурсии — металлорежущий токарный станок. Основная цель экскурсии: познакомить учащихся со способами обработки конической поверхности, с применением математики в токарном деле, в частности, с использованием тригонометрических функций острого угла. Для выполнения этой цели необходимо:

1. Показать практическую необходимость знаний элементов тригонометрии для выполнения производственных операций.

2. Проследить путь изготовления детали от заданного чертежа до готового изделия.

3. Обратить внимание, в каких проекциях изображается деталь на чертеже и как решаются задачи по чертежу.

4. Решить некоторые задачи во время экскурсии и усвоить техническую терминологию, необходимую для решения практических задач.

5. Показать применение других математических фактов к решению задач, связанных с работой на токарном станке.

Во время экскурсии учащиеся кратко повторяют устройство токарного станка. Устройство и назначение станины, передней и задней бабки, коробки подач, супорта, повторяют устройство режущего инструмента — резца.

Работа на токарном станке требует применения различных измерительных и бесшкальных мерительных инструментов. Учащиеся рассматривают следующие виды применяемых инструментов: штангенциркуль, микрометр, калибр, синусная линейка.

Представление о штангенциркуле и микрометре учащиеся уже имели с уроков машиноведения и черчения, поэтому на экскурсии внимание учащихся обращается на другие инструменты.

Результат измерения с помощью штангенциркуля и микрометра зависит от субъективного умения рабочего производить измерения, оперировать с приближенными значениями величин, поэтому в технике применяют так называемые «твердые» или «постоянные» инструменты, показывающие лишь один определенный размер. К этому виду относятся нормальные и плоские стержневые калибры, измерительные скобы, калибры и втулки для конусов.

Калибры (по способу проверки) делятся на нормальные и предельные калибры. Нормальные калибры изготовляются по размеру, соответствующему началу (т. е. проходимой границе) поля допуска изделия. Годность изделия определяется вхождением калибра и степенью плотности посадки калибр-изделие. Предельные калибры бывают двух видов: проходной, выполненный по разме-

ру начала поля допуска, непроходной — по размеру конца поля допуска.

Для более точных измерений конусов применяются синусные линейки. Синусные линейки применяются также для измерения углов и установки заготовок угловых шаблонов при обработке на шлифовальном станке. Состоит синусная линейка из плитки (1), 2-х роликов, (2) и упорных планок (3). Синусная линейка устанавливается на заданный угол на поверочной плите с помощью плиток (рис. 18).

Рис. 18.

Зависимость между углом d установки линейки расстоянием между осями роликов и размером H блока плиток определяется по формуле H=L sina. Синусная линейка устанавливается под номинальным углом при вершине конуса после чего с помощью маниметра на универсальной стойке или какого-нибудь прибора проверяют параллельность верхней образующей конуса или грани угла плоскости поверочной плиты.

Если прибор на крайних точках изделия дает разные показания, то отклонения угла изделия от номинала определяется зависимостью Аа= — = 3438, где Да— отклонение угла проверяемого изделия, Ah—разность показаний прибора на крайних точках изделия, /—расстояние между крайними точками изделия. На синусных линейках можно проверить и внутренние конусы.

Более надежные результаты получаются только при малых значениях проверяемого угла, так как с увеличением угла установки синусной линейки быстро растет погрешность установки, вызванная погрешностью рас-

стояния между роликами, потому следует избегать установки синусной линейки под углом более 45°.

В качестве закрепления несколько учащихся проделывают практическую работу по проверке правильности изготовленного конуса.

Краткое знакомство с устройством станка, измерительными приборами окончено, учащиеся подходят к доске, на которой заранее был приготовлен чертеж детали (рис. 19). Затем руководитель объясняет различные способы обработки конической поверхности. Для обработки конической поверхности при повернутой верхней части супорта необходимо резец поставить под определенным углом, что достигается поворотом лимба на требуемый угол, который по величине равен углу, заключенному между образующей конуса и его осью вращения. Величина угла а определяется тригонометрически.

Задачу решает ученица.

Рис. 19.

Угол а называется углом уклона конуса. Очень часто на чертеже бывает задана величина конусность. В этом случае для установки супорта токарь должен вычислить угол в градусах по формуле:

Второй конец детали обрабатывается широким резцом. Руководитель обращает внимание учащихся на то, в каком случае деталь обрабатывается широким резцом, в

каком — при помощи поворота верхней части супорта. Обточка конуса при помощи широкого резца целесообразна только в том случае, когда длина конуса небольшая, угол уклона конуса большой, к чистоте поверхности требований не предъявляется.

Для того, чтобы выточить конус этим способом, нужно выбрать резец с углом при вершине равным 90°— а (рис. 20). Если угол конусности задан, то рабочий выбирает резец или по его номеру, или непосредственным замером при помощи угломера. Если угол конусности не указан, то его можно вычислить по размерам, указанным на чертеже. Учащиеся выводят формулу:

Рис. 20.

Затем внимание учащихся обращается еще на один способ обработки конусов.

Обработка длинных конических изделий, имеющих малую конусность, производится при смещенной задней бабке. Ось вращения конуса в этом случае составляет некоторый угол с осью обтачиваемого цилиндра и при продольном перемещении резца обтачивает конус. В этом случае надо уметь рассчитать сдвиг задней бабки. Сдвиг задней бабки можно найти по формуле S =Lsina, где L — длина детали, а—угол конусности.

Экскурсия в механический цех завода для ознакомления с работой разметчика

Экскурсия — комплексная (математика — черчение). Цель экскурсии: ознакомить учащихся с приемами раз-

метки разверток простейших тел, применяемыми на практике, показать учащимся, что для работы разметчика необходимо уметь читать технический чертеж.

План проведения экскурсии

1. Сущность и назначение разметки (кратко, в форме повторения).

2. Некоторые способы, применяемые в разметке при делении окружности на семь и более равных между собой частей.

3. Разметка разверток простейших тел:

а) развертка четырехугольной призмы,

б) развертка правильной пирамиды,

в) развертка цилиндра,

г) развертка цилиндра, усеченного наклонной плоскостью,

д) развертка конуса.

4. Разметка соединительной муфты, роль чертежа при разметке.

Проведение экскурсии

В цехе у разметочной плиты учащиеся наблюдают за работой разметчика. Он показывает им практический прием деления окружности на 15 равных между собой частей.

Перед разметчиком стоит задача разметить на фланце 15 отверстий диаметром 22 мм, расположенных равномерно по окружности диаметром 400 мм.

Работа выполняется следующим образом. Центроискателем находится центр фланца; проводится окружность расположения центров отверстий диаметром 400 мм. Чтобы наметить центры этих отверстий, следует разделить окружность на 15 равных частей, для чего надо знать длину расстояния между центрами соседних отверстий. В специально составленной таблице разметчик находит, что при 15 делениях, т. е. при центральном угле 24°, длина хорды для окружности радиуса, равного единице, равна 0,4158. Затем по формуле L = S'^ определяет длину хорды:

(L — длина искомой хорды, S—длина хорды, взятая из таблицы для окружности радиуса, равного единице, D — диаметр заданной окружности).

Тут же учащиеся познакомились с таблицей. Оказывается, эта таблица дает возможность разделить окружность приближенно на любое число равных между собой частей. Учащимся дается задание, выявить математическую сторону вопроса, принцип составления таблицы.

Для изготовления изделий из листового и профильного материала, для нахождения истинных размеров заготовок, нужно уметь производить развертку поверхностей в плоскость.

Учащиеся наблюдают за выполнением развертки прямоугольной четырехугольной призмы.

Затем в двух проекциях дается правильная пятиугольная пирамида, делается ее развертка.

Производя развертку боковой поверхности цилиндра, обращается внимание на тот факт, что разметчик никогда не занимается подсчетом длины окружности основания цилиндра, необходимой для разметки, а пользуется готовыми таблицами, имеющимися в любом справочнике.

Если диаметр основания цилиндра 1375 мм, а в справочнике даны значения длины окружностей с диаметрами, не превышающими 1000 мм, то разметчик делает преобразования, позволяющие пользоваться справочником:

1375 тг-1370 7г + 5тг=137 те. 10 + 5 тг

Особый интерес представляет развертка боковой поверхности цилиндра, усеченного плоскостью, наклонной к основанию*.

Разметчик на прямой AB откладывает отрезок, равный длине окружности основания цилиндра, делит окружность на ряд равных частей (8, 12 и т. д.). На это же число равных частей делит отрезок AB. Из полученных точек восставляет перпендикуляры и на них откладывает длины 1 — I1, 2—21, 3—З1 и т. д., равные длинам образующих цилиндра, проходящих через соответствующие точки основания. Получает точки I1, 21,... 81. Соединив полученные точки между собой и с точками А и В, получает развертку усеченного цилиндра.

* Секущая плоскость перпендикулярна плоскости чертежа.

Рис. 21.

Развертка поверхности конуса производится так же, как производят ее учащиеся в классе на уроке геометрии. Учащиеся сами показывают формулу для вычисления угла развертки

(R—радиус основания конуса, L—длина образующей

Рис. 22а.

Рис. 226.

конуса, а —угол сектора развертки конуса) и вычисляют этот угол.

После этого учащиеся наблюдают разметку соединительной муфты (чертеж дан в двух проекциях), наглядно убеждаются в необходимости умения читать технический чертеж, иметь хорошее пространственное воображение.

Если позволяет время и развитие класса, то с учащимися можно составить формулы для вычисления координат характерных точек развертки поверхности конуса, применяемые в случае наиболее точной разметки.

п—число равных расстояний на половине хорды.

к—номер ординаты, начиная от оси симметрии.

Основные данные для разметки:

Г. П. СЕННИКОВ

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ

Решение задач на построение при изучении стереометрии в той же степени необходимо, как и при изучении планиметрии. Задачи на построение в пространстве затрудняют учащихся, пожалуй, более, чем построения на плоскости. Трудности, возникающие здесь, объясняются двумя причинами.

Во-первых, для учащихся является новым содержание термина «построить». В планиметрии «построить», «провести», «восставить», «отложить» и т. д. означало применить соответствующим образом известные инструменты: циркуль, линейку, треугольник, транспортир и т. п. В стереометрии такой возможности нет.

Во-вторых, в планиметрии в результате фактических операций указанными инструментами учащиеся получали чертеж, который и был решением задачи. В стереометрии «построения» выполняются умозрительно («воображаемые построения»), ответом на требование задачи вместо чертежа служит логически получаемый вывод, который иногда сопровождается рисунком-иллюстрацией к решению.

Чтобы преодолеть первую трудность, учитель, приступая к решению задач на построение, сообщает учащимся, что в дальнейшем они условятся в следующем:

1. Фигуры, данные в задаче, а также произвольные точки пространства, будут считаться построенными.

2. Пересечение двух построенных фигур, если оно существует, считается построенным.

3. Если построены три точки, не принадлежащие одной прямой, то считается построенной плоскость, проходящая через эти точки.

В качестве следствий пунктов 1—3 можно указать на следующие предложения:

а) Прямая считается построенной, если построены две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.

б) Если построены прямая и точка, ей не принадлежащая, то считается построенной плоскость, содержащая эти точку и прямую.

в) Если построены две пересекающиеся прямые, то считается построенной плоскость, содержащая эти прямые.

г) Если построены две параллельные прямые, то считается построенной плоскость, содержащая эти прямые.

4. В построенной плоскости любая фигура считается построенной, если ее можно построить в этой плоскости с помощью обычно применяемых инструментов.

Предложения 1—4 мы назовем аксиомами построений в пространстве. Учитель может дополнить в случае необходимости этот список, например, такими аксиомами:

5. Сфера считается построенной, если построены ее центр и отрезок, конгруентный радиусу сферы (например, если построены центр и одна из точек сферы).

6. Цилиндрическая поверхность построена, если построена ее направляющая и одна из образующих и т. д.

Возрастные особенности учащихся, приступающих к изучению стереометрии, позволяют прибегнуть к такой условности, тем более, что вскоре главным при решении задач на построение становятся не аксиомы построений, а геометрическое содержание, вложенное в текст задачи.

Однако самому учителю безусловно следует представлять современное решение проблемы логического обоснования геометрических построений в пространстве. Вот почему в конце статьи мы кратко останавливаемся на этом вопросе.

Чтобы помочь более успешно преодолеть вторую из указанных трудностей, можно посоветовать учителю четко разграничить все задачи на построение по их связи с изображением данной и искомой фигур.

Во-первых, имеются задачи, решение которых, как уже замечено, сводится к «воображаемым построениям» на основе аксиом построений и сопровождается рисунком исключительно с целью наглядно представить логическую схему, облегчить работу мышления.

Во-вторых, ряд задач решается (на основе аксиом построений) на изображении данной фигуры. Искомая фигура, вернее, ее изображение, отыскивается на изображении данной фигуры, и решение (как ответ на требование задачи) является чертежом, который может быть выполнен инструментами с учетом способа изображения заданной фигуры.

В-третьих, в некоторых задачах по данным на чертеже плоскостным элементам данной фигуры строятся некоторые ее плоские сечения и на их основе находятся искомые элементы этой фигуры. Такие задачи редко встречаются среди задач на построение в школе, поэтому мы не рассматриваем их в данной статье.

В самом начале изучения стереометрии учитель дает указания о приемах изображения точек, прямых, плоскостей. Он напоминает, что прямые представлены на изображении своими отрезками, плоскости — своими «кусками» — частями, ограниченными произвольными замкнутыми самонепересекающимися контурами. Контур слегка утолщается в той части, которая обращена к наблюдателю.

Обучая «воображаемым построениям», учитель старается выполнять изображение ближе к параллельной проекции оригинала на плоскость чертежа (см. ниже замечание о параллельном проектировании). В соответствующем месте учащимся следует разъяснить, как учитывается способ изображения при выполнении построений. Очевидно, такое разъяснение станет необходимым, когда учитель перейдет к решению задач на изображении.

Применение цветных мелков делает изображение более наглядным и приятным для глаза.

Очевидно, что решение задач на построение, как и других задач, тесно увязывается с изучаемым теоретическим материалом. В некоторых случаях задачи на построение позволяют поставить и решить тот или иной теоретический вопрос (например, вопрос о существовании правильных многогранников). Однако имеются вопросы и геометрические факты, которые особенно четко подчеркиваются в решении задач на построение в пространстве.

Кроме уже упомянутых вопросов формально-логического порядка (необходимость введения аксиоматики, хотя и несовершенной), укажем, например, на необходимость постоянного внимания к отношению инцидентности

геометрических образов: мы постоянно интересуемся при решении задач на построение тем, принадлежит или не принадлежит некоторая точка той или иной прямой, содержит или не содержит та или иная плоскость некоторую прямую и т. д. Это же можно сказать о вопросах, связанных с взаимным расположением геометрических образов: от правильного их решения во многом зависит успех построений. Сделаем в связи с этим два методических замечания.

Учащиеся должны хорошо представлять основные случаи взаимного расположения прямых, плоскостей в пространстве. Решение задач на построение позволяет быстрее изучить эти случаи и закрепить полученные знания.

Две прямые в пространстве могут:

а) совпадать,

б) пересекаться,

в) быть параллельными,

г) быть скрещивающимися.

В случае скрещения необходимо особо выделить взаимную перпендикулярность двух прямых. Учащиеся часто переносят в стереометрию особенности соответствующего случая из планиметрии и считают, что перпендикулярные прямые в пространстве обязательно пересекаются. Здесь следует напомнить ученикам понятие угла двух прямых и подчеркнуть, что поскольку перпендикулярными прямыми в пространстве называются такие, угол которых прямой, то совершенно не обязательно, чтобы эти прямые пересекались.

Прямая и плоскость могут быть взаимно расположены следующим образом:

а) прямая принадлежит плоскости,

б) прямая пересекает плоскость,

в) прямая параллельна плоскости.

В случае пересечения надо выделить отношение взаимной перпендикулярности прямой и плоскости. Две плоскости в пространстве могут:

а) совпадать,

б) пересекаться,

в) быть параллельными.

В пункте (б) следует выделить случай взаимной перпендикулярности двух плоскостей.

Определения и признаки этих случаев ученик должен знать безукоризненно. Их приходится постоянно приме-

пять при решении многих геометрических задач, особенно задач на построение. Часто бывает, однако, что при хорошем знании формулировок учащийся не сразу различает, чем надо пользоваться в данном случае, определением или признаком. Советуем дать ученикам такое правило: если взаимное расположение образов известно и на этом основании надо делать какие-то выводы, то пользуются соответствующим определением. Если о взаимном расположении данных образов предстоит еще вынести суждение, или требуется привести эти образы в заданное расположение, то надо пользоваться соответствующим признаком.

Ниже это правило мы применим при решении некоторых задач.

Перейдем теперь к обзору задач на построение, которые желательно прорешать сучащимися. Сначала рассмотрим решение задач на основе аксиом построений, затем перейдем к задачам, решаемым на этой же основе, но построения в которых выполняются на изображении данной фигуры. В заключительной части статьи рассмотрим некоторые теоретические вопросы геометрических построений в пространстве.

I. Формально-логические или «воображаемые» построения

Решение задачи на построение в пространстве всегда «воображаемое» в том смысле, что проводится на основе аксиом построений. Однако мы выделим сейчас тот случай, когда построения не проектируются вместе с оригиналом на плоскость чертежа, а остаются от начала до конца «воображаемыми». Поясним сказанное наглядным, хотя и не геометрическим примером.

Предположим, что в мастерскую сдан заказ на изготовление стола по образцу. Позднее выяснилось, что образец не был достаточно устойчив, и для придания изделию жесткости надо разработать соответствующее крепление. Есть три способа решения задачи:

1) Пойти в мастерскую и на основе образца найти соответствующую конструкцию крепежа.

2) Представив себе образец и оперируя им в воображении, найти решение и сообщить его идею в мастерскую.

3) Если имеется чертеж стола (например, в аксонометрии), то решить задачу на его основе, нанести решение на этот чертеж и переслать его в мастерскую.

Если речь идет о задачах на построение, то первому случаю нельзя указать аналогии: оригинал (данная фигура) есть абстракция, представляющаяся лишь в воображении, оригинал нельзя «потрогать». Конечно, его можно моделировать, но построения на модели уже не будут геометрическими.

Второй способ решения практической задачи как раз и поясняет содержание данного раздела статьи: речь пойдет о воображаемых построениях на основе воображаемого оригинала.

Третий способ некоторым образом поясняет подход к задачам на построение, описанный в следующем разделе статьи.

Мы разделим задачи на следующие три группы:

а) элементарные задачи на построение, которые решаются непосредственной ссылкой на аксиомы построения;

б) основные задачи, для решения которых аксиомы привлекаются опосредствованно (путем ссылки на элементарные задачи) и которые в дальнейшем используются для решения более сложных задач*;

в) остальные задачи на построение.

Элементарные задачи

1. Построить плоскость а, проходящую через три данные точки Л, В, С.

Решение. Точки А, В и С считаем построенными, так как они даны (аксиома 1). Если А, В и С точки одной прямой d, то выбираем произвольную точку Д не принадлежащую этой прямой. Точку D считаем построенной (акс. 1). Плоскость, определяемая точками А, В, D, построена (акс. 3). Докажем, что эта плоскость искомая.

Необходимо доказать, что точка С принадлежит построенной плоскости. Но это так, ибо две точки прямой d (А и В) принадлежат плоскости, поэтому всякая точка прямой принадлежит этой плоскости.

* Заметим, что строгого критерия для отнесения той или иной задачи к группе основных мы не вводим, и вряд ли он существует.

Поскольку точка D выбиралась произвольно, то задача имеет бесконечное множество решений (неопределенна).

Пусть теперь точки А, В и С не принадлежат одной прямой. По известной аксиоме геометрии эти точки определяют плоскость, проходящую через них, и при том единственную. Указанная плоскость считается построенной (акс. 3). Она искомая. Задача имеет в этом случае одно решение.

Процесс решения рассмотренной задачи излишне сопровождать рисунком. Если потребуется, учитель может воспользоваться моделями точек, прямых и плоскостей и пояснить решение с их помощью.

Нет нужды далее подробно разбирать другие элементарные задачи. Перечислим некоторые из них:

2. Построить плоскость, проходящую через данные:

а) точку и прямую,

б) две пересекающиеся прямые,

в) две параллельные прямые.

3. Построить прямую пересечения двух данных плоскостей.

В случае надобности, учитель может рассмотреть и такие задачи:

4. Построить сферу по данным центру и радиусу.

5. Построить линию пересечения данных плоскостей и сферы.

6. Построить линию пересечения двух сфер и т. д.

Элементарные задачи рассматриваются при изучении самых первых разделов стереометрии. В ходе их решения конкретизируются основные свойства плоскости, в то же время становится более понятным назначение аксиом построений быть своеобразными «инструментами» построений. Затем можно перейти к решению основных задач.

Основные задачи на построение

Предварительно сделаем несколько замечаний. Возможно, что для решения некоторых из основных задач придется проводить анализ с целью выяснения плана построения. Известная учащимся схема решения задачи на построение (анализ, построение, доказательство, исследование) находит свое применение в стереометрии, с той лишь разницей, что содержание этапа построения суще-

ственно изменяется (если иметь в виду задачи, решаемые путем воображаемых построений). Никакого построения фактически нет, а есть ссылки на аксиомы построений и известные задачи в том порядке, который диктуется планом, полученным в анализе. Вместо чертежа-построения в нужных случаях появляется иллюстрация, облегчающая работу воображения, делающая более наглядной логическую схему решения.

В промежуточных построениях, являющихся ссылками на известные задачи, не должны повторяться ни решения этих задач, ни соответствующие этим решениям рисунки, иначе построение загромоздится ненужными подробностями, а иллюстрация к решению потеряет свою наглядность.

Доказательство потребует точного оперирования геометрическими фактами, особенно связанными с взаимным расположением образов в пространстве.

Исследование в задачах на построение в пространстве потребует привести в «движение» данные в задаче фигуры, а с изменением их взаимного расположения будет меняться и результат решения.

Для сокращения записи целесообразно применение символики. Обозначения, используемые в данной статье, в разумных границах могут быть применены и в школе.

Плоскость, определяемую тремя точками, прямой и точкой, двумя прямыми и т. д., будем обозначать соответственно так: (А, В, С), (А, а), (а, Ь) и т. д.

Принадлежность образов обозначим знаком с или D, отсутствие принадлежности ф или ф . Например, то, что прямая а проходит через точку А, обозначим: а эЛ; точка А не принадлежит прямой а: А фа и т. д.

Точку А пересечения прямых а и b будем обозначать так: A=aXb; аналогично, если прямая m есть пересечение двух плоскостей а и ß, то будем писать: m==aXß.

Приведем список основных задач на построение.

Задача 1. Через данную точку А пространства, не принадлежащую данной прямой Ь, построить прямую а, параллельную данной прямой.

Анализ здесь излишен, так как план построения очевиден, приводим только само построение (синтез).

Построение (рис. 1а, б, в). Точка А и прямая b построены (акс 1), Плоскость (Л, Ь) построена (элемен-

Рис. 1.

тарная задача 2а). Считается построенной прямая а, а\\Ь, aZDÄ (аксиома 4: в плоскости (А, Ъ) это построение считается известным).

Доказательство. Прямая а искомая, так как она проходит через точку А и параллельна прямой Ь.

Исследование. Плоскость (А, Ь) единственная, прямая a, ad (А, Ь), а з А, также единственная (следствие из аксиомы о параллельных).

Приведем вариант более простого изложения этой задачи в классе.

1) Мы условились данные элементы считать построенными, поэтому А и прямая Ь—построены.

2) Через точку А и прямую Ь построим плоскость. Такую задачу мы уже решали. Плоскость (А, Ь) единственная.

3) В плоскости (А, Ь) строим прямую а, проходящую через точку А и параллельную прямой Ь. Эту задачу на плоскости мы умеем решать.

Прямая а искомая, так как она отвечает требованиям задачи. Задача имеет единственное решение (следствие аксиомы параллельных).

Задача 2. Через данную точку А построить прямую а, параллельную данной плоскости а.

Запишем эту задачу более кратко (такую запись после соответствующей подготовки можно рекомендовать применять в классе).

Дано: А, а.

Построить: a, a ZD А, а || а. Еще более кратко:

В дальнейшем задачи будем записывать в краткой форме.

Задачу 2 можно решить по полной схеме, например, так:

Анализ. Требуется через точку А построить прямую а, параллельную плоскости а. Через точку А проходит бесчисленное множество прямых. Чтобы узнать среди них искомую прямую а, применим признак параллельности прямой и плоскости (здесь признак служит для узнавания, выявления прямой, которая должна быть в известном отношении и с плоскостью а). Этот признак говорит: из всех прямых, проходящих через точку Л, та прямая параллельна плоскости а, которая параллельна хотя бы одной прямой, принадлежащей плоскости а. Следовательно, план построения такой:

1) В плоскости а построить произвольную прямую au

2) Через точку А построить прямую а, параллельную а\.

Построение. 1. Плоскость а и точка А построены (акс 1). 2. Произвольная прямая а\Ь плоскости а построена (по аксиоме 1 в плоскости а считаются построенными две точки, которые и определяют (акс. 4) прямую ai). 3. Считается построенной прямая а, параллельная au и проходящая через точку А (основная задача 1).

Доказательство и исследование предоставляем провести читателю (задача неопределенная, если A çca, не имеет решения, если А с:а).

Задача 3.-—-

Решение сводится к построению произвольной плоскости а2, проходящей через а и пересекающей a . Чтобы плоскости а, и а пересекались, они должны иметь общую точку. Поэтому надо выбрать произвольную точку А\ ста и строить плоскость (a, 4i)=a1# Далее строится прямая а^аХ^и и наконец точка Л==ахаь которая и будет искомой. Если allai, т. е. all a , то задача не имеет решения.

После того, как решены 2—3 задачи, изложение решения следующих задач можно вести в произвольной форме, не делая ссылок на соответствующие аксиомы построений, а лишь сопровождая решение рисунком. Это относится, например, к задаче.

Задача 4. Дано; А, а, А ф а.

Построить: a, oiziA, а || а.

Мы не останавливаемся на ней. Рассмотрим кратко решение задачи 5.

Задача 5. Через одну из двух данных прямых а и ft построить плоскость, параллельную второй.

Если а и ft пересекаются,—задача не имеет решения.

Пусть а и ft скрещивающиеся прямые.

Произвольная точка А прямой а построена. Считаем построенной прямую fti, fti id Л, ftillft (рис. 2). Плоскость (a, fti) =а построена. Докажем, что эта плоскость искомая.

По построению аз а. Поскольку неизвестно, параллельна ли она прямой ft, то надо применить признак параллельности (он здесь служит для узнавания, выявления отношения двух геометрических образов). Поскольку Ъ\ da и ftllfti, то по признаку a || --ft.

Аналогично строится плоскость ß, ßzDft, ß II а.

Таким образом, если a и ft скрещивающиеся прямые, то задача имеет два решения (плоскости a и ß параллельны). Если allft, то построение, приведенное выше, не пригодно, но в этом случае любая плоскость, проходящая только через а (или только через о) будет искомой. Решений будет бесконечно много, они составляют два пучка плоскостей с осями a и ft, за исключением в каждом из пучков одной плоскости, той, которая проходит через ось второго пучка.

Рис. 2.

Задача 6.

Здесь необходимо вспомнить признаки параллельности двух плоскостей. Если теперь в плоскости a построить пару паресекающихся прямых ai и fti, а через точку А— прямые a II ai, ft II fti, то плоскость (a, ft) — искомая. Доказательство и исследование не трудно.

Задача 7. Дано A, ft.

Построить: a, az)A, alb.

Решение. Рассмотрим случай, когда Аа Ь. По определению перпендикулярных прямых в пространстве

их угол должен быть равен прямому. Выберем произвольную точку В пространства и построим плоскость (В,Ь). В этой плоскости построим прямую a, üzdA, a-Lb. Задача имеет бесконечное множество решений, прямые а образуют плоский пучок с центром в Л, плоскость пучка перпендикулярна к прямой Ь.

Если АфЬ, то строим прямую Ь\% Ь\\ b и решаем задачу как в первом случае. Решений тоже бесконечное множество- в плоском пучке прямых а только одна прямая пересекает Ь, остальные скрещиваются с Ь, составляя с ней прямой угол.

Задача 8.

Чтобы плоскость а , проходящая через точку Л, была перпендикулярна к прямой Ь, достаточно иметь в этой плоскости пару пересекающихся прямых, перпендикулярных к прямой 6. Эти две прямые можно построить через точку А, как сделано в задаче 7. Решение единственное.

Задача 9.

Анализ. Рассмотрим случай, когда Мса, Предположим, что задача решена, прямая m проходит через точку M и m-Lа (рис. За). По определению m перпендикулярна любой прямой плоскости а, в том числе прямой а, проходящей через точку М*. Прямые а и m определяют плоскость ß= (а, m), которая перпендикулярна к плоскости а (по признаку перпендикулярности плоскостей). Построим в плоскости а прямую 6, ÔZ) М, Ь±а (рис. 36); угол, образуемый прямыми m и b—линейный двугран-

Рис. 3.

* Здесь в анализе ссылаемся на определение, поскольку предполагается, что задача уже решена и прямая m перпендикулярна плоскости а.

ного угла, образованного перпендикулярными плоскостями а и ß, поэтому m Lb. Имеем: Ь перпендикулярна двум пересекающимся прямым m и а, т. е. Ъ JL ß. Теперь ясно, как строить плоскость ß: она перпендикулярна произвольной прямой Ь, Ъ с a, b Z) M. Искомая прямая m принадлежит плоскости ß, перпендикулярна прямой а и проходит через точку М. Построение.

1) Плоскость а и точка М,Мса построены;

2) прямая 6, b da, 6з Л1, построена;

3) плоскость ß, ß Lb, ßz)Af, построена (задача 8);

4) прямая a, a =ßXa, построена;

5) прямая m, m id M, m cß, mi-a, построена.

Доказательство. m-La—по построению, m-L&, так как U ß и, по определению, прямая b перпендикулярна всякой прямой плоскости ß. Итак, прямая m перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости а, т. е. (по признаку) m-L a. m проходит через точку M по построению. Вывод: m — искомая прямая.

Заметим, что если в анализе исходим из определения (перпендикулярности прямой m и плоскости а), то в доказательстве вывод сделан на основе признака (этого же отношения).

Исследование. Задача имеет одно решение. Если бы через точку M проходили два перпендикуляра гп\ и ГП2 к плоскости a , то mi и оказались бы двумя перпендикулярами к прямой а в плоскости ß, проходящими через одну точку М, что невозможно.

Если точка M не принадлежим плоскости а, то сперва выбираем точку Mi саи решаем задачу, как описано выше. Получим прямую mi, mi-J- a.

Осталось через точку M построить прямую m, m II mi, (задача 1).

Задача 10.

Плоскость ß , упомянутая в решении предыдущей задачи, и является искомой. Задача неопределенная.

Задача 11. К двум скрещивающимся прямым а и b построить общий перпендикуляр с, пересекающий обе прямые.

Этой задачей мы заключим список основных задач. Она является классическим примером конструктивной

задачи, в решении которой приходится ссылаться на известные учащимся определения и теоремы — признаки. Эта задача находит приложение в решении ряда других задач на построение, с нею связаны интересные задачи на отыскание геометрических мест. Приведем подробное решение и постараемся еще раз подчеркнуть методическое правило использования определений и признаков при решении задач на построение.

Анализ. Если прямая с (рис. 4а) перпендикулярна к каждой из скрещивающихся прямых а и Ъ, то она перпендикулярна и ко всяким прямым а\ и Ь\% соответственно, параллельным а и & и, в частности, пересекающимся, следовательно, прямая с перпендикулярна к каждой плоскости, параллельной той и другой из скрещивающихся прямых. Выберем из этих плоскостей ту ß, которая проходит, например, через Ь и параллельна а. Прямую с надо искать среди прямых, перпендикулярных к плоскости ß. Прямая с должна пересекать а и Ь, поэтому ее надо искать среди тех прямых, которые пересекают а и перпендикулярны к плоскости ß . Каждая такая прямая вместе с а определяет плоскость ( а), которая перпендикулярна к плоскости ß (рис. 46). Поскольку прямая с должна пересекать и прямую Ь, то она должна проходить через точку пересечения прямой b с плоскостью а. Отсюда — построение.

Построение (рис. 4, а и б). Выберем на прямой Ь произвольную точку В\ и построим через нее прямую аь ai||a. Прямые ai и Ь определяют плоскость ß= (ai, b\), построим эту плоскость. Выберем на прямой a произвольную точку Ai и построим через нее прямую ci, перпендикулярную к плоскости ß (см. задачу 9). Построим точ-

Рис. 4.

ку А2=схХ$. Построим плоскость а = (сг, а) и прямую Ü2 пересечения плоскостей а и ß : аа = ахр, а2з Л2. Найдем точку В пересечения прямой аг с прямой b (рис. 46). Через точку В в плоскости а построим прямую с, с\\а. с — искомая прямая. Докажем это.

Доказательство. В ходе доказательства (как и в анализе) мы будем ссылаться на определения и теоремы-признаки тех или иных отношений геометрических образов (фигур).

Как уже сказано выше, правило использования этих предложений при решении задач состоит в том, что если отношение фигур известно, то надо ссылаться на определение этого отношения, если наоборот, отношение фигур предстоит узнать, то надо использовать теоремы — признаки его.

Покажем применение этого правила в доказательстве решаемой задачи. Для наглядности в нужных случаях будем ставить вопросы.

Как расположена прямая а по отношению к плоскости ß ?

По построению прямая au принадлежащая плоскости ß, параллельна а. Поэтому all ß. Это заключаем на основе признака, ибо отношение фигур а и ß не было известно, его предстояло установить, узнать.

Как расположена плоскость a по отношению к плосскости ß?

По построению плоскость проходит через прямые а и С\, причем С\± Р,поэтому a JL ß . Опять это заключаем по теореме-признаку перпендикулярности плоскостей. Одновременно утверждаем, что ûfella, ибо выполняется условие теоремы о пересечении двух плоскостей, из которых одна (а) проходит через прямую (а), параллельную второй, all ß ). Эту теорему можно считать одним из признаков параллельности прямых в пространстве. Прямая с, пересекая одну из (параллельных прямых (аг), пересекает и вторую (а). Осталось показать, что с перпендикулярна прямым а и b (пересечение с и b следует из построения).

По построению cllci, Ci_Lß , поэтому c±ß . Здесь — ссылка на признак перпендикулярности: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая перпендикулярна ей.

Но далее, для заключения об отношении прямых с

и b мы используем известное отношение прямой с к плоскости ß. Поэтому, утверждая, что с Lb, мы ссылаемся на определение перпендикулярности прямой к плоскости; говоря, что с Лаг, мы используем то же определение. Однако для того, чтобы заключить, что с La, придется сослаться на один из признаков перпендикулярности прямых в пространстве: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй. Вывод: с—искомая прямая.

Можно доказать, что AB—кратчайшее расстояние между скрещивающимися а и b (способ от противного).

Исследование. Задача имеет одно решение: точка В пересечения прямой b с плоскостью а единственная прямая с, c\\ci, проходящая через точку В, одна.

Закончив решение этой задачи, обратим внимание учителя еще на следующее.

В логическом смысле рассуждения в этапах анализа и доказательства находятся в таком же отношении, как и доказательства прямой и обратной теорем. В анализе по существу доказывается теорема: если некоторая (искомая) фигура должна удовлетворять таким-то требованиям, то ее следует отыскивать по такому-то плану. В этапе доказательства, наоборот, утверждается, что если фигура построена по такому-то плану, то она удовлетворяет поставленным требованиям (является искомой).

В силу такой связи двух этапов получается, что если в анализе используется какая-нибудь теорема, то в доказательстве применяется ей обратная, если в анализе опираются на определение, то в доказательстве — на признак, и наоборот. Раскрытие логической связи этих двух этапов в процессе решения задачи на построение поможет учащимся лучше усвоить схему рассуждений в доказательстве прямого и обратного предложений.

Более сложные задачи

Рассмотрим далее решение нескольких более сложных задач на построение, приведем список задач, которые учитель сможет использовать в своей работе с более подготовленными учащимися.

Задача 12.

Искомая прямая должна быть в плоскости ß (рис. 5), проходящей через точку А и перпендикулярной к прямой Ъ (признак: если прямая с принадлежит упомянутой плоскости ß, то она перпендикулярна прямой Ь). Искомая прямая с должна принадлежать плоскости а , определяемой точкой А и прямой а (признак: если прямая с принадлежит упомянутой плоскости а и непараллельна а, то она пересекает а).

Вывод: искомая прямая с, является пересечением плоскостей а и ß.

Построение очевидно (рис. 5). Его можно упростить: не строить плоскость а, a найти точку Ai пересечения прямой а и плоскости ß, тогда AAi = с.

Доказательство. Так как с czß J_&, то с Lb (ссылка на определение). cz)A, причем/1 ç£ а. с принадлежит плоскости (Л, а) и непараллельна а, поэтому с пересекает а (определение: если прямая с имеет единственную общую точку с прямой а, то с называется пересекающей а).

Исследование. Если a Jib и а ф , то а\\ ß и задача не имеет решения (прямая пересечения плоскостей a nß параллельна а).

Еслиа±Ьиа czß, то задача неопределенная. В остальных случаях одно решение. Задача 13 . Л, Ь, а, А<£а.

а,аъА,а\\ а, ai_b. Искомая прямая (рис. 6) является пересечением плоскости ß, ß^M, ß j_ b, и плоскости ai9 ai э À, a, II a. Если прямая b±0Lf то плоскости a и b совпадают, решений бесконечное множество.

Задача 14. Через одну из скрещивающихся прямых построить плоскость, перпендикулярную второй.

Задача весьма интересна и замечательна тем, что, при всей ее простоте, неожиданно оказывается непосильной для учащихся (и даже

Рис. 5.

Рис. 6.

для студентов-математиков старших курсов). Советуем учителю решить задачу, не читая изложенного ниже решения, затем предложить ее выпускникам или своим коллегам. В наших опытах в таких случаях задача быстро оказывалась «решенной», причем неверно.

Правильно решит задачу тот, кто уверенно оперирует определениями и теоремами-признаками.

Проведем краткий анализ.

Пусть а и b две скрещивающиеся прямые, и через а построена плоскость а, перпендикулярная к Ь. Поскольку, по предположению, bL а, то, по определению, прямая b перпендикулярна к любой прямой плоскости а, т. е. и к прямой а. Итак, если плоскость а существует, то Ыа.

Обратно, если Ь±а, то плоскость а проходящая через прямую а и общий перпендикуляр с к обеим данным прямым (пересекающий обе прямые), будет искомой.

Вывод: задача имеет решение в том и только в то)м. случае, когда а I.e.

Приводим далее список из нескольких задач. Все они интересны в исследовании.

Задача 15. Задача 16.

Задача 17. Построить прямую, пересекающую две данные прямые с и Ь, параллельную данной плоскости а и перпендикулярную к данной прямой а.

Задача 18. Задача 19.

Задача 20. Построить прямую d, пересекающую три данные, попарно скрещивающиеся прямые.

Задача 21. Задача 22.

Задача 23. Задача 24.

Задача 25. Через данную прямую а построить плоскость а, составляющую с данной плоскостью ß данный угол X (рассмотреть различные случаи взаимного расположения прямой а и плоскости ß ).

Переходим к задачам, решаемым на изображениях.

2. Построения на изображениях

«Воображаемые построения» сводят роль изображения к минимуму: оно лишь иллюстрирует построение, помогает работе мышления. Само изображение это — более или менее — рисунок, «картинка». Применение инструментов для создания изображения совершенно излишне. Все это существенно снижает педагогическое и политехническое значение задач на построение, решаемых в воображении. Вот почему этот вид задач желательно дополнять в практике работы с классом такими задачами на построение, в решении которых указанный недостаток в значительной степени устраняется.

Переход к таким задачам, вернее, введение их, наряду с рассмотренными выше, потребует предварительного знакомства учащихся с основными свойствами параллельного проектирования пространства на плоскость чертежа. Ознакомление с новыми понятиями можно осуществить на основе решения задачи на построение следующего содержания.

Пусть дана некоторая фигура Fr как совокупность точек, определенным образом расположенных в пространстве. Дана еще прямая /', пересекающая плоскость чертежа (плоскость, представленную классной доской, листом тетради, форматкой). Построим через каждую точку фигуры F' прямые, параллельные /', и найдем точки пересечения этих прямых с плоскостью чертежа. Для решения поставленной задачи относительно некоторой точки А' данной фигуры достаточно провести построения, описанные выше для задачи 3 (стр. 120).

Пусть через точку А' фигуры построена прямая ао,

ao\\t', которая пересекает плоскость чертежа в точке А. Эту точку назовем изображением точки А' (проекцией точки А'). Геометрическое место F проекций точек фигуры F' назовем изображением этой последней.

Теперь имеется способ получения изображения данной фигуры (оригинала), который называется параллельным проектированием. По такому же способу на изображении оригинала могут быть нанесены проекции точек, прямых и плоскостей, появляющихся в процессе воображаемого построения. Формально-логические построения, связанные с воображаемым оригиналом, заменяются фактическими построениями на его изображении. Становится возможным применение инструментов, обычно употребляемых при построениях на плоскости. Решением задачи оказывается чертеж-построение, нанесенный на изображение оригинала (последнее можно назвать здесь чертежом-заданием).

Для успешного решения задачи на построение по этому способу надо иметь в виду:

а) свойства оригинала, т. е. той фигуры, которая дана по условию задачи;

б) свойства искомой фигуры, т. е. той, которая должна удовлетворять требованию задачи;

в) свойства того способа, с помощью которого получено изображение, в данном случае — свойства параллельного проектирования.

Если свойства оригинала и искомой фигуры связаны лишь с взаимным расположением геометрических образов в пространстве и с отношением инцидентности (принадлежность образов друг другу, соединение их), то такие свойства называются позиционными. Задача, требующая учитывать только позиционные свойства, тоже называется позиционной.

Если свойства данной и искомой фигур связаны с понятиями величины и формы, то эти свойства называются метрическими. Задача, требующая учитывать такие свойства, тоже называется метрической.

Задача о построении сечения многогранника (в частности, куба) плоскостью, проходящей через три данные точки — позиционная.

Задача о построении сечения многогранника плоскостью, перпендикулярной к какой-нибудь его грани (к какому-нибудь ребру) — метрическая, так как ее требо-

вание связано с величиной угла, который составляет секущая плоскость с другой плоскостью (или прямой).

На изображении, полученном по правилам параллельного проектирования, можно решать как позиционные, так и метрические задачи, ибо способ параллельного проектирования переносит на изображение определенные позиционные и метрические свойства оригинала. Перечислим кратко некоторые свойства изображения, связанные со свойствами оригинала.

Точки, отрезки, прямые и плоскости оригинала изобразятся, соответственно, точками, отрезками, «кусками» плоскостей, хотя в частном случае прямая (отрезок) может изобразиться точкой, а «кусок» плоскости—отрезком.

Если в оригинале точка Af принадлежит прямой а', то на изображении соответствующая точка А принадлежит, соответственно, прямой а. (Точнее было бы говорить: изображение точки принадлежит соответствующему изображению прямой, однако в данном случае неточность выражения не приводит к недоразумениям). Это свойство кратко формулируется так: параллельное проектирование переносит отношение инцидентности элементов оригинала на соответственные элементы изображения.

Параллельные прямые (отрезки) оригинала изобразятся параллельными или совпавшими прямыми (отрезками, принадлежащими одной прямой).

Отношение отрезков прямой, а также отношение параллельных отрезков, сохраняется: на изображении соответственные отрезки будут относиться также, как и в оригинале.

Если оригинал обладает определенными метрическими свойствами, то соответствующий выбор направления параллельного проектирования позволяет получить изображение, обладающее теми или иными метрическими особенностями. Это помогает упростить процесс получения изображения и построения на нем.

Пусть, например, оригиналом является куб. Расположим плоскость какой-нибудь его грани параллельно плоскости чертежа. Тогда эта грань и все фигуры, принадлежащие ей, изобразятся в «натуральную величину». Выберем направление проектирования так, чтобы ребра, перпендикулярные к упомянутой грани, изобразились отрезками, вдвое меньшими, чем в оригинале. Получится так называемая «кабинетная проекция». Возможны и другие,

заранее обусловленные, способы проектирования, например, приводящие к «изометрии», в которой тройка перпендикулярных ребер куба изображается одинаковыми отрезками.

Вряд ли целесообразно рассказывать учащимся о том, что всякое изображение (параллельная проекция) заменяет не сам оригинал, а фигуру, ему подобную, так же, как чертеж какой-нибудь детали зачастую является параллельной проекцией не самой детали, а ее подобия.

Для достижения успеха в решении задач на изображениях следует в наиболее наглядной форме раскрыть перед учащимися механизм проектирования. Можно поступить следующим образом. Каркасную модель многогранника освещают параллельным световым пучком и получают тень на экране или доске. Поворачивая модель («оригинал»), получают наиболее наглядное изображение (проекцию) многогранника. В опыте с кубом можно получить «кабинетную» и «изометрическую» проекции. Налагая на оригинал проволочные модели сечений, получают изображения сечений на проекции оригинала. Это показывает учащимся, что построения на оригинале можно заменить построениями на его изображении.

Рассмотрим несколько задач на построение, решение которых осуществляется на изображении данной фигуры. В этих задачах под словами «дана такая-то фигура» подразумевается, что дано изображение оригинала, точнее, фигуры, подобной ему, в параллельной проекции.

Задача 26. Дана треугольная пирамида ABCD и прямая PQ, пересекающая ее поверхность в точках Р и Q. Найти след прямой PQ на плоскости грани ABC (черт. 7).

Следом данной прямой на данной плоскости называется точка пересечения этих фигур.

Для решения задачи 26 применим рассуждения, проведенные при решении задачи 3 (стр. 120).Через прямую PQ построим плоскость (Z), Р, Q) и найдем ее пере-

Черт . 7.

сечение с плоскостью (А,В,С). Это будет прямая P\Qi. Искомая точка X =PQ X P\Q\. Если PQÏÏPiQi — решений нет.

Задача 27. Дана треугольная пирамида ABCD и прямая PQ, пересекающая ее поверхность в точках Р и Q. Найти следы данной прямой на плоскостях всех граней пирамиды (черт. 7).

Решение совершенно аналогично: следует построить плоскость (В, Р, Q) и найти ее пересечение с плоскостью (А, С, D) — прямую Pi Q2. На двух гранях искомые точки совпадают с данными (Р и Q).

Задача 28. Дан параллелепипед ABCD AiBiCiDi и прямая PQ, пересекающая его поверхность в точках Р и Q. Найти следы прямой PQ на плоскостях всех граней, параллелепипеда (черт. 8).

Черт. 8.

Снова применим схему решения задачи 3. Построим плоскость через прямую PQ. Эту плоскость целесообразно построить параллельно боковым ребрам. Она пересечет грань ABBiAi по прямой PPi, параллельной ААХ. Требуется найти прямую пересечения плоскости (Pi,P, Q) с плоскостью нижнего основания. Одна точка (Pi) этой прямой имеется. Строим плоскость (Ль A, Q). Она пересечется с основаниями по прямым AQ и A\Q\ (причем AQ Ui4iQi), а с плоскостью (Pi, Р, Q) по прямой QQi, параллельной АА\. Точка Qi — вторая точка прямой PiQi -(Л, Pt Q) X (Ai, A, Q).

Далее из чертежа 8 ясно, как найти искомые точки X и У. Читателю советуем самостоятельно построить точки пересечения прямой PQ еще с двумя гранями параллелепипеда.

Задача 29. Дан многогранник, изображенный на чер-

теже 9а. Найти след плоскости верхнего основания на плоскости нижнего, а также след плоскости грани ABBiAi на плоскости грани CC\DD\.

Следом данной плоскости на другой данной плоскости назовем линию их пересечения. Одну из плоскостей можно считать фиксированной ( она называется в этом случае основной), тогда след ищется на ней.

Черт. 9.

Достаточно найти пару общих точек плоскостей оснований.

Многогранник ABCDA\B\C\D\ считается построенным (черт. 9а). Плоскости его оснований построены. Прямые AB и А\В\ также построены (черт. 96). Если они не параллельны, то точка Х= AB X А\В\ считается построенной. Прямые CD и CiDi и их общая точка У (если CD=£C\D\) построены. Прямая ХУ в плоскости нижнего основания построена. Она искомая. (Доказательство очевидно). Одновременно найдена прямая VZ пересечения двух, упомянутых в задаче, плоскостей граней.

Задача 30. Дана треугольная пирамида SABC и плоскость, заданная точками L, M, N, из которых последняя на грани SBC, а первые две на ребрах пирамиды. Найти следы плоскости (L, M, N) на плоскостях граней пирамиды (черт. 10).

Прямая MN— след секущей плоскости на плоскости грани SBC. Точка Mi =MN X SC — след ребра SC на секущей плоскости, поэтому LNi — след этой плоскости на грани SAC. Учащиеся могут затрудниться в отыскании следа секущей

Черт. 10.

плоскости на грани SAB. Между тем, все сводится к построению точки М\ пересечения прямой MN и ребра SB. LMi — искомый след на плоскости грани SAB. Осталось построить LiM — след секущей плоскости на основании пирамиды.

Многоугольник, сторонами которого являются следы секущей плоскости а на гранях многогранника, называется сечением этого многогранника плоскостью а .

Четырехугольник LLi M Ni (черт. 10) является сечением пирамиды SABC плоскостью (L, M, N).

Задачи на построение сечений многогранников являются традиционными для школьного курса, вот почему мы особо на них остановимся.

3. Построение сечений многогранников с помощью следа секущей плоскости

Исследование взаимного положения секущей плоскости и многогранника с помощью построений, аналогичных рассмотренным в задачах 29 и 30, позволяет получить сечение многогранника. В данном случае задача о построении сечения — позиционная, т. к. нас не интересует ни форма сечения, ни метрические особенности его расположения по отношению к многограннику. Однако излагаемый ниже способ применим и к метрическим задачам.

Идея «способа следа» заключается вот в чем.

Отыскивается след ХУ секущей плоскости на какой-нибудь из плоскостей граней многогранника (эту последнюю мы назовем для краткости основной плоскостью; вообще говоря, основная плоскость это какая-нибудь, считающаяся построенной, плоскость, не обязательно содержащая грань). На следе ХУ отыскивается точка Z, которая вместе с данной (известной) точкой секущей плоскости, принадлежит той плоскости грани, на которой надо получить линию пересечения (или построить точки пересечения ребер с секущей плоскостью).

Чаще всего след находят на плоскости основания, хотя это не обязательно. Иногда целесообразно использовать не один, а несколько следов на различных плоскостях.

Сделаем ряд методических замечаний. Последовательность рассмотрения задач определяется

сложностью задания секущей плоскости. Можно избрать такую последовательность.

1) Секущая плоскость задана следом на плоскости основания и:

а) точкой на боковом ребре;

б) точкой на боковой грани;

в) точкой на верхнем основании;

г) точкой на диагональном (вообще известном) сечении;

д) точкой на прямой, пересекающей многогранник в известных точках (вообще на известной прямой), и т. д.

2) Секущая плоскость задана следом не обязательно на плоскости основания (те же подслучай).

3) Секущая плоскость задана тремя точками:

а) на боковых ребрах;

б) на боковых ребрах и гранях;

в) на боковых гранях;

г) на любых гранях (и ребрах);

д) на известных сечениях многогранника;

е) на известных прямых, и т. д.

4) Другие способы задания секущей плоскости.

Как показывает опыт известного методиста В. В. Репьева, после детального рассмотрения одной—двух задач на построение сечений по трем заданным точкам, целесообразно дать учащимся план решения таких задач. План может не отличаться совершенством формулировок, он не выучивается дословно: ученик должен уметь передать его содержание. Учащийся решает одну задачу с планом в руках, при решении последующих задач план воспроизводится по памяти. Это давало хорошие результаты: любой ученик (9 класса) вскоре безошибочно строил сечения. Задачи включались в контрольную работу: в билете давалось изображение многогранника и трех точек, связанных с ним; ученикам разрешалось сколоть чертеж с билета.

При решении задач на построение в пространстве, в частности, на построение сечений, много времени отнимает оформление чертежа-задания. За один урок удается решить очень небольшое число задач. Как сделать урок, посвященный таким задачам, более эффективным?

После подробного рассмотрения одной — двух задач по чертежу, выполненному на классной доске, в дальней-

тем для ускорения работы можно применить планшеты с нанесенными на них контурами многогранников. Размер планшета должен обеспечить, во-первых, хорошую различимость построений для всех учащихся класса и, во-вторых, удобное размещение всех построений, выполняемых на планшете на основе контура многогранника.

Планшет представляет из себя прямоугольную рамку, обитую фанерой или линолеумом. Фанера прокрашивается после шпаклевки черной или темно-коричневой краской. Контур многогранника наносится на планшет белилами, причем изображение (параллельная проекция) размещается так, чтобы оставалось поле для построений. Планшет вешается на стену рядом с классной доской. Для каждого вида многогранников, рассматриваемых при решении задач, изготовляется один — два планшета (для куба желательно иметь и изометрическое изображение). Данные задачи наносятся на планшет цветными мелками, что позволяет очень быстро получить чертеж-задание. Построения выполняются инструментами, а в дальнейшем, для ускорения работы, от руки, обычным мелом (искомые фигуры желательно выделять красным мелом). Необходимые записи выполняются на классной доске. Планшет можно использовать и при решении задач методом проекционного чертежа, а также и для задач на вычисление.

Применение планшета не даст нужного эффекта, если учащиеся будут вести записи и построения обычным образом в тетрадях. Необходимы индивидуальные «планшеты», которые нетрудно изготовить на плотной чертежной бумаге тушью. Выполнение изображений многогранников, идентичных изображениям на классных планшетах, возможно перенести на уроки черчения. Работа на индивидуальных «планшетах» выполняется обыкновенным мягким (2м — Зм) карандашом без нажима. Все карандашные линии могут легко удаляться мягкой резинкой.

Применение планшетов значительно ускорит выполнение классной и домашней работы. При отсутствии индивидуальных «планшетов» учитель может заранее дать задание ученикам приготовить те или иные чертежи в нужном числе экземпляров хотя бы в карандаше.

Рассмотрим теперь несколько задач на построение сечений многогранников.

Задача 31. Построить сечение четырехугольной призмы плоскостью, заданной следом ХУ на плоскости а нижнего основания и точкой А0 на боковом ребре (черт. 11).

Построим точку N пересечения следа ХУ с плоскостью грани AAiDiD. Поскольку ребро A\D\ принадлежит плоскости а и плоскости упомянутой грани, то точка N (если она существует) найдется так:

Точки Ао и N принадлежат одновременно секущей плоскости и плоскости грани AA\D\D, поэтому по известной аксиоме прямая AoN есть след секущей плоскости на плоскости указанной грани. Отрезок AoDo — есть сторона многоугольника сечения.

Построим теперь точку /С, одновременно принадлежащую трем плоскостям: плоскости основания (а), плоскости боковой грани DDiCiC и секущей плоскости. Очевидно, что эта точка получится так: K = DiCi X ХУ. Теперь прямая KDo есть след секущей плоскости на плоскости рассматриваемой грани, а отрезок DoCo — следующая сторона многоугольника сечения. Остальные построения ясны.

Совершенно аналогично решается задача, если точку Ао задать на боковой грани.

Задача 32. То же, что и в задаче 31, но точка Qo секущей плоскости задана на верхнем основании (черт. 13).

Построим плоскость (Bi, ß, Qo). Она пересекает плоскости оснований призмы по параллельным прямым BQo

Черт. 11.

и BiMi. Точка M, M ss ХУ X ßiMi — точка следа ХУ, т. е. она принадлежит вместе с Qo секущей плоскости. Прямая MQo принадлежит этой же плоскости и пересекает призму в точке Mo боковой грани (и в точке ßo — ребра BBi). Задача сведена к предыдущей.

Задача 33. Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, заданной следом ХУ на плоскости (а) основания и точкой, принадлежащей:

а) ребру SA (черт. 12, точка Ло);

б) грани SAB (черт. 14, точка Lo);

в) плоскости (5, Р, Q) (черт. 14, точка No).

Черт. 12.

Черт. 13. Черт. 14.

В случае (а) строим точку М, М=ХУ X AiDi, прямая АоМ принадлежит секущей плоскости, она дает первую сторону AoDo сечения. Дальнейшее построение ясно из чертежа 12.

В случае (б) точку M соединяем прямой с точкой Lo. Прямая MLo — след секущей плоскости на плоскости грани SAB, ее отрезок в этой грани — первая сторона сечения. Дальнейшее построение ясно из черт. 14.

В случае (в) строим точку N, N = ХУ X PQ. Прямая AWo пересекает грань SAD в точке Lo. Задача свелась к случаю (б). Дальнейшее ясно из черт. 14.

Задачи 31—33 оказываются простыми в решении, т. к. след секущей плоскости на плоскости основания уже задан. Рассмотрим несколько задач, в которых след надо предварительно построить, а затем решение проводится так же, как в задачах 31—33.

Задача 34. Дана призма. Срезать ее плоскостью, проходящей через точки Ло, jBo, Со, данные на боковых ребрах (черт. 15).

Построим след секущей плоскости на плоскости (а) основания. Достаточно найти только две точки следа. Поскольку А\В\ — ребро основания, то искомая точка X принадлежит А\В\ (почему?). Поскольку АоВо — прямая плоскости сечения и плоскости грани AiAoBoBi, то искомая точка X принадлежит АоВо (почему?), т. е.

Аналогично находим точку У, причем можно использовать диагональ А\С\ и прямую АоСо (на черт. 15 оказалось, что ВоСо почти параллельна В\С\У и точка В0С0 X XBiCi не вмещается в чертеж). След ХУ найден, дальнейшее построение известно.

Приведем несколько задач, в решении которых след строится не обязательно на плоскости нижнего основания многогранника.

Чер . 15.

Черт. 16.

Задача 55. Построить сечение пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через точки 1, 2, 3, заданные на боковых ребрах (черт. 16).

Целесообразно в качестве основной плоскости выбрать плоскость грани SED, следом на которой будет прямая 2,3. Найдем точки пересечения этой прямой с плоскостями граней SAB и SBC. Строим точки У\ и Х\, принадлежащие, соответственно, этим двум плоскостям и плоскости грани SED. Тогда прямые SPi = (S, Еу D) X X (S, A, В) и SXi = (S, E, D) X {S, В, С) в пересечении с прямой 2,3 дадут точки X, У, каждая из которых принадлежит следу и плоскости соответствующей грани (почему?). Поскольку X с (S, В, С), то Х\—прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью грани SBC. Аналогично строим прямую У\. Все стороны сечения теперь легко найти.

Задача 36. Дана призма АВСА\В\С\ и точки К, M, Р— середины (соответственно) ребер ВВ\, В\СХ и АС. Построить сечение призмы плоскостью (КМ,Р) (черт. 17).

Учитель может обратить внимание учащихся на то, что прямая КМ принадлежит плоскости сечения и плоскости грани BiBCCi (почему?). Эту прямую и удобно считать следом. Остается найти точки встречи следа КМ с плоскостями граней, содержащими точку Р: X = CCiXKMt у=свхмк.

Прямые ХР и УР позволят найти недостающие вершины сечения. Заметим, что указание о том, что точки M, Р, К середины ребер, нигде в решении не использова-

Черт. 17. Черт. 18.

лось и задачу можно было сформулировать в более общем виде, чему и соответствует чертеж 17.

Задача 37. Построить сечение куба плоскостью, заданной тремя точками А0, Во, Со на его трех, попарно скрещивающихся ребрах (черт. 18).

Будем искать след на плоскости передней грани. Одна точка — А0 этого следа уже имеется. Вторую точку построим как пересечение прямой ВоС0 и основной плоскости. Через прямую ВоСо строим плоскость, параллельную боковому ребру. Она пересечет правую боковую грань по отрезку CoG, плоскость нижнего основания— по прямой ВоСь а основную (плоскость передней грани) —по прямой ZX, ZX\\AAu Точка X, Х= = B0CoXZX,h является второй точкой искомого следа (почему?). Итак, А0Х — след секущей плоскости на основной плоскости (на какое предложение здесь следует сослаться?).

Далее построение ведем на основе полученного следа: находим ею точку У пересечения с плоскостью нижнего основания (y=XAoXZy), строим У Во (имеем еще две стороны сечения BoD и DA0). Строим точку Р пересечения следа и ребра В\В, затем РСо (получим вершины Е и Q сечения), наконец, строим последнюю сторону сечения QBo.

Построение можно упростить, воспользовавшись параллельностью плоскостей противоположных граней куба, а также тем, что изображение куба получено по способу параллельного проектирования. Построив АоЕ, затем строим параллельный отрезок BoQ. Поскольку сторона ЕСо найдена, то легко найти сторону BoD, затем DAo и параллельную последней сторону CoQ.

Задача 38. Каждое ребро правильной трехугольной призмы равно а. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и середину оси призмы (черт. 19).

Это несколько измененная задача № 25 из § 7 Сборника задач Н. Рыбкина (ч. II), в которой требуется вычислить площадь получающегося сечения. Обычно учащихся затрудняет построение.

Черт. 19.

Пусть секущая плоскость проходит через точки Ai, С и Do. Использовать А\С\ как след не удается. То же можно сказать о других уже известных прямых в плоскости сечения. Поставим вопрос об отыскании ее следа на плоскости которой-нибудь грани, например, грани ABBiAi. Найдем след X прямой &Do на этой грани (эту задачу мы уже неоднократно решали). Следом секущей плоскости будет прямая А\ХУ одновременно найдена сторона сечения AiF. Дальше задача решается по известной схеме: отыскиваем точку У пересечения следа А\Х с боковым ребром В\В и строим У Ci, отрезок AïCi, которой будет еще одной стороной сечения. Осталось построить стороны FM и Л1С1.

Обычная ошибка учащихся при самостоятельном решении этой задачи: точка У оказывается между В и В\, чего быть не может (почему?).

Рассмотрим в заключение раздела две задачи, в которых находит применение схема рассуждений, проведенных в основной задаче 11 (построение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым).

Задача 39. Построить общий перпендикуляр к диагонали куба и к скрещивающемуся с ней ребру, пересекающий эти отрезки.

Пусть куб построен и ABCD A\BiCiDi (черт. 20) его изображение, полученное параллельным проектированием (в данном случае — кабинетная проекция); АС\ = Ъ и DDi = а — упомянутые в тексте диагональ и ребро куба. Применяем схему рассуждений, проведенных в решении задачи 11 (стр. 123).

Построим через Ь плоскость, параллельную а. Здесь удобнее взять диагональную плоскость $ = (AAipCi). Построим через а плоскость а, перпендикулярную к плоскости ß. Для этого через точку D построим прямую, перпендикулярную Kß. Такой прямой будет диагональ BD верхней грани (надо показать, что BD перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в плоскости ß. Плоскости а и ß пересекаются по прямой OOi, которая в точке Вг пересекает прямую Ъ. Построим прямую B2D2,

Черт. 20.

параллельную BD. Прямая B2D2 искомая, что нетрудно доказать.

Задача 40. Построить общий перпендикуляр к двум скрещивающимся диагоналям граней куба.

Пусть куб построен и диагонали а и b граней — те, что упомянуты в тексте (черт. 21).

Для построения плоскости ß, ß ZD b, ß |J a, выберем на b точку B\ (вершина куба). Прямая ai, а\\\а, ах з Въ будет диагональю основания. Плоскость ß= (b,aî) представлена на чертеже равносторонним треугольником BiMN. Известно, что диагональ куба PQ перпендикулярна к плоскости этого треугольника.

Для построения плоскости а, а d а, а 1 ß, надо сперва построить прямую Ci, проходящую через произвольную точку Л id а и перпендикулярно к плоскости ß . В качестве точки Ai выберем центр верхней грани. Перпендикуляр к плоскости ß, проходящий через Ai, будет параллелен PQ и пересечет плоскость треугольника MBiN в точке А2 на медиане этого треугольника. Плоскость а = (а, ci) пересекает плоскость ß по прямой а2, проходящей через точку А2 и параллельной а. Прямая аг пересекается с прямой в в точке В. Осталось через эту точку построить прямую ВА= с, ABWA1A2', AB искомая прямая, отрезок AB — кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися диагоналями граней куба (доказательство проведено в решении задачи 11, схемой которого пользовались в данном случае). Можно поставить требование: вычислить AB, если ребро куба равно d ^АВ=^^- j .

Заметим, что при решении двух последних задач мы существенно использовали не только способ получения изображения, но и метрические свойства многогранника. В задаче 39 ссылались на перпендикулярность диагоналей грани и на то, что внутренние двугранные углы куба прямые. В задаче 40 пользовались тем, что диагональ куба перпендикулярна к плоскости треугольника,

Черт. 21.

образованного тройкой диагоналей граней, скрещивающихся с диагональю куба, а также метрическими свойствами этого треугольника. Само требование: построить прямую, составляющую определенный угол с данной прямой, также имеет метрический характер. Все это говорит о том, что две последние задачи на построение — метрические.

Построения на изображениях многогранников, рассмотренные выше, могут быть дополнены решением задач на изображениях тел вращения. В качестве примера рассмотрим одну задачу.

Задача 41. Построить сечение конуса SABC плоскостью, заданной точками L0, Mo, No, из которых первые две принадлежат поверхности конуса, а третья — плоскости его основания (черт. 22).

Построим две плоскости через ось конуса и, соответственно, через точки Lo, Mo. На направляющей конуса получим две точки L и М. Плоскость (S, L, М) пересекает плоскость основания по прямой LM. Прямая LoMo пересекает плоскость основания в точке X, X^LMxLoMq.

Теперь имеем след NoX секущей плоскости на плоскости основания. Любая точка линии сечения конуса может быть получена так, как строится Со:

а) строим СМ до пересечения в точке Ci со следом NoX;

б) строим CiMo до пересечения с образующей в точке Со.

На изображении сечение есть эллипс, который можно построить приближенно по его точкам. Аналогично решаются:

Задача 42. Построить сечение конуса плоскостью, проходящей через три точки, данные на поверхности конуса.

Задача 43. Построить сечение цилиндра плоскостью,

Черт. 22.

проходящей через точку, данную на его оси, и через прямую, данную на основании цилиндра. (След оси цилиндра на его основании не дан, его надо построить.)

Комбинация способов задания секущей плоскости на основе условий задач 41—43 позволит получить еще новые задачи этого типа.

В разделах I—3 статьи рассмотрены в основном все вопросы, связанные с методом «воображаемых построений».

К сожалению, приходится оставить в стороне такие интересные вопросы, как использование понятия геометрического места в решении задач на построение в пространстве, решение задач на проекционном чертеже. Эти вопросы обстоятельно изложены в известной учителю литературе (например, [6], [4], [5] и др.).

Остановимся далее на вопросе обоснований геометрических построений в пространстве.

4. Некоторые вопросы оснований конструктивной геометрии в пространстве

Отрасль геометрии, изучающая так называемые геометрические построения, именуется конструктивной геометрией. Ее можно разделить на конструктивную планиметрию (построения на плоскости) и конструктивную стереометрию (построения в пространстве).

Интересующихся вопросами обоснования конструктивной планиметрии отсылаем к книге [11].

Конструктивная стереометрия оперирует понятиями «точка», «прямая», «плоскость» и «построить геометрическую фигуру». Сущность понятий «точка», «прямая» и «плоскость», а также их отношений (инцидентность, порядок, конгруентность, параллельность, непрерывность) раскрывается аксиомами геометрии вообще (здесь — евклидовой геометрии).

Мы считаем известными для читателя вопросы обоснования геометрии вообще. Аксиоматика геометрии вообще является первоосновой конструктивной геометрии.

Для наглядности обычно точки, прямые, плоскости

мыслят в виде образов (основные геометрические образы); в связи с этим говорят, что основные понятия материализуются. Точка мыслится, например, как острие иглы или как его след на бумаге, прямая — как туго натянутая нить, плоскость интерпретируется гладью спокойного озера.

Совокупность всех точек, всех прямых и всех плоскостей называется геометрическим пространством. Отношение инцидентности позволяет сочетать, объединять, соединять основные образы друг с другом, получать фигуры.

Геометрическую фигуру мы определим как множество точек, содержащее по крайней мере одну точку.

Конструктивная геометрия в основном рассматривает задачи на построение фигур. Понятие «построить геометрическую фигуру» нельзя определить. Обычно оно понимается в смысле употребления тех или иных инструментов, но здесь речь идет о логическом смысле понятия. С термином «построить» тесно связан термин «существует», который тоже требует точного логического истолкования.

Уже первая аксиома геометрии у Д. Гильберта гласит:

1. Для любых двух точек А, В существует прямая а, принадлежащая каждой из этих точек А, В (подчеркнуто нами.—Г. С).

Что значит «прямая существует»? Гильберт не останавливается на этом вопросе, считая смысл понятия «существует» очевидным.

Естественно полагать, что прямая существует, если она построена, а понятие «построить» считать основным. В таком случае его надлежит определить косвенно с помощью совокупности аксиом, которые и образуют аксиоматику конструктивной геометрии. Откроется возможность доказывать существование геометрических фигур через их построение.

Поскольку фигура определена как множество, то аксиоматика конструктивной геометрии должна описывать и отношения фигур-множеств.

Введем несколько определений.

Соединением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур.

Для фигур 01 и Фг соединение обозначается Ф1 + Ф2 или Ф\ (J Ф*. Примерами соединений могут служить: мно-

гогранник, являющийся соединением своих граней, ребер и вершин; плоскость, которую можно считать соединением двух полуплоскостей, исходящих из данной прямой, и самой этой прямой.

Пересечением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, которые являются общими для этих фигур. Обозначение: ФгФг или Ф1ПФ2. Примеры: если 01 — сфера, Ф2 — плоскость, то их пересечением может быть окружность, если плоскость пересекает сферу, или точка, если плоскость и сфера касаются, наконец, пустое множество, когда фигуры не имеют общих точек.

Разностью двух фигур Ф1 и Фг называется совокупность всех точек фигуры Фь которые не принадлежат фигуре Фг. Обозначение: Ф\—Фг или Ф1\Фг. Пример: если Ф1 —данная прямая, Фг — данная плоскость, то разностью Ф1—Фг будут: два луча с общим началом, принадлежащим плоскости, если прямая пересекает плоскость; вся прямая 01, если она параллельна плоскости; пустое множество, когда прямая принадлежит плоскости.

Приведем примерный список аксиом конструктивной геометрии. Для краткости выражения, вместо слов: «фигура считается построенной», будем говорить «фигура конструктивна». Основное понятие, описываемое приведенной ниже системой аксиом, есть понятие конструктивности.

Система аксиом конструктивной геометрии в пространстве

Аксиома 1. Данная фигура конструктивна.

Следствие 1. Пространство конструктивно, ибо оно считается данным, когда идет речь о построениях в нем.*

Аксиома 2. Если фигуры Ф1 и Фг конструктивны, то считается известным, является ли их разность пустым множеством или нет.

Аксиома 3. Если разность двух фигур не пустое множество, то эта разность конструктивна.

Следствие 2. Если две фигуры конструктивны, то

* Следствие 1 выражает лишь то, что «построения» в смысле перечисленных далее аксиом выполняются не на «пустом месте», а в геометрическом пространстве, которое теперь считается построенным.

можно установить, является их пересечение пустым множеством или нет.

Доказательство. Пусть фигуры Ф\ и Фг конструктивны. Составим их разность R\ == Ф\—ф2. Представим R\ в следующем виде:

7?1 = 01 — ФгФг. Возможность такого представления следует из того, что в правой части записано множество всех точек фигуры 01, не принадлежащих пересечению Ф\. Фг, т. е. не общих фигуре Ф2, но это и есть множество всех точек Ф1, не принадлежащих фигуре Ф2, т. е. разность Ф,\Ф2.

По аксиоме 2 известно, является ли разность R\ пустым множеством или нет. Пусть R\ — пустое множество, тогда Ф\ = ФгФг, т. е. пересечение ФгФг — не пустое множество.

Пусть R\ — не пусто, тогда по аксиоме 3 разность R\ конструктивна. Рассмотрим разность двух конструктивных фигур Ф\—R\, которая равна ФгФг. По аксиоме 2 известно, пустое это множество или нет. Следствие 2 доказано.

Следствие 3. Если фигуры Ф\ и Ф2 конструктивны и их пересечение не пусто, то это пересечение конструктивно.

Справедливость следствия вытекает из равенства ф1 Г) Ф2= Ф*— и аксиомы 3.

Аксиома 4. Если две фигуры Ф\ и Фг конструктивны, то их соединение конструктивно.*

Аксиома 5. Если фигуры Ф\ и Фг конструктивны и их пересечение не пусто, то конструктивна по крайней мере одна точка, принадлежащая этому пересечению.

Следствие 4. Если фигуры Ф\ и Фг конструктивны, то всегда можно установить, содержит ли пересечение ФгФг по крайней мере п различных точек, или оно содержит менее чем п точек (п — данное натуральное число).

Доказательство. Если Ф^Фг пусто, то следствие справедливо (оно не содержит ни одной точки). Если пересечение ФгФг не пусто, то оно содержит по меньшей мере одну точку. По следствию 3 пересечение ФгФг конструктивно, а по аксиоме 5 конструктивна хотя бы одна точка Mi, принадлежащая ему. Составим разности

* Строго говоря, это предложение есть следствие предыдущих аксиом, но доказательство этого факта потребует ссылки на некоторые теоремы теории множеств.

По аксиоме 2 известно, являются эти разности пустыми множествами или нет. Если каждая из разностей пустое множество, то Ф\ = Mi и <t>2=M\, поэтому Ф1.Ф2 = Mi и следствие 4 справедливо. Если, например Ф'1—пустое множество, а Ф'г не пусто, то Ф1 = Mi, и пересечение Ф1Ф2 содержит единственную точку Mi, поэтому следствие 4 имеет место.

Если каждая из разностей не пуста, то каждая, по аксиоме 3, конструктивна. Рассмотрим пересечение Ф'гФ'г. По следствию 2 известно, является оно пустым множеством или нет. Пусть Ф'\-Ф'г— пусто. Это означает, что множество точек фигуры Ф\, за исключением точки Ми и множество точек фигуры Фг, без точки Mi, не имеют общей точки, следовательно, в пересечении ФгФг только и была одна-единственная точка Ми Следствие 4_ имеет место. Если же Ф'гФ'2 не пустое множество, то оно конструктивно, и по аксиоме 5, конструктивна хотя бы одна точка Мг, принадлежащая как фигуре Ф\, так и фигуре Ф2. Составим разности

и повторим проведенные выше рассуждения. Самое большее через п таких повторений следствие 4 будет полностью доказано.

Следствие 5. Если пересечение двух конструктивных фигур не пусто, то конструктивно любое конечное множество точек этого пересечения.

Это следует из хода доказательства предыдущей теоремы.

Следствие 6. Конструктивна точка, заведомо принадлежащая конструктивной фигуре.

Доказательство. Пусть фигура Ф конструктивна. Тогда ее можно рассматривать как пересечение самой с собой. Это пересечение не пусто. По аксиоме 5 конструктивна точка, принадлежащая этому пересечению, т. е. фигуре Ф.

Следствие 7. Конструктивна точка,заведомо не принадлежащая конструктивной фигуре Ф, если эта фигура отлична от всего пространства.

Доказательство. Пространство Р построений конструктивно (следствие 1). Если ФфР, то разность Р\Ф не пуста, а стало быть конструктивна (акс. 3). По следствию б конструктивна точка, принадлежащая разности Р\Ф, т. е. заведомо не принадлежащая Ф.

Следствия 6 и 7 позволяют утверждать, что произвольная точка пространства конструктивна.

Аксиома 6. Плоскость, если она определена тремя конструктивными точками, конструктивна.

Следствие 8. Плоскость, определяемая конструктивными точкой и не инцидентной ей прямой, конструктивна.

Следствие 9. Плоскость, определяемая двумя конструктивными пересекающимися прямыми, конструктивна.

Следствие 10. Плоскость, определяемая двумя конструктивными параллельными прямыми, конструктивна.

Аксиома 7. Все элементы конструктивной плоскости, входящие в класс конструктивных в смысле планиметрических построений, конструктивны.

Аксиома 8. Сфера конструктивна, если конструктивны ее центр и отрезок, конгруентный радиусу.

Следствие 11. Сфера конструктивна, если конструктивны ее центр и одна из ее точек.

Аксиомы, аналогичные 8-й, с соответствующими следствиями, можно сформулировать относительно цилиндрической, конической и других поверхностей.

Система аксиом и их следствий является комплексом тех «инструментов», с помощью которых выполняются построения в пространстве. «Построить геометрическую фигуру» значит применить конечное множество раз аксиомы (следствия) этой системы так, чтобы в результате можно было логически заключить, что искомая фигура конструктивна.

Рассмотрим пример применения этих абстрактных «инструментов». Решим заново задачу 3:

Построить точку пересечения данной прямой а с данной плоскостью а, афа.

Решение. Прямая а и плоскость а конструктивны (акс. 1). Конструктивна точка ß, принадлежащая плоскости а (следствие 6). Плоскость (а, В) ==ß конструктивна (следствие 8). Поскольку anß имеют общую точку В, то их пересечение не пусто, поэтому конструктивна прямая b, b =aXß (следствие 3).

Возможны два случая:

1) а\\Ь,

2) а^Ь.

В первом случае пересечение а-Ь прямых а и b — пустое множество, и задача не имеет решения.

Во втором случае а-Ь — не пусто, поэтому конструктивно (следствие 3). Поскольку а и b не совпадают, то пересечение этих прямых есть точка A =axb, которая и является искомой.

Аналогично могут быть рассмотрены каждая из задач, приведенных в первом разделе статьи. При решении задач на изображениях следует еще учесть способ получения изображения.

Из рассмотренного примера видно, что, кроме ссылок на соответствующие аксиомы построений и их следствия, в решении используются известные геометрические факты. Например, утверждение о конструктивности прямой b = аХ ß было сделано не только на основании следствия 3 системы аксиом построений, но и на основе известной теоремы: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, проходящую через эту точку. (В школьных курсах геометрии это — аксиома.)

Неразрывная связь конструктивной геометрии с содержанием геометрии вообще становится еще более очевидной, когда для решения задач на построение пpивлeкаются такие элементарные преобразования, как движение, подобие (в частности, гомотетия), инверсия, а также понятие геометрических мест. Методы преобразований, метод геометрических мест и даже метод алгебры находят в конструктивной стереометрии такое же применение, как и в планиметрических построениях. К сожалению, на этих вопросах нет возможности остановиться в рамках настоящей статьи.

Конструктивная геометрия не только использует известные геометрические факты. Она является сильным средством для развития самого содержания геометрии. Известно, .например, что доказательство существования прямой 6, проходящей в плоскости (А, а) через точку А и не пересекающей прямую а, состоит в построении этой прямой Ь.

Доказательство существования определяемых геомет-

рических объектов является одним из важнейших вопросов геометрической теории. Конструктивная геометрия решает этот вопрос полностью.

Мы рассмотрим в заключение статьи доказательство существования правильных многогранников с помощью их построения. Этот материал может иметь и самостоятельное значение, как состоящий из ряда метрических задач на построение, которые учитель, возможно, использует в своей работе с учащимися или для кружковой работы. Прием доказательства может быть без труда распространен на другие многогранники, в частности, на пирамиды и призмы разного вида.

5. Построение правильных многогранников

В геометрии изучаются многогранники, гранями которых являются одноименные многоугольники и из каждой вершины которых исходит одно и то же число ребер (такие многогранники называются топологически правильными). Для случая многогранников нулевого рода* известная теорема Эйлера позволяет сделать вывод: если топологически правильные многогранники существуют, то их может быть пять и только пять типов (тетраэдры, октаэдры, гексаэдры, икосаэдры, додекаэдры). Теорема Эйлера оставляет открытым вопрос о существовании этих многогранников.

Правильным (точнее, метрически правильным) называется такой (выпуклый) многогранник, у которого все грани равные правильные многоугольники, и все внутренние двугранные углы равны.

Правильные многогранники, если они существуют, являются частным случаем топологически правильных многогранников.

Если доказать существование метрически правильных тетраэдра, октаэдра, гексаэдра, икосаэдра и додекаэдра, то, деформируя их соответствующим образом, можно получить все множество топологически правильных многогранников.

* Так называются многогранники, которые всяким, не пересекающим себя замкнутым разрезам, проведенным только по ребрам, разделяются на две многогранные поверхности (см. [3]).

Докажем построением существование правильных многогранников. Начнем с правильного гексаэдра (куба).

Правильным гексаэдром (кубом) называется многогранник, у которого шесть равных правильных четырехугольных граней и все внутренние двугранные углы прямые.

Задача 44. Построить куб с ребром а.

Произвольная плоскость а в пространстве конструктивна. В ней конструктивен квадрат, со стороной а. Четыре плоскости ß, 7, з, е, перпендикулярные к а и проходящие, соответственно, через стороны квадрата, конструктивны. Плоскость со, параллельная а и проходящая от нее на расстоянии а, конструктивна. Шесть указанных плоскостей пересекаются по двенадцати прямым и образуют многогранную поверхность, ребрами которой являются двенадцать равных а отрезков упомянутых прямых, а гранями — шесть равных квадратов. Все ребра поверхности внутренние, т. е. это — многогранник, причем по построению все его точки не могут быть расположенными в различных полупространствах относительно каждой из шести плоскостей. Следовательно, этот многогранник выпуклый. По построению все его внутренние двугранные углы прямые. По определению, это — куб с ребром а. Существование куба доказано . Этот многогранник имеет шесть равных квадратных граней, двенадцать ребер и восемь вершин.

Задача 45. Построить правильный октаэдр с ребром Ь.

Соединим центры граней куба с ребром а, а = Ьу2, двенадцатью отрезками по четыре исходящими из каждого центра (черт. 23). Эти отрезки определят правильные равные треугольные грани многогранника, внутренние двугранные углы которого, как нетрудно показать, равны (линейный угол каждого ).

Получился многогранник — правильный октаэдр. У него 12 ребер, шесть вершин и восемь правильных равных треугольных граней.

Черт. 24

Куб и правильный октаэдр называют сопряженными многогранниками; построив один из них, легко получить другой: надо только соединить отрезками в определенном порядке центры граней. Между прочим, если в этом порядке соединять не центры, а произвольно выбираемые (по одной) в каждой грани точки, то получим многогранник топологически правильный, соответствующего (сопряженного) типа. На основе гексаэдра будет получен октаэдр, а на основе последнего — гексаэдр.

Задача 46. Построить правильный тетраэдр с ребром с.

С помощью куба с ребром а, а——^—легко построить правильный тетраэдр (построение ясно из черт. 24). Сопряженный тетраэдру многогранник также является тетраэдром.

Черт. 24.

Черт. 25.

На основе куба могут быть построены также и правильные икосаэдр и додекаэдр. Рассмотрим эти построения.

Задача 47. Построить правильный икосаэдр с ребром d.

Разделим ребро a, a = d^^l>

куба в среднем и крайнем отношении и построим отрезок AB, равный большей части, симметрично расположив его на средней линии верхней грани (черт. 25). На нижней грани выполним то же построение, получим отрезок А\В\, равный и параллельный AB. На остальных парах противоположных граней построим те же отрезки так, что три плоскости, содержащие пары отрезков, будут взаимно перпендикулярны. Двенадцать точек — концы построенных отрезков — соединим друг с другом тридцатью отрезками, считая и шесть, принадлежащих граням, в порядке, который ясен из черт. 25. Получим многогранник с двенадцатью треугольными гранями

и тридцатью ребрами (икосаэдр). Покажем, что этот икосаэдр правильный.

Сначала покажем, что AC=d. Пусть точка М — середина AB, построим в плоскости верхней грани отрезок MN, MN±AB. Продолжим DC и получим отрезок

Известно, что d = а ^52~1 , поэтому

Итак, все двадцать граней построенного многогранника— равные правильные треугольники со стороной d.

Рассматривая треугольники вида EFK (черт. 25). легко выяснить, что все они равны, но угол FKE есть линейный угол двугранного угла F.CD.E. Поэтому все внутренние двугранные углы икосаэдра равны. Этот икосаэдр — правильный.

Другой способ построения правильного икосаэдра дан в книге [3].

Топологически правильный многогранник типа икосаэдра может быть получен таким же способом, если отрезки А В, А\В\ и т. д. располагать на гранях произвольно и брать их не обязательно равными.

Додекаэдр может быть построен как многогранник, сопряженный икосаэдру. Мы рассмотрим другое построение.

Задача 48. Построить правильный додекаэдр с ребром 1.

Выполним построение правильного додекаэдра на основе куба.*

Построим куб с ребром а и правильный пятиугольник, диагональ d которого равна а. Сторону пятиуголь-

* Идея заимствована из заметки А. Г. Дорфмана.

ника примем за 1, a=d — —£— . Диагональ разбивает пятиугольник на равнобедренные треугольник и трапецию. Для каждой грани куба выполним следующие построения (черт. 26, грань EE\F\F). Через противоположные ребра EEi и FFi построим две плоскости и в каждой из них построим на ребрах ЕЕ\ и FFi равнобедренные трапеции, равные упомянутой части пятиугольника. Плоскости трапеций следует выбрать так, чтобы меньшие основания совпали (черт. 26, отрезок А\А2).

Проделав такое же построение для ребер ЕН\ и Е\Н, получим треугольник АЕЕ\У который равен оставшейся части трапеции. Каждое ребро куба оказывается общей стороной одного треугольника и одной трапеции.

Покажем, что трапеция и треугольник, примыкающий к ней, принадлежат одной плоскости.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и A\D\C\ — грани равных пирамид ABCDE и AiBi&DiE (черт. 26).

Покажем, что пропорция

(1)

имеет место.

Диагональ правильного пятиугольника со стороной, равной 1, равна

Черт. 26.

Далее имеем (черт. 26):

(2) (3) (4)

(5)

Представляя (2), (3), (4) и (5) в (1) получаем, что ААВС~ AAiDiCi.

В этих треугольниках соответственные стороны ВС и ЛiCi, АС и C\D\ параллельны, поэтому AB и A\D\ либо параллельны, либо принадлежат одной прямой. Но точки Di и В не могут совпадать, поэтому ABWAiDi, они пересекают одну и ту же прямую ЕЕ\, поэтому вместе с этой прямой принадлежат одной плоскости.

Итак, описанное построение приводит к многограннику, у которого грани равные правильные пятиугольники (их число равно числу ребер куба— 12), а двугранные углы равны (это нетрудно показать). Число ребер равно 30 (над каждой гранью куба — 5 ребер), число вершин — 20 (по две над каждой гранью куба и восемь совпадают с его вершинами). Этот многогранник — правильный додекаэдр.

Приведенные построения пяти типов правильных многогранников ценны в двух отношениях.

Во-первых, на основе этих построений легко получить все метрические соотношения в каждом правильном многограннике, если выразить ребро многогранника через ребро связанного с ним куба.

Во-вторых, на основе изображения куба, выполненного, например, в кабинетной проекции, можно все построения провести фактически, с помощью инструментов.

Две эти возможности могут быть использованы учителем для практических работ учащихся по теме «Правильные многогранники». Эти работы можно поставить как комплексные, когда учащийся получает задание выполнить на форматке а4 построение, на основе чертежа получить развертку и затем сделать модель многогранника (каркасную или сплошную), сопроводив ее табличкой метрических соотношений. Для составления этой таблички следует вычислить (через величину ребра многогранника) радиусы вписанного, касающегося всех ребер и описанного шаров, поверхность и объем многогранника, внутренний двугранный угол и т. д. Практические работы можно проводить и по отдельным из указанных вопросам. Учащимся, сильным в графике, можно

поручить изготовление демонстрационных чертежей правильных многогранников.

Дальнейшие построения на чертежах правильных многогранников можно выполнять в связи с вопросами симметрии. Например, можно ставить задачу о построении всех элементов симметрии куба, правильного тетраэдра, октаэдра и т. д.

ЛИТЕРАТУРА

1. Н. А. Глаголев, А. А. Глаголев, Геометрия (стереометрия), Учпедгиз, 1958.

2. А. П. Киселев, Геометрия, ч. II, Учпедгиз, 1958.

3. Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, ч. II, ГИТТЛ.. 1949.

4. Н. Ф. Четверухин, Стереометрические задачи на проекционном чертеже, Учпедгиз, 1955.

5. Л. М. Лоповок, Сборник стереометрических задач на построение, Учпедгиз, 1950 г.

6. Н. В. Наумович, Геометрические места в пространстве и задачи на построение, Учпедгиз, 1956.

7. Е. С. Кочеткова, Сборник задач и упражнений по стереометрии, Учпедгиз, 1956.

8. Б. Б. Романовский, Задачи на построение в стереометрии. Учпедгиз. 1940.

9. А. Д. Семушин, Методика обучения решению задач на построение по стереометрии, Изд-во АПН РСФСР, 1959.

10. Р. С. Черкасов, Сборник задач по стереометрии, Учпедгиз, 1956.

11. Б. И. Аргунов и М. Б. Балк, Геометрические построения на плоскости, Учпедгиз, 1955.

Оглавление

Предисловие..................... 3

В. В. Репьев. Некоторые проблемы преподавания стереометрии .................... 6

М. И. Савин. Из истории стереометрии....... 31

В. В. Репьев. Наглядность в преподавании стереометрии 52

А. И. Раев. Портативный стереометрический прибор. 68

A. И. Раев. Стереометрический прибор из органического стекла................... 76

B. М. Квашнева. К вопросу о связи преподавания стереометрии с жизнью, с трудом......... 84

Г. П. Сенников. Задачи на построение в школьном курсе стереометрии................ 111

ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Сб. статей под ред. В. В. Репьева.

Сдано в набор 1/VHI. I960 г. Подписано к печати 10/1 1961 г. МЦ 03315. Бумага 84 X 1081/ч0—10(8,2) п. л. Тираж 1000 экз. Заказ № 5553.

Типография издательства «Горьковская правда», г. Горький, ул. Фигнер, 32.