МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

КИРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. И ЛЕНИНА

ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

ЙОШКАР-ОЛА 1969

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

КИРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. И. ЛЕНИНА

ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

ЙОШКАР-ОЛА 1969

Печатается по постановлению редакционно-издательского Совета Кировского государственного педагогического института им. В. И. Ленина от 4 июля 1968 года, протокол № 10.

Работы выполнены преподавателями Марийского государственного педагогического института им. Н. К. Крупской.

Ответственный редактор В. К. Смышляев.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Сборник включает статьи сотрудников математических кафедр Марийского пединститута им. Н. К. Крупской, посвященные различным вопросам теории и истории элементарной математики и методики ее преподавания в средней школе.

П. М. Азарская в статье «О развитии познавательной самостоятельности учащихся в процессе домашней учебной работы по математике», раскрывая значение поставленной проблемы, анализирует состояние соотношения самостоятельной работы учащихся на уроке с их учебным домашним трудом, описывает результаты эксперимента по выяснению состояния формирования познавательной самостоятельности учащихся в процессе выполнения домашних заданий по математике.

В небольшой по объему статье «О роли статистических и динамических средств наглядности в учебных телевизионных передачах по математике» Н. П. Бахтин на примере одной из проведенных учебных телепередач по математике («Квадратный трехчлен») показывает некоторые приемы использования динамических моделей графиков для иллюстрации различных их преобразований в зависимости от изменения вида функции. Даны некоторые выводы о роли и сочетании динамических и статических средств наглядности.

В другой статье того же автора приведен анализ учебного телевидения по математике в некоторых зарубежных странах (ГДР, Чехословакии, США и др.).

Н. К. Кузнецова в статье «Изучение определенного интеграла в средней школе», взяв за основу указания Я. С. Дубнова, описывает собственный опыт преподавания данной темы в одном из десятых классов школы № 11 г. Йошкар-Олы. Сначала рассматривается задача на вычисление площади фигуры, ограниченной параболой у = кх2, двумя ее ординатами и осью ОХ. Удачно вводя понятие первообразной функции, автор показывает, как вывести формулу Ньютона — Лейбница. Во второй части статьи дается применение определенного интеграла при вычислении объемов различных тел.

В статье В. Т. Рачковой «Изучение геометрических преобразований с помощью комплексных чисел» подробно изложен один из возможных вариантов изучения геометрических преобразований в средней школе. Во второй части статьи приведены задачи по теме (с решениями рассматриваемым методом).

В заметке «Объем усеченной пирамиды» изложены различные варианты вывода формулы объема усеченной пирамиды в X классе. В частности, один из подходов основан на простом применении геометрии и приводит к несложным преобразованиям, исключающим известное освобождение от иррациональности.

Авторы статьи «За высокое качество математических знаний учащихся средних школ» анализируют письменные и устные ответы абитуриентов школ МАССР, поступающих на физико-математический факультет Марийского пединститута. В конце статьи приложены варианты письменных работ, предложенных на экзаменах в 1966, 1967 и 1968 годах.

Истории возникновения и выпуска первых ученических журналов по математике в России (в начале XX века) посвящена статья В. К. Смышляева. В ней приведены краткие сведения о редакторах и о содержании журналов «Записки Оренбургского реального училища» (г. Оренбург), «Математические мысли» (г. Екатеринбург), «Юным математикам» (г. Казань), «Космос» (г. Варшава).

В статье Н. К. Рузина «Место арифметических задач з курсе математики политехнической школы (в связи с изменением учебных программ)» обосновывается необходимость включения в задачник новых видов арифметических политехнически целесообразных задач. Приведены примеры задач и их условная классификация.

Все замечания и пожелания просьба посылать по адресу: г. Йошкар-Ола, 2, ул. Коммунистическая, 44, пединститут, научная часть.

П. М. Азарская

О РАЗВИТИИ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНИХ ЗАДАНИИ ПО МАТЕМАТИКЕ В 5—8 КЛАССАХ

В современный период перед нашей общеобразовательной школой стоит ряд важных проблем, среди которых большое место занимают задачи активизации процесса овладения учебным материалом, самостоятельной работы учащихся и практического применения ими усвоенных знаний.

Воспитательный и познавательный эффект обучения тем выше, чем ярче проявляет себя ученик как творческая личность» чем выше уровень его познавательной активности. Мы считаем, что в этой связи важное значение приобретает проблема интенсификации познавательной деятельности учащихся в процессе домашней работы.

Вопрос о месте и содержании домашних работ в учебном процессе освещается в учебниках по педагогике под ред. И. А. Каирова и П. Н. Груздева (1940 г.), Б. П. Есипова и Н. К. Гончарова (для педагогических училищ, 1948 г.), И. А. Каирова (1954). П. Н. Шимбирева и И. Т. Огородникова (1954 г.), в учебном пособии по педагогике под общей редакцией Г. И. Щукиной, Е. Я. Голанта, К. Д. Радиной (1966 г.), в исследованиях Б. П. Есипова, М. А. Данилова, Е. Я. Голанта и И. Т. Огородникова. В работе А. К. Громцевой «Воспитание ответственного отношения к выполнению домашних заданий у учащихся 5 классов» рассматривается влияние домашних заданий на развитие волевых качеств ученика, раскрывается значение доступного изложения нового материала на уроке для самостоятельной домашней работы в 5 классе. Автор рассматривает познавательный интерес к содержанию учебного материала и чувство ответственности за порученную работу как мотивы, обеспечивающие наивысшее качество учебной домашней работы. В исследовании Н. Г. Дайри установлено непосредственное влияние приемов проверки знаний на уроке в старших классах на домашние занятия учащихся. Важность самостоятельной работы на уроке как средства подготовки учеников к выполнению домашних заданий показана в исследованиях Л. П. Аристовой, Т. С. Панфиловой. Многие авторы отмечают

типичные недостатки в домашней работе учащихся. М. А. Бурлаков специально рассматривает вопрос о реализации дидактического принципа сознательности при выполнении учащимися 5 класса домашних заданий по учебнику.

Однако ни в одном из этих исследований не освещаются вопросы о путях и средствах формирования познавательной самостоятельности школьников в процессе их домашней работы по математике.

При изучении данной проблемы мы поставили следующие задачи:

1. Определить условия и пути установления правильного соотношения самостоятельной работы учащихся на уроке с их учебным трудом при выполнении домашних заданий.

2. Выявить средства, способствующие развитию познавательной самостоятельности учащихся в процессе домашней учебной работы по математике. Главное направление изучения этого вопроса будет посвящено выяснению влияния методики и форм организации самостоятельной работы учащихся в классе на характер выполнения ими домашней работы.

3. Установить специфические особенности воспитания познавательной самостоятельности учащихся в процессе выполнения пми домашних заданий.

Важными условиями решения этой задачи мы считаем обеспечение творческого характера домашних заданий, индивидуализацию их, применение разнообразных форм и способов их выполнения, осуществление принципа избирательности в определении видов домашних заданий.

На первом этапе исследования наша работа имела характер экспериментальной разведки и частично корректировочного эксперимента. Для определения «исходного рубежа» исследования мы проводили анкетирование среди учителей математики и учащихся, посещали уроки и непосредственно проводили их сами. В результате мы располагаем следующими данными: получены ответы на вопросы анкеты от 80 учителей, от 461 учащегося, из них: 117 учащихся 8-х классов, 207 учащихся 7-х классов, 137 учащихся 6-х классов (всего 18 классов из 8 школ). Было посещено 23 урока математики в 6—8 классах школ города Йошкар-Олы (11, 3, 9, 20) и сельских (Оршанской, Моркинской и Октябрьской), проведено 40 уроков в 6 «а», 6 «б», 7 «е», 7 «д» классах школы № 20 г. Йошкар-Олы (учительница математики Кишкинова Нина Васильевна).

Анкета для учителей имела своей целью определить в интересующем нас плане оценку ими значения домашней самостоятельной работы учащихся в учебной работе по математике, выяснить, в чем по их мнению сказывается влияние одновременной постановки цели урока и определения домашнего задания на глубину и качество усвоения материала учащимися в процессе урока и выполнения домашних заданий, установить

на основании ответов учителей, в какой мере эффективность выполнения учащимися домашних заданий зависит от системы отбора теоретического и практического материала для них, от методики их постановки.

Результаты анализа анкет показывают, что многие учителя не имеют определенной системы отбора материала для домашних заданий, не практикуют одновременную постановку цели урока и определения домашней работы, не индивидуализируют домашние задания.

Анализ собранных нами анкет для учащихся позволяет нам сделать вывод о характере их отношения к выполнению домашних заданий в зависимости от их вида и содержания, о последовательности выполнения письменных и устных заданий, о систематичности их выполнения, об источниках развития у школьников познавательного интереса к самостоятельной домашней работе.

Эксперимент, поставленный нами в школе, имел следующие задачи:

1. Выяснить значение продуманной в свете проблемы исследования системы уроков и домашних заданий, как одного из условий воспитания познавательной активности и самостоятельности учащихся;

2. Определить влияние творческого характера домашних заданий, как одного из важнейших условий воспитания познавательной самостоятельности учащихся в домашней работе, на разностороннее осмысливание и активное восприятие ими учебного материала на уроке;

3. Определить значение применения наглядности и практических работ на уроке для подготовки учащихся к сознательному и творческому выполнению домашних заданий.

Эксперимент проводился в четырех классах, из них 6 «б» и 7 «е» были экспериментальными, 6 «а» и 7 «а» — контрольными. Объяснение материала в контрольном и экспериментальном классе было одинаковым, методы закрепления изученного на уроке, содержание домашнего задания, формы его сообщения и проверки отличались от тех, которые применялись в контрольном классе. В экспериментальном классе давались советы о том, как лучше готовить домашнее задание. Определялось оно одновременно с постановкой цели урока и носило творческий характер. Завершающим этапом эксперимента в 6-х классах явились часовые контрольные работы, а в 7-х — практическая работа, количественные и качественные результаты которых дают нам возможность сделать некоторые выводы о нашем исследовании.

Главным итогом проведенной работы в экспериментальных классах была пробудившаяся познавательная самостоятельность учащихся в домашнем учебном труде, живой интерес их к изучению темы «Поверхность призмы» в 7 кл. и «Алгебраиче-

ские выражения» в 6 кл. Учащиеся систематически выполняли домашние задания, справлялись с ними.

Подробнее остановимся на характеристике работы в седьмых классах по теме «Поверхность прямой призмы». Проведение 6 уроков данной темы имело целью выявить условия, при которых широкое применение наглядности в классе, применение разнообразных форм организации самостоятельных домашних практических работ по моделированию способствует развитию интереса учащихся к усвоению трудного по своему содержанию учебного материала.

Система уроков и домашних заданий при изучении данной темы планировалась следующим образом:

№№ п/п.

Тема урока

Домашнее задание

1. Повторение: измерение поверхности куба и прямоугольного параллелепипеда. Указания к изображению этих тел.

Приготовить развертку параллелепипеда (размеры в 3-х вариантах).

2. Плоскости и прямые в пространстве.

Сделать модель параллелепипеда и вычислить его полную поверхность.

3. Взаимное положение прямой и плоскости. Перпендикуляр к плоскости.

Продумать изученное, составить план темы урока.

4. Прямая призма. Ее развертка.

Приготовить модель призмы (в 4-х вариантах).

5. Поверхность прямой призмы.

Составить задачу практического содержания и решить ее.

б. Практическая работа по определению поверхности прямой призмы (по моделям).

Одновременно с планированием системы уроков и домашних заданий была продумана система и методика применения наглядных пособий, стремление разнообразить формы использования наглядности. Например, понятие многогранника формировалось у учащихся путем рассмотрения набора геометрических тел (в котором были многогранники и круглые тела) и на примерах из окружающей жизни. Понятие расположения прямых и плоскостей, пересекающихся плоскостей, понятие двугранного угла формировались посредством наблюдения расположения ребер, граней многогранников, а также рассмотрением соответствующих чертежей. Модели применялись не только при решении задач в классе, но и при проверке домашнего задания.

Применение наглядных пособий с использованием примеров

из окружающей жизни, сопровождаемое решением задач практического содержания как на уроке, так и в процессе домашней самостоятельной работы, обеспечило успешное усвоение учащимися изучаемой темы. Об этом свидетельствуют результаты итоговой практической работы. Она была рассчитана на 30 минут. Каждый учащийся получил модель прямой призмы. Модели были различных размеров и с различными основаниями. Каждая имела свой номер.

Учащиеся должны были: 1) записать номер модели; 2) сделать чертеж полученной модели; 3) снять все необходимые размеры с модели и записать; 4) вычислить площадь ее боковой и полной поверхности.

Результаты работы:

7 «е» — экспериментальный 7 «а» — контрольный

«5» — 8 «5» — б «4»—12 «4»—19

«3» — 1'2 «3» — 11

«2» — 2 «2» — 6

34 42

Из анализа этих данных видна значительная разница числа работ, оцененных баллом «2». Но особенно заметным было отличие в качественных результатах выполнения работы. В экспериментальном классе с выполнением чертежа полученной модели не справились только 2 человека, тогда как в контрольном не смогли выполнить это задание 6 учеников.

Значительную разницу в итогах контрольной работы мы объясняем вариативностью домашних заданий творческого характера, которую применяли при изучении всей системы уроков по теме. В методическом отношении уроки в экспериментальном и контрольном классах отличались тем, что в первом из них цель урока и домашнего задания ставились одновременно, раскрывалась их познавательная значимость, в другом — домашнее задание давалось в конце урока. На первом же уроке в 7 «е» классе было дано задание приготовить развертку прямой призмы, на втором уроке — приготовить модель призмы и вычислить ее полную поверхность. Домашнее задание третьего урока требовало составление задачи на вычисление поверхности призмы и ее решения. Задание четвертого урока было общеклассным — составить смету на ремонт классной комнаты (побелку стен и покраску пола). Выполнение домашнего задания учитывалось при опросе ученика, каждый школьник получил здесь оценку за домашнее моделирование, что не практиковалось в 7 «а».

Устные ответы учащихся экспериментального класса были осмысленнее, интерес к изучению материала заметно возрастал от урока к уроку. Следует отметить, что в процессе изучения

темы у большинства учащихся класса наблюдалась поисковая деятельность, их учебный труд был продуктивен. Одним из определяющих мотивов учебной деятельности учеников на уроке и дома был познавательный интерес, под влиянием которого даже слабые учащиеся справились с усвоением темы. Так, оценку «4» за контрольную практическую работу получили 9 человек из числа школьников, имеющих за 1 полугодие по геометрии оценку «3».

Данные анкетирования, результаты анализа посещенных уроков, личные наблюдения за самостоятельной домашней работой учащихся, беседы с учителями и, наконец, проведенные нами экспериментальные уроки позволяют нам сделать следующие выводы о состоянии исследуемого нами вопроса в школьной практике.

В организации всего учебного процесса, включающего как классную, так и домашнюю работу учащихся, многие учителя не придают должного значения действенной постановке домашних учебных занятий ученика, хотя все и признают их значимость. Классная и домашняя работа взаимосвязаны. Содержание домашнего задания определяется содержанием не только данного урока, но и ряда предшествующих, а также и последующих уроков, следовательно, работа учащегося дома либо логически продолжает классную, либо является подготовкой к следующему уроку. Ее выполнение связано с рядом трудностей, устранение которых во многом зависит от уровня развития познавательной самостоятельности ученика. Как же она формируется в процессе домашней работы?

В практике школы нередко приходится наблюдать такие факты, когда учителя при планировании учебной работы не продумывают систему домашних заданий по теме. Не случайно на соответствующий вопрос анкеты не было получено положительных ответов. Большинство учителей ограничивается только планированием учебного материала по теме для классной работы. Только некоторые из них практикуют отбор материала для домашних заданий, но без системы. Бесплановость и бессистемность домашних заданий (по содержанию, структуре, методике организации) порождает перегрузку учащихся ими, что отрицательно влияет на познавательный интерес ученика. У учащихся наблюдается халатное отношение к выполнению заданий, в результате чего они не осмысливают глубоко материал, не расширяют полученные знания, даже порою систематически их не закрепляют. Из 58 учителей на вопрос «Выполняется ли соотношение классной и домашней работы 2 : 1?» только 30 ответили удовлетворительно. Это объясняется отсутствием у преподавателей продуманной системы самостоятельной работы учащихся на уроке и дома. Такое же заключение можно сделать из анализа посещенных уроков. Большинство учителей давало домашнее задание после звонка, следовательно, без не-

обходимого разъяснения, имела место явная перегрузка учеников домашней работой.

Некоторые ученики домашнюю работу сводят только к выполнению письменных заданий. Ответы на вопрос анкеты о последовательности выполнения письменных и устных заданий позволяют обобщить их в виде следующих данных:

Сначала изучают теоретический материал, затем решают задачи Сначала решают задачи, потом изучают теоретический материал.

6 кл.

7 кл.

8 кл.

101

102

80

36

105

37

Т. е. из 461 учащихся 178, не разбираясь в теоретическом материале, сразу приступают к решению.

Творческий характер домашних заданий, их вариативность и определенная система оказывают благотворное влияние на разностороннее осмысливание учащимися учебного материала, способствуют активизации его восприятия ими на уроке, развивают их познавательную самостоятельность при выполнении домашних заданий.

К сожалению, многие учителя мало практикуют различного рода домашние задания творческого характера. Так, на вопрос анкеты «Практикуете ли Вы проведение домашних сочинений по математике?» из 58 учителей ответили утвердительно только 5. Отсутствие заданий творческого характера приводит к тому, что учащиеся выполняют их без особого подъема, приучаются к решению задач, в основном, аналогичных классным. Об этом свидетельствуют и данные анкет, распространенных нами среди учащихся. На вопрос «Какие домашние задания ты выполняешь с большой охотой — те, которые требуют знаний, приемов и методов, усвоенных на уроке, или же те, в которых есть что-то новое, необъясненное учителем?» — мы получили следующие ответы.

Какие домашние задания ты выполняешь с большой охотой

Классы

6

7

8

а) аналогичные классным

52

62

34

б) новые, не объясненные учителем

85

145

83

Эти цифровые данные в некоторой степени характеризуют наличие познавательного интереса у учащихся, результаты его формирования в процессе обучения математике.

Наша, сравнительно малая во времени, опытная проверка позволяет сделать следующий вывод: одним из условий, способствующих наиболее эффективному формированию познавательной самостоятельности учащихся при выполнении домашних заданий, является плановая система уроков и домашних заданий,

продуманность их организационной структуры, предусматривающая: 1) вариативность домашних заданий творческого характера, 2) сочетание индивидуальных и общеклассных форм домашних заданий, 3) одновременное определение цели урока и домашнего задания в виде проблемы.

Экспериментально-исследовательская работа по теме продолжается. В первую очередь в дальнейшем мы попытаемся выяснить роль дифференцированно-индивидуального подхода к учащимся при определении им домашних заданий для развития их познавательной самостоятельности.

Н. П. Бахтин

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ И СТАТИЧЕСКИХ СРЕДСТВ НАГЛЯДНОСТИ В УЧЕБНЫХ ТЕЛЕВИЗИОННЫХ ПЕРЕДАЧАХ ПО МАТЕМАТИКЕ

В последнее время все большее распространение получают учебные телевизионные передачи по математике. Телевидение, как аудивизуальное техническое средство обучения, обладает многими специфическими качествами и возможностями. Например, как показывает практика, телевидение позволяет обеспечить динамическую наглядность даже тех вопросов математики изучение которых в массовой школе раньше считалось осуществимым только словесным методом.

Дадим анализ телепередачи «Квадратный трехчлен», проведенной нами совместно с Марийской студией телевидения 12 апреля 1965 года. Полное содержание этой передачи здесь не приводится, так как оно достаточно полно изложено в сборнике «Некоторые пути повышения эффективности обучения математике и физике в школе и вузе», Йошкар-Ола, 1968 г.

Динамические средства наглядности в передаче были применены для следующих целей:

а) Построение графика квадратного трехчлена. Использовалось оборудование: проволочные шаблоны парабол у=х2; у =-i-x2,таблица с изображением координатных осей и координатной сети,выполненная на листе светло-серой бумаги (рис. 1).

Преподаватель, ведущий телепередачу, ставит перед учащимися-телезрителями цель: построить график квадратного трехчлена общего вида у=ах2 + вх + с, зная график функции у=х2.

Вначале этот вопрос рассматривается на конкретном примере: у=-^-х2—3x + 2. Выполнив ряд простых преобразований, последний трехчлен приводится к виду у =-2"(х — 3)2—j Дальнейшие рассуждения выполнялись по следующим этапам:

I этап. На экране появляется график функции у=х2 (парабола), а затем и графику = -ух2.Проводится их небольшой сравнительный анализ (рис. 2).

II этап. Цель получить график функции у = —(х — 3)2. В ходе беседы ведущий преподаватель выясняет, что график у ="2"(х — 3)2получается из графика у = -^ х2параллельным переносом его вдоль оси ОХ вправо на три единицы. В соответствии с этим и приводится параллельный перенос проволочного шаблона параболы у= -^-х2 так, чтобы вершина ее совпала точкой (3; 0). На экране виден процесс смещения графика и его конечный вид (рис. 3).

III этап. Цель: зная график функции У~— (x—3)2, построить график у=-^-(х—3)2—о-. Из сравнения последних двух функций

делается вывод, что форма графика у=-^-(x—3)2—^ не отличается от графика функции у=-^-(x—3)2, только все ординаты графика у=~2~(x—3)2--^меньше соответствующих ординат графика y=-j(x— 3)2 на у Значит, график у=-^(x—3)2--1 можно получить из графика функции у=-^-(x—3)2 параллельным переносом его на 2,5 единицы вниз, при этом вершина параболы окажется в точке (3; —2,5). На экране виден процесс смещения графика у=-^-(x—3)2, сопровождаемый пояснениями ведущего преподавателя, и конечное положение графика (рис. 4).

Таким образом в результате наглядного динамического моделирования всего процесса преобразований графика у=х2 был получен график полного квадратного трехчлена у=-^ x2—3x+2.

На графике рассматриваются некоторые свойства данного квадратного трехчлена: его корни, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, минимум функции и др.

После рассмотрения динамического процесса получения графика у=-^-х2—3x+2 делается вывод, что аналогично можно получить и график любого квадратного трехчлена у=ах2+bх+с. Для этого достаточно параболу у=ах2 сдвинуть по оси абсцисс на —ö-и по оси ординат на —т- . (Так как y=ax2+bx+c=

б) Использование проволочных шаблонов параболы для иллюстраций различных ее положений относительно осей и начала координат в зависимости от изменения величины и знака коэффициентов квадратного трехчлена. Динамика этого процесса была показана на телеэкране с целью выработки у учащихся более четкого представления различных случаев с корнями квадратного трехчлена в зависимости от знака его дискриминанта и коэффициентов. Для примера приведем некоторые виды изображений, имевших место на телеэкране во время динамической иллюстрации преобразований графика квадратного трехчлена (рис. 5). В подобных демонстрациях с проволочными шаблонами необходима строгая продуманность величины и скорости перемещения их.

в) Иллюстрация динамики образования поверхностей тел вращения. В передаче «Квадратный трехчлен» для образования параболлоида вращения была использована нами модель параболы (проволочная), закрепленная на валу центробежной машины. При вращении параболы с помощью центробежной машины на телеэкране можно было отчетливо видеть образующуюся при этом поверхность параболлоида (рис. 6).

Безусловно, такой метод получения тел и поверхностей вращения можно использовать и в передачах по геометрии с целью образования конических, цилиндрических, шаровых поверхностей и тел, а также тел, представляющих различные их комбинации между собой.

Из статических средств наглядности в данной телепередаче были использованы таблицы с чертежами и графиками, с записью условий задач, рисунки, модели и др. В качестве примера приведем две таблицы. На рис. 7 изображена иллюстрация к задаче: Требуется огородить проволочной сеткой длиной 100 метров участок земли в форме прямоугольника, примыкающего к стене дома. Найти размеры прямоугольника, при которых площадь участка наибольшая. На рис. 8 приведена таблица, использованная в передаче с целью наглядного представления общего вида параболы и других связанных с ней понятий (фокус, директриса и др.).

Практика подготовки, проведения и применения учебных телепередач по математике подтверждает наши предположения о роли и соотношении статических и динамических средств наглядности:

1) Правильное сочетание динамических и статических средств наглядности во многом определяет успех учебных телепередач по математике.

2) Языком учебных телевизионных передач по математике должен быть язык символов, условных знаков, геометрических фигур, чертежей, диаграмм, графиков, схем и т. д. Ученик должен видеть на телеэкране математику, а не только преподавателя, ведущего словесные рассуждения о математике.

3) Соотношение роли статических и динамических средств наглядности определяется темой, целью проводимой телепередачи и составом предполагаемой аудитории телезрителей.

4) Основным требованием к любым средствам наглядности, используемым в телепередачах по математике, являются хорошая видимость их с телеэкрана и недопустимость перегрузки их второстепенными, не существенными деталями, отвлекающими учащихся от математической сущности рассматриваемого вопроса.

В данной статье приведены лишь некоторые вопросы использования статических и динамических средств наглядности в одной телепередаче. Но, как показывает наш опыт и опыт других студий страны, кроме указанных в данной статье простейших средств наглядности большие возможности в деле организации учебных телепередач по математике таят в себе использование кинофильмов, диапозитивов, мультипликации, фотографии, рисунков и т. д.

Н. П. Бахтин

ИЗ ОПЫТА ВНЕДРЕНИЯ ТЕЛЕВИДЕНИЯ В ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ ЗА РУБЕЖОМ

Анализ программ учебного телевидения [3], [9] показывает, что немалое место во многих странах отводится внедрению телевидения в обучении математике. По состоянию на 1964 год математика была включена в программы учебного телевидения США, Франции, Англии, Италии, Чехословакии, Японии и других стран. Однако программы школьного телевидения некоторых стран (Бельгия, Швеция, Австрия, Норвегия, Нидерланды, Дания и др.) к этому времени еще не содержали математики. Хотя, как показывают результаты многих исследований, преподавание предметов точного и естественного цикла с помощью телевидения не менее эффективно, чем любого другого предмета. К такому выводу пришел, например, известный специалист США в области учебного телевидения В. Шрамм [1]. Результаты обобщения статистических данных около 400 исследований эффективности обучения с помощью телевидения привели В. Шрамма к выводу, что наибольший успех телевизионного обучения выпал на долю математики и точных наук. Чехословацкие ученые предлагают разделить функцию радио и телевидения в процессе обучения следующим образом: с помощью телевидения вести обучение математике, физике, технологии; с помощью радио — обществоведению, языку, литературе, музыке.

Эксперименты, проводимые в разных странах, направлены на решение следующих основных проблем: а) роль и место телевидения в обучении математике; б) эффективность телевизионного обучения математике учащихся разного возраста, учет индивидуальных особенностей учащихся; в) обратная связь при телевизионном обучении; г) соотношение роли телевидения и других учебных средств и пособий в процессе обучения математике.

Зарубежный опыт учебного телевидения подтверждает возможность обучения математике с помощью телевидения учащихся различных возрастных групп. Для более полного представления о зарубежном опыте обучения математике с помощью телевидения проведем его систематизацию с учетом специфиче-

ских особенностей различных ступеней обучения и возраста обучающихся.

Младшая группа учащихся (1—4 классы). В качестве примера рассмотрим один из экспериментов, проведенный в США. На первых порах высказывалось много опасений, что при обучении с помощью телевидения дети будут невнимательны, что нарушится контакт учителя с учащимися, что не будет учета индивидуальных особенностей учащихся и т. д. Однако, несмотря на все опасения, около 5 тысяч второклассников в графстве Полк штата Айова регулярно обучались арифметике по телевидению в течение 1961/62 учебного года. Передачи проводились два раза каждую неделю продолжительностью по 15 минут. В общей сложности телевизионные уроки составили 1/5 часть от всего времени, отводимого на изучение арифметики. Для примера приведем краткую схему одного урока с использованием телевидения по теме «Вычитание чисел»: 1) приветствие учителя с экрана телевизора; 2) предлагается простая задача, решение которой выполнялось при помощи палочек; пояснения к задаче давались с помощью доски и карточек с цифрами; 3) предлагается вторая задача; условие задачи было напечатано большими буквами и показывалось на экране с тем, чтобы учащиеся могли читать задачу про себя, пока телевизионный учитель произносил ее содержание вслух. Счетные палочки и карточки с цифрами опять использовались при анализе и решении задачи; 4) предлагалась третья задача с экрана телевизора (анализ и решение третьей задачи были проведены аналогично предыдущим задачам); 5) после передачи классный учитель предложил решить задачу без помощи палочек (предварительно учитель написал условие задачи на доске и кратко напомнил материал, данный в телепередаче): 6) в конце урока были даны несколько задач для самостоятельного решения.

Телеуроки давали учащимся только основные понятия и идеи, после чего начиналась непосредственная работа над материалом под руководством классного учителя. Лиля Линч [2], проводя это обучение математике с помощью телевидения в городе Де-Мойн (штат Айова), пришла к выводу, что «настоящее» обучение детей начинается лишь после телеуроков, когда дети экспериментируют, ищут, обсуждают то, что вызвало у них интерес во время передачи. Классный учитель — важная фигура в этом процессе. Во время телеурока учитель в классе ведет наблюдения за реакцией учащихся, направляет их внимание и отмечает для себя те вопросы, которые нуждаются в дополнительном разъяснении учащимся. Отзывы учителей и учащихся начальных классов, просмотревших данную серию телепередач по арифметике, показывают большой интерес к передачам и высокую их эффективность. Успеху телепередач во многом способствовало тесное сотрудничество телевизионного учителя и классных учителей в планировании и подготовке телеуроков.

Средняя группа учащихся (5—8 классы). В качестве примера учебных телепередач для данной группы может служить опыт обучения математике учащихся седьмых классов, описанный чехословацким исследователем М. Ялинеком [3]. Весь курс математики седьмого класса содержал в себе 141 телепередачу. Каждая передача была продолжительностью по 20 минут. Курс передавался в течение года по три раза в неделю. Передачи принимались непосредственно на уроки. При этом время, остающееся на уроке сверх телевизионной его части (около 30 минут), учитель использовал обычно по своему усмотрению: отвечал на вопросы учащихся по содержанию телепередачи, излагал новый материал, вел повторение, подводил итог урока.

Старшая группа учащихся общеобразовательной школы (9—11 классы). В качестве примера дадим краткую характеристику телевизионного курса введения в алгебру и курса алгебры [3]. Каждый телекурс состоял из 64 лекций. Продолжительность лекций составляла обычно 30 минут. Передачи проводились по 3 раза еженедельно. Заслуживает особого внимания тот факт, что все телепередачи этих курсов были сняты на кинопленку и разосланы в школы. Благодаря этому учащиеся могли непосредственно в школе просматривать содержание телепередач. При этом учащиеся имели возможность просмотреть содержание нужной телепередачи в любое удобное для них время, а при необходимости и повторить этот просмотр несколько раз.

Обучение рабочей молодежи. Учитывая трудности и специфику обучения рабочей молодежи, заслуживает особого внимания организация специальных телевизионных курсов по математике. Так, в Чехословакии [3] в августе 1962 года было принято решение начать передачи двух телевизионных курсов: по математике и физике. Оба телекурса адресовались работающим, желающим закончить начальное образование. Телевизионный курс математики передавался из Праги, физики — из Братиславы. Телекурс содержал 18 лекций в год продолжительностью до 40 минут каждая. Передачи проводились один раз в две недели, причем каждая передача проводилась дважды в разное время дня. Это давало возможность всем желающим, независимо от их рабочей смены, просматривать каждую передачу. Авторский коллектив телевизионного курса состоял из учителей математики разных типов школ и из методистов. В задачи авторского коллектива входило определение общих требований и целей телевизионных курсов и детальная разработка всех телевизионных передач. Безусловно, весь курс математики невозможно включить в 18 лекций, поэтому авторский коллектив отобрал наиболее трудные темы. Каждая передача строилась в соответствии с учебными программами и учебниками начальной школы. Цель каждой передачи заключалась в том, чтобы оказать помощь обучающимся, но ни в коем случае не избавить их от необходимости самостоятельного изучения материала.

Хотя содержание каждой телепередачи обсуждалось коллективно, проводились репетиции, но успех передачи в конечном счете зависел от телевизионного учителя. Дело в том, что первые передачи давались прямо в эфир без предварительной киносъемки. Ощущался недостаток технических материалов. В ходе этого эксперимента по внедрению телевидения в обучение математике взрослых в Чехословакии важное значение придавалось решению проблемы взаимопонимания педагогов и работников телевидения. Как и в других странах, основная трудность здесь обусловлена тем, что нет еще опыта работы в учебном телевидении: педагоги не знают всех возможностей телевидения, а работники телевидения не знают учебного материала, с которым они работают и не знакомы с методикой обучения математике.

В 1963 году в Чехословакии был начат новый двухгодичный телевизионный курс по математике средней школы для рабочей молодежи. Программа телекурса состояла из 40 лекций (по 20 лекций в год). Продолжительность передач — 40 минут. Синхронность усвоения материала телевизионной и школьной программ нарушалась тем, что телевизионный курс был рассчитан на два года, а школа — трехгодичная.

Попытки использования телевидения для обучения взрослых имеются и в других странах. Например, в Италии с этой целью три раза еженедельно ведутся 30-минутные телепередачи. Ценный опыт ГДР в этом деле будет подробно описан ниже.

Телевизионные курсы по подготовке в высшие учебные заведения. Во многих странах мира телевидение широко используют в целях оказания помощи готовящимся к поступлению в вузы. Для примера дадим краткую характеристику эксперимента, проведенного в Чехословакии [3], [4], где успешно был проведен телевизионный курс тригонометрии, содержащий в себе 27 телепередач, продолжительность каждой из которых составляла 44 минуты. Все телепередачи сняты на кинофильм. Каждую неделю передавалось по две передачи этого цикла. При этом обучающиеся при желании могли смотреть каждую телепередачу по 4 раза, так как передачи повторялись (два раза — прямая телепередача, два раза — демонстрация теле-кинофильмов). Результаты приведенных тестов показывают, что такие телевизионные курсы очень полезны, если телезритель-учащийся дисциплинирован, готовится к каждой очередной телепередаче и регулярно просматривает их.

В 1968 году Институт по обучению в высших технических учебных заведениях при Чешском высшем техническом училище совместно с редакцией чехословацкого телевидения подготовил специальные курсы по математике для тех, кто хочет изучать математику в вузах [4]. Этот цикл передач под общим названием «Повторяйте математику» начался 7 февраля 1968 года. Передачи давались по средам в 17 час. 10 мин., кроме того каждая передача повторялась по пятницам в 9 час. 05 минут.

Заканчиваются курсы в начале июля. Передачи готовятся коллективом математиков вузов, которые имеют уже богатый опыт подготовки молодежи к учебе в вузах.

Данный цикл телепередач прежде всего адресуется выпускникам средних школ, но вместе с тем он рекомендуется студентам первых курсов вузов, где математика является основным предметом, учителям математики школ II и III ступени, а также может быть использован в работе консультпунктов.

Всего программа курсов включает двадцать получасовых лекций. В ходе чтения лекций слушателям даются задания повторять тот материал, который необходим им для успешного содержания телепередач. Кроме того для слушателей телевизионных курсов издательством «Праце» выпущено специальное пособие «Телевизионные курсы по математике». Наряду с изложением содержания передач книга содержит решения отдельных задач и по материалу каждой передачи дано два-три примера для самостоятельной работы. Если же задачи очень трудные, то иногда даются краткие рекомендации к решению их. В целом же программа телевизионного курса освещает лишь наиболее трудные вопросы математики. Программой телевизионного курса предусматривается возможность проверки знаний его слушателей. С этой целью через несколько лекций слушателям предлагаются задачи. Тексты этих задач печатаются в «Обзорах математическо-физических» и в журнале чехословацкого телевидения. Результаты решения задач слушателями присылаются в течение недели на Чехословацкое телевидение. Работы тщательно проверяются и о правильности решения задач слушателям сообщается письменно.

Представляет интерес итальянский опыт проведения телевизионных курсов по подготовке в вуз [3]. Цикл передач такого вида составляет часть программы итальянской телевизионной школы, ведущей свою работу с 1958 года.

Вузовские телевизионные курсы проводятся в большинстве стран мира, ведущих эксперименты по выявлению возможностей телевидения в процессе обучения. Но шире всего используется телевидение в системе заочного высшего обучения. В программах вузовских телевизионных курсов наряду с прочими общетехническими дисциплинами важное место занимает математика.

Проблема неграмотности остается нерешенной до сих пор во многих странах. В некоторых странах проводятся телепередачи для неграмотного населения. В Италии организуются специальные телевизионные курсы для неграмотных [3]. Продолжительность таких курсов — шесть месяцев, программа курсов включает передачи по письму и арифметике. В работе курсов участвуют и работники министерства просвещения Италии.

Отзывы обучающихся рассмотренных групп показывают, как многие из них наивно предполагали, что просматривая телеви-

зионные передачи, можно легко и без самостоятельного изучения материала познать математику. Первые же телевизионные курсы математики разочаровали эту категорию учащихся. Телевидение нисколько не уменьшает роли самостоятельной работы с книгой, не принижает роли учителя в учебном процессе. Для подтверждения этой мысли сошлемся на ряд высказываний зарубежных специалистов в области учебного телевидения. В 1957 году доктор Диксон (Англия) [5] отмечал, что учитель должен общаться с детьми, видеть своих воспитанников, выявлять их знания, что образование — это живой процесс, а поэтому не может быть и речи о замене работы учителя телепередачами. По его мнению, телевидение — это только средство наглядности, инструмент, который использует учитель в процессе обучения. Директор одной английской «современной» средней школы Джиллетт [7] считает телевидение подсобным средством, хотя и некоторые ставят эксперименты по переводу всего курса обучения на телевизионную программу. Профессор педагогики Шеффилдского университета Фаулер [8] также считает необходимым включение учебных телепередач в учебные програ?лмы школ. По его мнению, телевидение обогатит процесс обучения и облегчит усвоение учебного материала учащимися. Исполнительный директор объединенного совета по вопросам применения телевидения для образовательных целей в США Ральф Ститл [5], выступая на международной конференции по использованию телевидения в учебных целях в городе Эдинбурге (август, 1957 г.), отмечал что хотя возможности телепередач широки, однако, телевизор не может заменить обсуждение в классе, нельзя при помощи телевизора учитывать индивидуальные потребности учащихся, исправлять их ошибки. Подобного же мнения придерживаются многие специалисты учебного телевидения и других стран.

Остановимся более подробно на опыте организации специальных математических курсов в Германской Демократической Республике [6]. Впервые передачи по математике в ГДР начались в марте 1961 года. Ввиду того, что в 1959 г. в ГДР начался переход к десятилетней политехнической школе, которая обеспечивает более высокий уровень образования, выпускникам прежней восьмилетней школы в этих условиях необходимо было дополнить свои знания. Это и явилось причиной организации первого математическою курса (1961—1963 годы), который просто излагал материал математики в соответствии с программой десятилетней школы. Организаторам телевизионного математического курса, хотя и с большим трудом, удалось эффективно использовать выразительные возможности телевидения для сообщения математического материала, разбудить у слушателей устойчивый интерес к математике. В первом цикле телепередач было дано 95 лекций по 45 минут каждая. Слушателями были учащиеся и учителя, рабочие и инженеры, домаш-

ние хозяйки и даже пенсионеры. В конце каждой телепередачи давались задания по изученному материалу и пять слушателей, лучше справившихся с заданием, награждались книгами. Например, после первой лекции было получено свыше 15 000 решений. А после окончания телекурса 500 слушателей сдали экзамен по математике за десятилетнюю школу.

Менее удачным оказался второй цикл передач по математике (1963—1965 годы), состоявший из 30 получасовых лекций. Этот цикл телепередач не давал слушателям цельных, систематических знаний по математике. Телевизионные передачи посвящались различным вопросам, мало связанным между собой (оптимальные задачи, статистический контроль, топология и пр.). Возражения слушателей вызвала также частая смена телевизионных учителей.

Третий цикл телепередач по математике (32 лекции по 25 минут каждая) строился с учетом пожеланий слушателей и на основе уже накопленного опыта. Телепередачи строились теперь с учетом следующих основных условий: а) основой телевизионного цикла должен являться материал из учебной программы математики 1—10 классов; б) больше внимания уделять современным идеям в математике; в) телеперадачи адресовались прежде всего взрослым, но не только рабочим, которые желают дополнить свое математическое образование, а и родителям, которые не хотят отставать от своих детей; для учителей эти телепередачи должны быть своеобразным методическим пособием; г) цикл телепередач должен быть доступным не только тем, кто уже имеет соответствующие знания по математике, но и тем, кто таких знаний не имеет; каждая лекция должна быть цельной и понятной слушателям; е) все лекции записывались с тем, чтобы можно было их давать повторно.

Третий цикл телевизионных лекций по математике прошел весьма успешно. После завершения первой части цикла (12 телепередач) были отобраны 10 слушателей, приславших лучшие решения восьми задач из двенадцати предложенных они были награждены поездкой в Прагу. Всего же выполнили условие телекурса 700 слушателей, из них 200 женщин. Среди награжденных были четыре учителя и четыре ученика.

Программа III цикла телепередач:

I. Множества, подмножества, операции над множествами ................. 3 лекции

Отношения и их свойства; отношения упорядоченности и эквивалентности; класс вычетов и расчеты с ними..................3 лекц.

Равномощные множества; понятие натурального числа. Бесконечное множество.........3 лекц.

Операции с натуральными числами и их свойства.

Разные системы чисел . . .........4 лекц.

II. Высказывания и их отрицания. Примеры высказываний. Понятие о переменной и уравнении. Решение уравнений..............3 лекц.

Конъюнкция высказываний. Системы уравнений. Их применение. Неравенства, оптимальные задачи . 3 лекц.

Полные рациональные уравнения n-й степени. Приближенное решение уравнений.......2 лекц.

III. Понятие функции. Обратные функции. Некоторые важные функции и их свойства......6 лекц.

Последовательности и пределы.......2 лекц.

Импликация высказываний (с таблицами значений). Обращение и видоизменение импликации. Необходимые и достаточные условия. Аксиоматическое построение теории.............4 лекц.

Структура телевизионных лекций была различной, составными частями их обычно являлись: рассказ учителя, работа на доске, диафильм, мультипликационный фильм и реальный снимок. На приведенной ниже диаграмме (рис. 1) дана структура некоторых передач третьего цикла:

Передача № 8: Бесконечные множества.

Передача № 16: Решение линейных уравнений.

Передача № 18: Применение решения уравнений.

Передача № 24: Монотонные функции.

Передача № 26: Ограниченные функции.

Передача № 28: Периодические функции

При подготовке телепередач авторы стремились ограничить число нужных понятий. Например, о функции говорилось как об однозначном соответствии двух упорядоченных множеств. А понятие обратной функции выводилось из практических задач. Учитывая, что в школе обычно рассматриваются линейные, квадратные и тригонометрические функции, но не изучаются серьезно многие их свойства, в телевизионных лекциях большое внимание было сосредоточено на таких важных понятиях, как монотонные функции, функции с экстремальными значениями, периодические функции.

В результате подготовки и проведения рассмотренных выше циклов телевизионных передач был вскрыт целый ряд интересных проблем:

1) Во время телепередачи отсутствует постоянный контакт учителя с учащимися, т. е. отсутствует обратная связь. Попытка компенсировать этот недостаток телевидения путем привлечения нескольких обучающихся в студию на время передачи и показа их вместе с учителем на экране телевизора не принесла желаемых результатов. Слушатели телепередачи в таких случаях переставали самостоятельно работать, становились пассивными.

2) Успех телепередачи зависит не столько от используемых учебных пособий, сколько от умения учителя своим выступлением и поведением оказывать влияние на слушателей.

3) Обучающиеся стараются не просто слушать и смотреть телепередачи, а хотят познать сам процесс мышления при решении рассмотренных задач.

4) Эффективность телепередачи не всегда растет с повышением ее технического уровня. Многие слушатели, вместо фильма, например, хотят видеть на телеэкране живого учителя с обычной классной доской и мелом. Обучающиеся высказывали предложения, чтобы записи и чертежи на магнитной или обычной классной доске возникали постепенно в ходе телелекции.

5) При построении телепередач по математике важную роль играют мультипликационные фильмы. Но, как отмечают многие обучающиеся, следить за мультипликационным фильмом очень трудно, т. е. это требует высокой степени внимания. Однако главная трудность при включении фильмов в телепередачу обусловлена скоростью демонстрации их, которой должно подчиниться и изложение материала самим учителем. При включении фильма в телевизионную лекцию следует руководствоваться правилом: фильм нельзя демонстрировать вначале лекции; он не должен быть слишком продолжительным; между двумя

вставками фильма в телепередаче должен быть интервал во времени. Как видно из рис. 1 первая вставка фильма дается обычно во второй трети передачи, фильм идет максимально четыре минуты и между двумя вставками фильма имеется интервал во времени не менее одной минуты. Безусловно, использование всевозможных других учебных пособий в телепередаче также не должно носить случайный характер.

Профессиональные работники кино, например, на первых порах предлагали начинать каждую телевизионную лекцию всегда только с реального снимка. Вместе с тем практика показала, что некоторые телелекции иногда полезно начинать и с фильма. Шаблона быть не должно в построении передач.

6) Каждой лекции третьего цикла предшествовала заставка с надписью, метко отражающей содержание передачи и привлекающей интерес обучающихся. Например, передаче об обратных функциях предшествовала надпись: «туда и обратно», передаче о монотонности функции — «Наверх и вниз», передаче о периодичности функции — «все время снова» и т. д. Но смысл и отношение подобной надписи к передаче слушателям обычно трудно сразу уловить, поэтому, как видно из рис. 1, каждая передача третьего цикла начиналась со вступительного слова учителя, раскрывающего цель предстоящей телепередачи.

7) Реальные снимки в телепередачах использовались преимущественно при рассмотрении некоторых новых понятий, при создании определенных проблемных ситуаций, при раскрытии возможностей применения математики в практике и т. п.

8) В телепередачах по математике иногда уместно использовать для раскрытия содержания понятий, так называемые «подобные ситуации». Так, например, при подведении обучающихся к понятию множества и его упорядоченности были использованы сцены из советского фильма (по произведениям Макаренко), показывающие как разношерстная толпа детей превращается в коллектив тех же самых детей, но дисциплинированных и «упорядоченных». В случае продолжительной телевизионной лекции включение подобных кинофрагментов целесообразно для отдыха обучающихся.

ВЫВОДЫ

1. Учебное телевидение является важным вспомогательным средством, предоставленным в руки учителя для более эффективного решения многих задач процесса обучения и воспитания учащихся.

В результате многочисленных экспериментов, проведенных в ряде стран, исследователи приходят к единому мнению о возможности и целесообразности использования телевидения в обучении математике.

2. В зарубежной практике учебного телевидения часто наблюдается стремление построить «универсальные» телевизионные курсы математики, рассчитанные на прием их почти любой аудиторией. С этим, очевидно, нельзя согласиться, так как любой метод или средство обучения, в том числе и телевидение, позволяют получить максимальный педагогический эффект только при условии строгого учета специфических особенностей определенной аудитории. То есть учебные телепередачи должны иметь точный адрес.

3. Анализ тематики учебных телепередач в различных странах показывает, что единого критерия для ее определения не существует. По телевидению, обычно даются самые разнообразные вопросы математики. Однако такие критерии необходимы и поиск их ведется.

4. Структура и методика урока математики в условиях использования телевидения может быть различной и определяется самим учителем. При этом, безусловно, учитель должен быть предварительно хорошо информирован о цели, содержании и методике построения каждой телепередачи. Продолжительность учебных телевизионных передач на уроке математики, по мнению большинства исследователей, не должна превышать 20—25 минут.

5. Опыт использования телевидения при обучении математике учащихся самого различного возраста и самых различных типов школ показывает, что решающим условием эффективности процесса обучения и в условиях использования телевидения является руководящая роль учителя при систематической активной творческой познавательной деятельности учащихся.

6. В условиях все расширяющегося внедрения телевидения в процессе обучения серьезное внимание уделяется научному исследованию педагогических проблем, сопутствующих процессу телевизионной экранизации учебного процесса в школе. Тематика зарубежных педагогических исследований во многом идентична с тематикой широких исследований, проводимых в нашей стране. Однако, нельзя не отметить, что подход советских и зарубежных исследователей к решению многих проблем имеет принципиальное отличие.

7. В капиталистическом мире часто пытаются представить телевидение как всемогущее средство для разрешения проблемы нехватки квалифицированных кадров учителей, школьных зданий и как средство удешевления всей системы образования вообще; однако практика показывает все более очевидно несостоятельность такой точки зрения.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Educational Television. The Next Ten Years. Stanford, 1962.

2. Arithmetic by Television. Lyla Lynch. "The Arithmetic Teacher", 1963, January, pp. 28—30.

3. Jelinek Milos, Televize jako pomocnik pri vyucovani matematice. "Pokfoky mat. fyz. a astron." 1965, 10, № 5, str. 279—287.

4. Нала Korinkovà. Repriza televizniho kursu matematikv. "Matematika ve skole," № 6, 1968, str 377.

5. Television in the Classroom. The Scottisn Educational Journal, 1957, XL, № 35, 506—507.

6. Günter Lorenz a Günter Pietzsch. Zkusenosti z televiznich kursu matematiky. "Matematika ve skole", № 3, 1967, str. 139—145.

7. Teaching with Television. В. Е. Gillett. Schoolmaster, 1958, № 2549, 1177—1179.

8. "Local" School Television. W. S. Fowler. Schoolmaster., 1958, CLXXIII, No. 2537, 515—529.

9. Schul- und Studienfernsehen in westeuropäischen Ländern. Informations material der Kultusministerkonfeienz: Baden-Württemberg u. a., 1965, 108 s. (Ständige Konferenz der Kultusminister der Länder in der Bundes Republik Deutschland. Dokumentation № 14, Feb., 1965).

Н. К. Кузнецова

ИЗУЧЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Проект программы по математике в общеобразовательной средней школе предусматривает изучение темы «Интеграл».

Существуют всевозможные точки зрения по вопросам: какими должны быть общий объем и содержание сведений по интегральному исчислению в средней школе, какие основные наиболее доступные концепции необходимо взять за основу.

Мною проведен опыт изучения темы «Определенный интеграл» в десятом классе школы № 11 г. Йошкар-Олы. Учащиеся этого класса были знакомы с понятием производной и правилами дифференцирования дробно-рациональных и тригонометрических функций. Класс в целом был сильный; по математике преобладали оценки «4» и «5». Программный курс математики изучался в десятом классе при 7-часовой нагрузке в течение четырех дней в неделю. При этом в первые три дня уроки по математике были «спарены», что позволяло преподавателю применять лекционно-эвристический метод.

За основу мною были взяты указания видного советского математика и педагога Я. С. Дубнова [2]. Учащимся изложены следующие вопросы:

1. Частная и общая задачи о площади криволинейной трапеции 2 часа.

2. Понятие определенного интеграла и окончательное решение задачи о площади 2 часа.

3. Формула Ньютона-Лейбница 1 час.

4. Два свойства определенного интеграла 1 час.

5. Решение примеров 1 час.

6. Приложение определенного интеграла к вычислению площадей 1 час.

7. Приложение определенного интеграла к вычислению объемов 2 часа.

8. Приложение определенного интеграла к решению физических задач 2 часа.

9. Контрольная работа 2 часа.

Итого 14 часов.

Учащиеся экспериментального класса не были знакомы с непрерывностью функции. Хотя в проекте программы изучение непрерывности предусмотрено, тем не менее практика преподавания курса математического анализа в пединститутах показывает, что эта тема усваивается студентами сравнительно трудно. Тем более она трудна для понимания учащимся средних школ! Мне кажется, что не стоит усложнять курс излишней теоретической строгостью, доступной для понимания далеко не каждому учащемуся.

В статье не дается никаких специальных приемов интегрирования. Все задачи, кроме задачи о площади круга, таковы, что интегрирование выполняется «по соображению», на основе известных учащимся формул дифференцирования. В связи с этим понятие неопределенного интеграла не вводится.

Производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу дается мелким шрифтом. При выводе формулы Ньютона-Лейбница вполне достаточно ограничиться формулой S/(x)=f(х).

Задача о площади

Сначала решим конкретную геометрическую задачу.

Задача. Дана парабола у = кх2 (к>0). Найти площадь S фигуры, ограниченной дугой этой параболы, двумя ее ординатами при х=а и х=b и отрезком оси х (предполагается, что b>а).

Фигура, о которой говорится в задаче, называется криволинейной трапецией. Для простоты предположим, что а и b положительны.

Для решения этой задачи разделим отрезок [а, b] оси х на произвольное число n равных частей. Длину каждой части обозначим через h (черт. 1). На оси х получаем точки а, а + h, a+2h, ... , а+(n—a+nh=b. Соответствующие этим точкам ординаты параболы будут: ka2, k(a + h); k(a+2h)' k[a+(n—l)h]; k(a + nhy=kb2. На каждой малой части, как на основании, построим прямоугольник с высотой, равной ординате в левом конце этой части. Эти прямоугольники образуют ступенчатую фигуру. Обозначим ее площадь через Sn. Sn представляет собой сумму площадей построенных прямоугольников.

Черт. 1.

Так как

Но hn — b—а, поэтому

Увеличим теперь число n частей в два раза и на новых частях опять построим прямоугольники таким же способом. Получим другую ступенчатую фигуру. Из чертежа замечаем, что ее площадь отличается от площади криволинейной трапеции уже меньше, чем площадь первой ступенчатой фигуры. Если мы еще увеличим n, то получим ступенчатую фигуру, площадь которой будет отличаться от площади криволинейной трапеции еще меньше. На этом основании мы за площадь S криволинейной трапеции можем принять передел площади Sn ступенчатой фигуры, когда n неограниченно растет, a h стремится к нулю.

Итак, искомая площадь S данной криволинейной трапеции определяется по формуле

Для решения этой задачи мы строили ступенчатую фигуру, входящую в данную криволинейную трапецию. Можно построить выходящую ступенчатую фигуру (черт. 2). Для этого на каждой малой части, как на основании, построим прямоугольник с высотой, равной ординате не в левом, а в правом конце этой части. Из чертежа видим, что при увеличении числа n площадь выходящей ступенчатой фигуры также будет отличаться от площади криволинейной трапеции все меньше и меньше. Поэтому за площадь S криволинейной трапеции можно также принять предел площади выходящей ступенчатой фигуры. Результат получим тот же самый.

Теперь рассмотрим общую задачу.

Общая задача о площади криволинейной трапеции

Дана кривая

y = f(x),

где f(x) есть положительная функция, определенная на отрезке [а, b]. Фигура ABCD (черт. 3), ограниченная кривой y = f(x), двумя ее ординатами при х=а и х=b и отрезком оси х, называется криволинейной трапецией. Определить величину площади S криволинейной трапеции ABCD (b>а).

Для решения задачи разделим отрезок [а, b] на произвольное число n частей точками

Черт. 2.

Получаем n частичных промежутков

Длины их, вообще говоря, разные. В частном случае разбиение можно производить на равные части.

Длины частичных промежутков будут:

Черт. 3.

Для всех точек деления проведем соответствующие им ординаты. Обозначим их соответственно через

На каждом частичном промежутке, как на основании, построим прямоугольник с высотой, равной ординате в левом конце этого промежутка. Эти прямоугольники образуют ступенчатую фигуру. Обозначим ее площадь через Sn . Sn представляет собой сумму площадей построенных прямоугольников:

Увеличим теперь число n частичных промежутков, например, в два раза так, чтобы все A1 уменьшились, и на новых частичных промежутках опять построим прямоугольники таким же способом. Получим другую ступенчатую фигуру. И, как и в предыдущей задаче, ее площадь будет отличаться от площади криволинейной трапеци уже меньше, чем площадь первой ступенчатой фигуры. Вообще, с увеличением числа n и уменьшением всех Ах,- мы будем получать ступенчатые фигуры, площади которых будут отличаться от площади криволинейной трапеции все меньше и меньше.

За площадь S криволинейной трапеции принимают предел площади Sn ступенчатой фигуры, когда число n частичных про-

межутков неограниченно растет, а длина Ах\ каждого частичного промежутка стремится к нулю.

(1)

Для решения задачи мы строили ступенчатую фигуру. Но ступенчатую фигуру можно построить и другим способом. На каждом частичном промежутке, как на основании, построим прямоугольник с высотой, равной ординате в правом конце этого промежутка. Такие прямоугольники образуют другую ступенчатую фигуру (черт. 4). Обозначим ее площадь через S£.

При увеличении числа n и уменьшении каждого Axi эта площадь отличается от площади криволинейной трапеции также все меньше и меньше. Поэтому за площадь S криволинейной трапеции можно принять предел площади и этой второй ступенчатой фигуры.

(2)

Понятие определенного интеграла и окончательное решение задачи о площади

Мы установили, что для нахождения площади криволинейной трапеции нужно вычислить предел суммы

или суммы

Черт. 4

Каждую из этих сумм называют n-ой интегральной суммой.

Такие суммы рассматривают не только для положительных функций, но и для функций, принимающих значения различных знаков.

Определение. Если существует предел n-ой интегральной суммы Sn или Sn , когда число n неограниченно растет, а каждое Axj стремится к нулю, то он называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от а до b и обозначается так:

Числа а и b называются пределами интеграла (а — нижним, b — верхним), отрезок [а, b] — промежутком интегрирования, функция f(x) — подынтегральной функцией, а выражение î (х) dx — подынтегральным выражением.

Символ dx нужно рассматривать как единый символ, а не как произведение d на ху и называют его дифференциалом х. Если X — независимая переменная, то dx=Ax, а если х является функцией другой независимой переменной, то dx выражается через A1 сложнее.

Итак,

При постоянных пределах а и b определенный интеграл представляет собой постоянное число.

Функция f(x), имеющая интеграл в отрезке [а, b], называется интегрируемой в этом отрезке.

Вернемся теперь к выражениям (1) и (2) для площади криволинейной трапеции. Эти выражения представляют собой определенный интеграл

Таким образом,

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Дл;), двумя ее ординатами при х=а и х=b и отрезком оси х,

равна определенному интегралу функции f(x) в пределах от а до b.

Пример. В первой задаче площадь параболической трапеции S= f kx2dx (î(x)=kx2). Так как мы получили, что

то выражение в правой части и будет значением этого интеграла, то есть

Чтобы вычислить определенный интеграл, нужно составить интегральную сумму, а затем найти ее предел. Но такой прямой способ вычисления требует даже в простых случаях значительных усилий. Так в первой задаче, вычисляя площадь параболической трапеции, мы фактически вычисляли определенный интеграл

и вычисление у нас было довольно громоздкое. В силу этого обстоятельства для вычисления определенного интеграла применяют другой прием. Чтобы установить его, рассмотрим следующий вопрос.

Другой способ решения задачи о площади

Изучим поведение площади переменной фигуры APMD (черт. 5), заключенной между начальной ординатой при х=а и ординатой, отвечающей произвольно выбранному в промежутке [а, b] значению х. При изменении х эта последняя площадь будет соответственно изменяться, причем каждому х соответствует вполне определенное ее значение, так что площадь S криволинейной трапеции APMD является некоторой функцией от х:

Поставим себе сначала задачу найти производную S'(x) этой функции.

Для решения ее придадим X некоторое (скажем, положительное) приращение Ах, тогда площадь S (х) получит приращение AS.

Построим на основании РР' два таких прямоугольника, в одном из которых высотой будет служить наименьшая ордината, а в другом— наибольшая ордината точек кривой в промежутке [х, х~\~ Ах]. На нашем чертеже наименьшая ордината — РМ, а наибольшая — Р'М'. Видим, что

Отсюда, деля на Ах, имеем

Пусть теперь A1 стремится к нулю, как к пределу. Тогда точка Р' стремится к точке Р, М' стремится к М, величина подвижной ординаты Р'М' приближается к величине неподвижной ординаты РМ тоже как к пределу, а поэтому и отношение -^, находящееся между РМ и Р'М', тоже вынуждено стремиться к РМ, так что в пределе мы получим:

и окончательно мы получаем

Черт. 5.

Получим теорему:

Производная от переменной площади S(x) по конечной абсциссе X равна конечной ординате y=^f(x).

Итак, площадь переменной криволинейной трапеции APMD есть такая функция S(x), производная которой равна заданной функции f (x).

Определение. Пусть дана функция f(х). Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f (x) , если F'(x)=f(x).

Например, если

Если F(x) есть первообразная для f(x), т. е. F'(x)=f(x), то выражение F(x)+C, где С — какое угодно число, также есть первообразная для f(x), так как

Поэтому для одной и той же функции f(x), если существует какая-нибудь первообразная F(x), то существует и бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое.

Вернемся к площади S(x) криволинейной трапеции. Так как S'(x) -=f (x), то функция S(x) является первообразной для функции f(x). Если для f(х) известна еще какая-нибудь первообразная F(x), то

(1)

где С — какая-то постоянная. Найдем эту постоянную С.

Если х=ау то площадь переменной криволинейной трапеции обратится в нуль: S(a)=0. Подставим в равенство (1) значение х=а, получим

Подставим это значение С в (1):

(2)

При х = b

(3)

Итак, площадь криволинейной трапеции ABCD можно вычислять по формуле (3).

Пример. В качестве примера рассмотрим площадь параболической трапеции из перой задачи.

Получили тот же самый результат.

Формула Ньютона-Лейбница

Для площади криволинейной трапеции ABCD мы получили

С другой стороны,

Сравнивая эти равенства, заключаем, что их правые части должны быть равны между собой, т. е.

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Она выражает следующее: определенный интеграл равен разности двух значений какой-нибудь первообразной для подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Употребляется еще такое обозначение:

Например,

Итак,

Примеры:

Замечание. Вычислять определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница можно не всегда, а только тогда, когда подынтегральная функция в отрезке [а, b], как говорят, непрерывна, т. е. не имеет никаких особенностей, все ее значения конечны, изменяются плавно, без скачков. График такой функции есть непрерывная кривая, все точки которой расположены на конечном расстоянии от начала координат. Если же функция f(x) не будет непрерывна в отрезке [а, b], то определенный интеграл от такой функции вычислять по формуле Ньютона-Лейбница нельзя. Например, нельзя вычислить но формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл

так как внутри промежутка [—1,1] подынтегральная функция — при х=0 обращается в бесконечность, график этой функции не есть непрерывная кривая (черт. 6).

Черт. 6

Два свойства определенного интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить из-под знака определенного интеграла:

Доказательство.

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен алгебраической сумме определенных интегралов от каждого слагаемого. Так для двух слагаемых

Доказательство.

Для случая разности доказательство точно такое же, только вместо знака + везде стоял бы —.

Эти свойства используются при вычислении определенных интегралов.

Пример.

Упражнения.

Вычислить интегралы:

Приложение определенного интеграла к вычислению площадей

Мы видели, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x), двумя ее ординатами при х=а и х=b и отрезком оси х, равна определенному интегралу:

На этом основано приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Рассмотрим это на примерах.

Задача 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой параболы y = kx2 (b>0), двумя ее ординатами при х=а и х=b и отрезком оси х (черт. 7).

Решение.

Мы получили тот же самый ответ, что и при непосредственном вычислении, как предела площади ступенчатой фигуры. Но применение определенного интеграла намного сократило наши вычисления. В частном случае, при а = 0, получаем

Кстати, зная эту площадь, можно найти площадь параболического сегмента ОСС (черт. 8), т. е. фигуры, ограниченной параболой и прямой C'C. Отрезок С'С называют основанием сегмента, а ОД — высотой.

Площадь параб. сегм. ОСС' = площ. прямоугольника В'ВСС—

Итак, площадь параболического сегмента равна двум третям произведения его основания на высоту.

Задача 2. Вычислить площадь, ограниченную параболами:

Решение. Искомую площадь можно рассматривать как разность между площадями двух криволинейных трапеций (черт. 9):

Черт. 7.

Черт. 8.

Площадь каждой криволинейной трапеции выражается соответствующим определенным интегралом.

Сначала найдем абсициссы крайних ординат, для чего решим систему

Получаем

Для верхней параболы, ограничивающей искомую площадь,

Поэтому

Черт. 9.

Упражнения

1. Найти площадь, ограниченную одной полуволной синусоиды v = sin X и осью X. (Отв. 2).

2. Найти площадь, заключенную между кривой у = 4—х2 и осью X. (Отв. 1С-£ ).

3. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями у2 = 9х, у=3х. (Отв. +).

4. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями у = 2х, у = х2—4х + 5. (Отв. ^-).

5. Вычислить площадь круга радиуса R.

Указание. Для вычисления интеграла

положить x = Rsint. Тогда

Приложение определенного интеграла к вычислению объемов

1. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.

Пусть дано какое-то тело, расположенное вдоль оси х-ов и заключенное между двумя плоскостями, перпендикулярными к оси X и имеющими с поверхностью тела по крайней мере по одной общей точке. Пусть эти плоскости пересекают ось х в точках х = а и х = b (черт. 10).

Рассмотрим сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси Х. Площадь сечения будет зависеть от положения секущей плоскости, т. е. будет функцией от х:

S = S(x).

Пусть эта функция нам известна и пусть в [а, b] она интегрируема. Определим объем V данного тела.

Для решения задачи мы воспользуемся известной нам теоремой: объем прямого кругового цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Эта теорема имеет место не только для прямого кругового цилиндра, но и для всякого прямого цилиндра. В случае же произвольного данного нам тела мы будем рассуждать следующим образом.

Черт. 10.

Возьмем какое-нибудь разбиение отрезка [а, b] на частичные точками

Через эти точки проведем плоскости, перпендикулярные оси х. Они разобьют данное тело на n тонких слоев (черт. 11). Выделим из этих слоев какой-нибудь i-й слой с крайними абсциссами xi—1 и xi (черт. 12). Построим для этого слоя прямой цилиндр, основанием которого будет являться сечение тела с площадью S(x1_i), а высотой х,- — Xj_i = Ax1. Он может оказаться входящим в i-й слой, а может оказаться выходящим. Объем такого элементарного цилиндра равен

Черт. 11.

Черт. 12.

Таким же образом поступим с каждым слоем данного тела, т. е. для каждого слоя построим соответствующий прямой цилиндр. Все такие цилиндры образуют ступенчатое тело. Объем его Vn представляет собой сумму объемов всех цилиндров

За объем V данного тела принимают предел объема Vn ступенчатого тела, когда число n его частей неограниченно растет, а каждое Ах\ стремится к нулю.

Но сумма для Vn есть n-я интегральная сумма, а поэтому предел ее является определенным интегралом.

Для облегчения запоминания этой формулы можно провести аналогию между нею и формулой объема прямого цилиндра. Объем V прямого цилиндра равен произведению площади основания В на высоту Н:

При получении объема любого тела роль площади основания играет площадь любого сечения плоскостью, перпендикулярной оси Х. Роль высоты играет дифференциал dx. И так как имеется дифференциал, то от произведения нужно взять интеграл.

2. Объем пирамиды. Пусть дана пирамида, у которой площадь основания В, а высота Н. Расположим эту пирамиду вдоль оси X так, чтобы ее вершина совпала с точкой О, а плоскость основания была перпендикулярна оси х (черт. 13). Тогда высота пирамиды будет лежать на оси х:

Черт. 13.

Будем искать объем V пирамиды по формуле (I), для чего найдем сначала S(x). Возьмем произвольное сечение пирамиды плоскостью, перпендикулярной оси х, соответствующее абсциссе X, и воспользуемся свойством параллельных сечений в пирамиде. По этому свойству

откуда

Пределы а и b интегрирования у нас сейчас такие:

Следовательно,

Черт. 14.

3. Объем тела вращения.

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси х криволинейной трапеции ABCD, ограниченной кривой y=f(x), двумя ее ординатами при х=а и х=b и отрезком оси X (черт. 14).

В этом случае произвольное сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси X, есть круг, площадь которого

Для нахождения объема V тела воспользуемся формулой (I). Получим

Итак,

(II)

4. Объем прямого кругового конуса.

Найдем объем V прямого кругового конуса, радиус основания которого R, а высота Н. Расположим этот конус вдоль оси X так, чтобы его вершина совпала с точкой О, а высота лежала на оси х (черт. 15):

Н=ОА.

Такой конус можно рассматривать как тело, происходящее от враще-

Черт. 15.

ния прямоугольного треугольника ОАВ вокруг оси х. Такой треугольник можно рассматривать как частный случай криволинейной трапеции. Чтобы воспользоваться формулой (II), найдем уравнение прямой OВ. Так как эта прямая проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид у = кх, где к — угловой коэффициент: к = tga. Из треугольника OÀB

Таким образом, уравнение прямой AB принимает вид

Пределы интегрирования у нас теперь такие: a = 0, b = Н. По формуле (II)

Итак,

ttR2 = B — площадь основания конуса. Поэтому последнюю формулу можно переписать так:

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту*.

5. Объем усеченного кругового конуса. Найдем объем V усеченного кругового конуса, у которого радиусы нижнего и верхнего оснований равны соответственно R и r, а высота равна h. Расположим этот конус вдоль оси X так, что когда мы дополним его до полного конуса, то полный конус будет расположен вдоль оси X так же, как и в предыдущей задаче (черт. 16). Будем иметь

Усеченный круговой конус можно рассматривать как тело, полученное от вращения прямоугольной трапеции CDBA вокруг

* Формулу для объема конуса можно получить по-другому, исходя из идеи, изложенной при решении задачи 2.

оси Х. Уравнение прямой OB имеет тот же самый вид у=кх, что и в предыдущей задаче, только теперь к выразится через данные величины иначе. Из треугольника ABE

Черт. 16.

Обозначим ОС=а. Тогда пределы интегрирования в формуле (II) будут а и а-4-h, и по формуле (II)

Выразим теперь а через данные величины. Из подобия треугольников ОАС и OBD получаем

Подставим в выражение объема вместо k, a, a+h их значения. Получим

Черт. 17.

6. Объем шара. Найдем объем V шара радиуса R. Такой шар можно рассматривать как тело, полученное от вращения полукруга ABC, расположенного в плоскости хОу, с центром в точке О радиуса R вокруг оси X (черт. 17). Уравнение окружности

Чтобы получить это уравнение, берем произвольную точку

М(х, у) окружности и к треугольнику ONM применяем теорему Пифагора.

Из уравнения окружности

Объем шара найдем по формуле (II) объема тела вращения. Для удобства вычисления вычислим по формуле (II) объем не всего шара, а только его половины, полученной от вращения четверти круга ОАВ. Тогда у нас пределы интегрирования будут а=0, b = R.

откуда

7. Объем шарового сегмента. Найдем объем шарового сегмента высоты h, если радус шара R.

Расположим шар и шаровой сегмент, как указано на чертеже 18. Шаровой сегмент мы можем рассматривать как тело, полученное от вращения криволинейной трапеции ABC вокруг оси Х. Уравнение дуги ВС то же, что и уравнение окружности:

откуда

Черт. 18.

Пределы интегрирования будут

По формуле (II)

Получаем формулу:

Упражнения*

1. Фигура, ограниченная одной полуволной синусоиды y = sinx и осью X, вращается вокруг оси х. Найти объем тела вращения.

2. Фигура, ограниченная параболой у = 4х и прямой х = 4, вращается вокруг оси х. Найти объем тела вращения, (Отв. 32я).

3. Цилиндр радиуса R пересечен плоскостью, проходящей через диаметр основания под углом а к плоскости основания.

2

Найти объем отсеченной части. (Отв. -ö-R3tga).

Приложение определенного интеграла к решению физических задач

Рассмотрим некоторые примеры приложения определенного интеграла к решению физических задач.

1. Нахождение пути. Предположим, что тело движется прямолинейно со скоростью V, изменяющейся в зависимости от времени t по какому-то закону v = cp(t), т. е. скорость задана как функция времени t. Найдем путь s, пройденный телом за время от t = T1 до t = T2.

Если скорость V остается во всем промежутке времени [T1, Т2] постоянной, т. е. если движение равномерное, то, как известно, путь s измеряется произведением скорости на время, в течение ко-

* Сильным учащимся в качестве дополнительного задания можно предложить вывести аналогичным способом формулы объема шарового сектора

и объема шарового слоя

где h — высота слоя, r1 и r2 — радиусы сечений.

торого тело двигалось: s = v(T2— T1). Но если скорость с течением времени меняется, то для нахождения пройденного пути приходится прибегать к рассуждениям, приводящим к определенному интегралу.

Разобьем промежуток времени [T1, Т2] на n промежутков точками

Вместо заданного движения возьмем другое движение, являющееся равномерным в каждом частичном промежутке времени, причем скорость v в промежутке [ti-i,tj] равна скорости заданного движения, например, в начальный момент: v=cp(ti_i). При этом путь, пройденный в течение времени отt=ti-1 до t=t,- равняется

где △ ti=ti—ti-1. Путь sn соответствующий промежутку времени [T1, Т2], равен сумме расстояний, пройденных за промежутки времени, на которые разбит весь промежуток [T1, Т2].

Величина sn дает нам приближенное значение пути s. Точное же значение пути s есть предел

Но такой предел есть определенный интеграл:

Путь, пройденный телом, равен интегралу от скорости, взятому по времени.

Применим полученный результат к такой конкретной задаче. Задача. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью vo, вычисляется по формуле

где t — время, g — ускорение силы тяжести. На каком расстоянии от начального положения будет находиться тело через t сек? Решение. В этой задаче (p(t)=v0—gt-

2. Вычисление работы. Если сила F, действующая по направлению движения постоянна, то работа А, производимая силой, равна произведению силы F на путь s, пройденный материальной точкой:

A = Fs.

Если же сила переменная, то работа может быть определена только с помощью предельного перехода. Рассмотрим это на конкретном примере.

Задача. Вычислить работу, производимую при растягивании пружины на 5 см, если известно, что сила, которая требуется для растяжения пружины, пропорциональна удлинению х пружины и что для удлинения пружины на 1 см требуется сила, равная 1 н.

Решение. По условию действующая сила F равна:

F = kx, (*)

где к — коэффициент пропорциональности. Известно, что для удлинения пружины на 1 см = 0,01 м требуется сила в 1 н, т. е. F=l при х=0,01. Из формулы (*) получаем

1=к-0,01, к= 100

Итак,

F=100x.

Пружина растягивается от положения равновесия х = 0 до конечного положения х = 5 см = 0,05 м. Разобьем отрезок [0; 0,05] на произвольное число n частей точками

и вместо данной силы рассмотрим другую силу, являющуюся постоянной на каждой малой части и равной, например, значению данной силы на левом ее конце, так что эта сила будет принимать значения

Работа такой силы на i-ом участке будет равна

где A Xj =X1 — x1—i. Работа An новой силы на всем отрезке [0; 0,05] будет равна сумме работ, производимых на отдельных участках:

Величина An является приближенным значением работы А, производимой данной переменной силой F=100x. Чтобы найти точное значение работы А, нужно в полученном выражении перейти к пределу.

3. Вычисление давления жидкости. Известен следующий физический закон: давление жидкости на горизонтальную пластинку, расположенную на глубине h от свободной поверхности, равно весу цилиндрического столба этой жидкости, имеющего высотой h, а основанием рассматриваемую пластинку. Вычисление же давления жидкости на вертикальную пластинку, погруженную в жидкость, также требует применения предельного перехода. Рассмотрим это на примере.

Задача. Плотина имеет форму равнобочной трапеции, две горизонтальные стороны которой имеют длину соответственно 200 м и 50 м, а высота равна 10 м. Вычислить величину давления на плотину, если верхнее более длинное основание лежит на уровне свободной поверхности воды.

Решение. Расположим оси координат, как указано на чертеже 19. По условию АВ = 200 м, CD = 50 м, CF=10 м. Разделим ОЕ на произвольное число n частей и построим n прямоугольников, как указано на чертеже 19. Площадь i-го прямоугольника равна MN-AX1, где Ах,- = х,- — xi-i.

Найдем MN. Опустим из точки M перпендикуляр MG на AB. AAGM сл д AFC, откуда

Итак, площадь i-го прямоугольника равна

(200—15х )Axi.

Если бы этот прямоугольник был расположен в горизонтальной плоскости на глубине X1 , то величина давления воды на прямоугольник была бы равна

wxi(200—15Х|)Дхь

где w — вес единицы объема воды. Так как у нас размеры даны в метрах, а вес 1 м3 воды равен 9,81 ⋅ 103 н, то

w = 9,81-103 = 9810.

Так как давление жидкости во все стороны одинаково, то мы можем приближенно принять, что давление на вертикально расположенный прямоугольник тоже

wxi(200—15X1)AX1.

Тогда давление Рп на все прямоугольники будет равно:

Рп — w 2 xi (200—15х|)Д X1.

Величина Р n является приближенным значением давления Р на всю трапецию ABCD. Если в последнем равенстве перейдем к пределу, то получим точное значение давления Р, так что

Черт. 13.

Упражнения

1. Тело движется прямолинейно со скоростью v, изменяющейся в зависимости от времени t по закону v=yÇ где v измеряется в м/сек. Найти путь, пройденный телом за первые 10 сек. после начала движения. Чему равна средняя скорость за этот промежуток? (21,1 м; 2,1 м/сек).

2. Сжатие S винтовой пружины пропорционально приложенной силе F- Вычислить работу силы при сжатии пружины на 10 см, если для сжатия ее на 2 см нужна сила 1 н. (0,25 дж).

3. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрический резервуар высотой 5 м, имеющий в основании круг радиуса 2 м. (490500 я дж).

Указание. Работа, которую нужно затратить, чтобы поднять тело с одной высоты до другой, равна произведению веса тела в ньютонах на высоту поднятия в метрах.

4. Вычислить силу давления воды на прямоугольные ворота шлюза, имеющие 20 м в ширину и 16 м в глубину, если их верхняя грань лежит на поверхности воды (25* 105 н).

Анализ устных ответов учащихся и двухчасовой контрольной работы показал нам, что учащимся вполне доступен язык интегрирования. Учащиеся давали вполне обоснованные, продуманные ответы, хорошо усвоили приемы интегрирования, правильно применяли интегралы к практическим вопросам. На выпускных и вступительных в вузы экзаменах учащиеся экспериментального класса некоторые вопросы из геометрии предпочитали излагать с помощью интегрирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Н. А. Давыдов, П. П. Коровкин, В. Н. Никольский, Сборник задач по математическому анализу, изд. «Просвещение», 1964.

2. Я. С. Дубнов, Беседы о преподавании математики, изд. «Просвещение», М., 1965.

3. Р. А. Калнин, Алгебра и элементарные функции, М., 1964.

4. Л. З. Мудрая. Об изучении элементов интегрального исчисления в школьном математическом кружке, «Математика в школе», № 6, 1962.

5. Д. М. Соловьев, От суммирования к интегралу, Дагучпедгиз, 1965.

6. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. II, изд. 5-ое стереотипное, М., Физматгиз, 1962.

В. Т. Рачкова

ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Развитие математики, в частности геометрии, в XIX столетии доказало насколько важным понятием в геометрии являются геометрические преобразования. В настоящее время в связи с введением факультативных курсов по математике представляется возможность уделить больше внимания изучению геометрических преобразований.

В учебной литературе геометрические преобразования рассматриваются с различных точек зрения. Изучение геометрических преобразований с помощью комплексных чисел дает возможность ввести понятие группы геометрических преобразований, используя несложные алгебраические операции, что является наглядным примером синтеза двух наук: чисто геометрический материал переводится на язык алгебры. Кроме того, познакомив учащихся с аппаратом комплексных чисел, представляется возможность практического их применения.

Автором был проведен эксперимент с учащимися 10 класса ЮМШ при Марийском государственном педагогическом институте по изучению геометрических преобразований посредством комплексных чисел. Цель эксперимента: определить содержание вопроса о группах геометрических преобразований посредством комплексных чисел и разработать методику преподавания геометрических преобразований на новой основе.

Понятие о геометрическом преобразовании

Рассмотрим на плоскости угол АОВ и прямую, которая пересекает стороны угла АО и OB в точках M и N (черт. 1). Для любой другой точки M1 на стороне АО найдется такая точка N1 на стороне OB, что MN||M1N1. Причем для каждой точки луча OA найдется единственная соответственная точка луча OB, так как через точку M1 проходит только одна прямая параллельная MN. В этом случае говорят, что между лучами OA и OB установлено соответствие или множеству точек луча OA соответствует множество точек луча OВ. Соответствие можно установить не только между множествами точек, но и между мно-

жествами прямых на плоскости, множествами окружностей, множеством чисел и множеством точек и т. д. Каждое множество состоит из элементов, которыми могут быть точки, прямые, числа и любые предметы, например, можно говорить о множестве деревьев в лесу, множестве зрителей в театре и т. д.

Если между множеством установлено такое соответствие, что каждому элементу первого множества соответствует только один элемент второго множества и наоборот, то такое соответствие называется взаимно-однозначным. Между сторонами OA и OB угла АОВ установлено взаимно-однозначное соответствие, так как каждой точке луча OA соответствует только одна точка луча OB и, обратно, каждой точке луча OB соответствует только одна точка луча OA, а точка О соответствует сама себе. Взаимно- однозначное соответствие устанавливается между всеми точками плоскости, причем его можно установить различными способами.

Всякое правило, позволяющее установить взаимно-однозначное соответствие во множестве всех точек плоскости, называется геометрическим преобразованием плоскости. Мы рассмотрим различные виды геометрических преобразований: параллельный перенос, поворот, центральную и осевую симметрии, подобие. Если некоторое преобразование переводит точку А в точку A1, фигуру F, рассматриваемую как совокупность точек, в фигуру F1, то точку A1 называют образом точки А, фигуру F1 — образом фигуры F.

Применение геометрических преобразований к различным фигурам дает возможность перехода от некоторых свойств одной фигуры к соответствующим свойствам другой фигуры. Причем на основании каждого свойства одной фигуры можно сделать заключение о некотором свойстве второй фигуры, которое можно рассматривать как перевод данного свойства первой фигуры.

Ориентация

Прямая, на которой определено положительное направление, называется ориентированной. Вращение луча в плоскости от начального положения может происходить в двух взаимно-противоположных направлениях: против часовой стрелки и по часовой стрелке. Вращение луча на плоскости против часовой стрелки принято считать положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Угол, у которого одна сторона считается начальной, а другая — конечной, называется ориентированным.

Черт. 1

Каждый угол можно ориентировать двумя способами в зависимости от выбора его начальной стороны. Угол считается положительным, если он получен при вращении начальной стороны против часовой стрелки, и отрицательным, если вращение начальной стороны происходит по часовой стрелке (внутренняя область угла заранее указана (черт. 2). Если данные углы или все положительные, или все отрицательные, то говорят, что они одинаково ориентированы. Два угла, из которых один положительный, другой отрицательный — различно ориентированы. Треугольник ABC имеет положительную ориентацию, если обходя вершины в порядке А, В, С и опять А, обходим треугольник против часовой стрелки. В этом случае все углы треугольника ориентированы положительно. Если обход совершается по часовой стрелке, то треугольник ориентирован отрицательно (черт. 3, 4).

Черт. 3

Черт. 2

Черт. 4

Параллельный перенос

Введем на плоскости прямоугольную систему координат с началом в точке О (черт. 5). Горизонтальную ось ОХ, ось абсцисс, назовем вещественной осью, а вертикальную ось ОУ, ось ординат — мнимой осью. Каждой точке M плоскости с прямоугольными координатами х, у поставим в соответствие комплексное число z=x+iy, рассматриваемое как вектор ОМ с началом в точке О и концом в данной точке, причем модуль комплексного числа будет равен длине этого вектора, а аргумент — углу, образованному этим вектором с осью ОХ. Воспользуемся

Черт. 5

обозначением M (z), которое означает, кто комплексное число z является координатой точки М. Возьмем два любых комплексных числа z1 и Z2, рассматривая их как векторы OM1 и ОM2, найдем сумму этих чисел. Для этого передвинем вектор OM1 в направлении вектора ОM2 так, чтобы его начало совпало с концом вектора ОM2. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора ОM2, а конец—с концом вектора M2M3 = 0M1, является суммой этих векторов, OM3=OM1+ОM2. Отсюда Z3 = z1+Z2.

Определение. Преобразование, при котором каждой точке А плоскости ставится в соответствие такая точка A1 этой плоскости, что вектор AA1 = q, называется параллельным переносом на вектор q.

Следовательно, при сложении комплексных чисел мы пользовались преобразованием параллельного переноса, т. е. точке M1(z1) поставили в соответствие точку M3(z3) такую, что

M1M3 = OM2.

Теорема: Всякое равенство вида z1 = z + q, где z1, z, q — комплексные числа, представляет собой параллельный перенос всех точек плоскости на вектор q.

Доказательство. Пусть комплексные числа z1, z, q являются координатами точек Z1, Z, Q. Тогда геометрический смысл равенства z1 = z + q состоит в том, что вектор OZ1 равен сумме векторов OZ и OQ. Другими словами вектор OZ1 получен переносом вектора OZ на вектор OQ, т. е. точка Z1 получена из точки Z переносом на вектор OQ.

Обратная теорема. Параллельный перенос точек плоскости на вектор q в комплексных координатах всегда может быть записан равенством

z1 = z+q.

Параллельным переносом фигуры F на вектор q называется преобразование, при котором каждой точке M этой фигуры

соответствует точка M1 такая, что MM1 = q. Перенос характеризует сдвиг всех точек плоскости вдоль заданного направления на вектор q.

Произведение параллельных переносов

Последовательное выполнение двух преобразований называют в геометрии умножением преобразований, а преобразование, получающееся в результате умножения, называют произведением двух преобразований.

Пусть M (г) — точка плоскости. Применяя к ней перенос на вектор а, получим точку M1(z1). Точку M1(z1) подвергнем параллельному переносу на вектор 6, получим точку М2(z2). Тогда преобразование, с помощью которого можно из точки M получить сразу M2, и является произведением двух переносов на векторы а и b. Пусть векторам а и 6, приведенным к общему началу в точке О, соответствуют комплексные числа а и &, то мы можем записать z1 = z-fa, Z2 = z1+b. Отсюда

Z2= (z+a) +b = z+(a+b).

Следовательно, произведение двух последовательных переносов на векторы а и b есть параллельный перенос на вектор (а +b.)

Центральная симметрия

Две точки А и A1 называются симметричными относительно третьей точки О, называемой центром симметрии, если они расположены на прямой, проходящей через центр симметрии, по разные стороны от него и на равном расстоянии. Преобразование, при котором каждой точке плоскости, отличной от О ставится в соответствие точка, симметричная относительно данной точки О называется симметрией относительно точки (центральной симметрией, отражением от точки). Посредством центральной симхметрии любая фигура преобразуется в равную фигуру той же ориентации.

Центральная симметрия в координатах

Возьмем на плоскости прямоугольную систему координат с началом в точке О. Найдем для точки A (z) точку A1(z1), симметричную относительно начала координат О. Координата точки A1 будет, очевидно,— z. И обратно, любой точке с координатой

—z симметрична относительно О точка с координатой z. Следовательно, запись z1 = —z означает, что точка с координатой z симметрична относительно начала координат О точке с координатой Zl.

Для определения симметрии относительно любой точки плоскости воспользуемся правилом сложения векторов. Имеем три вектора ОМ, OM1, ОM2 (черт. 6), соответствующие комплексным числам z z1 Z2, такие, что OM2=OM+OM1 или, заменяя равенством Z2 = z+z1, имеем z1 = —z+Z2.

В параллелограмме ОМM2M1 точка M1 симметрична точке M относительно точки С. Вектору ОС соответствует комплексное число -тр . В координатах эта запись выглядит так:

Черт. 6

Таким образом, мы доказали теорему:

Если точка Z1* симметрична Z относительно Q(q), то выполняется равенство z1 =—z + 2q.

Обратная теорема. Всякое равенство z1 = —z+2q, где z1, z и q — комплексные числа, означает, что точки Z1 и Z симметричны друг другу относительно точки Q.

Доказательство: Выражение z1 = —z + 2q можно переписать как z1 + z = 2q, а это означает, что 20Q является диагональю параллелограмма, построенного на векторах OZ и OZ1 как на сторонах. Отсюда, точка Z1 симметрична Z относительно точки Q. Итак, всякая запись z1 =—z + 2q означает, что точка Z1 симметрична точке Z относительно точки Q.

Произведение двух преобразований центральных симметрий относительно различных центров

Рассмотрим три фигуры F, F1, F2 такие, что F1 симметрична F относительно точки Q1(q1), F2 симметрична F1 относительно точки Q2(q2). Пусть A(z) —любая точка фигуры F, тогда A1(z1) — точка фигуры F1, симметричная A(z) относительно Q1(q1), т. е. z1 = —z + 2q1, Аг(гг) —точка фигуры F2, симметричная A1(z1) относительно Q2(q2), т. е.

Z2 = — z1+2q2.

* Здесь и в дальнейшем будем обозначать для краткости точку и ее координату одной буквой, что означает Z(z).

Произведение двух симметрий с различными центрами имеет вид: Z2=—z1+2q2=+z-j-2q1)+2q2=z+(q2=—q1), т. е. является параллельным переносом на вектор 2Q1Q2.

Произведение параллельного переноса и центральной симметрии

Теорема: Произведение параллельного переноса и симметрии относительно точки О или симметрии относительно точки и параллельного переноса представляет собой центральную симметрию относительно некоторой точки O1.

Доказательство. Пусть A(z) —точка фигуры F, a A1(z1) — точка фигуры F1, симметричная точке A(z) относительно начала координат, тогда z1 = —z. Применяя параллельный перенос на вектор q к точке A1(z1), получим точку A2(z2) фигуры F2 такую, что Z2 = z1+q.

Произведение этих преобразований имеет вид Z2 = —z + q. Полученное выражение есть уравнение симметрии с центром в точке с координатой

Рассмотрим произведение преобразований, выполненное в другом порядке: сначала перенос на вектор q, затем симметрию относительно начала координат z1 = z + q, Z2 = —z1, Z2 = — (z+q) = «=—z—q.

В этом случае так же имеем центральную симметрию, но уже относительно точки с координатой--

Вращение

При изучении центральной симметрии мы уже пользовались поворотом на угол 180°. Теперь мы рассмотрим вращение (поворот) на произвольный угол. Пусть на плоскости даны точка О и ориентированный угол а (черт. 7). Каждой точке M плоскости будем ставить в соответствие такую точку M1, чтобы

Черт. 7

Такое преобразование называется вращением плоскости около точки О на угол а.

Итак, вращением (поворотом) вокруг некоторой неподвижной точки (называемой центром вращения) называется такое преобразование плоскости, при котором все точки плоскости перемещаются в определенном направлении на один и тот же угол по дугам концентрических окружностей, центр которых совпадает с центром вращения, а радиусы равны расстояниям до этих точек. Непосредственно из определения поворота следует, что при повороте существует только одна неподвижная точка — центр вращения и нет неподвижных, прямых.

Вращение с центром в начале координат

При умножении комплексного числа z = r (coscp + isincp) на число t = cosa + isina мы получаем в произведении число z1 = zt = r[cos(cp+a) +isin((p + a)], модуль которого равен модулю числа z, а аргумент — сумме аргументов данных чисел. Другими словами, точка M1(z1) получается из точки M(z) поворотом плоскости на угол а с центром в точке О (черт. 8).

Теорема: Если точка M1 (z1) является образом точки M(z) при повороте на угол а с центром в точке О, то их координаты связаны между собой собой соотношением

(1)

Черт. 8

Доказательство теоремы вытекает из правила умножения комплексных чисел.

Учитывая, что а может принимать различные значения, т. е. величина t является переменной, назовем соотношение (1) уравнением вращения. Угол поворота а может быть как положительным, так и отрицательным, а по величине может принимать любые значения от 0° до 360° и более. Так как а входит в уравнение вращения как аргумент тригонометрической функции, то мы можем воспользоваться формулами приведения. Все углы a>360ü мы можем записать так: a = a1 + 360°n, где a1«<360o. При этом полное число оборотов 360°п можно опустить и рассматривать только приведенный угол a1. Таким образом, в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением углов не превышающих 360°.

Вращение с центром в любой точке

Пусть M1(z1) —образ точки M(z) при повороте на угол а с центром в точке С (с). Перенесем точку С в начало координат, т. е. применим к плоскости преобразование параллельного переноса на вектор — ОС. Тогда точка M1(z1) перейдет в точку M1' (z/), такую, что z1'=z1—с, точка M(z) — в> точку M'(z'), z'=z—с.

Так как при параллельном переносе углы между прямыми сохраняются, то

Черт. 9

Теорема: Уравнение вращения на угол а с центром в точке С (с), имеет вид

(2)

где Z1(z1) —образ точки Z(z).

Обратная теорема: Всякое равенство

где t = cosa + isina, представляет собой поворот на угол а с центром в точке С (с).

Доказательство вытекает из правила деления комплексных чисел.

Следствие. Из уравнений (1) и (2) можно получить уравнения центральной симметрии, как поворота на угол а=180°. При а=180°, имеем t = — 1.

Произведение вращения и переноса

Пусть вращение

переводит Z в Z1, а перенос Z2 = z1 + q переводит Z1 в Z2. Найдем произведение этих преобразований

Итак, произведение является вращением с новым центром. Так как центр вращения является двойной точкой, то для него z = Z2. Отсюда

центр полученного вращения. Таким образом, мы доказали теорему:

Произведение вращения и параллельного переноса и произведение параллельного переноса и вращения есть вращение с тем же самым углом поворота, что и у первоначального вращения, но с иным центром вращения.

Произведение двух вращений

1. Произведение двух вращений с общим центром и углами поворота а и ß есть вращение с тем же центром и углом поворота a + ß.

Рассмотрим вращения с центром в точке О

Следовательно,

2. Пусть вращение

переводит точку Z в Z1, а вращение--- —12 переводит Z1 в Z2, здесь C1(c1) и C2(г) —центры вращений, a и ß — углы поворота,

Полученное преобразование является поворотом с центром в Сз(сз), где

Итак, произведение двух вращений с разными центрами имеет вид:

Замечание. При t1t2=l, т. е. при ß = —а имеем параллельный перенос на вектор (а—с2) (t2—1).

Теорема: Произведение двух вращений с различными центрами и углами поворота а и ß есть вращение с новым центром на угол a + ß или параллельный перенос при а =—ß.

Осевая симметрия

Две точки плоскости M и M1 называются симметричными относительно прямой /, если они расположены на одном перпендикуляре к прямой /, по разные стороны от нее и на одинаковом расстоянии от основания перпендикуляра. Из приведенного определения как следствие вытекает способ построения точек, симметричных относительно прямой /.

Преобразование, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие симметричная ей относительно прямой точка той же плоскости, называется осевой симметрией или отражением от прямой. Прямая / называется осью симметрии.

Симметрия относительно действительной оси

Точке с координатой z относительно оси ОХ симметрична с координатой z1 такая, что

z1=z, (1)

где z=x—iy, так как z и z1 имеют равные вещественные части, а мнимые части отличаются только знаком. Значит, точки Z и Z1 лежат на перпендикуляре к оси ОХ и удалены от точки пересечения с осью ОХ на равные расстояния (черт. 10).

Уравнение прямой, проходящей через начало координат

Пусть точка Z1 симметрична точке Z относительно вещественной оси ОХ, т. е. z1 = z (черт. 11). Проведем прямую, соеди-

Черт. 10

няющую точку Z с началом координат. Если аргумент числа z равен а, то и аргументы всех чисел, которым соответствуют точки луча OZ равны а» Итак, под числом z мы будем подразумевать координату любой точки луча OZ. Точка Z симметричная Z относительно оси ОХ, имеет аргумент — а. Угол между лучами OZ и OZ равен 2а , отсюда можно записать:

(2)

Равенство (2) справедливо для всех точек прямой OZ, так как точки, лежащие на прямой слева от О, имеют аргумент а + я и для них

Таким образом, (2) есть уравнение прямой, проходящей через начало координат и наклоненной к оси ОХ под углом а.

Второй способ. Пусть точка Z1 симметрична точке Z относительно прямой /, проходяшей через начало координат под углом а к оси ОХ (черт. 12). Применим к плоскости преобразование поворота на угол — ас центром в начале координат. При этом прямая /, перейдет в ось ОХ, точка Z— в точку Z' такую, что z'=tz,

(3)

Итак,

Точка Z1 перейдет в точку 7л', т. е. z1'=tz'. При этом точка Z1 сим-

Черт. 11

Черт. 12

метрична Z'относительно оси ОХ. Следовательно, z1' = z'. Отсюда tz1 = tz, или

(4)

Полученное равенство связывает две точки Z и Z1, симметричные друг другу относительно прямой /. Так как точки прямой / в этом преобразовании являются двойными, то для них z1 = z. Имеем

(5)

Равенство (5) является уравнением прямой /, так как оно выполняется для любой точки прямой /, обозначенной через Z(z)

Придавая различные значения угла а, m .е. считая t переменным, из уравнения (5) мы сможем получить уравнение любой прямой, проходящей через начало координат. Следовательно, уравнение (5) есть уравнение любой прямой, проходящей через начало координат. При этом

называют угловым коэффициентом этой прямой или коэффициентом наклона к оси ОХ.

Отражение от любой прямой

Пусть Z1 симметрична Z относительно прямой I не проходящей через начало координат и образующей с положительным направлением оси ОХ угол а (черт. 13). Из начала координат проведем любую прямую, которая пересечет / в точке Q (q). Перенесем все точки плоскости на вектор—OQ. При этом прямая / перейдет в прямую h проходящую через точку О под углом а к оси ОХ, точка Z — в точку Z'.

точка Z1 — в точку Z1', z1' = z1—q.

Черт. 13

Так как Z/ и Z1 симметричны относительно прямой /i, то имеем z1/=t-z/, т. е.

z1-q=t*(r-q). (6)

Итак, если точки Z1 и Z симметричны относительно прямой, проходящей через точку Q и пересекающей ось ОХ под углом а, t2 = cos2a + isin2a, то эти точки связаны соотношением (6).

Так как ось симметрии есть геометрическое место двойных точек, то z = z1. Тогда (6) примет вид:

4=ä-=t2, (7)

z—q

имеем уравнение прямой, проходящей через точку Q под углом а к оси ОХ.

Замечание. Если точка Q является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую /, то уравнение прямой (7) примет несколько иной вид. В этом случае началу координат z = 0 симметрична точка Z1 такая, что z1 = 2q. Из уравнения (6) имеем

q=-t4 (8)

Используя соотношения (7) и (8), получим

z—t27—2q = 0, (9)

уравнение прямой, образующей с осью ОХ угол а и удаленной от начала координат на вектор OQ.

На основании предыдущих рассуждений можно сформулировать теорему:

Если точки Z1 и Z симметричны относительно прямой z = t2z + 2q, то их координаты связаны соотношением z1 = l2z + 2q.

Обратная теорема: Всякое уравнение z1 = l2z + 2q есть уравнение симметрии относительно прямой z = t2z + 2q.

Уравнение прямой, проходящей через две точки Z1 и Z*

Пусть прямая имеет уравнение z—t2z—2q = 0, так как Z1 и Z2 принадлежат прямой, то они удовлетворяют ее уравнению z1—t2z1—2q = 0, Z2—t2Z2—2q = 0-

Решив полученные уравнения относительно t2 и q, получим

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки Z1 и Z2 имеет вид:

Произведение осевой симметрии и параллельного переноса

Пусть точка A1 симметрична точке А относительно прямой /, а точка A1 получается из A1 параллельным переносом на расстояние d в направлении той же прямой /. В таком случае говорят, что точка A1 получается из точки А скользящей симметрией с осью / и величиной параллельного переноса d. Другими словами, скользящая симметрия есть произведение симметрии относительно прямой / и параллельного переноса в направлении той же самой прямой (произведение можно брать в любом порядке).

Пусть имеем преобразования z1 = z, Z2 = z1 + rf, тогда z2 = z-frf.

Итак, Z2 = z + d, скользящая симметрия относительно действительной оси и переноса на расстояние d, d — здесь вещественное число.

Признаки параллельности и перпендикулярности прямых

Теорема: Если две прямые параллельны между собой, то они имеют одинаковые коэффициенты наклона.

В самом деле, все параллельные прямые пересекают под одним и тем же углом ось ОХ. Следовательно, t2^=cos2a + isin2a у них остается постоянным. Итак, z—t2z—2q1 = 0 и z—t2z—2q2 = 0 уравнения двух параллельных прямых.

Теорема: Если две прямые перпендикулярны, то их коэффициенты наклона равны по величине, но имеют противоположные знаки.

Доказательство. Пусть t12 = cos2a + isin2a — коэффициент наклона одной прямой и t22 = cos2ß + isin2ß — коэффициент наклона другой прямой. Так как прямые перпендикулярны, то

Произведение двух отражений относительно прямых к и h

1. Прямые U и h параллельны (черт. 14).

Теорема: Произведение двух симметрий относительно параллельных прямых есть параллельный перенос в направлении, перпендикулярном к этим прямым, на величину, равную удвоенному расстоянию между этими_прямыми.

Доказательство. Пусть z1 = zt2 + 2q1 и Z2 = z1t2 + 2q2, уравнения симметрий относительно прямых z = zt2 + 2q1 и z = zt2 + 2q2.

Произведение имеет вид:

Так как OQ1 и OQ2 перпендикулярны данным прямым, то, как доказано выше, равенство (8) имеет вид q1 = q1t2.

Следовательно, Z2 = z+2 (q2— q1 — параллельный перенос на вектор 2(q2—q1), который перпендикулярен данным прямым, а модуль вектора равен расстоянию между данными прямыми.

2. Прямые U и h пересекаются в одной точке.

Теорема: Произведение двух симметрий относительно пересекающихся прямых есть вращение с центром в точке пересечения этих прямых и углом поворота, равным удвоенному углу между ними.

Доказательство. Для простоты рассмотрим прямые, пересекающиеся в точке О. Пусть z—tt2z = 0 и z—t22z = 0, уравнения прямых h и h- z1 = t12z, так как точка Z1 симметрична Z относительно прямой /1, Z2 = t22z1, так как точка Z2 симметрична Z1 относительно прямой /2.

Отсюда произведение симметрий Z2 = t32z, где t32 = t12*t22, есть поворот с центром в той же точке О на удвоенный угол между прямыми h и U так как argt32 = 2(argt2—argt1).

Произведение отражений от трех прямых

1. Прямые /i, /2, /з параллельны.

z1 = t2z + 2q1, точка Z1 симметрична Z относительно прямой lu Z2 = l2z1 + 2q2, точка Z2 симметрична Z1 относительно прямой /2, Z3 = t2Z2 + q3, точка Z3 симметрична Z2 относительно прямой /з. Произведение

Так как q2t2 = —q2, то произведение отражений от трех прямых Z3 = t2z+2(q1 + q3—q2) есть симметрия относительно прямей, параллельной данным и проведенной так, что ее расстояние от прямой U равно расстоянию между прямыми k и /з.

Черт. 14

2. Прямые lu /2, /з пересекаются.

а) Произведение отражений от трех пересекающихся в одной точке прямых есть симметрия относительно такой прямой, проходящей через эту точку, которая образует с прямой h угол, равный углу между прямыми h и /з.

б) Произведение отражений от трех попарно пересекающихся в трех точках прямых есть отражение от новой прямой U, образующей с прямой h угол равный углу между прямыми h и /з, или скользящая симметрия, если коэффициент наклона прямой U равен одному из коэффициентов наклона прямых /i, /2 или /з.

Доказательство этого случая аналогично предыдущему-

Итак, произведение отражений от трех прямых всегда есть отражение от новой прямой.

Итог рассмотренным произведениям отражений подводит следующая теорема:

Всякое движение плоскости может быть представлено как произведение отражений от двух прямых:

а) параллельный перенос есть произведение отражений от двух параллельных прямых;

б) вращение — произведение двух отражений от двух прямых, пересекающихся в одной точке, центре вращения;

в) центральная симметрия — произведение двух отражений от взаимно перпендикулярных прямых.

Группа преобразований

Если какой-либо вид геометрических преобразований удовлетворяет следующим условиям:

а) произведение двух преобразований является преобразованием того же рода;

б) преобразование, обратное данному, есть преобразование того же рода;

в) среди данного вида преобразований существует тождественное преобразование, то этот вид преобразований образует группу.

Итак, совокупность преобразований, обладающая всеми свойствами а, б, в называется группой преобразований.

Среди геометрических преобразований существуют различные группы преобразований, например, группа параллельных переносов, группа движений и др.

Докажем, что все параллельные переносы образуют группу.

а) Произведение двух параллельных переносов есть параллельный перенос.

Пусть z1 = z + q1 преобразует точку Z в точку Z1, а Z2 = z1 + q2 преобразует точку Z1 в точку Z2, тогда

есть параллельный перенос на вектор, равный сумме векторов q1 и q2.

б) Обратное преобразование так же является параллельным переносом.

Пусть z1 = z + q переводит точку Z в точку Z1, тогда z = z1—q переведет точку Z1 в точку Z; имеем параллельный перенос на вектор —q.

в) z1=z, тождественное преобразование есть параллельный перенос на вектор нулевой длины.

Итак, все параллельные переносы образуют группу.

Группа движений

а) Пусть движение z1 = t1z+q1, переводит точку Z в Z1, а движение Z2=t2Z14-q2 переводит точку Z1 в Z2.

Произведение этих движений Z3 = t3Z+q3, где 1з = t1ts. q3 = Uq1 + q2, есть движение.

б) Пусть z1 = tz+q, движение, переводящее Z в Z1, тогда Z можно получить из Z1 преобразованием

Обратное преобразование есть движение,

в) z1=z есть движение, если t=l, q = 0.

Следовательно, все движения образуют группу движений.

Среди геометрических преобразований есть такие преобразования, которые не образуют группы, например, симметрия относительно прямой.

Пусть симметрия z1=^t1z+q1 переводит точку Z в Z1, а симметрия Z2t2Z2+q2 переводит точку z1 в Z2. Произведение этих преобразований: Z2=t3Z + q3, где t3 = t1t2, q3 = t2q1 + q2.

Произведение двух отражений от прямых является движением, т. е. принадлежит к другому виду преобразований, а это означает, что отражения от прямой не образуют группу.

Если рассматривать линейные преобразования, не учитывая ориентации полученных фигур, то найдем, что они образуют группу линейных преобразований-

Группа подобных преобразований

Гомотетия

Гомотетией с центром в точке S и коэффициентом к (к=£0), где к — вещественное число, называется такое преобразование плоскости, при котором каждой отличной от S точке А плоскости

ставится в соответствие такая точка A1 той же плоскости, что

SA1=kSА. Точка A1 называется гомотетичной точке А относительно точки S с коэффициентом гомотетии к.

Уравнение гомотетии

Пусть точка S совпадает с О, тогда точке Z гомотетична точка Z1 с коэффициентом гомотетии к, такая, что z1=kz, так как лежат на одном векторе и отличаются только длиной этих векторов. Если центр гомотетии есть точка U, то 2*_ци = к, к — вещественное число.

Подобие

Если между двумя фигурами можно установить такое взаимно-однозначное соответствие, при котором будут равны соответственные углы и равны отношения соответственных отрезков (т. е. отрезки одной фигуры пропорциональны соответственным отрезкам другой фигуры), то это соответствие (преобразование) называется подобием, а фигуры — подобными.

Теорема: Всякое подобное преобразование может быть представлено уравнением z1 = az+B или z1=az+B, где а и в—комплекс ные числа.

Доказательство Пусть Z1, Z2, Z3 — точки, принадлежащие фигуре F, и Z1r,.Z2', Z3'— образы этих точек, принадлежащие фигуре F', которая подобна фигуре F, |z1—Z2I, Iz3—Z2I—длины отрезков Z1Z2, Z3Z4, |z'i—г'г|, [г'з—z'2|, длины отрезков Z/Z2', bъ'bь'.

угол, образованный отрезками

Следовательно, уравнение z1 = az + B удовлетворяет определению подобия.

Для уравнения z1 = az + B доказательство аналогичное. Обратная теорема: Всякое равенство вида z' = az + B или

z' = az + b, где a, в, z, z' — любые комплексные числа, есть подобное преобразование В частности,

1) если )а]=1, то z' = tz + b, поворот,

2) если а=1, то z' = z + b, перенос,

3) если а = — 1, то z' =—z + в, центральная симметрия,

4) если а= 1, в=0, то z' = z, тождественное преобразование,

5) если [aj=l, то z' = t2z + b, осевая симметрия,

6) если а — вещественное число, то z' = az-i-b, гомотетия.

Преобразование

Ограничения

Геометрический смысл

z1=z + a

a — любое комплексное число

параллельный перенос плоскости на вектор а

z1=tz

it|=i

вращение с центром в начале координат

z1=t(z + a)

a — любое комплексное число, |t|=l

произведение переноса на а и поворота с центром в О

Z1 = t (z—c)+c

с — любое комплексное число, |t|=l

вращение с центром в точке С(с)

z1=kz

к — вещественное число

гомотетия с центром в начале координат

z1=k(z—c) + c

к — вещественное число, с — комплексное число

гомотетия с центром в точке С (с)

z1 = mz

m — любое комплексное число

подобие

z1 = mz+a

m и а — любые комплексные числа

подобие

Z1 = Z

отражение от вещественной оси z = z

z=t2z + a

а — любое комплексное число, |t |=1

отражение от прямой z=f2z + a

z1=mz + a

m и а — любые комплексные числа

произведение отражения и гомотетии

z1 = az + Bz + c

а, в, с — любые комплексные числа

аффинное преобразование

ПРИЛОЖЕНИЕ. ЗАДАЧИ

I. Параллельный перенос.

№ 1. Найти образ прямой /, заданной уравнением z—t2z—2q=0 при паральлельном переносе на вектор а.

Решение: При параллельном переносе на вектор а, каждая точка Z прямой / переходит в точку Z1 прямой /, где z1=z + a. Отсюда

z=z1—а. (1)

Подставляя в уравнение прямой выражение (1), имеем (z1—а) —t2 (z1—ä) — 2q=0

Опустив индекс при z1, имеем уравнение прямой b, полученной параллельным переносом прямой 1 на вектор а. Итак, (z—а)—t2(z—а)—2q=0 уравнение прямой tu образа прямой / при параллельном переносе на вектор а.

Условие, при котором прямая при параллельном переносе переходит в себя:

(z—а) — t2 (7—à~) —2q=z—t2Z—2q

Имеем at2 = a, -=-=t2, т. е. вектор а параллелен данной прямой, а

Итак, все прямые, параллельные вектору переноса, преобразуются в себя, т. е. являются неподвижными прямыми при параллельном переносе.

№ 2. Преобразовать с помощью параллельного переноса, определяемого вектором m, отрезок AВ. Рассмотреть случай, когда отрезок не параллелен вектору m и когда отрезок AB параллелен вектору m.

Указание: Записать уравнения прямых, которым принадлежат отрезки AB и A1B1, где A1B1 — образ отрезка AB при параллельном переносе на вектор m.

№ 3. Даны треугольник ABC и вектор а. Выполнить параллельный перенос треугольника ABC, определяемый вектором а. Внутри треугольника ABC взять произвольную точку M и найти ей соответственную. Будут ли соответственными точками середины соответственных сторон данного и полученного треугольников?

№ 4. Даны ломаные линии ABCDE и A1B1GD1E1. Известно, что АВЦA1B1, AB=A1B1, BCÜB1C1 и BC=B1C1 и т. д. Кроме того, отрезки AB и A1B1, ВС и B1C1 и т. д. одинаково направлены. Доказать, что одна из данных ломаных может быть получена из другой с помощью параллельного переноса.

№ 5. Четырехугольник A1B1GD1 получен из четырехугольника ABCD с помощью параллельного переноса. Будут ли точки пересечения диагоналей этих четырехугольников соответственными точками?

№ 6. Дан острый угол. Построить отрезок данной длины, перпендикулярный к одной из сторон этого угла, так, чтобы концы его лежали на сторонах угла.

Указание: Одну из сторон угла перенести параллельно на данный вектор и найти точку пересечения полученной прямой с другой стороной угла.

№ 7. Найти отрезок, равный и параллельный данному отрезку AB такой, чтобы концы его лежали на двух пересекающихся прямых.

№ 8. Средняя линия четырехугольника делит его на два четырехугольника. Доказать, что середины диагоналей этих четырехугольников являются

вершинами параллелограмма или лежат на одной прямой, представляя собой вырожденный параллелограмм.

Решение: Пусть дан четырехугольник Z1Z2Z3Z4. Средняя линия проходит через точки А, В с координатами у (Z1+Z2), у (Z3+Z4). Имеем два четырехугольника Z1ABZ4 и AZ2Z3B.

Серединами диагоналей этих четырехугольников являются точки с координатами.

Найдем стороны полученного четырехугольника (а, b, с, d).

Итак, противоположные стороны четырехугольника (а, b, с, d) равны и параллельны. Следовательно, полученный четырехугольник является параллелограммом. Центром параллелограмма (а, b, с, d) служит точка с координатой u=-L (z1+z2+z3+z4).

Аналогично доказывается, если взять среднюю линию, проходящую через точку с координатами-I_(z2+z3)и — (z1+z4) или -L(z2+z4) H-i-(z3+z,).

II. Центральная симметрия

№ 9. Найти уравнение прямой 1\% являющейся образом прямой / при симметрии с центром в точке С (с).

Решение: Пусть прямая / задана уравнением z— t2z—2q=0. (1)

При симметрии с центром в точке С (с) каждая точка Z прямой (1) переходит в точку Z1, такую, что z1=—z+2c. (2)

Следовательно, все точки прямой (1) перейдут в точки Z1, заданные равенством (2). Отсюда z=—z1+2c. Подставим полученное значение z в уравнение (I); опустив индекс при z1 получим (z—2с)—/2(z-j-2c)4-2q=0, уравнение прямой 1\ образа прямой / при симметрии с центром в точке С (с). Если с=0, то уравнение прямой I1 имеет вид: z—t2z+2q=0.

№ 10. На плоскости даны точка О и две прямые 1\ и /о, пересекающиеся в точке А. Найти прямые, симметричные прямым 1\ и /2, относительно точки О. Рассмотреть случаи:

а) точка О не совпадает с точкой А;

б) точка О совпадает с точкой А.

№ 11. Точки А и В симметричны относительно точки О. Доказать, что две параллельные прямые, проходящие через точки А и В, симметричны относительно точки О.

№ 12. На плоскости даны точка О и отрезок AВ. Построить отрезок A1B1 симметричный отрезку AB относительно точки О. Доказать, что если точка M делит отрезок AB в отношении m : n, то и соответствующая ей точка делит отрезок A1B1 в том же отношении.

Решение: Пусть отрезок AB задан координатами z1 и z2 и точка M коор-

динатой и, тогда отрезку (z1. z2) симметричен относительно О отрезок (—z1, —z2), точке M (и) соответствует точка M1(—U1). Отрезок AB разделен точкой M (и) в отношении m : n, т. е. z'~u — —, тогда

Что и требовалось доказать.

№ 13. Точки А и A1, В и B1 попарно симметричны относительно центра О. Точки M и M1 принадлежат соответственно отрезкам AB и A1B1, причем AM : MB = A1M1 : M1B1. Доказать, что точки M и M1 симметричны относительно центра О.

№ 14. Доказать, что середина отрезка прямой, заключенного между двумя параллельными прямыми, есть середина отрезков прямых, проходящих через эту точку и заключенных между теми же параллельными прямыми.

№ 15. Доказать, что четырехугольник, имеющий центр симметрии, есть параллелограмм.

№ 16. Доказать, что шестиугольник, у которого стороны попарно равны и параллельны, имеет центр симметрии.

№ 17. Если каждой точке фигуры F можно поставить в соотвествие определенную точку фигуры F1 так, что соответственные отрезки этих фигур равны, параллельны и противоположно направлены, то фигуры F и F1 симметричны относительно некоторой точки.

№ 18. Пусть O1, О2, ..., Огп точки плоскости и AB — произвольный отрезок, отрезок A1B1 симметричен AB относительно O1, A2B2 симметричен A1B1 относительно О2, A3B3 симметричен A2B2 относительно Оз, .... наконец, A2пB2n симметриченA2n—iB2n—1 относительно O2n (на чертеже 2n=4). Доказать, что АA2n-ВB2n.

Черт. 15

Решение: Пусть O1, О2, ..., О2 имеют координаты ~ qlt -i-q2, ... 4j-42n и z координата любой точки отрезка AB (чертеж 15).

После симметрии относительно O1 z переходит в z1=—z+q, относительно О2, z1 переходит в z2=—z1+q2 и т. д.

Записав эти равенства, имеем:

Следовательно, произведение 2n симметрий представляет собой параллельный перенос на вектор, которому соответствует комплексное число —q1+q2—q*+ ⋅.. +42 , таким образом АA1 =ВB1 .

№ 19. Зная, что Z1, Z2, Z3 являются вершинами параллелограмма, найти его четвертую вершину Z4.

№ 20. На плоскости дано нечетное число точек O1, О2, ... On, Произвольная точка А отражается последовательно от точек Оь О2, Оз, -.. On и затем еще раз отражается последовательно от тех же точек O1, O2, ... On. Докажите, что точка Агп , полученная в результате всех 2n отражений, совпадает с точкой А. Останется ли верно утверждение задачи, если n четно?

№ 21. На плоскости даны 2n+1 точек, середины сторон 2n+1—угольника. Построить его вершины.

Решение: Пусть середины сторон 2n+l-угольника имеют соответственно координаты — 4i» — q2, . . . ,—q2n+i. . Обозначая через г\ координату i-й вершины, найдем их, где i=1, 2, ..., 2n+1.

Зная координату первой величины, мы можем найти координаты и остальных вершин:

№ 22. На плоскости даны 2n точек — середины сторон 2n-угольннка. Построить его вершины.

№ 23. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника образуют параллелограмм.

№ 24. Пусть точки M1 (ir)» гДе 2, 3, 4, 5, 6, середины сторон произвольного шестиугольника. Докажите, что существует треугольник T1, стороны которого равны и параллельны отрезкам M1M2, M3M4, MsM6 и треугольник Тг, стороны которого равны и параллельны M2M3, M4M5, MeM1.

Указание: Рассмотреть произведения отражений в точках M1, M2, затем в точках M3, M4 и в точках Ms, Мб. Затем найти произведение полученных параллельных переносов.

№ 25. В плоскости треугольника Z1Z2Z3 дана произвольная точка M (и), которая отражается последовательно относительно всех вершин треугольника один раз и затем второй раз. Доказать, что после последнего отражения отражаемая точка совпадает с точкой М(и).

№ 26. Доказать, что точки, симметричные с точкой M (и) относительно середин сторон четырехугольника, являются вершинами параллелограмма.

№ 27. Построены точки A1(z1'), B1(z2'), C1(z3') симметричные с точкой М(и) относительно середин сторон треугольника ABC, где A(z1), B(z2), С(гз). Доказать, что 1) треугольники ABC и A1B1C1 равны.

2) Прямые AA1, BB1, СО пересекаются в одной точке.

№ 28. В плоскости четырехугольника A(z1), В(гг), С(гз), D(z4) дана точка M (и). Построены точка M1(u1), симметричная с M относительно стороны AB; точка M2(иг) симметричная с M1 относительно стороны ВС; точка M3(и3), симметричная с M1 относительно стороны CD. Доказать, что точки хЧз и M симметричны относительно середины стороны DA.

№ 29. Две противоположные стороны одного четырехугольника соответственно равны двум противоположным сторонам другого четырехугольника. Доказать, что средняя линия первого четырехугольника, делящая пополам две другие его противоположные стороны, параллельна и равна соответственно средней линии другого четырехугольника (оба четырехугольника обладают тем свойством, что при одинаковом их обходе параллельные стороны сонаправлены).

№ 30. Через середину каждой стороны четырехугольника проведена прямая, параллельная отрезку, соединяющему произвольную точку M (и) с серединой противоположной стороны. Доказать, что:

1) эти прямые пересекаются в одной точке N(u1);

2) точка N лежит с данной точкой M и точкой пересечения S средних линий четырехугольника на одной прямой;

3) точка S делит отрезок MN пополам.

3. Вращение

№ 31. Дана прямая / с уравнением z—t2z—2q=0. Найти уравнение ее образа b, полученного вращением I на угол а с центром в начале координат.

Решение. При повороте плоскости на угол а. все точки Z данной прямой переходят в точки Z1, такие, что rг=кг,_где_к= cosa+sina. Отсюда z=kz. Подставляя в данное уравнение, имеем z1k—t2Kz— 2q=0. Опуская индексы при z1 и используя соотношение ^=Y' им^ем z—(tk)2z—2qk=0, уравнение прямой h.

№ 32. Найти образ прямой / при повороте на угол a с центром в точке С (с).

№ 33. Данный отрезок AB повернуть на угол а=120° вокруг данного центра вращения, расположенного вне отрезка AB.

№ 34. Повернуть вокруг данного центра вращения О на угол a данную окружность.

Рассмотреть случаи: а) точка О расположена вне окружности; б) точка О расположена на окружности; в) точка О совпадает с центром окружности.

№ 35. На стороне AB взята точка С. Через А и В проведены по одну сторону AB параллельные лучи, на них отложены отрезки AD=AC и БН=ВС, точка С соединена прямыми с точками D и Е. Доказать, что прямые DC и СЕ взаимно перпендикулярны.

№ 36. Даны две прямые: z=t12z, z=t22z, где t1=cosa+isina, t2=cosß+isinß. Найти уравнения биссектрис углов, образованных этими прямыми.

№ 37. Даны два не параллельных равных отрезка. Доказать, что путем вращения можно один из них привести в совмещение с другим.

№ 38. Даны два равных параллельных отрезка AB и A1B1. Найти центр вращения и угол поворота, переводящего отрезок AB в отрезок A1B1, считая точки А и A1, В и В] соответственными.

№ 39. Треугольник ABC повернут на 180° вокруг центра вращения, который лежит на середине одной из сторон треугольника. Доказать, что построенный треугольник и заданный образуют параллелограмм.

№ 40. Даны две пересекающиеся прямые 1\ и h. Сколько существует центров вращения, переводящих прямую 1\ в прямую /г? Где расположены эти центры?

№ 41. Даны точка А и две параллельные прямые тип Построить треугольник ABC так, чтобы АВ=АС, /А=30°, а вершины В и С принадлежали прямым тип.

№ 42. Построить равносторонний треугольник так, чтобы одна из его вершин находилась в точке А, а две другие — на двух данных пересекающихся прямых.

№ 43. Построить равносторонний треугольник, вершины которого лежат соответственно на трех данных параллельных прямых.

№ 44. Даны две параллельные прямые, пересеченные двумя другими параллельными прямыми. Построить квадрат так, чтобы его вершины принадлежали четырем данным прямым.

№ 45. На сторонах AB и ВС треугольника ABC, как на основаниях построены во внешнюю сторону квадраты ABMN и BCQР. Обозначим их центры буквами Q1 и Q2, середину стороны АС — буквой К, середину отрезка MP — буквой L. Доказать, что Q1LQ2K — квадрат.

№ 46. Некоторая точка С повернута около данной точки А на угол φ в положительном направлении, а полученная точка C1 повернута около другой данной точки В в отрицательном направлении на такой же угол φ. Вновь полученная точка C2 определяет вместе с данной точкой С отрезок ССг. Найти длину этого отрезка и угол наклона его к прямой AB, если АВ=с.

№ 47. Сторона АР треугольника АВР повернута около вершины А на прямой угол в положительном направлении, а сторона BP повернута около вершины В на прямой угол в отрицательном направлении. Доказать, что положение середины отрезка Р1Р2, соединяющего концы Р\ и Р2 повернутых отрезков, не зависит от положения вершины Р.

Решение: Пусть вершины АВР имеют координаты z1 z2 z3 (черт. 16). Вращения z'i=z ,⋅ +z1 (1—i), z'2=—z2i+z2 (1+i) переводят точку P (z3) в точки P1(z1'), P2 (Z2f). Середине отрезка P1P2 соответствует 4Hcno^(z14- Z2/)=z1+Z2+i (z2—z1), которое не зависит от числа Z3. Следовательно, положение середины отрезка P1P? не зависит от положения точки Р.

№ 48. Дан произвольный центрально-симметричный шестиугольник. На его сторонах, как на основаниях, построены во внешнюю сторону правильные треугольники. Доказать, что середины отрезков, соединяющие вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.

Осевая симметрия

№ 49. Найти образ, соответствующий прямой /, заданной уравнением z—t2z—2q=0 при симметрии относительно действительной оси.

Решение: При отражении от действительной оси все точки плоскости, заданные координатой z, переходят в точки с координатой z. Следовательно, все точки Z прямой / переходят в точки Z1, такие, что zj=z. Отсюда z=z1 (1). Подставляя (1) в уравнение прямой / и отпуская индекс при z1, имеем z—t2z—2q=0 уравнение прямой 1\ образа прямой / при отражении от действительной оси.

№ 50. Найти образ I1 прямой /, заданной уравнением z—t2z—2q=0 при отражении от прямой z—k2z—2b=0.

№ 51. Две параллельные между собой прямые заданы уравнениями z—t2z—2q1=0, z—t2z—2q2=0. Найти уравнение оси симметрии этих прямых.

№ 52. Треугольник A1B1C1 получен из треугольника ABC с помощью параллельного переноса. Доказать, что треугольник A1B1C1 можно получить из треугольника ABC путем последовательного преобразования симметрий относительно двух осей.

№ 53. Точки А и A1 симметричны относительно точки О Доказать, что одна из них может быть получена из другой с помощью последовательного

Черт. 16

преобразования симметрий относительно двух взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в точке О.

№ 54. Доказать, что если какая-либо фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то она имеет и центр симметрии.

№ 55. Фигуры F и F1 симметричны относительно точки О. Доказать, что одна из них может быть получена из другой с помощью последовательного выполнения преобразования симметрии относительно двух взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в точке О.

№ 56. Отрезки АС и А'С, ВС и В'С симметричны относительно прямой /. Доказать, что углы /АВС и /А'В'С равны.

№ 57. Даны точка U и прямая / уравнением z—t2z—2q=0. Найти расстояние от точки до прямой.

№ 58. На плоскости даны две точки A(z1) и B(z2). Найти множество точек, симметричных точке А относительно произвольной прямой, проходящей через точку В.

№ 59. Докажите, что три точки, симметричные точке H пересечения высот произвольного треугольника ABC относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.

№ 60. На плоскости даны четыре точки A1, Аг, Аз, A4, причем точка A4 является точкой пересечения высот треугольника A1A2A3. Обозначим окружности, описанные вокруг треугольников A1A2A3 и A1A2A4, A1A3A4, A2A3A4 через S4, S3, S2, S1, центры этих окружностей через 04, Оз, О2, Оь Доказать что:

а) A1 является точкой пересечения высот треугольника A2A3A4, A1 — точкой пересечения высот треугольника A1A3A4, Аз — точкой пересечения высот треугольника A1A2A4;

б) окружности S1, S2, S3, S4 равны между собой;

в) четырехугольник O1O2O3O4 симметричен четырехугольнику A!A2A3A4 относительно некоторой точки О.

Гомотетия

№ 61. Найти образ _прямой 1 заданной уравнением z—t2z—2q=0 при гомотетии z1—u=(z—u) а с центром в точке M (и) и коэффициентом гомотетии а, а — вещественное число.

№ 62. Найти образ, в который преобразуется окружность (z—с) (z—с)=г2 при гомотетии (z1—u)=a(z—u).

№63. Доказать, что данный треугольник и треугольник, образованный его средними линиями, гомотетичны (черт. 17.).

Решение: Пусть данные треугольники гомотетичны. Найдем коэффициент и центр гомотетии.

(1)

Аналогично напишем еще два равенства

Сложив все три полученных равенства, при аф\ имеем:

(2)

Черт. 17

Следовательно, центр гомотетии совпадает с центром тяжести треугольника Z1Z2Z3. Подставляя значение (2) в равенство (1), получим а=—g-. Итак, данные треугольники гомотетичны.

№ 64. Дан треугольник ABС. Сторона АС этого треугольника после параллельного переноса, определяемого вектором СВ, заняла положение В A1. На продолжении ВА отложен отрезок АЕ=ВА. Доказать, что в треугольнике CA1E (черт. 18).

1) каждая сторона вдвое больше соответствующей медианы треугольника ABC,

2) точка А является центром тяжести треугольника A1CЕ.

Решение: Пусть z1, z2. z3 координаты точек А,В,С, тогда вектор CB=z2—z3 и координата точки A1 есть z1+z2—z3. Точка Е есть отражение В в точке А, поэтому координата Е равна —z2+2z1. Итак, вершинам треугольника A1CE соответствуют комплексные числа z1-j-z2—z3, z3, 2z1—z2.

1) Пусть M1 (m1), M2 (m2), M3 (тз) середины сторон треугольника ABC Тогда:

длины медиан треугольника ABС. Длины сторон ЕС, CA, АЕ треугольника ABC.

/2z2—z2—z3|, |2z2—z3—z,|, |2z3—zj—za|. Итак, каждая сторона треугольника, A1EC вдвое больше соответствующей медианы треугольника ABC

2) Пусть N1(n1), N2(n2), N3(n3) — се-редины сторон ЕС, CA1, A1E, тогда

n^-y^Z!— Z2—3Z), n2=-2-(Z! + Z2), n=-2-(3Z!—Z3).

Известно, центр тяжести треугольника является центром гомотетии с коэффициентом — 2, которая переводит середины сторон треугольника в вершины. Найдем координату центра тяжести. Записав уравнение гомотетии z1—и=—2(z—u), имеем 3u=2z+z1. Отсюда u=z1. Центром тяжести треугольника A1EC является точка A (z1). Что и требовалось доказать.

Черт. 18

ЛИТЕРАТУРА:

1. Ж. Адамар, Элементарная геометрия, ч. 1, Учпедгиз, 1957.

2. В. И. Деменкова, Е. Д. Малиновская, Изучение геометрии в IX классе, Новгород, 1964.

3. А. С. Компанеец, О симметрии, изд. «Знание», М., 1965.

4. Журнал «Математика в школе», № 6, 1962, сгр. 86—88.

5. Д. И. Перепелкин. Курс элементарных геометрии, ч. I. 1948.

6. З. А. Скопец, В. А. Жаров. Задачи и теоремы по геометрии, Учпедгиз, 1962.

7. А. И. Фетисов, Геометрия, АПН РСФСР, М., 1963.

8. А. И. Фетисов, Учение о тригонометрических функциях в курсе средней школы, Известия АПН РСФСР, вып. 6, 1946.

9. И. М. Яглом, Геометрические преобразования, ч. 1, М., ГИТТЛ, 1955.

10. И. М. Яглом, Комплексные числа, М., 1963.

11. З. Я. Квасникова, А. И. Поспелов, Е. Н. Ермолаева, Н. М. Калиткин, Сборник задач по геометрии, М., «Просвещение», 1964.

Н. К. Рузин

МЕСТО АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ (В СВЯЗИ С ИЗМЕНЕНИЕМ УЧЕБНЫХ ПРОГРАММ)

В связи с изменением программы по математике для средней школы появилась возможность разрешить давний спор о решении типовых задач. Много нелестных слов было сказано по поводу того, что учителя приучают учащихся мыслить шаблонно, не развивают сообразительности, не учат видеть математику в жизни, ограничиваясь решением типовых задач.

Еще на I Всероссийском съезде преподавателей математики в канун 1912 года Ф. А. Эрн говорил, что «многие видные методисты высказываются претив решения задач по типам, т. е. такое решение приучает детей к пользованию шаблоном и возвращает нас почти в обстановку средневековой школы».

Такого же мнения придерживаются многие современные методисты.

«Весьма вредным надо считать чрезмерное увлечение типизацией задач по способам и приемам решения» (А. Насыров, Использовать развивающее влияние математики, «Народное образование», № 3, 1965)

В журнале «Математика в школе» № 1 за 1964 год подведены некоторые итоги дискуссии по данному вопросу. И. К. Андронов в статье «О новой мере в постановке вопроса решения сложных задач арифметическим методом» указывает, что «методический спор, где кончается школьная арифметика и где начинается школьная алгебра» возник на нездоровой тенденции обособления школьных методических предметов.

Н. А. Принцев там же в статье «Шире применять алгебраический метод» рекомендует ввести название «задачи на вычисление» вместо деления задач на арифметические и алгебраические, решать типовые задачи на нахождение чисел по сумме и разности, по сумме (разности) и отношению и другие сложные задачи при помощи составления уравнений.

Однако учитель до сих пор не может положительно отнестись к призывам не решать типовых задач арифметически. Его сдерживают два обстоятельства. Во-первых, стабильный задач-

ник заполнен типовыми задачами и по их образцу составляются проверочные работы. Во-вторых, у учителя нет выбора и в методах решения: если задача помещена в арифметическом задачнике, то и решать ее требуется «без икса».

Большинство типовых арифметических задач практического характера, имеющихся в задачниках, не отражают объективно существующих жизненных отношений, что следует из искусственной подгонки их авторами под определенные типы. Жизнь диктует новые практические задачи, и надо их увидеть, обобщить, а не подгонять под одну навсегда установленную систему.

В дальнейшем изложении мы будем пользоваться смешанной условной классификацией (как по содержанию, так и по методам решения).

Сейчас учащиеся с первого класса начинают решать задачи при помощи составления уравнений. Во избежание появления новых шаблонов в мышлении учащихся, необходимо выделить те задачи, которые предпочтительнее решать арифметически, тем более, что некоторые задачи (например, комбинаторные) не могут решаться при помощи уравнений.

1. О традиционных типовых арифметических задачах

«Более или менее установлено, что учащихся надо научить решать задачи на «смешение», на «пропорциональное деление», на «совместную работу», на «движение», на «проценты», на «тройное правило». (И. В. Арнольд, Принципы отбора и составления арифметических задач, Известия АПН РСФСР, выпуск 6, М.-Л., 1946 г.).

Учитывая, что выдержка взята из наиболее важной работы, посвященной рассматриваемой нами проблеме за последнее время, остановимся на каждом из указанных типов задач.

Задачи на «смешение»

В настоящее время практически задачи на смешение встречаются редко. В старых задачниках было много задач на вычисление средней цены смеси, средней крепости растворов, средней температуры смеси, пробы золота и т. п. Одни из них потеряли значение, другие стали иметь узко физический или химический смысл. Например, определяя стоимость детского подарка, не пользуются формулами смешения; задачи на определение температуры смеси решают в курсе физики, применяя специальные формулы.

К. А. Рупасов в статье «Решение арифметических задач на смешение» (Сборник «Вопросы преподавания математики», выпуск 2, Тамбов, 1963 г.) делает обобщение задач на условное смешение первого и второго рода. Однако, методы решения, которыми он пользуется, по нашему мнению, не арифметиче-

ские, а алгебраические. Некоторые же его задачи практически нецелесообразны :

Мать купила детям на платья 4 м ситца и несколько метров сатина. Метр ситца стоит 0,5 руб., а метр сатина 1,5 руб. В среднем метр материи обошелся в 1,1 руб. Сколько было куплено сатина?

Возникает вопрос: как же мать определила среднюю стоимость, не зная, сколько она купила сатина?

Мы предлагаем отказаться от задач на «смешение», больше внимания уделить более современным задачам на вычисление среднего арифметического.

Задачи на «пропорциональное деление»

Общая схема решения задачи на прямую и обратную пропорциональную зависимость, на пропорциональное деление удобна для решения без составления уравнений. В тех случаях, когда мы вводим обозначения вида x1 : Х2 : xs=--1 : 5 : 7, за буквами нет содержания, а только символы.

Задачи рассматриваемого типа тесно связаны с практикой, если отношение величин вытекает:

— из распределения пропорционально количеству людей, объектов, затраченному времени, нормам выработки, грузоподъемности автомашин, механизмов, квалификации работников или условиям договора и т. п.;

— из расхода материала пропорционально величине, весу изделий, из расхода горючего пропорционально расстоянию, времени;

— из задания компонентов смеси в частях или процентах.

Задачи на пропорциональное деление содержат богатый материал для развития логического мышления: в них приходится устанавливать вид зависимости, сравнивать результаты при разных условиях, изменять значения величин или проследить эти изменения и т. п.

Наконец, задачи на пропорциональное деление имеют богатое практическое приложение в составлении диаграмм всех видов, в применении масштаба, во многих хозяйственных расчетах.

«Включение детей в общественно-полезный труд помогает выбрать такие темы для практических задач, в которых находит свое применение пропорциональное деление. Сюда относятся всякого рода распределения. Например, распределение зеленых насаждений для ухода за ними между двумя ученическими бригадами (по числу учащихся), распределение между звеньями (по числу учеников) таких работ, как мытье парт, комнатных растений, подклейка карт и др.» (Связь обучения в восьмилетней школе с жизнью, под редакцией Э. И. Моносзона, М. Н. Скаткина, АПН РСФСР, М., 1962, стр. 170).

За последнее время в печати термин «пропорциональный»

все чаще употребляется в смысле «ритмичный», «равномерный». Поэтому необходимо решать задачи с новыми понятиями.

Известно, что из 10 т металлолома можно изготовить 1 трактор, или 150 холодильников, или 350 стиральных машин, или 500 велосипедов, или 4500 электрических утюгов. Составить отношение веса металла, потребного на каждое из этих изделий.

В школах Киргизии до революции было 7 000 учащихся. В 1965 году их стало 629 000. В Таджикистане число учащихся соответственно 400 и 600 000. В какой республике относительный рост числа учащихся выше?

Колхозники внесли на каждый гектар пашни по 11,3 т органических удобрений и получили по 16 ц зерна с гектара. В соседнем колхозе внесли на гектар по 12,6 т удобрений и получили по 16,5 ц с га. Пропорционален ли урожай количеству внесенных в почву удобрений? Пропорционален ли прирост урожая количеству удобрений? (Прошлогодний урожай — по 9,2 ц с га).

Известно, что в январе завод перевыполнил план на 5%, в феврале — на 8% к декабрю, а в марте — на 11% к февралю. Ритмично ли работал завод в I квартале?

В состав асфальтовой массы входит 10% битума, 20% заполнителей, 70% песка и гравия. Какое наибольшее количество асфальта можно изготовить, если имеется 40 т битума, 90 т заполнителей и 210 т песка и гравия?

Задачи на «совместную работу»

Задачи данного типа, пожалуй, больше других подвергаются критике в научной и даже художественной форме за оторванность их содержания от жизни, за «переливание из пустого в порожнее».

Один экскаватор может вырыть котлован за 3 дня, а другой за 5 дней. За сколько дней оба экскаватора, работая вместе, выроют котлован?

Нецелесообразность задачи заключается не только в том, что при совместной работе изменяется организация труда, что в свою очередь повлияет на время. Главное — практические расчеты производят обычно через объем работы и норму выработки. Поэтому целесообразней была бы такая задача:

Требуется вырыть котлован объемом 5000 куб. м. Производительность одного экскаватора (с учетом обеспечения транспортом) 18 куб. м в час, другого — 25 куб. м. За сколько часов будет выполнена работа? (Справятся ли экскаваторы с работой за неделю? Через сколько дней можно второй экскаватор перевести в другое место, чтобы первый справился с работой к концу пятидневки?).

Но в этом случае задача уже не относится к типу «на совместную работу». При совместной вспашке поля двумя тракторами,

при совместней работе двух машинисток, при заполнении бассейна одновременно через две трубы — везде расчеты ведутся через объем работы и норму выработки (производительность труда).

Сейчас нередко величину—, где n — время, затраченное на выполнение всей работы одним рабочим, одной машинисткой и т. п. называют производительностью труда. Но ведь производительность труда — это количество продукции, выработанной рабочим в единицу времени, или количество рабочего времени, затраченного на единицу продукции.

Задачи на «движение»

При существующей программе задачи на равномерное движение учащиеся решают на уроках физики, причем они гораздо легче помещенных в арифметические задачники. Это и понятно: ведь содержание большинства последних искусственно, нежизненно.

Желая приблизить содержание задач на движение к жизни, тексты усложняют дополнительными условиями. Например, указывают продолжительность каждой стоянки в единицах времени или в процентах к общему времени движения. Задача усложняется, но практическая ценность ее от этого не увеличивается. Дело в том, что эти задачи имеют очень большое значение для пропедевтики функциональной зависимости, и от них нет необходимости требовать узкого практического смысла.

Точно так же нет необходимости решать задачи на движение (кроме простейших случаев) арифметическим путем. Именно они удобны для обучения составлению уравнений по условиям задач. За алгебраический метод решения говорит хотя бы тот факт, что учащиеся старших классов, педучилищ, студенты вузов решают задачи на движение обычно алгебраически, а потом с трудом «изобретают» арифметическое решение.

Задачи на «проценты»

Все три вида задач на проценты (нахождение процента от числа, числа по проценту и процентного отношения) удобно решать арифметически. Применяющаяся в последнее время замена процента дробью имеет целью установить единообразие нахождения части и процента от числа. В то же время такая замена уничтожает проценты, хотя они были в свое время введены именно для облегчения и удобства расчетов.

Процентные расчеты встречаются так часто, что замена процентов дробями не может быть признана целесообразной. В практике такой заменой не пользуются.

Все чаще появляются задачи на процентные вычисления,

связанные с нахождением «сухого вещества» и с оценкой процента, исходящей от уменьшения или увеличения числа на несколько процентов. Например: 30 кг грибов имели влажность 85%. После сушки влажность их стала составлять 6%. Каков вес сушеных грибов?

Цены на молоко в летний период снизились на 10%. На сколько процентов возросла покупательная способность в этом случае?

Мы считаем, что задачи на проценты должны остаться в курсе арифметики, а пояснения к решению задач последних видов необходимо дать в учебнике.

Задачи на «сложное тройное правило»

По способам решения задачи эти мало отличаются от задач на пропорциональное деление, они неудобны для составления уравнений, тем более, что значения величин в них зависят сразу от нескольких других значений.

На первый взгляд многие задачи из задачника С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева имеют практическое значение. Например:

№ 1187. Для 16 голов скота на 36 дней требуется 1,96 кг сухой подстилки. Сколько сухой подстилки потребуется для 20 голов скота на 40 дней?

№ 1190. В железной пластинке толщиной 32 мм можно просверлить 24 одинаковых отверстия за 54 минуты. За какое время можно просверлить 16 таких же отверстий в пластинке, толщина которой 28 мм?

№ 1193. Для экспедиции в 15 человек на 40 дней было приготовлено 240 кг сухарей, 36 кг сахару и другие продукты. В экспедицию отправилось 18 человек на 45 дней ...

№ 1194. За 18 рабочих дней бригада лесорубов в составе 15 человек заготовила 972 кубометра дров. Сколько дров заготовит бригада из 12 человек за 25 дней при той же производительности труда?

В практике подобные расчеты ведутся с учетом нормы выработки и объема работы. Что касается задач, в которых говорится о замене плиток паркета, о замене материала одной ширины материалом другой ширины, то они практически не всегда выполнимы или результаты имеют большие погрешности к подсчетам при помощи сложного тройного правила.

В «Собрании арифметических задач для гимназий» (Составители Малинин и Буренин, издано в Москве в 1885 году) задачи рассматриваемого типа занимают целый раздел. Но в то время они были практически необходимы.

№ 2887. На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 рублей. Сколько нужно издержать на 75 человек в 70 дней?

Предприниматель именно так определял свои издержки.

Хотя И. В. Арнольд считает, что этот тип задач безусловно надо включить в курс начальной арифметики, мы считаем подобные расчеты изжившими себя, тем более, что из программы эти задачи исключены. Немногочисленные их примеры можно решать составлением двух пропорций.

Другие типовые задачи действующей программы по арифметике

В объяснительной записке к ныне действующей программе по арифметике рекомендуется кроме указанных выше типов решать задачи на нахождение чисел по их отношению и сумме (или разности), на нахождение чисел по их сумме и разности, нахождение дроби числа и числа по его дроби.

Уже само название типов задач указывает на их алгебраическую природу. В большинстве случаев их алгебраическое решение проще арифметического. В то же время четкое текстовое оформление этих задач удобно для сопоставления обоих методов решения.

Например: «В магазин завезли 5240 кг капусты и свеклы, причем известно, что капусты на 1020 кг больше, чем свеклы. Сколько свеклы завезли в магазин?

Арифметическое решение: Алгебраическое решение:

Из сопоставления методов видим, что они фактически дублируют друг друга, поэтому задачи на нахождение чисел по их сумме и разности и т. п. наиболее удобны для сознательного обучения составлению уравнений по условиям задач. Именно на этих типах уместно решать задачи любым методом и даже объединять методы решения. Например, изменим вопрос помещенной выше задачи: сколько выручили от продажи свеклы, если цена 1 кг 4 копейки?

Решение:

Первая часть задачи решается алгебраически, а вторая — арифметически.

В «Занимательной алгебре» Я. И. Перельмана вторая глава посвящена искусству составлять уравнения; подобраны задачи, содержание которых легко «переводится на язык алгебры». Начинать же такой перевод удобно именно с указанных выше типов. С таким расчетом и составлены алгебраические задачники. Дело за тем, чтобы решать задачи одновременно обоими

методами, переходя постепенно к самостоятельному выбору одного из них.

Нахождение дроби числа и числа по его дроби. В практике такие задачи широко распространены. Например, требуется найти долю, как результат деления числа на равные части, как результат распределения, как составной элемент смеси, заданный отношением, как величину усушки, припека и т. п. В дальнейшем это приводит к аналогичным ситуациям с процентами.

Гораздо меньше распространена обратная задача: нахождение числа по его дроби.

Задачи данных типов не поддаются решению при помощи составления уравнений (кроме тех, которые имеют искусственное содержание, т. е. усложнены дополнительными условиями).

Например: «Выполнив-^- заказа, завод выпустил 4 000 холодильников. Как велик заказ?» ⋅J-X = 4000; X = 4000 = 6000 холодильников.

Решение выполнено арифметически, т. е. х имеет чисто символическое значение, искусственные приемы решения уравнений не применены.

В стабильных задачниках обычно отсутствуют задачи третьего вида, т. е. задачи на определение самой дроби, однотипные с нахождением отношения. В теме «Отношение» таких задач тоже нет. В практике же подобные задачи встречаются все чаще. При этом «само число», которое мы принимаем за единицу, называют базой расчета. Приведем примеры наиболее типичных задач с относительными величинами.

Верны ли высказывания: Секунда составляет-^- часть часа. Число, показывающее длину стороны квадрата, равно -j- числа, показывающего его площадь. Отношение 15-минутного перерыва к продолжительности урока 1 : 4.

Отношение площади окон к площади пола класса должно быть 1 : 5. Лучше или хуже освещение при отношениях 1 : 6? 1:3?

В 100 г капусты содержится 40 мг, а в 1 кг зеленого горошка 250 мг витамина С. Составить отношение веса капусты и горошка, при которых количество витамина С в них будет одинаковым.

В 5 «а» классе из 35 человек трое отстающих, а в 5 «б» из 32 — двое. В каком из этих классов успеваемость относительно выше?

В одной пионерской дружине 843 пионера, они собрали 2276 кг макулатуры. В другой дружине 345 пионеров собрали 1 т макулатуры. Какая дружина имеет лучшие относительные показатели?

II. Новые виды арифметических задач

Развитие науки и техники, общественных отношений вызывают к жизни новые типы задач. Мы даем им чисто условную классификацию (как по содержанию, так и по способам решения). Эта классификация установлена из анализа содержания задачников для средних специальных учебных заведений, из анализа математического содержания газет и журналов, из необходимости воспитания у учащихся желания и умения видеть математическую сторону окружающей их жизни, из дальнейшего развития школьного курса математики.

Новое содержание задач требует постановки вопросов в разнообразной форме.

Задачи, требующие обработки газетной, журнальной корреспонденции

Ежедневно печать, радио несут большой поток числовой информации. В одних случаях даются числа в сопоставлении, расчеты производятся автором корреспонденции. В других случаях даются лишь узловые данные. В обоих случаях перед читателем возникает задача.

Если читатель математически воспитан, то он решит возникающие задачи, и чтение будет более продуктивным. В целях такого воспитания мы решаем с учащимися специально подобранные задачи.

Объясните, как вы понимаете количественные отношения в примерах: Рабочая пчела в состоянии переносить полезный груз, равный почти 3Д ее веса, у транспортных же самолетов дробь не более Vs. Коэффициент использования автомашины на уборке достиг почти единицы при технической норме 0,75 42% территории нашей страны находится в плену вечной мерзлоты. В 1965 году доля СССР б промышленном производстве мира достигла 20%.

В газете «Правда» сообщается, что в Ставропольском совхозе на поливных участках собрано озимой пшеницы по 40 ц с га, а на богарных (неполивных) —620 т с 212 га. Сколько земли высвободилось бы, если все земли сделать поливными?

В «Марийской правде» сообщается, что из 145,6 тысяч учащихся в республике отстающих было в первом полугодии 14 тысяч. Сравните эти данные с положением в вашем классе, школе.

В тепличном хозяйстве Марийской сельхозопытной станции при опылении пчелами получено по 22 кг огурцов с каждого квадратного метра, а без опыления — 650 ц с площади 0,8 га. Докажите, что наличие ульев в теплицах повышает урожай.

Стало известно новое расписание поездов. «Уехав из Йошкар-Олы в 14 час. 04 мин., вы сойдете в Москве в 9 час. следую-

щего дня. Удобно и возвращение домой: из Москвы поезд будет отходить в 15 час. 40 минут. Поезд Йошкар-Ола — Помары отправляется в путь в 7 час. 08 мин. и прибывает в Помары в 10 час. утра».

На какие вопросы можно ответить, пользуясь таким расписанием?

Задачи, требующие обработки статистических данных. Задания по социологическим исследованиям

Статистические сводки, сборники за последнее время систематически публикуют показатели развития народного хозяйства, повышения жизненного уровня народов нашей страны, различные данные для сравнения. Возбудить желание анализировать статистические данные, конкретно определить свое положение в обществе, научить простейшим приемам анализа, сравнения, обобщения можно при помощи специально подобранных задач.

Еще Н. К. Крупская выступала за то, «чтобы ребятам была ясна . . . роль математики в организации общественной жизни (роль статистики, учета, планирования)» (Избранные педагогические произведения, 1948 г., стр. 175).

Однако, названные задачи редко встречаются в задачниках, т. е. они «плохо работают на алгебру». При этом незаслуженно умаляются воспитательные и прикладные цели преподавания, связь с жизнью.

«...нужно только раз получить интерес к этим дробям, нулям, нуликам, к этой вообще цифровой крупе, которою усеяны статистические книги и таблицы, как все они, вся эта крупа цифр начинает принимать человеческие образы и облекаться в картины ежедневной жизни». (Г. И. Успенский, Собрание сочинений, том 7, ГИХЛ, М., 1957, стр. 483).

Учащимся 4—6 классов вполне доступны задачи, связанные со статистическими наблюдениями, группировкой и анализом, возникающие в классе, в школе, в семье. Например, определение успеваемости в классе и школе, подведение итогов сбора металлолома, макулатуры, расчет бюджета семьи и т. п. Мы предлагали учащимся задачи такого содержания:

Подсчитано, что в СССР каждый третий человек учится (старше 7 лет). Сравните этот показатель с показателем вашего села, дома, семьи.

На строительство 1 км высоковольтной линии электропередач расходуется 17 тонн провода, на каждую опору 8 т; на 1 км ставятся 3 опоры. Какой длины линию электропередач можно сделать из металлолома, собранного за год учащимися вашей школы?

К концу октября 1966 года численность населения Индии превысила 500 млн. человек. Ежедневный прирост населения

34 000. Превысит ли население Индии 1 млрд человек к 2 000 г.?

На оплату жилья у рабочих семей США и Англии уходит 20—30% заработка, в Италии — до 40%. А у вас?

Задание: составь фотографию времени одного дня. Сколько процентов времени суток ты расходуешь на работу по хозяйству? Сравни последнее с показателями своей сестры, мамы.

Большое место в статистике имеет исчисление относительных величин. Например:

«Относительная величина перехода металла в готовые изделия в прокатном производстве составляет 0,76». Запишите данное предложение в форме отношения. Как объяснить, что на машиностроительных предприятиях соответствующая относительная величина составляет 0,65?

Задание: вычислить освещенность в классе, т. е. отношение площади окон к площади пола. Это отношение должно быть равно Vs. Освещение будет хуже или лучше, если коэффициент равен lU\ xh\ 3/ю?

К статистическим относятся задачи на вычисление средних величин, среднего арифметического. Мы сообщаем учащимся некоторые специальные сведения о среднем арифметическом. Оно не всегда объективно отражает действительность. Несоблюдение однородности величин ведет к искажениям.

«...если бы я взял миллионщика Колотушкина, у которого в кармане миллион, присоединил к нему просвирню Кукушкину, у которой грош, — так тогда в среднем выводе на каждого и вышло бы по полумиллиону» (Г. И. Успенский, Собрание сочинений, т. 7, ГИХЛ, М-1957, стр. 484).

В США существует термин «средний американец», его доход определяется как среднее арифметическое доходов всех американцев; при этом доходы рабочих и капиталистов считаются равными, чего на деле не бывает.

В некоторых случаях однородность нарушается с целью лучшего сопоставления данных. Например, средний прирост мировой продукции древесины с 1 га леса составляет 12 куб. м в год, но при этом 1 га леса у Полярного Круга дает 0,5 куб. м, а 1 га тропического леса — 25 куб. м.

Средняя мировая продуктивность в тоннах на 1 га: пшеница— 3,44, кукуруза — 4,12, картофель — 3,87, сахарная свекла — 7,65. Такие средние величины удобны для сравнения с местными показателями.

Иногда средние величины выглядят непривычно. Например, средний размер городской семьи 3,5 человека. В этом случае переходим к сравнению: в каждых двух семьях — 7 человек.

Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную.

Пример 1. Семья состоит из 4 человек. Отец зарабатывает 112 руб. в месяц, мать 85 руб., сын получает стипендию 30 руб, дочь — ученица. Определить средний доход на одного члена семьи.

Формула вычисления простой средней арифметической:

Пример. 2. От закрепленных 17 коров доярка получила годовой надой: от 5 коров — по 2200 л, от 7 — по 1800 л, от 3 — по 1200 л. Определить средний надой от каждой коровы.

Формула вычисления взвешенной средней арифметической:

Особой группой задач на средние величины являются расчеты на 100, 1000, 10 000 жителей, на 100 га пашни или сельхозугодий, расчеты мощности механизмов на каждую сотню работающих и т. п.

На каждую тысячу жителей в СССР в среднем выписывается 264 экземпляра газет. Задание: сравните этот показатель с положением в вашей семье, классе, доме. Сравните полученные данные с положением в Индии, где на каждую тысячу населения выписывается в среднем по 12 газет.

Решая задачи статистического и социологического содержания, учащиеся не могут не знакомиться со специальной терминологией, тем более, что она постоянно встречается им в газетах, радиопередачах, в разговорах со старшими: кубатура квартиры, густота населения, густота железных дорог, смертность населения, норма жилплощади, норма выработки, норма времени, средняя часовая выработка, производительность труда, оклад, часовая ставка зарплаты, фотография рабочего времени, условная экономия, отчетный период и т. п.

Некоторые средние показатели очень полезны в воспитательном отношении, их мы включаем в тексты задач, следим за их изменением, оформляем в виде плакатов. Материал берем из статистических сборников типа «Мы и планета» (издательство полит, литературы, М., 1967 г.).

Задачи на составление смет, ведомостей, таблиц и их проверку

Кроме целей, указанных в предыдущем разделе, задачи данного типа знакомят учащихся с простейшей документацией математического характера. Наша общественность постоянно критикует школу за то, что учащиеся не умеют заполнять деловые бумаги. Определенную работу в этом направлении можно выполнить и на уроках математики.

«При формировании арифметических понятий и выработке умения решать задачи нужно не только исходить из жизненных ситуаций, из опыта детей, но вместе с тем учить детей применять полученные знания на практике. В этих целях надо использовать так называемые задачи-расчеты (составление детьми простеньких смет различного рода и т. д.)

Составьте сметы: а) на питание (в своем классе или в школе), б) на проведение дальней экскурсии, в) на ремонт своей классной комнаты, г) на починку обуви в своей семье...» (Связь обучения в восьмилетней школе с жизнью, под редакцией Э. И. Моносзона, М. Н. Скаткина, АПН РСФСР, М., 1962, стр. 172).

Учащиеся самостоятельно отыскивают данные и рассчитывают количественную сторону труда: норму, время, производительность, валовую выработку и др. Необходимые данные они могут узнать в справочниках, из бесед со взрослыми, из своего опыта.

Таблицы, рекомендуемые учащимся для составления, подразделяются на 3 вида: простые, групповые, комбинированные.

Таблица количества яиц, полученных за год от каждой курицы-несушки.

Остроумова А. Н.— 236. Ванюкова 3. П.— 229. Горина Б. И.—223. Это простая таблица. Сведения об отдельных птичницах даны без обобщения, без объединения в отдельные группы. Сведения позволяют узнать число птичниц и число собранных ими яиц.

Для составления групповой таблицы надо условиться, по каким однородным признакам будет проведена группировка. Итоги подводятся по каждой группе и общие.

Таблица количества яиц, полученных за год от каждой курицы-несушки в колхозах района. Колхоз «Сила» — 232. Колхоз «Рассвет» — 218. Колхоз «Заря»—185. Можно производить группировку сразу по нескольким признакам, тогда получим комбинированную таблицу.

Автотранспортный парк в колхозах района

Автомашин

Тракторов

Итого

Колхоз «Сила» 12

15

Колхоз «Рассвет» 23

28

Колхоз «Заря» 18

13

Задания. Составьте таблицу (ведомость) чтения книг учащимися вашего класса. Сколько книг в среднем читает за месяц каждый ученик?

Считай быстро:

Дано в уплату 3 руб. 5 руб. 10 руб. 25 руб.

Стоимость покупки 1—12 2—03 7—77

Сумма сдачи 3—48

Заполните таблицу, производя вычисления на счетах по строкам и столбцам. Итог должен выразиться одним числом. Какими свойствами арифметических действий мы при этом пользуемся?

Наименование товара

Остаток на начало дня

Принято за день

Продано за день

Остаток на конец дня

Судак

15кг 700г

14ц 40кг

4ц 17 кг

Окунь

3 кг 400г

6ц 20кг

5ц 13кг 800г

Лещ

2ц 46кг 300 г

Итого

Заполните таблицу. Участие вашего класса в обществах

Число членов

Процент к составу класса

Процент к составу школы

1. Охраны природы

2. Спортобщества

3. Красный крест

4. Охраны памятников архитектуры

Задачи типа рекламы, наглядной иллюстрации

Большим мастером в составлении задач этого типа был Я. И. Перельман. Его «Занимательная арифметика» имеет подзаголовок «Загадки и диковинки в мире чисел». Однако описанные «диковинки» имеют большое значение для математического развития. Яркие примеры побуждают читателя искать наглядные сравнения для чисел, встречающихся в жизни, дают возможность полнее представить данные в задачах величины. Вот один из примеров (стр. 169).

«Ящик объемом в одну кубическую географическую милю мог бы вместить здания всего мира, флоты всех государств, все машины и сооружения всех частей света, население всего Земного шара, всех животных нашей планеты, притом не был бы еще полон доверху. А из Земного шара можно сделать 660 миллионов подобных ящиков».

Большинство сравнений Перельмана носят занимательный характер, что обусловлено названием книги. Фактически же сравнения, требующие математических расчетов, делаются не

ради занимательности, а с целью создать осязаемое представление о значении величины.

Из анализа статистических сборников, агитационной литературы можно составить подборку основных приемов сравнений, играющих роль арифметических задач:

Поезд с углем, добытым в СССР в 1965 году, мог бы 2,5 раза опоясать Землю по экватору.

В сибирских недрах обнаружено море кипятка, которое больше Каспийского, Черного, Азовского, Баренцева морей, взятых вместе, по площади.

Если бы Эйфелеву башню поставить на дно Коркинского угольного разреза, то ее не было бы видно.

За 10 месяцев совхоз «Семеновский» продал 4200 т молока, или по 170 стаканов в среднем на каждого жителя Йошкар-Олы.

Каждые 15 секунд у нас сейчас в новую квартиру въезжает одна семья.

Такое количество металла производилось в 1930 г. за 10 минут, в 1934 г. за 5 минут, в 1961 г.— за 1 минуту.

На каждом четвертом из выпущенных в мире тракторов стоит марка «Сделано в СССР».

Каждый рубль, вложенный в производство, дал 3 рубля прибыли.

Особую группу сравнений составляют подборки «Один процент», «Один рубль», «Один киловатт», «Один час», «Один день района», «День нашей страны», «Один гектар пашни» и т. п. (Такие задачи можно отнести и к типу статистических задач).

Нетрудно заметить, что приведенные задачи-сравнения имеют разную степень наглядности. Тот факт, что поезд может опоясать Землю 2,5 раза по экватору, не очень убедителен для учащихся, т. е. длина экватора неощутима для них. Поэтому надо искать более близкие примеры. Вот что писал по этому поводу М. А. Величко в журнале «Рабоче-крестьянский корреспондент», № 10, 1961 г., стр. 82.

«Я хочу выступить в защиту цифр. Мы с ними обращаемся неумело, хотя цифр в наших очерках полным-полно!

Лесоруб выдал за смену 125 кубометров. Много это или мало? Раз человека хвалят, значит, много. Читатель верит автору на слово, но чувств никаких это не вызывает. Когда построили новый Московский университет, мы писали, сколько там бетона уложили, какая длина коридоров, что там 22 тысячи комнат... Цифра «22 тысячи» осталась нераскрытой. А вот корреспондент «Юманите» довольно своеобразно расшифровал эту цифру. Он написал, что если в первую комнату этого здания поместить новорожденного ребенка, а потом каждый день переводить его в следующую комнату, то он выйдет из университета стариком в 63 года.»

Для составления сравнений и их анализа учащимся должны быть известны «эталоны». Длина — расстояние до Москвы и

других городов, длина экватора Земли, длина Волги и других рек, расстояния до планет, пути, пройденные космическими кораблями и др. Высота — стандартная высота телеграфного столба, пяти- или восьмиэтажного дома, высота Останкинской телебашни, Эйфелевой башни, высоты гор и глубины океанских впадин и др.

Аналогичные подборки можно составить для площади, объема, веса, скорости, цены... В связи с ними находятся таблицы-подборки «самое-самое». Читая Детскую энциклопедию, справочники, журналы, учащиеся больше внимания вынуждены уделять сведениям о новейших достижениях науки, техники, человеческого разума. Например, высочайшая горная вершина Джомолунгма — 8848 м, самое глубокое озеро Байкал— 1940 м, самое высокое здание Эмпайр-Стейт-Билдинг в Нью-Йорке — 380 м, самое большое университетское здание — МГУ и т. п. Сюда же можно отнести таблицу основных спортивных рекордов.

Одни из приведенных данных абсолютны, другие изменяются, и за этими изменениями надо следить.

Красочно оформленные страницы математических задачников на темы «Самое высокое», «Самое тяжелое» и др. аналогично однотипным страницам из учебников физики хорошо послужили бы математическому развитию учащихся. Чтобы учащиеся сознательно составляли тексты задач, нужны и таблицы-вкладыши другого вида:

Анализ детских газет и журналов последних лет показывает, что их редакции не имеют системы в подаче математического материала, все реже стали встречаться в печати подборки «Знаешь ли ты?», «Это интересно знать», «Отгадай» и др.

Приведем примеры задач типа рекламы и наглядных сравнений.

Составьте наглядные сравнения приведенных данных:

— За последние 10 лет в Марийской АССР вырублено 45 млн. куб. м древесины.

— За пятилетие в МАССР будет осушено 10 000 га заболоченных земель.

— На нужды орошаемого земледелия ежегодно во всех странах расходуется 1 000 куб. км воды.

— Для строительства 64-квартирного дома требуется около 600 000 штук кирпича. Марийский завод силикатного кирпича выпустил в 1966 году 80 млн. штук силикатного и 4 млн. штук красного кирпича.

Объяснить наглядно следующие примеры. 52% площади Тихого океана находится в тропическом поясе. Норма боя кирпича на стройке 2%. 75% стоимости содержания в детском саде оплачивается государством.

Запишите текст, заменяя проценты показателями на 1000 населения. В Гватемале 82% населения неграмотно. В Гаити неграмотно 89,5% населения.

В газете сообщается, что «металлургический комбинат в Новой Гуте (ПНР) дает в год 32 млн. тонн товарной массы. Если ее погрузить в 20-тонные вагоны, то получится 40 тысяч поездов общей длиной в 16 тысяч километров.» По сколько вагонов в каждом поезде имел в виду автор корреспонденции?

«Канавокопателем за смену можно вырыть осушительную канаву длиной 2 м и глубиной 80 см. Чтобы сделать такую канаву ручным трудом, понадобилось бы не менее 300 рабочих-землекопов.» Проверьте подсчеты автора.

Если все население Земли — 3 300 млн. человек — поселить в одном городе с допустимой сейчас нормой плотности населения 350—400 человек на 1 га, то поместится ли такой город на территории Марийской АССР?

Задание. Составить плакат, призывающий экономить электроэнергию в школе. Использовать такие данные: с помощью одного киловатт-часа электроэнергии можно добыть 80 кг каменного угля, 45 кг руды, изготовить 20 кирпичей, 2,5 м ткани, выпечь 125 кг хлеба.

При нынешних требованиях к составлению простейших графиков и диаграмм учащиеся бывают неподготовленными к пониманию и чтению диаграмм, выполненных в современном художественном оформлении. А между тем при помощи диаграмм удобно проводить сравнения по величине, по составу, сопоставлять изменения величин в системе и порознь.

В работе «Шаг вперед, два шага назад» В. И. Ленин писал: «...чтобы получить настоящую КАРТИНУ, а не груду бессвязных, дробных, изолированных фактов и фактиков... я решил попытаться изобразить ВСЕ ОСНОВНЫЕ типы «разделений» нашего съезда в виде ДИАГРАММЫ. ...я сомневаюсь, можно ли найти другой способ изложения, действительно обобщающего

и подводящего итоги, возможно более полного и наиболее точного.» (В. И. Ленин, Полное собр. соч., т. 8, стр. 321).

Графики и диаграммы имеют богатое практическое приложение от диаграммы успеваемости класса до диаграмм большого политического звучания. Надо расширить тематику и форму построения графиков и диаграмм: в виде кривых линий, ленточные, столбиковые, в форме фигур-символов, секторные, в разнообразной художественной форме. Нужны упражнения не только на выполнение графиков и диаграмм, но и такие, которые требовали бы анализировать, читать, использовать их данные.

Например: составить анализ данной диаграммы.

Составить текстовую задачу, использовав данную диаграмму.

Верно ли часть графика изображена в виде прямой линии?

Задание. Построить график изменения численности учащихся школы за последние 5 лет.

Задание. Построить диаграмму грузоподъемности различных марок автомашин. Оформить ее в виде рисунков автомашин.

Задачи комбинаторного характера. Логические задачи

Задачи указанных типов в противовес многим другим совершают переход из традиционного курса алгебры в арифметику, что соответствует их природе и способам решения. В младших классах комбинаторные задачи решаются без применения формул соединений. Данному вопросу посвящена статья Е. Н. Гостевой «Элементы комбинаторики в школьном курсе математики» (Сб. Вопросы методики преподавания математики в школе, Хабаровск, 1966, стр. 142—167). Предложенные Е. Н. Гостевой

упражнения, связанные с анализом чисел и действий над ними, доступны учащимся начальных классов. Вопрос о комбинаторных упражнениях не нов, аналогичные упражнения предлагались еще на II Всероссийском съезде преподавателей математики.

Приведем серию комбинаторных задач практического характера.

Для сигнализации во время военной игры штаб установил применение флажков трех цветов. Сколько различных сигналов можно передать, применяя 1, 2, 3 флажка в разной последовательности?

Петя утверждает, что если бы каждый день он сидел с разными учениками своего класса за первой партой, потом за второй (тоже с каждым учеником) и т. д., то этих пересадок хватило бы на весь учебный год. Прав ли он?

Прочитав домашнюю задачу с пятью числовыми данными, Незнайка решил поступить так: соединить числа знаками сложения, вычитания, умножения, деления во всех возможных вариантах. Успеет ли Незнайка выполнить домашнее задание, если будет на каждый вариант расходовать по 10 минут?

Задачи логического характера все чаще стали включаться в олимпиадные задания. Они содержатся в книгах для внеклассных занятий, но совсем отсутствуют в стабильном задачнике, нет пояснений к их решению и в учебнике. Поэтому не только ученики, но и часть учителей затрудняются в решении таких задач.

В учебник следовало бы включить необходимые пояснения и дать образцы решения наиболее типичных логических задач.

Задачи переопределенные и недоопределенные

Задачи данных типов хорошо согласуются с целями преподавания математики, т. е. требуют отбора необходимых данных, для чего надо тщательно установить их взаимосвязь, требуют подбора недостающего материала из справочников, опытным путем и т. п. Многие методисты сейчас высказываются за включение таких задач в стабильные задачники.

«Характерными признаками прикладных вопросов (задач) в школьном курсе следует считать... особую форму задания: в задаче могут быть лишние данные—надо уметь их отбросить; задача может оказаться неопределенной — надо уметь добыть недостающие элементы; условие задается не текстом, а чертежом, таблицей и др.» (П. Я. Дорф, Прикладные вопросы на уроках математики, сб. «Вопросы преподавания математики в школе», под ред. П. В. Стратилатова, М., 1961, стр. 162).

«Старое содержание мы облекаем в новую одежду, но все же остается старая схема... Для большинства таких задач характерно то, что в них обычно приводятся все данные, необхо-

димые для однозначного ответа, и никаких лишних данных.» (А. И. Маркушевич, Об очередных задачах преподавания математики в школе, ж. «Математика в школе», 1962, № 2, стр. 5).

В пользу решения задач «с недостаточным и избыточным количеством данных» выступает и И. В. Арнольд в указанной выше работе.

Примеры переопределенных задач:

В 1 т кормовых дрожжей содержится столько белка, сколько в 3 т овса, или в 100 т ржаной соломы, или в 120 т кормовой свеклы, или в 80 т силоса. Каково отношение количества белка, содержащегося в одинаковом по весу количестве силоса и соломы?

В конторе хлопководческого совхоза висит плакат: «Если урожайность хлопка с 1 га составляет 40 ц, то это значит, что на гектаре растет 40 000 рубашек». Всего совхоз убрал с 240 га 1152 т хлопка, превысив плановую урожайность на 8 ц с га. Сколько рубашек «выросло» в совхозе?

Сталь имеет в своем составе 1,05% углерода, 1,1 % марганца, 0,2% кремния, остальное — железо. Сколько стали может быть выплавлено, если имеется 650 т железа, 2 т марганца и практически неограниченное количество углерода и кремния?

Примеры недоопределенных задач:

«Пионерская правда» сообщает, что каждый пионер дружины им. П. Морозова собрал по 8,5 кг макулатуры. Сравните с этим числом показатели вашей пионерской дружины.

Труженики сельского хозяйства Марийской АССР взяли указанные ниже обязательства. Заполните таблицу данными вашего колхоза (или подшефного) :

Обязательство

Показатели колхоза

Процент выполнения обязательства

Урожайность зерновых Урожайность картофеля

9,5 ц с га 150 ц с га

По данным американской космической ракеты «Маринер-4» атмосфера Марса состоит из азота — 72%, углекислого газа — 16%, аргона — 8% и др. газов. Составьте круговую диаграмму состава атмосферы Марса и сравните ее с соответствующей диаграммой для Земли.

Задачи занимательного характера. Исторические задачи

Польский математик А. С. Крыговская в обзорном докладе Международной комиссии по математическому образованию обобщает отношение педагогов различных стран к задачам указанных типов:

«Большинство авторов подчеркивает необходимость исполь-

зовать в качестве исходных реальные ситуации, близкие учащимся, имеющие практический смысл. С другой стороны констатируют, что дети возраста до 15 лет совсем не интересуются практическими задачами и что, наоборот, область фантазии является здесь наиболее благоприятной для возбуждения их интереса к математике и мотивирования их интеллектуального труда». («Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этом развитии», «Математика в школе», № 6, 1966 г., стр. 29).

По нашему мнению, расхождения сторон тут только кажущиеся. По существу задачи из области фантазии являются для учащихся не менее практическими, чем взятые из окружающей жизни. Конечно, нужна мера, как в любом деле. Стоит вспомнить богатый научный материал о роли игры в жизни детей.

Сопоставим содержание двух задач. Первая — из задачника С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева (№ 794), а вторая из книги А. А. Мазаника «Реши сам» (№ 12)

Кирпичный завод доставил на станцию железной дороги кирпичи. На перевозке работало 25 лошадей и 10 грузовых машин, Каждая лошадь перевозила 0,7 т за одну поездку и в день совершала 4 поездки. Каждая машина перевозила за одну поездку 2,5 т и в день совершала 15 поездок. Перевозка продолжалась 4 дня. Сколько кирпича было доставлено на станцию, если средний вес одного кирпича 3,75 кг?

По столбу высотой 10 м взбирается улитка. За день она поднимается на 5 м, а за ночь опускается на 4 м. Сколько времени потребуется улитке, чтобы добраться до вершины столба?

Ясно, что вторая задача взята из области фантазии, но ведь и содержание первой задачи достаточно условно: на повозку практически кирпич грузят не по весу, а по количеству, да и вся ситуация условна: в жизни никто не станет определять, сколько кирпичей доставлено на станцию таким образом.

После подобных сопоставлений замечаем, что под названием «занимательные» часто подразумеваются задачи с нестандартными приемами решения, которые особенно ценны сейчас при переходе к новой программе. Поэтому такие задачи необходимо привести в некоторую систему, включить в стабильные задачники, а в учебнике дать необходимые пояснения.

Отбор должен быть тщательным, чтобы задачник не был засорен упражнениями педологического характера.

«Вряд ли им (учащимся) стоит тратить время на решение головоломок ... и размышлять над «актуальными» задачами,

подобными следующей. Когда старшему брату было., столько лет, сколько сейчас среднему, тогда младшему было 10 лет. Когда среднему будет столько, сколько сейчас старшему, тогда младшему будет 26 лет. Сколько лет каждому брату, если сумма лет старшего и среднего братьев в день рождения младшего брата в 2 раза больше числа лет младшего в настоящее время? Жизнь требует от учащихся решения других задач.» (А. Н. Хованский, Приближенные вычисления при решении практических задач в средней школе, Йошкар-Ола, 1957 г.).

К сожалению, иногда о способностях учащихся судят именно по умению решать подобные головоломки, что приводит к педологическим извращениям.

Есть знаменитая народная задача «Летела стая гусей». Наверное, она будет жить вечно. Вряд ли текст «Летела стая реактивных самолетов» улучшит содержание. В новые задачники иногда проникают исторические задачи лишь потому, что они... старые, но не все задачи достойны исторической памяти.

Итак, из наблюдений за решением задач на уроках арифметики, из сопоставления требований к задачам по старой и новой программам следуют такие выводы:

1. Задача все в большей мере из объекта применения математических знаний превращается в средство выработки этих знаний. Метод обучения через задачи твердо входит в практику школьной работы, а это несовместимо с засилием типовых задач.

2. Отдельные виды типовых арифметических задач удобны для обучения алгебраическим методам решения. Замена учебного предмета «арифметика» предметом «математика» позволяет построить работу так, чтобы в итоге ученик сам выбирал арифметический или алгебраический метод решения.

3. Задачи с практическим содержанием нередко служат целям выработки математической теории, поэтому чисто практические задачи целесообразно выделить в особую группу прикладных задач.

4. Новые виды математических задач, связанных с жизнью, необходимо внедрять в школьные задачники для всех классов.

В. К. Смышляев

ОБЪЕМ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

В школьной практике получили распространение в основном два варианта вывода формулы объема усеченной пирамиды: один из них изложен в учебниках А. П. Киселева, Л. Н. Бескина и других, второй основан на формуле Симпсона.

1. Известно, что недостаток первого приема заключается в сложности преобразования иррациональных выражений.

Сохраняя тот же принцип, то есть рассматривая усеченную пирамиду как разность двух пирамид, вывод формулы можно несколько упростить, если ввести коэффициент гомотетии k.

Пусть H1, S1, V1 и Н2, S2, V2 — соответственно высоты, площади оснований и объемы полной и надстроенной пирамид, H — высота усеченной пирамиды.

Черт. 1.

Тогда :

Следовательно,

О коэффициенте подобия можно умолчать, если провести ô сечение на расстоянии одной единицы от вершины пирамиды. Тогда

Аналогичное доказательство имеется в учебнике по математике К. Н. Бореля, с той лишь разницей, что автор вместо S1 подставлял непосредственно выражение ь2-jq^ , взятое из пропорции 5-=^

2. Определенный интерес представляет вывод этой же формулы, основанный на разбиении пирамиды1. Сначала возьмем треугольную пирамиду ABCA1B1О. Разобьем ее двумя плоскостями AB1C и A1B1C на три тетраэдра. Сохраняя прежние обозначения, найдем, что объем первого тетраэдра B1ABC равен V1 = -^-HS1, объем второго тетраэдра CA1B1C1 равен V2=-^-HS2.

Докажем, что объем третьего тетраэдра B1AA1C равен

1 Этот вывод целесообразно рассмотреть на занятиях кружка.

Черт.2

Для этого рассмотрим первый и третий тетраэдры с вершиной в точке С, имеющие равные высоты.

Имеем

(1)

так как треугольники ABB1 и AA1B1 имеют равные высоты.

С другой стороны

(2)

так как

Из (1) и (2) следует, что

Отсюда

Последнее равенство можно получить по-другому, рассмотрев дополнительно еще отношение объемов Уз и V2:

Тогда

Предположим теперь, что данная усеченная пирамида многоугольная. Разбив ее на треугольные усеченные пирамиды с основаниями p1, р2, ..., pn и q1, q2, ..., qn получим, что

Учитывая, что

получим

С другой стороны

Следовательно, после перемножения

Итак,

В. К. Смышляев, А. Ш. Шапеев

ЗА ВЫСОКОЕ КАЧЕСТВО МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИИ УЧАЩИХСЯ СРЕДНИХ ШКОЛ

Авторам статьи в течение ряда лет приходилось принимать участие в составлении письменных заданий и приеме вступительных экзаменов по математике в МГПИ им. Н. К. Крупской. Качественный и статистический анализ устных ответов и письменных работ позволяет высказать общие соображения, замечания и предложения.

Простой подсчет оценок, полученных на вступительных экзаменах по математике за последние годы, показывает снижение числа (в процентном отношении) хороших и отличных оценок и увеличение — удовлетворительных и неудовлетворительных.

Первое, что бросается в глаза, это резкое несоответствие оценок вступительных экзаменов по математике с оценками, выставленными по этому предмету в аттестатах. Такое несоответствие повторяется ежегодно. Так, в 1964 г. сдавало математику 42% поступающих с оценкой «5» в аттестате, 50%—с оценкой «4», 8% —с оценкой «3», тогда как вступительный устный экзамен по математике вскрыл другую картину: на «4» и «5» ответило 30% поступающих, на «3» — 61%, на «2» — 9%.

Еще более неприглядная картина предстала после письменного экзамена: лишь у 15% поступающих были оценки «4»—«5», остальные получили оценки «3» (54%) и «2» (31%).

Какие требования предъявлялись на экзаменах? Во-первых, все билеты и тексты письменных работ были составлены в строгом соответствии с государственной программой по математике. Кроме того, на экзаменах разрешалось пользоваться справочной литературой. Во-вторых, наряду с выявлением пространственного представления и логического мышления проверялись также формально-оперативные навыки и умения.

Для выявления прочных знаний устных экзаменов по ходу ответов экзаменаторами предлагались упражнения устного и полуписьменного характера. Например*: 1) Чем отличаются графики функций y = cosx и y = cos2x?

2. Вычислить 41оg23.

1 См. наши вопросы в журнале «Математика в школе», 1965, 3.

3. Почему

4. Решить неравенство ах>2.

5. Чему равно выражение (а + 2) при а «<—5?

6. Которое из чисел больше: —3—4i или 3 + 4i?

Письменные работы по математике включали четыре задания-задачи; с 1966 года предлагается по 5 заданий. (Ниже в качестве приложения приведены тексты контрольных заданий).

Из 353 человек, писавших письменную работу в 1966 г., положительную оценку получили 229 (65%). Многие работы были написаны очень хорошо, с полным и четким обоснованием, с подробным анализом решений; многие поступающие проявили высокую математическую культуру, умение найти кратчайший путь решения задачи, твердые навыки тождественных преобразований, отчетливое пространственное воображение. Однако 124 человека со вступительной работой не справились, что составляет 35%.

Неверно решили задачи: № 1—42% поступающих, № 2—52%, № 3—62%, № 4—50%, №5—63%.

Отсюда видно, что наибольшие затруднения у поступающих вызывают задачи по геометрии с применением тригонометрии, тригонометрические уравнения и решение неравенств, опирающихся на свойства логарифмической, показательной и тригонометрических функций, построение графиков, понятие абсолютной величины и т. п.

При решении задач (в 1966 г.) были допущены следующие ошибки:

1. При решении первой задачи — неумение составлять уравнения по условиям задач и неумение находить рациональные способы решения. Например, при решении одной из задач получалась система:

Большинство поступавших решали эту систему, приводя уравнения системы к общему знаменателю, в результате чего получается система двух уравнений 2-ой степени с двумя неизвестными: тогда как подстановки— = z и — =х приводят к очень простой системы линейных уравнений.

2. При доказательстве тригонометрических тождеств не всегда применяются рациональные методы. Например, при доказательстве тождества

почти никто из решавших не пользовался преобразованиями

которые тотчас же приводили бы к доказательству тождества.

Наибольшие затруднения вызвали решения тригонометрических уравнений. Здесь очень часты случаи потери и приобретения посторонних корней. Кроме того, зачастую поступающие не умеют записать общий вид решения простейших тригонометрических уравнений, не используют формулы половинных углов.

3. При решении 2-ой задачи (логарифмическое или показательное неравенство) большинство поступающих не учитывает область определения функции, входящей в неравенство.

Например, неравенство log2(x2—3x)<2 большинство абитуриентов решает так: х2—3x<4; х2—3x—4<;0 и т. д., в то время как нужно рассматривать систему неравенств

Особенно много ошибок при решении логарифмических неравенств поступающие допускают в тех случаях, когда основание логарифма меньше единицы. Например, при решении неравенства logi-(x2—3x)>—2 большинство абитуриентов поступают так: X2—3x>4, тогда как следовало бы рассматривать систему:

4. При решении 5-ой задачи (построение графика и нахождение области определения и т. п.) большинство учащихся показали неумение обращаться с абсолютной величиной.

Письменную работу писали выпускники почти из всех средних школ нашей республики. По этим работам можно получить некоторое представление о постановке преподавания математики в средних школах. Хорошую подготовку своим выпускникам дает школа № 11 г. Йошкар-Олы, о чем свидетельствуют следующие данные: из 23 учащихся этой школы, писавших работу, 16 человек написали на «4» и «5».

Попутно отметим, что из 353, писавших письменную работу, оценку «5» получили 14 человек, из которых пять приходится на выпускников школы №11. Неплохие знания показали отдельные выпускники школы № 1 города Волжска, ряд школьников г. Козьмодемьянска, р/п Юрино, Куженерской средней школы и др.

Как и в предыдущие годы слабую подготовку показали школьники, окончившие Сотнурскую среднюю школу: из 10 учащихся работу на «3» выполнили 3 учащихся, а остальные 7 получили оценку «2». Плохо справились с работой выпускники Троицко-Посадской, Кужмаринской, Микряковской, Аринской школ.

В 1966 году писали письменную работу 20 медалистов. Из них пятеро получили оценку «5», пятеро оценку «4», 8 человек — оценку «3» и двое получили оценку «2» (из Кукнурской φ. шк.).

У большинства поступающих письменная работа оформлена очень небрежно. Создается впечатление, что оформлению письменных работ по математике в школах уделяется недостаточное внимание.

На устных экзаменах также обнаружились некоторые пробелы в знаниях абитуриентов. Экзаменаторам не удалось получить более или менее удовлетворительных ответов на такие вопросы как:

Последовательность. Виды последовательностей. Графическое представление. Предел последовательности.

Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия. Формула суммы членов этой прогрессии.

Как ни странно, многие поступающие не сумели записать общие решения тригонометрических уравнений вида:

Например, уравнение cosx = — многие решали так: х =—у + 2лк. Некоторые выпускники заучивают формулы тригонометрии, не интересуясь практической ценностью этих формул. Например, некоторые из них очень бойко вывели формулы:

тогда как примеры на вычисление sin15°cos15°, sin75° или совсем не решили, или выполнили с большим трудом. Некоторые выпускники, формально заучив свойства логарифмической функции, не дали правильных ответов на вопросы:

1) При каких значениях а неравенство loga27<loga7 справедливо?

2) По графику y = logi х найти, где logix<0.

В целом экзамены (особенно устные) по математике показали неплохую подготовку многих поступающих. К сожалению, знания большинства сельских школ все же остаются ниже знаний выпускников городских школ.

Задачи учителей школ МАССР вооружать учащихся полноценными знаниями и умением нетрафаретно и логически безупречно рассуждать, применять знания на практике, в жизни.

ЗАДАЧИ

1966 ГОД

Вариант № 1

1. Два тела, выйдя одновременно, движутся навстречу друг другу из двух пунктов, находящихся на расстоянии 200 м. Первое тело проходит по 12 м в сек.5 а второе тело в первую секунду прошло 20 м, а в каждую следующую секунду проходит на 2 м меньше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела встретятся?

2. Решить неравенство у\—х<х.

3. В основании пирамиды лежит ромб со стороной а и острым углом и. Каждый из двугранных углов при основании равен φ. Определить объем шара, вписанного в эту пирамиду.

4. Доказать тождество:

Вариант № 2

1. Двое рабочих, работая вместе, могут окончить некоторую работу в 12 дней. После 8 дней совместной работы один из них заболел, а другой окончил работу один, проработав еще 5 дней. Во сколько дней каждый из них, работая отдельно, может выполнить эту работу?

2. Решить неравенство log2(x2—3x)<!2.

3. Разность между апофемой и высотой правильной четырехугольной пирамиды равна а, а угол между ними а. Определить объем пирамиды.

4. Решить уравнение

5. Найти область определения функции

Вариант № 3

1. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить в несколько дней 216 куб. м дров. Первые три дня бригада выполняла ежедневно установленную планом норму, а затем каждый день заготовляла 8 куб. м сверх плана; поэтому уже за день до срока было заготовлено 232 куб. м дров. Сколько дров в день должна заготовить бригада по плану?

3. Решить неравенство 9х<3x+2.

3. Сторона основания правильной n-угольной пирамиды рав-

на а, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом а. Определить объем пирамиды.

4. Решить уравнение

5. Вычислить

Вариант № 4

1. В зрительном зале клуба было 320 мест. После того, как число мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили еще один ряд, в зале стало 420 мест. Сколько стало рядов в зрительном зале клуба?

2. Решить неравенство log i (х24-3х)>— 2.

3. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом а к плоскости основания. Определить площадь образовавшегося треугольного сечения, если объем пирамиды, отсеченной плоскостью от призмы, равен v.

4. Если А, В и С — углы треугольника, и угол С — тупой, то tgA ⋅ tgB< 1, Доказать.

5. Вычислить lg 25, зная что lg 2^0,30.

1967 ГОД

Вариант № 1

1. Две бригады рабочих, работая одновременно, могут выполнить некоторую работу в 3 дня. Если бы работало 2/.ч рабочих первой бригады и 0,8 второй, то работа была бы выполнена в 11 Vi дней. Во сколько дней могла бы выполнить эту работу каждая бригада в отдельности?

2. Решить неравенство logj_ (2х + 3)>0.

3. Радиус шарового сектора R. Наибольший угол между радиусами равен а. Определить поверхность шара, вписанного в этот сектор.

4. Решить уравнение sin2x-fsin22x + sin23x-fsin24x = 2.

5. Построить график функции у = |х2—х—21.

Вариант № 2

1. Два пешехода вышли одновременно друг другу навстречу и встретились через 3 часа 20 мин. Во сколько времени пройдет все расстояние каждый из них, если первый пришел в то место, из которого вышел второй, на 5 часов позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый?

2. Решить неравенство

3. Боковая поверхность конуса, будучи развернута на плоскость, представляет круговой сектор с углом а и хордой а. Определить объем конуса.

4. Решить уравнение

5. Начертить график функции

Вариант № 3

1. Две бригады, работая вместе, закончили ремонт участка в 6 дней. Одной первой бригаде для выполнения 40% всей работы потребовалось бы времени на 2 дня больше, чем одной второй бригаде для выполнения 13Vs% всей работы. Определить, во сколько дней могла бы отремонтировать каждая бригада отдельно весь участок?

2. Решить неравенство у (х+4)(х— 3)<6—3

3. В треугольнике даны сторона а, прилежащие углы В и С. Определить объем тела, полученного от вращения треугольника около данной стороны.

4. Решить уравнение sin22x—4cos4x = sin4x.

5. Начертить график функции у = |3—х2|.

Вариант № 4

1. Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того, как первый проработал 7 часов, а второй 4 часа, оказалось, что они выполнили 5/э всей работы. Проработав совместно еще 4 часа, они установили, что им остается выполнить Vie всей работы. Во сколько часов каждый из них, работая отдельно, мог бы выполнить эту работу?

2. Решить неравенство log2(x2—3x)—2<!0.

3. В основании пирамиды лежит разнобочная трапеция, диагональ которой равна / и составляет с большим основанием угол а. Каждый из двугранных углов при основании пирамиды равен φ. Найти боковую поверхность пирамиды.

4. Решить систему уравнений

5. Начертить график функции

Вариант № 5

1. Катер вышел из А одновременно с плотом, плывшим по течению реки, и прошел по течению реки 13V« км, а затем, не

останавливаясь, 9Vs км в обратном направлении, где и встретился с плотом. Скорость течения реки 4 км в час. Найти собственную скорость катера.

2. Решить неравенство

3. В усеченный конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к основанию под углом а. Найти боковую поверхность усеченного конуса.

4. Решить уравнение

5. Начертить график функции

Вариант № 6

1. Рабочий изготовил в назначенный ему срок некоторое число одинаковых деталей. Если бы он ежедневно изготовлял на 10 штук больше, то выполнил бы эту работу на 4*/г дня раньше срока, а если бы он делал на 5 деталей меньше, то опоздал бы на 3 дня против назначенного срока. Сколько деталей и в какой срок он выполнил?

2. Решить неравенство

3. Определить объем и полную поверхность шарового сектора, вырезанного из шара радиуса R и имеющего в осевом сечении угол а.

4. Решить уравнение sin2x + sin22x = sin23x.

5. Начертить график функции у = |х2—2|,

1968 ГОД

Вариант № 1

1. Бригада рабочих должна была в определенный срок изготовить 272 детали. Через 10 дней после начала выполнения задания бригада стала перевыполнять дневную норму на 4 детали и уже за один день до срока изготовила 280 деталей. Сколько деталей будет изготовлено бригадой к сроку?

2. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, в котором острый угол равен ß. Через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра, равного b, проведена плоскость, которая наклонена к плоскости основания под углом а. Найти боковую поверхность треугольной призмы, отсекаемой проведенной плоскостью от данного параллелепипеда.

3. Решить неравенство logo,i(x2+ 1) <logo,i(2x—5).

4. Решить уравнение 2sinx ⋅ sin2x + cos3x = 0.

Вариант № 2

1. Два комбайна, работая совместно, могут убрать урожай с участка за 20 час. За сколько часов смог бы убрать урожай каждый комбайн, если известно, что второй комбайн убрал урожай с 1/з участка на 3 часа скорее, чем первый с его половины?

2. В правильной треугольной пирамиде вершина основания находится на расстоянии b от противолежащей боковой грани. Найти полную поверхность конуса, вписанного в данную пирамиду, зная, что апофема пирамиды наклонена к плоскости основания под углом а.

3. Решить неравенство logxy 20 —х >b

4. Решить уравнение sinx + sin2x + sin3x = 0.

Вариант № 3

1. Две машинистки получили для перепечатки рукопись. После 2 час. совместной работы одна из машинисток получила другое задание, и вторая, оставшись одна, закончила работу через 1 час. 20 мин. За сколько часов могла бы отпечатать рукопись каждая машинистка, если второй на это понадобилось бы на 1 час. 10 мин. больше, чем первой?

2. В цилиндр вписана пирамида так, что основание пирамиды вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина пирамиды находится в плоскости верхнего основания цилиндра. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, боковая грань пирамиды, проходящая через один из его катетов, образует с плоскостью основания угол а. Найти объем этой пирамиды, если боковые ребра ее наклонены к основанию под одним и тем же углом ß, а образующая цилиндра равна /.

3. Решить неравенство log2ax—logax<0.

4. Решить уравнение cos5x + cos3x + cosx = 0.

Вариант № 4

1. Одна бригада выполняла задание в течение 3,5 дней, затем она была заменена второй, которая закончила работу за 6 дней. За сколько дней каждая бригада в отдельности выполнила бы задание, если известно, что второй бригаде для этого нужно на 5 дней больше, чем первой?

2. От правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания а и плоским углом при вершине а, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через диагональ основания данной четырехугольной пирамиды параллельно одному из ее боковых ребер. Найти боковую поверхность образовавшейся треугольной пирамиды, приняв за основание ее грань лежащую на основании четырехугольной пирамиды.

3. Решить неравенство Ух* — 3x — 10<8—х.

4. Решить уравнение cosx—cos4x = cos2x—cos3x.

В. К. Смышляев

ПЕРВЫЕ РУССКИЕ УЧЕНИЧЕСКИЕ ЖУРНАЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

За рубежом, например, в Венгрии, Чехословакии и других странах издаются журналы, предназначенные юным любителям математики. В нашей стране, к сожалению, такого журнала нет. «Математика в школе», имеющая совсем иные цели — методические, не имеет возможности (хотя редакция журнала и пытается восполнить этот пробел) публиковать специально для учащихся статьи и заметки. «Математическое просвещение» затихло.

А между тем на русском языке благодаря усилиям передовых учителей математики издавалось несколько таких журналов. Они, несмотря на небольшой тираж, сыграли большую роль в деле развития математического просвещения среди учащейся молодежи и заслуживают того, чтобы советский учитель знал о них.

В задачу статьи не входит анализ первых ученических журналов (научно-популярных и художественных, рукописных и печатных), в которых определенное место отводилось естественным наукам. Ограничимся перечнем и краткой характеристикой наиболее интересных ученических изданий начала XX века, посвященных элементарной математике.

Наиболее удовлетворительно математика преподавалась в реальных училищах. На математику здесь отводилось наибольшее число часов. Поэтому неудивительно, что первые математические школьные журналы стали издаваться именно в реальных училищах.

I

В конце 1905 г. в Оренбургском реальном училище преподавателем Н. Н. Шемяновым* был организован математический кружок.

* Н. Н. Шемянов родился в октябре 1877 г. в г. Томске, в семье служащего. В 1897 г. окончил гимназию в г. Иваново-Вознесенском и поступил на физико-математический факультет Московского университета. В 1902 году окончил университет с дипломом 1-й степени и уехал в город Оренбург. С 1909 года по 1930 г. работал во Владимире. С 1930 г. работал в Ярославском пединституте до ухода в 1953 г. на пенсию. С 1949 г. заведовал кафедрой методики математики.

Вскоре кружок получил разрешение издавать ученический журнал под названием «Записки математического кружка при Оренбургском реальном училище».

С 1906 г. по 1909 г. кружок издал 9 выпусков журнала: «выпуск пробный» (январь, 1906 г.), «выпуск первый» (февраль, 1906 г.),; выпуск второй» март. 1906 г.). «выпуск третий» (апрель, май, 1906 г.), «выпуск четвертый» (сентябрь — октябрь, 1906 г.). Осенью 1907 г. «Записки» вышли под № 1. В 1908—1909 годах — №№ 2, 3, 4—5. Первые три выпуска — литографированные, остальные шесть — печатные (издатель К. А. Петров).

После отъезда Н. Н. Шемянова из Оренбурга кружок продолжал работу; но за 1909—10 гг. не было издано ни одного выпуска. С приездом на работу директором училища известного математика-педагога К. А. Торопова* (1860—1933) издание «Записок» вновь возобновилось (под ред. М. Галамиева,

Математические работы Н. Н. Шемянова отражают два направления его исследований: 1. Развитие таких методов обучения, которые давали бы учащимся представления о применении математических познаний в жизни («Математические экскурсии», «Математика и ручной труд», «Математическая лаборатория» и др.). 2. Историография («У истоков русской методики математики», «Н. А. Извольский» и др.).

Первое направление в основном падает на 1925—30 гг., второе— 1945—56 гг.

* См. «Математика в школе», 1955, № 1.

А. Виноградова, В. Михиевича): вышли № 6 (1911), № 7 (1912), № 8 (1913) и № 9—10 (1913 г.).

Первые выпуски по объему были небольшие, содержали в основном задачи и 3—4 статьи по математике, физике, астрономии, написанные как преподавателями училища, так и учащимися (Калабугин К., П. Свешников, Л. Лосев, С. Щелкунов и др.). Активное участие в выпуске «Записок» принимал К. А. Торопов. Он опубликовал ряд методических и математических работ.

О характере и насыщенности журнала* можно судить из приведенного ниже содержания двух выпусков «Записок»:

Выпуск 4 (1906 г.)

Ф. Сачков, Прибор Малассиса для измерения высот.

В. Ильин, Теорема о пределе частного.

Решение задач.

Задачи.

Библиография.

№ 7(1912 г.).

П. Свешников, Решение кубических уравнений при помощи последовательных вычитаний.

К. Торопов, К вопросу о вычислении корней кубических уравнений.

П. Свешников, Общий наибольший делитель и общее наименьшее кратное целых алгебраических выражений.

Много внимания редколлегия журнала уделяла решению задач, печатая «конкурсные задачи», задачи, предложенные на выпускных и вступительных экзаменах, и т. п.

Несмотря на ряд недостатков (отсутствие статей по истории математики, нечеткая редакция решений предлагаемых задач и т. д.), журнал явился выразителем математического творчества учащихся, объединившем несколько десятков наиболее талантливых учащихся и преподавателей математики г. Оренбурга. Многие учебные заведения России выписывали этот журнал.

Заметим, что вместо прекративших существование «Записок» в училище стали выходить «Труды досуга». Во втором, последнем, номере, вышедшем в феврале 1914 года под ред. А. Лазова и учащихся Вигалок, П. Дудко и В. Семенова велся «Научный отдел», в котором напечатаны две статьи по физике, статья К. А. Торопова «Решение одной тригонометрической задачи алгебраическим путем» (о вычислении сторон треугольника по известным р, S, А), задачи К. Торопова на конкурс (решить в целых числах уравнение x2 + y2 + z2 = t2) и три задачи-шутки. В отделе из «Архивной пыли» напечатаны два стихотворения уче-

* В библиотеке им. В. И Ленина (Москва) имеются лишь №№ 2, 3, 6, 9. Полный комплект «Записок» имеется в личной библиотеке проф. И. К. Андронова (Москва).

ника Пермского реального училища Алексея Ар...(?) «Решение уравнения 1-й степени» и «Решение квадратного уравнения».

II.

Математический кружок, организованный в Екатеринбургском реальном училище преподавателем математики М. Н. Хитриным в 1909—10 учебном году стал издавать журнал «Математические мысли».

Михаил Николаевич Хитрин* родился в 1880 году в селе Лащево Люблинской губернии (Польша) в семье сельского писаря, бывшего крепостного крестьянина. М. Н. Хитрин учился в сельской школе, затем поступил в платную четырехклассную прогимназию (Грубяшево). После окончания ее поступил в Неженскую гимназию Безбородько при историко-филологическом институте. Несмотря на то, что главными предметами считались богословие, латинский и греческий языки (на математику отводилось всего три часа в неделю), М. Н. Хитрин заинтересовался математикой. В 1901—1906 гг. учился на физико-математическом факультете Московского университета. Под руководством

* Биографические сведения публикуются впервые.

профессоров В. К- Церасского и С. Н. Блажко написал кандидатскую работу по астрофизике «Исследование лучевых скоростей и определение орбит». Работа получила похвальный отзыв.

С 1907 года работал преподавателем математики и физики в Екатеринбургском реальном училище. Здесь совместно с талантливым учителем биологии К. В. Чемалиным (1881?—1916?) организовали физико-математический кружок, а затем—журнал.

С 1917 г. М. Н. Хитрин — приват-доцент Екатеринбургского отделения горного института. Затем переехал в Москву, работал в институте инженеров транспорта и научным специалистом (методистом) в Варкомпросе (по рабфакам). С 1925 года живет в Ленинграде, куда был послан для организации заочного обучения в высших учебных заведениях. Заведовал кафедрой математики в Ленинградском политехническом институте. С 1959 года — на пенсии.

Чтобы выпустить первый номер, К. В. Чемалину и М. Н. Хитрину приходилось читать платные лекции. С трудом уговорили хозяйку типографии Шаравуеву. Всего вышло три выпуска (№№ 1, 2—3 и 4).

Первый номер вышел в сентябре 1909 года. Объем — 90 страниц, формат 14,5×21,5 см, тираж — 200 экз. Второй выпуск (№ 2—3) вышел в октябре-ноябре 1909 года, объемом 108 стр., тиражом— 100 экз.

Редакция журнала «в целях привлечения учащихся к творческой математической деятельности» не ограничивается узким кругом сотрудников лишь реального училища, а пытается привлечь к сотрудничеству учащихся других средних учебных заведений Екатеринбурга. Однако эту задачу редакция выполнить не смогла. Все статьи были написаны учениками реального училища. Лишь одна заметка (№ 2—3) была написана учеником 7 класса Екатеринбургской гимназии.

Учитывая, что в настоящее время «Математические мысли» являются библиографической редкостью*, считаем необходимым привести содержание двух первых выпусков журнала.

№ 1.

1. М. Н. Хитрин. Начало алгебры (в популярном изложении) для III класса. (Статья написана в виде живой и интересной беседы ученика III класса со студентом университета. Статья с методической точки зрения представляет определенный интерес и в настоящее время).

2. Г. Кибель. Свет.

3. Залогин. Краткая история развития счисления. (Изложение из пособий Бобынина, Беллюстина и Зутера).

4. В. Никонов. О трисекции угла. (Пересказ из пособия Охи-

* В библиотеке им. В. И. Ленина (Москва) этих журналов нет. Нам их любезно предоставил проф. И. К. Андронов.

товича «Циклометрия круга»).

5. Дробышев. Очерки по истории химии.

6. Математические игры. (Задачи-шутки).

7. Вопросы по геометрии из пройденного в 6 классе за месяц.

8. Задачи по алгебре.

№ 2—3

1. Г. Кибель. Наша солнечная система.

2. В. Никонов. Решение уравнений 3-й и 4-й степеней. (Статья составлена по пособиям Лоренца и Маракуева).

3. В. Никонов. Математические софизмы.

4. М. Н. Хитрин. Начало алгебры (продолжение).

5. Крысин Ф. Из мира растений.

6. Токарев. Записки по практическим работам.

7. В. Андреев. Задачи по алгебре.

8. Решение некоторых уравнений и задач.

9. Математические игры.

Как нам рассказывал М. Н. Хитрин, «Дирекция, полиция и особенно священник училища стали косо смотреть на занятия кружка и на журнал». Кроме того, возникли финансовые затруднения. Третий выпуск (№ 4) журнала остался в залоге у типографии и не был выкуплен. Издание журнала на этом прекратилось.

Итак, статьи журнала «Математические мысли» можно условно разбить на три раздела: методический, научно-популярный и практический (задачи). Других отделов («Хроника, «Библиография» и пр.) нет. Это является недостатком журнала. Кроме того, задачи, предлагаемые учащимся для решения, очень просты и носили скорее занимательный характер. Однако положительной стороной «Математических мыслей» является наличие статей по истории математики и активное участие школьников в издании журнала.

III.

Третьим по времени журналом для школьников является математический сборник под ред. Н. П. Кильдюшевского «Юным математикам», вышедший в Казани в 1911 году. Объем 22 стр., формат 21 Х27 см.

В отличие от других журналов этот сборник издавался не учащимися, а педагогом. Но предназначался он учащимся.

Николай Петрович Кильдюшевский* родился 9 августа 1868 года в городе Симбирске в семье инспектора Вольской прогимназии. Среднее образование он получил, обучаясь сначала в Вольской прогимназии, затем в Казанской 2-й гимназии. После окончания в 1894 году математического отделения фи-

* Портрет Н. П. Кильдюшевского для сборника нам предоставил проф. Б. В. Болгарский.

зико-математического факультета Казанского университета Н. П. Кильдюшевский преподавал математику и физику в различных учебных заведений Казанского учебного округа. Работая в Казанской 3-й гимназии, Н. П. Кильдюшевский в 1903 году небольшим тиражом издает курс «Прямолинейная тригонометрия». В 1910 году «Тригонометрия» была переиздана под тем же названием. В дальнейшем Н. П. Кильдюшевский написал для реальных училищ «Сборник упражнений по аналитической геометрии на плоскости» (первое издание вышло в 1909 г., 2-е в 1915 г.), курс «Начальная тригонометрия» (1915 г.).

После революции Н. П. Кильдщшевский преподавал на рабфаке Казанского университета. Здесь он создал новое руководство по тригонометрии (1929). Наиболее ценной методической работой Кильдюшевского» к сожалению, ставшей ныне библиографической редкостью, является его книга «Развитие мышления учащихся при лабораторном обучении математике» (1929 г. 50 экз.). Она представляет тонкий психологический анализ лабораторных работ учащихся по математике.

В последние годы после рабфака Н. П. Кильдюшевский работал в Татарском ИУУ заведующим кабинетом математики. Умер 2 января 1944 года.

Еще до революции, в 1910—11 годах Н. П. Кильдюшевский сделал попытку создания сборника для учащихся.

В первом выпуске редактор писал: «В каждом учебном заведении среди учащихся найдется немало любителей математики. Для них-то и предназначается настоящий сборник, в котором будут помещаться статьи и задачи, служащие дополнением к элементарному курсу математики в средней школе. Кроме того в сборнике будет уделено место так называемым математическим развлечениям».

В сборник входили статьи, подготовленные редактором: 1. Из «Арифметики» Магниццкого. (Приведены краткие сведения о Магницком, его «Арифметике», выдержки и задачи в стихотворной форме).

2. Деление. (Статья содержит разные исторические справки

об этом действии с выдержками из работ Рамуса, Ребьера, Даламбера, Магницкого, Лесли и др.).

3. Математическая вероятность. (В статье приведено решение задачи: Стеклянный прут длины / при падении разбивается на 3 части. Какова вероятность, что из этих трех кусков можно составить треугольник?).

4. Графики. (О применении графиков в жизни).

5. Пчелиная ячейка.

6. Трисекция угла. (Описание трисектора).

7. Осколок плоского зеркала в качестве измерительного прибора.

8. Математический фокус. (Об отгадывании, кто что взял).

9. Задачи. (Приведено 26 различных задач).

10. Шутки.

II. Varia. (Высказывания о математике известных ученых, ряд анекдотов о Ньютоне и Ампере).

Математическая общественность России доброжелательно встретила появление сборника «Юным математикам». В «Педагогическом сборнике» (ноябрь, 1911 г.) была напечатана рецензия на сборник известного методиста М. Попруженко. Рецензент писал: «Средняя школа действительно давно ощущает потребность в таком издании, которое дополняет школьный курс математики в смысле развития и углубления его, практических применений исторического освещения и пр.

...Кильдюшевский хочет удовлетворить этой потребности путем периодических выпусков сборника, и следует очень порадоваться его инициативе». Затем М. Попруженко высказывает

ряд справедливых замечаний о содержании сборника. «Во всяком случае,— заключает автор,— сделанные замечания относятся к частностям, а мысль Кильдюшевского заслуживает полного сочувствия».

Однако первый выпуск сборника оказался, видимо, последним. По неизвестным нам причинам издание сборника прекратилось.

IV

В апреле 1913 г. в типографии Ковалевского в Варшаве вывел школьный журнал «Космос. Периодический сборник общедоступных физико-математических статей, издаваемых учениками Варшавской VII мужской гимназии. Под редакцией преподавателя А. Т. Бойко». Журнал содержал 17 страниц форматом 20×27 см, в два столбца на странице. В отделе «Смесь» напечатаны математические софизмы и несколько задач.

На этом издание журнала прекратилось, видимо, по причинам, независящим от редактора. Намерение редактора не ограничиваться одним-двумя номерами видно, во-первых, из названия журнала («периодический сборник»), во-вторых, из обращения редактора к читателям, где он призывал «принимать деятельное участие в следующих выпусках». Какими хотел редактор видеть следующие выпуски «Космоса», не ясно. Не высказана программа журнала. Однако из самого названия журнала и из содержания первого номера видно, что чисто

математическая сторона журнала занимает второстепенное место.

* * *

Таким образом, факт издания физико-математических школьных журналов остается ярким отражением стремлений передовой части русского учительства того времени творчески подходить к своей педагогической деятельности, стремясь развивать интересы учащихся, повышать их математическую культуру. Хочется верить, что традиции русской ученической математической журналистики будут продолжены и советские школьники будут иметь свой математический журнал*.

* Стало известно, что с 1970 г. в Москве будет выходить ученический журнал «Квант» (на русском языке).

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ..................... 3

П. М. Азарская. О развитии познавательной самостоятельности учащихся в процессе выполнения домашних заданий по математике в 5—8 классах................... 5

Н, Л. Бахтин. Использование динамических и статических средств наглядности в учебных телевизионных передачах по математике ... 13

Н. П Бахтин. Из опыта внедрения телевидения в обучение математике за рубежом..................... 19

Н. К. Кузнецова. Изучение определенного интеграла в курсе математики средней школы ..................31

В. Т. Рачкова. Изучение геометрических преобразований с помощью комплексных чисел ..................60

Н. К. Рузин. Место арифметических задач в курсе математики политехнической школы (в связи с изменением учебных программ) . . 88

В. К. Смышляев. Объем усеченной пирамиды..........110

В. К. Смышляев, А. Ш. Шапеев. За высокое качество математических знаний учащихся средних школ.............114

В. К. Смышляев. Первые русские ученические журналы по математике . 123

ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Редактор И. И. Куторов Технический редактор Е. М. Данилова

Сдано в набор 3 октября 1968 г. Подписано к печати 4 ноября 1969 г. Формат 60х901/1л. Физ. печ. л. 8,5. Учетно-изд. л. 8,49. Тираж 1000. Заказ № 4486. Цена 60 коп. Э-01786.

Республиканская типография Управления по печати при Совете Министров Марийской АССР, г. Йошкар-Ола, Комсомольская, 112.