МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ВНЕУРОЧНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ В УСЛОВИЯХ СЕЛЬСКОЙ ШКОЛЫ

ВОЛОГДА

1981

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ВНЕУРОЧНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ В УСЛОВИЯХ СЕЛЬСКОЙ ШКОЛЫ

ВОЛОГДА 1981

В сборнике публикуются материалы, раскрывающие связь внеурочной работы с новым содержанием математического образования в средней школе. На основе экспериментальных исследований авторы сборника предлагают новые подходы к изучению таких важных для внеурочной работы тем, как геометрические преобразования, начала анализа, расширение понятия числа й другие.

Сборник рекомендуется студентам педагогических институтов и учителям средних школ.

Редколлегия: доцент Губа С. Г., доцент Ломакин Ю. В. (редактор), профессор Скопец З. А.

Вологодский государственный педагогический институт, 1981 г.

З. А. Скопец

г. Ярославль

КООРДИНАТНЫЕ ФОРМУЛЫ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ ПЛОСКОСТИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

В курсе геометрии восьмилетней школы приводятся формулы осевой симметрии для двух частных случаев, когда оси симметрии имеют уравнения jc=0 и у = 0, т. е. совпадают с осями координат. При построении графиков функций, обратных данным, учащиеся 8—10-х классов пользуются в курсе алгебры и начал анализа формулами осевой симметрии плоскости, когда ось имеет уравнение х — у = 0 : Х' = У> У/==х- Однако общие формулы для осевой симметрии, когда ось имеет произвольное расположение относительно осей координат, в учебных пособиях и задачниках, насколько нам известно, отсутствуют. Это, по всей вероятности, вызвано тем, что вывод формул в общем случае довольно громоздкий, эти формулы трудно запомнить и поэтому они не приемлемы для школы. Но мы не находим даже упражнений, в которых требуется получить формулы осевой симметрии, когда ось задана своими уравнениями с числовыми коэффициентами, нет также упражнений еще более простых, когда по координатам данной конкретной точки требуется вычислить координаты симметричной ей точки относительно оси, заданной своим уравнением с числовыми коэффициентами.

Таким образом, одно из основных перемещений плоскости, используемых в построении школьного курса планиметрии, каким является осевая симметрия, фактически не связывается с координатным методом. Если учесть, что и поворот плоскости не подкрепляется соответствующими формулами, то становится очевидным, что перемещения плоскости изучаются в школе от метода координат. Это, несомненно, не содействует глубокому пониманию ни ме-

тода координат, ни геометрических преобразований, не формирует у учащихся современных представлений о единстве математических методов.

Если бы действительно решение названных выше задач и упражнений было сопряжено с расширением принятой в настоящее время программы, если бы требовалось рассмотрение новых понятий, неизвестных учащимся, то пришлось бы сожалеть, но мириться со сложившимся положением. Однако, как будет показано ниже, применение координат к изучению перемещений не требует от учащихся дополнительных знаний. Координатные формулы перемещений плоскости могут быть получены на основе формулы расстояний между двумя точками. Ведь перемещения плоскости определяются как отображения, сохраняющие расстояния, поэтому формулы всех видов перемещений могут быть выведены посредством основной формулы метрической координатной геометрии: формулы расстояния между двумя точками. Желательно, чтобы с этой формулой все учащиеся были знакомы из курса алгебры и из курса геометрии 8-летней школы.

1. Начнем рассмотрение затронутого выше вопроса с частного примера, позволяющего легко понять решение поставленной задачи в общем виде. Решим этот пример различными способами и сопоставим эти решения.

Пример. Дана прямая / : 2х — у +1 = 0. Вычислить координаты точки В(т; п), симметричной точке А (3;—1)при симметрии S/.

Решение. Способ 1. Пусть точка M на оси / имеет координаты (х; у) (рис. 1). Из свойств осевой симметрии сле-

Рис. 1.

дует, что |АМ| = |ВМ| или |АМ|2= \ВМ|2. Последнее равенство в координатной форме можно записать так:

После выполнения простейших тождественных преобразований получим

(1)

Мы получили уравнение оси симметрии /, которое по условию задачи имеет уравнение 2х — у+ 1 = 0. Но если два уравнения задают одну и ту же прямую, то коэффициенты при неизвестных и свободный член одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам и свободному члену второго уравнения. Поэтому

(2)

Из полученной системы найдем m и п. Из уравнения m — 3 = — 2 (п + 1) выразим m через п:

(3)

Это значение m подставим во второе уравнение т2 + п2 — — 2п — 12 = 0 системы (2):

Отсюда находим два значения для п:

Из уравнения (3) находим

Найдены две точки:

Первая из них совпадает с точкой А и, поскольку А /, должна быть исключена. Остается, что искомая точка В имеет координаты

Способ 2. Можно предложить другой подход к решению поставленной задачи. Точка M е / имеет координаты (х ; 2х +1) (рис. 2). Поэтому при любом х должно иметь место равенство

Полученное уравнение относительно х приведем к общему виду

(4)

Поскольку уравнение (4) удовлетворяется при любом значении X, то коэффициенты уравнения равны нулю:

(5)

Как легко заметить, система (5) совпадает с системой (2) и ее решение проведено выше.

Способ 3. Найдем координаты точек пересечения Р и Q прямой / с осями координат (рис. 3): Р(0; 1), Но \РА\2=\РВ\2, \QA\*=\QB\2, поэтому

Рис. 2.

Получили систему двух квадратных уравнений с двумя неизвестными

(6)

Эту систему заменим равносильной, оставив первое уравнение без изменений, а в качестве второго уравнения возьмем разность уравнений системы (6):

(7)

Мы снова получим систему, совпадающую с системой (2).

Все три рассмотренных способа решения задачи требуют лишь знания формулы расстояния между двумя точками. Все остальные сведения, требующиеся для ее решения — уравнение прямой, построение прямой по ее уравнению, решение систем уравнений — учащимся известны из курса алгебры 8-летней школы.

Способ 4. Можно предложить еще один способ решения, основанный на применении производной. Квадрат расстояния от точки Л(3; —1) до точки М(х; 2х+1) прямой / (рис. 4) есть функция от х:

Рис. 3.

Эта функция достигает минимума при значении ху удовлетворяющем уравнению /'(*) = 10x4- 2 = 0. Из этого уравнения находим х =--— и точка М0 —основание перпендикуляра, проведенного через точку А к прямой / — имеет координаты [--— ; . Но M 0 — середина отрезка А 5, поэтому

Отсюда m

В этом способе решения нет необходимости решать систему двух уравнений с двумя неизвестными. Вместо этого применяется эффективно производная. Можно, конечно, найти наименьшее значение f(x) без применения производной, поскольку f(x) есть квадратный трехчлен, который может быть представлен в виде:

f (х) принимает наименьшее значение при тех замечаниях х, для которых 5* +1 = 0, т. е. при х=--~ .

Рис. 4.

Способ 5. Однако решение поставленной задачи можно искать на другом пути, не привлекая ни формулы расстояния между двумя точками, ни производной. Этот путь основан на важнейшем свойстве симметричных относительно оси точек: две точки А и В симметричны относительно оси /, если отрезок AB перпендикулярен к / и середина M отрезка AB принадлежит прямой /. Это свойство симметричных точек по прежней программе служило определением их симметричности. Вот почему многим учителям, которым предлагалась эта задача для решения, показался естественным и даже единственно возможным способом решения именно последний способ. Приведем полное решение.

Точка M 0 (рис. 5) имеет координаты

Эта точка принадлежит оси /, поэтому

(8)

Далее, вектор AB имеет координаты (т — 3; п + 1), а вектор а, параллельный прямой /, имеет координаты (1 ; 2).

В самом деле, чтобы вычислить координаты вектора а, находим координаты двух произвольных точек М\ и Л12 прямой /, придав координатам (л:; 2x4-1) точки Mel частные значения, положив х = х} и х = х2. Получим:

Рис. 5.

Отсюда

Поскольку х2 — Х\ Ф О, можно за координаты вектора а принять координаты вектора М\МЪ деленные на Л'2 — хи поэтому а = (1; 2). Но векторы AB и а перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю :

Полученное уравнение можно записать так:

(9)

Вместе с уравнением (8) уравнение (9) составляют систему двух линейных уравнении, из которых находим m =--.

Для предложенного способа решения характерно то, что оно требует от учащихся свободного владения координатно-векторным методом — умение находить координаты вектора по координатам концов изображающего его направленного отрезка, находить координаты направляющего вектора прямой, применять скалярное произведение векторов, заданных своими координатами. Хотя этот материал в принципе не чужд учащимся 10-го класса, однако у них нет необходимых практических умений и навыков применять координаты и векторы ни в стереометрических, ни тем более в планиметрических задачах. Это частично можно объяснить тем, что в курсе планиметрии изучение метода координат на векторной основе, согласно программе, не предусматривается.

Таким образом, приведенный способ решения действительно требует более полных знаний и прочных навыков в применении координатно-векторного аппарата. Этот способ можно рекомендовать учащимся 10-го класса. Что же касается первых трех способов решения, то они вполне умеет-

ны для их рассмотрения в 8-м классе, когда алгебраическая подготовка учащихся позволяет им решать разнообразные системы алгебраических уравнений с двумя неизвестными.

II. Представляется интересным привести полное решение поставленной задачи в общем виде.

Задача. Дана ось симметрии / своим общим уравнением Px+Qy + R = 0 и точка А (р; q). Вычислить координаты точки В(р{; <7i), симметричной точке А при отображении S/.

Правильная точка M прямой / при Q Ф 0 имеет координаты

Для точек Л, В, M выполняется равенство |ЛМ|2= |ßAl|2, которое запишем в координатной форме :

(10)

Поскольку это равенство выполняется для любого значения X, то оно представляет собой тождественное равенство относительно х. После несложных преобразований это равенство принимает вид:

или

Ввиду того, что полученное равенство удовлетворяется для любого значения х, то коэффициент при х и свободный член должны быть равны нулю. Итак, получаем систему уравнений с неизвестными р\ и q\ :

Перепишем эту систему так :

Одно решение этой системы усматривается непосредственно :

Для второго решения имеет р\ -4р и q\^q, поэтому, переписав второе уравнение в виде

и учитывая из первого уравнения, что

можем второе уравнение системы записать так:

После деления на q\ — q получим линейное уравнение

Таким образом, окончательно получаем систему двух линейных уравнений:

Решение этой системы такое (подробные выкладки опускаем) :

Уравнения системы (11) являются по существу формулами преобразования осевой симметрии 5 . Нетрудно проверить, что если в уравнениях (11) р и q выразить через р\ и qu то получим такие же формулы с той лишь разницей, что Р\ и q\ заменяются на р и q9 а р и q — на р\ и Ç\.

Если Q = 0, то Р О, и мы снова приходим к тем же формулам (11).

Числовой пример, который мы решали выше, посредством (11) решается автоматически путем следующих подстановок :

Имеем:

III. Уравнения (11) позволяют решить две важные задачи:

а) вычислить координаты (рп; q0) проекции М0 точки А (р; q) на прямую /: Px+Qy + R = 0;

б) вычислить расстояние d от точки А (р ; q) до прямой /. Из уравнений (11) без труда следует, что

Из этих же уравнений следует, что

Отсюда

и окончательно

Заметим, что формулы (11) и (12), эффективно применяемые при решении многих задач, не встречаются в распространенной учебной литературе по координатной геометрии.

а) Применим формулы (11) для вывода формул поворота плоскости вокруг начала координат на угол ср. Этот поворот можно представить как композицию двух осевых симметрий S (ох) и 5/, где / имеет уравнение kx — y = 0,k = tg^-(рис. 6).

Рис. 6.

Имеем :

Формулы поворота /?J = Se<> S(0x) получают вид:

Отсюда

Но

Поэтому получаем:

б) Применим формулы (12) для доказательства одного замечательного свойства параболы.

Задача. Доказать, что множество проекций точки M ^0; на касательных к параболе у = ах2 есть прямая.

Построить точку M для параболы, заданной своим изображением.

Решение. Касательная к параболе в точке (х0, яя'о2)) (рис. 7) имеет, как легко доказать, уравнение

Рис. 7.

или

(15)

Согласно формулам (12), координаты р0, q0 проекции точки M /0; — J на касательную (15) таковы:

Отсюда получаем

Итак, множество проекций точки M на касательные к параболе у = ах2 есть ось Ох, т. е. касательная к параболе в ее вершине.

Точка % 0J является точкой пересечения касательной (15) с осью Ох. Чтобы построить точку М9 поступаем так: берем на параболе произвольную точку Т9 находим ее проекцию Т\ на касательной в вершине О параболы, строим середину М0 отрезка ОТх и проводим через М0 прямую, перпендикулярную к (М0Т). Эта прямая пересекает ось симметрии параболы в искомой точке М. Как видно из построения, положение точки M не зависит от выбора системы координат; с каждой параболой связана единственным образом такая точка, она называется фокусом параболы.

Частное применение при решении разнообразных геометрических задач имеет одно свойство описанной около треугольника окружности. Рассмотрим это свойство.

Задача. Дан треугольник ABC. Найти множество точек плоскости треугольника, для каждой из которых проекции на прямые ВС, CA и AB принадлежат одной прямой.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулами (12). Выберем систему координат так (рис. 8), чтобы в ней вершины треугольника имели следующие координаты :

Предложенный выбор пригоден для любого треугольника. Прямые ВС, CA и AB имеют следующие уравнения:

Если M (р; q) — точка искомого множества и М\(Р\\ q\), М2 {pï, ?2),Л1з (Рз\ q*) ее проекции на прямые ВС, CA, Aß,то, согласно (12), имеем:

Чтобы точки Ми М2, Мг принадлежали одной прямой, необходимо потребовать коллинеарность векторов МЪМХ и MZM2. В координатной форме это требование равносильно пропорциональности одноименных координат этих векторов:

Рис. 8.

После подстановки соответствующих значений и упрощений получим:

или

Отсюда Но m фп, поэтому

После несложных преобразований получаем

или

Искомое множество точек есть окружность, проходящая через вершины А у В, С.

IV. Предлагаем читателю доказать, что формулы преобразования симметрии Sa относительно плоскости Px+Qy + + /?2 + Г = 0 в пространстве имеют вид:

В векторной форме эти формулы можно записать коротко так:

О — произвольная точка пространства, N т 0.

М. Б. Балк, Ю. В. Ломакин

г. г. Смоленск, Вологда

НЕРАВЕНСТВА И ПРОИЗВОДНАЯ

Знакомство с начальными сведениями из дифференциального исчисления позволяет школьнику найти новые простые и экономные способы решения разнообразных задач, которые по традиции решаются иными, обычно более громоздкими приемами. Особенно ярко видны преимущества нового подхода при решении различных по содержанию и формулировке задач на проверку или доказательство неравенств.

Предлагаемые в данной статье материалы предназначены прежде всего для занятий математических кружков IX—X классов. Отчасти они могут также быть использованы учителем на уроках по обязательному или факультативному курсу математики.

1. Основная теорема. Наиболее простым и в то же время весьма сильным средством, даваемым дифференциальным исчислением для проверки неравенств, является следующая теорема (см. «Алгебра и начала анализа», М., «Просвещение», 1975, стр. 145):

Теорема 1. Если функция / имеет положительную производную У в каждой точке интервала ]а; в[, то эта функция / возрастает на ]а; Ь[. Если функция / имеет отрицательную производную в каждой точке интервала ]а; Ь[9 то / убывает на ]а; Ь[. Если дополнительно известно, что / непрерывна на полуинтервале [а; &[*, то возрас-

* Определение непрерывности функции во внутренней точке х полуинтервала приведено в указанном выше пособии на стр- 109. «Непрерывность функции f(x) в начале а полуинтервала [а; Ь[* означает, что Uta /(ж), иными словами, функция /(*), заданная на полуинтервале хе )*; [а; Ь[у непрерывна в начале а этого полуинтервала, если для каждого

такие (или соответственно убывание) имеет место на всем этом полуинтервале.**

Рассмотрим пример.

Пример 1. Доказать неравенство

Решение. Пусть 0<p<q. Рассмотрим на ]р, + со [ функцию

Имеем: f'(x) = 6[(p + x)5-(2x)5]<0, при p<jc< + oo . Поэтому по теореме 1 f(x) убывает на

откуда

При решении задач иногда полезно, чтобы требования из условия теоремы 1 были несколько ослаблены. Мы имеем в виду следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть функция / имеет производную f в каждой точке интервала ] а ; Ь [, и пусть /' обращается в нуль лишь в конечном числе точек этого интервала, а в остальных точках из ] а ; Ъ [ она положительна. Тогда функция / на ]а; Ь[ возрастает.*

Доказательство. Пусть / (jc) = 0 на множестве {jci, Хъ ... ... хш\ а<х{<х2< ... <xm<b. Так как f'(x) > 0 на ]а; хх[ и f непрерывна на ]а; Х\] , то f в силу теоремы 1 возрастает на ]а; х\]. Аналогично убеждаемся, что / возрастает на

ô>0 существует такое ô>0, что для любого х из ] а\ а + о [ выполняется неравенство/f(Ar)—f(tf) <Ь. Аналогично можно определить непрерывность функции f(x) на ]а; Ь] или на [а; Ь]. Непрерывность функции на каком-нибудь полуинтервале (или отрезке) понимается крк непрерывность в каждой его точке.

** Аналогичное утверждение остается верным, если вместо полуинтервала [а; Ь[ брать полуинтервал ]а; Ь] или отрезок [а; Ь].

* Если в теореме 2 заменить слова «положительна» и «возрастает» на «отрицательно» и «убывает», то снова получим истинное утверждение.

[xi; х2]. Следовательно, / возрастает на ]а; х2]. Аналогично убеждаемся, что / возрастает на ]а; х3],..., ]а; хт], ]а; Ь[.

2. Полезное следствие из теоремы 1. Для решения задач на доказательство неравенств обычно удобнее (мы в этом убедимся на многих примерах) пользоваться не самой теоремой 1, а таким ее следствием.

Теорема 3. Пусть каждая из функций / и g непрерывна на полуинтервале [а; Ь[ и имеет производную в каждой точке интервала ]а; Ь[. Для того, чтобы было верно неравенство (строгое!)

(1)

достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия : I. На интервале ]а; Ь[ верно неравенство, получающееся из неравенства (1) путем почленного дифференцирования, т. е. верно

(2)

II. В начале полуинтервала имеет место хотя бы нестрогое неравенство f(a) g(a) (2)

Доказательство. Функция F(x) = g(x) — f(x) определена и непрерывна на [а; Ь[,, причем F(a) >0и F'(x)>0 на ]а; Ь[ . По теореме 1 функция F возрастает на [а; Ь[9 так что при а<х<Ь имеем F(x)>F(a) О, т. е. f(x)<q(x)*

Проиллюстрируем применение теоремы 3 на примерах.

Пример 2. Доказать неравенство

(4)

Решение. Продифференцируем почленно (4), т. е. рассмотрим неравенство

Последнее неравенство верно. Кроме того, при х = О обе части неравенства (4) принимают равные значения (1), следовательно, неравенство (4) доказано.

* Если дополнительно потребовать еще непрерывность функций f и g в точке Ь, то (как ясно из доказательства) неравенство (1) будет верно и в точке Ь.

Пример 3. Доказать, что

(5)

Решение. Проверяем выполнение двух условий теоремы 3.

Рассмотрим на ]1; + оо[ неравенство, получающееся из (5) путем почленного дифференцирования:

Оно, очевидно, верно. Кроме того, в точке х = 1 обе части неравенства (5) принимают равные значения (2). Следовательно, согласно теореме 3, неравенство (5) верно.

Пример 4. Доказать неравенство

(6)

Решение. Проверяем выполнение условий теоремы 3. Рассмотрим на ] 0, + ос [ неравенство, получающееся из (6) путем почленного дифференцирования:

Оно, очевидно, верно. Кроме того, при х = 0 обе части неравенства (6) принимают равные значения (1). Следовательно, неравенство (6) доказано.

Пример 5. Доказать двойное неравенство

(7)

Решение. Мы можем здесь перейти от неравенства с двумя переменными к неравенству с одним переменным, если положим х= — >1. Тогда (7) принимает вид

(7')

Продифференцируем почленно (7), приходим к двойному неравенству

Оно, очевидно, верно. При х = 1 все три функции в (7х) принимают равные значения (0). В силу теоремы 3 неравенство (77) доказано.

Теорема 3". Пусть каждая из функций f(x) и g(x) имеет производную в каждой точке интервала ]а; Ь[ и непрерывна на полуинтервале [a; Ь[. Для того, чтобы было верно неравенство (строгое!)

(1)

всюду на ]а; &[, достаточно, чтобы одновременно выполнялись следующие условия:

I. Неравенство

(1')

имеет место для всех х из Ja; b[;

II. При этом множестве точек х, для которых имеет место равенство

(2')

не заполняет целиком никакого интервала вида ]а; с[9 где

а<с<Ь ;

III. /(а) < су(а). (3')

Доказательство. Пустьf-(x) = qx — f(x) Тогда F{x) непрерывна на ]а; Ь[ и

(1")

(2")

на множестве, не заполняющем никакого интервала ]а; с[у

а<с<Ь;

(3")

Рассмотрим сначала случай, когда F(a)>0. В силу теоремы 1 функция F(x) не убывает на [а; Ь[. Поэтому F(x)^> F (а), и если /г(а)>0, то F(x)>0 при хе ]а; Ь[9 т.е. f(x)<g(x) на [а; Ь[.

Остается рассмотреть случай, когда F(a) = 0. Так как F(x) не убывает на [а; Ь[9 то /^jc) >0 на [а, Ь[. Выберем произвольное число с на ]а; 6[ (т. е. а<с<Ь). Покажем, что на ]а; с[ найдется хотя бы одна точка а\ такая, что F(a\)>0 (строго больше!). Действительно, допустив противное, мы бы заключали, что F(x) = 0 на ]а; с[ и, следовательно, F'(x) = 0 на ]а; с[ , a это противоречит условию (2"). Итак, такая точка ai, что /r(ai)>0, на ]а, с[ существует. Но тогда при хэ\аЬ\ и F(x)>F(ax) > 0, так что (Fx) > 0 на ]с, Ь[. Но точку с мы могли бы выбрать как угодно близко к точке а. Следовательно, F(x)>0 на всем интервале ]а; й[, т. е. f(x)<g(x) на]а; &[.

3. Привлечение высших производных. Иногда при доказательстве неравенств полезно применить почленное дифференцирование не один, а несколько раз. Точнее говоря, иногда полезно воспользоваться следующим следствием из теоремы 3.

Теорема 4. Пусть каждая из функций / и g непрерывна на полуинтервале [a; Ь[ и имеет в каждой точке интервала ]a; Ь[ производную порядка п. Для того, чтобы было верно (строгое!) неравенство

(8)

достаточно, чтобы одновременно выполнялись такие условия:

1. В каждой точке интервала ]a; Ь[ верно неравенство, которое возникает из неравенства (8) путем и-кратного почленного дифференцирования, т. е.

(9)

2. В начале полуинтервала (т. е. при х = а) выполняются хотя бы нестрогие неравенства

(10)

Доказательство. Так как [/(11_%г)]'< [^<п_1 >(*)]' на \а;Ь[ (см. (9)) и /<"-1 >(а)< <7(Il_1)(e)» то, согласно теореме 3, имеем: /<п~1 >(лг) < ^^п-1 >(jc) всюду на ]а; Ь[

Но это значит, что

Кроме того, по условию

Поэтому имеем (по теореме 3):

Повторяя аналогичные рассуждения, мы после конечного числа шагов получим, что всюду на ]а; Ь[ справедливы строгие неравенства

и, наконец, /(х) < q(x) , что и требуется доказать. Более аккуратное формальное доказательство можно получить методом математической индукции.

Пример 6. Доказать неравенство

(11)

Решение. Последовательно продифференцировав (11), получим

(12) (13)

Неравенство (13) (т. е. sin х < х при х > 0) верно (при оно доказано в учебнике «Алгебра и начала анализа 10», М., 1976, п. 77, стр. 11, при оно очевидно, т. к. sin X < 1). Кроме того, если в (11) и (12) заменить *<» на то при 1 < 1, (11) и (12) переходят в истинные соотношения.

Поэтому неравенство (11) верно (см. теорему 4 при я = 2).

Пример 7. Доказать неравенство

(14)

Решение. Так как в формуле (14) а и b равноправны, то можно ограничиться случаем а> Ь. Тогда из (14) получим

Положив а — Ъ = X, перепишем неравенство в виде

(15)

Почленно продифференцируем дважды неравенство (15); получим

(16)

Последнее неравенство очевидно справедливо. Кроме того, заменяя в (15) и (16) знак «<» на «О подставляя jc = 0, получим истинные соотношения 0 <! О, 2 <С 2. По теореме 4 неравенство (15) а, значит, и неравенство (14) справедливо. Пример 8. Доказать неравенство

(17)

Решение. Дифференцируя почленно неравенство (17) п раз, приходим к истинному неравенству ех>1 (при х>0). При х = 0 обе части каждого из п возникающих здесь неравенств принимают одно и то же значение (1). По теореме 4 неравенство (17) доказано.

Пример 9. В окружность радиуса R вписан правильный п-угольник с периметром рп, и около нее описан правильный п-угольник с периметром Рп. Докажите следующее неравенство (принадлежащее Гюйгенсу)

Решение. Выразим стороны вписанного и описанного п-угольников через п и радиус окружности (рис. 1):

Тогда неравенство Гюйгенса приобретает вид

(18)

где

Дифференцируя (18) почленно, получим

(19)

т. е.

Но последнее неравенство, очевидно, верно. Так как при замене в (18) и (19) знака «>» на « >» получим при х = 0 верные неравенства 0 > О, то в силу теоремы 4 неравенство Гюйгенса доказано.

4. Производная, неравенства, числовые последовательности. Во многих случаях теоремы 1—2 могут быть использованы для решения задач на изу-

Рис. 1.

чение свойств числовых последовательностей (монотонность последовательности, нахождение наибольшего или наименьшего из ее членов и т. п.).

Пусть рассматривается какая-либо последовательность (ап). Часто нетрудно подобрать такую функцию /(*), которая определена и дифференцируема на ]1, + оо[, что f(n) = an для любого натурального п. Если обнаружим, что функция f(x) монотонна, мы тем самым докажем монотонность последовательности ап, найдя промежутки возрастания и убывания функции f(x), мы тем самым можем значительно облегчить поиск наибольшего или наименьшего члена последовательности.

Пример 10. Найти наибольший член последовательности

Решение. Рассмотрим на ]0; -|оо[функцию /(*)= ———

Учитывая, что /'(*) = "~"7~~^ » видим, что /'(jc)>0 на ]0; 4[ и /'(л;)<0 на ]4; +эо[. Поэтому (см. теорему 1) / на ]0; 4[ возрастает, на ]4; + ос [ убывает и, следовательно, принимает наибольшее значение при х = 4; т. е. /(4)>/(х) при хф4. Следовательно, а4>ап при п=/=4, т. е. а4 — искомый наибольший член последовательности.

Пример 11. Является ли возрастающей числовая последовательность, (ап = п—sinn) (п £ N), т. е. верно ли для каждого п неравенство an<an+i ?

Решение. Рассмотрим на /?+ вспомогательную функцию f(x) = x — sin X и выясним, является ли она монотонной на R+. Пусть Xi и Х2 — две произвольные точки из R+. Так как Г(х) = 1—cos*, то на ]х\ ; х2[ имеется лишь конечное число точек, в которых f'(x) = 0 (точки вида x = 2k л, k Ç N); в остальных точках /'(*)>(). По теореме 2 функция f(x) на интервал е\х\\ х2[возрастает; в силу непрерывности f(x) то же верно для отрезка [х\\ х2]. Поэтому /(*i)</(jt2). В частности, при Х\ = п, х2 = п + 1, получим: an<an+i, т. е. (ап)— возрастающая последовательность.

Пример 12. Найти наименьший член последовательности

Решение. Рассмотрим на ]0; + оо [ функцию

Находим

Видим, что /'(*)<0 на ]0; 10[ и Г(*)>0 на ]10; + оо [. Поэтому (см. теорему 1) f(x) на ]0; 10[ убывает, на ]10; + оо [ возрастает и, следовательно, принимает наименьшее значение при х = 10, т. е. /(10)</(х) при х Ф 10. Следовательно, а\0<ап при п ф 10, т. е. аю— искомый наименьший член последовательности.

5. Неравенство Коши. В ряде случаев для доказательств неравенств уместно сочетать применение производных с привлечением метода математической индукции.

Пример 13. Докажем следующее утверждение Коши: среднее геометрическое п положительных чисел не превосходит их среднего арифметического.*

Иначе говоря: если х\>0 при i=l, ... , п.

(неравенство Коши) (20)

т. е.

(21)

Доказательство. Справедливость (20) при /1=1 очевидна. Пусть (20) верно при п = k, т. е. пусть из *,\>0 следует, что (22)

* Несколько изменяя (впрочем, несущественно) приводимые ниже рассуждения, можно показать, что в утверждении Коши можно заменить требование положительности чисел требованием их неотрицательности и что равенство возможно тогда и лишь тогда, когда все п чисел равны между собой.

Докажем, что в таком случае (21) верно и при n = k + 1, т. е. из соотношений Х\ > 0 (i = 1,... э к + 1),

(22) (23)

Следует

Ниже будем ради краткости писать х, s, р, s1 вместо Лк+1, Sk+i, Рк+ь 5—jCk+i. Зафиксируем S. При каждом выборе числа из ]0; S[ имеем (см. (22))

(24) (25)

Выясним, при каком выборе числа х из ]0; S[ функция f(*) имеет наибольшее значение. Для этого найдем производную :

Отсюда видно, что в силу теоремы 1 функция возрастает, а на убывает, так что /(х) имеет наибольшее значение при

и это значение равно (см. (25))

Из (24) видим, что

верно (23). Итак, если (21) верно при п = то (21) верно и при п = k + 1. Так как (21) верно еще при п = 19 то оно верно для всех п £ N.

Примеры для самостоятельного решения.

1. Проверить справедливость следующих неравенств:

2. Найти наибольшие члены последовательности (ап), если

3. Найти наименьшие члены последовательности (аи), если а) ап = п2 — 9п —100 б) ап= — —Inn

4. Найти наибольший и наименьший члены последовательности

5. Показать, что последовательность (ап = п -f- cos/z + é) (6 — cons^, яеМ)— возрастающая.

6. При каких значениях a последовательность an=n3— — л/ является возрастающей?

Ответы. 2.а) а3, б) аюо, в) а8. 3.а) а4 = а5 = —120, б) а3. 4. ац — наибольший, аю — наименьший. 7. а<6.

О. А. Котий, В. Т. Рачкова

г. Ярославль

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СПОСОБ ВВЕДЕНИЯ ПОНЯТИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

В программе факультативного курса по математике для 10-го класса значится тема « Комплексные числа и многочлены». Для учащихся, систематически посещающих факультативные занятия по математике, эта тема может быть непосредственным обобщением материала «Дополнительные вопросы арифметики целых чисел» и «Алгебраические уравнения любой степени». Указанные разделы входят в программу факультативных занятий по математике соответственно для учащихся седьмых и девятых классов. В самом деле, изучая первую тему на факультативных занятиях в 7-м классе, учащиеся знакомятся с вопросами сравнений целых чисел, вычетов, арифметическими и алгебраическими свойствами вычетов. В названной же теме для 9-го класса изучается теория делимости многочленов, теорема Безу. Владея этим материалом, можно комплексное число рассматривать как класс вычетов многочленов /1-ой степени по модулю х2 + 1. Достоинство такого способа введения комплексных чисел состоит в том, что здесь естественно получаются правила всех арифметических операций с комплексными числами, а заменив модуль х2 + 1 на X2 или X2 — 1, можно построить множество дуальных и двойных чисел, имеющих широкое применение в неевклидовых геометриях и механике.

Прежде чем непосредственно перейти к введению комплексного числа, напомним некоторые понятия теории сравнений целых чисел.

Пусть дано натуральное число m (модуль). Рассмотрим множество остатков, получившихся от деления различных целых чисел на это число т. Известно, что целое число г — остаток от деления любого целого числа а на m, удовлетво-

ряет соотношению 0 < г < m — 1. Если вместо каждого целого числа взять остаток от деления его на m, то множество целых чисел Z отображается на множество M = = {0, 1, 2, ... m — 1}. В этом отображении элементу О из множества M соответствуют только те целые числа, которые делятся на m, элементу 1 из M соответствуют целые числа, дающие при делении на m в остатке 1, и только они, и т. д. С построением описанного отображения множество Z разбивается на попарно непересекающиеся подмножества Z0, Zi, Z2, ... Zm_i —классы вычетов. Каждый класс в множестве M представлен своим наименьшим неотрицательным представителем — остатком от деления целого числа на модуль т. Всякие два числа, принадлежащие различным классам вычетов, не имеют одинаковых остатков. Другими словами, множество Z разбито на такие попарно непересекающиеся подмножества Z0, Zi, Z2, ... Zm_i, что элементы подмножества Z0 сравнимы с 0 по модулю /л, элементы подмножества Z\ сравнимы с 1 по модулю т, и т. д., элементы подмножества Zm_i сравнимы cm — 1 по модулю т. Такое разбиение множества Z на классы возможно потому, что отношение «быть сравнимым по модулю га», установленное на множестве целых чисел, является отношением эквивалентности. В самом деле, если целые числа а, в, с сравнимы с некоторым целым числом г по модулю

то разности а — г, в — г, с — г делятся на m (1, с. 15 —19). Поэтому из

следует

рефлексивность ;

— симметричность;

— транзитивность.

Сравнения по одному и тому же модулю можно почленно складывать, вычитать, умножать, возводить в степень. На множестве M = {0, 1, ... m — 1} может быть построена арифметика (2, с. 89—105), которая находит применение при решении многих задач из обычной арифметики и алгебры (3, с. 49—79).

Заменим теперь множество Z на множество F многочленов с действительными коэффициентами от одной переменной X, а модуль m на двучлен х2 + 1. Для любого многочлена f(x) = апхп + ап-\Хп-1+ ... -Ьа0 и двучлена х2 + 1 найдется единственная пара многочленов <\>(х) и г(х) таких, что f(x) = (X2 + 1) $ (х) + г(х) (4, с. 37—39). При этом степень многочлена г(х) ниже степени делителя X2 + 1. Следовательно, г(х) = тх + п при m = п=0 г(х) = 0. Множество различных остатков, получившихся от деления всех многочленов множества F на модуль х2 + 1, в отличие от предыдущего случая не является конечным.

Два многочлена fi(x) = anxn + an-iXn-] + ... +а0, Ы*) = = Ьт хт + bm-[ xm'i -h... -f bQ назовем сравнимыми по модулю X2 + 1, если они при делении на х2 + 1 имеют одинаковые остатки, т. е.

fi(x)=f2(x) (modx2 + l), если fi(x) = (x2 + l)q)l(x) + r(x), f2(x) = = (х2+1)ц)2(х) + г(х). Как и для целых чисел сравнение /!(дс)=/2(л:)(тос1л:2 + 1) имеет место, если разность f\(x) — f2(x) делится на х2 + 1.

Отношение «быть сравнимыми» на множестве многочленов является эквивалентностью, что доказывается так же как и для вычетов на множестве целых чисел.

Множество F по этому отношению разбивается на классы вычетов. Простейшим представителем каждого класса вычетов будет тот остаток г(х) = тх + м, который получается при делении многочлена на модуль л:2 + 1. На множестве вычетов по модулю х2 + 1 определены операции сложения, вычитания и умножения подобно тому, как это сделано в (2, с. 101—104), для вычетов по модулю 5 или в (3, с. 49— 56). Действительно, складывая или вычитая два любых двучлена первой степени от переменной х, мы обязательно получим двучлен первой степени от той же переменной, т. е.

(1)

Выполняя умножение вычетов по обычным правилам умножения многочленов, нам придется полученный результат заменить двучленом первой степени — вычетом того же класса, т. е.

Следовательно,

(2)

Нетрудно показать, что умножение вычетов коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения.

На множестве вычетов однозначно определена операция деления, если вычеты взаимно просты с модулем. Так как модуль х2 + 1 и любой вычет тх + и, исключая 0-х -h 0, взаимно просты, то существует единственный двучлен рх + qf удовлетворяющий равенству

(3)

Перемножая вычеты в левой части уравнения, имеем

Отсюда

Итак, на множестве вычетов, из которого исключен элемент 0-jc + 0, существует и определяется однозначно вычет рх + q, называемый частным от деления т2х + п2 на Ш\Х + + П\. Для вычисления остатка г(х) — тх + п от деления многочлена f(x) на х2+1 удобно ввести число, удовлетворяющее уравнению

(4)

На множестве действительных чисел такое уравнение не имеет решения. Предположим, что решение этого уравне-

ния существует. Обозначим число, удовлетворяющее уравнению (4), через i. Число /, обладающее свойством i2=—1, позволяет вычислить числовое значение вычета

Число mi + п, где i2=—1, называется комплексным числом.

Подставляя в формулах (1) — (3) вместо переменной х ее значение /, получим правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Следовательно, арифметика вычетов по модулю x2 + l на множестве многочленов F при X = i есть арифметика комплексных чисел.

Действительное число является частным случаем комплексного числа. В самом деле, при m = О г(х) = п. Подставляя значения таких вычетов в формулы (1) — (3), мы получим известные формулы сложения, вычитания, умножения и деления действительных чисел.

Учащиеся знают, что всякое действительное число п может быть изображено на плоскости точкой, принадлежащей действительной оси и имеющей координаты (п, 0). С другой стороны п = п + 0 • i. Поэтому напрашивается вывод, что комплексное число mi + п, запишем его как n + mi, может быть изображено точкой М, имеющей координаты (п. т). Действительно, две точки М\(п{, т\) и М2(п2, ^2) совпадают только тогда, когда П\ = n2j trt\ = т2 одновременно. В остальных случаях точки М\ и М2 различны. Два вычета т\Х + П\ и т2х + /?2, а, значит, и соответствующие им комплексные числа, принадлежат одному классу только тогда, когда т\ = т2 и П\ = п2 одновременно. Поэтому соответствие между множеством точек плоскости и множеством комплексных чисел является взаимно однозначным.

Построив далее обратимое отображение множества комплексных чисел на множество векторов плоскости, можно дать геометрическую интерпретацию операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел.

Описанным выше способом можно ввести понятия дуального и двойного числа, если рассматривать классы вычетов многочленов соответственно по модулю х2 и х2 — 1.

В самом деле, многочлены f\(x) = anxn + an-iXn~l+ ... -Ьа0 и 12(х) = Ьтхт + Ьт-{хт-1 + ... +Ь0 назовем сравнимыми по модулю X2, если при делении на х2 они имеют одинаковые остатки. Тогда fi(x) = (aiX+a0)(modx2)9 a f2(x) = (b\X + bo)(modx2).

Множество многочленов F по отношению «быть сравнимыми по модулю л*2» разбивается на классы вычетов. На множестве вычетов определены операции сложения, вычитания и умножения. Для сложения и вычитания вычетов по модулю X2 необходимо учесть, что

Тогда

Деление же на множестве вычетов по модулю х2 возможно только для вычетов, взаимно простых с х2, т. е. для двучленов тх + п, у которых п Ф 0.

Предположим, что существует число г ф 0, удовлетворяющее уравнению х2 = 0. Число е, обладающее свойством е2 = 0, позволяет вычислить числовое значение вычетов rix).

Число тг + м, где е2=0, называется дуальным числом.

Аналогично, разбивая множество многочленов ла классы вычетов по модулю х2—1, можно построить множество двойных чисел. Более подробно о свойствах двойных и дут альных чисел и об операциях с ними см. (5, с. 20—26).

В заключение отметим, что модули х2 + 1, х2, х2—1, по которым мы сравнивали многочлены, были выбраны неслучайно. Действительно, квадратное уравнение ах2 + вх + с = = 0 может иметь дискриминант отрицательный, равный нулю или положительный. В уравнениях х2 + 1 = 0, х2 = 0, X2—1 = 0 представлены все три случая, т. е. первое из этих уравнений не имеет действительных корней, второе имеет совпавшие корни, а третье различные действительные корни.

Если в качестве модуля выбрать трехчлен ах2 + вх + с, то в зависимости от того отрицателен его дискриминант, равен нулю или положителен, мы построим множество тех же комплексных, дуальных или двойных чисел.

ЛИТЕРАТУРА.

1 Болтянский В. Г., Левитас Г. Г. Делимость чисел и простые числа, в кн. Дополнительные главы по курсу математики 7—8 классов для факультативных занятий. М., «Просвещение», 1969, с. 5—57.

2. Берман Г. Н. Число и наука о нем. М., 1960.

3. Дынкин Е. Б., Успенский В. А. Математические беседы. М—Л., 1952.

4. Виленкин Н. Я., Гутер Р. С, Шварцбурд С. И., Овчинский Б. В., Ашкинузе В. Г. Алгебра. М., «Просвещение», 1968.

5. Яглом И. М. Комплексные числа М., Физматгиз, 1963.

О. П. Шарова

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Бурное развитие, переживаемое в настоящее время математической наукой, ставит перед школой задачу по-новому подойти к решению вопроса о математической подготовке учащихся. С введением новых программ по математике в школу уже вошли такие математические понятия, как «множество», «производная», «интеграл». Учащиеся знакомятся с элементами математической логики, с алгоритмическими процессами, появились благоприятные условия полнее изучить в школе и одно из фундаментальных понятий математики — понятие числа, вскрыть его теоретико-множественную сущность и его методологические основы.

На уроках учащиеся знакомятся с натуральными, целыми, рациональными и действительными числами. Изучение же комплексных чисел перенесено на факультативные занятия в курс «Дополнительные главы и вопросы математики». Это позволило на достаточно высоком научном уровне ввести понятие комплексного числа и показать широкие возможности его использования в различных разделах математики.

Нами разработана система факультативных занятий для учащихся 9—10-х классов, в которую входят следующие факультативы :

1) обобщение понятия числа. Комплексные числа (9 кл.— 16 час)1;

2) векторно-сператорный способ введения комплексных чисел (9 кл.— 12 час.)2;

1 Избранные вопросы для факультативных и внеклассных занятий по математике, «Ученые записки», вып. 86, Ярославль, 1972.

2 Вопросы методики преподавания математики в общеобразовательной школе, сб. научных трудов, вып. 115, Ярославль, 1973.

3) комплексные числа при изучении геометрических преобразований (9 кл.— 10—12 час.)3;

4) комплексные числа и тригонометрия (10 кл.— 14 час.)4.

Данная статья дополняет указанную систему факультативных занятий. Учащиеся познакомятся с новыми для них возможностями использования комплексных чисел в алгебре, что ещё больше убедит их в полезности и целесообразности расширения множества действительных чисел. Изложенные в статье вопросы опираются на элементарные знания учащимися операций над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах.

Занятия кружка на тему: « Приложения комплексных чисел к решению уравнений и систем уравнений» можно построить по следующему плану:

1. Квадратные уравнения с действительными и комплексными коэффициентами (2—3 часа).

2. Система уравнений вида:

3. Двучленные уравнения и их использование для построения правильных многоугольников и вычисления длин сторон этих многоугольников (4—5 часов).

Приведем примеры задач, которые можно использовать при осуществлении этого плана.

1а. При рассмотрении квадратных уравнений с действительными коэффициентами прежде всего представляет интерес задача об установлении связи между геометрическим изображением комплексных корней квадратного уравнения и графиком этого уравнения.

3 а) Некоторые вопросы преподавания математики в средней школе, «Ученые записки», вып. 67, Ярославль, 1970.

б) Шарова О. П., Применение комплексных чисел к изучению геометрических преобразований, «Математика в школе» № 1, 1970.

4 Шарова О. П. Использование комплексных чисел в тригонометрии, «Математика в школе» № 1, 1965.

б) Сборник задач по математике (для факультативных занятий в 9—10 классах) под редакцией З. А. Скопеца, гл. 7, § 5, М. 1971.

Известно, что действительные корни уравнения ax2+bx+c=0, а, в и с //?, а О являются абсциссами точек пересечения параболы с осью ОХ. График уравнения, имеющего комплексные корни, не пересекает оси ОХ. Эти корни являются сопряженными комплексными числами и изображаются векторами, симметричными относительно действительной оси (черт. 1). Какова связь между изображением корней квадратного уравнения и его графиком? Этот интересный в методическом и познавательном отношении вопрос довольно легко решается.

Известно, что комплексные корни уравнения

можно записать в виде:

Геометрически это означает (черт. 1), что действительная часть обоих корней совпадает с абсциссой вершины параболы, а мнимая — среднее геометрическое между ординатой вершины параболы и отрезком—.

Рис. 1.

16. При изучении квадратных уравнений с комплексными коэффициентами полезно рассмотреть задачу:

Квадратное уравнение az2 + bz + c = 0 (a, b и с э С, а ф 0) имеет корни Z\ и Z2. Доказать, что

а) комплексные числа Z{ и Z2 являются корнями квадратного уравнения az2 + tfz + с — 0 ;

б) комплексные числа — и — являются корнями квадратного уравнения cz1 -\ bz + а — ;

в) комплексные числа — и--корнями квадратного уравнения cz2 + bzi а=0.

Эта задача интересна тем, что ее решение позволяет наглядно показать учащимся применение теоремы Виета к квадратным уравнениям с комплексными коэффициентами.

Действительно, при ее решении для случая а) например, будем иметь: если Z\ и Z2 — корни уравнения az2 + + ez + с = 0, то по теореме Виета :

Следовательно, по обратной теореме Виета

— корни квадратного уравнения

2. Интересен, на наш взгляд, способ отыскания действительных корней систем уравнений вида :

Геометрически можно показать, что системы такого вида имеют только два действительных корня. Их нахождение

известными учащимся методами представляют для них значительные трудности. Рассмотрим алгоритм решения систем указанного вида с помощью комплексных чисел на примере системы:

1. Перепишем первое уравнение системы в виде:

2. Умножим второе уравнение системы I и сложим его с первым:

3. Выполняя дальнейшие преобразования, получим:

Обозначим X + iy через Z и найдем корни полученного уравнения :

5. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

6. Тогда корни уравнения примут вид: Z = 2 + 3i или Z = 1 + i. Отсюда находим решение системы :

Аналогично можно решить и следующие системы:

Процесс решения систем указанного вида является хорошей тренировкой в выполнении различных преобразований с комплексными числами. Кроме того, он дает возможность наиболее простым и доступным для учащихся путем получить искомый ответ.

3. Следующей ступенью знакомства с алгебраическими приложениями комплексных чисел является рассмотрение с ними некоторых задач на двучленные уравнения.

Например, можно предложить решить задачу:

Убедиться, что если ZK — корни двучленного уравнения

Решение

Известно, что

С другой стороны,

Если положить Z0 = 1, то

б) при Z = 2 в правой части равенства (1) будем иметь сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем р и, следовательно,

в) при Z=P в правой части равенства (1) будем иметь сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем Р и, следовательно,

В этом разделе полезно познакомить учащихся и с выражением комплексных корней двучленных уравнений с помощью комплексной единицы.

Комплексное число с модулем, равным единице, и аргументом а назовем комплексной единицей и обозначим / . Нетрудно заметить, что в тригонометрической форме комплексная единица 1 имеет вид / =cosa + isina. Тог-

да, зная выражение корней двучленного уравнения Zn— —1 = 0 в тригонометрической форме:

их можно записать с использованием комплексной единицы :

или на основании формулы Муавра:

Корни же двучленного уравнения Zn—а = 0 будут иметь вид:

Такая запись оказалась удобной при решении различных задач на двучленные уравнения.

С целью закрепления с учащимися выражения корней двучленного уравнения через комплексные единицы полезно предложить им ряд задач, которые они, возможно, уже решали, используя другие методы, в частности обобщенную теорему Виета.

1. Убедиться, что сумма всех корней двучленного уравнения zn — a = 0 равна нулю при любом п еШ,

2. Убедиться, что сумма р-х степеней (р € IN) всех корней двучленного уравнения zn — a = 0 равна а]п, если р делится на п.

3. Убедиться, что произведение всех корней двучленного уравнения Z"—а = 0 равно а при нечетном п и равно —а при четном п.

Например, решение задачи 31 можно записать в виде:

Так как при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, то

Поскольку в аргументе стоит арифметическая прогрессия с разностью -, получим :

В связи с решением двучленных уравнений возникают интересные задачи на вычисление длин сторон правильных многоугольников и способы их построения.

Известно, что корни двучленного уравнения Z11 —1 = 0 изображаются вершинами правильного л-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса. Одна из вершин этого /î-угольника, соответствующая первому корню 20 = 1, лежит на пересечении окружности с лучом ОХ (черт. 2); остальные его вершины соответствуют корням этого уравнения, которые находятся по формуле:

Рис. 2.

1 Различные способы решения задач такого типа с использованием комплексной единицы приведены в статье Доброхотовой М. А. и Шаровой О. П. «Векторно-операторный способ введения комплексных чисел». Сборник научных трудов, вып. 115 «Вопросы методики преподавания математики в общеобразовательной школе», Ярославль, 1973.

Этот факт позволяет довольно легко вычислять длины сторон правильных п-уголышков, вписанных в окружность единичного радиуса.

Действительно, вектору А{)АХ (черт. 2) соответствует комплексное число Z,—Z0, а его длине — модуль этого комплексного числа. Следовательно, Л0Л, = Z, — Z0/2.

И т. к.

Отсюда, учитывая, что Z0 = Z0=1 и ZxmZ{ = 1, после преобразований получаем формулу для нахождения длины стороны правильного я-угольника :

Если записать комплексное число Z\ в тригонометрической форме, то общая формула длины стороны правильного п-угольника примет вид:

Рассмотрим некоторые частные случаи:

(черт 3);

Рис. 3.

При п = 4, zt=i,

(черт. 4);

Рис. 4.

(черт. 2);

(черт. 5);

Рис. 5.

При /г=12,

(черт. 6) и т. д.

Рис. 6.

Завершить эту серию занятий кружка можно рассмотрением довольно интересной задачи построения правильного пятиугольника. Способ его построения с помощью комплексных чисел изложен, например, в книге И. К. Андронова и А. К. Окунева «Курс тригонометрии», М., 1967

Р. З. Гушель

г. Вологда

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ В ЗАДАЧАХ

Важнейшей особенностью новой программы по геометрии в средней школе является, в частности, то, что ею предусматриваются новые методы доказательства теорем и решения задач. К числу этих методов относятся метод координат, векторный метод, метод геометрических преобразований. В то же время содержание многих теорем и задач, естественно, сохранилось, так как они составляют предмет евклидовой геометрии, изучение которой предусмотрено действующей программой.

Однако для овладения тем или иным вновь введенным методом требуются дополнительно специальные целенаправленные упражнения по выработке навыков обращения с соответствующими методу понятиями, формулами, признаками.

В предлагаемой ниже работе приводится цикл задач, большинство которых в дидактических целях рекомендуется решать методом геометрических преобразований. Это, разумеется, не исключает в принципе возможности какого-либо иного подхода к решению каждой отдельной задачи, который может оказаться эффективнее. Одним из важнейших этапов решения предлагаемых задач является отыскание того или иного преобразования, которым нужно воспользоваться при решении, а также выбор тех свойств преобразований, на которые следует опереться.

Несколько задач посвящены выявлению свойств композиций преобразований. Знакомство с подобными свойствами облегчает решение собственно геометрических задач с традиционным содержанием.

Таким образом, большое значение имеет умение составлять необходимые для решения композиции преобразований и пользоваться признаками основных видов преобразований.

По степени сложности предлагаемые задачи рассчитаны на внеурочные занятия по математике с наиболее успешно занимающимися учениками 7 — 10-х классов. Все задачи не содержат сведений, выходящих за рамки программы по математике для восьмилетней школы.

Задача 1. Дан четырехугольник ABCD с конгруэнтными и перпендикулярными диагоналями: \AC\=-\BD\, (АС) 1 (ВД). Отрезки [AB], [ВС], [CD] и [DA] разделены соответственно точками Р, Q, R, S в одном и том же отношении k: (AP = k • PB, BQ^kQC, CR = kRD, DS = kSA).

Доказать, что отрезки [PR] и [QS] конгруэнтны и перпендикулярны.

Решение. Построим отрезок [ЯР1], гомотетичный отрезку [BD], и отрезок [QQ1], гомотетичный отрезку АС; причем точки А и В являются соответственно центрами гомотетий (рис. 1). Очевидно, коэффициенты гомотетий равны

Рис. 1.

Поскольку отрезки [РР1] и [QQ1] конгруэнтны и перпендикулярны, то существует поворот R , при котором точка Q отображается на точку Р, a Q1 —на Я1. При этом повороте точка S отображается на точку /?, так как

QQS = PP'S = 90° и |P'#| = |Q'S| (докажите!).

Следовательно, 7?^ (Q)=P и R90O(S) = R, откуда следует, что \QS\ = \RP\ и (QS)_L(P/?).

При решении этой задачи мы воспользовались важным свойством поворота: угол между направлением луча и его образа при повороте равен углу поворота. Это свойство находит частое применение при решении многих других задач, поэтому его следует постоянно иметь в виду. Все учащиеся должны, по нашему мнению, быть ознакомлены с этим свойством в ходе изучения преобразования поворота.

Задача 2. Дан треугольник ABC, у которого \АВ\ < < \АС\. На стороне CA построена точка D такая, что \CD\ = \АВ\. Через середины M и N отрезков ВС и AD проведена прямая, пересекающая (AB) в точке Р. Доказать,

Решение. Отрезки CD и AB конгруэнтны (по построению). Следовательно, существует перемещение второго рода, при котором С отображается на В, a D — на Л (рис. 2). Это перемещение отлично от переносной симметрии, так как (СВ) %. (DA), значит оно представляет собой перенос-

Рис. 2.

ную симметрию. Прямая, проходящая через середины отрезков С В и DA, является осью этой переносной симметрии. В нашем случае (MN) и есть ось переносной симметрии. Соответствующие при этом отображении прямые CD и В А по свойству перемещений одинаково наклонены kAIjV, т. е. треугольник NA Р — равнобедренный

Но в таком случае

Заметим, что при \АВ\ > \АС\ получаем другой вариант той же задачи. Нам представляется, что перемещение переносная симметрия и ее свойства должны быть сообщены всем учащимся.

Задача 3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон CA и СВ в точках M и N. Биссектриса угла ВАС пересекает прямую MN в точке Р. Доказать, что угол A PB — прямой.

Решение. Пусть M {— точка касания вписанной окружности и стороны А В (рис. 3). В силу свойств осевой симметрии S\, где 1 = (АР), имеем: (ММ\) _L (АР). Построим точку Ni=S\(N) и касательную к окружности в этой точке, симметричную прямой (ВС). Построим точки C\=S\(C) и B\=S\(B). Поскольку симметрия есть перемещение, то \NB\ = \B\N\\9 но кроме того, \NB\ = \M\B\, поэтому \M\B\ = \N\B\\. Следовательно, существует перемещение ô второго рода такое, что o(Mi) = N\, о(В) = В\.

Прямая M\N\—ось этой переносной симметрии. Дей-

Рис. 3.

ствительно, лучи М\В и N\B\ одинаково наклонены к оси MN и лежат в различных полуплоскостях с границей M\N\. Ввиду того, что (M\N\ —ось переносной симметрии Ô, эта ось проходит через середину Q отрезка ВВи принадлежащую прямой /. Но тогда и прямая MN, симметричная M\N\ относительно /, проходит через Q. Следовательно, Q = Р9 /Ч A PB = 90°. Эта задача допускает и другое решение, однако предложенное нами свидетельствует о широком спектре применимости геометрических преобразований в различных задачах, в которых идею преобразований трудно поначалу обнаружить.

Задача 4. Дана трапеция А В CD, [AB] и [CD]—ее основания. Построить прямую /, параллельную (AB) и пересекающую боковые стороны и диагонали трапеции в четырех точках, являющихся концами трех конгруэнтных отрезков.

Решение. Пусть искомая прямая / построена (рис. 4). Обозначим точки пересечения прямой / с прямыми (/ID), (Л С), (BD) и ВС соответственно через М9 Q, Р, N. Имеем: \MQ\ = \QP\ = \PN\. Через точку пересечения О диагоналей трапеции проведем прямые ОМ и ON9 пересекающие (AB) соответственно в точках М{ и N\. Очевидно,

Отсюда вытекает, что \M\A\ = \АВ\ = \BN\\. Поэтому построение выполняется следующим образом: строим на (AB) точки Mi и N\ так, чтобы |Afu4| = \АВ\ = |ßiVi|. Прямые ОМ\ и ON\ пересекают (DA) и (СВ) соответственно в точках M и N. Прямая I = (MN) — искомая.

Рис. 4.

Остается доказать, что прямая MN действительно параллельна (AB) и отрезок MN делится диагоналями на три конгруэнтных отрезка. Проведем через M прямую 1\9 параллельную (AB) и пересекающую (ВС) в точке N1. Согласно свойств гомотетичных отрезков, [МЛ1] делится диагоналями трапеции на три конгруэнтных отрезка MQ\ QlPl, PlNl. Но в таком случае (ON1) пересекает (AB) в точке iV1! такой, что \АВ\ = \BNl\\. Следовательно, N\ =Л^и поэтому iV1 = N. Итак, прямая MN — искомая.

Рассмотрим другое решение этой задачи.

Проведем произвольную прямую а параллельно основаниям трапеции, пусть она пересекает ее боковые стороны в точках M и N, а диагонали — в точках Р и Q (рис. 4). Очевидно, отрезки MQ и PN всегда конгруэнтны, так как

Кроме того, необходимо, чтобы были конгруэнтны отрезки MQ и QP. А это значит, что в гомотетии с центром в точке D Н(М) = Л, Н(Р) = В, H(Q) = /?, где R — середина отрезка искомой прямой.

Соединим точки D и R и найдем точку пересечения Q прямой DR с диагональю АС. Проведенная через точку Q прямая, параллельная основаниям трапеции и есть искомая прямая. Легко убедиться, что отрезки MQ, QP и PN в этом случае конгруэнтны.

Легко заметить, что задача имеет еще одно решение, отвечающее аналогичным построениям, связанным с другим основанием трапеции.

Задача 5. Через середину D гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане CD. Эта прямая пересекает прямые CA и С В соответственно в точках Р и Q. Доказать, что медиана CR треугольника PQC перпендикулярна (AB).

Решение. Треугольник PQC подобен треугольнику ВС А так как они оба прямоугольные, а острые углы CPQ и СБА конгруэнтны — каждый из них конгруэнтен углу DC В (рис. 5). Подобие 6, при котором треугольник PQC отображается на ABC, имеет неподвижную точку С. Оно является подобием второго рода, так как рассматриваемые треугольники имеют противоположную ориентацию. Но по-

добие второго рода есть композиция гомотетии и осевой симметрии, причем ось проходит через центр гомотетии; кроме того, как легко показать, эта композиция перестановочна. В нашем случае центр гомотетии совпадает с вершиной С, а ось симметрии проходит через С. Нетрудно видеть, что осевая симметрия отображает прямую CA на прямую СВ и наоборот. Следовательно, ось симметрии содержит биссектрису угла ВС А. При этой осевой симметрии перпендикулярные прямые CD и PQ отображаются на перпендикулярные прямые CD[ и P\Q\y а последующая гомотетия отображает их на прямые

Следовательно, точка D отображается на проекцию D2 вершины С па. AB. В рассматриваемом подобии ô прямая CD2 отображается на прямую CD, а так как середина отрезка отображается на середину его образа, то середина D гипотенузы AB является образом середины R гипотенузы PQ. Итак, a(D) = D2, o(R) = Dy а(С) = С.

Поскольку o([CR]) = CD, o(/CDP) = CD2B, прямые CD2 и D2B перпендикулярны, так как (CD) _[ (DP).

Задача 6. На пересекающихся в точке M прямых а и в даны соответственно по три точки Ai, А2, А3, и Ви В2, В3, причем Л,Ал=к-А]А2; BxB,=k В^В2. Доказать, что окружности А\В[М, А2В2М, А3ВЛМ. имеют вторую общую точку N (она может и совпадать с М).

Рис. 5.

Решение. Существует единственное подобие первого рода а, при котором о(А\) = В\, о(А2) = В2. Коэффициент подобия равен |ßiÖ2| - \А\А2\. При этом же подобии В3 = Ь(АЛ), так как А'л делит отрезок А\А2 в том же отношении, как Въ делит отрезок В\В2. Но вторая точка пересечения N окружностей А\В\М, А2В2М является центром рассматриваемого подобия о (докажите, что треугольники NA\B\ и NA2B2 подобны и одинаково ориентированы). Но в таком случае окружности А\В\М и А3В3М должны также проходить через центр Л подобия а. Следовательно, все три окружности проходят через точку N, что и требовалось доказать.

Если же первые две окружности касаются в точке M (M = jV), то и третья окружность касается первых двух в точке М.

Задача 7. Даны три гомотетии плоскости ЯЛ, #в, Не. Доказать, что существует такая прямая /, образы которой при всех трех гомотетиях совпадают.

Решение. Предположим, что

Отсюда следует, что

Полученная композиция является гомотетий

или

переносом (при k\=k2) параллельно вектору АВ = т. При этом отображении прямая / отображается на себя.

Поэтому 1\ либо проходит через М, либо /illAB. Аналогично получаем, что

или

Следовательно, прямая 1\ проходит через точку N или же 1\ параллельна вектору п. Если провести прямую MN, то она совпадет с искомой прямой 1\ .Этот общий случай имеет место при k\ ф k2 и k\ ф kz.

Если k\ = k2, но кхфкъ, то прямая U проходит через M параллельно п; если к\ = к2 — къ, задача имеет бесчисленное множество решений при условии, что точки Л, В и С принадлежат одной прямой. Задача не имеет решений, когда точки А, В и С не принадлежат одной прямой.

Задача 8. Доказать, что композиция двух переносных симметрий есть поворот при условии, что оси этих симметрий не параллельны.

Решение. Пусть переносная симметрия о\ задана осью (AB) и переносом AB, а переносная симметрия а2 — осью (ВС) и переносом ВС (рис. 6). Обозначим через M центр окружности, описанной около треугольника ABC. Имеем: oi([AM)) = [BM2), о2([ВМх)) = [СМ2). Но |АМ\ = \ВМЛ\ = \СМ2\, поэтому М2=М. Итак, а2 • о\([АЩ) = [СМ2]. Это значит, что о2 • о\ есть перемещение первого рода с неподвижной точкой М, т. е. поворот с центром Му при котором точка А отображается на точку С. Угол поворота AMC равен 2<|, где ц =^(АВ, ВС). Поэтому о2°о\ = ИЦ, где M—центр окружности ABC, а ф = 180°-ABC.

Можно доказать, что композиция двух переносных симметрий с параллельными осями есть перенос и, в частном случае, тождественное преобразование (когда оси совпадают, а переносы противоположны).

Рис. 6.

Задача 9. Доказать, что истинность равенства

влечет за собой параллельность прямых тип.

Решение. Умножим обе части равенства на Sn:

Отсюда

Справа получено перемещение, представляющее собой трансформацию поворота /?в-апосредством осевой симметрии Sn. Но эта трансформация есть поворот на угол а вокруг центра С, симметричного центру В относительно п. Следовательно,

В последнем равенстве композиция /?*• /?д* есть перенос или тождественное преобразование, поэтому оси тип симметрий Sm и Sn параллельны.

Задача 10. Даны два перемещения второго рода / иg. Доказать, что если выполняется равенство g~l • f * g = f~l и g — переносная симметрия, то / — осевая симметрия.

Решение. Предположим, что f — переносная симметрия; из данного равенства следует: f • g = g • f~{. Если оси переносных симметрий пересекаются, но не перпендикулярны, то / *g и g*f~[ — повороты, причем на различные углы (см. решение задачи 8), вследствие чего последнее равенство не может иметь места. Если оси перпендикулярны, то f-g

есть центральная симметрия и /• g = g~l • f~l. Но f'g= =g*f~\ поэтому g = g~~], т. е. g — осевая симметрия. Но это противоречит условию задачи.

Если допустить, что оси параллельны, то / • g и g - f~l переносы, причем эти переносы различны. Следовательно, допущение, что / — переносная симметрия, нужно отбросить, и остается : / — осевая симметрия.

Задача 11. Доказать, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Решение. Достаточно рассмотреть непрямоугольный треугольник. Проведем через вершины А, В и С треугольника ЛВС перпендикуляры х, у и z к прямым а — (ВС), в = = (CA), с = (AB). Рассмотрим композицию

Так как

поэтому

Но, как и выше, замечаем :

поэтому

Наконец, в силу того, что а±х, имеем

Очевидно, /, q — перемещения второго рода, причем q — переносная симметрия. Но в таком случае (см. задачу 10) f — осевая симметрия. Это значит, что прямые х, у и z принадлежат одному пучку. Поскольку прямые х, у, z попарно пересекаются, они принадлежат одному центральному пучку. Другими словами, прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Задача 12. Три конгруэнтные окружности имеют общую точку М. Доказать, что окружность, проходящая через вторые точки пересечения данных окружностей, конгруэнтна им.

Решение. Обозначим окружности через соь со2, соз их центры —через Ou О2, 03; ü)iO>2 = {M, А}, со2По)з = {М, В}, а>1Пи)з = {М, С}, (АМ) = а, (МВ) = Ь, (МС) = с.

Рассмотрим осевые симметрии 5а, S в, »Ьс и их композицию ô = SceSBSa. Очевидно, ô(coi) = coi. Но б — перемещение второго рода с неподвижной точкой М. Следовательно, Ô—осевая симметрия Sd, где d = (MO\). Обозначим через D вторую точку пересечения d с окружностью coi, причем 6(D) = D. Построим точки Sa(D) = E и SB(E) = F, очевидно, что SC(F)=D. В образовавшемся треугольнике DE F точки А, В, С являются серединами его сторон (докажите!). Поэтому треугольник ABC конгруэнтен каждому из треугольников ABE, ВС F и CAD. Вследствие этого и окружности, описанные около этих треугольников, конгруэнтны, что и требовалось доказать.

Задача 13. Четыре конгруэнтные окружности имеют общую точку М. Через вторые точки пересечения каждых трех окружностей проводится окружность. Доказать, что полученные новые четыре окружности пересекаются в некоторой точке N.

Решение. Введем следующие обозначения : окружности соi, (02, С03, о)4; вторые точки пересечения: Aj2, А23, оси симметрий: a=(MAi2); ft = (MA23), с = (МА34), d = (MAA\). Рассмотрим композицию Sd • Sc - SB - Sa = o. Очевидно, что (/(coi) = o)i. При этом точка M и центр 0\ окружности ом остаются неподвижными. Следовательно, a — тождественное преобразование.

Построим точку Аесоь диаметрально противоположную M ;

Пусть

тогда Sd(D) = А. В образовавшемся четырехугольнике ABCD точки Л12, Л23, Л34, АА\— середины его сторон, вследствие этого перечисленные точки являются вершинами параллелограмма, у которого диагонали [Ai2/134] и [Л23Л41] имеют общую середину Р.

Аналогичным образом, рассматривая данные четыре окружности в другой последовательности, получим новый параллелограмм с диагоналями [Л12Л34] и [Л13Л24], имеющими общую середину Q. Отсюда следует, что Р = Q и для точек Ai2, А23, A3i симметричными относительно Р являются точки А34, Au, А24. Поэтому, окружность о>\ =(Ai2A23A3!) метрична окружности o)4=(A34Ai4A24) относительно точки Р.

Таким же образом центральная симметрия Sp отображает окружности 0)1, о)2, о)3 на окружности coj , о>2 , о>3 , проходящие через тройки вторых точек пересечения данных окружностей. Но поскольку окружности щ9 0)3, со4 пересекаются в точке М, их образы при Sp — окружности со1 , (о2 , (о3, о)^ — проходят через точку N = Sp(M), что и требовалось доказать.

Мы рассмотрели лишь небольшое количество задач, которые решаются с помощью геометрических преобразований. Для овладения этим методом решения задач рассмотренного материала, безусловно, недостаточно. Предлагаем

интересующимся этой темой читателям внимательно просмотреть задачи из отдела задач журнала « Математика в школе» (за последние 12 лет), на страницах которого систематически печатаются задачи, эффективно решаемые методом геометрических преобразований.

З. А. Скопец, г. Ярославль

Л. И. Кузнецова г. Горький

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ОБРАТИМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Всякое обратимое отображение одного множества на другое или на себя можно рассматривать как множество пар элементов, в которых второй элемент каждой пары является образом первого. Для простоты будем считать, что исходным множеством является евклидова плоскость или евклидово пространство.

Если заданы два преобразования плоскости, то с ними связаны два множества пар точек. Поэтому естественным образом встает вопрос о нахождении пересечения этих двух множеств. Пересечением двух обратимых отображений / и <р одного и того же множества на себя или на другое множество называется множество пар (А; А\), таких, что/(Л)= = А\ и ty(A) = A\. Как будет выяснено ниже, это пересечение может быть пустым, оно может содержать один элемент (иначе говоря, преобразования имеют единственную общую пару соответственных точек), возможен случай, когда пересечение состоит из двух элементов и даже из бесконечного множества пар.

Приведем простейшие примеры, на которых можно убедиться в возможности указанных выше случаев пересечения.

1. Рассмотрим два переноса айв, афв. Очевидно, что пересечение этих переносов пусто. В самом деле, как известно, перенос однозначно определяется одной своей парой. Поэтому, если два переноса имеют общую пару соответственных точек, то они совпадают. Поскольку данные переносы различны, то они общих пар не имеют.

Нетрудно доказать, что пересечение двух центральных симметрий (плоскости или пространства) также пусто.

2. Рассмотрим два поворота плоскости:

Пересечение этих преобразований не может состоять из двух пар (А\; А2) и (В\; В2)у ибо две пары точек, согласно аксиоме подвижности плоскости, определяют единственное перемещение первого рода, которое не может быть одновременно — обозначение угла упорядоченных прямых и и v и — первая прямая, v—вторая). Так как О°< — +— <180°, то прямые и и w пересекаются, и п w = Р (рис. 1). Пусть точка Q симметрична Р относительно (MN). Легко заметить, что (Q ; Р) — общая пара данных поворотов.

Представим каждый из поворотов У?м и RN композицией двух осевых симметрий:

Рис. 1.

Таким образом, данные повороты имеют и притом только одну общую пару соответственных точек.

3. Приведем пример двух преобразований плоскости, пересечение которых состоит из двух пар.

В качестве одного преобразования рассмотрим «симметрию плоскости относительно параболы». При этом преобразовании точка А и ее образ В лежат на прямой, параллельной оси параболы, середина отрезка AB принадлежит параболе, каждая точка параболы неподвижна.

В качестве второго преобразования рассмотрим поворот R ^, a i {0°, 180°}, центр M которого не принадлежит параболе, но прямая, проведенная через M перпендикулярно оси параболы, пересекает параболу в двух точках Р и Q (рис. 2).

На прямых, проходящих через Р и Q параллельно оси параболы, будет по единственной паре соответственных точек, общих для обоих преобразований.

4. Рассмотрим два подобия плоскости — одно первого, другое — второго рода, при которых точки А и В отображаются на Л] и ßi соответственно. Эти два подобия согласно заданию имеют две общие пары (А; А\), (В; В\). При этих подобиях (AB) отображается на (А\В\), и каждая пара соответственных точек этих прямых при первом подобии является также парой соответственных точек при втором подобии.

Приведенных примеров, пожалуй, достаточно, чтобы уяснить разнообразие возможностей пересечения двух преобразований.

Рис. 2.

Как же найти пересечение двух данных обратимых отображений? Ответ на этот вопрос можно получить из следующей теоремы.

Теорема 1. Если / и ф — два обратимых отображения одного множества на другое (или на себя), то каждому неподвижному элементу композиции ф-1°[ соответствует общая пара соответственных элементов данных отображений, и обратно.

Доказательство. Пусть А — неподвижная точка композиции

Это значит, что

Из последнего равенства следует, что (А ; В) —общая пара отображений / и ф.

Доказательство обратного утверждения так же очевидно.

Далее заметим, что аналогичным образом может быть поставлен вопрос об общих парах соответственных подмножеств, состоящих более чем из одного элемента. Например, пусть / и ф — два обратимых отображения одного и того же множества M на себя (или на другое множество) и NczM. Если f(N)=Ni и y(N) = Nu то (М ; N\) — общая пара соответственных подмножеств двух отображений одного и того же множества.

Вопрос об общей паре соответственных подмножеств двух отображений решается с помощью теоремы, аналогичной предыдущей.

Теорема. 2. Если / и ф — два обратимых отображения одного множества на другое (или на себя), то каждому двойному подмножеству композиции ф-1 • / соответствует общая пара соответственных подмножеств данных отображений, и обратно.

Доказательство ничем не отличается от доказательства теоремы 1.

В частности, если рассматривать перемещения или подобия / и ф — плоскости (пространства), то каждой двойной прямой (плоскости) композиции ф-1 • / соответствует общая пара соответственных прямых (плоскостей) данных преобразований / и ф, и обратно.

Факт существования и умение находить общие пары соответственных точек, прямых и плоскостей двух обратимых отображений, в частности, двух преобразований, могут быть эффективно использованы при решении задач. Проиллюстрируем это на нескольких примерах.

Задача 1. Даны прямая / и точки А, Б, С, D вне ее, причем (AB) П l=M9 (CD) П l = N и M^N. Построить на прямой / точки Р и Q так, что (АР) || (BQ) и (CP) \\ (DQ).

Анализ. Пусть точки Р и Q построены (рис. 3). Точка Q — образ точки Р при гомотетии Н{^' В) (имеющей центр в точке M и отображающей А на В). В то же время, Q — образ Р при гомотетии Я^с'D). Следовательно, (Р; Q) — общая пара гомотетий Я(^: Б) и H§;D) , т. е. Я^А;В) (P)=Q и //^CD) (P)—Q. Но тогда Р — неподвижная точка композиции

lij(D;C) r/(A;B) /rr(C;D) * , _ „(D; С) v

Построение. 1. Строим образ точки В при гомотетии

Я(0;С) . „(DSC) (B)==Bi (рис 4)

2. Строим точку Р=/ П (ABi).

3. Через точку В проводим прямую, параллельную прямой АР. Она пересекает / в точке Q.

Рис. 3.

Доказательство и исследование. Композиция двух гомотетий с различными центрами есть либо гомотетия, либо перенос, отличные от тождественного преобразования. В первом случае существует единственная неподвижная точка — центр. Она является точкой пересечения двойных прямых.

Прямая / отображается на себя при каждой из гомотетий М^' В) и H С) , следовательно, и при их композиции. По построению Bi=H{^'С) -H(^'ti) . Значит, (АВ{) — также двойная прямая композиции. Поскольку прямые / и АВ{ пересекаются, то композиция /^0,С) о //^А' Б) есть гомотетия, Р — ее центр, т. е. Н(®'С) В)(Р)=Р. В этом случае задача имеет единственное решение.

Если прямые / и ABL параллельны, т. е. композиция Н{®' С) о Ц{^' В) — перенос, то задача не имеет решения.

Замечания. 1. Если M=i\\ то композиция С) ° Н{^' В) может быть тождественным преобразованием (BL=A). В этом случае задача имеет бесконечное множество решений.

2. Если только одна из прямых AB и CD параллельна /, то Р — неподвижная точка композиции гомотетии и переноса. Но эта композиция есть гомотетия. Следовательно, задача имеет единственное решение.

Рис. 4.

3. Если обе прямые параллельны /, то Р — неподвижная точка композиции двух переносов, т. е. либо не существует, либо таких точек бесконечное множество.

Задача 2. Дан треугольник ABC. На прямых ВС и CA построить точки M и N соответственно так, чтобы (MN) была параллельна данной прямой /// (АС), / (ВС) (и выполнялось равенство \ВМ\ : \MC\ = \CN\ : \NA\).

Анализ. Пусть точки M и N построены. Две пары точек (В; С), (С; А) задают два и только два подобия плоскости. Одно из них — первого рода. Обозначим его П\. Другое — второго рода. При подобии Пх точка M е (ВС) отображается на такую точку М{ е (CA), что \ВМ\ : \МС\ = \СМ\\ : |MiA|,' т. е. MX = N и nx(M)=N (рис. 5).

При проектировании прямой ВС на прямую CA параллельно / точка С отображается на себя, а любая точка X 6 (BG) на такую точку У э (GA), что|ОУ| : \GX\=\GN\ : GM\. Следовательно, пары точек (С; С), (X; У) также задают два подобия плоскости, при которых прямая СВ отображается на прямую CA. Одно из этих подобий первого рода. Обозначим его Я2, П2(М) = N.

Таким образом, M — неподвижная точка композиции fj~l о /7, . Композиция двух подобий первого рода есть подобие первого рода. Прямая ВС отображается при этом подобии на себя. Следовательно, П ~1 о П\ есть либо гомо-

Рир. 5.

тетия (в частном случае — центральная симметрия), либо перенос. А значит, при композиции П~1 ° П{ любая прямая отображается на параллельную ей. Построение (рис. 6).

1. П ~1 П{(В) = ЩХ (С)=С.

2. Для произвольной точки Р G (ВС) построим точку Р' 6 (CA) так, что \ВР\ : \РС\ = \ СР'\ : \Р'А\. Через Р' проведем прямую, параллельную /. Она пересекает прямую ВС в точке Pi \П~Х с П{(Р) = Р{.

3. Для произвольной точки К плоскости К $ (ВС), строим ее образ при композиции П~ о /7, : через точки Pi и С проводим прямые, соответственно параллельные (PK) и (ВК); они пересекаются в точке К\ = Л~1 о 77, (К).

4. (ВС) П (ККХ)=М.

5. Через точку M строим прямую m, параллельную /, m(](AC) = N.

Доказательство. Прямая ВС при композиции /7"1 о Пх отображается на себя. Но П~х о Пх — либо перенос, либо гомотетия. Следовательно, (КК\) — также двойная прямая

Рис. 6.

этого отображения. А значит, (ВС) П (КК\)=М — неподвижная точка композиции и (М ; N) — общая пара подобий П\ и П2, т. е.

Исследование. Композиция /72 1 /7, отлична от тождественного преобразования, т. к. при подобии П~х точка С неподвижна, а П\(С) = А ФС Следовательно, задача не может иметь бесконечного множества решений,

Предположим, что — перенос, т. е. ВС = РР\ (рис. 7). Тогда имеем: \ВР\\\РС\ = \СР'\ : \Р'А\ = — \СР\\: откуда следует, что \ВС\ = \СВ\\. Получили, что если П~1 П\—перенос, то прямая / параллельна прямой АВ\, где В\—точка, симметричная В относительно С.

Верно и обратное: если / || (АВ\), то для любой точки P^fBC) будем иметь: П21оП1(Р1) = П~1 (Р') = Р{ (рис. 7).

Рис. 7.

Таким образом, композиция /72 ° П — перенос тогда и только тогда, когда прямая / параллельна прямой АВи где B\=Zq(B). А значит, в этом и только в этом случае задача не имеет решения, т. к. перенос не имеет неподвижных точек.

Во всех остальных случаях композиция П~х о П — гомотетия, отличная от тождественного преобразования. Следовательно, задача имеет единственное решение.

Задача 3. Даны три попарно скрещивающиеся прямые а, в, с и соответственно параллельные им попарно скрещивающиеся прямые au в\9 С\. Построить параллельные прямые / и h так, чтобы / пересекала а, Ь, с. a 1\ —а\9 в\9 С\.

Анализ. Так как прямые айв соответственно параллельны прямым а\ и в\9 то существует гомотетия Н\ (или перенос), отображающая а и в на а\ и в\ соответственно. Очевидно, что при этой гомотетии искомая прямая / отображается на 1\. В силу параллельности пар прямых а, а\ и с, с\ существует гомотетия Н2 (или перенос), отображающая а и с на ai и Ci соответственно. При этой гомотетии / отображается на 1\. Таким образом, (a; ai) и (/; 1\) — общие пары соответственных прямых двух гомотетий Н{ и Н2. Но тогда a и / — двойные прямые композиции Н~1 о М{.

Построение. 1. Строим общие перпендикуляры [AB] и [/lißi] прямых a и в, ai и в\ соответственно. Точка

есть центр гомотетии H^'ai\ отображающей прямые a и b на ai и bi (рис. 8).

Рис. 8.

2. Строим общие перпендикуляры [DC] и [DiCi] прямых а и с, ai и Ci соответственно. Точка Q = (DD{)Ç](CCi) есть центр гомотетии Hq'c,) , отображающей прямые a и с на ai и с\.

3. (PQ)r\a=M, Н{раа) (М) = Ми Мхъа{.

4. Точка M и прямая в определяют плоскость (М, в). Так как прямые сив скрещиваются, то прямая с либо пересекает (М9 в), либо не имеет с ней общих точек. Пусть <:\)(М, Ь)= N. тогда (MN) = l и Н{*' °l) (/) = /,.

Доказательство. Точка M неподвижна при преобразовании Hq1' о Hp**'"1 , т. к. является точкой пересечения двойных прямых a и PQ. Тогда любая прямая, проходящая через точку М, в частности, прямая / — двойная. По построению прямая I пересекает а, в и с. Значит, параллельна / и пересекает ai, ви С\, т. е. / и 1\ — искомые. Исследование. Композиция двух гомотетий есть либо гомотетия, либо перенос. Если Hq1' а) ° Н{ра öl) —гомотетия, отличная от тождественного преобразования, т. е. прямые a и PQ пересекаются, то задача либо имеет единственное решение (когда с пересекает (М, в), либо не имеет решения (когда с не имеет с плоскостью (М), в общих точек).

Если А/q" л)о//р0' Qx) — перенос, отличный от тождественного преобразования (как, например, на рис. 9), то композиция не имеет неподвижных точек. В этом случае задача не имеет решения.

Рис. 9.

Если Н^а)оН{ра'^=Еу т. е. Н%1 то Н{*'' а'\в)=вх, а'\с) — Су и задача имеет бесконечное множество решений: через каждую точку прямой а можно построить прямую /, пересекающую вис, fi^a'üi) (/) = /,

Задача 4. В плоскости построить две такие прямые, чтобы одна отображалась на другую при каждой из трех заданных гомотетий.

Анализ. Пусть заданы гомотетии /7м , nN , г/р Если (a; ai)— их общая пара, то она является общей для гомотетий

Все прямые, каждая из которых отображается на одну и ту же прямую при гомотетиях п ц и ns являются двойными прямыми композиции ИN о /ум ï т. е. принадлежат пучку с центром в центре гомотетии Я^В,В) Н^'Ах) или параллельны лучу, задающему направление переноса /У^в" В) H^,Xl). Все прямые, каждая из которых отображается на одну и ту же прямую при гомотетиях Н[£' А,) и Н^' с,), принадлежат пучку с центром в центре гомотетии пр о /7М или параллельны лучу, задающему направление переноса Я,(>С" С) ° H^,Al) . Чтобы прямая отображалась на одну и ту же прямую при всех трех гомотетиях, она должна принадлежать и первому, и второму пучку.

Построение. 1.

центр гомотетии — композиции а) о Н^'А,) (рис. 10).

2. Я(рс':С) (Л) = Л3; (MP) П (ЛЛ3) = У -центр гомотетии-композиции И{^Х,С) о h{^'Ai).

3. (Л-У)^а, (а)- а,.

Доказательство. Так как В) о Н^' А,) (А') = А", то

Таким образом, (а; ai) — искомая пара прямых.

Исследование. Если гомотетии имеют не один и тот же коэффициент, то задача всегда имеет решение. При различном расположении центров и различной зависимости между коэффициентами это решение может быть и не единственным.

Если коэффициенты всех гомотетий совпадают и центры не принадлежат одной прямой, то композиции

Рис. 10.

— переносы в различных, но не противоположных направлениях. Такие переносы не имеют общих двойных прямых. Следовательно, задача не имеет решения.

Если коэффициенты всех гомотетий совпадают и центры принаделжат одной прямой, то

переносы в одном или в противоположных направлениях. Любая прямая, параллельная лучам, задающим направления переносов, и ее образ при любой из гомотетий

— искомая пара прямых.

Задача 5. Пересечь три попарно скрещивающиеся прямые двумя параллельными плоскостями так, чтобы они высекали на данных прямых отрезки данной длины.

Анализ. Пусть а и ai — искомые плоскости: а[]а = А9 а\П^ = Аи aßb=Bu af]b = B, а;Г)с = С, ai П с = Сх. Расстояния |ЛА]|, |ABi|, \СС\\ равны заданным (рис. 11).

Рис. 11.

а значит, она параллельна лучам, задающим направления этих переносов.

Построение. От произвольной точки О пространства отложим векторы ОМ = ал ON = Ь и ОР = с. Получим NM — а —Ь и РМ = а—с, Любая плоскость, параллельная прямым NM и РМ, есть искомая плоскость а. Для каждой плоскости а существуют две искомые плоскости я, : а, = #(а) и а = — а (а).

Исследование. Плоскостей, параллельных прямым NM и РМ, бесконечное множество. Следовательно, задача имеет бесконечное множество решений.

При заданном расстоянии существуют два противоположных вектора, направления которых параллельны данной прямой. Для трех попарно скрещивающихся прямых таких векторов шесть. В нашем случае:

Рассматривая переносы

каждый раз будем получать новые множества плоскостей а.

Приведенные примеры показывают, что для решения задач с использованием понятия пересечения преобразований (или обратимых отображений одного множества на другое) необходимо уметь находить отображение, обратное данному, выяснить, каким отображением является композиция двух отображений одного множества на другое или на себя, имеет ли эта композиция неподвижную точку,

двойну прямую (плоскость), уметь строить неподвижные точки, неподвижные и двойные прямые и плоскости обратимых отображений.

Задачи для самостоятельного решения

1. Для двух данных гомотетий постройте общую пару соответственных точек.

2. Постройте две параллельные прямые так, чтобы они высекали на двух данных пересекающихся прямых отрезки данной длины.

3. В данный треугольник ABC вписать четырехугольник PQRS с заданными углами, чтобы Q Ç (AC), R £ (ВС), ]CS] cz (АС) и \PS\ = , где d — данное расстояние.

4. Постройте пару параллельных плоскостей так, чтобы первая из них отображалась на вторую при каждой из четырех заданных гомотетий.

П. Г. Айзенгендлер

г. Псков

ОБ ИЗУЧЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В X КЛАССЕ

В настоящей заметке изложена методика изучения дифференциальных уравнений школьными средствами и даны рекомендации по организации такого изучения на факультативных занятиях.

В 10 классе в курсе «Алгебра и начала анализа» приводятся отдельные виды дифференциальных уравнений. Однако вопроса об интегрировании дифференциальных уравнений не ставится.

Цель данной заметки — обратить внимание на то, что дифференциальные уравнения первого порядка можно систематически изучать в 10 классе, не выходя при этом за пределы школьной программы. Изучение целесообразно проводить на факультативных занятиях.

Ознакомление учащихся с методами решения простейших дифференциальных уравнений окажется весьма плодотворным для курса физики. Кроме того, это даст возможность глубже изучить первообразную и интеграл.

Подробно рассмотрим методику изучения уравнений с разделенными переменными, т. е. уравнений вида

(1)

где / и ф — непрерывные функции. Другие виды уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородное, линейное, уравнение Бернулли) легко, школьными средствами, сводятся к уравнению вида (1). Следует, однако, обратить внимание на то, что при таком сведении получаем, как правило, уравнение, не равносильное исходному. Возможна потеря решений, но в каждом конкретном случае они легко восстанавливаются.

1. Пусть у(х) — решение уравнения (1), так что справедливо тождество

(2)

Пусть, далее, F — первообразная (любая) для функции / :

(3)

а Ф — первообразная (любая) для функции ф :

(4)

Согласно теореме о производной сложной функции (см. [1]) имеем

(5)

Используя соотношения (3)—(5), приводим (2) к виду 1Р(у(х))]'=Ф'(х). Применяя, далее, правило дифференцирования разности (см. [1]), получаем

На основании известной леммы (см. [2], стр. 77) имеем

где С — постоянная.

Итак, решение у(х) удовлетворяет уравнению (6).

Покажем, что справедливо и обратное утверждение: если дифференцируемая функция у(х) удовлетворяет уравнению (6), где С — любая постоянная, то она является решением уравнения (1). Действительно, дифференцируя тождество (6) и учитывая соотношения (3) и (4), приходим к тождеству (2).

Выражение (6), где F — первообразная для функции /, Ф — первообразная для функции ф, С — произвольная постоянная, назовем, следуя Г. М. Фихтенгольцу [3], общим решением уравнения (1) в неявной форме*). Если (6) равносильно уравнению y — g(xfC) = 0, то g(x, С) называется общим решением (в явной форме).

*) Выражение (6) принято называть общим интегралом. Но так как соотношение (6) предполагается ввести раньше, чем понятие интеграл, то целесообразнее использовать другой термин.

Таким образом, нахождение общего решения уравнения (1) сводится к нахождению первообразных для функций f и ф.

Для выделения из общего решения частного решения достаточно задать начальное условие: у = Уо при х = х0. Процедура выделения искомого частного решения проводится так. В (6) вместо х и у подставляются соответственно jto и i/o. Находим C = F(y0) — <P(x0). Далее, найденное значение для С подставляется в (6). Получаем

(7)

Дифференцируемая функция у(х), удовлетворяющая уравнению (7) и условию у(х0) = у0, и является искомым частным решением*).

Выражение (7) можно назвать частным решением в неявной форме.

2. Приведем пример. Найти общее решение уравнения

(8)

и частное решение, удовлетворяющее условию: у = Уо при

Х = Хо.

Уравнение (8) — это уравнение с разделяющимися переменными. Сведем его к уравнению вида (1). Для этого разделим обе части (8) на у — а. Получаем

(9)

Найдем сначала общее решение уравнения (9). Функция —-— определена на ] — оо ; a[[j]a ; со [. Одной из первообразных для - на ]а; со [ является 1п(у — а), a на ]—со; а[ — функция 1п(а — у). Следовательно, в качестве F (у) можно взять \п\у — а\. Далее, одной из первообразных для y(x) = k является функция <P(x) = kx.

*) Вопрос о разрешимости и однозначной разрешимости задачи у(хо) — уо для уравнения (7) в общем случае не рассматривается.

Таким образом, общее решение (в неявной форме) уравнения (9) принимает вид

(10)

где С — произвольная постоянная.

Преобразуем соотношение (10). Потенцируя, получаем Iу — а\ = \С\\е кх, где \С\\=ес. Последнее соотношение можно записать в виде

(11)

Соотношение (11) содержит все решения уравнения (8), кроме решения у = а, потерянного при переходе от (8) к (9). Однако оно легко восстанавливается, если снять ограничение Ci 0.

Таким образом, общее решение уравнения (8) имеет вид

(11)

где С — произвольная постоянная.

Найдем частное решение уравнения (8), удовлетворяющее начальному условию: у = уо при х = х0.

Полагая в (11) х = х0 и у = Уо, находим С = (у0 — а)е~кхо. Подставляя в (11) найденное значение для С, получаем искомое частное решение уравнения (8):

3. Отметим еще, что соотношение (7) можно записать и в таком виде:

(7')

4. Дадим некоторые рекомендации.

1) Дифференциальные уравнения целесообразно изучать параллельно с темами «Первообразная и интеграл» и «Показательная и логарифмическая функции» в курсе алгебры и начал анализа.

2) Материал п. 1 можно изложить учащимся после прохождения ими на уроках темы «Три правила нахождения первообразных» (см. [2], п. 99) и рассмотреть упражнения следующих двух типов:

а) Найти общее решение дифференциального уравнения /(у)у' = ф(х);

б) Найти частное решение дифференциального уравнения Ку)у' = х), удовлетворяющее начальному условию : у = Уо при х = х0.

При этом, разумеется, упражнения следует подобрать так, чтобы / и ф были функциями вида (кх + Ь)т(тф — 1)у sm(kx+b), cos(kx + b), s\r\-2(kx+b), cos~2(kx + b) или линейными комбинациями таких функций.

3) После изучения темы «Формула Ньютона-Лейбница» ([2], п. 101) следует ввести соотношение (7') и решить несколько упражнений второго типа с использованием этого соотношения.

4) Упражнения указанных двух типов целесообразно повторить и при прохождении тем «Производная показательной функции. Число е" ([2], п. 109) и «Производная логарифмической функции» ([2], п. 113). При этом, естественно, класс функций / и ф соответственно расширяется: добавляются функции акхлв и екхл~в и функция вида

5) Разумеется, не следует ограничиться лишь уравнениями вида (1). Целесообразно постепенно вводить и другие типы уравнений первого порядка, сводящиеся к уравнению вида (1) (уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнение Бернулли), а также уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

6) Следует решать с учащимися и физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Их много б любом вузовском задачнике по математическому анализу.

По материалам данной заметки студентка Псковского пединститута Людмила Полторак разработала факультатив. Он реализуется в юношеской математической школе при Псковском пединституте.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Алгебра и начала анализа (под редакцией А. Н. Колмогорова). Учебное пособие для 9 класса средней школы. М., 1975.

2. Алгебра и начала анализа (Под редакцией А. Н. Колмогорова). Учебное пособие для 10 класса средней школы. М., 1976.

3. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М., 1948.

Т.А. Иванова

г. Горький

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

Введение векторов и координат в курс геометрии средней школы предполагает широкое применение алгебраического аппарата для решения геометрических задач. Использование алгебры и начал математического анализа в геометрии, а также применение геометрических преобразований плоскости для графического решения уравнений, неравенств и их систем в курсе алгебры способствует формированию у учащихся представлений о единстве школьного курса математики, приобретению ими глубоких, прочных и осознанных знаний как по алгебре, так и по геометрии.

Вместе с тем, геометрических задач с применением элементов математического анализа учащиеся средней школы решают явно недостаточно. Решение же подобных задач является для школьников еще одним наглядным примером взаимосвязи отдельных разделов математики, создает благоприятные условия для одновременного применения разносторонних математических знаний в их взаимодействии.

В курсе алгебры и начал анализа учащиеся знакомятся с понятиями предела последовательности и функции, с понятием производной и ее геометрическим истолкованием. Программа для факультативных занятий предусматривает знакомство учащихся 10-го класса с дифференциальными уравнениями. Восприятие учащимися этих основных понятий анализа будет более осознанным, если они на конкретных примерах увидят их применение в смежных науках и, в частности, в других разделах математики.

Решение на факультативных занятиях интересных, нестандартных задач, в которых нужно использовать как теоремы геометрии, так и сведения из математического анали-

за, позволяет учащимся ощутить целесообразность изучения понятий предела, производной и др. В свою очередь, это позволяет подобрать учителю разнообразные задачи на вычисление пределов, производной, способствует повышению интереса у учащихся в целом к изучению математики.

1. Понятие о пределе является важнейшим понятием математического анализа. От успешного его усвоения зависит успех усвоения учения о производной. Между тем изучение теории пределов является одной из наиболее трудных тем курса «Алгебра и начала анализа». Трудности усвоения учащимися этой темы обусловлены как сложностью самого вопроса по существу, так и слабым использованием теории пределов для решения разнообразных задач и, в частности, геометрических. Использование большей наглядности при изучении понятия предела, применение его для решения конкретных геометрических задач как на уроках, так и на факультативных занятиях, оказывают положительное влияние на более осознанное его усвоение учащимися. Рассмотренные ниже задачи можно решать с учащимися 9—10-х классов на факультативных занятиях по математике.

Задача 1. В сектор вписан правильный треугольник, одна вершина которого принадлежит середине дуги сектора, а две другие — его радиусам. Найти предел отношения длины дуги сектора к периметру треугольника, если угол сектора стремится к нулю.

Решение. Выразим периметр Р треугольника ABC и длину / сектора OMN (рис. 1) через радианную меру ф угла MON и радиус R сектора.

Рис. 1.

Отсюда

Далее находим

Вычислим предел отношения длины дуги / к периметру Р, учитывая, что

Задача 2. Дан отрезок AB и луч с началом в точке В. По лучу / перемещается точка С и через вершины Л, 8 и С проводятся окружности. Вычислить

где 5 — площадь треугольника ABC, R — радиус описанной около треугольника окружности, ([ВА)У /) = ф.

Ответ:

Задача 3. В окружность (О, R) вписан правильный д-угольник А\А2 ...Ап. Доказать, что

Решение. Если правильный /2-угольник имеет четное число сторон, то доказательство утверждения задачи очевидно. В самом деле, рассматриваемая сумма состоит из сумм пар противоположных векторов, т. к. в правильном 2/г-угольнике, вписанном в окружность, каждая вершина имеет себе диаметрально противоположную.

Пусть правильный я-угольник имеет нечетное число сторон. Рассмотрим последовательность правильных п-угольников, вершины каждого из которых, начиная со второго, являются серединами сторон предыдущего :

Рис. 2.

Поскольку

Вычислим предел последовательности сумм

являются членами геометрической прогрессии, знаменатель которой меньше единицы:

Откуда следует, что

Следовательно,

Задача 4. Дан угол хОу и точка М, принадлежащая лучу Ох. Через точку M строятся прямые, пересекающие луч Oy в точках Аи А2> А3, ... . Биссектрисы углов НАху, НА2у, МАъу пересекают биссектрису / угла хОу в точках ßi,

В2, В3 ... . Найти предельное положение В точки В., когда точка А. стремится к точке О.

Л Л

Решение. Пусть хОу^2а, ОЛЬ4,=<р, \ОМ\=а (рис. 3)

Применяя теорему синусов для треугольника OA ХМ и ОВ{Аи запишем :

откуда

При стремлении точки А\ к точке О величина угла ф стремится к нулю. Следовательно,

Построение точки В очевидно : прямая, проходящая через точку M перпендикулярно лучу ОМ, пересекает биссектрису / в точке В.

Рис. 3

Задача 5. Дан непрямоугольный треугольник ABC. Прямая / пересекает прямые АС, AB, ВС соответственно в точках Ci, В\% М\ так, что |BiCi| = \ВС\. Найти предельное положение M точки Мь когда точка В\ стремится к точке В, а точка Ci — к С.

Решение этой задачи помещено в журнале «Математика в школе», № 3, 1977, с. 81.

Иногда для нахождения предельного положения точки бывает целосообразно применять координатный метод.

Задача 6. Прямая / пересекает лучи OA, OB и прямую AB, содержащие стороны треугольника ОАВ, соответственно в точках А1, В\, М\ таких, что |OAi| + |Oßi| = = I OA I + \OB\. Найти предельное положение точки Mi, когда прямая / стремится к прямой AB (т. е. Ai—*А, В{—*В).

Решение. Выберем аффинную* систему координат Оху (рис. 4). Пусть

причем а + в = а\ + в\. Тогда прямые AB и А\ВХ будут иметь соответственно уравнения:

Координаты х\,у\ точки Mi пересечения прямых AB и Aißi являются решением системы двух последних уравнений:

Рис. 4

* Аффинную систему координат плоскости задают любые два базисных вектора и точка.

При стремлении / к (Aß) значение а{ стремится к а, a ei — к в. Следовательно, предельная точка M будет иметь координаты

Выясним, как построить точку М. Очевидно, что

т. е. точка M делит отрезок AB обратно пропорционально прилежащим сторонам OA и OB треугольника ОАВ. Значит,

Нахождение предельных точек тесно связано с таким важным понятием, часто встречающимся в математике, как огибающая.

II. Известно, что в выбранной системе координат Оху каждой линии соответствует одно (с точностью до множителя) уравнение с двумя переменными х и у. Обратно, каждое уравнение f (х; у) = 0 определяет на плоскости некоторую линию.

Уравнение f(x; у; а) = 0 задает плоскую линию при каждом фиксировании значения а. Каждому конкретному значению а из области его определения соответствует определенная линия. Придавая а различные значения из области определения, можно получить бесконечное множество линий. Совокупность всех таких линий образует семейство линий, зависящих от одного параметра а.

Например, уравнение семейства окружностей, проходящих через две данные точки А(0; 1) и 5(0; —1) запишется: (х — а)2 + у2 = 1 -f а2, где а — абсцисса центра окружности семейства. Уравнение семейства окружностей, проходящих через две данные точки, зависит от одного параметра а. Такое семейство линий называют однопараметрическим.

Множество всех прямых плоскости, исключая прямые, параллельные оси Oy, является двухпараметрическим. Его уравнение может быть записано в виде у = кх + Ъ, где к и Ь — параметры. Вообще, если уравнение некоторого семейства линий имеет вид f (х; у; ai; а2\ ... оск) = 0, то такое множество линий называют k-параметрическим.

Во многих случаях однопараметрические семейства линий допускают существование кривой, которая в каждой своей точке касается одной из линий семейства. Такая линия называется огибающей данного семейства линий.

Пример 1. Рассмотрим семейство окружностей данного радиуса R с центрами на заданной прямой /. Очевидно, что огибающей этого семейства окружностей является объединение двух прямых, параллельных / и отстоящих от нее на расстоянии R.

Пример 2. Пусть имеется семейство всех прямых, отстоящих от данной точки О на данное расстояние R. Огибающей этого семейства является окружность с центром в точке О и радиуса /?, т. к. окружность в каждой своей точке касается определенной прямой семейства.

Пример 3. Дана прямая / и принадлежащие ей две точки А и В. Строятся окружности с центрами М/ и Ni, касающиеся попарно друг друга и прямой / в точках А и В (рис. 5). Найдем огибающую семейства прямых УИ/ЛГ/.

Пусть окружности с центрами в точках M и M касаются друг друга в точке О. Их общая касательная, проходящая через О, пересекает прямую / в точке С, где | CA | = | СО \ = = I С ВI. Следовательно, прямая ММ удалена от середины С

Рис. 5.

отрезка AB на расстояние г= ' 1 . Значит, огибающей семейства прямых является окружность (с, г).

Однако нахождение огибающих более сложных семейств линий только геометрическими средствами оказывается не всегда просто. В таких случаях применяются элементы дифференциального исчисления.

Для нахождения с помощью производной огибающей семейства линий, заданного уравнением f(x; у; а) = 0, используется тот факт, что каждая точка M огибающей является точкой пересечения двух «бесконечно близких» линий L(a) и L'(a') семейства, которые соответствуют «бесконечно близким» значениям а и а.

В самом деле, пусть имеются две линии семейства L(a) и L'(a'), пересекающиеся в точке Т и пусть огибающая касается линии L(a) в точке M (рис. 6). При стремлении параметра а' к значению а линия V стремится к L, a точка Т пересечения L и V стремится к точке М. Точку M называют предельной точкой линии L семейства кривых (линия семейства может иметь и не одну предельную точку ; так, каждая окружность семейства окружностей, радиуса R с центром на данной прямой / имеет две предельные точки). Следовательно, если некоторая точка M принадлежит огибающей семейства линий f(x; у; а) = 0, то она принадлежит множеству предельных точек этого семейства.

Обратное утверждение в общем случае может быть неверно, т. к. множество предельных точек некоторого семейства линий, кроме точек огибающей, может содержать особые точки, ей не принадлежащие. Это будет в том случае, когда линии семейства, задаваемого уравнением /(х; у; а) = 0, содержат точки самоприкосновения, самопересечения, или изолированные точки.

Рис. 6.

Если же линии семейства не содержат особых точек, то огибающая этого семейства (если она существует) совпадает с множеством его предельных точек. Для первого ознакомления с понятием огибающей мы будем рассматривать семейства линий, не содержащие особых, точек. Подробное изложение вопроса об огибающей читатель может найти в брошюре В. Г. Болтянского «Огибающая» (М., Физматгиз, 1961).

Итак, пусть задано семейство линий f(x; у; а) = 0. Возьмем две его «близкие» линии L(a) и Z/(a'), а' = а + Ла. Для нахождения точки Т пересечения линии L с линией U следует решить систему уравнений

которая эквивалентна следующей:

или, поскольку Ла^О (L и U не совпадают),

Следовательно, предельная точка M линии a определяется из системы уравнений:

или, используя определение производной, из системы

Полученные соотношения означают, что для нахождения огибающей семейства f(x; у; а) = 0, нужно найти производную функции f(x; у; а) по а. Приравняв ее нулю, выражают параметр а через х и у и подставляют полученное значение а в уравнение семейства.

Задача 7. На плоскости дан угол хОу. Найти огибающую семейства прямых /j, отсекающих на сторонах угла отрезки, сумма длин которых постоянна и равна s.

Решение. Пусть прямая / отсекает на сторонах угла хОу отрезки длины а и s — а. Ее уравнение в аффинной системе координат Оху будет иметь вид

Получили уравнение

семейства прямых 1\9 откуда находим / (х; у; а) = 2а — х++ y — s. Производная /' (х; у; а) обращается в нуль при

Подставив найденное значение а в уравнение

семейства рассматриваемых прямых, получим уравнение огибающей С:

Нетрудно видеть, что огибающая касается сторон угла хОу. В самом деле, положив # = 0, у = 0, находим соответственно y = sy x = s (эти значения имеют кратность 2), т. е. огибающая касается сторон угла в точках (0;s) и (5; 0).

Сопоставляя задачи 6 и 7, отмечаем, что найденная в задаче 6 предельная точка M принадлежит огибающей С.

Действительно, координаты точки M |

где

a + b = s, удовлетворяют уравнению огибающей:

Задача 8. Дана прямая га, точка Mœîti и прямые а и Ь, перпендикулярные m и не проходящие через М. Через точку M строятся прямые Ii, пересекающие а и & в точках Ai и Bi9 а на отрезках AiBi, как на диаметрах, строятся окружности. Найти огибающую этих окружностей.

Решение. Выберем прямоугольную систему координат Оху таким образом, чтобы ось Одг совпадала с прямой га, а ось Oy была осью симметрии прямых а и Ь (рис. 7). Пусть прямые а и Ь имеют в этой системе координат уравнения х = 1 и х = —1; точка M — координаты (с; 0) (сФ±1), а центр Р окружности, построенной на отрезке AB, как на диаметре, координаты (0; а). Для вычисления радиуса окружности найдем координаты точки А=а(]1. Прямая / имеет уравнение ах 4- су — са = 0, а прямая а — уравнение х = 1. Следовательно, точка А их пересечения имеет координаты ^1; С-1—ïj в Уравнение семейства окружностей, построенных на отрезках AiBi, как на диаметрах, будет иметь вид:

или

Производная f (х; у; а) равна нулю при

Подставляя это значение а в уравнение семейства окруж-

Рис. 7.

ностей и произведя несложные преобразования, получаем уравнение огибающей:

При I с I < 1 огибающая С является эллипсом, при I с I > 1 — гиперболой.

III. В учебном пособии «Алгебра и начала анализа, 10» вводится понятие дифференциального уравнения и показывается, что решением уравнения /' (x) = k)(x) является функция /(х) = Секх.

Программа для факультативных занятий с учащимися 10 класса содержит такие вопросы, как «Геометрическая интерпретация уравнения первого порядка (поле направлений)» и «Примеры дифференциальных уравнений».

Изучение геометрических преобразований плоскости позволяет привести примеры составления некоторых дифференциальных уравнений. Так, при переносной симметрии* точка и ее образ задают некоторое направление. Рассматривая все точки плоскости и их образы, мы получаем поле направлений. Поэтому, вполне естественно поставить такую задачу.

Задача 9. Найти линию, касательные в каждой точке к которой проходят через образы этих точек при переносной симметрии а.

Решение. Переносная симметрия с осью Ох и вектором а = (а; 0) запишется:

Приращения абсциссы и ординаты точки М(х; у) будут

отсюда

Решением полученного дифференциального

* Композиция осевой симметрии и переноса, направление которого параллельно оси симметрии, называется переносной симметрией.

уравнения является функция

Уравнение у = Секх при данном к есть уравнение семейства линий. Если некоторая кривая этого семейства проходит через точку А(0; 1), то в этом случае С = 1. Следовательно, через точку А(0; 1) проходит линия у = екх.

При С = 0 уравнение семейства имеет вид у = 0, т. е. в этом случае искомой линией будет ось переносной симметрии. Все остальные линии семейства являются образами кривой у = екх при сжатии с осью Ох и коэффициентом СфО.

Итак, доказали, что если прямая проходит через точку М(х; у) и ее образ М'(х'\ у') при переносной симметрии а, то она является касательной в точке М(х; у) к одной из линий семейства.

Обратно, докажем, что касательная к любой из линий семейства у = Сект в ее точке Мо(х0; У о) проходит через точку Mo' = о(М0).

Действительно, точка Mo' имеет координаты (х0 + а; —i/o). Уравнение касательной к кривой у = Сен* в точке М0(х0; у0) запишется : Поскольку

то получаем

Легко видеть, что координаты точки М</(хо+а; —уо) удовлетворяют этому уравнению.

Вывод. Семейство линий, касательные к которым в каждой точке проходят через образы этих точек при переносной симметрии о (с осью Ох и вектором а = (а; 0) ) имеет уравнение у = Секх, где к=--.

Пример. Построить касательную t к кривой у = е* в точке А(0; 1). В этом случае к = 1, т. е. 1=--, откуда

а= —2. Следовательно, прямая t проходит через точку А'— образ точки А при переносной симметрии а:

Замечаем, что точка А' имеет координаты ( — 2; —1). Построение ее, а следовательно и касательной /, не представляет трудностей.

Задача 10. Найти линию, касательные в каждой точке к которой проходят через образы точек касания при повороте вокруг начала координат на угол ф по часовой стрелке.

Решение. Поворот вокруг начала координат на угол Ф по часовой стрелке точку M (х; у) отобразит на точку M' (ху') такую, что

(мы рассматриваем поворот по часовой стрелке, т. к. соответствующее этому случаю дифференциальное уравнение имеет наиболее простой вид).

Приращение абсциссы и ординаты точки М(х; у) таковы:

Если угол ф отличен от 360° и —180° (т. е. исключаем из рассмотрения тождественное преобразование и центральную симметрию) последнее уравнение примет вид:

Решим полученное дифференциальное уравнение методом замены переменных.

Проинтегрировав обе части этого уравнения, получим:

Подставим вместо z выражение

Получили уравнение семейства линий в неявной форме. Перейдем к полярной системе координат. Известно, что

Тогда

Уравнение

является уравнением логарифмической спирали.

Верно и обратное утверждение: касательная к кривой, заданной уравнением r=eka+c , проходит через образы точек касания при повороте вокруг начала координат на угол ф, ф<0°.

Вывод. Семейство линий, касательные к которым в каждой точке проходят через образы этих точек при повороте Ro, Ф<0°, имеет уравнение г = ek*vc .

Задача 8. Найти линию, касательные в каждой точке к которой проходят через образы точек касания при подобии Пк второго рода (кФ1).

Решение. Подобие Пк с центром в начале координат и осью Ох отображает точку М(х; у) на точку М'(х'; у'), так что

Приращения абсциссы и ординаты точки М(х; у) таковы:

Соответствующее дифференциальное уравнение запишется:

Введем новую переменную z: y = zx. Тогда

Если хфО, то после упрощения получаем:

Интегрируя обе части последнего уравнения, находим

Учитывая, что

Получаем семейство кривых

Если одна из кривых этого семейства проходит через точку А(1; 1), то постоянная С в этом случае равна нулю, а кривая имеет уравнение у=х . Все другие кривые семейства у=тх~к являются образами кривой y = x1~k при сжатии к оси Ох и с коэффициентом т.

Обратно, касательная к кривой у = х 1~к в точке Mo (х0; у о) проходит через точку М0'(кх0; —ку0).

Вывод. Семейство линий, касательные к которым в каждой точке проходят через образы этих точек при подобии Пк с центром в начале координат и с осью Ох имеет уравнение у = mxx~k .

Пример 1. Если к=—, то соответствующее уравнение кривой, проходящей через точку А(1; 1), имеет вид у = х2. Следовательно, касательные к параболе у = х2 в каждой точке проходят через образы точек касания при подобии второго рода Z73 с центром в начале координат и с осью Ох.

Отсюда становится очевидным построение касательной к параболе у = х2 в любой ее точке М0(х0; у о); строится сначала точка M\=Hq* (М0), затем точка M2 = S (ОХ) {Мх). Прямая М0М2 — касательная к параболе в точке М0.

Пример 2. При к= -^-кривая, проходящая через точку А (1; 1) имеет уравнение у = х3. Следовательно, касательные к кубической параболе у = х3 проходят через образы точек касания при подобии Я 2 с центром в начале координат и с осью Ох.

М. Б. Балк, Г. Д. Балк

г. Смоленск

КВАТЕРНИОНЫ НА ВНЕУРОЧНЫХ ЗАНЯТИЯХ ПО МАТЕМАТИКЕ

Вопрос о том, существуют ли другие числа, более общие, чем комплексные, естественно возникает перед школьниками, ознакомившимися с аппаратом и приложениями комплексных чисел.

В математическом кружке X классов возможно посвятить несколько занятий дальнейшему развитию понятия числа. Комплексные числа допускают естественное обобщение в виде различных систем «гиперкомплексных» чисел. Наиболее известная из них — числовая система кватернионов — заслуживает того, чтобы ей были посвящены отдельные занятия кружка. В рамках средней школы эта тема интересна прежде всего потому, что позволяет проследить, как с помощью аналогии была построена новая числовая система. С другой стороны, тема эта представляет интерес еще и потому, что кватернионы послужили основой векторного исчисления — неотъемлемого аппарата современной физики и математики.

Ниже излагаем содержание занятий, посвященных гиперкомплексным числам (по материалам кружковых занятий, проведенных с учащимися X класса Смоленской школы № 7).

Что такое кватернионы?

Рождение кватернионов. Как известно, самый общий вид чисел, рассматриваемых в средней школе (в настоящее время — на факультативных занятиях),— это комплексные числа: все другие виды чисел, с которыми школьник встречался ранее,— натуральные, целые, рациональные, действительные — лишь разновидности комплексных чисел.

Может возникнуть вопрос: а используются ли в математике (и, вообще, известны ли) более общие виды чисел, чем комплексные? Ведь если комплексные числа оказываются такими полезными и находят многочисленные приложения, правдоподобно, что изобретение новых, более общих видов чисел тоже может оказаться очень полезным!

И вот оказывается, что в математике действительно были разработаны другие числовые системы, аналогичные системе комплексных чисел или обобщающие ее. Первую такую систему придумал в 1843 году В. Р. Гамильтон.1

Известно, что система комплексных чисел имеет одну действительную и одну мнимую единицу (i). Известно, что каждое комплексное число а + Ы можно рассматривать как пару действительных чисел (а, Ь), заданных в определенном порядке («дублет»), причем для «дублетов» имеют место определенные, хорошо известные правила выполнения арифметических операций (например, (a + bi) + (c + di) = = (a + c) +(ö-fd)i, (a + b\)-(c + d\) = (ac-bd) + iad+bc)\ и т. п.). Гамильтон пытался построить систему чисел, похожую на систему комплексных чисел, но имеющую (помимо действительной единицы) две мнимые единицы (обозначим их буквами i и j). Речь идет об упорядоченных тройках действительных чисел (a, Ь, с), записанных в виде

(1)

Каждое «число» вида (1) Гамильтон назвал триплетом («триплет» и означает «тройка»). Еще в 1837 году Гамильтон в статье, посвященной комплексным числам, сообщил, что он собирается вскоре опубликовать теорию триплетов. И в течение шести лет он пытался такую теорию построить. Ему не составило какого-либо труда определить понятие равенства двух триплетов или ввести для них правила сложения и вычитания — они аналогичны правилам выполнения этих же операций с комплексными числами. Но что следует понимать под произведением триплетов? Гамиль-

1 Вильям Роуан Гамильтон (1805—1865) был один из замечательных ученых XIX столетия. В 22 года он был избран профессором Дублинского университета (Ирландия), в 32 — президентом Ирландской академии наук; он был также членом-корреспондентом Российской академии наук и многих других академий и научных обществ. Гамильтон особенно известен своими теоретическими исследованиями в области механики и оптики.

тон искал такое правило умножения триплетов, которое обобщало бы правило умножения комплексных чисел. При этом должны были сохраняться основные законы, известные для умножения комплексных чисел, и должна была оказаться выполнимой операция деления триплета на триплет. Многолетние поиски не привели к каким-либо результатам.

Гамильтон позднее вспоминал, как ежедневно, когда он приходил к завтраку, сыновья встречали его одним и тем же вопросом: «Как, папа, научился ты умножать триплеты?» Ответ был неизменным: «Нет, я пока умею их только складывать...». Решение задачи пришло к Гамильтону неожиданно. Осенью 1843 года, когда он в своем родном Дублине шел по Бругемскому мосту на заседание Академии наук и по дороге беседовал с женой о вещах, далеких от математики, его вдруг осенила мысль: следует рассматривать числовую систему не с тремя, а с четырьмя единицами (одна действительная и три мнимых)! Речь идет о выражениях вида

(2)

где i, j, k— «мнимые единицы». Задать такое выражение — это то же самое, что задать четверку вещественных чисел (а, Ь, с, d), расположенных в указанном порядке. Числа вида (2) Гамильтон назвал кватернионами (от латинского слова «кватер», что означает «четыре»), Гамильтону тогда же пришло в голову следующее правило умножения «мнимых единиц» : i • i = j • J = k • k = i • j * k = — 1.

После изобретения кватернионов Гамильтон занялся систематическим изучением их свойств и их приложений. В 1846 году он отказался от должности президента Ирландской академии наук, дабы целиком посвятить себя изучению кватернионов. В течение 22 лет, до самой смерти, он не занимался никакими научными вопросами, не связанными с кватернионами. Он публикует за это время 109 научных работ, посвященных кватернионам (другим вопросам математики и физики Гамильтон посвятил всего лишь около 30 работ), в том числе две фундаментальные монографии: «Лекции о кватернионах» и «Элементы теории кватернионов». Открытие кватернионов произвело сильное впечатление на математиков прошлого века. Известный французский физик и математик А. Пуанкаре пи-

сал: «Это была революция в арифметике, подобно той, которую совершил Лобачевский в геометрии». Теория кватернионов увлекла многих математиков XIX века, особенно в Англии, Ирландии, США. Только в XIX столетии было издано почти 600 научных работ, посвященных кватернионам. В этих работах кватернионы успешно применяются к решению различных вопросов физики, геометрии, теории чисел. В ряде университетов преподавание кватернионов становится обязательным, с ними знакомят учащихся во многих средних школах. В 1895 году организуется «Международная ассоциация содействия изучению кватернионов и родственных систем».

Большое применение находит сейчас векторное исчисление, которое возникло на базе исчисления кватернионов. Векторы были впервые введены Гамильтоном как кватернионы специального вида (подробнее см. ниже). Изобретение исчисления кватернионов послужило толчком для создания многих важных разделов современной математики — в частности, теории матриц, многомерной геометрии, тензорного исчисления и др. Кватернионы и предложенные позднее сходные с ними числовые системы успешно используются в теории чисел, в геометрии, в механике и теоретической физике.

Арифметика кватернионов. Расскажем теперь более систематично о простейших понятиях и фактах исчисления кватернионов. Рассмотрим выражения следующего вида

(3)

где qo, q\, q2, <7з— действительные числа, a î, j, k — это некоторые значки, которые называют мнимыми единицами (соответственно: первой, второй, третьей). (Заметим, что знак « + » используется в (3) лишь для объединения четверки действительных чисел q0, q\, q2y q$ в одно целое; о сложении выражений вида (3) будет речь идти ниже). Чтобы выражения вида (3) можно было назвать числами, мы должны знать, когда их следует считать равными, должны указать правила, которые позволяют эти выражения складывать, вычитать, умножать, делить. Если правила задаются так, как указано ниже, то мы выражения вида (3) и будем называть «кватернионными числами», или кватер-

нионами. Кватернион, как и комплексное число, часто обозначают одной буквой:

(4)

Входящие в эту формулу вещественные числа t7o, Ç\, q2> Яз называют компонентами кватерниона q. По аналогии с комплексными числами (а Гамильтон стремился соблюдать такую аналогию, насколько это только было возможно) можно легко дать определение равенства двух кватернионов q nq'. А именно, естественно считать два кватерниона

равными, если равны их соответствущие компоненты; а сложение и вычитание естественно производить «покомпонетно»:

Предложенное Гамильтоном правило умножения кватернионов сводится к следующему: два кватерниона следует умножить так, как будто это обычные многочлены; но когда встретятся произведения вида i-j или j • i, или k-j и т. п., то их следует заменить согласно следующей таблице (рис. 1). Для запоминания таблицы удобно пользоваться круговой схемой.

Рис. 1

При движении по окружности против часовой стрелки встречаются буквы i, j, к; произведение двух соседних букв (например, k • i) следует заменить третьей буквой (в нашем примере j), взятой со знаком « + », если переход по окружности от первой буквы ко второй совершается «против часовой стрелки»; если этот переход совершается «по часовой стрелке», то со знаком « —». Так, например, в-нашем примере имеем : к • i = j ; аналогично можно, например, получить: i«k= — j. Кроме того, согласно таблице 1, квадрат каждой из трех мнимых единиц равен —1 (т. е. i2 = j2 = k2 = — —1), и значение мнимой единицы не изменится, если ее умножить (слева или справа) на 1.

Во введенной Гамильтоном системе чисел (ее сейчас называют «алгеброй кватернионов») сохраняются многие важные свойства обычных комплексных чисел. В частности, в ней всегда выполнима операция деления (как обратная умножению) на любой кватернион (кроме нулевого кватерниона, т. е. такого, у которого все четыре компонента равны нулю); в алгебре кватернионов имеют место ассоциативный и коммутативный законы сложения, ассоциативный закон умножения, дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Правда, в алгебре кватернионов не выполняется коммутативный закон для умножения. Но с этим приходится мириться...

Рассмотрим два простых примера для упражнения.

Упражнение 1. Имеются два кватерниона: q = l + ] и q' = \+k (точнее говоря, q=l+0i+lj + 0k9 <7' = 0 + li+0/ + lft).

Подсчитайте их сумму, разность и произведения (q-q' и q'-q).

Ответ: q + q' = l + i + j+k9 q-q' = l—i + j-k, q-q' = 2i4 q' -q = 2k.

Упражнение 2. Пусть имеются два кватерниона : q = i + j + k9 q' = 3 — 5i. Вычислите q-q' и q'q.

Ответ: q• <7' = 5 + 3t—2/ + 8£, q'• q = 5 + Zi + 8j-2k.

Если y кватерниона (4) компоненты qi, q2, Чз равны нулю (т. е. q = qo + 0i + 0j-+-0k, или в более краткой записи: q = q0)) то он называется скаляром. Скаляры отождествляются с действительными числами. Если qo = 0 (то есть если кватернион (4) имеет вид q = 0 + q\i + q2j + qzk , или в более краткой записи: q = q\i+ ?2/ + Цък) > то Гамильтон называет его вектором. Например, кватернион 2i + 3j +

-f5k — это вектор, кватернион 7— это скаляр; а кватернион 1 — i + k — ни вектор, ни скаляр. Каждый вектор Q = Q\î + 42J + 4zk можно наглядно истолковать в трехмерном пространстве геометрически как направленный отрезок, у которого проекции на координатные оси равны соответственно qu Q'2, Уз- На рисунке 3 изображен вектор q = = 2i -h 3j -h 5k. Кватернионы i, j, k изобразятся в виде направленных отрезков единичной длины, лежащих соответственно на осях Ох, Oy, Oz.

Каждый кватернион (4) можно записать в виде суммы двух кватернионов: скаляра (q0) и вектора (<7ii + <72J + <73k). Иначе говоря, q = S(q)+V(q), где S(q) = q0 — скалярная часть кватерниона q, a VT(q) = ^7iï H- ^2J Н~ ^7з^ — его векторная часть. Например, у кватерниона 3—5i + 4k.

Для вычислений с кватернионами полезно иметь формулу для произведения двух кватернионов общего вида:

Умножая на а и q как многочлен на многочлен и пользуясь таблицей (рис. 1), легко получить:

(5)

Рис. 2

Дальнейшие аналогии с комплексными числами. По аналогии с теорией комплексных чисел можно для каждого кватерниона (4) ввести понятие модуля (|q|) и сопряженного кватерниона (q); а именно, по определению

Например, для кватерниона q = 2 — i + k имеем:

Известно, что для каждого комплексного числа z верно тождество z-z=\z\2. Проверим, сохраняется ли аналогичное свойство для какого-нибудь кватерниона, например, для кватерниона q = 2 — i + к. Имеем:

Сохраняется ли такое же свойстводля каждого кватерниона? Оказывается, да: при любом выборе кватерниона q справедливы равенства

(6)

Это нетрудно доказать, воспользовавшись тождеством (5). Отметим еще два тождества, которые полезны при вычислениях с кватернионами:

(7) (8)

Равенство (7) следует из (5): если для кватернионов q и а образовать кватернионы q и а и затем, пользуясь формулой (5), составить произведение q • а, то можно убедиться, что получается кватернион, сопряженный кватерниону a-q. Равенство (8) следует из (7) и (6):

откуда следует (8). Из (8) легко получить, что при выборе любого числа кватернионов Qi Q2, ... , Qu модуль их произведения равен произведению их модулей.

Упражнение 3. Привлекая кватернионы, проверьте справедливость следующего тождества для любых действительных чисел:

Простейшие применения кватернионов. Уже приведенные простейшие факты позволяют найти одно полезное применение кватернионов.

Упражнение 4. Каждое из чисел 17 и 47 представимо в виде суммы четырех точных квадратов (т. е. квадратов целых чисел):

Докажите, что их произведение 799 тоже представимо в виде суммы четырех точных квадратов.

Решение. Привлекая кватернионы, можно написать:

Поэтому

Следовательно,

Упражнение 5. Имеется несколько целых чисел N\9 N2, ... , Wm, причем известно, что каждое из них представимо в виде суммы четырех точных квадратов. Можно ли гарантировать, что и их произведение N = Ni*N2* ... • iVm то-

же представимо в виде суммы четырех точных квадратов?

Решение. Пусть

Каждое из чисел ЛАЬ N2, ... , Nm можно рассматривать как квадрат модуля некоторого кватерниона:

Но при умножении кватернионов над их компонентами не совершаются никакие другие операции, кроме сложения, вычитания и умножения. Поэтому кватернион Q можно представить в виде: Q = A+B\+C} +Dk, где А, В, C,D — целые числа. Но тогда N = A2+B2+C2 + D2. Итак, произведение N\' N2' ... • Nm представимо в виде суммы четырех точных квадратов.

Деление кватернионов. Что значит разделить один кватернион (Q) на другой (q)? Это, естественно, значит: найти такой кватернион (X), который при умножении на q дает Q. Но умножить кватернион X на кватернион q можно двояко, а именно : слева (получается X • q) и справа (получится q • X). Эти произведения, вообще говоря, различные. Поэтому приходится различать два частных от деления кватерниона Q на q, а именно: кватернион X называется левым частным от деления Q на кватернион q, если X-q = Q; кватернион Y называют правым частным от деления Q на q, если q- Y = Q. Так, например, ле-

вым частным от деления вектора 2i + 2j на вектор j + k является кватернион х = 1 — i + j — k,

Правым частным от деления вектора 2i + 2j на вектор j + k является кватернион

Упражнения. 6. Докажите, что при делении кватерниона Q = l (т. е. Q = l + 0i + 0j + 0k) на какой-либо кватернион q = <7o4-<7ii + <72J + <73k левое частное равно правому частному и может быть вычислено по формуле X = q/|q|2, где q — кватернион, сопряженный кватерниону q (частное в этом случае обозначается через q-1).

7. Напишите частное от деления скаляра 1 на вектор i-j.

Ответ: — (—i+J).

8. Разделите вектор Q = k + i на вектор q = i—j (найдите левое частное X и правое частное Y). Указание. Сначала докажите равенства:

Может ли квадратное уравнение иметь больше двух корней? Отметим одну неожиданность, которую несет исчисление кватернионов. Известно, что каждое уравнение n-ой степени, т. е. уравнение вида

(9)

где au 0,2 ... » ön— данные комплексные числа, a z— искомый корень, имеет в области комплексных чисел п корней (с учетом их кратности). Совсем иначе обстоит дело в области кватернионов : там уравнение вида (9) (понятно, считаем уже, что ai, аз» • • • > 0п — данные кватернионы, z — искомый кватернион) может иметь более, чем п корней — и даже бесконечно много корней!

Упражнение 9. Докажите, что уравнение z2-bl = 0 имеет в области кватернионов бесконечно много корней: каждый кватернион, который является вектором единичного модуля, служит корнем этого уравнения.

Решение. Действительно, пусть

Геометрия кватернионов. Каждый кватернион (4), подобно комплексному числу, можно представить в «тригонометрической форме». Для этой цели рассмотрим кватернион-вектор

Ему сопоставим в трехмерном пространстве направленный отрезок OQ так, чтобы его проекции на ось координат были равны соответственно q\ q2 q?, (рис. 3). Через ON (или п)

Рис.3

обозначим направленный отрезок единичной длины, сонаправленный с OQ. Понятно, что

Очевидно, мы можем всегда подобрать такой угол ф, чтобы выполнялись равенства (ниже

(10)

(11)

Угол ф называется аргументом кватерниона (4); ось /, определяемая направленным отрезком ON, называется осью кватерниона q.

Упражнение 10. Найдите орт п оси кватерниона q = l + i + jH-k и его аргумент. Запишите q в тригонометрической форме.

Решение. Ясно, что

Орт п определяется поэтому так:

По формулам (10) имеем:

В пределах от 0° до 360° этому условию удовлетворяет угол Ф = 60°, так что аргумент кватерниона q равен 60°. Тригонометрическая форма данного кватерниона такова:

Можно показать, что для кватернионов имеет место (при любом целом т) следующая формула, аналогичная известной в теории комплексных чисел формуле Муавра:

Понятие модуля и аргумента кватерниона находят полезные геометрические приложения — прежде всего, при рассмотрении задач следующего типа:

Дана ось ОР и направленный отрезок OA; требуется найти тот вектор, который образуется, если повернуть OA вокруг оси ОР на заданный угол <р.

Приведем без доказательства два часто применяемых в подобных случаях предложения.

Теорема 1. Пусть направленный отрезок OA поворачивается вокруг оси, задаваемой ортом OjV, на угол ф, причем пусть известно, что (ОЛ)±(ОЛ^)1. Если OA и OjV заданы

1 Имеется в виду, что с точки зрения наблюдателя, смотрящего на направленный отрезок OA из точки N, вращение происходит против часовой стрелки, если ср>0, и по часовой стрелке, если ср<0.

кватернионами а и п, то в результате поворота OA образуется отрезок OB, определяемый кватернионом

(12)

Упражнение 11. Пусть OA (рис. 4) задается кватернионом a = i — j, a OP задается кватернионом i-fj + k (убедитесь, что (OA) 1.(0Р)). Требуется найти направленный отрезок OB, который образуется, если повернуть OA вокруг оси ~ОР на 60°.

Решение. Сначала найдем орт п направленного отрезка ÖP:

Найдем кватернион Ь, соответствующий направленному отрезку OB. По формуле (12) имеем:

После выкладок найдем:

Отсюда ясно, что проекции вектора OB на оси Ojc, Oy, 0z равны соответственно 1, 0, — 1 (см. рис. 5).

Гамильтон рассматривал и тот случай, когда направленный отрезок OA не перпендикулярен оси вращения ОР.

Рис. 4 Рис. 5.

Теорема 2. Пусть направленный отрезок OA задан кватернионом а и пусть OA поворачивается вокруг оси ОР, определяемой ортом п, на угол ф. Тогда в результате получится направленный отрезок OB, который может быть задан кватернионом

(13)

(14)

Не доказывая эту теорему, проиллюстрируем и ее на примере.

Упражнение 12. Пусть вектор OA (рис. 6) поворачивается вокруг оси ОР (диагональ куба) на угол ф = 60°. Какой вектор получится в результате такого поворота?

Решение. Воспользуемся равенством (13), положив

Рис. 6.

Тогда

Отсюда видно, что после рассматриваемого поворота OA получим направленный отрезок OB (рис. 7), чьи проекции на оси Ojc, Oy, Oz равны соответственно —, —, —

Исчисление кватернионов и исчисление векторов. Как мы уже отмечали, кватернионы в прошлом столетии нашли многочисленные применения в геометрии, механике и теоретической физике. Однако, со временем оказалось, что в большинстве этих случаев достаточно ограничиться лишь частным видом кватернионов — векторами (т. е. кватернионами вида q i i + q2j 4- Чзк). Векторное исчисление — по инициативе американского физика Дж. В. Гиббса и английского физика О. Хевисайда (1883— 1886 гг.) — стали рассматривать без всякой ссылки на кватернионы.

Правила сложения и вычитания векторов — такие же, как в алгебре кватернионов. Что касается понятия произведения двух векторов, то оно тоже заимствовано из теории кватернионов, а именно: взятую со знаком «минус» скалярную часть того кватерниона, который получается при умножении двух кватернионов-векторов

стали называть скалярным произведением этих двух векторов (обозначается оно так: (a, b); а векторную часть того же кватерниона— произведения стали называть векторным произведением данных двух векторов а и b (обозначается так: [а, Ь]). Вспоминая формулу (5)

и применяя ее в случае, когда два кватерниона а и b являются векторами (т. е. ао = 0 и Ьо = 0), получим:

(15)

(16)

Впоследствии эти формулы были приняты в качестве определений скалярного и векторного произведений двух векторов, без какого-либо упоминания о кватернионах.

Однако и теперь, после введения векторного исчисления, имеется еще немало случаев, когда в математике или ее приложениях оказываются полезными кватернионы общего вида или различные их разновидности. Приведем примеры. Важным приложениям кватернионов общего вида к теории чисел и алгебре посвящены работы ряда ленинградских математиков (Ю. В. Линник, Б. А. Венков, Д. К. Фадеев и др.). Как сообщает в одной своей статье академик Ю. В. Линник, некоторые из этих результатов находят применение в кристаллографии. Недавно было опубликовано несколько работ советских и американских механиков, в которых разработан эффективный метод расчета системы управления ориентацией искусственных спутников, опирающийся на исчисление кватернионов общего вида (см. книгу [3]). Одну из разновидностей кватернионов — так называемые бикватернионы (кватернионы, у которых компоненты — комплексные числа) с успехом использовал известный английский ученый П. Дирак (около 1930 г.) в теоретической физике (теория поля). Можно ожидать, что общая теория кватернионов (и других, сходных с кватернионами, числовых систем) найдет еще много полезных приложений.

Гиперкомплексные числа. Помимо кватернионов еще в прошлом веке стали рассматривать и другие «сверхкомплексные» числовые системы, то есть множества выражений вида

(17)

где а0, flu ...» un — какие-то вещественные (или даже комплексные) числа, a ii, i2, in—«мнимые» единицы. Правила сравнения, сложения и вычитания — такие же, как для обычных комплексных чисел; а правило умножения задается каждый раз своей таблицей умножения мнимых единиц. Правда, ь этих случаях может оказаться, что для данных «чисел» а и b существует бесконечно много «чисел» X, которые удовлетворяют условию а*х = Ь. Заметим, что число п-Ы называется рангом гиперкомплексной системы чисел. Любопытные приложения в геометрии находят так называемые «дуальные числа», введенные швейцарским геометром Евгением Штуди (1852—1930), и «двойные числа», которые впервые применял английский геометр Вильям Клиффорд (1845—1879). Дуальные числа — это «числа» вида a-fbe, где а и b— действительные числа, а е — «мнимая дуальная единица», которая подчиняется такому правилу: е2 = 0 (иначе говоря, правило таково: «Если в выкладках с дуальными числами встретилось произведение е*е, то разрешается заменить его нулем»). «Двойные числа»— это «числа» вида a + frj, где а и b — действительные числа, a j — «мнимая единица», подчиняющаяся правилу:

Систему гиперкомплексных чисел с восемью единицами (среди них семь мнимых единиц, т. е. в формуле (17) следует полагать п = 7) рассматривал английский математик Артур Кэли (1821 —1895). Правило умножения для мнимых единиц задается некоторой таблицей (которую мы здесь приводить не будем). Такие «числа» получили название «числа Кэли» или «октавы» (octo означает по-латыни «восемь»). Октавы находят некоторые приложения в геометрии и теории чисел. Эти приложения связаны, главным образом, с тем, что для октав — как и для комплексных чисел и кватернионов — справедливы тождества вида

Вводя в рассмотрение различные системы чисел, определяя действия над ними, мы, естественно, заинтересованы

в сохранении для них некоторых основных законов арифметики, известных для рациональных и для действительных чисел. Напомним эти законы для случая действительных чисел.

1. a-fb = b + a (коммутативность сложения).

2. (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения).

3. (а • Ь) • с = а • (Ь • с) (ассоциативность умножения).

4. а • b = b • а (коммутативность умножения).

5. Уравнение а«х = Ь (и х«а = Ь) всегда разрешимо, если только а.Ф0 (иначе говоря, в данной системе чисел выполнимо деление на любое число, отличное от нуля).

Известно, что всем требованиям 1—5 удовлетворяют комплексные числа. В прошлом веке видный немецкий математик Карл Вейерштрасс (1815—1896) доказал, что среди гиперкомплексных систем, ранг которых не меньше двух (т. е. п-Ы>2), только комплексные числа обладают всеми пятью приведенными выше свойствами 1—5.

А если отказаться от требования коммутативности умножения (т. е. от условия 4)? Известно, что остальным требованиям удовлетворяет — кроме системы комплексных чисел — система кватернионов. Но только ли они? В 1878 году немецкий математик Г. Ф. Фробениус (1845—1919) установил замечательную теорему, смысл которой состоит в следующем: Среди гиперкомплексных систем чисел, для которых выполнимо деление на каждое число, отличное от нуля (т. е. условие 5), условиям 1—3 удовлетворяют лишь следующие три системы чисел: действительные числа; комплексные числа; кватернионы.

ЛИТЕРАТУРА.

А. И. Мальцев. Группы и другие алгебраические системы. Статья в сборнике «Математика, ее методы и значение», т. 3, М., изд-во А. Н. СССР, 1956 (гл. 20, § 11).

И. М. Яглом. Комплексные числа и их применение в геометрии. М„ Физматгиз, 1963.

В. Н. Бранец, И. П. Шмыглевский. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М., «Наука», 1973.

И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. М., «Наука», 1973.

Э. Л. Каминская, Т. Э. Каминский

г. Вологда

ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Теория систем линейных неравенств — одна из важных глав линейной алгебры, находящая многочисленные приложения как в математике, так и в разных областях науки и техники, использующих математический аппарат. Одной из наиболее известных областей ее приложения является область задач линейного программирования, на языке которой строятся и исследуются математические модели широкого класса проблем, возникающих в экономике и планировании. О важности этих приложений свидетельствует, например, тот факт, что одному из основоположников методов линейного программирования — академику Л. В. Канторовичу— в 1975 году за цикл работ в этой области, выполненных еще в 30—40-х годах, была присуждена Нобелевская премия.

Математическим аппаратом теории линейного программирования служит аппарат линейной алгебры — п-мерные векторные пространства, линейные операторы, матрицы и потому полное изложение этой теории в средней школе не представляется возможным. Однако, в тех случаях, когда число переменных в задаче равно 2, она допускает простую геометрическую интерпретацию и алгоритм ее решения становится простым и наглядным. В теории линейного программирования (даже в двумерном случае) взаимодействуют идеи и методы, содержащиеся в разных разделах школьного курса. Здесь встречаются системы линейных неравенств и уравнений, векторы в их геометрической и алгебраической (координатной) формах, выпуклые множества, задачи исследования функций на экстремум, которые не

могут быть решены классическими методами дифференциального исчисления, так как экстремальные значения достигаются на границе рассматриваемой области. И наконец, еще одно важное обстоятельство. Даже в тех случаях, когда в реальной экономической задаче число переменных больше двух и она не допускает наглядной интерпретации, учащимся вполне посильно построение ее математической модели, причем зачастую это построение совсем не тривиально, требует большого остроумия и, следовательно, служит прекрасным материалом для развития математического мышления.

Все это делает постановку факультативного курса линейного программирования весьма желательной. Предлагаемый вариант такого курса может быть осуществлен в 9-м или в начале 10-го класса. Правда при этом необходимо сообщить учащимся некоторые сведения о системах линейных неравенств, изучение которых предусмотрено программой 10-го класса. Однако эти сведения минимальны — по существу требуется только знакомство с основными определениями.

§ 1. Выпуклые точечные множества. Координатное представление точек отрезка

Мы будем рассматривать различные множества точек на плоскости. Напомним, что такое множество называется выпуклым, если вместе с любыми своими точками А, В оно содержит и все точки отрезка [А, В]. Множества, изображенные на черт. 1, а, б, в, выпуклы, множество точек фигуры 1, г не выпукло. Выпуклым является множество всех точек плоскости а также пустое множество. Легко доказывается следующая.

Теорема 1. Пересечение любого множества выпуклых множеств выпукло.

Зададим на плоскости прямоугольную декартову систему координат ХОУ. При этом каждой точке А плоскости можно сопоставить вектор OA (радиус-вектор этой точки) или упорядоченную пару чисел (х; у) (ее координаты). Выразим радиус-вектор произвольной точки С(х; у) отрезка [Л, В] (координаты этой точки) через радиусы-векторы его

концов (координаты точек А(хх\ у{), В(х2; у2)). Пусть (черт. 2) ОА = ги ОВ=~г2, ОС=7. Тогда 7=^+ÄC. Так как векторы АС и AB сонаправлены,

Учитывая, что

(1)

Сравнивая одноименные координаты левой и правой частей этого равенства, мы приходим к соотношениям

(2)

выражающим координаты точки С через координаты концов отрезка [А, В].

§ 2. Разбиение плоскости прямой линией

Рассмотрим на плоскости ХОУ прямую линию /, заданную уравнением ах Л- Ьу + с = 0. Левую часть этого уравнения обозначим f (х, у) и назовем линейной формой (от неизвестных X, у). Считая X, у координатами некоторой точки А, мы будем иногда вместо f (х, у) писать /(Л). Обозначим через 77 f, 77-, 77° соответственно множества всех точек плоскости, в которых линейная форма f(A) принимает положительные, отрицательные и равное нулю значения.

Теорема 2. Множества 77+, 77~, 77° выпуклы и попарно не пересекаются. Если то^ки А(х\;у\), В(х2; у2) принадлежат соответственно 77+ и 77", то отрезок [А, В] пересекает прямую /.

Доказательство. Пусть С(х; у) — произвольная точка отрезка [Л, В]. Подсчитаем значение формы / в этой точке. Согласно формулам (2)

Если при этом Л, BœI1+, то /(Л)>0, /(ß)>0. Учитывая, что À>0, 1— À>0 и хотя бы одно из этих чисел строго положительно, получим /(С)>0, т. е. Се77+. Этим доказана выпуклость множества J7+. Аналогично устанавливается, что выпуклы множества П~ и Я0. Утверждение теоремы о том, что пересечения П+С)П-, П+[\П°У П-[}П° пусты, очевидно.

Для завершения доказательства предположим, что AœIÏ+, BœIJ-, и выберем в качестве X число

При этом выборе X

т. е. координаты точки С обращают линейную форму f в нуль. Следовательно точка С принадлежит одновременно отрезку [А, В] и прямой /. Теорема доказана. Из нее легко выводится следствие: множество всех решений линейного неравенства ax + by + c>0 выпукло.

Геометрическая интерпретация теоремы 2. Прямая / разбивает плоскость ХОУ на две полуплоскости Т\ и Т2 (черт. 3). Пусть в точке AœTi линейная форма / принимает положительное значение: /(А)>0. Покажем, что и в любой другой точке В той же полуплоскости выполняется неравенство f(B)>0. Действительно, точка А принадлежит множеству 77f. Если бы число f(B) было отрицательным, то точка В лежала бы в П~ и, согласно теореме 2, отрезок [Л, В] пересекал бы прямую /. Таким образом /(ß)>0. Равняться нулю число f(B) не может, так как тогда точка В принадлежала бы прямой /. Итак, /(£)>0. Из доказанного утверждения следует, что Т\^П+. Справедливо и обратное включение: П+^Т{. Действительно, пусть В<=П+, т. е. f(B)>0. Если бы точка В принадлежала полуплоскости Тг, то в точке пересечения отрезка [Л, В] с прямой / линейная форма f обратилась бы в нуль и, следовательно, не все точки этого отрезка принадлежали бы множеству 77+, что противоречит его выпуклости.

Из двух доказанных включений вытекает равенство Ti=n+. Аналогично доказывается, что Г2 = 77_. Таким образом, множества 774 и П~ являются полуплоскостями, на которые прямая / разбивает всю плоскость.

Полученный результат приводит к удобному геометрическому способу решения линейного неравенства ax+by + c>0. Проиллюстрируем его на примере.

Пусть требуется найти множество всех решений неравенства 2х+4у>8. Прямая 2х + 4у = 8 разбивает плоскость ХОУ на две полуплоскости Тх и Т2 (черт. 4). Значение линейной формы в точке 0(0 ; 0) равно — 8, следовательно эта точка принадлежит множеству 77"". Тогда во всех точках дополнительной полуплоскости форма f принимает положительные значения. Множеством решений неравенства 2x4-+4у>8 служит полуплоскость Ti (на чертеже она выделена стрелками).

§ 3. Множество решений системы линейных неравенств

Теорема 3. Множество всех решений системы линейных неравенств выпукло.

Действительно, это множество является пересечением множеств решений всех неравенств, входящих в данную систему, а каждое цз них, согласно следствию теоремы 2, выпукло. Ссылка на теорему 1 завершает доказательство.

Множество решений системы линейных неравенств иногда называют выпуклой Многоугольной областью. Такое множество может быть ограниченным и неограниченным, как видно из следующего примера. Система неравенств

имеет множество решений, изображенное на черт. 5. Это множество ограничено. В то же время, отбросив в ней последнее неравенство, мы получим систему с неограниченным множеством решений.

Иногда приходится рассматривать линейные неравенства вида ах + Ьу + с^О (или <0). Очевидно множество решений такого неравенства представляет собой полуплоскость #+ (или #~~), дополненную точками прямой /.

Теорема 4. Если множество решений системы линейных неравенств ограничено и не пусто, то оно является выпуклым многоугольником.

Действительно, пусть M — такое множество. Его выпуклость доказана в теореме 3. С другой стороны, M представляет собой пересечение конечного числа полуплоскостей, следовательно его граница состоит из конечного числа отрезков прямых линий, т. е. является ломаной линией. Эта ломаная замкнута — в противном случае множество M было бы неограниченным. Наконец из выпуклости M следует, что его граница — простая ломаная. Теорема доказана.

Легко устанавливается, что справедлива и обратная Теорема 5. Каждый выпуклый многоугольник на плоскости ХОУ является множеством решений некоторой системы линейных неравенств.

§ 4. Выпуклая линейная комбинация конечной системы точек

Пусть на плоскости ХОУ дана система точек А[(хх\ j/i), 1 = 1, п. Точка А(х; у) называется выпуклой линейной комбинацией этой системы, если ее координаты вычисляются по формулам

где Ài, Хп — неотрицательные числа, сумма которых равна 1 :

Если А —выпуклая линейная комбинация точек Ль А11, радиусы-векторы которых равны соответственно гь гп, то, обозначая через г радиус-вектор точки А, перепишем условия (3) в виде

Это равенство дает основание допустить более удобную для дальнейших целей запись

Примером выпуклой линейной комбинации пары точек А, В является любая точка отрезка [А, В]: согласно формулам (2) ее координаты можно записать в требуемой форме, причем роль к\ и Х2 играют числа 1 —À и À.

Теорема 6. Каждая точка выпуклого многоугольника является выпуклой линейной комбинацией его вершин. Доказательство. Рассмотрим выпуклый многоугольник А\А2АъАААь (черт. 6). Пусть А — точка этого многоугольника. Проведем через нее прямую, пересекающую границу многоугольника в точках Вх и В2 (они могут, в частности, совпасть с вершинами многоугольника — для доказательства это не важно). Так как B\œ(A\9 Л2), то

Аналогично

Из того, что Aœ[BxB2] следует:

Подставляя сюда выражения для

получим

В этом выражении все коэффициенты неотрицательны и сумма их равна 1 :

Таким образом, точка А есть выпуклая линейная комбинация вершин А\, Л2, Л3, Л4. Включая в нее вершину Л5 с коэффициентом, равным 0, мы получим искомое представление точки Л. Теорема доказана.

§ 4. Основная задача линейного программирования

Рассмотрим следующую задачу. Дана система линейных неравенств

( * )

и линейная форма f(x, у) = си + С\Х + с2у. Среди всех неотрицательных решений этой системы найти такое, для которого форма f принимает минимальное (максимальное) значение. Под неотрицательностью решения понимается неотрицательность его компонентов, геометрически это означает, что мы рассматриваем только ту часть области решений, которая лежит в первой четверти.

Поставленная задача называется основной задачей линейного программирования. К такой форме можно свести

многочисленные задачи, встречающиеся в экономике и планировании. Рассмотрим некоторые примеры.

Задача 1 (об использовании сырья). На некотором предприятии выпускается продукция двух типов А\ и Л2, для производства которой используется сырье трех видов В1у В2, Вг. Запасы каждого вида сырья ограничены соответственно величинами Ь\9 Ь2, Ьъ. Для производства единицы продукции типа А{ требуется единиц сырья вида ßk(i = l, 2; k = l, 2, 3). Реализация единицы продукции типа А[ дает предприятию доход Ci рублей. Составить план производства продукции, при котором доход предприятия будет максимальным.

Условие задачи удобно свести в следующую таблицу:

Обозначим через х и у соответственно количество единиц продукции типов А\ и Л 2, производимой предприятием. Тогда на производство всей продукции потребуется а\\Х + а2\у сырья вида Bu ci\2x + a22y сырья вида В2 и а^х + а^у сырья вида ß3. Эти величины не могут превысить имеющихся запасов каждого вида сырья. Таким образом, мы приходим к ограничениям

(4)

Доход предприятия выражается величиной f(x, у) = С\х+с2у. По смыслу задачи величины х и у неотрицательны. Итак, нужно среди всех неотрицательных решений системы (4) найти такое, которое максимизирует форму /.

Задача 2 (транспортная). На двух пунктах А\ и А2 находится соответственно а\ и а2 единиц некоторого однородного

груза. Его следует перевезти в три пункта назначения В и В2, Вз соответственно в количествах Ьи Ь2> Ьъ единиц. Известны стоимости сш перевозок единицы груза из каждого пункта Ai в каждый пункт Br. Требуется составить план перевозок так, чтобы транспортные расходы были минимальными.

Как и в задаче 1 запишем условие в следующую таблицу:

Обозначим через Jtik количество груза, перевозимого из пункта А[ в пункт В^. В таком случае из А\ и А2 будет вывезено лгцЧ-ЛГ12 + ЛГ13 и х2\+х22 + х2ъ единиц груза, а в пункты Ви В2, ß3 завезено соответственно Жц + Хгь *i2 + *22, лпзН-^2з единиц. Так как со складов нельзя вывезти больше груза, чем там его имеется, а запросы потребителей должны быть удовлетворены, мы получаем систему неравенств

(5)

общая стоимость перевозок составит величину

Мы должны, следовательно, найти неотрицательное решение системы (5), минимизирующее форму /.

§ 5. Решение основной задачи.

Теорема 7. Если множество решений системы линейных неравенств (*) является выпуклым многоугольником, то линейная форма / достигает максимума (минимума) в одной из его вершин.

Доказательство. Пусть Au Л2, As — вершины многоугольника решений системы (*). Выберем среди чисел f(A\), /(Л2), /(Лs) наименьшее и наибольшее и обозначим их соответственно р и q. Пусть А(х; у)— произвольная точка многоугольника решений. Согласно теореме 6, она является выпуклой линейной комбинацией вершин А\, Л2, А*:

Подсчитаем значение формы / в точке А :

Так как для каждого i (l<i<s) выполняются неравенства

т. е. р</(Л)<^. Последние неравенства показывают, что числа р и q являются наименьшим и наибольшим значениями формы / на многоугольнике решений системы (*). Теорема доказана.

Этой теореме легко придать наглядную геометрическую форму. Рассмотрим многоугольник решений системы (*) и уравнение ax + by + c = z. Оно определяет в пространственной системе координат ОХУ1 некоторую плоскость а. Проведем в каждой вершине многоугольника решений перпендикуляр к плоскости ХОУ и обозначим через Oi, В\9 В2у 5з» В$ точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостью а (черт. 7). Наиболее удаленная от плоскости ХОУ точка верхнего основания многогранника OA \ А 2А 3Л 401В \ В2ВЪВА находится, очевидно, над одной из вершин нижнего основания. Расстояние этой точки от плоскости ХОУ есть значение линейной формы / в этой вершине. Аналогичное рассуждение относится и к наименьшему значению формы /.

Теорема 7 приводит к следующему алгоритму решения основной задачи линейного программирования:

1 шаг. Построить многоугольник решений данной системы неравенств.

2 шаг. Вычислить координаты вершин этого многоугольника.

3 шаг. Вычислить значения формы / в вершинах многоугольника решений. Среди полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найдем решение задачи об использовании сырья при следующих исходных данных: ац = 1, ai2 = 4, ai3 = 2, a2i = 4, а22 = 7, а23=1, &i = 24, ft2 = 51, &3 = 18, Ci = l, с2 = 2.

Система линейных неравенств принимает в этом случае вид

Линейная форма, которую нужно максимизировать, будет следующей f = x+2y. Область неотрицательных решений полученной системы неравенств изображена на черт. 8. Координаты точек А, В, С, D вычисляются как решения систем уравнений прямых линий, пересекающихся в этих точках. Подсчитаем значения формы / в вершинах многоугольника решений: f(0) = 0, f(A)=12, f(B)=14, f(C)=W, f(D) = 9. Наибольшим из этих чисел является f(B), следовательно для получения наибольшей прибыли, равной 14, предприятие должно выпустить 4 единицы продукции типа А\ и 5 единиц продукции типа А2.

Сделаем в заключение два замечания. Максимальное (минимальное) значение линейной формы может достигаться в вершине многоугольника, имеющей дробные координаты. Так, если в предыдущем примере заменить форму / формой /i = 6jc + 7i/, то, как показывают вычисления, она принимает максимальное значение, равное 66, в вершине С. Ясно, что для реальной экономической задачи это решение не имеет, вообще говоря, смысла. В этом случае в качестве решения можно взять ближайшую к С точку с це-

лыми координатами, принадлежащую многоугольнику решений. В рассматриваемом примере таковой является точка С (7; 3), в которой значение формы f\ равно 63.

Второе замечание состоит в следующем. Множество решений системы линейных неравенств может быть, как уже отмечалось, неограниченным. В этом случае линейная форма может не достигать на нем максимального или минимального (или того и другого) значений. Проиллюстрируем это следующим примером.

Найти минимальное и максимальное значения линейной формы f = x + y на множестве неотрицательных решений системы неравенств

(6)

Ясно, что минимальное значение формы / достигается в точке (0; 0) и равно 0. Максимального же значения форма / на рассматриваемой области не имеет. Действительно, пусть а — любое положительное число. Положим х = а — у. Тогда из системы (6) получим для у ограничения

Для того, чтобы эти условия выполнялись, достаточно взять, например, у о = \т а. Выбирая теперь в качестве Xq число— а, получим точку

принадлежащую области

решений системы (6). Значение формы / в этой точке равно а. Тем самым мы показали, что на множестве неотрицательных решений системы (6) она принимает любое положительное значение и, значит, максимума не достигает. Это обстоятельство имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим множество M неотрицательных решений системы (6) (черт. 9) и форму f = x + у. Уравнение х + у = а определяет прямую линию, пересекающую область M по отрезку [А, В], во всех точках которого форма / имеет значение а. Заставляя а изменяться от 0 до бесконечности, мы получим пучек параллельных прямых, каждая из которых пересекает область М. Таким образом, каково бы ни было а>0, в области решений системы (6) найдутся точки, в которых форма / имеет значение а.

§ 6. Задачи.

1. Постройте на плоскости множества всех решений и множества всех неотрицательных решений следующих систем линейных неравенств. На каждом из них найдите максимальное и минимальное значения указанных линейных форм или докажите, что эти значения не достигаются.

2. Покажите, что если линейная форма ах -f by принимает значение с в двух точках А и В некоторого выпуклого многоугольника, то она принимает это же значение в любой точке отрезка [А, В].

3. Покажите, что линейная форма ах i-by (а и b одновременно не равны нулю) не может принимать максимальное (минимальное) значение в двух не соседних вершинах выпуклого многоугольника.

4. По заданным координатам вершин выпуклого многоугольника напишите систему линейных неравенств, для которой этот многоугольник служит областью решений:

5. Вершины квадрата находятся в точках А(1; 1), Б(1; —1), С(—1; —1), D(—1; 1). Найдите необходимые и достаточные условия для того, чтобы линейная форма ах+Ьу имела максимум (минимум) 1) в точке А, 2) в точке Б, 3) в точке С, 4) в точке D.

6. Предприятие производит два вида изделий А и В, для изготовления которых применяется два типа технологического оборудования — I и II. Для производства единицы изделия А оборудование типа I используется 2 часа, а оборудование типа II — 1 час. Для производства единицы изделия В оборудование типа I используется 1 час, а оборудование типа II — 2 часа. На изготовление всей продукции администрация предприятия может выделить оборудование типа I в течение 10 часов, а оборудование типа II — в течение 8 часов в сутки. Спланируйте производство изделий А и В так, чтобы:

1) прибыль от реализации была наибольшей, если единица изделия А стоит 5 рублей, а единица изделия В — 2 рубля,

2) прибыль от реализации была наибольшей, если единица изделия А стоит 2 рубля, а единица изделия В — 6 рублей,

3) общее количество выпущенных изделий было максимальным.

7. С вокзала ежедневно отправляются скорые и пассажирские поезда, которые комплектуются разными вагонами. Типы вагонов, их вместимость и наличный парк указаны в таблице:

Тип вагона

Багажный

Почтовый

Жесткий

Купейный

Мягкий

Число вагонов в поезде

скорый

1

6

5

3

пассажирский

1

1

8

6

1

Вместимость вагона

54

36

24

Наличный парк вагонов

9

8

50

40

10

Выберите такое соотношение между числом пассажирских и скорых поездов, при котором количество отправляемых ежедневно пассажиров будет наибольшим.

8. (из книги [1]). Один фермер — птичник занимается разведением кур, уток и индеек и имеет на своей ферме по-

мещение для 500 птиц. Он хочет, чтобы общее число птиц равнялось 500, но чтобы число уток ни в какой момент не превосходило 300. Предположим, что выкормить одну куру стоит 1,5 доллара, утку—1 доллар и индейку — 4 доллара. Фермер может продавать кур по 3 доллара, уток — по 2 доллара и индеек — по Т долларов за штуку. Он хочет решить какой вид птицы следует разводить для получения максимальной прибыли.

1) найдите выражения для стоимости выкармливания птиц и для общей суммы, которую фермер выручит после их продажи. Вычислите прибыль фермера.

2) покажите, что если Т = 6, то для получения максимальной прибыли нужно разводить только индеек. Какова в этом случае максимальная прибыль?

3) покажите, что при Т = 5 фермер должен разводить одних кур. Найдите максимальную прибыль.

4) покажите, что если Т = 5,5, то фермер может разводить любую комбинацию кур и уток. Какую прибыль он при этом получит?

9. Для производства продукции типов I и II завод использует 4 группы станков — А, В, С, Д. Количество станков каждой группы, необходимое для производства одного комплекта продукции каждого типа, прибыль от реализации каждого комплекта и имеющийся парк станков указаны в таблице:

К-во станков, необходимых для пр-ва одного компл. продукции

Имеющийся парк станков

тип I

тип II

А

2

6

42

В

5

3

30

С

0

6

36

Д

3

0

24

цена 1 комплекта

4

7

Найдите план выпуска продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

ЛИТЕРАТУРА.

Дж. Кемени, Дж. Снелл, Дж. Томпсон. Введение в конечную математику. ИЛ, М., 1963.

Ф. И. Карпелевич и Л. Е. Садовский. Элементы линейной алгебры и линейного программирования, Физматгиз, М., 1963.

Т. Г. Жиляева

г. Армавир

ВЕКТОРНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ И СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Знакомство учащихся с началами векторной алгебры открывает путь для рассмотрения на кружковых и факультативных занятиях новых операций над векторами с целью их применения к решению систем алгебраических уравнений.

Действительно, операции над векторами, заданными своими координатами в евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве, можно использовать для введения понятия определителей второго и третьего порядков, доказательства их свойств и рассмотрения их применения к решению систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. А именно, определители второго порядка можно определить на основе операции косого (псевдоскалярного) умножения векторов, а определители третьего порядка — тройного (смешанного) умножения векторов.

С понятием системы линейных уравнений и их решением учащиеся начинают знакомиться в шестом классе. [3]. Они рассматривают два способа решения систем линейных уравнений: способ сложения и способ подстановки. Так как программой по математике для восьмилетней и средней школы изучение определителей не предусмотрено, и ученики шестого класса еще не знакомы с элементами векторного исчисления, то векторный вариант способа сложения, естественно, не затрагивается. Не изучается он и в старших классах, хотя к этому времени все необходимые для этого знания уже получены.

Вновь к рассмотрению систем уравнений учащиеся возвращаются в последней теме десятого класса. [2]. Как известно, решение разного рода научных и инженерных за-

дач сводится к решению систем линейных уравнений, поэтому мы считаем, что выпускник средней школы должен обладать прочными навыками в их решении, должен знать несколько методов решения систем, а также легко применять их на практике. Этому не способствует указанное расположение темы, так как учащимся, по сути дела, в школе уже некогда применять полученные знания к решению различных задач и упражнений. Поэтому мы считаем целесообразным на кружковых занятиях в девятом классе дать определение операциям косого и тройного умножения векторов, ввести понятия определителей второго и третьего порядка, доказать их свойства и показать их применение к решению систем линейных уравнений. Такой векторный подход к изложению всех этих вопросов указывает на связь алгебры и геометрии, а выявление такой связи является важным этапом в формировании у учащихся единого взгляда на математику.

I. Связь косого произведения векторов с определителями второго порядка.

Определение. Косым произведением векторов а и b на плоскости, обозначаемым символом а /\Ь, называется отображение множества пар векторов на множество действительных чисел такое, что выполняются следующие требования :

относительно сложения векторов,

4) Для единичных ортогональных векторов ех и е2 имеем: ех/\е2 = 1.

(Иногда эти требования называют аксиомами косого произведения векторов).

Основываясь на требовании 1 этого определения, можно легко показать, что косое произведение линейно зависимых векторов равно нулю, в частности, что ала=0 а также,

что требования 2 и 3 справедливы и для второго сомножителя, т. е.

Доказательства этих свойств косого произведение векторов предлагается дать учащимся в качестве упражнений.

Вычислим косое произведение векторов а и Ь, заданных в ортонормированном базисе, определенном векторами е\ и е2. (Базис называется ортонормированным, если = \е2\ и в\ -f- е2. Если в этом базисе векторы а и b имеют соответственно координаты и {bx\b2) , тогда разложение их по базисным запишется следующим образом:

Следовательно

поэтому

Из определения косого произведения (свойство 4) следует

откуда,

Определение. Выражение

записываемое в виде

называют определителем второго порядка системы двух векторов, заданных относительно ортонормированного базиса.

Докажем основные свойства этих определителей.

Свойство 1. От перемены мест строк в определителе его значение меняет знак.

Доказательство. Используя определение определителя второго порядка, можно записать:

По свойству косой симметрии

тогда

Свойство 2. Определитель второго порядка, состоящий из одинаковых строк, равен нулю.

Пользуясь тем, что косое произведение вектора на самого себя равно нулю, учащиеся легко докажут это свойство самостоятельно.

Свойство 3. Если все элементы первой или второй строки определителя умножить на некоторое число Я, то сам определитель умножится на это число к.

Доказательство. По определению определителя второго порядка и по свойству однородности запишем:

Свойство 4. Если в определителе второго порядка строки пропорциональны, то он равен нулю.

Это свойство можно предложить учащимся в качестве задачи. Пользуясь уже доказанными свойствами 2 и 3, они должны справиться с ее решением.

Свойство 5. Определитель второго порядка не изменится, если к элементам одной из его строк прибавить соответственно элементы другой строки, умноженной на одно и тоже число.

Доказательство. Пользуясь определением определителя второго порядка и требованиями однородности и дистрибутивности косого произведения векторов, имеем:

Свойство 6.

Применив аксиому дистрибутивности и заменив косые произведения векторов определителями, получим доказываемое свойство.

Полезно доказать с учащимися тот факт, что абсолютная величина площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, равна абсолютной величине косого произведения векторов.

Доказательство. Вычислим квадрат скалярного произведения векторов

где S — площадь данного параллелограмма. Из полученного равенства найдем S2 и вычислим площадь параллелограмма в координатах.

Отсюда

Итак, требуемый факт доказан.

II. Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

Запишем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными в следующем виде:

(1)

Перед нами стоит задача нахождения неизвестных х и у. Рассмотрим векторы а0 (a0;ßo), #i(ai? ai (aJ: ß_>) в некотором базисе, заданном векторами а,\ и а2. Первое уравнение системы показывает, что первая координата вектора а0 равна линейной комбинации первых координат векторов а\ и а2. Второе уравнение системы показывает, что вторая координата вектора а0 равна линейной комбинации

вторых координат векторов а,\ и а2. Познакомив учащихся с теоремой о координатах линейной комбинации нескольких векторов, систему (1) можно тогда записать одним векторным уравнением: xai-{-ya2 = ao (2) Это уравнение может быть решено графически путем разложения вектора а0 по направлению векторов а\ и а2. [1].

Выведем формулы решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с использованием косого произведения векторов.

1) Пусть векторы а\ и а2 независимы, тогда известно,

что

Если эти векторы принять в качестве базисных, то векторное равенство (2), представляет собой разложение вектора а0 по базисным а{ и а2, где х и у выступают в качестве коэффициентов разложения.

Как известно, данный вектор по базисным разлагается единственным образом, значит система (1) при независимых векторах а\ и а2 имеет решение и при том единственное.

Получим теперь формулы для нахождения неизвестных X и у. Обе части уравнения (2) косо умножаем справа на вектор а2 и слева — на вектор а\, в результате этого получаем:

Выразим из полученных равенств неизвестные х и у. Так как а{ л а2 0 , то

2) Если ненулевые одновременно векторы ах и а2 зависимы, т. е. а2 = Ка{, , то уравнение (2) примет вид:

а) Пусть вектор а0 зависит от вектора а\. Отсюда

Яо = Цаь тогда (х + Ху) ах = цаь Из однозначности разложения по базису ах имеем: дг + Ху = \х . Зафиксировав неизвестное г/, получим решение системы (1) в виде:

( у — любое.

б) Пусть вектор ао не зависит от вектора ai, а значит и от Ü2. В этом случае невозможно подобрать такие числа х и у, чтобы выполнялось равенство (х+ку)а\=а0, поэтому система (1) в данном случае решений не имеет.

Для закрепления теоретического материала учащимся следует предложить решить несколько систем линейных уравнений с двумя неизвестными. В качестве примера одну из систем учитель у доски решает сам, давая пояснения по ходу решения системы.

Упражнения. Решить системы линейных уравнений:

III. Связь тройного произведения лекторов с определителями третьего порядка.

Определение. Тройным произведением векторов а, в, с в пространстве в данном базисе, обозначаемым символом а/\в/\с , называется такое отображение троек

векторов на множество действительных чисел, что выполняются следующие требования:

1) а/\в/\с=—(в/\а/\с) — (а/\с/\в) — косая симметрия,

2) (ка)/\в/\с = X (аДвЛс) — однородность,

3) (a + d) АвЛс = а/\в/\с+ d/\e/\c — дистрибутивность тройного произведения векторов относительно сложения векторов.

4) Для единичных ортогональных векторов в\, ^2, имеем: е\/\еч/\еъ = \.

(Условия 1—4 иногда называют аксиомами тройного произведения векторов).

Пользуясь определением тройного произведения векторов, в качестве упражнений легко можно доказать, что тройное произведение при циклической перестановке векторов не изменяется; если один вектор линейно зависит от других, то тройное произведение векторов равно нулю, в частности, если какие-нибудь два вектора из трех совпадают, то тройное произведение их равно нулю. Используя эти свойства, можно показать, что аксиомы 2 и 3 из определения тройного произведения векторов справедливы для второго и третьего сомножителей, то есть, что

Вычислим тройное произведение векторов а, в, с, заданных в базисе (в\ \ е2; е?) своими координатами:

Векторы в, с запишем следующим образом:

и найдем

Раскрыв скобки, получим выражение, состоящее из 27 слагаемых, из них 21 обратится в нуль, так как хотя бы два вектора из трех в тройном произведении векторов совпадают. Все оставшиеся тройные произведения одной или двумя перестановками векторов в\9 е2, <?3 сводятся к произведению е\ /\е2 А £з> которое по определению равно единице. Тогда

Определение. Выражение

записываемое в виде

называется определителем третьего порядка системы трех векторов в данном базисе.

Докажем некоторые свойства определителя третьего порядка как функции трех его строк.

Свойство 1. От перемены мест строк в определителе его значение меняет знак.

Доказательство. По определению определителя третьего порядка и по требованию косой симметрии можно записать:

Свойство 2. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Используя предыдущие рассуждения, учащиеся справятся самостоятельно с доказательством этого свойства.

Свойство 3. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число À, то сам определитель умножится на л.

Доказательство. По свойству однородности тройного произведения векторов имеем: (ка)/\в/\с = Ца/\вЛс). Заменяя тройное произведение определителями, получим:

Свойство 4. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Доказательство этого свойства следует из свойств 2 и 3, учащиеся с ним вполне смогут справиться самостоятельно.

Свойство 5. Определитель не изменится, если к элементам одной из его строк прибавить соответственные элементы другой строки, умноженной на одно и то же число.

Доказательство приводить не будем, так как оно аналогично доказательству такого же свойства для определителей второго порядка.

Свойство 6. Если все элементы какой-либо строки определителя третьего порядка представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, т. е.

Это свойство учащиеся легко докажут самостоятельно, воспользовавшись дистрибутивностью тройного произведе-

ния и заменив тройные произведения определителями третьего порядка.

IV. Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(3)

представим в векторном виде. Для этого рассмотрим четыре вектора

заданных в ортонормированном базисе (в\\ е2; е3). Первое уравнение системы показывает, что первая координата вектора а о равна линейной комбинации первых координат векторов а и а2, аг. Коэффициентами этой комбинации являются числа х, у, z. Аналогичные рассуждения можно провести для второго и третьего уравнений.

По теореме о координатах линейной комбинации нескольких векторов систему (3) можно записать одним векторным уравнением:

(4)

Задача свелась к решению векторного уравнения с тремя неизвестными х, у, z.

1) Пусть векторы au #2, Яз — линейно независимы. Учащимся надо сообщить, что в этом случае можно доказать, что £\/\а2/\а3фО или

Тогда если их принять в качестве базисных, то равенство (4) будет представлять собой разложение данного вектора ас в базисе аь а2, а3, где в качестве коэффициентов разложения берутся числа х, у, z.

Таким образом, задача решения уравнения (4), а следовательно, и системы (3), сводится к задаче нахождения координат заданного вектора а0 в заданном базисе

Как известно, эта задача имеет единственное решение, а значит и система (3) тоже имеет решение и при том единственное.

Выведем теперь формулы для вычисления неизвестных X, у, 2. Составим тройные произведения

подставив вместо а0 его выражение из (4):

Так как а\/\а2/\аъФ09 то

2) Если векторы ßj, а2, а3 —линейно зависимы, например, az = iya\ + Xa2, то уравнение (4) примет вид:

а) Если вектор а0 линейно зависит от векторов ал и а2, то задача сводится к нахождению коэффициентов x + \xz, y + Xz этой зависимости, тогда уравнение (4) для независимых а\ и а2 запишется:

Из однозначности разложения по базису а\, а2 имеем

Зафиксировав неизвестное z, получим решение системы (3) в виде:

б) Пусть вектор а0 линейно не зависит от векторов а{ и а2. В этом случае невозможно подобрать такие числа х, у, z, чтобы выполнялось равенство (x + \kz)a\ + (y+Xz)a2 = a0, поэтому система (3) в данном случае решений не имеет.

Упражнения Решить системы линейных уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

Иванова Т. Г. Графическое решение системы линейных уравнений. — В сб.: «Методика преподавания математики в средней школе», вып. 2, Свердловск, 1975.

Колмогоров А. Н. и др. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 10 класса средней школы, М., «Просвещение», 1976.

Макарычев и др. Алгебра 6. Учебное пособие для 6 класса. Под ред. А. И. Маркушевича, М., «Просвещение», 1974.

Лопшиц А. М. «Аналитическая геометрия», М., 1948.

Узков А. И. Векторные пространства и линейные преобразования. — В энциклопедии элементарной математики, т. II, М.-Л., 1951

С. Г. Губа

г. Вологда

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПОИСКОВО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ХАРАКТЕРА

Как правило, в каждой учебной математической задаче четко формулируется конечная цель: требуется что-то или вычислить, или построить, или доказать. Однако в работе со школьниками, проявляющими повышенный интерес к математике, такая узкая трактовка школьной задачи несколько ограничивает возможности развития творческой активности и познавательной самостоятельности учащихся. Опыт показывает, что во внеурочной работе наряду с задачами обычного типа целесообразно использовать и такие задачи, в которых требуется произвести поиск и исследование новых для учащихся свойств некоторой геометрической фигуры или функции (например, последовательности) и изложить проделанную работу в виде самостоятельно сформулированных и доказанных теорем, следствий, задач и т. п. Очевидно, эта работа у различных учащихся может существенно отличаться как по объему, так и по конечным результатам.

В последние годы в «Задачнике «Кванта» систематически предлагаются цепочки задач, которые вместе воспринимаются как звенья некоторой общей проблемы. Обычно такая цепочка дается под общим номером, но с подразделением на пункты а), б), в) и т. д. На подобных подборах задач школьники учатся находить пути последовательного углубления в исследование той или иной проблемы. Однако «Задачник «Кванта» рассчитан на сравнительно узкий круг учащихся старших классов, тогда как работу по выполнению заданий поисково-исследовательского характера целесообразно начинать с седьмого класса. Ясно, что предлагаемые задания на первых порах должны быть достаточно простыми.

Так, например, в седьмом классе, изучив свойства неравенств, на одном из очередных занятий математического кружка можно дать такое задание:

Задание 1. Исследовать, как изменяется положительная дробь от увеличения числителя и знаменателя на одно и то же число.

Решение. Получив эту задачу, даже наиболее подготовленные учащиеся делали окончательное общее заключение на основе рассмотрения нескольких конкретных дробей. Не вводя термина «неполная индукция», учитель должен привести один-два примера ложных заключений, сделанных на основе рассмотрения нескольких частных случаев. Возьмем, например, функцию f(x) = -у (xz — Зх2 + 8х) и будем придавать аргументу х натуральные значения (к этому времени учащиеся еще не знакомы с понятием последовательности). Имеем: /(1) = 2, /(2) = 22, /(3) = 23, /(4)-24. Однако общий вывод, что f(n) = 2n был бы поспешным. Уже /(5) = 30^ Ф2\

Постепенно учащиеся убеждаются в необходимости общего доказательства. Наиболее интересной частью всей работы является коллективное обсуждение предложенных решений. Не сразу добиваются учащиеся краткости и четкости в изложении. Так, при выполнении данного задания предлагались, например, решения, где отдельно рассматривались доказательства для случаев правильной и неправильной дроби. В конечном счете наилучшим было признано следующее решение. Пусть a, b, k — натуральные числа. Рассматриваем разность дробей

Эта разность положительна при Ь>а и отрицательна при Ь<а. Формулируется и записывается общий вывод: от увеличения числителя и знаменателя положительной дроби на одно и то же число правильная дробь увеличивается, а неправильная уменьшается.

В седьмом — начале восьмого класса после изучения графика функции у = ах2 + Ьх + с уместно предложить следующее задание:

Задание 2. Исследовать уравнение

(1)

Решение. Наиболее простое решение этого задания основано на хорошо известных учащимся результатах исследования уравнения

(2)

Очевидно, уравнение (1) всегда можно записать так, чтобы выполнялось условие а>0. Легко заметить, что неотрицательные корни уравнений (1) и (2) совпадают, тогда как отрицательные корки уравнения (2) не являются корнями уравнения (1). Очевидно также, если уравнение (2) не имеет решений, то не имеет их и уравнение (1). Наконец, если уравнение (1) имеет положительный корень х\9 то оно имеет и отрицательный корень — Х\.

После всех этих замечаний нетрудно свести исследование уравнения (1) к следующим шести случаям: 1. D = b2-4ac>0, Ь<0, с>0.

В этом случае уравнение (2) имеет два положительных корня: Х\ и Х2. Тогда уравнение (1) имеет 4 корня: Х\9 Хь -Х\9 —х2 (рис. 1).

2. D>0, с<0.

Уравнение (2) имеет корни разных знаков: Jti>0 и x2<0. Следовательно, уравнение (1) имеет два корня: Х\ и — Xi (рис. 2а, б).

3. D = 0.

Уравнение (2) имеет либо один положительный корень, либо один отрицательный. Тогда уравнение (1) имеет соот-

Рис. 1 Рис. 2

ветственно либо два противоположных корня, либо не имеет корней (рис. За, б). 4. Ь>0, с>0.

Уравнение (2) либо имеет два отрицательных корня, либо не имеет корней. И в том и в другом случае уравнение (1) корней не имеет, так как при любом х выполняется неравенство ax2 + b\x \ + 0 0 (рис. 4а, б).

5. &<0, с = 0.

В этом случае уравнение (2) имеет два корня: 0 и *i>0. Следовательно, уравнение (1) имеет три корня: О, Х\9 —х\ (рис. 5).

6. Ь>0, с = 0.

Уравнение (2) имеет нулевое и отрицательное решения. Тогда уравнение (1) имеет лишь нулевое решение (рис. 6).

В некоторых случаях бывает целесообразно, чтобы учащиеся не только выполнили требуемое исследование, но и на его основе самостоятельно составили несколько задач. Проиллюстрируем сказанное соответствующим примером.

Рис. з

Рис. 4

Задание 3. Исследовать некоторые свойства произведения двух последовательных натуральных чисел и составить несколько задач, основанных на этих свойствах.

Решение. До тех пор, пока учащиеся не приобретут некоторого опыта в выполнении подобного рода заданий, им нужна помощь в виде наводящих вопросов, аналогий и т. п. В данном случае можно дать, например, такой наводящий вопрос: какую цифру может иметь на конце произведение двух последовательных натуральных чисел? На этот вопрос нетрудно ответить, если принять во внимание, что всякое натуральное число можно представить в виде n = 10k + r, где kŒNo и г = 0, 1, 2, ..., 9. Поэтому достаточно проверить последнюю цифру произведений: 10£(10& + 1), (10/г + 1)(10/г +2), (10Ä + 2) (Ш + 3), (10£ + 8) (10£ + 9), (10k+9) • 10 (& + 1). Эта проверка показывает, что произведение двух последовательных натуральных чисел может оканчиваться лишь на одну из цифр 0, 2, 6.

Обращает на себя внимание и такой факт: из двух последовательных натуральных чисел либо одно делится на три, либо оба не делятся. В этом последнем случае произведение п(п + 1) будет иметь вид (3& + 1) (Зк + 2) = 9&2 + 9& + + 2 = 9é (& + 1) + 2 (kŒNo). Получилось число, которое при делении на 9 дает в остатке 2. Таким образом, произведение двух последовательных натуральных чисел либо делится на 3 (когда один из сомножителей делится на 3), либо при делении на 9 дает в остатке 2 (когда ни один из сомножителей не делится на 3).

На основе указанных закономерностей можно составить целый ряд задач. Так, например, поскольку число вида п(п + 1) всегда оканчивается на одну из цифр 0, 2, 6, то

Рис 6. Рис 6.

число вида n2-f /i + l всегда оканчивается на одну из цифр 1, 3, 7, т. е. оно не делится на 5. Имеем задачу:

Задача А. Доказать, что ни при каком натуральном V число вида д2 + п-Ы не делится на 5.

Здесь решение задачи как • бы предшествовало появлению ее условия. Такой прием при составлении задач встречается довольно часто. Подобным путем появились, например, многие из так называемых олимпиадных задач.

Рассмотрим еще одну задачу, основанную на только что использованной закономерности.

Задача Б. Доказать, что при любой перестановке цифр в числе 13579148 не получится числа, являющегося произведением двух последовательных натуральных чисел.

Для тех, кто знает, что произведение двух последовательных натуральных чисел может оканчиваться только на О, 2, 6, решение задачи очевидно, так как среди цифр данного числа отсутствуют именно цифры 0, 2, 6. Однако для тех, кто этого свойства не знает, задача покажется не такой уж простой.

Приведем теперь пример задачи, внешне очень похожей на предыдущую, но основанной уже на другом свойстве чисел вида п (n-fl).

Задача В. Доказать, что при любой перестановке цифр в числе 123456790 не получится числа, являющегося произведением двух последовательных натуральных чисел.

Среди цифр данного числа имеются 0, 2, 6. Поэтому закономерность, использованная при решении предыдущей задачи, уже не исключает появления числа вида п(п + 1). Следовательно, нужно искать другой путь решения. Рассмотрим сумму цифр данного числа. Она равна 37. Эта же сумма будет сохраняться и при всякой перестановке цифр. Выше было показано, что произведение двух последовательных натуральных чисел либо делится на 3, либо при делении на 9 дает в остатке 2. Но число с суммой цифр 37 этим требованиям не удовлетворяет. Поэтому данное число ни при какой перестановке его цифр не может быть произведением двух последовательных натуральных чисел.

На последнем свойстве чисел вида п(п + 1) основаны и следующие две задачи.

Задача Г. Доказать, что уравнение 9П =2k2 +k — 2 не имеет решений в натуральных числах.

Решение. Запишем данное уравнение следующим образом :

В правой части уравнения мы имеем произведение двух последовательных натуральных чисел. Следовательно, правая часть либо делится на 3, либо при делении на 9 дает в остатке 2. Однако левая часть на 3 не делится, а при делении на 9 дает в остатке 4. Таким образом, равенство 2-9 +4 = Zk(2k + 1) ни при каких натуральных п и k невозможно.

Задача Д. Доказать, что число вида 8999...91000...02, где число девяток равно числу нулей, является произведением двух последовательных натуральных чисел.

Решение. Пусть данное число имеет п девяток и п нулей. Воспользуемся тем, что это число при делении на 9 дает в остатке 2. Следовательно, если оно является произведением двух последовательных натуральных чисел, то его можно представить в виде (3& +1) (3& + 2). Имеем уравнение: 8999... 9Ю00...02 = 9£(£ + 1) + 2. Отсюда находим, что k(k + l) = 999... 9000...0 (п девяток и п нулей), то есть к = 999...9. Тогда Зк +1 = 2999...98 (п девяток) и Зк + 2 = 2999...99 (п + 1 девяток). Таким образом,

Задание 4. Исследовать последовательность

Решение. При исследовании всякой последовательности уместно выяснить, является ли она монотонной, ограниченной, сходящейся, рекуррентной и т. п. Если возможно, то найди сумму п первых ее членов. Попутно можно отметить некоторые индивидуальные особенности последовательности.

Исследование данной последовательности целесообразно начать с выписывания нескольких первых членов:

Легко заметить, что каждый нечетный член равен удвоенному предыдущему члену, а каждый четный — удвоенному предыдущему члену, сложенному с единицей.

Таким образом, разность ап+\ — 2ап равна 0 при четном пи 1 при нечетном. Поскольку ап+г = 2ап+2 + 0 при четном п и ал+з = 2а„+2 + 1 при нечетном п, то легко приходим к рекуррентной -формуле для данной последовательности:

Из полученной формулы нетрудно видеть, что исследуемая последовательность возрастающая, расходящаяся, неограниченная.

Для нахождения суммы п членов запишем п-й член в другом виде. Предварительно заметим, что ап=— (2п — 1) при п четном и ап=— (2п—2) при п нечетном. Оба случая можно охватить одной формулой

Тогда

Например :

Многие учащиеся при решении этой задачи рассматривали отдельно случаи n = 2k и n = 2k — 1, т. е. предварительно получали, что

после чего находили

Из выражений для S2K, S2K, и аж и а2к+\ , в частности, следует, что

Задание 5. Исследовать множество выпуклых многоугольников, у которых сумма расстояний от любой точки многоугольника до прямых, определяемых его сторонами*, есть величина постоянная.

Решение. Нетрудно заметить следующее свойство фигуры, именуемой полосой: сумма расстояний от любой точки полосы до ее краев есть величина постоянная. Отсюда сразу следует, что интересующим нас свойством обладает всякий параллелограмм и вообще всякий выпуклый 2п-угольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, потому что такой 2п-угольник можно представить в виде пересечения п полос. На рисунке 7 изображен шестиугольник с попарно параллельными сторонами, образованный пересечением трех полос.

Возникает вопрос: существует ли многоугольник, удовлетворяющий условию задания 5 и имеющий нечетное число сторон? Попробуем испытать в этом отношении правильный треугольник. Пусть в правильном треугольнике ABC сторона равна а и площадь равна S. Обозначим расстояния от точки M этого треугольника до сторон AB, ВС, CA соответственно через р, q, г (рис. 8). Отрезки MA, MB, MC разбивают треугольник ABC на треугольники MAB, МВС, MC А, сумма площадей которых равна площади треуголь-

* Прямых, полученных путем продолжения сторон многоугольника.

ника ABC, т. е. 0,5ар + 0,5а<7 + 0,bar = S, откуда p + q + r = = 2S:a. Из полученного соотношения следует, что сумма расстояний от точки М, принадлежащей треугольнику АВС, Ю прямых AB, ВС, CA не зависит от положения точки М.

Очевидно, что использованный только что способ доказательства применим к любому правильному многоугольнику. Если к тому же принять во внимание, что в этом доказательстве существенно использовались лишь равносторонность и выпуклость многоугольника и нигде не использовалось равенство величин углов, то придем к следующему выводу:

Во всяком выпуклом равностороннем многоугольнике сумма расстояний от произвольной точки многоугольника до прямых, определяемых его сторонами, есть величина постоянная.

Не все учащиеся достаточно отчетливо понимают, почему приходится говорить о расстояниях до прямых, определяемых сторонами многоугольника, а не просто о расстояниях до самих сторон. Используя определение расстояния между фигурами, легко объяснить, что в данном случае это не одно и то же. Например, в выпуклом равностороннем пятиугольнике АВСДЕ (рис. 9) расстояние от точки M до стороны AB равно длине отрезка MB, тогда как расстояние от точки M до прямой, определяемой стороной Aß, есть длина отрезка МК. Правда, в прямоугольнике и правильном треугольнике расстояние от точки M до прямых, определяемых сторонами, всегда совпадает с расстоянием до самих сторон.

Рис. 7. Рис. 8.

Исследуем теперь в отношении интересующего нас свойства равноугольные многоугольники. Очевидно, что для всякого равноугольного п-угольника можно построить такой правильный п-угольник, который имел бы с данным равноугольным п-угольником общий угол и содержал в себе весь этот п-угольник. На рисунке 10 изображен равноугольный пятиугольник и содержащий его правильный пятиугольник, причем угол А у обоих многоугольников общий. Сумма расстояний от любой точки M равноугольного пятиугольника до прямых, определяемых его сторонами, отличается от соответствующей суммы для правильного пятиугольника на постоянную величину (суммарную ширину трех полос). Поскольку одна из этих сумм постоянна, то и другая будет постоянна. Точно так же выглядело бы доказательство и в общем случае для любого равноугольного многоугольника. Таким образом, к исследуемому множеству принадлежат все равноугольные многоугольники.

Теперь можно сделать следующий вывод: если некоторые /г-угольник и ^-угольник обладают интересующим нас свойством и пересечение этих двух многоугольников представляет из себя (п + А)-угольник, то последний также обладает этим свойством. На рисунке 11 изображен семиугольник, являющийся пересечением правильного треугольника и ромба. Очевидно, этот семиугольник принадлежит к исследуемому нами множеству многоугольников.

На этом мы и закончим поиск многоугольников с указанным в задании 5 свойством. Разумеется, было бы бездоказательно утверждать, что перечисленными выше многоугольниками исчерпываются все такие многоугольники.

Рис. 9. Рис. 10.

Рис. 11.

В заключение рассмотрим следующую задачу:

Задача. Выпуклый шестиугольник ABC ДЕР таков, что

Доказать, что сумма расстояний от любой точки этого шестиугольника до прямых, определяемых его сторонами, постоянна.

Решение. Пусть (AB) П (CD) = M (рис. 12). Так как сумма внутренних углов шестиугольника равна 720°, то ABC + BCD = 240. Тогда ВМС = 60'. Теперь ясно, что шестиугольник АВСДЕР можно рассматривать как пересечение двух равносторонних треугольников, после чего утверждение задачи становится очевидным.

Рис. 12.

В. К. Смышляев, М. В. Смышляева

г. Йошкар-Ола

ЦЕЛАЯ И ДРОБНАЯ ЧАСТИ ЧИСЛА НА ВНЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЯХ

В курсе алгебры 8-го класса при изучении показательной и логарифмической функции вводятся новые понятия— целая («антье») и дробная части действительного числа. В дальнейшем эти понятия почти не используются. И поэтому вполне законны просьбы учащихся и учителей подробнее изучить тему, например, на внеклассных занятиях.

Антье находит широкое применение в теории вероятностей и теории чисел, при решении разнообразных теоретико-числовых задач и задач по теории массового обслуживания. Вызывают определенный интерес приложение антье в графических построениях и вычислениях.

Мы неоднократно излагали тему «Целая и дробная части» слушателям ЮМШ и учащимся школьных математических кружков. В результате соответствующего педагогического эксперимента мы пришли к выводу, что простейшие элементы теории об антье вполне доступны учащимся восьмого класса, а нестандартность и оригинальность содержания вызывает интерес у учащихся.

Ниже приводим план занятия математического кружка восьмиклассников по теме «Целая часть числа и ее приложения» с соответствующими методическими комментариями.

Учитывая содержание материала, состав и возраст слушателей кружка, изложение темы мы строили на конкретно-индуктивной основе. Особое значение мы придавали обучающим задачам, поэтому основное содержание статьи задачи.

Занятие 1. Понятие целой и дробной части числа. Простейшие свойства. Графики

На примерах вводятся понятия антье и дробной части, их обозначения и вычисление. Изложение можно начать с простой задачи.

Пусть книжная полка имеет ширину 122 см, сколько на ней можно разместить томов БСЭ, если толщина каждого тома БСЭ в среднем равна 5 ом?

Можно сказать, что ширина полки в 122/5 раза больше толщины тома БСЭ. Такая характеристика вполне приемлема, хотя, конечно, более наглядно полученное отношение выражается числом 24—. Отсюда ясно, что на полке можно разместить 24 тома; полученное число 24 — наибольшее целое число, которое не превосходит 24 — .

Далее дается определение, название и обозначение* целой части [х] числа х и дробной его части {х}.

1. Вычислите:

2. Что больше:

3. На сколько единиц число

больше числа

4. Вычислите:

5. Что больше: [а] или {а}?

Ответ :

6. Вместо значка * назовите какое-нибудь число так, чтобы получилось истинное равенство:

Ответ: Например, 2,5 и вообще, любое число из промежутка

Ответ: Например, 8.

7. При каких значениях х может выполняться равенство :

Ответ :

Ответ :

* Реже обозначают так: Е (х).

8. Докажите следующие свойства:

Свойства 1° и 2° вытекают непосредственно из определения целой части числа.

3°. Если a£R и /i£Z, то

4°. Для любых действительных чисел а\ и а2

Когда наступает равенство? Сделайте обобщение, т. е. запишите свойство 4° для п чисел.

Упражнения для самостоятельной работы:

1. Найдите целую часть чисел:

2. Что можно сказать о числах х и у, если

Ответ :

3. Упростите выражение

Ответ: 0.

4. Докажите, что для любых а £ R и п £ Z

Проверьте случаи:

Указание: Воспользуйтесь свойством 4°.

5. Проверьте на частных случаях и докажите, что если

Доказательство, б) Обозначим = а . Тогда по определению

Поскольку k • а и k • (а +1) — целые числа, то и п тоже удовлетворяет неравенствам :

Занятие 2. Приложение антье к решению задач на делимость. На занятии решаются следующие задачи.

1. Пусть пр £ N. Покажите, что частное от деления любого п на р равно f"~J •

Решение. Имеем п = р-д -(- г , где о < г р • Тогда

2. Найдите неполное частное от деления: а) 64 на 7; б) -64 на 7; в) -64 на -7; г) 64 на— 7.

3. а) Сколько чисел, кратных 3, в последовательности чисел 1, 2, 3, ... , 55?

б) Сколько чисел, кратных 3 в последовательности 1, 2, ... , п?

4. Сколько чисел, кратных р (р — простое) в натуральном ряду 1, 2, 3, ... , п?

Решение. Пусть pq — наибольшее из чисел, кратных р, и не превосходящее я, т. е. pq'">'#<jp-(<7-f-l).

Отсюда

5. Представьте числа 28, 40 и 250 в каноническом виде, т. е. в виде р*1 /V ... р^ , где pi, р2, —простые числа

6. С каким показателем входит число 3 в каноническое разложение числа 55! = 12 3... 55?

Ответ: 26.

7. С каким показателем входит простое число р в каноническое разложение числа п\ = 1 • 2 • 3... п?

Решение. Выпишем все числа, кратные р:

Их ровно — , в силу задачи 4.

Тогда

Аналогично рассуждая о произведении 12 3... Mi, получим еще один показатель — . И так далее, пока не получится показатель, равный нулю. Ответ :

8. Сколькими нулями оканчивается число 1979!? Ответ: 497.

9. Найдите разложение на простые множители числа 15!

Решение. Находим показатель степени для каждого простого множителя в 15!. Тогда 15! = 211 -Зг'-5:*-72-11 • 13.

10. Найдите показатель степени числа 13 в числе -—- .

Ответ: 41.

Занятие 3. Построение графиков функций (с антье).

Данное занятие является подготовительным к следующему, посвященному решению уравнений, когда переменная входит под знак антье. Кроме того построение графиков функций с антье помогает учащимся выработать определенные графические навыки, усвоить понятие функции, научиться «читать» графики, заметить сложность и необычность некоторых графиков, выработать исследовательские навыки. Поэтому необходимо начать занятие с построения простейших графиков (по точкам), постепенно усложняя и разнообразя заданные функции.

1. Постройте графики функций:

(Рис. 1)

Целесообразно познакомить учащихся со следующим методом построения графика функции [/(#)], когда известен график функции f(x).

Рис. 1

Сначала строим график функции f(x). Проводим прямые у = п, где п е Z. Рассмотрим полосу, образованную прямыми у = п, у = п + 1. Пусть Ап, An+i Aln . А„ , j , ... — точки пересечения прямых у = п и у = п + 1 с графиком функции f(x), Вп, В* — проекции соответственно точек Ап+1 и A j на прямую у = п. Замечаем, что в этой полосе [f(x)] = n для всех х, удовлетворяющих неравенствам

Значит, чтобы построить график функции [/(#)], надо:

а) провести через целочисленные ординаты прямые, параллельные оси Ох, до пересечения с графиком функции f(x).

б) каждую полученную точку пересечения спроектировать на соседнюю прямую.

Тогда совокупность проекций частей Ак% Ак i , т. е. отрезков [Ак Вк [ (в случае возрастания функции f(x)) и отрезков ]В1 Ак] (в случае убывания функции /(*)) является графиком функции [/(*)].

2. Постройте графики функций: а) у=[х2] (Рис. 2), б) y=[loq2x], в) у=т.

Рис. 2

О построении графиков функций {/(*)} и /([*]) по известному графику функции / см. (2).

Занятие 4. Уравнения, содержащие переменную под знаком антье.

При решении уравнений такого класса необходимо приводить учащимся как алгебраические, так и графические способы. Алгебраические методы основаны в основном на решении систем неравенств, графические же методы придают решению большую наглядность. Поэтому целесообразно сочетать оба способа.

1. Проверьте, являются ли числа 1, О, решениями уравнений:

2. Покажите графически, что уравнение не имеет решений.

3. Решите уравнение

Решение. Воспользуемся свойством 2°, т. е. неравенством О^Са [а]<4. Тогда получим

Решая эти неравенства, получим ответ:

4. Решите уравнение

Решение. Способ 1. Обозначим 4х—1 = 1. Отсюда

Тогда данное уравнение примет вид

Согласно определению целой части, получаем систему неравенств :

Отсюда легко находим

Поскольку /gZ, то берем t = l. Соответственно получаем

Способ 2. Строим графики функций

и находим их общую точку (V2, 1) (Рис. 3).

Рис. 3

5. Решите уравнение (графически)

Ответ: хе [—4, —2].

6. Решите уравнение (двумя способами)

Ответ: ,

7. Решите уравнение (алгебраически и графически)

Ответ: я = 6 (Рис. 4)

Рис. 4

8. Решите графически уравнение

Ответ :

(Рис 5)

Рис. 5

9. Решите уравнения:

Ответ :

ЛИТЕРАТУРА.

1. Андреев В. Е. Упражнения, содержащие целую и дробную части.—МвШ, 1977, 4.

2. Гельфанд М., Шейнцвиг Р. Построение графиков функций, связанных с целой частью действительного переменного.— МвШ, 3 970, 3.

3. Михелович Ш. Х. Материалы для факультативных занятий по дополнительным вопросам арифметики в средней школе, Даугавпилс, 1973.

Е. Е. Семенов

г. Нижний Тагил

НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ ВО ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЕ

Из всех тем геометрии тема «Начальные понятия геометрии» представлена во внеклассной работе, пожалуй, наиболее слабо. Данная статья имеет целью несколько уменьшить этот пробел. В ней содержатся материалы для беседы с учащимися о логическом строении геометрии, для кружковых занятий. Многие из предлагаемых задач могут быть использованы при проведении викторин, КВН и других математических соревнований.

1. О некоторых особенностях формирования геометрических понятий.

При формировании понятий, вводящихся через указание рода и видовых отличий, как правило, используются задачи следующих двух видов.

A. Задачи на доказательство существования объектов, обладающих свойствами, входящими в определение понятия. Такие задачи являются, в сущности, задачами на построение модели, в которой выполняются указанные в определении свойства. Другими словами, это есть не что иное, как задачи на доказательство непротиворечивости содержащихся в определении свойств.

Например, при введении понятия параллелограмма учащимся предлагается задача на построение четырехугольника с попарно параллельными противоположными сторонами. Выполненное построение по своему математическому содержанию означает доказательство непротиворечивости свойств «быть четырехугольником» и «иметь попарно параллельные противоположные стороны.

B. Задачи на независимость «видовых» свойств объекта от свойства входить в объем родового понятия.

При введении понятия параллелограмма такой задачей является задача на построение четырехугольника, не являю-

щегося параллелограммом. В практике преподавания эту задачу обычно специально не решают, а заменяют ее ранее построенными четырехугольниками, каким-то образом не оказавшимися параллелограммами. Таким образом показывается независимость свойства противоположных сторон некоторой фигуры быть попарно параллельными от свойства этой фигуры быть четырехугольником.

При формировании основных (аксиоматически определяемых) геометрических понятий (точки, прямой, плоскости, расстояния) непротиворечивость последовательно вводящихся аксиом подтверждается той моделью, на основе которой ведется изучение всего курса геометрии. В силу единственности модели, на основе которой ведется изучение геометрии, учащиеся считают аксиомы геометрии свойствами объектов, входящих в эту модель, а не свойствами геометрических понятий как таковых. Другими словами, задачи на установление непротиворечивости при формировании аксиоматически определяемых геометрических понятий заменяются в практике преподавания наблюдением за особенностями той единственной модели, внутри которой изучается весь курс геометрии.

Использование задач на установление непротиворечивости того или иного набора аксиом в моделях, отличных от евклидовой, является одним из направлений составления материалов для внеклассной работы по теме «Начальные понятия геометрии». (В то же время это направление является одним из путей повышения эффективности изучения начальных понятий геометрии на уроках).

Что касается задач на установление независимости аксиом, то они в обучении геометрии в школе отсутствуют. Если при формировании родо-видовых понятий независимость видовых свойств объекта от его принадлежности роду является главным мотивом «выделения» видового свойства и введения нового понятия, то при введении основных понятий этот мотив совершенно не используется. Вследствие этого аксиомы геометрии представляются учащимся как некие «очевидные истины» в евклидовой модели, а не свойства, определяющие основные понятия геометрии. Учителю этап изучения основных понятий геометрии представляется некоей утомительной «теорией», при изучении которой решаются задачи, не требующие знания аксиом, составляющих ее основу.

Использование задач на установление независимости одних аксиом от других при формировании основных понятий геометрии является вторым направлением в составлении материалов для внеклассной работы по теме «Начальные понятия геометрии». (Это направление является и одним из путей повышения эффективности изучения основных понятий геометрии.)

Третьей идеей, лежащей в основе предлагаемых материалов, является более явное использование непротиворечивости, независимости, а также применение моделей, отличных от евклидовой, при изучении родо-видовых понятий. (Этим направлением предоставляется возможность повышения эффективности изучения родо-видовых понятий.)

Наконец, широкую возможность в составлении материалов для внеклассной работы по любой теме предоставляет теоретико-множественный подход к формированию понятий.

2. Понятие расстояния от точки до точки.

Вы решили провести беседу или занятие кружка на эту тему? Вы начали это неудачно, если так ее сформулировали. Что же делать? Придумать другое название! Проведите, например, состязание в своей студенческой группе с этой целью — и у вас в запасе наверняка будет несколько наименований темы для самого различного контингента учеников. А пока назовем ее так: «Расстояние — что это такое?» Не правда ли, такое название лучше?! Во всяком случае, оно пробуждает мысль в большей степени, чем первое.

Пусть перед вами — учащиеся 6-го, 7-го или 8-го класса. Уж они-то знают, что каждым двум точкам соответствует вполне определенная величина — расстояние от точки до точки. Знакомы они и со свойствами расстояний. Вы предлагаете сформулировать первое свойство. Один из учащихся формулирует его:

1) Расстояние от точки до точки больше нуля, если эти точки различны, и равно нулю, если они совпадают.

Ваши учащиеся молчат? Ни один из них не помнит первого свойства расстояний? Не расстраивайтесь и не теряйтесь! Предложите сформулировать любое из трех свойств: возможно, они просто не помнят, какой номер соответствует свойству расстояния, которое они готовы воспроизвести. Подумайте на досуге, что вы будете делать, если получите сначала формулировку не первого свойства, а второго или

третьего. А сейчас будем считать, что ученики выполнили вашу просьбу — первое свойство расстояний воспроизведено. Что же делать дальше? (Остановитесь, не читайте текст дальше. Спросите себя об этом и попробуйте ответить.) Наверное, не стоит спешить переходить к следующим свойствам расстояний. Лучше с помощью задач выяснить, понимают ли ваши питомцы первое свойство. Вот эти задачи.

1. Пятиклассник Степа прочитал: «Расстояние от города Свердловска до Москвы— 1500 км». И тут же задумался:

— Что это за знак перед числом: тире или минус? Помогите ему.

Вы скажете сейчас, что эта задача слишком проста и к тому же наивна! Это хорошо, если вы так подумали: значит вы критично относитесь к тому, что вам предлагают, даже если это написано в книге. Без такого качества не может быть творческого учителя. Восьмикласснику, вероятно, эту задачу можно и не предлагать: не исключено, что она вызовет у него снисходительную улыбку. Но шестикласснику она вполне подойдет! Чтобы дать ответ, он обратится к свойству расстояний, причем не для того, чтобы воспроизвести его из уважения к учителю, а для того, чтобы помочь младшему и заодно решить задачу.

2. Когда Степа спросил у учителя, каково расстояние от г. Симбирска до г. Ульяновска, учитель ответил ему: «Равно нулю!»—Что это значит? Какая часть первого свойства расстояний отражена в этой задаче?

Ответ вам ясен: в географическом отношении Симбирск и Ульяновск — один и тот же город. На карте эти города изображены одной и той же точкой. В ответе учителя отражена вторая часть свойства: расстояние от точки до точки равно нулю, если они совпадают. Важно, что в процессе решения этой задачи ученик рассуждает, используя свойство расстояний, делает это непринужденно и с интересом. К тому же он вынужден внимательнее взглянуть на него, выделить первую часть, вторую часть свойства, отделить одну от другой.

3. На рис. 1 изображена карта четырех государств, каждое из которых имеет форму квадрата со стороной 100 км. Каждое из указанных государств будем считать точкой. Конечно, такое мог придумать только чудак. Но давайте согласимся с ним! Ведь мы — любители математики, а все

математики — чудаки! Так вот этот чудак объявил, что расстояние между соседними государствами он считает равным нулю (у вас нет возражений?), а за расстояние между несоседними государствами принимает длину самого короткого пути от границы до границы. Являются ли расстояния этого чудака теми же расстояниями, что изучаются в геометрии (при условии, что мы согласились указанные на карте государства считать вместе с чудаком точками)?

Ответ. Чудак придумал расстояние, отличающееся от изучаемого в геометрии, так как для его расстояний свойство 1 не выполняется: расстояние между точками А и В чудака равно нулю, однако эти точки не совпадают.

Заметим здесь одну тонкость. Если вы спросите у учащихся, какая же часть первого свойства расстояний не выполняется для расстояний чудака, то они скорее всего скажут вам — вторая, хотя речи о совпадающих государствах в задаче не ведется, совпадающие государства мы вообще здесь не рассматриваем. На самом деле чудак нарушил первую часть свойства, приняв расстояние между придуманными им различными точками, равными нулю.

Вот еще одна задача.

3. Условимся города называть точками. За расстояние между такими точками примем положительное число, показывающее, на сколько лет один город старше другого. Выполняется ли при таком соглашении первое свойство расстояний?

Ответ. Существуют различные города, возникшие в одном и том же году. В силу того, что они различны, расстояние между ними должно быть положительным, однако, поскольку они возникли в одном году, то расстояние между

Рис. 1

ними равно нулю. Следовательно, при введенном соглашении первое свойство расстояний не выполняется.

Отметим, что при решении этой задачи ученики должны четко понимать, что «расстояние», введенное в задаче на основе соглашения,— это не расстояние, принятое в геометрии, а нечто другое, отличающееся.

Мы достаточно «поработали» с первым свойством. Теперь предложим вспомнить второе свойство расстояний.

2) Для любых двух точек расстояние от первой из них до второй равно расстоянию от второй точки до первой.

Предложим несколько задач.

1. Иногда за расстояние от одного населенного пункта, расположенного на берегу реки, до второго, расположенного на берегу той же реки (см. рис. 2), принимают время движения от первого из них до второго на лодке. Выполняются ли для такого «житейского расстояния» 1-е и 2-е свойства расстояний?

Ответ. Если населенные пункты различны, то время движения от пункта до пункта положительно. Если два пункта — совпавшие, то есть это один и тот же пункт, то тратить время на лодочную езду, чтобы оказаться в этом же пункте, не нужно, то есть время движения до этого пункта из этого же пункта равно нулю. Следовательно, и расстояние от пункта до пункта при их совпадении равно нулю. Таким образом, для такого «житейского расстояния» свойство 1 расстояний выполняется.

Однако время движения по течению меньше времени движения между теми же населенными пунктами против течения (скорости всех лодок считаем одинаковыми). Следовательно, второе свойство расстояний здесь не выполнено.

При решении данной задачи мы познакомили учащихся с моделью, в которой первое свойство расстояний выполнено, а второе — нет. Это и есть задача, построенная на ос-

Рис. 2

нове идеи показать независимость одного свойства от другого. Необходимо (пусть неявно) довести до сознания учащихся эту идею. Если перед учащимися поставить вопрос: как вы думаете, нельзя ли 2-е свойство расстояний доказать с помощью 1-го свойства? — мы поможем этим осознать, что второе свойство расстояний не является следствием первого свойства, оно независимо от свойства 1-го.

1. Вопрос можно поставить и иначе: верно ли высказывание — если выполнено 1-е свойство расстояний, то выполняется и 2-е свойство? Или: обязательно ли выполняется 2-е свойство, если выполнено 1-е свойство расстояний? Такие вопросы способствуют также формированию отношения логического следования.

2. Одна бригада школьников, измеряя расстояние на местности от точки А до точки В, получила результат 63 м. Другая бригада, измеряя расстояние от В до А, получила 68 м. Какой вывод можно сделать о проведенных измерениях?

Ответ ясен: хотя бы одна из бригад допустила ошибку, так как 2-е свойство расстояний здесь не выполняется.

3. Коля измерял высоту комнаты, начиная от потолка, а Саша сделал то же измерение, начиная от пола. Ошибок в измерении допущено не было. Сравните полученные результаты.

Ответ: оба результата одинаковы, поскольку ошибок не было и по второму свойству расстояние от А до В равно расстоянию от ß до А.

4. Из села, расположенного у подножья горы, к селу, расположенному на горе, вышел путник. Села считал он точками, а за расстояние от первого села до второго он считал время ходьбы из первого из них до второго. Выполняются ли при таком соглашении: а) первое свойство расстояний; б) второе свойство расстояний? в) обязательно ли выполняется 2-е свойство расстояний, если выполнено 1-е свойство?

Эта задача имеет тот же идейный исток, что и задача о населенных пунктах, расположенных на берегу одной реки : подтверждает независимость свойства 2-го от свойства 1-го.

Решая эти задачи, учащиеся должны четко понимать, что «расстояния», о которых говорится в этих задачах,— это не общепринятое расстояние, а расстояние «особое», рассматриваемое в рамках этих задач. У вас может воз-

никнуть вопрос: зачем рассматривать «расстояния», которые не являются расстоянием в том смысле, в каком они рассматриваются в математике? Во-первых, потому, что они позволяют организовать обсуждение свойств расстояний через задачи и способствуют осознанию, анализу этих свойств, их усвоению. Во-вторых, эти задачи позволяют подчеркнуть, что «второе свойство важно» : если его опустить, то понятие расстояния будет уже другим. («Вот видите! — говорим мы.— Второе свойство забывать нельзя!»)

Для того, чтобы обращаться с термином «расстояние» более строго, не допускать «вольности речи», сделать изложение более корректным, можно ввести следующее соглашение. Пусть мы установили, что каждой паре точек соответствует некоторая вполне определенная величина. Пусть также для этой величины выполняется свойство 1. Будем считать ее в таком случае «расстоянием (1)» — «расстоянием», для которого выполняется первое свойство; выполняются ли при этом другие свойства — не имеет значения. Тогда «расстояние (1—3)» — «расстояние», для которого выполняются все три свойства расстояний, будем называть просто расстоянием. В этом случае термин «расстояние (2—3)» будет обозначать «расстояние, для которого выполняются свойства 2-е и 3-е» (выполняется ли для него свойство 1-е — не имеет значения) ; если окажется, что свойство 1-е выполнено, то это расстояние (2, 3) окажется просто расстоянием. Расстояние (3) будет означать величину, для которой выполняется 3-е свойство расстояний. (Произносится: «расстояние три»).

Опыт показывает, что введение такой терминологии учащимися принимается и не вызывает затруднений.

Введем теперь 3-е свойство расстояний.

3) Считая какую-либо одну из трех точек первой, одну из оставшихся — второй, последнюю — третьей, всегда имеем: расстояние от первой точки до третьей меньше или равно сумме расстояний от первой точки до второй и от второй до третьей.

Задачи

1. А, В и С — три столба. Известно, что |5С|=3 м, ICA|=5 м. Хватит ли веревки длиной 10 м натянуть на столбы А и В?

2. Дан треугольник ABC. Его вершины считаем точками. Других точек, кроме этих, нет. За расстояние от точки до точки примем величину угла, вершиной которого является третья точка. Например, \АВ\=С. Проверьте выполнение свойств расстояний, если: a) À = 50°, В = 60°; б) В = 90°, С = 10°; в) А = 100°, С = 20°; г) А = 120°.

Во всех случаях свойства 1 и 2 выполнены. Следовательно, рассматриваемое в задаче расстояние есть расстояние (1, 2). В случаях а) и б) это расстояние является общепринятым расстоянием (так как свойство 3-е выполнено). В случаях в) и г) третье свойство расстояний не выполняется (например, в случае в)

Случаи а) и б) представляют собой отличные от евклидовой модели, в которых показывается непротиворечивость свойств 1-го и 2-го, а также независимость свойства 3-го от свойств 1-го и 2-го. В случаях в) и г) имеем отличные от евклидовой модели, показывающие непротиворечивость свойств расстояний 1—3.

3. Трамвай ходит по кольцевому маршруту в направлении, указанном стрелкой (рис. 3). Остановки А, В, С будем считать точками. Под расстоянием от остановки до остановки будем понимать время движения от первой из них до второй на трамвае. Проверьте выполнение свойств расстояний при таком соглашении.

В этой модели 1-е и 3-е свойства расстояний выполнены, 2-е свойство — не выполнено. Следовательно, введенное в этой задаче расстояние не является расстоянием в истинном смысле: это есть расстояние (1, 3).

Решая данную задачу, мы показали непротиворечивость свойств 1-го и 3-го и независимость свойства 2-го от свойств 1-го и 3-го. Последнее означает, что выполнение свойств 1-го и 3-го не влечет за собой выполнения свойства 2-го, другими словами, свойство 2 нельзя доказать с помощью свойств 1-го и 3-го, оно не является их следствием.

4. Точками будем считать цифры 1, 2, 3. За расстояние между точками примем модуль разности соответству-

Рис. з

ющих чисел (например, 11 ; 21 = j 1 — 2 j = | — 11 = 1). Выполняется ли в этой модели свойство расстояний: а) 1; б) 2; в) 3?

Здесь мы имеем еще одну, отличную от евклидовой, модель, показывающую непротиворечивость свойств расстояний.

5. Проверьте выполнение 3-го свойства расстояний в задачах, предложенных до введения 3-го свойства.

6. Придумайте задачи, аналогичные рассмотренным.

Заключение

В данной статье рассмотрены материалы, относящиеся лишь к одному из основных понятий геометрии — понятию расстояния. Материалы, относящиеся к другим начальным понятиям геометрии, автор надеется напечатать в последующих сборниках. А пока предлагаем несколько опубликованных статей по данной теме. Теоретическая часть, предварившая материалы, с которыми вы познакомились, поможет осознанно воспользоваться ими.

1. Е. Семенов. Точка, прямая...— что это такое? Квант, № 11, 12, 1975.

2. Е. Семенов. Доказать можно? — Доказать нельзя! Квант, № 1, 1978.

3. Е. Семенов. Расстояния Степы Мошкина. Квант, № 9, 1978.

М. Х. Приеде

г. Ярославль

ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики. Векторный метод находит широкое применение при изучении теоретического материала, является мощным средством решения разнообразных задач — геометрических, алгебраических, а также физических.

Для более эффективного использования новых методов, в частности векторного метода, становится необходимой классификация задач на аффинные и метрические. Дать логически безупречное обоснование классификации понятий и геометрических свойств на аффинные и метрические средствами школьной программы невозможно. Во-первых, потому что аксиоматика школьного курса геометрии является метрической, вследствие чего все аффинные понятия (отрезок, луч, полуплоскость, вектор и др.) прямо или косвенно определяются через метрику. Во-вторых, программой не предусмотрено изучение общих аффинных преобразований, следовательно, отпадает возможность определения аффинных и метрических свойств как инвариантов соответственно аффинной группы и группы подобий.

Вследствие этого формирование у учащихся умения различать геометрические свойства аффинного и метрического характера удобно вести на конкретных примерах. Превосходные возможности для этого имеются при изучении линейных операций над векторами — сложения векторов, вычитания векторов и умножения векторов на число. Если свойство фигуры можно записать на векторном языке с использованием только линейных операций, то его целесообразно как-то назвать, чтобы отличить от метрического свойства. Общепринято такое свойство называть аффинным.

При сопоставлении аффинных и метрических свойств фигур особую важность приобретает тема «Параллельное проектирование». Для аффинного свойства фигуры характерно то, что оно сохраняется при параллельном проектировании. Таким образом, аффинное понятие и аффинное свойство связано только с параллельностью, отношением длин параллельных отрезков и отношением площадей. Так, например, свойство четырехугольника быть параллелограммом, свойство точки делить отрезок в данном отношении, свойство отрезка быть медианой или средней линией треугольника являются аффинными. Понятие длины отрезка, величины угла, площади фигуры, а также определяемые через них другие понятия являются метрическими. Метрические свойства не сохраняются при параллельном проектировании, а их векторная запись требует непременно скалярного произведения векторов. Так, например, окружность, ромб, прямоугольник, равнобочная трапеция — понятия метрические.

Теорему (задачу) будем называть аффинной, если в ее условии и заключении содержатся только аффинные понятия. В метрической теореме (задаче) могут содержаться и аффинные понятия, но непременно присутствует и какое-нибудь метрическое понятие.

«Хорошо известны те трудности, с которыми сталкиваются учащиеся и учитель, когда речь идет о решении аффинных задач. Наиболее слабо разработана методика решения геометрических задач, в особенности аффинных, с использованием векторного аппарата»,— говорится в пособии для учителей [3, с. 28]. Для успешного применения векторного метода к решению задач недостаточно одних только знаний правил векторной алгебры; учащийся должен овладеть определенным количеством формул, таких, как, например, условие принадлежности трех точек одной прямой, формула деления отрезка в данном отношении (в частности, пополам), формула центроида треугольника и др. За последнее время в методической литературе и в журнале «Математика в школе» появилось немалое количество статей, посвященных вопросам обучения учащихся применению перечисленных выше формул.

Нам представляется целесообразным в этой связи обратить внимание учителя на теорему Менелая — одну из основных теорем, выражающих аффинные свойства треуголь-

ника. Среди аффинных теорем она занимает не менее важное место, чем теорема Пифагора среди метрических. Доказательство теоремы Менелая и ее приложения можно найти во многих отечественных и зарубежных изданиях курсов элементарной геометрии, эта теорема встречается в задачниках в качестве задачи. Посредством векторов ее можно сформулировать более четко, подчеркнуть аффинный характер. Используя теорему Менелая, можно доказать многочисленные содержательные теоремы и решить нестандартные задачи. Эта теорема является эффективным инструментом решения геометрических задач.

В условиях широкого использования в школьном курсе векторного аппарата желательно включить теорему Менелая хотя бы в задачный материал. Это поможет многим учащимся, интересующимся математикой, разнообразить и усовершенствовать технику решения задач. Более подробное рассмотрение теоремы, ее различных доказательств и приложений может служить темой внеклассных занятий.

Теорема Менелая. На прямых AB, ВС, CA, задающих треугольник ABC, даны соответственно точки Со, А0, Во, отличные от вершин треугольника ABC. Точки А0, Во, Со тогда и только тогда принадлежат одной прямой, когда

(1)

В формулировке этой теоремы, а также в ее приложениях мы будем пользоваться полезным понятием отношения коллинеарных векторов, которое облегчает запись и решение многих — по преимуществу аффинных — задач. На наш взгляд, было бы целесообразно ввести это понятие и в школьное преподавание.

Число k, определяемое из соотношения а = kb при вфО, называется отношением коллинеарных векторов

и обозначается

Естественно, при векторной формулировке теоремы Менелая можно обойтись и без понятия отношения векторов. Тогда эта теорема читается так: если на прямых AB, ВС, CA, задающих треугольник ABC, даны точки С0, А0, В0 и АС0 = аС0В, £A0=ßA0C, СВ0 = уВ0А,то точки Ао, Во, Со принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда

(1)

Иногда в литературе формулировка этой теоремы дается через простое отношение трех точек [2]. Под простым отношением упорядоченной тройки точек А, В, M понимаем число к = AM:MB , т. е. отношение, в котором точка M делит направленный отрезок AB. Для обозначения простого отношения упорядоченной тройки точек, или, короче, трех точек принят символ k = (ABM). В символе на первом месте ставится начало отрезка, на втором — конец отрезка, на третьем — делящая точка. При таких обозначениях необходимое и достаточное условие принадлежности упомянутых ранее точек А0, Во, Со одной прямой выражается равенством

(1")

Понятно, что соотношения (1), (1) и (1") выражают одно и то же геометрическое содержание, отличаются они лишь формой записи, применяемыми символами. Какую формулировку принять в преподавании, зависит от того, в каком классе ее рассматривать, на внеклассных занятиях или на уроке, а также от того, какие обучающие и развивающие функции возлагает учитель на эту теорему. Наиболее наглядной и удобной нам представляется запись (1), да и действия с отношениями коллинеарных векторов во многом напоминают действия с числами (хотя имеются и существенные отличия!).

Если а, Ь, с — коллинеарные векторы и b ф О, / ф 0, то имеют место легко доказываемые соотношения:

Доказательство теоремы Менелая можно проводить по-разному: с помощью теоремы о пропорциональных отрезках, посредством векторов, координатным методом (в аффинных координатах). Чаще всего в литературе встречается доказательство с использованием теоремы о пропорциональных отрезках [1], [2].

Рассмотрим доказательство теоремы Менелая, основанное на применении геометрических преобразований. Оказывается, что эта теорема непосредственно связана с вопросом композиции гомотетий. Будем предполагать известным следующее: композиция двух гомотетий с различными центрами есть либо гомотетия с центром на прямой, проходящей через центры данных гомотетий, и коэффициентом, равным произведению коэффициентов данных гомотетий (если произведение отлично от 1), либо перенос параллельно прямой, проходящей через центры данных гомотетий (если произведение коэффициентов гомотетий равно 1). Итак, если для точки А # (MN) и ее образа А' при композиции Ну э H ™ прямая А А' пересекает прямую MN в точке

Далее приведем доказательство теоремы Менелая.

Необходимость. Пусть прямая / пересекает прямые AB, ВС, CA соответственно в точках Со, Ао, Во (рис. 1).

Рис. 1

Так как

или

Достаточность. Пусть для некоторых точек A0œ(BC), B0œ(AC), C0œ(AB) выполняется равенство (1). Рассмотрим композицию

Преобразование / является либо параллельным переносом, либо тождественным преобразованием, так как, согласно данному, произведение коэффициентов гомотетий равно единице: aßy = l. Но /(с) = с. Значит,

откуда следует, что

Но тогда B0œ(A0C0).

Теорему Менелая можно применять к решению многочисленных задач, особенно задач, в которых требуется доказать принадлежность трех точек одной прямой, вычислить отношение, в котором точка делит отрезок, найти произведение отношений коллинеарных векторов. Усвоение содержания теоремы, развитие умения увидеть возможности ее применения сначала желательно проводить на доста-

1 Символом #о(А' В) обозначена гомотетия с центром О, нри которой точка А отображается на точку В.

точно простых задачах, чтобы не отвлекать внимание учащихся на трудностях чисто геометрического характера.

Задача 1. На стороне АС треугольника ABC взята такая точка М, что |АМ|=— \АС\, а. на продолжении стороны ВС — такая точка N, что |JBN| = |CB|. В каком отношении точка Р пересечения отрезков AB и MN делит каждый из этих отрезков?

Решение. По теореме Менелая для треугольника ABC и секущей (NM) (рис. 2) имеем:

Но согласно данному

Следовательно,

Для треугольника MNC и секущей (AB) имеем:

Рис. 2.

или, учитывая условие задачи,

Отсюда NP:PM = 3.

Векторное решение этой задачи, приведенное в пособии для учителя [3, с. 33], сводится к решению системы трех уравнений с четырьмя неизвестными и представляется нам довольно громоздким. Эффективность же применения теоремы Менелая в данном случае очевидна.

Задача 2. На стороне AD параллелограмма дана такая точка К, что \AK\=-Ï-\AD\. В каком отношении точка Р пересечения отрезков АС и ВК делит каждый из этих отрезков?

Рис. 3

Решение. Задача 2 по своему геометрическому содержанию аналогична задаче 1. Действительно, чтобы увидеть это, достаточно провести диагональ BD (рис. 3).

Применим теорему Менелая к треугольнику ВКО и секущей (АС):

Согласно данному

Следовательно,

В силу гомотетичности треугольников РАК и РСВ имеем:

Примечание. Сравните с решением, данным в пособии [3, с. 32].

Задача 3. В четырехугольник вписана трапеция, параллельные стороны которой параллельны диагонали четырехугольника. Доказать, что прямые, содержащие непараллельные стороны трапеции, пересекаются на прямой, содержащей другую диагональ четырехугольника.

Решение. Пусть (MN)[\(AC) = xu а (КL)(](AC) = х2 (рис. 4). Применив теорему Менелая к треугольнику ABC и прямой MiV, получим:

(2)

Для треугольника АДС и секущей (KL) имеем:

(3)

Так как (BD)\\(ML)\\(NK), то

Рис. 4.

Учитывая это, из (2) и (3) получим, что

откуда следует, что Х\=х2. Значит, прямые AC, MM, KL имеют общую точку Х\.

Задача 4. Прямые а и Ь пересечены прямыми А\ВХ и А2В2, A{Œa, А2^а, B{Œe, B2Œe. На прямой АХВ\ дана произвольная точка Р, которая соединена с точками А2 и В2. Через середину М\ отрезка А\В\ проведены прямые а\ и Ь], параллельные соответственно а и Ь. Доказать, что точки x = (A2P)Ç]a\, y = (B2P)[)bi и середина М2 отрезка А2В2 принадлежат одной прямой (рис. 5).

Решение. Так как точки х, у, М2 принадлежат прямым, задающим треугольник РА2В2, то для решения задачи достаточно доказать, что

Поскольку

Следовательно,

Рис. 5.

Задача 5. (теорема Гаусса). Доказать, что прямая, проходящая через середины диагоналей четырехугольника, противолежащие стороны которого непараллельны, делит пополам отрезок, соединяющий точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны.

Решение. Пусть (АВ)[)(СД) = F, (АД)(](ВС) = Е; L, М, /V — соответственно середины отрезков АС, ВД, EF (рис. 6).

Чтобы при доказательстве принадлежности точек L, М, N одной прямой воспользоваться теоремой Менелая, следует выделить треугольник, сторонам или продолжениям сторон которого принадлежат эти точки. Одним из таких треугольников является треугольник А\В\Е\, где Ai, Bu Ei — соответственно середины [BE], [АЕ], [АВ]. Таким образом, решение задачи сводится к доказательству равенства

Вследствие параллельности прямых В{Е{ и BE, А{Е\ и АЕ АЕ, АХВХ и AB

Рис. 6.

Перемножив почленно эти равенства, получим

Поскольку точки С, F, Д, взятые на сторонах треугольника ABE у принадлежат одной прямой, то

(4)

вследствие чего из (4) имеем:

что, согласно теореме Менелая, и означает принадлежность точек L, M, N одной прямой.

Задача 6. (теорема Дезарга). Даны два треугольника А\В\С\ и А2В2С2. Доказать, что если прямые AiA2, В\В2, С\С2 пересекаются в одной точке, то точки пересечения прямых AiBi и А2В2, В\С\ и В2С2у С\А\ и С2А2 (если они существуют) принадлежат одной прямой.

Решение. Пусть

(рис. 7). Применив

Рис. 7.

теорему Менелая для треугольников SA\Bi, SB\C\, SCiA{ и соответственно прямых А2В2, В2С2, С2А2, имеем:

При почленном перемножении этих равенств получим:

а это, согласно теореме Менелая, означает, что точки А0, Во, Со принадлежат одной прямой.

Примечание. Имеет место и обратное утверждение.

Задача 7 (теорема Чевы). На прямых AB, ВС, CA, задающих треугольник ABC, даны точки Си Ли В\ соответственно (отличные от вершин треугольника). Доказать, что для того, чтобы прямые АА\, ВВ\, СС\ принадлежали одному пучку, необходимо и достаточно, чтобы

Решение. Необходимость. Пусть (AAl)(J(BBl)\J(CC]) = Q (рис. 8). Согласно теореме Менелая, для треугольников АВВ} и САА\ и соответственно прямых CCi и ВВ\ имеем:

Перемножив эти равенства почленно, получим:

Случай, когда прямые АА\, ВВ\, СС{ параллельны, требует специального рассмотрения.

Доказательство достаточности этого условия предлагаем провести самостоятельно.

Заметим, что теорему Чевы можно рассматривать независимо от теоремы Менелая; таковым, например, может быть доказательство с помощью композиции гомотетий. Теорема Чевы, также как теорема Менелая, является эффективным инструментом решения многочисленных геометрических задач, особенно задач, касающихся принадлежности трех прямых одному пучку. Известные из школьного курса теоремы о пересечении медиан, высот, биссектрис треугольника есть частные случаи этой теоремы. Вопросы, связанные с теоремой Чевы и ее приложениями, могут служить отдельной темой внеклассных занятий.

Задача 8 (теорема Паппа-Дезарга). Даны четыре точки А, В, С, Д, из которых никакие три не принадлежат одной прямой. Прямая / пересекает пары прямых AB и СД, ВС и ДА, CA и ВД соответственно в парах точек М\ и М2, Ni и N2, Р\ и Р2. Доказать, что

(5)

Рис. 8.

Решение. Применим теорему Менелая к прямой АС и треугольникам P2M2D, P2N2D, M2N2D последовательно (рис. 9):

Перемножив эти равенства почленно, получим доказываемое равенство (5).

Задача 9. Даны точки А, В, С, Д, никакие три из которых не принадлежат одной прямой.

(AB)Ç)(CD) = U, (AD){](CB) = M9(AC){](BD) = 09 (OM)Ç](AB) = V. Доказать, что точки U и V делят отрезок AB внешним и внутренним образом в одном и том же отношении.

Решение. Применим теорему Менелая для треугольников ДАВ, ДВй, ДАО и соответственно прямых MA, АС, ВС (рис. 10):

Рис. 9.

Рис. 10.

(6)

Перемножив равенства (7) и (8) почленно, получим:

(9)

Сравнив (6) и (9), находим, что

Если точки U и V делят отрезок AB одна внутренним, другая внешним образом в одном и том же отношении, т. е.

если AU : UB= —(AV: VB). то говорят, что пара точек U, ^гармонически разделяет пару точек А, В, а четверку точек ABUV называют гармонической.

Нетрудно убедиться, что если пара точек U, V гармонически разделяет пару точек A, J3, то и обратно, пара точек А, В гармонически разделяет пару точек £/, V. Итак, в гармонической четверке пары точек равноправны, причем точки в каждой паре также равноправны.

Заданием упорядоченной тройки точек, принадлежащих одной прямой, четвертая гармоническая точка определяется однозначно. Существуют различные способы построения четвертой гармонической. Укажем построение, основанное на задаче 9.

(7) (8)

Пусть даны точки А, В, С гармонической четверки АВСХ. Построение точки X, согласно задаче 9, состоит из следующих этапов:

1) через произвольную точку 0$ (AB) проведем прямые OA, OB, ОС;

2) через произвольную точку С, $ (ОС) проведем прямые Ci A, CiB, (С,А)П(ОВ) = К, (ClB)Ç](OA) = L;

3) проведем прямую KL, (KL)[](AB)=-X.

Важно отметить, что если С — середина [AB], то X не существует.

Существенно, что построение выполнено путем применения только линейки. Такого рода построения называются проективными. Кроме того, построение не зависит от того, принадлежит точка С отрезку или его продолжению.

Задача 10. Даны четыре точки А, В, С, Д, никакие три из которых не принадлежат одной прямой. Прямая /, не проходящая ни через одну из данных точек, пересекает прямые AB, ВС, СД, ДА соответственно в точках Р, Q, /?, S. Доказать, что

(10)

Решение. Пусть / U (BD) = M (рис. 11). Применим теорему Менелая к секущей / и соответственно треугольникам АВД, ВСД:

Перемножив эти равенства, получим равенство (11).

Это утверждение иногда называют теоремой Менелая для четырехугольника. Существенно, что в отличие от теоремы Менелая для треугольника она является только необходимым условием принадлежности четырех точек одной прямой.

Предлагаем самостоятельно решить следующие задачи.

Рис. 11.

Задача 11. Дан треугольник ABC и на прямых АС и ВС по две точки М\ и м2, N\ и N2 так, что

Найти x = MxP.PN{ и y = M2P:PN2y где P = (MXNX)[)(M21v2). Ответ: х = к2, у = кх.

Задача 12. Дан пятиугольник. Центроид каждых трех вершин соединен с серединой отрезка, концами которого являются оставшиеся две точки. Доказать, что полученные таким образом десять отрезков пересекаются в одной точке и делятся ею в одном и том же отношении.

ЛИТЕРАТУРА.

Адамар Ж. Элементарная геометрия, ч. 1. М., Учпедгиз, 1957. Бескин Н. М. Деление отрезка в данном отношении. М., «Наука», 1973.

Гусев В. А., Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л. Векторы в школьном курсе геометрии. М., «Просвещение», 1976.

В. А. Горбунова

г. Вологда

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ В ТРАДИЦИОННЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

Психологическим стимулом возникновения, поддержания и укрепления познавательных интересов школьников является успех, а успех в овладении математикой во многом определяется умением решать задачи.

Формированию этого важного умения способствует решение дидактически целесообразных систем задач. Поэтому возникает необходимость в их составлении. Это, например, серии задач с нарастающей степенью трудности, заставляющей учащихся при решении каждой последующей задачи делать немного более трудные выводы, чем при решении предыдущей. Также важно решать задачи, объединенные какой-то идеей, которая раскрывается ими с разных сторон.

В данной статье рассмотрим несколько традиционных по содержанию геометрических задач, которые решаются с использованием скалярного произведения векторов. Для каждой из них указываем цепочку задач, последовательное решение которых помогает найти план решения более сложной основной задачи.

Рассмотренные задачи можно решать на факультативных, кружковых занятиях в 9—10-х классах. Кроме того, их можно использовать на занятиях в юношеских математических школах, летних математических лагерях.

Задача 1. Точки M и N — середины сторон AB и ВС квадрата АВСД. Отрезки ДМ и MC пересекаются в точке Р. Доказать, что отрезок АР конгруэнтен стороне квадрата.

Анализ решения задачи приводит нас к следующей цепочке задач.

Задача 1а. Точки M и N — середины сторон AB и ВС квадрата АВСД. Отрезки ДМ и MC пересекаются в точке Р.

а) Представьте вектор АР в виде линейной1 комбинации векторов AB и AD, учитывая, что Pœ[DN],

б) Представьте вектор АР в виде линейной комбинации векторов AB u^AD, учитывая, что Pœ[CM],

Задача 16. Точки M и N— середины сторон AB и ВС квадрата АВСД. Отрезки ДЫ и СМ пересекаются в точке Р.

Разложите вектор АР по векторам AB и AD.

Задача 1в. Основная задача 1.

Рассмотрим ее решение. Пусть сторона квадрата АВСД равна а. За базисные выберем векторы AB и AD (рис. 1). Имеем

С другой стороны,

Рис. 1

1 a = aiai+a2a2+... H-akök называется линейной комбинацией векторов ai с коэффициентами щ.

Из единственности разложения вектора по двум неколлинеарным векторам следует, что

Решив систему, получим

Следовательно,

Получив ответ задачи, желательно продолжить работу над ней: предложить учащимся подумать о том, нельзя ли составить новую задачу на базе решенной. Работа по составлению задач — творческая работа более высшей ступени, чем решение готовых задач, ибо учащимся приходится прибегать к таким формам синтеза, которые обычно не встречаются при решении готовых задач. В данной задаче учащиеся должны увидеть, что, зная разложение вектора АР по перпендикулярным векторам AB и AD и зная его длину, можно на основании определения скалярного произведения векторов найти косинусы углов РАВ и РАД. Итак, получаем новую задачу.

Задача 1г. Точки M и N — середины сторон AB и ВС квадрата АВСД. Отрезки ДМ и СМ пересекаются в точке Р. Вычислите косинусы углов РАВ и РАД.

Решив задачу, получим, что

Задача 2. В параллельных плоскостях расположены два одинаково ориентированных квадрата АВСД и А\В\С\Д\.

Докажите, что

Задача 2а. В параллельных плоскостях расположены два одинаково ориентированных квадрата АВСД и А\В\С\Д\. Угол между прямыми AB и А\В\ равен а. Выразите через а углы между прямыми АД и А\В\, AB и А\Д\.

Задача 26. В параллельных плоскостях расположены два одинаково ориентированных квадрата АВСД и А\В\С\Д\.

1) Представьте векторы AAi СС, ВВ{ и DDX в виде линейной комбинации векторов

2) Найдите скалярный квадрат этих векторов. Рассмотрев задачи 2а, 26, предлагаем для решения задачу 2. Приведем ее решение. Пусть

(рис. 2).

Тогда

Найдем скалярные квадраты этих векторов

Рис. 2

Откуда

(1) (2)

Из равенства (2) вычтем равенство (1), получим

Пусть

Отсюда

Следовательно,

Задача 3. Треугольник ABC со сторонами a, Ь, с вписан в окружность с центром в точке О и радиусом R. Вычислите расстояние ОД, если точка Д — четвертая вершина параллелограмма АСВД.

Задача За. В окружность с центром в точке О и радиусом R вписан треугольник ABC. Докажите, что

Рассмотрим решение основной задачи 3. Векторы будем откладывать от точки О. В силу того, что АСВД — параллелограмм и M — точка пересечения диагоналей, имеем

Тогда Найдем

(3)

Но ОА2 = OB2 = ОС2 = R2. По теореме косинусов из треугольника ABC получаем

Отсюда

Аналогично выводим, что

Следовательно, равенство (3) примет вид:

Далее рассмотрим серию задач на нахождение множеств точек.

Задача 4. Дан равносторонний треугольник ABC. Найти множество точек Р таких, для которых

При решении задачи 4 можно воспользоваться рассмотренным выше приемом: предложить учащимся последовательно следующую цепочку задач.

Задача 4а. Запишите в векторной форме равенство

Задача 4б. Докажите, что если точка О — центр описанной окружности около равностороннего треугольника

ABC, то выполняется равенство

Задача 4в. Основная задача 4. Рассмотрим ее решение. Векторы целесообразно откладывать от точки О центра треугольника ABC. Пользуясь формулой

данное в условии равенство запишем

в векторной форме:

Преобразовав его, получим

(4)

Но

поскольку треугольник ABC — равносторонний и точка О — центр его. В силу предыдущих равенств равенство (4) принимает вид ЗОС-ОР = 0 или ОС-ОР = 0. Следовательно, искомое множество точек есть прямая, проходящая через точку О перпендикулярно прямой ОС или параллельно стороне AB.

Далее перед учащимися можно поставить новую проблему: найти аналог задачи 4 для пространства. Для этого равносторонний треугольник заменим правильным тетраэдром, а в правой части возьмем коэффициент три.

Задача 5. Дан правильный тетраэдр АВСД. Найти множество точек Р, для которых

Решение ее аналогично решению предыдущей задачи.

В ответе получим равенство 0$ » ОР *• о для пространства это равенство интерпретируется следующим образом: множество точек Р есть плоскость, проходящая через точку О перпендикулярно вектору ОД.

А если возьмем прямоугольный треугольник, то какое множество точек Р получим?

Задача 6. Дан прямоугольный треугольник ABC, где С = 90°. Найти множество точек Р таких, для которых

Решение задачи 5 позволяет от исходного равенства сразу перейти к равенству вида

(5)

где точка О — центр описанной окружности около прямоугольного треугольника, следовательно, середина гипотенузы. Тогда (ХА + ОВ = 0 и 20С2 - OA2—OB2 = 0. (6)

В силу равенств (5) и (6) имеем, что ОС • О Р = 0.

Итак, искомое множество точек Р есть прямая, проходящая через середину гипотенузы перпендикулярно вектору ОС.

Затем изменим коэффициент в правой части исходного равенства, а треугольник возьмем равносторонний.

Задача 7. Дан равносторонний треугольник ABC. Найти множество точек Р, для которых /РА/2 -f- /РВ/'2 = /PC/-.

Решение. Выбор точки, от которой откладываем векторы, и переход от данного в условии равенства к векторному подготовлены решением задач 4, 5, 6. Имеем

где точка О — центр треугольника ABC. Отсюда

Поэтому

Выделим в левой части последнего уравнения полный квадрат:

Итак, искомое множество точек Р есть окружность радиуса R i 3 с центром в точке M такой, что QJI/ «• -J06

Из этого равенства следует, что точка M принадлежит биссектрисе угла С; ее расстояние от центра треугольника равно 2R.

Перед решением рассмотренной задачи полезно попросить учащихся записать в векторной форме предложение: множество точек Р есть окружность с центром в точке M и радиусом /?, т. е. (<П>-ОМ}***Л*

И наконец, равенство оставим первоначальное, а треугольник возьмем произвольный.

Задача 8. Дан произвольный треугольник ABC. Найти множество точек Р таких, для которых

Решение. Запишем данное в условии равенство в векторной форме

где О — произвольная точка, или

(7)

Достроим треугольник ABC до параллелограмма АСВМ. Пусть

(рис. 3).

Рис. 3

Имеем

(8)

Подставляя (8) в (7), получаем

(9)

Из того, что S — точка пересечения диагоналей параллелограмма АСВМ и равенства (8), следует

(10)

В силу теоремы о квадрате длины медианы треугольника справедливы равенства :

Тогда, учитывая (9), получаем

Итак, искомое множество точек Р есть

1) окружность с центром в точке M и радиусом

Откуда следует

2) точка M — четвертая вершина прямоугольника АСВМ, если

3) пустое множество, если

Анализ решения последней задачи приводит нас к следующей цепочке вспомогательных задач.

Задача 8а. Дан параллелограмм АСВМ. О — произвольная точка.

а) Доказать, что

б) Выразить вектор OS через векторы OA и OB , также через векторы ОМ и ОС , где S — точка пересечения диагоналей.

Задача 86. Диагонали параллелограмма АСВМ пересекаются в точке S. О — произвольная точка. Используя теорему о квадрате длины медианы треугольника, покажите, что

В заключение отметим, что если составление цепочек вспомогательных задач, а также рассмотрение вариаций решенных задач проводятся систематически, то эти приемы являются хорошим дидактическим средством формирования умения в решении задач. Также указанные системы задач позволяют осуществлять дифференцированный подход в обучении.

З. О. Шварцман

г. Томск

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЯ К ПРОВЕДЕНИЮ СИСТЕМЫ ВНЕУРОЧНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ В УСЛОВИЯХ УНИВЕРСИТЕТА

Внеурочные занятия (внеклассные, факультативные и внешкольные) по математике для школьников постоянно развиваются, обогащаются и, естественно, нуждаются во все более квалифицированном руководстве со стороны учителя.

В деятельности учащихся на внеурочных занятиях по математике должна преобладать творческая сторона над воспроизводящей. На этих занятиях более, чем на уроках, возможно использование частично-поискового и исследовательского методов учения, что требует от учителя владения соответствующими методами преподавания, высокого мастерства. Кроме этого, довольно сложное содержание изучаемого на внеурочных занятиях теоретического и практического материала по различным разделам математики также предъявляет к подготовке учителя дополнительные высокие требования по онтодидактической обработке этого материала. Следовательно, организация и проведение различных форм внеурочных занятий по математике в силу специфики этих занятий вызывают необходимость дать будущему учителю наряду с разносторонней математической подготовкой специальную методическую подготовку.

В данной статье рассмотрим некоторые особенности подготовки студентов механико-математического факультета Томского университета к организации и проведению системы внеурочных занятий по математике. При этом остановимся и на накопленном опыте привлечения к этой важной работе специально созданного актива из творчески работающих учителей, реализующих систему внеурочных занятий по математике со своими учащимися.

Учебно-воспитательный процесс, организуемый учителем по своему предмету, можно рассматривать как состо-

ящий из двух связанных между собою компонентов: урочных и внеурочных занятий. Причем доля внеурочных занятий по математике возросла в учебно-воспитательном процессе учителя, особенно после введения факультативов. Поэтому подготовку учителя к организации и проведению внеурочных занятий по своему предмету со школьниками мы рассматриваем как одну из важнейших задач системы методической подготовки учителя математики.

Кратко об особенностях самой системы методической подготовки, разработанной и реализуемой нами на механико-математическом факультете Томского университета. При создании этой системы мы использовали модель методической подготовки учителя математики в университете с учетом результатов анализа его деятельности в современной школе и требований к деятельности учителя математики в школе ближайшего будущего. Сначала отметим, что в условиях университета будущие учителя получают вполне удовлетворительную математическую подготовку. Однако математические курсы не имеют педагогической направленности. В связи с этим отводится большая роль методической подготовке в формировании учителя математики с университетским образованием.

Система методической подготовки учителя математики включает три основные подсистемы, которые можно назвать так: 1) теоретическая, 2) исследовательская и 3) практическая. Эти подсистемы связаны между собою по содержанию и способам реализации. Каждая из них представляет в свою очередь систему взаимосвязанных форм и видов занятий, направленных на формирование у будущего учителя знаний, умений и навыков руководства познавательной деятельностью учащихся на урочных и внеурочных занятиях. А некоторые из этих форм предназначены специально для подготовки к проведению внеурочных занятий по математике.

Подсистема теоретической подготовки состоит из курса методики преподавания математики (7-й семестр), специального курса «Дополнительные главы методики преподавания математики» вместо устаревшего и исключенного из нового учебного плана для университетов курса элементарной математики (8-й семестр), специального курса «Развитие творческих способностей учащихся с помощью решения математических задач» (9-й семестр) и спецсеминара «Ор-

ганизация факультативных и внеклассных занятий по математике» (10-й семестр).

Подсистема исследовательской подготовки включает выполнение рефератов, курсовых и дипломных работ по методике преподавания математики, проведение педагогических экспериментов, накопление, анализ и обобщение новых в научном отношении фактов и материалов, подготовка докладов по спецсеминару, к научным конференциям и некоторые другие формы.

Подсистема практической подготовки учителя включает б себя подготовительный этап педагогической практики (7-й семестр), обучающую педпрактику (8-й семестр), стажерскую педпрактику (18 недель в 9-м семестре). В 10-м семестре проведение занятий с учащимися продолжают те студенты, у которых темы докладов по спецсеминару требуют экспериментальной работы в школе.

В каждом звене теоретической подготовки уделяется большое внимание вопросам организации исследовательской работы студентов над проблемами внеурочных занятий по математике в тесной связи с практической работой в школе. При изучении курса методики преподавания математики специально выделяется время на ознакомление студентов с некоторыми методологическими вопросами организации педагогических исследований, с применением диалектико-материалистических принципов и законов в процессе изучения педагогических фактов и явлений. Изучаются основные компоненты процесса педагогического исследования, его этапы. Рассматриваются основные специальные методы и приемы исследования в области преподавания математики, типы экспериментов и методика их проведения.

Для вовлечения студентов в исследовательскую работу приводятся примеры исследования проблем студентами прошлых выпусков и применения результатов этих исследований в школьной практике. При этом обращается внимание на важные проблемы, требующие своего исследования, особенно в связи с введением в среднюю школу новых программ и факультативных курсов. Естественным продолжением теоретических занятий, посвященных вопросам организации исследований, является ознакомление студентов с тематикой рефератов и курсовых работ по методике преподавания математики на данный учебный год. Мы убеди-

лись в целесообразности связи тематики рефератов и курсовых работ по содержанию для того, чтобы выполнение реферата было существенной частью подготовительной работы над курсовой. В 7-м семестре студенты готовят и сдают реферат, а в 8-м семестре завершают курсовую работу.

Чтобы лучше организовать связь исследовательской и практической подготовки студентов, мы опираемся на специально созданный актив из творчески работающих учителей нескольких школ г. Томска (№№ 8, 15, 47 и школа-интернат № 3). Они являются постоянными участниками руководимого нами городского семинара для учителей математики по организации и проведению системы внеурочных занятий, связанных с уроками по новой программе. С этими учителями проводится систематическая работа по повышению их квалификации. Каждый учитель работает над темой, проводит эксперименты в своих классах, готовит доклады к педагогическим чтениям, научно-практическим конференциям. Например, участники нашего актива сделали 5 интересных докладов на проведенной в г. Томске научно-практической конференции, в которой участвовали ученые ряда областей и краев Сибири и Дальнего Востока.

С начала учебного года студенты IV курса прикрепляются к учителям из нашего актива, к их классам. Под руководством учителей студенты готовят учащихся к математическим олимпиадам, проводят факультативные, кружковые и другие внеклассные занятия, посещают и анализируют уроки. Это, конечно, позволяет лучше подготовить студентов к обучающей педпрактике и обеспечить успешное ее прохождение в 8-м семестре. Приобретение навыков практической работы с учащимися осуществляется на хороших образцах. Будущие учителя убеждаются в необходимости высокой математической и методической подготовки для работы со школьниками по новой программе и особенно для проведения факультативных и внеклассных занятий. Однако самое важное заключается в том, что студентам удается проникнуть в творческую лабораторию учителя, принять участие в научно-методической работе, проводимой учителем-наставником. Дело в том, что многие темы реферативных и курсовых работ связаны с темами, над которыми успешно работают учителя из нашего актива. Поэтому эти учителя могут оказывать и оказывают квалифицированную помощь прикрепленным к ним студентам в ор-

ганизации исследований по проблемам внеурочных занятий.

Приведем конкретные примеры. Так, учительница Ломова В. И. под нашим руководством успешно работает над темой «Взаимосвязь урочных и внеурочных занятий по математике», оказывает помощь студентам в постановке педагогических экспериментов при выполнении курсовых и реферативных работ, примыкающих к этой теме. Например, по темам: «Элементы математической логики на урочных и внеурочных занятиях в VII классе», «Система внеклассных занятий, связанных с новой программой по математике в VI классе», «Группы геометрических преобразований (факультативный курс для VII класса)». Две из этих работ были выдвинуты в числе десяти лучших на университетскую научную студенческую конференцию в подсекцию методики преподавания математики.

Еще пример. Учительница Бушмелева И. А. работает несколько лет над темой «Дифференцированный подход в обучении учащихся математике». Прикрепленная к ней студентка выполнила курсовую работу на тему «Дифференцированное обучение на уроках и внеурочных занятиях в VII классе». Два студента выполнили рефераты «Сочетание индивидуальной и коллективной работы учащихся в математическом кружке» и «Руководство творческой деятельностью участников факультатива для X классов».

Несколько учителей привлекают студентов к поискам путей активизации познавательной деятельности учащихся на внеурочных занятиях с помощью проблемного обучения Е сочетании с другими методами. Эти учителя имеют продолжительный опыт плодотворной работы со студентами-математиками университета. Они привлекаются и к рецензированию курсовых работ прикрепленных к ним студентов.

Следует отметить, что актив учителей, на который мы опираемся в работе со студентами, растет за счет наших выпускников, накопивших достаточный опыт практической работы и сохранивших интерес к научно-методическим исследованиям. Например, учительница Кузьмина Л. М., будучи студенткой нашего факультета, принимала активное участие в НИРС и после окончания университета успешно работает учителем математики более шести лет в той же школе, которую окончила с медалью. Она творчески рабо-

тает над исследованием проблемы взаимосвязи содержания факультативных и внеклассных занятий с уроками по новой программе. К ней прикрепляются студенты, проявившие интерес к исследованиям по данной проблеме. Например, прикрепленная к ней и ее классам студентка Н. Тихонравова выполнила на IV курсе курсовую работу на тему «Организация системы внеурочных занятий по математике с девятиклассниками», сделала соответствующий доклад на университетской научной студенческой конференции. Студентка приобрела не только необходимые практические навыки в организации и проведении занятий со школьниками, но и первоначальные навыки исследовательской работы. В результате на V курсе она подготовила к межреспубликанской научной студенческой конференции доклад «Интеграл и его приложения на урочных и внеурочных занятиях» и защитила дипломную работу на эту тему.

Вопросам организации исследовательской работы студентов над проблемами внеурочных занятий по математике уделяется серьезное внимание не только в курсе методики преподавания математики и во время педагогической практики. В спецкурсе «Дополнительные главы методики преподавания математики» мы знакомим студентов с системно-структурным подходом к исследованию учебно-воспитательного процесса по математике. При этом студенты получают соответствующие рекомендации по организации НИР (педагогических наблюдений и экспериментов, целенаправленному накоплению материалов и др.) во время предстоящей полугодовой стажерской педпрактики в связи с самостоятельной работой по изучению спецкурса «Развитие творческих способностей учащихся с помощью решения математических задач» и участием в работе спецсеминара на V курсе. Рекомендуется соответствующая литература не только по изучению спецкурса, но и по организации НИР. Например, книга Приходько П. Т. «Советы молодому исследователю» (Изд. 3, перераб. М., «Знание», 1969) или «Методы педагогических исследований» (под ред. канд. пед. наук В. И. Журавлева, М., «Просвещение», 1972).

Под влиянием системы методической подготовки, связывающей исследовательскую и практическую подготовку в единый учебно-воспитательный процесс, у будущих учителей интенсивно формируются познавательные интересы и сами способы познания. У них появляется потребность в

работе над специальной психолого-педагогической и методической литературой. Опираясь на известный им опыт учителей-наставников и свой небольшой опыт работы с учащимися, студенты стараются использовать теоретические знания для решения конкретных педагогических задач по руководству познавательной деятельностью учащихся на внеурочных занятиях.

На IV курсе студенты получают не только тему исследования, но и сформулированные задачи исследования, указания к выполнению экспериментальной части, рекомендации основной литературы, помощь со стороны учителей, а на V курсе студенты уже самостоятельно уточняют тему и формулируют задачи исследования, составляют план экспериментальной части и выбирают методы его реализации, подбирают необходимую литературу. Деятельность будущих учителей приобретает научно-исследовательский характер. И можно говорить об организации НИРС как о важной составной части профессиональной подготовки будущего учителя математики.

Обновление содержания и методов обучения в средней школе требует от учителя математики умения разрабатывать и проводить факультативные курсы, создавать систему внеклассных занятий, способствующих выявлению и развитию математических способностей школьников и повышению качества обучения по новой программе. Для более полного достижения этого в систему подготовки учителя мы включили специальный семинар «Организация факультативных и внеклассных занятий по математике». Он разработан нами для студентов V курса. Накоплен многолетний опыт его проведения в 10-м семестре, т. е. после возвращения студентов со стажерской педпрактики.

Спецсеминар рассчитан на 44 часа. Из них 10 часов отводится на лекции, остальные часы — на обсуждение заслушанных докладов, консультации и зачет. Темы для занятий в спецсеминаре студенты получают на IV курсе до стажерской практики. Это позволяет во время педпрактики (в качестве учителей математики преимущественно в сельских школах) провести соответствующую экспериментальную работу, накопить материал для занятий в спецсеминаре. Тематика курсовых работ по методике преподавания математики тоже предусматривает возможности продолжения исследований по выбранной теме при работе в спецсе-

минаре. Первые 10 часов посвящаются изучению разработанной нами методики установления взаимосвязи урочных и внеурочных занятий по двум трехэтапным конструкциям: уроки — внеурочные занятия — уроки (У1—В2—Уз) и внеурочные занятия — уроки — внеурочные занятия (Bi —У2-ВЗ)1.

Студенты готовят доклады, например, на такие темы: «Развитие интереса к математике у пятиклассников с помощью внеклассных занятий», «Элементы линейного программирования на факультативных занятиях», «Воспитание диалектико-материалистического мировоззрения у учащихся в факультативах», «Элементы теории вероятностей на факультативных и внеклассных занятиях» и др. В докладах студентов отражаются результаты педагогических экспериментов, наблюдений, анализа передового опыта учителей и личного опыта работы со школьниками. Лучшие доклады выдвигаются на университетскую научную студенческую конференцию в подсекцию методики преподавания математики. Таким образом, проведение спецсеминара способствует подготовке учителя-исследователя, умеющего разрабатывать и проводить различные формы внеурочных занятий со школьниками и самостоятельно повышать свою квалификацию.

У многих студентов творческие контакты с учителями из нашего актива не прерываются на IV курсе. Даже на V курсе при выполнении НИРС во время стажерской педпрактики в сельских школах и в 10-м семестре творческие контакты продолжаются. Нередко подготовка докладов к спецсеминару или научной студенческой конференции требует проведения дополнительных экспериментов, наблюдений или проведения серии внеурочных занятий в школе пятикурсниками после стажерской педпрактики. Тогда учителя предоставляют студентам такую возможность. Практические навыки по организации внеурочных занятий с учащимися студенты получают и при участии во внешкольных занятиях при университете (заочная ФМШ, летняя ФМШ, математический лекторий и др.).

В результате выпускники творчески реализуют идеи новой программы, разрабатывают и проводят новые факуль-

1 Шварцман З. О. О взаимосвязи урочных и внеклассных занятий по математике в средней школе.— «Вопросы обучения и воспитания». Издательство Томского университета. Томск, 1970.

тативные курсы, различные формы внеклассных занятий2. Некоторые выпускники продолжают исследования по актуальным проблемам внеурочных занятий.

Анализ педагогической деятельности наших выпускников, прошедших такую подготовку, показывает, что молодые учителя сравнительно быстро адаптируются к условиям работы по новой школьной программе, охотно проводят внеурочные занятия и с их помощью успешно преодолевают естественные трудности первых лет своей педагогической деятельности.

2 Шварцман 3. О. Из опыта подготовки учителей к проведению факультативов по математике.— Сб. «Пути совершенствования методики факультативных занятий». НИИ содержания и методов обучения АПН СССР. Москва, 1976.

Т. К. Бабкина, Т. Д. Сахарова

г. Вологда, Воробьевская средняя школа

ЧАСЫ ЗАНИМАТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ В СЕЛЬСКОЙ ШКОЛЕ

Воробьевская средняя школа — базовая школа педагогической практики студентов-математиков Вологодского педагогического института. Руководя в течение ряда лет этой практикой, мы заметили, что во внеурочной работе с сельскими школьниками приходится учитывать ряд обстоятельств, не свойственных городской школе.

В четвертый класс сельской школы приходят дети из нескольких малокомплектных начальных школ, уровень знаний ребят очень различен. Задача развития познавательных интересов у таких учащихся сельской школы приобретает важнейшее значение именно в четвертых-пятых классах.

Безусловно, основы познавательных интересов школьников формируются на уроках, но и внеурочные занятия занимают в решении этой проблемы не последнее место. На них расширяются и углубляются математические знания учащихся путем знакомства детей с некоторыми внепрограммными вопросами, подробнее, чем на уроках, раскрывается связь математики с жизнью. Все это оказывает положительное влияние на общее математическое развитие детей, повышает их интерес к предмету.

Мы постоянно ведем поиски наиболее эффективных форм внеурочных занятий с учащимися сельской школы. Цель данной статьи — поделиться с начинающими учителями некоторым опытом своей работы в этой области.

Нам представляется, что в четвертых-пятых классах важную роль играют массовые формы внеурочной работы с учащимися. Любознательность школьников этого возраста общеизвестна. Каждый учитель при организации кружковых занятий обычно сталкивается с тем фактом,

что записаться в кружок желают многие, хотя большинство из записавшихся еще не представляют, чем они будут заниматься, ждут от занятий развлекательности, первые же трудности в решении нестандартных задач их разочаровывают. Как быть? Жалко отпугнуть ребят, проявивших интерес к предмету, и в то же время совершенно ясно, что кружок — это форма занятий с небольшой группой учащихся.

Мы проводим в четвертых-пятых классах для всех учащихся часы занимательной математики, которые вызывают у школьников большой интерес. Особенностью сельской школы (в частности нашей) является и тот факт, что количество классов в параллелях невелико (в 1977/78 учебном году у нас — один четвертый, один — пятый класс). Массовые мероприятия приходится планировать с одним классом, непосредственно после уроков, т. к. дети живут на большом расстоянии от школы. Собрать несколько классов на вечер сложно, а в осеннюю непогоду и зимние холода и вовсе невозможно.

Учитывая все вышесказанное, мы не включаем в содержание часов занимательной математики сложный математический материал. Первая часть такого занятия — обычно беседа учителя (или студентов), где сообщаются некоторые сведения из истории математики, рассказывается о значении математики в современном мире. Здесь же мы привлекаем и местный материал, показывая ребятам, как применяется математика в сельском хозяйстве, в нашем совхозе.

Вторая часть — занимательная : решение задач, отгадывание ребусов и загадок, математические игры, различные конкурсы и викторины.

Приведем примеры нескольких бесед:

Математика и космос

Из газет, передач радио и телевидения, от своих родителей, вы, ребята, знаете, какие грандиозные задачи решает советский народ. Важнейшее место в современной науке и технике принадлежит математике. Математика всегда помогала развитию других наук, техники, и сама развивалась под их воздействием. Так, в астрономии еще в прошлом столетии она помогла сделать многие открытия.

На уроках географии вы узнали, что Земля, на которой мы живем является одной из девяти планет нашей Солнечной системы. А вот в

сороковые годы прошлого века о двух последних (Нептуне и Плутоне) никто ничего не знал. Правда, еще в 1783 году русский ученый А. И. Лексель (1740—1784 гг.), изучая движение планеты Уран (последней планеты Солнечной системы, как считалось тогда), обратил внимание на расхождение между расчетным и наблюдаемым движением Урана. Он подумал: «Отчего не хочется Урану бежать по той дорожке, которая для него рассчитана, ведь для остальных известных планет расчеты оказываются верными?» «Может быть, на движение Урана влияет другая, неизвестная пока планета»,— сделал предположение ученый, но в те годы ему никто не поверил.

Прошло более пятидесяти лет, загадка Урана по-прежнему волновала ученых. И вот английский астроном Д. Адамс и французский астроном и математик У. Леверье решили проверить предположение русского ученого. Они рассчитали, каждый в отдельности, предполагаемое местонахождение этой, все еще неизвестной планеты. Вычисления были очень сложны, заняли больше года, выполнялись вручную, ведь о вычислительных машинах в те времена никто и не слышал. Но труд ученых завершился блестящим открытием: мир, рассчитанный на бумаге, был обнаружен и человеческим глазом! По данным, которые представил У. Леверье, планету с помощью телескопа быстро обнаружил немецкий астроном И. Галле. Это и был Нептун. А в 1915 году также сначала теоретически с помощью математических формул и вычислений был найден путь движения и девятой планеты Солнечной системы — Плутона, которую с помощью телескопа обнаружили по этим расчетам через 15 лет.

Многие ученые-математики решали астрономические задачи. Так, немецкий математик К. Гаусс (1777—1855) дал способ определения орбит планет на основе наблюдений, который и в наши дни играет огромную роль при определении положения в пространстве планет спутников, а также искусственных спутников и межпланетных станций.

В наши дни с помощью математики предсказываются многие астрономические явления. Рассчитано, что в 1982 году состоится четыре солнечных и три лунных затмения. А 16 октября 2126 года в 11 часов утра в Москве произойдет полное солнечное затмение. Какие сложные вычисления для этих предсказаний приходится вести ученым! А запуски искусственных спутников Земли, полеты космических кораблей — все это требует сложнейших расчетов! Но сейчас на помощь человеку пришла техника — электронные вычислительные машины. Без математики, без ЭВМ в наши дни не работает ни одна отрасль народного хозяйства.

На следующем занятии мы рассказали ребятам о применении математики в сельском хозяйстве, сопроводив беседу экскурсией в счетное бюро совхоза. Руководил экскурсией главный экономист совхоза Г. В. Колокольников (мы предварительно обговорили с ним план ее проведения).

Математика и сельское хозяйство

Управление сложным и разносторонним сельским хозяйством в наше время связано с получением и обработкой огромного количества всевозможной информации. Так, для успешного развития племенного дела нужно полно и всесторонне знать каждое животное. При этом

приходится учитывать десятки показателей (рост животного, его вес, породность, продуктивность за год, жирность молока, количество съедаемого корма и т. д.), большая часть которых ежегодно меняется. Специалист (зоотехник) может обработать данные по своему хозяйству, но для этого ему требуется масса времени. А сколько людей нужно занять этой работой по району, по области. И не учитывать всю эту информацию нельзя. Как без нее выбрать наилучший вариант — самую продуктивную породу коров, например — для района, для совхоза!

А как много в любом хозяйстве экономических расчетов! При планировании работы совхоза на год, на пятилетку приходится также учитывать множество самых различных показателей по хозяйству, анализировать итоги работы за предшествующие годы, чтобы выявить, что является экономически самым выгодным для нашего хозяйства. Только за год в учетно-бухгалтерских документах содержится примерно 3—5 млн. показателей по хозяйству, для их обработки требуется 12—16 тыс. человеко-дней труда специалистов — бригадиров, бухгалтеров, экономистов, агрономов и т. д. (ребят поразило обилие расчетных книг, хранящихся в шкафах счетного бюро). Вручную все эти вычисления давно уже не выполняются. Наши экономисты и бухгалтера считают на логарифмической линейке, на арифмометрах, на счетных клавишных машинах (при этом ребятам была показана работа машин ВК-1, ВМП-2, Искра-1103 и др.).

Г. В. Колокольников рассказал также о планировании и расчетах в нашем совхозе. Ребята увидели самые разнообразные диаграммы, отражающие работу хозяйства, и получили массу материалов для дальнейшего использования на уроках и во внеурочной работе. В течение года мы провели и другие экскурсии: в с/х мастерские, на животноводческий комплекс, в поле и т. д.

О происхождении математических символов

Изучая математику с первого класса, вы, ребята, уже познакомились с особенностями математического языка, привыкли к его краткости, выразительности и, возможно, не замечаете его удобств. Разумное использование чисел и символов вместо слов помогает делать утверждения более наглядными и четче выделяет основную мысль. Мы сейчас и представить себе не можем, как смогли бы обойтись без символики в математических записях. Вот нам нужно записать утверждение: «два — положительное число». Посмотрите, сколько букв мы употребили для этого, заняли в тетради чуть не целую строчку. А как это запишем на языке математики? (2>0). Любой человек, сравнив эти две записи, поймет, как математические символы и знаки экономят наш труд. Язык математики очень сложен, но вся эта символика — названия понятий, их обозначения — создавалась людьми постепенно. Все значки придумали люди, и этот процесс — создание новой, удобной для человека символики — продолжается и сейчас и, видимо, никогда не прекратится. Так, мы с вами сейчас вместо слов «элемент а принадлежит множеству А» пишем «аеА».А вот ваши папы и мамы и даже те ученики, которые учились в школе до 1970 года, этот знак еще не употребляли. И само понятие «множество» является для математики молодым, если сравнить время его возникновения с образованием таких древних понятий, как «цифра», «точка» и др. Впервые

понятие «множество» ввел в математику в XIX в. немецкий ученый Г, Кантор (1845—1918), а символы включения ( С ) и принадлежности ( е ) придумал другой математик — итальянец Д. Пеано (1858— 1932). Большинство математических знаков образовалось из рисунков, чертежей, начальных букв в словах, обозначающих понятие. Так, значок „Utt (объединение двух множеств) — первая буква в слове «univcrsalus» что означает «универсальное», «общее». Не все придуманные символы оказались живучими; так, в древности, для обозначения треугольника применяли знак V, а вместо слова прямоугольник и окружность соответственно — cz7 ; . До наших дней дошел лишь первый символ, да и он изменился.

Многие символы возникли первоначально не в математике, а в практической жизни людей. Так, знак процента (%) вошел в употребление в те времена, когда стали давать в долг деньги. Часть отдаваемых денег считалась в сотых долях долга, она-то и получила название «процент», происходящее от итальянского слова«procentum» (со ста на сто), которое стали сокращать до «pro cento»и еще более—«pro cent Из записи слова «cento» (как полагают) образовался и символ «",.». Сокращая слово «cento», люди писали «cto», а путем дальнейшего упрощения записи из буквы f получилась наклонная черта, а далее — и современная запись процента. И слово, и значок оказались живучими, сейчас мы с вами повсюду встречаемся с процентами: в них исчисляется выработка продукции всех предприятий и отраслей промышленности, что очень удобно для сравнения результатов.

Вторую часть этого занятия — занимательную — мы посвятили теме «Проценты в нашей жизни». Здесь мы подвели итоги различным, объявленным ранее конкурсам.

Заданием первого конкурса было составление задач на проценты с использованием данных нашего совхоза. Ребят эта работа увлекла, благодаря ей они многое узнали о работе своих родителей, собрали массу интересных данных по совхозу и составили самые разнообразные задачи:

1. В совхозе 80 тракторов, 48 из них гусеничных. Какой процент от всего количества тракторов составляют гусеничные?

2. В 1969 году в Воробьевском с/с было 37 газовых установок, а в 1977 году их стало 370. На сколько процентов увеличилось количество установок?

3. За четыре месяца 1977 года на ферме Б.;Деревня от каждой коровы надоили по 1400 л молока, а за те же месяцы прошлого года — по 1350 л, в 1967 году (за те же месяцы) по 1160 л. На сколько процентов повысились удои в 1977 году сравнительно с прошлыми годами?

4. В 1980 году совхозом «Доброволец» будет продано государству 3400 т молока, что составит 85% всего полученного в этом году молока. Сколько молока будет произведено совхозом в 1980 году?

Второй конкурс был посвящен составлению диаграмм по местным данным. Например, в 1980 году в с-зе «Доброволец» намечено заготовить такие виды кормов: а) сена — 1900 т, б) прессованного сена— 800 т, г) сенажа — 1000 т, д) витаминной травяной муки — 300 т.

Составить круговую диаграмму распределения кормов в совхозе в 1980 году (такие диаграммы ребята видели в конторе совхоза во время экскурсий).

По итогам конкурсов победители получили призы дирекции совхоза.

На самом занятии мы провели соревнование — конкурс между двумя командами на тему «Цена одного процента».

Вывесив плакат с данными о выполнении плана совхозом за 1976 год, мы предложили командам задание — кто быстрее сосчитает :

1) Сколько человек можно напоить молоком, приходящимся на 1%, из полученного в нашем совхозе в 1976 году?

2) Сколько платьев можно сшить из льнотресты, сданной государству совхозом в 1976 году? и т. д.

Дополнительные данные (сколько молока в сутки в среднем выпивает человек, сколько ткани идет на платье и т. д.) ребята узнавали заранее, от этого зависела быстрота решения командой тех или иных задач.

На занятии решались старинные задачи, посвященные сельскохозяйственному труду (№ 1269, 1300 и др. из учебника «Математика 5») и занимательные задачи на проценты (М. Б. Балк, Г. Д. Балк «Математика после уроков». М., 1971, стр. 140).

Мы не приводим содержание других бесед, отметим только, что рассказывали мы и об истории возникновения дробей, систем счисления, о мерах и метрической системе.

Отмечая 60-летний юбилей нашего государства, мы провели беседы по книге Д. С. Фаермарка «Задача пришла с картины», рассказав дополнительно о судьбе талантливых мальчиков в царской России (костромича Вани Петрова, грязовчанина Миши Серебрякова). Затем мы говорили о развитии математических талантов в наше советское время, познакомили школьников с выдающимися математиками нашей страны, с учеными-математиками нашей области.

Материал для занимательной части занятий

Иногда часть заданий мы давали классу предварительно, а затем, на занятии, подводили итог решений, разбирая те задачи, которые при самостоятельной работе вызвали у ребят трудности.

1. Загадки, логогрифы (логогриф — загадка, в которой задуманное слово получает различное значение от добавления или выбрасывания букв, слогов).

Прибавим «О» к единице длины, И в миг она преобразится. А как? Подумать вы должны! Лишь скажем: под землей помчится.

Ответ: метр—метро.

Арифметический я знак,

В задачнике меня найдешь

Во многих строчках.

Лишь «О» ты вставишь, зная как,

И я — географическая точка.

Ответ: плюс—полюс.

Чтоб поддерживать скворечню Иль антенну, я гожусь, С мягким знаком я, конечно, Сразу цифрой окажусь.

Ответ: шест—шесть.

II. Арифметические ребусы.

1) В этих ребусах одинаковые знаки означают одинаковые цифры, разгадайте их:

2) Замените каждую букву определенной цифрой, найдите значение суммы:

луг + коса=сено Ответ: 123 + 4956=5079

ерш f щука=рыба Ответ: 250 + 6934=7184

3) Расшифруйте пример (одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры):

АБ • ВГ=БББ Ответ: а) 37 ■ 21 = 777

б) 35- 17=555

4) В кружочки данной фигуры поставьте числа от 1 до 19 так, чтобы сумма чисел, оказавшихся в каждом из треугольников (в который входит по три кружка), составила 22.

Ответ:

Рис. 2 Рис. 3

III. Задачи для конкурсов и викторин.

1. Пятью тройками напишите 42.

2. Пятью тройками напишите 10.

3. Четырьмя тройками напишите 111.

4. Восьмью восьмерками напишите 1000.

(Разрешается употреблять знаки действий.)

Ответы: 1) 33 + 3 + 3 + 3; 3) 333:3; 2) 3:3 + 3 + 3 + 3;

5. На 5 рублей куплено 100 марок — по 1 коп., по 10 коп., по 50 коп. Сколько каких марок куплено?

Ответ: 50 коп. — 1,10 коп. — 39,1 коп. — 60.

6. Одной прямой линией разрежьте фигуру на две части и сложите из них квадрат.

Рис. 4.

7. Разрежьте фигуру тремя прямыми линиями на четыре части и сложите из них треугольник.

Ответ:

Рис. 5. Рис. 6.

8. Два велосипедиста участвуют в гонках по круговой дорожке. Первый делает полный круг за 6, второй — за 4 минуты. Через сколько минут второй велосипедист догонит первого?

Ответ: через 12 минут.

9. Какими способами можно разменять один рубль, имея монеты по десять и пятнадцать копеек.

Ответ: 1) 1010; 2) 10-1 + 15-6;

3) 4-10 + 4-15; 4) 10-7 + 2-15.

10. Который сейчас час, если до конца суток осталось втрое меньше того времени, которое прошло от их начала?

Ответ: 6 часов вечера.

11. Четыре четных числа, следующие друг за другом, в сумме составляют 60. Какие это числа?

Ответ: 12, 14, 16, 18.

12. Назвать натуральное число, равное сумме всех предшествующих ему натуральных чисел?

Ответ: 3.

13. В книге 39 страниц. Сколько понадобилось цифр для нумерации страниц этой книги?

Ответ: 69.

14. Сколько страниц в книге, если для их нумерации понадобилось 39 цифр?

Ответ: 24.

15. Сколько раз встречается цифра 2 в записи всех звучных чисел?

Ответ: 19.

16. Напишите семизначное число, сумма цифр которого равна двум. Сколько таких чисел можно написать?

Ответ: 1) 1000001; 1000010; ..... 2000000; 2) 7.

17. На сколько единиц сумма всех четных чисел первой сотни больше суммы всех нечетных чисел этой сотни.

Ответ: на 50.

18. Вместо звездочек поставить цифры так, чтобы полученное число делилось на 15:5*73*

Ответ: например, 50730.

19. В одном из классов школы тридцать три ученика. Докажите, что фамилии хотя бы двух учеников начинаются с одной и той же буквы.

Ю. Г. Войтонис

КОММУТАТИВНОСТЬ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПЛОСКОСТИ

Пусть / — некоторое перемещение плоскости. Для произвольной точки M найдем ее образ Мх =/(М). Возьмем другое перемещение ф и найдем

Между точками А и Б возникает некоторое преобразование, которое обозначим через г|), т. е. \р (Л) = В. В этом случае говорят, что ф преобразует (трансформирует) перемещение / в преобразование г|) и пишут = <J>.

Легко видеть, что = ([I], стр. 30—31).

Т. к. / и ф — перемещения, то /? —тоже перемещение. —перемещение (трансформация) перемещения / посредством перемещения ф.

Отметим некоторые свойства трансформации перемещений, необходимые нам в дальнейшем

— композиция перемещений [, и /,.

2. Если /2 = /, то (/*)2=/

3. Если /(М) = М, Ф(М) = А, то fr (А)г=А.

Выясним каким образом преобразуются различные перемещения плоскости.

Пусть / — осевая симметрия с осью d, т. е. f = d, а ф — некоторое перемещение. По свойствам (2) и (3) d^ — осевая симметрия с осью y(d). Следовательно, ßff =ф(^).

Как известно ([2], стр. 111 —117), всякое перемещение 1 рода можно представить в виде композиции двух осевых симметрий.

Пусть \ = d2-d\. По свойству (1) получим

р = ?№) • ?(«/,).

Возможны следующие случаи:

/ — центральная симметрия с центром 0, т. е. / = 0. Тогда

/ — параллельный перенос, т. е. / = а.

Тогда

Легко показать, что

/ — поворот вокруг точки О на угол а, т. е. / = 0,. В этом случае

в зависимости от рода перемещения ф.

Пусть, наконец,

— скользящая симметрия с осью d.

Следовательно,

Теорема. Два перемещения коммутативны тогда и только тогда, когда посредством одного перемещения другое преобразуется в себя.

Доказательство, (см. [3J, стр. 61—63).

Рассмотрим вопрос о коммутативности перемещений плоскости.

1. / — осевая симметрия d, ф — некоторое перемещение плоскости. Как было показано,

Таким образом, осевая симметрия коммутативна с теми перемещениями, в которых ее ось является двойной прямой. Из этого вытекает, что коммутативность осевой симметрии с перемещениями плоскости имеет место в следующих случаях:

Следовательно,

(1)

(2) (3) (4)

2. / — центральная симметрия О. Аналогично предыдущему получим:

центральная симметрия коммутативна с теми перемещениями, в которых ее центр является двойной точкой. Опуская случаи (p = d и ф = 01, будем иметь:

(5)

где О1 — центр поворота 0'а.

3. / — параллельный перенос а. В этом случае должно выполняться условие:

Если ф — параллельный перенос b , то

Значит,

(6)

Если ф — скользящая симметрия

Следовательно,

(7)

4. f — поворот Оа

Заметим, что ф может быть только перемещением I рода. Будем иметь

(8)

5. / — скользящая симметрия

Рассмотрим случаи для

Получим

(9)

Таким образом, нами перечислены все случаи коммутативности перемещений плоскости. Указанным методом можно воспользоваться для изучения вопроса о коммутативности перемещений пространства.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии, «Наука», 1969.

2. Перепелкин Д. И., Курс элементарной геометрии, Гостехиздат, ч. 1, 1948.

3. Вольберг О. А. Основные идеи проективной геометрии, Учпедгиз, 1949.

СОДЕРЖАНИЕ

Скопец З. А. Координатные формулы осевой симметрии плоскости и их применение ........ 3

Балк М. Б., Ломакин Ю. В. Неравенства и производная . 20

Котий О. А., Рачкова В. Т. Алгебраический способ введения понятия комплексного числа ....... 34

Шарова О. П. Некоторые приложения комплексных чисел к решению уравнений и систем уравнений ..... 41

Гушель Р. 3. Перемещения и подобия плоскости в задачах 5-5

Скопец З. А., Кузнецова Л. И. Пересечение обратимых отображений ............ 67

Айзенгендлер П. Г. Об изучении дифференциальных уравнений в X классе .......... 83

Иванова Т. А. Элементы математического анализа в геометрических задачах .......... 89

Балк М. Б., Балк Г. Д. Кватернионы на внеурочных занятиях по математике .......... 109

Каминская Э. Л., Каминский Т. Э. Линейные неравенства и линейное программирование ....... 129

Жиляева Т. Г. Векторное изложение теории определителей и систем линейных уравнений ........ 145

Губа С. Г. Математические задания поисково-исследовательского характера .......... 160

Смышляев В. К., Смышляева М. В. Целая и дробная части числа на внеклассных занятиях ....... 172

Семенов Е. Е. Начальные понятия геометрии во внеклассной работе ............ 184

Приеде M. X. Теорема Менелая и ее применение к решению задач ............. 194

Горбунова В. А. Скалярное произведение векторов в традиционных геометрических задачах . . . . . . .212

Шварцман 3. О. Некоторые особенности подготовки учителя к проведению системы внеурочных занятий по математике в условиях университета ......... 224

Бабкина Т. К., Сахарова Т. Д. Часы занимательной математики в сельской школе ......... 233

Войтонис Ю. Г. Коммутативность перемещений плоскости. 243

Сдано в набор 7.06.1979 г. Подписано к печати 29.09.1981 г. ГЕ04473. Формат 60X84/,б. Усл. печ. л. 14,4. Уч.-изд. л. 10,01. Тираж 1000 экз. Цена 1 руб. 50 коп. Заказ 1695.

ВНЕУРОЧНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ В УСЛОВИЯХ СЕЛЬСКОЙ ШКОЛЫ

Пединститут, ул. С. Орлова, 6. Областная типография, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.