МАТЕМАТИКА

В. В. Вавилов

Школа математического творчества

В. В. Вавилов

Школа математического творчества

МОСКВА

ББК 22.12 74

250-летию Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и его великому ученому и педагогу А. Н. Колмогорову

Вавилов Валерий Васильевич

Школа математического творчества. — М.: РОХОС, 2004. — 72 с. ISBN 5-9519-0035-2

Работа написана к 250-летию Московского государственного университета, 40-летию создания школы-интерната при МГУ и в связи со столетием со дня рождения ее основателя — выдающегося ученого современности, педагога, гуманиста и патриота, академика Андрея Николаевича Колмогорова. В ней содержатся материалы исторического характера, описана структура преподавания математических дисциплин в школе, рассказано о работе кафедры математики, нацеленной на развитие математической культуры школьников и на подготовку их к будущей научной деятельности.

Книга иллюстрирована репродукцией одной из картин художника Д. И. Гордеева и фотокопиями некоторых материалов А. Н. Колмогорова.

Автор благодарен И. Ю. Селивановой, О. Е. Долгалевой, Е. В. Шивринской, А. Н. Швецу, А. Н. Качалкину и А.А. Часовских за поддержку и помощь при редактировании.

Оригинал-макет предоставлен автором, текст опубликован в авторской редакции.

Отпечатано в типографии ООО «РОХОС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9. Подписано к печати 25.06.2004 г. Формат 60×90/16. Тираж 500 экз. Печ. л. 4,5. Зак. № 3-1441/615.

ISBN 5-9519-0035-2

© В. В. Вавилов, 2004

© СУНЦ МГУ, 2004

© РОХОС, 2004

Издательство УРСС

дистрибьютор научной и учебной литературы

Телефон / факс: (095) 135-42-46,135-42-16 e-mail: URSS@URSS.ru

Каталог изданий в Internet: http://URSS.ru

Д.И. Гордеев, «Учитель»

В 2003 году исполнилось сто лет со дня рождения выдающегося ученого современности, гуманиста и патриота академика Андрея Николаевича Колмогорова и сорок лет со дня основания специализированной школы-интерната при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова. В 1988 году школе закономерно и по праву было присвоено имя А.Н. Колмогорова, ее основателя и руководителя, для которого она стала одним из главных дел жизни. Просто невозможно не отметить, как имена этих двух классиков науки -М.В. Ломоносова и А.Н. Колмогорова, людей универсальных знаний, в важнейшем деле организации среднего и высшего образования, в заботе о подрастающем поколении переплелись накрепко, а основная черта, их в этом объединяющая, стала традицией Московского университета и его преподавателей: отбор талантов, создание условий для их развития, непосредственное участие в этом деле широкой научной общественности.

Сейчас трудно себе представить, что не так давно у нас мало кого на государственном уровне интересовали задачи поиска, развития и поддержки талантливой школьной молодежи, проявляющей интерес к изучению естественных наук; до начала 60-х годов прошлого столетия господствовала педагогика «всеобщего равенства», «идея» полной унификации всех школ и среднего образования вообще. Поэтому при открытии в Москве, недалеко от Филей, в Давыдково, физико-математической школы — интерната при МГУ («Мы живем в Филейной части белокаменной Москвы» — первые строки школьного гимна) были преодолены многие бюрократические препятствия, что было бы практически неосуществимым делом, если бы организацией школы при МГУ, и подобных школ в г.г. Новосибирске, Ленинграде и Киеве, не занялись (прямо или косвенно) выдающиеся ученые, ясно отдающие себе отчет в государственной важности работы с талантливой молодежью и необходимости реализации на практике принципов дифференциации обучения в старших классах — А.Н. Колмогоров, М.В. Келдыш, И.Г. Петровский, П.С. Александров, М.А. Лаврентьев, И.К. Кикоин, И.М. Гельфанд, Б.В. Гнеденко, Е.Б. Дынкин, С.Л. Соболев, А.А. Ляпунов, Н.И. Ахиезер, С.Т. Беляев, В.М. Глушков, А.И. Маркушевич, В.С. Смирнов, Д.К. Фадеев, Д.В. Широков и многие другие.

Физико-математическая школа-интернат при МГУ им. М.В. Ломоносова была открыта 2 декабря 1963 года и задумана она была, прежде всего, как школа научного творчества для молодежи (какой и является сейчас), куда на конкурсной основе принимаются школьники из Центральной России. Школа небольшая (около 350 учащихся), в

ней организованы только десятые и одиннадцатые классы; имеется как двухгодичный цикл обучения, так и одногодичный. Специализаций обучения, в настоящее время, пять: физико-математическая, компьютерно — информационная, химическая, биологическая и биофизическая; для одногодичного обучения — только физико-математическая. Система обучения лекционно-семинарская и приближена к вузовской. Большое внимание на всех специальностях отводится информатике и практической работе на компьютерах. На каждом уроке по профилирующим дисциплинам работают одновременно два преподавателя, что позволяет обеспечить индивидуальный подход в процессе обучения и значительно повысить его эффективность. Говоря о школе научного творчества, мы имеем в виду не только профилирующие дисциплины; выступая на одном из заседаний педагогического совета школы А.Н. Колмогоров специально выделял эту учительскую задачу (см. [49]): «Существенно, что здесь в интернате, школьники приходят в соприкосновение с творческой мыслью. Это наш запрос, но по всем предметам! Метод работы — имитация научного исследования, шаг за шагом находить, вычислять нечто..., а не давать готовенькое,.,».

Начиная с 1988 года на базе школы-интерната № 18 Мосгороно при МГУ был организован (постановлением правительства за № 1241 от 21.10.88) Специализированный учебно-научный центр МГУ, который стал самостоятельным структурным подразделением Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова со всеми его атрибутами: возникло звание «учащийся Московского университета» с соответствующим удостоверением, правами и обязанностями, появились кафедры, выпускники школы при наличии рекомендации ученого совета Центра зачисляются в МГУ без экзаменов и т.д.

Каждый год происходит прием новых учащихся, который начинается в апреле. Для его осуществления проводятся вступительные экзамены (письменные и устные), причем в местах проживания абитуриентов. Часто окончательное решение о зачислении принимается после работы летней школы для абитуриентов, куда приглашаются все успешно выдержавшие вступительные экзамены. Уже при проведении вступительных экзаменов по математике мы, в первую очередь, стремимся отобрать среди наших абитуриентов тех школьников, которые не только обладают определенной суммой знаний, но и проявляют стойкий интерес к учебе, умеют нестандартно мыслить, хорошо восприимчивы к новому материалу. Так, например, на устных экзаменах по математике встречались такие задачи (см. [3, 23, 30]):

1. Доказать, что если натуральные числа а и 5а имеют одинаковые суммы цифр, то число а делится на 9.

2. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше последнего. Определить углы прямоугольного треугольника.

3. Какие многоугольники можно получить, пересекая куб плоскостью?

4. Доказать, что касательная к гиперболе ху = 1 образует с осями координат треугольник площади 2.

5. Найти все натуральные числа а, для которых треугольник с длинами сторон 6 см, 7см и а см будет тупоугольным.

6. Углы треугольника, вершинами которого служат основания высот треугольника ABC, равны 30°, 60° и 90°. Найти углы треугольника ABC.

7. Имеются весы с двумя чашками и по одной гире в 1 грамм, 3 грамма, 9 грамм, 27 грамм и 81 грамм. Как уравновесить груз в 67 грамм, положенный на чашу весов?

8. Для участников экзамена в ФМШ было приготовлено конфет столько же, сколько вместе булочек и стаканов чая. Каждый школьник съел по конфете и выпил по стакану чая, после чего осталось стаканов чая и конфет вместе столько же, сколько булочек. Остался ли еще чай?

9. Четыре ученицы: Мария, Нина, Ольга и Полина заняли на олимпиаде первые четыре места. На вопрос, кто из них какое место занял, они ответили:

а) Ольга — второе, Полина — третье;

б) Ольга — первое, Нина — второе;

в) Мария — второе, Полина — четвертое.

В каждом из трех ответов одна часть верна, а другая неверна. Какое место заняла каждая из учениц?

10. Можно ли на клетчатой бумаге нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах?

Летняя физико-математическая школа (ЛФМШ) работает с 1963 года и идея ее создания возникла одновременно с идеей об организации самой ФМШ при МГУ. Программа обучения в ней строится так, чтобы помочь нашим будущим учащимся подготовится к восприятию основной программы в школе-интернате. В первые годы летние школы проходили в Красновидово, затем в г. Пущино на Оке Московской области; в последнее время они проводятся на базе школы-интерната им. А.Н. Колмогорова.

Организация работы летней школы и другие многочисленные хлопоты целиком лежат на спецшколе — интернате. А.Н. Колмогоров работал в Красновидовских летних школах в 1964, 1965, 1968 и 1970 годах, в г. Пущино на Оке — в 1971, 1972, 1975 и 1977 годах. В ЛФМШ — пятидневная рабочая неделя. Система занятий, как правило, лекционно-семинарская. Лекций немного: 1—2 часа по каждому предмету в неде-

ЛШ — 78 (из конспекта ученика)

лю. Учащиеся занимаются 6 часов: четыре часа до обеда и два часа после обеда. Традиционно проводятся различные олимпиады и тестирования. Дополнительно к обязательным занятиям для особо интересующихся школьников работает несколько кружков. В каждой группе работают два — три преподавателя математики, которые одновременно присутствуют на занятиях, так что во время работы на уроке преподаватель беседует с каждым школьником несколько раз. Тесное общение между преподавателями и школьниками, конечно, не ограничивается только уроками, школьники в любое время могут получить нужную консультацию. Благодаря такой организации, занятия в ЛФМШ проходят в атмосфере дружбы, взаимопонимания и увлеченности.

Содержание курсов в летней школе всегда отбирается так, чтобы разница в уровне подготовки учащихся как можно меньше сказывалась на результатах их работы в ЛФМШ. Отбор учебных материалов происходит таким образом, чтобы обучение было интересным и доступным для всех, а его изучение создавало атмосферу поиска, увлеченности и развития интереса к проведению, пусть небольших, работ исследовательского характера. По каждому предмету проводятся контрольные работы, а в конце — зачеты. По итогам работы в летней школе лучшие учащиеся зачисляются в школу им. А.Н. Колмогорова. ЛФМШ является удобной базой для экспериментирования с содержанием и методикой обучения школьников, интересующихся математикой и физикой и поэтому в летней школе нет раз и навсегда заданных программ.

Курс А.Н. Колмогорова (Пущино -78) для 9-х классов (ныне десятых) состоял из 5 лекций. Его содержание сводилось (по сохранившимся конспектам) к следующему: Задача о камне, брошенном вверх. Радиоактивный распад. Первообразная и интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Задача о прыгающем мячике. Гармонические колебания. Циклоида. Векторнозначные функции и их производные (практикум). Теория часов (практикум).

Другой из курсов ЛФМШ — 78 назывался «Комбинаторика и теория групп» (лектор — А.Н. Земляков). Его программа содержала: Отображения и подмножества конечных множеств. Сочетания, перестановки, размещения, разбиения. Группы вращений плоских и пространственных фигур. Комбинаторика раскрасок. Группы подстановок и их подгруппы. Представление об изоморфизме групп. Основная цель курса — на доступном материале познакомить учащихся с одним из важнейших понятий современной алгебры, понятием группы. Эта тема начинается с самых простых и наглядных примеров: группы самосовмещений прямоугольника, правильных многоугольников, тетраэдра и

куба. Эти группы выступали в роли характеристики степени симметрии правильных фигур. Интересны возникающие здесь задачи о числе геометрически различных раскрасок вершин таких фигур. Интерпретируя вращения фигур с помощью перестановок вершин, отыскиваются композиции поворотов, подводя учащихся ко второму основному примеру — группам подстановок. Имея перед собой конкретные примеры, школьники свободно обращаются с общими понятиями группы, подгруппы, циклической группы и т.п. Весь этот материал, несмотря на серьезность математического содержания, доступен учащимся абитуриентам и с интересом ими осваивается.

О содержании некоторых других курсов ЛФМШ можно судить по воспоминаниям о летней школе в Красновидово [20], о летней школе на Рубском озере под г. Иваново 1970 года в [9] и о летней школе, проводившейся на базе школы им. А.Н. Колмогорова в 1999 году в [39]; см. также [3], [26].

В школе три математические дисциплины: алгебра, геометрия и математический анализ (9 часов в неделю, по три на каждый предмет, из которых один час — лекционный). В массовой школе курсы алгебры и математического анализа объединены в один. Мы же придерживаемся той точки зрения, что они должны изучаться раздельно. Стабильных математических программ, в строгом понимании, в школе не существует даже в рамках одной специализации (физико-математические классы разделены на два потока), не говоря уже обо всех специализациях вместе взятых. Все программы индивидуальны и отражают вкусы и опыт работы (не только школьный) лектора, а также накопленные опыт и традиции, сложившиеся в нашей школе. Конечно, эта индивидуальность программ сказывается только на 20—25 процентов от всего отводимого на учебную дисциплину учебного времени, а в остальном — это сложившаяся и довольно устойчивая тематика. Школа стремится к тому, чтобы все занятия (по всем предметам!) не только увеличивали сумму знаний учащихся, но и систематически воспитывали те качества, которые необходимы любому человеку: уважение к коллективу, ответственное отношение к делу, привычка к систематическому труду, стремление к качественному выполнению работы, поиску нового и самостоятельности мышления, упорству в достижении цели.

Курс алгебры двухгодичного потока (физико-математического отделения) включает в себя довольно обычный для нас набор основных тем: Математическая индукция. Комбинаторика. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики. Арифметика остатков. Рациональные и иррациональные числа. Многочлены. Комплексные числа и

отображения комплексной плоскости. Неразрешимость трех классических проблем. Алгебраические неравенства, уравнения, системы.

Алгебра, как учебный предмет в массовой средней школе, довольно далека от современной алгебры как науки, что вполне естественно, т.е. на самом деле в этом школьном курсе сильно переплетаются элементы трех математических дисциплин («три великие А», по выражению Ф. Клейна, — Арифметика, Алгебра, Анализ). Наш алгебраический курс, в основном, ориентирован не на теории и аксиоматику, а на конкретные ситуации, примеры и задачи (в рамках первых двух «великих А»). Конечно, на лекциях, да и на семинарских занятиях, доказываются теоремы, закладываются основы теорий, но все-таки его лицо дисциплины определяют те задачи, которые выносятся на упражнения. Там, где это целесообразно, на типичных примерах рассматриваются различного рода алгебраические структуры. Много внимания уделяется задачам, лежащим на стыке алгебры и теории чисел, геометрии, математического анализа. Стержневой идеей курса, его стержневым понятием является понятие уравнения. Курс содержит значительные исторические экскурсы, служит расширению кругозора и повышает математическую культуру учащихся. Становлению этой дисциплины в нашей школе способствовали основные и специальные лекционные курсы В.И. Арнольда, А.М. Степина, А.А. Егорова, А.Н. Землякова, Т.Н. Трушаниной, С.Б. Гашкова, О.И. Василенко, А.А. Русакова, А.В. Устинова, В.А. Колосова и др.

Общие цели изучения курса геометрии в школе им. А.Н. Колмогорова мало, чем отличаются от тех основных целей, которые пытаются достигнуть в массовой средней (да и высшей) школе. Если говорить о них коротко, то это изучение свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве, формирование пространственных представлений в широком понимании этого слова, развитие логического мышления, подготовка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин.

Интересен был лекционный курс геометрии А.Н. Колмогорова, который он дважды читал для вновь поступивших в школу-интернат (тогда — для девятиклассников); затем он был положен в основу геометрических курсов, которые в течение ряда лет читали А.М. Абрамов, В.Н. Дубровский, А.Н. Земляков, В.В. Вавилов и др. Колмогоровский цикл лекций знакомил учащихся с глубокими математическими идеями, был завершенным, он (как, видимо, никакой другой курс) эффективно приобщал слушателей к самостоятельным исследованиям и к научной работе. Этот курс лекций, вместе с подобранными к нему упражнениями, сохранился и ждет своей публикации. На лек-

циях сначала вводилась аксиоматика аффинной и проективной плоскостей. Затем строились различные модели таких плоскостей, включая конечные геометрии; анализировались независимость, непротиворечивость, полнота и минимальность выбранного набора аксиом. Изучалась возможность построения конечных плоскостей. Строился пример Гильберта недезарговой плоскости. Доказывалась теорема о пополнении аффинной плоскости до проективной. В аффинном и проективном пространствах доказывались основные теоремы стереометрии, которые выводятся только из аксиом соединения. Затем изучались параллельные переносы, векторы и операции над ними, преобразования подобия и их классификация.

Учебный план курса геометрии сейчас, и его реализация при двухгодичном обучении, сильно отличается от учебных планов средних школ (как массовой, так и специализированной). Главное отличие состоит в том, что в десятом классе у нас проходит повторительный курс планиметрии и только в одиннадцатом классе изучается систематический курс стереометрии (иногда этот курс начинается во втором полугодии десятого класса — это зависит, в основном, только от лектора курса). Такой учебный план нам позволяет не только повторить и систематизировать знания, навыки и умения, полученные учащимися ранее, но и расширить объем знаний, уделить особое внимание конкурсным экзаменам в вузы, развить интерес к изучению математики, реализовать на практике принципы обучения, связанные с повышением интереса к изучению математики и развитием математической культуры школьников. Кроме того, такая возможность преподавания позволяет уделить более серьезное внимание по-настоящему прикладным вопросам (а не только к так называемым задачам с практическим содержанием) и использованию ПК, а также не забыть и «деятельность руками» (склеить, построить, сосчитать, нарисовать и т.д.); последнему обстоятельству служат задания математического практикума (см. ниже).

Так как курс по планиметрии в двухгодичном потоке является, в основном, повторительным, а наши учащиеся уже проявили свой интерес к изучению математики и физики, то это позволяет затронуть (иногда только лекционно) многие вопросы, которые нацелены на качественно иной уровень геометрических знаний и представлений. Приведем тематический список лекций (он меняется и обновляется год от года), который сильно превышает тот, который удается реализовать на практике — он просто отражает наш опыт работы.

Фрагмент лекции А.Н. Колмогорова «Аффинные плоскость и пространство», стр. 1

Фрагмент лекции А.Н. Колмогорова «Аффинные плоскость и пространство», стр.2

Материалы к лекции А.Н. Колмогорова

Так, например, читались следующие лекции: Равносоставленность многоугольников. Задача Дидоны. Многоугольники на клетчатой бумаге. Формулы Эйлера и Пика. Классификация движений на плоскости (теорема Шаля). Правильные паркеты. Группы самосовмещений фигур. Центр масс и его применение. Классификация преобразований подобия. Инверсия и шарнирные механизмы. Конечные аффинные и проективные плоскости. Теоремы Дезарга и Паскаля. Пучок кривых второго порядка. Принципы исключенного третьего, математической индукции, включения и исключения, Дирихле, непрерывности в геометрии.

При изучении стереометрии характер лекций, конечно, меняется (курс этот учащимися изучается впервые и не за два учебных года, как в массовой школе, а за один), однако наряду с обязательной частью программы на лекции выносятся и некоторые дополнительные темы. Например, такие: Геометрия тетраэдра. Седлообразная поверхность. Две проекции. Конические сечения. Многогранники, теоремы Эйлера и Коши. Правильные многогранники и их группы самосовмещений. Неравносоставленность куба и правильного тетраэдра. Элементы сферической геометрии и тригонометрии. Геометрия сфер. Задача о тринадцати шарах. Алгебра скользящих векторов. Принцип Кавальери. Теоремы Гюльдена об объемах. Площадь поверхности и пример Шварца.

В разные годы геометрическими курсами руководили А.Н. Колмогоров, А.Б. Сосинский, В.Б. Алексеев, А.Н. Звонкин, А.М. Абрамов, А.Н. Земляков, А.П. Веселов, В.Н. Дубровский, В.В. Вавилов, М.В. Смуров, Ю.П. Соловьев, Н.П. Долбилин, С.А. Богатый, В.Ф. Бутузов и др.

Курс «Математический анализ» довольно стабилен и наиболее устойчив в школе. И в то же самое время, при его реализации возникают наибольшие дискуссии и хлопоты. Здесь три главные проблемы. Первая — это строгость изложения курса и его уровень; по этому поводу и методики его преподавания А.Н. Колмогоров всегда считал, что изложение анализа должно быть доступным и наглядным и этого тезиса мы придерживаемся и сейчас. Он писал (см. [19]): «Опыт наглядного преподавания начал анализа говорит, что эти начала могут быть изложены в форме, в которой они совсем не воспринимаются как что-либо более трудное, чем обычный, чисто алгебраический материал». Вторая причина — самоуверенность некоторых преподавателей: «что-что, а уж математический анализ, да еще на уровне средней школы, мы знаем!». А третья причина связана с желанием избежать значительного дублирования университетских программ.

При постановке этого курса, особенно в первые 10—15 лет существования школы, было много экспериментов, которые касались не только конкретных тем, но и общей идеологии курса. А.Н. Колмогоров, например, в одном из своих экспериментальных курсов анализа еще в шестидесятых годах попытался в рамках курса построить теорию вещественных и комплексных чисел, используя операторный подход. В другой раз, лекции вводного курса анализа содержали теорию действительных чисел, основанную на аксиоматике скалярных величин, им же и разработанную. От этого, в целом, отказались и здесь не место подробного анализа причин, но главное то, что, во-первых, пятнадцатилетние учащиеся еще не готовы к восприятию такого уровня строгости и абстракций (и не только по своему общему развитию), а во-вторых, — при таком подходе тратится слишком много учебного времени на тему, которая в глазах большинства детей (да и некоторых преподавателей) довольно скучна. А в школе, да еще специализированной, должно быть всегда интересно учиться. Сейчас действительные числа вводятся как бесконечные десятичные дроби, которые возникают в процессе измерения, но акцент на упражнениях делается на рациональные числа и представление их в виде бесконечных десятичных периодических дробей (длина периода, операции над такими дробями и т.д.). Принцип вложенных отрезков (или его эквиваленты), как правило, постулируется. Специальный раздел посвящен приближенным вычислениям и работе с погрешностями.

Предел последовательности и предел функции — главнейшие и основные понятия анализа. Начала анализа стали изучаться в массовой средней школе около тридцати лет тому назад и за это время этот курс претерпел значительную инволюцию: от серьезного теоретического уровня, до уровня рецептурного, от введения строгого понятия предела до исключения из употребления самого слова «предел». В современном научном мире, большинство ученых и педагогов все-таки разделяет ту точку зрения, что введение в программы начал дифференциального и интегрального исчислений необходимо и целесообразно. Конечно, не в рамках традиционного подхода к преподаванию, начинающегося сразу с приобщения учащихся к формальному определению предела (последовательности, функции в точке). Мы всегда разделяли то мнение, что воспитание будущих исследователей в специализированной школе невозможно без изучения основ того аналитического аппарата, без которого человечество в своей практической деятельности бессильно. Начала математического анализа, имеющие большую образовательную ценность, несут в себе качественно новые возможности для развития математической и общей интеллектуаль-

ной культуры учащихся. В обучении математическому анализу мы придерживаемся генетического подхода, который характеризуется главным образом тем, что строгое математическое понятие вводится в рассмотрение не посредством его формального определения, а в процессе его формирования. Интересен, например, подход, когда для дискретных функций (последовательностей) строится соответствующий анализ (конечные разности, формулы суммирования, т.е. аналог формулы Ньютона-Лейбница, интерполяционный ряд Ньютона и т.д.) — это хороший пропедевтический прием для изучения в дальнейшем основных тем математического анализа.

Было время, когда знакомство с анализом начиналось с понятия непрерывности функции (сторонником такого подхода являлся О.С. Ивашев-Мусатов, ученик и последователь А.Н. Колмогорова). Мотивировалось это тем, что теория пределов представляет серьезные трудности для начинающего, и, во-вторых, тем, что каждый обучающийся интуитивно знаком с непрерывностью из повседневного опыта. В настоящее время формированию понятия предела последовательности и строгого его определения отведено достойное место, все определения доводятся до их точного значения, но акцента на технику вычислений пределов последовательностей нет.

Тема «Функции и графики» традиционно включает в себя, наряду с элементарными методами построения графиков и их преобразованиями, рассмотрение функций заданных неявно (например, кривые Уатта), заданных параметрически (фигуры Лиссажу, циклоиды), векторнозначные функции и их годографы и т.д. Имеется раздел, посвященный функциям двух переменных: задачи линейного программирования, геометрическое множество точек с заданными свойствами их координат, графические методы решений уравнений, неравенств, систем и задач с параметрами (метод сечений и метод областей).

Иногда рассматриваются итерации различных функций. В связи с требованиями программ по информатике, возникает необходимость раннего введения логарифмической функции; здесь мы часто определяем логарифм как площадь под гиперболой, широко используя интуицию и правдоподобные соображения и оставляя вопросы обоснования на будущее. Данная функциональная тема программы содержит много практикумов, предоставляет возможности широко использовать в процессе преподавания ПК и способствует активному изучению самого различного готового программного обеспечения.

При изучении раздела «Производная, интеграл и их применения» имеется практически неразрешимая проблема координации и реализации межпредметных связей курсов математического анализа и физики. Понятия производной и интеграла физики начинают активно использовать прямо с начала десятого класса — это объяснимо и целесообразно. В курсе анализа эти понятия и техника работы с ними появляются значительно позже. Раньше это требование физиков удовлетворялось в летней школе или в рамках короткого обязательного факультатива «Введение в анализ», который много раз читал и А.Н. Колмогоров. Сейчас такого факультатива нет, а летние школы проходят не ежегодно, но даже когда они есть, указанная тема в последнее время на них не выносится.

Сначала производная, а потом интеграл или наоборот? Иногда мы начинали с интегрального исчисления, а только затем возникала производная; в методическом отношении это довольно любопытный и полезный опыт, да и исторически так создавалось дифференциальное и интегральное исчисление. Нужна ли в специализированной школе (типа нашей, например) тема «Дифференциальные уравнения»? Мы даем на это однозначный ответ — нужна. В первую очередь это связано с потребностями физики, возможностью ознакомить учащихся с хорошими задачами прикладного характера, показать силу методов математического исследования самых разнообразных проблем в физике, химии, биологии, географии, экологии, экономике и т.д. Ряды Тейлора всегда, а ряды Фурье иногда, также включаются в наши программы анализа. При рассмотрении рядов Фурье мы ограничиваемся только соответствующими тригонометрическими многочленами и вычислениями его коэффициентов при помощи метода суперпозиции и на конкретных примерах знакомим учащихся с явлением Гиббса. Если ряду Тейлора посвящены и лекции и семинарские занятия, то представление функций рядом Фурье рассматривается только лекционно, но с выполнением задания математического практикума на эту тему.

В основной курс анализа (именно анализа, а не алгебры) часто включается тема «Комплексные числа». Если говорить о тех разделах этой темы, которые изучаются в большинстве специализированных школ страны, то здесь существенных отличий нет (если не считать введения самих комплексных чисел как операторов — так делалось несколько раз). Более того, не всегда эта тема присутствует и в наших программах по математическому анализу. Однако, когда мы ее туда включаем, то здесь изучаются дробно-линейные отображения, основная теорема алгебры, модель Пуанкаре плоскости Лобачевского с довольно серьезными продвижениями, комплексная экспонента (здесь

неоценим опыт и педагогическое мастерство А.А. Егорова — нашего старейшего преподавателя и лектора, реализовавшего на практике многие из методических задумок А.Н. Колмогорова). Комплексная тематика богата заданиями математического практикума.

За счет часов, выделенных на математический анализ, за все время существования школы только три раза читался семестровый курс «Введение в теорию вероятностей», обязательный для всех школьников (в те годы была только физико-математическая специализация) двухгодичного потока. Первые несколько лекций всегда читал А.Н. Колмогоров, а продолжали его читать, при полном с ним согласовании, И.Г. Журбенко, М.В. Козлов, В.Н. Дубровский, В.В. Вавилов и др. (о содержании курса см. [18]).

Этим важнейшим курсом «Математический анализ» руководили многие профессора и доценты механико-математического факультета МГУ: А.Н. Колмогоров, В.Б. Алексеев, В.И. Арнольд, А.М. Степин, В.А. Скворцов, И.Г. Журбенко, О.С. Ивашев-Мусатов, Ю.В. Нестеренко, М.В. Козлов, А.В. Карапетян, В.И. Гаврилов, Д.Л. Абраров, А.А. Егоров, В.В. Рождественский, В.В. Вавилов, В.Ф. Пахомов, В.Н. Дубровский, Б.М. Ивлев, А.Н. Земляков, В.А. Любишкин, А.П. Веселов, Е.М. Щепин, А.П. Комбаров и другие.

Обучение постановкам и решениям задач является важной составной частью всех наших математических (и других) курсов. Можно сказать и более прямолинейно: постановка и решение задач — цель и средство обучения математике в нашей школе. Уместно здесь привести высказывание известного математика П. Халмоша: «Задачи — сердце математики, и мы должны подчеркивать все более и более в классе, на семинарах, в книгах и статьях, которые мы пишем, чтобы наши ученики стали лучшими постановщиками и решателями задач, чем мы сами». Решение задач, как отмечалось многими крупнейшими учеными и педагогами, та столбовая дорога в математику, шире которой нет и, видимо, другого способа привить интерес к математике и полюбить эту мудрую науку не существует. Все наши школьники (за очень редким исключением) будут использовать математику и ее методы в своей будущей профессии или вообще станут профессиональными математиками — исследователями. В частности, именно поэтому мы здесь говорим не только о решении задач, но и о постановках задач в ходе семинарских занятий как по инициативе преподавателей, а что более важно — по инициативе самих школьников. Вся школьная жизнь пропитана решениями задач и их обсуждениями: обычные занятия, самостоятельные и контрольные работы, коллоквиумы, зачеты и экза-

мены, олимпиады и конкурсы решения задач, кружки, собственные исследования школьников и т.д.

Основная «задачная нагрузка» школьника состоит из решения задач в классе и из выполнения домашних заданий. Задачный материал подбирается и разрабатывается под руководством ведущих преподавателей, дозируется и именно на этой основе формируются календарные планы обучения. Важное место отводится организации контроля над ходом учебного процесса. Лектор, совместно с другими преподавателями, разрабатывает тематические списки задач (иногда крупные, чаще — не очень), часть из которых изучается на уроках, часть — в ходе самостоятельной работы (такой системы придерживаются многие специализированные школы). Затем все учащиеся без исключений должны сдать этот список задач преподавателю на соответствующем коллоквиуме (на занятиях, на зачете), предъявив тетрадь с полными записями решений задач и доказательствами теорем. При этом, неукоснительным требованием является система оформления: четкие чертежи (выполненные циркулем и линейкой с применением различных цветов), полнота аргументации в решениях задач, ясные ссылки на теоремы и ранее решенные задачи. Если есть возможность проводить такие коллоквиумы после уроков, то мы проводим их там, а если такой возможности нет, то они проводятся во время обязательных часов. Эта система довольно эффективна, т.е. на коллоквиум требуется принести тетрадь с тщательно оформленными записями (что само по себе уже важно), не тратится время на подробный разбор домашних заданий в классе (при такой схеме — обычных поурочных домашних заданий просто нет), школьники привыкают к правильному оформлению решений и к полноте необходимой аргументации — «писанию и чистописанию», да и индивидуальная устная беседа с учителем по решенным и нерешенным задачам приносит неоценимую помощь обучающемуся. Еще один важный плюс при такой схеме контроля состоит в том, что нет особой нужды «в текущем опросе учащихся с выставлением оценки», что сильно экономит драгоценное время на текущих уроках. Мнение о том, что для сдачи коллоквиума школьники занимаются списыванием решений задач друг у друга не выдерживает серьезной критики, да мы и не препятствуем взаимным консультациям учащихся; опытный учитель всегда легко оценит качество изученного материала и практически всегда определит реальные источники написанных решений задач. Отметим, что ничего страшного нет в том, что на коллоквиуме предъявлены решения не всех задач из списка; общая же схема такова — прием заданий проходит только два раза, во время второй попытки отличную оценку получить нельзя. Еще одной важной ком-

понентой такой работы является то, что в такие списки зачастую включаются задачи исследовательского плана, требующие значительного времени на их продумывание, а это практически невозможно на текущих занятиях. Кроме того, сюда включаются так называемые «задачи на доказательство теорем», которые представлены в виде цепочки вспомогательных задач. По ходу такой работы как — бы сама собой решается и «проблема накопляемости оценок», решение которой при обычной схеме ориентировано не на весь класс — многие школьники «отдыхают» или начинают заниматься другим делом, а в это время у доски «страдает» вызванный к ней учащийся (а это уже — неэффективно использованное учебное время). Такой методики придерживаются не все преподаватели нашей школы, да и не всегда хватает желания, терпения и трудолюбия на такую большую деятельность (намного проще: 5—7 задач в классе, столько же — на дом, разбор домашнего задания , 5—7 задач в классе,...). Проблема домашних заданий, а точнее, их выполнения, проблема, к которой нужно очень серьезно относиться всем преподавателям, а не только преподавателям математики. Простой подсчет показывает, что в семестр наши школьники только по основным математическим курсам должны решать около 500 задач, не считая задач на контрольных работах, на зачетах и др. А это колоссальная нагрузка для учащихся, имеющих кроме математики еще много дисциплин и, тем самым, много других домашних заданий и практикумов. Об этом, и о нагрузке в целом, довольно метко подмечено в стихотворении нашего бывшего ученика Ю. Сафронова (или, быть может, Р. Складова ?):

Задают нам очень мало,

Что и говорить!

Ну, подумаешь, английский

Взять и повторить.

Ну, подумаешь, анализ

Надо подучить,

Сделать семь задач каких-то,

Быстро объяснить.

Разобрать конспекты лекций,

Выучить и знать,

И матпрактикум легчайший

Выполнить и сдать.

А по алгебре задачи -

Просто чудеса!

У меня на них уходит

Только три часа.

Приготовится к контрольной,

Физику решить,

Сдать зачет, литературу

Малость повторить.

Разобрать, закончить, сверить,

Прочитать, учить,

Написать, перепроверить,

Переповторить.

Доказать, списать, запомнить,

Съесть, перевести,

Засмеяться, завихренить

И с ума сойти!

Приведем здесь примеры некоторых тематических списков заданий, которые выносились на текущие коллоквиумы.

Бесконечные периодические десятичные дроби (Нахождение длины периода и его свойства, теоремы Ферма и Эйлера, связи длины периода с арифметическими операциями, ...)

По следам теоремы Пифагора (Несколько различных доказательств самой теоремы Пифагора, предложенные Евклидом, Леонардо да Винчи, Г. Перигэлом, Г.Дьюдени; обобщения, полученные Евклидом и Паппом; как следствия из последних — теоремы Симпсона, Стюарта, Апполония, Эйлера; луночки Гиппократа и сравнение площадей криволинейных фигур).

Разрезание и складывание фигур (Здесь евклидовские доказательства теорем о площадях простых многоугольников; доказательство теоремы Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников разбито на серию задач; содержится задание практического характера: изготовить из бумаги или картона конкретное разрезание квадрата на части, из которых можно сложить заданный многоугольник).

Площади многоугольников (Это задание состоит из двух больших циклов задач: аффинного и вычислительного. В аффинной составляющей содержатся задачи на сравнение площадей — например, теорема Вариньона, так называемые «сталагмиты и сталактиты», задачи на клетчатой бумаге. Центральными задачами во второй части являются разбитые на вспомогательные шаги доказательства теорем «о бабочках», теоремы Рота и как следствия из нее теорем Чевы и Менелая, теоремы Гаусса о серединах диагоналей четырехсторонника; доказательство теоремы косинусов, использующее метод разбиения; приложения формулы Пика).

Тетраэдры (Основу этого списка задач составляют два набора задач, характеризующих ортоцентрические и равногранные тетраэдры — каждый из них содержит 10—15 эквивалентных свойств, а иногда и больше. От учащегося требуется реализовать доказательства эквивалентности этих свойств, используя свою собственную логическую схему и, по возможности, покороче. Иногда в это задание, или в его новое продолжение, включаются характеристики каркасных, изодинамических тетраэдров. И даже — получение всех правильных разбиений пространства на равные тетраэдры).

Алгоритм Евклида (Наибольший общий делитель. Решение линейных диофантовых уравнений. Число шагов в алгоритме и теорема Ламе. Цепные дроби и их геометрическая интерпретация — «алгоритм вытягивания носов». Геометрия цепных дробей. Задачи и теоремы о диофантовых приближениях. Устройство календарей различных типов).

Кроме отмеченных выше, готовились и многие другие списки задач: Принцип математической индукции, Принцип Дирихле, Принцип включения — исключения, Принцип суперпозиции, Принцип двойственности, Принцип непрерывности в геометрии, Итерации и т.п.

О задачах, которые реально использовались в курсе алгебры нашей школы с использованием традиционной для массовой школы системы домашних заданий, можно узнать (или составить точное впечатление) из книги наших бывших преподавателей [24] и [51].

А.Н. Колмогоров при организации упражнений под читаемые им курсы зачастую выдавал письменные рекомендации учителям типа следующих (1978 г):

«1. Правила дифференцирования векторных функций (кроме 1 У) были на лекциях, но я упустил из виду, что их нет в белой книжке...

Я о них рассказываю во введении к практикуму, но надо их закрепить. На контрольной в следующую пятницу будут легкие задачи типа тех, которые в более трудных вариантах даны на практикум.

2. В ближайшие понедельник и среду на занятиях надо поговорить о первообразных, определенных интегралах (неопределенного интеграла у нас не будет — его заменяет понятие первообразной), выяснив могущие иметься недоумения, и решить несколько задач на вычисление площадей... и на нахождение первообразных (в том числе, хотя бы в одной задаче «сообщенных»). Такие задачи могут встретиться в контрольной работе в следующую пятницу. Таблица первообразных и общие правила не обязательны, в принципе первообразные подыскиваются «по соображению». Но, вероятно, сами учащиеся за-

метят, что первообразная суммы может быть получена сложением первообразных слагаемых и т.п.»

Кроме рекомендаций такого рода А.Н. Колмогоровым готовились й конкретные списки задач. Ниже приведена небольшая выборка из его задач, которые сохранились в школьном архиве.

Список некоторых учебных задач А.Н. Колмогорова по курсу анализа.

1. а) В разложении в непрерывную дробь х = (а, a1, a2, ... ) известны а = 2 и a1 = 7. Что можно сказать об х?

б) Найти число X, разлагающееся в периодическую непрерывную дробь х = (-1,2,1,2,1,...).

в) Пусть 1,6 ⩽ x ⩽ 1,7 и X = (а, a1,a2,...). Что можно сказать об а, a1 и a2?

2. Начертить на плоскости геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

3. Построить графики функций f(x) и указать, где они 1) непрерывны, 2) непрерывны справа, 3) непрерывны слева, 4) имеют производную, 5) имеют правую производную, 6) имеют левую производную:

4. Функция f(x) определена, непрерывна и дифференцируема на отрезке [0;1].

а) Что можно сказать о значениях f(l/4), f(l/2), f(3/4), если f(0)

5. Функция f(x) определена и дифференцируема нужное число раз на всей числовой оси.

а) Пусть f(0) = 0 и f'(0) = 1. Доказать, что существует отрезок на котором f(x) принимает только положительные значения.

б) Пусть f(0) = 0, f'(0) = 0, f"(х) = 1. Доказать, что существует отрезок на котором f(x) принимает только положительные значения.

в) Пусть f(0) = 0, f'(0) = 1 и f "(х) ⩾ 0 на [0,а]. Доказать, что f(a) ⩾ а.

6. а) Функция f(x) обращается в нуль на отрезке [а,b] ровно р раз и в каждой точке интервала (а,b) существует f(n)(х). Что можно сказать об обращении в нуль f(n)(x)?

б) Функция f(x) определена, дифференцируема и принимает только неотрицательные значения на отрезке [а, b]. Что можно сказать о числе обращений в нуль f'(x), если f(x) обращается в нуль ровно 100 раз? Тот же вопрос для интервала (а,b).

7. Функции u(x) = max (f(x), g(x)} и v(x) = min(f(x), g(x)} непрерывны на отрезке. Обязаны ли быть непрерывными на этом отрезке функции f(x) и g(x)?

8. Пусть функция f(x) непрерывна всюду на числовой прямой и f'(х) = {х} при не целых х, f(0) = 0. Найти f(100).

9. а) Построить пример всюду определенной функции, разрывной только в точках х = 1/n , n = 1,2,3,...

б) Построить пример всюду определенной, непрерывной и строго возрастающей функции, для которой f'(1/n) = 0, n = 1,2,3,...

в) Существует ли всюду дифференцируемая функция f(x) такая, что f'(x) = {х}?

10. а) Доказать, что для того, чтобы функция f(x), х∈[а, b], была строго возрастающей необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:

— f'(x) > 0 всюду на [а,b];

— на каждом отрезке [α,ß] ⊂ [a,b] существует точка такая, что f'(ξ) > 0.

б) Доказать, что если для любой последовательности (xn}, сходящейся к а, последовательность f(xn} сходится, то функция f(x) непрерывна в точке х = а.

в) Доказать, что если для любой последовательности {xn}, xn ≠ а, сходящейся к а, последовательность

сходится, то функция f(x) дифференцируема в точке х = а.

Целенаправленная и интенсивная подготовка к вступительным экзаменам в вузы, и самого высокого уровня (МГУ, МФТИ и др.), проходит, как правило, вне основного учебного времени (раньше, когда часов на математику было больше, они проводились в рамках основного расписания занятий). Эти дополнительные занятия кафедрой тщательно планируются, для этого зачастую приглашаются специальные преподаватели (авторы книг и пособий, опытные преподаватели школ и вузов), любящие работать со школьниками, имеющие репетиторский опыт и сами принимавшие участие в составлении задач вступительных экзаменов.

Записи А.Н. Колмогорова на педсовете ФМШ № 18 при обсуждении итогов поступления выпускников вузы

Записи А.Н. Колмогорова на педсовете ФМШ № 18 при обсуждении итогов поступления выпускников вузы

Все наши выпускники (за крайне редким исключением) становятся студентами, школа и кафедра тщательно анализирует итоги их поступления в вузы, а также и собственные пробелы в организации тренировочных предэкзаменационных занятий школьников. Подготовка к вступительным экзаменам — это еще не подготовка к обучению в вузе, а фрагмент этой общей подготовки в нашей системе преподавания математики. Подготовка же к обучению в вузе включает в себя самые разнообразные элементы, включая и подготовку к занятиям научными исследованиями.

Значительную часть в учебном процессе занимают факультативные занятия, различные специальные лекционные курсы, спецсеминары и кружки: здесь речь идет о занятиях вне основной сетки уроков, т.е. о так называемых факультативных занятиях. Основная цель здесь — повысить математическую культуру учащихся и подготовить к научной работе. Их значимость в нашей школе определяется уже тем, что в соответствии с учебным планом школы, каждый школьник за весь период обучения должен посещать и получить зачет (сдать экзамен) по одному годовому курсу естественно — научного содержания и одному годовому курсу гуманитарного содержания или активно участвовать в работе спецсеминара, кружка; об этом делается отметка в аттестате. Запись учащихся на курсы производится на добровольных началах в соответствии с их интересами. Приходя в школу, наши воспитанники сначала начинают «бегать» со спецкурса на спецкурс (семинар, кружок) и только потом окончательно формируют свой выбор. Эти специальные курсы, семинары и кружки, как правило, посвящены дополнительным главам к основным курсам. Их тематика очень разнообразна, год от года меняется и отражает вкусы и научные интересы, которые присущи их организаторам.

Не претендуя на полноту, приведем некоторые темы этих курсов (в ретроспективе), получившие одобрение преподавателей и учащихся, и которые скажут сами за себя. Это: Геометрия Лобачевского. Теория Галуа. Элементы математической логики. Задачи с параметрами. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Введение в кибернетику. Теория автоматов. Теория колебаний. Вероятность и информация. Элементы теории чисел. История математики. Геометрия и группы. Поверхности и кривые. Элементы теории множеств. Сложность булевых функций. Наглядная топология. Геометрическая алгебра. Комплексный анализ. Теория графов. Элементы математической кибернетики. Алгебраическая геометрия. Многозначная логика. Элементы функционального анализа и квантовая механика. Некоторые вопросы теории аппроксимаций. Бильярды. Высшая мате-

матика с точки зрения элементарной. Что такое фрактал? Теоремы невозможности. Диофантовы приближения и геометрия. Введение в теорию динамических систем. Динамическая геометрия и геометрическая динамика. Популярная небесная механика. Математика и механика. Геометрический кружок. Кубический кружок. Олимпиадные задачи. Математический семинар и многие другие кружки, семинары, спецкурсы (иногда, «просто по случаю»).

В последние годы наиболее динамично и эффективно в школе работает математический семинар, который осуществляет подготовку и обсуждение докладов для участия в различных конференциях школьников, на нем ставятся новые задачи научно — исследовательского характера, решаются олимпиадные задачи и т.д. Отметим, что роль кафедры математики в настоящее время при планировании тематики специальных курсов и семинаров, в их организации заметно уменьшилась и сузилась.

Примером занятий геометрического кружка под руководством А.Н. Колмогорова, может служить изучение покрытий плоскости правильными многоугольниками, быть может различными, но без наложений и пропусков. На одном занятии кружка участникам было предложено не только дать примеры таких покрытий, но и установить теорему, которая содержала бы описание всех правильных покрытий (паркетов), т.е. таких, когда в каждой вершине покрытия сходятся одинаковые многоугольники и в том же порядке. На занятиях кружка это было сделано: доказано, что таких различных правильных паркетов на плоскости существует ровно 11. Об этом А.Н. Колмогоров впоследствии писал в журнале «Квант»; там же были помещены отклики на эти публикацию и статьи, содержащие довольно подробные доказательства. Отметим, что в 2001 году десятиклассники нашей школы И. Седошкин и Е. Мычка (см. [39]) продолжили эти исследования (под руководством В.В. Вавилова) показав, что на всех этих возможных паркетах, говоря свободным языком, можно расположить только такие правильные многоугольники, которые «видны невооруженным взглядом» (расположить — это значит поместить их так, чтобы их вершины являлись узлами паркетов). Доклады этих школьников на Харитоновских научных чтениях в г. Сарове и на Колмогоровских научных чтениях в школе им. А.Н. Колмогорова вызвали значительный интерес.

В качестве еще одного примера приведем тему курса «Высшая математика с элементарной точки зрения», где, в частности, рассматривались функции дискретного аргумента. В каждый узел бесконечного листа клетчатой бумаги поместим действительное число так, чтобы

любое число было бы равно среднему арифметическому чисел, стоящих в четырех соседних узлах бумаги. Другими словами, рассмотрим функцию двух переменных у = H(i, j), которая определена на всех целочисленных точках (i, j) и такую, что

H(ij) = l/4(H(i-1, j) + H(i + 1, j) + H(ij-1) + H(ij + 1))

для любых целых значений i и j. Такие функции у = H(i, j) называются дискретными гармоническими функциями. На школьных олимпиадах о таких функциях, например, встречались такие две задачи:

1) Доказать, что если дискретная гармоническая функция принимает только натуральные значения, то эта функция равна некоторой постоянной, т.е. все ее значения равны.

2) Доказать, что если рассмотреть любой прямоугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги и сторонами параллельными ее линиям, то наибольшее и наименьшее значение из числа тех, которые принимает дискретная гармоническая функция во внутренних и граничных узлах этого прямоугольника, находятся в граничных узлах.

Имеет место следующая теорема Лиувилля: Если дискретная гармоническая функция ограничена, то она постоянна. В рамках этой части курса рассматривался вопрос о расширении теоремы Лиувилля в различных направлениях; в частности: верно ли, что если все значения дискретной гармонической функции вещественны и неотрицательны, то эта функция постоянна? В результате, на лекциях строилась довольно законченная теория дискретных гармонических функций вместе с ее некоторыми важными физическими приложениями.

Наши специальные курсы являются, в основном, лекционными, хотя на них, конечно, разбираются и решения конкретных задач, возникают новые задачи для самостоятельных исследований. Другое дело — кружки: здесь, безусловно, имеется лекционная составляющая, но она невелика по сравнению с поисками решений конкретных задач и всесторонними их обсуждениями всеми участниками. Обязательных домашних заданий здесь нет никаких. Дело сильно усложняется тем, что общая школьная нагрузка, которую имеют учащиеся, составляет более сорока часов в неделю и поэтому после восьми обязательных уроков очень трудно рассчитывать на активность участников спецкурса или спецсеминара, которые заканчивают свою работу уже около шести — семи часов вечера. Существующая система факультативных курсов и семинаров решает и еще крайне важную проблему адаптации наших выпускников на первых курсах высших учебных заведений, способствует безболезненному и успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в вузах, позволяет уже на первых курсах в университете начать самостоятельные

научные исследования. Другими словами, эта система решает, и не на словах, а на деле, важную задачу непрерывности математического образования в школе, вузе, в дальнейшей учебе и деятельности. Уже в школьный период под научным руководством наших преподавателей осуществляется подготовка докладов учащихся на научные школьные конференции, проводятся исследования, подготавливаются к печати и публикуются научные статьи. Некоторые из наших преподавателей математики еще в школе «приглядываются» к своим питомцам с целью пополнения группы студентов и аспирантов в университете, над которыми они осуществляют затем свое научное руководство: В.И. Арнольд — Н.Н. Нехорошев; В.А. Скворцов — Т.П. Лукашенко; А.А. Карацуба — С.М. Воронин, Г.И. Архипов; В.В. Вавилов — В.П. Прохоров, С.М. Кошель, Д.В. Прохоров; С.Н. Артемов — Ю.В. Гиматов; А.В. Карапетян — А.П. Евдокименко и др. Наши же выпускники, в свою очередь, при выборе кафедры и научного руководителя в университете в значительной мере живут школьными воспоминаниями о том или ином их бывшем преподавателе. Отметим, что при распределении студентов по кафедрам их будущие научные руководители (преподаватели факультета) любят работать с большинством наших выпускников.

В научном мире роль конференций, симпозиумов, съездов и т.п. огромна. Школа и кафедра математики, ее преподаватели, ставя в качестве одной из целей подготовку к научной деятельности, уделяет значительное внимание подготовке докладов для участия в различных конференциях школьников. Как показывает опыт, на таких конференциях, в основном, представляются реферативные работы, работы, содержащие решение задач(и) понятной по формулировке и по методам исследований всем участникам, и работы с претензией на содержательную научную новизну. Последние крайне редки и, конечно, требуют особого внимания. Мы профанацией научной деятельности не занимаемся (например, не пишем докладов за учеников) и стараемся пресекать всякие поползновения своих воспитанников (будущих исследователей) в сторону чванства и снобизма. Наши учащиеся успешно выступают на школьных научных конференциях в С- Петербурге, Сарове, Москве и др. научных центрах. Так, например, на третьи Колмогоровские чтения 2003 года (которые организуются, в основном, нашей школой), посвященные столетию со дня рождения А.Н. Колмогорова, учащиеся нашей школы представили в секцию математики 8 докладов; кроме того, был представлен доклад Щепина Никиты из φ. шк. № 79 г. Москвы, где наша кафедра осуществляет преподавание математики и доклад Баумана Константина из московского лицея

«Вторая школа» (выполненная под руководством доцента кафедры А.А. Русакова). Более конкретно:

Баран Алексей рассказал о своих исследованиях, тесно связанных с 13-й проблемой Гильберта (н. рук. А.Б. Скопенков). Отметим, что в исходной постановке эту проблему решили А.Н. Колмогоров и В.И. Арнольд;

Бауман Константин доказал, что коэффициент растяжения кривой Пеано-Гильберта равен 6, что имеет значение в вопросах обработки данных и при сравнении эффективности способов развертки изображения на дисплеях (н. рук А.А. Русаков);

Бекларян Армен посвятил свой доклад изучению выпуклых фигур постоянной ширины и их деформаций. В своем рассказе о полученных результатах и для демонстрации графических экспериментов автор широко использовал современные компьютерные технологии (н. рук. Г.И. Шарыгин);

Деркач Алексей привел новое и простое доказательство (ранее известного) утверждения о том, что для любого натурального числа n существует число, представимое более чем n различными способами в виде суммы двух квадратов (н. рук. А.Б. Скопенков);

Канищев Сергей, занимаясь изучением задач передачи информации, проанализировал связь чисел Рамсея с характеристикой надежности двойного канала связи (н. рук. А.А. Часовских);

Корнилина Елена посвятила свои исследования компьютерной арифметике и созданию теста на проверку простоты чисел, при помощи которого установила наличие бесконечного множества простых чисел в последовательности 4∙32n + 1 (н. рук. В.А. Колосов);

Кутузов Иван построил так называемый полный диагностический тест для бинарных таблиц (н. рук. В.И. Буевич);

Тимонин Павел получил полный результат о наличии конечной арифметической прогрессии в одной из трех равных частей (по числу элементов) конечного множества специального вида (н. рук. В.А. Колосов);

Хоренко Антон, продолжая свои ранние исследования «больших степеней», доложил об одном эффективном и легко проверяемом достаточном условии сходимости итерации экспонент (н. рук. В.В. Вавилов);

Щепин Никита при помощи специально написанной компьютерной программы опроверг возможность построения непрерывного отображения квадрата на куб «методом деления пополам», рассматривавшегося как возможный путь решения одной проблемы Арнольда о

существовании таких отображений с показателем Гёльдера 2/3 (н. рук. А.А. Русаков).

К школьной конференции 2004 года, которая будет работать в г. Сарове и которая посвящена столетию со дня рождения академика Ю.Б. Харитона, учащиеся Бекларян Армен, Веселин Дмитрий, Однобоков Никита (научные руководители Г.И. Шарыгин и В.В. Вавилов) провели целый цикл исследований и подготовили свои научные доклады. Интересно, что в одной из двух своих работ А. Бекларян решил одну привлекательную задачу, которая в течение ряда лет пропагандировалась в школе и не поддавалась решению. И совсем любопытно, что одновременно с ним (независимо и с небольшой разницей по времени) эту же задачу решил Е. Мычка — наш выпускник, участник и призер предыдущих Харитоновских чтений, а ныне студент второго курса механико-математического факультета МГУ.

Начиная с 1961 года, когда была организована первая Всероссийская математическая олимпиада и создана соответствующая методическая комиссия, ее возглавлял А.Н. Колмогоров (и руководил ею бессменно в течении более чем 20 лет; затем ее возглавил Б.В. Гнеденко, а в настоящее время ее возглавляет Г.Н. Яковлев из МФТИ); его заместителями в разное время являлись Н.Б. Васильев, А.Н. Земляков, В.В. Вавилов. Из числа преподавателей школы-интерната при МГУ в работе этой методической комиссии и в подготовке олимпиадных задач активную роль играли А.А. Егоров, А.М. Абрамов, Б.М. Ивлев, В.Н. Дубровский, Ю.В. Нестеренко, А.М. Слинько, С.Б. Гашков, М.В. Смуров, И.Н. Сергеев, О.В. Ляшко, О.Р. Мусин, А.Б. Скопенков и многие студенты, аспиранты механико-математического факультета МГУ — выпускники школы-интерната № 18 при МГУ (много лет на факультете под руководством В.В. Вавилова работал семинар «Олимпиадные задачи», где они были, пожалуй, самыми активными участниками). Подготовкой команды страны для участия в Международных математических олимпиадах (и научного руководства ею в период самой олимпиады) занимались долгое время В.А. Скворцов, Е.А. Морозова, А.Н. Земляков, А.М. Абрамов, В.В. Вавилов — преподаватели ФМШ при МГУ (а двое, еще и ее выпускники).

На Всероссийских, а затем на Всесоюзных олимпиадах, школы-интернаты при университетах г.г. Москвы, Новосибирска, Ленинграда и Киева были представлены по положению своими собственными командами (сейчас этого нет). Поэтому в нашем интернате ранее уделялось специальное место для «олимпиадой подготовки». Так в нашей школе работал специальный семинар, на котором разбирались различные олимпиадные задачи и методы их решений, решались вновь при-

думанные и т.д. Этим семинаром руководили Б.М. Ивлев, С.Б. Гашков, В.В. Вавилов, А.А. Егоров, И.В. Кричевер, С.А. Богатый, А.Н. Дранишников, М.В. Смуров, С.В. Струков, В.Н. Дубровский, А.А. Русаков, А.Б. Скопенков и др. В стенах школы проводилось (и проводится сейчас) много самых разнообразных тестирований, олимпиад, матбоев и т.п. Итоги участия в олимпиадах наших учеников довольно значительны. Достаточно сказать, что только на международных олимпиадах наши воспитанники завоевали 12 золотых, 16 серебряных и 9 бронзовых медалей. Не менее внушительны успехи наших олимпийцев на Всесоюзных и Всероссийских математических олимпиадах: 27 дипломов первой степени, 60 дипломов второй степени, 46 дипломов третьей степени и 12 похвальных отзывов (поименный список см. в приложении 7). В настоящее время эта работа в стенах школы проходит не столь активно как раньше, хотя наши школьники и продолжают успешно выступать в различного рода олимпиадах, турнирах и конкурсах. Преподаватели школы всегда поддерживают и интересуются успехами наших олимпийцев, гордятся их успехами. Вместе с тем, мы призываем школьников очень осторожно относится к успехам на олимпиадах. Так в предисловии к одной из олимпиадных книг [43] А.Н. Колмогоров, например, писал: «Участие в школьных математических кружках и олимпиадах может помочь каждому оценить свои собственные способности, серьезность и прочность своих увлечений математикой... Желая...всяческих успехов в решении задач и побед на школьных, городских, Всероссийских олимпиадах, я хочу в то же время заметить, что пути к серьезной работе в области математической науки разнообразны. Одним легче дается решение замысловатых задач, другие вначале не выделяются на этом поприще, но, двигаясь медленно, овладевают глубоко и серьезно теорией и несколько позднее научаются работать самостоятельно. В конечном счете, при выборе математики как предмета основных интересов и работы на долгое будущее каждый должен руководствоваться собственной самооценкой, а не числом премий и похвальных отзывов на олимпиадах...». Сейчас количество самых разнообразных математических соревнований школьников, организуемых в Москве, и вообще в стране, на мой взгляд, превысило разумные границы и зачастую уводит учащихся в сторону от полноценного обучения математике.

Кафедра математики для наших школьников проводит конкурс решения задач, который посвящен памяти основателя нашей школы, академика Андрея Николаевича Колмогорова. Ежемесячно участникам конкурса предлагается 5 задач из различных разделов математики. Итоги конкурса подводятся один раз в год — в конце апреля. Принять

участие в конкурсе можно в любой момент времени, причем совсем не обязательно представлять решения всех задач — для участия в конкурсе возможно использовать и задачи, предлагавшиеся ранее. Некоторые из задач конкурса становятся началом научных исследований и затем могут быть положены в основу докладов для участия в различных научных конференциях школьников. Вот дюжина задач из конкурса 2003 года, по которым вполне можно судить о его характере и содержании:

1. Точки D и Е лежат на стороне ВС треугольника ABС. Известно, что BD = СЕ и то, что углы BAD и CAE равны. Доказать, что треугольник ABC равнобедренный.

2. Поместить внутри правильного шестиугольника со стороной 1 квадрат возможно больших размеров. Найти сторону этого квадрата.

3. Уравнение ах2 — bх + с = 0, где а — натуральное число, a b и с — целые числа, имеет два различных корня, которые расположены строго внутри интервала (0;1). Доказать, что а ⩾ 5.

4. Доказать, что

5. Пусть Р — точка внутри тетраэдра ABCD. Прямые АР, BP, CP, DP пересекают противоположные грани тетраэдра в точках А', В', С, D' соответственно. Доказать, что точка Р не может быть серединой более чем одного из отрезков АА', ВВ', СС', DD'.

6. Доказать, что на плоскости существует равноугольный шестиугольник, стороны которого равны 5, 8, 11, 14, 23 и 29 в некотором порядке.

7. Найти x2 + y2 + z2 , если натуральные числа х, у, z таковы, что

8. Доказать, что ни одно из чисел вида

an = 1001001...1001,n ⩾ 2,

не является простым числом; здесь n обозначает число единиц в записи числа an.

9. Математик R сказал математикам Р и S: "Я задумал два натуральных числа. Каждое из них больше единицы, а сумма их меньше 100. Математику Р я сейчас сообщу — по секрету от S — произведение этих чисел, а математику S я сообщу — по секрету от Р — их сумму". Он выполнил обещанное и предложил отгадать задуманные числа. Между Р и S произошел следующий диалог (высказывания Р мы обозначаем буквой π с индексами, высказывания S — буквой σ):

— Я, пожалуй, не могу сказать, чему равны задуманные числа, (π1)

— Я заранее знал, что Вы этого не сможете, (σ1)

— А ведь тогда я их знаю. (π2)

— А тогда и я их знаю. (σ2)

Попробуйте теперь и вы отгадать задуманные числа.

10. Даны две сферы: SA с центром А и SB с центром В. Прямая р касается сферы Sa в точке A1 и сферы SB в точке B1; прямая q касается сферы SA в точке A2 и сферы Sb в точке B2. Доказать, что ортогональные проекции отрезков A1A2 и B1B2 на прямую AB равны.

11. Пусть ABC остроугольный треугольник и р — прямая, проходящая через его ортоцентр. Доказать, что три прямые, симметричные р относительно сторон ABC, пересекаются в одной точке.

12. Для каждого n ⩾ 3 найти наименьшее f(n) со следующим свойством: при любом выборе подмножества А ⊂ (1,2,3,...,т} с f(n) элементами в нем найдутся три попарно взаимно простых числа.

Особое место в системе организации учебного процесса в школе им. А.Н. Колмогорова занимают практикумы (по математике, физике, информатике, химии); это заметно отличает нашу школу от других. При этом, говоря о математических экспериментах (практикуме), речь идет не столько о тех вопросах постановки математического образования, где сливаются математика и информатика, но просто о чертежах, расчетах, графиках, схемах, построения моделей, составлении таблиц, решении задач и т.д. Кроме того, здесь преследуются и более серьезные цели: привить вкус к конкретной, реальной математике, проиллюстрировать наиболее тонкие теоретические разделы курса, показать силу только что освоенных методов при решении практических задач. Задания практикума состоят из одной или нескольких ступеней: от очень конкретной до исследовательской. Начальная часть обязательна для всех учащихся, исследование — только для желающих; задания содержат также темы творческого характера для проведения самостоятельных исследований. Все задания практикума строго индивидуализированы и сдаются учащимися индивидуально. Довольно значительный промежуток времени в учебном плане школы был отдельный предмет (1970—1988), которой так и назывался «Математический практикум»; при этом, был предусмотрен один лекционный час (на постановку заданий), время на консультации и прием заданий. В разгар кавалерийской и непродуманной так называемой «гуманитаризации» школьного образования произошел «передел собственности» и вместо 12 часов в неделю на математику в сетке часов осталось только девять. Это было большой, и трудно исправляемой сейчас, ошибкой -в специализированной школе при МГУ столь высокого уровня, с хо-

рошо организованными и согласованными курсами по естественным дисциплинам, фактически самим (шкода могла не следовать в полном объеме этой реорганизации Министерства, т.е. подчиняется МГУ) пойти по сомнительному пути. Конечно, это нужно исправить и так, чтобы «фирменный галстук» школы ее выпускники хранили всю свою жизнь. Уменьшение часов сказалось немедленно и на математическом практикуме, который сейчас проводится только эпизодически и далеко не всеми преподавателями. Попутно отметим, что программы по информатике содержат, конечно, некоторую составляющую «вычислительного практикума», но соответствующие задания служат несколько другим целям.

Это А.Н. Колмогоров, со всей настойчивостью, реализовал сначала в университете, а затем и в школе, такое нововведение в нашей стране. Он сам сначала и руководил этими практикумами, придумывал новые постановки задач, используя, зачастую, самые современные научные достижения. Именно, эта конкретная вычислительная и графическая работа при выполнении заданий практикума в школе, не на словах, а на деле показывает силу математических методов исследований в нашей жизни и в научных исследованиях, осуществляет прикладную направленность математического образования в школе и устанавливает реальные межпредметные связи. Общие установки при создании практикума в школе А.Н. Колмогоров описывал так (см. [12], [19]): «Часы математического практикума, проводящегося, в идеале, одновременно для всего потока, используются частично для унификации требований к различным классам письменных контрольных работ, состоящих из серии задач обычного школьного типа. Но в основном эти часы отводятся для выполнения работ большого объема, требующих больших вычислений и чертежного оформления. Например, фактически осуществляется программа оценки числа Пи, после изучения в классе движения по циклоиде исследуются графически более сложные случаи сложения движений, находятся и изображаются графически решения системы дифференциальных уравнений последовательного радиоактивного распада.... В проведении практикума участвуют преподаватели, работающие в классах, но отдельная небольшая группа преподавателей его организует и готовит для него материал».

Одно из заданий практикума А.Н. Колмогорова в 1968 году

Тематика заданий математического практикума очень разнообразна. Приведем здесь примеры тех заданий, которые в разные годы выполняли учащиеся: Приближенное вычисление корней уравнений. Графические методы решений уравнений и систем. Две задачи линейного программирования. Итерации. Метод секущих и касательных Ньютона. Номограммы. Графостатика. Численное дифференцирование и интегрирование. Дискретные гармонические функции. Непрерывные дроби. Задачи на клетчатой бумаге. Магические квадраты. Конечные поля и латинские квадраты. Неприводимые многочлены. Графики дробно-квадратичных рациональных функций. Фигуры Лиссажу. Кривые Уатта. Циклоиды. Розы и розетки. Годографы. Эволюты циклоидальных кривых. Пучок кривых второго порядка. Измерения на местности. Модели многогранников. Сечения многогранников. Две проекции. Группы самосовмещений плоских фигур и правильных многогранников. Круговые преобразования плоскости. Теоремы Паскаля и Дезарга и построение при помощи линейки. Инверсия и построения при помощи циркуля. Навигация. Расчет лунных затмений. Конечные аффинные и проективные плоскости и пространства. Интерполяция и сплайны. Квадратурные формулы. Космические поезда. Диаграммы касательных. Прыгающий мячик. Изоклины. Радиоактивный распад. Фазовые портреты. Теория часов. Две экологические модели. Полет диска в сопротивляющейся среде. Динамическое программирование. Тригонометрические многочлены и ряды Фурье. Профили собственных колебаний натянутой нити с бусинками. Доска Гальтона. Модель размножения и гибели. Случайные блуждания. Датчики случайных чисел. Криптография и расшифровка текстов. Дробно-линейные преобразования. Расположение комплексных корней многочлена, зависящего от параметра. Фракталы. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. Линии равного модуля и аргумента. Области однолистности многочленов.

Несмотря на то, что задания практикумов строго индивидуализированы, мы ни в коем случае не препятствуем взаимным консультациям в «домашней стадии» выполнения работы. Результаты выполнения работ обсуждаются в классе. Это тем более оправданно, т.е. в результате работы учащихся часто появляется полное исследование, полный каталог, полная классификация и т.д.

Образцы работ учащихся школы по математическим практикумам Геометрия квадратных трехчленов, Пучок кривых второго порядка, Орнаменты и Диаграммы касательных (две из этих «картинок» были использованы для оформления первых страниц обложек журнала «Квант»)

В качестве примеров отметим, что в процессе работы была создана коллекция картонных моделей всех полуправильных многогранников (которая погибла безвозвратно), решены все задачи на построение треугольника циркулем и линейкой по некоторым заданным параметрам (выбирая их из двадцати возможных и, как правило, по три) и доказана невозможность таких построений в отдельных случаях, описаны все тринадцать возможных типов кривых Уатта (а впоследствии и доказано, что других нет), построены 17 различных типов графиков дробно-квадратичных рациональных функций и создан полный каталог их диаграмм касательных (и потом доказано, что других не бывает), построены все одиннадцать различных мозаик на плоскости (с полным обоснованием, что это полный перечень), для многочленов пятой степени описаны все возможные качественные картинки их областей однолистности, в определенной модели описаны все возможные траектории полета «летающей тарелочки» и т.д. и т.п. В школе большинство материалов о практикумах сохранились и ждут своей публикации; судить о характере заданий можно по публикациям [3], [19], [21,27—29], [31—36], [41].

Для осуществления обширной педагогической и воспитательной деятельности, конечно, необходимы преподаватели, обладающие высокой квалификацией. Существенным моментом здесь является подбор лекторов, перед которыми стоят непростые задачи: курс должен полностью покрывать обязательную программу массовой школы, он должен быть в русле положений о непрерывной математической подготовке, т.е. обеспечивать быструю адаптацию к университетским курсам и, при этом, не дублировать, там, где это возможно, эти самые университетские курсы, он должен расширять кругозор и способствовать повышению математической культуры в целом, он должен содержать задачи практического содержания и быть тесно увязанным с другими школьными дисциплинами. Источником таких преподавательских кадров был и остается Московский университет, его профессора и доценты, аспиранты и студенты, причем зачастую — выпускники нашей школы. Основным критерием при подборе преподавателей являются личная научная и творческая активность, опыт и желание работы со школьниками. Другими критериями при подборе всегда являлся общий уровень культуры приглашаемых, их туристические, спортивные достижения и другие личные интересы. Роль учителя в школе для любознательных, увлеченных и талантливых детей особенно велика, его труд огромен, тяжел и его деятельность бывает эффективной («научить учиться») только тогда, когда он сам является неор-

бинарной личностью, активным, неравнодушным, творческим и ... увлеченным человеком.

Нет одинаково способных людей, каждый из них индивидуален. Поэтому целенаправленная работа по развитию способностей учащихся не может не использовать индивидуальные методы работы, которые учитывали бы особенности учащихся и способствовали активизации их учебной деятельности. Каждый ученик нуждается в личном руководстве учителя и в его внимании к конкретным проблемам учащегося. Именно этим мотивируется наличие на уроке математики двух (а иногда и трех) преподавателей математики. В школе всегда был, и сложился сейчас, дружный и работоспособный коллектив преподавателей, который и решает самые разнообразные задачи — от организационных, культурно-просветительских и воспитательных до методических и научных.

На каждую математическую лекцию отводится один академический час. Продумать такую лекцию довольно трудное дело, т.е. сам отобранный лекционный материал должен быть замкнут и «не растягиваться» на длительное время. Много времени и усилий уходит на электронную и печатную подготовку (когда она делается) текстов лекций для учащихся. Кроме того, мы стремимся к тому, чтобы изучаемые темы (и курс в целом) имели, по возможности, законченный характер, как это бывает в хорошем научном исследовании или научной теории и способствовали развитию интереса к ведению (пусть даже самых маленьких) самостоятельных научных исследований.

А.Н. Колмогоров очень тщательно подбирал преподавателей (особенно в первые десять лет работы школы) и, прежде чем пригласить в школу часто проводил личные собеседования с кандидатами. Примерами этого может служить своеобразный «экзамен» на даче в Комаровке, куда приглашались некоторые будущие преподаватели как для более тесного знакомства, так и для беседы, которая включала и несколько чисто математических тем. Более того, чтобы укомплектовать штат преподавателей математики и поддержать их, А.Н. Колмогоров держал долгое время на научных должностях в своей университетской лаборатории статистических методов А.А. Егорова, Д.И. Гордеева, В.В. Вавилова, О.С. Смирнову (с основными обязанностями в школе). О Д.И. Гордееве следует сказать особо; он окончил механико-математический факультет под научным руководством А.Н. Колмогорова, затем с первых дней работал в школе-интернате № 18 при МГУ и очень увлекался живописью; затем он перестал вести активную научную работу — сосредоточился на преподавании в ФМШ и на живописи (в школе в течение 1967 работала мастерская Д.И. Гордеева). После

рождения известной группы «Двадцать московских художников» он прекратил свою работу в школе, став профессиональным художником (книгу открывает фотокопия одной из его довольно широко известных работ).

Директорами школы-интерната, с одобрения А.Н. Колмогорова, были выпускники механико-математического факультета МГУ и его аспирантуры: И.Т. Тропин, В.Л. Натяганов, Д.Л. Абраров, Е.А. Ивин, К.Л. Козлов; в настоящее время директором СУНЦ МГУ работает доцент А.А. Часовских. Первым директором спецшколы-интерната № 18 при МГУ работал также математик — П.А. Кузнецов, после которого эту обязанность выполняла историк Р.А. Острая. Освобожденными секретарями комсомольской организации в школе (оставаясь и преподавателями) работали в разные годы, по рекомендации механико-математического факультета (также при согласовании с А.Н. Колмогоровым и его одобрении), выпускники механико — математического факультета МГУ (в первые годы работал историк Р. Невский) В.В. Вавилов, И.И. Мельников, В.Л. Ковалев, Е.Б. Федоров, А.А. Русаков, С.И. Карташов, В.П. Колпаков, А.А. Васильев.

Преподаватели кафедры всегда широко участвовали и участвуют сейчас в общественной жизни школы. Футбольно-математическая школа (от ФМШ) собирает много зрителей, когда в первенстве школы, или в товарищеских встречах, по футболу (баскетболу, волейболу, шахматам) играют команды школьников против команды преподавателей (много лет существовала «математическая команда» по этим вида спорта; сейчас — сборные преподавателей). Застрельщиками и инициаторами многих туристических походов (например, ставшая традиционной «Звездочка») являлись и являются преподаватели математики (И.Г. Журбенко, В.В. Вавилов, Н.Б. Алфутова, Ю.Е. Егоров). Музыкальные вечера и лекции по живописи А.Н. Колмогорова, работа музыкального клуба «Топаз» (А.Т. Фоменко, В.Ф. Пахомов, А.Н. Звонкин), музыкальные программы В.Н. Дубровского, работа Клуба интересных встреч, выпуски «Физико-математического вестника» (более 60 выпусков — бессменный редактор Г.Г. Григорьев) и радиогазеты, КВНы, различные театральные постановки (начиная с Ю. Кима), математические бои и другие научные соревнования, летние трудовые лагеря в Крыму и строительные отряды в Москве, Смоленске и на Сахалине, учебно-познавательные (и в рамках обмена) поездки за рубеж в Венгрию, Польшу, Югославию, Англию, США и др., создание школьного музея, литературные чтения (иногда на уроках математики!) и т.д. — все перечислить практически невозможно.

Опыт работы нашей физико-математической школы оказал значительное влияние (а сама школа долгое время служила экспериментальной площадкой) на идеи модернизации школьного математического образования в стране, проводимой в шестидесятых и семидесятых годах прошедшего столетия, и которая осуществлялась под руководством А.Н. Колмогорова. Реформа тогда явно назрела (это мнение разделяли все здравомыслящие ученые и работники народного образования), т.е. школьный курс математики пришел в значительное противоречие с жизненными потребностями общества в математических знаниях, умениях и навыках, которыми обладали тогда выпускники школ. Реформирование школьного образования, да еще в многонациональной и огромной стране, дело далеко не простое: разработка программ и методических приемов, создание учебников и задачников требует усилий многих людей, значительного времени и глубоких экспериментов. Для этого требовались высококвалифицированные преподаватели средней школы, разделяющие основные положения проводимой реформы, новаторы, люди с творческими чертами характера. Именно в самый разгар этой работы, в авторские коллективы новых учебников по курсам геометрии, алгебры и началам анализа А.Н. Колмогоровым были включены сотрудники нашей школы, бывшие ее ученики и воспитанники Московского университета Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов, А.Н. Земляков, А.Б. Сосинский, В.А. Гусев, А.А. Шершевский. После создания научно-популярного журнала «Квант», что также являлось одним из важных реформаторских дел, где первым заместителем главного редактора был А.Н. Колмогоров, по его приглашению в составе редколлегии работали многие наши преподаватели: А.А. Егоров (работает с первых дней и по настоящее время), А.Н. Земляков, В.В. Вавилов, А.Б. Сосинский, Ю.П. Соловьев, В.Н. Дубровский, Н.П. Долбилин. Желание помочь постановке школьного математического образования в стране привело к организации в 1989 году при кафедре математического анализа механико-математического факультета МГУ кабинета методики преподавания математики и основную инициативу здесь взяли на себя преподаватели школы-интерната В.В. Вавилов и И.И. Мельников (бессменный заведующий кабинета, ныне — профессор МГУ и государственный деятель); деятельность кабинета сейчас связана с проведением широкого спектра научно-педагогических исследований, и нацелена на приобретение студентами мехмата второй специальности — преподавателя математики, на работу с аспирантами и переподготовку учителей средней школы.

Сказанное выше, убедительно доказывает, что в известной полемике П.Л. Капицы и А.Н. Колмогорова по проблеме воспитания та-

лантливых школьников оба оказались правы, а сама школа им. А.Н. Колмогорова, и кафедра математики также, стала «клиникой, которая изучает и отрабатывает новые методы диагностики и лечения... и ее задача — внедрять передовые методы в жизнь ...»; подробнее об этой дискуссии см. в [25], [20]. Отметим, что среди наших более чем 6000 выпускников имеются члены-корреспонденты академий, доктора и кандидаты наук, специалисты технического профиля, политики, бизнесмены и т.д.(к сожалению, достаточно полных данных для публикаций пока нет). В значительной мере на базе нашей школы при МГУ были подготовлены и успешно защищены докторские диссертации В.А. Гусева и И.И. Мельникова, кандидатские диссертации А.М. Абрамова, А.Н. Землякова, Т.Н. Трушаниной, В.А. Бахтиной и др.; под руководством сотрудников кафедры и сейчас готовятся к защите несколько диссертаций. Члены кафедры математики являются авторами многих статей методического и научно-популярного характеров, книг и учебников для средней школы (далеко не полная библиография только широко известных и важных работ сейчас насчитывает свыше ста наименований — см. [36]).

В 2002—03 учебном году на кафедре математики школы им. А.Н. Колмогорова при Московском государственном университете работают (см. фотографии, двадцать из которых сделаны Г.И. Сыркиным и предоставлены автору для этой публикации): доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Трещев Д.В., д.ф.м.н. и профессора Виноградов О.П. (зав. каф.), Шавгулидзе Е.Т., Бутузов В.Ф., Скопенков А.Б., Сергеев И.Н., к.ф.м.н., профессор Макаров А.В.; к.ф.м.н., доценты Часовских А.А., Дубровский В.Н., Довбыш С.А., Русаков А.А., Вавилов В.В., Носов М.В., Нараленкова И.И., доцент Рождественский В.В.; к.ф.м.н., ст. преподаватель Шкаликова Н.А.; ст. преподаватели Егоров А.А., Семенова Т.Г., Сыркин Г.И.; к.ф.м.н, ассистенты Селиванова И.Ю., Шарыгин Г.И.; ассистенты Егоров Ю.Е., Алексеев Д.В., Швец А.Н., Николаев Ю.П., Евдокименко А.П., Степанов А.А., Долгалева O.E., Прошкина А.В., Окс Ф.С., Герман О.Н., Пономарев А.А.; к.ф.м.н., научный сотрудник Колосов В.А., к.пед.наук, мл. научный сотрудник Шивринская Е.В.

Алексеев Дмитрий Владимирович

Бутузов Валентин Фёдорович

Вавилов Валерий Васильевич

Виноградов Олег Павлович

Герман Олег Николаевич

Довбыш Сергей Александрович

Долгалёва Ольга Евгеньевна

Дубровский Владимир Натанович

Евдокименко Артём Петрович

Егоров Андрей Александрович

Егоров Юрий Евгеньевич

Колосов Вадим Александрович

Макаров Алексей Владимирович

Нараленкова Ирина Игоревна

Николаев Юрий Павлович

Носов Михаил Васильевич

Окс Фёдор Сергеевич

Пономарёв Алексей Александрович

Прошкина Анастасия Владимировна

Рождественский Валерий Викторович

Русаков Александр Александрович

Селиванова Ирина Юрьевна

Семёнова Тамара Георгиевна

Сергеев Игорь Николаевич

Скопенков Аркадий Борисович

Степанов Александр Александрович

Сыркин Геннадий Иосифович

Трещёв Дмитрий Валерьевич

Часовских Анатолий Александрович

Шавгулидзе Евгений Тенгизович

Шарыгин Георгий Игоревич

Швец Антон Николаевич

Шивринская Елена Вячеславовна

Шкаликова Надежда Асановна

Я закончу эту работу довольно большими выдержками из воспоминаний профессора Московского университета В.М. Тихомирова, ученика А.Н. Колмогорова, где он делится своими воспоминаниями и размышлениями о целях и задачах математического образования и о той роли, которую играл его учитель при реализации реформаторских идей по пересмотру содержания математических дисциплин в средней школе. "По мнению Андрея Николаевича..., — пишет В.М. Тихомиров в [55] — курс математики должен быть научным, строгим и современным. Далее, среди целей математического образования, должно быть, по мнению Андрея Николаевича, и присутствовать формирование научного мировоззрения. А.Н. Колмогоров писал, например: "Вряд ли нужно доказывать, насколько желательно с общеобразовательной точки зрения достигнуть того, чтобы все учащиеся могли вполне конкретно понять хотя бы ньютоновскую концепцию математического естествознания". В той же статье В.М. Тихомиров отмечает, что при обдумывании основных моментов изменения школьных программ по математике "Он был идеалистом. Не в философском или религиозном значении этого слова, а в своем взгляде на окружающий мир... Он видел людей и окружающую действительность как бы сквозь особые волшебные очки, в несравненно лучшем свете, чем оно было в реальности. ... Андрей Николаевич полагал, что вообще мир населен людьми благородными, культурными, стремящимися к поиску истины — словом, похожими на него самого и на тех, с которыми он всю жизнь общался. И мне представляется, что планируя будущую программу средней школы, он исходил из такого идеального образа советского школьника... Это была реформа для идеального государства...

Глядя на мир сквозь свои волшебные очки, Андрей Николаевич полагал, что едва ли не самым привлекательным и желанным видом человеческой деятельности для каждого является творческий труд, направленный на поиск истины. А потому, в частности, стремление к высшему образованию является естественным и безусловным для каждого молодого человека. Он много раз писал, что жизнь человеческая должна быть спланирована так, чтобы избранному виду творческой деятельности человек отдал максимум того, на что он способен.

... Если во главу угла ставить личность, ее права, ее интересы, то государство должно быть институтом, призванным удовлетворять естественные и непременные права личности. Среди этих прав, вне всякого сомнения, должно быть право на получение математического (как и любого другого) образования. Но личность должна быть действительна свободна, и в частности свободна требовать от государства того математического образования, которое соответствует этой лично-

сти, ее желаниям и возможностям. А значит, образование не может, не должно быть единым.

... Целью математического образования, по моему скромному мнению, должно быть развитие. Развитие навыков оперирования с числами и фигурами, пространственного воображения, логического мышления — словом, развитие интеллекта. Ничто не может обучить этому лучше, чем математика, — об этом говорит весь опыт человечества. При всем этом обучение должно быть интересным, увлекательным, поучительным. Таким должно быть обучение для всех. Но отдельно нужно подумать и о тех людях, которые действительно испытывают удовольствие от творчества, от поиска истины, от красоты самой математики. Этих людей нужно учить по особому. Таких людей не так уж мало — такова природа человеческая. И чем более благополучно общество, чем больше в нем благоденствия, тем значительнее этот слой и тем сильнее он облагораживает все общество. И этот слой людей также должен обладать правом получить адекватное, глубокое математическое образование".

Мне представляется, что наша школа, школа научного творчества — школа им. академика А.Н. Колмогорова Специализированного Учебно-Научного Центра Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и является, в значительной мере, реализацией именно этих идей и мыслей об идеальных учащихся и их преподавателях, об идеальной школе в свободном государстве.

Библиография

В этом списке литературы (далеко не полном) приведены ссылки только на некоторые из опубликованных работ, отражающих различные общие вопросы развития и постановки математического образования в школе им. академика А.Н. Колмогорова Специализированного учебно-научного центра МГУ им. М.В. Ломоносова.

1. А.Н. Колмогоров, Шаг в науку. //Газета «Московский университет», 10.12.1966.

2. А.Н. Колмогоров, В.В. Вавилов, Физико-математическая школа при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова. // «Квант», 1(1977).

3. А.Н. Колмогоров, В.В. Вавилов, И.Т. Тропин, Физико-математическая школа при МГУ. // М.: Знание, 1981. (Новое в жизни, науке, технике. Серия: Математика и кибернетика, № 5).

4. А.Н. Колмогоров, Физико-математическая школа. // «Учительская газета», 11.02.64.

5. А.Н. Колмогоров, Пожелания к пятилетию (ФМШ при МГУ). // Газета «Московский университет», 4.12.68.

6. А.Н. Колмогоров, В.А. Гусев, А.А. Егоров, Е.Л. Сурков, Физико-математические школы-интернаты. // Журнал «Квант», 1(1970).

7. А.Н. Колмогоров, Как растят таланты (О работе ФМШ при МГУ). // «Учительская газета», 28.01.71.

8. А.Н. Колмогоров, Таланты требуют внимания (О ФМШ при МГУ). // Газета «Московский комсомолец», 14.12.71.

9. А.Н. Колмогоров, И.Г. Журбенко, Г.В.Пухова, О.С.Смирнова, С.В.Смирнов, Летняя школа на Рубеком озере. Из опыта работы летней физико-математической школы. // М.: Просвещение, 1971.

10. А.Н. Колмогоров, Школа-интернат при университете. Для чего она? // Газета «Московский университет», 30.11.73.

11. Как растить увлеченных (О встрече акад. А.Н. Колмогорова с выпускниками ФМШ — докторами наук). // Газета «Известия» 28.01.84.

12. А.Н. Колмогоров, Наука и профессия. Составитель Г.А.Гальперин. //.: Наука, 1988.

13. А.Н. Колмогоров, О работе вузов со школами. // Журнал «Математика в школе», 2(1985).

14. А.Н. Колмогоров. Знания, навыки, способности и конкурсные экзамены (О подготовке учащихся физико-математических школ). // «Литературная газета», 11.01.67.

15. А.Н. Колмогоров, Тропин И.Т., Чернышев К.В. Заботясь о достойном пополнении. // Журнал «Вестник высшей школы», 6(1974).

16. А.Н.Колмогоров, Новые программы. Специализированные школы. (Сборник. Составители Б.В. Гнеденко и В.А. Титов). // М.: Знание, 1974. (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибернетика», № 6).

17. А.Н. Колмогоров, И. Г. Журбенко, А.В. Прохоров, Введение в теорию вероятностей. // М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. (Библиотечка «Квант». Вып. 23).

18. А.Н. Колмогоров, К обсуждению работы по проблеме «Перспективы развития советской школы на ближайшие 30 лет». // Журнал «Математика в школе», 5(1990).

19. А.Н. Колмогоров, В.А. Гусев, А.Б. Сосинский, А.А. Шершевский, Курс математики для физико-математических школ, Изд-во МГУ, 1971,223 стр.

20. А.М. Абрамов, О положении с математическим образованием в средней школе» (1978—2003). // М.: Фазис,2003.

21. А.М. Абрамов, О педагогическом наследии А.Н. Колмогорова.// В книге «Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове». // М.: Фазис, 1999.

22. В.Б. Алексеев, Теорема Абеля в задачах. // М.: Наука, 1978.

23. Н.Б. Алфутова, В.В. Загорский, Т.П. Коренева, А.В. Устинов, Варианты вступительных экзаменов в Школу им. А.Н. Колмогорова. //М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, «Самообразование», 2000.

24. Н.Б. Алфутова, А.В. Устинов, Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. // М.: МЦНМО, 2002.

25. В.В. Вавилов, Об одной дискуссии П.Л. Капицы и А.Н. Колмогорова. // Журнал ФМШ, 1(1996).

26. В.В. Вавилов, А.Н. Земляков, Из опыта работы летней физико-математической школы при МГУ. // Журнал «Математика в школе», 4(1978).

27. В.В. Вавилов, А.Н. Земляков, Учебные задания по математике. Практические работы № 1—2. // Ротапринт НИИ СИМО АПН СССР, 1977.

28. В.В. Вавилов, А.Н. Земляков, Учебные задания по математике. Практические работы № 3—6. // Ротапринт НИИ СИМО АПН СССР, 1977.

29. В.В. Вавилов, А.Н. Земляков, Учебные задания по математике. Практические работы № 7—10. // Ротапринт НИИ СИМО АПН СССР, 1978.

30. В.В. Вавилов, Т.Н. Трушанина, Н.А. Шкаликова, Экзаменационные рифы для будущих учащихся Московского университета, -"Математика в школе" , 5(1995).

31. В.В.Вавилов, Шарнирные механизмы. Кривые Уатта. // "Квант", 1(1997).

32. В.В. Вавилов, Геометрия круга. // "Квант", 6(1977).

33. В.В. Вавилов, И.И. Мельников, Касательная. // "Квант", 5(1978).

34. В.В. Вавилов, Сетчатые номограммы. // "Квант", 9(1978).

35. В.В. Вавилов, Сечения многогранников. // "Квант", 10(1978).

36. В.В. Вавилов, Об одной формуле Христиана Гюйгенса. // "Квант", 6(1992).

37. В.В. Вавилов, Т.Н. Трушанина, Государственные экзамены в школе им. А.Н. Колмогорова. // Журнал «Математика в школе», 3(1994).

38. В.В. Вавилов, Т.Н. Трушанина, Н.А. Шкаликова, Экзаменационные рифы для будущих учащихся Московского университета. // Журнал «Математика в школе», 5(1995).

39. В.В. Вавилов, Многоугольники на решетках. // М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, «Самообразование», 2002.

40. В.В. Вавилов, Н.А. Шкаликова, Экзаменационные рифы. // Школа им. А.Н. Колмогорова, Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова, 2003.

41. В.В.Вавилов, Школа им. академика А.Н.Колмогорова Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. // В книге «Сборник статей ко дню рождения А.Н. Колмогорова» (Ред. коллегия: А.А. Часовских, В.В. Вавилов, А.Н. Качалкин, Е.В. Шивринская). // М.: Научно-технический центр «Университетский», 2003, стр. 3- 41.

42. В.Н. Дубровский, А.Б. Скопенков, А.В. Спивак, Математика, 10 класс (Материалы Летней физико-математической школы).//М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, «Самообразование», 1999.

43. Н.Б. Васильев, А.А. Егоров, Задачи Всесоюзных математических олимпиад. // М.: Наука, 1988.

44. А.А. Егоров, А.Н. Колмогоров и колмогоровский интернат. // В книге «Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. // М.: Фазис, 1999.

45. Есть ФМШ.... (Сб. под ред С.А. Педоры). // М.: Из-во МГУ, 1995.

46. В.А. Жигульский, А.А. Часовских, Школа им. А.Н. Колмогорова сегодня. // В книге «Сборник статей ко дню рождения А.Н. Колмогорова» (Ред. коллегия: А.А. Часовских, В.В. Вавилов, А.Н. Качалкин, Е.В. Шивринская). // М.: Научно-технический центр «Университетский», 2003.

47. Журнал «Университет и школа», № 3—4, 2001.

48. В.В. Козлов, В поисках талантов: от Ломоносова до Колмогорова. // Журнал «Вестник высшей школы», 10—12(1992).

49. Г.И. Катаев, Об А.Н. Колмогорове (HOMO UNIVERSALES). // В книге «Колмогоров в воспоминаниях». Редактор-составитель А.Н. Ширяев. // М.: Наука, 1993.

50. Н.Н. Колесников, М.К. Потапов, О вступительных экзаменах в физико-математическую школу-интернат при МГУ. // Журнал «Наука и жизнь», № 1, 1969.

51. В.А. Колосов, Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики. // М.: Гелиос АРВ, 2001.

52. И.И. Мельников, Проблемы совершенствования современного школьного и вузовского математического образования. // М.: Книжный дом «Университет», 1999.

53. М.К. Потапов, Н.Х. Розов, Школа-интернат при МГУ. // Журнал «Наука и жизнь», № 4, 1968.

54. Сборник статей ко дню рождения А.Н. Колмогорова (Ред. коллегия: А.А. Часовских, В.В. Вавилов, А.Н. Качалкин, Е.В. Шивринская). // М.: Научно-технический центр «Университетский», 2003.

55. В.М. Тихомиров, Гений, живший среди нас.// В книге «Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. (Составитель Н.Х. Розов, Под общей редакцией В.М. Тихомирова). // М.: Фазис, 1999.

56. Три кубика (Сборники фольклорных произведений учащихся школы при МГУ). ЧЧ.1—3. // М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, «Самообразование», 1997.

57. А.А. Часовских, Из опыта работы СУНЦ МГУ (В книге: «Всероссийская конференция «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков», Дубна, сентябрь 2000). // М.: МЦНМО, 2000.

58. Р.С. Черкасов, А.Н. Колмогоров и школьное математическое образование. // В книге «Колмогоров в воспоминаниях». Редактор-составитель А.Н.Ширяев. // М.: Наука, 1993.

59. А.Н. Ширяев, Увлеченный до крайности.// Материалы научно-практической конференции «Колмогоров: современная математика и образование» (Составители: В.Н. Чубариков, А.Е. Устян, А.А. Русаков). // Тула: Изд-во Тульского гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2003.

Приложение 1

Олимпийский пьедестал

Школьные математические олимпиады в своем современном виде берут свое начало с так называемого этвешского соревнования, проведенного в 1894 году в Венгрии по инициативе Лорана Этвеша -президента Венгерского физико-математического общества. Начиная с этого момента, школьные математические соревнования начали распространяться по всему миру. Сейчас многие страны имеют хорошо отлаженные схемы проведения своих научных соревнований для молодежи (об истории математических олимпиад в нашей стране и за рубежом см. [1] — [4] и многие регулярные публикации в журналах «Математика в школе» и «Квант»). Накопленный опыт в проведении национальных соревнований школьников в разных странах, совершенно естественно привел к организации Международных олимпиад (математики здесь были первыми, но сегодня такие олимпиады проходят по физике, химии, биологии, информатике, географии, русскому языку). Проведение первой международной математической олимпиады (ММО) в 1959 году взяла на себя Румыния. Такие олимпиады проводятся сейчас ежегодно и команда СССР, а теперь команда России (в 1992 году уже выступали команды СНГ и России) является ее постоянным участником (только в 1960, 1961, 1978 году наших школьников на этих олимпиадах не было; в 1980 году ММО не проводилась). Итоги выступления наших команд всегда было успешными и заслуживают всяческих похвал. Эти блестящие успехи наших олимпийцев обусловлены в первую очередь достаточно высоким уровнем (по сравнению со многими другими странами) общей школьной математической подготовкой, возникшим (правда, не так уж и давно — 40 лет назад) специализированным школам и классам, хорошо организованной системе национальной олимпиадной пирамиды (начиная со школьных олимпиад), разросшейся сети кружков при вузах страны и очным, заочным, летним юношеским математическим школам, научным школьным конференциям, первоклассным научно — популярным книгам и брошюрам, журналам «Математика в школе» и «Квант». А главное, этим успехам мы обязаны великолепным учителям, первоклассным ученым и всем тем энтузиастам (организаторам, композиторам задач, студентам, аспирантам), без которых такое многомасштабное дело невозможно было бы хорошо сделать. И здесь, прежде всего, должны быть названы Борис Николаевич Делоне и Андрей Николаевич Колмогоров,

стоявшие у истоков школьного олимпиадного движения в нашей стране и под влиянием которых сложились прочные его традиции.

А.Н. Колмогоров принимал самое активное участие во многих московских математических олимпиадах (он только на посту председателя олимпиады работал в 1937, 1951, 1963 и 1975 годах, не говоря уж о работе в качестве члена оргкомитета этих олимпиад). Когда стали проводиться Всероссийские (с 1961 года), а затем Всесоюзные (с 1967 года) олимпиады и было решено создать постоянно действующий оргкомитет, ее методическую комиссию по математике в течении более чем 20 лет возглавлял А.Н. Колмогоров (его заместителями в разные годы работали Н.Б. Васильев, М.И. Башмаков, А.Н. Земляков, Н.Х. Розов, Ю.В. Нестеренко, В.В. Вавилов); затем с 1983 года по его просьбе ее возглавлял Б.В. Гнеденко (заместитель В.В. Вавилов). С 1992 года олимпиады вновь стали чисто российскими (председатель оргкомитета Н.В. Карлов, председатель комиссии по математике — Г.Н. Яковлев, его заместитель Н.Х. Агаханов).

Андрей Николаевич Колмогоров всегда интересовался задачами, предлагавшихся на разного рода олимпиадах, их итогами и статистикой результатов участников по задачам, участвовал в формировании составов оргкомитетов и жюри Всесоюзной олимпиады, возглавлял работу жюри пяти заключительных этапов Всесоюзных олимпиад в Воронеже (1966), Симферополе (1970), Ташкенте (1978), Саратове (1980) и в Одессе (1982), занимался вопросами подготовки и формирования команды страны для участия в Международных математических олимпиадах. Научными руководителями команды страны для участия в международных школьных олимпиадах многие годы являлись А.М. Абрамов и В.В. Вавилов.

Не случайно поэтому что, создавая интернат при МГУ, в качестве его первых абитуриентов (по предложению А.Н. Колмогорова) в Летнюю школу в Красновидове были приглашены 46 участников Третьей Всероссийской олимпиады (из которых было зачислено только 19 школьников). Более того, многие годы прием учащихся в ФМШ при МГУ осуществлялся в значительной мере через олимпиады. Для этого МГУ им. М.В. Ломоносова командировал своих студентов, аспирантов и преподавателей, которые не только являлись членами жюри областных, Всероссийских и Всесоюзных олимпиад, но и, в периоды проведения самих олимпиад, осуществляли работу, связанную с приемом в школу-интернат № 18 при МГУ.

Придавая большое значение олимпиадам в общей системе поиска, поддержки и воспитания талантливой молодежи, Андрей Николаевич считал, что главное — это приобщение способных школьников к

изучению математики, подготовительная работа (кружки, лекции для школьников, которые не ограничиваются только разбором олимпиадных задач и методов их решений), привлечение широкого круга ученых и учителей к повседневной работе с одаренными молодыми людьми.

Наши воспитанники - участники Международных олимпиад

Архипов Геннадий (ММО- 64; г. Москва; 39 баллов, золото)

Алексеев Валерий (ММО — 64; г. Москва; 36 баллов, серебро)

Ивлев Борис (ММО — 64; г. Москва; 30 баллов, бронза)

Матиясевич Юрий (ММО — 64, г. Москва; 38 баллов, золото)

Пересецкий Анатолий (ММО — 65; ГДР, г. Берлин; 38 баллов, золото)

Заимских Александр (ММО- 66; Болгария, г. София; 33 балла, серебро)

Матикайнен Борис (ММО — 66; Болгария, г. София; 38 баллов, серебро)

Бошерницан Михаил (ММО — 67; Югославия, г. Цетинье; 37 баллов, серебро)

Кричивер Игорь (ММО — 67; Югославия, г. Цетинье; 32 балла, серебро)

Курчанов Павел (ММО — 68; г. Москва; 40 баллов, золото)

Пономаренко Владимир (ММО — 68; г. Москва; 40 баллов, золото)

Климов Аркадий (ММО — 69; Румыния, г. Бухарест; 24 балла, бронза

ММО — 70; Венгрия, г. Кесцжели; 39 баллов, золото)

Прасолов Андрей (ММО — 69; Румыния, г. Бухарест; 32 балла, серебро)

Ходулев Андрей (ММО — 69; Румыния, г. Бухарест, 30 баллов, серебро

ММО — 70; Венгрия, г. Кесцжели; 40 баллов, золото)

Корлюков Александр (ММО — 70; Венгрия, г. Кесцжели; 24 балла, бронза)

Гашков Сергей (ММО — 71; Чехословакия, г. Жилина; 35 баллов, золото)

Бурков Владимир (ММО — 72; Польша, г. Варшава; 40 баллов, золото)

Колмаков Юрий (ММО — 72; Польша, г. Варшава; 28 баллов; бронза)

Шаповалов Александр (ММО — 72; Польша, г. Варшава; 22 балла, бронза)

Грозман Павел (ММО — 73; г. Москва; 35 — 40 баллов, золото)

Корнюшкин Александр (ММО — 75; Болгария, г. Бургос; 36 баллов, серебро)

Амброладзе Мурман (ММО- 79; Англия, г. Лондон; 19 баллов, бронза)

Ляховец Андрей (ММО — 79; Англия, г. Лондон; 34 балла, серебро)

Лысенок Игорь (ММО — 79; Англия, г. Лондон; 36 баллов, серебро)

Хлебутин Сергей (ММО — 79; Англия, г. Лондон; 35 баллов, серебро)

Алексеев Валерий (ММО — 81; США, г. Вашингтон; 42 балла, золото)

Гринчук Михаил (ММО — 81; США, г. Вашингтон; 42 балла, золото)

Чанышев Айрат (ММО — 81; США, г. Вашингтон; 34 — 40 баллов, серебро)

Спивак Александр (ММО — 82; Венгрия, г. Будапешт; 30 баллов, серебро)

Матюшев Сергей (ММО — 82; Венгрия, г. Будапешт, запасной команды)

Самборский Сергей (ММО — 82; Венгрия, г. Будапешт; запасной команды)

Семенов Александр (ММО — 83; Франция, г. Париж; 25баллов, бронза)

Иванов Лев (ММО — 85; Финляндия, Хельсинки; 21 балл, бронза)

Роганов Владимир (ММО — 86; Польша, г. Варшава; 42 балла, золото)

Рагулин Владимир (ММО — 89; ФРГ, г. Брауншвейг; 29 баллов, бронза)

Скопенков Аркадий (ММО — 89; ФРГ, г. Брауншвейг; 34 балла, серебро)

Никулин Михаил (ММО — 92; Россия, г. Москва; 32 балла, бронза)

Салихов Константин (ММО — 96; Индия, Бомбей; 22 балла, серебро)

Наши воспитанники -участники заключительных этапов Всесоюзной и Всероссийской олимпиад

I ВМО — 67 (г. Тбилиси)

Курчанов П. (III премия), Медников А. (III премия), Немытов А. (III премия).

Земляков А. (Похвальный отзыв)

II ВМО — 68 (г. Ереван)

Курчанов П. (II премия), Пономаров В. (II премия).

Курбатов В. (Похвальный отзыв), Немытов А. (Похвальный отзыв), Ростов А. (Похвальный отзыв).

III ВМО — 69 (г. Киев)

Ходулев А. (I премия). Климов А. (II премия).

Корлюков А. (III премия), Прасолов А. (III премия)

IY ВМО — 70 (г. Симферополь)

Ходулев А. (I премия), Климов А. (I премия).

Корлюков А. (II премия). Гашков С. (III премия).

Y ВМО-71 (г. Рига)

Гашков С. (I премия).

Бурков В. (II премия), Коган А. (II премия).

Колупаев М. (III премия), Рогинский Л. (III премия), Ушаков В. (III премия), Шварцман Е. (III премия)

YI ВМО — 72 (г. Челябинск)

Бурков В. (I премия), Шаповалов А. (I премия). Вайнтроб А. (II премия), Колмоков Ю. (II премия). Коган А. (III премия), Шварцман Е. (III премия).

YII ВМО — 73 (г. Кишинев)

Перцель В. (I премия).

Баум M. (II премия), Данилов А. (II премия), Вайнтроб А. (II премия), Грозман П. (II премия).

Захаров С. (III премия), Кулагин А. (III премия), Корнилов П. (III премия)

YIII ВМО — 74 (г. Ереван)

Данилов А. (II премия), Корнилов П. (II премия), Корнюшкин А. (II премия), Лукьяненко С. (II премия), Перцель В. (II премия), Федоров В. (II премия). Баум М. (III премия).

IX ВМО — 75 (г. Саратов)

Гиматов Ю. (I премия), Гончаров А. (I премия).

Корнюшкин А. (II премия), Лукьяненко С. (II премия), Четвериков В. (II премия), Федоров В. (II премия). Гейзель В. (III премия).

X ВМО — 76 (г. Душанбе)

Гиматов Ю. (III премия), Козлов В. (III премия), Лукьяненко С. (III премия), Федоров С. (III премия), Хашин С. (III премия).

XI ВМО — 77 (г. Таллин)

Чурбанов А. (I премия).

Саблин А. (III премия).

XII ВМО-78 (г. Ташкент)

Лехтинен И. (I премия), Лысенок И. (I премия), Хлебутин С. (I премия).

Изюмченко H. (II премия), Ляховец А. (II премия).

XIII ВМО — 78 (г. Тбилиси)

Кузьмин Ю. (I премия), Лысенок И. (I премия), Ляховец А. (I премия), Хлебутин С. (I премия). Надеждин Б. (II премия).

Забелин В. (III премия), Кордюков Ю. (III премия), Лучко Ю. (III премия), Павлющук С. (III премия), Рухадзе К. (III премия). Братченко С. (Похвальный отзыв).

XIY ВМО — 80 (г. Саратов)

Алексеев В. (II премия), Гринчук M. (II премия), Кузьмин Ю. (II премия), Стадниченко С. (II премия), Чанышев А. (II премия). Беспамятных С. (III премия), Колдорин А. (III премия), Набоков Р. (III премия), Павлющик С. (III премия).

XY ВМО — 81 (г. Алма-Ата)

Алексеев В. (I премия).

Гринчук M. (II премия), Самборский С. (II премия), Спивак А. (II премия).

Колпаков И. (III премия), Матвеев А. (III премия), Матюшев С. (III премия), Чанышев А. (III премия).

Андраш С. (Похвальный отзыв), Чалых О. (Похвальный отзыв).

XYI ВМО — 82 (г. Одесса)

Спивак А. (I премия).

Мартюшов С. (II премия), Самборский С. (II премия), Семенов А. (II премия), Виноградов А. (III премия), Николаев А. (III премия), Чалых О. (III премия), Юровский С. (III премия). Елисеев М. (Похвальный отзыв).

XYII ВМО — 83 (г. Кишинев)

Семенов А. (I премия).

Ворожейкин В. (II премия), Дейсекулов M. (II премия), Кабанов А. (II премия).

XYIII ВМО — 84 (г. Ашхабад)

Басов О. (II премия), Дейсекулов M. (II премия), Кабанов А. (II премия).

Демин А. (Похвальный отзыв), Ивлев А. (Похвальный отзыв).

XIX ВМО — 85 (г. Могилев)

Иванов Л. (II премия).

Роганов В. (II премия). Фролкин M. (III премия).

XX ВМО — 86 (г. Ульяновск)

Роганов В. (I премия).

XXI ВМО — 87 (г. Фрунзе)

Каринский А. (I премия).

Матвеев В. (Похвальный отзыв).

XXII ВМО — 88 (г. Донецк)

Рагулин В. (I премия). Андрианов H. (II премия).

XXIII ВМО — 89 (г. Рига)

Андрианов Н. (II премия), Бачурин А. (II премия), Городецкий А. (II премия), Скопенков А. (II премия).

XXIY ВМО — 90 (г. Ашхабад)

Городецкий А. (II премия). Бачурин А. (III премия). Бедулев Е. (Похвальный отзыв).

XXY ВМО — 91 (г. Смоленск)

Насыров А. (II премия), Майлыбаев А. (II премия).

XXYI Межреспубликанская олимпиада — 92 (г. Алма-Ата)

Никулин M. (I премия). Степанов А. (II премия). Козлов К. (III премия).

XX Всероссийская олимпиада — 94 (г. Тверь)

Тарасов А. (II премия). Голынский А. (III премия).

XXI Всероссийская олимпиада — 95 (г. Саратов)

Салихов К. (II премия).

XXII Всероссийская олимпиада — 96 (г. Рязань)

Салихов К. (I премия).

Мищенко А. (III премия).

XXIII Всероссийская олимпиада — 97 (г. Калуга)

Мищенко А. (II премия).

XXIY Всероссийская олимпиада — 98 (г. Пермь)

Никокошев И. (III премия).

XXYI Всероссийская олимпиада — 2000 (г. Казань)

Скопенков М. (III премия), Шарич В. (III премия).

XXYII Всероссийская олимпиада-2001 (г. Тверь)

Кудряшов Ю. (I премия), Румянцев А. (I премия).

XXYIII Всероссийская олимпиада — 2002 (г. Майкоп)

Кудряшов Ю. (II премия).

X1I1 Всероссийская олимпиада -2003 (г. Тверь)

Родин А. (II премия), Тимофеев А. (II премия).

Литература:

1. Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. (Составитель Н.Х. Розов; под ред. В.М. Тихомирова). // М.: ФАЗИС, МИРОС, 1999.

2. Математические олимпиады (сборник статей под ред. А.М. Абрамова). // М.: Просвещение, 1988.

3. Международные математические олимпиады. (Сост. А.А. Фомин, Г.М. Кузнецова). // М.: Дрофа, 1998.

4. Вавилов В.В. Задачи отборочных математических олимпиад.// М.: Издательство МГУ, 1992.

5. Васильев Н.Б., Егоров А.А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. // М.: Наука, 1988 (Б-ка мат кружка; вып. 18).

6. Vavilov V.V., Pearls of elementary Mathematics. // "Mathematics competitions" (Австралия), v.6, #1, 1993.

Издательство УРСС

специализируется на выпуске учебной и научной литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых Российской Академии наук, научно-исследовательских институтов и учебных заведений.

Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!

Основываясь на широком и плодотворном сотрудничестве с Российским фондом фундаментальных исследований и Российским гуманитарным научным фондом, мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных экономических условиях. При этом мы берем на себя всю работу по подготовке издания — от набора, редактирования и верстки до тиражирования и распространения.

Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:

Босс В. Лекции по математике: анализ.

Босс В. Лекции по математике: дифференциальные уравнения.

Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение (с решениями).

Избранные задачи из "American Mathematical Monthly". Под ред. Алексеева В. М.

Гамов Г., Стерн М. Занимательные задачи.

Гнеденко Б. В. О математике.

Гнеденко Б. В. Очерк по истории теории вероятностей.

Реньи А. Диалоги о математике.

Шикин Е. В., Шикина Г. Е. Математика. (Гуманитариям о математике.)

Ожигова Е. П. Развитие теории чисел в России.

Золотаревская Д. И. Теория вероятностей. Задачи с решениями.

Антоневич А. Б. и др. Задачи и упражнения по функциональному анализу.

Драгалин А. Г. Конструктивная теория доказательств и нестандартный анализ.

Ворожцов А. В. Путь в современную информатику.

Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Т. 1—3.

Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.

Крыжановский Д. А. Изопериметры. Свойства геометрических фигур.

Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство.

Вейль А. Основы теории чисел.

Жуков А. В. Вездесущее число «пи».

Боярчук А. К. и др. Справочное пособие по высшей математике (Антидемидович). Т. 1—5.

Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика. Т. 1—6.

Краснов М. Л. и др. Сборники задач с подробными решениями.

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. В 9 томах.

Задачи и упражнения с ответами и решениями к фейнмановским лекциям. В 2 томах.

Вайнберг С. Мечты об окончательной теории.

Грин Б. Элегантная Вселенная. Суперструны и поиски окончательной теории.

Пенроуз Р. НОВЫЙ УМ КОРОЛЯ. О компьютерах, мышлении и законах физики.

По всем вопросам Вы можете обратиться к нам: тел./факс (095) 135-42-16, 135-42-46 или электронной почтой URSS@URSS.ru Полный каталог изданий представлен в Интернет-магазине: http://URSS.ru

Издательство УРСС

Научная и учебная литература

Издательство УРСС

Представляет Вам свои лучшие книги:

Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика

Андрей Николаевич Колмогоров (1903—1987) и Альберт Григорьевич Драгалин (1941—1998) — выдающиеся отечественные логики и математики, оказавшие глубокое воздействие на стиль и направление мировых исследований по логике и философии математики.

В настоящее издание включены учебники А. Н. Колмогорова и А. Г. Драгалина «Введение в математическую логику» и «Математическая логика. Дополнительные главы», содержащие классическое изложение понятий и результатов математической логики с элементами теории множеств, теории алгоритмов и оснований математики. Учебники написаны на основании курса математической логики, читавшегося обоими авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М. В.Ломоносова.

Изложение фундаментальных фактов современной логики (основ логики высказываний и логики предикатов, начал аксиоматической теории множеств, теории алгоритмов, теоремы Геделя о неполноте, программы Гильберта обоснования математики) не предполагает специальной подготовки и рассчитано на широкий круг читателей, интересующихся математической логикой и философскими проблемами современной математики.

Л. С. Понтрягин: Серия «Знакомство с высшей математикой»

Метод координат. Анализ бесконечно малых. Алгебра.

Дифференциальные уравнения и их приложения.

Серия «Психология, педагогика, технология обучения»

Михеев В. И. Моделирование и методы теории измерений в педагогике.

Архангельский С. И. Лекции по теории обучения в высшей школе.

Фридман Л. М. Что такое математика.

Издательство УРСС

(095) 135-42-46, (095) 135-42-16, URSS@URSS.ru

Наши книги можно приобрести в магазинах:

«Библио-Глобус» (м.Лубянка, ул. Мясницкая, 6. Тел. (095) 925-2457) «Московский дом книги» (м. Арбатская, ул. Новый Арбат, 8. Тел. (095) 203-8242) «Москва» (м. Охотный ряд, ул. Тверская, 8. Тел. (095) 229-7355) «Молодая гвардия» (и. Полянка, ул. Б. Полянка, 28. Тел. (095) 238-5083, 238-1144) «Дом деловой книги» (м. Пролетарская, ул. Марксистская, 9. Тел. (095) 270-5421) «Гнозис» (м. Университет, 1 гум. корпус МГУ, комн. 141. Тел. (095) 939-4713) «У Кентавра» (РГТУ) (м. Новослободская, ул. Чаянова, 15. Тел. (095) 973-4301) «СПб. дом книги» (Невский пр., 28. Тел. (812) 311-3954)

Работа написана к 250-летию Московского государственного университета, 40-летию создания школы-интерната при МГУ и в связи со столетием со дня рождения ее основателя — выдающегося ученого современности, педагога, гуманиста и патриота, академика Андрея Николаевича Колмогорова. В ней содержатся материалы исторического характера, описана структура преподавания математических дисциплин в школе, рассказано о работе кафедры математики, нацеленной на развитие математической культуры школьников и на подготовку их к будущей научной деятельности.

Издательство УРСС

дистрибьютор научной и учебной литературы

Телефон / факс: (095) 135-42-46,135-42-16 e-mail: URSS@URSS.ru

Каталог изданий в Internet:

http://URSS.ru