Уметский В. А. Некоторые вопросы преподавания арифметики в V—VI классах. — М. : Учпедгиз, 1959. — 96 с. — (Из опыта учителя).

ИЗ ОПЫТА УЧИТЕЛЯ

В. А. УМЕТСКИЙ

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ АРИФМЕТИКИ В V-VI КЛАССАХ

УЧПЕДГИЗ • 1959

В. А. УМЕТСКИЙ

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ АРИФМЕТИКИ В V—VI КЛАССАХ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Москва — 1959

ВВЕДЕНИЕ

Указания Коммунистической партии Советского Союза о политехническом обучении ставят перед школой большие и сложные задачи. Осуществить политехническое обучение — это прежде всего дать учащимся глубокие, прочные знания, без чего при современном уровне техники невозможно успешное овладение той или иной специальностью. В свою очередь теоретические знания могут быть глубокими и прочными лишь при условии, если они непосредственно связаны с живой деятельностью людей и опираются на практическое изучение основ производства. Между тем преподавание математики, в частности арифметики, имеет в этом отношении ряд недостатков, которые заметить и тем более устранить не всегда удается даже опытному преподавателю.

В процессе педагогической работы учителю часто приходится задумываться над вопросом: что же мешает детям осознать некоторые, кажется, не столь уж сложные понятия? Получить достаточно ясный ответ порой удается лишь в результате длительного педагогического опыта и наблюдений. Поэтому нередко даже самая добросовестная, напряженная работа начинающего учителя не дает желаемых результатов.

За последние годы условия преподавания школьных дисциплин значительно изменились, что сказалось главным образом в понижении возрастного состава учащихся в классах. Естественно, что чем ребенок моложе, тем он имеет меньший запас жизненного опыта и наблюдений, которые служат основой для восприятия новых понятий. Отсюда и методика изложения учебного материала требует соответствующей перестройки с учетом возрастных особенностей детского мышления.

Новые условия выдвигают перед учителями IV— V классов весьма актуальную проблему — осуществлять преемственность обучения, так как разрыв, существующий в методике изложения материала в IV и в V классах, служит одной из главных причин, порождающих неуспеваемость учащихся в пятых классах (да и только ли в пятых?). К тому же преподавание арифметики вообще, особенно в начальной школе, находится еще не на должном уровне. Поэтому в арифметических знаниях учащихся, переступающих порог V класса, встречается много серьезных недостатков, относящихся к основным вопросам курса арифметики. В V классе этот материал обычно проходится бегло, без учета имеющихся (подчас весьма существенных) пробелов в знаниях учащихся. Происходит это вследствие формального подхода к выполнению программы, в которой отводится на первый раздел, включающий повторение довольно обширного материала начальной школы, всего лишь 20 часов. Между тем в V классе возникает необходимость не просто бегло повторить уже пройденные разделы, а вновь воспроизвести в памяти многие слабо усвоенные понятия, необходимые для изучения последующего материала. Но за короткое время, выделяемое для повторения, иногда оказывается невозможным восстановить необходимые учащимся знания, поэтому и в дальнейшем, на протяжении длительного периода, приходится строить изложение учебного материала с учетом указанных недостатков.

Исходя из сказанного, в настоящей работе рассматриваются некоторые вопросы преподавания арифметики в V—VI классах в соответствии с изложенными выше требованиями. При этом автор не стремится разработать полностью каждый из затрагиваемых вопросов (что привело бы к повторению общеизвестных истин), а высказывает соображения, относящиеся к методике лишь отдельных основных моментов курса арифметики; вместе с тем автор старается остановить внимание на тех вопросах программы, которые представляются учителю слишком элементарными и маловажными, а поэтому часто выпадают из поля его зрения. Между тем эти-то мелкие упущения в преподавании существенным образом сказываются на усвоении учащимися основных вопросов курса арифметики.

В своем изложении автор преследует следующие цели: во-первых, рассмотреть наиболее распространенные ошибки и упущения, которые имеют место в работе многих учителей; во-вторых, выяснить источники тех основных трудностей, которые встречаются в преподавании арифметики, и наметить пути его улучшения. Но поскольку труд учителя является творческим, автор отнюдь не считает, что указанное им практическое решение изложенных здесь вопросов — наилучшее. Исходя из этого было бы нецелесообразно ограничиваться лишь указаниями о том, как вести изложение или закрепление материала; преподавателя должен интересовать вопрос и о том, почему надо применять тот или иной методический прием. Поэтому затрагиваемые здесь вопросы рассматриваются не только в плане их практического решения; своим выводам, основанным на личной практике, автор старается дать теоретическое обоснование. Это даст возможность учителю применить методические указания не как готовый рецепт, а использовать их творчески, применительно к особенностям класса.

Автор полагает, что длительный опыт работы сначала в начальной школе, а затем в V—VII классах позволит ему в какой-то мере приблизиться к правильному решению затронутых вопросов.

§ 1. ОСНОВНОЙ НЕДОСТАТОК В ПРЕПОДАВАНИИ АРИФМЕТИКИ

Одной из основных причин слабой математической подготовки учащихся, несомненно, является оторванность преподавания от жизни.

При обучении в младших классах мы в большей мере (тем в большей, чем ниже возраст учащихся) опираемся на наблюдения и жизненный опыт учащихся. Для этих классов (примерно до VI класса) требование тесной связи преподавания с жизнью приобретает особую актуальность, и его нарушение особенно отрицательно сказывается на результатах обучения. Вот почему учитель этих классов должен проявлять постоянную заботу об обеспечении тесной связи теории с практикой и жизнью,— с практикой и жизнью не вообще, а прежде всего с жизнью и деятельностью самих учащихся, с действительностью, непосредственно их окружающей.

Таким образом, оторванность преподавания от жизни в применении к арифметике означает оторванность от окружающей детей действительности, от их жизненного опыта, их конкретной трудовой деятельности. В связи с этим недостатком находится еще другой, заключающийся в том, что обучение арифметике нередко отрывается от умственного развития учащихся, плохо учитывает особенности детского мышления. Эти два недостатка связаны между собой настолько тесно, что в практике обучения они сливаются в единый источник тех или иных конкретных методических ошибок, порождая существенные пробелы в знаниях учащихся. Можно сказать, что перед нами один основной недостаток — отрыв преподавания арифметики

от практической и умственной деятельности детей.

Знания учащихся могут быть прочными и глубокими лишь при условии, если ученик воспринял их не в готовом виде со слов учителя, а приобрел путем активного изучения и сопоставления конкретных предметов и явлений, а затем под руководством преподавателя сделал соответствующие выводы и обобщения. К сожалению, мы часто упускаем возможность направить внимание детей на изучение окружающих предметов и явлений, подменяя интересные наблюдения сообщением готовых, ничего не говорящих детскому сознанию отвлеченных положений. Учитель не должен ни на минуту забывать о том, что мышление детей отличается конкретностью. И если ребенок не понимает наших объяснений, — это значит, что в его сознании отсутствуют те конкретные образы и представления, на базе которых может возникнуть данное понятие. Развитие математического мышления детей может идти только параллельно с активным изучением живой действительности.

При объяснении нового материала учителю необходимо опираться не только на знания, полученные учащимися в школе, но и на имеющийся у детей запас образов, представлений и понятий, принесенных из семьи, из окружающей их действительности. Однако эту возможность учитель сплошь и рядом упускает из виду. Об этом красноречиво говорят такие, например, факты. Если спросить ученика V класса, какого размера огород имеет семья, то он ответит — столько-то соток. Однако на вопрос, сколько аров занимает этот огород, ученик, как правило, ответит—«не знаю». И это несмотря на то, что ученик еще в IV классе решал десятки задач на вычисление площадей, свободно превращая квадратные метры в ары, ары в гектары и т. д.

В быту постоянно приходится пользоваться мерой объема «литр»—при измерении количества молока, керосина и пр. Большинство учеников знает также, что ведро вмещает около 12 литров. Но когда в V классе сопоставляешь величину одного литра и одного кубического дециметра, учащимся кажется, что эти две величины совершенно разнородны, несравнимы, тогда как практически они тождественны.

Эти примеры говорят о том, что в свое время в IV классе единицы измерения ар и кубический дециметр не были прочно связаны с хорошо известными ученикам из жизни соткой и литром.

Таким образом, школьные знания учащихся часто оказываются как бы повисшими в воздухе, пустой абстракцией, оторванной от своего источника — жизненного опыта.

Неизбежным следствием этого положения является отсутствие у детей интереса к арифметике, а иногда и глубокое отвращение к ней. И хотя интерес к предмету у ребенка зависит и от его индивидуальных склонностей, тем не менее у любого ученика можно пробудить интерес к арифметике настолько, насколько это необходимо для успешного овладения предметом.

Чтобы достигнуть этого, очевидно, прежде всего необходимо изжить основной недостаток в преподавании, о котором говорилось выше. Тогда значительную роль в повышении интереса к математике может сыграть решение занимательных задач (как на уроке, так и на внеклассных занятиях), а также беседы, раскрывающие значение математики в жизни человека, сообщение исторических сведений и т. д. С этой целью можно провести, например, интересную беседу о том, что могло бы получиться, если бы люди вдруг забыли арифметику, и рассказать о тех чудесных достижениях науки и техники, которые оказались бы невозможными без математики. Учащиеся с захватывающим интересом слушают рассказы об «умных» электронных машинах, моментально решающих сложнейшие математические задачи; о том, что затмения солнца и луны, наводившие суеверный ужас на темных людей в прошлом, теперь предсказываются за сотни лет вперед с поразительной точностью; что с помощью математики можно определять довольно точно расстояния между небесными светилами, находящимися от нас за миллионы километров. Естественно, что детям кажется невозможным измерить расстояние между недоступными предметами. И поэтому интерес учащихся возбуждается еще больше, когда учитель сообщает им о том, что уже в VI классе, при изучении геометрии, они узнают простейшие способы измерения недоступных расстояний и будут сами выполнять эту работу.

К сожалению, мнение, будто математика по своей

природе сухой предмет, чуждый интересам детей, наложило печать как на преподавание, так и на школьные учебники математики; в этом нетрудно убедиться, открыв хотя бы первую страницу учебника Киселева: ученик встречается здесь с изложением давно известных ему сухих истин — «один да один предмет составляют два предмета; два предмета да один предмет составляют три предмета; три да один составляют четыре и т. д.». Совершенно очевидно, что эти строки не дадуг никакой пищи для ума ребенка и не могут вызвать у него никаких чувств, кроме скуки и недоумения: «Да кто же не знает, что два да один составляют три?». Столь сугубо отвлеченное изложение особенно недопустимо, когда дети только что приступают к изучению теоретического курса арифметики: с первого же дня занятий у ребят складывается о предмете отрицательное мнение, которое весьма трудно будет изменить впоследствии.

Совсем иную ориентировку учащимся (да и преподавателю) дает автор нового учебника арифметики И. Н. Шевченко. Приступая к изложению курса арифметики. автор знакомит учащихся с историей возникновения счета. Дети с интересом узнают, что в древние времена даже взрослые люди не умели считать. В более поздний период дикие народы при счете предметов стали прибегать к помощи пальцев, как это делают наши малыши. «Считая... предметы, люди пришли к понятию числа предметов. Они поняли, что на вопрос, сколько охотник убил зверей, можно ответить, показав пять пальцев своей руки. С другой стороны, если у человека имеется пять стрел, то он тоже может показать пять пальцев. Таким образом, хотя предметы совершенно различны (звери и стрелы), но их имеется поровну, т. е. стрел столько же, сколько и зверей. Значит, и группе зверей и пучку стрел соответствует одно и то же число — пять».

Такое образное изложение материала дает возможность детям воспринять отвлеченное понятие числа легко и естественно, ибо по своему характеру изложение соответствует особенностям детского мышления, отличающегося конкретностью*.

* Сделанные нами отдельные замечания об учебниках арифметики, разумеется, не могут служить основанием для их общей оценки,

Понятно, что рамки учебника ограничивают возможность живого изложения учебного материала. Зато учитель располагает множеством разнообразных средств, чтобы оживить преподавание арифметики.

Необходимо заметить, что достигается это не только специальными беседами. Иногда достаточно бывает короткой реплики по поводу ожидаемого результата вычислений, чтобы интересный для учащихся вывод стал предметом их внимания. Пусть, например, класс должен решать задачу: «Одна бригада скосила участок луга за 9 часов, другая бригада скосила такую же площадь за 6 часов. За сколько времени скосили бы два этих участка обе бригады, работая вместе, если площадь каждого участка составляет 18 га?».

Конечно, можно только решить задачу, не возбудив у ребят интереса к ней и не сделав никакого вывода. Тогда решение не оставит глубокого следа в сознании учащихся. Результат будет совсем другой, если, приступая к анализу задачи, учитель мобилизует внимание учащихся кратким замечанием: «Сейчас мы будем решать интересные задачи. Получив ответы, вы сравните их. Результат окажется для вас совсем неожиданным». Вполне понятно, что после этого у ребят невольно появится желание увидеть в процессе решения что-то необыкновенное. Решив задачу, ученики должны подумать над вопросом учителя: «А каков будет ответ, если в условии задачи взять площадь вдвое большую, оставив все остальные данные без изменения?». Конечно, учащиеся с уверенностью скажут, что с увеличением площади в два раза во столько же раз должно увеличиться время работы. И утверждение учителя, что их вывод является неправильным, заставит ребят с интересом заняться проверкой, а затем выяснением причины полученного ими столь «странного» результата.

Возьмем другой пример. Известно, что формальное проведение устного счета вызывает лишь скуку в классе. Но стоит перед учащимися поставить вопрос, обещающий что-то необычное, и лица ребят оживляются, пробуждается интерес и мысль детей.

Выполняя умножение десятичных дробей, ученики производят громоздкие действия над многозначными числами. Но вот учитель останавливает внимание детей на записи: 32, 816-0,25, заметив, что результат в этом слу-

чае очень легко найти устно, — стоит лишь подумать. Трудно найти в классе такого ученика, который не заинтересовался бы, как же это сделать. А между тем, если бы предварительно учитель показал детям соответствующий прием, а затем перешел к упражнениям, ученики, пожалуй, и не заметили бы, насколько облегчается вычисление благодаря рациональным приемам.

Большое значение в повышении интереса к предмету имеет также правильная система проверки и учета знаний учащихся (на этом вопросе мы остановимся ниже).

Словом, на любом уроке арифметики можно найти способ заинтересовать ребят предметом, если преподавание вести с учетом психологии и умственного кругозора детей.

Однако, возбуждая интерес к предмету, учитель отнюдь не должен думать, будто изучение арифметики можно превратить для детей в легкую забаву и что прочные и глубокие знания учащиеся могут приобрести только под влиянием непосредственного интереса к арифметике: последний легко может угаснуть, если не приучать детей к трудолюбию, ослабив строгий контроль за их работой. Ибо глубоко знать математику можно лишь при условии систематического, напряженного труда, не всегда интересного для ребенка. Только будучи приучен кропотливо, настойчиво добиваться правильного решения задачи или примера, глубокого понимания той или иной математической формулировки, ученик может успешно овладеть математикой, а следовательно, и полюбить ее.

§ 2. О ПРЕЕМСТВЕННОСТИ В ОБУЧЕНИИ

Указанный основной недостаток в преподавании арифметики имеет место как в начальной школе, так и в последующих классах. Учитель V класса нередко не учитывает пробелов в знаниях пришедших к нему учащихся и не устраняет эти пробелы своевременно и должным образом; часто он приступает к изучению программы V класса, базируясь на предположении, что дети в достаточной мере владеют материалом программы начальной школы. Однако впоследствии обнаруживается, что многие ученики с большим трудом решают даже несложные

задачи. Причина обычно кроется в том, что дети недостаточно осмыслили такие элементарные понятия, как длина, время, вес и др. Поэтому, когда в задаче встречаются, например, величины 5 дм, 30 мин. и т. п., у некоторых учащихся они совершенно не вызывают соответствующих конкретных представлений, так как многие из них никогда не занимались измерениями, не наблюдали за временем. Отсюда видна вся важность и настоятельная необходимость изучения учителем V класса уровня подготовки своих будущих учащихся, прежде чем он приступит с ними к прохождению программы этого класса.

Такое изучение должно начинаться еще в предшествующем году путем посещения уроков арифметики в IV классе. Однако практически это не всегда осуществимо, и учитель в большинстве случаев узнает своих учащихся только с момента начала занятий с ними в V классе. Поэтому попутно с повторением учебного материала за начальную школу учитель должен тщательно выявлять степень подготовленности учащихся к восприятию новых знаний с тем, чтобы при изложении нового материала строить объяснение в строгом соответствии с имеющимися у учащихся знаниями. При этом необходимо иметь в виду, что некоторые учащиеся, даже хорошо подготовленные, за время каникул могут забыть пройденное настолько, что иногда затрудняются отвечать даже на простые вопросы. Поэтому ни в коем случае недопустимо проводить контрольную работу в первые дни занятий, так как результаты ее не могут дать правильной характеристики знаний учащихся. Контрольная работа, проведенная после должного повторения материала, даст уже совершенно иное представление о классе, так как в результате умелого повторения материала знания учащихся быстро восстанавливаются.

В первые дни занятий особенно важно чутко подойти к учащимся, чтобы не вызвать у них отвращения к предмету и неверия в свои силы (что, очевидно, и служит одной из главных причин «закономерного» снижения успеваемости в пятых классах). Но, проявляя внимательное, чуткое отношение к учащимся, не менее важно соблюдать и другое условие: с первых же дней занятий ученики должны почувствовать строгую, но справедливую требовательность преподавателя относительно точ-

ного и неуклонного выполнения как устных, так и письменных заданий. Достигнуть этого можно лишь при условии, если задания будут посильными для учащихся. Следует особенно подчеркнуть, что при поступлении в V класс ученики ощущают слишком резкий переход к более трудному материалу. При неумелом подходе учителя у многих учащихся складывается предубеждение, что программный материал V класса для них вообще является непосильным. Характерно, что даже хорошо подготовленные ученики первое время проявляют неверие в свои силы, затрудняясь иногда решить задачу, с которой в IV классе легко справлялись. Известно также, с каким трудом ученики в V классе осмысливают и изучают новые правила. И это не удивительно. Ибо если в начальной школе при выяснении новых понятий учитель опирается главным образом на конкретные образы и представления, на математическую интуицию учащихся, выработанную в процессе практических упражнений, то в V классе ученики сталкиваются с целым рядом трудных формулировок, абстрактных математических понятий, построенных на довольно трудных умозаключениях и выводах, с которыми ученики должным образом еще не ознакомились.

В соответствии с высказанными соображениями необходимо подчеркнуть следующее весьма важное указание: «При повторении и систематизации учебного материала, пройденного в первых четырех классах школы, следует широко применять законы арифметических действий и следствия из них для рационализации и упрощения арифметических вычислений... Однако при повторении раздела о целых числах (первая тема программы V класса) было бы преждевременно требовать от учащихся точной формулировки и заучивания законов и свойств арифметических действий. Это целесообразно сделать при изучении обыкновенных дробей, когда сложение, вычитание, умножение и деление изучаются в продолжение длительного периода. При изучении каждого действия над дробными числами имеется полная возможность четко сформулировать законы и свойства, относящиеся к каждому арифметическому действию, и распространить их на действия над дробными числами». (Программа для средней школы по математике. Учпедгиз, 1957.)

Таким образом, приступая к изложению систематического курса арифметики, учитель должен строить изложение программного материала V класса соответственно методике, применяемой в начальной школе, стараясь вводить всякие усложнения постепенно. Изучение законов арифметических действий следует начинать не с отвлеченных рассуждений и выводов, а с практического их использования для устных вычислений, знакомых учащимся из курса начальной школы. Несоблюдение этого требования приводит к тому, что между теоретическими знаниями учащихся и умением применять эти знания на практике получается большой разрыв. Например, ученик правильно формулирует распределительный закон умножения, поясняя его числовым примером:

(5 + 3) .2 = 5-2 + 3-2 = 16.

Но стоит задать ученику вопрос: в каких случаях мы пользуемся этим свойством умножения при вычислениях? — ученик становится в тупик. Не помогает и наводящий вопрос: как умножить число 12 j на 2, пользуясь распределительным законом? В этом случае ученик обычно смешанное число обращает в неправильную дробь и затем производит умножение по общему правилу.

Причину подобных явлений нетрудно понять, наблюдая, как иногда ведется преподавание арифметики.

Так, приступая в V классе к объяснению теоретического материала, учитель порой начинает с отвлеченных рассуждений, не опираясь на те знания учащихся, которые приобретены ими в начальной школе, не связывая теорию вопроса с практикой повседневных вычислений. В результате этого перед детьми предстает какая-то совершенно новая область знаний, изобилующая не всегда понятными формулировками, которые требуется знать наизусть, множеством понятий, кажущихся незнакомыми и не имеющими никакой связи с приобретенными ранее знаниями. Так, например, стараясь разъяснить ученикам V класса теорию сложения, смысл которого им понятен еще с I класса, учитель лишь заслоняет отвлеченными рассуждениями сущность до конца понятного детям вопроса. Ведь для пятиклассников, приступающих к изучению законов сложения, по существу ничего ново-

го не представляют переместительный и сочетательный законы, кроме самих названий: в существовании этих законов дети сотни раз убеждались практически — при подсчете всевозможных предметов, использовали их при вычислениях еще в начальной школе. Ясно, что рассмотрение подобных вопросов в отрыве от конкретных задач и практики вычислений ничего не прибавит к знаниям учащихся, ибо данный элемент знаний окажется оторванным от умственного кругозора учащихся.

Исходя из высказанных соображений, изложение законов арифметических действий в V классе нам представляется в следующем плане.

Прежде всего необходимо оживить в памяти учащихся соответствующие конкретные представления, например: на столе лежат 4 стопки тетрадей: 8, 15, 12 и 25 штук. Какими различными способами их можно соединить в одну стопу? Изменится ли от способа соединения общее количество тетрадей? Далее учитель указывает, что поскольку сумма не изменится от порядка сложения данных чисел, мы можем расположить слагаемые так, чтобы нам удобнее было их складывать.

После этого понятие о переместительном и сочетательном законах сложения можно дать в связи с устным решением примеров. Обращаясь к классу, учитель спрашивает: как простейшим способом можно произвести сложение следующих чисел:

27 + 39 + 13 + 11?

Переместив слагаемые, ученики получают:

(27+ 13)+ (39+ 11) и т. д.

Учитель предлагает объяснить ход вычисления. В процессе этого объяснения ученики говорят, что они «переставили» слагаемые, «поменяли местами» и т. п. Наконец, с помощью наводящих вопросов учителя, дети находят нужное слово — «переместили», откуда производят название закона, а затем его формулируют.

Подобным же образом, акцентируя внимание учащихся на практической стороне вопроса, можно построить изучение темы «Прибавление суммы к данному числу».

После проверки домашней работы класс приступает к устному счету. Для упражнений подбираются примеры,

решение которых требовало бы применения переместительного и сочетательного законов сложения:

117 + 88 + 83 + 12 и т. д.

Вычисление ученики поясняют:

«Для удобства вычисления воспользуемся переместительным законом, т. е. переместим слагаемые, от чего сумма не изменится. Затем слагаемые 117 и 83, а также 88 и 12 заменим их суммами. Теперь сложим найденные результаты:

200 + 100 = 300.

В этом случае мы использовали сочетательный закон сложения».

Чтобы подготовить постепенный переход к следующей теме, необходимо сделать на доске подробную запись выполненного действия:

117 + 88 + 83+ 12 = (117+ 83)+ (88 + 12) = = 200+ 100 - 300.

После этого предложить сложить 928+172. Когда ученики находят результат, учитель предлагает объяснить, каким путем они производили вычисление. При этом ход вычисления сопровождается записью:

928 + 172 = 928 + (100 + 72) == 928 + 100 + 72 = = 1028 + 72 = 1100.

Затем путем вопросов к классу учащиеся подводятся к обоснованию полученной записи.

— На каких два слагаемых мы разбиваем число 172 при сложении?

— 100 и 72.

— Каким путем мы производим сложение?

— К 928 прибавляем 100, затем к полученной сумме прибавляем второе слагаемое — 72.

Учитель поясняет:

— То есть, иначе говоря, к числу 928 мы прибавляем слагаемые 100 и 72 одно за другим.

Далее учитель предлагает детям сказать своими словами, как можно прибавить сумму к какому-нибудь числу.

С помощью учителя ученики формулируют предложение: «Чтобы прибавить сумму к какому-нибудь числу, можно прибавить к нему слагаемые одно за другим».

— Теперь рассмотрим, на каком свойстве сложения мы основываем это предложение. Для этого запишем равенство:

928 + (100 + 72) = 928 + 100 + 72

в обратом порядке, т. е. справа налево:

928 + 100 + 72 = 928 + (100 + 72).

— Присмотритесь к этой записи: какое знакомое вам свойство сложения она выражает?

Следует ответ: сочетательное свойство сложения. Учитель подытоживает:

— Итак, на основании сочетательного свойства сложения можно сказать: чтобы прибавить сумму к какому-нибудь числу, можно прибавить к этому числу каждое слагаемое одно за другим.

Для закрепления изученного даются упражнения, подобные данным. Например, складывая 259+141, учащиеся поясняют производимые действия при вычислении:

— Число 141 мы разбиваем на два слагаемых: 100 и 41; затем к числу 259 прибавляем эти слагаемые каждое в отдельности.

После устных упражнений в решении примеров дается задача, решение которой помогает закреплению изученного приема сложения. Например: На базу, где уже имелось 1865 кг сахару, привезли сахар еще на двух машинах: на одной 1135 кг, на другой 1975 кг. Сколько на базе стало сахару?

Приступая к решению этой задачи, учащиеся рассматривают два возможных способа решения, но решается задача простейшим из этих способов. Таким образом на конкретной задаче дети убеждаются, что свойством суммы приходится пользоваться при решении практических жизненных задач.

Изменение суммы с изменением слагаемых учитель рассматривает, поставив также перед собой конкретную цель — показать учащимся, как этим свойством можно пользоваться при вычислениях. Поэтому после необходимого теоретического обоснования предлагается ряд

примеров, где применяется это свойство для упрощения вычислений:

188+ 146, 1096+ 867 и т. п.

Чтобы показать ход вычислений, ученики записывают:

(188+ 12)+ (146— 12) = 200+ 134 = 334

и поясняют: первое слагаемое мы увеличили на 12 единиц, а второе уменьшили на столько же единиц, в результате сумма не изменилась.

Данное свойство иллюстрируется конкретной задачей: На двух подводах было 820 кг зерна. Когда с одной подводы сняли 40 кг, а на другую добавили столько же, то на обеих подводах стало зерна поровну. Сколько зерна было на каждой подводе?

Подобно этому для устного счета и решения задач используются свойства других арифметических действий.

Уменьшение или увеличение уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число:

или

Основанный на этом свойстве способ вычисления разности: а— (Ь—с) == а + с—Ь обычно изучается в V классе совершенно отвлеченно, вне всякой связи с другими вопросами программы, и ученики быстро забывают этот материал, так как нигде не используют его практически. Между тем для его закрепления можно подобрать ряд примеров, при решении которых используется данный прием для упрощения вычислений:

Смысл рассмотренных приемов вычитания разности становится более понятным при решении следующей задачи: Рабочий купил велосипед и костюм общей стоимостью в 1375 руб. Наличных денег у него было 875 руб.; остальную сумму он взял из сберкассы, где у него хранилось 1250 руб. Сколько денег у рабочего осталось в сберкассе после уплаты за покупку?

Анализируя задачу, ученики устанавливают, что она имеет два способа решения. Записывается числовая формула решения:

1250 + 875 — 1375 = 1250 — (1375 — 875).

Вычисление производится устно, причем выбирается простейший способ. Затем дается аналогичная задача, в которой числовые данные подбираются с таким расчетом, чтобы более простым оказался второй способ вычисления.

Распределительный закон умножения используется при решении следующих примеров и задач:

1) 23-5 = 20.5 + 3.5= 100+ 15= 115;

2) 98-7 = (100 — 2).7 = 700 — 14 = 686.

Приведенные ниже задачи на основании этого закона могут решаться различными способами.

1. Участок начали одновременно убирать двумя комбайнами. Один из них скашивал 20 га, другой 25 га в день. Определить площадь участка, если уборку закончили через 3 дня.

2. Вычислить площадь четырех стен комнаты, длина которой равна 5 ж, ширина 4 м, высота 3 м.

3. Из одного и того же города вышли одновременно в одном направлении две автомашины. Определить расстояние между ними через 5 часов после выхода, если скорость одной из них 40 км, а другой 35 км в час.

Переместительный и сочетательный законы умножения широко могут быть использованы для рационализации вычислений при нахождении общего наибольшего делителя и наименьшего общего кратного нескольких чисел. Так, если, например, требуется перемножить числа: 2.2.3.3.3.5.5, ученики обычно выполняют умножение по порядку. Нужно показать учащимся, что, воспользовавшись переместительным и сочетательным законами умножения, результат можно найти совсем просто:

(2-5).(2-5).(3.3-3) = 10-10.27 = 2700.

Чтобы приучить учащихся пользоваться этим приемом при прохождении тем «Наибольший общий делитель», «Наименьшее общее кратное нескольких чисел», «Приведение дробей к наименьшему общему знаменате-

лю» и др., в начале урока при прохождении каждой из этих тем нужно тренировать учащихся в подобного рода вычислениях и напоминать, что при перемножении нескольких чисел они всегда должны делать это простейшим способом.

Приводя дроби к общему знаменателю, ученики находят дополнительные множители обычно путем непосредственного деления общего знаменателя на знаменатели каждой из данных дробей. Это излишне усложняет работу. Объясняется это тем, что для использования упрощенного способа деления ученики должны знать правило деления числа на произведение, которое они обычно не изучают в V классе. Следовательно, необходимо учащихся знакомить с этим правилом.

Объяснение можно построить на основании изученного свойства частного: частное не изменится, если делимое и делитель уменьшить в одинаковое число раз. Представив делимое и делитель в виде произведений простых чисел, делим оба компонента на каждый из сомножителей, входящих в делитель, например:

Анализируя данный пример, дети приходят к выводу, что если делимое и делитель даны в виде сомножителей; для нахождения частного достаточно исключить из делимого те сомножители, которые имеются в делителе; тогда произведение остальных сомножителей даст искомое частное.

Только что рассмотренные примеры подсказывают учителю следующую мысль. Приступая к изложению новой темы, следует прежде всего тщательно продумать, какую связь имеет эта тема с последующим программным материалом и какие вопросы этой темы являются наиболее важными для его успешного изучения. Иначе говоря, преемственность в обучении должна осуществляться не только при переходе от изложения более элементарного курса арифметики в начальной школе к систематическому курсу V класса. Преемственность необходимо соблюдать также в пределах одного и того же года обучения: между отдельными разделами программы, темами, этапами урока. К сожалению, в педагогической практике это весьма важное требование сплошь

и рядом забывается, что можно наблюдать хотя бы при обучении устному счету. Для иллюстрации приведем следующий факт.

В начале урока учитель предлагает классу решить устно несколько примеров. Учащиеся включаются в эту работу с достаточной активностью, стараются вспомнить изученные приемы устных вычислений, поскольку примеры даны для устного решения. Но вот учитель объявляет о переходе к письменной работе. Устный счет забывается учащимися до следующего урока. И если в задаче встречается, например, действие: 16X25, ученики, не задумываясь над способом вычисления, начинают умножать «в столбик».

Таким образом, устный счет превращается в какой-то обособленный этап урока, ничем не связанный с последующей работой учащихся. Отсюда и неумение школьников использовать упрощенные приемы вычислений в своей повседневной практике.

Чтобы изжить подобные недостатки, необходимо соблюдать преемственность в преподавании на каждом этапе обучения.

Изучение приемов устного счета должно всесторонне связываться с другими вопросами арифметики и тем самым помогать учащимся видеть взаимозависимость между отдельными математическими понятиями.

В соответствии с этим упражнения для устного счета должны подбираться не произвольно, а в зависимости от содержания урока и от того вычислительного материала, с которым предстоит учащимся работать при выполнении письменных заданий. Учитель должен постоянно предупреждать учащихся, что во всех случаях, где это окажется целесообразным, вычисления следует производить только устно. Решая письменную задачу или пример, ученик при выполнении каждого действия должен пытаться отыскать знакомые ему приемы упрощенных вычислений. Разумеется, добиться этого можно лишь при условии постоянного контроля за работой учащихся. С этой целью при проверке домашнего задания (или классной самостоятельной работы) следует к доске вызвать одного-двух учеников и спросить, каким приемом они пользовались при выполнении того или иного действия и (если это целесообразно по ходу урока) предложить дать обоснование используемого приема.

Если ученик не использует упрощенных способов вычисления, надо обязательно сделать замечание и показать целесообразность применения устного счета.

Таким образом, упражнения в устном счете должны помогать достижению основной цели урока — служить средством закрепления изученного или подготовительным этапом к восприятию нового материала, к предстоящей письменной работе и т. п.

Вообще говоря, на любом уроке надо стремиться к тому, чтобы каждый новый элемент знаний учащиеся могли воспринимать не изолированно, а как органическую часть общей системы знаний. Иллюстрируя данное положение, мы сделали краткие замечания о преемственности в применении к обучению устному счету.

Это важнейшее положение методики в дальнейшем изложении постепенно будет раскрыто более полно в связи с рассмотрением других вопросов обучения.

§ 3. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ

Следует особо остановиться на изучении темы «Признаки делимости чисел», так как этот вопрос часто остается слабым местом для учащихся, что сильно тормозит вычисления при действиях с дробными числами.

В чем же причины слабого усвоения, казалось бы, не столь уж трудной темы?

Во-первых, для детей остается весьма туманным смысл слов «все те и только те»... Едва ли даже лучшие ученики чувствуют смысловую разницу между формулировками: «На 2 делятся те числа, у которых последняя цифра четная» и «На 2 делятся все те и только те числа, у которых последняя цифра четная».

Чтобы не допустить формального заучивания признаков делимости, необходимо на аналогичных, наиболее доступных детям, примерах разъяснить смысловое значение в приведенной фразе подчеркнутых слов. Провести это можно следующим порядком.

Перед уроком, на котором предстоит изучение признаков делимости чисел, учитель записывает на доске предложения:

1. Все те числа, которые меньше 5, являются однозначными.

2. Однозначными являются все те и только те числа, которые меньше 5.

3. Однозначными являются все те и только те числа, которые меньше 10.

В начале урока учитель предлагает классу внимательно вдуматься в смысл каждого из данных предложений и сказать, какие из них выражают правильные утверждения и какие неправильные. Устанавливается, что первое утверждение хотя и является правильным, но оно не дает ответа на вопрос, будет ли число 5 и последующие однозначными. Во втором предложении слова «только те» придают фразе неверный смысл: получается, что числа 5—9 уже не относятся к однозначным. Наконец, третье предложение не только передает верную мысль, но и не допускает двусмысленного понимания фразы; включением в предложение слов «только те» достигается точность смысла, — становится ясным, какие числа относятся к однозначным и какие не относятся.

Такая подготовка в значительной степени облегчит учащимся осмысливание формулировок при изучении признаков делимости. Однако это только одна сторона задачи. Не менее трудным оказывается приучить детей пользоваться изученными признаками делимости в практике вычислений. Об этом говорят следующие факты, которые приходилось нередко наблюдать на экзаменах в V классе. Ученик бойко и уверенно отвечает на вопросы о признаках делимости, подкупая правильностью формулировок. Чтобы окончательно убедиться в отличных знаниях ученика, ассистент предлагает написать на доске многозначное число и сказать, на какие из простых чисел оно делится. К удивлению экзаменующих ученик оказывается не в силах ответить на такой вопрос. Не помогает и вопрос, заданный в другой форме: как узнать, делится ли данное число на 2 (на 3 и т. д.)? Многие ученики не могут даже ответить на вопрос, чему равна «сумма цифр» этого числа.

Таким образом, обнаруживается, что, изучив тему «Признаки делимости чисел», учащиеся запомнили только формулировки, а то, что составляет основную цель изучения этой темы, окончательно забыли, очевидно по-

тому, что при определении делимости чисел, полученными знаниями не пользовались (несмотря на то что надобность в этом встречается постоянно при действиях с дробями). Вместо того, чтобы по характеру цифр числа определить, являются ли числа 2, 3, 4, 5, 9 его делителями, ученики узнавали это путем непосредственного деления на каждое из указанных чисел. Происходит это совсем не потому, что учитель в свое время не дал необходимых разъяснений. При изучении самой темы «Признаки делимости» учащиеся, может быть, неплохо знали все вопросы, связанные с ней. Причина кроется в том, что учитель упустил из виду следующее весьма важное обстоятельство: всякий новый прием (а также понятие, выражение), как бы он ни казался прост для учителя, в практике учащихся становится только тогда простым, если войдет в привычку. Но чтобы пользование новым приемом сделалось привычным, для этого необходимы более или менее длительные упражнения. Это последнее условие молодые учителя обычно не учитывают, будучи уверенными, что ученики уже достаточно убедились в преимуществе изученного способа, а поэтому и будут им пользоваться без всяких напоминаний. Но, как уже сказано, в действительности мы видим другое. И это понятно, ибо при определении делимости числа пользоваться признаками делимости вначале довольно затруднительно. В самом деле, при разложении числа на простые множители необходимо вспомнить не один, а все изученные признаки делимости, причем надо делать это довольно быстро, восстанавливая в памяти соответствующие свойства цифр. При отсутствии должного навыка это требует известного напряжения внимания, относительно сложной работы мысли. А между тем деление «углом» дети привыкли выполнять почти механически, поэтому при определении делимости числа и предпочитают им пользоваться.

Из сказанного следует сделать весьма важный для учителя вывод: для успешного обогащения знаний учащихся совсем недостаточно только знакомить последних с новыми приемами, понятиями, выражениями, но и необходимо настойчиво приучать ими пользоваться путем постоянного наблюдения и контроля за работой учащихся. При этом отнюдь нельзя полагаться на то, что новый прием является более простым, чем ранее изученные.

§ 4. О МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

При обучении решению задач того или иного рода чрезвычайно важно не допустить оторванности теории от практики, обучения от активной и конкретной деятельности учащихся. Обучение решению задач данного вида на каждом новом этапе должно начинаться, как правило, не с отвлеченной задачи, не имеющей практического смысла, а с сопоставления конкретных величин, добытых самими учащимися, с выяснения элементарных математических понятий и действий, вытекающих из этих сопоставлений, либо с задачи, практическое значение которой понятно для учащихся.

Только после того, как дети уяснят практический смысл основных и простейших задач, учитель может постепенно перейти к решению более сложных задач и задач с отвлеченным содержанием. Ниже, при рассмотрении задач на дроби и проценты, будут даны конкретные примеры такого постепенного перехода от задач с конкретными величинами к аналогичным задачам, содержащим отвлеченные величины. Осуществление правильного перехода от изученных типов задач к задачам новых типов играет очень важную роль в обучении арифметике. Между тем этот вопрос иногда получает не совсем правильное толкование, которое дает повод думать, что обучение решению задач отдельно по типам якобы ведет к механическому запоминанию решения в ущерб развитию математического мышления.

Рассмотрим, в чем ошибочность такого взгляда.

Известно, что при изучении явлений в любой отрасли знаний мы пользуемся их классификацией, без чего познание закономерностей и связей между явлениями вряд ли окажется возможным. Безусловно, что и математика не является какой-то изолированной областью знаний, требующей совершенно своеобразных методов познания: математика изучает количественные соотношения явлений реального мира. Но познание сложных явлений природы возможно только путем их анализа и классификации. Следовательно, разделение задач по типам и усвоение способов их решения отдельно по типам отвечает указанной особенности познания. Пренебрежительно относиться к участию памяти в решении задач у нас нет никаких оснований, ибо память и мышление—функции

взаимно обусловленные: память есть основа всякого мышления. Процесс мышления заключается прежде всего в отыскании закономерностей и связей между явлениями по аналогии со знакомыми, т. е. удерживаемыми в памяти, закономерностями и связями.

Решением однотипных задач закрепляется в памяти установленная зависимость между величинами и, таким образом, создается основа для понимания близких по типу задач.

Сторонники противоположного взгляда исходят из следующих соображений. Резкий переход от одного типа задач к другому заставляет учащихся напряженно думать над задачами, что благоприятствует развитию мышления. Действительно, отыскивая решение незнакомой задачи, ученик старается восстановить в памяти решение целого ряда известных ему задач (в самом общем виде). Таким образом, оживляются и закрепляются в сознании изученные ранее математические связи, которые так или иначе ассоциируются с условием данной задачи; возникают новые комбинации связей. Следовательно, более смелое варьирование задачного материала должно способствовать развитию абстрактного мышления.

Говоря вообще, такое рассуждение вполне правильно. Беда лишь в том, что оно не учитывает реальных условий. Размышлять над той или иной задачей на уроке ученик может всего лишь несколько минут. Во внеурочное время заниматься математикой часами мы также не можем позволить 11 — 12-летнему ребенку, хотя бы у него было для этого желание. Вот почему в школьной практике следует усложнять задачи постепенно. Переходить к другому типу задач надо после того, как учащиеся достаточно прочно усвоили изучаемый тип. При решении задачи ученик должен прежде всего опираться на знакомые, ставшие для него привычными, комбинации математических связей. При этом задачи надо постоянно варьировать в пределах данного типа: задачи могут видоизменяться по сюжету, формулировке условия, характеру числовых данных (целые числа, дроби обыкновенные, десятичные, проценты). Словом, каждая задача одного и того же типа может иметь в условии что-то новое и заставлять учащихся думать при решении, если, конечно, учитель будет требовать от уча-

щихся подробного анализа задачи, графической иллюстрации (где это нужно), обоснования каждого шага решения, точной формулировки вопросов.

Если ученики хорошо научатся это делать, то не будет никакой беды в том, что они приобретут механический навык в решении задач данного типа. Наоборот, мы должны стремиться к этому, ибо механический навык, приобретенный в результате осознанных действий, может принести только пользу.

Разумеется, после того как учащиеся научатся решать задачи двух или более типов, задачный материал необходимо варьировать в пределах этих типов. Делать это надо тем скорее, чем проще задачи и чем выше подготовка класса. Переходя, например, к решению задач на нахождение числа по данной его дроби, иногда достаточно решить 2—3 простые задачи этого типа, а затем следует чередовать их с задачами на нахождение части от числа (которые учащиеся умеют уже решать). Само по себе решение задач в одно действие не затрудняет учащихся. Но трудность возникает в том случае, когда учащимся надо определить, к какому типу относится предложенная задача, так как два данных типа задач весьма сходны по форме.

В школьных задачниках мы совсем не находим такого раздела, где простые задачи указанных двух типов чередовались бы. Варьирование задачного материала на дроби в сборнике начинается со сложных задач. Подобное же положение встречается и в разделе «Проценты». Учителю необходимо иметь в виду это обстоятельство. Чтобы восполнить отмеченный недостаток, можно использовать устное решение задач. Записав несколько простых задач смешанных типов на доске, учитель предлагает классу решить их, предварительно определив, как должна решаться каждая задача.

Если в задачнике содержится недостаточно сложных задач того или иного типа, надо также привлечь задачный материал из других источников. Причем такие дополнительные задачи лучше решать в классе, так как можно ограничиться краткой записью условия, а задание на дом давать по задачнику.

Задачи одного и того же типа, имеющие одинаковый ход решения, бывают далеко не одинаковы по трудности. Так, например, степень трудности задач в большой мере

зависит от того, насколько знакомы учащимся те предметы и явления, о которых идет речь в задаче. Допустим, в задаче говорится об эскалаторе, который многие школьники никогда не видели. Чтобы создать в своем представлении незнакомый образ движущейся лестницы, ученики должны затратить значительное усилие, что отвлечет их внимание от уяснения математического смысла задачи. Такая же по типу задача, в которой вместо эскалатора фигурирует автомашина, будет значительно легче понята учащимися, так как зависимость между данными в задаче величинами воплощена в знакомом конкретном образе, прочно запечатленном в детском сознании.

Очень часто математический смысл задачи оказывается непонятным учащимся потому, что они не поняли самого содержания задачи в силу трудности формулировки или незнакомого выражения, встретившегося в условии. Это чрезвычайно важное обстоятельство нередко ускользает от преподавателя, так как иногда обычное, на взгляд учителя, выражение может оказаться непонятным некоторым учащимся. Поэтому слова и выражения для условия задачи, а также числовые данные при переходе к новому типу задач следует подбирать как можно проще. Неверно думать, что указанные трудности, встречающиеся в задаче, учитель устранит путем объяснения: новое понятие, только что возникшее через посредство слова, трудно бывает удержать в сознании при той напряженной работе мысли, которая направлена на уяснение математического смысла задачи. Притом на разъяснение затрачивается значительное время.

Поэтому вводить усложнения в условие задач (более трудная формулировка, числа, требующие громоздких вычислений, и т. д.) можно только после приобретения учащимися достаточных навыков в решении задач данного типа.

Какое место в обучении арифметике должно занимать решение так называемых «типовых» задач? Новая программа ориентирует на решение практических задач за счет сокращения времени, выделяемого на типовые задачи. Такое изменение в программе является вполне оправданным. Ибо вполне понятно, что, не имея достаточных конкретных представлений, не научившись мыслить конкретно, дети не могут перейти к абстрактным рассуждениям, которых требует решение типовых задач.

В этом случае, решая типовые задачи, учащиеся вынуждены пользоваться лишь памятью и догадкой без должного понимания математического смысла этих задач. Однако причину этого не следует искать в специфической особенности типовых задач, отрицая, таким образом, вообще положительную роль их для развития математического мышления. Дело в том, что «типовые» задачи выражают более сложную зависимость между величинами по сравнению с задачами «арифметическими», следовательно, для понимания этой зависимости требуется более высокий уровень математического развития. Между тем, переходя к решению типовых задач, учащиеся не всегда имеют нужную подготовку. К тому же и анализ этих задач в классе не всегда проводится удачно. Таким образом, непонимание типовых задач учащимися является лишь следствием методических ошибок в преподавании. Следовательно, вопрос о целесообразности решения более сложных типовых задач в школе может решаться только в зависимости от степени подготовки учащихся. Нельзя игнорировать и то обстоятельство, что решение типовых задач значительно облегчается путем составления уравнений.

Некоторые методисты усиленно рекомендуют решать в курсе арифметики задачи методом уравнений. Однако насколько это целесообразно, приходится сомневаться, имея в виду ограниченность времени. При обучении арифметике надо прежде всего научить детей находить зависимость между величинами непосредственно, без помощи уравнений. Решение задач в курсе арифметики алгебраическим методом возможно за счет изучения основного материала, которым и без того программа перегружена. Связь алгебры с арифметикой должна осуществляться, на наш взгляд, в курсе алгебры. Кстати сказать, в новом учебнике (А. Н. Барсукова) и сборнике упражнений по алгебре (П. А. Ларичева) проблема связи алгебры с арифметикой разрешена весьма удачно.

* * *

Одним из распространенных недостатков в знаниях учащихся является некритическое отношение к числам, обозначающим ту или иную величину. «Учащиеся встречают в задаче число, обозначающее вес колеса какой-нибудь машины и равное, положим, 344 кг. Они решают

эту задачу и иногда решают правильно, но не задумываются о том, с каким предметом и с какими числами они встретились в этой задаче; можно ли поднять это колесо, можно ли его положить в карман или оно не пройдет даже в классную дверь. Это безразличие к содержанию задач заходит так далеко, что, если бы, например, в задачнике по ошибке было напечатано, что диаметр паровозного колеса 1,3 см (вместо 1,3 м), то такая опечатка может остаться незамеченной». (Преподавание математики в свете задач политехнического обучения. АПН РСФСР, 1954, стр. 32.) Для устранения этого существенного недостатка при решении задач надо проводить следующую работу с учащимися. Например, в задаче требуется узнать, сколько сукна пошло на одно пальто. Прежде чем приступить к ее решению, следует задать учащимся вопрос: сколько, по их мнению, требуется на пальто материала. Ученики, воспроизводя в своем воображении виденные ими куски сукна, его ширину, рост человека и величину 1 метра, определяют приблизительно нужное количество материала.

Если в задаче речь идет об урожае с 1 га, об удое молока от одной коровы и т. д., полезно предложить учащимся узнать накануне соответствующие данные в местном колхозе. В результате сравнения с ними чисел, получаемых при решении задачи, последние как бы оживут для учащихся, приобретут реальное значение.

* * *

Решение задачи обычно начинается с краткой записи условия. Умение компактно и рационально записать условие задачи дается учащимся довольно трудно. Между тем методически правильно записанное условие в большой степени облегчает уяснение смысла задачи, направляя мысль по нужному пути. Притом в процессе отыскания наиболее рациональной формы записи ученик напрягает мысль, что помогает понять зависимость между данными величинами.

Краткая запись условия и должна прежде всего указывать на эту зависимость; освободив условие задачи от «лишних» слов, учащиеся акцентируют свое внимание на математической зависимости между данными и искомыми величинами.

Учитель должен прежде всего показать детям образ-

цы такой записи. После прочтения условия задачи проводится с учащимися беседа о том, как сделать такую запись, по которой можно было бы легко восстановить условие задачи; что из условия задачи можно не включать в эту запись; как расположить числовые данные, чтобы лучше видеть зависимость между данными величинами.

Важным моментом в решении задач является также умение правильно формулировать вопросы при составлении плана решения. Учитель, не приучающий детей к мысли, что главное в решении задачи — это правильное составление плана, т. е. обоснование производимых действий, допускает большую ошибку. Ибо ученик, который ставит вопросы, не соответствующие производимым действиям, не может осмыслить решения задачи.

Ниже на решении некоторых задач показаны образцы краткой записи условия задач и правильной формулировки вопросов при составлении плана решения (задачи взяты из задачника С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева, Учпедгиз, 1954).

№ 506. Автомобиль прошел в первый день g- всего о 15 пути, во второй -yj того, что прошел в первый, и в третий день остальные 200 км. Каков был расход бензина, если на 10 км пути автомобиль расходует 1 - кг бензина? Краткая запись условия:

всего пути

Расход бензина — ? План и решение:

1) Какую часть всего пути автомобиль прошел во второй день?

3 15 45 , ч

Т" ТГ=-т (всего пути)-

2) Какую часть всего пути автомобиль прошел в первые два дня?

3 , 45 51 +45 12 ,

3) Какую часть всего пути составляют 200 км?

1--|у-= -yj- (всего пути).

4) Как велик весь путь?

200 : = 40-17 = 680 (км).

5) Во сколько раз 680 км больше 10 км?

680: 10= 68 (раз).

6) Сколько бензина израсходовал автомобиль на весь путь?

Hp 68 = 68 + = 108 -\{кг).

№ 508 (2). Трамвайный маршрут имеет в длину 14 - км. На протяжении этого маршрута трамвай делает 18 остановок, затрачивая в среднем на каждую остановку по 1 -g минуты. Средняя скорость движения трамвая на всем маршруте 12/еж/час. Сколько времени требуется трамваю для совершения одного рейса? Краткая запись условия:

14- км. 18 ост. по 1 -g мин. 12-g км1час.

Время на один рейс — ? План и решение:

1) Сколько времени трамвай находится в движении, совершая один рейс?

2) Сколько времени трамвай затрачивает на П остановок?

1 -I--18= 18 + 3 = 21 (мин.).

3) Сколько времени требуется трамваю для совершения одного рейса?

Рассмотрим теперь задачи, для решения которых требуется графическая форма записи условия. Причем основная трудность решения некоторых задач заключается лишь в составлении графической иллюстрации условия, после чего становится ясным весь ход решения.

№ 121. На запасных путях станции стояли два состава одинаковых вагонов. В одном составе было на 12 вагонов больше, чем в другом; когда от каждого состава отцепили по 6 вагонов, то длина одного состава оказалась в 4 раза больше длины другого. Сколько вагонов было в каждом составе?

Прежде чем приступить к графическому изображению условия этой задачи, надо обратить внимание учащихся на следующее обстоятельство: 12 вагонов составляют разность между количеством вагонов первого и второго составов, и когда число вагонов каждого состава уменьшили на одно и то же количество (6), разность не изменилась; иначе говоря, когда от каждого состава отцепили по 6 вагонов, то длина первого состава осталась по-прежнему на 12 вагонов больше второго.

После этого составление графика не составит особой трудности. Последний примет следующий вид:

Далее задача легко решается устно. № 870. В первом куске число метров ситца вдвое больше, чем во втором; если от каждого куска отрезать по 21 м, то в первом будет в Зу раза больше, чем во втором. Сколько ситца было в каждом куске?

В данном случае без графического изображения задачу решить довольно трудно. В свою очередь график надо построить так, чтобы он ясно показывал зависимость между данными величинами. Это будет зависеть от взаимного расположения на чертеже отрезков, изображающих длину кусков материи. Начинать построение

чертежа удобнее с изображения величины остатка второго куска ситца, принимаемой за 1 часть. Окончательно получим следующее изображение условия задачи:

Чертеж показывает, что половина первоначальной длины большего куска меньше его остатка на величину остатка меньшего куска. Отсюда можно выразить половину большего куска в условных частях. Ниже приводим полный текст решения. Остаток ситца от второго куска примем за 1 часть. Остаток от первого куска составит 3 части.

1) Сколько частей составляет половина длины большего куска?

3~~ 1 = 2-4- (части).

2) Сколько частей приходится на 21 ж?

2-]—1 = (части).

3) Сколько метров ситца должно остаться во втором куске?

21 : -§-= 14 (м).

4) Сколько ситца было во втором куске?

14 + 21 =35 (м).

5) Сколько ситца было в первом куске?

35-2 = 70 (м).

№ 1264. Колхоз засеял 40% всей площади участка пшеницей, а остальную часть распределили под посев

овса и проса в отношении — : 0,4. Найти площадь всего участка, если пшеницей было засеяно на 24,8 га больше, чем овсом.

Наглядно изобразить условие можно следующим образом:

План и решение:

1) Сколько процентов всей площади отведено под овес и просо?

ЮО — 40 = 60(%).

2) Каковы члены данного отношения, выраженные в целых числах?

3) Сколько условных частей приходится на 60 процентов?

3 + 2 = 5 (частей).

4) Сколько процентов всей площади составляет площадь овса?

60:5-3 = 36 (%).

5) Сколько процентов всей площади составляют 24,8 га?

40 — 36 = 4 (%).

6) Какова площадь всего участка?

24,8:4.100 = 6,2-100 = 620 (га).

В данной задаче замена отношения дробных чисел отношением целых чисел не упрощает вычислений, так

как сумма членов отношения составляет 1. Поэтому целесообразнее в таких случаях не делать преобразования отношений.

Следует подчеркнуть, что графическая иллюстрация при решении задач не только помогает понять зависимость между величинами в данной задаче, но и имеет большое пропедевтическое значение для изучения геометрии. Между тем чертежи мало используются школьниками при решении арифметических задач. К графическим иллюстрациям ученики прибегают лишь при вызове к доске, когда этого требует учитель, что же касается остальных учащихся, то они обычно ограничиваются простым созерцанием иллюстраций, а в тетрадях учащихся по арифметике редко можно встретить чертежи. Очевидно, этим и объясняется причина тех затруднений, которые встречают учащиеся в последующем, при изучении курса геометрии: уже при решении простейших задач на действия с отрезками многие шестиклассники проявляют полную беспомощность. Отсутствие в сознании детей необходимых геометрических образов создает огромные трудности и при доказательстве теорем.

Исходя из этого считаем, что операции с простейшими геометрическими фигурами должны войти в курс арифметики как ее органическая часть. Это, безусловно, не должно повести к расширению программы. Геометризация арифметики должна лишь облегчить учащимся усвоение основных математических понятий, изучаемых в курсе арифметики, как это видно из сказанного.

Неумение построить чертеж, поясняющий решение задачи, сказывается, в частности, при решении задач на движение, где без графического изображения соответствующих величин ученик не может осмыслить задачу. Ввиду этого чертеж при решении такой задачи должен быть неотъемлемой частью решения. Чтобы сократить затрату времени на решение задачи, ученики иногда могут ограничиваться вычислениями (без вопросов) и чертежом, показывающим ход рассуждений ученика.

Возьмем задачу: Один поезд вышел со станции А и направился со скоростью 58 км/час к станции В, находящейся на расстоянии 265,4 км. Через 30 минут со станции В ему навстречу вышел курьерский поезд со скоростью 60,2 км1час. На каком расстоянии от станции А поезда встретятся?

Приступая к решению, ученик должен построить чертеж, иллюстрирующий условие; в процессе решения график дополняется полученными данными и окончательно приобретает следующий вид:

Если ученик вызван к доске для проверки решения задачи, он должен, пользуясь задачником, построить данный чертеж и дать по нему краткие объяснения:

Со станции А поезд вышел на полчаса раньше, чем встречный. За это время он прошел 29 км (58--^). Тогда расстояние между поездами оказалось равным 236,4 км (265,4 км—29 км) и началось их встречное движение. Расстояние между поездами сокращалось каждый час на 118,2 км (58 км + 60,2 км). Значит, они встретились через 2 часа (236,4: 118,2) после выхода курьерского поезда со станции В.

Далее рассматриваются три различных способа решения. Приведенный чертеж наглядно показывает возможность использования каждого из этих способов и раскрывает математический смысл решения задачи.

В курсе арифметики полезно решать задачи, условие которых дается в виде чертежа. Имеются в виду задачи, подобные следующей: «Вычислить площадь каждого из трех данных участков (см. рис. на стр. 38), если длина изгороди, окружающей сад, составляет 2 км».

Задачи, подобные приведенной, невольно заставляют учащихся рассматривать на чертеже отдельные элементы фигур, анализировать их взаимное расположение, относительную величину, что не только способствует углублению знаний по арифметике, но и создает необходимую основу для изучения геометрии. К сожалению, в задачниках для V—VI классов такие задачи составляют исключение. Но их нетрудно учителю составлять самому

Иллюстрируя задачу чертежом, необходимо иметь в виду следующее. В некоторых задачах чертеж буквально воспроизводит в уменьшенном виде соответствующие величины (расстояние, площадь), в других случаях графическое изображение величин может быть лишь условным, например: можно в виде отрезков изобразить сравнительную величину веса тел, денежных сумм и т. п. В этом случае чертеж не ассоциируется с конкретным образом изображаемой величины, а потому зависимость между величинами через посредство чертежа воспринимается труднее, чем в первом случае. Поэтому первое время при решении задач на дроби лучше брать такие задачи, в условии которых фигурируют линейные величины или площади, что позволяет представить зависимость между величинами посредством чертежа конкретно.

В шестых классах значительную долю времени занимает решение сложных задач, составляющих повторительный материал по всему пройденному курсу арифметики. Эти задачи включают в себя более простые задачи известных уже типов. Поэтому выделять специальное время на повторение отдельных типов задач нецелесообразно. Более плодотворно проводить это повторение следующим образом.

Прежде чем приступить к решению сложной задачи письменно, учитель подбирает для предварительного устного решения одну-две задачи более простые с тем расчетом, чтобы путем повторения задач определенных типов непосредственно подготовить учащихся к решению сложной задачи. Покажем это на следующих примерах.

№ 550 (2). Скорый поезд проходит 187-т> км за 3 часа, а товарный поезд 288 км за 6 час. Через 7 ^ часа после

выхода товарного поезда по тому же направлению отправляется скорый. Через сколько времени скорый поезд догонит товарный?

Здесь задача усложнена тем, что неизвестна часовая скорость поездов. Поэтому если ученики давно не решали задач «на движение», необходимо оживить в их сознании решение основных задач данного типа. Так, можно предложить для устного решения следующую задачу: «Скорость велосипедиста 12 км/час, а пешехода — 4 км/нас. Через сколько времени велосипедист догонит пешехода, который ушел вперед на 16 км?

№ 1252. Из двух мест, расстояние между которыми 59,5 км, отправляются одновременно навстречу пешеход и конный верховой. Скорость верхового относится к скорости пешехода, как 12 к 5. Найти скорость каждого, если пешеход и верховой встретились через 5 час. после своего отправления.

Чтобы подготовить учащихся к решению этой задачи, решаем устно следующие две задачи:

1) Из двух городов, расстояние между которыми 85 км, выходят одновременно два поезда, скорости которых относятся, как 10:7. На каком расстоянии от городов поезда встретятся?

2) Из городов А и В навстречу друг другу одновременно вышли автомашина и велосипедист, встретившиеся через 1,5 часа. Определить скорость велосипедиста, если расстояние от А до В равно 78 км, а скорость автомашины 40 км/час.

№ 1263. 36% заготовленного колхозом сена сложили в стог, а остальное сено разделили на две части в отношении 0,3:-g и сложили в два сарая. Сколько было заготовлено всего сена, если в первом сарае на 1,5 т меньше, чем в стоге?

При решении этой задачи основная трудность заключается в том, что анализ ее приходится начинать с отвлеченных величин: 36% берется от неизвестного числа, притом неизвестно также, какой конкретной величине соответствует данное число процентов. Для устранения этой трудности рекомендуем предварительно решить следующую задачу: «20% заготовленного колхозом сена сложили в стог, а остальное сено сложили в два сарая, разделив в отношении 1 :2. Сколько сена сло-

жили в каждый сарай, если всего сена заготовлено 60 цЪ.

Решив эту задачу, ученики устанавливают сходство и различие ее с задачей, указанной выше; таким путем переход от задачи с конкретными величинами к аналогичной зависимости между отвлеченными величинами осуществляется постепенно.

§ 5. ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В V КЛАССЕ

Изучение геометрического материала в курсе арифметики имеет большое пропедевтическое значение при изучении геометрии в VI классе, ибо понятия периметра, площади, поверхности, объема геометрических фигур дают ряд представлений, на базе которых строятся абстрактные понятия в последующем курсе математики. Но, как правило, этот материал учащимися, оканчивающими начальную школу, оказывается особенно слабо усвоенным. Дети без конца путают площадь и периметр прямоугольника, объем и поверхность параллелепипеда. Даже после повторения геометрического материала в V классе ученики не всегда твердо усваивают данные понятая. Очевидно, объясняется это особенностью детского мышления: приступая к изучению прямоугольника, дети воспринимают изображение этой фигуры как цельный конкретный образ. И как бы простыми, легко различимыми, ни казались нам понятия «периметр» и «площадь», в сознании ребенка вначале они сливаются в одном образе, который он видит на чертеже.

Только после ряда разнообразных упражнений, требующих активной работы мысли, ib сознании вырабатываются эти абстрактные понятия. Поэтому необходимо построить работу так, чтобы каждый ученик сам проделал необходимые упражнения. Так, например, учащимся дается задание из проволоки сделать прямоугольник, измерить его стороны и вычислить периметр; затем результат вычисления дети проверяют непосредственными измерениями длины проволоки, из которой сделан прямоугольник, выпрямив ее.

Подобным же образом ведется закрепление понятия «площадь». После соответствующего объяснения на чертеже ученикам дается задание вырезать из бумаги

квадрат со стороной в 1 дм и, разделив его на квадратные сантиметры, сосчитать число квадратиков (каким путем — неважно).

Точно так же учащиеся практически подходят к выводу правила вычисления площади прямоугольника, после чего переходят к решению соответствующих задач.

Параллельно с вычислением площадей по готовым данным дети продолжают практические упражнения по закреплению самого понятия «площадь», которые теперь усложняются. Так, устно ученики подбирают длину и ширину для прямоугольника заданной площади. После таких упражнений в классе на дом дается задание— каждому ученику вырезать из бумаги прямоугольник определенной площади, предварительно самому подобрав размеры. При этом число, выражающее площадь, дается с тем расчетом, чтобы полученные прямоугольники имели наиболее разнообразные формы (такое число легко подобрать путем перемножения небольших чисел). Вырезав прямоугольники, учащиеся делят их на квадратные сантиметры, затем на чистой стороне прямоугольника записывают его размеры и вычисляют периметр.

Проверяя в классе выполнение работы, учитель обращает внимание учащихся на то, что прямоугольники при равной площади могут иметь различные периметры и размеры. Формы их также могут быть различны. Сопоставляя ряд прямоугольников, имеющих различные формы, дети видят у них общее лишь одно: число квадратиков (т. е. величину площадей). Таким образом, путем сопоставления, сравнения в сознании детей постепенно вырисовывается абстрактное понятие «площадь прямоугольника».

На дом дается новое задание: каждому ученику измерить свой огород (двор или другой участок) и вычислить его площадь.

Упражняя учащихся в измерении площадей, надо разнообразить объекты, предлагая выделять прямоугольники из сочетания их с другими фигурами — не только с плоскими, но и с пространственными. Так, учащиеся показывают прямоугольники в классе (стены, пол, потолок, дверь, окна и т. д.), а также находят прямоугольники на улице: участки земли, скаты крыши и

т. п. Попутно с этим производятся соответствующие измерения и решаются практические задачи (как устно, так и письменно). На местности детям предлагается отмерить участок земли заданной площади: сначала один квадратный метр, затем постепенно усложняя задачи.

Большие затруднения испытывают многие учащиеся при решении задач на вычисление поверхности параллелепипеда, путая это понятие с объемом. Происходит это, по-видимому, вследствие того, что перед учащимися сразу ставится задача по трем данным размерам параллелепипеда вычислить его поверхность.

Правда, в результате анализа дети убеждаются, что грани параллелепипеда попарно равны, поэтому для вычисления поверхности тела нет надобности измерять каждую грань, можно ограничиться лишь измерением трех размеров параллелепипеда. Однако, сделав этот вывод, учащиеся скоро забывают об его источнике, так как их внимание переключается теперь на решение задачи упрощенным способом. Для того чтобы добиться осмысленного решения задач, не следует спешить с выводом упрощенного способа. Пусть учащиеся сначала производят измерения и вычисляют площадь каждой грани в отдельности, находя поверхность как сумму площадей шести граней. Наиболее сообразительные учащиеся скоро сами найдут рациональный способ вычисления, остальные же сделают нужный вывод под руководством учителя и, таким образом, будут пользоваться правилом уже вполне осознанно.

Задания по измерению параллелепипеда можно широко практиковать, поскольку предметы в форме параллелепипеда встречаются повсюду. Удобным объектом для этого является, например, спичечная коробка. До знакомства с дробными числами размеры коробки можно определить в миллиметрах, после знакомства с дробями — в сантиметрах. Ученики, определив размеры коробки, записывают их в тетради и результаты — площади каждой грани — записывают на соответствующих гранях, сделав наклейки из белой бумаги.

Объекты, используемые для вычисления поверхности и объема параллелепипеда, надо разнообразить, сопоставляя их форму, обращая внимание учащихся на их сходство и различие. Вместе с тем следует подбирать

задачи, в которых был бы виден практический смысл вычислений. Вот примеры таких задач.

1. Вычислить, сколько рамок для картин данных размеров можно сделать из доски, длина которой 4,5 м, ширина 22 см.

Недостающие данные ученики получают сами путем измерения приготовленной учителем рамки.

2. Вычислить, сколько потребуется мела для побелки стен и потолка класса.

Видя перед собой конкретный объект, ученики определяют, что именно подлежит побелке и какая площадь должна быть исключена из площади стен (окна, дверь вместе с наличниками; поверхность печи вычисляется отдельно). Устанавливается, какие данные надо иметь еще, чтобы ответить на предложенный вопрос, и где можно найти сведения о количестве материала, которое требуется для побелки единицы площади.

3. Сколько кровельного материала (шифера, толя, железа) потребуется для покрытия школьного здания?

Для решения этой задачи длина крыши может быть измерена самими учащимися (путем измерения длины здания). Относительно ширины двух скатов крыши учитель сообщает, что она должна быть примерно в 1 ^ раза (на больше ширины самого здания (когда угол между скатами около 45°).

4. Разбить прямоугольный участок заданной площади (например, на школьном дворе) и подсчитать количество материала, которое потребуется для его огораживания (столбов, жердей или проволоки, теса и т. п.).

Необходимые данные ученикам предлагается добыть самим. Под руководством учителя ученики приходят к выводу, что эти данные можно получить, воспользовавшись, например, готовой изгородью на школьном дворе: с этой целью следует измерить расстояние между столбами и длину жерди (или другие данные).

5. Подсчитать количество материала, которое требуется заготовить для штукатурки данной комнаты, и произвести другие, связанные с этим расчеты.

При этом устанавливается, что необходимо знать, сколько потребуется глины, песку. А для этого надо определить, какова толщина слоя штукатурки, а также, в какой пропорции составляется смесь указанных матери-

алов. Попутно с этим возникает вопрос о расчетах, связанных с доставкой материалов: сколько потребуется подвод или машин для их перевозки. Ученики предположительно определяют грузоподъемность машины (подводы).

Изучение темы «Окружность и круг» строится следующим образом.

Ознакомив учащихся с понятиями центр круга, радиус, диаметр, выясняем зависимость между двумя последними величинами: диаметр вдвое больше радиуса (что непосредственно видно из чертежа). Тут же предлагается классу (устно) вычислить величину диаметра по данной величине радиуса и обратно. После этого переходим к выяснению зависимости между длиной окружности и диаметра. Перед классом ставится вопрос: во сколько раз приблизительно окружность больше диаметра? С целью его разрешения ученикам предлагается измерить окружности и диаметры двух-трех предметов с помощью шнура. Полученные отрезки шнура каждый раз откладываются на доске. Затем ученики на глаз, а потом с помощью шнура (наложением) определяют, во сколько раз приблизительно длина окружности больше диаметра. После этого окружность и диаметр измеряются в миллиметрах с возможно большей точностью и вычисляется отношение полученных величин. Сравнивая найденные отношения для различных предметов, ученики делают нужный вывод: отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная.

Для того чтобы эти измерения проделал каждый ученик, на предыдущем уроке дается задание приготовить из бумаги ленту длиной 20—25 см, разделив ее на сантиметры и миллиметры. Объектом для измерения (на данном уроке) может служить чернильница.

После проделанных вычислений учитель сообщает, что точное значение этого отношения выражается бесконечной десятичной дробью 3,1415... Для вычислений берут то или иное его приближенное значение: 3; 3,1; 3,14 и т.д. (чаще всего 3,14) —в зависимости от конкретных условий задачи, в частности от заданного приближенного значения диаметра или радиуса.

На дом дается задание: измерить окружность и диаметр ведра либо кадки, результат измерения записать в тетрадь и вычислить отношение окружности к диаметру,

сравнив свой результат с полученным в классе значением отношения.

После этого решаются задачи для закрепления данной темы, причем вначале никаких правил учащимся давать не следует. Решая задачи, ученики должны восстанавливать в памяти указанный конкретный процесс получения отношения длины окружности к длине диаметра и пользоваться этим отношением. Только после достаточного числа упражнений формулируется правило, к которому учащиеся естественно и легко приходят сами.

Значительно труднее проходит изучение вопроса о площади круга, так как вывод обычно употребляемого теперь правила (площадь круга равна произведению половины окружности на радиус) является довольно сложным и малодоступным для учащихся. Помимо этого, указанное правило в применении к решению задач излишне усложняет вычисление. Так, например, чтобы по данному диаметру найти площадь круга (в практике обычно дается диаметр, а не радиус), надо произвести 4 действия: 1) вычислить длину окружности, 2) определить полуокружность, 3) определить радиус, 4) вычислить площадь круга. Употребление такого неудобного приема ничем не оправдано: известно, что без применения теории пределов о научной строгости вывода формулы, выражающей площадь круга, не может быть и речи. Поэтому представляется более целесообразным в V классе дать эмпирический, наглядный вывод указанного правила, подобно тому, как это было сделано по отношению к длине окружности. Этот прием сводится к следующему.

Вырезав из квадратного листа бумаги круг с диаметром, равным стороне квадрата (или построив соответствующий чертеж), обращаем внимание учеников на то, что площадь этого круга несколько меньше площади данного квадрата, т. е. круг составляет какую-то часть квадрата. Пусть ученики определят, сколько это будет составлять процентов. Перед учениками также ставится вопрос: можно ли определить площадь квадрата, если известен диаметр вписанного в него круга? После этого ученикам предлагается начертить в тетрадях круг данного радиуса и подсчитать число клеточек, занимаемых его площадью (для удобства подсчета берется четверть

круга, причем каждые две неполные клеточки считаются за одну, и результат умножается на 4) ; также подсчитывается число клеточек, ограниченных квадратом, сторона которого равна диаметру круга. Наконец, вычисляется отношение площади круга к площади квадрата в процентах. Это отношение оказывается равным приблизительно 78% (точнее 78,5%). При этом детям достаточно указать, что соответствующее доказательство они узнают в старших классах:

Такой способ вычисления круга более удобен, чем указанный выше, так как упрощает вычисления. Кроме того, детям становится понятен смысл производимых действий при вычислении; определяя площадь круга, ученики сначала ставят вопрос: как велика площадь квадрата, сторона которого равна диаметру данного круга? Таким образом, в процессе решения задачи естественно повторяется вывод соответствующего правила.

При изучении темы «Площадь круга» следует резко разграничить в сознании учащихся понятия «окружность» и «круг». С этой целью наряду с практическими упражнениями используется запас наблюдений учащихся. Подчеркивается, что окружность имеет только длину (окружность можно выпрямить), в то время как круг можно разделить на квадратные дециметры, сантиметры и т. д. Затем учащиеся называют ряд предметов, которые имеют подобие окружности (обруч, шина, кольцо) и круга (дно кадки, ведра). При этом рассматриваются такие, например, вопросы: какие измерения надо произвести, чтобы определить, хватит ли данной железной полосы для поделки обручей к бочке? (Надо определить длину железной полосы и длину окружности бочки.)

Какие числовые данные надо иметь, чтобы решить следующую задачу: «На месте осушенного болота, имевшего форму круга, колхоз посеял пшеницу. Сколько центнеров зерна можно собрать с участка, который был занят болотом?» (В этом случае необходимо вычислить площадь круга и знать урожайность.)

При решении задач на вычисление поверхности и объема цилиндра измеряются цилиндрические предметы

домашнего обихода: стакан, кружка, ведро, кастрюля и т. д.

Важно заметить, что смысл вычислений становится более понятен учащимся в том случае, когда теоретические вычисления проверяются практически. С этой целью перед учениками ставится, например, такая задача: вычислить объем кружки и кастрюли, сделав соответствующие измерения, и подсчитать, сколько кружек вместит кастрюля, затем эти расчеты проверить практически, определив непосредственным измерением (переливая воду) вместимость кастрюли в литрах. Полученные результаты сравниваются, выясняются причины их расхождения, а также оценивается относительная величина ошибки.

Полезно решить такую задачу: «Определить вместимость бочки в ведрах, если известно, что бочка сделана из 20 лотков длиной 90 см, шириной 9 см каждый. Какой длины надо взять железную полосу, чтобы сделать к этой бочке 4 обруча?».

После такого рода упражнений абстрактные до сих пор понятия «литр», «кубический сантиметр», «кубический дециметр» связываются с привычными для детей конкретными образами — предметами, постоянно встречающимися в быту: 1 литр вмещает около двух кружек или 5 стаканов, стакан около 200 куб. см, или 200 г воды, ведро — приблизительно 10—12 л.

Приобретенные таким образом знания, опирающиеся на знакомые образы, помогают осознанному усвоению метрических мер, значительно разгружая память.

Кстати сказать, нет никакого смысла требовать от учащихся запоминания таблицы квадратных и кубических мер. Когда же приходится пользоваться квадратными и кубическими мерами, ученики должны исходить из рассуждений:

1 кв. м = 10 кв. дм X 10; 1 куб. м = 10 куб. дм X 10 X 10 и т. п.

Первое время, отвечая на вопросы учителя, дети рассуждают вслух. После того как ученики привыкли это делать, надобность в этом отпадает, — дети быстро проделывают такие рассуждения мысленно, затрачивая всего лишь несколько секунд.

§ 6. ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ПОНЯТИЕМ ДРОБИ

Едва ли не самым трудным для учащихся является решение задач, связанных с понятием дроби. Как показывают наблюдения, причиной этих затруднений является недостаточное уяснение самого понятия «дробь», хотя на первый взгляд это кажется и не совсем так. В самом деле, при выяснении понятия дроби учитель пользуется графической иллюстрацией, выведенное понятие закрепляется путем вопросов, на которые дети дают правильные ответы, свидетельствующие как будто о полном понимании того, что означают члены дроби, и пр. После этого выполняется ряд устных и письменных упражнений, способствующих уяснению понятия дроби. И тем не менее данное понятие остается недостаточно ясным для того, чтобы учащиеся могли свободно оперировать им при решении задач. Зависит это в большой степени от того, что из системы проделанных детьми упражнений, как правило, выпадает очень важное звено: графическое изображение дроби. Хотя учащиеся видели соответствующую иллюстрацию, которой пользовался учитель при объяснении, и даже сами изображали дробь в виде графика, однако делалось это при помощи наводящих вопросов учителя. Для сознательного усвоения понятия дроби необходимо, чтобы каждый ученик вполне самостоятельно выполнил эти упражнения (в тетради). Причем упражнения надо разнообразить: дробь изображается либо с помощью отрезков прямой, либо с помощью прямоугольников, либо с помощью круга, разделенного на секторы. Часть фигуры, изображающая дробь, выделяется штриховкой или закрашиванием. Таким образом, в закреплении понятия «дробь» участвует и зрительная и моторная память в сочетании с активным мышлением.

Попутно необходимо сделать замечания по поводу методики объяснения понятия дроби, используемой в новом учебнике арифметики (И. Н. Шевченко).

Подводя учащихся к понятию дроби, автор совершенно правильно начинает объяснение, оперируя хорошо знакомыми учащимся образами: «Когда ученик говорит, что ему от дома до школы полчаса ходьбы, то он выражает время не в целых числах, а в частях часа. Когда врач рекомендует больному растворить поро-

шок в четверти стакана горячей воды, то здесь вода измеряется не целыми стаканами, а частями стакана. Если один арбуз нужно разделить между тремя мальчиками, то каждый из них может получить только треть арбуза, или третью его часть».

Однако дальнейшее выяснение понятия дроби строится на мало доступном пятиклассникам материале. Автор иллюстрирует объяснение отрезками, обозначенными буквами латинского алфавита, который в пятом классе только что начинает изучаться. Таким образом, объяснение нового, довольно трудного для учащихся материала без нужды усложняется. Дело не только в том, что дети еще слабо владеют латинским алфавитом. Само по себе понятие отрезка для пятиклассника абстрактно. Поэтому данный метод является совершенно неприемлемым.

Чертеж должен наглядно показывать изображение дроби. Вместо отрезков лучше нарисовать прямоугольник. Вот как могла бы выглядеть эта иллюстрация:

Преимущество ее в том, что ученики непосредственно видят на чертеже и изображение дроби, и соответствующее числовое ее написание. В этом случае не требуется несколько раз обращаться к тексту, чтобы разобраться в чертеже. Кроме того, прямоугольник ассоциируется у детей с конкретным представлением — листом бумаги, которым может оперировать учитель при объяснении понятия дроби.

При прохождении темы «Сравнение дробей по величине» наряду с графической иллюстрацией надо добиваться того, чтобы дети практически объясняли, почему из двух дробей с равными числителями (или знаменате-

лями) больше та, а не другая. Например, предлагается сказать, какая из данных дробей больше: -g или - . Ученики говорят: вторая дробь больше, так как величина долей в обоих случаях одинакова, а число долей во втором случае больше. Или: если в одном случае три булки разделить на 8 человек, а в другом случае 5 булок разделить на такое же число людей, то во втором случае на долю каждого придется больше. Попутно с этим ставится вопрос: а каким образом разделить 3 булки на 8 человек? Аналогично этому делается сравнение дробей, имеющих равные числители.

Упражнение в графическом изображении дробей подготавливает мышление учащихся к восприятию нового понятия: «нахождение дроби числа», ибо операция, которую дети производили над отрезком, прямоугольником, кругом, по существу ничем не отличается от той, которую приходится выполнять при нахождении дроби числа. Разница лишь в том, что во втором случае аналогичное действие выполняется мысленно. И это мысленное действие после упражнений с графиками будет иметь уже реальную основу.

При сравнении величины дробей с равными числителями, но с разными знаменателями ученики часто допускают ошибки, считая ту из дробей больше, у которой знаменатель больше. Объясняется это, очевидно, тем, что дробь, как сложное понятие, для правильного его восприятия требует относительно сложной работы мысли, рассуждений: чтобы определить величину дроби, надо вспомнить, что означает каждый из членов дроби, а затем связать эти два понятия в одно понятие «дробь». Поэтому, обходя эти рассуждения, учащиеся дают ответ, который напрашивается при непосредственном — неправильном — отражении в сознании понятия, выраженного новой, непривычной формой записи. Для предупреждения такой ошибки надо требовать, чтобы при сравнении дробей по величине учащиеся всегда повторяли вслух указанные выше рассуждения. Только путем достаточного числа таких упражнений можно добиться навыка воспринимать дробь как единое понятие.

В результате такой работы понятие сокращения дробей, данное с помощью конкретных примеров и графической иллюстрации, воспринимается учащимися сравни-

тельно легко. Однако сама техника сокращения вызывает у многих учеников большие затруднения.

Приступая к сокращению дробей, дети пользуются чаще всего интуицией и без всякой системы, наугад подбирают общие делители членов дроби. Вследствие этого ученики затрудняются быстро определить, на какое число данная дробь может быть сокращена или вообще я1вляется ли дробь сократимой. Для устранения этой трудности надо постоянно требовать, чтобы при сокращении дробей ученики соблюдали определенную последовательность рассуждений.

Предложив ученику сократить дробь, следует поставить перед ним вопрос: на что необходимо обратить внимание, прежде чем приступить к сокращению дроби?

Прежде всего (что сплошь и рядом дети забывают делать) необходимо проверить, не является ли один из членов дроби их общим делителем. Далее обратить внимание на последние цифры членов дроби (в случае многозначных чисел), чтобы узнать, сокращается ли дробь на 2, на 5; затем определить «сумму цифр» (возможно ли сокращение на 3, на 9); полезно также определить делимость числителя и знаменателя на 4. Например, сокращая дробь » ученики должны вести примерно следующие рассуждения.

«Оба члена дроби оканчиваются четными цифрами, следовательно, дробь сокращается на 2. Проверим теперь делимость числителя и знаменателя на 4: у каждого из членов дроби две последние цифры выражают число, делящееся на 4, значит дробь можно сократить на 4». Записав этот общий делитель, ученики продолжают проверку. При этом обнаруживают возможность сокращения дроби на 3 и 9. В результате всей проделанной операции приходят к выводу, что данную дробь можно сократить на 4 • 9 = 36.

Особенно затрудняются учащиеся в тех случаях, когда дробь не сокращается на 2, 3 и 5. Тогда ученики обычно считают, что дробь вообще несократима. Необходимо постоянно напоминать учащимся, что если члены дроби не делятся на 2, 3 и 5, надо проверить по таблице простых чисел, не является ли хотя бы один из членов дроби числом первоначальным (простым). Если в таблице не окажется искомых чисел, надо меньший из членов дроби

разложить на множители и затем попробовать делить второй из членов дроби на каждый из этих множителей, начиная с наименьшего. Если же число, являющееся членом дроби, в таблице простых чисел имеется, то дробь несократима (конечно, за исключением случая, когда один из членов дроби представляет число, кратное другому) .

Необходимо заметить, что главное свойство дроби нередко изучается в отрыве от его практического применения: зная это свойство, ученики сплошь и рядом затрудняются ответить, какие преобразования дробей на нем основаны. Поэтому при сокращении дробей надо требовать от учащихся соответствующих пояснений: «Сократим дробь, т. е. числитель и знаменатель уменьшим в одинаковое число раз, от чего величина дроби не изменится».

Приводя дроби к общему знаменателю, ученики должны пояснять значение дополнительных множителей: «Узнаем, во сколько раз общий знаменатель больше знаменателя данной дроби. Во столько же раз увеличим и числитель, т. е. данную дробь заменим равной ей».

Рассмотрим некоторые случаи действий с дробями, когда можно значительно упростить вычисления.

Так, при вычитании дроби из смешанного числа, когда числитель вычитаемого больше числителя уменьшаемого, можно упрощать вычисление с помощью свойства вычитания числа из суммы:

(а + с) — Ь = а + (с — Ь).

Прежде чем использовать это свойство в действиях с дробями, необходимо его повторить путем устных вычислений, пользуясь действиями с целыми числами.

Приводим числовой пример с дробными числами, показывающий использование указанного свойства:

Выше мы рассмотрели те основные трудности, которые встречают учащиеся при изучении дробей. Это, во-первых, сложность самого понятия дроби; во-вторых, его абстрактность; в-третьих, новая (сложная) форма записи числа — дроби (числитель, знаменатель, знак деления). Наконец, сложность техники вычисления с дроб-

ными числами. Все это в значительной степени усложняет задачи на действия с дробями.

Чтобы добиться осмысленного решения таких задач, необходимо показывать учащимся аналогию их с задачами, содержащими конкретные величины. Например, прежде чем приступить к решению задач на нахождение дроби числа, решаем задачу: «В 5 ящиках 80 кг гвоздей. Сколько килограммов гвоздей в 3 таких ящиках?»

Запись решения ведется так:

В 5 ящиках 80 кг гвоздей. В 1 ящике 80 : 5 = 16 [кг). В 3 ящиках 16 • 3 = 48 (кг).

Подобно этому производится запись решения задачи на нахождение дроби числа; например, решаем задачу:

«В тетради 24 листа; тетради исписано. Сколько листов исписано?»

Ученики записывают:

4 четверти тетради составляют 24 листа.

1 четверть » » 24 :4 = 6 (листов).

3 четверти » » 6 • 3 = 18 (листов).

Точно так же, устанавливая аналогию с хорошо известными учащимся задачами, надо подводить детей и к решению задач на нахождение числа по его дроби. Расчленяя сложное понятие дроби на его составные элементы, дети усваивают его постепенно и потому сознательно. Этому помогает графическая иллюстрация, которой сопровождается решение задач на дроби.

Решая задачи на нахождение числа по данной его дроби, ученики должны ясно представлять себе их связь с задачами на нахождение дроби от числа. Чтобы показать эту взаимосвязь, следует предлагать учащимся проверять задачи на нахождение числа по его дроби путем составления и решения обратных задач, в которых искомая величина берется за известную, и наоборот.

Такую проверку надо практиковать при решении как простых, так и некоторых сложных задач, имея в виду ее пропедевтическое значение: известно, что в VII классе учеников особенно затрудняет проверка задач, что в свою очередь отрицательно сказывается на уяснении смысла решения задач алгебраическим способом.

Решение простейших задач на дроби обычно не затрудняет учащихся. Однако многие ученики решают их механически, путая задачи на нахождение дроби числа с задачами на нахождение числа по его дроби. Поэтому, перейдя к решению последних, учитель должен их варьировать с обратными задачами, аналогичными по форме. В этом случае ученики будут поставлены в необходимость отыскать в предложенной задаче ее существенные признаки, прежде чем определить, решается ли она умножением или делением на дробь.

Для лучшего уяснения смысла данных задач (умножение на дробь есть то же, что нахождение дроби числа) надо требовать, чтобы умножение (а также деление) на дробь ученики выполняли устно, если это целесообразно. Например, умножая 48 на , ученики должны рассуждать: «Найдем ^ от 48, для чего 48 разделим на 24...» и т. д. Произведя вычисление в тетради, ученики соответственно пишут:

48~ = 48 : 24-13 = 2-13 = 26.

Такая форма записи показывает, что вычисление производилось устно.

Укажем еще некоторые случаи действий с дробями, когда вычисления должны производиться устно.

При умножении смешанного числа на дробь, когда целое число и числитель множимого кратны знаменателю множителя, а числитель множителя — единица:

Аналогично ведутся вычисления при делении любого числа на дробь.

Часто учащиеся затрудняются производить следующие простейшие (частные) случаи действий с дробями: умножение и деление дроби на единицу, единицы на дробь; деление дроби на дробь в случае, когда делитель равен делимому. Во всех этих случаях ученики должны писать результат сразу, без всяких преобразований компонентов.

Полезно также приучать учащихся находить устно результат при перемножении двух взаимно обратных чисел (произведение равно единице); при делении дроби

на дробь, имеющих равные знаменатели (частное таких дробей равно частному их числителей). В связи с последним случаем полезно повторить темы: «Свойство частного» (при увеличении делимого и делителя в одинаковое число раз частное остается без изменения), «изменение величины дроби с изменением ее членов» (отбросив равные знаменатели в делимом и делителе, мы увеличиваем обе дроби в одинаковое число раз).

В дальнейшем, при прохождении темы «Отношение двух чисел», этот частный случай деления дробей поможет глубже понять свойства отношений, вытекающие из свойств частного. Изложение темы «Отношение двух чисел» следует начинать с повторения способов сравнения чисел. Ученики вспоминают, что два числа можно сравнить по величине путем вычитания и путем деления большего числа на меньшее. В качестве примера можно взять задачу: «Школьники обязались прополоть в колхозе 20 га кукурузы. 15 га они уже выпололи. Какую часть намеченной площади они пропололи?» Изменяя величину обработанной площади, выясняем, как изменяется отношение всей площади к обработанной. Устанавливаем, что с увеличением прополотой площади отношение уменьшается.

Ставим перед учащимися вопрос: нельзя ли сравнить данные числа путем деления меньшего числа на большее? Выполняем деление и следим за изменением отношения с изменением его членов. При этом учащиеся наблюдают, как с увеличением обработанной площади увеличивается и получаемая в результате деления дробь; причем, когда намеченная площадь прополота полностью, эта дробь оказывается равной единице. Дети убеждаются, что последний из рассмотренных способов в данном случае является более удобным, так как изменение величины отношения происходит в одном направлении с изменением величины обработанной площади.

Рассматриваем другие случаи, где отношение двух чисел находит практическое применение. Например, выясняем, что степень освещенности помещения зависит не только от световой площади окон, но и от площади, занимаемой самим помещением. Поэтому, если известно, какую часть составляет световая площадь окон от площади пола, то по величине данного отношения можно судить о степени освещенности помещения. Производим

соответствующее измерение и вычисляем это отношение для классной комнаты.

Далее предлагается решить вопрос, как можно сравнить успеваемость двух классов с разным числом учащихся; например, в V А 36 учеников, из них с хорошими и отличными оценками 27 человек. В V Б 28 учеников, из них с хорошими и отличными оценками 24 человека (неуспевающих нет). В каком классе успеваемость выше? Выясняем, что по абсолютному числу хороших и отличных оценок нельзя сравнивать успеваемость классов, так как общее число учащихся неодинаково. Путем наводящих вопросов дети приходят к выводу, что для сравнения надо знать отношение числа учащихся с хорошими и отличными оценками к общему числу учащихся. Вычислив, получаем соответственно и - . При этом возникает надобность вспомнить, как сравнить дроби по величине. Попутно повторяем сравнение дробей, необходимость которого возникает из потребности решения практических вопросов.

В процессе упражнений ученики должны отчетливо уяснить, что частное (отношение) может быть как числом целым, так и дробным, как больше единицы, так и меньше единицы. Поэтому сравнение двух чисел по величине возможно не только путем деления большего числа на меньшее, но и наоборот. Путем решения достаточного количества простых задач (главным образом устных) надо показать практический смысл отношения двух чисел, положив понятие отношения в основу изучения связанного с ним последующего материала. Необходимо добиваться ясного понимания учащимися той мысли, что, вычисляя отношение двух чисел, мы узнаем, во сколько раз одно число больше другого, сколько раз меньшее число содержится в большем или какую часть составляет меньшее число от большего.

В связи с этим надо больше уделять внимания раздроблению и превращению метрических мер, так как в начальной школе ученики производили данные преобразования лишь с целыми числами. Введение дробных чисел вносит совершенно новые для учащихся понятия. Поэтому, когда перед учениками V класса ставится задача превратить, например, 85 г в килограммы, дети заявляют, что выполнить это невозможно, поскольку 85 г

меньше 1 кг. Затруднения в подобных случаях встречают нередко даже ученики старших классов. Эти трудности можно устранить лишь путем достаточного количества упражнений, основанных на понятии отношения.

Перед классом ставятся вопросы: «Чему равно отношение 1 м к 1 см?», «Что показывает найденное при этом отношение 100?». (Оно показывает, во сколько раз 1 м больше 1 см, или сколько раз 1 см содержится в 1 м.) «Чему равно отношение 1 см к 1 ж?», «Что показывает полученная дробь 0,01?». «Какую часть килограмма составляет 1 г? 3 г? 5 г?».

Выразить в километрах: 2000 ж, 23 ж, 800 ж, 75 ж. Каким путем это сделать?

Сравните каждую из этих величин с километром: что можно сказать об их сравнительной величине? (2000 ж в 2 раза больше 1 км; 23 ж составляет щф- км и т. д.).

§ 7. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

В учебной практике, а тем более в производственных условиях, чаще всего приходится иметь дело с десятичными дробями. Отсюда понятно то значение, какое приобретают действия над десятичными дробями — как письменные, так и устные.

Одним из распространенных недостатков при устных действиях над десятичными дробями является применение учащимися в этих случаях приемов письменных вычислений, т. е. вместо того, чтобы результат найти простейшим путем, ученик воспроизводит в своем воображении те операции, которые он должен выполнять в случае вычисления на бумаге. Например, чтобы найти сумму 0,25 + 0,7, ученик в уме «подписывает» эти слагаемые одно под другим и затем уже складывает.

Чтобы избежать таких излишних усложнений, надо прежде всего научить учащихся расчленять десятичную дробь на слагаемые, т. е. доли, из которых она состоит. Ученики должны уметь называть их порознь. Так, в дроби 0,325 ученики должны видеть слагаемые: 3 десятых, 2 сотых, 5 тысячных. Таким образом, при сложении дробей 0,25 и 0,7 ученики должны рассуждать: 25 сотых содержат 2 десятых и 5 сотых; второе из данных слагаемых равно 7 десятым, 2 десятых и 7 десятых составляют 9 десятых, 9 десятых да 5 сотых равны 0,95.

Конечно, такие подробные рассуждения необходимы лишь вначале; после достаточной тренировки навыки войдут в привычку.

При умножении и делении десятичных дробей на число, выраженное единицей с нулями, ученики нередко забывают, в какую сторону в том или другом случае следует переносить запятую. Происходит это оттого, что учащиеся нетвердо усвоили: во-первых, смысл умножения и деления дробей, во-вторых, сравнение дробей по величине. Поэтому, прежде чем перейти к действиям над десятичными дробями, необходимо основательно повторить указанные вопросы.

Чтобы учащиеся сознательно производили умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т. д., не следует сразу обращать их внимание на перемещение запятой. Лучше всего при объяснении этих вопросов исходить из соответствующих свойств обыкновенных дробей. Так, учащиеся знают, что увеличить (умножить на целое число) дробь можно путем уменьшения знаменателя; уменьшить (разделить на целое число)—путем его увеличения. Повторив с классом этот вопрос, учитель показывает, что таким же путем можно производить умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т. д. В этих случаях смущает учащихся лишь новая форма записи дроби (без знаменателя). И если ученики еще недостаточно уяснили, что десятичная дробь — это лишь частный случай обыкновенных дробей, имеющих особую форму записи, указанный способ умножения и деления представит для учащихся значительные трудности. Чтобы устранить эти трудности, надо путем упражнений научить детей видеть знаменатель десятичной дроби, чаще предлагая вопросы: Какие знаменатели имеют дроби 0,3, 0,27 и т. д.? Как можно иначе записать дроби? (Чтобы не усложнять выясняемого вопроса, дроби в этих случаях надо брать несократимые.)

Как ни странно, ученики очень часто затрудняются ответить на эти вопросы, хотя свободно читают написанные дроби и умеют сами их записывать со слов учителя. Это станет понятным, если иметь в виду, что упражнений в записи десятичных дробей со знаменателями ученики не встречают до окончания изучения раздела «Деся-

тичные дроби». Вот почему у учащихся и складывается убеждение, что десятичные дроби — это нечто совершенно новое, ничего общего не имеющее с обыкновенными дробями. Упражнения в устном счете, подобранные в нужной системе, должны устранить этот разрыв. С этой целью, перед тем как перейти к теме «Умножение десятичных дробей на число, выраженное единицей с нулями», полезно дать устные упражнения, устанавливающие связь между обыкновенными и десятичными дробями.

Эти упражнения могут быть подобраны примерно в следующем порядке:

После таких упражнений можно обратить внимание учащихся на перемещение запятой при умножении десятичных дробей на 10, 100 и т. д. Благодаря выполненным упражнениям учащиеся будут оперировать с запятой вполне осознанно.

Аналогично этому можно построить объяснение темы «Деление десятичных дробей на число, выраженное единицей с нулями».

§ 8. РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ С ОБЫКНОВЕННЫМИ И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ

В конце пятого года обучения и в последующих классах учащимся приходится решать письменные примеры со сложным порядком действий. Решение таких примеров отнимает у учащихся очень много времени, так как ученики мало пользуются изученными рациональными приемами вычислений, которые во многих случаях избавили бы от громоздких вычислений, приводящих к ошибкам.

Устранения этого недостатка можно достигнуть следующим образом.

Готовясь к уроку, необходимо тщательно анализировать примеры (а также задачи), которые будут решать учащиеся письменно. При этом надо выписывать те действия, которые допускают упрощение вычислений с по-

мощью приемов устного счета. В соответствии с этим составить примеры с другими числовыми данными для устного счета с таким расчетом, чтобы при решении их учащиеся повторили те приемы устных вычислений, которые встретятся в последующей письменной работе. В зависимости от цели урока упражнения в устном счете могут быть даны либо в виде нескольких примеров в одно действие, либо в форме следующего примера:

0,5. (4,125 — 0,05 : 10) — 40-J- : 20.

С решения этого примера (перед началом урока записанного на доске) и можно начать урок.

Если же учитель предполагает проверку домашних заданий провести в классе, заняться устным счетом целесообразнее непосредственно перед началом письменной работы. Все действия в данном примере выполняются устно. Чтобы учителю было видно, что все учащиеся вовлечены в работу, ученикам можно предложить результаты промежуточных действий записывать в тетради.

Перед началом устного счета учитель предупреждает учащихся, что в случае затруднения ученик должен заявить об этом поднятием руки, чтобы учитель мог дать нужное объяснение.

Когда класс окончил вычисление, учитель опрашивает нескольких учеников, проверяя результат. Если по ходу урока требуется повторить те или иные свойства арифметических действий, учитель останавливает внимание учащихся на выполнении отдельных действий, требуя обоснования применяемых приемов вычисления, а также формулировки соответствующего закона, свойства, правила.

Такая подготовка к письменной работе, разумеется, не всегда целесообразна, ибо конечная цель изучения устных вычислений состоит в том, чтобы ученики в каждом отдельном случае научились быстро определять возможность или невозможность применения того или иного упрощенного приема вычисления. Поэтому, постоянно побуждая учащихся пользоваться устным счетом в письменных вычислениях, предварительную подготовку к этому учитель постепенно должен сводить на нет. Надобность в такой подготовке сама собой отпадет, если учитель будет вести строгий контроль за тем, чтобы учащие-

ся всегда пользовались рациональными приемами вычислений и если изучение приемов устного счета будет проводиться не от случая к случаю, а приобретет строгую систему.

При проверке самостоятельных письменных работ учащихся нетрудно заметить, какие из приемов устного счета слабо усвоены учащимися. На следующих уроках нужно провести устный счет, подобрав упражнения в определенной системе, чтобы выработать у учащихся соответствующие вычислительные навыки.

Устный счет необходимо использовать для повторения порядка действий. Поставив перед собой цель сосредоточить основное внимание учащихся на порядке действий, нужно подобрать простейшие случаи вычислений. Здесь могут быть использованы действия над единицей и нулем, которые сами по себе не сложны, но так как в задачах и примерах встречаются редко, поэтому учителю необходимо подбирать дополнительные упражнения, содержащие указанные случаи вычислений. Вот пример такого упражнения:

1:16 +25.(1- 1:—6-J- • (0,5 + 0 : 2) + 1: 1-±.

Если классу предстоит решать письменный пример на действия над обыкновенными и десятичными дробями, учащиеся не должны выбирать способ решения произвольно, а должны убедиться в том, какой из них наиболее целесообразен.

Для того чтобы учащиеся были в силах правильно выбрать способ решения, надо их соответствующим образом подготовить. С этой целью, прежде чем приступить к решению письменного примера, ученики решают два-три примера устно. Примеры подбираются с таким расчетом, чтобы, решив их в обыкновенных, а затем в десятичных дробях, ученики убедились в преимуществах того или иного способа и, таким образом, могли бы сделать правильный выбор способа для решения письменного примера.

Для быстроты вычисления некоторые случаи перевода обыкновенных дробей в десятичные (и обратно) полезно запомнить:

Но требовать механического заучивания не следует; в процессе упражнений все эти случаи скоро запоминаются сами собой, стоит лишь обратить внимание учащихся на целесообразность их запоминания.

При обращении обыкновенных дробей в десятичные учащиеся пользуются обычно способом деления числителя на знаменатель. Второй же способ (путем уравнивания в разложении знаменателя числа «двоек» и «пятерок») в работе учащихся редко находит применение. Мириться с этим нельзя, ибо неумение пользоваться вторым способом вызывает значительные затруднения при совместных действиях над обыкновенными и десятичными дробями: будучи не в состоянии определить, обращается ли данная дробь в конечную десятичную, ученики вынуждены все действия выполнять в обыкновенных дробях, что иногда приводит к очень громоздким вычислениям. Между тем усвоение учащимися данного способа не требует больших усилий. Достаточно на уроке перед решением письменного примера на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями решить с классом устно несколько простых примеров на обращение обыкновенных дробей в десятичные указанным способом и время от времени, по мере надобности, повторять эти упражнения. Впоследствии можно ограничиваться более простыми упражнениями, предлагая учащимся лишь указать, какие из данных дробей могут быть обращены в конечные десятичные.

Очень важно, чтобы, решая письменные примеры и задачи, дети умели заранее «прикидывать», каков должен получиться результат письменных вычислений, а также глазомерно определять длину, площадь или объем какого-нибудь объекта. Для этого нет надобности подбирать специальные упражнения, а достаточно использовать те упражнения, которые класс решает письменно.

Прежде чем приступить к решению письменного примера, учитель предлагает определить возможный результат в уме, причем ответ должен быть обоснован. Например, приступая к умножению 0, 984 на , ученики говорят: «Произведение должно получиться около , так как множимое немного меньше единицы, а множитель немного превышает После того, как результат вычис-

лен письменно, учащиеся сопоставляют его с приближенным.

Вычисление приближенного ответа следует практиковать не только при решении примеров в одно действие, но и тогда, когда решаются сложные примеры. В этом случае округленные результаты с недостатком и избытком следует чередовать.

§ 9. ПРОЦЕНТЫ

В последние годы в программу V класса были включены процентные вычисления, которые должны изучаться не как обособленный раздел, а попутно с прохождением дробей. Сделано это с той целью, чтобы не разрывать понятие процента с понятием дроби, так как по существу «дробь» и процент — это лишь различные выражения одного и того же понятия. Осуществляя таким образом связь между дробью и процентом, мы даем возможность глубже понять сущность процентных вычислений, когда в VI классе ученики приступят к более основательному их изучению. В V же классе должны решаться лишь более простые задачи на проценты, исходя из понятия процента как частного случая дроби. Дети должны хорошо уяснить, что процент — это лишь частный случай дроби, особая форма ее записи. Но это вовсе не значит, что стоит только обратить внимание учащихся на указанное обстоятельство, и задачи на проценты не составят для детей никакой трудности. Опыт показывает, что хотя само понятие процента по существу не отличается от понятия дроби, тем не менее введение его вносит для учащихся новые трудности, что объясняется указанной выше особенностью мышления детей: знакомое понятие оказывается для них скрытым за новой формой его выражения.

Особенно трудно усваивается учащимися тема «Процентное отношение двух чисел». На наш взгляд, раздел «Проценты» в VI классе методически правильно было бы излагать в следующей последовательности: 1. Выражение процентов в виде дробей. 2. Выражение дробей в процентах. 3. Процентное отношение. 4. Нахождение процента от числа. 5. Нахождение числа по проценту.

При таком порядке изложения: во-первых, осуществляется естественный переход от темы «Отношение двух чисел» к теме «Процентное отношение», которые органически связаны между собой промежуточной темой «Вы-

ражение дробей в процентах»; во-вторых, смысл процентных вычислений становится более понятным после решения задач на процентное отношение. Единственным возражением против такого расположения материала может служить якобы большая трудность задач на процентное отношение. Однако затруднения, которые встречают учащиеся при решении задач на процентное отношение, по-видимому, и являются следствием существующего порядка изучения процентов.

Исходным пунктом для изучения процентов естественно сделать рассматриваемые выше задачи на нахождение отношения двух чисел.

Ознакомив учащихся с выражением дробей в сотых долях единицы, учитель ставит вопрос о сравнении данного ряда дробей по величине, например: Ученики выполняют соответствующее преобразование и называют полученные дроби: «пятьдесят сотых», «семьдесят пять сотых», «восемьдесят сотых». Учитель, обращаясь к классу, спрашивает: «Как иначе можно назвать данные числа, каким словом можно заменить слово «сотых?». Ученики говорят: «пятьдесят процентов», «семьдесят пять процентов», «восемьдесят процентов».

При выяснении понятия «процент» надо подчеркнуть ту мысль, что процент — это частный случай дроби, особое название дроби щ, так же, как дробь j мы иначе называем «половина», ^ — «четвертью».

Путем упражнений надо приучать детей связывать в своем представлении слово «процент» со знакомыми им образами: щ , 0,01; последние в свою очередь должны отражать в сознании детей конкретные представления. Полезно, например, предложить учащимся начертить на клетчатой бумаге прямоугольник, занимающий, допустим, 400 клеточек, и выделить штрихами 1%, 10%, 25% его площади. Затем взять прямоугольник с площадью вдвое меньшей и, выполнив аналогичное упражнение, сравнить полученные площади.

Учащимся предлагаются вопросы: Как можно иначе назвать дроби: -щ, щ, щ и т. д.? Сколько сотых долей содержат: 1, 2, 3? Сколько процентов содержат:

1, 2, 5? Если 1 содержит 100%, скольким процентам равны-i 1 - 1 1 13 91 Я 3Р

После достаточного числа таких упражнений решаются задачи (устно):

1. В классе половина учащихся получила за контрольные работы отличные оценки. Сколько процентов всех учащихся написало работу на «отлично»?

2. -J поля засеяно пшеницей. Сколько процентов всей площади засеяно пшеницей?

После устных упражнений решаются аналогичные примеры и задачи письменно.

Следующий по трудности этап — это решение задач на вычисление процентного отношения, когда в условии дано не отношение, а именованные числа.

3. Картофелем намечено занять площадь в 20 га. Из них 5 га вспахано. Сколько процентов всей площади, отведенной под картофель, вспахано?

Эта задача разбивается на две. Учитель предлагает сначала найти, какая часть всей площади вспахана. Ученики уже решали подобные задачи и легко найдут ответ. При этом ученики дают объяснение: «Чтобы ответить на предложенный вопрос, надо найти отношение вспаханной площади к площади всего участка, т. е. 5 : 20. Это отношение равно -т; значит, вспаханная площадь от всей площади составляет -| части». Учитель подытоживает:

«Итак, если всю площадь, отведенную под картофель, принять за одну часть, то вспаханная площадь составит части (или единицы). Нельзя ли теперь ответить на вопрос задачи? Вспомните, что такое «процент» и сколько процентов составляет единица?».

Ученики (по вызову учителя) отвечают:

— Процент — это дробь щ , в единице 100 сотых, или 100 процентов.

— Следовательно, сколько же процентов составляет весь участок, принятый за единицу?

— 100 процентов.

— А скольким процентам будет равна вспаханная площадь, составляющая -тг

Ученики (устно) находят ответ: Вспаханная площадь от всей площади, отведенной под картофель, составляет 100% : 4 = 25%.

Далее такая же задача решается с другими числовыми данными и дается обобщение: Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо вычислить их отношение, а затем найденное отношение выразить в процентах.

После этого учитель записывает на доске несколько пар отвлеченных, а затем именованных чисел для устного вычисления процентного отношения и, наконец, когда учащиеся окажутся достаточно подготовленными, решаются письменные задачи более сложного содержания, показывающие практическое значение процентных вычислений. Например: Из 75 кг молока одной коровы получили 3 кг масла, а из 40 кг молока другой — 2 кг масла. В каком случае жирность молока выше?

Решение этой задачи не затруднит учащихся, если они достаточно усвоили только что пройденные темы.

При нахождении процентного отношения ученики затрудняются, какое из двух данных чисел взять делимым и какое делителем. Надо учащимся подчеркнуть ту мысль, что найти отношение двух чисел — это значит узнать, во сколько раз большее из них превышает меньшее или какую часть меньшее составляет от большего. Поэтому делить надо на то число, с которым мы сравниваем, т. е. которое принимаем за 100%.

Для решения основных задач на проценты ученики обычно заучивают готовые правила. Но заучивание правил отвлекает детей от главного — уяснения математического смысла задач на проценты. Поэтому не следует тратить время на заучивание правил, которые ученики усваивают механически. Дети должны решать задачи по смыслу, приведением к единице: сначала находят величину одного процента, а затем искомого числа процентов.

Решению задач на процентные вычисления надо предпосылать устное решение аналогичных задач с конкретными величинами, как это было указано при рассмотрении методики решения задач на дроби. Причем этот прием следует практиковать не только в начале изучения данной темы, но необходимо повторять и при решении каждого нового типа задач на проценты, подбирая аналогичные им задачи. Например, прежде чем решить задачу:

«Когда я израсходовал 25% бывших у меня денег, у меня осталось 40 руб. Сколько было у меня денег?» — можно разобрать решение аналогичной задачи следующего содержания: «Магазин получил некоторое количество муки. Когда 20 мешков муки продали, то осталось 4000 кг. Сколько килограммов муки получил магазин, если до продажи муки было 100 мешков?»

Решив эту задачу, переходим к анализу задачи на проценты. При этом анализ начинается с отыскания числа, которое принимается за 100%. Рассуждаем так: 25% взято от суммы бывших у меня денег. Следовательно, первоначальная сумма денег составляет 100%. В условии задачи сказано, что осталось денег 40 руб. Чтобы узнать, сколько процентов всех денег приходится на 40 руб., надо знать, сколько процентов всех денег осталось, и т. д.

Следует особо подчеркнуть, что при решении задач на проценты основная трудность для учащихся заключается в том, что дети не могут определить, какое из данных (искомых) чисел принимается за 100% и почему. На этом и нужно сосредоточить внимание учащихся. Учитель постоянно, настойчиво должен требовать, чтобы, приступая к решению задач на проценты, учащиеся прежде всего обращали внимание, от какого числа берется указанное число процентов. Если оно взято от неизвестного числа, значит, требуется найти число, составляющее 100%. Когда ученики привыкнут начинать анализ задачи с отыскания числа, принятого за 100%, задачи на проценты уже не вызывают затруднений. Поэтому не только при решении задач в классе, но и при проверке задач, решаемых учениками дома, надо требовать, чтобы вызванный при опросе ученик мог повторить ход рассуждений, которые он применял при решении домашней задачи.

При изучении процентов надо широко использовать устные вычисления, поставив цель — выработать у учащихся навык быстро находить наиболее рациональный прием вычисления в зависимости от числовых данных. Так, если требуется найти 20% от 40, 25% от 12, простейший прием будет следующий:

При вычислении 0,75% от 200 руб. применяется другое рассуждение:

1% от 200 руб. составляет 200 руб. : 100 = 2 руб.

0,75% » » » 2 руб. X 0,75 = 1,5 руб.

Подобно этому ведутся рассуждения и при нахождении числа по его проценту.

Следует заметить, что решение последнего вопроса, хотя и не имеет практического значения, однако это не значит, что его можно оставить без особого внимания: глубоко понять математический смысл процентных вычислений можно лишь при рассмотрении трех основных задач на проценты в их совокупности.

Поэтому, постоянно делая упор на практическую сторону этого вопроса, отнюдь нельзя умалять значение его теоретического обоснования. Для более глубокого осмысливания учащимися теоретического материала необходимо указывать на связь между отдельными понятиями, задачами и т. д., для чего удобно использовать устный счет. Так, например, решив с классом задачу, в которой спрашивается, чему равно число, 5 процентов которого составляют 105, целесообразно задать вопрос: чему равны 5% от 2100? Сколько процентов составляет 105 от 2100?

Ответив на такие вопросы, дети убедятся, что каждая из решенных трех задач есть следствие двух других.

§ 10. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАНЯТИЯ С УЧАЩИМИСЯ

Труд учителя всегда усложняется тем, что учащиеся одного и того же класса, как правило, имеют не одинаковую подготовку. Фактически педагогу приходится вести занятия не только с классом в целом, но и с отдельными учениками, учитывая различную степень их развития.

В некоторых школах индивидуальная работа с учащимися сводится к подтягиванию отстающих. Что же касается сильных учеников, то о них учителя проявляют меньше заботы. Это, конечно, неправильно.

Успевающих учащихся легко вовлечь в активные занятия. Для этого следует подобрать им отдельные задания, с которыми они могли бы справиться самостоятельно или при незначительной помощи со стороны учителя.

Намного труднее вести индивидуальную работу с отстающими учениками, так как для них требуются более

подробные объяснения и необходим более внимательный надзор за ними.

Ученики начинают отставать лишь потому, что мало работают самостоятельно, а домашние задания списывают у товарищей. Чтобы предупредить это, надо давать таким ученикам на дом (а иногда и на уроке) индивидуальные задания, по содержанию приближающиеся к общеклассным заданиям. Допустим, например, что всему классу предложена работа на действия с дробями, при выполнении которой приходится производить довольно громоздкие вычисления. Эти вычисления могут запутать слабых учеников. Поэтому слабым можно одновременно дать такую же задачу, но с более упрощенными числовыми данными. Индивидуальные задания лучше всего подготовлять заранее на отдельных карточках, чтобы во время урока только раздать их.

На первых порах приходится облегчать работу слабого ученика и для этого указывать ему в подготовленном специально для него примере промежуточные ответы: чему равно, скажем, частное в первом действии, сумма — во втором и т. д., а сложную задачу расчленять на две-три более простые или же дать готовые формулировки к вопросам задачи. Индивидуальные упражнения должны быть тщательно продуманы, чтобы они соответствовали силам учащихся. В противном случае у школьников будет возникать много затруднений, устранить которые сразу во время занятий учитель окажется не в состоянии.

Распространенной формой индивидуальной работы с учащимися являются дополнительные занятия во внеурочное время.

Дополнительные занятия проводятся обычно после уроков, когда ученики сильно утомлены. Вследствие этого усвояемость бывает очень низка. Притом переутомление может вредно отразиться на здоровье учащихся. Проведение дополнительных занятий перед уроками (для второй смены) имеет также неудобство: ученики не успевают пообедать и вынуждены заниматься в течение шести часов без горячей пищи.

На дополнительных занятиях преподаватель обычно старается использовать все средства для того, чтобы помочь ученику исправить «двойку». Но, пожалуй, редко учитель задумывается над вопросом: какое воспитатель-

ное действие оказывают эти занятия на того или иного ученика.

Естественно, что надежда на дополнительные занятия расхолаживает некоторых учащихся, делает их невнимательными на уроке и небрежными при выполнении домашних заданий.

Вот почему, проводя дополнительные занятия, надо прежде всего иметь в виду их воспитывающую роль, и борьба с неуспеваемостью должна быть направлена в первую очередь на предупреждение отставания учащихся. Обычно первым признаком (и одной из причин) отставания ученика является небрежное выполнение домашних заданий. В этом случае необходимо установить повседневную связь с родителями, чтобы совместно с ними контролировать работу ученика. Систематически проверяя тетради отстающих учащихся, учитель делает в них соответствующие указания. Родители обязаны ежедневно следить за пометками учителя, обращая при этом внимание, нет ли в тетради стертых записей или вырванных листов. Без такого контроля со стороны учителя и родителей всякие другие средства заставить ученика хорошо учиться могут оказаться безрезультатными.

Если ученик пришел на урок с невыполненной домашней работой, его надо обязательно заставить выполнить ее после занятий. Если это почему-либо не представляется возможным, то необходимо добиться, чтобы он выполнил работу хотя бы на другой день.

Может случиться так, что отставание учащегося будет обнаружено тогда, когда он уже не в силах самостоятельно выполнять задания, которые даются всему классу. В таком случае учителю придется некоторое время вести с ним дополнительные занятия. При этом надо дать ему почувствовать, что на эти занятия нельзя смотреть, как на средство переложить свой учебный труд на преподавателя. Нерадивого ученика следует заставить больше учиться самостоятельно, объяснять лишь тот материал, который действительно является для него непосильным.

В одном из пятых классов был такой случай. Способный ученик Юрий вдруг начал отставать: не усвоил действий с дробями, на уроках арифметики стал плохо себя вести, домашние задания выполнял небрежно или совсем не выполнял.

Выяснив причины неуспеваемости Юрия, учитель

встретился с его родителями и посоветовал им систематически следить за работой сына, ежедневно просматривать его дневник и тетради. Мальчик в присутствии родителей дал учителю обещание исправиться. Действительно, на следующий день он был более внимательным на уроках и завел новую тетрадь, в которой аккуратно выполнил домашнее задание. При проверке, однако, оказалось, что задание он списал у товарища. Учитель оставил его после уроков. При этом выяснилось, что ученик имеет очень смутное представление о действиях с дробями. Тогда преподаватель дал ему несколько примеров на умножение дробей и велел отыскать в учебнике правила, которыми надо пользоваться при умножении.

Быстро пробежав глазами текст, Юрий заявил, что он ничего не понял из прочитанного.

— Что же тебе непонятно? — спросил учитель.

— Да... все непонятно, — неуверенно отвечал Юрий.

— Этого не может быть, — твердо сказал учитель. — Еще раз внимательно прочти, вдумайся хорошенько, есть ли здесь хоть одно слово, которое ты не мог бы понять.

Прочитав правило снова, мальчик неуверенно начал решать примеры. При этом он постоянно поглядывал на учителя, ожидая получить от него помощь. Но преподаватель сознательно не обращал на ученика внимания. Занявшись проверкой тетрадей, он подошел к Юрию только через несколько минут, когда тот уже заканчивал задание. В работе ученика оказалось несколько ошибок, учитель подчеркнул их и велел еще раз внимательно прочитать правило и снова решить подчеркнутые примеры.

Таким образом, первое индивидуальное задание было выполнено без помощи учителя. Педагог отметил успех ученика. Это подбодрило мальчика. На дом ему было дано другое посильное задание, с которым он также успешно справился. В дальнейшем задания постепенно усложнялись, а постоянный контроль со стороны учителя и родителей исключал возможность уклониться от их выполнения. Мальчик был поставлен в необходимость систематически самостоятельно трудиться. Учитель только подбирал для него доступные по трудности задания.

В случае затруднений ученик, конечно, мог обращаться за помощью к учителю, но учитель, как правило, не спешил со своими объяснениями и часто ограничивался только общими указаниями: «Вспомни или найди в учеб-

нике такое-то правило», «Сравни данную задачу с такой-то». И этого было достаточно, чтобы при некотором усилии ученик самостоятельно справился с примером или задачей. Если же он испытывал более серьезные затруднения, учитель снова оставался с ним после уроков или же заставлял его на другой день прийти за 10—15 минут до занятий, чтобы дать более подробные разъяснения.

В основном «подтягивание» этого ученика шло в порядке самостоятельных упражнений, подбираемых учителем в определенной системе. В результате ученик научился ценить время. Уже через три недели он стал хорошо выполнять задания, которые давались всему классу, и вскоре за контрольное упражнение получил балл «4».

Впрочем, надо иметь в виду, что отставание учащихся по математике иногда является результатом слабого развития их математического мышления, а не только результатом их нерадивости. В таких случаях уже нельзя ограничиваться краткими общими указаниями ученику, надеясь на то, что он сам найдет нужное объяснение в учебнике. Такого ученика, наоборот, надо побуждать к тому, чтобы он не стеснялся обращаться за помощью к учителю.

Со слов ученика иногда трудно бывает понять, что именно его затрудняет. Ученик говорит: «Я не умею решать такие-то примеры». Между тем выясняется, что его затрудняет всего лишь порядок действий в данных примерах. Или, например, ученику дана для самостоятельного решения задача. Ученик мог бы решить ее основную часть, но при анализе задачи встречает трудный момент и заявляет: «Я не понимаю задачи». Полагая, что ученик вообще не понял задачу, учитель начинает объяснять ее, подчас обращая особое внимание на те моменты, которые и без того понятны ученику. В результате много времени оказывается потерянным. Ввиду этого очень важно приучить детей обращаться к учителю с конкретными вопросами; ученик сначала должен подумать над заданием, попытаться понять его и, только когда встретится затруднение, обратиться к учителю.

Иногда слабым учащимся даются на дом индивидуальные задания, кроме общеклассных. Это совершенно недопустимо. Отстающим учащимся необходимо давать упрощенные задания, посильные как по трудности, так и по объему. Только при этом условии ученик будет ста-

раться добросовестно выполнять задания. Учитель должен помочь ученику увидеть результат его труда. С этой целью полезно накануне опроса подготовить отстающего ученика. Решив с ним задачу (или пример), на очередном уроке вызвать к доске для выполнения аналогичной работы. Будучи подготовленным, ученик может справиться с работой без особых затруднений. Ответ, конечно, должен быть оценен соответствующим баллом.

Как уже было отмечено, дополнительные занятия могут сильно переутомить учащихся. В силу этого внеурочные занятия с неуспевающими лучше проводить в форме консультаций, рассчитывая продолжительность их на 10—15 минут (до уроков или после). На консультацию ученик должен приходить с подготовленными конкретными вопросами, связанными с теми трудностями, которые возникли при выполнении задания.

§ 11. О ДОМАШНИХ ЗАДАНИЯХ И ИХ ПРОВЕРКЕ

В процессе обучения важное место занимает работа учащихся над домашними заданиями. При выполнении домашней работы ученик работает самостоятельно, напрягая мысль, что способствует глубокому и прочному усвоению изучаемого материала. Поэтому данный вид работы необходимо правильно использовать.

Урок арифметики, как правило, начинается с проверки домашней письменной работы. Очень важно, чтобы этот начальный этап был построен наиболее рационально: от этого зависит внимание и работоспособность класса на протяжении всего урока.

Неудачно построенная, хотя и тщательная проверка отнимает непроизводительно много времени в ущерб изложению нового материала и его закреплению. В случае же поверхностной проверки, когда часть работы остается непроверенной, у учащихся пропадает интерес к работе, ученики начинают выполнять задания наспех, кое-как, и тогда роль домашних работ — этого важного звена в обучении — сводится на нет.

Успех выполнения задания учащимися зависит от того, что и как им задано. Подбирая домашнее задание, надо прежде всего считаться с уровнем развития класса: работа должна быть посильной для всех учащихся как по степени трудности, так и по объему. Только при этом

условии учитель сможет тщательно проверить работы всех учащихся и указать на допущенные в них ошибки.

Для домашнего задания необходимо вдумчиво подбирать не только практические упражнения, но и теоретический материал, обязательно согласовывая его с практическими упражнениями. Чтение заданного теоретического материала должно помогать ученику решить задачу, пример или ответить на вопросы, заданные на дом, и наоборот: выполнение практического упражнения должно способствовать уяснению смысла заданного правила, свойства, закона. К сожалению, в педагогической практике это условие не всегда соблюдается: иногда в заданном параграфе содержится текст, не относящийся к практическим упражнениям, включенным в домашнее задание, и чтение такого текста лишь запутывает учащихся. Поэтому давая задания, необходимо указывать, какие абзацы из данного параграфа следует исключить, если это целесообразно.

Очень важно научить детей правильно организовать выполнение домашних заданий. Ученик прежде всего должен вдумчиво прочитать теоретический материал (достаточно один раз) и тут же приступить к выполнению упражнения, пользуясь нужными правилами по учебнику. Выучивание и осмысливание последних должно протекать главным образом в процессе выполнения упражнений, после чего точная формулировка правила запоминается без особого труда, вместе с тем облегчается выполнение практического упражнения.

Прежде чем дать задание, учитель выполняет его сам (как бы оно ни казалось просто), тщательно продумывая каждое действие, каждый вопрос с тем, чтобы предусмотреть те или иные затруднения, которые могут возникнуть у учащихся. Так, например, в задаче может встретиться незнакомый учащимся термин, который делает непонятным все условие задачи. Иногда при составлении плана решения может встретиться трудно формулируемый вопрос. Бывает, что сложная задача становится непосильной для детей потому, что в ее состав входит какой-нибудь один из типов простых задач, основательно забытый учащимися, и т. п. Поэтому почти всегда возникает необходимость в пояснении домашнего задания. При этом нет надобности разбирать в классе все задание от начала до конца, стоит лишь разобрать отдельные места,

могущие затруднить учащихся, и задание окажется посильным для всего класса.

Иногда при решении примеров с дробными числами получаются дроби, кажущиеся на первый взгляд несократимыми, например: щ-, щ и т. п. Не производя возможных упрощений, ученик в последующих действиях получает большие числа, что сильно усложняет работу, приводя к ошибкам в вычислениях. В результате учащиеся (а таких оказывается немало), потеряв попусту время, вынуждены бросать работу незаконченной. Чтобы этого не получилось после дачи задания надо решить с классом два-три примера, аналогичных указанным.

Если заданный пример имеет сложный порядок действий, необходимо разобрать его. Однако более полезно, если позволит время, решить в классе другой пример — устно — с таким же порядком действий, но с числами, допускающими устные вычисления.

Если на дом дается пример с большим числом действий, целесообразно сообщить учащимся промежуточные ответы, что значительно облегчает работу, позволяя выполнить задание даже тем учащимся, для которых оно казалось совершенно непосильным.

Проверяя задания, учитель руководствуется следующим:

1. Любое задание должно быть так или иначе проверено, т. е. ученик постоянно должен чувствовать контроль со стороны учителя.

2. Ученик должен знать, что качество выполнения им работы учитывается учителем — либо путем выставления оценки за отдельную работу, либо посредством выставления общей оценки за несколько работ, либо при выставлении оценки за устный ответ.

3. Проверку домашних работ надо строить так, чтобы она не только служила средством контроля, но и носила бы обучающий характер; в результате проверки выполненной работы ученик должен понять причины допущенных им ошибок.

Способы проверки домашних заданий можно разделить на следующие два основных: 1) проверка тетрадей учителем вне урока и 2) фронтальная проверка выполненных работ в классе.

Каждый из этих способов имеет свои достоинства и недостатки.

Так, в первом случае учитель имеет возможность выправить все допущенные учащимися ошибки, указать на недостатки ведения тетради и выставить за каждую работу оценки. Но большим недостатком этого способа является то, что далеко не каждый ученик постарается разобрать допущенные им ошибки, так как проверенные тетради ученики получают в лучшем случае на другой день, когда содержание выполненных работ ими уже забыто. И чаще всего дети ограничиваются лишь поверхностным просмотром исправленных ошибок, их внимание привлекает главным образом полученная оценка.

Распространенным способом фронтальной проверки заданий является следующий.

Один из учащихся читает выполненную работу по тетради (будь то задача или пример), остальные следят, стараясь наскоро исправить в своих тетрадях все то, что не соответствует записям вызванного товарища.

Этот способ имеет существенные недостатки. Ибо вполне очевидно, что механическое исправление ошибок не имеет никакого смысла. Ведь целью проверки является не исправление ошибок в работах, которые после проверки вряд ли окажутся предметом внимания учащихся; задача заключается в том, чтобы те ученики, которые сделали ошибки, поняли их и не допустили подобных ошибок в дальнейшем. Между тем при указанном способе проверки смысл выполненных действий совершенно не интересует учащихся, так как все их внимание поглощено исправлением готовых записей.

Иногда учитель, вызвав одного-двух учеников к доске для выполнения сделанной дома работы, одновременно занимается с классом устным счетом или производит опрос учащихся. Этот прием также не вполне оправдывает себя, так как внимание класса при этом совсем выключается из работы по проверке задания.

Проверка домашнего задания, как и каждый этап урока, должна быть организована так, чтобы все ученики принимали активное участие в общей работе. Поэтому во время проверки домашних заданий не следует разрешать учащимся делать какие-либо исправления в тетрадях. Это можно сделать после проверки.

При проверке решения задачи вызывается ученик к

столу с тетрадью. Ученик читает задачу по задачнику (вслух), учитель в это время проверяет его работу. Прочитав задачу, ученик рассказывает ход решения ее, дает нужные пояснения. По ходу решения задачи учитель предлагает вопросы, способствующие более глубокому ее пониманию. Если на эти вопросы вызванный ученик не может ответить, вызываются другие. При этом следует избегать вопросов, отвлекающих учащихся от основной цели — разъяснения смысла задачи; надо стараться концентрировать внимание учащихся вокруг одной, основной мысли. Только' после того, как задача разъяснена, можно перейти к другим вопросам, касающимся решения задачи, например, к рассмотрению приемов вычисления, уточнению формулировок вопросов и т. п.

При проверке решения задач, требующих графической иллюстрации, надо обязательно предлагать учащимся пояснять ход решения задачи чертежом (задачи на движение, на нахождение части от числа, числа по его части и т. п.). Очень важно также рассмотреть различные допустимые формулировки вопросов в плане решения задач, установить преимущество той или иной формулировки перед другими. При такой активной проверке внимание учащихся сосредоточивается на смысловой стороне задания, что способствует развитию математического мышления. Конечно, ответы учащихся по ходу проверки письменных работ должны оцениваться соответствующими баллами. Вообще проверку надо строить так, чтобы она носила активный обучающий характер и служила бы подготовительным этапом к изложению нового материала.

Очень важно, чтобы именно домашнее задание послужило связующим звеном между пройденным и тем материалом, который предстоит объяснить на уроке, так как беглое повторение пройденного перед объяснением нового материала не всегда дает нужный результат, тогда как самостоятельная работа дома, требующая напряжения мысли, служит более прочной основой для восприятия объясняемого материала.

Рассмотрим конкретный пример, показывающий, как на основе проверки домашней работы можно иногда вплотную подвести учащихся к восприятию нового материала.

При прохождении дробей в V классе учащиеся знакомятся с задачами следующего типа: «Два поезда вышли

друг другу навстречу одновременно с двух станций. Первый может пройти все расстояние между станциями за два часа, второй за три часа. Через сколько часов они встретятся?».

Рассмотрению задачи этого типа предпосылается решение сходных задач, в условии которых дается расстояние в километрах. Одна из таких задач включается в домашнее задание. На следующем уроке, при проверке домашних работ, учитель вызывает одного из учащихся к доске и предлагает показать графически движение поездов и рассказать ход решения задачи. Сделав чертеж, ученик откладывает отрезки, соответствующие пройденным расстояниям. Когда объяснение задачи окончено и получен числовой ответ на вопрос задачи, учитель предлагает всему классу вопрос: изменится ли ответ, если расстояние между поездами взять вдвое больше, а остальные числовые данные оставить прежние? Чаще всего учащиеся дают положительный ответ. Но после проверки убеждаются, что от расстояния время движения поездов до встречи в данном случае не зависит, и приходят к выводу, что одно из числовых данных (расстояние) может быть совсем исключено из условия задачи.

Второй пример. Существует много задач, решаемых двумя и более способами. Рассмотрев во время задания домашней работы один из способов, на другом уроке можно рассмотреть другой способ решения. При этом различные способы сопоставляются, устанавливается, какой из данных способов наиболее рациональный. Это дает возможность лучше понять зависимость между величинами, глубже осмыслить задачу.

Разумеется, не всегда можно подобрать такое задание, из которого непосредственно вытекают новые понятия, сообщаемые на следующем уроке. В таких случаях повторение и расширение знаний, связанных с проверкой домашней работы, необходимо ограничивать, имея в виду, что основное внимание на уроке должно быть уделено объяснению нового материала и его закреплению. Так, если учащимся даются на дом тренировочные упражнения (цель которых — привить определенный навык), то нет надобности затрачивать время на их проверку в классе. В этом случае можно ограничиться проверкой тетрадей на дому. Причем, если встречаются в работах лишь единичные ошибки, учитель пишет в тетради аналогичный

пример, предлагая ученику решить его, и указывает, какое правило надо предварительно повторить. Если же ошибки являются распространенными, учитель включает в план повторение соответствующих тем.

Надо заметить, что учитель не всегда может предусмотреть все трудности, которые встретят при самостоятельной работе учащиеся. Во время фронтальной проверки подчас их также не удается обнаружить. Между тем на все трудные места, породившие ошибки, необходимо обратить внимание учащихся тут же, пока свежо в памяти детей содержание выполненной работы. С этой целью перед уроком (если позволяет время) можно просмотреть хотя бы десяток тетрадей слабых и средних учеников. При этом характерные ошибки легко обнаруживаются. Их можно быстро записать с указанием фамилий учеников, допустивших эти ошибки. На уроке, с целью экономии времени, проверку домашних работ можно ограничить разбором характерных ошибок с последующей проверкой тетрадей остальных учеников дома и решить несколько примеров, аналогичных тем, в которых допущены ошибки. Так, например, если ошибка допущена в порядке действий, можно дать пример с таким же порядком действий, вызвав учеников, которые сделали ошибки. Или, допустим, при исключении целого числа из неправильной дроби встретилась ошибка = 2-. В этом случае можно дать аналогичный пример: — ' о о

Разобрав таким образом ошибки, можно дать одну-две минуты на исправление их в тетрадях.

Письменное домашнее задание следует использовать для закрепления приемов устного счета. Так, в примерах на действия с дробями часто встречаются числа, допускающие устные вычисления. Однако, если не обратить на них внимание учеников, дети обычно даже самые простые действия выполняют письменно, сильно усложняя вычисления. Например, умножая 32jy на -g, ученики делают это по всем правилам письменных вычислений, обращая смешанное число в неправильную дробь, тогда как, воспользовавшись распределительным законом, умножение легко выполнить устно.

Почти в каждом сложном примере встречаются отдельные действия, при выполнении которых возможны

устные вычисления. Поэтому, проводя на уроке устный счет, надо подбирать такие случаи вычислений, которые встретятся в очередном домашнем задании (как в задачах, та,к и в примерах). При этом необходимо предупреждать учащихся, что в подобных случаях при выполнении домашнего задания они должны производить вычисления только устно.

На следующем уроке, перед проверкой домашней работы, можно предложить учащимся решить устно несколько примеров, взятых из выполненной ими дома работы, остальную часть работы проверять вне урока.

При проверке решения примеров со сложным порядком действий можно иногда использовать следующий прием. Один из учащихся по задачнику называет действия, остальные ученики следят по тетрадям. В том случае, если компоненты действий допускают устное вычисление, его тут же производит вызванный ученик в уме и говорит результат. В противном случае результат говорит другой ученик, по вызову учителя.

Перед уроком иногда целесообразно проверить тетради тех учащихся, которые намечены к опросу. Имея представление о знаниях ученика по выполненной работе, достаточно бывает задать ему один-два вопроса, чтобы выставить в журнал обоснованную оценку. При этом, подбирая эти вопросы, учитель ставит целью не только объективно оценить знания ученика, но и главным образом помочь ему разобраться в допущенных ошибках.

При проверке тетрадей можно только подчеркивать ошибки, предоставляя их исправлять учащимся самим. Но если учитель чувствует, что ученик не сможет разобраться в допущенных ошибках, следует их исправить и, если нужно, дать необходимые пояснения.

Что же касается ошибок в формулировке вопросов, то их необходимо исправлять. Ограничиваться подчеркиванием можно лишь в том случае, если учитель предполагает разобрать эти ошибки в классе.

Из сказанного следует, что приемы и характер проверки домашних работ разнообразны. Задача учителя— выбрать наиболее эффективный способ в каждом конкретном случае, в зависимости от вида домашней работы и места ее в учебном процессе.

§ 12. ЗАМЕЧАНИЯ К МЕТОДИКЕ ТЕКУЩЕГО УЧЕТА ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ

Проверка знаний учащихся является одним из важнейших элементов учебно-воспитательного процесса.

Чтобы построить правильную систему проверки знаний, надо, очевидно, исходить из тех основных положений, которые определяют ее цель и назначение. Напомним важнейшие из них.

Понять объяснение нового материала по математике учащиеся могут лишь при условии, если они уже имеют достаточный запас знаний, умений и навыков. Поэтому, готовясь перейти к изложению нового материала, учитель должен прежде всего выявить, достаточно ли прочной является та основа, на которой должны строиться новые знания учащихся. Отсюда возникает необходимость в систематическом учете полученных учениками знаний. Можно сказать, что прямое назначение проверки знаний по математике — выявлять степень подготовки учащихся к восприятию нового учебного материала. Но, поскольку проверка знаний может осуществляться только в ходе обучения, следовательно, оторвать ее от учебно-воспитательного процесса невозможно,—она составляет органическую часть этого процесса, неизбежно оказывая существенное влияние на его результаты. Отсюда следует весьма важный для учителя вывод: деление текущего опроса учащихся на обучающий и контролирующий может быть лишь условным, поскольку контролирующий опрос есть в то же время и обучающий и, наоборот, при обучающем процессе учитель неизбежно выявляет у учащихся знания.

Знания можно выявлять едва ли не в каждом этапе урока, например, при закреплении материала и даже при изложении новой темы: задавая по ходу объяснения вопросы, можно выявлять, насколько знают учащиеся материал, на базе которого строится объяснение. Однако это не дает основания умалять роль контрольной проверки, когда: во-первых, создаются условия, обеспечивающие полную самостоятельность ответа ученика; во-вторых, характер и система вопросов предусматривает наиболее глубокое и разностороннее выявление знаний. Ученик знает, что при контрольной проверке оценка зависит только от степени его подготовки и

ответ обязательно будет оценен, тогда как в других случаях ответ не всегда влечет за собой выставление отметки. Кроме того, учащимся известно, что оценка, выставленная за контрольную письменную работу (или устный ответ), играет решающую роль при определении итоговой' оценки.

Таким образом, при контрольной проверке ученик чувствует особую ответственность, а потому усиленно готовится к ней, стараясь при этом выполнить те требования, которые предъявляет учитель во время проверки.

Отвечая на контрольные вопросы, ученик до предела напрягает свои умственные силы, чтобы восстановить в памяти нужное понятие, мысль, выражение, в силу чего с особой активностью протекают его мыслительные процессы. Это способствует лучшему осмыслению и запоминанию изученного.

Из сказанного следует, что система опроса и характер требований к ответам учащихся при контрольной проверке должны решающим образом влиять на формирование знаний.

Но, как известно, цель обучения заключается в том, чтобы создать целостную, стройную систему знаний, а не механическое нагромождение в памяти явлений, событий, формулировок. Поэтому глубокая проверка знаний предполагает выявить, насколько связаны в сознании ученика отдельные понятия и факты с общей системой знаний и прежде всего с их первоисточником — жизненным опытом, практическими умениями и навыками.

Отсюда контрольные вопросы, как правило, должны представлять определенную систему и заключать в себе требование установить сходство и различие или найти зависимость и связь между отдельными понятиями, явлениями, свойствами. При этом особенно важно акцентировать внимание учащихся на тех вопросах, которые служат основой для понимания последующего материала.

Высказанные выше соображения можно свести к следующей основной мысли: проверку знаний нельзя рассматривать как самоцель, — она является одним из средств для привития прочных и глубоких знаний.

Между тем, вопреки этим бесспорным положениям, в педагогической практике нередко можно наблюдать следующее.

Желая более разносторонне проверить знания ученика, учитель старается задать ему целый ряд не связанных между собой вопросов, из разных разделов программы, не придерживаясь какой-либо системы.

В свете сказанного порочность такого бессистемного опроса становится очевидной, ибо ответы на разрозненные вопросы не могут в достаточной мере характеризовать знания, — хотя бы потому, что переключать мысль с одного вопроса на другой, логически не связанный с первым, чрезвычайно трудно. Ученик может затрудняться отвечать не потому, что не знает материала, а в силу психологической причины. Мало способствуя закреплению знаний, бессистемный опрос ориентирует учащихся воспринимать отдельные понятия разрозненно, вне общей системы знаний. К чему приводит бессистемный опрос, можно иллюстрировать следующими наблюдениями.

После того как ученик решил пример, учитель предлагает ему дополнительные вопросы: что называется произведением, частным, разностью и т. д. Отвечая на эти вопросы вне связи с выполненными действиями, ученик старается вспомнить главным образом порядок слов в заученном тексте, подчас даже не вдумываясь в смысл сказанного. И не удивительно, что после такого «повторения» — буквально через минуту — ученик может употребить громоздкие и неуклюжие выражения вроде: «Что получится от сложения надо разделить на что получится от вычитания», — когда нужно сказать просто: сумму разделить на разность.

В результате такого беспредметного повторения материала ученики IV и даже V—VI классов постоянно забывают названия компонентов и результатов действий, несмотря на то что учитель не раз возвращается к этому материалу.

Нередко ученики V класса, умея выполнять действия с дробями, не знают соответствующих правил. Бывает и обратное: ученик бойко и уверенно говорит правило, но не умеет применить его практически.

В связи с этим возникает вопрос: какова же цель заучивания различных формулировок?

Здравый смысл подсказывает, что знание точной формулировки правила (определения, теоремы) должно облегчать практическое использование полученных зна-

нии или же помогать более глубокому осмысливанию изучаемых понятий. Вне этих целей заучивание формулировок превращается в нудное занятие, приучая школьников к вредной, бессмысленной зубрежке.

Чтобы не получилось разрыва между полученными теоретическими знаниями и их практическим применением, при выставлении оценки надо учитывать не механическое повторение той или иной формулировки, а умение использовать эти понятия в повседневных практических упражнениях.

Иллюстрируем эту мысль конкретными примерами.

При повторении распределительного закона умножения в V классе учащимся можно предложить вопросы в следующей форме: «Покажите использование распределительного закона при выполнении действия: 13-j^- • 4».

Или: «Решите двумя способами следующую задачу, пользуясь распределительным законом умножения: Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Скорость первого 35 км/час, скорость второго 40 км/час. Определить расстояние между городами, если поезда встретились через 3 часа после выхода».

Решая приведенный пример, ученик ведет следующие рассуждения:

«Разобьем множимое на два слагаемых: 13+-^, каждое из них умножим на 4 по отдельности.

Полученные произведения сложим и получим 52-».

После этого можно предложить ученику дать связную формулировку распределительного закона.

Подобно этому знание учащимися признаков делимости чисел должно быть показано путем практического использования соответствующих формулировок. Отвечая на вопрос, какие числа делятся на 4, ученик не только говорит заученную формулировку, но и поясняет ее: «Возьмем, например, число 732. Здесь две последние цифры (3 и 2) выражают число 32, которое делится на 4, поэтому и 732 разделится на 4».

Если учителю требуется проверить, знает ли вызванный ученик правило деления дробей, можно потребовать,

чтобы учащийся говорил правило в процессе выполнения действия. Например, учитель предлагает разделить - на -у. Выполняя действие, ученик поясняет: «Чтобы разделить дробь на дробь, числитель первой дроби умножаем на знаменатель второй, т. е. 3 на 7, это произведение записываем в числителе (записывает); теперь знаменатель первой дроби — 5 умножаем на числитель второй — 6, полученное произведение запишем в знаменателе (пишет 5'6)». Если ученик сказал правило вне связи с выполняемым действием (перед выполнением или после), учитель может задать вопрос: «Чему равно произведение числителя первой дроби на знаменатель второй?» Ответ покажет, насколько осознанно учеником выучено правило.

Спрашивая учащихся, учитель должен разнообразить вопросы, включая в них изученные термины. Например, при устном счете вопросы можно предлагать в следующих формах: «Чему равна сумма чисел 98, 137, и 12? Вычислите разность чисел 189 и 90. Найдите удвоенное произведение 12 и 25. Вычислите отношение 57 к 19. Во сколько раз частное от деления 15 на 5 меньше удвоенного произведения этих чисел?»

Вместе с этим учитель должен постоянно требовать, чтобы и сами учащиеся пользовались изученными терминами на уроке, а при выставлении оценки обязательно учитывать умение учащихся пользоваться правильными математическими выражениями.

Допустим, в следующем примере надо указать, в каком порядке надо выполнить действия:

Вызванный ученик должен отвечать: «Найдем разность в первых круглых скобках, затем вычислим сумму во вторых скобках. Разность разделим на сумму. К полученному частному прибавим ! получим сумму. Далее

из -уувычтем и найденную разность умножим на .

Наконец, последнюю сумму разделим на произведение».

Если учитель систематически требует от учащихся умения пользоваться указанными выражениями, надобность в специальном повторении названий компонентов и результатов действий совершенно отпадает.

Выставление итоговой оценки, например, за четверть, лишь в том случае достигает цели, если отметка отражает знания ученика не по отдельным вопросам, а по пройденному материалу в целом. Но, разумеется, отдельная оценка может отражать знания ученика далеко не всесторонне. Поэтому некоторые учителя предлагают учащимся вопросы из разных разделов программы, часто вне всякой связи одних с другими.

Но, помимо уже отмеченных выше недостатков бессистемного опроса, необходимо еще иметь в виду следующее. Ученик, получивший оценку в начале урока, лишается возможности исправить ее, отвечая на последующие вопросы учителя. Кроме того, если ученик получил «двойку», он в силу известных психологических причин вряд ли окажется способным следить за дальнейшим ходом урока.

Чтобы избежать этого, вопросы с целью проверки знаний можно задавать ученику по ходу урока. Например, ученик объяснил решение задачи, которая была дана на дом. Учитель желает проверить, кроме того, знает ли ученик то или иное правило, которое согласно намеченному плану должно повторяться на следующем этапе урока. Учитель оставляет этот вопрос до того момента, когда он естественно должен быть задан в связи с тем материалом, к которому он относится. В конце урока, суммируя ответы на все заданные ученику вопросы, учитель выставляет оценку.

* * *

По укоренившейся традиции многие учителя считают, что оценка, выставленная за письменные домашние задания, имеет совсем небольшой «удельный вес» по сравнению, например, с оценкой, полученной за контрольную

работу. Такое мнение в корне неправильно. Наоборот, тетрадь с домашними работами является настоящим зеркалом, отражающим прилежание ученика, от чего в основном зависят его знания. Исключение представляют лишь те ученики, которые домашние задания списывают у товарищей. Но при правильно поставленной учебно-воспитательной работе таких учеников — единицы. Притом учитель всегда имеет возможность проверить самостоятельность выполнения работы: для этого стоит лишь задать ученику два-три вопроса по домашнему заданию.

Чтобы выполненные домашние задания отражали действительные знания и прилежание учащихся, учитель отбирает тетради для проверки, не предупреждая об этом учеников. Для тех учеников, которые подозреваются в списывании работ у товарищей, намечается ряд вопросов, ответы на которые могли бы показать действительные знания этих учащихся. На следующем уроке проводится устный опрос соответствующих учеников и на основании этого за домашнюю работу выставляется та оценка, которая соответствует выявленным знаниям.

Чтобы проверить самостоятельность выполнения домашних заданий и вместе с тем выявить знания учащихся, можно практиковать следующий прием. Подобрав задачи или примеры, аналогичные тем, которые были заданы на дом, учитель предлагает классу решить их. Задание дается в двух вариантах. Чтобы сэкономить время, работу можно дать по объему меньшую, чем домашнее задание. Предварительно учитель выявляет, у кого домашнее задание выполнено неправильно, и тетради этих учеников просматривает (если позволяет время, лучше это сделать перед уроком). Когда ученики приступили к выполнению задания, учитель подходит к тем ученикам, которые допустили в домашних работах ошибки, и обращает их внимание на причины последних; точно также уделяется внимание тем ученикам, которые затрудняются в выполнении задания. Учитель выясняет при этом, чем вызваны эти затруднения: иногда ученик допускает ошибку в вычислении, а потому не может быстро выполнить работу, хотя, может быть, домашнее задание выполнено им добросовестно. В этом случае учитель должен помочь ученику найти ошибку. Если ученик домашнее задание выполнил добросовестно, аналогич-

ную работу он делает быстро и уверенно. Данные своих наблюдений за работой учащихся учитель отмечает у себя в тетради и учитывает их при выставлении оценки за письменные работы.

При указанном способе проверки нет смысла давать однородные задания всему классу. Более сильным ученикам лучше дать задание повышенной трудности, так как эти учащиеся выполняют домашние задания всегда самостоятельно, и для них больший интерес представляет усложненное задание. При выставлении оценок за выполненные работы учитывается не только качество их выполнения, но и степень трудности.

Необходимо иметь в виду, что некоторые ученики и при наличии хороших знаний выполняют работу медленно, что объясняется особенностями темперамента. Поэтому темп работы хотя и должен учитываться при выставлении оценки, однако не может иметь решающего влияния на отметку. И вряд ли следует обращать внимание самих учащихся на то, что быстрота работы поощряется: это побуждает учеников к спешке, что приводит к ошибкам и, главное, вырабатывает привычку небрежно выполнять работу, необдуманно, неправильно формулировать вопросы при решении задач.

* * *

Контрольная работа является завершающим этапом в изучении одного или нескольких разделов программы.

Как уже отмечалось, цель контрольной работы не только в том, чтобы выявить имеющиеся знания, но и обобщить их, заставив учеников глубже продумать учебный материал как при подготовке, так и в процессе самой работы.

Пр.и составлении текста контрольной работы необходимо иметь в виду, что слабо выполненная работа порождает у учащихся разочарование со всеми вытекающими отсюда отрицательными последствиями. Поэтому контрольная работа, как правило, должна быть посильной для всех учащихся, но вместе с тем должна охватывать все основные вопросы из пройденного раздела.

Надо заметить, что иногда результаты контрольной работы оказываются неожиданно плохими, несмотря на то что учитель был уверен в достаточном усвоении мате-

риала классом. Произойти это может в том случае, если учитель мало анализировал письменные работы учащихся, основывался главным образом на ответах учеников при вызове к доске. Решая задачу или пример на доске, ученик может делать это быстро и уверенно, но в то же время допускать грубые ошибки (которые обычно тут же исправляются с помощью других учеников). Учителю бывает трудно узнать причину этих ошибок: являются ли они результатом незнания, или же это всего лишь следствие торопливости и волнения вызванного ученика. Таким образом, при устных ответах некоторые детали, не усвоенные учащимися, ускользают от внимания учителя и дают себя знать при выполнении самостоятельных работ. Например, в сложном примере встретилась дробь

Ученик пишет: ^= 1 -jq- Эта ошибка, приводя к большим числам в последующих действиях, порождает новые ошибки, и ученик окончательно запутывается, хотя, может быть, и неплохо знает действия с дробями. Вот почему при подготовке к контрольной работе надо прежде всего выявить типичные ошибки, допускаемые учащимися в письменных работах (домашних и самостоятельных работах в классе), а затем дать учащимся ряд соответствующих упражнений.

Изучая в классе какой-либо тип задач, надо добиться того, чтобы ученики хорошо поняли эти задачи. С этой целью проводится подробный их анализ; решаются задачи данного типа с различным конкретным содержанием, вносится разнообразие в формулировки условий. Когда таким путем ученики усвоили решение задач нескольких типов, проводится самостоятельная работа, которая является для учащихся пробой сил перед контрольной работой. Обнаруживаются слабые места в их знаниях.

Выполненная работа должна быть оценена соответствующим баллом. Причем, приступая к самостоятельной работе, учащиеся должны знать, что в случае затруднений они могут обращаться за помощью к учителю и что это не может повлечь за собой снижения оценки за данную работу.

Оценивая работы независимо от того, обращался ли ученик во время выполнения ее к преподавателю или нет, мы тем самым приучаем детей чаще обращаться к

учителю за разъяснениями. А это очень важно, ибо боязнь учащихся вопросами обнаружить свое незнание часто служит одной из причин их отставания. Оценка в этом случае играет не только воспитывающую роль, она в известной мере показывает и фактические знания ученика: выполнив работу с помощью учителя (которая выразилась в разъяснении непонятных вопросов), ученик, очевидно, ликвидировал имевшиеся пробелы в знаниях. Если даже эта оценка окажется и завышенной, последующая контрольная работа покажет фактические знания ученика, и при выставлении итоговой оценки за четверть учитель может внести соответствующую поправку.

Готовясь к контрольной работе, ученики должны знать определенный круг вопросов, которые могут быть включены в текст данной работы. С этой целью за несколько дней до контрольной работы следует указать классу номера задач и примеров, которые особенно полезно решать (или некоторые из них хотя бы разобрать устно). На уроках надо не только решать задачи письменно, но и проводить устно анализ задач различных типов, устанавливая существенные признаки сходства и различия между ними.

По мере прохождения новых типов задач, круг вопросов, по которым ученики должны готовиться к контрольной работе, все более и более расширяется: ученики должны уметь решать задачи не только вновь пройденных типов, но и те, которые были включены в предыдущие контрольные работы.

Чем больше по своему объему пройденное, тем более тщательно надо отбирать материал для повторения, поскольку повторить ученики должны гораздо больший круг вопросов, чем это требуется для данной контрольной работы. Чтобы не перегружать учащихся, надо предлагать им лишь самые основные вопросы для повторения.

Опыт показывает, что двухчасовая контрольная работа, особенно в младших классах, утомительна для учащихся, в силу чего второй урок тратится непродуктивно. Причем после напряженной работы в течение двух уроков ученики становятся неработоспособными и, таким образом, целый учебный день затрачивается непроизводительно.

Исходя из этого надо считать более целесообразным в V—VI классах отводить для контрольной работы по математике не более одного урока в день. Если требуется более основательная проверка, работу можно распределить на два дня по одному уроку в день.

Считаем, что на одном уроке для контрольной работы лучше давать более однородный текст: или только задачи, или только примеры; оценки, выставленные отдельно за решение задач и примеров, будут более определенно показывать знания.

* * *

Порядок подготовки к устной проверке знаний должен быть примерно таким же, как это указано по отношению к контрольной работе: повторением материала все время руководит учитель, указывая учащимся те вопросы, которые необходимо повторить к предстоящему уроку. Только конкретность заданий может обеспечить надлежащую подготовку учащихся к опросу и только таким путем ученики смогут повторить пройденное в нужной системе, при наименьшей затрате сил добиваясь лучших результатов.

Между тем некоторые методисты считают, что учеников надо спрашивать не только по тому материалу, который был задан к данному уроку, но и по другим вопросам из ранее пройденного. Мотивируется это тем, что, зная привычку учителя спрашивать по всему пройденному, учащиеся якобы будут выучивать не только последнее задание, но и возвращаться к ранее пройденному материалу, повторяя из него те звенья, которые почему-либо всего хуже сохранились в памяти.

Эти рассуждения вряд ли имеют реальное основание. Ибо трудно себе представить ребенка, который, выучив задание, стал бы тщательно анализировать все пройденное, чтобы выделить из него наиболее существенные моменты для повторения. Совершенно очевидно, что при всей исключительной сознательности и желании отдельных учеников найти то, что особенно необходимо повторить, они окажутся не в силах добиться цели. И каково же должно быть самочувствие ученика, который добросовестно выучив заданное, не смог ответить на дополни-

тельные вопросы учителя из ранее пройденного. Вряд ли после этого у ребенка останется желание добросовестно учить уроки: ведь далеко не каждый ученик может удерживать в памяти все пройденное, в том числе малосущественные детали. А неожиданные вопросы со стороны учителя и должны неизбежно толкать ученика на то, чтобы запомнить все подряд, ибо ребенку не под силу отделить главное от второстепенного. Надо иметь в виду, что быстро ответить на внезапно заданный вопрос, особенно из ранее пройденного материала, чрезвычайно трудно. Наблюдения показывают, что даже хорошо подготовленные ученики плохо отвечают на дополнительные вопросы, не связанные с тем материалом, по которому был задан основной вопрос. (Это особенно бывает заметно на экзаменах.) Очевидно, такое явление не случайно: отвечая на основной вопрос, ученик сосредоточивает на нем все свое внимание, что сопровождается сильным возбуждением соответствующих участков мозговой коры, в то же время на остальную часть коры распространяются тормозные процессы. Это контрастное состояние коры приобретает в данных условиях известную устойчивость, вследствие чего ученик, сосредоточив свои мысли на определенных вопросах, оказывается совершенно беспомощным, когда ему внезапно предлагают другие вопросы.

Итак, повторение пройденного должно проводиться в определенной системе. Поэтому повторять материал ученики должны не по своему усмотрению, а руководствуясь указаниями учителя. Чем точнее учащиеся будут знать круг вопросов, которые могут быть заданы учителем, тем прилежнее они будут готовить уроки (если, конечно, задание окажется посильным). Дополнительные вопросы целесообразно ставить лишь с той целью, чтобы ученик пояснил недостаточно четко выраженную мысль, уточнил формулировку, вспомнил пропущенный им при ответе какой-нибудь существенный момент.

Если же учитель имеет целью оживить в памяти учащихся некоторые вопросы, не включенные в домашнее задание, незнание их не должно влиять на отметку. Словом, проверку знаний (будь то устный опрос или контрольная работа) надо использовать как средство побудить учащихся больше работать самостоятельно, быть внимательными и активными на уроке.

* * *

Ответ ученика зависит не только от его знаний. На ответ может влиять целый ряд факторов. Так, например, на последних уроках, в силу утомления, ученики показывают знания значительно хуже, чем в начале занятий, и. разница оказывается очень резкой. Поэтому на последних уроках следует задавать вопросы таким образом, чтобы они требовали менее сложных ответов, т. е. сложные вопросы надо расчленять на более элементарные, и формулировки вопросов должны быть более простыми.

Есть дети нервные, которые при опросе сильно волнуются и поэтому не могут правильно выразить свои мысли. Ответы у них получаются бессистемные, сбивчивые. У учителя складывается впечатление, что ученик не знает урока. К таким учащимся требуется особый подход. Во время ответа надо создать такую обстановку, чтобы ученик чувствовал, что он может отвечать не спеша. Например, вызвав такого ученика к доске, можно предложить ему вопрос, а в это время с классом заняться проверкой домашней работы. Пока учитель занят с другими учащимися, вызванный ученик может не торопясь обдумать ответ и сделать на доске нужные записи.

Бывают у детей и другие особенности. При устных ответах ученик показывает хорошие знания, может быстро сообразить, как решается задача (даже когда другие ученики затрудняются в этом), может объяснить ход ее решения, но письменные контрольные работы выполняет плохо. При этом наблюдаются самые нелепые ошибки как в вычислениях, так и в ходе решения задач. Наблюдая за работой таких учеников, нетрудно заметить у них чрезвычайное волнение и нервозность, что и приводит к ошибкам. Чтобы правильно оценить знания, таким ученикам следует время от времени давать индивидуальные задания, не предупреждая о том, что эти работы будут оцениваться. В таких случаях работа протекает нормально, и результаты, как правило, получаются хорошие.

Вот яркий пример того, насколько грубую ошибку можно допустить, оценивая знания учащихся формально. Однажды на уроке арифметики в IV классе ученикам была дана для самостоятельного решения задача:

«Посевная площадь колхоза составляет 1200 га. -Jr этой

площади под овсом, -g- всей площади под рожью, а под пшеницей столько, сколько под овсом и рожью вместе. Сколько гектаров земли занято пшеницей?» Большинство учащихся легко справилось с этой задачей. Но некоторые ученики, быстро сделав вычисления, вдруг обнаружили смущение. Несколько раз проверив решение, они окончательно растерялись: задача «не получилась». Интересно то, что это были по преимуществу хорошие ученики. Они постеснялись обратиться за помощью к учителю, поскольку даже у более слабых товарищей задача не вызвала затруднений. Конечно, решили задачу и хорошие ученики, но они решили пойти дальше — проверить правильность полученного результата. Для этого они складывали все полученные значения для площадей, занятых овсом, рожью и пшеницей, думая, что в сумме должно получиться 1200 га. Но 1200 га не получалось, и ученики пришли к неверному выводу, что задача имеет какое-то другое решение. Стремясь по сравнению с другими учениками к более глубокому анализу, они не справились с заданием.

Подходя формально, учитель в этом случае был бы вправе лучшим учащимся поставить неудовлетворительные оценки. Но эти оценки не отражали бы знаний учащихся и оказали бы лишь отрицательное действие.

Правильный подход к учету знаний может оказать огромное влияние на дальнейшее умственное развитие ученика. Вот характерный факт.

Ученик А. слабо решал задачи. В то же время он умел необыкновенно быстро производить устные вычисления. Этой особенностью преподаватель и решил воспользоваться, чтобы научить его решать задачи.

Проводя устный счет с классом, учитель подобрал довольно простые по содержанию задачи, но числовые данные в них требовали сравнительно сложных устных вычислений. А. решил их быстрее своих товарищей и получил хорошую оценку. Успех его ободрил, и он невольно заинтересовался решением задач. Прием был повторен несколько раз; затем учитель стал давать мальчику задачи отдельно от остальных учащихся; содержание их усложнялось постепенно, зато вычисление было несколько труднее, чем в задачах, данных всему классу. Дифференцируя задания, учитель мотивировал это перед

классом тем, что А. быстро и умело решает задачи. Это стимулировало его работу. Вскоре мальчик заинтересовался арифметикой и проявлял в ней большие успехи.

Словом, знания учащихся не представляют собой какую-то строго определенную величину, при любых условиях поддающуюся точному измерению; ответ ученика зависит не только от его знаний, но и от тех условий, в которых протекает опрос. И хотя практически нельзя создать таких условий, которые совершенно исключали бы влияние на ответ отрицательных факторов, тем не менее учитель всегда должен помнить о них и стараться свести к минимуму причины, которые мешают выявлению знаний. Только при этом условии можно выставить ученику справедливую оценку, которая побуждала бы его лучше учиться.

Построение правильной системы текущей проверки и учета знаний дает большие возможности для стимулирования учебной работы учащихся и формирования у них прочных и глубоких знаний. Причем от характера требований и от системы проверки знаний в большой степени зависит учебная нагрузка школьников.

Проверяя знания учащихся, учитель постоянно должен акцентировать их внимание на тех вопросах программы, которые являются наиболее важными в пропедевтическом отношении. Это даст возможность сэкономить много времени и сил учащихся.

Заключительную проверку знаний в конце года нельзя превращать в своего рода экзамены, тем более что в этот период дети испытывают наибольшее утомление. Знания учащихся должны проверяться систематически и равномерно на протяжении всего года, а годовые оценки выставляться на основании текущих оценок. Ибо, как это видно из всего изложенного, в распоряжении учителя много разнообразных средств для глубокой проверки знаний в процессе учебных занятий.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение .................. 3

§ 1. Основной недостаток в преподавании арифметики . . 6

§ 2.0 преемственности в обучении.......... 11

§ 3. Признаки делимости чисел .......... 22

§ 4. О методике обучения решению задач........ 25

§ 5. Изучение геометрического материала в V классе ... 40

§ 6. Задачи, связанные с понятием дроби....... 48

§ 7. Десятичные дроби.............. 57

§ 8. Решение примеров на все действия с обыкновенными и десятичными дробями............ 59

§ 9. Проценты................. 63

§ 10. Индивидуальные занятия с учащимися....... 68

§ 11. О домашних заданиях и их проверке........ 73

§ 12. Замечания к методике текущего учета знаний учащихся 81

Василий Алексеевич Уметский

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ АРИФМЕТИКИ В V—VI КЛАССАХ

Редактор В. С. Капустина. Технический редактор В. Л. Коваленко. Корректор Е. Ф. Падалко.

Сдано в набор 18/XII 1958 г. Подписано к печати 7/IV 1959 г. 84Х1087з2. Печ. л. 6 (4.92). Уч.-изд. л. 4,87. Тираж 35 000 экз. А 01588. Заказ № 1027. Цена 1 руб. 30 коп. Учпедгиз. Москва. 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Полиграфический комбинат Ярославскою Совета народного хозяйства, г. Ярославль, ул. Свободы, 97.