ТРУДЫ VI МЕЖДУНАРОДНЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ

Посвящается 100-летию со дня основания Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д. Ушинского

Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

ГОУ ВПО «ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ К.Д. УШИНСКОГО»

ТРУДЫ ШЕСТЫХ КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ

Посвящается 100-летию со дня основания Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д. Ушинского

Ярославль 2008

УДК 51; 51:372.8; 51(091) ББК 22.1 я434 Т 782

Печатается по решению редакционно-издательского совета ЯГПУ имени К. Д. Ушинского

Труды шестых Колмогоровских чтений. [Текст] Ярославль: Т 782 Изд-во ЯГПУ, 2008. 524 с.

ISBN 978-5-87555-462

Начиная с юбилея (100-летия со дня рождения академика А.Н. Колмогорова, 2003 г.), на родине выдающегося математика XX столетия в Ярославле проводятся традиционные Колмогоровские чтения.

Настоящий сборник статей шестых Колмогоровских чтений (2008 г.) так или иначе отражает интересы А.Н. Колмогорова во многих областях математики, теории и методики обучения математике, истории математики и математического образования. Воспоминания учеников и коллег А.Н.Колмогорова содержат новые факты его биографии и аспекты научно-методических интересов ученого.

Настоящий сборник будет полезен преподавателям школ и вузов, студентам и всем, кто интересуется математикой, методикой ее преподавания и историей российского образования.

УДК 51; 51:372.8; 51(091) ББК 22.1 я434

Редакционная коллегия: В.В. Афанасьев (гл. редактор), В.М. Тихомиров, Н.Х. Розов, Е.И. Смирнов, А.В. Ястребов, Р.З. Гушель

ISBN 978-5-87555-462

ГОУ ВПО “Ярославский государственный педагогический университет имени К.Д. Ушинского”, 2008 Коллектив авторов, 2008

Оглавление

Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия 10

Тихомиров В.М. Педагогические замыслы А.Н. Колмогорова о курсе геометрии в школе ................ 10

Абрамов А.М. К истории ФМШ Колмогорова ....... 18

Исковских В.А. О критерии k-рациональности геометрически рациональных поверхностей............... 21

Вернер А.Л. Соответствие школьных учебников геометрии современным научным представлениям.......... 25

Поспелов А.С., Розанова С.А., Кузнецова Т.А. Разработка программ по математике для направления подготовки “Техника и технологии” Федерального государственного образовательного стандарта третьего поколения высшего профессионального образования .................. 32

Минур П., Михеев В.П. Роль и место задач в процессе обучения математике студентов нематематических специальностей .............................. 40

Кудрин А.К. А.Н. Колмогоров и философия математики . 46

Глава 2. Математика в ее многообразии 53

Рудаков А.П., Кулешов С. А. Целозначные билинейные формы .................................. 53

Алексеев В.Б. Особенности некоторых алгебраических вычислений .............................. 61

Козырев СБ., Секованов В.С. Вычисление фрактальных размерностей некоторых множеств на вещественной прямой и вещественной плоскости.................... 68

Балабаев В.Е. Конструктивное решение проблемы построения максимального числа линейно независимых векторных полей на сфере........................ 80

Аверинцев М.Б. Статистические оценки потенциалов случайных полей........................... 90

Болдин М.В., Эрлих И.Г. Проверка гипотезы о “дрейфе” параметров в ARMA и ARCH моделях ............ 94

Крыжановская Н.Ю. Моментное и максимальное неравенства для сумм зависимых случайных величин........102

Курбатова Н. М. О новой постановке краевой задачи для линеаризованнрй системы гидромеханики...........109

Кушель О.Ю. О собственных значениях бинеотрицательных интегральных операторов в пространстве С [а, Ь] . . . . 113

Кузнецов Ю.А. Различение гипотез в схемах с альтернативными направлениями и процесс типа bang-bang.....119

Лебедев А.В. Степенные хвосты и кластеры в линейных рекуррентных случайных последовательностях .......126

Лебедев А.В. Максимумы случайных сумм по вершинам случайных графов при наличии “тяжелых хвостов”.....130

Мельников Ю.В. Преобразования групп. Подмножественное агрегатирование группы...................132

Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях петли сепаратрисы сшитого седло-узла..........................148

Алексеев В.Н. О проблемах геометрического способа вычисления вероятностей......................153

Ануфриенко С.Е., Мац А.С. Распространение нервного импульса по аксону с разветвлением ...............157

Большаков Ю.И. Знаковая характеристика H-самосопряженной матрицы .........................162

Суханова Е.М. Матричная корреляция ...........169

Тихомиров С.А.. Метод двойных расширений в исследовании стабильных расслоений на Р3 ...............174

Трубников Н.А., Степанова Д.И. Интерпретация неразрешимости .............................183

Воробьев Н.Т., Шпаков В. В. О классах Фиттинга с условием Локетта ...........................191

Зотиков СВ. О континуальном аналоге теоремы Меньшова-Радемахера.............................198

Жуленев СВ. О некоторых свойствах американских опционов ...............................204

Захарьева Е.В. О вероятностях выживания частиц на Z2 в одной из моделей критического ветвящегося случайного блуждания.............................209

Глава 3. Теория и методика обучения математике в школе и вузе 221

Новик И. А. Основные направления исследований белорусских ученых в области теории и методики обучения математике ...............................221

Кузнецова В.А., Кузнецов В.С., Сенашенко В.С. Новые образовательные технологии в высшем профессиональном образовании............................227

Капустина Т. В. Натуральные уравнения кривых в среде Mathematica............................236

Шабанова М.В. Установление преемственных связей школьного и вузовского математического образования посредством элективных математических курсов при вузе.........241

Семёнов Е.Е. О диалогическом познании математики в средней школе...........................249

Тестов В.А. Качество подготовки учителя математики . . 255

Жохов А.Л. Требования к построению методических концепций как следствия комплексно-интегративного подхода . 261

Хамов Г.Г., Тимофеева Л.П. Об использовании тестов при проверке знаний по линейной алгебре.............269

Петрова Е. С. Проблемы модернизации курса теории и методики обучения математике..................273

Гуцанович С.А.. Тенденции и перспективы обучения учащихся математике в контексте личностно ориентированного и культурологического подходов...............278

Погорелов И.К., Фирстов В.В., Фирстов В.Е. О преподавании математики в гуманитарной области высшего образования ...............................287

Секованов В.С., Кудряшова Ю.В. Развитие эстетических качеств студентов при обучении фрактальной геометрии . . 299

Кучугурова Н.Д. Информационные и коммуникационные технологии как средство формирования профессиональных умений будущих учителей математики и информатики ... 301

Ганичева Е.М. О подготовке учителя математики к применению информационных технологий в своей профессиональной деятельности ......................307

Гурбатова E.F. Обеспечение преемственности математического образования дошкольников и младших школьников 312

Иванова Н.А., Коссович Л.Ю., Малинский И.Г., Фирстов В.Е. Из опыта организации открытого образования в Саратовском госуниверситете им. Н.Г. Чернышевского .... 317

Карпов Д. С. Расчет вероятности утери данных и мотивация резервного копирования файлов..............320

Ломиковская Л.А. О необходимости использования компетентностного подхода при проектировании содержания учебной дисциплины “Математика для психологов”.....322

Мельников Ю.Б., Тропин А.В. Выбор формата представления презентаций учебного назначения............326

Паньков А.В. Психолого-педагогические аспекты использования компьютерных математических систем на уроках математики в школе.......................333

Рихтер Т. В. Дидактическая модель формирования познавательной самостоятельности школьников при обучении геометрии ...............................341

Старцева Т. А. Формирование математической компетентности семиклассников при обучении алгебре.........349

Трофимец Е.Н. К вопросу обработки результатов педагогического эксперимента.....................357

Воронцова О.Р., Катержина С.Ф. Организация онлайнового курса обучения высшей математике в техническом вузе 361

Ярахмедов Г. А. Основные идеи комплексификации и компактификации математического образования в педвузе . . . 365

Жохова Е.Ю., Корнилов П.А. Интеграция алгоритмических и математических знаний при изучении основ программирования ..........................371

Бурлакова Т. В. О преподавании курса “Теория и методика обучения математике” в условиях индивидуализации профессиональной подготовки студентов.............377

Епифанова Н.М. Формирование готовности студентов-математиков к профильному обучению учащихся........384

Корикова Т.М., Суслова И. В. Пространственное мышление - важный компонент профессиональной готовности учителя математики .........................391

Митенева С.Ф. Принципы отбора задач в курсе математики средней школы.......................398

Щукин Е.Н. Компьютер как средство взаимосвязи между стохастическим и детерминистическим моделированием . . 405

Латышева Л.П., Черемных Е.Л. О фундировании методологического компонента профессионально-предметных умений будущих учителей математики...............410

Салимова А.Ф. Опережающее образование будущих инженеров в компетентностном подходе.............416

Скорнякова А.Ю. Интерактивные методы и портфолио в математической подготовке студентов.............419

Форкунова Л. В. Этапы подготовки учащихся к исследовательской деятельности по математике.............423

Глава 4. История математики и математического образования 433

Демидов С С О мировоззренческих факторах в развитии математического знания (памяти Р. Татона).........433

Зайцев Е. А. Прямые и косвенные доказательства в ранней античной математике.......................447

Аль-Хамза М. О “правиле чаш весов” в западно-арабской математике в средние века....................457

Морозов Б.Н., Симонов Р.А. Счетные знаки коми и соседних народов: к проблеме нумерации Стефана Пермского . . 461

Одинец В. П. Григорий Яковлевич Лозановский - взгляд через 33 года............................476

Зверкина Г.А. Теория вероятностей до А.Н. Колмогорова 483

Дубовицкая М.А. Алгебра в Московском университете в первой половине XX века....................496

Жаров СВ. О научно-методическом наследии С.И. Шохор-Троцкого..............................504

Бусев В.М. Лабораторный метод в обучении математике в 1920-1930-е годы ........................509

Сведения об авторах.......................519

Глава 1

Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия

Педагогические замыслы А.Н. Колмогорова о курсе геометрии в школе

В.М. Тихомиров

Андрей Николаевич Колмогоров, взявшись в шестидесятые годы прошлого века за проведение реформы школьного образования, стал создавать новый курс геометрии. Им, совместно с Александром Федоровичем Семеновичем и Ростиславом Семеновичем Черкасовым, было написано по этому курсу учебное пособие “Геометрия 6-8”. В него был вложен огромный труд. Начало размышлений над новым курсом геометрии относится к середине шестидесятых годов, первые пробные учебные пособия начали печататься в конце шестидесятых, с 1979 по 1982 годы вышли четыре издания уже окончательно оформившегося пособия (в доработке его принял активное участие Александр Михайлович Абрамов).

Усилия Андрея Николаевича по созданию нового курса геометрии были отвергнуты, и издание пособия 1982 года оказалось последним.

Я вижу две основные причины того, что усилия Андрея Николаевича в итоге не привели к благоприятному исходу. Первая из них заключена в идеологии того общества, в котором тогда приходилось всем нам жить и трудиться. Первоосновой всего, высшей целью жизни и деятельности каждого человека объявлялось тогда укрепление и развитие государства. Не личности, а именно государства. И руководящая структура государства - партия - определяла, в частности, цели и смысл образования. Андрей Николаевич вынужден был подчиняться этому порядку вещей, но на самом деле он и сам искренне считал, что прогресс развития нашей страны невозможен без широко образованной творческой интеллигенции. И это было стимулом для его трудов и усилий.

В числе непременных аксиом того времени было требование единого, образования: каждый должен был получить в точности то же образование, что и все остальные. Постановление партии и правительства о реформе школьного образования было принято в 1966 году, и именно тогда Андрею Николаевичу было поручено осуществить ту часть рефор-

мы, которая относилась к математике. Естественно, должен был встать вопрос: как и чему учить детей в нашей бескрайней, многонациональной, столь разнородной и неблагоустроенной стране с огромным числом неблагополучных семей, детей с неполноценным умственным развитием - читатель легко продолжит список всех наших трудностей тех и нынешних лет. И при этом учить всех, и одинаково! Андрей Николаевич взялся за осуществление этой реформы, не имея в виду существенно менять исходные позиции упомянутого постановления, т. е. взялся за неосуществимое предприятие.

Но надо сказать и о второй причине, в силу которой планы по реформе образования оказались не до конца реализованными. Андрей Николаевич пребывал в мечтах о светлом будущем. В этих мечтах он был идеалистом. Не в философском или религиозном значении этого слова, а в своем взгляде на окружающий мир. Ему досталось прекрасное, солнечное детство, замечательная гимназия, лучший в мире математический факультет университета, высококультурное окружение и радостное, оптимистическое восприятие мира. Он видел людей и окружающую действительность как бы сквозь особые волшебные очки, в несравненно лучшем свете, чем они были в реальности. Для окружающих, и особенно для его учеников, такой взгляд, как правило, приносил прекрасные плоды: всем хотелось соответствовать тому идеальному образу, который складывался у Андрея Николаевича, все тянулись ввысь, росли, совершенствовались. Но А.Н. Колмогоров полагал, что и весь мир населен примерно такими же людьми, как те, которые, окружали его самого -благородными, культурными, стремящимися к поиску истины. И планируя будущую программу средней школы, он исходил, как мне представляется, именно из такого идеального образа учащегося. Глядя на мир сквозь свои волшебные очки, Андрей Николаевич полагал, что едва ли не самым привлекательным и желанным видом человеческой деятельности для каждого является творческий труд, направленный на поиск истины. А потому, в частности, стремление к полноценному высшему образованию является естественным и безусловным для каждого молодого человека. Он много раз писал, что жизнь человеческая должна быть спланирована так, чтобы избранному виду творческой деятельности человек отдал максимум того, на что он способен. В соответствии со всеми этими мыслями он и планировал новую программу всеобщего среднего образования. По мнению Андрея Николаевича (впрочем, это можно было истолковать, как предписание в постановлении партии и правительства от 1966 года), курс школьной математики должен быть научным, строгим и современным. А эту цель в современном обществе (а возможно, и в обществе будущего) осуществить невозможно.

О судьбе колмогоровской школьной геометрии вспоминаю с очень тяжелым чувством. Сетую на себя: в те годы я не сумел вникнуть в идеи моего учителя. За прошедшие годы кое-что для меня прояснилось, и здесь мне хотелось бы рассказать о замысле колмогоровского курса геометрии - в той мере, как я сейчас его понимаю.

Но сначала кое-какая информация и некоторые обсуждения. Передо мной учебное пособие в трех книгах отдельно для шестого (изд. 1974 г.), для седьмого и восьмого классов (изд. 1977 г.) и единое пособие, изданное в 1982 году. В первых строках книги для шестого класса издания 1974 года фигурирует фраза: “Вы начинаете изучать систематический курс геометрии” (в чуть измененном виде она фигурирует и в последнем издании).

На двадцать второй странице пособия по геометрии для шестого класса (изд. 1974 г.) написано:

"Систематический курс геометрии имеет такое логическое строение:

1. Перечисляются основные, принимаемые без определений, понятия.

2. При их помощи даются определения других геометрических понятий.

3. Формулируются аксиомы.

4. На основе аксиом и определений доказываются теоремы."

Уже в этом маленьком фрагменте отражается взгляд автора на своего читателя, не соответствующий возможностям последнего. Для понимания этого текста нужна высокая интеллектуальная культура, которая формируется долго.

В издании 1982 года этот фрагмент фактически без изменений отнесен в конец книги, в “Приложение”, и здесь он может быть воспринят известной долей учащихся.

В том же “Приложении” рассказывается о том, в какой мере авторам удалось осуществить построение систематического логически строгого курса геометрии. Этот текст написан лишь для профессионального математика. Там сказано, что система понятий в курсе описана корректно за исключением понятия «величина угла», но мне так и осталось непонятным, как Андрей Николаевич предполагал “точно определить смысл равенства АОВ = а° (при любом действительном числе а, лежащем в пределах 0 < а < 360”) в кавычки взяты слова из учебного пособия.

Список аксиом, состоящий из двенадцати аксиом, разделенных на пять групп, приведен в книге полностью. При осуществлении последнего пункта программы, авторы позволили себе некоторые послабления.

Для реализации своего замысла - построить систематический логически строгий курс геометрии - Колмогоров предложил свою систему

аксиом, весьма содержательную и красивую. И радикально отличающуюся от того, что было раньше.

В прежних учебниках за основу бралась фактически аксиоматика Евклида. Центральным же в аксиоматике Колмогорова является понятие перемещения - отображения плоскости в себя, сохраняющего расстояния, существовавшее в старых учебниках неявно. Такой взгляд на геометрию начал складываться в конце девятнадцатого века, и нужна была смелость великого человека, чтобы так резко повернуть руль привычно плывшего корабля геометрического образования. Но соединить вместе обе задачи - ввести радикально новый подход к геометрии и попытаться создать логически строгий курс - оказалось задачей исключительной трудности. Очень нелегко судить о том, что случилось бы, если бы колмогоровское пособие публиковалось бы из года в год и было бы допущено к преподаванию наряду с другими. Многие учителя говорили мне, что они успешно преподавали по курсу Колмогорова. Но пока отложим обсуждение этого вопроса.

Расскажем о том, как устроена аксиоматика Колмогорова.

В ней имеются три неопределяемых понятия: точка, прямая и расстояние. Кроме того, используются основные понятия теории множеств - понятия множества, элемент множества, принадлежноть элемента множеству (ибо прямые - это точечные множества), а также свойства вещественных чисел (ибо расстояния - это числа).

Точки будем обозначать, как и в пособии, большими латинскими буквами А, В, С,... иногда с индексами, а совокупность всех точек обозначим Л. Прямые будем обозначать малыми латинскими буквами а, Ь,р,... (также иногда с индексами), а совокупность всех прямых обозначим V.

Аксиомы разбиваются на пять групп: аксиомы принадлежности, расстояния, порядка, подвижности и параллельных. Приведем список всех аксиом, и первые две группы будем параллельно формулировать “без слов”, пользуясь лишь стандартнымии обозначениями теории множеств. Скажем мимоходом, что каждому полезно знать, что формулировки математических утверждений и их доказательства возможно выразить на математическом языке, не употребляя слов на русском, английском и т. п. языке, на ктором люди разговаривают друг с другом. Колмогоровская математика дает эту возможность, и вначале я буду это демонстрировать.

Вот какова система аксиом Колмогорова.

1. Аксиомы принадлежности.

1.1. Каждая прямая есть множество точек (р G V => р = {A}, A £ А).

1.2. Для двух отличных друг от друга точек существует единственная содержащая их прямая.(Ai G Л, i = 1,2=> 3\р Е V : Ai Е р, i = 1,2) (Знак 3

означает “существует”, знак ! - единственность). 1.3. Существует хотя бы одна прямая и каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка. (V ф 0, Шр G V3A G А : А ер).

2. Аксиомы расстояния.

Каждым двум точкам А\ и А 2 поставлено в соответствие неотрицательное число d(Ai,A2), называемое расстоянием между А\ и А2 (3d : А X А —> К+) так, что

2.1. d(Ai,A2) = 0 тогда и только тогда, когда А\ = А2 (d(Ai,A2) = О Ф> Ai = А2).

2.2. Для любых Ai и А2 выполняется равенство d(Ai,A2) = d(A2,Ai) (d(A\, А2) = d(A2, Ai)VAi G A, г = 1,2).

2.3. Для любых трех точек Ai, А2 и A3 выполняется неравенство: d(A\, A3) < d(Ai, А2) +d(A2, A3).

Эти аксиомы позволяют определить понятия “отрезок” [А, В] ([А, В] = {С I d(A,B) = d(A,C) + d(B,C)) и “между”: С лежит между А и В (С G int [А, В]), если С принадлежит отрезку [А, В], не совпадая ни с А, ни с В (С G [А, В] \ (A U В)).

3. Аксиомы порядка.

3.1. Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от О точек на два непустых множества так, что если А\ и А2 принадлежат разным множествам, то О лежит между ними, а если А\ и А2 принадлежат одному множеству, одна из этих точек лежит между О и второй точкой.

Эта аксиома позволяет определить, что такое открытый луч и просто луч (с началом в заданной точке).

3.2 Для любого положительного числа a на заданном луче с началом в точке О существует одна и только одна точка А такая, что d(A, О) = а.

3.3. Если точка С лежит между точками А и В, то точки А, В и С лежат на одной прямой.

3.4. Любая прямая р разбивает множество не принадлежащих ей точек из Л на два непустых множества так, что любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой р в том смысле, что отрезок, соединяющий две эти точки, пересекается с р, в то время, как никакой отрезок, соединяющий две точки из одного множества с р не пересекается.

Эта аксиома позволяет определить, что такое открытая полуплоскость (это любое из описанных в 3.4 множеств), и полуплоскость, ограниченная прямой (это открытая полуплоскость, к которой присоединена ограничивающая ее прямая).

4. Аксиома подвижности.

Если расстояние между точками А и В положительно и равно расстоянию от Ai до В\, то существуют два и только два перемещения (т. е. преобразования плоскости на себя, сохраняющие расстояния), каждое из которых отображает А в Ai и В в В\.

5. Аксиома параллельных.

Через точку, не лежащую на прямой, можно провести лишь одну прямую, ей параллельную (т. е. с ней не пересекающуюся).

Таким образом, евклидова плоскость - это тройка (A,V,d), состоящая из точек, прямых и расстояния, связанных аксиомами групп 1-5.

Итак, система аксиом построена. Можно начинать доказывать теоремы. В учебном пособии Колмогорова с соавторами приведены доказательства многих геометрических фактов, иногда, впрочем, с использованием без доказательства некоторых наглядно очевидных фактов.

Могут возникнуть вопросы:

• Непротиворечива ли эта система аксиом, не приведет ли она к противоречию?

• Та ли это геометрия, что все человечество две с лишним тысячи лет учило по Евклиду?

Ответы на эти вопросы были даны лишь в самом конце девятнадцатого века. Их не следует искать в учебном пособии Колмогорова-Семеновича-Черкасова, но ими все подготовлено для того, чтобы можно было бы разобраться со всем этим.

Доказательство непротиворечивости осуществляется построением арифметической модели аксиоматически построенной геометрии.

Мы построим, исходя из колмогоровской аксиоматики, декартову модель евклидовой плоскости. Иначе говоря, мы отобразим геометрические объекты, удовлетворяющие колмогоровским аксиомам, на некоторое множество конкретных арифметически описываемых объектов, так что любое геометрическое утверждение станет некоторым утверждением арифметики. Вот как можно построить арифметическую модель.

Рассмотрим прямую р\, существующую по аксиоме 1.3, и выберем на этой прямой существующую по той же аксиоме точку О. Прямая р\ разбивает плоскость на два непустых (по аксиоме 3.4) множества. Возьмем точку в одном из них и проведем (единственную) прямую через эту точку и точку О (что возможно в силу аксиомы 1.2) и обозначим эту прямую р2- Эти прямые будут для нас “осями координат”. Точка О выделяет на каждой из прямых два луча (см. аксиому 3.1), один из которых назовем положительным, а другой -отрицательным.

На положительном луче прямой р\ (исходя из аксиомы 3.2), выбрав число £ > 0, найдем точку Ai, для которой d{A\,0) = £i и положим х\ = £i. Аналогично, на отрицательном луче по числу > 0, выберем точкуЛ^, для которой d(Aj,0) = £,[ и положим х\ = — Точке О поставим в соответствие число х\ = 0. Мы установили взаимно-однозначное соответствие между точками прямой pi и числами ïi G R, которые будем называть координатами соответствующих точек прямой р\. Аналогично поступим с прямой р2 и поставим в соответствие каждой точке этой прямой число Х2- Пару чисел (sei, жг) обозначим одной буквой х и сопоставим ей точку А(х) = А(х\,Х2) являющуюся единственной точкой пересечения прямой, параллельной р2 (то, что такая точка однозначно определяется легко выводится из аксиом 1.2 и 5). Так мы отобразили множество пар х = (sei, жг), %i £ R во множество точек A £ А. Построим обратное отображение и для этого возьмем какую-нибудь точку A G Л и проведем через А единственную прямую, параллельную р2- Она пересечет

pi в единственной точке Ai, которой поставим в соответствие число х\, равное d{Ai,0), если А\ попала на положительный луч и — d(Ai,0), если эта точка попала на отрицательный луч. Аналогично поступим и с осью р2. Так строится отображение А <-> х из А во множество пар х = (xi,x2),Xi G R.

Расстояние между точками х = (xi,x2) и х' = (х^х^) определим выражением: с?е(ж,ж') = у/(xi — х'г)2 + (х2 — х'2)2- Множество {х} с таким расстоянием обозначим Е2 (буква Е в честь Евклида).

Осталось построить взаимно-однозначное отображение множества прямых V в подмножества Е2, которые будем обозначать буквой 7Г, а их совокупность -П и называть также прямыми. Эти подмножества будут кодироваться тройками чисел (ai, а,2, 6) (у которых хотя бы одно число ai или a 2 не равно нулю), рассматриваемыми с точностью до множителя, отличного от нуля. Каждой такой тройке сопоставим множество 7Г G Е2 тех х = (xi,x2), которые удовлетворяют линейному уравнению а\х\ + а2х2 = Ь. Далее, каждой такой тройке сопоставим прямую р однозначно (по аксиоме 1.2) определяемую, если 6/0, точками А(^, ^-), а если 6 = 0, то точками О и А(а\, а2). Наоборот, если взять прямую р G V, то, если она пересекается и с pi и с р2 в точках с координатой ai на pi, г = 1,2, то ей сопоставим уравнение ^ + ^ = 1, т. е. совокупность троек À(l/ai, l/a2, 1), Л ф 0. Сообразите сами, что надо сопоставить прямой р параллельной pi или р2 или совпадающей с одной из этих прямых.

Выясним, удовлетворяют ли точки из Е2, прямые из П и расстояние о*е (т. е. тройка (E2,n,dE) аксиоматике Колмогорова.

Аксиомы принадлежности очевидным образом удовлетворяются. Аксиомы 2.1 и 2.2 также очевидны. Неравенство треугольника (аксиома 2.3) легко доказывается. Переходим к аксиомам порядка. Пусть точка (£ь£г) лежит на некоторой прямой 7Г и £2) ~~ Другая точка на этой же прямой. Тогда (проверьте это сами) все точки прямой описываются соотношением х\ — —х\) х2 = £2+^(^2 —х2) t G R (параметрическое задание прямой на плоскости), и при этом один луч соответствует t > 0, другой t < 0. После небольших усилий убедимся, что аксиома 3.1 также удовлетворяется. Точка л = £ + a J/Z|| ? если a > 0 - единственная на положительном луче, для которой о*е (??,£) — а- Постройте сами аналогичную точку на отрицательном луче. Точка х, расположенная между точками £ и г/ (лежащими на некоторой прямой 7г), выражается через них так: х = + (1 — а)т], 0 < а < 1. Ясно, что она удовлетворяет тому же уравнению, что и тт, откуда следует справедливость аксиомы 3.3. Если прямая 7Г удовлетворяет уравнению а\х\ + а2х2 = 6, то тем самым она делит Е2 \7Г на две части: в одну попадут точки, для которых а\х\ -\- а2х2 > 6, в другую, для которых а\х \ -\-а2х2 < 6, и доказать справедливость аксиомы 3.4 не составляет труда. Справедливость аксиомы 5 о параллельных также очевидна: если 7Г -прямая, задаваемая уравнением а\х\ + а2^2 = 6 и точка £ = (£1,^2) £ 7г, то единственная параллельная задается уравнением а\х\ + а2^2 — + а2&

(убедитесь в этом сами).

И осталась одна аксиома о подвижности. К числу “перемещений”, т.е. взаимно-однозначных отображений, сохраняющих расстояния, относятся парал-

лельный перенос, повороты и симметрии относительно любой прямой. Так, что если у нас есть два отрезка [£,77] и [£1,771] равной длины, мы сможем переносом совместить £1 с £, затем поворотом совместить отрезки, и у нас при этом останутся две возможности: оставить “все как есть” или отразить относительно серединного перпендикуляра к отрезку [£,77]. (Оставим за скобками доказательство единственности построенного отображения, эту единственность можно доказать.)

Итак, была построена арифметическая модель геометрии и тем самым фактически доказано, что если арифметика непротиворечива, то непротеворечива и геометрия. Аксиоматика Колмогорова допускает легкие переходы к другим геометриям, в частности, к геометрии Лобачевского (надо только заменить постулат о параллельности); она открывает дорогу к бесконечномерной геометрии гильбертова пространства и ко многому другому.

Колмогоровская геометрия - замечательное свидетельство творческих усилий великого человека и времени, когда оно создавалось. Ее нужно переиздать с комментариями и новыми полиграфическими возможностями, чтобы эта книга украшала библиотеки тех, кому дорога наша профессия и кто любит геометрию. Помимо комментариев эту книгу разумно дополнить красивыми задачами.

Но при всем этом невозможно не задать такой вопрос: А нужно ли все это любому человеку?

Нет сомнения, что Андрей Николаевич предполагал положительный ответ на этот вопрос. Мне кажется, что он не мог вообразить разумного человека, которому не интересны принципы построения научной теории, который не захочет узнать, что такое научная истина.

Не буду говорить за других, но я бы ответил на этот вопрос отрицательно. Математическое образование необыкновенно сложная и тонкая структура, где переплетаются проблемы государственного устройства, психологии, экономики, социологии, культуры и еще многое другое. Нынешнее состояние нашего общества таково, что интеллектуальные ценности не в цене и изменить положение силой не удастся. Нужно время, быть может, очень большое время, чтобы положение изменилось радикально, но не исключено, что этого радикального изменения не произойдет никогда. Каждый человек должен иметь право на получение полноценного образования (и государственная система должна это обеспечивать), но, начиная с какого-то возраста должен соблюдаться принцип свободы и личность должна иметь право отказаться от навязываемого ей образования.

Остается надеяться на то, что какая-то часть людей не утратит интереса к тому, как устроен этот мир и как устроена наука. Такие люди

должны иметь возможность прочитать учебное пособие, в которое так много труда вложил один из наших великих соотечественников Андрей Николаевич Колмогоров. Оно раскроет им глаза на многое, в частности, на строение и красоту геометрии.

К истории ФМШ Колмогорова

А.М. Абрамов

Работа в физико-математической школе-интернате при МГУ занимала очень важное место в деятельности А.Н. Колмогорова, начиная с 1963 г. (год создания школы) и до последних лет его жизни. Поэтому малоисследованная тема “ФМШ и Колмогоров” представляет большой интерес. В связи с отмечаемым в 2008-м году столетним юбилеем академика И.К. Кикоина появился ряд новых публикаций и , в частности, статья О.Н. Найды “И.К. Кикоин и интернат при МГУ” [1]. В своем архиве А.Н. Колмогоров сохранил много автографов и документов, относящихся к ФМШ. При подготовке к изданию сборника публицистических статей А.Н. были найдены новые источники. Это позволяет восстановить историю создания ФМШ; краткий очерк предлагается далее.

Идея создания специализированных школ-интернатов принадлежит, по-видимому, первому советскому лауреату Нобелевской премии (по химии) академику Н.Н. Семеновым (1958 г., [2]). В рамках обсуждения проекта “хрущевской” реформы школы эта идея была поддержана академиками Я.Б. Зельдовичем и А.Д. Сахаровым [3], а чуть позднее А.Н. Колмогоровым [4]. На удивление их оппонентом в то время выступил академик М.А. Лаврентьев [5], вскоре резко изменивший свою позицию.

В конце 50-х и начале 60-х годов бурно развивались новые формы работы со школьниками - появились юношеские математические и физические школы, начали проводиться всероссийские олимпиады. Следует особо отметить роль очень влиятельного в то время Сибирского отделения АН СССР, возглавляемого М.А. Лаврентьевым и С.Л. Соболевым. В 1962 г. была проведена заочная Всесибирская олимпиада, по результатам которой отобраны ученики первой летней физико-математической школы; лучшие из них в том же году поступили в только что открытую физико-математическую школу-интернат при Новосибирском университете.

Однако сразу обозначилась и острая проблема легализации: инициатива новосибирцев должна была быть узаконенной. Решение этой задачи стало возможным благодаря объединению усилий многих наших

крупнейших ученых. В апреле 1963-го года в газете “Известия” последовательно выходят сначала статья М. Лаврентьева, СЛ. Соболева, И. Векуа, Д. Широкова и А. Ляпунова [6], а сразу вслед за ней А.Н. Колмогорова [7]: обосновывалась идея создания школ-интернатов при университетах. Как показано в работе О.Н. Найды [1], И.К. Кикоин, являющийся по существу лидером атомной промышленности, проявил большой дипломатический талант и сумел убелить руководителей оборонных отраслей в разумности идеи. По канонам того времени была составлена соответствующая записка в ЦК КПСС и “письмо девяти” [1], которую помимо руководителей оборонных отраслей подписали министры образования (среднего и высшего) Б. Афанасенко и В. Елютин, президент АН СССР М.В. Келдыш, ректор МГУ И.Г. Петровский, И.К. Кикоин.

Дальнейшие события развивались очень динамично. 8 июня 1963 г. получена благожелательная резолюция секретаря ЦК КПСС М.А. Суслова. Через две недели проведено заседание Секретариата ЦК, на котором идея была одобрена, а курирование проекта поручено секретарю ЦК КПСС Л.И. Брежневу, отвечавшему в то время за оборонную промышленность. Совместное постановление ЦК КПСС и Совмина СССР за подписями Н.С. Хрущева и Д.Ф. Устинова было принято 23 августа 1963 г. Предстояла очень большая работа по проведению вступительных экзаменов, подбору преподавателей и оборудованию школ. Но всего за три месяца эта работа была успешно завершена и концу 1963-го года открыты физико-математические школы-интернаты при Московском, Ленинградском и Киевском университетах.

В том же 1963 г. начинается многолетняя работа А.Н. Колмогорова в московской ФМШ. В августе он организует первую летнюю математическую школу в подмосковном доме отдыха МГУ “Красновидово” для победителей Всероссийской олимпиады. (Среди преподавателей помимо А.Н. - П.С. Александров, В.И. Арнольд; в числе учеников школы немало сегодня известных математиков, в том числе недавно избранный действительным членом РАН Ю.В. Матиясевич, в студенческие годы решивший проблему Гильберта). По итогам зачетов ученики летней школы были зачислены в открытый 2 декабря 1963 г. Физико-математический школу-интернат № 18 Мосгороно при МГУ (Ныне это Специализированный учебно-научный центр МГУ имени А.Н. Колмогорова; в последние 15 лет появились новые профили - химия, биология, информатика).

С первых дней ФМШ А.Н. принимает активнейшее участие в жизни школы. Он - бессменный председатель Попечительского совета школы (идея такого совета, столь популярная сегодня, принадлежит ему). А.Н. в высшей степени добросовестно относился к этим своим обязан-

ностям, уделяя большое внимание воспитательным и организационным проблемам - отбору преподавателей, укреплению материальной базы, выпускникам школы в их студенческие и аспирантские годы. В течение 15 лет активной работы в школе (в 1978 г. болезнь резко ограничила подвижность и речь) А.Н. Колмогоров проводил многочисленные музыкальные и литературные вечера, ходил со школьниками в походы и даже писал статьи в стенгазету школы. Всей этой работе он придавал большое значение. А.Н. был убежден (основа позиции - это, несомненно, его личный опыт) в необходимости полноценной культурной жизни подростков, выбирающих своим поприщем науку.

Выдающийся вклад А.Н. Колмогорова в отечественную и мировую педагогику математики - его многочисленные курсы и отдельные лекции, которые он прочитал в ФМШ за многие годы работы.

В 1962 г. незадолго до создания школы он заметил: "Попробую, однако, сформулировать некоторые мечты, преследующие меня уже давно:

1. Привести общие логические основы современной математики в такое состояние, чтобы их можно было изложить в школе подросткам 14-15 лет"... [7].

“Колмогоровская реформа” математического образования 60-70-ых годов следовала этому тезису в ограниченной форме: в полной мере тезис не мог быть реализован в массовой школе. Но в ФМШ А.Н. в большой мере удалось решить поставленную им перед собой задачу.

Курсы, прочитанные А.Н. Колмогоровым в ФМШ, в совокупности представляют собой те самые “основы современной математики” для подростков, которые он мечтал создать. К сожалению, следует констатировать, что реконструкция этой необычайно ценной части его педагогического наследия - задача очень сложная и нерешенная.

А.Н. определенно не успевал фиксировать все те чрезвычайно оригинальные идеи, которые он обозначал в своих лекциях для учеников ФМШ. В архиве А.Н. сохранилось множество набросков и фрагментов лекций. Но завершенные тексты, как правило, отсутствуют. Исключений немного. Это брошюра “Введение в анализ” [8], содержащая развернутое изложение теории построения числа на основе аксиоматических скалярных величин, предложенной А.Н. Опубликован большой фрагмент в книге “Курс математики для физико-математических школ” [9]. Сохранился конспект чрезвычайно интересного курса геометрии, построенного на основе аксиом соединения. Большую работу по восстановлению математических практикумов, активно культивируемых А.Н., приводит В.В. Вавилов.

Подготовка к публикации и изданию педагогического наследия А.Н. Колмогорова - достойная задача математического сообщества.

Библиографический список

1. Найда О.Н. И.К. Кикоин и интернат при МГУ. В книге: И.К. Кикоин - физика и судьба. М.: Наука, 2008.

2. Семенов Н.Н. Заглядывая в завтрашний день. (Заметки по некоторым вопросам перестройки средней и высшей школы). Правда, 17-Х-1958.

3. Зельдович Я., Сахаров А. Нужны естественно-математические школы. Правда, 19-Х-1958.

4. Колмогоров А.Н. Школа и подготовка научных кадров. Труд, 10-XII-1958.

5. Лаврентьев М. Нужны ли специальные школы для “особо одаренных?” Правда, 25-XI-1958.

6. Лаврентьев М., Соболев С, Векуа И., Широков Д., Ляпунов А. Факел таланта, 24-111-1963.

7. Колмогоров А.Н. Поиск таланта. Известия, 7- IV-1963.

8. Колмогоров А.Н. Введение в анализ множеств. М.: Изд-во МГУ, 1966.

9. Колмогоров А.Н., Гусев В.А., Сосинский А.В., Шершевский А.А. Курс математики для физико-математических школ. М.: Изд-во МГУ, 1971.

О критерии k-рациональности геометрически рациональных поверхностей1

В.А. Исковских

1. Напомним, что гладкая проективная поверхность X над полем к называется геометрически рациональной (сокращенно ГРП), если над алгебраическим замыканием к поля к поверхность X := X <g>k к бирационально эквивалентна над к проективной плоскости . В другой терминологии ГРП - это бирациональная k-форма Р|. Простейшие примеры ГРП доставляют квадрики Х2 С Р|, не имеющие k-точек, например, Xq + ... + ж3 = 0 над полем вещественных чисел R. Бесконечно много бирациональных k-форм существует даже над конечным полем к = ¥я [1].

Возникает естественный вопрос (например, при изучении группы Кремоны Autkk(x,y)), при каких условиях ГРП X является k-рациональной, т.е. бирационально тривиальной k-формой? Ответ получается как побочный продукт бирациональной классификации ГРП-й над к и

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты 08 - 01 - 00395-а, 06 - 01 - 72017-МНТИ-а), а также Программы Президента РФ “Поддержка ведущих научных школ” (грант НШ—1987.2008.1).

факторизации k-бирациональных отображений между ними на элементарные линки (см. обзорные статьи [6, 9]). Прежде чем его сформулировать, дадим следующее важное

Определение. ГРП X над полем к называется к-минимальной (или просто минимальной, если ясно, о каком поле идет речь), если любой бирациональный k-морфизм / : X —> У на ГРП Y является к-изоморфизмом.

Теорема 1 (критерий к-рациональности). Пусть X - к-минимальная ГРП над совершенным полем к. Тогда X к-рациональна, если и только если выполняются следующие два условия:

(г) X имеет к-рациональную точку, т. е. Х(к) ф 0;

(И) К\ > Ъ, где Кх - канонический дивизор на X.

Этот критерий легко проверяем (по крайней мере условие (гг)) ввиду следующего результата о классификации k-минимальных моделей [5, 10].

Теорема 2. Пусть X - к-минимальная модель ГРП над произвольным полем к. Тогда X принадлежит одному из семейств:

(г) расслоения на коники; т. е. существует к-морфизм ф: X —> С на гладкую кривую рода нуль С с общим слоем - тоже гладкой кривой рода нуль Хи над k(u), v G С - общая точка, и выполнено условие на группу Пикара: Pic k(X) = if*Pic k(C) + Z; (гг) поверхности Дель Пеццо; т. е. —Кх обилен и выполнено условие на группу Пикара: Pic k(X) ~ Z, здесь К\ = 1, 2,..., 6, 8, 9.

В случае (г) Кх = 9 — г, где г - число геометрических особых слоев морфизма if, г = 0, 2, 3,..., так что К\ ^ 5 о г = 0, 2, 3.

Замечание. В теореме 1 условие (г) - это прежде всего арифметическое условие на поле k, поэтому его проверка бывает очень непростой, например, для глобальных полей к.

2. Цель этой заметки - набросать схему доказательства теоремы 1, поскольку, как уже отмечалось, она является следствием общей к-бирациональной теории ГРП-й и непосредственно не видно, как ее извлечь из этой теории.

2.1. Проверка достаточности условий (г) и (гг) теоремы 1. Это наиболее легкая часть критерия: надо доказать k-рациональность X при условиях Х(к) ф 0 и К\ ^ 5 для k-минимальной поверхности Х. По теореме 2 существуют две возможности:

(а) X —расслоение на коники. Так как Х(к) ф 0, то С (к) ф 0, т. е. С ~ ¥\. Из Кх ^ 5 следует, что г = 0, 2 или 3. Случай г = 1

невозможен, так как конфигурация ( —1)-кривых на X в этом случае состоит из 3-х Р1, только одна из которых пересекает две другие, значит, X не минимальна над к.

Случай г = 0. Здесь морфизм ip: X —> Р1 гладкий, значит X ~ Wn, где Wn - геометрически линейчатая поверхность, N = 0,1,.... Если N > О, то существует единственное сечение Sn С X с Sn = — N и Sn — Р£. В этом случае X Fn уже над к и, конечно, k-рационально. При N = О X Pj. X Pjt очевидно k-рациональна.

Случай г = 2. Здесь X не является k-минимальной. Действительно, по теореме Римана-Роха в классе дивизоров — 2F — Кх, где F -класс слоя морфизма ip : X —> Pfc, существует эффективный дивизор

определенный над k, такой, что = Е 0k к = Е\ U Е2 является несвязным объединением двух ( —1)-кривых. Следовательно, существует k-морфизм о". X —> Q С Р3 - стягивание кривой Е, где Q - квадрика в Р3. Так как Х(к) / Йи Е(к) = 0, то Q(k) ф 0. Стереографическая проекция из k-точки на Q является бирациональным отображением на Р|, так что X k-рациональна.

Случай г = 3. Здесь X также не k-минимальна. В классе —3F—2Kx существует кривая Е над к, такая что Е = Е\ U Е2 U Ез U е4 является несвязным объединением 4-х ( —1)-кривых. Бирациональный морфизм а : X —» Р| стягивания £^ и есть требуемое k-рациональное отображение.

(б) X— поверхность Дель Пеццо. Так как Кх = 5,6,8 и 9 и Х(к) ф 0, то при Кх = 8 и 9 поверхность X, очевидно, k-рациональна. Случай Кх = 7 исключается по той же причине не k-минимальности X из-за конфигурации 3-х ( —1)-кривых на Х. Случай К\ = 5 или 6 рассмотрены в [7] (см. также [6]). Идея состоит в том, что так как X k-минимальна и Pic (X) ~ %( — Кх), то ни одна из k-точек не лежит на объединении ( —1)-кривых. Действительно, если k-точка лежит только на одной (—1)-кривой, то эта кривая определена над /с и X не k-минимальна. Если k-точка лежит на пересечении 2-х ( —1)-кривых, то эта пара кривых определена над /с и по теореме Римана-Роха на X существует расслоение на коники, одним из слоев которого является эта пара пересекающихся ( —1)-кривых. На X с К\ = 5 и 6 не существует 3-х ( —1)-кривых, пересекающихся в одной точке.

Так как Х(к) ф 0, то существует, следовательно, k-точка, не лежащая на ( —1)-кривых. Проекция из касательной плоскости в этой точке является k-бирациональным отображением X на Р^ в случае К\ = 5 и на квадрику Q С Р3 в случае К\ = 6, что доказывает k-рациональность X.

2.2. Доказательство необходимости условий (г) и (гг). Необходимость (г) очевидна: так как X k-рациональна, то существует би-

рациональное k-отображение g: Р| --> X, следовательно, Х(&) 7^ 0. Доказательство (гг) - наиболее трудная часть критерия. Оно заключается в том, что, используя классификационную теорему 2, доказывается нерациональность над к всех k-минимальных поверхностей X с Кх ^ 4. Опять надо рассмотреть две возможности:

(а) Расслоения на коники. Если К\ = 3, то X не к-минимальна: существует ( —1)-кривая Е ~ — F — Кх, определенная над к. Во всех остальных случаях в [2, 3] и [4] доказано, что К\ является ^-бирациональным инвариантом и, следовательно, X не k-рациональна. Доказательство основано на разложении k-бирациональных отображений в композиции элементарных, называемых в [6] (где дано наиболее полное изложение) линками.

(б) Поверхности Дель Пеццо. В [8] доказано, что поверхность Дель Пеццо X с Picfc(X) — Z и Кх — 1,2,3 к-бирационально жестка, т. е. всякое бирациональное k-отображение ее на k-минимальную поверхность является после подкрутки на k-бирациональный автоморфизм k-изоморфизмом. В случае К\ = 1 она даже бирационально сверхжестка, т. е. не имеет никаких бирациональных k-отображений на минимальные модели, кроме изоморфизмов. Отсюда немедленно следует нерациональность над к таких поверхностей. Случай К\ = 4 изучен в [3]. Наиболее полное изложение указанных результатов с единой точки зрения двумерной теории Мори над полем к дано в [6].

Библиографический список

1. Исковских В.А. О бирациональных формах рациональных поверхнотей // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965. Т. 29. № 6. С. 1417-1433.

2. Исковских В.А. Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых // Матем. сб. 1967. Т. 74 (116). № 4. С. 608-638.

3. Исковских В.А. Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых и с положительным квадратом канонического класса // Матем. сб. 1970. Т. 83 (125). № 1. С. 90-119.

4. Исковских В.А. Бирациональные свойства поверхности степени 4 в Р4 // Матем. сб. 1972. Т. 88 (130). № 1. С. 31-37.

5. Исковских В.А. Минимальные модели рациональных поверхностей над произвольными полями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43. № 1. С. 19-43.

6. Исковских В.А. Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей с точки зрения теории Мори // УМН. 1996. Т. 51. № 4. С. 3-79.

7. Манин Ю.И. Рациональные поверхности над совершенными полями // Publ. Math. IHES. 1968. T. 30. С. 55-113.

8. Манин Ю.И. Рациональные поверхности над совершенными полями II // Матем. сб. 1967. Т. 72 (114). С. 161-192.

9. Манин Ю.И., Цфасман М.А. Рациональные многообразия: алгебра, геометрия, арифметика // УМН. 1986. Т. 1. № 2. С. 43-94.

10. Mori S. Threefolds whose canonical bundles are not numerically effective // Ann. Math. 1982. V. 115. P. 133-176.

Соответствие школьных учебников геометрии современным научным представлениям

А.Л. Вернер

Я хочу сопоставить точки зрения на эту проблему крупнейших наших математиков - А.Н. Колмогорова, А.В. Погорелова и А.Д. Александрова, которые реализовали свои точки зрения в написанных ими учебниках по геометрии для средней школы, а также и в целой серии журнальных статей. О том, как и чему следует учить в школе в курсе геометрии, любят говорить многие знаменитые математики, но до конкретной реализации своих идей дело у них доходит редко. А А.Н. Колмогоров, А.В. Погорелов и А.Д. Александров написали школьные учебники геометрии.

Сопоставление их точек зрения выявит те положения, в которых они были едины, а также и те моменты, в которых они расходились. Речь пойдет о систематическом курсе планиметрии.

Об этом курсе А.Н. Колмогоров в 1969 году писал: “В систематическом курсе планиметрии учащиеся должны ознакомиться с тем, что каждая корректно построенная математическая теория исходит из некоторого списка не определяемых формально основных понятий и аксиом, на основе которого все дальнейшие понятия отчетливо определяются, а дальнейшие предложения (теоремы) доказываются” [1, 2. С. 78].

В начале 70-х годов А.В. Погорелов в Предисловии для учителей своей книги “Элементарная геометрия” [3] написал: “ В основе предлагаемого курса геометрии лежит весьма немногочисленная система геометрических фактов, хорошо знакомых учащемуся и закрепленных в начальных классах школы... Речь идет о введении основных понятий и исходных положений, т.е. аксиом.” В конце этого Предисловия А.В. Погорелов выражает сердечную благодарность А.Н. Колмогорову за ценные замечания и советы, сделанные им в рецензиях на эту книгу.

А.Д. Александров в первой половине 80-х годов работал одновременно над курсом планиметрии для школы и монографией “Основания геометрии” [4]. В этой монографии он пишет: "Изложение геометрии в

школе должно начинаться с практики, с наглядных представлений, с геометрических построений, восходя отсюда к логическому развитию геометрии" ([4. С. 10]).

Итак, А.Н. Колмогоров, А.В. Погорелов и А.Д. Александров едины в том, что в основе школьного курса должна быть некоторая аксиоматика.

Пути, по которым, базируясь на своих аксиоматиках, идут А.Н. Колмогоров, А.В. Погорелов и А.Д. Александров, различны. В своих аксиоматиках А.Н. Колмогоров и А.В. Погорелов основными понятиями полагают точку, прямую и расстояние (а А.В. Погорелов и меру угла), убирая из планиметрии процесс измерения длины отрезка.

А.Д. Александров идет от практики, основными понятиями считает точку, отрезок и равенство отрезков и рассказывает о процессе измерения длины отрезка. Отношение равенства углов А.Д. Александров определяет через равенство отрезков. Сопоставляя подходы А.В. Погорелова и А.Д. Александрова к понятиям длины отрезка и меры угла, можно сказать так: А.В. Погорелов измеряет длину отрезка и меру угла с помощью готовых линейки и транспортира, а А.Д. Александров объясняет, как сделать линейку и транспортир.

Сравнивая далее построение планиметрии А.Н. Колмогоровым, А.В. Погореловым и А.Д. Александровым, можно отметить различия их подходов к понятию фигура (обстоятельный обмен мнений по этому вопросу произошел между А.Д. Александровым и А.Н. Колмогоровым в 1984 году в № 1 журнала “Математика в школе” в статьях “О понятии множества в курсе геометрии” и “Замечания о понятии множества в школьном курсе математики”), к отношению равенство фигур, к месту в курсе темы площадь, к роли и месту преобразований - перемещений (движений) и подобий, к геометрическим построениям, к понятию вектор [7-12]. Каждый из этих частных, но важных вопросов сам по себе заслуживает подробного обсуждения.

Появление векторов в школьном курсе геометрии - несомненное достижение колмогоровской реформы школьного курса геометрии. Понятие вектор А.Н. Колмогоров, А.В. Погорелов и А.Д. Александров в своих школьных учебниках излагают по-разному. А.Д. Александров подробно проанализировал различные подходы к этому понятию в школьных учебниках в своей обширной статье “Так что же такое вектор?” в журнале “Математика в школе” [9]. Используя векторный метод там, где он имеет явные преимущества перед другими методами, А.Д. Александров в то же время писал в [6]: "Реформаторы преподавания геометрии, говоря о координатном и векторном методах, упускали из виду, что сама геометрия содержит в себе метод - прямой геометрический метод пони-

мания, доказательства и решения задач и теорем: изобразить вопрос геометрически и увидеть его содержание и решение".

Отдельного разговора заслуживает вопрос о понимании А.Н. Колмогоровым, А.В. Погореловым и А.Д. Александровым строгости школьного курса геометрии. Говоря в 1968 году о новых программах по математике в № 2 журнала “Математика в школе” А.Н. Колмогоров в статье “К новым программам по математике” критиковал действующие тогда учебники геометрии [2. С. 70]. Вот что он писал: “Мы считаем, что практика преподавания геометрии в 6-8 классах часто направлена на создание лишь иллюзии ”строгости“. Преподаватели математики хорошо знают, что все научные системы изложения геометрии на основе аксиом сложны, а список употребляемых при этом аксиом длинен. Но в школьной практике укоренился обычай указывать лишь ”примеры аксиом“. Список этих примеров до смешного короток.” В учебнике А.Н. Колмогорова [7] формулируются все аксиомы его аксиоматики планиметрии (их более десятка) и считается, что известно понятие действительного числа, но число утверждений, оставленных без доказательства, велико. В связи с этим А.Д. Александров в статье “О геометрии” писал: "Логика геометрии заключена не только в отдельных формулировках и доказательствах, но во всей их системе в целом. Смысл каждого определения, каждой теоремы, каждого доказательства определяется в конечном счете только этой системой, которая и делает геометрию целостной теорией, а не собранием отдельных определений и утверждений. Это, заключенное в геометрии понятие о точной науке с ее строго разворачивающейся системой выводов так же существенно, как и точность в каждом выводе.

Геометрия так и должна быть преподана - с возможно большей строгостью всей системы. При этом надо понимать, что абсолютной строгости вообще не существует, и потому задача преподавания состоит в том, чтобы, приняв некоторый уровень строгости и определенную систему предпосылок, разворачивать на ее основе последующее изложение. Всё существенное в курсе следует доказывать на принятом уровне строгости и не допускать логических перерывов, по крайней мере в основных линиях курса."

И далее: “В уважении к истине, в требовании доказательства заключается чрезвычайно важный нравственный момент. В простейшей, но очень важной форме он состоит в том, чтобы не судить без доказательств, не поддаваться впечатлениям, настроениям и наветам там, где нужно разобраться в фактах.”

А ранее в той же статье, говоря том, что нет большой беды, если ученик не может произнести точного определения какого-либо объекта, А.Д. Александров пишет: "У математиков XVII-XVIII вв. не было точ-

ных определений ни функции, ни предела, ни самого переменного ж, но они действовали с замечательным успехом (вспомним хотя бы Эйлера)." А.Д. Александров спрашивал: А нужно ли в школьном учебнике геометрии стремится к тому уровню строгости, который не нужен был Гауссу и Лобачевскому? Он имел в виду аксиомы порядка и непрерывности.

А.В. Погорелов начинает свой учебник геометрии [10] с формулировки полной системы аксиом планиметрии (в [10] они сначала называются основными свойствами) и затем, опираясь на них, доказывает теоремы. О своем курсе элементарной геометрии А.В. Погорелов в [3] писал так: “Весь многовековой опыт преподавания элементарной геометрии со времен Евклида доказывает рациональность традиционной системы. Ее совершенствование, связанное с общим развитием науки, нам кажется, не должно касаться ее разумных и глубоко продуманных основ. Поэтому предлагаемый курс, в основном традиционный, отличается только более строгим изложением предмета и некоторой переоценкой значения его отдельных частей.” И первой теоремой, доказанной в [10], является теорема, о том, что пересекая одну из сторон треугольника прямая пересечет и другую его сторону (утверждение аксиомы Паша). Этот пример демонстрирует, какого уровня строгости стремился достичь А.В. Погорелов в школьном учебнике геометрии. И в то же время вторую теорему он формулирует так: Сумма смежных углов равна 180°. А если уж выдерживать тот уровень строгости, то следовало бы сказать, что сумма градусных мер смежных углов равна 180°.

И в вопросе о роли курса геометрии в средней школе мнения А.Н. Колмогорова, А.В. Погорелова и А.Д. Александрова были различными.

А.Н. Колмогоров, как следует из цитированного ранее его высказывания о курсе геометрии, смотрел на этот курс как на одну из корректных построенных математических теорий, и даже думал о поглощении этого курса общим курсом математики. Он писал: “Внутри математики почти во всех странах уже исчез выделенный курс геометрии. Возможно, что и нам разумно пойти по этому пути” [13. С. 138].

А.В. Погорелов в школьном курсе геометрии выделял его логичность. Учителей он ориентировал так: “Предлагая настоящий курс, мы исходили из того, что главная задача преподавания геометрии в школе - научить учащегося логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из оканчивающих школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать” [3].

Точка зрения А.Д. Александрова такова: “Преподавание геометрии должно включать три тесно связанных, но вместе с тем и противоположных элемента: логику, наглядное представление, применение к реальным вещам. Этот ”треугольник“ составляет, можно сказать, душу преподавания геометрии. Задача преподавания геометрии - развить у учащихся соответствующие три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление” [6].

Как видите, три крупнейших математика, об учебниках геометрии которых я сейчас говорил, стремились сделать свои учебники соответствующими современным научным представлениям. Это соответствие, как в целом, так и в деталях (например, в определении понятия вектор), они понимали по-разному, но не считали свою точку зрения “единственно верной и подлинно научной”.

А.Н. Колмогоров и А.Д. Александров многие годы руководили секцией математики Ученого методического совета Министерства Просвещения. Они с большим тактом и пониманием трудностей работы авторов учебников обсуждали в присутствии авторов учебников и рецензентов рукописи новых учебников. А об этих трудностях они знали и потому, что сами были авторами учебников. И хотя взгляды авторов учебников далеко не всегда соответствовали взглядам А.Н. Колмогорова и А.Д. Александрова, они не препятствовали их изданию. Они понимали, что главные рецензенты учебников - это учителя.

Выступить с докладом на тему “Соответствие школьных учебников геометрии современным научным представлениям” побудили меня следующие обстоятельства: 28 сентября 2007 года подкомиссия Экспертной комиссии РАН по анализу и оценке содержания учебной литературы при ОМ РАН (председатель подкомиссии - академик В.А.Васильев) постановила, что учебник “Геометрия. 10” (авторы - А.Д. Александров, А.Л. Вернер и В.И. Рыжик) не соответствует современным научным представлениям, а в № 4 газеты “Математика” в феврале 2008 года академик В.А. Васильев в интервью главному редактору этой газеты Л.О. Рословой сказал, что этот учебник “хорошо было бы переписать с начала до конца” (интересно, кто, по мнению академика Васильева, стал бы его переписывать?).

Столь строгий вердикт академик В.А. Васильев вынес, опираясь на две рецензии, одну из которых он назвал “некондиционной”, а другую написал сам. С его “кондиционной” рецензией соавторы А.Д. Александрова ознакомили несколько академиков. Вот что, в частности, о рецензии В.А. Васильева написал геометр академик Ю.Г. Решетняк: "замечания, послужившие основой для столь категорических выводов, представляют собой утверждения, либо никак не обоснованные, либо ошибочные

в математическом смысле, либо имеют характер явных придирок или же касаются отдельных погрешностей технического характера, которые безусловно будут приняты авторами во внимание и для оценки книги несущественны".

Почему же такое происходит? Из того интервью, о котором я уже говорил, можно узнать, что в подкомиссии фактически работает один человек - академик В.А. Васильев, и что за год он прочитал 34 учебника. Ясно, какого качества могут быть его рецензии. Ну какое может быть несоответствие современным научным представлениям, например, в учебнике алгебры для 7 класса Ш.А. Алимова и его соавторов? По этому учебнику десятки лет работают по всей стране и никто ничего не видел? А появился академик В.А. Васильев и нашел несоответствие этого учебника современным научным представлениям. В.А. Васильев сейчас обладает монополией на право судить о непригодности учебника. Не хочется напоминать, сколь печальными могут быть последствия, когда один человек обладал монополией на истину.

Современным научным представлениям должны соответствовать прежде всего Стандарты образования. А учебники уже должны соответствовать Стандартам, а не личным вкусам и пристрастиям одного человека. Сейчас же, если говорить о геометрической части Стандартов, в них много явно архаичного материала, связанного с многоугольниками и окружностями, а более современные разделы (например, преобразования), оказываются на втором плане. А ведь в учебнике А.Н. Колмогорова преобразования были на первом плане, и этого не стоило бы терять. Очень жалко, что эта линия сейчас фактически потеряна в наиболее распространенных школьных учебниках геометрии. Стоило бы издать последний вариант учебника геометрии, написанного А.Н. Колмогоровым и его соавторами, в котором линия преобразований - ведущая.

А.Н. Колмогоров, А.В. Погорелов и А.В. Александров были подлинными учеными и в своей педагогической деятельности - возможность и необходимость разных подходов в современном понимании школьного курса геометрии была им очевидна. До того как приступить к написанию своих учебников геометрии они создали много книг, прекрасных как в научном, так и педагогическом отношении. Напомню, например, о коллективном труде - трех томах “Математика, ее содержание, методы и значение”, главы в которых были написаны крупнейшими математиками прошлого века, а редакционной коллегия была такова: А.Д. Александров, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев. А.В. Погорелов написал все геометрические курсы для университетов и пединститутов: сначала дифференциальную геометрию, затем аналитическую геометрии, а потом - основания геометрии. По этим книгам училось наше поколение.

И после того, как А.В. Погореловым и А.Д. Александровым были написаны школьные учебники, они снова написали учебники геометрии для вузов.

Завершая свой доклад, я хочу сказать, что А.Н. Колмогоров, А.В. Погорелов и А.В. Александров своим отношением к проблеме школьного учебника геометрии показали нам пример, и тем, кто причастен к этой проблеме, надо стремиться следовать их примеру. А написанные А.Н. Колмогоровым, А.В. Погореловым и А.Д. Александровым учебники геометрии - этот золотой фонд нашего математического образования - надо бережно сохранить и издать последний вариант учебника геометрии А.Н. Колмогорова.

Библиографический список

1. Колмогоров А.Н. Новое в школьной математике. 'М.: Наука и жизнь, № 3. С. 62-66.

2. На путях обновления школьного курса математики. Сборник материалов и статей. М.: Просвещение, 1978.

3. Погорелов А.В. Элементарная геометрия. М.: Наука, 1974.

4. Александров А.Д. Основания геометрии. М.: Наука, 1987.

5. Александров А.Д. Начала геометрии. СО АН СССР, Институт математики, Новосибирск, 1981 (препринт).

6. Александров А.Д. О геометрии. Математика в школе, 1980. № 3. С. 56-62.

7. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия 6-8. М.: Просвещение, 1979.

8. Александров А.Д. Величины и фигуры. СО АН СССР, Институт математики, Новосибирск, 1981 (препринт).

9. Александров А.Д. Так что же такое вектор? Математика в школе, 1984. № 5. С. 39-45.

10. Погорелов А.В. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 2004.

11. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 2003.

12. Александров А.Д. Отображения. СО АН СССР, Институт математики, Новосибирск, 1983 (препринт).

13. Колмогоров А.Н. К обсуждению работы по проблеме “Перспективы развития советской школы на ближайшие тридцать лет”. В сборнике “Математика в образовании и воспитании”. С. 138.

14. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 10. М.: Просвещение, 2005, изд. 3, серия “Академический школьный учебник”.

15. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 11. М.: Просвещение, 2006, изд.З, серия “Академический школьный учебник”.

Разработка программ по математике для направления подготовки “Техника и технологии” Федерального государственного образовательного стандарта третьего поколения высшего профессионального образования

А.С. Поспелов, С.А. Розанова, Т.А. Кузнецова

Федеральный государственный образовательный стандарт третьего поколения высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) должен служить комплексной федеральной нормой качества высшего образования. Отличительной особенностью российской высшей технической школы всегда был высокий уровень математической и естественнонаучной (фундаментальной) подготовки выпускников. Проблема состоит в том, чтобы сохранить этот высокий уровень. На хорошей математической и естественнонаучной базе строится профессиональная подготовка для технических специальностей. В современных условиях фундаментальная подготовка приобретает существенное значение, так как именно она определяет способность разрабатывать и реализовывать технологические процессы, основанные на новых научных принципах, позволяет успешно работать в новых быстро развивающихся областях естественных наук и, наконец, именно хорошая фундаментальная подготовка обеспечивает выпускнику возможность самостоятельно приобретать знания в новых областях науки и техники. В стандарте третьего поколения сформулированы следующие требования, которые должны быть учтены при разработке новых программ.

Требования к освоению основных образовательных программ по математике подготовки бакалавра для направления “Техника и технологии”

Критериями освоения основных образовательных программ ФГОС третьего поколения будут служить компетенции (компетенция - способность решать проблемы в определенной области деятельности). Выпускник в результате освоения основных образовательных программ (ООП) по математике должен обладать следующими компетенциями:

1. универсальными:

• общенаучными:

ОНК-1 - способность использовать в познавательной и профессиональной деятельности базовые знания в области математики;

ОНК-2 - способность приобретать новые математические знания, используя современные образовательные и информационные технологии;

ОНК-3 - способность использовать математическую логику для формирования суждений по соответствующим профессиональным, социальным, научным и этическим проблемам;

ОНК-4 - владение методами анализа и синтеза изучаемых явлений и процессов;

• инструментальными:

ИК-1 - способность применять знания на практике, в том числе составлять математические модели типовых профессиональных задач и находить способы их решений; интерпретировать профессиональный (физический) смысл полученного математического результата;

ИК-2 - готовность применять аналитические и численные методы решения поставленных задач (с использованием готовых программных средств) ;

• социально-личностными:

СЛЦ-1 - обладать математической культурой как частью профессиональной и общечеловеческой культуры;

СЛЦ-2 - обладать способностью проводить доказательства утверждений, как составляющей когнитивной и коммуникативной функции;

2. профессиональными:

ОПК-1 - способность обосновывать правильность выбранной модели, сопоставляя результаты экспериментальных данных и полученных решений;

ОПК-2 - готовность использовать математические методы обработки, анализа и синтеза результатов профессиональных исследований.

Требования к структуре математического цикла ООП бакалавра

Приказом № 4 Минобрнауки РФ от 12.01.2005 года утвержден “Перечень направлений подготовки (специальностей) высшего профессионального образования” квалификации “бакалавра”, “магистра” и “специалиста”. Нормативный срок освоения ООП для степени бакалавра составляет 4 года, для степени магистра - 2 года, для специалиста - 5 лет.

Представленные требования определяют минимальные требования к содержанию и уровню освоения базовой части дисциплины ООП. Учитывая, что математический цикл формирует математическую и естественнонаучную культуру выпускника, необходимо в ООП сохранить целостность дисциплин. В связи с этим содержание дисциплин (перечень основных разделов) должно оставаться одинаковым для различных направлений подготовки. Различные направления будут требовать

различный уровень проработки разделов курса и, в связи с этим, различную планируемую трудоемкость курса.

Общая трудоемкость ООП подготовки бакалавра составляет 240 зачетных единиц (одна зачетная единица эквивалентна 25-27 астрономическим часам или 33-36 академическим часам работы студента, включая его аудиторную, самостоятельную работу и все виды аттестаций).

Учитывая общие требования к структуре программ, рабочая группа Научно-методического совета по математике Минобрнауки РФ в части ООП по математике для подготовки бакалавров по направлению “Техника и технологии” предлагает следующее.

1. Укрупнить группы направлений подготовки бакалавров, например, 120000 - Геодезия и землеустройство; 170000 - Оружие и системы вооружений; 220000 - Автоматизация и управление; 220400 - Прикладная математика; 280000 - Техносферная безопасность, природоустройство и гидрометеорология.

2. Учесть таблицы учебного цикла.

Код УЦ ООП

Учебные циклы

Трудоемкость (зач.ед.)

Б.1

Гуманитарный, социальный и экономический цикл (ГСЭ)

30

Базовая часть (66%)

20

Б.2

Математический и естественнонаучный цикл (МиЕН)

70

Базовая часть (70%)

49

Б.З

Профессиональный цикл Базовая часть (40%)

120

44

Б.4

Физическая культура

2

Б.5

Профессионально-ориентированная практика

6

Б.6

Итоговая государственная аттестация

12

Общая трудоемкость

240 з.е.

Примечание. Суммарная трудоемкость базовых составляющих учебных циклов ООП Б.1, Б.2 и Б.3 составляет 50% от общей трудоемкости указанных УЦ ООП.

3. Сформировать программы с учетом следующего перечня.

Перечень дисциплин курса “Математика” цикла Б.2 ООП (базовая часть)

1. Основной курс

Дисциплина

Семестр

Трудоем.

Аналитическая геометрия с элементами линейной алгебры

1

4

Основы математического анализа

1-2

8

Обыкновенные дифференциальные уравнения

2

2

Дискретная математика

3

2

Теория вероятностей с элементами математической статистики

4

4

Численные методы (на базе МАТЛАБ)

3-4

2

ИТОГО: 22 з.е.

2. Углубленный курс

Дисциплина

Семестр

Трудоем.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1

5

Математический анализ

1-3

12

Дифференциальные уравнения

3

3

Дискретная математика

2

2

Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

4

5

Методы оптимизации

5

2

Основы теории функций комплексного переменного

4

3

Численные методы

2-4

3

ИТОГО: 34 з.е.

3. Вариативная часть

Элементы функционального анализа (3 з.е.). Уравнения математической физики (3 з.е.). Математическая логика (3 з.е.).

Вариационное исчисление и оптимальное управление (3 з.е.).

В результате изучения основного курса математики выпускник должен

знать:

основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, дискретной математики, теории дифференциальных уравнений и элементов теории уравнений математической физики, теории вероятностей и математической статистики;

уметь:

применять математические методы при решении типовых профессиональных задач; владеть:

методами построения математических моделей типовых профессиональных задач и содержательной интерпретации полученных результатов.

Повышенный уровень (углубленный курс) изучения математики предполагает изучение на более высоком уровне перечисленных выше разделов и изучение дополнительных к базовому уровню разделов: теория функций комплексной переменной; случайные процессы.

В результате изучения математики на повышенном уровне выпускник должен

знать:

основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, элементов математической логики, дискретной математики, теории дифференциальных уравнений и элементов теории уравнений математической физики, теории вероятностей и математической статистики, случайных процессов, статистического оценивания и проверки гипотез, статистических методов обработки экспериментальных данных, элементов теории функций комплексной переменной;

уметь:

применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности; владеть:

методами построения математических моделей профессиональных задач и содержательной интерпретации полученных результатов.

Продвинутый уровень изучения математики (вариативная часть) требует не менее 6 зачетных единиц и предполагает изучение дополнительных к базовому и повышенному уровню разделов: математическая логика; элементы функционального анализа; вариационное исчисление и оптимальное управление.

В настоящее время рабочая группа НМС по математике под руководством Л.Д. Кудрявцева продолжает работу над программами по математике для различных направлений ФГОС ВПО.

Рекомендуемая литература:

Основная

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994 (2003).

2. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 2000.

3. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1985 (Альянс, 2007).

4. Бугров Я. С, Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1984 (Дрофа, 2006).

5. Бугров Я.С, Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1988 (Дрофа, 2007).

6. Бугров Я. С, Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. М.: Наука, 1985 (Дрофа, 2005).

7. Бугров Я.С, Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. М.: Наука, 1982. (Физматлит, 2001).

8. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Т.Н., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Наука, Физматлит, 2001.

9. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Т.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. М.: Наука, Физматлит, 2001.

10. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2007.

11. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1993.

12. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: учебник для вузов, М.: Наука, 2000.

13. Владимиров К. С, Жаринов В.В. Уравнения математической физики: задачник для вузов, М.: Наука, 2000.

14. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 (Лань, 2008).

15. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1998 (Высшее образование, 2008).

16. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения, М.: Наука, 1979.

17. Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Решебник. М.: Высшая математика, Физматлит, 2001.

18. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2007.

19. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2007.

20. Коваленко И.H., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1982.

21. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Шикин Е.В., Заляпин В.И. Вся высшая математика: Учебник. Т. 1-Т. 6. Издательство УРСС, 2002.

22. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1, 2. Альфа, 1998 (Физматлит, 2005).

23. Кудрявцев Л.Д., Кутасов АД., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М.: Физматлит, 2003.

24. Кудрявцев Л Д., Кутасов АД., Чехлов В. И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т. 2. Интегралы. Ряды. М.: Физматлит, 2003.

25. Кудрявцев Л.Д., Кутасов АД., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т. 3. Функции нескольких переменных. М.: Физматлит, 2003.

26. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) М.: Высшая школа, 1986 (Лань, 2008).

27. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергоатомиздат, 1988.

28. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Наука, 1994.

29. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Питер, 2002.

30. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1995.

31. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. А.В. Ефимова, Поспелова А.С. М.: Физматлит. Ч. 1-4, 2001-2004.

32. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1999 (Физматлит, 2001).

33. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Наука, 1980.

34. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 1-2. С-Пб.: БХВ-Петербург, 2008.

35. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1993.

36. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1985.

37. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.

38. Чудесенко В. Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. М.: Лань, 2005.

39. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

Дополнительная

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1986.

2. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999.

3. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М.-С-Пб.: Лань, 2008.

4. Асанов М.О., Баранский В.А., Расин В.В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы. - Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2001.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Р.М. Численные методы М.-С.-Пб.: Физматлит, 2002.

6. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2007.

7. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чурбанов И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Наука, 1987.

8. Васильева А.Б., Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения. М.: Физматлит, 2005.

9. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1982 (Лань, 2004).

10. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Арамонович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Физматлит, 2002.

11. Высшая математика. Специальные главы (методы линейной алгебры, математического анализа, теории вероятностей, математической статистики). Под ред. С.А. Розановой. М.: Физматлит, 2008.

12. Геворкян П.С. Высшая математика. Т. 1-3. М.: Физматлит, 2008.

13. Зорич В.А. Математический анализ. Т. 1. 1997. Т. 2. 1998 (МЦНМО, 2007).

14. Ибрагимов Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Н-Н.: Изд-во НГУ им. Н.И. Лобачевского, 2007.

15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука. Ч. 1, 1980. Ч. 2, 1982 (Физматлит, 2008).

16. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. М.: Наука, 1998.

17. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

18. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа, 1983.

19. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа. Т. 1,2, 1998. Т. 3, 1999 (Дрофа, 2003).

20. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. М.: Наука, 1984.

21. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Наука, 1982.

22. Мухачева Э.А., Рубинштейн Г.Ш. Математическое программирование. Новосибирск, Наука, 1987.

23. Мысовских И.П. Лекции по методам вычисления. 2-е изд. М.: Наука, 1994 (учебное пособие).

24. Наумов В.А. Руководство к решению задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Наука, 1993.

25. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.: Изд. МАИ, 1993.

26. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Т. 1, 2, Физматлит, 2001.

27. Петрова В. Т. Лекции по алгебре и геометрии. Т. 1 и 2. М.: Владос, 1999.

28. Плис А.И., Сливина Н.А. MATHС.А.D: Математический практикум для экономистов и инженеров. М.: Финансы и статистика, 1999.

29. Розанов Ю.А. Лекции по теории вероятностей. М.: Наука, 1985.

30. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. М.: Физматлит, 2000.

31. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982 (ИКИ, 2004).

32. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2007.

33. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Физматлит, 2002.

34. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. М.: Академия, 2008.

Роль и место задач в процессе обучения математике студентов нематематических специальностей

Н. Минур, В. И. Михеев

Математика как учебный предмет, занимает одно из центральных мест в образовании, она призвана внести свой вклад в достижение следующих целей обучения:

1) знакомство с основами наук - получение прочного и базового образования;

2) обеспечение всестороннего и целостного развития личности учащегося всеми средствами учебных предметов;

3) обеспечение умственного развития учащихся;

4) развитие речи учащегося средствами каждого учебного предмета;

5) рассмотрение возможностей интеграции обучения за счет создания интегрированных предметов;

6) необходимость широкого включения принципов политехницизма в учебно-воспитательный процесс;

7) обеспечение всех форм дифференцированного обучения по каждому учебному предмету;

8) эстетическое воздействие средствами всего комплекса учебных дисциплин [2. С. 11].

Говоря, о задачах обучения математике учащихся Б.В. Гнеденко писал “... Для всех учащихся необходимо получить сведения об установившихся научных концепциях и приобрести твердые основы научных знаний и, кроме того, умение логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Школа должна дать привычку к систематическому труду и представление о том, что наука и ее концепции тесно связаны с практикой, из которой она черпает постановки своих проблем, новые цели, новые идеи, а затем сторицей возвращает практике новые решения основных ее проблем, создает для нее общие методы. Без этого образование будет неполноценным, оторванным от жизни и создаст для воспитанников школы многочисленные трудности ”[1. С. 48 ].

Исходя из точки зрения Б.В. Гнеденко, выдвигаем целые ряд целей обучения математике студентов нематематических специальностей, связных с реализацией прикладной направленности этого обучения и реализацией идей межпредметных связей.

Активизации самостоятельной познавательной деятельности студентов при изучении курса высшей математики способствует эффективное использование учебных задач, которые являются важнейшим средством формирования у студентов системы математических знаний, умений и навыков.

Об эффективности применения задач в обучении математике во многом зависит и степень подготовленности студентов к последующей за обучением практической деятельности в любой сфере производства, народного хозяйства и культуры.

В самом деле, все в большей и большей степени от работника требуются не только фундаментальные общие и специальные знания, но и способность трудиться творчески, проявить деловую инициативу, способность к непрерывному самообучению и самообразованию. Именно

эти качества человека обуславливают успешность его адаптации к многообразию и динамике современного производства. Решая математические задачи, представленные в продуманной математической системе, учащиеся не только активно овладевают содержанием курса высшей математики, но и приобретают умения мыслить творчески. Это проявляется, например, в умении видоизменить ситуацию задачи с целью создания условий применимости того или иного метода, приема; в умении изобретать новые приемы для решения задач; в умении выделять и накапливать потенциально полезную информацию; в умении конструировать на базе данной задачи новые; в умении осуществлять самоконтроль, исследовать результат решения и т.п.

Поэтому можно утверждать, что педагогические основы использования задач для реализации межпредметных связей в современном обучении правомерно являются предметом специальных исследований в области методики обучения математике (равно как и методики обучения, другим учебным предметам естественно-математического цикла).

В рамках решения этой проблемы методическая система требует серьезного совершенствования задач курса высшей математики, так как система задач, представленная в учебниках и учебных пособиях по математике, в должной мере не отвечает современным целям обучения, воспитания и развития учащихся, а методика использования задач в полной мере не реализует заложенные в процессе их решения студентами возможности.

Проблема постановки задач в процессе обучения математике до сих пор не нашла удовлетворительного решения, ни с точки зрения содержания учебных задач, ни с точки зрения их целевого назначения, ни с точки зрения числа обязательных или необязательных задач (для реализации той или иной цели обучения) или представления их в виде целостной системы.

Так, для практики обучения математике до сих пор характерно: - стандартизация содержания и методов решения задач, проявляющаяся в узком понимании преподавателями роли и дидактического назначения математической задачи в процессе обучения; в стремлении решить со студентами возможно большее число задач в ущерб их обучающему качеству; в излишнем внимании преподавателей к процедуре оформления решения задачи, не к процессу решения; в наличии большого числа задач, направленных на формирование таких умений и навыков, которые в современной практической деятельности почти не применяются, а в деятельности недалекого будущего будут осуществляться автоматическими устройствами; в традиционном характере форм постановки задач, формулировок их условии, оформлении их решений и т.п.;

- несовершенство методики обучения решению задач и методики обучения математике через задачи, проявляющееся в обучении студентов решению задач преимущественно по образцу; в отсутствии целенаправленной работы преподавателя по формированию у студентов умения критически оценивать ход решения задачи и осуществить проверку полученного результата; в канонизации приемов коллективного решения поставленной задачи; в использовании задач преимущественно лишь для закрепления готовых знаний или их повторения; в узко проверочном характере контрольных и самостоятельных работ; в отсутствии четких критериев дидактической значимости каждой задачи курса высшей математики и достаточности числа задач, предлагаемых учащимся для достижения реализуемой через них цели обучения и т.д.;

- несоответствие постановки задач и их решений закономерностям развивающегося математического мышления, проявляющееся в отсутствии в курсе высшей математики задач, решение которых подготовило бы студентов к деятельности, характерной для современного производства (рационализация и контроль, управление, изобретательство и т.п.), т.е. к деятельности творческого характера; в отсутствии в курсе высшей математики задач, в процессе решения которых было бы возможно формирование у студентов важнейших мыслительных умений: выделять существенное, обобщать, анализировать, моделировать, осуществлять мысленный эксперимент и т.п.; в использовании задач только для контроля фактических знаний учащихся, а не уровня их математического развития; в однообразной типологии задач курса высшей математики и т.д.

Неэффективность использования задач в процессе обучения курса высшей математики отрицательно сказывается на качестве обучения математике в целом.

В связи с этим уместно напомнить высказывание известного педагога-математика Д. Пойа: "Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности.

Поэтому первая и самая главная обязанность курса математики состоит в подчеркивании методической стороны процесса решения задач" [5. С. 16].

В практике обучения курса высшей математики, говоря о роли и месте задач в обучении математике, как правило, подразумевают только обучающий аспект решения задач. Критический анализ, имевший и имеющий место педагогических подходов к использованию задач в обучении математике, показывает, что до сих пор решение определенных

типов математических задач либо выступает в качестве локальной цели обучения математике, либо рассматривается как средство сознательного усвоения учащимися программного материала. Задачи выступают в явном виде как средство целенаправленного математического развития учащихся, формирования у них познавательного интереса и самостоятельности, развития математических способностей, средство формирования диалектико-материалистического мировоззрения, воспитания нравственных качеств личности.

Таким образом, роли и месту математических задач в системе воспитания, в формировании математического развития учащихся в практике массового обучения математике придается второстепенное, вспомогательное значение. Последнее, особенно ярко просматривается в процессе использования задач как средства контроля и оценки знаний; задачи выступают в качестве ведущего средства контроля и оценки фактических математических знаний, умений и навыков и почти не используются для контроля других компонентов математического развития или элементов воспитания.

Между тем значимость математических задач в обучении может быть раскрыта по существу лишь тогда, когда будут выявлены роль и место задач во всей системе образования, в единстве реализуемых при этом целей обучения, воспитания и развития учащихся, реализуемых системой общеобразовательной и профессиональной подготовки учащейся к труду в условиях современного производства.

Проблема целенаправленного математического развития студентов правомерно оказалась в числе важных проблем современной педагогической психологии, дидактики и методики математики.

В опыте работы передовых преподавателей новизна в методах обучения математике (да и вообще любому учебному предмету) проявляется, прежде всего в том, что основной акцент ставится не на запоминание студентами учебной информации, а на ее глубокое понимание, сознательное и активное усвоение, на формирование у студентов умения самостоятельно и творчески применять эту информацию в рамках практики.

Общепризнанна тесная связь мышления и процесса решения задач. Она конкретизирована в высказывании известного советского психолога О. К. Тихомирова о том, что “мышление психологически выступает как деятельность по решению задачи” [6. С. 293]. И хотя мышление не отождествляется с процессом решения, однако, правомерно утверждать, что формирование, мышления эффективнее всего осуществляется через решение задач. Именно в ходе решения математических задач самым естественным, способом можно формировать у студентов эле-

менты творческого математического мышления наряду с реализацией непосредственных целей обучения математике. В свою очередь целенаправленное развитие математического мышления учащихся предполагает наличие в курсе высшей математики определенной методической системы задач, постановки и процесс решения которых хотя бы локально отвечали характеристике развивающегося математического мышления. Английский кибернетик Д.М. Маккей установил четыре основные черты, отличающие “интеллект от простой способности вычислять” [4. С. 290]:

1) способность успешно перерабатывать и объединять информацию в зависимости от ее значимости;

2) способность совершать пробные действия, поиск и переходы, не вытекающие из наличной информации (т.е. совершать “скачок через разрыв, существующий в данных”);

3) способность управлять поисковым и исследовательским процессом, руководствуясь “чувством близости решения”;

4) способность рассматривать ограниченный, но достаточно большой ряд положений и заключений, совместных с данным положением.

В высказываниях Д.М. Маккея нетрудно усмотреть определенную характеристику целей “обучения через задачи” (включающую и способность к актуализации знаний); исходя из этих целей, можно подвергнуть полезным изменениям и методику обучения решению задач.

Развивая одно из ведущих положений В.В. Давыдова о том, что содержание и методы обучения проектируют соответствующий тип мышления [3. С. 4-5], правомерно утверждать, что методическая система учебных математических задач проектирует соответствующий ей тип математического мышления.

С современной точки зрения учение не сводится лишь к осмысленному усвоению и сохранению в памяти учебной информации; оно заключается скорее в усвоении поиска и решения познавательных проблем, чем в познании отдельных фактов или даже системы фактов. Последнее — лишь строительный материал для весьма сложных мыслительных процессов, в ходе и результате которых у учащихся формируются качества, называемые образованностью, воспитанностью и развитостью.

Вот почему в системе современных методов и форм обучения математике задачам отводится важнейшая роль. Каким бы ни был выбранный преподавателем комплекс средств, способов и приемов для реализации той или иной конкретной цели обучения, невозможно себе представить, чтобы в нем не нашла место постановка задач, органически связанных с изучением программного материала, направленная не только

на его эффективное усвоение студентами, но и способствующая их воспитанию и развитию.

Характерная для настоящего времени тенденция к повышению роли проблемного обучения свидетельствует о том, что решение задач правомерно занимает все более ведущее место в обучении математике, нередко определяя его формы и методы, в которых основной акцент ставится на самостоятельное и творческое усвоение студентами учебного материала, на формирование их математического развития.

Библиографический список

1. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. М.: Просвещение, 1982.

2. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. - М.: Изд-во Вебум-М, 2003. - 432 с.

3. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении (логико-психологические проблемы построения учебных предметов). М., 1972.

4. Маккей Д.М. Основные направления исследований психологии мышления / Под ред. Е.В. Шороховой . М., 1966.

5. Пойа Д. Математическое открытие. М., 1970.

6. Тихомиров О.К. Структура мыслительной деятельности человека. М., 1969.

А.Н. Колмогоров и философия математики

А.К. Кудрин

В настоящее время ведутся интенсивные исследования по общей философии науки и по философии отдельных отраслей научного познания: философии физики, философии химии, философии биологии, философии географии, философии социально-гуманитарного познания и многих других наук. Особое место среди последних занимает философия математики.

Общая философия науки как особая область исследований зародилась в конце XIX века и получила активное развитие в XX веке в связи с кризисными и революционными явлениями в фундаментальных науках, таких как физика, биология, математика. Общая философия науки ставит и стремится решить такие проблемы, как: Что такое наука? Когда она возникла? Каковы критерии научности знания? Каковы место и ценность науки в системе культуры? Каковы формы, уровни и методы научного познания? Каковы исторические типы науки и их основания,

нормы и идеалы? Каковы закономерности развития науки? и многие другие проблемы, полный список которых дать довольно трудно.

Философия отдельной научной дисциплины, конечно, опирается на результаты общефилософского анализа научного познания, но в то же время ставит и стремится решить специфические для данной науки проблемы, такие как: Каковы объект и предмет данной науки? Каковы специфические методы данной научной дисциплины? Каковы место и роль данной науки в системе наук и в системе культуры в целом? и ряд других философских проблем.

Философия математики исследует такие вопросы: происхождение математики как науки, природа математического познания и отношение математического знания к реальной действительности, объект и предмет математики как науки, проблема обоснования надежности, достоверности и строгости математических теорий и математических доказательств, закономерности развития математической науки, универсальность математики и ее отношение к другим наукам, ее место во всей системе наук и многие другие вопросы.

Трудно перечислить всех философов и математиков, которые придавали особое значение исследованию этих вопросов и стремились найти на них обоснованные ответы. Назовем лишь некоторых из них: И. Кант, Г.В. Лейбниц, Р. Декарт, Ф. Энгельс, Г. Фреге, Д. Гильберт, Б. Рассел, Л. Брауэр, Г. Вейль, А. Гейтинг и другие.

Крупнейший математик современности Андрей Николаевич Колмогоров, отличавшийся широтой взглядов и интересов, наряду с исследованиями по математике, истории математики и методике преподавания математики, в своих работах освещает свое понимание ряда философских проблем математики, дает критический анализ некоторых философских концепций математики.

В ряде хорошо известных работ А.Н. Колмогоров дает достаточно четкий ответ на вопрос о том, в чем состоит предмет математики как науки. Ясно, что объект математики как универсальной науки -мир в целом. Это ее сближает с философией. Но если философия исследует любые всеобщие закономерности мира, то математика изучает лишь некоторые из этих всеобщих закономерностей, связанные с количественными и пространственными отношениями явлений. Следовательно, предмет математики - значительно уже ее объекта, ее интересует лишь определенный аспект всеобщих закономерностей мира. Математика тем самым должна быть понята хотя как универсальная наука, но специализированная в определенной системе абстракций, отличных от универсальных категорий философии.

Опираясь на философское учение диалектического материализма, А.Н. Колмогоров определяет предмет математики в духе дефиниции Ф. Энгельса, сформулированной им в знаменитой работе “Анти-Дюринг”. В работе “Математика в ее историческом развитии” А.Н. Колмогоров дает такое определение математики: “Математика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира” [1. С. 24]. Далее он указывает на то, что в соответствии с диалектическим принципом развития познания обогащается сфера количественных отношений и пространственных форм, идет процесс ее расширения. Он подчеркивает: “Абстрактность математики, однако, не означает ее отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение математики наполняется все более богатым содержанием” [1. С. 24]. А.Н. Колмогоров, как историк математики, указывает примеры расширения и обогащения понятия количественных отношений и пространственных форм. Так, если математика вплоть до начала XVII века была математикой постоянных величин, то математика XVII века может быть охарактеризована как математика переменных величин. Учитывая то, что “.. .в математике преобладают абстракции от абстракций”[9. С. 41], становится понятным утверждение А.Н. Колмогорова: “Пространственные формы можно рассматривать как частный вид количественных отношений”! 1. С. 62]. Вообще, по А.Н. Колмогорову, “широкая применимость каждой математической теории в различных по конкретному содержанию областях естествознания и техники объясняется тем, что математика изучает только отношения, безразличные к конкретной природе связываемых ими объектов” [1. С. 63].

Понятие “количественных отношений” становится в настоящее время еще более абстрактным, не только связанным с отношением величин. Гегель в свое время подчеркивал, что количество есть определенность, безразличная к качеству данного предмета. Как подчеркивает Г.И. Рузавин, еще Декарт и Лейбниц “считали, что математика может применяться не только к величинам, но и к разнообразным другим объектам, в том числе и к рассуждениям”[9. С. 35].

О.Е. Филинова справедливо отмечает: "Наиболее характерной чертой современной математики является чрезвычайно высокая степень обобщения и абстракции. Традиционное определение математики как науки о пространственных формах и количественных отношениях уже не соответствует современному положению вещей, оно приобретает более глубокое и широкое содержание. Предмет современной математики

составляют совокупности объектов самого общего вида и любые возможные отношения между ними. Так, трехмерные геометрические пространства обобщаются на любое число измерений, алгебраические операции абстрагируются и распространяются на объекты любой природы, образующие различные структуры. В современной науке велика роль прикладной математики, включающей математические теории, проблемно-ориентированные на изучение явлений природы и общества" [10. С. 200-201].

В рамках исследований истории математики А.Н. Колмогоров показывает, как расширялся и углублялся предмет математики в процессе ее исторического развития. Как мы уже отмечали выше, если период развития математики от древних греков до начала XVII века был периодом математики постоянных величин, то в XVII веке математика переходит к исследованию зависимостей между переменными величинами, т.е. математика становится средством отображения процессуальных явлений. Огромное значение в развитии математики переменных величин имело создание дифференциального и интегрального исчисления (И. Ньютон, Г. Лейбниц). Математика приобретает первостепенное значение в решении проблем точного естествознания. В XIX веке начинается особый, 4-й этап развития математики, связанный с созданием неевклидовой геометрии (Н.И. Лобачевский, Я. Бойаи). А.Н. Колмогоров оценивает открытие неевклидовой геометрии как поворотный пункт, который определил весь стиль математического мышления XIX века [4. С. 87]. В свете этого открытия расширился, стал более общим предмет геометрии.

Как видно из определения предмета математики, которого придерживается А.Н. Колмогоров, математика является отражением свойств реального, материального мира. Здесь он исходит из основных положений теории познания диалектического материализма. Любое научное знание, в том числе и математическое знание, является опосредствованным практикой отражением окружающего действительного мира в сознании человека.

Однако в философии математики имеются и другие концепции природы математики как науки и ее предмета. Например, можно напомнить о концепции априорной природы математики (И. Кант), о конструктивистской концепции математики (школа интуиционизма).

Мы здесь не будем излагать философию И. Канта не только из недостатка места, но и потому что основы его критической философии достаточно известны. Укажем лишь на то, что И. Кант относил математику к области априорного познания, т.е. познания, которое не зависит от опыта. Данный постулат И. Канта понятен. Однако И. Кант не объясняет,

каким образом возникает априорное знание. В.Я. Перминов справедливо отмечает: "Слабость кантовского априоризма в обосновании математики проистекает из непроясненности истоков априорного знания. Априорное знание понимается Кантом в качестве формы мышления, присущей ему по его природе. Форма мышления не врождена, но и не определена чем-либо, лежащим за пределами мышления. Априорное у Канта, таким образом, не имеет никакой генетической или логической детерминации в реальном мире, позволяющей делать о нем теоретически обоснованные суждения. Само его существование как знания, отличного от знания, полученного на основе опыта, остается проблематичным [8. С. 53].

Однако в системе эволюционных теорий познания известна попытка биологического обоснования априоризма, предпринятая лауреатом Нобелевской премии К. Лоренцем. Он полагал, что среда, в которой обитают поколения организмов, запечатлевается в структурах, внутренних и внешних формах, свойствах организмов. Но тогда вновь оправдывается опытное происхождение знания, которое оказывается результатом длительной эволюции.

Особенную позицию в понимании природы и предмета математики занимают интуиционисты (Г. Вейль, Л. Брауэр, А. Гейтинг). Утверждая положение о том, что математические объекты существуют только в том случае, если возможно построение этих объектов, они придают математике особый статус, при котором математика не познает объективно-реальные закономерности существующего мира, а создает, конструирует свой идеальный математический мир. А. Гейтинг провозглашает следующее положение: “Для математической мысли характерно, что она не выражает истину о внешнем мире, а связана исключительно с умственными построениями” [9. С. 249].

Следует отметить, что подобная проблемная ситуация возникла в философии техники. Природа сама по себе не может создавать сложные технические устройства (автомобили, самолеты, компьютеры, телевизоры, космические корабли и т.п.), но в то же время сложные технические устройства не противоречат законам природы. Человек созидает то, чего нет непосредственно в самой природе, но в соответствии с существующими законами природы. Следовательно, технические науки показывают активно-творческий характер конструктивной деятельности человека, но в этой конструктивной деятельности опосредствованно проявляют себя “истины о внешнем мире”, о законах внешнего мира [5. С. 172-190]. Точно так же и в математике конструируются различные идеальные объекты и их отношения, но они не противоречат закономерностям мира, а имеют своей конечной целью освоение и использование

этих закономерностей, что прекрасно подтверждается длительным историческим опытом использования математики в самых разнообразных областях человеческой деятельности.

В философии науки, в том числе в философии математики, ставится такой фундаментальный вопрос: что является движущими факторами развития науки? Известны два принципиально противоположных подхода к истории науки при ответе на этот вопрос. Один из этих подходов - экстернализм. Экстерналисты утверждают, что возникновение и развитие науки детерминируется социально-культурными и экономическими условиями, в которых живут и работают ученые. Представители этой концепции: Э. Цильзель, Б. Гессен, Дж. Бернал. Например, Б. Гессен специально исследовал социально-экономические корни механики Ньютона. Историки-экстерналисты особо изучали связь развития науки с потребностями производства и техники, с социально-экономическими условиями капитализма в XVII-XIX веках, с ростом ремесленного производства и зависимостью от него экспериментальной деятельности ученых, с процессом взаимодействия протестантской этики и научной деятельности ученых-христиан и многие другие вопросы. Нельзя отрицать значение для прогресса науки социокультурных и социльно-экономических условий, в которых функционирует наука, работают ученые. Однако нельзя не согласиться с Л.А. Микешиной относительно огрублений и упрощений в экстернализме: “Экстерналисты пытались выводить такие сложные элементы науки, как содержание, темы, методы, идеи и гипотезы, непосредственно из экономических причин, игнорируя особенности науки как духовного производства, специфической деятельности по получению, обоснованию и проверке объективно истинного знания” [7. С. 200].

Интернализм, в противоположность экстернализму, исходит из того, что наука развивается благодаря своей внутренней закономерности, имманентно присущей ей логике. Основные представители этого направления: А. Койре, Дж. Агасси, Дж. Прайс и другие. Лидер интернализма А. Койре, например, считал, что науку надо изучать саму по себе, независимо от социально-экономических, производственно-технических и других материальных факторов. Он писал: “Мне кажется тщетным желание вывести греческую науку из социальной структуры городов. Афины не объясняют ни Евдокса, ни Платона. Тем более Сиракузы не объясняют Архимеда или Флоренция - Галилея” [6. С. 279]. Сущность научной революции XVII века он усматривал в коренном изменении представлений о космосе. Главное в науке - это изменение структуры мышления ученых.

В настоящее время идет процесс примирения данных противоположных концепций, которые взаимодополняют друг друга. Этот процесс предвосхищает А.Н. Колмогоров. Он пишет: “Большие новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, но также из внутренних потребностей самой математики” [1.С. 60]. И он приводит прекрасные примеры первого и второго рода. Пример 1: развитие теории функций комплексного переменного (начало и середина XIX в.). Пример 2: “воображаемая геометрия” Лобачевского. Если развитие теории функций комплексного переменного связано с потребностью естествознания, решения его конкретных проблем, то “воображаемая геометрия” Лобачевского вызвана потребностью разрешения внутренней проблематики математики.

За недостатком места и времени мы лишь укажем на то, что А.Н. Колмогоров занял определенную позицию в оценке работ по строгому обоснованию тех или иных методов математики. Он высоко оценивал роль теории множеств и математической логики в обосновании математики, но в то же время показывал ограниченность школ логицизма, формализма и интуиционизма в их попытках окончательного обоснования строгости и доказательности математического мышления [1. С. 65-69]. В его размышлениях звучит лейтмотив двух математик - “содержательно воспринимаемой и формализованной” [2. С. 231], о значении “содержательной логики”, которую в отличие от формальной логики часто называют “философской логикой” или “диалектической логикой” [2. С. 236].

Крупнейшие ученые - чародеи в своей нише научных исследований, и было бы опрометчиво игнорировать их позиции в решении проблем философии науки.

Библиографический список

1. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М., 1991.

2. Колмогоров А.Н. Математика - наука и профессия. М., 1988.

3. Колмогоров А.Н. Математика // Большая советская 'нциклопедия. Т. 26. М., 1954.

4. Колмогоров А.Н. Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века // “Николай Иванович Лобачевский”. Сб. статей. М.-Л., 1943.

5. Бек Х. Сущность техники // Философия техники в ФРГ. М., 1989.

6. Койре А. Очерки истории философской мысли. М., 1985.

7. Микешина Л.А. Философия науки. М., 2005.

8. Перминов В.Я. Философия и основания математики. М., 2001.

9. Рузавин Г.И. О природе математического знания. М., 1968.

10. Филинова О.Е. Математика в истории мировой культуры. М., 2006.

Глава 2

Математика в ее многообразии

Целозначные билинейные формы

А.Н. Рудаков, С.А. Кулешов

1. Введение

Рассмотрим свободный Z-модуль V С Vz <8> Q = Vq конечного ранга, на котором задана целозначная билинейная форма х : ^ х У ^ Z.

Будем называть форму х полуортогональной, если существует такой базис е = (ei,... ,en) в V, что матрица Грама формы х в этом базисе имеет верхнетреугольный вид с единицами по диагонали:

Базис е мы будем называть полуортонормированным относительно соответствующей формы.

Предложение 1.1. Если е — (ei,..., 6n ) полуортонормированный базис, 1 < г < п, то можно построить базисы Ris и Lie по правилу:

Тогда: 1) базисы RiS и Lie полуортонормированы;

Следствие 1.2. Перестройки Ri и Li (г = 1,... ,п — 1) определяют действие группы кос на полуортонормированных базисах.

Предложение 1.3. Пусть G - матрица Грама формы \ в полуортонормированном базисе е = (ei,..., en); gkj = x(ek,e-j), В = (bk,j) и С — (ck,j) - матрицы Грама той же формы в базисах Rie и Lie соответственно. Тогда

Например, если

то

(1а)

(1b)

Следствие 1.4. Действие группы кос на полуортонормированных базисах относительно формы \ индуцирует действие группы кос на матрицах Грама этой формы.

В связи с действием группы кос можно сформулировать три фундаментальных вопроса.

1. (Орбиты на базисах.) Пусть дана полуортогональная целозначная форма и полуортонормированный относительно нее базис е°. Можно ли перейти от другого полуортонормированного базиса е той же ориентации1 к г° действием группы кос? (Сколько орбит на ориентированных базисах?)

2. (Орбиты на матрицах.) Пусть G - матрица Грама целозначной формы в полуортонормированном базисе г° и G - матрица той же формы в другом полуортонормированном базисе. Можно ли, используя действие группы кос, перейти к базису е, в котором матрица формы будет равна Gl (Сколько орбит на матрицах?)

3. Пусть в полуортонормированных базисах е\ЖЕ2 одинаковой ориентации форма имеет одну и ту же матрицу G. Можно ли утверждать, что базисы £\ п£2 лежат в одной орбите действия группы кос?

Замечание 1.5. При положительном ответе на третий вопрос первые два становятся равносильными.

Определение 1.6. По билинейной несимметричной форме х однозначно определен дуализирующий оператор Кх, удовлетворяющий соотношению x(uiv) — х(у1^хи) для всех векторов и и v.

Замечание 1.7. Матрица дуализирующего оператора Кх вычисляется по формуле:

где G - матрица Грама формы \-

2. Матрицы Грама размера 3x3

В этом разделе мы исследуем действие группы кос на матрицах Грама полуортогональной целозначной билинейной формы на Z-модуле ранга 3.

Предложение 2.1. Характеристический многочлен дуализирующего оператора Кх формы \> матрица Грама которой в полуортонормированном базисе равна G = М(а,6, с), имеет вид:

Следствие 2.2. Если М(а,6, с) и М(а,6, с) - различные матрицы Грама формы \, то

1 Базисы имеют одинаковую ориентацию, если определитель соответствующей матрицы перехода положителен.

В связи с этим число m = а2 + Ь2 + с2 — abc является инвариантом полуортогональной формы, который мы будем называть высотой формы (матрицы). Форму высоты m = 0 обычно называют формой Маркова, или марковской формой, поскольку множество решений уравнения (2) с m = 0 впервые было исследовано А.А. Марковым в 1887 году.

Матрица Грама полуортогональной формы в полуортонормированном базисе Z-модуля ранга 3 определяется упорядоченной тройкой целых чисел (а, 6, с). Поэтому перестройки (1) матриц удобно изображать схематически :

Заметим, что эти перестройки - в точности перестройки решений диофантова уравнения

(2)

Поэтому орбиты действия группы кос на матрицах Грама взаимно однозначно соответствуют орбитам действия той же группы на множестве решений уравнения (2).

Легко проверить, что матрицы M (а, 6, с), М(6, с, а) и М(с, а, Ь) всегда лежат в одной орбите (соорбитны друг другу), поэтому для определения числа орбит достаточно исследовать действие группы кос на классах эквивалентности решений уравнения (2) по модулю циклических пересановок:

Переходя к этим классам, образующие действия группы кос можно переписать в виде:

При этом все матрицы Грама высоты m (с точностью до четных перестановок элементов) образуют граф Gm, валентность вершин которого не превосходит трех. В вершинах графа Gm расположены классы решений

((а, 6, с)), a ребра соответствуют перестройкам. Очевидно, что каждая компонента связности графа Gm представляет орбиту действия группы кос на матрицах Грама и наоборот. Таким образом, подстчет числа орбит сводится к определению количества компонент связности графа Gm.

Прежде чем приступить к описанию компонент связности графа Gm имеет смысл сформулировать замечание:

Замечание 2.3. Если на Z-модуле ранга 3 существует полуортогональная целозначная форма высоты га, то 1) га ф Ак + 3, 2) если га = О mod 3, то га = О mod 9.

Множество вершин Vm графа Gm можно разбить на непересекающиеся подмножества V = Vm U Тт U • • • U Тт и выделить там подмножество {ri,...,r/e} С Vm (элементы г г не обязательно различны). Обозначим через подграф с множеством вершин Vm и через Тт - подграф с множеством вершин Tm U {гг}. Можно доказать, что

1. каждый подграф Тт является деревом;

2. множество ребер графа Gm является объединением множеств ребер графов Gm и Тш (см. рис. 1).

Рис. 1

Подмножество вершин Vm определяется следующим образом. При га > 0, га ф 4 ((а,6, с)) G У m-, если выполнено одно из условий:

(3)

При m = 4 ((а, 6, с)) G V^, если выполнено одно из условий:

(4)

При га < 0 ((а, 6, с)) G V^, если выполнена совокупность условий:

(5)

где d(m) - минимальное натуральное число, для которого d (d—3) > |m|, a (с, m) - минимальное натуральное число, для которого (|с| — 2)d\ > I га — с21.

В этих обозначениях справедлива следующая теорема Теорема 2.4. Орбиты действия группы кос на матрицах Грама высоты га находятся во взаимно однозначном соответствии с компонентами связности графа и их число конечно1 при m ф 4, а при m = 4 - бесконечно.

Доказательство этой теоремы основывается на следующей лемме: Лемма 2.5. (Маркова2). Пусть {а, 6, с} - решение диофантова уравнения (2). Тогда тройка целых чисел {а = be — а, 6, с} тоже удовлетворяет уравнению (2), причем а> а в следующих случаях:

где d(m) - минимальное натуральное число, для которого d2(d — 3) > \т\, a di(с, га) - минимальное натуральное число, для которого (|с| — 2)d\ > |га-с2|.

Доказательство леммы Маркова мы также опустим, отметим только, что в его основе лежит красивый прием, найденный Марковым, который заключается в том, что а и а - корни квадратного многочлена fa(t) = t2 — tbc + b2 + с2 — га и для доказательства леммы в каждом из случаев (1)-(5) достаточно оценить значение fa(b), которое оказывается отрицательным. Поэтому неравенство а < а следует из рис. 2:

1 Аналогичный результат, но другими методами получен в работе [1]. 2 Впервые такое утверждение было сформулировано и доказано А.А. Марковым для случая m = 0 в 1887 году.

Рис. 2

Для точного подсчета числа орбит нужно исследовать типы компонент связности графа G^, которые сведены в следующую таблицу (внешний вид компонент приведен в теореме 2.7).

Типы компонент связности графа G^i содержащих вершину ((а, Ь, с))

Замечание 2.6. Количество компонент связности типа Va (при а ф Ь), об, оз (при а ф Ь) и 7Zi (если все три числа а, 6, с разные) в графе Gm должно быть четным.

Теорема 2.7. Представители орбит действия группы кос на матрицах Грама высоты 4 представлены следующим списком: М(а,а,2), М(о,-о,-2) (o6Z, |а| > 2), М(-1,-1,-1), М(0,0,2), М(1,1,2).

В таблице, расположенной ниже, сведена информация о числе орбит действия группы кос на матрицах Грамма (высоты m G [0; 50]) и о типах компонент связности соответствующего графа G^.

Библиографический список

1. Andre Beineke, Thomas Br ustle, Lutz Hille. Cluster-Cyclic Quivers with three Vertices and the Markov Equation arXiv:math.RA/0612213 (8 Dec 2006).

2. Рудаков А.Н. Целозначные билинейные формы и векторные расслоения // Матем. сб. Т. 130 2, 1989. С. 187-194.

Особенности некоторых алгебраических вычислений1

В.Б. Алексеев

При умножении двух матриц порядка п обычным способом (“строка на столбец”) требуется порядка п3 арифметических операций над элементами матриц. В 1969 году Штрассен [1] построил более быстрый по порядку алгоритм, а именно, алгоритм с арифметической сложностью O(nlog2 7). Позднее был разработан ряд методов, позволивших далее понизить эту оценку [2]. В [3] было показано, что арифметическая сложность умножения двух матриц порядка п не превосходит 0(п2'38) арифметических операций, и, хотя ожидается, что константа в показателе

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 06-01-00438).

сложности может быть сделана как угодно близкой к 2, этот результат не улучшен уже почти 20 лет. В [4] А.Л. Тоом для аналогичной задачи о сложности умножения чисел использовал идею “расширения модели”, построив быстрый алгоритм за счет перехода от задачи умножения чисел к более широкой задаче умножения полиномов.

В 1997 году автор [5] показал, что идея “расширения модели” может использоваться и для задачи о сложности умножения матриц. Напомним, что алгеброй называется линейное пространство с заданной на нем операцией умножения, линейной по обоим сомножителям. Таким образом, для определения алгебры на линейном пространстве L достаточно рассмотреть некоторый базис L и задать произведение только для базисных векторов:

Легко видеть, что если в алгебре

то все коэффициенты с& являются билинейными формами от наборов переменных ai и bj, а именно,

Определение. Билинейным алгоритмом сложности d для умножения в алгебре А в базисе ei, в2,..., еп называется последовательность вычислений

(1)

(2)

такая, что для любых коэффициентов ai,bj вычисляемые по ним о удовлетворяют равенству (Y17=i a*e0(2j = i ^зез) = 2fc=icfceb то есть алгоритм правильно вычисляет коэффициенты произведения в данном базисе.

Определение. Билинейной сложностью умножения в алгебре А в заданном базисе ei, ег, • • •, еп называется наименьшая сложность билинейного алгортма для умножения в алгебре А в данном базисе.

Лемма 1. Билинейная сложность умножения в алгебре А во всех базисах одинакова.

Доказательство. При переходе от одного базиса к другому координаты в одном базисе заменяются линейными формами от координат в другом базисе. Заменяя все ai и bj в билинейном алгоритме для умножения в одном базисе их линейными выражениями через координаты а\ и b'j в другом базисе и вычисляя ск как линейные комбинации Ск, получим билинейный алгоритм той же сложности во втором базисе.

Лемма 1 позволяет говорить просто о билинейной сложности умножения в алгебре, не указывая конкретный базис.

Определение [6]. Алгебра Р называется алгеброй с простым умножением, если существуют базис {ei, ег,..., е^} в Р и подстановка а порядка d такие, что aej = 0, если j ф &(г).

Чтобы задать алгебру с простым умножением, достаточно задать только произведения егва^) для всех г. Мы будем задавать алгебру с простым умножением матрицей F = \\fij\\ порядка d такой, что

(3)

(4)

Штрассен в [1] показал, что две матрицы порядка 2 можно перемножить, используя только 7 умножений линейных комбинаций элементов матриц. Откуда он получил, что для умножения двух матриц порядка п требуется при п —> оо не более O(nlog2 7) арифметических операций над элементами матриц. Его результат допускает следующее обобщение. Если для умножения двух матриц фиксированного порядка к существует билинейный алгоритм сложности d, то для умножения двух матриц порядка п существует алгоритм, который использует при п —» сю не более 0(nlogA d) арифметических операций над элементами матриц. Однако структура алгоритма Штрассена для п = 2 достаточно громоздка, что затрудняет его обобщение на матрицы большего порядка. В [5] автором получен следующий результат.

Теорема 1 [5]. Существуют 7-мерные алгебры с простым умножением, содержащие подалгебру, изоморфную алгебре матриц порядка 2, причем существуют ровно 3 такие попарно неизоморфные 7-мерные алгебры.

Эти 3 алгебры имеют очень простую структуру. Например, одна из них задается подстановкой а = (1) (234) (567) и матрицей F:

(здесь для большей симметрии строки матрицы F упорядочены так, что

Один из подходов к поиску быстрых алгоритмов умножения матриц может состоять в обобщении этой конструкции, а именно в поиске алгебры с простым умножением, содержащей подалгебру, изоморфную алгебре матриц некоторого фиксированного порядка к. Здесь мы рассмотрим некоторые связи между существованием билинейного алгоритма сложности d для умножения в некоторой алгебре А и существованием d-мерной алгебры с простым умножением, являющейся расширением данной алгебры А.

Лемма 2. Если алгебра Р размерности d является алгеброй с простым умножением, то билинейная сложность умножения в алгебре Р не превосходит d.

Доказательство. Пусть алгебра Р задается условиями (3) и (4). Тогда

Отсюда видно, что последовательность вычислений

(5) (6)

является билинейным алгоритмом сложности d для умножения в алгебре Р в базисе ei, е2,..., е<*.

Лемма 3. Если для данной алгебры А существует расширение с простым умножением размерности d, то билинейная сложность умножения в алгебре А не превосходит d.

Доказательство. Пусть алгебра Р задается условиями (3) и (4) и является расширением алгебры А. Пусть ei, е2, • • •, е'п - базис в подалгебре А. Его можно дополнить до базиса ei, е2,..., еП1 е^+1,... , в Р. По леммам 1 и 2 в этом базисе существует билинейный алгоритм сложности d вида (1) и (2). Обнуляя в нем все ai, bi при г > п и удаляя все равенства для Ck при к > п, получим билинейный алгоритм сложности не более d для умножения в алгебре А. Лемма доказана.

Теорема 2. Для данной алгебры А существует расширение с простым умножением размерности d тогда и только тогда, когда для А существует билинейный алгоритм сложности d для умножения в алгебре А с дополнительным условием (см. определение билинейного алгоритма): существует такая подстановка а степени d, что для всех г = 1, п, t = 1, d выполняется ß\ = ol[ .

Доказательство. 1) Пусть для данной алгебры А существует расширение F с простым умножением размерности d. Тогда из доказательства леммы 2 следует, что для умножения в F существует билинейный алгоритм сложности d вида (5), (6). При этом для любого t = l,d выполняется

Сомножители at в Dt и bt в Da-i^ являются значениями одной и той же линейной формы от перемножаемых векторов. При переходе к любому базису они останутся одной и той же линейной формой от перемножаемых векторов. После проектирования алгебры F на алгебру А (обнуления некоторых аг и 6г, см. доказательство леммы 3) мы опять получим на этих местах одинаковые линейные формы. Таким образом, для всех г = 1, n, t = 1, d будет справедливо ß° ^ = сх\, откуда ß\ = си^1\

2) Пусть для умножения в алгебре А в базисе ei, e2,..., еп существует билинейный алгоритм сложности d вида (1), (2) с дополнительным условием: существует такая подстановка а степени d, что для всех г = 1,п, t = l,d выполняется ß\ — . Построим алгебру F размерности d с базисом e'i, е2,..., e'd. Зададим таблицу умножения в F следующим образом:

(7) (8)

Покажем, что при этом векторы

порождают в F подалгебру, изоморфную алгебре А. Для этого доста-

точно проверить соответствие операций умножения в обеих алгебрах в базисах ei,ег,...,еп и е/1/,е/2/,..-,еп- Имеем

С другой стороны из билинейного алгоритма в А имеем

Отсюда получаем указанный выше изоморфизм. Теорема доказана.

Дополнительное условие на билинейный алгоритм в теореме 2 является существенным. Это следует из того, что существуют алгебры, для которых билинейная сложность равна некоторому числу d, но для которых не существует расширения с простым умножением размерности d. Простой пример такой алгебры приведен в работе автора [6]. Более интересным примером такой алгебры является 3-мерная алгебра векторного произведения. Однако для многих важных алгебр с билинейной сложностью d существуют расширения с простым умножением размерности d. Так для алгебры комплексных чисел с билинейной сложностью 3 существуют 3-мерные расширения с простым умножением (все они описаны автором в [6]), для алгебры кватернионов билинейная сложность равна 8 и существуют 8-мерные расширения с простым умножением [6].

Из дальнейшего следует, что поиск быстрых алгоритмов для умножения матриц в виде расширений с простым умножением достаточно оправдан.

Напомним, что билинейный алгоритм для умножения матриц порядка п с билинейной сложностью d задается константами a\j, ßlL, 7*s (t = l,cf), такими, что если U, V, W — матрицы порядка п и W = UV, то

Легко видеть, что это эквивалентно тождеству

где 6 - дельта Кронекера. Поскольку это тождество симметрично относительно циклической перестановки а ^ ß ^ j ^ а, то можно предполагать, что существует оптимальный билинейный алгоритм для умножения матриц порядка п, симметричный относительно указанной перестановки, что означает, что для некоторой подстановки a(t) с циклами длины 3 или 1 (алгоритм Штрассена может быть представлен в такой форме).

Из теоремы 2 следует, что если существует билинейный алгоритм для умножения матриц сложности d с симметриями (9), то существует d-мерное расширение алгебры матриц, являющееся алгеброй с простым умножением. В работе [7] получен следующий более сильный результат.

Теорема 4. Если для умножения матриц порядка п существует билинейный алгоритм с билинейной сложностью d и c симметриями (9), то существует d-мерная алгебра F с простым умножением, содержащая подалгебру M, изоморфную алгебре матриц порядка п. Более того, существует такая алгебра F с симметричной таблицей умножения (3), если строки переупорядочить так, чтобы строка с номером г соответствовала произведению еа(^)еа2и\.

Библиографический список

1. Strassen V. Gaussian elimination is not optimal // Numer. Math., 1969. V. 13. P. 454-456.

2. Алексеев В.Б. Сложность умножения матриц. Обзор // Кибернетический сборник. Вып. 25. М.: Мир, 1988. С. 189-236.

3. Coppersmith D., Winograd S. Matrix multiplication via arithmetic progression // J. Symb. Comp., 1990. 9. С. 251-280.

4. Тоом A.Л. О сложности схемы из функциональных элементов, реализующей умножение целых чисел // Доклады АН СССР, 1963. Т. 150. № 3. С. 496-498.

5. Алексеев В.Б. Минимальные расширения с простым умножением для алгебры матриц второго порядка // Дискретная математика, 1997. Т. 9. № 1. С. 71-82.

6. Алексеев В.Б. О некоторых алгебрах, связанных с быстрыми алгоритмами // Дискретная математика, 1996. Т. 8. № 1. С. 52-64.

7. Алексеев В.Б., Ларионов В.Б. О расширениях с простым умножением для алгебры матриц // Труды 7-й Международной конференции “Дискретные модели в теории управляющих систем”, Покровское, 4-6 марта 2006 г. М.: МАКС Пресс, 2006. С. 17-22.

Вычисление фрактальных размерностей некоторых множеств на вещественной прямой и вещественной плоскости

С.Б. Козырев, В.С. Секованов

Теория топологической размерности интенсивно развивалась с 20-х годов прошлого века. Разработка теории топологической размерности внесла огромный вклад в развитие всей математики. И сегодня топологическая размерность находит приложения в различных разделах математической науки.

В настоящее время бурно развивается новое направление современной математики - фрактальная геометрия, которое находит приложения в различных сферах человеческой деятельности - от физики до психологии. Понятие фрактала, введенное Б. Мандельбротом, как множества, размерность Хаусдорфа которого строго больше топологической размерности, является в настоящее время общепринятым (рабочим) и имеет тенденцию к развитию.

Однако теория размерности Хаусдорфа и тесно связанная с ней теория размерности Минковского разработаны недостаточно полно. Интерес в России к данным типам размерности только начинает проявляться. Анализ литературы указывает, что на Западе фрактальным размерностям, в том числе размерностям Хаусдорфа и Минковского, уже несколько десятилетий уделяется огромное внимание ([2-7] и др.).

В настоящей статье рассматриваются некоторые множества на вещественной прямой и вещественной плоскости и вычисляются их размерности Минковского и Хаусдорфа. Причем методы, применяемые в статье, дают возможность исследовать данные размерности и для других множеств.

Напомним читателю вкратце определения фрактальных размерностей, упоминаемых в данной статье. Тем более, что в различных источниках в определениях фрактальных размерностей до сих пор встречаются расхождения, впрочем, непринципиальные.

Определение 1. Ограниченное множество G называется самоподобным в строгом смысле, если существуют преобразования подобия Si, S2, • • •, Sn, п> 1 такие, что

причем множества Si(G) попарно не пересекаются. Тогда единственное решение d уравнения

где кг~ коэффициенты подобия Si, называется размерностью самоподобия множества G. В частности, если все ki равны одному и тому же числу к, то размерность самоподобия равна d = — {^7: = — log/., п. Множество G называется самоподобным в широком смысле, если множества Si(G) имеют лишь небольшие пересечения, точнее (см. [5]), если хаусдорфова d-мера (см. ниже определение 3) пересечений равна нулю.

Например, отрезок вещественной оси самоподобен в широком смысле с размерностью самоподобия, равной 1, а канторово множество самоподобно в строгом смысле и его размерность самоподобия равна log3 2.

Определение 2. Пусть дано ограниченное множество G. Для любого Ô >0 обозначим через ns(G) минимально необходимое число замкнутых (5-шаров, полностью покрывающих G. Тогда размерностью Минковского множества G (обозначается diniM G) называется предел

Определение 3. Пусть дано множество (^(неограниченное, вообще говоря). Система множеств {Jn} называть 6-покрытием множества G, 6 > 0, если диаметры всех множеств Jn не превышают 6, то есть \Jn\ <ô. Для произвольных фиксированных чисел d > 0 и Ô > 0 введем

обозначение mdG = inf |^ |, где инфимум берется по всем счетным (5-покрытиям множества G. Обозначим далее mdG = lim m§G, этот предел существует, поскольку класс ô -покрытий сужается при уменьшении 6, а инфимумы m^G не убывают. Число mdG называется d-мерой Хаусдорфа множества G. Мера mdG может быть бесконечной.

Определение 4. Размерность Хаусдорфа произвольного множества G (обозначается dim# G) задается следующими тремя случаями.

1). Существует число d >0 такое, что для всех s > d мера msG=0, а для всех s < d будет msG = сю. В этом случае положим по определению размерность Хаусдорфа множества G равной dim#C7 = d.

2). Для всех d мера mdG = сю. Тогда положим по определению dim#C7 = сю.

3). Для всех чисел d >0 мера mdG = 0. В этом случае положим dimHG = 0.

Можно показать, что для любого множества G реализуется одна из этих трех ситуаций:

Основной фрактальной размерностью является размерность Хаусдорфа. Но для многих множеств ее вычисление сопряжено со значи-

тельными техническими трудностями. В этих случаях интерес представляет вычисление размерности Минковского, которая часто совпадает с размерностью Хаусдорфа, но вычисляется гораздо проще последней. Однако вопрос о том, когда названные размерности совпадают, а когда нет, к настоящему времени не полностью исследован даже для счетных множеств на вещественной оси. Размерность Хаусдорфа, как известно, для счетных множеств всегда равна нулю,.а размерность Минковского может быть самой разной. Рассмотрим два класса счетных множеств на вещественной прямой и вычислим их размерность Минковского.

Лемма 1. Пусть даны натуральное р > 2, вещественные числа к G Я+, ô G R+ и функция X(ô), обладающая свойством

Тогда

Доказательство.

Для натурального р > 2 рассмотрим множество Dp = {0,1, -щ, -щ, -щ,...}. Множество несамоподобно, поэтому размерности самоподобия у него нет. Оно вполне несвязно, поэтому его топологическая размерность diniT Dp = 0. Оно счетно, поэтому dim# Dp = 0. Покажем теперь, что размерность Минковского diniM Dp = -^-^.

Возьмем произвольное достаточно малое 6 > 0. Обозначим через ks наименьшее положительное натуральное число, удовлетворяющее неравенству

Тогда имеет место неравенство (1):

(1)

Из неравенства (1) получаем неравенство (2)

(2)

Преобразуя неравенство (2), получим неравенство (3)

(3)

Из неравенства (3) получаем неравенство (4)

(4)

Из неравенства (3) и (4) вытекает неравенство

(5)

Таким образом, для каждого Ô > О 2. Для покрытия ks — 1 точки 1, потребуется Ô-шаров. Для покрытия оставшихся точек множества Dp, лежащих на отрезке

число шаров будет меньше, чем вещественное число

Таким образом, число ns(D) находится в пределах

Перепишем последнее неравенство в виде:

Из последнего неравенства находим:

Поскольку для функции Л (Ö)

предел

то в силу леммы 1 левая и правая часть последнего неравенства при 6^0 стремятся к одному и тому же пределу

Откуда следует, что

Например, при р = 3 мы получим, что размерность Минковского множества D3 равна ^, что согласуется с результатом, полученным в [1]. Рассмотрим множества D4 и отображение f(x) = х2. Очевидно, что f(x) гомеоморфно отображает множество D4 на множество D2, то есть f{D^) = D2. Однако размерности Минковского множеств D4 и D2 различны diniM D2 = §, a d'rniM D4 = f.

Рассмотрим теперь на вещественной прямой компактные множества Еа = {О, ^, ^2, ^г, ...}, где а- вещественное число, большее двух.

Покажем, что размерность Минковского множества Еа равна нулю.

Возьмем произвольное 6 > 0. Подберем для него натуральное число к, удовлетворяющее неравенству < 25 < ак1_1. Тогда для покрытия всех точек множества Еа, лежащих на отрезке [0, ^г], достаточно одного (5-шара. Для покрытия оставшихся точек Д^, ..., ak-i } необходим ровно к — 1 шар радиусом Ô, поскольку даже между наиболее близкими точками и аА1_2 расстояние больше 26:

Таким образом, ns(Ea) = к. Поскольку число к удовлетворяет неравенствам

то, следовательно,

Отсюда получаем:

Воспользовавшись правилом Лопиталя, получаем

Так как

то предел

также равен нулю.

Таким образом, размерность сИтм Еа = 0.

Построим теперь на вещественной плоскости так называемый фрактал Леви [9. С. 72]. Авторам неизвестно, где бы была вычислена его фрактальная размерность. Ниже мы вычислим хаусдорфову размерность фрактала Леви.

Возьмем в качестве начальной ломаной единичный отрезок на плоскости, то есть отрезок с конечными точками (0,0) и (1,0). Обозначим его Лэ- Как ломаная он имеет всего одно звено. Будем говорить, что точка (0,0) - начальная точка ломаной Р<э, а (1,0) - конечная ее точка. Далее определим индуктивный процесс построения последовательности ломаных Рп.

Итак, пусть мы уже построили ломаную Рп с начальной точкой (0,0) и конечной (1,0). На каждом звене ломаной как на гипотенузе построим прямоугольный равнобедренный треугольник. Причем, если двигаться по ломаной от начальной точки к конечной, то в момент прохождения по данному звену треугольник должен располагаться с левой стороны от него. Катеты всех построенных треугольников также образуют ломаную, которую мы обозначим Рп+\- Начальная и конечная ее точки останутся прежними.

В результате мы получаем бесконечную последовательность ломаных Рп. Например, в качестве Pi получится двухзвенная ломаная

Рис. 1. Ломаные Рп

в качестве Р2 - четырехзвенная ломаная

в качестве Рз - восьмизвенная ломаная

и так далее (см. рис. 1). Заметим, что у ломаной Р4 два средних звена накладываются друг на друга, на рисунке они выделены. Ясно, что количество звеньев в каждой следующей ломаной удваивается, а их длина уменьшается в у/2 раз по сравнению с длиной звеньев предыдущей ломаной. Таким образом, ломаная Рп состоит из 2п звеньев длиной

Назовем множеством Р замыкание объединения всех ломаных Рп, то есть, (J Рп (см. рис. 2).

Рис. 2. Множество Р

Множество L всех точек плоскости у, для которых найдется последовательность точек уп G Рп такая, что р(у,уп) —> 0, называется фракталом Леви (см. рис. 3). Очевидно, что L С Р. Отметим также, что если точка является концом какого-либо звена ломаной Рп, то она принадлежат L. Кроме того, так как длины ломаных Рп убывают в геометрической прогрессии, то фрактал L как и множество Р являются ограниченными множествами.

Рис. 3. Фрактал Леви

Поставим вопрос: какова размерность фрактала Леви? Объединение (J Рп одномерно по Хаусдорфу как счетное объединение одномерных множеств [7]. Но добавление к нему всех его предельных точек способно увеличить размерность. Вспомним, например, что порождающие кривую Коха ломаные тоже одномерны, но множество их предельных точек (то есть, сама кривая Коха) имеет размерность более высокую, равную log3 4. Кривая Коха самоподобна в широком смысле, ее можно составить из четырех таких же кривых, уменьшенных в 3 раза. На первый взгляд L тоже самоподобно. Действительно, посмотрим на оба звена ломаной Pi. Каждое из этих звеньев порождает свое множество Р, уменьшенное в у/2 раз. А объединение этих двух уменьшенных множеств дают нам все множество Р за исключением отрезка Ро. Если же рассматривать фрактал L, то как раз получится, что он равен объединению двух фракталов Леви, уменьшенных в у/2 раз. Следовательно, размерность самоподобия L должна бы быть равна log^ 2 = 2. А поскольку размерность самоподобия любого самоподобного компактного множества всегда совпадает с его хаусдорфовой размерностью, то должно быть dim# L = 2.

Но законны ли наши рассуждения? Нет, потому что при составлении L из двух уменьшенных его копий мы предполагали, что они пересекаются несущественным образом. Критерий несущественности пересечения прост: если копии пересекаются по множеству G такому, что mdG = 0, где d = dim# L, то таким пересечением можно пренебречь. Как пересекаются уменьшенные копии фрактала L, совершенно не ясно. Но в том, что их пересечение может оказаться существенным, нас убеждает следующий пример.

Рис 4. Ломаные Лэ — Ра

Изменим немного процесс построения дерева. Для получения последовательности ломаных будем строить не прямоугольные равнобедренные треугольники с отношением сторон 1 : : а остроугольные равнобедренные треугольники с отношением сторон, скажем, 1 : | : |. Получающиеся ломаные обозначим Рп, причем Pq = Po (см. рис. 4). Добавление предельных точек к объединению (J Рп даст нам множество, аналогичное Р. Назовем его модифицированным множеством Р. Аналогично фракталу L можно получить модифицированный фрактал Леви L (см. рис. 5).

Рис. 5. Модифицированный фрактал Леви

Модифицированное Р можно составить из двух его копий, уменьшенных в I раза (не считая основания Ро). Соответственно и L можно составить из двух его копий, уменьшенных в | раза. И если предположить, что пересечение двух уменьшенных копий L несущественно, а само L само-

подобно, то мы получим, что размерность самоподобия L должна бы равняться log 4 2 > 2. Но любое множество, лежащее в плоскости, не может иметь размерность, большую 2. Полученное противоречие показывает, что пересечение уменьшенных копий L существенно, им нельзя пренебрегать.

Вернемся к фракталу L. Итак, возможно, что он не самоподобен. Далее мы докажем, что тем не менее dim# L = 2.

Из построения ломаных Рп видно, что каждое звено ломаной Pn-i порождает два звена ломаной Рп, а вместе все три звена образуют прямоугольный равнобедренный треугольник. Таким образом, все звенья ломаных Рп-1 и Рп. образуют в совокупности 2n_1 равнобедренных прямоугольных треугольников одинакового размера. Обозначим объединение этих треугольников Тп для любого натурального п (см. рис. 6). Докажем ряд вспомогательных предложений.

Предложение 1. Пусть Т - множество таких точек на плоскости у, для которых найдется последовательность уп такая, что все уп е Тп и р(у,уп)^ 0. Тогда Т = L.

Доказательство. Включение L С Т очевидно, поскольку Рп С Тп. Докажем обратное включение. Возьмем произвольно у G Т и последовательность точек уп G Тп такую, что р(у,уп)^ 0. Каждая точка уп находится в некотором треугольнике фигуры Тп. Вершину прямого угла в этом треугольнике обозначим zn. Ясно, что гп G Рп, а расстояние между уп и zn не более длины звена ломаной Рп. Поэтому p(y,zn) < р(у,уп) + p(yn,zn) < р(у,уп) + -jylyr -> 0,у G L, что и требовалось доказать.

Предложение 2. Площадь каждого множества Тп равна \ .

Доказательство. Мы уже отмечали, что количество звеньев в ломаной Рп в 2 раза больше по сравнению с количеством звеньев Pn-i, а их длина уменьшается в у/2 раз. Поэтому количество треугольников в

Рис. 6. Множества Тп

ломаной Тп в 2 раза больше по сравнению с количеством треугольников в Тп_1, а их площадь в 2 раза меньше. Следовательно, суммарная площадь всех треугольников, образующих Тп, постоянна для всех п и равна площади Ti, то есть |. Нам осталось убедиться, что никакие два треугольника из Тп не пересекаются по множеству положительной площади.

Назовем точки плоскости, у которых обе координаты целочисленные, точками нулевого ранга. Назовем совокупность всех точек нулевого ранга сеткой нулевого ранга. Таким образом, вся плоскость разбивается на квадраты размера 1x1, вершинами которых служат точки сетки нулевого ранга. Далее, назовем центры всех таких квадратов точками первого ранга. Точки первого и нулевого рангов опять образуют квадратную сетку с размером ячейки назовем ее сеткой первого ранга. Далее центры вновь образованных квадратов назовем точками второго ранга. Точки от нулевого до второго рангов вместе образуют сетку квадратов с длиной стороны |, назовем ее сеткой второго ранга. Продолжая этот процесс дальше, мы получим для каждого натурального п сетку п-го ранга (см. рис. 7), разбивающую плоскость на квадраты с длинами сторон, равными j-^yr. Заметим, что квадраты сетки п-го ранга повернуты под углом 45 ° по отношению к квадратам сетки (тг-1)-го ранга. Легко убедиться, что все звенья ломаной Рп лежат в вершинах сетки гг-го ранга. Отсюда нетрудно заметить, что вершины каждого треугольника фигуры Тп являются вершинами сетки 71-го ранга. Причем вершина прямого угла является точкой в точности п-го ранга, а остроугольные вершины принадлежат сетке (n-l)-ro ранга, поскольку лежат на гипотенузе, являющейся одновременно звеном ломаной Pn-i- Следовательно, никакая остроугольная вершина одного треугольника фигуры Тп не может совпасть с прямоугольной вершиной другого треугольника той же фигуры.

Рис. 7. Фрагмент сетки 4-го ранга

Из сделанного построения видно, что различные треугольники фигуры Тп либо имеют пересечение нулевой площади, либо полностью совпадают. Предположим, что существует фигура Тп с совпадающей парой треугольников. Тогда совпадающие треугольники имеют общую гипотенузу, служащую одновременно общим катетом для двух треугольников фигуры Тп-1. Но тогда в фигуре Tn_i будут треугольники с пересечением положительной площади. Значит, они тоже должны совпадать. Получается, что все фигуры Тп имеют пару совпадающих треугольников, что, очевидно, не верно. Полученное противоречие доказывает, что в фигуре Тп нет треугольников, пересекающихся по множеству положительной площади. Предложение 2 доказано.

Лемма 2. Если к > п,то для любой точки х G Tk найдется точка z G Тп такая, что

Доказательство. Пусть некоторая точка xG Т2. Очевидно, что она лежит в одном из треугольников фигуры rl \ для нее найдется точка у , лежащая на гипотенузе этого треугольника и такая, что р(х,у) < ( La •

При этом 2/Е Ti. Аналогично для любой точки х G Tk найдется точка

такая, что

Следовательно, для нее найдется

и точка 2 G ï'n такая, что

Введем обозначение Мп = (J Tk. Каждое множество Мп ограничено, поэтому его плоская мера Лебега конечна, но не меньше площади Тп, то есть |. Мп образуют последовательность вложенных друг в друга множеств, обозначим их пересечение f] Мп = M. По теореме о непрерывности меры [8, с.261] следует, что мера множества M есть предел мер множеств Мп, то есть не менее |. Так как M имеет положительную плоскую меру Лебега, то его 2-мера Хаусдорфа т2М > 0. Следовательно, diniH M = 2. Нам осталось показать, что M = Т. Отсюда и из предложения 1 будет следовать, что dim# L = 2.

Включение M DT очевидно. Покажем, что M СТ. Пусть некоторая точка X G M. Следовательно, она принадлежит всем множествам Мп.

Для каждого натурального п мы можем подобрать точку zn G такую, что p(znjx) < ^. Точка zn G rl\ при некотором к > п. Поэтому в силу леммы 2 найдется точка уп G Тп такая, что p(zn,yn) < ^^_*„,_2.

Ясно, что уп —» ж, поэтому точка ж G Т.

Библиографический список

1. Козырев С. Б. Размерность и самоподобные фракталы / С.Б. Козырев, В.С. Секованов // Труды четвертых Колмогоровских чтений. -Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2006.

2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Институт компьютерных исследований. - 656 с.

3. Пайтген Х.-О. Красота фракталов / Х.-О. Пайтген, П. Х. Рихтер. -М.: Мир, 1993. - 176 с.

4. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991. - 260 с.

5. Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. - М.: Постмаркет, 2000. - 350 с.

6. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы (миниатюры из бесконечного рая). - Научно-издательский центр “Регулярная и хаотичная динамика”, 2001. - 528 с.

7. Falconer К. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. - New York: John Wiley, 1990. - 367 p.

8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1976. - 544 с.

9. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов.- Москва-Ижевск, 2002, 159 с.

Конструктивное решение проблемы построения максимального числа линейно независимых векторных полей на сфере

В.Е. Балабаев

Рассмотрим касательные векторные поля на (га — 1)-мерной сфере S171-1. Как известно, на сферах чётной размерности касательных векторных полей не существует, поэтому ниже исследуются касательные векторные поля на сферах нечётной размерности. Далее, если не оговорено противное, под векторными полями на сферах понимаются касательные векторные поля на сферах.

В данной работе предлагается построение максимально возможного числа линейно независимых векторных полей на сферах любой нечётной размерности, т.е. в общем случае. Ответ на вопрос, каково это максимальное число, окончательно был дан Дж.Ф. Адамсом [1] методами K-теории. Однако, из его теоремы существования нельзя извлечь информацию о свойствах таких полей, которая имеет важное значение в приложениях. До последнего времени проблема построения максимального числа линейно независимых векторных полей на сферах была решена лишь для сфер размерности kl—1, где 1 - любое нечётное число, а к=2,4,8,16 (см. монографию [2. С. 187], где задача решена для сфер размерности 1,3,7,15, откуда нетрудно получить её решение для сфер размерности 21-1, 41-1, 81-1, 161-1).

Настоящая работа опирается на работу [3], в которой построен и изучен класс канонических эллиптических систем первого порядка. При помощи свойств характеристических матриц этих систем удалось построить в общем случае максимальное число линейно независимых векторных полей на сферах.

Заметим, что если на сфере размерности 2ь-1, где b - натуральное число, построено максимальное число М(Ь) линейно независимых векторных полей, то на сфере размерности 1-2ь-1, где 1 нечётно, строится такое же число М(Ь) линейно независимых векторных полей, которые являются 1-кратным “повторением” каждого из М(Ь) векторных полей, построенных на сфере размерности 2ь-1. Из упомянутого выше результата Адамса в формулировке Джеймса [2, с. 187] следует, что это число М(Ь) является максимально возможным и для сферы размерности 1-2ь-1. Поэтому нам достаточно построить максимальное число линейно независимых векторных полей на сферах размерности 2ь-1 для всех натуральных Ь.

Построение полей проведем рекуррентно. Вначале построим максимальное число линейно независимых векторных полей при Ь=1,... ,7. Затем предположим, что максимальное число линейно независимых векторных полей уже построено при b=4i-l (i - натуральное число), и построим максимальное число требуемых полей при b=4i, 4i+l, 4i+2, 4i+3=4(i+l)-l, используя построенные выше поля при b=4i-l.

Обозначим через Vq(xi,. .. ,xm) вектор {xi,... ,xm}, где m=2b. Имеем при Ь=1,т.е. на сфере S1, одно невырожденное векторное поле VÎ(xi,X2) = {-Х2, xi}. При Ь=2, т.е. на S3, получаем 3 линейно независимых векторных поля:

При Ь=3, т.е. на S7, находим 7 линейно независимых векторных полей:

При b=4, т.е. на S15, построим 8 линейно независимых векторных полей:

При Ь=5, т.е. на S , построим 9 линейно независимых векторных полей:

При Ь=16, т.е. на S , построим 11 линейно независимых векторных полей:

При Ъ=7, т.е. на S127, построим 15 линейно независимых векторных полей:

Далее конструкция повторяется. Пусть при b=4i+l (i - натуральное), т.е. на Sm_1, где т=24г_1, уже построены 81—1 линейно независимых векторных полей: V4ï-1(xi,... ,xm)..., Vg*lj[ (xi,... ,xm) при b=4i, 41+1,41+2, 4i+3=4(i+l)-l.

Построим максимальное число 1 линейно независимых векторных полей при b=4i, 4i+l,4i+2,4i+3=4(i+l)—1. При b=4i, т.е. на S 2m_1, строим 8i линейно независимых векторных полей:

При b=4i+l, т.е. на S m , построим 81+1 линейно независимых векторных полей:

При b=4i+2, т.е. на S 8m 1, построим 8i+3 линейно независимых векторных полей:

При b=4i+3, т.е. на S 16m 1, построим 8i+7 линейно независимых векторных полей:

Таким образом, указан способ построения максимального числа линейно независимых векторных полей на сферах размерности 24г-1, 24г+1-1, 24г+2-1, 24г+3-1=24(г+1)_1-1. То, что построенные векторные поля линейно независимы, следует из них ортонормированности, которая была установлена в [3]. Из теоремы Адамса [2. С. 187] вытекает, что их число для каждого случая является максимально возможным. Отметим также, что все построенные выше поля линейны и значит, класса Си. Ортонормированные векторные поля на сфере Sm_1, построенные указанным выше способом, будем называть каноническими.

Замечание. Построение максимального числа линейно независимых векторных полей на нечетномерных сферах неоднозначно. Например, на S7 можно привести следующий максимальный набор ортонормированных и, значит, линейно независимых векторных полей:

На S15 можно построить такой максимальный набор ортонормированных векторных полей:

где для краткости координаты xi,... ,xi6 заменены соответственно числами 1,... ,16.

Рассмотрим некоторые геометрические свойства канонических полей. Пусть V(xi,... ,xm) - одно из канонических полей, рассматриваемое как поле в Rm. Тогда, так поле V порождается постоянной кососимметрической матрицей В, т.е. V=Bx, то (дУг/<9xj) + (<9Vj/дхг)=0.

Поэтому производная Ли евклидовой метрики вдоль этого поля тождественно равна нулю, и значит, любое каноническое поле является полем Киллинга в евклидовом пространстве Rm. Из того, что (dx,dV)=0, следует, что любое каноническое поле является полем Киллинга на сфере S™"1 [2. С. 197].

Найдём для произвольного канонического поля V(xi,... ,xm) линию тока, проходящую через некоторую точку, находящуюся на расстоянии р>0 от начала координат и, значит, лежащую на сфере радиуса р с центром в начале координат. Так как ограничение поля V на является касательным векторным полем на , то линия тока этого поля, проходящая через некоторую точку данной сферы, лежит на этой сфере. По построению поле V определяется как произведение некоторой постоянной ортогональной кососимметрической матрицы В на вектор r={xi,... ,xm}: V=Br. Условие, что данная кривая r=r(s) является линией тока поля V, означает, что она удовлетворяет системе дифференциальных уравнений:

(1)

где s - натуральный параметр. Дифференцируя по натуральному параметру это равенство и учитывая, что В2=-Е, получим

(2)

Обозначим (dr/ds)=ri(s). Так как параметр s натурален, то |ri(s)| = l. Учитывая, что в силу (2) кривизна Ki= |d2r/ds2 \ = 1/р, согласно формулам Френе-Серре для кривой в Rm имеем: d2r/ds2=dri/ds=KiT2(s) = l//0T2(s). Поэтому в силу (2) находим, что T2(s)= (l/p)r(s), и dr2/ds=(-l/p)(dr/ds) = (-l/p)Ti(s). Но по формулам Френе-Серре dr2/ds=-Kin(s) + К2Тз(б). Следовательно, Кг=0, и кривая - линия тока лежит в двумерной плоскости, проходящей через центр сферы, причем ее кривизна равна тождественно 1/р. Значит, проходящая через некоторую точку сферы линия тока любого канонического поля является большой окружностью на этой сфере.

Исследуем голономность канонических полей. Рассмотрим поле V(xi,... ,xm) ={x2,-xi,..., xm,-xm_i} и составим соответствующую этому полю форму Пфаффа: cj=X2dxi-xidx2 + ... + Xmdxm— i xm — i dxm. Внешний дифференциал формы со равен

Из уравнения Пфаффа:

выразим один из дифференциалов, например dxm, и подставим в (3).

Получим

При m>2 dcu 7^0, при т=2, очевидно dcü=0 в силу уравнения (4). Значит, согласно теореме Фробениуса [2. С. 147] поле V голономно лишь при т=2. Так как любое каноническое поле в Rm может быть получено из поля V при помощи ортогонального преобразования, которое не изменяет его голономности или неголономности, то любое каноническое поле голономно лишь при т=2.

Изучим голономность распределений совокупности канонических полей. В силу теоремы Фробениуса [2. С. 147] распределение совокупности полей Ai = {aJ,..., а1^},..., Afc={ai,..., а^} голономно тогда и только тогда, когда внешние дифференциалы форм

равны нулю в силу системы lüi=0,. .., Шк=0-

Рассмотрим канонические поля в R4:

Исследуем голономность распределений пар векторных полей: {V!, Vi}, {Vf, V§} и {Vi, V§}. Установим, что распределения этих пар голономны. Доказательство проведём для пары {V?, Vi}, для остальных оно аналогично. Составим соответствующие полям Vf и Vi формы Пфаффа:

Находим их внешние дифференциалы

(5)

Из системы Пфаффа:

(6)

найдем дифференциалы dxi и dx2:

Подставив dxi и dx2 в (5), получим, что düoi =0 и dc^2 =0 в силу системы (6). Согласно теореме Фробениуса это означает, что распределение пары {V?, Vi} голономно в R4.

С другой стороны, распределения пар векторных полей {Vq, V?}, {Vo, Vi}, {Vq, V|} неголономны ни в одной области R4.

Действительно, рассмотрим пару {Vq, V?}. Составим для полей Vq и V? формы Пфаффа:

Вычислим düJo и düJi:

(7)

Из системы Пфаффа:

(8)

найдем дифференциалы dxi и dx2 и подставим их в du г:

Получим, что

Это значит, что dcji фО в силу системы (8), т.е. по теореме Фробениуса распределение пары {Vq, Vf} неголономно ни в одной области R4. Аналогично устанавливается, что распределение пар {Vq, V2} и {Vq, Vf} также неголономны и в одной области R4.

Заметим,что из установленного выше следует, что в R4 имеется три примера ортогональных друг другу распределений пар полей, одно из которых голономно, а другое неголономно:

Нетрудно показать, что пространство R4 является исключением, так как в пространствах большей размерности распределения пар канонических полей неголономны. Покажем это, например, для пары полей

в пространстве Rmразмерности m кратной четырем. Составим для полей Vi и V2 формы Пфаффа:

Вычислим dcüiH düü2'.

(9)

где точками заменены члены, не содержащие dxi,..., dxs. Из системы Пфаффа:

(10)

найдем dxiH dx2. Обозначая через = Х1Х3+ Х2Х3, имеем

где точками заменены члены, не содержащие dx3 и dx7. Подставляя найденные значения dxiH dx2 в первое равенство (9), находим, что dcoi =

где

точками заменены члены, не содержащие dxзДdx7. Отсюда следует, что

duji т^О в силу системы (10), значит, согласно теореме Фробениуса распределение пары полей {Vi, V2 } неголономно ни в одной области Rm.

Аналогично показывается, что распределение пары векторных полей {Vo, Vi }, где Vo={xi,... ,xm}, Vi={x2,-xi,... ,xm,-xm_i}, неголономно ни в одной области Rm, где m четно.

Переходя к исследованию голономности распределений троек векторных полей, заметим, что в R4 распределение тройки любых из четырех векторных полей Vq, Vf, V2, V§ голономно. Это следует из того, что из системы Пфаффа, составленной для любой такой тройки, можно выразить все дифференциалы через один из них, например, dxi, и, подставив их значения в выражения для внешних дифференциалов соответствующих форм Пфаффа, получить, что все они тождественно равны нулю в силу системы Пфаффа. Это означает по теореме Фробениуса, что каждое рассматриваемое распределение векторных полей голономно. Действуя также, как и выше (см. также [2. С. 196]), можно показать, что пространство R4 и в данном случае будет исключением. В пространствах большей размерности распределение любой из троек канонических полей и Vo неголономно ни в одной области Rm, где m кратно четырем.

Рассмотрим векторные поля в R8. Так же, как и выше для троек полей в R4, можно установить, что распределение семерки любых из восьми векторных полей Vq, V?,..., V7 голономно.

Перейдем к распределению шестерок канонических полей в R8. Покажем, что распределение шестерки любых из семи канонических полей V?,..., V? голономно в R8. Приведем доказательство, например, для шестерки {V?,..., У б}- Для доказательства будем исходить из геометрического определения голономности. Будем говорить, что распределение совокупности гладких полей {Ai,...,Afc} (к<ш) голономно в области G С Rm, если для любой точки области G существует (m-k) - мерная поверхность в G, содержащая эту точку и ортогональная к Ai,... ,А&. В противном случае их распределение назовем неголономным.

Действительно, векторные поля Vq и V7 ортогональны к полям V?,..., Yq всюду в R8. Пусть Mo произвольная точка пространства R8, находящаяся на расстоянии р>0 от начала координат. По доказанному выше линия поля V7, проходящая через точку Mo, является большой окружностью на этой сфере. Так как данная большая окружность касается векторного поля V7, то плоскость этой большой окружности ортогональна каждому из векторных полей V?,..., Yq. Отсюда следует, что существует двумерная плоскость, проходящая через точку Mo и ортогональная к V?,..., Vg в R8.9to означает по определению, что распределение шестерки полей {V?,..., Yq} голономно в R8. Для остальных шестерок канонических полей доказательство аналогично.

Заметим, что из установленного выше следует, что в R8 можно привести семь примеров ортогональных друг другу распределений векторных полей, одно из которых - распределение шестерки голономно, а другое - распределение пары неголономно, в частности, распределение шестерки {Vf,..., V|} голономно, а распределение пары {V§,..., V?} -нет.

Вычислим главные кривизны второго рода любого нормированного канонического поля. Для этого составим характеристическое уравнение det((<9Vy<9xj) + Xôij)=0, где V* - компоненты единичного векторного поля V={x2,-xi,..., xm,-xm_i}/( xf + ... + х^)1/2, определенного всюду в Rm кроме начала координат. Несложный подсчет показывает, что характеристическое уравнение для определения главных кривизн второго рода для поля V имеет вид

(11)

Отсюда следует, что корни А=0А = ±i/(x! + ... +xm) 1 являются главными кривизнами второго рода поля V, причем мнимые корни имеют кратность (ш-2)/2 (один из корней А=0, существующий всегда в силу единичности поля V, отбрасывается). Так как любое нормированное каноническое поле получается из поля V ортогональным преобразованием, то главные кривизны второго рода такого поля будут те же, что и выше. Обозначая m=2n, р =(х? + ... +х2п)1^2 и записывая уравнение, определяющее главные кривизны второго рода А,..., \2n-1 подробнее, имеем

Приравнивая коэффициенты этого уравнения и уравнения, определяющего симметрические функции этих кривизн:

убеждаемся, что все нечетные симметрические функции равны нулю, а четные определяются формулами: S2i= Сгп_гр~2г (i=l,... ,п-1).

Найдем вектор кривизны Р любого нормированного канонического поля V в Rm/{0}. Как известно [2. С. 134], вектор кривизны Р единичного поля V может быть выражен через симметрические функции главных кривизн второго рода S, (j = l,... ,m-l) по формуле:

(12)

где векторы К* (i=l,... ,m-l) определяется последовательно

Здесь через Vb обозначается вектор с компонентами

(производная вектора b вдоль вектора а). Вычисляя

находим, что

Значит,

Векторное поле V вдоль радиуса сферы не меняется, поэтому К 2 = VkiV=0, Кг=0 (1=2,... ,m-l).

Учитывая, что m четно и так как нечетные симметрические функции главных кривизн второго рода поля V равны нулю, по формуле (12) получаем, что P=-Sm_2Ki = p2_mr/p2=r/pm.

Степень d отображения сферы S^-1 радиуса R на единичную сферу Sm_1, которое порождается полем V, можно определить формулой [2. С. 133].

(13)

где iüm-i - объем сферы Sm_1, 7 - единичная нормаль к S^_1.

Подставляя в (13) (P,7) = (r/Rm, г/ R)=Rm_1 и учитывая, что объем сферы S^_1 равен Um-i Rm_1, получим, что d=l.

Библиографический список

1. Adams Y.F. Vector fields on spheres, Ann, of Math., 75. № 3 (1962). P. 603-632.

2. Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990.

3. Балабаев В.Е. Канонические эллиптические системы первого порядка. Дифференц. уравнения, 27. № 12. 1991. С. 2032-2094.

Статистические оценки потенциалов случайных полей

М.Б. Аверинцев

Статистические оценки потенциалов случайных полей находят применение при описании случайных полей различной природы, в частности, при цифровой обработке изображений и в задачах распознавания образов. Потенциалы могут быть использованы для описания структурных свойств изображения.

Следуя [1-3], рассмотри случайное поле £ (t) на n-мерной целочисленной решетке Zn со значениями в конечном множестве X.

Пусть x(t),t G Zn, функция, принимающая значения в X, У С Zn, V— конечное множество. Обычно в качестве V берется параллелепипед, состоящий из таких t = (t1, t2,tn) G Zn, что все |£г| < L. Граница dV множества V состоит из таких точек t G Zn, t £ V, что расстояние от t до V равно 1.

Распределение случайного поля имеет гиббсовский вид:

(1)

Выражение Н(х(-), V) называется гамильтонианом и зависит от функций, называемых потенциалами, которые описывают взаимодействие между точками на решетке. Мы рассмотрим потенциалы двух видов - одночастичный fit(x) и двухчастичный Ut,s(x,y), зависящие от точек на решетке t и s и значений случайного поля в этих точках ж, у G Х. Иногда рассматривают и более сложные потенциалы, зависящие от трех и большего числа точек. В рассматриваемом нами случае гамильтониан имеет вид:

(2)

Для упрощения дальнейшего изложения предположим, что парный потенциал является близкодействующим, т.е. он обращается в нуль в случае, когда расстояние между точками больше 1. Кроме того предположим, что п = 1 и потенциалы являются трансляционно-инвариантными, т.е. не зависят от сдвигов по решетке, в этом случае надо рассмотреть только два потенциала:

Предположим также, следуя [2], что парный потенциал является вакуумным, т.е. существует такой элемент со G X, что U(cü,y) = U(x,cü) = О при всех ж, у G Х. Свойство трансляционной инвариантности позволяет получать оценки частот по всей реализации случайного поля и аналогично свойству эргодичности случайного процесса.

Выберем произвольную точку t\ G Zyl точку ti — t\ + 1 и введем в рассмотрение следующие вероятности:

Заменим эти вероятности их оценками f*(xi) и /2(^1,^2) равными частотам появления значений ii в произвольной точке реализации случайного поля и значений ж1,ж2 в двух произвольных соседних точках реализации случайного поля.

Статистические оценки потенциалов будем получать методом выключения взаимодействия, предложенным Кирквудом [7]. Рассмотри

его в простейшем случае, когда X = {0; 1}, и найдем оценки для одночастичного потенциала \i = Дг(1) и двухчастичного потенциала и = C/t,s(l51), \t — s\ = 1. Предположим также, что 0 - вакуумное состояние.

Рассмотрим вероятность /i(l) при условии, что в остальных точках поле равно 0, тогда согласно (2), (3)

Метод выключения взаимодействия состоит в том, что в гамильтониане (3) некоторые потенциалы снабжаются множителем, который меняется от 0 до 1. При значении 0 данное взаимодействие выключается, а при значении 1 полностью включается, при остальных значениях множителя получаем поле с промежуточным взаимодействием.

Обозначим данный множитель буквой g,0 < g < 1. Для рассмотренной вероятности мы получим выражение

Далее составляется дифференциальное уравнение для данной функции, которое получается путем дифференцирования данного выражения по д. Начальное условие соответствует отсутствию взаимодействия и поэтому функция при g = 0 легко находится. В данном случае это уравнение мало содержательно, поэтому сразу напишем получающуюся оценку одночастичного потенциала:

Для получения оценки двухчастичного потенциала рассмотрим функцию

Дифференцируя эту функцию по g после несложных преобразований получаем дифференциальное уравнение Бернулли:

его решение:

При g = 0 получаем независимое распределение с потенциалом поэтому

Отсюда находим, что

Переходя к статистическим оценкам и учитывая, что /2(1,1; 1) = /2(1,1), получаем:

ид* - полученная ранее оценка потенциала \i.

Аналогичным способом можно получать оценки потенциалов и в более сложных случаях. В общем случае вместо одного уравнения получается система дифференциальных уравнений.

Полученные оценки будут состоятельными, так как они являются непрерывными функциями от состоятельных оценок частот [4, 5].

Основные практические применения полученных результатов связаны с обработкой изображений, т.е. со случаем п = 2 [6]. В качестве вакуумного состояния обычно берут наиболее часто встречающееся состояние. Заметим, что данный метод применим к случайным полям на решетке произвольной размерности, количество значений, которые может принимать случайное поле также не имеет принципиального характера.

Библиографический список

1. Georgii H. О. Gibbs measures and phase transitions. Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1988.

2. Averintsev М.В. Gibbs description of random fields whose conditional probabilities may vanish. Probl. Inform. Transmiss. 11, 1975.

3. Малышев В.А., Минлос Р.А. Гиббсовские случайные поля. Метод кластерных разложений. М.: Наука. 1985.

4. Соколов Г.А., Чистякова Н.А. Теория вероятностей. М.: Экзамен. 2005.

5. Соколов Г.А., Гладких И.М. Математическая статистика. М.: Экзамен. 2004.

6. Maruani A., Pechersky Е., Sigelle M. On Gibbs fields in image processing. Markov Processes Relat. Fields. 1, 1995.

7. Квасников Н.А. Статистическая физика. М.: УРСС. 2002.

Проверка гипотезы о “дрейфе” параметров в ARMA и ARCH моделях

М.В. Болдин, И. Г. Эрлих

1. Введение

В этой работе мы строим тесты для проверки гипотезы о том, что параметры авторегрессионных моделей постоянны, против альтернативы о том, что они меняются (“дрейфуют”) во времени. Тестовые статистики являются функционалами от последовательных процессов. Подобные процессы давно используются во временных рядах для решения задач типа “change-point”.

Начнем с примера задачи, рассматриваемой в этой работе. В [1] проверялась гипотеза H о том, что наблюдения г^о, и\,..., ип суть выборка из строго стационарного решения AR(1) модели

Здесь {et} - независимые одинаково распределенные случайные величины (н.о.р.с.в.), Жег = 0, E|£i| < сю, е\ имеет функцию распределения G(x) и плотность g(x), G(0) = 1/2.

Альтернатива Ап состояла в том, что наблюдения г^о, и\,..., ип порождаются моделью

последовательность {Ьщ} неизвестна,

и для некоторой функции

верно

Здесь и далее предельные переходы при п —» сю.

Так как дисперсия et, вообще говоря, бесконечна, оценкой ß при H бралась специальная оценка - медиана массива {щ/щ-г} , t = 1,... ,п. Обозначим ее ßn. При некоторых естественных условиях регулярности для g при гипотезе H справедливо разложение

Согласованно (и это существенно) с последним разложением строился последовательный случайный процесс

Следствием этого согласования является сходимость при H

где v(V) - броуновский мост.

Показывается также, что при альтернативе Ап

Тестовая статистика для проверки H против Ап, например, а;2 = Jo ßn)dis, она асимптотически свободна.

Содержательной, в особенности, для приложений является задача распространения результатов [1] на линейные и нелинейные многопараметрические модели временных рядов. В данной работе рассмотрены общеупотребительные в приложениях модели ARMA(p,q) и ARCH(p).

2. Постановка задачи и результаты для ARMA(p,q) модели

Рассмотрим гипотезу Н, при которой наблюдения иг-р,..., ип порождаются ARMA(p,q) моделью

(1)

{etj t ^ 1} - н.о.р.с.в., имеют возможно неизвестную плотность д(х), Esi = 0, Ее2г < оо.

На неизвестные параметры модели накладываются стандартные ограничения: характеристические полиномы

не имеют корней при \z\ ^ 1, а также не имеют общих корней.

В качестве альтернативы к H рассмотрим предположение Ап: наблюдаемые ui-p,..., ип порождаются моделью

(2)

с нулевыми начальными условиями,

Все прочие предположения, сделанные для модели (1), сохраняются для модели (2).

Введем обозначения:

Будем предполагать, что

для некоторой функции с(у) G Dp+q[0,1] (Dp+<?[0,1] - прямое произведение p+q экземпляров D[0,1])

(3)

Обозначим в = (Oi,... ,вр+д)т. Определим остатки в модели (1) рекуррентным соотношением

В качестве оценок для неизвестного вектора с и при Н, и при Ап будем рассматривать М-оценки, которые определяются как решение системы уравнений

(4)

Если в (4) положить ф(х) = 9д^, то получается система уравнений максимального правдоподобия.

Пусть et = (vt, ■ • • i/t-p+i,Mt, • • • ,Mt-g+i)T , где {ist} и {/it} суть стационарные решения уравнений авторегрессии

Заметим, что матрица информации Фишера 1п(с) о векторе с, содержащейся в наблюдениях ui-p,..., ип, эквивалентна п • i(g)Fe\J(c). Здесь i(g) - информация Фишера плотности g относительно сдвига, Ее? J (с) - матрица ковариации вектора et, J (с) > 0.

Будем предполагать, что ф(х) удовлетворяет одному из двух следующих условий.

Условие (Ml):

(i): функция ф дифференцируема, ф' удовлетворяет условию Липшица;

Далее, в случае интегрирования по всей действительной прямой, пределы интегрирования указываться не будут.

Условие (М2)

Утверждение 1. Пусть верна альтернатива Ап. Пусть выполнено либо Условие (Ml), либо Условие (М2) при дополнительном условии непрерывности ф. Тогда с вероятностью стремящейся к 1, существует л/п-состоятельное решение сп системы уравнений (4)- Любое такое решение допускает разложение

(5)

Последнее разложение влечет сходимость по распределению

Рассмотрим остаточный последовательный процесс, согласованный со способом оценивания (2.4),

где Jn и - состоятельные при Ап оценки матрицы J (с) и константы Еф2(ег) -Eel

Теорема 1. Пусть выполнено Условие (Ml) или Условие (М2). Пусть сп справедливо разложение (5). Тогда при гипотезе H процесс vn(^) слабо сходиться в Dp+q[0,1] к (р+с)-мерному процессу v(^)7 компоненты которого суть независимые броуновские мосты.

При альтернативе Ап vn(^) слабо сходится в Dp+(?[0,1] к v(^) + ö(y), где сдвиг

В качестве тестовой статистики рассмотрим статистику

Асимптотическое распределение Со^ при H известно и свободно от параметров модели. При Ап асимптотическое распределение си^ совпадает с распределением max | [vs(V) + ôs(v)]2 du, s = 1,... ,p + ç|, vs(^) и ôs(v) - s-bie компоненты v(^) и S (и).

Наша тестовая статистика зависит от функции ф, о)2 = а;2 (ф). Покажем, как можно выбрать ф наилучшим образом. Для этого введем понятие относительной асимптотической эффективности (ОАЭ) статистики ujni^i) относительно статистики о)2 (ф2)-

Для V7 > 0 определим альтернативу An(j), при которой верна модель (2) с коэффициентами ai + п~1//2'уа^1 bj + n~1//2/yb™j. ОАЭ тестовой статистики Со^фх) относительно тестовой статистики со21(ф2) мы назовем такое положительное число ei,2 = е (фг,ф2) , что при An(ei,2) статистика ^(^г) имеет такое же асимптотическое распределение, что и cjj(^i) при Лп. Тогда при ei,2 > 1 статистика o)2(^i) лучше о)2 (^2), поскольку Ап “ближе” к Н, чем (ei,2), а распознают они их одинаково.

В условиях теоремы 1 так определенная ОАЭ существует, единственна и имеет вид е(ф\,ф2) = \с(ф2)с~г (фг)\.

Пусть Ф = {ф} - класс функций, для которых выполнено Условие (Ml) или Условие (М2), справедливо разложение (5) и, вдобавок,

Если функция фмь(х) := 9д^ G Ф, то с помощью неравенства Коши-Буняковского нетрудно получить, что

Следовательно тест со статистикой сОп(Фмь) будет асимптотически оптимальным.

Таким образом, наилучший тест будет получаться тогда, когда уравнение (4) есть уравнение максимального правдоподобия. Оценка максимального правдоподобия является асимптотически эффективной, т.е. наилучшая оценка наследует наилучшему тесту.

Представленные в разделе 2 результаты типичным образом справедливы для всего класса моделей с аддитивными шумами.

3. Постановка задачи и результаты для ARCH(p) модель

Рассмотрим гипотезу Н, при которой наблюдения иг-р,..., ип порождаются ARCH(p) моделью

(6)

В (6) as > 0 для s = О,1,... ,р, {cLs} - неизвестные параметры; {et} - и.о.р.с.в. с возможно неизвестной плотностью д(х), д(х) > О при всех ж, Жег = О, Ее? = 1.

Будем обозначать {u®,t ^ 1— р} строго стационарный предел для щ.

В качестве альтернативы к H будем рассматривать предположение Ап, при котором ui-p,..., ип порождаются моделью

(7)

с нулевыми начальными условиями

коэффициенты неизвестны. Все прочие предположения, сделанные для модели (6), сохраняются для модели (7).

Положим

Будем предполагать, что для некоторой функции ai

(8)

Пусть

Пусть

если последнее выражение больше нуля, и, например, единица, в противном случае;

Стоит отметить, что при H информация Фишера 1п(а) о векторе а, содержащаяся Btii,...,nn, эквивалентна

Здесь и далее и°_х = (г^-i, •.. ,uQt_p)T .

В качестве оценки вектора а и при H, и при Ап будем использовать М-оценку, получаемую решением системы уравнений

(9)

где {et(ß)} суть остатки, определенные соотношением £t(0) = щсг 1 (и*_1, в), ф - априорно выбранная скалярная функция.

Если в (9) положить ф(х) = 1 + х , то получается система уравнений максимального правдоподобия.

Будем предполагать, что ф удовлетворяет одному из двух следующих условий.

Условие (Ml):

(i): функция ф(х) дифференцируема, ф'(х) удовлетворяет условию Липшица;

Условие (М2):

(i): ф(х) имеет ограниченную вариацию;

Утверждение 2. Пусть верна альтернатива Ап. Пусть выполнено либо Условие (Ml), либо Условие (М2) при дополнительном предположении непрерывности ф(х). Тогда с вероятностью, стремящейся к единице, система уравнений (9) имеет у/п-состоятельное решение ап. Любое такое решение допускает разложение

(10)

Последнее разложение влечет сходимость по распределению

Рассмотрим последовательный остаточный процесс, согласованный со способом оценивания (9),

где Jn и s2 состоятельные при Ап оценки матрицы J (а) и константы

Теорема 2. Пусть выполнено Условие (Ml) или Условие (М2). Пусть для ап справедливо разложение (10). Тогда при гипотезе П процесс wn{y) слабо сходиться в Dp+1[0,1] к (р + 1)-мерному процессу v(V), компоненты которого суть независимые броуновские мосты.

При альтернативе Ап vn(V) слабо сходится в Dp+1[0,1] к v(V) + ö(v), где сдвиг

Тестовая статистика, как в разделе 2,

Асимптотическое распределение Со\ при П известно, оно свободно от параметров модели. При Ап асимптотическое распределение un совпадает с распределением

Переобозначим иоп через иЪп(ф). АОЭ ei,2 = е(фг,ф2) теста со статистикой сип(фг) относительно теста со статистикой о)2{Ф2) определяется как в разделе 2.

В условиях теоремы 2 ОАЭ существует, единственна и имеет вид

Пусть Ф = {ф} - класс функций, для которых выполнено Условие (Ml) или Условие (М2), справедливо разложение (10) и, вдобавок,

Если функция фмь(х) := 1 + x^Jyj~ £ ^ то опять, как в разделе 2, с помощью неравенства Коши-Буняковского получаем, что е(фмь,Ф) ^ 1 для любой ф G Ф. Следовательно тест со статистикой (2>п(Фмь) будет асимптотически оптимальным.

Представленные в разделе 3 результаты типичным образом справедливы для всего класса моделей с мультипликативными шумами.

Библиографический список

1. Boldin M.V. On median estimates and tests in autoregressive models, Math, mathods Statist., 3(1994). 2. P. 114-129.

Моментное и максимальное неравенства для сумм зависимых случайных величин1

Н.Ю. Крыжановская

1. Введение и формулировка основного результата

Моментные и максимальные неравенства являются важнейшими инструментами доказательства предельных теорем для случайных процессов и полей (см., напр., [1-3]). Достаточно упомянуть классические неравенства Хинчина, Марцинкевича-Зигмунда и Розенталь, установленные при определенных условиях для последовательностей независимых случайных величин. При получении моментных и максимальных неравенств для сумм зависимых мультииндексированных слагаемых возникают дополнительные сложности. Они обусловлены как структурой зависимости рассматриваемых величин, так и конфигурацией множеств, по которым ведется суммирование [3-4].

Результаты данной работы обобщают неравенства, доказанные в [4], на случай, когда суммирование слабо зависимых случайных величин ведется по произвольным конечным множествам, а не только по “целочисленным параллелепипедам”. Для этого автором предложен новый вариант метода секционирования Бернштейна.

Чтобы описать структуру зависимости поля X = {Xj, j G Ъа}, напомним (см., например, [3]) некоторые определения. Семейство действительных случайных величин X = {Xj, j G Zd} называется ассоциированным или положительно зависимым, если для любых конечных множеств 1,3 С Т и всех борелевских покоординатно неубывающих ограниченных функций / : M'7' M, g : —> R выполнено неравенство

(1)

При дополнительном ограничении, что множества / и J не пересекаются, соотношение (1) вводит слабую ассоциированность или положительную ассоциированность, а аналог (1) с неравенством противоположного знака задает отрицательную ассоциированность.

1 Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, грант № 07-01-00373-а.

Отметим, что любое семейство независимых действительных случайных величин автоматически будет ассоциированным. Более сложные ассоциированные структуры возникают при исследовании решений стохастических дифференциальных уравнений, полей дробового шума, кластерных случайных мер и др. Заслуживает внимания теорема Бертона-Уэймира-Эванса об ассоциированности безгранично делимой случайной меры, заданной на польском пространстве. Кроме того, теорема Питта и теорема Ли, Рачева и Самородницкого дают соответственно критерии ассоциированности гаусовской системы и устойчивого случайного вектора. В качестве примеров отрицательной ассоциированности можно отметить модели, связанные с порядковыми статистиками, и системы пространственных электрических сетей. С понятием ассоциированности тесно связаны знаменитые ФКЖ-неравенства Фортуина, Кастелейна и Жинибра и известные теоремы Холли и Престона. Эти результаты играют большую роль в статистической физике, теории перколяции и теории надежности.

Мы будем рассматривать (BL, в)— зависимые случайные поля, заданные на решетке Ъа (d > 1). Этот класс случайных систем был введен А.В. Булинским и Ш. Сюкэ в 2001 году [5].

Определение 1 [5]. Случайное поле X = {Xj,j G %d}, принимающее действительные значения, называется (ВL, в) — зависимым, если существует монотонно стремящаяся к нулю при г —» сю положительная последовательность в = {вг}геп такая, что для любых конечных непересекающихся множеств /, J С Ъа и любых ограниченных липшицевых функций /: R'7' —> R, g: R'j' —> R верно неравенство

В [6] показано, что любое семейство положительно или отрицательно ассоциированных случайных величин с конечным вторым моментом удовлетворяет неравенству

(2)

Поэтому при выполнении условия конечной восприимчивости (для стационарного в широком смысле поля, означающего суммируемость ковариационной функции), предложенного Ч. Ньюменом [7], такие случайные поля будут (BL, #)-зависимыми. Тем самым неравенства типа (2) позволяют единообразно рассматривать как положительно, так и отрицательно зависимые системы. Более того, имеются примеры (BL, 0)-зависимых полей, которые не являются ассоциированными (см. [3] и [8].

Будем рассматривать поле X, удовлетворяющее следующим условиям:

1°. Ds := sup Е \Xj\s < оо для некоторого s > 2.

2°. X является (BL, в)— зависимым центрированным случайным полем, причем 0Г < сог_Л, r G N, для некоторого Л > dip (s), где s фигурирует в 1°, а функция ф(в), введенная в [4], имеет вид

здесь to ~ 2.1413 - наибольший корень уравнения t3 + 2t2 — 7t — 4 = 0.

Блоком будем называть множество W— ((ai, bi] х- • -х (a^, 6d])nZd, где <2г, bi G Z, ai < bi, i = 1,..., d. Для произвольного конечного множества U С Zd положим S(U) = ^2jEU Xj и определим множество Vu С Zd, как минимальный блок, содержащий множество U. Пусть

здесь максимум берется по блокам W, лежащим в Vu.

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1° и 2°. Тогда для произвольного конечного множества U С Ъа, некоторых ô > 0 и С > 1, зависящих только от d, s, Ds, А и со, справедливы неравенства

(3)

где \U\ - мощность множества U, А - константа, зависящая от d и Ô.

Замечание. Аналогично [9] можно указать явное выражение для 6 в зависимости от значений параметров d, s и Л.

2. Секционирование множеств

Для получения первого неравенства в (3) используются следующие теоремы о секционировании конечных подмножеств целочисленной решетки. Отметим, что эти результаты являются дискретными аналогами результатов М.А. Лифшица [10] и А.В. Булинского [2. С. 46] и представляют самостоятельный интерес.

Пусть /(£) - плотность по мере Лебега некоторого распределения вероятностей в BLd, причем

(4)

где а > 0. Для произвольного единичного вектора т G Ша и любого е > 0 введем функцию концентрации

Теорема 2 [10]. Пусть выполнено (8). Тогда для каждого d > 3 имеется такая постоянная Cd > 0, что для любого s > 0 существует единичный вектор т— r(/,£:)GlRd7 для которого Q(r,è) < Cd& s.

Будем говорить, что множества W\ и W2 из Ша отделены слоем толщины £, если найдутся единичный вектор т G Ша и число b G Ш такие, что Wi С {t G Rd: (r,t) < b} и W2 С {t G Rd : (r, t) > b + s}. Для заданного семейства неотрицательных чисел Л = {ajjj £ и любого множества U С Zd определим меру ha(U) = J2jEU aj-

Теорема 3. Предположим, что натуральное d ф 2 и

Тогда для любого е > 1/2 существует разбиение Zd на непересекающиеся множества U\, U2, U3 и U4 такие, что

1) Ui и U а отделены слоем толщины 2е;

2) Ui и U3 U U а, а также U4 и U\ U U2 отделены слоями толщины

Для случая d = 2 используется следующий результат.

Теорема 4 [2. С. 46]. Пусть V - измеримое множество в Ш2. Тогда для любого 7 > 0 существуют такие полуплоскости Р\ и Р2, отстоящие на расстояние р(Р\,Р2) = jfi1//2 (V), что

где /i(-) - мера Лебега, а С2 - некоторая абсолютная константа.

Следствие 1. Пусть U - произвольное конечное подмножество Zd, для которого \U\ > (Md)d, и ( - такое число, что 0 < ( < (4/15)Md"17 где М2 = 16С2/\/тт, a Md (d ф 2) и С2 фигурируют соответственно в теоремах 3 и 4. Тогда, если Cl^l1^ > 1/2, то найдется разбиение U на множества U\, U2, U3 и U4 такие, что

Теорема 5. Пусть U С Ъа (d > 1) - конечное множество, для которого \U\ > 1. Пусть А = {dj, j G Zd} - такой массив действительных чисел, что 0 < ат-1П < o,j < ûmax для некоторых ат-1П, атах и всех j G U. Тогда множество U можно разрезать гиперплоскостью, перпендикулярной одной из осей координат, на два подмножества U\ и U2 так, чтобы

Следствие 2. Любое конечное множество U cZd (\U\ > 1) можно разрезать гиперплоскостью, перпендикулярной одной из осей координат, на два таких подмножества U\ UU2, что (4d— I)-1 <|C/i|/|C/2|<l.

Это следствие легко получить, если в теореме 5 положить Oj = 1 для всех j G Zd. Подробные доказательства приведенных результатов даются в [11]. В следующем разделе намечен путь получения нового неравенства для максимумов частных сумм.

3. Максимальное неравенство

Для доказательства максимального неравенства теоремы 1 применяется следующий результат, являющийся следствием теоремы Морица.

Теорема 6 [12]. Пусть а > 1, 7 > 1 и задан массив действительных чисел {uj > 0, j G Zd}. Предположим, что для любого блока V С Ъа справедливо неравенство

Тогда для любого блока V имеем

Для получения второго неравенства в (3) фиксируем множество U. Введем новое поле X* = {X*, j G Zd} с элементами X* := Х3 l{j G U}, где ï{B} обозначает индикатор события В. Для каждого конечного множества W С Zd положим S*(W) := J2jEW X*. Пусть V - произвольный блок в Ъа'. Тогда, применяя первое неравенство в (3) для множества V HU, имеем

Теперь, используя теорему 6

получаем, что

для каждого блока

(5)

где А - константа, зависящая от d и 6,

максимум берется по блокам W, лежащим в V. Теперь возьмем блок V = Vu. Тогда

(6)

Таким образом, из (5) и (6), учитывая, что U П V = U, получаем требуемое неравенство теоремы 1.

Библиографический список

1. Петров, В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин // М.: Наука, 1987.

2. Булинский, А.В. Предельные теоремы в условиях слабой зависимости // М.: Изд-во МГУ, 1989.

3. Bulinski, A., Shashkin, A. Limit Theorems for Associated and Related Random Systems // World Sci., Singapore, 2007.

4. Bulinski, A. V., Shashkin, A.P. Strong invariance principle for dependent random fields // IMS Lect. Notes - Monograph Series, 2006. V. 48. P. 128-143.

5. Bulinski, A., Suquet, С Normal approximation for quasi-associated random fields // Statist. Probab. Lett., 2001. V. 54. № 2. P. 215-226.

6. Булинский, А.В., Шабанович, Э. Асимптотическое поведение некоторых функционалов от положительно и отрицательно зависимых случайных полей // Фундам. и прикл. матем., 1998. V. 4. Р. 479-492.

7. Newman, С.М. Normal fluctuations and the FKG inequalities // Comm. Math. Phys., 1980. V. 74. № 2. P. 119-128.

8. Shashkin, A.P. A weak dependence property of a spin system // Transactions of XXIV International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Yurmala, Latvia, 2004. P. 30-35.

9. Bulinski, A., Kryzhanovskaya, N. Convergence rate in CLT for vector-valued random fields with self-normalization // Probab. Math. Statist., 2006. V. 26. № 2. P. 261-281.

10. Лифшиц, М.А. Секционирование многомерных множеств // Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей, Изд-во ЛГУ, Ленинград, 1986. Р. 175-178.

11. Крыжановская, Н.Ю. Моментное неравенство для сумм мультииндексированных зависимых случайных величин // Матем. заметки, 2008. Т. 84. № 1.

12. Mariez, F. A general moment inequality for the maximum of the rectangular partial sums of multiple series // Acta Math. Hung., 1983. V. 41. № 3-4. P. 337-346.

О новой постановке краевой задачи для линеаризованнрй системы гидромеханики

Н.М. Курбатова

В гидродинамике [4] рассматривается система

(1)

Эта система описывает обтекание жидкостью или газом твёрдого тела.

А.И. Янушаускас [5] в результате линеаризации на частном решении, получил систему

(2)

где (р(х,у)— произвольная функция, удовлетворяющая уравнению

Ui,Vi,Wi - частные решения системы (2). Заменяя переменные

преобразуем систему (3) к виду

(3)

Умножив первое уравнение системы (4) на (рХу, второе - на ipyy и, полагая что (рху + <руу ф 0, сложим, получим

(4)

Умножив первое уравнение системы (4) на (рХх, второе - на (рху и, полагая что (рхх + (рху ф 0, сложим, получим

(5)

Последнее уравнение системы (4) преобразуется к виду

(6)

здесь cü(x,y) = (f Ix + ipxy Заметим, чтосо(х,у) > 0. Введём новые обозначения

Получим систему

Рассмотрим систему с постоянными коэффициентами при условии, что uj > 0

(7)

Эта система составного типа, т.к. её характеристическое уравнение имеет вид

т.е. в каждой точке области определения система имеет действительные и комплексные характеристики. Следовательно, система (7) составного типа. Выразив из второго и третьего уравнений системы функции С/и V, получим

(8)

заметим, что при

Подставляя соотношения (8) в первое уравнение системы (7), получим

(9)

Из соотношения (9) при z — 0 получаем

(10)

Продифференцируем уравнение (10) по переменной z, получим

(11)

Совокупность уравнений (10) и (11) эквивалентна уравнению (9).

Для доказательства эквивалентности достаточно убедится в том, что из (10) и (11) следует уравнение (9). В самом деле: проинтегрируем уравнение (10) по переменной z, получим

при z = 0 отсюда следует, что

Учитывая соотношение (10), получим x(xiV) — фх + фу. Таким образом, эквивалентность совокупности уравнений (10-11) уравнению (9) доказана.

Уравнение (11) преобразуем так, чтобы оно содержало только функцию W. Для этого предположим, что — ^j2-, затем в уравнение (11) подставим значение суммы Ux + Vy из первого уравнения системы (7). В это же уравнение вместо Ux и Vy подставим их значения из второго и

третьего уравнений системы (7). На коэффициенты системы введем дополнительные ограничения: азг = О, 022 = 0, при этих условиях система (7) сводится к эквивалентной системе

(12)

Первое уравнение системы (12) эллиптического типа, второе и третье уравнения Вольтера второго рода. В более ранних работах [1 — 3] для систем подобной структуры краевая задача ставилась следующим образом: система рассматривалась в ограниченной области D, расположенной в полупространстве z > 0, граница Г которой состоит из поверхности Ляпунова S, лежащей в полупространстве z > 0, и куска Е плоскости z = 0. Поверхность S однозначно проектируется на Е, и с плоскостью z = 0 пересекается однозначно. Для эллиптического уравнения ставилась, например, задача Дирихле f(x,y,z), как известно, она фредгольмова, а при условии, что коэффициент при W меньше или равен нулю, имеет единственное решение. Зная W, функцию U можно однозначно найти из второго уравнения системы (12), если задать условие U\e д(х,у). При этом для функции!/ невозможно было задать граничное условие на множестве Е, это объяснялось влиянием действительных характеристик и наличием четвёртого уравнения в системе (12). Поэтому У задавал ось на части границы множества Е. Эту проблему удалось преодолеть следующим образом:

Зададим Un У на множестве Е

(13)

Для функции W рассмотрим смешанную задачу:

(14)

где функции /(ж, у), д(х,у), h(x,y, z) дважды непрерывно дифференцируемы.

Известно, что при этих условиях W определяется однозначно, подставляя во второе и третье уравнения найденные значения W и учитывая соотношения (13), U и V находятся однозначно, как решения уравнения Вольтерра второго рода.

Таким образом, ограничениях при на коэффициенты системы (12) «21 = ^J2-, аз1 = О, û22 = 0, задача (12,13,14) имеет единственное решение.

Библиографический список

1. Курбатова Н.М. О корректных задачах для систем дифференциальных уравнений первого порядка // Интегро-дифференциальные уравнения и их приложения, Иркутск.: Ирк. гос. университет, 1988.-С. 150-156.

2. Курбатова Н.М. Граничная задача для системы уравнений первого порядка // Дифференциальные уравнения и их применение. Вып. 45. Вильнюс: Институт математики и кибернетики ЛССР, 1990. - С. 51-57.

3. Курбатова Н.М. О граничной задаче для одной системы составного типа // Проблемы модернизации инфраструктуры транссибирской магистрали. Чита: ЗабИЖТ, 2005. - С. 219-222.

4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с.

5. Янушаускас А.И. Об одной системе первого порядка //Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14. № 5.

О собственных значениях бинеотрицательных интегральных операторов в пространстве C[a, b]

О.Ю. Кушель

В монографии Ф.Р. Гантмахера и М.Г. Крейна [1] была доказана следующая

Теорема. Пусть ядро k(t,s) линейного интегрального оператора А непрерывно на [a, b] х [а, 6], причем выполняются следующие неравенства:

Тогда все собственные значения оператора А положительные и простые:

причем первому собственному значению Ai отвечает строго положительная на [а, Ь] собственная функция х\, а собственному значению Хп - собственная функция хп, имеющая ровно п — 1 перемену знака на [а,Ъ].

Заметим, что ядро

называется п-м ассоциированным к ядру k(t, s). В дальнейшем для ассоиированного ядра будем пользоваться обозначением Апк. Ядро Апк рассматривалось Ф.Р. Гантмахером и М.Г. Крейном на декартовом квадрате симплекса Mn={(t\,..., tn) : а < ti < ... < tn < b}. При этом заметим, что в исходной формулировке теоремы от ассоциированного ядра требовалось больше, чем неотрицательность, но меньше, чем положительность.

Оригинальное доказательство теоремы Гантмахера-Крейна основывалось на том факте (теорема Шура см. в [1, 2]), что всевозможные внешние произведения по п функций вида Xj1 Л.. .Axj.n , где {xj } - полная ортонормированная система собственных функций оператора А, образуют полную ортонормированную систему собственных функций линейного интегрального оператора с ядром, равным гг-му ассоциированному.

В работе [3] теорема Гантмахера-Крейна была доказана методом перехода от изучения оператора А, действующего в исходном пространстве функций X к изучению его внешней степени АпА, действующей во внешней степени исходного пространства АпХ. При этом обобщение теоремы Шура о собственных значениях линейного интегрального оператора с ассоциированным ядром доказывалось через свойства тензорной и внешней степени оператора. Такой подход дал возможность обойти вопрос о существовании полной ортонормированной системы собственных функций, а также рассматривать разрывные ядра, требуя только их измеримость. При этом все условия на ядро были заменены условиями на оператор.

При анализе двух подходов (ядерного и операторного) возникает вполне естественный вопрос, играет ли какую-либо роль то, что второе ассоциированное ядро и накладываемые на него условия рассматриваются на симплексе Мп = ..., tn) : а < t\ < ... < tn < b}. Возможно ли получить аналогичное утверждение, рассматривая п-е ассоциированное ядро на каком-либо другом подмножестве [а,6]п? Эти вопросы и будут рассматриваться в настоящей статье. При этом ограничимся случаем п = 2.

1. Внешний квадрат пространства С[а, 6]. Пусть С[а,6] - пространство непрерывных на [а, Ь] функций, C([a,b] х [а, Ь]) пространство непрерывных на [a, b] х [а, Ь] функций, Са([а, b] х [а, 6]) - подпространство непрерывных и антисимметрических на [a, b] х [а, 6] функций. Заметим, что для любой функции x(ti, £2) G Са([<2, 6] X [а, 6]) выполняется ж(£, £) = 0. Известно (см, например, [6, 7]), что пространство Ca([a,b] х [а, 6]) является одним из внешних произведений пространства С [а, Ь] на себя.

Напомним следующие определения (для более подробной информации см., например, [4]). Бинарное отношение -<, заданное на отрезке [а, Ь], называется:

- полным, если для любых £i,£2 G [а, 6] выполняется £1 -< £2 либо £2 -« £ь

- рефлексивным, если для любого £ G [а, 6] выполняется £ -< £;

- антисимметричным, если для любых £i,£2 G [а, 6] из £1 -< £2 и £2 -< £i следует, что £1 = £2;

Пусть на отрезке [а, Ь] задано полное, рефлексивное и антисимметричное бинарное отношение -<. Тогда мы можем выделить два замкнутых подмножества [a, b] х [a, b] W и W следующим образом:

(1)

(2)

Пусть, дополнительно, множество W° = {(£i,£2) G [a, b] х [а, Ь] : £1 -< £2} измеримо. В таком случае будут справедливы следующие свойства множеств W и W:

Известно, что задание бинарного отношения на отрезке [а, Ь] можно интерпретировать как выделение некоторого подмножества на квадрате [a, b] X [а, Ь], также верно и обратное. Легко видеть, что взяв в качестве -<< естественное отношение нестрогого порядка на [а, Ь] и воспользовавшись формулой (1), получим в качестве множества W замкнутый треугольник

Заметим, что в случае, когда W = М2, будет справедливым равенство <9(Мг) \д([а,Ь] х [а, Ь]) = А, где множество А задается формулой А = {(£,£),£ G [а,Ь]}. Покажем, что пространство Ca([a,b] х [а, Ь]) изоморфно пространству Со(М2) (здесь Со(М2) - подпространство пространства С(М2), состоящее из всех функций x(t\,t2), равных нулю на множестве А). Действительно, продолжая функции из Cq{M2) по антисимметричности на все С ([a, b] х [а, Ь]), мы получим множество всех

функций из Са([а, b] X [а, Ь]) (возможность такого продолжения без нарушения непрерывности связана с условием ж(£,£) = О, которое, как было отмечено выше, выполняется для всех функций из Са([а,Ь] х [а, Ь])).

В случае же, когда W не совпадает с М2, очевидно, выполняется включение А С d(W) \ д([а, b] х [а, Ь]) и для возможности продолжения функции без нарушения непрерывности, нужно добавить следующие граничные условия:

(a) Для любой точки (£1,£2) : (£1, £2), (£2, £1) G dW x(ti, £2) = — #(£2,

(b) Для любого £ G [a, 6] ж(£,£) = 0.

Все пространства Cw будут изоморфны между собой и изоморфны пространству Ca([a,6] х [а, Ь]).

Рассмотрим конус К+ неотрицательных функций в Cw • Для любой функции х(£1,^2), неотрицательной на W, будет справедливым вытекающее из условия (а) равенство х(£1,^2) = 0 для любой точки (£1,^2) G <9(VK) \<9([a, 6] X [a, 6]). Поэтому очевидно, что конус К+ не будет воспроизводящим в пространстве Cw, если множество W не совпадает с М2. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать конус Kw в Cw, состоящий из функций, неотрицательных на W П М2 и неположительных на VF П М2. Легко видеть, что Kw действительно будет конусом в Cw, причем воспроизводящим.

2. Второе ассоциированное ядро и внешний квадрат линейного интегрального оператора. Пусть вполне непрерывный линейный интегральный оператор А действует в пространстве непрерывных функций С [a, Ь] по формуле:

Известно, что внешний квадрат оператора А можно рассматривать как линейный интегральный оператор, действующий в Cw{W) с ядром, равным ассоциированному ядру 2-го порядка к /c(£,s). Здесь второе ассоциированное ядро к ядру /с(£, s) определяется следующим образом:

Из определения второго ассоциированного ядра следует, что k А /c(£i, £2, si, s2) = 0 как на множестве W х А так и на множестве А х W, поэтому в дальнейшем в случае оператора, действующего в пространстве непрерывных функций, мы будем требовать положительность ядра к А к на декартовом квадрате множества W \ А.

3. 2-вполне неотрицательные и 2-знакорегулярные операторы.

Напомним одно из утверждений, связанных с ядрами линейных интегральных операторов (теорема Ентча см., например, [5. С. 72. Теорема 9.9] либо [2. С. 15. Теорема 4.2]). Пусть линейный интегральный оператор А вполне непрерывен в пространстве непрерывных функций, заданных на некотором компакте. Пусть ядро k(t,s) оператора А неотрицательно всюду на компакте и положительно в его внутренних точках. Тогда у оператора А существует простое положительное собственное значение, равное спектральному радиусу р(А), отличное по модулю от других собственных значений.

Ядро k(t,s) назовем 2-вполне положительным, если k(t,s) и (k А k)(t\, £2, si, s2) положительны всюду на [а, Ь] и W \ А соответственно. Ядро k(t,s) назовем строго 2-знакорегулярным, если существует такая пара (ei, 62), бг = ±1, что ядра e\k(t, s) и 62(k A k)(t\, £2, si, #2) положительны всюду на [а, Ь] и W \ А соответственно.

Докажем следующую теорему о собственных значениях 2-вполне положительного оператора.

Теорема 1. Пусть ядро k(t,s) линейного вполне непрерывного оператора А : С [а, Ь] —> С [а, Ь] положительно всюду на квадрате [а,Ь]2. Пусть второе ассоциированное ядро k A k(t\, £2, Si, s2) положительно всюду на декартовом квадрате W \ А, где А = {(t,t),t G [a, fr]}, a W -некоторое измеримое множество, обладающее следующими свойствами:

Тогда два первые по абсолютной величине собственные значения оператора А будут положительными, простыми и отличными по модулю друг от друга.

Доказательство. Занумеруем собственные значения вполне непрерывного оператора А в порядке убывания их модулей (с учетом кратности):

Применив к А теорему Ентча о собственных значениях интегрального оператора с положительным ядром, получим: Ai = р(А) > 0. Учитывая, что на спектральной окружности |А| = р(А) находится всего лишь одно собственное значение, получим:

Как уже было замечено выше, внешний квадрат оператора А можно рассматривать как линейный интегральный оператор, действующий

в Cw(W) с ядром, равным второму ассоциированному к k(t,s). Легко видеть, что линейный интегральный оператор с ядром, положительно всюду на декартовом квадрате W \ А, оставляет инвариантным воспроизводящий в Cw(W) конус К^у. Следовательно, к оператору А А А применимо одно из обобщений теоремы Ентча (см., например, [5]), и спектральный радиус р(А А А) является положительным простым собственным значением А А А, отличным по модулю от других собственных значений.

Как вытекает из утверждения обобщенной теоремы Кронекера [3. С. 12. Теорема 1], внешний квадрат оператора А не имеет других ненулевых собственных значений, кроме всевозможных произведений вида {XiXj}, где г < j. Следовательно, р(А А А) > 0 представим в виде произведения AiAj при некоторых значениях индексов г, j, г < j, а так как собственные значения занумерованы по убыванию, то, учитывая, что на спектральной окружности |А| = р(А А А) также находится всего лишь одно собственное значение, можно утверждать, что р(А А А) = А1А2. Из этого равенства очевидно, что А2 = р(а^а) _ р(^^ > 0. Простота собственного значения А2 и отличие его по модулю от других собственных значений следует из соответствующих свойств р(А А А).

Для 2-вполне знакорегулярного оператора будет справедливым следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть ядро k(t,s) линейного вполне непрерывного оператора А : С [а, Ь] —> С [а, Ь] имеет знак а, равный +1 либо —1, всюду на квадрате [а, б]2. Пусть второе ассоциированное ядро h/\h(t\, £2, Si, #2) имеет знак €2, таксисе равный +1 либо —1 всюду на декартовом квадрате W \ А, где А = {(£,£),£ G a W - некоторое измеримое множество, обладающее следующими свойствами:

Тогда два первые по абсолютной величине собственные значения оператора А будут вещественными, простыми и отличными по модулю друг от друга, причем первое собственное значение Ai будет иметь знак а, а второе собственное значение А2 будет иметь знак 62.

Доказательство теоремы 2 проводится аналогично доказательству теоремы 1.

Заключение. Отметим, что условия теорем 1 и 2 достаточно легко проверяются. Для их проверки необходимо выделить в [а, б]2 х [а, б]2 область, на которой ядро k A k(ti, £2, si, s2) будет положительным, разложить ее в декартово произведение двух множеств из [а, б]2 и попы-

таться отобразить каждое из этих множеств симметрично относительно диагонали А.

Подобные рассуждения будут также верны для операторов, действующих в почти совершенных идеальных пространствах.

Библиографический список

1. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. - 2-е изд. - М.: Гостехиздат, 1950. - 360 с.

2. Pinkus A. Spectral properties of totally positive kernels and matrices // Total positivity and its applications / M. Gasca, С.А. Micchelli. -Dordrecht, Boston, London: Kluwer Acad. Publ., 1996. - P. 1-35.

3. Забрейко П.П., Кушель О.Ю. Теорема Гантмахера-Крейна для бинеотрицательных операторов в пространствах функций // Доклады HAH Беларуси. - 2006. - Т. 50. № 3. - С. 9-15.

4. Келли Дж.Л. Общая топология. - М.: Наука, 1981. - 384 с.

5. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. - М.: Наука, 1985. - 256 с.

6. Левин В. Л. Тензорные произведения и функторы в категории банаховых пространств, определяемые КВ-линеалами // Труды Моск. мат. об-ва. - 1969. - № 20. - С. 43-82.

7. Ma T.-W. Classical analysis on normed spaces. - World Scientific Publishing, 1995. - 500 p.

8. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1976. - 752 с.

Различение гипотез в схемах с альтернативными направлениями и процесс типа “bang-bang”

Ю.А. Кузнецов

Рассмотрим следующую дискретную (по времени) схему наблюдений. Представим себе, что есть два альтернативных направления, обозначаемых как первое и второе. Пусть в = 9{и) случайная величина, которая принимает одно из трех значений 0,1 или 2. Если в = 0, то это будет интерпретироваться как отсутствие “цели” на первом и втором направлениях. Если в = г, то это будет означать, что цель присутствует на i-ом направлении, i=l,2. В каждый момент времени t кратный некоторому параметру А мы можем наблюдать одно из двух альтернативных

направлений. При этом выбор направления должен зависеть только от прошлых наблюденных значений процессов. Обозначим 7\A(t) и T^(i) -общее время наблюдений за первым и вторым процессом соответственно. Тогда сами наблюдаемые процессы определяются следующим образом

где Wt , W2 — независимые броуновские движения.

За каждое наблюдение берется плата сА. В некоторый момент времени т необходимо остановить наблюдения и принять решение d=0,l относительно неизвестного параметра в (о наличии или отсутствии цели на одном из направлений). При этом предполагаются известным априорное распределение (7Го, 7п, 7г2) параметра в, Иг = Р (0 = г) , г = О,1,2. Задача заключается в том, чтобы минимизировать функцию риска

где I (В) - индикатор множества В.

Впервые задача была сформулирована и изучалась в [1].В дискретной постановке эта задача рассматривалась в [2]. В [2] показано, что если функция риска известна, то оптимальные правила переключения между направлениями и момент остановки определяются по ней однозначно. Сложность заключается в том, что для функции риска нет явного выражения и она,вообще говоря, неизвестна. В одношаговой задаче ( когда возможно проведение лишь одного наблюдения) показано, что оптимальное правило является стандартным.

Определение. Управление в дискретной схеме называется стандартным, если при 7Г1 (t) > 7Г2(£) происходит наблюдение первого направления И при 7Г1 (t) < 7Г2(£) второго.

В многошаговой задаче ограничимся так же такими правилами. Введем 7Гг(£) = Р (0 = г\ Tt) - апостериорные вероятности гипотез в = г в момент времени t, где Tt это а-алгебра, порожденная наблюдениями за процессами до момента времени t.

Покажем, что процессы наблюдения в дискретной схеме сходятся по распределению к некоторым непрерывным случайным процессам. При этом предельные процессы могут быть описаны как процессы наблюдения в некоторой непрерывной схеме наблюдения, естественным образом обобщающей дискретные схемы наблюдений. А именно, допустим, что

имеется та же постановка, что и в дискретном случае: есть неизвестная случайная величина в = 0,1, 2 и два процесса Х], X?

где Ti(£), ^(t) - общее время наблюдения за первым и вторым процессом соответственно.

Отличие от дискретной постановки в том, что переключения могут происходить в любой момент времени, а не в кратные некоторому параметру А времена.

Определение. Управление (71 (t), 7 2 (t)) называется стандартным, если происходит наблюдение процесса Х} (первого направления), когда (fi(t) > (f2(t) и процесса X? (второго направления), когда (f2(t) > (fi(t), где (fi(t) = 7Гг(£)/7г0(£),г = 1,2.

Можно показать, что такие управления действительно существуют. В классе таких управлений в [4] найдено оптимальное управление и оптимальный момент остановки.

Теорема 1. Стандартные процессы наблюдения в дискретной схеме сходятся к стандартному процессу наблюдения в непрерывной схеме

Здесь введено обозначение

Доказательство будет проводиться по следующей схеме :

(1) Сначала будет осуществлен переход от исходной меры Р к некоторой другой мере Р, относительно которой процессы наблюдения в дискретной и непрерывной модели будут иметь более простой вид. При этом сходимости по распределению по этим мерам будет эквивалентны.

(2) Затем будет показана сходимость ^Хт',?^, Хт'.,?^^ в смысле L2(P) к некоторому непрерывному процессу (Z\,Z2}\

где Bt - некоторый процесс броуновского движения и Lt(B) - его локальное время.

(3) После этого будет показано, что относительно меры Р процесс наблюдения в непрерывном схеме ^Х^^, X^(t^ по распределению совпадает с {Z\, Z2).

Из (2) и (3) будет следовать сходимость

И в силу (1) имеем отсюда требуемую сходимость уже по основной мере Р.

Итак, переходим к доказательствам этих утверждений. (1). Рассмотрим дискретную схему (где управление происходит только в моменты времени кратные А = 1 /2п ) и непрерывную схему со стандартным управлением.

Введем некоторую меру Р, относительно которой процессы Х^'™^, будут иметь более простой вид. А именно, пусть

Тогда относительно этой меры процессы le=it + Wt и 1^=2^ + W2 есть независимые броуновские движения на отрезке t G [О, Т].

Действительно, рассматривая конечномерные распределения процессов, имеем

где Bi,Ci - произвольные борелевские множества (г = 1, ..,гг). Тем самым утверждение доказано.

Поэтому

где Wt = le=it + Wt,Wt — le=2^ + VK*2 - независимые броуновские движения относительно меры Р.

(2) Проводя те же рассуждения, что и в [3], получаем, что процесс (vi,71 лл 2,п \ Ат'г,^, Ат'„.^Л сходится равномерно в среднеквадратическом по мере Р к некоторому процессу (Z},Zt), т.е.

где

и Bs - некоторый процесс броуновского движения.

(3) Докажем, что процесс ^Х^^), X^2(t)^, где (1\(£), Т2(£)) - стандартное управление, имеет такое же распределение, что и процесс (Z\, Zt2), определенный выше в (2). Имеем Х^ ^ = Х?^^ = И^т^г)- Введем случайный процесс Bt = ^ — Wr9(t)-

Легко показать, что Bt - броуновским движение (так как Bt - мартингал и угловая скобка (Bt) = t). Введем процесс

Тогда

Заметим, что это два равенства выше - это разложение Дуба для субмартингалов, состоящее из некоторого мартингала и процесса ограниченной вариации bf.

Из формулы Танако имеем

где L° - локальное время броуновского движения Bt в нуле. Так как разложение Дуба единственно, то Lf = Lf. Следовательно,

И применяя формулу Ито, получаем

Откуда уже следует утверждение (3). Доказательство теоремы 1 завершено.

С предельным поведением некоторых функционалов от стандартных дискретных процессов наблюдения связан процесс типа “bang-bang” .Процессом “bang-bang” называется процесс Yt, являющийся решением стохастического дифференциального уравнения

(1)

где Wt - броуновское движение.

Пусть параметр А пробегает значения 1, |, \,.... Для каждого А рассмотрим дискретную схему распознавания гипотез О = 0,1,2, где переключения возможны только в моменты кратные А. Введем процессы

можно показать, что

Пусть выбор направления происходит стандартным способом. Рассмотрим условное распределение процессов при 0 = 0. Введем процессы

Тогда

Теорема 2. Существует процесс Yt : Е sup (YtA — Yt)2 —> О, А —>

О , где процесс Yt является процессом типа иЪапд-Ъапд" с \i — 1/2.

Доказательство. Поскольку переключения в дискретных схемах возможны только в моменты времени кратные А, то рассмотрим значения ТА (t) и Т2Л (£) только в эти моменты ( эти величины будут изменяться только в такие моменты). Так как управление стандартное, то

Введем для удобства процесс

Легко проверить, что приращения процесса Впа независимы и нормально распределены так, что

если щ > ri2.

Поэтому можно считать, что Впа - это значения некоторого броуновского движения Bt в момент времени пА. Заметим, что

Поэтому

Как уже было отмечено в теореме 1, можно показать, что процессы (YA(t), Y2A(t)) сходятся к некоторым процессам (Yi(£), Y2(t)) при А —> О равномерно по t в L2.

Значит, сходится и процесс YAA —> Yt при А —> 0 и пА —> £.

Кроме того,

Отсюда получаем, что YnA сходится к процессу, являющемуся решением стохастического дифференциального уравнения

Доказательство теоремы 2 завершено.

Автор благодарит А.Н. Ширяева за постановку задачи и полезные обсуждения.

Библиографический список

1. Shiryaev A.N. (1964) К теории решающих функций и управлению процессом наблюдений по неполным данным, Trans, of the Third Prague Conference on Information Theory, Statistical Decision Functions and Stochastic Processes, Prague. P. 657-681.

2. Cairoli R., Dalang Robert C. (1996) Sequential Stochastic Optimization (Wiley Series in Probability & Mathematical Statistics).

3. Cherny A.S., Shiryaev A.N., Yor M. Limit behaviour of the “horizontal-vertical” random walk and some extensions of the Donsker-Prokhorov invariance principle.

4. Кузнецов Ю.А. Различение гипотез в непрерывной схеме с альтернативными направлениями, УМН, 2008, 63:2(380). С. 173-174.

Степенные хвосты и кластеры в линейных рекуррентных случайных последовательностях1

А.В. Лебедев

Рассмотрим процесс Уп, п > 1, удовлетворяющий стохастическому рекуррентному уравнению

(1)

где (Ап,Вп), п > 1, - независимые одинаково распределенные пары неотрицательных случайных величин.

1 Работа выполнена при поддержке по грантам РФФИ № 07-01-00077, № 07-01-00373.

Такие процессы и поведение экстремумов в них изучались автором в [1, 2] для случаев, когда коэффициенты Ап принимают значения в интервале (0,1). Однако в предположении, что они могут принимать значения, как меньшие, так и большие единицы, ситуация оказывается качественно иной, как показано в [3].

Далее мы рассмотрим случай, когда величины Ап имеют лог-лапласовское распределение [4] вида:

(2)

Известно, что у процесса вида (1) при довольно общих условиях стационарное распределение имеет степенной хвост (показатель которого обозначим к), и превышения высокого уровня происходят не по одиночке, а образуют кластеры случайного размера. Вероятность появления кластера размера к обозначим через Пк, к > 1. В работе [3] для этих величин приведены общие формулы, но ни в общем случае, ни в рассмотренном там частном (применительно к ARCH-процессам) они не дают ответа в явном виде, и результат может быть получен только приближенно (методом Монте-Карло). В лог-лапласовском случае оказывается возможным получить все характеристики в явном виде, и это единственный известный автору пример такого рода. Заметим, что распределение величин Вп и их возможная зависимость от Ап не играют роли при довольно общих условиях, которые в дальнейшем мы будем считать заведомо выполненным.

Следует отметить, что уравнение (1) может иметь различные приложения. Например, оно может описывать динамику некоторого денежного фонда [6. § 8.4.1], куда через определенные промежутки времени поступают вклады (величины Вп), а в остальное время изменения капитала происходят пропорционально его величине (со случайными коэффициентами Ап), причем учитываются как доходы, так и расходы.

В финансовой математике для описания логарифмических приращений различных показателей (цен акций, курсов валют и т.п.) традиционно используется нормальная модель (модель Блэка-Шоулса). Однако практика показывает, что она не всегда хорошо описывает действительность. Лог-лапласовское распределение, по-видимому, может рассматриваться как одна из альтернатив. Асимметричное лапласовское распределение (для логарифмических приращений) также возникает как предельное в классе обобщенных гиперболических распределений [5. Гл. III.

§ 1d]. Более подробно о лог-лапласовских распределениях, их свойствах и приложениях, можно прочесть в [4].

В общем случае (1) может описывать динамику некоторой системы, подверженной случайным возмущениям. Если бы коэффициенты Ап были постоянны и равны А, то система была бы устойчивой при О < А < 1 и неустойчивой при А > 1. Однако в нашем случае система “осциллирует”между этими двумя состояниями, проходя через периоды устойчивости и неустойчивости случайным образом.

Отметим также, что вопрос о структуре кластеров достаточно просто решается для ARMA-процессов с тяжелыми хвостами [6. § 5.5]. Однако для более сложных процессов аналитические результаты единичны. Например, в [7] изучались экстремумы и кластеры превышений обобщенных процессов максимум-авторегрессии первого порядка. Размеры кластеров в этом случае оказываются распределены геометрически.

Теорема 1. Пусть Ап распределены по закону (2), ß > а, тогда к = ß — а.

Как показано в [3], распределение размеров кластеров определяется экстремальными индексами Ok, к > 1; О = 0\. А именно, имеем 7г^ = (Ok — Ok+i)/0. Сами индексы допускают представление

(3)

где через Тк, к > 1, обозначены к-ые максимумы (т.е. первое, второе, третье наибольшое по величине значение и т.д.) в последовательности сумм Sn = Х^Г=1 = InAi. Величины Z% имеют асимметричное лапласовское распределение

(4)

Поскольку при а < ß верно MZi < 0, то Sn —> — оо, п —> сю, почти наверное, и все г1\ определены. Таким образом, задача сводится к изучению их распределений.

Лемма 1. Все г1\, к > 1, имеют распределения

(5)

где c\k = (ß — ot)hk/(l — h к) и hk, к > 1, удовлетворяют рекуррентному уравнению

(6)

Заметим, что лемма 1 имеет и самостоятельное теоретическое значение (как утверждение о свойствах k-ых максимумов последовательности сумм случайных величин, имеющих асимметричное лапласовское распределение).

Теорема 2. Для вероятностей Жк, к > 1, верны формулы:

(7)

Таким образом, с помощью формул (6) и (7) можно рассчитать вероятность Пк для любого к > 1. Например, при р = 1/2 получаем следующую таблицу (для к < 10):

Отметим, что средний размер кластера описывается величиной, обратной экстремальному индексу [6. § 8.1], т.е. р = 1/0 = 1/(1 — р)2. В нашем примере \i — 4.

Замечание. Из (6) следует, что hk —> 0, причем hk ~ р(2 — p)hk-\-Таким образом, величины hk и, как следствие, вероятности Пк, убывают асимптотически в геометрической прогрессии (что в примере видно из таблицы).

Автор благодарен М.В. Болдину, Ю.Н. Тюрину и В.Н. Тутубалину за внимание к работе.

Библиографический список

1. Лебедев А.В. Максимумы рекуррентных случайных последовательностей // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. Мех., 2001. № 1. С. 10-14.

2. Лебедев А.В. Максимумы рекуррентных случайных последовательностей. Случай тяжелых хвостов // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. Мех., 2001. № 3. С. 63-66.

3. de Haan L., Resnick S.L, Rootzen H., de Vries CG. Extremal behaviour of solutions to a stochastic difference equation with applications to ARCH processes // Stoch. Proc. Appl. 1989. 32, № 1. C. 213-224.

4. Kozubowski T.J., Podgörski K. Log-Laplace distributions // Int. Math. J. 2003. 3, № 4. C. 467-495.

5. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998. Т. 1. Факты. Модели.

6. Embrechts Р., Klüppelberg СР., Mikosh Т. Modelling extremal events for insurance and finance. Springer, 1997.

7. Alpuim M.T., Catkan N.A., Hüsler J. Extremes and clustering of nonstationary max-AR(l) sequences // Stoch. Proc. Appl., 1995. 56, № 1. P. 174-184.

Максимумы случайных сумм по вершинам случайных графов при наличии “тяжелых хвостов”1

А.В. Лебедев

В [1] автором была предложена и исследована весьма общая схема максимумов сумм независимых случайных величин. А именно, предполагалось, что имеется растущее конечное множество таких величин, разбиваемое на подмножества (возможно, пересекающиеся), по которым берутся суммы, а затем вычисляется максимум этих сумм. Исходное множество и его подмножества могут быть случайными.

Была доказана теорема довольно общего характера. А именно, получены достаточные условия, при которых этот максимум растет асимптотически так же (по вероятности), как и максимум исходных случайных величин, т.е. их суммирование не играет существенной роли. Показано также, что можно удовлетворить эти условия, если слагаемые имеют одинаковое распределение F с правильно меняющимся хвостом, т.е. F(x) ~ x~aL(x), x —> сю, а > 0, где L(x) — медленно меняющаяся функция [2. § 8.8]. Для максимумов тогда имеет место предельный закон Фреше Фа(х) = ехр{-ж~а}, х > 0.

Рассмотрим приложение к максимумам сумм на случайных графах [3-6]. Свяжем с каждой вершиной неотрицательную случайную величину, которую назовем “весом”. Предполагается, что все веса независимы и одинаково распределены. Если граф моделирует некую информационную сеть, вес может описывать информационную активность узла. Суммирование ведется по вершине и ее ближайшим соседям. Например, в Живом Журнале (Live.Journal) каждый пользователь может оставлять свои записи и читать записи друзей, объединяемые для удобства в общую “ленту друзей” (так называемую френдленту).

Мы используем различные модели графов: классические, исследование которых восходит к работе П. Эрдеша и А. Реньи [5], и степенные

1 Работа выполнена при поддержке по грантам РФФИ № 07-01-00077, № 07-01-00373.

(power law, scale-free), активное исследование которых в последнее десятилетие было инициировано А.-Л.Барабаши [6]. В классических случайных графах степень вершины (число вершин, с которыми она соединена, ее ближайших соседей) имеет в пределе пуассоновское распределение. В степенных графах предельное распределение оказывается степенным, т.е. рк ~ ск~Р, ß > 0. Оказалось, что подобные модели хорошо описывают многие информационные, технические, биологические и социальные сети. Так, при исследованиях Интернета получаются оценки ß в диапазоне от 2 до 3. Последние исследования в кириллическом сегменте Живого Журнала [7] дают оценку ß ~ 3. Следует отметить, что к одному и тому же предельному распределению могут приводить самые разные алгоритмы построения, в то время как другие асимптотические свойства графов могут зависеть от выбора модели.

В качестве классического случайного графа рассмотрим граф G(n,p) с п вершинами, где каждая пара вершин соединяется с вероятностью р независимо от других. Полагая п —» сю, р —» 0 и пр —» Л > 0, получаем в пределе пуассоновское распределение степени вершины со средним Л. Теорема об асимптотической эквивалентности максимумов оказывается верна при любом а > 0.

Далее используем конкретную модель степенного графа Р(а, ß), предложенную в [8]. А именно, предполагается, что число вершин степени к составляет [еа/к^\, a,ß > 0, к > 1. Далее вводится равномерное распределение на множестве графов, удовлетворяющих этому условию. При ß > 1 число вершин п связано с параметрами соотношением п £(/3)еа, а —> сю, где — дзета-функция Римана. Асимптотические свойства графа не меняются, если параметризовать его числом вершин при п —» сю. Теорема об асимптотической эквивалентности максимумов оказывается верна при ограничениях 0 < а < mm{ß — 3/2, ß/2}, ß > 3/2. Более подробно этот случай разобран в [9], применительно к информационным сетям.

В настоящее время ведутся исследования и других, более сложных для анализа моделей степенных графов, у нас и за рубежом. Так, в [10, 11] изучалась модель, в которых степени вершин описываются независимыми одинаково распределенными случайными величинами со степенными хвостами. При этом формально степень вершины может даже превзойти общее число вершин графа, что связано с допущением петель и кратных ребер. Таким образом, число соседей оказывается существенно завышенным. К сожалению, в этой модели метод, используемый в [9], не применим при ß < 3. Однако если произвести урезание степеней вершин на уровне n1^^-1^“1”6, е > 0, то асимптотическая теорема может быть применена и дает ограничения 0 < а < min{ß — 2,(ß— 1)/2}, ß > 2 (т.е. a na 1/2 меньше, чем в предыдущем случае). Отметим, что прове-

денная модификация не влияет на предельное распределение степеней вершин, а вероятность того, что максимальная степень вершины (растущая как п1/^-1^) превысит порог урезания, стремится к нулю.

Поскольку мы пользуемся достаточными условиями, не исключено, что полученные ограничения могут быть ослаблены.

Библиографический список

1. Лебедев А.В. Общая схема максимумов сумм независимых случайных величин и ее приложения // Математические заметки. 2005. 77, №4, 544-550.

2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: Мир, 1984.

3. Колчин В.Ф. Случайные графы. М.: Физматлит, 2004.

4. Bollobâs В. Random graphs. Cambridge Univ. Press. 2001.

5. Erdös P., Rényi A. On the evolution of random graphs // Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sei. 1960. 5, №1-2, 17-61.

6. Barabâsi A., Albert R. Emergence of scaling in random networks // Science. 1999. 286, 509-512.

7. Захаров П. Народ-блогоносец // Компьютерра. 2007. №27-28, 36-39.

8. Aiello W., Chung F., Lu L. A random graph model for power law graphs // Exp. Math. 2001. 10, №1, 53-66.

9. Лебедев А.В. Максимумы активности в случайных сетях в случае тяжелых хвостов // Проблемы передачи информации. 2008. 44, №2, 96-100.

10. Reittu H., Norros I. On the power-law random graph model of massive data network // Performance Evaluation. 2004. 55, 3-23.

11. Павлов Ю.Л. Предельное распределение объема гигантской компоненты в случайном графе Интернет-типа // Дискретная математика. 2007. 19, №3, 22-34.

Преобразования групп. Подмножественное агрегатирование группы

Ю.Б. Мельников

Введение

Алгебраические системы, задаваемые аксиоматически, отличаются абстрактностью и универсальностью, поэтому при работе с ними важную роль играют стандартные представления этих систем. В данном случае термин “представление” мы понимаем несколько шире, чем это обычно

делается в теории представлений групп. Например, линейное пространство представляется в виде суммы пространств - внутренней прямой суммы подпространств или внешней прямой суммы (прямого произведения) линейных пространств, в линейной алгебре особую роль играет представление конечномерного линейного пространства с помощью арифметического линейного пространства, векторами которого являются матрицы-строки или матрицы-столбцы (столбец координат вектора). Алгебра линейных операторов представляется матричной алгеброй (изоморфизм сопоставляет линейному оператору матрицу оператора) и т.п [6]. В теории групп широко применяются факторизации группы - представление группы в виде произведения подгрупп (особенно важно, когда это произведение является прямым или полупрямым произведением), а также такие стандартные представления [1, 2, 4, 11], как подстановочное представление, матричное и операторное представление группы, копредставление группы (задание порождающими элементами и определяющими отношениями). Как правило, такие представления обусловлены некоторым гомоморфизмом (в теории представлений групп под представлением понимается непосредственно гомоморфизм в соответствующую группу), например, представлением группы в виде факторгруппы свободной группы по конгруенций, заданной предикатами (в виде определяющих отношений). В нашей работе предлагается существенно иной вариант, идеологически близкий к конструктивному представлению группы, в виде, например, произведения подгрупп.

В основу рассмотренной ниже конструкции мы положили один из результатов теории моделирования, изложенной в [7] и [8]. Существует большое число трактовок понятия “модель”. Ситуация осложняется тем, что в прикладных дисциплинах модель рассматривается как результат абстрагирования, а во многих других исследованиях (например, в математической логике [3, 5]) под моделью понимается результат конкретизации теории, результат интерпретации языковых конструкций. В большинстве случаев одним из ключевых требований к модели является ее “похожесть” на исследуемый объект. В монографиях [7] и [8] мы предложили иной подход к определению понятия “модель”. Предполается, что моделью может быть назван любой объект, представленный в виде системы из двух компонентов, называемых интерфейсной и моделъно-содержательной компонентами модели. В свою очередь, структура модельно-содержательной компоненты является стандартной для моделей исчисления предикатов, а именно, она состоит из трех ком-

понент: носителя модели (некоторого множества “составных элементов” моделируемого объекта или возможных значений предметных переменных), системы характеристик (функций с областью определения, включающейся в носитель модели) и системы отношений на множестве характеристик и отношений (чаще всего заданных предикатами).

Вопрос о том, насколько полно и точно модель отражает особенности моделируемог объекта, насколько описания компонетов конкретной модели корректно и др., мы относим к такой характеристике модели как адекватность, трактовки которой описаны в монографии [7] и [8].

В этих работах мы рассмотрели несколько “операций”1 алгебры моделей. В данной работе мы рассмотрим одно из применений операции агрегатирования модели [8. С. 98] к теории групп. Мы сформулируем определение одного из частных случаев агрегатирования - подмножественного агрегатирования. Изначально это понятие появилось как результат обобщения конструкции фактор-алгебры по конгруенций (в частности, фактор-группы по нормальной подгруппе).

Определение 1. Пусть A — (A; F) - универсальная алгебра, где А -носитель, F - множество операций и В - множеств подмножеств множества А. Тогда мы будем говорить, что частичная га-местная операция g индуцирована на В операцией / из F, если существует такая функция {р :{1; 2;... ; га} н-> {1; 2; ... ; п}, что из включения Y G g (Xi\... ; Xn) следует, что для некоторых Xi G Xi имеем / (х^^у,... ; ж<^(т)) G Y.

Определение 2. Пусть A — (A; Fa) - универсальная алгебра, где А - носитель, F - множество операций. Тогда универсальная алгебра В = (В; F в) называется результатом подмножественного агрегатирования универсальной алгебры А, если носитель В алгебры В включается (является подмножеством) во множество всех подмножеств множества А, и каждая операция из F б индуцирована соответствующей операцией из Fa-

Наиболее важным примером подмножественного агрегатирования группы является фактор-группа. Однако, как показывают приведенные ниже теоремы, результат подмножественного агрегатирования может существенно отличаться от фактор-группы.

Определение 3. Будем говорить, что группа ТС = (Н; {★}) является результатом подмножественного агрегатирования с фиксиро-

1 Кавычки употреблены в силу того, что рассматриваемые отображения могут быть многозначными и, в силу этого, не являются операциями в строгом смысле этого слова.

ванными представителями, группы G = (G; {*}) тогда и только тогда, когда существует однозначное отображение ^:HhG такое, что, во-первых, для любого На G H имеет место включение (р (На^ G На, во-вторых, для любых На, Hß G H

(1)

При этом элемент <р(Н) будем называть фиксированным представителем множества H.

На первый взгляд, требование существования фиксированного представителя могло бы существенно ограничить класс Я конечных групп, представимых в виде подмножественного агрегатирования группы, ни одна секция которой не изоморфна какой-либо группе из Я. Но, как оказалось, ограничение в виде существования фиксированных представителей не приближает подмножественное агрегатирование к операции взятия фактор-группы.

Теорема 1. Для любой конечной группы G = (G; {*}) найдется такая конечная циклическая группа Z, что G изоморфна некоторому результату подмножественного агрегатирования с фиксированными представителями циклической группы Z.

Доказательство. Линейно упорядочим все элементы из G: G = {go] gi]... ; gn}, причем сделаем это таким образом чтобы до = е. Рассмотрим циклическую группу Z с порождающим элементом а порядка не ниже (23п+2 + 1). Введем функции а и if следующими формулами:

(2)

Носитель универсальной алгебры ТС = (Н; {★}) положим равным

Операцию ★ определим формулой:

(3)

Выбор представителей будем осуществлять с помощью функции <р, определенной одной из формул (2). Докажем выполнение первого условия на выбор представителей из определения 3: так как gi = gi * е = gi * до, то

Проверим выполнение равенства (1): с одной стороны

С другой стороны,

Следовательно,

т.е. равенство (1) доказано.

Осталось проверить, отображение а является взаимно однозначным. Пусть a (<7fc) = а (gm). Выберем максимальные такие числа v,t, что для некоторых номеров и, s имеют место равнства gk = ди * gv, gm = g s * gt-Тогда в силу формулы (2) имеем аи+2 2 G a (gm), as+2 2 G а (g к)-В силу формулы (2), из равенства а(дк) = ос(д m ) следует, что

Из последнего равенства, в силу 22n+1 > |2г' — 2*|, следует 2г' — 2* = О и 2s — 2й, откуда и = s и v = t. Таким образом,

то и требовалось доказать.

Теорема 2. Для любой конечной группы Q найдется такая конечная элементарная абелева группа V — (Р; {*}), что Q изоморфна некоторому результату подмножественного агрегатирования с фиксированными представителями группы V.

Доказательство. В силу теоремы 1 любая группа может быть представлена в виде подмножественного агрегатирования конечной циклической группы. Таким образом, осталось доказать, что эта циклическая группа изоморфна некоторому агрегатированию с фиксированными представителями какой-либо конечной элементарной абелевой группы.

Обозначим через п порядок этой циклической группы. Рассмотрим элементарную абелеву группу V с носителем Р = (ai) х ... х (ап) с единичным элементом е. В качестве носителя ее агрегатирования TL возьмем множество

(4)

Положим

(5)

Докажем, что система

(7)

является агрегатированием с фиксированными представителями группы V, изоморфная циклической группе.

Для этого достаточно проверить лишь включение (1).

Имеем при q < п, согласно формуле (6)

При 0 < р < п, 0 < q < п, р + q ф 0 (mod п), согласно формуле (5)

следовательно, <р (Нр) * <р (Hq) G Нр* Hq.

При 0 < р < п, 0 < q < п, р + q = 0 (mod гс), согласно формулам (5),

(6)

Таким образом, включение (1) доказано. Из формулы (6) следует, что агрегатирование (7) изоморфно циклической группе порядка п. Теорема доказана.

Определение 4. Скажем, что группа ТС = (Н; {★}) является результатом исключающего подмножественного агрегатирования группы Ç, если любые различные элементы из H имеют пустое пересечение.

Теорема 3. В группе ТС, являющейся результатом исключающего подмножественного агрегатирования с фиксированными представителями группы Q, индуцированная операция * определяется функцией ip однозначно.

Доказательство. По определению подмножественного агрегатирования с фиксированными представителями

(6)

Так как различные множества Hi из H имеют пустое пересечение, то множество Нз определяется элементом ip(Hi) * ip (Н2) однозначно, что и требовалось доказать.

Теорема 4. Существует такая конечная группа Q и группа ТС, являющаяся результатом исключающего подмножественного агрегатирования с фиксированными представителями группы G, что в носителе группы ТС найдется элемент H, порядок которого в группе ТС не является делителем порядка элемента (р(Н) в группе Q. Более того, существует такое агрегатирование, что числа \р(Н)\ и\Н\ являются взаимно простыми.

Доказательство. Пусть а - порождающий элемент циклической группы порядка 8. Тогда в качестве искомого можно взять исключающее подмножественное агрегатирование ТС с фиксированными представителями, в котором функция {р задана следующей таблицей (в силу теоремы 3 этой таблицы достаточно для задания агрегатирования ТС):

Таким образом,

но числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Теперь приведем пример, когда получаются элементы, порядки которых не являются взаимно простыми. Пусть b - порождающий элемент циклической группы порядка 32. Тогда в качестве искомого можно взять следующее агрегатирование, являющееся циклической группой порядка 6, носитель которого состоит из следующих множеств (в каждом списке элементов в рамочку взято значение функции ф)\

Таким образом,

но число 6 не делится на 32 нацело.

Можно предложить другой вариант агрегатирования с теми же свойствами:

Исключающее подмножественное агрегатирование с фиксированными представителями сохраняет большее число свойств исходной группы, чем агрегатирование без требования исключительности. В отличие от теоремы 1, для исключающего агрегатирования справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Если группа ТС может быть представлена как исключающее подмножественное агрегатирование абелевой группы Q с фиксированными представителями, то группа ТС также является абелевой.

Доказательство. Пусть {Hi; Н2} Ç H. В силу определения подмножественного агрегатирования с фиксированными представителями

Абелевость группы Q влечет up (Hi) * up (H2) = ip (H2) * ip(Hi). Следовательно,

Значит, последнее пересечение непустое, Но по условию агрегатирование является исключающим, значит, множества (Hi * Н2) и (Н2 * Hi) совпадают. Теорема доказана.

Определение 5. Будем говорить, что группа ТС = (Н; {*}) является результатом подмножественного агрегатирования с фиксированными сильными представителями группы Q = (G; {*}) тогда и только тогда когда существует однозначное отображение (^:HhG такое, что, во-первых, для любого Я G H имеет место включение (р (H) G H, во-вторых, для любых Hi, Н2,..., Hk G H

(8)

Теорема 6. Если группа ТС = (Н; {★}) является результатом исключающего подмножественного агрегатирования с фиксированными сильными представителями группы Q = (G; {*}) и единичный элемент

группы ТС является нормальной подгруппой группы Q, то группа ТС изоморфна некоторой секции1 группы G -

Доказательство. Пусть е - единичный элемент группы Q, Е -единичный элемент группы ТС, и элемент, обратный к H G H, обозначается через H. Обозначим через M взять носитель подгруппы, порожденной множеством

Сначала докажем формулу

(9)

Для любого Я G H имеем up (H) * up (^È^j G E. Следовательно, up (^H^j * E = E, откуда следует включение (9).

Покажем, что искомым изоморфизмом является отображение ф, определенное формулой

(10)

Докажем взаимную однозначность. Пусть ф (Hi) = ф (Н2). Тогда

Следовательно, согласно (9),

up I Hi ) * up (H2) * E = E. Если бы Hi ★ Н2 = Но ф Е, то по условию

противоречие. Следовательно, Hi ★ Н2 = Е, т.е. Hi = Н2. Таким образом, доказано, что отображение (10) является взаимно однозначным. Теперь проверим, что ф - гомоморфизм.

Имеем

Представители, являющиеся значениями фунции up, являются сильными, поэтому

1 Т.е. фактор-группе некоторой подгруппы группы Q.

Следовательно,

что в силу (9) дает

Следовательно,

Таким образом, отображение, заданное формулой (10), является взаимно однозначным гомоморфизмом одной группы на другую, то есть изоморфизмом групп. Теорема доказана.

Нам представляется весьма перспективным направлением изучение преобразований (например, подмножественного агрегатирования) универсальных алгебр, приводящее к алгебрам другого типа, например, задаваемых иной системой аксиом.

Определение 6. Будем говорить, что поле Л — (Н; {0;®}) является результатом подмножественного агрегатирования с фиксированными представителями, группы Q = (С; {*}) тогда и только тогда, когда существуют однозначные отображения (р§ :H^G и у?® :H^G такие, что, во-первых, для любого Я G H имеют место включения у?0 (H) G H и у?® (H) G H, во-вторых, для любых На, Hp G H

(11)

Теорема 7. Поля G F (2) и G F (4) могут быть представлены как результат агрегатирования с фиксированными представителями циклической группы порядка 4-

Доказательство. Пусть Q = ({е; а; а2; а3} ;{*}) - группа. Тогда полем является алгебраическая система

в которой операции “сложения” 0 и “умножения” 0 определяются таблицами (в приведенных таблицах для каждого элемента из носителя поля эти представители заключены “в рамочку”):

Для поля G F (2), как подполя поля G F (4), утверждение очевидно. Теорема доказана.

Теорема 8. Поле Галуа может быть представлено как результат агрегатирования с фиксированными представителями группы.

Доказательство. Пусть К, = (К; { + ,•}) - поле Галуа, где К = {0;е;а;а2;а9-2} - носитель поля Галуа, 0 - нулевой элемент аддитивной группы поля, е - единичный элемент мультипликативной группы поля. Рассмотрим группу Q = S х Лч, где S - аддитивная группа поля, Л4 - мультипликативная группа поля. Таким образом, во-первых, носитель G группы G представляет собой множество всех пар (х\у), ж G К, у G {е; а; а2; а9-2}, и, во-вторых, для групповой операции * группы Q имеем

(12)

Положим

(13)

Согласно теореме 7 можно считать, что рассматриваемое поле отлично от G F (2), в частности, q > 3. В этом случае для любого х имеем {(ж; е); (0; х)} ф {0} х {е; а; а2; а9-2} и, следовательно, функция / является взаимно однозначной. Положим

(14)

где H = I X G К j, 0 и 0 - операции, заданные правилами f(h\) ©

/(^2) = / (hi + ^2), /(^1)^/(^2) = / (hi • /12). Покажем, что универсальная алгебра ТС является результатом исключающего подмножественного агрегатирования с фиксированными представителями группы Ç, где

(15)

В самом деле, во-первых, по формуле (13) при х ф О

Во-вторых, по формуле (12)

Далее, по формуле (15) для х ф О

Во-вторых, по формуле (12) для х ф 0, у ф О

Если X = 0, у ф О

Если i/O, у = О

Если ж = 0, у = О

Таким образом, универсальная алгебра ТС является результатом подмножественного агрегатирования с фиксированными представителями группы Q.

Осталось доказать, что агрегатирование ТС изоморфно полю 1С. Покажем, что отображение, заданное формулой

(16)

является искомым изоморфизмом.

Согласно определению операций 0 и ® имеем

Теорема доказана.

Теорема 9. Пусть группа ТС = (Н; {★}) является результатом подмножественного агрегатирования группы Q = (G, {*}) с фиксированными представителями, выбираемыми функцией ор, и V — (Р, {*}) -нормальная подгруппа группы Q,

(17)

причем

(18)

Положим

(19)

(20) (21)

Тогда алгебра Л4 = (М, {•}) - это группа, являющаяся результатом агрегатирования группы Q/V с фиксированными представителями, выбираемыми функцией ф, и отображение ß является гомоморфизмом группы ТС в группу М..

Доказательство. Из (20) и (21) следует тот факт, что область определения отображения • совпадает с M х М.

Однозначность отображения • очевидна:

Таким образом, • является алгебраической операцией. Проверим ассоциативность операции •. Согласно (21)

С другой стороны,

Следовательно, операция • ассоциативна.

Ясно, что нейтральным элементом является ß(E), где Е - нейтральный элемент группы ТС.

Если Н~1 является в группе ТС элементом, обратным к Я, то

Следовательно, M является группой.

Тот факт, что ф является однозначным отображением, следует из (18). Поэтому, для того, чтобы доказать, что группа M является результатом агрегатирования группы Ç, осталось проверить равенство (1). В силу (19)

Теорема доказана.

Теорема 10. Пусть группа ТС = (Н; {★}) является результатом подмножественного агрегатирования группы Q = (G, {*}) с фиксированными представителями, выбираемыми функцией if, и а - гомоморфизм группы G на группу JC = (К, {о}), и отображение ß : H —> M заданно формулой

(22)

причем

(23)

(24)

Тогда алгебра Л4 = (М, {•}), где

(25) (26)

- это группа, являющаяся результатом агрегатирования группы ТС с фиксированными представителями, выбираемыми функцией ф, определенной равенством

и отображение ß, является гомоморфизмом группы JC в группу M.

Доказательство. Однозначность отображения ф следует из формулы (23). Проверим выполнение включения

Возьмем в К произвольные прообразы Х',Х“ элементов Y',Y”. Тогда в силу (26) и того факта, что а - гомоморфизм, выполняется

Из определения агрегатирования следует, что Следовательно,

Следовательно, ф(У') о ф(у“) G Y' • Y”, значит универсальная алгебра M является результатом подмножественного агрегатирования группы 1С.

Тот факт, что ß является гомоморфизмом, следует из (26). Теорема доказана.

Некоторые нерешенные проблемы

1. Актуальной нам представляется задача описания класса всех групп (во всяком случае, конечных групп), которые можно представить в виде а) исключающего подмножественного агрегатирования циклической группы; б) исключающего подмножественного агрегатирования циклической группы с фиксированными представителями; д) подмножественного агрегатирования циклической группы с фиксированными сильными представителями. Возможно, что в некоторых из этих случаев при замене циклической группы, например, на элементарную абелеву, класс

групп, являющихся результатами рассмотренных выше частных случаев агрегатирования, может отличаться от класса групп, получающихся агрегатированием соответсвующих циклических групп, в отличие от теоремы 2. В частности, желательно получить удобные в использовании условия того, что группа Go может быть представлена (с точностью до изоморфизма) в виде агрегатирования группы Gl, и наоборот, условия того, что группа Go не может быть представлена (с точностью до изоморфизма) в виде агрегатирования группы Gl-

2. В работах [7, 8], помимо агрегатирования, водятся и другие операции “алгебры” моделей. В частности, следует выяснить связь между группами автоморфизмов исходной группы и раличных ее агрегатирований, а также связь между энодоморфизмами исходной группы и эндоморфизмами ее агрегатирований, а также соответствующими полугруппами эндоморфизмов. В более общей постановке можно говорить об изучении возможностей индуцирования “конструкций”, определенных на исходной группе G (эндоморфизмов, представлений, решетки подгрупп и др.) на алгебраическую систему, являющуюся результатом агрегатирования группы G-

3. В данной работе мы ограничились случаем, когда результатом подмножественного агрегатирования группы является группа. Желательно получить описание возможных результатов агрегатирования группы (не обязательно подмножественного [8. С. 98]), в общем случае, когда результат агрегатирования группы не является группой, например, агрегатные представления эндоморфизмов [9, 10].

4. Нам представляется весьма перспективным изучение результатов агрегатирования не только группы, но и других алгебраических систем, топологий, графов.

5. Мы рассмотрели некоторые частные виды агрегатирований: агрегатирование с фиксированными представителями, фиксированными сильными представителями, исключающее агрегатирование. Нам представляется перспективным изучение других частных случаев агрегатирования.

6. Было бы интересно выяснить связь между группами, например, получающимися двумя такими агрегатированиями некоторой группы, которые отличаются только выбором фиксированных представителей (в частности, носители этих агрегатирований совпадают). Интересен и “противоположный” вариант: носители двух агрегатирований группы различны, а множества фиксированных представителей (значений функции (fi и if2) совпадают.

7. В данной работе рассмотрен лишь случай конечных групп. В свете полученных результатов представляется перспективным изучение агрегатирований бесконечных групп.

Библиографический список

1. Белоногов В.А. Представления и характеры в теории конечных групп. Свердловск, 1990. 380 с.

2. Белоногов В.А., Фомин А.Н. Матричные представления в теории конечных групп. М.: Наука. - 1974. 126 с.

3. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. - М.: Наука. - 1987. - 336 с.

4. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп, изд-е третье, испр. и доп. М.: Наука, 1982. 288 с.

5. Кейслер Г., Чен Ч. Ч. Теория моделей. - М.: Мир. - 1977. - 616 с.

6. Мельникова П.В., Мельников Ю.Б. Лекции по алгебре. Учеб. пос. по курсу “Математика”, Изд-е третье, исправленное и дополненное / Екатеринбург: Уральское издательство, 2003. 512 с.

7. Мельников Ю.Б. Математическое моделирование: структура, алгебра моделей, обучение построению математических моделей: Монография. - Екатеринбург: Уральское издательство, 2004. 384 с.

8. Мельников Б.П., Мельников Ю.Б. Геотехногенные структуры: теория и практика: Монография. Екатеринбург. Уральское изд-во, 2004. 556 с.

9. Мельников Ю.Б. Представление полугруппы эндоморфизмов конечной группы на пространстве ее классовых функций // Изв. вузов, сер.“Математика”, № 11 (438), 1998. С. 64-68.

10. Мельников Ю.Б. О представлении полугруппы эндоморфизмов конечной группы на ее групповой алгебре // Сибирский математический журнал, Новосибирск, 1998. № 5. Т. 39. С. 1104-1110.

11. Фейт У. Теория представлений конечных групп: Пер. с англ. / Под ред. А.И. Кострикина. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. -464 с.

О бифуркациях петли сепаратрисы сшитого седло-узла

В.Ш. Ройтенберг

Пусть M - компактное двумерное С°°-многообразие, D - разбиение M на компактные двумерные С°°-подмногообразия Mi, г G {1,п}, такие, что M = Mi U ... U Мп, Mi П Mj = dMi П dMj при i,j G {1, ..,n},i ф j. Кусочно-гладким векторным полем класса Сг (г > 1) на многообразии M с разбиением D назовем элемент топологического векторного пространства Xr(M,D) := Xr(Mi) 0 ... 0 Xr(Mn), где Xr(M*) - топологическое векторное пространство векторных полей класса Сг на Mi с

Сг-топологией. Траекториями векторного поля X = (Х^г\Х^*1') G Xr(M,D), следуя [1. С. 95] будем называть траектории дифференциального включения X G Х(х), х G M, где Х(х) = {X^\x)} при х G intMinX(x) - выпуклая оболочка векторов Х^г\х) и Х^\х) при х G dMi П dMj. Кусочно-гладкие векторные поля применяются в качестве математических моделей реальных динамических систем с переключениями. Несомненный интерес представляет изучение бифуркаций кусочно-гладких векторных полей, при которых рождаются устойчивые периодические траектории (автоколебания). В [1] приведено описание бифуркации особых точек первой степени негрубости. Некоторые нелокальные бифуркации рассмотрены автором в работах [2-6]. В настоящей работе мы рассматриваем бифуркации кусочно-гладких векторных полей, имеющих петлю сепаратрисы сшитого седло-узла.

Рассмотрим семейство векторных полей Х£ = (Хе , ...,Хе ) G Xr(M, D) (г > 2) Сг-гладко зависящих от параметра е, меняющегося в некоторой окрестности точки О G R. Продолжим векторные поля Хе J G до векторных полей Хе на некоторой окрестности Mi в M с сохранением гладкости по е.

Пусть точка z° G Mj- П Mj+ при некоторых j~, j+ G {1, ...,n}J~ Ф y . Выберем локальную карту h : U —» R так, чтобы h(z°) = (0, 0), h(U П Mj- ) = {(x, y) : y < 0}, h(U П MJ+) = {(x, y) : y > 0}. Пусть в этой карте Х^ \z) = Р±(х,у, е)д/дх + Q±(x,у, е)д/ду.

Предположим, что для поля Хо выполняются следующие условия.

(Ai) Точка z° - особая точка векторного поля X3Q , т.е. Р+(0) = Q+(0) = 0. У матрицы линейной части поля в этой точке собственные значения А§ < Л? < 0, а вектор (1,0)т не является собственным: Qj(0) ф

0. Вектор X3q (z°) направлен внутрь Mj-: Q~(0) < 0.

(А2) Из точки z° выходит траектория Го поля Хо, не содержащая других особых точек и и - предельная к z°.

Эти условия не зависят от выбора локальной карты h.

Фазовый портрет поля Хо в окрестности точки z°, а также его перестройки при малых возмущениях поля [1. Рис. 94, 101] напоминают соответственно фазовый портрет гладкого векторного поля в окрестности седло-узла и его перестройки. Поэтому особую точку z° естественно называть сшитым седло-узлом, а Го =Го U {z0} — петлей сепаратрисы сшитого седло-узла.

Из условия (Ai) следует, что найдется такое число 5' > 0, что для всех е G (—б',о'), векторное поле Хе3 ^ имеет в U единственную особую точку z(e), такую, что z(-) G С1, z(0) = z°, при этом собственные зна-

чения линейной части поля в этой точке Лг(£) < Ai(e) < 0 = 1, 2). Пусть h(z(e)) =: (х(е), у (s)). Заметим, что sgny'(0) не зависит от выбоpa карты h и от выбора продолжения Х£ поля Xq . Введем условие (Аз) у'(0)<0.

Теорема. Пусть семейство Х£ удовлетворяет условиям (Ai)-(Аз). Тогда существует окрестность £/(Го) кривой Го и число ô > О такие, что векторное поле Х£ \U(Tq) при s G (0,(5) имеет устойчивую гиперболическую замкнутую траекторию!\е), к которой предельны остальные траектории. При этом It Т(е) = Го.

Доказательство. В случае, когда Го и—предельна к z° вдоль ведущего собственного направления (соответствующего А?) утверждение теоремы доказано в [2]. Поэтому пусть далее Го оо—предельна к z° вдоль неведущего собственного направления (соответствующего Л§). Без ограничения общности можно считать у(е) = —г. Согласно [7] в координатах (ж,у), задаваемых картой /г, неведущее локальное инвариантное многообразие узла z(e), s G (—5' ,5'), при достаточно малом о' имеет уравнение вида х = g(y,e), у G (—у,у), где g G Cr. Сделав замену и = x — д(у,е), v = у + е, получим, что в новых координатах неведущее локальное инвариантное многообразие имеет уравнение и = 0, а точка z(e) имеет координаты и = v = 0. Пусть h£ - локальная карта, задающая эти координаты. В карте h£

(1)

где а, п,г2 G С\ r1(0,0,e) = r2(0,0,e) = dr2(0,0,e)/du = dr2(0,0,e)/dv = 0. Так как в карте ho (Л? — Л§, а(0)) - координаты собственного вектора, соответствующего собственному значению Л?, то из условия (Ai) следует, что а(0) ф 0. Без ограничения общности можно считать, что а(0) < 0. Выберем числа d > 0, к и й удовлетворяющие неравенствам

(2)

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(3)

Ввиду (3) мы можем считать число d и о' столь малыми, что в области D£, s G (0, ô'), заданной неравенствами — й < и < й, 0 < v < d, v > ки, (u,v) ф (0,0), правая часть уравнения (4) определена и его интегральные кривые, начинающиеся в точках границы D£, не принадлежащих

отрезку 0 < и < й, V = О, при убывании v входят внутрь D£. Поэтому при е G (0, £') решение F(v,s,e) уравнения, удовлетворяющее начальному условию F(d,s,e) = s, где s G [—й,й], определено для v G (0, d]. Функция (f(-,e) := F(e,s,e) задает отображение дуги h~1({d} х [—й,й]) в дугу х [—й,й]) С Mj- nMj+ по траекториям поля Х£. Производная Fs(v,s,e) удовлетворяет уравнению в вариациях

(4)

Поэтому

(5)

Покажем, что d, и и 6' можно считать выбранными так, что существуют положительные числа /и TV, для которых

(6)

При достаточно малых d и 6' найдутся числа m > 0 и L > 0 такие, что при s G (0, й]

Тогда, считая и и о' достаточно малыми, получим

(7)

Так как дуга траектории Го с концами в точках z° и х(0, d) не содержит особых точек, то найдутся такие числа I > 0 и ô G (0, 6*'), что траектория поля Х£, s G (—(5,(5), начинающаяся в точке /ij1 (?/,£:), 1/ G [—/,/], проходит через точку а^1(ф(и1е)1а), где ф(-, •) G С1, ^(0,0) = 0. Так как у?(0, г) = 0, то из (6) следует, что при некоторых гл* > Ои S G (0,(5') для любых(8,£:) G [—и*, и*] X (0,(5) <p(s,e) G (—и*, и*). Функция /(•, е) := ф((р(-, s),e) является функцией последования по траекториям поля Х£ на дуге а~г([—и*, и*] х {d}). Выберем число q < 1. В силу ограниченности ф'и и оценки (6) числа и* и ö можно считать выбранными так, что

(8)

Так как ф(0, 0) = 0, то, уменьшив при необходимости (5, мы можем считать, что при s G (0,(5) |/(0, £:)| = 1^(0, е)\ < (1 — q)u*. Но тогда, используя (8), получаем, что /(•, е) отображает [—гл*, гл*] в (—гл*, гл*). Поэтому /(•, s) имеет единственную неподвижную точку s о (s) G (— Через точку /iJ1(so(e), d) проходит устойчивая гиперболическая замкнутая траектория Г (s) поля Х£. Аналогично (8) доказывается, что lim max \f's(s,e)\ = 0. Так как и lim |/(0, £:)| = 0, то lim s(e) = 0.

Поэтому It Т(е) = Го. Построение окрестности С/(Го), о которой идет речь в теореме, теперь не представляет сложности. В аналогичной ситуации оно проделано в [2].

Библиографический список

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

2. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях петель сепаратрис особых точек на линии разрыва // Деп. в ВИНИТИ, 1987. № 2795-В87.

3. Ройтенберг В.Ш. О рождении устойчивых замкнутых траекторий разрывных векторных полей // Математика и математическое образование. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 3. Ярославль, 2002. С. 49-52.

4. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях кусочно-гладкого векторного поля в окрестности петли сепаратрисы особой точки на линии разрыва // Математика и математическое образование. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 5. Ярославль, 2006. С. 19-23.

5. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях сепаратрисного контура кусочно-гладкого векторного поля. Сб. тр. XX международной научной конференции ММТТ 20, Т. 1. Ярославль, 2007. С. 69-71.

6. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях кусочно-гладких векторных полей, имеющих петлю сепаратрисы седла, находящегося на линии разрыва // Математика и математическое образование. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 6. Ярославль, 2008. С. 46-56.

7. Шильников Л. П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1 / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

О проблемах геометрического способа вычисления вероятностей

В.Н. Алексеев

Из трех практических способов вычисления вероятностей событий (классический, статистический, геометрический) наибольшее число проблем было связано с геометрическим. Парадокс Бертрана [3. С. 37-38] выпукло и ярко очертил эти проблемы. Понятие равновозможности элементарных исходов в случае бесконечного фазового пространства оказалось зависимым от параметризации этого пространства. Удачный и обоснованный способ выбора параметров, равномерное распределение которых определяет равноправность возможных элементарных исходов, во многом служит решающим фактором для получения более подходящего для рассматриваемой ситуации решения.

В качестве примера обратимся к задаче № 1 Всероссийского тура студенческой олимпиады [4. С. 84. Решение - С. 301-302].

1. (Всероссийский тур). Какова вероятность того, что прямая, брошенная наудачу на плоскость и пересекающая окружность радиуса г, пересечет отрезок линии 21, лежащий на диаметре симметрично относительно центра окружности (I < г)?

В предлагаемом решении авторов параметры выбраны не очень удачно и, поэтому, решение много потеряло в простоте и прозрачности. Приведем более простое и понятное решение.

Всякая хорда (исключая диаметры) однозначно определяется своим центром. Т.к. картина симметрична по всем координатным четвертям, то достаточно рассмотреть положение этих центров в первом квадранте (см. рис. 1).

Выберем в качестве координат полярные координаты точек. Тогда множество точек первого квадранта (фазовое пространство) будет задано системой ограничений:

(1)

Причем очевидно, что условие пересечения хордой выделенного отрезка на оси аналитически задается неравенствами:

(2)

Обычным образом находим:

(3)

где делимое и делитель определялись из ограничений (2) и (3) соответственно. Именно такой ответ указан и авторами.

Однако вполне понятно, что использование полярной системы координат при равномерном распределении дает большую концентрацию точек в окрестности точки , что приводит к более частому выбору хорд, центры которых расположены ближе к началу координат и потому к большей вероятности рассматриваемого события.

Решим эту же задачу, используя декартову систему координат. В [1] подробно приведено аналитическое решение для определения ограничений в декартовых координатах на множество центров хорд, которые

Рис. 1

будут пересекать указанный отрезок. Но это ограничение легко следует из (3), или из элементарных соображений школьной геометрии. Очевидно, что оно имеет вид:

(4)

т.е. задает половину круга в первом квадранте, опирающуюся на /, как на диаметр. Тогда из (5) вытекает:

(5)

что существенно ниже, чем авторский ответ (4). Тем не менее, оба ответа следует признать правильными для соответствующих способов выбора равномерно распределенных параметров, определяющих выбор хорды. К этой задаче можно предложить и другие способы параметризации множества элементарных исходов, что приведет к другим ответам.

В работе [2] приведены примеры построения и исследования явного вида преобразований фазовых пространств, полученных для различных параметризаций одного и того же множества элементарных исходов. Эти примеры вполне доступны для исследований студентов, а частично даже и школьников. Такая внеучебная (а, возможно, и в рамках изучения соответствующего материала в разных дисциплинах учебного плана) деятельность студента поможет не только овладеть понятиями, но и осознать единство различных ветвей математики и возможность использования одинаковых технических приемов в различных отраслях.

Кроме того, вычисления вероятностей геометрическим способом позволяют производить приближенные вычисления на основе статистического способа вычисления. Практическим приемом реализации такого подхода может служить применение методов Монте-Карло с привлечением датчиков псевдослучайных чисел в системах программирования. Получаемые при этом результаты очень хорошо согласуются с теоретическими вычислениями. При использовании такого способа следует иметь ввиду, что нужно реализовать именно равномерное распределение эмпирических точек в фазовом пространстве, а это может вызывать определенные проблемы. Например, попытка осуществлять выбор следующих параметров с учетом выбора предыдущих, таким образом, чтобы генерируемая точка обязательно попадала бы в фазовое пространство, в большинстве ситуаций приведет к искажению результатов. Но

следует отметить, что ответы, получаемые таким образом, тоже соответствуют возможному практическому способу выбора элементарного исхода и имеют право быть признаны правильными для соответствующей схемы выбора.

Практически же при использовании компьютерных технологий для проведения вычислений следует поступать так:

- “погрузить” фазовое пространство в параллелепипед соответствующей размерности;

- используя датчик случайных чисел генерировать точки этого параллелепипеда (равномерное распределение);

- регистрировать (считать) только те точки, которые попадают в фазовое пространство, т.е. удовлетворяют соответствующим ограничениям (сумматор N);

- также учитывать те точки, которые попадают в подмножество фазового пространства содержащее исходы, благоприятствующие наступлению рассматриваемого события (сумматор );

- относительная частота M/N и дает статистическую оценку вычисляемой вероятности (целесообразно вести такие испытания непрерывно до нажатия на произвольную клавишу).

Легко видеть, что предлагаемый алгоритм основан на вычислении вероятности события через условные вероятности без их непосредственного вычисления (что не повлияло бы на результат, но “утяжелило” бы алгоритм).

Другой проблемой, возникающей при использовании датчика случайных чисел, является проблема реализации равномерного распределения точек на искривленных поверхностях, в частности на сфере. В литературе нет описания создания такого распределения. Но следует отметить, что если имеется некоторое “тело” (фигура на единицу большей размерности, чем рассматриваемая “поверхность”), для которого существует проекция (параллельная или центральная /это одинаково с точки зрения проективной геометрии/) на поверхность такая что объем соответствующего конуса или цилиндра пропорционален площади его проекции на поверхность, то эта задача легко решается. Естественно, что тело при этом также требует погружения в соответствующий параллелепипед. Для сферы центром проекции следует считать центр шара, ограниченного сферой и погружать шар в куб (или параллелепипед).

Работа с такими программами способствует развитию математической интуиции студента, повышению практических навыков, а также привлечению к решению математических (и практических) задач компьютерных технологий.

В качестве тренировочного упражнения на использование датчика случайных чисел можно рекомендовать решить задачу из [3] для всех описанных способов параметризации, а также придумать несколько своих способов.

Библиографический список

1. Алексеев, В.Н. Парадокс Бертрана и задачи студенческих олимпиад // XVII Ершовские чтения: межвузовский сб. научно-методических статей. Часть 1 / В.Н. Алексеев. - Ишим: НГПИ им. П.П. Ершова, 2007. - С. 16-20.

2. Алексеев, В.Н. Развитие интуитивных представлений о бирациональных перестройках // Прикладные вопросы математики: материалы региональной конференции / В.Н. Алексеев, Н.В. Суздалева. - Ишим: ИГПИ им. П.П. Ершова, 2007. - С. 8-14.

3. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В. Гнеденко. - М.: Наука, 1969. - 400 с.

4. Садовничий, В.А. Задачи студенческих математических олимпиад / В.А. Садовничий, А.А. Григорьян, С.В. Конягин. - М.: МГУ, 1987. - 310 с.

Распространение нервного импульса по аксону с разветвлением

С.Е. Ануфриенко, А.С. Мац

В [1] предложена математическая модель процесса сальтаторного проведения нервного импульса по неразветвляющемуся нервному волокну. Особый интерес представляет случай сальтаторного проведения возбуждения по ветвящемуся аксону. Предполагается, что разветвление аксона происходит в районе перехватов Ранвье, таким образом, миелинизированные участки соседних ответвлений не могут влиять друг на друга. Влияние на миелинизированный участок оказывают лишь перехваты Ранвье, ограничивающие данный участок. Также следует отметить, что в общем случае число ответвлений в районе перехватов Ранвье может быть произвольным, в вырожденном случае возможно всего лишь одно ответвление.

Рассмотрим участок нервного волокна, имеющий в районе перехвата Ранвье два ответвления, как показано на рис. 1.

Рис. 1. Участок нервного волокна в месте ветвления

Участок аксона содержит четыре перехвата Ранвье и три миелинизированных участка. Мембранный потенциал крайнего левого перехвата на рисунке 1 обозначим через г^(£), центрального перехвата - через u\(t), правого верхнего - через u\(t), и правого нижнего - через uiit). Мембранные потенциалы левого, правого верхнего и правого нижнего миелинизированных участков обозначим, соответственно, через Vi(t), v\(t) и г>|(£). Также для удобства проведения последующих выкладок переобозначим г^о = v>o(t), v\ = v\(t) и и\ = u\(t) (рис. 1).

Мембранные потенциалы перехватов Ранвье и миелинизированных участков будем отсчитывать от уровня максимальной гиперполяризации, поэтому

(Здесь и далее j = 1при 0 < г < 1, 1 < j < 2при г = 2.) Процесс распространения нервного импульса по разветвляющемуся аксону описывает следующая система дифференциальных уравнений:

(1) - (7)

Здесь параметр Л >> 1 отражает высокую скорость протекания электрических процессов, параметр 0 < е « 1 учитывает токи утечки, проходящие через мембраны перехватов. Положительные достаточно гладкие функции JNa(u) и fx (и) монотонно убывают к нулю при и —» сю быстрее, чемО(и~ ). Они описывают состояние натриевых и калиевых каналов мембран перехватов.

Смысл параметра а (0 < а < ai) заключается в следующем: множитель е~Хсг подавляет слабые сигналы. Другими словами, перехват может сгенерировать только в случае, когда сумма значений мембранных потенциалов миелинизированных участков, окружающих перехват, значительно превосходит значение мембранного потенциала перехвата.

Параметры

Число /к(0) — /jva(l) — 1 > 0 связано с пороговым значением: будем считать, что спайк ^-го перехвата начинается в момент времени ts, такой что

Токи утечки через миелиновые оболочки не учитываются. Отметим, что система уравнений (1)-(7) имеет состояние равновесия

Рассмотрим систему (1)-(7) с начальными условиями

Класс начальных функций S состоит из непрерывных на отрезке s G [—1,0] функций (f(s), удовлетворяющих условиям:

Проанализируем систему (1)-(7) при Л —» сю.

Формулы, описывающие динамику мембранного потенциала нулевого перехвата, имеют следующий вид [1]:

Параметр ö (0 < Ö « 1) - это произвольно малое фиксированное число. Выражение о(1) подразумевает под собой некую очень малую величину.

Очень быстрое возрастание мембранного потенциала, начавшееся в момент времени t = 0, в момент времени t = 1 + о(1) сменяется почти таким же быстрым убыванием, причем, поскольку ai > 1, длительность нисходящего участка больше, чем восходящего, что соответствует биологическим данным. После генерации спайка мембранный потенциал “проваливается” (говорят, что мембрана находится в состоянии гиперполяризации), а затем начинает приближаться к равновесному значению и*, причем приближенное равенство и ~ и* выполняется до тех пор, пока нейрон не сгенерирует новый спайк, который может быть вызван только внешним сигналом.

Формулы, задающие мембранный потенциал первого миелинизированного участка, имеют вид [1]:

Параметры ти равны:

Отметим, что

Мембранный потенциал первого миелинизированного участка имеет на рассматриваемых промежутках две точки максимума и находящуюся между ними точку локального минимума, а при достаточно больших t приближается к равновесному значению и*.

Применяя метод пошагового асимптотического интегрирования, получим для мембранного потенциала первого перехвата Ранвье:

то есть спайк первого перехвата начинается в момент времени t = т + о(1), а значение мембранного потенциала первого перехвата получается временным сдвигом значений потенциала нулевого перехвата на величину т.

Аналогично для остальных перехватов и миелинизированных участков получаем:

Взглянув на выражение для мембранного потенциала первого миелинизированного участка, легко заметить, что его потенциал до и после момента времени t = г* + о(1) с точностью до о(1) повторяет значение мембранного потенциала, соответственно, нулевого и первого перехвата, между которыми он находится. Аналогичные утверждения верны и в отношении остальных миелинизированных участков.

Таким образом, при возбуждении нулевого перехвата Ранвье в направлении первого перехвата побежит волна импульсов (спайков), которая в первом перехвате разделится на две волны, бегущие к перехватам с номерами \ и \. Сразу же после генерации спайка, когда мембрана гиперполяризована, перехват Ранвье находится в состоянии абсолютной рефрактерности. В это время никакое внешнее воздействие не может вызвать генерацию нового спайка. Постепенно абсолютная рефрактерность сменяется относительной. В таком состоянии только очень сильное воздействие может вызвать спайк, при этом необходимая сила воздействия со временем уменьшается.

В заключение следует отметить, что полученные результаты хорошо согласуются с биологическими данными. Поэтому, на наш взгляд, предложенная модель вполне может быть использована для описания процесса распространения нервного импульса по разветвляющемуся миелинизированному аксону.

Библиографический список

1. Майоров, В.В. Анализ системы сингулярно возмущенных уравнений, описывающих проведение возбуждения по нервному волокну / В.В. Майоров, С.Е. Ануфриенко // Труды III колмогоровских чтений. -Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2005. - С. 175-182.

Знаковая характеристика H-самосопряженной матрицы

Ю.И. Большаков

1. Определения. Теорема классификации H-самосопряженной матрицы А

Для постановки основной задачи нам потребуется несколько определений и некоторые результаты, которые мы приведем в пунктах 1 и 2.

1.1. Определение. Пусть H - невырожденная комплексная самосопряженная матрица; т.е. //* = Н. Тогда H-сопряженной к матрице А G СпХп называется матрица вида А[*] := Н~1А*Н. Матрица A G CnXn называется H-самосопряженной, если А^ = А.

1.2. Замечание. Если матрица А - матрица некоторого линейного оператора, действующего в Cn, а H - матрица полуторалинейной невырожденной функции на Сп X Сп со значениями в С, то при смене базиса с помощью матрицы перехода Т, соотвествующая тройка матриц преобразуется по следующему закону: А' = Т~г AT, H' = Т*НТ, А := Н'~гА'*Н' = Т~гА^Т, т.е. матрица А^ при смене базиса изменяется по закону преобразования матрицы оператора, как и матрица А.

1.3. Пусть G = GL(n, С), X = {(A, H) G CnXn х СпХп/А*Н = НА, //* = //, det H ф 0}; где Z* \= Z1 - сопряженная к Z матрица. Определим действие G на X с помощью (р из соотношения: ((А, Н))(р(Т) = (Г'1 AT, Г* ЯГ).

Легко видеть, что множество X инвариантно относительно <р(Т) для V/1 G GL(n, С). Действие С на А с помощью tp не является ни транзитивным ни эффективным: пара (/п, Н) (/п, Н'), т.е. первая компонента остается на месте, а замена Т егЬг1\ t G M задает одно и то же отображение.

Нахождение орбит и параметризация множества X/G можно трактовать как задачу классификации [1. С. 23].

Пусть Л G С, k G N. Обозначим символами Jfc(A) и Qk, соответственно, следующие к х к-матрицы

1.5. Теорема. Пусть А - комплексная п х п H-самосопряженная матрица, тогда существует невырожденная комплексная п х п-матрица Т и такая, что

1.6. А' := Т-гАТ= Jfc1(Ai)e...eJfca(Aa)e[Jfca+1(Aa+i)eJfca+1(Aa+i)] 0 .. .0 [Jkß(^ß)® Jkpftß)], где Ai, Аа - вещественные, Аа+1,---, Xß - невещственные собственные числа матрицы А с положительными вещественными частями,

1.7. Н' := Г*#Т = eiQfcj 0 ... 0 £QÇfc(V 0 Q2k(y+1 0 ... 0 C?2fc^, причем числа z% = ±1, г = 1, 2,..., а. Каноническая форма (А'', Я') пары (Л, Я) определена однозначно с точностью до синхронной перестановки блоков в паре (А'', Я').

Доказательство этой теоремы восходит к Вейерштрассу и Кронекеру, его можно найти, например, в [2, 3] или в [4].

1.8. Определение. Набор (si, £2, ...,£«) из формулы 1.7 с £ = ±1, г = 1, 2, ..., а, носит название знаковой характеристики H-самосопряженной матрицы Л (или пары (А, Н)).

1.9. Замечание. Теорема 1.5 решает задачу классификации 1.3. Орбиты действия группы G = GL(n,C) на множестве X = {(А, Н)/А^ = А} могут быть параметризованы парами (А', Я'), компоненты которых определены из соотношений 1.6 и 1.7 соответственно. Пары (Л', Н') определены с точностью до синхронной перестановки блоков в прямой сумме вида 1.6 и 1.7.

1.10. Замечание. В формуле 1.6 собственные числа As матрицы А могут, вообще говоря, совпадать. Общее число mk(Xk) жордановых клеток порядка к с собственным числом А/с матрицы А' может быть вычислено по формуле

1.11 тк(Хк) = rg(A - \к1п)к-г - 2rg(A - \kIn)k + rg(A - XkIn)k+\ ([5]) или, что равносильно, по формуле

1.12. гпк(Хк) = ïdim Кег (А - XkIn)k - dim Ker(A - Afc/n)*-1 -dim Ker (A - XkIn)k+1 [6. § 16].

2. G—инварианты, определения

Пусть X и Y - произвольные множества, причем группа G действует на X с помощью отображения ио, т.е. ио : G —» Is(X) - гомоморфизм групп, Is(X) - группа всех биекций множества X на себя.

2.1. Определение. Функция ф : Хт —> У, m G N называется G-инвариантом (относительно действия группы G с помощью ip на X), если i/>((p(g)(xi), <р(д)(х2), ..., <р(д)(хт)) = Ф(хг, ж2, ..., жт) для V$ € G, Va* €Х, t = 1, 2, т.

Определение (7-инварианта мы позаимствовали из [7. § 5]. В [8] изложен несколько иной подход к этому понятию. В частном случае (т = 1) определение 2.1 звучит следующим образом.

2.2. Определение. Функция?/; : X —> Y называется С-инвариантом, если ф(д(х)) = ф(х), Уд G С, Vx G X, т.е. функция ф постоянная на каждой из орбит при действии G на X.

Если Y - числовое множество, то (7-инвариант ф называется скалярным.

3. Вычисление целочисленных инвариантов в теореме 1.5

3.1. Замечание. Числа rrik(Xk) в формуле 1.11 являются скалярными инвариантами матрицы Л при действии группы G = GL(n, С) по правилу: (А)р(Т) = Т~гАТ и, следовательно, являются скалярными инвариантами пары (Л, Н) при действии той же группы по правилу: ((А, Н))(р(Т) = (Т-гАТ, Г*ЯГ), T G GL(n, С).

Уточним результат, сформулированный в теореме 1.5, в той его части, которая касается чисел Si = ±1 в формуле 1.7. Строго говоря, сами числа ei инвариантами пары (Л, Н) не являются, а вот количество €г = 1 к €г = — 1 в каждой размерности и каждом собственном числе Аг - инвариант. Этот результат приведен в теореме 3.6. Для его формулировки введем некоторые обозначения при этом будем считать, что пара (Л, Н) имеет канонический вид.

Пусть rriij - число жордановых клеток размера кц х кц матрицы Л, отвечающих вещественному собственному числу Aj, из которых ш\-отвечает е = +1, а тп~- отвечает е = — 1. Поэтому

Число р - количество всех различных вещественных собственных чисел матрицы Л, Sj - число различных размеров жордановых клеток, отвечающих собственному числу Aj, j = 1, 2, ..., р. Из замечания 2.3.1 следует, что числа rriij - инварианты пары (Л, Н). Если нам удастся выразить разности

3.4. mfj — m~j := Jij через совместные инварианты пары (Л, Н), то из 3.2 и 3.4 получим

3.6. Теорема. Числа Jij в формуле 3.4 могут быть найдены из следующих выражений:

Символ sign S означает сигнатуру (разность между числом плюсов и минусов) соотвествующей полуторалинейной функции с матрицей S. Инварианты raj и га~- вычисляются по формулам 3.5.

Доказательство. Зафиксируем индексы г = го, j = jo, 1 < io < Sjoi 1 < jo < P, тогда, согласно 3.10,

3.12. Ai{)j{) = sign(A - \jQIn)ki°J0~l - sign(A - \j0In)ki°J0 • Выразим Ai0j0 через разности raj — ra~. С этой целью выясним, какие блоки пары (А, Н), входящие в прямую сумму (1.6, 1.7) не влияют на величину разности Ai{)j{) из 3.12. Поскольку

3.13. sign(G 0 H) = signG + signH, то

1) все клетки матрицы А размера kij{) х отвечающие вещественному собственному числу AJ() с номером г > го не влияют на величину числа 3.12, поскольку ki0j0 > kij0 и, следовательно, все такие клетки в выражениях H (А — AJ()/n)fc;<»7<»_1 и H (А — Xj0In)kioJo равны нулю;

2) все клетки матрицы А размера kij х fcj, отвечающие вещественному собственному числу Xj с числом j > jo, не влияют на величину 3.12, поскольку Xj — Xj{) > 0 и поэтому (Xj — AJ())r > 0 для любого (целого) г и, следовательно, каждая из таких клеток как в выражении H (А — \j0In)ki°Jo1, так и в H (А — Xj0In)ki°J0 имеет ту же самую сигнатуру, что и соотвествующая клетка в матрице H и, следовательно, разность этих сигнатур равна нулю;

3) все клетки матрицы А, отвечающие парам комплексно сопряженных собственных чисел zo — а ± iß (ß > 0), не влияют на величину Aiojo, ибо согнатура каждого из прямых слагаемых в выражениях Н(А — Xj{)In)ki“:>”_1 и Н(А — Xj0In)kioJo равна нулю независимо от того, принадлежит ли (zo — Xj0)k множеству C\R или М\{0} (к = ki0j0 — 1 или

Поэтому на величину Аг„^0 в жордановой форме матрицы А могут оказать влияние лишь те клетки, которые отвечают вещественным собственным числам Xj, для которых j < jo, причем при j = jo на величину Aiojo оказывают влияние лишь те клетки, размеры которых kij{) х kij() удовлетворяют неравенству

3.14. kij0 > ki0j0, т.е. г < г0.

Поскольку среди mi{)j{) клеток размера ki0j0 х fc()j„, отвечающих собственному числу Xj0 матрицы А имеется mfQJQ ijn~o-Q = mi()j() - m+)j()) клеток с £ = 1 (e = — 1), то разность сигнатур 3.12 для этой части прямой суммы в паре

Далее, поскольку для п х п-матрицы с числом п > к имеет место равенство

а среди mi0-ij0 клеток размера kiQ-ij0 х ki0-ij, отвечающих собственному числу Xj0 матрицы А, имеется mt0-ijQ(m7o-ijo=mio-i>Jo~rnto-i,jo) клеток с £ = 1 (е = — 1),то разность сигнатур 3.12 для этой части прямой суммы в 3.15 равна (—l)fcio-i,j'o~кюю (mfQ_ljo - rn~)_lj()).

По этой же причине для клеток размера fc()-2,j„ х fc()-2,j„, отвечающих собственному числу XjQ матрицы А, разность сигнатур 3.12 в 3.15 равна (—l)ki°~2,JO~kioJO(Tnfo_2jQ — тп~{)_2 -о). Продолжая этот процесс, мы приходим к формуле

3.16.

выражающей разность сигнатур

3.12 в формуле 3.15 для всех жордановых клеток матрицы Л, отвечающих собственному числу Xj0.

Далее, поскольку для п х п— матрицы с числом п > к и А < 0 имеет место равенство

а среди rrii,jn-i (г = 1, 2, Sj„-i) клеток размера ki,jn-i xfc,j()-i, отвечающих собственному числу AJ()-i матрицы А, имеется га^~- _1(rn~j _г =

rriij()-i — m^jQ_1) клеток с s = l(e = — 1), то разность сигнатур 3.12 для этой части 3.15 равна (-1)^олз~1(mfJQ_1 - m~Jo_1)(l + (-l)fc*-.v'<>-i_1).

Поэтому разность сигнатур 3.12 для всех жордановых клеток матрицы А, отвечающих собственному числу AJ0_i, равна

3.17.

3.18.

3.19.

Учитывая равенства 3.16 - 3.19, окончательно получим:

3.20.

Используя 3.20, вычислим сумму

которая окажется равной гсг^ -о ~m^()j() при 2 < го < Sj0 и, следовательно, соотношение 3.7 установлено. Формулы 3.8 и 3.9 относятся к случаю го = 1, т.е. к максимальной степени ki0j0 в 3.15. Они также могут быть получены из 3.20. В самом деле, из 3.20 следует, что

3.21.

3.22.

Вычисляя сумму по переменному г, найдём

поэтому

3.23.

Поэтому

3.24.

Из формулы 3.24 последовательно получаем

Применяя индукцию по индексу jo, получим окончательно

3.25.

3.26.

Справедливость формул 3.8 и 3.9 установлена; ранее мы доказали истинность 3.7. С учетом формул 3.4 и 3.5. мы приходим к доказательству теоремы 3.6.

Библиографический список

1. Берже М. Геометрия, М.: Мир, 1984. Т. 1. - 560 с. Пер. с фр.: М. Berger, Geometrie, cedic / Fernand Nathan, Paris, 1977.

2. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры, М.: Наука, 1970. 400 с.

3. Gohberg L, Lancaster P. and Rodman L. Matrices and Indefinite Scalar Products, ОТ 8, Birkhäser, Basel, 1983.

4. Thompson R.C. Pencils of complex and real symmetric and scew matrices, LAA, 147 (1991). P. 323-371.

5. Попов В.Л. Жорданова матрица, в кн.: Математическая энциклопедия, М.: Сов. энц. Т. 2. С. 424-425.

6. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Изд. МГУ, 1990. 328 с.

7. Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики, М.: Просвещение, 1987. - 400 с.

8. Попов В.Л. Инвариант, в кн: Математическая энциклопедия, М.: Сов. энц. Т. 2. С. 525-527.

Матричная корреляция

Е.М. Суханова

В данной статье предложена новая матрично-значная корреляционная мера для пары многомерных случайных величин. Матричная корреляция в основных чертах повторяет свойства классического коэффициента корреляции с тем отличием, что роль чисел выполняют квадратные матрицы. Матричная корреляция позволяет объединить многие известные понятия многомерного корреляционного и регрессионного анализа.

Определение и простейшие свойства. Для пары одномерных случайных признаков х G M, у G M показателем их зависимости служит ковариация Cov(y,x). Неравенство Коши-Буняковского имеет вид:

и коэффициент корреляции

есть ковариация стандартизованных случайных величин. Он определен для случайных величин с конечными ненулевыми дисперсиями. По модулю \р\ < 1, и равенство достигается тогда и только тогда, когда хну линейно связаны (с вероятностью 1).

Данные рассуждения можно повторить и в многомерном случае. Пусть даны два случайных вектора х G Шр и у G Шя с конечными положительно определенными дисперсиями: 0 -< Varx, Vary -< сю.

Определение 1. Матричной корреляцией назовем величину

Определение корректно, поскольку корень из симметричных положительно определенных матриц Varx,Varu существует и единственен.

Из матричного аналога неравенства Коши-Буняковского [1. С. 159. Лемма 2]:

следует, что рр =^ Iq, где Iq G Mg - единичная матрица.

Мы используем следующие обозначения. Символ “^=” задает отношение (частичного) порядка в пространстве симметричных матриц, индуцированное положительной полуопределенностью. Шр соответствует множеству вещественных матриц с q строками и р столбцами; индексы, равные 1, опускаются. Матрицу \С\ = (С.С.f)1//2 У- 0 назовем модулем, а sgnC = \С\~1//2С - знаком матрицы С. В таком случае С = \С\ sgnC -это полярное разложение.

Перечислим элементарные свойства матричной корреляции р:

(а) Нормировка: 0 ^ \р\ =4 I. Это равносильно тому, что все собственные значения матрицы \р\ не превосходят 1.

(в) Независимость: Будем говорить, что случайные векторы х и у некоррелированы, если р = 0. Таким образом, если хну независимы, то они некоррелированы. В гауссовском случае понятия независимости и некоррелированности совпадают.

(c) Функциональная зависимость: Условие \р\ = Iq эквивалентно тому, что с вероятностью 1 вектор у является линейной функцией x.

(d) Свойство возрастания: При возрастании линейной зависимости модуль \р\ увеличивается. Более того, среднеквадратическая погрешность линейной оценки

(е) Эквивариантность: Для произвольных невырожденных матриц А\, А2 и векторов Ь\, 62, выполняется соотношение:

В частности, если А\, А2 ортогональны, то р = А2р(у (f) Симметричность: р(у,х) = р'{х,у).

Выборочная матричная корреляция. Пусть суть п независимых реализаций (х',у')', и

Представим выборочную дисперсию S = (Sij) в блочном виде аналогично Е:

Определение 2. Выборочной матричной корреляцией, построенной по X = (ж1,...,хп) G Rn и у = (2/1,...,уп) G M9, будем называть

Опишем геометрический смысл определения 2. Пусть сейчас р = q. В недавней работе [2] Ю.Н. Тюрин предложил рассматривать р х п-матрицы X и у как “векторы” размерности п, координатами которого являются столбцы. Матричное скалярное произведение так называемых р X п-векторов X и у задается формулой:

(1)

Длина (р X п)-вектора х G Шп тогда |х| = (х,х)^2 = (хх)1/2.

Вспомним, что выборочная корреляция Пирсона (р = q = 1) представляет собой скалярное произведение нормированных остатков х — жТ, у - J/1, где 1 = (1,...,1) е Шп.

Определение 2'. Выборочной матричной корреляцией назовем

Очевидно, что “геометрическое” определение (21) совпадает с (2).

Поскольку выборочная дисперсия S является сильно-состоятельной оценкой S и г есть непрерывный функционал S, то г(у,х) р(у,х).

При дополнительных предположениях нормальности и х _1_1_ у (р = 0) можно вывести “центральную” статистику для \р\. Перед тем, как сформулировать результат, напомним некоторые понятия многомерного анализа [3]. Оператор векторизации vec(A) записывает последовательно столбцы матрицы А в виде вектора. Случайная q х р-матрица z имеет матричное нормальное распределение z ^ N£(M,Q), если распределение вектора vec(z/) ^ Npq(vec(Mf), ÇÏ) многомерное нормальное. Случайная р X р-матрица w имеет распределение Уишарта с m степенями свободы w ^ Wp(m), если w = ziz'i, гДе zi ~ и.о.р. Np(0,I).

Теорема 1. Пусть (х^у[У, Xi G Шр, уi G Шд, г = 1,п - выборка из совместного нормального распределения с р = 0. Пусть Su, D22 невырожденные и m > р > q, где m = п — 1 — q. Тогда

где t = y/mzvf~1//2, zJ_L w, z ^ N^(0,Iqp) - многомерное нормальное, и w ^ Wp(m) - распределение Уишарта.

Отметим, что для р = q = 1 случайная величина t ~ S(m) имеет распределение Стьюдента с m степенями свободы. Теорема 1 обобщает известное свойство корреляции Пирсона: если (хг,Уг)' ~ выборка из двумерного нормального распределения с р = 0, то

Для изложения асимптотических свойств матричной корреляции р нам понадобятся следующие обозначения. Коммутационная матрица Ks,t G - это матрица блочного вида, (г,з)-ът блок которой размера (t X s) с 1 на месте (j, г) и остальными 0; г = j = l,t. Символ ® обозначает Кронекеровское произведение: для двух матриц A G Шр и В e Rrs, А ® В = (cLijB) G Mqg. Символ 0 используется для Кронекеровской суммы двух квадратных матриц A G и ß G RJ: А ф ß = А<8> Iq + 1р<8> В.

Теорема 2. Асимптотическое распределение г, когда выборка имеет совместное многомерное нормальное распределение с корреляцией р и Иц = S22 = I, есть

где

В случае р = q = 1 Теорема дает хорошо известный результат о распределении коэффициента корреляции Пирсона: для выборки из двумерного нормального распределения

Связь р с известными понятиями многомерной взаимозависимости. Когда q = 1, модуль матричной корреляции \р\ есть вещественное число. Его называют коэффициентом множественной корреляции. Это максимально возможная корреляция Пирсона между у G M и линейной комбинацией t'x G M, t,x G Mp.

В случае p > g > 1 большей размерности, |p| теряет свойство инвариантности при линейных преобразованиях. Однако, неизменными остаются сингулярные значения pi,..., pq матричной корреляции:

(2)

где Dp = diagjpi,..., pq} и H G Rp, G G - ортогональные матрицы. Числа pi суть канонические корреляции двух векторов ж G Мр, у G M9 [3, с. 175]. Впервые это понятие употребил Хотеллинг [4].

С помощью матриц Я и G из сингулярного разложения (2) определим случайные векторы и G Шр, v G Шд: и = Н'Т^^2х = (иг,... ,up)f, v = G,T,22//2y = (г>1,..., г^у. Компоненты щ,... ,ир и ui,... ,vq называются каноническими величинами [3, с. 175].

Во многих работах по каноническому корреляционному анализу матрицу р зачастую используют как вспомогательную, не придавая ей особого смысла. Интересно отметить, что Шарф Л. и Мюллис К. [5] дали название этой матрице - когерентная. Но и они применяют р только для перехода к каноническим координатам.

Заключение. Канонические корреляции (и коэффициент множественной корреляции как частный случай) являются известным обобщением понятия коэффициента корреляции Пирсона. Существенное отличие такого многомерного аналога от своего “родителя” заключается в утрате информации о направлении связи. Предложенная матричная корреляция, имея своим спектром канонические корреляции, позволяет делать выводы как о силе, так и о направлении зависимости. Как следствие, матричная корреляция зависима от выбора системы координат.

“Унаследованным” недостатком матричной корреляции является необходимость совместного распределения данных по нормальному закону, поскольку в общем случае понятия независимости и некоррелированности не совпадают (см. свойство в). Распределение выборочной матричной корреляции в гауссовском случае имеет большое сходство с одномерной теорией (теоремы 1, 2).

Библиографический список

1. Боровков А.А. (1984) Математическая статистика. М.: Наука. 472 с.

2. Тюрин Ю.Н. (2008) Многомерный статистический анализ: геометрическая теория. Манускрипт.

3. Bilodeau M., Brenner D. (1999) Theory of Multivariate Statistics. New York: Springer.

4. Hotelling H. (1936) Relation between two sets of variables. Biometrika. V. 28. P. 321-377.

5. Scharf L.L., Mullis C.T. (2000) Canonical Coordinates and the Geometry of Inference, Rate, and Capacity. IEEE Thansactions on signal processing. V. 48. P. 824-830.

6. Суханова Е.М. (2008) Матричная корреляция. Манускрипт. Подан в ТВП.

Метод двойных расширений в исследовании стабильных расслоений на ℙ3

С.А. Тихомиров

Введение

Векторное расслоение Е = Е2Г ранга 2г на Р3 называется симплектическим, если существует изоморфизм ip : Е Еу такой, что ip* = —if, где (рг = udw о can, a can : E £?vv - канонический изоморфизм. Нетрудно видеть, что если Е - симплектическое расслоение, то с\(Е) = сз(Е) = 0. Симплектическое векторное расслоение Е называется симплектическим инстантонным расслоением (или, кратко, симплектическим инстантоном), если h°(E( — l)) = 0 и h}(E( —г)) = 0 для г > 2. Для фиксированного п > 0 через Ms(2r;n) (соответственно, через 7s(2r;n)) обозначим пространство модулей (то есть классов изоморфизма) симплектических векторных расслоений Е ранга 2г на Р3 с 02(E) = п (соответственно, симплектических инстантонов Е ранга 2г на Р3 с условием 02(E) = п). Через МРз (2; 0, п) обозначим пространство модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 на Р3 с классами Черна с\ = 0, С2 — п. Ясно, что всякое расслоение Е ранга 2 является симплектическим (в этом случае симплектический изоморфизм (р : Е ^ Ev задается формулой v v Л •). В частности, МРз(2;0,п) С Ms(2;n). Мы работаем над алгебраически замкнутым полем к характеристики 0. Обозначим через 1(п) пространство модулей математических инстантонных расслоений ранга 2 на Р3 с С2 = п. Напомним также, что математическим

инстантонным расслоением на Р3 называется симплектическое инстантонное расслоение ранга 2, удовлетворяющее условию h°(E) = 0.

Для стабильного векторного расслоения £2 ранга 2 на Р3 с с\ — 0 и заданным С2 понятие спектра в характеристике 0 было дано В. Бартом и Г. Эленцвайгом в статье [2]. В случае произвольной характеристики понятие спектра было введено Р.Хартсхорном в [7] и [8]. В дальнейшем через Х£'2 будем обозначать спектр расслоения 82- Все возможные значения для спектров расслоений и виды монад, когомологическими пучками которых являются эти расслоения, при 1 < С2 < 8 были перечислены Р.Хартсхорном и А.П. Рао в статье [9]. Л. Эйн в работе [5] рассмотрел специальный класс стабильных векторных расслоений ранга 2 на Р3 - класс так называемых обобщенных нуль-корреляционных расслоений Л4, являющихся когомологическими пучками монад вида

(1)

где с > b > а > 0. В этом случае, как нетрудно вычислить, с\(ЛЛ) = 0, С2{М) = с2 — а2 — Ь2. Более того, Л.Эйн показал, что такие расслоения стабильны тогда и только тогда, когда с > а + 6, и из утверждения (а) теоремы 3.1 работы Л.Эйна следует, что пространство модулей Мрз (2; 0, с2 — а2 — Ъ2) имеет неприводимую компоненту 7V(a, 6, с), общая точка которой соответствует классу расслоений, являющихся когомологическими пучками монад вида (1).

Компоненты пространства модулей МРз (2; 0, п) для 1 < п < 4 известны: в случаях п = 1,2 имеется единственная инстантонная компонента [9. п.5.3], в случаях п = 3 и 4 к ней добавляется по одной компоненте Эйна (см. [9. П. 5.3], [6] для п = 3 и [9. П. 5.3], [5] для п = 4). Кроме того, М.Ч. Чанг в работе [3] показала, что в случае п = 4 семейство классов расслоений, являющихся когомологическими пучками монад вида 0 -> Орз(-2)еОРз(-1) -> 4ОРз0(9Рз(1)е(9Рз(-1) -> Ор3(2)фОрз(1) -> о, лежит в замыкании семейства классов расслоений, являющихся когомологическими пучками монад вида 0 —> (9Рз( —2) —> 4(9Рз —> (9Рз(2) —> 0. Известны следующие факты о неприводимых компонентах пространства МРз(2;0,5). Многообразие 7(5) модулей математических инстантонных расслоений является гладким [11, 4] неприводимым [4] рациональным [10] 37-мерным многообразием, составляющим открытое подмножество неприводимой компоненты в МРз(2;0, 5). А.П. Рао в работе [12] показал, что семейство Л4 расслоений из МРз(2;0, 5) со спектром ( — 1,-1,0,1,1) является неприводимым многообразием размерности 36, лежащим в замыкании 7(5) многообразия 7(5) в МРз(2;0,5). При этом расслоения [82] G M удовлетворяют условию h182 ( — 2) = 2.

Р. Хартсхорн в работе [7. Теорема 9.9] показал, что семейство Ni расслоений со спектром ( — 2,-1,0,1,2) является гладким неприводимым рациональным подмножеством размерности 40 в МРз(2;0, 5). Кроме того, Л. Эйн доказал в [5] (см. также [9. Таблица 5.3]), что обобщенные нуль-корреляционные расслоения с с\ = 0, с2 = 5, определяемые как когомологические расслоения монад (1) с а = 0, 6 = 2, с = 3:

(2)

имеют спектр ( — 2,-1,0,1,2) и составляют открытое подмножество в Ni. Эллингсруд и Стреме в свою очередь в работе [6. Теорема 4.7] показали, что Ni является неприводимой компонентой в МРз(2;0, 5). Далее, В. Барт в [1], обозначая левый крайний член монады, когомологическим пучком которой является исходное расслоение 82, через А, средний - через В, а правый крайний - через С, соответственно, предъявил формулу, по которой в случае, когда А, В и С - фиксированные прямые суммы линейных расслоений и Homo 3 (С, В) = 0, можно вычислять размерности множеств локально замкнутых в МРз (2; 0, п) классов стабильных 2-расслоений на Р3 с классами Черна с\ = 0, с2 = п:

(3)

В частности, для с2 = 5 вычисление по формуле (3) показывает [1. Табл. 4], что размерность множества Ni классов стабильных 2-расслоений со спектром ( — 2, —1, 0,1, 2) равна 40. Размерность этой компоненты вычисляется также по формуле, предъявленной в теореме 1 статьи [13] при подстановке в нее значений I = 1 и к = 2. Согласно этой же теореме Ni - гладкое, рациональное, неприводимое многообразие.

При детальном и полном изучении географии и геометрии компонент пространства МРз (2; 0, п) для п > 5 эффективно работает предлагаемый в настоящей статье

Метод двойных расширений

Возьмем [82] G МРз (2; 0, п) и обозначим

(2).

Рассмотрим произвольный изоморфизм

(4)

Этот изоморфизм £ как элемент £ G Hom(k^, Н182( — 2)) ~ Ext1(kh 0 (9Рз,^2( — 2)) определяет расширение

(5)

и его подкрутку на (9Рз( —2)

(6)

Из (6) и (4) получаем

(7)

Из тройки (5) имеем изоморфизм

(8)

Далее, симплектический изоморфизм (р : 82 —* 82 индуцирует изоморфизм ^*:Ext1(A4,^2) = Ext1(^2V,A4v)^Ext1(^2,A4v), который в композиции с изоморфизмом (а*)-1 из (8) дает изоморфизм ф : Ext1^^7, Aiv) Ext1(^r2+2/i, Aiv). Рассмотрим элемент £ := —фЦ) G Ext1 (Jr2+h, Aiv). Из определения £ следует, что

(9)

Элемент £ задает расширение

(10)

Расширения (5) и (10) включаются в диаграмму

(11)

где Ô, п и b - индуцированные отображения, а левая вертикальная тройка в силу (9) задается как расширение элементом —<£*(£):

(12)

Из диаграммы (11) следует, что расслоение £2 является когомологическим пучком монады вида

(13)

Далее, для расслоения [82] G МРз (2; 0, п) через ps2 (к) обозначим число однородных образующих степени к в R-модуле равное по определению

(14)

где R = ©Г((9Рз(/с)) - кольцо однородных многочленов от 4 переменных (ср. обозначения в [1]). Переходя к тройке (5), подкрученной на 0¥з ( — 1), к когомологиям, имеем коммутативную диаграмму

Отсюда с учетом (14), получаем равенство

(15)

Умножая тройки (5) и (10) на 0¥з ( — 1) получаем, соответственно, тройки

(16)

(17)

Точная последовательность Эйлера индуцирует точные тройки

(18)

(19) (20)

где V2+2H '= Н0О¥з(1). Далее, 0¥з-резольвента диагонали А в Р3 х Р3, умноженная на ^2+2/г( —1) ^ (9Рз(1), принимает вид

(21)

Обозначим через Ai ядро о, а через А2 ядро 7. Согласно (28) все когомологий £2+2h( — 2) - нулевые, следовательно, ЯгА2 = Яг (£2+2/1 ®ГРз (—3))® (9Рз( —1). Таким образом, применяя функтор Ягрг2* (где рг2 : Р3 х Р3 —> Р3 - проекция на второй сомножитель) к тройкам

получаем, соответственно, длинные точные последовательности

(22)

(23)

Кроме того, в силу (28) из тройки (20) имеем

(24)

С другой стороны, по двойственности Серра с учетом симплектичности £2+2/1 У нас hl(£2+2h ® Трз(-4)) = h2>~l(£2+2h ® ПРз), откуда, ввиду последнего равенства из (24), имеем:

(25)

Сформулируем теперь основной результат данного параграфа.

Теорема 1. Пусть £2+2h - расслоение, полученное из расслоения [£2] G Мрз(2;0,п) посредством диаграммы (11). Тогда (г) £2+2h - симплектическое расслоение:

(26)

со вторым классом Черна

(27)

такое, что

(28)

(г.1) Формула Римана-Роха для расслоения £2+2/1 0 ^рз имеет вид:

(29)

Если р£2(-1) > п - Ah, то h°(£2+2h(-l)) = 4/г - п + р£2(-1); (г.^) если рг2(—1) = п — 4h, то £2+211 ~ симплектический инстантон:

(30)

(г.^ если р£2( — 1) < п — Ah, то расслоение £2+2/1 не является симплектическим инстантоном, но остается симплектическим и всегда удовлетворяет условию

(31)

Доказательство.

(i) Включим тройку (12) в коммутативную диаграмму:

(32)

где е - индуцированное отображение. Транспонированная диаграмма будем иметь вид:

(33)

где

С учетом равенства р1 = — р запишем диаграмму (33) в виде:

(34)

Диаграммы (11), (32) и (34) комбинируются в кубическую диаграмму:

(35)

Беря диаграмму, двойственную к (35), с каноническими отождествлениями расслоений и дважды двойственных к ним, и меняя местами в этой диаграмме горизонтальные и вертикальные стрелки с учетом перехода от (33) к (34), получаем кубическую диаграмму, в которой передняя и задняя грани - те же, что и в (35), а косые отображения отличаются знаком от соответствующих косых отображений в (35). Это означает, в частности, что вь = —0, то есть £2+2/1 - симплектическое расслоение. Далее, из монады (13) получаем

(36)

откуда непосредственно следует формула (27). Из тройки (10), умноженной на 0F3 ( — 2), и равенств (7) находим /г° (£2+2/1 ( — 2)) = h1 (£2+2/1 ( — 2)) = 0. Отсюда по двойственности Серра ввиду симплектичности £2+2/1 получаем (28).

(i.l) Согласно утверждениям (2.i) и (2.Ü) теоремы 2.2 расслоение ^2+2/г^^рз является когомологическим пучком монады 0 —> гаГ2рз( — 1) —> (2га + 2г)Г2Рз —> гаГ2Рз(1) —> 0, где 2г = г/с(£2+2/г), га = с2(£2+2/г)- Точная последовательность Эйлера дает очевидные тройки: 0 —> Г2Рз( — 1) —> 4(9рз(-2) -> 0Рз(-1) -> 0, 0 -> ПРз -> 4(9рз(-1) -> (9Рз -> 0 и 0 -> Г^Рз(1) —> 4(9рз —> (9рз(1) —> 0, с помощью которых легко получаем х(гаГ2рз( — 1)) = х(ш^р3(1)) — 0, х((2га + 2г)Г2рз) = — 2га — 2г, и, тем самым, ввиду формулы (27) из (i) равенство (29).

(i.2)-(i.3) Умножаем (11) на (9Рз( —1). Остальное очевидно.

(i.4) Умножаем (11) на (9Рз( —1) и учитываем также (15).

Замечание. Предложенный метод является универсальным в смысле действия для любого с2 = п. В случае с2 = 5 он позволяет обнаружить новую гладкую неприводимую рациональную компоненту пространства Мрз (2; 0, 5) размерности 37. Случай с2 = 5 полностью разобран автором в статье, планируемой к опубликованию в журнале “Известия РАН, серия математическая”.

Библиографический список

1. Barth W. Some experimental data. In: les équations de Yang-Mills:A.Douady,J.-L.Verdier, eds, séminaire E.N.S. 1977-1978, Astérisque 71-72 (1980). P. 205-218.

2. Barth W., Elencwajg G. Concernant la cohomologie des fibres algébriques sur Pn(C), Springer Lecture Notes, 683 (1978). P. 1-24.

3. Chang M. С Stable rank 2 bundles on P3 with c\ = 0, c2 = 4 and a = 1, Math. Z., 184 (1983). P. 407-415.

4. Coandä L, Tikhomirov A., Trautmann G. Irreducibility and Smoothness of the moduli space of mathematical 5-instantons over P3. Intern. J. Math., 14. № 1 (2003). P. 1-45.

5. Ein L. Generalized null correlation bundles, Nagoya Math. J. 111 (1988). P. 13-24.

6. Ellingsrud G., Strömme S.A. Stable rank-2 bundles on P3 with c\ = 0 and es = 3, Math. Ann. 255 (1981). P. 453-463.

7. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves, Math. Ann., 254 (1980). P. 121-176.

8. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves, II, Inv. Math., 66 (1982). P. 165-190.

9. Hartshorne R., Rao A.P. Spectra and monads of stable bundles, J. Math. Kyoto Univ., 31. № 3 (1991). P. 789-806.

10. Katsylo P.I. Rationality of the moduli variety of mathematical instantons with c2 = 5. Advances in Soviet Mathematics, 1992. V. 8. P. 105-111.

11. Katsylo P.I.j Ottaviani G. Regularity of the moduli space of instanton bundles MIP3 (5), Transform. Groups, 8, № 2 (2003). P. 147-158.

12. Rao A.P. A family of vector bundles on P3, Lecture Notes in Math., 1266 (1987). P. 208-231.

13. Ведерников В.К. Модули стабильных векторных расслоений ранга 2 на Рз с фиксированным спектром, Известия АН СССР. Сер. матем. Т. 5 (1984). С. 986-998.

Интерпретация неразрешимости

Н.А. Трубников, Д.И. Степанова

Культурная миссия математики, обостряя интеллектуальное зрение нематематиков, озадачивает и отчаявшихся в поисках смысла жизни биологов. Эмерджентный интеракционал интеллекта и биоорганизации, познавая природу, и при этом неизбежно собственную, уже в чувственном знании Ф+ обнаруживает часто то, что он в него вложил и эта предоплата уже имеет привкус аутореферентности. Фактура Ф+ как перцептируемый и протоколируемый объект исследования, область интерпретации языка и теории как инструментов понимания - осмысливания - толкования - интерпретации - версификации Ф+, чтоб быть репрезентативной природе, оказывается и биорепрезентативной.

Если язык L=< А (алфавит), G (грамматика) > как своеобразный код представляет перцепцификт Ф+ остенсивными определениями дескриптивных терминов, то логику видимого и невидимого версифицирует Т(теория)=<L,|>, Î (принципы отбора регулярных формул Ь)=семантические правила истинности концептуальной ТМ (концепция, модель-теория) © постулаты (аксиомы и логика) конструктивной ТЕ (исчисление), © - дизъюнкция. Семантическая секвенция (следование), ф\ \= ф2 означает: из |= ф\ следует \= Ф2, \= - истина. Синтаксическая секвенция (выводимость) ф\ h Ф2 означает: на базе постулатов изобретено доказательство Ь (h if - теорема), связывающее антецедент и консеквент.

Биорепрезентативный фактификат Ф+ как минимум включает натуральный ряд и и экспликаты алгоритма, а в общем потенциально аутореферентен, несчётен и противоречив и эти источники неопределённости, похоже, есть результат гностической, а, точнее, биогностической (познающая природа) деформации, если приписывать их (позна-

ваемой) природе нет оснований. Физик - рыцарь “de facto”, но “знать -значит господствовать”, а это требует сохраняющего биорепрезентативность непротиворечивого согласования фактов Ф+как модели Ф семантически, таким образом, заданной теории ТМ, в которой истинны все её формулы и секвенции, что устанавливает её семантическую непротиворечивость.

Однако, тщательная проверка на неопределённость вновь обнаруживает в ТМ аутореферентные эффекты и антиномичность. Диагональные процессы, убеждающие в этом, показывают, что “достаточная богатость” Ф+ требует выразительности ТМ, зашкаливающей на самореферентность (самооценка) и парадоксы: “ложь” истинностно неразрешимо двузначна, объединяя взаимоисключающе необъединимые объектную оценку и метаобъектную самооценку. Ещё пример: если кортеж (fi,(f2,••• вычислимых функций очевидно счетен, то, определив ф(п) = ф(п) + 1, получаем : ф(п) вычислима Л </>(п) невычислима (Ж. Ришар) как опровержение счетности, Л - конъюнкция.

Засвеченная неопределенность ТМ как наблюдаемой М-истины в порыве преодолеть её вызвала стремление сконструировать эту истину как Е, т.е. так как она нам вся логически понятна, как мы её хотели бы видеть, под непротиворечивую логику целиком. Эта надежда, как известно, была разбита:

Теорема 1 (К. Гедель). Биорепрезентативные Т (даже синтаксически) противоречивы и не полны.

А так как со является стандартной моделью арифметики С Т, то семантически непротиворечивая Т семантически неполна. И в любом случае за такую полноту придётся платить непротиворечивостью.

Непротиворечивость Т (синтаксическая) = синтаксическая полнота Т (непротиворечивостью) = Уф(\- ip ф\--1 р).

Семантическая непротиворечивость Т как истинность её теорем (корректность Т по отношению к Ф)

Полнота Т (семантическая) = У ф(\= Ф Ф) как доказуемость истин (адекватность Ф по отношению к Т)

Доказательство использует придуманное автором отображение g=4«x, связывающее ф из Т с определенным числом (гёделевский номер формулы) п из ио (натуральный ряд): п=ч(ф), ч (частично вычислимая функция) определена лишь на Т С L и существует программа вычисления п из ф.

Это позволило снять стратификативное различие теоретических и метатеоретических формул и оперировать с ними в плоскости одностратной теории. Однако, ликвидировать неопределенность Т не удалось: вместо |= неразрешимости ТМ обнаружилась Ь неразрешимость ТЕ, “ложь” сменилась “недоказуемостью”, уже доказуемостно неразрешимо двузначной, также объединяющей взаимоисключающе необъединимые оценку и самооценку, но по отнощению к репрезентирующим слова числам, функционирующие уже как только объектные критерии. Доказанная недоказуемость недоказуемости (формулы, утверждающей при содержательной интерпретации собственную недоказуемость) уже делала её истиной и появлялась недоказуемая истина как симптом незаполняемости истин теоремами, тем более, что при интерпретации одна из недоказуемостей: недоказуемость или её отрицание - оказывалась истиной. Так, что Ф-заданная истина ТМ не умещается в ТЕ - понятности, выстраиваемой разумом как

Аксиоматизируемость Т = скалярность выводимости формул ТМ как теорем ЕМ.

Гёделев перевод метаматематических ТМ-предложений “в предложения арифметики, позволил, так сказать отразить их внутрь формальной системы” (М. Кац, С. Улам) Е. Конструктивно Геделем доказана недоказуемость построяемой в языке Е формулы С, стандартная интерпретация которой утверждает собственную “недоказуемость”, что уже делает её недоказуемую истинной. Но истинность ряда других недоказуемостей была доказана ТМ неконструктивно вне Е, ибо, например, как также доказал Гедель, формула Consis, выражающая формалистический критерий истины - непротиворечивость Е, также недоказуема конструктивными ресурсами Е. Да и вообще

Теорема Тарского (о невыразимости (неопределимости) истины). Понятие истинности неопределимо в ТЕ.

Анализ статусных проблем ТЕ возможен лишь мета-средствами, а не её об-средствами.

Но, если ни (фактографически) увидеть, ни (аксиоматически) построить истину невозможно, то может её можно (алгоритмически) вычислить?

Переход от креативно порождаемых множеств формул как исчислений Е к однозначно выполнимым вычислительным процедурам требует экспликации (рекурсивность - алгорифм R) понятия алгоритма (вычислимость А) в любом варианте: машины Тьюринга, рекурсивные функции Клини, Л-конверсия Черча, нормальные алгорифмы Маркова, модульные сети Маккаллока-Питтса - с уверенностью, что R и А экстенсионально эквивалентны (тезис А. Черча).

Конструктивность всех известных экспликатов показательна легко прослеживаемой их связью с w и с принципами финитизма, чего про ТМ сказать нельзя. Поэтому “вычислительная технология” экспертизы Т опиралась на тезис Черча и при уточнениях и при апелляции Т к конструктивному и.

Если каждому R (например, машине Тьюринга - мт) сопоставить функцию F, область определения которой совпадает с областью применимости cü+(cü D cj+) R, a значениями F(ni...nr) для аргументов из cj+ являются содержания ячеек мт в в момент её останова (если мт не останавливается, то F не определена), то чрф (частично рекурсивная функция)=Е(п1...пг), оказывающаяся рекурсивной, если она определена при всех п.

Геделевская нумерация (числовое кодирование имён математических объектов) = модель связи “текст-число”, позволяющая перевести текстовые операции в рекурсивные функции, обеспечив привлечение в металогику аппарата алгоритмических средств, благодаря чему удалось получить результаты с адресными металогическими прообразами, лойяльными в силу тезиса Черча.

Прежде всего

Рекурсивно перечислимое множество = область определения некоторой чрф.

Аксиоматизируемость Т = рекурсивная перечислимость Т.

Рекурсивное множество П е П с рекурсивной характеристической функцией х=1 при {р £П и х=0 при (р ^П.

Разрешимое множество Р = Р, для которого существует алгоритм, применимый к (р ЕП.

В сущности, если существует А, распознающий синтаксическую (отрицательную, абсолютную) непротиворечивость, то

Разрешимость = непротиворечивость • аксиоматизируемость.

В силу тезиса Черча алгоритмическая вычислимость экстенсионально равна рекурсивной и потому Р=П.

Интуитивный разрешатель проблем - алгоритм представляется конечным правилом-предписанием, применимым к определенной области, коль он способен привести к однозначному (в отличие от Е, calculus of inferens - систем правил вывода) результату. Алгоритмическая разрешимость (неразрешимость) означает существование (несуществование) решающего алгоритма. Однако решение конкретной проблемы требует применения и значит экспликации R содержательного представления об алгоритме А и при его построении разрешимость устанавливается. Заключение о неразрешимости требует доказательства несуществования

всех возможных здесь R, для чего и а) потребовался инвариант (в разных представлениях) сущности Кутинного преобразования и б) постулат о надежности Алгоритмической интуиции.

Теорема 2 (А. Тарский). ТМ неперечислимо.

Доказательство можно свести к теореме А. Тарского о невыразимости истины в Т или к его теореме о неарифметичности множества истинных формул арифметики. Рекурсивная гёделизация состоит в рекурсивности отображения g=4«x, образуемого R-функциями п=ч(ф) и х*(п) = (0, если ф £т) • О, е если ф еТ).

Неперечислимость Т отражает неперечислимость Ф, в частности неперечислимость континуума, проявляемую, помимо прочего, в парадоксе Ришара. Кстати, неэквивалентность счетности и рекурсивной перечислимости отражает лишь расхождения классицизма и конструктивизма. Генераторы неперечислимости так или иначе завязаны на диагональном процессе и ауторефрентности. Перечисление пересчётом уже сингулярных функций f(a) не перечислит функцию f(a)=f(a) + l, ибо для любого р её диагональное значение f(p) + l не совпадает с пересчитываемым f(p).

“Понятие истинности... с неизбежностью требует абстракции бесконечности уже потому, что правильное математическое высказывание должно быть правильным всегда и везде” (Ю. Манин).

Между прочим, ТЕ перечислимо (откуда тривиально следует теорема К. Геделя о неполноте), так как рекурсивно перечислимо множество гёделевских номеров всех теорем Е. “Канонические системы были изобретены Постом... при попытке найти наиболее общий вид формальных систем... ” (П. Мартин-Лёф) и их структура отражает, скорее, R, нежели Е, так, что рекурсивно перечислимое множество Т есть система Поста с алфавитом, включающим алфавит Т.

Рекурсивное (разрешимое) множество П слов в данном алфавите = 3 л (ППЛ=0 • ПиЛ=ПЛ), П и Л рекурсивно перечислимы, ПЛ -множество слов в данном алфавите.

Поэтому после рекурсивной неперечислимости ТМ понятна теорема

Теорема 3 (А. Черч). ТМ неразрешима.

Этого следовало ожидать: биорепрезентативные системы напичканы диагональностями и по природе включают аутореферентность, обеспечивающую их мощь и выразительное богатство. Но как обстоит дело с TS, рентгеном их транспарентности (ведь ТЕ рекурсивно перечислимо)?

ТЕ, осваивающая ТМ, не может игнорировать аутореферентность как патогномоничный симптом её биорепрезентативности, представляе-

мой, хотя бы, R, например, машиной Тьюринга как самой примитивной моделью. Машина Тьюринга R представима словом, образуемым состоящей из команд и, возможно, закодированной программы. Несложно доказать, что существует рекурсивно перечислимое множество всех машин Тьюринга R*. Отметим:

R применима к слову = вычисляет до останова.

R не применима к слову = не останавливается.

R самоприменима (СП) = вычисляет от собственного кода до останова.

R не самоприменима = начинает от собственного кода и не останавливается.

R* рекурсивно разрешимо относительно самоприменимости = характеристическая функция R*x#* = l при (f G СП и хя*=0 при р ^СП рекурсивна.

Теорема 4. R* нерекурсивно относительно самоприменимости.

Доказательство. Для разрешимости R* необходимо указать Ren, решающую xr. Допустим она существует. По ней строим Реп, такую, что она а) применима к кодам несамоприменимых R и б) неприменима к кодам самоприменимых. Но Реп оказывается или самоприменимой или несамоприменимой. Если она самоприменима, то это противоречит б), а если несамоприменима, то неприменима к своему коду несамоприменимых R, что противоречит а). Так, что Реп и Ren не существуют. Тем самым доказывается существование рекурсивно перечислимых, но не рекурсивных множеств, каким оказывается и ТЕ:

Теорема 5 (А. Черч). ТЕ неразрешима.

Таким образом неразрешимости Геделя алгоритмически подтверждены.

Теорема Геделя о неполноте проясняется и в свете теоремы Черча. Аксиомы Е подбиряются так, чтобы они были истинными и вместе с правилами присоединения следствий обеспечивали бы доказуемость всех истин, позволяя решать, что является доказательством, а что нет и, тем самым опознавать истину и ложь, просматривая последовательно доказательства, т.е. получив разрешающий метод R для доказуемости, что, ввиду теоремы Черча, невозможно, а значит ТМ рекурсивно не аксиоматизируема в Е, которая поэтому не полна.

Формула С, построенная К. Геделем как арифметическое высказывание и метаматематически выражающая высказывание “я недоказуема” не только не доказуема, но и не опровержима (“гёделевское неразрешимое предложение” С), т.е. \/-С •}/-—* С или \f (С С), что означает, как и для ТЕ , отрицательную неполноту ТЕ (неполнота в узком

смысле). Получается, что С, как Ь-неразрешимость, воспроизводит в ТМ-адэкватной ТЕ парадоксальную ^-неразрешимость из ТМ “я лгу”. Действительно неразрешимость С имеет оттенок парадоксальности: доказуема (“я не доказуема”) не доказуема, не доказуема (“я не доказуема”) доказуема, ибо не доказуемо, что она не доказуема. Однако, так же как “я лгу” парадоксальна в пределах ТМ, С кажется парадоксальной лишь в пределах ТЕ, ибо в рамках мажорирующей метасистемы ТМ она теряет парадоксальность и остаётся неразрешимостью |= (\f (\f ф)). Обеспеченное нумерацией погружение метаформул, описывающих синтаксис ТЕ (а синтаксис как метатеория об-теории находится вне TS), внутрь ТЕ создало “... возможность свободно комбинировать внутри системы математические и метаматематические предложения, и вопросы, которые при обычном ходе событий приводили к парадоксам, превращались при таком отражении в неразрешимые предложения” (М. Кац, С. Улам).

При семантической универсальности ТМ, ее неразрешимые об-формулы, находясь в Т, непредикативно осмысливаются и как мета-формулы, допускающие толкование о Т.

Поскольку живой и неживой мир события “биологически” (биогностически) Ф-задан и Т-осмысливается включенным в него и “носящем его в себе” Я-фактатором-версификатором, корректнее говорить не о репрезентативности ФТ, но о их биорепрезентативности: “человек - мера всех вещей”. “Разрыв между субъектом и объектом существует в нашем мышлении, но, вместе с тем и в природе, поскольку она создала нас с нашим мышлением” (Вейцзеккер). Физика и математика “как стремление осознать сущее независимо от восприятия” (А. Эйнштнейн) возникли благодаря этому разрыву, но они же обнаружили и неполноту об-мета- разрыва, ибо “... то, что мы наблюдаем -... не сама природа, а природа в том виде, в каком она выявляется благодаря нашему способу постановки вопросов” (В. Гейзенберг) и “...странный след на берегах неизведанного... Это наш собственный след” (А. Эддингтон).

Небиологическая физика и синтетическая математика достигли высоких уровней “внутреннего совершенства и внешнего оправдания” (А. Эйнштейн), благодаря обеднению предметных областей как субъектвключающих квазибиосистем до бессубъективных и потому безбиологических, ибо “альфой и Омегой.. .”физического объяснения“.. .должен быть отказ от объяснения нашей собственной сознательной деятельности” Н. Бор). Созданная таким образом “.. .умеренно удовлетворительная картина мира получена дорогой ценой изъятия из этой картины нас самих и отступления назад, в позицию ненаблюдаемых наблюдателей” (Э. Шредингер).

Удовлетворительной эта картина является потому, что, оказавшись классикой познания, не освободилась окончательно от неопределенности.

Удивительно, но мосты, возводимые с использованием потенциально противоречивых дифференциального и интегрального исчислений, не рушатся и, поскольку “...в игре жизни мы одновременно и зрители и участники” (Н. Бор), то первые недопонимают последних даже в мостостроении; наивный дельфийский оракул.

Умеренной же картина мира представляется потому, что главный базар жизни осваивается в био(антропо)зависимых сферах практики жизнедеятельности, в политэкономике, медицине, юриспруденции, природопользовании, искусстве и личной жизни. Здесь недопрогностичность делает решение недовычислимым, что в сочетании с лимитом времени на остановках летящего по недопонятному расписанию локомотива жизни драматизирует ситуацию и, наверно, соль и колорит жизни связаны с ее толерантностью против чрезмерного вмешательства в её существование.

Уже в протоколах “... словесная передача биологических опытных данных содержит не больше ссылок на субъективного наблюдателя, чем описание опыта физического... необходимое для однозначного описания различие между субъектом и объектом сохраняется и здесь. Это достигается тем, что в каждом сообщении, содержащем ссылку на нас самих, мы, так сказать, вводим новый субъект, не являющийся предметом нашего сообщения” (В. Гейзенберг). Однако различие между этим новым мета-субъектом и прежним уже объективированным субъектом хоть и сохраняется, но чисто номинально. Заглотив этот биологический Ф биоинтеллект смажет необходимый познанию об-мета-разрыв, без которого “... нельзя провести... разграничение между наблюдателем и исследуемой системой, и ”.. .исследователь не будет знать, какая часть наблюдений вызвана им самим и какая относится к.. .системе" (Д. Бом).

Биорепрезентативная, непротиворечивая и полная теория внутренних и внешних фактификатов математики, физики и биологии стала бы триумфом познания. Однако то, что происходит в металогике оставляет жизнь в ее существе за кадром любых ее версий. Главные критерии истины - оправдание опытом и непротиворечивость оказались недосогласуемыми. Установить это для биорепрезентативных теорий удалось лишь: 1) загнав неопределенность в рафинированный математический угол, 2) осознав и уточнив присущий Homo Sapiens метод точного познания, 3) убедившись (теорема Геделя о полноте исчисления предикатов и теорема Левенгейма-Сколема) и поверив (тезис Черча), что в сфере логики, как главного оружия рационализма состыковка ТМ-логики с TS-логистикой и алгоритма с алгорифмами убедительна и работает.

Этим отточенным орудием Е и R и выявлена неустранимость маркирующей биорепрезентативность Т аутореферентности, представленной прообразами антиномичных провокаторов, создающих всевозможные неразрешимости и неполноту. Контур диагонального процесса (Г. Кантор) обреченно выдает накладываемое ими табу на все порывы разума сбросить оковы бионеопределенности. Для постигающего Я мир поворачивается так, что решающие принципы биоорганизации всегда оказываются в её тени.

Это не мешает нам использовать и восхищаться “.. .тем порядком, который царит в небольшой части реальности, доступной нашему слабому разуму” (А. Эйнштейн), но “.. .если мы забудем как много лежит за этими границами, то утратим восприимчивость ко многим очень важным вещам” (Б. Рассел).

Библиографический список

1. Вейль Г. О философии математики, [пер. с нем.] / Г. Вейль - Л: ГТТИ, 1934. - 177 с.

2. Гейтинг А. Интуиционизм. Введение, [пер с англ.] - Под ред. и с комментариями А.А. Маркова / А. Гейтинг - М: Мир, 1965. - 199 с.

3. Гросс М. Теория формальных грамматик, [пер. с фр.] / М. Гросс, Р. Лантенн - М: Мир, 1965. - 295 с.

4. Карри Х. Основания математической логики, [пер. с англ.] / Х. Карри - М: Мир, 1969. - 568 с.

5. Рассева Е. Математика метаматематики, [пер. с англ] / Е. Рассева, Р. Сикорский - М: Наука, 1972. - 452 с.

6. Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств, [пер. с англ.] / А.А. Френкель, И. Бар-Хиллел - М: Мир, 1962. - 372 с.

7. Хао Ван. Процесс и существование в математике. - В кн. Математическая логика и её применения [пер. с англ.] / Ван Хао - М: Мир, 1965. - 342 с.

О классах Фиттинга с условием Локетта

Н.Т. Воробьев, В.В. Шпаков

Введение

Класс групп 5 называют классом Фиттинга [1], если 5 замкнут относительно взятия нормальных подгрупп и произведения нормальных 5-подгрупп. Если 5 - непустой класс Фиттинга, подгруппа G$ группы G называется J-радикалом группы G [1], если она является наибольшей

из нормальных подгрупп G, принадлежащих J. В теории классов конечных групп решение многих задач описания структуры классов Фиттинга и их классификации связано с применением операторов „*“ и „*”, которые были определены Локеттом [2] посредством свойств прямых произведений радикалов групп. Напомним, что для любого непустого класса Фиттинга 5 класс Фиттинга 5* определяется как наименьший содержащий 5 такой, что для всех групп G и H справедливо равенство (G X Н)$* = Gj* X и 5* - пересечение всех таких классов Фиттинга X, для которых X* =5*- Класс Фиттинга 5 называют классом Локетта, если 5 = 5*-

Как установлено в [2], для любого класса Фиттинга 5 справедливы включения: 5* Ç J С и 5* Ç р| X С J*, где X - некоторый нормальный класс Фиттинга. В связи с этим Локеттом [2] была сформулирована следующая проблема, которая в настоящее время известна как

Гипотеза Локетта. Каждый ли разрешимый класс Фиттинга 5 определяется как пересечение класса Фиттинга $*и некоторого нормального класса Фиттинга X ?

Первые результаты, относящиеся к гипотезе Локетта были получены Брайсом и Косей [3], которые подтвердили указанную гипотезу для локальных наследственных классов Фиттинга и показали, что разрешимый класс Фиттинга 5 удовлетворяет гипотезе Локетта в точности тогда, когда 5* = 5* П ®*- Заметим, что при этом б* - минимальный нормальный класс Фиттинга.

Мы расширяем исселедования в этом направлении, определяя класс Фиттинга с условием Локетта. Пусть 0 ф 5 Ç X - классы Фиттинга. Тогда 5 назовем классом Фиттинга с условием Локетта в X или £^-классом, если 5* = 5QX*. Очевидно, что если 5 - класс Локетта, то 5 является £х-классом в точности тогда, когда 5 удовлетворяет гипотезе Локетта в Х. В частности, если © класс всех конечных разрешимых групп, то 5 является £е -классом тогда и только тогда, когда для 5 справедлива указанная выше гипотеза Локетта

В работе [4] было показано, что любой локальный класс Фиттинга является классом Локетта и подтверждена гипотеза Локетта для таких классов. Это подчеркивает обширность семейства £е-классов.

Настоящая работа посвящена нахождению новых семейств £х-классов (в общем случаи не обязательно локальных) посредством свойств решеточных объединений классов Фиттинга. Нами определяются достаточные условия, при которых непустой класс Фиттинга 5 является £х-классом. Из основного результата следует существование нового семейства классов Фиттинга, удовлетворяющих гипотезе Локетта, содер-

жащего все частично локальные классы Фиттинга заданной характеристики и, в частности, все локальные классы Фиттинга.

С учетом известной теоремы С.А. Чунихина [5] о том, что холловы 7г-подгруппы существуют и сопряжены в любой конечной 7г-разрешимой группе, основной результат работы остается верен и в классе б71" - всех конечных 7г-разрешимых групп, хотя результаты являются новыми и в классе б всех конечных разрешимых групп.

1. Предварительные сведения

Произведением классов Фиттинга [1] J и й называют класс всех тех групп G, факторгруппы по 5-радикалу которых являются j> подгруппами. Хорошо известно, что произведение двух классов Фиттинга снова является классом Фиттинга и операция умножения классов Фиттинга ассоциативна (см, например, [1. IX.1.12]).

Приведем в качестве следующей леммы известные свойства операторов Локетта „*“ и „*”, которые мы будем использовать.

Лемма 1.1 [2]. Для любого непустого класса Фиттинга 5 справедливы следующие соотношения: 5* — (5*)* — (5*)* Ç 5 Ç 5* = (5*)* — (5*)* С где 21 класс всех абелевых групп.

Напомним, что если G и H некоторые группы, то через Snemb(S —> G) обозначают множество всех субнормальных вложений G в H (мономорфизм а : G —» H такой, что подгруппа G а субнормальна в G называют субнормальным вложением G в Н). Мы будем использовать также подгруппу N(G), которая была определена в работе [6]. Напомним, что если G - некоторая группа, то подгруппа N(G) определяется следующим образом

Приведем теперь в качестве лемм необходимые в дальнейшем свойства подгруппы N(G).

Лемма 1.2 [6. Свойство 3.1]. Пусть X - класс Фиттинга. Тогда N(G) С Gx, для всех G G X.

Лемма 1.3 [6. Свойство 4.1]. Пусть 57 $) и 2) - классы Фиттинга. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) 5*П^9/

(2) N(G) П Gfi С для всех G G 5-

Пусть 7Г - некоторое множество простых чисел. Напомним, что подгруппа H группы G называется холловой 7г-подгруппой G, если порядок H является 7Г-ЧИСЛОМ, а индекс H в G - тг'-число. Обозначим, через Hall^^G) - множество всех холловых 7г-подгрупп группы G.

Если M подгруппа группы G, то фокальной подгруппой M в G, называется подгруппа, которая обозначается как Fg(M) и определяется следующим образом:

Мы также будем использовать известную теорему о фокальной подгруппе, которую представляет следующая

Лемма 1.4 [1. А.17.5] (см. также [7. 21.3]). Если H G H all * {G), то G' Г) H = FG(H).

Приведем необходимые нам в дальнейшем свойства подгруппы N(G), определяемые посредством холловых тг-подгрупп, доказательство которых осуществляется аналогично доказательству соответствующих результатов работы [6] с учетом известных свойств холловых подгрупп и леммы 1.4.

Лемма 1.5 Если G^ G Hall-K(G) и 0 ф 7г С Р, то

Лемма 1.6 Пусть Gn G H all ^ (G), где в/тгСР, wl - класс Фиттинга. Тогда П N{G) С N(G7VGX).

Мы будем использовать также следующие известные свойства произведений классов Фиттинга и модулярное тождество, которые представляют следующие три леммы

Лемма 1.7 [4]. Если 5 и fj такие классы Фиттинга, что 5 Ç i}, то для любого класса Фиттинга X, который является гомоморфом, имеет место включение С $)Х.

Лемма 1.8 [4]. Если 5 - некоторый класс Фиттига и X - насыщенный гомоморф, то ÇSX)* =

Лемма 1.9 [8]. Пусть I, 3) и J - классы Фиттинга таковы, что ЭР Э 2) и X С 5, то (X V ф) П д = X V (?) П 5)-

Напомним, что отображение /:Р—^{классы Фиттинга} называют функцией Хартли или Н-функцией [9]. Пусть LR(f) = &-к П(ПРетг /(р)^?©?')-Тогда класс Фиттинга 5 называют локальным, если 5 = LR(f) для некоторой Н-функции /. При этом 7Г = Supp(f) - носитель Н-функции / и тг = {р е Р : f(p) ф 0}.

Н-Функцию класса Фиттинга 5 называют [9]:

1) приведенной, если f(p) С 5 для всех р G Р;

2) полной, если /(р)У1р = f(p) для каждого р G Р;

3) полной приведенной, если / является одновременно приведенной и полной.

Все рассматриваемые нами группы конечны и разрешимы. В терминологии и обозначениях мы следуем монографии Дерка, Хоукса [2].

2. Ул-классы

Пусть 5, $) - классы Фиттинга. Тогда их решеточным объединением 5 V 5} называют [1] класс Фиттинга, порожденный объединением 5U^J-Если X класс групп, то характеристикой класса X называют множество Char(X) = {р G Р : Zp G X}.

Пусть сг - непустое множество простых чисел и Л такое непустое множество, что выполняются следующие условия:

Посредством операции „V" определим следующее семейство классов Фиттинга.

Определение 2.1. Пусть Л - непустое множество со свойствами (1)-(3) и X - класс Фиттинга. Тогда:

(а) X назовем Va-классом, если существует класс Фиттинга 2) такой, что (Х*67Г/(Л) П^) v 2)бтг(Л) = для некоторого Л G Л;

(б) X назовем Ул-классом, если X является VA-классом для всех Л G Л и сг = Char(X).

Пусть 0 ф со С Р и IFit$ - локальный класс Фиттинга, порожденный классом Фиттинга 5- Тогда 5 называют cj-локальным [10] если IFitfi С

Заметим, что уже для специального случая А = Р и тг(р) = {р} обширность семейства Vp-классов подтверждает следующая

Теорема 2.2. Каждый си -локальный класс Фиттинга $ с Char($) С cj является Лр-классом.

Доказательство. Пусть 5 - cj-локальный класс Фиттинга. Ввиду теоремы из [11] класс Фиттинга 5 обладает наибольшей приведенной функцией Хартли F такой, что F(p)yip Ç J С F(p)yip&p' для всех р G Char($). Заметим, что ввиду леммы 1.1 5 С 5*91 С 5*ôp/ôp. Следовательно, для всех G G 5 получим |С7 : , | -р-число, а |С7 : G\F(p)e?, I - H-число. Значит, П5) V F(p)&p = 5 и J является Лр-классом.

Теорема доказана.

В случае со = Л = Р получаем

Следствие 2.3. Каждый локальный класс Фиттинга является W-классом.

3. Основной результат

Определение 3.1. Непустой класс Фиттинга 5 назовем классом Фиттинга с условием Локетта в классе Фиттинга fj или £^, -классом, если S С$) и5* ^Последующая теорема определяет достаточные условия при которых класс Фиттинга 5 является классом Фиттинга с условием Локетта в классе $).

Теорема 3.2. Каждый WA-класс Фиттинга $ содержащийся в классе Фиттинга fj является £f, -классом.

Доказательство. Пусть тг = 7г(А) для A G Л. Покажем вначале, что из равентсва (5*6^/ П 5) V Хотг = 5 для некоторого класса Фиттинга X следует, включение 5П^* — Для этого установим справедливость включения 5з*Р|Х6тг С (Хо^^о^/. С учетом леммы 1.3 достаточно показать, что N(G) П Gxe^ G (Х<оп)*&п' для всех групп G G S). Пусть G G S) и Gn - холлова 7г-подгруппа G. Для класса Xô^ справедливо включение Х&п С Хо^о^/. Заметим, также, что GnGx G Xô^ и Gxen G Хб^б^. По лемме 1.6 п N(G) П G^e. Ç N(G„GX) ПGxe,,• Значит, по лемме 1.2 N(G7VGx)r\Gxe1I Q (G^Gx ^Gxe7V)(xe7T)* и поэтому П iV(<3) nGj6l ÇG(l6i)+. Следовательно, П iV(<2) П G^07r Ç (iV(<3) nGi6J(i6,)*- Отсюда вытекает, что N(G)C)Gxe7T G (Х67Г)*67Г/ для всех групп G G f).

Покажем теперь, что из включения fj* р| Xô^ С (Х67Г)*67Г/ следует равенство Хб^ р| 53*6^/ = (Х67Г)*67Г/ р| Хб^. Действительно, так как fj*n^®7r ^ (Х67Г)*67Г/, то по лемме 1.7 следует fbô^/ П Xô^ô^/ С (Х67Г)*67Г/. Но тогда справедливо включение fj*в^' f^Xo^o^/ Р|Х6тг С (Яб^б^П*^. Значит, в.бтг'ПЯбтг С (Э^бО.бтг'П^бтг. С другой стороны, по лемме 1.1 справедливо включение (Xô^)* С 5%. Отсюда по лемме 1.7 (Х67Г)*67Г/ С 53*6^/. Значит, (Х67Г)*67Г/ р| Хб^ С 53*6^/ П Зсбтг- Таким образом, fbô^/ П %&тт = (Хо^б^/ р| Хб^. Заметим, что, с учетом леммы 1.1 и леммы 1.8, (5*бтг' П5)* — 5*- Применяя лемму 1.1 получаем ((Хб^б^ fl£6*) Q (Зчвтг'ПФ Ç Так как Хб^ Ç (5*6^/ f|5)* и (5*6^/ f|5) Ç (53*6^/ П^)> то по лемме 1.9 следует

Учитывая, что 53*6^/ р| Х©^ = (Х67Г)*67Г/ fl и (£6^*6^ fl Ç 5*6^/ П5, получиаем 5% 6^/ f|5 = 5*©тг' П5- Значит, 5П^* Ç ^*©тг П

Теперь покажем, что если 5П^* — т?*®^'? то 5П^* — 5* Для всех 7г Ç С/шг(5). Ввиду леммы 1.1, справедливо включение 5* Ç (5Р|5з)*. Пусть G G 5П^* и G минимального порядка из класса (5р|fj*)\5*. Тогда G имеет единственную максимальную нормальную подгруппу M = G$^. Так как G G 5П^*> то G ^ 5П^- Ввиду того, что G G 5, по лемме 1.1 G/M G 21. Так как M максимальная нормальная подгруппа группы С, то G/M - композиционный фактор группы G порядка р. Следовательно, G/M G У1Р и G/M = Zp. Таким образом, p\\G\ и G G 5-Следовательно, по лемме IX. 1.7 [2] Zp G 5 и поэтому р G Char(5). Отсюда следует, что существует такое д G Л, что р G 7г(д) Ç Char(5). Значит, G/M G 6*0,).

С другой стороны, по условию для всех таких Л G Л, что 7г(Л) Ç Char^S) справедливо включение 5П^* ^ 5*©тг/(Л)- Значит, G/M G 67Г/(м). Следовательно, G/M G 67г(м) f| 67Г/(/л) = (1) и G = M € 5*-Полученное противоречие доказывает равенство 5П^)* — 5*-

Теорема доказана.

Следствие 3.3. Каждый uj-локальный £© -класс 5 с Char($) Ç cj удовлетворяет гипотезе Локетта.

Доказательство. Ввиду леммы 2.2 5 является Лр-классом. Кроме того, по 4.8 (с) [6] 5-класс Локетта. Теперь по теореме 3.2 5* = 5* р| 6*.

Следствие 3.4 [4]. Каждый локальный класс Фиттинга удовлетворяет гипотезе Локетта.

Библиографический список

1. Doerk К., Hawkes Т. Finite solvable groups. Berlin: Walter de Gruyter, 1992. - 891 p.

2. Lockett P. Fitting class 5* // Math.Z. - 1974. - Bd.137. № 2. - S. 131-136.

3. Bryce R.A., Cossey J. A problem in theory of normal Fitting classes // Math.Z. - 1975. - Band 141. № 2. - S. 99-110.

4. Воробьев Н. Т. О радикальных классах конечных групп с условием Локетта // Математические заметки. - 1988. Т. 43. № 2. - С. 161-167.

5. Чунихин С.А. Подгруппы конечных подгрупп. Минск: Наука и техника, 1964. - 168 с.

6. Gallego M.P. Fitting pairs from direct limits and the lockett conjecture // Comm. Algebra. - 1996. - 24(6). - p. 2011-2023.

7. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.

8. Cusack Е. The join of two Fitting classes // Math.Z. - 1979. - Bd. 167. № 2. - S. 37-47.

9. Воробьев Н. Т. О предположении Хоукса для радикальных классов // Сиб. матем. журнал. - 1996. - Т. 37. № 5. - С. 1296-1302.

10. Скиба А.Н., Шеметков Л. А. Кратно uj-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические труды. - 1999. -Т. 2. - № 2. С. 114-147.

11. Воробьев Н.Т. О наибольшей приведенной функции Хартли // Известия Гомельского гос. ун-та. - 1999. - № 1 (15). - С. 8-13.

О континуальном аналоге теоремы Меньшова-Радемахера

С.В. Зотиков

1. В теории ортогональных рядов одной из фундаментальных теорем является

Теорема Меньшова-Радемахера [1. С. 291]. Если Ф = (фп) ~ произвольная ортонормированная система функций из пространства L2(0;1) (о.н.с), то почти всюду на [0;1] сходится всякий ряд ^апиоп(х) коэффициенты которого удовлетворяют условию ^ un log2 + 2) < сю.

2. Для установления континуального аналога этого результата рассмотрим конструкцию скрещенного произведения двух о.н.с.

ПуСТЬ Ф = ((fm)m = 0 И Ф = (фт)т = 0 ~ произвольные о.н.с. 1-периодических функций. Скрещенным произведением о.н.с. Ф на о.н.с. Ф называется функция Хфф, определяемая на RoX Ro соотношением Кфу(х,у)=(р[у}(х)ф[х](у), где [х] - целая часть числа х G Ro [2]. Эта функция является континуальным аналогом каждой из о.н.с. Ф и Ф.

В работе [3] показано, что произвольное скрещенное произведение Кфъ для всякой функции / G Ь2(0; сю) порождает интегральные преобразования вида

которые являются аналогами классического преобразования Фурье в пространстве L2 и которые мы называем соответственно и * - преобразованиями Фурье по отношению к К^ф функции / G Ь2(0; сю). Интегралы

мы называем соответственно - интегралом Фурье и * - интегралом Фурье по отношению к К^ф функции / G L2(0;oo). Каждый из них понимается как предел в метрике L2(0;oo) соответствующих частных интегралов.

Приведём ряд известных результатов, которые будут использованы в этой статье.

Теорема А [4. С. 85-86]. Если Ф - полная о.н.с. Ф - произвольная о.н.с., К фу - их скрещенное произведение, то для любой функции f G L2(0; сю) справедлива формула обращения её преобразования Фурье f по отношению к Кфу :

Теорема В [4. С. 86]. Если Ф - произвольная о.н.с, Ф - полная о.н.с, К фу - их скрещенное произведение, то для любой функции f G L2(0;oo) справедлива формула обращения её преобразования Фурье /* по отношению к Кфу :

Теорема С [5. С. 191-193]. Пусть о.н.с. Ф и Ф и функция /GL (0;ос) - таковы, что для преобразования Фурье / функции f по отношению к К фу почти всюду выполнено равенство f(y) = J f(x)K^(x,y)dx.

Если ряд Фурье по о.н.с. Ф любого сужения Д = /|[fc;fc+i[j & — 0,1, 2,... почти всюду сходится к Д, то почти всюду на Ro имеет место представление:

3. Теперь сформулируем и докажем континуальный аналог теоремы Меньшова-Радемахера.

Теорема 1. Пусть Ф и Ф - произвольные о.н.с, а К^ф - их скрещенное произведение. Если функция f такова, что

(1)

то почти всюду на Ro сходятся интегралы

Доказательство. Пусть функция / удовлетворяет условию (1), Ф и Ф - произвольные о.н.с, а К^ф - их скрещенное произведение. Докажем сходимость п.в. на Ro= (J + 1[ интеграла J f(y)K^(x,y)dy.

Для этого достаточно доказать, что последовательность частных интегралов Ja(/, х) = f f(y)K^(x,y)dy при —> оо сходится почти всюду на произвольном промежутке [j; j+l[, j GN. Используя свойство аддитивности интеграла Лебега и определение К^ф, имеем для произвольных

(2)

Теперь рассмотрим числовой ряд

Оценим сверху |<2г([ж])|2, г=0,1,2,. . ., применяя неравенство Коши для интегралов и используя нормированность функций о.н.с. Ф:

Тогда для любого x G[j; j+l[ имеем с учётом условия (1):

Из сходимости числового ряда

в силу теоремы

Меньшова-Радемахера почти всюду на [j; сходится следующий ортогональный ряд по о.н.с. Ф:

Из сходимости этого ряда следует, что при —> сю предел первого слагаемого правой части равенства (2) существует и конечен почти всюду на промежутке [j' ; j+1 [.

Далее оценим сверху квадрат модуля второго слагаемого правой части равенства (2):

(3)

Теперь покажем, что почти всюду на [j; сходится функциональный ряд

(4)

Для этого рассмотрим соответствующий ряд, проинтегрированный по промежутку Ввиду нормированности функций о.н.с.Ф, свойства сг-аддитивности интеграла Лебега и условия (1), получаем

Из сходимости проинтегрированного ряда по теореме Б. Леви следует, что ряд (4) сходится почти всюду на [j; а потому при почти всех имеем:

Отсюда с учётом соотношения (3) следует, что для п.в. х i+l[ второе слагаемое правой части равенства (2) стремится к нулю при —> сю.

Учитывая всё, отмеченное выше, и переходя к пределу при —> сю в равенстве (2), получаем, что интеграл J f(y)K^(x,y)dy сходится для п.в. X j EN.

Аналогично доказывается сходимость п.в. на Ro и второго интеграла.

Следствие. При условиях теоремы имеют место представления:

где

- преобразования Фурье по отношению к К^ф функции f в пространстве L2(0; сю).

4. Теперь сформулируем ряд утверждений, вытекающих из доказанной теоремы 1 и некоторых известных результатов.

Теорема 2. Если функция f такова, что / \f(t) \2 log2(t-\-2)dt < сю, а о.н.с. Ф такова, что ряд Фурье по этой системе любого сужения Л = /|[fc;fc+i[? k=0,l,2,. . ., почти всюду сходится к Д, то при любой о.н.с. Ф - интеграл Фурье по отношению к К^ф функции f п.в. на Ro сходится к функции f, т.е. f(x)= J f()Kip7p(x,y)d.

Это утверждение выводится из теоремы 1 и теоремы С. Аналогичными рассуждениями устанавливается

Теорема 3. Если функция f такова, что f \f(t) \ log|(t+2)<it < сю, а ...Ф такова, что ряд Фурье по о.н.с. Ф любого сужения Д = /|[fc;fc+i[5 k=0,l,2,. . ., почти всюду сходится к тпо при любой о.н.с. Ф *- интеграл Фурье по отношению к К^ф функции f п.в. на Ro сходится к функции f, т.е. f(y)= J f*(х) Кфф(х,у) dx.

Из теорем 2 и 3 можно вывести следствия для некоторых известных о.н.с. Например, справедлива

Теорема 4. Пусть X - система Хаара, Ф - произвольная о.н.с, а Кхф - их скрещенное произведение. Если для функции f выполнено условие (1), то она п. в. на Ro представима своим интегралом Фурье-Хаара, т.е.

5. В заключение сформулируем два утверждения, потребовав выполнения условия (1) для преобразований Фурье функции / G L2(0;oo) по отношению к К^ф.

Теорема 5. Пусть Ф и Ф - произвольные о.н.с, а К^ф - их скрещенное произведение. Если функция f G L2(0;oo) такова, что для её -преобразования Фурье по отношению к К^ф выполнено соотношение J \f(y)\ \og2(y + 2)dy < сю, то почти всюду на Ro сходится - интеграл Фурье функции f по отношению к К^ф, при этом (f) * (ж) = J f()Kiptp(x,y)d. Если о.н.с. Ф полна, то (f)* (ж) = /(ж),

Теорема 6. Пусть Ф и Ф - произвольные о.н.с, а К^ф - их скрещенное произведение. Если функция f G L2(0;oo) такова, что для её ^-преобразования Фурье по отношению к выполнено соотношение J |/*(ж)|2 log2, (ж + 2)dx < сю, то почти всюду на Ro сходится интеграл Фурье функции f по отношению к К^ф, при этом (f*)(y) = f*(ж) К^ф(х,у) dx. Если Ф - полная о.н.с, то (f*) (у) = f(y).

Теоремы 5 и 6 доказываются аналогично. Докажем теорему 5. Сходимость почти всюду интеграла J fQK^^x,y)d следует из условия теоремы 5 и теоремы 1. Поскольку функция / принадлежит пространству L2(0; сю), в силу определения *- преобразования Фурье по отношению к К рф существует функция (/)*, определяемая соотношением (/)*(ж) = f()K(pXf,(x,y)d. Тогда сходящаяся почти всюду на Ro последовательность частных интегралов J f(y) Кфу (ж, y)dy при —> сю имеет в качестве обычного предела ту же функцию (/)*(ж) , к которой при —> сю эта последовательность сходится в метрике L2(0;oo). Если Ф - полная о.н.с, то в силу теоремы А для - преобразования Фурье функции / имеет место формула обращения и потому (/)*(#)=/(ж).

Библиографический список

1. Кашин Б.С, Саакян А.А. Ортогональные ряды. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 496 с.

2. Виленкин Н.Я., Зотиков С.В. О скрещенных произведениях ортонормированных систем функций.- Матем. заметки, 1973. Т. 13. № 3. С. 469-480.

3. Зотиков С.В. Определение преобразования и интеграла Фурье по отношению к скрещенному произведению ортонормированных систем функций в пространстве L2. - Применение функц. анализа в теории приближений. - КГУ: Калинин, 1988. С. 26-32.

4. Зотиков С.В. О формулах обращения преобразований Фурье функций из пространства L2 и континуальных аналогах равенства Парсеваля. - Методология и история математики. - М.: Изд. дом “Руда и металлы”, 2003. С. 82-89.

5. Зотиков С.В. О представлении функций из пространства L2 их интегралами Фурье. - Труды третьих Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2005. С. 184-194.

О некоторых свойствах американских опционов

С.В. Жуленев

Введение. По американским обционам существует много весьма общих результатов, но почему-то мало конкретных и практически полезных выводов. В данной заметке предлагается несколько поправить ситуацию и для простейшей модели биномиального (В, 5)-рынка установить два конкретных результата. Точнее говоря, уточним теорему 1 из [1. С. 764], и приведем конкретные выражения для момента предъявления «модифицированного» опциона колл к исполнению и его цены.

Американский опцион колл. Напомним сначала известный результат для общей постановки проблемы оптимальной остановки, потом уточним, каким частным случаем этого варианта оказывается наш американский опцион, а затем приведем конкретные выражения для справедливой цены опциона и момента его предъявления к исполнению.

1. Рассмотрим случай платежных функций / = (fn)n<N, в которых

(1)

определяются однородной марковской последовательностью X = (жп), некоторой функцией д(х) и произвольными числами г>, ß > 0.

В этом случае обычно вводится семейство экстремальных задач

(2)

в которых математическое ожидание Ех берется по мере Рж, порождаемой последовательностью X при начальном значении жо = х, а семейство Wq марковских моментов т состоит из целочисленных св., принимающих значения от 0 до п. Известно, что для задачи с п = N [2. С. 70-75] цена и оптимальный момент остановки для нее равны:

(3)

(4)

2. Далее напомним модель (В, S)— рынка

(5)

в которой S = (Sn)o<n<n представляет последовательность цен акций, а В = (Bn)o<n<n безрисковое изменение стоимости начальных денежных единиц Во] здесь Л, г > 0, некоторые числа, а еп независимые бернуллиевские св. с Р(гп = 1) = р, Р(гп = —1) = 1 — р = q. Семейство цен в (5) обычно рассматривается в предположении, что х = So G E = {Afc, к = 0, ±1, • • • }, поскольку в этом случае возможные значения св. Sn и при Vn > 1 принадлежат множеству Е.

3. Введем финансовый инструмент, который может быть предъявлен к исполнению в любой момент времени гг, 0 < п < TV, с получением выплаты ßng(Sn), g (у) = (у — К) + . Ясно, что этот инструмент при ß = 1 является стандартным американским опционом колл на акцию с ценами S = (Sn) и ценой исполнения К. Отметим, что нас будет интересовать случай, когда 0 < ß < 1, а цены S = (Sn) подчиняются модели (5), которая представляет собой частный случай биномиальной модели, в которой 1 денежная единица, вложенная в рисковый актив в начале периода, приносит к его концу либо величину 1 + 6, либо 1 + а, причем 1 + 6 = A, al + a= 1/А.

Далее, чтобы владельцу модифицированного опциона колл понять, когда его предъявлять к исполнению, ему нужно выбрать способ сравнивать денежные суммы разных моментов времени. Выберем для этого риск-нейтральный подход, в соответствии с которым математическое ожидание приращения цены рискового актива за период будет равняться приращению безрисковой суммы. В модели (5) это означает, что параметры г, А должны удовлетворять равенству Е\£" = и = 1 + г, т.е.

(6)

где \i — А-1. И пусть v — (1 + r)-1, aÀ>n> 1. Тогда владельцу такого опциона естественно искать такой момент остановки или предъявления т, когда он получит сумму

(7)

поскольку получая в момент п сумму ßng(Sn) он знает, что ее стоимость в момент 0 равна (ßv)ng(Sn).

4. Теперь можно сформулировать и доказать искомый результат, в котором для модели (5) и в риск-нейтральном подходе получим конкретные выражения для справедливой цены покупки v0 и оптимального момента остановки или предъявления опциона к исполнению . Будем использовать при этом решение задачи (2), приведенное в (3), для чего лишь укажем, что оператор Т из (4) в модели (5) имеет вид

(8)

К сожалению, чтобы заметно упростить анализ, выберем еще и «удобные» значения цены исполнения К и цены акции So = х. Однако отметим, что такое ужесточение условий не является существенным.

Теорема. Пусть О < ß < 1, К — х — \. Тогда

(9) (10)

здесь и ниже pk = (А — 1)/(Хк — v). Тем самым проблема поиска оптимального момента остановки решается полностью, поскольку

(11)

Справедливая же цена опциона, скажем, при х = Àfc, к > 1, определяется выражением

(12) (13)

Доказательство. Из определений (4) и (7) вытекает, что в рассматриваемой ситуации справедливы следующие представления:

(14) (15)

Ясно также, что Т ' g(ps) = 0 при любом s > к > 0, поскольку в этом случае все слагаемые в (15) равны нулю. Это означает, что Qng(ps) = О = g(ps) при s > п. Но если 0 < s < п, то сумма в (15) при у = ps является ненулевой при s < к < п и потому

Иными словами, мы доказали неравенство Qng(y) > д(у) при у = /Is, О < s < п — 1 и нам осталось понять, при каких s > 1 оно верно при у = Xs. To-есть осталось показать, что оно верно при s < d. Убедимся для этого сначала в том, что при s > 1

(16)

Для чего достаточно обосновать тот факт, что

(17)

поскольку тогда, очевидно, (16) вытекает из (14). Справедливость же последних формул (17) легко установить, используя метод математической индукции. В самом деле,

Теперь остается отметить лишь два момента. Во-первых, последовательность (pk) монотонно возрастает по k, причем lim^oo pk = 1, а ро = 0. Поэтому определение (10) величины кр корректно, поскольку при любом ß < 1 определяет ее однозначно. Более того, если кр = k, то справедливы неравенства

(18)

Во-вторых, числа ры = (Хк — v1-1) / (Хк — vl) также монотонно возрастают при увеличении I для любых к > 1. Поэтому, если выполняется правое неравенство в (18), т.е. ß < p(k+i)i — Рк+i, то ß < p^+\)i и при всех остальных I > 1. А, значит, все числа внутри фигурных скобок из (16) убывают слева направо при s = к + 1 (равными могут быть только первые два) и тем более при s > к + 1, поскольку ß < pk+i при всех I > 1. Иными словами, Qng(Xs) = g(Xs) при всех s > к + 1. С другой стороны, если выполняется левое наравенство в (18), т.е. ß > pki = рк, и, значит, ß > psi = ps при любом s < k, то при всех таких s второй элемент из (16) - а он присутствует при всех п > 1 - больше первого и потому Qng(Xs) > g(Xs). Но тем самым утверждение (9) с величиной d из (10) установлено.

Для обоснования выражения (12) удобным также оказывается представление (16) и мы можем его взять в силу (3). Причем на этот раз помимо свойств монотонности последовательности (ры) по / при любом к > 0 и единственности точки накопления 1, позволяющих считать определение величины Iß в (13) корректным, используем и тот факт, что из равенства Iß = I вытекает, что

(19)

Дело здесь просто в том, что точки последовательности (ры) по / делят отрезок (0, 1) на бесконечное число частей. При этом, если значение ß принадлежит интервалу из (19), т.е. принадлежит (/ + 1)—му из них, то максимум соответствующей бесконечной последовательности

(20)

при s = к достигается при m = /, т.е. также на (/ + 1)—м элементе этой последовательности. Убедиться же в этом несложно по аналогии с вышесказанным.

В самом деле, в силу (19) и монотонности (ры)

откуда при s = к и получаем то, что нам нужно:

Итак, для доказательства формулы (12) остается заметить, что элементы внутри фигурных скобок из (16) представляют собой первые п + 1 членов последовательности (20). Теорема доказана.

Библиографический список

1. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998. Т. 1, 2. 1024 с.

2. Жуленев С.В. Стохастическая финансовая математика. Финансовые рынки в дискретном случае. МГУ, 2004. 104 с.

О вероятностях выживания частиц на ℤ2 в одной из моделей критического ветвящегося случайного блуждания

Е.В. Захарьева

Симметричное ветвящееся критическое случайное блуждание по решеткам низких размерностей (d = 1,2) исследовано в работах [6] и [8]. В работе [7] рассмотрена некоторая модификация данного критического ветвящегося случайного блуждания с непрерывным временем по одномерной целочисленной решетке. Отличительной особенностью предложенной модели является введение параметра а, управляющего поведением процесса в источнике ветвления и, тем самым, нарушающего симметричность матрицы переходных интенсивностей. В статье [7] установлено асимптотическое поведение вероятности наличия частиц в источнике ветвления (т.е. источнике размножения и гибели частиц), а также вероятности выживания популяции частиц на всей решетке при d = 1. В представленной работе проведено исследование асимптотического поведения этих вероятностей уже для двумерных целочисленных решеток.

Перейдем к формальному описанию модели. Пусть в момент времени t = 0 в начале координат находится одна частица. Вне начала координат случайное блуждание задается матрицей переходных интенсивностей А = |а(ж, y)\X£z'2\{o},yez2 и предполагается симметричным (а(х,у) = а(у,х)), однородным по пространству (а(х,у) = а(0,у — х) = а(у — ж)), со стандартным условием на коэффициенты Y1 а(х) = 0> где а(х) > 0 при X ф 0 и а(0) < 0, неприводимым, с конечной дисперсией скачков, т.е. Y1 х2а(х) < оо. В нуле частица проводит экспоненциально распределенное время с параметром 1, затем она может либо покинуть источник ветвления с вероятностью 1 — а, и таким образом интенсивность перехода в точку у ф 0 имеет вид а(0,у) = — (1 — а)а(у)а~г(0),

либо умереть с вероятностью а, произведя перед гибелью случайное число потомков. Ветвление частиц определяется производящей функцией f(s) = fkSk . Предполагается, что производящая функция задает критический ветвящийся процесс в источнике (/'(1) = 1), и при этом сг2 = /"(-О < 00• Новые частицы эволюционируют по такому же закону независимо друг от друга и от всей предыстории.

Обозначим - число частиц в начале координат в момент времени £, n(t) - число частиц вне начала координат в момент времени £, и пусть

есть общее число частиц, участвующих в процессе в момент времени t. Как уже отмечалось, предметом исследования настоящей работы является асимптотическое поведение вероятности q(t) = Р(£(£) > 0) продолжения процесса в источнике ветвления и вероятности Q(t) = P(rj(t) > 0) выживания популяции частиц на решетке. Для удобства изложения введем дополнительные обозначения:

Основные результаты представленной работы сформулированы в следующих теоремах.

Теорема 1. Пусть £(0) = 1. Тогда при t —» 00 справедливо следующее асимптотическое равенство

где 0 < aô < 1 , 72 - некоторая константа.

Теорема 2. Пусть ту(0) = 1. Тогда при t —» 00 справедливо следующее асимптотическое равенство

где 72 - некоторая константа.

Отметим, что константа 72 вычислена при доказательстве теоремы 2.1.1. [6. С. 31], основным утверждением которой является следующее асимптотическое представление вероятности перехода из точки х в точку у за время t в модели симметричного случайного блуждания:

p(t,x,y) ~ Jd/t^ , t —> 00.

Как видно из формулировок теорем 1 и 2, с точностью до константы асимптотическое поведение вероятности продолжения процесса в источнике совпадает с асимптотикой переходных вероятностей для симметричного случайного блуждания на 2D решетке, имеющей вид 72/£, в отличие от размерности 1D, где асимптотика переходных вероятностей ведет себя, как 711~ 2, и, следовательно, при больших временах более медленна, чем асимптотика вероятности наличия частиц в источнике ветвления, которая принимает вид Kt~? (Inг)-1 [7. Теорема 2]. Асимптотическое поведение вероятности выживания популяции частиц на 2D решетке с точностью до константы имеет вид (Inг)-2, а на 1D решетке -соответственно £-1^4 [7. Следствие 3]. Таким образом, выявлен фазовый переход по размерности решетки в исследуемой модели.

Основной идеей доказательств теорем 1 и 2 является сведение ветвящегося случайного блуждания к ветвящемуся процессу с двумя типами частиц, находящимися в источнике и вне его.

Далее в статье будут сформулированы и доказаны четыре леммы, первые две из которых требуются как для доказательства теоремы 1, так и для доказательства теоремы 2. Леммы 3 и 4 понадобятся только для исследования общего числа частиц на решетке. В данной статье приведем подробное доказательство результатов, полученных для общего числа частиц на решетке.

Вначале рассмотрим симметричное, однородное, регулярное, неприводимое случайное блуждание с конечной дисперсией скачков,которое задается матрицей переходных интенсивностей А = |а(ж, у)\x,yez2 ? а(0> 0) < 0. Пусть p(t,x,y) - вероятность перехода из точки х в точку у за время t. Обратное уравнение Колмогорова для p(t,x,y) [6. Глава 2. § 1. Лемма 1] имеет вид

Для краткости будем использовать обозначение p(t) = p(t, 0, 0).

Лемма 1. Функция p(t) монотонно убывает по t и допускает представление:

(2)

Доказательство. Вывод асимптотического равенства (2) приводится в монографии [6. С. 31], также там доказывается монотонность функции p(t).

Теперь мы предполагаем, что случайное блуждание начинается в момент времени t = 0 в начале координат. Пусть п - время, проведенное частицей в начале координат до выхода из нуля, и т2 - время, проведенное частицей вне начала координат до возвращения в нуль. Положим

Лемма 2. При t —» оо имеет место соотношение

Доказательство. Вероятность перехода из начала координат в начало координат за время t складывается из вероятности нахождения в нуле времени n > t и вероятности нахождения в нем времени n < t с последующими блужданием вне начала координат до момента возвращения в нуль в течение времени т2 < t — т\ и переходом из начала координат в начало координат за оставшееся время t — т\ — Т2, поэтому имеет место соотношение:

где * обозначает операцию свертки. Применив к каждой части последнего соотношения преобразование Лапласа, получим:

(3)

Учитывая, что Ci (Л) = (1 + Л) 1, преобразуем соотношение (3):

Так как в силу леммы 1 и тауберовой теоремы для мер [3. Глава XIII. § 5. Теорема 2]

то имеет место соотношение:

Используя тауберову теорему для плотностей [3. Глава XIII. § 5. Теорема 4], получаем доказываемое асимптотическое равенство:

Лемма доказана.

Исследуемое в этой работе ветвящееся случайное блуждание можно рассматривать как ветвящийся случайный процесс с двумя типами частиц. Частица первого типа имеет функцию распределения времени жизни

перед смертью частица производит потомков двух типов в соответствии с вероятностной производящей функцией #2) = af(si) + (1 — a)s2, т.е. она производит с вероятностью afk ровно к частиц первого типа и с вероятностью 1 — а ровно одну частицу второго типа. Функция распределения времени жизни частицы второго типа есть G2(t) = Р(т2 < t) (т.е. время жизни частицы второго типа совпадает по распределению с временем, проведенным вне начала координат родительской частицей в модели ветвящегося случайного блуждания до своего первого возвращения в источник ветвления при условии, что процесс стартовал в начальный момент времени в точке х = 0 и родительская частица не произвела потомков во время своего первого нахождения в начале координат). Перед смертью частица второго типа производит потомков в соответствии с вероятностной производящей функцией /2(51,52) = si, т.е. она производит ровно одну частицу первого типа. Обозначим Zi(t) - число частиц г-го типа в момент времени £. Пусть

есть вероятностная производящая функция числа частиц обоих типов в момент времени t при условии, что процесс начался в момент времени t = 0 с одной частицы г-го типа. Тогда имеют место следующие интегральные уравнения [2. Глава VIII. § 1. Теорема 1]:

(4) (5)

Будем пользоваться следующими обозначениями:

Неравенство х < у(х<у) означает, что Xi < уг(хг < у г) для г = 1 и г — 2. Для двух векторов а(£) и h(t) будем писать a(t) = o(h(t)) при t —> ос (t —> 0), если üi(t) = o(bi(t)) при t —» оо (£ —> 0) для г = 1 и г = 2. Обозначим = Fi (t; 0,0) и F2(t) = F2(t;0,0), тогда F(£) =

(Fi(t),F2(t)).

Определим рекуррентно последовательности функций Fi,n(t) и F2,n(t) формулами: Fi,o(t) = ^2,о(£) = 0,

Будем использовать векторное обозначение

Лемма 3. Fn(t) —> F(t) при п —> оо равномерно по t из любого конечного интервала.

Доказательство. Пусть t принадлежит конечному отрезку [а, 6], причем а > 0.

Оценим по модулю разность

Из определения функции /(s) следует неравенстве

Тогда

откуда

Окончательно,

(6)

Еще проще получается оценка

(7)

Обозначим

Тогда из (6) и (7) следует соотношение

(8)

Подставляя соотношение (8) для п-го члена последовательности {qn} в неравенство (6), получаем:

(9)

Повторяя процедуру подстановки соотношения (8) в (9) п — 2 раза, находим оценку:

(10)

Т.к. m < 1 и qo, qi, m не зависят от t, то, устремляя п к +оо в соотношении (10), получаем равномерную сходимость F\,n к Fi по t G [а, Ь]. Отсюда в силу (7) следует равномерная сходимость F2,n к F2 по t G [а, Ь]. Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Вектор-функция F(t) не убывает по t.

Доказательство. Покажем, что вектор-функции Fn(t) не убывают по t. Доказательство проведем методом матиндукции. База индукции: Fo(t) не убывает по t. Предположение индукции: Fn(t) не убывает по t. Тогда в силу монотонности и неотрицательности функции f(s) при

О < s < 1 и неотрицательности вектор-функции для т > О имеют место неравенства

Из последних неравенств следует, что вектор-функции Fn(t) не убывают по £, но тогда по лемме 3 вектор-функция F(t) также не убывает по t. Лемма 4 доказана.

Теперь перейдем к доказательству теоремы 2.

Напомним, что исследуемое ветвящееся случайное блуждание с управляющим коэффициентом а было сведено к ветвящемуся процессу с двумя типами частиц. Покажем, что указанный ветвящийся процесс с двумя типами частиц является критическим и неразложимым. Матрица математических ожиданий M = -§^(1,1) имеет вид

(11)

Ее собственные значения находим из уравнения det(M — ХЕ) = 0, получаем Ài = 1,À2 = oj — 1. Тогда перронов корень матрицы M (наибольшее по модулю собственное значение) равен 1, откуда делаем вывод, что имеем дело с критическим ветвящимся процессом с двумя типами частиц.

Ветвящийся процесс называется неразложимым, если существует натуральное число п, для которого все элементы матрицы Мп положительны. В нашем случае положительность матрицы M2 влечет неразложимость ветвящегося процесса с двумя типами частиц. Возьмем правый и левый собственные вектора матрицы M и = (u\,U2) и v = (v\,V2) соответственно такие, что выполнены соотношения

Тогда в силу (11) вектора u и v имеют вид

(12)

Введем функции

Из теоремы 1 статьи [5] с учетом соотношения (12)

следует представление

(13)

Подставим s = О в интегральные уравнения (4) и (5), получим:

откуда в силу определения функций Qi(t), г — 1,2, следуют соотношения

Отсюда

(14)

Пусть

тогда равенство (14) можно привести к виду

(15)

Тж. рассматривается критический ветвящийся процесс, то справедливо предельное соотношение lim F(t) = 1 [4. Глава П. § 7. Теорема 1].

Покажем, что при таком условии выполнено соотношение

Действительно, для любого е > 0 существует Т > 0 такое, что при всех t > Т имеет место соотношение 1 — f(F(£)) < 1 ■ е, поэтому справедлива цепочка неравенств

причем правая часть цепочки есть о(1 • Л г) при Л —» 0.

Следовательно, при Л —» 0 левая часть равенства (15) есть

Последнее означает, что при

(16)

Покажем, что прообразы (v, 1 — G(t)) и D(t) ведут себя асимптотически при t —» оо одинаково. Исследуем асимптотическое поведение левой части равенства (16) при Л —» 0. Для этого сначала проследим, как ведет себя (v, 1 — G(t)) при t —» оо. В силу определения функции Gi(t), равенств (12) и леммы 2 справедливо соотношение

(17)

Пользуясь тауберовой теоремой для плотностей [3. Глава XIII. § 5. Теорема 4], находим асимптотическое поведение преобразования Лапласа от функции (v, 1 — G(t)):

(18)

Покажем, что функция D(t) не возрастает. В самом деле, по лемме 4 вектор-функция Q(t) не возрастает, а ввиду того, что перронов корень матрицы M равен 1, функция ф(у) = (v, у) — (v, 1 — f(l — у)) возрастает по каждому из аргументов yi, i = 1,2. Соотношения (16), (18) и монотонность функции D(t) позволяют применить тауберову теорему для плотностей [3. Глава XIII. § 5. Теорема 4], которая утверждает, что в наших предположениях

(19)

Введем функцию Т(х) = х — (v, 1 — f(l — их)). Исследуем ее асимптотическое поведение при х —> +0. В силу определения функций /i(s) и J2 (s) и соотношения (12) преобразуем Т(х)\

Подставляя в последнее равенство разложение функции f(x) по формуле Тейлора в точке х = 1, получаем

Как следует из леммы 4 статьи [1], при s = О справедливо соотношение

Из определения функции D(t), двух последних соотношений и асимптотического равенства (19) следует, что

Перепишем последнее соотношение с учетом (17)

Отсюда следует, что

В силу соотношения (13) заключаем, что как при г = 1, так и при г — 2 справедливо асимптотическое равенство

Т.к. правая часть последнего соотношения не зависит от г — 1,2, то делаем вывод, что асимптотическое поведение вероятности выживания популяции частиц не зависит от точки старта процесса. Теорема 2 доказана полностью.

Библиографический список

1. Ватутин В.А. Дискретные предельные распределения числа частиц в ветвящихся процессах Беллмана-Харриса с несколькими типами частиц. Теория вероятностей и ее применения, XXIV, 3(1979). С. 503-514.

2. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971. 436 с.

3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1984. 752 с.

4. Харрис Т.Е. Теория ветвящихся случайных процессов. М: Мир, 1966. 355 с.

5. Чистяков В. П. Асимптотика вероятности продолжения критического ветвящегося процесса. Теория вероятностей и ее применения, XVI, 4(1971). С. 639-648.

6. Яровая Е.Б. Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородной среде. М.: Издательство Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007. 104 с.

7. Topchii V., Vatutin V., Yarovaya E. Catalytic branching random walk and queueing systems with random number of independent servers. Teor.Jmovirn. ta Matem. Statist, 2003. № 69. P. 158-172.

8. Яровая Е.Б. Предельная теорема для критического ветвящегося случайного блуждания на Ъа с одним источником. Успехи математических наук. Т. 60. Вып. 1. 2005. С. 175-176.

Глава 3

Теория и методика обучения математике в школе и вузе

Основные направления исследований белорусских ученых в области теории и методики обучения математике

И.А. Новик

На формирование высокого уровня методической культуры учителей математики Республики Беларусь положительно влияют последние исследования ряда отечественных ученых. В республике впервые в 1995 г. был открыт специализированный совет по защите докторских диссертаций по специальности 13 00 02 - “Теория и методика обучения математике”.

За прошедшие годы в республике защищены по данной специальности свыше 120 кандидатских и 16 докторских диссертаций. Основные направления докторских исследований были:

- теория и методика обучения математике в средней общеобразовательной школе, колледжах, лекциях;

- теория и методика обучения математике в вузах технического профиля и педагогических университетах;

- ряд ученых исследовали различные аспекты проблемы подготовки учителя математики.

По первому из направлений:

1. Докторская диссертация А.М. Радькова “Научные основы тестирования в системе непрерывного обучения математике” посвящена разработке и реализации целостной концепции применения тестирования в системе непрерывного обучения математике и создания на ее основе методик составления и внедрения математических тестов, в сочетании с другими диагностико-дидактическими средствами, в общую структуру математического образования, в систему непрерывной подготовки учителя математики.

Автором установлено, что интеграция тестирования с традиционными формами контроля знаний и методами обучения математике способствовала созданию соответствующего учебно-методического обеспечения учебного процесса, в частности, подготовке методических реко-

мендаций по применению тестов и учебных пособий для школьников и студентов, в которых тесты занимают подобающее им место.

В целом исследование подтвердило гипотезу, что реализация функциональных возможностей тестирования обогащает содержание и методы как в школе, так и в вузе, активизирует познавательную деятельность учащихся, повышает качество обучения математике и способствует совершенствованию профессиональной подготовки учителя в системе непрерывного педагогического образования.

2. В диссертационном исследовании Н.М. Рогановского “Научно-методические основы конструирования учебника геометрии средней школы” на базе системного подхода рассматриваются методологические и содержательно-процессуальные основы конструирования учебника геометрии.

3. В монографии С.А. Гуцановича “Дидактическое основы математического развития учащихся” раскрываются фундаментальные основы и прикладные направления исследований по выявлению причинно-следственных связей математического развития учащихся средней и старшей ступеней обучения. Ученым описывается опытно-экспериментальная работа по созданию системы диагностико-коррекционных мероприятий по выявлению и развитию потенциальных возможностей подрастающего поколения в изучении математики. Публикации С.А. Гуцановича целесообразно использовать для решения проблемы математического развития учащихся в условиях дифференцированного обучения.

4. Интерес представляет исследование В.В. Шлыкова “Построение курса стереометрии на основе концепции дополнительности”. Автор учебников по геометрии для старших школьников, получивших одобрение широкой учительской и научной общественности, предложил новый подход к обучению учащихся стереометрии с помощью учебно-методического комплекса средств обучения, разработанного с учетом положений концепции дополнительности и методики развития пространственного мышления средствами графического моделирования, позволившими усовершенствовать процесс обучения учащихся стереометрии.

5. В диссертационном исследовании “Теория и методика самообучения учащихся решению задач углубленного курса математики с использованием современных информационных технологий” В.В. Казаченка создана организационно-методическая система управляемого самообучения учащихся углубленному курсу математики. Элементами этой интегрированной системы доуниверситетской ступени образования являются: а) структура управляемого самообучения углубленному курсу математики; б) содержание управляемого самообучения углубленному курсу математики и его использование в разработанном компьютерном уче-

бно-методическом комплексе; в) очно-заочная школа по математике и информатике.

Структура управляемого самообучения включает: целеполагающий, мотивационный, организационный, оценочный и рефлексивный компоненты; технологию, определяющую формы, средства и методы самообучения; уровни самообучения, к которым относятся предметно-содержательный, предметно-операционный и рефлексивный; а также подготовительный, интегрирующий и креативный этапы самообучения.

Разработана целостная методика управляемого самообучения учащихся решению задач углубленного курса математики в условиях современных информационных технологий, включающая: а) выявленные принципы самообучения; б) формы; в) требования к образовательному сайту; г) стили самообучения, реализуемые современными обучающими программами; д) методические аспекты составления диалога в среде дистанционного обучения; е) основные этапы методики формирования обобщенных приемов самообучения решению задач; ж) план решения задач, адаптированный к управляемому самообучению углубленному курсу математики; з) умения, специфические для самообучения углубленному курсу математики; и) пути совершенствования управления самообучением углубленному курсу математики.

Основными формами управляемого самообучения учащихся решению задач углубленного курса математики в условиях современных информационных технологий являются очно-дистанционная и заочно-дистанционная.

По второму направлению:

1. В последнее десятилетие успешно защищены докторские диссертации, где системный подход использовался белорусскими исследователями в теории и методике обучения математике студентов не только педагогических, но и технических вузов республики. В частности, исследование В.Г. Скатецкого “Научные основы профессиональной направленности преподавания математики студентам нематематических специальностей (на базе химического факультета университета)” имело целью теоретически обосновать профессиональную направленность преподавания математики, выделить и разработать дидактические основы и внедрить в практику работы учебно-методический комплекс, обеспечивающий современный уровень математического образования нематематических специальностей. Базисными элементами предложенной системы преподавания математики на химических факультетах университетов явились: двуединая задача методики преподавания математики, принцип фундаментальности и принцип профессиональной адаптации, а элементами - принцип пролонгации и принцип преемственности.

Данная система предназначена для разработки методических подходов, позволяющих преодолевать самоизолированность курса математики и обеспечивать его эффективную интеграцию с профилирующими дисциплинами данной специальности.

2. В исследовании Л.С. Шабеки “Геометрическое обеспечение целостной графической подготовки инженера (системно-конструктивный подход)” [156] дана теоретическая разработка и научно-практическое обоснование целостной графической подготовки специалиста в области техники. Автором разработана концепция графической подготовки инженера в системе непрерывного образования; построена ее структурно-функциональная модель; разработаны требования к обновлению содержания графической подготовки инженера.

Часть результатов относится к общей теории учебника. Разработанная автором концепция конструирования учебника геометрии была апробирована и подтверждена как теоретически так и экспериментально; выделены автором ключевые параметры учебника: основной учебный материал и логико-математическая система учебника совершенствовались при помощи выборочного применения математических методов. Предложена технология применения таких основных методов конструирования учебника как целевой, логико-математической и психолого-дидактической систематизации. Учебники геометрии, разработанные автором по данной технологии, внедрены в средние школы Республики Беларусь.

3. Эффективными в деле развития теории и методики обучения и воспитания школьников математике являются исследования К.О. Ананченко. Автор большого числа крупных научно-методических работ и учебников, он в монографии “Теоретические основы обучения алгебре в школах с углубленным изучением математики” изложил теоретические основы процесса обучения алгебре в школах с углубленным изучением математики; раскрыл методические основы формирования знаний, умений и навыков, опыта творческой деятельности и эмоционально-ценностных отношений.

4. Г.М. Булдык в исследовании “Формирование культуры экономиста в вузе” ставит цель разработать научно обоснованную методику формирования математической культуры экономиста в вузе и создать методический комплекс средств обучения, обеспечивающий необходимый уровень математического образования для осуществления профессиональной деятельности. В диссертации автором впервые предложена система формирования математической культуры экономиста с точки зрения основных положений теории педагогики, психологии, математики, логики и кибернетики.

По третьему направлению в нашем диссертационном исследовании “Формирование методической культуры учителя математики в педвузе” И.А. Новик разработала концепцию формирования методической культуры учителя математики в педагогическом вузе, которая предусматривала:

- целенаправленное обучение студентов методическим знаниям, умениям и навыкам с первого курса до выпускного;

- систематическое использование в учебном процессе органических связей математических и методических, психолого-педагогических и общественных дисциплин;

- внедрение в учебный процесс системы непрерывной методической подготовки студентов. (Была внедрена в Минском государственном педагогическом институте и оправдала себя.)

Была построена и апробирована реализующая данную концепцию система непрерывной методической подготовки студентов. Выделены цели новой системы, которые заключаются: в глубоком овладении студентами основными знаниями; в приобретении некоторого практического опыта их применения; в рациональном формировании методических умений и навыков.

Определены и конкретизированы понятия: методическая культура учителя математики, общие, специальные и конкретные методические умения. Сформулировано понятия методической готовности студентов к будущей работе. Выявлена последовательность формирования методической культуры выпускника. Педагогически обоснованы и выделены основные слагаемые методической культуры: знания, умения, черты характера и т.д.

Исследование специфики предмета методики преподавания математики позволило установить ее профильность, объективность, адаптивность, преемственность с изучением психолого-педагогических дисциплин.

В диссертационном исследовании О.И. Мельникова “Содержание и методика обучения дискретной математике в системе среднего и высшего образования” обоснованы концепция теоретических положений и построена модель определения содержания обучения дискретной математике, включающая социальный заказ системе непрерывного образования на основании внешних факторов и принципов определения содержания, классифицированных по трем группам: а) определяющие содержание в связи с потребностями будущей деятельности обучаемых; б) определяющие содержание в связи с процессом передачи знаний; в) определяющие единство и целостность содержания в процессе обучения.

Разработано содержание обучения дискретной математике на всех его этапах. На довузовских этапах оно выходит за рамки программ для

базового и повышенного уровней, предполагает более глубокое ознакомление как с теоретическими вопросами, так и алгоритмическими аспектами, допускает вариативность в реализации и обеспечивает одновременную реализацию функций обучения. В содержание школьного обучения входят кроме определенных программам по математике и информатике действий над целыми и рациональными числами, прогрессий, элементов комбинаторики и теории вероятностей, структур данных, алгоритмов на графах и т. д. также вопросы, рекомендованные для изучения на факультативах по выбору: линейное и динамическое программирование, теория расписаний, метод ветвей и границ, принцип “разделяй и властвуй”, рекурсия и т.д.

Названные работы являются теоретическим обобщением имеющихся психолого-педагогических, научно-методических исследований, собственного опыта авторов. В них найдены новые решения научных проблем в области теории и методики обучения математике, имеющей народнохозяйственное и социокультурное значение.

Актуализируется проблема дифференциации обучения студентов. В большинстве стран обучение математике студентов вузов дифференцировано. Накоплен значительный положительный опыт и в Республике Беларусь. Наиболее важными и нерешенными проблемами дифференциации во всех странах мира остаются следующие:

- создание условий для достижения единого высокого уровня образованности, который приобретается студентами при различных специализациях;

- разработка методов определения уровня интеллекта обучаемого;

- разработка методики дифференцированного обучения студентов, поступивших из городских и сельских школ.

Реформа средней общеобразовательной школы, реформа высшей школы, а также многолетний опыт работы в высшем учебном заведении убеждают нас в необходимости проведения глубоких исследований по следующим перспективным направлениям теории обучения математике и физике в педагогическом вузе:

- выявление специфики подготовки магистров и определение диапазона их использования в системе образования республики;

- содержание магистерской подготовки (блоки дисциплин, объем учебной нагрузки, соотношение учебных предметов, последовательность, объем, новизна и перспективность дисциплин по выбору);

- разработка и внедрение электронных учебно-методических комплексов обучения математике, физике и информатике, реализующих профессиональную направленность преподавания этих курсов в вузе;

- разработка инновационных технологий профессионального образования учителя математики (физики и информатики): принципы применения, вариативность, профилирование;

- создание интегрированных курсов, реализация междисциплинарных связей предметов, влияющих на становление специалиста;

- построение единой программы специальности, объединяющей в единое целое специальные математические, методические, общепедагогические, общепсихологические и общенаучные дисциплины;

- разработка системы психолого-дидактических закономерностей формирования профессиональных умений и навыков в процессе изучения физико-математических дисциплин и выявление закономерностей усвоения учебного материала по физико-математическим дисциплинам в вузе;

- использование новых информационных технологий в обучении студентов общеобразовательным и специальным предметам в вузе.

По многим из указанных направлений проходят исследования в нашей республике.

Библиографический список

1. Наглядное моделирование в обучении математике: теория и практика: Учебное пособие / Под ред. Е.И. Смирнова. Ярославль: ИПК “Индиго”, 2007. 454 с.

Новые образовательные технологии в высшем профессиональном образовании

В.А. Кузнецова, В.С. Кузнецов, В.С. Сенашенко

Одним из основных противоречий современного образования является противоречие между возросшими требованиями государства и общества, предъявляемыми к выпускникам высших учебных заведений, и реальным снижением качества образования.

Решение проблемы видится, с одной стороны, в диверсификации содержания и структуры образовательно-профессиональных программ, а, с другой, - в разработке и формировании новых образовательных технологий. Список последних достаточно велик и включает как общепризнанные, широко распространенные технологии, такие, как, например, компьютерные, дистанционные, которые при достаточной технической оснащенности могут быть легко переносимы из одного образовательного учреждения в другое и приняты на вооружение большим количеством

преподавателей, и технологии иного типа, жестко связанные с личностными особенностями автора, их применяющего. К таким технологиям можно отнести, например, активные формы обучения, где результат во многом зависит не только от узкопрофессиональных компетенций преподавателя, но и от его организационных, коммуникативных свойств.

Среди мер, направленных на повышение эффективности учебного процесса, введение системы зачетных единиц (кредитов) может стать образовательной технологией, способствующей развитию академической мобильности и выступающей в качестве инструмента проектирования учебного процесса, ориентированного на построение индивидуальных образовательных траекторий студента. Введение системы зачетных единиц предполагается осуществить во всех вузах страны, однако эта технология окажется успешной только в том случае, если она будет воспринята всем педагогическим сообществом высшей школы, а это потребует не только глубоких теоретических исследований, но и наличия соответствующей информации и популяризации.

При этом заметим, что, если появление большинства технологий является результатом движения “снизу”, от преподавательского корпуса и практиков-разработчиков к органам управления образованием, то введение системы зачетных единиц осуществляется в противоположном направлении, зачетные единицы привносятся в вузы “сверху”, без внутренних потребностей самой образовательной системы, за исключением тех немногих вузов, которые реально участвуют в решении задачи мобильности студентов.

Ниже рассмотрим вопросы, касающиеся зачетных единиц и возможных путей их превращения в инновационную образовательную технологию.

В 2003 году Россия подписала Болонскую декларацию, подключившись тем самым к процессам образовательной интеграции на европейском континенте. Одной из важнейших задач, которую предстоит решить российской высшей школе, является переход к выражению трудоёмкости обучения в зачетных единицах. Полномасштабное внедрение этой системы требует глубокого теоретического исследования, всестороннего осмысления и формирования возможных подходов к её реализации в условиях российской высшей школы. Требуется разработать научно обоснованную стратегию, позволяющую построить оптимальный алгоритм введения системы зачётных единиц (в рамках страны, региона, вуза).

Россия, как и другие европейские страны, присоединившиеся к Болонской декларации, ориентируется на использование зачётных единиц, размерность, количество и назначение которых определяется докумен-

том “Европейская система перевода и накопления кредитов” (ECTS) [1, 2]. Она основана на том принципе, что 60 кредитов соответствуют учебной нагрузке (объёму учебной работы) студента дневной формы обучения в течение одного учебного года. Сюда входят все запланированные виды учебной деятельности: посещение лекций, семинаров, лабораторных занятий, выполнение самостоятельной работы, подготовка курсовых и дипломных проектов, сдачи экзаменов и т.д. Если принять во внимание данные по загрузке студентов во многих европейских университетах, то получим, что одному кредиту (зачётной единице) соответствует примерно 25-30 рабочих часов. На практике трудоёмкость может варьироваться в зависимости от особенностей графика учебного процесса в данном вузе, профиля подготовки, специальности и т.д.

Широкомасштабное введение системы зачетных единиц в процессе последующего развития кардинально преобразует как систему высшей школы, так и ее участников. Для сохранения и развития лучших традиций отечественного высшего образования и повышения его качества важен подход, при котором во главу угла ставится не просто построение концепции и конкретного алгоритма введения системы зачётных единиц, обеспечивающей академическую мобильность студентов и выпускников Российской высшей школы, а такой системы, которая способствует повышению качества образования (в процессуальном и результативном аспектах). В этом случае система зачётных единиц превращается в содержательно новую образовательную технологию, служащую для достижения более значимой цели.

В настоящее время бытуют различные и даже полярные точки зрения на систему зачётных единиц. Одни рассматривают её как универсальный механизм для обеспечения качественного образования, другие считают, что переход к системе зачётных единиц есть простой переход к новой масштабной единице, сводящийся к арифметическому пересчёту академических часов из Государственных образовательных стандартов в зачётные единицы. Следует заметить, что на первых порах достаточно провести пересчет трудоемкости образовательно-профессиональных программ на основе нормативных и рекомендательных документов Министерства образования и науки РФ [3], с тем, чтобы действующая система стала более понятной нашим партнерам по международному сотрудничеству. В рекомендациях одна зачетная единица соответствует 36 академическим часам общей трудоемкости, недельная нагрузка студента (включая и недели практики и итоговой аттестации) составляет 1,5 зачетной единицы. Чтобы получить количество зачетных единиц, приходящихся на дисциплину, надо ее трудоемкость, обозначенную в Госстандарте -2, разделить на 36 и прибавить число зачетных единиц, равное

количеству семестровых экзаменов, имеющихся по дисциплине, поскольку каждый экзамен выражается одной зачетной единицей. Округление производится с точностью до 0,5.

Несколько иной подход для пересчёта в зачётных единиц программ Госстандарта-2 представлен в работе [1]. Суть этого метода (названного авторами долевым) сводится к следующему: к суммарной трудоёмкости для бакалавра добавляются часы, отводимые на экзамены (каждый экзамен оценивается обычно в 36 часов), полученная сумма делится на 240 и получается долевой вес одной зачётной единицы, затем делением количества академических часов, выражающих трудоемкость дисциплины в ГОС-2, на долевой вес зачетной единицы получаем число зачётных единиц, приходящихся на данную дисциплину. Аналогично считается доля любого элемента образовательно-профессиональной программы. Полученные дробные значения округляются до целых при условии, что сумма зачётных единиц по всем элементам учебного плана остаётся равной 240 зачетным единицам. Отметим, что нет гарантии того, что полученные студентом зачетные единицы в одном университете будут перезачтены в другом. Согласно документам ECTS, конкретные условия перезачёта кредитов между университетами определяются Учебным соглашением - документом, подписываемым направляющим и принимающим университетом и студентом. Немаловажную роль играет рейтинг и имидж учебного заведения, в котором обучался студент.

Достаточно распространённой является точка зрения, согласно которой система зачётных единиц безразлична по отношению к качеству образования и никак с ним не связана. Однако мы считаем, что переход на систему кредитных единиц может быть оправдан, если он ведет к повышению качества и системности образования. Поскольку критерием качества в определенной степени является Госстандарт и Перечень направлений высшего профессионального образования как его неотъемлемая часть, то в каждой специальности и направлении должно быть выделено “ядро” дисциплин, входящих в базовую, инвариантную компоненту образовательного стандарта, освоение которых в зачётных единицах оценивается единообразно во всех однотипных вузах. При этом оценка качества освоения дисциплины как мера соответствия Госстандарту должна быть абсолютной. В проекте TUNING (настройка образовательных структур) предлагается под “ядро” выделить в бакалавриате 50% общего количества кредитов и 15 кредитов - для квалификационной выпускной работы [4].

Зачётные единицы по дисциплинам, не вошедшим в “ядро”, могут устанавливаться вузом по собственным методикам, что обеспечит вузам некоторую свободу и возможность учитывать свои особенности и цели.

Следовательно, актуализуется необходимость исследования роли зачетных единиц в системе высшей школы и собственных методик подсчета трудоемкости дисциплин в зачетных единицах, адекватных соответствующему пониманию их значимости. Заметим, что рейтинг вуза, который окончил молодой специалист, всегда учитывался при приёме на работу, с развитием рыночных отношений эта тенденция будет только усиливаться, поэтому право установления “стоимости” зачётной единицы естественно предоставлять самому вузу.

По нашему мнению, для превращения системы зачетных единиц в инструмент повышения качества подсчет трудоемкости образовательно-профессиональных программ, отдельных дисциплин и разных видов учебной деятельности не должен быть формальным и в нем следует учитывать целый набор параметров. В качестве примера приведем одну из авторских методик подсчета трудоёмкости дисциплины и образовательной программы [5], в которой учитываются следующие параметры:

- реальный объём аудиторных часов;

- виды аудиторных занятий и их весовые коэффициенты, отражающие значимость и трудоёмкость дисциплины;

- объём самостоятельной работы, сопровождаемый соответствующими данной дисциплине весовыми коэффициентами;

- время, затрачиваемое студентом на подготовку к каждому экзамену и зачёту;

- практику;

- трудозатраты на итоговую аттестацию (подготовку квалификационной работы).

Сначала факультет совместно с учебным управлением (учебной частью) вуза составляет пятилетний рабочий план данной специальности или направления с реальным распределением часов аудиторных занятий по лекциям, практическим (семинарским), лабораторным занятиям и часы индивидуальной работы с преподавателем. При этом учитываются требования Госстандарта, возможности и пожелания факультета и кафедр.

Введем следующие обозначения: пусть индекс 1 соответствует лекциям (например, 1\ - число часов лекционных занятий), индексы 2 и 3 относятся, соответственно, к практическим (семинарским) и лабораторным занятиям, индекс 4 обозначает индивидуальные занятия под руководством преподавателя. После того, как определены объемы часов по лекциям, практическим занятиям (семинарам), лабораторным занятиям, индивидуальной работе преподавателя со студентом, то есть соответственно, Ti, Т2, Т3, Т4, начинается подбор весовых коэффициентов ai (г = 1,2,3,4), указывающих на степень важности каждого из

этих видов учебных занятий. Как правило, сумма произведений ^ не должна существенно отличаться от суммарного числа аудиторных часов, выделенных на дисциплину. Самостоятельная работа студента распределяется между видами аудиторных занятий с учетом того, что в целом она должна составлять приблизительно 1/3-1/2 от суммарной трудоемкости. Пусть mi - часы (или их доли) самостоятельной работы, которые требуются студенту при подготовке к одному часу аудиторных занятий соответствующего вида, ßi - соответственно, весовые коэффициенты, отражающие важность каждого вида самостоятельной работы. Конкретные численные значения ai и ßi определяются на основании опроса студентов, экспертных оценок и опыта преподавателей. Поскольку степень важности того или иного вида учебных занятий может не совпадать с коэффициентом важности соответствующего вида самостоятельной работы, то коэффициенты ßi могут отличаться от соответствующих коэффициентов а*. Тогда количество зачётных единиц по дисциплине Z имеет следующий вид:

где S - количество зачётных единиц, отводимых на зачёт или экзамен. Дробные значения округляются до целых при условии, что сумма зачётных единиц по всем элементам учебного плана за год остаётся равной 60 единицам.

Полученные значения трудоёмкости дисциплины в зачётных единицах целесообразно затем обсудить на кафедре, в деканате и утвердить советом факультета (университета).

В настоящее время в современных публикациях и рекомендательных документах, отражающих в основном стремление приблизиться к ECTS, подчеркивается, что не должно быть привязки зачетных единиц, получаемых обучающимся, к успешности его учебных достижений. Однако, в действительности, можно указать несколько приемов, позволяющих учитывать успеваемость. При этом окончательный результат по освоению, например, образовательной программы бакалавриата можно сделать колеблющимся от 240 единиц до 245 единиц. В этом случае число зачетных единиц мгновенно выдает информацию об уровне учебных достижений бакалавра. Особенно целесообразно учитывать качество освоения учебного материала в системе дополнительного профессионального образования, в подавляющем большинстве программ которого присутствуют в основном зачеты. Между тем работодателю важно, знать,

например, что соответствующая программа была освоена с проявлением творческого подхода. Достаточно подробно подсчеты трудоемкости в зачетных единицах отдельных программ и дисциплин с учетом уровня учебных достижений представлены в [5, 6, 7].

Увязывание зачётных единиц с качеством освоения образовательной программы также можно осуществлять, не закладывая оценки учебных достижений, например, по дисциплине, в численное значение зачётных единиц. Достаточно присваивать соответствующее количество зачётных единиц по дисциплине только в том случае, когда студент набрал определённое число баллов, в подсчёт которых входит объём самостоятельной работы (с соответствующими весовыми коэффициентами) и дополнительные критерии, устанавливаемые преподавателем (например, освоение на определённом уровне некоторых отдельных модулей, типов задач и т.д.).

При таких подходах система зачетных единиц действительно превращается в инновационную технологию, направленную на повышение качества, а их роль не сводится к измерению академической нагрузки в более крупных единицах по сравнению с академическим часом. Их использование в учебном процессе имеет широкое назначение. Так, зачетные единицы позволяют:

- учитывать для данной дисциплины относительную значимость занятий различного вида: лекционных, семинарских, лабораторных и др.;

- определять значимость той или иной дисциплины, изучаемой студентом, и ее относительный вклад в средний балл, получаемый им по окончанию определённого периода обучения;

- ранжировать студентов по итогам обучения и устанавливать индивидуальный рейтинг каждого из них.

Кроме того, на основе исследования проблемы обеспечения качества образования, адекватного заявленным требованиям потребителя, можно утверждать, что система зачетных единиц может выступать как эффективный механизм количественного сопоставления требований к уровню и содержанию подготовки студентов. Ее реальные и потенциальные возможности распространяются на многие аспекты организации и структуры обучения и, в частности, предполагают:

- повышение оперативности и обоснованности контроля успешности учебных достижений студента и их промежуточной аттестации;

- расширение возможностей получения междисциплинарного образования;

- упрощение организационного сопровождения перехода на индивидуальные формы обучения;

- сокращение числа параллельно читаемых курсов для малых студенческих аудиторий и оптимизацию численности учебных потоков;

- высвобождение средств, которые могут быть использованы для повышения оплаты труда преподавателей;

- расширение академической мобильности и увеличение возможностей привлечения иностранных учащихся в отечественные вузы;

- создание благоприятных условий для более широкого применения в учебном процессе современных образовательных технологий.

Однако процесс введения зачетных единиц должен быть эволюционным, поэтапным и контролируемым. В противном случае возможны негативные последствия. При поспешных, недостаточно взвешенных подходах возможными потенциальными издержками введения системы зачетных единиц могут стать: мозаичность обучения и утрата целостности отечественного образования; разрушение системы специализаций; разрушение сложившейся кафедральной структуры (выпускающих кафедр); появление неэффективных форм организации научной работы студентов; проблема производственных практик; проблема занятости преподавателей и их психолого-педагогическая неподготовленность к своей новой роли в образовательном процессе: переход с позиции лектора на позицию консультанта, внешняя оценка значимости читаемого курса, создание нового учебно-методического сопровождения, изменение характера оплаты труда и т.д.

Важно иметь в виду, что система зачетных единиц ориентирована главным образом на добротное, но репродуктивное освоение образовательной программы. Научность отступает на второй план и представляет предмет особой заботы. Переход на переводную систему зачетных единиц таит угрозу разрушения существующих устойчивых научно-исследовательских связей студентов с преподавателями и форм участия студентов в научно-исследовательской работе кафедр. Полномасштабное применение зачетных единиц и переход к асинхронной организации учебного процесса потребуют и от студента изменение его психологических установок с позиции “я - обучаемый” на позицию “я - обучающийся”, ориентацию на формирование индивидуальной образовательной траектории и интенсивную самостоятельную работу.

Говоря о возможной роли зачетных единиц в решении проблемы качества образования, заметим, что об оценке успеваемости студента как важной составляющей системы зачетных единиц указывалось также в [1, 6]. В [1] была представлена формула для вычисления общего среднего показателя успеваемости как отношения суммы произведений отметок и зачетных единиц изученных дисциплин к сумме зачетных единиц по совокупности изученных дисциплин. Хотя выражение общего коэффи-

циента успеваемости через зачетные единицы еще не означает их прямого широкого использования, но опосредованно этот факт указывает на возможную роль зачетных единиц в разрешении проблемы качества образования.

В заключение подчеркнем, что введение системы зачетных единиц в отечественных вузах следует рассматривать, прежде всего, с позиций фундаментальности, научности, системности и практической направленности, являвшихся основными достоинствами российской высшей школы.

Библиографический список

1. Бадарч Д., Сазонов Б.А. Актуальные вопросы интернациональной гармонизации образовательных систем. Москва: Бюро Юнеско в Москве; ТЕИС, 2007. - 190 с.

2. “Мягкий путь” вхождения российских вузов в Болонский процесс /Под ред. А.Ю. Мельвиль, М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2005. - 352 с.

3. Методика расчёта трудоёмкости основных образовательных программ высшего профессионального образования в зачётных единицах: Информационное письмо Минобразования России от 28 ноября 2002 года № 14-52-988ин/13 // Интернет: Сайт Государственного НИИ информационных технологий и телекоммуникаций http://www.informika.ru

4. Болонский процесс: поиск общности европейских систем высшего образования (Проект TUNING) / Под научной ред. В.И. Байденко. -М.: Исследовательский центр проблем качества подготовки специалистов, 2006. - 211 с.

5. Кузнецова В.А. О методике подсчёта трудоёмкости образовательно-профессиональных программ в зачётных единицах //Материалы к Всероссийскому совещанию “Проблемы введения системы зачётных единиц в высшем профессиональном образовании”. 23 апреля 2003 года, г. Москва / Под. ред. В.Н. Чистохвалова. - М.: Изд-во РУДН, 2003. С. 37-40.

6. Кузнецова В.А., Кузнецов В.С., Сенашенко В.С. Система зачётных единиц и возможные варианты её применения // Межвузовский сборник “Проблемы высшего технического образования: Опыт внедрения системы зачётных единиц в учебный процесс”. № 2(27), Новосибирский гос. технический университет, Новосибирск, 2004. С. 67-73.

7. Кузнецова В.А., Кузнецов В.С. Система зачетных единиц и её применение в дополнительном профессиональном образовании в ву-

зе //Материалы межвузовской научно-методической конф. “Проблемы введения системы зачётных единиц в вузе”, Госуниверситет ВШЭ, 2004; М.: 2005.

Натуральные уравнения кривых в среде Mathematica

Т.В. Капустина

Внедрение новых информационных технологий в образование должно привести к существенной перестройке учебного процесса. Необходимым условием для этого является разработка методического обеспечения использования вычислительной техники на всех уровнях образования, с целью реализации личностно-ориентированного подхода к обучению.

Одними из новых инструментальных средств в научных исследованиях по математике и в обучении математике являются компьютерные математические системы Mathematica и Maple, которые можно считать полноценными компьютерными предметными (математическими) средами. Благодаря широчайшим возможностям численных, символьных, графических вычислений и наличию языка программирования высокого уровня, эти компьютерные системы всё больше входят в практику обучения математике в вузах не только за рубежом, но и в нашей стране. Этот объективно существующий процесс в наших вузах происходит полустихийно; несмотря на введение в программу физико-математических специальностей педагогических вузов курса “<Информационные технологии в математике”>, который знакомит студентов с основами работы в вышеозначенных компьютерных математических средах, преподавательское сообщество в своём подавляющем большинстве не спешит перестраивать свою работу. Здесь сказывается не только инертность преподавателей старшего поколения, но и почти полное отсутствие методических разработок по применению компьютерных математических систем в обучении математике.

Остановимся на аспекте влияния новых информационных технологий на содержание обучения математике. Обоюдный процесс взаимовлияния содержания математических курсов и возможностей компьютерных математических систем вначале протекал практически в одном направлении: содержание современной математики обусловило разработку соответствующей библиотеки встроенных функций в компьютерных математических средах. Наступила пора осмыслить и осуществить и обратный процесс: наличие широчайших вычислительных возможностей в сочетании с программированием высокого уровня (а значит до-

ступного даже не слишком искушённым в программировании пользователям) может и должно оказать влияние на содержание программ по математике в плане сокращения учебного времени на выполнение рутинных преобразований и переноса акцента на содержательные задачи, многие из которых ранее не входили в учебные программы ввиду громоздкости содержащихся в них вычислений или даже невозможности их выполнения в “<ручном”> режиме. Один из ярких примеров таких задач мы и приводим в этой заметке.

В курсе классической дифференциальной геометрии рассматривается теоретический вопрос “< Натуральные уравнения кривых”>, суть которого в том, что уравнения к = к (s) и м — >c(s), выражающие зависимость кривизны и кручения кривой от натурального параметра, определяют кривую с точностью до положения в пространстве. Имеются задачи на составление натуральных уравнений кривых, которые сводятся к вычислению кривизны, кручения и длины дуги кривой, заданной в произвольной параметризации, в виде функций параметра кривой. А вот задачи на восстановление параметрических уравнений кривой по заданным натуральным уравнениям не рассматриваются, так как их решение связано с интегрированием систем дифференциальных уравнений второго порядка относительно нескольких неизвестных функций одного аргумента (четырёх в случае плоской кривой и девяти - для пространственной кривой). Применение среды Mathematica позволяет включать такие задачи в учебный курс. При этом используется язык программирования среды Mathematica; при составлении программы наиболее полно выявляется роль такого чисто теоретического объекта, как формулы Френе (что способствует лучшему пониманию и усвоению теории).

Приведём программу для нахождения параметрических уравнений (в натуральной параметризации) плоской кривой, заданной натуральным уравнением к = k(s), которая составлена в функциональном стиле (определяет внешнюю функцию trace). В ней реализуются формулы Френе для плоских кривых

Система дифференциальных уравнений второго порядка относительно x(s), у (s) - координат радиуса-вектора произвольной точки кривой, а также /(s), m(s) - координат единичного вектора нормали v) решается приближённо, ответ даётся в виде интерполяционных функций (затабулированных функций, которые можно использовать совершенно так же,

как и функции, заданные в формульном виде). (Программу для точного решения также можно рассмотреть, она отличается от приведённой программы только тем, что вместо встроенной функции NDSolve приближённого решения системы дифференциальных уравнений используется DSolve - встроенная функция точного решения такой системы; излишне отмечать, что точное решение доступно лишь в самых простых случаях. Здесь уместно было бы порассуждать о стирании грани между понятиями “<точное решение”> и “<приближённое решение”> для задачи Коши, то есть о методологической роли уникального объекта '^интерполяционная функция"> [1].)

Внешняя функция trace применяется к нахождению параметрических уравнений х = x(s), у = у (s) кривой с натуральным уравнением к = s2 sin s; эта зависимость кривизны от натурального параметра задаётся в виде так называемой чистой функции:

Решения получены в виде интерполяционных функций.

Далее составим программу для построения изображения найденной кривой (внешняя функция plottrace); она независима от предыдущей программы и может быть использована самостоятельно. Построение изображения кривой осуществляется с помощью встроенной функции ParametricPlot.

Внешняя функция plottrace применяется к построению кривой с натуральным уравнением к = s sins (вывод - рис. 1):

Рис. 1. Изображение кривой с натуральным уравнением к = s2 sin s

Программы для нахождения параметрических уравнений (в натуральной параметризации) пространственной кривой, заданной натуральными уравнениями к = k(s), м = >zr(s), и для её визуализации составляются аналогично предыдущим (определяют внешние функции trace3D и plottrace3D). В них реализуются формулы Френе для пространственных кривых

В каждой из этих программ содержится приближённое решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений второго порядка относительно x(s), у (s), z(s) - координат радиуса-вектора произвольной точки кривой, /(s), ra(s), n(s) - координат единичного вектора нормали V, а также rj(s), Ç(s) - координат единичного вектора бинормали ß. Приведём программу для построения изображения пространственной

кривой, заданной натуральными уравнениями:

Пример действия этой программы - визуализация кривой с натуральными уравнениями к = s + sins, н — s/2 (рис. 2):

Рис. 2. Кривая с натуральными уравнениями к = s + sins, м = s/2

Библиографический список

1. Капустина Т. В. Методологические аспекты использования компьютерной системы Mathematica в обучении / Т.В. Капустина // Проблемы и перспективы информатизации математического образования (труды школы-семинара, Елабуга, 4-6 октября 2004 г.) - Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2004. - С. 10-24.

2. Мантуров О.В. Mathematica (3.0-5.0) и её роль в изучении математики / О.В. Мантуров // Проблемы и перспективы информатизации математического образования (труды школы-семинара, Елабуга, 4-6 октября 2004 г.) - Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2004. - С. 3-10.

Установление преемственных связей школьного и вузовского математического образования посредством элективных математических курсов при вузе

М.В. Шабанова

Проблема преемственности школьного и вузовского математического образования сегодня остра как никогда. Введение ЕГЭ по математике не снизило ее остроты, а лишь изменило форму ее проявления. Раньше она проявлялась в несоответствии результатов общеобразовательной математической подготовки требованиям вступительных испытаний вузов, а теперь - в неготовности начинающих студентов к продолжению математического образования в вузе. Задачу подготовки будущих абитуриентов к продолжению математического образования раньше успешно решали подготовительные курсы при вузах, и, что скрывать, репетиторы - вузовские преподаватели. Необходимость сдачи вступительных испытаний приводила школьников в стены Alma mother задолго до начала работы приемных комиссий. Занимаясь на подготовительных курсах или у репетиторов, они имели возможность показать свои математические способности, познакомиться с вузовскими преподавателями, стилем их работы, больше узнать о студенческой жизни и будущей профессии. Введение ЕГЭ не привело к самоликвидации практики репетиторства, не избавило школьников от необходимости посещать подготовительные курсы, а лишь перенесло практику дополнительной математической подготовки в стены школы. Подготовительные курсы имеются теперь в каждой школе и выполняют лишь одну функцию - повышение рейтинга школы за счет увеличения доли выпускников, готовых к сдаче ЕГЭ хотя бы

на “4”. Когда наиболее талантливые ученики обнаруживают несоответствие результатов обучения на таких курсах их потребностям, бывает уже очень поздно. Они идут к репетиторам, которые спешно “натаскивают” выпускников на решение задач третьей части ЕГЭ.

Как же вернуть влияние вузов на качество математической подготовки выпускников общеобразовательных школ?

По-видимому, вузам остается лишь один путь - использование возможностей сетевой модели профильного обучения, которая предусмотрена действующими нормативными документами [1]. Сетевое взаимодействие математического факультета Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова со школами Архангельска и Архангельской области позволяет решать задачу преемственности школьного и вузовского математического образования за счет использования следующих форм работы:

- разработка элективных курсов по математике и проведение их вузовскими преподавателями, как на базе университета, так и школ города и области;

- руководство научно-исследовательской деятельностью школьников по математике, подготовка их к участию в конкурсах исследовательских работ и к научным конференциям школьников разного уровня;

- подготовка учащихся к участию в олимпиадах разного уровня;

- проведение конкурсов исследовательских работ и олимпиад по математике для школьников.

Остановимся более подробно на первом из указанных выше направлений работы. Элективные математические курсы, реализуемые в системе “школы - вуз” позволяют решать проблему преемственности не только за счет профориентационной работы и пропедевтики вузовской математики, но и за счет создания условий обучения, приближенных к вузовским. На решение проблемы преемственности в рамках таких курсов работают как содержательно-структурная, так и процессуально-функциональная стороны методической системы. Проведение таких курсов требует постоянного взаимодействия школьных учителей математики и вузовского преподавателя с целью обмена мнениями, опытом, информацией о трудностях и успехах учащихся.

При разработке своих курсов мы исходим из потребности решения проблемы преемственности в четырех основных аспектах - целевом, содержательном, организационном, методологическом - за счет

- сближения требования к уровню подготовки выпускников школ и абитуриентов вуза, их профориентация;

- установления содержательных связей школьного и вузовского курсов математики за счет использования возможностей “сквозных” вопросов школьной и вузовской математики;

- подготовки учащихся к изменению организационных форм учебной работы, к самообучению;

- подготовки их к изменению методологической формы учебно-познавательной математической деятельности.

В зависимости от особенностей решения проблемы преемственности в ее целевом аспекте все элективные курсы, предлагаемые школьникам [2], можно условно разделить на два основных вида: поддерживающие и специализирующие.

Поддерживающие элективные курсы имеют основной целью повысить общий уровень математической подготовки учащихся до соответствия требованиям, предъявляемым к математической деятельности студентов вуза (см. схему 1).

Схема 1. Особенности содержания поддерживающих элективных курсов

Тематика таких курсов определяется исходя из видов конкурсных задач, повышение уровня сформированности умений решать которые связано с переходом к новой методологической форме учебного математического познания, характерной для вуза. Примеры таких видов задач представлены в таблице 1.

Таблица 1

Примеры различия требования к уровню сформированности умения решать задачи в школе и вузе

Виды конкурсных задач

Школьные требования

Вузовские требования

Решение уравнений и неравенств методом преобразований

Умение правильно воспроизводить типовую последовательность преобразований, установленную для уравнения (неравенства) известного вида

Умение самостоятельно определять последовательность преобразований, которая позволяет свести задачу к известной задаче (или к системе, совокупности известных задач). Умение контролировать равносильность всех преобразований. Умение аргументировать целесообразность и равносильность преобразований ссылкой на теоремы алгебры и законы логики предикатов

Исследование свойств классов функций

Умение получать выводы о сохранении и варьировании свойств функций, входящих в класс, на основе результатов численного и конструктивного эксперимента, “чтения” графика функции

Умение получать выводы о сохранении и варьировании свойств функций, входящих в класс в результате обобщенного аналитического исследования, опирающегося на определения свойств функций, теоремы о сохранении, признаки, основанные на понятии производной, знаний о свойствах элементарных функций

Повышение уровня сформированности умений решать конкурсные задачи осуществляется за счет формирования готовности учащихся к саморегуляции этой деятельности. Ведущим элементом содержания таких курсов является методологическая составляющая. В соответствии с теоретической моделью системы саморегуляции деятельности, разработанной А.О. Конопкиным [3], она складывается из сведений, формирующих знания учащихся о целях, значимых условиях и методах решения задач данного вида, а также представления о нормах оценки успешности этой деятельности, способах проверки и корректировки решения. В качестве распределения методологической и предметной составляющих содержания в элективных курсах этого вида можно привести программу элективного курса “Задачи на исследование свойств классов функций” (см. таблицу 2).

Таблица 2

Программа элективного курса для учащихся 11 класса “Задачи на исследование свойств классов функций”

Элементы саморегуляции

Содержание основных составляющих курса

Методологическая

Предметная

Знания о целях

Знание о видах целей исследования: формулировка утверждений о новых общих свойствах класса, выделение подкласса, обладающего указанными свойствами; формулировка утверждений о характере изменения свойств функций, входящих в класс, от значений параметров

Знания понятий: функция, ее характеристики и свойства. Знания понятий, которые используются при формулировке дополнительных условий, накладываемых на свойства функций

Знания о значимых условиях достижения целей

Знания понятия “обобщенная формула”, различия в условных обозначениях переменных и параметров. Внешние признаки, определяющие выбор метода решения задачи. Эвристики перевода требований задачи с языка решения уравнений и неравенств с параметрами на язык перечня классов функций и обратно

Знания видов обобщенных формул, задающих классы основных элементарных функций. Знания о видах арифметических действий над функциями, композиции функций

Знания о методах

Знания о методах исследования свойств классов функций: сведение к задачам на решение уравнений и неравенств с параметром; сведение к известному классу функций и его разновидности (подведение под класс функций, перебор известных классов); использование теорем о сохранении свойств. Формирование знаний о вспомогательной роли метода использования теорем о сохранении. Знания о связи задач на исследование свойств классов функций со следующими функционально-графическими методами решения уравнений и неравенств с параметрами: метод оценки, догадки, сужения, перебора, интервалов, исключения

Определения свойств функций. Свойства основных элементарных функций. Теоремы о сохранении свойств комбинацией функций. Признаки, основанные на производной

Знания о критериях оценки результатов

Знаний о видах результатов решения задач на исследование свойств классов функций: утверждение об общем свойстве функций, входящих в класс, утверждения о характере изменения свойств в зависимости от значений параметров, утверждение о виде подкласса функций, обладающего заданным свойством. Знания понятий, использующихся при описании результата: класс функций, подкласс, контрольные значения параметра. Знания о роли метода классификации в оценке результатов исследования. Знания о возможностях опытной проверки результата. Знание вспомогательных средств контроля: ключевые вопросы, параллельность записи альтернатив, контрольная прямая

Знания о направлениях коррекции результатов

Признаки необходимости коррекции: пропуск допустимых значений параметра, нарушение свойств классификации множеств, наличие контрпримера, пропуск альтернатив. Направления коррекции: замена метода, описание хода решения, результата, переформулировка условия

Таблица 2 показывает, что содержанием курса не предусматривается целенаправленного развития знаний учащихся о математических положениях, составляющих теоретический базис решения задач. Для формирования готовности учащихся к саморегуляции деятельности исследования свойств классов элементарных функции, достаточно обобщающего повторения известных учащимся теоретических вопросов, относящихся к содержанию функциональной линии школьного курса математики. Предметная составляющая имеет целью восполнение возможных пробелов в математических знаний учащихся, определяемых различиями программ базового курса.

Специализирующие элективные курсы имеют целью формирование представлений о будущей профессиональной математической деятельности за счет включения учащихся в “квазипрофессиональную” деятельность (особую проекцию профессиональной деятельности на учебную по определению А.А. Вербицкого [4]) на материале, предоставляемом “сквозными” вопросами школьной и вузовской математики (см. схему 2).

Схема 2. Особенности содержания специализирующих элективных курсов

Тематика специализирующих курсов определяется как исходя из содержания “сквозных” вопросов школьного и вузовского математического образования, так и исходя из видов профессиональной математической деятельности (использование математики для решения нематематических проблем, развитие математической теории, систематизация и оценка результатов математического творчества). Ярким примером элективного курса этого вида является “Введение в статистические исследования” [5]. Он адресован учащимся 11 классов. Особенностью этого курса является то, что развитие статистических знаний учащихся осуществляется в контексте обсуждения следующих профессионально значимых вопросов: в какой мере стоит доверять выводам, подкрепленным статистическими сведениями, как их использовать, как распознать “статистический” обман, как правильно осуществлять обработку статистических данных и делать выводы, какие требования предъявляются к сбору статистических данных?

Рассмотрим в качестве примера ситуацию использования контекста профессиональной деятельности для раскрытия связи между характеристиками статистического ряда распределения случайной величины и вероятностного закона распределения.

После изучения средних характеристик статистического ряда распределения случайной величины учащимся демонстрируется пример использования этих знаний для планирования процессов с заранее заданными характеристиками (см. пример 1).

Пример 1. В книжном магазине для проведения беспроигрышной лотереи, приуроченной ко Дню знаний, изготовили 500 билетов. Из них один билет с выигрышем 1500 руб, четыре билета - по 500 руб, 10 билетов - по 100 руб, 50 билетов - по 50 руб, 100 билетов - по 10 руб, остальные - с выигрышем по 5 руб. Перед членами организационного комитета лотереи возникла проблема определения такой цены билета, при которой книжный магазин получит прибыль. Для ее решения предположили, что все лотерейные билеты будут проданы. Тогда статистический ряд распределения случайной величины X - размер выигрыша будет иметь вид:

Размер выигрыша

10 р

50 р

100 Р

500 Р

1500 р

Доля посетителей книжного магазина, купивших билет с данным выигрышем.

0,67

0,2

0,1

0,02

0,008

0,002

Это позволяет определить предполагаемый расход магазина на выплату выигрыша: (5-0,67+10-0,2+50-0,1 + 100-0,02+500-0,008+1500-0,002) 500=9675 (руб).

Так как цена на все билеты одна и та же, и книжный магазин должен получить прибыль, то цена должна быть не менее, чем = 19,35 (руб).

После рассмотрения примера внимание учащихся обращается на то, что для получения результата достаточно было воспользоваться понятием среднего значения случайной величины Х. При этом статистический ряд распределения случайной величины X с предположением о том, что все лотерейные билеты будут проданы может рассматриваться как вероятностный закон распределения случайной величины X.

Размер выигрыша

10 р

50 р

100 Р

500 Р

1500 р

Вероятность получения соответствующего выигрыша.

0,67

0,2

0,1

0,02

0,008

0,002

Для этого закона в ходе решения задачи установлено значение величины

называется математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х. В рассмотренном примере М(Х) = ж, в общем случае М(Х) ~ х при большом числе опытов.

Библиографический список

1. Концепция профильного обучения // Учительская газета №42. 15 октября 2002. - С. 13-16.

2. Шабанова М.В., Безумова О. Л, Котова С.Н., Минькина Е.З., Попов Н.Н. Элективные математические курсы: Учебное пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных школ. - Архангельск: Поморский университет, 2005. - 276 с.

3. Конопкин О.А. Психологические механизмы регуляции деятельности. - М.: Наука, 1980. - 256 с.

4. Вербицкий А.А. Активизация обучения в высшей школе: Контекстный подход. - М.: Высшая школа, 1991. - 207 с.

5. Патронова Н.Н., Троицкая О.П., Шабанова М.В., Зайков А.Е. Введение в статистические исследования: учебно-методическая разработка. - Архангельск: Поморский университет, 2005. - 78 с.

О диалогическом познании математики в средней школе

Е.Е. Семёнов

Культура познания математики является важнейшим компонентом инфраструктуры всякого научного познания, научного исследования. В свою очередь, познание математики может быть продуктивным только тогда, когда оно диалогично. Поэтому от того, в какой степени представлен диалогический аспект в процессе познания математики учащимися, зависит полнота их проникновения как в этот вселенский предмет, так и в другие предметы средней школы.

Диалогичность позволяет максимально достигать того эффекта изучения математики, который А.Я. Хинчин назвал “воспитательным”. Она обеспечивает нераздельность процесса овладения знаниями и процесса развития, эвристичность математической эрудиции.

Высказанные утверждения опираются на новое истолкование диалога. Оно по содержанию и форме ближе к математическим стилю и

мышлению, вносит уточнения и большую определенность в истолкование диалога как “разговора двух или более лиц”, уменьшает беспокоящую чрезмерную размытость описания, более конструктивно и способно взаимодействовать с диалогическими традициями. Представлю это новое истолкование.

Диалог = диа + лог = (проникновение, разделение, взаимосвязь, усиление, завершённость) + (слово, понятие; учение, мысль). Понятия, раскрывающие префикс “диа”, я назвал, для удобства, образующими “пентаслов” (пятислов); раскрывающие понятие “лог”, - “тетраслов” (четырёхслов).

Понятие “проникновение” я связываю, прежде всего, с понятиями, без обращения к которым проникновение, да и само познание, невозможны: дифференциация (индивидуализация), эвристичность, алгоритмы, системность; “разделение” - связываю с анализом; взаимосвязь связываю с синтезом. Усиление целесообразно связывать с основными мыслительными операциями: индукцией - дедукцией, обобщением - конкретизацией, сравнением - аналогией, а также с наблюдением и опытом. Завершённость (“высшее проникновение”) связывается с достижением осознания системности изученного материала и его перспективности в дальнейшем познании - в единстве с имеющимися другими знаниями.

Из сказанного видно, что “пентаслов” несёт в себе сильный акцент на поисковую деятельность и общие начала её обеспечения.

“Тетраслов” связывается мною с постановкой проблем и выдвижением гипотез. Он создаёт условия для реализации пентаслова, привнося в него акцент на логическое начало (понятие, учение), и сам питается поисковыми компонентами “диа”.

Наряду с понятием диалога я ввожу понятие “энлога” (п-лога). В переводе это означает разговор, слово, обмен мыслями, информацией п человек (п компонентов). Если п=1, имеем монолог (моно-лог) - разговор, общение человека с самим собой, с научными, педагогическими, психологическими объектами, его рефлексирование, обдумывание, осмысление, “одинокое проникновение”, “одинокий пентаслов”. Если п =2, имеем дилог (ди-лог) - разговор, проникновение, пентаслов и тетраслов двоих. Трилог - разговор троих, тетралог - четверых, пенталог (пента-лог) -разговор пятерых и т.д. Если в энлоге присутствует “диа” и “лог” (пентаслов и тетраслов), то энлог будем называть диалогом. Таким образом, диалогичность - не в числе участников, а наличии в энлоге пентаслова и тетраслова. Например, монолог может быть диалогом, а дилог (ди-лог),

разговор двоих, представляющий собой “вольную беседу” без проникновения, без “диа”, - не диалог. На уроке могут все говорить, но говорить вне диалога, без диалога, в том числе и на уроке математики. Тогда мы имеем энлог, не являющийся диалогом.

При нашем толковании диалога лекция является монологом, но этот монолог может быть диалогом, для этого необходимо (и достаточно), чтобы в этом монологе достаточно полно были представлены, выражены составные части диалога - “диа” и “лог”, т.е. пентаслов и тетраслов. Такую лекцию будем называть диалогической. Её важнейшей особенностью является проникновение. Проникнуть - значит понять, разгадать, углубившись, вникнув в излагаемый материал, в существо дела. Пройти вглубь, охватить полно, “поселить” во внутренний диалог слушателей, породить потребность, интерес, желание рефлексировать в процессе познания этого материала, вольно или невольно размышлять о нём. Вникнув во “что-нибудь”, глубоко понять, осознать. Проникновение требует завершённости. Диалогическая лекция есть лекция-ожидание. Для лектора - ожидание мысленного сотрудничества с ним слушателей, для последних - ожидание путешествия с преподавателем по просторам открытий и конструирования нового.

Диалогическое познание математики побуждает к эвристичности, системности, постановке проблем и выдвижению гипотез. Такая установка привносит новое отношение к основным компонентам содержания математики в средней школе. Таблицу, в которой эти компоненты названы, нужно сделать повседневной принадлежностью занятий математикой. Её нужно создавать постепенно и перманентно, начиная с начала систематического изучения математики (или даже раньше), приближаясь к итоговой, представленной здесь.

В таблице - 16 компонентов. Первые два из них - диалог и математическое мышление - задают диалогический аспект культуры познания математики. Последний - алгоритмы и эвристики - пронизывает вместе с первыми двумя всё познание математики в школе. Точка Г (гамма) символизирует мысль: нужно стремиться к тому, чтобы Голова учащегося была способна осознавать связи между 16 компонентами, представлять их как систему, развивающуюся, обогащающуюся в процессе познания логически мыслимых форм и отношений. Для этого необходима система таких наборов задач, которые бы обеспечивали перманентную востребованность компонентов через установление всё новых и новых связей между ними.

Таблица 1

Основные компоненты содержания математики в средней школе

Важную роль в установлении связей между компонентами играют диалогические концентры, способствующие перманентной востребованности компонентов в сочетании с укрупнением дидактической единицы знаний.

Автор многократно тиражировал приведённую таблицу или аналогичную ей и раздавал её школьникам 8-11 классов. Воспроизводя её на доске, заполнял свободные места вопросами, условиями задач, решения которых могли быть и устными. Давал соответствующие для домашнего выполнения. Уроки такого рода проводил спаренными - по два подряд.

Приведу примеры задач первого этапа - с соответствующими комментариями.

а) Обыкновенную дробь | обратили в десятичную. Какая дробь получилась? Почему?

Здесь важно обсудить, почему полученная дробь - бесконечная. Почему она периодическая? Всякая ли обыкновенная дробь, не обращающаяся в конечную десятичную, обращается в периодическую? Почему?

Говорю здесь о необходимости проникновения в существо дела, о важности выявления причины математического факта. Данный вопрос можно отнести к основным компонентам 1, 2, 3, 16 таблицы. Записи на доске, там, где они умещались, полностью или частично, выполнялись рядом с прямоугольниками, в которых указывались актуализированные в задаче основные компоненты.

Если ученик, опираясь на имеющиеся у него знания, способен получать новые знания, то это означает, что его эрудиция эвристична. В поиске ответа на вопросы только что рассмотренной задачи нужно знать, что при делении с остатком двух натуральных чисел остаток всегда, меньше делителя. Это знание у учащихся, как правило, есть, но оно актуализировано только на “деление столбиком”, что свидетельствует о недостаточной диалогичности познания соответствующего материала.

б) Стороны треугольника ABC - а, 6, с. Угол В - тупой. Каково расстояние от вершины А до стороны ВС?

(Ответ - с. Почему? - Под расстоянием от точки до фигуры подразумевается расстояние от этой точки до ближайшей точки фигуры. Ближайшая к А точка стороны ВС - точка В. Докажите это.)

Задача - с лишними данными. При диалогическом познании здесь целесообразно предложить провести исследование: почему искомое расстояние не зависит от а и Ы Замечу, что среди учащихся много таких, которые используют все данные. Оказываются востребованными компоненты 1, 2, 8, 9, 13 (сравнение длин отрезков), 16.

в) Графиком линейной функции (у = кх +Ъ) является прямая. Верно ли утверждение: всякая прямая на координатной плоскости является графиком некоторой линейной функции?

Эвристика: воспользуйтесь определением функции. Говорю о необходимости проникновения в сущность математического явления, понятия. Актуализирую определение функции. Выявляю знания о геометрическом смысле коэффициента к. Подчёркиваю, что математика учит правильному мышлению. Отношу решение задачи к компонентам 1, 2, 6, 7, 8, 16.

г) Решите уравнение (sma)x = cos а, где х - неизвестное, а - параметр.

При проникновении в решение этого уравнения оказываются востребованными знания: определение уравнения, его корня; семантика понятия “решить уравнение”, понятие равносильных уравнений, теорема, о равносильности уравнений; свойство произведения двух множителей, когда один из них равен нулю; свойство функции t = sin а (нули этой функции), свойство функции t = cosa, (её нули), определения указанных тригонометрических функций, т.е. задействованы компоненты 1, 2, 3, 5, 6, 7, 16.

Перманентное “путешествие” по предложенной таблице, её полное обозрение (в том числе - зрительное), постановка вопросов (как учителем, так и учащимися), связанных с теми или иными её компонентами, составление тех или иных задач по актуализации компонентов таблицы (при активной деятельности учащихся как на уроке, так и дома), - вся эта работа повышает интерес учащихся к математике как целостному школьному курсу, порождает диалогические концентры, способствует перманентному осознанию математических знаний в их взаимодействии, усиливает эвристичность математической эрудиции, учит составлению задач, проявлению семантики знаний, усиливает эвристико-памятное, системное владение логически мыслимыми формами и отношениями.

Обеспечение перманентной диалогической жизни основных компонентов содержания школьного курса математики (через таблицу) может быть осуществлено на основе реализации следующих аспектов:

1) использование наборов комплексных (многокомпонентных) задач;

2) перманентное обращение к соответствующим наборам устных задач; каждый из наборов охватывает много компонентов;

3) заблаговременное введение: понятий; формулировок теорем, формул - на основе принципа отсроченной строгости, с тем, чтобы расширить диапазон задач, вовлекаемых в процесс познания, создать условия для более длительного диалога с изучаемым материалом, но в последующем постепенно устранять пробелы в логических обоснованиях;

4) проведение вводных, обзорных уроков, уроков системности знаний, их обобщения, углубления;

5) перманентное решение задач исследовательского характера;

6) диалог с логически мыслимыми формами и отношениями через основные мыслительные операции и через другие эвристики;

7) перманентное включение в контрольные и самостоятельные работы, в повседневные устные упражнения задач, связанных с любым ранее изученным теоретическим материалом;

8) поиск и использование разнообразных оснований для обсуждения и объединения “разнородных” компонентов в одну укрупнённую дидактическую единицу знаний;

9) другие аспекты.

Решение проблемы - как добиться, чтобы среди энлогов между основными компонентами школьного курса математики в сознании учителя и учащихся преобладали диалоги, - весьма перспективное направление исследования процесса познания математики.

Качество подготовки учителя математики

В.А. Тестов

В последние годы в самых различных аспектах очень много говорят и пишут о качестве образования, как среднего, так и высшего, разрабатываются различные модели и технологии оценки качества подготовки специалистов. В настоящее время в связи со становлением личностно ориентированной парадигмы образования особенно вырос интерес к качеству подготовки учителя, к его профессиональной компетентности. Роль учителя в современном мире не только не уменьшилась с развитием информационных технологий, а наоборот возросла. Весь опыт показывает, что качество образования в первую очередь зависит от качества подготовки учителей.

Однако уже имеющийся опыт не позволяет пока говорить об эффективности работы новой системы для повышения качества работы учителей. Сказывается, прежде всего, нерешенность ряда исходных методологических вопросов. Хотя понятие “качество образования” широко используется, сущность и значение этого понятия до конца не раскрыты ни наукой, ни практикой. В научных исследованиях по этой тематике наблюдается не только отсутствие единства в понимании основных терминов, но и неоднозначность целого ряда исходных положений.

С философской точки зрения качество объекта или явления обнаруживается в совокупности его свойств. Качество связано с предметом как целым, охватывает его полностью и неотделимо от него. Предмет не может, оставаясь самим собой, потерять свое качество. Применительно к образованию это означает, что с философской точки зрения качество образования - его неотъемлемая черта, его суть, т.е. если есть образование, то есть и качество, нет качества - нет фактически и самого образования. Поэтому, чтобы улучшить качество образования, надо улучшить само образование. Качеством образования занимались всегда, а сам термин “качество образования” с этой точки зрения есть просто новое модное слово, появившееся в последние годы, хотя этот термин и отражает существенную черту образования.

Однако, по мнению ряда авторов, в философии категория качества не носит оценочного характера и поэтому за основу необходимо принять другое определение качества, используемое для объектов и процессов, формируемых и реализуемых в производственной практике. При такой трактовке свойства объекта рассматриваются с позиции потребителя, а не с позиции производителя. Вместо существенной, внутренней определенности объекта рассматривается его чисто внешняя, утилитарная сторона - приспособленность к удовлетворению определенных потребностей. Это привело к тому, что оценка качества образования носит не конструктивный характер, не позволяет реально управлять им, исходя из внутренних оснований содержания образования. Этот подход приводит к тому, на первый план выдвигается именно оценка качества образования, а не само качество. Так произошло с введением ЕГЭ: полезность его для оценки качества превысила в глазах администраторов его вред для самого качества образования.

При этом подходе внимание акцентируется на том, что нужно от образования различным внешним “заинтересованным сторонам”. А вот каковы внутренние пути совершенствования качества образования, что делать для этого субъектам педагогического процесса - педагогам и ученикам, преподавателям и студентам, авторам стандартов, программ и учебников,- все эти вопросы при таком подходе отодвигаются на задний план. Место и роль содержания образования, его фундаментальности в предлагаемых различными авторами системах управления качеством образования определены в наименьшей степени.

Система образования одна из наиболее устойчивых в любом государстве и качество подготовки учителей в гораздо большей степени зависит не от внешних, а от внутренних условий. Одним из таких условий является отбор и построение содержания обучения.

Сейчас важнейшим показателем качества обучения считается соответствие стандартам, в которых задается содержание обучения. Но этот показатель качества вовсе далеко не бесспорен, поскольку стандарты составляют не боги, а люди со своими пристрастиями, со своим пониманием проблемы. Ко всем разработанным стандартам имеются большие претензии. Скоро вузы опять должны перейти на новые стандарты, но уже теперь ясно их несовершенство. Об этом говорят сами авторы стандартов.

Другим показателем качества образования является потенциал научно-педагогического состава, задействованного в образовательном процессе. Но в современных методиках этот показатель до примитивности прост - надо всего лишь вычислить процент дипломированных специалистов в вузе, а в школе - процент учителей с высокой категори-

ей. Эти проценты лишь в какой-то степени показывают степень знания преподавателями своего предмета, их способности вести научно-исследовательскую работу.

Столь же поверхностно существующие методики оценивают потенциал обучающихся. Проверяется, прежде всего, уровень обученности -все сводится к ЕГЭ и Интернет-экзменам, т.е. к проверке знаний, умений, навыков. В идеале же должен сравниваться и уровень воспитанности и уровень обучаемости как на входе учебного заведения, так и на выходе. О хорошей работе образовательного заведения можно говорить только в том случае, если возрастает культурный, нравственный и интеллектуальный потенциал обучающихся. И это нужно поставить в центр образования, ибо будущее нашего Отечества в первую очередь зависит не от инвестиций или новых технологий, а от интеллектуального и духовно-нравственного потенциала молодежи.

Еще одним показателем качества образования считается качество образовательных технологий. Этот показатель предусматривает, прежде всего, внедрение информационных технологий в образовании. Действительно, благодаря внедрению ИТО, перед образованием открываются новые возможности. Но этот показатель не может быть главным. К сожалению, до сих пор наблюдается стремление представить деятельность школы и вузов как некоторую типографию, “печатающую” людей, где действуют стандарты и приложенные к ним технологии. Учитель (преподаватель) в такой “типографии” отождествляется со средствами обучения (с компьютером), т.е. он должен всего лишь строго выполнять разработанную последовательность действий и быть всего лишь оператором стандартизированных дидактических материалов и технических средств обучения. Причем, по мнению некоторых западных и наших педагогов-технологов, личность учителя, его культура и квалификация не играют особой роли. Поэтому-то и возникают такие нелепые предложения, как вообще отказаться от системы педагогического образования, что любой выпускник классического университета или технического вуза вполне может справиться с работой учителя.

Между тем, никакие супертехнологии не могут заменить педагога. Учителя и преподаватели вузов представляют собой субъекты образовательного процесса. И как субъекты вносят свой вклад в содержательную сторону обучения: дают собственную ценностно-смысловую интерпретацию материала, варьируют содержательными элементами материала и акцентируют внимание на тех или иных аспектах их значимости, решают проблему преемственности, гуманизации обучения. Значение этой субъектной стороны образовательного процесса очень большое, хотя никакими показателями качества не учитывается.

Образование - это объект более сложных и тонких экономических и социокультурных отношений, имеющий свои внутренние традиции, нежели объект “купли-продажи”. Поэтому к определению качества образования учителей необходим принципиально другой подход, учитывающий не только потребности различных внешних сторон, но, прежде всего, внутренние процессы в образовании, его природу. Об этом в последнее время все чаще пишет ряд авторов.

Такой подход Т. Елисеева и В. Батурин предложили назвать внутренним методологизмом. По их мнению, такой методологический подход только и имеет право на обоснованное использование, поскольку задает приоритеты в образовании, исходя, прежде всего из самой его природы. Согласно этому подходу за эффективность образования в равной степени ответственны как обучающий, так и обучающийся, т.е. качество образования, его “ценность” создаются и тем и другим, причем “производство” и “потребление” образования находятся здесь в неразрывном единстве [2].

При таком подходе становится ясным, что делать преподавателям для совершенствования качества обучения учителей.

При рассмотрении профессиональной подготовки будущих учителей необходимо исходить из современного понимания профессиональной компетентности учителя. В педагогической науке понятие “профессиональная компетентность педагога” рассматривается по-разному в зависимости от контекста решаемых исследователями научных задач. Если рассматривать профессиональную компетентность, формируемую у будущего учителя математики, в рамках системы вузовского образования, то можно говорить о трех ее составляющих, трех группах компетентностей:

- содержательная (наличие специальных математических знаний, умений, навыков и т.д.),

- технологическая (владение методами обучения математике),

- личностная (наличие некоторых черт личности педагога).

Специфической особенностью педагогического образования является восхождение к профессиональной компетентности через вживание в профессию, своеобразную профессиональную социализацию, профессионально-педагогическую направленность всех изучаемых дисциплин.

Содержательная составляющая профессиональной компетентности учителя математики уже давно привлекала внимание ученых. Сейчас общепризнано, что математическое образование в педвузах имеет специфические особенности и должно коренным образом отличаться от образования в классических университетах. В педвузах особая роль должна отводиться изучению математических структур, наиболее важных с точки зрения профессиональной направленности.

Фундаментальная математическая подготовка учителя должна быть согласована с нуждами приобретаемой профессии. В соответствии с этим принципом в математическом образовании будущих учителей математики важное место занимают курсы (или разделы) “Числовые системы”, “Основания геометрии”, “Теория изображений” и т.п., не изучаемые в университетах. Содержательная составляющая профессиональной компетентности учителя математики выдвигает на первый план также идею связи конкретного математического курса педвуза и соответствующего школьного предмета. Реализация этой связи обеспечивает целеустремленность курса, понимание студентами перспективы его изучения, а значит, способствует сознательности усвоения курса.

Этот принцип позволяет осуществить преемственность не только между школьным курсом и соответствующими вузовскими курсами, но и между обучением в вузе и трудовой деятельностью учителя математики. Реализация этого принципа позволяет довести до студентов, как связаны вопросы вузовского курса со школьным курсом математики, зачем изучается тот или иной вопрос, как он связан с деятельностью учителя, показывать неизбежные логические пробелы в дедуктивном построении школьного курса и пути их обхода или ликвидации.

Особое значение с точки зрения профессиональной направленности вузовских математических курсов приобретают такие проявления преемственности, как повторение и пропедевтика. Роль повторения велика, прежде всего, в реализации преемственных связей между средней школой и вузом. С этой целью следует на лекциях, практических занятиях по возможности больше ссылаться на известные из школы учащимся примеры, позволяющие им лучше понять новый научный факт или с более высокой ступени взглянуть на уже известный. На наш взгляд, организации повторения должна способствовать, прежде всего, сама структура вузовских курсов, когда спиралевидное построение программ позволяет естественным образом производить повторение на более высокой ступени абстракции, устанавливать новые связи между старыми знаниями.

Пропедевтика обеспечивает постепенность перехода от отдельных научных фактов к их обобщениям. Формирование и развитие общих представлений студентов о математических структурах должно осуществляться постепенно, в процессе изучения конкретных примеров таких структур с последующими обобщениями их свойств. Особенно выросла необходимость пропедевтических курсов в последнее время, когда упал общий уровень подготовленности выпускников школ, а вузовские стандарты это не учитывают. Так с целью пропедевтики основных математических курсов и создания основы для их полноценного усвоения в учебный план ряда педвузов был введен вводный адаптационный курс

математики, необходимый при профессиональной математической подготовке учителей.

Технологическая составляющая профессиональной компетентности учителя требует, разумеется, специальной методической подготовки будущего учителя. Однако эта составляющая является неотъемлемой частью и предметной подготовки. В соответствии с этим принципом комплекс математических дисциплин педвуза должен обеспечить студенту не только достижение широкого кругозора в математике, определенного уровня культуры, но и знакомство с методами изложения школьного курса.

Технологическая составляющая профессиональной компетентности учителя математики должна носить непрерывный характер, т.е. все специальные дисциплины должны участвовать в процессе непрерывного достижения студентами педагогической деятельности. Это позволяет перевести студентов с самого начала учебы в вузе с позиции школьника на позицию учителя, использовать все возможности для вовлечения студентов в квазипрофессиональную деятельность. Это придает этому аспекту предметной подготовки ярко выраженный творческий характер, способствует выработке у студентов собственных элементов технологии, повторяющихся элементов, содержащих автоматизмы, обеспечивающих процесс творчества.

Учитель должен уметь использовать собственный личностный потенциал для актуализации мотивационной и рефлексивной позиции учащихся в учебном процессе, уметь вносить различные по масштабу авторские модификации в рекомендуемую педагогическую методику (технологию), выводить из собственного опыта то, что именно ученики должны сделать, оказывать педагогическую поддержку и сопровождение учебной деятельности учащихся. Профессионализм педагога должен проявляться в рефлексии и самооценке эффективности собственной деятельности, в формулировании собственных педагогических принципов и идей [1].

Существенное значение для продуктивной профессиональной деятельности учителя имеет личностная составляющая профессиональной компетентности, включающая в себя интеллектуальные, нравственные, эмоциональные, волевые, организаторские. Настоящий педагог должен обладать определенными качествами, задающими личностный базис учителя. Это - любовь к своему предмету, к своей профессии (мотивация профессиональной деятельности), уважение к ученику, его личности, чувство меры (педагогический такт), к рефлексии своего профессионального поведения, его педагогической целесообразности. При этом особое значение для осуществления профессиональной деятельности имеет не столько уровень выраженности этих отдельных важных свойств

личности, сколько их тесные и положительные взаимосвязи, благодаря которым возникает процесс их взаимоусиления. В результате этих взаимосвязей у педагога формируются такие компетентности, как коммуникативная и организаторская, но у каждого педагога они принимают специфические формы, а их сочетание позволяет говорить об индивидуальном стиле преподавания. Без формирования таких компетентностей просто невозможно решить ряд педагогических задач.

Духовное совершенствование личности ученика невозможно без осознания взаимодействия эстетики и изучаемого предмета. Преподавателю необходимо использовать все возможности для того, чтобы научить студентов видеть эстетические моменты, внутреннюю гармонию в содержании математики, понимать единство истины и красоты. Большим эстетическим потенциалом обладают многие разделы, как школьного, так и вузовского курса математики, но не менее важна и другая эстетика - процессуальная, связанная с подачей материала, его записью, изображением, его восприятием и пониманием.

Все эти личностные качества педагога являются составной частью качества образования, но их практически невозможно измерить и поэтому существующие методики оценки качества их просто игнорируют.

Таким образом, качество профессиональной подготовки учителя математики зависит от многих специфических факторов, и обеспечить его можно только на основе соединения, сплава лучших педагогических традиций, достижений отечественной педагогической науки с одной стороны и новаторства, инновационных подходов с другой стороны.

Библиографический список

1. Болотов В.А., Сериков В.В. Размышления о педагогическом образовании / Педагогика, № 9, 2007. - С. 3-11.

2. Елисеева Т., Батурин В. Качество образования: методологические основания дискуссии / Высшее образование в России. 2005, № 11, С. 115-120.

Требования к построению методических концепций как следствия комплексно-интегративного подхода

А.Л. Жохов

Комплексно-интегративный подход к исследованию и построению методических концепций требует применения во взаимосвязи, взаимном дополнении и взаимопроникновении трех, в общем-то, известных подходов - системного, деятельностного и культурологического. Кроме того,

поскольку методика имеет дело с “живыми” системами, методологический принцип соответствия метода исследования его объекту требует связать, интегрировать эти известные подходы в единое целое (систему), конкретизировать их применительно к основному предмету и способу его рассмотрения и дополнить теми, которые раскрывают сам предмет рассмотрения. В работах [3, 4] и др. обоснована целесообразность приводимой ниже трактовки отдельных принципов, распределенных по соответствующим группам: системности, учебной математической деятельности, культуросообразности, предметности.

Из группы принципов системности отметим следующие:

- восхождение от абстрактного к конкретному. В случае методических концепций соблюдение принципа требует обязательного перехода от теоретических моделей к реальным, объективно и независимо от исследователя существующим явлениям практики обучения математике и ее результатам, соотнесения первых со вторыми и их правдоподобного объяснения;

- единство синтеза и анализа. Суть данного принципа - в требовании рассматривать основной конструкт исследования как систему элементов и, в то же время, как элемент некоторой системы, причем рассматривать их под углом зрения выделенной цели [3. С. 73], в том избранном отношении, в котором находят свое выражение основания и принципиальное существо авторской позиции в определенной области знания [6. С. 75-76];

- гносеологический принцип анализа и синергетического развития генетически связанных структур состоит в том, что “тенденции эволюции могут быть адекватно поняты лишь в сравнении с уже сложившимися формами” [3. С. 46] и с учётом закономерностей становления и развития структур;

- принцип “бритвы Оккама”: “сущности не следует умножать без необходимости”, либо в другой формулировке - “принцип бережливости”: “бесполезно делать посредством многого то, что может быть сделано посредством меньшего” [2. С. 151].

Применительно к различного рода строящимся методическим и педагогическим концепциям последние два принципа необходимо нацеливают исследователя на выполнение следующих требований:

1) Прежде чем пытаться заменить ранее уже известные концепции, традиции, содержание, методы и образцы деятельности новыми или модными, необходимо внимательнейшим образом изучить первые.

2) Такое изучение-исследование должно быть направлено в первую очередь на поиск тех первичных форм, а также условий и механизмов их развития, которые оказались источниками как устоявшихся традиций,

так и тех новшеств, которые предлагает в своей концепции исследователь.

Иными словами, формируя свою концепцию, исследователь обязан устремиться к “точке разветвления” (бифуркации), давшей начало как устоявшимся традиционным формам, так и тем, которые исследователь порождает и отстаивает. И, конечно же, должно соблюдаться “золотое правило” научного подхода: ссылки на авторитеты не могут стать достаточным основанием положений концепции.

В то же время, нельзя не учитывать, что исследователь, как и любой человек, в том числе и ученик, представляет собой самоорганизующуюся живую, “органичную” систему [2]. Следовательно, он в принципе предрасположен творить свою судьбу, и только внешние обстоятельства могут повести его по другому пути, если у него недостаточным образом сформированы соответствующие механизмы сопротивления или воли творить ее. С учетом этого системный подход к построению психолого-педагогических и методических концепций развития личности требует еще одного принципа:

- учета и предоставления возможностей для самостоятельного формирования индивидуальных механизмов развития учащихся как самоорганизующихся систем (в частности, средствами математической культуры).

Следование этому принципу требует заботиться о включении в разрабатываемую методическую систему по меньшей мере двух типов заданий для учащихся: систем упражнений и систем учебных ситуаций.

Основное назначение первых - формировать и развивать “адаптационные” [5. С. 29] механизмы личностного развития учащихся. К ним относятся те, которые способствуют активному приобщению учащихся к математической культуре и культуре мышления (работа с понятиями, теоремами и способами их доказательства, правилами и алгоритмами, типовыми задачами).

Основное назначение вторых - формировать и развивать “бифуркационные” механизмы личностного развития учащихся. Они возникают, начинают действовать и оказываются особенно полезными в “пороговых” состояниях организации “живой” системы. Переход через них “ведет к резкому качественному изменению протекающих в ней процессов, к изменению самой ее организации” [5. С. 32, 34]. К ним, на наш взгляд, следует отнести ряд специфических для математики способов познания, приемов мышления и способов ориентировки человека в мире (о них дальше).

Из совокупности принципов, характеризующих использование теории деятельности, в рамках рассматриваемого комплексного подхо-

да особо обратим внимание на относящиеся к образовательной области “Математика”:

- принцип взаимодействия людей друг с другом и миром математики, что в применении к обучению требует строить деятельности учителя и учащихся во взаимодополняющих и поддерживающих друг друга связях для преобразования изучаемых математических объектов. При этом взаимодействие должно реализовываться в разных планах (генетическом и функциональном, содержательном и структурном, репродуктивном и продуктивном) и во всех видах и формах познавательно-преобразующей деятельности;

- принцип активности, предписывающий рассматривать активность ученика как его родовую сущность - потребность и способность, пробуждающиеся и проявляющиеся во взаимодействии человека и мира и направленные на их познание и преобразование. Эта способность определяет примат “продуктивного, творческого начала над началом репродуктивным и рутинным, чем и обеспечивается системогенез деятельности” [6. С. 70].

Рассматривая различные условия существования социальных систем, многие ученые выделяют особый вид взаимодействия - содействие. По А.Н. Аверьянову, это - “объединяющий процесс, укрепляющий взаимосвязь, взаимодополнение, взаимопомощь одних систем в противодействии с другими”, важнейший положительный фактор эволюции, “обеспечивающий ...виду наилучшие шансы жизни и распространения” [1. С. 159].

Взаимодействие в форме содействия следует рассматривать как один из факторов успешности протекания совместной учебной деятельности учителя и учащихся, отдельных учеников или различных групп учащихся друг с другом. Как показывает опыт [3 и др.], организация именно совместной учебной деятельности и коммуникации в их различных формах является необходимым условием достижения положительных результатов в формировании у учащихся многих полезных для них математико-мировоззренческих ориентиров и личностных качеств и развития учащегося в его “мире учения”.

В связи со вторым принципом особо отметим факт индивидуально-социального начала высших психических функций человека. В частности, это относится к часто противопоставляемым экстериоризации и интериоризации и приданию в этой паре главенствующего начала второму элементу. На наш взгляд, более правы те, кто утверждает их взаимодополнительность и лишь относительную их распознаваемость в исследованиях деятельности человека и процесса усвоения им опыта предшествующих поколений. И если уж использовать эти понятия, как и

связанные с ними - индивидуальное, социальное - для характеристики процессов присвоения учащимся знаний, способов деятельности и т.п., культуры вообще, то предпочтение надо отдавать активности учащегося, его творческому началу, экстериоризации и всячески поддерживать их. Поскольку без этого невозможно ни разумно объяснить, ни адекватно организовать эти процессы, если, конечно, не иметь в виду “простое присвоение” результатов (К. Маркс) и не удовлетворяться только им.

К сказанному следует добавить, что некоторые учителя, опираясь на свой опыт, часто не соглашаются с тем, что принцип активности применим к учащимся, поскольку, по их наблюдениям, они, особенно в условиях современной школы, “в учёбе не проявляют её” (из бесед с учителями). Думается, в этом выводе учителей содержится огромная доля истины, но заключается она лишь в том, что активность у человека проявляется в поле его потребностей, мотивов и смыслов. А отсюда следует лишь один вывод: традиционно организованное обучение в школе для современных учащихся, начиная примерно с 3-4-го классов, не попадает в это поле, либо уходит из него.

К принципам, в основном вытекающим из теории деятельности, я отношу и следующий, касающийся мировоззрения учащихся:

- мировоззренческой направленности и личностной ориентации процесса математического образования во всех его составляющих: в содержании, технологиях, средствах и формах организации учебной деятельности, в отдельных звеньях целостного процесса. Соблюдение этого принципа необходимо как для построения полноценной методической концепции, так и практического решения её проблем, особенно в условиях зарождающейся в наше время тенденции гуманитаризации математического образования. Суть принципа в том, что, выстраивая систему образования в различных её аспектах, необходимо постоянно и как главенствующий ориентир продумывать ту совокупность мировоззренческих микромеханизмов учащихся, воспитанию и формированию которых должен быть подчинён этот процесс на соответствующем этапе их развития. Сведения о важнейших математико-мировоззренческих микромеханизмах, а также рекомендации о способах и средствах их формирования на различных этапах обучения учащихся математике, приведены в работах [3, 4, 9], частично в [10].

Из серии культурологических принципов при построении методических концепций особенно важно использовать следующие [3, 4]:

- культуросообразности и результативности. Системным критерием результативности педагогического процесса следует считать личность субъекта, включенного в этот процесс (отдельного человека или группы), уровень ее развития. В частности, в рамках личностно ори-

ентированного обучения математике в качестве такого критерия следует считать уровень развития математической культуры и мировоззрения учащегося.

- учета доминанты развития учащегося и веры в его возможности: в порождении смыслов и произведений культуры полноценно может участвовать любой обучаемый, хотя у каждого из них есть свое пристрастие к той или иной грани культуры, представляющее собой доминанту его личностных смыслов. В формировании математической культуры, математико-мировоззренческих ориентиров и качеств учащихся учителю необходимо не только учитывать, но и опираться на доминанты их личности;

- диалога культур (“участного мышления”, “ответственного поступка”, “мыслей в мире” - М.М. Бахтин). Смысл зарождается у человека при его “встрече” с Другим, на грани культур, в их диалоге на базе выбранного произведения культуры. Поэтому организация педагогического процесса должна предусматривать создание условий для осуществления диалога культур его субъектов [3, 4], формирование у них умений вступать в такой диалог и вести его вплоть до создания новых для его участников произведений культуры. Этот принцип определяет одно из условий творческого овладения растущим человеком культурой прежних поколений - ее воспроизводство и развитие;

- опоры и направленности на потенциальные возможности образовательных областей. Любую образовательную область целесообразно рассматривать как проекцию содержания соответствующей грани культуры (со всеми ее ценностными, объектными и процессуальными составляющими), обладающую специфическим для нее личностным потенциалом. Согласно данному принципу, обучение предмету целесообразно организовывать так, чтобы этот потенциал играл роль опоры и, одновременно, открытой пониманию учащихся и доступной цели [8, 3]. При этом цели лучше всего не задавать ученику извне, а создавать их и уточнять совместно с учащимися в ходе образовательного процесса как модели прогнозируемого результата [4].

Из принципов образовательной области “Математика” отметим два:

- принцип учета специфики предмета математики как грани культуры и как образовательной области;

- соответствия ведущей функции, мировоззренческой направленности и содержательной наполненности учебного предмета “Математика”.

При определении такой функции можно исходить из общедидактического понимания функций учебного предмета [7. С. 196].

Ясно, что обучение математике, даже если оно осуществляется в рамках личностно-ориентированных концепций, не может и не должно брать на себя обязательства сформировать мировоззрение и личность

учащихся во всей их полноте, а тем более - передать им весь социальный опыт, даже в области математической культуры. Возникает вопрос: с какой главной целью математика должна вводиться в учебный план современной школы? В работах [3, 4] обосновано, что основное назначение математического образования в современной школе должно определяться предметом математики как своеобразной грани культуры и, как следствие, задаваться двумя ведущими компонентами:

1) специфическими для математики способами и средствами познания объектов природы, продуктов человеческой деятельности и способов ориентировки человека в окружающем мире;

2) вполне определенным, специфическим для математики целостно структурированным (образно-символическим, абстрактно-теоретическим) восприятием, видением мира.

В работах [4, 9] обосновано, что математика, первоначально явившаяся человеку как своеобразный язык, на котором “написана матрица” развития мира, благодаря деятельности человеческого разума стала гранью культуры человека. Совокупный предмет математики составляют идеальные, отвлечённые от природы познаваемых объектов, системные средства познания и идеального преобразования окружающего мира и себя в нём (комплексы математических моделей), а также способы оперирования моделями и результаты такой деятельности, отнесенные к различным видам человеческой практики. Такие средства и способы чаще всего оказываются представленными с помощью различных кодов записи информации. Именно в развитии способности человека, в том числе учащегося школы или студента, раскрывать “для себя” этот предмет хотя бы в некоторых его фрагментах, овладевать им как средством познания разумного и социокультурного (культуросообразного) преобразования окружающего мира и себя в нём видятся основания и тенденция дальнейшего совершенствования математического образования. Всем этим необходимо руководствоваться при построении методических концепций.

Среди специфических для математики способов познания и приемов мышления помимо известных (анализ и синтез; логическое упорядочение данных и др.) в составе математической культуры имеет смысл особо выделить моделирование, метод аналогий, способы (коды) записи и переработки информации. К последним относятся: образный (умственный), словесный и словесно-символический, изобразительный и предметный (материализация, овеществление) и действенный (перевод информации в физические или умственные действия). Овладению кодами и переходами между ними можно и нужно обучать учащихся уже на материале школьной математики.

Из способов ориентировки полезными являются: переход от описания разрозненных фактов к строгим определениям и объединяющим абстракциям, от гипотез к их обоснованию и построению хотя бы “маленьких” теорий (А.А. Столяр); стремление к описанию математической структуры сложных объектов, к определению и упорядочению связей между объектами (наглядное моделирование, аналогия), к переосмыслению модели как внутри математики, так и в её применениях (интерпретация), к выявлению алгоритмов и стохастических моделей; стремление к определению круга задач и приложений данного фрагмента теории и границ его использования и др.

Заметим в заключение, что намеченный в статье комплексно-интегративный подход и вытекающие из него принципы и требования к построению различного рода методических концепций в основном согласуется с концепцией наглядно-модельного обучения математике, разработанной и развиваемой коллективом авторов под руководством профессора Е.И. Смирнова и представленной в коллективной монографии [10].

Библиографический список

1. Аверьянов А.Н. Системное познание мира. - М., 1985.

2. Блауберг И.В. Проблема целостности и системный подход. — М.: Эдиториал УРСС, 1997. - 448 с.

3. Жохов А.Л. Как помочь формированию мировоззрения школьника: Книга для учителя и не только для него. Самара: Изд-во СамГПУ, 1995. - 288 с.

4. Жохов А.Л. Мировоззренчески направленное обучение математике в общеобразовательной и профессиональной школе: Монография. М.: Изд. центр АПО, 1999. - 150 с.

5. Моисеев Н.Н. Алгоритмы развития - М.: Наука, 1987. - 304 с.

6. Суходольский Г.В. Основы психологической теории деятельности. -Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1988. - 168 с.

7. Теоретические основы содержания общего среднего образования / Под ред. В.В. Краевского, И.Я. Лернера. - М., 1983.

8. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о педагогической психологии. -М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

9. Жохов А.Л. Стратегия и средства математического познания // Всероссийская научно-практическая конференция “Задачи в обучении математике: теория, опыт, инновации”. Вологда, 2007. С. 26-32.

10. Наглядное моделирование в обучении математике: теория и практика: Учебное пособие / Под ред. Е.И. Смирнова. Ярославль: ИПК “Индиго”, 2007. 454 с.

Об использовании тестов при проверке знаний по линейной алгебре

Г. Г. Хамов, Л.Н. Тимофеева

В условиях внедрения в процесс обучения математике элементов Болонской декларации и использования балльно-рейтинговых единиц для оценки образовательной деятельности студентов важной составляющей преподавания математики является тестовый контроль знаний. При использовании тестовой системы контроля подготовки студентов по математике особую трудность представляет проверка знания теоретической составляющей математического образования.

Применение тестов имеет определенные преимущества по сравнению с обычной формой проведения экзаменов (устно, по билетам): с помощью тестов можно охватить почти весь объем материала, в то время как при обычной форме экзамена студент отвечает на два-три вопроса, при этом существенно может быть сокращено время проведения экзамена и повышена объективность оценки.

Ниже мы предлагаем вариант контроля знания основных определений линейной алгебры.

1. Минор матрицы - это:

а) строка матрицы;

б) столбец матрицы;

в) порядок определителя матрицы;

г) определитель, составленный из элементов матрицы.

2. Алгебраическое дополнение элемента матрицы - это:

а) минор элемента, взятый со знаком плюс, если ячейка в которой лежит элемент - четная и со знаком минус, если нечетная;

б) минор определителя, взятый со знаком плюс, если порядок минора четный и со знаком минус, если нечетный;

в) число, равное сумме индексов строки и столбца, в которых находится данный элемент.

3. Ранг матрицы - это:

а) число линейно независимых столбцов матрицы;

б) число строк матрицы;

в) максимальное число линейно независимых строк матрицы;

г) число столбцов матрицы.

4. Ранг матрицы не изменится, если:

а) из матрицы убрать строку, являющуюся линейной комбинацией строк данной матрицы;

б) из матрицы убрать строку, являющуюся линейной комбинацией других строк матрицы;

в) из матрицы убрать одну из строк.

5. Система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если:

а) ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной;

б) ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной;

в) ранг основной матрицы равен рангу расширенной и меньше числа переменных;

г) ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен числу переменных.

6. Квадратная однородная система имеет ненулевые решения, если:

а) определитель системы равен нулю;

б) определитель системы не равен нулю;

в) ранг матрицы системы равен числу переменных.

7. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, если:

а) ранг матрицы системы равен числу переменных;

б) ранг матрицы системы больше числа переменных;

в) ранг матрицы системы меньше числа переменных;

г) уравнений в системе больше чем переменных.

8. Система m линейных уравнений с п переменными совместна, если:

а) число уравнений меньше числа переменных;

б) число уравнений больше числа переменных;

в) ранг основной матрицы больше ранга расширенной;

г) ранг основной матрицы меньше ранга расширенной;

д) ранг основной матрицы равен рангу расширенной.

9. Что является решением системы m из линейных уравнений с п переменными :

а) действительное число;

б) упорядоченный набор из п действительных чисел;

в) упорядоченный набор из m действительных чисел;

г) упорядоченный набор из п действительных чисел такой, что замена переменных соответствующими числами этого набора обращает каждое уравнение системы в верное равенство;

д) упорядоченный набор из m действительных чисел такой, что замена переменных соответствующими числами этого набора обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

10. Система m линейных уравнений с п переменными имеет единственное решение, если:

а) число уравнений равно числу переменных;

б) ранг основной матрицы равен числу переменных;

в) ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен числу п;

г) ранг основной матрицы равен рангу расширенной;

д) ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен числу m;

е) ранг основной матрицы равен рангу расширенной и он меньше числа переменных.

Важно, что контролю может быть подвержено не только знание определений, формул, формулировок теорем, но и умение провести доказательства теорем.

Приведем пример теста для проверки знания доказательства критерия совместности системы линейных уравнений:

1. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда:

а) ранг основной матрицы равен числу уравнений;

б) ранг основой матрицы равен числу переменных;

в) ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы;

г) ранг основной матрицы равен рангу расширенной.

2. Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то:

а) столбцы расширенной матрицы линейно независимы;

б) строки расширенной матрицы линейно независимы;

в) столбец свободных членов является линейной комбинацией базисных столбцов основной матрицы;

г) столбцы основной матрицы линейно независимы.

3. Что будет решением системы:

если выполнено матричное равенство

4. Если выполняется система числовых равенств

(1)

то

а) столбцы

линейно независимы;

б) столбец

не является линейной комбинацией столбцов

в) столбец

является линейной комбинацией столбцов

г) система линейных уравнений (1) несовместна.

5. При каком условии ранги основной и расширенной матриц системы (1) равны:

а) столбцы основной матрицы линейно независимы;

б) столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов расширенной матрицы;

в) столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов основной матрицы;

г) столбец свободных членов не является линейной комбинацией столбцов основной матрицы.

Библиографический список

1. Наглядное моделирование в обучении математике: теория и практика: Учебное пособие / Под ред. Е.И. Смирнова. Ярославль: ИПК “Индиго”, 2007. 454 с.

Проблемы модернизации курса теории и методики обучения математике

Е.С. Петрова

Когда специалисты обращаются к вопросам изучения любой новой дисциплины или осуществления модернизации старой, они неизменно решают проблемы содержания, структуры и технологий обучения этому курсу. В профессиональной подготовке будущих учителей математики в педвузах важнейшую роль играет теория и методика обучения математике.

Даже беглое знакомство с этим курсом показывает, что за последние десять лет он ощутимо устарел. И содержание, и методы изучения этого курса должны включать в себя достижения информационных технологий, поскольку обучение математике в школе все теснее смыкается с возможностями информатики.

Ряд вопросов, прежде изучаемых в курсе методики обучения математике, содержится ныне в математической логике. Так, именно в этом курсе студенты впервые узнают о четырёх видах теорем (прямой, обратной, противоположной и обратной противоположной), о доказательстве методом от противного, о необходимых и достаточных условиях. Элементы многих ветвей математики, не включённые в программу общеобразовательной школы, давно изучаются учащимися на элективных курсах, в специализированных математических классах, в других формах углублённого изучения математики. Таковы, например, “Теория групп”, “Дифференциальные уравнения”, “Элементы линейного программирования”, “Элементы теории графов”, “Вопросы проективной геометрии” и другие.

Элементы теории вероятностей, комбинаторики, математической статистики уже включены в ныне действующие учебники математики для общеобразовательных средних школ. Тема “Числовые функции” - новая в учебнике, подготовленном коллективом, возглавляемым А.Г. Мордковичем. В учебник “Алгебра-8” под редакцией С.А. Теляковского включены темы: “Сложные проценты”, “Неравенства с двумя переменными”, “Решение уравнений с двумя переменными в целых числах”. Учебно-методический комплект, ориентированный на преподавание профильного курса в 10 и 11 классах с углублённым изучением математики за авторством М.И. Шабунина, А.А. Прокофьева, Т.К. Олейник, ТВ. Соколовой содержит элементы математической логики, методы решения систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными, комплексные числа, схему Горнера, теорему Безу, обобщённую теорему Виета и т.д.

Появился новый журнал “Математика для школьников”. Возникает новая форма итогового контроля обучения школьников математике -ЕГЭ. Осуществляются широкие интегративные связи изучения в педвузе математических дисциплин, педагогики и психологии. Управлением познавательной деятельностью обучаемых интересуются обучающие всех специальностей. Поэтому, решая проблемы обучения математике в школе, педагоги всё чаще упоминают метод обучения через задачи.

Приведённые примеры настойчиво говорят о необходимости модернизации современного курса теории и методики обучения математике (ТИМОМ). Требуют весьма ощутимых изменений “три кита методики”: содержание, структура и технологии обучения этому курсу. Иначе говоря, современные педагогические науки требуют разработки методики методики обучения математике (ММОМ).

В связи с этим обстоятельством возникает потребность ответить на ряд вопросов ММОМ организационного характера. Как активизировать познавательную деятельность студентов на занятиях по ТИМОМ и во внеаудиторное время (самостоятельная работа дома, при подготовке к практическим занятиям, организация анализа содержания лекционного курса после каждой очередной лекции и подготовка к работе в школе в период педпрактики)? Как наиболее рационально распределить время между лекционными, практическими занятиями, лабораторными работами по ТИМОМ и самостоятельной работой студентов по изучению нового материала с обеспечением прочности полученных знаний и умений их применить в любой изменившейся ситуации в практике учебной работы в школе? Как провести текущий мониторинг знаний и умений студентов по ТИМОМ? Какие формы контроля учебной работы студентов на занятиях по ТИМОМ сегодня наиболее оптимальны?

Решение проблемы соотношения между лекционным курсом и занятиями практического характера нами рассматривался в статьях [2-4]. Опытно-экспериментальная работа, проведённая со студентами 3 и 4 курса очного отделения, показала, что обучение теории и методике обучения математике и другим дисциплинам методического цикла (дифференцированный подход к обучению математике, спецкурсы и другие) наиболее эффективна, когда а) проводятся лекционно-практические занятия; б) лекционный курс служит не более, чем своеобразным инструктажем к проведению практических занятий по самостоятельному приобретению студентами знаний, умений и навыков по ТИМОМ. Причиной является тот факт, что лекция перестаёт быть единственным или почти единственным источником информации для студентов по ТИМОМ. Студенты самостоятельно овладевают другими информационными источниками. Лекция же служит своеобразным алгоритмическим пред-

писанием к самостоятельной организации познавательной деятельности студентов на занятиях по ТИМОМ в аудиторное или внеаудиторное время.

Например, нельзя говорить о способах обучения школьников математике, если они не знают альтернативных школьных учебников по этой дисциплине. Названия и авторы этих учебников, порядок действий при их содержательном и структурном анализе сообщается на лекции. Анализ же производят сами студенты с оценкой достоинств и недостатков каждого учебника.

В целях сознательного усвоения студентами нового материала по ТИМОМ и прочности их знаний практические занятия целесообразно проводить сразу же за лекцией или за инструктивной частью лекционно-практического занятия. Последняя форма аудиторных занятий по ТИМОМ является наиболее удобной для классического университета, где на каждом курсе имеется небольшое число немногочисленных групп студентов, готовящих будущих учителей математики.

Педагогическая идея “самости”, выдвинутая В.И. Андреевым [1], ныне становится одной из ведущих в теории и методике обучения математике. Мы говорим о саморазвитии в обучении студентов ТИМОМ, о самоорганизации их учебной работы, о самоконтроле, о самостоятельной исследовательской работе по ТИМОМ и об организации учителем-математиком учебно-исследовательской работы учащихся. Зная основные этапы исследовательской деятельности (установление фактов, подлежащих исследованию; формулирование и уточнение проблем исследования; выдвижение гипотезы; доказательство или опровержение её; формулировка результата; выводы, касающиеся возможности применения результата), студент может сам провести исследовательскую работу по теории и методике обучения математике. Но для этого на отдельном лекционно-практическом занятии преподавателем, ведущем данный курс, желательно показать соответствующий образец. Например, можно показать, как та или иная конкретная тема лучше изучается при её проблемном изложении или пояснить, какой способ мотивации необходимости изучения той или иной темы школьного курса математики наиболее эффективен.

Учитель должен знать, что исследовательскую деятельность удобнее организовать на уроках - лабораторных работах. Например, учащиеся самостоятельно доказывают теорему об измерении вписанного угла, рассмотрев все три случая взаимного расположения сторон вписанного в окружность угла относительно центра этой окружности. Второй пример: исследование свойств и признаков параллелограмма, прямоугольника, ромба.

В понятие исследовательская работа студентов по ТИМОМ обязательно должен входить педагогический эксперимент, поскольку методика обучения математике считается относящейся к циклу педагогических дисциплин. При проведении экспериментальной работы по ТИМОМ исследователь должен уметь сформулировать её цель и задачи, выдвинуть гипотезу. Необходимо выявить условия эффективности опытно-экспериментальной работы, разработать план и программу проведения эксперимента. Студент должен знать, что участники эксперимента делятся на две группы: экспериментальную и контрольную, что основными этапами опытно-эспериментальной работы являются констатирующий и формирующий эксперимент. Между тем, в настоящее время в программу ТИМОМ не входит материал о педагогическом эксперименте. И хотя одним из требований к написанию дипломной работы по теории и методике обучения математике является либо проведение эксперимента, либо описание личного опыта работы в школе, студент-выпускник, не имея представления об опытно-экспериментальной работе, ограничивается описанием личного опыта в период педагогической практики. Названный пробел должен быть восполнен включением в программу ТИМОМ теории и практики проведения педагогического эксперимента.

Приведённый пример не является единственным, когда мы говорим о роли интеграционной деятельности методистов, педагогов, психологов в профессиональной подготовке будущего учителя математики. Для подтверждения этого достаточно обратиться к методам научного исследования, мотивации необходимости изучения той или иной темы в школьном курсе математики, к учению о рефлексии, к использованию эвристических приёмов и методов в обучении математике, к конкретным примерам возможности применения проблемного обучения математике.

Большую роль в обучении математике как и всякой другой дисциплине играет человеческий фактор. Тем не менее, в методической литературе всё чаще встречаются псевдоинтеграционные связи между названными дисциплинами. Так, встречаются работы математиков-методистов, где ссылки на К.Д. Ушинского, И.С. Лернера, Ю.К. Бабанского, Л.С. Выгодского и иных выдающихся педагогов или психологов, упоминание о роли левых и правых полушарий головного мозга в обучении математике превалируют над методической сутью содержания.

Особенности профильного обучения математике в школах, переход на двухуровневое обучение в вузах заставляют включать в каждую узловую тему частных методик замечания, комментарии, методические рекомендации по вопросам расширения содержания этих тем в школах и классах с углублённым изучением математики. Особенности методики изучения тем углублённого курса школьной математики, не вклю-

чённых в программы общеобразовательных учреждений целесообразно указывать на занятиях по ТИМОМ, когда речь идёт о подготовке магистров. Это, например, “Элементы математической логики”, “Векторное и смешанное произведения векторов”, “Предел и непрерывность последовательности”, “Неевклидовы геометрия”, “Инверсия”, “Аффинные преобразования”.

В курсе ТИМОМ для магистров большое внимание следует уделять методике введения математических методов решения задач, новых для учащихся специализированных математических классов (Например, векторный метод, метод геометрических преобразований и другие). Курсы ТИМОМ для будущих бакалавров и магистров должны отличаться не только по содержанию, но и по технологии обучения. Более однородный состав студентов в группах будущих магистров, характеризующийся способностью к организации самостоятельной познавательной деятельности, позволяет преподавателю, ведущему курс ТИМОМ в этих группах, организовать обучение студентов через исследовательскую работу. Эта проблема плохо разработана, и пока в источниках учебной информации (учебная литература, Интернет) представлена лишь фрагментарно на конкретных примерах обучения отдельным темам углублённого курса школьной математики.

Всё вышеизложенное говорит о том, что необходимо составить новые программы по ТИМОМ, характеризующиеся гибкостью в их возможной перестройке, ибо мы живём в такую эпоху, когда инновации в обучении появляются чуть ли не ежедневно. При выполнении этих программ должно оставаться ощутимое место для творческой деятельности обучающих этой дисциплине.

Чрезвычайно важна подготовка методической базы для современного обучения теории и методике обучения математике. Необходимо создание методического комплекса учебных пособий для студентов, в который целесообразно включить следующее: лекционный курс как руководство к самообучению студентов теории и методике обучения математике; соответствующий ему сборник практических заданий; пособие для подготовки к педагогической практике; сборник творческих заданий; компьютерные варианты названных пособий.

Тщательно проанализированный и обобщённый материал из опыта работы по названным пособиям позволит создать новые технологии теории и методики обучения математике XXI века.

Библиографический список

1. Андреев В.И. Педагогика: Учебный курс для творческого саморазвития. - 2-е изд. - Казань: Центр инновационных технологий, 2000. - 608 с.

2. Петрова Е.С. На пути к оптимизации курса методики обучения математике // Инновационные тенденции в системе высшего и среднего образования. Материалы Международной заочной научно-методической конференции: В 2 ч. Ч 2. - Саратов: Изд-во “Научная книга”, 2005. - 280 с. - С. 114-118.

3. Петрова Е.С. О совершенствовании лекционных и практических занятий по методическим дисциплинам // Основные направления совершенствования качества подготовки специалистов: Сборник научных трудов Четвёртой Международной заочной научно-методической конференции: В 3 ч. Ч. 3. - Саратов: Издательский центр “Наука”, 2007. - 270 с. - С. 14-22.

4. Петрова Е.С. Свёртывание и развёртывание учебной информации на занятиях по теории и методике обучения математике // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию “61 Герценовские чтения” / Под ред. В.В. Орлова. - СПб. : Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2008. - 301 с. - С. 45-50.

Тенденции и перспективы обучения учащихся математике в контексте личностно ориентированного и культурологического подходов

С.А. Гуцанович

В нынешних условиях стремительного развития различных отраслей науки выдвигаются существенные требования по повышению качества математического образования, которые заключаются в том, чтобы подрастающее поколение не только в должной мере овладело содержательной стороной предмета, но и приобрело целостное, системное видение прикладного и междисциплинарного значения математики. В Республике Беларусь сложившаяся система обучения подрастающего поколения математике сохранила многое из достижений и традиций прежней постсоветской эпохи: системность, фундаментальность, научность. Процессы модернизации отечественного математического образования призваны вывести эту систему на новый качественный уровень, в котором акцент ставится не только на знания как на общечеловеческий капитал, но и на формирование культурной, всесторонне развитой личности.

С учетом выше указанного контекста одним из приоритетных направлений исследований в Республике Беларусь, является переход системы математического образования, ориентированной на знания, к такой системе, где первостепенное значение отводится культурной лич-

ности, рассмотрение обучения учащихся математике как части общей культуры и ее важного фактора и источника развития. При рассмотрении каждого индивида как созидателя и творца материального и духовного, в процессе обучения математике можно констатировать, что культура является предпосылкой и результатом развития его как личности, а также существенным условием формирования научного мировоззрения.

О важности культурологического и практического потенциала математики и необходимости реализации личностно ориентированного подхода в обучении учащихся можно убедиться, проанализировав многочисленные публикации А.Н.Колмогорова. “Впечатление исключительной трудности математики иногда создается ее плохим, чрезмерно формальным изложением на уроке. Обычные средние человеческие способности вполне достаточны, чтобы при хорошем руководстве или по хорошим книгам не только усвоить математику, преподающуюся в средней школе, но и разобраться, например, в началах дифференциального и интегрального исчислений” [1. С. 28].

На основе анализа литературы можно констатировать, что реализация личностно ориентированного подхода в обучении математике дает основание считать, что приобретаемые учащимися знания должны быть многофункциональными для успешного решения проблем в повседневной жизни, межпредметными для применения в различных ситуациях, многомерными для самоорганизации созидательной деятельности. Осуществление культурологического подхода предусматривает формирование у школьников отношения к математике как структурообразующему фактору общечеловеческой культуры, осознание ими значимости математического образования для устойчивого развития современного общества.

Обозначим существенные, на наш взгляд, принципы при осуществлении личностно ориентированного (вариативности, природосообразности, дифференциации) и культурологического (мультикультурности, продуктивности, культуросообразности) подходов в обучении учащихся математике. Принцип вариативности может быть проинтерпретирован как процесс и результат развития многообразия и многосторонности внутреннего мира личности в математической деятельности. Использование принципа природосообразности предполагает учет закономерностей между восприятием и усвоением учащимися информации на основе возрастных и психологических особенностей и рациональным познанием в процессе изучения сложных математических фактов в контексте моделей реальной действительности. Принцип дифференциации подразумевает изменения в структуре, содержании и организации обучения уча-

щихся математике в соответствии с возрастными особенностями обучаемых, с уровнем их подготовленности к изучению предмета. Принцип культуросообразности ориентирован на отбор базовых математических теорий, понятий, моделей, объектов, имеющих общенаучное значение, необходимых для формирования личности как целостного феномена, а также для формирования у учащихся личностной установки на необходимость сохранения и развития выработанных человечеством в процессе своего развития ценностей и норм результатов математической деятельности. Принцип продуктивности обучения может быть рассмотрен в процессе усвоения понятий, идей и теорий на разных этапах изучения математического материала с целью осознанного их усвоения школьниками и последующего эффективного применения на практике для решения, как проблем повседневной жизни, так и глобальных проблем современной цивилизации. Принцип мультикультурности предполагает развитие у учащихся критического мышления в результате целостного анализа математических понятий, рассмотрение математической культуры как сложной системы взаимодействия различных видов культур: познавательной, интеллектуальной, эстетической и других.

В контексте личностно ориентированного и культурологического подходов выделим некоторые тенденции и перспективы обучения учащихся математике в Республике Беларусь на основе некоторых аспектов.

Аспект 1. Согласование позиций в отборе содержания математического образования, с одной стороны, в учебных программах для базового, повышенного и углубленного уровней изучения предмета, а с другой - в программах вариативного компонента.

Следует подчеркнуть существенные достижения национальных разработок, которые состоят в том, что на этапе допрофильной подготовки (8-10 классы) и профильного обучения (10-12 классы) учащимся предлагается три уровня изучения математики: базовый, повышенный и углубленный уровни. Это позволяет реализовать идеи уровневой и профильной дифференциации. Созданное учебно-методическое обеспечение еще нуждается в совершенствовании и доработке, а в отдельных случаях и в существенной переработке, где имеет место дублирование специальных тем, которые изучаются в вузах. При этом отметим, что только возможность углубленного изучения математики позволила сравниться с количеством часов отводимых на изучение предмета в довоенное и послевоенное время в СССР. В те времена математика изучалась ежедневно при 6-дневной учебной неделе, а в некоторые годы для младшего подросткового возраста количество часов в неделю достигало семи. Сейчас в учебном плане на изучение математике при 12-летнем образовании на

базовом уровне отводится 50 часов (еженедельно во всех классах, кроме 5 и 6 математике отводится 4 часа). К примеру, на изучение математики в СССР в 1988/89 учебном году отводилось в целом 60,5 часов в неделю на протяжении 11 лет.

Целостно в учебных программах и пособиях заложено содержание базового и повышенного уровней, что позволяет всем учащимся усвоить общеобразовательный минимум знаний, а также расширить и углубить этот минимум посредством фактов, комментариев, системы заданий, упражнений. Среди отдельных категорий граждан, не имеющих отношение к системе образования, бытует мнение о ненужности повышенного уровня изучения предметов. На примере математики можно просто выразить сущность повышенного уровня в виде известного афоризма: “Лучше решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем три различные задачи одним способом”.

Отдельно в учебных программах и пособиях заложено содержание углубленного уровня, что дает возможность учащимся усвоить усложненное и расширенное содержание представленного материала. Такое представление учебного материала позволяет учителю, проводящему уроки на том или ином уровне, более широко использовать арсенал всевозможных методов и приемов работы, глубже подойти к индивидуальности каждого учащегося.

Для системы математического образования вариативный компонент является достаточно новым термином. Ранее некоторые аспекты, с ним связанные, именовали внеклассной работой по математике. Однако в содержательном отношении термины “вариативный компонент по математике” и “внеклассная работа по математике” являются далеко не идентичными понятиями. По нашему мнению, вариативный компонент по математике должен относиться к школьному компоненту, проводиться в условиях определенного учреждения образования и иметь определенную последовательность в проведении занятий, в то время как внеклассная работа по математике может осуществляться эпизодично и объединять учащихся нескольких школ, например, при подготовке к олимпиадам.

В литературе отмечается, что вариативность относится к содержанию образования, и поэтому понятия “вариативный компонент” и “вариативное образование” тесно взаимосвязаны, что имеет достаточно широкое распространение в печатных работах Российской Федерации. На основе проведенного анализа можно констатировать, что вариативное образование всего лишь синонимический аналог образования по выбору. При этом у специалистов в области теории и методики обучения математике возникает необходимость в уточнении значения выбора -

для кого он, для чего, по каким критериям, показателям и методикам его целесообразно осуществлять.

В целом, реализация вариативного компонента в школьном математическом образовании должна способствовать: формированию научного мировоззрения и видения единой картины мира; развитию познавательного интереса школьников к математике как учебному предмету; выявлению учащихся, обладающих математическими способностями, и оказание им помощи в изучении предмета на повышенном или углубленном уровнях, в подготовке к олимпиадам; развитию каждого компонента математических способностей и всей структуры их в целом; формированию умений самостоятельно и творчески работать с научно-популярной математической литературой; углублению представлений учащихся об истории развития математики, ее становлении и современных научных достижениях [2].

Аспект 2. Выделение обязательных структурных компонентов для учебных программ инвариативного и вариативного компонентов и разработка перспективных учебно-методических комплексов с учетом основных направлений и содержательных линий профессионального самоопределения учащихся.

Для того, чтобы вариативный компонент отвечал нынешним требованиям реформирования системы общего среднего образования с ориентацией на личностно-ориентированный и культурологический подходы и способствовал своевременной социализации учащихся в направлении их профессионального самоопределения, следует разработать соответствующую теоретическую и нормативную модели и научно обоснованный состав, структуру и содержание программ занятий по интересам, факультативных занятий и курсов по выбору. В Национальном институте образования Республики Беларусь в рамках отраслевой научно-технической программы “Образование и здоровье” научными сотрудниками и временными научными коллективами осуществляется разработка методологических и прикладных основ для эффективного внедрения вариативного компонента в систему общего среднего образования по всем учебным предметам. На примере образовательной области “математика” представим некоторые результаты по рассматриваемой проблематике.

Программы занятий по интересам для 1-4 классов по математике могут быть представлены в целостном едином виде и ориентированы на развитие внутренней мотивации учащихся к предмету. В качестве примера можно привести следующие названия программ: “Математическая мозаика”, “Логические задачи”, “Занимательный калейдоскоп”, “Математические игры с предметами” и другие. Следует отметить, что для

успешного проведения занятий по интересам по математике существенное значение имеет использование наглядного и раздаточного материала.

В 10-летней общеобразовательной школе СССР факультативные занятия по математике были широко представлены в 7-9 классах, а особенно в 9-10 классах, что было обусловлено отсутствием повышенного и углубленного уровней для изучения предмета. В связи с введением допрофильной подготовки и профильного обучения необходимость в факультативных занятий по математике в 8-12 классах 12-летней общеобразовательной школы оказалась не столь востребованной. Они целесообразны в 5-7 классах, когда предмет изучается на базовом уровне. На наш взгляд, факультативные занятия по математике могут быть структурированы по двум блокам: направленные на программный материал и ориентированные на дополнительный материал по предмету. В качестве примеров программ по первому блоку могут быть: “Математика после уроков”, “Удивительный мир чисел”, “Признаки делимости”, а второго -“Решение нестандартных задач на делимость чисел”, “Решение нестандартных текстовых задач” и другие. Как в первом, так и втором случаях, основная цель факультативных занятий - расширение и углубление знаний учащихся по математике, связанных с программным материалом. Отметим, что в 5-7 классах в рамках реализации гимназического компонента, наряду с факультативными занятиями могут проводиться курсы по выбору, программы которых имеют относительную самостоятельность и независимость от изучаемого программного материала. Такими курсами по выбору являются: “Экскурсы в историю математики”, “Арифметические и логические головоломки”, “Развлечения геометрического содержания”, “Математика на материале народного творчества”.

Наиболее актуализированы курсы по выбору в 8-12 классах. По нашему мнению они могут быть структурированы по трем блокам: 1) образовательно-развивающий; 2) профессионально-ориентационный; 3) познавательно-культурологический [3].

Аспект 3. Подготовка научно-педагогических кадров для разработки, апробации и внедрения нового содержания программ и учебно-методического обеспечения с использованием новых информационных технологий для формирования у учащихся различных видов культур.

Для эффективной подготовки научно-педагогических кадров существенное значение может иметь осуществление двойного научного руководства с одной стороны, специалиста в области педагогических наук, с другой - профессионала в естественно-математическом направлении. Важно сотрудничество кафедр высших учебных заведений с научными лабораториями, учреждениями общего среднего образования и Ми-

нистерством образования по актуальным направлениям развития математического образования. Занятия по методике преподавания математики в большинстве учреждений образования Республики Беларусь осуществляются на 4-5 курсах. Среди отдельных преподавателей, которые читают курсы методик, имеет место мнение, что наиболее подготовленные и способные студенты к проведению научно-исследовательской деятельности уже выполняют проекты, касающихся задач фундаментальных исследований, а времени на проведение прикладных исследований недостаточно. Поэтому следует планировать написание дипломных проектов в дидактическом направлении на более ранних курсах. Целесообразны исследования студентов, которые имеют междисплинарные связи, в частности, на стыке математики, дидактики, психологии, философии. Для студенчества нашей страны важны совместные проекты со сверстниками из других государств. Актуальны специально организованная работа факультетов с научно-исследовательскими учреждениями по проведению республиканских и международных конференций и семинаров по педагогическому профилю с привлечением студенчества, выпуск соответствующих трудов молодых ученых, приобщение выпускников вузов к образовательным проектам. Необходимы определенные поощрительные меры для руководителей образовательных проектов при привлечении студенчества как со стороны руководства головных организаций-исполнителей программ и заданий, так и государственных заказчиков. В рассматриваемом направлении целесообразно отдельно рассмотреть приоритетную проблематику дидактических исследований.

В 2006-2008 гг. Национальном институте образования Республики Беларусь выполняется задание “Разработать научно-методическое обеспечение математического и естественнонаучного образования в контексте формирования у учащихся интеллектуальной, познавательной, экологической, экономической, информационной культуры как средства реализации личностно ориентированного и культурологического подходов” рамках отраслевой научно-технической программы “Образование и здоровье”.

Целью использования новых информационных технологий является разработка макетных образцов комплектов современных средств обучения и макетных образцов электронных компонентов учебно-методических комплексов нового поколения по математике, обеспечивающих создание высокотехнологической образовательной среды учебных заведений.

Аспект 4. Выбор уровня математического развития учащихся в качестве интегративного показателя качества образования по предмету в общеобразовательных учреждениях.

В условиях дифференцированного обучения при оценке качества математического образования с учетом выше указанных подходов суще-

ственное значение приобретает проблема установления критериев умственного развития. Анализ отечественных и зарубежных исследований показывает, что умственное развитие не сводится к определенному накоплению объема знаний и степени сформированности мыслительных операций, которыми владеет школьник, а имеет достаточно сложное структурное образование. На основе различных подходов для определения критериев умственного развития учащихся можно выделить следующие компоненты, характеризующие их мыслительную деятельность: 1) наличие знаний, умений и навыков; 2) сформированность приемов умственной деятельности; 3) выраженность определенных качеств мышления. Рассмотрение приведенных выше трех компонентов в процессе математической деятельности позволяет включить первые два компонента в состав математической подготовки, а третий - в состав математических способностей.

На основе такой классификации под математическим развитием следует понимать необратимый, многонаправленный процесс качественных изменений в умственной деятельности с учетом количественного накопления знаний, формирования навыков и умений по предмету.

В содержательном аспекте понятие “математическое развитие” можно идентифицировать с понятием “умственное развитие по математике”, которое является видовым к родовому понятию “умственное развитие” и включает в себя, прежде всего, понятия “математическая подготовка” и “математические способности”. При этом определенные качества мышления (гибкость, глубина, широта и т.д.) наиболее отчетливо раскрываются в математических способностях, а различные приемы умственной деятельности (сравнение, синтезирование, конкретизация и т.д.) - в знаниях, умениях и навыках по предмету. В свою очередь на ученика, как целостную функционально-динамическую психологическую систему и его математическое развитие, оказывают влияние другие факторы, но их роль не так непосредственна по сравнению с двумя основными компонентами “математическая подготовка” и “математические способности”.

Нами ранее было проведено самостоятельное фундаментальное исследование по выявлению и повышению уровня математического развития учащихся с учетом внешних условий и внутренних факторов [4, 5]. При этом для совершенствования качества математического образования нами были разработаны различные методики по отдельным компонентам структуры понятие “математическое развитие”

Аспект 5. Комплексный учет психолого-педагогических, психофизиологических и социально-психологических факторов для повышения уровня математического развития учащихся с соответствующей разработкой и корректировкой учебно-методического обеспечения.

Перспективным направлением в методической работе учителя является всесторонний учет внешних и внутренних факторов, объективных и субъективных условий, оказывающих влияние как на усвоение учащимися основных результатов обучения математике, так и на формирование их качественного характера мыслительной деятельности. При этом важно проводить сравнительный анализ влияния психолого-педагогических психофизиологических и социально-психологических факторов на состояние математического образования на основе специально разработанных методик. В процессе анализа психолого-педагогических факторов целесообразно рассматривать три сферы: мотивационную, познавательную и эмоционально-волевую [6].

Повышение уровня математического развития учащихся и возможность формирования разноуровневых гетерогенных групп (классов) в условиях дифференцированного обучения можно осуществлять на основе учета факторов, которые, в большей мере зависят от личности учащихся, включая мотивацию: внешнюю, внутреннюю. Целесообразно выявлять устойчивый интерес, неустойчивый интерес, аморфный интерес, а также осознанное и неосознанное отсутствие интереса. В рамках познавательной сферы следует рассматривать степень сформированности внимания и памяти обучаемых. В структуре эмоциональной сферы в процессе изучения математики следует учитывать степень тревожности учащихся как относительно устойчивую характеристику личности. Данная характеристика имеет свои специфические особенности в преломлении к конкретной деятельности и, в частности, к математической. С целью осуществления педагогического мониторинга целесообразно дополнить нормативно-методическое обеспечение учреждений образования новыми положениями для усиления индивидуального подхода к учащимся при изучении математики.

Аспект 6. Научное обоснование структуры и содержания учебно-методического обеспечения по математике на основе современных достижений дидактики, теории систем, положений теоретического моделирования и осуществление широкой публичной пропаганды важности предмета в жизнедеятельности общества и государства.

Для того, чтобы математическое образование эффективно развивалось, новые положения должны быть научно обоснованы и экспериментально подтверждены на практике. В свою очередь, недостаточно телевизионных передач, радиотрансляций, статей в популярных периодических изданиях, где бы рассматривались проблемы системы математического и естественнонаучного образования. Работу в данном направлении следует проводить системно на государственном и региональном уровнях. Актуально более тесное привлечение специалистов-теоретиков

в области математики к новым разработкам для системы общего образования.

Представленные аспекты являются одними из кратких результатов выполнения заданий в рамках программ “Образование и здоровье” и “Экономика и общество”, выполняемых в Республике Беларусь.

Библиографический список

1. Колмогоров, А.Н. Математика - наука и профессия. - М: Наука, 1988. - 288 с.

2. Гуцанович, С.А. К вопросу о построении теоретической и нормативной моделей вариативного компонента школьного математического образования // Матэматыка: праблемы выкладання. - 2006. - № 6. - С. 9-19.

3. Гуцанович, С.А., Новик, Н.А. Состояние и перспективы разработки вариативного компонента по математике в системе общего среднего образования / С.А. Гуцанович // Весшк адукацьп. - 2006. - № 11. -С. 4-12.

4. Гуцанович, С.А. Дидактические основы математического развития учащихся: Монография. - Минск: БГПУ им. М. Танка, 1999. - 301 с.

5. Гуцанович, С.А. Математическое развитие учащихся в условиях дифференцированного обучения: Автореф. дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.02 / Бел. гос. пед. ун-т. - Минск, 2001. - 39 с.

6. Гуцанович, С.А. Структура и учет в школьной документации уровней математического развития учащихся: Метод, пособие. - Минск-Могилев: БГПУ им. М. Танка - МГУ им. А.А. Кулешова, 1998. -64 с.

О преподавании математики в гуманитарной области высшего образования

И. К. Погорелов, В. В. Фирстов, В.Е. Фирстов

1. Проблематика и постановка задач. В последние десятилетия логика принципа дополнительности определенно проникла в систему дидактических принципов и, как следствие, необходимость реализации взаимодополняющих принципов (системности и последовательности, связь теории и практики и др.) в учебном процессе привела к тому, что в программы математических и естественнонаучных специальностей внесен весомый гуманитарный контент, а в программы гуманитарного образования добавлены соответствующие дисциплины из области математики и компьютерных наук, а также естественнонаучного цикла.

В современном преподавании математики в гуманитарных областях образования, в основном, преобладают два подхода: 1) сумма математических знаний, умений и навыков передается в рамках предметных курсов прикладного характера, типа: “Математические методы в искусствознании (психологии, социологии, юриспруденции и т.п.)”, с реализацией соответствующих компьютерных моделей на практических занятиях; 2) математический контент представляется в рамках курсов, типа “Математические основы гуманитарных знаний” [1].

В первом случае мы, по сути дела, имеем некоторую частную методику преподавания, в которой сама математика преподносится фрагментарно в рамках тех или иных моделей, а создание более-менее целостного представления о математике отводится обучаемому объекту. Во втором случае математика представляется как некоторый (в меру детализированный) целостный образ, связи которого в гуманитарной области устанавливают базис для математического моделирования, а вопрос о реализации самих моделей решается на уровне мотиваций заинтересованного субъекта.

Общие подходы к формированию эффективных стратегий преподавания математики в гуманитарной области, как представляется, должны исходить из кибернетических принципов, т.е. путем оптимального управления информацией, передаваемой в данном учебном процессе, которое регулируется двумя параметрами - пропускной способностью и помехозащищенностью данного канала [2].

2. Информационные параметры оптимизации, как функции показателей учебного процесса. Выделенные параметры оптимизации в отношении к обучению представляют функции показателей учебного процесса:

1). Пропускная способность является функцией уровней преподавания и организации педагогического общения, а также скорости восприятия учебного материала в процессе обучения. В свою очередь:

- а). Уровень преподавания определяется уровнем знаний преподавателя в соответствующей предметной области и его умением регулировать подачу предметного материала, добиваясь оптимума восприятия.

- б). Уровень организации педагогического общения определяется умением выстраивать оптимальные конфигурации на многообразии диалоговых форм передачи учебной информации для эффективного достижения целей обучения [3].

- в). Скорость восприятия учебного материала в процессе обучения сложным образом зависит от уровня преподавания и уровня организации педагогического общения, поскольку одним из параметров регулирования здесь выступает положительная избыточность подаваемой учебной информации, которая способствует повышению скорости вос-

приятия данной информации, если этот показатель отвечает оптимальным значениям.

2). Помехозащищенность в учебном процессе, главным образом, связана с минимизацией отрицательной избыточности информационных потоков, отсекая информацию, не отвечающую целям обучения.

Если речь идет о преподавании предметов междисциплинарного направления, то выделенная проблемная область, естественно, расширяется, т.к.: 1). Действующие государственные образовательные стандарты высшего профессионального образования (ГОС ВПО-2, 2000 г.) в части математической подготовки специалистов предусматривают профессионально-направленное обучение, однако само содержание профессионально-направленного обучения математике и его цели при этом не конкретизированы. Таким образом, вузам, кафедрам и преподавателям, фактически, поставлена задача самим сформировать и развернуть это содержание. 2). Для многих преподавателей обозначенное профессионально-направленное математическое обучение является инновационным, поскольку для его реализации преподавателям математики объективно требуются основательные знания в сопряженной прикладной области; если же такое обучение проводится усилиями профильной кафедры, то тогда необходим соответствующий уровень знаний по математике и основам математического моделирования у персонала данной кафедры. Это сопряжено с необходимостью повышения квалификации в соответствующей предметной области и вполне оправдано введение в программы аспирантуры соответствующего предметного компонента, как это предлагается в последних коммюнике Болонского процесса [4, 5].

3. Концепции формирования содержания обучения математике в гуманитарной области профессионального образования. В высшей школе при формировании содержания обучения особенно важно эффективно реализовать дидактический принцип научности, который в данном случае выступает в своем модифицированном варианте, известном как принцип научной селекции (И.Я. Конфедератов, 1969, [6]). Данный принцип особенно актуален при обучении предметам междисциплинарного блока, в частности, приложений математики, где оптимальное соотношение между количественными и качественными компонентами содержания обучения означает эффективное моделирование изучаемых процессов. Имеющийся опыт отечественного преподавания прикладной математики, в основном, затрагивает области естественных и технических наук и в этом случае экспертные данные [7] рекомендуют придерживаться следующих правил: 1). Вопросы математического контента и его объем по данной специальности должны решать специалисты в этой области; вопросы обучения - это прерогатива математиков-

профессионалов. 2). Умения и навыки математического моделирования формируются по схеме: определение базового математического контента —> обучение математике в рамках выделенного контента —> выработка умений и навыков математического моделирования по данной специальности —> компьютерная реализация и анализ результатов моделирования.

Если приведенные правила попытаться распространить в гуманитарную область приложений математики, то относительно представленной дидактической схемы принципиальных возражений нет. Что касается вопросов формирования математического контента и его преподавания, то здесь необходимо сказать, что предлагаемые рекомендации - это опыт преподавания кафедры высшей математики МФТИ, относящийся к физическим приложениям математики. Видимо, нет нужды подчеркивать, насколько традиционно тесной является взаимосвязь между физической наукой и математикой, что обуславливает близость психологии мышления и физиков и математиков. Связи между гуманитарной областью знаний и математикой пока известны в меньшей мере, но хорошо известно, что мышление математиков и гуманитариев, вообще говоря, отличается довольно заметно. Последнее дает основания полагать, что формирование обучения и вопросы самого обучения приложениям математики в гуманитарной области, следуя логике принципа дополнительности, должно проводиться при тесном творческом взаимодействии между специалистами гуманитарных и математических кафедр, хотя, при необходимости, это сотрудничество может быть и в более широком формате.

Цели математического обучения в гуманитарной области, касающейся категории эстетики, достаточно ясно обозначил Платон, который еще в IV в. до н.э. отмечал, как легко отыскать примеры прекрасного и как трудно объяснить, почему они прекрасны. В поисках истины, Сократ отождествлял красоту с целесообразностью, Пифагор связывал прекрасное с должным соблюдением пропорций, но, так или иначе, уже в античные времена возникла идея о существовании в категории прекрасного некого рационального ядра, которое можно выразить математическим языком. Именно это ядро представляет предмет обучения, цели которого сводятся к внедрению выделенного математического контента в сознание обучаемого контингента для формирования умений и навыков постижения закономерностей данной гуманитарной области через математику. Концептуально это сводится к проведению следующих оперативных мероприятий:

1). Определение информационных связей между предметными областями математического и гуманитарного знаний, что равносильно уста-

новлению структуры семантической сети, отражающей логические связи в рассматриваемой гуманитарной области знаний, задавая контуры расширений посредством креативных процессов. 2). Проведение лингвистической связи между математикой и гуманитарной областью. Информационные характеристики языков, их анализ и сравнение. Законы эстетики и языковые универсалии.

Эффективная реализация этих положений, в значительной мере, опирается на анализ и последующую дидактическую репродукцию имеющихся исторических традиций, из которых следует, что у колыбели большинства гуманитарных направлений, все-таки, стояла математика. Данные тезисы иллюстрируются на примерах.

4. Математика и живопись. Один из основных канонов живописной композиции связан с перспективой [8], которая реализует изображение предметов посредством центрального проектирования. Упоминания о перспективе относятся к 400 г. до н.э. и связаны с опусом Элиодора Ларисского [9]. Затем Евклид (ок. 365-300 гг. до н.э.) в трактате “Оптика” на языке перспективы дает толкование особенностей человеческого зрения при восприятии форм и размеров предметов. Каноном живописной композиции перспектива становится в XV-XVI вв. усилиями Л. да Винчи (1452-1519) и А. Дюрера (1471-1528).

Устанавливая лингвистическую связь между математикой и живописью, заметим, что всякое живописное произведение является некоторым источником информации, которая формируется посредством цвета, представляющего язык живописи. Цветовое пространство можно рассматривать в виде трехмерного действительного векторного RGB-пространства, в котором основные тона стандартной RGB-системы представляют ортонормированный базис так, что каждому цветовому тону взаимно однозначно соответствует некоторый трехкомпонентный вектор (R;G;B), причем, длина этого вектора характеризует яркость соответствующего цвета, а его направление определяет соответствующий цветовой тон и насыщенность [10]. Таким образом, устанавливается адекватная лингвистическая связь между цветовым языком живописи и формальным языком алгебраических символов в виде упорядоченных троек чисел. Покажем далее, как с помощью данного формального языка реализуется поиск эстетических закономерностей в живописной композиции. Для этого цветовой вектор (R;G;B) пронормируем, вводя так называемые координаты цветности

(1)

которая в сечении RGB-пространства определяет некоторый треугольник, который обычно называют цветовым треугольником [10, 11]. Тогда отображение (R;G;B) —> (г, д,Ь) - это перспектива цветового вектора (R;G;B) на плоскость цветового треугольника с центром в начале координат RGB-системы, и за всем этим обнаруживается куда более глубокая связь: точка (г, д,Ъ) является барицентром (центром масс) цветового треугольника, если его загрузить по вершинам точечными массами rriR = г, niG = g, тв = b, т.е. перспектива оказывается связанной с механикой. Из этих соображений, А.Ф. Мебиус в мемуаре “Барицентрическое исчисление” (1827) дает новую концепцию проективной геометрии [12].

Концепция барицентра тесно связана с правилом рычага Архимеда и определяет условия статического равновесия системы материальных точек. Если распространить эту концепцию в цветовое пространство живописных образов, то можно ввести представление о колориметрическом (цветовом) барицентре живописного произведения, в рамках которого можно говорить о цветовом балансе (гармонии) данного произведения. Тогда принцип перспективы реализует цветовую гармонию в живописи.

Реализация данного замысла предпринята в работе [13], в которой исследуемый живописный образ описывается декартовым произведением Im X F, где Im - поверхность изображения, с каждой точкой которой однозначно связан некоторый цветовой вектор (R;G;B) соответствующего цветового пространства F рассматриваемого живописного образа. Концепция колориметрического барицентра означает построение отображения

(2)

где M = R+G+B ф 0 - модуль вектора (R;G;B). Координаты цветности (1), как легко видеть, удовлетворяют следующему уравнению плоскости:

(3)

по которому каждой точке живописного образа, с учетом ее цвета, однозначно, по определенному правилу, ставится в соответствие некоторое число из множества неотрицательных действительных чисел W, представляющее “колориметрическую массу” данной точки. Таким образом, f(Im X F) определяет распределение колориметрической массы по поверхности живописного образа, с помощью которого, по известным формулам механики, определяется положение колориметрического барицентра этого образа, характеризующего его цветовой баланс.

Компьютерная реализация концепции колориметрического барицентра охватила исследованием более 1000 живописных произведений и представлена на рис. 1 в виде

Рис. 1

ансамбля барицентров этих произведений. Из рис. 1 видно, что в подавляющем большинстве случаев, как в русской, так и в европейской живописи, независимо от жанра, стиля и эпохи, колориметрический барицентр располагается в окрестности геометрического центра картины, внутри прямоугольника, образованного линиями золотого сечения по вертикали и горизонтали данной картины [13-15]. На рис. 2 показано положение колориметрического барицентра на полотне Л. да Винчи “Тайная вечеря”, который попадает на правый глаз Иисуса Христа, символизируя принцип: “Зри в корень”.

Рис. 2

Следовательно, живописцы достаточно тонко “чувствуют” сбалансированность своего произведения и (сознательно или интуитивно) избегают значительных отклонений от равновесия цветов в создаваемых картинах. Это дает основание полагать такой баланс важным элементом любого живописного произведения.

5. Язык, грамматика и математика. Язык человеческого общения - это та область, где принцип математической абстракции реализовался раньше всего, в виде письменности, представляющей формализацию человеческой речи с помощью символов. С появлением письменности довольно быстро возникла потребность в придании необходимой конфиденциальности письменных коммуникаций, реализация которой обеспечивается в рамках соответствующих приложений математики и, таким образом, на этом пути зародились такие междисциплинарные направления, как криптография и криптоанализ. Об этом уже упоминает известный древнегреческий историк Геродот в V в. до н.э. Одними из первых стали использовать так называемые подстановочные криптограммы, которые формировались посредством некоторой (конфиденциальной) перестановки букв соответствующего алфавита [16]. Однако, вскоре, обнаружили простой способ дешифровки подстановочных криптограмм, используя тот факт, что различные буквы естественного языка в содержательных текстах встречаются не одинаково часто. Так, например, располагая буквы в порядке убывания частот (начиная с самой часто появляющейся буквы), для русского языка появляется последовательность: о, с, а, и, т, н, с, ... [2]. Известно [17], что с изобретением электромагнитного телеграфа (1837), передающего сообщения при помощи телеграфного ключа, С. Морзе (1791-1872) разработал специальную азбуку - двоичный код из точек и тире. При этом, естественно, для более часто встречающихся букв комбинации точек и тире должны быть проще, что, собственно, и сделал Морзе.

Другое важное направление структурной лингвистики, зародившееся в эпоху древней письменности, связано с разработкой методов скоростного письма - стенографией. Стенография существовала еще в Древнем Египте, где служила для записи речей фараонов, и затем, примерно в IV в. до н.э., появилась у древних греков, о чем свидетельствует найденная в Афинах в 1883 г. мраморная “Акропольская плита” с высеченными стенографическими знаками, которую относят к 350 г. до н.э. [18]. Система древней стенографии носила “словный” характер, т.е. каждый стенографический символ (знак) выражал некоторое слово. Как

следствие, алфавит стенографических символов исчислялся тысячами знаков, запомнить которые было очень трудно. Стенография оставалась “словной” до начала XVII в., когда появилась более совершенная буквенная система стенографии, основанная на несколько иных принципах, связанных с частотным анализом слов в тексте. В России на сегодняшний день на государственном уровне действует система стенографии Н.И. Соколова, принятая 10 июня 1933 г. Между тем, исследования в области оптимизации систем стенографии выявили совершенно иной подход в количественном описании содержания сообщения. В начале XX в. стенографист французского парламента Ж.-Б. Эступ [19] предложил строить систему стенографии, исходя из частотного анализа слов в тексте: стенографический символ должен быть тем проще, чем чаще встречается то слово, которое он обозначает. При этом Эступ обнаружил замечательный факт: если через pi обозначить относительную частоту г-го слова в словарном списке, то приближенно выполняется закономерность:

(4)

В 1935 г. вышла книга американского лингвиста Дж. Ципфа “Психобиология языка” [20], в которой приводилась содержательная трактовка обнаруженной зависимости (4), после чего, собственно, она и стала именоваться “законом Ципфа”. В частности, Ципф установил, что закономерность (4) справедлива не для произвольной лексической выборки, а лишь для таких, словарь которых составляет около 22000 слов при общем объеме выборки (“объем Ципфа”) около 200000 словоупотреблений. В 50-х гг. XX в. Б. Мандельброт к интерпретации закона Ципфа привлек кибернетические соображения, рассматривая процессы оптимизации кодирования [19], и, таким образом, пришел к следующей зависимости:

(5)

которая известна как закон Ципфа-Мандельброта и, в частности, при В = 0, 7 = 1 этот закон переходит в закон Ципфа (4). Попутно обнаружился поразительный факт: закон Ципфа-Мандельброта (5) хорошо согласуется с частотными данными отдельных литературных произведений с четкой сюжетной линией и практически не выполняется для частотных данных по произвольным лексическим выборкам, не обладающих смысловой корреляцией. Иными словами, закон Ципфа-Мандельброта оказался законом не языка, а текста, представляющего отдельное

чрезвычайно высокоорганизованное семантически коррелированное сообщение.

В 70-х гг. удалось найти алгоритмы частотной ранжировки произведений живописи и музыки [20], позволившие реализовать соответствующие спектры рангово-частотных распределений отдельных музыкальных и живописных композиций, в которых также прослеживаются закономерности (4), (5). В целом, механизмы степенных статистик типа законов Ципфа или Ципфа-Мандельброта, как правило, реализуются в сложных системах посредством формирования дальнодействующих причинно-следственных корреляций, когда одно событие спонтанно влечет другое, третье, лавину изменений, затрагивающих всю систему, реализуя сценарий самоорганизованной критичности [21].

Такого рода исследования информационных закономерностей значительно облегчаются при использовании компьютеров. В этой связи реализована оригинальная компьютерная программа для анализа текстов литературных произведений. На рис. 3 представлены реализации закона Ципфа-Мандельброта для произведения Ф.М. Достоевского “Преступление и наказание” в русской (слева) и английской (справа) версиях.

Видно, что языковые особенности (разное количество букв в алфавите) сказывается на характере коэффициентов корреляций (сплошные линии). На рис. 4 те же зависимости получены для Библейских сюжетов “Книга Иова” (слева) и “Первая книга Моисея” (справа). В данном слу-

Рис. 3

Рис. 4

Дидактически, представленный материал можно использовать для отбора материала при формировании базисного математического контента при обучении основам математики в живописи и языкознании, а также для иллюстрации опыта математического моделирования при анализе закономерностей композиционной структуры и гармонии живописных и литературных произведений.

Библиографический список

1. Салий В.Н. Математические основы гуманитарных знаний. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. - 308 с.

2. Яглом А.М., Яглом И.М. Вероятность и информация. - М.: Наука, 1973. - 511 с.

3. Реан А., Бордовская Н., Разум С. Психология и педагогика. - СПб.: Питер, 2006 - 432 с.

4. Формирование общеевропейского пространства высшего образования / Коммюнике Конференции министров высшего образования. - Берлин, 19 сентября, 2003 г.

5. Европейское пространство высшего образования - достижение целей / Коммюнике европейских министров высшего образования. -Берген, 19-20 мая, 2005 г.

6. Архангельский С.И. Лекции по теории обучения в высшей школе. -М.: Высшая школа, 1974. - 384 с.

7. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. -М.: Наука, 1977. - 112 с.

8. Соловьев С.А. Перспектива. - М.: Просвещение, 1981. - 144 с.

9. Зенкевич И.В. Эстетика урока математики. - М.: Просвещение, 1981. - 79 с.

10. Джадд Д., Вышецки Г. Цвет в науке и технике. - М.: Мир, 1978. -592 с.

11. Гуревич М.М. Цвет и его измерение. - М.: Изд-во АН СССР, 1950. -268 с.

12. Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс. - М.: Наука, 1987. -160 с.

13. Волошинов А.В., Фирстов В.В. Концепция колориметрического барицентра и некоторые структурные закономерности цветового пространства живописи // Вестник СГТУ, 2006. № 2(13). Вып. 2. -С. 150-160.

14. Firstov V. V., Firstov V.E., Voloshinov A. V. The concept of colorimetric barycenter in group analysis of painting // Culture and Communication. Proc. XIX Congr. Intern. Assoc. Empirical Aesthetics / Eds. H. Gottesdiener, I.-V. Vilatte. - Avignon, IAEA, 2006. - P. 439-443.

15. Firstov Valeriy, Firstov Victor, Voloshinov Alexander, Locher Paul. The Colorimetric Barycenter of Paintings // Empirical Studies of the Arts, 2007. V. 25. № 2. - P. 209-217.

16. Аршинов М.Н., Садовский Л.Е. Коды и математика. - М.: Наука, 1983. - 144 с.

17. Кудрявцев П.С. Курс истории физики. - М.: Просвещение, 1982. -448 с.

18. Гильдебранд А.Г. Стенография. - М.: Изд-во МГУ, 1968. - 100 с.

19. Мандельброт Б. Теория информации и психолингвистика: теория частот слов / В сб. Математические методы в социальных науках. -М.: Прогресс, 1973. - С. 316-337.

20. Орлов Ю.К. Невидимая гармония // Число и мысль. Вып. 3. - М.: Знание, 1980. - С. 70-106.

21. . Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Синергетика, прогноз и управление риском // Синергетическая парадигма. Нелинейное мышление в науке и искусстве. - М.: Прогресс-Традиция, 2002. - С. 378-405.

Развитие эстетических качеств студентов при обучении фрактальной геометрии

В.С. Секованов, Ю.В. Кудряшова

Особенность математики заключается в том, что в ней, как и в искусстве, заложен огромный эстетический потенциал, который позволяют обнаружить красивые математические доказательства и средства современных информационных и коммуникационных технологий (ИКТ). С повышением уровня математической подготовки студентов усиливается влияние эстетических мотивов на осуществление поисковой деятельности, расширяется круг эстетических факторов и их выбора в различных конкретных ситуациях, что способствует более высокому пониманию математической красоты, которое соотносится с творческой математической деятельностью, с изящностью рассуждений, с различными способами решения задач, а также является стимулом для изучения как можно большего количества средств ИКТ, чтобы проверить свои результаты, реализовать идеи.

Фракталы, как ничто другое являются средством интеграции математики и информатики, а также хорошей возможностью развивать у студентов эстетический потенциал. Использование ИКТ при построении различных множеств дает возможность визуализировать математические объекты, которые в большинстве случаев невозможно построить без компьютерных средств.

L-системы дают огромные возможности конструировать фракталы и строить их с помощью компьютера. Описание фрактальных множеств с помощью L-систем доступно каждому студенту. При создании художественных композиций его ждет интересная многогранная работа.

Следует отметить, что нельзя дать строгих рекомендаций человеку, создающему компьютерный рисунок, поскольку творческий процесс невозможно спрогнозировать или запрограммировать. Здесь все зависит от фантазии, интуиции, вдохновения человека. Он просто становится компьютерным художником. Для создания новой художественной композиции мы пользуемся библиотекой как классических фракталов, так и фракталов, созданных авторами с помощью порождающих правил L-систем и компьютерных программ.

Рассмотрим этапы создания художественной композиции, состоящей из наложения нескольких фракталов. Сначала создается программа для построения фракталов. Затем выбирается фрактал из списка построенных множеств данной программой, указывается количество итераций, длина шага черепашки и нажимается кнопка построить. На мониторе

появится определенная итерация фрактала. Она сохраняется с расширением “bmp” в том каталоге, где находится программа для построения фракталов. Эти же операции повторяются для построения и сохранения в файл определенной итерации других фракталов.

Для создания художественной композиции можно использовать графический редактор Adobe PhotoShop [1]. Используя редактор PhotoShop, открываем сохранённые прежде рисунки. На панели инструментов редактора PhotoShop выберем инструмент “перемещение” и поместим соответствующую итерацию одного фрактала в соответствующую итерацию другого фрактала. Затем используя инструменты выделения (например, “волшебную палочку”), избавляемся от ненужных деталей (фон). Отметим, что полученные объекты можно трансформировать. У нас получится наложение одного рисунка на другой.

Сохраним полученный рисунок в формате “bmp”.

Теперь желательно раскрасить фрактал, поскольку цветной фрактал особенно привлекателен и красив.

Приведенные композиции (рис. 1-2) получены с помощью классического фрактала “Снежинка Коха”, описанного в среде Delphi процедурой:

Рис. 1. Узор Рис. 2. Брошь

Построение первой композиции (рис. 1) происходит с помощью ИКТ Delphi и Adobe Photoshop в несколько этапов:

1) в среде Delphi строится с помощью L-систем выше указанный фрактал;

2) с помощью Adobe Photoshop фракталы накладываются друг на друга (работу с Adobe Photoshop можно найти в справочной литературе).

Вторая композиция (рис. 2) получена также с помощью ИКТ Delphi и Adobe Photoshop при итерировании функции /(z)=z2+c и использовании “Снежинки Коха” . Схема создания композиции следующая:

1) повторяет построение первого пункта в предыдущем примере; затем строим заполняющее множество Жюлиа, полученное итерированием функции f(z) = £2-0,24251+0,827-7;

2) множество Мандельброта и полученные фракталы с помощью Adobe Photoshop налагаются друг на друга.

Как видно из предложенных алгоритмов, вся работа ориентирована на этапы: 1) придумывание аксиомы и порождающего правила, которые будут положены в основу поэтапного построения объекта с помощью тертл-графики; 2) разработка компьютерной программы; 3) художественное творчество с использованием Paint, CorelDRAW, Adobe Photochop и других графических редакторов, которые приводят каждый раз к интересным результатам и несомненно способствуют развитию эстетических качеств личности работающего с фракталами.

Библиографический список

1. Секованов В.С. Формирование креативной личности студента вуза при обучении математике на основе новых информационных технологий. Кострома: Изд-во КГУ им. Н.А. Некрасова, 2004.

Информационные и коммуникационные технологии как средство формирования профессиональных умений будущих учителей математики и информатики

Н.Д. Кучугурова

В настоящее время образование должно быть ориентировано на раскрытие способностей человека и создание условий, позволяющих реализовать свои потенциальные возможности, научиться социальной ответственности, стать настоящим профессионалом. При этом будущий специалист должен быть готовым к профессиональной деятельности в быстро меняющемся мире, уметь работать в коллективе над решением общих проблем, выполнять разнообразные социальные функции.

Особого внимания требует подготовка учителя, т.к. изменились социально-педагогические условия его работы, поэтому профессиональная подготовка должна быть направлена на исследование многообразия подходов к построению школьных курсов математики и информатики, уровневой и профильной дифференциации в современной школе, применения современных образовательных технологий.

Специфика педагогического образования состоит в том, что оно должно быть направлено прежде всего на широкую общекультурную подготовку, то есть будущий педагог должен быть погружен в контекст общечеловеческой культуры, различных языков, видов искусства, способов деятельности во всем их своеобразии. Достичь такого уровня подготовки возможно при условии наличия высокой информационной культуры будущего специалиста. Современный специалист должен уметь использовать весь набор современных информационных технологий в своей повседневной деятельности. Сегодня, когда информация становится стратегическим ресурсом развития общества, а знания - предметом относительным и ненадежным, так как быстро устаревают и требуют в информационном обществе постоянного обновления, становится очевидным, что современное образование - это непрерывный процесс. В связи с бурным ростом объема человеческих знаний обостряется проблема качества образования, которое уже недостаточно соответствует требованиям современного общества.

В связи с этим очевидно противоречие, заключающееся в следующем: с одной стороны, построение информационного общества требует повышения уровня информационной культуры студентов, а с другой стороны, существующая система профессиональной подготовки студентов не может в полной мере обеспечить их готовность к профессиональной деятельности в условиях открытого информационного общества.

Обратим внимание на основные требования, предъявляемые работодателями к личностным качествам учителя: знание своего предмета и методики его преподавания; умение планировать свою деятельность и правильно организовать деятельность обучаемых; широкий кругозор, стремление к приобретению новых знаний; умение работать с информацией; высокая работоспособность; ответственность; умение самостоятельно действовать в условиях непредвиденных ситуаций. К второстепенным качествам личности специалиста можно отнести: элементарные навыки владения иностранными языками; ведение исследовательской работы; здоровый образ жизни и т.д.

Основные недостатки, которые отмечают директора школ: некомпетентность, несобранность, нежелание овладевать новыми технологиями и т.п.

С учетом этих обстоятельств при подготовке будущих педагогов необходимо не только использовать последние достижения современной науки, но и активно внедрять информационные и коммуникационные технологии (ИКТ) в учебный процесс.

Общество заинтересовано в том, чтобы система общего образования обеспечивала своим выпускникам необходимый уровень подготовки в области информатики, информационных и коммуникационных технологий, а система профессионального образования обеспечивала подготовку профессиональных кадров и специалистов к реализации возможностей средств ИКТ во всех сферах их жизнедеятельности в информационном обществе.

Заметим, что под средствами формирования личности специалиста в вузе будем понимать все то, через что осуществляется целенаправленный процесс развития ее компонентов до более высокого уровня в ходе профессиональной подготовки: разнообразные виды и способы организации деятельности в учебной образовательной среде, содержание, методики, технологии и т.п.

Соглашаясь с мнением ученых, под средствами информационных и коммуникационных технологий будем понимать программно-аппаратные и технические средства и устройства, функционирующие на базе микропроцессорной техники и систем транслирования информации, систем информационного обмена и доступа к информационным ресурсам компьютерных сетей, обеспечивающие доступ к информации, ее обработку, сбор, накопление, передачу и хранение [1].

Их использование поможет создать необходимые условия формирования профессиональных умений будущих учителей, поможет интенсифицировать учебный процесс, что позволит осуществить незамедлительную обратную связь; компьютерную визуализацию учебной информации; архивное хранение больших объемов информации с возможностью легкого доступа пользователя к центральному банку данных; автоматизацию процессов вычислительной, информационно-поисковой деятельности.

Новые ИКТ обладают большими дидактическими возможностями и позволяют усилить эффект человеческих действий не через отдельные свои элементы, а путем сочетания их в единую цепь [1]. Их реализация поможет создать предпосылки интенсификации образовательного процесса и методики, ориентированные на развитие интеллекта обучаемого, на самостоятельное извлечение и представление знания, формирование умений.

Методики создания и использования ИКТ включают следующие этапы: создание мультимедийных лекционных демонстраций; разработка

виртуальных многокомпонентных и дистанционных лабораторий и практикумов; применение компьютерных технологий в курсовом и дипломном проектировании; формирование электронных библиотек и т.д.

Создание и использование электронных задачников практикумов позволяет организовать практическое изучение процессов и явлений, рассматриваемых в теоретическом курсе различных учебных дисциплин. Наиболее эффективным вариантом реализации электронного практикума является организация лабораторных работ с удаленным доступом. При этом у студентов формируется и совершенствуется целый комплекс профессиональных умений: аналитических, прогностических и проективных, которые позволяют освоить и с успехом осуществлять конструктивную и гностическую деятельности.

Помощь преподавателям в разработке и применении электронных учебников позволяет будущим математикам и информатикам научиться определять индивидуальные и оптимальные учебные траектории, управлять ими, оптимизировать учебный материал, подбирать средства диагностики и коррекции знаний, разветвленную сеть обратной связи. Кроме того, применение электронных учебников позволяет наряду с занятиями под руководством преподавателя заниматься самостоятельно изучением новых дисциплин, используя представляемый электронный материал в качестве полноценного учебного пособия, а также помощника-консультанта и экзаменатора.

Например, при проведении лекционных занятий по педагогической информатике в качестве основных дидактических средств, соответствующих новым информационным технологиям, выступают мультимедийные курсы лекций, читаемые в специально оборудованной учебной аудитории. Они строятся нами с учетом уровня подготовленности студенческой аудитории и специфики указанной дисциплины, использующей большое количество разнообразных статистических данных, представленных в табличном или графическом виде. Такие лекции сочетают технические возможности компьютерной и аудиовидеотехники в наглядно-образном представлении учебного материала с общением лектора в аудитории. Подобная организация лекционных занятий базируется на технологии визуализации учебной информации, которая представляет собой систему, состоящую из следующих слагаемых: “комплекс учебных знаний; визуальные способы их предъявления; визуально-технические средства передачи информации; набор психологических приемов использования и развития визуального мышления в процессе обучения” [2].

Исследования в области психологии показывают, что для облегчения работы памяти и мышления необходимо использовать большие возможности нижних кодовых систем: удачное расположение записей (напри-

мер, сжатая двухэтажная форма записи правил и определений), варьирование размеров шрифта, разнообразные подчеркивания, применение символов в тексте, выразительность чертежей и графиков, насыщение их цветом, контрастом, поэтому в качестве визуальных способов представления знаний мы используем статистические графики и таблицы, расчетные формулы, сжатые двухэтажные формы записи определений и другие словарно-схематические формы изложения материала, позволяющие дать отчетливое представление о сути и взаимосвязях отдельных показателей.

Таким образом, сочетание информационных технологий с технологией визуализации на лекционных занятиях позволяет раскрыть и освоить на новом уровне “золотое правило дидактики” - принцип наглядности, соблюдение которого так будет необходимо будущему учителю.

Следовательно, применение информационных технологий делает образовательный процесс более интенсивным и содержательным, поскольку ему придаются такие новые качества как информативность, увлекательность, а также наглядность. Студенты думают, творчески подходят к решению проблем, анализируют разные варианты, т.е. формируют собственную картину взглядов на решение той или иной проблемы и одновременно формируют умение работать с информацией.

Умения находить и получать информацию из разных источников развиваются в результате выполнения самостоятельной работы, которую преподаватель планирует и контролирует. Так, например, по всему курсу педагогической информатики нами выделено 15 вопросов, предусмотренных для самостоятельного изучения студентами. Они охватывают разные темы курса с учетом информационного насыщения лекционного занятия по соответствующей теме и доступностью изложения надлежащего материала в разных источниках информации.

Умения обрабатывать и анализировать информацию - это одни из основных умений будущих учителей. Поэтому их формирование осуществляется непрерывно на каждом занятии и продолжается во время внеаудиторной (домашней) работы. Для этого подбирается система упражнений по обработке и анализу текстового материала (умение слушать, понимать, выделять главное, записывать прочитанное, обобщать, делать выводы).

Умения представлять и передавать информацию (коммуникативные умения) при овладении студентами различных курсов закрепляются в основном на практических занятиях, где происходит не только выработка практического умения решать конкретные задачи различного типа в области, например, педагогической информатики, но и разбираются основные категории и методы, связанные с педагогической наукой, путем проведения дискуссий при устном опросе и докладах студентов.

Существенное улучшение качества образования, повышение заинтересованности студентов в приобретении знаний возможно при использовании в учебном процессе электронной почты и широких возможностей, предоставляемых сетью Интернет. Используя эти технологии, преподаватель может организовать общение со студентами путем рассылки учебных материалов по электронной почте, организацией устойчивой обратной связи со студентами путем передачи вопросов и приема ответов рубежных и курсовых работ по электронной почте, обсуждением в диалоговом режиме учебного материала, использованием гипертекстовых обучающих курсов, доступных в сети, использованием программных средств поиска и сбора информации по конкретному учебному или научному вопросу. А в перспективе, хотим мы того или нет, но нам придется обратиться и к другим формам образования. Уже сейчас со всей актуальностью встает проблема дистанционного обучения на базе ИКТ.

Кроме того, ИКТ позволяют создать такие условия учебного взаимодействия между обучаемым, обучающим и средством обучения, когда к каждому человеку относятся как к высшей самостоятельной ценности; содержание, формы, методы и средства обучения обеспечивают эффективное развитие индивидуальности обучаемого, способствуют становлению таких личностных качеств, как самообразование, самовоспитание, самообучение, саморазвитие, формирование творческих способностей, познавательного интереса, трудолюбия, умения применять полученные знания на практике; максимально учитывают индивидуальные особенности обучаемого и предпочитаемые способы работы с учебным материалом, что соответствует целям личностно ориентированного обучения, а, значит, будущие учителя освоят умения работать в системе личностно развивающего образования.

Таким образом, можно с уверенностью сказать, что использование ИКТ позволяет обеспечить положительную мотивацию обучения с помощью интерактивного диалогового гипертекста; активизировать познавательную деятельность студентов; проводить занятия на высоком эстетическом и эмоциональном уровне; обеспечить возможность работы на индивидуальной траектории развития; усовершенствовать контроль знаний; обеспечить доступ к различным справочным системам, электронным библиотекам, другим информационным ресурсам; способствовать созданию благоприятных условий для развития личностных качеств будущего специалиста: способности к самообразованию, саморазвитию, самоопределению, что позволяет наиболее полно освоить целый комплекс профессиональных умений будущего учителя.

Библиографический список

1. Роберт И.В., Панюкова С.В., Кузнецов А.А., Кравцова А.Ю. Информационные и коммуникационные технологии в образовании:

Учебно-методическое пособие для педагогических вузов / Под редакцией И.В. Роберт. М., 2006. - 374 с. 2. Лаврентьев Г В. Инновационные обучающие технологии в профессиональной подготовке специалистов / Г.В. Лаврентьев, Н.Б. Лаврентьева, Н.А. Неудахина. Ч. 2.- Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2002. С. 145.

О подготовке учителя математики к применению информационных технологий в своей профессиональной деятельности

Е.М. Ганичева

Обеспечение качественной подготовки специалиста в настоящее время невозможно без использования в учебном процессе средств информационных и коммуникационных технологий. Очень активно идет процесс оснащения школ компьютерной техникой и программным обеспечением. Эффективное использование в процессе обучения важнейших преимуществ информационных технологий является основной задачей информатизации образования. При этом возникает проблема взаимосвязи традиционного методического обеспечения учебного процесса с современными информационными технологиями.

Зарубежный и отечественный опыт показывает, что информационные и коммуникационные технологии (ИиКТ) целесообразно применять при изучении всех учебных предметов. При этом важной задачей является использование дидактических возможностей новых средств обучения, позволяющих качественно изменить методы, формы и содержание обучения.

Современный преподаватель должен быть подготовлен к применению информационных технологий в профессиональной деятельности и в качестве средства обучения своему предмету, и как средства организации своей деятельности. На наш взгляд, эффективное, а не демонстрационное использование электронно-коммуникационных средств обучения возможно лишь в том случае, когда компьютер станет инструментом профессиональной деятельности учителя. А степень владения этим средством и будет определять уровень применения в обучении новых информационных технологий. Поэтому актуальной становится задача организации обучения учителей использованию информационных технологий, прежде всего, в своей профессиональной деятельности.

В настоящее время в становлении профессиональной компетентности педагогов большую роль играет программа Intel “Обучение для будущего”. Программа ориентируется на использование приложений Microsoft

Office в решении задач обучения и воспитания. Однако для учителя недостаточно приобретения навыков использования офисных технологий, необходимо показать, как информационные технологии обеспечивают совершенствование процесса обучения, организацию деятельности учащихся по решению важных общеобразовательных и учебных проблем.

Процесс подготовки педагогических кадров в области использования средств ИКТ в учебно-воспитательном процессе средней школы в условиях функционирования школьной информационной образовательной среды исследовала Н.Л. Дашниц [2]. Ею разработаны методические подходы к подготовке кадров в области совершенствования учебно-воспитательного процесса на основе комплексного использования средств информационных и коммуникационных технологий; разработаны методические подходы к использованию учителями распределенных информационных ресурсов различных предметных областей на основе проектной деятельности. Для организации обучения учителей предлагается программа курса “Организация проектной деятельности на основе телекоммуникаций”. Содержание курса включает в себя следующие блоки: общеобразовательный, мировоззренческий, психолого-педагогический, технологический. К общеобразовательным относятся знания в области ИКТ, которыми должен обладать любой гражданин информационного общества. Знания мировоззренческого компонента относятся к социально-гуманитарной сфере и отражают проблемы, связанные с последствиями информатизации, воздействием её на личность, образование, общество в целом. Психолого-педагогический компонент включает знания, умения навыки, специфичные для педагогической деятельности. Технологический компонент включает основные знания и умения, связанные со спецификой средств ИиКТ, применяемых в учебном процессе.

Одним из перспективных направлений применения информационных технологий в деятельности преподавателя можно назвать компьютерную технологию подготовки и проведения учебных занятий, разработанную С.П. Седых [3]. В ней предусматривается использование компьютера преподавателем при подготовке к занятию для структурирования и оформления содержания воспринимаемого учащимися учебного материала, построение сценария учебного занятия и обеспечение программной поддержки процесса подготовки и проведения учебных занятий, состоящей из подструктур действий преподавателя и действий обучаемого. Поддерживаются обеспечение мотивации, формирование знаний, умений и навыков, запрос обучаемым дополнительной учебной информации, контроль действий, проверка знаний, умений и навыков, создание ситуаций отдыха.

Применение компьютера существенно улучшает обучение. Однако должен ли учитель должен овладеть профессией программиста? Трудоёмкость подготовки учебных материалов, по мнению С.П.Седых, может быть уменьшена путем передачи компьютеру рутинных действий. А для этого нужны обобщенные сущностные характеристики этих действий, которые могут пригодиться в дальнейшем для проектирования применения компьютера в обучении. Автор выделяет проблему выделения обобщенных сущностных характеристик действий преподавателя по подготовке и проведению занятия и использование их для построения компьютерной технологии.

По нашему мнению, эффективным может стать обучение на основе конструирования предметного учебно-информационного комплекса (УИК) [1]. Учебно-информационный комплекс является средством обучения, представляющим собой синтез предметного учебно-методического комплекса и системы компьютерной, или информационной поддержки. Впервые эта структура была предложена С.П. Грушевским. Опыт использования УИК в учебном процессе показывает высокую эффективность этой дидактической структуры. А процедуры проектирования и конструирования УИК и системы его информационного обеспечения могут быть одним из направлений обучения педагогов.

Формируя компоненты УИК (рис. 1), можно реализовать методическую систему преподавателя, включающую в себя цели, содержание, методы, формы и средства обучения.

Рис. 1

С целью формирования теоретической и практической готовности педагогов к использованию информационных технологий в своей профессиональной деятельности, создания условий для совершенствования учебно-воспитательного процесса на основе применения электронных средств обучения в Вологодском институте развития образования разработана дополнительная профессиональная образовательная программа “Конструирование предметного учебно-информационного комплекса (математика)”.

Курс обучения включает основные этапы:

- общее представление об аппаратных средствах и программном обеспечении новых информационных технологий;

- структурирование содержания тем изучаемого предмета и выделение системы основных понятий, фактов, способов действий;

- представление теоретического содержания темы в виде гипертекста;

- подготовка базы данных заданий по теме: подбор примеров, познавательных, межпредметных и профессиональных задач;

- представление изучаемого материала различными способами для реализации методов обучения;

- разработка средств обучения;

- представление электронного варианта УИК по предмету или по отдельным темам предмета в виде web-сайта.

Учебно-информационный комплекс должен включать и средства для получения диагностической картины о результатах учебного процесса, о сформированности определенных качеств знаний учащихся. При организации этой работы учащихся очень эффективным, по нашему мнению, является применение компьютерной техники. Это позволит обеспечить принцип индивидуализации обучения, дает возможность сразу после окончания работы учащегося наглядно показать результаты, зафиксировать достижения, сохранить и сравнить их в динамике. На основе диагностики планируется система уроков по теме с выбором оптимальных организационных форм, методов и средств обучения.

Данная программа направлена на обучение преподавателей математики образовательных учреждений области, в том числе общеобразовательных школ, учреждений дополнительного образования детей, профессиональных училищ, лицеев, колледжей и т.д., а также специалистов управлений образования, методических служб, исходя из образовательных потребностей.

Программа предусматривает обучение педагогов, имеющих базовый уровень сформированности ИКТ-компетентности, который включает: общее представление об устройстве компьютера; владение основными

приёмами работы с операционной системой Windows; умение создать несложный документ в текстовом редакторе Word, простую расчетную таблицу в Excel, презентацию в PowerPoint.

Проведение входной диагностики методом анкетирования позволяет определить знания и умения педагогов в области информационных технологий, уровень мотивации деятельности, выявить факторы, стимулирующие и препятствующие применению ИКТ в деятельности педагогов. Обработка и осмысление результатов диагностики позволяет каждому педагогу сформулировать личностно значимую задачу обучения. По мере обучения задачи корректируются, изменяются.

Выполняя практические задания, педагоги разрабатывают материалы для предметного учебно-информационного комплекса по одной, предложенной для всех, теме. Такой вариант организации совместной деятельности позволит получить значимый результат и более полное представление о компонентах УИК.

Для реализации программы предполагается использовать разнообразные организационные формы и методы обучения: лекции, семинары, практикумы, “круглые столы”, групповые и индивидуальные консультации, информационно-обучающие занятия с использованием ПК и др. Предусматривается и самостоятельная работа слушателей по индивидуальным планам.

Слушатели курсов осуществляют выбор форм и содержания повышения квалификации с учетом своих образовательных потребностей. С этой целью к программе прилагаются:

- методические рекомендации по конструированию учебно-информационного комплекса по математике;

- списки литературы;

- примерные практические задания.

Программа может дополняться методическими рекомендациями по использованию дидактических возможностей программного обеспечения, содержание которых будет определяться уровнем сложности задач, актуальных на данный момент для обучающихся.

Библиографический список

1. Грушевский С.П. Учебно-информационные комплексы: дидактические проблемы проектирования / Под ред. Э.Г. Малиночки. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2001.

2. Дашниц П. Л. Методические подходы к подготовке педагогических кадров в области комплексного использования информационных и

коммуникационных технологий в школе / Дисс. канд. пед. наук. -М.: РГБ, 2003.

3. Седых С.П. Компьютерная технология подготовки и проведения учебных занятий / Автореферат дисс. канд. пед. наук. - Краснодар, 1999.

Обеспечение преемственности математического образования дошкольников и младших школьников

Е.Р. Гурбатова

Преемственность между дошкольным и начальным звеном рассматривается на современном этапе как одно из условий непрерывного образования. Авторы ряда программ ДОУ видят решение проблемы преемственности в более раннем изучении программы 1 класса и сводят цели непрерывного образования к формированию уже в дошкольном детстве узко-предметных знаний, умений и навыков. В этом случае преемственность между дошкольным и младшим школьным возрастом определяется не тем, развиты ли у будущего школьника качества, необходимые для осуществления новой деятельности, сформированы ли предпосылки для этого, а наличием или отсутствием у него определенных знаний по определенным предметам. Данный подход к подготовке дошкольников к обучению в школе предполагает дальнейшее обучение в 1 классе по традиционной программе, а не по программам развивающего обучения. Реализация же современных целей образования возможна путем развивающего обучения.

Обучение математике в начальном звене осуществляется по разным программам, одни из которых в своем подходе соответствуют традиционному подходу к обучению (учебники М.И. Моро, С.И. Волковой, С.В. Степановой и др.), другие - системам развивающему обучения Л.В. Занкова (учебники И.И. Аргинской), и Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова (учебники Э.И. Александровой, С.Ф. Горбова и др.).

Наиболее радикальной из сегодняшних систем развивающего обучения, на наш взгляд, является система Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова. Она направлена на раннее формирование понятийных структур через введение принципиально нового содержания, требующего от ребенка, говоря словами Д.Б. Эльконина, “новых, более высоких форм мысли”. Развивающее обучение по Д.Б. Эльконину-В.В. Давыдову [8] сводит процесс мышления к мышлению в понятиях и именно вокруг него выстраивает логику учебного процесса.

Современная начальная школа предъявляет к умственному развитию ребенка, поступающего в первый класс, такие требования, которые напрямую связаны с качеством умственной деятельности, с наличием у будущего школьника непростого запаса представлений, именуемого “кругозором” и выражающегося в педагогическом требовании учета уровня общего интеллектуального развития.

Сегодня имеется несколько разных вариантов решения проблемы преемственности, сложившихся в практике обучения математике дошкольников и младших школьников.

Первый вариант направлен на предметную подготовку ребенка к школе. Он ориентирован на содержание программы начального образования и школьные приемы обучения. Обучение дошкольников при таком подходе определяется не объективными законами развития ребенка, а содержанием образовательной системы и последующего звена. Этот вариант реализуется в математических блоках программ “Обучение и воспитание детей дошкольного возраста” (под ред. М.В. Васильевой), “Развитие”, “Детство” и “Радуга”.

Второй вариант связан с идеями самоценности дошкольного детства. Ориентиры и границы содержания обучения задает специфика возрастного развития детей. Предполагается построение обучения в “зоне ближайшего развития”, но объем этой “зоны”, ее границы весьма неопределенны и могут широко варьироваться как в зависимости от индивидуальных особенностей ребенка, так и в зависимости от возможностей работающих с ним взрослых. Характеризуются программы этого вида и тем, что образовательный процесс оформляется единственно в виде дидактических игр. Все это не способствует формированию у ребенка понимания (осознания) роли учения как самостоятельного и самоценного процесса. Этот вариант представлен в математическом блоке программы “Школа 2000”.

Третий вариант направлен на самоактуализацию личности в продуктивной познавательной деятельности, обеспечивающей ее (личности) саморазвитие, проявление индивидуальных способностей и формирование умения учиться как ведущего новообразования. Сформированность умения учиться предполагает наличие полноценной учебной мотивации (желания учиться) и развитой учебной самодеятельности (самоорганизации, самоконтроля, анализа и рефлексии, умения планировать свою деятельность). Самыми учитываемыми позициями при разработке такого подхода должны стать положения о формировании поисковой деятельности, учебной самостоятельности, о развитии креативности, “мыслительной самостоятельности”, т.е. умения мыслить и действовать самостоятельно" [1].

Предлагаемый нами подход к обучению дошкольников математике [2] представляет синтез двух подходов: “вероятностного” подхода в духе А.М. Лобока [6] и подхода в духе системы развивающего обучения Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова [8] .

Обучение в духе А.М. Лобока — это обучение, при котором происходит стимулирование развития высших психических и психофизических функций, значимых для обучения и общего развития ребенка, а также формирование основных компонентов учебной деятельности, таких как мотивация, познавательный интерес, учебная самостоятельность, самоконтроль и др. Содержание обучения по А.М. Лобоку носит преимущественно геометрический характер. Искомой “модельной реальностью” является обыкновенная тетрадь в клетку, с помощью которой достаточно просто моделировать математические объекты различной степени сложности, принимая за единицу квадратики разной величины. Процесс обучения и развития дошкольника построен преимущественно с опорой на наглядно-действенное и наглядно-образное мышление, а развитие словесно-логического мышления носит сопутствующий характер (сопровождает непосредственную деятельность с вещевыми и графическими моделями). “При ведущем сенсомоторном восприятии в основе распознавания лежит объединение в комплекс тактильных, зрительных и кинестетических ощущений: при этом модель понятия должна быть воспринимаема всеми чувствами. В этом случае познавательная деятельность ребенка адекватна уровню развития его интеллекта” [6].

По мере “созревания” наглядно-образного мышления моделирующая деятельность ребенка в процессе обучения постепенно включает и более абстрактные способы моделирования - схематический, графический. Для предлагаемого подхода существенно многообразие используемых на занятиях знаковых средств, но с выделением и более частым использованием одной из форм схематизации. “Действие наглядного моделирования в его полном составе формируется в результате интериоризации и слияния внешних действий, их превращения во внутренние. Соответственно, построение и использование внешних моделей преобразуется в построение и использование функционально идентичной ей внутренней модели - модельные представления” [7]. “Процесс приобщения учащихся к полимоделированию, пронизываемый многократным и многосторонним использованием такой формы моделирования, которая могла бы претендовать на роль универсальной формы (такой, как использование графов или геометрических образов в духе А.М. Лобока), позволял бы использовать возможности, несомые как полимоделированием, так и мономоделированием. Такой процесс должен основываться на наращивании учащимися непосредственного, ”наивного" опыта, на широкой

вариативности в постановках задач и способах их решения и, вместе с тем, на формировании содержательных “сгустков”, или основательно “обживаемых” “центров”, долженствующих играть роль источников концептуальных и “технических” идей, роль источников эвристической подпитки" [4].

Вероятностный подход А.М. Лобока к обучению математике младших школьников, (а нами на практике установлено, что вероятностный подход применим и необходим в обучении дошкольников), способствует развитию поисковой деятельности, креативности, познавательной мотивации. Именно поиск является универсальным психологическим механизмом саморазвития и самообновления ребенка, что делает его субъектом деятельности. Обучение, в основе которого действие по образцу или шаблону, представленное в части программ ДОУ и школьных программ, не дает возможности ребенку реализовать себя как субъекта деятельности, так как он лишен необходимой для развития поисковой деятельности.

С системой обучения первоклассников математике по А.М. Лобоку [7] данную программу роднит направленность на развитие допонятийных форм мышления. Вместе с тем, наш подход отличается от подхода А.М. Лобока тем, что обучение направлено и на развитие понятийного мышления. Более того, оно направлено на формирование и развитие теоретического уровня мышления (в смысле В.В. Давыдова [3]). Это роднит наш подход с системой развивающего обучения Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова [8]. Вместе с тем, наш подход отличается от последней “пронизыванием” обучения развитием допонятийных форм мышления и активными и многосторонними их взаимодействиями с формирующейся и развивающейся понятийной формой мышления.

Такой подход обеспечивает преемственность дошкольного и начального школьного обучения.

Взаимодействие допонятийных форм с понятийными формами способствует и развитию допонятийных форм мышления, которые рассматриваются не только как средство формирования и развития понятийной формы. Более того, они рассматриваются как самоценные. Допонятийное мышление, мышление в комплексах “вовсе не снимается, не преодолевается ”более высокой“ понятийной формой мышления, а сохраняет самостоятельную интеллектуальную ценность и находится в сложном диалоге с понятийным уровнем” [5]. Органика взаимодействия средств обучения, поставляемых системой А.М. Лобока и системой Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова, создает не только возможность успешного обучения в начальной школе, но и, более того, создает возможность реализации этого уже на дошкольном уровне. "В действительности разви-

тие допонятийных структур у современного старшего дошкольника, как правило доведено до такого “внутреннего предела”, который позволяет развивать у него понятийное мышление и начинать его восхождение к теоретическому уровню мышления посредством активного и органичного взаимодействия понятийного и допонятийного мышления (приводящего и к отдалению “внутреннего предела” развития допонятийных структур)" [5].

Говоря о синтезе подходов А.М. Лобока и Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова, мы не предполагаем буквалисткое следование принципам, на которых основывается система Эльконина-Давыдова. Так, мы предполагаем и развитие эмпирического мышления и допонятийных форм мышления, а тем самым и развитие поисково-исследовательской деятельности, без чего невозможно восхождение к теоретическому уровню мышления.

Предлагаемая нами программа предшкольного математического образования направлена и на коррекционно-развивающее обучение, которое позволяет предупредить многие трудности в обучении математике в школе.

Наш опыт занятий с дошкольниками вселяет надежду на то, что система Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова, оснащенная пронизывающей ее лобоковской “струей” создаст возможность превращения ее в достояние всеобуча. Говоря о синтезе подходов А.М. Лобока и Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова, мы не предполагаем буквалисткое следование принципам, на которых основывается система Эльконина-Давыдова. Так, мы предполагаем и развитие эмпирического мышления и допонятийных форм мышления, а тем самым и развитие поисково-исследовательской деятельности, без чего невозможно восхождение к теоретическому уровню мышления.

Библиографический список

1. Белошистая А.В. Современные программы математического образования дошкольников. - Ростов на Дону, “Феникс”, 2004.

2. Гурбатова Е.Р. Программа предшкольного математического образования. Учебно-методическое пособие. - Иваново 2006.

3. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. - М., 1986.

4. Когаловский С.Р. О ведущих планах обучения математике // Педагогика. № 1, 2006.

5. Когаловский С.Р. Поиски метода и методы поиска (онтогенетический подход к обучению математике). - Шуя, 2006.

6. Лобок А.М. Другая математика // Школьные технологии. - № 6, 1998.

7. Проблема формирования познавательных способностей в дошкольном возрасте (на материалах овладения действиями пространственного моделирования). Под ред. Л.А. Венгер. - М., 1980.

8. Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы по системе Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова. - М.: Просвещение, 1998.

Из опыта организации открытого образования в Саратовском госуниверситете им. Н.Г. Чернышевского

Н.А. Иванова, Л.Ю. Коссович, И.Г. Малинский, В.Е. Фирстов

1. Концепция открытого дистанционного образования (ОДО) и российс