УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ТРУДОВОЙ ШКОЛЫ

П. ТРЕЙТЛЕЙН

НАГЛЯДНОЕ ОБУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ

перевод с немецкого

В. КРОГИУСА

Допущено Научно-Педагогической Секцией Государственного Ученого Совета как руководство для преподавателей

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

ЛЕНИНГРАД — МОСКВА

1925

Гиз. № 10125. Ленинградский Гублит № 9667. 71/2 л. Отпеч. 7.000 экз.

Предисловие переводчика к русскому изданию.

План обучения геометрии, предложенный в настоящей книге известным германским методистом Трейтлейном, является одним из наиболее проработанных для начального обучения геометрии. Как известно, в нашей реформированной единой школе курс геометрии в первой ступени должен представлять собой самостоятельное, законченное целое. Трейтлейн напротив того смотрит на свой курс, как на пропедевтический, подготовительный для следующего за ним систематического курса; тем не менее курс Трейтлейна очень ценен и в качестве законченного начального курса. Это обусловливается тем, что автор глубоко и всесторонне продумал свой курс до мельчайших подробностей и выработал нечто безупречное с методической и дидактической стороны. Естественно, что при такой проработке автор не упустил ничего, что необходимо дать при целеобразно поставленном обучении геометрии в младшем возрасте.

Очень много внимания уделено выработке пространственных представлений. Для этого, кроме показывания моделей, автором введены многочисленные упражнения в черчении и, в особенности, в изготовлении моделей. При демонстрировании моделей автор, благодаря разнообразию предлагаемых им вопросов, умеет на долгое время сосредоточить внимание учащихся на одном и том же предмете. Внимание это не может считаться пассивным, так как он заставляет учащихся самих ощупывать, показывать, строить «воздушную» модель, указывать на ней и т. д. Общий ход ведения чертежей уясняется из приложенного к книге атласа чертежей, который примерно воспроизводит ученическую тетрадь. Что же касается моделей, то в книге даны подробные указания для их

изготовления; некоторые из них особенно удачны, например изображенные на черт. 22, 23, 24. Эти методы (демонстрирование моделей, черчение, изготовление моделей), как непосредственно упражняющие чувство зрения, осязания и мышечное чувство, являются, конечно, наиболее надежными средствами для познания пространственной стороны окружающего нас мира и выработки отчетливых представлений геометрических образов. Здесь создается в то же время ряд навыков, которые окажутся очень полезными, как в школе (ручной труд), так и в практической жизни (ремесла, столярное и другие).

Много упражнений автор посвящает измерениям, неточности их и изучению метрических мер; сюда же присоединяется оценка на глаз и развитие глазомера, которые, как известно, имеют очень большое значение для всякой практической деятельности. Было бы очень хорошо приучать детей (и привыкнуть самим) раньше всякого измерения производить примерную оценку расстояния на глаз, веса—прикидыванием на руке и т. п.

Не мало в этом курсе и рассуждений, и доказательств, но все они просты и посильны для учащихся первой ступени. Число рассуждений к концу курса увеличивается, между тем как начало курса посвящено в большей степени наблюдению, созерцанию и вообще ознакомлению с геометрическими образами. Таким образом, этот курс научает также рассуждать и делать умозаключения относительно созданных (по поводу вещей внешнего мира) геометрических объектов.

Не трудно при проведении этого курса (и Трейтлейн имеет это в виду) позаботиться о том, чтобы при изучении геометрии учащиеся учились также и языку, чтобы они умели точно и определенно выражать свою мысль; а это, конечно, очень важно, так как отчетливая мысль и отчетливая речь почти всегда сопутствуют друг другу и часто обусловливают одна другую.

Не упущена автором и эстетическая сторона дела. Для этого он ввел украшения и узоры, см. черт. 27 в книге и черт. 28 до 36 в атласе чертежей.

Трейтлейн не ищет геометрических образов на объектах внешнего мира (полагая, что последние содержат много случайного, не характерного для данного образа) и приводит мало приложений геометрических сведений к практической жизни. Тем не менее можно

думать, что, благодаря основательной и вдумчивой проработке всего курса, школьник, прошедший этот курс и проделавший упражнения, рекомендуемые здесь, окажется не только прекрасно подготовленным для научного курса, но сумеет также быстро ориентироваться во всяком практическом вопросе, требующем геометрических знаний.

В отличие от многих других начальных курсов у Трейтлейна приведена теорема Пифагора, но опущено учение о подобии, и, что особенно досадно, нет практических землемерных работ.

Прохождение геометрии по плану Трейтлейна требует со стороны преподавателя хорошей подготовки к каждому уроку. Только в очень редких случаях преподаватель, желающий хорошо провести урок, может обойтись без подготовки.

Может быть, для наших сельских школ курс Трейтлейна требует слишком много пособий, но число этих необходимых пособий может быть несколько сокращено, исключая таких, как циркуль, масштаб, образцы мер, разная бумага, — которые необходимы для всякого целесообразно построенного курса начальной геометрии. Надо стремиться не к тому, чтобы сельская школа обходилась без них, а к тому, чтобы и сельская школа (хотя бы там, где есть полная первая ступень) была непременно снабжена этими необходимыми пособиями.

Каждый преподаватель, если даже он не ведет обучения геометрии по плану, предлагаемому Трейтлейном, может почерпнуть из настоящей книги ряд полезных для себя указаний. Для преподавателей же, начинающих или не получивших математического образования (а в первой ступени таких очень много), книга Трейтлейна является особенно ценным методическим руководством.

Практическое осуществление наглядного геометрическаго обучения.

Для полного уяснения и признания предлагаемого плана обучения будет небесполезно предпослать несколько общих замечаний: во-первых, привести вкратце основные идеи, руководившие при выработке этой формы наглядного обучения; во-вторых, познакомить в общих чертах с ходом обучения и пояснить его на двух примерах; наконец, перечислить и описать необходимые или желательные для успешного проведения курса пособия и приборы, в применении которых ученикам следует упражняться при прохождении курса.

А. Общие замечания.

Руководящие мысли о постановке наглядного обучения.

В этом отделе изложены отдельные части моей системы, в основу которой легли следующие положения.

а) Хотя наглядное обучение служит подготовкой к изучению систематического курса геометрии средних и старших классов, однако оно вместе с тем является и самостоятельной задачей начальной школы. С обеих точек зрения наглядное обучение должно рассматривать главным образом пространственные соотношения; хотя входящие в состав их плоские фигуры требуют особого разсмотрения, но все же следует постоянно возвращаться к пространственному представлению.

b) Объектом внутреннего представления, а также и создания основных геометрических понятий должны служить вначале материальные предметы, которые ученик мог бы взять в руки и осязать. Не следует начинать с классной комнаты, не нужно выбирать такие предметы и тела, которые слишком просты или имеют слишком мало отличительных признаков (как, например, шар); не ставя себе сразу широких задач, следует брать те предметы, кото-

рые дают некоторое разнообразие форм. Поэтому лучше начать с куба1) и затем перейти к рассмотрению бруса с квадратным основанием и параллелепипеда.

c) Следует пользоваться моделями различной величины и из разного материала, чтобы раньше всего выделялась форма тела, а не его случайные материальные свойства.

d) Преподавание не должно ограничиваться только рассмотрением моделей; постоянно надо воздействовать на образование правильных внутренних представлений, развитие которых (а не знакомство с моделями) должно быть главной задачей преподавателя.

e) Непосредственно-полученные представления следует связывать с представлениями, которые могут быть получены из опыта повседневной жизни. Таким образом, даже в этом отношении преподавание принесет практическую пользу.

f) Той же цели, а также дальнейшему наглядному пояснению могут служить подходящие упражнения на дворе.

g) Рука об руку с изучением геометрических образов должно итти воспроизведение их посредством вычерчивания, складывания и вырезывания их из бумаги2); такое воспроизведение развивает в учениках самостоятельность, углубляет их чувство и понимание геометрических фигур, они приобретают ловкость рук, а также навык в употреблении рисовальных и лабораторных принадлежностей.

h) Преподавание не должно ограничиваться только демонстрированием готовых геометрических фигур; посредством их разложения, соединения и преобразования следует создавать новые

1) По словам Шустера, «абсолютная правильность куба даже мешает схватыванью отличительных признаков и, кроме того, куб, как игрушка, известная ученикам с раннего детства, не годится для демонстрирования». Вальтер, касаясь употребления моделей, говорит: «показывать ученикам готовые геометрические фигуры, как куб и др., я нахожу нецелесообразным. Это притупляет самую важную духовную деятельность—способность отвлеченного мышления Новизна же предмета развивает нерасположение к новой науке, которая позже часто углубляет так называемую «неспособность» к математике. Я полагаю, что слишком часто обращаются к абстракции, заставляя учеников принимать окружающую их обстановку, — комнату, улицу и т. д. — как поле своих геометрических наблюдений, вместо того, чтобы брать реальные предметы, которые дети сами могут взять в руки; эти предметы лучше вводят учеников в новую отрасль знания».

2) Всмьтер полагает, что необходимо с самого начала воспроизводить виденное и прежде всего воспроизводить пальцами и руками, так как черчение более высокая степень абстракции и представляет для начинающего значительные затруднения. Чертежные принадлежности должны вводиться постепенно»... Я бы сказал, что, конечно, следует пользоваться пальцами и руками, но пользоваться только ими возможно разве в самом юном возрасте. Ту степень абстрактности, которой требует черчение, можно, как доказывает опыт, предположить в ученике класса В; применение же чертежных принадлежностей, конечно, не является слишком большим требованием для ученика класса В.

фигуры, и эти последние снова предлагать ученикам для рассмотрения и сравнения. Упражнения такого рода имеют целью введение в представление учеников новых геометрических образов, а также развитие пространственного воображения.

i) Той же цели служит нахождение уже раньше рассмотренных геометрических фигур в более сложных комбинациях, какие встречаются в художественно — промышленных произведениях, в изразцах печей, в архитектуре, обоях, тканях, гранях стекла и т. д.

k) При чисто наглядном рассмотрении, воспроизведении и описании геометрических тел следует объяснять ученикам причину некоторых явлений и законов; таким образом, ученикам могут быть постепенно даны эвклидовы доказательства, правда, не строгие, но по существу обосновывающие изложение геометрии; в особенности, внимание учеников будет обращено на закономерную зависимость отдельных частей геометрической фигуры, как говорит Тиме: «Уже в геометрической пропедевтике и наглядном обучении главной задачей преподавателя служит пробуждение в учениках потребности к объяснению геометрических фактов и расследованию их логической связи». Итак, надо поставить себе целью «не сразу, а постепенно» пробуждать эту потребность (но невполне ее удовлетворять).

Чтобы привести учеников к пониманию необходимости обоснования, не зависящего от непосредственного представления, следует проделать многочисленные измерения, отметить ошибки, обнаружившиеся в разногласии результатов, и указать неточность наших чувств и приборов, при чем эта неточность должна быть постоянно подтверждаема опытом.

Ниже намечен план преподавания, построенного соответственно этим основным положениям.

План и ход преподавания в общих чертах.

Рассматривать с учениками следует сразу всегда только одну модель геометрического тела; эту последнюю нельзя только ставить перед учениками и показывать им только издали, надо ее давать детям в руки, чтобы они могли рассмотреть модель вблизи, повертеть ее во все стороны и ощупать. Затем преподаватель становится перед классом и вместе с учениками исследует общие соотношения данного тела; отдельные ученики указывают на самой модели границы тела (поверхность, ребра, углы) и называют их. Потом должно следовать и второе упражнение, заключающееся в том, чтобы называть отдельные элементы геометрического тела и (по возможности, скорее) находить и указывать их. Переходом к развитию внутреннего созерцания может служить следующее упражнение: когда преподавателем показана рассматриваемая часть тела, он быстро прячет модель, и только что

показанная часть должна быть названа учениками. Следует постоянно выбирать еще в постепенно возрастающей трудности упражнения, которые должны постепенно приучать учеников обходиться без модели. Ученики, один за другим или несколько сразу, держат руки (тетради, пальцы) по указанным границам модели; затем эти предметы, заменяющие границы модели, оставляют в том же положении, а модель удаляют, и на этой отчасти намеченной модели ученики отыскивают названные учителем части модели и дают названия тем, на которые учитель им указывает. Той же цели могут служить проволочные модели. После использования и этих, только внешне намеченных, вспомогательных средств достигнута дальнейшая ступень развития. На этой ступени рассматриваемые геометрические тела намечаются в пространстве движением рук учителя; на таком «воздушном теле» проделываются прежние многочисленные упражнения в показывании и назывании, а также проверяется понимание взаимных положений и изменений форм и размеров тел, которые преподаватель намечает то больше, то меньше и как бы ставит перед глазами учеников. Высшая и необходимая ступень развития пространственного представления достигнута вполне, когда для упражнений достаточно только внутреннего созерцания рассматриваемых геометрических фигур; т.-е. когда соответственно «счету в уме» будет изучаться «геометрия в уме»1). Модель тела служит только дополнением и вспомогательным пособием для слабейших учеников.

Когда я говорю, что надо употреблять сразу только одну модель, это не значит, что при изучении известного тела нужно показывать всегда одну и ту же модель. Напротив, классная коллекция должна иметь целый ряд моделей геометрических тел малых и больших, не только из картона, но и массивных, сделанных из разного материала и различной окраски, так же как и проволочных моделей. Все эти модели должны употребляться попеременно. Только таким образом можно направить ум ученика на то, чтобы он обращал внимание только на форму геометрического тела, а материал, окраска, а в начале и величина рассма-

1) Известный педагог Дистервег употребляет следующий прием, который, по моему мнению, является лучшим способом поощрения и прекрасным средством для развития и разработки внутреннего созерцания: отдавалось распоряжение — «погасить газ!». Затем в совсем темной комнате создавались геометрические фигуры и велись доказательства. При этом ученикам надо было держать ухо востро, так как совершенно неожиданно звучал возглас: «Такой-то, продолжайте!» и горе тому, кто не следил. Это была своего рода умственная гимнастика, до которой не дорос тот, кто не вполне овладел рассматриваемым предметом. Здесь учились думать, говорить, изображать и заключать! Здесь узнавали, что значит напряженно следить; все становилось ясно и понятно ученикам, прежде чем появлялся свет.

Правда, применение такого приема требует, в особенности в больших классах, хорошей дисциплины и порядка.

триваемой модели была бы для него обстоятельством второстепенным. Конечно, нельзя считать правильным приемом, чтобы преподаватель подсказывал эти отвлечения. Хотя бы преподаватель и занимался здесь элементарными вещами, он должен всегда иметь в виду курс геометрии старших классов ; пусть он вспоминает прекрасные слова Гербарта, посвященные ведению элементарного преподавания (1802): «Если сделать из наглядного обучения нагромождение отдельных задач, то оно не даст ученику подготовки, на которую можно было бы рассчитывать в будущем. Для занятия математикой и родственными ей предметами следует раньше всего развивать в мальчике систематичность и приучать его к последовательному сознательному мышлению... Начальное наглядное обучение есть, правда, только пролог к математике, которая должна бы являться в образе художественного произведения, направляющего, пробуждающего и удовлетворяющего интерес к исследованию. К этому-то и должен подготовлять маленький пролог; он должен быть сам ясен, образен, закончен, но, прежде всего, должен вести от малого к большому, заставлять чувствовать близость великой науки, вводя в курс пропедевтики от времени до времени небольшие дары науки. Пусть невидимая рука науки иногда развяжет узел, исправит ошибку, пусть, благодаря ее всеведению, выходят на свет погрешности, в которых повинны черчение, приборы и несовершенные вычисления; непонимание и небрежность должны оставить надежду проскользнуть безнаказанно».

Упомянутая постановка этого цикла обучения требует от преподавателя умственной и физической подвижности; она не только желательна, но и необходима для того, чтобы преподаватель мог быстро удалить от взоров учеников модель и также быстро вновь ставить ее перед классом, следить за всем и заставлять работать всех учеников. Умственная подвижность необходима преподавателю для того, чтобы он летучими вопросами, возгласами и показыванием поддерживал в юных слушателях бодрость и внутренний интерес. Конечно, не следует слишком долго поддерживать и требовать от учеников необходимого для этого напряжения и в известной степени возбуждения; черчение и вычисления могут служить отдыхом. Веселость и бодрость, а иногда и уместная шутка преподавателя являются хорошим средством для поддержания бодрости и оживления в учениках; не сохранение серьезности и достоинства, а живое участие в духовной жизни юношества будит и в нем интерес к занятиям.

Покажем на двух приведенных ниже примерах желательный вид разработки отдельных вопросов, построенный согласно раньше упомянутым замечаниям; отметим также тот преимущественно или даже вполне внешний прием преподавания, который, к сожалению, часто приходится наблюдать.

Первый пример.

Пусть первое рассматриваемое геометрическое тело будет куб. Часто все наглядное изучение этого тела и описание, основанное на нем, заключаются в установлении следующих фактов1): 1) «Куб ограничен шестью гранями, двенадцатью ребрами и восемью вершинами. 2) Все двенадцать ребер одинаковой длины, грани равны между собою и называются квадратами». Что же, готово? Все объяснено? Нет, кроме этого, приводятся из близкой ученику обстановки примера три на куб и примеров пять на квадрат.

Итак, дорогой ученик, выучи хорошенько наизусть это описание и эти примеры; повтори их прилежно по книге, если ты их не забудешь, — тогда на устном испытании ты, наверно, хорошо ответишь, а если ты еще сможешь изречь такую мудрость: что 6 + 8 = 12 + 2 или более того, что для граней, вершин и ребер, как нашел некий Эйлер, имеет место: e+f=k+2 (е — число вершин, f—число граней, к — число ребер), тогда ты можешь считать себя ребенком, хорошо обученным и богатым знаниями.

Нет, конечно не так! Потому что к этой зависимости, полученной на одном или даже двух примерах, мальчик, конечно, совершенно равнодушен; она пришла к нему извне; она для него прежде всего не ясна и как знание неприменима и ненужна. Установить для куба только числа 6, 8, 12 не представляет ничего интересного для десятилетнего мальчика или девочки, живое воображение которых деятельно ищет себе занятия; а для действительного изучения геометрии это совершенно бесполезно. Не должна ли работа ученика, первое проявление его фантазии и доказательство понимания вопроса заключаться именно в том, чтобы ученик всегда искал и мог привести, если у него спросят, пример из своего жизненного опыта, который он постоянно пополняет. К чему же печатать такие примеры? Уж не для преподавателя ли? Не лучше ли, чтобы ученик сам находил на показываемых ему пространственных и плоских фигурах и образцах (изразцах печек, обоях и т. п.) примеры кубов и квадратов? Чем может ему здесь помочь книга? Сущность и духовное значение геометрического наглядного обучения заключается, конечно, не в убогом перечислении нескольких чисел при неубираемой модели и не в подсказывании и пересказывании немногих примеров. Наглядное изучение расположения и величины граней, взаимного положения ребер и вершин куба должно основываться на непосредственном рассматривании модели; затем для

1) Приведенный мною отрывок взят буквально из одного печатного руководства.

развития геометрического воображения оно продолжается на так называемом «воздушном кубе» (см. стр. 10) и даже с закрытыми глазами (лучше всего в темной комнате), при этом не следует ограничиваться вопросами: что? как? и где? Необходимо, чтоб ученик задавался также в некоторых случаях вопросом: «почему?» Богатое обилие возникающих здесь вопросов указано (стр. 18,19. 20) далее. Такую разработку понятия о кубе посредством живой и разнообразной смени вопросов и ответов следует вести не только до тех пор, пока куб будет воспринят, как геометрическое тело, и сделается близким ученикам, но до тех нор, пока не будет достигнуто все то развитие представления геометрических форм и пространственных образов, которое- можно развить при помощи куба. Не куб сам по себе является здесь наиболее существенным и не на это должна быть направлена работа преподавателя и учеников, а на размышления и наблюдения над кубом; следовательно, вся суть дела в умственном развитии и образовании учеников.

Рассмотрением куба изучение его еще не закончено. Изучение природы куба и вообще природы тел требует разделения тела диагональными или параллельными боковым граням плоскостями; необходимо показать изображения обеих половинок куба в плоском зеркале, что дает ученикам представление о симметрии; что куб имеет ось, можно вывести попутно.

Само собой разумеется, что полученные чувственно и усвоенные внутренним представлением пространственные образы плоскостей и тел следует затем воспроизводить черчением и другими лабораторными приемами.

Соответственное этому подробное изложение приведено ниже (стр. 18).

Второй пример.

Положим, обучение дошло до рассмотрения прямоугольника. Здесь можно, как и при рассмотрении куба, скоро или даже очень скоро покончить с самым существенным, если говорить только об «описании». 4 вершины, 4 стороны попарно равные, 4 прямых угла, еще пожалуй, равенство 2 диагоналей, чертеж к этому, и готово, — далее!

Действительно, таким образом изучение нового геометрического образа может казаться исчерпанным. Нет. Если ограничиться только подобной мертвой формой, то и образ будет мертвый, а такой мертвый образ не может вызвать в ребенке интереса. Эта новая геометрическая фигура должна как бы ожить, а ожить в ней может только то содержание, которое вкладывает или усматривает в ней человеческий дух; а правильно направленная сила представления и воображения ребенка может открыть многое, что скрыто в глу-

бине, не бросается сразу в глаза и не может быть замечено непосредственно. Чисто внешнее рассмотрение не только не исчерпывает изучение прямоугольника; оно, и это главное, не достигает развития пространственных представлений ученика вообще, а также и того, что можно и следует получить при его самодеятельности. Ученик должен искать вместе с преподавателем. Он чертит прямоугольник, вырезывает его из бумаги, стороны которой различно окрашены, и кладет этот прямоугольник на черную скамью, с которой удалено все лишнее; затем проводит среднюю линию через середины противолежащих сторон и разрезает по ней; попытка совмещения посредством перевертыванья удается, а также удается совмещение посредством вращения в плоскости вокруг середины средней линии и совмещение передвиганием. Само собою разумеется, что и здесь применяется зеркало, при чем отмечается окраска разных сторон двигаемого предмета. Вместе с этим хорошо привести из области опыта самих учеников примеры предметов, которые допускают или не допускают возможность совмещения обеих частей (форма цифр 8 и 9, перчатки) и проверить это с зеркалом.

Во второй раз ученик чертит и вырезывает прямоугольник, но теперь он разрезает его по диагонали. Попытка воспользоваться этой диагональю, как осью, обнаруживает, что простым вращением в пространстве нельзя достигнуть совмещения обеих частей; а это и доказывает, что диагональ не ось. Возвращаясь к соответствующему рассмотрению квадрата с применением зеркала, можно объяснить и причину этого явления. Ученики сами придут к тому, что попытка совмещения посредством вращения в плоскости на пол-оборота удается.

Итак, уже при начальном обучении могут и должны быть изучаемы не только формы геометрических тел, но и их расположения и взаимные положения. Такое изучение встречает живой интерес со стороны учеников, заставляя их делать наблюдения, а иногда и маленькие открытия. Следует обратить здесь внимание учеников на различные виды движения (параллельное перемещение, вращение относительно точки—в плоскости, и вращение относительно прямой—в пространстве), отметить их значение, не давая, конечно, их определений. Таким образом в сознание учеников незаметно для них самих проникают идеи, теории и доказательства геометрии старших классов.

Не следует ограничиваться лишь рассмотрением и сравнением готовых моделей, как это имело место в приведенных примерах. В высшей степени желательно, чтобы преподаватель на глазах учеников, при их ближайшем участии, а также сами ученики создавали новые геометрические образы. Такие упражнения подготовляют к дальнейшему прохождению и создают более глубокое понимание геометрических фигур и их соотношений. Суще-

ственно также то оживление, которое вносится привлечением учеников к работе — ведь, они при этом до известной степени сами творят.

Полученные выше посредством разреза прямоугольника по диагонали части приводятся в их первоначальное положение; затем верх (наружная сторона) каждого куска отмечается буквою B, а низ (изнанка) буквой Н; лучше если они разных цветов. Посредством вопросов выясняется, что эти части (треугольники) прилегают друг к. другу наиболее длинными сторонами. Нельзя ли теперь приложить их друг к другу самыми короткими или средними по величине сторонами, не переворачивая их оборотной стороной? Это оказывается возможным. Какая же новая геометрическая фигура получается при этом? Несмотря на то, что не приводится доказательства параллельности противолежащих сторон четыреугольника (хотя здесь уместно было бы, пожалуй, объяснить это явление, так как наглядное изучение параллельности прямых предшествовало), ученик сразу чувствует, что они параллельны. Создание самим учеником параллелограмма доставляет ему большое удовлетворение, не меньшее, чем образование из тех же частей двух параллелограммов на вид совсем различных. Отчего же не получается различных параллелограммов, если сложить таким же образом части квадрата? (Ср. рис. 43 и 44 на стр. 47.)

Продолжают искать и исследовать: берут прямоугольник в его первоначальном положении, переворачивают в пространстве отрезанную его часть так, чтобы прежняя верхняя часть стала нижней. Что же теперь получится, если обе части приложить друг к другу длинными, короткими или средними по величине сторонами? Должны ли и будут ли две другие равные стороны составлять одну прямую? Ученик, участвуя в исследовании, с удовлетворением и живым интересом видит, как возникают дельтовидные фигуры и фигуры двух равнобедренных треугольников разного вида (ср. приведенные далее фигуры). Таким образом, возникают новые основные геометрические фигуры ; они остаются в сознании учеников, а не являются как бы по мановению волшебного жезла преподавателя, когда доходит очередь до их изучения.

Этими или подобными приемами искусно поставленное преподавание дает возможность ребенку в процессе работы самостоятельно приходить к новым геометрическим образам; так как ученик сам создал и затем начертил их, то образы эти составляют его неотъемлемое достояние. Преподавание получает вместе с тем возможность дать изобилие материала, заложить фундамент для дальнейшей постройки. Камни для фундамента уже отчасти обработаны, и преподавателю остается только вместе со своими любознательными учениками рассматривать, сравнивать и прикладывать их друг к другу, чтобы перейти к новым геометрическим формам, их соотношениям, а затем и законам.

Пособия и принадлежности для преподавания.

Существенно необходимо при изучении геометрии в младших классах провести продолжительные и одновременные упражнения в черчении и лабораторных работах. Эти упражнения, желательные для развития сноровки и находчивости, очень охотно выполняются учениками. О постановке подобных упражнений будет сказано ниже в каждом из отделов; здесь же мы скажем только несколько слов о необходимых для этих упражнений принадлежностях и пособиях.

В качестве масштаба (М) и линейки (A) можно пользоваться линейкой длиною в 20 см, которая разделяется только на целые миллиметры, что сберегает зрение и вполне достигает цели. Одна сторона с подразделениями должна быть скошена, а другая должна быть во всю толщину дерева (около 3 мм), чтобы служить линейкой для прикладывания чертежного треугольника. Линейку следует всегда держать в (изготовленном самим учеником) футляре из бумаги или материи.

Чертежный треугольник лучше взять неравнобедренный (например с углами в 30°, 60° и 90°) и не слишком большой: гипотенуза от 12—15 см длины. Треугольник также следует хранить в футляре.

Транспортир из бумаги вполне достигает цели. Диаметр его внешней дуги должен приблизительно равняться 6 см.

Циркуль вначале можно употреблять маленький, надевающийся на карандаш (по Soenneeken'y), позднее можно приобрести маленький, но хороший циркуль с рейсфедером.

Каждому ученику необходимы также ножницы с закругленными концами; эти ножницы должны сохраняться в футляре, исключающем всякую возможность случайного поранения.

Для отмеривания отрезков следует употреблять (временно, до применения масштаба) жесткую полосу бумаги; при приблизительном вычерчивании, измерении и нанесении углов и т. п. ученики должны всегда держать наготове несколько листов полужесткой бумаги.

Каждый ученик должен всегда иметь карандаш № 2 (общеупотребительный, мягкий) и № 3 (средний). Рекомендуется и даже бывает необходимым применение цветных карандашей.

Для черчения следует употреблять простую нелинованную тетрадь с более плотной, если возможно, но не жесткой бумагой.

Надо настаивать, чтобы под лист, на котором чертят, подкладывалась более жесткая бумага (прикрепленная к тетради длинной нитью), во избежание продавливанья при черчении. Нет необходимости—и даже нежелательно в интересах правильного

черчения и облегчения удобного обзора всего содержания—чертить в тетради только на одной стороне листа.

При черчении следует предварительно, после короткого обсуждения с учениками, установить размещение на странице листа отдельных геометрических фигур, чтобы они выступали достаточно ясно, чтобы надписи хорошо умещались и таким образом, общее впечатление от чертежей получилось приятное.

Часто преподаватель намечает в координатах положение исходного пункта геометрической фигуры и заставляет всех учеников начертить это положение так, чтобы расстояние этого пункта было отмерено сверху (или снизу) и справа (или слева) страницы тетради. Само собою разумеется, что преподаватель должен сам предварительно наметить и выполнить предполагаемую работу учеников; это полезно не только в качестве подготовки, но и в других отношениях.

Модели тел и поверхностей следует изготовлять из бумаги, так как лепка моделей в школе при обычных условиях вряд ли возможна. Ученики должны отчасти во время урока, отчасти на дому точно начертить, большею частью по мерке, рассматриваемые геометрические фигуры, вырезать и применить их (для образования новых геометрических форм) на уроке. После употребления надо сохранять эти бумажные модели в подходящей обертке и, когда они понадобятся, приносить в школу. Некоторые развертки геометрических тел следует склеивать; для этого надо сделать своевременно необходимые указания относительно прорезывания и нанесения линий сгиба, а также распределить места приставных кусков, служащих для склеивания.

В редких случаях я привожу в этой книге (по примеру и совету обоих Юнгов1)) указания для изготовления моделей геометрических тел из бумаги без склеивания, только посредством складывания; другие способы изготовления моделей может дать только домашнее обучение, но отнюдь не школьное при многолюдности классов.

Скажем еще несколько слов об употреблении деревянных плоских моделей. Ученики должны иметь всегда приготовленные ими бумажные плоские модели, изготовленные в маленьком масштабе; главная польза подобных моделей заключается в самом изготовлении их. При объяснении, повторении, обзоре, превращении геометрических фигур и образовании новых и т. п. преподавателю нужны также модели большие по размеру, не сгибающиеся, твердые и удобные (деревянные). Каждая школа должна иметь достаточное количество таких моделей. Их следует делать так, чтобы собирание отдельных частей не было затруднительно

1) Г. Юнг и В. Юнг. «Маленький геометр».

и не сопровождалось бесполезной тратой времени; было бы желательно, поскольку это возможно, чтобы отдельные части этих моделей соединялись шарнирами. Необходимо заметить, что эти модели никоим образом не должны заменять моделей, изготовленных самими учениками. Все упомянутые упражнения должны быть проделаны каждым учеником сначала на собственной модели, и только для окончательного выяснения и повторительного обзора следует применять большие школьные модели.

Школьная коллекция должна еще содержать плоское зеркало, посредством которого можно скорее и основательнее объяснить симметрию, чем простым черчением, которым тоже, конечно, следует пользоваться. Хорошо, если один край зеркала будет без рамки, чтобы его удобнее было прикладывать к столу.

О применении весов будет сказано далее.

В заключение заметим, что учебник при наглядном обучении не только не нужен, но его следовало бы даже запретить; ведь здесь идет речь не о том, что можно выучить наизусть и повторить по книге, а о личном опыте, о достижениях самих учеников; факты и выводы при многократном повторении их запечатлеваются сами собой; если же результат получается иной, то это только показывает, что дело ведется неправильно.

В. Подробное описание хода преподавания.

I. Геометрические тела и возникающие из них образы.

Куб.

1. Преподаватель показывает ученикам детские кубики. Что они представляют собою? Рассмотрим такое же тело, но большее по размеру и резче ограниченное. Возьмем вот это.

Установка. — Поставь это тело (1 куб. дм) в различные положения на стол! Ты тоже, но в другое положение! Сколько различных положений может быть при этом? — Надо ли тело такой формы делать из жесткой бумаги? Знает ли кто-нибудь еще какие-нибудь кубики (или тела кубической формы)?

2. Грани. — Положи руку на одну из граней (свободно лежащего на руке) куба! Ты положи руку на другую грань! (Почему называют такую границу куба гранью?)

Возьмем в отличие шар. Такая же ли плоская поверхность шара, как поверхность куба? Если положить на шар

книгу, будет ли она лежать на нем так же плотно, как на кубе? Поверхность шара называется кривой, а поверхность куба плоской. Назови еще другие плоские поверхности здесь в комнате и на улице.

Поставь теперь куб одной гранью на стол. Оставь эту грань на столе; поверни куб так, чтобы другая грань была повернута к тебе и ко всему классу. Это положение мы будем впредь называть основным и будем всегда рассматривать это тело в таком положении, если не будет оговорено другое.

Положи руку на верхнюю грань, ты — на правую...

Итак, сколько же всего граней? Как называется та, которую я здесь указываю? Эта?..

Положи одну руку на правую, другую на левую грань и оставь руки в таком положении; теперь я убираю куб; в каком положении твои руки? Не в таком же ли положении стены этой комнаты? Покажи мне в этой комнате еще две поверхности, которые были бы так же расположены. Назови мне еще такие же на улице. Две поверхности, расположенные таким образом, называют параллельными.

Теперь положи одну руку на нижнюю, а другую на верхнюю грань и т. д. (как перед этим), проделай то же с задней и передней гранями. Итак, сколько пар параллельных граней имеет куб? Теперь я убираю куб; несмотря на это, положи руки на воображаемую правую и левую грани; другой таким же образом, — на верхнюю и нижнюю; третий, — на переднюю и заднюю грани. Таким образом, вы, трое, посредством шести рук представили в воздухе куб, т.-е. сделали «воздушную модель куба»... Изобрази ты теперь воздушный куб, только побольше, а ты поменьше! Теперь я изображу модель воздушного куба; положи руку на его верхнюю грань, ты — на его заднюю; а ты положи две руки сразу на пару параллельных граней моего воздушного куба; ты же положи руки на другую пару параллельных граней другого большего по размерам куба; а ты еще на третью пару меньшего по размерам воздушного куба.

3. Ребра. — Укажи мне край (ребро) стола, край скамьи, край книги. Проведи пальцем по ребру куба. Поставь куб в основное положение и веди пальцем по одному из верхних ребер, а ты по другому верхнему. Сколько всех верхних ребер? Сколько нижних? Сколько правых?.. И так каждый раз 4; сколько раз по 4? Всех их, значит, 6 × 4 = 24? Отчего же их, в действительности, не 24? Почему у куба насчитывается только 12 ребер?

Теперь покажи на этой проволочной модели куба переднее ребро, а ты другое переднее! Как назвать для отличия эти два передние ребра? — Покажи мне на кубе переднее левое ребро, заднее левое, правое нижнее (переднее заднее)...

Сколько нужно обозначений, чтобы назвать одно определенное ребро? (Одну определенную грань?)

Я показываю на меньшем по размеру кубе вот это ребро (из дерева или железа) и прячу быстро куб; как называется это ребро? Как называется то? А какое было это ребро? (Следует всегда после показывания быстро убирать куб.)

Сделай воздушную модель куба; как называется это ребро? Это? Покажи на твоем воздушном кубе левое верхнее ребро, переднее правое... (верхнее нижнее)...

Представь себе куб (модели убраны): какие ребра ограничивают переднюю грань? Обведи их в воздухе. (Педтверди то, что он показал на этом проволочном кубе, на этом оловянном сосуде.) Какие ребра ограничивают верхнюю грань?.. Какую грань ограничивает отчасти левое заднее ребро? Какую еще? Какие две грани ограничиваются отчасти верхним правым ребром?

Укажи мне на этой бумажной модели ребра, направленные сверху вниз, сколько их? Покажи мне на этой проволочной модели ребра, направленные спереди назад? Сколько их? Покажи на воздушной модели ребра, направленные слева направо. Сколько их? Как мы называли такие грани, как верхняя и нижняя, передняя и задняя?.. Как назвать каждые четыре одинаково направленные ребра? Покажи мне на кубе одинаково направленные или параллельные ребра. Такие же на воздушном кубе! Покажи параллельные ребра книги, комнаты! Сколько параллельных ребер получается каждый раз? Сколько получится групп параллельных ребер?

Покажи (назови) на (без) модели два ребра, которые не параллельны между собою. Положи теперь на левую грань куба левую руку и положи этот карандаш на правое верхнее ребро, держи так руку и карандаш, пока я удалю куб. Что можно сказать о положении ладони и карандаша, о левой грани куба и о правом верхнем ребре? Есть ли еще другие ребра, параллельные левой грани? Какие и сколько ребер параллельны нижней грани? Задней грани?..

Я показываю переднее левое ребро куба: покажи теперь грань, параллельную этому ребру. Покажи такого же рода положение ладонью и карандашом. Покажи грани, которые параллельны переднему верхнему ребру, нижнему правому. Укажи то же на воздушном кубе.

Представьте себе мысленно куб! Какие ребра параллельны верхней грани, задней грани?.. Какие грани параллельны переднему левому ребру, переднему заднему, заднему верхнему? Сколько ребер куба параллельны одному его ребру? Примеры! Сколько поверхностей параллельны одному ребру? Примеры!

Назови (укажи) ребро и грань, непараллельные друг другу!

Сколько граней куба параллельны одной из его граней? Сколько ребер параллельны одной из его граней? Примеры! Покажи то же самое на стенах комнаты.

4. Очерти в воздухе переднее верхнее ребро куба, затем начерти его на доске; а ты начерти отдельно на доске переднее правое ребро. Можно ли назвать такое черчение «от руки» или «на глаз» точным? Почему нельзя? Как можно было бы исполнить этот чертеж более точно?

Сложите бумагу и проверьте полученной таким образом прямой линией ребро куба, прямое ли оно? Ну что же? Применение натянутого шнурка для проверки прямой. Показать, как употреблять деревянную линейку. (Каждый ученик должен иметь е собою маленькую плоскую линейку1).

Начерти прямую линию (см. в приложении ученическую тетрадь2)). (Черт. 1 = Т. 1.) Можно ли начертить прямую на полном ее протяжении? Почему нельзя? Укажи мне на кубе ломаную линию (из двух или трех частей), начерти ее. (Т. 2.) Начерти кривую линию (Т. 3), а ты другую.

Сколько имеется видов кривых линий? Кто может указать различные виды красивых (правильной формы) кривых линий? (Показать проволочные модели таких линий.) Где встречаются такие линии?

Сколько видов прямых линий?

5. Горизонтальные, вертикальные и наклонные прямые. Установка весов и восстановление равновесия — горизонтальная прямая ! (Горизонтальное положение сосуда с водой и с плавающей деревянной палочкой; наклонение и держание сосуда в наклонном положении.) Покажи на кубе в его основном положении горизонтальное ребро; еще одно. Сколько их? — Назови (без модели) горизонтальные ребра, направленные слева направо, от задней грани к передней. — Начерти на глаз, потом по линейке несколько горизонтальных прямых (Т. 4). — Подыщи примеры прямых здесь, в классе и на улице. Каково взаимное положение нескольких горизонтальных прямых?

Изготовление отвеса (при помощи свинцового или каменного груза), его употребление — вертикальная прямая! — Назови вертикальные прямые на кубе в его основном положении. Сколько их? Подбор примеров на вертикальные прямые в классе и на

1) Относительно ее формы и приобретения смотр, стр. 16.

2) В дальнейшем геометрические чертежи ученической тетради обозначены буквою Т с прибавлением цифры.

улице.—Начерти одну вертикальную прямую, потом несколько (Т. 5). Каково взаимное положение нескольких вертикальных прямых?

Начерти также наклонные прямые, одну (несколько) слева сверху направо вниз и две снизу слева и направо вверх (Т. 6).

6. а) Параллельные прямые. Покажи на скамье, на окне две параллельные прямые. Видишь ли ты на железнодорожном пути на телеге, на этих обоях... параллельные прямые? Проведи в воздухе указательными пальцами две параллельные прямые, горизонтальные (вертикальные, направленные спереди назад... слева вниз, сверху направо).

b) Взаимно — перпендикулярные прямые. — Возьми кусок бумаги, сложи его; затем еще раз так, чтобы части линии сгиба совмещались. Если развернуть бумагу (черт. 1), то получаются две взаимно перпендикулярные прямые. — Показать ватерпас (черт. 2), наугольник (черт. 3), чертежный треугольник (черт. 4а и 4б).

Их применение и проверка перпендикулярности их сторон (Т. 7).

Покажи на кубе переднее нижнее ребро и перпендикулярное к нему ребро (еще второе ему перпендикулярное).

Представь себе правое переднее ребро куба; какое ребро перпендикулярно к нему? Еще какое? Сколько ребер перпендикулярны к ребру куба в одной точке? Сколько же всего ребер пер-

Черт. 1. Черт. 2.

Черт. 3. Черт. 4.

пендикулярны к одному ребру куба? Справедливы ли эти замечания и тогда, когда куб ставится (поворачивается) в любое положение?

Почему на бумаге через определенную точку прямой проходит только один перпендикуляр к ней (см. черт. 1)?

Начерти посредством чертежного треугольника перпендикуляр к данной прямой g

a) через точку на ней (Т. 8).

b) через точку вне ее (Т. 8).

Начерти (опусти) к одной прямой g несколько перпендикуляров. Каково взаимное положение этих перпендикуляров (черт. 5)?

Как чертить прямые, перпендикулярные к данной прямой g? (черт. 61)). Проверь, параллельны ли строки книги или два края тетради.

Начерти две параллельные прямые и вырежь полосу, ограниченную ими; как определить ее ширину? Что такое «расстояние» а между двумя параллельными прямыми g и g1 (черт. 10).

Черт. 5. Черт. 6.

Черт. 7.

1) Два других способа провести посредством (чертежного) треугольника перпендикуляры к прямой а, пересекающие ее, заключаются в следующем: Приложи (черт. 1) треугольник одной из его коротких сторон к прямой а, a к его самой длинной стороне линейку ; затем передвинь треугольник по линейке; тогда прямые, проведен вые вдоль неиспользованной еще стороны треугольника, перпендикулярны к а.

Приложи треугольник (черт. 8) его самой длинной стороной к прямой, потом приложи к треугольнику линейку, держи последнюю неподвижно

7. а) Плоскость. — Положи на верхнюю переднюю грань куба тетрадь (жесткую бумагу, дощечку). Как далеко можно мысленно продолжить эту поверхность куба? В скольких направлениях может быть продолжен начерченный отрезок прямой? В двух ли только направлениях можно мысленно продолжить поверхности куба? Нет, поверхность можно продолжить в обе стороны каждого отрезка, лежащего на грани куба. Такая поверхность, на которой всякая прямая в любом ее месте совмещается с нею, называется плоской поверхностью, или плоскостью.

Как убедиться, будет ли поверхность плоскостью? Назови какие-нибудь плоскости в комнате, доме и т. д.

b) Горизонтальные, вертикальные и наклонные плоскости. Посмотри на эту чашку; я вливаю в нее воду. Какую форму принимает вода во время вливания и некоторое время спустя?.. Как применяет каменщик отвес, чтобы класть кирпичи вертикально? Достаточно ли отвеса, чтобы вывести каменную стену плоской? Не может ли стена при применении одного только отвеса превратиться в круглую башню? Итак, почему применяется, кроме отвеса, еще натянутый шнурок, вдоль которого каменщик ведет свой отвес?

Покажи верхнюю поверхность твоей скамьи. Что, ее плоскость горизонтальна или вертикальна? Если нет, то как ее называют? Поставь эту дощечку на пол вертикально, наклонно и горизонтально.

Может ли быть плоскость скамьи (улицы, катка) различно наклонена?

и поверни треугольник на бумаге так, чтобы его третья, до сих пор неиспользованная сторона теперь прикасалась к линейке; если теперь передвигать треугольник по линейке, то прямые, проведенные вдоль длинной стороны, будут все перпендикулярны к первой прямой.

Этим самым указываются также разные способы, как проводить прямые, параллельные данной (см., напр., черт. 9 а и b).

Черт. 8. Черт. 9.

8. Взаимно-перпендикулярные грани куба. Положи руку на нижнюю грань, другую руку на боковую грань и оставь ладони в этом положении; теперь я убираю куб, в каком положении остались твои руки? Покажи на кубе еще две грани, взаимно-перпендикулярные, и назови их. Назови также наизусть еще две такие же поверхности.

Какие грани куба перпендикулярны к верхней грани? К правой грани? Сколько пар граней куба взаимно-перпендикулярны?— Покажи такие пары здесь в классе, назови такие же на улице и т. д.

9. Отрезок—Начерти прямую (Т. 9), выбери на ней точку A1) и другую точку В. Часть прямой, ограниченная двумя этими точками, называется отрезком; он определяет «расстояние». А и В называются концами отрезка, который обозначается через AB или ВА. (Указать значение названия железнодорожного билета «Москва—Тула» и другого «Тула—Москва».) Начерти далее более длинные и более короткие, а также различно направленные отрезки.

Как измерить длину отрезка? Объяснение (метр) масштаба и его подразделений (Т. 10).

Здесь следует отправиться с учениками на двор, где можно отметить отрезок вехами и отмерить шагами, а также сделать измерение отрезка рулеткой, цепью и вычислить длину шага ученика; затем, посредством визирования, находить точку на самом отрезке, а также провешить продолжение его.

При вторичной экскурсии на двор можно наметить треугольник и измерить его стороны; к этому полезно присоединить черчение в уменьшенном масштабе, как упражнение в классе и на дому.

Измерь сантиметром длину стены класса, определи на глаз длину другой стены, а затем смерь и ее.

Определи на глаз длину скамьи в дециметрах, потом в сантиметрах, затем смерь ее. Также ширину окна и т. д. Смерь ребро куба, потом другое. Определи на глаз ширину ногтя большого пальца руки в миллиметрах, потом смерь ее. Таким же образом..!

Замечание. Здесь следует обратить внимание на неизбежные ошибки измерения, полученные учениками на собственном опыте. Ученик измеряет сантиметром (с делением на мм) длину стержня скамьи и т. п. с точностью до полумиллиметра и записывает

Черт. 10.

1) Точки обозначаются обычно большими латинскими буквами, прямые — маленькими.

результат своего измерения, не показывая его другим, то же самое проделывает второй, третий, четвертый ученик. При прочтении записок результаты измерения почти сплошь оказываются разными. При обсуждении результатов следует обратить внимание на невозможность совершенно точных измерений (при изучении десятичных дробей и далее при приближенных вычислениях указывается на нелепость оставления многих знаков после запятой).

Начерти на доске горизонтальный отрезок длиною в 3 дм, в тетради длиною в 3 см1); ты, — наклонный отрезок в 5 дм, а ты — длиною в 2 дм. (Т. 11.) Начертите 5 отрезков различной длины (Т. 12), потом определите их длину на глаз, а затем смерьте их; все результаты, а также ошибки, полученные при определении на глаз, занесите в таблицу.

10. Четыре основных действия над отрезками.—Начерти два отрезка а и b (Т. 13), сложи их на глаз и проверь сумму отрезков; затем начерти тоже самое посредством линейки с делениями и надпиши сделанную ошибку.

Вычти, как раньше сложил (Т. 14), и начерти (г—s) при помощи линейки два раза.—Далее начерти отрезок а и отложи его два раза (Т. 15). Таким же приемом получилось на чертеже 3 b (Т. 16). Для упражнения (и повторения) найди (Т. 17) на прямой три или более одинаково отдаленных точек, восставь из каждой точки равные (Т. 17) или различные по длине (Т. 18) перпендикуляры заданной величины; затем запиши эти измерения на чертеже.—Или начерти линейкой или чертежным треугольником лесенку, идущую вверх (Т. 19), и т. п.

Здесь можно рекомендовать опять предпринять экскурсию на двор для провешивания, с помощью эккера (предварительно кратко разъяснив его устройство), перпендикуляра к заданной прямой. — Раздели, наконец, отрезок а (Т. 20) сперва на глаз, потом более точно, складыванием пополам полосы бумаги (или нитки, равной отрезку а), а затем линейкой с делениями по возможности точно на две равные части и обрати внимание на ошибки2).

Так же раздели b на три равные части (Т. 21). Раздели также отрезок на 4—5 равных частей (Т. 22, 23), объясни в связи с учением о дробях получение простейших дробных частей отрезков и начерти их. (Т. 24, 25.)

1) Далее чертить длину на доске в дм. а в тетради в см.

2) Уже здесь при рассмотрении фигуры (Т. 20) является вопрос: как совместить половину отрезка с другой половиной его? Нельзя ли различным способом? Ответ будет найден самим учеником в связи с рассмотрением модели, а именно: 1) смещением; 2) вращением в ее плоскости вокруг середины: 3) повертыванием в пространстве. Таким образом уже здесь можно использовать применение движения и пробудить представление о совместимости.

11. Квадрат.—а) Поставь куб в основном положении на стол и обведи его нижнюю часть пальцем, потом поставь куб на доску и обведи ту же грань мелом. Что получается? Получается геометрическая фигура, она называется квадратом. Покажи мне его угли и стороны... Я показываю вам фигуры квадрата на моделях тел из дерева, бумаги и проволоки. Теперь найдите мне такие же фигуры здесь, в комнате или на этих развешанных перед вами образчиках ковров, обоев, на стеклах окон, изразцах печки и т. д. Проверьте (как? только линейкой? или еще чертежным треугольником?), представляют ли рассматриваемые геометрические фигуры—квадраты.

Как можно начертить квадрат без применения куба? Достаточно ли для получения квадрата начертить одну сторону, через концы ее провести перпендикуляры, а на них отложить отрезки, равные первой стороне? (Т. 26.)

Вырежь две одинаковой ширины параллельные полосы, обрежь их по перпендикулярам к их краям и наложи одну полосу на другую (черт. 11); потом отрежь выступающие части. Какая фигура остается? Почему?

b) Совмещение. Начерти на листе писчей бумаги квадрат, длина стороны которого 6 см, проколи его углы на подложенных листах бумаги; затем начерти эти новые квадраты и вырежь их. Наложи две из этих моделей квадрата одну на другую, чтобы они «покрывали друг друга» или «совмещались». Сколькими способами можно их «совместить»?

c) Средние линии и диагонали. Положи один из бумажных квадратов так перед собой, чтобы одна его сторона была горизонтальна; в этом основном положении нижняя сторона называется основанием. Сложи теперь квадрат так, чтобы его основание покрывало сторону, параллельную ему (черт. 12), а другой так, чтобы правая и левая стороны покрывали друг друга (черт. 13).

Какое положение занимают в квадрате линии сгиба? Можно ли назвать одну горизонтальной, а другую вертикальной средней линией? Почему так? Смерь их длину. Какой вывод из их сравнения. Отчего? Теперь сложи квадрат так, чтобы ни нем появились обе средние линии (черт. 14); как делят они друг друга? Каково их взаимное положение?

Начерти в тетради точно модели этих трех геометрических фигур.

Черт. 11.

Черт. 12. Черт. 13. Черт. 14.

Как это сделать?

Сложи неиспользованный раньше квадрат так, чтобы один угол совмещался с противоположным. Сколькими способами это возможно? Какое положение занимают в квадрате линии сгиба? Они называются диагоналями (черт. 15 и 16). Смерь их длину. Каков результат? Почему? Теперь сложи на одном и том же квадрате обе диагонали (черт. 17); как они делят друг друга?

Как они взаимно расположены? Заключения. «Обе средние линии в квадрате равны, делят друг друга пополам и перпендикулярны друг к другу; теми же свойствами обладают диагонали».

Как по данной диагонали начертить соответствующий ей квадрат?

Начерти точно модели этих трех геометрических фигур.

Положи последнюю модель так, чтобы одна диагональ была вертикальной, а другая горизонтальной (черт. 18); это положение квадрата мы будем называть «угловым».—Начерти квадрат ABCD, сторона которого=16 мм, затем впиши б него и опиши около него соответствующий квадрат в «угловом» положении (Т. 26 и 27).

d) Симметрия.—Сложи бумагу и затем снова разогни ее; поставь чернилами на одной стороне бумаги небольшую точку и сложи опять. Что получается?— Поставь еще другую небольшую точку, но на другой части бумаги, и сложи. Что получается?—Теперь начерти чернилами прямую линию, кривую линию и быстро сложи. Что получается?—Сложи бумажку, сделай на ней прокол булавкою и разогни опять.—Каким образом надо сложить квадрат, чтобы при наложении одна его сторона совмещалась с противоположной ей? Возможно ли такое складывание у других фигур?

Если плоскую геометрическую фигуру можно сложить так, чтобы одна ее половина наложилась вполне на другую, то линию сгиба называют осью симметрии, а другую симметричной

Черт. 15. Черт. 16. Черт. 17.

Черт. 18.

Черт. 19. Черт. 20. Черт. 21.

относительно этой оси. Примеры?—Сколько осей симметрии имеет квадрат?—Покажи здесь в комнате симметричные предметы. Назови еще другие предметы симметричные относительно оси (черт. 19, 20, 21). — Поставь на ось симметрии черт. 19, 20, 21 маленькое зеркало перпендикулярно к бумаге. Каково изображение в зеркале? Каким оказывается изображение правой руки в зеркале?

Начерти квадрат, сторона которого равняется в см; затем поставь зеркало на каждую из средних линий, потом на каждую из диагоналей. Что получается? Как из половины квадрата посредством зеркала получить вид целого квадрата? — Какие римские цифры и буквы симметричны?

Примечание. а) Было бы также хорошо получить модель куба только складыванием бумаги (без склеивания), что можно выполнить следующим образом (черт. 22). Сложи сначала бумагу по прямой 1; затем под прямым углом по прямой 2 и прими какой-нибудь отрезок (по своему усмотрению) AB за ребро куба. Сложи бумагу по прямой 3, проходящей через Б и перпендикулярной к 1; затем согни по прямым 4, 5, 6, 7, 8, перпендикулярным к 1 и отстоящим друг от друга на расстоянии AВ. Чтобы все грани куба были без следов сгибания, следует согнуть диагональ 9, накладывая прямую 1 на 7; отметь положения Б', С, которые займут точки В и С, согни линию 10 и 11. Наконец, оставляя семь выступающих краев, обрежь остальное по прямым, ограничивающим получившуюся развертку, и собери модель, при чем поля, обозначенные одинаковыми буквами, должны прийтись друг на друга.

в) Аналогичное приготовление модели полукуба или четверти куба можно рекомендовать наиболее ловким ученикам (черт. 23). Сложи линию 1; под прямым углом к ней 2; возьми отрезок AB, равный прежнему ребру куба, сложи линию 3⊥1 через точку Б, затем согни по прямым 4, 5, 6, 7, 8, перпендикулярнымк 1 и отстоящим друг от друга на расстоянии AВ. Чтобы все грани куба были без следов сгибания, наложи прямую 1 на 7; таким образом получается диагональ 9: отметь положения В' и А', которые займут Б и О; согни линии 10 и 11 и посредине между ними линию 12; затем перегни бумагу по 1 и отметь линию Б вдоль нового положения линии 12; согни прямую через точку пересечения 5 и 13, перпендикулярную к линии 9; это дает точку D, через которую складывают 15. Наконец остается, отметив семь

Черт. 22.

Черт. 23.

скрепляющих кусков и вырезав по контуру, собрать модель, при чем поля, обозначенные одинаково, должны совпасть друг с другом.

е) Модель четверти куба можно приготовить следующим образом (черт. 24). Сложи линию 1, под прямым углом к ней 2; возьми отрезок АВ=ВС, равный прежнему ребру куба; сложи линии 3 и 4 перпендикулярно к 1 через точки В а С; затем, перегнув бумагу по 2, отметь линию 5; потом, прикладывая 2 к 5, сделай сгиб б и соответственно этому линии 7 и 8. Перегибая бумагу так, чтобы 1 пошла по 7, получишь линию d; отметь при этом точки А' и b' на которые упадут точки 1 и сделай сгибы 10 и 11 через А' и D перпендикулярно к 2; затем линию через точку Е, полученную на линии 8, и наконец линию 13. Теперь остается, отметив шесть скрепляющих кусков и вырезав по намеченному контуру, собрать модель, при чем части, отмеченные одинаково, должны совпасть.

12. Развертка куба. — Поставь куб в его основное положение и обведи его основание; затем, не поднимая куба, поверни его вокруг каждого из его нижних ребер и обведи полученные таким образом четыре квадрата. Образовавшуюся при этом фигуру называют разверткой открытого куба. Теперь начерти поточнее развертку открытого куба, потом присоедини к ней последний верхний квадрат.

Сюда следует присоединить указания приемов изготовления моделей геометрических тел: прокалывание, оставление краев для более удобного склеивания (черт. 25а) или связывание удобно расположенных отверстий (черт. 25b), прорезывание, надрезывание и склеивание.

Дополнение. Вырежь шесть параллельных полос из жесткой бумаги; положи их парами одну на другую по образцу (рис. 11а); надрежь по краям каждой линии; согни по ним и оставь небольшие отвороты; таким образом из этих шести полос можно сгибанием изготовить куб, который будет держаться без клейки. (Очень просто, еще по образцу черт. 25с.)

13. Вершины. — Покажи угол (вершину) стола, угол (вершину) скамьи!.. Сколько вершин (углов) имеет куб? Покажи верхние

Черт. 24.

Черт. 25.

вершины; а ты покажи передние,.. сколько вершин насчитал каждый из вас шести? Их, значит, 6.4=24 вершины? Почему не 24 ? Отчего только 8 ? — Покажи верхнюю правую вершину. Есть ли только одна такая? Сколько нужно обозначений, чтобы указать одну определенную вершину?

Здесь ли верхняя передняя левая вершина?

Как называется эта вершина? А эта?.. (Вначале куб оставляют все время перед учениками, затем, тотчас же после вопроса, быстро убирают). — Покажи мне на этой проволочной модели (а потом и на обведенной перед учениками воздушной модели) правую нижнюю заднюю вершину, верхнюю переднюю (нижнюю) вершину...

14. Ребра и вершины. — Как называется это ребро? Назови какое-нибудь ребро, а ты укажи его! Какие вершины служат границами этих ребер ? Какие вершины «ограничивают» переднее правое ребро?., (вначале с показыванием куба, а затем без него). Покажи какую-нибудь вершину. Покажи ребра, которые идут от этой вершины. Назови их. Сколько их? То же сделай с другой вершиной. Вот «воздушный куб»; покажи его заднюю верхнюю правую вершину. — Какие ребра идут от нее ? — Представьте себе куб: какие ребра идут от его левой нижней передней вершины? Какие от ...? Какие ребра направлены к передней верхней правой вершине? Какое ребро начинается внизу слева спереди и идет направо? В какой вершине встречаются верхнее заднее и заднее левое ребро? Какое третье ребро направлено к той же вершине? (Многочисленные вопросы для упражнения.)

15. Грани и вершины. — Покажи вершину. Положи поочереди руку на грани, которые сходятся в этой вершине? Назови эти грани. Сколько их? Таким же образом..! Покажи на воздушном кубе, какие грани сходятся в передней верхней правой вершине? Так же...—Скажи мне на память: какие грани сходятся в задней нижней правой вершине? Какая грань образует с передней и левой гранью вершину? — Покажи и потом назови три грани куба, которые не сходятся в одной вершине.

16. Вершины и диагональные плоскости.—Покажи на кубе два параллельных ребра, которые лежат на одной грани куба. И еще два, которые не лежат на одной грани куба. Еще два такие! Сколько всего пар таких ребер? Почему их именно 6? Мы разрезываем теперь куб вдоль такой пары ребер, не лежащих на одной грани куба (черт. 26 а и b): вновь полученные грани (как ABCD) называются диагональными плоскостями. Представляет ли такая диагональная плоскость тоже квадрат? Отчего

нет? (Эту новую геометрическую фигуру называют прямоугольником.) Укажи у прямоугольника диагональ.

Покажи ее же у вновь сложенного куба. Как она направлена в кубе? — Вот проволочная модель куба! Покажи вершину. С какими другими вершинами эта вершина соединена ребрами? Со сколькими? А со сколькими она не соединена? Представь себе, что эта вершина соединена с другими вершинами прямыми; сколько их? Лежат ли все эти прямые на гранях куба? Которая не лежит на грани куба и как она направлена? Следовательно, кроме диагоналей граней есть еще диагонали тела. Сколько в кубе тех и других? Назови две вершины, соединенные диагональю.

Сколькими способами можно разделить куб диагональной плоскостью на две части? Сколько всего в кубе имеется диагональных плоскостей? Можно ли их при наложении совместить попарно?

Почему? Одинаковой ли они величины с гранями куба? Почему нет?

17. Оси тела. Проденем проволоку через середину двух параллельных боковых граней куба и будем вращать его вокруг нее. При скольких положениях куб окажется в основном положении? Сколько таких осей? Почему каждая такая ось может быть названа «четырехкратной осью симметрии»?

18. Описание куба. Когда вы на уроке естествознания описываете какое-нибудь растение или животное, отмечаете ли вы их отличительные качества в произвольном порядке? В каком порядке распределяют это «описание»? В каком порядке надо привести свойства куба, чтобы дать его «описание»? Итак, опиши куб!

19. Украшения квадрата. (Декорирование.) Уже выше было сказано, как полезно узнавать и находить в художественно-промышленных произведениях, в рисунках различных видов и построений фигуру квадрата. Следует также после чисто геометрического прохождения квадрата показать, хотя бы на нескольких примерах, возможность его украшения; пусть ученики сами начертят несколько

Черт. 26.

таких разукрашенных фигур и раскрасят акварельными красками или цветными карандашами.

Это следует делать для различных целей, во-первых, в интересах разнообразия, которое ведет к оживлению урока, во-вторых, главным образом, для развития и углубления чувства форм я красок, для возбуждения воображения; кроме того это важно, как руководство для применения геометрических фигур в искусстве и промышленности.

Такое художественное украшение квадрата может быть выполнено двумя способами, а именно черчением и изготовлением модели этой геометрической фигуры.

а) При помощи черчения (срав. черт. Т. 28 до Т. 34). В начерченных квадратах воспользуемся прямыми, проходящими через середины сторон, диагоналями или же теми и другими вместе. От деления пополам можно перейти к делению на три

Черт. 27а.

части (T. 29) на четыре (Т. 30), на пять (Т. 31), на шесть (Т. 32), на семь и большее число частей (Т. 33). Надо выбирать по своему усмотрению некоторые, конечно, немногие из приведенных здесь или аналогичных фигур.

b) При помощи складывания и вырезания из бумаги (срав. черт. 27, а и 27, b).

Вырезываются из бумаги квадраты. Эти квадраты складываются дважды или по средним линиям (черт. 27 а), или по диагоналям (черт. 27b) так, чтобы вдвойне сложенные куски бумаги представляли четверть первоначальной их величины и имели форму в первом случае маленького квадрата, во втором маленького прямоугольного равнобедренного треугольника (здесь на чертежах

Черт. 27b.

везде начерчены рядом с главными фигурами фигуры—четвертушки).

Затем делят стороны на две или на три равные части; далее проводят намеченные в маленьких фигурах линии, и заштрихованные части вырезывают ножницами. Если опять развернуть, то получаются квадраты с фигурами, которые изображены на рисунке 27, рядом с маленькими фигурами.

20. Разрезание куба и образование новых геометрических форм1).

а) Проведем плоскость, делящую пополам две параллельные грани куба; какие формы тел получаются при этом? Приложи одну из этих частей плоскостью разреза к зеркалу или на зеркало. Что видно в зеркале? — Положи одну часть квадратным основанием на стол. Что получится, если представить себе ряд таких пластинок, наложенных друг на друга?

b) Проведем плоскость через два противолежащие ребра куба. Какие тела получаются? Какой вид имеют их основания? — (Применение зеркала! — Положи такую часть так, чтобы основанием была плоскость разреза; может ли это служить моделью крыши? Или чего-нибудь другого?)

c) То же самое, что в b, но только проводятся две плоскости через две пары параллельных противолежащих ребер.

d) Из центра куба ко всем четырем вершинам каждой грани проводят отрезки и через каждые два смежных отрезка проводят плоскость сечения. На сколько и на какие части делится куб? (6 пирамид).

e) Как разрезать куб, чтобы в сечении получился правильный шестиугольник?

Прямой квадратный брус2).

1. Установка. Разные виды установки. Основным положением бруса будем называть такое положение, когда его квадратная грань в основном положении служит основанием. Сколькими

1) Нет надобности, чтобы ученики сами делали эти разрезы. После вопросов и ответов на них, можно показать соответствующие и достаточные по размерам модели классной коллекции. Как легко получить из куба посредством вырезывания формы целого ряда правильных кристаллов, указывает ценная, недавно появившаяся книжка Руска (I. Ruska): «Руководство минералогии» (1910). Как ни заманчиво привести простейшие из этих образований, все-таки это выходит за пределы рассматриваемого здесь начального обучения.

2) Сначала образуют брус посредством нескольких одинаковых кубов, а впоследствии просто употребляют брус, высота которого в два или больше раз больше ребра основания. При отрезании кубов от бруса получаются остатки, которые также должны быть принимаемы за квадратные брусы.

способами можно поставить брус в основное положение? (Нижнее, верхнее основание, боковые грани.)

2. Грани. Так же, как у куба, найти число граней, их положения, названия, пары параллельных граней, а также пары взаимно перпендикулярных граней. (Применение картонной, проволочной и «воздушной» модели.) Сходство (различие от куба) с кубом?

Разрезывание длинного бруса на кубы; затем рассмотрение оставшегося куска (т.-е. низкого квадратного бруса) и установление однородности обоих видов квадратного бруса (черт. 28).

3. Ребра. Найти число ребер, их положения, их названия вообще и в частности (нижних и боковых ребер). Определить на глаз и смерить длину ребер; сколько групп ребер разной длины? На различных моделях или только при помощи внутреннего созерцания называть определенные ребра и находить названные.

Параллельные ребра; группы параллельных ребер; число этих групп, их распределение в пространстве. Перпендикулярные ребра. Определение на глаз и проверка перпендикулярности чертежным треугольником.

Ребра, параллельные одной грани, группы таких ребер и их число (и распределение).

Грани, параллельные одному ребру, их группы и число; две такие грани образуют... ?

4. Прямоугольник. Умение находить прямоугольник на моделях, его различие от квадрата, его общие свойства с квадратом. Отыскание прямоугольника на предметах в комнате, а также на показываемых образцах (обоях, кусках ковров, гравированного стекла, изразцах, на деревянной резьбе, украшениях). Параллельным перемещением маленькой линейки на песке показать образование прямоугольника (в каком случае получился бы при этом квадрат?); поднимание и опускание шторы на рамках и т. п. Обвести прямоугольник на модели и других предметах комнаты, затем в воздухе, потом чертить на доске, затем в воздухе; потом чертить на доске и в тетради (с помощью масштаба и чертежного треугольника), вначале произвольно b основном (Т. 37) или в наклонном положении (Т. 38), а затем по заданным размерам (Т. 39): например 4 см и 1 см; 51 мм и 19 мм; 1,03 дм и 0,09 дм.

Как упражнение, рекомендуется провешить на дворе прямоугольник с произвольно заданной стороной, восставляя посредством эккера перпендикуляры через концы ее и отмеряя на них равные

Черт. 28.

отрезки; затем измерить для проверки последнюю сторону и два последних угла!

5. Совмещение и симметрия прямоугольника. Начерти прямоугольник (5 см X 8 см), проколи его углы несколько раз на толстую бумагу и вырежь полученные прямоугольники; попробуй совместить такие два прямоугольника. В скольких положениях это удается? (Повторение опыта с двумя квадратами.)

Положи перед собою прямоугольник в основном его положении и сложи как раньше (стр. 27,11с), затем сложи второй прямоугольник другим способом. Оба раза получается средняя линия, которая служит в то же время и осью симметрии (черт. 29а и 29b). Сложи теперь такой же прямоугольник так, чтобы образовались обе средние линии (черт. 29с). Как делят они друг друга? Каково их взаимное положение? Начерти отдельно такой прямоугольник, проведи диагональ его и сложи по ней (черт. 30). Совмещаются ли тут обе части? Если нет, то можно ли их совместить как-нибудь иначе? Как это можно сделать? (черт. 31). Сложи теперь прямоугольник по двум диагоналям и начерти соответствующие фигуры (Т. 40); затем смерь диагонали. Как велики они? Как делятся?

Перпендикулярны ли они и здесь?

Заключения. В прямоугольнике средние линии делят друг друга пополам, перпендикулярны друг к другу и служат осями симметрии этой фигуры; диагонали, равны между собой, делят друг друга пополам, но не перпендикулярны и не служат осями симметрии фигуры.

Начерти прямоугольник, горизонтальная средняя линия которого = 42 мм, а другая средняя линия = 8 мм, и другой прямоугольник в наклонном положении, средние линии которого 2,7 и 1,5 см длины. Как это начертить?

Как найти посредством измерения диагоналей, прямоугольник ли данный четыреугольник (дверь или т. п.)?

6. Развертка квадратного бруса. Образование развертки по способу на стр. 30, № 12, в двух видах (Т. 41); затем изготовление модели по данным размерам.

Черт. 29.

Черт. 30. Черт. 31.

7. Вершины. Нахождение (соответственно стр. 30, № 13) числа вершин, их положения и названий; затем называние показываемых вершин и нахождение названных.

8. Ребра и вершины, а также грани и вершины. Сравни стр. 31, № 14 и 15.

9. Диагональные плоскости. Нахождение и различие (как и в кубе) оснований, боковых граней и диагональных плоскостей, которые получены посредством разрезания тела (черт. 32). Сколько может быть диагональных сечений ? Какие они представляют фигуры? Все ли полученные прямоугольники равны? Сколько различных форм прямоугольников образуется диагональными сечениями (рис. 32, ABCD и XBYD).

Почему получаются прямоугольники только двух видов? — Диагонали этих сечений (например АС или XY) служат диагоналями квадратного бруса. Сколько их? Все ли они равной длины или некоторые- разной?

10. Оси квадратного бруса. Сколько осей имеет квадратный брус? Все ли они равны между собой? Или все различной длины?

Которую ось можно назвать «главной»? Как расположены «побочные» оси? — Почему можно назвать главную ось четырехкратной осью симметрии?

11. Описание квадратного бруса. Порядок!

12. Сравнение квадратного бруса с кубом, т.-е. перечисление в последовательном порядке общих и отличительных признаков (срав. стр. 39, № 7).

13. Украшение прямоугольника посредством черчения. Декорирование. Так же, как и у квадрата (стр. 32, № 19) и для тех же целей следует применять украшение прямоугольника. Для этого пользуются прямоугольниками той же высоты (Т. 34) или делят короткую сторону на две части (Т. 35), на три (Т. 36) или на

Черт. 32.

еще большее число равных частей, затем можно выделенные на образцах линии провести резче и, если понадобится, раскрасить.

14. Следует поощрять нахождение украшений посредством складывания бумажных прямоугольников и вырезывания подходящим образом выбранных кусков так, как это сделано для квадрата (стр. 32).

Прямоугольный брус.

(Прямоугольный параллелопипед.)

1. Установка. — Различные возможные способы установки. Выбор ее.

2. Грани, ребра, вершины. Их число, вид, положение, название (постоянное сравнивание с кубом и квадратным брусом).

3. Прямоугольники различных форм. Модели, примеры, черчение по заданным размерам, в особенности для выяснения совместимости, равенства сторон и различия в формах (филенка двери, рама картины).

4. Развертка бруса. — Получение развертки, черчение, вырезывание ее и изготовление модели (Т. 42).

5. Оси бруса. — Все три оси разной длины. Имеет ли прямоугольный брус оси симметрии? Четырехкратны ли здесь оси симметрии? Отчего каждая из них только «двукратна»?

6. Описание бруса.

7. Здесь следует провести сравнение трех уже рассмотренных геометрических тел и записать результаты сравнения, полученные при совместной с учениками работе, например так:

А. Совпадающие признаки.

6 граней 12 ребер

Всякие два пересекающихся ребра взаимно-перпендикулярны. В каждой вершине пересекаются три ребра.

В. Различающие признаки.

Куб.

Квадратный брус.

Прямоугольный брус.

Только квадратные грани.

2 квадратные и 4 прямоугольные грани.

Только прямоугольные грани.

6 одинаковых граней.

2 + 4 соответственно равных граней.

2 + 2 + 2 соответственно равных граней.

Только равные ребра.

8 + 4 соответственно равных ребер.

4 + 4 + 4 соответственно равных ребер.

Прямой круговой цилиндр.

1. Способы установки. — Выбор установки.

Примеры: карандаш, печные трубы, . . . монета, шашка . . . просверленная дыра.

Построение из монет или шашек — цилиндров различной высоты.

2. Поверхности. — Их число, положение, название (= 2 основания и боковая поверхность). Положи линейку ребром сперва на основание в различных направлениях, а затем также и на боковую поверхность. Какая разница?

Соответственно этому, различают плоскую поверхность (плоскость) и кривую поверхность.

Ученики должны привести несколько примеров кривых поверхностей; эти поверхности немедленно должны быть показаны на соответствующих моделях (шар, яйцо, сфероид, эллипсоид, винтовая поверхность и т. д.).

Приведи несколько примеров на плоскую поверхность. Как проверяют столяры плоско-выструганную поверхность? Действительно ли совсем плоски поверхности, которые мы называем плоскими? (Рассматривание сквозь лупу совсем гладкой бумаги.) Поверхность вспаханной, боронованной, укатанной пашни, а также поверхности спокойной воды.

3. Края цилиндра. — Число, положение, виды краев. Ограничена ли линия пересечения основания с боковой поверхностью? Может ли быть линия замкнутой и незамкнутой?

4. Окружность. — Примеры: Обведи на доске, на бумаге монету, обруч. Черчение окружности натянутым шнурком, а также циркулем. Радиус, диаметр, центр (диск).

Черчение в тетради окружностей различных размеров (Т. 43). Затем также вырезывание и складывание круга по диаметру (совмещение половин круга); далее складывание круга по диаметру, перпендикулярному к первому (четверти круга). (Т. 44.)

5. Развертка цилиндра. — Образование, затем черчение развертки (указать, что длина прямоугольника, т.-е. окружности, почти в 31/7 Раза больше диаметра), изготовление модели (Т. 45).

Образование прямого цилиндра наложением друг на друга одинаковых монет или растягиванием японского фонаря.

6. Оси цилиндра. — Примеры: колесо экипажа (можно также показать наклонный цилиндр).

7. Применение циркуля. — Откладывание отрезков, складывание, а также вычитание и умножение данных отрезков.

Дополнение.

8. Два круга в плоскости. — Начерти на жесткой бумаге два различной величины круга (диаметры около 5 см и 2 см), затем

вырежь их и положи оба круга на поверхность скамьи один вне другого. Подвигай маленький к большому, оставляя большой неподвижным. Какие взаимные положения обоих кругов могут получиться? Начерти все возможные взаимные положения.

Применение к объяснению затмений.

9. Эллипс.

a) Свяжи концы нити, т.-е. сделай петлю, и положи ее вокруг крепко воткнутой иголки (Т. 46); надень другой конец двойной нитки на карандаш и начерти им круг. Затем воткни две иголки (кнопки), обе на одинаковом расстоянии от центра, накинь на них петлю и черти опять; повтори это, увеличивая расстояние между иголками. Каждый раз получается эллипс. При наибольшем возможном расстоянии иголок он обращается в прямую.

b) Сделай на обоих концах нити маленькую петлю и воткни сквозь каждую — иголку (кнопку) и поступай как раньше. Этот способ черчения эллипса называется способом садовников (Т. 47).

Шар.

1. Способы установки? Примеры.

2. Поверхность. — Центр, диаметр, радиус (— показать на разрезанных деревянных моделях и на проволочных). Ограничена ли поверхность шара? Можно ли ее сколь угодно продолжить? Можно ли произвольно или даже бесконечно продолжать линию (поверхность), если она не ограничена?

3. Ребра? Вершины?

4. Сечения шара плоскостью. — Разрежем яблоко (модель шара) двумя различными способами; сначала на два сегмента (плоскость сечения ограничена окружностью), а затем каждый сегмент еще на две части (плоскость сечения ограничена полуокружностью и диаметром шара).

Одинаковые ли получаются окружности при различных сечениях шара?

Как нужно разрезать шар плоскостью, чтобы линия разреза дала большой круг? Большой круг делит шар на два полушария.

Всякое иное сечение шара называется малым кругом.

Применение к земному шару: экватор— параллели—полюсы—меридианы и первый меридиан.

5. Кривизна шара. — Одинаково ли закруглено с обоих концов куриное яйцо (или деревянное для штопки)? Где оно закруглено больше, где меньше, т.-е. где оно площе? Каково закругление

Черт. 33.

(кривизна) шара? Начерти (черт. 33) круги разных размеров, проходящие через одну и ту же точку так, чтобы центры их лежали на одной прямой, и отметь круги более искривленные я менее искривленные, чем другие. Что можно сказать о кривизне эллипса (Т. 46, 47, 48).

Правильный четырехгранник.

(Правильный тетраэдр.)

1. Установка: на грани или ребре или на вершине.

2. Грани. — Число, расположение граней?

Имеет ли данное тело горизонтальные грани? Вертикальные грани? Параллельные грани?

3. Ребра. — Число ребер? (4.3 = 12 ребер? — Отчего только 12/2 = 6?) Положение ребер: 3 ребра основания и 3 боковых ребра. Есть ли ребра (проволочная модель!), параллельные какому-нибудь ребру? (Где были таковые?) Есть ли ребра, параллельные одной грани? (Где были такие? Пример!) Есть ли здесь ребра, перпендикулярные к какому-нибудь ребру или к какой-нибудь грани? К скольким ребрам наклонено каждое из ребер ? — Определи на глаз, а потом смерь длину ребра, также второго, ... ! Результат = ?

4. Равносторонний треугольник. — Возьми три карандаша (или вставочки) одинаковой длины и составь из них треугольник! Укажи его вершины и стороны. Очерти в воздухе равносторонний треугольник! Кто усматривает на этих образчиках (обоев, ковров и т. д.) равносторонние треугольники? Обведи периметр такого треугольника. Определи на глаз, а потом смерь длину стороны одного из этих треугольников; потом вычисли его периметр!

Тут можно было бы рекомендовать научить (по крайней мере наиболее способных учеников) изготовлению равностороннего треугольника из бумаги без черчения, только посредством складывания бумаги, и даже двумя способами, а именно: а) (черт. 34). Сложи бумагу по прямой AB, отложи на ней отрезок, равный выбранной стороне треугольника, и сложи линию 2, перпендикулярную к Ab и проходящую через середину AB; затем, удерживая точку А неподвижно, перегни бумагу вокруг такой прямой, проходящей через А, чтобы В упало на некоторую точку (С) прямой 2. Если сложить затем линии АС и ВС, то получится равносторонний треугольник ABC. b) (черт. 35). Предыдущий способ получения равностороннего треугольника страдает тем недостатком, что линии сгиба перерезывают самый треугольник. Этого можно избежать таким способом: Сложи линию 1; перпендикулярно к ней линию 2, отложи на линии 2 произвольные равные отрезки AB и ВС (в сторону нижнего края бумаги), согни по прямым 3, 4, 5, перпендикуляр-

Черт. 34.

ным к 2; затем, перегнув бумагу вокруг 1, отметь прямую 6 вдоль 5, потом перегни вокруг такой прямой (7), чтобы точка С упала на некоторую точку С прямой 4. Положим, что последняя прямая 7 пересекает прямую 1 в точке X; тогда согни по прямой 8, проходящей через точку X и точку пересечения D прямых 2 и 6. Теперь всякая прямая 9, перпендикулярная к прямой 2, дает на прямых 7 и 8 две точки Y и Z, и треугольник XYZ равносторонний.

Чтобы получить еще прилегающие к XYZ треугольники, сложи вдоль линии 9 и затем, перегнув по 8, отметь новое положение XZ и таким же образом перегни по линии 7. Это дает два равносторонних треугольника, прилегающих к XY и XZ, наконец, продолжения последних полученных прямых дадут еще четвертый треугольник, прилегающий к ZY.

Черчение равностороннего треугольника: попробуй начертить равносторонний треугольник по масштабу; почему это не совсем удается? Применение циркуля (стор.—5=4 см или стор. s=5 см, или стор. s=6 см при горизонтальном или вертикальном положении одной стороны) описание способа черчения (Т. 49).

Изготовление модели такого треугольника; оторвать и отрезать одну вершину треугольника и попытаться «совместить» ее с двумя остальными вершинами того же треугольника, а также с вершинами других двух треугольников.

5. Углы. — а) Здесь для начала берут циферблат (диаметр от 20 см до 30 см) с двумя различной величины стрелками (минутная и часовая стрелка). Сперва устанавливают углы определенной величины : поставь стрелку на 3 часа, ты — на 9 часов! Изобрази двумя карандашами положение стрелок! Начерти1) эти положения на доске, потом в тетради (Т. 50).

Теперь я надеваю на одну из стрелок бумажную трубочку и удлиняю ее таким образом: стал ли от этого угол больше? Сделается ли он больше, если я надену на другую стрелку такой же длины (или длиннее или короче) трубочку? Сделается ли угол меньше, если я сниму одну или обе трубочки? Как же увеличить или уменьшить угол? На какой час можно, например, поставить одну из стрелок, чтобы угол, соответствующий 3-м часам,

Черт. 35.

1) Ради достижения большего порядка в ученических тетрадях, советую указать ученикам положение центра круга (относительно краев тетради), а также радиус круга. Следует это делать и далее, в целях лучшего распределения фигур на страницах тетради. После выполнения чертежа следует всегда делать чернилами соответствующую надпись.

сделался меньше. Чтобы этот угол сделался больше? Начерти углы, соответствующие двум и четырем часам (Т. 50).

Положения стрелок часов на чертеже называются сторонами угла, а точка поворота стрелок—вершиной угла.

b) Какие положения имеют стрелки (стороны угла) в три часа. В девять часов? Проверь чертежным треугольником перпендикулярность стрелок в последних двух положениях. Если стороны угла перпендикуляры друг к другу, то угол называется прямым (прямой=d). (Вторичное демонстрирование уже раньше показанного эккера.) Сколько прямых углов в квадрате? В прямоугольнике? Сколько у куба прямых углов? у квадратного бруса? У четырехгранника? Назови два ребра куба, которые образуют прямой угол, а ты еще два других.

c) Поставь стрелки циферблата на 5, 10 часов. Начерти соответствующие положения. Какие из полученных углов больше прямого? Какие меньше прямого? Угол, который больше прямого, называется тупым, угол, который меньше прямого, называется острым; каждый из них, в противоположность прямому, называется косым углом. Какого рода угол образуют стрелки в час? в 7 часов? в 131/2 часов? в 71/4 часов? Начерти их на доске. Каковы углы четырехгранника? Начерти на глаз!

Начертите все те положения стрелок, когда они образуют прямой угол и одна стрелка горизонтальна; расположите при этом вершины на одной вышине (Т. 51). Затем составьте из этих четырех отдельных чертежей одну фигуру и изобразите то же самое двумя карандашами (или пальцами), а также складыванием бумаги (черт. 36), края которой неправильны; из этой фигуры вырежьте один из прямых углов, отметьте вырезанный кусок знаком (*) и положите его наружной стороной, затем изнанкой на остальные три прямые угла: он совместится с каждым из них.

Сделайте теперь модель острого и тупого углов (черт. 52) и попробуйте «совместить» каждый из них с прямым. Затем начертите в тетради три главные вида (прямой, тупой, острый) углов (Т. 52).

d) Покажи, затем начерти положение стрелок в 6 часов. Сравни последнюю фигуру с Т. 50 (для 3 часов и 9 часов); сколько раз она содержится в последней? Угол, стороны которого

Черт. 36. Черт. 37.

имеют прямо противоположное направление, называется развернутым углом (поршень паровой машины, насос для велосипеда).

На сколько прямых углов надо повернуть стрелку, чтобы получился развернутый угол? Итак:

Развернутый угол равен двум прямым (заключает два прямых).

6. Складывание равностороннего треугольника.

а) Сделай модель равностороннего треугольника (стороны которого по крайней мере =10 см). Сложи его потом так, чтобы сторона а совпала с другой стороной b (черт. 38. 1); куда упадет конец стороны а — почему? Что случится при этом с углом ( ∠ ), образованным сторонами а и b? И может ли при этом ∠ 1 не совместиться с ∠2? Теперь сложи тот же самый треугольник так, чтобы сторона с совпала со стороной b (черт. 38. II); с чем совмещается тогда ∠ 1? Итак, если ∠ 3 равен ∠ 1 и если ∠ 2 равен ∠ 1, что из этого следует? Может ли быть иначе в каком-нибудь другом равностороннем треугольнике? Итак:

В равностороннем треугольнике все три угла равны между собою.

Начерти также отдельно каждую ось симметрии равностороннего треугольника (Т. 53); затем начерти все три в одном и том же треугольнике. Какое положение имеют эти три оси?

На каком расстоянии от каждой из трех вершин находится их точка пересечения S? Соответственно этому, начерти окружность с центром S, проходящую через три вершины треугольника, она называется описанной около треугольника (Т. 54).

b) Наметь на бумажной модели равностороннего треугольника середины двух сторон ВС и АС (как? — черт. 39) и соедини их отрезком XY. Может ли отрезок XY отклониться в ту или другую сторону? Итак: этот отрезок XY параллелен третьей сто-

Черт. 38.

Черт. 39.

роне В А. Сложим теперь по XY; куда упадет вершина С? Конечно, на AB и при этом на Z, середину AВ. Соединим затем (черт. 40) середины X и Z боковых сторон и сложим по прямой XZ; при складывании вершина В упадет на АС, а именно на ее середину Y. Вновь отогнутый треугольник покрывает предыдущий и каждая средняя линия вдвое меньше параллельной ей стороны. Теперь сложите еще (черт. 41) по третьей средней линии YZ; в результате внутренний треугольник три раза покрыт, все получившиеся треугольники равносторонние, значит, все их углы равны. Три таких угла (как 1, 2, 3 на последнем чертеже) образуют развернутый угол, т.-е. = 2d. Итак:

Каждый угол равностороннего треугольника составляет треть двух прямых (или 2/3d).

Вырежь три равных равносторонних треугольника и приложи их друг к другу по образцу, черт. 42; должны ли две свободные стороны а и b расположиться на одной прямой. Почему? Приложи к свободной стороне С еще один равный, равносторонний треугольник, что получится? Какая фигура образуется, если по другую сторону а и b

Черт. 40.

Черт. 41.

Черт. 42.

приложить таким же образом еще три равных равносторонних треугольника?

c) У модели последней полученной фигуры нужно только поднять угловые части и соединить вершины (клеить, связывать), чтобы получить развертку четырехгранника (Т. 71 , III).

d) Образование новых фигур. Вырежь из бумаги равносторонний треугольник, проведи в нем ось, отметь обе половины какими-нибудь знаками (хоть а и b) и разрежь по оси. Затем, не сдвигая а, прикладывай к ней b, не переворачивая ее в пространстве (черт. 43): образуется опять равносторонний треугольник (I), потом дельтоид (II — пример ?), наконец, равнобедренный треугольник (III — почему такое название?) Если же b сперва перевернуть в пространстве и потом приложить различными сторонами к а (черт. 44), то образуется параллелограмм (I и III— почему такое название?) или прямоугольник (II), — частный случай параллелограмма.

e) Раздели на бумажной модели равностороннего треугольника каждую сторону не на две (как в 6), а на три равных части (черт. 45) и проведи по две соответствующих средних линии; они параллельны друг к другу, и большая отрезает по такому треугольнику, как выше b. Значит, если согнуть по меньшей прямой, то вершина главного треугольника должна упасть на середину большей прямой, и все три середины приходятся в одну точку М. Если отогнуть по всем трем меньшим прямым, то получается шестиугольник. Какими свойствами обладают стороны этого шестиугольника? Итак, получается равносторонний шестиугольник. Каковы свойства углов этого шестиугольника, из которых каждый состоит из двух углов по 2/3 прямого?

Черт. 43. Черт. 44.

Черт. 45.

Итак, получается равноугольный шестиугольник. Здесь соединены оба свойства:

«Шестиугольник, который равносторонен и равноуголен, называется правильным шестиугольником».

На каком расстоянии находится (черт. 46) точка M от вершины шестиугольника? Если на одинаковом расстоянии, то имеет место следующее положение:

«Вокруг правильного шестиугольника можно описать окружность» — и наоборот: «В круг можно вписать правильный шестиугольник, сторона которого равна радиусу круга».

Начерти правильный шестиугольник в двух его основных положениях (Т. 55).

Кроме того, соединяя прямыми вершины через одну, начерти правильный треугольник отдельно в двух его основных положениях (Т. 56), а также соедини оба треугольника на одном чертеже (Т. 57).

Вырежь семь одинаковой величины правильных шестиугольников и приложи к каждой стороне одного из них остальные шесть их сторонами (черт. 47).

Покроют ли они всю площадь? Отчего? (Работа пчел! Экономия пространства!).

7. Вершины и углы правильного четырехгранника. Число? Вид: углы его трехгранны и имеют ребра одинаковой длины. Примени проволочную модель, а также равной величины картонную модель: можно ли совместить угол (а затем все другие углы) картонной модели с каждым углом проволочной модели? И в скольких положениях каждый раз? Почему так? Итак, почему рассматриваемое геометрическое тело называется «правильным четырехгранником»?

Пирамида, имеющая в основании равносторонний треугольник1).

1. Установка. — Какие виды установки возможны?

2. Грани. — Число? Распределение. Основание и боковые грани; почему здесь такое различие? (Между тем как у правильного четырехгранника?)

Черт. 46.

Черт. 47.

1) Вначале употребляются пирамиды, которые выше правильного четырехгранника, а затем и такие, которые ниже (первые мы будем называть вытянутыми, последние сплюснутыми пирамидами). Они ведут к равнобедренным треугольникам двух видов, переходной ступенью которых служит равносторонний треугольник (Т. 58).

Есть ли здесь горизонтальные грани? Вертикальные грани? Параллельные грани?

3. Ребра. — Число? Распределение: ребра основания и боковые ребра.

Есть ли ребра, параллельные ребрам или параллельные одной грани?

Смерь длину ребер основания и длину боковых ребер сначала у вытянутой пирамиды (см. примечание, стр. 48) (или у нескольких), сравни длину ребер между собою. Поступи так же со сплюснутой пирамидой (или со многими) и опять сравни длину ребер.

При этом получается отличный от равностороннего

4. Равнобедренный треугольник. — Возьми два одинаково длинных карандаша и третий другой длины и образуй из них треугольник: различение основания и двух боковых сторон или бедер (Откуда названия «основание» и «бедро»?), а также вершины. Очерти в воздухе равнобедренный треугольник и притом такой, вершина которого была бы под основанием.

Кто может привести примеры равнобедренных треугольников, и их применения (остроконечная крыша, чертежный треугольник; открытые ножницы, острие стрелы, натянутый шнурок с подвешенным посередине грузом [показать] и т. д.)? Кто видит на этих образчиках равнобедренные треугольники?

Обведи их периметры. Определи на глаз, а потом смерь стороны и найди периметр.

Начерти равнобедренный треугольник: попробуй начертить только по масштабу; отчего это не удается, если основание должно быть заданной длины? Итак, необходимо применять масштаб и циркуль (Т. 58): прими за основание g=24 мм и за длину боковой стороны s, последовательно 37 мм, 24 мм, 17 мм! Затем начерти в различных положениях три равнобедренных треугольника a) g = 0,66 дм и s = 0,36 дм, потом ß) g = 20 мм и s — 20 мм, и наконец, γ) g = 2,3 см и s = 3,5 см!

Начерти также равнобедренный треугольник с произвольным углом при вершине и с s = 4 см, затем начерти равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине и с s = 21 мм. Начерти еще равнобедренный треугольник с тем же основанием д=5 см и со сторонами = 16, 13, 10, 8, 5, 3, 2 см!

В каком отношении равносторонний треугольник образует переход от одной группы равнобедренных треугольников к другой.

Вырежь три одинаковой величины равнобедренных треугольника, обозначь в каждом соответственные углы α, ß, γ.... затем положи эти треугольники так, чтобы углы α, ß, γ отдельных треугольников имели общую вершину (черт. 48) и боковые стороны их совпа-

Черт. 48.

дали. Какое положение занимают тогда две свободные стороны? Что можно сказать о сумме (α + ß + γ)?

5. Складывание равнобедренного треугольника.

a) Высота равнобедренного треугольника. Сделай из бумаги модели «вытянутого» и «сплюснутого» равнобедренного треугольника (черт. 49); потом сложи эти модели так, чтобы боковые стороны совпали: возможно ли это? Что сделается с одною частью треугольника? Какое положение по отношению к основанию примет линия сгиба h? Куда ляжет один из углов при основании? Почему он совпадет с другим? Итак:

«В равнобедренном треугольнике углы при основании равны между собою».

Перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, называется высотою равнобедренного треугольника. Высота есть в то же время ось симметрии фигуры.

Начерти равнобедренный треугольник (Т. 59) с g=18 мм h =19 мм и другой с h = 0,8 см, g=2,4 см.

Выдели в обоих треугольниках ось симметрии цветной линией. Сколькими различными способами можно начертить равнобедренный треугольник?

Здесь следует предпринять экскурсию на двор школы, чтобы провешить отрезок, отыскать его середину, посредством эккера провести перпендикуляр через середину и затем на нескольких, произвольно выбранных, равнобедренных треугольниках подтвердить измерением равенство сторон.

b) Прямоугольный треугольник. Сложенные в а модели разрежь по оси. Каждая половина называется прямоугольным треугольником (черт. 50) ; две его меньшие стороны называются катетами (а и b), а третья, лежащая против прямого угла, самая большая, называется гипотенузой.

Черт. 49.

Черт. 50. Черт. 51.

Примечание. Можно было бы здесь рекомендовать показать (по крайней мере наиболее ловким ученикам) изготовление прямоугольного равнобедренного треугольника посредством складывания следующим способом (черт. 51):

Сложи прямую 1 и прими на ней какой-нибудь отрезок AB за наибольшую сторону желаемого треугольника. Сложи через точку В линию 2, перпендикулярную к 1, согни через В так, чтобы прямая 2 упала на 1, тогда прямой угол с вершиною В будет разделен пополам прямою 3; затем сложи еще через точку А прямую 4, перпендикулярную к прямой 3, тогда получится требуемый треугольник ABC.

Начерти прямоугольный треугольник по 1) а = 2,5 см и b = 1,3 см (Т. 60); 2) а = 28 мм и с = 32 мм (Т. 61); 3) с = 0,26 дм и b = 0,22 дм (Т. 62); затем смерь каждый раз третью сторону.

Сделай модель прямоугольника и квадрата и разрежь каждый но диагонали; на какие части разделяются обе фигуры? (Черт. 51а.) В чем состоит различие частей этих фигур?

6. Диагонали прямоугольника. (Т. 63) равны между собой и делят друг друга пополам (стр. 37, № 5), значит MC = AM = MВ. Если же это так, то в прямоугольном треугольнике (Т. 64) вершина прямого угла удалена от середины M гипотенузы на расстояние, равное половине ее; значит, можно провести из центра M окружность, которая пройдет через вершины треугольника. Итак:

«Вокруг каждого прямоугольного треугольника можно описать окружность, центром которой служит середина гипотенузы».

7. Образование новых фигур. Сделай по две модели равнобедренного треугольника (черт. 52), а именно, первую пару треугольников (а) с острым углом против основания, вторую пару (b) с прямым углом, третью пару (с) с тупым утлом при «вершине». Приложи равные треугольники основаниями друг к другу (черт. 52, I), потом боковой стороной (II) и, наконец, повернув один из них, приложи также боковой стороной (III). Какие новые фигуры образуются при этом.

Приведи примеры, где бы встречались эти новые фигуры (четыреугольники!) Поищи, нет ли таких фигур на развешанных здесь (разложенных) образчиках.

8. Параллельные прямые. — а) Каково взаимное положение противолежащих сторон в четыреугольниках I и II, черт. 57? Чтобы начертить параллельные прямые, надо поступить, как на черт. 5 и 6 (стр. 23) или как на черт. 53, в особенности, если требуется начертить через А и В какие бы то ни было параллельные прямые или прямую, параллельную данной прямой а через данную точку В.

b) Начерти (применяя разными способами чертежный треугольник) несколько горизонтальных, вертикальных, наклонных

Черт. 51«.

параллельных прямых, затем две параллельные прямые через две данных точки А и В, а также прямую b, параллельную прямой а и проходящую через данную точку С.

Прямая, параллельная а (рис. 53, III), получается передвиганием ∠ α вдоль секущей прямой g в новое положение а ; a так как α' + β = 2а, то и α + ß = 2d, т.-е.:

Если две параллельные пересекаются прямой («секущей»), то сумма двух углов, лежащих между параллельными с одной стороны секущей, равняется 2d.

9. Параллелограмм.

Пересеки одну пару параллельных другой парой параллельных же (Т. 65).

Если пара параллельных пересекается парою параллельных же, то образуется четыреугольник, который называется параллелограммом. Его стороны и его углы называются «элементами» фигуры («элементы» треугольника?!).

Начерти параллелограмм, соседние стороны которого 1) образовали бы острый (Т. 66, 7), 2) прямой угол (Т. 66, II), а также

Черт. 52.

Черт. 53.

3) параллелограмм, соседние стороны которого одинаковой длины, а угол между ними острый (Т. 66,III) или 4) прямой (Т. 66 IV).

Смерь каждый раз остальные стороны и сравни их с заданными.

Сколько «элементов» имеет параллелограмм? Сколько элементов параллелограмма надо знать, чтобы начертить его? Сколько (и какие) других элементов определяется тогда само собой? Почему они оказываются определенными?

В каком смысле квадрат является особым видом прямоугольника? В каком смысле квадрат является особым видом ромба? Сделай несколько моделей ромба различного вида и сложи их, как квадрат (срав. стр. 27). Заключения?

Образование ромба (см. черт. 52) из равнобедренного треугольника приводит к следующему заключению (черт. 54): Диагонали ромба делят друг друга пополам, перпендикулярны друг к другу и делят углы ромба пополам.

Этими свойствами пользуются при решении следующих задач1) на построение, с помощью циркуля.

1. Разделить пополам данный отрезок (Т. 67а).

2. К отрезку UV восстановить перпендикуляр через середину его (Т. 67,b).

3. Опустить на прямую д перпендикуляр через точку А, лежащую вне ее (Т. 67с).

4. Разделить пополам данный угол (T. 67d).

На основании последней задачи (№ 4) можно начертить к данному квадрату в угловом положении квадрат в основном положении, а также начертить правильный четыреугольник и восьмиугольник (Т. 68, 69, 70) (ср. Т. 55 — 57).

10. Вершины и углы пирамиды.—Число вершин? Виды углов: все трехгранны, но......? Можно ли совместить угол при вершине с каким-нибудь углом при основании? Или, может быть, угол при вершине или угол при основании с одним из углов уже раньше рассмотренных тел? Почему нельзя?

11. Развертка пирамиды. — Образование (срав. стр. 30) и черчение развертки как в одном, так и в другом виде (Т. 71 I и II).

Дополнение (для упражнения). Пирамида с квадратным основанием.

Черт. 54.

1) Здесь может быть применена прекрасная, возбуждающая интерес геометрия ромба Штрейта, самые простые случаи которой могли бы быть проведены практически.

Прямой конус.

1. Поверхности. — Число, виды? Испытание кривой поверхности посредством линейки (срав. стр. 40, № 2). При каком положении конуса видно только его основание? При каком положении видна только боковая поверхность и притом только часть ее. Или вся боковая поверхность? При каком положении боковой поверхности совсем не видно?

2. Края и вершины. — Ось (показать наклонный круглый конус в противоположность прямому).

3. Развертка.—Получить развертыванием, черчением. Показать готовую развертку, затем попробовать, могут ли ученики сделать ее сами.

4. Сектор. — Дополнить сектор данного круга, показав модель часов с полным углом и частью полного угла. Начерти и сделай потом модель (Т. 72) а) полукруга; b) четверти круга; с) шестой части круга; d) трети круга е) трех четвертей круга. Затем из каждого сектора образуй конус (не склеивая).

Какую часть полного угла составляет каждый из углов, получившихся в центре начерченных секторов?

5. Угол любой величины. — Сначала повторить образование угла на циферблате часов; затем начертить круг, радиус которого был бы, по крайней мере, в 8 см и разделить его, т.-е. радиус, на 4 и 6, т.-е. на 12 равных частей; потом провести 12 радиусов и разделить пополам каждый угол (на глаз или циркулем) и, затем, полученную половину угла еще на пять частей. Итак, полный угол разделен на 10 . 12 = 120 частей, наконец, разделим его на 360 градусов (выполнить отчасти); следовательно, прямой угол разделяется на 90 градусов1).

6. Транспортир. — Начерти его! (Т. 73). Объяснение его применения.

Задачи:

a) Начерти угол в 35°, 60°, 140°, 25° градусов при различных положениях одной стороны. Должны ли здесь стороны быть равны?

b) Начерти несколько углов в разных положениях и различной величины; потом определи их величину на глаз, а затем измерь их (Т. 74).

c) Заданный начерченный угол w причертить к задней полупрямой, как при помощи куска согнутой бумаги, так и при помощи транспортира и при помощи циркуля (Т. 75).

d) Следует посредством разных чертежных принадлежностей складывать углы (Т. 76), вычитать (Т. 77), умножать (Т. 78) и делить их (Т. 79).

1) Подразделения градуса на минуты и секунды на этой стадии обучения совсем опускаются.

е) Начерти ромб, сторона которого =17 мм, а угол =111° (Т. 80).

f) Начерти прямоугольник, диагональ которого = 5,7 см, а угол W между диагоналями = 29° (Т. 81).

g) Начерти произвольный угол W, затем продолжи одну из его сторон (какую)? за вершину. Что получается? (Т. 82.) Как получить угол смежный с данным? Смерь каждый из полученных углов, смежных с данным. Почему оба угла смежные с данным должны быть равны между собою? Объясни следующее положение: «Сумма двух смежных углов равна 2 d (или 180)».

h) Начерти произвольный угол W (Т. 83), затем продолжи каждую его сторону за вершину. Сколько новых углов образуется? Который из них не смежный с ∠ W? Смерь ∠ W, а также этот четвертый угол Х. Такие углы, как W и X, называются вертикальными. Каким образом получить угол вертикальный с данным? Объясни почему:

«Вертикальные углы равны между собою».

Треугольная пирамида с произвольным треугольным основанием.

1. Установка?

2. Грани: основание и боковые грани-треугольники. Какие виды треугольников встречались до сих пор? У каких тел (геометрических фигур) встречались только что названные особые виды, треугольников? Начерти их рядом. Начерти теперь неравносторонний треугольник.

3. Ребра. — Ребра основания и боковые.

4. Вершины и углы: углы при основании и угол при вершине. Сколько ребер при каждой вершине? Если отсечь один угол, то можно ли его совместить с другим?

5. Произвольный треугольник.

a) Начерти треугольник со сторонами а = 20, 6 = 18, с = 12 мм (Т. 84); затем попробуй начертить треугольник со сторонами а = 20, b = 8, с = 12 мм; еще со сторонами а = 20, b = 6, с = 11 мм. Что из этого следует?

«Сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей». (Почему?)

b) Начерти два неравносторонних треугольника различной формы (Т. 85); потом определи на глаз, а затем смерь длину сторон (погрешности!).

Затем определи на глаз, а также смерь углы в градусах (погрешности !).

Какой угол самый большой? Самый малый? Как они расположены по отношению к сторонам различной длины?

c) Попробуй начертить треугольники (Т. 86) с углами в 1) 60°, 80°, 50°, 2) 60°, 120°, 15°, 3) 60°, 130°, 20°, 4) 60°, 70°, 50° Результат этих опытов!

Два заданные угла треугольника определяют его третий угол.

d) Начерти треугольник по двум сторонам а = 25 мм, b=19 мм, и по углу между ними γ = 55° на глаз (Т. 87 1), а также несколько раз при помощи масштаба и циркуля. Смерь во всех начерченных треугольниках длину третьей стороны с.

Начерти также треугольник по двум сторонам 6 = 40 мм, с = 20 мм и углы между ними α = 119°, потом каждый раз. сперва определи на глаз, а затем смерь три незаданные элемента..

e) Начерти треугольник по стороне а = 26 мм, и по двум прилежащим углам ß = 40° и γ = 70° и также сперва на глаз; затем (Т. 88) по возможности точно. Определи сначала на глаз, а затем смерь недостающие элементы.

Таким же образом начерти треугольник по одной стороне а = 44 и прилежащим углам ß = 21° и γ =110°!

f) Какое число элементов должно быть дано, чтобы можно было начертить весь треугольник?

6. Сумма углов треугольника.

а) Начерти треугольник по трем сторонам (приблизительно 12-ти, 14-ти, 16-ти см длины), соедини середины А и В двух боковых сторон (черт. 55) и сложи вдоль А В; тогда ∠ 1 приходится на а.

Незакрытые части треугольника суть равнобедренные треугольники. (Почему?) В них проводят высоты и складывают по ним, что получается? Куда упадет ∠ 2? и куда ∠ 3? Как расположились углы α, ß и γ?

Относится ли всё, что здесь выяснено и на что указано, только к этому треугольнику или к каждому? Справедливо ли это для треугольника такого вида, как на черт. 55 6? Отсюда следует теорема: «Сумма (внутренних) углов треугольника равна 2 d или 180°».

Эта теорема может быть наглядно пояснена еще таким способом: начерти треугольник (сделай его модель из палочек) и опусти (черт. 56) из точки Р внутри треугольника перпендику-

Черт. 55. Черт. 56.

ляры на стороны а, 6, с; затем поверни а вокруг Р до совпадения с b, т.-е. на ∠γ или то же самое, на ∠γ'; затем, поверни b вокруг Р до совпадения с с, т.-е. на ∠а или, что то же самое, на ∠α; и, наконец, с вокруг Р на ∠ ß или ∠ ß'. Итак, ∠ α + ß' + γ' = α + ß+ γ = 4d, a так как три внешних угла вместе с тремя внутренними = 6 d, то сумма внутренних углов = 2 d.

Здесь полезно предпринять экскурсию на двор, при чем применяют модель теодолита: провешивают треугольник и измеряют его углы (дважды) и стороны (тоже дважды!); затем чертят треугольник (работа на дом) и на его копиях различного масштаба измеряют углы.

b) Начерти (для упражнения) несколько треугольников, затем определи на глаз их углы и смерь их, по возможности, точно и сложи число их градусов. Получается ли всегда сумма 180°? Отчего не всегда?

Начерти еще треугольник с двумя углами в 52° и 25° в разных положениях. Смерь третий угол! Вычисли также его величину! Согласуются ли измерение и вычисление друг с другом? Почему не всегда?

c) Проверь на раньше начерченных треугольниках (например, Т. 85, 87), равняется ли сумма углов 180°.

d) Возьми угол = 34°, пересеки стороны этого угла различными прямыми и смерь остальные два угла образовавшихся треугольников; проверь, равняется ли действительно их сумма 146°? (Т. 89).

Поступи так же в том случае, если данный угол треугольника равняется 80°, равняется ли всегда сумма двух остальных углов 100°?

e) Как велик третий угол треугольника, если первые два имеют следующие величины: 49°и 102°? 39° и 54°? 16° и 281/2°? 94°и 89°? 116° и 79°?

f) В некотором равнобедренном треугольнике угол, смежный с углом при вершине =132°, а стороны =23 мм (или =64° и 41 мм); требуется вычислить три угла треугольника и результат проверить на чертеже. Смерь также и третью сторону.

7. Образование новых геометрических фигур.

Сделай модели двух совместимых неравносторонних треугольников, обозначь одинаковые стороны теми же самыми знаками, затем приложи их двумя равными сторонами друг к другу (черт. 57 ; сравни стр. 47, черт. 43 и 44). Сколько видов такого приложения возможно? Какие фигуры образуются при этом (черт. 57, I и II)?

Черт. 57.

Усеченная пирамида.

1. Ставят перед учениками две прямые (полные) пирамиды, одну с правильным треугольным основанием, другую с квадратным основанием; на этих пирамидах мысленно проводят параллельные основанию сечения и расспросами выясняют фигуры сечений. Затем вместе с первыми рассматривают две одинаковой с ними формы пирамиды, которые можно разделить на отсеченную пирамиду и усеченную пирамиду. Обращаются затем к граням усеченной пирамиды, в особенности к боковым граням, которые представляют собою равнобочные трапеции.

2. Трапеция.—а) равнобочная трапеция: примеры (стекла уличных фонарей, боковые поверхности уличных тумб......)?

Образование ее из равнобедренного треугольника посредством черчения; указание на наличность оси симметрии (Т. 90); разложение на параллелограмм и равнобедренный (почему?) треугольник или на прямоугольник и два прямоугольных треугольника (Т. 91)

Начерти равнобочную трапецию, одна из параллельных сторон которой = 2,9 см, прилежащие углы = 50° и одна наклонная сторона = 13 мм; затем смерь остальные элементы фигуры. Поступи так же, если соответствующие величины =16 мм, 118°, 14 мм.

Начерти равнобочную трапецию, ось которой = 29,5 мм, а параллельные стороны = 9 мм и 31 мм. Смерь длину сторон дополнительного треугольника, дополняющего трапецию до треугольника.

b) Неравнобочная трапеция: образование из неравностороннего треугольника. Дополнение до треугольника, разложение (как и в а).

Начерти неравнобочную трапецию, одна из параллельных сторон которой = 3,7 см, прилежащие углы = 35° и 80° и боковая сторона, образующая с заданной стороной ∠ 35°, равна 2,5 см. Поступи так же, приняв соответствующие величины равными 9 мм, 115° и 142° и 16 мм.

Четыреугольник.

Начерти четыреугольник ABCD, если известно, что:

Определи на глаз, а затем смерь недостающие элементы!

В особенности обрати внимание на сумму (внутренних) углов четыреугольника и проверь, равна ли она 4d (или 360°).

Длина окружности.

а) Вот деревянный диск в палец толщиною, смерь его диаметр. Теперь я делаю где-нибудь на окружности знак, ставлю диск этим знаком на отмеченную точку А стола и качу диск до тех пор, пока знак на нем не коснется опять стола в некоторой точке В. Смерь теперь длину отрезка А В. Можно ли вместо того, чтобы катить диск, как-нибудь иначе найти длину окружности, и как именно?

Так обведи же этим шнурком диск, смерь длину шнурка, т.-е. длину окружности u и диаметр b этого диска, в сантиметрах и запиши то, что ты получишь, но не говори другим. Смерь и ты, то и другое, но в миллиметрах; еще ты, тоже в миллиметрах; а потом вы скажете, что получили. Итак, вы трое получили: d = 10 см, и = 32 см; d2 = 99 мм., u2 = 318 мм; d3 = 99 мм, u3 = 317 мм.

Во сколько раз и длиннее d? Как это вычислить? Итак, получается:

Удобно ли эти численные значения сравнивать друг с другом? Как представить их, чтобы сравнение их было легче и нагляднее? Так представим же эти значения в виде десятичных дробей (нужно ли нам вычислять 4 или 5 знаков после запятой? Почему это излишне?) Мы получаем: 3, 200; 3, 212; 3, 202 (итак, различные значения!) Кто из вас троих прав? Кто более прав? Какое число «верное»? Как же нам найти «верное» значение?

Может быть, смерив еще 6, 8, 20 других d и и на том же самом диске?

b) Вот здесь еще другой меньший (или больший) круглый деревянный (или металлический) диск; на нем следует также трижды проделать соответствующие измерения и вычисления; получается:

Так же поступаем с третьим диском и получаем:

Замечательно, что все время получается численное значение, лежащее между тремя и четырьмя; должно ли это быть так?

Для пояснения начертим две уже знакомые нам (стр. 28 и 48) фигуры (черт. 58), а именно вписанный в круг правильный шестиугольник и описанный около круга правильный четыреугольник.

Если диаметр круга остается = d, то какова длина стороны шестиугольника? ( = d/2) Каков же должен быть периметр шестиугольника? Ответ: он = 6d/2, т.-е. = 3.

С другой стороны, чему равна сторона четыреугольника? (=d). Значит, периметр четыреугольника? Ответ: он = 4d.

Очевидно, что длина окружности больше периметра шестиугольника, т.-е. > 3 d; но вместе с тем меньше периметра четыреугольника, значит < 4 d; таким образом, длина окружности заключается между длиной диаметра, повторенной три раза, и его же длиной, повторенной четыре раза, т.-е. должно иметь место то, что нам дали наши измерения и подсчеты.

с) Смерьте дома на трех круглых предметах различной величины1) d и и и вычислите (в обыкновенных или десятичных дробях) каждый раз их отношение; это отношение обыкновенно обозначают греческой буквой π. Мы получим, например, следующие результаты для нижепоименованных предметов:

Стакан

Таз

Тарелка

Чашка

Черт. 58.

1) Для маленьких предметов (монет и т. д.) следует смачивать шнурок или нитку, которой меряют окружность.

Велосипед (малое колесо)

Велосипед (большое колесо)

Монета в 50 коп.

Более точное вычисление показывает, что можно принять следующее

1 22

Приближенное значение π = 31/7 или 22/7 или 3,14.

d) Задачи.

1. Какова длина круговой дороги, если радиус ее равен 116 м?

Ответ: Если для π взять 22/7 (3,14), то длина = 729 1/7 м (728,48 м).

2. Длина километра выбрана таким образом, что окружность большого круга земного шара равняется 40000 км. Какова, соответственно этому, длина радиуса земного шара?

Ответ: Если для π взять 22/7 (3,14), то длина радиуса получается 6.363 1/2 км (6.369,4 км).

II. Площади плоских фигур.

Меры поверхности.

1. Начерти, затем сделай модель квадрата, каждая сторона которого равнялась бы 1 дм (Т. 92): он называется квадратным дециметром ( = 1 кв. дм). Приложи 1 кв. дм к стеклу рамы (или к поверхности скамьи) и сосчитай (приблизительно), сколько раз он уложится на ней.

Вот деревянный кв. дм, положи его на угол доски и обведи его, затем клади его вдоль края столько раз, сколько это будет возможно. Сколько раз он уложится, если длина этого края равна 12 дм? Отдели мелом полученную полосу; сколько таких полос получится на доске, если высота доски равняется 11 дм? Сколько же кв. дм заключает в себе площадь доски?

Наметь пальцем разложение стекольной рамы на кв. дм, если высота рамы равна 6 дм, а ширина —4 дм. Сделай то же на двери, высота которой = 20 см, а ширина = 12 дм. (А ты начерти на доске только что названные предметы в уменьшенном виде!) Итак, сколько же кв. дм содержит стекольная рама? Дверь? Сколько ...... ?

2. Разложи кв. дм (Т. 92), а также и модель его на десять полос, а каждую полосу поперечными линиями на десять меньших фигур. Какие фигуры получаются таким образом?

Теперь начерти (Т. 93) квадрат, каждая сторона которого равнялась бы 1 см, он называется квадратным сантиметром ( = 1 кв. см). Сколько квадратных сантиметров содержит одна из предыдущих полос? Значит, сколько кв. дм? Квадратный дециметр равен 1000 квадратных сантиметров. Попробуй накладыванием, имеет ли ноготь твоего пальца площадь приблизительно в 1 кв. см.

Обведи в различных местах на разделенной на кв. дм площадке прямоугольники в 6 кв. см (или 15, или 30 кв. см).

Начерти прямоугольник (Т. 94) длиною в 3 см и шириною в 1 см; сколько квадратных сантиметров содержит он? Еще прямоугольник длиною в 3 см и шириной в 2 см (Т. 95); еще один со сторонами в 5 см и 3 см (Т. 96). Сколько квадратных сантиметров содержит каждый из них? Отчего так много?

Здесь следует проделать несколько упражнений па обращение кв. дм в кв. см и наоборот, а также на различные действия с мерами поверхности.

3. Начерти 1 кв. см и раздели его (Т. 97) так же, как раньше 1 кв. мм. На сколько полос сначала? Сколько затем квадратиков? Каждый квадратик называется квадратным миллиметром ( = 1 кв. мм).

Квадратный сантиметр содержит 100 квадратных миллиметров.

Начерти прямоугольник (Т. 98) длиною в 53 мм и шириною в 1 мм. Сколько он содержит кв. мм? Еще один длиною в 53 мм и шириною 11 мм. Определи на глаз число кв. мм в одной строке этой книги? Затем смерь и сосчитай! Сколько кв. мм содержат три полные страницы этой книги?

Здесь должны следовать примеры па раздробление и превращение.

4. Начерти теперь на доске квадратный метр ( = 1 кв. м), один квадратный метр равен 100 кв. дм1).

Наметь сперва на глаз, а затем отмерь на стене (или на полу) прямоугольник, длиною в 3 м и шириною в 1 м, еще другой

1) Я рекомендовал бы всем школам сделать то, что я велел сделать для учеников нашей школы, чтобы укрепить представление ара и чтобы ученики имели возможность продолжительно и часто его разглядывать (черт. 59). По образцу рядом начерченной фигуры я велел наметить на улице перед входом в школу углы квадрата, площадь которого равна ару, большими камнями, а на одной из его сторон велел наметить десять отрезков, каждый длиной в один метр, девятью меньшими камнями.

Черт. 59.

длиною в 4 м и шириною в 2 м! Сколько кв. м содержит каждый из этих прямоугольников ?

Затем примеры на раздробление и превращение.

5. Наметь шагами на дворе школы квадрат, каждая сторона которого = 10 м; затем отмерь такой квадрат. Сколько кв. м имеет площадь этого квадрата?

Площадь в 100 кв. м называется аром ( = 1 а); площадь в 100 аров называется гектаром ( = 1 г.).

6. Наметь мысленно вблизи твоего дома квадрат, каждая сторона которого равнялась бы 1 км или 1 миле.

Какую площадь называют квадратным километром = кв. км?). Какую площадь называют квадратной милей?

(Здесь следует проделать соответствующие упражнения, между прочим и на географической карте.)

Каждая школьная коллекция должна иметь также модель квадратного метра, недостаточно «чертежа мелом на полу», как будто такой чертеж лучше, чем всякая заранее изготовленная таблица, дает наглядное представление о соотношении единиц мер поверхности.

Площадь прямоугольника.

1. Как мы находили площади прямоугольников, помещенных на чертежах (Т. 94 до 98)? Начерти прямоугольник, длиною в 8 см и шириною в 7 мм (Т. 99); еще один длиною в 1 дм и шириною в 13 мм. Как найти площадь его? Почему так? Площадь прямоугольника измеряется произведением чисел, измеряющих две прилежащие стороны.

Упражнения: а) Найди площадь квадрата, периметр которого =28 см! (или = 44 дм, 20 м, 80 км).

b) Как велика так называемая поверхность куба, ребра которого = 9 см? (или 20 мм, 2 м).

c) Какова полная поверхность куба, сумма длины ребер которого = 24 см (или 60 см или 12 мм)?

d) Чему равна поверхность квадратного бруса, ребро основания которого = 7 см, а боковое ребро = 20 см ?

с) Три ребра (прямоугольного) параллелепипеда, пересекающиеся в одной вершине, имеют длину 5, 8 и 10 см; вычислить поверхность этого тела.

2. а) Начерти прямоугольник (Т. 100), стороны которого = 3 см и 1 см. Какова его площадь? Продолжи длинную сторону на 1/2 см; сколько кв. см заключает площадь прибавленного прямоугольника? Итак, сколько кв. см имеет прямоугольник со сторонами в 31/2 см и в 1 см?

b) Начерти также прямоугольник со сторонами в 4 и 2 см (Т. 101); затем удлини длинную сторону на 1/3. Равняется ли площадь прямоугольника

с) Начерти 1 кв. см и раздели одну сторону на две, а прилежащую к ней на четыре равных части и соедини соответствующие точки деления. Как велика площадь более растянутого прямоугольника? Равна ли она

Действительно ли площадь фигуры на Т. 102 равна

d) Начерти прямоугольник со сторонами в 31/2 см и 21/4 см (Т. 103) и проведи намеченные пунктиром линии. Из скольких частей состоит теперь прямоугольник? Одинаковой ли они все величины? Сколько видов прямоугольников разной величины можно здесь различить? Сколько кв. см заключает каждая из частей: u, v, w, х? Итак, какова площадь всего прямоугольника? Тот же ли результат получается при умножении:

Поэтому нужно сказать:

Приведенная в № 1 а теорема справедлива также для прямоугольника, длины сторон которого выражаются дробными числами.

Упражнение. Какую площадь имеют стены классной комнаты вместе с полом и потолком, если длина комнаты 91/2 м, ширина 5,4 м и вышина 3,8 м?

3. Превращение прямоугольника в другой прямоугольник. Начерти и сделан две модели прямоугольника со сторонами в 20 и 6 мм;

Черт. 60.

разрежь первую модель вдоль средней линии (черт. 60), вторую по другой средней линии (черт. 60), а затем приложи (сдвинувши или повернув) одну часть к другой; таким образом получается прямоугольник с двойным основанием и половинной высотой или прямоугольник с половинным основанием и двойной высотой. Площадь нового прямоугольника 40 ⋅ 3 = 120 кв. мм или 10 ⋅ 12 = 120 кв. мм, между тем как площадь первоначального 20—6 = 120 кв. мм. Для упражнения преврати прямоугольник с основанием в 9 и другою стороною в 24 мм в другой с основанием в три или четыре раза большим (Т. 104)! Еще преврати прямоугольник, основание которого = 10 мм и высота = 21 мм, в другой с основанием в 4/5 (или 2 4/5 или 1 4/5) первого основания. (Убедись, что 10 ⋅ 21 = ... =210 кв. мм.)

4. Превращение прямоугольника в другие фигуры. Сделай модель прямоугольника со сторонами в 8 см и 5 см, разрежь его по диагонали (черт. 61), обозначь части лицевой стороны а и b, затем приложи части друг к другу одинаковыми сторонами всевозможными способами. Сколько таких способов? (Сравни черт. 43 и 44 на стр. 47)? Какие фигуры образовались ? Итак:

Прямоугольник можно посредством разрезания по диагонали и прикладывания обеих частей равными сторонами двумя способами превратить в наклонный параллелограмм.

Нельзя ли таким же образом превратить наклонный параллелограмм в прямоугольник и прийти к тому, чтобы вычислять площадь любого параллелограмма ?

Площадь параллелограмма.

1. Превращение наклонного параллелограмма в прямоугольник.

Начерти две параллельные прямые на расстоянии 12 мм, а между ними (сперва) четыре параллелограмма, каждый с основанием = 7 мм и с углом а при основании, например, в 65°, 60°, 52°, 86°. В таком случае, перпендикуляр, восставленный через конец основания а) пересекает где-нибудь противолежащую сторону (черт. 62 а) или b) как раз проходит через конец другой стороны (черт. 62 b) или с) пересекает боковую сторону выше ее середины (черт. 62), или d) пересекает боковую сторону ниже ее середины (черт, с) 62. Затем вырежь все эти четыре модели и разрежь каждую по названному перпендикуляру, обозначь

Черт. 61.

только перед этим и притом различно части лицевой стороны. Прикладывай теперь часть у к части х каждый раз другой стороной, тогда сумма углов (α+ß) равняется d ( — почему? Сравн. выше стр. 51 № 8 b); итак, в случаях а) и b) образуется прямоугольник. В примерах с) и d) приставленная часть у выступает над х; в этом случае надо продолжить сторону прямоугольника по части у, разрезать по продолжению, отрезанный остаток снова приложить с другой стороны и т. д. Таким образом всегда возможно из частей наклонного параллелограмма составить прямоугольник.

2. Высоты параллелограмма. Составленный из наклонного параллелограмма прямоугольник располагается между теми же параллельными прямыми, как и параллелограмм. Расстояние (по перпендикуляру) между параллельными сторонами называется высотою прямоугольника; то же самое расстояние называется поэтому также высотою наклонного параллелограмма.

Начерти параллелограмм с основанием g = 20 мм, с высотою h = 28 мм и с одним углом a при основании = 60 (47,°9 24°) (Т. 105), смерь во всех этих случаях другой угол при основании, затем смерь наклонную сторону параллелограмма, а также тот отрезок, который можно было бы назвать «шириною параллелограмма». Какой это отрезок? Что можно сказать о «ширине параллелограмма» в сравнении с его «длиною»? Каждую из четырех сторон параллелограмма можно принять за основание; каждому основанию соответствует определенная высота, но эти высоты равны между собой; итак:

Параллелограмм имеет вообще две различные высоты— и о каждой из них говорят, что она соответствует определенному основанию.

Черт. 62.

3. Площадь параллелограмма. Площадь параллелограмма равна площади прямоугольника, имеющего то же основание и равную высоту. Значит, имеет место теорема:

Площадь параллелограмма измеряется произведением чисел, измеряющих его основание и соответствующую высоту. Начерти по параллелограмму по двум прилежащим сторонам a и b и углу γ между ними; затем смерь высоту и вычисли площадь каждого параллелограмма.

Пусть а = 13 мм, b = 41, 7 = 111° (Т. 106), потом а = 84, b = 38 мм, γ = 60° (Т. 107).

4. Равенство площадей любых параллелограммов с равными основаниями и высотами можно доказать различными способами, не превращая каждого параллелограмма предварительно в прямоугольник. Во всяком случае такие два параллелограмма можно расположить между теми же двумя параллельными прямыми и далее доказать равенство их.

А. Во-первых, посредством разрезания обоих на совместимые части:

a) Если из концов основания параллелограмма провести отрезки, параллельные стороне другого параллелограмма, и если они пересекают другую сторону, то образовавшиеся части попарно равны между собою. (Т. 108 а.)

b) Эти части также равны между собой (Т. 108—b), если случайно стороны одного параллелограмма параллельны диагонали другого.

c) Если же ни то, ни другое не имеет места (Т. 108 с), то можно всегда каждый параллелограмм разрезать по линиям, параллельным сторонам другого параллелограмма, на соответственно равные части, число которых будет тем больше, чем больше отличаются направления сторон параллелограммов.

В. Во-вторых, даже без разрезания параллелограммов можно одним размышлением прийти к признанию равенства площадей. Опять чертят между теми же двумя параллельными два параллелограмма с одним и тем же основанием или так, чтобы они лежали отдельно (Т. 109); в обоих случаях заданные параллелограммы можно рассматривать, как остатки, которые получаются, если от трапеции сперва с одной, потом с другой стороны отрезать совместимые части.

5. Превращение наклонного параллелограмма в параллелограммы другого вида, а именно:

А. Во-первых, сохраняя то же самое основание: а) в прямоугольник; в данном параллелограмме две стороны которого = 35 мм и 12 мм, а угол между ними = 1461/2°,. значит другой угол 331/2° принимают за основание АВ (Т. 110 — а) или В С (Т. 110 — b);

b) в параллелограмм с заданной стороной = 22 мм (Т. 111 — а и b);

c) в параллелограмм с заданной диагональю е = 21 мм (Т. 112 а и b);

d) в параллелограмм с заданным углом при основании = 108° (Т. 113 —а и b);

e) с заданной стороной и заданным углом а ( = 135°).

В. Во-вторых, изменяя основание и углы: в заданном параллелограмме (черт. 63 — а) проведи как-нибудь делящие линии, разрежь параллелограмм на три части u, v, w (черт. 63 — b); оставь часть w на своем месте, а часть v приложи другой ее стороной к w (черт. 63 — с), тогда линия XUZ будет опять прямой (почему?), а новые стороны, проходящие через X и Z, должны быть параллельны друг другу (почему?); в угол, оставшийся свободным, как раз входит часть U (почему?). Таким образом получился новый параллелограмм (рис. 63 — d), который имеет теперь (вместо сторон в lu, 5 и 24 мм и угла между ними а = 331/2°) две стороны, приблизительно равные 7 и 24 мм, и угол между ними γ = 62 °.

Превращение треугольника и его площадь.

А. Превращение треугольника в параллелограмм.

1. Начерти дважды и вырежь параллелограммы, стороны которых — 40 и 25 мм, а угол между ними = 75°; затем разрежь каждый по другой диагонали (Т. 114). Каким образом можно совместить один из образовавшихся треугольников с другим? Итак:

Треугольник составляет половину параллелограмма, имеющего то же основание и высоту.

2. Значит каким же образом можно превратить треугольник в равный по площади параллелограмм?

а) Посредством черчения. Дополняют треугольник до параллелограмма (сколькими способами выполнимо?) и проводят в последнем параллельно стороне, взятой за основание, на поло-

Черт. 63.

вине высоты прямую или сохраняют всю высоту и делят пополам основание (Т. 115). Существенно ли различны эти два способа черчения? (Сколько способов превращения возможно? Выполните в качестве домашней работы все 3×2 способа превращения и обведите данный треугольник и полученный параллелограмм двумя карандашами разного цвета).

b) Посредством изготовления моделей. Начерти треугольник со сторонами в 40, 50, 56 мм, соедини середины двух сторон, отрежь по прямой А В (черт. 64) и поверни одну часть на иол-оборота вокруг А или В. Что получается ? Образуют ли рассматриваемые отрезки опять прямую?

Прибавление. Получится ли параллелограмм, если обе стороны разделить не на две, а на три или четыре равные части (черт. 65), разрезать по прямым, соединяющим точки деления, а затем приложить части друг к другу, как сделано было выше? Что получится, если разделить стороны на еще большее число частей?

В. Превращение треугольника в прямоугольник.

3. Какова должна быть руководящая идея, если при превращении должен получиться не наклонный параллелограмм, а прямоугольник? Поэтому превращай:

а) Посредством изготовления моделей. Сделай трижды модель какого-нибудь неравностороннего треугольника, из середин А и В двух (меньших) сторон опусти перпендикуляры на третью (большую), обозначь полученные четыре части, разрежь по перпендикулярам (черт. 66 — а) и поверни два треугольника на пол-оборота вокруг А и В (черт. 66 — b) или (черт. 66 — с), отпусти на А В высоту треугольника, разрежь вдоль ее, поверни опять на пол-оборота вокруг А или В или (рис. 66 — d) раздели трапецию произвольным перпендикуляром к А В и поверни [или (черт. 66 — е) проведи через А и В внутри треугольника к основанию две произвольные наклонные, опусти из В перпендикуляр

Черт. 64. Черт. 65.

Черт. 66.

на наклонную, проходящую через А, и расположи отдельные части соответственно приведенному чертежу]. Итак:

Площадь всякого треугольника равна площади прямоугольника, имеющего такое же основание и вдвое меньшую высоту, или равна площади прямоугольника, имеющего такую же высоту и вдвое меньшее основание.

b) Посредством черчения. Начерти треугольник со сторонами в 13, 14, 19 мм и преврати его поочереди, как было сделано выше в а), в прямоугольник (Т. 116 а и b,; или начерти треугольник со сторонами в 36, 40, 46 мм и преврати его в прямоугольник с вдвое меньшей высотой (треугольник начертить разными цветами).

С. Превращение треугольника в другой треугольник.

4. Было доказано, что треугольник составляет половину параллелограмма (стр. 68, № 1); но параллелограмм можно превратить в параллелограмм другого вида (стр. 67). Соответственно этому можно и треугольник превратить в треугольник другого вида, но имеющий такую же площадь, а именно:

a) Посредством черчения. Начерти треугольник с боковыми сторонами в 42 и 54 мм и основанием AB = 48 мм, (Т. 117). Затем дополни треугольник с данным основанием до параллелограмма АX или ВY, преврати этот параллелограмм в другой ВZ и проведи в последнем диагональ A Z таким образом получается треугольник ABZ равновеликий (равный по площади) данному треугольнику. Начерти теперь еще раз тот же треугольник и составь несколько равновеликих ему треугольников.

b) Посредством изготовления моделей (черт. 67). Вырежь треугольник со сторонами в 80, 50, 70 мм. Проведи из середин двух последних сторон отрезки в какую-нибудь точку первой стороны, поверни полученные треугольники на пол-оборота вокруг А и В. Образуют ли при этом части стороны в 80 мм опять прямую? Почему? Вновь образовавшийся треугольник имеет с данным треугольником равные основания и высоту и отличается от последнего формой.

с) Посредством изготовления моделей можно еще другим способом изменить форму, сохранив то же основание и высоту (черт. 68); сделай модель какого-нибудь треугольника и разрежь на три части (1, 2, 3) (черт. 68 — а) но прямым, идущим из середин XY к любой точке третьей стороны, затем переверни 1-ю и 3-ю в пространстве и положи их рядом так, чтобы их основания образовали опять отрезок А В. Обозначенные углы принимают при этом новое положение, как показано на чертеже (черт. 68 b). Теперь поверни четыреугольную часть 2

Черт. 67.

вокруг XY и вложи ее в оставшееся между 1-й и 3-й свободное место (черт. 68 — с). Может ли и должна ли она помещаться там? Почему? Могут ли и должны ли две боковых стороны как раз совпасть с теми сторонами 1-й и 3-й частей, которые до сих пор оставались свободными? Почему? И образуют ли две наружных стороны 2-й части с двумя другими сторонами 1-й и 3-й частей прямые линии? Почему это должно случиться? Таким образом получается новый треугольник ABC. (Смерь его углы! Смерь также углы и первоначального треугольника!)

5. Выводы: а) Треугольники с равными основаниями и высотами равновелики.

b) Если равные основания двух равновеликих треугольников лежат на одной прямой, то их вершины лежат на прямой, параллельной последней.

c) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту (чисел, измеряющих основание и высоту).

6. Задачи на черчение. Превратить треугольник AВС со сторонами АС = 40 мм и ВС= 54 мм и с основанием АВ = g = 50 мм в такой равновеликий треугольник:

a) чтобы основание g осталось таким же, а сторона была 46 мм вместо 40 мм (Т. 118 а), черчение различных треугольников карандашами разных цветов;

b) чтобы основание g осталось таким же, а угол был а = 105° (Т. 118 b) вместо угла А или В;

c) чтобы основание g осталось таким же, но один из углов при основании был прямой (Т. 118 с);

d) чтобы основание g осталось таким же, но боковые стороны были равны (Т. 118 d);

e) чтобы угол А остался таким же, но смежная с ним сторона была = 54 мм (или S=32 мм) (Т. 118 е и f); для этого откладывают отрезок S на стороне АС до некоторой точки X. проводят ХВ и заменяют образовавшийся таким образом треугольник ХВС треугольником XBY; треугольник АХY и есть требуемый.

7. Задачи на вычисление. а) Основание треугольника, отмеченного и измеренного на дворе = 28,36 м, высота (посредством

Черт. 68.

эккера) = 12,59 м. Вырази его площадь α) в кв. см? ß) в кв. дм? γ) в кв. м?

b) У прямоугольного треугольника (провешенного на дворе) катеты = 352 см и 78,9 дм. Сколько единиц содержит площадь треугольника, если ее выразить а) в кв. см? 8) в кв. дм? γ) в кв. м?

c) Длина двух диагоналей ромба = 37,8 см 196 мм. Какова его площадь α) в кв. см? ß) в кв. мм? γ) в кв. дм?

d) Площадь треугольника = 2,678 кв. дм, его высота = 19,6 см. Какова, значит, длина основания д?

D. Превращение треугольника в трапецию. (Срав. стр. 69 черт. 65).

a) Посредством изготовления моделей. Вырежь два треугольника со сторонами в 40, 33, 25 мм; возьми на одной из сторон (черт. 69, а) середину X и разрежь вдоль прямой, проходящей через X и пересекающей основание; отрезанный треугольник поверни вокруг X на пол-оборота. Представляет ли новая фигура трапецию?

Можно разрезать еще по прямой, проходящей через середину U другой стороны и пересекающей основание (черт. 69 6), и затем также повернуть отрезанный треугольник на пол-оборота вокруг Y. Получается ли таким образом тоже трапеция? Такого ли она вида, как предыдущая?

Куда перемещены теперь одна (или обе) отрезанная от основания часть? Какую длину имеют теперь обе параллельные стороны вместе взятые?

Заключение. Площадь трапеции равна площади треугольника, имеющего ту же высоту, а основание, равное сумме параллельных сторон трапеции.

b) Посредством черчения. Начерти треугольник со сторонами в 53, 38, 33 мм и преврати его соответственно тому, как это сделано в а) в равновеликую трапецию (Т. 119). Сколькими способами можно это сделать?

c) Задача на вычисление. Пусть параллельные стороны трапеции 7,8 м и 5,6 м, а расстояние между ними = 4,9 м. Какова площадь трапеции?

Превращение трапеции.

а) Посредством изготовления модели в равновеликий параллелограмм. Для этого внутри трапеции, через середину одной из параллельных сторон, проводят отрезок, параллельный другой стороне (черт. 70, а), разрезают по нему и повертывают

Черт. 69.

отрезанный треугольник на пол-оборота (обоснование?), или (черт. 70,6) проводят внутри треугольника, через середины двух непараллельных сторон, два параллельных отрезка, разрезают по ним и повертывают каждый из двух отрезанных треугольников на пол-оборота (обоснование?) или (рис. 70 с) проводят внутри трапеции через середины двух сторон прямую, параллельную основанию, и повертывают отрезанную часть трапеции на пол-оборота до прилегания ее к другой части. (Обоснование?)

Для черчения (в разных цветах!) можно применить только что проделанные три упражнения над моделями.

b) Трапецию можно превратишь в равновеликий треугольник как посредством черчения (ср. Т. 119 а, 6, с), так и посредством изготовления модели, при чем можно применить следующий способ превращения (черт. 71).

Сделай модель трапеции (черт. 71, а) А В С D, проводи в ней одну из диагоналей, напр., ВD; затем воспользуйся тем из треугольников, в котором прямая MX, проходящая через середину M1, одного бока ВС трапеции, и параллельная другому боку DА трапеции, пересекает диагональ В D.

Разделив еще третью сторону СD отсеченного треугольника пополам и соединив эту точку M2 с X, разрежь по трем прямым ВD, M1X и M2X и приложи отрезанные три части 2, 3 и 4, к части 1 так, как показывает черт. 71. Почему (обрати внимание на углы, одинаково отмеченные) при точке У снова образуется прямая? И почему отдельная часть AS образует прямую?

с) Задачи на вычисление: а)—Луг тянется вдоль прямой дороги длиною в 97,8 м так, что границы его, перпендикулярные

Черт. 70.

Черт. 71.

дороге, равны 123,4 м и 109,5 м. Сколько можно скосить сена на этом лугу, если с одного ара получается 3/4 центнера сена?

d) Нижняя сторона крыши, имеющей форму трапеции, равна 53,8 м, а верхняя сторона (гребень крыши) равна 36,4 м, расстояние между обеими = 24 м. Требуется покрыть крышу черепицей, длина каждой черепицы = 27 см, а ширина = 15 см, при чем каждая черепица покрывает 2/з черепицы следующего нижнего ряда. Сколько черепиц пойдет на крышу?

Превращение четыреугольника и его площадь.

а) Начерти какой-нибудь четыреугольник (черт. 72, а) и проведи в нем диагональ; на какие части он разделился? Затем проведи в каждом из треугольников отрезки, соединяющие середины двух сторон четыреугольника; какое положение имеет каждый из этих отрезков по отношению к диагонали (Сравн. стр. 46 и 69 ). Итак, какое положение занимают отрезки относительно друг друга (Срав. стр. 23 и 69)?

Сделай чертеж, соответственно предыдущему, пользуясь другой диагональю (черт. 72 b).

Какую фигуру образуют 4 вышеуказанных отрезка, если диагонали совсем не начерчены? Почему? Итак, мы получаем следующее положение:

Во всяком четырехугольнике отрезки, соединяющие середины смежных сторон, образуют параллелограмм.

b) Превращение четырехугольника в параллелограмм (черт. 73). Сделай модель какого-нибудь четыреугольника, проведи в нем три последовательных отрезка, соединяющих середины смежных сторон, обозначь получившиеся части цифрами 1, 2, 3, 4; затем отрежь эти 4 части и поверни 2 на пол-оборота вокруг А и 4 на пол-оборота вокруг В, тогда получится модель, изображенная на черт. 73, b. Не положено ли здесь начало для образования параллелограмма? Почему? Можно ли теперь поместить часть 3 в оставшийся свободный угол? Подходит ли она

Черт. 72.

Черт. 73.

по длине сторон? Почему теперь (рис. 73, с) и последняя сторона будет стороной параллелограмма?

c) Превращение четыреугольника в прямоугольник (черт. 74). Начерти на любой модели четыреугольника два параллельных отрезка, соединяющих середины смежных сторон, и проведи к ним перпендикуляр, отметь образовавшиеся части цифрами 1, 2, 3, 4; поверни 2 вокруг А и 4 вокруг В на пол-оборота. Можно ли поместить теперь часть 3 в свободный угол? Почему ? Представляет ли собою новая, составленная из четырех частей, фигура параллелограмм или даже (как требовалось) прямоугольник? (Применение упомянутых на стр. 17 деревянных моделей!)

d) Превращение четыреугольника в треугольник сначала посредством изготовления моделей (черт. 75): проведи в каком-нибудь четыреугольнике ABCD диагональ АС, затем проведи через середину M стороны AD отрезок MX, параллельный СВ, и соедини X с серединой У стороны CD; таким образом четыреугольник разложен на четыре части, которые мы отметим цифрами 1, 2, 3, 4 (черт. 75 а). Затем передвигай (совсем, как на черт. 71) 4 до А и 2 до С (черт. 75, в) — будут ли оба эти треугольника прилегать друг к другу? Почему? И поместится ли перевернутая часть 3 в свободный угол? Почему? Будет ли внешняя сторона части 3 продолжением внешней стороны части 4? Какая фигура получилась теперь из этих четырех частей?

Посредством черчения можно выполнить превращение, если воспользоваться идеей, примененной в Т. 118 (см. Т. 121).

е) Задача на вычисление. В поле провешен четыреугольник ABCD (Т. 122), при чем приведенные на чертеже цифры выражают длину отрезков в метрах. Какова площадь?

Черт. 74.

Черт. 75.

Превращение многоугольника и его площадь.

a) Данный пятиугольник ABCDE (Т. 123) превратить в равновеликий треугольник. Как обосновать приведенный здесь прием при помощи чертежа Т. 117?

b) Задача на вычисление: начертить провешенный в поле пятиугольник по числам, проведенным в Т. 124, в 1/1000 натуральной величины, а затем вычислить его площадь (решение см. Т. 124).

Дополнительные параллелограммы.

1. Начерти (Т. 125) параллелограмм, стороны которого равны 16 и 31 мм, а угол между ними равен 63°; затем выбери на диагонали AB произвольную точку и проведи через нее прямые, параллельные сторонам; таким образом, кроме треугольников, получается два «дополнительных параллелограмма», названных так потому, что они дополняют, образовавшиеся по обеим сторонам диагонали, треугольники а и 6, так же, как и a1 и b1,—обращая их в совместимые, следовательно равновеликие большие треугольники.

Если отнять от последних с одной стороны (а+b), с другой стороны (a'+b'), то должны остаться равновеликие части. Итак, заключаем:

Во всяком параллелограмме два так называемых дополнительных параллелограмма равновелики.

2. Для превращения данного параллелограмма в другой с данной новой стороной, но прежним углом, можно применить теорему, приведенную в 1). Начерти (Т. 126 а) такой параллелограмм ABCD, чтобы ∠ A =68°, АD =15 и AB =18 мм. Пусть требуется превратить его в параллелограмм, одна сторона которого=25 мм. Сделай, согласно этому, СK=25 мм, дополни фигуру, и тогда окажется, что KL=x (=11 мм). Наоборот, если новая сторона должна равняться 11 мм, то следует поступать как (должна равняться) в Т. 126 6b и тогда получится KL=x (=25 мм).

3. Для превращения данного прямоугольника или данного квадрата в прямоугольник с данной стороной можно поступить таким образом: а) начерти (Т. 127) АС со сторонами в 16 и 12 мм и отложи KС=24 мм, тогда получится KL=x=8 мм;

4. Задачи на вычисление1).

а) Стороны прямоугольника = 24 и 35 мм; одна сторона другого прямоугольника равновеликого первому=21 мм (или 16,5 или 17,44 мм). Как велика другая его сторона х?

1) До этой стадии наглядного геометрического обучения в классе должно быть уже пройдено закругление чисел, отчасти сокращенные вычисления и, как видно из задачи с, также извлечение квадратного корня из чисел.

b) Сторона некоторого квадрата=42 см, равновеликий ему прямоугольник должен иметь сторону=28 см (или 245 мм или 2,3 дм и 25,69 см). Какой длины вторая сторона х прямоугольника?

5. Начерти прямоугольник со сторонами в 15 и 27 мм (Т. 128) и проведи его диагональ. Как надо выбрать на этой диагонали точку С, чтобы один из дополнительных параллелограммов, был квадратом? Диагональ квадрата делит углы его пополам, значит, нужно только разделить угол прямоугольника пополам, чтобы найти точку С. Таким образом, находят

Равновеликость прямоугольника и квадрата.

1. А именно, если повернуть (Т. 128) треугольник «и» вокруг С и притом на прямой угол, то он примет положение v=ACF (почему?), причем АС будет перпендикулярно к СВ (почему?); таким образом получается треугольник ABC, прямоугольный при вершине С. В этим последнем сторона квадрата CF служит высотой, она делит большую сторону AB на две части AF и F В, которые представляют собою как раз стороны дополнительного прямоугольника w (почему?) Таким образом мы получаем следующую теорему:

Квадрат, построенный на высоте прямоугольного треугольника, равновелик прямоугольнику, построенному на отрезках гипотенузы.

Примечание. Эту теорему можно доказать иначе, а именно:

a) Превращением одной фигуры в другую равновеликую, при чем квадрат на высоте можно строить как с одной (Т. 129), так и с другой стороны ее (Т. 130).

В первом случае превращают квадрат, построенный на высоте FC (Т. 129 II), в параллелограмм FG, сторона которого IG представляет собой продолжение ВС; отрезки GH, JY, AF раввы между собой. Затем (III) превращают параллелограмм FG с основанием FY в параллелограмм YK, а последний (с основанием FК и высотою /7=1(7) в прямоугольник FL (IV). Таким образом, действительно квадрат (на I) равновелик прямоугольнику (на V)1).

Во втором случае (Т. 130) также превращают квадрат, построенный на CF, в параллелограмм FM(I), при чем HM=AF; параллелограмм HB (II) и последний, принимая ЕВ за основание,—в прямоугольник FO (III), сторона которого ВО равна отрезку AF.

b) Приведенную теорему можно также доказать разбиванием площади на части (Т. 131). Для этого повервем треугольник CFA вокруг вершины С на прямой угол; при этом он займет положение CUB и таким образом составится также квадрат FH, построенный на высоте. Справедливость теоремы непосредственно усматривается разрезанием квадрата, если катет ВС равен катету CA (I) или содержит его целое число раз. Если же СВ не

1) Ученики могут, выполняя эти чертежи, соединить пять чертежей (Т. 129) в три или даже в два чертежа (как это сделано в Т. 130) (применение цветных карандашей!)

есть кратное CA, напр. содержит CA более одного и менее двух раз (II), или более двух и менее трех раз (III) или более трех и менее четырех раз (IV) и т. д., то откладывают CA на СВ и через точки деления проводят параллельное к CF или AB, тогда на чертеже III, напр., площадь а составляет как часть площади квадрата, так и часть площади прямоугольника,, тЬ—b1 и по теореме о дополнительных параллелограммах площадь с равна площади c1, таким образом доказана правильность превращения и тем самым справедливость теоремы.

2. Превращение прямоугольника в квадрат можно выполнить с помощью последней теоремы. Начерти (Т. 132) прямоугольник FL со сторонами в 15 и 7 мм. Как сделать построение, решающее вопрос? Для этого надо нанести отрезок FK на продолжении прямой BF; вершина прямого угла (C) должна лежать на окружности, диаметр которой AB (стр. 51, № 6): Начерти эту окружность и восставь FC _I AB, тогда получается требуемый квадрат со стороною FC, равновеликий прямоугольнику FL.

Другой способ превращения указан на чертеже Т. 132 b.

3. Начерти опять прямоугольный треугольник ABC (Т. 133), но затем построй квадрат не на его высоте, а на одной из его малых сторон, например, на АС; потом преврати его, т.-е. квадрат, в наклонный параллелограмм DB с тем же основанием AD. Высота его АЕ (черт. II) равна отрезку AF, отсеченному высотою CF треугольника и прилегающему к большей стороне AB; действительно треугольник ADE посредством поворота вокруг А совмещается с треугольником АСF (почему?). Если сделать еще второе превращение, а именно: превратить параллелограмм DB с основанием AB в прямоугольник AL, имеющий ту же высоту (фиг. II и III), то последний равновелик первоначальному квадрату CD.

Другой способ превращения указан на фигуре Т. 134, но идея доказательства та же, как в предыдущем. Итак, получается так называемая теорема катетов:

В прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на катете, равновелик прямоугольнику, имеющему сторонами гипотенузу и отрезок ее, отсеченный высотою и прилежащий к катету.

Второе доказательство следующее (Т. 135): продолжают стороны FR и AQ прямоугольника AR до пересечения с D Y в точках X и Y, тогда квадрат CD, сторона которого АС, равновелик параллелограмму АХ, имеющему то же основание; но одна из его сторон АУ, как показывает поворот треугольника ADY вокруг А, равна AB и AQ, следовательно, параллелограмм АХ равновелик прямоугольнику AR.

4. Превращение прямоугольника в квадрат можно выполнить,, пользуясь теоремой катетов. Начерти (Т. 136, а) прямоугольник. BE со сторонами в 20 и 5 мм; затем нанеси АЕ на AB и т. д. В результате СЕ—искомый квадрат. Другой способ превращения указан в Т. 136, b.

Теорема Пифагора.

1. Если начертить (Т. 137) прямоугольный треугольник АВС, то (соответственно стр. 78, № 3):

Квадрат 1=прямоугольнику (1), также: квадрат II = прямоугольнику (2), следовательно: I+II=III, т.-е. в прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на большей стороне, равен сумме квадратов, построенных на двух меньших сторонах.

2. Второй способ доказательства заключается в том (черт. 76), что прямоугольный треугольник (1) вкладывают в угол квадрата, сторона которого равна сумме двух меньших сторон прямоугольного треугольника. Если затем в остальные углы квадрата вложить еще три таких треугольника, равных (1), то оставшаяся свободной фигура представляет собою квадрат. — Почему? — Если повернуть (2) и (4) внутри квадрата так, чтобы (2) прилегало к (1), а (4) прилегало к (3), то образуются два прямоугольника (почему?), а квадраты I и II остаются свободными. Следовательно, I+II=III. (Применение модели.)

3. Третий способ доказательства дан на черт. 77.

Опять чертят прямоугольный треугольник (1) и его боковые квадраты. Дополнив с одной стороны квадраты I и II прямоугольником, который разлагается на треугольники 2 и 3 и, окружив.

Черт. 76. Черт. 77,

Черт. 78.

с другой стороны квадрат Ш четырьмя треугольниками 4, 5, 6, 7, равными треугольнику 1, получают квадрат U V, совместимый с YZ. Если же отнять от первого квадрата четыре треугольника 1, 2, 3, 7, а от второго квадрата треугольники 1, 4, 5, 6, то останутся равные остатки, именно: I+II=III. (Применение модели.)

4. Четвертый и пятый способ доказательства посредством сечения дают черт. 78 и черт. 79.

Применения теоремы Пифагора (на выбор).

Решить при помощи построения следующие задачи:

1. Задача. Представить сумму двух данных квадратов в виде квадрата.

Решение: (Т. 138).

2. Задача. Разность двух квадратов представить в виде квадрата.

Решение: (Т. 139).

3. Задача. Представить сумму трех (или более) данных квадратов в виде квадрата.

Решение: (Т. 140).

4. Задача. Удвоенный квадрат представить в виде квадрата. Черчением (Т. 141).

5. Задача. Половину квадрата представить в виде квадрата. Черчением (Т. 142).

6. Задача. Дан прямоугольник (стороны=25 и 16 мм) и квадрат (сторона=29 мм); требуется представить в виде квадрата 1) сумму их и 2) разность их.

7. Задача. Даны два прямоугольника, стороны одного=24 и 54, другого 5 и 45. Требуется представить в виде квадрата 1) их сумму и 2) их разность.

Решение (разными способами)?

8. Задача. В прямоугольном треугольнике (черт. 80) известны:

1) р=5, 4,5 (или р = 8,4; 2,1) чему равно А?

2) а=20,р=16 (или а=25,p=20; или b= 17,g = 8). Чему равно с?

3) b = 35, А = 21 (или а = 14,9, А = 5,1). Чему равна с?

4) p = 2,А=15 (или А=0,21; 0,28) Чему равны а и b?

9. Задача. Сторона квадрата 5=7 (или 8,1; или 100,3), чему равна его диагональ е ?

Черт. 79.

Черт. 80.

10. Задача. Периметр равностороннего треугольника 2p=120 (или 254, или 79,2). Чему равна его высота h?

11. Задача. Дано основание равнобедренного треугольника а=24 (или 5,6; или 1,3) и его высота А=35 (или соответственно 4,5; или 1,44). Чему равен периметр 2p?

12. Задача. Диагонали ромба равны 48 и 14 (или 24 и 70; или 11,2 и 6,6). Чему равен периметр P?

13. Задача. От станции отходят два поезда в направлениях, составляющих друг с другом прямой угол; один проходит 8 м, другой 15 м. На каком расстоянии друг от друга будут находиться поезда а) через 23 секунды, в) через 21/2 минуты с) через 71/4 минут?

Площадь круга.

1. Начерти круг (черт. 81), раздели его радиусами на 6 равных частей и разрежь; затем положи эти шесть частей (секторов) по образцу черт, а рядом друг с другом и наклей их. Потом раздели такой же круг радиусами на 12 секторов, разложи их тоже по образцу черт, b рядом друг с другом и наклей их. Какова площадь каждой из полученных фигур по сравнению с кругом ? Чем отличаются две полученные фигуры ? А если разрезать круг на 24 части и наклеить их рядом друг с другом, то чем будет отличаться полученная фигура от прежних? Что будет, если разделить круг на еще большее число частей?

Может ли получаемая таким образом фигура обратиться примерно в параллелограмм? При каких условиях эта фигура будет все больше и больше приближаться к параллелограмму ? Каково основание этого параллелограмма? Какова его высота?

Итак, площадь круга равна произведению половины длины окружности на радиус = —, следовательно площадь круга=

Черт. 81.

Примеры на вычисление, а) В саду имеется лужайка в виде круга, диаметр которого равен 12 м. Чему равна площадь лужайки? Чему равнялась бы площадь лужайки, если бы в центре лужайки находился круглый бассейн с диаметром в 2 м ?

Ответ. Площадь круга равна 3,14.6.6 кв. м= 113,04 кв. м. Площадь кругового кольца равна 113, 04 — 3,14.2.2 = 113,04 — 12,56 = 100,48.

b) Диаметр круглой городской площади равен 240,6 м; требуется вымостить эту площадь; квадратный метр мостовой стоит 1 р. 75 к. Во сколько обойдется мостовая?

Ответ. Площадь равна

Расходы обойутся в?

с) Сторона правильного шестиугольника (например, на черт. 58) равна 14 мм; чему равна площадь круга, описанного вокруг шестиугольника?

Ответ, Площадь круга равна

III. Объем простых тел.

Предварительное замечание: Для изучения этого отдела наглядного геометрического обучения следует, кроме многих уже ранее примененных закрытых моделей и проволочных моделей геометрических тел, иметь также целый ряд открытых сверху, т.-е. имеющих форму сосудов моделей главных геометрических тел; лучше всего такие модели из олова. При помощи их можно наглядно сравнить емкость рассматриваемых геометрических тел, наполняя их (не водой — так как от нее сосуд неизбежно ржавеет), а хотя бы льняным или конопляным семенем, мелким песком или каким-нибудь другим мелко-зернистым веществом. Наполнив им сосуд, следует сравнять линейкой и затем (в случае необходимости несколько раз подряд) осторожно пересыпать содержимое в другой сосуд, применяя при этом хотя бы бумажную воронку. Применение весов также желательно или даже необходимо.

Меры объема (емкости) и веса.

1. Возьми опять куб (или сделай снова его модель), каждое ребро которого равно 1 дм; такой куб называется кубическим дециметром=1 куб. дм (слово происходит от cubus, т.-е. куб.).

Емкость кубического дециметра называется также 1 литром ; литр может иметь и другие1) формы, например, низкую цилиндрическую (большею частью из дерева для отмериванья зерна, муки и сыпучих тел) или высокую цилиндрическую (для измерения объемов жидкостей) или вид кувшина или бутылки и др.

1) Все эти формы следует показать и, посредством наполнения их песком или семенами, указать, что они действительно вмещают в себе один дитр. При этом вкратце объяснить виды и способ подразделений мер.

В деловой жизни часто употребляются меры меньшие литра: пол-литра, четверть литра, десятая часть литра, а также меры большие литра; чаще всего сосуды в десять литров и двадцать литров (большею частью из дерева). Знает ли кто-нибудь, для чего и где применяются эти меры? Употребляются ли также сосуды в сто литров и тысячу литров?

2. Поставь взятый нами куб, объемом в 1 куб. дм в основное положение, отмерь на каждом вертикальном ребре от верхнего основания вниз 1 см и соедини последовательно точки деления прямыми. Представь себе куб разрезанным по этим прямым. Какое тело отделяется сверху? Как сделать модель такой отделенной пластинки? Начерти ее развёртку (Т. 143а) в натуральную величину и сделай из нее модель. (Прими во внимание толщину картона!) Сколько таких пластинок нужно, чтобы составить 1 куб. дм?

Отмерь от каждого из четырех параллельных ребер такой пластинки, выходящих из вершин маленького прямоугольника, по 1 см и соедини точки деления. Представь себе, что эта пластинка разрезана вдоль этих прямых; какое тело отрезано от пластинки? Как сделать модель отрезанного тела? Начерти его развертку в натуральную величину (Т. 143 — b) и сделай из нее модель. (Прими во внимание толщину картона!) Сколько таких «брусьев» понадобится, чтобы составить одну «пластинку» ?

Отмерь опять на каждом из ребер такого бруса, выходящих из вершин квадратной грани, по 1 см, соедини точки деления прямыми и представь себе брус разрезанным по этим прямым (Т. 143 — с). Что представляет собой отрезанная часть? Почему это куб? Какова длина каждого из его ребер? Почему каждое ребро его равно 1 см? Куб, каждое ребро которого равно 1 см, называется кубическим сантиметром (1 куб. см).

Сколько таких кубических сантиметров заключается в одном из вышеуказанных брусьев? Следовательно, сколько в пластинке? Из скольких же кубических сантиметров можно составить кубический дециметр? (1 куб. дм = 10.10.10 куб. см).

Теперь начерти в натуральную величину развёртку кубического сантиметра и сделай из нее модель. Можно ли таким же образом разложить 1 куб. см на 1000 кубических миллиметров?

3. Начерти теперь изображение кубического сантиметра (Т. 144). Я держу куб. см на высоте твоих глаз; закрой один глаз рукой; видишь ли ты заднюю грань кубика или его верхнюю грань, нижнюю, левую и т. д. ? Следовательно, какую грань ты видишь? Как нужно повернуть куб по отношению к глазу, чтобы можно было видеть и верхнюю грань? Как нужно повернуть куб, если хочешь видеть одновременно нижнюю и переднюю грань? и т. д. Можно ли поставить куб в такое положение, чтобы

видеть одновременно три грани куба? Где нужно поместить глаз, чтобы видеть одновременно переднюю, верхнюю и правую грани? и т. д. Сколько различных положений глаза относительно куба возможны, при которых видны три грани, из которых одна — передняя грань?

Я показываю вам здесь несколько картин (городских улиц, строений, внутреннего вида помещений, зал и т. п.), на которых параллельные в натуре прямые отмечены красными линиями1); параллельны ли они и на картинах? Все ли? Какие представляются параллельными и какие не параллельными?

Итак, если нужно начертить правильное перспективное изображение куба, поставленного перед нами, то будут ли параллельные ребра куба параллельны и на чертеже?

Ради удобства и простоты чертежа и ради того, чтобы легче возбудить и укрепить в рассматривающем чертеж—геометрическое представление о параллельных прямых, в геометрии часто применяется так называемая «ложная перспектива», т.-е. параллельные в натуре прямые чертят и на чертеже параллельными. Мы тоже будем пользоваться таким перспективным изображением.

(Прибавить объяснение геометрического черчения в сущности невидимых линий и их различения от видимых.)

Рассмотри приложенные здесь (черт. 82) чертежи куба2). Какие представления о положении глаза наблюдателя вызывают эти чертежи? Почему ребра куба равной длины представлены на чертеже неравными?

Начертите в вашей тетрадке (Т. 144) 1 куб. см в «ложной перспективе»; не представляется ли вам куб. см на чертеже больше, чем в действительности, хотя передние и боковые ребра равны 1 см длины?

4. Сосуд в литр (сначала еще раз показать, что он содержит, действительно, 1 куб. дм) уравновешивают на весах не

Черт. 82.

1) Если в школе имеется несколько достаточно больших, выполненных резкими линиями перспективных видов предметов этого рода, то можно легко и быстро научить самому главному.

2) Эти чертежи следует сначала по одному показать ученикам, а затем уже все вместе; чертежи должны быть сделаны в крупном масштабе и резкими линиями.

гирями (а хотя бы камнями или дробью), затем наполняют водою; вес воды оказывается равным килограмму1). Сколько же весит 1 куб. см чистой воды? Затем наполняют сосуд в литр песком (железным порошком, спиртом) и взвешивают; взвешивают также кубический дециметр песчаника (извести, гранита, железа). Таким образом понятие об удельном весе поясняется на примерах.

В связи с этим хорошо также взвесить имеющиеся в физическом кабинете точные кубические дециметры из различных веществ (металлов) и отметить их удельный вес.

5. Здесь на столе лежит пластинка в квадратный метр; положите на нее вдоль ее переднего края несколько кубических дециметров вплотную друг к другу. Сколько их уложится вдоль одного края? Теперь я зажимаю их в руках и держу в виде стержня. Сколько таких стержней можно уложить вплотную на квадратном метре? Сколько таких пластинок нужно представить себе наложенными одна на другую, чтобы все сооружение было высотой в 1 м? Какую фигуру имеет это сооружение? Это кубический метр ( = 1 куб. м).

Кубический метр равен 1000 куб. дм, 1 куб. дм = — 1000 куб. см; 1 куб. см = 1000 куб. мм.

Метрическая мера объема подразделяется на 1000 делений, мера площади — на 100 делений, а мера длины на 10 делений.

Почему два первых положения являются необходимым следствием последнего?

Кубический метр есть единица объема. Под объемом тела разумеют заключающееся в нём число единиц объема.

Отгороди в углу комнаты кубический метр! Какой предмет имеет приблизительно величину кубического метра?

Дополнение. Здесь следует включить задачи на раздробление и превращение мер объема, в особенности на правильную постановку запятой и на необходимое иногда приписыванье нулей к некоторой группе цифр.

Объем призм.

1. Приложи плотно друг к другу четыре кубических дециметра, образуя четыреугольник; какую площадь они занимают? Положи на них еще такой же ряд; какое тело образуют все восемь кубических дециметров? Сделаем теперь чертёж тела (Т. 145а) и возьмем при этом 1 см вместо 1 дм. Сколько куб. дм содержит куб, длина ребра которого равна 3 дм (5 дм, 2 см, 3 мм)?

1) Хотя такой опыт уже показан (или должен был быть показан) ученикам при ознакомлении с мерами веса, все же небесполезно показать его еще раз.

Почему так много? Нельзя ли поставить отдельно каждый куб. дециметр этого тела, общее число которых уже было найдено? Каким образом?

Чтобы найти объем куба, надо возвести в третью степень число, измеряющее длину его ребра, и дать результату наименование соответствующей меры объема.

2. Посмотрите на это геометрическое тело! Оно имеет так же, как взятый нами куб, квадратное основание, ребра которого равны 2 дм, но это тело не прямое, а наклонное. Поставь оба тела на стол и положи тетрадь или книгу на обе их верхние грани. Что ты замечаешь? Говорят: оба тела имеют равную высоту, так как расстояния между их верхними и нижними гранями одинаковы. Одинакова ли длина обоих тел?

Придвинь оба тела равными сторонами оснований вплотную друг к другу. Какое пустое место остается между ними? Какой формы тело может заполнить это место? Я вставлю теперь этот клин. Какой вид имеет теперь передняя сторона? Как показать на модели равенство объемов обоих тел? (Совсем так же, как равенство площадей соответствующих параллелограммов.) Теперь мы начертим и это второе тело. (Т. 1456.)

3. Вот прямой квадратный брус; смерь длину его ребер! (например = 2 см, 3 см, 4 см или дециметров). Как разложить это тело (подобно кубическому дециметру) на пластинки, брусья (стержни) и отдельные кубики? Можно ли только в одном порядке сделать необходимые для этого сечения? Сколько различных порядков возможны?

Сколько всего составляющих кубиков получится (Т. 146а)?

Сколько их получится, если ребра бруса имеют длину в 3, 4, 5 см? Или если они....?

Значит, как вычислить объем квадратного бруса?

Задачи на вычисление: а) Чему равен вес прямого квадратного бруса из песчаника (уд. вес = 2,5), ребро основания которого равно 8 м, а высота равна 2 м 10 см?

6) Палка сургуча с квадратным сечением длиною в 16 см и толщиною в 12 мм весит 46,08 г; каков удельный вес сургуча, из которого сделана палка?

Начертите в разных видах наклонный брус (Т. 1466; 147 и 148), имеющий равные с прежним основание и высоту. Каков его объем? Почему?

Дополнение. Как можно показать на модели куба, длина ребер которого равна 2 1/2 дм, что объем его точно=

4. Можно ли разложить прямой квадратный брус посредством сечений параллельных боковым граням на пластинки, брусья и кубы?

В скольких порядках можно выполнить такие рассечения? Каков результат? Получится ли тот же результат, если на прямоугольном основании построен наклонный брус той же высоты?

Объем прямого бруса с прямоугольным основанием равен произведению трех (чисел, выражающих длину в тех же самых единицах) ребер, пересекающихся в одной вершине.

Задачи на вычисление: а) положим, что наш класс, если представить себе его стены равномерно гладкими (т.-е. не принимать во внимание окон и т. д.), имеет длину 9 м, ширину 51/2 м. и высоту 4 м. Каков его объем?

b) Достаточен ли объем класса задачи (а) для 32 учеников, если на ученика полагается по 3 куб. м, 50 куб. дм воздуха?

c) Чему равен вес пластинки песчаника, имеющей форму прямоугольного бруса, если длина ее 1,8 м? Ширина 90 см и толщина 95 мм? (Удельный вес песчаника 2,3.)

d) Вес писчей бумаги в тетради, заключающей 26 листов, равен 78 гм; страница тетради имеет ширину в 16 см и длину в 21 см, а удельный вес бумаги = 0,9. Каков вес отдельного листа? Какова его толщина?

5. Сколькими способами можно рассечь прямой брус с прямоугольным основанием плоскостью, проходящей через два противолежащих ребра1)? Какое основание и какую высоту имеет каждая из полученных частей бруса? Как называется такая часть? Существуют ли также наклонные треугольные призмы? В каком теле надо провести только одно сечение, чтобы получить последние?

Составляет ли треугольная призма как раз половину соответствующего бруса? Итак, каким образом вычислить объем (прямой или наклонной) треугольной призмы?

Начерти оба рода треугольных призм в виде половин соответствующих брусьев! (Т. 149.)

6. Как разложить четыреугольную, пятиугольную... многоугольную призму на треугольные призмы, имеющие ту же высоту, и как представить себе первые в виде суммы последних? Как вычислить объем многоугольной призмы?

Объем цилиндра.

Примеры на вычисление: а) Сколько воды вмещает цилиндрический бак машины для поливки улиц, если длина его равна 1 м 20 см, а поперечник 1 м 10 см? Каков вес воды?

1) Для этой цели лучше всего применять модель на шарнирах, как и для наклонной треугольной призмы.

b) Полуцилиндрический колодезный жолоб имеет длину в 1,8 м и поперечник в 60 см. Сколько воды он вмещает?

Объем пирамид.

1. Сначала мы рассматриваем в качестве частного случая разложение куба на шесть пирамид, основаниями которых служат грани куба, а общая вершина лежит в центре куба. Каждая из этих пирамид = 1/6 куба или = 1/3 бруса, имеющего то же основание и высоту, что и пирамида, т.-е. полукуба.

2. Затем рассматривают модель (складную!) треугольной призмы и чертеж ее, на котором АВС основание (Т. 150); проводят сечение через В' и АС; таким образом разделяют все тело на две части; обе части оказываются пирамидами — каковы эти пирамиды? Четыреугольную пирамиду, в которой АССА' — основание, а В' — вершина, можно еще раз разделить на две треугольные пирамиды, из которых одна имеет вид двойного клина; почему каждая из последних составляет половину четыреугольной пирамиды? Почему одна из них равновелика первой из отсеченных пирамид? Итак, на сколько равных частей распадается призма? Какое заключение можно сделать на основании этого относительно объема треугольной пирамиды?

Объем треугольной пирамиды составляет треть объема треугольной призмы, имеющей то же основание и высоту, т.-е. этот объем равен трети произведения её основания на высоту.

Следует начертить все три части, на которые разбилась призма, в том взаимном положении, в каком они располагаются при разделении (Т. 151а)1); начертить также отдельно двойной клин (Т. 151b).

3. Начерти какую-нибудь треугольную пирамиду; затем дополни треугольное основание ее до параллелограмма и построй на нем пирамиду той же высоты, как и предыдущая (Т. 152). Как это выполнить? Каков объем четыреугольной пирамиды?

Если построить пирамиду не па четыреугольнике, составленном из двух треугольников, а на многоугольнике, составленном из нескольких треугольников (модель!), то будет ли она тоже разложима на треугольные пирамиды? Итак, каков объем любой пирамиды?

1) Можно посоветовать ученикам вычертить или проколоть вершины каждого из треугольников по трем сторонам; положения точек, определяющих каждую фигуру, лучше задать; при чем рекомендуется выбрать их положения так, чтобы передняя пирамида отчасти закрывала обе другие. (Т. 151а.)

Объем пирамиды равен одной трети произведения основания на высоту.

Задачи на вычисление: а) сторона квадратного основания одной из больших египетских пирамид равна 240 м, а высота пирамиды 151 м. Каков ее объем? Чему равнялся бы вес этой пирамиды, если бы она была вся из камня, удельный вес которого = 2,5.

b) Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник, сторона которого равна 8 см, а высота пирамиды вдвое более диаметра крута, описанного вокруг основания. Чему равен объем пирамиды ?

Объем конуса.

Примеры на вычисление: а) Диаметр основания прямого конуса равен 14 см, а высота его 20 см, чему равен объем конуса? Каков будет вес ртути, заполняющей конус от основания до середины высоты? (Удельный вес ртути равен 13,6.)

b) Ствол дерева, представляющего собою конус с диаметром основания в 28 см, весит 110,88 кг; удельный вес дерева = 0,6. Какой длины ствол?

Прилагаемый здесь атлас чертежей представляет собой в несколько сжатой форме ученическую тетрадь в той форме, какую она может получить за время двухлетнего или трехлетнего наглядного обучения геометрии. Почти все напечатанные здесь чертежи составляют необходимую часть приведенного в этой книге начального обучения: выполнение этих чертежей должно повести, с одной стороны, к уменью пользоваться чертежными инструментами, а с другой — к основательному усвоению курса. Только несколько чертежей, включенных в эту тетрадь, имеют второстепенное значение (№ 28—36). Они дают указания для декорированья квадрата и прямоугольника; из них учитель может взять некоторые на выбор, так как их приведено больше, чем это нужно.

Хотелось бы, чтобы этот атлас чертежей также способствовал уяснению изложенного хода обучения и принес свою пользу.

Черт. 1. Черт. 2.

Черт. 3. Черт. 4.

Черт. 5. Черт. 6.

Черт. 7. Черт. 8. Черт. 9.

Черт. 10.

Черт. 11.

Черт. 12.

Черт. 13.

Черт. 14.

Черт. 15.

Черт. 16.

Черт. 17 и 18. Черт. 19.

Черт. 20 и 21.

Черт. 22 и 23

Черт. 24.

Черт. 25.

Черт. 26.

Черт. 27.

Черт. 28.

Черт. 28. Черт. 29.

Черт. 29.

Черт. 29.

Черт. 30.

Черт. 30.

Черт. 30. Черт. 81.

Черт. 31.

Черт. 81. Черт. 32.

Черт. 33.

Черт. 33.

Черт. 34.

Черт. 35 и 36.

Черт. 37. Черт. 38.

Черт. 39.

Черт. 40.

Черт. 41. Черт. 42.

Черт. 43. Черт. 44.

Черт. 45.

Черт. 47.

Черт. 46.

Черт.48

Черт. 49.

Черт. 50.

Черт. 50.

Черт. 51.

Черт. 52. Черт. 53.

Черт. 54. Черт. 55.

Черт. 56. Черт. 57.

Черт. 57.

Черт. 58.

Черт. 57. Черт. 59.

Черт. 60. Черт. 61.

Черт. в2. Черт. 63. Черт. 64. Черт. 65.

Черт. 66.

Черт. 67.

Черт. 68. Черт. б9

Черт. 70. Черт. 71

Черт. 71.

Черт. 72.

Черт. 73.

Черт. 74.

Черт. 75. Черт. 76.

Черт. 77.

Черт. 78.

Черт. 79. Черт. 80.

Черт. 81.

Черт. 82. Черт. 83.

Черт. 84.

Черт. 85.

Черт. 86.

Черт. 8

Черт. 88

Черт. 89.

Черт. 90. Черт. 91.

Черт. 92.

Черт. 97. Черт. 98.

Черт. 99.

Черт. 100 и 102.

Черт. 101 и 103.

Черт. 104.

Черт. 105.

Черт. 106. Черт. 107.

Черт. 108.

Черт. 109.

Черт. 110. Черт. 111.

Черт. 112. Черт. 114.

Черт. 113.

Черт. 115.

Черт. 116. Черт. 117.

Черт. 118.

Черт. 118

Черт. 119.

Черт. 120.

Черт. 121. Черт. 123.

Черт. 122.

Черт. 125. Черт. 127.

Черт. 124.

Черт. 126.

Черт. 128. Черт. 129.

Черт. 129.

Черт. 130.

Черт. 181.

Черт. 131.

Черт. 132. Черт. 135.

Черт. 188.

Черт. 133. Черт. 134.

Черт. 134.

Черт. 136. Черт. 138.

Черт. 187.

Черт. 139. Черт. 141.

Черт. 142.

Черт. 143.

Черт. 144.

Черт. 146.

Черт. 140.

Черт. 146.

Черт. 147.

Черт. 148.

Черт. 150.

Черт. 151.

Черт. 149. Черт. 152.