Трефилов И. П. Как заинтересовать математикой учащихся средней школы. — М. : Учпедгиз, 1957. — 48 с. — (Из опыта учителя).

ИЗ ОПЫТА УЧИТЕЛЯ

И. П. ТРЕФИЛОВ

КАК ЗАИНТЕРЕСОВАТЬ МАТЕМАТИКОЙ УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

УЧПЕДГИЗ * 1957

И. П. ТРЕФИЛОВ

КАК ЗАИНТЕРЕСОВАТЬ МАТЕМАТИКОЙ УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Москва — 1957

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

Настоящая брошюра излагает многолетний опыт работы учителя математики средней школы И. П. Трефилова по повышению качества знаний учащихся по математике путем привития им интереса к изучаемому материалу.

В брошюре в основном рассматриваются три вопроса: 1) Как заинтересовать учащихся средней школы математикой; 2) Как помочь учащимся легче преодолевать трудности в усвоении материала по математике; 3) Какая существует связь между воспитательными задачами школы и наличием у учащихся интереса к математике.

Все замечания и пожелания просьба направлять по адресу: г. Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, редакция математики.

I. КАК ЗАИНТЕРЕСОВАТЬ УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ МАТЕМАТИКОЙ

Математика является одной из самых важных дисциплин в школе. В то же время математика является для учащихся дисциплиной трудной, требующей особого к ней подхода, систематичности занятий, уяснения до конца всех ее положений (аксиом, теорем), дисциплиной, требующей приобретения умений и навыков в вычислениях. Кроме того, эта дисциплина требует от учащихся строгого, правильного мышления. Отсюда ясно, как велика задача, стоящая перед учителем, ведущим эту дисциплину, и как много труда и умения надо положить учителю, чтобы достигнуть хороших результатов в своей работе. Конечно, хорошие результаты получатся только тогда, когда учащиеся будут заниматься этой дисциплиной более охотно — с интересом, с желанием.

Как же работают учащиеся наших средних школ? Об этом отчасти можно судить по статьям, напечатанным в журнале «Математика в школе» за 1954 — 1955 гг., о математической подготовке оканчивающих среднюю школу.

В указанных статьях говорится о том, что, несмотря на улучшение подготовки по математике, приходится нередко встречаться с недостаточной подготовкой учащихся по некоторым вопросам элементарной математики. Так, В. И. Рубцов и Л. С. Фрейман в журнале № 2 за 1954 г. пишут, что на приемных испытаниях в Воронежский лесохозяйственный институт в августе 1953 г. из 756 экзаменовавшихся по математике получили неудовлетворительные оценки 35 человек, что составляет 4,6%. С. М. Чуканцев в статье «О математической подготовке оканчивающих среднюю школу»

в журнале № 2 за 1955 г. отмечает, что 28,7% поступающих в Калужский педагогический институт выполнили работу неудовлетворительно.

Кроме того, т. Чуканцев отмечает, что поступающие в Калужский педагогический институт обнаружили формализм знаний, что поступающими было обращено внимание на внешнее разучивание теории и меньше на ее осмысливание.

Формализм знаний и отрыв теории от практики отмечает М. Л. Лейвиков в своей статье об учащихся, державших испытания в Арзамасский педагогический институт.

Из вышесказанного можно заключить, что значительная часть учащихся занималась в средней школе без желания, по обязанности, удовлетворялась формальными знаниями.

Что же надо делать учителю для того, чтобы учащиеся интересовались математикой, занимались с желанием? Опыт показывает, что надо выполнить целый ряд мероприятий.

1. На первых же занятиях необходимо разъяснять учащимся значение этой науки и ее применение в научной и практической жизни. Прежде всего указать учащимся, что на уроках математики они учатся правильно мыслить — правильно рассуждать, вычислять, решать задачи практического и научного характера. Одновременно с этим надо напомнить учащимся, что такое задача, остановиться на таких понятиях, как величина, число, система счисления. Обычно ученики всех классов не дают удовлетворительных ответов на вопросы об этих понятиях.

Разъяснить, какие задачи считаются задачами по геометрии, алгебре, физике, механике и т. д. При этом необходимо привести примеры задач практического и задач научного характера. Примерами практических задач могут служить все задачи, которые решали учащиеся по арифметике, все задачи, связанные с постройкой дома, машины, задачи на определение расстояния между двумя точками, из которых одна или обе недоступны, задачи на определение ширины реки и др.

Примером задач научного характера могут служить следующие вопросы: устойчивость солнечной системы, открытие последней из планет вычислением и др.

Также отметить, что многие науки тесно связаны с математикой, как-то: геодезия, физика, механика, астроно-

мия, химия, электротехника и др. Полезно отметить роль математики в решении таких вопросов, как построение гидростанций, создание оросительных систем и каналов.

Надо добиться, чтобы учащиеся поняли, что математика — не пустая выдумка мудрецов, а большая, сложная, необходимая наука. Уяснить, что наука эта возникла и развивается из практической потребности людей, что она имеет большое значение при изучении окружающей природы и ее законов в целях использования их в интересах человека. В подтверждение этого рассказать учащимся про древний Египет, где жизнь людей во многом зависела от разлива реки Нила. Нил приносил своим разливом, с одной стороны, много пользы—воды Нила орошали землю, приносимый Нилом лёсс улучшал почву, с другой стороны — большой вред: разлив реки губил посевы, разрушал жилища людей. Таким образом, получалась необходимость бороться с разрушительными действиями Нила во время разлива и использовать хорошие стороны разлива. Выявилась надобность отводить излишек воды Нила в особые водоемы во время разлива и проводить воду из водоемов на поля после разлива, в период засух. Выполнить эти мероприятия люди могли лишь научившись измерять землю, считать, вычислять. Или другой пример. Финикияне жили на берегу моря и занимались рыболовством, мореплаванием, судостроением, торговлей. При плаваниях по морям они должны были определять пути и расстояния по звездам. Таким образом, жизнь заставляла их заниматься астрономией, а для занятий последней им необходимы были математические познания. Математические познания необходимы им были и при торговле и при постройке судов.

Такие беседы можно проводить в каждом классе.

В V классе провести беседы примерно по такому плану.

Сначала совместно с учащимися установить, что люди, занимаясь математикой, учатся правильно мыслить, правильно рассуждать и решать задачи практического характера. Привести примеры задач научного характера, например; а) определить поверхность Земли; б) определить расстояние от Земли до Солнца.

Задачи практического характера составить вместе с учащимися. Останавливаемся на одной из них: Пошивочная мастерская изготовила 612 пальто по 605 руб. каждое и распределила все пальто для продажи поровну между

6 магазинами. На какую сумму получил пальто каждый магазин?

Решив эту задачу, отметить, что задача нетрудная, но если не знать действий над целыми числами, имеющими в середине нули, решить ее нельзя. Есть задачи более сложные, как-то: все задачи, связанные с постройкой дома, машины, определение ширины реки и глубины оврага, высоты башни; задачи, связанные с постройкой гидростанций, с проведением каналов, с устройством оросительной системы; задачи, связанные с увеличением роста благосостояния советского народа и т. д.

В домашнем задании дать решение задачи и примеров на действие с целыми числами (повторение).

Беседы в VI — X классах провести по тому же плану, как и в V классе, изменяя лишь примеры задач научного характера. В VI классе дать следующие задачи: а) определить объем Земли; б) определить расстояние от Земли до Лупы и т. д.

Что касается задач практического характера, то учащиеся составляют их вместе с учителем. Остановимся на одной из них: В школе всего 680 учащихся, из них девочек 70°/о- Сколько в школе девочек и сколько мальчиков?

В домашнем задании дать решение задач и примеров на проценты.

Для VII класса примером задач научного характера могут служить следующие: а) определить расстояние от Земли до Марса; б) определить поверхность Марса.

Примеры задач практического характера учащиеся составляют вместе с учителем. Например: Рабочий должен изготовить в день 15 деталей, а изготовил 24 детали. Определить процент выполнения плана. Дома учащиеся решают задачи на проценты.

Примерами задач научного характера в VIII, IX и X классах могут служить задачи на устойчивость солнечной системы, открытие последней из планет вычислением и др.

Что же касается задач практического характера, то в VIII классе дать такую: Определить путь, пройденный телом при свободном падении в безвоздушном пространстве.

Определяем путь по формуле:

где g = 9,8 Mt t=U сек., S — искомый путь.

Ответ. S = 592,3 м.

Или: Сколько секунд будет падать тело с высоты 4410 м

Ответ.30 сек.

Задача решается с помощью учителя. Домашнее задание — решение уравнений и задач (повторение).

Задачу практического характера в IX— X классах можно дать следующую.

Палец кривошипа К описывает круг радиусом г со скоростью п оборотов в минуту. Требуется определить окружную скорость кривошипа, допуская, что он движется равномерно (черт. 1).

Окружной скоростью называется скорость, которую имеет точка на поверхности вращающегося вала.

Здесь дать пояснение. Принцип построения паровой машины и двигателя внутреннего сгорания состоит в следующем: пар или газ давит на поршень, отчего он получает прямолинейное движение. Поршень в точке А соединен с коленчатым валом при помощи стержня АК, называемого шатуном; конец шатуна К соединен шарнирно с коленом OK, называемым кривошипом, который составляет часть коленчатого вала и вращается вокруг оси вала О. Роль кривошипа заключается в том, что он преобразовывает поступательно-возвратное движение поршня во вращательное движение коленчатого вала.

Решение. Траекторию вращения кривошипа вращающегося вала принимаем за окружность. Известно, что длина окружности с радиусом г равна 2кГ.

Путь, пройденный пальцем кривошипа за один оборот вокруг оси О, равен длине окружности, т. е. 2тгг, а путь, пройденный им за п оборотов (назовем S), равен 2кгпу отсюда скорость кривошипа равна:

V=~W = Жм/сек.

Рассмотрим еще задачу.

Найти скорость ремня маховика дизеля диаметром 2,5 м, делающего 180 оборотов в минуту: Решение.

= —— = 23,55 м/сек.

Хорошо воспользоваться, если есть в школе, моделью паровой машины. Если модели паровой машины в школе

нет, то надо попытаться создать силами одного-двух лучших учеников модель самого простого вида, в крайнем случае приготовить хороший чертеж.

На втором уроке взять вопросы — возникновение и развитие математики из практических потребностей людей, например египтян, финикиян, значение математики для других наук.

Черт. 1.

Примером применения математических знаний к другим наукам могут служить следующие задачи.

Задача 1. Участок земли прямоугольной формы, длина которого 96 му а ширина 25 м, засеян горохом и картофелем. Горох занимает \ часть площади участка, картофель — остальную часть участка. Сколько квадратных метров занимает картофель?

Задача 2. На географической карте с масштабом 1:10000 расстояние между двумя пунктами равно 12 см. Найти расстояние между пунктами в действительности.

Задача 3. Сколько весит бронзовая телефонная проволока длиной 1,25 км, если толщина ее равна 2,7 мм, а удельный вес равен 9? Ответ. 64,4.

Задача 4. Средняя плотность земного шара 5,54 г. Найти массу земли, если средний радиус ее равен 6371 км.

Ответ. 6- 10й.

Задача 5. Аэростат диаметром 2 м виден под углом 4'34". Как далеко он находится от места наблюдения?

Ответ. 1505 м.

В V и VI классах можно использовать задачи 1 и 2, в VII и VIII классах—задачи 1,2, 3, 4, в IX и X классах— задачи 1, 2, 3, 4, 5.

Часть указанных задач в VIII, IX и X классах можно включить в домашнее задание.

На последнюю третью беседу отвести половину урока и разобрать вопросы: каковы должны быть знания по математике и как следует изучать математику?

Отметить, что изучение математики построено так, что все последующее базируется на предыдущем, а потому необходимо всегда знать все, ранее пройденное.

2. Сообщить учащимся программу учебного года и учебники, по которым будет изучаться учебный материал.

Число учебных часов, отводимых на повторение, на изучение каждого раздела, какой учебный материал будет изучаться по четвертям учебного года. Одновременно отметить, что недостаточная работа класса нарушит план работы, внесет беспорядок, работать нужно постоянно, систематически.

В конце каждой четверти подвести вместе с учащимися итог работы, сверить, все ли изучено по намеченному плану, выяснить и устранить причины отставания от плана, если они есть.

3. Сообщить тему занятий, научное и практическое значение ее, необходимость изучения этой темы для других дисциплин и для самой математики. Например, тему «Подобие многоугольников» необходимо изучить потому, что в следующих разделах курса математики приходится во многих случаях опираться на теоремы этой темы. Изучение этой темы необходимо и для других дисциплин — механики, физики, землемерии (всецело опирающейся на подобие многоугольников). Изучение этой темы необходимо и для решения чисто практических вопросов — съемка планов земельных участков, определение глубины оврага, измерение высоты башни и др.

Перед изучением этой темы, предварительно рассмотреть задачу: снять план с четырехугольного участка земли, т. е. построить на земной поверхности четырехугольник, подобный данному. Для этого сначала решить такую задачу: построить на классной доске четырехугольник, подобный данному, и выяснить понятие о подобии многоугольников.

Для построения четырехугольника, подобного данному, на поверхности земли надо познакомить учащихся с мерной лентой и астролябией. По мере накопления сведений по теме подобия многоугольников, в процессе работы над темой, необходимо решить ряд задач и познакомить учащихся с мензулой, эккером.

По изучении темы провести заключительную беседу и отметить учеников, у которых оказались лучшие результаты, и учеников, не усвоивших темы. Отстающим ученикам надо сразу же организовать помощь.

Приступая к изучению темы «Площадь многоугольников», сообщить учащимся, что изучение этой темы необходимо не только для самой математики (геометрии), но и для многих других наук. Так все выведенные в этой теме формулы могут быть применены при определении поверхностей многогранников (призм, пирамид, правильных многогранников и др.).

Из других наук, которые пользуются этими же формулами, можно, например, отметить геодезию (землемерие), занимающуюся вычислением площадей многоугольников на поверхности земли, физику, например, при решении вопроса о давлении жидкости на дно сосуда (дно может иметь форму любого многоугольника). Необходимы эти формулы и в строительном деле, где они дают возможность решать задачи практического характера.

Например, пусть строится дом; бригада штукатуров произвела штукатурку стен и потолков, а бригада маляров произвела побелку этих же объектов. Определить, сколько заработали на этой работе бригады, если штукатурка 1 кв. м оценивается в 90 коп., побелка 1 кв. м оценивается в 20 коп. Ясно, что для решения задачи надо знать площадь стен и потолков. При изучении этой темы следует обязательно разрешать вопрос, можно ли квадратные меры обратить в линейные и наоборот. Хорошо отметить функциональную зависимость величины.

Изучая тему «Логарифмы чисел», также указать на необходимость применения ее не только для самой математики, но и для многих других наук, родственных с математикой, особенно, где требуется производить вычисления. Применение логарифмов к вычислениям упрощает и облегчает расчеты, позволяет производить такие действия над числами, которые без логарифмов или совсем не выполнимы, или на выполнение которых потребовалось бы очень много времени. Вспоминаем действие возвышение в степень, берем 23 — 8, где основание степени равно 2, степень равна 8, а показатель степени 3. Возьмем второй пример: З5 = 243, где 3—основание степени, 5 — показатель степени, 243 — степень. Переходим к действиям, обратным возвышению в степень. По данной степени и показателю степени опреде-

лить основание степени, из первого примера получим \ 8 — 2, из второго —]/243 =3

По данной степени и основанию степени определим показатель степени. 3 — показатель степени числа 8 при основании 2, 5 — показатель степени числа 243 при основании 3.

Показатели 2 и 3 называются логарифмами чисел 8 и 243. Итак логарифмом данного числа N при данном основании а является показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить данное число.

Затем составляем следующую таблицу:

Число строчек в таблице можно увеличить. Производим при помощи таблицы действия: умножение-3-9; 9-243; 81-27; деление-729:9; 243:27; 27:3.

Как видно, действия умножения и деления над большими числами заменяются действиями над малыми числами, причем порядок действия понижается — умножение сменяется сложением, деление — вычитанием. Это очень заинтересовывает учащихся.

Интересует учащихся и сообщение о том, что на основании свойств логарифмов устроена счетная линейка. Сказать, что человек, умеющий хорошо владеть линейкой, сохраняет 90 °/0 времени, требующегося при обычных вычислениях (без линейки). Познакомить учащихся с демонстрационной логарифмической линейкой и с обычной логарифмической линейкой (длина 25 см). Каждая школа должна иметь как демонстрационную линейку, так и набор обыкновенных счетных линеек.

Так же можно пояснять учащимся необходимость изучения каждой темы.

После изучения каждой темы необходимо проводить заключительную беседу по ней.

4. Сообщая новый материал, не следует торопиться с тем, чтобы не возвращаться и не давать дополнительных объяснений по нему.

Хорошее усвоение нового материала есть главное условие, от которого зависит интерес к занятиям.

Вновь сообщенный материал должен быть достаточно закреплен упражнениями и задачами и только тогда можно переходить к изучению следующего раздела. Особенно не следует торопиться при выяснении тех положений, на основе которых решается много других вопросов.

Так, например, понятие об обыкновенной дроби, об изменении величины дроби с изменением числителя и знаменателя, надо хорошо усвоить, так как без этого нельзя успешно знакомить учащихся с действиями сложения, вычитания и особенно умножения и деления дробей. Не поняв зависимости величины дроби от изменения числителя и знаменателя, учащиеся, если и будут производить действия над дробями, то лишь формально, по правилам, покоящимся не на сознании, а на памяти. Если учащиеся не усвоят вопросов умножения и деления, то у них не будет основы для прохождения раздела о процентах, без знания должным образом обыкновенных дробей не будет достаточных знаний для изучения действий над алгебраическими дробями, отношений, пропорциональной зависимости между числами, между отрезками и т. д.

Не усвоив прямоугольной системы координат, не поняв, как решаются основные задачи: а) по данной точке M определить ее координаты и б) зная координаты х и у точки Му построить точку М, нельзя переходить к рассмотрению графиков функций.

Без хорошего знания равенства и подобия треугольников невозможно доказать большое число теорем и нельзя будет решить большое число задач.

Не усвоив понятия о тригонометрических функциях острого угла, учащиеся не будут понимать тригонометрические функции какого угодно угла.

Не уяснив хорошо взаимное положение прямых на плоскости и в пространстве, а также взаимное положение плоскости в пространстве, учащиеся не смогут изучать многогранники.

5. Большое значение имеет и то, как учитель проводит урок. Урок является основной формой работы,и от качества его зависит и успеваемость, и достижение воспитательных целей, и дисциплина, и зарядка учащихся на дальнейшие занятия. Прежде всего надо считать хорошим тот урок, на котором достигнута цель занятий, который проводится интересно и живо. На хорошем уроке все учащиеся вовлечены в работу, внимание класса мобилизовано, класс держится в постоянном напряжении. Речь учителя правильна, ясна, строго логична, понятна, жива, образна, формулировки точны. Учитель должен держать себя уверенно, спокойно и достаточно оживленно. Монотонность речи и излишнее спокойствие учителя ведет учащихся к безразличному отношению к уроку, может послужить началом скуки. Но излишняя живость и активность учителя может снизить активность учащихся. На уроке надо использовать творческие силы учащихся. Занятия проводить в форме беседы, а не лекции, при этом в беседу при сообщении учебного материала надо вовлекать возможно большее число учащихся. Выводы и заключения делать также с помощью учащихся. Важно и то, как учитель обращается с учащимися. Обращение с учащимися должно быть дружеское и вежливое. Во время урока учителю надо слиться с группой в общей работе, не теряя руководящей роли. Учителю следует держаться так, чтобы каждый учащийся чувствовал себя спокойно, откровенно, не стеснялся своих ошибок в мышлении, но в то же время чувствовал должное уважение к учителю. На каждом уроке должна быть видна любовь учителя к своему делу, к своему предмету. Чтобы интересно и живо проводить занятия, учителю необходимо много готовиться к каждому уроку и стремиться к тому, чтобы каждый урок представлял собой связь между отдельными частями изучаемой темы.

6. При сообщении нового материала необходимо следить за тем, чтобы все учащиеся участвовали в беседе, внимательно слушали объяснения и своевременно делали в своих тетрадях записи и выполняли чертежи. Привлекать учащихся к построению чертежей и на классной доске, ставить им контрольные вопросы. Вывод делать вместе с учащимися. Затем кратко повторить все сообщенное и приступить к упражнениям. Участие в беседе, правильные ответы на контрольные вопросы и верное решение примеров и задач даст возможность убедиться в том, что

все новое учащимися усвоено. Если не все учащиеся усвоили материал, нужно дать дополнительные объяснения.

Надо добиваться, чтобы учащиеся не скрывали пробелов в своих знаниях и сами обращались к учителю за разъяснением недостаточно понятого на уроке.

Приведем, как пример, урок геометрии, на котором рассмотрим теорему.

Если из точки М, взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая AM и касательная MC, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

После того как будет проверена домашняя работа, произведен опрос учащихся по домашнему заданию, установить связь новой теоремы с ранее пройденным материалом, для чего задать ряд вопросов:

Что называется пропорцией? Какая пропорция называется непрерывной? Какие отрезки называются пропорциональными? Как ускорить построение пропорциональных отрезков? Какие вы знаете пропорциональные отрезки в круге? Как называется повторяющийся член непрерывной пропорции? Вспомните теоремы о среднем геометрическом, об отрезках хорд, проходящих через одну точку, лежащую внутри круга. Затем перейти к доказательству теоремы.

При помощи циркуля построим окружность (черт. 2). Вне круга возьмем точку M и строим секущую AM и касательную к кругу СМ.

Дано: окружность, точка M вне круга; секущая AM; касательная СМ; внешний отрезок ВМ. Требуется доказать: АМ-ВМ=МС2

Предварительно задать вопросы: Что называется секущей в круге? Что называется касательной к кругу? Назовите внешнюю часть секущей, внутреннюю часть секущей. Достаточно ли данных для доказательства?

Если нет, то какие вспомогательные фигуры мы вводим при доказательстве теорем и решении задач. Учащиеся отвечают — треугольник. А есть ли у нас треугольник? (Нет.) Можно ли получить треугольник на нашем чертеже?

Черт. 2.

(Можно, для этого проведем прямые АС и ВС, получим три треугольника.) Что будем предпринимать дальше? (Надо доказать, что треугольники равны или подобны.) Какую пару треугольников возьмем? Если учащиеся затрудняются ответить на этот вопрос, спросить, какие отрезки нас интересуют.

Доказываем, что ААСМ—АВСМ; ^М — общий; ^иА = ^С. Итак, треугольники АС M и ВС M подобны по первому признаку подобия треугольников, следовательно, АМ:МС = МС:ВМ или AM-ВМ = MC2.

Повторяем формулировку и доказательство теоремы.

Для достоверности, что учащиеся поняли теорему, можно дать следующие вопросы: Может ли внутренняя часть секущей равняться диаметру, быть меньше диаметра, быть больше диаметра круга, если не может быть больше диаметра, то почему? Могут ли эти части быть равны? Сколько секущих и сколько касательных можно провести из данной точки, взятой вне круга, к данному кругу? Почему взяты треугольники СВМ и AMCt а не треугольник АСВ?

Переходим к решению задач.

Секущая AM равна 9 дм, внешний отрезок В M равен 4 дм. Найти длину касательной.

Решение. Полагаем, что искомая касательная MC равна X, тогда согласно теореме будем иметь:

9 • х —— х » 4. Отсюда: хг— 9-4 ; х~СМ~ 1/9^4 = б дм.

Можно взять другие данные: касательная СМ == 10 дм, секущая равна 25 дм. Найти внешний отрезок.

Эту задачу учащиеся решают самостоятельно.

Полагая, что внешний отрезок равен х, по теореме имеем:

25: 10 =10: х\ 25.x = 102 ; jc=12°5° = 4.

Приведем решение задачи 27 из § 11 Сборника задач по геометрии Рыбкина Н., ч I.

Длину радиуса обозначим через х, внутренний отрезок секущей, равный диаметру, выразится через 2х, тогда по теореме будем иметь;

Рассмотрим пропорции из решенных задач: 9 : X = X : 4; 25 :10 = 10 : jc; 50 : 20 = 20 : х.

Приходим к выводу — касательная является средней пропорциональной величиной между всей секущей и ее внешним отрезком.

Наконец, формулируется следствие из теоремы и дается домашнее задание.

В домашнее задание должно входить и решение задачи 27 из § 11 вторым способом.

7. К числу мероприятий, поднимающих интерес учащихся к математике, надо отнести поручение учащимся самостоятельно знакомиться по учебнику с новым материалом. Здесь учащиеся пробуют свои силы, и удача воодушевляет их, хороший результат такой работы учащихся надо отметить перед классом и оценить его.

Если имеются слабые стороны в работе, указать путь к их исправлению.

К числу таких теорем, какие можно поручить учащимся для самостоятельного изучения, можно отнести, например следующие: третий случай подобия треугольников; правильные одноименные многоугольники подобны и стороны их относятся как радиусы или апофемы; две параллельные прямые, пересекаемые рядом прямых, исходящих из одной и той же точки, рассекаются ими на пропорциональные части; следствия теоремы сложения; синус разности двух углов; косинус суммы и разности двух углов; разложение на множители разности синусов двух углов; доказать теоремы: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон; площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту; третий признак равенства треугольников и т. д.

Поручая учащимся самостоятельно доказать ту или иную теорему, предварительно дать им указания, как надо работать над заданной теоремой. Вообще же в этом вопросе надо учитывать свойства группы, развитие и способности учащихся.

Самостоятельная работа учащихся над учебным материалом играет большую роль в формировании интереса к ма-

тематике. Виды самостоятельной работы могут быть различны.

Самостоятельное повторение учащимися доказательства сообщенной на уроке теоремы, самостоятельное решение на уроке и дома примеров и задач на изученный материал. Самостоятельное изготовление моделей к теоремам и, наконец, привлечение учащихся к самостоятельной помощи отстающим ученикам.

Всякая самостоятельная, разумеется, посильная, работа, выполненная учащимся, порождает в нем удовлетворение, радость и желание работать дальше.

Большое значение в процессе работы в школе имеют домашние задания. При правильной постановке они достигают важной цели: через домашние задания выполняется часть учебной программы, учащиеся самостоятельно доказывают ряд теорем, самостоятельно закрепляют знания, полученные на уроке или дома, вырабатывают навыки вычисления и логического мышления, развивают умение применять полученные знания и навыки к практическим вопросам.

Но всякое задание, в том числе и домашнее, должно быть хорошо подобранным, интересным по содержанию и посильным. Оно может содержать в себе и трудности, которые при известном напряжении сил учащихся могут быть преодолены.

Преодоление посильных трудностей доставляет учащимся удовольствие и повышает интерес к предмету, но это совсем не значит, что учитель не должен оказать помощь учащимся в усвоении учебного материала.

Математика содержит в себе большой материал, который надо всегда хорошо помнить, так что, помимо степени трудности учебного материала, необходимо всегда иметь в виду и количество материала, подлежащего закреплению.

8. Новый материал надо давать на основе ранее пройденного и хорошо усвоенного учебного материала.

Так, например, перед тем как рассмотреть метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, надо предварительно повторить с учащимися отношения между числами, отношение отрезков, пропорции, подобие треугольников, восстановить в памяти или дать понятие о среднем арифметическом, о среднем пропорциональном. В до-

машнем задании дать задачу такого содержания: Доказать, что перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу прямоугольного треугольника, разобьет этот треугольник на два треугольника, которые подобны между собой и каждый из которых подобен данному треугольнику.

Опрос учащихся по домашнему заданию прямо и легко приводит к сообщению метрических соотношений в прямоугольном треугольнике, и новый материал легко и прочно увязывается с ранее пройденным.

Перед тем как познакомить учащихся с квадратным уравнением, необходимо дать им на дом задание повторить следующее: алгебраическое выражение, равенство и его свойство, тождества, уравнения, части уравнения, члены уравнения, что значит решить уравнение, что называется корнем уравнения, уравнения равносильные, теоремы, на основании которых решаются уравнения.

Как решается уравнение 1-й степени с одним неизвестным? Для чего изучаются уравнения?

Проверив домашнее задание, можно решить задачу 512 из сборника задач по алгебре, Ларичев П. А., ч. II.

Уравнение составлять общими силами:

Получили квадратное уравнение. Переходим к его изучению.

Перед тем как познакомить учащихся с тригонометрическими функциями острого угла, надо повторить случаи подобия треугольников, случаи подобия прямоугольных треугольников, понятие о постоянной и переменной величинах, понятие о функции.

На дом дать задание. Построить острый угол ABC. На стороне ВС угла взять точку M и опустить из нее на сторону AB перпендикуляр MN. Получим треугольник BMN.

Затем на той же стороне ВС угла взять точки Мх и М2 и опустить из них перпендикуляры на сторону AB, на стороне AB взять точки Nx и N2 и опустить из них перпендикуляры на сторону ВС. Получим ряд треугольников. Доказать, что все полученные треугольники будут подобны.

Написать ряды равных отношений сходственных сторон треугольника.

Перед решением задач 1-го рода на проценты необходимо повторить умножение дробей, нахождение нескольких долей от данного числа.

9. Большую роль в преподавании математики имеет и связь изучаемого материала не только с ранее пройденным, но по возможности и с тем материалом, который будет проходиться в будущем, у учащихся должна быть некоторая перспектива для дальнейших занятий. Так, хорошо изучив формулы сокращенного умножения:

{а ± 6)2 = а2 ±2аЬ + Ъ2 ; (а ± bf = а3 ± За2Ь + 3ab2± Ь\

сообщить учащимся, что в будущем им придется пользоваться этими формулами при разложении степеней двучленов:

(а±ЬУ; (а±Ь)К

Вспомнить свойство коэффициентов и записать результат, при этом сказать, что на этот случай есть формула Ньютона, но ее можно не приводить.

Изучив прогрессии, указать, что прогрессии — лишь простейшие ряды, что рядов можно иметь много, каждый из них составляется по своему особому закону, указать на роль рядов при вычислениях:

Изучив действия со степенями, имеющими целые положительные показатели, сообщить, что в будущем встретимся с действиями со степенями, имеющими отрицательные и дробные показатели, что правила, выведенные для действий со степенями, имеющими целые положительные показатели, останутся в силе и для тех действий со степенями, которые имеют отрицательные и дробные показатели.

Разобрав вопрос о прямоугольной системе координат, сообщить, что существуют и другие системы координат (косоугольная, полярная) и от одной системы координат можно перейти к другой.

При изучении геометрии сказать учащимся, что, кроме элементарной геометрии, есть геометрия высшая: аналитическая, проективная, дифференциальная, что, помимо ев-

клидовой геометрии, есть геометрия великого русского ученого-математика Лобачевского Н. И. —неевклидова геометрия.

То же можно сделать при обобщении понятия о числе. Познакомив учащихся с вещественными и мнимыми числами, можно говорить, что существуют комплексные числа и гиперкомплексные при обобщении понятия об уравнении. Все это вызывает у учащихся интерес к предмету. У некоторых учащихся появляются вопросы, возникает желание испробовать свои силы на изучении этих новых вопросов. В таких случаях следует прийти на помощь учащимся. Указать, как надо самостоятельно работать над новым материалом где и что надо прочитать. Установление связи изучаемого материала с вопросами будущих занятий ведет к организации отдельных, особо интересующихся лиц в математические кружки.

10. Большую роль при изучении математики имеет наглядность, которая помогает учащимся лучше усвоить изучаемый материал. Наглядными пособиями могут служить приборы, модели, таблицы, чертежи-графики, хорошая, четкая, ясная запись учителя на классной доске. Учащиеся должны использовать циркуль, линейку, треугольник, набор геометрических тел, для изучения площадей фигуры из картона—тригонометр, угломер, эккер, астролябию, мензулу, графики линейных, квадратных, показательных, логарифмических, тригонометрических функций, таблицы логарифмов, таблицы натуральных значений тригонометрических функций, счетную линейку и т. д. Всегда надо использовать в качестве наглядных пособий, и предметы, окружающие нас во время занятий. Вместе с учащимися найти в классе прямые линии, углы плоскости, линии параллельные и перпендикулярные, углы двугранные, трехгранные, прямоугольники, треугольники, плоскости пересекающиеся и плоскости параллельные, параллелепипеды и т. д.

Для изготовления наглядных пособий необходимо привлекать учащихся, при этом они более прочно усваивают изучаемый материал и развивают свою самостоятельность и инициативу. Силами учащихся можно сделать модели, чертежи, графики для использования их в других группах. Так, например, можно силами учащихся изготовить модель теоремы о двух перпендикулярах, модель теоремы о трех перпендикулярах, модель двугранного

угла, трехгранного и многогранного, графики функций 1-й степени, графики квадратных функций, графики взаимно-обратных функций, графики кривых 2-го порядка; можно сделать эккер, тригонометр и многое другое. Лучшими изделиями учащихся можно пополнять математический кабинет школы. К этому особенно надо прибегать в провинциальных школах, где учебные кабинеты труднее обеспечить учебными пособиями, чем в городе.

11. Для поднятия интереса к математике можно иногда расширять и углублять учебный материал, но делать это возможно лишь в тех случаях, где не требуется большой затраты времени. Так, например, учащиеся с интересом знакомятся с извлечением квадратного корня из чисел графическим способом, с определителями второго порядка и применением их к решению систем уравнений 1-й степени с двумя неизвестными. Иногда полезно увеличить число задач, решение которых основано на теореме Пифагора.

Можно дать такие задачи: 1) построить квадрат, равновеликий данному прямоугольнику; 2) построить квадрат, площадь которого равна сумме площадей четырех данных квадратов; 3) построить квадрат, площадь которого равна 7 площади данного квадрата.

Познакомить учащихся с пантографом, сообщить им о счетных машинах.

Углубление учебного материала, не выходя из границ программы, плодотворно действует на учащихся и оживляет предмет.

12. Интерес к математике можно возбудить у учащихся при решении задач. При этом большое значение имеет хороший подбор задач. К задачам, к которым учащиеся проявляют интерес, следует отнести те, которые можно решить несколькими способами. В качестве примеров рассмотрим ряд задач.

Задача 83 (§ 13 Сборника задач по геометрии Рыбкина Н., ч. I).

Эту задачу можно решить несколькими способами, приведем из них 5.

Дана трапеция ABCD (черт. 3), АС=с — диагональ трапеции, ^.CAD=$b°. Определить площадь трапеции.

1-й способ. Проведем вторую диагональ BD.Сначала доказываем, что диагонали АС и BD равны. Это легко видеть из равенства треугольников ACD и ABD (сторона

AD общая, AB=CD по условию, *^BAD= ^CDA, как углы равнобедренной трапеции, прилежащие к одному основанию).

Из равенства треугольников ACD и ABD следует, что ^:CAD=^:BDA=450. ДЛOD — равнобедренный и прямоугольный, следовательно, диагонали АС и BD перпендикулярны и AO=OD. Обозначив отрезок OA через х, будем иметь возможность обозначить отрезок ОС=ОВ через с — ху тогда площадь Л ABC выразится так:

Площадь AACD будет равна —, тогда площадь трапеции

выразится так:

SäBCD =S ААВС + 5 AACD —

2-й способ. Установив, что диагонали трапеции равны и перпендикулярны, замечаем, что площадь трапеции равна сумме площадей четырех прямоугольных треугольников. Обозначив AO=OD через X, а ВО=СО через с — х, будем иметь (черт. 3):

Черт. 3.

3-й способ. Выше было доказано, что углы при точке О прямые (черт. 4). Проведем через точку С прямую линию CK параллельно диагонали BD. Получим ДАСК* ААСК — прямоугольный: ^:АСК = ^-AOD = 90°, как углы, соответственные при двух параллельных прямых, пересеченных третьей прямой; фигура BCKD — параллелограмм, следовательно, CK = BD =С

Площадь трапеции равна площади ДЛС/С, площадь ААСК= = —, значит, и площадь трапеции равна —.

4-й способ. Проведем в трапеции ABCD высоту СМ и АК (черт. 5). Получим фигуру АКСМ. Эта фигура будет квадрат.

Легко показать, что площадь квадрата равна площади данной трапеции. Сторону квадрата, высоту трапеции определяем по теореме Пифагора из прямоугольного и равнобедренного ДЛСЛТ, гипотенузой которого служит диагональ АС = с. Пусть СМ = х, тогда

Черт, 4.

Черт. 5.

5-й способ. Треугольники Л OD и ВОС—прямоугольные (черт. 6).

Обозначим А О = OD через х. Тогда ВО=СО будет равно с—х. Из аВОС по теореме Пифагора имеем:

Черт. 6.

Черт. 7.

Из AAOD по теореме Пифагора имеем:

Высота отсюда:

Задача 1. (§ 4 Сборника задач по геометрии Рыбкина Н., ч. II).

Решение. . Соединим точки С и Е, D и F прямыми линиями (черт. 7). Получим два треугольника АЕС nBDF. Эти треугольники подобны между собой, так как ^ЕСА— = 90o^BDF = 90°, таккакЛС_1_£С и BDj_DF по условию; ^A=^lB, как углы с соответственно параллельными сторонами, имеющими одинаковое направление; АЕ || BF, как прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой /<W, расположенной в той же плоскости, в которой расположены и прямые АЕ и BF; АС || BD, как два перпендикуляра к одной и той же плоскости. Из подобия треугольников следует:

AE:BF = AC:BD ,

отсюда:

BF = AEA™;BF = 2-^=6.

Но подобие треугольников АЕС и BDF можно доказать и по другому:^С= *^D, как прямые, и ^AEC=^lBFD, как линейные углы одного и того же двугранного угла. Углы же эти линейные потому, что AE±KN, BFl_KN по условию, EC±KN и DF±_KN по теореме о трех перпендикулярах. Получили прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, следовательно, можно написать пропорцию:

BD:AC = BF:AE,

отсюда:

Видя это, учащиеся не будут полагать, что для решения той или иной задачи существует лишь один определенный прием решения. Это убеждает учащихся в целесообразности применения разных теорем, побуждает их к инициативе, самостоятельности, развивает пытливость.

Одним из приемов, развивающих у учащихся интерес к занятиям, можно считать такой: решив задачу, изменить

числовые данные ее так, чтобы можно было найти общий способ решения задач, подобных данной. Возьмем еще задачу.

Задача 4 (§ 4 Сборника задач по геометрии Рыбкина Н., ч. II).Обычно учащиеся быстро соображают,что точку В следует соединить прямой линией с точкой С, при этом получится прямоугольный аАВС (черт. 8), в котором АС является гипотенузой, а AB—катетом. По условию задачи катет AB составляет 1 гипотенузы, значит ^АСВ равен 30°. На основании теоремы о трех перпендикулярах заключаем, что ^iACB является линейным углом двугранного угла, значит, и двугранный угол равен 30°. Но на этом нельзя останавливаться, надо добиваться, чтобы учащиеся поняли, что -^-является синусом угла С, после этого спросить, как учащиеся стали бы решать эту задачу, если расстояние

от точки А до ребра было бы в раза больше расстояния до другой грани. Найдя решения при этих данных, изменить условие задачи так: пусть расстояние от точки А до другой грани равно 5 см; АВ = Ьсм, а расстояние от точки В до ребра равно 8 см.

Учащиеся должны ответить, что задача сведется к определению угла по его тангенсу или котангенсу. Такой разбор-анализ задачи требует от учащихся сознательности, находчивости, приучает увязывать ранее изученный материал с новым, заинтересовывает учащихся.

Задача 87 (§ 13 Сборника задач по геометрии Рыбкина Н., ч. I).

Решение. Строим описанную около круга трапецию с углом при основании в 30° (черт. 9).

Дано: ABCD — равнобедренная трапеция; AD+BC— =AB+CD, как суммы противоположных сторон описанного четырехугольника; AB+CD—2a; BL—MN; BL±AD;

Черт. 8.

как катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, тогда

Черт. 9.

Эту задачу можно обобщить, для этого надо изменить только угол при основании трапеции. Пусть острый угол при основании равен а, тогда BL — MN = a sin а .

Черт. 10.

Задача 22 (3) (§ 1 Сборника задач по геометрии Рыбкина Н., ч. II).

Решение.

1-й способ (черт. 10). Дано: Л ABC; АВ—\0см; ВС — 17 см; ЛС = 21 см; ВМ—перпендикуляр к плоскости ABC и ВМ—\5см. Определить BD и MD.

^ А < 90°; ВС2 = = АВ2 + AC2-2ACAD, как квадрат стороны, лежащей против острого угла треугольника. Подставляя числовые значения, имеем:

Л ABD — прямоугольный, так как BD 1.ЛСсогласно теореме о трех перпендикулярах.

прямоугольный,

2-й способ. Определим площадь треугольника АБС по трем его сторонам:

Высота треугольника:

Черт. П.

Задача 10 (§2 Сборника задач по геометрии Рыбкина Н., ч. II).

Решение.

1-й способ. Дано: плоскость Р; ВО±Р; ВО = а; ^ ВАО=Ж; ^ВСО=Ж1^АОС-Ш°. Найти длину АС.

ААВО— прямоугольный (черт. 11); ^АОВ = 90°= ^ СОВ; ^ ВАО-^ВСО=30° по условию.

Проводим

3-й способ. Можно использовать косинус или тангенс угла.

Учащиеся очень интересуются историческими задачами, взять которые можно из Сборника исторических задач по элементарной математике Г. Н. Попова, Греция стр. 11,№ 77 — 79, 83, 84; Рим,стр. 18, № 94;Китай, стр. 20, № 102— 104; Арабы, стр. 30, № 179; Западная Европа, стр. 36, VIII — XV век, № 218; XIX век, стр. 56, № 482.

Очень охотно решают учащиеся задачи, взятые из действительной жизни.

Хороший подбор задач и их решение не только возбуждает у учащихся интерес к предмету, но и развивает творческую инициативу, умение анализировать, приучает самостоятельно и правильно мыслить. Большое значение в этом отношении имеют не только задачи на вычисление, но и задачи на построение. Повторение пройденного обязательно связывать с решением задач, при этом задачи необходимо подбирать такие, чтобы они были новы для учащихся.

13. К мероприятиям, способствующим развитию и укреплению интереса учащихся к математике, можно отнести выпуск стенгазет, посвященных вопросам математики, проведение олимпиад и организацию математических кружков. Осуществление этих видов работы требует от учителя большой подготовки. Здесь надо учитывать развитие учащихся, их интересы, время, каким они могут располагать, степень трудоспособности. Непосильные работы могут понизить интерес. Кружок должен состоять из учащихся примерно одного развития. Некоторые отдельные номера стенгазеты можно посвящать знаменитым математикам. К выпуску стенгазет надо привлекать возможно большее число учащихся. Наконец, хорошо рекомендовать учащим-

ся для самостоятельного чтения доступную для их понимания литературу по математическим вопросам. Надо добиваться и того, чтобы учащиеся пробовали свои силы на чтении и более трудных по своему содержанию математических статей и книг.

14. Большой интерес проявляют учащиеся к сведениям по истории математики. Учащиеся с удовольствием знакомятся с биографиями и портретами наших отечественных математиков, живших во времена царизма и завоевавших мировую славу: Н. Лобачевского, С. Ковалевской, П. Чебышева, А. Ляпунова и других. С интересом знакомятся они и с именами современных математиков: И. Виноградова, Н. Лузина, П. Александрова, А. Колмогорова, Л. Понтрягина и других.

Остановить внимание учащихся на вопросе, как относилось к развитию науки, в частности математике, царское правительство и как относится вообще к науке, и в частности к математике, наше Советское правительство, наша Коммунистическая партия.

В беседе по этим вопросам привести сравнительные цифровые данные о состоянии народного образования в царской России и в Советском Союзе.

Так как математика тесно связана с техникой, то привести данные о состоянии техники в дореволюционной России и о состоянии техники в Советском государстве. Цифровые данные взять из отчетов наших правительственных органов.

Эти сведения должны соответствовать развитию класса и быть увязаны с темой занятий. Так, при изучении темы «Неравенства» упомянуть о нашем ученом XIX века Буняковском В. Я., который работал в этой области и внес ценный вклад в теорию неравенств.

Так как учащиеся не знакомы с понятием интеграла, то привести им неравенство Буняковского — Шварц лишь со знаком суммы.

Пособием для учителя может в этом случае служить книга Б. В. Гнеденко «Очерки по истории математики в России», стр. 102 — 103.

На уроках, как арифметики, так и алгебры, геометрии, тригонометрии, учащихся надо познакомить с одним из выдающихся математиков России Петровского времени — Л. Ф. Магницким (1669 — 1739) и его книгой «Ариф-

метика». Сказать о состоянии математических знаний до появления этой книги. Познакомить учащихся с заглавным листом книги, со стилем и содержанием ее. Привести несколько правил и определений из книги Магницкого и решить несколько задач. Пособием по этому вопросу может служить книга Б. В. Гнеденко «Очерки по истории математики в России», стр. 53 — 68.

Рассказать учащимся о великом русском математике—Н. И. Лобачевском. На уроках алгебры о Лобачевском можно говорить при решении биквадратных уравнений. Указать, что Лобачевскому принадлежит один из наиболее изящных способов решения полного уравнения 4-й степени. При выяснении понятия о функции сказать, что Лобачевский дал определение этого понятия на несколько лет раньше, чем Дерихле, с именем которого связывают это понятие.

На уроках геометрии о Лобачевском можно говорить при изучении параллельных прямых, при изучении подобия треугольников, взаимного расположения прямых в пространстве и т. д. Обратить внимание учащихся на создание Лобачевским геометрии, так называемой неевклидовой геометрии.

За три столетия до нашего летосчисления появилась геометрия Евклида. Лобачевский принял все аксиомы Евклида, кроме аксиомы о параллельных прямых—5-й постулат Евклида. Он заменил его следующей, противоположной ему аксиомой.

Аксиома Лобачевского: Пусть в данной плоскости дана прямая и лежащая вне этой прямой точка, тогда через эту точку можно провести к данной прямой в данной плоскости две различные параллельные прямые.

Из полученной таким образом системы аксиом Лобачевский с безупречной логической строгостью вывел стройную совокупность предложений, теорем, составляющих содержание математической дисциплины, известной под названием «Неевклидова геометрия Лобачевского».

Элементарная геометрия состоит из теорем двух родов.

Теоремы I рода — это теоремы, доказывающиеся без привлечения аксиом о параллельных, т. е. теоремы, являющиеся следствиями аксиом, входящих как в систему Евклида, так и в систему Лобачевского; эти теоремы, следовательно, входят как в геометрию Евклида, так и в геометрию Лобачевского.

Примером таких теорем могут служить: внешний угол треугольника больше всякого внутреннего, не смежного с ним; против большей стороны треугольника лежит больший угол; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны; если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны; во всякий треугольник можно вписать круг, и др.

Совокупность теорем I рода иногда называют «абсолютной геометрией».

Теоремы II рода (элементарной евклидовой геометрии) — это теоремы, не могущие быть доказанными без привлечения аксиом о параллельных, они не имеют места в геометрии Лобачевского, им в геометрии Лобачевского, естественно, соответствуют предложения, не входящие в геометрию Евклида и доказываемые лишь при помощи аксиомы о параллельных Лобачевского.

Например, в геометрии Евклида:

Сумма углов любого треугольника постоянна и равна 2d.

Сумма углов всякого выпуклого четырехугольника равна 4d.

Для каждого треугольника можно построить подобный ему, но не равный треугольник.

Вокруг всякого треугольника можно описать окружность.

В геометрии Лобачевского:

Сумма трех углов треугольника меняется от треугольника к треугольнику, но всегда меньше 2d.

Сумма углов всякого выпуклого четырехугольника меньше 4d, и поэтому не существует прямоугольников.

Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны, подобия не существует.

Не вокруг всякого треугольника можно описать окружность.

Из приведенных примеров видно, что геометрия Лобачевского отличается от геометрии Евклида, хотя логической строгостью обладают обе; обе геометрии не имеют противоречий.

Указать, что созданием своей геометрии Лобачевский сделал такой крупный вклад в науку, все значение которого начинает сказываться только в настоящее время.

Более углубленное знакомство с трудами Лобачевского надо отнести на занятия в математическом кружке.

Пособием для учителя может служить книга Б. В. Гнеденко «Очерки по истории математики в России», стр. 87— 100, Кутузова «Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии», роман И. Заботина «Лобачевский Н. И.».

Очень важно привлечь внимание учащихся и к замечательной нашей соотечественнице, первому математику из женщин, математику большого мирового значения, Софье Васильевне Ковалевской. Она была одним из борцов за право женщин в науке. Говорить о С. В. Ковалевской можно также во многих местах курса средней школы. Можно говорить тогда, когда нужно привести пример человека великой одаренности и способности, пример человека чрезвычайной настойчивости, разностороннего развития,и тогда, когда надо указать влияние наших математиков на мировую науку.

Беседу о Софье Васильевне Ковалевской можно провести на двух-трех уроках. Сначала сообщить учащимся биографию Ковалевской, детство, годы ученья, затем о первом творческом периоде, о втором творческом периоде и, наконец, о ее педагогической и литературной деятельности. При этом отметить, что своими трудами С. В. Ковалевская «не мало способствовала и прославлению русского имени» (слова Н. Е. Жуковского).

Пособием для учителя может служить книга Б. В. Гнеденко «Очерки по истории математики в России», пьеса «Софья Ковалевская», «Цель жизни» бр. Тур; «Семья Ковалевской» Штрайх.

Обратить внимание учащихся и на великого ученого П. Л. Чебышева. Огромное количество и богатство идей содержится в его трудах. Эти идеи не потеряли своей свежести и актуальности, и их дальнейшее развитие продолжается и в настоящее время во всех странах земного шара, где бьется пульс творческой математической мысли.

Сообщить учащимся биографию П. Л. Чебышева, потом указать значение его для науки, отметить своеобразие научного творчества ученого. Интерес его к вопросам практики — связи научной теории с практикой. Он говорит: «Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под влиянием ее; она открывает им новые предметы для исследования или новые

стороны в предметах, давно известных...» (из статьи «Черчение географических карт»). Надо отметить как особую ценность в творчестве П. Л. Чебышева работу в области механизмов. Ему принадлежит свыше 40 различных механизмов и около 80 модификаций.

Используя свои механизмы, П. Л. Чебышев построил знаменитую переступающую машину, имитирующую своим движением движение животного. Он построил так называемый гребной механизм, самокатное кресло, дал модель сортировальной машины и другие механизмы.

Пособием для учителя может служить книга Б. В. Гнеденко «Очерки по истории математики в России», стр. 112— 125.

Не мало случаев имеется и таких, где можно говорить о славном ученике П. Л. Чебышева — математике Ляпунове. Пособие для бесед о Ляпунове— Б. В. Гнеденко «Очерки по истории математики в России», стр. 133 — 142.

Говоря о целой плеяде славных советских математиков, надо остановиться на следующих именах: И. М. Виноградове, H. H. Лузине, А. Н. Колмогорове, П. С. Александрове, Л. С. Понтрягине и других. При этом указать, что наши советские математики добились в отдельных разделах математики ведущего положения, занимают первое место в мире, например Виноградов в теории чисел. Сообщить, что в Советском Союзе появилась новая особенность науки — массовость.

На смену гениальным одиночкам пришли мощные математические коллективы, совместными усилиями преодолевающие трудности творческого пути. Указать и на то, что, как и все науки, математика тесно связана с производством, с техникой. (Гнеденко, стр. 173— 184. Энциклопедический словарь.)

Учащиеся с интересом узнают и о том, что ученые-математики непрестанно, кропотливо, настойчиво работают над математическими проблемами, что над некоторыми вопросами они непрерывно работают сотни лет. Напомнить учащимся, что основным двигателем научных открытий являются требования жизни, требования производства.

15. Необходимо чаще останавливать внимание учащихся на вопросах применения математики в практике, в производстве.

Элементы политехнизации должны входить составной частью во весь курс школы. Занимаясь в том или ином классе школы, надо брать такие политехнические вопросы, для разрешения которых у учащихся имеется достаточный круг прочных знаний из общеобразовательных дисциплин, в частности по математике.

Знакомясь с принципами производства, учащиеся применяют имеющиеся у них знания по математике, что еще больше укрепляет эти знания.

К моментам политехнического обучения в школе (которые развивают у учащихся особый интерес к предмету) можно отнести следующие:

1) Моделирование теорем (для изготовления моделей можно пользоваться различными материалами: картон, дерево, фанера, бумага, стекло, клей, железо, гвозди и т. д.).

2) Изготовление измерительных приборов: линейки, ленты, транспортиры, уровень, отвес и т. д.

3) Изготовление приборов для измерения на земной поверхности: эккер, мензулу, астролябии, тригонометр и др.

4) Изготовление моделей и приборов по физике. Изготовление моделей по механике. Например, «Девушка на канате» (Я. И. Перельман, Занимательная геометрия, изд. 8, 1951, стр. 208) и многие другие.

5) Занимаясь моделированием и изготовлением приборов, учащиеся знакомятся с простейшими инструментами: пила, топор, нож, рубанок, фуганок, стамеска и другими инструментами.

6) Практические работы по измерению на поверхности земли. Измерение углов, измерение участков земли, снятие планов приборами — эккером, астролябией, мензулой.

7) Решение задач политехнического характера.

8) Использование математики для других дисциплин — использование связи математики с другими науками.

9) Исследование и усвоение при помощи математики процессов различных производств.

Роль математики в развитии технических и общественно-экономических наук растет по мере усовершенствования ее приемов вычислений. Особого расцвета практика вычислений достигла после изобретения приборов, счетных машин, логарифмических линеек.

II. КАК ПОМОЧЬ УЧАЩИМСЯ ЛЕГЧЕ ПРЕОДОЛЕВАТЬ ТРУДНОСТИ В УСВОЕНИИ МАТЕРИАЛА ПО МАТЕМАТИКЕ

Учитель должен заботиться о том, чтобы изучаемый учебный материал легко усваивался учащимися. Приведем несколько примеров, облегчающих учащимся запоминание сообщаемого им учебного материала.

1. Изучая случаи подобия треугольников, сопоставить их со случаями равенства треугольников.

Установить, что равенство треугольников является частным случаем подобия треугольников, записать случаи подобия и равенства треугольников на классной доске (учащиеся записывают в своих тетрадях) в таком виде, как указано на чертеже 12.

Черт. 12.

2. Область значений тригонометрических функций с изменением угла от 0 до £0' изобразить на числовой оси следующим образом (черт. 13):

Черт. 13.

3. Область значений тригонометрических функций при изменении угла (дуги) от 0 до 360° изобразить так (черт. 14):

Черт. 14.

4.Формулы:

sin a cosec а == 1 ; tg а ctg а = 1 ; cos а sec а = 1.

легко запоминают учащиеся, если им дать следующую запись (черт. 15):

Черт. 15.

5. Чтобы учащиеся легче запомнили, какие тригонометрические функции с увеличением угла от 0 до 90° увеличивают свои значения, а также, какие функции с увеличением угла от 0 до 90° уменьшают свои значения, дать запись:

sin a, tga, sec а,

с увеличением угла от 0 до 90° увеличивают свои значения

cosa, ctg a, cosec a

с увеличением угла от 0 до 90° уменьшают свои значения

6. Значения тригонометрических функций углов в 30, 45, 60, 0 и 90° хорошо запоминаются по таблице, составленной учащимися вместе с учителем при помощи вычислений.

Тригонометрические функции

Углы

Для закрепления значений тригонометрических функций в памяти учащихся необходимо как можно больше использовать задач и упражнений с применением этих значений. Так же можно использовать свойства дополнительных углов и отметить, что знаменатель у дробных значений синусов и косинусов равен 2, а знаменатель у дробных значений тангенсов и котангенсов равен 3.

7. Ответы для тригонометрических уравнений sinx = ö; cosx = 0; tg^: = 0; ctgx = 0 дать учащимся в такой записи:

8. Для лучшего запоминания формул:

надо обратить внимание учащихся на структуру формул — показать, что показатели степени буквы «а» понижаются на 1, a показатели степени буквы «й» возрастают на 1, крайние коэффициенты во всех формулах равны 1, а коэффициенты средних членов у одних равны 2, а у других равны 3 и, наконец, обратить внимание учащихся на знаки.

Формулы:

должны быть сопоставлены, и трудность их запоминания заметно ослабевает.

9. Сопоставив формулы поверхностей и объемов призм (прямой) и пирамид с формулами поверхностей и объемов цилиндров и конусов, получим следующую таблицу:

10. Сопоставить формулу квадрата стороны треугольника, лежащей против острого угла, с формулой квадрата стороны треугольника, лежащей против тупого угла, и с квадратом стороны, лежащей против прямого угла (черт. 16).

Черт. 16.

11. Рекомендовать учащимся все формулы, полученные при прохождении курса, выписать в отдельную тетрадь и чаще их просматривать. Формулы, выведенные на том или ином уроке, четко записывать на классной доске и оставлять на доске до конца занятий.

12. Хорошим средством для закрепления пройденного материала является заключительная беседа по пройден-

ной теме. В этой беседе надо отметить все существенны вопросы темы. Кроме того, хорошо обратить внимание учащихся на весь пройденный учебный материал за четверть и за целый год, обобщая его, где можно, одним, двумя, тремя и т. д. вопросами. Так, например, материал по геометрии, изученный учащимися в VIII классе за первое полугодие, можно обобщить в два вопроса: 1) теоремы о подобии фигур и 2) пропорциональные отрезки и их построение. Остановиться на том, как читается кратная пропорция и как ее написать — как быстро написать четыре числа, из которых можно составить пропорцию, затем вспомнить теоремы, которые дают возможность быстро получить пропорциональные отрезки, в тетрадях и на доске строим следующие чертежи (черт. 17):

Черт. 17.

Сопоставив полученную числовую непрерывную кратную пропорцию с непрерывной кратной пропорцией, по-

Черт. 18.

лученной построением среднего геометрического двух данных отрезков, будем иметь фигуры, изображенные на чертеже 18.

Если класс в I полугодии изучил геометрию до теорем о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике, чертежей о пропорциональных отрезках будет всего первые 3 (см. черт. 17).

Когда же класс во II полугодии изучит метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и пропорциональные отрезки в круге, провести заключительную беседу по всему пройденному материалу и поставить те же два вопроса: 1) теоремы о подобии фигур и 2) пропорциональные отрезки и их построение. Но способов построения пропорциональных отрезков увеличится до 10 (см. черт. 17,18).

13. Каждому учителю надо добиться, чтобы учащиеся поняли, что в алгебре и тригонометрии значительная роль отводится тождественным преобразованиям: одно и то же выражение может быть представлено в различных видах, при решении задач и упражнений берется выражение в том виде, в каком оно более удобно для решения задачи или упражнения.

Например, единицу можно написать так: 1, ~, а°, sin2 a -J- cos2 а и т. д., a при решении уравнения:

Единицу, стоящую в правой части уравнения, выгодно заменить выражением а°, и уравнение легко будет решаться. Поняв роль тождественных преобразований, учащиеся более охотно будут закреплять в памяти формулы.

14. Приступая к изучению темы «Обобщение понятия о показателе степени», объясняя содержание темы, а также необходимость изучения ее для поднятия интереса к теме, надо сказать, что мы уже изучили действия над дробями, теперь имеем возможность все дроби записывать, не изменяя их величины, в виде целых выражений; зная действия над целыми числами, можно целые числа заменять равными им дробями; зная действия над корнями, имеем возможность выражения со знаками радикалов заменять, не изменяя их величины, выражениями без знака радикала.

15. Большой интерес проявляют учащиеся к упражнениям с нулевым показателем степени, когда им предлагают

сравнить числа Г, 5°, 100°, 1000° и сказать, какое из них самое большое и какое самое малое. Обычно на такой вопрос учащиеся дают самые разнообразные ответы, а некоторые затрудняются в своих ответах.

16. Если самостоятельный разбор доказательства какой-либо теоремы по учебнику или решение одной и той же задачи различными способами увлекает учащихся, то еще с большим желанием они занимаются нахождением — выявлением ошибки, допущенной в доказательстве какого-либо предложения. Пусть, например, имеем, что8-8 = 65*.

Дан квадрат A BCD со стороной, равной 8 единицам (черт. 19).

В квадрате проведены прямые: KN, MF и BN так, как указано на чертеже 19. Эти прямые разбивают квадрат на 4 фигуры: 2 из них — равные прямоугольные трапеции и 2 — равные прямоугольные треугольники. Из полученных четырех фигур составлена новая фигура (черт. 20). Считая новую фигуру за треугольник, находим его площадь. Площадь треугольника равна 10 • 13 : 2 = 65. Учащиеся должны найти ошибку в доказательстве и доказать, что вновь полученная фигура не будет являться треугольником.

Черт. 19.

Черт. 20.

* Взято из литературных источников.

17. Приведем еще пример. Доказать, что 2>3. Дано безусловное неравенство:

Прологарифмировав последнее неравенство, получим

Сократив обе части последнего неравенства на один и тот же множитель log10 —, получим 2>3. Найти ошибку в доказательстве.

Подобные упражнения заставляют учащихся снова и снова вспомнить все то, что они изучали ранее, и, таким образом, помогают учащимся более прочно закрепить учебный материал и уяснить, что ошибка в рассуждении приводит к неверным выводам.

III. КАКАЯ СУЩЕСТВУЕТ СВЯЗЬ МЕЖДУ ВОСПИТАТЕЛЬНЫМИ ЗАДАЧАМИ ШКОЛЫ И НАЛИЧИЕМ У УЧАЩИХСЯ ИНТЕРЕСА К МАТЕМАТИКЕ

Перед каждым учителем математики, как и перед каждым учителем других дисциплин, кроме образовательных задач, стоит не менее важная задача — задача воспитания учащихся.

Вопросы воспитания необходимо помнить постоянно при каждой встрече с учащимися, будет ли эта встреча на уроке или вне урока. Легче выполнит эту сложную и трудную задачу воспитания тот учитель, который сможет заинтересовать учащихся своим предметом.

Весь курс математики позволяет воспитывать у учащихся дисциплину, чувство ответственности за свою работу, любовь к труду, настойчивость, умение правильно мыслить, отстаивать свое мнение, находчивость, сознательное отношение к каждому явлению, каждому своему поступку, умение анализировать явления, самостоятельность и крепкую волю.

На уроках математики можно развивать у учащихся инициативу, самокритичность, способность признавать

свои ошибки. Умение анализировать и правильное мышление помогают учащимся хорошо разбираться в общественной жизни, понимать силу и значение своего класса — своего коллектива.

Случаев для воспитательного воздействия на учащихся при занятиях математикой очень много. Каждый урок может быть наполнен элементами воспитания. Возьмем, например, уроки на тему «Подобие треугольников». Здесь при доказательстве теоремы развивается правильность мышления, внимательность, дисциплина, при решении задач — инициатива, самостоятельность, находчивость, настойчивость; при выполнении всех чертежей развивается умение строить не только правильно, но и красиво, развиваются навыки вычислять верно и быстро, формулировать точно. Здесь же развиваются организационные навыки.

Возьмем другую тему «Умножение обыкновенных дробей». Здесь можно развивать мышление, внимание, дисциплину, вдумчивость, инициативу в рационализации записей, прививать сознание важности изучаемого материала, необходимости изучения этого действия и приложения его к решению задач.

Очень хорошим средством воспитания учащихся является решение задач всех видов (по арифметике, геометрии, геометрии с применением тригонометрии и по другим предметам, смежным с математикой).

Очень полезно решать задачи на построение. При решении более сложных задач на построение необходимо применять аналитический способ решения: 1) полагаем, что задача решена, делаем от руки приблизительный чертеж искомой фигуры. Анализируем задачу — составляем план решения; 2) выполняем построение согласно плану; 3) доказываем правильность построения; 4) исследуем решение задачи.

При указанном выше способе решения учащиеся приучаются анализировать, приобретают навыки мышления. Решение задач по стереометрии, кроме того, развивает пространственное воображение учащихся. При решении задач и примеров необходимо приучать учащихся, прежде чем выполнять какие-либо действия письменно, вычислять их устно. Устный счет ускоряет решение, развивает память.

Домашние задания, выполняемые надлежащим образом, могут также явиться хорошим средством воспитания у учащихся навыков самостоятельной работы.

Воспитывать учащихся можно, используя и их успехи и ошибки. В полной мере надо использовать в воспитательных целях и политехническое обучение.

Чтобы добиться хороших результатов воспитания, учителя должны быть достаточно сведущи не только в вопросах математики, но и в других вопросах. Надо уметь использовать и такие отдаленные от математики предметы, как литература и искусство.

Наконец, достижение воспитательных целей должно быть делом всего преподавательского коллектива.

СОДЕРЖАНИЕ

От издательства...............2

I. Как заинтересовать учащихся средней школы математикой .................3

II. Как помочь учащимся легче преодолевать трудности в усвоении материала по математике ..... 35

III. Какая существует связь между воспитательными задачами школы и наличием у учащихся интереса к математике .................42

Иван Павлович Трефилов

Как заинтересовать математикой учащихся средней школы

Редактор Л. А. Сидорова Технический редактор И. Г Крейс Корректор Н. И. Егорова

Сдано в набор 13/VI 1957 г. Подписано к печати 21/Х 1957 г. Бумага 84X1087.49. Печ. л. 3 (2,46). Уч.-изд. л. 2,07. Тираж 20 000 экз. А06550 Заказ № 55. Цена 55 коп.

Учпедгиз, Москва, Чистые пруды, 6.__

Полиграфический комбинат Саратовского Совнархоза г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.

УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Книги—пособия серии «Из опыта учителя», выходящие в свет в 1957 г.

Е. Ф. Данилов,

Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач.

П. М. Эрдниев,

Развитие навыков самоконтроля при обучении математики.

В. В. Куликов,

Как изготовить самодельную логарифмическую линейку.

Е. И. Маянский,

Самодельные учебно-наглядные пособия по математике.

Сборник статей под редакцией И. Я. Баркова,

Вопросы преподавания математики в средней школе.

Сборник статей под редакцией Н. С. Глаголева,

Из опыта преподавания в школах рабочей молодежи.