Цена 2 p. 25 к. Пер. 30 к.

ПСИХОЛОГИЯ АРИФМЕТИКИ

Э. Л ТОРНДАЙК

УЧПЕДГИЗ 1932

Э. Л. ТОРНДАЙК

ПСИХОЛОГИЯ АРИФМЕТИКИ

Перевод с английского

А. С. ДОЛГОВОЙ

Под редакцией

Д. Л. ВОЛКОВСКОГО

Государственное учебно-педагогическое издательство

Москва — 1932 — Ленинград

Редактор H. Новоселов.

Техредактор H. Решетников

Сдано в набор 13/ХП 1931 г., подписано в печать 21/VI 1932 г. Уполномоченный Главлита № Б-1Э405. Учгиз № 2610. У-83. Ф. 82ХШ '/и- 9*/i п. л. 16800J п. зн. в бум. л. Тираж 10 000 экз.

1-я ти юграфия Огиза РСФСР „Образцовая*. Москва, Валовая, 28.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА.

Одной из важных заслуг психологии XX в. является то, что она обратила большое внимание на психологию школьных предметов, в частности на психологию арифметики. Правда, на психологическое обоснование обучения арифметике обращалось внимание и раньше как за границей, так и у нас, но специальных обширных научных работ по этому вопросу не было. Такие работы принадлежат главным образом американской литературе. В ней заслуживает исключительного внимания „Психология арифметики“ Торндайка1).

Основная цель названной работы Торндайка — психологически обосновать и конкретно выявить главные задачи и методы обучения арифметике.

В книге наряду с общими и принципиальными положениями, касающимися обучения арифметике, весьма много практических указаний, основанных на большом количестве экспериментальных психологических исследований и иллюстрируемых яркими примерами.

Признавая оригинальность и богатство содержания, научную обоснованность, практический характер книги и замечательную эрудицию автора, мы не можем не отметить в „Психологии арифметики“ ряд спорных суждений по вопросу об устной, умственной [mental (?)] и письменной арифметике и по некоторым другим вопросам.

Отмечая большую эрудицию автора (один список книг на английском, немецком и французском языках, использованных автором, занимает 8J/2 страниц), нельзя не указать, что автор иногда пользовался старыми изданиями, что не могло не отразиться на некоторых вопросах его труда. Так например Торндайк ссылается на известную работу немец-

1) Книга появилась в свет в Америке в 1922 г. Перевод на русский язык сделан с 5-го издания, вышедшего в Америке в октябре 1929 г.

кого педолога Lay'a — Führer durch den ersten Rechenunterricht в 1-м издании (1898 г.); между тем в 1914 г. вышло 3-е издание1), существенно переработанное и содержащее новые исследования и данные, касающиеся чисел первого десятка и основных арифметических действий.

Но все это нисколько не препятствует тому, чтобы признать „Психологию арифметики“ Торндайка за произведение капитальное.

При оценке названной книги надо учитывать, что автор выступает в ней не столько как методист, сколько как психолог, но и среди методических суждений у него встречаются такие, которые сделали бы честь любому выдающемуся методисту.

Что касается подробного рассмотрения новых методов преподавания арифметики с точки зрения нужд педагога-практика, то таковое сделано Торндайком в другой замечательной его работе „Новые методы преподавания арифметики“, переведенной на русский язык.

Выпуская в свет русский перевод „Психологии арифметики“ Торндайка, мы выражаем уверенность, что книга вызовет благосклонное внимание любознательных читателей и критиков, хотя бы и несогласных с автором по некоторым как принципиальным, так и частным вопросам, но дорожащих новым направлением, оригинальным методом и оригинальными положениями и суждениями, что несомненно присуще этой книге.

Относительно перевода книги находим нужным сказать следующее.

1) Американские меры переведены в метрические меры, а американские денежные знаки (доллары и центы) заменены советскими (рублями и копейками). В связи с этим в некоторых случаях, где это являлось необходимым, изменено и содержание задач, причем сохранен математический и методический смысл их, заключающийся в подлиннике.

2) Американский способ письма десятичных дробей заменен принятым у нас.

3) В американской литературе принято писать и читать сперва множитель, а затем множимое.

1) Есть русский перевод этой книги („Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов“), выполненный А. С. Мусатовой и А. Н. Долговым под нашей редакцией. В России это сочинение выдержало 5 изданий.

Так например в числовом выражении

3X4 = 12

3 есть множитель, а 4—множимое, и читается это выражение так: „3 раза по 4 равно 12“.

Если писать числа с наименованием, то запись решения такой например задачи: „Метр материи стоит 2 руб.; сколько стоят 5 ж?“—примет следующий вид:

5X2 руб. = 10 руб.

и будет читаться так: „5 раз по 2 руб. равно 10 руб.“.

В русской математической литературе, как известно, делается наоборот: множитель пишется и читается вторым.

В русском переводе сохранен американский способ обозначения.

4) Американский способ обозначения деления заменен принятым у нас.

5) В американской литературе принято не ставить плюса (знака сложения) в том случае, когда дано для сложения несколько слагаемых и они расположены столбиком. Этот способ обозначения сложения сохранен нами и в переводе.

Д. Волковский.

Москва. 4 сентября 1931 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

К „ПСИХОЛОГИИ АРИФМЕТИКИ“ ТОРНДАЙКА.

С начала XIX столетия, в эпоху роста капиталистического хозяйства, когда усилилось требование на большое количество грамотных рабочих и служащих, началось стихийное созидание массовой государственной народной школы.

Разорившиеся из дворян, нуждающиеся из духовных, самоучки из дворовых и отставных солдат становятся ее первыми учителями и вырабатывают кое-как рефлексы грамоты, в особенности арифметической грамоты. Народная нищенская школа, содержавшаяся классовым государством на гроши, еще не имеет своей учебной литературы; учебную литературу народный учитель берет для себя взаимообразно из школы другого класса. Другая, богатая, светлая школа имеется у буржуазии для своего класса в виде просторных гимназий, переходящих ей по наследству от дворян, и в виде прочно строящихся для своего класса реальных училищ. В эти привилегированные школы шел университетски подготовленный (чаще) чиновник-преподаватель, гордившийся своим углубленным знанием науки и сознававший (часто) силу своего хозяина-капиталиста, идущего на подъем.

Гимназический преподаватель, свысока смотревший на народного учителя, пишет учебник, в частности по математике, с оттенком „эстетической научности“, к которой и тянет своих учеников; иногда в учебнике появляются значительные предисловия, в которых старший и более опытный преподаватель дает дидактические советы далеко отстоящему от него народному учителю.

К средине XIX столетия, с ростом начальной школы, когда самотек учительской рабочей силы не мог удовлетворить количественно возросшим требованиям на народного учителя, создаются массовые учительские семинарии и педагогические курсы, где цель была поставлена как можно скорее (и дешевле) натаскать в учебном предмете будущего

учителя, дав ему некоторые рецепты обучения, которые учитель ввиду своей хозяйственно-культурной связанности будет тщательно и рабски копировать; опыт руководителей учительских семинарий и педагогических курсов, накопившиеся учебные предисловия через мышление талантливых педагогов (Грубе, Дистервег и др.) стихийно порождают новый особый предмет педагогических заведений — методику, в частности методику арифметики.

Вначале робкими тенденциями, а в дальнейшем полным ходом создается необходимая для учителя той эпохи рецептообразная, эмпирически-догматическая методика арифметики, до последнего времени не имевшая научного обоснования. Лишь при переходе к XX столетию в трудах специалистов экспериментальных наук о сознании, а не у преподавателей математики и ее методики, как у Лая, Павлова и др., традиционная методика арифметики получила научно-рефлексологическое обоснование.

Мировым поставщиком, так сказать монополистом методической культуры, являлись немецкие учителя-методисты.

Германии, выступившей на арену капиталистического хозяйства с опозданием по сравнению со своими западными соседями, пришлось особенно быстро нагонять своих конкурентов, используя для этого школу; быстрый рост германской народной школы потребовал для подготовки дешевого учителя создания более или менее стандартной методики быстрого и легкого (в особенности для учителя) обучения, в частности арифметике.

В таких условиях естественна была потребность и естественен историей данный ответ на рефлексологическую методику арифметики.

Однообразная педантичная школьная дрессировка, где по существу не считаются с дошкольной и внешкольной стихийно-оформляющейся детской арифметикой, дрессировка арифметического сознания, ложилась тяжелым бременем на юношеское сознание. Характерно в этом направлении отношение к задачам, этому по существу базису математической культуры, лишь как к средству, через которое происходит закрепление вырабатываемых арифметических рефлексов, почему задача является не исходным моментом при постановке новых тем, а лишь конечной заключительной стадией в развертываемой теме; в этом направлении считается реальность содержания задачи не существенной направленностью; здесь характерен отрыв формы от содержания, который в конечном счете привел надстройку к идеализму.

Создается неподвижный, конкретный и подробный стандарт расположения арифметики как учебного предмета начальной школы, отступление от которого считается нежелательным и даже вредным; например создаются неприкосновенные концентры: до пяти, до десяти, до двадцати, в целых десятках, до ста и т. д., или следуют за формальными гербартовскими ступенями в уроке; примерно: восприятие числа, пальцевый счет, отвлеченные устные вычисления, то же письменные (столбики) и наконец применение к задачам и т. д.

Создается несколько стандартных искусственных наглядных пособий для счета, например пучки соломки (прутики), которые никто из взрослых в жизни не считает, а ребенок должен проводить на этом ведущем в практике школы пособии полгода, год, а иногда и два года.

На границе XIX столетия с XX, в эпоху империалистической стадии капиталистического хозяйства, рефлексологическая система поднимается до кульминационного пункта, особенно в работах опять же немецких методистов, например Лая, Вальземана и др.; так Лай изобретает счетный стандартный инструмент, где обучение арифметике должно быть связано только с одним наглядным пособием — счетами Лая, где воспроизводятся особые фигуры Лая; так тщательно методисты подготовляют побег от всей разносторонней и красочной жизни, не говоря уже о производственной основе и стороне ее.

Создается лестница с мелкими и мельчайшими ступенями и ступеньками продвижения учащегося, где методистом старательно предусмотрена и устранена каждая мельчайшая трудность, тем самым скрыт от учащегося механизм разъединения жизненно-целого процесса и представлены для упражнений учащегося лишь мертвые элементы его.

Например сложение в концентре сотни проходит через следующие ступени тренировок, созданные без размышления и планирования учащегося.

1. Целое число десятков складывается с любым однозначным числом:

(lOjt-fO)-fa.

2. Любое двузначное число складывается с таким однозначным, где последнее с единицами первого дает результат меньше десяти:

(10х+у) + а, где a+j/<10.

3. Обратно, когда к такому же однозначному прибавляется двузначное:

у + (ЮЬ + а), где у + а<\0.

4. К двузначному числу прибавляется целое число десятков:

(Юх+у) + (10Ь + 0).

5. К двузначному прибавляется такое двузначное, где сумма единиц меньше десяти:

(\0х+у) + {10Ь + а)9 где j/ + a<10.

6. К двузначному прибавляется такое однозначное, где сумма единиц равняется десяти:

(Юлг-f j/)-f я, где у--\-а=\0.

7. Обратно, к такому же однозначному прибавляется двузначное:

У + (1ЭЬ-\-а), где^ + а=10.

8. К двузначному прибавляется такое двузначное, где. сумма единиц дает десять:

(10х-\-у)+ (10*-fa), где у-\-а = 10.

9. К двузначному прибавляется такое однозначное, где сумма единиц больше десяти:

(10х+у) + а, где у + а> 10.

10. Обратно, к такому же однозначному прибавляется двузначное:

у-\-(10Ь + а)9 где^4-а>10.

11. К двузначному прибавляется любое двузначное: (\0x-\-y) -f (10ô-f a), где, вообще говоря, _у-f a>10 и т. д.

Учащиеся при этой системе сравнительно легко получают нужные арифметические рефлексы, но основательно отучаются от размышлений и от построения соответствующего плана для преодоления видимых трудностей.

Эта система в целом характерна для буржуазного догматически-эволюционного мышления, для периода империалистической стадии загнивающего капиталистического хозяйства, где не признается революционный скачок, план и участие революционного юношеского мышления в строительстве, где уходят от жизни в мир вредных иллюзий и пр.

Так создался с кризисом капиталистического хозяйства вытекающий из него кризис школы и в частности кризис в арифметическом начальном образовании.

Неудивительно, что наиболее активно и относительно плодотворнее стали разрешать школьный кризис арифметической культуры в стране более мощного и относительно передового капиталистического хозяйства, по ту сторону Европы — в САСШ, наиболее ярким представителем которого является Эдуард Ли Торндайк. В лице Торндайка мы имеем талантливого педагога в широком смысле этого слова; его перу принадлежит значительное количество выпущенных оригинальных работ, связанных с реформой образования вообще, реформой математического образования и арифметического в частности.

Пред нами находится одна из основных работ Торндайка „Психология арифметики“. Название работы оригинально, а сочетание двух терминов непривычно. Внимательно прочитав книгу, понимаешь, что автор пытается оформить психологическое направление в арифметическом образовании, которое созидается в противовес односторонне-рефлексологическому загнивающему направлению, ожидающему с часу на час своего исторического удара. Эти тенденции к психологической системе автор разрабатывает экспериментально в противовес установившейся массовой традиции, за исключением немногих авторов, создавать методику на основе лишь личного учительского опыта и на основе теоретическо-эклектических соображений; последних, правда, не избег и Торндайк.

Мелкобуржуазные реформисты, каковым является и Торндайк, предполагают мелкими или относительно большими реформами, в рамках буржуазной культуры, разрешить эволюционно кризис; отсюда понятно, что Торндайк не создает ведущей теории, а односторонне увлекается экспериментом, где действительность берется как нечто данное и почти неизменное, где нет речи об изменяющейся школьной среде, где подчеркнута биологическая, а не производственно-социальная сторона процесса, которая (биологическая) является у Торндайка решающей в психологии и педологии и пр.

Возьмете ли вы измерение арифметических способностей через тесты, или измерение математического круга представлений и знаний поступающих в школы, или измерение индивидуальных различий в арифметическом поведении учащихся — вы не получаете удовлетворяющего вас ответа на вопрос,

нечетко поставленный самим же автором, вы получаете полуответ, полумеру.

Так же неудивительно, что автор не ведет последовательной критики традиционного направления и тем самым организационно и теоретически не разбивает до конца живучих традиций; правда, в раскрываемой автором практике дана целеустремленность на жизненность и захватывающий учащихся интерес, что ярко выражено в этой книге; глухая критика дана скорее в проникнутых иногда юмором и иронией суждениях. Так автор, легко критикуя традиционную систему, говорит о новой динамической производительной системе, что она — „последовательность, единственная, которую учащиеся могут усваивать легко и надолго независимо от того, как она стала бы выглядеть в музее арифметических систем“.

Автор критикует решительно слишком систематизированную и классифицированную арифметику, что „в значительной степени лишено значения в глазах учащихся“; возможно „принесение в жертву лучшего порядка... во имя достижения большего или более здорового интереса“.

Легко касается Торндайк и внутреннего ведущего метода в математике, абсолютизируя различия дедуктивного и индуктивного метода, отдавая предпочтение последнему и заявляя, что „чистая арифметика в том виде, как она изучается и усваивается, является в значительной мере индуктивной наукой“.

Но еще легче автор раскрывает „социологию арифметики“, вкладывая в это понятие проведенное им обследование, дающее ответ на вопрос, в каких размерах и формах взрослые применяют арифметические знания в жизни; повидимому автор вел эксперимент над „видными юристами, врачами, промышленниками и коммерсантами, равно как их женами“; этот односторонний эксперимент, поставленный через непроизводственные тесты, по преимуществу перед потребителем с его покупкой и продажей, а не производителем с его техническим предвидением, естественно показал результат, дающий впечатление о ненужности в жизни второй части арифметики и повидимому, при продолжении опыта, значительной доли математики.

Характерно здесь данное Торндайком суждение: „Цены в 5 и 10 центов, магазины с вывеской „любая вещь 25 центов“ и организация платежей в рассрочку—вот обычные моменты, устраняющие арифметику из человеческой жизни“.

„Социологию“ самого автора можно видеть из двух общих замечаний, брошенных как бы вскользь; так на одной из страниц автор говорит о наследственных способностях и про-

должает: „Не она ли является причиной того, что некоторые дети обнаруживают особую склонность к начертанию некоторых видов слов, к срисовыванию лиц, а не цветов, к изучению древней, а не новой истории“ и т. д.; на другой из страниц автор продолжает говорить: „Нужда вовсе не является матерью изобретения; ею является знание прежних изобретений; отцом же является природная способность“.

Несмотря на вышеуказанные органические „социальные пороки мышления“ автора, все же его книга предсталяет большой и значительный интерес. Учителю опытной или опорной школы, разбивающему традиционные цепи; методисту и студенческому коллективу педтехникума и педвуза, ставящим ответственный эксперимент и создающим политехническую арифметику; организатору и инспектору школ, производящим экспертизу и инструктаж в частности арифметического образования, — книга при умелом чтении даст всем нужный пафос и конкретные пути борьбы с рутиной.

Книгу проникает органическая направленность автора на подбор жизненных по содержанию задач. Автор справедливо говорит: „Жизненные задачи имеют первостепенное значение как ядро, около которого организуется обучение арифметике. Пожалуй, можно требовать, чтобы каждому новому процессу предпосылалось в виде части введения к нему несколько жизненных задач — положений, требующих применения этого процесса“, и не только говорит, но и эпизодически показывает, как это сделать. Правда, и здесь весьма часто содержание задач не связано с психологией трудового ребенка в его трудовой действительности.

Но дело с жизненными задачами обстоит у Торндайка глубже, чем это может показаться на первый взгляд: автор стремится психологически тонко поставить в задаче вопрос, оправдать вопросом поставленную задачную тему и тем самым дать дополнительный стимул к ее решению. Возьмете ли вы предложенные Торндайком рецепты для приготовления тянучки или сдобного хлеба, или выбор подарков для товарища и родителей, смету ли на устраиваемый школьный вечер, а также смету на предполагаемую экскурсию, или составление отчета детского клуба и пр., или даже возьмете предложенные им простенькие задачи на сложение и умножение — вы всюду видите чуткого мастера в постановке задачного вопроса; недаром автор ставит тему „о задачах, ответы на которые в реальной жизни всегда уже известны“.

Интересно отметить, как автор-психолог страдает и не находит выхода в условиях американской действительности

в связи с тем, „что тридцать учащихся, из которых половина— мальчики, а половина — девочки с разницею в возрасте до пяти лет и которые пришли из различных семей, с различными природными способностями, — не могут единодушно почувствовать такого-то сентября 19...г. жизненную потребность решать такую-то задачу, а затем, скажем 16 октября, почувствовать также единодушно потребность решить другую задачу“. И тут хочется сказать, что только в условиях нашего социалистического хозяйства, с строительным пафосом молодежи, где создается единый органический социальный интерес, можно добиться того, о чем так беспочвенно мечтает Торндайк.

Автор дает не только значительное количество образцов целеоправданных задач, но и дает серию ненужных задач и иронизирует насчет задач на торжественные речи и библейские псалмы или насчет сложения надгробных памятников.

Но сила и тонкость психологического анализа рассыпаются не только в освещении задачной культуры; кристаллы психологизма оседают и на выявленные эпизоды частной методики арифметики. Автор справедливо подвергает критическому анализу „интуитивное восприятие числа“, которое задано соответствующей числовой фигурой; он разносторонне рассматривает понятие о числе как характеристике множественной собирательности, или как отношении величин, или как идеи порядковой последовательности и пр. Правда, здесь чувствуется вся слабость философской и математической подготовки Торндайка, не говоря уже о том, что для анализа вопроса о возникновении понятия числа необходимо быть подготовленным с точки зрения определенной философии — диалектического материализма — единственно правильно разрешающей этот старый вопрос.

В этой работе Торндайк старается, не совсем без успеха, уточнить понятие об устных и письменных приемах вычисления и стремится улучшить технику записей при письменных вычислениях, особенно рекомендуя карточный задачник и тесты.

Автор удачно ставит и разрешает вопрос о месте и роли именованных чисел как базисе отвлеченных чисел и заданий для вычисления.

Даже вскользь брошенное замечание о том, что нужно разработать методику деления с остатком, поставленную скорее в связь с методикой точного деления, или о начале умножения с пятков, о вычитании через прием пробы и пр.,—

все это наводит сознание на глубокие методические размышления.

На серии конкретных примеров автор показывает нам традиционную шкалу трудностей в подборе и расположении примеров, по которой поднимается сознание учащегося, обращая между прочим особое внимание на нуль, которому в начальной арифметике не уделено достаточного психологического внимания; здесь автор стихийно подходит к большому вопросу, с тем чтобы сейчас же убежать к новым мелким вопросам практики, а между прочим только диалектика всеобщего и особого в их переходах дает учителю правильное разрешение вопроса о нулевом количестве.

Мимоходом обращается внимание на такие связи, которые тормозят вырабатываемые рефлексы; например при сложении 8_ в концентре двадцати мы приучаем учащихся, чтобы они сейчас же писали десяток, а в дальнейшем, в концентре сотни, отучаем от этого навыка, создавая другой рефлекс, связанный с оставлением десятка в уме, как то:

Отсюда обоснованно ставится и разрабатывается назревший в методике вопрос о разной прочности рефлексов, о чем Торндайк говорит, что „некоторые связи применяются только в течение ограниченного времени; поэтому их необходимо развивать только до ограниченной, небольшой степени прочности“.

В „Психологии арифметики“ дается анализ учебных начальных книг по математике с точки зрения правильности распределения по всему курсу повторяемого материала и вскрывается вся кустарщина в этом деле, практикующаяся в американской действительности; понятно, что на данном этапе развития методического мастерства у нас, в СССР, этой кустарщины в подборе и чередовании нового и старого арифметического материала не менее, чем в американской методике.

Не менее интересен анализ Торндайка языковой стороны в начальном арифметическом образовании, где обращается внимание на „бесполезные лингвистические трудности“, вошедшие в арифметическую культуру.

Составителям арифметических книг для начальной школы не бесполезны некоторые советы по гигиене арифметического печатного и письменного текста в связи с его чтением.

Поскольку мы в СССР отрываемся от традиционной рутины и вырываемся из плена односторонне-рефлексологической системы, постольку нам необходимо критически учиться и зорко наблюдать достижения буржуазной культуры; Торндайк же является в современной Америке апологетом новой, трудовой и педологизированной школы. Конечно, при этом мы всегда должны иметь в виду, что наша трудовая социалистическая школа весьма мало похожа на идеалы, которыми грезят мелкобуржуазные педагоги ближайшего и далекого Запада.

Еще раз хочется повторить, что в книге есть чему учиться, но учиться по ней нужно умело, выбирая по преимуществу техническую, а не идеологическую сторону методического процесса, помня, что расщепление приходится делать критически, так как обе стороны — техническая и идеологическая— в конкретном движении слиты в единый методологический и методический процесс.

Проф. И. Андронов.

Москва, 19 сентября, 1931 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.

В течение последних лет наметились три основных направления дальнейшего прогресса в области психологии, имеющих существенное значение для преподавания. Первым является новая точка зрения на общий процесс обучения. Теперь мы знаем, что обучение является в основном образованием сочетаний или связей между положениями и представлениями, что чувство удовлетворения, испытываемое при получении результата, является основной силой, их образующей, и что в области мысли навык господствует столь же решительно и полно, как и в области действия.

Второе состоит в значительном увеличении наших познаний количества, характера и условий развития навыков внутри организованных групп (или совокупностей) навыков, которые мы называем способностями, как например способность к сложению или способность к чтению. Упражнение и усовершенствование не являются более пустыми общими понятиями; они выявляются теперь в изменениях, поддающихся определению и измерению при помощи стандартных тестов и последовательных испытаний.

Третье направление выражается в лучшем понимании так называемых „высших процессов“ анализа, абстрагирования, образования общих представлений и мышления. Прежняя точка зрения на умственную лабораторию, согласно которой ощущения слагались в восприятия, эти последние усиливались образами, а восприятия и образы претворялись в абстракции и концепции, управляемые мышлением, уступила место пониманию законов реагирования на элементы или характерные особенности положений и на многие положения или элементы последних в совокупности. Взгляд Джемса (James) на мышление как „отбор существенного“ и „представление совокупности вещей“ находит в пересмотренной и усовершенствованной форме весьма важное применение в деле преподавания всех школьных дисциплин.

В настоящей книге делается попытка применить эту новейшую динамическую психологию к преподаванию арифметики. Содержание ее совпадает в основном с тем, что составляло предмет курса лекций по психологии дисциплин начальной школы, который автор в течение нескольких лет читал изучающим вопросы начального образования в педагогическом колледже. Многие из бывших студентов, несущие ныне обязанности инспекторов начальных школ, настаивали на том, чтобы эти лекции стали доступными для широких педагогических кругов. Поэтому они и издаются в настоящее время, хотя автору очень хотелось бы осветить и подкрепить некоторые положения дальнейшими исследованиями.

Необходимо сделать маленькое пояснительное замечание относительно тех упражнений и задач, которые приводятся автором в качестве иллюстраций различных тем, особенно же ложных педагогических теорий. Все они являются подлинными, почерпнутыми из существующих руководств, учебников, программ испытаний и т. д. Однако во избежание неудобных сопоставлений они приводятся не в виде точных цитат, а в виде эквивалентных им задач, точно передающих характер и цель, свойственные оригиналам. С благодарностью отмечаю любезность следующих лиц и учреждений, разрешивших мне различные перепечатки: Mr. S. A. Courtis, Ginn and Company, D. С. Heath and Company, The Macmillan Company, The Oxford University Press, Rand, Mc Nally and Company, Dr. C. W. Stone, The Teachers College Bureau of Publications, The World Book Company.

Э. Л. Торндайк.

Педагогический колледж Колумбийского университета, 1 апреля 1922 г.

ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ.

ПСИХОЛОГИЯ ПРЕДМЕТОВ, ПРЕПОДАВАЕМЫХ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ.

Психология предметов, преподаваемых в начальной школе, касается тех связей, которые позволяют ребенку реагировать на напечатанные слова мыслью об их значении, на задание „шесть и восемь“—мыслью о „четырнадцати“, на различные рассказы, стихотворения, песни и картины — оценкой их, на некоторые положения—проявлением ловкости, на другие — проявлением симпатии и т. д. и т. д. и которые содержатся в длинном ряде положений и реакций, предусматриваемых систематическим изучением школьных предметов и даваемых менее систематическим ходом школьной жизни в период обучения. Если попытаться точно определить задачи элементарного образования, то мы найдем, что они должны заключаться в создании изменений в человеческой натуре, выражаемых почти бесконечным перечнем сопоставлений или связей, обусловливающих определенные мысли, чувства и действия, которые возникают у ученика как реакция на положения, создаваемые школой, и влияющих аналогично на его мысли, чувства и действия, когда он сталкивается со сходными положениями в жизненной обстановке вне школы.

Состояние наших знаний не позволяет еще нам детально определить работу начальной школы как создание именно таких-то и таких-то связей между некоторыми определенными положениями и некоторыми точно установленными реакциями. Как и вообще при обучении, мы вынуждены еще мыслить об умственных функциях в таких достаточно расплывчатых формах, как „способность читать на иностранном языке“, „способность писать обыкновенные слова“, „способность складывать, вычитать, умножать и делить целые числа“, „знание истории“, „достоверность при испытаниях“, понимание хорошей музыки“, т. е. руководствоваться некоторыми общими достигнутыми результатами, а не теми элементарными связями, которые обусловливают последние.

Психология предметов, преподаваемых в школе, начинается там, где кончается наше обычное знание этих функций, и делается попытка более точно определить данные знания, интерес, силу, умение или стремление, измерить соответствующие им достижения, разложить их на составные связи, решить, какие связи должны быть созданы и в каком порядке, чтобы достигнуть желаемых успехов наикратчайшим путем, взять под контроль как прирожденные склонности, так и склонности, приобретенные до начала школьного обучения, которые могут оказывать и благоприятное и неблагоприятное влияние на успешность занятий школьными предметами, изучить побуждения, которые уже используются или могут быть использованы для доведения связей до желаемой степени пригодности, изучить и другие специальные условия, обеспечивающие достижения, и отметить факты, касающиеся индивидуальных различий, которые имеют особое значение для постановки учебной работы в начальной школе.

Если поставить эти положения как проблемы, то психология предметов, преподаваемых в начальной школе, во всяком случае должна будет ответить нам на следующие вопросы:

1. что такое функция? Например, что такое в действительности „способность читать“? Что означает „понимание десятичной системы“? Каковы „ожидаемые результаты изучения литературы“?

2. как измеряются различные степени способности или склонности, а также различные степени успехов или достижений в овладении функцией или частью ее? Например, как можем мы определить, насколько быстро ученик научится писать, насколько трудные слова сможет он писать правильно или насколько хорошо выполнит он ручную работу? Как можем мы определить для себя ту степень знания значения дробей, которой мы должны стремиться достигнуть в 4-й группе?

3. что может быть сделано в целях сведения функций к частным связям между положениями и реакциями, образование которых можно было бы контролировать более надежно и легко? Например, в какой мере способность правильно писать включает последовательное образование связей между представлением почти каждого слова в данном языке и представлением правильной последовательности букв в данном слове; в какой мере связь, ведущая от звукового положения „казать“ в словах показать и доказать к правильному начертанию последних, обусловливает и правильное начерта-

ние тех же двух слогов в слове рассказать? Включает ли ,способность складывать“ специальные связи, ведущие от „27 и 4“ к „31“, „27 и 5tt к „32й и „27 и 6а к „33-, или же опорой ей могут служить с тем же успехом связи, ведущие от ,7 и 4“ к „11й, „7 и 5й к „12“ и „7 и 6е к „13“ и сопровождаемые каждая простым заключением? Каковы положения и реакции, обусловливающие поведение, которое мы можем охарактеризовать как „школьный патриотизм“?

4. почти во всех случаях известное желательное изменение знания, навыка или умения может быть достигнуто при помощи той или иной из нескольких совокупностей связей. Какая из них является наилучшей? каковы преимущества каждой из них? Например обучение сложению может включать образование связей: „О и 0 будет О“, „О и 1 будет 1“, „О и 2 будет 2“, п1 и 0 будет 1“, „2 и 0 будет 2“ и т. д.; однако можно и отказаться от образования этих связей, привив ученику навык обозначать нулем результат сложения столбца цифр, составленного только из нулей, и пренебрегать нулем во всех других случаях сложения. Является ли изучение правил правильной речи лучшим способом добиться последней или целесообразнее затратить время на детальные упражнения в самой правильной речи?

5. каждая образуемая связь может быть доведена, при ее образовании, до той или иной степени прочности. какая из этих степеней является наиболее желательной на данной стадии обучения, если принимать во внимание все привходящие обстоятельства? Например, следует ли заучивать даты тех или иных исторических событий столь прочно, чтобы точное знание их сохранялось в течение десяти лет, или достаточно, чтобы это знание сохранялось в течение всего лишь десяти минут, общее же представление о них с точностью до плюс-минус десять лет сохранялось в течение года или двух? Следует ли стремиться, вводя впервые метрические меры, чтобы знание их сохранялось в течение года, или достаточно изучить их настолько, чтобы быть в состоянии пользоваться ими в течение недели работы, что в свою очередь повлечет запоминание их на месячный срок или около того? Должен ли ученик в первый же год обучения французскому языку добиться столь совершенной связи между способом произношения французских слов и их значением, чтобы быть в состоянии понимать простые выражения, произносимые с нормальной скоростью разговорного языка, или же допустимо и даже желательно, чтобы речь учителя была сперва медленной, а затем постепенно ускоряющейся?

6. почти во всех случаях совокупность связей может вызвать то или иное желательное изменение при различном порядке использования этих связей. Каков наилучший порядок этого использования? Каковы преимущества каждого порядка? Некоторые способы обучения письму основаны на первоначальном приобретении навыка в элементарных движениях и последующем комбинировании их для начертания букв и слов. Другие способы основаны с начала до конца на комплексах ряда движений, которые требуются для начертания действительных слов. Что приобретается и что теряется при последнем способе обучения? Связи, обусловливающие знание метрической системы мер, обычно вводятся в курс обучения арифметике довольно поздно. Не лучше ли вводить их ранее в качестве одного из средств облегчения изучения десятичных дробей?

7. каковы прирожденные склонности и приобретенные дошкольные навыки, на которых в начальной школе можно базировать образование связей или с которыми в школе нужно бороться? Например, если ученик знает значение произносимого слова, то он может понять его при чтении, пользуясь фонетическим представлением. Какие именно слова должен знать средний начинающий? Каковы индивидуальные отклонения в этом отношении? Что говорят инстинкты коллективизма, внимания, признания и взаимопомощи в защиту групповой работы против индивидуальной работы и по вопросу о наиболее желательной численности группы? Прирожденная склонность глаза конечно не побуждает нас переводить взгляд слева направо вдоль напечатанной строки, затем возвращаться назад, опускаться на одну ступень и вновь итти вдоль следующей строки. Каково же действительное стремление, испытываемое нашим глазом при виде печатной страницы, и как должны мы использовать его при обучении чтению?

8. каким арсеналом удовлетворения и раздражения положительных и отрицательных интересов и побуждений мы располагаем при образовании неинтересных, по существу, связей между черными знаками и значением чисел, численными упражнениями и ответами на них, словами и их начертанием и т. д.? Школьная практика перепробовала, более или менее случайно, целый ряд соответствующих средств, начиная с квази-жизненного воздействия до наиболее чувствительного поощрения, с явной лести до философской аргументации, с обращения к первоначальным и примитивным чертам до обращения к интересу к автомобилям, аэропланам

и радиопередачам. Не может ли психология преподать в этом отношении некоторые руководящие правила или по крайней мере ограничить экспериментирование областями, на которые можно возлагать наибольшие надежды?

9. общие условия плодотворного обучения изложены в началах психологии воспитания. насколько эти последние применимы к отдельным задачам элементарной школы? Например придание школьным упражнениям в сложении и кратком делении формы практических опытов было найдено весьма целесообразным как возбуждающее интерес и способствующее успеху в работе. При изучении каких других арифметических функций можем мы ожидать получения подобного же результата?

10. наряду с общими принципами, касающимися природы индивидуальных различий и объяснения их, очевидно имеется в наличности или может быть получено как результат соответствующих исследований большое количество знаний, касающихся специальных различий, которые способствуют изучению чтения, письма, географии, арифметики и т. д. что знаем мы об этих фактах? какими средствами мы располагаем, чтобы лучше узнать их? Куртис нашел, что один и тот же ребенок может быть весьма силен в сложении и чрезвычайно слаб в вычитании по сравнению с его сверстниками и другими учениками его группы. Есть основания предполагать, что подобные тонкие и невыясненные тенденции являются наследственными. Насколько часто встречается такая диференциация способностей? Не она ли является причиной того, что некоторые дети обнаруживают особую склонность к начертанию некоторых видов слов, к срисовыванию лиц, а не цветов, к изучению древней, а не новой истории и т. д.?

Таковы проблемы, которые мы ставим; в настоящей книге сделана попытка осветить их применительно к вопросам обучения арифметике. Тот, кто пожелал бы ознакомиться с изложением общих вопросов методики арифметики, может с пользой для себя прочесть в связи с настоящей книгой следующие сочинения: D. Е. Smith, „The Teaching of Elementary Mathematics“, 1901; H. Suzzallo, „The Teaching of Primary Arithmetic“, 1911; J. C. Brown and L. D. Coffman, „How to Teach Arithmetic“, 1914; Paul Klapper, „The Teaching of Arithmetic“, 1916, и „The New Methods in Arithmetic“ автора, 1921.

ГЛАВА I.

ПРИРОДА АРИФМЕТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ.

Обычно принимается, что задача элементарной школы заключается в преподавании: 1) значения чисел, 2) сущности нашей системы десятичного счисления, 3) смысла сложения, вычитания, умножения и деления, 4) значения и соотношения некоторых общепринятых мер; в развитии: 5) способности складывать, вычитать, умножать и делить целые числа, обыкновенные и десятичные дроби и именованные числа, 6) способности применять знание и умение, предусмотренные в пунктах 1 — 5, к решению задач и 7) некоторых особых способностей решать задачи на проценты, интерес и другие обычные соотношения, встречающиеся в деловой жизни.

Такой перечень функций, подлежащих развитию и усовершенствованию, вполне целесообразен и полезен, поскольку он дает схему; но он совершенно недостаточен для того, чтобы сделать нашу задачу вполне ясной. Если бы учителя имели в качестве руководства того, какие изменения они должны создать в своих учениках, только вышеуказанный перечень, то они часто упускали бы существенные стороны арифметической тренировки и, обратно, пользовались бы для тренировки тем, чего не может потерпеть разумный воспитательный план. Это же является причиной того, что различные руководители преподавания арифметики хотя и могут все подписаться под общей схемой предыдущего абзаца, но безусловно не могут иметь на практике одинакового представления о том, чем должна быть арифметика для ученика элементарной школы.

Обычный взгляд на сущность изучения арифметики неясен и неполон в четырех отношениях. Он не определяет того, что такое „знание значения чисел“; он не учитывает весьма большого труда по обучению языку, которое имеет место и которое должно бы было быть частью обучения арифметике; он не делает различия между способностью решать определенные количественные задачи в том виде, как их предлагает сама жизнь, и способностью решать задачи,

предлагаемые руководствами и учебниками; „способность применять арифметическое знание и навыки“ он предоставляет усовершенствовать как некую мистическую способность своеобразной воспитательной магии.

Четыре необходимых дополнения должны быть здесь кратко очерчены.

ЗНАНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЕЛ.

Знание значения чисел от одного до десяти может обозначать знание того, что „один“ обозначает отдельный предмет из названного рода предметов, что „два“ обозначает на один больше, чем один, что „три“ обозначает на один больше, чем два, и т. д. Это мы можем назвать рядовым значением. Знать значение „шести“ в этом смысле — значит знать, что шесть на единицу больше пяти и на единицу меньше семи, т. е. что это число находится между пятью и семью в числовом ряду. Но под словами „знание значений чисел“ мы можем подразумевать и знание того, что два соответствует совокупности двух единиц, что три соответствует совокупности трех единиц и т. д., причем каждое число является названием определенной совокупности обособленных предметов, как: яблоки, копейки, мальчики, мячи, пальцы и тому подобные предметы, обычно перечисляемые в начальной школе. Это значение мы можем назвать собирательным. Знать значение шести в этом смысле — значит уметь правильно назвать совокупность шести отдельных, легко различимых обособленных предметов. В-третьих, знание чисел от одного до десяти может обозначать знание того, что два обозначает два раза взятое то, что называется единицей, что три обозначает три раза взятую единицу и т. д. Это является следовательно знанием числа как отношения. Знать значение пяти в этом смысле — значит знать, что если данный отрезок - принят за единицу, то линия, равная половине дециметра, будет пятью; что если-единица, то-будет около пяти ; если же единица равна —, то-будет около шести и т. д. В-четвертых, значение числа может быть большей ими меньшей долей его соприкосновений, — его числовых отношений или фактов, с ним связанных. Знать шесть в этом смысле — значит знать, что оно больше пяти или четырех, но меньше семи или восьми, что оно составляет дважды три, трижды два, сумму пяти и одного, четырех и двух или трех и трех, что оно на два меньше восьми, что, будучи сложено с четырьмя, оно составляет десять, что оно равно половине

двенадцати и т. п. Это мы можем назвать ядром фактов или соотносительным значением числа.

Обычная школьная практика принимает за основу школьного преподавания начинающим второе значение, однако и каждое из других значений также считалось существенным: идея ряда — Филипсом (Phillips, 1897), понятие числа как отношения — Мак-Лелланом и Дьюи (Mc Lellan и Dewey, 1895) и Спиром (Speer, 1897), понятие числа как соотносительности — Грубе (Grube) и его последователями.

Это разнообразие взглядов на функцию, которую надлежит развивать при изучении значений чисел от одного до десяти, не является пустой игрой слов; оно вызывает очень большое различие в школьной практике. Рассмотрим например преобладающее значение, которое Филипс приписывает счету в приведенном ниже отрывке, а также образцы работы, на которой слишком старательные последователи Спира и Грубе месяцами держали учеников.

ИЗВРАЩЕННАЯ ИДЕЯ РЯДА.

„Это по существу период счета, и несколько слов, которые могут быть расположены в ряды, дают все, что необходимо. Счет — это основное; счет самопроизволен, свободен от чувственного наблюдения и от напряжения разума. Изучение этих оригинальных методов показывает, что умножение развилось из счета, а не из сложения, как это утверждают почти все руководства. Умножение есть счет. Когда дети считают четверками и т. д., то они делают ударения совершенно так же, как при счете на занятиях гимнастикой или музыкой. Когда ребенок считает в настоящее время на пальцах, то он только воспроизводит одну из стадий развития цивилизации всех наций. Я хотел бы опять подчеркнуть, что в течение счетного периода наблюдается до некоторой степени самопроизвольное развитие рядового понятия числа, которое излагается Прейером (Preyer) в его „Arithmogenesis“, что необъятный материал дается систематическими рядами имен, причем имена эти обычно сперва выучиваются, а затем уже применяются к предметам. Одна преподавательница говорила мне, что школьный инспектор не хотел, чтобы учителя позволяли ученикам считать по пальцам, но что она не может понять, почему счет на конских каштанах является более предпочтительным. Ее ученики едва могли обойтись без помощи пальцев при счете других предметов и в то же время считали до 100 без всякого колебания и не прибегая к пальцам. Этот самопроизвольный период счета, т. е. произнесения названия чисел и образования рядов, должен предшествовать применению их к предметам“ (D. Е. Phillips, 1897, стр. 238).

ИЗВРАЩЕННАЯ ИДЕЯ ЧИСЛА КАК ОТНОШЕНИЯ.

Отношения. — 1. Подберите тела, находящиеся в таком же соотношении, как а, Ьл с, d> о, е.

2. Назовите тела а, Ь, с, d, о, е.

В подыскании выражений должна быть оказана такая же помощь, как и в нахождении способов открытия. Не следует ожидать, чтобы ученик изобретал термины.

3. Скажите все, что можете, об отношении этих единиц.

4. Соедините единицы и скажите, чему равна сумма.

5. Составьте выражения, подобные такому: о без е равно Ь.

6. с может быть разделено на сколько d? на сколько

Фиг. 1.

7. с может быть разделено на сколько Ь? Каково название наибольшей единицы, которая может содержаться целое число раз как в су так и в d?

8. Какую часть с составляет каждая из других единиц?

9. Если b равно единице, то чему равна каждая из других единиц?

10. Если а равно единице, то чему равна каждая из других единиц?

11. Если b равно единице, то сколько единиц содержится в каждой из других единиц?

12. Если d равно единице, то сколько единиц и сколько долей единицы содержится в каждой из других единиц?

13. Отношением каких единиц является 2?

14. Отношением каких единиц является 3?

15. Отношением каких единиц является г/2?

16. Отношением каких единиц являются 2/3?

17. Какие единицы имеют отношение 3/2?

18. Какая единица в 3 раза больше д/2 от Ь?

19. с равно 6 раз взятой 1/3 какой единицы?

20. 1/3 какой единицы равна J/e от с?

21. Что равно г/2 от с? Скольким шестым долям с равно d?

22. о равняется 5 раз взятой */з какой единицы?

23. 1/3 какой единицы равняется г/5 от о?

24. Какой единице равняются 2/3 от d? Скольким третям d равняется Ь?

25 2 равно отношению к ]/3 какой единицы? 3 равно отношению d к г/2 какой единицы?

26 d равно 3/4 какой единицы? 3/4 равно отношению каких единиц? (Speer, 1897, стр. 9 и след.).

ИЗВРАЩЕННАЯ ИДЕЯ СООТНОСИТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ.

Просмотр изданных в восьмидесятых годах книг последователей „метода Грубе“ (например „New Elementary Arithmetic“, Е. Е. White, 1883) обнаруживает чрезмерное увлечение идеей соотносительности чисел. Там имеется более 150 последовательных задач, которые все или почти все имеют дело с -f- 7 и — 7. Там имеется также много письменных работ, подобных приводимой ниже:

Сложить

Эти упражнения должны жестоко утомлять глаза всех участвующих в работе. Учеников учат „давать анализ и синтез каждого из девяти однозначных чисел“. И автор утверждает еще, что он не доводит принципа методики Грубе до „крайностей бесполезного повторения и машинальности“.

Должно бы казаться очевидным, что все четыре значения имеют право на внимание в элементарной школе. Десять есть вещь, находящаяся между девятью и одиннадцатью

в числовом ряде; десять представляет собою название определенной совокупности отдельных предметов; десять является также названием некоторой целой величины, равной десяти единицам, например 10 дм — одинаково как в отношении метрового отреза ленты, так и десяти отдельных обрезков ее длиною по 1 дм; это число является также,

Фиг. 2.

если мы знаем его хорошо, числом, получаемым при сложении единицы и девяти, или при вычитании шести из шестнадцати, или при умножении двух на пять, или при делении двадцати на два. Знать значение числа — обозначает знать что-нибудь о нем со всех этих точек зрения. Трудность заключалась в близорукости сторонников крайних теорий. Нельзя заставлять ребенка бесконечно считать; в самом деле, образование числовых рядов путем последовательного прибавления единицы может быть получено как побочный продукт. Не следует также ограничивать ребенка упражнениями над совокупностями, представленными наглядно, как на фигуре 2, или определяемыми на словах, как столько-то яблок, апельсинов, шапок, перьев и т. д., когда работа над измерением непрерывных величин различными единицами — сантиметрами, дециметрами, метрами, литрами, гектолитрами, секундами, минутами, часами и т. п. —так легка и полезна. С другой стороны, выработка искусственных задач с вымышленными единицами измерения, нужными для получения соотносительности величин, как в задачах на стр. 37—40 является расточительным жертвоприношением. Равным образом специальные упражнения, долженствующие установить тот факт, что восемнадцать равно одиннадцати и семи, двенадцати и шести, двадцати одному без трех и т. п., являются простым идолопоклонством; эти сведения о восемнадцати, поскольку они необходимы ученику, будут гораздо лучше усвоены в процессе сложения и вычитания столбцами.

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК.

Второе дополнение, которое должно быть внесено в обычный перечень функций, подлежащих усовершенствованию при преподавании арифметики, заключается во включении в число этих функций знания определенных слов. Понимание таких выражений, как оба, все, всего, вместе, без, разность, сумма, целое, часть, равный, купить, продать, сдавать, мера, содержится, в и т. п., необходимо в арифметике так же неоспоримо, как понимание самих чисел. Дать его должна сама школа, ибо ни дошкольное, ни внешкольное обучение его не дают или дают слишком поздно. При этом в связи с преподаванием арифметики оно может быть дано гораздо лучше, чем в связи с преподаванием родного языка.

Об этом пока не заботились. Просмотр первых пятидесяти страниц восьми современных руководство по начальной арифметике обнаруживает в лучшем случае весьма малое внима-

ние к этому предмету, в некоторых же случаях и полное отсутствие такового. В трех из этих книг не применяется даже слова сумма; в одной —оно встречается только один раз на протяжении пятидесяти страниц. На всех четырехстах страницах слово разность встречается только двадцать раз. Когда же слова эти употребляются, то мы не встречаем ни заботы, ни большой изобретательности в способах убедиться, что значение этих слов понято учениками.

Главная причина указанного пробела заключается именно в том, что в общепринятом перечне функций, подлежащих развитую при изучении арифметики, была упущена из вида эта функция сознательного ответа на количественные условия, выходящие за пределы наименования чисел и действий.

Знание языка в значительно большем размере является необходимым элементом арифметических способностей, поскольку последние заключают в себе уменье решать словесно сформулированные задачи. В том виде, как арифметика преподается теперь, она должна обращать внимание на эту способность, и значительная доля времени разумного преподавания должна уделяться усовершенствованию функции „понимания того, что дается в данной задаче и что в ней спрашивается“. Так как однако это понимание словесно формулированных задач может и не быть абсолютно необходимым элементом арифметики, то мы считаем более целесообразным отложить рассмотрение этого вопроса до тех пор, пока мы не рассмотрим, в чем заключается общая функция решения задач.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.

Третьей стороной функции, именуемой „знанием арифметики“ и нуждающейся в более ясном определении, является „решение задач“. Цель элементарной школы — научить правильно и экономично разрешать жизненные задачи, как например отыскание общей стоимости определенного реального количества при определенной реальной цене, определение сдачи, которую надо выплатить или получить, ведение счетов в хозяйстве, вычисление причитающегося жалованья, вычисление площадей, процентов и учета, определение количеств тех или иных материалов, необходимых для изготовления определенных продуктов в домашнем хозяйстве или мастерской, и т. п. Жизнь обычно ставит эти задачи или в виде реальных положений (когда например кто-нибудь покупает и подсчитывает стоимость и сдачу), или в связи с положением, которое человек представляет или описывает

себе (например, когда он высчитывает, сколько денег он должен сберегать из каждой получки, чтобы иметь возможность купить к определенному сроку велосипед такой-то стоимости). Однако иногда задача ставится лицу, которое должно решить ее, другим лицом на словах (когда, например, агент страхования жизни говорит: „Вы будете платить только по 25 коп. в декаду, начиная с сегодняшнего дня, и до... и тогда получите 250 руб.“, или когда работодатель говорит: „Ваше жалованье будет составлять 75 руб. в месяц, не считая завтрака и премиальных в таком-то размере“). Иногда задача предлагается лицу, которое должно решить ее в печатной или письменной форме (например, когда она излагается в объявлении или в письме клиента, запрашивающего о цене того-то и того-то). Задача может быть в одной части реальной, в другой — воображаемой или описываемой самому себе, в третьей—описываемой другому лицу в словесной, печатной или рукописной форме (когда например предназначенные к продаже предметы лежат перед покупателем, деньги он представляет себе лежащими в сберегательной кассе, может воспользоваться предоставляемой ему скидкой в 10°/0 и имеет на руках печатный прейскурант).

Чтобы научить ученика решать такие задачи — реальные, представляемые или описываемые себе, а также „описываемые другими“, — школа полагается почти исключительно на задачи лишь последнего рода. Следующая страница, взятая почти наугад из одного из лучших современных руководств, может быть сопоставлена с тысячью других. Устные задачи предлагаемые учителями, как правило, также не опираются на реальные положения.

1. Сколько надо заплатить за партию в 3622 штуки стальных рельсов, если 100 кг стали стоят 14 руб. 50 коп., каждый рельс имеет 8,2 м длины, а погонный метр рельса весит 35 лгг?

2. Дом застрахован от огня в сумме в 6500 руб. Какую страховую премию надо выплачивать ежегодно, если за 1000 руб. взимается 10 р. 80 к ?

3. Умножь семьдесять тысяч четырнадцать стотысячных на сто девять миллионных и полученный результат раздели на пятьсот сорок пять.

4. Какое число, будучи умножено на 43—, дает в произведении

5. Сколько десятых долей гектолитра составляет л\% л>

6. Крестьянин сдал га земли за 43 р. 75 к. Сколько получил бы он от сдачи всей своей усадебной земли, занимающей площадь в 3— га? 4

7. За доставку строительных материалов на место постройки на 375 подводах было уплачено по 4 р. 25 к. за каждую подводу из расчета доставки на каждой подводе 0,7 m материалов. При приемке материалов оказалось, что на каждой подводе доставлено в среднем по 0,8 m материалов. Сколько надо доплатить за доставку материалов?

8. Получено 60 л* материи по цене 10 руб. за 2 м и 80 м по цене 18 руб. за 4 м. Вся эта материя отпущена немедленно по средней цене 26 руб. за 5 м. Сколько прибыли получено при этом?

9. Кооператив приобрел 40 ц яблок по 75 коп. за килограмм. Двадцать пять сотых этого количества яблок оказались порчеными и были проданы по 20 коп. за килограмм. Остаток был продан по 90 коп. за килограмм. Сколько прибыли или убытка было получено при этой операции?

10. Если апельсины стоят по 3 р. 20 к. за килограмм и на 1 ni их приходится в среднем 6 штук, то сколько ящиков, содержащих по 480 штук апельсинов, можно купить на 1000 руб.?

П. Рабочий может выполнить определенную работу в течение 18—дня. Какую часть этой работы может он выполнить в 6—дня?

12. Каков сегодня возраст мальчика, который родился 29 октября 1896 г.? (Walsh, 1906, часть 1, стр. 165).

В результате преподаватели и авторы учебников пришли к мысли, что функция решения арифметических задач тождественна с функцией решения описательных задач, которые они дают в школе в книгах, экзаменационных программах и т. п. Если они и не вполне убеждены, что это так, то все же при преподавании и при испытании учеников они поступают, как если бы это было именно так.

В действительности это не так. Задачи должны решаться в школе для того, чтобы ученики научились решать те задачи, которые им предлагает жизнь. Знать, сколько сдачи ты получишь после данной реальной покупки, уметь вести аккуратно свой счет, мочь изменить порцию, рассчитанную на шесть человек, таким образом, чтобы она соответствовала четырем едокам, уметь определить количество семян, нужных для засева площадки данного размера, пользуясь сведениями о количестве семян, потребных для засева 1 га, и уверенно

выполнять расчеты, потребные в хозяйстве, мастерской, торговом предприятии,— вот та способность, которую должна развивать элементарная школа. При прочих равных условиях школа должна давать такие арифметические задачи, которые жизнь ставит сейчас и будет ставить впоследствии, и оказывать предпочтение таким положениям, которые предлагает сама жизнь, и таким ответам, которых требует сама жизнь.

Прочие условия не всегда однако бывают равными. Часто то же количество времени и сил может быть использовано более продуктивно с точки зрения экономического результата, если его расходовать на „придуманные“ задачи. Ведение собственного приходо-расходного счета в качестве школьного упражнения обычно не применимо, частью потому, что некоторые дети не имеют собственного заработка или вообще прихода, так что у них нет материала для ведения счета, частью же потому, что на учителя ложится слишком большая работа по проверке особых для каждого ученика задач. Применение реальных задач из области домоводства и торговли вполне целесообразно только в том случае, когда в школьную программу включены работы по домоводству и индустриальному обучению и когда сами эти предметы преподаются так, чтобы усовершенствовать функции, применяемые в реальной жизни. Очень часто наилучшим методом является применение арифметических действий к реальным и лично придуманным задачам, которые надо в некотором количестве вызвать к жизни и решить, затем приобретение уверенности в тождественности между этими реальными задачами и некоторыми описательными задачами, даваемыми учителем или заимствуемыми из учебника, и наконец развитие нужного навыка в обращении с описательными задачами. Во многих случаях школьная практика полностью оправдывает утверждение, что решение в течение данного количества времени описательных задач значительно лучше подготовляет ученика к решению соответствующих реальных задач, чем затрата того же количества времени на решение самых реальных задач.

Все это правда, но все же в силе остается общий принцип, что при прочих равных условиях школа должна отдавать предпочтение жизненным положениям и должна ставить те вопросы, которые учащимся будет ставить жизнь.

Там, где прочие условия делают желательным применение описательных задач обычного типа, последние надо подбирать так, чтобы они давали максимальную подготовку к действительному применению арифметики в жизни.

Так например, иллюстрируя известное правило, мы не можем беззаботно пользоваться первой попавшейся на ум задачей, должны обращать внимание на требования действительных жизненных положений и ясно показывать, как применяется данный принцип. Сопоставьте например следующие две задачи на применение сокращения:

A. Некто продавал по 24 огурца ежедневно, по 12 коп. за штуку, в течение 8 дней и на вырученные деньги купил 48 дюжин карандашей. Сколько стоит один карандаш?

B. Какой высоты должен быть прямоугольный резервуар, длиною в 16 м и шириною в 8 м, чтобы объем его равнялся объему прямоугольного резервуара размером 24 м X 18 м X 6 м?

Первая задача не только рисует положение, которое может создаться лишь в исключительном случае, а вернее и вовсе не может создаться, но и дает для нахождения ответа такой путь, по которому в данном положении никогда нельзя будет итти, ибо цена единицы назначается другими лицами, а не вычисляется по результатам операции.

В будущем придется еще затратить много умственной работы и изобретательности, чтобы устранить задачи, решение которых или вовсе не совершенствует действительной функции, которую должна усовершенствовать прикладная арифметика, или совершенствует ее ценою слишком большой затраты времени и сил, и заменить их задачами, которые непосредственно готовят учеников к требованиям жизни и вместе с тем могут уложиться в установленную программу курса, посильную для выполнения учителем, нагруженным 30—40 учениками, в ограничивающих условиях школьной жизни.

Следующие иллюстрации покажут частично, но вполне конкретно, в чем должна и не должна заключаться способность применять к решению задач знание и навыки в области отвлеченной или чистой арифметики, т. е. так называемые „основы арифметики“.

образцы желательных применений арифметики к задачам, в которых положение действительно представляется непосредственному восприятию органов чувств в целом или частично.

Ведение записей и решение вопросов о том, какая сторона победила и насколько, в подходящих играх в классе, в состязаниях в правописании и т. д.

Подсчет стоимости, выдачи и получения сдачи, ведение инвентаря и другие работы, производимые в настоящем или фиктивном складе.

Вычерчивание плана школьного сада, разделение его на участки, составление смет на покупку семян и т. д.

Измерение собственных достижений и успехов в тестах на знание слов, правописание, сложение, вычитание, быстроту письма и т. п. Измерение достигнутых усехов по отношению к числу часов упражнения или какому-либо иному периоду школьной жизни и т. п.

Определение стоимости продуктов, расходуемых в школьной кухне, предметов, изготовляемых в школьных мастерских, и т. д.

Вычисление стоимости отправки телеграмм, писем, спешной почты, посылок и других действительных почтовых отправлений на основании опубликованных тарифов.

Вычисление стоимости пересылки по почтовым или железнодорожным указателям и т. п.

примеры желательных применений арифметики к положениям, не воспринимаемым непосредственно.

Все приведенные здесь примеры касаются вычитания дробей.

Примеры, касающиеся других арифметических действий, можно найти на соответствующих страницах любого труда, содержащего задачи, подобранные с учетом жизненных потребностей.

А.

1. Дора приготовляет желе. Рецепт составлен на 24 чашки сахару, а у нее их имеется только 211/2. У нее нет времени итти в лавку; поэтому она должна занять сахар у соседки. Сколько чашек сахара должна она занять?

2. Ящик с мылом весит 291/2 кг. Пустой ящик весит 3*/2 кг. Сколько весит мыло?

3. 1 июля мороженик купил мешок соли в 20 кг для изготовления мороженого; 15 июля у него осталось всего 41/2 кг соли. Сколько соли он истратил в течение полумесяца?

4. Грация обещала своей матери собрать 30 чашек черной смородины. До сих пор она собрала только îe1^ чашек. Сколько чашек смородины она должна еще собрать?

в.

Эта таблица показывает вес Марии, сестренки Нелли, по истечении каждых 2 месяцев со дня рождения и до года.

1. На сколько прибавился в весе ребенок Адамсов за два первых месяца?

2. На сколько прибавился в весе ребенок Адамсов за вторые два месяца?

3. За третьи два месяца?

4. За четвертые два месяца?

5. На сколько он прибавился в весе за время от 8-го до 10-го месяца?

6. То же в последние два месяца?

7. С момента своего рождения и до 6 месяцев?

С

I. Точная средняя отметка, полученная Леной за декабрь, составляет 871/3 Средняя отметка, полученная Катей, равняется 841/2. На сколько средняя отметка, полученная Леной, выше, чем полученная Катей?

2. Найдите по данному списку точную среднюю отметку, полученную каждой девочкой. Напишите ответы ясно, чтобы их легко было читать. Вы будете пользоваться ими при решении задач 3, 4, 5, 6, 7, и 8.

Алиса

Дора

Эмма

Грация

Луиза

Мария

Нелли Ревекка

Чтение 91

87

83

81

79

77

76 73

Родной язык 88

78

82

79

73

78

73 75

Арифметика 89

85

79

75

84

87

89 80

Правописание 90

79

75

80

82

91

68 81

География 91

87

83

75

78

85

73 79

Чистописание 90

88

75

72

93

92

95 78

3. Какая девочка получила наивысшую среднюю отметку?

4. На сколько ее отметка выше, чем следующая наивысшая отметка?

5. Как велика разница между наивысшей и наинизшей отметками, полученными девочками?

6. Средняя отметка, полученная Эммой, больше или меньше отметки, полученной Луизой? Как велика разница?

7. Как велика разница между средними отметками, полученными Алисой и Дорой?

8. Как велика разница между средними отметками, полученными Марией и Нелли?

9. Составьте еще 5 задач на средние отметки и решите каждую из них.

ПРИМЕРЫ НЕЖЕЛАТЕЛЬНЫХ ПРИМЕНЕНИЙ АРИФМЕТИКИ1.

Вилли имеет XXI мраморную доску, XII кирпичей и XXXVI кусков веревки. Сколько у него всего вещей?

Змей Георгия поднялся на CDXXXV метров высоты, а змей Тома — на LXIII метра выше. Как высоко поднялся змей Тома?

Если отнять от DCIV число CCIV, то в результате получится число в IV раза большее, чем число долларов, уплаченных за свою лошадь гр. Дэном. Сколько заплатил гр. Дэн за свою лошадь?

Анны имеется -— руб., у Сусанны — — у Нелли---, у Норы — ^4 Сколько у них денег вместе?

Некто откладывает 3 — руб. в пятидневку. Сколько он скопит в течение одного года?

Одно дерево упало и раскололось на 4 части, длиною в2~ м, 3 м, 6 — ми 4 ~ м. Как велико было дерево?

Отец Ани дал ей 20 яблок, которые она разделила между своими подругами. Она дала каждой подруге по 2 —- яблока. Сколько у нее было подруг?

1 Как эти так и последующие задачи взяты из существующих учебников, курсов или испытательных программ; во избежание неудобных сравнений они приводятся не текстуально, но эквивалентно по принципу и форме, как это уже отмечено в предисловии.

Примечание автора.

У Вани было 17—- яблока. Каждое яблоко он разрезал на пять частей. Сколько всего кусков у него получилось?

В столовой имеются 3 у- порции, которые должны быть разделены между 8 едоками. Сколько получит каждый?

Марии задали написать 20 столбцов слов, по 16 слов в каждом столбце. Сколько всего слов она должна написать?

В чашку входит 9 орехов. Сколько чашек составят 5 888 673 ореха?

В школе 8 комнат; в каждой комнате находится по 48 учеников; если бы у каждого ученика было по 8 копеек, то сколько всего денег было бы у них?

Поленница дроз кубической формы содержит 15 м* дров. Каковы измерения этой поленницы с точностью до 1 см?

Человек, ростом 1,83 м, весит 72 кг. Какого роста его жена, если она весит 51 кг и имеет однородное с ним телосложение?

Брусок дерева имеет форму усеченной пирамиды, нижнее основание которой равно 1320 см2, а верхнее — 308 см2. Сколько кубических дециметров дерева в этом бруске, если длина его равна 6,2 м?

На вопрос о его возрасте некто ответил: „Если возвести в куб половину моих лет и к полученному результату прибавить 41 472, то найденная сумма составит половину куба моих лет. Сколько же мне лет?“

Только что приведенные образцы такого рода решения задач, которые не должны иметь места в школьной практике, почерпнуты в некоторых случаях из книг, издававшихся лет сорок назад. Нижеследующие задачи представляют собою результат выборки, сделанной в 1910 г. из книг, пользовавшихся в то время превосходной репутацией.

Потребовалось всего около часа времени, чтобы подобрать их, и я уверен, что тысячи таких задач, описывающих положения, которые никогда не встретятся ученику в действительной жизни, или ставящих ему такие вопросы, которые никогда не будут заданы ему в действительной жизни, могут быть легко найдены в десятках учебников, изданных в течение десятилетия 1900— 1910 гг.

Если в одном колосе содержится 250 зерен, то сколько зерен содержится на 24 колосьях того же размера?

Мод в четыре раза старше своей сестры, которой 4 года. Чему равна сумма их лет?

Если первое столетие началось с первого года, то каким годом оно окончится?

Каждый паук имеет восемь сложных глаз. Сколько глаз у 21 паука?

Гвоздь, длиною в 10 см, вбит в доску так, что с одной стороны он выдается на 3,695 см, а с другой — на 2,428 см. Какова толщина этой доски?

Найди периметр конверта размером 13 смУ^8^ см.

Сколько минут в от — часа?

Возраст гр-ки Нокс составляет — возраста гр. Нокса, которому сейчас 48 лет. Возраст их сына Эдуарда составляет — возраста его матери. Сколько лет Эдуарду?

Представь себе пирог, имеющий правильную круглую форму, диаметром в 10 ~ км. Если его разрезать на 6 равных частей, то какова будет длина кривой стороны каждой части?

В дождливый день в классе из 36 мальчиков отсутствовало присутствовавших мальчиков вышли из класса на двор. Сколько мальчиков осталось в классе?

После того как тонна сена была взвешена на базаре, лошадь съела 0,4 кг сена. Какой процент оставшегося сена составит количество, съеденное лошадью?

Если веер, имеющий 15 радиальных пластинок, открыт так, что его крайние пластинки образуют прямую линию, то сколько градусов заключается между любой парой смежных пластинок?

Половина расстояния между С.-Луи и Новым Орлеаном на 476 км больше — этого расстояния. Чему равно расстояние между этими городами?

Если давление атмосферы равно 1 кг на квадратный сантиметр, то каково давление атмосферы на крышку стола длиною в 1- и шириною в —- м?

Если — всей площади посева ячменя в 1900 г. составляли 100 000 га, то чему равнялась вся площадь, засеянная ячменем?

Какое наименьшее число яблок мать может точно распределить между двумя своими сыновьями, 4 дочерьми или между всеми своими детьми?

Если бы Алисе было на два года больше, чем ее учетверенный действительный возраст, то она оказалась бы ровесницей своей тетки, которой сейчас 38 лет. Сколько лет Алисе?

Трое отправились по берегу круглого острова, окружность которого равна 360 км; А проходил 15 км в день, В — 18 км и С—24 км. Если они вышли одновременно и идут в одном и том же направлении, то через сколько дней они снова встретятся?

При затратах на обучение ученика всего лишь около 30 или 4Э долларов в год, из которых, может быть, только 8 долларов тратятся на усовершенствование его арифметических способностей, учитель вынужден непосредственно руководить не столько ответами ученика на реальные положения и лично составленные им задачи, сколько ответами ученика на задачи, выраженные словами, диаграммами, картинами и т. д. Среди последних наиболее часто применяются слова. Вследствие этого понимание слов, употребляемых в таких описаниях, становится частью способности, требующейся в арифметике. Такое знание слов требуется еще и потому, что задачи, которые приходится решать в действительной жызни, бывают иногда описательными, как например в объявлениях, деловых письмах и т. д.

Это обстоятельство признано всеми в отношении таких слов, как остаток, прибыль, убыток, выигрыш, интерес, вместимость, брутто, нетто и учет, но справедливо и в отношении таких слов, как пусть, предположим, баланс, среднее число, итог, займем, удержим, и многих других полутехнических слов; это должно быть распространено на сотни других слов при условии, что учебник и учитель потрудятся употреблять только такие слова и построения фраз, которые хорошо известны ученикам из опыта повседневной жизни и классных занятий родным языком. Чтобы применить арифметику к задаче, ученик должен понять, в чем заключается задача; решение задачи зависит от чтения задачи. В действительной школьной практике упражнение в чтении задач будет все менее и менее необходимым, поскольку мы освобождаемся от задач, подлежащих разрешению только ради самого процесса решения, бесполезно нежизненных задач и неудачных описаний, но оно все же сохранится в начальной школе как достаточно важное связующее звено между „арифметикой“ и „чтением“.

АРИФМЕТИЧЕСКОЕ РАССУЖДЕНИЕ.

Последний вопрос, в котором природа арифметических способностей нуждается в определении, касается арифметического рассуждения. Полного изложения того, какого рассуждения мы можем ожидать от учеников начальной школы и каковы наиболее действительные способы поощрения и усовершенствования этого рассуждения, мы не можем дать до тех пор, пока мы не изучим образования навыков. Ибо рассуждение является, в сущности, организацией и контролем навыков мысли. Некоторые вопросы однако могут быть решены и здесь. Первый вопрос касается применения вычислений и задач только ради дисциплины, т. е. выдвижения на первый план упражнений в рассуждении независимо от того, достойна ли данная задача рассуждения с других точек зрения. Было принято думать, что ум представляет собою ряд дарований, способностей или умений, которые растут и укрепляются при определенных упражнениях безотносительно к тому, в чем заключаются эти упражнения.

Задачи, которые не могут встретиться в жизни и которые совершенно лишены какого бы то ни было интереса кроме умственного интереса к решению их, считались почти или совершенно такими же полезными для развития умственных способностей, как жизненные задачи, касающиеся дома, мастерской или торгового предприятия. Все. что давало уму повод к рассуждению, считалось удовлетворительным, и ученики трудились над нахождением того момента, когда минутная и часовая стрелка будут вместе, или над определением числа овец у пастуха из того расчета, что половина числа овец, сложенная с десятью, составляет дважды одну треть того, что он пасет.

Теперь мы знаем, что тренировка зависит в значительной мере от применяемых данных, так что действительная дисциплина ума требует рассуждения ученика над предметами, имеющими определенное реальное значение. Не существует магической сущности или способности рассуждать, которая работает вообще и не зависит от частных фактов и соотношений, над которыми ведется рассуждение. Поэтому мы должны постараться найти такие задачи, которые не только побуждали бы ученика к рассуждению, но направляли бы его рассуждение в надлежащее русло и вознаграждали бы его результатами, имеющими реальное значение. Мы должны заменить задачи, которые только дисциплинируют ум, задачами, которые имеют ценность как специальная подготовка к

особым важным жизненным положениям. Рассуждение, ведущееся только ради рассуждения, вызывает слишком расточительную трату времени и кроме того является повидимому малоценным даже как рассуждение.

Второй вопрос касается относительной ценности так называемых способов „улавливания“, когда ученика побуждают итти против обычных навыков мышления и так называемых „рутинных“ задач, при которых правильные пути мышления, служившие ученику в прошлом, автоматически приводят его к правильному решению, если только он не сделает какой-нибудь грубой ошибки.

Рассмотрим например эти четыре задачи:

1. Некто купил 10 десятков яблок за 9 р. 50 к. и продал их по 1 р. 10 к. за десяток. Сколько он при этом потерял?

2. Я вошел в магазин в 9 час. утра и пробыл в нем до 10 час. утра. Я купил там 6 м индийской бумажной материи по 40 коп. за метр и 3 м муслина по 35 коп. за метр; в уплату я дал бумажку в 5 руб. Сколько времени я пробыл в магазине?

3. На сколько должны вы разделить 48, чтобы получить половину произведения 6 на 2?

4. Сколько должны вы прибавить к 19, чтобы получить 30?

Способ „подлавливания“ в настоящее время не пользуется почетом, ибо разумный преподаватель чувствует интуитивно, что настойчиво требовать от ученика, чтобы его рассуждения приводили его к результату, резко противоположному тому, к которому его приводит весь предшествующий опыт,— весьма рискованно. Четыре только что приведенных задачи показывают однако, что наличие простой „ловушки“ или „противоречия предыдущему навыку“ в задаче еще недостаточно для того, чтобы забраковывать эту задачу. Четвертая задача, несомненно, имеет в виду „подлавливание“; но она так практична, что принята во многих современных учебниках как рутинная. Первая задача, наоборот, должна быть отвергнута всеми кроме тех, кто предъявляет к задаче единственное требование, чтобы она заставляла ученика „думать“. Такая задача требует отказа от установившихся навыков без полезной цели, потому что в жизни в подобном случае вопрос никогда (или почти никогда) не будет сформулирован, как „сколько он при этом потерял“, а будет задан в форме: „каков был результат“, или просто: „ну, и как?“. Такая задача непростительно ослабляет в ученике доверие к той работе, которую он ранее проделывал. Задачи, подобные вто-

рой, даются учителями, пользующимися прекрасной репутацией; но по всей вероятности эти задачи приносят больше вреда, чем пользы. Если бы какой-нибудь ученик прервал своего учителя во время арифметических упражнений,сказав ему:

„Я встал в 7 часов, чтобы умножить 9 на 2 и получил в ответе 24-^-; во-время ли я встал?“, то учитель не стал бы благодарить судьбу за стимул к мышлению, а подумал бы, что ученик сошел с ума. Такие подлавливающие вопросы могут быть очень полезны на предметных уроках, посвященных отысканию существенных элементов положения, если они даются в небольшом количестве один после другого и вперемежку с рутинными задачами, а ученики с самого начала предупреждены об общем характере этого упражнения. Но даже в этом случае следует помнить, что рассуждение должно быть по преимуществу силой, организующей навыки, а не противоречащей им, и что имеется достаточное количество дурных навыков, с которыми надо бороться, чтобы добиться необходимой тренировки. Сфабрикованные головоломные положения, в которых особый скрытый элемент положения ведет по неправильному пути хорошие навыки, приобретенные на иных положениях, применимы поэтому скорее как средство для отдыха и забавы, а не как стимул к размышлению.

Задачи, подобные третьей из приведенных выше, мы можем назвать скорее головоломками, чем задачами для „подлавливания“. Они ценны как упражнения в разложении положения на составные элементы, доставляющие удовольствие способным детям, а также как тесты некоторых способностей. Они требуют также, чтобы из многих противоположных навыков был правильно выбран один, а не того, чтобы обычные навыки были отброшены из-за некоторого скрытого элемента положения. Мы еще недостаточно знаем, насколько они полезны, чтобы решить сейчас вопрос о том, должна ли элементарная школа включить в число своих задач особое уменье решать их как одну из арифметических функций, специально ею развиваемую.

Четвертая из приведенных выше задач, которую все признают хорошей задачей, хороша потому, что она изменяет одной хорошей привычке ради другой хорошей привычки, заставляет выделять элемент, выделение которого настоятельно требуется жизнью, и делает это без видимого ущер-

ба. Неправильно оставлять ребенка с единственным навыком отвечать на „сложи 19 и 30“ — „получится 49“, потому что в жизни положение „имею 19, должен получить..., чтобы составилось 30“, встречается очень часто и имеет большое значение.

Итак, обыкновенные задачи, которые предлагает обыкновенная жизнь, и являются повидимому тем родом задач, над которым следует работать, хотя в начальной школе можно применять и наименее вредные формы чисто умственной гимнастики для тех учеников, которым это нравится.

ИТОГИ.

Дискуссия по вопросу о значении чисел, лингвистических требованиях арифметики, различии между схоластическими и жизненными применениями арифметики и возможных ограничениях тренировки в рассуждении может служить иллюстрацией значения вопроса: каковы те функции, которые начальная школа старается усовершенствовать преподаванием арифметики? В связи с этим могут быть отлично рассмотрены и другие вопросы, но основной контур работы начальной школы теперь совершенно ясен. Арифметические функции или способности, которые она старается усовершенствовать, таковы:

1. Активное знание значений чисел как наименований некоторых групп некоторых относительных величин, когда величина единицы известна, и некоторых центров или узлов соотношений с другими числами.

2. Активное знание десятичной системы счисления.

3. Активное знание значения сложения, вычитания, умножения и деления.

4. Активное знание сущности и соотношений некоторых общепринятых мер.

5. Активное уменье складывать, вычитать, умножать и делить целые числа, обыкновенные и десятичные дроби и именованные числа, имея в виду действительные и положительные числа.

6. Активное знание слов, символов, диаграмм и т. п., поскольку этого требуют простейшие арифметические запросы жизни или экономическая подготовка к ним.

7. Способность применять все перечисленное, поскольку этого требуют простейшие арифметические запросы жизни или экономическая подготовка к ним, включая, как п. 7а, некоторые специальные навыки решать задачи, касающиеся пло-

щадей, прямоугольников, объемов прямоугольных тел, процентов, интереса и некоторых других общераспространенных случаев из области домашнего хозяйства, промышленной и торговой жизни.

СОЦИОЛОГИЯ АРИФМЕТИКИ.

Выражение простершие арифметические запросы жизни“ является пока еще неясным. Мы имеем лишь очень приблизительные сведения о том, как каждый из жителей САСШ применял арифметику в 1920 г. Для исследования этого вопроса крайне необходимо то, что можно было бы назвать „социологией“ арифметики. Начальная школа не должна готовить своих учеников для редких или трудных запросов жизни: слишком много имеется других желательных способностей, которые она должна развить.

Наиболее интересное начало такому исследованию действительных применений арифметики положено Вильсоном (Wilson, 1919) и Митчелем (Mitchell). Хотя их исследования сильно нуждаются в значительном расширении и проверке другими методами исследования, все же два главных факта повидимому достаточно достоверны1.

Во-первых, огромное большинство людей в огромном большинстве своих деловых занятий применяет только очень простые арифметические действия. Из 1737 случаев сложения, приводимых Вильсоном, семь восьмых касались пяти или меньшего числа слагаемых. Более половины множителей в приводимых случаях были однозначными числами. Более 95°/0 дробей, над которыми производились различные действия, были из числа следующих: —, —, —, —, —, —, —, —, —, —. Три четверти всех приводимых случаев были простыми вычислениями из одного действия над целыми числами или монетами САСШ.

Во-вторых, они часто применяли эти простейшие арифметические действия не потому, что последние наиболее быстро и удобно вели к цели, а только поiому, что они лишились, а может быть и никогда не имели, уменья пользоваться более совершенными способами, упрощаюшими работу. Цены в 5 и 10 центов, магазины с вывеской „любая вещь 25 центов“ и организация платежей в рассрочку— вот обычные моменты, устраняющие арифметику из человеческой жизни. Вильсон обнаружил весьма слабое применение десятичных дробей, а Митчель встречал людей, производивших вычисления над обыкновенными дробями со знаменателем 49 в то время,

1 Труд Митчеля не был издан, но автор имел возможность ознакомиться с ним. Примечание автора.

когда применение десятичных дробей было бы гораздо более продуктивным. Если дать 120 секунд для выполнения теста, подобного нижеприведенному, то согласно моим опытам видные юристы, врачи, промышленники и коммерсанты, равно как и их жены, успеют правильно выполнить только около половины работы. Многие женщины, увидя в счете „7 — кг мяса 2,36 руб.“, будут тратить время и деньги на телефон, спрашивая мясника, сколько стоит кило мяса, потому чго у них нет твердой уверенности в делении на смешанное число.

Тест.

Выполните указанные действия. Выразите все дроби в ответе в сокращенном виде.

Сложите:

Вычтите:

Умножьте:

Разделите:

Нам кажется вероятным, что школьное преподавание арифметики не уделяло в прошлом достаточного внимания усовершенствованию наиболее элементарных способностей. Ниже мы дадим этому дальнейшее доказательство. С другой стороны, тот факт, что люди не пользуются в настоящее время тем или другим процессом, вовсе еще не означает, что они вообще не должны им пользоваться.

Простейшие арифметические запросы жизни конечно не должны включать таких правил, как правило извлечения кубического корня или математического учета, которые не применяются ни одним

разумным человеком. Они не должны включать вопросов, подобных исчислению боковой поверхности и объема пирамид и конусов, или знания способов расчета штукатурных или обойных работ, которые применяются только узкими специалистами-профессионалами. Они не должны включать вопросов, подобных процентам по онкольным ссудам, заемным операциям, точным процентам и переучету векселей, с которыми имеют дело только маклеры, банковые служащие и отдельные бухгалтеры. Они не должны включать технику расчетов, которые уже исчезли из действительной практики, как например простые проценты на капитал на срок больше года, льготные дни платежей или крайние и средние члены пропорций. Они не должны включать слишком расширенных упражнений над очень большими числами, десятичными дробями, меньшими, чем тысячные, а также на сложение и вычитание таких дробей, складывать или вычитать которые ни одному человеку из ста не приходится чаще одного раза в год.

Когда мы будем иметь надлежащую социологию арифметики, точно устанавливающую, кто и как часто будет пользоваться каждой арифметической способностью, то мы будем в состоянии определить задачу начальной школы и в этом отношении. В настоящее же время мы должны поступать согласно здравому смыслу, руководствуясь двумя ограничивающими правилами. Первое из них гласит: „Изучение в начальной школе всех возможных правил арифметики желательно не более, чем изучение всех слов, существующих в родном языке, или всей топографии земного шара, или всех деталей физиологии человека“. Второе правило: „Не следует исключать из преподавания арифметики ни одного элемента до тех пор, пока вы не нашли взамен него чего-либо лучшего“.

ГЛАВА II.

ИЗМЕРЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ.

Один из лучших способов уяснить себе, в чем заключаются функции, которые школа должна развивать и совершенствовать,— это получить измерители их. Если какое-либо данное знание, умение, способность или идеал существует, то существует в некотором количестве или степени. Ряд возрастающих количеств этого уменья определяет его так, как этого не может сделать ни одно общее словесное описание. Так например ряд весов: 1 кг, 2 кг, 3 кг, 4 кг и т. д. помогает нам определить, что мы подразумеваем под весом. Ряд слов, подобных только, курить, другой, прекрасный, ответ, портной, круг, телефон, дерзкий, и начало, которые правильно пишутся известным и уменьшающимся процентом детей одного и того же возраста или одной и той же группы, позволяет нам лучше уяснить себе, что мы понимаем под словами .трудность правописания“. Действительно, до тех пор пока мы не сможем измерить продуктивности и развития известной функции, до тех пор мы будем колебаться и путаться в представлении о том, в чем же заключается данная функция.

ОБРАЗЕЦ ИЗМЕРЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ СПОСОБНОСТИ. СПОСОБНОСТЬ СКЛАДЫВАТЬ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА.

Рассмотрим прежде всего в качестве примера измерение способности складывать целые числа.

Приводимые ниже примеры применялись при измерениях, произведенных Стоном (Stone, 1908):

596

4695

428

872

2375

94

7948

4052

75

6789

6354

304

567

260

645

858

5041

984

9447

1543

897

7499

Оценка производилась следующим образом: за каждый правильно сложенный столбец ставилась 1. Стон соединял с этим оценку и других способностей, ставя общую отметку за все количество правильных ответов, полученных в течение 12 минут; он оценивал также правильность выполнения сложения в некоторых примерах на умножение.

Куртис (Courtis) пользовался листами с двадцатью четырьмя задачами или „примерами“, состоящими каждый в сложении девяти трехзначных чисел, как показано ниже. На решение он давал 8 минут и отмечал как число выполненных примеров, так и число примеров, выполненных правильно; однако он не дает комбинации этих двух отметок, которая характеризовала бы общую успеваемость.

Еще задолго до этого автор предлагал вести испытание учеников при помощи рядов, подобных приведенных ниже от а до g, в которых материал расположен по возрастающим степеням трудности.

Вуди (Woody, 1916) построил свои хорошо известные тесты на этом же принципе, хотя он и дает только по одному примеру каждой степени трудности вместо восьми или десяти, как приведено выше. Его тест, поскольку дело касается сложения целых чисел, приведен на странице 51.

В своем оригинальном отчете Вуди не дает метода оценки каждого отдельного ученика, разумно указывая, что при столь малом количестве примеров на каждую степень трудности отметка ученика была бы слишком ненадежна для индивидуальной оценки. Этот тест надежен только для оценки целого класса; и для класса Вуди пользуется такой степенью трудности, при которой определенная часть группы может выполнить работу правильно, если для решения 38 примеров целого теста дается 20 минут.

Измерение даже такой простой вещи, как умение учеников правильно ответить на эти тесты в слежении целых чисел, в действительности довольно сложно. Прежде всего возникает задача сочетания скорости и правильности в какой-либо одной простой отметке. Стон проставляет отметку за столбец только в том случае, если сложение выполнено правильно. Куртис обходит затруднение тем, что учитывает как общее число выполненных, так и число правильно выполненных сложений. Схема автора, которая учитывает удельный вес как быстроты, так и правильности на каждой ступени серии, приводит к довольно сложным вычислениям.

серия а. шкала сложения (частично) Клиффорд Вуди.

Эта трудность сочетания оценки быстроты и точности при сложении ясно свидетельствует о том, что мы имеем еще весьма неточное представление о характере функции, которую должна усовершенствовать начальная школа. До тех пор например, пока мы не установим, что является лучшим достижением для данной группы учеников—решение ли пятнадцати примеров Куртиса, правильное в десяти случаях, или же решение десяти примеров Куртиса, правильное в девяти случаях, — мы не можем установить и задачи учителя, преподающего сложение данной группе учеников.

Затруднения имеют место и при сравнении результатов применения длинных и коротких столбцов. Правильность решений в случае короткого столбца, например в пять цифр, свидетельствует о знании данного действия и об уменьи безошибочно выполнять четыре последовательных простых сложения. Правильность решений в случае длинного столбца, например в десять цифр, свидетельствует о знании этого действия и об уменьи безошибочно выполнять девять последовательных простых сложений. Теперь, если точность работы ученика такова, что он делает в среднем одну ошибку на восемь простых сложений, то он может получить около половины правильных решений в случае столбцов с пятью цифрами и почти ни одного — в случае столбцов с десятью цифрами. (Так будет с ним в том случае, если он будет складывать обычным путем. Если же его научат проверять результаты повторным сложением, сложением по половине столбца и т. п., то процент его правильных ответов может сильно возрасти в обоих случаях и стать приблизительно равным.) Таким образом длина столбца в тесте на сложение при обычных условиях дает автоматически перевес точности в простых сложениях над знанием действия и умением переносить.

Далее, в случае столбца любой величины обычно получаемый результат не позволяет установить разницу между одной, двумя, тремя или более (до предельного числа) ошибками, допущенными в сложении отдельных столбцов. Между тем очевидно, что ученик, который, складывая столбцы по десять чисел, допускает ошибки в половине ответов, может часто делать две или более ошибок в одном столбце, в то время как ученик, имеющий только один неправильный ответ из десяти, вероятно почти никогда не делает больше одной ошибки в столбце. Поэтому тесты с короткими столбцами рекомендуются как средство истолкования результатов тестов с длинными столбцами.

Наконец выбор теста с короткими или длинными столбцами зависит от того, как испытующий представляет себе характер тех требований, которые предъявляет к школе мировая жизнь. Двадцать лет назад автор был расположен более чем теперь применять тесты с длинными столбцами. В мировой практике сложение длинных столбцов все чаще и чаще выполняется при помощи счетных машин, хотя и продолжает еще весьма часто применяться в бухгалтерии при подведении недельных и месячных счетов в местных колониальных магазинах, мясных лавках и пр.

Таким образом изыскание методов измерения способности складывать ясно ставит перед нами задачу противопоставления быстроты и точности, а также противопоставления сложения коротких и длинных столбцов. Последняя задача едва ли даже ставилась при обычных способах определения способности складывать.

Следует сказать далее, что измерение умения складывать поражает научно подготовленного человека отсутствием точности, которое мы повсеместно находим в школах. Какую ценность имеет для ученика, окончившего начальную школу, то, что он умеет делать сложение, получая в примерах, подобных приведенным в тесте Куртиса, только восемь правильных ответов из десяти? Никто не будет оплачивать вычислителя за такую опытность. При таком умении ученик не сможет вести даже собственных приходо-расходных счетов. Предполагаемое дисциплинирующее значение навыков рискует превратиться в этом случае в нечто противоположное. Совершенно необходимо, по крайней мере с точки зрения автора, чтобы проверка изучалась и применялась до тех пор, пока ученик не сможет складывать простые столбцы по десять чисел, допуская не более одного ошибочного ответа в двадцати столбцах. Быстрота полезна, особенно косвенным образом, как показатель проверки отдельных сложений чисел высших разрядов; однако жизненный спрос на сложение, не достигающее некоторой стандартизированной точности, равен нулю; дисциплинирующее значение его также нулевое или даже отрицательное. Это составит предмет дальнейшего изучения.

ИЗМЕРЕНИЕ СПОСОБНОСТЕЙ В СЧИСЛЕНИИ.

Измерения этих способностей могут быть двух родов: 1) измерение быстроты и точности, обнаруживаемых при решении однородных задач, как это иллюстрируется тестом

сложения Куртиса, приведенным на страницах 54 и 55, и 2) измерение того, насколько трудная задача может быть решена правильно (или с установленной степенью точности) в течение определенного данного времени или быстрее, как это иллюстрируется нашим грубым тестом на сложение, приведенным на страницах 49 и 50, и тестами Вуди, если их распространить и на альтернативные формы.

Тесты Куртиса, возникшие вначале как улучшенные тесты Стона и разработанные затем упорным трудом их автора, представляют собой стандартное орудие первого рода для измерения так называемых „основных“ арифметических способностей в обращении с целыми числами. Они приводятся ниже.

Тестами второго рода являюгся тесты Вуди, которые содержат в себе действия над целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями и именованными числами, затем тесты Баллу (Ballou, 1916) с обыкновенными дробями и упражнения — „лестницы“ — из „Арифметики“ Торндайка. Некоторые из них показаны на страницах 57- 62.

тесты куртиса. арифметика. тест № 1. сложение. серия В.

Вам дается восемь минут на отыскание ответа возможно большего числа этих примеров на сложение. Пишите ответы на этом листке прямо под примерами. От вас не ждут, что вы успеете решить их все. Отметка будет ставиться как за быстроту, так и за точность; однако важнее получать правильные ответы, чем пробовать решать возможно больше примеров:

927

297

136

486

384

176

277

837

379

925

340

765

477

783

445

882

756

473

988

524

881

697

682

959

837

983

386

140

266

200

594

603

924

315

353

812

679

366

481

118

110

661

904

466

241

851

778

781

854

794

547

355

796

535

849

756

965

177

192

834

850

323

157

222

344

124

439

567

733

229

953

525

и еще шестнадцать примеров сложения девяти трехзначных чисел.

тест куртиса.

арифметика. тест № 2. вычитание. серия В.

Вам дается четыре минуты на отыскание ответов возможно большего числа примеров на вычитание. Пишите ответы на этом листке прямо под примерами. От вас не ждут, что вы успеете решить их все. Отметка будет ставиться как за быстроту, так и за правильность; однако важнее получать правильные ответы, чем пробовать решать возможно больше примеров:

107795491 75088824 91500053 87939983 77197029 57406394 19901563 72207316

и еще двадцать примеров такого же характера.

тест куртиса. арифметика. тест № 3. умножение. серия В.

Вам дается шесть минут для решения возможно большего числа этих примеров на умножение. От вас не ждут, что вы успеете решить их все. Исполняйте вашу работу прямо на этом листке; не пользуйтесь другой бумагой. Отметка будет ставиться как за быстроту, так и за правильность; однако важнее получать правильные ответы, чем пробовать решать возможно больше примеров:

8246 7843 4837 3478 6482

29 702 83 15 46

и еще двадцать примеров на умножение такого же характера.

тест куртиса. арифметика. тест № 4. деление. серия В.

Вам дается восемь минут для решения возможно большего числа этих примеров на деление. От вас не ждут, что вы успеете решить их все. Исполняйте вашу работу прямо на этом листке; не пользуйтесь другой бумагой. Отметка будет ставиться как за быстроту,

так и за правильность; однако важнее получать правильные ответы, чем пробовать решать большое количество примеров:

и еще двадцать примеров на деление такого же характера.

серия В. шкала умножения. клиффорд вуди.

серия В. шкала деления. клиффорд вуди.

тест баллу, сложение дробей.

лестница сложения.

(Thorndike, 1917, часть 3-я стр. 5.)

Начинайте снизу лестницы. Посмотрите, сможете ли вы подняться до верху, не сделав ни одной ошибки. Старайтесь правильно переписывать числа.

Ступень 6.

Ступень 5.

c. Сложи 1 час. 6 мин. 20 сек., 58 мин. 15 сек., 1 час 4 мин. и 55 мин.

d. Сложи 7 руб., 13 полтинников, 21 двугривенный, 17 гривенников и 19 пятачков.

Ступень 4.

Ступень 3.

Ступень 2.

Ступень 1.

лестница вычитания.

(Thorndike, 1917, часть 3-я, стр. 11.)

Ступень 9.

Ступень 8.

Ступень 7.

Ступень 6.

Ступень 5.

Ступень 4.

Ступень 3.

Ступень 2.

Ступень 1.

лестница средних значений.

(Thorndike, 1917, часть 3-я, стр. 132.)

Найдите среднее из чисел, записанных на каждой строке. Начинайте со ступени 1. Поднимайтесь до верха, не сделав ни одной ошибки. Убедитесь в том, что числа переписаны правильно. Если нужно, доведите деление до двух десятичных знаков.

Ступень 6.

Ступень 5.

Ступень 4.

Ступень 3.

Ступень 2.

Ступень 1.

Так как такие тесты обнимают все задачи начальной школы в отношении арифметики и приняты компетентными лицами как достаточные измерители навыков в счислении, то они дадут нам, как было уже указано выше, практическое определение задач школы. Читатель заметит например, что работы, подобные нижеследующим, хотя и встречаются еще во многих учебниках и школах, все же не содержатся уже в современных тестах и шкалах.

Исключите целое число из следующих неправильных дробей:

Обратите в целые или смешанные числа:

Упростите:

Сократите:

Найдите разность:

Возведите в квадрат:

Умножьте:

Измерение способности в прикладной арифметике. Решение задач.

Стон (1908) измерял успехи в этой области при помощи следующих задач, давая 15 минут на их решение.

„Решите столько задач, сколько позволит время; решайте их в порядке нумерации:

1. Если ты купишь 2 картинки по 7 коп. каждая и одну книгу за 65 коп., то сколько ты получишь сдачи с 3-рублевой бумажки?

2. Иван продал 4 вечерних газеты по 5 коп. за каждую; — полученных денег он удержал, а на остальную— купил листовок по 2 коп. за каждую. Сколько листовок он купил?

3. Если бы у Якова было в 4 раза больше денег, чем у Георгия, то у него было бы 16 руб. Сколько денег у Георгия?

4. Сколько карандашей можно купить на 50 коп., если 2 карандаша стоят 5 коп. ?

5. Майка и трусики стоят 2 р. 50 к., туфли стоят 2 руб. пара. Сколько стоят эти костюмы и обувь для 9 игроков в бэсбол?

6. В одной городской школе было 2200 учеников; -^-приходилась на первую ступень, — на вторую, — на курсы и остаток — на вечернюю школу. Сколько учеников было в вечерней школе?

7. Если 3 g m угля стоят 63 руб., то сколько будут стоить б! т.

8. Газетчик купил несколько журналов на 1 руб. Он продал их за 1 р. 20 к., нажив на каждом журнале 5 коп. Сколько у него было журналов?

9. Девочка истратила — своих денег на проезды и втрое больше — на покупки. Половину того, что у нее осталось, составляют 80 коп. Сколько денег у нее было?

10. Две работницы швейной фабрики, работающие совместно по сдельной расценке, получили 4 р. 20 к. за обметывание петель. Одна обметала 42 петли, другая — 28. Как должны они поделить деньги?

11. Гр. Баранов оплатил расходов по постройке небольшого кооперативного дома, а гр. Иванов--~. Гр. Иванов затратил средств на 500 руб. больше, чем гр. Баранов. Сколько денег внес каждый из них на постройку?

12. Товаро-пассажирский поезд отошел из Албании в Нью-Йорк в б часов. Пассажирский поезд отошел в том же направлении в 8 часов. Последний шел со скоростью 50 км в час. В котором часу второй поезд нагнал первый, если известно, что товаро-пассажирский поезд остановился, пройдя 68 км?

Критерии, которыми Стон руководствовался при выборе этих задач, были следующими:

„Главная задача теста в рассуждении заключается в определении способности учеников группы VI А рассуждать арифметически. В этих целях при подборе и расположении задач мы пытались удовлетворить следующим условиям:

1. Положения одинаково понятны для всех учеников группы VI А.

2. Материал расположен по возрастающим степеням трудности:

a) в отношении арифметического рассуждения;

b) в отношении знакомства с предложенным положением.

3. Устранены:

a) большие числа;

b) особенные требования, предъявляемые к памяти;

c) задачи для „подлавливания“;

d) все то, что выходит за пределы целых чисел, дробей и монетной системы САСШ.

Тест умышленно был составлен настолько длинным, что лишь очень редко какой-нибудь ученик мог полностью выполнить его в течение пятнадцати минут“.

За каждую из пяти первых задач ставилась 1; за задачи 6, 7 и 8 ставилось соответственно 1, 4; 1, 2 и 1, 6; за каждую из следующих задач ставилось по 2.

Куртис сделал попытку усовершенствовать тест на решение задач Стона, заменив его нижеследующими двумя тестами.

арифметика. тест № б. тест скорости. рассуждение.

Вы не должны решать следующих задач. Прочтите внимательно каждый пример, сообразите, какие действия вы должны были бы проделать, если бы стали решать их, а затем запишите название этих действий на чистом месте против каждой задачи. При этом пользуйтесь следующими сокращениями: „Слож.“ для обозначения сложения, „Выч.“—для вычитания, „Умн.“—для умножения и „Дел/— для деления.

1. Девочка принесла в школу 37 цветных открыток и 19 открыток раздала своим подругам. Сколько открыток осталось у нее?

2. Пятеро мальчиков играли в камешки. Когда игра была закончена, у всех оказалось по одинаковому числу камешков. Если всех камешков было 45, то по скольку камешков было у каждого?

3. Девочка, смотревшая в окошко, насчитала 27 автомобилей, проехавших мимо школы в течение первого часа, и 33 автомобиля — в течение второго часа. Сколько автомобилей проехало мимо школы в течение двух часов?

4. В одной школе было восемь классных комнат, причем в каждой комнате было по 50 мест для учеников. Если все места заняты, то сколько учеников находится в это время в школе?

5. Мальчики одного кружка послали своего казначея купить мячи для бэсбола. Они дали ему на это 3 р. 15 к. Сколько мячей он купит, если мячи продаются по 45 копеек за штуку?

6. Школьный врач взвесил всех учениц данной группы. Если одна девочка весила 35 кг, а другая 46 кг, то на сколько килограммов одна девочка весила более другой?

7. Девочка решила подарить свей подруге коробку конфет, весом в 500 г. Во сколько обойдется ей этот подарок, если 100 г выбранного ею сорта конфет стоят 70 коп. ?

8. Мальчик отправился в свой выходной день на рыбную ловлю и поймал 12 рыб утром и 7 рыб после обеда. Сколько рыб поймал он за день?

9. Мальчик жил за 15 домов на восток от школы; его близкий товарищ жил на той же улице, но за 11 домов на запад от школы. Сколько домов было между теми домами, где жили эти мальчики?

10. Девочка в 5 раз сильнее своей младшей сестры. Если маленькая девочка поднимает 8 кг, то сколько должна поднимать старшая?

11. Дети одной школы устроили катанье на санях. Детей было 270 человек, а каждые сани вмещали 30 человек. Сколько потребуется саней, чтобы все дети могли кататься одновременно?

12. В сентябре в восьмой группе одной школы было 43 ученика; к июню их стало 59. Сколько учеников поступило в эту группу в течение года?

13. Ученица, жившая за 17 домов от школы, ходила в школу и обратно два раза в день Мимо скольких домов проходила она в течение дня по пути в школу и обратно?

14. Мальчик, разносивший газеты и зарабатывавший этим 1 р. 35 к. в день, взялся отнести посылку по дальнему адресу, за что ему заплатили 50 копеек. Сколько он заработал за этот день?

Итого правильных ответов

(Следуют еще две подобных же задачи.)

Тест 6 и 8 взяты из стандартного теста Куртиса. Использованы они с разрешения С. А. Куртиса.

арифметика. тест № 8. рассуждение. Решите на имеющемся внизу чистом месте столько приведенных здесь примеров, сколько вы успеете в назначенное вам время. Решайте их в порядке нумерации, записывая каждый ответ в графу „ответы“ прежде чем приступите к новой задаче. Не пишите ничего на какой-либо другой бумаге.

1. Дети устроили в школе праздник. Подарками служили коробки с конфетами. Наполняя коробки конфетами, одна группа израсходовала 8 кг конфет, другая — 9 кг, третья — б кг и четвертая — 7 кг. Сколько стоили все конфеты, если 1 кг стоил 3 р. 50 к. ?

2. В городской школе было израсходовано 2516 кусков мела в течение 37 учебных дней. Затем были открыты еще три новых класса, на 50 учеников каждый, и после этого данная школа стала тратить по 84 мелка в день. На сколько мела тратится теперь в день в этой школе больше, чем раньше?

3. Несколько мальчиков совершили экскурсию на велосипедах, проехав всего 1500 км. Первую неделю они сделали 374 км, вторую — 264 км, третью 423, четветую — 401 км. На следующей неделе они окончили свое путешествие. Сколько километров они проехали в последнюю неделю?

4. Для сбора яблок со 150 яблонь фруктового сапа были наняты сорок пять мальчиков. В течение 50 минут каждый мальчик снял по 48 отборных яблок. Если упаковать все эти яблоки в 8 ящиков одинакового размера, то сколько яблок войдет в каждый яшик?

5. В одной школе 216 учеников устроили катанье на санях. Они наняли 7 саней за 60 руб. и купили продовольствия на 24 руб. Они затратили на эту поезку 2-?f часа, проехали на санях 15 км и очень хорошо провели время. Во что обошлась эта прогулка каждому ученику?

6. Одна ученица точно высчитала, что на странице ее рабочей книги по арифметике, умещается 2400 букв, а на странице ее книги для чтения — только 2295 букв. На сколько больше букв прочитала она в первой книге, чем во второй, если в каждой книге она прочитала по 47 страниц?

7. Каждый из 59 классов городских школ приготовил по 25 подарков для раздачи детям в подшефных деревнях. Кооперативы отпустили для этой цели еще 1986 различных предметов. Сколько всего подарков было собрано?

8. Сорок восемь учеников одной школы заплатили каждый по 20 коп. за проезд 7 км на автобусе до леса. Там в течение нескольких часов они собрали 2765 орехов; 605 из них оказались гнилыми, а остальные были поделены поровну между всеми детьми. Сколько хороших орехов получил каждый ученик?

Итого

Приведенные измерители способности применять арифметические познания отлично иллюстрируют различие во мнениях относительно того, чем должна быть прикладная арифметика и арифметическое рассуждение. Исследователь, ставящий во главу угла тот факт, что во внешкольной жизни положения, требующие количественного изучения, обычно бывают реальными, а не описательными, отвергнет такой тест, в котором все составляющие его задачи являются описательными. Если только мы не питаем исключительных надежд на перенос идей, методов и приемов с одной умственной функции на другую, то мы будем протестовать против искусственности примера № 3 в серии Стона и против всего теста Куртиса № 8, за исключением примера № 4. Тест Куртиса № 6 для измерения быстроты рассуждения является ярким примером смешения способности понимать количественные соотношения со способностью понимать слова. Рассмотрим например следующие пять примеров, сопоставляя их с упрощенными вариантами1).

1. Дети одной школы устроили катанье на санях. Они наняли 9 саней, причем каждые сани вместили по 30 человек. Сколько детей приняло участие в катании?

Упрощенный текст. Если одни сани вмещают 30 человек, то 9 саней вместят.....человек.

2. Две школьницы играли в крестики. Девочка, имевшая 57 очков, проиграла 16 очков. Сколько очков было у выигравшей девочки?

Упрощенный текст. Мэри и Нелли играли в крестики. Мэри получила 57 очков. Нелли на 16 очков больше. У Нелли было.....очков.

3. Девочка считала автомобили, проезжавшие мимо школы. Она насчитала всего 60 автомобилей в течение двух часов. Если девочка видела 27 автомобилей в течение первого часа, то сколько их она видела в течение второго часа?

Упрощенный текст. В течение двух часов девочка видела 60 автомобилей. В первый час она видела их 27; во второй час она видела их.....

4. На спортивной площадке было пять одинаковых групп детей, игравших в различные игры. Если на площадке было всего 75 детей, то сколько детей было в каждой группе?

1) Приведенная здесь форма теста № 6 принадлежит Куртису (1911—1912, стр. 20). Она несколько отличается от другой серии теста № 6, приведенной на страницах 65 и 66.

Упрощенный текст. 75 кг соли были насыпаны в пять совершенно одинаковых мешков; в каждый мешок вошло . ... кг соли.

5. Школьный врач взвешивал всех учеников группы. Одна девочка весила 32 кг. Ее сестра весила на 14 кг больше. Сколько килограммов весила сестра?

Упрощенный текст. Мэри весит 32 кг. Анна весит на 14 кг больше. Анна весит.....кг.

Необходимо иметь в виду различие между задачей, изложенной возможно ясно и просто, и той же самой задачей, изложенной неудачно, или мало известными словами, или же умышленно туманно; и, как правило, измерители способности применять арифметические познания должны избегать всякой, излишней неясности или чисто лингвистических трудностей. Например задача: „Мальчик купил двухкопеечную марку; он дал в уплату 10 копеек; сдача составила..... копеек“ лучше, чем такая задача:

„Если мальчик, покупающие двухкопеечную марку, дал в уплату гривенник, то сколько он должен получить сдачи?“

Мы должны также иметь в виду различие между описанием задачи bona fide, которую может быть придется решать во внешкольной жизни, и описанием фантастических возможностей или загадок. Примеры №3 и №9 теста Стона плохи, потому что для составления таких задач необходимо заранее знать ответы, так что в реальной жизни не может быть и надобности в решении их. Вероятно не будет преувеличением, если мы скажем, что никогда не было, не будет и не должно быть так то способа определения числа яблок в ящике, как это предлагается в примере № 4 теста Куртиса № 8.

Этим мы не хотим выразить порицания ни д-ру Стону, ни Куртису. До последних дней мы все так были приучены к искусственным задачам традиционного типа, что и не ожидали ничего лучшего, и были так слепы к требованиям языка в текстуальных задачах, что не видели весьма большого их влияния. Сам Куртис проявил большую энергию в этой реформе и указал недостатки в своих тестах № 6 и № 8 (1913, стр. 4 и след.).

„Тесты № 6 и № 8, т. е. так называемые тесты рассуждения, являются наименее удоволетворительными изо всей серии. Суждения различных преподавателей и школьных инспекторов о неравноценности единиц измерения в одном и том же тесте, а также о различии между разными изданиями одного и того же теста, доказали необходимость ис-

следования этих вопросов. Тесты для взрослых по многим отраслям коммерческой раб ты во многих случаях обнаружили более низкие результаты по сравнению с отметками средних по успеваемости детей восьмой группы. В то же время отметки некоторых отдельных лиц, характеризующие изучавшуюся способность, были высоки, и повидимому между способностью, проявленной в решении этих тестов, и точностью в отвлеченной работе существует некоторое общее соотношение. Однако наиболее важным фактом явились те затруднения, которые преподаватели испытывали в своих попытках устранить дефекты в рассуждении. Вполне вероятно, что тесты измеряют способности, но сами способности являются вероятно совсем не тем, чем они нам кажутся. Так для измерения достоинства различных единиц было составлено возможно большее число задач, основанных на одном и том же простом положении. Был установлен двадцать один вариант путем изменения относительной формы вопроса и относительного положения различных фраз. Один из них оказался в девятнадцать раз труднее другого, если судить по количеству ошибок, сделанных детьми; однако причиной этой разницы были только изменения в формулировке. Этот факт, равно как и многие другие того же рода, свидетельствует повидимому о том, что тесты № 6 и № 8 измеряют главным образом уменье читать“.

Таким образом научное измерение способностей и достижений, связанных с прикладной арифметикой или решением задач, является делом будущего. В области описательных задач начало было положено сериями, составляющими часть „Национальных тестов умственного развития“ (1920 г.), один из которых приведен на странице 70 и далее; в области же задач с жизненными положениями пока еще в систематической форме ничего не сделано.

Систематизированные тесты и шкалы оказывают большую пользу не только в определении способностей, которые мы должны создавать и совершенствовать, но и при измерении состояния познаний и достижений отдельных учеников и целых групп, а также эффективности различных методов руководства и изучения. Таким образом они весьма полезны для учеников, преподавателей, инспекторов и ученых исследователей и с каждым годом находят себе все большее и большее применение. Сведения относительно ценности различных тестов, способов применения их и установления оценки, стандартов для различных возрастов и групп, которыми надо пользоваться при толковании результатов и т. п..

можно найти в руководствах по педагогическому измерению, как например:

Courtis, Manual of Jnstructions for Giving and Scoring the Courtis Standard Tests in the Three R's (1914);

Starch, Educational Measurements (1916); Chapman and Rush, Scientific Measurement of Classroom Products (1917); Monroe, De Voss, and Kelly, Educational Tests and Measurements (1917); Wilson and Hoke, How to Measure (1920); and McCall, How to Measure in Education (1921).

тест I.

Национальные тесты умственного развития. Шкала А. Форма I. Издание I. Найдите ответы как можно быстрее.

Запишите ответы на строчках, отмеченных пунктиром. Производите вычисления на полях.

1. Пять копеек составляют пятачек. Сколько пятачков в гривеннике?

Ответ.........................

2. Ваня заплатил 5 руб. за часы и 3 руб. за цепочку. Сколько рублей заплатил он за часы и цепочку?

Ответ.........................

3. Нелли 13 лет, Марии 9 лет. На сколько лет Мария моложе Нелли?

Ответ..........................

4. Стакана мороженого хватает на 5 человек. Сколько стаканов мороженого нужно на 25 человек?

Ответ.........................

5. Ваниной бабушке 86 лет. Если она еще поживет, то через сколько лет ей будет 100?

Ответ.........................

6. Если рабочий зарабатывает 2 р. 50 к в день, то сколько он заработает в 6 рабочих дней?

Ответ.........................

7. Сколько карандашей в полутора дюжинах их?

Ответ..........................

8. Сколько стоят 12 штук печенья, если 6 штук стоят 5 коп.?

Ответ.........................

9. Майка и трусики стоят 2 р. 50 к ; туфли стоят 2 руб. пара. Сколько стоят эти костюмы и обувь для 9 игроков в бэсбол?

Ответ..........................

10. Поезд, который должен приходить в половине одиннадцатого, опоздал на 17 минут. В котором часу он прибыл?

Ответ.........................

11. Сколько будет стоить отрез материи 1 iм, если метр стоит 10 руб.?

Ответ.........................

12. Рабочий зарабатывал по 6 руб. в день в течение половины периода времени в 40 дней и по 4 р. 50 к. в течение четверти того же периода; остальные дни он ничего не зарабатывал. Сколько он всего заработал в течение этих сорока дней?

Ответ.........................

13. Сколько процентов от 800 составлюят 4°/0 от 1000?

Ответ.........................

14. Если 60 человек потребляют 720 кг муки в месяц, то сколько потребляет в день один человек, если считать, что в месяце 30 дней?

Ответ.........................

15. Легковой автомобиль едет со скоростью 1 км в минуту. Грузовой автомобиль делает 20 км в час. Во сколько раз большее расстояние пройдет первый за 10 секунд?

Ответ..........................

16. Площадь основание цилиндрического резервуара (измеренная внутри) равна 1200 дм2. Какой высоты должен быть этот резервуар, чтобы вместить 96 м3?

Ответ.........................

Из национальных тестов умственного развития, изданных Национальным исследовательским советом, Нью-Йорк, 1920. Приведено здесь с разрешения издателей.

ГЛАВА III.

СОСТАВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ В ИЗУЧЕНИИ АРИФМЕТИКИ.

Было бы весьма полезно, если бы кто-нибудь попытался разложить изучение арифметики на отдельные составляющие его способности, точно указав, что в деталях должен делать ум, чтобы подготовить себя к сквозному испытанию в полном объеме курса арифметики. Перечень этих отдельных способностей заполнил бы очень длинный лист. Рассмотрение хорошо систематизированного руководства покажет нам, что способность в умножении например рассматривается как состоящая из следующих элементов: знания таблицы умножения до 9 X 9; умения умножать двух- (или более) значные числа на 2, 3 и 4, когда не требуется „переноса“ и во множимом нет нуля; умения умножать на 2, 3.....9 с „переносом“; умения обращаться с нулями во множимом; умения умножать на двузначные числа, не оканчивающиеся нулем; умения обращаться с нулем как последней цифрой множителя; умения умножать на трех-(и более) значные числа, не содержащие нуля; умения умножать на трех- и четырехзначные числа с нулем на втором или третьем, или на втором и на третьем, а также и на последнем месте; умения сберегать время приписыванием нулей и так далее, по длинному списку дальнейших способностей, требующихся для умножения монет САСШ, десятичных дробей, обыкновенных дробей, смешанных чисел и именованных чисел.

Единицы или „ступени“, обнаруженные таким образом при тщательном преподавании, составили бы длинный список; но возможно, что еще более тщательное изучение арифметической способности как иерархии умственных навыков или ассоциаций значительно увеличило бы еще этот список. Рассмотрим например обыкновенное сложение по столбцам. Большинство преподавателей вероятно считает это простым применением знания таблицы сложения до 9 + 9 плюс понимание „переноса“. Между тем здесь имеется по крайней мере

семь процессов или второстепенных функций, связанных со сложением столбца двузначных чисел, причем каждая из этих функций психологически отлична от других и требует особой педагогической разработки. В самом деле, требуется:

A. Научиться выдерживать ряды при сложении столбца.

B. Научиться удерживать в уме результат каждого сложения до тех пор, пока к нему не будет прибавлено следующее число.

C. Научиться складывать видимое число с запоминаемым.

D. Научиться оставлять без внимания пустые места в столбцах.

E. Научиться оставлять без внимания нули в столбцах.

F. Научиться применять комбинации, дающие единицы высшего разряда, что может потребовать от менее способных учеников затраты такого же количества времени и труда, как изучения всех первоначальных таблиц сложения. Даже для наиболее способного ученика образование такой связи, как „8 и 7 = 15“, вероятно никогда не обеспечивает полностью наличия таких связей, как „38 и 7 = 45е и „ 18 -f- 7 = 25й.

G. Научиться записывать цифру, обозначающую единицы, а не общую сумму каждого столбца. В частности научиться писать 0 в случаях, когда сумма столбца дает 10, 20 и т. д. Усвоение „переноса" также включает в себе по крайней мере два отдельных процесса, каким бы способом его ни преподавать.

Подтверждение такого расчленения функций мы находим в результатах применения таких тестов, как тесты Вуди.

Например сложение 2 —f— 5 —(— 1 ==—.....конечно требует несколько иных способностей, чем

потому что только 77% детей третьей группы правильно выполняют первую задачу, тогда как вторую задачу безошибочно выполняют 95°/о детей той же группы. Во второй группе разница эта еще более заметна. В случае вычитания пример 4 требует иных способностей, чем пример 3; при этом первый пример решается правильно во второй и четвертой группах

значительно реже, чем второй. Пример q значительно труднее, чем каждый из вышеприведенных;

Можно высказать предположение, что это различие вызывается различным количеством упражнений. Это однако едва ли правильно, но если бы это было и так, то это не изменило бы нашего утверждения: если бы обе эти способности были тождественны, то упражнение одной из них усовершенствовало бы в равной степени и другую.

Я не задаюсь целью дать здесь полный список и описание элементарных функций, которые составляют арифметические познания, отчасти потому, что еще не вполне известно, что они собою представляют, отчасти потому, что во многих случаях окончательная способность может быть выработана различными путями, описание которых неизбежно было бы утомительным, отчасти же потому, что надлежащее изложение того, что по этому вопросу уже известно, слишком расширило бы объем настоящей главы. Взамен того я иллюстрирую результаты несколькими примерами.

ЗНАНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ДРОБИ.

В качестве первого примера рассмотрим знание значения дроби. Является ли способность, о которой идет речь, простым пониманием того, что дробь есть обозначение числа долей, каждая из которых имеет одну и ту же величину, причем верхнее число, или числитель, указывает, сколько таких частей взято, а нижнее, или знаменатель, указывает, какую долю единицы составляет каждая такая часть? Должно ли методическое преподавание ограничиться простым описанием и иллюстрированием этого утверждения и побуждением учеников применять его к распознаванию дробей и обращению с каждой из них? Заключается ли процесс изучения 1) в образовании представлений о доле, величине доли и количестве долей, 2) в отнесении двух последних представлений к членам дробей и как необходимом следствии 3) в правильном применении этих представлений ко всем случаям, когда при счислении встречаются дроби?

Именно таково было представление об этом вопросе у ближайших предыдущих поколений. Сущность дробей преподавалась как единый принцип сразу, и навыки в обращении с дробями должны были, по предположению, выводиться из общего закона сущности дроби. В результате изучение дробей откладывалось под конец, производилось с большой потерей времени и сил и оставалось даже при таких условиях непосильным для всех, кроме наиболее одаренных учеников. Эти же последние строили указанную способность вероятно самостоятельно по частям из составляющих ее знаний и навыков.

Во всяком случае современное научное преподавание должно строить теперь полную способность (total ability) как совокупность или организацию меньших способностей. В чем последние заключаются — легче всего понять, рассматривая те средства, которые применяются для приобретения их.

1) Прежде всего приобретается представление о половине конфеты, половине яблока и т. д. в их конкретном выражении, так что ученик может правильно назвать ясно выраженную половину такой наглядной единицы, как апельсин, груша или кусок мела. Затем достигается такая же степеньпонимания в отношении 4“ » g~» з~> “5 • Ученику преподают что 1 булка = 2 половинкам, 3 третям, 4 четвертям, 5 пятым, 6 шестым, и 8 восьмым ее; то же самое в отношении 1 бруска мыла, 1 яблока и т. д.

Так продолжается до тех пор, пока ученик не научится воспринимать — от у, как некоторую простую часть нагляд-ной единицы у.

2) Затем следует ассоциация, связанная с дм, ~ м, -у стакана и другими величинами, где у уже не является столь наглядным целым предметом, части которого все еще продолжают обнаруживать свое исхождение от него. То же самое относительно , у и т, д,

3) Затем следует ассоциация, связанная с -g- пачки, состоящей из восьми плиток шоколада, — от дюжины фотогра-

фических пластинок, -g- взвода из 10 стрелков и т. д., до тех пор пока у, -д, ^ , -g-, -g- и ~- не будут восприниматься, как названия некоторых частей совокупности предметов.

4) Далее следует аналогичная ассоциация для такого случая, когда природа совокупности остается неопределенной и ученики отвечают на вопросы: -^-ог о равна....., от 8 равна_____, 2 равно -g- от....., от 6 равна....., от 9 равна 2 равно от.....и т. д.

Каждая из этих способностей находит при преподавании свое оправдание в наличии свойственных каждой из них существенных достоинств независимо от помощи, которую они оказывают впоследствии при создании общего понимания значения дроби. Навыки, создаваемые таким образом в третьей и четвертой группах, оказывают детям постоянную услугу как в это время, так и при дальнейшем обучении, а также вне школы.

5) Одновременно с этим выполняются упражнения:-^- от 10, 15, 20 и т. Д ,-£р от 12, 18, 42 и т. д. как полезная разновидность упражнений в таблицах деления, ценная не только сама по себе, но и. как средство придания большей общности понятию о доле единицы путем введения в схему дробей 1 1 Т и-9'

е) Далее идут ассоциации -г-, — , —, -,г, каждая с ее значением как некоторой части известной удобно делимой единицы.

7) и 8) Ассоциации этих дробей с их значением как частей некоторых величин (7) и совокупности подходящих размеров (8).

9) Ассоциации этих дробей с их значениями в тех случаях, когда природа величины или совокупности остается

неопределенной, как в случае — от 15 =....., -q-ot 32 =.....

и т. д.

10) Что это соотношение имеет общий характер, показывается на применении его к числам, требующим письменного деления и умножения, как например от 1736 =....., и монетам САСШ.

Элементы 6—10 полезны даже и в том случае, если ученик в дальнейшем не будет заниматься арифметикой. Одним из наиболее распространенных применений дробей является вычисление стоимости долей метров материи, долей килограмма мяса, сыра и т. д.

Следующая (11) ступень заключается в некотором понимании принципа, что значение любой из этих дробей не изменяется от умножения или деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число. Упражнения в изображении дробей в сокращенном и не сокращенном виде, которыми заканчивается этот раздел, ведутся параллельно с простыми упражнениями (12) и (13) на сложение и вычитание дробей, имеющими целью показать, что дроби представляют собою количества, над которыми мы можем производить различные действия совершенно так же, как и над любыми прочими количествами, с простой работой (14) над смешанными числами (сложение, вычитание и сокращение) и с упражнениями на неправильные дроби (15). Все, что мы проделываем с неправильными дробями имеет целью: а) научить учеников пользоваться небольшим количеством их так, как если бы они были обыкновенными дробями, и в) установить их равнозначимость смешанным числам. В упражнениях 12, 13 и 14 сложение и вычитание производятся над дробями только с одинаковыми знаменателями, а в упражнениях 12, 13, 14 и 15 — только над дробями с цифрами 2, 3, 4, 5, 6, 8 или 10 в знаменателе. Как и прежде, упражнения от 11 до 15 полезны и сами по себе.

16) Определения даются в такой форме: Числа, подобные 2, 3, 4, 7, 11, 20, 36, 140, 921, называются целыми числами.

Числа, подобные ~6- называются дробями.

Числа, подобные

называются смешанными числами.

17) Выражения „числитель“ и „знаменатель“ откосятся к верхним и нижним числам, составляющим дробь.

Построение этого довольно сложного ряда меньших способностей может показаться весьма окольным путем для получения знания значения дроби; оно действительно является таковым, если не считаться с тем, что приобретается наряду с указанным знанием. Если же учесть внутреннюю ценность приобретаемых навыков, то каждый может возразить, что ученик получает при этом знание значения дроби совершенно задаром.

ЗНАНИЕ ТАБЛИЦ ВЫЧИТАНИЯ И ДЕЛЕНИЯ.

Рассмотрим далее знание „таблиц“ вычитания и деления. Обычный метод преподавания предполагает, что изучение их заключается в образовании независимых связей:

В действительности однако эти 126 связей образуются не независимо. Для учеников, за исключением быть может одной двадцатой из числа наиболее неспособных, дело облегчается до некоторой степени предшествующим изучением таблиц сложения и умножения. А при надлежащей постановке изучения это облегчение может быть огромным. Действительно, независимое запоминание этих фактов мы можем заменить рядом поучительных упражнений, в которых ученик выводит примеры вычитания из соответствующих случаев сложения путем простого рассуждения или мышления, производящего отбор. Как только будут изучены случаи сложения, дающие в сумме 9 или менее, предложите ученику проделать упражнение, подобное следующему.

Напишите недостающие числа:

Задача рассуждения заключается только в том, чтобы испробовать одно за другим те числа, которые кажутся подходящими, и выбрать одно из них как правильное. При небольшом побуждении и руководстве дети смогут таким образом выполнить вычитание до 9 как наибольшего числа. После этого научите их проделывать то же самое с напечатанными примерами.

Вычитание

9 7 8 5 8 6

3 5 6 2 2 4 и т. д.

и 9 — 7= ..., 9 — 5=.....7 — 5=____ и т. д.

Предположим далее в случае деления, что ученик выучил первую таблицу и приобрел уверенность в выполнении таких упражнений:

Если один мячик стоит 5 коп., то два мяча стоят .... коп... три мяча стоят ....коп. и т. д.

Тогда он сразу может приступить к решению и таких упражнений:

Запишите ответы и недостающие числа:

Е

За 5 коп. вы можете купить 1 маленькую булку. За 10 коп. вы можете купить 2 маленьких булки. За 25 коп. вы можете купить .... маленьких булок. За 45 коп. вы можете купить .... маленьких булок. За 35 коп. вы може!е купить .... маленьких булок.

F

5 коп. стоит проезд 1 станции. 15 коп. стоит проезд .... станций 10 коп. стой г проезд .... станций. 20 коп. стоит проезд .... станций.

Сколько 5-копеечных карандашей можете вы купить на 30 коп.? Сколько 5-копеечных карандашей можете вы купить на 35 коп.? Сколько 5-копеечных карандашей можете вы купить на 25 ксп.? Сколько 5-копеечных карандашей можете вы купить на 15 коп.?

В случае значения дроби способность и изучение разработаны гораздо более подробно, чем это освоено обычной практикой; в случае же изучения таблиц вычитания и деления дело обстоит далеко еще не так. Изучение их ни в каком случае не должно быть ни простым запоминанием фактов, ни простым пониманием принципа in abstracto, сопровождаемым применением его к конкретным примерам. Оно заключается (и мы увидим, что это справедливо в отношении плодотворного изучения почти всех отделов арифметики) в образовании связей и применении их в таком порядке, чтобы каждая связь в максимальной степени помогала другим и чтобы каждая связь приносила таким образом максимальную пользу другим арифметическим способностям, помимо одной, непосредственно с ней связанной, а также общему развитию ученика.

ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ.

В качестве другого поучительного примера строения арифметических способностей мы можем взять случай рассуждения, требующегося для понимания обращения с цифрами при сложении и вычитании двух- (или более) значных чисел, при умножении и делении двух- (или более) значных чисел и при всех четырех действиях с десятичными дробями. Психология их имеет особое значение и интерес, потому что здесь возможны два противоположных объяснения, которые приводят и к двум противоположным теориям преподавания.

Обычное объяснение состоит в том, что эти методы обращения должны быть поняты, если они вообще могут быть поняты, как дедуктивные выводы из свойств нашей десятичной системы счисления. Второе объяснение утверждает, что они должны быть отчасти поняты и как индуктивные выводы из опыта, показывающего, что они всегда дают правильный ответ. Первое объяснение приводит к обычным предварительным дедуктивным объяснениям, содержащимся в руководствах. Второе приводит к объяснениям, основанным на проверке, например сложения — посредством счета, вычитания и умножения — посредством сложения, деления — посредством умножения. Примеры этих двух способов объяснения приводятся ниже.

КРАТКОЕ УМНОЖЕНИЕ БЕЗ „ПЕРЕНОСА“. ДЕДУКТИВНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ.

Умножение есть действие, при котором одно число берется слагаемым столько раз, сколько единиц во втором числе.

Произведение есть результат умножения. Множимое есть число, которое берется слагаемым. Множитель есть число, показывающее, сколько раз должно быть взято множимое.

Множимое и множитель называются сомножителями. Умножь 623 на 3.

Действие.

Множимое 623 Множитель 3

Произведение 1869

Объяснение. Для удобства мы подписываем множителя иод множимым и начинаем умножение с единиц; 3 раза по 3 единицы будет 9 единиц; записываем девять единиц на месте единиц в произведении;

3 раза по 2 десятка будет б десятков; записываем б десятков на месте десятков в произведении; 3 раза по 6 сотен будет 18 сотен, или 1 тысяча н 8 сотен; 1 тысячу мы записываем на месте тысяч, а 8 сотен на месте сотен в произведении. Таким образом произведение равно 1 тысяче 8 сотням б десяткам и 9 единицам, т. е. 1869.

КРАТКОЕ УМНОЖЕНИЕ БЕЗ „ПЕРЕНОСА“. ИНДУКТИВНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ.

1. Дети третьей группы устраивают прогулку. Всех участников будет 32. Сколько надо заготовить для них бутербродов, если каждый из 32 учеников получит по четыре бутерброда?

Вот быстрый способ найти это число.

32 Думай так: „4X2“, запиши 8 под 2 в столбце единиц. 4 Думай так: „4X3“, запиши 12 под 3 в столбце десятков.

2. Сколько потребуется детям яблок, если каждый из 32 учеников получит по два яблока? 32 X 2 или 2 X 32 даст ответ.

3. Сколько детям потребуется кусков сахара, если для каждого ученика будет взято по три куска? 32 X 3 или 3 X 32 даст ответ.

32 3 X2 = .... Где вы запишете 6?

3 3X3=.... Где вы запишете 9?

4. Проверьте, правильны ли ответы 128,64 и 96, взяв 32 слагаемым 4, 2 и 3 раза.

32

32 32

32 32 32 32 32 32

Умножение.

Вы умножаете, когда находите ответы на вопросы, подобные следующим:

Сколько будет 9X3? Сколько будет 3 X 32? Сколько будет 8X5? Сколько будет 4 X 42?

1. Прочитайте эти строки. Назовите правильные числа там, где поставлены точки:

Если прибавить 3 к 32, то получится .... ; 35 есть сумма.

Если вычесть 3 из 32, то результат будет .... ; 29 называется разностью, или остатком.

Если умножить 3 на 32, или 32 на 3, то получится 96 есть произведение.

Найдите произведение. Проверьте ваши ответы в первой строке путем сложения.

Сложите:

Запишите 9 в столбце единиц. Проверьте 213

Запишите 3 в столбце десятков. ваш ответ 213

Запишите 6 в столбце сотен. сложением. 213

КРАТКОЕ ДЕЛЕНИЕ. ДЕДУКТИВНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ.

Разделите 1825 на 4.

Объяснение. Для удобства мы пишем делителя с правой стороны делимого, а частное под делителем и делить начинаем слева; 4 не содержится в 1 тысяче ни одной тысячи раз; поэтому частное не содержит в себе единиц высших, чем сотни. Поэтому мы ищем, сколько раз 4 содержится в сотнях делимого; 1 тысяча и 8 сотен составляют 18 сотен; 4 содержится в 18 сотнях 4 сотни раз, причем 2 сотни остаются в остатке. Записываем в частном 4 сотни; 2 сотни мы рассматриваем вместе с 2 десятками как 22 десятка; 4 содержится в 22 десятках 5 десятков раз, причем остается еще 2 десятка в остатке; записываем 5 десятков в частном, а оставшиеся 2 десятка рассматриваем вместе с 5 единицами, как 25 единиц; 4 содержится в 25 единицах 6 раз, причем в остатке получается 1 единица; записываем 6 единиц в частном и отмечаем деление остатка, т. е. 1 единицы, на делителя 4.

Таким образом частное от деления 1825 на 4 равно 456 —, или 456 и 1 в остатке.

КРАТКОЕ ДЕЛЕНИЕ. ИНДУКТИВНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ.

Деление больших чисел.

1. Том, Дик, Вилли и Фрэд сложились по 20 коп. каждый, чтобы купить ящик кирпичиков, стоящий 80 коп. В ящике 128

кирпичиков. Сколько кирпичиков получит каждый мальчик, если поделить их поровну между четырьмя мальчиками?

128:4.

Думай так: „12 = трижды 4“. Запиши в частном.

Думай так. „8=дваж;ы 4й. Запиши 2 за 3 в частном.

32 правильно, потому что 4X32=128.

2. Мэри, Нелли и Алиса собираются купить книгу, чтобы подарить ее своей подруге. Подарок стоит 69 коп. Сколько должна будет заплатить каждая девочка, если разделить стоимость книги поровну между всеми тремя девочками?

69:3.

Думай так: „6= ... раз по 3“. Запиши 2 в частном. Думай так: „9= ... раз по За. Запиши 3 за 2 в частном. 23 правильно, так как 3 X 23 = 69.

3. Разделите стоимость 96-копеечного подарка между тремя девочками. Сколько должна будет заплатить каждая девочка?

96:3.

4. Разделите стоимость 84-копеечного подарка поровну между 4 девочками. Сколько должна будет заплатить каждая девочка?

5. Выучите следующее (читая знак : , как „деленное наа):

124 = 16. 16 есть сумма.

12 — 4= 8. 8 есть разность, или остаток.

12X4 = 48. 48 есть произведение.

12 : 4= 3. 3 есть частное.

6. Найдите частные. Проверьте ваши ответы посредством умножения.

99:3 86:2 155:5 246:6 168:4 219:3.

(Деление с остатком преподается по тому же общему плану, соответственно распространенному на этот случай.)

ПОДРОБНОЕ ДЕЛЕНИЕ. ДЕДУКТИВНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ.

Разделить посредством подробного деления. 1. Пусть требуется резделить 34531 на 15.

Действие.

Для удобства подписываем делитель справа от делимого, а частное под делителем, начинаем делить так же, как при сокращенном способе деления; 15 содержится в 3 десятках тысяч 0 десятков тысяч раз; поэтому в частном будет 0 десятков тысяч; берем 34 тысячи; 15 содержится в 34 тысячах 2 тысячи раз; записываем 2 тысячи в частном; 15 X 2 тысячи = 30 тысячам, что после вычитания из 34 тысяч дает в остатке 4 тысячи = 40 сотням; снося 5 сотен, получаем 45 сотен.

15 содержится в 45 сотнях 3 сотни раз; записываем эти 3 сотни в частном; 15 X 3 сотни = 45 сотням, что после вычитания из 45 сотен не дает ничего в остатке; снося три десятка, получаем 3 десятка.

15 содержится в 3 десятках 0 десятков раз; записываем 0 десятков в частном; прибавляя к трем десяткам, которые равны 30 единицам, 1 единицу, получаем 31 единицу.

15 содержится в 31 единице 2 единицы раз; записываем 2 единицы в частном; 15X2 единицы = 30 единицам, что после вычитания из 31 единицы дает в остатке 1 единицу. Чтобы обозначить деление этой единицы, присоединяем к общему выражению частного дробное выражение в виде — единицы.

Таким образом 34531, деленное на 15, равно 2302-^- (В. Greenleaf, Practical Arithmetic, 1873, стр. 49).

ПОДРОБНОЕ ДЕЛЕНИЕ. ИНДУКТИВНОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ.

1. Во время школьного праздника на долю одной группы пришлось 360 леденцов. В группе было 29 учеников. Сколько леденцов получит каждый ученик? Сколько леденцов останется после дележа? Вот наилучший способ решения:

Сообразите, сколько раз 29 содержится в 36; 1 раз — правильно.

Запишите 1 под делителем 29; умножьте 29 на 1.

Подпишите 29 под 36; отнимите 29 от 36. Снесите 0 числа 360 и напишите его за 7. Сообразите, сколько раз 29 содержится в 70;

2 раза — правильно.

Запишите 2 над 0 числа 360. Помножьте 29 на 2.

Подпишите 58 под 70; отнимите 58 от 70 Получается в остатке 12.

Каждый ученик получает 12 леденцов, а еще 12 леденцов остаются лишними. Это правильно, потому что 29 X 12 = 348 и 348+ 12 = 360.

8. 99,587:31. Продолжайте делить на 31 в задаче 8 до тех пор, пока не используете цифр 5, 8, 7 и не получите в частном четырех цифр.

9. 10. 11. 12. 13.

253:22 2895:22 8891:21 290:22 16,368:32

Проверьте ваши ответы к задачам 9, 10, 11, 12 и 13.

1. Мальчики школьного клуба предполагают собрать деньги на покупку футбольного мяча. Их всего 23 человека. Они могут купить хороший подержанный мяч за 5,75 руб. Сколько должен внести каждый, если расход этот они разделят между собой поровну?

Вот наилучший способ решения: Сообразите, сколько раз 23 содержится в 57; 2 раза — правильно.

Запишите 2 по а делителем 23; умножьте 23 на 2.

Подпишите 46 под 57 и вычитайте; снесите 5 числа 575 и напишите его за 11.

Сообразите, сколько раз 23 содержится в 115; 5 раз — правильно.

Запишите 5 за 2 в частном; умножьте 23 на 5. Подпишите 115 под имеющимся уже числом 115 и вычитайте. Остатка нет. Поставьте слово „копеек“ после цифр в частном. Каждый мальчик должен внести 25 коп. Это правильно, потому что 0,25 руб., помноженные на 23, равны 5,75 руб.

2. Разделить 71,76 руб. поровну между 23 лицами. Сколько придется на долю каждого?

3. Проверьте ваш ответ к задаче 2, умножая частное на делителя. Найдите частные. Проверьте каждое частное, умножая его на делителя.

4. 5. 6. 7.

99,13 руб. : 23 18,50 руб. : 25 129,15 руб. : 21 29,25 руб. : 13 8.

73,92 руб.:32

В каждой школьной группе занимается 32 ученика. На сколько групп разбито:

9. 288 учеников? 10. 192 ученика? 11. 416 учеников?

У нас нет еще решающих опытов, но имеется уже ряд очевидных положений. Прежде всего не может быть никакого сомнения в том, что огромное большинство учеников заучивает правила обращения с числами, начиная с расположения единиц под единицами, десятков под десятками и т. д. при сложении и кончая постановкой десятичной запятой при делении десятичных дробей посредством подражания и слепого следования специальным указаниям, и что очень большая часть учеников до самого конца, т. е. до пятого года обучения, не усваивает этих правил как необходимых следствий десятичной системы счисления. И нам кажется, что эта часть не может быть значительно уменьшена, как бы тщательно и остроумно ни объяснялись эти дедуктивные выводы руководствами и учителями. Очевидность этого факта совершенно ясна для каждого, кто наблюдает школьную жизнь. Это подтверждается и тем фактом, что даже и после многократного применения десятичной системы счисления к обоснованию например „переноса“ в сложении, „запоминания“ в вычитании, „переноса“ в умножении, значения цифр в частных произведениях, значения каждого из остатков в кратком делении, значения цифр частного при делении, сложении, вычитании, умножении и делении монет САСШ и умения ставить десятичную запятую при умножении—ни один опытный преподаватель не решится положиться на ученика при выводе им правила постановки десятичной запятой при делении десятичных дробей, невзирая на то, что ученик располагает уже четырех- (или более) годичной практикой в десятичной системе счисления. Может быть это иллюзия, но мне кажется, что в лучших руководствах уже чувствуется признание тщетности попыток закрепить дедуктивные выводы этих правил обращения с числами. Я сошлюсь на краткость соответствующих объяснений и включение их в курс в такой форме, при которой они могут оказать возможно меньшее влияние на мышление учеников. Во всяком случае вполне достоверно то, что большинство учеников не усваивает соответствующих манипуляций при помощи дедуктивного рассуждения и не воспринимает их как необходимое следствие из отвлеченных принципов.

Широко распространено мнение, что единственным выходом из этого положения является заучивание соответствую-

щих правил наизусть. Это конечно широко распространенный выход, но другой способ объяснения заставляет полагать, что понимание указанных манипуляций при помощи индуктивного рассуждения над результатами их применения является другим и притом очень важным выходом. Так например манипуляции „подробного“ умножения, заученные путем подражания или механического упражнения, приводят к сознанию, что результат умножения 25 X А приблизительно вдвое больше, а результат умножения 38 или 39 X А, приблизительно втрое больше, чем 13 X А, и что для 115 X А результат примерно в десять раз больше, чем произведение 11 X А. Даже самые тупые ученики убеждаются в правильности этого приема в том по крайней мере смысле, что он дает результат, который ученый эксперт — в данном случае учитель— признает правильным. Имея в виду даже наиболее одаренных учеников, которые могут оценить отношение данного приема к десятичной системе счисления, все же этим отношением надо пользоваться не как предпосылаемым единственным дедуктивным выводом приема, а как одним из средств последующей его проверки. Здесь может также иметь место случай полупризнания отношения, при котором ученик пользуется знанием десятичной системы счисления, дабы удостовериться в том, что прием дает, а не в том, что он должен давать правильное решение, причем ответ считается „правильным“ потому, что учитель, лист ответов и косвенные соображения убеждают его в этом.

Я взял в качестве иллюстрации обращение с частными произведениями, потому что оно является одним из наименее благоприятных случаев для объяснения, которое я предлагаю. Если взять первый случай, где прием может быть выведен из десятичной системы счисления, или усвоен путем почти одного заучивания, или проверен индуктивно, а именно сложение двузначных чисел, то окажется несомненным, что только что описанные умственные процессы являются почти универсальным правилом.

Конечно в настоящее время в наших школах дети складывают вначале 3 в числе 23 и 3 в числе 53 или 2 в числе 23 и 5 в числе 53 в девяти случаях из 10 потому, что они видят, что так делает учитель, и потому, что он учит их делать так. От сложения всех цифр 3 3 -|- 2 5 их предохраняет не какая-либо дедукция, а просто то, что они не умеют складывать 8 и 5, то, что им привили привычку складывать те цифры, которые стоят одна над другой или со знаком + между ними, а также то, что им было указано или сказано,

что нужно делать именно так. Они не будут складывать 3 + 5 и 2 + 3 опять-таки не в силу дедуктивного рассуждения, а в силу только что указанных второй и третьей причин. В девяти случаях из 10 им даже не придет в голову, что можно складывать как-нибудь иначе, чем „3 + 3, 2 +5е; еще труднее им избрать этот путь на основании того факта, что 53 = 50 + 3 и 23 = 20 + 3, что 50 + 20=70, что 3 + 3 = & и что вообще (а + Ь) + (с + d) = (а + с) + (b + d).

Почти наверное все дети, за исключением одной двадцатой или около того, приходящейся на наиболее тупых учеников, придут в конце концов к чему-то большему, чем зазубренное знание, к пониманию и сознанию того, что прием, о котором идет речь, правилен.

Ответ на вопрос, знают ли они, почему 76 является правильным решением, зависит от того, что понимать под словом почему. Если оно обозначает, что 76 есть ответ, с которым согласны опытные люди, то они знают, почему. Если оно обозначает, что 76 есть ответ, который получился бы путем точного подсчитывания единиц, то они может быть знают это так же хорошо, как если бы им дали полное объяснение соотношения приема сложения двузначных чисел с десятичной системой счисления; если почему подразумевает объяснение: потому что 53 = 50 + 3;23 = 20 + 3;50 + + 20 = 70, аЗ + 3 = 6 и (a + 6) + (r + rf) = (a + r) + (* + c0, то они не знают. И хочется мне добавить: большинство из них никогда вообще не будет знать этого ни при каких методах преподавания.

Отсюда я делаю вывод, что школьники могут рассуждать и действительно рассуждают и приобретают понимание манипуляций над числами, идя индуктивным, поверочным путем, и оказываются неспособными или по меньшей мере не считают полезным в современных условиях выводить их дедуктивным путем. Я полагаю действительно, что чистая арифметика в том виде, как она изучается и усваивается, является в значительной мере индуктивной наукой. На одном полюсе имеется меньшинство, для которого арифметика представляется рядом дедуктивных выводов из принципов; на другом полюсе мы имеем меньшинство, для которого она представляется рядом слепых навыков; между этими крайностями располагается преобладающее большинство, заключающее всевозможные градации, концентрирующиеся однако около типа индуктивного мыслителя.

ГЛАВА IV.

СОСТАВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ. (Продолжение.)

ВЫБОР СВЯЗЕЙ, ПОДЛЕЖАЩИХ ОБРАЗОВАНИЮ.

Когда всесторонний анализ умственных функций, участвующих в изучении арифметики, произведен, мы сталкиваемся с вопросом: в чем же заключаются те элементарные связи, или ассоциации, которые образуют эти функции? И когда проблема преподавания арифметики рассматривается, как это и должно быть, в свете современной психологии как проблема развития известной иерархии умственных навыков, то она становится в значительной мере проблемой выбора связей, подлежащих созданию, а также проблемой установления наилучшей последовательности образования их и наилучших способов образования каждой из них в этой последовательности.

ЗНАЧЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ НАВЫКОВ.

Значение образования навыков или создания ассоциаций совершенно недооценивалось большинством учителей и составителей учебников. В самом деле, прежде всего усвоение путем дедуктивного рассуждения таких связей, как „перенос“ в сложении, „занимание“ в вычитании, значение цифр в частных произведениях при умножении, обращение с цифрами при делении, умение ставить десятичную запятую после перемножения или деления десятичных дробей, умение обращаться с цифрами при умножении или делении дробей—все это невозможно или крайне неправдоподобно в отношении детей рассматриваемого нами возраста и развития. Как правило они не выводят приемов обращения с числами из своего знания десятичной системы счисления. Скорее они усваивают десятичную систему счисления благодаря „переносам“, „заниманиям“, подписыванию последней цифры каждого частного произведения под частным множителем, дающим это

произведение, и т. д. Они усваивают приемы обращения с числами, видя, как они применяются, и воспринимая их более или менее вслепую как навыки, связанные с некоторыми ассоциациями.

Далее мы, обладающие уже сложившимися и долго применявшимися правильными навыками, а потому застрахованные от случайных заблуждений, вызываемых неудачными умственными ассоциациями, с трудом можем представить себе силу простой ассоциации. Когда ребенок записывает 16 как 61, получает 428, складывая

15 19 16 18

дает 642 как ответ на 27 X 36 или говорит, что 4, разделенное на равно 1, то мы склонны считать его

умственно отсталым, забывая, а может быть и вовсе не понимая того, что он поступает ошибочно как раз в силу той же самой общей причины, по которой мы поступаем правильно, а именно, в силу общего закона образования навыка. Если мы рассмотрим случай записывания 61 вместо 16, то найдем, что подобные ошибки встречаются в работах учеников, которые, приобретя навык в записывании чисел 26, 36, 46, 62, 63 и т. д., т. е. таких, в которых „шесть“ занимает при записи то же место, что и при произнесении числа, возвращаются к записи чисел второго десятка. Если бы на нашем языке одиннадцать называлось „дцать один“, а шестнадцать— „дцать шесть“ и т. д., то мы вероятно никогда не встречались бы с подобными ошибками за исключением разве только случайных „ляпсусов“ — результатов неправильных представлений или отсутствия памяти. Но тогда они встречались бы чаще до изучения чисел третьего, четвертого и последующих десятков.

Если ученикам дается большое количество письменных упражнений в сложении столбцов однозначных чисел, дающих в сумме единицы высшего разряда (так что каждый раз записывалась двузначная сумма), то у них образуется навык записывать 28 тотчас же после того, как найдена сумма 8, 6, 9 и 5; и мы не должны удивляться, если ученик случайно запишет двузначную сумму, полученную от сложения цифр первого столбца, и в том случае, когда он должен просум-

мировать и второй столбец. Наоборот, если только на него не действует какая-нибудь посторонняя сила, можно быть вполне уверенным, что он сделает эту ошибку.

Последняя упомянутая ошибка (4:-^-=1) интересна в том отношении, что здесь, пожалуй, мы имеем один из случаев, когда только дедуктивный вывод из области психологии может оказать преподаванию конструктивную помощь. Умножение и деление на дроби известны своей трудностью. Первое облегчено теперь применением выражения „от“ вместо знака X впредь до образования нового навыка. Ко второму мы и теперь еще приступаем с большой осторожностью, пользуясь различными средствами, чтобы показать, почему мы должны „обратить и умножить“ или „умножить на величину, обратную данной“.

Но трудность умножения и деления на дробь проистекает, по мнению автора, вовсе не из того, что дети чувствуют какой-то логический протест против перестановки или обращения. Мне думается, что большинство из них охотно стало бы трижды обращать любую дробь или зачеркивать наугад числа в столбце, если бы им показали, как это надо сделать. Но если вы новичок, неопытный в области числовых абстракций, и если вы три тысячи раз ассоциировали слово „делить“ с понятием „сделать меньше“, и ни одного раза не связывали его с понятием „сделать больше“, то вы конечно почувствуете некоторое стремление сделать число меньше и в три тысячи первый раз, когда вас попросят разделить его. Некоторые из моих читателей вероятно признаются, что даже теперь они чувствуют некоторое смущение или сомнение, когда говорят или пишут, что -у : g- =128.

Навыки, касающиеся отношения результата к числу, над которым мы произвели действия, укрепляемые каждым случаем умножения и деления на целые числа, являются прямо противоположными тем навыкам, которые должны быть созданы для действия с дробями. В этом и заключается главная причина трудности. Если же так, то преодолеть последнюю становится легче, как это и будет показано ниже.

Таких примеров можно было бы привести почти бесконечное количество, особенно в отношении ответов, даваемых на так называемые задачи с „подлавливанием“. Дело в том, что учащийся редко в состоянии произвести, и почти никогда

не производит, обозрения и анализа арифметического положения и обоснования того, что он предполагает делать, выводами из основных принципов. Обычно он воспринимает положение более или менее смутно и отвечает на него так, как он реагировал на него или на подобные же положения в прошлом. Арифметика является для него не логической доктриной, которую он применяет к различным специальным случаям, а рядом до некоторой степени специализированных навыков поведения в отношении известного рода количеств и соотношений. И поскольку он должен познать доктрину, он делает это главным образом во исполнение воли учителя. Это остается справедливым даже при самом ясном изложении, при разумнейшем применении наглядных пособий и при полном поощрении индивидуальности ученика.

Чтобы последние абзацы не были ложно поняты, спешу добавить, что психологи наших дней вовсе не хотят превратить изучение арифметики в простое приобретение тысячи не связанных между собою навыков или уменьшить хотя бы на йоту доступное для ученика понимание ее общих истин. Они хотят, чтобы ученик рассуждал не менее, чем прежде, но более. Однако они находят, что вы не можете укрепить в ученике способности рассуждать, только требуя этого, и что усвоение общей истины, за которым не стоит надлежащее развитие организованных навыков, является скорее не рациональным усвоением этой общей истины, а лишь механическим запоминанием ее словесного выражения. Они пришли к познанию того, что рассуждение является не логической силой, работающей независимо от обычных навыков мысли, а организацией и сотрудничеством этих самых навыков на высшем уровне.

Прежняя педагогика арифметики устанавливала какой-нибудь общий закон, истину или принцип, приказывала ученику выучить его и давала ему упражнения, которые он не мог выполнять с пользой, пока он не понимал принципа. Она предоставляла ему самому выработать в себе частичные навыки, необходимые для достижения понимания и умения пользоваться этим принципом. Новая педагогика старается помочь ему в выработке этих ассоциаций, или связей, как заранее, так и одновременно с изучением общей истины или принципа, так что он может лучше понять ее. Старая педагогика приказывала ученику рассуждать и предоставляла ему страдать от малой успешности в работе, если он этого не делал. Новая педагогика вооружает ученика поучительным опытом над числами, который не только побудит его

к рассуждению, поскольку он обладает способностью к таковому, но будет полезен ему в конкретном знании и умении даже в том случае, если он не обладает способностью развить этот опыт в общее понимание принципов чисел. Новая педагогика в действительности более обеспечивает рассуждение, хотя и не претендует на многое.

Далее, новая педагогика арифметики исследует каждый элемент знания и каждую ассоциацию, созданную в уме учащегося, чтобы избрать те из них, которые дают наиболее поучительный опыт, и те, которые могут вырасти в стройную, рациональную систему мышления о числах и количественных фактах. Недостаточно, чтобы задача была только испытанием в понимании принципа, — она должна быть кроме того полезной сама по себе. Недостаточно, чтобы пример был только иллюстрацией такого-то правила, — он должен помогать обозрению и укреплению уже приобретенных навыков или вести к созданию и облегчению навыков, подлежащих приобретению. Каждая деталь в работе ученика должна оказывать максимальную помощь обучению арифметике.

ЖЕЛАТЕЛЬНЫЕ СВЯЗИ, КОТОРЫМИ СЕЙЧАС ЧАСТО ПРЕНЕБРЕГАЮТ.

Как и до сих пор, я не буду пытаться перечислять полностью все элементарные связи, которые должен дать курс изучения арифметики. Лучший способ подготовить изучающего эту тему к здоровому критицизму и полезному творчеству— это предоставить ему исследовать характерные случаи связей, которыми сейчас часто пренебрегают, но которые должны быть созданы, и характерные случаи бесполезных или даже вредных связей, которые в настоящее время часто создаются со значительной потерей времени и усилий.

1. Числа как измерители величин. Каждое из чисел один, два, три, 1, 2, 3 и т. д. должно быть связано вскоре же после начала занятий арифметикой с соответствующим количеством некоторой непрерывной величины, как длина, объем или вес, а также с соответствующим количеством совокупности яблок, марок, кирпичиков и т. п. Линии надо проводить и делить на 1 дм, 2 дм, 3 дм и т. д., 1 см, 2 см, 3 см и т. д.; грузы надо поднимать и называть 1 кило, 2 кило и т.д.; жидкие и сыпучие тела надо измерять стаканами, пригоршнями, кружками, литрами. В противном случае ученик будет склонен ограничить понятие четырех например четырьмя ясно отграниченными предметами и будет испытывать затруднение при умножении и делении. Измерение

или счет слабо размеченных повторений единицы связывает каждое название числа с его значением, как... раз, чем бы ни была 1, более надежно, чем простой подсчет единиц в совокупности, и содействует укреплению соответствующего навыка.

2. Сложение с переходом в единицы высших разрядов. Сложение с переходом в единицы высших разрядов, т. е. такие связи, как 16-[-7 = 23; 26-f- 7 ==33; 36 + + 7 = 43; 14 + 8 = 22; 24 + 8 = 32 и т.д., требуют для всех детей, кроме наиболее способных, специальных упражнений, которые надо вести до тех пор, пока тенденция не будет обобщена. „Счет“ двойками, начиная с 1 и 2, счет тройками, начиная с 1,2 и 3, счет четверками, начиная cl, 2, 3 и 4 и т. д., облегчает начало образования десятичных ассоциаций. Вскоре к этому следует добавить упражнения с отдельными связями, чтобы достигнуть более свободного пользования связями. Работу со сложением чисел в столбцах нужно проверять в отношении точности так, чтобы ученик получал непрерывно плодотворную практику, а не „практику в ошибках“.

3. Деление с остатком. Деление с остатком всех чисел до 19 на 2, всех чисел до 29 на 3, всех чисел до 39 на 4 и т. д. должно проходиться наряду с делением без остатка. Таблица, подобная нижеследующей, может служить удобным способом выработки этих ассоциаций.

10= . . . раз по 2

10= . . . раза по 3 и . . . в остатке.

10= . . . раза по 4 и . . . в остатке.

10= . . . раза по 5

11= . . . раз по 2 и . . . в остатке.

11 ss . . . раза по 3 и . . . в остатке.

89= . . . раз по 9 и . . . в остатке.

Эти связи должны быть созданы до приступа к сокращенному делению; они полезны как некоторое пособие при подборе подходящих цифр частного в подробном делении и являются главным орудием при решении одной из важных серий задач прикладной арифметики, именно: „Сколько X могу я купить на у копеек по цене z за х и сколько денег у меня останется?“ Что этими связями в настоящее время безрассудно пренебрегают, показал Кирби (Kirby, 1913) который нашел, что ученики второй половины третьего и

первой половины четвертого года обучения могли решить только около четырех таких примеров в минуту (в десятиминутном тесте) и даже при такой скорости получали далеко не блестящие результаты, хотя они уже изучили обычные таблицы деления. Шестьдесят минут упражнения дали в результате увеличение числа решаемых в минуту задач приблизительно на 75% при соответствующем увеличении и правильности решений.

4. Форма уравнения. Форма уравнения с одной неизвестной величиной, подлежащей определению, или с пропущенным числом, подлежащим отысканию, должна быть связана в уме учеников с ее значением и с построением задачи задолго до того, как они начнут изучать алгебру; то же справедливо и в отношении учеников, которые никогда не будут проходить алгебры.

Ученики, которые только что научились складывать и вычитать, легко проделывают работу, подобную нижеследующей.

Напишите недостающие числа:

4 + 8=____

5+.... = 14 ....+3 = 11

----= 5 + 2

16 = 7+.... 12=____+5

Форма равенства — простейший, единообразный способ установления количественных соотношений. Он способен к беспредельному расширению, если изучены некоторые легко воспринимаемые условия относительно скобок и знаков дроби. Его следует широко применять в счетоводстве и при решении коммерческих задач взамен отживших условных форм. Он является лучшей данью, которую алгебра принесла торговой и промышленной жизни Арифметика может это сделать почти так же хорошо. При изучении одного лишь сокращения дробей и приведения их к общему знаменателю он спасает больше времени, чем требуется для усвоения его значения и применения. Записать количественную задачу в виде уравнения, а затем сделать легкий выбор необходимых технических действий, чтобы решить уравнение, — это один из наиболее полезных интеллектуальных приемов, известных человеку. Слова „равно“, „равны“, „есть“, „суть“, „составляет“, „составляют“, „дает“, „дают“ и другие реже

применяемые аналогичные выражения должны поэтому в начале же и во многих случаях уступать дорогу знаку =, который столь значительно превосходит их исключительным удобством и простотой.

5. Сложение и вычитание в случае дробей. В случае сложения и вычитания дробей необходимо выработать, каждую в отдельности, некоторые специфические связи, как то: между положением подлежащих сложению половин и третей и представлением о числах как таком-то количестве шестых долей; между положением подлежащих сложению третей и четвертей и представлением о них как о таком-то количестве двенадцатых долей; между положением подлежащих сложению четвертей и восьмых и представлением о них как о стольких-то восьмых и т. д. Общее правило представления дробей как эквивалентных им других дробей с каким-либо подходящим знаменателем придет тогда как организация и расширение этих специальных навыков, а не как приказ, исходящий из учебника или от учителя.

6. Дробные эквиваленты. Эффективность работы требует, чтобы наиболее употребительные сокращения были в конце концов тесно связаны с теми положениями, в которых они требуются. Поэтому они могут быть связаны так с самого же начала, что принесет выгоду, значительно облегчая тупым ученикам овладение общим принципом. Позднее мы увидим, что для всех учеников, кроме наиболее способных, экономный способ приобретения понимания арифметических принципов заключается обычно не в усвоении правила и в дальнейшем применении его, а в выполнении поучительных действий; выполняя их, ученик прибретает и знание принципов.

7. Защитные навыки приумножении и делении дробей. Приумножении и делении дробей следует создавать специальные связи, чтобы противодействовать теперь уже вредному влиянию связей: „помножить = получить большее число“ и „разделить = получить меньшее число“, которые укреплялись всей работой над целыми числами.

Например при начале систематической работы над умножением на дробь следовало бы, чтобы вверху каждой относящейся к данному вопросу страницы руководства было четко отпечатано, а на классной доске написано:

Когда вы умножаете одно число на другое, большее 7, то результат больше первого числа.

Когда вы умножаете какое-либо число на 1, то результат равен этому же числу.

Когда вы умножаете одно кисло на другое, меньшее 1, то результат меньше первого числа.

Заставьте учеников выработать новый навык посредством большого количества упражнений, подобных следующему:

В случае деления на дробь прежний вредный навык должен быть переделан и улучшен применением аналогичных правил и упражнений. Например:

Когда вы делите одно число на другое, большее 1, то результат меньше первого числа.

Когда вы делите какое-нибудь число на /, то результат равен тому же числу.

Когда вы делите одно число на другое, меньшее 1, то результат больше первого числа.

Найдите недостающие числа:

8=____раз по 4 12=____раз по 6 9=____раз по 9

8=~____раз по 2 12=____ раз по 4 9=____раз по 3

8=____раз по 1 12=____раз по 3 9=____ раз по 1

8=____раз по-^- 12=____раз по 2 9~____ раз по

16:16= 9: 9= 10: 10= 12:6 = 16: 8= 9: 3= 10: 5= 12:4 = 16: 4= 9: 1 = 10: 1= 12:3 =

8. „Процент от“ обозначает „сотые доли“. В случае процентов необходимо создать ряд связей, подобных следующим:

5 процентов от = 0,05 от .... 20 п „ = 0,20 от____

6 „ „ =0,06 от ... .

Четыре пятиминутных упражнения на такие ассоциации между „х процентов от“ и „умноженное на равную десятичную дробь“ равноценны часу изучения словесного определения значения процента, как такого-то количества на сто или т. п. Единственная польза от изучения таких определений — это облегчение позднейшего образования связей; но для всех учеников кроме наиболее способных эти связи более необходимы для понимания определений, чем эти определения необходимы для образования связей.

9. Навыки в проверке результатов. Необходимо уже в начале обучения арифметике создавать связи между некоторыми действиями над числами и некоторыми способами проверки или подтверждения правильности действия,

о котором идет речь. Сложения до 9 + 9 и вычитания до 18—9 должны проверяться сложением и вычитанием предметов и счетом до тех пор, пока ученик не приобретет в них полной уверенности; умножения до 9 X 9 должны проверяться посредством умножения на предметах и подсчета результата (разложенного в кучки десятков и 1 кучку единиц) раз 8 или 10, а также посредством сложения тоже 8 или 10 раз1); деление до 81 + 9 должно проверяться умножением или, при случае, делением на предметах до тех пор, пока ученик не приобретет полной уверенности; сложение столбцов должно проверяться сложением отдельных столбцов и последующим сложением найденных таким образом сумм, а также разбивкой данного столбца на два более коротких и сложением обеих сумм; „краткое“ умножение должно проверяться 8 или 10 раз посредством сложения; „подробное“ умножение должно проверяться посредством перестановки множимого и множителя и иными способами; „сокращенное“ и „подробное“ деление должно проверяться посредством умножения.

Эти навыки в проверке полученного результата имеют тройное значение. Они дают ученику возможность находить свои собственные ошибки и самому поддерживать определенную степень точности. Они открывают ему смысл взаимоотношений между действиями и причинами, в силу которых правильные способы сложения, вычитания, умножения и деления действительно правильны, — такое понимание, которое могут приобрести из словесных объяснений только очень одаренные ученики. Они дают возможность действительного и разумного применения приобретенного им известного умения, например в умножении, к проверке результатов его упражнений в этом новом умении и тем внушают ему уважение к арифметическим знаниям и способностям вообще. Получаемые результаты обходятся весьма недорого с точки зрения затраты на них времени, ибо упражнение в сложении для поверки умножения, в умножении для поверки деления и т. д. почти так же хороши для общей тренировки и обзора сложения и умножения как таковых, как и упражнения, предназначенные для этой специальной цели.

Первоначальные упражнения в сложении, вычитании и сокращении дробей должны проверяться посредством наглядных пособий в виде линий и площадей, разделенных на подходя-

1) Восемь или десять раз всего, а не по восемь или десять раз каждого случая в таблице.

Примечание автора.

щие дробные части. Первоначальные упражнения в десятичных дробях должны проверяться применением обыкновенных дробей, равнозначащих таким десятичным, как 0,25; 0,75; 0,125; 0,375 и т. п. Умножение и деление дробей как обыкновенных, так и десятичных на первых порах должны проверяться при помощи наглядных пособий. Постановка десятичной запятой при умножении и делении десятичных дробей должна проверяться при помощи упражнений, подобных следующим:

Частное не может равняться 200, потому что 200 x 1,23 гораздо больше 24,60; оно не может равняться 2, потому что 2X1,23 гораздо меньше 24,6.

Создание навыков в проверке результатов и их применение весьма необходимы. Процент неправильных ответов в школьных арифметических работах так высок в настоящее время, что ученики часто упражняются в ошибках. Во многих случаях они не могут чувствовать подлинного и поднимающего дух доверия к действиям, поскольку их собственное применение действий дает им столько же ошибочных ответов, сколько и правильных. Решая задачи, они часто не могут установить, правильно они их делали или нет, потому что, даже если они шли по правильному пути, все же они могли наделать при этом ошибок. Поэтому ошибочный ответ на задачу слишком часто представляется им двусмысленным и непоказательным1).

Изложенное на последних страницах является образцом тех приемов, которые рекомендуются после рассмотрения всех связей, подлежащих образованию, и той дани, которую каждая из них должна внести в дело развития и усовершенствования способностей, составляющее задачу обучения арифметике. Многие из прошлых успехов в преподавании арифметики были достигнуты благодаря более или менее случайному пользованию тем, что психология учит нас применять в этом отношении обдуманно и систематически.

ИЗЛИШНИЕ И ВРЕДНЫЕ СВЯЗИ.

Тщательное изучение связей, создаваемых ныне при преподавании арифметики, с точки зрения полезности каждой

1) Факты, касающиеся современной неточности в школьных работах по арифметике, читатель найдет в дальнейшем.

Примечание автора.

из них, приводит в результате к длинному списку связей, малоценных или вовсе не имеющих цены, поскольку об этом может судить психолог. Я приведу здесь примеры таких психологически не оправдываемых связей и укажу некоторые причины их непригодности.

1. Произвольные единицы. В упражнениях, предназначенных для усовершенствования способности распознавать и применять значения чисел как наименования соотношений или относительных величин, неразумно применять совершенно произвольные единицы. Поэтому прием II (см. внизу страницы) лучше, чем прием I. Сантиметры, дециметры, метры и доли последних более подходят как единицы длины, чем произвольные отрезки А. Квадратные сантиметры, квадратные дециметры и квадратные метры следует применять при измерении площадей. Граммы и килограммы предпочтительнее при взвешивании, чем произвольные грузы. Литры, полулитры, стаканы, чашки, пригоршни и кубические сантиметры применяются при измерении объемов.

Все действительно ценное в упражнениях с относительными величинами, рекомендуемых Спиром (Speer), Мак-Лелланом и Дьюи (McLellan and Dewey) и другими, может быть усвоено без затраты времени на сопоставление величин ради одного только понятия об относительных величинах. Применение в упражнениях таких единиц измерения, которые никогда не будут применяться bona fide, подобно употреблению дробей вроде седьмых, одиннадцатых и тридцатых, нецелесообразно. Очень небольшое количество их, может быть, и желательно для испытания овладения некоторыми общими принципами, но для регулярных упражнений они должны уступить место применению единиц, имеющих практическое значение.

I. Если А равняется 1, то какая линия равна 2? Какая линия равна 4? Какая линия равна 3? Какой линии равны А и С вместе? Какой линии равны А и В? Насколько В длиннее А? Насколько В длиннее С? Насколько D длиннее А?

II. Линия А равна 1 дм (см). Какая линия равна 2 дм? Какая линия равна 4 дм? Какая линия равна 3 дм? А и С составят

Фиг. 3.

Фиг. 4.

вместе .... дм? А и В составят вместе ____дм? В длиннее А на____дм? В длиннее С на .... дм? D длиннее А на .... дм?

2. Числа, кратные 11. Произведения чисел от 2 до 12 на 11 и на 12 являются обособленными связями, а потому следует предоставить ученику самому вырабатывать их по мере того, как ему встретится в них надобность. Эти связи переплетаются с процессом изучения умножения двузначных чисел. Манипуляции с числами, требующиеся при этом, могут быть изучены гораздо легче, если 11 и 12 применяются в качестве множителей совершенно так же, как например 78 или 96. Позднее можно заучить произведения 12x2, 12X3 и т. д. Для знания чисел, кратных 11, имеется меньше оснований, чем для знания чисел, кратных 15, 16 или 25.

3. Отвлеченные и именованные числа. Тщательная проработка того предполагаемого факта, что мы не можем умножить 726 на 8 руб., и еще более тщательно разработанные объяснения того, почему мы тем не менее находим стоимость 726 предметов, ценою но 8 руб. каждый, умножая 726 на 8 и называя ответ рублями, — излишни. То же справедливо в отношении соответствующих педантических соображений, касающихся деления. Этих воображаемых затруднений вовсе не следует создавать. Ученик должен думать не об умножении или делении людей или рублей, а просто о необходимости составления уравнения и о том, какого рода вещь выражается недостающим числом: Я8Х?26= ... ответ выражает рубли*1 или „8, 726 перемножь; ответ в рублях“— вот все, о чем ему нужно думать; притом же это самая лучшая форма выражения его мысли. В отношении различия между отвлеченными и именованными числами логика и здравый смысл, равно как и психология, поддерживают утверждения Мак-Даугля (McDougle, 1914, стр. 206 и след.), который пишет:

„Самый элементарный счет, даже на той ступени, когда числа не удерживаются в уме, а просто отмечаются метками на палке или камешками в приборе Де Моргана (De Morgan) требует некоторого размышления; что же касается наиболее искусного счета, то он требует запоминания вещей. Поэтому выражение „абстрактные и именованные числа“ давно уже перестало применяться мыслящими людьми.

Недавно автор посетил урок арифметики в одной Государственной нормальной школе и видел смущение группы фактически взрослых учащихся, столкнувшихся с указанным вопросом об отвлеченных и именованных числах, которые они изучали в свое время в соответствии с условностями руководства. Учительница прервала нормальную работу на этом уроке и вместе со всей группой затратила почти все время на восстановление требований, что „произведение должно быть всегда выражено в единицах того же рода как и множимое“, и „слагаемые должны быть все однородны, чтобы их можно было складывать“. Это не исключительный случай. На всех ступенях обучения арифметике в народных школах ум учащихся затуманивается философскими нагромождениями, которыми сопровождаются самые простые процессы работы над числами. Теперь, когда мы занялись исправлением наших взглядов на сущность арифметики, конечно настало время и для пересмотра некоторых из этих совершенно излишних и приводящих в уныние упражнений. Алгебра исторически выросла из арифметики; однако она не обременена этим различием. При занятиях алгеброй ни один ученик не приравняет х к лошадям; он считает х равным числу лошадей и действует так, что мысль о лошадях остается вне поля его зрения. Он умножает, делит и извлекает корень из числа, иногда получает в процессе решения дроби и только в конце поясняет результат в соответствии с условиями задачи. Конечно при начале работы над числами имелись чувственно воспринимаемые объекты, исходя из которых и было выведено понятие числа, но ум естественно переходит от предметов к чистой концепции числа, а затем и к символу числа. Следующий пример взят из приложения к работе Горна (Horn); в нем ученица седьмой группы определяет население САСШ в 1820 г.:

Если мы примем обычное подразделение, то в этой задаче окажутся соединенными три различных рода слагаемых. Кто-нибудь может сказать, что это ошибка, так как ученик заменяет „белых“, „свободных негроз“ и „рабов“ некоторой общей единицей, как „люди“, составляющие „население“, а затем складывает эти общие единицы. Но такое объяснение совершенно произвольно, как каждый может обнаружить, спросив ученика о приеме решения им задачи. Окажется, что ребенок просто сложил цифры как обозначения чисел, а затем назвал результат в соответствии с условиями задачи, без такого большого количества умственной гимнастики. Автор опрашивал по этому вопросу сотни учащихся нормальной школы и пришел к убеждению, что обычный ход мысли указан им здесь совершенно правильно, хотя бы некоторые и поддерживали академическое предложение, что этот ход не логичен. При решении помещаемой ниже задачи, предлагавшейся многим группам нормальной школы в Восточном Кентукки, неизменно получался один и тот же результат:

„В огороде столько же кочнов капусты, сколько в этой группе девочек и мальчиков вместе. Сколько кочнов капусты в огороде?“

И каждый раз на доске красовалось решение, вроде следующего :

29 девочек

15 мальчиков

44 кочна капусты.

Точно так же можно сказать: „В одном хозяйстве в шесть раз больше овец, чем в другом коров. Если во втором хозяйстве 5 коров, то сколько в первом овец?“ Здесь мы множим число коров, равное 5, на 6 и получаем как результат число 30, которое должно быть связано с представлением об овцах, потому что этого требуют условия задачи. Разум, естественно, отделяет в этой работе чистое число от его положения, как и в алгебре, поступает с ним по законам, управляющим арифметическими сочетаниями, и обозначает результат так, как того требуют условия задачи. Это может быть выражено в следующем положении, которое молчаливо принято в алгебре и должно быть равным образом принято в арифметике:

во всех арифметических вычислениях и действиях все числа по существу отвлеченны и должны трактоваться именно как таковые; они конкретны только в процессе мышления, который следует за действием и поясняет результат.

4. Общее наименьшее кратное. Весь список связей, относящихся к изучению „общего наименьшего кратного“, должен быть опущен. При сложении и вычитании дробей ученик не должен находить общего наименьшего кратного их знаменателей; он должен найти любое общее кратное, но должен сделать это быстро и правильно. Ни один разумный человек никогда не станет терять времени на отыскание общего наименьшего кратного в случае шестых, третей и половин иначе, как из-за несчастных традиций пересистематизированной арифметики; он будет оперировать с равнозначащими им шестыми, двенадцатыми, двадцатьчетвертыми или любыми другими подходящими дробями со знаменателем, являющимся общим кратным. Процесс нахождения общего наименьшего кратного имеет такое исключительно редкое применение в науке, на практике и в жизни вообще, что в учебниках приходится помещать совершенно фантастические задачи, дабы дать материал для упражнений.

5, Общий наибольший делитель. Весь список связей, относящихся к изучению „общего наибольшего делителя“, также должен быть опущен. При приведении дробей к несократимому виду ученик должен делить на любое число, на которое, как он видит, можно делить, отдавая предпочтение большим числам, и продолжать деление до тех пор, пока он не получит дроби, выраженной числами, подходящими для данной цели. Читатель вероятно никогда не имел случая отыскивать наибольших делителей с тех пор, как он вышел из школы. Если же ему и приходилось вычислять их, то он вероятно сэкономил бы время, решая задачу каким-либо иным способом.

Следующие примеры взяты наугад из одного из лучших руководств, в которых делается попытка добиться применения отыскания общего наибольшего делителя и общего наименьшего кратного к решению задач1). Большая часть этих задач фантастична; остальные — тривиальны или легче решаются путем проб и подстановок.

1. В школе 132 учащихся на курсах, 154 ученика II ступени и 198 учеников I ступени. Если каждое из отделений школы разделить на несколько групп с одинаковым числом учеников, сделав каждую из них возможно более многолюдной, то сколько учеников будет в каждой группе?

1) McLellan and Ames, Public School Arithmetic (1900).

Примечание автора.

2. В совхозе собрано 240 ц пшеницы и 920 ц овса, которые надо ссыпать в наименьшее число закромов одинаковой вместимости, не мешая этих двух сортов зерна. Найти, сколько центнеров зерна надо ссыпать в каждый закром.

3. Четыре сигнальных гудка издают звук с перерывами в 3, 7, 12 и 14 секунд соответственно. Если все четыре сигнала поданы в первый раз одновременно, то через сколько времени эти сигналы снова совпадут?

4. А, В, С и D отправились одновременно в путешествие вокруг острова, имеющего 600 км в окружности; А проходит 20 км в день, В — 30, С — 25 и D — 40 Сколько времени должно продолжаться их путешествие, чтобы они могли опять сойтись все вместе?

5. Период обращения трех планет, движущихся равномерно по круговым орбитам вокруг Солнца, равен соответственно 200, 250 и 300 дням. Предполагая, что дано их положение относительно друг друга и Солнца в некоторый момент, определить, сколько дней должно протечь прежде, чем они опять займут точно такое же относительное положение.

6. Редкие и не имеющие значения слова. Связи между редкими и не имеющими значения словами и смыслом последних не должны создаваться только во имя словесного разнообразия задач в учебнике. Нельзя ожидать, чтобы ученик решил задачу, которую он не может прочесть. Нельзя ожидать, чтобы ученик второй, третьей и даже четвертой группы читал слова, которые он видел редко или которых он вовсе не видел раньше. Ему не следует давать расширенных упражнений в чтении в течение того времени, которое посвящается изучению количественных фактов и соотношений.

Все это столь очевидно, что может казаться излишним на этом останавливаться. Однако это не так. Многие учебники составлены в настоящее время так, что приходится или прививать ученикам определенный навык в чтении слов, встречающихся в печатных задачах, предназначенных для второй, третьей и четвертой групп, или заменять эти задачи устным изложением их, или же оставлять учеников в полном смущении относительно того, что представляет собой задача, которую они должны решить. Многие хорошие учителя превращают каждую страницу задач в регулярный урок чтения, прежде чем приступают к решению. Следовало бы, чтобы необходимость в этом была устранена.

Чтобы дать конкретное представление о словах, которые я считаю редкими и не имеющими значения, я при-

веду несколько таких выражений, остающихся малопонятными для учеников вплоть до половины третьего года обучения (хотя каждое из этих слов можно встретить на первых же 50 страницах некоторых хорошо известных начальных руководств по арифметике). Таковы: затруднительные для чтения географические названия (Вашингтон, Миссури, Сан-Франциско и т. д.); собственные имена (Сусанна, Шарлотта, Гораций, Ман и др.); названия предметов (термометр, фотография, торпеда); существительные, за которыми у ребенка не стоит еще выработанного представления (собственник, приход, расход, страхование, должность и т. д.); такие же глаголы и прилагательные (чередоваться, вербовать, указывать, превосходить, собираться; отсутствующий, первоначальный, противоположный и т. д.).

Число подобного рода слов весьма велико; по крайней мере автор почерпнул их из только что указанного источника в количестве, превышающем 200.

7. Факты и действия, вводящие в заблуждение. Не следует создавать связей между товарами и грубо неточными ценами на них, между фактами и слишком маловероятными последствиями, причинами и сопутствующими им обстоятельствами, а также между вещами, качествами и явлениями, которые не имеют значительных связей между собой в реальном мире. Вообще не следует создавать у ученика одновременного представления таких предметов, которые не связаны между собою.

Если читатель сомневается в целесообразности такого предупреждения, то пусть он просмотрит приводимые ниже задачи 1—5, взятые из книг, пользующихся прекрасной репутацией и повсеместно применяемых или применявшихся до недавнего времени; пусть он обратит также внимание на то, как упражнение 6 запутывает сложение, вычитание и навыки, связанные с каждым из этих действий.

1. Если утка, скорость полета которой составляет — скорости полета сокола, пролетает 150 км в час, то какова скорость полета сокола?

2. Сколько яиц можно купить на 60 руб. по цене коп. за штуку?

3. Сколько калош можно купить на 816 р. по цене 1 р. 36 к. за пару?

4. Сколько яблок можно купить на 6 р. 24 к. по цене 26 коп. за десяток?

5. Сколько пакетов, вмещающих по 1 кг бобов, можно заполнить из ящика, в который входит ровно 21 ц бобов?

6. Напишите ответы:

Начиная снизу, говорим 11, 18 и 2 (записывая эту цифру на ее месте) составляют 20; 5, 11, 14 и 6 (записывая эту цифру) составляют 20; 5, 10. Недостающее число равно 62.

8. Тривиальность и бессмысленность. Не следует создавать связей между незначительными или глупыми вопросами и работой для ответа на них, а также между общей арифметической работой в школе и теми же незначительными и глупыми вопросами. Следующие примеры взяты из современных учебников, имеющих прекрасную репутацию.

На одной стороне грифельной доски Георга написано 32 слова, а на другой —26 слов. Если он сотрет 6 слов на одной стороне и 8 на другой, то сколько слов останется на его доске?

В школе 14 классных комнат; в среднем в каждой комнате помешается 40 учеников. Если каждый ученик проведет по 500 прямых линий на каждой стороне своей грифельной доски, то сколько линий будет проведено всеми учениками?

Число полос на американском флаге, умноженное на 8, составляет число лет, протекших с 1800 г. до избрания Рузвельта президентом САСШ. В каком году он был избран президентом?

С момента провозглашения независимости САСШ до Всемирной выставки в Чикаго прошло в 9 раз большее число лет, чем число полос на американском флаге. Сколько же прошло лет?

9. Бесполезные методы. Не следует создавать связей между описанным положением и таким способом рассмотрения этого положения, который не был бы полезен при рассмотрении аналогичного жизненного положения. Например вопрос: „Если я рассажу 96 деревьев рядами по 16 деревьев в каждом ряду, то сколько рядов у меня получится?“ — создает навык решения посредством деления такой задачи, которая в действительности должна решаться подсчетом рядов. Равным образом задача: „Я хочу дать по 25 коп. каж-

дому из мальчиков одной группы и нахожу, что для этого нужно 2 р. 75 к. Сколько мальчиков в этой группе?“—создает навык отвечать посредством деления на вопрос, ответ на который должен быть уже известен при составлении условий задачи.

10. Задачи, ответы на которые в реальной жизни всегда уже известны. Обычай давать в учебниках задачи, которые не могут иметь места в действительности, потому что ответ должен быть известен для самого построения задачи, является естественным результатом стремления ленивых авторов изобрести задачу, которая соответствовала бы определенному процессу и определенному ответу. Такие фальшивые задачи очень и очень распространены. На дюжине страниц, взятых наугад из „Обзора пройденного“, одного из наиболее широко распространенных современных учебников, я нашел около 6°/0 задач, являющихся задачами этого рода. Среди задач, импровизируемых самими учителями, такие дутые задачи вероятно еще более часты. Например:

Конторщик надписывает адреса на письмах по данному ему списку. После того как он адресовал 2500 писем, оказалось, что — имен в списке еще не использованы; сколько всего имен было в списке?

Канадский канал в Сэнт Мэри питает водой установку в 20 000 лошадиных сил. Канал на Мичиганской стороне питает в 2 — раза более мощную установку. Сколько лошадиных сил развивает последняя?

Могут заметить, что идеал — давать в качестве задач, содержащих словесное описание, только такие задачи, которые могут действительно встретиться, и требовать того же способа решения, который применим в жизни, — слишком педантичен. Если задача понятна и служит для иллюстрации принципа или дает полезное упражнение, то преподаватель может сказать, что этого для него довольно. Для действительно научного преподавания этого однако недостаточно. Более того, если задачи даются только для того, чтобы проверить знание какого-либо правила, или как средство сделать ясным или отчетливым тот или иной факт или принцип, без расчета оказать непосредственную помощь в количественной жизненной работе, то лучше просто сообщить этот факт. Например задача: „Я задумал число; половина

этого числа равна шести, помноженному на два; чему равно задуманное мною число?“—лучше, чем такая задача: „Один человек дал своей жене определенную сумму денег; половина того, что он ей дал, вдвое больше того, что он дал своему сыну, получившему 60 руб. Сколько он дал своей жене?“ Первый пример лучше потому, что он не содержит в себе никаких ложных претензий.

11. Бесполезные лингвистические трудности. Как будто излишне добавлять, что не следует создавать связей между общим отношением ученика к арифметике и излишними бесполезными лингвистическими трудностями, а также излишним, бесполезным и ложным рассуждением. Однако наше преподавание до сих пор заражено этими обеими злополучными ассоциациями, которые побуждают ученика считать арифметику тайной и бессмыслицей.

Обратите внимание например на бесполезную лингвистическую трудность задач 1—6, арифметические трудности которых сводятся к следующим простейшим действиям:

1. Какую сумму вы получите, сосчитав вместе 5 коп., 8 коп., 3 коп. и 7 коп.? Как нашли вы этот ответ: сложением или умножением?

2. Сколько раз нужно опорожнить ведро, вмещающее 8 л, чтобы наполнить бочонок, вмещающий 64 л?

3. Если девочка проходит в день по 4 страницы из хрестоматии, то во сколько дней она пройдет 12 страниц?

4. Если у Фреда 6 цыплят, то сколько раз может он отдать по 2 цыпленка своим товарищам?

5. Если при игре в крокет игрок проводит свой шар каждым ударом через двое ворот, то через сколько ворот проведет он свой шар 3 ударами?

6. Если мама, разрезав пирог на четыре части, дала каждому сидящему за столом по куску, то сколько человек сидело у нее за столом, если ей пришлось разрезать 4 целых пирога?

С арифметической точки зрения эта работа относится к первому или второму году обучения. Но дети II и III ступени, кроме очень немногих, будут испытывать крайние затруднения в понимании этих словесных формулировок.

Мы до сих пор еще не свободны от тех глупостей, которыми полны приводимые ниже „уроки“ и которыми забивали головы наших родителей.

Фиг. 5.

УРОК I.

1. Сколько девочек качается на качелях на этой картинке?

2. Сколько девочек раскачивает качели?

3. Если вы сосчитаете обеих девочек вместе, то сколько их получится?

Одна девочка и еще одна девочка — сколько же это будет?

4. Сколько котят вы видите на пне?

5. Сколько котят на земле?

6. Сколько котят всего на картинке?

7. Сколько будет — один котенок и еще один котенок?

Если бы вы спросили меня, сколько девочек качается на качелях или сколько котят находится на пне, я мог бы ответить громко:„Один“ („одна“). Я мог бы также написать: „Один“ („одна“), или так: „\“.

8. Если я пишу один, то это называется словом один.

9. Если я пишу 1, то это называется цифрой один, потому что это обозначает то же самое, что слово один, и ставится вместо этого слова один.

10. Напишите 1. Как это называется? Почему?

11. Цифра 1 может стоять вместо одной девочки, одного котенка или вместо любого одного предмета.

12. Когда дети впервые приходят в школу, то что они начинают учить? Отв. Буквы и слова.

13. Можете ли вы читать или писать прежде, чем вы выучите буквы и слова?

14. Если мы имеем все буквы сразу, то мы называем их алфавитом.

15. Если мы пишем или говорим слова, то мы называем это языком.

16. Вы начинаете изучать арифметику; и вы сможете читать и писать по арифметике только в том случае, если вы выучите алфавит и язык арифметики. Но для этого потребуется немного времени.

Фиг. 6.

УРОК II.

1. Если мы произносим или пишем слова, то как мы называем их, когда берем их все вместе?

2. Что вы начинаете изучать? Отв. Арифметику.

3. Какой язык должны вы теперь изучать?

4. Как мы называем это: 1. Почему?

5. Эта цифра 1 составляет часть языка арифметики.

6. Если бы мне надо было написать что-нибудь, чтобы изобразить два — две девочки, два котенка или два предмета любого рода, — то как бы, по вашему мнению, мы это назвали?

7. Цифра два пишется так: 2. Напишите цифру два.

8. Почему мы называем это цифрой два?

9. Эта цифра два (2) составляет часть языка арифметики.

10. На этой картине один мальчик сидит, играя на дудочке. Что делает другой мальчик? Если стоящий мальчик подсядет к другому мальчику, то сколько мальчиков будет тогда сидеть вместе? Один мальчик и еще один мальчик—сколько же это будет мальчиков?

11. Вы видите одну дудочку и одну скрипку. Они называются музыкальными инструментами. Сколько будет — один музыкальный инструмент и еще один музыкальный инструмент?

12. Я пишу так: 112. Мы говорим, что 1 мальчик и еще 1 мальчик, сосчитанные вместе, составляют 2 Мальчика. Мы хотим теперь написать что-нибудь, чтобы показать, что первая 1 и вторая 1 должны быть сосчитаны вместе.

13. Мы называем линию, проведенную так — , горизонтальной линией. Проведите такую линию. Назовите ее.

14. Линию, проведенную так | , мы называем вертикальной линией. Проведите такую линию. Назовите ее.

15. Теперь я проведу две этих линии вместе, так:-]-. Как называем мы первую линию ( — )? А как называем мы последнюю линию ( | )? Длинны или коротки эти линии? Где они пересекают друг друга?

16. Пусть каждый из вас напишет так: — , | ,-]-.

17. Этот знак -f- называется плюс. Плюс обозначает и еще; и -{- также обозначает и еще.

18. Я пишу:

Один и еще один составляют 2.

19. Теперь я хочу часть этого записать на языке арифметики. Я записываю первое один так: 1; затем другое один так: 1. После этого я пишу вместо слов и еще так:-j-, помещая знак-|-между 1 и 1, так что все примет такой вид: 1 —j— 1. Когда я пишу, я говорю: один и еще один.

20. Пусть каждый из вас напишет 1 —|— 1. Прочтите, что вы написали.

21. Этот знак+ , будучи написан между единицами, показывает, что их следует сложить вместе так, чтобы получилось 2.

22. Так как + показывает, что должно быть сделано, то его называют знаком. Если мы возьмем его название плюс и слово знак и произнесем оба слова вместе, то получим: знак плюс. Говоря о нем, мы можем называть его знак плюс, или плюс.

23. 1, 2, являются частями языка арифметики.

Напишите следующее на языке арифметики:

24. Один и еще один.

25. Один и еще два.

26. Два и еще один.

12. Двусмысленности и неправильности. Обратите внимание на двусмысленности и ложное рассуждение в следующих задачах.

1. Если вы можете зарабатывать по 4 руб. в день, то сколько вы можете заработать в 6 недель? (Учтены ли при этом дни отдыха? Может ли рабочий, зарабатывающий в некоторые дни по 4 руб., рассчитывать на то, что он будет иметь эту возможность ежедневно?)

2. Сколько линий вы должны провести, чтобы начертить десять треугольников и пять квадратов? (Я могу сделать это с помощью 8 линий, хотя ответ, требуемый книгою, равен 50.)

3. Один бегун дважды обежал трэк, длиною в — км, в две минуты. Какое расстояние пробежит он в — минуты? (Я не знаю какое, но я знаю, что, не считая исключительных случаев, он не пробежит точно — от — км.)

4. Иван заработал 87 р. 50 к. в полмесяца, а Герман 38 р 60 к. Они сложились и купили ружье. Сколько оно стоило? (Может быть 50 руб., а может быть и 100 руб. Заплатили ли они за него сполна? Затратили ли они на него весь свой заработок, меньше, или больше?)

5. У Романа было в кармане 12 медных пятачков. На сколько больше полтинника дадите вы ему за них? (Захочет ли разумный ребенок заниматься такой меной и не заподозрит ли он здесь какого-либо обмана?)

6. Если лошадь пробегает рысью 18 м в, час, то как далеко уйдет она в течение 9 часов?

7. Если девочка набирает 3 корзиночки ягод в 1 час, то сколько таких корзиночек может она набрать в течение 3 часов?

(Если учитель будет настаивать на ответах 162 и 9, то может решительно подорвать в ученике-практике уважение к арифметике на многие последующие недели.)

Экономика и физика следующих четырех задач говорят сами за себя.

8. Я потерял 15 руб., продав свою лошадь за 85 руб. Какова была действительная цена моей лошади?

9. Если у плавающего льда в 7 раз большая часть находится под поверхностью воды, чем над нею, то какая часть его находится над поверхностью воды? Если ледяная гора имеет 30 м над уровнем воды, то какова полная высота этой ледяной горы? Насколько будет возвышаться над уровнем воды ледяная гора, имеющая 100 м высоты?

10. Некто зарабатывает 1000 руб. в год и тратит 625 руб. Через сколько лет он накопит 10 000 руб., если у него имеется сейчас уже 2500 руб ?

11. Звук проходит 330 м в секунду. Спустя сколько времени после пушечного выстрела в Нью-Йорке звук этого выстрела будет слышен в Филадельфии, находящейся в расстоянии 158 км?

РУКОВОДЯЩИЕ ПРИНЦИПЫ.

Читатель, может быть, уже утомлен приведенными специальными подробностями, касающимися связей, ныне пренебрегаемых, но которые следует создавать, и бесполезных или даже вредных связей, которые создаются ныне ради нестоящих целей. Некоторые из них сами по себе, может бьть, и имеют второстепенное значение; но когда мы излечим все наши ошибки в этом отношении и используем все возможности для более разумного выбора связей, то мы чрезвычайно улучшим преподавание арифметики. Идеалом является такой выбор связей (и, как это будет показано далее, такое распределение их), который более всего совершенствует функции, о которых идет речь, и притом с наименьшей затратой времени и сил. Руководящие принципы можно легко запомнить в форме семи простых, но золотых правил:

1. Рассматривай положение, с которым сталкивается ученик.

2. Рассматривай ответ, который ты хочешь связать с положением.

3. Образуй связь; не жди, что она придет чудом.

4. При прочих равных условиях не создавай связи, которую потом надо будет разрушать.

5. При прочих равных условиях не создавай двух или трех связей, когда достаточно одной.

6. При прочих равных условиях создавай связи таким путем, каким они должны будут впоследствии действовать.

7. Оказывай поэтому предпочтение таким положениям, в которые будет ставить учеников сама жизнь, и таким ответам, которых будет требовать сама жизнь.

ГЛАВА V.

ПСИХОЛОГИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИЙ.

СИЛА СВЯЗЕЙ.

Список связей, подлежащих созданию при обучении арифметике, следовало бы сопроводить указанием того, насколько сильной должна быть сделана каждая связь и в каком виде она должна сохраняться из года в год. Так как однако и самый список был представлен здесь только в образцах, то подробное установление желательной прочности каждой связи не может быть сделано. Здесь будут отмечены только некоторые общие факты.

НЕОБХОДИМОСТЬ БОЛЬШЕЙ ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СВЯЗЕЙ.

Элементарные связи, участвующие в основных действиях над числами, должны быть значительно прочнее, чем это имеет место в настоящее время. Неточность в выполнении этих действий свидетельствует о слабости этих связей. Неточность существует, и в такой степени, что лишает этот предмет значительной доли его возможного дисциплинирующего значения, обесценивает достижения ученика с точки зрения их применимости в торговой и промышленной жизни и мешает ученику проверять свою работу над новыми процессами посредством некоторых ранее усвоенных процессов.

Существующую ныне неточность легко установить, пользуясь измерениями, произведенными многочисленными исследователями, которые применяли арифметические задачи как тесты измерения усталости, техники, индивидуальных различий и т. п., а равно и специальными исследованиями арифметических достижений как таковых, произведенными Куртисом и др.

Бургерштейн (Burgerstein, 1891), пользуясь такими примерами, как

28704516938276546397 -t- 35869427359163827263

и аналогичными длинными числами, подлежащими умножению на 2,3,4,5 или 6, нашел 851 ошибку в 28 267 цифрах ответов, т. е. 3 ошибки на 100 цифр в ответах, или g-ошибки на пример. Дети были от 9~- до 15 лет. Лэзер (Laser, 1894), применяя того же рода при\еры на сложение и умножение, нашел немного более 3 ошибок на 100 иифр в ответах, имея дело с мальчиками и девочками в среднем 11 лет в период их наиболее внимательной работы. Холмс (Holmes, 1895), пользуясь сложением только что описанного рода нашел 346 ошибок в 23 713 цифрах ответов, т. е. около 1 на сотню. Дети были всех групп, от третьего до восьмого года обучения. В работе Лэзера в минуту получалось 21,19,13 и 10 цифр ответов. Фридрих (Friedrich, 1897) при таких же примерах, давая очень большое количество времени — 20 минут для получения около 200 цифр ответов, нашел от 1 до 2 ошибок на 100. Кинг (King, 1907) заставлял учеников пятой группы находить суммы пяти различных двузначных чисел. В период наиболее внимательной работы они делали по 1 ошибке на 20 примеров. При умножении четырехзначного числа на четырехзначное они получали менее одного правильного полного ответа из трех. В Сити Нью-Йорка Куртис нашел (1911—1912) с помощью своего теста 7, что в 12 минут средний результат у детей четвертой группы составляет 8,8 единицы пробы при 4,2 правильных; в пятой группе мы имеем 10,9 единицы при 5,8 правильных; в шестой группе—12,5 единиц при 7,0 правильных; в седьмой группе — J5 единиц при 8,5 правильных; в восьмой группе—15,7 ответов при 10,1 правильных. Эти результаты достаточно близки к результатам, полученным в других частях страны, чтобы быть нами принятыми.

Нижеследующие показатели установлены как официальные нормы в одной прекрасной школьной системе при применении серии В Куртиса:

Группы

Достижения в скорости

Процент правильных ответов

Сложение .

. . 8

12

80

7

11

80

6

10

70

Группы

Достижения в скорости

Процент правильных ответов

5

9

70

4

8

70

Вычитание .

. . 8

12

90

7

11

90

6

10

90

5

9

80

4

7

80

Умножение . .

. . 8

11

80

7

10

80

6

9

80

5

7

70

4

6

60

Деление . . .

. . 8

11

90

7

10

90

6

8

80

5

6

70

4

4

60

Кирби (Kirby, 1913, стр. 15 и след., 55 и след.) нашел, что при сложении столбцов, подобных приведенным ниже, ученики четвертой группы получали в среднем менее 80°/о правильных ответов. Их средняя скорость была около 2 столбцов в минуту. Выполняя деления в примерах, подобных отпечатанным ниже, дети групп ЗВ и 4А получали менее 95°/о правильных ответов при средней скорости в 4 деления в минуту. В обоих случаях медлительные вычислители были не более точными, чем быстрейшие. Упражнение ведет к быстрому увеличению скорости; что же касается точности, то она остается без существенных изменений. Броун (Brown, 1911 и 1912) нашел подобный же низкий уровень способности и значительное улучшение ее от умеренного количества специальных упражнений.

20=____ раз по 5.

56= .... раз по 9 и .... в остатке.

30=---- раз по 7 и .... в остатке.

89= .... раз по 9 и .... в остатке.

20= .... раз по 8 и____ в остатке.

56=____ раз по 6 и .... в остатке.

31 = .... раз по 4 и .... в остатке.

86=____ раз по 9 и .... в остатке.

Ясно, что числовая работа столь неточная, как указанная, имеет мало или вовсе даже не имеет никакой цены с точки зрения торговой или промышленной практики. Если служащие, получают только шесть правильных ответов из десяти, как это имеет место в тестах Куртиса, то необходимо было бы иметь по крайней мере четырех служащих для выполнения каждого вычисления; но и при этом необходимо было бы проверять многие из противоречий в вычислениях работой еще других служащих, если бы мы стремились к тому, чтобы наши расчеты содержали менее одной ошибки на сто счетных единиц размера Куртиса.

Ясно также, что „навык в абсолютной точности и удовлетворение правильностью результата“, которыми по предположению должна снабжать арифметика, являются в значительной степени мифическими по отношению к ученикам, которые получают всего от 3 до 9 правильных ответов из десяти !

РАННЕЕ ПРИОБРЕТЕНИЕ ОСНОВНЫХ НАВЫКОВ.

Связи, о которых будет итти речь, конечно должны быть гораздо более прочными, чем это имеет место сейчас. Они действительно должны быть достаточно прочными для того, чтобы устранить ошибки в вычислениях, за исключением лишь тех, которые обусловливаются временной рассеянностью. Для ребенка гораздо более полезно знать половину таблиц умножения и сознавать, что он не должен пока знать остальных, чем знать их все наполовину; и это справедливо относительно всех элементарных связей, требующихся при вычислении. Необходимо, чтобы каждая связь работала совершенно безошибочно, хотя бы и медленно, вскоре же после того, как началось ее образование. Быстрота может быть легко приобретена путем соответствующего упражнения.

Главные причины, по которым этого не наблюдается в настоящее время, заключаются повидимому в следующем:

1) некоторым важным связям (как сложению с переходом к высшим десяткам) не уделяют достаточного внимания в то время, когда они впервые вводятся в употребление; 2) пренебрегают специальными упражнениями, необходимыми, когда какая-либо связь применяется в иных условиях (как например, когда умножение до 9X9 встречается в примерах, подобных g где ученик должен прежде всего выбрать правильное число для умножения, удержать в уме то, что нужно перенести, правильно его использовать, написать правильную цифру на правильном месте и перенести цифру или запомнить, что он ничего не должен переносить); 3) не обучают ученика проверке его работы; 4) не делают ученика ответственным за правильные по существу результаты. Сверх того требование 4) при отсутствии упражнений, указанных в пп. 1—3, повлечет за собой для большинства учеников или полную неудачу или совершенно нецелесообразную трату времени. Обычная ошибка — предполагать, “что задача вычисления с целыми числами заключается главным образом в заучивании сложений до 9-f- 9, вычитаний до 18 — 9, умножений до 8X9 и делений до 81:9, играет значительную роль в допущении грубой неточности арифметической работы.

Связи, участвующие в „знании таблиц“, не составляют и четвертой доли связей, участвующих в действительном сложении, вычитании, умножении и делении (только с целыми числами).

Следует отметить, что если упражнения, предусмотренные в пп. 1 и 2, проведены правильно, то проверка результатов, как то рекомендуется в п. 3, становится неизмеримо более ценной, чем это имеет место в современных условиях, хотя и теперь она является одним из наиболее здоровых наших упражнений. Если ребенок знает сложение с переходом к единицам высших разрядов так, что может сложить видимое им однозначное число с представляемым им двухзначным числом в течение трех секунд или менее при условии 199 правильных ответов из 200, то мы имеем бесконечно малую вероятность того, что он ошибется, сложив с промежутком в несколько минут столбец из десяти цифр дважды (один раз снизу вверх и другой раз сверху вниз) и получив один и тот же ответ. Предположим, что при подробном умножении ученик может умножать до 9X9, не путая места цифр, запоминая то, что он „переносит“, и где надо проставить цифру, которую он записывает; может прибавить то, что он

переносит, не теряя представления о том, к чему он должен это прибавить; знает, где он должен написать цифру единиц, что он должен умножать затем и на что, и что он должен будет затем переносить, — получая при этом умножении 99°/0 правильных ответов. Тогда два тождественных ответа, полученных при перемножении с промежутком в несколько минут двух трехзначных чисел при условии их перестановки, могут оказаться ошибочными не более двух раз за все время пребывания его в школе. Если составляющие связи прочны, то проверка приближается к доказательству.

Если наоборот, основные связи настолько слабы, что не могут действовать точно, то проверка становится значительно менее достоверной и требует затраты значительно большего труда. Действительно можно показать, что если прочность основных связей ниже известного предела, то время, требующееся для проверки, настолько велико, что лучше некоторую долю его затратить на усовершенствование основных связей.

Предположим например, что ученик должен найти сумму пяти чисел, вроде: 2,49 руб.; 5,25 руб.; 6,50 руб.; 7,89 руб. и 3,75 руб. Если считать, что каждое запоминание числа, подлежащего переносу, и каждая запись подсчета отдельного столбца эквивалентны по трудности одному сложению, то окажется, что отыскание подобной суммы равносильно девятнадцати простым сложениям. На этом основании и с помощью определенных дополнительных оценок1) мы можем вычислить практические последствия применения учеником сложения в жизни, в соответствии с искусством, приобретенным им в этом отношении в школе.

Я вычислил таким образом количество проверок, которое должен будет проделать ученик, чтобы получать два совпадающих между собою числа (из 2, 3, 4, 5 или какого-либо иного числа результатов, найденных прежде, чем он получит два одинаковых числа), в соответствии с его уменьем владеть элементарными процессами. Соответствующие данные приведены в таблице 1 (стр. 124).

Очевидно, что ученик, овладевший элементами и характеризуемый получением 96 правильных ответов из 100, будет затрачивать так много времени на проверку их, что даже в том случае, если ему никогда не придется применять этой

1) Эти оценки касаются допущения двух ошибок, сделанных в одном и том же примере, и одного и того же ошибочного ответа, полученного как в первоначальном подсчете, так и при его проверке.

Примечание автора.

способности иначе как для нахождения нескольких тысяч сумм путем сложения, поступит более благоразумно, если усовершенствует эту способность прежде, чем будет пытаться находить суммы. Способность давать правильные ответы в 199 случаях из 200 или 995 из 1000, также вероятно спасает значительно более времени, чем его потребуется на выработку ее; и можно привести разумные доводы в пользу выработки способности давать правильные ответы в 996 или 997 случаях из 1000.

Если требовать точности от 995 до 997 на 1000 и применять при преподавании обыкновенную гибкость, то быстрота выработается сама собой. Счет на пальцах и устный счет не дадут такой точности. Медленное обращение к сохранившимся в памяти таблицам сложения рядов также не даст этой точности. Ничто кроме твердого запоминания фактов, вырабатываемого на действительных примерах, не может дать этого. И такие достиженя памяти будут действовать с достаточной быстротой.

Таблица 1.

Влияние усвоения элементарных фактов сложения на работу, требующуюся для получения двух совпадающих ответов при сложении пяти трехзначных чисел.

Овладение элементарными фактами сложения. Число правильных ответов на 1000

Приблизительное число неправильных ответов в суммах пяти трехзначных чисел на 1000

Приблизительное число совпадающих ответов после одной проверки на 1000

Приблизительное число совпадающих ответов после проверки первых разногласии

Приблизительное число проверок, необходимых для обеспечения двух совпадающих ответов (сверх первой общей проверки 1000 сумм)

960

700

90

216

4 500

980

380

384

676

1200

990

190

656

906

470

995

95

819

975

210

996

76

854

984

165

997

54

895

992

115

998

38

925

996

80

999

19

962

999

40

Есть одно разумное возражение против специальных упражнений, необходимых для выработки арифметических связей настолько полных, чтобы была обеспечена точность, требу-

емая как утилитарными, так и чисто воспитательными целями. Можно сказать, что ученики третьей, четвертой и пятой групп не могут оценить эту потребность и что следовательно работа будет тяжелой, медленной, бесплодной. Совершенно правильно, что задача усовершенствования нашей способности складывать 7 с 28 во второй группе, безошибочно умножать 153 на 8 в третьей группе или точно вычитать при подробном делении в четвертой группе не связана непосредственно с какой-либо захватывающей жизненной целью. Однако совершенно справедливо и то, что самая интересная с человеческой точки зрения задача, за которую ученик принимается от всей души, может быть решена правильно только в том случае, если необходимые для этого механизмы ассоциаций находятся у ученика в порядке; и чем он в них увереннее, тем свободнее он может продумать задачу как таковую. Далее, вычисление не будет бессмысленным, если ученик умеет вычислять. Он сам не возражает против отсутствии в нем жизненного значения, поскольку оно обеспечивает отсутствие ошибок. Мы не должны забывать, что ученики любят учиться. Кто не наблюдал, имея дело с обучением даже исключительно тупых людей, того огромного интереса, который они часто проявляют по отношению к тому, чем им удалось овладеть? Мы наблюдаем даже пафос в той радости, с которой они учатся распознавать части речи, выполнять алгебраические упрощения, переводить иностранные выражения и выполнять другие работы, в равной мере лишенные значения с точки зрения всех их интересов, за исключением одного общечеловеческого интереса к успеху и признанию. Более того, не составляет никакого труда показать ученикам настоятельную нужду в точности при подсчетах в играх и работе в мастерской, магазине, конторе. Наконец тот аргумент, что точная работа такого рода чужда для учеников этих групп, более применим против неточной работы того же рода. Если мы должны научить действиям над двух-, трех- и четырехзначными числами полностью, то мы должны учить этому как надежному орудию, а не как сочетанию туманных представлений и воспоминаний. Автор готов вовсе исключить счисление над числами выше 10 из обихода групп 1—6, если только на его место будут предложены другие более ценные орудия; однако он убежден, что в природе ребенка нет ничего, что делало бы огромное разнообразие неточных вычислений более интересным, более поучительным или более близким к ощущаемым потребностям, чем меньшее разнообразие точных вычислений.

ПРОЧНОСТЬ СВЯЗЕЙ ВРЕМЕННОГО ПОЛЬЗОВАНИЯ.

Второй факт, имеющий общее значение, заключается в том, что некоторые связи применяются только в течение ограниченного времени; поэтому их необходимо развивать только до ограниченной, небольшой степени прочности. Данные задач, приводимых для иллюстрации какого-либо принципа или для укрепления какого-либо навыка в вычислении, являются здесь конечно самым простым примером. Ученик должен запомнить, что Иван купил 3 булки, что эти булки стоили по 5 копеек, и что он дал четвертак булочнику, только в течение того времени, которое необходимо ему для решения на основе этих данных, какую сдачу Иван должен получить. Связи полных описанных положений с полученными ответами, между которыми, по предположению, введены значительные вычисления, являются такими связями, которым мы позволяем исчезнуть почти сейчас же после того, как они возникли.

Иногда, рассматривая связь между определенной группой данных, придающих задаче вид: „купи а предметов по Ь за штуку, найди общую стоимость“; „купи а предметов по b за штуку, найди сдачу“ ; „сколько прибыли получится, если купить за а и продать за Ь“ или „сколько предметов, ценою по а каждый, можно купить на b копеек“, — утверждают, что связь между этими существенными и определяющими чертами и действием или действиями, необходимыми для решения, является такой же временной связью, как связи с именем покупателя или ценою предмета. Утверждают, что все задачи решаются и должны решаться путем известного акта чистого рассуждения без помощи или помехи со стороны связей с особенной формулировкой и отдельными терминами задачи. Должно это быть так или нет, но в действительности это не так. Каждый раз, когда ученик решает задачу на „куплю-продажу“ посредством вычитания, он усиливает в себе тенденцию решать любую задачу, содержащую слова „куплено“, „продано за“, посредством вычитания; и никакими средствами вы не заставите его перестать это делать и изучать такую задачу во всех ее элементах, чтобы убедиться, что в ней нет других данных, делающих неприменимой тенденцию вычитать, созданную задачами „купли-продажи“.

Чтобы предохранить учеников от ответа скорее на форму задания, чем на существенные факты, мы не должны учить их забывать форму задания; скорее мы должны сообщить

им все общепринятые формы задания, ответ на которые, рассматриваемый нами, является правильным, и притом только эти формы. Если некоторая форма задания всегда обозначает в жизни и некоторый определенный арифметический прием, то связь между нею и этим приемом должна быть сделана действительно очень прочной.

Другой случай образования связи только небольшой степени прочности касается применения так называемых „костылей“, например в виде помещения знаков+ , —и X при переписке задач, подобных нижеприведенным:

Сложить Вычесть Умножить

23 79 32

61 24 3

или изменения цифр при „занимании“ в вычитании и т. п. Так как нежелательно, чтобы ученик считал ответ с помощью „костыля“ существенно связанным с общим ходом действия или настолько привык к употреблению его, что отсутствие такового привело бы его в замешательство, то мы предлагаем не создавать полной связи между положением и „костылем“. В случае, если „костыли“ все же применяются, мы можем найти лучший выход из затруднения. Он заключается в том, что мы связываем „костыли“ со специальным заданием и не применяем их при заданиях в обшей форме, которая является основной и постоянной. Например детей следует обучить с самого начала не писать „костылей-знаков“ или „костылей-цифр“, если работа не сопровождается словами: „Запишите...., чтобы вам легче было....“.

Пишите —, чтобы легче запомнить, что в этом ряду вы должны вычитать.

Найти разности: —

39 67 78 56 45

23 44 36 26 24

Помните, что в этом ряду вы должны вычитать. Найти разности: —

85 27 96 88 78

63 14 51 45 32

Связь, обусловливающая применение „костыля“, может быть сделана при этом достаточно прочной, чтобы предохранить от колебания, неуверенности или ошибки, и в то же время не создающей значительной помехи образованию более общей связи между положением и работой без „костыля“.

ПРОЧНОСТЬ СВЯЗИ С ТЕХНИЧЕСКИМИ ФАКТАМИ И ТЕРМИНАМИ.

Другой поучительный случай касается связей между определенными словами и их значением, и между определенными положениями в торговле, промышленности или сельском хозяйстве и полезными фактами, к ним относящимися. Иллюстрацией первых являются связи между словами: кубический корень, гектар, процент, комиссия, передаточная надпись, вершина, прилежащий, девятигранник, сектор, вексель, денежный перевод и их значениями. Иллюстрацией вторых служат связи между выражением: „если деньги положены в сберегательную кассу по неоговоренной особо ставке, то по какой ставке надо считать проценты“, и ответом „по законной государственной ставке“; между выражением „х коп. за центнер как ставка за хранение“ и ответом „обозначает х коп. за хранение 1 метрического центнера“

Многие доказывают, что такие связи ценны, но лишь в течение краткого времени, а именно того периода, когда изучаются арифметические приемы, в связи с которыми они применяются, и что их ценность состоит только в том, чтобы служить средством для изучения этих приемов, так что после этого они могут быть забыты. „Они создаются только как вспомогательное средство к некоторым более отвлеченным арифметическим знаниям или дисциплинам; после того как эти последние приобретены, они могут быть забыты. Каждый человек действительно забывает их и выучивает их вновь, если позднее жизнь этого требует“. Так гласит доказательство.

В некоторых случаях действительно полезно выучить такие слова и факты с исключительной целью использовать их при решении определенного рода задач, а затем забыть. Однако вводить это в практику чрезвычайно опасно. Справедливо, что в действительности каждый человек позабывает много таких значений и фактов, но обычно это значит или что их вовсе не следовало учить в то время, когда их проходили, или что их следовало проходить более продолжительно, или что следовало изучить больше деталей, исходя из предположения, что эти последние будут забыты, но общий факт или навык сохранится в памяти. Например в начальной

школе вовсе не следует изучать двенадцатиугольника; расчеты с векселями или вовсе не должны проходиться в такой школе или должны проходиться с расчетом на знание этих вопросов в течение года или более; зато все детали метрической системы должны преподаваться так, чтобы ученики сохранили на много лет не только знание того, что эта система имеет большое значение и что таблицы ее составлены по десяткам, сотням или тысячам, но и умение связывать метр, килограмм и литр с прочими мерами метрической системы и наглядным значением соответствующих величин.

Если арифметический процесс требует, видимо, вспомогательных связей, которые надлежит забыть в дальнейшем как только этот процесс будет усвоен, то мы в праве усумниться в ценности самого этого процесса. Если ученики забывают, что такое сложные проценты, то мы можем быть уверены, что обычно они позабудут также и то, как их вычислять. Несомненно, что мы тратим время совершенно зря, если учим, что такое сложные проценты, лишь для того, чтобы научиться вычислять их, а в конечном счете забываем, как это делается!

ПРОЧНОСТЬ СВЯЗЕЙ, КАСАЮЩИХСЯ ОБОСНОВАНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

Следующий случай образования связей незначительной прочности — это спорный случай образования связей, участвующих в понимании причин некоторых процессов и позабываемых после того, как этот процесс переходит в привычку. В самом деле, должен ли ученик заучивать, почему он должен обратить дробь и умножать, лишь для того, чтобы забыть это объяснение, как только ему будет доверено деление на дробь? Должен ли он заучивать, почему он пишет цифру единиц каждого частичного произведения при умножении под цифрой на которую он умножает, лишь для того, чтобы позабыть причину этого, как только он овладеет этим действием? Должен ли он заучивать, почему он получает число квадратных сантиметров в прямоугольнике посредством умножения длины на ширину, когда обе эти величины выражены в линейных сантиметрах, если он забывает, почему это так, как только приобретет умение вычислять площади прямоугольников?

В силу общих психологических оснований мы относимся скептически к образованию связей, обреченных впоследствии на смерть от истощения, и склонны считать, что подробные объяснения, заучиваемые только для того, чтобы быть за-

бытыми, или вовсе не должны заучиваться или должны изучаться в такое время и таким способом, чтобы они не забывались. В особенности мы должны стремиться к тому, чтобы общие принципы арифметики, „почему“ и „зачем“ ее основных путей обращения с числами, были последними из забываемых связей. Подробности того, как вы располагали числа при умножении, могут быть забыты; но необходимо стремиться, чтобы общие основания расположения сохранились прочно и давали возможность восстановить подробности действия, которые были позабыты.

Этот скептицизм, я думаю, оправдывается фактами. Доктрина, допускающая, чтобы обычные дедуктивные объяснения— почему мы обращаем дробь, а затем умножаем, или почему мы располагаем частичные произведения перед сложением так, как мы это делаем, и т. д. — забывались немедленно после того, как приобретенные навыки станут работоспособными, имеет сомнительный источник. Она возникла в противовес критическим замечаниям, что слишком много времени и сил затрачивается на удержание в памяти этих дедуктивных объяснений. Факт тот, что ученик научился правильно вычислять независимо от дедуктивных объяснений. Они являлись только дополнительной нагрузкой. Действительно обучал его индуктивный опыт, показывавший, что прием дает правильный ответ. Таким образом ученик разумно сбросил с себя лишнее бремя фактов, касающихся выводов из сущности дроби или значения места в нашей десятичной системе. Связи ослабевали потому, что они не применялись. А не применялись они потому, что они были бесполезны в той форме и в то время, как они создавались, или потому, что ученик был неспособен понимать эти объяснения настолько чтобы вообще создать связь.

Указанная критика была ценна и должна была вызвать частью замену дедуктивных объяснений индуктивными поверками, а частью — применение дедуктивного рассуждения в качестве способа проверки уже после того, как усвоен самый процесс. Те же самые рассуждения о значении цифр в зависимости от их места, которые являются бесплодными в качестве доказательства того, что вы должны сделать определенную вещь, прежде чем вы ее сделали, становятся часто весьма поучительными в качестве объяснения того, почему то, что вы научились делать, к чему вы привыкли и что вы проверяли другими способами, делается именно так, а не иначе. Общая дедуктивная теория арифметики вовсе не должна изучаться только для того, чтобы быть потом

забытой. Многое из нее вообще не следовало бы преподавать большинству учеников. То, что проходится, должно было бы проходиться значительно позднее, чем теперь, как синтез и разумное объяснение навыков, а не как творец последних. То, что проходится из области такой дедуктивной теории, должно быть отнесено скорее к числу наиболее, чем к числу наименее прочных элементов арифметического знания и умения учеников. Существуют связи, которые мы создаем только для того, чтобы потом их утратить, и существуют другие связи, которые мы создаем только для того, чтобы утратить их в первоначальной форме и использовать в новых условиях как материал для связи высшего порядка. Но связи, участвующие в дедуктивных объяснениях того, почему данные процессы правильны, не таковы: они не образуются для того, чтобы тотчас же подвергнуться забвению, и в то же время не являются простой пропедевтикой к шаблонным операциям.

ПРОПЕДЕВТИЧЕСКИЕ СВЯЗИ.

Образование связей ограниченной прочности, подлежащих забвению в их первоначальной форме после переработки их различными способами в другие связи, для которых они служат пропедевтикой, или сырым материалом, является наиболее важным случаем малой прочности или скорее малой длительности связей.

Связь между четырьмя пятерками в столбце сложения и ответом путем рассуждения—„10, 15, 20“—достойна создания; однако она заменяется впоследствии связью умножения или непосредственной связью „четырех пятерок, которые надо сложить“ с „20“. Счет двойками, начиная с 2, тройками, начиная с 3, четверками, начиная с 4, пятерками, начиная с 5, и т. д., образует рядовые связи, которые отлично могут исчезнуть в дальнейшем как рядовые. Отдельные звенья их сохраняются как прочные связи для применения их при сложении столбцами, но их рядовая сущность переходит из „2 (и 2), 4 (и 2), б (и 2), 8“ и т. д. в „две двойки =4, три двойки = 6, четыре двойки = 8“ и т. д; первоначальные рядовые связи, сыграв свою роль в создании связей, с помощью которых может быть получено любое произведение 2 на 2 и т. д. до 9, перестают быть нужными как рядовые. Навык произносить слово „и“ при сложении, облегчив образование связей между общей склонностью разума к сложению и видимыми или мысленно представляемыми числами, должен исчезнуть или сохраниться столь

скрытым в речи про себя, чтобы не становиться препятствием для скорости.

Правило, касающееся этих связей, заключается следовательно в том, чтобы образовывать их достаточно прочными для быстрой и аккуратной работы их в настоящем и для облегчения образования связей, которые должны заменить их в дальнейшем; но их не следует переучивать. Существует разница между изучением чего-нибудь с целью владения этим в течение короткого времени и затратой того же количества энергии на изучение для длительного удержания в памяти. Первый вид изучения конечно соответствует многим из таких пропедевтических связей.

Связи, приведенные в качестве примеров, не являются чисто пропедевтическими и не создаются только для того, чтобы быть превращенными во что-либо иное. Даже произнесение „и“ при сложении имеет свою естественную, внутреннюю ценность, выявляя процесс сложения; может быть, к нему можно с пользой вернуться на короткое время на первых ступенях сложения обыкновенных дробей. Некоторые из таких пропедевтических связей могут быть ценны независимо от их значения для подготовки других связей. Рассмотрим например упражнения вроде приведенных ниже, которые являются подготовительными для подробного деления, давая ученику некоторый базис в опыте подбора цифр частного. Этим умножения по существу достойны того, чтобы их делали, особенно умножение на 12 и 25. Все, что ученик из них запомнит, принесет ему пользу.

1. Считайте, прибавляя по 11, го 132, начиная так: 11, 22, 33.

2. Считайте, прибавляя по 12, до 144, начиная так: 12, 24, 36.

3. Считайте, прибавляя по 25, до 300, начиная так: 25, 50, 75.

4. Напишите недостающие числа:

А. В. С.

3 раза по 11= 5 раз по 11= 2 дюжины =

4 раза по 12= 3 раза по 12= 4 дюжины =

5 раз по 12= 6 раз по 12= 10 дюжин = (S раз по 11= 12 раз по 11= 5 дюжин = 9 раз по 11= 2 раза по 12= 7 дюжин = 7 раз по 12= 9 раз по 12= 12 дюжин = S раз по 12= 7 раз по 11= 9 дюжин =

11 раз по 11= 12 раз по 12= 6 дюжин =

5. Считай по 25 коп. до 2 р. 50 к., говоря так: 25 коп., 50 коп., 75 коп., 1 рубль и т д.

6. Считайте по 15 коп. до 1 р. 50 к.

7. Найдите произведения. Не пользуйтесь карандашом. Найдите в уме, чему они равны.

А. В. С. D. Е.

2 X 25 3 X 15 2 X 12 4 XÜ 6X25

3 X 25 10 X 15 2 X 15 4 X 15 6 X 15

5 X 25 4 X 15 2 X 25 4 X 12 6 X 12 10X 25 2 X 15 2 X 11 4X 25 6 X И

4 X 25 7 X 15 3 X 25 5 X 11 7 X 12

6 X 25 9 X 15 3 X 15 5X 12 7 X 15

8 X25 5 X 15 ЗХП 5X15 7X25

7 X 25 8 X 15 3 X 12 5 X 25 7 ХП

9 X 25 6 X 15 8 X 12 9 X 12 8 X25

Напишите недостающие числа:

А. 36 =... раз по 12 В. 44 =... раз по 11 С. 50 =... раз по 25

60 =... раз по 12 88 =... раз по 11 125=.,- раз по 25

24=... раз по 12 77=... раз по И 75 = ... ра* по 25

48=... раз по 12 55 = ... раз по 11 200=... раз по 25

144=... раз по Г2 99=... раз по 11 250 = ... раз по 25

108 =... раз по 12 110 = ... раз по 11 175 =... раз по 25

72=... раз по 11 33=... раз по 11 225 = ... раз по 25

96=... раз по 12 66 = ... раз по 11 150 = .. . раз по 25

84=... раз по 12 22=... раз по 11 100 = .,. раз по 25

Найдите частные и остатки. Если вам нужны бумага и карандаш для того, чтобы найти их, можете пользоваться ими. Но, насколько можете, находите их без карандаша и бумаги. Делайте сначала ряд А, затем делайте ряд В, потом С и т. д.

Ряд А. 45:11 45:12 45:25 45:15 45:21 45:22

Ряд В. 55:25 55:11 55:12 55:15 55:22 55:30

Ряд С. 60:12 60:25 60:15 60:11 60:30 60:21

Ряд D. 75:12 75:11 75:15 75:25 75:30 75:35

Ряд Е. 100:11 100:12 100:25 100:15 100:30 100:22

Ряд F. 96:11 96:12 96:25 96:15 96:30 96:22

Ряд G. 105:25 105:11 105:15 105:12 105:22 105:35

Ряд Н. 64:12 64:15 64:25 64:11 64:22 64:21

Ряд I. 80:11 80:12 80:15 80:25 80:35 80:21

Ряд J. 200:25 200:30 200:75 200:63 200:65 200:66

Проделайте снова эти упражнения. Сперва проделайте весь первый столбец, затем делайте второй столбец, потом третий и т. д.

Рассмотрим с той же точки зрения упражнения, подобные следующим: (3 X 4)-f-2; (7x6) + 5; (9 X 4) + 6, данные для

подготовки к письменному умножению. Выполнение умножений

48 68 47 J 7 9_

и т. п. облегчается, если ученик легко контролирует процесс получения произведения и удержания его в уме при прибавлении к нему однозначного числа. Упражнение в примерах (3X4)-)-2 и т. п. представляет собою хорошее упражнение и по существу. Поэтому некоторые учителя применяют систематические подготовительные упражнения такого типа непосредственно перед началом сокращенного умножения или параллельно с ним.

В некоторых случаях связи бывают чисто пропедевтическими, или создаются только для последующего преобразования. В таком случае они мало отличаются от „костылей“. Типичный „костыль“ образует навык, который должен быть впоследствии действительно разрушен, тогда как чисто пропедевтическая связь образует навык, который притупляется от бездействия.

Так например в качестве введения в подробное деление мы можем давать ученику упражнения, в которых деление на однозначного делителя производится в подробной форме:

Настоятельно рекомендуем относиться очень критически к этим чисто пропедевтическим связям, а также к связям, созданным только для дальнейшего преобразования, и не увлекаться ими, если, проявив достаточную изобретательность, можно найти какую-либо иную связь, заслуживающую того, чтобы занять постоянное место в познаниях человека, и способную выполнять ту же работу не менее хорошо. Методика арифметики поступила правильно, предпочтя устранение некоторых даже ценных подготовительных упражнений внедрению неэкономичных. Образование таких пропедевтических связей сомнительной ценности (с буквами, фонограммами, отличительными знаками и т. п.), доводимых часто до очевидно вредных крайностей, мы находим и в обучении чтению.

ГЛАВА VI.

ПСИХОЛОГИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИИ. КОЛИЧЕСТВО УПРАЖНЕНИЙ И ОРГАНИЗАЦИЯ НАВЫКОВ.

КОЛИЧЕСТВО УПРАЖНЕНИЙ.

Будет весьма полезно, если при приступе к чтению соображений, излагаемых в этой главе, читатель проделает следующий опыт в качестве введения к ней.

Предположите, что ученик выполнил всю работу как устную, так и письменную в виде вычислений и задач, содержащихся в учебниках среднего достоинства из числа применяемых ныне в начальной школе, и предназначенную для групп 1—6 включительно (иными словами—охватываемую двумя первыми книгами руководства из серии в три книги). Сколько раз будет он упражнять каждую из разнообразных связей, участвующих в четырех действиях над целыми числами и содержащихся в приведенных ниже примерах? Другими словами, сколько раз ему придется подумать: „1 и 1 равно 2“, ,1 и 2 будет 3“ и т. д ? При этом должен быть сосчитан каждый случай применения каждой связи.

основные связи.

Если оценка всей серии представляет собою слишком длинную задачу, то достаточно проработать по восемь или десять примеров из каждой серии, например

Окончив свою оценку, читатель должен сравнить ее, во-первых, с подобными же оценками, произведенными опытными преподавателями, а затем с результатами фактического подсчета на основе типичных учебников арифметики, которые помещены ниже.

Таблица 2.

Оценка количества упражнений, содержащихся в I и II книгах среднего по достоинству трехтомного руководства арифметики, произведенная 50 опытными учителями.

Арифметический факт

Низшая оценка

Средняя оценка

Высшая оценка

Пределы, между которыми лежит половина всех оценок

Арифметический факт

Низшая оценка

Средняя оценка

Высшая оценка

Пределы, между которыми лежит половина всех оценок

Из таблицы 2 видно, что даже опытные преподаватели чрезвычайно расходятся в оценке количества упражнений, даваемых типичным учебником арифметики, и что большинство из них впадает в серьезную ошибку, переоценивая количество упражнений. Вообще можно считать установленным фактом, что мы пользуемся учебниками арифметики, имея очень смутное и ошибочное представление о том, что в них заключается, и думаем, что они дают гораздо больше упражнений, чем это имеет место в действительности.

Авторы учебников как правило также повидимому имеют лишь очень смутное и ошибочное представление о том, что содержится в их учебниках. Если бы они это знали, то они почти наверное пересмотрели бы свои книги. Конечно ни один автор не дал бы умышленно для упражнения в сложении 2-[-2 приблизительно вчетверо больше материала, чем для упражнения в сложении 8 + 8, для упражнения в умножении 2 X 2 в восемь раз больше материала, чем для упражнения в умножении 9><8, для упражнения в вычитании 2 — 2 в одиннадцать раз больше материала, чем для упражнения в 17 — 8, для упражнения в делении 2 : 2 свыше чем в сорок раз больше материала, чем для упражнений 75 : 8 и 75 : 9, взятых вместе. Конечно ни один автор не дал бы умышленно только от двадцати до тридцати примеров на каждый такой случай, как 16 — 7, 16 — 8, 16 — 9, 17 — 8, 17 — 9 и 18—9 на протяжении всего курса шестой группы, и не допустил бы того, что упражнения 60 : 7, 60 : 8, 60 : 9, 61 : 7, 61 : 8, 61 : 9 и т. п. встречаются в среднем всего лишь по одному разу в год.

Таблица 3.

Количество упражнений. Связи сложения, содержащиеся в одном новом учебнике (А), пользующемся прекрасной репутацией. Книги I и II, кроме четырех отделов „Дополнительного материала“, предназначенного для пользования по усмотрению преподавателя.

Приведенную и следующие таблицы надо понимать так: 2 + 2 встречается 226 раз; 12 + 2 встречается 74 раза, 22 + 2, 32 + 2,42 + 2 и т. д. встречаются по 50 раз.

2

3

4

5

6

7

8

9

Итоги

2.....

12.....

22 и т. д. . 3.....

13.....

23 и т. д. . 7.....

17.....

27 и т. д. . 8.....

18.....

28 и т. д. . 9.....

19.....

29 и т. д. .

226

154

162

150

97

87

66

45

74

53

76

46

51

37

36

33

_

50

60

68

63

42

50

38

26

_

216

141

127

89

82

54

58

40

_

43

43

60

70

52

30

22

18

_

15

30

51

50

42

32

29

30

_

85

90

103

103

84

81

61

47

_

35

25

42

32

35

21

29

16

_

30

23

32

29

24

23

25

28

_

J 85

112

146

90

75

71

73

61

_

28

35

52

46

28

29

24

14

_

53

35

34

33

23

36

27

27

_

104

81

112

96

63

74

58

57

_

13

11

31

38

25

14

22

11

_

19

17

27

20

32

32

19

18

2

3

4

5

6

7

8

9

Итоги

2,

12, 22 и т. д. .

350

277

300

260

190

174

140

104

1801

з,

13, 23 , „ , .

274

214

230

209

176

116

109

88

1406

7,

17, 27 . „ „

148

138

187

164

141

125

115

91

1109

8,

18, 28 . . . .

2б>>

183

232

185

126

136

124

102

1354

9,

19, 29 . „ . .

136

109

170

154

120

120

99

86

994

Итого . . .

1 164

921

1 125

972

753

671

687

471

Таблица 4.

Количество упражнений. Связи вычитания, содержащиеся в одном новом учебнике (А), пользующемся прекрасной репутацией. Книги I и П. кроме четырех отделов „Дополнительного материала“, предназначенного для пользования по усмотрению преподавателя.

Уменьшаемые

Вычитаемые

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Итого, исключая 1—1, 2—2 и т. д. ...

372 214 136 146 171 80 106 73 71 261

1258

311 149 142 91

59 57 50 75 84 48

755

189 103

92

69

55

50

54

63

31

48

565

205 164 71 67 75 74 100 50 77 35

713

136 81 59 50 48

193 36 57 22 25

571

192 156 62 55 83 41 51 40 37 33

558

80 48 55 57 32 35 29 36 19 16

327

1Г2 124 121 46 80 35 49 48 36 27

569

133 91

35 30 28 32 20 26 20 19

301

Таблицы 3—8 показывают, что даже талантливые авторы изготовляют такие орудия для обучения арифметике, которые содержат значительно меньше упражнений в некоторых элементарных фактах, чем это признается необходимым препо-

Таблица 5.

Частота вычитаний, не вошедших в таблицу 4. Здесь подсчитаны те случаи, в которых ученик, в соответствии с достигнутым уровнем знания, стал бы по всей вероятности выполнять действия 35—30, 46—40 и т. д. посредством

одной связи.

Уменьшаемые

Вычитаемые

1

2

3

4

5

6

7

8

9

11

12

13

14

15

16

17

18

19

10

21

22

23

24

25

26

27

28

29

20

и т д.

и т. д.

и т. д.

и т. д.

и т.

и т. д.

и т. д.

и т д.

и т. л.

и т. д.

10, 20, 30, 40 и т.

11

29

16

52

32

51

7

30

22

60

11,21,31,41 „ „ „

42

14

22

32

12

26

19

52

17

10

12, 22, 32, 42 „ „ „

47

97

5

13

9

21

11

24

19

17

13, 23, 33, 43 „ „ „

7

40

7

14

15

19

19

22

3

14, 24, 34, 44 „ „ „

8

2S

14

58

13

16

14

26

19

7

15,25, 35, 45 „ . „

21

28

29

54

51

15

21

12

24

8

16, 26, 36, 46 9 п „

5

18

12

27

35

6\i

13

17

19

2

17, 27,37, 47 „ , „

5

9

12

40

32

54

24

12

12

1

18,28,38,4iw т 9

2

16

10

23

22

36

18

47

16

0

19,29, 39, 49 . „ .

5

7

7

10

13

28

14

2i

16

0

Итого . . .

153

286

134

323

234

329

160

262

186

108

Таблица 6,

Количество упражнений. Связи умножения в другом современном учебнике (В), пользующемся прекрасной репутацией. Книги I и II.

Множители

Множимые

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Итого

1

29*

534

472

271

310

293

261

178

1%

99

2 912

2

35

614

668

480

458

377

332

23 S

239

155

3 941

3

280

487

509

38.»

318

302

247

199

227

152

3109

4

186

375

398

242

203

265

197

163

159

93

22S1

5

268

359

3)3

234

263

243

217

192

197

114

2 480

6

180

284

265

199

196

191

168

16 ;

165

106

1923

7

135

28

277

176

187

158

155

121

145

118

1 755

8

137

272

292

175

192

164

15s

157

126

126

1799

9

71

173

140

122

97

102

101

КО

2

110

1098

Итого

1906

5411

3 414

2 287

2 224 2 095

1

1 Ь36

1517

1535

1073

Таблица 7.

Делимые

Делители

2

3

4

5

6

7

8

9

Итого

Целые кратные чисел от 2 до 9 по порядку, т. е. 4:2 встречается 397 раз, 6 : 2—256 раз; 6 : 3— — 224 раза; 9:3 — 124 раза.

397

224

250

130

93

44

98

23

1259

256

124

152

79

28

43

61

25

768

318

123

130

65

50

19

39

19

763

258

98

86

105

25

24

34

20

650

193

49

76

27

22

30

33

16

451

77

54

36

31

28

27

16

9

278

180

91

50

38

17

13

22

16

427

69

46

37

24

12

17

16

15

236

Итого . . .

1753

809

817

499

275

217

319

142

давателями, и дают значительно больше упражнений в легко усваиваемых фактах, чем в фактах, усваиваемых труднее.

Какое количество упражнений следовало бы давать в арифметике? Как следовало бы их распределить между различными связями, подлежащими образованию? Давать упражнений меньше определенного количества вредно, потому что, как это было показано в главе VI, ученику потребуется больше времени на обнаружение или исправление своих ошибок, чем его потребовалось бы на приобретение соответствующих навыков. Давать упражнений больше определенного количества также вредно, потому что это ведет к непродуктивному переучиванию Если 668 упражнений как раз достаточно для связи 2X2, то 82 упражнений недостаточно для связи 9 X 8; если же 82 упражнений как раз достаточно для связи 9X8. то 668 упражнений слишком много для связи 2X2. Мы можем найти ответы на эти вопросы, имея в виду ученика средних способностей (или вообще определенных способностей) путем подходящих опытов. Количество упражнений будет конечно изменяться в зависимости от способностей ученика. Оно будет изменяться также в зависимости от того интереса, который пробужден в ученике, и от степени удовлетворения, которое он испытывает от своих успехов и от приобретения навыков. Оно будет также изменяться в зависимости от количества упражнений в других родственных связях: 7-J-7 — 14 и 60:7 = 8 и 4 в остатке будут облегчать

Количество упражнений. Примеры на деление без остатка в учебнике (В).

Части I и II.

образование связей 7 + 8 = 15 и 61:7 = 8 и 5 в остатке. Оно будет конечно изменяться и в соответствии с общей трудностью связи; так связь 17 — 8 = 9 создается при обычных условиях преподавания труднее, чем 7 — 2 = 5.

Пока у нас нет подходящих опытов, мы можем оценивать количество упражнений, необходимых для образования основных связей, изложенным ниже способом, предполагая, что к концу шестого года обучения мы должны иметь прочность связей, дающую 199 правильных ответов из 200, и что преподавание ведется вполне подготовленным лицом в соответствии с психологическими принципами в отношении как способностей, так и интереса к занятиям.

Для одной из самых легких связей, наиболее облегчаемой другими связями (как например 2X5=10, 10 — 2 = 8 или двойная связь 7 = дважды 3 и 1 в остатке , достаточно двенадцати упражнений в течение недели первоначального изучения, подкрепляемых пятью упражнениями в течение последующих двух месяцев и фиксируемых тридцатью упражнениями, целесообразно распределенными в течение более поздних периодов, если иметь в виду посредственного или среднего ученика. Для более способных учеников это количество можно сократить соответственно до шести, двенадцати и пятнадцати. Для менее способных учеников может потребоваться увеличение этого количества до тридцати, пятидесяти и ста. Если ученик требует до двухсот повторений каждой из этих легких связей, то мы должны подвергнуть сомнению, стоит ли вообще обучать его арифметике сверх немногих практически необходимых ее элементов.

Для связей обычной трудности, лишь средне облегчаемых другими связями (как например 11—3, 4X7 или 48:<8 = 6), мы можем предложить двадцать упражнений в неделю при первоначальном ознакомлении, подкрепляемых тридцатью упражнениями и фиксируемых пятьюдесятью упражнениями, целесообразно распределяемыми в течение более поздних периодов, если иметь в виду посредственного или среднего ученика. Более способные ученики могут приобрести и сохранить навыки с помощью двенадцати, пятнадцати и двадцати упражнений соответственно. Неспособные к арифметике ученики могут нуждаться в двадцати, шестидесяти и двухстах упражнениях. Здесь мы опять должны усумниться в том, чтобы стоило обучать большему числу арифметических фактов ученика, которому столь трудно усвоить подобные элементарные истины, хорошо преподанные и сделанные интересными.

Табл

Деление с остатком и

Вся работа на протяжении 6-го года обучения за ис

ица 8.

без остатка. Книга В.

ключением проб цифр частного при подробном делении.

Для связей большей трудности, менее облегчаемых другими связями (как например 17 — 9, 8Х? или 12°/0 = -^-) количество упражнений должно быть больше на 10—100% чем в приведенном выше случае.

НЕДОУЧИВАНИЕ И ПЕРЕУЧИВАНИЕ.

Если мы примем вышеуказанные предварительные оценки как разумные, то мы сможем определить тот вред, который приносится задаванием меньшего или большего количества упражнений, чем это признано разумным. Меньшее количество не может быть оправдано: время ученика бесполезно тратится в этом случае на чрезмерное количество проверок для отыскания ошибок; возникает опасность упражнения в ошибках; внимание ученика отвлекается от изучения новых фактов и процессов необходимостью продумывать те факты, которыми он владеет только предположительно; все новые связи становятся более трудными для усвоения, чем они должны бы были быть, потому, что связи, которые должны бы были облегчать их создание, недостаточно прочны для выполнения указанной работы. Большее количество вредно до некоторой степени потому, что оно требует затраты времени, которое могло бы лучше расходоваться для других целей, и потому, что оно неизбежно уменьшает интерес ученика к арифметике. В некоторых случаях однако такой избыток упражнений и переучивание являются даже желательными. Особое значение имеют в этом отношении следующие три случая.

Первый — случай связи, действующей в измененных условиях умственной постановки или формулировки. Ученик может прекрасно знать произведение 7X8 как таковое, но он нуждается в дополнительной практике, чтобы найти это произведение в примере 7, где он должен помнить, что получив 56, ом должен прибавить к нему еще 3, а записать должен только 9; 5 же должен удержать в уме для позднейшего использования. Упражнения, необходимые для продуктивной работы связи в этих новых условиях, желательны, хотя они и являются излишними с Солее узкой точки зрения и вызывают переучивание прямой связи „семью восемь пятьдесят шесть“. Равным образом работа ученика над примерами 24, 34, 44 и т д. -J-9 требует такого количества упражнений, которое мо кет показаться излишним с точки зрения связи

4-f- 9, взятой отдельно; его работа при определении приблизительных цифр частного в подробном делении может дать избыток упражнений с точки зрения таблиц деления. Таких случаев очень много. Даже сложение 5 и 7 в примерах ^-f- ^ представляет собою не совсем то же, что простое сложение 5 и 7, не осложненное тем фактом, что складывать надо двенадцатые доли. Мы знаем еще слишком мало относительно количества упражнений, необходимых для приспособления арифметических связей к производственной работе в этих более сложных условиях, чтобы определить даже приблизительно желательную норму избыточных упражнений. Тем не менее некоторое и часто довольно большое количество их должно быть предусмотрено.

Второй случай желательности переучивания — это случай, когда вычисление должно выполняться учеником очень легко и совершенно твердо при всех условиях кроме какого-нибудь одного, в котором участвует новый элемент, находящийся в процессе изучения. Например, преподавая значение и применение „средних чисел“ и неточного деления, мы можем сознательно отдавать предпочтение делителям 2, 3 и 4 перед 7 и 9, чтобы предоставить ученикам возможность затрачивать всю их энергию на изучение новых фактов и сделать дроби в частном более доступными для понимания, более реальными и более осмысленными. Преподавая сложение смешанных чисел, следует отдавать предпочтение на ранних ступенях примерам 24 перед такими 67, чтобы не отвлекать внимания ученика от этого нового процесса как такового. При сокращении дробей можно давать избыточные упражнения на делителей 2, 3, 4 и 5, чтобы облегчить переход к новому навыку одновременного рассмотрения двух чисел с точки зрения их делимости на одно и то же число. При начале изучения коммерческого учета можно давать избыточные упражнения на „5% от“ и „l0% от“, чтобы значение учета не затемнялось трудностью вычисления как такового. Таким образом избыток упражнений и „переучивание“ некоторых связей очень часто имеют свое оправдание.

Третий случай касается связей, ценность которых для практического жизненного применения или облегчения других связей так велика, что они могут быть с пользой для дела доведены до большей прочности, чем 199 правильных ответов из 200 при скорости в 2 секунды или менее, или могут быть доведены до этой степени прочности очень рано. Примерами связей, имеющих особую практическую полезность, являются вычитания из 10, сложения-^-{--^-;— -{- -, определения у от 60;-^- от 60 и дробных частей 12 и 1 руб. Примерами связей, значительно облегчающих образование других связей, являются связи десятью 10 = 100, десятью 100= 1000, сложения, подобные 2 +2, 3-f-3 и 4-}-4, и все звенья таблицы умножения до 9x9.

По вопросу об этих трех случаях или принципах, оправдывающих избыточные упражнения, можно было бы написать целый том, излагающий, сколько упражнений нужно давать на каждую связь каждого типа сложных положений, в которых она участвует. Чтобы осветить эти факты, необходимо конечно большое количество опытов; для обеспечения же продуктивности обучения и недопущения излишнего переучивания потребуется немало здравомыслия и изобретательности.

Следующие факты имеют первостепенную важность:

1. Учебник или какое-либо другое пособие при обучении, служащее общим руководством для преподавателя, может давать слишком мало упражнений на определенные связи.

2. Оно может содержать явно нецелесообразное распределение упражнений.

3. Преподаватель должен знать поэтому, сколько упражнений дает руководство, в чем он должен его дополнить и что он должен из него опустить.

4. Сокращение числа упражнений по соображениям очевидного избытка их должно делаться только после тщательного рассмотрения вопроса с точки зрения изложенного выше третьего принципа.

5. Количество упражнений должно всегда рассматриваться в свете того, какой интерес они пробуждают и как они используют стремление ученика работать с полной энергией и рвением. Простое повторение связей, при котором ученик не следит за тем, совершенствуется он или нет, редко может быть чем-либо оправдано.

6. Упражнения, являющиеся фактически избыточными, еще не представляют собою большого недостатка, если они доставляют ученику удовольствие и усиливают склонность его к арифметике. Времени при этом теряется немного: сто упражнений для каждой из тысячи связей потребуют, после того как достигнут навык в правильном решении 199 примеров из 200, считая по 2 секунды, несколько менее 60 часов на все, т. е. менее, чем по 15 часов в год в группах 3-й — 6-й.

7. При правильном распределении упражнений между связями, ведении обучения так, чтобы каждая связь помогала другим связям, быстром приспособлении упражнения с данной связью к каждому новому типу положения, требующего, чтобы она действовала и при изменившихся обстоятельствах, и устранении излишних упражнений, при которых не приобретается ничего существенного, можно ожидать значительно лучших результатов по сравнению с прошлым приобретением навыков наугад.

8. Пока преподаватель не располагает таким материалом для упражнений, который соответствует своему назначению, хорошо распределен и достаточно мотивирован, он должен вести точный учет того, что усваивают его ученики. В противном случае почти наверное будет иметь место катастрофическое недоучивание многих связей и задержка в развитии ученика.

ОРГАНИЗАЦИЯ СПОСОБНОСТЕЙ.

Можно опасаться, что краткость и простота изложения вопроса о связи или способности и о количестве упражнений, требуемых ею, может привести читателя к ложной мысли, что эти связи и способности должны вырабатываться и сохраняться сами по себе, каждая в отдельности. Однако вырабатываться так они должны лишь в редких случаях и никогда не должны так сохраняться. От времени до времени мы уже указывали на это, ссылаясь на важность образования связи в том виде, в каком она будет применяться в жизни, на действие связей в измененных условиях, на облегчение одной связи другими, на согласованное действие способностей и наконец на слияние этих последних в одну полную арифметическую способность.

Можно считать определенным фактом, что только малая доля арифметических упражнений посвящается образованию изолированных связей. Даже очень юные ученики, изучая „5 и 3 равно 8“, должны учить это, так сказать, с задней мыслью о том, что „5и5 равно 10“, „5 и 2 равно 7“. Уже на

такой ранней ступени пример 5-4-3 = 8 должен составлять часть организованной, согласованной системы связей. Позднее к этому присоединяется связь 50 4-30=80. Каждая связь должна рассматриваться не просто как отдельный инструмент, положенный в ящик до востребования, но и как часть, совершенствующая весь инструмент или машину, т. е. арифметическую способность вообще.

Конечно бывают различия. Знание квадратного корня можно считать до некоторой степени отдельным орудием, которое следует заострить, отточить, отполировать и применять само по себе, в то время как знание таблиц умножения так рассматривать нельзя. Однако даже и квадратные корень вероятно было бы лучше сделать более тесной частью полной способности, рассматривая его как особый случай деления, при котором делитель должен быть равен частному, и действие заключается в подыскании и проверке.

Вообще мы не хотим, чтобы ученик был складом отдельных способностей, каждая из которых может действовать только в том случае, если вы предлагаете ему точно такие же вопросы, какие обычно предлагал ему преподаватель, или как-либо иначе указываете ему, какого рола арифметическое орудие он должен в данном случае применить. Скорее он должен быть производительной организацией способностей, действующих согласованно и целесообразно при встрече с количественными задачами, предлагаемыми жизнью. Как правило, он не должен думать таким например образом: „Что это — процентные деньги или учет? Простые это проценты или сложные? Что я делал со сложными процентами? Как умножить на 2°/0?“ Положение, которое вызывает представление о процентах, должно вызвать и сопутствующее представление о роде процентов, техника же обращения с процентами должна быть так тесно связана в его уме с представлением процентов, что правильное согласование должно происходить почти без всякого контроля с его стороны.

Как только какая-либо новая связь приобретена, мы пытаемся заставить ее занять свое место в качестве фактора усовершенствования мыслящего существа, полноправного члена целой организации, борца, сражающегося плечо к плечу с другими, элемента в образовании человека. Такая организация связей не может создаться сама по себе, совершенно так же как не может возникнуть сама по себе и любая отдельная связь. Если элементы арифметической способности должны действовать совместно как единая организованная сила, то их надо заставить действовать совместно в процессе

обучения. То, что мы хотим видеть действующим согласованно, мы должны соединить вместе и заставить поработать в одной упряжке.

Мы можем многое сделать для обеспечения согласованного действия в соответствии с тем, когда, где и в каком виде оно требуется и притом очень простым способом, именно, давая упражнения на вычисления и задачи в том виде, как их ставит жизнь, вместо того чтобы придумывать искусственные упражнения и задачи только для приложения определенных фактов или принципов как таковых. Несмотря на то что ученик решал десятки задач, гласящих: „треугольник имеет основание в а дециметров и высоту в b дециметров, чему равна его площадь“, — все же он может оказаться практически беспомощным при определении площади треугольного участка земли и еще более беспомощным в применении формулы вычисления площади треугольника при определении площади одного из двух треугольников, на которые разделена трапеция. Несмотря на то что ученик выучился решать задачи на простые проценты, сложные проценты и учет взятые в отдельности и изложенные в немногих твердых формах, он может оказаться практически беспомощным перед рядом реальных задач, встретившихся ему в жизни: он может просрочить платеж, хотя мог бы взять для платежа деньги из сберегательной кассы, или, наоборот, взять деньги из сберегательной кассы вместо того, чтобы прибегнуть к безналичному расчету.

Вместо того чтобы придумывать задачи, которые соотвествовали бы способностям, развиваемым школьным преподаванием, нам следовало бы лучше видоизменить школьное преподавание так, чтобы арифметические способности были организованы в целостную производительную способность, готовую встретить задачи, которые будет предлагать жизнь. Обобщая еще более, скажем: каждую создаваемую связь нужно создавать с должным учетом каждой другой связи, которая уже создана или будет создана; каждую способность нужно упражнять в возможно более производительных сочетаниях с другими способностями.

ГЛАВА VII.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТЕМ. ПОРЯДОК ОБРАЗОВАНИЯ СВЯЗЕЙ.

Следующим шагом после выбора связей, подлежащих образованию, является установление наиболее экономичного порядка их образования,— такого порядка, при котором каждая связь возможно больше помогала бы другим связям и достигалось бы наибольшее облегчение и наименьшее затруднение.

Принцип этот достаточно очевиден и был бы вероятно принят в теории любым разумным преподавателем; однако на практике мы до сих пор еще связаны условными обычаями, которые укоренились задолго до того, как начала изучаться психология арифметики. Например мы унаследовали обычай проходить полностью сначала сложение целых чисел, потом вычитание, потом умножение, а затем и деление, и многие из нас следуют этому обычаю, несмотря на то, что никто никогда не давал доказательства, что это — наилучший порярок обучения арифметике. Мы унаследовали также противоположный обычай обучения по так называемой „спиральной“ системе, при которой сперва проходится немного из сложения, вычитания, умножения и деления, затем немного более из тех же областей, потом еще немного более, и многие из нас следуют этому обычаю с неразумной верой в то, что смена одного процесса другим полезна сама по себе (per se).

Такие обычаи очень сильны и характеризуют наше общее стремление сохранять большинство привычек, которых мы не можем оправдать. Превращение и раздробление именованных чисел до настоящего времени откладывается большинством руководств до четвертой или пятой групп, хотя этот материал имеет гораздо большую ценность в качестве упражнения в таблицах умножения и деления, чем обычные задачи на яблоки, яйца, апельсины, тетрадки и ручки. Благодаря ли исторической случайности или вследствие какого-либо разумного основания, но общее изучение именованных

чисел было отложено на позднее время; в силу нашего наивного представления о порядке и системе мы считали еретическим всякое применение именованных чисел до этого времени; таким образом мы не видели преимуществ применения различных мер, монет, дней и т. д. при прохождении хотя бы таблицы умножения. А между тем задачи, подобные следующим: 3 пятачка = ... коп. или 15 коп. = пятачкам, имеют весьма большое преимущество не только в краткости, ясности, практической полезности, реальности положения и готовом разнообразии, но также и в том, что часть данных должна полезным образом представляться в уме, вместо того чтобы считываться с книги. В действительных жизненных условиях, идя покупать на 20 копеек тетрадки определенного сорта, мы уже представляем себе цену покупаемой тетрадки и спрашиваем продавца о цене только в том случае, если сами ее не знаем; как правило, задумывая покупку, мы уже представляем себе соответствующие цены. Несмотря на эти и другие преимущества, ни одно из десяти руководств вплоть до 1900 г. не вводило более раннего применения этих упражнений с именованными числами. Так велика сила простого обычая и привычки.

Кроме этих условных обычаев среди лиц, ответственных за преподавание арифметики, замечалось восхищение таким распределением материала, которое облегчало лицу, уже владевшему предметом, представление его составных частей и их взаимоотношений. Такое распределение часто называли „логическим распределением материала“, хотя оно часто бывало весьма далеко от логического в каком бы то ни было смысле. Но наиболее легкий порядок умственного обозрения схемы навыков, после того как вы приобрели последнее, может оказаться чрезвычайно трудным порядком для приобретения их. Критика других схем, как „лоскутных“ или „бессистемных“, которая была бы довольно ценной, если бы школьный курс мыслился как предмет созерцания, становится неосновательной, если рассматривать его как рабочее орудие для усовершенствования обучения арифметике.

Мы должны помнить, что все наше систематизирование и классифицирование в значительной степени лишены значения в глазах учеников. Они ни в какой мере не могут оценить систему как последовательный переход отданного пункта к такому-то и такому-то, потому что они не знают еще этих последних пунктов. Как правило, они не считают свою работу в четвертой группе результатом своей работы в третьей группе, распространенным от а к а19 дополненным прибавлением Ь2иЬ^

к b и b1 и уточненным с и d до с4 и rf5. Они могли бы дать только самый неопределенный отчет о том, что они делали в третьей группе, и еще меньше могли бы сказать о том, почему они должны были это делать тогда. Их не слишком смущает отсутствие так называемой „системы“ и „логической“ последовательности по той же причине, по которой наличность такой системы не оказывает им слишком большой помощи. В чем они нуждаются и что они могут использовать — это динамически производительная система или последовательность, единственная, которую они могут усваивать легко и надолго независимо от того, как она стала бы выглядеть в музее арифметических систем. Пока их рабочие арифметические навыки не образовали полезных связей, нет смысла рассматривать так называемые логические соотношения; если же их навыки образовали эти связи, то не имеет большого значения, рассматривали ли они указанные логические соотношения или нет; наконец лучше всего они могут рассмотреть их, приобретя сперва правильные навыки в динамически производительной последовательности.

УМЕНЬШЕНИЕ ЗАТРУДНЕНИЙ И УВЕЛИЧЕНИЕ ОБЛЕГЧЕНИЙ.

Психология не указывает простого, легкого, широкого пути для открытия этой динамически наилучшей последовательности. Она может только обследовать связи, установить, что необходимо должно предшествовать каждой связи и что представляет собою данная связь в качестве будущего пособия, рекомендовать для испытания некоторые последовательности и измерить эффективность каждой последовательности с точки зрения достижения желаемых результатов. А для этого потребуется большая изобретательность мысли и тщательные опыты многих талантливых исследователей в течение ряда лет.

Однако психология может уже и сейчас оказать солидную и многостороннюю помощь в построении системы обучения, или рекомендуя последовательность, которая почти наверное окажется лучше общепринятых в настоящее время, или предлагая для испытания последовательности, которые могут быть приняты или отвергнуты после перекрестных тестов.

Рассмотрим например следующее положение: „сложить столбец однозначных чисел, сумма которых больше 9м, и ответ на него: „подписывая сумму“. Обычно эта связь твердо устанавливается до перехода к сложению двузначных чисел. В результате ученик приобретает навык, который он должен разрушить, переходя к изучению двузначных чисел. Если

на такие простые столбцы мы будем давать только устные ответы до тех пор, пока не будет налажено сложение двузначных чисел, то затруднение будет избегнуто.

Во многих школьных курсах придерживаются следующего порядка систематического образования связей таблицы умножения: 1X1,2X1 и т. д., 1 X 2, 2 X 2 и т. д., 1 X 3, 2 X 3 и т. д., 1 X 9, 2 X 9 и т. д. Это вероятно ошибочно в двух отношениях. Имеется полное основание предполагать, что умножения на 5 должны проходиться сначала, так как их легче изучить, чем умножения на 1 или на 2, и идею умножения они выявляют более выразительно и ясно. Равным образом имеется полное основание думать, что умножения 1X5, 1X2, 1 X 3 и т. д. должны быть отнесены на более позднее время, когда будут усвоены по крайней мере три или четыре таблицы, так как вопрос: „сколько будет одинажды 2?“ (или 3 или 5) совершенно не нужен до тех пор, пока мы не при ступили к умножению двух- и трехзначных чисел, и, будучи предложен слишком рано, затемняет представление об умножении. Притом же эти случаи лучше усваиваются все разом как навыки: „одинажды k — то же самое, что k“ и „k раз 1—то же самое, что k1".

В другом случае предлагалось изучать деление до 81:9 с помощью мысленного отбора или рассуждения, исходя из случаев умножения. Это определяет такой порядок создания связей, при котором образование связей деления происходило бы вскоре после того, как изучены связи умножения. Эта тесная близость связей желательна и по другим причинам.

Одна из произвольных схем порядка образования связей ограничивает действия сперва числами от 1 до 10, затем числами, меньшими 100, потом числами, меньшими 1000, и наконец числами, меньшими 10000. Если не считать устранения из прикладной арифметики нереальных и педантичных задач, к которым до некоторой степени располагает работа с большими числами в младших группах, то в таком ограничении порядка образования связей остается очень мало

1 Мы не имеем здесь в вид/ раннего усвоения примеров 2X2, 2X3. 3X2, 2 X 4> 4 X 2, 3 X 3 и, возможно, еще несколько случаев умножения. Это можно рекомендовать. Случаев 0X0, 0X1» 1X0 и т. д. мы здесь вовсе не рассматриваем. Вероятно связи „ X 0“ целесообразно отложить до того времени, когда все прочие связи будут образованы и применены в кратком умножении; создавать их следует в тесной связи с их применением в кратком умножении. Связи „0Х“ могут быть прекрасно отложены до того времени, пока они не потребуются при „подробном“ умножении; связь „0X0“ должна появиться последней.

Примечание автора.

достоинств. Недостатков же в нем очень много. Например когда ученик проходит перенос при сложении, то ему можно дать прекрасную практику, включив вскоре же примеры с суммами больше 100; а проделав несколько примеров на сложение трех- и четырехзначных чисел, он может приобрести ценное понятие об общем применении этого процесса. То же самое относится и к вычитанию. Действительно, кое-что можно сказать даже в пользу применения шести- или семизначных чисел при вычитании, так как это укрепляет прием „занимания“, которое приходится проделывать опять и опять в одном и том же примере, и ставит этот прием под контроль необходимостью опять и опять решать вопрос, нужно ли „занимать“ или нет в одном и том же примере. После того как будут пройдены таблицы умножения, наиболее важным применением их явятся не утомительные обзоры или тривильные задачи с ответами меньше 100, а систематические упражнения в „кратком“ умножении двух-трех-и даже четырехзначных чисел. Подобно тому как комбинация сложения действует главным образом при видоизменении их в случае перехода к единицам высшего порядка, и комбинации умножения действуют главным образом в тех случаях, когда при пользовании связью приходится одновременно уделять вни мание дополнительной задаче соблюдения правильного расположения цифр, прибавления того, что переносится от предыдущего, записи правильной цифры на правильном месте и запоминания правильного числа для последующего прибавления. Повидимому лучше всего начинать такое краткое умножение, как только будут усвоены умножения на 5, на 2, из 3 и на 4, и вводить умножения на 6, на 7 и далее в упражнения на краткое умножение» по мере того как будет проходиться каждое из них.

Потребность в четырех- пяти- и шестизначных числах становится еще настоятельнее, когда переходят к умножению двузначных чисел. Вскоре после того как ученики усвоят процесс умножения на двузначное число, должны последовать упражнения в умножении и на трехзначное число. В этот момент они нисколько не труднее, чем позднее. Наоборот, если ученик приобретает только такие навыки в умножении, которые даются двузначными множителями, то он гораздо больше страдает от получающихся осложнений, чем от получения шести или семизначных ответов, значения которых он не может еще себе точно представить. Они уясняют законы и приемы подробного умножения с исключительной экономичностью, потому что принципы и действия

применяются по два или три раза сряду и разница между значениями, которые частичные произведения имеют при сложении, наблюдается три раза вместо одного.

Весь материал подробного умножения с целыми числами и монетами следует рассматривать как цельную педагогическую единицу и создавать согласованные связи хотя бы при этом случайно встречались такие большие числа, как 900000. Обусловливается это не тем, что такой порядок более логичен или менее случаен, а тем, что каждая связь получает при этом больше помощи от других связей и сама в свою очередь оказывает больше помощи другим связям.

В резком контрасте с разделом, подобным „подробному“ умножению, стоит такой раздел, как „именованные числа“. Совершенно ясно, что его нельзя рассматривать как обширное педагогическое целое; не следует конечно и создавать в тесной последовательности всех связей, участвующих в сложении, вычитании, умножении и делении всех обычных видов мер. Превращение и раздробление многих мер следует проходить как упражнения в соответствующих таблицах умножения и деления. Раздробление дает прекрасный материал для упражнений в соответствии с задачами типа „(аХ Ь)-\--\-с= •. .“ или „куплено 3 кило соли по 9 коп. за кило и на 5 коп. спичек“. Превращение мер дает прекрасный материал для задач типа „d = (... X b) + с“ или задач, требующих определения „сдачи“ и являющихся, при условии применения малых чисел, прекрасным подготовительным материалом для краткого деления. Они оказывают также большую помощь при первоначальной работе с дробями. Метр — километр, квадратный метр — квадратный дециметр и прочие простые соотношения дают жизненный и понятный материал для умножения больших чисел.

Знание метрической системы линейных и квадратных мер в качестве введения к десятичным дробям вероятно с избытком вознаградило бы учеников за потраченное на усвоение их время. Может быть, стоило бы даже изобрести некоторые единицы измерения, средние между принятыми в настоящее время, например между литром и кубическим сантиметром, чтобы разнообразить применение их при преподавании различных арифметических действий. Таким образом многие связи, бесполезно сваливаемые традиционной систематикой в одну кучу в главе об именованных числах, должны были бы создаваться как полезный материал для подготовки и применения других связей в течение всего четырехлетнего периода обучения арифметике.

Связи, участвующие в способности отвечать правильно на ряды:

5 =____раз по 2 и____ в остатке

5=.... раз по 3 и .... в остатке 88 = .... раз по 9 и .... в остатке

следовало бы создавать до, а не во время изучения краткого деления. Действительно, они представляют собою прекрасный материал для упражнения в таблицах деления, приносят практическую пользу при решении задач на сдавание сдачи при маленьких покупках и т. п., упрощают довольно запутанную при других условиях задачу соблюдения правильного расположения цифр, выбора цифр частного, умножения на нее, вычитания и удержания в уме нового числа, подлежащего делению и составленного частью из остатка, частью из цифры написанного делимого. Такое изменение порядка является хорошим примером почти общего правила: когда упражнения или обзор, необходимые для усовершенствования или укрепления некоторых связей, могут быть превращены путем незначительного изменения в полезное пособие для новых связей, то это изменение должно быть произведено.

Связи, участвующие в четырех действиях над монетами, должны создаваться в течение третьего и четвертого годов обучения одновременно или вскоре после создания соответствующих связей, касающихся трех- и четырехзначных целых чисел.

Это утверждение показалось бы вероятно нелепым педагогам прошлого пятидесятилетия. „Монеты, сказали бы они, являются применением десятичных дробей. Как можно изучать их, когда неизвестна еще сущность десятичных дробей? Как может ребенок понять при умножении 75 коп. на 3, что трижды 5 коп. составляют 1 гривенник и 1 пятачок (или 1 пятиалтынный) и что трижды 70 коп. равны 2 рублям и 1 гривеннику? Зачем смущать юных учеников трудностями постановки десятичной запятой? Зачем мешать усвоению четырех действий над целыми числами, прибавляя на каждом шагу какое-то действие над монетами“

Рассмотренный нами случай отлично иллюстрирует ошибочность старого излишне систематизированного трактования последовательности тем и еще более важную ошибку смешения логики доказательства с психологией обучения. Чтобы доказать для услаждения некоторых преподавателей арифметики, что 1,75 руб. X 3 = 5,25 руб., нам необходимо знать теорию десятичных дробей; но все, что необходимо ребенку

для выполнения такого умножения, — это проделать то же самое, что он делает при умножении целых чисел, а затем „поставить после ответа знак „руб.,“ чтобы показать, что это рубли и копейки, и поставить десятичную запятую, чтобы показать, какие цифры обозначают рубли и какие копейки“. И это замечание имеет совершенно общее значение. Способность производить действия над целыми числами плюс два навыка — ставить после цифр ответа „руб.“ и отделять в нем рубли от копеек — дают ученику возможность выполнять действия и над монетами.

Вследствие этого разумный опыт привел к применению монет не в виде вывода из теории десятичных дробей, изучаемого с их помощью, а в виде вступления к десятичным дробям, которое помогает ученику изучить их. Таким образом опыт постепенно отодвигает работу над монетами на более и более ранние ступени, хотя все еще несколько робко.

Мы не должны однако быть робкими. Ученик не будет испытывать затруднений при сложении, вычитании, умножении и делении монет, если только мы сами не создадим их нашими объяснениями. Если мы просто образуем две описанных выше связи и покажем при помощи соответствующей проверки, что данный прием всегда дает правильный ответ, то раннее преподавание четырех действий над монетами окажется действительным педагогическим достижением. Оно сбережет больше времени при работе над целыми числами, чем сколько его будет затрачено на изучение этого. В самом деле, во-первых, это поможет сделать работу над четырех- и пятизначными числами более понятной и жизненной: ученик легче может понять выражения 16,75 руб. или 28,79 руб., чем 1675 или 2879, так как первые могут обозначать цены на костюм, коньки или теннисную ракетку. Во-вторых, это позволяет использовать огромный запас жизненных задач, связанных с расходами, сбережениями, распределением и т. п., а также с объявлениями, каталогами и различными школьными начинаниями. В-третьих, это позволяет применять проверку, основанную на здравом смысле. Ученик может сказать, нисколько не смущаясь, что четверть 3000 равна 7 050 или 75, и в то же время легко соображает, что четверть 30,00 руб. не может быть более 70 рублей или менее 1 рубля. Даже самая десятичная запятая, которой мы обычно так боялись, в действительности помогает глазу сохранять место цифр при сложении столбцов.

ИНТЕРЕС.

Рассмотренные нами примеры улучшения последовательности связей, имевшие целью достигнуть меньших затруднений и большего облегчения, чем это наблюдается при общепринятых системах, касались главным образом улучшения механической организации связей. Некоторое повышение интереса, достигаемое описанными изменениями, обязано в значительной степени наличию больших успехов как таковых. Дьюи (Dewey) и другие выдвинули совершенно иной принцип улучшения порядка образования связей — принцип определения связей, подлежащих созданию, с помощью какой-нибудь жизненной, увлекательной задачи, которая возбуждает интерес, достаточный для освещения смысла работы, и выходит за пределы сухих планов последовательности или даже противоречит им во имя продуктивности работы. Например в течение первого месяца занятий в группе II В можно пожертвовать облегчениями механического характера ради применения арифметики к решению вопроса, какие размеры должна иметь клетка для кролика, чтобы пол ее содержал 120 дм2; сколько хлеба нужно ему давать каждый раз, если в день он должен получать 50 г, насколько хватит ему батона, ценою в 11 коп. и весом в 400 г, сколько батонов надо покупать для него в месяц, сколько стоит пропитание кролика, насколько он прибавился в весе с тех пор, как его принесли в школу, и т. д.

Такое принесение в жертву лучшего порядка, возбуждающего равный интерес, во имя достижения большего или более здорового интереса заслуживает полного оправдания. Жизненные задачи имеют первостепенное значение как ядро, около которого организуется обучение арифметике. Пожалуй, можно даже требовать, чтобы каждому новому процессу, например сложению с „переносом“, умножению двузначных чисел или делению десятичных дробей, предпосылалось в виде части введения к нему несколько жизненных задач-положений, требующих применения этого процесса. Жертва эта не должна быть однако слишком большой; подыскание жизненных задач, которые соответствовали бы экономному порядку изложения материала, необходимо в той же степени, как и улучшение этого порядка для соответствия известным интересам; и уверенность в том, что данная задача помогает ученику изучать арифметику, имеет такое же значение, как и уверенность в том, что арифметика применяется для оказания помощи ученику в решении его личных задач.

Потребуется много изобретательности и экспериментирования, чтобы установить такой порядок, который был бы удовлетворительным с точки зрения как качества и количества интересов или побуждений, так и взаимной полезности связей. Трудность организации преподавания арифметики на основе занимательных задач значительно усиливается фактом классного группового обучения. Для каждого ученика в отдельности можно найти индивидуальные жизненные задачи и положения, способные развить многие арифметические способности; попутно с этим можно тем или иным способом сообщить ученику и те необходимые познания и технику, которых эти задачи не развивают. Но тридцать учащихся, из которых половина — мальчики, а половина — девочки, с разницею в возрасте до пяти лет, и которые пришли из различных семей, с различными природными способностями, — не могут единодушно почувствовать такого-то сентября 19--г. жизненную потребность решить такую-то задачу, а затем, скажем, 15 октября, почувствовать также единодушно потребность решить другую задачу. С точки зрения механических законов обучения дети очень похожи друг на друга, и те преимущества, которые мы можем надеяться получить от сокращения затруднений и увеличения облегчений, в обычных условиях классного преподавания будут вероятно больше, чем преимущества, достигаемые изобретением увлекательных центральных задач. Мы должны однако добиваться возможно большего от обоих этих средств.

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ.

После всего изложенного читатель может почувствовать себя довольно беспомощным перед задачей распределения арифметического учебного материала. „То вы дополняете данный отдел, то вы разбиваете его на части и берете последние в отдельности в течение месяцев и лет, то вы проделываете странные зигзаги и ухищрения, чтобы получить стратегическое преимущество над врагом“, может быть думает он, „но разве в этом вопросе нет руководящих принципов, нет общих правил?“ Есть только одно правило, которое является абсолютно общим, а именно: избирайте такой порядок, который дает наилучшие результаты при преподавании арифметики. Существуют и частные правила, но их так много и они так ограничены оговоркой „при прочих равных условиях“, что, пожалуй, лучше детально продумать все „за“ и „против“ в отношении каждого данного предложения, чем упорно стремиться придерживаться всех этих правил.

Я установлю здесь некоторые из таких правил и поясню их примерами, предоставив самому читателю составить себе о них окончательное суждение.

При прочих равных условиях не следует вводить новых связей до тех пор, пока предшествующая группа их не будет окончательно установлена; не следует также одновременно вводить две различные группы связей. Так умножение двух-и трехзначных чисел на 2, 3, 4 и 5 следует проходить сначала с числами, при которых не требуется „переноса“ и не встречается затруднений с нулями; затем можно ввести примеры с переносом и с такими множимыми, как 206 или 320. Если бы прочие условия были равны, то перенос следовало бы расчленить на две ступени: во-первых, упражнения, подобные (4 X 6) + 2, (3 X 7) + 3, (5 X 4) -f 1 и т. д., и, во-вторых, действительное применение этих навыков к умножению. Такое расчленение этого двойного навыка встречает возражение, что первая его часть, взятая в отдельности, имеет слишком искусственный характер и что лучше претерпеть лишнюю трудность одновременного образования обеих связей, чем развивать столь редко применяемые навыки, как связанные с рядами (а X Ь) +с. Чтобы решить этот вопрос, необходимы экспериментальные исследования.

При прочих равных условиях связи должны образовываться в такой последовательности, чтобы ни одну из них не приходилось впоследствии разрушать. Например имеется веское доказательство в пользу того, чтобы с самого же начала или очень рано преподавать подробное деление уже с остатками, рассматривая случай с нулевым остатком как один из многих других. Если ученики уже освоились с понятием остатка, проделывая упражнения, рекомендованные для подготовки к краткому делению, то обращение с остатками при подробном делении представит мало затруднений. Исключительное пользование примерами без остатков может выработать привычку быть неточным в вычислении, доверяться „точности деления“ как единственной поверке действия и даже прямо подписывать число, соответствующее последнему частному делимому, вместо того чтобы получать его путем добросовестного умножения.

По тем же причинам уже на очень ранних ступенях сложения столбцов с „переносом“ можно рекомендовать давать примеры, где наряду с 1 „переносу“ подлежат и 2, и 3. Здесь имеется еще то дополнительное преимущество, что ученик скорее вспоминает о необходимости „переноса“, когда ему приходится думать о том, что он должен перенести.

Современный обычай пользоваться малыми числами для облегчения сложения как такового приучает многих детей смотреть на перенос, как на прибавление единицы.

При прочих равных условиях распределение должно стремиться к разнообразию. Таким образом представляется с большой долей вероятности разумным прервать однообразие изучения таблиц умножения и деления изложением основ „краткого“ умножения, а может быть и деления, после того как будет усвоено умножение на 5, 2, 3 и 4. Это дает перерыв на несколько недель. Затем можно давать разнообразные применения умножения на б, 7, 8 и 9 по мере того, как они будут усваиваться. Почти наверное разумно прервать в первом полугодии работу над сложением и вычитанием, введя изучение 2X2, 2X3, 3X2, 2X4, 4X2, 2X5, позднее 2 X Ю, 3 X Ю, 4 X Ю, 5 X Ю, еще позднее ~ + 1 у+ у , от 2, -g- от 4, g- от 6, и давая по временам некоторые полезные упражнения, в которых ученик выявляет все, что он знает о тех или других числах, которые можно поставить в центре важных фактов (например 5, 8, 10, 12, 15 и 20). При прочих равных условиях пользуйтесь наглядными средствами для проверки арифметического приема или вывода, после того как он сделан, а равно и для установления вывода. Учеников полезно заставлять по временам проделывать все, что они могут, пользуясь абстрактно усвоенными соотношениями, и проверять затем результаты наглядным счетом, измерением, сложением и т. п. Например одним из первых шагов в сложении может быть следующий прием: показывают три предмета, кладут их под книгу, показывают еще два предмета, кладут их под книгу, а затем спрашивают, сколько предметов под книгой, вводя наглядный счет как проверку правильности сложения.

При прочих равных условиях откладывайте объяснение того, почему данный прием должен давать правильные результаты до того момента, пока ученики не научатся применять этот прием безошибочно и не убедятся путем проверки в том, что он дает правильные результаты. Обычные предварительные дедуктивные объяснения, почему надо делать так, а не иначе, вместо преподавания того, что следует делать, вероятно бесполезны для всех учеников кроме наиболее способных. Они отнимают много времени, а влияние их на учеников так кратковременно, что, как мы видим, даже самые

ярые методисты арифметики, защищающие их, считают допустимым, чтобы ученики, овладев процессом, забыли его обоснование. Я не вполне уверен, стоит ли вообще проходить дедуктивные доказательства того, почему мы ставим десятичную запятую именно так, как мы это делаем при делении на десятичную дробь, или почему мы обращаем, а потом умножаем при делении на дробь, и т. п. Если проходить их все же стоит, то делать это следует (в отношении всех детей, кроме наиболее способных) после того, как ученики овладели процессом и прониклись к нему доверием. Тогда они по крайней мере знают, в чем заключается процесс, правильность которого они должны доказать, знают, что он действительно правилен, и имеют некоторые шансы усмотреть на основании своего личного опыта, почему он правилен.

Можно отметить, не приводя примеров, еще один принцип. Устанавливайте порядок образования связей с должным учетом задач других предметов школьного преподавания и практических потребностей ученика вне школы. Арифметика — не книга и не замкнутая система упражнений. Она охватывает всю количественную работу учащихся в начальной школе. Никакой другой более узкий взгляд не может быть признан правильным.

ГЛАВА VIII.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ.

ПРОБЛЕМА.

Одно и то же количество упражнений может быть распределено различными способами. Фигуры 7—10 например показывают 200 упражнений в делении на дробь, распределенных на протяжении свыше трех с половиною лет, по 10 месяцев в году, четырьмя различными способами. Фигура 7 показывает, что упражнения распределены почти равномерно в течение всего периода. Фигура 8 указывает на случайное распределение упражнений. Из фигуры 9 видно, что имеется первый основной период обучения, повторение приблизительно через десять недель, повторение в начале седьмой группы, следующее повторение в начале восьмой группы и несколько случайных упражнений, распределенных довольно бессистемно. Из фигуры 10 видно, что имеется основной период обучения, сопровождаемый повторениями, уменьшающимися в количестве и разделяемыми все большими и большими перерывами, и случайные упражнения, даваемые для сохранения навыков в здоровом и бодром состоянии.

Планы I и II очевидно уступают планам III и IV; при этом план IV обещает быть более продуктивным, чем план III, поскольку при применении последнего есть опасность, что в течение десятинедельного перерыва ученик может позабыть многое из того, что он усвоил в начальный период; то же может повториться и в последующем.

Было бы однако неразумным пытаться уже сейчас притти к каким-либо твердым решениям, касающимся упражнений в делении на дробь, или установить, какое распределение упражнений является вообще наилучшим для развития той или иной способности. Установленные до настоящего времени психологические факты еще недостаточны для принятия окончательных решений, и типы распределения упражнений, которые лучше всего соответствовали бы различным способностям, не разработаны даже приблизительно.

Фиг. 7.— План I. Двести упражнений, распределенных довольно равномерно на протяжении 3V2 лет по 10 месяцев. На фигурах 7—10 каждые 2,5 мм по длине основания изображают один месяц. Каждый квадрат, размером 2,5X2,5 мм, соответствует четырем примерам, так что один пример изображается маленьким квадратиком, размером 1,25Х1»25 мм.

Фиг. 8. — План II. Двести упражнений, распределенных случайно на протяжении ЗУ2 лет по 10 месяцев.

Фиг. 9. — План III. Начальный период изучения, три повторения и случайные упражнения.

ПРИМЕРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ.

Исходя из изложенного выше, мы считаем целесообразным изучить несколько случаев действительного распределения упражнений, имеющего место в школьной работе, и установить не наилучшие возможные способы распределения, а лишь способы избежать грубых промахов и наметить разумные, обоснованные пути в этом деле.

Фигуры 11—18 показывают распределение упражнений в умножении со множителями различного вида. При этом X обозначает любую цифру, кроме нуля; 0 обозначает нуль;

Фиг. 10. — План IV. Начальный период изучения, сопровождаемый повторениями, уменьшающимися в количестве и разделяемыми возрастающими перерывами.

таким образом ХХО обозначает множителей, подобных 350, 270 или 160; ХОХ обозначает множителей, подобных 407, 905 или 206; XX обозначает множителей, подобных 25, 17, 38. Каждая из указанных диаграмм охватывает приблизительно З^з года школьной работы, начиная приблизительно со средины 3-й группы и кончая 6-й группой. Они составлены на основании подсчетов по четырем руководствам (Л, В, С к D), причем для подсчета брались последовательно каждые 8 страниц руководства1.

Каждые 2,5 мм по длине основания изображают 8 страниц соответствующего текста; каждые 2,5 X 2,5 мм2 изображают один пример. Руководства, как можно видеть, различаются между собой как по количеству даваемых упражнений, так и по способу их распределения.

Эти способы распределения заслуживают внимательного изучения. Мы отметим здесь лишь наиболее существенные факты, относящиеся к этому вопросу.

Распределение умножений со множителями типа XX в руководстве D (фиг. 14) является едва ли не наилучшим. Руководство А (фиг. 11) дает слишком много упражнений в слишком поздний период; руководство В (фиг, 12) дает

1 В конце тома или отдела подсчет иногда делался и для другого числа страниц — не менее 6 и не более 12. Примечание автора.

Фиг. 11. Распределение упражнений со множителями типа XX в первых двух книгах руководства А, состоящего из трех книг.

слишком мало упражнений в начале обучения; руководство С (фиг. 13) дает слишком много упражнений в начале обучения и в 6-й группе. Распределение умножений со множителями типа ХОХ, предусмотренное руководством D (фиг. 18),

также, пожалуй, является наилучшим. Руководства Л, В и С (фиг. 15, 16 и 17) дают слишком много упражнений вначале и грешат слишком большими интервалами между обзорами для повторения действия. В руководстве С по недосмотру или небрежности приводится без всякого пояснения один пример на это весьма трудное упражнение, задолго до того, как ученики приступают к изучению этого случая умножения.

Фигуры 19—23 относятся все к первым двум книгам руководства Е, состоящего из трех книг.

Фиг. 12. Изображено то же, что и на фигуре 11, но данные взяты из руководства В. Сверх того имеется несколько страниц упражнений, предлагаемых учителями по своему усмотрению; они содержат 24 умножения типа XX.

Фигура 19 показывает распределение упражнений в умножении 5x5 в первых двух книгах указанного руководства Е. Способ построения этой диаграммы тот же, что и принятый для фигур 11—18, с той лишь разницей, что каждые 2,5 мм по длине основания изображают десять страниц текста. Фигура 20 показывает распределение упражнений в умножении 7X7; фигура 21 показывает то же

Фиг. 13. Изображено то же, что и на фигуре 11, но данные взяты из руководства С.

в отношении умножений 6X7 и 7X6 по совокупности. На фигурах 20 и 21 каждые 2,5 мм по длине основания также изображают десять страниц руководства.

Фигуры 22 и 23 показывают соответственное распределение упражнений в делении каждого из чисел 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 и 79 на 8 или на 9, по совокупности, и в делении чисел 81, 82,... 89 на 9. И в этих случаях каждые 2,5 мм длины основания изображают 10 страниц текста.

Фигуры 19—23 указывают на отсутствие плана распределения упражнений. В самом деле, количество упражнений

Фиг. 14. Изображено то же, что и на фигуре 11, но данные взяты из руководства D.

Фиг. 15. Распределение упражнений со множителями типа X0X в первых двух книгах руководства А, содержащего три книги.

Фиг. 16. Изображено то же, что и на фигуре 15, но данные взяты из руководства В. Сверх того имеется несколько страниц упражнений, предлагаемых учителем по своему усмотрению; они содержат 17 умножений типа ХОХ.

Фиг. 17. Изображено то же, что и на фигуре 15, но данные взяты из руководства С.

Фиг. 18. Изображено то же, что и на фигуре 15, но данные взяты из руководства D.

Фиг. 19. Распределение упражнений в умножении 5 X 5 в первых двух книгах руководства Et содержащего три книги.

Фиг. 20. Распределение упражнений в умножении 7X7 в первых двух книгах руководства Е.

Фиг. 21. Распределение упражнений в умножении 6X7 или 7 X 6 в первых двух книгах руководства Е.

Фиг. 22. Распределение упражнений в делении чисел 72, 73,... 79 на 8 или 9 в первых двух книгах руководства Е.

Фиг, 23. Распределение упражнений в делении чисел 81, 82,.,. 89 на 9 в первых двух книгах руководства Е.

в умножении 5X5 (фиг. 19) увеличивается с момента приступа к этим занятиям в 3-й группе до конца их в 6-й группе, так что распределение их более соответствовало бы обратному обучению ученика — с конца к началу! Упражнения в умножении 7X7 (фиг. 20) распределены слишком равномерно и даются в слишком малых количествах. Упражнения в умножении 6X7 и 7x6 (фиг. 21) даются в некоторые периоды в слишком больших количествах. Распределение делений (фиг. 22 и 23) более удачно; однако из фигуры 23 можно усмотреть, что слишком большое количество упражнений дается одновременно в середине периода.

ВОЗМОЖНЫЕ УЛУЧШЕНИЯ.

Если бы мы даже знали, каково наилучшее распределение упражнений в отношении каждой из многочисленных способностей, подлежащих развитию при обучении арифметике, то все же мы едва ли могли бы обеспечить его для всех них. Действительно, прежде всего время, отводимое для упражнения одних из них, может совпадать со временем, необходимым для развития других. Далее, помимо соображений о наилучшем распределении упражнений с точки зрения развития каждой отдельной способности, существует много других важных соображений, касающихся порядка занятий. Таковы соображения об интересе, о слиянии отдельных способностей в единую совокупную способность, об ограничениях, вносимых в школьные занятия выходными днями, осенними и зимними перерывами, летними каникулами.

Все же существующую практику можно улучшить во многих отношениях. Научно-поставленное изучение результатов занятий почти каждой группы в течение года, а также многих из наших стандартных орудий обучения, даст материал для улучшения распределения занятий без ущерба для интереса и с действительной выгодой для работы обобщающей арифметической способности. В частности оно обнаружит случаи, когда данную способность сперва развивают путем соответствующих упражнений, а затем оставляют без всякого применения, обрекая ее на смерть от бездействия. Оно обнаружит также случаи, когда способность сперва развивают путем соответствующих упражнений, а затем оставляют без упражнения в течение столь продолжительного времени, что первоначально приобретенные навыки оказываются почти утраченными. Обнаружатся случаи, когда даются и упражнения, и обзоры для повторения, но в таком

отрыве от всякого иного арифметического материала, что способность хотя и существует, но не становится для ученика частью его общего рабочего инструмента. Обнаружатся и такие случаи, когда в последующие периоды дается большее количество упражнений, чем в начальные, без всякой видимой пользы, а равно и такие случаи, в которых упражнения даются тогда, когда для этого нет никаких видимых оснований, кроме стремления данного учителя или автора задать соответствующую работу именно в это время.

Каждая способность обладает в этом отношении собственными нуждами, и в настоящее время по этому вопросу нет еще твердых правил, которые обладали бы большой ценностью. Для настоящего времени будет достаточно, если мы уделим вопросу распределения упражнений должное внимание, постараемся избегнуть явных нелепостей, подобных указанным выше, и разовьем в этом направлении нашу изобретательность.

ГЛАВА IX.

ПСИХОЛОГИЯ МЫШЛЕНИЯ. АБСТРАКТНЫЕ ИДЕИ И ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ В АРИФМЕТИКЕ1.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ ЭЛЕМЕНТАХ И РАЗРЯДАХ ФАКТОВ.

Тарелка, которую вы видите, молоко в кружке, стоящей перед вами на столе, и страница данной книги являются конкретными вещами; белизна же тарелки, молока или бумаги является, говорим мы, абстрактным качеством. Быть в состоянии мыслить о белизне безотносительно к какому бы то ни было конкретному белому объекту — значит быть в состоянии обладать абстрактной идеей или представлением белого; быть в состоянии реагировать на белизну безотносительно к тому, является ли она частичным свойством фарфора, жидкости, бумаги или какого-либо иного предмета,— значит быть в состоянии реагировать на абстрактный элемент белизны.

Обучение арифметике вызывает образование весьма многих подобных идей и приобретение весьма многих подобных способностей реагирования на элементы, безотносительно к тем общем положениям, в которых они проявляются. Распознавать пятикратность пяти мальчиков, пяти карандашей, пяти сантиметров, пяти звуков; понимать деление на восемь равных частей 40 копеек, 32 см, 64 минут или 16 любых предметов; правильно реагировать на дробное отношение в — или любой иной дроби; чувствовать общий элемент в 9 = 3X3, 16 = 4X4, 625 = 25 X 25, 0,04 = 0,2 X 0,2, = Xвот случайные примеры приведенного выше положения. Все числа, которые ребенок учится понимать и применять, являются в действительности абстракциями; все действия являются абстракциями; процент, учет, интерес, высота, длина, площадь, объем являются абстракциями;

1 Некоторые абзацы настоящей и последующей глав воспроизведены с незначительными изменениями из работы автора „Психология воспитания“. Примечание автора.

сумма, разность, произведение, частное, остаток, средняя величина являются фактами, касающимися элементов или положений, которые могут появляться вместе с бесконечно разнообразными конкретными окружающими или сопутствующими вещами.

Трезор — частный случай собаки; ваш дом на такой-то улице — частный случай прямоугольника; гражданин и гражданка Ивановы и их дочь Лиза — частный случай семьи из трех человек. В противоположность этим частным случаям мы подразумеваем под словами собака, прямоугольник, семья из трех человек любую вещь, относящуюся к соответствующему разряду фактов. Понятие о собаке, прямоугольнике, семье из трех человек являются общими представлениями, концепцией или идеей разряда или класса. Способность реагировать, т. е. представлять себе и мысленно обращаться с любой собакой, прямоугольником или семьей из трех человек безотносительно к любым частным случаям, в которых они могут быть выявлены, является общим представлением, приведенным в действие.

Обучение арифметике вызывает образование весьма многих подобных общих представлений и способностей реагировать на любой элемент известного разряда фактов. Так сто участков различной величины могут все вызывать реакцию как прямоугольники; —, ^» ?77 и ^ могут все вызывать реакцию как члены класса дробей, „оба члена которых делятся на 3“. Реагировать на один и тот же факт можно различными путями в зависимости от того класса, к которому он относится. Так 4 в —, —,45, 54 и 405 можно классифицировать соответственно как „некоторую определенную часть единицы“, „некоторое число частей, величина которых определяется числом 4“, „определенное число десятков“, „определенное число единиц“ и „определенное число сотен“. Каждое абстрактное качество может стать основой для классификации фактов. Так четырехкратность как качество соответствует классу „вещи в числе или размере четырех“; дробное соотношение или качество соответствует классу „дробей“. Образование связей между разрядами фактов и элементами или признаками, которыми один общий разряд фактов различается от другого, является в действительности главным содержанием обучения арифметике1.

1 Следует отметить, что совершенно так же, как конкретные представления приводят к абстрактным, и эти последние приводят в свою очередь к еще более „абстрактным абстракциям“. Так четырех-пяти-двадцати-и т. д. кратность приводит к представлению „кратности целому числу “.Совершенно так же, как отдельные вещи группируются в общие классы, и эти послед-

ОБЛЕГЧЕНИЕ АНАЛИЗА ЭЛЕМЕНТОВ.

Абстракции и обобщения зависят, вообще говоря, от анализа и связей, вырабатываемых скорее в отношении более или менее диференцированных элементов, чем общих совокупных конкретных положений. Процесс, который имеет здесь место, легче всего понять, рассмотрев средства, применяемые для его облегчения.

Первое из этих средств состоит в рассмотрении учащимися общего положения, содержащего нужный элемент, таким образом, чтобы ударение делалось на изучение частей этого положения, и внимание следовательно переносилось с одного элемента на другие, особенно же на элементы, столь близкие к избранному основному, что учащийся действительно может выбрать их для внимательного изучения. Указанное перенесение внимания с одного элемента на другой позволяет выявить, какими пригодными связями, относящимися к данному элементу, хотя бы и небольшого значения, учащийся уже обладает. Так, когда мы учим детей распознавать „пятикратность“ в данных совокупностях, мы показываем им пять мальчиков, или девочек, или карандашей, говоря: „Посмотрите, сколько мальчиков встало. Один ли Ваня стоит? Стоит ли более двух мальчиков? Называйте мальчиков, на которых я указываю, и считайте их: Ваня — один, и Федя — еще один, и Гаря — еще один; Ваня и Федя — это два мальчика; Ваня, Федя и Гаря — это три мальчика“, и т. д., продолжая внимательно счет. Здесь ум и внимание направляются главным образом на развитие преобладающей частной способности, связанной с вопросом „сколько“ вещей; и те полезные связи, которые уже имеются в отношении „пятикратности“ и представления „один, и один, и один, и один, и один“, получают значительное усиление.

Второе из средств, применяемых для облегчения анализа, состоят в рассмотрении учащимся многих положений, из которых каждое содержит нужный элемент (допустим Э.) и ряд переменных сопутствующих фактов (допустим П. С. Ф); это рассмотрение направляется таким образом, чтобы каждое общее представление, слагающееся у учащегоя, распадалось, насколько это возможно, на часть, связанную с Э, и на часть, связанную с П. С. Ф.

Так например ребенка побуждают связывать каждое из представлений— „пять мальчиков“, „пять девочек“, „пять карандашей“, „пять сантиметров“, „пять дециметров“, „пять книг“, „он поднялся на пять ступеней“, „я ударил по столу пять раз“ и т. д.— с соответствующим положением. При этом элемент „пять“ общего

ние группируются в еще более общие классы. Половина, четверть, шестая, десятая — суть общие понятия, но „одна такая-то“ — понятие более общее, а „дробь“—еще более общее. Примечание автора.

представления оказывается снова и снова связанным с элементом „пятикратность“ положения, ум же направлен в сторону отыскания „сколько вещей“; что же касается связи указанного элемента с другими частями положения, то в отношении каждого из сопутствующих фактов она встречается один только раз. Эти сопутствующие факты могут все же влиять на представление (так вид ряда мальчиков как таковой определенно способен вызвать элемент представления „мальчики“); однако связь с ними основного элемента „пять“ весьма слаба. К тому же эти прочие элементы представления (мальчики, девочки, карандаши и т. д.) имеют каждый лишь слабую связь с элементом „пятикратности“ положения. Эти слабые связи в значительной степени противодействуют одна другой1, оставляя чистое поле для образования связи „пятикратность“.

Третье средство, применяемое для облегчения анализа, состоит в рассмотрении учащимся таких попарно аналогичных положений, в которые входит то данный элемент, то ему противоположный (или по крайней мере что-либо весьма несходное с данным элементом). Так при выработке представления об „одной пятой“ ученика заставляют иметь дело не только с представлением „одной пятой хлеба“, „одной пятой яблока“, „одной пятой десяти сантиметров“, „одной пятой взвода из двадцати красноармейцев“ и т. д., но и с противоположным в каждом отдельном случае представлением „пяти хлебов“, „пяти пирогов“, „пяти яблок“, „пяти десятков сантиметров“, и „пяти взводов по двадцать красноармейцев“. Подобным же образом „значение места“ десятых, сотых и т. п. долей изучают по контрасту с десятками, сотнями и тысячами.

Законы образования связей используются при помощи этих средств для выделения данного элемента представления из общих суммарных представлений и связи его с соответствующим элементом положения. Силами привычки, непривычки, удовлетворенности и неудовлетворенности маневрируют таким образом, чтобы элемент, который в природе никогда не существует обособленно, сам по себе, мог влиять на человека так, как если бы это имело место, и чтобы созданные с ним связи действовали почти или совершенно независимо от общего положения, в которое входит данный элемент. Процесс, который при этом происходит, может быть удобно представлен в общем виде при помощи условных обозначений.

Пусть a-\-b, a-\-g, а-|-/, а + <7, a-\-v и а-{-В несколько положений, отличных друг от друга во всем, кроме элемента а. Предположим, что в силу естественных причин или обучения ребенок связывает с этими положениями представления г2-\-г21 ^4~г7»

1 Конечно они могут вызывать также слияние и чередование представлений, однако лишь в редких случаях. Примечание автора.

ri7» r\~\“r22 и Г1~ЬГ27- Далее предположим, что че ловек способен к такой умственной деятельности, что каждое из представлений rv г2, г7, г12, г22 и г27 может быть создано в отдельности.

I случай. Переменные сопутствующие факты.

Предложим, что положения а -\- b, a-\-g, а-\-1 и т. д. встречаются каждое по одному разу.

Мы знаем, что а -\- b соответствует представление гг -f- г2 как это показано в схеме I.

Схема I.

Таким образом представление rv в связи его с а, повторяется каждый раз, а всего 6 раз, в связи же с b, g, I, qf V и В — всего по одному разу; b, g, /, q, v и В связаны каждый один раз с г3, и по одному разу каждый с г2, г7, г12 и т. д. соответственно. Связь между а и гг повторяется следовательно в шесть раз чаще, чем связь между а и г2 или а и г7 и т. д. При всяком новом общем суммарном положении — аО — элемент а будет играть более значительную роль в создании представления, чем это имело бы место при других условиях, и представление гл создается значительно легче, чем г2, г7, г12 и другие сопутствующие представления, связанные с положением, содержавшим а. А это показывает, что связь между элементом а и представлением гг значительно окрепла.

II случай. Противоположные сопутствующие факты.

Предположим, что b и g являются весьма несходными элементами (например белым и черным), что / и q также весьма несходны (например длинный и короткий) и что v и В также весьма различны.

Быть весьма несходным — значит вызывать весьма различные представления, так что г7 как представление g весьма отлично от г2, как представления Ь. Поэтому г7 можно мыслить себе, как гне2 или г_2. Подобным же образом г17 можно изобразить как гне12 или г_„ и г27 как гне22 или г_22.

Если теперь положения ab, ag, al, aq, av и aB встречаются каждое по одному разу, то имеем, что положению а -\- b соответствует представление г, -J- г2 как это показано в схеме II.

Схема II.

Мы видим, что гг связано с.а в б случаях; г2 и гне2 связаны с а каждый в одном случае; но так как они противоположны, то они как бы „сокращаются“, и в окончательном результате тенденция а быть связанным с г2 или гне2 сводится к нулю; г12 и гне12 связаны с а каждый в одном случае, но вследствие противоположности они уничтожают друг друга, так что тенденция а быть связанным с г12 или гне]2 и здесь сводится к нулю. То же справедливо в отношении г22 и /^22- Таким образом конечным результатом шести связей ab, ag, al, aq, av и aB соответствующими представлениями является связь а с гг и ничем иным.

III случай. Противоположные сопутствующие факты и противоположный элемент.

Предположим теперь, что факты остаются теми же, как и во II случае, но к ним прибавляются шесть опытных данных, в которых

некоторый элемент, противоположный а или весьма отличный от него, связан с представлением гне1, или г_v которое противоположно гг или весьма отлично от последнего. Обозначим этот элемент, противоположный а, через — а.

Таким образом в дополнение к прежним данным, что положениям:

a -f- b соответствует представление гг -\- г2

мы будем иметь, что положениям:

как это показано в схеме III.

Схема III.

В этом ряду из 12 опытных данных а связано с гг шесть раз, а элемент, противоположный а, связан с гне1 также шесть раз; кроме того а связано по равному числу раз с тремя парами представлений г2 и гне2, г12 и гне12, г22 и гне22, взаимно уничтожающихся, так что тенденция а вызывать эти представления сводится к нулю; а также имеет сведенную к нулю тенденцию вызывать какие-либо из указанных представлений кроме одного гне1, противоположного гг;

далее, b, g, I, q, v и В одинаково часто связаны как с rv так и с гне1. Таким образом из всех этих элементов остается только один элемент а, обладающий тенденцией вызывать представление rv

В конечном счете благодаря одному лишь частому применению связей гг оказывается в данном случае прочно связанным с а; связи & с чем-либо помимо гг находятся во взаимном противодействии; непрочные связи г2 с чем-либо помимо а также находятся во взаимном противодействии; элемент а становится решающим для положений, в которых он содержится, и связь его с гг становится относительно весьма прочной и свободной от сопутствующих связей.

Указанные три процесса протекают аналогично хотя и в более •сложной форме, когда положения a-\-b, û-f^ и т. д. заменены положениями а-\- b + с d е -\-f9 a~{“g-\- h-\-i-\-j-\-k и т. д., а представления гг -j- г2, гг -f- г7 и т. д. заменены представлениями если предположить, как и ранее, что представления rv г2, г3, г4, и т. д. могут возникать каждое в отдельности. Если же каждое из представлений должно будет по необходимости действовать совместно с каким-либо другим представлением (так что г]3 например всегда будет вызывать г26 и обратно), то точные соотношения чисел в схемах, подобных приведенным выше I и III, претерпят изменение. Таким образом, покуда гг не будет иметь указанного неизбежного сотрудника, общие результаты схем I — III останутся в силе; если же г, будет иметь какого-либо постоянного сотрудника, скажем г2, то конечно а не сможет приобрести связей с одним лишь гг и всякий раз, когда в предыдущих схемах появляется rv или г2, к каждому из них добавляется и другой сопутствующий элемент; поэтому rv г2 придется применять при анализе как единое целое.

Положения a-\-b, a-\-g>... а-{-В могут встретиться неодинаковое число раз, вследствие чего изменятся и точные числовые соотношения связей, созданных и представленных в схемах I—III; однако процесс останется в общем тем же самым.

Все вышеприведенное относится к влиянию привычки и непривычки на развитие связей между некоторыми элементами представления и соответствующими элементами положений. Что же касается влияния чувства удовлетворенности и неудовлетворенности, то оно действует в следующих трех основных направлениях.

Во-первых, оно с самого начала содействует укреплению желательных связей представлений гг г2, гг-\-гч и т. д. с общими суммарными положениями и противодействует образованию нежелательных связей.

Во-вторых, оно содействует всякому проявлению связи а с г2 при описанных выше сопоставлениях и противопоставлениях и устра-

нению всякой тенденции связать а с чем-либо помимо гг и гг с чем-либо, помимо а.

В-третьих, оно укрепляет связи между созданным представлением и а, где бы последнее ни встретилось, и притом независимо от наличия или отсутствия каких-либо формальных сопоставлений и противопоставлений.

Таким образом процесс обучения, направленный на создание представлений разницы в высоте тонов, издаваемых каким-либо инструментом, „квадратичности“ какого-либо числа, треугольной формы, некоторой комбинации линий различной длины, равенства каких-либо пар и честности человека вытекает из общего обучения ассоциациям, не требующего никаких иных сил, кроме сил привычки, непривычки, удовлетворенности и неудовлетворенности.

„В подобных случаях происходит то, что представление, будучи связано со многими положениями, сходными в смысле наличия в них рассматриваемого элемента и различными во всех других отношениях, оказывается прочно сопряженным с данным элементом и весьма слабо — с каждым из сопутствующих ему элементов. Обратно, каждый элемент положения оказывается прочно связанным с каким-либо одним представлением, вызываемым положениями, обязательно содержащими этот элемент, и весьма слабо с каждым из тех представлений, которые вызываются только немногими положениями, содержащими тот же элемент. Элемент „треугольной формы“ например прочно связан с представлением „треугольника“, о котором мы говорим или думаем, и весьма слабо — с представлением белого, красного, синего, большого, малого, стального, железного, деревянного, бумажного и т. д., о котором мы также говорим или думаем. Таким образом положение приобретает связи не только с представлением его, как единого целого, но и с представлениями каждого из его элементов, который появлялся в каких-либо других общих суммарных положениях. Надлежащее представление данного элемента, независимое от сопутствующих элементов, является необходимым следствием законов упражнения и действия, если живое существо приучают создавать это представление на общих суммарных положениях, содержащих этот элемент, и не создавать его на тех, в которых он не содержится. Такое решающее фиксирование представления при помощи одного или другого элемента положения отнюдь не является каким-либо сверхъестественным чудом; при данных условиях это только общее правило всякого обучения“.

В сущности это только крайние случаи того же самого обучения, которое заставляет кошку поднять крышку ящика независимо от того, обращен ли он на север или на юг, показывает ли градусник 10° или 15°, присутствуют ли при этом один или два человека, очень ли она голодна или же умеренно, находится ли в ящике

рыба или мясо. Всякое обучение является аналитическим и в нем выявляется деятельность отдельных элементов совокупного положения. В отношении человека благодаря некоторым его инстинктам и характеру обучения так могут действовать и весьма тонкие элементы положений.

Обучение при помощи анализа далеко не часто идет по описанному тщательно разработанному пути, при котором наилучшим образом используется действие сопоставлений и противопоставлений. Ассоциации, связанные с совокупными положениями и приводящие к тому, что один какой-либо элемент приобретает под конец независимую способность определять представление, могут приобретаться в случайном порядке в течение продолжительного времени. Так способный трехлетний мальчик может обладать элементом представления, состоящим в „произнесении двух или размышлении о двух“, и связанным как с элементом „двухкратности“ весьма многих положений, так и устремлением мысли на вопрос „сколько“; и этот анализ он будет выполнять без какого-либо формального, систематического обучения. Уже выполненный анализ, хотя бы и не совершенный и не вполне подходящий, обычно является все же исходным пунктом систематического создания абстрактных представлений, которым руководит школа. Так применяемые в детском саду упражнения в анализе числа, цвета, величины и формы обычно противопоставляют „однократность“ — „многократности“, черное — белому, большое — малому, круглое — не круглому; при этом предполагается, что указанные качества, хотя и в несовершенной форме, действуют как элементы, вызывающие представления, более или менее независимые от применяемых формулировок. Далее, испытания имеющихся навыков и успешность дальнейших упражнений, не направляемых непосредственно на данную цель, обычно содействуют укреплению, расширению и уточнению того, что уже дали систематические упражнения. Так после начальных упражнений в десятичной системе счисления средний школьник остается лишь с весьма несовершенным представлением о „значении места“. Однако он продолжает учиться созданию правильного представления об этом предмете, находя, что 4 X 40= 160; 4 X 400= 1600; 800 — 80 = 720; 800- 8 = 792; 800 — 800 = 0; 42X48 = 2016; 24X48=1152 и т. д. являются правильными решениями, в то время как 4X 400=160; 23x 48=832; 800 — 8 = 0 и т. д. таковыми не являются. Процесс анализа при таком случайном, несистематизированном образовании связей с элементами остается тем же, как и в описанном выше случае

применения сознательно направляемого детального изучения, сравнения и противопоставления.

СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ И СЛУЧАЙНЫЕ СТИМУЛЫ К АНАЛИЗУ.

Усовершенствование опытных восприятий ученика, при котором внимание его направляется на данный элемент, сопутствующие элементы целесообразно изменяются, сопоставления стимулируются, и данный элемент отчетливо выделяется при помощи противопоставлений, может быть достигнуто путем твердых, формальных, систематических упражнений. Однако то же может быть достигнуто и путем менее формальных упражнений, растянутых на более продолжительное время и выполняемых более или менее случайно в связи с другими обстоятельствами. Эти два. крайних предела стимулирования анализа мы можем назвать „систематическим“ и „случайным“, поскольку основной чертой первого является систематическое создание опытных восприятий, призванных выработать правильное представление элемента, тогда как основной чертой второго является использование по преимуществу лишь тех возможностей, которые открываются в силу самодеятельности и интереса учащихся.

Каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки. При систематическом методе выбираются такие опытные восприятия, которые особенно удобны для стимулирования анализа; они пускаются в ход в определенные установленные сроки, так что могут действовать совместно; учеников весьма удобно подвергать испытаниям в любой момент, чтобы проверить, действительно ли они обладают представлением данного элемента, явления или данной основной черты. Недостатками этого способа является, во-первых, то, что многие ученики не чувствуют надобности в этих формальных упражнениях и не питают к ним ни склонности, ни интереса; во-вторых, некоторые из учеников могут заучивать ответы, как словесные формы, вместо того, чтобы приобретать знание фактов; в-третьих, способность представлять себе элемент может остаться ограниченной специальными случаями, избранными для систематических упражнений, и оказаться непригодной для общего применения в арифметике.

Метод, пользующийся подходящими случаями, силен именно в том, в чем слаб систематический метод. Поскольку при пользовании им базируются на возможностях, сознаваемых склонностями и интересами ученика, упражнения обычно бывают интересными. Так как опытные восприятия создаются при этом менее формально и в течение большего промежутка

времени, то ученики менее склонны заучивать формальные ответы. Поскольку материал черпается по преимуществу из действительной жизни, и приобретаемая способность более применима в жизни.

Недостатком его является то, что его труднее проводить. Для отыскания наилучших опытных воспиятий необходима затрата большого количества времени на обдумывание и постановку опытов, требуется больше внимания, чтобы следить за развитием абстракции, которая создается не в два дня, а на протяжении более чем двух месяцев; наконец можно забыть произвести испытание учеников в конце обучения. Если однако руководство и учитель смогут преодолеть эти затруднения путем находчивости и внимания, то второй метод явится лучшим.

ПРИСПОСОБЛЕНИЕ К УЧЕНИКАМ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ.

Мы можем рассчитывать на значительное улучшение в деле образования абстрактных и общих идей в арифметике, если в дополнение к только что указанным принципам будем применять еще три следующих: 1) давать достаточное количество действительных опытных данных прежде, чем требовать от ученика понимания и применения абстрактной или общей идеи; 2) развивать эти идеи последовательно, не стремясь давать их полными и совершенными; 3) развивать эти идеи, насколько это возможно, из опытных данных, которые будут ценны для ученика сами по себе, совершенно независимо от их значения как вспомогательных средств. Рассмотрим эти положения по порядку.

Дети, в особенности менее способные, нуждаются в большем количестве опытных данных для создания и применения арифметической абстракции или понятия, чем они обычно получают. Например, чтобы проложить путь к принципу „всякое число, в?ятое 0 раз, равно 0“, недостаточно сказать: „Иван проработал 8 дней по 0 минут в день; сколько митнут он работал?“ или „Сколько будет 0 раз по 4 копейки?„ Лучше будет затратить 10 или 15 минут на следующие упражнения1:

„Что означает нуль? (Ничего, ничто).

Сколько сантиметров в 8 дм? в 5 дм? в 3 дм? в 2 дм? в 1 дм? в 0 дм?

1 Более способные дети могут приступить к работе, в которой применяется указанный принцип, уже через 1—2 минуты.

Примечание автора.

Сколько карандашей в 4 дюжинах? в 2 дюжинах? в 0 дюжинах?

7 м — . . • дм; 5 м= . . . дм; 0 м=*. . .дм.

Слесарь получает по 60 копеек за час работы. Сколько получит он за 3 часа работы? за 8 часов? за 6 часов? за 0 часов?

Подручный получал по 1 руб. 50 коп. в день в течение 0 дней. Сколько же он получил?

Сколько составит 0 раз по 600 руб.? Сколько составит 0 раз по 5000 руб.? Сколько составит 0 раз по миллиону рублей? 0 раз любое число составляет... 232 (На классной доске). Чему равно 0 раз 232? Пишу 30 0 под нулем 1. Чему равно трижды 232? Продолжайте 6960 вычислять на доске.

434 321 312 41 20 40 30 60 и т. д.“

От учеников начальной школы, кроме наиболее способных, нельзя ожидать быстрого овладения такими понятиями, как обыкновенная дробь, десятичная дробь, сомножитель и корень. Они могут быстро запомнить определение и научиться применять его в простейших случаях, когда даже шаткое и несовершенное понимание его ведет к правильному ответу. Но полное и точное понимание обычно требует, чтобы они сделали не один, а несколько умственных шагов; что же касается полного навыка в применении, то он обычно растет медленно. Предположим например, что ученики уже знают,

что 0,1; 0,2; 0,3 и т. д. обозначают—, у^, ^ и т. д,.

что 0,01, 0,02, 0,03 и т. д. обозначают -щ, -щ^ ТЩ и т. д.

что 0,001, 0,002, 0,003 и т. д. обозначают -щ^ , , -^щ и т. д. и что 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. суть десятичные дроби. В таком случае они могут дать правильный ответ, если им предложат написать десятичную дробь или указать, какие

1 При желании можно пользоваться и этой формой, соответственно изменив характер вопросов и положений.

Примечание автора.

из дробей -J ; 0,4 ; -g- ; 0,07; 0,002; -g- — простые и какие десятичные. Возможно, что некоторые из них, но отнюдь не все, смогут написать десятичные дроби, равные у и а также обыкновенные дроби, равные 0,1 и 0,09. Однако большинство из них не в состоянии будет правильно выполнить предложения: „Напишите смешанное десятичное число“, указать, какие из дробей 0,45; ; 0,25 руб. —простые и какие десятичные, или написать десятичные дроби, равные — и .

Если бы учитель дал теперь сразу все дополнительные данные, необходимые для приобретения умения обращаться с этими более сложными и тонкими особенностями десятичных дробей, то результатом было бы смущение большинства учеников. Понимание общего значения 0,32; 0,14; 0,99 и т. д. требует некоторого понимания 0,30, 0,10, 0,90, и 0,02, 0,04, 0,09; однако нежелательно смущать ребенка дробями вроде 0,30, в то время как он пытается овладеть знанием 2,3; 4,3; 6,3 и т. д. Десятичные дроби, вообще говоря, требуют связей со значением места и с противопоставлениями, как 0,41; 41; 410; 4,1 и т. д.; однако, если соотношение их с общим значением места проходится на том же уроке, как и соотношения с десятыми, с сотыми и тысячными долями, то ум детей будет страдать от жестокого несварения.

Разумная педагогика разобьет действительно процесс изучения значения и применения десятичных дробей на несколько отдельных учебных тем, например следующим образом.

1. Приобретение навыка в обращении с дробями имеющими больших знаменателей, в тех пределах, в коих это желательно для учеников, путем упражнений в сокращении дробей и т. д. Это является хорошим повторением сокращения дробей и ведет к расширению понятия дроби.

2. Упражнения с наглядными пособиями: демонстрирование распознавание эгих величин и заучивание форм

Определение, скольким метрам равны км и км.

3. Приобретение навыка в обращении с сотыми и тысячными долями путем сокращения дробей , и т. д., записи недостающих числителей в примерах 7-7-7- = т—- = и т. д.,а также определения^-,-j^Tj, и от 3000, 6000, 9000 и т. д.

4. Письменное обозначение у^-, как 0,1; как 0,01; КЮ ' ТОО1 Ж и т. д., как 0,11; 0,12; 0,13 и т. д. В качестве введения используются монеты. Применением является метр.

5. Смешанные числа с одним десятичным знаком. Счетчик числа оборотов или скорости. Сложение чисел, подобных 9,1; 14,7; 11,4 и т. д.

6. Общее значение места, занимаемого цифрой, от тысяч до сотых долей.

7. Повторение упражнений 1—6.

8. Десятые и сотые километра; вычитание в тех случаях, когда оба числа содержат сотые доли; пользование железнодорожными справочниками для определения расстояний.

9. Тысячные доли. Названия „десятичные дроби“ и «смешанные десятичные числа или дроби“. Упражнения в чтении любого числа до тысячных долей. Работа должна производиться с постепенным расширением и уточнением понимания десятичных дробей путем изучения, как надо обращаться с ними различными способами.

Это может показаться слишком медленным движением вперед, но в действительности это не так, и многие из указанных упражнений, благодаря которым ученик приобретает навык в обращении с десятичными дробями, полезны для приведения в систему и применения ряда других арифметических фактов.

Вспомним, что третье наше положение гласило: „Развивать абстрактные и общие идеи надо при помощи опытных данных, которое имеют существенное значение“. В пояснение этого положения укажем, что даже при самых лучших способах преподавания некоторые ученики не могут в пределах

того времени, которое можег быть на это разумно затрачено, приобрести идей, которые были бы совершенно законченными, когда нужно — строгими, когда нужно — гибкими и притом абсолютно точными. Многие дети (да и взрослые) не могут в течение того времени, которое можно этому разумно уделить, усвоить природу дроби настолько, чтобы безошибочно отвечать на вопросы, подобные следующим:

Является ли обыкновенной дробью?

Является ли 0,25 руб. десятичной дробью?

Могут ли одни и те же слова обозначать и обыкновенную и десятичную дробь?

Изобразите 1 в виде обыкновенной дроби.

Изобразите 1 в виде десятичной дроби.

Однако тех же самых детей можно научить правильно обращаться с десятичными дробями при обычных случаях их применения. В этом для них и заключается главная ценность арифметики. Их не следует лишать ее только потому, что они не могут овладеть более тонкими принципами. Поэтому мы стремимся давать такие опытные данные, которые научили бы учеников кое-чему ценному и стимулировали бы в то же время рост абстрактных идей и общих принципов у тех учеников, которые обладают соответствующей способностью.

Наконец мы не должны упускать из вида, что работа с качествами и соотношениями, которые поняты лишь частично или даже неправильно, при некоторых условиях позволяет все же контролировать их. Общий процесс аналитического жизненного обучения состоит в выработке представлений так, как это посильно, приобретении этим путем более ясной идеи, улучшении после этого представления и т. д. Пусто например кто-либо приобрел некоторое представление о том, что такое -=- ; затем он отвечает на такие вопросы, как -i- от 10 = ?-^ от 5 = ?-^- от 20 = ? Так как ему указывают, когда он ответил правильно и когда ошибся, то благодаря этим упражнениям он приобретает лучшее понимание ; затем он снова пытается решать примеры и тем снова уточняет и расширяет свое представление об ^- ; он прибавляет к — и т. д.,

-g- к yq и t. д., — к “2 и т. д., благодаря этому снова продвигается вперед и т. д.

Таким образом то, что начинается со слепой привычки умственного обращения, основанной на подражании, может вырасти в способность правильного представления существенного элемента. Ученик, который вначале не имеет никакого представления об „умноженном“, может научиться понимать, что такое „умноженный“, благодаря опыту с примерами „4, умноженное на 6, дает 24“, „3, умноженное на 9, дает 27“ и т. д. Если при каком-либо обращении с числами ученик выделяет правильные результаты, то под конец он часто может достигнуть тех абстракций, в которых он .по предположению нуждался вначале. С некоторыми из абстракций, которые нужны в арифметике, возможен даже такой случай, при котором заранее выполненная тщательная подготовка к пониманию не дает такого эффекта, как затрата того же количества энергии частью на предварительную подготовку к самому анализу, а частью на упражнения в выработке представления рассматриваемого элемента при отсутствии полного понимания.

Думать, что ученик должен сперва овладеть принципом, а затем просто прилагать его, т. е. сперва проделать некоторую умственную работу, а затем вычислять в силу простой рутины, вовсе не значит следовать лучшей теории психологии и воспитания. Наоборот, применения должны помогать установлению, расширению и уточнению принципа, т. е. работа ученика над числами должна быть основным средством усиления понимания им принципов арифметики как науки.

ГЛАВА X.

ПСИХОЛОГИЯ МЫШЛЕНИЯ. РАССУЖДЕНИЕ В АРИФМЕТИКЕ.

СУЩЕСТВЕННЫЕ ЧЕРТЫ АРИФМЕТИЧЕСКОГО РАССУЖДЕНИЯ.

Мы должны различать беспочвенные грезы, которым предается например ребенок, мечтающий о летних каникулах, от целеустремленного размышления, когда он пытается решить например следующий вопрос: „Сколько дней можем мы с отцом провести за городом во время его отпуска, если железнодорожные билеты стоят 12 руб., на продовольствие надо класть по 22 руб., на стирку по 2,25 руб. и на мелкие расходы по 1,75 руб. в пятидневку, денег же у отца на это дело имеется всего 120 руб.?“ Мы должны различать процесс реагирования на привычные положения, например в случае сложения пяти целых чисел, от процесса реагирования на новые положения, подобные следующему (в предположении, что ребенок еще не сталкивался с задачами такого рода): «Некто имеет четыре куска проволоки, длиною в 120 Л€, 1320 дм, 1600 см и -g- км. Сколько проволоки ему недостает до 1000 л/?“ Мы должны различать „размышления о вещах как о совокупности“, как например в случае совершенно понятной задачи, доказательства или диаграммы, от размышления об одной вещи вслед за другой, когда например ребенок пишет некоторое количество слов или заучивает стихотворение на незнакомом ему языке. Поскольку размышление является целеустремленным и сопровождаемым отбором появляющихся идей, поскольку оно имеет дело с новыми проблемами, для которых не сложилось еще готового, привычного представления, и поскольку многие связи участвуют совокупно и организованно в создании представления, постольку мы называем его рассуждением.

Если заключение получается как результат многих частных опытных восприятий, то рассуждение называйся индуктивным. Если какой-либо ранее установленный принцип при-

водит к другому принципу или к заключению, касающемуся какого-либо частного случая, то рассуждение называется дедуктивным. В обоих случаях процесс заключает в себе разложение фактов на их элементы, отбор элементов, которые кажутся существенными для решения данного вопроса, придание некоторой доли значения или веса каждому из них и пользование ими в правильных соотношениях. Мысль может потерпеть неудачу или потому, что она не располагает подходящими фактами, или потому, что отбираются не те факты, которые следовало бы отобрать, или потому что она не придает каждому из них правильного значения или веса, или потому, что она не объединяет их надлежащим образом.

Многие из весьма разнообразных наших ошибок мышления вызываются, вообще говоря, недостатком подходящих фактов. Некоторые из моих читателей например не смогут решить такой задачи: „Какова вероятность того, что, вытятягивая четыре раза подряд по одной игральной карте из колоды, вы вытянете каждый раз одну и ту же карту?“ И это объясняется тем, что они по всей вероятности не знают некоторых фактов, относящихся к теории вероятностей. Тот кто хотел бы и мог подумать над этим вопросом, должен был бы обратиться к соответствующим руководствам. Равным образом человек, не знающий, что в колоде содержатся 52 игральных карты и что среди них нет и двух одинаковых, не мог бы найти ответа, хотя бы он и был сведущ в теории вероятностей. Если он привык соображать, то он прежде вего спросит о размере и сущности колоды карт. Таким образом при действительном применении рассуждения мы должны проверить наличность фактов, чтобы посмотреть, не отсутствуют ли некоторые из них, нам необходимые. Если это имеет место, то первым актом рассуждения является приобретение недостающих фактов.

Последнее особенно справедливо в отношении рассуждения о жизненных арифметических фактах, например:

1) „Хватит ли на костюм 3-^- м материи?“ Здравый смысл заставляет вас установить, какова ширина материала, какой покрой вы выберете для костюма, сколько материала идет обычно на костюм такого покроя, можете ли вы кроить экономно или у вас будет много обрезков, каков рост и фигура будущего обладателя костюма. 2) „Насколько менее питателен при тех же затратах один хлеб, чем хлеб с маслом, прибавленным в количестве 10°/0 веса хлеба?“ И здесь

здравый смысл побуждает вас узнать прежде всего цену хлеба, цену масла, степень питательности хлеба и степень питательности масла.

В школьных занятиях арифметикой эти характерные черты рассуждения появляются в тех случаях, когда приходится прибегать к каким-либо фактам, касающимся обычных мер, справляться о ценах и условиях в прейс-курантах или припоминать и разузнавать некоторые коммерческие обычаи.

Так задачу: „Сколько значков можно сделать из 1-^- м ленты, если на каждый значок идет 18 см ее?“ нельзя решить, не зная соотношения между метром и сантиметром. Равным образом, решая задачу: „Что стоит в кооперативе дороже: масла или 6-^-кг сала?в нельзя найти ответа, не справившись предварительно о ценах на эти продукты.

Следует заметить, что при прочих равных условиях такие задачи лучше для упражнения в рассуждении, чем задачи, уже содержащие в себе все эти данные (т. е. „Что стоит в кооперативе дороже — Ъ-^-кг масла по 2,45 руб. за 1 кг или 6 ~- кг сала по 1,65 руб. за 1 кг? Насколько дороже?"). Во всяком случае неразумно давать задачи последнего рода в столь большом количестве, чтобы ученик начал представлять себе прикладную арифметическую задачу как такую, где все уже дано, и ему остается только использовать данные для выполнения действий. Жизнь так задач не ставит.

Процесс выбора надлежащих элементов, и придания каждому из них правильного значения можно иллюстрировать следующим примером: „Я хочу вступить в жилищно-кооперативное товарищество; у меня имеется сейчас 100 руб.; ежемесячно я могу отчислять для этой цели немного более 40 руб.; если потребуется, я могу занять недостающую сумму денег из 6°/0 годовых. На какой из следующих трех возможностей мне остановиться?“

А.

Единовременный взнос 100 руб. и ежемесячные платежи по 42 руб. в течение всего полутора лет; никакого начисления процентов.

В.

Общая сумма взноса 780 руб.; единовременный взнос 100 руб. и ежемесячные платежи по 40 руб.; на непогашенную сумму взноса начисляется по 6°/0 годовых.

С.

Единовременный взнос без рассрочки — 750 руб.

Если вы обратите внимание преимущественно на слова „всего“ и „никакого начисления процентов“, которые содержатся в предложении А, придав им большое значение и не подумав как следует, а сколько же будет 100 руб. плюс 42 руб. X 18, то вы вероятно сделаете неправильный выбор.

Жизненные положения часто усложняются и другими элементами, имеющими весьма отдаленное отношение к правильному численному решению или вовсе даже не имеющими к нему отношения. Так в первом случае вас может прельщать местоположение будущего дома; во втором — вы заинтересованы в проживании совместно с вашим товарищем; однако может оказаться, что вы по разумным или неразумным соображениям не желаете пользоваться рассрочкой и потому предпочитаете занять деньги и сразу внести взнос, как это предусмотрено в третьем случае. Мыслимо и обратное положение, когда вы имеете возможность занять деньги, но не хотите этого сделать и потому не можете воспользоваться третьим предложением и т. д.

Формулировка арифметических задач, которая обычно применяется в школе, в большинстве случаев помогает учащемуся отбрасывать все, кроме чисто количественных элементов, и оставлять в стороне все количественные элементы, кроме необходимых для решения. Первое из этих двух упрощений, вообще говоря, весьма целесообразно, так как иначе могли бы получиться различные правильные решения одной и той же задачи в зависимости от индивидуальных особенностей и склонностей лиц, решающих эту задачу. Второе упрощение также желательно, поскольку оно часто приводит к большей продуктивности работы учеников, относимой хотя бы к часу затраченного ими времени, чем в случае решения задач, требующих выполнения сложного отбора. Однако сказанное не следует рассматривать как универсальное правило, так как если слепо применять его, то учеников можно привести к мысли, что они должны использовать в каждой задаче все приведенные количества, подобно тому как при складывании фигуры-головоломки они должны использовать все наличные части ее.

Ясно, что отбираемые элементы должны быть не только подходящими, но и обладающими правильными соотношениями между собой. Так например, если мы даем ряд задач, в которых фигурируют оптовые и розничные цены на штуку и сотню, килограмм и центнер, литр и гектолитр, уславливаясь, что оптовая цена применяется для количеств не менее полсотни, половины центнера или половины гектолитра, и, спрашиваем затем о разнице в стоимости этих же половинных количеств по оптовым и розничным ценам, то 50 мыслится и в соотношении с сотней как половина ее и в соотношении с единицей как 50 раз по 1; единица должна быть связана в уме с представлением о „каждом“ продаваемом в розницу предмете, 50 как полусотня должно быть связано с оптовыми ценами, а 50 как 50 раз по 1 должно быть связано с розничными иенами и т. д.

Далее ясно, что для достижения успешности в только что описанной арифметической работе ученик должен „мыслить о вещах совокупно“. Для установления его окончательного представления нужна совместная работа многих связей.

В качестве введения к рассуждению по поводу данной задачи мы часто имеем самую постановку задачи и определение того, в чем она состоит; заключением же является критическое изучение полученного ответа в целях установления, что он действительно оправдывается на опыте или согласуется с известными фактами. В процессе отыскания, отбора и оценки фактов также возможны аналогичные изучение и проверка их одного за другим.

РАССУЖДЕНИЕ КАК СОТРУДНИЧЕСТВО ОРГАНИЗОВАННЫХ ПРИВЫЧЕК.

Педагогика прошлого времени допускала две существенных практических ошибки, основанные на двух ошибочных представлениях, касающихся психологии рассуждения. Она рассматривала рассуждение как некую магическую силу или способность, действие которой заключается в противодействии обычным законам привычки в человеке и в управлении ими, и слишком резко разграничивала „понимание принципов“, достигаемое при помощи рассуждения, от „механической" работы вычисления, чтения задач, припоминания фактов и т. п., выполняемой при помощи „одной только“ привычки и памяти.

Рассуждение или мышление, совершающее отбор и устанавливающее выводы, вовсе не противоположно законам привычки и совсем не независимо от них; в действитель-

ности оно является необходимым результатом их в тех условиях, которые создаются прирожденными свойствами и навыками человека. Более тщательное изучение процесса мышления, производящего отбор, покажет, что для объяснения его не требуется никаких других принципов кроме законов готовности, упражнения и действия; что он является только крайним случаем того, что описывается при изучении совокупных положений, как „разрозненная“ деятельность положений; что приписывание некоторых свойственных ему характерных черт таинственным способностям отвлечения или рассуждения нисколько не помогает ни пониманию, ни проверке их.

Правильно конечно, что при встрече с новыми задачами человек может не считаться с имеющимися привычками в виде связей с совокупными положениями и их обычно абстрагируемыми элементами или даже итти против этих привычек. Однако первая из двух причин этого явления состоит просто в том, что более тонкие, слабые избранные связи с более тонкими и реже абстрагируемыми элементами могут действовать помимо, а временами и против более грубых и чаще применяемых связей. Умственное расположение к тем и другим из этих связей одинаково обязано своим происхождением упражнению и действию. Вторая причина состоит в том, что при встрече с новыми задачами умственная деятельность направляется повидимому на отбрасывание представлений одного за другим, как только обнаруживается их неспособность удовлетворить поставленным требованиям; то, что остается в виде кажущегося хода мысли, заключает в себе лишь малую долю значительного количества использованных связей, которые в большей своей части оказались непригодными для основной позиции или цели.

Успешное реагирование на новые данные, ассоциации по сходству и целеустремленное состояние стоят лишь в кажущемся противоречии с основными законами изучения совокупных положений. В действительности первые являются лишь прекрасными примерами последнего. Успешное реагирование на новые данные, например, когда мы доказываем, что гипотенуза прямоугольного треугольника, имеющего 796, 278 мм в основании и 137, 294 мм высоты, равна 808, 022 мм или что Мария Иванова, родившаяся сегодня утром, со временем умрет, основано на привычках, в особенности на привычках реагировать на некоторые элементы или признаки согласно законам деятельности разложения и ассимиляции.

Ничто не имеет столь малого сходства с я обы мистической деятельностью способности к рассуждению, стоящей над законами образования связей, как поведение человека, реагирующего на новые положения. Представим себе, что дети имели до сих пор дело только с арифметическими задачами на сложение и вычитание однозначных и двузначных чисел и на умножение однозначных чисел, подобных приведенным в первом ряду помещенного ниже примера, и что мы предлагаем им решить примеры, помещенные во втором ряду.

Сложите: Вычтите: Умножьте:

8 37 35 8 37 8 9 6

5 24 68 5 24 5 7 3

Умножьте:

32 43 34 23 22 16

Они начнут или складывать числа, или вычитать нижнее число из верхнего, или умножать 3 X 2 и 2 X 3 и т. д.. получая в ответе 66, 86 и 624, или отвечать на элемент „умножь“, соединяемый с двузначными числами, „я не могу“ или „я не знаю, что надо делать“; возможно, что какой-нибудь очень способный ребенок, рассмотрев элемент „умножь“ и величину чисел, вспомнит, руководствуясь этими двумя сторонами положения, тот факт, что „умножь 9 X 9е давало уже 81, а „умножь 10 на 10“ давало уже 100 и т. д.; поэтому он даст совершенно разумный и обоснованный ответ „я не могу“ или отбросит прием умножения 3X2 и 2X3, приводящий к ответам 66, 86 и 624, как явно неудовлетворительный. То, что ученики делают, является во всяком случае продуктом элементов положения, которыми они овладевают, представлений, связанных с этими элементами, и дальнейших ассоциаций, которые эти представления вызывают в свою очередь. Если бы ребенок был гениальным, то он мог бы выработать нужный прием, пользуясь своим знанием принципов десятичной системы счисления и значения слова „умножь“; это знание позволило бы ему правильно оценить элемент „значения места“ для каждой

из цифр и выполнить сложение получающихся 6 десяткоэ и 9 десятков, 20 двоек и 3 раза тридцати; и если бы он изобрел таким образом сокращенное сложение совокупности из 23 совокупностей, содержащих каждая по 32 единицы, то он сделал бы это все же благодаря действию связей, совершенно реальных, хотя и тонких.

Ассоциации но сходству, как давно уже показал Джемс (James), является простой тенденцией элемента вызывать представления, которые были с ним связаны: а9 Ь, с, d, е ведет к vy w, х,у, z потому, что а было связано с т\ w9 х,у, г в силу естественных причин, упражнения или действия.

Целеустремленное состояние является наиболее важным случаем влияния расположения или приноровления организма к определению того, во-первых, какие связи должны действовать и, во-вторых, какие результаты доставят удовлетворение. Джемс давно уже описал первый факт, показав, что механизм привычки можег повести к отсутствию направления или цели в конечных результатах мышления, если этот механизм содержал что-либо параллельное данной задаче, цели или потребности.

Второй факт, именно, что расположение или умственная установка помогают определить, какие связи доставят удовлетворение и какие будут неприятными, обычно затемнялось неясными утверждениями, что отбор и удержание в памяти распространяются лишь на то, что является .соответствующим“, „правильным“, „подходящим“ и т. д. Этим самым утверждалось или по крайней мере подразумевалось, что „воля“, „самопроизвольное внимание“, „сознательное отношение к задаче“ и другие способности подобного же рода обладают магической силой решать, какие связи являются „правильными“ или „полезными“, и умерщвлять все остальные. В действительности же при целеустремленном мышлении и действии, как и в других случаях, связи отбираются и сохраняются благодаря чувству удовлетворения и гибнут вследствие неудовлетворенности, которую они возбуждают; способность же расположения или умственной установки человека вызывать в нем чувство удовлетворения или неудовлетворения, а вместе с тем приводить одни элементы сознания в готовность к действию, а другие обрекать на бездействие, во всяком случае столь же важна, как и самая способность приводить в действие некоторые элементы сознания.

Таким образом рассуждение вовсе не является особым видом силы, действующей против привычки; наоборот,

оно является организацией и сотрудничеством многих привычек, совокупным мышлением о вещах. Рассуждение не является и отрицанием обыкновенных связей; наоборот, оно является результатом действия многих из них, особенно же связей с более тонкими элементами положения. Никакая внешняя сила не участвует в отборе и критике связей; арсенал связей, относящихся к данной задаче, который находится в распоряжении ученика, и есть то, что выбирает и отбрасывает. Неподходящая идея умерщвляется не каким-либо „актом чистого мышления“ интеллекта, а теми идеями, которые она сама вызывает в связи с общей умственной установкой ученика и которые указывают на ее непригодность.

В арифметике нет почти ничего, что надо было бы преподавать как материал простого заучивания или создания слепой привычки; равным образом в ней нет таких положений, которые изучались бы сперва как принцип, а затем становились предметом простой привычки или заучивания. Равенство 5X4 = 20 не следует ни выучивать, как изолированный факт, ни запоминать отдельно, как мы запоминаем например номер телефона Ивановых 1-26-75. В арифметике почти все должно преподаваться как привычка, которая имеет связи с уже сложившимися привычками и будет работать совместно с новыми привычками, которые со временем образуются. Применение же этой организованной системы привычек к решению новых задач и является рассуждением.

ГЛАВА XI.

ПРИРОЖДЕННЫЕ СКЛОННОСТИ И ДОШКОЛЬНЫЕ НАВЫКИ.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВРОЖДЕННЫХ ИНТЕРЕСОВ.

Различные формы деятельности человека, имеющие существенное значение в деле приобретения арифметических способностей, могут опираться лишь на немногие врожденные склонности его, если не считать чисто интеллектуального влечения к любознательности и удовлетворенности мышлением ради мышления, а также влечение к чувству радости от успеха, а не к противоположному чувству от неудачи в том деле, за которое он взялся. Поэтому заставить различные врожденные интересы детей служить делу развития их арифметических знаний и умений можно только при помощи некоторых искусственных мероприятий. Если этого удается достигнуть без всяких затрат, то выгода получается весьма большой. Например марширование в две, три, четыре шеренги и т. д., поднимание рук один, два, три раза, отмеривание руками полметра, дециметра, сантиметра и т. д. являются прекрасными приемами, так как пристрастие к телесным движениям до некоторой степени переносится при этом на изучение значения чисел. Даже в старших группах полезно при случае делать рисунки, показывающие соотношения дробных долей, нарезать полоски, складывать бумагу и т. д.

Различные социальные инстинкты так же могут быть с успехом использованы для организации соревнования по типу, применяемому при обучении правописанию, состязания школьных бригад, устройства числовых игр и т. д. Оценка как игры, так и работы в классе представляет собой благодарное поле для контроля со стороны учителя арифметики.

Гент (Hunt, 1912) указал на наиболее важные игры, которые содержат как побочный элемент значительное количество арифметических упражнений и более или менее подходят для применения в школе. Флинн (Flynn, 1912) описал

игры, применимые главным образом в домашней обстановке, которые содержат совершенно определенные арифметические упражнения; однако во многих случаях эти упражнения несколько отстают от потребностей детей, достаточно взрослых, чтобы понять и полюбить самую игру.

Можно использовать также интерес к загадкам, фокусам, головоломкам, чтобы создать этим путем некоторое уважение к арифметике и в то же время побудить проделать вычислительную работу. Я приведу только один простой пример из прекрасного сборника Селкин (Miss Selkin, 1912, стр. 69 и след.).

I. СЛОЖЕНИЕ.

„Приходится признать, что в сложении длинного столбца чисел нет ничего особенно интересного. Но пусть учитель внушит, что он может написать ответ с одного взгляда, и работа сразу же примет совершенно другой характер.

Можно проделать весьма простой числовой фокус этого рода, воспользовавшись принципом сложения дополнительных чисел. Арифметическим дополнением данного числа до другого, большего, является разность этих двух чисел. Наиболее интересные результаты получаются, если мы дополняем до 9.

Предложите детям назвать несколько двузначных, трехзначных или еще больших чисел. Подпишите под ними такое же количество дополнительных чисел и немедленно же скажите ответ. Дети, пораженные быстротой выполнения якобы сложения, с энтузиазмом берутся за проверку результатов этого молниеносного вычисления.

Пример:

Объяснение. Слагаемые группы А написаны наудачу или продиктованы учениками. Слагаемые группы В являются их дополнениями. Чтобы написать первое число группы В, смотрим на первое число группы А, и, начиная слева, пишем 6 как дополнение 3 до 9, 4 как дополнена 6 и 2 как дополнение 7. Второе и третье слагаемые группы В находятся тем же путем. Так как мы имеем теперь в обеих группах вместе трижды то число, до которого мы дополняли, то задача сводится сама собою к умножению 999X3, которое выполняется, как 3000 — 3. При этом можно брать любое число слагаемых, и каждое из слагаемых может содержать любое число цифр".

Уважение к арифметике, как источнику загадок и фокусов, конечно гораздо менее существенно, чем уважение к ней, как к повседневному полезному орудию. К тому же за поверочные вычисления подобного рода загадочных решений охотно примутся вероятно одни лишь способные ученики. Поэтому к указанному источнику интереса следует пожалуй прибегать лишь умеренно, и быть может учитель должен показывать подобного рода вещи только в награду за успешность в регулярной работе. Так например, если работа, приходящаяся на декаду, выполнена не в восемь, а в семь дней, то восьмой урок можно посвятить какому-либо занятию полуарифметического характера, например демонстрированию счетной машины или арифмометра, беседе о первобытных способах счисления, состязанию в вычислениях, выполнению учителем молниеносных вычислений и арифметических фокусов или добровольному изучению арифметических загадок.

Указанный выше интерес к достижениям и успеху в работе развит в детях сильнее, чем это обычно думают; поэтому систематическое применение упражнений, подводящих итог достигнутым результатам, можно рекомендовать как метод изучения многих отделов арифметики. Дети имеют при этом возможность ставить все новые и новые рекорды, ведя им точный периодический учет, делают значительные успехи и с удовольствием выполняют связанную с этим трудную работу.

ПОРЯДОК РАЗВИТИЯ ПРИРОЖДЕННЫХ СКЛОННОСТЕЙ.

Степень трудности работы, которую учащиеся могут проделать, находится в зависимости от степени зрелости их непрерывно развивающихся способностей. При прочих равных условиях общепринятый обычай откладывать более трудные вещи до более поздних годов школьного обучения конечно правилен. Повидимому от затраты учащимися времени на обучение арифметике ранее, чем во второй группе, выигрывается весьма мало, хотя многие арифметические факты могут быть изучены и в первой группе. Систематическое обучение арифметике можно было бы отложить до третьей и даже четвертой группы, если бы ее можно было заменить чем-либо лучшим. Однако при наличии подходящих руководств, а также устных и письменных упражнений дети второй и третьей групп могут с пользой затрачивать время на арифметическую работу. Если бы все дети оставались в школе до конца и выходили из нее, пройдя

восьмую группу, то в сущности не имело бы большого значения, когда мы начинаем изучение арифметики. Если однако многие дети покидают школу, пройдя всего пять или шесть групп, как это наблюдается в настоящее время, то нам необходимо позаботиться о том, чтобы сообщить им некоторый минимум арифметических знаний.

Насколько известно, не существует таких специальных сроков или сезонов, при достижении которых человек в силу внутреннего роста оказывается специально созревшим для занятий тем или другим отделом или принципом арифметики; известно лишь, что общий внутренний рост интеллектуальных способностей делает более трудные и сложные задачи подходящими для все более и более поздних годов.

Действительно лишь очень немногие из наиболее горячих поклонников теории рекапитуляции и теории эпох культуры пытались применить ту или другую из них к обучению арифметике. Насколько я знаю, Брэндфорд является единственным математиком, который защищает это применение, правда, смягченное допускаемыми им перемещениями и изменениями в ходе исторического развития. Он пишет:

„Таким образом для каждого периода жизни индивидума — младенчества, детства, школьного возраста, студенческих лет — можно выбрать из истории народов наиболее подходящую форму, в которой возможно усвоение математического опыта. Так способности в период младенчества и раннего детства сравнимы со способностями хорошо развитых животных и первобытного человека; математические занятия, подходящие для более позднего периода детства и для подростков (как мальчиков, так и девочек), сравнимы с архаической математикой, начиная с греческой и индусской и кончая средневековой европейской математикой; студенты же являются достаточно зрелыми, чтобы начать усваивать современную в высокой степени абстрактную европейскую математическую мысль. Установление деталей надо конечно предоставить самому учителю, равно как и уточнение в определенных широких пределах расположения учебного материала для каждого возраста. Это необходимо потому, что хотя развитие математики в целом и шло постоянно вперед, все же наблюдалась и утрата достигнутых ранее результатов. Об этом свидетельствует практическая потеря для мира многих ценных мыслей индусов и длившееся столетиями пренебрежение к греческой мысли; о том же свидетельствует потеря для мира изобретения нуля вавилонянами, пока он не был снова изобретен индусами, передан ими арабам, а этими последними — европейцам.

Кроме того этот ход развития отмечен многими промахами, неудачными попытками и ложными принципами. Не раз случалось, что реки, выражаясь фигурально, текли вспять. Задачей учителя и явится избежание подобного рода исторических ошибок, выбор наиболее коротких путей, которые были в конце концов найдены, и руководство таким продвижением учащихся по пути, окончательно признанному наиболее удобным, при котором они могут останавливаться, возвращаться назад и пользоваться обходными тропами в полном соответствии со своими умственными особенностями.

Все это как практическое осуществление духа изложенного принципа надо предоставить самому преподавателю математики, близко знакомому с историей математических наук и теми частными ограничительными условиями, которые лежат как в его учениках, так и в нем самом“ (Brandford, 1908, стр. 245).

Широта изменений, рекомендуемых Брэндфордом, сводит почти на-нет то направление обучения, которое могло бы базироваться на истории народов. К тому же ясно, что история развития арифметических познаний является историей приобретения и социальной передачи последних. Природа человека как таковая лишена каких бы то ни было арифметических идей; зародыш человека не знает даже того, что 1 и 1 составляют 2.

ПЕРЕЧЕНЬ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ И НАВЫКОВ.

Научно разработанный план обучения арифметике должен был бы начинаться с точного перечня тех знаний и навыков, которыми учащиеся уже обладают. Наши обычные представления о том, что знает ребенок, поступающий в первую, вторую или третью группы, или что может делать ребенок, обучающийся в первой или второй группе, весьма далеки от действительности. Если бы было иначе, то мы не встречались бы с тем, что общепринятые руководства учат весьма подробно таким фактам, которые достаточно хорошо известны более чем трем четвертям учеников при вступлении их в школу; равным образом мы не встречались бы и с другими учебниками, требующими на первых же 50 страницах текста знания таких слов, которые едва ли половина детей может прочесть к концу группы 2В.

Доказательства грубой ошибочности наших обычных представлений о способностях детей при начале систематических школьных занятий арифметикой можно найти где угодно. Так например в одном общепринятом и во многих отношениях прекрасном руководстве содержится 14 страниц упраж-

нений для изучения значения 2 и того факта, что 1 и 1 составляют 2. Примером обратной ошибки может служить другое руководство для начинающих, в котором на 25 первых страницах мы встречаем такие слова, как отсутствующие, присутствующие, бланки, продолжение, в течение, сгруппированный, совершенный, итог и пр.

В деле составления указанного точного перечня было сделано очень мало по сравнению с тем, что нужно было бы сделать. Мы можем отметить здесь, во-первых, факты, касающиеся арифметики и установленные Стэнли Холлом (Stanley Hall), Гартманом (Hartmann) и др. в их общих исследованиях знаний, которыми дети располагают при поступлении в школу, и, во-вторых, факты, касающиеся способности детей воспринимать различия в длине, площади и размере совокупности предметов, а также расположение последних в совокупности, подобной изображенной на фигуре 24, и некоторые теории и факты, касающиеся раннего знакомства с числами.

Обследование, произведенное в Берлине в 1869 г., показало, что значение чисел 2, 3 и 4 было известно соответственно 74, 74 и 73°/0 детей, вступающих в школу. Вероятно некоторые из детей, отнесенных к категории незнающих, на самом деле знали указанные числа, но или не поняли, какого ответа от них ждали, или просто смутились. Имя своего отца знали согласно обследованию только 85°/0 детей; семь восьмых числа детей, знавших имя своего отца, понимали и значение чисел 2, 3 и 4. Произведя подобный же, но более тщательный опыт над детьми в Бостоне в сентябре 1880 г., Стэнли Холл нашел, что 92°/0 детей знали число 3, 83°/0 — 4 и 71,5%—5. Число 3 оказалось известным почти так же хорошо, как красный цвет, 4 было известно почти так же хорошо, как синий, желтый или зеленый цвет. Гартман (1890) нашел, что две трети детей, вступающих в школу в Аннаберге, знают счет от 1 до 10; приблизительно столько же детей было знакомо с монетами или обычными предметами обихода городской жизни и могло повторять сказанные им слова.

Согласно тестам Бинэ (Binet), если брать их в форме, предложенной Стэнфордом (Stanford), сосчитывание 4 копеечных монет является способностью, характерной для четырехлетнего ребенка. Сосчитывание 13 копеечных монет, правильное по крайней мере в одном из двух случаев счета, и умение распознать 3 из 4 монет—копейка, пятачок, гривенники четвертак— приводятся как способности, характерные для шестилетнего ребенка.

Фиг. 21. Наглядное изображение.

ВОСПРИЯТИЕ ЧИСЛА И КОЛИЧЕСТВА.

Мы знаем, что взрослые, обладающие образованием, могут правильно определить с одного взгляда (т. е. при столь короткой экспозиции, что глаз не успевает сделать движения) число линий, точек и т. д. лишь в том случае, если число их равно четырем или немногим больше, в зависимости от отчетливости объектов и их группировки. Так Нану (Nanu, 1904) сообщает, что при экспозиции в течение 0,033 секунды ярких кружков на темном фоне образованные взрослые могли сосчитать 10 кружков, если последние были расположены в виде параллелограма, и только 5 кружков, если последние были расположены в ряд. Не приходится сомневаться, что „восприятие“ некоторых группировок требует большой работы мысли и даже сознательного сложения и умножения. То же имеет место при определении числа ударов или других звуков, доходящего до 20 и более, когда звуки расположены в ритмические группы и следуют один за другим столь быстро, что сосчитать их подряд невозможно.

Эти способности являются однако результатом продолжительного и тщательного обучения, включающего и обучение самой арифметике. Элементарная психология и обычный опыт учат нас, что простое созерцание групп или количеств

безотносительно к тому, насколько ясной представляется их числовая характеристика лицу, уже знакомому со знанием чисел, не создает само по себе знания значения чисел в человеке, не обладающем этим знанием. Опыты Мессенджера (Messenger, 1903) и Бернета (Burnett, 1906) показали, что не существует непосредственного интуитивного восприятия даже двух, как отличных от одного. Нам надо учиться чувствовать два прикосновения или видеть две точки или линии, именно как два.

За отсутствием точных наблюдений мы не знаем, как растет в детях способность считать или определять число элементов в группе, которую они видят, и в ряду звуков, которые они слышат. Еще менее мы знаем, как протекал бы этот рост вне влияния школьного обучения счету, группированию, сложению и умножению. Многие руководства и учителя повидимому крайне переоценивают это влияние. Далеко не все образованные взрослые могут безошибочно определить, не прибегая к измерению, какая из приведенных на чертеже линий длиннее, какая из площадей больше или какую часть круга — девятую, десятую или одиннадцатую — составляет изображенный на чертеже сектор.

Способность детей, поступающих в школу, оценивать длину и площадь не подвергалась особому изучению; однако из таких работ, как исследования Джильберта (Gilbert, 1894), мы знаем, что разность между сравниваемыми величи-

нами должна быть для таких детей вероятно вдвое больше, чем для подростков 13—14 лет. При оценке веса например разница б единиц воспринималась подростками 13—15 лет столь же легко, как разница в 15 единиц шестилетними детьми. Учитель, уже обладающий зрелой способностью оценки длины, площади или веса и знающий, какой из двух предметов длиннее, больше или тяжелее, может воспользоваться например двумя отрезками, чтобы установить, какая разница в их длине все еще остается скрытой от учеников. Весьма мало вероятно например, чтобы первый из этих отрезков--был признан всеми учениками четвертой группы более коротким, чем второй, и совсем невероятно, чтобы каждый из учеников решил, что первый составляет скорее -g второго, чем его, Если бы те же два отрезка были показаны во второй группе, и ученикам сказали бы: „Длина первого отрезка равна 7; чему равна длина второго отрезка?“, то многие ответили бы: 7 или 9; и эти ответы были бы арифметически совершенно правильными, так как все ошибки учеников были бы обязаны своим происхождением неумению их точно сравнивать длины отрезков.

Применяемые при этих упражнениях количества должны быть такими, чтобы простое распознавание их не представляло собой никаких затруднений даже для детей с пониженными умственными способностями. Так, если надо сравнивать -g- и 1, то чертежи А и В непригодны; С, D и Е значительно лучше.

Можно думать, что учителя часто недооценивают трудности восприятия предлагаемых ими заданий и материала, применяемого ими для иллюстрации абсолютных и относительных величин.

Результаты таких занятий могут быть более вредными, когда ученики отвечают правильно, чем когда они ошибаются, так как правильность даваемого ими ответа может вызываться простым умением отгадать, чего хочет от них учитель; в угоду ему они могут сказать, что такой-то отрезок на 1 см длиннее другого, хотя в действительности он совсем не кажется им более длинным. Это конечно действует крайне погубно на их чувство уважения к арифметике, как точному и деловому инструменту. Так например, если учитель начертит на доске ряд линий длиною в 40, 41, 42, 43, 44 см хотя бы следующим образом---и спросит: „Если этот отрезок имеет 40 см длины, то какова длина вот этого?“, то после нескольких ошибок и исправлений он может добиться правильных ответов от всех учеников в отношении всех линий. Однако представление учащихся о числах 40, 41, 42,43, 44 и 45 в действительности от подобного упражнения только пострадает.

РАННЕЕ ЗНАКОМСТВО С ЧИСЛОМ.

По вопросу о происхождении индивидуального знакомства с числом существовали некоторые разногласия; в частности это касается относительного значения восприятия численности и величины, восприятия определенной совокупности и восприятия определенного отношения (см. McLellan and Dewey, 1895, Phillips, 1897—1898, Decroly and Degand, 1912).

Для практики имеют повидимому значение следующие основные факты.

1) За редкими исключениями дети слышат слова один, два, три, четыре, половина, вдвое, дважды, больше, меньше, столько — сколько, снова, первый, второй и третий задолго до того, как они начинают анализировать качества и отношения, к которым эти слова относятся, в той мере, в какой это необходимо для ясного понимания последних.

2) Их знание качеств и отношений развивается преимущественно в тесной связи с применением этих слов самим ребенком или при обращении к последнему.

3) Повседневный опыт в течение первых пяти лет именно так и развивает в ребенке представление о „стольких-то предметах“ в различных группах, об относительной величине двух групп или каких-либо количеств и о соотносительности некоторых групп и величин с другими того же ряда. Например способный ребенок в возрасте пяти лет может видеть, что четыре лежаших рядом куска хлеба являются совокуп-

ностью четырех, а каждый кусок является частью четырех как суммы всех частей, знать, что два из них составляют столько же, сколько два других, а половина всех кусков составляет два, и представлять себе четыре, если это приносит ему почему-либо пользу, как ступень от трех к пяти, совершенно так же, как он представляет себе теплое в виде ступени от тепловатого к горячему. Степень развития этих способностей зависит от индивидуальной активности в анализе и от характера располагаемого опыта.

4) Ребенок приобретает некоторые плохие навыки в представлении благодаря неправильности обычного применения слов два, три, четыре вместо второй, третий, четвертый и т. д. Он видит или слышит, как его родители, старшие дети или другие считают копейки, яйца или яблоки говоря: один, два, три, четыре и т. д Возможно, что и его приучали к такому счету. Благодаря этому названия, относящиеся в действительности к ряду совокупностей переменной величины, становятся для него названиями различных положений частей в сосчитываемом целом. Это наблюдается особенно часто в отношении чисел, превышающих 3 или 4, потому что опыт с ними как с названиями групп имеется лишь в редких случаях. Подобное вредное приписывание количественным числам, превышающим 3 или 4, значения порядковых чисел, наблюдается у многих детей до поступления в школу. Нумерация страниц в книгах, домов, улиц и т. д., равно как и плохое обучение счету, часто усиливают эту ошибку.

5) Он приобретает также привычку, вредную, если не прямо, то косвенно, применять многие названия, как восемь, девять, десять, одиннадцать, пятнадцать, сто, миллион, без всякого смысла.

6) Наличие опыта в применении слов половина, дважды, втрое больше, втрое дольше и т. д. наблюдается редко; однако если бы было иначе, то все же этот опыт менее облегчил бы выделение чисто абстрактного элемента, чем опыт применения слов два, три, четыре и т. д. в связи с совокупностью вещей, каждая из которых является единицей, как мальчики, девочки, мячи, яблоки. Применение слов два, три и четыре в связи с двумя двойками, двумя тройками, двумя четверками встречается весьма редко.

Таким образом слова два, три и т. д. означают для этих детей преимущественно — „одна какая-либо вещь и одна какая-либо вещь“, „одна какая-либо вещь, обычно называемая одной, и одна какая-либо вещь, обычно называемая одной, и еще одна какая-либо вещь, обычно называемая одной“;

гораздо реже и менее совершенно те же слова означают для них два раза что-либо, три раза что-либо и т. д.

В отношении взглядов Филипса, подчеркивающего важность для детского сознания идеи ряда, необходимо отметить следующие существенные обстоятельства.

Во-первых, знание последовательного ряда названий чисел имеет весьма малое значение в деле обучения арифметике и еще меньшее в образовании знания числа.

Во-вторых, привычка применять ряды слов при счете таким образом, что 8 ассоциируется с восьмой вещью, 9 — с девятой и т. д., имеет значение, но лишь отрицательное, и приносит много вреда.

В-третьих, действительно ценная идея числового ряда, идея ряда групп или величин, изменяющихся по ступеням, приобретается позднее как результат, а не как причина знания чисел.

В отношении доктрины Мак-Леллана — Дьюи приходится заметить, что элемент отношения чисел заслуживает применения в школе, но не потому, что он является главным источником знания ребенком чисел (каковым он не является), а потому, что обычный практический жизненный опыт ребенка не стимулирует его действия в достаточной степени. Более экономичным и одновременно более научным представляется вводить его посредством умножения, деления и действий с дробями, а не путем утверждения с самого начала, что 4 и 5 обозначают четыре или пять раз взятую вещь, именуемую 1, так что например 8 см являются 4-двухсантиметровыми длинами, а 10 копеек—5 двухкопеечными монетами. Если я правильно истолковываю взгляды профессора Дьюи, то и он должен согласиться, что применение различных метрических мер, а также таких измерителей, как стакан, чашка, горсть, ложка и различные монеты, даст достаточное количество единиц для первых двух лет школьного обучения.

Изучение значения ^- от 4, — от 6, ~ от 8, — от 10, — от 20, от 6, -i- от 9, -g- от 30, от 8, двух двоек, пяти двоек и т. д., начинаемое на ранних ступенях и во всех случаях связанное с различными единицами измерения, дает достаточную гарантию в том, что числа будут связаны с отношениями столь же хорошо, как и с совокупностями.

ГЛАВА XII.

ИНТЕРЕС К АРИФМЕТИКЕ.

ИССЛЕДОВАНИЯ ИНТЕРЕСОВ УЧАЩИХСЯ.

Дети очень любят арифметику, хотя она весьма мало или вовсе не пользуется помощью со стороны коллекционирования, мускульных действий, чувства любознательности или могущественного врожденного интереса к вещам и их устройству, а также к человеку и его пристрастиям. Исследования детских симпатий и антипатий, которые до сего времени были произведены, не могут считаться образцом научно поставленной работы, и приводимые в них как результат процентные соотношения нельзя принимать без критики. Однако в общем они едва ли переоценивают в чем-либо большое пристрастие к арифметике. Некоторые из этих результатов приведены ниже. Они показывают в основном, что интерес к арифметике уступает только интересу к ручному труду (работе в мастерских у мальчиков и шитью и кулинарному искусству у девочек), рисованию, некоторым видам гимнастических упражнений и истории. Он стоит почти на одном уровне с интересом к чтению и естествознанию и превосходит интерес к грамматике, родному языку, правописанию, географии и религии.

Лобзиен (Lobsien, 1903), который опросил сотню детей в каждой из пяти первых групп (Stufen) начальной школы в Киле, задавая им вопрос: „Какая часть школьной работы (или буквально в переводе с немецкого языка: „Какой период обучения“) нравится вам более всего?“, нашел, что впереди арифметики идут только рисование и гимнастика—у мальчиков и рукоделие —у девочек.

Это дает несколько преувеличенное представление о действительном положении вещей, так как здесь совершенно не учитываются те дети, которые питают к арифметике антипатию: арифметика столь же непопулярна среди одних, как она популярна среди других. Однако, если принять во внимание и это обстоятельство, то все же окажется, что интерес

к арифметике превышает средний уровень. Штерн (Stern» 1905) задавал следующие вопросы: .Какой предмет вы любите больше всего и какой предмет вы любите меньше всего?“ Результаты показали большое пристрастие к гимнастике у мальчиков (28—1), рукоделию у девочек (32-1-^-) и рисованию у тех и других (16 ~ —6); далее следовали: письмо (6-у— 4), арифметика (14-^ — 13), история (9—6-^),чтение (8у —8) и пение (6—7у ). На последнем месте стоят религия, естествознание, физиология, география, химия, родной язык и грамматика.

Мак Найт (McKnight, 1907) нашел, что среди мальчиков и девочек седьмой и восьмой групп начальных школ некоторых городов Америки арифметика пользуется большей любовью, чем все другие предметы, преподаваемые в школе, за исключением гимнастики и ручного труда. Следующие данные характеризуют соотношение между пристрастием учеников к арифметике и истории:

арифметику очень любят 327, очень не любят 96; историю „ 164 „ 113

В позднейшем исследовании (1909 г.) Лобзиен приводит результаты опроса 6248 учеников в возрасте от 9 до 15 лет, принадлежавших ко всем группам начальной школы; ученики должны были по мере возможности указать, какой предмет они не любят более всего и к каким двум предметам они питают последовательно меньшую склонность. При этом он не принуждал детей отвечать на все четыре вопроса или хотя бы на один из них. Получив ответы, Лобзиен подсчитал в отношении каждого предмета степень расположения и отвращения к нему. Гимнастика, ручной труд и кулинарное искусство оказались наиболее излюбленными предметами За ними следуют история и рисование, а затем арифметика и чтение. География, письмо, пение, естествознание, история ветхого завета, катехизис и три менее существенных предмета оказались менее любимыми предметами.

Льюис (Lewis, 1913) собрал сведения относительно расположения детей английских начальных школ по всем перечисленным ниже предметам их обучения; полученные им

результаты приводятся в нижеследующей таблице процентных отношений:

Наиболее интересная треть предметов

Средняя по интересу треть предметов

Наименее интересная треть предметов

Рисование ........

78

20

2

Ручной труд .......

66

26

8

История .........

64

24

12

Чтение..........

53

38

9

Пение ..........

32

48

20

Гимнастика.......

20

55

25

Арифметика.......

16

53

31

Физика.........

23

37

40

Естествознание ......

16

36

48

Диктант.........

4

57

39

Сочинение ........

18

28

54

Священное писание ....

4

38

58

Устное изложение ....

9

23

68

География........

4

24

72

Грамматика.......

6

94

Брандель (Brandeil, 1913) получил данные путем опроса 2137 шведских детей в Стокгольме (327), Норкэпинге (870) и Готенбурге (940).

В общем он нашел, как и другие исследователи, что ручной труд и работа в мастерских — для мальчиков и домоводство— для девочек, а также рисование, являются более предпочтительными, чем занятия арифметикой. То же относится к истории и (в отличие от большинства прочих исследований) к чтению и естествознанию. Расположение к гимнастике он нашел меньшим, чем к арифметике. Религия, география, родной язык, правописание и письменные упражнения оказались, как и при других исследованиях, значительно уступающими в смысле интереса арифметике.

Аналогичные исследования были произведены Лилиусом (Lilius, 1911) в Финляндии, Вальземаном (Walsemann, 1907), Видеркером (Wiederkehr, 1907), Поммером (Pommer, 1914), Зекелем (Seekel, 1914) и Штерном (Stern, 1913 и 1914) в Гер-

мании. Все эти исследования подтверждают приведенные выше общие результаты.

Причиною относительно большого расположения, которым арифметика пользуется среди учащихся, является по всей вероятности прочная связь с интересом, вызываемым определенными достижениями, успехом, завершением начатого дела, а в группах с пятой до восьмой также и с интересом практического жизненного преуспеяния, обусловленного приобретением навыков, имеющих определенную цену. Первый интерес, по моему мнению, является гораздо более сильным, и арифметика удовлетворяет его особенно хорошо, так как она лучше, чем любое другое „интеллектуальное“ занятие начальной школы, позволяет ученику видеть свой собственный прогресс и определять свои успехи и неудачи.

Поэтому наиболее важным следствием приложения к арифметике психологических явлений удовлетворения и неудовлетворения должно быть дальнейшее и еще более продуктивное использование интереса к достижениям. Следующим по значению является установление связи между обучением арифметике и чувством удовлетворения, получаемым от телесных движений, игр, общительности, веселости и т. д., а также от возможности достигнуть иных желательных результатов кроме развития самих арифметических способностей. Дальнейшей задачей является устранение при обучении арифметике таких неудобств, как чрезмерное напряжение зрения при некоторых вычислениях и излишнем переписывании цифр. Рассмотрим эти положения в обратном порядке.

УМЕНЬШЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ЗРЕНИЯ.

В настоящее время час занятий арифметикой вероятно более утомляет глаза, чем час чтения. Переписывание чисел с книги на лист бумаги представляет собою для глаз одну из самых утомительных работ, какую только приходится выполнять ученикам начальной школы. Некоторое количество этой работы необходимо, чтобы обучить детей писать числа, правильно их переписывать и располагать материал так, как это удобно для вычислений. Сверх этого переписывание учеником всех чисел, над которыми он должен выполнять действия, имеет не больше смысла, чем списывание каждого слова, которое он читает. Бессмысленно тяжелую работу переписывания цифр следует сократить, применяя большое количество упражнений, подобных приведенным на страницах 223 и далее и прибегая к записыванию одного лишь ответа на листе бумаги, который кладется под числами примеров на сложение,

Фиг. 25а. Взятые наудачу образцы вычислительной работы учеников восьмой группы. Эти вычисления фактически имели место при выполнении теста. В оригинале серый цвет записей, выполненных карандашом, делает работу еще более трудной.

Фиг. 25b. Взятые наудачу образцы вычислительной работы учеников восьмой группы. Эти вычисления фактически имели место при выполнении теста. В оригинале серый цвет записей, выполненных карандашом, делает работу еще более трудной.

вычитание и умножение, приведенными в задачнике. Этим достигается не только повышение интереса, но н большая экономия времени для учеников (так как очень часто на переписывание примера уходит вчетверо больше времени, чем на его решение, иногда же и еще больше), а также и для учителя при просмотре ученических работ. Арифметические ошибки не смешиваются с ошибками при переписывании1 и труд учителя по просмотру ученических работ сводится к минимуму, так как все ученики размещают при этом каждую часть своей дневной работы на одном и том же месте. Применение упражнений, отчетливо напечатанных и удачно расположенных на листе, устраняет то напряжение зрения, которое вызывается серыми цифрами, плохо написанными, неправильно расположенными и расставляемыми то слишком тесно, то слишком свободно. На фигуре 25а и 25 b я привожу образчики, взятые наудачу из ста рядовых примеров арифметической работы учеников восьмой группы. Сравните напряжение зрения при выполнении этой работы с тем, которое имеет место при выполнении работы, не связанной с перепиской. Обычный прием непременного переписывания с классной доски или книги на бумагу всех чисел, нужных для вычислений, является ничем не оправдываемой жестокостью и бесцельной потерей времени. Напишите произведения:

1 Куртис находит, что в случае сложения „из всех учеников, делающих ошибки в течение определенного количества времени при классных занятиях, не менее одной трети, обычно же две трети, совершают их при „переносе“ или при переписывании“. Примечание автора.

Впишите недостающие числа („ост.“ обозначает „в остатке“):

Напишите целые или смешанные числа, равные следующим дробям:

Впишите недостающие цифры:

Впишите недостающих числителей:

Найдите произведения. Сократите, если можете:

ЗНАЧЕНИЕ АРИФМЕТИКИ ДЛЯ СОПРЯЖЕННЫХ ВИДОВ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.

Применение телесных движений, общественных игр и т. д. было уже рассмотрено нами в главе о прирожденных склонностях. Поэтому ближайшей темой нашего изложения является „значение возможности достигнуть при изучении арифметики иных желательных результатов кроме развития самих арифметических способностей“. Это значение может быть придано арифметической работе путем использования последней как способа достижения сейчас и в будущем успеха в решении задач, касающихся спорта, домашнего хозяйства, работы в мастерских, шитья, самоучета, других школьных предметов помимо арифметики, а также школьной жизни и школьных дел вообще. Значение арифметической работы как средства достижения одних лишь будущих целей также может быть связано с нею значительно шире и нагляднее, чем это имеет место в настоящее время.

Все то, что предпринимается для усиления побуждений к арифметическим занятиям, должно быть тщательно отобрано, чтобы не получилось сильных, но ложных побуждений, чтобы не развился повышенный интерес к чему-то другому, а не к арифметике, чтобы не оказалась зарезанной „курица“, которая в конечном счете несет „золотые яйца“, т. е. убит интерес к умственной деятельности и ее достижениям как таковым. Нетрудно конечно возбудить интерес к разбивке площадки для игры в бэсбол, измерению количества продуктов, идущих для приготовления того или иного кушанья, приготовлению воздушного шара, обладающего определенной подъемной силой, или определению величины дополнительного расхода при отделке платья лентами. Задача состоит в том, чтобы связать этот интерес с изучением арифметики. Учитель не вправе чувствовать себя удовлетворенным, если этот интерес привязан так, как привязывается к бумажному змею хвост, помогающий ему держаться в воздухе, или когда он служит сахарной глазурью для той пилюли, которую ученик должен проглотить или наконец, когда он является чем-то вроде болеутоляющего средства, дозу которого приходится все увеличивать, чтобы оно продолжало действовать. Пока нет интереса к арифметической деятельности как таковой, задача наша выполнена только частично, и выполнение ее впоследствии явится быть может еще более трудным.

Один из главных способов добиться слияния изучения арифметики как таковой с указанными производными интересами состоит в побуждении ученика искать помощи со стороны арифметики так, чтобы он, говоря словами Дьюи, „почувствовал в ней потребность“, усвоил привычку „ставить задачу“ и благодаря этому оценил и те технические приемы, которых он ищет, чтобы удовлетворить свою потребность. Поскольку обучение арифметике поставлено так, что оно стремится удовлетворить практические жизненные запросы ученика в данное время, ему приходится, так сказать, самому проходить часть пути, чтобы получить ее помощь.

Если даже интересы, вызываемые количественными задачами из области спорта, домашнего хозяйства, работы в мастерских, шитья, самоучета, других школьных предметов, а также школьных занятий и дел, будут использованы и не наилучшим возможным образом, то выигрыш будет все же весьма значительным. Если мы всегда будем помнить о значении указанных интересов, то мы конечно перестанем давать ученикам третьей и четвертой групп задачи, столь далекие от их интересов, как приводимые ниже и взятые

с тридцати последовательных страниц руководства, изданного в 1910 г. и пользующегося прекрасной репутацией.

У стула 4 ножки. Сколько ножек у 8 стульев? у 5 стульев? У мухи 6 ног. Сколько ног у 3 мух? у 9 мух? у 7 мух?

(Еще 8 задач подобного же рода.)

В 1890 г. в Нью-Йорке было 1 513 501 житель, в Мильвоки — 260 308, в Бостоне — 447 720 и в Сан-Франциско — 297 990. Сколько жителей было во всех этих городах вместе?

(Еще 5 задач подобного же рода.)

Мильтон родился в 1608 г. и умер в 1674 г. Сколько лет он прожил?

(Еще несколько задач подобного же рода.)

Население одного города составляло 35 629 жителей в 1880 г. и 1 606 710 жителей в 1890 г. Найти прирост населения.

(Еще несколько задач подобного же рода.)

Значительно? число задач на слова различных торжественных речей и библейских псалмов.

Усвоив эту точку зрения и проявив достаточное усердие, мы сможем вероятно значительно улучшить планы преподавания, содержащиеся и в других руководствах.

Так, начальные занятия арифметикой при всех условиях должны быть до некоторой степени приноровлены к здоровой заинтересованности детей в домашних делах, поведении других детей, свойствах и проявлениях материальных вещей, животных и растений (см. табл., стр. 228).

Слова, встречающиеся в руководствах, дают некоторое представление о том, насколько мы выполняем поставленную себе задачу или, вернее, насколько мы близки к этому выполнению. Возьмем хотя бы слова: дом, мать, отец, брат, сестра, помогать, тарелка, ножик, вилка, ложка, играть, игра, веселиться, догонять, камешки, кукла, бегать, прыгать, петь, растение, семена, расти, цветок, грузовик, колесо, веревка, кусок, удар. Из таблицы 9 видно, насколько часто эти слова встречаются на первых пятидесяти страницах восьми начальных руководств арифметики. Восемь вертикальных столбцов относятся к указанному числу страниц каждой из книг. Числа, стоящие в этих столбцах, указывают, сколько раз встречается на первых пятидесяти страницах

Таблица 9.

Количество некоторых слов, касающихся семейной жизни, игр и деятельности и встречающихся на пятидесяти первых страницах восьми начальных руководств арифметики.

каждой из этих книг данное слово, причем число 10 условно обозначает не только 10 раз, но и свыше 10 раз. Существительные, встречающиеся во множественном числе, глаголы, употребленные в прошедшем времени, и т. д. были при этом также сосчитаны. В результате оказывается, что слова помогать, вилка, ножик, ложка, прыжок, петь и догонять не встречаются ни разу; веселиться и расти встречаются каждое по одному разу на 400 страницах; играть, бегать, удар, растение и семена встречаются по одному разу на ста или более страницах; слово ребенок применяется не чаще, чем экипаж, семья, не чаще, чем загородка или лестница, а отец — втрое реже, чем фермер.

На первых пятидесяти страницах книги А встречается только 10 из указанных 30 слов, книги В— только 4, книги С — только 12, книг D, Е, F, G и H—соответственно лишь 13, 8, 14, 13 и 10. В общем указанные слова встречаются (если всегда принимать 10, которое может обозначать и большее число, только за 10) 40 раз в книге А, 9 раз в книге В, 60 раз в книге С, 42 раза в книге D, 25 раз в книге Е, 62 раза в книге F, 30 раз в книге О и 37 раз в книге Н. 5 слов — яблоко, яйцо, Мария, молоко и апельсин—применяются чаще, чем все указанные 30 слов.

Это явное пренебрежение к детским интересам и занятиям можно было бы пожалуй защищать, если бы этой ценой покупалось более систематическое изучение чистой арифметики, лучшее распределение задач и лучшая подготовка к последующему естественному применению арифметики по сравнению с теми, которые получаются, когда автор руководства как бы привязан к детскому переднику. Однако нет никакой уверенности в том, что подсчет путем сложения стоимости закупок по тому или иному торжественному случаю или подсчет путем умножения всех бутербродов, которые дети должны взять с собою на загородную прогулку, представляет собой для учащихся второй группы больший интерес, чем сложение числа надгробных памятников или умножение числа волос плешивых людей. Если мы даже допустим, что замена фактов, которые чужды детям, такими фактами, которые для них привычны, не даст нам существенных выгод, то все же последним надо отдать предпочтение. Вообще говоря, пренебрежение интересами детей вызывается повидимому не какими-либо особыми целями, а той же силой инерции, которая по традиции сохраняет в учебниках начальных школ задачи на прорытие канав и устрой-

ство колодцев, которых дети, живущие в городе, никогда в жизни своей не видали.

Я не буду останавливаться на деталях, касающихся расположения учебного материала в руководствах и на классных уроках, которое гарантировало бы наилучшую связь между обучением арифметике, спортом, домоводством, ручным трудом и т. д. Вместе с тем я считаю необходимым пояснить, что представляет собой самоучет как источник естественных задач, имеющий реальное значение для учеников и оставленный без всякого внимания большинством авторов.

Самоучет позволяет ученику контролировать свои способности, знания, затрату времени и т. д. Когда ученик доходит до пятой группы, а в известной мере и до этого, он должен отдавать себе некоторый отчет в том, сколько времени у него уходит на те или иные занятия, какую часть заданной работы он успевает сделать в течение данного времени и с каким количеством ошибок, каких успехов он достигает из месяца в месяц, что удается ему лучше всего и т. д. Подобное объективное, реальное количественное изучение своей собственной деятельности отнюдь не является стимулом к самолюбованию или эгоизму; наоборот, оно представляет собою одно из лучших средств, предохраняющих от их развития. Беспристрастное изучение самого себя является одним из существенных элементов умственного равновесия и здоровья. Оно ни в какой мере не поощряет и не должно поощрять самодовольства. Наоборот, подобное фактическое самоизучение того, чем человек является и чем он должен быть, может с успехом заменить некоторую долю советов и предупреждений, касающихся того, что человек должен делать и чем он должен быть. Сказанное справедливо не только в отношении мальчиков, но в еще большей степени и в отношении девочек.

Требования, предъявляемые к арифметике со стороны подобного учета своей собственной деятельности, особенно ценны тем, что они непосредственно связаны с более сложной вычислительной работой. Удовлетворение их возможно лишь при применении больших чисел, десятичных дробей, средних величин, процентов, приближенных значений и других фактов и приемов, которые ученику необходимо изучить для последующего применения в жизни, но к которым ребенка 10—14 лет совсем не ведет его деятельность по получению жалованья, совершению купли-продажи, работе в мастерских. У детей очень мало денег, но много тысяч единиц времени; они не занимаются учетом и получением процентных

денег; однако они могут сделать скидку с количества решенных ими примеров в зависимости от числа допущенных ошибок и получить премию за всякого рода дополнительные успехи.

ВНУТРЕННИЙ ИНТЕРЕС К ИЗУЧЕНИЮ АРИФМЕТИКИ.

Нам остается рассмотреть наиболее существенный фактор повышения интереса к изучению арифметики, именно непосредственную связь этого повышенного интереса с достижениями и успехами в самой арифметике.

„Арифметика, — говорит Д. Е. Смит (David Eugene Smith), — это — игра, а все мальчики и девочки— ее участники“. Она не должна бы была оставаться для них только игрой, и сами они не должны бы были только играть; однако их моральный интерес к этой игре, обусловливаемый тем, что они могут в ней участвовать и видеть, насколько хорошо они играют, является одним из ценнейших достижений школы. Поэтому следует всячески изыскивать и поддерживать здоровые способы возможно большего и лучшего стимулирования этого интереса.

О двух из этих способов мы уже говорили выше по другому поводу. Первый из них состоит в таком расширении применения поверочных и контрольных упражнений, чтобы ученик мог нормально работать почти со стопроцентным успехом и мог знать, насколько он близок к этому пределу. Второй способ состоит в применении стандартных материалов для упражнений и тестов, при которых ученик мог бы сам измерять свои достижения по сравнению с прошлым и иметь ясное, живое и правильное представление о том, насколько лучше или скорее он может выполнить сейчас ту же самую работу, чем месяц или год назад, и насколько более трудную работу, чем прежде, может он выполнить сейчас.

Дальнейшим способом стимулирования существенного интереса к количественному мышлению как таковому является такое распределение работы, при котором действительное арифметическое мышление поощряется в большей степени, чем простое подражание и старание. Мы имеем здесь в виду отказ от длинных рядов прикладных задач одного и того же типа, решаемых одним и тем же приемом, отказ от серий смешанных задач и примеров на повторение пройденного, которое представляют собой почти дословное воспроизведение ранее решенных задач, и вообще отказ от чрезмерного повторения какого угодно положения, лежащего в основе задач. Нет сомнения, что стимул к действительному арифме-

тическому мышлению не может быть сильным, если в течение целого дня работы над примерами не приходится выбирать методов решения, если обзор пройденного сводится к простому повторению без дальнейшего улучшения и продвижения вперед или если ученик встречается с тем же положением (скажем: „Куплено х предметов по у коп. за штуку; сколько за них заплачено?“) в пятисотый раз.

Следующее обстоятельство, на которое необходимо обратить внимание в связи с рассматриваемым вопросом, это тенденция опускать или давать в разбавленном виде некоторые темы, которые прекрасно соответствуют действительным интеллектуальным интересам, только потому, что они слишком трудны. Наилучшей иллюстрацией в этом направлении является задача на отношение: „Во сколько разу больше (длиннее, тяжелее, дороже и т д.), чем х?“ Приобрести навык в обращении с отношением „во столько-то раз“ нелегко, но добиться этого следует, и не только в силу его большого интеллектуального значения, но и в силу первостепенной важности его при приложении арифметики к другим наукам. При преподавании арифметики в прежнее время эта работа осложнялась педантизмом, словесными трудностями и нереальными задачами на дробные части людей, выполняющих различные части работы в странное и несоразмерное время. Освободив рассматриваемую нами тему от всех этих наслоений, мы должны вновь ввести ее в преподавание, начиная с пятой группы, хотя бы на простых примерах, подобных приведенным ниже, и развивать ее вплоть до восьмой группы, пользуясь задачами на относительную питательность и стоимость продуктов, зубчатые передачи, скорости и пр.

ВАНЕ 4 года. ФЕДЕ 8 лет. МАНЕ 8 лет. НЮРЕ 10 лет. ЛЮСЕ 12 лет. БЕРТЕ 15 лет.

Кто вдвое старше ВАНИ?

Кто вдвое моложе ЛЮСИ?

Кто втрое старше ВАНИ?

Кто в полтора раза старше НЮРЫ?

Чей возраст составляет две трети возраста ФЕДИ?

и т. д. и т. д.

ЛЮСЯ старше ВАНИ . . . ВАНЯ моложе МАНИ . . . ФЕДЯ старше ВАНИ в . . . раза ЛЮСЯ старше ФЕДИ в . . . раза

Возраст ФЕДИ составляет . . . возраста МАНИ

и т. д. и т. д.

В заключение следует напомнить, что всякое мероприятие, увеличивающее ценность знания арифметики и помогающее ученику изучить ее, в дальнейшем повышает к ней интерес. Ученики любят учиться, добиваться результатов и приобретать навыки. Успех заинтересовывает. Если мероприятия, которые мы рекомендовали в предыдущих главах, будут выполнены, то едва ли представится даже малейшая нужда подманивать учеников к занятиям арифметикой или подслащивать последние недопустимыми развлечениями.

ГЛАВА XIII.

УСЛОВИЯ ЗАНЯТИЙ АРИФМЕТИКОЙ.

В этой главе мы рассмотрим влияние на занятия арифметикой времени дня, численности групп, количества времени, отводимого на занятия арифметикой школьной программой, вопросов гигиены зрения при выполнении арифметической работы, а также применения наглядных пособий, звуковых, световых и умственных изображений — в качестве положений— и речи, письма и мысли — в качестве выразителей представлений1.

ВНЕШНИЕ УСЛОВИЯ

Различные исследователи применяли те или иные виды вычислений в качестве тестов для определения производительности работы в различные часы дня. Если учесть, с одной стороны, влияние практики, а с другой — падение интереса, обусловленное повторением, то результаты согласно укажут на увеличение к концу занятий быстроты и уменьшения точности в вычислениях, причем второе приблизительно компенсирует первое2. Едва ли разумно уделять занятиям арифметикой ранние часы дня, мотивируя это ее трудностью: живые общегрупповые устные арифметические упражнения повидимому весьма подходят и для занятий в поздние часы дня. Вообще психология, установив в соответствии с современным уровнем знаний два общих принципа: 1) что день надо начинать с работы, которая устанавливает надежный стандарт приятной и продуктивной деятельности, и 2) что наименее интересные части работы, приходящиеся на данный день, должны выполняться возможно раньше, допускает построение программы согласно с требованиями практики.

1 Фактический материал, касающийся условий обучения вообще, можно найти в .Психологии воспитания“ автора (Educational Psychology, т. II, гл. VIII) или в его сокращенном курсе, носящем то же наименование (гл. XV).

2 См. Торндайк (1900), Кинг (King, 1907) и Гек (Geck, 1913).

(Примечание автора).

Сравнимых измерений влияния времени дня на успешность занятия произведено не было; однако едва ли есть основания предполагать, что какой-либо определенный промежуток времени между 9 часами утра и 4 часами дня значительно более благоприятен для занятий арифметикой, а не географией, историей, правописанием и пр.

Измерить влияние численности группы на успешность школьных занятий вообще весьма трудно. Это обусловливается следующими тремя причинами: 1) при одной и той же школьной системе, принятой в данном городе, средняя численность шести (или более) групп, через которые проходит какой-либо ученик, весьма близка к соответствующей средней и для каждого другого ребенка; 2) возможно, что проявлена тенденция к увеличению числа учеников в группах, руководимых более опытными педагогами; 3) отдельные учебные планы, содержащие в себе отличия, вызываемые численностью групп, вероятно различаются между собой и в других отношениях, так что разница в достижениях может получаться как результат совершенно иных различий.

Эллиот (Elliott, 1914) положил начало подобного рода исследованиям, отмечая численность групп при производившемся им в течение года измерении успехов 1700 учеников, дополненном сведениями о других более чем 400 группах. Как и следовало ожидать, он не нашел в соответствии с изложенным выше какой-либо заметной разницы между группами различной численности в пределах одной и той же школьной системы, так как влияние пребывания в течение нескольких месяцев в малочисленной группе сглаживалось различными предшествующими и последующими обстоятельствами.

Влияние количества времени, отводимого на занятия арифметикой школьной программой, было подробно изучено Райсом (Rice, 1902—1903) и Стоном (Stone, 1908).

Доктор Райе (1902) измерил арифметические способности приблизительно 6000 детей в 18 различных школах 7 различных городов. Результаты его измерений приведены в суммарном виде в таблице 10. Эта таблица „содержит по две средних величины как для каждой группы, так и для каждой школы как целого. Так в начале таблицы помещены средние 80,0 и 83,1 для одной школы, а в конце таблицы — средние 25,3 и 31,5 — для другой школы. Первое из каждых двух приведенных чисел показывает процент совершенно правильных ответов, второе — показывает, какой процент задач был решен правильно в принципе, т. е. какой средний про-

цент правильных ответов был бы получен, если бы не было сделано ни одной механической ошибки“.

Таблица 10.

Срелние величины по обучению арифметике в различных школах.

Город

Школа

Шестой год

Седьмой год

Восьмой год

Среднее для школы

Число минут в день

Приведенный результат

Полученный результат

Приведенный результат

Полученный результат

Приведенный результат

Полученный результат

Приведенный результат

Полученный результат

Процент механических ошибок

III

1

79,3

80,3

81,1

82,3

91,7

93,^

80,0

83,1

3,7

53

I

1

80,4

81,5

64,2

67,2

80,9

82,8

76,6

80,3

4,6

60

I

2

80,9

83,4

43,5

50,9

72,7

79,1

69,3

75,1

7,7

25

I

3

72,2

74,0

63,5

66,2

74,5

76,6

67,8

74,2

ö,l

45

I

4

69,9

72,2

54,6

57,8

66,5

69,1

64,3

70,3

8,5

45

II

1

71,2

75,3

33,6

35,7

36,8

40,u

60,2

64.8

7,1

60

III

2

43,7

45,0

53,9

56,7

51,1

53,1

54,5

58,9

7,4

60

IV

1

58,9

60,4

31,2

34,1

41,6

43,5

55,1

58,4

5,6

60

IV

2

59,8

63,1

22,5

22,5

53,9

58,8

Ь,3

_

IV

3

54,9

5M

35,2

38,6

43,5

45,0

51,5

57,6

10,5

60

IV

4

42,3

45,1

16,1

19,2

48,7

48,7

42,8

48,2

11,2

_

V

1

44,1

48,7

29,2

32,5

51,1

58,3

45,9

51,3

10,5

40

VI

1

6\3

71,3

33,5

36,6

26,9

30,7

39,0

42,9

9,0

33

VI

2

46,1

49,5

19,5

24,2

30,2

40,6

Я6,5

43,6

16,2

30

VI

3

34,5

36,4

30,5

35,1

23,3

24,1

36,0

42,5

15,2

48

VII

I

35,2

37,7

29,1

32,5

25,1

27,2

40,5

45,9

11,7

42

VII

2

35,2

38,7

15,0

16,4

19,6

21,2

36,5

40,6

10,1

75

Vil

3

27,6

33,7

8,9

10,1

11,3

11,3

25,3

31,5

19,6

45

Данные, содержащиеся в таблице доктора Райса, показывают, что между общей установкой школьной системы, обнаруживаемой тестами, и количеством времени, затрачиваемым на изучение арифметики по программе, существует определенное соотношение. Однако это соотношение нельзя считать особенно твердым, и коэфициент соотносительности выражается цифрой 36-^-. В пределах данной школьной системы не существует какого-либо определенного соотношения между установкой данной школы и количеством времени, затрачиваемым на изучение арифметики по программе той же школы. Надо иметь в виду, что количество времени, предусматриваемое школьной программой, может дополняться усиленной работой по исполнению заданий на дому

или в классе в особо отводимое для этой цели время, а с другой стороны, служить признаком соответственно большего или меньшего внимания, уделяемого выполнению арифметических занятий на дому или в классе в дополнительные часы.

Еще более тщательное исследование той же темы было выполнено Стоном (1908). Я изложу его довольно подробно, так как оно является поучительным примером тех исследований, которые без сомнения будут вскоре выполнены и в отношении всех других предметов начальной школы. Стон нашел, что школьные системы значительно отличаются по успехам, которых достигают ученики различных шестых групп при выполнении его тестов в счислении (так называемых „основных“) и в решении задач, описываемых на словах (так называемых „тестов рассуждения“).

Соответствующие данные приведены в таблице 11.

Таблица II. Оценка успехов учеников шестой группы для каждой из 26 школьных систем.

Система

Успехи в решении задач

Успехи в счислении

23

356

1 841

24

449

3513

17

444

3 042

4

464

3 5^3

25

464

216/

22

468

2311

16

469

3 70/

20

491

2168

18

509

3 758

15

532

2 779

3

533

2 845

8

538

2 747

6

550

3 173

1

552

2 935

10

601

2 749

2

615

2 958

21

627

2 951

13

636

3 049

14

661

3 561

9

691

3 404

7

734

3 782

12

736

3410

11

759

3 261

26

791

3 682

19

848

4 099

5

914

3 569

Дальнейшие данные, полученные Стоном, приведены в таблице 12.

Таблица 12.

Соотношение между затратой времени и достижениями.

Без учета домашней работы С учетом домашней работы

Решение задач и затрата времени.......0,01

Счисление и затрата времени.........0,09

Решение задач и затрата времени.......0,13

Счисление и затрата времени.........0,49

Большие успехи в счислении, характерные для одной из школьных систем, сопровождались такими же успехами и в решении задач, причем коэфициент соотносительности был равен приблизительно 50; система, для которой были выявлены большие успехи в одном из четырех действий — сложении, вычитании, умножении или делении, обычно оказывалась, столь же удачной и в отношении остальных трех, причем коэфициент соотношения достигал 0,90.

Из числа условий, в которых производилось обучение арифметике, особенно подробно было изучено количество времени, уделяемое арифметике. На основании ответов, полученных от заведующих школами на поставленные им вопросы, Стон установил для каждой из 26 школьных систем вероятное количество времени, затрачиваемого на обучение арифметике до шестой группы включительно. Если оставить в стороне домашнюю работу, то окажется, что между количеством времени, отводимым данной системой на занятия арифметикой, и достижениями в решении задач определенного соответствия не имеется или, если последнее и имеется, то оно весьма невелико; несколько большее соответствие имеется между затратой времени и достижениями в счислении. Если учесть и домашнюю работу, то соответствие между затратой времени по данной школьной системе и достижениями в решении задач также окажется небольшим; однако эта затрата времени оказывает совершенно отчетливое влияние на достижения в счислении.

Необходимо помнить, что эти соотношения касаются школьных систем, а не отдельных учеников. Поэтому может случиться, что хотя в отношении данной системы не выявлено каких-либо преимуществ по сравнению с другой системой, отводящей занятиям арифметикой всего лишь половину времени, которое отводится первой, все же успехи учеников в пределах одной и той же системы стоят в точном соответствии с количеством времени, уделяемым этим занятиям. Равным образом указанные соотношения не позволяют

делать каких-либо выводов о влиянии затраты различного количества времени на успехи одного и того же ученика.

Стон изучил также печатные программы обучения арифметике, принятые в этих 26 школьных системах; 19 экспертов дали оценку указанным программам, руководствуясь приведенной ниже инструкцией.

ОБ ОЦЕНКЕ ПРОГРАММЫ.

Экспертов просят прочесть до приступа к оценке.

I. Некоторые факторы, определяющие относительные достоинства.

(NB. Последующее перечисление является скорее примерным, чем полным или не допускающим добавлений. Каждому эксперту предлагается руководствоваться в первую очередь своим собственным суждением.)

1. Помощь, оказываемая учителю при преподавании предусмотренного программой материала.

2. Общественная ценность или конкретность материала, содержащегося в задачах.

3. Распределение учебного материала.

4. Обеспечение достаточного количества упражнений.

5. Разумный минимум требований и побуждение к ценной дополнительной работе.

6. Относительная ценность преобладающего „метода“, например метода Спира, Грубе и т. д.

7. Место, отводимое устному, или так называемому „умственному“, счислению.

8. Достоинство ссылок на руководства.

II. Предостережения и указания.

(Экспертов просят учесть их возможно полнее.)

1. Считайте, что ссылки на руководства являются частью самих программ занятий. Это обусловливает необходимость оценки и тех частей руководств, на которые сделаны ссылки.

2. Ознакомьтесь по мере возможности одинаково тщательно со всеми программами прежде, чем будете давать им оценку.

3. Подготовившись к оценке, расположите прежде всего программы в ряд по степени их достоинства, а затем начинайте оценку с программы среднего качества, оценив ее отметкой 50; отметки больше и меньше 50 ставьте для программ, которые лучше или соответственно хуже средней; при этом одинаковую разницу в качествах отмечайте и одинаковой разностью в отметках; так, если вы находите, что программы различаются по качеству приблизительно на одну и ту же величину, то ставьте для лучших программ отметки

51, 52 и т. д., а для худших 49, 48 и т. д.; если же вы находите, что программы отличаются на неравные величины, то отметьте это, опустив промежуточные числа.

4. Проставляйте вашу оценку на листе бумаги, прикрепленном к каждой программе.

Школьные системы, соответствующие программы которых получили при этом наивысшую оценку, не обнаружили при выполнении тестов Стона каких-либо особых преимуществ по сравнению с прочими системами; 13 систем, соответствующие программы которых получили наибольшее одобрение, оказались в действительности несколько ниже по обусловливаемым ими достижениям, чем остальные 13 программ, так что коэфициент соотносительности оказался хотя и небольшой, но все же отрицательной величиной.

Стон сравнил также 18 систем, в которых работа учителей проходила под наблюдением инспекторов или заведующих школами, с 4 системами, в которых ни учителя, ни заведующие школами не имели какой-либо помощи. Для этих последних систем, принятых в 4 городах, оценка при помощи тестов Стона дала значительно более низкие показатели.

ГИГИЕНА ЗРЕНИЯ ПРИ ЗАНЯТИЯХ АРИФМЕТИКОЙ.

Мы уже отметили выше, что чтение и переписывание чисел являются для глаз одной из самых трудных работ, какие только приходится выполнять в начальной школе, и что работу эту следует облегчить, организовав занятия так, чтобы ученикам приходилось записывать по преимуществу только ответы. Цифры, которые приходится читать и списывать, конечно должны быть напечатаны шрифтом, подходящим по размеру и стилю; размещение цифр на странице или классной доске должно требовать от глаз наименьшего напряжения и усилия.

Размер. Шрифт может быть или слишком крупным или слишком мелким, причем последний недостаток встречается чаще. Если он слишком крупен, как на фигуре 26, где изображен шрифт вдвое больший, чем применяемый в настоящее время для листов с упражнениями, то глазу приходится совершать слишком много фиксирований, чтобы охватить приводимые данные. Учитывая ряд соображений, можно считать повидимому наиболее желательным шрифт в 12 пунктов для третьей и четвертой групп, в 11 пунктов — для пятой и шестой групп и в 10 пунктов — для седьмой и восьмой групп.

Фиг. 26. Слишком крупный шрифт.

Образцы этих шрифтов показаны на фигуре 27. Слишком мелкий шрифт чаще всего встречается в обозначении дробей, а также размеров и масштабов на чертежах. Фигуры 28, 29

Фиг. 27. Шрифт в 12, 11 и 10 пунктов.

Фиг. 28. Слишком мелкого размера шрифт.

Фиг. 29. Слишком мелкий шрифт.

и 30 представляют собою образцы, взятые из действительной школьной практики. Образцы желательных размеров указаны на фигурах 31 и 32. При современной полиграфической технике весьма трудно и дорого придавать дробям

Найдите площадь этих фигур:

Фиг. 30. Цифры набраны слишком мелким и неудачным шрифтом.

с горизонтальной чертой

достаточный размер, не набирая в то же время цифр целых чисел, с которыми эти дроби перемежаются, слишком крупным шрифтом или не придавая всему тексту некрасивого вида. Поэтому в учебниках приходится в ряде случаев применять при наборе дробей шрифт меньшего размера, чем это было бы желательно1. Но зато нет никакого оправдания исключительно малому размеру цифр дробей, который часто наблюдается при записывании их на классной доске.

Найдите площадь этих фигур:

Фиг. 31. То же, что и фигура 28, но цифры набраны надлежащим шрифтом.

Фиг. 32. То же, что и фигура 30, но цифры набраны надлежащим шрифтом-

1 Можно было бы создать специальный шрифт, взяв для букв, скажем, 14 пунктов, для целых чисел—10 или 12 пунктов и для дробей значительно более крупный шрифт, чем применяемый в настоящее время.

Примечание автора.

Эта картинка изображает садик Ваниного отца. Сколько метров в его обводе?

Стиль. В обыкновенных шрифтах цифры 3 и 8 часто имеют такой вид, что для распознавания их требуется известное напряжение; цифру 5 иногда легко смешать с 3 и даже 8; 1, 4 и 7 иногда менее легко различимы, чем это было бы желательно.. Фигура 33 показывает особенно удачный шрифт, в котором каждая цифра изображается характерными для нее чертами без всяких излишних украшений и штрихов1. Фигура 34 показывает некоторые обычно применяемые шрифты. Между ними нет особенно заметной разницы.

Фиг. 33. Жирный шрифт, весьма желательный, несмотря на некоторую тяжеловатость.

В отношении дробей следует отметить, что отделение их при помощи косой черты (2/3, 3/4) особенно удобно в упражнениях на сложение и вычитание их и почти во всех смешанных числах. Это особенно ясно бросается в глаза при рассмотрении фигуры 35, где одни и те же дроби набраны шрифтом в 10 пунктов то с косой, то с горизонтальной чертой. При косой черте цифры дроби, вообще говоря, крупнее, а расстояние между ними и чертой больше. Кроме того при этой форме изображения дроби глазу легче сравнивать знаменателей, чтобы определить, нужно ли приведение. За исключением немногих примеров, на которых мы должны показать, что действия над дробями можно выполнять с тем же успехом и при горизонтальной черте, все дроби, подлежа-

1 Было бы еще лучше, если бы в цифре 4 верхняя часть была открытой.

Примечание автора.

щие сложению или вычитанию, а также встречающиеся в смешанных числах, должны печататься в руководствах и писаться на классной доске с наклонной чертой. Последняя должна быть наклонена под углом приблизительно в 45 градусов. Учеников следует приучить пользоваться этой формой изображения дробей в их собственных работах.

Когда цифры пишутся, то для них надо выбирать наиболее простые очертания, ясно выделяющие характерные особенности цифр, и проводить линии одинаковой или почти одинаковой толщины, не допуская растушовки, украшений или завитушек какого бы то ни было вида. Цифра 3 должна быть широко раскрытой, чтобы она отличалась от цифры 8; верхняя часть ее должна быть закругленной, чтобы ее легко было отличить от 5; нижняя часть цифры 9 должна быть почти или совершенно прямой; цифры 1, 4, 7 и 9 должны быть легко различимыми одна от другой. Есть несколько способов сделать их таковыми: пожалуй, лучше всего будет изображать 1 прямой линией, у цифры 4 оставлять верхнюю часть открытой и резко выражать угол, верхнюю черту у цифры 7 делать достаточно длинной, а верхнюю часть цифры 9 замыкать отчетливой кривой.

Фиг. 34. Обычные стили печатных цифр.

Фиг. 35. Сравнение дробей с наклонной и горизонтальной чертой.

Фиг. 36. Хорошая разбивка по вертикали.

Фиг. 37. Плохая разбивка по вертикали.

Найдите, не прибегая к помощи карандаша, указанные части данной суммы:

Фиг. 38. Плохая разбивка слева направо.

Фиг. 39. Хорошая разбивка слева направо.

Ученик должен писать цифры отчетливо. Это не только избавит его от напряжения зрения и ошибок в его школьной работе, но и даст ему навык, ценный в жизни. Несмотря на большое распространение пишущих машин, писание цифр от руки применяется чрезвычайно широко; при этом неразборчивость цифр обычно гораздо вреднее, чем неразборчивость букв или слов, поскольку из контекста лишь редко можно видеть, какое число подразумевается; привыкнуть писать цифры отчетливо вовсе не трудно, так как они пишутся врозь и требуют всего лишь десяти несложных автоматических движений. Школы проявляют в этом отношении недопустимую косность. В то время как почерк в отношении букв и слов часто вырабатывается более тщательно, чем это нужно для жизни, в отношении цифр он остается нередко совершенно неудовлетворительным. Образцы цифр, приводимые в прописях, также обычно весьма плохи, что свидетельствует или о небрежности или же о непонимании сущности дела теми, кто руководит чистописанием.

Разбивка. Разбивка цифр в столбцах по вертикали редко бывает слишком широкой; гораздо чаще она чрезмерно тесна. Образцы, приведенные на фигурах 35 и 37, позволяют сравнить хорошую разбивку с обычно наблюдаемой плохой.

Разбивка слева направо в том виде, как мы обычно встречаем ее в книгах, вообще говоря, вполне удовлетворительна; следует отметить однако дурную тенденцию придерживаться всегда одной какой-либо рутинной формы, упуская при этом случай применить более широкую или тесную разбивку, которая в некоторых случаях могла бы облегчить ра-

боту зрения и мышления. Примеры хорошей и плохой разбивки приведены на фигурах 33 и 39. В ученических работах разбивка слева направо часто бывает слишком тесной. Нагромождение знаков, неравномерно расположенных, сильно затрудняют зрение и мышление.

Верстка страниц. Расположение текста на странице является наилучшим в том случае, если при прочих равных условиях оно лучше помогает ребенку фиксировать какое-либо место страницы и легко находить его после того, как он посмотрел в сторону по какой-либо разумной причине, например чтобы проделать вычисление на бумаге. Образцы расположения текста на странице, которое является удачным и неудачным с этой точки зрения, приведены на фигурах 40 и 41.

Представьте себе, что вы служащий продуктового магазина, отпускающий продукты по указанной ниже цене. Найдите стоимость каждой покупки.

Маргарин . . . . . . 1,60 руб. за 1 кг

колбаса вареная . . . 2,20 я „

Колбаса копченая . . . 2,40 „

Сыр голландский . . . 3,00 п

Сыр швейцарский . . . 3,20 „ .

Ветчина.......3,40 . „

Масло сливочное . . . 3,80 п » »

Икра зернистая .... 4,50 п

Фиг. 40. Удобное для глаз расположение материала на странице.

Представьте себе, что вы служащий продуктового магазина, отпускающий продукты по указанной ниже цене. Найдите стоимость каждой покупки.

Маргарин — 1,60 руб. за 1 кг; колбаса вареная — 2,20 руб. за 1 кг; колбаса копченая — 2,40 руб. за 1 кг; сыр голландский— 3,00 руб. за 1 кг; сыр швейцарский — 3,20 руб. за 1 кг;

ветчина — 3,40 руб. за 1 кг; масло сливочное — 3,80 руб. за 1 кг; икра зернистая — 4,50 руб. за 1 кг.

37. 1,7 кг маргарина. 38. 1,6 кг голландского сыра. 39. 2,3 кг швейцарского сыра. 40. 1,5 кг сливочного масла. 41. 1,5 кг швейцарского сыра. 42. 1,1 кг сливочного масла. 43. 0,7 кг сливочного масла. 44. 1,5 кг голландского сыра. 45. 0,4 кг

зернистой икры. 46. 0,75 кг сливочного млела. 47. 1,25 кг маргарина. 48. 1,4 кг голландского сыра. 49. 0,8 кг зернистой икры. 50. 2,4 кг швейцарского сыра.

Фиг. 41. Тот же материал, что и на фигуре 40, но расположенный гораздо менее удачно.

Наглядные изображения. Картинки, чертежи, карты и другие наглядные изображения не должны без нужды утомлять зрения:

1) требованием слишком тонкого распознавания;

2) неудачным расположением данных, затрудняющим счисление, измерение, сравнение или другие заданные операции;

3) нагромождением в одном изображении такого количества фактов, что при попытке выделить один из них зрение и мышление наталкиваются на помеху со стороны других.

Образцы неудачных с этой точки зрения изображений приведены на фигурах 42—52. Немногие образцы удобного для глаз расположения показаны на фигурах 53—56.

Необходимо запомнить следующие хорошие правила:

стремитесь при прочих равных условиях обеспечить наилучшую различимость; учитывайте при расположении материала способность глаза охватить „с одного взгляда“ лишь ограниченную площадь (грубо 35 X 12 мм в книге и 4,5 X 1 »5 дм на классной доске); применяйте лишь такие изображения, которые учат только одному какому-либо факту или соотношению или таким фактам и соотношениям, которые не мешают друг другу при восприятии.

Общие условия, касающиеся посадки учеников, освещения, бумаги и т. д., в случае обращения с числами имеют для зрения еще большее значение, чем при обращении со словами.

ПРИМЕНЕНИЕ В АРИФМЕТИКЕ КОНКРЕТНЫХ ОБЪЕКТОВ.

Под конкретными объектами мы подразумеваем действительные вещи, явления и соотношения, непосредственно воспринимаемые чувствами, в отличие от слов, чисел и символов, которые заменяют или замещают эти объекты или более абстрактные качества и соотношения. Кирпичи, зубочистки, монеты, линейки, разлинованная на квадраты бумага, литровая посуда, бухгалтерские книги и чеки являются подобными конкретными вещами. Линейка в 1 дм, укладываемая 10 раз по длине метровой линейки, звонок, в который ударили 5 раз, гиря в 1 кг, уравновешиваемая пятью гирями по 200 г, — все это примеры конкретных явлений. Сантиметр

Фиг. 42. Попробуйте сосчитать число перекладин лестницы или число снопов на телеге.

Фиг. 43. Сколько вы видите весел? птиц? рыб?

Фиг. 44. Сосчитайте птиц в каждой из трех стай.

Фиг. 45. Обратите внимание на отсутствие ясного деления на сотни и на трудность подсчета единиц в столбцах точек.

Фиг. 46. Что по вашему мнению должны изображать эти рисунки?

Фиг. 47. Может ли ребенок знать, что после 13 ему надо повернуть рисунок и начинать с другого конца? Смогли ли бы вы выделить 6 из 26, если бы вы не знали заранее, чем должны быть эти 6? Какой смысл имеюг все эти скобки в глазах ученика второй группы? Способствует ли этот рисунок ясности представления или, наоборот, затемняет его?

I. УМЕНЬШАЕМОЕ. ВЫЧИТАЕМОЕ.

II. УМЕНЬШАЕМОЕ (перестроенное). ВЫЧИТАЕМОЕ. РАЗНОСТЬ.

Фиг. 48. Сколько времени вам понадобилось, чтобы понять смысл этих рисунков?

Фиг. 49. Сосчитайте число звездочек в первом ряду, пользуюсь только зрением; пусть кто-нибудь нарисует ряды в 10, 11, 12, 13 и Солее подобных же звездочек, разместив их так же тесно, как это сделано здесь. Сосчитайте число звездочек в 20 или 30 таких рядах, пользуясь только зрением и не прибегая к помощи пальцев, карандаша и т. д.

Какие числа изображаются этими прямоугольниками?

Фиг. 50. Можете ли вы ответить на этот вопрос, не прибегая к измерению?

Может ли это сделать семи- или восьмилетний ребенок?

Фиг. 51. Что по вашему мнению должны изображать эти рисунки? Почему они изображают факты так неопределенно и неясно?

Фиг. 52. Что по вашему мнению должны изображать эти рисунки? Какое простое изменение надо было бы сделать, чтобы они стали изображать факты гораздо более ясно?

Фиг. 53. Расположение, соответствующее охвату „с одного взгляда“.

Скажите, в каком бруске черная часть составляет :

1) около 5°/0 всей длины?

2) околo 10°/0 всей длины?

3) около 25°/0 всей длины?

4) около 75°/0 всей длины?

5) около 90°/0 всей длины?

6) около 95°/0 всей длины?

Фиг. 54. Ясно, просто и удобно для сравнения.

Половины. Трети. Четверти. Шестые. Восьмые. Фиг. 55. Ясно, просто и хорошо размещено.

Фиг. 56. Хорошее размещение, хотя несколько большее расстояние между квадратами было бы желательным.

рядом с дециметром, литр рядом с кубическим сантиметром, яблоко, разрезанное пополам, — все это конкретные соотношения в глазах ученика, пытающегося их воспринять.

Конкретные объекты конечно полезны в арифметике при изучении понятий в силу общего закона, что слово, число, знак или символ приобретают значение благодаря связи с действительными вещами, явлениями, качествами и соотношениями. Выше мы указывали также на их полезность как способов проверки результатов рассуждения и счисления, например когда ученик, решив путем деления задачу: „сколько значков можно сделать из ленты длиною в 0,9 м, если на каждый значок идет 18 см ее?“ чертит линию длиною в 0,9 м и делит ее на отрезки по 18 см.

Применение наглядных методов полезно всякий раз, когда понимание значения некоторого числа, как 9; -q- ; 0,004 и т. д. или действия, как умножение, деление, возведение в куб и т. д., или термина, как прямоугольник, гипотенуза, учет и т. д., или процедуры, как голосование, получение денег из сберегательной кассы и т. д., оказывается отсутствующим, неполным или ложным. Поэтому работу с наглядными объектами отнюдь нельзя ограничивать только первыми группами; она должна выполняться на всех ступенях, когда мы приступаем к изучению новых фактов, соотношений и приемов.

Количество наглядного материала, которое надо применить, зависит от того, какие именно факты, соотношения и приемы мы должы разъяснить, и от того, какими способностями и знаниями ученики уже располагают. Так половина требует обычно менее наглядных примеров, чем пять шестых, и эти пять шестых требуют их меньше, если мы имеем дело со способным ребенком, знающим уже -у, о-, , —, и , чем если мы обучаем тупого ребенка или знающего только две дроби: и — . Как общее правило одна и та же тема требует тем меньше наглядного материала, чем позже она проходится в школе. Если значение чисел проходится во второй группе, а не в первой, то меньше приходится применять и кубики, счеты, палочки, камешки и пр. Если сложение 1 т/2 —{—1 /2 = 2 проходится в начале третьей группы, то приходится больше пользоваться 1 */2 дм и ~/2 дм на метровой линейке, чем если те же соотношения проходятся в связи с общим сложением подобных дробей в конце четвертой группы. В некоторых случаях понимание может быть достигнуто как путем непосредственной связи представлений с действительностью, так и путем связи их косвенно через какое-либо другое посредствующее представление. Объем конкретного материала, который надо применить, зависит от относительного достоинства последнего, считая на единицу затрачиваемого времени; так, может оказаться более выгодным связать дроби — и jtj с их реальным значением, косвенно пользуясь уже известными дробями—, -g-,-^-, -g-и-g-, чем непосредственно демонстрируя яблока или 7 и 11 отрезков по 1 дм линии, имеющей длину в 12 дм.

Вообще говоря, в целях экономии времени следует периодически испытывать понимание учениками предмета, пользуясь при этом большим количеством конкретного материала, если в этом представляется надобность, и одновременно побуждать учеников переходить к отвлеченным идеям и общим принципам, как только это становится для них посильным. Рассудок учеников утомляется и даже возмущается, если их заставляют приобретать какое-либо поня-

тие путем детальных конкретных упражнений, когда они могли бы сами приобрести его посредством чистого мышления. Мы должны помнить также, что всякая новая идея, например значение десятичных дробей, будет совершенствоваться и выясняться при применении ее (гл. IX), так что достижение совершенного понимания десятичных дробей до того времени, как мы начнем производить над ними действия, излишне и вероятно вредно, как вызывающее бесполезную затрату времени.

Поясним эти принципы несколькими примерами.

1. Очень большие числа, как например 1000, 10 000 100 000 и 1000000, нуждаются в большем количестве наглядных пояснений, чем обычно даваемое. Определение стоимости школьного и других зданий в рублях, площади классных комнат и других площадей в квадратных дециметрах, числа минут в пятидневке и году и т. п. одновременно с соответствующими вычислениями и измерениями очень полезно для укрепления конкретных представлений и составления жизненных задач на умножение и вычитание больших чисел.

2. Числа, значительно меньшие единицы, например ^ , 0,04 и 0,002, также нуждаются в некоторых наглядных пояснениях. В этом случае полезны диаграммы, подобные приведенным на фигуре 57.

3. Термины „относительное“ и „абсолютное“ большинство должны быть понятны для каждого гражданина. Они могут быть поняты без наглядных пособий, но действительное голосование вполне заслуживает внимания для выработки живого и твердого представления.

4. Страхование от огня может быть изучено путем одних лишь объяснений и аналогий; однако было бы целесообразно проработать случай какого-либо действительного страхования, уплаты премии и возмещения действительной потери от огня.

5. Четыре игрушечных кассы в углах классной комнаты, производящие операции по приему вкладов и оплате чеков, а в дальнейшем и по учету векселей, принесут большую пользу по сравнению с затраченным на это временем.

6. Скидки, практикуемые в торговле, наоборот, едва ли требуют каких-либо наглядных иллюстраций помимо задач, в которых они применяются.

7. Процесс определения числа квадратных единиц в прямоугольнике путем перемножения соответствующих чисел, пред-

Фиг. 57. Наглядное пособие для понимания дробей с большими знаменателями

ставляющих его длину и ширину, пожалуй скорее затрудняется, а не облегчается обычным наглядным вводным изображением. В самом деле, обычная форма наглядного введения такова:

Какова длина этого прямоугольника? Какова ширина каждого квадрата? Сколько квадратных сантиметров в верхнем ряду? Сколько в прямоугольнике рядов? Сколько квадратных сантиметров во всем прямоугольнике? Так как здесь имеется три ряда по 4 кв. см в каждом, то мы имеем 3 X 4 кв. см =12 кв. см.

Фиг. 58.

Начертите прямоугольник, имеющий 7 см длины и 2 см ширины. Если вы разделите его на квадратные сантиметры, то сколько получится у вас рядов? Сколько ьвадратных сантиметров будет в каждом ряду? Сколько же квадратных сантиметров будет в прямоугольнике?

В действительности более целесообразно не выделять отдельных квадратных единиц, как это и сделано на фигуре

59. Для этого имеются четыре причины;

1) Наглядные ряды и колонны скорее отвлекают внимание от существа предмета, подлежащего изучению; речь идет не о том, что „х рядов, шириной в один квадрат, при у квадратов в каждом ряду составляют всего ху квадратов“, а о том, что, „пользуясь соответствующими единицами и производя соответствующее действие, можно найти площадь любого прямоугольника по его длине и ширине“.

2) Для детей не представляет сколько-нибудь значительного труда выучить, что при вычислении площадей они должны умножать, а не складывать, вычитать или делить.

3) Приобретенный этим путем навык оказывается вполне применимым и для площадей с дробными измерениями, как например 1 -g- на 4—, при которых попытки вычислять площадь при помощи рядов очень утомительны и приводят учеников в смущение.

4) Если затрачивать слишком много времени на наглядные изображения, подобные приведенному выше, то повидимому вырабатывается представление, что квадратный сантиметр представляет собою площадь размером \ см^\ см в большей мере, чем площадь размером ~ см X 2 см, -^смХЗсм или 1 смX -g-см. Поэтому наглядный счет рядов малых площадей лучше применять как способ проверки результата после того, как прием изучен, а не как способ вывода самого приема.

Было много споров, особенно в Германии, относительно того, какого рода числовые фигуры (т. е. какое расположение точек, линий и т. д., подобное показанному на фигуре 60)

Фиг. 59.

Фиг. 60. Различное расположение точек, предлагаемое для применения при изучении значения чисел от 1 до 10.

целесообразнее всего применять в связи с названием чисел в первые годы обучения арифметике.

Лай (Lay, 1898 и 1907), Вальземан (Walsemann, 1907) Фриман (Freeman, 1910), Гоуэл (Howell, 1914) и др. измеряли точность, с которой дети определяли число точек в группах их для одного или нескольких различных типов числовых фигур1. Многие авторы считают, что разница в пользу например квадратных числовых фигур Бopна (Born) или Лая (Lay) является показателем того, что именно такое расположение точек является наилучшим для применения при преподавании. Однако такое заключение неосновательно. Из того, что некоторые числовые фигуры легче поддаются числовой оценке, еще не следует обязательно, что они более полезны при преподавании. Определенный тип числовой фигуры может быть более легким для оценки как раз потому, что он более привычен, так как его применяли более часто. Даже в том случае, если бы какой-либо тип числовой фигуры оказался более предпочтительным после одинакового количества упражнений с прочими фигурами, то все же точность оценки была бы признаком превосходства его для пользования им при обучении только при наличности прочих равных условий (или если бы последние говорили в пользу данной числовой фигуры). Очевидно лучший способ определить, какие из фигур следует предпочесть при преподавании, заключается в применении при обучении всех этих числовых фигур и измерении результатов пользования ими, а не простом констатировании, что некоторые из них были более точно оценены при определенном времени экспозиции.

Следует отметить, что числовые фигуры Борна, Лая и Фримана заслуживают особого внимания вследствие вероятной их полезности. А так как они лучше других и с точки зрения точности оценки, то возможно, что преподавателям, которые хотят систематически связать ряд числовых фигур с названиями чисел при упражнениях на классной доске или с картами, следует остановить свой выбор на одной из этих трех фигур.

Такие упражнения пожалуй полезны, если они проводятся с интересом в виде дополнения к более реальной предметной работе над игральными марками, маршировкой детей, распределением материалов, измерением длины садо-

1 Отчет о наиболее существенных результатах на английском языке, см. Гоуэл (Howell, 1914), стр. 149—251. Примечание автора.

вых участков и т. д. и организованы так, что ученик вскоре приобретает обобщенное абстрактное понятие о числе, независимое от какого-либо внешнего изображения. Эта независимость имеет столь важное значение, что можно даже посоветовать применение многих типов числовых фигур, а не одного какого-либо из них, хотя бы сам по себе он и был наилучшим.

Мэйман (Meumann) говорит: „Наглядность может стать чрезмерной. Главное значение ее заключалось в придании надежности и ясности первоначальным основам арифметических знаний. Если однако мы будем продолжать пользоваться ею и после того, как ученики освоились с первыми действиями, и будем распространять ее на действия, вытекающие из этих элементарных действий, то она неизбежна будет влиять как задерживающая сила и затемнять естественное развитие арифметики. Это побуждает перейти к работе с отвлеченными числами, механической ассоциацией и воспроизведением“ (1907, том 1, стр. 357).

Подобными упражнениями обычно злоупотребляет тот, кто применяет их слишком часто, продолжает давать их после того, как их полезность уже утрачена, и пользуется ими взамен более важной, интересной и разнообразной работы по счислению, оценке и измерению реальных предметов. Вследствие этого в наших лучших школах в настоящее время наблюдается против них даже некоторое предубеждение. Возможно, что их следует снова восстановить, однако в умеренном и разумном количестве.

УСТНОЕ, УМСТВЕННОЕ И ПИСЬМЕННОЕ СЧИСЛЕНИЕ.

Было много споров по поводу относительной ценности устной и письменной работы в арифметике — вопроса, который сильно осложняется различным толкованием значения слов „устный“ и „письменный“.

Устными называли работы, в которых: 1) положения давались устно и окончательные ответы сообщались учениками также устно, 2) положения давались устно, а окончательные ответы учениками записывались или частью записывались, частью же сообщались устно, 3) положения предлагались в письменной или печатной форме, окончательные же ответы сообщались устно.

Письменными называли работы, в которых: 1) положения предлагались в письменной или печатной форме и окончательные ответы давались в письменной форме, 2) записывались также и многие промежуточные ответы, 3) положения

описывались устно, окончательные же ответа, равно как и большой процент промежуточных вычислительных ответов, сообщались в письменной форме. Имеются еще и другие толкования этих слов.

Лучше избежать этих весьма двусмысленных терминов и поставить ясно вопрос о достоинствах и недостатках при выполнении специальной работы слухового и зрительного восприятия положений и словесного и письменного фиксирования каждой соответствующей ступени при решении.

Споры, связанные с противопоставлением умственного счисления письменному, также осложнялись двояким толкованием слова „умственный“. Последним обозначали работу, то „сделанную без карандаша и бумаги“, то „сделанную посредством нескольких ясных реакций, записываемых или произносимых между данными задачами и сообщаемым ответом на нее“. Ни в одном из этих случаев слово „умственный“ не является пригодным для описания факта полностью. Как и выше, мы должны ясно поставить вопрос: „В чем заключаются достоинства и недостатки установления некоторых промежуточных реакций с помощью речи про себя, воображаемых звуков, зрительных образов или же мышления, т. е. без фактической записи или ясной речи?“

Следует заметить с самого начала, что словесное; письменное и внутреннее изложение начальных положений, словесное, письменное и внутреннее сообщение окончательных результатов и словесное, письменное и внутреннее выполнение промежуточных действий имеют различные степени достоинства в зависимости от характера данного арифметического упражнения, ученика и формулировки задачи. Пристрастие к словесной или умственной форме как таковой представляет собою просто фанатизм. Различные комбинации, например письменное изложение с выполнением промежуточных действий в уме и устным сообщением окончательного ответа, имеют свои специальные достоинства в некоторых особых случаях.

Эти достоинства читатель может оценить сам для каждой данной работы, проделываемой данным классом, учтя: 1) количество упражнений, приходящихся на каждый затраченный в классе час; 2) удобство проверки работы; 3) легкость понимания задач; 4) возможность предупреждения обмана; 5) живость и социальность работы; 6) отсутствие утомления зрения и другие менее важные обстоятельства.

Следует отметить, что приведенные ниже схемы А, В, С и D представляют собою лишь немногие из многочисленных

возможных схем, и что схемы Е, F, G и H имеют особые достоинства.

Общераспространенный обычай — или вовсе не пользоваться карандашом и бумагой, или же записывать в подробной форме, доступной для просмотра, все вычисления и даже словесный анализ — неблагоприятен для обучения. Требования, которые предъявляет к арифметическому знанию и опыту сама жизнь, простираются от задач, сделанных с любым процентом письменной работы, начиная от нуля, вплоть до случаев, где каждый значительный результат, полученный в уме, записывается для дальнейшего использования его при последующей работе в уме. В школе лучшим способом является тот, который дает для данной группы учеников наилучший эффект с точки зрения качества продукта, скорости и легкости получения результата, укрепления приобретенных уже навыков и подготовки к приобретению последующих навыков. Нет ничего преступного ни в пользовании карандашом, ни в решении „в уме“; с другой стороны, нет никакой магической ценности и в записывании для просмотра учителем тех цифр, которые не могут понадобиться ученику для получения, сохранения, проверки или исправления полученного им результата.

Изложение первоначального положения.

А. В отпечатанном или написанном виде.

Выполнение промежуточных действий.

В письменной форме.

Сообщение окончательного ответа.

В письменной форме.

В. В отпечатанном или написанном виде.

В уме.

Одним учеником устно, остальными — в уме.

С. Устное (учителем).

В письменной форме.

В письменной форме.

D. Устное (учителем).

В уме.

Одним учеником устно, остальными — в уме.

Е. Как в А или С.

В смешанной форме, когда ученик записывает, если чувствует потребность записывать что-либо.

Как в А, В или H

F. Само положение реальное, по крайней мере частично.

Как в Е.

Как в А, В или Н.

G. Двояким образом: ученик читает, учитель дает устные пояснения.

Как в Е.

Как в А, В или Н.

Н. Как в А, С или G.

Как в Е.

Записывается всеми учениками, одним учеником произносится вслух.

Общепринятый обычай требовать окончательные ответы на все легкие задачи в устной форме не имеет достаточного оправдания. Наоборот, серьезная задача, чтобы все ученики действительно принимали участие в работе, лучше всего обеспечивается именно легкой работой. Если затрата времени на переписку цифр устранена тем, что задачи раздаются ученикам в напечатанном виде, а затрата времени учителем на проверку письменной работы устранена тем, что ученики сами проверяют эти легкие работы друг другу, то письменные ответы часто бывают предпочтительнее устных, если не считать элементов коллективности, последовательности и отсутствия напряжения зрения при устных упражнениях. Такая письменная работа дает способным ученикам практику в 2—10 раз большую, чем получаемая ими при устных упражнениях с тем же самым материалом, если предположить, что в последнем случае они дают ответ про себя на каждую задачу, решаемую целым классом; кроме того можно быть уверенным, что неспособные ученики, которые редко могут дать ответ про себя при той скорости, которая требуется устным упражнением, сделают в этом случае столько упражнений, сколько они вообще способны сделать.

В пользу устного изложения задач учителем часто приводят следующие два аргумента: задачи, изложенные учителем, лучше понимаются, особенно в младших группах до пятой включительно; такие задачи легче сделать более естественными и ближе связанными с жизненными явлениями, известными ученикам. Если эти доводы справедливы, то первый из них был бы лучшим аргументом в пользу того, чтобы ученики сами читали задачи, а учитель помогал устным разъяснением последних; действительно главное затруднение заключается в том, что ученики не умеют еще

достаточно хорошо читать, и лучше помочь им преодолеть эту трудность, чем просто обойти ее. Второй аргумент защищает не устную форму решения, противопоставляя ее письменной, а хорошие задачи, противопоставляя их плохим; преподаватель, который придумывает такие хорошие задачи, на самом деле должен принять особые меры к тому, чтобы записать их для последующего использования, которое одинаково может быть и устным, и написанным на доске, и отпечатанным на отдельных листках, смотря по тому, что лучше в данный момент.

ГЛАВА XIV.

УСЛОВИЯ ОБУЧЕНИЯ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ.

Дьюи и его последователи подчеркивали желательность того, чтобы ученики выполняли свою работу как активные исследователи, отдающие себе отчет, решение каких задач удовлетворяет некоторые реальные потребности их собственной натуры. При прочих равных условиях, доказывают они, неразумно заставлять учеников итти с завязанными глазами за учителем или учебником, не зная, куда они идут и почему они куда-то идут. Наоборот, они должны иметь определенные жизненные цели и настойчиво стремиться достигнуть их.

Эта доктрина, как мы увидим ниже, имеет здоровое основание; однако она часто неправильно применяется в защиту упражнений, которые пренебрегают созданием основных навыков, или для предложения упражнений, которые совершенно невыполнимы в обычных классных условиях преподавания. Нам представляется, что природа этой доктрины и пределы ее применения недостаточно известны даже ее последователям, так что мы должны дать здесь довольно подробное ее изложение.

ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ СЛУЧАИ.

Рассмотрим сначала некоторые случаи, когда время, затрачиваемое на предварительное объяснение конечной цели, которую надо достигнуть, и на попытки достижения цели (правильно или неправильно понятой), расходуется целесообразно.

Для ученика, который уже научился: 1) понимать значение чисел от одного до десяти, 2) сосчитывать совокупность из десяти или меньшего количества предметов, 3) измерять в сантиметрах отрезок в 10, 9, 8, и т. д. сантиметров, полезно столкнуться с задачей действительного сложения, не сопровождаемого счетом или измерением, как в „скрытом“ сложении или измерении путем умозаключения. Например учитель отсчитывает 3 карандаша и кладет их под книгу;

затем он отсчитывает еше 2 карандаша, кладет их под ту же книгу и спрашивает: „Сколько карандашей под книгой?“ Полученные ответы подтверждаются или опровергаются затем путем фактического счета или измерения.

Здесь время затрачивается целесообразно, потому что дети могут проделать необходимое рассуждение, если задачи подобраны хорошо; к тому же это предохраняет их при начале изучения сложения от дурного навыка в псевдосложении, когда, глядя на две группы предметов, они сосчитывают количество последних, вместо того чтобы фактически сложить их, т. е. представить себе два числа и мысленно вывести их сумму; наконец оперирование с задачей сложения как реальной задачей в конце концов более экономно с точки зрения обучения арифметике и умственной тренировки вообще, чем выполнение сложения с помощью наглядных и других аналогичных процессов, которые, помогая ученику преодолеть трудности, фактически скрывают их.

Прием краткого умножения можно ввести, поставив учеников перед такой например задачей: „Как определить, сколько бисквитов находится в четырех одинаковых пачках, распечатав только одну из них?“ При этом следует принимать правильные решения посредством сложения. Правильные решения посредством умножения, которые может быть будут даны некоторыми способными учениками, должны быть приняты даже в том случае, если дети не сумеют объяснить своего способа. (Вывод этого приема из значения места цифры в десятичной системе превосходит силы всех учеников, кроме самых способных, а может быть даже и их силы.) Правильное решение посредством умножения, которое может быть дано каким-либо ребенком, случайно научившимся ему, также должно быть принято. Основным доказательством правильности приема умножения должно быть измерение и сложение; доказательство, основанное на значении места цифр, также может быть применено. Если ни один из учеников не приходит к мысли о желательном приеме, то можно поставить задачу определения длины, не прибегая к сложению. Если и это не поможет, то задачу можно облегчить, сказав: „Четырежды 22 будет искомым ответом. Напишите, сколько будет по вашему мнению четырежды 22“. Трудность решения задачи может быть обойдена и другими путями. Учитель может также просто дать ответ, не причиняя этим большого вреда. При этом чрезвычайно существенно, чтобы ученик сознавал, в чем именно заключается задача, и смотрел на применяемый прием как на способ ее

разрешения, а не как на некую форму учебной церемонии, которую надо заучить, выполняя желание родителей или учителя. Возможно, что для отдельных групп следует использовать положения, более соответствующие практическим интересам учеников, чем то положение, которое описано выше.

Время, затраченное на подобного рода упражнения, расходуется целесообразно, так как, во-первых, даже наиболее неспособные ученики могут тем или иным путем решить задачу, во-вторых, значение приема умножения, экономящего время по сравнению со сложением, заслуживает быть отмеченным и, в-третьих, не существует способа приступить к изучению краткого умножения, который был бы многим лучше описанного.

Подобным же образом умножение на двузначные числа может быть начато с постановки перед учеником вопроса о числе листов бумаги в 72 тетрадях, кусков мела в 24 ящиках, квадратных дециметров в 35 кв. м, дней в 32 годах или какой-либо другой аналогичной задачи, которую ученики способны воспринять именно как задачу.

Возьмем для примера задачу о площади классной комнаты, имеющей 144 дм длины и 35 дм ширины. Решения вида (5X144) + (30X144), выполняемые в любом порядке, или (10X144)-{-(10X144)+ (10X144) 4-(5X144), или 3500+ + (35X40) + (35X4), или 7х (5X144), также выполняемые в любом порядке, должны быть все отмечены, чтобы их можно было после проверки принять или отвергнуть. От учеников не следует требовать словесного обоснования примененных ими способов решения. Ответы, подобные 432, 720, 1152, 4220, или 3220, также следует записать, чтобы принять или отбросить после проверки. Последнюю следует производить путем соединения краткого умножения с наглядной работой, или соединения краткого умножения со сложением, или посредством сложения, сокращаемого тем, что 10 раз 144 заменяется через 1440; для весьма тупых учеников может потребоваться и авторитетное заявление учителя. Решение таких примеров, как 53x9 или 84X7, может быть проверено умножением с перестановкой множителей. Дедуктивное доказательство правильности выполнения умножения может быть дано полностью или частично в связи с упражнениями подобного рода:

Неправильность некоторых ответов может быть показана различными способами. Так число 432 720 слишком велико, ибо 35 раз даже по тысяче дает только 35000; число 1152 слишком мало, так как 35 раз всего по сотне дает уже 3500, т. е. число, большее 1152.

Время, затраченное на решение данной задачи, используется здесь наилучшим образом, так как, во-первых, всякий успешный оригинальный прием представляет в данном случае прекрасное упражнение для ума; во-вторых, неудачи показывают, что жонглировать цифрами наудачу бесполезно, и, в-третьих, предшествующий опыт в кратком умножении позволяет ученику решить задачу в очень небольшое число минут. Еще лучше будет пожалуй, если мы укажем ученику правильный метод решения, как только он усвоит задачу, дабы он не терял много времени на попытки самостоятельно решить ее. Сделать это можно в следующей форме.

Измерьте длину и ширину классной комнаты. Длина ее равна 144 дм, а ширина 35 дм. Какова ее площадь?

Сколько мелков в ящике?—12.

Сколько мелков в 36 ящиках?

Вот быстрый способ получить ответы:

Рассмотрим теперь введение к делению на десятичную дробь.

Деление на десятичную дробь.

1. Во сколько минут мотоцикл пройдет 12,675 км, если в минуту он проходит 0,75 км?

2. Проверьте ответ, умножив 16,9 на 0,75.

3. Почему вы думаете, что частное не может составлять всего 1,69?

4. Почему вы думаете, что частное не может быть столь велико, как 169?

5. Найдите частное от деления 3,75 на 1,5.

6. Проверьте полученный результат умножением частного на делителя.

7. Почему вы думаете, что частное не может равняться ни 0,25, ни 25?

8. Взгляните на эту задачу:

7,5:0,25.

Почему вы думаете, что частное не может равняться 3,0? Почему вы думаете, что оно не может равняться 300? Укажите, какое частное правильно в каждом из следующих примеров:

9. 3,78:1,8 =0,021; 0,21; 2,1; 21 или 210?

10. 37,8:1,8 =0,021; 0,21; 2,1; 21 или 210?

11. 37,5:1,25 = 0,03; 0,3; 3; 30; или 300?

12. 37,5:12,5 = 0,03; 0,3: 3; 30; или .300?

13. 6,25:1,25 = 0,05; 0,5; 5; 50; или 500?

14. 6,25:12,5 = 0,05; 0,5; 5; 50; или 500?

15. Верно ли следующее правило? Если оно верно, то выучите его; при правильном ответе сумма чисел десятичных знаков в делителе и частном равна числу десятичных знаков в делимом.

Приведенные упражнения и подобные им развивают в детях, заинтересованных в получении правильных ответов, определенное расположение к задачам. Тщательно подобранные ряды таких упражнений являются желательным введением к установлению правила постановки десятичной запятой при делении десятичных дробей. В самом деле, они привлекают внимание учеников к общему принципу (делитель X частное должен быть равен делимому), который имеет большее значение, чем правило подходящей постановки десятичной запятой, и дает навык в постановке этой запятой, основанный на рассмотрении делителя, частного и делимого, который будет достаточен в девятнадцати из двадцати случаев, могущих когда-либо встретиться ученику вне школы. Он будет легко вспоминать этот метод, основанный на рассмотрении трех чисел, еще долгое время после того, как забудет самое установленное правило.

Учеников очень полезно первоначально ознакомлять со многими арифметическими фактами при помощи задач, связанных с их обиходом. Циферблат, таблица железнодорожных расстояний, показания счетчиков, рецепты и т. п. дают материал для задач, которые возбуждают их интерес и энергию, а также связывают, где это нужно, сообщаемые арифметические сведения с теми видами деятельности, где последние находят применения. Это является не потерей времени, а экономией его, потому что обучение как средство решения задач совершается быстрее, чем простое изучение одних арифметических фактов как таковых. Ниже приводится несколько примеров такого приема.

Группа третья. Домашняя работа.

Взгляните на часы. Имеется ли у них еще какая-нибудь стрелка кроме часовой и минутной? Изложите все, что вы знаете о том, как часы показывают секунды, какова продолжительность секунды и сколько секунд составляют одну минуту.

Группа пятая. Измерение атмосферных осадков.

Осадки за неделю (в кубических сантиметрах на 1 кв. см площади).

1. В течение каких недель количество дождя было в 1 см или более?

2. В течение какой недели августа выпало наибольшее для этого месяца количество дождя?

3. Какая неделя лета была наиболее засушливой? (Под словом „засушливая“ надо понимать неделю с наименьшим количеством осадков.)

4. Какая неделя следовала за засушливой?

5. В течение каких недель количество дождя колебалось между 0,800 и 1,000?

6. Посмотрите таблицу и определите, были ли недели, когда среднее количество осадков за неделю равнялось приблизительно 0,5, или 0,6, или 0,7, или 0,8, или 0,9.

Записи на молочной ферме. Корова „Звездочка“.

Килограммов молока

Количество жиров на 1 кг молока

Январь..........

790

0,0189

Февраль .........

767

0,0198

Март...........

714

0,0206

Апрель ..........

556

0,0200

Май...........

545

0,0191

Июнь..........

567

0,0197

Прочтите эту запись молока, данного коровой „Звездочка“. Первый столбец показывает в килограммах количество молока, данного „Звездочкой“ за каждый месяц. Второй столбец показы-

вает в долях килограмма количество жиров, содержащихся в каждом килограмме молока.

1. Прочтите первую строчку: „В январе эта корова дала 790 кг молока. В этом молоке содержалось по 189 десятитысячных долей кг жира на 1 кг молока“.

Прочтите таким же способом остальные строчки.

2. Сколько килограммов масла дала корова в январе?

3. В феврале? 4- В марте?

5. В апреле?

6. В мае?

7. В июне?

Группа пятая или последующие.

Приготовление по данному рецепту большего или меньшего количества продуктов.

1. Найдите, сколько каждого продукта надо взять, следуя приведенным ниже рецептам, чтобы получить: а) двойное количество, Ь) половинное количество, с) полуторное количество готового изделия. Можете пользоваться карандашом и бумагой, если не можете найти правильного ответа в уме.

1) Ягодная карамель.

2 чашки жженого сахара; чашки молока; чашки ягод.

2) Тянучки.

чашки масла; 2 чашки сахара; 1 чашка патоки; , чашки кипятку.

2. Сколько каждого продукта надо взять, следуя приведенным ниже рецептам, чтобы получить: а) — всего количества, Ь) в 1 — раза большее количество, с) в 2 — раза большее количество?

1) Сдобный хлеб. 1 чашка кипяченого молока; . -у столовых ложки сахара; 1 чайная ложка соли;

2) Английский пуддинг.

-г- кг говяжьего сала; -у чашки муки; 3 чайных ложки порошка для печенья

-j чашки топленого масла;

1 пачка дрожжеq; — чашки тепловатой воды; белок от 1 яйца; 3 ~ чашки муки.

1 чайная ложка соли; ~- чайной ложки перца; 1 чайная ложка толченой сухой петрушки; — чашки холодной воды.

Приведенные рецепты являются только образцами; в зависимости от различных условий следует пользоваться другими рецептами, наиболее часто применяемыми.

Во многих случаях арифметическим фактам и принципам можно прекрасно научить в связи с некоторыми задачами или явлениями, которые не являются сами по себе арифметическими, но обладают особой способностью возбуждать в учениках умственную деятельность, которая при известной изобретательности может быть направлена на изучение арифметики. Игра в „магазин“ представляет собой с этой точки зрения основное пособие. Смета на какую-либо экскурсию, контроль за тем, кто выигрывает партию в камешки, изучение месячного календаря занятий, выбор подарков, смета на устройство школьного вечера, разбивка сада, стенные часы, карманные часы с секундной стрелкой, вычерчивание весьма простых планов и чертежей — вот положения для задач, могущих дать живой повод к занятиям арифметикой во второй группе. Все они вполне приемлемы в обычных условиях классного преподавания. Ниже мы приводим пример подобного рода задач для старшей группы — шестой.

Определение площадей.

На уроках географии дети занимались определением на-глаз площадей различных фигур на карте. Каждый ученик записывал свою оценку для каждого из планов А, В, С, D и Е. (Здесь помещены только планы С и D.) На уроке арифметики они учились определять подобные площади точно. Затем ученики сравнили свои глазомерные оценки с точным определением площадей и установили, кто из них дал более правильную оценку.

Напишите вашу глазомерную оценку площадей А, В, С, D и Е, а затем изучите следующие 6 страниц и научитесь находить площади точно.

(Следующие б страниц охватывают упражнения в измерении площадей параллелограмов и треугольников.)

В некоторых случаях личные интересы отдельных учеников связаны с задачами, которые могут быть использованы для того, чтобы побудить данных учеников к ревностному изучению арифметики как средства достижения поставленной ими себе цели, например сделать плот, осмотреть и составить план местности, составить отчет детского клуба и т. п. Требуется много времени и очень большое искусство для того, чтобы руководить работой тридцати или более учеников, из которых каждый занят своим собственным особым делом, и притом так, чтобы работа была поучительна для каждого ученика; однако в некоторых случаях такая затрата времени и искусства вполне оправдывается.

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ.

Когда мы говорим, что при изучении учениками арифметики желательна установка их на задачу, то мы, вообще говоря, руководствуемся следующими соображениями.

1. Сведения, которые сообщаются как ответы на вопросы, воспринимаются, понимаются и запоминаются лучше, чем сведения, сообщаемые неожиданно.

2. Равным образом действия, являющиеся некоторым шагом по пути к достижению цели, преследуемой учеником, лучше связываются с соответствующими им положениями, а самые связи удерживаются более продолжительное время, чем в случае действий, совершаемых случайно.

3. Чем упорнее ученик добивается получения ответа на вопрос или достижения определенной цели, тем больше испытываемое им чувство удовлетворения, сопряженное со свя-

зями познания или навыка, обеспечивающими успех в данной области.

4. Было бы весьма плохо полагаться исключительно на отвлеченные вопросы, например: „Как я могу сделать это?“ „Как я могу получить правильный ответ?“ „Почему это так?“ „Есть ли лучший способ это проделать?“ и т. п. Точно так же было бы весьма плохо дополнять эти отвлеченные вопросы другими, имеющими лишь отдаленную связь с предметом, например: „Как мне добиться получения большей заработной платы?“ „Как мне удостовериться в том, что я окончу школу?“ „Как я могу доставить удовольствие своим родителям?“ и т. п. Чисто отвлеченные вопросы слишком слабо затрагивают интерес многих учеников; побочные же вопросы слишком слабы, потому что они не относятся непосредственно к предмету и, что еще хуже, при преждевременном применении могут утратить то полезное значение, которое они будут иметь в должное время. Еще хуже пренебрегать такими индивидуальными и практическими задачами, которые ставятся жизнью вне уроков арифметики и решение которых в той или иной форме облегчается знанием арифметики. Хороший метод заключается в том, чтобы тратить время на установление известного умственного предрасположения, стимулирование создания или даже создание определенных потребностей и установление задач как таковых, конечно при условии, что затрачиваемое таким образом время приносит достаточные результаты с точки зрения качества и количества заинтересованности учеников в изучении арифметики.

Хуже всего было бы полагаться только на задачи, возникающие помимо арифметики. Изучение арифметики само по себе является решением ряда задач, обладающих чрезвычайным интересом и ценностью в глазах нормально развитых детей. Потребность в уменьи умножать деньги, складывать дроби или вычислять проценты может быть в такой же мере жива и увлекательна, как и потребность в уменьи сшить себе спортивный костюм, заработать деньги, чтобы купить его, или знать правила игры в бэсбол. Интеллектуальные запросы и задачи следует иметь в виду наряду со всеми прочими и давать их в меру их образовательного значения.

ЗАТРУДНЕНИЕ И УСПЕХ КАК СТИМУЛЫ.

Принцип установки на задачу иногда истолковывается неправильно. Наиболее существенно замечание, что затруднение, временный неуспех, непригодность существующих уже

связей являются существенным и необходимым стимулом к рассуждению и изучению. Сам Дьюи, насколько я его понимаю, не думает так, но некоторые из его последователей приписывают ему именно такое воззрение1.

Затруднение, временный неуспех, непригодность существующих связей, наоборот, сами по себе вовсе ничего не делают; удручающее же отсутствие успеха, которое иногда сопровождает встречаемые трудности, временами задерживает и размышление и изучение.

Одно только затруднение, неуспех, непригодность существующих связей — не делают ничего. Мне трудно с первого взгляда сложить три восьмизначных числа; мне не удалось найти таких удачных примеров к тексту предыдущих двух страниц, как мне бы хотелось; присущие мне сенсорно-моторные связи недостаточны для того, чтобы я мог сыграть партию гольфа в 65 ударов. Но все эти явления и условия не оказали никакого стимулирующего влияния на мое поведение в каждом данном случае. В первом из них нет ни удручающей неудовлетворенности, ни какого-либо динамического влияния; во втором имелось некоторое чувство неудовлетворенности— легкое раздражение, вызванное тем, что я не получил желаемого,— и это могло бы побудить меня к дальнейшему размышлению (в данном случае этого однако не случилось, и подыскание одного удачного примера гораздо сильнее побудило бы меня как правило искать других примеров, чем постигшая меня неудача); в третьем случае неуспех с 65 ударами меня нисколько не огорчает и не оказывает сколько-нибудь заметного динамического эффекта. Проигрыш при 90 ударах вместо 95—100 неприятен и может иногда побудить к дальнейшему упражнению, хотя далеко не столь сильно, как выигрыш при тех же 90 ударах. Временами эта удручающая неудача является прямой помехой и стимулом к прекращению учения. В интеллектуальной жизни этот последний эффект неудачи является повидимому наиболее частым. Неполучение ответа повидимому как правило ведет к прекращению попыток найти его. Удручающее отсутствие успеха при решении теоретических проблем чаще всего побуждает нас оставить их и перейти к вопросам, для решения которых наличные связи кажутся более подходящими.

Действительный результат, получаемый в подобного рода случаях, зависит от „относительной реакции“ поведения вообще, свойственной интеллекту ученика. Животное, жизненные

1 В его труде „Как мы думаем“ (How We Think). Примечание автора

процессы которого затронуты неблагоприятным стечением обстоятельств, изменяет свое поведение, последовательно реагируя на помеху так, как это предписывают ему его инстинкты и усвоенные привычки; так продолжается до тех пор, пока не окончатся неблагоприятные обстоятельства или наступит смерть животного, или же животное будет терпеть страдания от этих обстоятельств, так как они меньшие, чем те, которые вызваны его реакциями. В тех случаях, когда неблагоприятные обстоятельства вызываются отсутствием вещей, необходимых для удовлетворения наиболее насущных потребностей (как в случае голода, одиночества, полового стремления и т. д.), мы имеем определенный стимул к действию, вызываемый удручающим отсутствием и нуждой, причем это действие прекращается после удовлетворения потребности.

Сказанное в известной мере приложимо и к интеллектуальной жизни человека. Вспоминая забытое имя, решая какую-либо головоломку или упрощая алгебраическое выражение, мы имеем дело с удручающим нас отсутствием имени, решения или фактора и с пробой одной реакции за другой, пока чувство неудовлетворенности не исчезнет благодаря достигнутому успеху или не ослабнет вследствие нашей усталости и потери внимания. Однако и здесь трудность сама по себе не делает ничего; удручающее состояние вызывается нарушением нашего умственного равновесия поставленной задачей. Далее, хотя в отношении данной частной задачи состояние неудовлетворенности стимулирует, а успешное решение останавливает размышление, однако последующий и более важный эффект получается для мышления как раз обратным. Успешное решение останавливает наше размышление о данной задаче, но делает нас более расположенными к последующему мышлению вообще.

Явно отрицательные реакции играют однако относительно малую роль в умственной жизни человека. Заполнение этим путем умственных пустот или устранение умственного напряжения встречаются гораздо реже, чем положительное стимулирование со стороны видимых вещей, читаемых слов и прежних связей, действующих при изменившихся обстоятельствах. Представление о мышлении, как о чем-то, приходящем в нужный момент для заполнения пустоты, встречи и обхода препятствия и получающем помощь от затруднения для преодоления последнего, столь односторонне, что граничит с фантазией. Явный пробел, напряжение или затруднение встретятся быть может всего один раз на протяжении пяти часов спокой-

ной ровной работы по применению и использованию существующих связей; их всех по справедливости можно назвать помехами для мысли — барьерами, преодолеть которые мыслящему существу помогают прошлые его успехи. Да и сами по себе задачи гораздо чаще являются желанным выводом из новых фактов, обращение с которыми доставляет удовлетворение мыслящему существу, чем вынужденными усилиями или „задачами, которые я должен решить“. Не менее справедливо и то, что мыслящий человек в такой же мере получает решение стоящих перед ним задач на основе своих познаний и как бы в виде премии за последние, в какой он приобретает познания в результате своих усилий решать задачи.

Если сравнивать трудность и успех, то придется признать, что последний гораздо более плодотворен для мышления. Нужда вовсе не является матерью изобретения; ею является знание прежних изобретений, отцом же является природная способность. Решения прежних задач гораздо более полезны для создания и решения новых задач, чем простое знакомство с задачами и желание их решить.

В арифметике хорошим примером в этом отношении является изучение сокращения вместо нахождения произведения делимых, произведения делителей и деления первого числа на второе; в самом деле, в этом весьма ценном приеме легкость превалирует над трудностью, существующие связи находят применение (хотя и в слегка измененном направлении) как главная основа приема, а чувство неудачи, неудовлетворенности или противоречия отсутствует вовсе. Было бы совершенно абсурдным тратить время на то, чтобы внушить ученику до приступа к сокращению сознание трудности, т. е. что выполнение полностью умножения и деления требует слишком много времени. Ученик четвертой или пятой группы может размышлять об этой трудности безо всякой пользы годами. Он должен просто начать сокращение и убедиться при помощи поверки, что безошибочное сокращение всегда приводит к правильному результату. Опорочивание в глазах ученика прежнего приема полного умножения и деления до приступа к сокращению было бы однако не только неэкономичным способом изучения сокращения; оно напрасно подрывало бы доверие к прежним ценным приобретенным навыкам и с научной точки зрения было бы неправильным. Пока ученик не изучил сокращения, прежний способ полного умножения не является непригодным: он хорош во всех отношениях. Вывод о его непригодности отнюдь не должен

появляться до тех пор, пока не будет найден новый метод; он является лучшим путем до тех пор, пока не проторен новый, еще лучший путь.

Подобным же образом было бы неразумно тратить время на указание ученикам тех неприятных пробелов, которые призваны заполнить таблицы умножения, таблицы деления, умножение на девятки, применение произведения длины прямоугольника на его ширину как площади его при условии замены линейной единицы квадратом, построенным на этой единице как основании, и т. д. Указание на эти неприятные пробелы было бы непроизводительным, тогда как изучение каждого из указанных приемов немедленно воспринимается как модификация существующих навыков и достаточно оценивается учениками с самого же начала. Изучение таблицы умножения начинается с того момента, когда вместо простого счета семерками, начиная с нуля и произнося: 7, 14, 21 и т. д., ученик считает семерками, начиная с нуля, но говорит: „Два раза семь—14, три раза семь—21, четыре раза семь— 28“ и т. д. Таблицы деления вводятся как легкое следствие из некоторых известных результатов умножения; поверка при помощи девяти вводится как простая уловка. Вычисление площади прямоугольника облегчается более всего однако не путем предупреждения об отсутствии необходимого приема, а путем предупреждения об успешности приема, подкрепляемой наглядной проверкой.

К тому же во всех этих случаях мы ввели бы учеников в заблуждение, если бы до приступа к таблицам умножения и деления, поверке при помощи девяти и теореме о площади прямоугольника внедрили в них сознание неприемлемости счета, сложения и наглядного деления и тех трудностей, которые им предстоит преодолеть при помощи новых приемов. Заменяемые процессы, как мы уже говорили выше, превосходны и в них не следует отыскивать воображаемых недостатков; они вовсе не являются неприемлемыми, пока не изучены новые, более краткие пути.

ЛОЖНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

Первое ложное положение, касающееся установки на задачу, состоит в том, что ученик всегда должен понимать цель или результат, прежде чем он приступает к образованию связей, которые образуют метод или процесс, приводящий к решению. Наоборот, очень часто он легче осваивается с процессом и более ценит его, если он усваивает

его значение постепенно, по мере его изучения. Система десятичного счисления например должна быть сообщена вначале как простой факт; совершенно так же мы учим ребенка говорить, не пытаясь предварительно внушить ему значения словесного общения людей, или соблюдать чистоту, не добиваясь от него понимания бактериологических последствий загрязнения.

Второе положение, что ученика нужно заставлять заботиться о результате и страстно желать приема, которым его можно было бы достигнуть, до приступа к изучению самого приема, точно так же ложно. Наоборот, лучший способ заинтересоваться некоторыми результатами и путями, которые к ним ведут, состоит в овладении самим процессом, хотя бы в виде простой привычки, а затем установлении, какое он имеет для нас значение. Таковы например правила: „умножить на 0,1666-j = разделить на 6“, „умножить на 0,333-^- разделить на 3“, „умножить на 0,875 = разделить число на 8 и вычесть частное из числа“.

Третья неразумная тенденция заключается в пренебрежительном отношении к простому сообщению фактов — умалении значения фактов, приобретенных каким угодно путем кроме одного — сознательных усилий ученика, направленных к разрешению задачи, противоречия или затруднения. Как протест против голого словесного знания, простого заучивания напамять и пренебрежения к активному исканию знания эта тенденция умаления голых фактов была здоровым явлением; однако как общая доктрина она грешит односторонностью. Простые факты, и не обязанные своим происхождением мышлению ученика, часто имеют огромную ценность. Они могут стимулировать активное мышление в такой же мере, в какой это последнее стимулирует восприятие фактов. Так в арифметике названия чисел, применение формы дроби для обозначения того, что верхнее число делится на нижнее число, раннее применение запятой для отделения рублей от копеек при обращении с деньгами, пояснение значения слов „каждый“, „целое“, „часть“, „вместе“, „всего“, „сумма“, „разность“, „произведение“, „частное“ и т. д. являются такими бесспорными фактами.

Четвертое ложное положение гласит, что всякое обучение, которое ставит ученика лицом к лицу с вопросом и побуждает его найти ответ, является законным. Это вовсе не обязательно, если не считать тех случаев, когда вопрос заслуживает внимания, продуманный ответ имеет внутреннюю

ценность, а примененный процесс мышления соответствует как ученику, так и вопросу. Простое мышление может иметь весьма малую цену. Особо полагаться на формальную дисциплину здесь столь же опасно, как и в других случаях. Тенденция уделять особое внимание методам обучения арифметике за счет того, что должно быть изучено, может повести к неудобствам, отличным по своей природе, но столь же вредным по своим результатам, как и те неудобства, которые замечались в преподавании языков и грамматики, а также старых головоломных задач в арифметике благодаря преобладанию дисциплинирующего момента над значимостью содержания.

Последнее ложное положение, которого я здесь коснусь, утверждает, что большинство задач, стимулирующих обучение арифметике, лучше брать извне по отношению к арифметике, выбирая в качестве тем для упражнений ярмарочные развлечения, поездку вниз по реке и пр.

Нет сомнения, что внешние интересы всегда следует иметь в виду, как это неоднократно и отмечалось в настоящей книге; но было бы бессмысленно пренебрегать силой, которая содержится в вопросе: „как я могу получить правильный ответ“ и которая имеет большое влияние даже на очень юных и на очень неспособных детей. Дети должны иметь умственные интересы. Они любят домино, шашки, анаграммы и загадки не менее, чем игру в салки, собирание цветов и стряпню. При тщательном подборе посильной для них работы они с охотой занимаются сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, простых и десятичных дробей и определением количественных соотношений.

Обучение арифметике сходно до некоторой степени с обучением печатанию на пишущей машине. Обучающийся последнему искусству весьма мало беспокоится о том, чтобы представить в изящном виде извинение за опоздание или сократить расходы на бумагу. Равным образом он не проявляет стремления хранить копии таких-то и таких-то литературных ценностей. Возможно, что усердие его возрастет, когда ему надо будет писать приглашения на затеваемую школьную прогулку, но все же главной его задачей останется „научиться хорошо писать на машине“. Изучение арифметики представляет собою до некоторой степени игру, в которой отдельные действия направляются общим устремлением духа к победе, т. е. получению правильных ответов. Подобно тому как игрок в бэсбол стремится бросить мяч точно в первый

круг не в силу какой-либо специальной причины, например чтобы избавиться от мяча, передать его какому-либо игроку первого круга или сбить с толку противника, на которого он зол, а в силу общих условий игры как целого, так и ученик до некоторой степени обучается технике арифметики не потому, что она позволяет разрешить частные конкретные задачи, а потому, что техника требуется всей арифметической игрой, которая имеет свою внутреннюю ценность и много общих достоинств.

ГЛАВА XV.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАЗЛИЧИЯ.

Общие факты, касающиеся индивидуальных отклонений в способностях, именно, что эти отклонения значительны, что они непрерывны и что у детей одного и того же возраста они обычно группируются около одной типичной или модальной способности, становясь все менее и менее частыми по мере перехода к весьма высоким или очень низким ступеням способности, хорошо подтверждаются и изучением арифметических способностей.

ХАРАКТЕР И РАЗМЕР РАЗЛИЧИЙ.

Рассмотрим образцы диаграмм, изображенных на фигурах 61—63. Каждый отрезок горизонтального основания изображает определенную оценку или степень способности, высота же столбиков изображает число лиц, обладающих указанной степенью способности. Так фигура 61 показывает, что при выполнении теста с задачами, предложенными в устной форме, из 1000 американских солдат 63 не дали ни одного правильного ответа, 36 дали по одному правильному ответу, 49_по дВа, 55 — по три, 67—по четыре и т. д.

Фигура 61. Испытание 1000 солдат Национальной армии САСШ, родившихся в местностях, где принят английский язык, с помощью теста № 2 „Army Alpha“. Единицей оценки служило число правильных ответов, данных в течение 5 минут. Из лиц, подвергнутых испытанию, вероятно от 10 до 15% или вовсе не умели читать или могли читать только очень легкий текст и притом очень медленно. Данные получены от отделения психологии управления главного врача.

Фигура 61 показывает, что среди этих взрослых наблюдались колебания в числе правильных решений от 0 до 18, при среднем около 8. Фигура 62 показывает, что среди детей одного и того же возраста (к тому же живших в одном районе и учившихся в одной и той же школе) эти колебания простирались от числа ниже 4U до числа, превышающего 200. Фигура 63 показывает, что даже для детей, которые все достигли одной и той же школьной ступени и следовательно имели, вообще говоря, однородные возможности приобретения арифметических знаний, колебания остаются очень большими: пределы от 15 правильно решенных примеров до 30 с небольшим охватывают всего только девять десятых общего числа учеников.

Необходимо однако отметить, что, если бы оценка способностей каждого опрошенного производилась по среднему

Фиг. 62. Испытание 100 одиннадцатилетнпх учеников при помощи теста в счислении; составлен.) на основе данных Берта (Burt, 1917, стр. 68) для 10-, 11-, 12-летних детей. Единицей оценки является число правильных ответов.

Фиг. 63. Испытание учеников шестой группы городской школы при помощи „теста А“ в делении Вуди. Единицей оценки является число правильных ответов, полученных в течение 20 минут.

результату его работы в течение 8 или 10 различных дней, а не путем одного только теста, то колебания были бы меньшими, чем изображенные на фигуре 61—63.

Равным образом, если бы оценка индивидуальных способностей производилась на основании подробного испытания по всему объему арифметики, а не одного лишь решения задач или деления, то колебания снизились бы против изображенных на фигуре 61—63.

С другой стороны, если бы испытание, результаты которого изображены на фигуре 61, было распространено на офицеров и солдат, исключенных вследствие слабоумия, если бы в число 11-летних детей (фиг. 62) входили ученики того же возраста из специальной группы для отсталых детей, а в испытании детей шестой группы (фиг. 63) приняли участие все ученики, пробывшие в школе шесть лет безотносительно к тому, какой группы они к этому времени достигли, то колебания возросли бы еще более.

Несмотря на стремление педагогов собирать в каждой школьной группе только тех детей, которые обладают примерно одними и теми же способностями или познаниями (или и теми и другими одновременно), у учеников одной и той же группы какой угодно школьной системы обнаруживаются весьма широкие колебания в отношении любой арифметической способности. Частично это объясняется тем, что перевод в высшие группы производится по более общим данным, чем одна лишь способность к арифметике, так что некоторые дети, хорошо владеющие арифметикой, остаются позади из-за отсутствия других способностей, тогда как другие, весьма слабые в арифметике, переводятся выше благодаря успехам в других предметах; частично же это объясняется общей неточностью классифицирования и перевода учеников в следующие группы.

Путем сложной оценки, основанной на сумме оценок по тестам Вуди — сложение А, вычитание А, умножение А, и деление А — и двум тестам в решении задач (для десятой и шестой групп с максимально достижимыми отметками 30 и 18 Крюз (Kruse, 1918) получил данные, позволившие мне составить таблицу 13 и диаграммы, изображенные на фигурах 64—66; все ученики, подвергнутые испытаниям, получали образование по одной и той же системе, принятой в данном городе, при которой распределение учащихся по группам производится очень тщательно.

Фигуры 64, 65, 66 дают результаты испытания учеников шестой группы (фиг. 64), седьмой группы (фиг. 65) и восьмой

группы (фиг. 66) при помощи комбинирования тестов в счислении и решении задач. Времени давалось около 120 минут. Максимальная достижимая отметка составляла 196.

Следует отметить своеобразные сдвиги результатов от одной группы к другой. Около 18°/о учеников шестой группы выполняют работу лучше, чем средний ученик седьмой группы, и около 7“/в—лучше, чем средний ученик восьмой группы; около 33% учащихся восьмой группы выполняют работу хуже, чем средний ученик седьмой группы, и около 12°/0—хуже, чем средний ученик шестой группы.

Фиг. 64.

Фиг. 65.

Фиг. 66.

Таблица 13.1

Относительная частота отметок, получаемых при помощи обширных арифметических тестов (в процентах)

Отметки

Шестая группа

Седьмая группа

Восьмая группа

От 70 до 79......

1,3

0,9

0,4

, 80 „ 89 ......

5.5

2,3

0,4

. 90 . 99 ......

10,6

4,3

2,9

9 loo „109

19,4

5,2

4,4

. 110 „ 119......

19,8

185

5,8

„ 120 . 129......

2<,5

16,2

16,8

. 13) . 139 . .....

12,6

17,5

16,8

я 140 . 149 ......

4.6

139

22,9

. 15) „ 159 ......

1,7

13,6

17,1

. 160 . 169 ......

1 2

4,8

9,4

„ 170 . 179 ......

2,0

3,3

КОЛЕБАНИЯ В ПРЕДЕЛАХ ОДНОЙ ГРУППЫ.

Колебания в пределах одной группы, руководимой одним учителем, также бывают иногда весьма значительными. Даже в тех случаях, когда преподавание и перевод из группы в группу происходят по предметной системе, сама школа достаточно велика и распределение учеников по группам совершается в зависимости от их способностей, все же могут наблюдаться широкие колебания некоторых особых слагающих способностей. При обычных же обстоятельствах эти колебания столь значительны, что являются одним из главных ограничительных условий преподавания арифметики. Многие методы, вполне пригодные для наилучшей четверти группы, оказываются почти совершенно бесполезными для наихудшей четверти ее. и обратно.

Фигуры 67 и 68 изображают результаты испытаний, произведенных Куртисом в десяти группах 6 В, взятых наудачу из 90 таких групп в различных школах одного города (Courtis, 1913, стр. 64); оценка давалась работе в счислении в течение 12 минут.

Обратите внимание на весьма большие колебания в результатах по группам. Колебания внутри каждой группы были бы меньшими, если бы результаты работы каждого ученика определялись как средние из восьми или десяти

1 Составлена по данным, приведенным у Крюза (Kruse, 1918, стр. 89). Примечание автора.

тестов, выполняемых им в различные дни. Все же, если мы сделаем даже очень щедрую скидку на это обстоятельство, то колебания в количестве и скорости окажутся значительными, мк это и изображено на диаграмме фигуры 69, кото-

Фиг. 67. Испытания учеников десяти групп б В при помощи те та в счислении над целами числами (Courtis, тест 7); на работу давалось 12 минут; отметка равна числу проделанных вычислений; некоторые длинные вычисления считались за два.

рую можно считать характерной для группы 6 В из 32 учеников.

Наличность колебаний в результатах внутри данного класса, имеющая место и в том случае, если мы допускаем возможность одних лишь случайных ошибок при выполнении процессов, может быть иллюстрирована следующим образом. Учитель, имеющий дело с четвертой группой городской школы, вероятно обнаружит при занятиях арифметикой в середине учебного года, что некоторые из его уче-

Фиг. 68. Испытание учеников десяти групп 6 В при помощи теста в счислении над целыми числами (Courtis, тест 7); на работу давалось 12 минут; отметка равна числу проделанных вычислений; некоторые длинные вычисления считались за два.

ников не могут выполнить сложения столбцов чисел даже без переноса, простейшего письменного вычитания: 5 3 или 37, не знают ни таблицы умножения, ни того, как она составляется, не понимают значения знаков +, —, X и :, не имеют полезного представления о делении.

Наряду с ними в группе вероятно найдется ученик, который сможет проделать с весьма малым количеством ошибок приведенные ниже относительно трудные упражнения:

Сложить:

Вычесть:

Умножить:

Разделить: 13,50:2; 9750:25.

Фиг. 69. Примерная оценка размера колебаний, которых можно ожидать в пределах одной шестой группы из 32 учеников при пользовании седьмым тестом Куртиса, если исключить все случайные колебания.

Отыскание способов одновременного обучения 30 столь различных по своим способностям учеников с извлечением

максимальной пользы и допущением минимального вреда от различия в их способностях и достижениях представляет собою одну из благодарнейших задач прикладной науки.

Куртис, исходя из общих социальных положений, настаивал на том, чтобы почти все ученики начальной школы, например шестой группы, приобретали определенный умеренный минимум арифметических познаний, и требовал проведения определенных социальных мероприятий, которые позволили бы отсталым детям подтянуться к необходимому уровню познаний и в то же время не вызывали нежелательного „переучивания“ более способных учеников. Кое-какая экспериментальная работа в этом направлении была проделана как им самим, так и другими исследователями; однако предстоит вероятно проделать еще значительно большую работу прежде, чем мы сможем установить обязательную программу, обеспечивающую приобретение некоторого установленного минимума познаний всеми или почти всеми учениками.

ПРИЧИНА ИНДИВИДУАЛЬНЫХ РАЗЛИЧИЙ.

Различие, обнаруженное в способностях детей одних и тех же групп в одном и том же городе, в весьма значительной степени обусловливается различием их прирожденных способностей и естественных качеств. Если бы каким-либо чудом лети, исследованные Куртисом, Вуди или Крюзом, получили все совершенно одинаковое воспитание с момента рождения до момента обследования, то все же у них были бы обнаружены весьма большие колебания в способности к арифметике, вероятно не меньшие, чем наблюдаемые в настоящее время.

Объясняется это тем общим положением, что различия в первоначальной природе весьма сильно влияют на возможные различия, обнаруживаемые в интеллектуальных и моральных чертах, а также специальными обстоятельствами, связанными с самыми арифметическими способностями.

Торндайк нашел (1905 г.) при помощи тестов в сложении и умножении, что близнецы дают гораздо более близкие результаты, чем дети той же семьи, различающиеся по возрасту на два или три года, хотя сходство в домашних условиях и школьных занятиях арифметикой должно бы было быть одинаковым как для первых, так и для вторых. Наряду с этим оказалось, что у более юных близнецов (в возрасте 9—11 лет) обнаруживается столь же большое совпадение в результатах сложения и вычитания, как и у более взрослых близнецов (в возрасте 12—15 лет),

хотя в последнем случае сходство в условиях изучения арифметики имеет вдвое большую продолжительность.

Если бы обнаруженное различие в результатах сложения, скажем, у детей шестой группы вызывалось количественным и качественным различием в обучении их сложению, то, дав каждому из них по 200 минут на дополнительное упражнение в сложении, мы могли бы рассчитывать на уменьшение обнаруженного различия, ибо эти 200 минут одинаковых для всех упражнений являются шагом по пути выравнивания обучения. Однако путем многочисленных наблюдений в этой области было найдено, что различие внутри группы не сокращается и в том случае, когда мы достигаем почти полного равенства арифметических упражнений в данной группе.

Наоборот, равномерность упражнений повидимому увеличивает различие. Более одаренные натуры достигают лучших результатов в большей степени вследствие своего прирожденного превосходства, чем вследствие лучшего обучения в прошлом, так как после одинакового для всех периода упражнения успехи их возрастают еще более. Сравните для примера успехи, достигнутые некоторыми лицами после упражнений в устном перемножении трехзначных чисел, продолжавшихся около 300 минут, и приведенные в составленной автором таблице 141.

Таблица 14.

Влияние одного и того же количества упражнений на индивидуальные различия в перемножении трехзначных чисел.

Количество

Процент правильных цифр

Начальная отметка

Успех

Начальная отметка

Успех

Пять лиц, проявивших наилучшие начальные результаты . •.....* • .

85

61

70

18

Следующие пять лиц . . .

56

51

68

10

» шесть „ ...

46

22

74

8

• • •

.33

8

58

12

Г) » 0 • • •

29

24

56

14

1 Подобные же результаты были получены в отношении арифметических и других способностей Торндайком (Thorndike 1908, 1910, 1915, 1916), Уитли (Whitley, 1911), Старчем (Starch, 1911), Уэльсом (Wells, 1912), Кирби (Kirby, 1913), Донованом и Торндайком (Donovan and Thorndike, 1913), Ганом и Торндайком (Hahn and Thorndike, 1914), а также в очень большом количестве Рэсом (Race), работа которого еще не опубликована.

Примечание автора.

СООТНОШЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ РАЗЛИЧИЙ.

Достижения в арифметике зависят от ряда различных способностей. Так например, точность в списывании чисел зависит от зрения, способности различать видимые детали и быстроты их запоминания. Сложение длинных столбцов зависит преимущественно от силы комбинаций сложения, особенно в области высших разрядов, „переноса“ и фиксирования мест цифр в столбце. Решение задач, даваемых на словах, требует понимания языка, разложения описанного положения на его элементы, правильного отбора элементов, необходимых для применения при различных стадиях решения, и применения их в правильных соотношениях.

Поскольку способности, составляющие в совокупности арифметическую способность, являются, как мы видим, специализированными, учащийся, идущий первым среди тысячи своих сверстников или учеников тех же самых групп, скажем в области сложения целых чисел, может оказаться на весьма различных местах, может быть от первого до шестого, при умножении целых чисел, постановке десятичной запятой при делении на десятичные дроби, решении новых задач, списывании цифр и т. д., и т. д. Подобная специализация частично вызывается тем, что он получил по сравнению с другими учениками из той же тысячи большее или лучшее развитие некоторых из своих способностей, а также тем, что различные жизненные обстоятельства пробудили в нем больший интерес к определенным достижениям, чем в других учениках из той же тысячи. Однако специализация обязана своим существованием не только этим обстоятельствам. Некоторые прирожденные свойства данного лица предрасполагают его к достижению в области различных вопросов арифметики различных ступеней — высших или низших по сравнению с другими лицами, изучающими те же вопросы.

Степень возрастания или убывания какой-либо одной способности по сравнению с другой мы измеряем коэфициентом их соотносительности. Если каждое лицо сохраняет свое положение и в случае второй способности (например если данное лицо, занимающее первое место среди тысячи в отношении первой способности, сохраняет то же положение в группе и в отношении второй способности и аналогичное положение сохраняется всеми другими участниками), то коэфициент соотносительности равен 1,00. По мере того как положение данных лиц в отношении обеих способностей изменяется, падает и коэфициент соотносительности, стано-

вясь меньшим 1,00. Коэфициент 0 обозначает при этом, что лицо, которое занимало наивысшее положение в отношении способности А, имеет не больше права на первое место в отношении способности Д чем на любое другое положение.

Значение коэфициентов соотносительности 0,90; 0,70; 0,50 и 0 показано в таблицах 15—181.

Таблица 15.

Распределение рядов по последовательным десятым группы в случае г =0,90.

Десятая

Девятая

Восьмая

Седьмая

Шестая

Пятая

Четвертая

Третья

Вторая

Первая

1-я десятая .....

0,1

0,4

1,8

6,6

22,4

68,7

2-я . .....

од

0,4

1,4

4,7

11,5

23,5

36,0

22,4

3-я . .....

0,1

0,5

2,1

5,8

12,8

21,1

27,4

23.5

6.6

4-я „ .....

0,4

2,1

6,4

12, *>

20,

23,8

21,2

11,5

1,8

5-я „ .....

0,1

1,4

5,8

12,8

19 3

22,6

20,1

12,8

4,7

0,4

6-я ......

0,4

4,7

12,8

20,1

22,6

19,3

12,8

5,8

1,4

0,1

7-я . .....

1,8

11,5

21,2

23/

20,1

12,8

6,4

2,1

0,4

8-я ......

6,6

23,5

27,4

21,1

12,8

5,8

2,1

0,5

0,1

9-я ......

22,4

36,0

23,5

11,5

4,7

1,4

0,4

0,1

10-я ......

68,7

22,4

6,6

1,8

0,4

0,1

Таблица 16.

Распределение рядов по последовательным десятым группы в случае г =0,70.

Десятая

Девятая

Восьмая

Седьмая

Шестая

Пятая

Четвертая

Третья

Вторая

Первая

1-я десятая .....

0,2

0,7

1,5

2.8

4,8

8,0

13,0

22,3

46,7

2-я . .....

0,2

1,2

2,6

4,5

7,0

9,8

13,4

17.3

21,7

22,3

3-я „ .....

0,7

2,6

5,0

7,3

10,0

12 5

14,9

16.7

17,3

13,0

4-я „ .....

1,5

4.5

7,3

9.8

12,0

13,7

4,8

14,9

13,4

8,0

5-я п .....

2,8

7,0

10,0

12,0

13,4

14,0

13,7

12,5

9,8

4.8

6-я п .....

4,8

9,8

12 5

13,7

14,0

13,4

12,0

10,0

7,0

2,8

7-я . .....

8.0

13,4

14,9

14,8

3,7

12,0

9,8

73

4,5

1,5

8-я , .....

13,0

17,3

167

14,9

12,5

10,0

7,3

5,0

2,6

0,7

9-я ......

22,3

21,7

17,*

13,4

9,8

ТУ

4,5

2,6

1,2

0,2

10-я . ....

4^,7

22,3

13,0

8,0

4.8

2,8

1,5

0,7

0,2

1 Если изучающий данный вопрос не обладает отчетливым пониманием теории, лежащей в основе этих исчислений, то он должен соблюдать боль-

Таблица 17.

Распределение рядов по последовательным десятым группы в случае г—0,50.

Десятая

Девятая

Восьмая

Седьмая

Шестая

Пятая

Четвертая

Третья

Вторая

Первая

1-я десятая.....

0,8

2,0

3,2

4,6

6,2

8,1

10,5

13 9

18,0

31,8

2-я „ .....

2,0

4,1

5,7

7,3

8,8

10,5

1 ,2

14,1

16,4

18,9

3-я „ .....

3,2

6,7

7,4

8,9

10,0

11,2

12,3

13,4

14,4

13,9

4-я . .....

4,6

7,3

8,8

9,9

10,8

11,6

2,0

12,3

12,2

10,5

5-я „ .....

6,2

8,8

10,0

10,8

11,3

11,5

11,6

11,2

10,5

8,1

6-я . .....

8,1

1<V>

П,2

11,6

115

11,3

10,8

10,0

8,8

6,2

7-я . .....

10,5

12,2

12,3

12/

11.6

10,4

9,9

88

7,5

4,6

8-я , .....

1.1,9

14,1

13,3

12,3

11,2

10,0

8,8

7,4

5,7

3,2

9-я . .....

18,9

16,4

14,1

12,2

10,5

8,8

7.3

5,7

4.1

2,0

10-я „ .....

31,8

18,9

3,9

10,5

8,1

6,2

46

3.2

2,0

0,8

Таблица 18.

Распределение рядов по последовательным десятым группы в случае /-—0,0.

Десятая

Девятая

Восьмая*

Седьмая

Шестая

Пятая

Четвертая

Третья

Вторая

Первая

1-я десятая .....

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

2-я , .....

1(1

10

10

10

10

10

10

10

10

10

3-я . .....

10

10

10

10

10

10

10

1)

10

10

4-я „ .....

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

5-я „ .....

10

10

10

ю

10

10

10

10

10

10

6я „ * . . . .

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

7-я . .....

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

8-я „ .....

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

9-я „ .....

10

10

10

10

10

1

10

10

10

10

10-я , .....

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

Значение, любого коэфициента соотносительности зависит от группы лип, для которой он определен. Коэфициент соотносительности 0,40 между счислением и решением задач

шую осторожность в выводах, делаемых из величины коэфициентов соотносительности. Примечание автора.

обозначает в случае 14-летних учеников восьмой группы более тесную реальную связь, чем тот же коэфициент для всех 14-летних детей, и во много раз большую связь, чем тот же коэфициент для всех детей в возрасте от 8 до 15 лет.

Если испытания при помощи тестов не ведутся очень тщательно и притом в течение нескольких дней, то полученные коэфициенты соотносительности понижаются и приближаются к 0 благодаря наличию „случайных“ ошибок в исходных измерениях. Это явление не было известно до 1904 г.; поэтому все коэфициенты соотносительности, приводимые в более ранних курсах арифметики, слишком низки.

Вообще говоря, коэфициент соотносительности между различными способностями в отношении существенных разделов счисления довольно высок. Так, если мы выполним достаточное количество тестов для точного измерения способности каждого ученика в отношении: 1) сложения целых чисел и десятичных дробей, 2) умножения целых чисел и десятичных дробей, 3) деления целых чисел и десятичных дробей, 4) умножения и деления обыкновенных дробей и 5) вычисления процентов, то вероятно найдем, что коэфициент взаимной соотносительности для тысячи 14-летних учеников близок к 0,90. Однако сложение целых чисел (6) будет вероятно находиться в меньшем соответствии с указанными выше способностями, так как оно зависит повидимому от более простых и более обособленных способностей.

Коэфициент соотносительности между решением задач (7) и счислением будет значительно ниже, вероятно, не свыше 0,60.

Необходимо отметить, что даже в случае столь высокого коэфициента соотносительности, как 0,90, найдутся лица, обладающие блестящей способностью в одном каком-либо направлении и неспособностью в другом. Подобное несоответствие отчасти объясняется, как это утверждают Куртис (Courtis, 1913, стр. 67—75) и Кобб (Cobb, 1917), прирожденными свойствами данного лица, обусловливающими предрасположение его к совершенно специальным проявлениям силы и слабости. Однако очень часто оно обязано своим происхождением и дефектам его обучения, благодаря которым в нем развилась большая, чем нужно, способность в одном каком-либо направлении и недостаточно развилась другая необходимая способность, хотя развитие ее и было ему под силу.

Но, вообще говоря, все уклонения данного лица от обычной средней для его возраста, наблюдаемые в отноше-

нии одной какой-либо арифметической функции, будучи сопоставлены с таковыми же для какой-либо другой арифметической функции, приводят к положительным коэфициентам соотносительности. При этим соотносительность, вызываемая природными способностями, играет роль корректива к могущей иметь место несоразмерности изучения отдельных функций.

Быстрота и точность выполнения действий также связаны между собою положительной соотносительностью. Лицо, выполняющее наибольшее количество работы в течение 10 минут, например, окажется выше среднего уровня и при испытаниях в точности. Обычное мнение, будто быстрота противоположна точности, правильно лишь в том смысле, что данное лицо сделает больше ошибок, чем обычно, если будет работать слишком быстро; но оно совершенно неправильно, если понимать его в том смысле, что лицо, работающее быстрее, чем это определяется средним уровнем, будет ниже среднего уровня по точности в работе.

Интерес и способность к арифметике вероятно находятся между собой в положительной соотносительности в том смысле, что ученик, который проявляет больший интерес к предмету, чем его сверстники, склонен приобрести в конце концов большую способность, чем эти последние. Они несомненно связаны таким образом, что ученик, который „любит“ арифметику больше, чем географию или историю, склонен более развивать арифметические способности или, наоборот, что ученик, более одаренный в отношении арифметики, чем рисования или родного языка, проявляет большее расположение к первой, чем к последним. Коэфициент соотносительности в этом случае высок.

В конце концов математическую способность следует представлять себе как некоторую общую способность, которой данное лицо может обладать в большем или меньшем размере, причем большинство людей обладает ею в умеренном количестве. И это нисколько не противоречит тому, что в отдельных лицах иногда проявляется исключительный талант в отношении некоторых частных разделов математической способности наряду с полной беспомощностью в отношении других разделов ее.

В заключение необходимо отметить, что способность к арифметике, встречаемая правда и у людей очень тупых в других отношениях, обычно связывается с высокой степенью развития и восприимчивостью ко всякого рода идеям и символам и является одним из лучших ранних показателей последних.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Стр.

Предисловие редактора русского перевода Д. Л. Волковского .......................... 3

Предисловие проф. И. В. Андронова........... 6

Предисловие автора к первому изданию....... 16

Общее введение: психология предметов, преподаваемых в начальной школе.............. 18

I. Природа арифметических способностей...... 23

Знание значения чисел.................... 24

Арифметический язык..................... 29

Решение задач........................ 30

Арифметическое рассуждение................ 41

Итоги........................... 44

Социология арифметики.................. 45

II. Измерение арифметических способностей . . . 48

Образец измерения арифметической способности. Способность складывать целые числа................... —

Измерение способности в счислении ..... ........ 53

III. Состав арифметических способностей...... 72

Элементарные функции в изучении арифметики........ —

Знание значения дроби................... 74

Изучение процессов вычисления..............81

IV. Состав арифметических способностей (продолжение)............................ 93

Выбор связей, подлежащих образованию........... —

Значение образования навыков................ —

Желательные связи, которыми часто пренебрегают......94-

Излишние и вредные связи.................101

Руководящие принципы...................117

V. Психология арифметических упражнений . . . . 118

Сила связей........ ............... —

Необходимость большей прочности элементарных связей .... —

Раннее приобретение основных навыков ..... .......121

Прочность связей временного пользования..........126

Прочность связей с техническими фактами и терминами . . . 123

Прочность связей, касающихся обоснования арифметических процессов . ..........................129

Пропедевтические связи ................... 131

VI. Психология арифметических упражнений. Количество упражнений и организация навыков. 135

Количество упражнений................... —

Недоучивание и переучивание ................ 148

Организация способностей..................151

Стр.

VII. Последовательность тем. Порядок образования связей.......................... 154

Уменьшение затруднений и увеличение облегчений...... 156

Интерес......................... . 162

Общие принципы...................... 163

VIII. Распределение упражнений

Проблема......................... 167

Примеры распределений................... 168

Возможные улучшения.................... 177

IX Психология мышления. Абстрактные идеи и общие понятия в арифметике

Представление об элементах и разрядах фактов........ 179

Облегчение анализа элементов ................ 181

Систематические и случайные стимулы к анализу....... 189

Приспособление к ученикам начальной школы......... 190

X. Психология мышления. Рассуждение в арифметике

Существенные черты арифметического рассуждения...... 196

Рассуждение как сотрудничество организованных навыков . . . 200

XI. Прирожденные склонности и дошкольные навыки

Использование врожденных интересов............ 205

Порядок развития прирожденных склонностей......... 207

Перечень арифметических знаний и навыков......... 209

Восприятие числа и количества................ 211

Раннее знакомство с числом................. 214

XII. Интерес к арифметике

Исследования интересов учащихся.............. 217

Уменьшение напряжения зрения.............. 220

Значение арифметики для сопряженных видов деятельности . . 225

Внутренний интерес к изучению арифметики......... 231

XIII. Условия занятий арифметикой

Внешние условия...................... 234

Гигиена зрения при занятиях арифметикой.......... 240

Применение в арифметике конкретных объектов....... 252

Устное, умственное и письменное счисление.......... 265

XIV. Условия обучения. Постановка задач

Иллюстративные случаи................... 270

Общие принципы...................... 279

Затруднение и успех как стимулы.............. 280

Ложные положения..................... 284

XV. Индивидуальные различия

Характер и размер различий................. 288

Колебания в прел ел ах одной группы............. 292

Причта индивидуальных различий........... . . 293

Соотношения индивидуальных различий........... 298