Топор М. М. Практические работы по арифметике в I—IV классах / под ред. Л. Н. Скаткина. — М. : Учпедгиз, 1959. — 128 с.

М. М. ТОПОР

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АРИФМЕТИКЕ В I—IV КЛАССАХ

УЧПЕДГИЗ • 1959

М. М. ТОПОР

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АРИФМЕТИКЕ В I—IV КЛАССАХ

Под редакцией Л. Н. СКАТКИНА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1959

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

Учителям хорошо известны написанные Марией Митрофановной Топор брошюры: «Практические работы по арифметике в I и II классах» (1954 г.), «Наглядность при решении задач в начальных классах» (1955 г.), «Практические работы по арифметике в III и IV классах» (1957 г.).

В настоящей книге собраны вместе все три указанные работы М. М. Топор. В связи с этим пришлось внести в текст некоторые изменения редакционного характера, чтобы избежать ненужных повторений и придать книге единую структуру.

Учитывая большую творческую работу Марии Митро-фановны по воспитанию молодого поколения в духе коммунистического отношения к труду, издательство сочло целесообразным кратко осветить во вступительной статье жизнь и педагогическую деятельность М. М. Топор.

М. М. Топор (1877—1956)

МАРИЯ МИТРОФАНОВНА ТОПОР — ВИДНЫЙ МЕТОДИСТ ПО АРИФМЕТИКЕ

Многие годы Мария Митрофановна Топор работала учительницей начальных классов, а затем методистом по арифметике во Фрунзенском районе г. Москвы.

Своей неутомимой творческой деятельностью Мария Митрофановна внесла много ценного в разработку вопросов методики преподавания арифметики в начальной школе. Небольшое число опубликованных ею работ объясняется тем, что она очень много времени и сил отдавала непосредственной передаче своего опыта учителям г. Москвы и Московской области. Учителя с благодарностью вспоминают её выступления, доклады, занятия на курсах, всегда будившие мысль, призывавшие к энергичной работе по совершенствованию педагогического мастерства.

М. М. Топор родилась 2 февраля 1877 г. в г. Кельце в семье чиновника. В возрасте двух лет она лишилась отца, и семья переехала к родным матери в Нижний Новгород. Обучаясь в гимназии, 12-летняя девочка начала заниматься частными уроками, подготовляя детей к поступлению в I класс. По окончании гимназии Мария Митрофановна стала сельской учительницей, о чём она мечтала с юности, в земской школе Семёновского уезда Нижегородской губернии. Затем она перешла на место заведующей школой министерства народного просвещения в Подольской губернии. Там Мария Митрофановна за свои прогрессивные взгляды подверглась преследованиям со стороны начальства; три года она была без места.

После ей удалось устроиться заведующей сельскохозяйственной школой в Орловской губернии. «Эта школа,— вспоминала Мария Митрофановна,— дала мне почувствовать мой недостаток образования, я подкопила денег и поехала в Москву получать высшее образование». М. М. Топор в 1904 г. поступила на Высшие женские курсы,

организованные В. И. Герье, а затем перешла на Тихомировские педагогические курсы.

Педагогические взгляды слушательницы курсов вырабатывались под влиянием прогрессивных преподавателей Д. И. Тихомирова и Ф. И. Егорова, которые стремились в обучении добиваться активности детей и сознательного усвоения ими знаний. Глубокое уважение к Ф. И. Егорову как выдающемуся методисту по арифметике М. М. Топор сохраняла в течение всей своей дальнейшей педагогической деятельности.

По окончании курсов в 1909 г. она была оставлена при курсах в качестве учительницы, руководившей практическими занятиями слушательниц с учащимися.

Курсы усилили ее любовь к педагогике и стремление поставить обучение на научную основу. «С этих пор,— пишет Мария Митрофановна,— я непрерывно повышала свою квалификацию как педагога, а именно: слушала лекции в Народном университете имени Шанявского, училась художественному чтению, педагогическому рисованию; в 1914 г. поехала в заграничную экскурсию, посещала школы Вены, Мюнхена, Берлина, Парижа».

До 1918 г. М. М. Топор работала в V и VI классах школы при курсах и одновременно, с 1913 г., состояла учительницей 4-го городского училища Москвы.

После Великой Октябрьской социалистической революции Мария Митрофановна включается в активную методическую работу и принимает участие в подготовке учителей: работая учительницей 13-й школы Хамовнического района г. Москвы, она совмещает эту деятельность с преподаванием в педагогическом техникуме. С 1933 г., будучи учительницей 27-й школы, Мария Митрофановна одновременно проводит методическую работу с учителями Фрунзенского района, а с 1937 г. поступает в педагогический кабинет отдела народного образования Фрунзенского района в качестве методиста по арифметике.

Методическую работу с учителями Фрунзенского района М. М. Топор проводила в течение 22 лет, до конца 1954/55 учебного года, когда она перешла на пенсию и переехала в село Починки Арзамасские Горьковской области, где и скончалась 25 декабря 1956 года.

Как методист, М. М. Топор стремилась строить обучение арифметике в тесной связи с жизнью. Особенно большое значение она придавала проведению разнообразных

практических работ, чтобы дети активно и сознательно усваивали математические знания.

Основываясь на диалектико-материалистической теории познания и физиологическом учении академика И. П. Павлова, Мария Митрофановна подчёркивала значение практических работ для осознания понятия числа, для правильного понимания разностного и кратного сравнения чисел, для лучшего усвоения раздробления и превращения именованных чисел, для понимания зависимости между величинами и т. д.

Заслуга М. М. Топор состоит в том, что она разработала многочисленные виды практических работ и приёмы их проведения на уроках и при выполнении учащимися домашних заданий.

Весьма близко с этой темой соприкасается вопрос о значении наглядности при обучении арифметике. Правильно подчёркивая основную цель применения наглядности — познакомить учащихся с неизвестными им предметами, их свойствами, качествами, строением, М. М. Топор разрабатывала вопрос и о другом виде наглядности, которая помогает ребёнку осознавать отношения и связи между различными совокупностями предметов и величинами. Для этой цели она создала ряд плакатов с изображением различных предметов, сопровождаемых указанием их длины, веса, цены, стоимости. Такие плакаты использовались для составления детьми задач и их последующего решения.

Вопросам методики обучения решению задач Мария Митрофановна уделяла особенное внимание. Ей принадлежит мысль о выполнении учащимися 1 класса рисунков, иллюстрирующих придуманные ими задачи, и о составлении из этих рисунков своеобразных маленьких «задачников».

М. М. Топор подчёркивала необходимость проведения словарной работы при ознакомлении с условием задачи, предложила доступные детям формы краткой записи условия задачи.

Мария Митрофановна не боялась предлагать школьникам задачи повышенной трудности, сопровождаемые иллюстрациями, которые способствуют развитию мышления, сообразительности детей. При этом она исходила из основанного на наблюдениях убеждения в том, что наши

дети «инициативные и смекалистые». Она считала, что учитель должен на уроках арифметики возбуждать интерес детей, развивать их мышление и вместе с тем воспитывать ответственное отношение к выполняемой учебной работе.

Её заветной мечтой, которую, к сожалению, не удалось осуществить, было создание нового задачника, который знакомил бы детей с окружающим миром, с современной и прошлой жизнью, влиял бы на формирование основ правильного мировоззрения учащихся.

В одном из её писем мы читаем: «Начинаю осуществлять свою мечту — создать «настоящий задачник», развивающий мысль ребёнка об окружающем, его постоянном изменении количественном и качественном...; я систему предмета оставляю на первом, главном месте, а только привожу в систему содержание задач, хочу, чтобы оно давало нечто целое, объединённое одной идеей».

Вопросы методики преподавания арифметики в начальной школе М. М. Топор разрабатывала в тесной связи с общепедагогическими проблемами. Так, виды и методы проведения практических работ по арифметике разрабатывались в связи с задачами, выдвинутыми перед школой XIX, а затем и XX съездом КПСС. М. М. Топор при этом считала одной из важных проблем — воспитание у детей коммунистического отношения к труду.

Разрешение этой проблемы, по мыслям М. М. Топор, изложенным в неопубликованной рукописи, требует от учителя выполнения следующих заданий:

1) разъяснить детям величайшее значение труда как фактора, побеждающего природу и изменяющего жизнь общества и каждого человека;

2) помочь детям осознать, что продукция труда есть именно то, что создаёт благополучие и благоденствие общества и человека;

3) заставить детей задуматься о том, чьи руки, чья инициатива, чьё творчество создавали и создают все ценности, которые делают жизнь прекрасной и приятной;

4) научить детей уважать эти руки, т. е. любить свой родной народ;

5) возбудить у детей страстное желание стать самому активным участником этого важнейшего процесса, покоряющего природу, изменяющего жизнь во благо родины и всего человечества.

Эти идеи вдохновляли Марию Митрофановну при разработке вопросов методики преподавания арифметики, в частности при начатой ею работе по составлению «настоящего задачника».

М. М. Топор была неутомимым пропагандистом тех педагогических и методических идей, которые она разрабатывала. Она настойчиво внедряла в практику школ те идеи, те виды практических работ, упражнений, наглядных пособий, которые были проверены в её опыте совместно с учителями.

Характерен в этом отношении следующий факт из её деятельности. Уже будучи пенсионеркой и живя в сельской местности, она, получив экземпляр своей брошюры «Наглядность при решении задач в начальных классах», занялась изготовлением наглядных пособий для школ, увеличивая картинки из своей книги. «Я по целым дням,— сообщает она в одном письме,— клею, рисую, увеличиваю картинки для кабинета, чтобы можно было пользоваться книжкой в действительности. Работаю больше аппликацией — вырезываю из бумаги фигурки и наклеиваю: ведь я не художник, рисунки выходят плохие, а аппликации лучше».

Вот это стремление, чтобы учитель мог пользоваться методическими советами «в действительности», являлось отличительной чертой Марии Митрофановны как методиста.

Получив в 1949 году за свою многолетнюю плодотворную деятельность правительственную награду — орден Ленина, Мария Митрофановна высказала мысль, что все выполняемые ею работы ведут к одной цели — «поднять на высоту дорогую, родную школу на пользу родного народа».

Л. Скаткин.

13 августа 1958 г.

ЗНАЧЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ДЛЯ УСВОЕНИЯ ЗНАНИЙ ПО АРИФМЕТИКЕ

Элементы политехнического обучения входят в программу начальной школы в виде разнообразных измерений, взвешиваний, определений площадей и объёмов, решения задач, составленных на местном материале, и т. д.

Практические работы по арифметике в начальной школе должны создавать основу для политехнического обучения в средней школе. Они являются средством возбуждения детской активности и эмоциональности на уроке, средством углубления сознательности усвоения материала детьми.

В школу приходят дети семилетнего возраста, которые под руководством учителя познают новое из окружающего мира.

В. И. Ленин говорит: «Все знания из опыта, из ощущений, из восприятий»1, «...ощущение есть результат воздействия материи на наши органы чувств»2.

Философской теории познания В. И. Ленина вполне соответствует материалистическое физиологическое учение академика И. П. Павлова.

По учению И. П. Павлова, в постижении мира, кроме ощущений, получаемых через органы чувств, участвуют ещё кинестезические ощущения, которые получает человек через мускульное чувство, а именно: ощущение давления, сопротивления, тяжести. Об этом И. П. Павлов говорит так: «...к пяти наружным анализаторам мы должны при-

1 В. И. Ленин, Сочинения, т. 14, стр. 115.

2 Там же, стр. 45.

бавить и в высшей степени тонкий анализатор — внутренний анализатор двигательного аппарата, сигнализирующий в центральной нервной системе каждый момент движения, положения и напряжения всех частей, участвующих в движении»1.

И. М. Сеченов, классифицируя ощущения, получаемые человеком от внешней среды, утверждает, что слух даёт возможность человеку постигать четыре категории явлений, зрение — восемь, а осязанием человек постигает одиннадцать категорий явлений.

Сеченов назвал рецепторный мышечный аппарат «щу-палами». Он показал, какую большую роль играет мышечная работа в деятельности головного мозга.

Исключение участия руки в обучении затрудняет процессы овладения знаниями, лишает знания конкретности, действенности.

Вышеприведённые высказывания показывают, что тех зрительных и слуховых ощущений, которые большей частью получают на уроке дети, для них недостаточно, что наглядность — это основа начального обучения, кроме смотрения и слушания, должна включать всевозможные виды практических работ, которые дают максимальное количество самых разнообразных кинестезических ощущений.

Согласно учению И. П. Павлова, слово становится названием определённого предмета в результате образования связи между словесным раздражителем и раздражениями, исходящими от соответствующего предмета и воздействующими на органы чувств ребёнка. В результате установления такой связи слово, написанное или произнесённое, возбуждает целый комплекс прежних давних сигналов, накопленных в мозгу в прошлой практике жизни ученика.

Отсюда учитель может сделать вывод о связи ощущения, восприятия со словом и взять на себя обязанность на известной стадии развития и в известном возрасте ученика, пока у него мало жизненного опыта и связей, «голых слов» не давать, а изыскивать все средства, чтобы устанавливать связь слова с соответствующим предметом, абстрактного с конкретным.

1 И. П. Павлов, Полное собрание сочинений, т. III, кн. 1, изд. АН СССР, стр. 176.

Как необходима эта связь действия и слова, может показать следующий пример: ученица I класса встала в тупик, когда ей предложили прибавить к трём кубикам два кубика, но когда ей сказали «придвинь два кубика», обратили её внимание на то, что кубиков стало больше, и одновременно объяснили, что это действие называется прибавлением, она поняла, усвоила и стала применять верно новое слово — «прибавить».

Другой школьник семилетнего возраста не осознавал смысла слова «отнять». До сих пор у него со словом «отнять» был связан неприятный процесс, когда у него отнимали мячик, ручку. А теперь учитель говорит, что «потерял»— это тоже «отнял». Для него ясно, что когда дети теряют, то они сами теряют, а у них не отнимают, а тут — говорят «отнять». Видимо, опять была допущена ошибка учителя — рано дано обобщение: надо было дать больше конкретных случаев вычитания, а потом сделать математическое обобщение: обозначить их словом «отнять».

Все пути, направленные на осмысливание окружающего мира, ведут от ощущения и восприятия через представления к понятию, к обобщению, к слову.

Практические работы в связи с изучением арифметики должны развивать в детях сознательность, активность, помогать им глубже и прочнее усваивать знания.

Практические работы должны быть распределены по классам, отвечать требованиям программы, обязательно помогать детям усвоению некоторых её разделов, требующих конкретизации, и соответствовать возрастным особенностям учащихся.

С первых дней обучения учитель на уроках арифметики не должен ограничивать дидактический материал одними палочками, как это делается большей частью в массовой школе, а предоставлять детям возможность осязанием и мускульным чувством усваивать форму, величину, тяжесть и т. д., т. е. давать разнообразный дидактический материал, а именно: кружки, квадраты, кубики, треугольники, модели монет, вырезанные из картона цифры.

Дидактический материал может быть использован в разнообразных моторных упражнениях: построении, сгибании бумаги, расположении предметов в разных комбинациях. Все эти работы будут обогащать запас представлений ученика, способствуя развитию его мышления.

Выполнение практических работ ведет к овладению детьми полезными навыками, которые им впоследствии понадобятся в практической деятельности. Выполняя практические работы по измерению и черчению, дети овладевают элементарными измерительными и чертежными навыками.

Выполняя упражнения по использованию справочных данных, упражняясь в вычислениях по таблицам, учащиеся овладевают полезными навыками работы с таблицами и справочниками.

Практические работы по арифметике, выполняемые учащимися, могут быть разнообразны и применяться на различных этапах процесса обучения.

Практические работы могут являться начальным моментом при изучении какого-либо раздела программы арифметики. Например, измерение учащимися длины стола или парты и выражение этой длины в метрах и дециметрах, а затем только в дециметрах может быть использовано для объяснения о простом и составном именованном числе, о раздроблении именованных чисел.

Практические работы используются для закрепления знаний по арифметике. Например, узнав на уроках, что такое периметр и площадь прямоугольника, учащиеся проводят необходимые измерения и вычисляют периметры и площади различных прямоугольников.

Закреплению знаний содействует выполнение заданий по составлению расчётов, несложных смет; например, учащиеся подсчитывают предполагаемый расход денег на проведение экскурсии, на устройство школьного праздника и т. п.

В начальной школе на уроках арифметики и при выполнении домашних заданий применяются разнообразные виды практических работ: измерения длины, площади, объёма, измерения веса, выполнение чертежей и рисунков, изготовление наглядных пособий, выполнение вычислений по таблицам, составление различных несложных расчётов с использованием справочных таблиц и справочников.

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АРИФМЕТИКЕ В I КЛАССЕ

Практические работы при изучении чисел первого десятка

Выполняя практические работы, дети сгибают бумагу со счётом клеток, обводят контуры монет, треугольников, квадратов, измеряют метром, стаканом, литровой банкой, играют в куплю и продажу разнообразных предметов, производят взвешивания и операции с моделями монет, рисуют простейшие контуры предметов по клеткам.

К. Д. Ушинский говорит: «...рисование есть для ребёнка самый приятный отдых после умственного труда и даёт, следовательно, наставнику возможность разнообразить классные занятия».

«...дети только что начинающие, без большого труда могут уже нарисовать фигурку, очень напоминающую домик, столик, лестницу и т. п., тогда как без квадратиков это было бы для них невозможно. Такой неожиданный успех радует и поощряет ребёнка; он рисует охотно, а между тем глаз и рука его приобретают полезный навык»1.

Мы, следуя советам Ушинского, предлагаем рисование по клеточкам, но мы его соединяем со счётом клеточек и постепенно в процессе рисования знакомим детей с числами первого десятка.

Рисуя ёлочку, домик, столик, ребёнок упражняет

1 К. Д. Ушинский, Избранные педагогические произведения, Учпедгиз, 1945, стр. 416.

внимание, тщательность и точность исполнения, получает моторные восприятия, развивает глаз и руку, привыкает ориентироваться в тетради, воспитывает привычку к аккуратности и выявляет свои творческие возможности и инициативу. В конце концов он подготовляет себя к письму букв и цифр, знакомясь с направлением, размером, симметрией.

Практические работы должны проводиться в классе на уроках и во внеурочное время в школе, а главным образом дома, где ученик располагает необходимыми для него орудиями и пособиями (ножницы, нож, молоток, клей, кисточка). Дома дети закрепляют то, что было показано учителем, было понято детьми, но не усвоено. При этом дети пользуются простейшими инструментами и овладевают умением выполнять простейшие трудовые процессы. Дети переходят постепенно к выполнению более сложных заданий и совершенствуют восприимчивость органов чувств.

Выбирая при изучении чисел те предметы, которые встречаются в числе двух, трёх, четырёх, мы используем постоянство числа элементов в данной группе. Для числа один берём гриб — одна шляпка и одна ножка. Даём задание ребёнку: наблюдать и искать аналогичные предметы в окружающем. Толкая детей на наблюдение, мы возбуждаем их произвольное внимание и интерес, и ученик находит гвоздь, булавку, волчок.

Понятие о числе 2 получаем из окружающего мира: два крыла у птицы и две ноги, у человека органы тела в числе двух. Всё это — величины неизменные, постоянные. Наталкиваем ребёнка на наблюдение — находить парные органы в своём теле, предметы в своей одежде, обуви. Представление о числе 3 получаем из природы — листок клевера, земляники, орех-тройчатка и из окружающего обихода — трёхколёсный велосипед, семафор, вилы и т. д. Предметы в числе 4 ребёнок находит среди животных: ноги у всех четвероногих млекопитающих, в обиходе: подковы, дом с четырьмя углами, телега, автомобиль. Толкнув ученика на наблюдение, мы дадим ему возможность самостоятельно делать многие «открытия»: у лягушки четыре ноги и у ящерицы четыре ноги и т. д. и т. п. Сосчитав на руке 5 пальцев, он будет искать и в природе, среди животных, среди растений, в лепестках цветов, в окружении предметы в числе 5. Число 6 получит из наблюдений

насекомых: и у жуков, и у мухи, и у пчелы — 6 ног; 8 ног у паука и т. д.

Многие дети, поступающие в школу, уже знают название чисел до двадцати и больше, но результатов счёта иногда сказать не могут. При счёте у семилетних детей для образования числа не хватает синтеза, они не могут объединить, обобщить результаты счёта.

Вот как говорит о трудностях применения детьми синтеза методист Д. Д. Галанин в своей методике по обучению арифметике: «В настоящее время, чтобы получить число пять, ребёнок считает: пять скамеек, пять пальцев, пять карандашей, пять стульев и т. п. В этом счёте однородных предметов у него есть слуховой образ — у него пять есть ряд конкретных представлений: скамейки, стулья; в каждом из этих представлений есть представление единичности и совокупности, но нет представления количественности. Само число пять как определённое количество не содержится в указанных предметах.

Но если мы возьмём пять стаканов воды и сольём её в графин, то это количество воды в графине даст конкретное представление числа пять, как определённого объёма, с одной стороны, а с другой — определённого количества»1.

Следуя этому принципу, Д. Д. Галанин начинает обучение числам с непосредственного опыта ученика в измерении длины, веса, объёма и т. д.

Принцип Д. Д. Галанина является верным средством помощи детям в овладении синтезом при осознании чисел и вполне соответствует детской психологии, их стремлению к поделкам, к непрестанной деятельности.

Этот принцип дал нам ответ на вопрос: как подать детям числа? И мы использовали его, применяя при обучении числам измерения разного рода, и получили положительные результаты: дети, применявшие измерение, сознательно усвоили числа первого и второго десятков и суммы и разности в пределе 10 и 20.

Учительницы московских школ: Валабуева В. В. (47-я школа), Затуловская 3. И. (34-я школа), Малышева В. С. (587-я школа), Лежнева Т. В. (40-я школа)—достигли прекрасных результатов, и в контрольных работах за первое полугодие у них оказалось на класс от 2 до 10 ошибок,

1 Д. Д. Галанин, Методика арифметики, первый год обучения, М., 1910, стр. 4.

тогда как в других классах, где не применялись измерения и дети обучались числам только применением счёта и рисования числовых фигур, в тех же контрольных работах насчитывалось от 40 до 50 ошибок на класс.

Применение всякого рода измерений заставило нас перенести знакомство с метром, с литром, с монетами в начало первой четверти, при этом мы не нарушили программы, так как в примечании к ней сказано: «Распределение программного материала по четвертям так же, как и время, указываемое для изучения отдельных тем, является примерным, а не обязательным. Обязателен лишь общий объём программного материала для каждого класса» (изд. 1952 г., стр. 56).

Изменили мы время обучения и письму цифр; при изучении чисел первого десятка показываем цифры только для распознавания их, но ни в коем случае не для письма цифр и не для записи действий.

Известный русский методист Ф. И. Егоров предостерегает учителей от преждевременного ознакомления детей с цифрами, а тем более с письмом цифр, ибо, по его мнению, поспешность в данном случае может привести к вредному, психологически неправильному направлению в мышлении ученика: он будет мыслить знаками, цифрами, а не количествами. Минимумом знаний, необходимых для того, чтобы приступить к ознакомлению с цифрой, Егоров считает усвоение детьми чисел первого десятка и прямого и обратного счёта.

Методист В. К. Беллюстин рекомендовал в первоначальном обучении в качестве знаков чисел пользоваться чёрточками. Крупнейший русский методист А. И. Гольденберг готов был воздержаться от ознакомления детей с цифрами на весь период усвоения чисел первой сотни, но его удерживали от распространения этого приёма условия школы в царское время, когда один учитель занимался одновременно с тремя группами, торопился поставить новичка на самостоятельную работу, т. е. научить скорее письму цифр, посадить за решение «столбиков», чтобы он никому не мешал. Все указанные методисты определённо стоят на той точке зрения, что учить цифрам нужно после ознакомления детей с числами первого десятка, а не одновременно и числам, и цифрам, и письму цифр.

Дети, рано переходящие к цифрам, и особенно к письму цифр и записи операций, создают свой особый способ вы-

числения. Это доказывают наблюдения над детским счётом.

Когда дети усвоят числа, количественную их сущность и название, можно знакомить их с печатной цифрой и затем переходить к письму цифр в порядке трудности начертания в связи с сопоставлением цифр и числовых фигур.

Исходя из вышеизложенного, мы пришли к выводу, что за основу знакомства с числами следует взять счёт и измерение, а средством усвоения количества — отображение чисел крестиками, точками, чёрточками, рисованием по клеточкам, со счётом, контуров предметов, окружающих ребёнка, черчением числовых фигур.

Все эти практические работы с условными значками помогут конкретному знакомству с числами. На изучение каждого числа и его разложения на слагаемые потребуется 2—3 часа, на все числа первого десятка — 20—25 часов.

Признавая необходимость наличия разнообразного дидактического материала в руках у детей, мы заботимся, чтобы дети приучались бережно хранить этот материал и держать его в порядке.

Поэтому первой работой семилеток будет сооружение из спичечных коробок пенала для дидактического материала. С помощью учеников старших классов малыши склеили пустые коробки узкими боковыми сторонами, по семи коробок в ряд, оклеили сверху и снизу узкой полосой цветной прочной бумаги и получили пенал с семью выдвижными ящиками (рис. 1).

Рис. 1.

Затем дети начали наполнять ящики дидактическим материалом, использовали для вырезывания трафареты квадратов, треугольников и кружков, данные в приложении к букварю. В первый ящик положили 10 спичек (без головок), во второй — 10 квадратиков, в третий — 10 треугольников, в четвёртый — 10 кружков, в пятый — вырезанные цифры, в шестой — знаки действий, в седь-

мой — модели монет. Сверху на коробках наклеили соответствующие рисунки.

Потом дети сделали себе особые пеналы для моделей монет и положили в первый ящик этого пенала 10 моделей монет по одной копейке, в другой — 10 монет по 2 копейки, в третий — 10 монет по 3 копейки, в четвёртый — монеты по 5 копеек, по 10 копеек и 20 копеек.

Этот дидактический материал дети раскладывают в разных комбинациях на партах, а потом эти комбинации срисовывают в тетради и получают бордюрчики и числовые фигуры. Узорами или бордюрами они отделяют работу каж-ждого дня, ибо число и месяц ставить не умеют.

Составляя узоры, дети упражняют воображение, уточняют зрение и совершенствуют осязание, работая пальцами. Таким образом, дидактический материал помогает усваивать состав чисел первого десятка, а пеналы помогают держать этот материал в порядке и по команде учителя вынимать и убирать его.

Уроки по изучению чисел первого десятка

Приведём несколько уроков арифметики с применением разного рода измерений, рисования и черчения.

Прежде всего считаем нужным выяснить те требования, которые мы предъявляем к уроку на этой ступени обучения.

1. Урок должен вызывать у детей эмоции, интерес к объяснению учителя; интерес обеспечит внимание, без чего усвоение невозможно.

2. Содержание урока арифметики, когда это возможно, следует связывать с содержанием уроков грамоты и развития речи, на которых дети рассматривают картины, рассказывают сказки, ведут беседы об окружающем и т. д.

Составляя задачи на материале сказок, бесед, учитель может выяснить разницу между рассказом и задачей, научить ставить вопрос, выявлять данные.

3. На уроке нужно дать возможность детям получить максимальное количество самых разнообразных ощущений: слуховых, зрительных, моторных — и для этого нужно соединять счёт с измерением, рисованием, штриховкой.

Учитель не должен забывать указаний К. Д. Ушинского, что ребёнок утомляется не деятельностью, а одно-

образием и бездельем. Поэтому учитель должен всеми способами разнообразить занятия.

4. Учитель должен помнить об особенностях детского организма, об его быстрой утомляемости и проводить физкультминутки.

5. Нужно укреплять внимание, развивать его устойчивость; для этого полезно объединять задачи одной общей идеей, местом действия и не заставлять ребёнка разбрасываться, меняя в задачах время и место действия, объекты счёта.

6. Не следует пересыщать урок наглядностью, ибо наглядность не самоцель, а только средство, помогающее осознанию материала и образованию понятия; поэтому урок должен от наглядного, конкретного, обязательно через воображаемое, привести детей к отвлечённому.

7. Учитель должен всегда помнить свою роль руководителя, направляющего деятельность детей, должен сам говорить меньше, а детей вызывать на полные, распространённые рассказы о виденном, слышанном, пережитом и усвоенном.

Первый урок для учителя особенно ответственен, ибо от первого впечатления зависит дальнейшее отношение ученика к уроку, учителю, предмету. Был случай, когда ученик-семилетка, придя в первый день из школы, объявил, что он больше в школу не пойдёт. На вопросы старших он обиженным тоном рассказал, что учительница заставляла считать окна, лампы и парты, что это делать можно и дома и ходить в школу для этого нечего. Видимо, ребёнка постигло горькое разочарование, ибо он от школы ожидал чего-то интересного, особого, нового, а получилась скучная проза.

Чтобы вызвать детей на свободный разговор, учитель пользуется на уроке картинами, загадками.

О значении и роли загадок в преподавании К. Д.Ушин-ский говорит так: «Загадки я помещал не с той целью, чтобы ребёнок отгадал сам загадку, хотя это может часто случаться, так как многие загадки просты, но для того, чтобы доставить уму ребёнка полезное упражнение: приладить отгадку, сказанную, может быть, учителем, к загадке и дать повод к интересной и полезной классной беседе, которая закрепится в уме ребёнка именно потому, что живописная и интересная для него загадка заляжет

прочно в его памяти, увлекая с собой и все объяснения, к ней привязанные»1.

Мы берём числовые загадки, имея в виду усвоение чисел и цифр в связи с текстом загадки, картины, её изображающей.

Ознакомление детей с числом 1

Ознакомление с числом 1 можно начать с загадки; учитель спрашивает детей, умеют ли они загадывать и отгадывать загадки. Дети оживлённо, наперебой, говорят загадки и отгадки. Выслушав нескольких, учитель предлагает детям отгадать его загадку: «Пляшет крошка, а всего одна ножка». Дети не могут отгадать, учитель помогает им наводящими вопросами, подсказывает, что это загадка про игрушку, которая у них была, а может быть, есть и теперь. Показывает юлу, сделанную из бумаги, и пускает её. Разбирают загадку, объясняют и заучивают её хором. Учитель предлагает детям, придя домой, сделать себе такую же юлу. Вырезать из картона или из бумаги кружок, обводя карандашом стакан или рюмку, в середине сделать дырочку и в неё воткнуть спичку, отточив кончик. И так выйдет юла. Чем точнее и аккуратнее будет вырезан кружок, чем правильнее будет найдена середина кружка, чем тоньше будет отточена спичка, т. е. ножка её, тем дольше будет кружиться юла. Учитель предлагает детям сделать несколько кружков и добиться изготовления хорошей игрушки.

Учитель спрашивает детей, кто может повторить загадку. Теперь учитель предлагает посмотреть кругом и найти предмет, у которого тоже одна ножка, но есть ещё и шляпка. Дети угадывают, вспоминая гвозди.

Переходят к другому занятию: дети берут тетради, и карандаши, учитель учит ориентироваться в тетради, указывать уголки, корешок, учит держать карандаш, класть тетрадь на парту. По команде начинают рисовать гвоздики: рисуют в три клеточки и сверху ставят точку, т. е. шляпку. Рисуют по команде: «еще один, ещё один», определяют, что гвоздиков много (рис. 2).

Учитель загадывает другую загадку: «Тонка, длинна, одноуха, а всему свету нужна». Дети повторяют хором

1 К. Д. Ушинский, Избранные педагогические произведения, Учпедгиз, М., 1945, стр. 393.

и поодиночке. Затем рисуют иголку, приставляют ушко, цветными карандашами «вставляют» нитку в ушко (рис. 3).

Закрепляют это действие новой загадкой: «Носик стальной, а хвостик льняной». Так дети чередуют словесно-мыслительные занятия и моторно-действенные.

Потом учитель спрашивает, кто ходил летом в лес, и просит их рассказать, как они видели в лесу «Антошку», который стоит в шляпе на одной ножке, и как они ему кланялись. Дети смеются, удивляются, но после наводящих вопросов учителя отгадывают, что «Антошка» — это гриб и что ему «кланяются», когда его срывают.

Учитель предлагает детям выйти из-за парт в проходы; на доску вешает картину, изображающую виды разных грибов. Показывает белый гриб, дети называют его, наклоняются будто бы взять его и положить в корзину. Потом учитель показывает подберёзовик, подосиновик, и дети каждый раз кланяются, будто бы кладут грибы в корзину. Учитель показывает мухомор, все смотрят и говорят, что ему кланяться не будут, а его сшибут. Так проходит физкультминутка.

Заучивают загадку про гриб: «Стоит Антошка на одной ножке, кто ни пройдёт мимо, всяк поклонится».

После этого чертят бордюр: одна палочка вертикальная, другая горизонтальная, предварительно сложив его из спичек на партах (рис. 4).

Так урок заканчивается рисованием бордюра. Эта работа должна дать первый навык самостоятельной мол-

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

чаливой сосредоточенной работы, которая явится упражнением внимания. Дома дети должны нарисовать такой же бордюр.

Ознакомление с числом 2

Второй урок начинается с проверки домашнего задания. Дети показывают юлу, сделанную дома. Учитель просит поднять руку тех, кому помогали дома. Потом поднять руку тех, кто делал сам. Просматривает, делает указания, хвалит за самостоятельную работу и объясняет, что делать самому интереснее; тем, кто сделал плохо, предлагает сделать ещё одну юлу. Потом переходит к объяснению нового материала. Учитель спрашивает детей, кто любит играть водой. Все поднимают руку, и он говорит, что они сейчас будут не играть, не баловаться водой, а измерять воду.

Чтобы помочь детям осознать число и его усвоить, нужно одновременно применять счёт и измерение величин сплошных, непрерывных, которое даст детям понятие о числе не как о совокупности отдельных предметов, а как о целом.

Будем измерять воду стаканами. Применим такой приём: наливаем в прозрачную литровую банку первый стакан воды и обращаем внимание, что он первый по порядку и в банке он будет один. Необходимо научить детей различать порядок предметов, подлежащих счёту, и их количество и понимать вопросы: который? и сколько? Теперь наливаем другой стакан, и дети хором называют его вторым и утверждают, что в банке теперь два стакана воды. У детей является понятие о числе два как о целом, едином, состоящем из двух отдельных величин. Упражняем глазомер детей, повторяем операции и заставляем угадывать, где один стакан воды и где два. Отливаем только что налитый второй стакан, потом отливаем первый и утверждаем, что ничего не осталось. Так даётся начало обратному счёту.

Дети рисуют два стакана высотой в две клеточки, шириной в одну клеточку, потом рисуют банку шириной в две клетки, высотой в пять клеток (рис. 5). В банке отме-

Рис. 5.

чают два влитых стакана (горизонтально) и получается впечатление двух стаканов воды, перелитых в банку. Для большей конкретности вода закрашивается под цвет сока или кваса.

Далее переходим к измерению метром. У каждого учащегося при помощи старших должен быть сделан метр из твёрдого материала (картона, дранки), чтобы не сгибался. Надо показать детям метр и переспросить детей, знают ли они, когда и для чего он употребляется.

Предложить детям дома сделать такую работу: на картонку нашить образчики тех материалов, которые измеряются метром. Дети расскажут, что нужно нашить на картонку тесёмку, кусочек резинки, верёвки, материи и т. д. Теперь дать понятие о величине метра. Для этого дети устанавливаются в ряд, берут в правую руку метр, ставят его на пол и запоминают величину расстояния, равного (от пола до руки) метру. Далее руку с метром отводят за спину и по памяти левой рукой показывают расстояние, равное метру. После этого проверяют расстояние, отмеченное левой рукой при помощи правой, в которой держат метр. Тут выясняется, кто хорошо запомнил размер метра, а кто плохо. Предлагают детям на глаз сказать о высоте стола, высоте стула, длине парты: выше метра, ниже метра, длиннее метра.

Затем пускают воздушный шар, сначала на нитке, равной метру, и замечают, на каком расстоянии от пола он находится, если нитка равна одному метру.

Привязывают к нитке ещё метр, шар поднимается, дети замечают высоту и сравнивают с прежней высотой шара. Отмеряют ленту в два метра. Лента длиной в два метра даёт понятие о двух метрах как о целом, состоящем из двух отдельных величин.

Теперь проводим физкультминутку. Дети выходят в коридор, встают в ряд, отмеряя расстояние друг от друга на метр. Строят два ряда — один против другого — на расстоянии двух метров. Потом дети встают в ряд на расстоянии двух метров друг от друга, а дети из противостоящего ряда встают в середину между ними. И теперь дети рассказывают, что они стояли на расстоянии двух метров, а когда в середину встал человек, то расстояние между ними стало равно метру.

Дома дети должны поупражняться в наливании и отливании двух стаканов воды, сопровождая ответами на

вопросы: который? сколько?, выучиться владеть метром, уметь измерить тесёмку, длину полотенца в один метр, длину простыни или одеяла в два метра, на глаз научиться определять величину одного метра, высоту стула, шкафа, стола. Эти измерения помогут детям заучить новые слова: длина, высота, и применять их правильно: шкаф выше стула, простыня длиннее полотенца.

Закончим урок рисованием бордюров в две клеточки. Дома дети должны нарисовать бордюр по одной строчке (рис. 6).

Продолжение изучения числа 2

Прежде всего проверяем усвоение пройденного на предыдущих уроках, проверяем речь и память детей, спрашиваем загадки, и сам учитель говорит загадки и требует отгадок. Проверяем домашние упражнения в практических навыках: заставляем наливать и отливать воду, подкрашенную соком или квасом, и рассказывать процесс, сопровождая объяснениями: сколько было, сколько стало, который стакан наливаем и т. д. Предлагаем измерить длину доски, высоту шкафа, длину стола и высоту стула.

Пока класс не овладеет этими практическими навыками, речевыми и моторными, двигаться дальше нельзя. Теперь задаём детям загадку: «Два братца через дорогу живут, друг друга не видят», предлагаем посмотреть на лицо соседа и найти «двух братцев» и «дорогу». Дети отгадывают, объясняют. Просим детей указать, что есть ещё на голове человека числом два. Дети называют и добавляют: «Левое ухо, правое ухо, верхняя губа, нижняя губа, брови» и т. д. Просим сосчитать также руки и ноги и припомнить, какое бельё, одежду, обувь надевают числом два. Напоминаем детям, что чулки при покупке выдают скреплёнными, также варежки, перчатки и называют их парой. Рассматриваем в букваре картинку диких и домашних птиц и добиваемся от детей следующего рассказа: у птицы одна голова, одно туловище, две ноги, два крыла, один

Рис. 6.

Рис. 7.

хвост. На голове: два глаза, два уха, один клюв и дети сами договаривают: один гребешок (у кого?).

Чтобы полнее дать понятие о числе 2, знакомим детей с монетами.

Учительница вывешивает на доску плакат, на котором прикреплены перо и рядом две копеечные монеты, ниже — такое же перо и рядом — одна двухкопеечная монета (рис. 7).

Учительница объясняет, что на две маленькие монеты по 1 копейке можно купить перо, а на эту большую монету можно купить такое же перо. Значит, две маленькие монетки равны по цене одной большой монете. Маленькая называется «копейка», а большая называется «две копейки». Получается опять закрепление понятия о числе 2 как о целом, состоящем из совокупности двух.

Урок заканчивается рисованием бордюра из полуовалов (рис. 8).

Дома дети берут копеечную монету, укладывают её на строчке тетради, обводят карандашом, называют её первой копеечкой и говорят, что она одна на строке. Берут вторую копейку, обводят её рядом с первой, называют её второй и устанавливают, что теперь на строчке рядом две копейки. Ниже на строчке дети обводят двухкопеечную монету и говорят, что эта монета одна, а называется она две копейки. Монеты закрашивают коричневым карандашом под цвет меди.

Рис. 8.

Ознакомление детей с числом 3

Повторение пройденного: проверка речи, памяти, усвоения навыков измерения. Предлагается указать предметы одежды и обуви, употребляемые числом два или парой. Предлагаем указать предметы в хозяйстве, которыми пользуются парой. После наводящих вопросов приходим к загадке: «Два братца пошли в воду купаться». Разбираем загадку, заучиваем хором и в одиночку, потом рисуем два ведра и коромысло и другие предметы, употребляемые парой: очки, пару валенок, пару чулок и т. д. (рис. 9).

Рис. 9.

Переходим к новому материалу. Наполняем водой три стакана и выливаем её по очереди в литровую банку, сопровождая вопросами и объяснениями. Отливаем обратно и заучиваем обратный счёт.

Упражняем глазомер, показывая в банке два стакана, три стакана, один стакан, каждый раз наливая воду другого цвета.

Теперь начинаем наливать воду одним стаканом в банку три раза и спрашиваем: «Сколько раз наливали одним стаканом и сколько раз выливали одним стаканом?» Для детей оказалась эта разница в процессах наливания воды из трёх стаканов в банку и наливание одним стака-

ном три раза уже затруднительной. Не все сразу поняли, что получается то же самое количество, пришлось это проделать несколько раз и переспросить объяснение. Для разнообразия каждый раз подкрашивали воду другим цветом. Потом решали задачи, «угощали» квасом, соком бабушку, маму, папу и детей и т. д.— всё это уже по воображению. Потом нарисовали отдельные три стакана кваса и налитые в банку.

Перешли к изучению монет. Ознакомили детей с трёхкопеечной монетой. Установили, что три отдельные копеечки по цене равны одной большой. Опять число три явилось как целое и совокупность отдельных трёх копеек. На картонку, на которой было прикреплено перо, теперь прикрепляется резинка и рядом трёхкопеечная монета — её стоимость. Ниже — такая же резинка и три отдельные копейки.

Учительница прикрепляет широкую полоску бумаги на доске в вертикальном направлении, наклеивает зелёный кружок, жёлтый и красный (рис. 10).

Дети угадывают светофор. На доске появляется вырезанный из бумаги мальчик на трёхколёсном велосипеде. Учительница закрывает зелёный и жёлтый и оставляет красный кружок, мальчик останавливается. Учительница спрашивает объяснение: какие кружки закрыты, сколько закрыто, почему, и дети выясняют правила движения. Считают колёса велосипеда — переднее, задние, один и

Рис. 10.

Рис. 11.

два, два и один, и по очереди называют: первое, второе и третье (рис. 11).

Дети выходят из-за парт в проходы. Учительница предлагает идти шагом на месте. Открывает красный цвет, дети останавливаются, открывает зелёный — делают шаг на месте, жёлтый — приготовляются. Так проходит физкультминутка.

После этого берут тетради, зарисовывают светофор.

Продолжают измерение метром. Отмеряют тесёмку, ленту. Учительница показывает резинку для белья, отмеряет метр. Потом отмеряет три метра резинки.

Рис. 12.

Знакомство с треугольником. Дети строят из спичек треугольник, устанавливают, что у него три угла и три стороны. Чертят бордюр из треугольников и контуры предметов в трёх клеточках (рис. 12).

Изучение числа 4

После проверки домашних работ и повторения всего пройденного задаётся загадка: «Мать с дочерью, да мать с дочерью, да бабушка со внучкой съели три яйца и каждой досталось по целому яйцу, как это было?»

Дети не могут отгадать загадку и поэтому ставится драматизация загадки. Подбираются подходящие по росту дети, предполагая, что выше всех —бабушка — пониже — мать, а маленькая—дочка. При этом выясняется, что бабушка, она же и мать, а дочка — она же и мать, и, к удивлению детей, все получают по одному яйцу.

Переходят к измерению воды. Ставят 4 стакана с водой. Выливают в банку сначала каждый стакан по очереди, проводят такие же упражнения, как и с тремя стаканами, и устанавливают, что всего налили четыре стакана.

Потом проделывают процесс наливания четырёх стаканов воды одним стаканом и проводят те же объяснения, что и раньше. Дети убеждаются, что оба процесса приводят к одному результату. Потом, по воображению, повторяют процессы переливания молока, кваса, сока в пределах четырёх стаканов.

Переходят к измерению метром. Сначала отмеряют четыре метра верёвки, а потом отмеряют красную ленту: по одному метру и по два.

Рис. 13.

Продолжают работу с моделями монет. Заменяют две монеты по копейке одной двухкопеечной, заменяют три копеечные монеты одной трёхкопеечной и приходят к выводу и усвоению таких соотношений (рис. 13).

Рассматриваем картину в букваре: дикие и домашние животные. Считаем ноги, устанавливаем: пару передних, пару задних. Переходим к счёту колёс у легкового автомобиля, у телеги, крыльев у мельницы, четырёх углов в комнате, в доме и т. д. Заучиваем загадку для развития речи: «Бегут по улице четыре брата: два — побольше, два — поменьше. Как большие ни торопятся, за меньшими не угонятся». Теперь переходим к знакомству с квадратом. Строим квадрат из четырёх спичек, устанавливаем, что в нём четыре стороны, четыре угла. Начинаем чертить числовые фигуры из квадратов.

Числовые фигуры помогают детям воспринимать число и воспроизводить числа в своём воображении. Ознаком-

ление с фигурами должно производиться в последовательности и системе, чтобы каждая последующая фигура вытекала из предыдущей (рис. 14).

Фигуры лучше вычерчивать из квадратов, ибо это создаёт в рисунке симметрию и правильность, и самим детям фигуры нравятся больше, чем фигуры, построенные из точек или кружков, которые имеют неряшливый вид вследствие разнообразия величины и формы. При черчении числовых фигур разноцветными карандашами нужно соблюдать такое правило: прибавленные квадратики рисуются другим цветом, а целая фигура, показывающая число,— одним цветом. Состав числа можно изобразить и тремя разными цветами, например: три пары в шести и три тройки в девяти должны быть изображены каждая пара и каждая тройка своим цветом.

Изучение числа 5

Ознакомление с числом 5 поведёт за собой ознакомление с литром, ибо 5 гранёных стаканов составляют литр. Подкрашивая воду в цвет молока, кваса, сока, можно решать практические задачи. Для примера возьмём такую задачу: «Мама купила литр молока». Дети осознают литр, ибо они только что его получили, когда налили в банку пятый стакан. Теперь мама начинает раздавать молоко, начинается обратный счёт: мама отливает пятый стакан и подаёт его бабушке, и он одновременно будет первым из тех, которые она будет подавать. Далее мама отливает

Рис. 14.

Рис. 15.

четвёртый стакан, подаёт его папе, это будет второй стакан, отливает третий стакан из литра, подаёт дочери, это будет третий стакан, отливает второй стакан, он же будет четвёртый стакан, и подаёт его сыну, отливает первый и берёт его себе, это будет пятый стакан. Таким образом, идут одновременно два встречных процесса — прибавление и отнимание.

Теперь дети могут зарисовать 5 стаканов и литровую банку. Каждый стакан изобразится прямоугольником, состоящим из двух клеточек, банка — прямоугольником высотой в 5 клеточек, шириной в 2 клеточки. Отмечаем вместимость банки, отделяя по две клеточки, лежащие горизонтально: всего получим 5 рядов, или 5 стаканов (рис. 15).

С помощью литра можно измерять вместимость посуды: кастрюли, чайника, бидона, кувшина.

Продолжая работу с монетами, дети знакомятся с новой монетой — пятачком, которая составляется из отдельных копеечных монет. Знакомство с числами как целыми поможет детям от пересчитывания перейти к присчитыванию. Раньше пальцевой счёт мешал им и рука не давала понятия о целом пятке, дети считали пальцы, начиная с одного.

Работа с монетами уже проходит в известной системе. На первой строчке чертят 5 копеечных монет, далее вводят одну монету высшей ценности, обводят двухкопеечную монету и три копеечные, на новой строчке вводят две двухкопеечные монеты и одну копеечную. На новой строчке обводят трёхкопеечную монету и две копеечные. На последней строчке одну трёхкопеечную и одну двухкопеечную (см., например, рис. 16).

Теперь диапазон понятий об окружающем расширяется: знакомство с новыми числами и их составом, купля, продажа игрушек, письменных принадлежностей, всё это приближает детей к решению задач.

Игра в магазин, покупка и продажа перьев, карандашей, ручек поможет детям усвоению слов и понятий: продавец, покупатель, кассир, купил, продал, кассир дал сдачи, покупатель получил сдачи.

Когда дети ознакомились с кружком, треугольником и квадратом, они могут с помощью старших сделать себе перочистки. Вырезывая из лоскутков по трафарету квадратики, кружки, треугольники, складывая их в пачку, они прошивают их иглой и скрепляют в середине пуговкой. Таким образом, получают навык владения ножницами, иглой и научаются пришивать пуговицы.

Знакомство с мерами веса

Знакомство с килограммом проводится в классе показом учителем гирь и весов. Но это только применение наглядности, т. е. смотрения, видения. Чтобы дети ознакомились с процессами взвешивания, поупражнялись в ре-

Рис. 16.

шении вытекающих отсюда задач, нужны практические работы. Такие работы можно поставить как продолжение игры в магазин. Для этого каждый учащийся сделает себе из спичечных или каких-нибудь равных одинаковых коробочек весы с коромыслом (рис. 17).

Соберёт медные монеты, которые будут служить ему гирями, ибо 1 копейка весит 1 г; 2 копейки — 2 г; 3 ко-копейки — 3 г; 5 копеек — 5 г. Предметами для взвешивания будут конфеты, печенья, продукты в количестве чайной ложки: горох, чай, крупа, сахарный песок, мука. Эта игра помогает детям осознать некоторые понятия: чашки весов, коромысло, не хватает, недостаёт, излишек, недостаток, легче, тяжелее.

Обращение с гирями будет упражнять и утончать мускульное чувство, потребует соображения и смекалки, хорошего быстрого счёта. От продавца потребуется умение отвесить 10 г песку, 10 г соли и т. д. Практиковать такие игры во внеурочное время — это значит не словами, а делом показать детям, как необходимо знание арифметики в жизни. Занятия арифметикой становятся интересными, занимательными и желанными. Такую игру дети могут продолжать и дома, записывать результаты, чтобы рассказать в классе, что взвешивали, что получали, какие гири клали на весы.

Рис. 17.

Изучение чисел второго пятка

Изучение чисел второго пятка проходит значительно легче. Измеряя воду, дети видят литр и считают его за 5 стаканов, и в другой литр наливают сразу шестой стакан, не пересчитывая с первого. Считая монеты, к пятачку прибавляют шестую копейку. Таким образом они гораздо раньше минуют этап пересчитывания и приходят к присчитыванию. Когда дети хорошо усвоят измерение воды, знакомство с литром, с метром, с монетами, их можно ознакомить с весами и взвешиванием. Дети взве-

шивают ручку, которая весит 6 г, конфетка «золотой ключик» весит 7 г, кусок сахара —8 г и т. д. Для запечатления числа 6 можно использовать страницы 50, 53 и 80 в букваре, там дети пересчитывают ноги у насекомых. Могут выучить загадку: «Чёрен, да не ворон, рогат, да не бык, 6 ног без копыт».

Число 7 можно, кроме разных измерений и взвешиваний, осознать изучением дней недели. Дети называют: понедельник, кладут на парту первую спичку, потом называют вторник, кладут вторую спичку, называют среду, кладут ещё одну спичку, называют четверг, кладут четвёртую спичку, пятницу — пятую спичку, субботу — шестую спичку, воскресенье — седьмую спичку. Теперь дети ассоциируют — вторник и вторая спичка, четверг — четвёртая, пятница — пятая, средняя спичка — среда; потом вразбивку называют дни недели, указывая порядок каждого дня в неделе. Одновременно заучивают слова: вчера, завтра, послезавтра, позавчера. Выясняют такое выражение: в среду Катя говорила, что она третьего дня получила «отлично». Спрашивают: когда, в какой день она получила «отлично»? В пятницу Коля сказал, что он послезавтра пойдёт в кино. Когда Коля пойдёт в кино?

Число 8 могут драматизировать загадкой: «У семи братьев по одной сестрице, сколько всех?» Драматизация проводится так: 7 братьев встают в круг, в середине ходит сестра, каждому брату кланяется и говорит, что она ему сестра. Вывод, что она всем братьям сестра.

Число 9 запечатляется тремя тройками: три трёхкопеечные монеты.

Число 10. Знакомство детей с новой монетой — гривенником. В обиходе дети видят 10 пуговиц, пришитых к бумажке, 10 пальцев на руках и ногах и т. д. Для развлечения — загадка шуточная: «10 мальчиков разошлись в тёмные чуланчики — каждый мальчик в свой чуланчик» (рис. 18).

Изучают каждое число теми же приёмами.

Во время прохождения чисел второго пятка можно знакомить детей с печатными цифрами, но только зрительно и обязательно в связи с числовыми фигурами, и учить распознавать цифры.

Рис. 18.

Когда дети усвоят прямой и обратный счёт с пособиями и без них и, главное, без помощи пальцев, когда они усвоят значение цифры и количества, ей соответствующего, нужно обязательно провести контрольную работу и организовать её по-настоящему, серьёзно и ответственно, чтобы убедиться в действительном, абсолютном усвоении соответствия цифры и количества. Практика показала, что, несмотря на тщательное ответственное обучение со стороны учительницы, есть всё-таки дети, которые путают цифры. Иногда обнаруживается это в конце года, на контрольных работах. Ученик пишет: 9 взять 2 раза равно 12, а 6 взять 2 раза равно 18. Неопытные учителя не вдумываются в причину ошибки, тогда как источником является не неумение считать, а укоренившееся смешение контура цифр 6 и 9.

Контрольные работы нужно организовать так: объяснить детям, что значит два варианта, кто будет левый и кто будет правый. Раздать детям листочки с надписью фамилии. Левым давать одну работу, правым — другую. На левой стороне, предположим, можно поставить цифру 3. Дети, глядя на цифру, должны в тетрадях написать соответственную числовую фигуру или соответственное количество заданных значков — чёрточек, крестиков и т. д. Итак, каждая сторона должна показать знание цифр, т. е. у каждого варианта должно быть 10 заданий. На другой день другая контрольная работа: учитель для каждого варианта чертит на доске по нескольку разных значков. Дети должны либо показать цифру, соответствующую количеству значков, либо начертить в тетради поставленное на доске количество значков и покрыть разрезной цифрой. Таким образом дети покажут знание количества и соответствующей ему цифры и, наоборот, знание цифры и относящегося к ней количества. Практика многих лет показала, что в этих контрольных бывает от 3 до 8 ошибок на класс.

С детьми, допустившими ошибки, необходимо провести ещё занятие и ещё раз их проверить.

Только теперь, когда усвоили минимум знаний по изучению чисел, усвоили соответствие цифры и количества, можно переходить к письму цифр в порядке трудности их начертания: 1; 4; 7; 0; 6; 9; 3; 5; 8; 2. Чтобы занятия письмом цифр не имели характера механических упражнений, а носили какую-то целеустремлённость, в этот период можно предлагать выяснять детям прибавление и отнимание по единице и знакомство со знаками плюс, минус

и знаком равенства, ибо понятия «прибавить» и «отнять» дети уже усвоили в процессе изучения чисел.

Учитель показывает приёмы письма, делает несколько задач на прибавление по единице и предлагает написать следующую строчку:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+1

и сосчитать, сколько получится.

Вторая по трудности написания будет цифра 4. Дети уже получают навык работы и сами догадываются, как составить число 4 из единиц.

Далее дети учатся писать следующую по трудности цифру 7 и проводят таким же способом упражнение в прибавлении 7 единиц.

Такими же приёмами дети упражняются в письме цифр в следующем порядке: 0;6;9;3;5;8;2. Письмо цифры 2 приходится приблизительно на 25-й или 26-й день пребывания ученика в школе. И письмо этой цифры даётся, конечно, не с таким трудом и не с такой затратой времени, как письмо этой цифры на третий или четвёртый день пребывания ребёнка в школе.

Решение задач в пределе первого десятка

На этой ступени обучения задачи должны своим содержанием и методикой их подачи удовлетворять следующим требованиям: 1) задача должна научить ученика осознать значение действия и учить выбору действия в каждом случае; 2) задача должна конкретизировать числа, «одевая их в яркие, нарядные платья», по словам Ушинского; 3) задача должна заинтересовать ребёнка; 4) задача должна оказывать воспитывающее влияние; 5) задача должна вызывать ребёнка на творчество по придумыванию задач.

Дети любят маленьких животных, поэтому задачи должны содержать какие-нибудь события или приключения с ними, например: ястреб или ворона унесла цыплёнка (сколько было? сколько осталось?).

Задачи должны воспитывать любовь к родине, эта любовь в таком возрасте должна начинаться с близкого, с маленького — любовь к своему району, селу, к колхозу.

«На нашей улице было 3 новых дома, а теперь 8. Сколько новых домов построили?»

«У нас в деревне было 9 домов, крытых железом, теперь покрыли ещё три. Сколько стало домов с железной крышей?»

Задачи должны воспитывать в детях внимание и уважение к чужому труду и развивать желание трудиться самим.

«У нас в классе организуется библиотечка. Коля принёс 2 книги, Миша 3, Сеня 1. Сколько всего книг они принесли?»

Как подать задачу, чтобы она учила осознанию значения действия? Нужно показывать процессы действия, потом их обобщать. Для этого можно использовать рисование на доске.

Можно применять следующий приём. По трафарету дети вырезают из папиросной бумаги вагоны, автомобили, парашюты, животных, плоды, фрукты. Всё это укладывается на учительском столе, тут же ставится блюдечко с водой. При чтении или рассказе задачи эти бумажные фигурки обмакиваются в воду и быстро прикладываются к доске. После решения задачи, по мере высыхания, они спадают в желобок у доски и остаются годными для следующего раза.

Учитель читает задачу. «Плавало 8 утят». Ученик быстро прикладывает на доску 8 утят, а дети пересчитывают и следят за процессом. «Вдруг приплывает щука (приближается на доске щука), схватывает утёнка» и т. д. После решения задачи фигурки снимаются и ведётся запись по памяти и воображению.

Но это не значит, что каждая задача должна решаться таким способом, ибо это могло бы повлиять на снижение отвлечённого мышления. Этот способ должен употребляться как демонстрационный и по этому образцу затем должны решаться задачи без наглядности, по воображению.

Как задавать задачи на дом, если дети не умеют читать ? Если дети в классе научились конкретизировать условие задачи, то они и дома заданные цифровые столбики могут облекать «в нарядные и яркие платья». Дети сами должны, по своей инициативе, изображать числа и действия соответствующим количеством предметов: 3 + 4. Один рисует 3 пуговицы и 4 пуговицы, под ними подписывается цифрами: 3 + 4 = 7. Другой этот столбик иллюстрирует яблоками, третий морковками и т. д.

От 6 отнять 2. Один рисует 6 грибов, из которых 2 уже сорваны, другой рисует 6 шаров, из них 2 улетают. Так у

каждого ученика образуется домашний «мои задачник», состоящий только из иллюстраций своего творчества. В количестве рисунков, выполняемых дома, стеснять детей не нужно, но минимум для исполнения должен быть обязателен: каждый день ученик должен иллюстрировать не меньше двух задач.

Таким образом, домашние работы потребуют от детей работы воображения, инициативы и не будут состоять только из решения столбиков.

Практические работы при изучении чисел второго десятка

Ошибки в контрольных работах свидетельствуют о том, что дети за год не вполне осознают числа второго десятка и путают их с круглыми десятками, названия которых сходно звучат. Встречаются такие ошибки: 50 + 40 = 19; 50 + 30 = 18; 6 X 3 = 80 и т. д. Чтобы предупредить возникновение подобных ошибок, следует выполнить несколько практических работ.

Первая работа выполняется под руководством учителя и состоит в выкладывании и рисовании брусков из десяти кубиков (клеток) и накладывании на них последовательно одного — двух — трёх кубиков (клеток), пока не получится два бруска, т. е. 20 кубиков (клеток). Сопровождая каждую работу записью числа, дети осознают образование числа: три-на-десять — 13, пять-на-десять — 15, восемь-на-десять — 18 (рис. 19).

Рис. 19.

Вторая работа — домашняя — будет состоять в составлении чисел из монет обрисовыванием их на строчках; с левой стороны гривенника, а с правой — копеек; и так из гривенника и отдельных копеек должны быть составлены все числа последовательно от 11 до 20 включительно.

Третья работа будет похожа на вторую, но только с некоторым отходом от конкретной наглядности.

Дети должны составить все числа второго десятка, комбинируя разными способами модели монет разной ценности, добавляя их к гривеннику.

Обратить особое внимание на состав слова двадцать или два-десять и слов двенадцать, тринадцать и т. д.

Во всех этих работах, требующих навыка обводить квадраты, монеты, ставится цель дать детям возможность получить восприятие не только зрением, но и через мускульный аппарат. Все эти работы требуют, конечно, от учителя разумной дозировки при ежедневных домашних заданиях, чтобы не утомлять детей, а, наоборот, возбуждать интерес и развивать навыки счёта.

После ознакомления детей с монетами следует ознакомить их с бумажными денежными знаками и, показывая настоящие бумажные деньги (рубль, трёхрублёвый, пятирублёвый и десятирублёвый билеты), проделать на наборном полотне составление всех чисел до 20.

Составление чисел второго десятка из бумажно-денежных знаков должно закончиться записью такого рода:

11 = 10 + 1; 12 = 10 + 1 + 1; 13 = 10 + 3; 14 = = 10 + 3 + 1 ; 15=10 + 3 + 1 + 1 и т. д.

Предложить детям дома сделать из бумаги «денежные знаки», отрезая куски бумаги соответствующего цвета и величины: 1 рубль из жёлтой бумаги, 3 рубля — из зелёной, 5 — из голубой, 10 — из серо-розовой. На каждой бумажке написать только цифру, соответствующую стоимости, и дома проделать составление чисел второго десятка при помощи бумажных денежных знаков.

Наличие бумажных денежных знаков даст возможность детям устроить игру в магазин с более широким ассортиментом товаров, которые будут состоять из разных игрушек и предметов кукольной одежды.

Далее можно перейти к практическим работам с мерами длины. В коридоре, на дворе, на участке отмерять метром расстояние, равное 10 м, 12 м,— до 20 м.

Можно устроить игру «Угадай-ка»: дети бросают камешки, черепки и угадывают расстояние броска, а затем проверяют измерением. Эта игра развивает глазомер.

Научившись владеть метром, дети могут решать задачи (в пределе 20) с зарисовкой случаев применения метра, считая метр за клеточку, например: «Ученик вышел из дому, проходит тротуар, переходит на другую сторону

улицы, ширина тротуара 2 метра, ширина мостовой 15 метров, и другой тротуар такой же ширины, как и первый». Весь этот путь дети зачерчивают по клеточкам в тетрадях. Так постепенно у детей накапливаются пространственные представления. Эти задачи можно варьировать, сопровождая каждую задачу чертежом.

Сложение и вычитание с переходом через десяток

Изучение этого раздела потребует от детей самостоятельного приготовления нового пособия. Каждый вырежет 20 кружков, величиной с 15-копеечную монету: 10 кружков одного цвета и 10 кружков другого цвета; лучше сделать их из твёрдой бумаги; на листе бумаги сделать две неглубокие складочки, в которые уложить по 10 кружков (рис. 20).

Если нужно сложить 8 + 7, то в первую складочку закладывают 8 кружков, а во вторую — 7; остальные кружки снимают. К 8 добавляют 2, отнимая их от 7, и записывают:

1) 7 — 2 = 5; 2) 8 + 2 = 10; 3) 10+5 =15.

8 + 7= 15.

Работая самостоятельно с этим пособием, дети усваивают разложение второго слагаемого на два слагаемых: дополнение до 10 к первому слагаемому и остаток.

Этим пособием дети пользуются и при вычитании. Пусть надо от 14 отнять 7. В нижней складочке помещают 10 кружков, в верхней — 4 кружка. С верхней складочки снимают 4 кружка, а с нижней — 3.

Записывают:

1) 7 — 4 = 3; 2) 14 — 4 = 10; 3) 10 — 3 = 7.

В процессе изучения чисел второго десятка дети продолжают работу с монетами: изготовляют модели новых монет — 15 коп., 20 коп. и составляют из монет все числа второго десятка в различных комбинациях.

Рис. 20.

Для усвоения сумм и разностей чисел второго десятка дети сами себе приготовляют таблицы сложения и вычитания (рис. 21).

Рис. 21.

Таблица сложения

По заданию учителя дети приготовляют к определённому дню сетку для записи таблицы сложения. На странице клетчатой тетради, отступая от верхнего края на две клеточки, проводят горизонтальные линии через две клеточки. Потом, отступая на две клеточки от левого края, проводят стоячие, т. е. вертикальные, линии через две клеточки, и тогда получается сетка из крупных клеток, в которых помещается по четыре клеточки маленьких.

Первую клеточку слева нужно оставить пустую, пересечь её крестом. В левом столбце надо сверху вниз написать все числа первого десятка по порядку от 1 до 10 включительно.

В верхнем ряду, начиная со второй клетки, ибо первая зачёркнута, дети пишут в ряд числа первого десятка от 1 до 10.

После этого дети будут заполнять пустые клетки сверху вниз, прибавляя к каждому числу по единице; во втором слева столбце будут получаться числа от 1 до 11 ; в следующем — 2—12; далее 3—13; 4—14; 5—15; 6—16; 7—17; 8—18; 9—19; 10—20.

Когда сетка будет заполнена, дети должны проверить свою работу следующим способом: просчитать все горизонтальные ряды: 1—11; 2—12 и т. д. Затем надо просмотреть ряды цифр от левого края вкось по направлению вправо вверх; если нет ошибок, то в каждом ряду будут одинаковые цифры: 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3 и т. д.

Когда таблица будет проверена, можно по ней находить суммы: взять любое число из первого левого столбика и другое любое число из первого верхнего ряда и ответ найти при пересечении столбика и ряда, идущих от взятых чисел.

Надо легко затушевать светлыми цветами левый столбик и верхнюю строчку в знак того, что числа для сложения можно брать только из этих крайних столбиков. Середину закрыть тетрадкой и, не подглядывая, начинать складывать числа из левого столбика и числа из верхнего ряда и получить ответ. Потом поднять тетрадь и проверить себя, отыскать ответ на пересечении соответствующих столбика и строчки. Если ошибся, прибавлять по одному числу из верхней строчки, например:

9 + 1; 9 + 2; 9 + 3; 9+4; 9 + 5.

Работая честно, не подглядывая, проверяя себя по таблице, каждый учащийся может выучиться хорошо считать. По этой же таблице можно получить ответы и от вычитания.

Работать по ней нужно так: закрыть левый столбик; взять любое число из середины таблицы и отнимать число, стоящее в этом же столбике в верхнем ряду, а ответ можно найти в левом столбике. Например, от 14 отнять 8 — ответ надо искать по той строчке, где стоит 14, в левом столбике.

Упражняться в вычитании нужно так: взять число, отнять от него верхнее число, получить ответ, опять взять это же число в другом месте таблицы. Например,

14 — 9; 14 — 6; 14 — 8; 14 — 5; 13 — 3; 13 — 5; 13 — 8; 13 — 9 и т. д.

Если читать по таблице слева направо вниз, по косым линиям, то будут получаться результаты прибавления по два, а именно: 2; 4; 6; 8;...; 14; 16; 18; 20. Другой ряд: 3; 5; 7;...; 15; 17; 19.

Если читать через клеточку по тем же линиям, то получим результаты прибавления по 4: 2; 6; 10 и т. д.

Если читать по столбикам сверху вниз через одну клеточку, то можно проверять прибавление двух; если читать числа через две клеточки, то будут получаться результаты прибавления трёх, а именно: 2; 5; 8 и т. д.

Читая по вертикальным столбикам снизу вверх, получаем результаты вычитания по 2, по 3. Например, 7-й столбик через одну клеточку: 16; 14; 12;...; 10-й столбик читаем через две клеточки: 19; 16; 13...

Читая по строчкам справа налево, можно находить результаты вычитания по 1, по 2, по 3.

Эта таблица даёт детям возможность упражняться в счёте под руководством учителя и при разнообразных заданиях на дом.

Учителя недооценивают работу с таблицей, забывая, что это средство самоконтроля для детей.

Увеличение и уменьшение на несколько единиц

Увеличение и уменьшение чисел и величин на несколько единиц дети усваивают, проделывая те же измерения объёма, длины, веса.

Предлагается детям отмерить верёвку в 2 м длиной, а другую — на 2 м длиннее. Дети осознают практически — чтобы отмерить другую верёвку, нужно отмерить сначала такую же, как первая, да ещё прибавить 2 м. Можно и первую верёвку сделать длиннее, прибавив к ней 2 м, т. е. увеличить её на 2 м. Таким же образом измерениями мы выясняем понятия: выше, шире, глубже.

Закрепляем эти понятия рисованием. Рисуем домик и рядом ёлочку — в четыре клеточки высотой, условившись считать клеточку за метр.

«Домик стоит, а ёлочка растёт, и выросла на 2 м выше домика. Какой высоты теперь ёлочка?»

«Дом был высотой 4 этажа, а теперь надстроили ещё 2 этажа. Какой высоты стал дом? На сколько увеличилась высота дома?»

Особенно необходимо черчение и зарисовка условий пространственных задач, когда в ней два сложения: одно на увеличение на несколько единиц, а другое на нахождение суммы. В таких задачах дети всегда делают ошибки.

Задача. Миша, Катя и папа копали гряды. Миша вскопал гряду в 5 м, Катя на 2 м больше, а папа вскопал столько, сколько вскопали дети вместе. Какой длины гряду вскопал папа?

Изображаем линией гряду Миши, проводим линию в 5 клеток.

Проводим другую линию — гряду Кати, на 2 м больше, т. е. на 2 клеточки длиннее.

Изображаем гряду папы: сначала гряду Миши, потом гряду Кати.

Для развития мышления нужно варьировать задачи.

Первая задача. Ширина тротуара 3 м, а мостовая шире тротуара на 11 м. Какова ширина улицы?

Вторая задача. Ширина улицы 20 м. Каждый из двух тротуаров по 4 м. Что можно узнать?

Понятия «дороже» и «дешевле» нужно выяснить показом бумажных денег и монет, назначая цену разных предметов, и добиваться при этом осознания слов : «дороже»— больше денег, а «дешевле»— меньше денег, обратив особое внимание на возможное несоответствие количества монет и копеек: много монет — мало копеек, мало монет — но копеек много.

Умножение в пределе 20

В I классе умножение объясняется на основе нахождения суммы одинаковых слагаемых. Поэтому учитель подчёркивает повторность процесса, например, несколько раз наливали по 1 стакану, несколько раз платили по 3 копейки и т. д. Эта повторность проявляется особенно чётко и ясно при проведении практических работ. Покажем это на описании хода урока.

До начала занятий учительница объявляет дежурному, что в перемену не нужно поливать цветы, ибо поливать они

будут во время урока арифметики. Дети недоумённо приняли новое приказание и с интересом ждали какой-то особенной поливки цветов во время урока. Когда урок арифметики начался, учительница проверила домашнее задание, повторила пройденное и перешла к объяснению нового материала.

Учительница ставит ведро с водой, и дежурная начинает поливать сначала маленькие горшки с цветами и в каждый наливать по одному стакану.

Дежурная стала черпать воду из ведра стаканом, а дети считали, сколько раз она черпала.

Одна ученица на доске записывала. Первый раз взяли один стакан — она написала 1, взяли ещё один стакан, она написала ещё 1, потом дежурная черпала третий, четвёртый, пятый, шестой, седьмой, восьмой и на доске выявилась запись:

1 + 1+1 + 1 + 1 + 1+1 + 1 =

Учительница объяснила, что на доске записано, сколько раз дежурная черпала воду стаканом (8 раз), сколько стаканов выливала каждый раз на цветы (1 стакан); можно сосчитать, сколько всего стаканов она вылила. Но эту запись можно написать короче: 1X8 — по 1 взять 8 раз. Теперь будем поливать большие цветы и в каждый горшок будем наливать по 2 стакана воды. Дежурная выливала в каждый горшок по 2 стакана, а девочка записывала на доске: 2+2 + 2 + 2+ 2. Дети подсчитали, что всего вылито 10 стаканов. Учительница наводящими вопросами подвела их к новой записи: 2x5, получилось 10 стаканов. После этого начали решать задачи без применения наглядности: «У Кати на грядке 9 кустиков клубники. Катя на каждый кустик вылила один стакан». Дети объяснили и записали решение: 1 X 9.

«Папа поливал кусты смородины. Под каждый куст вылил 2 литра. Сколько воды вылил папа, если у него 5 кустов смородины?» Дети решили и записали: по 2 л взять 5 раз, получится 10 л.

Для осознания умножения и усвоения результатов нужно проводить работу и с монетами.

Игра в куплю и продажу и операции с денежными знаками устранят постоянное затруднение детей в осознании множимого и множителя. Решая задачи при помощи моделей монет: «купили 3 карандаша по 5 коп., сколько запла-

тили за карандаши?» и «купили 5 перьев по 3 коп., сколько за них заплатили»?—дети соответствующим образом положат модели монет (рис. 22).

Расположение монет им подскажет, как записать решение:

5 коп. X 3 = 15 коп.; 3 коп. X 5 = 15 коп.

Упражняясь в решении задач на монетах и дома, дети добьются полного понимания разницы между этими записями и поймут, как ставить наименование при умножении, выучатся различать множитель и множимое.

Рис. 22.

Практические работы при знакомстве детей с действиями над круглыми десятками и с числами первой сотни

Дети уже знают, что десяток есть сложная единица. Теперь нужно научить их считать десятками до 100 и показать им, что действия с круглыми десятками производятся таким же способом, как и с простыми единицами.

Дети набирают кубики десятками, заменяют каждый десяток бруском и считают бруски-десятки, как простые единицы. Зарисовывая бруски из десяти клеточек, они составляют все числа в пределе 100, состоящие из круглых десятков: 20; 30; 90; 100, считая пока такими словами:

«два десятка, три десятка, четыре десятка» и т. д. Чтобы укрепить и расширить знакомство с круглыми десятками, можно дать работу — составить также из гривенников все числа, состоящие из круглых десятков в пределе 100.

Имея в виду, что дети путают числа второго десятка и круглые десятки, названия которых сходно звучат (тринадцать — тридцать, восемнадцать — восемьдесят), нужно обязательно провести такую работу, чтобы дети составляли одновременно двенадцать и двадцать, пятнадцать и пятьдесят, шестнадцать и шестьдесят, семнадцать и семьдесят и т. д., повторяя это сопоставление и на брусках, и на моделях монет, и на денежных знаках. Так, например, число восемнадцать они должны составить из бруска и восьми кубиков, из гривенника, пятачка и трёхкопеечной монеты, из бумажных денежных знаков и параллельно сопоставить с числом восемьдесят, составленным тоже из брусков, из монет и из бумажных денег. Такой длительной, упорной практической работой мы ликвидируем подобные ошибки.

Практической работой для выяснения состава сотни из единиц будет деление метра на сантиметры. Эту работу, конечно, нужно дозировать и задавать детям делить на сантиметры по одному или по два дециметра на вечер. После этого дети должны уметь показать в метре любое число сантиметров.

При изучении чисел первой сотни необходимо обратить особое внимание на детские ошибки в операциях с числами, записанными одинаковыми цифрами: 37 и 73, 34 и 43, 39 и 93, 68 и 86 и т. д. Необходима новая практическая работа, для проведения которой нужно использовать таблицу в задачнике Никитина и др., изд. 1952 г., стр. 115. Рассматривая с детьми эту таблицу, предложить им отыскивать числа, написанные одними и теми же цифрами, сравнить числа, стоящие во второй строчке, с числами, стоящими в первом столбике, и составить те и другие из брусков и кубиков, из моделей монет разной ценности; указать на метре соответствующие числа сантиметров и разобрать десятичный состав этих чисел, например: 12 и 21, 17 и 71. Нужно предлагать самим детям находить такие числа и определять их количественную сущность и разницу: 25 коп. и 52 коп., 37 см и 73 см, 58 руб. и 85 руб., 19 руб. и 91 руб.

Чтобы дети поняли большую количественную разницу между этими числами, уяснили себе понятие о поместном значении цифры и получили конкретное понятие о количе-

ственной сущности этих чисел, можно проводить занятия и игры такого характера: отмерить шагами или метрами два расстояния, выраженные числами с одинаковыми цифрами; тогда они чувственным опытом поймут разницу.

Практические работы должны продолжаться и летом в лагерях, на площадках. Нужно направить внимание детей на то, что всё подлежит учёту — вода, вылитая на грядку, измеряется литрами и вёдрами; гряда прополотая, дорожка вычищенная измеряются метрами. Приучить детей рационализировать работу и выполнять полезную работу, необходимую и для коллектива, в котором они будут находиться, и для себя.

Дети должны выполнять работу толково, со счётом и измерением: при чистке дорожек отмерять каждому задание по нескольку метров; при поливке гряд — принести воды по нескольку литров. Для будущего учебного года каждый должен заготовить солому или палочки, нарезанные десятками и сотнями в пределе 1000.

Все занятия и работы, которые возможны в обстановке природы, перечислить трудно, ибо они зависят от окружающих условий, но учитель должен направить внимание детей в сторону применения их знаний арифметики в практической жизни, доказать пользу и необходимость таких работ, чтобы дети сами проявляли в этом инициативу и делали это охотно, серьёзно и ответственно.

Какие пособия необходимы в классе? В классе должна быть касса моделей монет: гривенников, двугривенных.

У учительницы должна быть особая касса моделей монет в сильно увеличенном виде. Учительница показывает два двугривенных, а дети показывают ей размен: четыре гривенника. Учительница кладёт на наборное полотно 6 гривенников, а дети ей показывают обратный обмен двугривенными.

При помощи моделей монет учитель объясняет все действия с круглыми десятками и конкретизирует задачи.

При помощи моделей монет дети определяют, какими монетами можно уплатить, например 31 коп., 65 коп., 1 рубль и т. п.

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АРИФМЕТИКЕ ВО II КЛАССЕ

Во II классе дети должны повторить числа, названия которых сходно звучат, что вызывает у детей ошибки при записи этих чисел.

Можно провести практическую работу на дворе или на пришкольном участке. Каждому учащемуся учитель даёт особое задание, а именно: отмерить два расстояния шагами, отметить на земле начало и конец измерения, например: отмерить 12 шагов, сделать пометку и мерить дальше по этой линии до 20 и опять поставить пометку. Написать эти числа цифрами в блокноте: 12 и 20. Сравнить место одной и той же цифры в записи этих чисел и объяснить её значение в одном и в другом случае. Другим учащимся дать такие же задания, но с другими числами, например 13 и 30.

Таким же приёмом провести работу над числами, написанными одними и теми же цифрами, например 12 и 21, 13 и 31. Это измерение шагами даст детям возможность личным опытом убедиться, что значит значение цифр в записи чисел. На уроке можно одновременно вызвать несколько учеников и дать задания: изобразить числа 47 и 74, одному при помощи брусков и кубиков, другому — при помощи моделей монет, третьему — бумажных денег, четвёртому — отложить на счётах, пятому — написать на доске. В это же время весь класс работает над этими числами, используя счётные палочки и модели монет. Эта работа поможет детям ощутить количественную сущность числа, повторить десятичный состав чисел в пределе 100.

Дома дети должны выполнить такое задание: выписать все пары чисел в пределе 100, написанные одними и теми же цифрами. Эта работа приучит детей проверять и разбирать

состав числа и отучит их от безответственного отношения к записи чисел, какое у них было, когда они допускали в контрольных работах такие ошибки, как: 6 взять 3 раза = = 80, а 50 да 40 = 19.

Практические работы при изучении увеличения и уменьшения числа в несколько раз, разностного и кратного сравнения чисел

Во II классе учащиеся должны продолжать измерительные работы, усложнять и расширять их. Измерения дети производят дециметрами и сантиметрами и предметы для измерения берут соответствующие единицам измерения : например, измеряют длину и ширину тетради, книги, ширину парты и скамьи. Учатся измерять длину рубашки, платья, шубы, пальто от плеча; длину юбки и брюк от пояса; измерять окружность шеи и головы и используют эти величины при покупке рубашки, шапки. Дети измеряют длину полотенца, простыни и применяют полученные данные для составления собственных задач по заданию учителя.

В первом полугодии II классу необходимо повторить увеличение и уменьшение чисел на несколько единиц, пройденные в I классе. Вновь надо проделать практические работы по темам: «Увеличение и уменьшение в несколько раз», «Разностное сравнение и кратное сравнение чисел».

Для проведения практических работ по этим темам учитель заготовляет дидактический материал для каждого ученика с таким расчётом, чтобы этот материал обслужил все темы. У каждого ученика от прошлого года должен сохраниться метр, который в этом году будет детьми разделён на дециметры и сантиметры.

Полоски бумаги нужно нарезать так, чтобы они годились и для разностного сравнения и для кратного. Для примера — одна полоска длиной в 60 см, другая в 20 см, первая полоска на 40 см длиннее и в 3 раза длиннее второй; первая будет 8 см шириной, а вторая 2 см, следовательно, первая будет на 6 см шире и в 4 раза шире и т. д. Для сравнения цены взять чашку ценой 3 руб. и чайник ценой 15 руб., эти числа опять найдут также двойное применение: чайник дороже чашки на 12 руб. и в 5 раз дороже чашки.

Если, заготовляя материал, предусмотреть возможности его использования для разных тем и аккуратно хранить его, то для учителя проведение практических занятий по этим

темам не составит большого труда. Дома дети повторяют и закрепляют изученное в классе черчением линий и рисунками.

Проделывая практически сравнение величин разностно и кратно, дети значительно увеличивают свой запас слов: они должны осознать, что «сравнивать» и «сравнять» не одно и то же, что Колю и Мишу можно сравнивать по росту, но сравнять их по росту нельзя. Сравнивая, они учатся находить разницу сначала конкретно, потом предметно-количественно и, наконец, делают вывод, что для нахождения разницы достаточно знать числа, показывающие размер величин.

После того как учащиеся научатся делать выводы, что они находили разность чисел, выражающих длину, ширину, высоту, глубину, рост, возраст, время, цену, и указывали действия, какими находится эта разность, они осознают смысл названия вида задач «разностное сравнение».

Сравнивая кратно величины и сопоставляя слова, которые они слышат в речи — трёхразовое, трёхкратное, они догадываются, что слова «крат» и «раз» равнозначащие, и осознают термин «кратное сравнение».

Итак, дети обогащают свой словарь не механически заученными словами, но сознательно усвоенными.

Большую помощь окажут детям практические работы в осознании различия увеличения чисел и величин н а несколько единиц и в несколько раз. Пусть ученики решают задачи:

«Два мальчика расчищали дорожки. Один мальчик расчистил 5 м, а другой — на 3 м длиннее. Какой длины дорожку расчистил второй мальчик?»

Юдин мальчик расчистил дорожку в 5 м, а другой — в 3 раза длиннее. Какой длины дорожку расчистил другой мальчик?»

Только представив себе графически обе работы, дети осознают громадную разницу в результатах (рис. 23).

Рис. 23.

Те же приёмы нужно применять и для осознания различия уменьшения на несколько единиц и в несколько раз.

Для проверки ясности представлений у детей об увеличении и уменьшении величин нужно дать им контрольную работу, в которой дети отобразят чертежом увеличение и уменьшение на несколько единиц и в несколько раз чисел, обозначающих длину, ширину, глубину, высоту, и запишут действия, которыми они производили увеличение и уменьшение.

На дом нужно давать задание начертить две линии, из которых одна длиннее (короче) другой, нарисовать два предмета: шкаф и табуретку, шарф и полотенце, платье, кофту и т. д., и сравнить их по длине, ширине.

Дома дети придумывают задачи с новыми словами так, чтобы новые слова подходили точно к тем величинам и предметам, о которых идёт речь в задаче, а именно: «мост шире», «дорога длиннее», «лента уже», а не «меньше» и «больше», как часто говорят дети.

Практические работы, помогающие усвоению таблицы умножения и деления в пределе 100

Приступая к изучению с детьми таблицы умножения и деления, учитель должен прежде всего отрешиться от мысли, что она может быть усвоена детьми памятью, ибо это усвоение очень ненадёжно: стоит ученику забыть какой-нибудь результат, он становится беспомощным, поэтому нужно сообщить ученику все возможные способы нахождения результатов, мобилизуя его смекалку, находчивость и изобретательность, чтобы он всегда мог тем или иным способом выручить себя из затруднения.

При изучении таблицы умножения в I классе в пределе 20 мы применяли прямую наглядность, считали парами, тройками, пятками предметы, монеты в 2 копейки, в 3 копейки, в 5 копеек и 10 копеек. Эту наглядность можно применять и во II классе при изучении таблицы 2, 3 и 5, и тогда работа детей представится в таком виде, как показано на рисунке 24.

После этого конкретного счёта дети считают отвлечённо парами, тройками, пятками, но для усвоения таблицы умножения 6, 7, 8 и 9 конкретных предметов нет и группы такого количества глазом не охватываются, считать отвлечённо

затруднительно; поэтому нужно прийти детям на помощь, научив их понимать способы образования результатов, причём образование этих результатов изображается графически

Рис. 24.

Таблица умножения и деления на 2

Учитель рисует на доске схематически расположение данных и результата (рис. 25), ведёт объяснение, сопровождая его записью:

2+2=4.

Два взять два раза будет четыре: 2X2=4.

В четырёх два содержится два раза. 4:2=2.

Четыре мы разделили на две равные части, в каждой части получилось 2:

4:2=2.

Учитель дополняет первоначальную схему (рис. 26). Продолжает объяснения :

2 + 2+ 2 + 2=8.

Рис. 25.

Два взять четыре раза будет восемь:

2X4=8. Четыре взять два раза будет восемь:

4X2=8.

В восьми 4 содержится 2 раза: 8:4=2.

В восьми 2 содержится четыре раза, потому что от восьми отнимали по два четыре раза:

8:2=4.

Здесь нужно обратить внимание детей на последовательное вычитание, при каждом вычитании получать промежуточные результаты и заставить считать, сколько раз отнимаем по два, значит, столько двоек и содержится в 8.

Затем разобрать чертёж, читая снизу вверх; указать детям на две чёрточки, которые показывают деление на равные части:

8 : 2 = 4; 8 : 4 = 2.

Деление можно иллюстрировать и делением линий. Проводят линию, делят на две равные части, находят половину. Каждую половину делят ещё на две части. Теперь считают, на сколько частей разделили.

Учитель рисует схему дальше (рис. 27).

Далее идёт объяснение умножения и деления, например: «в 8 содержалось 4 двойки, в другой восьмёрке ещё 4 двойки, итого 8 двоек в 16».

На первый день этого материала достаточно. Теперь его нужно закрепить простыми задачами на умножение и деление: «Купили 8 перьев по 2 копейки. Что можно узнать?» «8 яблок разделили 4 детям». «16 орехов с ёлки дали по 2 ореха каждому ребёнку. Сколько детей?»

На второй день изучаются случаи умножения: 2x3, 2 X 6, 2 X 9.

Рис. 26.

Рис. 27.

Рис. 28.

Учитель рисует (рис. 28). Дети записывают по очереди на доске, как писали прошлый раз: 2+2+2=6. 2X3 = 6.

6:2 = 3 — деление по содержанию. 6:3 = 2 — 6 делим на 3 равные части.

Учитель рисует дальше (рис. 29), дети записывают;

2 + 2 +2 +2 + + 2 + 2 = 12.

2 X 6 = 12. 6 + 6 = 12. 6 X 2 = 12.

12:2=6 — деление по содержанию. 12 : 6 = 2 — деление по содержанию. 12 : 2 = 6 — деление на равные части. 2+2 + 2 + 2 + 2 + 2+ 2 + 2+ 2 =18 (рис. 30).

2 X 9 = 18.

18 : 2 = 9 — деление по содержанию.

Рис. 29.

Дети записывают и рассуждают так: в одной шестёрке три двойки, а в двух шестёрках шесть двоек, в трёх шестёрках 9 двоек.

Далее дети придумывают задачи на каждый случай умножения и деления — и на части, и по содержанию.

Рис. 30.

На третий день дети проверяют, какие случаи умножения и деления они уже усвоили.

2X2 4:2

2X3 6:2

2X4 8:2

Дети замечают, что 2 они не брали 5 раз. Тут начинается сообщение догадок детей. Некоторые предлагают: 2 взять 4 раза и прибавить 2; другие находят лучше:

2X3+2X2.

Далее дети обнаруживают, что 2 не брали ещё 7 раз и 10 раз.

Здесь детская инициатива находит широкое применение, например:

2X5 + 2X5 = 20; 2x6 + 2x4 = 20.

Опыт многих лет и многих учителей показал, что дети с удовольствием рисуют эти схемы, которые они сами называют «кустиками». Им нравится доступность этой работы, они легко улавливают процесс образования результатов, повторность процессов запечатлевается и содействует усвоению таблицы. Все учителя, применяющие этот приём,

говорят, что дети легко, быстро, сознательно и прочно усваивают таблицу. Чертёж им помогает усвоить деление на части, а вычитание подводит их к осознанию деления по содержанию. Простые задачи, которые они составляют на каждый случай деления и умножения самостоятельно, помогают осознанию значения действий и применения их к решению задачи. Рисование «кустиков» развивает усидчивость, настойчивость и помогает без заучивания усваивать результаты. Постоянная замена сложения умножением и деления вычитанием приводит к самоконтролю.

Для закрепления результатов умножения хорошо использовать таблицу Пифагора, которую должен начертить в своей тетради каждый учащийся (рис. 31).

Работу по этой таблице можно проводить так же, как и по таблице сложения.

Рис. 31.

Внетабличное умножение и внетабличное деление

Контрольные работы учащихся вторых классов разных школ показывают, что внетабличное деление осознаётся детьми с трудом. Нередко встречаются следующие ошибки: 72 :24 будет 33. У этого ученика процесс деления, по-видимому, происходил в следующем порядке: 60 делил на 20, получил 3 десятка; 12 единиц делил на 4, получилось 3; всего получилось 3 десятка и 3 единицы, т. е. 33. У другого ученика: 72 : 24 даёт в частном 6, т. е. он 3, полученные от деления десятков, и 3, полученные от деления единиц, складывает, получает 6. Подобные же ошибки встречаются при делении 69 : 23, получается 33; 84 : 21 =44; 88 : 22 = = 44. Ещё более нелепые ошибки получаются при умножении: 18 X 5 = 540; 19 X 7 = 763. Нетрудно угадать, как проходит процесс умножения: десяток умножает на 7, получается число 7 неизвестного для ученика разряда; 9 умножается на 7, получается правильно 63 единицы, но в общем получается нелепый результат.

Эти ошибки можно ликвидировать практическими работами. Откладывая 5 раз по 18 см, отрезая от 69 см по 23 см, отсчитывая от 72 см по 24 см, ученик практически убеждается в неправильности своего результата и сознательно и наглядно находит настоящий ответ. Таким же способом дети практически выполняют другие задания: 92 делят на 23, 98 делят на 14, 96 на 12, 78 делят на 13.

Закрепить умение выполнять внетабличное умножение и деление можно при помощи работы с изготовленной детьми таблицей (рис. 32).

Учитель предлагает детям проделать следующую работу: приготовить дома сетку, т. е. разлиновать страницу в тетради «стоячими» и «лежачими» линиями через три клетки. Сверху оставить свободными два ряда клеток, которые будут заполняться позднее. Отступив с левой стороны на один ряд пустых клеток, написать столбиком числа от 11 до 20 включительно. Когда сетка готова, учитель задаёт следующую работу на дом — заполнить эту сетку. Для этого по горизонтальным строчкам в сетке прибавлять к каждому слева стоящему числу точно такое же число, писать его в каждой клетке справа до получения числа, близкого к сотне. Потом ко второму числу прибавлять, потом к третьему, четвёртому и так до последнего.

На следующий день учитель предлагает детям проверять результаты. В первой пустой горизонтальной строчке он

пишет ряд чисел от 1 до 10. Над числом 11 пишет 1, над числом 22 — 2 и т. д. Проверка будет состоять в том, что дети должны проверить, чтобы каждое число второго столбика было на 2 больше предыдущего. В третьем столбике все числа, написанные ими, должны отличаться друг от друга на 3 единицы, в четвёртом — на 4 и т. д. Если это окажется так, значит, сетка заполнена верно.

Теперь учитель предлагает им новую проверку: каждое число первого столбика умножать на 2 и проверять, будут ли получаться правильные результаты во втором столбике. Таким же способом умножать каждое число левого столбика на 3 и проверять результаты по третьему столбику и т. д.

Рис. 32.

Так, составляя таблицу, дети будут упражняться в сложении и в умножении.

Далее учитель объясняет, как проверять правильность деления. Ученик берёт любое число из середины таблицы и спрашивает себя, закрыв левый столбик: сколько получится, если 36 разделить на 3 ? и ищет ответ на этой же строчке в левом столбике, так как 12 X 3 даёт ответ на пересечении этих столбиков. Затем ученик спрашивает себя: какое число взяли 5 раз и получили 70? и ищет ответ в левом столбике. Теперь закрывает от себя верхнюю строчку и спрашивает: на сколько умножили 16 и получили 80? или на сколько разделили 80 и получили 16? и ищет затем ответ в верхней строчке.

Учитель объясняет детям, что эта таблица поможет им умножать числа второго десятка на однозначные числа, выучит их работать самостоятельно при условии, если они будут работать честно, не подглядывая, проверять себя, закрывая то левый столбик, то верхнюю строчку, то всю середину таблицы.

Практика показала, что детям не было трудно составлять таблицу, и они сами, по своей инициативе, заполнили её до конца, т. е. каждое двузначное число помножили и на 6, и на 7, и на 8, и на 9, и на 10, и получали результат с переходом через сотню до двухсот.

По этой таблице можно давать детям задания — составлять простые задачи. Эта таблица поможет им осознать роль множимого, множителя, делимого и делителя; без этой таблицы у детей нет никакого пособия в руках, по которому они могли бы упражняться в счёте, проверять себя и контролировать своё продвижение.

Для того чтобы можно было детям давать на дом задания делать вычисления по таблице, в верхнем ряду клеток буквами обозначают столбцы, а в левом столбце — римскими цифрами строчки. Учитель предлагает, например, каждое число столбца «В» умножать на 2 и результат проверять по столбцу «Е».

Практические работы при знакомстве с числами в пределе 1000

Для усвоения чисел в пределе 1000 методисты рекомендуют изготовлять наглядные пособия из соломы и спичек. Если дети за лето успели приготовить себе пучки соло-

мы, связанные десятками и сотнями, то это будет очень хорошее самодельное пособие, причём сам процесс подбирания и связывания пучков принесёт большую пользу своей повторностью.

Для усвоения 1000 дети могут использовать практические работы, которые они проводили при знакомстве с сотней.

Дети высчитывают конкретно, сколько двугривенных в 3, 4, 5, 9 рублях, сколько пятнадцатикопеечных монет в 3 рублях, в 6, в 9 рублях и т. д., сколько пятачков в одном рубле, в 5, в 8, в 9 рублях и т. д.

Дети знакомятся с бумажными денежными знаками в 25 рублей, 50 рублей, 100 рублей (показ учителя) и на конкретном материале учатся раздроблять десятки, сотни, тысячу рублей, разбирая числа и обязательно одновременно откладывая их на счётах.

Взвешивание производится на настоящих чашечных весах в пределе килограмма.

После знакомства с денежными знаками можно перейти к мерам длины. Метр уже у них разделён на 100 см, теперь остаётся сантиметр разделить на миллиметры, сосчитать, сколько миллиметров придётся на 10 см, на 20 см, сколько миллиметров в половине метра и сколько миллиметров в метре. Знакомство с миллиметром можно провести, заставляя детей измерять расстояние между строчками тетради, ширину клеточки тетради, толщину карандаша миллиметром. Даётся глазомерное измерение расстояния километром, предварительно отмеривается расстояние в 100 м и 200 м.

Летом, при проведении экскурсий на мельницу, на МТС, при знакомстве с сельскохозяйственными машинами и трудовыми процессами дети конкретизируют значение слов, которые часто встречаются в задачах.

Хозяйственные работы в пионерлагере: поливка гряд, подсчёт литров и вёдер воды, требуемых для поливки, распределение работ между участниками, сбор ягод, грибов, их сушка, подсчёт потери веса при сушке — все эти практические работы помогут осознанию и решению задач, выясняя детям жизненные явления и количественные соотношения величин.

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АРИФМЕТИКЕ В III КЛАССЕ

Повторение решения простых арифметических задач по программе II класса

Для того чтобы хорошо научиться решать задачи, нужно не только уметь правильно производить вычисления, но нужно еще уметь производить выбор действия; для этого необходимо связывать слова с математическими понятиями и уметь выбрать действие для каждого случая.

Учителю нужно проверить, хорошо ли дети усвоили все математические понятия, с которыми они познакомились во II классе, и умеют ли они их отобразить графически и практически.

Для этого учитель даёт задание: сравните длину цветного карандаша и длину спички. Дети измеряют длину карандаша и спички сантиметрами и сравнивают:

1) 16 см — 4 см = 12 см,

карандаш длиннее спички на 12 см, а спичка короче карандаша на 12 см\

2) 16 см : 4 см = 4,

карандаш длиннее спички в 4 раза, а спичка короче карандаша в 4 раза.

Далее дети выполняют задание, сравнивая продолжительность двух работ — что дольше? — показывают на циферблате: дольше на 2 часа и дольше в два раза. Например, учащиеся I класса работали 1 час, учащиеся III класса — на 2 часа дольше, учащиеся IV класса — в два раза дольше.

Такими практическими работами должны быть проверены знания математических понятий, ибо приходилось встречать случаи, что дети забывали значение терминов: «больше — меньше», «дороже — дешевле», «старше — моложе»; эти понятия одной категории: больше денег, больше лет; далее слова, обозначающие сравнение веса предметов: «тяжелее — легче»; сравнение времени: «позже — раньше»; затем слова, обозначающие изменения в пространстве: «длиннее — короче», «шире — уже», «выше — ниже». Непонимание смысла этих слов может затруднять детей при решении задач.

Объяснение детям зависимости между величинами

Важное значение для нахождения решения задач имеет знание детьми зависимости между величинами, например между ценой, количеством предметов и их стоимостью, между скоростью, временем и расстоянием.

Ознакомление детей с зависимостью стоимости от количества можно провести с использованием наглядных пособий (рис. 33).

Зависимость стоимости от количества предметов

Рис. 33.

Дети рассматривают рисунок, делают наблюдения и вывод. Учитель объясняет значения слов: количество, цена, стоимость.

Для закрепления понимания этих слов и усвоения зависимости стоимости от количества предметов дети выполняют работу ещё по одному рисунку (рис. 34).

Рис. 34.

Зависимость стоимости от цены (рис. 35).

Рис. 35.

Как на основании понимания зависимости между величинами найти одну из них, когда известны две другие, можно пояснить детям при помощи следующей таблицы.

Соотношение между ценой, количеством и стоимостью

Название предметов

Цена за 1 предмет

Количество

Стоимость

Ручки .....

30 коп.

2

?

Перья.....

3 коп.

2

?

Карандаши . .

?

4

80 коп.

Резинки ....

?

3

15 коп.

Тетради ....

13 коп.

?

39 коп.

Тетради ....

17 коп.

?

34 коп.

Дети придумывают простые задачи по указанным в таблице данным и решают их. Затем под руководством учителя делают обобщение, как по двум данным величинам найти неизвестную величину.

Зависимость расстояния от времени

Для осознания детьми зависимости расстояния от времени полезно предложить учащимся выполнить чертёж.

Учитель даёт задание изобразить при помощи чертежа решение задачи: «Пешеход проходит 5 км в 1 час, какое расстояние пройдёт пешеход за 2 часа?»

Принимая 1 клетку за 1 км, ученики выполняют чертёж (рис. 36).

Рис. 36.

Учитель предлагает увеличить время вдвое и изобразить расстояние, которое пройдёт пешеход в увеличенное время. Дети изображают расстояние в 20 клеток. Из наблюдений над тем, как изменяется расстояние с увеличением времени (при одной и той же скорости), дети делают вывод.

Зависимость расстояния от скорости

Учитель предлагает детям решить задачу: «Пешеход проходил 5 км в 1 час и был в пути 2 часа. Какое расстояние прошёл пешеход?» Далее учитель продолжает задачу: « Велосипедист был в пути столько же времени, но двигался со скоростью, в три раза большей. Какое расстояние проехал велосипедист?»

После решения дети изображают на чертеже расстояния, пройденные пешеходом и велосипедистом за одно и то же время. Выясняют, почему велосипедист проехал большее расстояние.

Учитель сообщает детям следующие данные о скорости движения :

поезд движется со скоростью 40 км в час, скорость легкового автомобиля в два раза больше — и ставит вопрос для размышления детям:

«Что можно сказать о путях, пройденных поездом и автомобилем за одно и то же время?»

Обобщая решённые задачи, дети делают вывод о зависимости расстояния от скорости.

Зависимость между скоростью, временем и расстоянием можно пояснить путём решения простых задач по данным, расположенным в таблице.

Соотношение между скоростью, временем и расстоянием

Название движущихся предметов

Скорость

Время

Расстояние

Самолёт ....

200 км в час

3 часа

?

Автомобиль . .

?

2 часа

100 км

Поезд.....

?

2 часа

80 км

Пароход ....

16 км в час

?

48 км

Лодка .....

8 км в час

?

24 км

По этим данным учащиеся придумывают задачи и решают их. Затем под руководством учителя делают вывод, как по двум известным величинам найти неизвестную величину.

Повторение четырёх арифметических действий в пределе 100

Эта работа может быть проведена самостоятельно учащимися, она заключается в организации вычислений с контролем личным и товарищеским.

Таблицу умножения Пифагора должен сделать себе каждый ученик, ибо по этой таблице можно выполнять много разных упражнений с самоконтролем.

Таблица умножения

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Первым упражнением при повторении сложения и вычитания будет нахождение сумм и разностей по таблице. Нужно предложить детям в горизонтальных рядах в таблице брать числа, отстоящие на равном расстоянии от концов ряда, не считая последнего числа, и находить сумму, которая стоит последним числом в ряду:

2-й ряд: 2 + 18; 4 + 16; 6+14; 8 + 12 7-й ряд: 7 + 63; 14 + 56; 21 + 49; 28 + 42 9-й ряд: 9 + 81 ; 18 + 72; 27 + 63; 36 + 54

То же можно проследить и в каждом из столбиков.

Все эти суммы дети должны прочно усвоить и быстро отвечать на вопросы. Когда таблица будет усвоена, учитель, чтобы проверить их самостоятельность в работе, проводит контрольный устный счёт. Учитель называет из таблицы последнее число из ряда, обращаясь ко всем детям, а затем учащимся, сидящим на партах слева, называет число, к которому они должны назвать дополнение до первого числа. Пока левые считают и записывают ответ, учитель называет число для детей, сидящих справа. Например, учитель назвал первое число 80; левым назвал число 24, к которому они должны в уме добавить число до 80. Правым назвал 48, к которому они также должны добавить число до 80. И левые и правые записали на листочках только ответы. Затем учитель даёт новое число 90, и работа идёт в том же порядке: левые дополняют число к 36, правые — к 45. Когда дети выполняют восемь — десять таких заданий, учитель собирает листочки для проверки. Этот контрольный устный счёт даёт полную картину знаний и навыков учащихся.

Но проверка работ может быть выполнена и другим приёмом: по окончании устного счёта учитель предлагает детям взять таблицы, самим проверить свои ответы и исправить ошибки. Проглядывая исправленные детские работы, учитель тоже получает картину усвоения знаний учащимися.

Самостоятельное исправление работ детьми снимает долю труда с учителя и вместе с тем приносит большую пользу самим учащимся, упражняя их внимание и показывая недоработку, которую нужно ликвидировать.

Второе упражнение. Взять любые числа четырёх столбиков, стоящие на одной строчке. Найти сумму двух крайних из них чисел и отдельно сумму двух средних : суммы должны быть одинаковые.

Возьмём столбики с 4-го по 7-й, строчка 6-я:

24 + 42 = 66 — сумма двух крайних чисел, 30 + 36 = 66 — сумма средних чисел.

Третье упражнение на сложение и деление. Взять числа из двух столбиков, стоящих через один, найти их сумму, разделить на два и частное найти в среднем столбике. Возьмём столбики 6-й и 8-й (2-я строчка):

12 + 16 = 28, 28 : 2 = 14.

По этим столбикам идём ниже; на 7-й строчке находим:

42 + 56 = 98, 98 : 2 = 49.

На 9-й строчке в тех же столбиках:

54 + 72 = 126, 126 : 2 = 63.

Ответ находим в среднем столбике. Такую же работу можно проводить и со строчками. Возьмём строчки 7-ю и 9-ю (2-й столбик):

14 + 18 = 32, 32 : 2 = 16.

Находим в конце этих строчек (9-й столбик) :

63 + 81 = 144, 144 : 2 = 72.

Ученик должен сложить числа в уме, разделить, а потом проверить себя по среднему столбику, правильно ли он разделил.

Четвёртое упражнение. Оставить без внимания числа верхней строчки и левого столбика в таблице и в работе их не употреблять. Отсчитать любые шесть рядом стоящих чисел в строчке; 1-е и 6-е числа сложить и сумму умножить на 2; отдельно сложить четыре числа, стоящие в середине, суммы должны получаться одинаковые. Возьмём для примера на второй строчке числа в столбиках от 4-го по 9-е, складываем крайние числа:

8 + 18 =26, 26 X 2 = 52.

Складываем четыре числа, стоящие между ними:

10 + 12 + 14 + 16 = 52.

Ответы получили одинаковые.

В той же строчке возьмём числа с 3-го по 8-е:

сумма крайних чисел: 6 + 16 = 22, 22 X 2 = 44;

сумма средних чисел: 8 + 10 + 12 + 14 = 44. Возьмём числа побольше — в 9-й строчке, со 2-го по 7-е:

18 + 63 = 81, 81 X 2 = 162; 27 + 36 + 45 + 54 = 162.

Это упражнение можно выполнять по-иному: сумму четырёх средних чисел разделить на 2, ответом будет число, равное сумме крайних чисел. Это упражнение можно применять и к столбикам.

Какова организация этих упражнений?

Если ученик упражняется в счёте один дома или в классе, то у него есть средство самоконтроля. В классе дети могут работать попарно: один, например, находит сумму крайних чисел, умножает её на 2, другой — сумму средних чисел. Сверяя ответы, они контролируют друг друга. Если суммы не сойдутся, значит у одного из них ошибка.

Все эти упражнения должны окончиться устным контрольным счётом. Учитель даёт отдельные задания сидящим слева и справа, а дети записывают только ответы. Кто проработает все эти упражнения честно и самостоятельно, тот и контрольную работу решит вернее.

Внетабличное умножение и деление

Точность в делении многозначных чисел зависит не только от знания табличных результатов умножения, но и от степени усвоения детьми приёмов и результатов внетабличного умножения и деления. Поэтому нужно употребить все приёмы и средства, чтобы дети младших классов вполне овладели навыками счёта и результатами действий с числами в пределе 100.

Хорошим и много раз испытанным средством для этого служили таблицы на умножение и деление чисел второго десятка на однозначные числа.

Принимаясь за составление таблиц, дети делят страницу вертикальными линиями на три части. В первой части записывают таблицу умножения, а две другие оставляют пока неиспользованными. Составляют таблицу умножения числа 11 на все однозначные числа.

К некоторым строчкам дети по заданию или по своей инициативе составляют простые задачи.

Таким же приёмом составляют таблицы умножения 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 и 19.

Когда дети закончат составление таблиц умножения, переходят к составлению таблиц деления.

Тут уместно объяснить детям название терминов, объяснить обратность действий и превращения членов одного действия в другие члены в другом действии, а именно: произведения в делимое, множимого в делителя и т. д.

Учитель составляет задачу к числам из первой строчки таблицы умножения: «Посадили два ряда кустов смородины по 11 кустов в каждом». Спрашивает: «Что можно узнать?» Дети составляют и решают задачу, выясняют значение множимого, множителя и произведения. Затем учитель предлагает изменить эту задачу, приняв число кустов в одном ряду за неизвестное. Дети решают её делением 22 : 2 = 11.

Тут учитель выясняет, чем было каждое число при умножении и чем стало при делении. После этого дети составляют таблицы на деление параллельно всем таблицам умножения. Сопоставляя эти два действия, дети осознают обратность этих действий, зрительно осознают состав чисел и гарантируют себя от грубых ошибок при вычислениях.

Для быстрого безошибочного производства действий с многозначными числами необходимо прочное знание «состава» чисел первой сотни, такое знание, чтобы по одному взгляду на число ученик уже представлял себе его «состав». С этой целью нужно предложить составить схемы образования и разложения чисел:

Такие схемы нужно составлять на 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.

Нужно требовать от детей умения самостоятельно записывать процесс образования чисел:

12 X 2 = 24 12 X 4 = 48 24 X 2 = 48 24 X 4 = 96 48 X 2 = 96 12 X 8 = 96

Не менее важно и разложение чисел:

56 : 2 = 28 28 : 2 = 14 14:2= 7 56:4= 14 56:8= 7

56 : 28 = 2 28 : 14 = 2 14: 7 = 2 28: 7 = 4 56: 7 = 8

Такие схемы нужно составлять на все чётные числа. Разложение нечётных чисел:

75: 3 = 25 75:25= 3 25: 5= 5

Применение этих схем давало хорошие результаты у многих учителей. Что касается детей, то они составляют схемы-«кустики» легко и с удовольствием.

Составление по картинкам задач и решение их

В III классе учащиеся должны научиться решать, кроме обыкновенных, нетиповых задач, задачи на простое тройное правило, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям, на встречное движение.

Для закрепления умения решать задачи каждого типа учащиеся могут изобразить содержание задачи рисунком, придумать соответствующую задачу и записать её решение.

Задачи на пропорциональное деление

Учащиеся по заданию учителя рисуют репки, купленные тремя девочками, и словами обозначают имена девочек, купивших репки (рис. 37).

За все репки заплатили 90 коп. Сколько заплатила каждая девочка?

Рис. 37.

Нужно узнать сначала, сколько всего репок купили девочки, потом — сколько стоит 1 репка, а затем — сколько (по числу репок) заплатила каждая девочка.

Учащиеся записывают решение задачи.

Затем дети на рисунке изображают другое распределение репок между девочками и снова решают задачу.

Потом учащиеся заменяют репки морковками и решают задачу при условии, что все морковки стоят 72 коп.

После этого учитель предлагает изменить задачу: пусть дети узнают, как разделить купленные девочками сливы, всего 18 слив, если Таня дала на покупку 30 коп., Оля — 40 коп. и Лена — 20 коп.

Всего купили 18 слив.

Сколько слив досталось каждой девочке?

Рис. 38.

Дети изображают условие задачи рисунком (рис.38).

Нужно узнать сначала, сколько денег внесли все девочки, сколько стоила 1 слива, а потом узнать, сколько слив надо дать Тане на 30 коп., Оле на 40 коп., Лене на 20 коп.

По заданию учителя дети изменяют число денег, внесённых каждой девочкой на покупку, но так, чтобы эти числа представляли собой круглые десятки, и снова решают задачу.

Можно затем заменить сливы 9 конфетками и снова решить задачу.

Так будет закрепляться умение решать задачи на пропорциональное деление.

Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям

Для закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестного по двум разностям дети по заданию учителя изображают рисунком условие такой задачи. Дети рисуют

на одной строке 2 мяча, а ниже — 5 мячей и делают подпись под нижним рисунком — на 6 руб. больше (рис. 39).

Дети по рисунку видят, что мячи одинаковые, их покупали по одной цене за штуку. Во второй раз за 3 лишних мяча заплатили лишних 6 руб., значит, 1 мяч стоит 2 рубля. Теперь можно узнать, сколько заплатили за 2 мяча и сколько заплатили за 5 мячей.

Учитель предлагает изменить разность в стоимости мячей — принять, что разность в стоимости равна 9 руб. Учащиеся вновь решают задачу. Затем разность в стоимости выражается словами «на 9 руб. меньше», которые относятся к первой группе мячей. Дети, решая задачу, замечают, что ход решения этой задачи такой же, как и предыдущей.

Учитель предлагает выполнить рисунок, заменив в нём на первой строке и на второй строке по одному мячу волчком. Получается новый рисунок с новыми предметами и новыми числовыми данными (рис. 40).

Рис. 40.

Дети составляют задачу по рисунку. Почему за вторую покупку заплатили больше? В каждой покупке имеется по одинаковому волчку. Но во второй покупке больше мячей. Значит, больше денег пришлось уплатить за большее число мячей. Узнав, как и в предыдущей задаче, на сколько больше купили мячей и на сколько больше уплатили денег, дети найдут цену одного мяча. По общей стоимости волчка и мяча и цене мяча можно найти цену волчка, а затем стоимость первой и стоимость второй покупки.

Задачи на встречное движение

Чтобы дети научились решать задачи на встречное движение, они должны ясно представлять себе, как происходит движение двух тел навстречу друг другу, что делается при этом с расстоянием, которое отделяет одно тело от другого, на сколько это расстояние уменьшается за единицу времени.

Учитель демонстрирует встречное движение на примере самих учащихся. Вызванные учащиеся идут навстречу друг другу от противоположных стен класса, начиная движение одновременно. Дети замечают, что эти учащиеся приближаются друг к другу, расстояние между ними уменьшается.

Учащиеся решают сначала простые задачи на движение.

1. Два мальчика бегут навстречу друг другу; один пробегает в секунду 3 м, другой — 4 м. На сколько метров они приближаются друг к другу в каждую секунду?

2. Два мальчика вышли из школы и побежали в противоположные стороны с одинаковой скоростью. На сколько метров они удаляются друг от друга в секунду?

3. Эти мальчики вышли одновременно из школы и побежали в одном направлении. На сколько метров один мальчик обгонит (опередит) другого в секунду?

Все эти выражения нужно запомнить и употреблять при решении задач на встречное движение, а не говорить «сколько они прошли вместе?», так как они вместе не идут.

Все эти случаи движения нужно проделать практически, чтобы дети потом при решении задач представляли в воображении каждый подобный случай.

Учитель демонстрирует в классе или на школьной площадке встречное движение двух мальчиков, из которых один проходит 10 дм, а другой 12 дм в секунду. Они приближаются на 10 дм + 12 дм= 22 дм друг к другу за каждую секунду. Зная это, можно определить, через сколько секунд эти два ученика встретятся, если они идут навстречу друг другу из двух пунктов, находящихся на расстоянии 66 дм друг от друга. Ученики встретятся через столько секунд, сколько раз в 66 дм содержится по 22 дм, т. е. через 3 секунды.

Для закрепления полученных знаний о встречном движении дети иллюстрируют чертежом решение задач.

Задача 1. Миша и Ваня вышли навстречу друг другу из двух деревень, расстояние между которыми 14 км.

Миша проходил 3 км за 1 час, а Ваня —4 км за 1 час. Через сколько часов они встретились?

Дети чертят отрезок прямой в 14 клеток, принимая длину 1 клетки за 1 км. Слева ставят букву М, обозначая пункт, из которого вышел Миша, и отмечают отрезок в 3 клетки, изображая скорость его движения в 1 час. Справа ставят букву В, обозначая пункт, из которого вышел Ваня, и отмечают отрезок в 4 клетки, изображая скорость его движения в 1 час. Затем ещё раз откладывают по одному отрезку в 3 и 4 клетки и обозначают место их встречи флажком (рис. 41).

Рис. 41.

Ниже записывают решение задачи:

1) 3 км + 4 км = 7 км;

2) 14 км : 7 км = 2 (часа).

Ответ: Школьники встретились через 2 часа.

Подобно этому выполняют решение другой задачи, иллюстрируя ее чертежом.

Задача 2. Петя и Маня отошли друг от друга на 28 м и одновременно побежали навстречу друг другу. Петя бежал со скоростью 4 м в 1 секунду, а Маня бежала со скоростью 3 м в 1 секунду. Через сколько секунд они встретились?

Учащиеся составляют таблицу, в которой записывают сообщённые учителем данные о различных скоростях движения.

Скорости движения людей, животных, машин

Школьник пешком — 4 км в час

Школьник на лыжах — 6

Взрослый пешком — 5

Взрослый на лыжах — 9

Лошадь —10

Велосипедист — 12 км в час

Пароход — 20 » » »

Поезд — 40 » » »

Автомобиль — 60 » » »

Данные этой таблицы используются учащимися для составления и решения задач на движение.

Практические работы при изучении геометрического материала в III классе

К изучению геометрического материала нужно подходить от практических работ и начинать со знакомства с линиями. Показать, что в природе поверхность воды горизонтальна, следующим опытом: налить в банку воды и на поверхность воды положить соломинку, спичку; потом наклонять банку в разные стороны и обратить внимание детей на то, что уровень воды и соломинка при всяких наклонах стакана или банки будут в одном и том же положении, т. е. горизонтальны.

С вертикальной линией знакомятся дети, приготовив отвес и проверяя им все отвесные линии в классе, косяки дверей, окон, стенок шкафа и т. д. Дома они изготовляют модель отвеса из какого угодно материала и проверяют вертикальность линий.

Прямой угол осознают сгибанием бумаги и в постоянстве его величины убеждаются проверкой всяких прямых углов, которые им кажутся больше или меньше, и делают вывод: «Все прямые углы равны».

Ознакомившись с горизонтальными и вертикальными линиями и прямым углом, дети затем тренируются в черчении квадратов, прямоугольников в тетради при помощи линейки и угольника. Теперь они могут уже переходить к измерительным работам на местности.

Дети под руководством учителя изготовляют полевой циркуль с расстоянием между концами ножек, равным 1 м (рис. 42).

Затем учащиеся приготовляют мерную верёвку. Взяв верёвку длиной немногим более 10 м, на концах делают петли, чтобы верёвку можно было надевать на колышки, вбитые в землю. Расстояние от одной петли до другой должно быть 10 м.

Школьники на дощечках или картонных карточках делают надписи, обозначая числа от 0 до 10, и прикрепляют дощечки к верёвке через каждый метр. Это можно сделать, приложив к натянутой между колышками верёвке ленту рулетки или при помощи металлического или деревянного метра.

Рис. 42.

Сначала учащиеся выполняют измерения отрезков прямых, которые намечены на местности: длину одной стороны забора около школьного участка, длину дорожки от калитки до крыльца школы, длину и ширину сарая.

Измерения небольших расстояний дети выполняют при помощи полевого циркуля, более значительные расстояния измеряют при помощи мерной верёвки.

Затем дети учатся провешивать прямые линии на местности. Сначала они это делают, расставляя «в линейку» школьников, на расстоянии в 1 м, в 2 м, в 3 м.

Потом намечают прямые на местности при помощи вех, ставя их так, чтобы две из них закрывали третью.

Первое задание, которое выполняют учащиеся, заключается в том, чтобы расставить правильно, по прямой 2—3 вехи в промежутке между двумя вехами. Дети измеряют полевым циркулем расстояние между каждыми двумя вехами и вычисляют расстояние между начальной и конечной вехой.

Второе задание состоит в том, чтобы расставить вехи, которые продолжили бы отрезок, намеченный при помощи

двух вех, на указанное расстояние. Дети расставляют 3—4 вехи за двумя начальными вехами на нужное расстояние на глаз, а затем отмеряют заданное расстояние при помощи полевого циркуля.

Большую трудность для детей представляют задачи на вычисление длины периметра: они путают этот процесс с вычислением площади, поэтому необходимо, чтобы дети осознали конкретно это понятие, нашли периметры в окружающей обстановке: рамка портрета, бордюр обоев у потолка, рубчик у платка, салфетки. Следует предложить детям вычислить длину периметра прямоугольника и квадрата различными способами. Например, дана задача найти длину бордюра или плинтуса класса, длина которого 9 м, а ширина 6 м.

Находим :

1)9м + 6м + 9м+6м = 30м, 2)9м+9м + 6м+6м = 30м, 3)9мх2 + 6мх2=30м, 4) (9 м + 6 м) X 2 = 30 м.

Другая задача: сколько потребуется багета для рамочки квадратного портрета, сторона которого 3 дм?

1) 3 дм + 3 дм + 3 дм + 3 дм = 12 дм,

2) 3 дм X 4 =12 дм.

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО АРИФМЕТИКЕ В IV КЛАССЕ

Повторение пройденного в III классе

Повторение устного выполнения четырёх арифметических действий можно организовать по таблице, в которой записаны произведения, полученные от умножения каждого из двузначных чисел от 11 до 20 на числа от 2 до 10.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

I

11

22

33

44

55

66

77

88

99

110

II

12

24

36

48

60

72

84

96

108

120

III

13

26

39

52

65

78

91

104

117

130

IV

14

28

42

56

70

84

98

112

126

140

V

15

30

45

60

75

90

105

120

135

150

VI

16

32

48

64

80

96

112

128

144

160

VII

17

34

51

68

85

102

119

136

153

170

VIII

18

36

54

72

90

108

126

144

162

180

IX

19

38

57

76

95

114

133

152

171

190

X

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Покажем, как выполнять упражнения по устному счёту по этой таблице.

Сложение. 1) Взять суммы чисел, отстоящих на равном расстоянии от концов ряда во всех строчках, не считая последнего числа. Ответы находить в правом крайнем столбике.

Строчка I: 11 + 99; 44 + 66; 33 + 77.

При счёте закрыть правый крайний столбик, которым можно пользоваться лишь для самоконтроля. Спрашивать себя суммы вразбивку.

Строчка VIII: 18 + 162; 36 + 144; 54 + 126.

2) Сложить любые 4 рядом стоящие числа так: 1-е и 4-е, 2-е и 3-е. Суммы должны получаться равные.

Строчка III: 39 + 78 = 117; 52 + 65 = 117. Строчка IX: 19 + 76 = 95; 38 + 57 = 95. Строчка IX: 114 + 171 = 285; 133 + 152 == 285.

Можно работать при этом с товарищем: один должен найти первую сумму, а другой вторую, и сравнить ответы. Если ответы разные, найти, у кого ошибка.

3) Взять шесть рядом стоящих чисел и складывать их так: первое и шестое, потом все четыре числа, стоящие в середине; первую сумму умножить на 2 (или вторую разделить на 2), тогда получатся равные результаты.

Строчка IV: (14 + 84) X 2 = 28 + 42 + 56 + 70 =196.

4) Взять любые три рядом стоящие числа: сложить первое и третье, сумму разделить на 2. Ответ — среднее число.

Строчка IV: (14 + 42) : 2 = 28; (98 + 126) : 2 = 112.

Аналогично этому можно брать числа по столбикам.

Так перерешать все строчки и все столбики. Работать дети могут вдвоём: один из них спрашивает и проверяет товарища.

Вычитание. От числа из крайнего правого столбика отнять число, стоящее от конца на 2-м месте (крайний правый столбик не считать), ответом будет число, стоящее на таком же месте от начала.

Строчка II: 120 — 96 = 24; второе число от конца отнимали, второе от начала ряда получили.

120 — 72 = 48; отнимали четвёртое от конца — получили четвёртое от начала и т. д.

Умножение. 1) Перемножить числа левого столбика и верхней строчки. Ответ находить на пересечении столбика и строчки: 18 X 9 = 162; 16 X 8 = 128.

2) Числа из третьего столбика умножить на 2. Ответы находить в шестом столбике: 36 x 2 = 72.

3) Числа из второго столбика умножить на 3. Ответы находить в шестом столбике: 28 X 3 = 84; 32 х 3 = 96.

4) Числа из второго столбика умножить на 5. Ответы находить в десятом столбике: 26 X 5 = 130.

Деление. Любое число, взятое в середине таблицы, делить на число, стоящее в данном столбике вверху. Ответ находить в строчке, где стоит делимое, слева. Можно делить любое число, находящееся в середине таблицы, на число, стоящее на этой же строчке в левом столбике. Ответ находить в соответствующем столбике вверху.

Например: 56 : 4 = 14; 96 : 16 = 6.

В устных вычислениях по таблице каждый учащийся должен упражняться дома ежедневно до тех пор, пока не научится отвечать не задумываясь. Если дети научатся устно считать бегло, то им легко будет делить многозначные числа письменно.

Зависимости между данными числами и результатами арифметических действий над ними

Сложение. Учитель предлагает учащимся задачу: «От школы до почты 60 м, а от почты до клуба 80 м. Сколько метров от школы до клуба?»

Дети выполняют чертёж, принимая 1 клетку в тетради за 10 м (рис. 43).

Решение задачи записывают:

60 м -j" 80 м — 140 м.

Учитель предлагает составить новую задачу, в которой надо найти по сумме и второму слагаемому неизвестное первое слагаемое.

Запись условия этой задачи:

X + 80 м = 140 м.

Запись решения этой задачи:

140 м — 80 м = 60 м, X = 60 м.

Затем дети составляют и решают задачу на нахождение неизвестного второго слагаемого:

60 м + X =140 м, 140 м — 60 м = 80 ле, л: = 80 лс.

После этого можно предложить учащимся выполнить упражнения на отыскание неизвестного слагаемого по таблице для устного счёта.

Учитель обращает внимание детей на то, что в каждой строчке числа, равноотстоящие от начала и конца строчки, не считая крайнего справа, при сложении дают сумму, равную числу, стоящему в крайнем правом столбце.

Например: 11+99 = 110.

Поэтому, чтобы по сумме двух чисел (110) и одному из слагаемых (99) найти другое слагаемое, ответ надо искать в той же строчке в крайнем столбце слева (11).

Вычитание. Дети решают задачу: «Мотоциклист должен был проехать 80 км. Он уже проехал 50 км. Сколько километров осталось ему проехать?» К задаче выполняют чертёж, принимая 1 клетку в тетради за 10 км (рис. 44).

Рис. 44.

Решение задачи записывают:

80 км — 50 км = 30 км.

Дети преобразуют задачу: «Когда мотоциклист проехал 50 км, ему осталось проехать 30 км. Сколько километров должен был проехать мотоциклист?»

Запись условия задачи:

X — 50 км = 30 км. Запись решения задачи:

50 км + 30 км = 80 км, X = 80 км.

В этой задаче находим неизвестное уменьшаемое.

Делается вновь преобразование исходной задачи: «Мотоциклист должен был проехать 80 км. Когда он проехал несколько километров, ему осталось проехать 30 км. Сколько километров проехал мотоциклист?»

Запись условия задачи:

80 км — X = 30 км. Запись решения:

80 км — 30 км = 50 км, X = 50 км.

В этой задаче мы отыскивали неизвестное вычитаемое.

Умножение. При вычислениях по таблице для устного счёта дети заметили, что слева в крайнем столбце находятся множимые, в верхней строчке — множители, в местах пересечения каждой строчки и каждого столбца — произведения.

Например: 14 X 6 = х.

Искомое произведение (84) можно найти на пересечении соответствующей строчки и столбца. Сделаем неизвестным множимое:

X X 6 = 84,

т. е. сформулируем задачу так: «Какое число надо умножить на 6, чтобы получить 84?»

Дети решают эту задачу:

84 : 6 = 14, X = 14.

Пусть надо найти неизвестный множитель: 14 X X = 84,

т. е. решить задачу: «На какое число надо умножить 14, чтобы получить 84?»

Учащиеся решают эту задачу:

84 : 14 = 6, X = 6.

Закрыв крайний левый столбец, учащиеся берут, например, числа, стоящие в 4-м столбике, и отыскивают неизвестное множимое, которое, будучи умножено на 4, даёт одно из произведений: 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80.

Затем дети закрывают верхнюю строчку и по произведениям, помещённым в одной из строчек, и множимому, например 17, находят неизвестный множитель.

Деление. Дети решают задачу: «Бечёвку длиной в 15 м разрезали на 3 равные части. Какой длины получилась каждая часть?»

Дети иллюстрируют задачу чертежом, принимая 1 клетку за 1 метр (рис. 45).

Рис. 45.

Решение задачи записывают:

15 м : 3 = 5 м.

Задача преобразуется так: «Бечёвку длиной в несколько метров разрезали на 3 равные части. Каждая часть получилась длиной в 5 м. Какой длины была бечёвка?»

В задаче требуется найти неизвестное делимое.

Запись условия задачи:

X : 3 = 5 м.

Запись решения:

5 M X 3 = 15 м, X = 15 м.

Ещё раз преобразуется исходная задача: «Когда бечёвку длиной в 15 м разрезали на несколько равных частей, то каждая часть получилась длиной в 5 м. На сколько частей разрезали бечёвку ?»

Условие задачи:

15 м : X = 5 м.

Решение задачи:

15 м : 5 = 3, X = 3.

В этой задаче отыскивали неизвестный делитель.

Как применить знание зависимости чисел в действиях к проверке решённой задачи

Проверка решённой задачи приносит учащимся большую пользу, ибо приводит от синтеза к анализу и к решению обратных действий.

Возьмём задачу, требующую разностного сравнения.

«Девять мешков картофеля весят 450 кг, а мешок пшеницы —80 кг. На сколько мешок пшеницы тяжелее мешка картофеля?»

Дети решают задачу с вопросами и записывают действия :

1) 450 кг : 9 = 50 кг,

2) 80 кг — 50 кг = 30 кг.

После этого детям предлагается записать всё решение задачи одной строчкой — формулой:

80 — 450 : 9 = 30.

Чтобы проверить задачу, найденное искомое 30 кг сделаем данным, а данное 80 кг сделаем искомым и пример примет такой вид:

X — 450 : 9 = 30.

К этому примеру дети сами составляют новую задачу, начиная от известного:

«450 кг картофеля насыпали в 9 мешков поровну. Разность в весе мешка пшеницы и мешка картофеля составляет 30 кг. Сколько весит мешок пшеницы?»

Вычисляют: 450 : 9 = 50, и подставляют найденное число в сложный пример. Получают: х — 50 = 30.

Учитель спрашивает: как получили 30 кг? (Отняв от неизвестного числа 50 кг.) Что такое в этом примере х? (Уменьшаемое.)

Уменьшаемое можно найти, сложив вычитаемое с разностью, которая показывает, что уменьшаемое больше вычитаемого на 30:

50 + 30 = 80.

Сделаем второе преобразование, Предположим, что неизвестен вес картофеля:

80 — X : 9 = 30.

Составим новую задачу, исходя от известного: «Мешок пшеницы весит 80 кг. Несколько килограммов картофеля насыпали в 9 мешков поровну. Разность в весе мешка пшеницы и мешка картофеля 30 кг. Сколько весит картофель?»

Как получили 30? Отняв от 80 частное от деления х на 9.

Что такое х : 9 в этом примере? Вычитаемое, которое можно найти:

80 — 30 = 50. Как можно получить 50? Разделив неизвестное на 9: X : 9 = 50.

В этом примере х — делимое, которое можно найти:

50 X 9 = 450.

Дети делают последнее преобразование. Предположим, что неизвестно число мешков картофеля:

80 — 450 : X = 30.

Составляем задачу: «Мешок пшеницы весит 80 кг. 450 кг картофеля насыпали в несколько мешков поровну. Вес каждого мешка картофеля оказался на 30 кг меньше веса мешка пшеницы. Во сколько мешков насыпали картофель?»

Дети находят вычитаемое и подставляют в пример:

450 : к = 50. Определяют делитель:

X = 450 : 50 = 9. Чему научила детей эта работа?

Учащиеся закрепили знания в нахождении неизвестных в вычитании и делении, упражнялись в составлении задач по примеру, исчерпав все возможные с этими величинами комбинации, прочнее усвоили обратные действия, упражнялись в самостоятельном рассуждении и применении усвоенной теории к решению задач.

Когда дети приобретали навык преобразования задач в классе, я задавала такие же преобразования и на дом. Детям нравилась эта работа, и они с удовольствием ее выполняли. Я считаю, что разностороннее использование условия данной задачи развивает мышление ребёнка.

Для применения зависимости чисел в сложении и умножении я давала следующую задачу:

«Купили для детского дома 250 пар ботинок по 50 руб. и 70 пар галош по 28 руб. Сколько стоят все вещи?»

Простые и составные именованные числа и арифметические действия над ними

Для выполнения измерений учащиеся пользуются мерами с различными делениями: метром, разделённым на дециметры, сантиметровой лентой длиной в 150 см, на которой указаны только сантиметры, линейкой длиной в 30 см, на которой каждый сантиметр разделён на милли -метры.

Дети сами изготовляют из картона или плотной бумаги метр, разделённый на дециметры, с обозначением каждого дециметра, а на каждом дециметре обозначают сантиметры от 1 до 9. При помощи такого метра дети измеряют, например, длину крышки парты и получают 1 м 2 дм. Измерив эту длину дециметром, они получают:

10 дм и 2 дм, т. е. 12 дм.

Затем та же длина измеряется при помощи сантиметровой ленты, получается 120 см. Каждый раз измерялась одна и та же длина, поэтому можно записать:

1 м 2 дм = 12 дм = 120 см.

Рассматривая этот пример измерения и получив объяснения учителя, дети усваивают знания о простом и составном именованном числе, о раздроблении именованных чисел.

Дети выполняют по заданию учителя измерения, пользуясь метром с различными делениями, и этим закрепляют полученные знания.

Дети с помощью учителя измеряют рост друг друга.

Выполнив измерение роста какого-нибудь ученика при помощи сантиметровой ленты, прикреплённой к косяку двери кнопками, они получают, например, 130 см.

Измерение роста этого же ученика в дециметрах даёт 13 дм, или 1 м 3 дм.

На этом примере можно дать детям объяснение превращения именованных чисел.

Измерение расстояний на местности может быть выполнено шагами с последующим выражением измеренных расстояний в метрах. Для этого каждый учащийся должен знать размер своего шага в метрах.

Вот как была проведена работа по определению размера шага каждого из учащихся IV класса в одной из школ.

Дети провели на школьном дворе прямую линию и по ней выстроились все в ряд. От концов линии под прямым углом провели прямые линии длиной точно в 10 м. Концы линий соединили прямой и получили новую прямую линию, отстоящую от первой на 10 м. Проверили, везде ли расстояние равно 10 м.

Учитель сообщил: если две линии отстоят на равном расстоянии одна от другой, они называются параллельными.

Теперь дети, стоящие на первой линии, прошагали расстояние 10 м, считая количество своих шагов, и выстроились все на второй линии. Каждый записал на листке бумаги, сколько он сделал шагов. Число шагов просчитали ещё раз, прошагав обратно до первой линии, и каждый записал это число. Третий раз прошли то же расстояние и записали полученные числа. Вернувшись в класс, каждый вычислил средний размер своего шага в сантиметрах, сложив 3 полученных числа и разделив сумму на 3.

Узнав средний размер своего шага, каждый провёл измерение шагами длины школьного здания, одной стороны школьного участка, дорожки, идущей от школы до ворот. Полученные измерения каждый выразил в сантиметрах, а

затем превратил в метры, отбросив остаток сантиметров. Полученные результаты сравнили.

После этого измерили шагами расстояние, которое каждый проходит от дома до школы.

Для упражнений в выполнении арифметических действий с именованными числами можно использовать данные о нормах кормления птиц, коров и других животных, предложив детям составить расчёт, сколько потребуется различных кормов на день, на неделю, на месяц.

Кормление птиц

Сколько граммов кормов требуется на каждую птицу в день в летний период

Название кормов

Птицы

Зерновые и мучнистые корма

Дрожжи

Жмыхи

Обрат

Гравий

Зелень

Рыбная и мясная мука

Известь

Соль

Куры

110

3

15

4

2

40

8

6

1

Утки

150

10

10

5

5

100

25

12

1

Гуси

100

5

20

4

5

250

5

10

1

Используя данные этой таблицы, дети могут подсчитать, сколько кормов потребуется для того, чтобы прокормить, например, 500 кур, 300 уток и 250 гусей на 1 день, на 1 неделю, на 1 месяц.

При этом придётся выполнять умножение именованных чисел, а затем их превращение.

Составление по картинкам задач и решение их

В IV классе дети могут решать более трудные задачи по картинкам тех же типов, которые они решали в III классе. Приведём пример (рис. 46).

Для составления задачи можно взять другие числа: 94, 131; 123, 162; 143, 191, и решить три разные задачи.

Рис. 46.

Решается задача путём сопоставления разности в стоимости всех вещей и числе кепок.

Задачи, решаемые способом нахождения отношений

Рассматривая картинку (рис. 47), учащиеся должны понять, каких здесь недостаёт данных для решения задачи. На картинке не известно количество грибов в корзине.

Делается предположение, что в корзине 90 грибов.

Дети получат столько раз по два рубля, сколько раз вынут из корзины по три гриба: два нужно умножить на число раз, а число раз получим делением 90 на 3.

Рис. 48.

Детям трудно даются понятия: припёк, усушка и т. п., поэтому необходимо облегчить им осознание этих понятий при помощи наглядности.

Если вы дадите задачу в таком изложении: «Из 3 кг муки выходит 4 кг хлеба. Сколько выйдет хлеба из 12 кг муки?» — вы можете не получить ответа. Но если вы ту же задачу изложите рассказом: «Мама взяла 3 кг муки, добавила воды и замесила тесто, поставила в печку, а из печки вынула 2 буханки по 2 кг. Каждый раз мама брала 3 кг муки, а вынимала 4 кг хлеба», то рассказ привлечёт активное внимание, и задача будет решена. Дети скажут, что мама из печки вынимала столько же раз хлеба, сколько раз ставила в печку тесто (рис. 48).

Во втором ряду на картинке число мешков увеличено вдвое. Дети должны подсчитать количество килограммов печёного хлеба. Можно затем поставить вопросы:

Сколько хлеба выйдет из 36 кг муки? из 27 кг муки? из 96 кг муки ?

Сколько нужно муки, чтобы испечь 24 кг хлеба? 32 кг? 56 кг? 84 кг? 92 кг?

Аналогичную задачу можно задать и на усушку грибов: «Колхозница на противень в печку клала 5 кг сырых грибов, а из печки после сушки с противня снимала только 1 кг. Сколько насушила грибов колхозница, если из лесу принесла она 30 кг грибов?»

Дети должны записать задачу:

30 кг : 5 кг = 6; 1 кг X 6 = 6 кг (сухих).

Для того чтобы закрепить умение применять нахождение отношения, можно предложить детям решить ещё несколько задач: «Сколько нужно муки, чтобы испечь 16 кг хлеба? Сколько хлеба выйдет из 18 кг муки? Сколько сушёных грибов выйдет из 20 кг сырых? Сколько было сырых грибов, если вышло 9 кг сушёных?»

«При варке варенья кладут на 3 стакана ягод 2 стакана песку. Сколько нужно песку, если набрали 24 стакана ягод?»

Составление различных задач по одной картинке (рис. 49)

Рис. 49.

Задача 1. Четыре тарелки стоят 56 руб. Блюдо дороже тарелки на 25 руб. Сколько стоит блюдо? Решение.

56 : 4 + 25 =

Задача 2. Тарелка дешевле блюда на 37 руб. и стоит 12 руб. Сколько стоит вся посуда? Решение.

12 + 37 + 12 X 4 =

Задача 3. Блюдо дороже одной тарелки на 39 руб. Вся посуда стоит 84 руб. Сколько стоит блюдо? Решение.

(84 — 39) : 5 + 39 =

Задача 4. Блюдо вдвое дороже всех тарелок, а вся посуда стоит 96 руб. Сколько стоит тарелка и блюдо в отдельности ? Решение.

1) 96 : 3 : 4 = 2) 96 : 3 X 2 =

Задача 5. Блюдо дороже тарелки в 4 раза, а вся посуда стоит 96 руб. Сколько стоит блюдо? Решение.

96 : (4 + 4) X 4 =

Практические работы при изучении геометрического материала в IV классе

При изучении темы «Измерение площадей» нужно задать детям следующие домашние работы: начертить квадратный дециметр, расчертить его на квадратные сантиметры; сделать из бумаги квадратный метр, расчертить его на квадратные дециметры или наклеить на весь квадратный метр квадратные дециметры, расчерченные на сантиметры, чтобы убедиться, что 1 кв. м = 100 кв. дм = 10 000 кв. см.

Для построения прямых углов на земле дети приготовляют эккеры не менее четырёх на класс и проводят ряд упражнений. Например, при помощи эккеров дети строят прямые углы, а потом квадрат, стороны которого образуются из живых вешек-детей, стоящих на расстоянии одного метра друг от друга; каждая сторона квадрата равна 10 м. Ученики, стоящие друг против друга по сторонам квадрата, при помощи длинной верёвки колышком прочерчивают линии вдоль и поперёк и получают квадрат, расчерченный на 100 кв. м, или ар. Теперь величина ар для детей ощутима, слово «ар» проверено органами чувств. Наблюдая с четвёртого этажа школы пространство, открывающееся взору, можно начерченный на земле участок площадью в

ар продолжить мысленно в длину и в ширину десять раз и приближённо наметить пространство, равное гектару. На экскурсии представление о величине гектара следует уточнить.

Навыки измерения расстояния шагами и вычисления площадей по результатам измерения дети могут применять на практике в пионерском лагере. Помогая колхозу в прополке, поливке и т. п. или при уборке участка, чистке двора и территории лагеря, дети сначала должны шагами измерить длину и ширину участка и вычислить его площадь. Это делается для того, чтобы распределить равные участки между группами и отдельными пионерами. Каждая группа соревнуется между собой за хорошее качество работы и скорость ее выполнения. Такая рационализация труда, несомненно, будет содействовать укреп-

лению дисциплины, организованности коллектива и ответственности в труде.

Дети с большим трудом усваивают, что равновеликие площади могут иметь разные периметры. Для того чтобы дети убедились в этом, необходимо предложить им начертить несколько площадей, например, величиной в 36 кв. м (в масштабе 1 кв. м = I клеточке), со сторонами 6 X 6, 4 X 9, 18 X 2, 12 X 3, 36 X 1 (рис. 50), проверить площади, вычислить периметр каждой фигуры и найти самый короткий. Эта работа поможет детям ответить на практический вопрос, какой забор на разных участках одинаковой площади самый короткий и какой самый длинный.

Когда дети научатся изображать площади прямоугольных фигур в масштабе, можно предложить им производить вычисления по чертежам.

Рис. 51.

Найдите по плану школьного участка (рис. 51) равные стороны и надпишите их размеры. Установите, где квадрат, а где прямоугольник. Надпишите размеры сторон квадрата — огорода. Найдите размеры сторон двора и сторон сада.

Вычислите площадь сада, огорода и школы с двором.

Вычислите длину забора всего участка, длину забора школьного двора. При вычислениях принимайте масштаб 1 см = 10 м.

Рис. 52.

Разделите участок, изображённый на рисунке 52, на три квадрата.

Вычислите площадь каждого участка. Недостающие данные найдите сами. Масштаб 1 см = 10 м.

Подсчитайте общую площадь и проверьте сложением трёх площадей.

Для измерения объёма дети с помощью учителя приготовляют соответствующие меры. Обучая, как проводить измерение объёма, я давала детям следующее объяснение.

Когда вы измеряли вес товара, вы сравнивали его вес с весом гирь, т. е. вес измеряли весом.

Когда вы измеряли длину, то сравнивали длину предмета с длиной метра, сантиметра, дециметра и узнавали, сколько раз эта мера укладывалась в измеряемой длине.

Когда вы измеряли площадь комнаты, измеряли её тоже площадью — квадратным метром.

Теперь вы будете измерять вместимость ящиков, вёдер, бидонов, и вам нужна мера вместимости, или объёма.

Измерьте вместимость спичечной коробки. Для этого приготовьте себе сами меру для измерения. Возьмите крупный клубень картофеля, срежьте выпуклый бок клубня широким ножом, держите нож под прямым углом, чтобы не было косины.

На срезе наметьте карандашом линии на расстоянии 1 см одна от другой. По линиям режьте очень точно и у вас получатся слои картофеля. Проверьте, чтобы их толщина была везде равна 1 см. При этом нужна большая точность и аккуратность. На этих слоях наметьте линии вдоль и поперёк, чтобы получились клетки в 1 кв. см. Разрежьте картофель по намеченным линиям, и у вас получатся ровные правильные кубики с ребром в 1 см. Это и будет мерка для измерения объёма.

Теперь укладывайте эти кубические сантиметры в спичечную коробочку. Если вы вырезали кубики правильно, то по ширине уложится по три кубика, в пять рядов в один слой:

3 куб. см X 5 = 15 куб. см.

Если кубики не уложатся, вырежьте их ещё раз, добейтесь точности в работе, проверяйте линейкой рёбра кубиков. Теперь возьмите коробочку большого размера, чтобы в неё уложилось три слоя в высоту, и сосчитайте, сколько поместится кубических сантиметров в один слой и в три слоя.

Сделайте из плотной бумаги развёртку кубического дециметра по рисунку в задачнике и склейте кубический дециметр, оставив одну грань открытой. Насыпьте в него песку. Этот песок пересыпьте в литровую банку и вы увидите, что 1 куб. дм равен 1 л. Литр — мера для измерения вместимости. Измерьте литровой банкой вместимость ведра, и вы будете знать, сколько кубических дециметров вмещает ведро.

Если нужно узнать вместимость ящика от мыла, печенья или чая, уложите в него кубические дециметры по длине, как укладывали в спичечную коробку кубические сантиметры. Сосчитайте, сколько кубических дециметров уложится в один ряд и сколько таких рядов уложится по ширине. Высчитайте, сколько уложится слоев в высоту, и узнаете вместимость ящика в кубических дециметрах.

Измеряем 1 куб. дм кубическими сантиметрами. По одному ребру укладываем картофельные кубические санти-

метры, укладывается 10 куб. см, всего укладывается 10 рядов: 10 куб. см X 10 = 100 куб. см.

На нижнюю грань, т. е. на дно, уложится 100 куб. см, а в высоту — 10 слоев. Значит, в 1 куб. дм должно уложиться :

100 куб. см X 10 = 1000 куб. см, 1 куб. дм = 1000 куб. см.

Из четырёх фанерных листов площадью в 1 кв. м строят стенки ящика и получают кубический метр. Укладывают на дно его сделанные раньше кубические дециметры и убеждаются, что их уложилось на дне ящика 100. Если эти кубические дециметры наполнить водой, то они будут весить 100 кг = 1 ц. Воображение поможет детям представить, как заполнить весь кубический метр кубическими дециметрами, и сделать вывод, что в кубическом метре помещается 10 слоев по 100 куб. дм, что составит 1000 куб. дм. Если кубический метр заполнить водой, то он будет весить 10 ц, или 1000 кг, или тонна. Так дети усваивают значение слова «тонна». Теперь они осознают слова «трёхтонка», «пятитонка», применяемые для обозначения грузоподъёмности грузовых автомобилей.

Навык измерения объёмов дети могут применить летом в лагере, на даче, при распилке, колке и укладке дров. Кроме вычислений объёма, могут быть решены и другие задачи: за какое время можно напилить 1 куб. м дров? Наколоть 1 куб. м дров? Во сколько времени может сделать это один человек? Сколько времени потребуется на разгрузку 1 куб. м дров? и т. д.

НАГЛЯДНОСТЬ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

Значение наглядности при решении задач в начальных классах

Со времени К. Д. Ушинского наглядность завоевала почётное и прочное место в методике обучения детей младшего возраста.

Учение И. П. Павлова о двух сигнальных системах дало возможность физиологически обосновать влияние наглядности на мыслительные процессы учащихся.

Основная цель наглядности — познакомить учащихся с неизвестными им предметами, их свойствами, качествами, строением. Наглядность осуществляется большей частью показом моделей, чучел, гербариев, коллекций, опытов, таблиц, чертежей, картин и т. д. Пользование этими пособиями даёт возможность учащимся получить максимальное количество ощущений через органы чувств и мускульный аппарат. Рассматривание картин возбуждает эмоции, создаёт настроение, поднимает интерес и повышает общий тонус работы.

Во время демонстрации детям наглядных пособий самые незначительные признаки, как-то: запах смолы, грибов, цветов, красный цвет розы, твёрдость минералов — вызывают и восстанавливают давнишние, ранее образовавшиеся связи, присоединяют к ним новые и образуют более сложные связи.

В общем все эти сигналы первой сигнальной системы дают материал и основы для образования представлений понятий, т. е. процессов, относящихся ко второй сигнальной системе. В итоге взаимодействия двух сигнальных

систем образуется относительно правильное представление об окружающей действительности. Такая прямая форма применения наглядности имеет место в преподавании каждого предмета, ибо познание действительности есть основная цель всякого обучения.

Но кроме этой формы наглядности, когда показ объекта прямо и непосредственно ведёт к образованию представлений, есть ещё и другая разновидность наглядности, помогающая ребёнку осознать отношения и связи между предметами. Так, на уроках арифметики картинка не только знакомит школьника с неизвестными предметами или напоминает о них, но, кроме того, помогает осознанию количественных отношений между различными совокупностями предметов и величинами.

Цели такой наглядности при использовании картинок заключаются в том:

1) чтобы упражнять способность детей в сопоставлении, сравнении, установлении сходства и различия предметов ;

2) чтобы дети сами додумывались по картинке, что можно сосчитать, какой вопрос можно поставить и какую задачу сочинить;

3) чтобы дети умели облечь свою мысль в точную и понятную для других форму;

4) чтобы дети развивали речь, обогащали свой запас слов математическими выражениями и терминами.

Для этого в картинках взяты самые простые, доступные интересам детей предметы. Количество слов, поясняющих содержание картинки, взято минимальное. Всё предоставлено для выполнения самостоятельной мыслительной работы детей.

Для примера возьмём картинку, которую можно самим нарисовать. На ней изображены слева три ёлки, справа — две берёзы, ниже — четыре ёлки и три берёзы.

Учитель не задаёт никаких вопросов и предлагает самим детям подумать, что можно по этой картинке сосчитать.

Мало-помалу дети вникают в содержание картинки и начинают задавать вопросы: «Сколько ёлок в первом ряду?»; «Сколько берёз в первом ряду?»; «Сколько ёлок во втором ряду?»; «Сколько берёз во втором ряду?»; «Сколько всего деревьев в первом ряду?»; Сколько всего деревьев в двух рядах?»; «Сколько всего ёлок?»; «Сколько

всего берёз?»; «Чего больше?»; «Сколько надо посадить ещё берёзок, чтобы и ёлок, и берёз стало поровну?»

Дети заинтересовываются, всё больше и больше задают вопросов. Вот так и должна начинаться самостоятельная работа детей по картинке — работа вдумчивая, сознательная, исчерпывающая все данные картинки и все возможные комбинации образов.

Предметы на картинках должны быть известные, но расположение им нужно давать такое, которое будет наводить детей на сопоставление.

Приёмы использования картинок для составления и решения задач

На уроке в I классе дети рассматривают картинку, на которой изображены птички (рис 53). Учитель спрашивает, что дети видят на картинке. Дети замечают, что

Рис. 53.

Сколько будет птичек на ветках, когда вернутся те, которые улетели?

Сколько будет птичек в стае, когда эти улетят и догонят тех, которые улетели?

одни птички сидят на ветках, а другие улетают. Дети подсчитывают, сколько птичек сидит на левой ветке, сколько на правой, сколько всего птичек на ветках. Дети рассказывают, как они сосчитали:

3 п.+ 1 п.= 4 п.

Затем считают по-другому: выше сидят две птички, и ниже сидят две птички:

2 п.+ 2 п.= 4 п.

Считают, сколько птичек улетает: 2+2 + 2=6 или 3 + 3 = 6.

Так дети повторяют состав числа 6.

Учитель просит сосчитать, сколько будет птичек, если вернутся те птички, которые улетели. Дети считают:

4 п.+ 6 п.= 10 п.

— Сколько же птичек было раньше, когда все сидели на ветках? Как вы это узнали?

— Мы прибавили тех птичек, которые улетели, к тем, которые остались.

Для закрепления этой беседы нужно дать аналогичную задачу, которую дети будут решать без использования наглядности, только по воображению.

Учитель предлагает решить задачу: «Пошла Маша гусей пасти, подошла к берегу пруда и села. 7 гусей спустились на воду и поплыли, а 3 остались на берегу щипать траву. Сколько гусей пасла Маша?»

Если три гуся с берега спустятся к тем, то будет: 7 + 3; если из воды выйдут на бережок, тогда будет: 3 + 7. Сделать вывод.

Рассмотрев вторую картинку (рис. 54), дети сосчитают, сколько стоят все вещи. Можно предложить добавочные задачи: купить ручку и ластик, ластик и карандаш.

По третьей картинке (рис. 55) можно выяснить понятия «сдача», «не хватает».

Рис. 55.

Используя эту картинку, учитель предлагает детям решить несколько задач: «Сколько денег было у девочки, если она купила карандаш и ластик и ей дали сдачи 3 копейки». Когда дают сдачу? «Мальчик хотел купить карандаш и ластик, но ему не хватило двух копеек. Сколько у него было денег?»

Рис. 56.

Сколько карандашей в коробке и в стакане вместе?

Сколько карандашей надо добавить, чтобы всего стало 20 карандашей?

Картинка четвёртая (коробка и стакан с карандашами, рис. 56) имеет целью помочь осознать решение задач на увеличение числа на несколько единиц. Учащиеся пересчитывают карандаши в стакане — их 7. Сказано, что в коробке на 3 карандаша больше. Значит, в коробке:

7 кар.+ 3 кар.= 10 кар.

А сколько карандашей в стакане и коробке вместе? Всего:

7 кар.+ 10 кар.= 17 кар.

Рисунок помогает детям осознать, что надо к числу карандашей в стакане прибавить число карандашей в коробке. А в первом действии они сложением узнали, сколько карандашей в коробке.

После этого можно решить другую подобную задачу, без применения наглядности.

Картинка, на которой изображены вишни и орехи (рис. 57), должна помочь учащимся отличать множимое от множителя: по 3 вишни взять 5 раз, получится 15 вишен; по 5 орехов взять 3 раза, получится 15 орехов.

Рис. 57.

Все вишни роздали поровну 3 девочкам. По скольку вишен получила каждая?

Все орехи роздали поровну 5 мальчикам. По скольку орехов получил каждый?

Рис. 58.

Если в каждый стакан положить по 2 куска сахару, сколько сахара положат во все стаканы?

Если в каждый стакан положить по 3 куска сахару, сколько сахара положат во все стаканы?

Сколько останется в сахарнице сахара, если положить по 2 куска в стакан?

Сколько останется в сахарнице сахара, если положить по 3 куска в стакан?

Эта же картинка используется для решения задач на деление на равные части.

Картинка с изображением сахарницы и стаканов (рис. 58) используется для составления и решения задач на умножение в одно и два действия.

Картинка с изображением пустой банки и банки с огурцами (рис 59) используется для объяснения детям понятий: «чистый вес огурцов», «вес огурцов с посудой», «вес посуды». Вместе с тем дети учатся решать задачи на нахождение неизвестного слагаемого (II класс).

Решается аналогичная задача без наглядных пособий: «Пустая бутыль весит 1 кг; в такую бутыль налили подсолнечного масла, и вес стал 3 кг. Почему? Как узнать

Рис. 59.

На сколько вес огурцов (с рассолом) больше веса бутыли?

сколько весит масло? Сколько будет весить масло, если пустая бутыль весит 1 кг, а с маслом весит 4 кг?»

Можно затем усложнить задачу, предложив детям определить стоимость масла, если известна цена 1 кг его.

Рассмотрим картинки, которые можно использовать для составления и решения задач во II классе.

Картинка, на которой изображены игрушки — клоун, заяц и матрёшка (рис. 60), используется для того, чтобы познакомить детей с нахождением третьего слагаемого по сумме и двум слагаемым.

Эта задача даётся после того, как дети научились находить неизвестное слагаемое по сумме и другому слагаемому.

Тогда можно переходить к картинке: и клоун, и заяц, и матрёшка — игрушки, вместе стоят 20 руб. Дети будут складывать два слагаемых и находить затем вычитанием третье.

Рис. 60.

На сколько заяц дешевле клоуна? На сколько клоун дороже матрёшки?

После этого хорошо сделать преобразование задачи и дать схему:

Составляя новые задачи, дети должны брать за данное найденный результат. Когда будут решены преобразованные задачи, тогда по трём слагаемым нужно найти общую сумму, которая была первым данным.

Преобразование задачи имеет большое значение: изменяя условие, ученик хорошо усваивает соотношение между данными и искомым; осознаёт зависимость между величинами, легко оперирует ими, закрепляя, углубляя и утверждая осознанное. Путём преобразования задачи может быть увеличено количество задач одного вида, что необходимо для упражнения учащихся в решении задач.

Рис. 61

На сколько меньше дала молока третья корова, чем первая?

На сколько больше дала молока вторая корова, чем третья?

Рисунок 61 используется для той же цели — решения задач на нахождение неизвестного слагаемого по сумме трёх слагаемых и двум известным слагаемым.

Практика показала, что дети лучше понимают задачу, если каждой корове дать кличку.

После решения задачи нужно сделать преобразование и решить ещё две задачи. Необходимо показать литр, кружку, бутылку, чтобы картинка была не для пояснения неизвестного, а для восстановления представлений, полученных во время практической работы с литром.

Отыскивание третьего слагаемого представляет трудность даже и для учащихся III класса, поэтому в III классе эту задачу можно видоизменять: брать суточный удой трёх коров, а затем годовой для трёх коров: 9612 л; первая корова дала 3744 л, вторая 3369 л, третья остальное.

Картинка с изображением улицы (рис. 62) используется также для решения задач на нахождение третьего слагаемого и для уточнения понятий «шире», «уже».

До показа картинки нужно проверить, умеют ли дети словами правильно выражать понятия «шире», «уже», и задать им вопросы:

«Что шире — река или ручей ? тропинка или дорога, улица или переулок ? Что уже — линейка или доска, полотенце или бинт, шарф или лента?»

Рис. 62.

На сколько метров мостовая шире тротуара? На другой улице мостовая на 5 м шире. Какой ширины мостовая на другой улице?

«Ученик вышел из дома,— рассказывает учитель,— перешёл тротуар, перешёл мостовую до противоположного тротуара, перешёл его и вошёл в булочную. Этот путь можно изобразить линией (в масштабе 1 м в клеточке). На линии отметить: тротуар 3 м, мостовая 14 м и другой тротуар 3 м. Эта линия и будет ширина улицы. Это расстояние равно скольким метрам? На сколько метров тротуар уже мостовой? На сколько метров мостовая уже улицы? На сколько метров мостовая шире тротуара?»

После этого можно перейти к составлению и решению задач без картинки.

На рисунке 63 изображены два платья и остаток материи. На одно платье пошло 4 м материи, а на другое 3 м. После кройки двух платьев получился остаток материи 5 м\ материя, истраченная и на первое, и на второе платье, была в этом отрезе до кройки. Значит, чтобы узнать, сколько было материи в отрезе, нужно сложить то, что истра-

Рис. 63.

Сколько можно было сшить из всего отреза больших платьев?

Сколько можно было сшить из всего отреза маленьких платьев?

чено, и то, что осталось. Как проверить эту задачу? Можно узнать, сколько осталось материи после кройки первого платья, сколько осталось материи после кройки второго платья. Если остаток получится 5 м, значит решили верно.

Затем надо решить подобную задачу без наглядности. «Мальчик копал гряду. В первый день вскопал 3 м, во второй 2 м\ осталось копать 2 м. Что можно узнать?»

Предложить детям сопоставить обе задачи, найти их сходство и различие и добиться того, чтобы они поняли, что как в одной задаче, так и в другой даётся остаток и требуется найти, сколько было.

По рисунку 64 дети сами составляют задачу: «Из одного клубка шерстяных ниток выходит 3 чулка. Сколько чулок выйдет из трёх клубков?» Из трёх клубков ниток выйдет 3 раза по 3 чулка.

Учитель изменяет условие: из клубка выходит 2 пары носков. Дети узнают, сколько можно связать носков из трёх клубков.

Условие задачи изменяется ещё раз: из клубка можно

Рис. 64.

связать 3 пары варежек. Учащиеся вычисляют, сколько варежек выйдет из трёх клубков.

Рисунки 65 и 66 используются для составления и решения задач на деление по содержанию.

Следует обратить внимание на рассуждения, которые будут применять дети (рис. 65). Они сначала узнают, сколько раз содержится в 40 руб. по 2 руб. (20 раз), а потом сделают вывод, что в корзине 20 стаканов ягод.

Рис. 65.

Сколько стаканов ягод продадут на 10 рублей?

Это рассуждение отражается в записи решения: 40 руб.: 2 руб. = 20 (стаканов).

Рис. 66.

Картинка, на которой изображены матрёшка и мячи (рис. 67), должна подсказать детям, какие действия надо сделать, чтобы найти ответы на поставленные вопросы. Рассматривая картинку, дети устанавливают, что мячи, лежащие слева, одинаковые по цвету и величине, значит, цена им одинаковая. Два мяча стоят 8 руб., значит, 8 руб. нужно разделить на две равные части. Мяч, лежащий рядом с матрёшкой, такой же величины и цвета, значит, и цена ему такая же. Отсюда понятно, что нужно делать, чтобы узнать, сколько стоит матрёшка.

Затем можно изменить эту задачу: купить 3 мяча,

Рис. 68.

Сколько стоят все чашки и чайник?

купить 2 матрёшки и мяч, узнать, хватит ли 20 руб., чтобы купить 3 матрёшки и мяч.

На рисунке 68 изображены чайник и чашки.

Дети рассматривают картинку. Сказано, что чайник дороже чашки на 5 руб. Значит, надо узнать цену одной чашки. 4 чашки стоят 12 руб., а чтобы узнать цену одной чашки, надо 12 руб. разделить на 4. Была дана стоимость и количество, узнали цену. Каким действием и почему? Дети делают вывод: чтобы узнать цену, надо знать стоимость и количество. Теперь узнаем, сколько стоит чайник.

Затем даётся задача без наглядности: «На 20 руб. купили блюдо и 2 тарелки. Сколько стоит тарелка, если блюдо стоит 8 руб?»

На основании только что сделанных выводов дети поймут, что стоимость двух тарелок можно найти, если от 20 руб. отнять 8 руб. А теперь нетрудно узнать цену тарелки.

Дети рассматривают картинку, на которой изображены лимоны и апельсины (рис. 69). Нужно узнать, сколько стоит апельсин. Один апельсин дороже лимона на 1 руб. Сначала нужно узнать, сколько стоит один лимон. Известно, что три лимона стоят 6 руб. По стоимости и количеству лимонов можно узнать цену лимона. Когда цена лимона известна, можно узнать цену апельсина, а затем стоимость двух, трёх, четырёх, пяти апельсинов.

Даётся задача без наглядности: «3 карандаша стоят

Рис. 69.

Сколько стоят все апельсины? Сколько заплатили за все лимоны и все апельсины вместе?

30 коп., а ручка на 12 коп. дороже карандаша. Сколько стоит ручка?»

Приступая к работе по картинке, на которой изображены чулки, варежки и носки (рис. 70), следует сначала устно предложить решить задачи на нахождение суммы и остатка и на деление на части. Задачи можно дать такие:

«Купили панаму за 8 руб. и майку за 5 руб. Что можно узнать?»

«Купили воротничок за 2 руб. и 3 носовых платка и за всё уплатили 11 руб. Сколько стоил носовой платок?»

Рис. 70.

Сколько пар носков можно купить вместо пары чулок?

Сколько пар носков можно купить на все деньги?

«Купили три воротничка по 2 руб. Сколько получили сдачи с 10 руб.?»

Устные задачи решаются быстро, без разбора их, дети говорят прямо ответы.

Затем дети рассматривают картинку, без вопросов учителя составляют задачу, которая после поправок имеет следующий вид: «Купили чулки за 8 руб., варежки за 6 руб. и 2 пары носков. Какая цена каждой пары носков, если за всё уплатили 18 руб.?»

Дети рассуждают: «За все вещи заплатили 18 руб., купили чулки и варежки, а на остальные деньги — носки. Носки купили на остальные деньги, значит, надо сначала узнать, сколько истратили на варежки и чулки». После такого рассуждения дети самостоятельно решают задачу.

Рассмотрение детьми картинки «Волчки и барабан» (рис. 71) наведёт их на мысль, что знание стоимости пяти волчков даёт возможность узнать цену одного волчка. Цена барабана находится увеличением в несколько раз цены волчка. Эта задача удобна для повторения увеличения в несколько раз и на несколько единиц.

Рисунок 72 — две банки с рыбками — даёт материал для составления задачи, решаемой приведением к единице. Дети при взгляде на картинку сразу догадываются, что

Рис. 71.

На сколько дороже стоит барабан, чем волчок? Сколько надо заплатить за барабан и 2 волчка?

Рис. 72.

Сколько стоят рыбки в двух банках? Сколько рыбок можно купить на 15 руб.?

можно узнать, сколько стоит одна рыбка, а потом узнать, сколько стоят все рыбки во второй банке.

Можно использовать этот рисунок в III классе для подготовки детей к решению задачи способом нахождения отношения (программа IV класса). Учитель ставит вопрос, нельзя ли как-нибудь иначе узнать стоимость рыбок во второй банке. Во сколько раз больше рыбок во второй банке, чем в первой? Этот вопрос будет ключом к решению.

Затем надо проверить задачу и решить аналогичные задачи без применения наглядности.

1) 4 чашки стоят 12 руб. 2) 5 белых грибов стоят 3 руб.

8 чашек » ? руб. 15 » » » ? руб.

Предложить детям решить первую задачу двумя способами. Решая вторую задачу, дети поймут, что её можно решить только одним способом — способом отношений.

Рисунок 73 («ложки»). Дети замечают, что две ложки стоят 3 руб. Чтобы узнать стоимость 10 ложек, дети поступают просто: они мысленно откладывают по паре ложек, отсчитывают пары и подсчитывают, сколько раз нужно заплатить по 3 руб. При таком решении от детей важно добиться правильной формулировки: сколько раз взять по 2 ложки, столько раз нужно платить по 3 руб.

Рисунок 74 даёт материал для составления задачи на пропорциональное деление (III класс). Картинка показывает, что дети вместе купили пачку карандашей, им

Рис. 73.

Сколько стоят 12 таких ложек? Сколько стоят 16 таких ложек? Сколько ложек можно купить на 15 руб.?

нужно разделить её между собой. Чтобы облегчить понимание этой сложной задачи, применена наглядность: указано, сколько копеек уплатила каждая девочка. Понятно, что получит карандашей больше та девочка, которая уплатила больше денег.

Рисунок 75 может подготовить детей к решению задач на нахождение чисел по их сумме и кратному отношению. Сначала дети могут узнать, сколько стоит клоун и мяч (27 руб.: 3 = 9 руб.). Клоуна можно заменить двумя мячами, так как клоун вдвое дороже мяча. За 3 мяча при-

Рис. 75.

дётся заплатить 9 руб., следовательно, один мяч стоит 3 руб., а клоун 3 руб. X 2=6 руб. Это поможет детям в дальнейшем осознать понятие условной единицы — «части».

Рисунок 76 с изображением лейки, граблей и лопаты даёт материал для сопоставления, сравнения и вывода. Даны три группы вещей (три покупки); их надо сравнить и найти цену каждой вещи в отдельности. Некоторые дети будут сравнивать первую покупку со второй и первую с третьей и, возможно, не сумеют использовать полученный результат. Учитель должен помочь им в этом.

Когда дети найдут цену каждой вещи, нужно проверить стоимость каждой из трёх покупок.

Затем даётся аналогичная задача.

альбом краски нож

44 руб.

альбом краски

40 руб.

альбом нож

36 руб.

Решение подобных задач развивает сообразительность, мышление детей.

Рис. 76.

Работа над задачей

Картинки, рассмотренные нами, содействуют развитию самостоятельного мышления детей; но при этом требуется постоянное закрепление и углубление мыслей детей. Тотчас же после решения задачи по картинке нужно дать аналогичную задачу без наглядности, в которой дети должны указать сходство и различие в ходе развития действий, в вопросе и в данных. Последним этапом работы будет самостоятельное составление задачи или вполне сходной, или аналогичной решённой, но с другими предметами.

Если начинать работу по составлению задач детьми с первых дней обучения, дети приучаются осмысливать арифметические действия и подбирать подходящие объекты к ним. Например, детям было задано придумать задачи к примеру: 7 — 1. Они нарисовали 7 пуговиц, из которых одна оторвалась, 7 чашек, из которых одна разбилась, 7 ёлочек, из которых одна повалилась, и т. д.

Приходится наблюдать значительную разницу в ответах детей на предложение придумать задачу к данному примеру. В тех классах, в которых учителя применяли конкретизацию примеров и заставляли детей зарисовывать иллюстрации к задачам, составленным по данному примеру, дети быстро и с интересом выполняют задание. А в классах, где эта работа не проводилась, подобные задания выполнялись лишь немногими детьми и то не всегда удачно.

Учителя, которые уделяют внимание придумыванию задач детьми по данному примеру, сначала на уроке показывают, как это сделать и как затем придуманную задачу иллюстрировать рисунком.

Учитель, скажем, предлагает решить пример: 8 + 1. Затем он просит детей придумать задачу, которая решалась бы так, что в ней надо к 8 прибавить 1. Ученица рассказывает задачу: «Девочка подшила сначала 8 платочков, а потом ещё 1. Сколько всего платочков подшила девочка?» Ученица зарисовывает 8 платочков и отдельно ещё 1 платочек и рассказывает задачу по рисунку.

Затем дети подобные задания выполняют дома, зарисовывая иллюстрации в маленькой тетрадочке под заглавием «Мой задачник».

На первых порах ученья, пока дети неграмотны, эти рисунки-задачи дают материал для упражнений в изложении условия и вопроса задачи и решения задач.

В чём же заключается работа над задачей из задачника?

Она распадается на три момента: 1) предварительная работа; 2) решение задачи; 3) работа над решённой задачей.

Часто дети не могут решить задачу потому, что не понимают слов и выражений в условии, не представляют процессов, описанных в задаче. Ученик II класса спутал подводу с подводной лодкой и не знал, как грузить картофель с поля на подводную лодку. Ученик III класса забыл, что значит «дороже» и «дешевле» и какое действие применять в соответствии с каждым выражением. Ученик IV класса не представлял себе процесса разгрузки баржи при последовательной работе двух бригад.

Таких недоуменных вопросов можно привести много; возникновение и наличие их требует внимания педагогов. Что же нужно делать, чтобы избежать этих недоразумений ? Надо прежде всего научить детей сознательно, вдумчиво, ответственно относиться к тексту задачи. При работе над текстом задачи применять приёмы объяснительного чтения: 1) проводить словарную работу; 2) научить детей мысленно рисовать картину процесса, описанного в задаче; 3) научить отыскивать главную мысль задачи.

Но, кроме того, необходимо в работе над текстом задачи поставить цели и арифметические: 1) научить располагать числа, выражающие величины, в их соотношении; 2) научить подбирать действия, соответствующие реальным про-

цессам; 3) выработать у детей привычку проверять правильность ответа-результата.

Словарная работа не может состоять в том, что одно неизвестное слово заменяется другим неизвестным словом, а именно: дороже — это больше денег, дешевле — это меньше денег. Такое объяснение не придаст конкретности и образности неизвестному. Возьмём для примера того ученика, который не знал выражения «дороже» и «дешевле». Попробуем объяснить ему. Прикрепляем на полочке у доски ластик и под ним монету в 5 коп., картонную, увеличенного размера; рядом прикрепляем карандаш и под ним три такие же монеты по 5 коп. Заставляем детей самих делать выводы. Когда дети скажут: за карандаш взяли больше денег,— объясняем слово «дороже», а когда скажут: за ластик меньше денег,—объясняем слово «дешевле».

Сделаем сначала разностное сравнение: карандаш на 10 коп. дороже, ластик на 10 коп. дешевле. После этого сделаем кратное сравнение: карандаш в три раза дороже ластика, а ластик в три раза дешевле карандаша.

Для закрепления этих понятий даём несколько примеров для сравнения, что дороже, что дешевле: пенал или портфель, тетрадь или альбом, краски или кисточка.

Применение такой прямой наглядности, соединённой с практическими работами детей, должно иметь место на всех уроках, выясняющих пространственные понятия: «длиннее», «выше», «шире», «ниже» и т. д.

Далее учитель должен научить детей мысленно воспроизводить процесс, описанный в задаче. Для примера приведу задачу, которой я экспериментировала в течение ряда лет: «Маша пошла в гости к бабушке. Шла лугом два километра. Шла рожью километр. Шла лесом два километра. Погостила у бабушки и вернулась домой. Сколько километров прошла Маша?»

В каждом классе я получала не более двух-трёх верных ответов. Дети не учитывали обратную дорогу.

Это показывает, что содержание задач полностью до сознания детей не доходит. Тогда я решила применить особый приём работы над текстом задач. Этот приём давал хорошие результаты во II классе. Работа проходит при полном молчании. Учитель только вызывает учеников, а они молча всё выполняют. Никто не должен слышать ни одного слова, иначе этот приём теряет свою сущность —

контроль сознательности чтения задач. Ведётся это так. Учитель предлагает открыть задачник и прочитать задачу всю до конца молча. Когда дети прочтут задачу про себя, учитель просит поднять руку тех, кто понял, о чём говорится в задаче. Если поднятых рук мало, предлагается прочесть задачу ещё раз. Из детей, поднявших руку, учитель вызывает одного к доске и просит написать начальные буквы названий тех предметов, о которых говорится в задаче. Например, говорится о мячах и волчках; вызванный к доске должен написать буквы M и В. Все молчат. Далее предлагается читать задачу опять сначала, до запятой, и опять вызывается ученик, который понял и может записать то, о чём говорится в этой части задачи. Записывает: против В ставит 2, против M ставит 4, поодаль пишет: 18 руб. Предлагается читать дальше, до точки. Молча все читают про себя. Желающий написать поднимает руку. На доске появляется новая запись: 1 волчок стоит 5 руб. Читают дальше вопрос задачи. Желающий записать ставит против «мяча» знак вопроса.

После этой молчаливой сосредоточенной работы дети по вызову учителя называют значение чисел, написанных на доске. Затем один из учащихся рассказывает полностью условие задачи. В таком тщательном вчитывании в текст задачи нужно упражнять детей. Когда дети поймут этот приём чтения задачи, нужно требовать, чтобы они выписывали данные из задач и при домашнем исполнении.

Важно научить детей правильно располагать числа, данные в задаче. Если сказано, что на 20 коп. ученик купил ластик за 5 коп., карандаш за 12 коп. и перо, то числа расположить нужно так: 20 коп. отделить вертикальной чертой и за чертой написать названия предметов, на которые были истрачены эти 20 коп. Против пера поставить знак вопроса.

20 коп.

Л. — 5 коп. К. — 12 коп. П. — ? коп.

Если, наоборот, куплена ручка за 12 коп., ластик за 5 коп. и перо за 3 коп. и спрашивается общая сумма расхода, то после названия предметов ставится итоговая черта, обобщающая, и за ней знак вопроса.

Р. —12 коп. Л. — 5 коп. П. — 3 коп.

В общем выписывание данных из условия задачи имеет целью конкретизировать условие, т. е. сделать его понятным, доходчивым. Поэтому и рисунки, и чертежи, и картинки, и практические работы ведут к одной цели — помочь ученику осознать и решить задачу.

Важным этапом работы является подготовка к задаче. Она состоит в том, что учитель направляет мысль детей в то русло, которое ведёт к намеченной цели.

Подготовляясь к уроку, учитель выбрал сложную задачу, но её нужно сделать доступной всему классу. Для этого он расчленяет её на простые, подбирает или придумывает простые задачи, аналогичные тем, которые составляют сложную задачу, и подаёт их детям в устном счёте, как предварительную работу.

Предположим, что в «большой» задаче встретятся увеличение на несколько единиц и разностное сравнение. Не все учащиеся могут знать разностное сравнение. Могло случиться, что кто-нибудь пропустил урок, кто-нибудь забыл и т. д. Для этого детям и дают аналогичные задачи с малыми числами, но на разностное сравнение и подготовляют их таким образом к «большой» задаче.

Такая подготовка через простые задачи особенно важна для плохо успевающих детей, ибо они на малых числах и на другом содержании знакомятся с элементами «большой» задачи и им легче будет охватить задачу в целом, тем более, что при затруднениях в решениях «большой» задачи можно прибегнуть к аналогии с предшествующей, простой задачей.

Подготовку к решению сложной задачи нужно делать не только в логическом отношении, но и в технике вычислений. Предположим, что в задаче будет встречаться внетабличное деление и умножение. Само собой разумеется, что эти трудности должны быть предварительно повторены на устном счёте, тогда устный счёт является подготовкой к решению сложной задачи и тесно связан с центральной частью урока. После подготовки и логической, и технической учитель переходит к решению задачи аналитико-синтетическим способом, ибо анализ и синтез неразлучны и постоянно взаимодействуют.

Последним этапом работы с задачей является проверка результатов. Проверка придаёт законченность, уверенность в правильности решения, и, главное, она требует обратных действий, т. е. преобразований.

СОДЕРЖАНИЕ

От издательства................ 3

Мария Митрофановна Топор — видный методист по арифметике. Л. Н. Скаткин............ 5

Значение практических работ для усвоения знаний по арифметике .................. 10

Практические работы по арифметике в I классе

Практические работы при изучении чисел первого десятка . 14

Уроки по изучению чисел первого десятка...... 19

Ознакомление детей с числом 1.......... 21

Ознакомление с числом 2............ 23

Продолжение изучения числа 2.......... 25

Ознакомление детей с числом 3 ......... 27

Изучение числа 4............... 29

Изучение числа 5............... 31

Знакомство с мерами веса............ 33

Изучение чисел второго пятка.......... 34

Решение задач в пределе первого десятка...... 37

Практические работы при изучении чисел второго десятка . 39

Сложение и вычитание с переходом через десяток ... 41

Таблица сложения .............. 42

Увеличение и уменьшение на несколько единиц .... 44

Умножение в пределе 20............ 45

Практические работы при знакомстве детей с действиями над круглыми десятками и с числами первой сотни .... 47

Практические работы по арифметике во II классе

Практические работы при изучении увеличения и уменьшения числа в несколько раз, разностного и кратного сравнения чисел .............. 51

Практические работы, помогающие усвоению таблицы умножения и деления в пределе 100......... 53

Таблица умножения и деления на 2........ 54

Внетабличное умножение и внетабличное деление ... 59

Практические работы при знакомстве с числами в пределе 1000 ................... 61

Практические работы по арифметике в III классе

Повторение решения простых арифметических задач по программе II класса.............. 63

Объяснение детям зависимости между величинами ... 64

Повторение четырёх арифметических действий в пределе 100................... 68

Внетабличное умножение и деление........ 71

Составление по картинкам задач и решение их .... 74

Практические работы при изучении геометрического материала в III классе............. 79

Практические работы по арифметике в IV классе

Повторение пройденного в III классе........82

Зависимости между данными числами и результатами арифметических действий над ними........84

Простые и составные именованные числа и арифметические действия над ними..............90

Составление по картинкам задач и решение их .... 92

Практические работы при изучении геометрического материала в IV классе.............96

Наглядность при решении задач в начальных классах

Значение наглядности при решении задач в начальных классах .................102

Приёмы использования картинок для составления и решения задач .................104

Работа над задачей..............122

Мария Митрофановна Топор

Практические работы по арифметике в I — IV классах

Редактор В. С. Капустина. Художественный редактор А. В. Максаев. Технический редактор В. Л. Коваленко. Корректор Т. И. Крысинова

Сдано в набор 30/1X 1958 г. Подписано к печати 25/X1I 1958 г. Формат бумаги 84х 108 732. Печ. л. 8 (6,56). Уч.-изд. л. (6,41). Тираж 60 000 экз. АО 10599. Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 4L Цена без переплёта 1 р. 75 к., переплёт 50 к.

Заказ № -1466. Книжная фабрика им. Фрунзе Главиздата Министерства культуры УССР, Харьков, Донец-Захаржевская, 6/8.