В. А. Тестов

ВЕЛИЧИНЫ,ЧИСЛА, НЕРАВЕНСТВА: СТРАТЕГИЯ ОБУЧЕНИЯ

Вологда 2005

Министерство образования и науки РФ Вологодский институт развития образования Вологодский государственный педагогический университет

В. А. Тестов

ВЕЛИЧИНЫ, ЧИСЛА, НЕРАВЕНСТВА: СТРАТЕГИЯ ОБУЧЕНИЯ

Вологда 2005

ББК 74.262.21 Т36

Печатается по решению редакционно-издательского совета Вологодского института развития образования

Автор —В. А. Тестов, доктор педагогических наук, профессор

Рецензенты: Н. Ю. Твардовская, кандидат педагогических наук, доцент;

Е. А. Комарова, кандидат педагогических наук;

В. А. Горбунова, доцент;

В. С. Куроплина, заслуженный учитель РФ

Тестов В. А.

Т 36 Величины, числа, неравенства: стратегия обучения. — Вологда: Изд. центр ВИРО, 2005. — 132 с.

Данное учебно-методическое пособие посвящено стратегии обучения порядковым структурам, наиболее часто используемым в школьной математике (величины, числа, неравенства и отношение делимости) Изучение в школе этих видов порядковых структур, являющихся наиболее сложными в логическом плане вопросами элементарной математики, связано с определенными трудностями. Стратегия обучения призвана помочь учителю преодолеть эти трудности.

Содержание пособия соответствует, в основном, программе общеобразовательных классов и классов с углубленным изучением математики. Данное пособие предназначено для учителей математики, преподавателей педагогических вузов и колледжей, а также для студентов, обучающихся по специальности «математика»

ISBN 5-87590-134-9

ББК 74.262.21 Т36

ISBN 5-87590-134-9

© В. А. Тестов, 2005

© ВИРО, издательский центр, 2005

ВВЕДЕНИЕ

Книга посвящена стратегии обучения порядковым структурам, наиболее часто используемым в школьной математике. К таким структурам относятся величины, числа, неравенства и отношение делимости в системе натуральных чисел. Исследования известного швейцарского психолога Ж. Пиаже показали, что порядковые структуры, наряду с алгебраическими и топологическими, являются фундаментальными не только для здания математики, но и для механизма мышления. Отсюда вытекает та роль, которую играют эти структуры в преподавании математики. Однако изучение в школе разных видов порядковых структур, как показывает опыт, наталкивается на определенные трудности. Как правило, ученику и даже учителю очень нелегко ответить на такой, казалось бы, простой вопрос, что такое величина или что такое число. Общеизвестны и трудности при изучении неравенств. Правильно построенная стратегия обучения в значительной степени помогает преодолеть эти трудности. Категория стратегии обучения является новой для теории и методики обучения. Одним из первых в педагогической науке понятие стратегии обучения применил И. А. Кузьмин в разработанном им социокультурном системном подходе к образованию. К основным элементам этого подхода относятся три взаимосогласованные стратегии обучения:

• стратегия отбора;

• стратегия длительного поэтапного обучения;

• стратегия обучения на социокультурном опыте.

Методическая система обучения математике в традиционном понимании, идущем от А. М. Пышкало, включает в себя цели обучения, содержание обучения и формы, методы обучения. В последние годы все больше осознается, как отмечает Г. И. Саранцев, недостаточность компонентов такой методической системы. В частности, мало включить в систему обучения математике содержание, надо определить принципы отбора такого содержания, принципы его построения в соответствии с возрастными особенностями учащихся, а также в соответствии с потребностями практики и с потребностями развития личности.

Социокультурный подход позволяет математическое образование рассматривать как единую систему, затрагивающую методологические, психологические, внутрипредметные и другие аспекты. Социокультурный системный подход позволяет выделить в предмете «математика» истоки, основные стержни, по-новому осмыслить многие важные категории методики преподавания, вскрыть ряд закономерностей формирования понятий, обучения решению задач и т. п.

В книге основное внимание уделено стратегии длительного поэтапного обучения, основанной на таких дидактических принципах, как преемственность и поэтапность или многоступенчатость формирования знаний. Согласно последнему принципу при обучении необходимо, чтобы восприятие нового не сводилось к какому-то одному акту, а представляло собой поэтапный процесс, на каждом этапе которого учащиеся рассматривали бы каждое явление или предмет с новых сторон, устанавливая многообразие связей данного объекта с другими.

Как показывает весь опыт преподавания математики, наиболее благополучно происходит формирование тех математических понятий, в изучении которых выделены все необходимые этапы. Наоборот, наибольшие трудности при изучении математических структур возникают тогда, когда такие промежуточные ступени отсутствуют (например, такое положение сложилось при изучении неравенств). Задача стратегии обучения математике состоит в том, чтобы четко распределить материал, в частности при изучении величин, чисел и неравенств, по соответствующим ступеням обучения и соблюсти промежуточные уровни и этапы в изучении этих основных математических понятий и методов решения задач.

Содержание книги соответствует, в основном, программе основной школы (общеобразовательных классов и классов с углубленным изучением математики). Наиболее подробно в книге рассматриваются вопросы теории делимости и теории неравенств, являющиеся наиболее сложными в логическом плане вопросами элементарной математики.

Глава 1. ОСНОВЫ СТРАТЕГИИ АКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

§ 1. Стратегия отбора

С точки зрения социокультурного системного подхода в каждом предмете, в том числе в математике, имеются свои истоки, основные стержни, на которых основывается все здание предмета. Как отмечается многими крупными учеными, математика — это наука о специальных структурах, называемых математическими. Некоторые из этих структур могут являться непосредственными моделями реальных явлений, другие — связаны с реальными явлениями лишь посредством длинной цепи понятий и логических структур. Из такого взгляда на предмет математики вытекает, что истоками математики являются математические структуры, и поэтому они должны изучаться в любом математическом курсе.

С другой стороны, в процессе изучения математики и реальных явлений в мозгу человека, его мышлении и памяти складываются внутренние структуры. Внутренние психологические структуры, образующиеся при изучении математики, впервые были выделены крупнейшим швейцарским психологом Жаном Пиаже в одной из его последних работ, посвященных теории обучения. В этой работе Ж. Пиаже выдвинул принципиально новый подход к обучению математике, явившийся своего рода синтезом результатов исследований по психологии умственного развития и достижений современной математики, нашедших отражение в трудах Н. Бурбаки и других математиков. Возможность этого синтеза обусловлена тем, что и в психологии и в математике одним из центральных становится понятие структуры.

Ж. Пиаже писал, что основой общего здания математики долгое время считались некоторые простые объекты, рассматриваемые более или менее изолированно друг от друга: целое число, точка, линия. Соответственно этому строилось и обучение математике. Однако в XX столетии было осознано, что различные разделы математики тесно взаимосвязаны между собой, являются как бы звеньями единого организма. Выявление этих связей (гносеологических, функциональных, методических и др.) между отдельными понятиями, выделение внутренних структур, базирующихся на таких связях, есть применение структурно-системного подхода к определению содержания обучения.

В математике идеи структурно-системного анализа оказались связаны прежде всего с развитием теории множеств, абстрактной алгеб-

ры, топологии, математической логики. Значительный вклад в систематизацию здания современной математики на базе основных математических структур внесла работа группы французских математиков, выступавших под псевдонимом Н. Бурбаки. Сейчас стало модным ругать Н. Бурбаки и его идеи, обвинять его в экспансии, считать виновником реформы математического образования. Однако эти идеи высказывались рядом крупных математиков еще задолго до Н. Бурбаки, и поэтому нельзя считать, что Н. Бурбаки «повинен» в этой реформе. Концепция математических структур сложилась на рубеже XIX и XX веков. Широкие круги математиков познакомились с ней по «Основаниям геометрии» Д. Гильберта, первое издание которых вышло в 1899 г. Ряд идей о реформе математического образования был высказан Ф. Клейном в Эрлангенской (1872 г.), а затем в Меранской программах (1906 г.), в частности, им на первое место были выдвинуты понятие группы и идея преобразований, высказана необходимость включения в школьную математику начал анализа.

В России вопрос о реформе математического образования, о повышении его научного уровня, о необходимости включения в школьную программу идей аналитической геометрии и анализа настойчиво ставился на 1-м и 2-м Всероссийских съездах преподавателей математики (1912и 1915 гг.).

Группа Н. Бурбаки имела своей целью вовсе не проведение реформы математического образования, а проведение систематизации всей математики так, чтобы различные до тех пор разделы математики стали бы звеньями единого организма. Многотомный трактат Н. Бурбаки не мог служить образцом учебников даже для аспирантов. Согласно Н. Бурбаки математика в своей аксиоматической основе представляется скоплением математических структур. Эти структуры подразделяются на три основных типа: алгебраические, порядковые и топологические.

Идеи Н. Бурбаки явились в силу своей общности как чрезвычайно абстрактными, так и чрезвычайно простыми. Общность и простота этих идей и побудила многих сторонников радикальной реформы математического образования к введению их в учебный предмет «математика». Увлеченность в тот период многих математиков идеями Н. Бурбаки, красотой построенного им здания, безусловно, отразилась, но далеко не всегда лучшим образом, на новых программах по математике.

Н. Бурбаки исходит только из аксиоматико-дедуктивного характера математики. Другая сторона математики, ее конструктивный характер, у Н. Бурбаки отошла на задний план. Такая односторонность в подходе Н. Бурбаки послужила причиной отсутствия в классификации Н. Бурба-

ки упоминания о математических структурах, являющихся основой конструктивного подхода, основой математической деятельности.

В понятие «содержание математического образования» входят две стороны, две компоненты: информационная и познавательная. Поэтому с точки зрения социокультурного системного подхода знания следует рассматривать, с одной стороны, как результат мыслительных действий, а с другой — как процесс получения этого результата. Для усвоения должны задаваться две системы знаний. Знания первого рода включают в себя научные сведения о предметах, фактах, явлениях в их связях и отношениях. В знаниях второго рода зафиксированы путь и методы получения этих знаний учеником.

Таким образом, для обеспечения математического развития у учащихся должны быть сформированы не только алгебраические, порядковые и топологические структуры, которые представляют собой прежде всего системы хранения знаний. Необходимо сформировать в процессе собственной активной деятельности учащихся также структуры, которые представляют собой определенные качества математического мышления, которые являются средствами, методами познания. Такие структуры называются схемами математического мышления.

К таким математическим схемам могут быть отнесены логические схемы, схемы конструирования алгоритмов, комбинаторные, стохастические схемы, а также образно-геометрические схемы. Именно такие математические схемы являются, в первую очередь, средствами для исследования реальных явлений и процессов. Значение каждого из отмеченных видов структур для развития математического мышления, математических способностей уже давно было замечено педагогами-математиками и подтверждено многочисленными исследованиями. Владение такими схемами является неотъемлемой частью математической культуры.

Все выделенные схемы математического мышления обладают одной общей характерной чертой: их формирование возможно осуществить лишь в течение длительного времени. Поэтому стратегия отбора должна быть тесно увязана с двумя другими стратегиями.

Стратегия отбора определяет построение курса в целом, с каких разделов надо начинать курс. Определяющим принципом построения любого математического курса является принцип генерализации и взаимосвязанности знаний.

Принцип генерализации знаний означает, что начинать построение курса надо с выделения основных структур и понятий и организовывать материал обучения в порядке логического развертывания этих

структур и понятий по мере их конкретизации в систему математической науки. Изучение конкретных математических структур должно осуществляться таким образом, чтобы в первую очередь выявлялись наиболее их общие, фундаментальные свойства; для этого начинать ознакомление надо с главного, с общего, не с элементов, а со структуры.

Используя этот принцип, можно сформировать не только отдельные знания, отдельные качества какого-либо вида мышления, но и всю его структуру, раскрыть внутренние связи и отношения фундаментальных понятий, показать их проявления на конкретных фактах и явлениях действительности.

Фактически это положение содержалось еще в учении Я. А. Коменского, согласно которому в обучении, с самого его начала, в ум ребенка должны быть вложены некоторые фундаментальные, базовые «корневые и стволовые» общенаучные основания. Это значит, что расположение изучаемого материала должно быть таково, чтобы все последующее вытекало из предыдущего, было его развитием, а не представляло бы собой совсем нового знания.

Американский психолог Дж. Брунер также считает, что целью обучения должно стать овладение учащимися прежде всего структурой того или иного предмета. Учебные программы следовало бы составлять исходя из наиболее общих принципов, которые отражают структуру того или иного предмета. Эти общие принципы и самые основные понятия каждого курса следует изучать в первую очередь, освободив их от конкретного содержания.

Этот принцип находится в соответствии с основным положением теории В. В. Давыдова: чтобы развивать у школьников теоретическое мышление, обучение каждому учебному предмету должно начинаться с наиболее общих неразвитых простых образований, однако содержащих в себе все потенции перехода к развитым целостным структурам.

Этот принцип соответствует и основным положениям современной когнитивной психологии, согласно которым чем лучше развита и структурно организована когнитивная система, тем дольше и прочнее сохранение материала в памяти. В более развитой и сложной по структуре когнитивной системе идет более глубокий и всесторонний анализ поступающей информации. А это является одной из главных предпосылок прочного и длительного запоминания любого материала.

Генерализация знаний позволяет обеспечить и лучшее понимание, поскольку порождает структуру, которая значительно сильнее взаимодействует с новыми знаниями, чем отдельные факты. А чем больше разных связей новых знаний с уже имеющимися в долговременной

памяти может быть установлено, тем глубже и шире понимание нового материала, тем лучше он усваивается.

Генерализация знаний позволяет из основных понятий, как на стержнях, построить скелет математики. Об этом писал еще Ф. Клейн, «чисто логические концепции должны составить, так сказать, жесткий скелет организма математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность» [24, с. 33]. Этот скелет в качестве связующих стержневых понятий, изучаемых на протяжении всего курса математики и тесно взаимосвязанных, и должны составить математические структуры.

Должна сохраниться достаточная пропедевтика ведущих понятий с учетом возрастных особенностей учащихся. При этом следует соблюдать разумное сочетание исторического и логического развития математики, находить компромисс между строгостью, доступностью и прикладной направленностью.

Важно не допустить нарушения такого компромисса при реализации принципа генерализации знаний.

Принцип взаимосвязанности знаний предполагает рассмотрение совокупности устойчивых связей, обеспечивающих целостность изучаемого объекта. То, чему учат, должно иметь много связей — этого требовал еще Я. А. Коменский. Как отмечает Г. Фройденталь, «здоровым принципом является изучать не изолированные крохи, а согласованные разделы. То, что взаимосвязано, легче изучается и легче удерживается» [58, ч. 1, с. 62].

Таким образом, этот принцип лежит в основе внутри- и межпредметных связей. Внутрипредметные связи генетически восходят к научным связям. Однако, имея сходство, связи в науке и внутрипредметные связи имеют и существенные различия. Они определяются в первую очередь различием тех целей и задач, которые стоят перед научным исследованием и школьным образованием.

Дедуктивный характер математики как науки диктует особую необходимость построения учебного математического материала так, чтобы внутрипредметные связи были действенными. Особое внимание должно быть уделено связям между различными математическими структурами, а не изолированным фактам.

Математические структуры, будучи тесно взаимосвязанными, создают объективную основу такого построения учебного процесса, при котором как при изложении теоретического материала, так и при формировании практических умений и навыков происходит интеграция различных содержательно-методических линий в этом процессе. Среди этих линий обязательно должны присутствовать линия обоб-

щающего повторения и линия формирования потребностей к углублению знаний.

Через установление связей между различными математическими структурами достигается должная научность содержания, выраженная не столько в строгости его изложения, сколько в логически правильной последовательности и систематичности построения в системе его внутренних взаимосвязей. Разумеется, что при этом необходим полный учет и психолого-педагогических факторов.

§ 2. Стратегия длительного поэтапного обучения

В основе стратегии длительного поэтапного обучения лежит принцип развертывания процесса обучения по спирали, обеспечивающий единение непрерывного и дискретного в обучении. Этот принцип дает возможность в значительной степени преодолеть негативные стороны линейного и концентрического способов построения учебных программ. Он состоит из двух взаимосвязанных частей: преемственности, выражающей непрерывность процесса обучения, и поэтапности обучения, выражающей его дискретность.

Необходимость и актуальность отдельного рассмотрения поэтапности формирования знаний связана с тем, что наряду с непрерывностью учебный процесс обладает определенной дискретностью: он разбивается на учебные года и семестры. Каждой ступени обучения должны соответствовать определенные уровни сформированности знаний. Поэтапность вытекает также из необходимости соответствия формирования и развития знаний у учащихся основным этапам их интеллектуально-нравственного взросления, а также основным историческим периодам накопления человеческой культуры.

Дискретность в учебном процессе выражается ступенчатым характером изменения и развития его компонентов. Движение развития в учебном процессе, как известно, всегда состоит из последовательного ряда изменяющихся стабильных состояний.

Выделение правильно понимаемых периодов развития мышления учащихся важно для дидактики в том смысле, что оно способствует рациональному планированию содержания обучения, т. е. такой деятельности учащихся, которая соответствует их психическим и социальным возможностям.

Психологами и педагогами предложено много вариантов такой периодизации, часто значительно различающихся между собой. Существуют и такие исследователи, которые выступают против всяко-

го деления, считая, что развитие человека носит непрерывный характер и представляет собой процесс роста отдельных функций, постоянного нарастания их количественных и качественных изменений.

Мы придерживаемся следующей точки зрения: количественные изменения происходят постоянно, а качественные — скачкообразно, поэтому выделение фаз, ступеней развития является необходимым условием правильного подхода к отбору содержания обучения, построения его по принципу «спирали». Весь опыт обучения математике показывает существенные преимущества спиральной структуры знаний, когда материал располагается в виде развертывающейся спирали, причем каждый виток спирали (цикл) образует внутренне целостную тему.

Ступени в таком последовательно повышаемом содержательном познании, соотнесенные с уровнями восприятия учебной информации, в дидактике обычно называются уровнями обучения или уровнями усвоения. Разными авторами предложено рассматривать различные такие уровни.

По мнению С. И. Архангельского, более правильно говорить не об уровнях обучения, а о некоторых ступенях интеллектуального уровня учащихся в процессе научного познания. Конструктивно эти уровни скорее могут быть представлены спиральными связными ступенями, чем разорванными параллельными ступенями. Подчинение и связь этих уровней характеризуется мерой последовательного продвижения в приобретении знаний и в оперировании более высокими формами и инструментом научного познания.

В соответствии с этим взглядом процесс обучения следует рассматривать как многоуровневую систему с обязательной опорой на нижележащие, более конкретные уровни научного познания. Без такой опоры обучение может стать формальным, дающим знание без понимания.

Среди математиков-педагогов также широко распространены взгляды о необходимости выделения последовательных ступеней в формировании понятий о математических структурах. Так, говоря о преподавании математики, французский математик Г. Шоке отмечал, что необходимо идти от одного уровня мышления к другому. Задача преподавания — помогать ребенку постоянно реконструировать свой умственный мир посредством переходов от одного уровня мышления к другому.

В своих лекциях для учителей Ф. Клейн также говорил о необходимости предварительных этапов в изучении основных математических понятий: «Мы должны приспособляться к природным склонностям юношей, медленно вести их к высшим вопросам и лишь в заключение

ознакомить их с абстрактными идеями; преподавание должно идти по тому же самому пути, по которому все человечество, начиная со своего наивного первобытного состояния, дошло до вершин современного знания. ...Как медленно возникали все математические идеи, как они почти всегда всплывали сперва скорее в виде догадки и лишь после долгого развития приобретали неподвижную выкристаллизованную форму систематического изложения» [24, с. 381].

По мнению А. Н. Колмогорова, обучение математике должно состоять из нескольких ступеней, это он обосновывал тяготением психологических установок учащихся к дискретности и тем, что «естественный порядок наращивания знаний и умений всегда имеет характер “развития по спирали”». Принцип «линейного» построения многолетнего курса, в частности математики, по его мнению, лишен ясного содержания. Однако логика науки не требует, чтобы «спираль» обязательно разбивалась на отдельные «витки».

С дидактической точки зрения особого внимания заслуживает работа П.-Х. ван Хиле, в которой он выделяет и описывает пять уровней мышления учащихся в обучении геометрии, при этом школьному обучению соответствуют четыре уровня [60].

Детально вопрос о различных уровнях мышления при изучении математики был рассмотрен А. А. Столяром [53]. Следуя П.-Х. ван Хиле, он выделяет пять уровней мышления, которые охватывают весь период изучения математики, начиная с 1 класса и кончая вузом. Хотя переход от одного уровня к следующему происходит не скачкообразно, а постепенно, необходимо, по мнению А. А. Столяра, четко различать эти уровни.

Развитие, отмечает А. А. Столяр, ведущее к более высокому уровню, протекает, в основном, не как созревание биологического характера, а как процесс обучения. Метод преподавания может ускорить переход от одного уровня к следующему, но не может осуществить переход от одного уровня к другому с пропуском промежуточного уровня. Очевидно, что метод преподавания может задержать переход к более высокому уровню мышления в данной области или вообще не достигать его в том смысле, что применяемые на этом уровне способы мышления останутся недоступными учащимся [53].

Основываясь на этих работах, можно выделить пять уровней сформированности порядковых структур.

Первую, самую низкую, ступень можно назвать уровнем конкретных множеств (ей примерно соответствует возраст с 6—7 до 8—9 лет). Эта ступень характеризуется тем, что возникающие у ребенка струк-

туры мышления неотделимы от множеств конкретных предметов. В частности, нельзя показать ребенку какое-нибудь число, можно только показать ему какое-то число определенных предметов: три конфеты, три шарика, т. е., по существу, множество конфет, множество шариков.

Дети учатся выделять свойства, признаки предметов, по которым можно объединять их в группы, множества и производить сравнение. На этом этапе прежде всего преодолевается присущая дошкольникам интегральность восприятия, в вещах выделяются разные свойства, которые становятся в познании отделимыми. Их репрезентации становятся независимыми, и дети могут произвольно сравнивать вещи по выраженности любых их отдельных свойств. Это позволяет начать формирование понятия об отношении порядка и рассмотреть первоначальную порядковую структуру — упорядоченное множество как самую общую и в то же время наиболее просто устроенную структуру. Она служит той научной, теоретической основой, из которой может быть получено понятие величины и все ее основные свойства. А на основе понятия величины могут быть получены все виды действительного числа, начиная с натуральных.

Вопрос о том, с изучения каких понятий следует начинать школьный курс математики, не нов. Еще в дореформенный период А. И. Маркушевич высказывал мнение, что к содержанию детского математического опыта можно отнести понятие упорядоченности и некоторые теоретико-множественные понятия. Об этом же свидетельствовали опыты Ж. Пиаже и его сотрудников. В. В. Давыдов также доказывал возможность и необходимость начинать изучение математики не с чисел, а с величин, т. е. с упорядоченных множеств. Высоко оценивая роль числа в общей системе математических знаний, В. В. Давыдов совершенно верно заметил, что это понятие лишь один из частных видов порядковых структур и поэтому не является первичным.

Опыт многолетней экспериментальной работы под руководством В. В. Давыдова показал, что такой путь введения математических знаний вполне реализуем. А вместе с тем он обеспечивает более эффективное усвоение понятия натурального числа, дает значительно лучшие результаты, чем традиционные способы обучения, в отношении математического и общего умственного развития детей.

В настоящее время в наших школах накоплен уже достаточно большой положительный опыт по изучению отношения порядка в 1 -м классе при работе по программе Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова. Дети вначале учатся выделять свойства предметов, по которым можно производить сравнение.

Затем у школьников начинает формироваться система трех основных взаимосвязанных фундаментальных отношений, присутствующих в любой порядковой структуре: «больше», «меньше», «равно». Для этого дети учатся фиксировать результаты сравнения с помощью буквенных равенств и неравенств, при этом вводятся знаки =, >, <. Эти знаки вводятся одновременно, т. е. в единой системе. Далее начинается работа по внутренней дифференциации этой системы отношений, для чего рассматриваются свойства отношений «равно», «больше», «меньше». Весь этот материал усваивается первоклассниками без затруднений и сравнительно быстро.

Но, на наш взгляд, более оптимальным было бы изучение этого материала в шестилетнем возрасте, что больше соответствовало бы результатам исследований Ж. Пиаже и позволило бы раньше переходить к изучению арифметических операций.

Вторая ступень примерно соответствует возрасту с 8—9 до 11—12 лет. На этом уровне числа отделены от тех конкретных множеств, которые они характеризуют. Алгебраические операции начинают производиться не над конкретными множествами предметов, а над числами. Эти числа записываются в определенной (десятичной) системе, а свойства операций устанавливаются индуктивно. Поэтому можно говорить о том, что начинают складываться алгебраические структуры. Но это еще конкретные числовые структуры.

Дети на этом уровне могут систематизировать вещи, которые им встречаются, но еще не способны иметь дело с тем, что не находится прямо перед ними или не испытано в прошлом опыте. Поэтому для них весьма трудными являются задачи на упорядочение, представленные в вербальной форме, например, известная задача Ж. Пиаже: «Эдит имеет более темные волосы, чем Лили, Эдит более светлая, чем Сюзанна; кто из троих имеет самые темные волосы?» Поэтому первые возникающие порядковые структуры являются также конкретными.

Эту вторую ступень можно назвать уровнем конкретных структур. На этом уровне формируется понятие о натуральных, целых и рациональных числах как о порядковых структурах на основе понятия величины. Большое значение величине в школьном курсе математики, как известно, придавал А. Н. Колмогоров. При таком подходе с самого начала возникает числовая ось, а дробные и отрицательные числа появляются как расширение познанной области на числовой оси. Такой подход к введению натуральных чисел, как порядковых чисел, пропагандировал и известный голландский математик и педагог Г. Фройденталь.

На этом же этапе вводится отношение делимости. Важно, чтобы учащиеся увидели сходство и различие свойств этого отношения со свойствами отношения «£».

Первые два рассмотренных уровня соответствуют в периодизации Ж. Пиаже стадии конкретных операций.

Третья ступень практически полностью соответствует в периодизации Ж. Пиаже стадии формальных операций (возраст с 11—12 до 15 лет). На этом уровне осуществляется переход от конкретных чисел, выражаемых цифрами, к абстрактным буквенным выражениям, обозначающим конкретные числа лишь при определенном истолковании букв. Алгебраические операции производятся не только над числами, но и над объектами другой природы (многочленами, векторами). Происходит процесс синтеза конкретных алгебраических структур.

На этом уровне для учащихся уже не составляет проблемы решение задач на упорядочение, в которых условия даны в вербальной форме. Происходит синтез конкретных порядковых структур. Более того, происходит синтез уже сформированных алгебраических и порядковых структур посредством выполнимости свойств монотонности:

i) для любых а, Ь, с а £ b => а+с £ Ь+с (закон монотонности для сложения);

и) для любых a, b и любого положительного с а < с => ас < be (закон монотонности для умножения).

Таким образом, представляется вполне естественным назвать этот этап уровнем синтеза конкретных структур.

На этих законах монотонности и следствиях из них основано изучение теории неравенств.

На этом же уровне синтеза конкретных структур начинает формироваться понятие о действительных числах, как синтез алгебраических, порядковых и топологических свойств и как естественное продолжение подхода к введению чисел в программе по системе Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова. Такой интуитивно-наглядный подход позволяет сравнительно рано вводить действительные числа.

Четвертой ступени примерно соответствует возраст от 15—16 до 18—19 лет. На этом уровне выясняется возможность дедуктивного построения ряда разделов математики в данной конкретной интерпретации, т. е. когда буквы, обозначающие объекты исчисления, применяются в качестве имен и переменных для чисел или объектов другой природы из некоторого заданного множества (системы натуральных, целых, рациональных или действительных чисел, алгебра многочленов, векторная алгебра, алгебра матриц и т. д.).

На этом уровне постигается значение дедукции «в целом», т. е. от понимания ее «в малом» переходят к пониманию ее значения как способа построения и развития всей конкретной математической теории (геометрической или другой). Этому переходу способствует разъяснение сущности аксиом, определений, теорем, логической структуры доказательств, логической связи понятий и предложений. На этом уровне осуществляется «содержательная» аксиоматизация теории, т. е. теории в определенной, конкретной ее интерпретации. Поэтому назовем эту ступень уровнем содержательных структур.

На этом уровне продолжается формирование понятий о различных порядковых структурах. Ранее полученные знания расширяются и углубляются, осваивается играющий фундаментальную роль метод математической индукции. На этом уровне целесообразно познакомиться с аксиоматикой основных числовых систем, прежде всего натуральных и действительных.

Наконец, пятая ступень примерно соответствует возрасту, начиная от 19—20 лет. На этом уровне отвлекаются от конкретной природы объектов исчисления, от конкретного смысла операций, т. е. развивают теорию вне всякой ее конкретной интерпретации. На этом уровне строятся различные математические теории как абстрактные дедуктивные системы, осуществляется переход от известных моделей к абстрактной теории, а от нее — к другим ее моделям. Эту ступень назовем уровнем абстрактных структур. На этом уровне строятся такие вузовские курсы, как основания геометрии, числовые системы (основания арифметики), исчисление предикатов и т. д.

Выделенные уровни изучения математических структур охватывают весь период изучения математики. Каждая из этих ступеней включает временной отрезок от 1,5 до 3 лет. Их можно назвать этапами обучения математике в глобальном смысле.

Кроме того, психологи выделяют более мелкие, локальные этапы при формировании у учащихся общих методов (алгоритмов) для решения задач определенного типа или, как принято говорить в педагогической науке, обобщенных приемов учебной деятельности. Обычно рассматриваются следующие этапы:

1)этап подготовки учащихся к усвоению приема, включающий в себя мотивационное звено и непосредственную подготовку к усвоению содержания приема;

2) этап ознакомления с приемом, включающий в себя раскрытие его содержания (выделение действий по решению конкретных задач), анализ и сравнение выделенных частных приемов, по-

строение обобщенного приема (выделение общего содержания частных приемов);

3)этап усвоения обобщенного приема, предполагающий его применение к решению стандартных задач данного типа;

4) этап переноса сформированного приема, предполагающий преобразование обобщенного приема при решении видоизмененных, нестандартных задач данного типа.

Более детально указанные этапы формирования приемов учебной деятельности мы рассмотрим на примере изучения неравенств с параметрами.

§ 3. Стратегия обучения на социокультурном опыте

Математика как часть общечеловеческой культуры имеет два аспекта. В первом аспекте математика мыслится как готовый продукт, результат научной деятельности поколений. С другой стороны, математика является видом человеческой деятельности, преследующим своей целью познание некоторых сторон действительности.

С позиций школьного преподавания существенно более важен деятельностный аспект математики, позволяющий расматривать ее как инструмент для познания, для поиска. Г. Фройденталь писал по этому поводу: «Ныне мы требуем, чтобы школьник изучал истинное возникновение математики — создавал ее заново» [58, ч. 1, с. 85]

Стратегия обучения на социокультурном опыте предполагает, что процесс формирования и развития ведущих понятий должен в сжатом, сокращенном виде воспроизводить действительный исторический процесс рождения и становления этих понятий. Лучший способ вести умственное развитие индивидуума — заставить пройти его умственное развитие человеческого рода.

Это положение вытекает из закона соответствия процесса развития знаний и мышления у ребенка и исторического процесса рождения и становления знаний, и его часто называют принципом историзма. Нарушение этого положения может привести к трудностям в преподавании математики, к непониманию материала, поскольку в этом случае учащиеся лишены возможности наблюдать процесс становления и развития понятий. Становится непонятным, для чего их изучают и откуда они взялись. Это одна из причин тех бед, которые есть в преподавании математики.

Наоборот, систематическое использование этого принципа помогает учащимся строить абстрактные конструкции, оперировать ими,

наиболее полно видеть предмет математики и ее приложения. Материал, изложенный в таком виде, нагляден, доступен, вызывает интерес.

Задача формирования у учащихся представлений о математике как части общечеловеческой культуры может быть успешно решена, если в содержание математических курсов будут органически вплетены богатые в эмоциональном отношении эпизоды истории науки. Изучение истории математических структур, возникновения и становления этих понятий, математических идей, лежащих в их основе, позволяет сформировать взгляд на математику как целостную науку, развивающуюся во взаимосвязи ее отдельных областей. Содержание любой математической дисциплины следует рассматривать как результат деятельности людей, их усилий в поиске истины. Учащиеся должны получить представление о том, как создавалось здание математики, что математика, как и другие элементы общечеловеческой культуры, строится на фундаменте знаний, полученных в предыдущие эпохи.

История математики, история становления и развития математических структур, позволяет увидеть все многообразие ее составных частей в виде целостной системы, специфику каждой из них, представить единство отраслей научного знания в их логической и исторической взаимосвязи.

Исторические аспекты развития математических структур находятся в тесной связи с философскими вопросами, которые раскрывают природу математического знания, его роль для общества, и вместе составляют основу формирования мировоззрения у учащихся.

Как подчеркивали лучшие педагоги прошлого, недостаточным и педагогически ошибочным является чисто абстрактное изложение математики. Они настаивали на том, чтобы проводить обучение в тесной связи с практикой. Само собой разумеется, что приближение математического образования к практике ни в коем случае не должно означать превращения ее в служанку на побегушках. Она должна сохранять свою логическую структуру и строгость изложения, но вдобавок к этому следует выяснять происхождение ее задач из недр практики и иллюстрировать широкие возможности и силу математических методов для исследования естественно-научных и прикладных проблем.

Учащийся при изучении математики постоянно должен понимать, зачем ему этот предмет нужен, как связаны изучаемые им понятия с насущными задачами практики. Ему следует отчетливо показать, что вводимые в курс научные понятия, во-первых, естественным образом появляются из запросов практики, а затем получают в их абстрактной форме, очищенной от непосредственной связи с определенным практи-

ческим источником, многочисленные истолкования и применения. Во-вторых, ни в коем случае недопустимо, чтобы создавалось впечатление, что предмет живет своей собственной жизнью, отличной от жизни всей остальной науки, практической и духовной деятельности.

Обучение на социокультурном опыте не следует понимать как простое насыщение занятий примерами практического характера. Основное — это понимание важности математических методов, присущей им логической строгости в рассуждениях, отчетливое представление о том, что математика изучает математические модели реальных ситуаций и процессов.

В последнее время становится все более очевидным, что при всей своей неоспоримости принцип практической направленности обучения является недостаточным. Необходимо также реализовать в обучении связи с духовной культурой общества. Социокультурный системный подход позволяет в комплексе рассматривать связь обучения со всеми сторонами культуры общества, строить стратегию обучения, опираясь на социокультурный опыт в целом, а не только на опыт материальной деятельности.

Обучение математике на социокультурном опыте создает огромные возможности в познании не только окружающей нас природы, но и человеческого общества, самого человека, его мыслительной и познавательной деятельности, выяснении процесса возникновения и развития научных теорий. В обучении на социокультурном опыте одной из главных составляющих является овладение универсальными методами познания. Одним из таких универсальных методов является системно-структурный, овладение которым является желательным в любой интеллектуальной деятельности. Изучение математических структур содержит большие возможности для формирования у учащихся системно-структурного метода и умения его применять.

Социокультурная роль изучения математики состоит также в том, что учащиеся получают представление о роли четких определений и формулировок, о правильной классификации понятий, о способах логического вывода, они знакомятся с методами решения возникающих перед ними проблем, имеющих и внематематическое значение (аналогия, сравнение, обобщение, анализ и синтез и т. д.). Обучение математике, формирование у учащихся когнитивных структур и особенно логических, алгоритмических и комбинаторных схем мышления несомненно способствует формированию навыков умственного труда (планированию своей работы, поиску рациональных путей ее выполнения, критической оценке результатов и т. п.).

Очень важной является и духовно-эстетическая сторона обучения математике на социокультурном опыте. Изучение математики, ее структур вырабатывает в человеке потребность преодолеть сопротивление между нашими представлениями и их научным обоснованием, что способствует не только четкости, логичности мысли и способа ее выражения, умения планировать свою деятельность, но и воспитывает такие морально-этические качества, как аккуратность, аргументированность, принципиальность, умение воспринимать иное мнение, преданность истине, упорство в достижении цели, трудолюбие и честность. Духовное развитие личности происходит путем воздействия изучения математики не только на разум человека, но и на его чувственно-эмоциональную сферу, поскольку математика наполовину является разновидностью образного, чувственного мышления.

Духовное совершенствование личности учащихся невозможно без осознания взаимодействия эстетики и математики. Эстетика как стремление к творчеству по законам красоты буквально пронизывает любую значимую математическую теорию. Многие крупные математики уподобляли математику искусству, поскольку она движима во многом эстетическими мотивами. Это сходство было замечено еще пифагорейцами, которые на его базе заложили основы математической теории музыкальной гармонии.

При обучении необходимо использовать все возможности для того, чтобы научить школьников видеть эстетические моменты, внутреннюю гармонию в математическом содержании изучаемой дисциплины, понимать единство истины и красоты. Содержательного эстетизма достаточно в школьном курсе математики, но не менее важна и другая эстетика — процессуальная, связанная с подачей материала, его записью, изображением, его восприятием и пониманием.

На начальном уровне основной задачей учителя в этом отношении является представление математического материала в зримой, осязаемой форме с тем, чтобы вызвать у школьников чувственные, яркие переживания, затрагивающие как сферу сознательного, так и бессознательного. Основными средствами такого представления являются яркие, выразительные картинки, поражающие воображение своей красотой, четкие лаконичные формулировки математических законов, хорошо сделанные модели и рисунки геометрических фигур, компактные и вместе с тем емкие схемы и таблицы, отражающие существенные взаимосвязи между компонентами рассматриваемых задачных ситуаций.

На следующих уровнях эстетическая направленность обучения математике выражается в избирательном отношении к изучаемому математическому содержанию, осознанном выделении в нем элементов, отличающихся своей выразительностью, красотой, симметричностью и одновременно богатством проявлений в живой и неживой природе, искусстве, повседневной жизнедеятельности человека.

Математика как часть общечеловеческой культуры является не только определенным методом миропознания, но и специфическим языком для описания реальных процессов как в окружающем мире, так и внутри человека. Язык как общественно-историческое явление представляет собой систему средств общения, выработанную и накопленную в результате социокультурного опыта, вытекающую из необходимости координировать и направлять совместную деятельность. С помощью математического языка закрепляются, создаются и передаются новым поколениям не только математические знания, но и знания по физике, химии, экономике и другим наукам.

Поэтому социокультурный системный подход рассматривает обучение математике как специфическому средству коммуникации в его сопоставлении с естественным языком. Важнейшим недостатком естественного языка является неоднозначность смыслового истолкования, что часто ведет к путанице и непониманию друг друга. Этого недостатка лишена математика, представляющая собой высокоорганизованную специальную знаковую систему, чрезвычайно гибкую, операционную и универсальную. Взгляд на математику как на особый язык науки высказывал еще Г. Галилей. Математическая символика не только не оставляет места для неточности выражения мысли и расплывчатого истолкования написанного, но позволяет вдобавок автоматизировать проведение тех действий, которые необходимы для получения выводов.

С другой стороны, язык формул не может вывести нас за пределы уже сложившихся понятий и представлений. На математическом языке, как отмечает Б. В. Гнеденко, невозможно выражение эмоций, а также далеко идущих аналогий. Он мало пригоден также для получения индуктивных выводов. И здесь ему на помощь приходит обычный неформализованный язык с его неисчерпаемым богатством оттенков и возможностей.

В силу вышесказанного в обучении на социокультурном опыте существенное значение имеют взаимосвязи между изучением естественного языка и математического.

Глава 2. ЧИСЛА И ВЕЛИЧИНЫ

§ 1. Отношения порядка

С различными частными случаями упорядоченности люди постоянно встречались в процессе исторического развития. Сначала это было упорядочение привычных вещей и повседневных явлений. Позднее, по мере того как совершенствовались трудовые навыки и мастерство, обнаруживалось упорядочение отдельных этапов в той или иной деятельности, и оно как приобретенный опыт передавалось из поколения в поколение.

С некоторыми из этих упорядочений люди свыклись настолько, что часто их просто не осознают, как, например, грамматический порядок слов в предложении. Мы постоянно упорядочиваем предметы и явления по тому или иному признаку. В математике различные упорядочения одного и того же множества называются перестановками. В школьной математике, кроме величин, числовых систем и теории неравенств, порядковые структуры встречаются при изучении теории делимости, комбинаторики и некоторых других вопросов. В частности, принцип математической индукции может рассматриваться как следствие порядковых свойств натуральных чисел.

Понятия величины, числа и неравенства основано на понятии отношения порядка и связанных с ним понятий упорядоченной группы и упорядоченного кольца. Поэтому, прежде всего, напомним некоторые факты из теории отношений.

Бинарным отношением на множестве X называется всякое непустое подмножество декартового квадрата множества X, т. е. некоторое множество упорядоченных пар вида (а, Ь), где a, b G X.

Бинарные отношения обычно обозначаются малыми греческими буквами р, о и т. д. Тот факт, что (а, Ь) Е р, чаще записывается в следующем виде: apb.

Бинарное отношение р на множестве X называется отношением нестрогого порядка, если выполняются следующие три условия:

1) для любого элемента х из множества X хрх (рефлексивность);

2) для любых элементов х и у из множества X из хру и урх следует X = у (антисимметричность);

3) для любых элементов х, у и z из множества X из хру и ypz следует xpz (транзитивность).

Если выполняется дополнительное условие:

4) для любых элементов х и у из множества X либо хру, либо урх (дихотомия),

то р называется отношением нестрогого линейного порядка.

Примеры:

1.1) Отношение «^» на множестве действительных чисел является отношением нестрогого линейного порядка. В самом деле,

1. для любого X

2. для любых х и у

3. для любых X, у и z

4. для любых х и у

1.2) Отношение включения «Ç» на множестве Р(М) — множестве всех подмножеств некоторого множества M — является отношением нестрогого порядка, т. к.

Условие дихотомии для этого отношения не выполняется, например, если А={ 1, 2, 3,4}, В={3, 4, 5, 6}, то ни A Ç В, ни В С А.

1.3) Отношение делимости на множестве натуральных чисел N: а|Ь тогда и только тогда, когда существует натуральное число с, такое, что ас = Ь.

Это отношение является отношением нестрогого порядка, поскольку

1. а|а, т. к. а • 1=а;

2. из а|Ь и Ь|а следует существование натуральных с и d, таких, что ас = b, bd = а, откуда acd = а и cd = 1, т. е. с = d = 1 и а = b;

3. из а|Ь и Ь|с следует существование натуральных d и е, таких, что ad = b, be = с, откуда ade = с и а|с.

Условие дихотомии не выполняется, т. к., например, 2 не делит 3 и 3 не делит 2.

Бинарное отношение о на множестве X называется отношением строгого порядка, если выполняются следующие два условия:

1) для любого X Е X невозможно хох (антирефлексивность);

2) для любых X, у и z хау и yoz =s> xoz (транзитивность).

Если выполняется дополнительное условие:

3) для любых X и у имеет место один и только один из трех случаев: либо хау, либо уах, либо х = у (условие трихотомии),

то а называется отношением линейного строгого порядка. Примеры:

Рис 1 Рис. 2 Рис 3

а) Отношение «<» на множестве действительных чисел является отношением линейного строгого порядка.

б) Отношение строгого включения С на множестве Р(М) является отношением строгого нелинейного порядка.

Отношения строгого и нестрогого порядка тесно связаны друг с другом, а именно если на множестве X задан строгий или нестрогий порядок, то на этом же множестве может быть определен соответственно нестрогий или строгий порядок.

В дальнейшем мы будем использовать для нестрогого отношения порядка обозначение «£», а для строгого «<». Тот факт, что элементы a,bGX находятся в этом отношении, обозначают а ^ b (а < Ь), а также b 2> а (Ь > а). Если а < Ь, то говорят также, что а предшествует b, b следует за а. Если не имеет место ни a «s b, ни b а, то а и b называются несравнимыми.

Непустое множество X называется упорядоченным, если на этом множестве задано отношение порядка (строгое или нестрогое).

Порядок на множестве X естественным образом индуцирует порядок на любом непустом подмножестве А из X, а именно для a, b G А a s Ъ в А тогда и только тогда, когда а ^ b в X. Этот индуцированный порядок в А будем обозначать тем же символом

Множество X называется линейно упорядоченным или цепью, если на этом множестве задано отношение линейного порядка.

Например, множество натуральных чисел относительно обычного отношения ««s» является линейно упорядоченным, а относительно отношения делимости «|» не является линейно упорядоченным.

При изучении упорядоченных множеств, особенно конечных, часто используют их задание графами: элементы обозначают точками, причем тот факт, что у < х, отмечают следующим образом: элемент у помещают ниже х и соединяют их отрезком прямой.

На рисунках 1—3 приведены различные примеры конечных упорядоченных множеств. Упорядоченное множество, приведенное на рисунке 3, является цепью.

§ 2. Конечные упорядоченные множества

Любое конечное множество можно линейно упорядочить, пронумеровав все его элементы и расположив их в цепочку:

С конечными линейно упорядоченными множествами школьники начинают знакомиться еще в начальной школе. Притом эти множества не исчерпываются числовыми. Так, в работе с младшими школьниками могут быть использованы задачи, в которых требуется упорядочить некоторое конечное множество. Примерами таких задач могут служить следующие:

1) Через 2 года Юре будет на 1 год меньше, чем Мише через 4 года. Кто младше?

2) Дима выше Сережи, но ниже Пети. Петя выше Димы, но ниже Кости. Как можно расставить мальчиков по росту?

В 5—6-х классах можно рассмотреть более сложные задачи подобного типа:

3) Пять бегунов Захаров, Громов, Иванов, Ломов и Панов закончили дистанцию. Один из них был первым, затем двое пришли к финишу одновременно, еще двое показали третий и четвертый результаты. Известно, что Ломов прибежал к финишу раньше Иванова, но позже Громова, а результаты Захарова и Ломова не совпали ни с одним из результатов бегунов. Как распределились места в соревновании?

Если в первых двух задачах устанавливается линейный порядок, то в третьей порядок уже не линейный.

Задачи подобного типа часто относят к логическим, поскольку они требуют умения достаточно четко логически мыслить. Такие задачи вызывают интерес у учащихся, поскольку тесно увязаны с социокультурным опытом.

Решение задач на упорядочение множества младшими школьниками, кроме того, позволяет совершить естественный переход к решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества и определения числа таких расположений, т. е. к решению комбинаторных задач.

Как указывалось в первой главе, комбинаторные схемы играют большую роль в развитии математического мышления школьников. Поэтому стратегия отбора требует, чтобы уже на ранних стадиях обучения большое внимание уделялось комбинаторным задачам и знакомству школьников с простейшими формулами комбинаторики.

Пусть сейчас X — конечное множество, состоящее из п элементов, Y — линейно упорядоченное подмножество в X, состоящее из m элементов. Порядок на множестве Y можно задавать различными способами. Например, некоторое множество школьников можно упорядочить по росту, по весу, по возрасту, в алфавитном порядке и т. д. Каждый раз для задания линейного порядка на Y его элементы достаточно пронумеровать и считать, что у. <> yj тогда и только тогда, когда i =s j.

Всякое линейно упорядоченное т-элементное подмножество Y п-элементного множества X называется размещением из п элементов по т.

Из определения следует, что m <s п и что различные размещения отличаются друг от друга или составом входящих в них элементов, или их порядком.

Число размещений из п элементов по m будем обозначать А™. Часто встречается задача подсчета числа всех размещений.

Теорема 2.1.

Доказательство. Пусть X — п-элементное множество. Упорядочить т-элементное подмножество можно, поочередно выбирая из X элементы х,, х,,х .

Но в качестве х можно выбрать любой из п элементов множества X. Поэтому такой выбор может быть произведен п способами. После того как первый элемент выбран, второй элемент можно выбрать уже лишь п - 1 способами (взять можно любой элемент, исключая уже выбранный). Поскольку для выбора первого элемента имелось п возможностей и в каждом из этих случаев второй элемент можно было выбрать п - 1 способом, то всего для выбора первых двух элементов по правилу произведения имеется п(п - 1) способов.

После выбора первых двух элементов остались лишь п - 2 возможности для выбора третьего элемента. Всего для выбора первых трех элементов имеется п(п - 1)(п - 2) способов и т. д. Последний т-й элемент можно выбрать n - (m - 1) способами, поскольку до него уже выбран m - 1 элемент. Следовательно, для выбора m элементов всего имеется n(n -l)-(n-m+l) возможностей.

Пример. В классе учатся 25 человек. Из них надо выбрать старосту, его заместителя, культорганизатора и физорга. Сколькими способами можно сделать этот выбор, если каждый школьник может занимать только один пост?

Решение. В задаче фактически требуется найти число всевозможных упорядоченных 4-элементных подмножеств во множестве школьников класса. Т. е. имеем А25 = 25 • 24 • 23 • 22 = 303600.

Рассмотрим сейчас случай m = п , т. е. будем рассматривать различные упорядочения всего данного множества X . Получаемые при этом упорядоченные множества отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов.

Различные линейные упорядочения данного множества X, состоящего из п элементов, называются перестановками из п элементов (или перестановками n-й степени).

Число перестановок из п элементов обозначается Рп. Совершенно ясно, что

Пример. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга ?

Решение. 64-клеточная шахматная доска имеет 8 вертикалей и 8 горизонталей. Две ладьи не бьют друг друга, если они расположены в разных вертикалях, занумерованных цифрами от 1 до 8. Пусть дано требуемое расположение ладей. Если ладья, стоящая в первой вертикали, находится в горизонтали с номером пр ладья, стоящая во второй вертикали, находится в горизонтали с номером п2, ладья восьмой вертикали находится в горизонтали с номером ng, то получаем перестановку 8-й степени п,, п2,ng.

Обратно, каждая перестановка 8-й степени определяет требуемое расположение ладей. Получили взаимно-однозначное соответствие между требуемыми расположениями ладей и всеми перестановками 8-й степени. Следовательно, число таких расположений равно 8! = 40320.

Будем сейчас рассматривать в п-элементном множестве X т-элементные подмножества с тривиальным порядком (т. е. а ^ b тогда и только тогда, когда а = Ь). Ясно, что они различаются лишь составом элементов. Такие подмножества называются сочетаниями из п элементов по т. Число всевозможных сочетаний из п элементов по m обозначается

Чтобы найти число сочетаний, заметим, что каждое размещение из п элементов по m элементов может быть получено из такого же сочетания путем некоторой перестановки его элементов. Следовательно, каждое сочетание порождает столько размещений, сколько возможно различных перестановок его элементов. Таким образом, получаем:

Пример. Сколько существует четырехзначных чисел, цифры которых расположены в строго возрастающем порядке?

Решение. Всякое число из условия задачи определяет 4-элементное подмножество в 9-элементном множестве всех ненулевых цифр. Обратно, если элементы такого подмножества расположить в порядке возрастания, то получим требуемое число. Следовательно, таких чисел ровно столько, сколько имеется сочетаний из 9 по 4, т. е.

Такие комбинаторные задачи необходимо решать с учащимися разных классов, постепенно их усложняя по мере приобретения и накопления учащимися социокультурного опыта. Ниже приводятся образцы упражнений на применение формул комбинаторики (в скобках приводятся ответы).

УПРАЖНЕНИЯ

1) Сколько всего шестизначных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не повторяется?

2) Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные? ( А$ - 5 • 4 = 20)

3) Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд? (Р7 = 7! = 5040)

4) Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо? (Р8 = 8! - 40320)

5) В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего календарных игр? (С\^ = 120)

6) В выпуклом семиугольнике проведены всевозможные диагонали, при этом никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения указанных диагоналей?

(Каждая диагональ однозначно определяется двумя вершинами, а точка пересечения диагоналей — четырьмя вершинами. Поэтому число точек пересечения равно С7 = 35.)

7) Студенту необходимо сдать 3 экзамена за неделю, сдавая в день не более одного экзамена. Сколькими способами это можно сделать? (С7 =35)

8) Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию в составе восьми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в нее должен входить хотя бы один математик?

(В указанную комиссию может входить либо один математик и семь экономистов, либо два математика и шесть экономистов. В первом случае имеем С*2'(^10=240 способов, во втором случае 'C\q =210 способов. Всего имеем 450 способов.)

§ 3. Формирование понятия о скалярной величине

В математике среди порядковых структур исторически, пожалуй, первыми стали использоваться положительные скалярные величины, как обобщение таких понятий, как длина, площадь, объем, масса, температура и т. д. Еще в глубокой древности в процессе измерений были установлены эмпирическим путем многие общие свойства величин. По мнению видного американского математика Гаррета Биркгоффа, идея величины является более глубокой и более важной, чем понятия и логика арифметики, упор на которые был сделан в «современной» математике [5, с. 61 ]. Это понятие, безусловно, может быть отнесено к числу ведущих, стержневых понятий курса математики.

3.1. Величины и измерения

Величины являются составной частью содержания не только математики, но и физики, астрономии, химии, биологии и других наук. Величины существуют не сами по себе, а как отражение различных свойств реальных объектов. Так свойству инертности соответствует величина, называемая массой, свойству пространственной протяженности — длина и т. д.

В первом приближении величины — это такие свойства объектов, которые можно сопоставлять, сравнивать для разных объектов одного и того же рода. Например, в экономике величинами являются такие понятия, как рентабельность, прибыль и т. д. Известный французский математик Жан Дарбу предпочитал основываться на следующем старом определении Л. Эйлера: «Величина есть все то, что способно увеличиваться или уменьшаться». К такому определению величины другие математики (например А. Лебег) относились критически из-за его чрезмерной широты, хотя, как будет показано ниже, дидактически целесообразно это определение взять за основу на определенном этапе развития мышления ребенка.

Величины тесно связаны с понятием измерения. Измерения являются одним из путей познания человеком окружающего мира. Результат измерения выражается числовым значением величины. В процессе исторического развития роль измерений непрерывно возрастает.

Но не каждое свойство объектов, явлений можно измерить. «Надо помнить, — писал академик А. Н. Крылов, — что есть множество “величин”, т. е. того, к чему приложены понятия “больше” и “меньше”, но величин точно не измеримых, например, ум и глупость, красота и безобразие, храбрость и трусость, находчивость и тупость и т. д. Для измерения этих величин нет единиц, эти величины не могут быть выражены числами...» [33, с. 3].

Такие неизмеряемые величины в отличие от привычных измеряемых величин называют латентными. Сравнение таких величин возможно лишь на некоторой интуитивной основе. Однако с развитием науки и накоплением знаний многие величины, ранее причислявшиеся к латентным, стали измеряемыми. Так многие психические качества человека (память, внимание и т. д.) ныне измеряются с достаточной степенью достоверности при помощи психологического тестирования. Аналогичные процессы происходят с понятиями в экономике, социологии и т. д. Можно сказать, что величины возникают в процессе развития и последующей математизации человеческих знаний, при переходе от описательного к количественному изучению свойств объектов окружающего мира.

Понятие величины впервые появилось в философской литературе и считалось (наряду с понятием фигуры) предметом изучения математики во все периоды ее развития. В разные периоды развития математики понятие величины трактовалось по-разному. В начальный период люди сравнивали различные предметы по величине, не измеряя их и не пользуясь числовым выражением величины. Затем люди на-

учились находить числовое значение величины, измеряя предметы с помощью некоторых меток, единиц измерения. Затем люди научились складывать и вычитать однородные величины (длина, площадь и т. д.). Все это происходило в период зарождения математики (до VI—V вв. до н. э.).

В период элементарной математики (с VI—V вв. до н. э. по XVI век н. э.) сложилось достаточно четкое понятие положительной скалярной величины. Свойства величины были отчетливо сформулированы в «Началах» Евклида (III в. до н.э.). В этот период рассматривались лишь постоянные величины.

Начиная с XVII века в связи с необходимостью математического описания процессов и движений в физике и астрономии стали рассматриваться переменные величины. Этот период в развитии математики (с XVII века по середину XIX века) стали называть периодом математики переменных величин. В этот же период стали изучаться непрерывные величины.

В период современной математики (с середины XIX века), когда первостепенное значение приобрели проблемы оснований математики, встала, в частности, проблема строгого определения понятия величины (скалярной или векторной). Было выработано несколько подходов к этому понятию. При одном подходе скалярные величины отождествляются с числами, при другом величина определяется как функция с заданными свойствами, при третьем — как множество, обладающее некоторыми свойствами. Выбор системы аксиом при этом также может быть различным. В одних аксиоматиках скалярных величин предполагаются известными действительные числа, в других не предполагается существование каких-либо чисел.

Понятие величины всегда связывалось с числами. Исторически число возникло в результате счета предметов и измерений величин. На это обстоятельство указывал еще древнегреческий философ Аристотель. В принципе понятие величины в математике можно вовсе не вводить и ограничиться понятием числа. Однако понятие величины имеет ясно выраженную прикладную направленность, и поэтому в школьном курсе математики наряду с изучением конкретных величин важно, чтобы учащиеся получили достаточно полное и в то же время доступное представление об этом понятии, каковы свойства величины и как ее измерить.

В связи с этим необходимо обратить внимание на разработку согласованного подхода к трактовке понятия величины и смежных с ним понятий в курсах математики и физики. В практике преподавания наблюдается некоторая изолированность этих дисциплин. Многие из этих

понятий (величина, измерение величин, число, погрешность и др.) получают неоднозначную трактовку в различных разделах математики и физики, имеются различия в терминологии и символике этих учебных предметов. Такое положение объясняется тем, что математика и физика рассматривают один и тот же объект (в данном случае понятие величины) с различных точек зрения.

Весьма важным является изучение величин и в вузе, особенно педагогическом. Учитель математики должен быть всесторонне подготовлен к изложению различных аспектов этого понятия, знать современные научные подходы к этому понятию, его математические и логические тонкости. К сожалению, этот вопрос выпал из программы математических курсов педвузов. Вопросы измерения геометрических величин оказались разбросанными по разным математическим дисциплинам.

В частности, аксиомы измерения геометрических величин приводятся лишь на заключительном этапе курса геометрии. При этом длиной, площадью и объемом называется число. Понятие величины не рассматривается. В чем различие между длиной, площадью и объемом, как ведут себя эти числа при изменении единицы измерения не обсуждается. В курсе математического анализа в качестве приложения интегрального исчисления рассматриваются методы вычисления длин, площадей и объемов фигур, заданных аналитически. При этом теория измерения длин ломаных, площадей многоугольников и объемов многогранников предполагается известной. Такое отсутствие единого подхода к изучению величин не способствует созданию у студентов — будущих учителей математики целостного представления о скалярных величинах и методах их измерения.

Понятие величины включено в программу курса математики для студентов факультетов подготовки учителей начальных классов, поскольку это понятие является базовым в программе по математике Д. Б. Эльконина— В. В. Давыдова. Однако учителя начальных классов обычно затрудняются ответить на вопрос, что же такое величина. Дело, по-видимому, заключается в том, что в силу сложности вопроса определение величины в явном виде отсутствует не только в упомянутом школьном учебнике, что вполне объяснимо, но и в учебнике для студентов педучилищ и в методическом пособии для учителей. Между тем, как будет показано ниже, имеется определение величины, вполне приемлемое на первом этапе изучения этого понятия и вполне доступное студентам педучилищ.

Как совершенно верно отметил Г. Фройденталь, у математиков есть склонность стричь все скалярные величины под одну гребенку. Между тем нужно помнить о различном происхождении и характере отдельных величин и понимать зависимости между ними [58, с. 123—124].

3.2. Первоначальное понятие о величине

Большое значение изучению понятия величины в школьном курсе математики придавали как ученые-математики (А. Н. Колмогоров, Н. Я . Виленкин и др.), так и психологи (В. В. Давыдов). Весьма полезной для учителей оказалась и книга В. А. Гусева и др. [18], в которой наиболее полно освещался этот вопрос, правда при этом авторы почти не касались первоначального изучения величин в начальной школе.

Однако, несмотря на усилия этих известных ученых-педагогов, понятие величины в школьной (а в ряде случаев и в вузовской) математике до сих пор обычно остается без определения, и поэтому в практике преподавания часто встречается несколько вольное обращение с этим понятием. Более того, приводимые в учебной математической литературе определения этого понятия даются с различных позиций, на разном уровне строгости, к тому же и сами величины бывают разной природы (скалярные, векторные, тензорные). Основной недостаток, на наш взгляд, в изучении величин состоит в том, что не выделены четко этапы, уровни формирования этого понятия. Все это приводит к тому, что учащиеся не имеют четкого представления об этом понятии.

Изучение величин идет на протяжении длительного промежутка времени, на всем протяжении обучения в школе и частично в вузе, причем не только на уроках математики, но и на уроках физики. Понятие величины в процессе своего формирования проходит несколько этапов. Первый этап, дочисловой, соответствует уровню конкретных множеств. На этом этапе можно исходить из следующего самого общего, самого широкого определения величины:

Величинами одного рода называются элементы некоторого линейно упорядоченного множества.

Это определение означает, что на множестве величин одного рода задано отношение «<», удовлетворяющее условиям антирефлексивности (т. е. ни для какого элемента х не может быть х < х), транзитивности (т. е. из X < у и у < z следует х < z) и трихотомии (т. е. для любых элементов х и у имеет место одно и только одно из соотношений х = у, х>у илих<у).

Именно такое определение величины подразумевается, хотя, разумеется, и не приводится в учебнике по математике для 1 класса, на-

писанном по программе Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова. Это определение фактически совпадает с определением величины, данным известным российским геометром В. Ф. Каганом: величиной называют всякое множество, для элементов которого установлены критерии сравнения, удовлетворяющие некоторым постулатам [22, с. 101]. Эти постулаты в современной терминологии как раз и означают выполнимость для отношения «<» условий трихотомии и транзитивности, а для отношения «=», кроме транзитивности, еще симметричности и рефлексивности (т. е. X = у => у = X и X = х).

Отличие состоит в том, что В. Ф. Каган называет величиной не элемент линейно упорядоченного множества, а все такое множество. Определение В. Ф. Кагана было перенято В. В. Давыдовым при построении своей программы по математике, в основу которой было положено понятие величины. Однако другие математики, например А. Н. Колмогоров, называют величинами именно элементы упорядоченного множества, а не все множество [28].

Близкое к данному определение предложено и Н. Я. Виленкиным [11]. Однако он рассматривал только измеряемые величины, и поэтому в его определении, кроме упорядоченного множества А, задано изотонное (т. е. сохраняющее порядок) отображение из А во множество R+ положительных действительных чисел.

Поскольку любое числовое множество (подмножество в R) является линейно упорядоченным, то, согласно нашему определению, число — это частный случай величины. Это позволяет обеспечить единство в изучении различных видов действительного числа и вводить в дальнейшем все виды действительного числа как некоторые величины.

Многолетний опыт работы ряда школ по программе Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова показывает доступность такого понимания величины для 6—7-летних учащихся.

В определении величины, кроме существования линейного порядка, обычно предполагается, что определена еще операция сложения, обладающая определенными свойствами. Однако у ребенка понятие об операции сложения величин формируется позднее, чем понятие о самой величине, как способ выравнивания величин, как переход от неравенства к равенству. Этот способ введения операции сложения (и вычитания) имеет вполне научное основание (об этом в следующем параграфе) и практически осуществлен в уже упоминавшемся учебнике. К тому же есть величины, складывать которые бессмысленно, поскольку они не обладают свойством аддитивности (т. е. р(А + В) * р(А) + р(В)). Таковы, например, температура разных тел, рентабельность, внимание и т. д.

Поэтому включать требование выполнимости операции сложения в определение величины более целесообразно уже на следующем этапе формирования этого понятия.

3.3. Дальнейшие этапы формирования понятия о скалярных величинах

На уровне конкретных структур возникает потребность в уточнении понятия величины. После того как учащиеся получат первоначальное представление о таких величинах, как длина, научатся складывать такие величины, выяснят смысл этой операции и ее свойства, можно переходить к новому этапу в формировании понятия о величине, к новому ее пониманию. На этом этапе, соответствующем уровню конкретных структур, можно исходить из следующего определения:

Положительными скалярными величинами называются элементы линейно упорядоченного множества, в котором, кроме отношения порядка «<», определена операция сложения и выполняются следующие условия:

1) а + b = b + а (коммутативность сложения);

2) а + (Ь + с) = (а + Ь) + с (ассоциативность сложения);

3)a<b=>a + c<b + c (монотонность сложения);

4) если а < Ь, то существует единственная величина с, такая, что а + с = b (возможность вычитания);

5) для любой величины а и любого натурального числа п существует величина Ь, такая, что nb = а (возможность деления на п равных частей).

Это определение отличается от определения А. Н. Колмогорова тем, что свойство монотонности приведено в другом виде, пригодном для следующего этапа, и отсутствует свойство архимедовости, которое выполняется не для всех величин (имеются неархимедовы величины) и с которым лучше познакомиться на следующем этапе одновременно с теорией измерений.

Разумеется и на этом этапе нецелесообразно давать определение величины в явном виде, однако о свойствах скалярной величины (свойствах 1—5) учащиеся должны иметь представление.

На уровне синтеза структур, после того как учащиеся изучат отрицательные числа и начнут изучать физические величины, целесообразно познакомить их и с отрицательными скалярными величинами. На этом этапе в основу определения величины могут быть положены аксиомы упорядоченной группы. Эти аксиомы, как указывал Г. Биркгофф, могут рассматриваться как эмпирические свойства величины [5, с. 61].

Системой скалярных величин называется линейно упорядоченное множество V, в котором, кроме отношения порядка «<», определена операция сложения и выполняются следующие условия:

l)a + b = b + a (коммутативность сложения);

2) а + (Ь + с) = (а + Ь) + с (ассоциативность сложения);

3) а + 0 = а (существование нулевого элемента);

4) а + (-а) = 0 (существование противоположного элемента);

5) a<b=>a + c<b + c (монотонность сложения);

6) для любой величины а и любого натурального числа п существует величина Ь, такая, что nb = а (возможность деления на п равных частей).

И на этом этапе в массовой школе определение скалярных величин должно присутствовать только в неявном виде. Особое внимание на этом этапе изучения величин следует уделить взаимосвязям математики и физики. Если в математике величина рассматривается как понятие абстрактное, определенное косвенно или непосредственно через ту или иную систему аксиом, то в физике понятие величины считается интуитивно ясным, поэтому ограничиваются описательными определениями, не претендующими на высокую степень строгости. Поэтому следует обеспечить согласование прежде всего по следующим аспектам:

— введение общих представлений о скалярных величинах, их отличий от векторных величин, о действиях с величинами;

— общность подходов к терминологии и символике;

— общность подходов к измерению величин.

При введении конкретных геометрических величин (длина отрезка, площадь, объем) следует специально выделять те их свойства, которые являются фундаментальными. Особенно важным при рассмотрении величин является изучение длины — одного из основных понятий геометрии, она более математична, более осязаема для учащихся, чем температура или масса. Длина является конкретной моделью понятия величины, на которой можно вполне наглядно изучить все основные свойства этого понятия.

В явном виде аксиоматику скалярных величин целесообразно ввести на следующем этапе, на уровне содержательных структур (причем только в классах с углубленным изучением математики или в вузе). На этом же этапе можно ввести дополнительную аксиому — условие непрерывности, увязав это условие со свойством непрерывности (полноты) действительных чисел. Из всех различных форм условия непрерывности наибольшие преимущества, на наш взгляд, имеет следующая, идущая от Дедекинда, форма:

7) если X и Y — непустые подмножества множества V и X лежит левее Y (т. е. для любого х Е X и для любого у EY х s у), то существует элемент с, разделяющий эти подмножества (т. е. для любого х Е X и для любого у Е Y X £ с «s у).

Эта форма условия непрерывности допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Из этого условия, как следствия, может быть получено следующее свойство:

8) Множество непрерывных скалярных величин является архимедово упорядоченным, т. е. для любых a, b EV, а > 0 найдется п Е N, такое, что па > Ь.

Такое аксиоматическое изложение теории скалярных величин весьма полезно для будущих учителей математики и позволяет устранить пробелы в изучении величин, отмеченные выше.

Особую роль в теории скалярных величин играет условие архимедовости порядка. При выполнимости этого условия система скалярных величин фактически исчерпывается действительными числами. Этот замечательный факт вытекает из теоремы, доказанной для упорядоченных групп Гельдером: система скалярных величин V с архимедовым порядком порядково изоморфна подгруппе аддитивной группы действительных чисел с естественным порядком. Эту теорему, являющуюся вершиной теории архимедовых скалярных величин, целесообразно рассмотреть уже на уровне абстрактных структур в вузе.

Кроме архимедовых величин существуют и неархимедовы скалярные величины. Такие неархимедовы величины тесно связаны с гипердействительными числами и с основными идеями нестандартного анализа, которые находят все более широкое применение в преподавании математики на различных этапах обучения.

§ 4. Формирование представлений о структуре натурального ряда

Числовая линия является одной из основных в школьном курсе математики. К сожалению, как указывает А. В. Гладкий, числа в школьном преподавании математики до сих пор не занимают того места, какого они заслуживают по своему значению для математической и общей культуры и для развития логического мышления. Число — одно из удивительнейших и прекраснейших созданий человеческого духа, и понятие числа заслуживает того, чтобы каждый образованный человек имел хотя бы некоторое представление о тех глубинах, которые оно в себе содержит.

А. Я. Хинчин, говоря о понятии числа как стержне всего школьного курса математики, указывал: «И подобно тому как в сознании мыс-

лящего человечества понятие числа, подымаясь от ступени к ступени, в разные эпохи не только по содержанию, но и по стилю, научному уровню и логической зрелости являло собою совершенно различную картину, точно так же нельзя говорить о едином понятии числа, соответствующем уровню сознания школьника. На протяжении школьного обучения понятие числа не только обогащается по содержанию, включая в себя все новые и новые классы чисел, но и качественно эволюционирует вместе с сознанием учащегося, приобретая новые черты и оттенки и поднимаясь на все более высокие ступени абстракции и логической завершенности» [59, с. 56].

Натуральные числа являются фундаментом всего школьного образования. Они используются при построении системы целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. На основе свойств натуральных чисел изучаются свойства степенной и показательных функций, действия с одночленами и многочленами, числовые последовательности. Изучение системы натуральных чисел позволяет более полно осознать роль аксиоматического метода в математике.

Без строгого построения теории натуральных чисел у учащихся остаются не сформированными такие важнейшие понятия, как число и числовая система, отсутствует целостное восприятие некоторых разделов программы.

4.1. Порядковый и количественный аспекты натурального числа

Натуральные числа возникли из потребностей счета в глубокой древности. Как показывает изучение понятия числа у первобытных народов, натуральное число служит целям счета и развивается в зависимости от усложнения задач счета. Простейшими конкретными представителями этих чисел являются ряды черточек: |, ||, |||, ||||... Пересчитывая (конечное) множество объектов, мы каждому объекту ставим некоторую черточку и, таким образом, устанавливаем взаимно-однозначное соответствие между данным множеством и множеством черточек. Одновременно мы упорядочиваем множества, поскольку занумеровываем его элементы в соответствии с последовательностью черточек как первый, второй, третий и т. д.

Таким образом, в самом процессе счета имеется два различных аспекта, две стороны: установление количества элементов и упорядочение. Основные свойства натуральных чисел могут быть описаны и изучены с любой из этих двух сторон, причем первая приводит к тео-

рии кардинальных чисел в теории множеств, а вторая — к теории порядковых (ординальных) чисел.

Согласно Г. Кантору, создателю теории множеств, конечные кардинальные и конечные ординальные числа оказываются объектами различной природы. При этом Кантор несколько неопределенно говорит, что они совпадают по своим свойствам. После рассмотрения свойств конечных кардинальных чисел Кантор объявляет, что тем самым указан самый естественный путь построения обычной традиционной арифметики натуральных чисел. Кантор мог бы сказать то же самое и по поводу конечных ординальных чисел. Предпочтение, отданное Кантором в этом отношении кардинальным числам, может быть объяснено, по мнению А. Н. Колмогорова, просто тем, что они были рассмотрены первыми.

Третьим подходом, хотя и тесно связанным со вторым, является аксиоматический путь. Дедекинд, по-видимому, был первым, кто при сравнении очерченных выше подходов к построению натуральных чисел сознательно отдал предпочтение этому пути. Именно этот путь, который обычно связывают с именем Дж. Пеано, ставил на первое место А. Н. Колмогоров.

Двойственный характер природы натуральных чисел, т. е. что они одновременно являются порядковыми и количественными числами, приводит к методологическим трудностям при формировании этого понятия.

В школьной математике также возможны два соответствующих подхода, основанные на этих двух теориях: кардинальных и ординальных чисел (мы не касаемся здесь операторного и геометрического подходов). Школьная дидактика накопила многовековой опыт формирования у детей понятия о натуральном числе на основе счета предметов, используя первичность порядковых свойств, что соответствует и историческому процессу формирования этого понятия.

Для того чтобы считать, необходимо заранее иметь достаточный запас чисел. Числа (будь то пальцы, суставы или другие системы) должны обладать известными свойствами, чтобы служить орудием счета. Они должны располагаться в определенном порядке, причем должно существовать первое число и т. д. При этом первому отмеченному предмету ставится в соответствие число 1, а каждому очередному числу, не отмеченному ранее, ставится в соответствие число, следующее за последним из уже названных.

Процесс счета натуральных чисел имеет в своей основе следующие факты из теории линейно упорядоченных множеств, т. е. множеств, на которых задано отношение линейного порядка «<».

1) Всякое конечное множество можно линейно упорядочить, т. е. расположить в цепочку.

2) Во всяком конечном линейно упорядоченном множестве X существует наименьший (наибольший) элемент.

Это свойство следует из того, что для произвольного элемента X, Е X можно построить строго убывающую цепочку: х, > х2 > ... > хп, обрывающуюся на некотором конечном шаге. Элемент хп, выбранный на последнем шаге, будет, очевидно, наименьшим.

3) Любое конечное линейно упорядоченное множество X порядково изоморфно некоторому отрезку множества натуральных чисел, т. е. между ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок.

В самом деле, мы можем последовательно выстроить все элементы из множества X в возрастающую цепочку: х, < х2 < х3 <... < хр, где р — количество элементов в X. Отображение <p: X [1, р], построенное следующим образом: ф(х() = i (i = 1, 2, ... р), является взаимно однозначным соответствием и, кроме того, х( < xj i < j, т. е. ф сохраняет порядок.

Именно установление такого изоморфизма и может быть названо счетом элементов множества X.

В последние десятилетия были предприняты попытки, основываясь на мнении Кантора, ввести в школьную практику чисто количественный подход к формированию этого понятия. В отечественной науке примером такого подхода к формированию понятия натурального числа являются работы X. Ш. Шихалиева. Сторонники этого подхода при этом обычно ссылаются на работы Ж. Пиаже. Но как показали исследования Ж. Пиаже и А. Шеминской, формирование у ребенка понятий порядкового и количественного числа идет одновременно.

Переоценка количественного аспекта натурального числа, как отмечает известный голландский математик и педагог Г. Фройденталь, недопустима:

1. Мнение о том, что количественное число, т. е. рассмотрение, основанное на понятии мощности, достаточно для обоснования натурального числа, математически ложно (по крайней мере, если математику понимают в обычном смысле).

2. Количественный аспект целых чисел несуществен по сравнению с порядковым аспектом.

3. Количественный аспект недостаточен для дидактики натуральных чисел [58, с. 110].

Г. Фройденталь подробно обосновывает эти свои выводы. В частности, он указывает, что теория натуральных чисел, построенная на

основе понятия конечного множества, является лишь красивым обманом, поскольку само понятие конечного множества нельзя определить, не опираясь на понятие натурального числа, т. е. в конечном счете на принцип математической индукции.

По его мнению, «порядковое число играет в происхождении понятия числа первую и важнейшую роль — это следует признать и с точки зрения возрастной психологии, и с точки зрения педагогики, а никак не отрицать эту роль» [58, с. 119]. Г. Фройденталь считает недопустимым догматическое отрицание веками сложившегося опыта изучения натуральных чисел.

Говоря о спорах на тему о том, является ли первичным понятие количественного числа или порядкового, Г. Вейль отмечает: «Мне представляется неоспоримым, что первичными являются порядковые числа. Это полностью подтверждает и современное исследование основ математики, разрушившее догматическую теорию множеств» [9, с. 62].

А. Н. Колмогоров также отмечал возможность конфликта между требованиями науки и традициями, которая наметилась «потому, что некоторые методисты слишком уверовали в логическую обязательность очерченного Кантором пути, в котором четкое оформление понятия эквивалентности множеств предшествует счету. Мы уже видели, что наука вовсе не требует признания за концепцией, идентифицирующей натуральные числа с конечными мощностями, какого-то исключительного и преимущественного положения» [26, с. 246—247].

Разумеется, важно не допустить перекоса и в другую сторону, т. е. наряду с порядковым аспектом следует рассматривать и количественный аспект, в частности знакомить учащихся с понятием численности конечных множеств. Это позволяет с самого начала сложение чисел естественным образом связывать с операцией объединения непересекающихся множеств. Следует также учитывать и еще один вывод, сделанный Ж. Пиаже и А. Шеминской: упорядочение одного конечного множества и приведение двух таких множеств во взаимно-однозначное соответствие по трудности для ребенка совершенно равнозначны.

Но вместе с тем начальный курс арифметики должен иметь ясное логическое строение, которым должны руководствоваться как авторы учебников, так и учителя, в том числе и для начальной школы. К сожалению, выпускники педучилищ не имеют ясного представления о том, что такое натуральное число. Предлагавшееся в учебнике для студентов педучилищ определение: «Числа 1,2, 3,... называются натуральными» с математической точки зрения не выдерживало никакой критики. Поэтому, как совершенно справедливо заметила Л. П. Стойлова, опре-

деляющим должно быть аксиоматическое построение системы натуральных чисел, поскольку усвоение натуральных чисел детьми соответствует, по существу, аксиоматике Пеано (она является естественной формализацией процесса счета предметов) [52].

При построении теории натуральных чисел в вузе в курсе «Числовые системы» также возникает вопрос, какой аспект этой теории принять за первичные свойства. В последнее время все большее число преподавателей склоняется к мнению, что в качестве первичного надо брать порядковый аспект этой теории. Это в большей степени соответствует генезису натуральных чисел, возникших в процессе счета предметов, и, следовательно, стратегии обучения на социокультурном опыте.

4.2. Первоначальные этапы формирования понятия о натуральных числах

При формировании понятия о натуральных числах предпочтительнее основываться на аксиоматическом построении, причем на таком, которое позволяло бы, опираясь на уже сложившееся у ребенка понятие о величине, сравнительно рано раскрыть понятия не только порядкового, но и количественного числа.

Наиболее известное такое аксиоматическое построение натуральных чисел основано на аксиомах, предложенных итальянским математиком Джузеппе Пеано (1858—1932 гг.) в конце XIX века. Однако среди аксиом Пеано содержится аксиома индукции, которую, как показывает опыт, школьники способны воспринять не ранее 8—9 класса. Поэтому в основу начального построения натуральных чисел должно быть положено какое-то другое аксиоматическое определение натуральных чисел.

Ниже приведено определение системы натуральных чисел, основанное на чисто порядковых свойствах множества натуральных чисел, которое эквивалентно традиционному определению на основе аксиом Пеано. Это определение имеет ряд методических преимуществ.

Конечно, не идет речи о том, чтобы в начальной школе знакомить учащихся с таким определением. Однако младшим школьникам вполне по силам усвоить характеристические свойства системы натуральных чисел, фигурирующие в этом определении:

1) натуральные числа следуют в определенном порядке одно за другим, т. е. множество натуральных чисел можно расположить в цепочку по возрастанию (линейно упорядочить);

2) числа в натуральном ряду не могут повторяться, т. е. каждое число имеет только одно место;

3) ряд натуральных чисел всегда можно продолжить, т. е. за каждым числом есть еще числа;

4) всегда можно выписать все числа, меньшие некоторого данного натурального числа;

5) любая часть натурального ряда (подмножество) содержит наименьшее число. Это последнее свойство в методической литературе часто называют принципом наименьшего числа. Оно, как хорошо известно, эквивалентно условию обрыва убывающих цепочек и условию индуктивности.

В школьном преподавании математики наиболее близкий подход к введению числа как элемента упорядоченного множества (множества величин) осуществлен в программах и учебниках, созданных по системе развивающего обучения Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова. Однако упор в них сделан на формировании понятия числа как особого случая отношения величин п = — , где А — величина, подлежащая измерению, С — любая ее мера, т. е. число в них выступает как универсальное средство сравнения величин. Ученик работает с одной и той же величиной, но с изменяющимися мерами, и на этой основе выводится принцип натурального ряда. Такой подход опирается на идею А. Лебега, высказанную им еще в начале 30-х годов 20-го столетия [36]: вводить понятие числа на основе измерения величин, что позволило бы все виды действительного числа рассматривать с этой точки зрения.

Это предложение А. Лебега было положительно воспринято А. Н. Колмогоровым: «Основной положительной педагогической идеей Лебега является возможность полного единства преподавания математики на разных ступенях обучения: одни и те же понятия, и в основном в одной и той же форме, сначала воспринимаются наглядно на примерах, потом формулируются более отчетливо и, наконец, подвергаются тонкому логическому анализу» [30, с. 10].

Однако А. Н. Колмогоров отмечал, что «в начальной и средней школах, так же как и в историческом процессе развития человеческих знаний, число выступает в двух основных функциях: натуральное (целое положительное) число как орудие счета предметов, рациональное и действительное число как орудие измерения величин» [30, с. 3]. Он также отвергал как неприемлемое другое предложение А. Лебега — изгнать из школы простые дроби.

Поскольку натуральное число имеет совсем другую функцию, то вводить его на основе измерения величин вряд ли оправдано. Весь опыт работы по программе Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова свиде-

тельствует о неоправданно больших потерях времени при введении натуральных чисел и операций над ними.

На наш взгляд, единство в изучении всех видов действительного числа можно обеспечить, опираясь на понятие величины, но не рассматривая на первоначальном этапе отношение величин и понятие меры, что занимает львиную долю учебного времени первоклассников при изучении математики по программе В. В. Давыдова. При этом все основные принципы, заложенные в систему В. В. Давыдова, будут выполняться. При таком изложении, так же как в программе В. В. Давыдова, с самого начала возникает числовая ось, а расширение понятия числа идет путем расширения познанной области на этой оси.

Можно дать несколько модификаций традиционного определения системы натуральных чисел. Наиболее общеупотребительным является следующее:

Определение 1. Системой натуральных чисел N называется непустое множество N, на котором определена функция следования S(x) такая, что выполняются следующие условия :

1) Существует элемент 1 Е N такой, что для любого а Е N S(a) * 1.

2) Если а * Ь, то S(a) * S(b).

3) Если M — подмножество в N, обладающее свойствами: а) 1 Е М, ß)aEM=> S(a) Е M , то M = N. (аксиома индукции)

Условия 1) — 3) обычно называются системой аксиом Пеано.

На основе этого определения теория натуральных чисел традиционно излагается в духе Грассмана, и сначала с помощью индуктивных процедур определяются операции сложения:

1) а+ 1 =S(a),2)a + S(b) = S(a + b)

и умножения: 1) а • 1 = а, 2) а ■ S(b) = а • b + а.

Затем вводится отношение порядка через операцию сложения: а < b тогда и только тогда, когда существует п, такое, что b = а + п. Наконец, доказываются свойства этого отношения порядка (трихотомия, законы монотонности, условие минимальности, архимедовость и т. п.).

Поскольку первичным для натурального ряда является отношение порядка, то предпочтительнее было бы строить теорию в другой последовательности: сначала определить отношение порядка, а затем операции сложения и умножения. Такое изложение теории натуральных чисел на основе введения отношения порядка в системе Пеано нашло отражение в книге автора [54].

При попытках знакомства учащихся (в классах с углубленным изучением математики) с приведенной выше аксиоматикой системы натураль-

ных чисел возникают определенные трудности с доказательством существования и единственности операций сложения и умножения. Поэтому на этом уровне предпочтительней является следующая аксиоматика:

Определение 1. Системой натуральных чисел N называется множество N с выделенным элементом 1, в котором определены операции сложения и умножения и выполняются следующие условия:

1) Для любых элементов а и b а + b * 1.

2) Если а+1=Ь+1,тоа = Ь.

3) Для любых элементов а и b (а + Ь) + 1 = а + (Ь + 1).

4) Для любого элемента а а • 1 = а.

5) Для любых элементов а и b a(b + 1) = ab + а.

6) Если M — подмножество в N, обладающее свойствами: а)1ЕМ, ß)aEM=>a+lEM,ToM = N (аксиома индукции). На основе этой аксиоматики основные свойства сложения и умножения натуральных чисел могут быть легко доказаны сразу. Однако важно соблюдать определенную последовательность при доказательстве этих свойств:

Неоднократный опыт использования автором этой аксиоматики в преподавании в 10-м классе естественно-математического лицея г. Вологды показал ее доступность для уровня содержательных структур.

Недостаток такой аксиоматики в том, что первичными в ней являются операции сложения и умножения, а не отношение порядка.

4.3. Система натуральных чисел как упорядоченное множество

Перейдем сейчас к рассмотрению построения натурального ряда как чисто порядковой структуры. Возможность введения натурального ряда как некоторого вполне упорядоченного множества давно известна, хотя в учебной литературе (по крайней мере на русском языке) такое построение присутствует только в оригинальном учебном пособии «Теоретическая арифметика», созданном Е. Г. Гониным.

Вполне упорядоченные множества — это специальный класс упорядоченных множеств, удовлетворяющих одному из нижеследующих трех условий, между собой эквивалентных:

1) (Условие минимальности.) Всякое непустое подмножество множества X имеет хотя бы один минимальный элемент.

2) (Условие обрыва убывающих цепей.) Всякая строго убывающая цепь элементов множества X обрывается на конечном шаге. Иными словами, для всякой убывающей цепи элементов а, ^ а2 ^ ... s ak z> ... найдется номер п, такой, что aw = aw+, = aw + 2 = ...

3) (Условие индуктивности.) Если все минимальные элементы множества X обладают некоторым свойством S и из того, что все элементы, меньшие элемента а, обладают свойством S, следует, что и элемент а обладает свойством S, то свойством S обладают все элементы множествах.

Нетрудно заметить, что условие индуктивности является обобщением известного принципа математической индукции.

Условие минимальности позволяет проводить не только доказательства по индукции, но и построения по индукции. В частности, на таком построении по индукции основано определение операций сложения и умножения натуральных чисел.

Линейно упорядоченное множество, удовлетворяющее условию минимальности (или эквивалентному ему условию), называется вполне упорядоченным.

Будем говорить, что элемент х' непосредственно следует за элементом x (покрывает х), если х < х' и если из неравенства х s у «s х' следует, что у = х или у = х' (т. е. между х и х' элементов нет).

Функцию Six-* S(x) = х' будем называть функцией следования.

Функция следования для любого вполне упорядоченного множества X обладает следующими свойствами :

1) если x — не наибольший элемент, то для него существует и притом единственный элемент S(x), непосредственно следующий за х;

2) если а * Ь, то S(a) * S(b).

Как уже отмечалось, представляется наиболее предпочтительным систему натуральных чисел с самого начала определить как некоторое упорядоченное множество. Можно дать следующее определение:

Определение 2. Системой натуральных чисел называется линейно упорядоченное множество X, в котором выполняются следующие условия:

i) множество X — бесконечное вполне упорядоченное; и) всякое подмножество в X, имеющее максимальный элемент, конечно.

При таком построении системы натуральных чисел операции сложения и умножения определяются обычным образом, т. е. с помощью индуктивных процедур:

Существование и единственность таких операций сложения и умножения вытекают из теоремы о построении по индукции во вполне упорядоченных множествах.

Такое построение натурального ряда неоднократно производилось автором в курсе «Числовые системы» и нашло отражение в его книге [54].

4.4. Различные формы математической индукции

О методе математической индукции и методике изложения этой темы написано немало статей и книг. Однако в практике преподавания этой темы имеется целый ряд недостатков и нерешенных проблем. В частности, хотя Н. Я. Виленкин, С. И. Шварцбурд и А. Г. Мордкович в своей работе [13] убедительно показали отличие математической и полной индукции, до сих пор в силу исторических корней наблюдается терминологическое смешение этих двух методов.

Подавляющее большинство методических разработок по этой теме предназначено для учащихся 10-х классов, т. е. рассчитано на уровень содержательных структур. Между тем при изложении и этого вопроса возникает необходимость реализовать принцип многоступенчатости.

Так, при решении многих задач по теме «Делимость чисел», которая в школах и классах с углубленным изучением математики изучается в 8-м классе (т. е. на уровне синтеза структур), полезно использовать метод математической индукции. Однако традиционная форма математической индукции усваивается восьмиклассниками с трудом, поскольку она не имеет фактически никаких логико-психологических оснований. Для того чтобы обучить школьников этого возраста методу математической индукции, необходимо прорешать достаточно большое количество подготовительных задач и затратить немалое время. Тому, как можно это сделать, например, на кружковой работе или в летнем математическом лагере, посвящена статья И. С. Рубанова [47].

В классах с углубленным изучением математики возможен другой подход. Принцип математической индукции может быть получен как следствие из порядковых свойств натуральных чисел, а именно из свойства полноты порядка (условия минимальности или принципа наименьшего числа):

Любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит наименьшее число.

Вместо множества натуральных чисел здесь можно рассматривать множество неотрицательных целых чисел.

Как указывалось выше, это условие минимальности эквивалентно принципу математической индукции. Однако в практике школьного преподавания эта форма индукции имеет ограниченное применение. Между тем условие минимальности может естественно восприниматься учащимися на уровне синтеза структур, поскольку имеет психологическое основание в уже знакомых учащимся порядковых свойствах системы натуральных чисел. В учебнике «Алгебра для 8 класса» (для школ и классов с углубленным изучением математики) под редакцией Н. Я. Виленкина приводится эта форма, хотя и не используется термин «индукция». Однако в этом учебнике фактически отсутствуют примеры использования условия минимальности, за исключением доказательства теоремы о делении с остатком.

Примеры применения этой формы индукции будут нами приведены в главе 3 при решении задач на делимость.

При решении задач можно, конечно, использовать и традиционную форму индукции. При этом представляется целесообразным условие минимальности (1) взять в качестве аксиомы, а тогда традиционная форма математической индукции может быть получена из формы (1) как теорема.

Теорема 2.2. Если некоторое свойство F справедливо для числа 1 и если из того, что свойство F справедливо для числа к, следует, что F справедливо и для числа к + 1, то свойство F справедливо для ^ ' любого натурального числа.

Для доказательства обозначим через M множество всех натуральных чисел, для которых свойство F несправедливо, и пусть M непусто. В силу условия ( 1) во множестве M имеется наименьшее число к. Это число к * 1, поскольку для 1 свойство F справедливо. Поэтому можем рассмотреть число к - 1. Это число уже не принадлежит множеству М, поэтому для него свойство F справедливо. Но тогда в силу условия теоремы свойство F справедливо и для числа к = (к - 1) + 1. То есть мы пришли к противоречию, и поэтому свойство F справедливо для всех натуральных чисел.

Как показывает опыт работы автора в ряде школ г. Вологды, эта теорема вполне может быть доказана школьникам 8—9-х классов. При таком способе построения темы усвоение учащимися принципа математической индукции идет легче по сравнению с традиционным. У них не возникает недоуменных вопросов, откуда берется принцип математической индукции.

Из доказанной теоремы вытекает хорошо известный метод математической индукции: для того чтобы доказать утверждение Р(п) для всех натуральных п, достаточно доказать два утверждения:

1) «база индукции»: Р(1) верно;

2) «шаг индукции»: если верно Р(к), то верно Р(к + 1).

В некоторых книгах метод математической индукции разбивается не на два, а на три шага, что является не совсем верным с математической точки зрения и затрудняет понимание принципа математической индукции.

Как известно, проверять базу индукции можно не только при п = 1, но и для некоторого числа m (m ^ 0). Однако при этом обычно не приводится каких-либо обоснований. Целесообразно показать учащимся, что при этом используется та же форма индукции (2), но в измененном виде. Правомерность использования индукции в таком измененном виде следует из следующей теоремы.

Теорема 2.3. Если некоторое свойство F справедливо для числа m (m £ 0) и если из того, что свойство F справедливо для числа к (к ^ m), следует, что F справедливо и для числа к + 1, то свойство ^ а' F справедливо для любого натурального числа n (n £ m).

Для доказательства вновь обозначим через M множество всех неотрицательных целых чисел х ^ ш, для которых свойство F несправедливо. Пусть множество M непусто. В силу условия (1) во множестве M имеется наименьшее число к. Это число к * m, поскольку для m свойство F справедливо, т. е. к > т. Рассмотрим число к - 1. Это число к - 1 ;> m, но уже не принадлежит множеству М, поэтому для него свойство F справедливо. Но тогда в силу условия теоремы свойство F справедливо и для числа к = (к - 1) + 1. То есть мы пришли к противоречию, и, следовательно, свойство F справедливо для всех целых чисел n ^ т.

Важно, чтобы при использовании этой формы индукции учащиеся усвоили, что установление базиса индукции, т. е. проверка утверждения для небольших п, так же как проверка индукционного шага, являются непременными моментами доказательства при использовании этой формы индукции. Без такой проверки можно прийти к ошибочным заключениям. Приведем примеры неправильного применения метода математической индукции.

Пример 1. «Теорема». Никакое конечное множество чисел не содержит чисел, не равных друг другу.

«Доказательство». Проведем индукцию по числу элементов в множестве.

а) При n = 1 утверждение очевидно.

б) Пусть «теорема» справедлива для множества из к элементов. Возьмем множество из к + 1 элементов: а,, а2, а3, а4,ък. По предположению индукции имеем: а, = а2 = а3 = ... = aÄ. Далее, по тому же предпо-

ложению, имеем: а2 = а3 = ... = аЬ|и поэтому а, = а2 = а3 =... = = г По принципу математической индукции (2) заключаем, что «теорема» справедлива для любого п.

Ошибочность приведенного рассуждения состоит в следующем: при проведении индукционного шага мы воспользовались тем, что к-элементное множество содержит не менее двух элементов, то есть к ^ 2, хотя этого делать нельзя.

Пример 2. Любое натуральное число равно следующему за ним натуральному числу.

«Доказательство». Предположим, что при любом к утверждение верно для п = к, то есть что к = к + 1. Докажем, что тогда утверждение справедливо и при п = к + 1, то есть что к + 1 = к + 2. Но это очевидно, ибо если к обеим частям равенства к = к + 1 прибавить по 1, то равенство не нарушится, и мы получим к + 1 = к + 2. Делаем вывод, что утверждение справедливо для всех натуральных чисел.

Ошибочность этого рассуждения состоит в том, что мы «забыли» проверить высказывание при п = 1.

На уровне содержательных структур (в классах с углубленным изучением математики или на первом курсе в вузе) целесообразно познакомить учащихся с еще одной формой математической индукции. Эта форма имеет то преимущество, что требует проверки всего лишь одного условия. Мы сформулируем ее в виде следующей теоремы.

Теорема 2.4. Если из справедливости свойства F для всех чисел п, меньших произвольного числа к, следует справедливость F и для числа (3) п = к, то свойство F справедливо для любого натурального числа п.

В самом деле, пусть выполнены условия теоремы. Допустим противное, что F(x) верно не для всех х, тогда множество L, содержащее все натуральные числа, для которых F(x) ложно, имеет наименьший элемент к. Поэтому F(n) верно для любого п < к, и из условия теоремы получаем, что F(k) верно. Приходим к противоречию.

Следует обратить внимание учащихся на то, что наименьший элемент к множества L мог, в частности, равняться 1. В этом случае множество натуральных чисел п, таких, что п < к пусто. Но для пустого множества любое свойство справедливо.

Таким образом, форма индукции (3) легко получается из формы (1). А вот вывести форму (3) непосредственно из формы (2) затруднительно, поэтому эта форма индукции обычно в школьной (а затем и в вузовской) математике остается без каких-либо обоснований и выводов, хотя часто применяется при доказательстве ряда теорем.

В качестве примера применения этой формы индукции может быть доказано следующее утверждение.

Каждое натуральное число п (п > 1) может быть представлено в виде произведения простых чисел.

В самом деле, предположим, что утверждение справедливо для всех натуральных чисел, меньших числа к. Покажем, что и число к представимо в виде произведения простых чисел. Если к простое, то все доказано. Если г составное, то к = rs, где 2 £ г < к, 2 ^ s < к. По индуктивному предположению rus оба представимы в виде произведения простых чисел, а поэтому и число к имеет такое представление.

Имеется еще одно условие, эквивалентное принципу математической индукции — это условие обрыва убывающих цепей, которое может быть доказано в качестве следующей теоремы.

Теорема 2.5. Всякая строго убывающая цепочка натуральных чисел at > а2 > а3 > • • • > а^ > • • • обрывается на конечном шаге.

Для доказательства следует применить условие индуктивности (3) к следующему свойству: пусть S(a) означает, что любая убывающая цепь, начинающаяся с числа а, обрывается на конечном шаге. Пусть для любого натурального числа, меньшего а, свойство S справедливо.

Рассмотрим тогда некоторую строго убывающую цепь, начинающуюся с элемента а:

(*)

Если сейчас рассмотрим подцепь, начинающуюся с элемента аг то она оборвется на конечном шаге. Тогда цепь (*) тоже оборвется на конечном шаге, т. е. для элемента а свойство S тоже справедливо. Таким образом, обе посылки условия индуктивности выполняются, и поэтому свойством S обладает любое натуральное число, т. е. условие обрыва убывающих цепей справедливо.

На условии обрыва убывающих цепей основан так называемый метод спуска, примеры применения которого также будут рассмотрены в задачах на делимость.

Со всеми этими формами математической индукции целесообразно знакомить учащихся на уровне содержательных структур.

§ 5. Формирование понятий о других числовых системах

Одна из основных задач школьного курса математики, по словам А. Н. Колмогорова, «привести учащихся к наиболее ясному пониманию действительного числа». Эта задача решается на протяжении всего обучения в школе, начиная с первого класса, и продолжает решаться

в вузе, поскольку в рамках школьного курса невозможно дать сколько-нибудь строгое обоснование основных числовых систем. Таким образом при решении этой задачи очень важно учитывать принципы преемственности и многоступенчатости.

При этом существуют самые разные подходы, взгляды на то, как и когда вводить те или иные виды чисел, на какие научные теории при этом опираться. Для того чтобы понимание числа было достигнуто как можно более полно, необходимо подходить к формированию различных видов чисел с каких-то общих позиций. К сожалению, ввиду большого разнообразия школьных учебников и разных воззрений их авторов, такого единства удается достигнуть далеко не всегда.

Из всего многообразия подходов к расширению понятия числа в данном исследовании предпочтение отдается, пожалуй, наиболее универсальному, по крайней мере для действительных чисел, подходу, основывающемуся на понятии величины. Этот подход, как уже отмечалось, позволяет обеспечить единство в рассмотрении всех видов действительных чисел, как в школьном курсе, так и в вузовском.

5.1. Целые и рациональные числа

Рассмотрим прежде всего ступени формирования понятий о целых и рациональных числах. Знакомство с дробными числами, а в некоторых программах и учебниках также и с отрицательными целыми числами происходит на уровне конкретных структур.

В методической литературе много споров вызывает вопрос о том, какие числа следует изучать в первую очередь после натуральных — дробные или отрицательные. А. Н. Колмогорову представлялось разумным сохранение в новых программах традиционного порядка изучения чисел (вначале дробные, затем рациональные), что больше соответствовало бы и историческому пути возникновения дробных чисел из потребностей измерения величин.

Но высказывались и другие точки зрения. Как известно, Ф. Клейн считал, что совершенно безразлично, в какой последовательности это делать [24, с. 37]. Отрицательные целые числа, как отмечал В. Г. Болтянский в примечаниях к книге Ф. Клейна, очень легко усваиваются детьми (на примере шкалы термометра), а возможность неограниченного выполнения вычитания очень удобна при решении примеров и текстовых задач. Методические идеи о введении отрицательных целых чисел раньше рациональных нашли воплощение в ряде учебников для начальной школы.

В педвузовском же курсе, что отмечает и А. Н. Колмогоров, целесообразно следовать пути наиболее естественному с точки зрения чистой алгебры, т. е. вначале осуществлять построение целых чисел, а затем рациональных.

Изучение любого числового множества преследует несколько целей, которые меняются и в зависимости от выбранной научной концепции, и в зависимости от возрастных особенностей учащихся. Но каждый раз перед учителем стоят следующие вопросы теоретического и методического характера:

— каким образом вводятся и что представляют собой элементы нового числового множества;

— каким образом вводятся и что представляют собой отношения порядка и равенства в рассматриваемом множестве;

— какие операции осуществимы в данном множестве, как они вводятся, в чем их смысл, какие задачи ими решаются;

— каковы законы этих операций;

— каковы особые и специальные случаи операций, исключения из общих законов, дополнительные ограничения и возможности обобщений?

При рассмотрении различных расширений понятия числа важно эффективным образом использовать такое ценнейшее, по выражению Г. Фройденталя, достижение дидактики четырех арифметических действий в современной математике, как числовая прямая.

Числовая прямая должна, по мнению Г. Фройденталя, применяться с самого начала обучения вычислениям. Прежде всего на ней должны быть отмечены и обозначены натуральные числа, затем при вычитании появляются и обозначаются отрицательные числа; при делении или сжатии присоединяются обыкновенные дроби; при измерении главным образом десятичные дроби, вначале конечные, а потом бесконечные. Таким образом числовая прямая заполняется не числами или точками, а точками, воспринимаемыми как числа [58, ч. 1, с. 135].

Фактически эти же идеи реализованы в программе и учебниках, созданных по системе обучения Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова. При этом подходе нет принципиального расширения числовых областей — есть лишь все расширяющаяся «познанная» область. В этой программе уже в третьем классе даются понятия о целых числах, модуле и знаке числа, а понятия об операциях над целыми числами даются в 5-м классе. В 5-м классе также изучаются десятичные дроби и обыкновенные дроби с разными знаменателями, тем самым завершается первый этап формирования понятия рационального числа.

В традиционных программах и учебниках этот этап завершается в 6-м классе, т. е. также на уровне конкретных структур.

На этом этапе впервые формулируются законы арифметических действий. Сами формулировки этих законов несложны, но при их изучении встречаются некоторые трудности. Законы арифметических действий выступают в школьном курсе математики первыми теоремами, которые нуждаются в доказательстве. Но уровень конкретных структур не позволяет проводить какие-нибудь доказательства этих теорем. Эти свойства просто подтверждаются на нескольких примерах. Но уже на этом уровне необходимо дать понять учащимся, что эти свойства не могут выполняться автоматически, для чего следует привести примеры операций, не обладающих соответствующими свойствами. В частности, вполне доступно для понимания на этом уровне отсутствие сочетательного свойства для операции вычитания: а - (Ь - с) * (а - Ь) - с.

Введение отрицательных чисел представляет для школьников также определенные трудности. Отрицательные числа хотя и знакомы учащимся из повседневной жизни, но выступают в их сознании как некоторая характеристика состояния объекта (например температуры), с которой вовсе ничего не надо делать.

Таким образом, самое сложное — это выяснение смысла операций над отрицательными числами. На наглядно-интуитивном уровне сделать это помогает числовая прямая. Так, операцию сложения обычно описывают как последовательное изменение положения точек на числовой прямой.

Важно уже на этом уровне заложить понимание взаимосвязи между понятиями противоположного числа и операцией вычитания: а - b = а + (-Ь) и -а = 0 - а и, соответственно, между понятиями обратного числа и операцией деления, что явится одним из шагов на пути к формированию понятия группы и других алгебраических структур.

При изучении дробей обычно вначале рассматривают операции над дробями, а затем сравнение дробей. Но если подходить к дробям как величинам, то предпочтительней вначале научиться их сравнивать. На возможность такой последовательности изучения дробей указывал и Л. Ф. Пичурин.

На уровне синтеза структур к понятиям целого и рационального числа в школьном курсе возвращаются обычно перед введением иррациональных чисел. На этом этапе изучаются такие важные свойства рациональных чисел, как их представимость в виде несократимой дроби и в виде бесконечной десятичной дроби.

На уровне содержательных структур также целесообразно вернуться к целым и рациональным числам и рассмотреть алгебраическую структуру этих числовых систем (т. е. структуру кольца и поля), а также теорию делимости для целых чисел.

На уровне абстрактных структур целые и рациональные числа изучаются в курсе «Числовые системы».

Перед строгим определением системы целых чисел необходимо мотивировать введение этой системы естественным желанием так расширить систему натуральных чисел, чтобы в полученном расширении операция сложения стала обратимой. Для этого новая система должна являться кольцом.

Определение. Системой целых чисел Z называется минимальное кольцо, являющееся расширением полукольца натуральных чисел.

Из определения следует, что система целых чисел может быть задана следующими аксиомами:

1) Все аксиомы кольца.

2) В Z содержится подполукольцо N натуральных чисел.

3) Аксиома минимальности: если подмножество M С Z обладает свойствами: а) N С M и ß) a,b G M => a - b G M, то M = Z.

Из этих аксиом легко могут быть получены следующие свойства системы целых чисел:

• Всякое целое число представимо в виде разности двух натуральных чисел.

• Кольцо целых чисел Z является коммутативно-ассоциативным кольцом с единицей.

• Каждое целое число является либо нулем, либо натуральным, либо числом, противоположным к натуральному.

• Кольцо целых чисел Z является архимедовым, т. е. для любых целых a, b (а > 0) найдется натуральное п, такое, что па > Ь.

При построении системы Z как множества упорядоченных пар натуральных чисел важно неформально обосновать введение эквивалентности пар и операций сложения и умножения пар.

Следует обратить внимание учащихся на то, что, построив систему Z как расширение системы натуральных чисел, мы обогатили алгебраическую структуру (стала выполнима операция вычитания, и по сложению система Z стала абелевой группой), однако порядковая структура этой системы стала беднее (для естественного порядка потерялось свойство вполне упорядоченности).

При введении рациональных чисел мотивировка необходимости расширения кольца целых чисел сходна с той, которая была приведена

при переходе от полукольца N к кольцу Z. В кольце Z не обратима операция умножения: обратная ей операция деления выполнима не для любой пары целых чисел или, другими словами, уравнение ах = b (а * 0) не всегда имеет решение. Поэтому для разрешимости уравнения такого вида необходимо, чтобы новая числовая система являлась полем.

На уровне синтеза структур школьники должны усвоить два наиболее важных свойства рациональных чисел: выполнимость операции деления для любой пары чисел b и а (а * 0) и представимость любого рационального числа в виде частного двух целых чисел.

Знакомство со строгим определением системы рациональных чисел обычно происходит уже в вузе.

Определение. Системой рациональных чисел Q называется минимальное поле, являющееся расширением кольца целых чисел.

Из определения следует, что система рациональных чисел может быть задана с помощью следующей системы аксиом:

1. Все аксиомы поля.

2. Кольцо Z является подкольцом в Q.

3. Аксиома минимальности: пусть подмножество M Q Q обладает двумя свойствами:

Из этих аксиом может быть получен ряд свойств системы рациональных чисел:

• Всякое рациональное число представимо в виде частного двух целых чисел.

• Поле рациональных чисел является линейно упорядоченным, и притом этот порядок единственный.

• Поле Q является архимедово упорядоченным, т. е. для любых рациональных a, b (а > 0) найдется натуральное п, такое, что па > Ь.

5.2. Действительные числа

Среди основных числовых систем особое место занимает система действительных чисел. В определенном смысле ее можно считать полной, завершенной, поскольку она обеспечивает все потребности счета и измерений. С помощью этой системы можно охарактеризовать непрерывность различных процессов в пространстве и во времени. Учение об этой системе является той необходимой базой, без которой целый ряд разделов школьной и особенно вузовской математики вообще не может быть обоснован. С геометрической и физической стороны задача введения действительных чисел, как отмечает А. Я. Хинчин, встает как

необходимость приписать определенное число, в качестве его меры, каждому значению скалярной величины, меняющейся непрерывным образом. Эта реальная цель общей теории вещественных чисел должна прочно войти в сознание учащихся [59, с. 63].

Переход от рациональных чисел к действительным связан с задачей обогащения топологической структуры числового множества, т. е. структуры, связанной с операцией предельного перехода.

Существуют разные подходы к понятию системы действительных чисел, самыми известными из них являются способы, связанные с именами Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда. Но ни одна из этих теорий в полном объеме не может быть рассмотрена не только в школе, но и на первом курсе вуза. На этих этапах могут быть рассмотрены только отдельные фрагменты этих теорий. Как отмечал Ф. Клейн, точное изложение теории в школе вряд ли уместно, т. к. она не может быть интересна для большинства учеников [24, с. 57].

Однако определение действительных чисел, как отмечает А. Я. Хинчин, «может быть дано в безукоризненной, с научной точки зрения, и в то же время полностью доступной сознанию учащихся форме» [59, с. 65].

В методической литературе наиболее распространена точка зрения, согласно которой построение действительных чисел рекомендуется производить с помощью бесконечных десятичных дробей. Однако, как отмечает ряд авторов (А. Г. Мордкович, К. Г. Аракелян и др.), такой путь имеет ряд существенных недостатков.

1) Числа — это абстракции, выражающие количественные отношения реального мира, тогда как десятичные дроби — формальные символы, их представляющие. То есть указанный путь не способствует полному логическому завершению представлений о действительных числах. А. Я. Хинчин также считал неприемлемым полное отождествление действительного числа с изображающим его символом десятичной дроби.

2) Кроме десятичной, можно рассматривать и другие системы счисления, которые с логической точки зрения ничуть не хуже десятичной. Поэтому одно и то же действительное число имеет разные систематические записи в зависимости от основания системы.

3) Запись действительных чисел с помощью десятичных дробей неоднозначна.

4) Возможность выполнения действий становится неясной. Например, в зависимости от точности результата получаем, что разность

т. е. разность вычисляется неоднозначно.

В связи с этим целесообразно использовать другие пути построения системы действительных чисел.

Рядом авторов, применительно к классам с углубленным изучением математики, рекомендуется излагать тему «Действительные числа» на основе аксиоматического подхода. Бесконечные десятичные дроби появляются в этом случае в результате рассмотрения десятичных приближений действительных чисел.

На наш взгляд, такой аксиоматический подход возможен, но его применение на уровне синтеза структур (тема «Действительные числа» изучается в 8-м классе) дидактически вряд ли оправдано. Как отмечалось в первой главе, на этом уровне значение дедукции может быть понято учащимися еще лишь «локально». Переходу к «содержательной» аксиоматизации должно предшествовать разъяснение сущности аксиом, определений, теорем, логической структуры доказательств, логической связи понятий и предложений. Аксиоматическое построение целесообразнее осуществить уже на следующем уровне — на первом курсе в вузе (для школ с углубленным изучением математики это возможно сделать в 10—11-х классах), когда постигается значение дедукции «в целом».

При введении действительных чисел задача значительно облегчается, как отмечал А. Я. Хинчин, координированным действием алгебраических и геометрических стимулов.

Поэтому при первоначальном изучении действительных чисел (на уровне синтеза конкретных структур) представляется разумным рассматривать их как нечто данное на числовой прямой. В начале изучения этой темы следует показать, что рациональные числа не полностью заполняют числовую прямую, т. е. что существуют иррациональные числа. Затем исследовать числовую прямую с помощью бесконечных десятичных дробей.

Самое трудное при таком подходе в корректном определении операций сложения и умножения над действительными числами. Обоснование этих определений лежит в действиях с рациональными приближениями

по недостатку и избытку и носит скорее не математический, а психологический характер.

Такой интуитивно-наглядный подход позволяет вводить действительные числа достаточно рано — в начале курса алгебры 7-го класса. Под нашим руководством такой опыт раннего введения действительных чисел был осуществлен учителем средней школы № 13 г. Вологды В. А. Жаворенковой. Близкий подход, связанный с рассмотрением бесконечных десятичных дробей в начале курса алгебры, был разработан академиком С. М. Никольским [41].

На уровне содержательных структур (на первом курсе вуза или в 10—11 классах школ с математической специализацией) целесообразно вернуться к теме «Действительные числа» и дать аксиоматическое определение системы действительных чисел, а также рассмотреть некоторые простейшие свойства этих чисел. Построение же любой из моделей системы действительных чисел требует значительных затрат времени, и поэтому лучше такое построение оставить для курса «Числовые системы».

В курсе «Числовые системы» естественным продолжением подхода к числам как величинам является путь, восходящий к Дедекинду, построения множества действительных чисел как упорядоченной алгебраической системы.

Определение. Системой действительных чисел R называется полное линейно упорядоченное поле.

Из этого определения следует, что аксиомы системы действительных чисел состоят из аксиом поля, аксиом линейно упорядоченного кольца и следующей аксиомы полноты:

если X и Y — непустые подмножества множества R и X ^ Y (т. е. для любых X Е X, у Е Y X <. у), то существует элемент с Е R такой, что для любых xGX, у G Y X ^ с ^ у.

Из этих аксиом вытекают следующие свойства системы действительных чисел:

• Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество множества R имеет верхнюю (нижнюю) грань.

• Поле действительных чисел является архимедово упорядоченным.

• Для любых двух действительных чисел а и ß существует рациональное число г, такое, что а < г < ß.

• Для любого положительного действительного числа х и любого натурального п существует положительное действительное число у, такое, что уп = х.

При нашем подходе к числовым системам как к порядковым структурам модель системы действительных чисел целесообразнее всего строить при помощи сечений. Чаще всего при этом рассматривают два класса сечения — нижний и верхний, однако вполне можно обойтись только нижними классами и даже не вводить термины нижнего и верхнего класса.

Определение. Множество А рациональных чисел называется сечением, если:

(1) А содержит хотя бы одно рациональное число, но не всякое рациональное число;

(2) для любого числа р из А и любого рационального q из q < р следует q Е А;

(3) во множестве А нет наибольшего числа.

Сечение имеет наглядную геометрическую интерпретацию как множество рациональных точек, лежащих левее некоторого разреза числовой прямой. В качестве примера сечения можно рассмотреть множество, состоящее из всех отрицательных рациональных чисел и неотрицательных рациональных чисел, квадрат которых меньше числа 2.

Часто используется следующее свойство сечений: если р Е А и q ф А, то р < q. В силу этого свойства элементы множества А называются нижними числами сечения, а элементы, ему не принадлежащие, — верхними числами сечения.

На множестве сечений естественным образом определяется отношение порядка: А^В<=>АСВ. Из этого определения легко получается линейность порядка и другие порядковые свойства множества сечений.

Операция сложения на множестве сечений определяется вполне естественным образом: А + В = {р + q, где р Е A, q Е В}. Аналогично определяется произведение положительных сечений. В определении произведения произвольных сечений используется понятие абсолютной величины сечения и правило знаков.

Несколько более сложно для множества сечений происходит проверка алгебраических свойств этой структуры, особенно обратимости операций. Проверка же аксиомы полноты вновь допускает наглядную геометрическую интерпретацию.

При изучении действительных чисел следует обратить внимание учащихся, что система действительных чисел является мощным конгломератом порядковых, алгебраических и топологических структур, но и в ней есть неразрешимые алгебраические уравнения, например, X2 + 1 = 0. Поэтому стоит задача построения дальнейших расширений системы действительных чисел.

Полное изложение теории действительных чисел приведено в книге автора [54].

5.3. Комплексные числа и кватернионы

Комплексные числа, как известно, не образуют упорядоченное поле, поэтому к ним уже нельзя подходить как к скалярным величинам. Необходимо выработать какой-то другой подход к изучению этой числовой системы.

Введение комплексных чисел, как отмечал А. Я. Хинчин, в методическом отношении представляет значительную трудность. Хотя в формальном отношении определение действий над комплексными числами не громоздко, связь новых чисел с реальной действительностью является таким моментом, который в рамках школьного курса (добавим от себя: и на первом курсе вуза) никак не может найти себе сколько-нибудь полного освещения; поэтому при изложении учения о комплексных числах мы должны считаться с опасностью того, что в сознании учащихся весь этот раздел запечатлеется как формальная логическая игра [59, с. 67].

По мнению Ф. Клейна, наиболее подходящим для школы является такое изложение этого вопроса, при котором следует истолковывать комплексные числа как расширение уже известного понятия числа, но прежде всего нужно приучить ученика к наглядному геометрическому истолкованию их в комплексной плоскости [24, с. 114].

Сходные взгляды высказывал и А. Я. Хинчин. По его мнению, важнейшим орудием, позволяющим ученику связать с комплексными числами целую цепь конкретных представлений, наряду с универсальной разрешимостью некоторых простейших типов уравнений, служит их геометрическая интерпретация. Однако А. Я. Хинчин выступал против полной геометризации теории комплексных чисел, ибо, по его мнению, комплексное число должно войти в сознание учащихся прежде всего как объект арифметики, т. е. как новое расширение понятия числа, а не как геометрическое понятие, не как символ известного геометрического преобразования, лишь впоследствии получающий арифметическое истолкование. Геометрическая иллюстрация должна быть тем, чем она есть, т. е. иллюстрацией. Но эта иллюстрация должна быть широчайшим образом использована для конкретизации в сознании учащихся идеи комплексного числа [59, с. 67—68].

Следует заметить, что исторически открытие геометрического представления комплексных чисел отличало весьма сдержанное отношение к такому подходу определенной части математиков, включая самых великих (К. Гаусс, О. Коши).

Так О. Коши считал, что теория мнимых чисел покоится на принципах, которым недостает ясности, и принимал в высшей степени формальное представление этих чисел. Он был убежден, что подлинное геометрическое исчисление мнимых чисел, когда можно признать геометрическое представление как основополагающую теорию, еще впереди.

Единство геометрического и арифметического подхода к теории комплексных чисел, а также к теории кватернионов, впервые прослеживается в трудах Гамильтона.

Как указывал еще В. М. Брадис, в массовой школе возможны три пути введения комплексных чисел: рассмотрение множества точек плоскости, множества векторов, выходящих из начала координат, и рассмотрение комплексного числа как выражения операции поворота и растяжения. «Если идти при изучении комплексных чисел, отправляясь от реальных геометрических образов, то обеспечено ясное понимание смысла и ценности комплексных чисел. Заучивание непонятных для учащихся определений и теорем, кроме вреда, ничего не приносит» [7, с. 275].

Таким образом, наиболее оптимальным следует признать такой путь введения комплексных чисел, который обеспечил бы:

1) с самого начала наглядную геометрическую интерпретацию комплексных чисел на плоскости;

2) единство геометрического и алгебраического подходов;

3) единый подход к комплексным числам и кватернионам.

На наш взгляд, всем этим требованиям удовлетворяет подход к системе комплексных чисел как двухмерной алгебре над полем действительных чисел. Такая алгебра является прежде всего двухмерным векторным пространством, и поэтому с самого начала комплексные числа могут изображаться как векторы на плоскости, выходящие из начала координат. Эта алгебра является расширением поля действительных чисел с операциями сложения и умножения, являющимися продолжениями соответствующих операций в поле R. Наконец, совершенно аналогично можно ввести систему кватернионов как четырехмерную алгебру над полем R.

Первоначальное знакомство с комплексными числами происходит на уровне содержательных структур (в 10—11 классах на факультативах, в школах с математической специализацией, а также на первом курсе вуза).

При построении комплексных чисел основная методическая трудность заключается в корректном определении символа i мнимой единицы и в определении умножения таких чисел.

Для основной массы школьников наиболее целесообразным является следующий путь введения комплексных чисел. Как известно, любое действительное число можно изобразить в виде точки на числовой оси. Но можно изображать действительные числа в виде векторов, лежащих на этой прямой и выходящих из точки О.

Если рассмотреть сейчас множество А всех векторов плоскости, выходящих из точки О, то частью этого множества является множество векторов, лежащих на горизонтальной числовой оси ОХ. Векторы, лежащие на оси ОХ, можно отождествлять с действительными числами, и, соответственно, ось ОХ называется действительной осью. Единичный вектор, лежащий на этой оси, будем обозначать символом 1, а единичный вектор, лежащий на вертикальной оси OY, будем обозначать символом i. Тогда любой элемент из множества А однозначно представим в виде а + Ы, где а и b — действительные числа. Как известно из курса геометрии, над векторами можно совершать операцию сложения и умножать векторы на действительные числа. Зададим на множестве А еще одну операцию — операцию умножения. Эта операция будет определена, если перемножать элементы множества А как многочлены и считать, что i2 = -1.

Обоснование такого пути лежит в теории алгебр, которая на этой ступени не может быть рассмотрена.

В школах с математической специализацией и на первом курсе в вузах чаще всего дается определение комплексных чисел и их произведения как множества упорядоченных пар. Но и на таком пути имеются как нестрогости (например, связанные с отсутствием у учащихся на этом этапе понятия изоморфизма), так и неаргументированное введение определений (например, определение умножения пар). Другие модификации этого пути — введение комплексных чисел как линейных многочленов или как квадратных матриц второго порядка — также не лишены этих недостатков.

Строгое построение системы комплексных чисел возможно лишь на уровне абстрактных структур в вузовском курсе «Числовые системы». Изучение этой системы после мотивировочных замечаний начинается с нижеследующего определения.

Определение. Системой комплексных чисел С называется минимальное расширение поля действительных чисел, в котором разрешимо уравнение х2 + 1 = 0.

Из определения комплексных чисел вытекают следующие их свойства:

1) Всякое комплексное число можно представить и притом единственным образом в виде а + Ы, где а и b — действительные числа, i — решение уравнения х2 + 1 = 0.

2) Поле С не является линейно упорядоченным.

Это важное свойство следует из того, что i2 = -1, а в любом линейно упорядоченном кольце квадрат любого ненулевого элемента положителен.

Следует обязательно напомнить и выделить следующее свойство, которое обычно доказывается в курсе высшей алгебры:

3) Поле С является алгебраически замкнутым.

Из этого свойства вытекает, что в поле комплексных чисел разрешимы любые алгебраические уравнения, т. е. эта числовая система имеет очень богатую алгебраическую структуру. Топологическая структура также богата — здесь появляются важные и обладающие многими замечательными свойствами аналитические функции. Однако при выигрыше в алгебраических и топологических свойствах в структуре комплексных чисел происходит потеря порядковых свойств.

После изучения системы комплексных чисел встает вопрос о возможности дальнейшего расширения понятия числа. Переход к кватернионам получается более естественным, если систему комплексных чисел предварительно рассмотреть как алгебру над полем R с базисом 1, i и таблицей умножения:

1

i

1

1

i

i

i

-1

Весьма полезно перед формальным определением кватернионов познакомить учащихся с увлекательной историей создания кватернионов (Гамильтон, Тэт) и их использования Максвеллом для своей теории электромагнитного поля.

По аналогии с комплексными числами вводится понятие сопряженного кватерниона и модуля.

Всякий кватернион а + Ы + cj + dk можно считать состоящим из двух частей: скалярной — а и векторной — Ы + cj + dk. При изучении кватернионов целесообразно уделить внимание связи умножения векторных кватернионов с двумя различными умножениями, рассматриваемыми в векторной алгебре со скалярным и векторным произведениями. Благодаря этой связи кватернионы являются замечательным

средством для решения некоторых задач геометрии, теоретической и квантовой механики.

В завершении изучения кватернионов необходимо обратить внимание на то, что переход от комплексных чисел к кватернионам потребовал отказа от коммутативности умножения. Но это еще позволяет, в определенном смысле, считать кватернионы числовой системой. Невозможность дальнейших расширений (в некотором смысле) устанавливает теорема Фробениуса.

Глава 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ В ШКОЛЕ

Как отмечалось во второй главе, одним из важнейших примеров отношения порядка является отношение делимости. В настоящей главе рассмотрим примерное изложение темы «Делимость чисел» для 8-го класса с углубленным изучением математики или на факультативных занятиях в общеобразовательных классах.

§ 1. Делимость целых чисел. Теорема о делении с остатком

Рассмотрим систему целых чисел Z и пусть a, b Е Z. Будем говорить, что а делится на b (обозначение а • Ь), если b * 0 и найдется целое число с, такое, что а = be, при этом говорят «Ь делит а», «Ь делитель а», «а кратно Ь». В научной и вузовской учебной литературе это отношение чаще обозначается символом |, при этом пишется наоборот: а|Ь. Мы на данном этапе изучения отношения делимости будем использовать школьное обозначение :.

Отметим несколько свойств отношения делимости.

1) а • а, т. к. а = а • 1.

2) Если a, b Е N и b : а, а : Ь, то а = Ь.

Действительно, найдутся натуральные с и d, такие, что ас = Ь, bd = а, поэтому aed = а и cd = 1, следовательно, с = 1, откуда а = b .

3) Если b : а, с : Ь, то с ! а.

Действительно, найдутся d и е, такие, что ad = b, be = с, поэтому ade = с, откуда с ; а.

Из этих первых трех свойств следует, что отношение делимости на множестве N является отношением порядка. Этот порядок не является линейным, т. к. условие дихотомии не выполняется, например, число 2 не делится на 3 и 3 не делится на 2.

4) Если а ; b (a, b G N), то b £ а.

Поскольку из а = be и 1 s с следует, что b ^ be = а.

5) а : b тогда и только тогда, когда ак • Ьк (к G Z, к * 0).

В самом деле, из а • b следует а = be или ак = (Ьк)с, откуда ак : Ьк. Рассуждение верно и в обратную сторону.

6) Если а : с и b « с, то для любых m, n Е Z (ma ± nb) je.

В самом деле, из условия а = ср, b = cq, откуда ma = c(mp), nb = c(nq) и ma ± nb = c(mp ± nq).

7) Если в равенстве a, + a2 + a3 + ••• + ak = b, + b2 + ••• + Ьда все числа, кроме одного, делятся на с , то и оставшееся число также делится на с.

Действительно, пусть все числа, кроме Ь,, делятся на с, т. е. а, = cqp

а2 = cq2,. - -, а,=ссц, Ь2 = сг2,..., bm = cre. Тогда b, = c(q, + ■ ■ • + q,- r2-----rj,

т. e. b, делится на с.

Примеры:

1) Верны ли утверждения:

Ясно, что первые три утверждения неверны (контрпримеры: 2 + 3:5, но 2 и 3 на 5 не делятся; 4 :2, но 4 не делится на 2 • 3; 4 • 3 :6, но ни 4, ни 3 не делятся на 6). Последнее утверждение верно, т. к. если а • bn, то а = (bn)c = b(nc).

2) Доказать, что

не могут быть одновременно целыми.

Доказательство. Если оба эти числа целые, то мы можем записать n - 6 = 15k, n - 5 = 24m. Вычитая из второго числа первое, получаем 1 = 24т- 15к. Правая часть полученного равенства делится на 3, а левая не делится — приходим к противоречию.

3) Известно, что разность чисел а и b делится на m, равно как и разность b и с. Следует ли отсюда, что разность а и с делится на m?

Решение. По условию а - b : m, значит, мы можем записать:

а - b = mk, где к — некоторое натуральное число. Выразим отсюда а: а = mk + b. Известно также, что b - с • m, т. е. b - с = mt, где t — некоторое натуральное число. Выразим отсюда с: с = b - mt. Таким образом, интересующее нас выражение а - с запишется в виде: a-c = mk + b- b + mt = m(k +1). Последнее делится на m, следовательно, а - с ; т.

Во многих задачах применяется следующая теорема о делении с остатком для целых чисел.

Теорема 3.1. Для любых целых чисел а и b (b * 0) существуют и притом единственные целые числа q и г, такие, что

Число q называется неполным частным, а г — остатком от деления а на Ь.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай b > 0, а ^ 0.

Если а < Ь, то, взяв q = 0, г = а, получаем справедливость равенства а = bq + г и неравенства г < Ь.

Если а = Ь, то равенство а = bq + г справедливо, если положить q=l,r = 0.

Если а > Ь, то с = а - b Е N, поэтому множество M натуральных чисел вида а - bn, где n Е N, непусто и содержит наименьшее натуральное число, которое обозначим через г, и пусть г = а - bq (мы воспользовались принципом наименьшего числа — одной из форм математической индукции). Если r>b, то г-Ь = а- b(q + 1)ЕМиг-Ь<г, т. е. приходим к противоречию с выбором г. Следовательно, r =s b. Если же г = Ь, то а = b(q + 1) + 0, т. е. в этом случае остаток можно положить равным 0. Таким образом, r<bna = bq + r.

Рассмотрим сейчас случай а < 0. В этом случае -а > 0, и, значит, в силу уже доказанного, найдутся q и г, такие, что -а = bq + г, 0 <s г < Ь. Тогда а = b(-q) + (-г), и если остаток г = 0, то неполное частное от деления а на b тоже существует (оно равно -q ). Если же г > 0, то 0<Ь-г<Ьиа = b(-q - 1) + (b - г), т. е. и в этом случае существуют неполное частное и остаток.

Пусть теперь b < 0, тогда (-Ь) > 0 и по доказанному найдутся q и г, такие, что а = (-b)q + г, 0 ^ г < -Ь. Ясно, что тогда а = b(-q) + г, 0 ^ г < |b|.

Докажем сейчас единственность неполного частного q и остатка г. В самом деле, пусть для чисел а и b (b * 0) кроме q и г существуют числа q,n гр такие, что а = bqj +r, иО < |Ь|. Тогда bq + г = bq{ + г или Ь(Ч " Ч,)= г1 - г> откуда (г, - г) : Ь. Но -|Ь| < г, - г < |Ь| и поэтому т1 - г = 0, а значит, и q - q, = 0. Откуда q = q,, r = r,.

Замечание. Иногда вместо равенства а = bq + г удобнее рассматривать равенство а = bm - г,, где |r,| < r, m = q + 1, r, = b-г. Например, вместо а = 5q + г, т. е. вместо а = 5q, 5q + 1, 5q + 2, 5q + 3, 5q + 4, можно записать a = 5m, 5m ± 1, 5m ± 2.

Примеры:

4) Доказать, что квадрат любого целого числа а либо делится на 9, либо дает при делении на 3 остаток 1.

Действительно, при делении на 3 возможны остатки 0, 1,2 и, соответственно, возможны три случая: а = 3k, а = Зк + 1, а = Зк + 2.

В последнем случае а можно представить иначе: а = Зк - 1. Можно последние два случая заменить одним: а = Зк ± 1. Найдем сейчас квад-

рат числа а: либо а2 - 9к2, либо а2 = 9к2 ± 6к + 1 = 3(3к2 ± 2к) + 1. Поэтому а2 либо делится на 9, либо дает при делении на 3 остаток 1.

5) Доказать, что куб любого целого числа а делится на 9 либо сам, либо если его увеличить или уменьшить на 1.

В самом деле, возможны два случая: а = 3k, а = Зк ± 1. В каждом из этих случаев соответственно получаем: а3 = 27k3, а3 = 27k3 ± 27k2 ± 9к ± 1, откуда и следует справедливость утверждения.

6) Доказать, что число 1 lq + 6 не является квадратом целого числа ни при каком целом q.

Сразу видно, что число 1 lq + 6 при делении на 11 дает в остатке 6. Покажем, что никакое целое число в квадрате не может при делении на 11 дать в остатке 6. Любое целое число а можно записать в одном из следующих видов: а = 1 Im, а= 1lm± 1,а= 11т ±2, а= 11т±3,а= 11т±4, а = 11 m ± 5. При возведении в квадрат получим соответственно а2 = 121 m2, а2 =11(1 Im2 ± 2т) + 1 и т. д. Таким образом, мы найдем все возможные остатки отделения на 11, а именно 0, 1,4, 9, 5, 3. Видим, что ни один из них не равен 6.

При решении некоторых задач полезно использовать следующую теорему.

Теорема 3.2. Из п последовательных натуральных чисел одно и только одно делится на п.

Доказательство. Пусть а, а + 1, а + 2,а + (п-2), а + (п- 1)-п последовательных натуральных чисел и а = nq + г, где 0 £ г < п. Если г = 0, то утверждение теоремы справедливо. Если г * 0, то в данной последовательности содержится число а + (п - г) = nq + г + (п - г) = n(q + 1), которое делится на п. Покажем, что только оно обладает таким свойством. В самом деле, пусть nb — другое произвольное кратное числа n (Ь * q + 1). Либо b <s q и тогда nb ^ nq < nq + г = а, либо b £ q + 2 и тогда nb 2> n(q + 2) = nq + г + (2п - г) > а + (п - 1). Таким образом, все остальные кратные числа n лежат вне данной последовательности.

УПРАЖНЕНИЯ

a) Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

b) Доказать, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 120.

Нетрудно обобщить утверждения этих упражнений и доказать, что произведение к последовательных натуральных чисел делится на к!.

Рассмотрим сейчас задачи, при решении которых используется систематическая запись числа в десятичной системе. Существование и единственность систематической записи по любому основанию будут нами доказаны в следующем параграфе.

Примеры:

7) Найти четырехзначное число, зная, что оно не изменится, если записать его цифры в обратном порядке, что сумма его цифр равна 24 и что число, образуемое двумя его последними цифрами, на 36 больше числа, образуемого двумя его первыми цифрами.

Пусть А= abed — искомое число. По условию задачи abed = deba, откуда а = d, b = с, т. е. А = abba. Кроме того, 2а + 2Ь = 24 и 1 Оа + b + 36 = = 10b + а, откуда а = 4, b = 8.

8) Доказать, что любое трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.

Пусть наше число представлено в виде: ааа. Тогда его десятичная запись равна 100а + 10а + 1 а = 111 а. Но 111 а делится на 3 7 независимо от а, что и требовалось доказать.

Систематическая запись числа используется и при выводе признаков делимости.

9) Получить объединенный признак делимости на 7, 11, 13.

Воспользуемся тем, что 7 1113 = 1001. Любое натуральное число п можно представить в виде п = 1000 • q + abc = 1001 • q +(abc - q), где q — число, составленное из цифр числа п за исключением последних трех. Таким образом, получаем: число делится на 7, 11, 13 тогда и только тогда, когда разность между числом, составленным из последних трех цифр числа, и числом, составленным из остальных цифр числа, делится на 7, 11, 13.

Во многих задачах на делимость необходимо сначала преобразовать данное выражение и, прежде всего, попытаться разложить его на множители.

10) Доказать, что число вида п3 - п, где п — натуральное число, делится на 6.

Преобразовав данное выражение п3 - п = (п - 1)п(п + 1), видим, что оно является произведением трех последовательных целых чисел, которое (см. упр. Ь) делится на 6.

11) Доказать, что число вида п5 - 5п3 - 6п, где п — натуральное число, делится на 10.

В самом деле, п5 5п3 - 6п = (п5 - 5п3 + 4п) - 10п = А5 - 10п = = п(п - 2)(п - 1)(п + 1)(п + 2) - 1 On делится на 10, т. к. произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 120.

12) Доказать, что сумма попарных произведений трех последовательных натуральных чисел не может равняться 3 ООО ООО.

В самом деле, п(п - 1) + п(п + 1) + (п - 1)(п + 1) = Зп2 - 1. Полученное число не делится на 3, поэтому оно не может равняться 3 ООО ООО.

При решении некоторых задач целесообразно рассмотреть сумму или разность данного выражения с каким-либо другим выражением, про делимость которого на некоторое число или выражение нам уже известно. Примером такой задачи может служить следующая.

13) Известно, что (ab + cd) делится на (а - с). Доказать, что (ad + be) делится на (а-с).

В самом деле, рассмотрим разность двух данных выражений: (ab + cd) - (ad + be) = (a - c)b - (a - c)d = (a - c)(b - d). Поскольку эта разность делится на а - с, то ad + be делится на а - с.

При решении ряда задач необходимо воспользоваться так называемым принципом Дирихле, который состоит в следующем: если а и b — натуральные числа, причем а > Ь, то при раскладе а предметов в b ящиков хотя бы в одном из них окажется не менее двух предметов.

14) Доказать, что из 73 различных натуральных чисел можно найти два, разность которых делится на 72.

Доказательство. Разложим наши числа по «ящикам», поместив в один ящик числа, дающие при делении на 72 одинаковые остатки. Так как число различных остатков равно 72, а чисел 73, то хотя бы в одном из ящиков будут два числа. А раз у них при делении на 72 одинаковые остатки, то их разность делится на 72.

15) Доказать, что из 100 натуральных чисел можно выбрать несколько, сумма которых делится на 100.

Доказательство. Пусть ак равно сумме первых к данных чисел. Всего таких чисел 100. Среди этих чисел либо некоторое ак делится на 100, либо некоторые ак и ат дают при делении на 100 одинаковые остатки. В этом случае надо взять их разность, которая также будет являться суммой нескольких данных чисел.

16) Доказать, что из 52 различных натуральных чисел можно выбрать два таких, что либо их сумма, либо разность делится на 100.

Доказательство. Пусть А — наибольшее из наших чисел. Рассмотрим 102 числа вида А - ak, А + ак, где к = 1,2,51 и ак — данные числа, меньшие А. При делении на 100, по крайней мере, 2 из них

имеют одинаковые остатки, их разность делится на 100. А разность чисел вида А - ak, А + ат дает сумму или разность данных чисел ак.

Для того чтобы у учащихся не сложилось впечатление оторванности задач на делимость от потребностей практики, необходимо использовать задачи, моделирующие некоторые жизненные ситуации.

17) Число двухкомнатных квартир в доме в 4 раза больше числа однокомнатных, а число трехкомнатных квартир кратно числу однокомнатных. Если число трехкомнатных увеличить в 5 раз, то их станет на 22 больше, чем двухкомнатных. Сколько всего квартир в доме, если известно, что их не меньше 100?

Решение. Пусть п — число однокомнатных квартир, тогда двухкомнатных — 4п, а трехкомнатных — пр, где р — натуральное число. Из условия задачи получаем систему:

Переписав первое уравнение в виде п(5р - 4) = 22, замечаем, что число 5р -4 является делителем числа 22, причем при делении на 5 оно дает остаток 1. Таких чисел два: 1 и 11. Соответственно, число р равно 1 или 3. Но при р = 3 из первого уравнения получаем п = 2 и общее число квартир равно 16, что противоречит условию. Следовательно, р= 1, п = 22 и общее число квартир равно 132.

18) Абитуриенты сдавали экзамены в течение трех дней в одних и тех же аудиториях. Число экзаменовавшихся в каждый день абитуриентов в каждой аудитории было равным числу аудиторий. Если бы экзамены проводились в другом корпусе, то их можно было бы провести за 2 дня, используя каждый день одни и те же аудитории, причем каждый день в каждой аудитории абитуриентов удалось бы рассадить по рядам так, что число рядов, а также число людей в ряду было бы равным числу используемых аудиторий. Найти минимальное возможное число абитуриентов, которые могли бы быть проэкзаменованы при этих условиях.

Решение. Пусть пик — число аудиторий в первом и втором корпусах соответственно. Тогда число абитуриентов, сдававших экзамены, с одной стороны, равно Зп2, с другой стороны — 2кЛ Таким образом, получаем уравнение Зп2 = 2кЛ Из этого равенства получаем, что п2 : 2, а значит, п2 :4 и к ! 2. С другой стороны, к I 3, поэтому к = 6т. Подставляя это значение для к в уравнение, получаем после сокращения на 3 - п2 = 144т3. Поэтому минимальное значение п достигается при m = 1, и оно равно 12. Тогда число абитуриентов равно 432.

§ 2. Применение к задачам на делимость различных форм математической индукции

Приведем примеры применения различных форм математической индукции при решении задач.

1) Доказать, что число n5 - n делится на 5 при любом натуральном п.

Действительно, предположим, что найдутся натуральные числа, для которых это утверждение неверно, и пусть к — наименьшее число, для которого Ак = к5 - к не делится на 5. Ясно, что к * 1, т. к. 15 - 1 делится на 5. Поэтому число к - 1 существует и Ак = (к - 1)5 - (к - 1) делится на 5. Разлагая на множители, получаем Ак = к(к - 1)(к3 + к2 + к + 1), Ак_, = к(к- 1)(к3-4к2 + 6к-4), откуда Ak-Ак_, делится на 5. Но тогда и Ак делится на 5 — приходим к противоречию.

2) Доказать, что сумма кубов любых трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

В самом деле, предположим, что найдутся натуральные числа, для которых это утверждение неверно, и пусть к — наименьшее число, для которого Ак = к3 + (к + 1)3 + (к + 2)3 не делится на 9. Заметим, что к * 1, т. к. 13 +23 + 33 =18. Поэтому число k- 1 существует и Аки =(к-1)3 + к3 + (к + I)3 делится на 9. Но разность Ак - Ак , = 9к2 + 9к + 9 кратна 9. Поэтому и Ак кратно 9 — приходим к противоречию.

3) Доказать, что при любом натуральном n число вида 72п - 7 делится на 8.

Действительно, предположим, что найдутся натуральные числа, для которых это утверждение неверно, и пусть к — наименьшее число, для которого не делится на 8. Так как к * 1, то число к - 1 существует и делится на 8. Но разность кратна 8, поэтому и А кратно 8 — приходим к противоречию.

4) Доказать, что при любом натуральном n число вида 2П+23П + 5п - 4 делится на 25.

В самом деле, пусть к — наименьшее число, для которого Ак = 2к+23к + + 5к-4 не делится на 25. Заметим, что к * 1, т. к. А,= 23 • 3 + 5 -4 = 25. Поэтому число к - 1 существует и Ак= 2к иЗк~1 + 5к - 9 делится на 25. Рассмотрим разность Ак- 6Ак она равна числу -25к + 50 и делится на 25. Но тогда и Ак делится на 25 — приходим к противоречию.

В качестве примера использования другой формы индукции может служить доказательство представимости натурального числа в виде систематической записи по любому основанию.

Систематической записью натурального числа а по основанию q (q > 1) называется запись этого числа в виде а = anqn + an ,qn~1 +... + a,q + а0, где 0 £ a «s q - 1, ап * 0, i = 0,1,... п.

Теорема 3.3. Систематическая запись по основанию q существует для любого натурального числа.

Доказательство. Предположим, что систематическая запись существует для всех чисел, меньших числа к. Покажем, что систематическая запись существует и для числа к. В самом деле, если к < q, то п = 0, а0 = к. Если же к ;> q, то по теореме о делении с остатком к = qb + г, 0 £ г £ q - 1. Из этого равенства b < к и поэтому для b систематическая запись существует b = anqn 1 + an_ ,qn"2 + ... + a2q + a,, где 0 s a. ^ q - 1, an * 0. Подставляя в предыдущее равенство это выражение для Ь, получаем к = anqn + an tqn 1 + ... + atq + г, т. е. систематическую запись для числа к, что завершает доказательство.

На условии обрыва убывающих цепей основан уже упоминавшийся метод спуска. Рассмотрим несколько примеров применения этого метода.

5) Доказать, что п3 + 5п кратно 6.

Рассмотрим разность А - Ап = (п3 + 5п) - ((п - I)3 + 5(п - 1)) = = Зп(п - 1) + 6. Она кратна 6, т. к. из чисел пип-1 одно четно. Строго убывающая цепочка чисел Ап, Ап_Ап_2, ... обрывается на конечном шаге числом А , причем А, = 6. Так как разности между всеми соседними числами кратны 6 и À кратно 6, то и все числа цепочки кратны 6.

6) Доказать, что 32nl + 5 кратно 8.

В самом деле, поскольку разность Ап - 9Ап = 40, то Ап кратно 8, если A j делится на 8. Но строго убывающая цепочка Ап, Ап_р Ап_2,... обрывается числом А, = 8, поэтому все числа этой цепочки делятся на 8.

7) Доказать, что 42п - 32п - 7 кратно 84.

Рассмотрим разность An+i- 16Ап = 7 • 32п + 105 =21(32п", + 5). В силу примера 6) эта разность делится на 84. Поэтому, если Ап делится на 84, тоиАп+1 тоже делится на 84. Строго убывающая цепочка Ап+1, А , А ,... обрывается числом А, = 0, поэтому все числа этой цепочки делятся на 84.

§ 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Для понятий наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного будем использовать определения, которые несколько отличаются от тех, что приведены в школьном учебнике, с тем чтобы можно было ими пользоваться не только для натуральных чисел, но и для многочленов и для других объектов.

Определение. Наибольшим общим делителем целых чисел а и b называется такое число d, что:

i) aid, bid;

ii) а : с, b : с => d ic.

Определение. Наименьшим общим кратным целых чисел а и b называется такое число m, что:

i) m : a, m : b;

ii) с ia, cb => с im.

Отметим следующие свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

1) Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное в системе целых чисел Z определены однозначно с точностью до знака.

В самом деле, если d и g — два наибольших общих делителя, то по определению g i d и d : g, т. e. g = qd, d = pg, откуда pq = 1, т. е. p = ± 1 и d = ±g. (Для наименьшего общего кратного доказательство аналогично.)

2) Если d — наибольший общий делитель (наименьшее общее кратное) чисел а и Ь, то число (-d) также является наибольшим общим делителем (наименьшим общим кратным) этих чисел.

3) Общий делитель чисел а и Ь, наибольший по величине, совпадает с положительным наибольшим общим делителем этих чисел.

Действительно, пусть g — общий делитель, наибольший по величине, d — наибольший общий делитель чисел а и Ь. Тогда d <, q и d • g, т. е. d = pg, откуда q s d. Следовательно, d = q.

В силу доказанного свойства наше определение наибольшего общего делителя и определение из школьного учебника на множестве натуральных чисел совпадают.

Условимся положительный наибольший общий делитель чисел а и b обозначать а л Ь. В научной и учебной литературе имеется разнобой в обозначениях для наибольшего общего делителя (НОД(а, b), (а, Ь), D(a, b)). Выбранное обозначение хотя и непривычно для учителей, однако имеет ряд преимуществ, в частности позволяет более наглядно и компактно записывать ряд свойств этого понятия.

Соответственно, положительное наименьшее общее кратное чисел а и b будем обозначать a v b. В литературе встречаются следующие обозначения для наименьшего общего кратного: НОК(а, Ь), [а, Ь], К(а, Ь).

На наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное можно смотреть как на результат применения к числам а и b алгебраических операций л и v. Эти операции обладают свойствами коммутативности и ассоциативности.

(коммутативность).

Это свойство вытекает непосредственно из определений наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

ß) (а л Ь) л с = а л (Ь л с), (a v b) v с = a v (b v с) (ассоциативность).

Докажем первое из этих равенств, второе доказывается двойственным образом.

Обозначим через d = (а л Ь) л с. Ясно, что а • d, b • d, с • d, поэтому ((а л (b л с)) : d. Рассмотрим другой делитель q числа (а л (Ь л с)), то есть пусть (а л (Ь л с)) • q. Ясно, что а • q, b • q, с • q, поэтому ((а л b) л с) îq, т. е. d : q. Тогда, по определению наибольшего общего делителя, d = а л (Ь л с).

Свойство ассоциативности позволяет находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное для нескольких чисел.

Заметим, что ни из определений наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, ни из доказанных свойств не следует их существование. Доказательство их существования будет приведено ниже.

4) Если а-Ь, тоалЬ = ЬиауЬ = а. (Свойство вытекает непосредственно из определений наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.)

5) Если а = bq + г и существует b л г, то а л b тоже существует, причем а л b = b л г.

В самом деле, пусть b л г = d, тогда b ; d, г i d и в силу данного равенства а • а, т. е. d — общий делитель элементов b и а. С другой стороны, если с — произвольный общий делитель элементов b и а, т. е. b • с и а - с, то из данного равенства г ; с. Таким образом, множества общих делителей чисел а и b и чисел b и г совпадают. Тогда совпадают и наибольшие по величине элементы этих множеств, т. е. наибольшие общие делители этих пар чисел.

Имеется весьма удобный способ нахождения наибольшего общего делителя для любых чисел а и b (b * 0). Этот способ называется алгоритмом Евклида и состоит в следующем.

Применяя для чисел а и b несколько раз теорему о делении с остатком, получаем систему равенств:

Если все получающиеся остатки отличны от 0, то получаем бесконечную убывающую цепочку натуральных чисел |Ь| > г, > г2 > г3 > что невозможно. Поэтому на конечном шаге найдется остаток (пусть это будет rn+I), равный 0.

Теорема 3.4. Для любых целых чисел а и b (b * 0) существует наибольший общий делитель, который равен гп — последнему не равному 0 остатку в алгоритме Евклида.

В самом деле, из последнего равенства в алгоритме Евклида вытекает, что гп л гп существует и гп л гп = гп. Тогда из предпоследнего равенства и свойства 3.5 вытекает, что г 2 л гп_, тоже существует и г 2 л гп , = гп л гп = г . Продолжая подниматься вверх по равенствам (А) из алгоритма Евклида, получаем, что а л b тоже существует и а л b = rn.

В качестве примера найдем наибольший общий делитель чисел 525 и 231. Произведем последовательное деление:

Таким образом,

При помощи алгоритма Евклида можно получить еще несколько свойств наибольшего общего делителя.

Действительно, умножив все равенства (А) на с, получим, что последний не равный нулю остаток в алгоритме Евклида, примененного к числам са и cb, равен сг = с(а л Ь).

6)

7)

Свойство вытекает из свойства 5), если в нем положить q = 1, тогда г = а - Ь.

8) Если d — общий делитель а и Ь, то

Свойство непосредственно вытекает из свойства 6).

9) Для любых целых чисел а и b (b * 0) существуют целые числа х и у, такие, что ах + by = d, где d = а л b.

В самом деле, из первого равенства системы (А) получаем г, = = ах0 + Ьу0, где х0 = 1, у0 = -q0. Из второго равенства r2 = axt + byгде X, = -хд, у, = 1 - y0q,; из третьего равенства г3 = ах2 + Ьу2 и т. д. Наконец, из предпоследнего равенства получаем гп = ахп _, + byn _,, но по Теореме 3.4 г = а л Ь.

Равенство ах + by = d называется представлением наибольшего общего делителя в виде линейной комбинации чисел а и Ь.

Найдем в качестве примера линейное представление наибольшего общего делителя чисел 90 и 35.

Применим к этим числам алгоритм Евклида: 90 = 35-2 + 20; 20 = 15 1 + 5;

35=20- 1 + 15; 15 = 5-3.

Значит, 90 л 35 = 5. Выразим его из третьего равенства: 5 = 20 + 15 • (-1). Подставляя последовательно в это выражение значения для 15 и 20, найденные соответственно из второго и первого равенств, получаем 5 = 20 - 35 + 20 = (90 - 35 • 2) • 2 - 35 = 90 ■ 2 - 35 • 5. Таким образом, х = 2,у = -5.

Определение. Целые числа а и b (а * 1, b * 1) называются взаимно простыми (что будем записывать а 1_ Ь), если а л b = 1.

Отметим несколько свойств взаимно простых чисел.

10) Целые числа а и b взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют целые числа х и у, такие, что ах + by = 1.

Действительно, если а и b взаимно просты, то из свойства 9) вытекает существование целых чисел х и у, таких, что ах + by = 1.

Пусть сейчас для чисел а и b существуют целые числа х и у, такие, что ах + by = 1, и пусть d = а л Ь. Тогда а ; d, b • d и поэтому 1 : d, т. е. d = 1.

11) Если а ± b и ас : Ь, то с - Ь.

В самом деле, в силу свойства 10) существуют элементы х и у такие, что ах + by = 1. Умножив это равенство на с, получим асх + Ьсу = с. Из последнего равенства вытекает, что с -Ь.

Доказанное свойство часто используется при решении разнообразных задач на делимость.

12) Если a JL Ь, то а л (be) = а л с.

Действительно, а л (be) = а л (ас) л (be) = а л (а л Ь)с = а л с.

13) Если а1Ьиа!с,тоа! (be).

Следует непосредственно из предыдущего свойства.

Теорема 3.5.

Доказательство. Обозначим

Тогда

является общим кратным чисел а и Ь.

Пусть m — произвольное общее кратное чисел а и Ь, т. е. m = aq, m = br. Тогда aq = br или da,q = db,r, откуда b,r • a,. Ho a, 1 b,, поэтому r Sa,, т. e. r = ajS, откуда a,q = b, a,s или q = bjS. Следовательно, m = ab,s = es, т. е. с — наименьшее общее кратное чисел а и Ь.

Из доказанной теоремы в качестве следствий получаем еще несколько свойств наименьшего общего кратного.

14) Для любых двух отличных от нуля целых чисел существует наименьшее общее кратное.

15) Наименьшее общее кратное двух чисел а и b совпадает с наименьшим по величине положительным общим кратным этих чисел.

16) с(а V Ь) = са v cb.

В самом деле,

17) Если d — общий делитель а и Ь, то

Свойство непосредственно следует из предыдущего.

18) Если а ± Ь, то a v b = ab.

Следует непосредственно из Теоремы 3.5.

19) Если b ± с и а : b, а : с , то a be.

В самом деле, если b ± с , то bc = b v с.

20) Если а : с, b : с, то частное ---является общим кратным чисел а и Ь.

В самом деле, по условию а = а,с, b = b,c, поэтому

Примеры:

1) Найти n л (п + 1).

По свойствам 7) и 4) имеем пл(п+1) = (п+1-п)лп=1 л n = 1.

2) Найти (4п + 3) л(п+ 1).

Обозначим d = (4п + 3) л (п + 1), тогда d|(4n + 3), d|(n + 1) и d|(4(n + 1)-- (4n + 3)), т. е. d| 1. Отсюда d = 1.

3) Найти наибольший общий делитель всех значений, которые принимает выражение 7П + 2 + 82п+| при целом неотрицательном п.

Представим данное выражение в виде

Число 64" - 7П кратно разности 64 - 7 = 57, поэтому все выражение делится на 57. При n = 0 это выражение равно 57, следовательно, искомый наибольший общий делитель есть 57.

4) Доказать, что 1 + 4rq есть точный квадрат, если г равно разности между произведением двух чисел и их наибольшим общим делителем, a q равно отношению наименьшего общего кратного к наибольшему общему делителю тех же двух чисел.

Пусть рассматриваемые два числа есть а и b; d — их наибольший общий делитель, тогда

Далее рассмотрим задачи с использованием свойств взаимно простых чисел.

5) Доказать, что если а и b взаимно просты, то (а + Ь) л (а - Ь) равен либо 1, либо 2.

Обозначим d = (а + Ь) л (а - Ь). Тогда (а + Ь) : d, (а - b) id и поэтому d делит сумму и разность чисел а + b и а - Ь, т. е. 2а : d, 2b : d. Отсюда (2а л 2b) !d, но 2а л 2Ь = 2(а л Ь) = 2, поэтому 2 :d.

6) Доказать, что если а и b взаимно просты, то (ас) л b = с л Ь.

Доказательство. Пусть d = (ас) л Ь, тогда (ас) :d, b :d и поэтому (а л b) : (а л d). Отсюда а л d = 1 и, в силу свойства 11), с : d, т. е. d — общий делитель Ь, с. Покажем, что d — наибольший общий делитель b и с. Пусть d, — другой общий делитель b и с, т. е. b : d,, с id,, откуда ас : d, и поэтому ((ас) л b) :d|5 т. е. d : d,. Таким образом, d — наибольший общий делитель b и с.

Исходя из стратегии обучения на социокультурном опыте, понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного необходимо использовать при решении некоторых задач с практическим содержанием.

7) Туристы проехали за первый день 56 километров, за второй — 72 километра, причем их скорость была одинакова и выражалась целым числом км/ч, и каждый день они были в пути целое число часов. Найти скорость, если она была максимальной, удовлетворяющей условию.

Решение. Обозначим путь, пройденный туристами за первый день, Sp а путь, пройденный ими за второй день, — S2. t, и t2 — время, проведенное в пути соответственно в первый и во второй день. Как известно, t = S/v, где v — скорость, t,, t2 — целые, следовательно, v — общий делитель S, и S2, а раз v — максимальная скорость, удовлетворяющая условию, то v = S, л S2 = 56 л 72 = 8 км/ч.

8) В три школьных киоска отправили по одинаковому числу тетрадок. Для одной школы тетради отправили пачками по 100 штук в каждой, второй школе — по 150 штук, третьей — по 200 штук в пачке. Сколько тетрадей отправили каждой школе, если число тетрадей, отправленных всем школам, было меньше чем 2000?

Решение. Обозначим количество тетрадок, отправленных каждой школе, через п. Из условия следует, что п : 100, п : 150, п : 200.

Следовательно, n — общее кратное и делится на 100 v 150 v 200 = 600, т. е. n = 600t, где t = 1, 2, 3,... А раз по условию всего было отправлено менее 2000 тетрадок, то t не может быть больше 1. Таким образом, было отправлено по 600 тетрадок.

9) (Старинная задача.) Крестьянка несла на базар яйца. Проезжавший всадник толкнул ее, и все яйца разбились. На вопрос, сколько было яиц, она сказала: «Когда я раскладывала их по 2, 3, 4, 5, 6 — одно яйцо оставалось лишним. А когда разложила по 7, остатка не оказалось». Сколько яиц было у крестьянки?

Решение. Пусть х — число яиц. По условию х - 1 кратно 2,3,4,5 и 6, следовательно, х - 1 кратно числу 2v3v4v5v6 = 60. Таким образом, x = 60k + 1, где к — некоторое натуральное число. С другой стороны, число яиц нацело делится на 7, т. е. целое. Минимальное к, при котором это выражение целое, равняется 5. Таким образом, х = 60-5 + 1=301.

§ 4. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики

Определение. Натуральное число р называется простым, если оно имеет в точности два положительных делителя. Натуральное число а называется составным, если оно имеет более двух положительных делителей.

Из этих определений вытекает, что число 1 не является ни простым, ни составным.

Установим наиболее важные свойства простых чисел.

1) Наименьший положительный не равный 1 делитель натурального числа а (а > 1) является простым числом.

В самом деле, пусть d — наименьший положительный не равный 1 делитель натурального числа а и пусть d — число составное, т. е. d = pq, где 1 < р < d. Поскольку d • р, а • d, то а ; р, г. е. у числа а нашелся положительный отличный от 1 делитель, меньший наименьшего, — пришли к противоречию.

2) Среди простых чисел нет наибольшего. (Теорема Евклида.) Действительно, предположим противное, и пусть р — наибольшее простое число. Рассмотрим число а = 2- 3*5...р+1. Оно не делится ни на 2, ни на 3,ни на р, т. е. ни на одно из простых чисел, — приходим к противоречию.

3) Если натуральное число n (n > 1) не делится ни на одно простое число £ л/гГ, то n — число простое.

В самом деле, если n — составное, то n = ab, где 1 < а, 1 < b, и пусть а ^ Ь. Тогда а2 ^ п, и если р — простой делитель числа а, то р s a s л/п~ — приходим к противоречию.

4) Любое натуральное число n либо делится на р, либо пир взаимно просты.

В самом деле, пусть d = n л р. Так как р ; d, то либо d = 1, либо d = р. В первом случае пир взаимно просты, во втором n • р.

5) Если числа р и q — простые и р ; q, то р = q.

Свойство следует непосредственно из определения простого числа.

6) Если произведение нескольких натуральных сомножителей делится на простое число р, то хотя бы один из сомножителей делится на р.

Доказательство проведем методом математической индукции по числу сомножителей.

Если имеется всего один сомножитель, то свойство справедливо.

Предположим, что свойство справедливо для n - 1 сомножителей, и пусть (а,а2 ••• ап_,ап): р. По свойству 4.4 либо ani р (и тогда все доказано), либо an 1 р. В последнем случае, по свойству 3.11, (а,а2 ■•• ап ) • р, и мы можем применить индуктивное предположение.

Теорема 3.6. (Основная теорема арифметики.) Любое натуральное число а (а * 1) представимо в виде произведения простых чисел, притом однозначно (с точностью до порядка сомножителей).

Доказательство. В самом деле, пусть а * 1. Если а — число простое, то все доказано. Пусть а не является простым числом, тогда, по свойству 4.1, для него найдется простой делитель рр т. е. а = р,а,, где aj > 1. Если число aj — простое, то все доказано. Если же число а, — составное, то, вновь применяя свойство 4.1, получаем, что найдется простое число р2, такое, что а, = р2а2. Ясно, что а > at > а2. Продолжая процесс, получим убывающую цепочку натуральных чисел а, ар а2, которая оборвется на конечном k-м шаге. Поэтому ак = рк, и получаем а = р,р2...рк.

Докажем сейчас единственность такого представления. Пусть а = р,р2... pk = q,q2 qr, тогда (q^ ... qr) ipr В силу свойства 4.5 либо q, ; Рр либо (q2... qr) • р,. Отсюда следует, что, произведя перенумерацию (если это необходимо), мы можем считать, что q, : рг Но из того, что q, — простое число, следует р, = q,. Поэтому р2р3 ••• рк = q2q3 ••• qr. Продолжая эти рассуждения, получим р2 = q2, р3 = q3, Если к * г (пусть для определенности к > г), то после сокращений получим рг+,рг+2 ••• рг = 1, что невозможно. Поэтому к = г.

Следствие 3.7. Любое натуральное число а (а * 1) однозначно представимо в виде х = p,mip2m2 ••• р™", где р,, р2, рп — различные простые числа.

Утверждение непосредственно вытекает из доказанной теоремы.

Следствие 3.8. Если х = p,m,p2m2... р™\ то любой делитель с числа х имеет вид: с = р,Г1р2:... р„п, где 0 <> г. ^ т..

В самом деле, ясно, что с — делитель х, т. к. х = cb, где b = p(mi ~Г|р2т2~Г: ... pmn-rn q другой стороны, если с — делитель х, то в разложении с на простые множители могут встретиться только числа р , р2, рп. Значит, с представимо в виде с = р,г,р22 ... pjn, где часть показателей может равняться 0. Ясно также, что ни один из показателей не может быть больше показателя m .

Следствие 3.9.

Утверждение получается непосредственно из предыдущего следствия и определений наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Доказанная основная теорема имеет важные применения и может быть перенесена на многочлены и другие алгебраические и числовые объекты.

Примеры.

1) Доказать, что наименьшее натуральное число взаимно простое с числами 2, 3,4,р, где р — простое, является простым.

В самом деле, если наше число а — составное, то оно может быть представлено в виде q, • q2, где q, — наименьший простой делитель числа a, q2 > 1. Но число q, само взаимно просто с 2, 3, р, причем оно меньше числа а = qI • q2. Следовательно, наименьшее натуральное число, взаимно простое с 2, 3, 4,р, является простым.

2) Доказать, что если n — составное, то 2" - 1 тоже составное. Действительно, поскольку n — составное, то n = ab (а > 1, b > 1), тогда — число составное.

3) Доказать, что если числа р, р2 + 2 — простые, то р3 + 2 тоже простое.

Рассмотрим вновь три случая: р = Зк, р = Зк + 1, р = Зк + 2. Во втором случае р2 + 2 = 9к2 + 6к + 3, в третьем случае р2 + 2 = 9к2 + 12к + 6, т. е. в этих случаях число р2 + 2 не является простым. Поэтому остается один первый случай р = 3. В этом случае р2 + 2 = 11 — простое и р3 + 2 = 29 тоже простое.

§ 5. Простейшие неопределенные уравнения

Прежде всего рассмотрим неопределенные уравнения первой степени с двумя неизвестными, т. е. уравнения вида ах + by = с, где а, Ь, с — целые числа.

Обозначим через d = а л Ь. Ясно, что если с :d, то данное уравнение решений в целых числах не имеет. Поэтому рассмотрим случай, когда с :d. В этом случае обе части уравнения можно сократить на d, мы получаем уравнение, равносильное исходному, в котором коэффициенты при неизвестных взаимно просты.

Таким образом, можно ограничиться рассмотрением неопределенных уравнений вида ах + by = с, где а и b взаимно просты.

Теорема 3.10. Если а и b взаимно просты, то уравнение ах + by = с всегда имеет решение.

В самом деле, если а и b взаимно просты, то в силу свойства 3.10 для них существуют целые числа u, v, такие, что au + bv = 1. Как следует из доказательства этого следствия, эти числа ииу можно найти, используя равенства из алгоритма Евклида, примененного к числам а и Ь. Умножая обе части последнего равенства на с, получаем, что уравнение (1) имеет решение х0 = ис, у0 = vc.

Теорема 3.11. Пусть а и b взаимно просты и (х0, у0) — какое-нибудь решение уравнения ax + by = c (1), тогда формулы x = x0-bt, (2) у = у0 + at при t = 0, ±1, ±2, • дают все решения уравнения ( 1).

Доказательство. Пусть (х, у) — произвольное решение уравнения (1). Тогда из равенств ах + by = с и ах0 + byq = с получаем а(х0 - х) = = Ь(у - у ), т. е. Ь(у - у0) I а, откуда в силу свойства 3.11 и взаимной простоты чисел а и b вытекает (у - у0) la. Поэтому у - у0 = at, откуда х0 - X = bt или у = у0 + at, X = х0 - bt, где t = 0, ± 1, ±2,

Таким образом, доказано, что произвольное решение (х, у) имеет вид (2). Остается проверить, что всякая пара чисел (х,, у,), получаемая по формулам (2) при целом t = tp будет решением уравнения (1). Чтобы провести такую проверку, подставим значения х, = x0-bt,, у, = у0 + at, в левую часть уравнения ( 1), получим ах, + by, = ах0 - abt, + Ьу0 + abt, = = ах0 + Ьу0 = с, т. к. (х0, у0) — решение уравнения (1). Следовательно, пара (хр у,) также является решением уравнения ( 1), и теорема полностью доказана.

Из доказанной теоремы вытекает, что если известно одно решение уравнения (1), то все остальные решения найдутся по формулам (2). Примеры.

1) Решите в целых числах уравнение 8х + 14у = 32.

Решение. 1-й способ. Поскольку 8 л 14 = 2 и 32 :2, то уравнение имеет решения. Разделив обе части уравнения на 2, получим 4х + 7у = 16 и применим к числам 7 и 4 алгоритм Евклида:

7 = 4-1+3, откуда 3 = 7-1-4

4 = 31 + 1, откуда 1=4-1-3 (*)

3 = 1-3 + 0

Подставим найденное значение для остатка 3 из первого равенства в (*), получим 1=4—1(7—1- 4). Раскрыв скобки, получаем 1=2-4-7, значит, числа х = 2 и у = -1 дают целое решение уравнения 4х + 7у = 1, умножив их на 16, получаем целое решение уравнения 4х + 7у = 16: х = 32; у = -16. Другие целые решения имеют вид: х = 32 - 7t; у = -16 + 4t, где t — произвольное целое число.

2-й способ. Сразу замечаем, что уравнение 4х + 7у = 16 имеет решение (4, 0), поэтому, в силу Теоремы 5.2, все целые решения этого уравнения имеют вид: х = 4 - 7s; у = 4s, где s — произвольное целое число.

Замечание. Хотя внешний вид решений, полученных обоими способами, различен, на самом деле, как нетрудно убедиться, это одно и то же множество. Действительно, достаточно положить t = -4 + s.

Часто в задачах требуется найти не все целые решения, а только неотрицательные. В таких задачах сначала находят все целые решения, а затем среди них выбирают только неотрицательные.

2) Найти целые неотрицательные решения уравнения 8х + 65у = 81.

Решение. Заметим, что числа х = 2 и у = 1 дают целое решение уравнения 8х + 65у = 81. Другие целые решения имеют вид: х = 2 - 65t, у = 1 + 8t. Видим, что при любом t > 0 число х будет отрицательным, а при любом t < 0 число у будет отрицательным. Следовательно, t = 0 и единственными числами, удовлетворяющими условию, являются х = 2, у = 1.

Хотя теория делимости, так же как и вся теория чисел, относится многими к чистой математике, стратегия обучения на социокультурном опыте требует включения в уроки и задач, связанных с потребностями практики. Примерами таких задач могут служить следующие.

3) Для перевозки зерна имеются мешки по 60 кг и по 80 кг. Сколько нужно тех и других мешков для перевозки 440 кг?

Решение. Из условия имеем уравнение 60х + 80у = 440 или после сокращения на 20: Зх + 4у = 22. Решения уравнения имеют вид х = 2 - 4t, у = 4 + 3t. При t = 0 и t = -1 получаем два решения (2,4) и (6, 1).

1) Укладывается водопровод протяженностью 105 м; имеются трубы длиной в 3 м и 4,5 м. Сколько нужно поставить тех и других труб?

Решение проводится аналогично.

Если вопрос о нахождении решений уравнений первой степени с двумя неизвестными решается в общем случае, то уже для уравнений 2-й степени этот вопрос решается лишь в некоторых частных случаях. При решении таких уравнений часто достаточно воспользоваться только элементарными методами, основанными на свойствах делимости.

Примеры.

5) Решить в целых числах уравнение х2 - 4у2 = 1995.

Нетрудно видеть, что х — число нечетное, т. е. х = 2к + 1. Поэтому (2к + 1)2 - 4у2 = 1995 или 4к2 + 4к - 4у2 = 1994. Левая часть этого равенства делится на 4, а правая не делится, поэтому уравнение решений не имеет.

6) Решить в целых числах уравнение Зх2 - 4у2 =13.

Данное уравнение перепишем в виде 3(х2 - 1) - 4у2 = 10. Отсюда легко видно, что (х - 1)(х + 1) делится на 2, т. е. одно из чисел х - 1 и х + 1 четно. Но тогда и другое тоже четно, поэтому х2 - 1 делится на 4, что невозможно, т. к. 10 не делится на 4.

7) Решить в натуральных числах уравнение 1 + х + х2 + х3 = 2У. Разложив левую часть уравнения на множители, получаем (1 + х2)(1 + х) = 2У. Следовательно, оба сомножителя являются степенями числа 2: х + 1= 2т, х2 + 1 = 2П. Здесь пит — целые неотрицательные числа, X = 2т - 1. Подставляя это значение для х, получаем (2т - 1)2 + 1 = 2" или 22т + 2 • 2т + 2 = 2П, откуда, если п * 0, 2m(2m-' - 1) + 1 = 2nl. Справа в этом равенстве, если п * 1, число четное, а слева — нечетное. Значит, либо п = 0, либо п = 1. Соответственно, получаем два решения: х = 0, у = 0;х= 1, у = 2.

8) Решить в целых числах уравнение

Перепишем данное уравнение в виде 4х + 4у = ху, х, у * 0. Поскольку ху делится на 4, то достаточно рассмотреть следующие три случая: 1) X = 4х,, 2) у = 4у,, 3) X = 2Хр у = 2у,, где х,, у, оба нечетны. В последнем случае в результате подстановки получаем уравнение 2х, + 2у, = х,ур откуда хотя бы одно из чисел х , у четно, т. е. этот случай невозможен. Первые два случая симметричны, и поэтому достаточно рассмотреть только случай 1). В этом случае уравнение принимает вид 4х, + у =х у или 4х, = y(Xj - 1), т. е. 4х, : (х, - 1). Но х, - 1 и х, взаимно просты, поэтому в силу свойства 3.11 4 :(х,- 1), т. е. х,- 1 =±1,±2,±4. Отсюда х, может равняться 2, -1, 3, -3, 5 и, соответственно, решениями являются пары чисел (8, 8), (4, 2), (12, 6), (12, 3), (20, 5) и симметричные им пары.

Глава 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕРАВЕНСТВ

§ 1. О проблемах при изучении неравенств

В последние годы положение с изучением неравенств в школьном курсе математики, как показывают результаты вступительных экзаменов и обследование знаний школьников и студентов, становится совершенно неблагополучным. Особенно много ошибок допускается в преобразованиях неравенств, связанных с умножением на буквенное выражение. Слабое знание первокурсниками основ теории неравенств является одной из причин значительных трудностей при изучении ими начал анализа.

Автором неоднократно в течение последних десяти лет студентам пединститута третьего курса отделения математики предлагалось решить неравенство

Более 80% студентов при решении этого неравенства допустили одну и ту же ошибку: нашли ОДЗ: (-оо; -9] U [1; оо) и, возведя в квадрат обе части неравенства, получили

т. е. в этом случае получается ответ х G [--; оо). Случай же х + 2 < 0 остается нерассмотренным.

Такой результат был тем более удивителен, что за полгода до этого эти студенты изучали тему «Иррациональные неравенства» в курсе элементарной математики. Этот феномен носит скорее психологический характер и связан с тем, что у студентов еще во время учебы в школе сложились некоторые стереотипы, а, как отмечают психологи, переучивание, т. е. ломка сложившихся когнитивных структур и создание новых структур, является значительно более трудным процессом, чем наращивание структур.

Можно выделить несколько причин неблагополучного положения с изучением неравенств в школе.

1) Отсутствие четкой и понятной терминологии. Если школьники хорошо представляют, что равенства бывают двух видов: тождества и уравнения, то подразделение неравенств на числовые неравенства и на неравенства с переменными уже им менее понятно. Этому способствует и изложение этой темы в некоторых учебниках. Школьники ориентируются, в основном, по присутствию или отсутствию в неравенстве буквы X. Чтобы устранить этот недостаток, М. И. Башмаков в своей книге «Уравнения и неравенства» предлагал для неравенств с переменными использовать особый термин — «условные неравенства».

2) Продолжающийся процесс сокращений и упрощений школьной программы по математике, носящий недостаточно продуманный и бессистемный характер. В результате в школьных учебниках и практике школьного преподавания математики основным свойствам неравенств не уделяется достаточного внимания. Хотя свойства числовых неравенств изучаются в 8-м классе, однако почти сразу же при рассмотрении способов решений неравенств с переменной эти главные, фундаментальные свойства отходят на второй план. Как правило, при изучении неравенств с переменной ограничиваются рассмотрением только таких неравенств, в которых обе части нужно умножить или разделить на какое-либо число. Более сложные неравенства стараются свести к решению системы (или совокупности систем) более простых неравенств с тем, чтобы избежать умножения (деления) на буквенное выражение.

3) Отрицательное влияние на учащихся и учителей оказывают многочисленные пособия для абитуриентов. Авторы этих пособий преследуют совсем иные цели, нежели систематическое обучение школьников. Так, в этих пособиях на первое место при решении неравенств выдвигаются различные частные методы решения, позволяющие наиболее быстро получить ответ. Между тем изучение далеко не всех из этих методов дидактически оправдано. В частности, ориентируясь на эти пособия, учителя стараются как можно раньше ввести широко пропагандируемый в последнее время метод интервалов. Метод интервалов хотя и является достаточно простым и удобным инструментом, однако он не является универсальным и не всегда применим. Стремление решать любое неравенство методом интервалов приводит к тому, что при дальнейшем изучении неравенств в старших классах учащиеся, в силу выработавшихся стереотипов, с трудом привыкают к преобразованиям неравенств, связанных с умножением на буквенное выражение.

4) У части школьников тема «Неравенства» является нелюбимым разделом курса математики, в силу ее сложности и оторванности преподавания этой темы от социокультурного опыта.

Для исправления положения при изучении неравенств необходимо, как нам представляется, опираться на четко продуманную стратегию обучения, в частности на такой важнейший дидактический принцип, как принцип многоступенчатости. Согласно этому принципу при изучении неравенств необходимо, чтобы восприятие нового не сводилось к какому-то одному акту, а представляло собой процесс, в котором учащиеся рассматривали бы каждый новый факт в теории неравенств с различных сторон, устанавливая многообразие связей этого факта с другими ранее изученными. Необходимо также шире при изучении этой темы использовать стратегию обучения на социокультурном опыте.

§ 2. Первоначальные этапы в изучении неравенств

Тема «Неравенства» начинает изучаться на уровне синтеза конкретных структур, когда происходит синтез уже сформированных ранее алгебраических и порядковых структур посредством выполнимости свойств монотонности для сложения и умножения, на которых и основано изучение теории неравенств. При рассмотрении этой темы необходимо на этом первоначальном этапе добиваться усвоения учащимися фундаментальных свойств отношения порядка в числовых системах и научить их правильно пользоваться основными свойствами неравенств.

С неравенствами как примерами применения отношения порядка школьники начинают знакомиться еще в начальной школе. Как указывалось во второй главе, в работе с младшими школьниками могут быть использованы задачи на комбинацию неравенств, в которых требуется упорядочить некоторое конечное множество.

Следующей ступенью в изучении свойств числовых неравенств должны стать 6—7 классы. С этой целью тему «Неравенства» желательно разбить на две части: первую часть этой темы «Числовые неравенства и их свойства» целесообразно перенести на более ранний период изучения (6—7 класс), оставив в 8-м классе только изучение неравенств с переменной и их систем.

На этой ступени в мышлении учащихся происходит синтез уже сформированных ранее алгебраических и порядковых структур посредством свойств монотонности для сложения и умножения, на которых, собственно, и основано изучение теории неравенств. При рассмотрении этой темы необходимо на этом этапе добиваться усвоения учащимися фундаментальных свойств отношения порядка в числовых системах и научить их правильно пользоваться основными свойствами неравенств.

Если в основе теории скалярных величин лежит понятие упорядоченной группы, то основу теории неравенств составляет понятие упорядоченного кольца. В школьных учебниках наблюдается смешение двух способов определения упорядоченного кольца (поля). При первом способе отношение порядка на множестве элементов кольца считают уже заданным и связывают его с операциями в кольце при помощи законов монотонности. При втором способе в кольце К выделяется подмножество Р, удовлетворяющее условиям:

а затем определяется отношение порядка следующим образом:

В школьном курсе важно различать оба эти способа. Их оба можно использовать, опираясь на понятие числовой прямой. При первом способе можно считать, что число а больше числа Ь, если точка, соответствующая числу а, лежит правее точки, соответствующей Ь. При втором способе в качестве подмножества Р следует взять множество всех чисел, лежащих правее 0.

Нам представляется, что дидактически более целесообразным является первый способ введения неравенств, поскольку он является естественным продолжением способа сравнения натуральных чисел. Именно этот способ предлагался в свое время в учебном пособии для 7-го класса под редакцией А. И. Маркушевича. При этом в качестве исходных свойств берутся законы монотонности:

i) для любых a, b и с a^b=»a + c^b + c (закон монотонности для сложения);

ii) для любых a, b и любого положительного с а < с => ас < be (закон монотонности для умножения).

Из этих законов в качестве следствий нетрудно получить несколько простейших свойств неравенств, наиболее часто используемых:

l)a + c<;b + c=>a<;b.

В самом деле, a + c«sb + c=>(a + с)+(-с) <; Ь+с+(-с) => a <; b.

2) а £ b => -b ss -a.

В самом деле, а <; b => (-b) + а + (-а) <: (-b) + b + (-а) => -Ь <: -а. Из доказанного, в частности, получаем: 3)0<;а=>-а<;0. 4)a<sbHCisd=>a + c<;b + d.

В самом деле, a<;b=>a + c<;b + c, c<;d=>b + c<;b + d, поэтому, в силу транзитивности, а +с s; b + d.

5)0<a£bH0<c-sd=>0<ac<;bd.

Доказывается аналогично свойству 4) с использованием закона монотонности для умножения.

6) 0 < а <; b => 0< а2 <; Ь2.

Получается непосредственно из предыдущего свойства.

7) а <; b и с < 0 => be ас.

Действительно, т. к. -с > 0, то -ас z -be и в силу свойства 2) be £ ас.

В доказательстве всех вышеперечисленных свойств, как можно заметить, не используется линейность порядка в числовых кольцах. Линейность порядка используется в доказательстве следующих свойств:

8) Если а * 0, то а2 > 0 .

В самом деле, если а > 0, то а2 > 0 ( в силу свойства 5) ). Если же а < О, то-а>0 и (-а)2 = а2>0.

9) Единица всегда больше нуля.

Действительно, в силу предыдущего свойства 1 = I2 > 0. 10)а>0=>а1>0.

В самом деле, если а1 < 0 , то а1 > 0 и а(-а~' > 0), т. е. -1 > 0 — приходим к противоречию со свойством 9). Если же а-1 = 0, то, умножая на а, получаем 1 = 0, что в поле невозможно. Таким образом, а-1 > 0.

11)а>Ь>0=*0<а '<Ь !.

В самом деле, пусть а > b > 0 . Если а1 > Ь_|, то, в силу свойства 5), получаем 1 > 1, что невозможно. Если же а-1 = Ь"1, то а = b — вновь приходим к противоречию. Следовательно, а1 <Ь~'.

Учащиеся должны научиться складывать неравенства, умножать их на положительные и отрицательные числа, перемножать неравенства (когда это возможно), возводить в квадрат. На этом же этапе необходимо включить достаточное количество упражнений с буквенными неравенствами, которые в действующих школьных учебниках почти отсутствуют.

Рассмотрим некоторые примеры таких упражнений.

1. Умножить неравенство 2а > b на Ь.

Решение. Если b > 0, то 2ab > Ь2. Если b < 0, то 2ab < Ь2. Если b = 0, то 2ab = 0 и Ь2 = 0, т. е. 2ab = Ь2.

2. Какой знак неравенства надо поставить между выражениями 2 - За и 2 - ЗЬ, чтобы получить верное неравенство, если известно, что а > Ь?

Решение. Так как а > Ь, то -За < -ЗЬ. Прибавляя к обеим частям этого неравенства по 2, получим: 2 - За < 2 - ЗЬ.

Основные свойства неравенств хорошо могут быть закреплены при решении несложных задач на доказательство неравенств.

3. Докажите, что квадрат среднего из любых трех последовательных целых чисел больше произведения крайних.

Решение. Рассмотрим последовательные натуральные числа п, п+ 1,п + 2. Так как 1 > 0, то(п+ 1)2 = п2 + 2п+ 1 >n2 + 2n = n(n+ 1).

При доказательстве более сложных неравенств сначала необходимо провести некоторые дополнительные исследования, которые могли бы помочь найти путь доказательства основного неравенства через доказательство вспомогательных неравенств.

4. Докажите, что для любого положительного числа а:

Сначала замечаем, что наше неравенство равносильно неравенству 12(5 + а) > 5( 12 + а). Поэтому можно вначале доказать последнее неравенство. Теперь проводим доказательство. Так как а > 0, то 12а > 5а

и 12а + 60 > 5а + 60. Умножая последнее неравенство на положительное число

получаем

5. Доказать, что если а > 0 и а * 1, то

Сначала замечаем, что наше неравенство в случае положительного а равносильно неравенству а2 + 1 > 2а. Теперь проводим доказательство. Так как (а - I)2 > 0 для любого а * 1, то а2 + 1 > 2а.

Умножая последнее неравенство на положительное число

получаем

Использование в упражнениях основных свойств неравенств следует продолжить при изучении свойств модуля числа. Весьма полезным является рассмотрение с учащимися уже на первых этапах изучения неравенств доказательства основных свойств абсолютной величины числа:

1)|а|*0

В самом деле, если а 2> 0, то |а| = а £ 0. Если же а < 0, то |а| = -а > 0. 2) a s |а| и -a «s |а|.

В самом деле, если а ^ 0, то |а| = а и а ^ а = |а|, кроме того, -а <, 0 £ |а|. Если же а < 0, то |а| = -а и -a «s |а|, кроме того, a <s 0 «s |а|. 3)|ab| = |a||b|.

Доказывается путем простого перебора всевозможных случаев относительно знаков а и Ь.

4) |а+Ь| <; |а| + |Ь|.

Доказательство последнего свойства вызывает у учащихся наибольшие трудности. В лучшем случае они пытаются перебрать все возможные случаи. Более рационально, в силу свойства 2), записать -а £ |а| и -b «s |Ь|. Почленно складывая, получаем -(а + b) £ |а| + |Ь|. С другой стороны, а| «s а| и b £ |b|, откуда а + b s |а| + |b|. Поэтому в любом случае |а + Ь| <s |а| + |Ь|.

Уже на первых этапах изучения неравенств следует использовать, кроме стратегий отбора и длительного поэтапного обучения, стратегию обучения на социокультурном опыте. Необходимо показать учащимся, что задачи с неравенствами возникают в самых различных жизненных ситуациях.

Пример 1. Лодочник проплыл n километров по течению реки со скоростью 7 км/ч и вернулся обратно, двигаясь против течения со ско-

ростью 4 км/ч. На следующий день он проплыл по озеру расстояние, равное 2,4п (км), причем двигался со скоростью 6 км/ч. На какой из двух маршрутов потребовалось больше времени?

Решение. На первый маршрут лодочнику потребовалось на второй маршрут ему потребовалось

Первое число равно

а второе число равно

Поэтому времени потребовалось больше на второй маршрут.

Пример 2. Населенные пункты А и В расположены на расстоянии S друг от друга. Себестоимость одной тонны угля в пункте А составляет q рублей, а в В на р% дороже. В каких пунктах, расположенных между А и В, уголь, привезенный из пункта В, обойдется дешевле угля, привезенного из пункта А, если перевозка 1 т угля на расстояние 1 км обходится в n рублей?

Решение. Пусть пункт С расположен на расстоянии / км от А и на расстоянии S - I от В. Тогда в пукте С себестоимость одной тонны угля, привезенной из пункта А, будет равна q + я/, а себестоимость одной тонны угля, привезенной из пункта В, будет равна

Поэтому получаем неравенство:

Откуда расстояние / должно быть больше, чем

§ 3. Неравенства с переменной

На следующей ступени (8—9 классы) изучаются неравенства с переменными. На этой ступени также необходимо большое внимание уделять фундаментальным свойствам отношения порядка и числовых неравенств. Для этого среди прочих следует рассматривать неравенства, для решения которых приходится умножать обе части на буквенное выражение, а не сводить, как это обычно рекомендуется, к решению системы (совокупности систем) более простых неравенств.

Простейшими примерами такого решения неравенств могут служить следующие:

1) Решить неравенство

Для того чтобы решить это неравенство, можно рассмотреть два случая: х>0их<0. В первом случае, умножая обе части неравенства на X, получаем х > 1. Во втором случае, умножая на х, получаем х < 1. Таким образом, х Е (-<»; 0) U ( 1 ; +оо).

2) Решить неравенство

Рассмотрим два случая: х > 0 и х < 0. В первом случае, умножая обе части неравенства на х, получаем х- 1 г> -2 или х s> -1.

Во втором случае, умножая на х, получаем х - 1 £ -2 или х «s -1.

Указанный прием можно применять и в более сложных случаях.

3) Решить неравенство

Обычно при решении такого неравенства число 4 переносят в левую часть, производят тождественные преобразования, а затем решают совокупность двух систем линейных неравенств. Применим способ, основанный на умножении, на выражение 2-х.

Если 2 - X > 0, т. е. X < 2, то получаем 2х - 1 < 4(2 - х) или х < 3/2.

Если же 2 - X < 0, т. е. X > 2, то получаем 2х - 1 > 4(2 - х) или х > 3/2.

Ответ: х ЕЕ (-оо; 3/2) U (2; +оо).

Применять умножение на выражение, содержащее переменную, бывает удобно и при решении неравенств с модулями.

4) Решить неравенство:

Если X < -2, то, умножая на отрицательное число обе части неравенства и раскрывая модули, получаем 1 - х < 2 - х или 1 < 2, что выполняется всегда в указанном промежутке.

Если -2 < X ^ 1, то, умножая на положительное число обе части неравенства и раскрывая модули, получаем 1 - х > 2 - х или 1 > 2, что невозможно.

Если 1 < X ^ 2, то аналогично получаем х - 1 > 2 - х или 2х > 3, т. е. X > 2/3.

Если же X > 2, то получаем х - 1 > х - 2 или -1 > -2, что выполняется всегда в указанном промежутке.

Ответ:

Прием умножения неравенства на буквенное выражение особенно часто применяется при решении иррациональных неравенств. Такие неравенства приходится возводить в квадрат, т. е. умножать на себя. При этом необходимо следить за знаками соответствующих выражений.

Так при решении неравенства вида VA > В в случае В г* 0 обе части неравенства можно возвести в квадрат, в случае же В < 0 в квадрат возвести нельзя, однако, поскольку VA s* 0, неравенство справедливо при любом допустимом значении переменной.

5) Решить неравенство

ОДЗ: [1; оо)

Если X - 3 £ 0, то, возведя в квадрат, получим х - 1 > х2 - 6х + 9 или 2 < X < 5, т. е. в этом случае хЕ[3; 5). Если же х - 3 < 0, то х Е [1 ; 3). Объединяя оба случая, получаем ответ: х Е [1 ; 5).

6) Решить неравенство

ОДЗ:

Если X + 2 £ 0, то, возведя в квадрат, получим х2 + 8х - 9 ^ х2 + 4х + 4 или ——, т. е. в этом случае х Е [-; оо). Если же х + 2 < 0, то х Е (-оо; -9].

Объединяя оба случая, получаем ответ: х Е (-оо; -9] U [~~~ ; оо).

Таким образом, на уровне основной школы в соответствии со стратегией отбора следует отдать предпочтение тем упражнениям и тем методам, которые способствуют более глубокому пониманию и закреплению основных свойств неравенств. Частным же методам решения различных видов неравенств, в том числе и методу интервалов, следует уделить больше внимания уже на следующем этапе, т. е. в старших классах.

При изучении темы «Неравенства» очень важно использовать и стратегию обучения на социокультурном опыте. В частности, необходимо использовать в обучении задачи с практическим содержанием, математической моделью которых является неравенство или система неравенств.

7) Два автохозяйства отправили несколько машин для перевозки грузов. Число машин, отправленных из второго автохозяйства, меньше удвоенного числа машин, отправленных из первого. Если бы первое автохозяйство послало на две машины больше, а второе на две машины меньше, то машин из второго автохозяйства было бы больше, чем машин из первого. Сколько машин отправлено из каждого автохозяйства, если всего было отправлено менее 18 машин?

Решение. Обозначим через х и у — число машин, отправленных первым и вторым автохозяйствами соответственно. По условию у <2х, у - 2 > х + 2, х + у< 18. Следовательно, задача сводится к решению в целых положительных числах следующей системы неравенств:

Из первых двух неравенств следует, что 2х > х + 4, т. е. х > 4. Из второго и третьего неравенств следует, что х < 7. Таким образом, либо х = 5, либо х = 6.

При X = 5 из первых двух неравенств получаем у < 10, у > 9, т. е. в этом случае целых решений не существует. При х = 6 получаем у < 12, у > 10, т. е. у = 11. Таким образом, из первого автохозяйства отправили 6 машин, а из второго — 11 машин.

8) В двух бригадах вместе более 27 человек, число членов первой бригады более чем в два раза превышает число членов второй бригады, уменьшенное на 12. Число членов второй бригады более чем в 9 раз превышает число членов первой бригады, уменьшенное на 10. Сколько человек в каждой бригаде?

Решение. Обозначим через х и у число членов первой и второй бригады соответственно. Тогда задача сводится к решению в целых положительных числах следующей системы неравенств:

Из второго неравенства этой системы получаем 2у > 18х - 180 или 2у - 24 > 18х - 204. Тогда из второго неравенства данной системы получаем X > 18х - 204, откуда х < 12. Но из условия задачи х > 10. Поэтому х = 11. Далее из второго неравенства данной системы получаем 12 > 2у - 24 или у < 18. Таким образом, 30 > х + у > 27, поэтому х + у равно 28 или 29, откуда у равно 17 или 18. Но последнее значение не удовлетворяет второму неравенству из данной системы. Следовательно, х = 11, у = 17.

С точки зрения стратегии обучения на социокультурном опыте представляется весьма важным рассмотреть с учащимися примеры задач на нахождение наибольших и наименьших значений с использованием неравенств.

9) На собрании акционеров было решено увеличить прибыль предприятия за счет расширения ассортимента продукции. Экономический анализ показал, что 1) дополнительные доходы, приходящиеся на каждый новый вид продукции, окажутся равными 75 млн. руб. в год; 2) дополнительные расходы при освоении одного нового вида продукции составят 13 млн. руб. в год, а освоение каждого последующего вида потребует на 7 млн. руб. в год больше расходов, чем освоение предыдущего. Найти значение максимального возможного прироста прибыли.

Решение. Прибыль при освоении п-го вида продукции составит 75 - 13 - 7(п - 1) = 69 - 7п млн. руб. в год. Прибыль будет положительной, если 69 - 7п > 0. Следовательно, n = 9 — максимально возможное число новых видов продукции, выпуск которых будет приносить прибыль. Тогда максимальная прибыль (в млн. руб.) составит (69 - 7) + (69 - 14) + ... + (69 - 63) = 306.

10) Трем бригадам поручена некоторая работа. Известно, что 1-я и 2-я бригады, работая вместе, могут выполнить ее за 55 дней. Известно также, что 3-я бригада затратила бы на эту же работу на 11 дней больше, чем 2-я. Найдите наименьший возможный срок, за который выполнят эту работу три бригады, работая вместе.

Решение. Пусть х, у, z — та часть работы, которая выполняется каждой бригадой за один день. По условию задачи составляем два уравнения:

Время, за которое три бригады, работая вместе, выполнят всю работу, равно

Из первого уравнения получаем

Т. к. из первого уравнения имеем

то из второго уравнения

Тогда

Таким образом, наименьшее время выполнения работы тремя бригадами равно 30 дням.

Весьма полезным для учащихся является и знакомство с задачами на оптимизацию, решаемыми методом линейного программирования. Хотя такие задачи и не входят в программу основной школы, они имеют наглядную геометрическую интерпретацию и не требуют в простейших случаях больших затрат времени. Ниже приводятся примеры таких задач.

9) Некоторая фирма выпускает продукцию двух видов П, и П2. Для производства продукции требуется сырье четырех видов С,, С2, С3, С4. Запас сырья и расход его на единицу каждого вида продукции задается таблицей:

Вид сырья

Запас сырья

Расход сырья на единицу продукции

П1

П2

с1

19

2

3

с2

13

2

1

с3

15

0

3

с4

18

3

0

Доход фирмы от единицы продукции вида П, равен 7 денежным единицам, а от единицы продукции вида П2 — 5 денежным единицам. Как спланировать выпуск продукции, чтобы доход фирмы был наибольшим?

Решение. Пусть х — число единиц продукции вида П1? у — число единиц продукции вида П2. Допустимыми с точки зрения ресурсов фирмы являются значения х и у, удовлетворяющие следующей системе неравенств:

Изобразим на чертеже штриховкой множество точек плоскости XOY, координаты которых удовлетворяют данной системе неравенств.

Оно представляет собой замкнутый шестиугольник OABCDE. Каждая точка (х, у) этого шестиугольника соответствует определенному плану, возможному с точки зрения наличных ресурсов фирмы. Нас интересуют та или те точки шестиугольника, которые дают максимальный доход фирме. Этот доход подсчитывается по формуле 7х + 5у, т. е, является линейной функцией от двух переменных х и у. Таким образом, надо найти ту точку (или точки) из шестиугольника, которая обеспечивает максимальное значение функции/(х, у) = 7х + 5у.

Каждому заданному значению /соответствует своя прямая плоскости (линия постоянного дохода). С изменением /линия одинакового дохода поступательно, т. е. параллельно сама себе, перемещается. Например, уравнению 7х + 5у = 0 (значение/= 0) соответствует прямая, проходящая через начало координат. Эта точка (0,0) является точкой входа в шестиугольную область, в ней доход минимален (равен 0). Ясно, что с увеличением / линия одинакового дохода перемещается, удаляясь от начала координат. И чем дальше эта линия удалилась от начала координат, тем больше / т. е. доход фирмы. Если, например, /= 25, то прямая 7х + 5у = 25 проходит через точку А. Однако из рисунка видно, что в шестиугольнике есть точки, в которых значение/еще боль-

ше. Наибольшее значение/принимает в точке выхода прямой из области — это вершина С шестиугольника.

Точка С является пересечением двух прямых: 2х + Зу = 19 и 2х + у = 13. Решая систему из этих двух уравнений, находим координаты точки С: х = 5, у = 3. Таким образом, максимальный доход равен /(5,3) = 7 • 5 + 5 • 3 = 50.

10) На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах соответственно равных 24, 31 и 18 штук. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данных способах раскроя приведено в таблице. В ней же указаны величины отходов, которые получаются при данных способах раскроя одного листа фанеры.

Вид заготовки

Количество (шт.) заготовок по способу

1

2

1

2

6

2

5

4

3

2

3

Величина отходов (куб. см)

12

16

Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.

Решение. Обозначим через х и у количество листов фанеры, выкроенных первым и вторым способом соответственно. Получаем следующую систему неравенств:

и функцию Дх, у) = 12х + 16у, для которой надо найти точку (х, у), ее минимизирующую.

Изобразим на плоскости XOY множество точек, координаты которых удовлетворяют данной системе неравенств. Оно неограничено сверху и справа.

Необходимо найти точки в этой области, в которых линейная функция /(х, у) = 12х + 16у принимает минимальное значение.

Каждому заданному значению/соответствует своя прямая плоскости (линия постоянных отходов). Проводим прямую 12х + 16у = 0, на ней /= 0. С увеличением/линия постоянных отходов поступательно перемещается параллельно прямой 12х + 16у = 0. Точкой входа в область допустимых значений решений данной системы неравенств является точка В. При дальнейшем перемещении линии постоянных отходов значение / будет увеличиваться. Следовательно, минимальным отходам соответствует/(В). Точка В есть пересечение прямых 5х + 4у = 31 и 2х + Зу = 18. Решая систему из этих двух уравнений, находим х = 3, у = 4. Минимальные отходы равны /(3,4)= 12 • 3 + 16 • 4 = 100.

§ 4. Доказательство неравенств

В 8—9-х классах, особенно при углубленном изучении математики, следует продолжить рассмотрение задач на доказательство неравенств. Такие задачи являются одними из самых трудных в школьном курсе. При решении таких задач учащиеся должны хорошо владеть навыками в применении основных свойств неравенств, уметь использовать ранее доказанные простейшие неравенства, обладать достаточно высокой логической культурой.

Начать рассмотрение с учащимися таких задач следует с доказательства ряда «базовых» неравенств, которые часто используются при доказательстве других неравенств. К таким неравенствам относятся, например, неравенства

1) Доказать неравенство:

Для доказательства почленно сложим истинные неравенства:

откуда и следует нужное неравенство.

2) Доказать неравенство:

Для доказательства обе части истинного неравенства а2 + ab + b2 ;> О умножим на выражение (а - Ь)2, которое является неотрицательным. Получим (а2 + ab + b2)(a2 - 2ab + b2) г> 0, откуда и получаем нужное неравенство.

3) Доказать, что если а + b s* 1, то имеет место неравенство а4 + Ь4 ^ 1/8.

Т. к. а + b s 1, то а2 + 2ab + Ь2 ^ 1. Сложив это неравенство с очевидным неравенством а2 - 2ab + Ь2 2= 0, получим 2а2 + 2Ь2 > 1 или а2 + b2 г> 1/2. Возведя обе части этого неравенства в квадрат, получим а4 + 2a2b2 + b4 ;> 1/4. Сложив последнее неравенство с очевидным неравенством а4 - 2а2Ь2 + Ь4 ^ О, получим

К числу «базовых» относятся неравенства, связывающие средние величины (среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее степенное, среднее гармоническое и т. д.). Наиболее известным из них является неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое неотрицательных чисел:

Для случая n = 2 доказательство этого неравенства общеизвестно. Для произвольного n доказательство можно найти в книге [51]. 4) Доказать, что для любых трех неотрицательных чисел

Для удобства введем обозначения а, = х\ а2 = у3, а3 = z3. Тогда доказываемое неравенство после умножения на 3 примет вид

Поэтому

Зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим используем при решении следующих двух задач.

5) Доказать, что для любых трех неотрицательных чисел х, у, z

Поскольку обе части данного неравенства неотрицательны, то это неравенство равносильно неравенству

(*). Далее, почленно

складывая очевидные неравенства

получаем неравенство (*).

6) Доказать, что при любом натуральном n имеет место неравенство

Доказываемое неравенство равносильно неравенству (**). Имеем

При n = 1 имеем равенство. Таким образом, неравенство (**) доказано.

При доказательстве неравенств зачастую бывает полезным использовать метод математической индукции.

7) Доказать, что если а > b и a, b — положительные числа, то а" > bn.

Решение. При n = 1 утверждение очевидно: а1 > Ь1. Предположим, что ак > Ьк, и докажем, что тогда ак+1 > Ьк+|.

В самом деле, так как а > 0, то из ак > Ьк следует ак +1 > abk ( 1).

Так как bk > 0, то из а > b следует abk > bbk = bk+1 (2).

Сопоставляя неравенства (1) и (2), получаем из свойства транзитивности ак +1 > Ьк + Тем самым утверждение доказано для всех натуральных п.

8) Доказать, что 2п > 2п + 1 при любом натуральном п ;> 3.

Решение. При п = 3 неравенство верно: 23 > 2 • 3 + 1. Предположим, что 2к> 2к + 1 (к £ 3), и докажем, что 2к +1 > 2(к + 1) + 1.

В самом деле, 2к+1 = 2 • 2к > 2(к + 1) = (2к + 3) + (2к - 1). Но 2к - 1 > О при любом натуральном к. Значит, (2к + 3) + (2к - 1) > 2к + 3 и 2к +1 > 2к + 3, а отсюда следует, что неравенство 2" > 2п + 1 справедливо при всех п ^ 3.

9) Доказать неравенство:

(3)

Решение. Выражение в левой части неравенства (3) представляет собой сумму дробей с последовательно растущими на 1 знаменателями от п + 1 до Зп + 1. В частности, при п = 3 неравенство принимает следующий вид:

При п = 1 неравенство справедливо:

Предположим, что

и докажем, что тогда

Действительно,

Неравенство (3) доказано.

Сейчас приведем несколько более сложных, чем вышерассмотренные, примеров, в которых при проведении индукционного шага приходится доказывать некоторое новое неравенство или использовать метод усиления неравенства.

10) Доказать, что для положительных чисел a, b имеет место неравенство:

Решение. При n = I утверждение верно: 2°(а' + b') s» (а + Ь)1. Предположим, что 2к" '(ак + bk) ;> (а + Ь)к (5), и докажем, что тогда 2k(ak+1+bk+1)^(a + b)k+l. (6)

Для доказательства умножим обе части неравенства (5) на одно и то же положительное число а + Ь. Получим:

Убедимся теперь, что

откуда и будет следовать неравенство (3). Рассмотрим разность

Из утверждения, доказанного в примере 7), следует, что числа а - b и имеют одинаковые знаки. Следовательно,

откуда

Тем самым неравенство (6) доказано, и на основании принципа математической индукции мы вправе сделать вывод о справедливости неравенства (4).

11) Доказать неравенство:

Решение. Выражение, содержащееся в левой части неравенства (7), представляет собой сумму дробей, знаменатели которых растут от 1 до 2" - 1. При n = 1 оно обращается в 1. Но 1 > — , следовательно, при n = 1 неравенство (4) справедливо. Предположим теперь, что

и докажем, что тогда

Имеем:

Выражение А представляет собой сумму дробей, каждая из которых больше, чем — . Значит,

отсюда

Неравенство (7) доказано.

Хотя метод математической индукции и является универсальным, не следует стремиться применять его при доказательстве любого неравенства с суммой n слагаемых. Следующий пример показывает, что иногда доказательство бывает проще провести другими методами.

12) Доказать неравенство

Решение. Имеем очевидные неравенство и равенства:

При рассмотрении задач на доказательство неравенств у части учащихся может возникнуть представление об оторванности таких задач от потребностей практики. Чтобы этого не произошло, учителю необходимо использовать стратегию обучения на социокультурном опыте и включать в содержание уроков прикладные задачи на неравенства. Примеры таких задач приводятся ниже.

13) Доказать, что если n проводников, сопротивления которых образуют арифметическую прогрессию: (п + 1)R, (n + 2)R,(2n- 1)R, 2nR, соединить паралллельно, то, как бы ни было велико число n этих проводников, сопротивление полученного соединения будет меньше, чем 2R.

Решение. Обозначим искомое сопротивление через х. Тогда по правилу Кирхгофа получаем

откуда

14) Известно, что цена бриллианта пропорциональна квадрату его веса. Доказать, что если распилить бриллиант на несколько частей, то стоимость его уменьшится, причем понижение стоимости будет наибольшим, когда части будут равны.

Решение. Пусть вес бриллианта Р каратов. Разделим его на n частей, веса которых

Тогда

Пусть стоимость бриллианта до разлома С = , а после разлома Cj =

Докажем, что С > С . В самом деле,

Итак, мы доказали, что стоимость всех частей бриллианта меньше стоимости целого.

Далее, пусть

Тогда

Отсюда заключаем, что наименьшая стоимость всех частей бриллианта будет, когда (Xj2 + х22 + • • • +хп2) = 0, а последнее возможно лишь тогда, когда Xj=Xj =...=xn=0, т. е. когда Pj = р2 =... = рп, что и требовалось доказать.

§ 5. Неравенства с параметрами

В последние годы большое внимание в обучении математике придается неравенствам (так же как уравнениям) с параметрами. Но до сих пор не утихают споры, следует ли такие задачи включать в содержание обучения математики. С точки зрения социокультурного системного подхода значение обучения школьников приемам решения уравнений и неравенств с параметрами заключается, прежде всего, в их богатом общекультурном и развивающем потенциале. Нельзя за-

бывать также и о необходимости подготовки учащихся к выполнению работ итоговой аттестации и различного рода конкурсных испытаний, в которых такие задачи все чаще используются.

При этом большинство авторов характеризует задачи с параметрами как прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы, при проведении которой от учащихся требуется быть предельно собранными, сосредоточенными, уметь контролировать свои действия. По существу, любая задача с параметрами является краткой записью бесконечного множества задач, каждая из которых должна быть решена. Эти задачи требуют высокой логической культуры и техники исследования, их можно охарактеризовать как наиболее сложные в логическом и семантическом плане вопросы элементарной математики. Поэтому такие задачи являются благодатным материалом для приобретения учащимися социокультурного опыта в решении неравенств различных типов.

Однако многие авторы склонны видеть лишь одну — дидактическую функцию этих задач, которую они связывают главным образом с подготовкой наиболее способных учеников к поступлению в высшие учебные заведения. Постоянное усложнение задач конкурсного характера вне реальных математических моделей, гипертрофированное увлечение формально-техническими процедурами и искусственными конструкциями привело, по словам Н. Х. Розова, к созданию новой математики — «математики вступительных экзаменов».

Эта особая математика занимает большое место при осуществлении усиленной математической подготовки в классах с углубленным изучением, на факультативах, спецкурсах, на подготовительных курсах, в репетиторской практике. В этой математике, как правило, предпринимаются попытки количественного обогащения, прежде всего, задачного материала: задействуется большее число задач, сами задачи становятся более разнообразными по сравнению с теми, которые содержатся в учебниках для общеобразовательных школ. Вместо выявления сущности таких задач, общих способов их решения каждое новое неравенство рассматривается фактически вне связи с предыдущими, что и приводит к затруднениям у школьников.

Между тем из стратегии обучения математике вытекает, что недостаточно ограничиваться учетом одной дидактической функции задач, а следует учитывать, по крайней мере, три их группы: обучающие, связанные с подготовкой учащихся к математическим олимпиадам и конкурсным испытаниям, систематизацией знаний учащихся и обобщением соответствующих умений; развивающие, ориентированные

на развитие исследовательских умений, навыков самоконтроля и креативности учащихся; воспитательные, связанные с воспитанием научного мировоззрения и личностных качеств школьников.

Стратегия обучения на социокультурном опыте требует, чтобы при изучении и такой абстрактной темы, как неравенства с параметрами, учащиеся осознавали, что они имеют дело с математическими моделями реальных задач из практики.

Пример 1. Исследовать, уменьшится или возрастет концентрация раствора соли в воде в результате добавления произвольных, но равных масс соли и пресной воды.

Решение. Пусть а (ед.) — первоначальная масса раствора, b (ед.) — первоначальная масса соли в растворе, тогда первоначальная концентрация соли в растворе равна-. После добавления х (ед.) соли и х (ед.) пресной воды концентрация раствора стала равной

Найдем разность

Таким образом, концентрация возрастет, если в первоначальном растворе а > 2Ь, не изменится, если а = 2Ь, и уменьшится, если а < 2Ь.

Пример 2. В некоторой стране продавался как местный, так и ввозимый уголь по цене р денежных единиц за тонну. После того как власти страны начали налагать пошлину на ввозимый уголь по d денежных единиц за каждую тонну, уголь (как местный, так и иностранный) начал продаваться по денежных единиц за тонну, а потребление угля настолько уменьшилось, что выручка за проданный уголь сохранилась; причем местного угля продавалось за год столько же, сколько до введения пошлин. Найти такое значение d, чтобы доход страны от пошлин был наибольшим.

Решение. Положим, что до введения пошлин за год было продано а тонн местного угля и b тонн иностранного. Следовательно, до введения пошлин выручка составляла р(а + Ь) денежных единиц. Число тонн угля, ввозимого после введения пошлин, составило

Поскольку за каждую тонну ввозимого угля

власти страны получали d денежных единиц, то весь их доход от пошлин

Чтобы найти, при каком значении d доход будет наибольшим, перепишем последнее равенство в виде:

(1).

Для того чтобы d было действительным, необходимо, чтобы (npb - х)2 - 4апрх £ 0 или (npb - х)2 ^ 4апрх (2).

Все параметры в неравенстве (2) положительны, причем за год составляет

Замечаем, что с увеличением числа х левая часть неравенства (2) уменьшается, а правая увеличивается, поэтому наибольшее значение х достигается, когда неравенство (2) вырождается в равенство, т. е.

Из (1) и (3) следует, что

Выражая отсюда х и подставляя его в (3), получаем

Для описания процесса решения задач с параметрами необходимо опираться на систему точных математических понятий, утверждений и фактов. Однако в многочисленных пособиях и руководствах справочного и методического характера для поступающих в вузы большинство авторов опирается на интуитивное описание используемых понятий или дают такие описания, которые только могут поставить в тупик обучаемого. Например, предлагается следующий взгляд на параметры — «параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет обращаться с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы общения ограничивается его неизвестностью» [17, с. 10].

От таких описаний у учащихся может возникнуть психологический барьер: с одной стороны, параметр следует считать величиной известной, а с другой — конкретное значение параметра неизвестно; с одной стороны, параметр — величина постоянная, а с другой — может принимать различные значения. Получается, что параметр в неравенстве — это неизвестная известная величина, переменная постоянная.

Формальное разделение параметров и переменных, перекочевавшее из справочных пособий в многочисленные пособия для учащихся, интуитивное описание неравенств с параметрами не позволяют в должной мере раскрыть развивающий потенциал таких задач. Во-первых, в отсутствии точных определений невозможно проведение доказательных исследований, установление взаимосвязей между задачами с параметрами и фундаментальными понятиями и методами математики. Во-вторых, в виду неразработанности понятийной базы поиск общих методов исследования принципиально невозможен. Об этом свидетельствует практика конкурсных экзаменов, для которых задания составляются с учетом частных закономерностей, характерных для конкретных функций, фигурирующих в неравенстве.

Анализ учебных пособий для школ и классов с углубленным изучением математики показывает, что имеющиеся в них задачи не позволяют сформировать у учащихся общие приемы решения неравенств с параметром. Опора большинства авторов учебников на интуитивную систему понятий существенно ограничивает набор задач с параметрами, приводит к ориентации на частные способы решения, что препятствует осознанию учащимися общих закономерностей и объясняет обилие у них ошибок. У учащихся формируются лишь частные приемы решения конкретных заданий, которые они не могут самостоятельно «перенести» на другие уравнения или неравенства. Учащиеся, получившие математическую подготовку в рамках этого подхода, попрежнему допускают ошибки в решениях неравенств с параметрами либо испытывают трудности при выполнении такого рода заданий.

Принципиально иной взгляд на понятие неравенства с параметром представлен в работах А. Г. Мордковича и В. И. Горбачева. В соответствии с этим взглядом неравенство F(a, х) < 0 с параметром а и переменной х определяется как неравенство с двумя переменными, для которого поставлена задача поиска решения частных неравенств F(ar х) < 0 для всех значений параметра с параметром а = а..

При решении неравенств с параметром следует учитывать, что не для всех значений параметра они имеют смысл. Поэтому необходимо находить, кроме области допустимых значений переменной (ОДЗ), еще область допустимых значений параметра (ОДЗП), т. е. множество всех значений параметра, для которых соответствующие частные неравенства определены.

Важное значение имеет понятие общего решения неравенства с параметром: множество U. называется общим решением неравенства F(a., х) < 0 на множестве А. значений параметра, если для каждого

значения множество U. является решением соответствующего частного неравенства F(at, х) < 0. Решить неравенство с параметром — значит найти все его общие решения или установить отсутствие таковых решений на соответствующих областях значения параметра. Иногда дополнительно требуется провести классификацию совокупности всех частных неравенств.

В качестве общего метода решения задач с параметрами многими исследователями чаще всего предлагается графический метод. Однако следует заметить, что этот способ наиболее эффективен, если в задании встречается один параметр и требуется найти не общие решения, а лишь число корней уравнения или их расположение.

Попытки описать общий метод решения неравенств вида F(a, х) < О с параметром а и переменной х наталкиваются на определенные трудности, связанные с различием свойств функций, содержащихся в неравенствах. Однако такие общие методы, приемы, состав их действия могут быть определены для отдельных видов неравенств (линейных, квадратных, дробно-рациональных, иррациональных и др.).

Психологами установлено, что полноценному усвоению знаний способствует специальное формирование обобщенных приемов учебной деятельности, т. е. таких приемов деятельности, которые получены на основе анализа частных приемов путем выделения общего содержания деятельности по решению конкретных задач. Простое же увеличение количества решаемых задач, как показывает практика обучения математике, далеко не всегда приводит к качественным «сдвигам» в умении выполнять соответствующую математическую деятельность.

Следовательно, целенаправленное формирование обобщенных приемов решения неравенств с параметрами позволяет повысить качество усвоения приемов решения различных видов уравнений и неравенств (линейных, квадратных, дробно-рациональных и т. д.), поскольку они в таком случае будут усваиваться не формально, а осознанно. Для того чтобы описать процесс их формирования, необходимо прежде всего определить составы этих приемов.

При этом необходимо учесть: принадлежность неравенств к одному и тому же типу (линейным, квадратным, дробно-рациональным и др.); особенности формулировки заданий (требование решить неравенство относительно одной переменной); вид коэффициентов (их зависимость от значений параметра). В итоге могут быть получены составы действий обобщенных приемов решения линейных, квадратных, дробно-рациональных и других видов неравенств с параметром. Такие составы действий описаны в исследовании С. В. Арюткиной [4] и приводятся ниже.

Так, например, обобщенный прием решения линейных неравенств с параметром f(a)x z> g(a) может быть описан следующим образом:

• найти ОДЗП; для всех значений параметра, не входящих в эту область, неравенство не определено;

• найти множество допустимых значений параметра, на котором коэффициент при переменной обращается в нуль, \f(a) = 0]; выделить на нем промежутки значений параметра, на которых свободный член равен нулю (больше или меньше нуля) [g(a) = 0, g(a) > 0, g(a) < 0];

• решить получающиеся линейные неравенства на каждом из найденных во втором пункте промежутков значений параметра;

• найти множество допустимых значений параметра, на котором коэффициент при переменной больше нуля и меньше нуля;

• разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной (не меняя знак неравенства или меняя его на противоположный в зависимости от знака функции Да)) и записать общее решение неравенства для всех найденных промежутков значений параметра

или

• записать ответ, перечислив найденные на каждом из рассмотренных промежутков значений параметра общие решения неравенства.

Это подробное описание приема решения выглядит довольно громоздким, но в конкретных примерах его можно провести по этой схеме более компактно.

Пример 1. Решить неравенство ах > 1.

• Замечаем, что при а = 0 данное неравенство решений не имеет.

• Для коэффициента при переменной возможны два случая: а > 0 иа<0.

• В первом случае, разделив на а, получаем

• Во втором случае получаем

• Ответ: если а = 0, то неравенство решений не имеет, если а > 0, то

если а < 0, то

Пример 2. Решить неравенство

Если а > 0, то, умножая на а, получаем х + 2 < 2х - 1, откуда х > 3. Если а < 0, то, умножая на а, получаем х + 2 > 2х - 1, откуда х < -3. Пример 3. Решить неравенство (а - 1)х < 2а Если а = 1, то X — любое действительное число.

Если а < 1, то

Если а > 1, то

Пример 4. Решить неравенство 2m(m - 3)х > m - 3.

• Замечаем, что коэффициент при переменной обращается в нуль при m = 0 и m = 3;

• если m = 0, то данному неравенству удовлетворяет любое действительное число;

• если m = 3, то данное неравенство решений не имеет;

• если m < 0, то 2m(m - 3) > 0 и неравенство преобразуется к виду

• если 0 < m < 3, то 2m(m - 3) < 0 и неравенство преобразуется к виду

если m > 3, то 2m(m - 3) > 0 и неравенство преобразуется к виду

Обобщенный прием решения квадратных неравенств с параметром выглядит уже несколько иначе и состоит из следующих действий:

• найти ОДЗП; для всех значений параметра, не входящих в эту область, неравенство не определено;

• определить вид коэффициентов, свободного члена и дискриминанта соответствующего квадратного трехчлена для всех допустимых значений параметра;

• найти промежутки допустимых значений параметра, на которых старший коэффициент при переменной обращается в нуль, и решить получающиеся линейные неравенства на каждом из них;

• найти допустимые значения параметра, при которых дискриминант соответствующего квадратного трехчлена равен нулю, и решить получающиеся квадратные неравенства с одной переменной для каждого из найденных значений параметра;

• найти допустимые значения параметра, при которых дискриминант соответствующего квадратного трехчлена положителен, найти

корни трехчлена, определить знаки разности корней и старшего коэффициента трехчлена, построить эскиз графика трехчлена для найденных значений параметра (парабола пересекает ось Ох) и по нему найти общее решение неравенства;

• учитывая знак старшего коэффициента, построить эскиз графика для допустимых значений параметра, для которых дискриминант отрицателен (парабола не пересекает ось Ох), по нему найти общие решения;

• записать ответ, перечислив найденные решения для каждого из рассмотренных промежутков значений параметра.

Пример 5. Для всех значений параметра а решить неравенство (1 + а)х2-2ах + а-3 «sO.

• Найдем ОДЗП: неравенство определено при любом значении параметра;

• определим вид коэффициентов, свободного члена и дискриминанта: старший коэффициент равен 1 + а, коэффициент при х в первой степени (-2а), свободный член а - 3, дискриминант D = 8а + 12;

• найдем значения параметра, при которых старший коэффициент при переменной обращается в нуль: а = -1 ;

• для найденного значения решим получающееся линейное неравенство 2х - 4 £ 0, его решением является любое значение х <; 2;

• найдем значения параметра, при которых дискриминант соответствующего квадратного трехчлена равен нулю: а = -1,5;

• для найденного значения параметра решим получающееся квадратное неравенство: -0,5х2 + Зх - 4,5 ^ 0, его решениями является множество всех действительных чисел;

• найдем значения параметра, при которых дискриминант соответствующего квадратного трехчлена положителен: а > -1,5;

• для найденных значений параметра находим корни соответствующего квадратного трехчлена

и их разность

• эта разность положительна ( т. е. х2 > х,) при а > -1, при таких значениях параметра а старший коэффициент трехчлена положителен, ветви параболы направлены вверх, эскиз графика имеет вид:

а решение неравенства в этом случае:

• эта разность отрицательна (т. е. х2 < х,) при -1,5 < а < -1, при таких значениях параметра а старший коэффициент трехчлена отрицателен, ветви параболы направлены вниз, эскиз графика имеет вид:

решение неравенства в этом случае:

• для остальных допустимых значений параметра, т. е. для а < -1,5, дискриминант и старший коэффициент отрицательны, значит, парабола проходит ниже оси Ох, эскиз графика имеет вид:

• решениями неравенства в этом случае являются все действительные числа;

• запишем ответ: если а < -1,5, то х—любое число, если -1,5 < а < -1,

При решении дробно-рациональных неравенств используют известные свойства дробей: дробь принимает положительные значения тогда и только тогда, когда ее числитель и знаменатель принимают значения одинаковых знаков, дробь отрицательна тогда и только тогда, ког-

да числитель и знаменатель принимают значения разных знаков, для нестрогих неравенств числитель может также равняться нулю. Таким образом, решение каждого дробно-рационального неравенства сводится к решению совокупности двух систем рациональных неравенств.

Решение иррациональных неравенств и значительной части неравенств других типов сводится к решению квадратных неравенств. Правда, в ряде задач квадратный трехчлен замаскирован и иногда весьма тщательно. Увидеть его — половина пути к решению.

В задачах с квадратными неравенствами, в которых требуется не просто решить неравенство с параметром, а найти количество корней на некотором промежутке, как уже отмечалось выше, удобнее пользоваться свойствами графика квадратного трехчлена.

В частности, можно использовать следующие утверждения:

Пусть/ — квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом, тогда

1) только больший корень/лежит на интервале (p,q) при одновременном выполнении неравенств f(p) < 0 и /(q) > 0;

2) только меньший корень/лежит на интервале (р, q) при одновременном выполнении неравенств /(р) > 0 и /(q) < 0.

Комбинируя утверждения 1) и 2), можно сформулировать и еще одно простое утверждение:

Квадратный трехчлен имеет на интервале (р, q) ровно один корень тогда и только тогда, когда в концах этого интервала он принимает значения разных знаков, т. е. выполняется неравенство/(p)/(q) < 0.

Хотя формулировки задач, в которых фигурируют квадратные неравенства с параметрами, весьма разнообразны, для решения задач такого типа необходимо, прежде всего, свободно владеть геометрической интерпретацией квадратных неравенств.

При решении задач такого типа полезен следующий прием: сначала на координатной плоскости рисуем графики всевозможных трехчленов, удовлетворяющих условию задачи, и наблюдаем, как расположены их корни относительно концов рассматриваемого промежутка, а после этого записываем неравенства, соответствующие этому расположению. Можно сказать, что мы сначала переводим вопрос задачи с русского языка на геометрический, а затем с геометрического языка— на алгебраический.

Решение получается более кратким, если использовать свойства производной многочлена. Когда же и как вводить это понятие, мы обсуждали в книге [56].

Пример 6. При каких значениях а неравенство х2 + 2(а- 2)х - 8а + 25 < 0:

а) выполняется при всех значениях х из промежутка [-2, 3],

б) выполняется не при всех значениях х из промежутка [-2, 3],

в) не имеет решений в промежутке [-2, 3],

г) имеет хотя бы одно решение в промежутке [-2, 3],

д) имеет решения вне промежутка [-2, 3],

е) не имеет решений вне промежутка [-2, 3]?

Решение. Обозначим /(х) = х2 + 2(а- 2)х- 8а + 25, тогда /(х) = 2х + + 2а - 4. Так как D/4 = (а - 2)2 + 8а - 25 = а2 + 4а - 21, то корнями дискриминанта являются числа -7 и 3, и поэтому он положителен при а < -7 и при а > 3 и отрицателен при -7 < а < 3.

При D > 0 решения неравенства составляют интервал между его корнями X, и X . Для краткости мы введем для этого интервала обозначение: А = (х,, х2).

Кроме того, во всех задачах а) — е) нам почти наверняка, как нетрудно предвидеть, понадобятся значения трехчлена и его производной в точках -2 и 3, так что вычислим их заранее:

Д-2) = 37 - 12а,/(3) = 22 - 2а,/(-2) = 2а- 8,/(3) - 2а + 2.

Наконец, чтобы в каждой задаче отдельно не исследовать возможности совпадения корней трехчлена друг с другом и с концами промежутка [-2, 3], сразу рассмотрим соответствующие «особые» значения а = -7, 3, 37/12 и 11, т. е. те значения, при которых дискриминант обращается в 0 и концы промежутка являются корнями.

При а = -7 и при а = 3 трехчлен /является полным квадратом, так что неравенство/(х) < 0 не имеет решений, и эти значения являются поэтому решениями задач б), в) и е).

При а = 37/12 второй корень уравнения равен, по первому равенству теоремы Виета, 2(2 - 37/12) - (-2) = -1/3, и поэтому заданное неравенство выполняется при-2 < х <-1/3. Поскольку получившийся интервал содержится в промежутке [-2, 3], но, ясно, не совпадает с ним, то а = 37/12 является решением задач б), г) и е).

Аналогично, при а = 11 второй корень уравнения равен -9, и поэтому заданное неравенство выполняется при -21 < х < 3. Поскольку получившийся интервал содержит промежуток [-2, 3], но не совпадает с ним, то а = 11 является решением задач а), г) и д).

Для удобства результаты исследования «особых» значений сведем в таблицу:

Далее мы для большей краткости не будем рассматривать совпадение корней трехчлена ни друг с другом, ни с концами промежутка, однако это, конечно, следует делать при отдельном решении каждой задачи. Это позволит, в частности, вместо промежутка [-2, 3] рассматривать только его «внутреннюю часть» — интервал (-2, 3). Впрочем, с рассмотрения особых, граничных значений часто имеет смысл и начинать решение — точнее, продолжать его после вычисления опорных значений.

Решения всех задач приведем с подробным объяснением, и поэтому они смотрятся несколько громоздко.

Итак, мы решаем нашу задачу в слегка измененной формулировке — вместо промежутка [-2, 3] рассматриваем интервал В = (-2, 3). Напомним, что интервал между корнями трехчлена f мы уже ранее обозначили через А.

Решение. а) Условие этой задачи означает, что интервал В лежит целиком внутри интервала А, и с помощью простого «рисования» на числовой прямой (или мысленно) нетрудно выяснить, что эти два корня расположены указанным образом в том и только в том случае, когда выполняются неравенства: х, £ -2 < 3 <s х2, причем оба неравенства здесь нестрогие.

Такое расположение корней квадратного трехчлена равносильно выполнению системы неравенств /(-2) < 0, /(3) < 0, или 37 -12а < 0,22 - 2а < О, откуда а > 11.

Таким образом, решениями задачи являются значения а > 11.

б) Если и в этой задаче мы начнем рисовать взаимное расположение интервалов А и В, то решение получим очень нескоро: условие задачи означает, что эти интервалы имеют хотя бы одну общую точку, а это верно в четырех случаях — если один содержится в другом (два случая) и если они пересекаются частично (тоже два случая).

В таких случаях — при явном обилии возможных вариантов расположения — следует попытаться перейти к поиску тех значений параметра, при которых выполняется противоположное утверждение. То есть надо взять логическое отрицание: число а не удовлетворяет условию задачи, если заданное неравенство выполняется не при всех значениях X из промежутка [-2, 3].

Но это означает, что «противоположные» значения а — это в точности решения задачи а), и мы сразу же получаем ответ к данной задаче: а< 11.

в) При такой постановке задачи сразу же следует рассматривать различные возможности для дискриминанта: при отрицательном и нулевом дискриминанте неравенство вообще не имеет решений и, сле-

довательно, не имеет их в промежутке В. Поэтому значения -7 < а < 3 вместе с ранее найденными значениями -7 и 3 можно автоматически записать в ответ.

При D > 0 условие задачи означает, что интервалы А и В не имеют общих точек, т. е. один из них лежит целиком «левее» другого, но соседние концы их, возможно, совпадают. Другими словами, выполняется одно из неравенств

Оба корня меньше -2 при

Оба корня больше 3 при

О, но эта система неравенств решений не имеет, так как :

откуда получаем, что

Учитывая найденные выше значения -7 < а < 3, получаем ответ: а < 3.

г) Свойство, требуемое от квадратного трехчлена в этой задаче, является, очевидно, логическим отрицанием свойства из предыдущей задачи, и поэтому мы сразу можем записать ее ответ: а > 3.

Полезно в то же время попробовать начать ее «независимое» решение, чтобы выяснить, не является ли проведенное только что решение неэкономным: возможно, что задача г) решается более просто, и тогда следовало бы поступить наоборот — сначала решить ее, а затем «противоположные» значения параметра взять в качестве ответа к задаче б).

Дело, конечно, не в самих этих задачах, а в оценке, какая именно постановка вопроса в конкретной задаче требует меньшего труда при решении.

д) Условие задачи означает, что интервал А содержит точки, не принадлежащие интервалу В, а это верно, очевидно, в большом количестве случаев. Поэтому заменим условие его логическим отрицанием. Оно означает, что данное неравенство не имеет решений вне интервала В, т. е. либо вообще не имеет решений (при -7 < а < 3, где D(0)), либо все его решения лежат на промежутке (-2, 3), т. е. интервал А содержится в интервале В и может с ним совпадать. Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда -2 < х < х < 3, что равносильно системе неравенств

Второе и четвертое неравенства являются при этом нестрогими, поскольку совпадение корней с концами промежутка допускается, а знак производной при совпадении значения не имеет.

Решения этой системы находим по рисункам или устно: второе, третье и четвертое неравенства выполняются при а < 37/12, а первое и последнее дают еще одно ограничение: а > 3, так что решениями задачи в данном случае являются значения параметра 3< а < 37/12.

Учитывая ранее найденные решения -7 < а < 3, получаем «противоположные» значения параметра: -7 < а < 37/12, и, следовательно, решениями задачи являются значения параметра а < -7 и а > 37/12.

е) Решения этой задачи — это в точности «противоположные» значения параметра из предыдущей задачи -7 < а < 37/12.

Поскольку процесс обучения решению неравенств с параметрами является достаточно длительным и трудоемким, стратегия этого обучения должна быть поэтапной. В общих чертах четыре этапа формирования обобщенных приемов были охарактеризованы в первой главе книги. В основу построения методического обеспечения этих четырех этапов должна быть положена стратегия обучения на социокультурном опыте, предполагающая усвоение знаний учащимися в процессе выполнения целенаправленной деятельности на конкретном задачном материале.

При отборе и организации задач в последнее время все чаще применяется так называемый циклический подход. В наиболее общем виде циклы задач имеют следующую структуру. Прежде всего, выделяется целевая (базисная) задача, которая предваряется задачами-компонентами. Назначение последних состоит в актуализации «старых» и сообщении «новых» знаний, ориентированных на решение целевой задачи и входящих, по существу, в ее решение как составные части. Наконец, указываются задачи, развивающие целевую задачу. Данный подход имеет широкие возможности для личностной ориентации обучения, т. к. позволяет определять необходимое количество задач и их сложность для каждого ученика индивидуально.

При обучении решению уравнений и неравенств с параметром необходимо обеспечить постепенное прохождение основных этапов процесса формирования обобщенных приемов их решения, а потому целесообразно подбирать циклы задач в соответствии с выделенными ранее этапами процесса их формирования.

На первом этапе, подготовительном, рассматриваются вспомогательные задачи, обеспечивающие актуализацию знаний, необходимых для решения неравенств с параметрами данного типа, а также формирование мотивации изучения обобщенных приемов их решения. Область актуализации приема определяется: заданиями на нахождение допустимых значений переменных в выражениях, содержащих дроби и квадратные корни; упражнениями на выполнение равносильных преобразований неравенств, на выражение одной переменной через другие из заданной формулы; неравенствами с одной переменной, охватывающими все возможные случаи. В связи с этим в блок

вспомогательных задач должны быть включены задания, охватывающие область актуализации приема.

Ниже приводятся примеры блоков вспомогательных задач для циклов различных видов неравенств с параметрами.

Следует заметить, что решение всех задач этого блока каждым учащимся класса необязательно; выбор задач зависит от уровня знаний конкретных школьников.

На втором этапе, ознакомительном, рассматриваются базисные задачи, предназначенные для выделения состава (образования) обобщенного приема. Область образования приема определяется спецификой содержания самих обобщенных приемов решения неравенств с параметрами. Поэтому задания этого блока должны принадлежать одному виду неравенств (линейных, квадратных, дробно-рациональных и т. д.) и различаться ОДЗП, количеством рассматриваемых промежутков значений параметра, зависимостью коэффициентов от значений параметра.

На третьем этапе, этапе усвоения, рассматриваются тренировочные задачи, предполагающие применение обобщенного приема к решению частных задач стандартного вида и обеспечивающие его усвоение. Включенные в этот блок задачи должны удовлетворять основным условиям усвоения приема: частные приемы их решения включают все действия из состава обобщенного приема, задания не дублируют друг друга, т. е. приемы их решения допускают варьирование.

Количество задач этого и других блоков зависит от уровня математической подготовки учащихся. Результатом решения задач блока должно стать усвоение состава обобщенного приема.

На четвертом этапе, этапе переноса, рассматриваются развивающие задачи, обеспечивающие перенос обобщенного приема, преобразование его состава при решении нестандартных неравенств с параметрами. При переносе обобщенного приема на решение нестандартных задач с параметрами может происходить уменьшение числа действий; увеличение числа действий (неравенство содержит модуль, несколько параметров); качественные изменения состава действий, связанные с применением обобщенных приемов к решению заданий, которые проще решаются другим методом (например: методом интервалов, с помощью теоремы Виета). В этот блок должны быть включены задачи, охватывающие все возможные направления преобразования приема.

Рассмотрим примеры циклов разных типов неравенств с параметром.

ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ

Вспомогательные задачи

1. При каких значениях переменных а и b неравенства не определены:

2. Решите неравенства:

Базисные задачи

Тренировочные задачи

4. Решите неравенства с параметром а:

Развивающие задачи

5. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство

не имеет решений.

6. Решите неравенство

с параметрами а и Ь.

7. При каких значениях параметра а пересечение множеств решений неравенств

непусто?

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ

Вспомогательные задачи

1. При каких значениях переменных а и b неравенства не определены:

2. Решите неравенства:

Базисные задачи

3. Решите неравенства с параметром а:

Область допустимых значений параметра первого и второго неравенств совпадает с множеством всех действительных чисел. При решении третьего неравенства необходимо выполнить действия по отысканию области допустимых значений параметра, т. к. выражение в левой части неравенства содержит дроби, знаменатель каждой из которых при некоторых значениях параметра может обращаться в нуль.

Тренировочные задачи

4. Решите неравенства относительно л::

Развивающие задачи

5. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство ах2 + (а - 1)х + а - 3 < 0 верно при любом значении х.

6. Найдите все значения а, при которых (х - а)(х - а - 2) > 0 неравенство (х - За)(х - а - 3) < 0 выполняется при всех значениях х, таких, что 1 ^ х ^ 3.

7. При каких значениях параметра а множеством решений неравенства X2 + ах - 1 < 0 будет интервал длины 5?

8. При каких а неравенство является следствием неравенства

ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ

Вспомогательные задачи

1. При каких значениях переменных а и b неравенства не определены:

2. Решите неравенства:

Базисные задачи

3. Решите неравенства с параметром :

Тренировочные задачи

4. Решите неравенства:

Развивающие задачи

5. Найдите все значения параметра к, при которых неравенство

верно при любом значении х.

6. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство

имеет решением интервал

7. Решите неравенство

относительно jc.

Циклы задач с параметрами не являются неизменными. Они могут варьироваться как при работе в условиях различных форм математической подготовки, так и в рамках какой-либо одной формы. Охарактеризованный выше подход к созданию вариативных циклов неравенств с параметрами предполагает учет изменений в целях учебной деятельности по решению задач с параметрами, доминирующих функциях

самих задач и способствует изменению степени самостоятельности школьников при постепенном овладении ими социокультурным опытом решения таких задач.

Таким образом, при обучении решению задач с параметрами, так же как и при изучении других разделов, необходимо согласованно использовать все три стратегии активного обучения: стратегию отбора, стратегию длительного поэтапного обучения и стратегию обучения на социокультурном опыте.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Алгебра для 8 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Под ред. Н. Я. Виленкина. — М. : Просвещение, 1995. — 256 с.

2. Алгебра для 9 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Под ред. Н. Я. Виленкина. — М. : Просвещение, 1996. — 384 с.

3. Архангельский С. И. Некоторые проблемы обучения в высшей школе. — М.: Знание, 1978. — 61 с.

4. Арюткина С. В. Формирование обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметрами у учащихся 8—9 классов. Автореферат дисс. ... кан-та пед. наук. — Саранск, 2002. — 18 с.

5. Биркгофф Г. Математика и психология. — М.: Советское радио, 1977.— 96 с.

6. Болтянский В. Г., Глейзер Г. Д., Черкасов Р. С. К вопросу о перестройке общего математического образования // Повышение эффективности обучения математике в школе: Книга для учителя / Сост. Г. Д. Глейзер. — М.: Просвещение, 1989. — С. 231—238.

7. Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе. — М.: Учпедгиз, 1954. — 504 с.

8. Брунер Дж. Процесс обучения. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962.— 84 с.

9. Вейль Г. О философии математики: Сборник работ. — М.; Л.: Гостехиздат, 1934. — 128 с.

10. Виленкин Н. Я. О некоторых аспектах преподавания математики в младших классах // Математика в школе. — 1965. — № 1. — С. 19—29.

11. Виленкин Н. Я. О понятии величины // Математика в школе. — 1973. —№4.

12. Виленкин Н. Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты // Математика в школе. — 1988. —№ 4. — С. 7—14.

13. Виленкин Н. Я., Шварцбурд С. И., Мордкович А. Г. Метод математической индукции // Дополнительные главы по курсу математики 9 класса для факультативных занятий: Пособие для учащихся: Сборник статей / Сост. П. В. Стратилатов. — М., 1970. —С. 51—83.

14. Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы)/ Под ред. Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова. — М.: Просвещение, 1966. —442 с.

15.Гнеденко Б. В. Математика и математическое образование в современном мире. — М.: Просвещение, 1985. — 191 с.

16. Горбачев В. И. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами. — Брянск: Изд-во БГПУ, 1999. — 116 с.

17. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. И. Задачи с параметрами. — Харьков: Гимназия, 1998. — 326 с.

18. Гусев В. А., Иванов А. И., Шебалин О. Д. Изучение величин на уроках математики и физики в школе. — М.: Просвещение, 1981. — 79 с.

19. Давыдов В. В., Горбов С. Ф., Микулина Г. Г., Савельева О. В. Математика. 1 класс. — М.: Мирос, 1995. — 223 с.

20. Давыдов В. В., Горбов С. Ф., Микулина Г. Г., Савельева О. В. Обучение математике. 1 класс. — М.: Мирос, 1994.

21. Дорофеев Г. В. Применение квадратного трехчлена к решению задач. — М.: Пифагор, 1994. — 79 с.

22. Каган В. Ф. Очерки по геометрии. — М.: Изд. МГУ, 1963. — 571 с.

23. Кипнис И. М. Сборник прикладных задач на неравенства. — М.: Учпедгиз, 1961.— 102 с.

24. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — Т. 1. — М.: Наука, 1987. — 432 с.

25. Колмогоров А. Н. К обсуждению работы по проблеме «Перспективы развития советской школы на ближайшие тридцать лет» // Математика в школе. — 1990. — № 5. — С. 59—61.

26. Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия. — М.: Наука, 1988.— 280 с.

27. Колмогоров А. Н. Обобщение понятия числа. Неотрицательные рациональные числа // Математика в школе. — 1970. — № 2. — С. 27—32.

28. Колмогоров А. Н. О скалярных величинах // Математика в школе. — 1986. — № 3. — С. 32—33.

29. Колмогоров А. Н. О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики // Математика в школе. — 1971. — № 2.

30. Колмогоров А. Н. Предисловие // Лебег А. Об измерении величин. — М.: Госучпедизд, 1938.

31. Колмогоров А. Н. Современная математика и математика в современной школе // Математика в школе. — 1971. — № 6. — С. 2—3.

32. Колмогоров А. Н., Яглом И. М. О содержании школьного курса математики // Математика в школе. — 1965. — № 4. — С. 53—62.

33. Крылов А. Н. Прикладная математика и ее значение для техники. — М.; Л., 1931.

34. Кузьмин И. А. Социокультурный системный подход к истокам в образовании // Перекрестки эпох. Т. 1. — М. : Технологическая школа бизнеса, 1997. —С. 50—71.

35. Куписевич Ч. Основы общей дидактики. — М.: Педагогика, 1986.— 368 с.

36. Лебег А. Об измерении величин. — М.: Госучпедизд, 1938. — 208 с.

37. Маркушевич А. И. О школьной математике// Математика в школе. — 1979. —№ 4. — С. 11—16.

38. Минская Г. И. Формирование понятия числа на основе изучения отношений величин // Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы) / Под ред. Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова. — М.: Просвещение, 1966.— С. 190—235.

39. Мордкович А. Г. Курс алгебры в общеобразовательной школе // Математика. — 1997. — № 44.

40. Мордкович А. Г. Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе. — 1996. —№ 6. — С. 28—33.

41. Никольский С.М. Алгебра в школе // Математика (еженедельное приложение к газете «Первое сентября»). — 1996. — № 36.

42. Оконь В. Введение в общую дидактику. — М.: Высшая школа, 1990.— 382 с.

43. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. — М.: Международная педагогическая академия, 1994. — 680 с.

44. Пичурин Л. Ф. Методика преподавания математики в 4—5 классах. Учебное пособие для студентов-заочников. —М.: Просвещение, 1981. —56 с.

45. Родионов М. А. Мотивация учения математике и пути ее формирования. — Саранск, 2001. — 252 с.

46. Розов Н. Х. Вечные вопросы о школьном курсе математики. Чему учить? Как преподавать? //Математика в школе. — 2000. — № 6. — С. 34—36.

47. Рубанов И. С. Как обучать методу математической индукции // Математика в школе. — 1995. —№6. —С. 29—34; 1996.— №1. — С. 14—20.

48. Саранцев Г. И. Методология методики обучения математике. — Саранск: Тип. «Крас. Окт.», 2001. — 144 с.

49. Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах. —М.: Наука, 1967. —303 с.

50. Скаткин М. Н. Принципы обучения // Дидактика средней школы / Под ред. М. Н. С катки на. — М.: Просвещение, 1982. — С. 48—89.

51. Соминский И. С. Метод математической индукции. — М.: Наука, 1965. — 56 с.

52. Стойлова Л. П. Математическая подготовка учителя начальных классов в вузе // Математика в вузе и школе: обучение и развитие. Тезисы 16 Всероссийского семинара преподавателей математики и методики ее преподавания. — Новгород, 1997. — С. 23—24.

53. Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск: Вышейшая школа, 1969.— 368 с.

54. Тестов В. А. Порядковые структуры в алгебре и теории чисел. — М.: МПГУ, 1997. — 110 с.

55. Тестов В. А. Теория делимости и ее приложения к школьному курсу математики. — М.: МПГУ, 1997. — 92 с.

56. Тестов В. А. Стратегия обучения математике. Монография. — М.: Технологическая школа бизнеса, 1999. — 303 с.

57. Фоминых Ю. Ф. Диофантовы уравнения // Математика в школе. — 1996. — №6. — с. 55—60.

58. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. — М.: Просвещение, ч. 1, 1982. — 208 с; ч. 2, 1983. — 192 с.

59. Хинчин А. Я. Основные понятия математики в средней школе // Вопросы преподавания математики в средней школе: Сборник статей. — М.: Учпедгиз, 1961. —С. 54—87.

60. Hiele Van Р.-Н. La pense de 1 enfant et la gometrie. Bulletin de L АРМ, 1959, 198.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение................................................................................................................3

Глава 1. Основы стратегии активного обучения математике........................5

§ 1. Стратегия отбора............................................................................................5

§ 2. Стратегия длительного поэтапного обучения.......................................... 10

§ 3. Стратегия обучения на социокультурном опыте.................................... 17

Глава 2. Числа и величины................................................................................22

§ 1. Отношения порядка.....................................................................................22

§ 2. Конечные упорядоченные множества........................................................25

§ 3. Формирование понятия о скалярной величине........................................29

3.1. Величины и измерения..........................................................................29

3.2. Первоначальное понятие о величине..................................................33

3.3. Дальнейшие этапы формирования понятия о скалярных величинах.....35

§ 4. Формирование представлений о структуре натурального ряда..........37

4.1. Порядковый и количественный аспекты натурального числа........38

4.2. Первоначальные этапы формирования понятия о натуральных числах..............................................................................................................42

4.3. Система натуральных чисел как упорядоченное множество..........45

4.4. Различные формы математической индукции....................................47

§ 5. Формирование понятий о других числовых системах.............................51

5.1. Целые и рациональные числа...............................................................52

5.2. Действительные числа...........................................................................56

5.3. Комплексные числа и кватернионы.....................................................61

Глава 3. Основы теории делимости в школе..................................................65

§ 1. Делимость целых чисел. Теорема о делении с остатком.........................65

§ 2. Применение к задачам на делимость различных форм математической индукции...................................................................................72

§ 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.................73

§ 4. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики................80

§ 5. Простейшие неопределенные уравнения..................................................83

Глава 4. Основы теории неравенств................................................................86

§ 1. О проблемах при изучении неравенств.....................................................86

§ 2. Первоначальные этапы в изучении неравенств.......................................88

§ 3. Неравенства с переменной..........................................................................92

§ 4. Доказательство неравенств.......................................................................101

§ 5. Неравенства с параметрами......................................................................106

Библиография.................................................................................................. 126

Владимир Афанасьевич Тестов

ВЕЛИЧИНЫ, ЧИСЛА, НЕРАВЕНСТВА: СТРАТЕГИЯ ОБУЧЕНИЯ

Технический редактор В. А. Смирнова

Корректор Е. И. Вадурина Компьютерная верстка Н. Н. Быковой

Подписано в печать 22.11.2004. Формат 60 х 84/|6. Печать офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 7,7. Тираж 200 экз. Заказ 973

Издательский центр Вологодского института развития образования 160012, Вологда, ул. Козленская, д. 99-а