В. А. Тестов

СТРАТЕГИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

СЕКЦИЯ СОЦИОКУЛЬТУРНЫХ И ЦИВИЛИЗАЦИОННЫХ ПРОБЛЕМ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ ШКОЛА БИЗНЕСА

МЕЖДУНАРОДНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК О ПРИРОДЕ И ОБЩЕСТВЕ

СОЦИОКУЛЬТУРНЫЕ ИСТОКИ

В.А. ТЕСТОВ

СТРАТЕГИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

МОСКВА

«ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ ШКОЛА БИЗНЕСА» 1999

ББК 84(0)6

Библиотека Технологической Школы Бизнеса

Серия «Социокультурные истоки»

Тестов В.А.

Т87 Стратегия обучения математике. М.: Технологическая Школа Бизнеса, 1999.-304 с.

ISBN 5-86073-076-4 ББК 84(0)6

Печатается по решению Секции социокультурных и цивилизационных проблем РАЕН

В книге рассматриваются проблемы, касающиеся стратегии обучения математике в средней школе и в педвузе в свете социокультурного системного подхода, в соответствии с которым истоками предмета «математика» являются математические структуры. Показана роль различных видов математических структур во взаимосогласованных стратегиях обучения: стратегии отбора, стратегии поэтапного длительного обучения и стратегии обучения на социокультурном опыте, а также в развитии математических способностей и их диагностике.

Книга написана на основе многолетнего педагогического опыта автора. Книга может быть полезна учителям математики, преподавателям и студентам педвузов.

© Тестов В.А., 1999 © Технологическая Школа Бизнеса, 1999

ISBN 5-86073-076-4

Введение

В современных условиях в результате стремительного роста информации, вызванного научно-техническим прогрессом, возрастает значение и сложность проблемы содержания математического образования. Становится актуальной проблема поиска новой парадигмы образования, сущность которой во многом определяют фундаментальность, целостность, укрепление связей с культурой, направленность на развитие личности и удовлетворение ее интересов. При отборе и построении содержания обучения математике речь, следовательно, должна идти об акцентировании внимания на освоении самых существенных, фундаментальных, устойчивых и долгоживущих знаний, лежащих в основе целостного восприятия математики как науки и способствующих в максимальной степени развитию познавательных способностей личности.

Решению всех этих проблем в значительной степени может способствовать целостный социокультурный

системный подход к истокам в образовании, разработанный И.А. Кузьминым. Этот подход, не имеющий аналога в мировом опыте образования, активно внедряется в практику преподавания ряда предметов.

Основными элементами социокультурного системного подхода являются три взаимосогласованные стратегии обучения:

■ стратегия отбора;

■ стратегия поэтапного длительного обучения;

■ стратегия обучения на социокультурном опыте.

Особое место в социокультурном системном подходе играют социокультурные технологии, которые переплетаясь с другими педагогическими технологиями, взаимообогащаясь, становятся технологиями эффективного обучения. Эти технологии обеспечивают в учебном процессе целостное развитие восприятия, мышления, чувствования, мотивации к самосовершенствованию и других высших психических функций индивидуума.

В отличие от появившегося в последнее время большого числа авторских программ, форм и методов обучения при социокультурном системном подходе не возникает опасения утраты на отдельных ступенях обучения необходимой преемственности и содержательности, поскольку он предполагает выполнение целого ряда единых дидактических требований, среди которых одно из первых мест занимает обеспечение оптимального отбора содержания образования, построения и согласования учебных программ всех уровней.

Особенно актуальным является использование социокультурного системного подхода в преподавании математики. Современное состояние математической

подготовки учащихся вызывает серьезные опасения. Наблюдается формализм математических знаний выпускников средних школ, их недостаточная действенность; недостаточный уровень математической культуры и математического мышления. Во многих случаях изучаемый конкретный материал не складывается в систему знаний; учащийся оказывается "погребен" под массой обрушивающейся на него информации, будучи не в состоянии самостоятельно ее структурировать и осмыслить.

В результате значительная часть такой информации быстро забывается, и математический багаж значительной части выпускников средних школ, состоит из большего или меньшего числа слабо связанных между собой догматически усвоенных сведений и лучше или хуже закрепленных навыков выполнения некоторых стандартных операций и типовых заданий. Представление о математике как о единой науке со своим предметом и методом у них отсутствует. Чрезмерное увлечение чисто информационной стороной обучения приводит к тому, что многими учащимися не воспринимается богатое содержание математических знаний, заложенных в программе.

Преодолеть разобщенность различных математических дисциплин, изолированность отдельных тем и разделов, обеспечить целостность и единство в обучении математике возможно лишь на основе выделения в ней истоков, основных стержней. Такими стержнями в математике, как отмечали А.Н. Колмогоров и другие крупнейшие ученые, являются математические структуры, которые подразделяются, согласно Н. Бурбаки, на алгебраические, порядковые и

топологические. Идея математических структур, оказавшаяся весьма плодотворной, послужила одним из побудительных мотивов к радикальной реформе математического образования в 60-70-ых годах.

Однако эта реформа математического образования наряду с несомненными успехами имела и существенные недостатки. К причинам таких недостатков можно отнести и односторонность, ограниченность понимания математической структуры Н. Бурбаки. Это заставляет приходить к более широкому пониманию этого понятия. В решении проблемы определения математической структуры, в выяснении того, насколько представление Н. Бурбаки о математических структурах соответствует современному их пониманию, необходимо опираться на общенаучное понимание структуры, выработанное в рамках общей теории систем. Системный социокультурный подход, лежащий в основе этой книги, позволяет по-новому осмыслить многие важные категории методики, вскрыть ряд закономерностей в формировании понятий, обучении решению задач и т.д.

В книге критически переосмысливаются идеи о структурах математического мышления и их соответствии математическим структурам на основе одного из центральных в современной психологии понятии - понятии когнитивных структур, выясняется, какие внутренние психологические структуры соответствуют реальным математическим структурам, какова их роль в обучении, в развитии математических способностей и по каким принципам они должны формироваться.

В соответствии с социокультурным подходом процесс обучения математике в книге рассматривается как многоуровневая система с обязательной опорой на нижележа-

щие, более конкретные уровни, ступени научного познания. Без такой опоры обучение может стать формальным, дающим знание без понимания. Поэтапность процесса формирования основных математических понятий является необходимым условием реализации принципа доступности обучения.

Социокультурный подход позволяет математическое образование школьников и студентов, его содержание рассматривать как единую систему, как комплексную проблему, затрагивающую методологические, психологические, внутрипредметные и другие аспекты. Это открывает новые возможности взаимодействия вузов со школами, способствует совершенствованию и развитию системы непрерывного образования, позволяет учитывать изменения, происходящие в системе школьного образования, его усиливающуюся дифференциацию.

Социокультурный подход способствует и решению вопросов улучшения математической подготовки будущих учителей математики, вопросов содержания обучения математике в педвузах.

Книга написана на основе многолетнего опыта автора в преподавании математики в Вологодском педуниверситете и в нескольких школах г. Вологды. Различные аспекты и результаты исследований, освещенные в книге неоднократно докладывались автором и обсуждались на двух десятках научных конференциях и семинарах разного уровня. Выдвинутые в работе положения, методические рекомендации по содержанию преподавания математики и построению математических курсов внедрены в учебный процесс более двух десятков школ и других учебных заведений Вологодской области.

Глава 1. Математические структуры - основа стратегии отбора содержания обучения математике

Каждая учебная дисциплина имеет свои истоки, свою основу отбора и построения содержания, вытекающие из предмета соответствующей научной дисциплины. Как отмечается многими крупными учеными (Н. Бурбаки, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев и др.), математика -это наука о специальных структурах, называемых математическими. Некоторые из математических структур могут являться непосредственными моделями реальных явлений, другие - связаны с реальными явлениями лишь посредством длинной цепи понятий и логических структур. Математические структуры второго типа являются продуктом внутреннего развития математики. Из такого взгляда на предмет математики вытекает, что в любом математическом курсе должны изучаться математические структуры (Л.Д. Кудрявцев [74, с.70]).

С другой стороны, в процессе изучения математики и реальных явлений в мозгу человека, его мышлении и памяти складываются внутренние структуры. Внутренние психологические структуры, образующиеся при изучении математики, впервые были выделены крупнейшим швейцарским психологом Жаном Пиаже в одной из его последних работ, посвященной теории обучения [111]. В этой работе Ж. Пиаже выдвинул принципиально новый подход к обучению математике, явившийся своего рода синтезом результатов исследований по психологии умственного развития и достижений современной математики, нашедших отражение в трудах Н. Бурбаки и

других математиков. Возможность этого синтеза обусловлена тем, что и в психологии и в математике одним из центральных становится понятие структуры.

Ж. Пиаже писал, что основой общего здания математики долгое время считались некоторые простые объекты, рассматриваемые более или менее изолированно друг от друга: целое число, точка, линия. Соответственно этому строилось и обучение математике. Однако в XX столетии было осознано, что различные разделы математики тесно взаимосвязаны между собой, являются как бы звеньями единого организма. Выявление этих связей (гносеологических, функциональных, методических и др.) между отдельными понятиями, выделение внутренних структур, базирующихся на таких связях, есть применение системно-структурного подхода к определению содержания обучения.

1.1. Понятие структуры и системный подход в современной науке

Понятие структуры является одним из центральных в современных системных исследованиях. Системные исследования, системный подход являются одной из характерных особенностей развития современной науки. Системный подход явился одним из тех методологических направлений современной науки, становление которых было связано с преодолением кризиса, охватившего научное познание на рубеже 19-20 вв, своего рода реакцией на бурный и длительный процесс дифференциации в науке. В той или иной степени многие системные принципы нашли отражение в работах таких выдающихся ученых 20 в., как В.И.

Вернадского, H. Винера, У. Росс Эшби, О. Ланге, А.А. Богданова и др.

Системный подход первоначально возник в биологии, где сравнительно давно была осознана недостаточность чисто эволюционного подхода для объяснения ряда феноменов. В дополнение к идее развития в качестве одной из ведущих была выдвинута идея системности, организованности. Эта идея оказалась весьма плодотворной и привела к формулированию ряда важных принципов во многих науках.

Под системой в современной науке понимается совокупность взаимосвязанных элементов, объединенных общим функционированием, общностью цели и единством управления, выступающие во взаимодействии со средой как целостное единство. Поведение систем подчиняется принципам целостности и структурности.

Принцип целостности предполагает, во-первых, что по отношению к внешней среде система взаимодействует как единое целое, во-вторых, каждый из элементов внутри системы считается неделимым. Изменение любого элемента оказывает воздействие на все другие элементы системы и ведет к изменению всей системы, и наоборот, изменение любого элемента зависит от всех других элементов системы.

Принцип структурности предполагает, что элементы системы находятся в некоторых отношениях и образуют между собой устойчивые связи. Совокупность этих устойчивых связей, обеспечивающих целостность объекта (системы), называется структурой. В науке нет единой точки зрения на соотношение между понятиями системы и структуры. Однако в большинстве случаев понятие системы характеризует все множество

проявлений некоторого сложного объекта (его элементы, строение, связи, функции и т.д.), а понятие структуры выражает лишь то, что остается устойчивым, относительно неизменным при различных преобразованиях системы, т.е. структура - это внутреннее устройство системы, характеризуемое наличием устойчивых связей между элементами системы, обеспечивающие ее неизменность в процессе функционирования.

Структуры, так же как и системы, имеют сложное иерархически упорядоченное строение, что позволяет говорить об уровнях структуры. Такая иерархичность строения является их специфическим признаком. Следствием иерархичности строения является возможность последовательного включения структур (систем) более низкого уровня в структуры (системы) более высокого уровня.

Все основные положения общей теории систем следует учитывать при исследовании таких сложных системных объектов, каковыми являются знания человека и процесс обучения. Но психика человека достаточно специфический объект. Психические системы возникают на основе физиологических систем и тесно с ними взаимодействуют. Другая основная особенность психических систем состоит в том, что они являются системами организованными и определяющим для них является понятие информации. Человек, его психика может рассматриваться как сложная информационная система.

К современным системным исследованиям близки по ряду методологических позиций концепции Л.С. Выготского и Ж. Пиаже. В дальнейшем мы неоднократно будем опираться на результаты исследований этих круп-

нейших ученых. Однако концепции Л.С. Выготского и Ж. Пиаже используют лишь некоторые из принципов системного подхода.

В настоящее время идеи системного подхода находят свое отражение во многих психологических исследованиях, посвященных анализу психической деятельности человека, в частности, связанных с познавательными процессами. Системный подход позволяет интегрировать и систематизировать накопленные знания, преодолевать их излишнюю избыточность, находить инварианты психологических описаний, избегать недостатков локального подхода.

Большой вклад в развитие структурно-системных исследований в педагогической психологии внесли работы М.А. Холодной и Н.И. Чуприковой. В этих работах содержится анализ с системных позиций и с позиций последних достижений когнитивной психологии всех основных теорий интеллекта и умственного развития.

В области педагогических наук в настоящий момент также имеется целый ряд весьма глубоких системных исследований. Одними из первых системный подход к изучению педагогических явлений применили Ф.Ф. Королев и Т.П. Ильина. С изучением возможностей и перспектив системного подхода в педагогических исследованиях связан ряд исследований и других авторов.

Новым шагом в развитии системных исследований явился системный социокультурный подход к истокам в образовании, разработанный И.А. Кузьминым [75]. Этот подход, не имеющий аналога в мировом опыте образования, базируется на представлении о том, что существует некая духовная среда, связывающая в единое

целое человека, окружающую среду и общество, устраняющая противоречия между ними и противоречия внутри Человека. Эта духовная среда, взаимодействуя с интеллектом, со сферой Разума, формирует социокультурные истоки, которые вырастают в социокультурные стержни. Приращение социокультурного стержня происходит через реализацию человеком (группой, обществом) идеи самоутверждения. Таким образом, социокультурный подход рассматривает систему, включающую не только познавательную деятельность человека, но и его эмоциональную и духовную сферу, а также окружающую среду и общество.

Можно сказать, что системный подход в определенном смысле характеризует дух современных психолого-педагогических исследований обучения, все более проникая и в теории и методики обучения отдельным предметам, в частности, математике. Пожалуй, впервые в отечественной методико-математической науке системно-структурный подход был применен Е.И. Лященко при определении содержания предмета математики в 4-5 классах. Весьма плодотворным системный подход оказался в исследованиях проблем преподавания математики как в школе, так и в вузе. Как отмечает Г.И. Саранцев, "системный анализ позволил по-новому осмыслить многие важные категории методики, вскрыть ряд закономерностей в формировании понятий, обучении решению задач и т.д." [124, с. 6]. Новые горизонты перед методикой преподавания математики открывает использование в обучении социокультурного системного подхода.

1.2. Математические структуры в понимании Н. Бурбаки

В математике идеи структурно-системного анализа оказались связаны прежде всего с развитием теории множеств, абстрактной алгебры, топологии, математической логики. Значительный вклад в систематизацию здания современной математики на базе основных математических структур внесла работа группы французских математиков (А. Вейль, Ж. Дьедонне, Л. Шварц, К. Шевалье, А. Картан, С. Эйленберг и др.) выступавших под псевдонимом Н. Бурбаки. Однако концепция математических структур сложилась еще на рубеже XIX и XX веков. Широкие круги математиков познакомились с ней по "Основаниям геометрии" Д. Гильберта, первое издание которых вышло в 1899 г.

Группа Н. Бурбаки поставила своей целью провести систематизацию всей математики так, что различные до тех пор разделы математики стали бы звеньями единого организма. В основу этой систематизации они положили аксиоматический метод, теорию множеств и понятие математической структуры. В своей знаменитой статье "Архитектура математики" Н. Бурбаки следующим образом объясняют, что надо понимать в общем случае под математической структурой. "Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым понятием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых не определена. Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы; затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют

некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры)" .

Таким образом, математическая структура Н. Бурбаки - это система S = <М; r19r29...9rk>, состоящая из определенного основного множества M и заданных на этом множестве отношений r1,r2,...,r/c, свойства которых описываются аксиомами. То есть аксиомы должны быть обязательно включены в полное описание структуры.

Математика, с этой точки зрения, интересуется только теми свойствами структур, которые вытекают из принятой системы аксиом, т.е. изучает структуры только с точностью до изоморфизма. Изоморфные структуры могут отличаться элементами, отношениями, но они неразличимы с точки зрения свойств этих отношений. Использование понятия изоморфизма структур приводит в математических исследованиях к значительной экономии мысли.

В своей аксиоматической основе математика представляется скоплением математических структур. Эти структуры, согласно Н. Бурбаки, подразделяются на три основных типа: алгебраические, порядковые и топологические. Но число три не является абсолютным, некоторые последователи Н. Бурбаки считают необходимым добавить в этот список проективные и метрические структуры.

Алгебраические структуры Н. Бурбаки охарактеризовал следующим образом. "Когда отношения в определении структуры являются "законами композиции" (это такое отношение между тремя элементами, которое однозначно определяет третий элемент как функцию пер-

вых двух), соответствующая структура называется алгебраической структурой...". С современных позиций отношения (операции) в алгебраических структурах могут быть не только тернарными (бинарными), а иметь любую арность.

Представления о различных алгебраических структурах сложились в процессе исторического развития. Вначале люди научились совершать операции сложения и вычитания с наборами конкретных обыденных вещей, затем над числами (натуральными, рациональными, действительными). Позднее алгебраические операции стали производиться над более отвлеченными объектами (векторами, преобразованиями и т.д.) При этом были выявлены общие свойства таких операций, что привело к возникновению абстрактных алгебраических структур (групп, колец, полей, векторных пространств и т.д.).

Другой важный тип представляют собой структуры, определенные отношением порядка; на этот раз это -отношение между двумя элементами х и у, которое чаще всего мы выражаем словами "х меньше или равно у". Если говорить об истории порядковых структур, то еще в древности люди постоянно встречались с различными частными случаями упорядоченности. Сначала это было упорядочение привычных вещей и повседневных явлений. Позднее - по мере того, как совершенствовались трудовые навыки и мастерство обнаруживалось упорядочение отдельных этапов в той или иной деятельности, и оно как приобретенный опыт передавалось из поколения в поколение. Люди постоянно упорядочивают предметы и явления по тому или иному

признаку. При этом предполагается заданным некоторое множество предметов, между которыми установлено отношение "больше", "меньше", "предшествования", "старшинства" и т.п. Изучение общих свойств различных упорядоченных множеств и привело к возникновению абстрактных порядковых структур (цепей, вполне упорядоченных множеств, решеток, булевых алгебр и т.д.)

Говоря о третьем важном типе структур - топологических структурах (или топологиях), Н. Бурбаки отмечает, что "в них находят абстрактную математическую формулировку интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности, к которым нас приводит наше представление о пространстве." Понятия об этих структурах также возникли в процессе исторического развития. Эти структуры обеспечивает замкнутость, компактность, связанность пространственных образов, непрерывность их трансформаций, мысленное "выращивание", "вылепление" в представлении рассматриваемого объекта.

Если взглянуть на здание математики в целом, то в нем вместо традиционного разграничения на разделы (на алгебру, анализ, теорию чисел и геометрию) упорядочивающим принципом будет концепция иерархии структур, идущей от простого к сложному, от общего к частному. В центре находятся основные упомянутые выше типы структур, так сказать, порождающие структуры. В каждом из этих типов имеется уже достаточное разнообразие подструктур. За пределами этого первоначального ядра появляются структуры, которые можно было бы назвать сложными и в которые входят одновременно одна или несколько порождающих структур, но не просто совмещенные друг с другом (что

не дало бы ничего нового), а органически скомбинированные при помощи одной или нескольких связывающих их аксиом. Примерами таких структур являются топологическая алгебра и упорядоченные алгебраические системы.

Наконец, далее начинаются собственно частные теории, в которых элементы рассматриваемых множеств получают более определенную индивидуальность. Именно таким образом получают теории классической математики. "Но они теряют свою былую автономность и являются теперь перекрестками, на которых сталкиваются и взаимодействуют многочисленные математические структуры, имеющие более общий характер". Именно на таких перекрестках, когда встречаются несколько весьма различных структур возникают великие идеи в математике.

Несмотря на огромную проделанную работу, Н. Бурбаки в своем трактате не удалось охватить всю математику. Одной из главных причин упадка Н. Бурбаки являлся односторонний, однобокий подход к математике.

Определение математической структуры, данное Н. Бурбаки, исходит только из аксиоматико-дедуктивного характера математики. Абстрактные структуры Н. Бурбаки можно сравнить, как отмечает Г.И. Рузавин, с готовыми формами, которые можно использовать при исследовании явлений и процессов самого разнородного содержания [123, с. 161]. Но математика поставляет не только формы, не только язык, но и средства познания действительности. Эта другая сторона математики, ее конструктивный характер у Н. Бурбаки отошли на задний план. Но, как отметили Р. Курант и Г. Роббинс в своей известной книге "Что такое математика?", чрезмерное

подчеркивание аксиоматико-дедуктивного характера математики представляется весьма опасным. Движущая сила математики - это интуиция и конструкция.

Более того, ряд авторов полагает, что для современной математики характерно несоответствие между нею и ее дедуктивно-аксиоматическим образом, что вызывается прежде всего влиянием прикладной математики на так называемую "чистую" математику. Дело в том, что прикладная математика имеет совсем иные логические каноны, не укладывающиеся в рамки дедуктивных рассуждений. Дедуктивные построения не успевают за ритмом современной жизни, в процессе приближения к истине они, как правило, имеют низкий КПД.

Совершенно отличный от понимания Н. Бурбаки образ математики, живой и развивающейся, был предложен И. Лакатосом. Его образ - это не образ науки, замкнутой в жестких рамках формализованных систем, а образ, в котором есть место для действительного математического творчества, работают подлинные исследовательские методы, не сводящиеся к формальным преобразованиям внутри формальных систем [77].

Другой попыткой преодоления ограниченности бурбакистской философии математики является концепция Р.Л. Уайлдера, рассмотревшего математику не как некую абсолютную, статичную, изолированную и замкнутую в себе науку, а как феномен общей человеческой культуры, как организм, который непрерывно эволюционирует, развивается по определенным законам [159]. Такой взгляд на математику наиболее близок социокультурному системному подходу.

Следует заметить, что, несмотря на отмеченные выше недостатки, главная заслуга Н.Бурбаки не вызывает

сомнения - ему удалось на основе понятия о математических структурах показать единство математики, продемонстрировать надежность и универсальность средств теоретико-множественной математики. Отмечая полезность работы, проделанной Н. Бурбаки, Б.В. Гнеденко пишет: "Такого рода пересмотры основ математики абсолютно необходимы для сохранения ее единства, для приведения ее логического фундамента в соответствие с накопленным материалом" [60, с. 60].

1.3. Математические структуры с системных позиций

Односторонний подход Н. Бурбаки к понятию математической структуры привел к тому, что из его схемы выпали математическая логика, теория алгоритмов и другие современные разделы математики, явившиеся основой для создания и использования компьютеров, теория вероятностей и целый ряд прикладных разделов математики. По мнению целого ряда крупных математиков понимание математической структуры Н. Бурбаки оказалось слишком узким. В частности, известный французский математик Р. Том отмечал, что "не нужно думать, что знание стандартных математических структур исчерпывает математику. Как раз наоборот: эти структуры представляют собой лишь наиболее поверхностные аспекты." [137, с. 268]

В классификации Н. Бурбаки отсутствуют комбинаторные структуры, являющиеся основой конструктивного подхода в математике. О значении таких структур и их важнейших применениях для объяснений фундаментальных явлений живой и неживой природы писал еще в 40-х годах крупнейший математик XX столетия Герман Вейль. В последние годы наблюдается резкое повышение

интереса к вопросам комбинаторики, поскольку, как отмечает Б.В. Гнеденко, "выявилось стремление переместить центр интересов и представлений с понятий математики непрерывного в так называемую конечную математику" [36, с. 60].

Не находится в схеме Н. Бурбаки и места для наглядно-геометрических структур, геометрических образов. Математической мысли характерно разделение на аналитическую (алгебраическую) и геометрическую компоненты. По мнению проф. А.К. Власова, высказанному еще в начале нашего века, "такой дуализм коренится в наших первоначальных навыках, являющихся первоисточником математических знаний - в нашем умении считать и в нашем умении строить, изображать. Число и вычисление с одной стороны, пространственная интуиция и построение с другой, это, по выражению Пуанкаре, два различных прожектора, направленных на два чуждых друг другу мира, но я бы сказал иначе - два различных прожектора, освещающих различно один и тот же мир." [26, с. 188]

Конечно, любой раздел геометрии может быть изложен чисто логическим путем на теоретико-множественной основе. Пример такого изложения элементарной геометрии показан Ж. Дьедонне (одним из членов группы Н. Бурбаки) в своей книге "Линейная алгебра и элементарная геометрия". В эту книгу автор сознательно не включил ни одного рисунка или чертежа. Такой односторонний, чисто логический путь сильно обедняет математическое познание, которому свойственно также воображение и оперирование геометрическими образами. Многие математики успешно применяют наглядные геометрические методы в самых

абстрактных областях математики. Так, Ю.И. Манин отмечает: "Пространства функций в большинстве случаев бесконечномерны, но возможность направленно воспитать, а затем применить развитую конечномерную (даже трехмерную) интуицию оказалась исключительно плодотворным открытием" [83, с. 10]. Если в первой половине XX в. в математике главенствовал алгебраический язык, то во второй его половине наблюдается реабилитация геометрической составляющей.

Ограниченность определения математической структуры, данная Н. Бурбаки, заставляет приходить к более широкому пониманию этого термина. В частности, Л.Д. Кудрявцев, предложил включить в понятие математических структур структуры, являющиеся математическими моделями реальных явлений (т.е. структуры, образующиеся в теории информации, теории операций, теории случайных процессов и т.д.).

Исходя из системного подхода и общенаучного понимания структуры, рассмотренного в первом разделе, под математической структурой можно понимать совокупность устойчивых связей, обеспечивающих целостность математического объекта (математической системы, математической модели). Эта совокупность устойчивых связей математического объекта может быть задана различными способами (аксиоматически, конструктивно, описательно, в виде наглядных образов).

Разумеется, это понимание математической структуры не может служить ее определением, поскольку не снимает, а вновь поднимает вопрос о том, что такое математический объект, каков предмет математики. По этому вопросу единой точки зрения нет. Любое известное определение предмета математики имеет своих

оппонентов. Наиболее известным считается понимание математики, как науки о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Но многие ученые считают необходимым расширить это понимание, поскольку современная математика характеризует не только количественные стороны процессов, но и описывает определенным образом качественную природу реальных явлений. По мнению Г.И. Рузавина, современную математику следует определить как науку, перешедшую от изучения "количественных отношений между величинами и фигурами к исследованию структур самого разнообразного типа". Эти структуры как чрезвычайно широкие абстракции возникают через ряд последовательных ступеней отвлечения от действительности и последующего обобщения [123, с. 164]. Близкую точку зрения высказывает и В.С. Леднев: "Предметом математики следует признать абстрактную теорию систем, т.е. систем, структурные компоненты которых выделяются абстрактно", т.е. без учета их массы, материала, размеров и т.д. [79, с. 95].

Общим для этих двух точек зрения является то, что математические структуры отражают свойства окружающего мира, т.е. предметом математики являются некоторые стороны действительности. Как отмечал А.Н. Колмогоров, "математические структуры создаются и изучаются с целью применения полученных результатов для изучения реальных явлений и управления ими" [67, с. 232].

Математические структуры в смысле Н. Бурбаки являются лишь частным случаем в предложенном более широком понимании этого термина. Эти структуры, выделенные Н. Бурбаки, т.е. алгебраические, порядковые

и топологические, будем вслед за Рене Томом называть стандартными. Под вышеприведенное понимание математической структуры попадают и все математические модели реальных процессов, т.е. учитывается предложение Л.Д. Кудрявцева.

Из системного социокультурного взгляда на математические структуры следует важный педагогический вывод. Раз математическая структура имеет сущность, отдельную от некоторого аксиоматического определения или формулы, то можно надеяться на то, что лучшее понимание этой сущности будет достигнуто при помощи использования различных ее проявлений (а не только формулировки).

Типов структур существует, как известно, много. Классифицируются они по различным признакам. По видам знаково-символической деятельности вся математика, как отмечают некоторые ученые, может быть сведена к двум типам деятельности: моделированию и схематизации.

Целью моделирования является выделение не отдельных связей, а целого их комплекса для данного объекта или явления, хотя второстепенные связи или составляющие элементы при моделировании чаще всего исключаются. Точного определения понятия математической модели не существует. Имеющиеся описания характеристик математической модели (их число доходит до нескольких десятков) у разных авторов весьма различаются между собой.

Иногда даже трудно сказать, какая из двух сущностей является вещью, а какая моделью. Например, график функции является моделью ее аналитического выражения или, наоборот, аналитическое выражение функции

является моделью ее графика? Для того, чтобы это определить следует исходить из прагматических соображений. Модель - это то, с чем более удобно работать, т.е. легче увидеть, запомнить, передать, записать и т.д. Модель может заменять реальный объект или явление при их изучении.

Математическая модель реальной ситуации, как отмечает И.М. Яглом, - это математическая структура, объекты которой трактуются как реальные "вещи" (или понятия), а абстрактные отношения между этими объектами - как конкретные связи между элементами действительности [154, с. 127]. При математическом моделировании сущность явлений выражается в знаках.

Целью схематизации является ориентировка в реальности, выявление отдельных связей, нахождение среди них таких связей, которые являются схожими, подобными для совершенно различных реальных объектов и явлений. Это позволяет укрупнять блоки информации, устанавливать взаимную зависимость между ее элементами.

Таким образом среди важнейших типов математических структур, кроме математических моделей, имеются математические схемы, как результат схематизации. По мнению Г. Фройденталя, следует различать схематизацию и формализацию: "существует процесс схематизации, при котором словесные выражения являются средством, а не предметом исследования, и существует процесс формализации, при котором язык математически анализируется языковыми средствами, которые могут выражаться на том же или на другом языке" [140, с. 160]. Далее он отмечает, что с дидак-

тической точки зрения схематизация гораздо важнее, чем сами схемы. В качестве примера Г. Фройденталь подробно разбирает логическую схему доказательства от противного.

Кроме логических схем к таким математическим схемам могут быть отнесены схемы конструирования алгоритмов, комбинаторные, стохастические схемы, а также образно-геометрические схемы. Именно такие математические схемы являются, в первую очередь, средствами для исследования реальных явлений и процессов.

Системный социокультурный взгляд на математические структуры, благодаря своей широте и общности, неограниченно расширяет область их применения в обучении математике, а также практических приложений в естествознании, технике, гуманитарных науках, позволяет открывать новое, конкретное знание о многообразных явлениях окружающего мира.

1.4. Структуры математического мышления в теории Ж. Пиаже

Как показали данные психологических исследований, проведенных школой Пиаже, психологические математические структуры, образующиеся в сознании ребенка, полностью соответствуют основным типам математических структур. Ж. Пиаже пишет, "что если проследить до самых истоков психологическое развитие арифметических и геометрических операций в сознании ребенка..., то вновь находят все этапы - вначале фундаментальные тенденции к организации целого или системы, вне которой элементы не имеют ни значения, ни вообще существования, а затем распределение этих

систем совокупностей по трем типам, которые в точности соответствуют структурам алгебраическим, структурам порядка и топологии" [111, с. 13].

По мнению Ж. Пиаже, эти структуры являются фундаментальными не только для здания математики, но и для механизма мышления. "Три фундаментальные структуры Бурбаки соответствуют элементарным структурам мышления, формальным продолжением которых они являются" [111, с. 16]. Это положение, выдвинутое Ж. Пиаже, находится в полном соответствии с современной теорией о когнитивных репрезентативных структурах, которую мы рассмотрим в следующем параграфе.

Из этих результатов исследований Ж. Пиаже рядом педагогов был сделан вывод о том, что основой, исходным пунктом в обучении математике должны быть уже на ранних стадиях фундаментальные структуры современной математики. Так английский педагог-математик К. Гаттеньо писал: "Вместо того чтобы рассматривать изучение математики, как изучение серии определенных глав..., мы предлагаем вести преподавание с помощью структур мышления, существующих в умах учеников, изучающие близкие к ним математические структуры" [30, с. 117]. Выводы самого Ж. Пиаже были более осторожными: человеческое мышление "непосредственно ориентировано на организацию определенных операторных структур, изоморфных таким же или некоторым частям математических структур" [111, с. 28]

Для теории обучения большое значение имела также теория Ж. Пиаже о стадиях развития мышления ребенка. Согласно этой теории в своем развитии мышление ребенка проходит несколько стадий. С рождения до 2 лет наблюдается стадия сенсо-моторного мышления. С 2 до

6-7 лет наблюдается стадия наглядного мышления (дооперационный период), когда ребенок научается обозначать явления внешнего мира с помощью символов, когда для него схемы внешних предметных действий становятся мысленно выполняемыми. На этой стадии отсутствует такое свойство мыслительных операций, как обратимость, т.е. понимание того, что можно произвести обратное действие. Вследствие этого существенного недостатка ребенок не может, например, усвоить математическое понятие о сохранении общего количества предметов при разделении их на подгруппы.

С 7 до 11-12 лет имеет место стадия конкретных операций. На этой стадии умственные действия ребенка приобретают свойство обратимости и у него возникают внутренние структуры, с помощью которых осуществляются операции. Ребенок может систематизировать вещи, которые ему встречаются, но еще не способен иметь дело с тем, что не находится прямо перед ним или не испытано в прошлом опыте.

С 11-12 до 14-15 лет наблюдается стадия формальных операций, организуемых в структурное целое. Эти операции выполняются на этой стадии и в плане чисто словесных суждений. Происходит синтез структур, соответствующих обращению и взаимности. Теперь умственная деятельность ребенка основывается на способности осуществлять операции с гипотетическими высказываниями, а не ограничена прошлым опытом или непосредственным восприятием.

Результаты психологических исследований показали, что в наименьшей, пожалуй, степени генезис психологических структур учитывается при изучении топологических понятий. Как заметил Ж. Пиаже, порядок

формирования топологических и геометрических понятий и операций в самостоятельном развитии ребенка абсолютно не соответствует историческому порядку этапов геометрии и больше приближается к логике научного изложения. При первых попытках рисования ребенок не различает квадратов, окружностей, треугольников и других метрических фигур, но прекрасно различает фигуры открытые и замкнутые, положение "вне" или "внутри" по отношению к границе (включая сюда и положение "на границе", разделение и сходство (не различая расстояния) и т.д. В дальнейшем от фундаментальных топологических структур ребенок развивается в направлении их конкретизации к проективным, а затем метрическим структурам.

Это же обстоятельство было отмечено американским психологом Дж. Брунером, что по его мнению, должно служить доводом в пользу изложения предмета в логико-аксиоматическом порядке, присущем его структуре, а не в порядке его исторического развития. Но это не означает, разумеется, что не бывает ситуаций, когда исторический порядок оказывается более важным с культурной или педагогической точки зрения.

Алгебраические структуры, а именно группы, по мнению Пиаже, соответствуют операторным механизмам ума, подчиненным форме обратимости, которую Пиаже называет инверсией, т.е. такую, что произведение операции на обратную есть тождественная операция. Понятие об алгебраических структурах начинает формироваться у ребенка на стадии конкретных операций. До этого периода, пока имеется необратимость мысли, мы не сможем, по словам Пиаже, получить

понятие постоянства даже в областях наиболее простых наблюдений.

Процесс формирования у ребенка понятия об отношении порядка проходит также несколько этапов. Первый этап формирования этого понятия можно назвать дочисловым, он охватывает возраст ребенка примерно от 2 до 6-7 лет. На этом этапе понятие об упорядоченности формируется у ребенка начиная с периода чувственно-двигательных действий, а затем в течение всего периода зрительных представлений. Еще при строительстве пирамидок, башен из кубиков ребенок приходит к понятию больше-меньше.

Как показывают результаты, полученные Ж. Пиаже в его совместной работе с польским психологом А. Шеминской [112], в процессе формирования у ребенка понятия упорядоченности конечного множества в предчисловой период выделяются три последовательных уровня развития детей:

1) уровень глобальной упорядоченности (сериации) множества предметов. На этом уровне ребенок может сравнить по величине любые два предмета и выбрать из них больший. Однако на этом уровне ребенок при расположении предметов в цепочку допускает в деталях нарушение правильной последовательности и еще не осознает универсальность (инвариантность) свойства транзитивности: если А>В и В>С, то А>С.

2) уровень наглядной упорядоченности. На этом уровне ребенок правильно располагает предметы в цепочку. Однако поиск при ее построении носит хаотичный характер, а добавление новых предметов в построенную цепочку вызывает у ребенка определенные трудности.

3) уровень операционной упорядоченности. На этом уровне ребенок не только отчетливо осознает основные свойства отношения порядка: транзитивности, трихотомии (для любых А и В либо А=В, либо А<В, либо А>В) и антирефлексивности (ни для какой величины А она не может быть больше (меньше) самой себя), но может легко построить инверсный порядок и осознает соответствие между порядковым номером предмета и количеством предметов ему предшествующих. Третьего уровня ребенок достигает в 5-6-летнем возрасте, т.е. начиная с этого возраста возможно формирование у него уже вполне отчетливого представления об отношении порядка.

Как отметил Ж. Пиаже, если в психологической основе алгебраических структур лежит принцип обратимости, то в основе порядковых структур лежит свойство взаимности. Используя это свойство, складывающееся у ребенка к 6 годам, при обучении математике можно уже в 6-7-летнем возрасте начинать изучение порядковых структур. Дальнейшее познание этих структур будет состоять "в их дифференциации от общего к частному и в комбинировании их друг с другом от простого к сложному" [111, с. 12].

Отечественная психология неоднозначно относится к трудам Ж. Пиаже, отмечая в них как сильные, так и слабые стороны. Некоторые выводы в ранних работах Ж. Пиаже критиковал еще Л.С. Выготский. Жан Пиаже считал, что в мышлении ребенка уже изначально (как бы обусловлено самой природой) заложены предпосылки для образования представлений, соответствующих основным математическим структурам. Они с необходи-

мостью определяют закономерности и последовательность этих представлений.

Согласно Ж. Пиаже интеллектуальное развитие и, в частности математическое, заканчивается к 15 годам, т.к. к этому времени все структуры у подростка уже сформированы. В дальнейшем идет лишь их конкретизация и наполнение различными знаниями, умениями, навыками и способами деятельности. Однако, как показали исследования И.Я. Каплуновича, после 15 лет математическое развитие не заканчивается, а идет прежде всего за счет формирования разнообразных связей и отношений между отдельными подструктурами [59].

Говоря о результатах исследований Ж. Пиаже и его сотрудников, необходимо отметить, что эти исследования проводились, в основном, с детьми 4-10 лет. Значительно меньше проводилось экспериментов с детьми более старшего возраста (а старше 15 лет не проводились вовсе). Но и для таких детей школой Ж. Пиаже был получен ряд важных результатов. В этом возрасте, а именно, начиная с 11-12 лет, происходит "полная перестройка интеллекта". Как отметил Ж. Пиаже, "характерное для юношества рефлексивное мышление зарождается с 11-12 лет, начиная с момента, когда субъект становится способен рассуждать гипотетико-дедуктивно" [112, с. 205]. Он охарактеризовал операции этого уровня как операции второй ступени или операции над операциями.

Относительно этого возраста в другой своей книге "Логика и психология" Ж. Пиаже делает важное замечание: "Психологи показали, что в возрасте двенадцати лет ребенок способен открыть элементарные комбинаторные операции... Эти операции он открывает,

конечно, не осознавая того, как они могут быть сформулированы математически, открывает, находя систематический метод комбинирования операций, причем на том же самом уровне интеллектуального развития, на котором он начинает употреблять пропозициональные операции (такие, как p^>q, т.е. "если..., то...", pvq и т.д.)" [112, с. 587]. Таким образом, согласно Ж. Пиаже, комбинаторные операции относятся к операциям второго порядка и возникают вместе с рефлексивным мышлением в возрасте 11-12 лет.

На выборе направлений дальнейших исследований Ж. Пиаже безусловно сказалась точка зрения Н. Бурбаки. И, по всей видимости, этим обстоятельством объясняется тот факт, что Ж. Пиаже в последних своих статьях ограничился рассмотрением процесса формирования только стандартных алгебраических, порядковых и топологических структур.

1.5. Реформа математического образования 60-70-х годов

Идея структур, нашедшая свое отражение (и оказавшаяся весьма плодотворной) в многотомном трактате Н. Бурбаки, а также соответствие между математическими структурами и структурами человеческого мышления, обнаруженное школой швейцарского психолога Ж. Пиаже, послужили побудительными мотивами к радикальной реформе математического образования в 60-70-ых годах в школах и в вузах как за рубежом, так и в нашей стране.

Эволюция математики за предыдущее столетие проходила в направлении создания математических

понятий и методов большой общности. Идеи Н. Бурбаки явились в силу своей общности как чрезвычайно абстрактными, так и чрезвычайно простыми. Общность и простота этих идей и побудила многих сторонников радикальной реформы математического образования к введению их в учебный предмет "математика". Кроме того, из результатов исследований Ж. Пиаже следовало, что задачей математического образования является скорее развитие указанных структур мышления; познавание посредством этого развития структур математических, а значит и математики как таковой. Поэтому среди сторонников радикальной реформы оказались и те, кто надеялся с ее помощью решить проблему развивающего обучения.

Говоря о соответствии между математикой как наукой и как учебным предметом, необходимо отметить, что если развитие науки идет преимущественно равномерно, то изменение содержания учебного предмета происходит скачками. К середине 20-го столетия как раз образовался существенный разрыв между математикой - наукой и математикой - учебным предметом, который было необходимо сократить. Таким образом реформа математического образования стала к этому времени насущной необходимостью.

Следует заметить, что основные идеи реформы высказывались рядом крупных математиков еще задолго до Н. Бурбаки, и поэтому нельзя считать, что Н. Бурбаки "повинен" в этой реформе. Теоретико-множественная основа математики была разработана еще Кантором и Дедекиндом. Ряд идей о реформе математического образования был высказан Ф. Клейном в Эрлангенской (1872 г.), а затем в Меранской программе (1906 г.), в частности,

им на первое место были выдвинуты понятие группы и идея преобразований, высказана необходимость включения в школьную математику начал анализа. Решающее значение для широкого внедрения в вузовскую и школьную математику аксиоматического метода имели исследования Давида Гильберта по основаниям геометрии. В России вопрос о реформе математического образования, о повышении его научного уровня, о необходимости включения в школьную программу идей аналитической геометрии и анализа настойчиво ставился на первом и втором Всероссийских съездах преподавателей математики (1912 и 1915гг.).

Обсуждение в печати предстоящей реформы математического образования велось достаточно долго. Рядом ученых при этом высказывались предупреждения о предстоящих трудностях реформы. Так Э. Борель писал: "Несомненно, что эти изменения [автор говорит о программе для средней школы] должны совершаться с большой осторожностью: всякое чересчур резкое или слишком значительное изменение легко может быть потом в тягость в течение длительного времени. Можно даже утверждать почти категорически, что всякое вообще изменение прежде всего приносит некоторый вред и в течении периода приспособления влечет за собой больше неудобств" [19, с. 93].

В нашей стране вопросы пересмотра содержания математического образования ставил еще в 1935 г. в своем докладе на совещании преподавателей математики академик П.С. Александров. Он выступал за внедрение в школьную математику теоретико-множественного метода и ряда идей абстрактной алгебры, в частности, понятия группы, утверждая, что "на простом и элементарном

материале можно учить большим математическим идеям".

В процессе обсуждения реформы математического образования было высказано много здравых и плодотворных идей А.И. Маркушевичем, В.Г. Болтянским, Н.Я. Виленкиным и др. Так, касаясь преломления идей трактата Н.Бурбаки, А.И.Маркушевич считал, что можно составить школьный курс математики, притом посильный для учащихся, в котором будут отражены основные математические понятия и который даст учащимся общее развитие. Не отразится ли отрицательно такой курс на приобретении учащимися основных знаний и навыков? А.И. Маркушевич считал, что основным содержанием школьного курса должен быть традиционный материал (а также дифференциальное и интегральное исчисление с их важнейшими применениями). "Обобщающие и объединяющие понятия, такие как отношение, группа, поле, линейное пространство могут появляться в нем не как исходные пункты, а как итоги изучения, подводимые по мере накопления фактов и закономерностей, дающих повод к соответствующим обобщениям. Исключение может быть сделано, повидимому, для понятия множества, т.к. ребенок приходящий в школу, имеет уже достаточный опыт, позволяющий ставить и решать простейшие вопросы о принадлежности или включения и операциях над множествами" [86, с.7]. Очень метко этот путь обучения А.И. Маркушевич назвал подлинно "детским путем в математику".

Близкую точку зрения высказывали и другие математики-педагоги. Так Ш.Х. Михелович писал "мы также убеждены в том, что обобщение должно быть

завершением накопления фактов. Вместе с тем хотелось бы добавить, что факты и закономерности, заслуживающие обобщения, следует накапливать". Знакомство с основными алгебраическими структурами, по его мнению, можно производить на теоретико-числовой основе. Имеется в виду, разумеется, не рассмотрение групп, колец и полей в общем виде. Можно сформировать свойства этих структур, рассматривая, например, мультипликативную группу положительных чисел, кольцо целых чисел, поле рациональных чисел и т.п. [96].

Фундаментальное рассмотрение вопроса о реформе математического образования и прежде всего преподавания арифметики было предпринято в кандидатской диссертации Ю.М. Колягина (1963 г.). Анализируя уже начавшиеся к тому времени попытки реформы в зарубежных странах, Ю.М. Колягин отмечал, что ведущей идеей сторонников коренной реформы педагогики математики следует, пожалуй, считать идею единого школьного курса математики. Этот курс не являлся простым органическим слиянием традиционных разделов школьной математики - арифметики, алгебры, геометрии, тригонометрии; в ряде стран началась коренная ломка традиционного школьного курса математики, построение нового курса значительной степени общности с тем, чтобы возможно полнее использовать в средней школе идею основных математических структур.

Ю.М. Колягин призывал критически отнестись к интересным опытам К. Гаттеньо, Ж. Папи и др. "Однако важно, на наш взгляд, не делать из результатов этих опытов скоропалительных выводов, не увлекаться частными успехами". На основании собственного опыта

преподавания Ю.М. Колягин сделал вывод о том, что алгебра множеств и многие символические обозначения доступны учащимся не только 13-летнего, но и 10-летнего возраста. "На наш взгляд, это может служить основанием для введения в школьный курс математики ( уже на ранних ступенях его изучения) многих идей современной математики. Однако эти результаты никак не могут служить основанием для полной ликвидации систематического курса математики, для ликвидации многих полезных традиций методики ее преподавания." [69, с.41].

В зарубежных странах в процессе модернизации школьного курса математики можно было выделить две по существу различные тенденции:

1) Начинать изучение математики с рассмотрения в общей форме основных типов математических структур, а структуры классической математики изучать в качестве частных случаев.

2) Излагать традиционные разделы школьной математики с современных позиций на основе теоретико-множественных понятий.

Первая тенденция поддерживалась известным бельгийским алгебраистом Ж. Папи и комиссией по проведению реформы во Франции во главе с А. Лихнеровичем. Эта тенденция вызвала серьезные опасения у ряда педагогов-математиков. Эти опасения подтверждались опытом Франции. Там не удалось решить проблему органического слияния в едином курсе "классических" и "современных" разделов математики. В большинстве случаев обобщающие идеи и понятия автономно располагались в программах рядом с традиционными темами. Как отмечал А.И. Маркушевич,

"Если общие идеи и понятия займут центральное место в школьном курсе математики, а традиционный материал ... будет рассматриваться в качестве примеров и иллюстраций, лишь поясняющих общие понятия, то не разрушим ли мы условия, в которых до сих пор учащиеся приобретали знания и навыки, необходимые для многих видов человеческой деятельности, для изучения естественных и технических наук" [87]

В силу этих соображений в нашей стране был выбран второй путь. В этот период во многих исследованиях рассматривались различные аспекты изучения алгебраических структур, главным образом на факультативных занятиях в старших классах. Как показали проведенные экспериментальные исследования, на таких занятиях вполне возможно осуществлять знакомство учащихся с основными типами алгебраических структур (группами, векторными пространствами, кольцами и полями).

Значительно меньше было исследований, посвященных порядковым структурам. Рассматривались лишь отдельные фрагменты таких структур, в частности, методика изучения отношения порядка. Рассмотрение топологических структур сводилось, в основном, к изучению возможности раннего преподавания элементов анализа в школе.

Выдвигалась в нашей стране и идея построения единого курса математики на основе математических структур. В частности, исследовалась возможность единого подхода к изучению в восьмилетней школе курсов алгебры и геометрии на основе введения математических структур в основную программу, предлагалось знакомить учащихся 7-го класса сначала с абстрактной

группой, а затем рассматривать различные конкретные группы.

В более поздний период, когда уже многим стали ясны отрицательные моменты в проведении реформы, обзор отбора содержания в ходе реформы как в нашей стране, так и в других странах, был сделан в докторской диссертации В.А. Оганесяна (1984 г.). Как отмечается в этом исследовании, характерной особенностью построения программ в большинстве стран было стремление обеспечить единство алгебраической и геометрической линий и их общий язык с помощью изучения теории множеств и показа роли алгебраических структур во всех разделах математики. Во Франции и некоторых других странах реформа приняла достаточно радикальный характер вплоть до полного пересмотра содержания обучения математике, исключения из программы традиционной евклидовой геометрии и замены ее "алгебраизированным" курсом на основе линейной алгебры, включения в программу уже на раннем этапе знакомство с новыми общими идеями и понятиями математики.

В нашей стране реформа математического образования началась позднее, чем в ряде зарубежных стран, и носила более умеренный характер. Математическую секцию комиссии АН СССР и АПН РСФСР по определению содержания среднего образования возглавил с 1964 г. академик А.Н. Колмогоров. Его личный вклад в дело реформы был настолько велик, что эту реформу назвали колмогоровской. Хотя при проведении реформы не было допущено крайностей, характерных для ряда зарубежных стран, однако вскрылись и серьезные недостатки: повышенная степень абстракции, которая проявлялась в том,

что зачастую математические структуры преподносились школьникам сразу в абстрактном виде без учета уровней их мышления, чрезмерный объем и неоправданная сложность изложения программного материала, отсутствие опоры при введении ряда понятий на наглядность и интуицию и т.д. Все это и послужило поводом для контрреформации, в ходе которой ряд несомненных достижений оказался утерянным. Ниже мы обратимся к анализу причин недостатков, допущенных при проведении реформы.

Вслед за реформой школьного образования началась реформа математического образования в педвузах. Актуальность такой реформы была очевидна и диктовалась необходимостью такой подготовки будущих учителей математики, которая обеспечила бы успешное проведение ими в жизнь школьной реформы. Были перестроены учебные планы и программы специальности "математика" для всех основных математических курсов (алгебры, геометрии, математического анализа). Необходимые для изучения этих курсов начальные сведения из теории множеств и математической логики открывали курс алгебры и теории чисел.

В новых программах четко прослеживалось влияние идей Н. Бурбаки. Различные разделы математики в программах стали звеньями единого организма. В их основу был положен аксиоматический метод, теория множеств и понятие математической структуры. Однако этим программам и особенно учебникам, написанным по этим программам, были свойственны те же недостатки, что и для школьных учебников. По уровню абстракции и формализации эти программы, особенно в начальной стадии обучения, превосходили программы математических

специальностей университетов, куда модернистские тенденции проникли в гораздо меньшей степени. Это привело к значительному усложнению основных математических дисциплин. Самым трудным предметом для первокурсников стал курс алгебры, потеснив традиционно занимавший это "почетное" место курс математического анализа.

Принципиальное значение имел новый курс "Научные основы школьного курса математики", программа которого была разработана А.Н.Колмогоровым. Этот курс был призван занять промежуточное положение между теоретическими общематематическими курсами и курсом методики математики. Изучение этого курса должно было обеспечить знакомство студентов с тем, по каким мотивам и какие разделы математической науки входят в программу школы, что в школьных учебниках остается изложенным без полного обоснования и как эти пробелы могут быть восполнены.

Внедрение новых учебных планов и программ имело большое положительное значение. Содержание всех математических курсов было существенно обновлено и приближено к современной математике, что позволило обеспечить возможность подготовки квалифицированного учителя, разбирающегося в наиболее важных направлениях современной математики.

Но при составлении новых учебных планов и программ для педвузов не все удалось предусмотреть. Так, не в полной мере была обеспечена их профессиональная направленность на подготовку учителя. Курс "Научные основы...", во многом призванный обеспечить такую направленность, недолго продержался в учебном плане.

Предполагалось, что вопросы школьного курса математики будут освещены в основных математических курсах. Однако из-за большой насыщенности программ теоретическим материалом сделать это в большинстве случаев не удалось. Частично эта проблема была решена путем включения в учебный план пединститутов курса "Элементарная математика" вместо "Практикума по решению задач".

Другой недостаток программ - излишний уклон в сторону абстракции и формализма, отсутствие в них промежуточного, переходного уровня для студентов первого курса, был осознан авторами задолго до их критики комиссией Бюро математики АН СССР во главе с СП. Новиковым. Программы перерабатывались, совершенствовались, правда не всегда оперативно. Дух высокой степени абстракции и формализма середины 70-х годов сохранился лишь в некоторых учебниках для педвузов.

1.6. Недостатки в стратегии обучения, проявившиеся в ходе реформы 60-70-х годов

Для оптимального решения такой крупной проблемы, как проведение реформы содержания математического образования, необходим системный подход, всесторонний учет методологических, психологических, педагогических, социальных, научно-математических, методических и организационных аспектов. Без такого системного подхода неизбежна односторонность в проведении реформы, промахи и ошибки.

О социальных и организационных причинах неудачи реформы хорошо сказал академик А.П. Ершов: "Если колмогоровская реформа как акция оказалась

несостоятельной, то эта несостоятельность является всего лишь проекцией на математику более глобальной несостоятельности другой грандиозной акции, состоящей в переходе к обязательному среднему образованию с сохранением всей прежней негибкости, однородности и авторитарности в содержании и методике школьного обучения, а также попытка сделать все это "даром", без надлежащего обеспечения" [54, с. 26].

Необходимость системно-структурного подхода в определении содержания предмета математики отмечалась Е.И. Лященко и В.А. Оганесяном. Отсутствие такого системного подхода и явилось главной причиной того, что реформа не достигла желаемых результатов. Реализовать системно-структурный подход в преподавании - это значит раскрыть характер соответствия между структурами реальных процессов, операционными структурами мышления и структурами математики.

Ряд причин субъективного и объективного характера был также вскрыт в работах В.А. Оганесяна, Н.Я. Виленкина, Р.С. Черкасова и др. Оказались нарушенными требования наглядности и доступности обучения. Строгость же из средства превратилась в самоцель, что существенно сказалось как на содержании, так и на стиле изложения курса. Неправильно понимался принцип научности. Стремление к излишней научности привело к тому, что было преувеличено значение теоретико-множественных понятий.

Отметим еще несколько недостатков стратегии обучения, содержательной стороны реформы, связанных с изучением математических структур.

Отрицательно сказалась увлеченность в тот период многими математиками идеями Н. Бурбаки, красотой построенного им здания. Однако созданный им многотомный трактат преследовал цели, никак не связанные с реформой образования. Книги Н. Бурбаки не могли служить образцом учебников даже для аспирантов. Не случайно, что у Н. Бурбаки нет ни одной статьи, посвященной математическому образованию. По-видимому, между членами группы Н. Бурбаки по этому вопросу существовали серьезные разногласия, и мнения, высказанные в печати одним из постоянных участников группы Н. Бурбаки Жаном Дьедонне, нельзя считать мнением всей группы Н. Бурбаки.

Эта увлеченность сказалась на том, что в учебниках как для школ, так и для педвузов наблюдался крен в сторону чрезмерной формализации и абстракции, излишней строгости в изложении материала. Недооценивалась роль наглядных представлений. Как справедливо отметил академик А.Д. Александров, "Педантичное стремление дать каждому понятию словесное определение может привести к тому, что вместо пояснения и уточнения представлений, которые уже есть у учащихся, вместо формирования у них новых ясных понятий им дается нечто трудно представимое или вовсе невообразимое, а лишь выраженное в словесной оболочке - порой такое, что они не могут ни понять правильно, ни применить" [5, с. 58]

Ошибки в проведении реформы, прежде всего за рубежом, во многом связаны также с неправильным толкованием результатов исследований Ж. Пиаже. Из сходства между структурами мышления, складывающимися у ребенка, и математическими

структурами некоторыми последователями Ж. Пиаже был сделан вывод о том, что исходным пунктом в обучении математике должны быть уже на ранних стадиях обучения фундаментальные структуры современной математики. В частности, на основе сходства между логической группировкой и математической группой делался вывод, что еще в младших классах ребенок может изучать понятие группы.

Действительно, свойства логической "группировки" -понятия введенного Ж. Пиаже - во многом напоминают аксиомы группы. Действительно, каждое из этих свойств формируется на стадии конкретных операций. Но, согласно тому же Ж. Пиаже, синтез этих свойств может произойти только на стадии формальных операций, т.е. к изучению понятия группы можно приступать не ранее 14-15 лет. Кроме того, элементами "группировки" Ж. Пиаже являются преобразования и, следовательно, речь может идти об изучении только групп преобразований. Понятие же абстрактной группы намного более общее и изучаться должно значительно позднее. Начинать же следовало с изучения отдельных свойств алгебраических операций, постепенно их накапливая и обобщая. Аналогично обстояло дело с изучением и других математических структур.

Следует отметить, что аналогичная точка зрения была высказана в статье Рене Тома, вызвавшей значительный резонанс в обсуждении хода реформы математического образования. В этой статье Р. Том (одно время сотрудничавший с группой Н.Бурбаки), в частности, обратил внимание на допущенную реформаторами "фундаментальную психологическую ошибку, которая полностью порочит модернистские усилия". Нельзя

оспаривать, по его мнению, что большая часть абстрактных математических структур всегда присутствует в неявной форме в детской психике. Ошибкой же являлось то, что считалось достаточным преподать ребенку в самом раннем возрасте определение структур и пользование ими, чтобы бесконечно облегчить ему доступ к современным математическим теориям. В педагогике переход из неявного в явное, часто бесполезный, может оказаться роковым, поскольку нередко ученик не может установить или ясно понять связь между своей умственной активностью и предлагаемым ему абстрактным описанием. В этом случае обучение остается для него мертвой буквой.

Достойный ответ Р. Тому на большинство его замечаний был дан Жаном Дьедонне [52]. Но говоря о школьной математике, Ж. Дьедонне полностью соглашается с Р. Томом в том, что "главной целью должна быть демонстрация того, как сырое и аморфное представление о пространстве и времени постепенно организуется в некоторую логическую структуру". Плохое, формальное преподавание "современной" математики, по мнению Ж. Дьедонне, было связано с тем, что преподаватели средней школы "открыли, что намного легче учить манипулированию с абстрактными понятиями даже самых юных учащихся, чем дать им охватить интуицией реальные объекты, находящиеся за этими абстракциями".

Основной же целью математического образования, как совершенно справедливо отмечает В.И. Арнольд, должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира [7].

Существенным недостатком, на наш взгляд, явилось и то, что большинство ученых-модернизаторов, опираясь на отдельные результаты Ж. Пиаже, ограничились попытками внедрения в школьную математику только алгебраических, порядковых и топологических структур и не уделили внимания другим видам математических структур (комбинаторным, алгоритмическим, образно-геометрическим и т.д.), играющих, как показано ниже, особую роль в исследовательской активности, в образовании новых понятийных структур.

Открытие в 1981 г. американским неврологом П. Сперри функциональной асимметрии головного мозга привело к необходимости переоценки и корректировки устоявшихся взглядов на систему математического образования в направлении развития образного мышления учащихся. В последние десятилетия наша школа уделяла возможностям правого полушария, отвечающего за распознавание образов, минимальное внимание по сравнению с тем, что расточали левому, отвечающему за речь и манипулирование строго формализованными объектами. С правым полушарием связаны не только непосредственное восприятие и ориентация в пространстве, но и процесс творчества.

Как недостаток сыграло свою роль и увлечение некоторыми модными психологическими теориями, связанными с абсолютизацией теоретического мышления в процессе обучения. Как отметили наши крупные психологи А.А. Бодалев, Б.Ф. Ломов и А.М. Матюшкин, "отрицание возрастных особенностей привело к чрезмерному усложнению учебных программ, к абсолютизации теоретического мышления по сравнению с

мышлением, включенным в реальную практическую (и трудовую) деятельность" [16, с. 17].

Следует отметить, что наблюдавшееся в ходе реформы чрезмерное увлечение внедрением в начальное обучение теоретических знаний, дедуктивным методом изложения, переоценка умственных возможностей младших школьников нельзя связывать только с теорией В.В. Давыдова. Еще раньше эти идеи выдвигал английский математик-педагог Гаттеньо. Так, в статье 1956 г. он писал: "Весь секрет в том, чтобы отправляться от общего для достижения частного, тогда как наши предшественники считали, что математическая поступь - это обобщение. В действительности все обстоит несколько иначе: многозначное предшествует однозначному..." и в другом месте: "Все мои эксперименты убеждали меня в истинности следующего открытия: наши учащиеся значительно ранее, чем мы думаем, могут изучать вопросы, которые мы начинаем в университете и часто еще позже" (цит. по [84], стр.14).

Таким образом, большинство трудностей и недостатков, возникших в ходе реформы математического образования, было связано с отсутствием системного подхода при определении стратегии обучения, недостаточной разработанности психологической базы стратегии отбора и построения математических курсов. Для правильного решения вопроса необходимо привлечь последние достижения психологии в этом направлении, что мы и сделаем в следующем разделе.

Глава 2. Психологические основы стратегии обучения математике

2.1. Мышление как преобразование информации

Все новейшие теории памяти и других познавательных процессов пронизывает представление о человеке, как системе, активно перерабатывающей информацию.

В теории памяти долгое время преобладающим был подход, основанный на идеях ассоциационизма или на теории "стимул - реакция". Согласно этой теории, способность вспоминать - это результат образования ассоциаций, или связей, между стимулами и реакциями, причем от прочности таких связей зависит легкость припоминания.

Ассоциационистский подход столкнулся с рядом трудностей, преодолеть которые он оказался не в состоянии. Как реакция на эти трудности возник новый когнитивный подход. Р. Клацки так характеризует этот подход: "Прилагательное "когнитивный", происходящее от слова cognitio, т.е. знание, подчеркивает, что речь идет о психических процессах, а не просто о стимулах и реакциях. Именно этот сдвиг - переход от представления о пассивной системе, воспринимающей стимулы и автоматически создающей цепи "стимул - реакция", к понятию о психической активности - характеризует когнитивные теории памяти." [61, с. 10-11]

Подлинный толчок развитию этого подхода дал американский психолог У. Найссер выходом своей книги "Когнитивная психология" (1967 г.). После этого вышел целый ряд монографий по когнитивной психологии, вобравших в себя плоды многочисленных исследований в

этой области. В этом направлении плодотворно работают и ряд отечественных психологов.

Центральное место в когнитивной теории заняла проблема знания - способы приобретения знаний, их видоизменения, использования, хранения, т.е., короче говоря - способы их переработки в человеческом организме. Такой подход позволяет рассматривать учение как переработку информации.

Информационный подход в психологии основывается на следующих основных предположениях :

1) предположение о поэтапной переработке информации;

2) предположение об ограниченной емкости соответствующих систем, из которого вытекает представление о непрерывности процессов переработки информации.

При переходе от одного этапа к другому информация может подвергаться удивительным преобразованиям. Однако выделение того или иного этапа в процессе переработки информации не должно быть произвольным: каждый этап этого процесса (называемый иногда уровнем переработки) обычно соответствует тому или иному представлению информации.

Из второго предположения вытекает, что для каждого этапа имеются известные пределы способности человека к переработке информации. При слишком большом объеме информации могут наступить перегрузки, которые в результате приводят к различным осложнениям (часть информации может не поступить в систему, возможна избирательная переработка информации и т.д.)

Память в когнитивной психологии подразделяется на кратковременную (КВП) и долговременную (ДВП). В

кратковременной памяти информация без повторения может храниться совсем недолго: она либо передается в долговременную память, либо теряется, вытесняется другой информацией. Объем кратковременной памяти довольно ограничен. Многочисленные психологические исследования, проведенные за последние сто лет, убедительно показали, что в кратковременной памяти может храниться не более семи, не связанных между собой, элементов (буквы, числа, слоги, слова). Фактический объем КВП может быть увеличен только за счет укрупнения единиц хранения. Этот путь повышения эффективности усвоения знаний, путь укрупнения единиц получаемой информации, в методической науке давно предложен П.М. Эрдниевым. Долговременная память, в отличие от кратковременной, практически не ограничена ни по объему, ни по срокам хранения информации.

Как отмечает Р. Клацки, забывание информации происходит по двум причинам. Во-первых, вследствие угасания, под которым "обычно понимают уменьшение четкости следов памяти с течением времени". Во-вторых, в гораздо большей степени, вследствие интерференции, т.е. в результате взаимодействия с новой поступающей информацией. Степень забывания вследствие интерференции зависит от двух особенностей поступающей информации. Одна из них - степень сходства поступающего материала с материалом, который поступил ранее: "чем больше сходство, тем сильнее интерференция". Это сходство, как видно из приводимых Р. Клацки примеров, носит преимущественно внешний характер. Вторая причина, действующая только для оперативной памяти - степень сложности материала. Чем сложнее поступающий материал, тем больше нужно

рабочего пространства для его переработки, т.е. тем больше забывается ранее полученной информации.

Структура долговременной памяти (ДВП) весьма сложна. Появляется все большее количество научных данных о том, что конкретная информация в ДВП записана в хорошо структурированной и высоко практичной сети. Новая информация в большинстве случаев записывается в уже существующую организацию.

В когнитивной психологии были предложены новые трактовки и других мыслительных процессов. С точки зрения когнитивной психологии "мышление - это процесс, с помощью которого формируется новая мысленная репрезентация; это происходит путем преобразования информации, достигаемого в сложном взаимодействии мысленных атрибутов суждения, абстрагирования, рассуждения, воображения и решения задач" [128, с. 423].

Одной из самых важных когнитивных функций человека является формирование понятий. Понятие определяется как совокупность определенных существенных признаков и правил, связывающих эти признаки. Формирование понятий включает выделение признаков, общих для некоторого класса объектов, и раскрытие правил, связывающих эти концептуальные признаки.

Все эти новые когнитивные трактовки мыслительных процессов еще мало используются методической наукой и ждут своего применения математиками-методистами и учителями.

2.2. Понятие о когнитивных структурах

В психологии уже давно стояла проблема выделения основ, истоков интеллектуального развития. Л.С. Выготский видел в этом первостепенную задачу психологической науки будущего.

Проблема "Как мыслит человек?" волновала не только психологов, но и математиков. В частности, известный французский математик Ж. Адамар проводил специальное анкетирование крупных математиков, своих современников, с целью выяснить, как они думают. Оказалось, что математики чаще всего думают не словами, а образами, преимущественно зрительными, которые могут быть также двигательными или другого типа.

Очень характерным в этом отношении является самонаблюдение А. Эйнштейна: "Слова, написанные или произнесенные не играют, видимо, ни малейшей роли в механизме моего мышления. Психологическими элементами мышления являются некоторые, более или менее ясные, знаки или образы, которые могут быть "по желанию" воспроизведены и скомбинированы." [2, с. 80]

Современная психология дает все основания считать, что основами интеллектуальных процессов являются различные сложные познавательные структуры, имеющие разное количество иерархических уровней.

В когнитивной психологии считается установленным фактом, что информация хранится в памяти преимущественно не в виде непосредственных слепков того, что было воспринято, а в виде более или менее обобщенных продуктов умственной переработки вос-

принятого - репрезентативных когнитивных структур или когнитивных схем.

Репрезентативные когнитивные структуры - это внутренние психологические структуры, которые складываются в процессе жизни и обучения в голове человека, это способ описания и хранения знаний в долговременной памяти. В этих структурах представлена сложившаяся у человека картина мира, общества и самого себя.

Это понятие когнитивных структур или когнитивных схем является одним из центральных в современной психологии. В когнитивных структурах, с одной стороны, фиксируется специфически организованный индивидуальный познавательный опыт, а с другой стороны, когнитивные структуры обеспечивают отражение устойчивых, регулярно повторяющихся характеристик событий.

Понятие когнитивной структуры или схемы относится к способу описания и хранения в долговременной памяти знаний в самом широком смысле, включая образы, события, слова, понятия, законы и т.п. Хранящиеся в памяти продукты умственной (когнитивной) обработки образуют более или менее упорядоченные системы, состоящие из ряда подсистем и иерархических уровней. Когнитивные схемы окружения носят относительно постоянный характер и в то же время легко изменяются под влиянием новой информации. Когнитивные схемы могут забываться до некоторой степени, но это забывание затрагивает скорее незначительные детали схем, нежели общую структуру.

Системы когнитивных структур представляют собой не только системы хранения знаний, но и средство

познания. Они являются своего рода внутренними умственными психологическими формами, посредством которых человек смотрит на окружающий мир. С помощью таких структур человек извлекает информацию, производит анализ и синтез поступающих новых сведений.

Определенная аналогия когнитивных схем прослеживается и с таким понятием теории искусственного интеллекта, как рамка. Адекватное распознавание и описание ситуаций реальных сцен невозможно на основе одних только полученных в данный момент входных сигналов. Для каждой новой ситуации у человека, как и у ЭВМ должна быть рамка или иерархия рамок, предвосхищающих основные моменты того, что должно появиться.

Эти положения современной когнитивной психологии подтверждаются целым рядом опытных данных. Каждый учитель может привести из своего опыта примеры, когда ученики, имеющие более основательную подготовку по математике, воспринимали и запоминали новый материал значительно лучше, чем плохо подготовленные учащиеся. Подготовленный ученик в буквальном смысле видят материал иначе - более глубоко и адекватно, - чем плохо подготовленный. Это происходит по причине того, что имеющиеся у подготовленных учеников обобщенные схемы "накладываются" на воспринимаемый материал, позволяют им осуществлять значительно более глубокий и широкий анализ, что и приводит к закономерно лучшему пониманию и сохранению в памяти нового материала.

В процессе обучения математике у человека складываются специфические когнитивные структуры,

являющиеся отражением объективно существующих математических структур. В соответствии с ранее рассмотренной классификацией будем различать алгебраические, порядковые и топологические когнитивные структуры, а также логические, алгоритмические, комбинаторные, образно-геометрические когнитивные схемы.

Таким образом, математические когнитивные структуры могут быть поделены на два основных типа (при всей условности такого разделения). К первому относятся алгебраические, порядковые и топологические структуры, выступающие как прототипы, упрощенные модели математических объектов, прежде всего как комплексы, средства хранения математических знаний. Можно сказать, что этот тип структур образуется по "горизонтальному" принципу. Ко второму относятся логические, алгоритмические, комбинаторные, образно-геометрические когнитивные схемы, причем эти схемы выступают, в первую очередь, как средства, методы математического познания. Этот тип структур складывается на основе связей, которые являются общими для совершенно различных объектов, поэтому они образуются по "вертикальному" принципу.

Два типа когнитивных структур, формирующихся по "горизонтальному" и "вертикальному" принципу, отмечает и М.А. Холодная [144, с. 145].

В процессе обучения структуры претерпевают изменения. В зависимости от характера этих изменений Д. Норманом были выделены три различные формы научения:

1. Наращивание структур - добавление нового знания к уже существующим схемам памяти. Некая

система знаний уже существует, и в нее вводятся новые данные. Наращивание - самый обычный способ научения, процесс постепенного, количественного накопления знаний.

2. Создание структур - образование новых понятийных структур, новое осмысление, качественное обновление системы знаний. Существующие схемы становятся недостаточными; должны быть созданы новые. Создание структур происходит не часто и требует больших усилий. "Но, вероятно, - пишет Д. Норман, -это самый важный способ научения" [107, с. 103].

3. Настройка структур - тонкое приспособление знания к задаче. Нужные схемы существуют, и в них заключено нужное знание. Но для данной цели они непригодны - или потому, что они слишком общие, или потому, что они плохо приспособлены для данного конкретного использования. Поэтому знание нужно "настраивать", постоянно приспосабливать к задаче. Одним из способов такой настройки служит упражнение. "Настройка, - пишет Д. Норман, - это, вероятно, самый медленный способ научения, но это то, что превращает простое знание предмета в совершенное владение им" [107, с. 105].

К этим формам научения можно добавить еще одну, фактически рассмотренную Л.Б. Ительсоном.

4. Перестройка структур. Эта форма научения состоит из преобразований структур трех типов:

а) переход на новую, более высокую ступень организации, когда сформированная ранее структура становится подструктурой новой более широкой

структуры (например, структура натуральных чисел становится подструктурой рациональных чисел);

б) изменение принципа организации структуры, когда координация (сочетание) частей внутри структуры заменяется их субординацией (подчинением) или обратно (например, целые числа и дроби - лишь с определенного момента в обучении целое число становится частным случаем дроби);

в) перецентровка структуры, т.е. выдвижение в качестве существенных тех элементов, которые были второстепенными, и обратно (например, при переходе от изучения равных треугольников к изучению подобных, длины соответствующих сторон становятся второстепенными, а величины соответствующих углов -главными признаками).

Психологические эксперименты показывают, что структурированная информация действительно гораздо легче воспроизводится, чем несвязанные слова. Однако это справедливо для взрослых и старших детей. Примерно до третьего класса дети воспроизводят связанные элементы ненамного лучше, чем несвязанные [128]. Поэтому при обучении младших детей следует учитывать, что при первоначальном приобретении информации необходимо восприятие самой существенной информации и обращение на нее внимания.

Чем больше развиты у человека когнитивные структуры, тем больше возможности получения, анализа и синтеза информации, тем больше степень понимания человеком окружающего мира и самого себя. Если в процессе обучения учащимся давать заранее иерархически структурированную информацию, то это значительно улучшает ее запоминание и воспроизведение.

Поэтому, по мнению Н.И. Чуприковой, формирование хорошо организованных и упорядоченных внутренних психологических когнитивных структур должно быть признано самой главной задачей школьного обучения [147, с. 24].

В пользу такого утверждения можно привести следующие обстоятельства:

Во-первых, чем больше разных связей новых знаний с уже имеющимися в долговременной памяти может быть установлено, тем глубже и шире понимание нового материала, тем лучше он усваивается. Ведь для этого уже существуют необходимые когнитивные структуры, которые должны развиваться дальше, усложняться и и усовершенствоваться при усвоении нового.

Во-вторых, чем лучше развита и структурно организована когнитивная система, тем дольше и прочнее сохранение материала в памяти. В более развитой и сложной по структуре когнитивной системе идет более глубокий и всесторонний анализ поступающей информации. А это является одной из главных предпосылок прочного и длительного запоминания любого материала.

В-третьих, только хорошо организованная богато внутренне расчлененная система репрезентации знаний может обеспечить гибкость и подвижность мышления, возможность движения мысли в самых разных направлениях, возможность мысленного сопоставления самых разных объектов и явлений.

Все эти кратко изложенные положения современной когнитивной психологии используются в стратегии обучения при социокультукном системном подходе. Из этих положений вытекает, что в процессе обучения уче-

нику нужно не просто сообщить "сумму знаний", а сформировать у него на доступном ему уровне систему взаимосвязанных знаний, образующих внутренне упорядоченную структуру. Этот вывод полностью подтверждает слова выдающегося педагога К.Д.Ушинского: "Ум -это хорошо организованная система знаний". Формирование такой системы знаний одновременно ведет и к наиболее эффективному усвоению знаний и к развитию мышления, т.е. к одновременному решению двух традиционных главных задач обучения.

Однако формирование такой системы - дело достаточно трудоемкое и требующее много времени. Огромное количество детальных структур, при участии которых человек становится специалистом, требует того, чтобы ученье начиналось в самом раннем возрасте и продолжалось долгие годы, практически всю жизнь.

2.3. Основные законы развития структур

Как уже отмечалось, ум человека, его психика представляет собой сложную развивающуюся систему. Поэтому, для того чтобы вскрыть законы его развития, необходимо прежде всего рассмотреть законы развития систем.

Все системы находятся в непрерывном движении. По типу движения различаются функционирующие и развивающиеся системы. В чем же состоит различие между функционированием системы и развитием? На этот вопрос И.В. Блауберг и Э.Г. Юдин отвечают следующим образом: "...функционирование есть движение в состояниях одного и того же уровня, связанное лишь с перераспределением элементов, функций и связей в объекте... Развитие же есть такая смена состояний, в основе

которой лежит невозможность по тем или иным причинам сохранения существующих форм функционирования. Здесь объект как бы оказывается вынужденным выйти на иной уровень функционирования, прежде недоступный и невозможный для него... " ([14], с. 190)

Согласно положениям диалектики процесс развития происходит в двух формах: в виде количественных и в виде качественных изменений. Если количественные изменения происходят, как правило, непрерывно, то качественные изменения, наоборот, носят прерывистый характер и выступают как результат накопления количественных изменений. Развитие совершается по спиралевидной восходящей линии, т.е. система на новой высшей ступени развития как бы возвращается к своей исходной форме, но эта новая форма в корне отличается от исходной, хотя и содержит в себе некоторые ее черты.

Как отмечает А.Н. Аверьянов, кроме указанных законов диалектики в развитии всех систем обнаруживается общность проявления таких закономерностей, как дифференциация и интеграция элементов и связей системы, деление систем, смена структур и элементов [1, с. 105-106]. То есть в качестве общих законов развития систем выступают еще два взаимосвязанных закона - законы дифференциации исходного целого и интеграции отдельных элементов в новые подструктуры.

С современных системных позиций развитие структур выступает как закономерный рост их внутренней организации, который происходит как за счет их расчленения, дифференциации, так и за счет образования новых структур путем интеграции. В процессе своего раз-

вития структуры дробятся на элементы, расчленяются на все более и более мелкие части с все более и более специфическим строением и специализированными функциями. Вместе с тем идет процесс усложнения связей между дифференцирующимися элементами, их соподчинение, что и ведет к становлению системы как целого. Иными словами, одновременно происходит интеграция дифференцирующихся элементов.

Закону системно-структурной дифференциации посвящена книга Н.И. Чуприковой [147]. К сожалению, в этой книге не уделено должного внимания интеграционному процессу в развитии структур. А между тем, как отмечает А.Н. Аверьянов, эти два процесса находятся в единстве: "Становление есть противоречивое единство процессов дифференциации и интеграции. Углубляющаяся дифференциация элементов соответственно усиливает их интеграцию, которая, в свою очередь, ограничивает дифференциацию... " [1, с. 194].

Таким образом, развитие структур всегда одновременно идет как от целого к частям, от общего к частному, так и от частей к целому, от частного к общему. Однако, на наш взгляд, эти два процесса (дифференциации и интеграции структур) играют не равнозначные роли на разных этапах развития систем: на этапе возникновения структур главенствующую роль играет процесс интеграции разнородных элементов, а в период становления на первый план в развитии системы выдвигается процесс дифференциации структур.

Принцип развития от целого к частям, от общего к частному некоторые исследователи связывают с принципом развития от абстрактного к конкретному. Так Н.И. Чуприкова считает, что "принцип развития от це-

лого к частям, от общего к частному в логическом отношении совпадает с принципом развития от абстрактного к конкретному." [147, с.33]. На наш взгляд, соединять эти два принципа нецелесообразно, поскольку в философской и логической литературе термины абстрактное и конкретное, абстракция и конкретизация понимаются неоднозначно. Более того, как отмечает М.А. Розов, "отсутствие специального рассмотрения конкретизации ведет к тому, что результаты этой операции сплошь и рядом приписываются абстракции" [120, с. 51]. Такая терминологическая путаница на практике приводит зачастую к искаженному пониманию одного из основополагающих принципов развивающего обучения.

В силу того, что умственное развитие человека является частным случаем процессов развития, для него справедливы все универсальные законы развития. Кроме того, следует учитывать специфические законы теории познания. Но и в этих специфических законах прослеживается действие универсальных законов развития от целого к частному и от частей к целому. В частности, и развитие когнитивных структур подчиняется законам структурной дифференциации и интеграции, законам развития от общего к частному, от целого к частям и от частного к общему, от простого к сложному.

Идея хода умственного развития от общего к частному и идея дифференциации как основного закона умственного развития, а также принцип развития от простого к сложному были отчетливо сформулированы еще в 17 веке Я.А.Коменским в его знаменитой "Великой дидактике". На значение, которое имеет идея дифференциации в дидактической системе Коменского,

обратили внимание совсем немногие ученые (В. Оконь, Н.И. Чуприкова).

Как известно, Я.А.Коменский считал ведущим для обучения и воспитания принцип природосообразности. Согласно этому принципу обучение должно сообразовываться с порядком развития самой Природы. О законах же и порядке развития Природы у Коменского сказано кратко и ясно: "Всякое формирование природа начинает с самого общего и кончает наиболее особенным" [72, с. 334], "Природа производит все из основ, незначительных по величине, но мощных по своему качеству" [72, с. 343].

Таким образом, согласно учению Я.А.Коменского, при обучении, с самого его начала, расположение изучаемого материала должно быть таково, чтобы все последующее вытекало из предыдущего, было его развитием, а не представляло бы собой совсем нового знания, т.е. следует идти от общего к частному: "Все, что подлежит изучению, пусть сперва предлагается в общем виде, а затем по частям" [72, с. 388].

Вместе с тем Я.А. Коменский выдвинул принцип "от легкого к трудному": "Природа переходит от более легкого к более трудному" [72, с. 344]. Поэтому для того, чтобы обеспечить сочетание этих двух принципов, обучение любому предмету должно начинаться с небольшого числа наипростейших элементов, однако таких, которые содержат в себе главное, которое потом вырастает и развивается.

Спустя два столетия сходные положения, но с более четким выделением принципа интеграции, содержались в вышедшей во второй половине прошлого столетия книге Г. Спенсера "Воспитание умственное, нравственное и физическое". "Что в воспитании мы должны переходить

от простого к сложному - это такая истина, которая, до некоторой степени всегда соблюдается, хотя бессознательно и непоследовательно." [129, с. 453]. Г.Спенсер далее объясняет, что он понимает под простым и сложным, поскольку в этом случае встречается много недоразумений и отмечает, что "при обучении детей следует начинать с определенных знаний и кончать отвлеченными", что основной закон обучения требует, чтобы "принципы врезывались в ум ребенка через посредство примеров и таким образом направляли бы его от частного к общему, от определенного (конкретного) к отвлеченному (абстрактному)" [129, с. 455].

Идеи структурной дифференциации и интеграции прослеживаются и в результатах исследований крупнейшего швейцарского психолога XX столетия Ж. Пиаже. В одной из своих последних работ Ж. Пиаже четко выделяет оба процесса в ходе умственного развития: "Если отправляться от нескольких основных структур, то дальнейшее движение состоит в их дифференциации от общего к частному и в комбинировании их друг с другом от простого к сложному" [111, с 12].

В современной когнитивной психологии целый ряд авторов выдвигают идеи дифференциации и интеграции как ведущие принципы развития разных психических процессов и функций. Важность процесса интеграции подчеркивает немецкий психолог И. Хоффман: "Интеграция нескольких порций информации в сложные когнитивные структуры представляет собой основную закономерность восприятия и переработки информации человеком" [145, с. 255]. При этом И. Хоффман отмечает, что полученная в результате интеграции структура

содержит больше информации, чем было использовано для ее создания.

Таким образом, в развитии структур всегда одновременно действуют два закона: дифференциации и интеграции, и стратегия обучения должна основываться на этих законах.

2.4. Законы развития структур в принципах развивающего обучения

Попытаемся сейчас проследить, какую роль играет развитие когнитивных структур и законы структурной дифференциации и интеграции этих структур в основных принципах развивающего обучения.

При раскрытии процесса интеллектуального развития, как отмечает Н.Ф.Талызина [138, с. 5], следует учитывать, что оно идет по двум линиям. Первая линия -функциональное развитие. Она связана с накоплением все новых и новых видов интеллектуальных действий, с усвоением различных видов познавательной деятельности. Это, по терминологии Д. Нормана, процесс наращивания структур, процесс постепенного, количественного накопления знаний.

Вторая линия интеллектуального развития - линия качественных изменений в функционировании интеллекта, - создание структур, образование новых понятийных структур, новое осмысление, качественное обновление системы знаний, переход интеллекта с одной стадии на другую.

Эти две линии развития не изолированы друг от друга, каждая из них влияет и на вторую. Обучение имеет прямое отношение к первой из указанных линий развития, а через нее влияет и на вторую.

Положение о возможности и целесообразности обучения, ориентированного на развитие ребенка, было обосновано еще в 30-ые годы выдающимся русским психологом Л.С.Выготским. Внутреннюю связь обучения и развития Л.С. Выготский отразил в понятии "зона ближайшего развития", суть которого состоит в следующем: то, что на прошлом этапе ребенок решает с помощью других людей, в следующий раз он решает самостоятельно. Только такое обучение можно считать хорошим, которое создает зону ближайшего развития и тем самым идет впереди него.

Следует специально отметить, что Л.С. Выготский не связывал высокую эффективность обучения для развития со способами обучения. Он всегда подчеркивал ведущее значение для умственного развития содержания усваиваемых знаний. Тем самым он ориентировал педагогику на разработку и применение не столько эффективных способов обучения, сколько проблемы содержания обучения.

Одну из первых и весьма успешных попыток практически реализовать идеи Л.С. Выготского в нашей стране предпринял Л.В. Занков, который в 50-60-х гг. разработал принципиально новую систему начального образования, которая в настоящее время находит все больше и больше приверженников.

В системе Л.В.Занкова для эффективного развития учащихся, в том числе и их познавательных способностей реализуются следующие пять основных дидактических принципов. Во-первых, обучение должно вестись на высоком уровне трудности. Характер трудности определяется неразрывной связью этого первого принципа со вторым, в котором подчеркивается ведущая

роль теоретических знаний в обучении. Следовательно, имеется в виду не любая трудность, а трудность заключающаяся в уяснении структуры получаемых знаний, в познании взаимозависимости явлений, их внутренней существенной связи.

Принцип высокого уровня трудности находится в определенной зависимости от третьего принципа - идти вперед быстрым темпом. Но это не означает, что надо торопиться. "Этот принцип требует постоянного движения вперед. Непрерывное обогащение ума школьника разносторонним содержанием создает благоприятные условия для все более глубокого осмысления получаемых сведений, поскольку они включаются в широко развернутую систему." [108, с. 52] Принцип ведущей роли теоретических знаний связан с четвертым принципом - принципом осознания школьниками процесса учения. Этот принцип означает обращенность внимания школьников к самому процессу учебной деятельности.

Наконец, пятый принцип это принцип дифференцированного подхода к учащимся, "требующий, чтобы учитель вел целенаправленную и систематическую работу над общим развитием всех учащихся класса, в том числе и наиболее слабых"[108, с. 55].

Раскрывая теоретическую сущность своей системы, Л.В. Занков писал, что если охарактеризовать в самой общей форме построение экспериментальных программ, отличающих его систему, то "можно определить его как дифференциацию, то есть расчленение целого на многообразные формы и ступени, возникновение различий в процессе движения содержания" [108, с. 100-101]. Вся

система Л.В. Занкова, как заметила Н.И. Чуприкова, буквально пронизана реализацией закона системной дифференциации.

Центральное место в системе Л.В. Занкова занимает работа по четкому разграничению в познании учащихся разных признаков изучаемых объектов и явлений. Большое значение в этой системе имеет четкое разграничение сходных объектов и явлений, что помогает предупредить такое явление при запоминании, как интерференция.

Л.В. Занков отказался от рекомендации традиционной дидактики рассматривать каждый отрезок учебного курса как самостоятельную и "законченную единицу" и переходить к каждому новому отрезку лишь после того, как будет основательно усвоен предыдущий. В его системе "подлинное познание каждого элемента все время прогрессирует по мере овладения другими, последующими элементами предмета, и осознания соответствующего целого... " [108, с. 404]. Это положение Л.В. Занков назвал процессуальным характером своей системы. Смысл этого положения состоит в том, что познание элементов предмета происходит в процессе образования и развития соответствующих структур.

Таким образом, система Л.В. Занкова есть система обучения, во многом способствующая формированию и развитию когнитивных структур. Как показывает опыт, систематическая работа по этой системе приводит к большим сдвигам в развитии детей.

Однако в этой системе имеется и ряд недостаточно проработанных звеньев, что сказывается на усвояемости знаний школьниками, обучающимися по этой системе. Так, система Л.В.Занкова предусматривает изменение не

только целей и методов, но и содержания обучения. Однако в этой системе отсутствуют какие-либо теоретически обоснованные принципы отбора и построения содержания обучения, за исключением идеи Л.С. Выготского о ведущей роли теоретических знаний.

Недостаточно проработана идея о процессуальном характере обучения. На наш взгляд, процесс познания наряду с непрерывностью обладает и дискретностью, т.е. познание каждого элемента не может происходить все время поступательно. Такое познание идет как бы по спирали, проходит определенные этапы и каждый этап должен базироваться на предыдущем, характеризоваться определенной завершенностью и быть пропедевтикой следующего.

Идеи формирования и развития когнитивных структур получили воплощение и в другой теории развивающего обучения, созданной Д.Б. Элькониным и В.В. Давыдовым. Согласно этой теории построение учебных предметов должно способствовать формированию у школьников более высокого уровня сознания и мышления. Это должен быть уровень современного теоретического сознания и мышления.

Теоретическое мышление, о необходимости развития которого у учащихся говорит В.В. Давыдов, является по своему существу системным. "Теоретическое мышление имеет свое содержание, отличное от содержания эмпирического мышления, - это область взаимосвязанных явлений, составляющих целостную систему. Без нее и вне ее эти же явления могут быть объектом лишь эмпирического мышления." [45, с. 108].

Теоретическое мышление, по мнению В.В. Давыдова, имеет ряд характерных компонентов. Основными из них являются анализ, внутренний план действий и рефлексия.

Чтобы развивать у школьников теоретическое мышление, обучение каждому учебному предмету должно начинаться с наиболее общих неразвитых простых образований, однако содержащих в себе все потенции перехода к развитым целостным структурам. Это требование В.В. Давыдов сформулировал в форме следующего принципа построения учебных предметов: "Усвоение знаний, носящих общий и абстрактный характер, предшествует знакомству учащихся с более частными и конкретными знаниями, последние выводятся учащимися из общего и абстрактного как из своей единой основы" [45, с. 164]. Таким образом, это положение теории В.В. Давыдова фактически совпадает с принципом движения "от общего к частному", формирования в начале не отдельных элементов структуры, а ее фундамента, костяка.

Теория Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова на практике доказала свою жизнеспособность, получила широкое признание как в нашей стране, так и за рубежом. Программы и учебники, разработанные по системе развивающего обучения Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова имеют большие преимущества и находят все более массовое применение. Однако в практической реализации этой теории в обучении такому предмету, как математика, далеко не все обстоит гладко.

В теории Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова недостаточно детально проработан вопрос о диалектическом единстве эмпирического и теоретического мышления, о гармонии дедуктивного и индуктивного методов в обучении.

Как указывал О.К. Тихомиров, "в целом соотношения между разными видами мышления еще не выявлены" [136, с. 10]. Экспериментальные данные (А.З. Зак, Р.А. Атаханов) позволяют полагать, что имеется определенный период перехода индивида от эмпирического уровня развития математического мышления к теоретическому. Уровень развития мышления в каждом данном возрасте может быть оценен при помощи специальных заданий как внеучебного, так и учебного (математического) характера. Как отмечает Р.А. Атаханов, отсутствие содержательного анализа (первой ступени теоретического мышления) фиксируется у 83,3% третьеклассников, у 42,3% девятиклассников и у 40,4% студентов. Таким образом, у значительной части учащихся период перехода от эмпирического мышления к теоретическому может быть достаточно длительным, а некоторые из них так и не достигают уровня теоретического мышления.

Соотношение между эмпирическим и теоретическим мышлением долгие годы рассматривалось исследователями исходя из одностороннего понимания единства и борьбы противоположностей. В силу этого обстоятельства некоторые последователи и интерпретаторы теории Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова абсолютизировали дедуктивный метод и стали стремится к тому, чтобы обучение предмету всегда шло от общего к частному. О возможности нежелательных практических последствий такой абсолютизации дедуктивного метода, рассмотрения его как обязательного и универсального способа усвоения, в свое время предупреждала И.С. Якиманская [155, с. 22].

Весь многолетний опыт преподавания такой науки, как математика, свидетельствует о необходимости широкого

использования индуктивного метода, особенно на ранних стадиях обучения. Логика изучения этого предмета такова, что далеко не всегда возможно первоначальное знакомство с понятиями в их самом общем виде. Поэтому следует считать спорным утверждение В.В. Давыдова о преимущественности дедуктивного метода. Так В.А. Оганесян отмечает: "На наш взгляд, сочетание индукции и дедукции в изложении учебного математического материала, с постепенным нарастанием последней, более реально отражает возможности диалектического (в терминологии В.В. Давыдова - теоретического) мышления учащихся массовой общеобразовательной школы"[109, с.135].

В обучении оба способа изложения материала, от конкретного к абстрактному и от абстрактного к конкретному, должны взаимно дополнять друг друга, причем первый способ играет ведущую роль в развитии познавательных интересов, а второй - в развитии познавательных способностей. Сам В.В. Давыдов в своей книге пишет, что обучение в школе нужно вести так, чтобы оно в сжатой, сокращенной форме воспроизводило действительный исторический процесс рождения и становления знаний.

Если же мы взглянем на этот исторический процесс, то увидим, что количественно преобладает индуктивный метод. С помощью этого метода происходило постепенное, небольшими шагами, последовательное накопление знаний. Однако качественные скачки, прорывы в рождении знаний происходили с помощью дедуктивного метода. Яркими примерами таких прорывов могут служить создание неевклидовой геометрии или

теории относительности, которые были получены чисто дедуктивным путем.

Таким образом в обучении должны присутствовать оба метода, необходим определенный баланс между этими методами, причем, по-видимому, количественно (с постепенным уменьшением) должен преобладать индуктивный метод. Однако на каждом этапе обучения может и должно быть выделено несколько основных узлов информации, основных смысловых пунктов, центральных понятий, которые сначала даются в максимально возможном на данном этапе обучения общем виде, а уже затем детализируются и конкретизируются.

Иногда противопоставляют системы развивающего обучения В.В. Давыдова и Л.В.Занкова. Однако такое противопоставление не имеет никаких оснований. Обе эти системы имеют в своей основе идеи Л.С. Выготского, обе исходят из необходимости формировать у детей с самого начала обучения основы системного мышления, обе возникли как реакция на сложившийся в школе принцип "поэлементного" введения и усвоения знаний, обе не приемлют традиционный путь движения в обучении. При всем различии многих методических аспектов этих систем их исходные теоретические основы не противоречат друг другу и в равной мере отвечают общим универсальным законам формирования и развития структур.

Все лучшее из систем развивающего обучения В.В. Давыдова и Л.В. Занкова позволяет использовать социокультурный системный подход. Социокультурный подход, также как и система В.В. Давыдова, предполагает разработанность вопросов истоков содержания, исходного простого знания, вопросов формирования

структуры знаний, а также как и система Л.В. Занкова -вопросов последовательной структурной

дифференциации знаний. В то же время социокультурный подход свободен от упомянутых выше недостатков систем В.В. Давыдова и Л.В. Занкова.

В силу непротиворечивости различных систем развивающего обучения при практической реализации вполне возможно использовать элементы различных систем, что и пытаются сделать авторы некоторых новых учебников по математике. Таковыми являются, например, учебники по математике для начальной школы Л.Г. Петерсон и Н.Б. Истоминой, учебники для 5-6-х классов под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, учебные пособия для учащихся 5-9 классов, созданные группой томских ученых во главе с Э.Г. Гельфман, а также учебник по алгебре А.Г. Мордковича. Эти учебники на практике доказали свои достоинства в деле развития интеллектуальных возможностей учащихся.

Таким образом, психолого-педагогические принципы развивающего обучения основаны на законах развития структур и являются составной частью социокультурного системного подхода. В частности, для того, чтобы обучение было развивающим необходимо, чтобы оно строилось с учетом закона дифференциации структур -закона развития от общего к частному, и закона интеграции структур - закона развития от простого к сложному. Принципы развивающего обучения согласуются с целями высшей школы и поэтому их вполне возможно применять и в вузовском преподавании.

2.5. Понятие о схемах математического мышления

Эффективность и качество обучения математике определяются не только глубиной и прочностью овладения учащимися знаний, умений и навыков, но и уровнем их математического развития, степенью подготовки к самостоятельному овладению знаниями. Сами по себе математические знания и умения еще не определяют уровень умственного развития человека без умения использовать их в новых нестандартных ситуациях, без готовности к самостоятельному решению новых учебных проблем, не обязательно из области математики. Математическое развитие личности невозможно без адекватного содержания математического образования. В понятие "содержание образования" входит две стороны, две компоненты: информационная и познавательная.

Так, В.В. Давыдов считает, что знание следует рассматривать, с одной стороны, как результат мыслительных действий, а с другой - как процесс получения этого результата. "Следовательно, вполне допустимо термином "знания" одновременно обозначать и результат мышления (отражение действительности) и процесс его получения (т.е. мыслительные действия)" [46, с. 152]. И.С. Якиманская говорит о том, что для усвоения должны задаваться две системы знаний. Знания первого рода включают в себя научные сведения о предметах, фактах, явлениях в их связях и отношениях. В знаниях второго рода зафиксированы путь и методы получения этих знаний учеником [155, с. 10].

Известный дидакт И.Я. Лернер показывает, что кроме усвоения знаний о терминах и понятиях, фактах, законах

и теориях, школьники должны усваивать и методологические знания. "Последние включают в себя знания о методах, процессе и истории познания, о конкретных методах науки, о различных способах деятельности [80, с. 10]. Таким образом, математическое знание может трактоваться как результат и как процесс получения этого результата. Для математического развития наибольшее значение имеет именно процесс получения этого результата.

Как отмечал А.И. Маркушевич, "нет сомнения, что ознакомление с математическими фактами, разбор и усвоение математических теорем, выведение формул, решение значительного количества упражнений развивают способности человека и оказывают известное влияние на формирование его личности. Однако этими средствами, особенно средствами традиционными, к которым многие школы привыкли, задача математического развития и воспитания в той мере, в какой это требуется в современных условиях, в современном обществе, обеспечена быть не может" [85].

Поэтому одна из центральных задач - определение таких видов познавательной деятельности, усвоение которых эффективно влияет на развитие. Как отмечает Н.Ф. Талызина, результаты проведенных исследований говорят о том, что одно из главных требований к этим видам деятельности - их опора не на частные знания, а на такие, которые составляют основу значительных разделов изучаемых предметов, являются инвариантными. Формирование таких видов познавательной деятельности фактически и есть путь для обеспечения обучаемых познавательными способностями [138, с. 6]. Нас будут

интересовать специфические виды математической познавательной деятельности.

Во всех случаях при организации усвоения видов познавательной деятельности необходимо опираться на деятельностную теорию усвоения, заложенную трудами П.Я. Гальперина. Согласно этой теории усвоения, знания всегда являются элементами тех или иных видов деятельности, действий человека. Поэтому достижение необходимого развивающего эффекта обучения возможно на базе реализации деятельностного подхода, который предполагает усвоение учащимися содержания обучения в процессе собственной активной деятельности, направленной на приобретение теоретических знаний о предмете обучения и общих приемов решения связанных с ними задач.

В силу этого при обучении любому предмету, в том числе и математике, должна быть, как указывает Н.Ф. Талызина, не только программа предметных знаний, но и программа тех действий (умений), которые учащиеся используют в качестве средств усвоения этих знаний, т.е. обучение должно одновременно обеспечить усвоение и этих действий, и этих знаний.

Для реализации функции развития учащихся, как отмечает З.И. Слепкань, необходимо сформировать общие и специфические для математики умственные действия и приемы, для чего "нужна целенаправленная систематическая работа по формированию у учащихся операционных структур мышления на ведущем программном материале" [126, с.20].

О.Б. Епишева также делает вывод о том, что для достижения поставленной цели в содержание обучения наряду с системой знаний необходимо включать

адекватную ей систему наиболее рациональных способов (приемов) приобретения и применения этих знаний [53].

Необходимо учить учащихся применять, использовать свои знания, т.е. организовывать свою умственную математическую деятельность. Формирование этой деятельности является одной из основных задач обучения.

Таким образом, для обеспечения математического развития у школьников и студентов должны быть сформированы не только алгебраические, порядковые и топологические структуры, которые представляют собой прежде всего системы хранения знаний. Необходимо сформировать и структуры, которые выше мы назвали математическими когнитивными схемами и которые представляют собой определенные качества математического мышления, которые являются прежде всего средствами, методами познания. Поэтому такие структуры можно также назвать схемами математического мышления.

К таким структурам мы относим логические, алгоритмические, комбинаторные и образно-геометрические структуры. Именно такого сорта структуры Ж. Пиаже называл операциями второго порядка или операциями над операциями, а И.С. Якиманская знаниями второго рода. Эти специфические схемы математические мышления мы подробнее рассмотрим в следующем разделе.

При обучении могут быть два пути усвоения схем математического мышления: стихийный и управляемый. В первом случае схемы мышления не выступают как специальные предметы усвоения, их становление идет лишь по ходу усвоения знаний, в процессе решения

задач, где они занимают место средств и поэтому зачастую не осознаются. В этом случае процесс формирования схем (методов) математического мышления растягивается во времени и далеко не всегда приводит к желаемому результату. При втором пути схемы мышления выступают как предметы специального усвоения. В силу управления процесс их формирования сокращается во времени и приводит к более эффективному усвоению.

Процесс формирования схем математического мышления не единовременен, он состоит из отдельных этапов. Организация формирования схем математического мышления должна учитывать возрастные особенности учащихся, закономерности развития у них мыслительных процессов. Необходимо создание своеобразных концентров изучения таких схем. В каждом концентре должны быть реализованы определенные этапы формирования конкретной схемы. Такие ступени, этапы формирования схем математического мышления мы рассмотрим в главе 5.

Таким образом, из деятельностной теории вытекает, что при социокультурном подходе, как и в любом развивающем обучении приоритет должно получить не традиционная передача готовых знаний, формирование не любых математических структур, а формирование именно схем (средств, методов) математического мышления, математической деятельности.

При проведении реформы 60-70-х годов существенным недостатком стратегии отбора содержания обучения математике явилось то, что ее авторы, опираясь на отдельные результаты Ж. Пиаже, ограничились попытками внедрения в школьную математику только алгебраи-

ческих, порядковых и топологических структур и не уделили внимания другим видам математических структур, схемам математического мышления, играющих особую роль в исследовательской активности, в образовании новых понятийных структур.

2.6. Основные виды схем математического мышления

Схемы (структуры) математического мышления (логические, алгоритмические, комбинаторные, образно-геометрические) отличаются от других математических когнитивных структур (алгебраических, порядковых и топологических) тем, что представляют собой прежде всего не системы хранения знаний, а средства познания. Поэтому для таких структур, как уже отмечалось, будем преимущественно использовать термин "схемы", предложенный У. Найссером.

Значение каждого из отмеченных видов структур для развития математического мышления, математических способностей уже давно было замечено педагогами-математиками и подтверждено многочисленными исследованиями.

Под логическими схемами мышления (или логическим мышлением) будем понимать такие когнитивные структуры, такие средства познания, которые позволяют делать из верных посылок (суждений, утверждений) правильные выводы, находить правильные следствия из имеющихся фактов. Логические схемы проявляются в четкой расчлененности и последовательности рассуждений, в использовании в рассуждениях законов формальной логики, различных логических таблиц, аналогичных таблицам истинности, конструировании целого из заданных частей с заданными

свойствами, использовании приема доказательства "от противного", обращении к контрпримеру и другим приемам доказательства.

Как отметил А.А. Столяр, "проблема введения элементов логики в обучение математике состоит не в том, чтобы изучать специально и обособленно логику, а в том, чтобы необходимые элементы логики стали неотъемлемой частью самого преподавания математики, важным вспомогательным инструментом, повышающим его эффективность и влияние на логическое развитие учащихся" [131, с. 215]. Более того, как отметил в своей книге Л.М. Фридман, исследования И.Л. Никольской, специально изучавшей эту проблему, показали, "что кратковременное обучение логическим понятиям не дает заметного эффекта. Такой эффект можно достичь, если обучение логическим понятиям проводить в течение продолжительного времени, когда эти понятия органически вплетены в курс математики" [139, с. 45].

Под алгоритмическими схемами мышления (алгоритмическим мышлением) мы будем понимать такие когнитивные структуры, которые позволяют не только применять известные алгоритмы и методы, но и спланировать некоторые действия, приводящие к желаемому результату, т.е. построить некий алгоритм, и довести до конца намеченный план решения задачи, выполняя конечную цепочку элементарных преобразований.

Как отмечал А.А. Столяр, формулировка и применение алгоритмов связаны с умением четко формулировать правила и строго придерживаться их. Это умение - одно из качеств математического мышления - важно для каждого человека [131, с. 88].

Общеобразовательная сущность алгоритмизации, предпосылки проведения сквозной алгоритмической линии в школьном преподавании математики были выявлены М.П. Лапчиком. К компонентам алгоритмической культуры им были отнесены: 1) интуитивное владение понятием алгоритма и его свойствами, 2) владение средствами и методами описания алгоритмов, 3) четкое владение алгоритмами школьного курса математики, 4) понятие о программировании.

Мы вслед за А.А. Столяром к алгоритмическому мышлению относим наряду со всеми этими компонентами умение формулировать и строить алгоритмы.

Как отмечают многие ученые-педагоги освоение понятия алгоритма начинается уже в начальной школе, и формирование алгоритмического мышления у младших школьников в настоящее время является одной из важных задач.

Имеется, на наш взгляд, определенное соответствие между алгоритмическим мышлением и таким видом теоретического мышления, как внутреннее планирование действий, выделенным В.В. Давыдовым. В частности, в исследовании Я.А. Пономарева [113] в качестве основного средства для изучения развития внутреннего плана действий в процессе обучения школьников использовались алгоритмические задачи, т.е. проверялось развитие именно алгоритмического мышления.

Как следует из результатов исследований Я.А. Пономарева и отмеченного соответствия, по крайней мере для младших школьников, отсутствует однозначная обусловленность развития алгоритмического мышления ранее достигнутым уровнем, достигнутый уровень

развития алгоритмических схем не определяет полностью их дальнейшего развития, а представляет собой лишь одно из условий такого развития, алгоритмические схемы мышления не устойчивы во времени, требуют тренировки, поэтому единовременное их формирование не эффективно.

Понятие комбинаторных схем (структур) не имеет четко очерченных границ. Впервые термин "комбинаторный" в том смысле, в котором мы его употребляем сегодня, по-видимому, использовал Г. Лейбниц в своей "Диссертации о комбинаторном искусстве". В дальнейших своих работах Г. Лейбниц, как отмечает один из крупнейших специалистов в комбинаторном анализе Дж. Пойа, все больше и больше расширял сферу применения комбинаторики и даже стал рассматривать комбинаторику как половину общего Искусства Изобретения, эта половина относится к синтезу, в то время как другая - к анализу.

В современной математике под комбинаторикой понимается раздел, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными правилами (Мат. энц. т. 2). По другому определению, комбинаторная математика в современном понимании рассматривает задачи на существование, эффективное построение, перечисление и оптимизацию объектов, зависящих от сравнительно большого числа дискретных переменных. В последнее время возможности перебора объектов резко повысились в связи с развитием компьютерной техники, что обусловило рост комбинаторных исследований в различных областях математики.

В математике, как учебном предмете, содержание раздела, посвященного комбинаторике, традиционно было достаточно узким. Во многих школьных учебниках и книгах для учителей отмечается, что комбинаторика занимается подсчетом числа всевозможных соединений (комбинаций) того или иного вида. Чаще всего рассматривались комбинации трех видов (размещения, сочетания, перестановки) и приводились формулы для подсчета их количества. Недостаточность в современных условиях такого традиционного понимания предмета комбинаторики отмечалась в диссертационной работе О.С. Медведевой.

Она предложила значительно более широкое толкование термина "комбинаторный" и отметила некоторые характеристики комбинаторного стиля мышления, которые мы привели выше. На наш взгляд, такая характеристика, как универсальность (независимость от конкретного математического материала), отмеченная ею, относится и к другим математическим схемам мышления. Остальные характеристики: антиустановочность; гибкость (смена внутреннего плана действий как в процессе поиска решения задачи, так и в процессе ее решения); организация целенаправленного перебора определенным образом ограниченного круга возможностей - вполне могут относиться к характеристике этого вида структур мышления.

Весь опыт преподавания в школе элементов комбинаторики свидетельствует о необходимости их постепенного и систематического привнесения, прежде всего через задачи.

Комбинаторные схемы мышления используются при решении не только задач по комбинаторике, но и многих

других математических задач. Так, арифметический метод решения текстовых задач, по мнению О.С. Медведевой, относится к комбинаторному стилю мышления (по нашему мнению, в арифметическом способе кроме комбинаторных схем используются также логические и алгоритмические схемы мышления). К комбинаторным схемам может быть отнесен и такой, часто используемый в математике прием, как принцип Дирихле (хотя он может быть отнесен и к логическим схемам, поскольку в нем используется прием доказательства от противного).

Комбинаторные схемы тесно связаны с другими математическими структурами, особенно с порядковыми. Одной из основных задач комбинаторики, как известно, является образование упорядоченных множеств и подмножеств.

Имеется, на наш взгляд, некоторая аналогия между тремя рассмотренными видами математического мышления или математических схем и тремя видами теоретического мышления, выделенными В.В. Давыдовым (анализом, внутренним планом действий и рефлексией). Мы уже отмечали определенное соответствие между алгоритмическими схемами и внутренним планом действий.

Анализ в классическом понимании - это мысленное расчленение предмета познания на части, а способность вычленять все частные случаи из некоторого общего положения мы относим к логическим схемам мышления. Можно заметить много общего в характеристиках логического и аналитического типов мышления. То есть в некотором смысле можно говорить о подобии содержательного анализа и логического мышления.

Слово "рефлексия" переводится как отражение, обращение назад, размышление, т.е. применительно к мышлению человека это слово означает обращение субъекта к собственным действиям. Среди психологов нет однозначного понимания этого термина. Так, Ю.А. Самарин рефлексию понимал как факт вычленения из комплекса знаний "самого способа их добывания", Д.Б. Эльконин - как "умение сознательно рассуждать и управлять мыслительными процессами", А.З. Зак - как "способность человека достигать некоторую цель в максимально широком круге условий". Эти характеристики хотя и не совпадают, но весьма близки к характеристикам комбинаторного мышления. Ж. Пиаже, как уже отмечалось, связывал образование комбинаторных операций с возникновением рефлексивного мышления.

В исследовании Р.А. Атаханова было установлено, что уровень осуществления анализа представляет собой первый уровень теоретического мышления; второй уровень - это уровень осуществления планирования, он предполагает наличие анализа; третий уровень - это уровень осуществления рефлексии, он предполагает наличие также анализа и планирования.

Нечто подобное наблюдается и в соотношении между логическими, алгоритмическими и комбинаторными схемами. Так для построения алгоритма необходимо, прежде всего, вычленить все частные случаи из некоторого общего положения, а такую способность мы относим к логическим схемам мышления, т.е. для формирования алгоритмических схем необходимо уже владеть некоторыми логическими схемами. Тесная связь

логической и алгоритмической культуры неоднократно отмечалась рядом ученых. А для организации перебора (одной из главных комбинаторных задач) необходимо построить некоторый алгоритм, т.е. для формирования комбинаторных схем необходимо наличие некоторых логических и алгоритмических схем.

Некоторым особняком от трех рассмотренных видов схем стоят образно-геометрические схемы мышления. Образно-геометрические, в частности пространственные, структуры играют незаменимую роль в геометрическом воображении, геометрической интуиции. Эти схемы позволяют наглядно интерпретировать абстрактные математические объекты, выражения и отношения, оперировать наглядными схемами, образами и представлениями. Как отмечает Ян Стюарт, большинство математиков мыслит не формулами, а образами. Картинки несут гораздо больше информации, чем слова. В течение многих лет школьников отучали пользоваться картинками, потому что они "не строгие". Это печальное недоразумение. Да они не строгие, но они помогают думать, а такого рода помощью никогда не следует пренебрегать [133, с. 15].

По мнению И.Ф. Шарыгина, геометрия - это прежде всего феномен общечеловеческой культуры, являющийся носителем собственного метода познания мира. Геометрическое мышление в своей основе является разновидностью образного, чувственного мышления, что функционально присуще правому полушарию головного мозга; по мере развития геометрического мышления происходит возрастание логической составляющей и соответственно роли левого полушария. [149, с. 6].

Роль зрительных образов в мышлении человека была сравнительно недавно осознана и учеными-психологами. В.П. Зинченко был введен специальный термин: "визуальное мышление". Методические основы использования средств развития визуального мышления при обучении математике были рассмотрены в докторской диссертации Н.А. Резник.

Сензитивным периодом для развития образных компонентов мышления является школьный возраст до 12-13 лет. Исследования психологов показали, что представления о геометрических фигурах находятся в стадии прогрессивного развития до 15 лет. Поэтому образное мышление и его разновидность - пространственное мышление целесообразно развивать у учащихся средней школы уже в V-VI классах.

Высшей ступенью развития геометрического воображения является пространственное мышление, оно характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конструкции изучаемых объектов и выполнять над ними мысленные операции. Пространственное мышление, как показывается в фундаментальном исследовании И.С. Якиманской [156], следует рассматривать как разновидность образного мышления. И.С. Якиманская описала структуру пространственного мышления и разработала диагностику его развития. Развитием ее идей, а также идей Ж. Пиаже, являются исследования структуры пространственного мышления, предпринятые И.Я. Каплуновичем.

Все выделенные схемы математического мышления обладают одной общей характерной чертой: их формирование возможно осуществить лишь в течение

длительного времени, используя сензитивные возможности их развития в каждом возрастном периоде.

Следует заметить, что хотя комбинаторные операции, как отмечалось в пункте 1.4, рассматривались еще в некоторых работах Ж. Пиаже, однако проблема выделения различных видов схем математического мышления нуждается в дальнейших серьезных психологических исследованиях.

Таким образом, из всех математических структур для стратегии обучения особое значение имеют логические, алогоритмические, комбинаторные, образно-геометрические и стохастические структуры, представляющие собой определенные качества математического мышления, являющиеся схемами (методами) мышления, математической деятельности.

Глава 3. Стратегия построения математических курсов

Как показано выше, основной путь интеллектуального научения и, в частности, математике - это деятельность по формированию когнитивных математических структур (понятий, принципов, методов) и их применение. Соответственно, обучение математике можно рассматривать как управление процессом формирования и накопления соответствующих когнитивных структур учащимися. Для эффективности обучения управление этим процессом должно следовать нескольким основным дидактическим принципам.

Вопрос о принципах обучения или принципах преподавания - это наиболее спорная часть дидактики. В ее рамках существуют крайне противоположные мнения,

часто противоречащие друг другу. Эта свобода в понимании принципов и создании систем принципов проистекает в значительной мере из несогласованности в понимании самого термина "принцип". В отечественной дидактике наиболее всесторонне принципы обучения были рассмотрены в работах Ю.К. Бабанского, М.Н. Скаткина, СИ. Архангельского, В.И. Загвязинского и др. В зарубежной науке этот вопрос рассматривался в работах Дж. Брунера, В. Оконя и др.

Как отмечает М.Н. Скаткин, принципы обучения -категория историческая. Дидактика должна чутко улавливать изменения требований общества к образованию подрастающего поколения, строить такую систему принципов обучения, которая верно указывала бы общее направление движения к цели. При этом необходимо бережно сохранять и усовершенствовать оправдавшие себя ранее выработанные принципы [125, с. 52].

Основные дидактические принципы отбора содержания обучения математике и построения математических курсов рассматривались многими авторами. Хотя у разных авторов наблюдается различные толкования этих принципов и выдвигается разное их количество, имеются принципы, которые признаются большинством ученых и являются классическими. Наиболее полно такие классические дидактические принципы были рассмотрены в докторской диссертации В.А. Оганесяна. Дидактические принципы, как им было показано, должны образовывать целую систему. В такую методическую систему им были включены принцип развивающего и воспитывающего обучения, принцип

научности и доступности, принцип систематичности и последовательности, принцип связи обучения с жизнью.

Во второй главе нашей книги был подробно рассмотрен один из таких принципов - принцип развивающего обучения, и показаны роль и значение формирования когнитивных репрезентативных структур в реализации этого принципа. Ниже мы рассмотрим роль формирования и развития когнитивных математических структур в реализации и других классических дидактических принципов при обучении математике.

Целый ряд авторов (В.А. Далингер, А.Н. Колмогоров, А.Г. Мордкович, Р.С. Черкасов и др.) отмечают необходимость рассмотрения дидактических принципов, не входящих в список В.А. Оганесяна. При построении таких больших курсов, растянутых во времени, каким является курс математики, необходимо соблюдать еще несколько принципов. К таким дополнительным принципам построения содержания, являющимися необходимыми условиями реализации научности, доступности, систематичности и последовательности, относят генерализацию знаний или выделение стержней курса; внутрипредметные связи; построение программы "по спирали". Последний принцип разбивается на две взаимосвязанные части: преемственности и многоступенчатости обучения. Принцип связи обучения с жизнью или принцип практической направленности обучения необходимо расширить. Обучать надо, опираясь не только на опыт материальной деятельности общества, но и духовной деятельности. В результате мы приходим ко всем трем взаимосогласованным стратегиям обучения социокультурного системного подхода: стратегии отбора,

стратегии поэтапного длительного обучения и стратегии обучения на социокультурном опыте.

3.1. Принцип генерализации знаний

Определяющим принципом построения любого математического курса является требование его структурности (системности), которое вытекает из структурности (системности) самих математических знаний. Структурность курса предполагает четкое выделение стержней курса, его основных идей, а также рассмотрение всего многообразия их связей. Этот принцип не был выделен В.А. Оганесяном в качестве основных, но он выделяется во многих других педагогических исследованиях, хотя и носит разные названия, и именно его мы рассмотрим первым.

Принцип генерализации знаний означает, что начинать построение курса надо с истоков, с выделения основных структур и понятий и организовывать материал обучения в порядке логического развертывания этих структур и понятий по мере их конкретизации в систему математической науки. Изучение конкретных математических структур должно осуществляться таким образом, чтобы в первую очередь выявлялись наиболее их общие, фундаментальные свойства; для этого начинать ознакомление с главного, с общего, не с элементов, а со структуры.

Используя этот принцип, можно сформировать не только отдельные знания, отдельные качества какого-либо вида мышления, но и всю его структуру, раскрыть внутренние связи и отношения фундаментальных понятий, показать их проявления на конкретных фактах и явлениях действительности.

Фактически это положение содержалось еще в учении Я.А. Коменского, согласно которому, что мы отмечали во второй главе, в обучении, с самого его начала, в ум ребенка должны быть вложены некоторые фундаментальные, базовые "корневые и стволовые" общенаучные основания. Это значит, что расположение изучаемого материала должно быть таково, чтобы все последующее вытекало из предыдущего, было его развитием, а не представляло бы собой совсем нового знания.

Американский психолог Дж. Брунер также считает, что целью обучения должно стать овладение учащимися прежде всего структурой того или иного предмета. Учебные программы следовало бы составлять исходя из наиболее общих принципов, которые отражают структуру того или иного предмета. Эти общие принципы и самые основные понятия каждого курса следует изучать в первую очередь, освободив их от конкретного содержания. Как отметил А. Пуанкаре, "именно в изложении основных принципов нужно избегать излишних тонкостей. Здесь они и не привились бы и к тому же были бы бесполезны" [116, с. 361].

Особое значение этот принцип имеет в математическом образовании будущего педагога. Говоря об отличии математического образования математика-исследователя и математика-педагога, Б.В. Гнеденко пишет: "Если от математика-исследователя требуется, помимо широкого математического образования, глубокое проникновение в какой-нибудь ее узкий раздел, то от математика-педагога требуется нечто иное. Прежде всего он должен представлять себе структуру современной математики в целом" [36, с. 40].

Фактически принцип генерализации знаний, но в несколько ином толковании - "выделение главного", как один из важнейших принципов обучения математике, был выдвинут И.Д. Пехлецким. В его контексте "главное" - это любая математическая идея (конструкция, формула, формулировка и т.п.), которая должна быть рассмотрена на данном этапе обучения ради достижения важной цели. Эти цели, так и "главное" образуют сложную иерархическую структуру, имеющую много уровней по всем своим характеристикам и параметрам. "Главное" определяет выбор тех форм или методов обучения, которые позволяют заложить наиболее прочные знания об основах изучаемых структур.

Этот принцип находится в соответствии с основным положением теории В.В. Давыдова: чтобы развивать у школьников теоретическое мышление, обучение каждому учебному предмету должно начинаться с наиболее общих неразвитых простых образований, однако содержащих в себе все потенции перехода к развитым целостным структурам.

Этот принцип соответствует и основным положениям современной когнитивной психологии, согласно которым чем лучше развита и струкурно организована когнитивная система, тем дольше и прочнее сохранение материала в памяти. В более развитой и сложной по структуре когнитивной системе идет более глубокий и всесторонний анализ поступающей информации. А это является одной из главных предпосылок прочного и длительного запоминания любого материала. Аналогичные мысли высказывал и Дж. Брунер: "Быть может самое главное, что можно сказать о памяти человека после столетия интенсивных исследований, это то, что до

тех пор, пока какой-либо частный факт не согласован со структурой, он быстро забывается. Отдельные детали материала сохраняются в памяти посредством включения их в определенную структуру или схему... Обучение общим или основным принципам способствует сохранению материала в памяти, позволяет нам восстановить отдельные подробности, когда это необходимо. Хорошая теория является не только средством понимания явлений, но и средством их последующего воспроизведения в памяти." [21, с. 25-26].

Генерализация знаний позволяет обеспечить и лучшее понимание, поскольку порождает структуру, которая значительно сильнее взаимодействует с новыми знаниями, чем отдельные факты. А чем больше разных связей новых знаний с уже имеющимися в долговременной памяти может быть установлено, тем глубже и шире понимание нового материала, тем лучше он усваивается. Ведь для этого уже существуют необходимые когнитивные структуры, которые должны развиваться дальше, усложняться и и усовершенствоваться при усвоении нового.

На необходимость генерализации знаний указывала и Е.И. Лященко: "Для того, чтобы заложить прочные основы формирования теоретического мышления, необходима генерализация знаний, т.е. объединение разрозненных понятий на основе общей математической идеи. Следуя этому принципу, содержание предмета должно представлять собой единое целое по научным идеям и методам его изложения. Рассмотрение каждого отдельного факта только тогда будет эффективно, когда этот факт явится частностью какой-то общей системы, но частностью, вытекающей из общего" [82, с.7].

Генерализация знаний позволяет из основных понятий как на стержнях построить скелет математики. Об этом писал еще Ф. Клейн: "чисто логические концепции должны составить, так сказать, жесткий скелет организма математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность" [62, с. 33]. Этот скелет в качестве связующих стержневых понятий, изучаемых на протяжении всего курса математики и тесно взаимосвязанных, и должны составить математические структуры.

Как уже отмечалось, в современной трактовке (Л.Д. Кудрявцев и др.) математические структуры включают в себя структуры, являющиеся математическими моделями реальных явлений. О том, чтобы сделать понятие математической модели стержневым писал А.Д. Мышкис: "Думается, что понятие математической модели и некоторые общие положения, с ним связанные, должны в той или иной форме иллюстрироваться на протяжении всего курса математики, в том числе непременно при изложении математического анализа" [102, с.8].

В качестве примера такого построения курса математики, в качестве идейного стержня которого выступают математические модели, является новый школьный курс алгебры, разработанный А.Г. Мордковичем и включающий в себя программу, учебник и учебные пособия. Математические модели у А.Г. Мордковича напрямую связаны с функциями, поэтому функция также становится ведущей идеей курса почти во всех разделах. Так в 7-м классе основной темой является линейная функция, которая соответствует равномерным процессам, в 8-м - квадратичная функция, моделирующая равноускоренные процессы, в 9-м - тригонометрические функции: они моделируют периодические процессы, в 10-

м появляется показательная функция, моделирующая процессы органического роста.

Такая сконцентрированность программы А.Г. Мордковича вокруг главных тем, главных стержней способствует реализации в ней следующих особенностей структуры программы:

-принципа крупных блоков;

-принципа отсутствия тупиковых тем;

-принципа логической завершенности в пределах учебного года;

-принципа детерминированности, т.е. обоснованности порядка следования друг за другом тем и подтем курса.

Выделение общих, ведущих понятий в курсе математики является, как отметил В.А. Далингер, необходимым условием реализации внутрипредметных связей. Эти понятия, по его мнению, должны удовлетворять следующим критериям:

- формировать у учащихся научное мировоззрение,

- значительно чаще других понятий служить средством изучения различных вопросов математики,

- активно работать на протяжении большого промежутка времени,

- способствовать наиболее полной реализацией внутрипредметных, а в конечном счете и межпредметных связей,

- иметь прикладную, практическую (добавим и гуманитарную) направленность.

Сам термин "ведущие понятия" был введен в педагогическую науку В. Л. Гончаровым. Ведущие понятия выполняют в учебном курсе роль "организаторов" знания и эта роль не описательная, а объяснительная. Примерами таких понятий могут

служить числа, величины, отношения, фигуры, функции, уравнения, неравенства, алгоритмы, равносильность и т.д.

С точки зрения когнитивной психологии понятие - это специфическая когнитивная структура, которую отличает иерархический принцип организации и системный характер. Место данного понятия всегда в системе связей с другими понятиями.

О значении основных понятий писал и Дж. Брунер: "Усвоение основных понятий, по-видимому, обеспечивает... адекватный "перенос упражнения". Понять нечто как частный случай более общей закономерности - а именно это и имеется в виду, когда говорят о понимании основных принципов или структур, - значит овладеть не только каким-то конкретным содержанием, но и способом понимания подобных явлений, которые затем могут встретиться." [21, с.26].

Выделение основных понятий способствует не только теоретическому обогащению, но и упорядоченности всей понятийной структуры курса. Ведущие понятия дают возможность более строго, более научно, во многих случаях с единой точки зрения, изложить многие вопросы как школьного курса математики, так и вузовских математических курсов, с общих позиций взглянуть на уже известные факты.

Особое внимание следует уделить начальному этапу при введении ведущих понятий. По мнению А.Н. Колмогорова, "выделение нового общего понятия должно получать некоторое, достаточно убедительное оправдание уже в эвристическом введении, предшествующем формальному определению, или же непосредственно после его появления" [65].

По мнению Е.И. Лященко, при введении основных понятий курса необходимо соблюдать генетический подход, который может проявляться различно. Возможен исторический анализ возникновения понятия и соответственно этому - метод введения понятия на основе его исторического развития. А можно показать генезис получения слов в математическом языке. Такой подход позволяет не только ввести то или иное понятие, но и раскрыть иерархию (содержательную и формальную) понятий, что при опоре на понятие структурности знаний будет служить благоприятной основой сознательного изучения предмета.

Выделив при построении курса или темы основные, определяющие структуру этого курса или темы понятия (отношения, свойства), необходимо найти для них символические выражения, общие для всего курса или получающие постепенное развитие.

При введении ведущих понятий не обязательно сразу давать их строгое определение. Убежденность в дидактической целесообразности отказа от формальных определений некоторых ведущих понятий при их первоначальном изучении, в частности понятий производной и интеграла, высказал М.И. Башмаков. Отвечая на возникающие при этом возражения, М.И. Башмаков замечает, что определение нового понятия с помощью набора слов, все связи между которыми не может охватить ученик, является обманом, имеющим гораздо худший воспитательный эффект, чем честный отказ от формального определения (пример -определение предела на языке s-ô). Роль же дедуктивного метода (в его формальном понимании) для целей

обучения математике сильно преувеличена. Математика -содержательная наука, ее методы не сводятся к построению цепочек силлогизмов [12].

В своем уже упоминавшемся учебнике А.Г. Мордкович отказался от формулировки определения функции при первом упоминании этого понятия и ограничился описанием, не требующим заучивания. Он считает не только возможным, но и полезным употребление школьниками начиная с 7-го класса таких, например, терминов, как непрерывность функции, наибольшее и наименьшее значения функции, без знания точных математических определений этих понятий.

Должна сохраниться достаточная пропедевтика ведущих понятий с учетом возрастных особенностей учащихся. При этом следует соблюдать разумное сочетание исторического и логического развития математики, находить разумный компромисс между строгостью, доступностью и прикладной направленностью.

Важно не допустить нарушения такого компромисс при реализации принципа генерализации знаний. В ходе реформы математического образования наблюдалось стремление как ряда психологов, так и ряда педагогов-математиков к одностороннему пониманию этого принципа. Так, Дж. Брунер высказывал мнение, что "если учитывать особенности мышления растущего ребенка, если уметь переводить изучаемый материал в его логические формы и уметь стимулировать усвоение материала, можно уже в раннем возрасте познакомить ребенка с понятиями, которыми владеет всякий образованный человек." [21, с.50].

Эти слова Дж. Брунера являются скорее мечтой педагога, чем научной рекомендацией, проверенной

опытом. Действительно, проведенные эксперименты (Ж. Папи, К. Гаттеньо) показали, что можно знакомить детей с понятиями современной математики. Однако при этом оказывается необходимым делать такие упрощения, что изложение той или иной математической идеи получается примитивным и практически бесполезным.

3.2. Принцип взаимосвязанности знаний

Принцип взаимосвязанности знаний предполагает рассмотрение совокупности устойчивых связей, обеспечивающих целостность изучаемого объекта. То, чему учат, должно иметь много связей - этого требовал еще Я.А. Коменский. Как отмечает Г. Фройденталь, "здоровым принципом является изучать не изолированные крохи, а согласованные разделы. То, что взаимосвязанно, легче изучается и легче удерживается" [139, ч.1, с. 62].

Таким образом, этот принцип лежит в основе внутри- и межпредметных связей. Внутрипредметные связи генетически восходят к научным связям. Однако имея сходство, связи в науке и внутрипредметные связи имеют и существенные различия. Они определяются в первую очередь различием тех целей и задач, которые стоят перед научным исследованием и школьным образованием.

Учебный предмет отражает основы науки и не повторяет полностью ее содержание. По разному происходит и накопление знаний. Притом, если накопление научных знаний идет по пути дифференциации, когда та или иная наука разделяется на ряд частей, смежных научных областей, то содержание учебного предмета строится по принципу интеграции, когда знания этих

смежных областей объединяются в стройную систему научных понятий. Поэтому объективную сторону реализации внутрипредметных связей в процессе обучения составляет взаимопроникновение интеграции и дифференциации в науке.

Как было показано выше, научные связи в математике наиболее полно отражаются в виде математических структур, а при обучении формируются и развиваются соответствующие им когнитивные структуры. Основными же законами развития структур являются законы дифференциации и интеграции. Поэтому можно утверждать, что формирование и развитие представлений о математических структурах, иными словами когнитивных математических структур, является основой и условием реализации внутрипредметных связей в процессе обучения математике.

Дедуктивный характер математики как науки диктует особую необходимость построения учебного математического материала так, чтобы внутрипредметные связи были действенными. Особое внимание должно быть уделено связям между различными математическими структурами, а не изолированным фактам.

Математические структуры, будучи тесно взаимосвязанными, создают объективную основу такого построения учебного процесса, при котором как при изложении теоретического материала, так и при формировании практических умений и навыков происходит интеграция различных содержательно-методических линий в этом процессе. Среди этих линий обязательно должны присутствовать линия обобщающего повторения

и линия формирования потребностей к углублению знаний.

В традиционном школьном обучении, как отмечал А.А. Столяр, внутри алгебры нет связи между различными темами, школьная алгебра выглядит конгломератом из разнородных, плохо связанных между собой частей. Изолированность отдельных тем наблюдается и в геометрии [131].

Проблема внутрипредметных и межпредметных связей в процессе обучения математике занимает подобающее ей место в школьной методической науке. Этой проблеме посвящены исследования В.А. Далингера, К.И. Нешкова и др.

По мнению Ж. Дьедонне "только аксиоматический метод позволяет установить связь между различными новыми открытиями, классифицировать их, присоединять их к предыдущим результатам, часто их упрощая, а иногда увеличивая их содержание, анализируя до глубины их возможности и поднимая их на большую принципиальную высоту" [51, с. 53]. На наш взгляд, нельзя сводить установление связи между понятиями только к аксиоматическому методу. Конструктивный путь не менее эффективен. Да и весь ход реформы математического образования показал, что совершенно был прав Р. Курант, когда говорил об опасности чрезмерного подчеркивания аксиоматико-дедуктивного характера математики.

Через установление связей между различными математическими структурами достигается должная научность содержания, выраженная не столько в строгости его изложения, сколько в логически правильной последовательности и систематичности

построения в системе его внутренних взаимосвязей. Разумеется, что при этом необходим полный учет и психолого-педагогических факторов.

В. А. Далингером был указан ряд средств для достижения этой цели. Отметим следующие из них:

1) проведение в курсе единой научной концепции;

2) создание и использование по возможности единого языка, обеспечивающего необходимую взаимосвязь;

3) выявление системы ведущих понятий;

4) определение на основе выделения ведущих понятий содержательно-методических линий курса, группирующих другие понятия;

5) определение наиболее эффективной, с точки зрения внутрипредметных связей, структуры курса и последовательности его изучения.

По мнению В.А. Оганесяна, средство 2) показало свою несостоятельность на примере использования теоретико-множественного языка в школьном курсе математики. Однако, по нашему мнению, как раз наоборот, исключение теоретико-множественных обозначений нанесло сущестенный урон не только внутрипредметным связям, но и изучению математики в целом. На важность сохранения теоретико-множественного языка в школьном курсе математики указывали также А.Д. Александров, С.Л. Соболев, Н.Я. Виленкин и др.

Особую актуальность приобретает взаимосвязанность знаний в вузовском преподавании математики. Вуз должен дать студентам представление о математике в целом, чему в значительной степени препятствуют "стены" между отдельными вузовскими предметами, отсутствие между ними необходимых связей. Как на один из серьезных недостатков педвузовских программ по

математике проф. А.И. Китайгородский (председатель ГЭК Коломенского пединститута в 1983 г.) указывал на отсутствие зачастую межпредметных связей. Одной из основных задач, происходящей перестройки высшего образования является интеграция различных отраслей наук, в частности, различных разделов математики.

Идея математических структур в значительной степени может облегчить решение этой проблемы, снять барьеры между алгеброй, геометрией, теорией чисел, математическим анализом. Эта "большая упрощающая идея", - как отмечал известный французский математик Г. Шоке, - дает возможность "перебросить мосты между различными дисциплинами".

С точки зрения математических структур содержание различных математических курсов в совокупности составляет, по существу, единое содержание обучения. Принцип единства содержания обучения является, как отмечает Г.Г. Хамов, одним из основополагающих принципов формирования содержания обучения в вузе. Под этим принципом он подразумевает взаимосвязь учебных предметов, объединение (в смысле содержания обучения) отдельных учебных предметов между собой в целях создания в итоге обучения в сознании будущего учителя целостной научной картины, служащей научной основой его последующей педагогической деятельности [141].

В вузовском преподавании математики примером применения идеи математических структур для установления взаимосвязей различных знаний могут служить работы И.Я. Каплуновича по формированию структуры пространственного мышления у учащихся старших классов и студентов 1-2 курсов пединститута. На

основе логического анализа и результатов психологических исследований им были выделены пять основных подструктур в структуре пространственного мышления (топологические, порядковые, метрические, алгебраические и проективные).

С указанных представлений И.Я. Каплунович рассматривает пространственное мышление как обобщенное и опосредованное отражение в единстве и взаимосвязях топологических, порядковых, метрических, алгебраических и проективных свойств пространственных объектов и отношений между ними в процессе создания и оперирования образами, а также ориентации в реальном или воображаемом пространстве. В этом аспекте сформировать пространственное мышление - это значит сформировать каждую из этих подструктур в их единстве и взаимосвязях [58, с. 100].

Результаты проведенного И.Я. Каплуновичем эксперимента показали, что идея математических структур и примененные им принципы при их правильной психологической организации позволяют эффективным путем сформировать целостную структуру пространственного мышления.

Среди других попыток решить проблему межпредметных связей в вузовском преподавании математики следует отметить опыт преподавания интегративных курсов, например объединенного курса линейной алгебры и аналитической геометрии (в МГУ и некоторых других вузах). Н.Я. Виленкин и А.Г. Мордкович [24] также предложили ввести в учебный план педвузов подобные объединенные курсы, в частности, курс "Основания математики", включающий вопросы связанные с основаниями геометрии, числовыми

системами, математической логикой, и курс "Дискретная математика и ее приложения", куда можно отнести вопросы комбинаторики, теории графов, теории алгоритмов и т.д. Такие интегративные математические курсы во многом позволяют устранить излишнее дублирование, помогают снять барьеры между традиционными разделами математики, дать студентам представление о математике в целом.

Таким образом, идея математических структур в значительной степени может облегчить решение проблемы внутри- и межпредметных связей при обучении математике, снять барьеры между различными математическими дисциплинами.

3.3. Принцип научности и доступности обучения

Принцип научности обучения требует, как отмечает Ю.К. Бабанский, чтобы "содержание его являлось строго научным, объективно отражающим современное состояние соответствующей отрасли научного знания и учитывающим тенденции и перспективы его развития". В соответствии с принципом научности в ходе обучения важно обеспечить усвоение не только научных фактов, законов, теорий, но и основных тенденций развития науки, единства и противоречивости характерных для современной науки процессов дифференциации и одновременной интеграции научных знаний.

Для реализации этого принципа в преподавании математики необходима научная строгость и логическая последовательность курса математики, системность и обобщенность математических знаний и опыта.

Изучение математических структур и формирование соответствующих когнитивных структур как раз и

позволяет обеспечить полное соответствие содержания обучения математике с требованиями математики как науки в ее современном понимании, логическую последовательность, системность и обобщенность математических знаний, продемонстрировать единство противоречивых процессов дифференциации и интеграции структур. Изучение математических структур способствует глубокому пониманию учащимися основных математических идей и их связей, в рамках которых формируются понятия о таких структурах.

В процессе преподавания такой науки, как математика, возникают существенные трудности при попытках реализации принципа научности. Это вызвано специфической сложностью предмета математики. Сложность математики, как указывал А.Д. Александров, состоит в том, что она абсолютизирует свои абстракции и предметом математики являются идеализированные объекты. В абстрактности - сила, общность и универсальность математики, но в тоже время и специфическая сложность ее усвоения [4].

Эти трудности двоякого рода были высказаны французским математиком А. Лихнеровичем: "Наше преподавание, на каком бы уровне оно не находилось, должно опираться на непосредственную очевидность для наших учащихся, что часто бывает наиболее трудным. В то же время оно должно иметь в виду и характер современной науки, а мы знаем, что сочетание обоих требований вызывает наибольшие затруднения." [81, с. 54]

Дж. Брунер также выделил эти два вопроса в проблеме составления учебных программ: "Эта проблема включает в себя два вопроса: первый - как построить изложение

основных предметов так, чтобы основную роль играли важнейшие принципы и отношения; второй вопрос - как привести в соответствие степень трудности материала с возможностями учащихся, обладающих разными способностями и находящихся в разных классах школы" [21, с. 21].

Имеется большое разнообразие точек зрения на то, каким образом обеспечить сочетание этих требований. Так, по мнению Дж. Брунера, возможно знакомство школьников с современными математическими теориями, но в специфической форме. В частности, он отмечает: "...мы имели возможность видеть примеры обучения, при котором пятиклассники очень быстро схватывали основные понятия теории функций, хотя, если бы преподаватель попытался объяснить им, что такое теория функций, он потерпел бы неудачу. Позднее, на соответствующей стадии развития и при накоплении определенного опыта выполнения конкретных операций, наступит время для введения учащихся в систему необходимых формальных операций." [21, с. 38].

Как отмечает А.Н. Колмогоров, "...картина современных представлений о строении математической науки несомненным образом слишком сложна для того, чтобы излагать ее в школьном курсе математики. Даже школьникам старших классов, проявляющим особый интерес к математике, рассказать о ней можно лишь немногое. Чрезмерная же вульгаризация здесь может привести к полной путанице" [67, с.236].

По мнению В.А. Оганесяна, "природа математики такова, что последние достижения этой науки, в силу высокой степени абстракции, как правило, не могут составлять содержание школьного обучения, а доступное

изложение этих достижений невозможно без таких упрощений, которые сделают изложение той или иной математической идеи примитивным и практически бесполезным" [109, с. 184]. В качестве примера такого бесполезного изложения он приводит попытку введения элементов теории групп, предпринятую Ж. Папи в начальной школе Бельгии.

Наблюдается неоднозначность в понимании принципа научности. С научностью изложения математического материала часто ассоциируется строгость изложения. По этому поводу ведутся определенные дискуссии. Голландский математик и педагог Г. Фройденталь пишет: "много споров о строгости в обучении проистекает именно потому, что некоторые люди не понимают, что это не такой простой вопрос. Различные мнения о понятии строгости колебались в истории; если не закрывать глаза, то можно обнаружить это колебание и поныне." [139, с. 90]. Перед авторами программ и учебников по математике неизбежно встает вопрос об уровне строгости изложения материала.

В отечественной науке этот вопрос был подвергнут серьезному анализу в статье Г.В. Дорофеева [48]. Г.В. Дорофеев отмечает, что, во-первых, эта проблема не имеет однозначного решения в самой математической науке и что, во-вторых, в преподавании математики на любом уровне - от начальной школы до университета -проблема строгости должна решаться иначе, чем в математической науке. Если большинство "технических" понятий допускает подход "определение плюс закрепление", то для большинства фундаментальных понятий такой подход или принципиально невозможен

или, если и возможен, то далеко не всегда методически оправдан.

Вопрос об уровнях научной строгости был затронут и в исследовании В.А. Оганесяна. Многие мысли о научной строгости, высказанные В.А. Оганесяном относительно школьного курса математики применимы и к вузовским математическим курсам.

Научная строгость изложения материала предполагает непротиворечивость и логическую последовательность изложения основ математики, общепринятую трактовку ведущих математических понятий; включение в курс тех математических идей, понятий и положений, которые уже апробированы практикой и которые позволяют теоретически обобщить значительную группу явлений и фактов реальной действительности.

Научная строгость математического курса не означает строгого дедуктивного изложения всего его содержания (в школе речь скорее идет о демонстрации дедуктивного характера математики как науки), изложения этого курса на языке, характерном для современного состояния этой науки, включения в него только разделов или идей, присущих математике как науке сегодняшнего дня.

Как отмечает Л.Д. Кудрявцев. "по-видимому, неизбежно, даже внутри одного математического курса отдельные его части излагать на разном уровне строгости" [74, с. 102]. В качестве примера он приводит преподавание курса анализа для функций от одной переменной и для функций от многих переменных. Если для первых вполне возможно вести изложение на уровне "классической строгости", то для функций от многих переменных разумно доказывать теоремы при мини-

мальных предположениях, кладя при этом в основу доказательств наглядные представления.

Вопрос о выборе уровня строгости был рассмотрен и в исследовании А.Г. Мордковича [99]. Он совершенно правильно отмечает, что будущий учитель должен понимать, что строгие логические рассуждения - отличительный признак математики, характерная черта математического мышления, математической культуры; развитое в математике умение строго рассуждать есть элемент общей культуры человека. Но с другой стороны, излишняя формализация математики во многих случаях препятствует развитию интуиции и полноценному усвоению материала, формально-логическая строгость вывода не адекватна внутренней убедительности. По мнению А.Г. Мордковича целесообразно варьировать уровни строгости, не забывая при этом пояснить студенту, в чем состоит нестрогость рассуждения или определения, где граница применимости такого рассуждения, когда это рассуждение или нестрого введенное понятие допускает нечеткость или неоднозначность восприятия.

А.Г. Мордкович приводит пример варьирования уровня строгости при изучении предела функции на бесконечности. На первом, наглядно-интуитивном уровне равенство lim f(x) = b рассматривается как математическая запись того факта, что график функции y=f(x) приближается к прямой (горизонтальной асимптоте) у=b. На втором, описательно-нестрогом уровне равенство lim f(x) = b означает, что для любого s >0 неравенство |f(x)-b|<s выполняется с некоторого момента стремления х к бесконечности, т.е. для достаточно

большого значения х. На третьем, строгом уровне дается обычное определение предела.

А.Г. Мордкович считает, что дидактическая задача преподавателя вуза состоит в разумном сочетании этих уровней, однако не указывает, когда, на каком этапе, при каких условиях следует применять эти уровни.

В учебной литературе имеются примеры изложения курса математики в вузе на разных уровнях в рамке единого учебного пособия. Так в двух уровнях написан курс математического анализа Р. Куранта, в трех уровнях (облегченном, основном и повышенном) написан курс математического анализа В.А. Ильина и др.

Принцип научности, как указывает М.Н. Скаткин, целесообразно рассматривать в единстве с требованием доступности, но при этом доступность следует понимать не как легкость для усвоения, а как меру посильной трудности [125, с. 61].

Формирование и развитие когнитивных математических структур позволяет реализовывать и принцип доступности обучения, поскольку в этом процессе главное внимание уделяется основным, стержневым понятиям, а как отмечал Дж. Брунер, "усвоение основных понятий делает весь изучаемый предмет более доступным." [21, с.25]. Тесная связь операторных структур мышления и общематематических структур мышления, по словам В.В. Давыдова, открывает принципиальные возможности для построения учебного предмета, развертывающегося от простых структур - к их сложным сочетаниям.

Источником идей о математических структурах должна выступать сама реальность, поэтому при первоначальном формировании понятия о математических структурах

необходимо основываться на жизненных представлениях учащихся. Дж. Брунер высказывал мысль о бесполезности пытаться при обучении ребенка основным понятиям достигать этого, давая ребенку формальные объяснения, содержание которых ему недоступно. Однако, замечает Дж. Брунер: "часто преподавание математики строится именно так. Ребенок научается не понимать математические отношения, а скорее просто применяет определенные схемы или рецепты без понимания их значения и связи. Они не переведены на язык ребенка." [21, с. 38-39]. В качестве такого негативного примера Дж. Брунер приводит изложение евклидовой геометрии в виде ряда аксиом и теорем без всякой опоры на непосредственный опыт оперирования простыми геометрическими фактами. Далее он отмечает, что ребенок смог бы более глубоко усвоить смысл теорем и аксиом, если бы овладел раньше понятиями и доступными ему способами действий в виде "интуитивной" геометрии.

Усвоение ведущих понятий позволяет учащимся рассматривать большое число частных вопросов как проявление общих. Следовательно, элементы знаний усваиваются не изолированно, а в системе, что обеспечивает более глубокое усвоение курса математики, делает знания более действенными. О необходимости установления многосторонних связей писал и М.В. Потоцкий: "Понять какое-нибудь явление - это значит осознать сущность этого явления, характерные его черты, его истоки и следствия, его взаимосвязь с другими явлениями, его место в системе окружающих явлений. Короче говоря, явление может быть осознано, если оно рассматривается в причинно-следственной связи с окружающими явлениями. Чем этих связей

устанавливается больше, чем они многостороннее, тем понимание оказывается глубже и полнее." [114, с. 14].

Содержание обучения, изложенное в виде определенной структуры, облегчает учащемуся овладение им, поскольку причинно-логические связи играют в таком изложении более важную роль, чем временные или пространственные.

Для обеспечения доступности курса математики необходимо добиваться выполнения ряда положений.

Это, во-первых, постоянная практическая направленность теоретического материала. Органическая связь математических курсов с практикой в процессе преподавания облегчает изучение математики тем, что даже самые абстрактные и трудные вопросы курса, будучи связаны с их приложениями, получают в глазах учащихся и студентов определенную конкретизацию, которая делает их понятнее и доступнее. Так, при изучении геометрии Лобачевского весьма полезно показать связь этой геометрии с теорией относительности.

В вузе под практической направленностью преподавания математики следует понимать прежде всего профессиональную направленность. В силу этого положения преподавание в педвузе должно коренным образом отличаться от преподавания в техническом вузе, даже если речь идет об одном и том же материале. Каждому учителю приходится обучать учащихся овладению основными математическими понятиями, умению строго и точно рассуждать. "А это значит, - отмечает М.В. Потоцкий, - что в преподавании в педвузе как раз особое и решающее значение приобретает изучение основных понятий математики, всевозможных тонких выводов, исключительных случаев с самым

скрупулезным объяснением их сущности" [114, с. 43]. Всевозможные же выкладки нужны в педвузе лишь постольку, поскольку они служат пониманию этих вопросов и их простейшему применению.

Во-вторых, обязательная постепенность перехода от отдельных математических фактов к их обобщениям. Формирование и развитие общих представлений учащихся о математических структурах должно осуществляться постепенно, в процессе изучения конкретных примеров таких структур с последующими обобщениями их свойств. Начинать надо с подготовки в сознании и памяти ученика тех познавательных структур (понятий, принципов, отношений), которые необходимы для того, чтобы осмыслить предстоящий фактический материал, понять связи изучаемых классов вещей и явлений.

В-третьих, равномерность распределения теоретических сведений по всему курсу. Необходимо при обучении сохранять определенную логическую связь между изучением теории и проведением практических занятий. Весь опыт преподавания математики как в школе, так и в вузе свидетельствует о дидактической нецелесообразности концентрации теоретического материала и отрыве его по времени от решения задач.

В-четвертых, обязательность перехода от простого к сложному. Это требование означает, процесс формирования и развития понятия о математических структурах должен строиться в соответствии с психологическими закономерностями образования и развития когнитивных репрезентативных структур. Как заметил Дж. Брунер, "исследования умственного развития ребенка показали, что на каждой стадии развития ребенок обладает своеобразными способами видения и объяснения

окружающего его мира. Задача обучения ребенка тому или иному предмету в данном возрасте есть задача выражения структуры этого предмета в таких способах видения явлений, которыми пользуется ребенок. Это как бы задача перевода." [21, с. 34].

Переход от простого к сложному - это общеизвестный дидактический принцип, соблюсти который старается любой преподаватель в школе и в вузе. Однако осуществить практически этот принцип в вузовских курсах, да и в ряде случаев в школьном курсе не всегда удается. Причина состоит, прежде всего, в том, что переход от более легкого материала к более трудному, как отмечает В. Оконь, нельзя считать конкретным указанием. То, что для одного учащегося легко, для другого может оказаться более трудным, и наоборот. То, что для данного учащегося - минутное затруднение, может оказаться легким после устранения какой-либо преграды после осознания трудностей учителем или учащимся [110, с.197].

В-пятых, постепенное нарастание роли дедукции и постоянная опора на наглядно-интуитивные представления. Об этом же пишет А.Г. Мордкович: "Безусловно, при обучении математике в любом вузе ведущим должен быть дедуктивный метод, но нельзя делать его исключительным и единственным, он может способствовать созданию искаженного взгляда на предмет." [99, с. 107]. Преподавание без опоры на интуицию, на догадку рождает формализм, подрывает веру обучаемого в свои силы. Л.Д. Кудрявцев, говоря о преподавании математики в вузе, отмечает: "На первых этапах обучения надо отдавать предпочтение

индуктивному методу, постепенно подготавливая и используя дедуктивный метод" [74, с. 127].

В-шестых, посильность и целесообразность математического языка (терминологии и символики). Весьма характерным примером нарушения этого положения является язык учебников Л.Я. Куликова и В.И. Нечаева для педвузов, подвергнутых критике в известном докладе С.П. Новикова. Чтение этих книг, особенно учебника "Числовые системы" В.И. Нечаева, весьма затруднительно для студентов из-за перегруженности символикой.

К этим положениям можно добавить еще использование генетического метода или принципа историзма, вытекающего из закона соответствия процесса развития знаний и мышления у ребенка и исторического процесса рождения и становления знаний. Подробнее этот принцип мы рассмотрим в главе 6.

Принцип доступности, как отмечает Ю.К. Бабанский, означает не только учет реальных возможностей учащихся, но и "что обучение должно вестись на таком уровне трудности, который находился бы в "зоне ближайшего развития" учебных возможностей личности, т.е. чтобы обучение велось на максимально возможном уровне трудности" [11, с. 33].

В этой части принцип доступности смыкается с принципом развивающего обучения и требует максимального учета индивидуальных особенностей личности ученика, а также психологических закономерностей, которые касаются фаз психического развития школьников и студентов.

О характере и очередности таких фаз развития нет единого мнения среди психологов и педагогов. Однако

большинство из них не оспаривает самого существования этих фаз. Большим признанием пользуется теория о стадиях интеллектуального развития Ж. Пиаже, о которой говорилось в первой главе. Многие математики-педагоги также признают существование таких фаз. Об этом хорошо сказано французским математиком Г. Шоке: "Существуют лишь различные уровни мышления ребенка; необходимо идти от одного уровня мышления к другому. Задача преподавания помогать ребенку постоянно реконструировать свой умственный мир посредством переходов от одного уровня мышления к другому" [157].

К различным уровням, фазам развития мышления мы вернемся при рассмотрении стратегии поэтапного обучения.

Принцип доступности обучения требует обязательного наличия обратной связи с учащимися или студентами, всестороннего изучения как наличия у них знаний, так и их потенциальных возможностей, сформированности у них математических схем мышления. Такая обратная связь позволяет выбрать оптимальную меру трудности и такие средства обучения, которые в максимальной степени отвечали бы данной фазе их умственного, социального и физического развития.

3.4. Принцип систематичности и последовательности

Принцип систематичности и последовательности в обучении требует, чтобы знания, умения и навыки формировались в определенном порядке, системе: каждый элемент учебного материала логически связывался с другими, последующее опирается на предыдущее и готовит к усвоению нового. Данный принцип допускает

определенные варианты систем и последовательности обучения, но неизменным остается сохранение логически стройного подхода к обучению, а не стихийного, не вытекающего из учета особенностей и внутренней логики предмета [11, с. 33-34].

Несколько иную трактовку этому принципу дает В Оконь. В современной дидактике, как он отмечает, существует единое мнение по поводу того, что систематичность в школьном обучении требует соблюдения следующих условий:

а) широкого применения структурирования в содержании обучения и процессе преподавания;

б) перехода от простых систем и структур к сложным, от более конкретных к общим и наоборот;

в) максимального учета структур, общих для многих предметов обучения или для различных разделов программы обучения [110, с. 106].

Последовательное расположение материала является необходимым условием систематичности. Каждая система связана определенной последовательностью расположения материала, и сравнительный анализ различных систем изложения одного и того же материала сводится к сравнению соответствующих последовательностей расположения материала и идей, лежащих в их основе.

К принципу систематичности и последовательности Ю.К. Бабанский и ряд других ученых относят требование соблюдения преемственности в обучении. Мы, в силу особой важности и значимости этого требования, выделяем его вслед за другими учеными в отдельный принцип, который рассмотрим в следующей главе.

В своем исследовании [109] В.А. Оганесян предложил систему методических принципов, реализующих принцип систематичности и последовательности в преподавании математики. К таким принципам он отнес линейность расположения учебного материала систематических курсов алгебры и геометрии, логическую непротиворечивость и "экономность" отобранного содержания, дидактическую непротиворечивость логики построения курса математики и логики его познания (которая, в частности, подразумевает постепенность в нарастании уровня сложности и трудности учебного материала), системность содержания обучения математике.

Постепенность в развитии представлений о математических структурах вызывается и необходимостью учитывать возрастные возможности учащихся, их уровень мышления, о чем уже говорилось выше. Несомненно, такая постепенность способствует доступности материала, но в практике школьного и особенно вузовского преподавания она не всегда обязательно соблюдается. В качества примера можно привести изучение на первом курсе вуза основ математического анализа без всякой предварительной подготовки.

К системности содержания В.А. Оганесян относит целостность построения каждого из математических курсов и определенную законченность его разделов; построение частных вопросов курса математики вокруг его ведущих идей; возможность логических обобщений по мере изучения частных вопросов к более общим.

Сюда же, в качестве одного из методических принципов, следует отнести положение, выдвинутое Л.Д. Кудрявцевым: "Содержание общего курса математики не

может быть определено с чисто прагматической точки зрения, основанной лишь на специфике будущей специальности учащегося, без учета внутренней логики самой математики" [74, с.88].

Как нетрудно видеть, все эти вышеназванные методические принципы реализуются естественным образом в том случае, когда обучение математике рассматривается как процесс формирования и развития понятий о математических структурах.

Однако нельзя согласиться с В.А. Оганесяном в том, что он выдвигает на первое место среди этих методических принципов линейность расположения учебного материала основных математических курсов.

Такая линейность расположения материала, на наш взгляд, необходима на протяжении ограниченного отрезка времени изучения одной дисциплины - полутора-двух лет. Если говорить об изучении одного предмета в течении большего отрезка времени, то его содержание должно строиться по "принципу спирали", когда исходное содержание знаний вновь воспроизводится в целостной структуре, как бы возвращается назад, но уже на более высоком уровне. Выработать как у школьников, так и у студентов надежную интуицию достижимо лишь посредством продолжительного знакомства с материалом и с неоднократными попытками осмыслить его в разных ракурсах. При таком возврате назад наиболее эффективным образом организуется и повторение.

Построение содержания предмета по "принципу спирали" естественным образом происходит при реализации стратегии поэтапности обучения, которую мы рассмотрим подробно ниже.

Необходимость растягивания изучения материала во времени и отказа от линейности изложения в некоторых случаях вызывается самим содержанием материала, его сложностью, неподготовленностью учащихся к его восприятию. Таковым является, например, материал, относящийся к комбинаторике.

Весь опыт преподавания в школе этого раздела математики свидетельствует о необходимости постепенного и систематического привнесения элементов комбинаторики, прежде всего через задачи, на протяжении всего курса обучения, начиная с начальных классов. К такому же выводу приходит и О.С. Медведева, отмечая, что "как показала практика, при концентрированном изучении комбинаторики как специального раздела не удается выработать методику его преподавания, обеспечивающую усвоение основной массой учащихся даже элементарных знаний и умений комбинаторного характера" [90].

Необходимость несколько раз возвращаться к одному и тому же материалу возникает, в частности, в преподавании начал анализа. Ряд интересных мыслей о построении материала в преподавании математического анализа содержался в дореформенной статье А.Н. Колмогорова и И.М. Яглома [63]. По мнению авторов начальное ознакомление с математическим анализом следует осуществлять на полуинтуитивном уровне. Мнение о возможном вреде от такого предварительного знакомства с идеями математического анализа без надлежащей "строгости" следует признать радикально ошибочным. Авторы пишут, что без такого предварительного знакомства при изучении фундаментального курса математического анализа на первых двух курсах

университетов и пединститутов возникают большие трудности, с которыми справляются только лучшие студенты.

С момента написания этой статьи прошло немало времени, за это время делались попытки введения предварительного знакомства с идеями математического анализа в средней школе. Однако в массовой школе эти попытки в конечном итоге свелись только к изучению техники дифференцирования и интегрирования и во многих вузах положение с преподаванием математического анализа мало изменилось к лучшему и попрежнему остается актуальной необходимость начального ознакомления с математическим анализом на полуинтуитивном уровне на первом курсе вуза.

О необходимости варьирования преподавания математического анализа на разных уровнях указывал А.Г. Мордкович. По его мнению, основные понятия школьного курса, такие, например, как функция, следует вводить постепенно на разных уровнях строгости.

В преподавании курса алгебры и теории чисел использовать промежуточный уровень для обеспечения наиболее плавного перехода от школьного уровня строгости к вузовскому было предложено Г.Г. Хамовым.

М.И. Шабунин также в качестве одного из принципов обучения выдвигает принцип последовательных фаз (термин им был взят у Д. Пойя), под которым он понимает, что материал сначала воспринимается на интуитивном или эвристическом уровне, затем осваиваются терминология, определения и доказательства, а далее наступает фаза усвоения, расширения запаса знаний и их использования. Однако М.И. Шабунин не уточняет, каковы должны быть промежутки между этими фазами,

когда лучше производить начальное ознакомление с материалом.

Более детально вопрос о различных уровнях мышления при изучении математики был рассмотрен А.А. Столяром в книге "Педагогика математики". Следуя П.-Х. ван Хиле [158], он выделяет пять уровней мышления (к этим уровням мышления мы вернемся в главе 5). Выделенные А.А. Столяром уровни охватывают весь период изучения математики, начиная с 1 класса и кончая вузом. Традиционное преподавание алгебры в школе, как отмечает А.А. Столяр, не поднимается выше третьего уровня, в отличие от преподавания геометрии, которое достигает, хотя и не полностью, четвертого уровня. Хотя переход от одного уровня к следующему происходит не скачкообразно, а постепенно, необходимо четко различать эти уровни. В традиционном обучении, по мнению А.А. Столяра, имеется недостаточное различие в методе и уровне преподавания геометрии в VI-V111 и в 1Х-Х классах, и этот установившийся уровень слишком высок и недоступен для учащихся VI класса и слишком низок для учащихся старших классов.

Такое различие в уровнях преподавания необходимо проводить и при изучении математики в вузах. Более подробно различные уровни изучения математических структур мы рассмотрим в пятой главе книги.

Глава 4. Стратегия преемственности в обучении математике

4.1. Единство непрерывности и дискретности обучения

Состояние и формы развития учебного процесса и прежде всего содержания обучения, как отмечает

известный специалист в области дидактики высшей школы С.И. Архангельский, можно охарактеризовать единством соединения и разграничения, взаимосвязи непрерывного и дискретного. Дискретность характеризует прерывистое состояние динамики того или иного компонента учебного процесса, степень их дифференциации в виде определенных объемов информации, определенного действия, связанных с определенным временем. Дискретность в учебном процессе выражается ступенчатым характером изменения и развития его компонентов. Непрерывное в учебном процессе и его развитии относится ко всему тому, что определяет целостность и относительную стабильность как всей системы, так и ее компонентов. Непрерывное интегрирует все дискретные элементы системы, их связи и придает системе целостность и закономерную уравновешенность развития [12, с. 50-51].

Дискретная форма при изучении предмета не дает выявления сущности в целом, обедняет познание, связи и отношения понятий. В то же время необходимость выделения частных признаков, элементарных составляющих, требует дискретной формы изучения.

Дискретное и непрерывное в динамике системы обучения определяют, по мнению С.И. Архангельского, единство и обособление главных связей и малых связей. Главные связи относятся к коммуникациям стратегии, выражают условия ориентации и направления в решении основных задач обучения. Малые - выражают коммуникации тактики обучения, относятся к внутренним, анализирующим и синтезирующим частные акты построения и действий в системе обучения [8, с. 52].

Единение непрерывного и дискретного в обучении обеспечивает развертывание процесса обучения по спирали. Принцип построения программы "по спирали" выдвигали многие ученые (Дж. Брунер, А.Н. Колмогоров, П.М. Эрдниев и др.). Развитие по спирали предполагает, таким образом, наличие двух неотъемлемых качеств этого процесса: непрерывности и дискретности -перехода с одной ступени на другую. Поэтому этот принцип разбивается на две взаимосвязанные части: преемственности, выражающей непрерывность процесса обучения, и многоступенчатости обучения, выражающей его дискретность.

4.2. Преемственность как общепедагогический принцип

Проблема преемственности рассматривалась уже давно многими учеными, как в общедидактическом и психологическом плане, так и в методическом. Соблюдение принципа преемственности - одно из важнейших требований методической системы преподавания математики.

Однако одна из причин трудностей, возникающих как перед школьникам (при переходе из одного звена обучения в другой), так и перед студентами вузов при изучении математических курсов, состоит в том, что в практике школьного преподавания учителя фактически не руководствуются идеей преемственности преподавания. То же самое можно сказать про преподавателей вузов, учебники и программы по математике: изучение вузовских математических курсов зачастую строится без учета знаний учащихся, полученных в школе.

Преемственность разные исследователи понимают по-разному. Одни рассматривают ее как связь между отдельными предметами в процессе обучения (математикой и черчением, математикой в 5-6-х классах и алгеброй в 7-м классе и т.д.), другие как простое использование полученных ранее знаний при дальнейшем изучении того же самого предмета, третьи как постоянство и единообразие требований, предъявляемых учащимся при переходе из класса в класс, четвертые как средство реализации принципов научности и систематичности и т.д.

В наиболее общепринятом понимании преемственность представляет собой "связь между явлениями в процессе развития, когда новое, снимая старое, сохраняет в себе некоторые его элементы" [БСЭ, т. 20]. Главная цель преемственности состоит в обеспечении непрерывности процесса обучения независимо от того, где и по каким учебникам ранее обучался ученик.

Особое место в осуществлении преемственности занимает переход из одного звена обучения в другое. Это связано с тем, что такой переход представляет собой скачок в процессе обучения и развития человека. А при скачке часть связей между элементами нарушается, "обрывается". Вот здесь то особенно необходимо выявить преемственные связи и смягчить переход из одной стадии в другую.

Основой реализации преемственности образовательных программ разных уровней и ступеней непрерывного образования является его фундаментальное содержание. Главным критерием внутренней согласованности и преемственности образовательных стандартов

являются развивающий характер обучения и воспитания, опора на творческую активность личности.

Преемственность в обучении обеспечивает соблюдение принципов научности, систематичности, последовательности и доступности. Ее характеризует опора на пройденное для последовательного развития знаний, умений и навыков и установление разнообразных связей не только между новыми, но и прежними знаниями как элементами целостной, единой системы. Подлинная система знаний невозможна без установления преемственных и межпредметных связей. Преемственность осуществляется с помощью согласования программ и учебников, повторением материала и т.д. Ввиду фундаментального исходного значения принципа преемственности нецелесообразно объединять его с принципами научности и систематичности.

Таким образом, преемственность это общепедагогический принцип, который по отношению к обучению требует постоянного обеспечения неразрывной связи между отдельными сторонами, этапами и ступенями обучения и внутри их; расширения и углубления знаний, приобретенных на предыдущих этапах обучения; преобразования отдельных представлений и понятий в стройную систему знаний, умений и навыков; поступательно восходящего (спиралевидного) всего учебного процесса в соответствии с содержанием, формами и методами работы при обязательном учете качественных изменений, которые совершаются в личности учащихся и студентов.

Существенный вклад в изучение проблемы преемственности в преподавании математики внес К.И. Нешков в своей работе [106]. Правильное, более глубокое

понимание преемственности может принести пользу при организации всего процесса обучения как в школе, так и в вузе, при решении таких, тесно связанных с преемственностью, вопросов, как повторение, концентрическое построение курсов и др.

Генетически связи восходят к научным связям и выражают структурное единство учебного материала. Классификацию всех связей обычно проводят по их чисто внешнему проявлению и различают внутрипредметные, межпредметные и межцикловые связи. Однако с точки зрения внутренних психологических структур, да и практической реализации, между такими связями нет существенной разницы.

С точки зрения, рассматривающей обучение как процесс формирования и развития когнитивных структур, различие всех связей следует проводить в зависимости от характера изменений, происходящих со структурами с установлением этих связей в процессе обучения. Во второй главе были выделены четыре различные формы преобразования структур: наращивание структур, настройка структур, создание и перестройка структур. Сущность принципа преемственности состоит в том, что его реализация позволяет свести к минимуму в количественном отношении создание новых структур, что требует больших усилий как от учащихся, так и от преподавателей, и обеспечить преимущественность более легких процессов наращивания, настройки и перестройки структур.

Реализация принципа преемственности позволяет сделать более эффективной работу по развитию математических способностей учащихся и студентов.

Формы реализации преемственности в учебном процессе могут быть самыми разными:

- понятия должны сохраняться в их первоначальном смысле с возможными уточнениями, дополнениями и обобщениями;

- новые теоремы и целые теории должны по возможности либо следовать из старых, ранее изученных, либо наоборот - быть обобщением старых;

- сохранение методов изучения материала, способов решения задач;

- использование одной и той же символики;

- перенос знаний (фактов, терминологии и символики) из одной области математики в другую при ее дифференциации;

- использование аналогий из ранее изученных теорий и т.д.

Основой реализации принципа преемственности в обучении математики является изучение математических структур. Определив основные математические структуры, подлежащие изучению, следует наметить их развитие в курсе в целом, тем самым определить в нем ведущие содержательно-методические линии.

Содержательно-методические линии, развиваемые в школьном и вузовских курсах математики, должны отражать идейную сторону математики - науки и являться важнейшим средством обеспечения преемственности всего материала этих курсов.

4.3. Повторение в математических курсах

Хорошо известно насколько большое значение К.Д. Ушинский придавал повторению: "Ведите неустанное повторение, предупреждающее забвение". Однако, если

понимать слова К.Д. Ушинского буквально, учитель должен заниматься бесконечным повторением, что резко замедляет темп движения вперед. Поэтому известный отечественный математик-педагог А.Я. Хинчин ставил вопрос "Вместо бесконечных повторений нельзя ли учить так, чтобы материал не забывался?" На этот вопрос К.И. Нешков отвечает: "Преемственность требует повторения, но такого повторения, которое обеспечивает непрерывное развитие системы понятий, а не повторение ради повторения, ради сохранения на достаточно высоком уровне некоторых навыков учащихся" [106, с. 14].

Принцип непрерывного повторения разрабатывался в отечественной методике Я.И. Груденовым и К.С. Муравиным, правда понимался он этими исследователями несколько по-разному. По Я.И. Груденову сущность этого принципа состоит в том, что "в однотипную систему упражнений по новой теме с первого момента ее изучения включаются задачи из предшествующих разделов. При этом одновременно осуществляется систематическое, непрерывное повторение изученного материала." [38, с. 100]. Этот принцип основан на двух бесспорных, по мнению Я.И. Груденова, утверждениях: 1) чтобы материал не был забыт, к нему необходимо достаточно часто возвращаться; 2) без выполнения большого числа однотипных упражнений ("набития руки") формирование прочных навыков в принципе невозможно. В 70-80-е годы принцип непрерывного повторения стал использоваться в ряде школьных учебников.

Однако единства в понимании этого принципа до сих пор нет. Более того, ряд ученых-методистов считают ошибочной исходную концепцию "принципа

непрерывного повторения". Сам Я.И. Груденов по результатам проведенного им эксперимента установил, что хорошо успевающие ученики работают с интересом лишь с задачами разных типов, а при работе с однотипными задачами их интерес быстро ослабевает. Научное обоснование своего принципа Я.И. Груденов находил в теории ассоциаций, рассматривавшей повторение как способ закрепления и упрочнения в мозгу человека предыдущих "следов воздействия".

Против данного принципа выступал П.М. Эрдниев. По его мнению, "принципиальным недостатком сложившейся практики повторения является то, что оно преимущественно понимается всего лишь как точное воспроизведение ранее изученных правил, определений, приемов решения, без их усложнения, преобразования, т.е. вне саморазвития знаний" [153, с. 256]. В качестве средства активного повторения через преобразование, изменение, обобщение ранее известного он предложил прием укрупнения знаний и выдвинул содержательно новую форму повторения: "Повторение - через преобразование знания, через его укрупнение" [153, с. 258].

Близкую точку зрения на "принцип непрерывного повторения" высказал В.М. Волович. Отмечая, что "тренаж в ходе решения однотипных задач вовсе не является непременным условием усвоения изучаемого материала даже слабыми учащимися" [27, с. 82], он высказал мнение, что выполнение большого числа однотипных упражнений вовсе не "мать учения", а его злая мачеха.

Явление забывания изучалось многими психологами. Еще в конце

19-го века на основании многочисленных опытов была вычерчена "кривая забывания" (кривая Эббингауза). Полученные данные убедительно свидетельствовали о том, что объем усвоенной информации, если не организовать повторения, чрезвычайно быстро уменьшается. За первые 10 часов забывается не менее 65% ее объема. На основании этого и была выдвинута методическая идея как можно чаще, особенно в начальный период усвоения, возвращаться к изученному материалу.

Однако более поздние исследования показали, что открытая Эббингаузом закономерность забывания имеет место лишь в случае, когда подлежащая усвоению информация представляет для обучаемого бессмысленный набор слов. Если же информация имеет некоторый смысл, то интенсивность забывания и его характер определяется прежде всего тем, насколько информация интересна и актуальна для обучаемого. Поэтому, как показали исследования когнитивной психологии повторение оказывается наиболее эффективным в том случае, когда оно включается в постановку новых мыслительных задач, для решения которых обучаемые должны использовать сведения, полученные ими ранее. Повторение в этом случае выступает как необходимое звено, как основа решения новой задачи, как средство ее решения. При этом условии повторение приобретает новый и интересный смысл для учащихся: осознается как фундамент для выполнения новых задач.

Как уже давно установлено психологами, повторение путем разнообразной деятельности, сводящейся хотя бы к некоторой реконструкции материала, эффективнее, чем его повторение в неизменном виде. Таким образом, мы вновь приходим к выводу о желательности спи-

ралевидного построения программ, при котором изучение темы не исчерпывается во всех деталях сразу же в течение одного учебного года. Наоборот, к каждой теме желательно возвращаться через полтора-два года со все более богатым содержанием и естественно также с большими требованиями к учащимся. Это создаст возможность проведения непринужденного повторения в течении всех лет обучения, причем каждый раз приобретаются новые взгляды относительно уже ранее рассмотренного материала.

Все это позволяет сформировать хорошо развитые математические структуры мышления. Во второй главе было показано, что чем лучше развита и структурно организована когнитивная система, тем дольше и прочнее сохранение материала в памяти. В более развитой и сложной по структуре когнитивной системе идет более глубокий и всесторонний анализ поступающей информации. А это является одной из главных предпосылок прочного и длительного запоминания любого материала.

Такое эффективное повторение в педвузе может быть организовано при изучении дифференциальных уравнений. При разработке программы этого раздела следует исходить из того, что для будущих учителей математики изучение дифференциальных уравнений важно не само по себе, а лишь в связи с необходимостью закрепить уже изученные разделы математического анализа. В связи с этим в программе следует отдать предпочтение тем вопросам, рассмотрение которых основано на использовании как можно большего числа разделов математического анализа, уже изученных студентами на младших курсах.

Для алгебры и теории чисел такая возможность эффективного повторения ряда тем (группы, кольца и поля, бинарные отношения, векторные пространства и др.) создается в курсе "Числовые системы". В этом курсе скрещиваются основные алгебраические, порядковые и топологические структуры, и в то же время этот курс является основой профессиональной деятельности учителя в школе, где изучение и употребление чисел составляет главную линию математики - предмета. В этом курсе, после того как будут прослушаны основные курсы алгебры и теории чисел, геометрии и математического анализа, студенту следует предложить посмотреть на школьную математику с новых позиций, осознать ее нестрогость в ряде мест, обнаружить и устранить пробелы в школьных доказательствах, перевести интуитивные знания о числах на твердую основу доказательств, исходя из аксиом.

Значительна роль повторения и в реализации преемственных связей между средней школой и вузом. Повторение школьного курса математики в вузе должно обеспечивать непрерывное развитие представлений о математических структурах. То есть должно иметь место не повторение ради повторения, не просто сохранение связей, а упрочнение старых и установлений новых. С этой целью следует на лекциях, практических занятиях по возможности больше ссылаться на известные из школы учащимся теоремы, примеры, позволяющие им лучше понять новый математический факт или с более высокой ступени взглянуть на уже известный.

На наш взгляд, организации повторения должна способствовать прежде всего сама структура математических курсов, когда спиралевидное построение

программ позволяет естественным образом производить повторение на более высокой ступени представлений о математических структурах, устанавливать новые связи между старыми знаниями.

4.4. Упражнения в математических курсах

При повторении важную роль играют упражнения. Различные аспекты места, роли, методики использования упражнений отражены в работах Ю.М. Колягина, К.И. Нешкова, Г.И. Саранцева, С.Б. Суворовой, П.М. Эрдниева и др. Упражнения, как способ целенаправленного развития различных видов математических способностей, рассматриваются нами в последней главе.

С точки зрения формирования когнитивных структур главная роль упражнений состоит в настройке структур, что, как отмечалось во второй главе, является медленным, тонким приспособлением знания к задаче. Именно упражнения превращают простое знание предмета в совершенное владение им.

Из такого взгляда на роль упражнений вытекает необходимость тщательного отбора упражнений с учетом индивидуальных особенностей когнитивных систем учащихся и набора идей, используемых при решении задач по данной теме. Нет никакой нужды решать большое количество однотипных задач, что, к сожалению, предлагается многими учебниками и задачниками. До сих пор в дидактике сохраняется точка зрения на упражнения как на метод закрепления знаний, средство своеобразного тренажа в выработке навыков.

Материал для упражнений в существующих стабильных учебниках подается в слишком однообразной форме. Учащимся предлагаются одна за другой готовые,

сформулированные задачи, которые они должны решить, сверяя получающиеся результаты с ответами. Добившись совпадения с ответом, ученик на этом работу над задачей прекращает.

Как отмечает Н.Х. Розов, зачастую одна и та же идея, один и тот же факт эксплуатируется в нескольких задачах, тогда как другие идеи, факты не встречаются при решении задач ни разу. Скрупулезный, научный анализ показывает, что по каждой отдельной конкретной теме школьного курса математики число идей, используемых при решении всего спектра соответствующих задач весьма невелико. Например, внимательный просмотр нескольких сотен "задач на трапеции" свидетельствует, что их решения используют всего около трех десятков фактов и идей, специфически связанных с этой фигурой [121].

Поэтому Н.Х. Розов ставит вопрос о разработке специальных "уровнево аранжированных" наборов "опорных задач". В каждой теме следует выделить "ядро" - основные, "общеобязательные" факты и идеи, для которых подбирается минимальное число задач, их использующих - "минимальный базис в пространстве задач". Далее должна быть выделена "оболочка", т.е. реестр всех тех идей и фактов, которые определяют содержание данной темы. И здесь необходимо отобрать минимальное число задач - "максимальный базис в пространстве задач". Использование таких базисных задач позволило бы быстрее и эффективнее достигать учебные цели в рамках каждой темы курса на основе дифференцированного подхода к учащимся.

Для усвоения знаний, что отмечали еще Д.Н. Богоявленский и Н.А. Менчинская, большое значение имеет прием "варьирования задач", который заключается в следующем: после того как ученик научился выполнять определенную операцию или усвоил то или иное понятие или закон, или научился решать задачу определенного типа, ему предлагается для самостоятельного решения ряд последовательных вариаций форм применения понятия или закона, ряд вариаций задачи [15, с. 29].

Большим достоинством вариативных упражнений является постепенность в нарастании их сложности, возможность увеличения этой сложности как раз в той мере, в какой это требуется в данный момент для данного ученика, чем создаются благоприятные условия для индивидуализации обучения.

Как показано в исследовании С.Г. Губы, варьирование задач на доказательство позволяет преодолеть многие трудности, связанные с обучением доказательствам. Им были выделены простейшие способы варьирования таких задач (рассмотрение обратного утверждения, получение частных и предельных случаев, варьирование замещением, варьирование совмещением, варьирование по аналогии и т.д.) [39].

Варьирование упражнений является эффективным средством настройки когнитивных структур, способствует сознательному и прочному усвоению учащимися программных теорем, овладению новыми методами решения задач, активизации всех видов повторения, в связи с чем в большинстве случаев отпадает необходимость в многократном и однообразном закреплении и повторении материала.

Система упражнений в вузе должна благоприятствовать развитию у студентов интереса к изучению математических курсов, в ней должна четко соблюдаться преемственность в изучении материала между средней школой и вузом. Система упражнений должна содержать задачи разные по уровню сложности и глубине изучения материала. Необходимо, чтобы был выделен блок обязательных заданий (ядро), умение выполнять которые необходимо для каждого студента, и вариативный блок (оболочка). В программах математических курсов педвузов должен быть сделан акцент на формирование у студентов умений применять теоретические знания к решению задач.

Реализации преемственных связей между школой и вузом, притом в обоих направлениях, способствует использование как на практических занятиях, так и в процессе организации самостоятельной работы студентов, упражнений из школьных учебников и пособий. Так, в курсе алгебры и теории чисел при изучении таких тем, как комплексные числа, теория делимости, многочлены, автором многократно использовались учебники и пособия для классов с углубленным изучением математики и факультативных занятий. Такие "школьные" задачи вызывают интерес у студентов и способствуют профессионально-педагогической направленности обучения.

Вместе с тем следует отметить, что из взгляда на упражнения, как на инструмент для настройки структур, вытекает их подчиненный характер. Представление о разделении учебного материала на "теоретический" и "задачный", как верно отмечает А.В. Гладкий [32], совершенно несостоятельно: математика вся целиком

есть теория, но изучить ее можно, только решая задачи, в том числе достаточно трудные. Решение задач - это не применение теории, а важнейшая часть процесса ее изучения.

4.5. Значение пропедевтики в математических курсах

Преемственность тесно связана с пропедевтикой. Представление о пропедевтике за последние десятилетия расширилось. Сначала она понималась как подготовительный или начальный курс, представляющий введение в какую-нибудь науку или учебный предмет. Этот подготовительный курс должен отличаться более элементарной формой изложения. В последнее время наряду с пропедевтическими курсами все чаще и чаще начинают рассматривать пропедевтику отдельных наиболее важных для курса математических понятий, т.е. в современном понимании понятие пропедевтики смыкается с понятием концентрического изложения материала.

Вопрос о преимуществах линейного или концентрического расположения учебного материала, как совершенно верно отметил В.М. Брадис в своем классическом труде [20], представляет большую сложность и решается разными методистами по-разному. Им были выделены положительные и отрицательные стороны концентрического изложения. При концентрическом изложении: 1) получается возможность больше считаться с возрастными особенностями учащихся, выбирая для каждого возраста только посильный материал; 2) передвигается на более ранний срок использование изученной части теоретического материала для практических его приложений в простейших задачах; 3) обеспечивается более прочное усвоение программного материала, т.к. к

одним и тем же вопросам приходится возвращаться два и более раз.

Отрицательными сторонами такого изложения являются: 1) большая затрата времени; 2) опасность потери целостного представления о данной дисциплине или ее разделе; 3) возможность путаницы в головах учащихся, если изучение отдельных концентров недостаточно продумано или согласовано.

Особое внимание при изучении первого концентра необходимо уделить реализации принципа научности, как бы упрощенно материал не излагался. Большая доступность изложения должна обеспечиваться надлежащим отбором материала, часто заменой логического доказательства проверкой на опыте, но отнюдь не искажением существа дела.

При линейном способе построения программ основным недостатком является то, что в силу возрастных и психологических особенностей, учащиеся, особенно на младших ступенях обучения (в школе и в вузе) не всегда в состоянии достигать понимания изучаемого материала.

Негативные стороны линейного и концентрического способов построения учебных программ в значительной степени удается преодолеть при помощи спиралеобразного расположения содержания в учебных программах. Как отмечает Ч. Куписевич, благодаря такому спиральному построению программ удается сочетать последовательность и цикличность изучения учебного материала. В отличие от концентрической структуры, при которой к исходной проблеме возвращаются порой спустя даже несколько лет, в спиральной структуре нет перерывов такого типа. А в

отличие от линейной структуры в спиральной структуре не ограничиваются одноразовым представлением отдельных тем [76, с.96].

Опора в обучении на формирование и развитие когнитивных математических структур может сыграть определяющую роль в том, что дополнительные затраты времени при концентрическом изложении могут быть сведены к минимуму, а остальные отрицательные моменты и вовсе нейтрализованы, поскольку это способствует эффективной реализации основных дидактических принципов (генерализации знаний, систематичности, научности, преемственности и т.д.).

Важное значение пропедевтическая линия имеет и в вузовских математических курсах. Пропедевтика -трудоемкая и достаточно тонкая работа, которой студента надо учить в стенах вуза не только на словах, но и на деле. В математических курсах педвузов пропедевтика служит двум целям: изучению данного курса (или раздела его) и косвенному обучению студента приемам осуществления пропедевтики. Она может реализоваться по двум направлениям: первое - вводные лекции перед изучением того или иного раздела, в которых ограничиваются наглядными соображениями, правдоподобными рассуждениями, очерком основных понятий; второе - использование понятия до его строгого формального определения на незавершенном конкретно-интуитивном уровне.

Первое направление пропедевтической работы позволяет раскрыть перед студентами цели и структуру курса, сформулировать проблемы, которые предстоит решить; второе направление способствует воспитанию

математической культуры и диалектического мышления, ибо показывает процесс возникновения понятия в его развитии. Тем самым пропедевтическая линия способствует проблемному изложению материала.

С целью пропедевтики основных математических курсов и создания основы для их полноценного усвоения ряд вузов ввели в учебный план вводный курс, главными целями которого являются:

1) развить математическую культуру первокурсников до уровня, достаточного для содержательного освоения последующих математических курсов, входящих в предметный блок;

2) выработать у студентов систему умений и навыков в оперировании фундаментальными понятиями современной математики.

В таком курсе должны найти отражение типичные общематематические схемы рассуждений. Среди них: перефразировка теорем в терминах "необходимо" и "достаточно", полная и неполная индукция, метод математической индукции, приведение контрпримеров, построение отрицания утверждения, метод "от противного".

Такой вводный адаптационный курс математики необходим при профессиональной математической подготовке учителей и некоторых других специальностей (учителей начальных классов, физики и т.п.).

Пропедевтические курсы возможны и по отдельным вузовским дисциплинам. Такой вводный курс высшей алгебры был осуществлен автором в Вологодском педуниверситете. Необходимость такого курса вызывается недостаточной математической подготовкой первокурсников, отрыв высшей алгебры от школьной,

известная абстрактность высшей алгебры, важность в психолого-познавательном плане предварительного знакомства со всем курсом "Алгебра и теория чисел".

Некоторые исследователи отдельно выделяют символическую пропедевтику. Она направлена на освоение умений создавать знаки и символы для обозначения объектов, признаков и др., оперировать системами знаково-символических средств, выражать содержание в разных знаково-символических формах, переходить от одного языка к другому, от одного плана к другому (по знакам восстанавливать реальность и обратно), отделять содержание от формы представления.

Освоению знаковых систем в психическом развитии ребенка исключительное значение придавал Л.С. Выготский. По его мнению, человек в процессе своего психического развития совершенствует работу своего интеллекта главным образом за счет развития особых технических "вспомогательных средств мышления и поведения".

В обучении математике таковыми вспомогательными средствами являются буквенно-цифровая символика, разного рода таблицы, графики, схемы, графы, диаграммы и т.д. Уже с первого класса от учащихся требуется использование различных знаково-символических средств (цифры, буквы, схемы), которые нигде не выступают специальным объектом усвоения с точки зрения характеристики их как знаковых систем. С целью введения детей в научную символику необходимо предварительно сформировать деятельность кодирования-декодирования сначала на произвольной, самостоятельно создаваемой детьми символике с постепенным переходом к социально принятой.

Особое место в символической пропедевтике при обучении математике играет теоретико-множественная и логическая символика. Эта символика была широко введена в практику школьного преподавания в ходе реформы, а затем изгнана из школьной математики. Однако многие учителя-практики успели оценить ее полезность как вспомогательного средства при изучении многих вопросов школьной программы.

С.Л. Соболев отмечал: "Введение терминов "пересечение" и "объединение" множеств в соответствующем месте и на соответствующих примерах, т.е. употребление языка теории множеств, как показывает опыт, легко усваивается детьми. Употребление этого языка вполне уместно, если оно не превращается в сухую жвачку и не загромождается обязательным заучиванием специальной логической символики. Никакой "теории множеств", конечно, нет и не должно быть." [127, с. 18].

Аналогичной точки зрения придерживается А.Д. Александров. По его мнению, обозначения и термины, связанные с теорией множеств, как "принадлежит", "пересечение" и другие, могут наглядно пониматься в геометрии независимо от того принимаем мы теоретико-множественную точку зрения или придерживаемся более наглядных представлений. Поэтому тем более не видно оснований запрещать пользоваться этими обозначениями учителю, который находит их полезными [6].

На наш взгляд, раз эта символика - язык, то и осваивать ее надо так, как осваивает родной язык ребенок: не проводить специальные занятия, а просто использовать эти термины и обозначения много раз в разных ситуациях. Требовать же знания формальных

определений можно лишь после того, как эти понятия будут неоднократно использованы.

Примером удачного использования этой символики является учебник по геометрии В. А. Гусева. Употребление теоретико-множественного языка в геометрии способствует развитию общей культуры учащихся, облегчает запись многих геометрических фактов. Как показывает опыт многих учителей, чтение и запись текста с использованием обозначений не вызывает осложнений и даже нравится учащимся, т.к. употребление обозначений сокращает запись. Но не следует, по мнению В. А. Гусева, увлекаться символическими знаками, т.к. при этом создаются искусственные сложности и при написании и при чтении.

При наличии пропедевтических курсов часто возникает так называемый вопрос "переучивания". Тесную связь вопроса преемственности в обучении с вопросом "переучивания" отметил К.И. Нешков. Под переучиванием К.И. Нешков понимает преодоление противоречий между старой, привычной точкой зрения и новой, ломку устаревших, укоренившихся представлений, т.е. естественный процесс развития. В качестве примера такого "переучивания" он приводит процессы, происходящие при введении нуля и отрицательных чисел.

Процесс "переучивания" в этом смысле есть не что иное, как процесс перестройки структур, процесс, состоящий из преобразований структур трех типов: а) переход на новую, более высокую ступень организации, когда сформированная ранее структура становится подструктурой новой более широкой структуры; б) изменение принципа организации структуры, когда координация (сочетание) частей внутри структуры заменяется

их субординацией (подчинением) или обратно; в) перецентровка структуры, т.е. выдвижение в качестве существенных тех элементов, которые были второстепенными, и обратно.

В таком смысле "переучивание" совершенно необходимо и полезно при правильном решении вопроса о преемственности в процессе изучения материала.

Однако "переучивание" часто понимают и в другом смысле: как процесс ломки старых структур, оказавшихся непригодными в новой ситуации, и создание на их месте новых структур. Переучивание в этом смысле всегда проходит очень трудно и болезненно, и возникает в том случае, когда преемственность в обучении нарушается. Такого "переучивания" можно и следует избегать.

4.6. Преемственность между средней школой и вузом

Переход из средней школы в высшую занимает особое место в осуществлении преемственности. Преемственность между средней и высшей школами носит двусторонний характер. Школа и вуз представляют собой взаимосвязанный комплекс, двуединую систему, в ее целостном и компонентном взаимодействии, взаимопроникновении, взаимовлиянии.

На стыке высшей и средней школы преемственность предполагает диалектическое взаимодействие систем педагогических процессов вуза и школы, а именно привнесение как в содержание обучения в школе, так и в школьную практику таких элементов вузовского обучения, которые обогащают и совершенствуют возможности средней школы, подготавливают школьников к обучению в вузе, и наоборот, содержание и организация обучения в вузе должны основываться на

конструктивном отрицании школьного обучения, помочь адаптировать начало обучения в вузе к содержанию, формам и методам обучения в вузе.

При переходе из средней школы в высшую возникают проблемы, которые стойко держатся не одно десятилетие. Как одну из причин серьезных недостатков в математической подготовке студентов педвузов можно указать на имеющийся существенный разрыв между вузовским и школьным курсами математики как по содержанию, так и по методам изложения.

Эти проблемы возникают и за рубежом. Так, Э. Бет считает необходимым найти правильное соотношение между программами преподавания математики в средней и высшей школе. Имеется тенденция антагонизма между этими двумя программами, поскольку школа имеет дело с учениками еще очень молодыми, среди которых только меньшинство одарено способностями к изучению математики, что обуславливает довольно строгие ограничения по отношению к программам преподавания в этой школе. С другой стороны, сложность новейших математических теорий не дает возможность перенесения их в программы высшей школы. Все это порождает между двумя программами бездну, кажущуюся непреодолимой.

В своем знаменитом курсе "Элементарная математика с точки зрения высшей" и в своих попытках реформы преподавания в средней школе Ф. Клейн старался перебросить мост между обеими программами. "Все же идеи Ф. Клейна, вопреки их полезному влиянию, -считает Э. Бет, - не послужили полному обновлению программ, как на это можно было надеяться, они произвели реформу скорее в методах преподавания, чем в самих программах." [13, с. 32] "Сейчас настало время

требовать пересмотра реальных программ под углом зрения умственного развития ребенка и преемственности программ. Жаль, что сейчас имеется так мало исследований, которые могут ответить на этот вопрос." [13, с.52].

Наиболее заметными признаками проблем, возникающих при переходе из школы в вуз, являются следующие.

1) Резкое снижение успеваемости на первом курсе по сравнению с результатами вступительных экзаменов. В качестве иллюстрации этой проблемы приведем следующую таблицу оценок по математике, полученных студентами первого курса Вологодского педуниверситета в 1993-94 учебном году (в сессию бралось среднее количество оценок по трем математическим дисциплинам):

отл.

хорошо

удовл.

неуд.

Аттестат

19

28

3

Вступит. экзамен

15

22

13

Зимняя сессия

5

12

25

8

Летняя сессия

4

13

27

6

2) Отсутствие связи между результатами вступительных экзаменов и успеваемостью в вузе. Зачастую, прогностические данные школьных аттестатов, начинают сказываться лишь с 3-го курса.

3) Факультеты уже после 1-го семестра вынуждены отчислять студентов, недавно преодолевших трудный рубеж поступления в вуз. Происходит резкий поразительный переход от восторженности первокурсников, зримой радости у них сбывшейся мечты к

отчислению после первых сессий за неуспеваемость и лень.

4) Возрастающее снижение интереса к учебе и к будущей профессии у части студентов.

Обычно столь безрадостную картину пытаются объяснить трудностями процесса адаптации. Но дело не только и не столько в них, поскольку во 2-ой сессии успеваемость не всегда выше, чем в 1-ую, да и на последующих курсах успеваемость не всегда растет. Учебная работа в вузе не дает хороших результатов, если не принимается во внимание уровень сложности учебного материала, характер действий по усвоению знаний и их применению, не обеспечено должное единство в структуре, в характеристике требований, предъявляемых к знаниям, умениям и навыкам учащихся".

С практической точки зрения преемственность общего среднего и высшего профессионального образования предполагает прежде всего преемственность государственных требований к подготовке выпускников школ и содержанию государственных стандартов высшего профессионального образования. Однако между ними как раз имеются серьезные концептуальные различия. Ситуация осложняется тем, что в вузовском стандарте отсутствуют входные требования (в настоящее время они определяются вступительными экзаменами конкретных вузов).

Изменения, происходящие в системе школьного образования, его усиливающаяся дифференциация открывают новые возможности взаимодействия вузов со школами, способствуют совершенствованию и развитию системы непрерывного образования. Особое место в осуществлении преемственности между школой и вузом

занимают лицеи, гимназии, специализированные классы математического и физико-математического профиля. В этом случае среднее образование реализуется на идее профильной дифференциации и ориентировано в значительной степени на профессиональную подготовку обучающихся.

Одно из важнейших условий преемственности -квалифицированный отбор студентов при поступлении в вуз. Этот вопрос является весьма актуальным в современных условиях. Традиционный отбор абитуриентов при помощи письменного экзамена становится все более недостаточным, поскольку ориентирован в большей степени на проверку объема хранящейся информации, проверку уровня тренированности учащихся в решении стандартных задач. Анализ вступительных экзаменов в вузы показывает, что примерно половина абитуриентов не подтверждает в дальнейшем своих оценок. Уровень же обучаемости студентов в первую очередь определяется уровнем их математических способностей. Поэтому вступительные экзамены должны иметь своей главной целью проверку такого уровня.

Для этой цели, как показывается в последней главе, значительно более эффективными оказываются устные экзамены, беседы экзаменатора с абитуриентами. Содержанием таких экзаменов должны служить, главным образом, нестандартные задачи. В Вологодском государственном педуниверситете такие экзамены проводятся уже в течении нескольких лет на отделении прикладной математики и показали свою эффективность.

Причины трудностей, возникающих при попытках обеспечить преемственность между средней и высшей

школами, состоят в том, что обучение математике в средней школе преследует три главных цели: 1) сообщение учащимся некоторого минимума знаний, который следует считать необходимым для каждого образованного человека; 2) подготовку учащихся к практической деятельности любого рода; 3) подготовка учащихся к тому, чтобы они могли продолжить свое образование в высшей школе. Каждая из этих трех задач в известной степени противоречит двум другим, что и делает проблему наиболее рационального построения программ чрезвычайно трудной. В частности, установка 1) требует известной законченности, или, во всяком случае, цельности того круга знаний, которые учащиеся получают в средней школе, что во многом противоречит установке 3).

Преемственность в математических курсах имеет свою специфическую особенность, состоящую в том, что в отличие от других курсов, общих для школы и вуза, школьный курс математики не входит составной частью в вузовский курс. За годы учебы в вузе студенты приобретают новые математические знания, которые, как отмечалось во второй главе, не просто добавляются к старым, а взаимодействуют с ними по определенным законам, вступают зачастую с ними в противоречие и их вытесняют.

Поэтому особенно важно, чтобы вузовская математика и по содержанию, и по методам, и по терминологии, и по символике должна быть естественным продолжением школьной математики. Понятия о математических структурах, сохраняясь в их первоначальном смысле с возможными уточнениями, дополнениями и

обобщениями, как раз и могут обеспечить в наиболее полной мере такое продолжение.

С другой стороны, следует отметить необходимость учитывать при написании школьных учебников по математике терминологию и символику, общепринятую в вузовской математике.

Особую роль преемственные связи между вузовскими и школьным курсом математики играют в подготовке учителя. Такая связь, как отмечает А.Г. Мордкович, должна быть ведущей идеей каждого математического курса и быть важнейшим принципом отбора содержания вузовских курсов. Реализация принципа ведущей идеи налагает на преподавание математических дисциплин в педвузах обязанность четко знать и доводить до студентов, как связаны излагаемые им вопросы курса с курсом математики средней школы, раскрывать, зачем изучается тот или иной вопрос, как он связан с будущей деятельностью учителя математики, показывать неизбежные логические пробелы в дедуктивном построении школьного курса и пути их ликвидации, сопоставлять в наиболее существенных случаях школьный и вузовский варианты изложения того или иного раздела, введения того или иного понятия.

Решением этой проблемы, по мнению Г.Г. Хамова, явилось бы введение в учебный план педвузов интегративных математических курсов, соединяющих элементарную и высшую математику. По его мнению, нецелесообразно элементарную математику выделять (при сохранении практикума по решению задач) в отдельную дисциплину учебного плана. Он разработал программу курса алгебры и теории чисел, включающую в

себя и алгебраические вопросы из элементарной математики.

Близкую точку зрения высказывает и М.В. Потоцкий. В педвузе, по его мнению, вводный раздел каждого курса по высшей математике должен осветить важный вопрос о связи высшей математики с элементарной. Высшая математика в педвузе должна давать не только общее математическое образование, но и отвечать на вполне определенные и конкретные вопросы школьного курса, так же как курс высшей математики в техническом вузе отвечает определенным требованиям специальности студента. Все основные вопросы школьной математики излагаются неполно и могут найти свое завершение лишь в высшей математике, которая тем самым становится естественным продолжением, обобщением и завершением элементарной.

Так, важнейшее понятие школьной математики -понятие числа (натурального, целого, рационального, действительного, комплексного) находит свое обоснование лишь в курсе числовых систем. Вопросы о разрешимости уравнений высших степеней, о числе их решений, о решении различных систем уравнений находят свое решение только в вузовском курсе алгебры. В теории функций комплексного переменного выясняется связь между показательными, логарифмическими и тригонометрическими функциями и т.д.

Включение в курсы высшей математики вопросов из элементарной позволяет обеспечить наиболее естественную постановку преподавания, поскольку высшая математика возникла в результате развития элементарной, позволяет осуществить важную в педагогическом отношении преемственность между

элементарной и высшей математикой. Эта связь облегчает понимание высшей математики, конкретизируя многие ее проблемы, связывая новое со старым и тем самым облегчая понимание и запоминание этого нового. На всех этапах формирования структурных понятий следует анализировать и обобщать ранее приобретенный опыт обучающихся, в частности, с точки зрения вводимых понятий рассматривать содержание отдельных тем школьных учебников по математике. Это значительно повышает интерес студентов к учебе.

Если же вводить единый курс элементарной математики, то этот курс, по словам М.В. Потоцкого, "должен дать будущему учителю углубленные и расширенные знания по вопросам элементарной математики, используя, где это необходимо, высшую математику. Однако этот курс, будучи цельным курсом, не может ставить перед собой цели быть "сборником приложений" высшей математики к решению различных вопросов элементарной математики. Наоборот, попытка придать ему такой характер лишь нарушила бы цельность курса, его идейную основу, превратила бы его в "сборник отрывков" и свела бы его ценность к нулю" [114, с. 75].

Значительно меньшее внимание в педагогической науке уделяется преемственным связям в обратном направлении, т.е. тому, как обучать математике школьников так, чтобы они в наибольшей степени оказались готовыми к восприятию вузовской математики. Обычно здесь все сводится либо к подготовке для сдачи вступительных экзаменов, либо к проведению профориентационной работы. А между тем и в этом направлении много проблем в содержании обучения: какие математические структуры и в какой степени следует

изучать в школе с целью подготовки к восприятию вузовской математики.

Так, М.И. Шабунин отмечает: "Опыт показывает, что даже многие из тех студентов, которые обучались в школах и классах с углубленным изучением математики, недостаточно подготовлены к тому, чтобы в условиях дефицита времени глубоко и прочно освоить курс математического анализа. Речь не идет о навыках дифференцирования и интегрирования (они приобретаются сравнительно легко), а прежде всего о слабом знании элементов математической логики (прямая и обратная теоремы, необходимость и достаточность, доказательство от противного, построение отрицания выражений, содержащих слова "любой", "существует". Эти элементы логики часто используются в курсе математического анализа и было бы крайне важно уделить им больше внимания при углубленном изучении математики в средней школе." [148]

О необходимости введения таких элементов логики в школьную математику говорилось давно, им были посвящены исследования А.А. Столяра, был даже период, когда такие элементы включались в школьную программу. Но в ныне действующих учебниках, ни в том, соавтором которого является М.И. Шабунин, ни в учебниках для углубленного изучения математики под ред. Н.Я. Виленкина, такого материала, к сожалению, нет. Такой раздел появился лишь в учебнике для 10-11 классов, предназначенном для будущих экономистов.

Элементы математической логики, теории множеств и соответствующая символика - это не единственные вопросы, которые следовало бы рассматривать с точки зрения вуза в школьной математике. Одной из таких тем,

которые с точки зрения вузовской математики следовало бы изучать в школе, является тема "Многочлены с одной переменной".

Эта тема длительное время, в эпоху учебника А.П. Киселева, входила в содержание школьного обучения на старшей ступени. Затем, во время реформы 60-70-х гг., эта тема была исключена из школьной программы. Однако в подавляющем большинстве вузов, что отмечал и Г.В. Дорофеев, как бы предполагается, что этот материал студентам известен, и используется в таких, например, разделах, как интегрирование рациональных функций, линейные операторы, дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Между тем, не имея достаточных знаний и умений, связанных с многочленами от одной переменной, выпускник школы будет иметь серьезные трудности при дальнейшем обучении в вузе, а возможно и на более раннем этапе -при сдаче вступительных экзаменов по математике.

Абитуриенты зачастую не владеют такими элементарными навыками, как деление многочлена на многочлен "уголком", возведение в куб суммы и разности двух выражений и т.п. Все эти вопросы исключены из программы средней школы, но безусловно важны для изучения математики в вузе.

Для вузовской математики также весьма важным является владение первокурсниками буквально с первого месяца обучения математической индукцией. В настоящее время эта тема осталась лишь в программе школ и классов с углубленным изучением математики. Но чаще всего при изучении этой темы все сводится к освоению метода математической индукции. Между тем, с точки зрения развития мышления, логической культуры

учащихся более важным представляется привести их к возможно более глубокому пониманию принципа математической индукции. Но этой стороне действующий учебник также не уделяет должного внимания.

Актуальность проблемы учета содержания школьного математического образования с точки зрения подготовки к восприятию вузовской математики становится все более очевидной, о чем свидетельствует обеспокоенность вузовских преподавателей попытками игнорировать это требование, неоднократно выраженная на страницах журнала "Математика в школе".

Решение этой проблемы можно достичь с помощью специально организованной довузовской подготовки учащихся, ориентированной на преемственность в обучении математике между средней и высшей школой. Уникальная возможность осуществить на практике преемственность программ общего среднего и высшего профессионального образования предоставляется при наличии в вузах структурных подразделений, занимающихся такой довузовской подготовкой.

При Вологодском педуниверситете в течении пяти лет функционирует учебно-педагогический комплекс, включающий в себя естественно-математический лицей, педагогические и специализированные математические классы в трех школах г. Вологды. Опыт нашей работы показывает, что в таких подразделениях имеются богатые возможности для пропедевтики представлений об основных математических структурах при специальной организации факультативных занятий или спецкурсов для старшеклассников - будущих абитуриентов. Изучение таких тем, как элементы математической логики и теории множеств, многочлены от одной переменной, мате-

матическая индукция, группы симметрий и т.п., позволяет обеспечить преемственность в обучении математике между школой и вузом, существенно облегчить изучение вузовской математики первокурсниками.

Нуждаются в существенной переработке программы вузовских математических курсов с учетом принципа преемственности. В ВГПУ наибольшим изменениям подверглась программа курса алгебры в первом семестре. Многие абстрактные и заформализованные вопросы из математической логики, теории множеств и алгебр были исключены из программы первого курса и перенесены на более старшие курсы (курс алгебры и теории чисел был растянут на пять семестров). Существенно была также упрощена используемая символика с тем, чтобы курс алгебры и по содержанию, и по методам, и по терминологии, и по символике был естественным продолжением школьной математики.

Наблюдения за ходом обучения студентов, их анкетирование, опрос преподавателей, результаты контрольных работ и экзаменов показали наличие положительных изменений в процессе обучения. Было отмечено возрастание интереса студентов к изучению алгебры. Успеваемость по алгебре на первом курсе после перестройки программы по сравнению с результатами предыдущих лет повысилась с 65-70% до 85-90%.

Таким образом, взгляд на обучение математике как на процесс формирования математических структур мышления способствует наиболее полной реализации принципа преемственности и правильной организации таких его проявлений, как повторение и пропедевтика. С этой точки зрения суть принципа преемственности состоит в том, что его реализация позволяет свести к

минимуму в количественном отношении создание новых структур и обеспечить преимущественность более легких процессов наращивания, настройки и перестройки структур.

Понятия о математических структурах, сохраняясь в их первоначальном смысле с возможными уточнениями, дополнениями и обобщениями, как раз и могут обеспечить наиболее безболезненный переход от средней школы к высшей и решение проблемы учета содержания школьного математического образования с точки зрения подготовки к восприятию вузовской математики.

Глава 5. Стратегия поэтапного обучения математике

Как отмечалось в третьей главе, процесс формирования математических структур должен строиться не линейно, а по спирали, проходя в своем развитии несколько этапов, ступеней, уровней. Эта поэтапность процесса формирования структур отмечалась нами неоднократно при рассмотрении нескольких основных дидактических принципов, как необходимое условие их реализации. В той или иной трактовке поэтапность (многоступенчатость, многоуровневость) изучения материала фигурирует в работах многих педагогов-математиков. В настоящем разделе поэтапность формирования математических структур мышления будет являться предметом особого рассмотрения.

5.1. Поэтапность формирования знаний как общедидактический принцип

Необходимость и актуальность отдельного рассмотрения этого принципа связана с тем, что наряду с непрерывностью учебный процесс обладает

определенной дискретностью: он разбивается на учебные года и семестры, да и вся наша система образования состоит из нескольких звеньев как в школе (начальная школа, основная школа, средняя школа), так и в вузе (бакалавриат, подготовка специалиста, магистратура). Каждому такому звену должны соответствовать определенные ступени, уровни сформированности когнитивных структур. Этот принцип вытекает также из необходимости соответствия формирования и развития знаний основным этапам интеллектуально-нравственного взросления учащихся, а также основным историческим периодам накопления человеческой культуры.

Дискретность в учебном процессе, как отмечает С.И. Архангельский, выражается ступенчатым характером изменения и развития его компонентов. Движение развития в учебном процессе, как известно, всегда состоит из последовательного ряда изменяющихся стабильных состояний [8, с. 51].

Выделение правильно понимаемых периодов развития мышления учащихся, как отмечает В. Оконь, важно для дидактики в том смысле, что оно способствует рациональному планированию содержания обучения, т.е. такой деятельности учащихся, которая соответствует их психическим и социальным возможностям [110, с. 95].

Психологами и педагогами предложено много вариантов такой периодизации, часто значительно различающихся между собой. В первой главе рассмотрена одна из таких наиболее известных периодизаций, предложенная Ж. Пиаже. Шесть фаз психического развития были выделены С. Гессеном:

- от рождения до пяти лет - период интенсивного развития;

- возраст от 5 до 7 лет - период "первого застоя";

- возраст от 7 до 11 лет - период интенсивного развития;

- возраст от 11 до 14 лет - период "второго застоя";

- возраст от 14 до 17 лет - третий период интенсивного развития;

- возраст от 17 до 21 года - период медленного развития, период гармонизации [110].

Существуют и такие исследователи, которые выступают против всякого деления, считая, что развитие человека носит непрерывный характер и представляет собой процесс роста отдельных функций, постоянного нарастания их количественных и качественных изменений.

Мы придерживаемся взгляда, что количественные изменения происходят постоянно, а качественные -скачкообразно, поэтому выделение фаз, ступеней развития является необходимым условием правильного подхода к отбору содержания обучения, построения его по принципу "спирали".

Об учебном плане, построенном по принципу спирали писал и Дж. Брунер. По его мнению, одним из принципов, "соблюдение которого необходимо для выделения в преподавании "структуры предмета" состоит в том, чтобы посредством постоянного повторного прохождения основных материалов, которые изучаются и в начальной, и в средней школе, помочь учащимся уменьшить разрыв между "элементарными" знаниями и "повышенными" (научными) знаниями. Такой разрыв является одной из трудностей, которые имеют место при

переходе учащихся из начальной школы в среднюю, а затем в высшее учебное заведение..." [21, с.27].

Известный ученый-методист П.М. Эрдниев также отмечает: "Экспериментальное обучение показало существенные преимущества спиральной структуры знаний, когда материал располагается в виде развертывающейся спирали, причем каждый виток спирали (цикл) образует внутренне целостную тему" [153, с. 43].

Крупный ученый-дидакт М.Н. Скаткин отмечает: "Необходимо, чтобы восприятие нового не сводилось к какому-то одному акту, а представляло собой процесс, в котором учащиеся рассматривали бы каждое новое явление или предмет с различных сторон, устанавливая многообразие связей данного объекта с другими, как сходными с ними, так и резко отличными от него." [125, с. 59].

Ступени в таком последовательно-повышаемом содержательном познании, соотнесенные с уровнями восприятия учебной информации, в дидактике обычно называются уровнями обучения или уровнями усвоения. Разными авторами (В.П. Беспалько, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин и др.) предложено рассматривать различные такие уровни.

По мнению С.И. Архангельского, более правильно говорить не об уровнях обучения, а о некоторых ступенях интеллектуального уровня студентов в процессе обучения - уровнях научного познания. Конструктивно эти уровни скорее могут быть представлены спиральными связными ступенями, чем разорванными параллельными ступенями. Подчинение и связь этих уровней характеризуется мерой последовательного продвижения в

приобретении знаний и в оперировании более высокими формами и инструментом научного познания [8, с. 56].

В соответствии с этим взглядом процесс обучения следует рассматривать как многоуровневую систему с обязательной опорой на нижележащие, более конкретные уровни научного познания. Без такой опоры обучение может стать формальным, дающим знание без понимания.

Среди математиков-педагогов также широко распространены взгляды о необходимости выделения последовательных этапов в формировании понятий о математических структурах. Так, говоря о преподавании математики, французский математик Г. Шоке замечает: "Необходимо идти от одного уровня мышления к другому. Задача преподавания помогать ребенку постоянно реконструировать свой умственный мир посредством переходов от одного уровня мышления к другому" [147].

В своих лекциях для учителей Ф. Клейн отмечал необходимость предварительных этапов в изучении основных математических понятий: "Мы должны приспособляться к природным склонностям юношей, медленно вести их к высшим вопросам и лишь в заключение ознакомить их с абстрактными идеями; преподавание должно идти по тому же самому пути, по которому все человечество, начиная со своего наивного первобытного состояния, дошло до вершин современного знания. ...Как медленно возникали все математические идеи, как они почти всегда всплывали сперва скорее в виде догадки и лишь после долгого развития приобретали неподвижную выкристаллизованную форму систематического изложения" [62, с. 381].

Говоря о преподавании математики в вузе, Ж. Дьедонне [52] считает неизбежным при изучении новых математических объектов период "чисто формального и поверхностного понимания, которое постепенно заменяется лучшими и более глубокими", что выработать у студентов надежную интуицию "достижимо лишь посредством продолжительного знакомства с материалом и с неоднократными попытками осмыслить его в разных ракурсах".

По мнению А.Н. Колмогорова, обучение математике должно состоять из нескольких ступеней, что он обосновывал тяготением психологических установок учащихся к дискретности и тем, "естественный порядок наращивания знаний и умений всегда имеет характер "развития по спирали". Принцип "линейного" построения многолетнего курса, в частности математики, по его мнению, лишен ясного содержания. Однако логика науки не требует, чтобы "спираль" обязательно разбивалась на отдельные "витки". [68]

А.Я. Хинчин, говоря о понятии числа, как стержне всего школьного курса математики, указывает: "И подобно тому как в сознании мыслящего человечества понятие числа, подымаясь от ступени к ступени, в разные эпохи не только по содержанию, но и по стилю, научному уровню и логической зрелости являло собою совершенно различную картину, точно так же нельзя говорить о едином понятии числа, соответствующим уровню сознания школьника. На протяжении школьного обучения понятие числа не только обогащается по содержанию, включая в себя все новые и новые классы чисел, но и качественно эволюционирует вместе с сознанием учащегося, приобретая новые черты и оттенки

и поднимаясь на все более высокие ступени абстракции и логической завершенности." [143, с. 56].

Различные уровни мышления учащихся в сфере геометрии были предложены и описаны в работах А.М. Пышкало, И.Г. Вяльцевой, Г.Д. Глейзера. Каждому такому уровню соответствует определенный уровень сформированности пространственных представлений. Усовершенствованная модель таких уровней, предложенная Г.Д. Глейзером, состоит из 5 уровней с условными названиями: элементарный, фрагментарный, статически-динамический, динамический и творческий. Эти уровни развития пространственных представлений в какой-то степени являются отражением уровней усвоения знаний вообще [33].

С дидактической точки зрения особого внимания заслуживает работа П.-Х. ван Хиле, в которой описываются существенные различия в трактовке данного предмета, явления пространственной формы и т.п. между учеником и учителем. Это различие автор видит в уровне мышления и утверждает, что сущность понятия уровня мышления заключается в том, что в каждой научной дисциплине мышление может проходить на разных уровнях, а соответствующие рассуждения, также имеющие разноуровневый характер, проводятся на разных языках. Автор выделяет и описывает пять уровней мышления учащихся в обучении геометрии, при этом школьному обучению соответствуют четыре уровня [158].

Детально вопрос о различных уровнях мышления при изучении математики был рассмотрен А.А. Столяром [130], [131]. Следуя П.-Х. ван Хиле, он выделяет пять уровней мышления, которые охватывают весь период

изучения математики, начиная с 1 класса и кончая вузом. Хотя переход от одного уровня к следующему происходит не скачкообразно, а постепенно, необходимо, по мнению А.А. Столяра, четко различать эти уровни.

Развитие, отмечает А.А. Столяр, ведущее к более высокому уровню, протекает, в основном, не как созревание биологического характера, а как процесс обучения. Метод преподавания может ускорить переход от одного уровня к следующему, но не может осуществить переход от одного уровня к другому с пропуском промежуточного уровня. Очевидно, что метод преподавания может и задержать переход к более высокому уровню мышления в данной области, или вообще не достигать его в том смысле, что применяемые на этом уровне способы мышления останутся недоступными учащимся [130].

5.2. Уровни сформированности математических структур

В качестве основы для периодизации уровней сформированности математических когнитивных структур возьмем пять уровней мышления, выделенных для геометрических и алгебраических структур соответственно П.-Х. ван Хиле и А.А. Столяром. Эта периодизация не включает в себя уровни математического мышления детей до 6-7 лет, т.е. не рассматриваются стадии сенсо-моторного и наглядного мышления в терминологии Ж. Пиаже. Уровни мышления, выделенные А.А. Столяром, не соотносятся им с конкретным возрастом учащихся, но при непрерывном обучении такой возраст, соответствующий каждому

уровню, для основной массы учащихся все же можно приблизительно указать.

Первую, самую низкую ступень можно назвать уровнем конкретных множеств (ей примерно соответствует возраст с 6-7 до 8-9 лет). Эта ступень характеризуется тем, что возникающие у ребенка структуры мышления неотделимы от множеств конкретных предметов. В частности, нельзя показать ребенку какое-нибудь число, можно только показать ему какое-то число определенных предметов: три конфеты, три шарика, т.е. по существу множество конфет, множество шариков.

На этом уровне умственные действия ребенка приобретают свойство обратимости, что позволяет начать формирование у него понятий об алгебраических (арифметических) операциях. Но это конкретные операции, они проводятся непосредственно над множествами предметов.

Дети учатся выделять свойства, признаки предметов, по которым можно объединять их в группы, множества и производить сравнение. На этом этапе прежде всего преодолевается присущая дошкольникам интегральность восприятия, в вещах выделяются разные свойства, которые становятся в познании когнитивно отделимыми. Их репрезентации становятся независимыми, и дети могут произвольно сравнивать вещи по выраженности любых их отдельных свойств. Это позволяет начать формирование понятия об отношении порядка.

Геометрические фигуры рассматриваются как целые и различаются только по своей форме. На этом уровне ромб противопоставляется параллелограмму, квадрат -прямоугольнику.

Вторая ступень примерно соответствует возрасту с 8-9 до 11-12 лет. На этом уровне числа отделены от тех конкретных множеств, которые они характеризуют. Алгебраические операции начинают производиться не над конкретными множествами предметов, а над числами. Эти числа записываются в определенной (десятичной) системе, а свойства операций устанавливаются индуктивно. Поэтому можно говорить о том, что начинают складываться алгебраические структуры. Но это еще конкретные числовые структуры.

Дети на этом уровне могут систематизировать вещи, которые им встречаются, но еще не способны иметь с тем, что не находится прямо перед ними или не испытано в прошлом опыте. Поэтому для них весьма трудными являются задачи на упорядочение, представленные в вербальной форме, например, известная задача Ж. Пиаже: "Эдит имеет более темные волосы, чем Лили, Эдит более светлая, чем Сюзанна; кто из троих имеет самые темные волосы?" Поэтому первые возникающие порядковые структуры являются также конкретными.

На этом этапе проводится анализ воспринимаемых геометрических форм, в результате которого появляются их свойства; геометрические фигуры не определяются, а только описываются, они выступают как носители своих свойств и распознаются по этим свойствам. Но на этом уровне свойства фигур логически еще не упорядочены, они устанавливаются исключительно зкспериментальным путем. Этот уровень мышления еще не включает структуру логического следования.

Эту вторую ступень можно назвать уровнем конкретных структур. Первые два рассмотренных

уровня соответствуют в периодизации Ж. Пиаже стадии конкретных операций.

Третья ступень практически полностью соответствует в периодизации Ж. Пиаже стадии формальных операций (возраст с 11-12 до 15 лет). На этом уровне осуществляется переход от конкретных чисел, выражаемых цифрами, к абстрактным буквенным выражениям, обозначающим конкретные числа лишь при определенном истолковании букв. Алгебраические операции производятся не только над числами, но и над объектами другой природы (многочленами, векторами). Происходит процесс синтеза конкретных алгебраических структур.

На этом уровне для учащихся уже не составляет проблемы решение задач на упорядочение, в которых условия даны в вербальной форме. Происходит синтез конкретных порядковых структур. Более того, происходит синтез алгебраических и порядковых структур, основанный на синтезе структур, соответствующих обращению и взаимности. Тем самым появляется возможность усвоения теории неравенств.

На третьем уровне осуществляется логическое упорядочение свойств фигур и самих фигур. Одно или несколько свойств принимаются за определяющие фигуру, другие устанавливаются логическим путем. Геометрические фигуры выступают уже в определенной логической связи, устанавливаемой с помощью определений. Происходит синтез как отдельных свойств фигур, так и понятий о самих фигурах. Значение дедукции на этом уровне может понято учащимися лишь "в малом" или "локально", т.е. в рамках одной небольшой темы.

Таким образом, представляется вполне естественным назвать этот этап уровнем синтеза конкретных структур.

Четвертой ступени примерно соответствует возраст от 15-16 до 18-19 лет. На этом уровне выясняется возможность дедуктивного построения ряда разделов математики в данной конкретной интерпретации, т.е. когда буквы, обозначающие объекты исчисления, применяются в качестве имен и переменных для чисел или объектов другой природы из некоторого заданного множества (системы натуральных, целых, рациональных или действительных чисел, алгебра многочленов, векторная алгебра, алгебра матриц и т.д.).

На этом уровне постигается значение дедукции "в целом", т.е. от понимания ее "в малом" переходят к пониманию ее значения как способа построения и развития всей конкретной математической теории (геометрической или другой). Этому переходу способствует разъяснение сущности аксиом, определений, теорем, логической структуры доказательств, логической связи понятий и предложений. Как отмечал А.А. Столяр [131], на этом уровне осуществляется "содержательная" аксиоматизация теории, т.е. теории в определенной конкретной ее интерпретации. Поэтому назовем эту ступень уровнем содержательных структур. На этом уровне учащиеся и студенты-первокурсники еще не осознают роли аксиом в математическом определении, неточно представляют его схему. Этот уровень можно рассматривать как необходимый предварительный этап формирования понятия о математических структурах, роль которого сводится к четкому описанию математического определения и

вспомогательных понятий (отношения, алгебраической операции, предиката и т.п.).

Наконец, пятая ступень примерно соответствует возрасту, начиная от 19-20 лет. На этом уровне отвлекаются от конкретной природы объектов исчисления, от конкретного смысла операций, т.е. развивают теорию вне всякой ее конкретной интерпретации. На этом уровне строятся различные математические теории как абстрактные дедуктивные системы, осуществляется переход от известных моделей к абстрактной теории, а от нее к другим ее моделям. Эту ступень назовем уровнем абстрактных структур. На этом уровне строятся такие традиционные курсы, как основания геометрии, числовые системы (основания арифметики), исчисление предикатов и т.д.

На наш взгляд, для части студентов возможно достижение еще одного уровня, уровня творческого мышления. На этом уровне происходит знакомство с новейшими научными результатами, проводятся самостоятельные научные исследования. Но в вузе на этот уровень формирования понятий о математических структурах можно выйти только для отдельных видов математических структур при изучении спецкурсов, при работе в спецсеминарах, над курсовыми и дипломными работами.

Заметим, что выделенные ступени охватывают весь период изучения математики в школе и в вузе, причем учащиеся 10-11 классов и студенты первого курса вуза находятся на одном уровне мышления, что еще раз говорит о том, что уровень изложения материала на первом курсе вуза не должен значительно отличаться от уровня 10-11 классов.

5.3. Этапы формирования математических схем мышления

Рассмотрим процесс формирования основных математических схем мышления, отмеченных во второй главе - логических, алгоритмических, комбинаторных и образно-геометрических структур. Этот процесс, как уже отмечалось, обладает той специфической особенностью, что является длительным, проходящим через все ступени развития мышления, хотя для каждого вида таких структур имеются свои сензитивные периоды.

Логические структуры, их формирование при помощи изучения элементов математической логики в школьном курсе математики рассматривались в работах А.А. Столяра, Л.А. Калужнина и др. Но формирование логических схем мышления не может быть осуществлено только путем изучения математической или формальной логики.

Как отмечал А.Н. Колмогоров, формализация математики не избавляет нас от необходимости рассуждать содержательно с целью получения истины в самом обычном общечеловеческом смысле. Ответственность преподавателей математики здесь особенно велика, так как знакомство с началами логики практически в значительной мере происходит на уроках математики.

Логическое воспитание, считает А.А. Столяр, должно начинаться с первого класса, даже еще раньше, составляя своеобразное "введение в математику". Формирование первых логических понятий на возможно более ранней ступени обучения имеет общеобразовательное и воспитательное значение, выходящее за рамки их применения к изучению собственно математического материала. Такое

раннее обучение логике вполне возможно осуществить с помощью игр [131].

Наш опыт также показывает, что логические схемы мышления следует формировать постепенно, начиная с уровня конкретных структур. В младшем и в подростковом возрасте основной путь - это решение разнообразных логических задач (задачи на истинные и ложные высказывания, о правдолюбцах и лжецах и т.п.) с привлечением минимального числа элементарных логических понятий.

На уровне синтеза структур уже необходимо познакомить учащихся с такими логическими понятиями, как следование, равносильность, прямая и обратная теоремы, необходимое и достаточное условия. Имеется положительный опыт изучения на этой ступени и большего объема материала. В свое время такие эксперименты проводил А.А. Столяр. Однако для этой ступени он чрезмерно увлекался формальными логическими структурами. На этом уровне обучение должно идти через задачи. Примером именно такого подхода к изучении логических структур является курс логики для 5-6-х классов, разработанный учителем ср. школы № 14 г. Вологды Г.А. Маничевой. В ряде исследований рассматриваются средства формирования и развития логических структур и на начальных этапах обучения.

В старших специализированных математических классах или на факультативных занятиях, т.е. на уровне содержательных структур можно начать изучать элементы математической логики (логические операции, формулы, таблицы истинности, законы логики, логическое следствие и т.п.), но опять-таки с использованием достаточного количества логических задач.

Целью такого курса является систематизация, обобщение и расширение уже имеющихся у учащихся математических знаний. Целесообразно рассмотреть и технические приложения логики. Такой курс неоднократно читался автором в средней школе № 8 г. Вологды и естественно-математическом лицее.

В отличие от аналогичного курса, разработанного А.А. Столяром, в программу не включались вопросы формализованных теорий (типа правил вывода) и вопросы, требующие навыков формальных преобразований (нормальные формы, проблема разрешения и т.п.)

В вузе изучению логических структур посвящен курс математической логики. Как показывает опыт, этот курс целесообразно разделить на две части. Первую часть, куда входит алгебра высказываний, включая приведение формул к нормальным формам, а также элементы алгебры предикатов, включая предваренную нормальную форму, следует изучать на уровне содержательных структур. Такое разделение тем более необходимо, что элементы математической логики, изучавшиеся ранее во вводном разделе курса алгебры, в большинстве педвузов сведены к минимуму. Вторую часть курса, содержащую наиболее трудные и формализованные вопросы, следует изучать уже на уровне абстрактных структур.

Следует заметить, что логические знания и умения без систематической работы по их усвоению на всех этапах обучения, теряют свою подвижность. Поэтому они нуждаются в постоянном внимании и контроле со стороны преподавателей не только математической логики, но и других дисциплин. Весьма полезным для будущих учителей математики является спецкурс по логике с

профессиональной направленностью. В его программу может быть включена часть вопросов логической тематики, необходимых учителю математики на современном этапе, но не нашедших отражение в программе вузовских дисциплин (виды определений, правила построения определений, виды классификаций и т.п.).

Формированию алгоритмических схем мышления (алгоритмического мышления, алгоритмической культуры) посвящены работы В.М. Монахова, М.П. Лапчика, Л.П. Червочкиной, А.А. Шрайнера и др.

Формирование алгоритмических схем мышления можно начинать, что отмечают многие исследователи и что подтверждает наш опыт, достаточно рано, на уровне конкретных структур, решая различные задачи на планирование действий. Наиболее известной задачей подобного типа является старинная задача о волке, козе и капусте, переправляемых через реку, сюда же относятся задачи на переливания и взвешивания, различные игровые задачи.

На уровне синтеза структур можно, не изменяя содержания основного курса, а только путем целенаправленного методического подхода к решению ряда задач и доказательству теорем, познакомить учащихся со свойствами алгоритмов, с основными типами алгоритмических процессов (линейным, разветвляющимся, циклическим). В связи с этим определенное место в школьном курсе должно уделяться решению задач на смекалку, приводящих к необходимости описания алгоритмов невычислительных процессов. В качестве примера такой задачи можно привести известную задачу на взвешивания.

Хотя другие этапы формирования алгоритмической культуры в современных условиях могут быть отнесены к курсу информатики, однако и в основном курсе математики, в традиционном учебном материале, есть большие возможности для продолжения работы по формированию алгоритмического мышления учащихся. Алгоритмические задачи на этом этапе целесообразно давать учащимся в виде серий (цепочек) постепенно усложняющихся задач, что позволяет выработать навык поэтапного решения.

В вузе на уровне содержательных структур формирование алгоритмических структур продолжается в курсе информатики и прежде всего в специальном разделе этого курса - алгоритмизации. С математически строгим понятием алгоритма (машина Тьюринга, рекурсивные функции) целесообразно знакомить студентов уже на уровне абстрактных структур.

Как уже отмечалось, формирование комбинаторных схем мышления следует проводить постепенно на протяжении всего курса обучения, начиная с начальных классов. Еще на уровне конкретных структур, например при изучении темы "Нумерация", полезно рассмотреть с учащимися задачи на составление всевозможных комбинаций (например, выписать все различные числа, используя без повторений цифры 3, 4, 7). При этом важно научить школьников производить перебор в рациональной последовательности.

На уровне синтеза структур полезно рассмотреть с учащимися построение дерева возможных вариантов и два важнейших правила, позволяющих быстро производить подсчет числа возможных комбинаций -правило суммы и правило произведения. Рассматривать

какие-либо формулы комбинаторики на этом этапе нецелесообразно. Удачным примером рассмотрения комбинаторных структур в учебной литературе на этом этапе является комплект по математике для 5-6-х классов под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф.Шарыгина.

На уровне содержательных структур в школе (в классах с углубленным изучением математики и на факультативах) целесообразно рассмотреть простейшие формулы комбинаторики для подсчета числа размещений, перестановок и сочетаний и их применение в теории вероятностей. Однако изучение этого раздела не следует оставлять на конец школьного курса, когда уже нет возможности рассмотреть применение этого материала в смежных дисциплинах, а учащиеся уже сконцентрированы на проблеме сдачи вступительных экзаменов. Этот материал и начала математической статистики было бы полезно рассматривать и в классах гуманитарного профиля, поскольку именно этот раздел нужен историкам, филологам и т.п.

Развитие комбинаторных схем мышления необходимо продолжать и в вузе. Не имея достаточный уровень развития комбинаторного мышления студенты могут лишь формально усвоить курс теории вероятностей. Уже во вводном разделе следует знакомить студентов с элементами комбинаторики. В начале 70-х годов этот материал фигурировал в программе педвузов по алгебре, однако затем, поскольку он был включен в школьную программу, из программы был исключен. Впоследствии начала комбинаторики из школьной программы были исключены, но в вузовскую не попали.

Представляется также целесообразным один из разделов курса элементарной математики целиком

посвятить практикуму по комбинаторике. Целью такого практикума, помимо знакомства с комбинаторными формулами, является формирование комбинаторного мышления и комбинаторных навыков студентов на базе различных комбинаторных методов. В их число, как основа всей дальнейшей работы, должны быть включены бесформульные методы (метод систематического перебора объектов, комбинаторные принципы сложения и умножения, графы), наиболее наглядно раскрывающие идею комбинирования, способствующие пониманию существа вопроса, развитию систематичности и динамичности мышления, построению обобщений и классификаций.

На уровне абстрактных структур дальнейшее развитие комбинаторных схем мышления происходит в курсе теории вероятностей и математической статистики, а также во введенном в учебные планы ряда педвузов курсе конечной или дискретной математики.

На протяжении всего периода обучения происходит формирование и образно-геометрических схем. Геометрические образы сопровождают человека в течение всей его жизни, начиная с первых лет. Однако в школьном преподавании долгое время наблюдалась недооценка образной, наглядной стороны геометрии. Еще в дореформенный период В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин и И.М. Яглом предлагали усилить в преподавании геометрии опору на наглядные образы, на геометрический эксперимент, но не были поддержаны большинством других математиков.

По мнению Г.Д. Глейзера в традиционном преподавании школьной математики явно гипертрофированна цель развития логического мышле-

ния с помощью геометрии, в то время как при обучении геометрии мы с одинаковым упорством должны стремиться к развитию у учащихся интуиции, образного (пространственного) и логического мышления. Для обогащения геометрических представлений учащихся, для ознакомления их с максимально богатым набором геометрических фигур (как плоских, так и пространственных) Г.Д. Глейзер предложил до начала систематического курса геометрии изучать курсы наглядной геометрии (в начальной школе) и практической геометрии (в 5-6 классах). Подобная же идея курса наглядной геометрии, предшествующего систематическому курсу геометрии, выдвигались Г.Г. Левитасом, Н.П. Долбилиным и И.Ф. Шарыгиным, Г.А. Клековкиным и др.

Большое значение наглядности, рисункам, которые помогают уяснить свойства фигур, выдвинуть идею решения, понять идею доказательства, способствуют математическому развитию, придается в новом учебнике по геометрии В.А. Гусева.

Как отмечает М.Г. Мехтиев, по наблюдениям многих учителей и специалистов-психологов при неверном обучении ранняя способность оперировать геометрическими образами может в дальнейшем не только не развиваться, но даже резко ослабевать. Поэтому формирование образно-геометрического мышления должно выходить за временные рамки курса геометрии как школьного предмета [95, с. 40].

Начинать это делать следует еще на уровне конкретных множеств, т.е. с самого начала обучения в школе. В этой связи все большее число сторонников

завоевывает идея выделения геометрии в отдельный предмет, начиная с первого класса.

Большие трудности имеются в формировании высшей ступени геометрического воображения -пространственного мышления. У большинства учащихся и студентов умение мыслить пространственными образами развито слабо. На уровне развития пространственного мышления отрицательным образом сказывается недостаточная подготовка учащихся к восприятию курса стереометрии. Как отмечает Г.Д. Глейзер, "в процессе длительного изучения планиметрии в условиях, когда отсутствуют даже эпизодические обращения к трехмерным образам, у учащихся вырабатываются устойчивые двухмерные стереотипы пространственного мышления, которые мешают им мыслить трехмерными образами" [33, с. 202].

По мнению В.А. Гусева, геометрия - "наука, опирающаяся на наглядность, возникшая из опыта человека, из его наблюдений за окружающим миром, в котором нет ни одного плоского объекта, изучаемого планиметрией; ... раздельное изучение свойств фигур на плоскости и в пространстве не позволяет ученику увидеть многих общих закономерностей геометрии" [42, с. 100].

В значительной степени этот недостаток раздельного изучения планиметрии и стереометрии преодолен в уже упоминавшемся новом учебнике геометрии В.А. Гусева. В этом учебнике плоские фигуры и их свойства чаще всего изучаются не сами по себе, а как части пространственных геометрических фигур. Идея фузионизма нашла воплощение в новых учебниках и других авторов (А.Л. Вернера и Т.Г. Ходот, Г.Д. Глейзера и В.Г. Болтянского и др.).

Для формирования образно-геометрических схем мышления необходимо, как показывают результаты многочисленных экспериментов, проводить целенаправленную работу, начиная с начальной школы, положив в основу обучения наглядность, проведение опытов, наблюдение, разрезание, различные построения. В решении этой проблемы большую роль играют занимательные геометрические задачи (на вычерчивание фигур одним росчерком, на разрезание и конструирование, задачи со спичками, на развитие пространственного воображения и т.д.).

В преподавании математики в вузах также наблюдается недооценка задачи развития у студентов наглядно-образного мышления. По оценке В.Н. Костицина в педвузе отношение учебного времени, отводимого на развитие образного мышления, к учебному времени, затрачиваемому на развитие логического мышления, примерно равно 1:500. Существенно поправить дело помогло бы, по его мнению, возрождение курса начертательной геометрии на математических факультетах педвузов.

5.4. Этапы формирования теоретико-множественных понятий

В основе алгебраических, порядковых, топологических и других математических структур лежит понятие множества, как совокупности объектов, обладающих каким-либо признаком или признаками. Понятие множества хотя и возникло в математике сравнительно поздно (в конце 19-го века) быстро обрело фундаментальную роль в самых различных областях математики. "Теоретико-множественная точка зрения сложилась и

возобладала в начале нашего века как более глубокий, более утонченный взгляд на предмет геометрии" [6, с. 49].

Поэтому одной из главных задач реформы математического образования явилось построение школьного курса на основе теории множеств. Как отмечает Г.В. Дорофеев, "теоретико-множественная концепция, обогащенная простейшими понятиями математической логики, обеспечила возможность дать четкие формальные определения многим понятиям школьного курса, трактовка которых в традиционном изложении представлялась недостаточно ясной" [49, с.56].

Однако в ходе реформы не был учтен ряд дидактических принципов изучения теоретико-множественных понятий, в частности многоуровневость формирования основных математических структур. Это привело к излишней усложненности и формализму при изложении этих вопросов. В результате контрреформации теоретико-множественные вопросы оказались изгнанными из школьной программы. Н.Я. Виленкин отмечал как один из существенных недостатков послереформенных программ то, что "в борьбе с теоретико-множественными увлечениями был сделан перегиб в обратную сторону, в результате чего из школьной математики оказался полностью исключенным термин "множество", хотя на самом деле он выступает в ней в замаскированной форме." [25, с. 11]

Целый ряд крупных отечественных математиков выступил за возвращение теоретико-множественных понятий в школьную программу. Так А.Д. Александров отмечает, что теоретико-множественная точка зрения

позволила ввести само понятие о "непрерывной протяженности" и дать его вариантам четкие определения; стало общим стандартом понимание фигуры как множества точек, что нашло выражение, хотя и в неявном виде, и в учебнике А.В. Погорелова. Ввиду всего этого, по мнению А.Д. Александрова, представляется необходимым введение в курс элементарной геометрии теоретико-множественной точки зрения. Вопрос в том, как, в каком объеме следует вводить соответствующие понятия, можно ли обходить самый термин "множество", можно ли не давать определение границы, поверхности, тела и другие. Следует вернуть в курс геометрии термин "множество". Но, во всяком случае, не представляется разумным бросаться из крайности в крайность - от теоретико-множественных излишеств к полному затушеванию того, что связано с теоретико-множественным подходом [6].

Этот взгляд А.Д. Александрова на применение теоретико-множественного подхода и использование соответствующей символики был поддержан и А.Н. Колмогоровым. Особо А.Н. Колмогоровым в этом отношении был отмечен курс алгебры: "В курсе алгебры представляется несомненной разумность толкования области определения функции и совокупности решений неравенства как множества точек. Особенно убедительны потребности в теоретико-множественном языке при рассмотрении систем уравнений и неравенств" [66, с.52].

Начинается формирование понятия множества еще на первом уровне - уровне конкретных множеств. На этом уровне ребенок все время оперирует с различными конкретными множествами предметов, хотя само понятие "множество" вводить на этом этапе совсем не обязатель-

но. На конкретном материале можно продемонстрировать все основные теоретико-множественные операции.

На уровне конкретных структур рассматриваются множества отвлеченных объектов (множества чисел, точек, отрезков и т.п.). На этом этапе целесообразно рассмотреть операции пересечения и объединения множеств и уже использовать некоторую терминологию и символику (множество, пустое, конечное и бесконечное множество, принадлежит, пересечение, объединение). Полезно все эти понятия иллюстрировать при помощи кругов Эйлера. Примером изложения теоретико-множественных понятий на этом уровне является учебник В.А. Гусева "Геометрия-6".

Следует заметить, что наблюдается путаница в понимании учащимися и даже студентами термина "множество" в силу того, что в русском языке слово "множество" имеет несколько иной смысл. В других языках, как отмечает Г. Фройденталь, также наблюдается смешение математического и обыденного смысла этого слова [140, ч.2, с.9].

На уровне синтеза структур теоретико-множественные понятия целесообразно использовать при рассмотрении систем и совокупности уравнений и неравенств, для определения равносильности систем, при введении области определения функции и т.п. На этом уровне, также как на первых двух, теоретико-множественные понятия являются лишь удобным специфическим языком. Последовательное проведение теоретико-множественной концепции на этом уровне вызвало бы значительные психолого-педагогические трудности, совершенно не соответствующие содержанию математических курсов, изучаемых в этот период.

В частности, теоретико-множественный подход к определению понятия функции, как совершенно справедливо отмечал Г.В. Дорофеев, имеет ряд существенных методических недостатков, хотя и позволяет строго, логически безупречно определить все понятия, связанные с функцией. Такими недостатками являются: несоответствие формального определения с интуитивным представлением о функции, отсутствие в таком определении функции ее важнейшей черты - динамичности, несоответствие общеупотребительной терминологии и символике.

Рассмотрение интуитивной теории множеств целесообразно осуществить уже на следующем уровне - уровне содержательных структур. Как отмечал А.Н. Колмогоров, "...ясно, что цельная и наглядно убедительная картина строения всей нашей науки не может быть дана без описания теоретико-множественной концепции в ее содержательном (а не формализованном) варианте" [67].

Часть этого материала (операции над множествами и их свойства, прямое произведение, отображения множеств) может быть изучена в школе либо на факультативах, либо в классах с углубленным изучением математики. В школьном курсе важно обеспечить тесную связь изучаемых теоретико-множественных понятий с другими разделами школьной программы, с тем, чтобы эта тема не выглядела изолированной. Примером удачного изложения этой темы и ее связи с такими важными вопросами, как системы и совокупности уравнений и неравенств, их равносильность, является глава "Элементы теории множеств", написанная в свое время Н.Я. Виленкиным для факультативных занятий учащихся 7-8 классов.

К сожалению, авторы учебного пособия для 9-х классов с углубленным изучением математики, использовавшие материалы Н.Я. Виленкина, определение равносильных систем уравнений дали без использования теоретико-множественной терминологии, что сделало такое определение логически менее ясным и четким.

В вузе на этом этапе дидактически оправдано введение определений бинарного отношения, функции в теоретико-множественной форме, композиции функций, обратной функции. Целесообразно рассмотреть доказательство основных свойств операций над множествами, счетности множества рациональных чисел и несчетности множества действительных чисел.

В ряде педвузов имеется положительный опыт изложения элементов теории множеств в вводном курсе "Введение в математику". Данный курс имеет в своей основе единство математики как науки. Поэтому в него включены, помимо теории множеств, элементы математической логики, а также самые общие понятия, связанные с отображениями, функциями, преобразованиями.

На пятом уровне - уровне абстрактных структур -возможно изучение аксиоматической теории множеств. На основе аксиоматического изложения теории множеств возможно осуществить строгое построение курса "Числовые системы" без каких-либо пробелов. Такое изложение аксиоматической теории множеств (на содержательном уровне), являясь вполне доступным для студентов, не только обеспечивает математическую стройность структуры курса, ликвидируя различного рода пробелы его традиционных построений, но и дает ряд методических возможностей. Опора на аксиоматическую

теорию множеств позволила бы избежать многих трудностей при изучении и других математических дисциплин, которые часто возникают именно из-за нечеткого и туманного изложения их на уровне интуитивной теории множеств.

5.5. Этапы формирования порядковых структур

Порядковые структуры, как имеющие фундаментальное значение для всего здания математики и находящие применение во многих прикладных вопросах, являются необходимым элементом в математическом образовании.

На уровне конкретных множеств целесообразно прежде всего рассмотреть первоначальную порядковую структуру - упорядоченное множество, как самую общую и в то же время наиболее просто устроенную структуру. Она служит той научной, теоретической основой, из которой может быть получено понятие величины и все ее основные свойства. А на основе понятия величины могут быть получены все виды действительного числа, начиная с натуральных.

Вопрос о том, с изучения каких понятий следует начинать школьный курс математики не нов. Еще в дореформенный период А.И. Маркушевич высказывал мнение, что к содержанию детского математического опыта можно отнести понятие упорядоченности и некоторые теоретико-множественные понятия. Об этом же свидетельствовали опыты Ж. Пиаже и его сотрудников. В.В. Давыдов также доказывал возможность и необходимость начинать изучение математики не с чисел, а с величин, т.е. упорядоченных множеств. Высоко оценивая роль числа в общей системе

математических знаний, В.В. Давыдов совершенно верно заметил, что это понятие лишь один из частных видов порядковых структур и поэтому не является первичным.

Опыт многолетней экспериментальной работы под руководством В.В. Давыдова показал, что такой путь введения математических знаний вполне реализуем. А вместе с тем он обеспечивает более эффективное усвоение понятия натурального числа, дает значительно лучшие результаты, чем традиционные способы обучения, в отношении математического и общего умственного развития детей.

В настоящее время в наших школах накоплен уже достаточно большой положительный опыт по изучению отношения порядка в 1-ом классе при работе по программе Д.Б.Эльконина - В.В.Давыдова. Дети вначале учатся выделять свойства предметов, по которым можно производить сравнение.

Затем у школьников начинает формироваться система трех основных взаимосвязанных фундаментальных отношений, присутствующих в любой порядковой структуре: "больше", "меньше", "равно". Для этого дети учатся фиксировать результаты сравнения с помощью буквенных равенств и неравенств, при этом вводятся знаки =, >, <. Эти знаки вводятся одновременно, т.е. в единой системе. Весь этот материал усваивается первоклассниками легко и сравнительно быстро.

Но, на наш взгляд, более оптимальным было бы изучение этого материала в шестилетнем возрасте, что больше соответствовало бы результатам исследований Ж. Пиаже и позволило бы раньше переходить к изучению арифметических операций.

На следующем уровне - уровне конкретных структур -формируется понятие о натуральных, целых и рациональных числах как о порядковых структурах на основе понятия величины. Большое значение величине в школьном курсе математики, как известно, придавал А.Н. Колмогоров. При таком подходе с самого начала возникает числовая ось, а дробные и отрицательные числа появляются как расширение познанной области на числовой оси. Такой подход к введению натуральных чисел, как порядковых чисел, пропагандировал и известный голландский математик и педагог Г. Фройденталь.

Конечно, порядковые структуры в школьной математике уже на этом уровне далеко не исчерпываются числами. Так, еще в работе с младшими школьниками могут быть использованы задачи на комбинацию неравенств, в которых требуется упорядочить некоторое конечное множество. Примером таких задач может служить следующая задача :

1) Дима выше Сережи, но ниже Пети. Петя выше Димы, но ниже Кости. Как можно расставить мальчиков по росту?

В 5-6-ых классах можно рассмотреть более сложные задачи подобного типа

2) Пять бегунов Захаров, Громов, Иванов, Ломов и Панов закончили дистанцию. Один из них был первым, затем двое пришли к финишу одновременно, еще двое показали третий и четвертый результаты. Известно, что Ломов прибежал к финишу раньше Иванова, но позже Громова, а результаты Захарова и Ломова не совпали ни с одним из результатов бегунов. Как распределились места в соревновании?

Если в первой задаче устанавливается линейный порядок, то во второй порядок уже не линейный.

Задачи подобного типа часто относят к логическим, поскольку они требуют умения достаточно четко логически мыслить. Такие задачи часто используются и для проверки уровня сформированности теоретического мышления.

Решение задач на упорядочения множества младшими школьниками, кроме того, позволяет совершить естественный переход к решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества и определения числа таких расположений, т.е. к решению комбинаторных задач. Это позволяет учащимся при дальнейшем изучении на более высоком уровне уже сравнительно легко приходить к понятию перестановки как способа упорядочения конечного множества.

На этом же этапе вводится отношение делимости. Важно, чтобы учащиеся увидели сходство и различие свойств этого отношения со свойствами отношения "<".

На уровне синтеза конкретных структур происходит синтез уже сформированных алгебраических и порядковых структур посредством выполнимости свойств монотонности:

i) Va,b,c a<b => a+c<b+c (закон монотонности для сложения)

ii) Va,b, Vc>0 а<с => ас<bс (закон монотонности для умножения).

На этих свойствах и следствиях из них основано изучение теории неравенств. При рассмотрении этой темы необходимо с самого начала опираться на фундаментальные свойства отношения порядка в число-

вых системах и научить учащихся правильно пользоваться основными свойствами неравенств. С этой целью нам представляется целесообразным, основываясь на принципе поэтапности, развести во времени изучение свойств числовых неравенств и методов решения неравенств с переменной, для чего тему "Неравенства" следует разбить на две части. Первую часть этой темы: "Числовые неравенства и их свойства" лучше перенести на более ранний период изучения (6-7 класс). В 8-м классе целесообразно оставить изучение только неравенств с переменной и их систем. Такое изменение построения программы было осуществлено в средней школе № 8 г. Вологды и показало свою эффективность.

На этом же уровне синтеза конкретных структур начинает формироваться понятие о действительных числах, как синтез алгебраических, порядковых и топологических свойств и как естественное продолжение подхода к введению чисел в программе по системе Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова. Такой интуитивно-наглядный подход позволяет сравнительно рано (в начале 7-го класса) вводить действительные числа.

На следующем уровне - уровне содержательных структур - продолжается формирование понятий о порядковых структурах. Ранее полученные знания расширяются и углубляются. Новые понятия рассматриваются прежде всего в классах с углубленным изучением математики, на факультативах и на первом курсе в вузах. На этом уровне целесообразно познакомиться с аксиоматикой основных числовых систем, прежде всего натуральных и действительных.

Порядковые структуры играют фундаментальную роль и в таком важном вопросе, как метод математической

индукции. При традиционном подходе принцип математической индукции усваивается учащимися старших классов с трудом, поскольку он не имеет фактически никаких логико-психологических оснований.

Между тем, этот принцип может быть получен как следствие из порядковых свойств натуральных чисел, а именно из свойства полноты порядка (условия минимальности): любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит наименьшее число.

Однако в практике школьного преподавания эта форма индукции нашла ограниченное применение. Между тем, эта форма индукции естественно воспринимается учащимися, поскольку имеет психологическое основание в уже знакомых им порядковых структурах.

На этом уровне вводится понятие перестановки как способа упорядочения конечного множества. Аналогично вводится и понятие размещения.

В педвузах программа курса алгебры и теории чисел предусматривает уже в первый месяц обучения знакомство студентов с определением отношения порядка и его многочисленными примерами. Изучение нелинейного порядка полезно проводить на примере отношения делимости для натуральных чисел.

На уровне абстрактных структур целесообразно рассмотреть вполне упорядоченные множества, решетки и булевы алгебры, а также различные виды упорядоченных алгебраических систем: группы, кольца, поля. Особое внимание следует уделить линейно упорядоченным кольцам, т.к. именно они являются основой для теории неравенств и для обоснования свойств абсолютной величины.

На булеву структуру важно посмотреть с двух точек зрения: как на один из видов упорядоченного множества, т.е. как на порядковую структуру, и на как один из видов алгебраических систем, т.е. как на алгебраическую структуру. Различные модели этой структуры (алгебра множеств, алгебра высказываний, алгебра наибольших общих делителей и наименьших общих кратных и т.д.) играют большую роль в всей школьной математике и их полезно рассмотреть при подготовке учителей математики.

В курсе "Числовые системы" целесообразно рассматривать все основные числовые системы (натуральные, целые, рациональные и действительные числа) как порядковые структуры и осуществить строгое аксиоматическое построение всех этих числовых систем. Такой единый подход к изучению основных числовых систем как порядковых структур тем более оправдан, что он находит все более широкое применение в школьном преподавании математики. Изучение порядковых структур полезно продолжить на спецкурсах и спецсеминарах.

Рассмотренные порядковые структуры образуют систему, которую можно изобразить в виде следующего дерева:

На приведенной схеме хорошо видны как различные уровни изучения порядковых структур, так и происходящие при изучении порядковых структур процессы дифференциации и интеграции структур.

Такое многоступенчатое построение сквозной комплексной программы изучения порядковых структур, начиная со знакомства с элементарными понятиями на первом курсе и кончая изучением современных научных достижений в этой области на пятом курсе (в рамках курсов алгебры, теории чисел, числовых систем, спецкурса и спецсеминара), позволяет достичь студентам творческого уровня и повышает эффективность их участия в научно-исследовательской работе.

5.6. Этапы формирования алгебраических структур

Понятие об алгебраических операциях (сложении и вычитании) начинает формироваться еще на уровне

конкретных множеств, когда они проводятся непосредственно над множествами предметов.

На уровне конкретных структур алгебраические операции производятся над числами. Теоретико-числовой материал является в школьной математике наиболее благодатным материалом для формирования понятия об алгебраических структурах. Целое число, сложение целых чисел, введение нуля, нахождение для каждого числа ему противоположного, изучение законов действий - все это, по существу, этапы в формировании понятия об основных алгебраических структурах (группах, кольцах, полях).

Можно сказать, что идеей группы пронизан весь курс школьной математики. Знакомство учащихся с понятием группы начинается по сути дела, уже в 1-5 классах. В последующих классах школы учащиеся сталкиваются с вопросами, которые способствуют расширению знаний такого характера (группы с числовыми элементами и группы преобразований на плоскости). Идея группы дает возможность школьникам взглянуть с единой точки зрения на различные по своей природе, но одинаковые по структуре математические объекты, что ограждает учащихся от разобщенности в знаниях.

На уровне синтеза структур осуществляется переход от конкретных чисел, выражаемых цифрами, к абстрактным буквенным выражениям, обозначающим конкретные числа лишь при определенном истолковании букв. Алгебраические операции производятся не только над числами, но и над объектами другой природы (многочленами, векторами). Учащиеся начинают осознавать универсальность некоторых свойств алгебраических операций.

Особенно важным для осознания идеи группы является изучение геометрических преобразований и понятий композиции преобразований и обратного преобразования. Однако, последние два понятия не отражены в действующей школьной программе (о последовательном выполнении движений и об обратном преобразовании вскользь упоминается в учебнике А.В. Погорелова). Для восполнения этого недостатка может быть предложена программа факультативов для старших классов. В 9-ом классе можно изучать движения на плоскости, композицию движений, свойства композиции движений, самосовмещения.

По мнению ряда авторов недостатком школьной программы является то, что в ней понятие группы встречается только в неявном виде. Поэтому они предлагают знакомить школьников с этим понятием в явном виде и включать в программу факультатива понятия группы, подгруппы, порядка элемента группы, циклической группы и т.д. На наш вгляд, целесообразнее ограничиться рассмотрением групп самосовмещений некоторых геометрических фигур, групп вращений, орнаментов, бордюров, паркетов и различных приложений теории групп в кристаллографии, химии и т.д. Эти темы, где приходится знакомиться с математической постановкой практических задач, вызывают у учащихся наибольший интерес.

Опыты по изучению теории групп в школе проводились как самим автором, так и под его руководством студентами Вологодского пединститута в 1978-1982 гг. Вывод был однозначным: конечные группы преобразований вполне возможно изучать на факультативных и кружковых занятиях достаточно рано,

начиная с 7-8 класса. Такое раннее знакомство с идеей группы служит хорошей пропедевтикой изучения теории групп в вузе. Что же касается введения в школе понятия абстрактной группы и изучения каких-то элементов общей теории групп, то опыт преподавания как в школе, так и на первом курсе педвуза показывает, что это понятие достаточно сложно даже для первокурсников, что на этом этапе оно усваивается чисто формально.

В школьном курсе возможно знакомство и с другими частными случаями групп, например, только с аддитивными группами, о чем свидетельствует опыт работы ряда учителей по пособию "Алгебраические дроби", входящему в серию книг "Математика, психология, интеллект", созданных авторским коллективом во главе с Э.Г. Гельфман.

С понятием группы в общем виде следует знакомить учащихся уже на уровне содержательных структур, причем лучше это делать уже в вузе. В большинстве педвузов программа курса "Алгебра и теория чисел" предусматривает введение основных алгебраических структур в начале курса, что позволяет значительно повысить теоретический уровень изложения алгебраических и других математических циклов. Однако зачастую первокурсники не осознают роли аксиом в математическом определении, неточно представляют его схему. Следует признать, что необходим предварительный этап формирования понятия алгебраической структуры, роль которого сводится к четкому описанию математического определения и вспомогательных понятий (отношения, алгебраической операции, предиката).

Такой предварительный этап осуществляется в ряде вузов в уже упоминавшемся вводном курсе (или вводном разделе курса алгебры). Цель такого курса - связать школьный материал с вузовским: повторить и систематизировать арифметику и элементарную алгебру, а также дать мотивировки и наметить перспективы дальнейшего изучения алгебры и теории чисел. Удачным примером такой мотивировки является предварительное рассмотрение нескольких практических задач А.И. Кострикиным в его известной книге "Введение в алгебру".

На этом предварительном этапе целесообразно рассмотреть основные числовые системы и дать понятие о числовых группах, кольцах и полях, а также рассмотреть теорию делимости для целых чисел и многочленов. Однако и на этом этапе курс алгебры не должен превращаться в курс элементарной алгебры, что прослеживается у ряда авторов. Уже на этом этапе студенты должны получить на конкретных примерах первоначальное понятие об основных алгебраических структурах. Так, кроме числовых групп, полезно рассмотреть группы подстановок.

Для математического образования как учителя, так и математика-профессионала понятия групп, колец, полей, векторных пространств имеют большое значение. Однако, как показывает опыт, даже понятия кольца и поля оказываются более доступными, для студентов, чем понятие группы.

Дело здесь, по-видимому, заключается в том, что понятие группы по степени своей общности превосходит понятия кольца и поля. Для его усвоения требуется понимание того, что сложение и умножение - это част-

ные проявления одного и того же понятия бинарной алгебраической операции, свободное владение как аддитивной, так и мультипликативной формой записью основных свойств алгебраических операций. Необходимо также владеть в общем виде понятием множества.

Не случайно, что математика, как наука, долго шла к этому понятию. Широкое развитие общей теории групп началось лишь в 20-х годах нашего века и было связано с переходом алгебры на теоретико-множественные основы. Поэтому в полном объеме понятием группы студенты, как правило, овладевают лишь на уровне абстрактных структур.

С другими алгебраическими структурами (кольцами, полями, векторными пространствами) в явном виде целесообразно знакомить также на уровне содержательных структур. Все попытки более раннего введения этих структур, например векторного пространства и построения на основе этого понятия курса геометрии, хотя и показали возможность их изучения в школе, однако в силу возникающих при этом отрицательных эффектов, упомянутых в первой главе, одновременно показали нецелесообразность этого пути, по крайней мере, в массовой школе. По меткому выражению Г. Фройденталя "геометрия, которую можно изучать в школе с помощью линейной алгебры, является лишь отработанным паром. Ее высшим пунктом было бы доказательство того, что две различные прямые не могут иметь более одной точки" [140, ч.2, с. 57].

В большинстве вузов линейная алгебра традиционно изучается во втором семестре, хотя имеются примеры изучения этого раздела в 4-м и 5-м семестрах. Но такое затягивание изучения линейной алгебры до 4-5-го семе-

стра представляется нецелесообразным. Линейная алгебра несет в себе одну из самых общих естественнонаучных идей - идею линейности. Ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых приращений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического анализа и его приложений.

Очень полезно использовать многочисленные связи линейной алгебры с геометрией, прежде всего для мотивации введения новых понятий. По мнению Ж. Дьедонне, главная причина сохраняющейся за линейной алгеброй репутации сложной науки состоит в том, что недостаточно подчеркивается геометрическая природа линейной алгебры.

Очень важным для формирования понятий кольца и векторного пространства представляется изучение в школе еще на уровне синтеза структур таких объектов, как многочлены. На этом уровне, а также на уровне содержательных структур вполне достаточно представления о многочлене как алгебраической сумме одночленов.

Тема "Многочлены с одной переменной" создает в школьном курсе стройную и в определенном смысле вполне законченную, в рамках элементарной математики, линию целых алгебраических уравнений, представляющую собой не только необходимый для математики и ее приложений аппарат, но сама по себе может служить практически идеальной иллюстрацией исторического процесса развития математики.

Более строгое определение многочленов целесообразно иметь лишь на уровне абстрактных структур. На этом уровне изучения курса алгебры

строятся различные абстрактные алгебраические теории как дедуктивные системы (теория групп, теория колец и т.д.). Только на этом этапе студенты могут осознать такие обобщающие идеи, как, например, факторизация.

5.7. Специфичность этапов формирования топологических структур

Многоступенчатость проявляется и в формировании топологических структур. Однако для таких структур выделение всех пяти уровней представляется затруднительным.

Как показали опыты Ж. Пиаже и Дж. Брунера, на уровне конкретных множеств вполне возможно первоначальное знакомство с некоторыми топологическими понятиями (фигуры открытые и замкнутые, положение "вне" или "внутри" по отношению к границе (включая сюда и положение "на границе", разделение и сходство). Однако ни в один из отечественных школьных учебников этот материал включен не был.

Фактически в существующей программе по математике впервые с топологическими структурами (окрестность, предел, непрерывность) учащиеся встречаются лишь на уровне содержательных структур. Отсутствие промежуточных ступеней в формировании топологических структур приводит к возникновению больших трудностей в изучении первоначальных понятий математического анализа как у старшеклассников, так и у студентов младших курсов.

Еще в дореформенный период о необходимости более раннего начального ознакомления с началами анализа писали А.Н. Колмогоров и И.М. Яглом [63]. Они привели пример старого, но весьма удачного опыта наглядного

изучения начал анализа (без изучения теории пределов) сразу после изучения квадратного трехчлена.

В другой своей статье [64] А.Н. Колмогоров отмечал, что при введении начал анализа в курс школьной математики важно исходить из следующих двух принципов:

1) изложение должно быть наглядным и связанным с физическими представлениями и практикой вычислений и исследования функций,

2) понятие производной должно вводиться достаточно рано и широко использоваться в дальнейшем курсе.

Эту же мысль высказывал и Н.Я. Виленкин: "При этом, как и в ряде других мест школьного курса математики, необходим теснейший контакт с курсом физики -изучение мгновенной скорости в 8-м классе, а производной в 9-м представляется нам педагогической нелепостью" [25, с. 13].

Таким образом, основоположники реформы математического образования считали необходимым производить первоначальное знакомство с производной на уровне синтеза структур. Однако такое раннее введение производной наталкивается на серьезные трудности, поскольку строгое определение производной опирается на сложное понятие предела, в определении которого содержатся три квантора.

Как отметил М.И. Башмаков, то понятие предела, которое приводится в привычных определениях, имеет неоправданно большой объем. Оно обслуживает как основные, так и исключительные ситуации и смещает акцент в сторону внимания к патологическим случаям поведения функции. Однако овладение основами

дифференциального и интегрального исчисления может быть достигнуто, минуя понятие предела [12].

Производная в массовой школе должна вводиться описательно, наглядно, интуитивно, с применением геометрических пояснений вместо трудных доказательств, с опорой на параллельное изучение физических понятий. Так А.Д. Мышкис отмечад: "Достаточно трактовать непрерывность как отсутствие разрывов, а разрывы - либо как обращение в бесконечность, либо как конечные скачки" [102, с. 10]. По словам Г. Фройденталя "анализ может быть полезен в школе только в непосредственном приближении к жизни" [140, ч.2, с. 127].

По мнению М.И. Башмакова возможны несколько путей построения математического анализа, не опирающиеся на теорию пределов.

Первый предлагаемый им путь - сознательное сужение класса рассматриваемых функций. Есть много классов функций, для которых математический анализ строится без затруднений. Очень привлекательным в этом отношении является класс кусочно-монотонных функций. Непрерывность монотонной функции наглядно эквивалентна ясному свойству: принимать все промежуточные значения. Отпадает надобность в теореме Лагранжа для доказательства связи монотонности функции и знака производной и т.д.

Именно кусочные функции, как отмечает А.Г. Мордкович, являются во многих случаях математическими моделями реальных процессов. Их использование способствует преодолению обычного заблуждения многих учащихся, отождествляющих функцию только с ее аналитическим заданием в виде

некоторой формулы. Как в пропедевтическом, так и в мотивационном плане кусочные функции подготавливают учащихся к восприятию понятия непрерывности [100].

Первый путь для преодоления трудностей в преподавании анализа предпочитал и Г. Фройденталь. Он предложил рассматривать вместо непрерывности равномерную непрерывность, вместо дифференцируемости - равномерную дифференцируемость и т.д.

Второй путь - уточнение тех оценок, апроксимаций, которые обеспечивают предельный переход. По этому пути еще в период реформы 60-70-х годов В.А. Гусевым предпринимались попытки ввести понятие производной, минуя сложное математическое понятие предела функции. Этот же самый подход к введению производной в 8-м классе одновременно с изучением в физике мгновенной скорости позднее вновь был рассмотрен К.Г. Аракеляном.

Третий путь, предложенный М.И. Башмаковым, состоит в развитии наивно-аксиоматического метода. Задание объекта набором его свойств - это не только важнейший метод современной математики, но и очень перспективный путь с точки зрения приложений. Аксиоматический способ описания площадей и объемов сейчас общепринят, аксиоматическое описание интеграла также широко распространено. А вот опыт аксиоматического изучения производной явно недостаточен, хотя имеются примеры и такого подхода.

Так, Л.Э. Медников предложил в вузовском курсе математического анализа в первом семестре вообще не говорить о пределе последовательности и не давать определение предела функции, заменив его интуитивным

пониманием на уровне рисунка и перечислением свойств-аксиом, достаточных для вычисления пределов и доказательства дальнейших теорем [91].

Под нашим руководством В. Логвинец был осуществлен в 1997-98 учебном году эксперимент по знакомству с понятием производной учащихся 9-го математического класса ср. школы № 8 г. Вологды. Перенос курса начал анализа на уровень восьмилетней школы представляется вполне естественным. Принципиальная возможность такого переноса обеспечивается ясностью и наглядностью понятий и теорем математического анализа на уровне представлений.

В этом эксперименте изложение, так же как и в эксперименте, проведенном В.А. Гусевым, основывалось на физической задаче нахождения мгновенной скорости движения материальной точки. Вновь была убедительно доказана возможность наглядного, нестрогого изучения производной в начале IX класса одновременно с изучением мгновенной скорости в физике. Результаты этого и других экспериментов свидетельствуют не только о возможности, но и о необходимости перестройки программы классов с математической специализацией и переносе изучения начал анализа на более ранний этап.

Если безусловно ясно, что на уровне синтеза структур знакомство с топологическими структурами следует производить без использования понятия предела, то, следует ли вводить это понятие на уровне содержательных структур, единой точки зрения нет.

По мнению Н.Я. Виленкина ошибочным является полное изгнание из школы понятий предела и непрерывности. "Разумеется - отмечает он - изучение этих понятий на уровне s-ô определений невозможно в

средней школе. Но в то же время без понятия предела невозможно сколько-нибудь полно ввести в школе длину окружности и площадь круга, не говоря уже о производной и интеграле." [25, с.11]. По его мнению здесь следует согласиться с точкой зрения А.Н. Колмогорова, который считал целесообразным гибкое, неформальное употребление термина предел, приобретающего большую четкость и определенность лишь при решении частных задач.

По мнению А.Г. Мордковича математический анализ в школе следует изучать на наглядно-интуитивном уровне; при построении теории пределов начинать изучение следует с предела функции на бесконечность, что ассоциируется с асимптотой графика функции. К этому же ведут реальные физические процессы [99].

М.И. Шабунин, говоря об углубленной математической подготовке, отмечает: "Такие разделы, как "Предел последовательности" и "Предел функции" глубоко изучать в средней школе весьма трудно, да и нет особой необходимости, поскольку в курсе высшей математики эти разделы содержатся" [148].

Однако элементы дифференциального исчисления являются частью общечеловеческой культуры и исключение их из школьной программы нанесло бы урон образованию тех людей, которые не будут продолжать обучение в вузе. Поэтому нужно заниматься не проблемой отказа от изучения в курсе средней школы начал анализа, а проблемой совершенствования методик в отыскании эффективных средств обучения. Строгое определение понятий анализа должно быть не началом обучения, а итогом творческого поиска учащихся, руководимых учителем.

Интересно отметить, что и Ж. Дьедонне предлагал изучение элементов дифференциального и интегрального исчислений (для учащихся 15-17 лет) проводить только на экспериментальном уровне. В те годы сделать это было весьма трудно. Но в настоящее время современная компьютерная техника предоставляет широкие возможности визуального формирования представлений и о пределе, и о предельной точке при наблюдениях за траекторией движения точки, неограниченно приближающейся к некоторой неподвижной точке.

Дискуссия относительно понятия предела ведется и в преподавании математического анализа на первом курсе вуза. Весь опыт обучения математическому анализу, накопленный высшей школой, показывает, что наибольшие трудности у студентов вызывает усвоение именно понятия предела. Как правило, предел усваивается формально, и, как следствие, формально усваиваются понятия производной и интеграла.

Такое положение вполне объяснимо, поскольку первокурсники - это вчерашние школьники, и уровень мышления у них примерно один и тот же. Как отмечал еще А.Я. Хинчин, определение предела в форме s-ô даже с точки зрения чисто формального усвоения вызывает очень значительные, часто непреодолимые затруднения и не только у школьников, но и у студентов первых курсов. Если даже допустить, в отдельных случаях опытному педагогу при значительной затрате времени и сил удастся заставить своих учеников справиться с заложенными в этом определении формальными трудностями, то уже связать эту формальную схему с реальным предельным переходом в явлениях действительности - дело

совершенно непосильное сознанию школьника [143, с. 74].

По мнению А.Я. Хинчина, наиболее эффективной для школьного преподавания формой определения предела, удовлетворяющей всем необходимым требованиям, является следующая: х^а, если разность х-а, начиная с некоторого момента процесса становится и во всех дальнейших стадиях его остается как угодно малой по абсолютному значению. Всякое мыслимое в пределах средней (а также, впрочем, и первых курсов высшей) школы более нормальное определение неизбежно наталкивается на новую трудность: оно требует двух различных определений для предела последовательности и для предела функции, что еще более затрудняет представление о едином общем логическом и предметном основании этих случаев [143, с. 76].

Возможен и более радикальный путь для преодоления этих трудностей: вместо опоры на столь сложное понятие предела использовать опору на более наглядные и интуитивно более ясные инфинитезиальные методы. Об этих методах в преподавании математики забыли со времен О. Коши и К. Вейерштрасса. Лишь после работ А. Робинсона (1960 г.) древний метод неделимых также получил прочную основу и стал полнокровным разделом современной математики. Появилась возможность излагать теорию производной и интеграла с новой точки зрения, с точки зрения нестандартного анализа.

Но математический анализ, построенный на нестандартной основе, сталкивается с большой методической трудностью, а именно с невозможностью его строгого построения на ранних этапах, да и на более поздних этапах изучения, т.к. он требует привлечения

серьезных средств математической логики и теории моделей. Поэтому вопрос о статусе и месте нестандартного анализа нужно решать осмотрительно, сообразно с задачами, которые ставит преподавание. Наиболее оптимальным было бы сочетание обоих подходов, что позволило бы взглянуть на одни и те же понятия с двух принципиально разных сторон: с точки зрения философской категории непрерывности и с точки зрения философской категории дискретности.

Однако чаще преподаватели математического анализа предпочитают оставаться в рамках классического анализа, используя на первых порах определение предела не на языке s-ô, а определение по Гейне.

Большинство исследователей, таким образом, сходятся во мнении, что трудности в преподавании основ математического анализа связаны с отсутствием промежуточных ступеней при формировании топологических структур. Все наиболее удачные попытки преодолеть эти трудности как в школе, так и в вузе связаны с построением таких промежуточных ступеней.

Таким образом, поэтапность процесса формирования структур является необходимым условием реализации таких основных дидактических принципов, как доступность, систематичность и последовательность. Как показывает весь опыт преподавания математики, наиболее благополучно происходит формирование тех математических структур, в изучении которых выделены все пять ступеней, соответствующих пяти различным уровням мышления. Наоборот, наибольшие трудности при изучении математических структур возникают тогда, когда такие промежуточные ступени отсутствуют (например при изучении основ математического анализа).

Задача педагогики математики состоит в том, чтобы четко распределить материал по соответствующим ступеням обучения и соблюсти промежуточные уровни в изучении всех основных математических структур.

Глава 6. Стратегия обучения на социокультурном опыте

Лучшие педагоги прошлого постоянно подчеркивали недостаточность и педагогическую ошибочность чисто абстрактного изложения математики и настаивали на том, чтобы математика получала зримые черты метода познания окружающего нас мира, чтобы ученики осознали, что математика имеет своей целью изучение некоторых сторон этого мира. В школьном преподавании эта важная сторона изучения математики нередко затушевывается, не доходит до сознания учащихся, которым эта наука, по крайней мере в нескольких своих частях, представляется чем-то вроде игры с произвольно установленными правилами.

Педагогическая наука уже давно подчеркивала необходимость проводить обучение математике в тесной связи с потребностями практики, науки и техники, т.е. материальной, производственной стороной культуры. Достаточно вспомнить выдвигавшиеся в нашей школе принципы политехнизации обучения, связи обучения с жизнью, практической направленности обучения. Вместе с тем, при всей неоспоримости этих принципов, в школах и вузах наблюдалась недостаточность связей обучения математике с духовной культурой общества. Появившееся в последнее время ряд исследований, посвященных гуманитарной направленности обучения

математике, позволили во многом исправить этот недостаток. Однако лишь социокультурный системный подход позволяет в комплексе рассматривать связь обучения математике со всеми сторонами культуры общества, строить стратегию обучения математике, опираясь на социокультурный опыт в целом, а не только на опыт материальной деятельности.

6.1. Принцип практической направленности обучения

Одним из важнейших дидактических принципов, позволяющим производить обучение на социокультурном опыте, является принцип практической направленности обучения. Реализация этого принципа, связь обучения с жизнью при изучении математических структур обеспечивается в первую очередь тем, что математические структуры могут являться непосредственными математическими моделями реальных явлений. Так, производная моделирует скорость движения материальной точки, интеграл - работу силы, элементы математической логики и теории алгоритмов - этапы работы компьютера и т.д. Сущность математических структур должна находить свое отражение при обучении математике прежде всего в разъяснении реального смысла изучаемых математических понятий.

По мнению ряда ученых-методистов практическая направленность обучения может быть обеспечена, если давать задачи, в которых требуется с помощью математического расчета узнать значение некоторой величины, причем желательно доводить дело до экспериментальной поверки тем или иным способом истинности полученного результата. В этой связи рекомендовалось больше решать бытовых задач, задач

всевозможных отраслей техники и смежных дисциплин, а также проводить работы на местности и экскурсии на производство.

Но как отмечал Б.В. Гнеденко, практическую направленность обучения не следует понимать как простое насыщение занятий большим примеров практического характера. Основное - это понимание важности математических методов, присущей им логической строгости в рассуждениях; отчетливое представление о том, что математика изучает не само явление, а лишь его математическую модель, и потому выработанные при этом приемы исследования удается распространить на большое число других явлений. Иллюстративные примеры следует выбирать такими, чтобы они пробуждали у учащихся дух познания, сохранялись в памяти на долгие годы и возбуждали стремление сделать полезное для общества. [36 , с.131]

Как указывал А.Н. Колмогоров, задача состоит в том, чтобы уже в школе убедительно показать, что "современная математика", т.е. математика ставящая во главу угла понятия о математических структурах, позволяет строить математические модели реальных ситуаций и процессов, изучаемых в применениях не только не хуже, но и логически последовательнее и проще, чем традиционная [65].

На значение, которое имеют математические структуры в реализации принципа практической направленности, обратил внимание известный финский математик Рольф Неванлинна: "Примечательно, что именно "аксиоматическое мышление" углубило наши представления о связях между "теорией" и "приложениями". В процессе формирования теории математические

структуры кристаллизуются, после чего, будучи должным образом интерпретированы, они находят себе применение в различных областях знаний, которые с точки зрения неспециалиста никак не связаны друг с другом" [105, с. 235].

Весьма важным при рассмотрении этого принципа нам представляется положение о единстве математики, выдвинутое Л.Д. Кудрявцевым, что чистая и прикладная математика являются частями единого неразрывного целого, называемого математикой, что нельзя отделить как прикладную математику от чистой, так и чистую математику от прикладной. В своей книге Л.Д. Кудрявцев подробно рассматривает одну сторону этого положения, о невозможности изучать прикладную математику в отрыве от чистой, поскольку именно эта сторона наиболее актуальна для преподавания математики в технических вузах. Для преподавания математики в школах, педвузах и университетах актуальна другая сторона этого положения - невозможность преподавания чистой математики в отрыве от ее приложений.

К сожалению, не все ученые-математики осознают невозможность отрыва от приложений как в преподавании математики, так и в развитии самой математики как науки. Характерной точкой зрения в этом отношении являются взгляды Ж. Дьедонне, заявившего следующее: "Напоследок я хотел бы подчеркнуть, сколь мало новейшая история оправдывает благочестивые пошлости прорицателей краха, регулярно предупреждающих нас о гибельных последствиях, которые математика неминуемо навлечет на себя, если откажется от применений к другим наукам... ".

Убедительной критике взгляды Ж. Дьедонне подверг Б.В. Гнеденко в своей книге [36].

Само собой разумеется, что приближение математического образования к практике ни в коем случае не должно означать превращения математики в служанку на побегушках. Она должна сохранять свою логическую структуру и строгость изложения, но вдобавок к этому следует выяснять происхождение ее задач из недр практики и иллюстрировать широкие возможности и силу математических методов для исследования естественнонаучных и прикладных проблем [36, с. 94].

К сожалению, в практике преподавания, как замечает М.И. Башмаков, обилие далеких друг от друга интерпретаций обычно заставляет строить абстрактную математическую модель с переходом к различным приложениям. В случае традиционного введения производной основные усилия тратятся на построение и обоснование этой абстрактной модели, в то время как разнообразие содержательных прикладных идей остается в тени [12].

"Учащийся, - отмечает Б.В. Гнеденко, - при изучении различных глав математики постоянно должен понимать, зачем этот предмет ему нужен, как связаны изучаемые им понятия с насущными задачами практики. Ему следует отчетливо показать, что вводимые в курс математики понятия, во-первых, естественным образом появляются из запросов практики, а затем получают в их абстрактной форме, очищенной от непосредственной связи с определенным практическим источником, многочисленные другие истолкования и применения. Во-вторых, ни в коем случае не допустимо, чтобы учебник

создавал впечатление, что математика живет своей собственной жизнью, отличной от жизни всей остальной науки и практической деятельности." [36, с. 129].

Особое внимание, по мнению Б.В. Гнеденко, необходимо уделить реализации принципа практической направленности в математическом образовании будущих педагогов. "Одного формального сообщения математических знаний по курсам анализа, алгебры, теории функций, теории вероятностей и др. недостаточно. Они должны возникать в сознании будущего педагога как результат естественного прогресса человеческих знаний, быть связаны с развитием физики, астрономии, экономики, биологии, инженерного дела. Будущий педагог должен ясно представлять, как в математике возникали новые направления исследований, формировались основные математические понятия, как и почему абстрактная наука находила и находит разносторонние применения в естествознании, социальных дисциплинах, инженерной и агрономической практике" [36, с. 40-41].

Освещение прикладных вопросов в математических курсах помогает вызывать и поддерживать интерес учащихся и студентов и тем самым помогать усвоению теоретического материала. "Если учащийся видит, - отмечает М.В. Потоцкий, - что наука возникла в результате определенных потребностей человеческого общества, если он видит, что наука содействует ему в разрешении задач, которые ставит перед ним его собственная профессия, - то это одно уже пробуждает интерес к делу. Те теоретические тонкости, которые часто так трудно преодолевать в сухом формальном изложении, здесь будут усваиваться значительно легче, так как учащийся

будет чувствовать себя заинтересованным в их преодолении и будет понимать, почему они возникают" [114, с. 95].

В справедливости этого положения автор также неоднократно убеждался при чтении ряда математических курсов. Так, при изучении математической логики значительный интерес и оживление у студентов вызывают вопросы о ее применении для релейно-контактных схем и в языках программирования, при изучении линейной алгебры - псевдоевклидово пространство и его применение в теории относительности и т.д.

Реализация дидактического принципа практической направленности обучения имеет большое мировоззренческое значение для создания целостного представления о математике, как специфическом отражении реального мира, придает знаниям о математических структурах действенный характер.

6.2. Принцип гуманитарной направленности обучения

Формирование математических структур мышления создает огромные возможности в познании не только окружающей нас природы, но и человеческого общества, самого человека, его мыслительной и познавательной деятельности, выяснении процесса возникновения и развития научных теорий, т.е. в реализации гуманитарной направленности обучения.

Некоторые ученые-педагоги под гуманитаризацией понимают только усиление роли общественных наук в ущерб естественным и математическим наукам и призывают к пересмотру учебных планов, к нарушению равновесия между этими двумя блоками дисциплин.

Такое равновесие в учебных планах общеобразовательных школ, как отмечает Г.Д. Глейзер, сложилось в России под влиянием идей Ф. Клейна в последние 90 лет. Процесс сокращения числа часов на изучение математики уже приносит печальные плоды: резко снижается уровень и качество математического образования [35].

В современных условиях происходящей гуманитаризации всей системы образования, необходимо прежде всего в должной мере использовать гуманитарный потенциал математического образования.

Гуманитарный потенциал математического образования определяется отношением к человеку, его общественному бытию и сознанию, т.е. в конечном счете отношением к обществу и обществосознанию. Можно выделить следующие составляющие гуманитарного потенциала применительно к обучению математике.

Во-первых, когда говорят о гуманитарных науках, то подразумевают, что это понятие является антонимом естественным и техническим наукам, что это науки о человеческом обществе. Но, несмотря на многочисленные применения математики в естествознании и технике, на то, что некоторые ученые и приписывают математику к естественным наукам, она к ним не относится ни по своему предмету (она изучает законы не только природы, но законы общества и мышления), ни по методам исследования (в естественных науках основным методом является эксперимент, а в математике его роль незначительна). Более того, по этим критериям математику скорее можно отнести к гуманитарным наукам, чем к естественным. Взгляд на математику, как на гуманитарный предмет, высказывает целый ряд ученых. Так, например, А.Г. Мордкович отмечает: "Математика -

гуманитарный предмет, который позволяет субъекту правильно ориентироваться в окружающей действительности и "ум в порядок приводит" [100].

А.Г. Мордкович разработал цельную концепцию математики как гуманитарного учебного предмета и создал для школ на ее основе серию учебников по алгебре. Согласно этой концепции гуманитарная роль математики, как части общечеловеческой культуры, заключается в том, что математика является языком для описания любых математических моделей, в ее развивающем потенциале и внутренней воспитательной сущности.

Среди математиков имеются и противоположные взгляды. В частности, по мнению В.И. Арнольда, "математика является экспериментальной наукой -частью теоретической физики и членом семейства естественных наук" [7, с.20].

На наш взгляд, предмет математики, ее методы носят специфический характер, применения же математики столь многочисленны и разнообразны, что она скорее всего представляет собой специфическую область общечеловеческих знаний.

Такой взгляд на курс математики требует создания более широкого и разнообразного, чем это имеет место сейчас, круга математических представлений, круга изучаемых математических структур, особенно в старших классах и в вузах, где в существующих программах и учебниках имеется перекос в сторону физических и технических приложений и практически отсутствуют приложения к экономике, социологии, психологии, лингвистике и т.п. Такой перекос в педвузовских программах объясняется тем, что в большинстве педвузов

специальность "математика" совмещается чаще всего со специальностями "физика" и "информатика", а такое совмещение требует в первую очередь рассмотрения приложений математики именно к этим дисциплинам.

В педвузах гуманитарная роль математических дисциплин заключается также в профессионально-педагогической направленности преподавания, т.е. в том, что каждая математическая дисциплина должна участвовать в формировании у студентов некоторых специальных и конкретных методических знаний и умений.

Таким образом, в первом аспекте гуманитарная направленность смыкается с практической направленностью, но применительно к процессам в человеческом обществе.

Вторая составляющая гуманитарного потенциала математического образования и, по-видимому, самая главная, состоит в том, что формирование математических структур мышления позволяет развить не только математические способности, но ум человека, его личность в целом. В интеллектуальном развитии человеческой личности роль математики исключительно велика. Математика в качестве средства для умственного развития использовалась еще в древней школе пифагорейцев. Особое значение математики в умственном развитии отметил еще в 18 веке М.В. Ломоносов: "Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит".

Ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в развитии мышления учащихся. Математическому мышлению присущи все качества научного мышления (логичность, способность к

обобщению, гибкость, рациональность и т.д.), т.е. при помощи математики можно развить все эти качества.

Однако, как отмечает А.А. Столяр, математика сама по себе ум школьника в порядок не приводит. Все зависит от ориентации обучения, способа преподавания. Поэтому главная задача обучения математике - учить рассуждать, учить мыслить [132].

Сходный взгляд на приоритет развивающей функции обучения математике высказывает и Г.В. Дорофеев. Такой взгляд на школьный курс выдвигает на первый план задачу интеллектуального развития, развития тех качеств личности, которые обеспечивают успешную продуктивную деятельность и, прежде всего, таких, как интеллектуальная восприимчивость, способность к усвоению новой информации, логичность и гибкость мышления [50].

В соответствии с этим взглядом главной задачей обучения математике становится не изучение основ математической науки как таковой, а общеинтеллектуальное развитие - формирование у учащихся в процессе изучения математики качеств мышления, необходимых для полноценного функционирования человека в современном обществе, для динамичной адаптации человека к этому обществу.

В формировании деятельных способностей личности одной из главных составляющих является овладение универсальными методами познания. Одним из таких универсальных методов является системно-структурный, овладение которым является желательным в любой интеллектуальной деятельности и, в частности, в профессиональной деятельности учителя. Изучение математических структур содержит большие возможно-

сти для формирования системно-структурного метода и умения его применять.

Общекультурная, гуманитарная роль математики, ее роль в развитии способностей состоит также в том, что учащиеся получают представление о роли четких определений и формулировок, о правильной классификации понятий, о способах логического вывода, они знакомятся с методами решения возникающих перед ними проблем, имеющих и внематематическое значение (аналогия, сравнение, обобщение, анализ и синтез и т.д.). Обучение математике, формирование у них когнитивных структур и особенно логических, алгоритмических и комбинаторных схем мышления несомненно способствует формированию навыков умственного труда (планированию своей работы, поиску рациональных путей ее выполнения, критической оценке результатов и т.п.).

Обращенности к личности ученика, формированию его интереса к знаниям уделено первостепенное внимание в учебниках А.Г. Мордковича и в учебнике М.И. Башмакова "Алгебра и начала анализа". В этих учебниках мотивировки введения нового понятия, освещение его с разных сторон, создание образных ассоциаций занимает больше места, чем линейная последовательность изложения. Все это делает гуманитарную составляющую в этих учебниках наиболее заметной по сравнению с другими существующими учебниками. Гуманитарная направленность в этих учебниках удачно сочетается с практической направленностью курса, которая обеспечивается усилением роли приложений при самом введении, формировании новых понятий, их свойств.

В третьих, гуманитарная направленность обучения математике состоит в его духовно-эстетической стороне. Изучение математики, ее структур вырабатывает в человеке потребность преодолеть сопротивление между нашими представлениями и их научным обоснованием, что способствует не только четкости, логичности мысли и способа ее выражения, умения планировать свою деятельность, но и воспитывает такие морально-этические качества, как аккуратность, аргументированность, принципиальность, умение воспринимать иное мнение, преданность истине, упорство в достижении цели, трудолюбие и честность. Духовное развитие личности происходит путем воздействия изучения математики не только на разум человека, но и на его чувственно-эмоциональную сферу, поскольку, как отмечалось в первых двух главах, математика наполовину является разновидностью образного, чувственного мышления.

Как отмечал крупный английский математик Л. Морделл, никто не пойдет далеко в математике, если не обладает некоторыми необходимыми качествами. "В нем должны жить Вера, Надежда и Любопытство... Он должен верить в свои способности, в свою силу и надеяться на успех. Он никогда не должен отчаиваться, а должен всегда идти вперед и не позволять себе предаваться унынию" [98 , с. 10].

Воспитательные аспекты изучения математики подробно освещены А.Я. Хинчиным. Как он отмечает, математика в некоторых своих отношениях отмечена такими чертами, которые создают ей воспитательные возможности более значительные, чем у других дисциплин.

Так в математике всякая попытка по тем или иным мотивам действовать тенденциозно заведомо обречена на

неудачу, и ничего, кроме разочарования, пытающемуся принести не может. Математик быстро привыкает к тому, что успех может принести только непредубежденное, беспристрастное напряжение мысли. И эту черту в известной степени воспитывает в себе, занимаясь математикой, и каждый школьник. Ему хорошо известно, что никакой апломб и никакое красноречие не помогут ему выдать незнание за знание, неполноценную аргументацию за полноценную.

И как это часто бывает, моральные навыки, приобретенные в какой-либо одной области переносятся и на другие сферы мышления и практической деятельности. Ученик научается уважать объективную правильность аргументации как высшую духовную и культурную ценность. Доведенная до предела, эта черта представляет собою честность и правдивость - одно из лучших украшений нравственной личности человека. [142, с. 33].

Изучение математики оказывает стимулирующее влияние на упорство, настойчивость в достижении цели в силу четкой определенности показателей результата -завершенности работы и ее верности.

Духовное совершенствование личности учащегося невозможно без осознания взаимодействия эстетики и математики. Необходимо использовать все возможности для того, чтобы научить школьников и студентов видеть эстетические моменты, внутреннюю гармонию в математическом содержании изучаемой дисциплины, понимать единство истины и красоты. Большим эстетическим потенциалом обладают многие разделы математики: теория чисел, геометрические фигуры и их конфигурации, всевозможные средние величины, золотое

сечение и др. Хорошо сделанные модели геометрических тел, таблицы правильных систем фигур и орнаментов должны составлять необходимый реквизит учителя математики, чтобы он мог показывать все это ученикам и наглядно демонстрировать свойства этих фигур, рассказать об их значении в науке и природе. Содержательного эстетизма достаточно много и в школьном и в вузовском курсе математики, но не менее важна и другая эстетика - процессуальная, связанная с подачей материала, его записью, изображением, его восприятием и пониманием.

Особо следует отметить эстетику решения математической задачи. Многие задачи, решение которых необычно, неожиданно, нестандартно, рождают в душе чувство восхищения, удивления и даже эстетического наслаждения точно так же, как прекраснейшие творения великих мастеров искусства. Однако в нашем отношении к этой красоте неизбежен элемент субъективизма, зависящий, в частности, от склада нашего ума - образно-геометрического или абстрактно-аналитического.

Математические доказательства также зачастую содержат в себе эстетические моменты. Красивыми называют доказательства, которые опираются не на вычисления, а на идеи, притом достаточно простые и точно отвечающими цели доказательства. Красиво, когда приложения результата являются неожиданными. Иногда краткие и точные доказательства сравнивают с эпиграммами, а самые длинные - с математическими поэмами, в которых слышны ритмы музыки.

6.3. Математика как язык науки

Математика играет в современном мире столь огромную роль, что неизбежно возникает вопрос о причине исключительной познавательной мощи математики. Целый ряд ученых причину этого явления видят в том, что математика как часть общечеловеческой культуры является определенным методом миропознания, специфическим языком для описания различных процессов как в окружающем мире, так и внутри человека. Знаменитый датский физик Нильс Бор отмечал: математика - это больше, чем наука, это - язык.

Человеческое мышление имеет, как известно, знаковый характер. Среди всех знаковых систем универсальным является естественный язык. Однако его важнейшим недостатком является неоднозначность смыслового истолкования, что часто ведет к путанице и непониманию друг друга. Этого недостатка лишена математика, представляющая собой высокоорганизованную специальную знаковую систему, чрезвычайно гибкую, операционную и универсальную. Взгляд на математику, как на особый язык науки, высказывал еще Г. Галилей: "Философия написана в грандиозной книге, которая открыта всегда для всех и каждого, но понять ее может только тот, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она написана. Написана ж она на математическом языке, а знаки ее - математические формулы" [цит. по 36, с.80].

Лейбниц в 1678 г. в письме Чирнгаузу писал, что математические знаки "коротко выражают и как бы отображают глубочайшую природу вещи и при этом удивительным образом сокращается работа мышления".

Действительно, математические символы чрезвычайно быстро передают информацию и обеспечивают удобство ее переработки. Когда они несут большой объем информации, формулы приобретают особую компактность, а формальные преобразования - легкую обозримость.

Математическая символика, как отмечает Б.В. Гнеденко, не только не оставляет места для неточности выражения мысли и расплывчатого истолкования написанного, но позволяет вдобавок автоматизировать проведение тех действий, которые необходимы для получения выводов [36, с. 82].

Высшим этапом в изучении знаковых систем является изучение формализованных языков, в которых грамматика позволяет однозначно строить, читать и распознавать объекты, а семантика однозначно придает им смысл. Такие формализованные языки необходимы для общения с компьютером.

Язык как общественно-историческое явление представляет собой систему средств общения, выработанную и накопленную в результате социокультурного опыта, вытекающую из необходимости координировать и направлять совместную деятельность. С помощью математического языка закрепляются, сохраняются и передаются новым поколениям не только математические знания, но и знания по физике, химии, психологии и другим наукам.

Как известно, язык и мышление находятся в неразрывном единстве. Мышление осуществляется в связи с языком и на его основе. Неразрывную связь мышления и математического языка отмечал Л.С. Выготский, называя математику "мышлением,

происходящим из языка". Однако не правы те ученые, которые при этом подразумевают только логическое мышление и язык в словесной форме. Как отмечалось во второй главе, в математике значительную роль наряду с логическим мышлением играет визуальное мышление. Языком, неразрывно связанным с таким видом мышления, является язык геометрических схем, образов, чертежей. Имеются виды информации, например в конструкторском деле, для которых этот язык более приспособлен. Чертеж не допускает разночтений и позволяет в наглядной форме передавать огромную информацию, в то время как словесная форма этой информации была бы громоздкой и малопонятной.

Таким же кратким, выразительным и содержательным является язык математических формул. Этот язык также не может быть сведен к словесной форме, но позволяет ясно и точно выражать мысли, что особенно важно для любой науки. Адекватность выражения мысли, точность, последовательность и логичность языка обеспечивают мышлению четкость и организованность. Каждая наука пытается разрабатывать свой собственный язык, способный максимально точно передавать свойственные ей особенности. Однако эти языки не распространяются на другие области знания. В этом отношении язык математических формул обладает большой универсальностью.

Язык математических формул находит все большее применение в самых различных областях человеческой деятельности, в частности не только в технических и естественных науках, но и гуманитарных. В связи с этим приобретает большое значение изучение этого языка в общеобразовательном курсе средней школы и прежде

всего простейшей терминологии, необходимой для использования математических схем мышления (логических, алгоритмических, комбинаторных, стохастических, образно-геометрических).

Поэтому, как справедливо считает Г.В. Дорофеев, обучение математическому языку как специфическому средству коммуникации в его сопоставлении с реальным языком является одним из требований концепции гуманитарно ориентированного курса математики. При этом существенное значение имеют две "противоположные" особенности математического языка: его точность и строгость как искусственного языка, особенно в части терминологии и символики, и определенная неоднозначность, свойственная математическому языку именно как средству коммуникации. В последнем отношении математический язык обладает всеми свойствами естественного языка. Поэтому особенно важны взаимосвязи между изучением трех языков: математического, родного и иностранного [50].

В обучении математике приходится использовать все эти три вида языков. Дело в том, что язык формул прекрасно приспособлен к получению логических следствий из первичных предпосылок, но он не может вывести нас за пределы уже сложившихся понятий и представлений. На математическом языке невозможно проведение далеко идущих аналогий или неожиданных дедуктивных выводов. И здесь ему на помощь приходит родной язык с его неисчерпаемым богатством оттенков и возможностей. Знание иностранного языка помогает осмысленному введению новых математических терминов и обозначений.

В свою очередь математический язык оказывает значительное влияние на разговорный язык: развивает чувство точности языка, как адекватного выражения мысли, чувство экономности и информативности речи, формирует умение выражать мысли логично и последовательно, в четкой недвусмысленной форме. В силу специфики математики как науки с жестким логическим каркасом язык школьной математики (разговорный и письменный) в большей степени, чем языки других школьных дисциплин, обладает однозначностью, четкостью синтаксических и семантических правил, компактностью и емкостью фразеологических оборотов, стилистическим единообразием.

Также как и разговорный язык, математический язык не остается неизменным, приспосабливается к потребностям жизни, обогащается и дополняется. Учитель должен следить за изменениями в математической терминологии и символике и соответственно корректировать математический язык, используемый в процессе обучения. Разумеется, учитель может пытаться вводить собственные обозначения, если они не противоречат общепринятым и способствуют пониманию существа математических фактов. Однако авторы учебников должны быть более осторожными при введении новых терминов и обозначений, т.к. разнобой в терминологии и символике, а также чрезмерное обилие терминов и символов может создать дополнительные трудности для учащихся.

6.4. Принцип историзма в обучении математике

Изучаемые в школе и в вузе математические структуры - есть результат длительного познания окружающего мира, обобщения тысячелетнего опыта человечества. Поэтому содержание любой математической дисциплины следует рассматривать как результат деятельности людей, их усилий в поиске истины. В связи с этим учитель должен понимать, что из двух путей изложения любой математической дисциплины: логического, дающего систему науки в наиболее законченном виде, когда ее изложение начинается с перечня основных понятий и аксиом, а все дальнейшее получается дедуктивным путем из этих элементов, и генетического, показывающего, как исторически вырабатывались абстрактные понятия и предложения науки в процессе накопления социокультурного опыта, дидактически более оправданным является второй путь.

Желательно, по крайней мере в школе и на первых курсах вуза, чтобы процесс формирования и развития понятий о математических структурах в сжатом, сокращенном виде в основном воспроизводил действительный исторический процесс рождения и становления этих понятий, чтобы аксиоматическое изложение завершало изучение каждой математической дисциплины, а ни в коем случае не заменяло генетического ее изложения.

Так в меморандуме американских математиков отмечается: "Лучший способ вести умственное развитие индивидуума - заставить пройти его умственное развитие человеческого рода, пройти, естественно, его большие линии, а не тысячи мелких ошибок" [92].

Таким образом, процесс формирования и развития понятий о математических структурах в основном должен в сжатом, сокращенном виде воспроизводить действительный исторический процесс рождения и становления этого понятия.

Это положение вытекает из закона соответствия процесса развития знаний и мышления у ребенка и исторического процесса рождения и становления знаний и его часто называют принципом историзма. Систематическое использование этого принципа облегчает учащимся строить абстрактные конструкции, оперировать ими, наиболее полно видеть предмет математики и ее приложения. Материал, изложенный в таком виде, нагляден, доступен, вызывает интерес.

Наоборот, нарушение этого положения может привести к трудностям в преподавании математики, к непониманию материала. Так, в современной высшей школе основные понятия математического анализа предлагаются студентам сразу в их законченной и наиболее развитой форме, к которой наука пришла в процессе длительного исторического и логического развития. Но в этом случае студенты лишены возможности наблюдать развитие понятий, процесс их становления и развития. Становится непонятным для чего их изучают и откуда они взялись. Это одна из причин тех бед, которые есть в преподавании математики.

Однако попытка приблизить определение понятий к многочисленным источникам их происхождений, по словам М.И. Башмакова, неизбежно приводит к определенной нечеткости, размытости формулировок. Против этого всегда резко выступают учителя, поскольку

чем формализованнее курс, тем легче преподавать его учителю [12].

Задача формирования у учащихся представлений о математике как части общечеловеческой культуры может быть успешно решена, если в содержание математических курсов будут органически вплетены богатые в эмоциональном отношении эпизоды истории науки. Изучение истории математических структур, возникновения и становления этих понятий, математических идей, лежащих в их основе, позволяет сформировать взгляд на математику как целостную науку, развивающуюся во взаимосвязи ее отдельных областей. Учащиеся должны получить представление о том, как создавалось здание математики, что математика, как и другие элементы общечеловеческой культуры, строится на фундаменте знаний, полученных в предыдущие эпохи.

Студентам - будущим учителям - история математики, история становления и развития математических структур, позволяет увидеть все многообразие ее составных частей в виде целостной системы, специфику каждой из них, представить единство отраслей научного знания в логической и исторической их взаимосвязи. Все это позволяет студентам глубже изучить отдельные математические теории, которым в основных курсах не уделяется достаточно внимания. Они могут переосмыслить полученные математические знания в контексте истории развития общества, представить их как составную и неотъемлемую часть культуры разных времен и народов, но прежде всего собственной страны и ее народа.

Преломление студентами таких знаний сквозь призму истории науки помогает в дальнейшей их

профессиональной деятельности правильно и эффективно использовать генетический путь изложения материала. При изучении каждого математического факта они могут дать представление о времени и причине его возникновения с точки зрения социокультурного опыта, проанализировать его, исходя из требований современной науки. Знание истории математики дает возможность учителю не только предвидеть трудности при прохождении программы, но и преодолевать их, используя исторический опыт.

Хотя в большинстве педвузов в учебный план введен отдельный курс истории математики, однако он имеет небольшой объем и не может решить полностью задачу знакомства студентов с историей развития математики. Поэтому особенно важно, чтобы в преподавании всех математических дисциплин преподаватели уделяли внимание истории возникновения и развития основных математических понятий. Содержание любой математической дисциплины можно и нужно рассматривать как результат накопления социокультурного опыта, как результат деятельности людей, их усилий в поиске истины.

Исторические аспекты развития математических структур находятся в тесной связи с философскими вопросами, которые раскрывают природу математического знания, их роль для общества, и вместе составляют основу формирования мировоззрения у учащихся и студентов.

Глава 7. Социокультурный опыт - источник развития математических способностей

Причины трудностей при изучении математики, как уже отмечалось, имеют прежде всего психологическую основу и преодолеваются педагогом в зависимости от того, каким представляется ему процесс развития интеллекта, какое понимание человеческих способностей и их природы реализуется в учебном процессе.

В психологии и в теории обучения по этим проблемам нет единой точки зрения и перед исследователем, также как перед учителем, неизбежно возникает выбор (сознательный или бессознательный) между тем или иным пониманием этих проблем. Поэтому мы должны, прежде всего, рассмотреть подробнее эти основные проблемы.

Мы придерживаемся той точки зрения, что способности, в том числе и познавательные, не только проявляются, но формируются и развиваются в процессе деятельности, в результате накопления личностью социокультурного опыта. Социокультурный опыт создает огромные возможности для становления психических качеств личности, которые могут составить основу тех или других способностей.

В современных условиях, когда происходит переориентация методической системы обучения на приоритет развивающей функции по отношению к его образовательной, информационной функции, перенос акцентов с увеличения объема информации, предназначенной для усвоения учащимися, на формирование умений использовать информацию, особенно актуальным становится вопрос об определении уровня

интеллектуального развития и, в частности, уровня развития математического мышления.

Этот вопрос является актуальным для средней школы, где содержание обучения математике, должно обеспечить, по словам Г.В. Дорофеева, "выявление математических и общеинтеллектуальных способностей учащихся с целью их обоснованной ориентации на профиль обучения и выбор специальности" [49, с. 4].

Этот вопрос является актуальным и для вуза, особенно для правильного отбора студентов. Традиционный отбор абитуриентов при помощи письменного экзамена становится все более недостаточным, поскольку ориентирован в большей степени на проверку объема, хранящейся информации, проверку уровня тренированности учащихся в решении стандартных задач. Необходимо же также проверять уровень обучаемости будущих студентов, что в первую очередь определяется уровнем их математических способностей.

При рассмотрении вопроса о математических способностях также весьма важным является рассмотрение тех видов математических структур, которые в первую очередь являются средством для развития и диагностики математических способностей. Для математических способностей определяющее значение имеют когнитивные структуры, которые мы назвали математическими схемами мышления. Эти схемы направляют движения в исследовательскую активность, способствуют образованию новых понятийных структур, обеспечивают линию качественных изменений в функционировании интеллекта.

7.1. Умственное развитие и познавательные способности

Проблема выявления и отслеживания параметров математического развития неизбежно встает при рассмотрении вопроса о развитии личности учащегося, его интеллектуальных качеств По мнению В.А. Оганесяна, "вопрос о практическом применении математического развития, по-видимому, тесно связан с весьма сложным вопросом о диагностике умственного развития учащихся" [109, с 139]. Носителем такого развития, как уже указывалось, являются внутренние когнитивные репрезентативные структуры.

В.В. Давыдов, анализируя результаты исследований Ж. Пиаже, указывал на тесную связь вопроса о развитии математического мышления и формирования математических структур. По его мнению математическое мышление возможно лишь на основе уже сложившихся операторных структур. Это обстоятельство можно выразить и в такой форме: не "знакомство" с математическими объектами и усвоение способов действия с ними определяют формирование у ребенка операторных структур ума, а предварительное образование этих структур (как "координации действий") является началом математического мышления, "выделения" математических структур.

Уровень сформированности у человека математических схем мышления, уровень их развития проявляется в математических способностях личности.

Надо заметить, что тесная связь вопроса об интеллектуальном развитии личности с вопросом о ее способностях была подмечена психологами сравнительно

давно. Так еще С.Л. Рубинштейн подчеркивал: "вопрос о способностях должен быть слит с вопросом о развитии, вопрос об умственных способностях - с вопросом об умственном развитии. Развитие человека, в отличие от накопления "опыта", овладения знаниями, умениями, навыками - это есть развитие его способностей, а развитие способностей человека - это и есть то, что представляет собой развитие как таковое, в отличие от накопления знаний и умений." [122, с. 219-220].

В когнитивной психологии способности изучаются одним из ее направлений - дифференциальной психологией. Дифференциальная психология подходит к способностям как к проявлению когнитивных процессов. Способности не только проявляются, но и развиваются через актуализацию когнитивных процессов. Один из представителей этого направления Гюнтер Клаус отмечает: "К когнитивным процессам относятся восприятие, запоминание и воспроизведение, понятийная переработка, мышление и решение задач... Когнитивные процессы суть необходимая предпосылка учения и одновременно его результат. Они, делая возможной учебную деятельность, сами развиваются в ней и через нее." [60, с. 32].

Таким образом, можно сделать вывод о том, что умственное развитие личности, степень сформированности у нее внутренних когнитивных структур находится в тесной взаимосвязи с ее способностями.

Поэтому возникает необходимость рассмотрения проблемы познавательных способностей, в частности, математических способностей человека, путей их развития и способов отслеживания. Эта проблема

является в настоящее время одной из важнейших в психологии и педагогике.

В понимании того, что же такое способности человека, какого человека называть одаренным или талантливым, существуют различные точки зрения.

В отечественной психологической литературе наиболее широко распространено определение способностей, идущее от С.Л. Рубинштейна, Б.М.Теплова и Н.С.Лейтеса. Под способностями обычно понимаются индивидуально-психологические особенности человека, которые отвечают требованиям определенной деятельности и обеспечивают при всех равных условиях высокий уровень достижений.

Способности не сводятся к тем знаниям, умениям и навыкам, которые уже выработаны у человека. Между способностями и знаниями, умениями, навыками существует соотношение, которое философы называют отношением между возможностью и действительностью. С одной стороны, способности - благоприятные возможности для приобретения знаний, умений, навыков. Однако этого недостаточно, необходимы еще время, трудолюбие и настойчивость.

Все эти обстоятельства лучше учитываются в определении одаренности, предложенном Рензулли, по которому одаренность является результатом сочетания трех характеристик: интеллектуальных способностей, превышающих средний уровень, творческого подхода и настойчивости (цит. [151], с. 170).

Относительно природы человеческих способностей в психологии существует две диаметрально противоположные точки зрения, два подхода: биологизаторский и социологизаторский.

Биологизаторский подход берет свое начало от Ф. Гальтона, который утверждал, что способности полностью определяются "генным снаряжением" индивида. То есть согласно этой точке зрения источник способностей заключен в наследственности, т.е. человеку предопределено, какие у него будут способности и каков будет уровень их развития. С этой точки зрения развитие человеческих способностей подчиняется только биологическим закономерностям.

К сожалению, многие преподаватели математики как в школе, так и в вузе, придерживаются именно этой точки зрения о генетической природе математических способностей. Они признают только врожденность математических способностей и не считают возможным их формирование в процессе изучения математических дисциплин. Поэтому сторонники этой точки зрения считают, что их основная задача состоит в выявлении этих способностей, в создании условий для самореализации личности. В этом случае учитель фактически снимает с себя ответственность за успехи учащихся.

Такой подход вызывает резкую критику со стороны многих ученых-психологов. Другая крайняя точка зрения - социологизаторская, утверждает, что способности полностью определяются социальными условиями индивида и что генетическая программа не оказывает на их развитие никакого влияния. Путем целенаправленного воспитания и обучения у любого человека можно якобы сформировать любой комплекс способностей.

Эта точка зрения также вызывает ряд серьезных возражений. Так известный английский психолог Г. Дж. Айзенк приводит в качестве достаточно убедительного примера эксперимент с детьми из сиротских приютов,

которые попали туда вскоре после рождения. Было обнаружено, что интеллект у детей из приютов практически является таким же разнообразным, как и у обычных детей, у которых условия жизни самые различные; поэтому в данном случае наследственность проявляется как основной фактор в определении индивидуальных различий интеллекта [3, с. 24].

В условиях борьбы этих крайних точек зрения выработалась точка зрения, сторонники которой также признают важную роль наследственности в развитии способностей, но видят в них не источник их развития, а всего лишь условие этого развития. Врожденными являются предпосылки способностей или задатки. В качестве же источника развития человеческих способностей выступает социокультурный опыт, который и должен быть передан новому поколению в процессе обучения.

Эта точка зрения завоевывает все большее и большее число сторонников, несмотря на то, что принятие этой точки зрения требует от учителя математики (так же как и от преподавателя вуза) значительно большей работы и ответственности. Однако среди сторонников этой точки зрения все же остаются различия во взглядах на количественное соотношение роли наследственности и социального опыта. Достаточно характерным в этом отношении является сравнение позиций В.А. Крутецкого и Н.В. Метельского, рассматривавших математические способности. Н.В. Метельский, отмечая чрезмерный упор В.А. Крутецкого на роль воспитания, замечает: "Мы много лет недооценивали значение врожденных задатков индивидуальных способностей и преувеличивали роль воспитания в формировании талантов" [93, с. 12].

7.2. Общие и специальные способности, их задатки

Обычно различают общие и специальные способности. Под общими способностями понимается такая система интеллектуальных свойств личности, которая обеспечивает относительную легкость и продуктивность в овладении знаниями. "К общим способностям относятся прежде всего свойства ума и поэтому часто общие способности называют общими умственными способностями" [60]. Таким образом, общие способности обычно отождествляются с умственными способностями. Сам термин "общие способности", как справедливо заметил Н.В. Метельский, является не совсем удачным, поскольку не отражает сути этого понятия. Более удачным является предложенный им термин "общеинтеллектуальная способность".

Умственные способности проявляются, прежде всего, в достаточно высоком уровне познавательных процессов и, в первую очередь, мышления. Но мышление является лишь одной из составляющих сложной познавательной деятельности человека. Познавательная деятельность обеспечивается также вниманием, восприятием, памятью, воображением и речью. Развитость названных процессов и будет отражать наличие умственных или, что то же самое, общих способностей.

С общими способностями органически связаны специальные. Под специальными способностями понимается такая система свойств личности, которая помогает ей достигнуть высоких результатов в познании и творчестве в специальной области деятельности, например, музыкальной, математической, конструкторской и т.п. Специальные способности неотделимы от деятельности

человека. Поэтому говорить о специальных способностях вообще невозможно. Можно говорить о способностях к какому-то виду деятельности.

Как отмечает В.Д. Щадриков, "вопрос об общих и специальных способностях является одним из наиболее запутанных в психологической теории способностей". По его мнению, "специальные способности есть общие способности, приобретшие черты оперативности под влиянием требований деятельности" [152, с. 239].

Чем выше развиты общие способности, тем больше создается внутренних условий для развития специальных способностей. Однако, как подчеркивал С.Л. Рубинштейн, взаимоотношение общей одаренности и специальных способностей для разных специальностей неодинаковы. "Чем большую роль в той или иной специальной способности играют специальные задатки и специальная техника, тем меньше может оказаться соответствие или даже диспропорция между специальными способностями и общей одаренностью." [122]

В свою очередь развитие специальных способностей, при известных условиях, положительно влияет на развитие интеллекта личности.

В основе как общих, так и специальных способностей, лежат задатки (природные способности). Как отмечал Б.М. Теплов "...Во всех случаях мы разумеем врожденность не самих способностей, а лежащих в основе их развития задатков." [134, с. 18]

А.К. Насыбуллина высказала мнение о том, что задатки - это общий фундамент для общих и специальных способностей. Куда пойдут эти задатки, в общую развитость человека или какую-нибудь область деятель-

ности, зависит от многих факторов воспитания и развития. [104]

По нашему мнению, следует различать задатки для общих способностей и для специальных. То, что такое разделение имеет место, вытекает из того, что в ходе обучения и развития способностей заметна разница между детьми и что у одних детей легче формируются, например, математические, у других литературные способности. Об этом же говорят приведенные выше слова С.Л. Рубинштейна.

Очень наглядное изображение в виде кругов Эйлера соотношения между задатками, общими способностями и специальными способностями было предложено В.А. Гусевым [40]. Однако ни один из упомянутых исследователей не приводит каких-либо количественных соотношений между задатками и способностями.

Выводы о таких количественных соотношениях делают некоторые зарубежные ученые. В зарубежной психологии исследования по проблеме способностей и интеллекта имеют, в основном, не теоретическую, а эмпирическую основу.

Наибольшее распространение получили взгляды, основанные на теории организации интеллекта, разработанной в 1927 г. английским психологом Ч. Спирменом. Эта теория утверждала, что всякая интеллектуальная деятельность содержит общий фактор, названный генеральным (или G-фактором) и множество специфических или S-факторов, свойственных только одному виду деятельности.

Справедливость этого положения Ч.Спирмена подтверждается тем, что наблюдаются устойчивые связи между результатами различных тестов. Объяснить это

можно лишь тем, что имеется некоторый общий для них всех фактор, попытки раздробить который на отдельные способности оказались безуспешными..

Из сравнения этих положений теории Ч. Спирмена и положений отечественной теории способностей можно сделать предположение о том, что G-фактор соответствует общим способностям, а S-факторы соответствуют специальным способностям, хотя против такого сопоставления с понятиями "буржуазной" психологии выступали в свое время ряд отечественных психологов.

Развитием теории общего фактора Ч. Спирмена является гипотеза о природе интеллекта, сформулированная в 1971 г. учеником Спирмена Р. Кеттелом. Он считает, что общий G-фактор интеллекта складывается из двух компонентов, которые получили название "текучий" и "кристаллизованный" интеллект. "Текучий" интеллект детерминирован природными задатками человека (по мнению Р.Кеттела на 90%, т.е. образование и воспитание его практически не затрагивают), "кристаллизованный" интеллект является суммацией опыта личности и меняется в зависимости от культурной среды, в которой обучается и воспитывается человек.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что "текучий" интеллект практически совпадает с задатками общих или умственных способностей.

Английский психолог Г. Айзенк на основании экспериментальных данных приводит следующую числовую оценку относительного вклада наследственности и окружающей среды в развитие интеллекта: "Выяснено, что около 80% от всех факторов,

вносящих различия в индивидуальный интеллект, обусловлены наследственностью и 20% - влиянием окружающей среды; другими словами наследственность в четыре раза важнее окружающей среды." [3, с. 24-25]

Можно согласиться с данными Г. Айзенка, но, во-первых, только относительно общих способностей (G-фактора), во-вторых, без учета тех свойств личности, о которых говорится в определении Рензулли - творческого подхода и настойчивости - и которые в значительной степени определяются именно условиями окружающей социокультурной среды.

Что же касается специальных способностей (S-факторов), то они отличаются большим разнообразием. Для одних большую роль играют специальные задатки, для других специальная техника. Уже отмечалось, специальные способности неотделимы от деятельности человека. Для многих специальных способностей важно наличие знаний, умений и навыков. Поэтому соотношение между наследственностью и влиянием окружающей среды для S-факторов принципиально другое.

Учитывая все сказанное выше, можно предложить следующую схему соотношения между общими, специальными способностями и их задатками:

На приведенной схеме внутренний квадрат изображает общие способности, вокруг которого во внешнем квадрате находятся специальные способности. Черным цветом изображены соответствующие задатки. Соотношение черного и белого цветов в квадратах в какой-то степени соответствует нашему мнению на соотношение между наследственным и приобретенным в способностях.

Таким образом, следует признать важную роль наследственности в развитии математических способностей, но видеть в ней не источник их развития, а всего лишь условие этого развития. В качестве же источника развития человеческих способностей выступает социокультурный опыт, в первую очередь через обучение и воспитание.

Принятие этой точки зрения требует и от учителя математики значительно большей работы и ответственности. Для обеспечения формирования математических способностей у обучаемых необходима организация кружков, факультативов, индивидуальной работы в форме рефератов, творческих заданий, собеседований и т.д. Лишь при создании целой системы такой работы возможен заметный успех в этом направлении. В этом автора убеждает как собственный опыт, так и опыт работы лучших учителей математики, таких, например, как Р.Г. Хазанкин и др.

7.3. Математические способности и развитие математического мышления

Математические способности являются одним из видов специальных умственных способностей. С.Л. Рубинштейн выделил общий компонент различных умственных способностей - качество процессов анализа и

синтеза. Применительно к обучению математике эти процессы подробно изучались в работах В.А. Гусева. Но, очевидно, имеются и специфические способы математической деятельности. Такими способами, средствами познания являются те математические структуры (схемы) мышления, которые обеспечивают линию качественных изменений в функционировании интеллекта и в наибольшей степени способствуют развитию математического мышления. Выделение таких структур является одной из важных задач при исследовании математических способностей.

Проблема развития математических способностей занимает важное место как в научно-теоретических исследованиях, так и в практике всей системы математического образования. В этом направлении имеются серьезные исследования и накоплен богатый опыт практической, в основном, внеаудиторной работы (кружки, олимпиады, конкурсы и т.д.), но ни один из исследователей не претендует на полное решение этой проблемы.

Как отмечали В.А. Крутецкий и Н.В. Метельский, до сих пор нет общепризнанного определения математических способностей, как и нет единого мнения об их структуре. Хотя эти слова были написаны два десятилетия назад, они остаются справедливыми и по сей день. Единственное, в чем сходятся исследователи, это в том, что математические способности имеют специфический характер и их нельзя свести к общим способностям.

В отечественной литературе, пожалуй, первым, кто затронул проблему математических способностей, был русский математик Д.Д. Мордухай- Болтовский, который

отметил различие двух типов воображения: абстрактного у "алгебраистов" и более конкретного у "геометров". Значительный вклад в исследование проблемы математических способностей наряду с психологами внесли крупные математики-педагоги Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, А.Я. Хинчин. Из более поздних исследований следует отметить работы В.А. Гусева, Н.В. Метельского и А.К. Насыбуллиной.

Наиболее фундаментально эта проблема исследовалась В.А. Крутецким и его сотрудниками, которые заложили общие основы теории и диагностики математических способностей. Несмотря на то, что ряд положений, выдвинутых В.А. Крутецким, был подвергнут критике (К.К. Платонов, Н.В. Метельский), результаты его исследований имеют большое значение и в настоящее время.

Как уже отмечалось, имеется большое разнообразие взглядов на структуру математических способностей. Общим для большинства исследователей является признание необходимости различать способности к изучению математики как учебного предмета и способности к научной математической деятельности. При этом одни из них (В.А. Крутецкий, А.Г. Ковалев, Ж. Адамар и др.) различают два уровня математических способностей: уровень учебных способностей, т.е. способности к изучению математики, и творческий уровень, т.е. способности к научной математической деятельности. Другая группа ученых (И. Верделин, А.Н. Колмогоров, Н.И. Кованцов и др.) считает предпочтительней точку зрения, что следует различать не уровни математических способностей, а группы разных способностей.

Математические способности - сложное психическое образование, своеобразный синтез свойств, интегральное качество ума, охватывающее разные его стороны (внимание, восприятие, мышление, память) и развившееся в процессе математической деятельности. Эти свойства ума тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, отдельные проявления которой условно называются компонентами математических способностей.

Таких компонент разными авторами выделены десятки и даже сотни (логичность, лаконизм, гибкость, точность, критичность мышления, четкая расчлененность хода рассуждения, способность к обобщениям, способность к переключению с прямого на обратный ход мысли, доказательность и т.д.). Таких отличительных качеств математического мышления выделено столь много, что, как совершенно верно отметил Л.М. Фридман, "всякая специфика этого вида мышления теряется" [139, с.38].

Предпринимались попытки тем или иным образом классифицировать эти компоненты. Так В.А. Гусев [40] сгруппировал параметры математических способностей по трем направлениям:

- качества личности, формирование которых связано с математическими способностями;

- элементы мыслительной деятельности, имеющие общий характер;

- виды деятельности, имеющие специальный характер.

Развитием идей В.А. Гусева явилась классификация, предложенная А.К. Насыбуллиной. Отличительной особенностью этой классификации является ее многогранность, большое пересечение выделенных пара-

метров с целями обучения математике, их сложная взаимосвязь, направленность на целостное формирование личности школьника.

С точки зрения когнитивной психологии наиболее приемлемой является структура математических способностей, предложенная В.А. Крутецким. По его мнению, общая схема этой структуры должна исходить из трех основных этапов решения задачи, которые соответствуют этапам восприятия информации, переработки информации (мышлению) и запоминания информации. Таким образом подход В.А. Крутецкого лежит в русле современных представлений когнитивной психологии.

На первом этапе - этапе восприятия задачи -проявляется способность к формализованному восприятию, схватыванию формальной структуры задачи. Эта способность в "зародышевой" форме начинает проявляться уже в начальной школе. Более способные учащиеся начинают видеть в задаче отношения между определенными величинами, а не между предметами. Менее способные ученики видят не какие-то математические отношения, а лишь конкретные предметы, с которыми нужно что-то делать (например, они говорят - это задача про яблоки). У старших способных школьников отмечается многосторонность, многоплановость восприятия, когда одна и та же задача, теорема или формула воспринимаются, оцениваются с разных точек зрения.

На втором этапе - этапе непосредственного решения задачи проявляется несколько интеллектуальных качеств.

1) Способность к быстрому и широкому обобщению. Эту способность можно наблюдать уже в 1 -2-ом классах, разумеется в весьма элементарных формах. Способные школьники, например, без затруднений переходят к решению задач в буквенной форме. Развитие способности к обобщению идет по линии сокращения количества специальных однотипных упражнений, являющихся предпосылкой такого обобщения (до одного у наиболее способных подростков 12-14 лет).

2) Способность к свертыванию процесса математического рассуждения. Эта способность начинает появляться у способных учащихся с 3-го класса, особенно после решения ряда однотипных задач и примеров. При этом часто опускаются отдельные звенья рассуждений, но которые могут быть легко восстановлены, например, по требованию учителя. Наиболее ярко это качество проявляется у старшеклассников и студентов.

3) Гибкость мыслительных процессов. Эта способность не обнаруживается почти ни у кого из младших школьников. Но начиная с 10-11 лет способные учащиеся уже демонстрируют известную гибкость в ходе поисков других решений (правда это происходит после наводящих вопросов). Развитие гибкости мышления идет по пути все более полного освобождения от сковывающего влияния предшествующего хода мысли. Способные старшеклассники и студенты уже по собственной инициативе находят различные пути решения задач.

4) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решения. Эта способность в младшем школьном возрасте еще нечетко выражена. Только часть

наиболее способных учащихся 2-3 классов решает задачу сразу более простым и экономным способом, ясно видя при этом и другие способы. Особенного развития указанный компонент достигает в старшем школьном и студенческом возрасте.

5) Способность к быстрой и свободной перестройке направления мыслительного процесса, переключение с прямого на обратный ход мысли. Уже в младшем школьном возрасте способные ученики, устанавливая связи в одном направлении, довольно легко переходят к осознанию связей в обратном направлении. Это, в частности, проявляется в том, что после решения основной (прямой) задачи решение обратной задачи у способных школьников трудностей не вызывает. В то время как у менее способных наблюдается тормозящее влияние первой задачи на решение второй. На большое значение обратных связей для характеристики уровня математического мышления неоднократно указывал в своих исследованиях П.М.Эрдниев.

Последний этап решения задачи - это этап запоминания. На этом этапе проявляются свойства памяти. Математическая память весьма специфична. Так академик А.Н.Колмогоров указывал, что многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью на цифры, числа и формулы. Математическая память - это обобщенная память на математические отношения, схемы рассуждений, методы решения задач и т.д. У младших школьников собственно математической памяти в ее развитых формах не наблюдается. Но для способных школьников основным все-таки постепенно становится отношение данных

задачи. Если они что-то и забудут, то это скорее не математические отношения, а числа, конкретные данные.

В. А. Крутецкий выделяет еще один общий синтетический компонент математических способностей математическую направленность ума. Эта способность выражается в стремлении к математизации явлений окружающего мира, постоянной установке обращать внимание на математическую сторону явлений, подмечать пространственные и количественные отношения, функциональные зависимости. Часто эта способность начинает проявляться у детей в элементарных формах уже в возрасте 7-8 лет и в дальнейшем приобретает весьма широкий характер.

Весьма характерной особенностью способных к математике учащихся является также их малая утомляемость в процессе занятий математикой по сравнению с утомляемостью при занятиях другими видами деятельности.

Ядром математических способностей является математическое мышление. Специфика математического мышления проявляется в том, что для него характерно известное многообразие видов, типов мышления. Как указывал академик А.Н. Колмогоров "различные стороны математических способностей встречаются в разных комбинациях". Существование различных типов мышления есть следствие не только индивидуальных и типовых психологических различий между людьми, но и следствие существенных различий между областями математики. В одной области наиболее плодотворными оказываются алгоритмические способности, в другой -комбинаторные, в третьей - геометрические [67].

Ряд исследователей в ряду основных компонентов математических способностей выдвигают способности к аналитическому и логическому мышлению. Однако это прежде всего характеристики вообще научного мышления, а значит аналитичность и логичность мышления -это некоторые из параметров общеинтеллектуальной способности. Так Н.В. Метельский пишет: "Остается неясным, что же это за "логическое мышление, в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики"? Либо это общенаучное логическое мышление, применяемое в области математики, - тогда какая же это собственно математическая способность; либо это специфическое логическое мышление - тогда на каком основании мы можем говорить о его существовании, если мы не можем указать его математической специфичности." [93, с. 39].

Таким образом, если говорить об аналитическом и логическом мышлении как о компонентах математических способностей, то необходимо прежде всего указать, в чем заключается их специфичность применительно к математике. Однако единство в понимании такой специфичности, особенно аналитичности мышления, отсутствует. Так, авторы учебного пособия по методике преподавания математики [94, с. 120] считают, что аналитичность мышления проявляется в умении проводить аналитический способ доказательства теорем и решения задач, применять метод уравнений. Но А.Н. Колмогоров такую способность умелого преобразования сложных буквенных выражений, нахождения удачных путей для решения уравнений относит к вычислительным или алгоритмическим способностям [67].

В отношении к пониманию специфичности логичности мышления наблюдается существенно большая общность взглядов. А.Н. Колмогоров под логическими способностями понимал искусство последовательного, правильно расчлененного рассуждения, в частности, понимание и умение правильно применять принцип математической индукции. С этой характеристикой соглашается большинство других ученых. По мнению Ю.М. Колягина, логическое мышление характеризуется обычно умением выводить следствия из данных предпосылок, вычленять частные случаи из некоторого общего положения, обобщать полученные выводы и т.п.; оно проявляется у учащихся прежде всего в ходе различных математических выводов: индуктивных (полная индукция) и дедуктивных, в ходе доказательства теорем, обоснований решения задач и т.д. [71, с.25]. Выше, при рассмотрении логических схем мышления, мы приводили и другие характеристики логичности мышления в области математики. Кратко можно сказать: логичность мышления - это владение логическими схемами мышления. Аналитичность же мышления будем отождествлять с общеинтеллектуальной способностью производить операцию анализа.

Многие исследователи (В. А. Крутецкий, Н.А. Менчинская и др.) выделяют абстрактно-аналитический, образно-геометрический и гармонический типы математического мышления. Эти типы характеризуются разным сочетанием словесно-логического и наглядно-образного компонентов. По всей видимости, прав А. Пуанкаре, отмечая природную предопределенность такого сочетания: "не воспитание развило в них одну из этих двух склонностей и заглушило другую. Математи-

ками родятся, а не делаются, и, по-видимому, также родятся геометрами или родятся аналитиками" [116, с. 150].

У представителей абстрактно-аналитического типа преобладает словесно-логическое мышление, они легко оперируют отвлеченными схемами, очень успешно решают задачи, выраженные в абстрактной форме. Образно-геометрический тип отличается наличием яркого геометрического воображения или "геометрической интуиции", т.е. способности извлекать необходимую информацию из заданной конфигурации путем ее анализа, включая поиск идеи решения задачи с помощью рисунков, моделей фигур или мысленного представления; способностью к переводу на язык геометрии той или иной задачи и обращение к наглядным образам в процессе решения негеометрических задач. Гармонический тип характеризуется наличием и того и другого компонентов.

Соглашаясь с такой типологией, вместе с тем считаем необходимым заметить, отмеченные различия касаются не только мышления, но восприятия и памяти. Поэтому, подходя к способностям, как когнитивным процессам, мы должны говорить скорее о когнитивных математических стилях. Понятие когнитивных стилей появилось в середине 50-х годов и с тех пор активно используется в исследованиях по дифференциальной психологии. "Когнитивные стили - это гипотетические конструкты для обозначения преимущественно используемых человеком способов восприятия, мышления и действия." [60, С.92]

Внутри абстрактно-аналитического компонента математических способностей можно выделить

несколько составляющих. Так Э.Ж. Гингулис вслед за А.Н. Колмогоровым помимо образно-геометрического компонента рассматривает алгоритмический и логический компоненты. Логические способности, по его мнению, выражаются в вычленении (из некоторого общего положения) и исследовании всех частных случаев, в создании экономной и непротиворечивой схемы решения задачи, в проведении доказательных рассуждений, использующих, в частности, прием доказательства "от противного", обращение к контрпримеру и другие приемы.

В ряде работ рассматриваются, кроме того, функциональное, визуальное и пространственное мышление. Функциональное мышление характеризуется осознанием динамики, изменчивости, взаимосвязи и взаимозависимости математических объектов и соотношений. Пространственное мышление (пространственное воображение, пространственно-схематическое мышление) характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические модели изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны быть выполнены над самими объектами. Визуальное мышление стало рассматриваться совсем недавно в работах Н.А. Резник [119].

В последнее время целый ряд исследователей выделяют как отдельный вид комбинаторные способности (комбинаторное мышление, комбинаторный стиль мышления). На особое значение комбинаторных операций, как операций второй ступени, возникающих вместе с рефлексивным мышлением, указывал Ж. Пиаже. Возросшее внимание к комбинаторным способностям

носит закономерный характер. В разные периоды развития математики разные типы мышления играли различную роль. В современный период, когда создается новый раздел математики - компьютерная математика, возросла роль алгоритмического и комбинаторного типов мышления.

Как уже отмечалось, способности существуют в развитии. Они не есть какое-то неизменное свойство человека, их формирование и развитие возможно только в деятельности. В современных условиях важно обеспечить, как отмечают В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер и Р.С. Черкасов, "перенос акцента в обучении на математическое развитие учащихся и обеспечение его гармоничности, т.е. органически взаимосвязанного и сбалансированного развития интуитивного, логического, пространственного, метрического, конструктивного, символического компонентов умственной деятельности" [18, с. 233]. Развитие математического мышления - это прежде всего развитие различных типов мышления.

Развитию математического мышления посвящены работы Ю.М. Колягина, Э.Ж. Гингулиса, О.С. Медведевой и др. Как установлено этими авторами и как подтверждает наш опыт, в младшем и в подростковом возрасте наиболее эффективным способом развития математического мышления является решение школьниками системы некоторых, специальным образом подобранных задач, в первую очередь, нестандартных (поисковых).

Как правильно отмечает М.И. Зайкин, математические задачи в большой мере пригодны для развития каждого из двух полушарий головного мозга. Они позволяют быстро и эффективно влиять как на образную, инту-

итивную составляющую мышления, так и на логическую и алгоритмическую его компоненту, совершенствовать мыслительные операции [55].

Не случайно, в последнее время больше внимания стало уделяться решению арифметических задач. Потребовалось более двух десятилетий почти безраздельного господства в школе алгебры, чтобы преподаватели осознали: без арифметического фундамента обучение математике оказывается неэффективным.

Решение задач является основным видом математической деятельности и поэтому в этой деятельности проявляются те специфические математические схемы (методы, приемы) мышления, о которых мы говорили в предыдущем параграфе. Нестандартные математические задачи в наименьшей степени связаны с конкретным математическим материалом и требуют не столько знания каких-то отдельных математических фактов и частных методов, сколько универсальных приемов математического мышления. Поэтому при решении именно таких задач происходит не только развитие математических схем мышления, но наиболее ярко проявляется и их сформированность.

Более того, по мнению М.И. Зайкина, система математических тренингов, соотнесенная с сензитивными периодами психического развития и выстроенная с учетом преемственности в изучении математического материала по этим периодам может стать эффективным средством совершенствования всей постановки математического образования современных школьников.

Такие математические тренинги служат достижению основной цели преподавания математики в современных условиях - развитию мышления учащихся. Поэтому в той

или иной форме они должны присутствовать в учебных планах и программах по крайней мере до достижения учащимися возраста 15 лет. Именно к 14-15 годам в полной мере обнаруживаются математические способности, хотя они могут проявиться немного раньше или позже.

В вузах также формирование и развитие творческой активности студентов будет эффективным, если решения предлагаемых задач могут быть осуществлены нетрадиционными, нестандартными способами.

Разными авторами предлагаются различные классификации нестандартных развивающих задач. Наиболее известными типами таких задач являются логические, геометрические, комбинаторные, на переливание и взвешивание, арифметические и т.д. В частности, М. Гарднер в своей книге [29] все задачи разделяет на 6 типов: комбинаторные, геометрические, логические, процедурные (алгоритмические), арифметические и словесные (лингвистические). При этом, что отмечает и сам М. Гарднер, данные категории задач не взаимоисключающие, они неизбежно перекрываются. Задачи последних двух типов имеют специфическое содержание и могут быть отнесены к комбинаторным и логическим задачам. Как наиболее универсальные, будем различать типы логических, алгоритмических, комбинаторных и геометрических задач.

Таким образом, многими педагогами-практиками экспериментальным путем установлен развивающий характер таких задач. К такому выводу можно прийти и теоретическим путем, основываясь на деятельностном подходе, поскольку в этих задачах используются логические, алгоритмические, комбинаторные, образно-гео-

метрические структуры, т.е. те математические структуры (схемы), которые Ж. Пиаже называл операциями над операциями, с помощью которых происходит образование новых понятийных структур и которые в наибольшей степени способствуют развитию математического мышления. Такие математические структуры мы выше назвали схемами математического мышления.

Для проверки гипотезы о развивающем характере таких задач и повышении на их основе эффективности обучения под руководством автора группой преподавателей математических кафедр ВГПУ были в 1990 г. разработаны программы развивающего обучения математике для 2-3-х и 5-7-х классов, которые, с одной стороны, включали в себя все опорные знания и умения обязательной программы и были рассчитаны на использование действовавших в то время массовых учебников. С другой стороны, эти программы содержали некоторый дополнительный теоретический материал и, главным образом, задачный материал, и были в значительно большей степени, чем стандартная программа, ориентированы на развитие математического мышления учащихся.

Традиционные программы и учебники как для начальных, так и для средних классов страдали рядом существенных недостатков. В частности, упор в них делался на типовые задачи и не уделялось внимания задачам, которые способствуют формированию различных видов схем математического мышления (логических, алгоритмических, комбинаторных, образно-геометрических). Особенно это касалось внедренного в ряд школ в обязательном порядке учебника по математике для 5-6 классов Э.Р. Нурка и А.Э. Тельгмаа. При таком

подходе учащиеся не получали достаточно материала для развития своих способностей. Не использовались также в должной мере сензитивные периоды для формирования и развития когнитивных математических структур (схем).

Основная задача программ - формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету и развитие у них логических, комбинаторных, алгоритмических и образно-геометрических схем мышления. В связи с включением новых типов задач программа была дополнена некоторыми сведениями теоретического характера.

В силу необходимости развития именно в этот период наглядно-образного мышления, большое внимание в программе было уделено геометрическим вопросам. Эти вопросы было рекомендовано выделить в отдельный предмет, начиная с пятого класса. В основу изложения теоретического материала были положены наглядность, произведение опытов, наблюдение, разрезание, различные построения.

При подведении итогов экспериментальной работы учитывались результаты контрольных работ, тестирований и экзаменов. По всем этим показателям экспериментальные классы заметно превосходили контрольные. Явное превосходство экспериментальных классов над контрольными наблюдалось и по такому показателю, как участие в олимпиадах. Через полтора года после начала работы по экспериментальным программам в одной из школ проводилось тестирование по международным тестам математической подготовки школьников 13 лет. Экспериментальный класс существенно опередил контрольный по такой категории деятельности, в которой российские школьники отстали от школьников ряда западных стран, как решение задач

(83% против 72% в контрольном классе и 67% в среднем по стране), т.е. в умении рассуждать и анализировать, формулировать проблему, применять правильную стратегию решения.

Результаты эксперимента достаточно убедительно свидетельствовали об эффективности предложенной программы обучения для формирования математических схем мышления. Созданная нашим авторским коллективом программа по математике для 5-7-х классов была рекомендована в 1992 г. Управлением образования Вологодской области для распространения в школах области.

В последующий период было создано несколько модификаций программы для различных типов учебных заведений. Расширенный вариант программы был разработан для Вологодского естественно-математического лицея (6-11-е классы). Этот вариант программы был рассчитан на параллельное прохождение учащимися 4-х математических дисциплин: алгебры, геометрии, спецкурса и практикума по решению нестандартных задач.

В практикум по решению нестандартных задач входили всевозможные задачи, которые решаются нестандартными способами. Содержание этих задач может относится к любой теме изучаемых курсов, а также и помимо них (задачи на шахматной доске, задачи, использующие метод четности и нечетности, игры с кучками предметов, задачи на раскраску и т.п.).

Уже первые выпуски естественно-математического лицея показали высокую эффективность такой системы подготовки. Учащиеся лицея заняли 85% призовых мест на областной математической олимпиаде. Все выпус-

кники лицея поступили в вузы с повышенными требованиями к поступающим, а также показали высокую успеваемость на первых двух курсах вузов.

Все эти данные еще раз подтвердили верность выводов об определяющей роли формирования выделенных видов математических структур для развития математического мышления в процессе накопления индивидом социокультурного опыта.

Именно логические, алгоритмические, комбинаторные, образно-геометрические схемы (структуры) являются в первую очередь средством познания, обеспечивают линию качественных изменений в функционировании интеллекта. Все эти структуры обладают универсальностью (независимостью их использования от конкретного математического материала) и имеют большое значение не только для обучения, но и для математического творчества. Социокультурный опыт является источником для формирования таких схем мышления.

Все эти структуры тесно взаимодействуют как друг с другом, так и с другими математическими структурами, поэтому как невозможно провести четкую грань как между ними, так и список таких структур не может претендовать на полноту (мы уже упоминали о наличии, например, еще стохастических структур).

7.4. Диагностика математических способностей

Проблема определения уровня математических способностей является актуальной как в школьный период обучения, так и при поступлении на математические специальности вузов. Как отмечали известные психологи А.А. Бодалев, Б.Ф. Ломов, А.М. Матюшкин, "раннее выявление потенциальных

творческих возможностей детей необходимо как для успешного решения проблемы развития их общих и специальных способностей, так и с целью последующей их профессиональной ориентации на различные виды практической профессиональной деятельности" [16, с. 18].

Наблюдается большое разнообразие взглядов среди психологов и педагогов-математиков в подходах к решению проблемы диагностики математических способностей. В последнее десятилетие в школьной практике большое распространение получили разнообразные тесты, как тесты достижений для проверки результатов обучения, так и психологические тесты для диагностики интеллектуальных качеств. Причем выявились как положительные стороны такой формы диагностики, так и ряд существенных недостатков.

Тесты позволяют измерять и интерпретировать результаты обучения и ряд интеллектуальных качеств с большой долей объективности и оперативности. В настоящее время в школьной практике используется целый ряд интеллектуальных тестов (Векслера, ШТУРа, Равена и др.). Несмотря на то, что появляются все более совершенные тесты, остается справедливой критика в их адрес, высказанная в свое время известным отечественным психологом В.А.Крутецким: "Тесты фиксируют только конечный результат выполнения испытуемым того или другого задания, игнорируя характер самого процесса достижения того или иного результата,... следовательно, не дают полной картины изучаемого явления." [73, с. 16]

Весьма осторожное отношение к тестам высказали известные ученые А.Г. Асмолов и Г.А. Ягодин:

"Разнообразные психологические тесты, исходящие из идеи количественной оценки наличных способностей, представляют собой важные, но только лишь вспомогательные инструменты психологической диагностики разных свойств психического развития ребенка" [9, с. 9].

Когнитивные психологи, критикуя использование тестов в факторном анализе интеллекта, отмечают, что этот метод слабо связан с мысленными процессами, что два человека могли бы получить идентичные показатели в тесте на интеллект и использовать при этом различные когнитивные процессы. Отмечается также упор в факторном анализе на индивидуальные различия, которые не являются ни единственным, ни наилучшим способом изучения человеческих способностей.

Крупнейший специалист по тестам Г. Дж. Айзенк отмечает, что "тестирование интеллекта не имеет твердой научной базы" [3, с. 5], что "если мы хотим использовать наши тесты интеллекта как меру будущих способностей так же, как настоящих, ...то очевидно, что эту проблему следует глубоко исследовать и разработать совершенно новые наборы тестов, которые обеспечили бы больше точности предсказания, чем это делают используемые в настоящее время тесты" [3, с.11].

К сожалению, многие изданные в последние годы в нашей стране тесты, претендующие на диагностику математических способностей, не являются таковыми по своей сути. Они проверяют либо общеинтеллектуальные качества (такие, как логичность мышления), либо проверяют такие качества (вычислительный фактор, вербальный фактор и т.д.), которые практически никак не

связаны с математическими способностями, что доказал своими исследованиями шведский психолог И. Верделин.

В основе математических способностей, как установил И.Верделин, лежит способность к математическому рассуждению. А такая способность может быть установлена только специалистами-математиками с опорой на такой индикатор способностей, как "зона ближайшего развития" Л.С. Выготского. "Зона ближайшего развития" учащегося может быть выявлена в процессе приобретения социокультурного опыта при помощи специальным образом подобранных математических задач.

Именно такой подход при исследовании математических способностей школьников применял В.А. Крутецкий со своими сотрудниками. Ю.М. Колягин, В.С. Копылов, В.С.Шепетов в своей работе [70] также исходили из того, что многие задачи (а тем более специально подобранные) через свое содержание, или процесс решения или его результат реализуют определенные развивающие функции, и успешность решения таких задач учащимися может служить одним из показателей их математического развития. Однако при составлении таких задач следует иметь в виду, как отметил В.А. Гусев, ссылаясь на данные психологов, что эти "логические задачи не могут служить достаточно надежным показателем умственного развития индивида, если они сформулированы без учета жизни и характера деятельности" [41, с. 42]. Формулировать задачи следует с опорой на сферу преимущественных интересов личности, сфере, в которой она максимально раскрывает свои способности.

Из последних серьезных исследований по проблеме диагностики математических способностей, проделанных в последние годы, следует отметить работы А.К. Насыбуллиной и А.М. Радькова. В этих исследованиях были разработаны и экспериментально проверены тесты для выявления уровня сформированности математических способностей учащихся, состоящие из различных математических задач на смекалку (на сообразительность, нестандартных, занимательных задач).

Такие задачи, как показывает и наш опыт, являются наилучшим средством для диагностики математических способностей школьников младших и средних классов. Типы таких задач совпадают с основными типами развивающих задач (логические, алгоритмические, комбинаторные, наглядно-геометрические и т.д.).

Вместе с тем, как отмечает А.М. Радьков, "диагностика математических способностей с помощью тестовых методик может проводиться только в интегрированном единстве с традиционными формами их выявления: устные опросы, контрольные работы, зачеты, экзамены, обмен характеристиками педагогов разных профилей и т.д." [118]. Эти тесты не могут использоваться как достаточный инструмент для отбора и селекции детей по способностям.

Все эти теоретические соображения были использованы нами в работе по экспериментальным программам в ряде школ г. Вологды. Для эффективной работы по программе оказалось целесообразным выделить в классах по крайней мере две группы учащихся: группы учащихся, для которых основной задачей являлось достижение уровня стандартной программы, и

группы учащихся, способных достичь уровня углубленного изучения предмета.

При таком разделении учащихся на группы у учителей появляется возможность более тщательно отбирать материал, использовать методы и приемы дифференцированного подхода. Темп работы учащихся в одной группе оказался примерно одинаков, поэтому объем выполняемой работы и степень сложности отбираемого на урок материала во второй группе были значительно больше, чем в первой группе.

При переходе на разноуровневое обучение пришлось столкнутся прежде всего с проблемой отбора учащихся по группам. Стало ясно, что это достаточно сложная проблема и необходимо при таком разделении учащихся на уровни учитывать самые разные факторы.

При определении уровня математических способностей учащихся двух 3-х классов школы № 8 за основу были взяты наблюдения учителей за процессом приобретения учащимися социокультурного опыта, т.е. при изучении нового материала и при решении задач. Для наблюдений были выделены те признаки математических способностей, которые наиболее ярко проявляются у младших школьников:

1) Относительно быстрое овладение математическими знаниями, умениями и навыками. Быстрота понимания объяснений учителя.

2) Логичность мышления.

3) Находчивость и сообразительность при изучении математики.

4) Быстрое и прочное запоминание математического материала.

5) Пониженная утомляемость при занятиях математикой.

6) Гибкость мышления, способность переходить с прямого на обратный ход мысли.

7) Развитость образно-геометрического мышления и пространственных представлений.

В конце учебного года учителя заполнили таблицу математических способностей школьников, в которой оценили в баллах каждое из вышеперечисленных качеств (0-низкий уровень, 1-средний уровень, 2-высокий уровень).

Затем школьникам было предложено контрольное задание, в котором содержались как стандартные, так и нестандартные задачи, в которых проверялся уровень сформированности логических, комбинаторных и образно-геометрических схем мышления.

На следующий учебный год такая работа была проведена уже в конце 2-го класса. В результате оказалось, что данные наблюдений учителей и данные контрольного задания совпали на 90%. Хотя результаты этих различных способов разделения учащихся по уровням оказались весьма близки, однако полного совпадения не наблюдалось, поскольку, с одной стороны, есть много факторов, которые могут помешать ученику выполнить задание в соответствии с уровнем его способностей, а с другой стороны, данные наблюдений учителей не всегда могут быть объективными.

Одновременно проводилось психологическое тестирование, использовавшее несколько известных методик. С результатами этого психологического тестирования совпадение первых двух результатов оказалось меньшим (65-72%), что еще раз подтвердило,

что нельзя полностью полагаться на результаты самых лучших тестов и контрольных заданий.

В конце 7-го класса среди тех же учащихся вновь проводилось тестирование и подводились итоги наблюдений учителей математики и физики, с целью отбора учащихся в специализированный математический класс, т.е. не только для уровневой, но и для профильной дифференциации учащихся. Оказалось, что по сравнению с 3-м классом у 78,5% учащихся наблюдаемый уровень математических способностей существенно не изменился, у 18% - повысился, и только у 3,5% - понизился.

Таким образом, был сделан вывод, что разделение учащихся по уровням лучше производить не сразу, по результатам тестирования или собеседования, а после наблюдений за учащимися, как минимум, в течение года, за их развитием, проявлением познавательных способностей и интересов. Конечно же, такая методика разделения учащихся по уровням не должна не исключать, а наоборот, должна предполагать проведение тестирований и контрольных заданий.

Подтвердили свою диагностическую роль различные нестандартные задачи (в первую очередь, логические, комбинаторные, на планирование действий, геометрические) и при отборе учащихся в естественно-математический лицей г. Вологды (набор проводился в 6-й класс).

При отборе школьников в лицей также наблюдалось существенное расхождение результатов экзамена и собеседования по математике с данными психологического тестирования.

Дело, по всей видимости, заключается в том, что в текстологии до сих пор бытуют два мифа, служащие

основой для работы большинства психологов. Во-первых, считается, что мышление неразрывно связано с речью, что человек мыслит словами, и, следовательно, для проверки интеллектуальных способностей необходимо использовать вербальные тесты. Но, как уже отмечалось, математики чаще думают не словами, а образами. Ж. Адамар пишет: "Я утверждаю, что слова полностью отсутствуют в моем уме, когда я действительно думаю" [2, с. 72]. Поэтому наблюдается большое расхождение результатов математических и психологических тестов.

Во-вторых, принимается за истину, не требующую доказательств, что скорость интеллектуальных процессов имеет решающее значение для оценки интеллектуального потенциала. Однако в последнее время, как отмечает М.А. Холодная, очевидность постулата "хороший интеллект - быстрый интеллект" оказалась под вопросом [144, с.37].

Многие математики-педагоги уже давно высказали сомнение в истинности этого постулата. Крупнейший математик, академик П.С. Александров неоднократно говорил, что его главные достижения в математике явились не плодом быстро работающей изобретательности, а итогом длительного и углубленного созерцания. Эту же мысль высказывал и В.А.Крутецкий: "Индивидуальный темп работы не играет решающего значения. Математик может размышлять неторопливо, даже медленно, но очень обстоятельно и глубоко." [73, с. 386]. Н.В. Метельский отмечает, что "быстрота не только не обязательна, она вообще не свойственна мыслительной работе в области математики, особенно творческой" [93, с. 38].

При определении способностей при помощи тестирования психологи не учитывают особенности

приобретения школьниками социокультурного опыта, упускают показатели глубины и прочности усвоения знаний. Как показывает практика, эти показатели очень важны, а установить эти показатели может лишь учитель-предметник в результате наблюдений за учащимися.

В России с давних времен, как отмечает В.А. Гусев [41, с. 43], показателем математических способностей являлись успехи в математических олимпиадах. Однако, в силу указанного выше обстоятельства, определение уровня способностей школьников с помощью олимпиадных заданий является недостаточным. По этому поводу Б.В. Гнеденко писал следующее: "Велико значение математических олимпиад. Но в развитии математических интересов школьников они играют все же ограниченную роль. Они развивают преимущественно лишь умение решать нестандартные задачи. Математические же способности могут проявляться не только в этом, и многие их тех, кто своими открытиями внес значительный вклад в науку, может быть, в юности и не завоевывал призов в математических соревнованиях. Им были свойственны иные способности: в спокойной обстановке, не торопясь, пробивать путь к решению крупных проблем, стоящих перед наукой. Неудачи в олимпиадах вовсе не означают отсутствие математического таланта... "[37].

Кроме того, как заметил В.А. Гусев [41, с 43], далеко не для всех учащихся олимпиадные задачи интересны по фабуле и внешне эффектны, а по данным психологов проявление и активность умственного развития тесно связаны со специфической жизненной ситуацией и интересами и социокультурной направленностью личности. Такой интерес к олимпиадным задачам проявляют те

учащиеся, у которых отношение к математике определено, чьи математические способности уже явно выявились.

Таким образом, математические олимпиады - это один из серьезных и очень своеобразных видов математической деятельности, успехи в них -одно из проявлений математических способностей и математического развития. Хотя олимпиады действительно позволяют выделить одаренных ребят, однако при этом далеко не всех, т.к. при решении олимпиадных задач надо проявить кроме способностей некоторые волевые качества, а также быстро работающую изобретательность, что совсем не обязательно для успехов в математике.

В силу этих обстоятельств в педагогической практике также нередки случаи заметного расхождения между результатами экзаменов по математике и дальнейшими творческими успехами. Так из истории известно, что такие великие математики, как Галуа и Эрмит не блистали на экзаменах. С другой стороны, бывает, что тот, кто блистал на экзаменах и подавал большие надежды в школе и в вузе, оказывается беспомощным, когда перед ним встают серьезные творческие проблемы.

Как отмечают американские психологи А. Шведел и Р. Стоунбернер, "традиционное применение тестов на интеллектуальные и творческие способности детей, а также тестов на оценку их успеваемости (достижений) может и должно быть дополнено использованием оценочных шкал, заполняемых учителями, сведениями от родителей, данными наблюдений и критериально-ориентированного тестирования" [151, с. 176]. Сведения от родителей, на наш взгляд, имеют значение прежде

всего для дошкольников. По мере взросления ребенка их значение уменьшается.

При проведении практических обследований необходимо учитывать, что выявление одаренных и талантливых детей - достаточно продолжительный процесс, связанный с динамикой их развития, накопления ими социокультурного опыта, и его эффективное осуществление невозможно посредством какой-либо одноразовой процедуры тестирования.

При проведении диагностики математических способностей необходимо учитывать еще несколько показателей. Так, по мнению Н.В. Метельского, основным критерием наличия математических способностей служит внутренне обусловленный интерес самого ученика к математике. Объективно обнаружить наличие такого интереса можно опять же только в процессе приобретения социокультурного опыта.

Кроме интеллектуальных качеств в любой научной одаренности присутствуют еще волевые и эмоциональные качества, в частности, целеустремленность, сосредоточенность, настойчивость, трудолюбие; активное положительное отношение к предмету, склонность заниматься им, переходящая на высоком уровне в страстную увлеченность; чувство удовлетворения от напряженной работы, творчества, открытия. Все эти качества может наблюдать только учитель.

Однако не следует полностью полагаться на результаты наблюдений учителя. Как отмечают В.А. Гусев и Е.В. Силаев, "всем учителям кажется, что они объективны в оценке своих учеников, но, к сожалению, это далеко не так" [43, с. 23]. На такой оценке

сказывается "эффект Пигмалиона", который был изучен американскими психологами Р. Розенталем и Л. Якобсоном. Этим понятием обозначается тот факт, что ученик, которого учитель считает "умным" демонстрирует на протяжении обучения в школе большее развитие интеллекта, чем тот, который кажется учителю "менее умным". Если на "умного" ученика этот эффект производит положительное воздействие, то на "менее умного" -отрицательное воздействие, связанное с занижением возможностей такого ученика. Чтобы избежать таких и подобных эффектов, как заметил Г. Клаус, "каждому, кто занимается воспитанием, следует время от времени критически оценивать свои сложившиеся представления о личности школьника" [60].

Следует при оценке математических способностей учитывать успешность обучения школьников и по другим предметам, поскольку многие качества математического мышления: (логичность, способность к обобщению, гибкость, рациональность и т.д.) присущи не только математическому, но и научному мышлению вообще. А сформированность этих качеств мышления тесно связана с успешностью учебы школьников, прежде всего по предметам естественно-математического цикла (по данным Ю.К.Бабанского [11] коэффициент корреляции составляет 0,84-0,89).

Таким образом, основой диагностики математических способностей учащихся должен являться их социокультурный опыт. При проведении такой диагностики необходима целая система форм и методов обследования учащихся, которая включает в себя, прежде всего, результаты достаточно длительных и целенаправленных наблюдений со стороны учителей

процесса приобретения социокультурного опыта и его воздействия на личность учащихся.

Однако возникает проблема выявления уровня математических способностей в случаях, когда отсутствуют какие-либо достоверные данные наблюдений за учащимися. Такие случаи возникают при отборе учащихся в физико-математические школы и в вузы. Как показывает практика, письменные вступительные экзамены чаще всего проверяют уровень знаний, уровень тренированности в решении задач, но не уровень способностей.

Значительно более эффективными в этом отношении являются устные экзамены, беседы экзаменатора с учащимися. Как отмечает З.И. Слепкань, практика показала, что наиболее эффективным методом для активизации умственной деятельности учащихся является эвристическая беседа [126, с. 33]. Материалом для такой беседы могут и в этом случае служить нестандартные задачи, т.е. задачи, для которых важно не столько знание каких-либо отдельных фактов о математических структурах, сколько уровень сформированности математического мышления. Как указывал Л.С. Выготский, следует считать "показателем уровня детского мышления не то, что ребенок знает, не то, что он способен усвоить, а то, как он мыслит в той области, где он никакого знания не имеет" [28, с.227].

В оценке способностей с помощью таких задач, как уже указывалось, следует опираться на идею Л.С. Выготского о зоне ближайшего развития ребенка как ключевом диагностическом принципе его развития. Для этого экзаменатор должен наблюдать за ходом решения задач, которые должны быть достаточно трудными и

незнакомыми для учащегося. Самостоятельно большинство учащихся справиться с такими задачами не могут. Однако с помощью преподавателя, его наводящих вопросов, его подсказок, т.е. "дозированной помощи" справиться с задачами вполне возможно. В возникающем при этой деятельности переходе из зоны ближайшего развития в зону актуального развития ярко высвечиваются математические способности учащегося. Задача экзаменатора в этом случае состоит в том, чтобы фиксировать, сколько подсказок потребовалось учащемуся, начиная с какого этапа у него созрел план решения задачи, насколько безошибочным и настойчивым он был в достижении цели.

Такие эвристические беседы проводились нами на собеседованиях с поступающими в естественно-математический лицей г. Вологды и показали свою эффективность. Поэтому и для поступающих в ВПГУ на отделение прикладной математики был введен устный экзамен по математике, на котором экзаменаторы старались оценить не столько знания абитуриентов, сколько их потенциальные возможности. Материалом для таких бесед служили задачи, требовавшие нестандартных подходов.

Таким образом, имеются все основания считать, что источником математических способностей является социокультурный опыт. Именно в процессе накопления социокультурного опыта формируются логические, алгоритмические, комбинаторные и образно-геометрические структуры (схемы), которые обеспечивают линию качественных изменений в функционировании интеллекта. Все эти структуры обладают универсальностью и имеют большое значение не только для

обучения, но и для математического творчества. Задачи соответствующих типов (логические, алгоритмические, комбинаторные, образно-геометрические) являются наилучшим средством как для развития математических способностей школьников младших и средних классов, так и для их диагностики. В более старшем возрасте круг таких нестандартных задач может быть расширен.

Библиография

1 Аверьянов А.Н. Системное познание мира. -М.: Госполитиздат, 1985.

2 Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. -М.: Советское радио, 1970.

3 Айзенк Г. Дж. Узнай свой собственный коэффициент интеллекта. -М: "Ай кью". 1996.

4 Александров А.Д. Математика и диалектика. // Математика в школе, 1972, № 1. -С. 3-9.

5 Александров А.Д. О геометрии. // Математика в школе, 1980, №3. -С. 56-62.

6 Александров А.Д. О понятии множества в курсе геометрии. //Математика в школе, 1984, № 1. -С 47-52.

7 Арнольд В.И. Жесткие и мягкие математические модели. Доклад на научно-практическом семинаре "Аналитика в государственных учреждениях" при администрации Президента РФ. -М., 1997.

8 Архангельский С.И. Некоторые проблемы обучения в высшей школе. -М.: Знание. 1978.

9 Асмолов А.Г., Ягодин Г.А. Образование как расширение возможностей развития личности (от

диагностики отбора к диагностике развития). //Вопросы психологии, 1992, № 1. -С. 6-13.

10 Атаханов Р.А. К диагностике развития математического мышления. // Вопросы психологии, 1992, № 1-2.-С. 60-67.

11 Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения. (Общедидактический аспект). -М.: Педагогика, 1977.

12 Башмаков М.И. Определение основных понятий анализа в школьном курсе математики. //Математика в школе, 1988, №3.-С. 41-44.

13 Бет Э. Размышления об организации и методе преподавания математики. // Преподавание математики. -М.: Учпедгиз, 1960. -С. 31-40.

14 Блауберг И.В., Юдин Э.Г. Становление и сущность системного подхода.-М.: Наука, 1973.

15 Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959.

16 Бодалев А.А., Ломов Б.Ф., Матюшкин А.М. Психологическая наука - реформе школы. // Вопросы психологии, 1984, № 3. -С. 12-14.

17 Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я., Яглом И.М. О содержании курса математики в средней школе. // Математическое просвещение, 1959, № 4. -С. 131-143.

18 Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д., Черкасов Р.С. К вопросу о перестройке общего математического образования. //Повышение эффективности обучения математике в школе. Книга для учителя. Сост. Г.Д. Глейзер. -М.: Просвещение, 1989. -С. 231-238.

19 Борель Э. Как согласовать преподавание в школе с прогрессом науки. //Математическое просвещение, 1958, №3.-С. 89-100.

20 Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. -М.: Учпедгиз, 1954.

21 Брунер Дж. Процесс обучения. -М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962.

22 Бурбаки Н. Архитектура математики. // Очерки по истории математики. -М.: ИЛ, 1965. -С. 245-259.

23 Вейль Г. О философии математики. Сборник работ. -М.-Л.: Гостехиздат, 1934.

24 Виленкин Н.Я.. Мордкович А.Г. Подготовку учителя математики на уровень современных требований. // Математика в школе, 1986, № 6. -С. 6-10.

25 Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты. //Математика в школе, 1988, № 4. -С. 7-14.

26 Власов А.К. О чисто-геометрических методах. //Математический сборник, 1911, T. XXVI11, Вып. 1. -С. 188-194.

27 Волович М.В. Математика без перегрузок. -М.: Педагогика, 1991.

28 Выготский Л.С. Собрание сочинений. Т.2. -М.: Изд-во АПН РСФСР, 1956.

29 Гарднер Мартин. Есть идея! -М.: Мир, 1982.

30 Гаттеньо К. Педагогика математики. //Преподавание математики. -М.: Учпедгиз, 1960. -С. 116-154.

31 Гингулис Э.Ж. Развитие математических способностей учащихся. // Математика в школе, 1990, № 1.-С. 14-17.

32 Гладкий А.В. Об уровне математической культуры выпускников средней школы. //Математика в школе, 1990, №4. -С. 7-9.

33 Глейзер Г.Д. Методы формирования и развития пространственных представлений взрослых в процессе обучения геометрии в школе. Дисс. ... д-ра пед. наук. -М, 1984.

34 Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии. //Математика в школе, 1991, № 4. -С. 68-71.

35 Глейзер Г.Д. Феликс Клейн о реформировании математического образования. //Газета "Математика", 1998, №5.

36 Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. -М.: Просвещение, 1985.

37 Гнеденко Б.В. На уровне XIX века. Учительская газета, 1962. 21 июня.

38 Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. -М.: Педагогика, 1987.

39 Губа С.Г. Варьирование задач на доказательство как средство активизации математической деятельности учащихся и развития у них интереса к предмету. Автореферат дисс. ... кан-та пед. наук. Ярославль, 1972.

40 Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе. Дисс. ... д-ра. пед. наук. -М., 1990.

41 Гусев В.А. Как помочь ученику полюбить математику ? Часть 1. -М.: Авангард, 1994.

42 Гусев В.А. Методика преподавания курса "Геометрия 6-9". Ч. 1. -М.: Авангард, 1995.

43 Гусев В.А., Силаев Е.В. Методические основы дифференциации обучения математике в средней школе.-М.: МПГУ, 1996.

44 Гусев В.А. Новый экспериментальный курс геометрии. // Математическое образование: традиции и современность. Тезисы федеральной научно-практической конференции. Нижний Новгород, 1997. -С. 98-101.

45 Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. -М.: Педагогика, 1986.

46 Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. -М.: 1996.

47 Далингер В.А. Внутрипредметные связи как методическая основа совершенствования процесса обучения математике в школе. Дисс. ... док-ра пед. наук. -Омск, 1992.

48 Дорофеев Г.В Строгость определения. // Математика в школе, 1984, № 3. -С. 56-60.

49 Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования. // Математика в школе, 1990, № 6. -С. 2-5.

50 Дорофеев Г.В. Гуманитарно ориентированный курс - основа учебного предмета "математика" в общеобразовательной школе. //Математика в школе, 1997, №4. -С. 59-66.

51 Дьедонне Ж. Абстракция в математике и эволюция алгебры. //Преподавание математики. -М.: Учпедгиз, 1960. -С. 41-53.

52 Дьедонне Ж. Надо ли учить "современной" математике? //Математика в школе, 1976, № 1. -С. 88-91.

53 Епишева О.Б. Деятельностный подход как основа технологии развивающего обучения математике. //Содержание, методы и формы развивающего обучения математике в школе и вузе. Тезисы докладов

межрегиональной научно-практической конференции. Орехово-Зуево, 1995. -С. 14-16.

54 Ершов А.П. Компьютеризация школы и математическое образование. //Математика в школе, 1989, № 1.-С. 14-31.

55 Зайкин М.И. Тренинговая служба в системе математического образования школьников. //Математическое образование: традиции и современность. Тезисы федеральной научно-практической конференции. Нижний Новгород, 1997. С. 38-40.

56 Зак А.З. Как определить уровень развития мышления школьников. -М.: Знание, 1982.

57 Ительсон Л.Б. Психологические основы обучения. -М.: Знание, 1978.

58 Каплунович И.Я. О некоторых принципах формирования структуры пространственного мышления. // Структуры познавательной деятельности. Владимир, 1989. -С. 96-107.

59 Каплунович И.Я. Психологические закономерности генезиса математического мышления. //Математика в вузе и школе: обучение и развитие. Тезисы 16 Всероссийского семинара преподавателей математики и методики ее преподавания. Новгород, 1997. -С. 106-107.

60 Клаус Г. Введение в дифференциальную психологию учения. -М.: Педагогика, 1987.

61 Клацки Р. Память человека. Структуры и процессы. -М.: Мир, 1978.

62 Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1, -М.: Наука, 1987.

63 Колмогоров А.Н., Яглом И.М. О содержании школьного курса математики. //Математика в школе, 1965, №4. -С. 53-62.

64 Колмогоров А.Н. Введение к статье С.Б. Суворовой. //Математика в школе, 1966, № 4. -С. 23.

65 Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современной школе. // Математика в школе, 1971, №6. -С. 2-3.

66 Колмогоров А.Н. Замечания о понятии множества в школьном курсе математики. //Математика в школе, 1984, № 1.-С. 52-53.

67 Колмогоров А.Н. Математика - наука и профессия. -М.: Наука, 1988.

68 Колмогоров А.Н. К обсуждению работы по проблеме "Перспективы развития советской школы на ближайшие тридцать лет". //Математика в школе, 1990, №5.-С. 59-61.

69 Колягин Ю.М. К вопросу о реформе математического образования и новой постановке преподавания арифметики в советской школе. Дисс. ... канд. пед. наук. -М.: 1963.

70 Колягин Ю.М., Копылов В.С., Шепетов В.С.Опыт применения задач как средства диагностики развития математического мышления учащихся. // Изучение возможностей школьников в усвоении математики. Сб. научн. трудов. -М.: 1977. -С. 66-75.

71 Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. 4.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. -М.: Просвещение, 1977.

72 Коменский Я.А. Избранные педагогические сочинения. Т.1. -М.: Педагогика, 1982.

73 Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. -М.: Просвещение, 1968.

74 Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. -М: Наука, 1980.

75 Кузьмин И.А. Социокультурный системный подход к истокам в образовании. // Перекрестки эпох. 4.1. -М: Технологическая школа бизнеса, 1997. - С. 50-71.

76 Куписевич Ч. Основы общей дидактики. -М.: Педагогика, 1986.

77 Лакатос И. Доказательства и опровержения. -М: Наука, 1967.

78 Левитас Г.Г. "Введение в геометрию". //Математика в школе, 1990, № 6. -С. 21-22.

79 Леднев В.С. Содержание образования: сущность, структура, перспективы. -М.: Высшая школа, 1991.

80 Лернер И.Я. Качества знаний учащихся. Какими они должны быть? -М.: 1979.

81 Лихнерович А. Проникновение духа современной алгебры в элементарную алгебру и геометрию. //Преподавание математики. -М.: Учпедгиз, 1960. -С. 54-64.

82 Лященко Е.И. К вопросу о системно-структурном подходе в определении содержания предмета математики 4-5 классов. // Системно-структурный подход к определению содержания предмета математики. Сб. научн. трудов. -Минск, НИИ педагогики БССР, 1975. -С.5-53.

83 Манин Ю.И. Математика и физика. -М.: Знание, 1979.

84 Маркушевич А.И. На XIX Международной конференции по народному просвещению. //Математическое просвещение, № 1, -М.: 1957. -С. 9-22.

85 Маркушевич А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе. // Математика в школе, 1962, №2. -С. 3-14.

86 Маркушевич А.И. К вопросу о реформе школьного курса математики. // Математика в школе, 1964, № 6. -С. 4-8

87 Маркушевич А.И. Математическая наука и школьное образование. //Советская педагогика, 1965, № 5. -С. 43-44.

88 Маркушевич А.И. О повышении идейно-теоретического уровня преподавания математики в средней школе. // На путях обновления школьного курса математики. Сб. статей и материалов. М.: Просвещение, 1978. - С. 13-20.

89 Маркушевич А.И. О школьной математике. // Математика в школе, 1979, № 4. -С. 11-16.

90 Медведева О.С. Решение задач комбинаторного характера как средство развития мышления учащихся 5-6 классов. Дисс. .. канд. пед. наук. -М.: 1990.

91 Медников Л.Э. Аксиоматический подход к понятию предела. //Научно-методическая конференция преподавателей математических кафедр. Тезисы докладов. Киров, 1990. -С. 74.

92 Мемерандум американских математиков. //На путях обновления школьного курса математики. Сб. статей и материалов. -М.: Просвещение, 1976. -С. 207-210.

93 Метельский Н.В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. -Минск.: Вышейшая школа, 1977.

94 Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. В.А. Оганесян, Ю.М.

Колягин, Г. Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. -М.: Просвещение, 1980.

95 Мехтиев М.Г. Некоторые суждения о проблеме обучения геометрии в школе. //Математика в школе, 1994, №2. с. 40-42.

96 Михелович Ш.Х. Теоретико-числовые вопросы в школьном курсе математики. Дисс. ... канд. пед. наук. T. 1.-М.: 1968.

97 Монахов В.М., Демидович Н.Б., Червочкина Л.П. Формирование алгоритмической культуры школьника при обучении математике. -М.: 1978.

98 Морделл Л. Размышления математика. -М.: Знание, 1971.

99 Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте. Дисс. ... д-ра пед. наук. -М.: 1986.

100 Мордкович А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры. //Математика в школе, 1996, № 6. -С. 28-33.

101 Мордкович А.Г. Курс алгебры в общеобразовательной школе. //Газета "Математика", 1997, № 44.

102 Мышкис А.Д. О прикладной направленности школьного курса элементов математического анализа. //Математика в школе, 1990, № 6. -С. 7-11.

103 Найссер У. Познание и реальность. М.: Прогресс, 1981.

104 Насыбуллина А.К. Методика выявления параметров математических способностей учащихся при обучении математике в неполной средней школе. Дисс. ... канд. пед. наук. -М., 1993.

105 Неванлинна Р. Реформа в преподавании математики. //На путях обновления школьного курса математики. Сб. статей и материалов. -М.: Просвещение, 1976. -С. 228-241.

106 Нешков К.И. Некоторые проблемы преемственности при обучении математике. //Преемственность в обучении математике. -М.: Просвещение, 1978. -С. 13-23.

107 Норман Д. Память и научение. -М: Мир, 1985.

108 Обучение и развитие. Экспериментально-педагогическое исследование под ред. Л.В.Занкова. -М.: Педагогика, 1975.

109 Оганесян В.А. Научные принципы отбора основного содержания обучения математике в средней школе. Дисс. ... д-ра пед. наук. -Ереван, 1984.

110 Оконь В. Введение в общую дидактику. -М.: Высшая школа, 1990.

111 Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления. В книге "Преподавание математики". М. Учпедгиз, 1960.

112 Пиаже Ж. Избранные психологические труды. -М.: Международная педагогическая академия, 1994.

113 Пономарев Я.А. Развитие внутреннего плана действий в процессе обучения. //В кн. "Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы)". Под ред. Д.Б.Эльконина, В.В.Давыдова. -М.: Просвещение, 1966. -С. 395-441.

114 Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. -М.: Просвещение, 1975.

115 Программа по математике для 5-7-х классов с углубленным изучением предмета. Под ред. В.А. Тестова. Вологда, ИПЦ ИПКиППК, 1993.

116 Пуанкаре Анри. О науке. -М: Наука, 1983.

117 Пышкало А.М. Методические аспекты проблемы преемственности в изучении математики. //Преемственность в обучении математике. -М.: Просвещение, 1978. -С. 3-12.

118 Радьков А.М. Научные основы тестирования в системе непрерывного обучения математике. Автореф. дисс. ... д-ра пед. наук. -Минск, 1996.

119 Резник Н.А. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием средств развития визуального мышления. Дисс. ... д-ра пед. наук. С.-Пб. 1997.

120 Розов М.А. Научная абстракция и ее виды. -Новосибирск.: Наука, 1965.

121 Розов Н.Х. Дифференцированное обучение и проблема формирования "базисов в пространстве задач". // Математическое образование: традиции и современность. Тезисы федеральной научно-практической конференции. Нижний Новгород, 1997. -С. 36-38.

122 Рубинштейн С.Л. Проблемы общей психологии. -М.: Педагогика, 1976.

123 Рузавин Г.И. Новый структурный подход к математике и некоторые проблемы ее методологии. // Закономерности развития современной математики. -М.: Наука, 1987.-С. 157-164.

124 Саранцев Г.И. Теория и методика обучения математике: состояние, проблемы. // Математическое образование: традиции и современность. Тезисы федеральной научно-практической конференции. Н. Новгород, 1997. С. 6-7.

125 Скаткин М.Н. Принципы обучения. // Дидактика средней школы. Под ред. М.Н. Скаткина. -М.: Просвещение, 1982. -С. 48-89.

126 Слепкань З.И. Методическая система реализации развивающей функции обучения математике в средней школе. Дисс. ... д-ра пед. наук. -М.? 1987.

127 Соболев СЛ. Судить по конечному результату. //Математика в школе, 1984, № 1. -С. 15-19.

128 Солсо Роберт Л. Когнитивная психология. -М.: Изд-во "Тривола", 1996.

129 Спенсер Г. Воспитание умственное, нравственное и физическое. // Хрестоматия по истории педагогики. Т.2., ч.1. -М.: Учпедгиз, 1940. -С. 435-477.

130 Столяр А.А. Логические проблемы преподавания математики. Дисс. ... д-ра пед. наук. -Могилев, 1968.

131 Столяр А.А. Педагогика математики. Минск, Вышейшая школа, 1969.

132 Столяр А.А. Роль математики в гуманизации образования. //Математика в школе, 1990. № 6. -С. 5-7.

133 Стюарт Ян. Концепции современной математики. Минск, Вышейшая школа, 1980.

134 Теплов Б.М. Избранные труды. -М.: Педагогика. Т.1. 1985.

135 Тестов В.А. Порядковые структуры в алгебре и теории чисел. -М.: МПГУ, 1997.

136 Тихомиров О.К. Психология мышления. Учебное пособие. -М.: Изд-во МГУ, 1984.

137 Том Р. Современная математика - существует ли она? // Математика в школе, 1975, № 1. -С. 89-93.

138 Формирование приемов математического мышления. Под ред. Талызиной Н.Ф.; -М.: МГУ, ТОО "Вентана-Граф", 1995.

139 Фридман А.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. -М.: Просвещение, 1983.

140 Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. -М.: Просвещение, ч. 1, 1982; ч. 2, 1983.

141 Хамов Г.Г. Методическая система обучения алгебре и теории чисел в педвузе с точки зрения профессионально-педагогического подхода. Дисс. ... д-ра пед. наук. -С.-П.: 1994.

142 Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики. // Повышение эффективности обучения математике в школе. Книга для учителя. Сост. Г.Д. Глейзер. -М.: Просвещение, 1989. -С. 18-37.

143 Хинчин А.Я. Основные понятия математики в средней школе. // Вопросы преподавания математики в средней школе. Сборник статей. -М.: Учпедгиз, 1961. -С. 54-87.

144 Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. - Томск: Изд-во Том. ун-та. М. : Изд-во "Барс". 1997.

145 Хоффман И. Активная память. -М.: Прогресс, 1986.

146 Черкасов Р.С. История отечественного школьного математического образования. // Математика в школе, 1997, №2, 3,4.

147 Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение. (Психологические основы развивающего обучения). -М.: АО "Столетие", 1995.

148 Шабунин М.И. Научно-методические основы углубленной математической подготовки учащихся средних школ и студентов вузов. Дисс. ... д-ра пед. наук. -М.: 1994.

149 Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для учащихся V-V1 классов. -М: Мирос, 1992.

150 Шварцбурд СИ. О развитии интересов, склонностей и способностей учащихся к математике. //Математика в школе, 1964, № 6.

151 Шведел А., Стоунбернер Р. Поиск и выявление одаренных детей. В книге "Одаренные дети". -М.: Прогресс, 1991. - С. 169-204.

152 Щадриков В.Д. Деятельность и способности. -М.: Изд. корпорации "Логос", 1994.

153 Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Обучение математике в школе. Укрупнение дидактических единиц. Книга для учителя. -М.: Столетие, 1996.

154 Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирование. -М.: Советское радио, 1980.

155 Якиманская И.С. Развивающее обучение. -М.: Педагогика, 1979. -

156 Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. -М.: Педагогика, 1980.

157 Choquet G. La droite numérique propriétés topologiques fondamentales. //Structures algébriques et structures topologiques. Press Universitaites de France. Paris, 1958, p. 101-115.

158 Hiele Van P.-H. La pensée de l' enfant et la géométrie. Bulletin de L' АРМ, 1959, 198.

159 Wilder R.L. Mathematics as a Cultural System. Oxford, 1981.

Оглавление

Введение..............................................................................5

Глава 1. Математические структуры - основа стратегии отбора содержания обучения математике 10

1.1. Понятие структуры и системный подход в современной науке...........................................................11

1.2. Математические структуры в понимании Н. Бурбаки..............................................................................16

1.3. Математические структуры с системных позиций..............................................................................22

1.4. Структуры математического мышления в теории Ж. Пиаже..............................................................28

1.5. Реформа математического образования 60-70-х годов...............................................................................35

1.6. Недостатки в стратегии обучения, проявившиеся в ходе реформы 60-70-х годов...............45

Глава 2. Психологические основы стратегии обучения математике.........52

2.1. Мышление как преобразование информации.......52

2.2. Понятие о когнитивных структурах......................56

2.3. Основные законы развития структур.....................63

2.4. Законы развития структур в принципах развивающего обучения..................................................69

2.5. Понятие о схемах математического мышления ...79

2.6. Основные виды схем математического мышления..........................................................................84

Глава 3. Стратегия построения математических курсов..............................93

3.1. Принцип генерализации знаний............................96

3.2. Принцип взаимосвязанности знаний.....................105

3.3. Принцип научности и доступности обучения......111

3.4. Принцип систематичности и последовательности.........................................................123

Глава 4. Стратегия преемственности в обучении математике.....................129

4.1. Единство непрерывности и дискретности обучения............................................................................129

4.2. Преемственность как общепедагогический принцип.............................................................................131

4.3. Повторение в математических курсах...................135

4.4. Упражнения в математических курсах..................141

4.5. Значение пропедевтики в математических курсах.................................................................................145

4.6. Преемственность между средней школой и вузом..................................................................................152

Глава 5. Стратегия поэтапного обучения математике.................................165

5.1. Поэтапность формирования знаний как общедидактический принцип..........................................165

5.2. Уровни сформированности математических структур.............................................................................172

5.3. Этапы формирования математических схем мышления..........................................................................178

5.4. Этапы формирования теоретико-множественных понятий.................................................187

5.5. Этапы формирования порядковых структур.........193

5.6. Этапы формирования алгебраических структур.............................................................................200

5.7. Специфичность этапов формирования топологических структур.................................................207

Глава 6. Стратегия обучения на социокультурном опыте........................216

6.1. Принцип практической направленности обучения............................................................................217

6.2. Принцип гуманитарной направленности обучения............................................................................222

6.3. Математика как язык науки....................................231

6.4. Принцип историзма в обучении математике........236

Глава 7. Социокультурный опыт - источник развития математических способностей ...240

7.1. Умственное развитие и познавательные способности......................................................................242

7.2. Общие и специальные способности, их задатки...............................................................................247

7.3. Математические способности и развитие математического мышления............................................252

7.4. Диагностика математических способностей........270

Библиография...........................................................285

Владимир Афанасьевич ТЕСТОВ

СТРАТЕГИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Учебное издание

Редактор И.А.Кузьмин Оригинал-макет П.М.Смирнов Технический редактор Е.Р.Исламова Корректор Л.В.Зеленина Художник В.Ю.Яковлев

Издательство «Технологическая Школа Бизнеса» 105215 Россия, Москва, ул.5-я Парковая, 60 ЛР№ 060876 от 11.04.97

Подписано в печать 05.05.99.Формат 70х90 Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 11,7. Усл.печ.л. 11,1. Тираж 1500 экз. Заказ 4599

Отпечатано в ПФ «Полиграфист» г.Вологда, ул.Челюскинцев,3

СОЦИОКУЛЬТУРНЫЕ ИСТОКИ

«ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ ШКОЛА БИЗНЕСА»