С. И. Шохоръ-Троцкій.

МЕТОДИКА АРИѲМЕТИКИ

ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ НАЧАЛЬНЫХЪ ШКОЛЪ,

въ двухъ частяхъ.

Изданіе 8-е.

ЗАНОВО ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ЗНАЧИТЕЛЬНО ДОПОЛНЕННОЕ

(съ иллюстраціями и чертежами въ текстъ).

ЧАСТЬ II.

АРИѲМЕТИКА ПИСЬМЕННАГО ПРОИЗВОДСТВА ЧЕТЫРЕХЪ ДѢЙСТВІЙ И ИХЪ ПРИМѢНЕНІЙ.

Изд. Т-ва И. Д. Сытина.

Цѣна 1 руб. 80 к.

Вышла въ свѣтъ 9-мъ изданіемъ

ТАБЛИЦА ШОХОРЪ-ТРОЦКАГО ДЛЯ КЛАССНЫХЪ УПРАЖНЕНІЙ ВЪ ИЗУСТНЫХЪ ВЫЧИСЛЕНІЯХЪ

Въ 1/10 натуральной величины.

Вышла въ свѣтъ

Шохоръ-Троцкаго

Таблица произведеній двухъ однозначныхъ чиселъ.

Цѣна 12 коп.

МЕТОДИКА АРИѲМЕТИКИ.

Книгоиздательство

Т-во И. Д. Сытина.

Новыя книги и пособія С. И. Шохоръ-Троцкаго

ДЛЯ НАЧАЛЬНЫХЪ ШКОЛЪ:

1) НОВЫЙ АРИѲМЕТИЧЕСКІЙ ЗАДАЧНИКЪ Шохоръ-Троцкаго ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ начальныхъ школъ, съ иллюстраціями и чертежами въ текстѣ. Стр. XX+544. Ц. 1 руб. 50 коп.

Примѣчаніе. Къ этой книгѣ приноровленъ того же автора «Новый ариѳметическій задачникъ для учениковъ начальныхъ школъ, въ четырехъ частяхъ».—Въ книгу, сверхъ обычно практикуемаго въ начальныхъ школахъ матеріала, вошли нѣк. необязательныя упражненія въ примѣненіи простѣйшихъ пріемовъ такъ наз. ,,лабораторной, методы рисованія, черченія, землемѣрія и рѣшенія уравненій.

2) МЕТОДИКА АРИѲМЕТИКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ начальныхъ школъ. Въ двухъ частяхъ. Изданіе 8-е, заново переработанное и значительно дополненное, съ иллюстраціями и чертежами въ текстѣ.

Часть I. Ариѳметика изустныхъ вычисленій, преимущественно надъ числами первой сотни. Стр. VIII+316. Цѣна 1 р. 10 к.

Часть II. Ариѳметика письменнаго производства дѣйствій и ихъ примѣненій. Стр. VIII+501. Цѣна 1 руб. 50 коп.

3) НОВЫЙ АРИѲМЕТИЧЕСКІЙ ЗАДАЧНИКЪ Шохоръ-Троцкаго ДЛЯ УЧЕНИКОВЪ начальныхъ ШКОЛЪ (въ четырехъ частяхъ), съ иллюстраціями и чертежами въ текстѣ.

Часть I. Ариѳметика чиселъ первыхъ двухъ десятковъ. Цѣна 15 коп.

Часть II. Ариѳметика чиселъ первой сотни.Цѣна 20 коп.

Часть III. Ариѳметика письменнаго производства четырехъ дѣйствій. Цѣна 25 коп.

Часть IV. Повторительный и дополнительный матеріалъ. Цѣна 20 коп.

4) Таблица Шохоръ-Троцкаго для классныхъ упражненій въ изустныхъ вычисленіяхъ. Изд. 9-е. Ц. 10 к.

5) Наглядная таблица соотношеній нѣкоторыхъ мѣръ протяженія. Составилъ С. И. Шохоръ-Троцкій. Изд. 2-е, улучшенное. Цѣна 40 коп. (См. стр. 2-ю обложки.)

6) Таблица произведеній двухъ однозначныхъ чиселъ. Цѣна 12 коп.

7) Сравнительная таблица малыхъ мѣръ длины. Цѣна 15 коп.

С. И. ШОХОРЪ-ТРОЦКІЙ.

МЕТОДИКА АРИѲМЕТИКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ НАЧАЛЬНЫХЪ ШКОЛЪ,

въ двухъ частяхъ.

Изданіе 8-e,

заново переработанное и значительно дополненное,

съ иллюстраціями и чертежами въ текстѣ.

ЧАСТЬ II.

АРИѲМЕТИКА ПИСЬМЕННАГО ПРОИЗВОДСТВА ЧЕТЫРЕХЪ ДѢЙСТВІЙ И ИХЪ ПРИМѢНЕНІЙ.

Изданіе Т-ва И. Д. Сытина.

Типографія Т-ва И. Д. Сытина. Пятницкая ул., соб. домъ.

МОСКВА.-1916.

ПРЕДИСЛОВІЕ.

Основные взгляды и точки зрѣнія, которыми авторъ этой книги руководился при изготовленіи этого изданія «Методики ариѳметики для учителей начальныхъ школъ» къ печати, выяснены въ предисловіи и въ первыхъ двухъ главахъ первой части ея. Въ теченіе многихъ лѣтъ, и особенно—тѣхъ 12-ти лѣтъ, которыя прошли со времени появленія въ свѣтъ послѣдняго изданія этой книги, распроданнаго уже лѣтъ шесть тому назадъ, авторъ ея работалъ и надъ тѣми вопросами, которые выдвинуты (особенно въ началѣ вѣка) также зарубежными сторонниками коренной реформы обученія математикѣ. Отмѣчу главныя особенности, которыми эта часть книги отличается отъ соотвѣтствующей части предыдущаго изданія.

Прежде всего можно отмѣтить, что методика обученія способамъ производства («алгориѳмамъ») четырехъ дѣйствій разработана здѣсь подробнѣе, чѣмъ въ предыдущихъ изданіяхъ. Особенно приняты во вниманіе средства, съ помощью которыхъ можно повысить внутренній интересъ учащихся къ этимъ способамъ. Далѣе, съ большею подробностью разсмотрѣны вопросы, относящіеся до логическаго обоснованія четырехъ дѣйствій. Они, конечно, важны не для учащихся, которымъ эта область не доступна, а для учителя, желающаго, какъ слѣдуетъ, учить малолѣтнихъ ариѳметикѣ и вообще начальной математикѣ. Сверхъ того, въ эту часть книги вошли: а) освѣщеніе вопроса о примѣненіи уравненій къ рѣшенію задачъ нѣкоторыхъ родовъ, и б) методика дополненій въ области начальной геометріи и примитивнаго землемѣрія. Приняты во вниманіе также требованія такъ назыв. «лабораторной» методы обученія математикѣ.

Автору, конечно, извѣстно, сколь неблагопріятны условія обученія въ русской начальной школѣ для внесенія въ курсъ ариѳметики также способа уравненій при рѣшеніи множества задачъ, обыкновенно входящихъ въ составъ этого курса. Но ему также извѣстно, что для учителей и учительницъ этотъ способъ весьма нуженъ. Къ сожалѣнію, многіе изъ нихъ часто считаютъ, что для усвоенія способа рѣ-

шенія задачъ этого рода съ помощью уравненій необходимо предварительно овладѣть полнымъ курсомъ алгебры. Къ счастію, это—не такъ.

Вотъ что по поводу уравненій говоритъ авторитетный англійскій ученый Оливеръ Лоджъ:

«Многія задачи ариѳметическаго содержанія лучше всего рѣшаются съ самаго начала посредствомъ зачаточной (рудиментарной) алгебры, т.-е. посредствомъ введенія буквы для обозначенія неизвѣстной величины, надъ которой можно легко оперировать. Не слѣдуетъ бояться введенія икса для обозначенія неизвѣстной величины и оперированія надъ нимъ, даже на самыхъ первыхъ порахъ, ибо при этомъ всѣ разсужденія только выигрываютъ въ ясности, и задачи рѣшаются легче... Букву X слѣдуетъ себѣ представлять чѣмъ-то вродѣ костыля. Иногда же онъ является тѣмъ же, чѣмъ шестъ для туристовъ, дающій имъ возможность взбираться на высоты, которыя иначе были бы для нихъ недоступны».

Джонъ Перри по тому же поводу высказывается такъ:

«Элементарная алгебра представляется трудной исключительно только благодаря общепринятому способу ея изученія... Запугайте мальчика разсказами о привидѣніяхъ, и самыя простыя вещи ему покажутся таинственными и будутъ ему внушать страхъ... Я бы далъ мальчику съ самаго начала рѣшать простѣйшія уравненія въ видѣ задачъ, которыя рѣшаются съ ихъ помощью... Я знаю, что всякій заурядный мальчикъ быстро понимаетъ и легко изучаетъ простыя уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ х, а также съ двумя неизвѣстными х и y, равно какъ и задачи, приводящія къ этимъ уравненіямъ».

Пусть эти взгляды несправедливы относительно малолѣтнихъ учащихся въ русскихъ начальныхъ школахъ. Но относительно взрослыхъ учащихъ они совершенно справедливы. Для удовлетворенія потребностямъ тѣхъ учителей, которые пожелали бы (хотя бы только для своего самообразованія),— а такихъ учителей и учительницъ много на Руси, — освоиться со способами рѣшенія задачъ извѣстныхъ родовъ съ помощью уравненій и съ методикой этого вопроса, авторъ этой книги посвятилъ этимъ вопросамъ заслуживаемое

ими вниманіе. Польза полнаго уясненія себѣ этихъ способовъ для учителей сводится главнымъ образомъ къ слѣдующему: а) благодаря имъ, устанавливаются вѣрные взгляды на задачи алгебраическаго характера, и б) учащій, усвоившій себѣ эти способы, пріобрѣтаетъ надъ задачами упомянутаго характера полную власть, — что, безъ сомнѣнія, для учителя прямо необходимо.

Что касается элементовъ геометріи и примитивнаго землемѣрія съ помощью, большей частью, самодѣльныхъ моделей и приборовъ, то эти элементы въ XX вѣкѣ необходимы въ русской начальной школѣ въ виду все возрастающихъ у насъ требованій культуры. То время, когда въ курсъ начальной школы будутъ внесены начальная геометрія и начатки землемѣрія, наступитъ, можетъ-быть, еще не такъ скоро. Но это отнюдь не должно препятствовать попутному внесенію, съ методическими, образовательными и практическими цѣлями, въ курсъ начальной школы нѣкоторыхъ элементовъ изъ этихъ областей.

Объемъ книги, несмотря на то, что многое въ ней напечатано болѣе мелкимъ шрифтомъ, увеличился противъ объема той же книги въ 7-мъ изданіи болѣе, чѣмъ въ 21/2 раза.

Взгляды и чаянія, руководившіе мною въ этой книгѣ, посильно осуществлены мною въ двухъ учебныхъ пособіяхъ: въ моемъ «Новомъ задачникѣ для учителей начальныхъ школъ» (М. 1914) и въ «Новомъ задачникѣ для учениковъ нач. школъ, въ 4-хъ частяхъ» (М. 1914 и 1915).

Въ заключеніе выражаю сердечную благодарность В. И. Синакевичу и М. М. Фихтенгольцу за многообразную помощь, оказанную ими мнѣ при составленіи этой и др. книгъ моихъ.

Считаю своимъ долгомъ выразить свою искреннюю признательность также Книгоиздательству Т-ва И. Д. Сытина и директору Книгоиздательства И. Д. Сытину, за то, что они пошли на-встрѣчу моему желанію выпустить въ свѣтъ заново переработанными изданіями давно уже распроданныя книги мои. Приношу искреннюю благодарность также управляющему типографіей упомянутаго Товарищества, Н. И. Сытину, за то вниманіе, съ которымъ онъ относился къ внѣшности и техническому осуществленію изданій моихъ книгъ и пособій.

С. Шохоръ-Троцкій. Петроградъ. Нижегородская, 23А.

Декабрь 1915 г.

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Стр.

Глава I. Ступени ариѳметики письменныхъ вычисленій и характеръ курса.............................................................. 1

Глава II. Письменное производство сложенія и вычитанія многозначныхъ чиселъ............................................................ 10

Глава III. Письменное производство умноженія и дѣленія многозначныхъ чиселъ................................................... 34

Глава IV. Составныя именованныя числа и дроби (обыкновенныя и десятичныя) ........................................................109

Глава V. Систематизація ариѳметическихъ понятій въ курсѣ ариѳметики цѣлыхъ чиселъ.....................................................171

Глава VI. Систематизація и дополнительный отдѣлъ въ области ученія о дробяхъ.........................................................230

Глава VII. Нѣкоторые случаи взаимной зависимости величинъ въ ариѳметикѣ ...........................................................294

Глваа VIII. Задачи алгебраическаго характера.....................353

Глава IX. Дополнительный матеріалъ въ области начальной геометріи и начальнаго землемѣрія....................................415

Глава X. О сложныхъ чисто-ариѳметическихъ задачахъ...............437

Глава XI. Нѣкоторыя частные вопросы обученія ариѳметикѣ..........462

Алфавитный указатель.......................................... . 491

ГЛАВА I.

Ступени ариѳметики письменныхъ вычисленій и характеръ курса.

Характеристика ариѳметики изустнаго производства дѣйствій.

§ 1. Ариѳметика изустнаго производства дѣйствій надъ числами имѣетъ дѣло преимущественно съ числами первой сотни. Ей посвящена первая часть этой книги. Записываются, при этомъ производствѣ дѣйствій, если нужно, только данныя числа, знакъ дѣйствія, знакъ равенства и результатъ дѣйствія. Такъ же производятся нѣкоторыя дѣйствія надъ числами трехзначными и даже многозначными, когда для этихъ дѣйствій не требуется ничего, кромѣ знанія двухъ данныхъ чиселъ и умѣнія справляться съ числами первой сотни. Къ разнымъ ступенямъ этого курса отнесено и ознакомленіе дѣтей съ простѣйшими дробями и съ нумераціей чиселъ, большихъ ста. Главная цѣль курса ариѳметики чиселъ первой сотни заключается, во-первыхъ, въ томъ, чтобы учащіеся уяснили себѣ самый смыслъ четырехъ дѣйствій, во-вторыхъ, въ томъ, чтобы они совершенно освоились съ таблицами сложенія, вычитанія, умноженія и дѣленія, наконецъ, въ-третьихъ, въ томъ, чтобы они научились пользоваться этими таблицами для изустнаго производства дѣйствій.

Ступени курса ариѳметики письменнаго производства дѣйствій.

§ 2. Ариѳметика письменнаго производства дѣйствій надъ числами распадается, приблизительно, на слѣдующія двѣнадцать ступеней (нумерація ступеней приведена въ согласіе съ нумераціей ступеней курса изустной ариѳметики), начиная съ двадцать девятой: 29) нумерація многозначныхъ чиселъ первыхъ двухъ или трехъ классовъ, по десятичной системѣ счисленія; 30) письменное производство сложенія и вычитанія многозначныхъ чиселъ; 31) умноженіе многозначнаго числа на однозначное и однозначнаго на многозначное; 32) дѣ-

леніе многозначныхъ чиселъ па числа перваго десятка; 33) письменное производство умноженія многозначнаго числа на однозначное число единицъ высшаго разряда; 34) умноженіе многозначнаго числа на любое многозначное же число; 35) раздробленіе именованныхъ чиселъ; 36) дѣленіе многозначныхъ чиселъ на однозначное число единицъ высшаго разряда; 37) дѣленіе на закруглимое многозначное число; 38) дѣленіе на число не закруглимое; 39) превращеніе именованныхъ чиселъ и дѣйствія надъ составными именованными числами и, наконецъ, 40) нѣкоторыя примѣненія дробей, обыкновенныхъ и десятичныхъ, къ рѣшенію задачъ разнаго рода.—Само собою разумѣется, что, несмотря на прямую цѣль курса ариѳметики письменнаго производства четырехъ дѣйствій, многое изъ области геометріи «вклинено» въ соотвѣтствующія мѣста этого курса. Систематизація же и дополненіе всего практически уже усвоеннаго учащимися изъ области изустнаго и письменнаго вычисленія отнесены къ дальнѣйшимъ ступенямъ курса, подлежащимъ проработкѣ, въ той или иной мѣрѣ, только при благопріятныхъ для того условіяхъ. Многое, относящееся къ систематизаціи и дополненію, представляетъ собою матеріалъ, конечно, не обязательный для школъ съ недостаточной продолжительностью курса. Дѣло въ томъ, что систематическое прохожденіе курса возможно только для учениковъ, достаточно созрѣвшихъ для такого усвоенія и уже освоившихся съ сущностью дѣла путемъ болѣе или менѣе интуитивнымъ, гдѣ точки зрѣнія систематизаціи и дополненія еще не умѣстны.

Простыя и сложныя задачи въ курсѣ письменнаго производства дѣйствій.

§ 3. Что касается простыхъ задачъ съ условіями, то въ курсѣ ариѳметики письменнаго производства четырехъ дѣйствій задачи эти не могутъ имѣть того значенія, какое онѣ имѣютъ въ курсѣ ариѳметики первой сотни. Тамъ простыя задачи являются исходнымъ пунктомъ и предназначены спеціально для выработки въ умахъ учениковъ надлежащихъ ариѳметическихъ представленій и понятій. (Ср., между прочимъ, § 27 гл. II «Мет. ар.», ч. I). Въ курсѣ же ариѳметики письменнаго производства четырехъ дѣйствій простыя задачи уже не могутъ играть такой большой роли, какую онѣ играютъ въ курсѣ ариѳметики начальной и изустной. Задано ли сложеніе нѣсколькихъ многозначныхъ отвлеченныхъ чиселъ, или же предложена задача, относящаяся до числа

гвоздей, сфабрикованныхъ въ теченіе одного года и сфабрикованныхъ въ теченіе другого, для дѣла обученія на этой ступени уже безразлично.

Здѣсь важны способы производства дѣйствій («алгориѳмы», см. примѣчаніе на стр. 41) надъ многозначными числами и дробями, и способы расположенія записей и вычисленій въ томъ или другомъ случаѣ. Они содержатъ достаточно образовательныхъ элементовъ и довольно тонкихъ соображеній разнаго рода. Когда примѣнять въ простой задачѣ сложеніе, вычитаніе, умноженіе или дѣленіе (того либо другого рода)—учащійся знаетъ, и простыя задачи съ условіями ему вообще уже не нужны. Онѣ могутъ играть только контрольную роль. Предлагая при изученіи дѣтьми какого-нибудь дѣйствія задачу, требующую другого дѣйствія, учитель можетъ установить, насколько внимательно дѣти относятся къ условіямъ задачи и не думаютъ ли они, что «теперь мы все будемъ складывать». Объ этомъ нѣкоторыя подробности въ § 12 этой главы. Что касается сложныхъ, особенно—изъ числа не приведенныхъ къ должному виду, или задачъ замысловатыхъ изъ числа алгебраическихъ, то ими замедлять усвоеніе дѣтьми письменнаго производства четырехъ дѣйствій не представляется никакихъ основаній. Расчетъ отдѣльныхъ цифръ, при письменномъ производствѣ каждаго изъ четырехъ дѣйствій, самъ по себѣ и способы производства этихъ дѣйствій представляютъ собою не что иное, какъ цѣлый рядъ болѣе или менѣе остроумныхъ задачъ. Эти задачи лишаются своего развивательнаго значенія только по винѣ безчисленныхъ правилъ, которыя учащіеся будто бы должны знать раньше, чѣмъ приступать къ ихъ рѣшенію. Что эти способы, дѣйствительно, остроумны, доказывается исторіей ариѳметики. Человѣчество много тысячелѣтій работало, прежде чѣмъ изобрѣло эти способы.

Правила въ курсѣ.

До выраженныхъ словами правилъ учащійся долженъ добраться (конечно, подъ руководствомъ учителя) по возможности самостоятельно. Разбираться въ томъ, почему именно такъ, а не иначе принято производить тѣ или иныя вычисленія, онъ долженъ вполнѣ сознательно. Правда, нѣкоторые способы расположенія вычисленій устарѣли (напр., при раздробленіи составныхъ именованныхъ чиселъ, и т. п.). Но отъ учителя зависитъ замѣнить ихъ

другими, болѣе соотвѣтствующими цѣли и смыслу вычисленія. Нѣкоторыя вычисленія надо производить иначе, чѣмъ по правиламъ; но это—опять-таки широкое поле для самодѣятельности учителя и учениковъ. Послѣдніе должны разбираться въ каждомъ изъ предлагаемыхъ имъ мыслящимъ учителемъ способовъ расположенія вычисленій и способовъ примѣненія то письменныхъ, то изустныхъ пріемовъ вычисленія.

Задачи сложныя и замысловатыя.

На перечисленныхъ выше ступеняхъ слѣдуетъ ограничиться такими сложными чисто-ариѳметическими задачами, которыя требуютъ не слишкомъ большого количества дѣйствій. Онѣ могутъ быть настолько прозрачными, что учащемуся не придется затрачивать много золотого времени и силъ для того, чтобы распутывать всѣ задачи съ помощью аналитическаго или синтетическаго способовъ. Задачи же замысловатыя (изъ числа алгебраическихъ), для рѣшенія которыхъ наиболѣе цѣлесообразно прибѣгать къ уравненію, на этихъ ступеняхъ должны по возможности отсутствовать. Только при этомъ условіи возможно въ начальной школѣ осилить письменное производство четырехъ дѣйствій надъ многозначными числами и надъ дробями въ теченіе одного года, напр.,—третьяго, и части четвертаго.

Содержаніе условій задачъ.

§ 4. Стремленіе нѣкоторыхъ (главнымъ образомъ, составителей ариѳметическихъ задачниковъ) къ тому, чтобы условія задачъ содержали данныя, которыя интересны съ точки зрѣнія научной, технической, исторической и т. п., не ново. Въ русской учебноариѳметической литературѣ имѣются задачники этого рода (напр.: Бугаева, Верещагина, Лубенца, Загорскаго, Бернашевскаго и Васильева). Вполнѣ естественно желаніе, чтобы ученикъ, рѣшая задачу, попутно пріобрѣлъ себѣ нѣкоторыя познанія (о размѣрахъ діаметра солнца, о разстояніи земли отъ солнца, о разстояніи земли отъ луны, о числѣ жителей въ томъ или иномъ государствѣ, въ томъ или иномъ городѣ, о годахъ рожденія и смерти великихъ людей, о годахъ достопамятныхъ историческихъ событій, о нѣкоторыхъ данныхъ изъ сельскаго или иного хозяйства). Но опытъ показываетъ, что надежда на такое попутное пріобрѣтеніе познаній, къ сожалѣнію, мало оправдывается на дѣлѣ. Учащіеся настолько заняты самыми способами производства дѣйствія, требующагося при рѣшеніи задачи, что почти не обращаютъ вниманія на всю

поучительность сообщенныхъ въ ней данныхъ. Если задача (что такъ часто бываетъ) въ придачу требуетъ отъ учениковъ умѣнія «распутывать» ея условія, то даже самыя интересныя данныя только затрудняютъ учащихся и пропадаютъ для нихъ почти совершенно задаромъ.

Задачи математическаго содержанія.

§ 5. Иначе дѣло обстоитъ съ тѣми задачами, хотя бы даже надъ отвлеченными числами, которыя представляютъ тотъ или иной чистоматематическій интересъ. Таковы, напр., задачи относительно нахожденія суммы нѣкотораго числа членовъ натуральнаго ряда чиселъ (1, 2, 3, 4, 5 и т. д.) или другого ряда чиселъ, въ которомъ любое число больше или меньше ему непосредственно предшествующаго на одно и то же число (т.-е. какой-либо ариѳметической прогрессіи, напр., ряда 1, 3, 5, 7, 9 и т. д.). Не менѣе интересна для нихъ геометрическая прогрессія: 1, 2, 4, 8, 16 и т. д., въ которой каждое число больше предшествующаго въ два раза, и т. п.

Не только дѣти, но даже взрослые часто не имѣютъ яснаго представленія о томъ, что такое милліонъ, хотя умѣютъ это число и назвать, и написать съ помощью арабскихъ цифръ. Опытъ показываетъ, что въ свое время вычисленіе, относящееся до того, сколько часовъ содержится въ одномъ милліонѣ минутъ или сколько саженъ содержится въ одномъ милліонѣ вершковъ, приводитъ учащагося въ удивленіе и учитъ его серьезно относиться къ математическимъ вопросамъ. Удовольствіе, испытываемое ими по поводу вычисленнаго результата, гораздо полезнѣе, чѣмъ свѣдѣнія о томъ, что высота «Везувія (въ Италіи)» 1 верста 46 саж. 2 арш., а высота «Коряцкой сопки (въ Камчаткѣ)» 3 версты 101 саж. 1 аршинъ (!) («Сб.» Арбузова и проч.). Особенно мало пріобрѣтетъ учащійся изъ этихъ свѣдѣній, если (какъ это сдѣлано въ поименованномъ «Сборникѣ») эти высоты требуется «выразить простымъ именованнымъ числомъ» (стр. 61). Такъ же мало толку отъ свѣдѣній относительно того, что въ 1855 г. изъ огнедышащей горы Мауна-Лоа (на островѣ Гавайи) излилось 12 663 000 000 кубич. футовъ лавы (тамъ же, стр. 64).

Въ математикѣ можно найти очень много дѣйствительно поучительнаго матеріала, и нужно отмѣтить, что какъ-разъ этимъ матеріаломъ чрезвычайно бѣденъ курсъ ариѳметики, являющійся курсомъ начальной математики, на которомъ

большинство учащихся въ начальныхъ школахъ должно остановиться въ своемъ математическомъ образованіи. Возьмите задачу: требуется сложить 1, 1/2 и 1/4, затѣмъ 1, 1/2, 1/4 и 1/8, далѣе 1, 1/2, 1/4, 1/8 и 1/16 и т. д., постепенно находя сначала сумму двухъ первыхъ чиселъ, потомъ сумму первыхъ трехъ чиселъ и такъ далѣе. Когда учащіеся видятъ, что, какъ бы далеко они ни пошли въ этомъ сложеніи, они никогда до двухъ единицъ не доберутся и что каждый разъ они получаютъ число, все болѣе и болѣе близкое къ двумъ единицамъ и все менѣе и менѣе отличающееся отъ нихъ, они кое-чему уже научились.

Иллюстрировать этотъ примѣръ можно, взявши двѣ бумажныя ленты, каждая длиною въ одинъ аршинъ. Отъ одной ленты отрѣжемъ полъ-аршина и прибавимъ къ цѣлому аршину. Затѣмъ половину остатка отъ второй ленты прибавимъ къ полученнымъ полутора аршинамъ. Далѣе ко вновь полученному прибавимъ половину новаго остатка, и т. д. Такая задача сослужитъ учащемуся большую службу въ смыслѣ пріобщенія его къ интересамъ умственной культуры, чѣмъ случайныя свѣдѣнія о вулканахъ, о количествѣ воды, изливаемомъ Роной, По, Днѣпромъ, Днѣстромъ, Дономъ и Ниломъ въ одну секунду (1642 куб. саж.+124 куб. фута), о сахарномъ кленѣ (въ Америкѣ), дающемъ 7 фунтовъ сахару (Бернашевскій и Васильевъ, «Живой счетъ», ч. II, стр. 44), о птичкѣ-портнихѣ, водящейся въ Китаѣ, о сахарномъ тростникѣ, даже о главнѣйшихъ составныхъ частяхъ почвы (кали, фосфорной кислотѣ, извести и азотѣ, тамъ же, ч. III, стр. 63). Въ лучшемъ случаѣ въ памяти учащихся останутся только слова, цѣнность которыхъ весьма мала безъ соотвѣтствующей ихъ содержанію совокупности дѣйствительныхъ, а не словесныхъ.только, знаній.

Къ категоріи математическихъ задачъ ариѳметическаго содержанія относится задача о суммѣ членовъ т. наз. гармоническаго ряда

Для того, чтобы убѣдиться въ томъ, что можно взять столько слагаемыхъ, чтобы сумма ихъ была больше любого числа, вовсе не надо умѣть складывать всякія дроби. Надо знать только слѣдующее: 1) что дроби убываютъ, т.-е. что каждая дробь больше слѣдующей за нею; 2) что найти сумму можно, оставивши половину въ покоѣ, сложивши 1/3 и 1/4, далѣе сложивши

затѣмъ

потомъ

и т. д., и наконецъ, 3) что сумма

больше, чѣмъ

т.-е. больше, чѣмъ

и т. д. Такимъ образомъ можно взять столько слагаемыхъ, чтобы сумма ихъ была больше любого числа половинъ, т.-е. больше любого числа вообще.

Къ этой же категоріи принадлежитъ вопросъ о числѣ такъ называемыхъ перемѣщеній изъ нѣсколькихъ различныхъ элементовъ. Онъ требуетъ для своего разрѣшенія только умѣнія перемножать цѣлыя числа. Вопросъ этотъ, какъ извѣстно, состоитъ въ слѣдующемъ. Дано извѣстное число различныхъ элементовъ (предметовъ, буквъ, людей) и спрашивается, сколько можно составить группъ, въ каждую изъ которыхъ входятъ всѣ эти элементы, расположенные въ одинъ рядъ такъ, чтобы группы отличались одна отъ другой только порядкомъ элементовъ. Стоитъ придать этой задачѣ конкретное содержаніе, и учащіеся съ величайшимъ удовольствіемъ приходятъ къ заключеніямъ: 1) изъ двухъ элементовъ можно составить двѣ группы (аб и ба); 2) присоединивъ къ каждой группѣ третій элементъ, могущій занять третье мѣсто, мѣсто между первымъ и вторымъ, или первое мѣсто, получимъ, что изъ трехъ элементовъ образуются 3-жды-двѣ группы по три элемента въ каждой (абв, авб, ваб, бав, бва, вба); 3) изъ четырехъ элементовъ мы получимъ группъ 4-жды-шесть, т.-е. 2×3×4; 4) изъ пяти — 2×3×4×5 и т. д., и 4) изъ десяти элементовъ

т.-е. 3 628 800 группъ. Можно придать задачѣ и такую форму: 10 человѣкъ ребятъ сидятъ рядышкомъ; они желаютъ каждый день сидѣть въ другомъ порядкѣ; сколько лѣтъ имъ надо прожить, чтобы выполнить это желаніе? Отвѣтъ (9 900 слишкомъ лѣтъ!) гораздо поучительнѣе, чѣмъ задачи о количествѣ воды, изливающейся въ секунду изъ произвольно выбранныхъ рѣкъ (Рона, Днѣстръ, По, Донъ и Нилъ). Матеріала математическаго содержанія для поучительныхъ вычисленій и разсужденій можно найти много. Надо его только поискать1).

1) Изъ сказаннаго выше о задачникахъ съ данными, взятыми изъ разныхъ областей знанія, не слѣдуетъ дѣлать вывода, что авторъ этой книги относится несочувственно къ правдѣ условій задачъ или къ поименованнымъ выше, во многихъ отношеніяхъ, почтеннымъ сборникамъ задачъ.

Сложныя задачи.

§ 6. На охарактеризованныхъ выше 12-ти ступеняхъ не можетъ быть рѣчи о такихъ сложныхъ чисто-ариѳметическихъ задачахъ, которыя требовали бы отъ учащихся особеннаго искусства приводить ихъ условія въ должный порядокъ съ помощью одного изъ двухъ классическихъ способовъ рѣшенія чисто-ариѳметическихъ задачъ: аналитическаго или синтетическаго. Рѣшенію задачъ сложныхъ изъ числа неприведенныхъ (см. «Мет. ар.», ч. I, § 22 гл. II) нужно посвятить то время, которое можно имъ посвятить въ дополнительномъ и систематизаціонномъ курсѣ ариѳметики. Надо имѣть въ виду, что, строго говоря, рѣшеніе этихъ задачъ часто представляетъ собою для учащихся наибольшія трудности. Оно сопряжено съ трудностями, даже превосходящими тѣ, которыя встрѣчаются при рѣшеніи задачъ алгебраическаго характера, хотя бы даже изъ числа особенно замысловатыхъ. Дѣло въ томъ, что, при рѣшеніи задачъ этого послѣдняго рода, достаточно научиться рѣшенію одной или двухъ задачъ даннаго типа, такъ сказать, заучить этотъ способъ даже безъ разумѣнія, для того, чтобы быть въ состояніи рѣшать задачи того же типа съ другими числовыми данными. Совсѣмъ не то замѣчается въ задачахъ сложныхъ изъ числа чисто-ариѳметическихъ: для каждой изъ нихъ приходится придумывать другой способъ ея рѣшенія въ полной зависимости отъ того, какъ распредѣлены условія данной задачи. Опытъ показываетъ, что если взять задачу съ тѣми же числовыми данными и рѣшить ее съ учениками при такомъ расположеніи условій, когда задача становится прозрачною, а черезъ нѣсколько дней предложить ту же самую задачу съ тѣми же данными, но съ условіями болѣе или менѣе перетасованными, то учащіеся эту послѣднюю задачу будутъ разрѣшать, несмотря на то, что они уже эту задачу рѣшали съ тѣми же числовыми данными, съ большимъ трудомъ.

Вычисленія и за дачи.

§ 7. Принимая изложенное во вниманіе, учитель начальной школы долженъ обращать особенное вниманіе на сознательное и интересное для учащихся усвоеніе способовъ письменнаго производства вычисленій. Это важнѣе, чѣмъ рѣшеніе слишкомъ сложныхъ чисто-ариѳметическихъ и замысловатыхъ задачъ алгебраическаго характера. Опытъ убѣждаетъ въ двухъ фактахъ. Во-первыхъ: при исключительномъ вниманіи учителя къ сложнымъ

и замысловатымъ задачамъ, учащіеся и ихъ рѣшенію не научаются, и оканчиваютъ курсъ начальной школы безъ достаточныхъ навыковъ въ способахъ изустнаго и письменнаго вычисленія. Во-вторыхъ, большее вниманіе учащихъ къ методическому обученію вычисленіямъ оказываетъ на учащихся развивательное и, если можно такъ выразиться, культурное вліяніе, и рѣшеніе задачъ тогда дается учащимся легче, чѣмъ при односторонней дрессировкѣ учащихся въ рѣшеніи задачъ слишкомъ сложныхъ и замысловатыхъ. Эти факты даютъ, между прочимъ, право относиться болѣе или менѣе отрицательно къ тѣмъ пріемамъ обученія, которыхъ поборниками являются сторонники раздѣленія ариѳметическихъ задачъ на болѣе или менѣе произвольные типы. Они сводятъ обученіе къ дрессировкѣ учащихся въ рѣшеніи задачъ чуть не по правиламъ. Только истинно методическое построеніе курса можетъ сдѣлать его интереснымъ и поучительнымъ для учащихся. Ихъ должно посвятить въ тѣ, въ сущности говоря, удивительные пріемы вычисленія, которые составляютъ содержаніе «ариѳметики-искусства», т.-е. ариѳметики изустнаго и письменнаго производства четырехъ дѣйствій. Усвоеніе этихъ пріемовъ имѣетъ и образовательное, и воспитательное, и практическое значеніе.

Цѣль курса ариѳметики письменныхъ вычисленій.

§ 8. Цѣль курса ариѳметики письменнаго производства дѣйствій сводится къ сознательному усвоенію учениками именно пріемовъ письменныхъ вычисленій надъ цѣлыми числами и нѣкоторыхъ вычисленій надъ дробями обыкновенными (встрѣчающимися въ жизни) и надъ десятичными съ двумя-тремя цифрами послѣ запятой. Само собою разумѣется, что дѣло не должно сводиться къ мертвящимъ шаблонамъ, а должно освѣщаться съ логической точки зрѣнія и съ точки зрѣнія цѣлесообразности этихъ пріемовъ. Сюда же, съ цѣлями образовательными, практическими и методическими, должно вклинить нѣкоторые элементы изъ области геометріи и примитивнаго землемѣрія и задачи на пропорціональныя величины. Сложныя же задачи должны принадлежать къ числу прозрачныхъ, а задачи алгебраическаго характера—къ числу незамысловатыхъ.

ГЛАВА II.

Письменное производство сложенія и вычитанія многозначныхъ чиселъ.

29-я ст.: нумерація.

§ 1. Двадцать девятая ступень курса (первая—въ области письменнаго производства дѣйствій) посвящена нумераціи многозначныхъ чиселъ. Но не надо думать, что нумерація должна быть на этой ступени совершенно исчерпана. Нумерація принадлежитъ къ числу тѣхъ навыковъ, которые должно вкрапливать, по мѣрѣ надобности, въ различные отдѣлы курса. Мы видѣли въ «Мет. ариѳм.» (ч. I), что сначала учащіеся усваиваютъ себѣ только начертанія и способы написанія цифръ отъ единицы до девяти, затѣмъ усваиваютъ себѣ уже нумерацію чиселъ второго десятка отъ одиннадцати до двадцати включительно и обозначеніе одного десятка арабскими цифрами. На этомъ они останавливаются, пользуясь этими навыками въ теченіе довольно продолжительнаго промежутка времени. Когда учащіеся усвоили себѣ четыре дѣйствія надъ числами первыхъ двухъ десятковъ, дающихъ въ суммѣ или въ произведеніи не болѣе двадцати и имѣющихъ дѣло съ уменьшаемыми и дѣлимыми, которыя тоже не болѣе двадцати, дѣти переходятъ къ дальнѣйшему развитію нумераціи. Первыя 13 ступеней курса ариѳметики (см. «Методику ариѳметики для учителей начальныхъ школъ», ч. I, и «Новые ариѳметическіе задачники Шохоръ-Троцкаго» для учителей и учениковъ начальныхъ школъ) не имѣютъ дѣла съ числами, большими 20-ти. Поэтому и нумерація чиселъ, превышающихъ двадцать, появляется вмѣстѣ съ необходимостью записей чиселъ, большихъ двадцати, при дѣйствіяхъ надъ круглыми десятками (14-я и 15-я ступени) и надъ двузначными числами (ступени 16-я—21-я). Послѣ того, какъ исчерпаны всѣ четыре дѣйствія надъ числами первой сотни, при чемъ не должны превышать сотни сумма и произведеніе, а также уменьшаемое и дѣлимое, на 22-й ступени появляется уже необходимость въ нумераціи трехзначныхъ чиселъ и одной тысячи, а для удовлетворенія любознательности учащихся—и въ нумераціи тысячъ.

Вредъ педантизма.

Было бы излишнимъ педантизмомъ не посвящать учениковъ въ интересы нумераціи двузначныхъ чиселъ ранѣе наступленія надобности въ двузначныхъ числахъ, если дѣти къ этой нумераціи выказываютъ серьезный интересъ. Но, во всякомъ случаѣ, для пользы дѣла нужно, чтобы учащіеся не только научились писать и читать 38, 64, 87 и т. п., но и освоились со счетомъ, что требуетъ большого съ ихъ стороны вниманія и интереса. Равнымъ образомъ на слѣдующихъ ступеняхъ, посвященныхъ дѣйствіямъ надъ числами первой сотни, имѣющихъ дѣло съ числами, дающими въ суммѣ или въ произведеніи не больше ста, или съ уменьшаемыми и дѣлимыми, не большими, чѣмъ сто, нумерація появляется только на 27-й ступени. Но и въ этомъ случаѣ учитель не долженъ быть педантомъ и не долженъ подавлять дѣйствительнаго интереса учащихся къ большимъ числамъ и ихъ цифровому обозначенію. Во всякомъ случаѣ, въ методически построенномъ курсѣ ариѳметики письменная нумерація исчерпывается не въ одинъ разъ, какъ это практикуется въ курсѣ систематическомъ, а распредѣлена по всему курсу сообразно съ цѣлями и потребностями момента. («Мет. ар.», ч. I, вмѣсто введенія, стр. 10, см. взглядъ Рачинскаго).

Трудности нумераціи.

§ 2. На нумераціи тысячъ учащіеся останавливаются, примѣняя пріобрѣтенные навыки къ нѣкоторымъ дѣйствіямъ надъ задачами разнаго рода (ст. 23-я—26-я), и только на 27-й ступени снова обращаются къ нумераціи чиселъ, большихъ тысячи, чтобы перейти къ изустному производству и записямъ четырехъ дѣйствій надъ круглыми сотнями. На 29-й ступени они опять обращаются къ нумераціи, но уже къ нумераціи многозначныхъ чиселъ вообще. Въ сознаніе учащихся должно внѣдрить привычку представлять себѣ, что послѣ цифры отдѣльныхъ тысячъ, не входящихъ въ составъ десятка тысячъ, должны непремѣнно быть на-лицо три цифры, что послѣ цифры милліоновъ должны быть на-лицо три цифры класса тысячъ и три цифры класса единицъ. Это—задача не легкая. Упомянутая привычка дается только путемъ методическихъ упражненій. На первыхъ порахъ полезно называть тѣ нули, которые слѣдуютъ за цифрами тысячъ, напр., такъ: двадцать семь тысячъ, нуль семьдесятъ три, или сто тридцать восемь ты-

сячъ, нуль, нуль, четыре, и т. п. Вторая задача возникаетъ послѣ того, какъ учащіеся научились нумераціи. Научившись ей, дѣти еще недостаточно, если можно такъ выразиться, серьезно относятся къ величинѣ единицъ разныхъ разрядовъ. Ихъ вводитъ часто въ заблужденіе то обстоятельство, что они умѣютъ обозначать довольно быстро и тысячи, и сотни тысячъ, и милліоны. Поэтому числа кажутся имъ значительно меньше, чѣмъ каковы они есть на дѣлѣ. Дѣти невольно о величинѣ числа судятъ по количеству времени, которое нужно потратить на начертаніе этого числа съ помощью арабскихъ цифръ и по числу послѣднихъ. Къ сожалѣнію, на этой ступени нельзя выполнить тѣхъ вычисленій, которыя необходимы для того, чтобы составить себѣ болѣе или менѣе вѣрное представленіе о томъ, какъ громадно число, именуемое, напр., однимъ словомъ «милліонъ» и обозначаемое на письмѣ всего восемью буквами (или семью цифрами, изъ которыхъ первая—единица, а остальныя шесть — нули). Но учитель во всякомъ случаѣ долженъ побороться съ такимъ отношеніемъ къ числамъ. Для этого могутъ служить слѣдующія данныя: въ году счетомъ всего 525 000 минутъ, т.-е. немного болѣе полумилліона; отъ Рождества Христова до настоящаго времени прошло меньше одного милліона дней; чтобы пройти милліонъ верстъ пѣшкомъ, надо въ теченіе 55 лѣтъ безъ малаго ежедневно быть въ пути 5 часовъ и проходить въ часъ по пяти верстъ. Эти данныя кажутся учащимся невѣроятными, но это — неизбѣжно. Ибо представленія учащихся о большихъ числахъ столь бѣдны содержаніемъ, что имъ прямо полезно усвоить себѣ, что въ одномъ пудѣ ржи всего только съ небольшимъ полъ-милліона зеренъ, а въ одномъ стаканѣ ржи меньше одной тысячи зеренъ.

Само собою разумѣется, что къ этому вопросу надо возвращаться неоднократно въ теченіе всего курса, для того чтобы учащіеся пріобрѣли не только знаніе о томъ, что милліонъ—громадное число. Но это надо сдѣлать такъ, чтобы знаніе было связано съ другими вопросами, и такимъ образомъ сдѣлалось бы полнымъ достояніемъ учащагося, а не только такимъ достояніемъ, которое впослѣдствіи, если можно такъ выразиться, испарится.

Разряды и классы.

§ 3. Въ основѣ нумераціи по десятичной системѣ счисленія лежатъ только двѣ мысли:

1) о десятичномъ отношеніи единицъ двухъ смежныхъ разрядовъ, и 2) о необходимости введенія нѣкотораго однообразія въ группировкѣ разрядныхъ чиселъ, т.-е о необходимости введенія такъ называемыхъ «классовъ» (единицъ, тысячъ, милліоновъ и т. д.). Съ первою мыслью дѣти достаточно свыклись, имѣя дѣло уже съ двузначными числами. Вторая же проявляется, хотя въ началѣ и не въ довольно рѣзкой формѣ, съ переходомъ отъ чиселъ трехзначныхъ къ четырехзначнымъ. Та послѣдовательность, какой должно держаться при ознакомленіи дѣтей съ единицами первыхъ трехъ разрядовъ, на дальнѣйшихъ ступеняхъ уже не вполнѣ цѣлесообразна, такъ какъ при обозначеніи тысячъ, милліоновъ и т. д. примѣняется то же правило и тѣ же словесныя обозначенія, съ которыми связано обозначеніе трехзначныхъ чиселъ. Говоря иначе, дѣти должны понять: 1) что придумывать все новыя и новыя названія для единицъ еще неизвѣстныхъ намъ разрядовъ (они знаютъ только разряды единицъ, десятковъ, сотенъ и тысячъ) было бы очень неудобно, и 2) что эти неудобства можно устранить, благодаря тому, что число тысячъ считаютъ такъ же, какъ считаютъ любое число единицъ перваго разряда, меньшее тысячи. Благодаря послѣдней мысли, съ помощью цифръ принято обозначать число цифрами на тѣхъ же точно основаніяхъ, какъ обозначаются числа перваго класса. Для того чтобы дѣти поняли единообразіе въ обозначеніи цифръ и единицъ различныхъ классовъ, ихъ весьма полезно пріучить къ отдѣленію цифры тысячъ отъ цифры сотенъ промежуткомъ приблизительно шириной въ одну цифру. Не надо только слишкомъ торопливо переходить къ обозначенію шестизначныхъ чиселъ. Введеніе слѣдующихъ классовъ (билліоновъ, трилліоновъ и дальнѣйшихъ) на первыхъ порахъ не столь важно, какъ выясненіе себѣ способа обозначенія милліоновъ. Надобно остановиться только на билліонахъ, въ послѣднее время называемыхъ милліардами. Дѣло въ томъ, что для дальнѣйшихъ классовъ названія довольно сомнительны и для русскаго уха недостаточно вразумительны. Это тѣмъ болѣе справедливо, что, начиная съ нѣкотораго класса, названія эти затериваются. Сверхъ того, они обозначаютъ громадныя числа, превосходящія всѣ тѣ числа, надъ которыми приходится производить вычисленія. Въ случаѣ надобности классы, слѣдующіе за классомъ милліардовъ, можно.

называть единицами 5-го класса (милліардъ—единица четвертаго класса), единицами 6-го класса и т. д. Учащіеся должны себѣ усвоить, что если милліонъ—число громадное, то единицы слѣдующихъ классовъ настолько велики, что въ нихъ не представляется никакой надобности въ обыденной жизни. Они не нужны и въ наукахъ. Не безполезно для выясненія величины милліона и другихъ единицъ обратиться къ слѣдующей фигурѣ. Въ этой фигурѣ 100 точекъ. Для учениковъ это не сразу ясно: имъ часто кажется, что точекъ меньше или больше, чѣмъ сколько ихъ на самомъ дѣлѣ имѣется на-лицо. Ученикамъ полезно себѣ уяснить, что если взять еще одну такую же фигуру, еще одну и т. д., то 10 такихъ фигуръ уже займутъ больше страницы, и что это всего только будетъ одна тысяча точекъ. Для того же, чтобы составить 10 тысячъ, уже понадобится больше десяти страницъ, а для того, чтобы составить 100 тысячъ, понадобится болѣе ста страницъ, т.-е. больше, чѣмъ сколько страницъ въ иной книгѣ. Для того же, чтобы написать милліонъ точекъ, понадобится такихъ страницъ тысяча, и т. д.

Послѣдовательность чиселъ.

§ 4. На занимающей насъ ступени, посвященной вообще нумераціи по десятичной системѣ счисленія, работа должна начинаться съ повторительныхъ упражненій надъ числами многозначными, не большими сотни тысячъ, затѣмъ перейти къ сотнямъ тысячъ и, наконецъ, къ милліону. Но не надо предаваться самообольщенію. Необходимо остерегаться мысли, что

Рис. 1.

если учащіеся умѣютъ писать подъ диктовку четырехзначныя, пятизначныя, шестизначныя числа, то это значитъ, что они вполнѣ отдаютъ себѣ отчетъ въ ихъ послѣдовательности. Можно умѣть написать число 9999 и не знать, какое число за нимъ слѣдуетъ. Равнымъ образомъ можно написать десять тысячъ и не знать, какое число ему предшествуетъ и даже какое за нимъ слѣдуетъ. Опытъ показываетъ, что, несмотря на предварительныя упражненія, иногда ученики, послѣ того какъ они произнесли «девять тысячъ девятьсотъ девяносто девять», склонны произнести несуществующее число «девять тысячъ девятьсотъ девяносто десять», а послѣ числа десять тысячъ называть 20 тысячъ, 30 тысячъ и т. д., не отдавая себѣ яснаго отчета въ послѣдовательности чиселъ, слѣдующихъ одно за другимъ въ извѣстномъ (натуральномъ) порядкѣ. Поэтому необходимы упражненія въ счетѣ въ критическихъ случаяхъ, т.-е. при переходѣ отъ одной тысячи къ слѣдующей, отъ одного десятка тысячъ къ слѣдующему, и т. д. Даже въ предѣлахъ болѣе тѣсныхъ учащіеся не вполнѣ владѣютъ натуральною послѣдовательностью чиселъ. Это, конечно, недопустимо также и съ методической точки зрѣнія.

Промежутки между цифрами и нули.

Цифру тысячъ слѣдуетъ отдѣлять отъ цифры сотенъ промежуткомъ нѣсколько большимъ, чѣмъ тѣ, которые отдѣляютъ остальныя цифры одну отъ другой. Точно такъ же и цифру милліоновъ надобно отдѣлять отъ цифры сотенъ тысячъ такимъ же промежуткомъ, какъ цифру тысячъ отъ цифры сотенъ. Ставить послѣ цифры тысячъ или послѣ цифръ милліоновъ запятую или точку не слѣдуетъ. Запятая имѣетъ значеніе знака, отдѣляющаго цѣлыя единицы отъ десятыхъ долей, при обозначеніи десятичныхъ дробей, а точка часто имѣетъ значеніе знака умноженія. Но не въ этомъ главнѣйшая трудность нумераціи. Учащихся затрудняетъ записываніе нулей на мѣстѣ цифръ тѣхъ разрядовъ, которыхъ нѣтъ на-лицо въ данномъ числѣ. Нисколько не предосудительно объ этихъ нуляхъ учениковъ предупреждать, диктуя имъ числа такъ: «4 тысячи, два нуля, семь», «5 тысячъ, два нуля, 4», «6 тысячъ, нуль, 30» и т. п. Учащимся надо привыкнуть къ такимъ обозначеніямъ, для того чтобы уяснить себѣ, что каждое обозначеніе многозначнаго числа распадается на грани, считая отъ правой руки къ лѣвой, по три цифры въ каждой грани. Конечно, при этомъ

слово «грань» не необходимо, а важно только существо дѣла. Полезной при этомъ можетъ оказаться «нумерація въ лицахъ». Ср., между прочимъ. «Мет. ар.», ч. I, § 21 гл. VII, и примѣчаніе на стр. 281 той же книги. Во избѣжаніе повтореній, позволительно интересующагося методическими частностями 29-й ступени отослать къ упомянутому параграфу первой части этой книги. Стоитъ обратиться къ «нумераціи въ лицахъ» (рис. 2 и 3), и учащіеся сейчасъ же соображаютъ, что и при обозначеніи числа, которое больше 999-ти, требуются три цифры для сотенъ, десятковъ и единицъ.

30-я ст.: сложеніе и вычитаніе.

§ 5. Тридцатая ступень курса посвящена письменному производству сложенія и вычитанія многозначныхъ чиселъ. Самый способъ письменнаго производства вычитанія многозначныхъ чиселъ несравненно легче способа письменнаго производства сложенія. Поэтому вычитанію слѣдовало бы учить ранѣе, чѣмъ сложенію. Но чтобы не итти вразрѣзъ съ установившимися привычками учащихъ, въ «Новыхъ задачникахъ Шохоръ-Троцкаго» (для учителей или для учениковъ) первое мѣсто отведено все-таки сложенію1).

Начинать занятія сложеніемъ надобно, конечно, съ упражненій, которыя ученикамъ уже извѣстны изъ предыдущаго

Рис. 2.

Рис. 3.

1) Ниже мы будемъ для краткости эти задачники иногда обозначать такъ: З. д. уч-лей и З. д. уч.-ковъ.

курса, а именно, со сложенія двухъ двузначныхъ чиселъ. При этомъ надо отдать себѣ ясный отчетъ въ томъ, что два двузначныхъ числа можно сложить, даже не записывая того, какія числа требуется сложить. Достаточно сначала сложить десятки, отъ этого могутъ получиться десятки и еще одна сотня, а затѣмъ отдѣльныя единицы, отъ сложенія которыхъ можетъ получиться меньше или больше 10-ти или же ровно 10 единицъ. Но стоитъ перейти учащимся къ сложенію нѣсколькихъ двузначныхъ чиселъ, и они сейчасъ должны себѣ уяснить, что не только сложить, но даже повторить заданныя числа довольно трудно. Въ этомъ надо учащихся убѣдить путемъ опытовъ. Для этого только надо взять числа не равныя между собою: 35, 47, 63, 28, 46. Ужъ одно то, что данныя для сложенія числа надо непремѣнно записать, представляетъ собою нѣкоторый шагъ въ область такъ называемаго письменнаго производства четырехъ дѣйствій надъ числами. Дѣйствительно: если даны два двузначныхъ числа, то, конечно, вреда отъ того, что они записаны, для изустнаго вычисленія нѣтъ никакого. То, что они записаны, лишь нѣсколько помогаетъ сложенію, фиксируя зрѣніе на данныхъ числахъ. Если же двузначныхъ чиселъ нѣсколько, то записи ихъ не только помогаютъ, но прямо необходимы для осуществленія ихъ сложенія, хотя бы даже и изустнаго. Безъ этихъ записей невозможно сохранить въ памяти данныя числа и получаемые результаты до окончанія всего вычисленія. Записаны ли данныя числа въ одну строчку и отдѣлены одно отъ другого знакомъ сложенія, или же они записаны одно подъ другимъ, для двузначныхъ чиселъ не представляется особенно важнымъ. Перепутать складываемые разряды при двузначныхъ слагаемыхъ невозможно. Поэтому лучше, чтобы ученики сначала записывали заданныя числа въ одну строчку, отдѣляя одну запись отъ другой знаками сложенія, сообразно потребностямъ методическаго момента. Рядомъ съ записью послѣдняго слагаемаго надо въ такомъ случаѣ записать знакъ равенства, а послѣ него вычисленную сумму. Теперь является вопросъ о томъ, какъ выполнить это сложеніе. Конечно, его можно выполнить изустно, начиная съ десятковъ, а затѣмъ перейдя къ единицамъ, и учащіеся должны это попробовать. Они убѣдятся, что при этомъ затрачивается много времени и что это довольно трудно. Приходится иногда называть числа трехзначныя, если

слагаемыя достаточно велики и если ихъ много. Упражненія въ такомъ изустномъ сложеніи, если данныя числа записаны, очень полезны, хотя и нѣсколько утомительны. Они полезны для того, чтобы убѣдить учащихся въ томъ, что надо придумать, изобрѣсти что-нибудь, облегчающее самую рѣчь вычисляющаго, чтобы ему, складывая числа, не приходилось называть трехзначныя числа. Учащіеся должны вынести убѣжденіе въ томъ, что подобное вычисленіе утомительно и, должно-быть, приводитъ къ ошибкамъ, если слагаемыхъ много. При вычисленіи на счетахъ, конечно, можно сдѣлать сложеніе подъ диктовку, а именно: въ то время, когда диктующій или вычисляющій произноситъ какое-нибудь число, послѣдній это число «кладетъ» на счеты и т. д. Но не всегда счеты находятся въ распоряженіи вычисляющаго, и учениковъ надо навести на мысль, нельзя ли какъ-нибудь упростить способъ вычисленія суммы. Ихъ надо навести на мысль о томъ, не удобнѣе ли начинать сложеніе съ единицъ, сначала составить изъ нихъ десятки, и если останутся отдѣльныя единицы изъ числа тѣхъ единицъ, которыя входятъ въ составъ данныхъ слагаемыхъ, ихъ записать, а потомъ соединить десятки съ остальными десятками слагаемыхъ, имѣющимися на-лицо. Время, потраченное на то, чтобы учащіеся уразумѣли неудобства сложенія многихъ двузначныхъ чиселъ, производимаго изустно, будетъ выиграно въ томъ случаѣ и тогда, когда учащіеся перейдутъ къ другому способу вычисленія, основанному на томъ, что мы сначала складываемъ единицы низшихъ разрядовъ. Когда двузначныхъ слагаемыхъ много, вопросъ о способѣ ихъ записи въ одну строчку является не столько вопросомъ производства дѣйствій, сколько вопросомъ удобства. Но есть одно неудобство записи слагаемыхъ въ одну строку, а именно: въ случаѣ полученія сотенъ, надо оставить мѣсто для записи этихъ сотенъ. Столько слагаемыхъ, чтобы получились также и тысячи, сначала брать не надо, и въ этомъ случаѣ, конечно, сложеніе производится иначе. Расчетъ числа цифръ суммы полезенъ, ибо онъ вноситъ больше сознательности въ работу учащихся, въ то время какъ запись въ одинъ столбецъ не приводитъ къ необходимости вниманія къ тому, получатся ли сотни или не получатся.

Запись слагаемыхъ въ столбецъ.

§ 6. Чтобы приблизить учащихся къ другому (обычному) способу расположенія слагаемыхъ,

именно къ ихъ расположенію въ одинъ столбецъ, можно обратиться къ составленію счета за извѣстное количество товаровъ разнаго рода:

7 ф. сахару по 16 коп...........1 р. 12 к.

2 ф. чаю по 1 р. 60 к...........3 р. 20 к.

1 ф. кофе по 67 к.................. 67 к.

4 ф. крупы по 7 к................... 28 к.

8 ф. капусты по 4 к................ 32 к.

3 ф. говядины по 16 к............... 48 к.

2 ф. масла по 32 к................. 64 к.

Итого . . .

Надо ли писать знакъ плюсъ въ такомъ случаѣ, когда слагаемыхъ больше, чѣмъ два? Конечно, этотъ знакъ совершенно не нуженъ. Отсутствіе плюсовъ между записями слагаемыхъ тоже представляетъ одно изъ преимуществъ такой записи ихъ, когда одно слагаемое пишется подъ другимъ въ одинъ вертикальный столбецъ. Но, конечно, это преимущество настолько незначительно, что на немъ нельзя основывать необходимости записыванія двузначныхъ слагаемыхъ непремѣнно въ одинъ вертикальный столбецъ, а не такъ, какъ записываются двузначныя слагаемыя, когда ихъ два. Необходимость аккуратной записи слагаемыхъ въ одинъ столбецъ появляется только въ случаѣ многозначныхъ слагаемыхъ.

Изустное прибавленіе и ритмъ.

§ 7. Чтобы усилить ритмическій элементъ, а также элементъ мускульный при производствѣ сложенія многихъ двузначныхъ чиселъ, полезно пріучить дѣтей къ тому, чтобы они, складывая единицы, показывали мѣлкомъ или карандашомъ прибавляемое число единицъ, а складывая десятки, показывали мѣлкомъ или карандашомъ прибавляемое число десятковъ.

Рука учащагося при этомъ перемѣщается, и ритмъ при этомъ получаетъ нѣкоторую опору въ этомъ перемѣщеніи. Для того же, чтобы лучше оттѣнить цифры десятковъ и обратить на нихъ особое вниманіе учащихся, можно эти цифры написать на доскѣ цвѣтнымъ, напримѣръ, краснымъ мѣлкомъ. Но въ этомъ особенной надобности нѣтъ. Это — только полезно. Если кого-нибудь изъ учащихся затрудняетъ быстрое изустное сложеніе однозначныхъ чиселъ, когда послѣднихъ много, т.-е. если ихъ затрудняетъ переходъ изъ одного десятка въ другой

при этомъ сложеніи, то можно имъ разрѣшить прибавлять не всѣ единицы даннаго слагаемаго, а лишь столько его единицъ, сколько нужно, чтобы получить новый десятокъ. Въ такомъ случаѣ получается тоже нѣкоторый ритмъ въ вычисленіи, и учащійся при сложеніи, напр., такого ряда чиселъ: 4, 7, 9, 5, 8, 9, 8 и 7, говоритъ такъ: 4 да 6 десять, да 1—одиннадцать; да 9—двадцать, да 5—двадцать пять; да 5 — тридцать, да 3 — тридцать три; да 7 сорокъ, да 2 — сорокъ два; да 8— пятьдесятъ, да 7 — пятьдесятъ семь, и т. п. Учащійся долженъ при этомъ только показывать, изъ какого числа онъ отдѣляетъ извѣстное количество его единицъ для составленія десятка и не передвигать руки дальше, покуда всѣ единицы этого числа не будутъ исчерпаны. Опытъ показываетъ, что такой способъ сложенія многихъ однозначныхъ чиселъ удобенъ и особенно цѣлесообразенъ для учащихся двухъ родовъ: 1) для заикающихся, для болѣе или менѣе косноязычныхъ или медленно переводящихъ зрительныя впечатлѣнія въ словесныя выраженія, и 2) для отставшихъ почему-либо въ искусствѣ прибавленія однозначнаго числа къ двузначному. Задержка при примѣненіи этого способа прибавленія не особенно велика. Она гораздо меньше, чѣмъ задержки, наблюдающіяся при неискусномъ прибавленіи однозначнаго числа къ двузначному. Сущность десятичной системы счисленія при этомъ выясняется съ гораздо большей полнотою, чѣмъ при обычномъ способѣ прибавленія, когда мы получаемъ все разныя двузначныя числа съ двумя значущими цифрами.

Особенные случаи.

§ 8. Есть случаи, когда суммы близко отстоящихъ одно отъ другого чиселъ—круглыя числа.

Пусть, напр., требуется сложить числа: 25, 75, 64, 36 и 57. Здѣсь прямо очевидно, что двадцать пять и семьдесятъ пять даютъ сотню, шестьдесятъ четыре и тридцать шесть—вторую сотню, и что у насъ въ результатѣ получается двѣсти пятьдесятъ семь. Не видѣть такого удобства при сложеніи подобныхъ чиселъ учащійся не можетъ, если только учитель не стремится къ тому, чтобы учащійся непремѣнно примѣнялъ такъ наз. правило сложенія многозначныхъ чиселъ, по которому онъ долженъ начинать сложеніе непремѣнно съ единицъ данныхъ чиселъ.

Равнымъ образомъ нельзя требовать отъ учащихся, чтобы они держались этого правила также въ тѣхъ случаяхъ, когда

имъ приходится складывать круглыя однозначныя числа какъ, напримѣръ: 60, 40, 30, 20, 10 и 70. Учащійся въ этомъ случаѣ просто переходитъ отъ одного числа къ другому и можетъ говорить слѣдующее: шестьдесятъ, сто, сто тридцать, сто пятьдесятъ, сто шестьдесятъ, двѣсти тридцать. Или можетъ говорить такъ: «отдѣльныхъ единицъ» нѣтъ (и при этомъ записать нуль на мѣстѣ единицъ), «десятковъ же будетъ: 6, 10, 13, 15, 16, 23, что составитъ 3 десятка» (при этомъ записать цифру 3 на мѣстѣ десятковъ) «и 2 сотни». Онъ можетъ также сразу записать 23 надлежащимъ образомъ. Но всему этому надо учить. При этомъ нѣтъ никакой надобности говорить: «нуль да нуль будетъ нуль, да еще нуль будетъ нуль, да еще нуль будетъ нуль», и т. д. Въ случаѣ, если у котораго-нибудь изъ двузначныхъ слагаемыхъ на мѣстѣ цифръ единицъ записанъ нуль, то тоже не слѣдуетъ его прибавлять къ единицамъ. Его можно просто пропустить, такъ какъ очевидно, что отдѣльныхъ единицъ въ данномъ случаѣ нѣтъ1).

Трехзначныя слагаемыя.

§ 9. Послѣ того, какъ усвоено сложеніе двузначныхъ чиселъ, можно перейти къ сложенію чиселъ трехзначныхъ. Чтобы убѣдить дѣтей, что не всегда надо записывать числа, которыя требуется сложить, можно обратиться къ такимъ задачамъ, когда круглое число сотенъ приходится прибавлять къ круглому же числу сотенъ: 200 да 300 сколько будетъ? 500 да 400 сколько будетъ? и т. п. Но если даны два трехзначныхъ числа, въ письменныхъ обозначеніяхъ которыхъ всѣ цифры значущія, то здѣсь представляется трудность даже для запоминанія, о какихъ числахъ идетъ рѣчь, а не только для вычисленія ихъ суммъ. Вы предлагаете сложить числа 629 и 374 и просите раньше всего не записывать этихъ чиселъ и начать сложеніе съ сотенъ. Оказывается, что ученики, какъ только вы попросите повторить,

1) Нуль какъ число представляетъ собою математическое понятіе, безъ котораго на данной ступени обойтись не только легко, но даже полезно. Задачъ такого рода, гдѣ сначала купленъ нуль аршинъ, потомъ пять аршинъ, жизнь не знаетъ. Также не цѣлесообразны задачи вродѣ слѣдующей: было сорокъ пять рублей, истраченъ нуль рублей, сколько осталось? Или: было пятнадцать рублей; они истрачены; сколько осталось? И т. п. Торопиться съ пріобщеніемъ нуля къ ряду чиселъ, уже извѣстныхъ учащемуся, нѣтъ никакой надобности, по крайней мѣрѣ, на этой ступени. Ср. «Мет. ар.», ч. I, § 74 гл. IV и § 24 гл. VII).

о какихъ числахъ шла рѣчь, не въ состояніи даже повторить числа безошибочно. Во всякомъ случаѣ большинство сомнѣвается въ томъ, вѣрно ли повторены эти числа. Конечно, дѣти слухового типа повторятъ вамъ эти два числа, но такія дѣти— исключеніе, и раньше чѣмъ заставить ихъ повторить эти числа, надо освѣдомиться, кто можетъ повторить, съ тѣмъ, чтобы хоть приблизительно знать, какихъ дѣтей въ этомъ случаѣ не надо вызывать, если вы хотите убѣдить учащихся въ томъ, что не всѣ могутъ повторить заданіе. Этимъ вы убѣдите большинство учащихся въ томъ, что лучше эти числа записать, и только послѣ этого приступать къ сложенію. Но при этомъ окажется для учениковъ поучительнымъ и еще одно обстоятельство. Въ то время, когда они складываютъ эти числа, начиная съ сотенъ, имъ необходимо смотрѣть на записи чиселъ. Въ противномъ случаѣ, хотя числа и записаны, дѣти все-таки не могутъ запомнить всѣхъ промежуточныхъ суммъ и слагаемыхъ, которыя при нахожденіи этихъ суммъ приходится складывать. Еще убѣдительнѣе необходимость записей и необходимость смотрѣть на эти записи во время сложенія, если слагаемыхъ больше, чѣмъ два, если, ихъ, напр., четыре, пять или шесть. И въ этомъ случаѣ нѣтъ опасности, что дѣти прибавятъ къ единицамъ одного разряда единицы другого разряда. Если каждое изъ чиселъ трехзначное, то учащіеся отлично видятъ, что сначала они складываютъ сотни, потомъ десятки и, наконецъ, единицы.

Записи слагаемыхъ.

§ 10. Нѣтъ необходимости записывать трехзначныя слагаемыя числа одно подъ другимъ.

Эта необходимость проявляется только въ случаяхъ, когда даны числа четырехзначныя, пяти, шести и семизначныя и т. д., особенно если цифра тысячъ отъ цифры сотенъ, и цифра милліоновъ—отъ цифры сотенъ тысячъ не отдѣлены болѣе значительными промежутками. Складывая «цифры» трехзначныхъ чиселъ, начиная съ сотенъ, учащіеся убѣждаются въ томъ, что отъ сложенія сотенъ получаются иногда и тысячи, отъ сложенія десятковъ получаются добавочныя сотни, которыя нужно присоединить къ сотнямъ полученныхъ сначала суммъ, а отъ сложенія единицъ получаются десятки, которые могутъ повліять на сотни и даже на тысячи. Такимъ образомъ ученики убѣждаются въ томъ, что и въ этомъ случаѣ лучше начинать сложеніе съ единицъ перваго разряда, т.-е. съ отдѣльныхъ еди-

ницъ, перейдя затѣмъ къ десяткамъ, а потомъ уже къ сотнямъ. Цѣль попытки прибѣгнуть къ изустному сложенію при вычисленіи суммъ трехзначныхъ чиселъ состоитъ исключительно въ томъ, чтобы убѣдить учащихся въ затруднительности этого вычисленія въ случаяхъ сложенія тѣхъ трехзначныхъ чиселъ, которыя въ результатѣ даютъ единицы высшихъ разрядовъ. Несмотря на это, не надо продѣлывать эти упражненія кое-какъ. Время, на нихъ затраченное, вообще не потеряно и окупается возбужденіемъ въ умѣ учащихся сознанія въ трудности изустнаго производства сложенія трехзначныхъ чиселъ и возбужденіемъ у нихъ интереса къ самому процессу («алгориѳму») сложенія. Само собою разумѣется, однако, что доводить учениковъ до утомленія тоже не слѣдуетъ. Дѣти должны только воочію убѣдиться въ томъ, что ни сложить изустно, ни даже запомнить данныя числа и получающіеся вспомогательные результаты нѣтъ почти никакой возможности.

Выполненіе сложенія на счетахъ Кавуна, Шохоръ-Троцкаго или торговыхъ счетахъ полезно не только какъ таковое, но и потому, что въ этомъ вычисленіи выясняется значеніе десятичной системы. Учащіеся должны понять, что изустное сложеніе и сложеніе на счетахъ начинается съ единицъ высшаго разряда, вычисленіе же письменное—съ единицъ разряда низшаго.

Немногочисленныя круглыя трехзначныя числа учащіеся должны складывать изустно, хотя бы у нихъ всѣ числа были записаны одно подъ другимъ. Можно складывать такія числа, записавши ихъ въ одинъ столбецъ, если они такъ не записаны, отмѣтивъ въ свое время, что на мѣстѣ единицъ и на мѣстѣ десятковъ надо записать нули. Тогда остается только сложить сотни. Если среди слагаемыхъ есть числа, въ письменныхъ записяхъ которыхъ есть нули, то эти нули учащіеся инстинктивно пропускаютъ, и требовать отъ нихъ, чтобы они непремѣнно говорили: «семь да нуль семь, да восемь пятнадцать, да нуль пятнадцать» и т. д., не слѣдуетъ (по крайней мѣрѣ, на этой ступени). Но полезнѣе въ случаѣ немногочисленныхъ трехзначныхъ круглыхъ слагаемыхъ обращать вниманіе учащихся, что изустное сложеніе допустимо. Желательно никогда не порывать съ изустными вычисленіями.

Многозначныя слагаемыя.

§ 11. Прежде чѣмъ перейти къ письменному производству сложенія многозначныхъ чиселъ,

полезно обратиться къ случаю, когда это сложеніе можно совершить изустно. При этомъ всѣ слагаемыя должны быть записаны. Таковы всѣ круглыя четырехзначныя, пятизначныя или шестизначныя слагаемыя, но непремѣнно обращаться къ шестизначнымъ числамъ и даже къ пятизначнымъ нѣтъ никакой надобности. Кто уразумѣлъ способъ сложенія некруглыхъ четырехзначныхъ чиселъ, тотъ, конечно, уразумѣетъ и сложеніе чиселъ пятизначныхъ и т. д. Усвоивъ способъ сложенія не круглыхъ многозначныхъ чиселъ со многими значущими цифрами въ записи каждаго изъ нихъ, можно обратиться къ задачамъ, такъ какъ техника сложенія намѣчена предыдущими упражненіями. Полезно показать учащимся примѣненія и выгоды этой техники къ случаямъ, когда требуется выполнить сложеніе для рѣшенія какой-нибудь задачи (о фабрикантахъ, о городахъ, о торговцахъ хлѣбомъ, о заводѣ и т. п.). Но вниманіе надо обращать преимущественно на то, чтобы учащіеся поняли, что нужно для удобства, и что—для скорости вычисленія, и почему лучше начинать производство сложенія съ единицъ низшаго разряда. Слишкомъ многочисленныхъ задачъ съ условіями предлагать не стоитъ, такъ какъ онѣ, строго говоря, не двигаютъ учащагося сколько-нибудь впередъ въ дѣлѣ дальнѣйшаго усвоенія ариѳметики. Среди этихъ задачъ съ условіями могутъ фигурировать задачи, въ которыхъ есть такія условныя выраженія, какъ: «больше», «увеличилось», «доходъ повысился» и т. п. Раздѣленіе записи числа на грани по три цифры въ каждой, начиная отъ правой руки къ лѣвой, здѣсь чрезвычайно полезно. Оно выпрямляетъ и улучшаетъ записи, тѣмъ самымъ дѣлаетъ почти невозможнымъ сложеніе единицъ одного разряда съ единицами другого, что при неаккуратной записи вполнѣ возможно1).

Контрольныя задачи на неизвѣстныя дѣйствія.

§ 12. Для того, чтобы убѣдиться въ томъ, не мыслятъ ли ученики по шаблону, не думаютъ ли они, что всѣ задачи, которыя вы имъ предлагаете, требуютъ непремѣнно сложенія, стало-быть, для того, чтобы убѣдиться въ томъ, насколько они сознательно относятся къ дѣлу, вы можете среди задачъ на сложеніе предложить и задачи, требующія вычи-

1) Впослѣдствіи мы, при разработкѣ вопросовъ письменнаго производства умноженія и дѣленія многозначнаго числа на многозначное, убѣдимся въ томъ, что раздѣлять данныя числа на грани не всегда полезно.

танія, умноженія или дѣленія. Нужды нѣтъ, что они не умѣютъ этого дѣйствія произвести. Нужно, чтобы они понимали, что въ данномъ случаѣ требуется сложеніе, а въ другомъ—не сложеніе, а вычитаніе, умноженіе, дѣленіе, и что все дѣло въ томъ, что они производить эти дѣйствія надъ многозначными числами не умѣютъ. Слишкомъ многихъ задачъ, такъ сказать, контрольнаго содержанія предлагать, конечно, не нужно.

Достаточно предложить учащимся простую задачу вродѣ, напр., слѣдующей: «на заводѣ выдѣлано въ теченіе года 1 340 745 гвоздей; изъ этого количества гвоздей оказалось 17 880 штукъ браку; сколько годныхъ гвоздей было приготовлено на этомъ заводѣ?» Надо ли здѣсь эти оба числа сложить? Или задача: «одна десятина лѣса стоитъ 513 рублей; помѣщикъ купилъ 475 десятинъ лѣса; сколько онъ заплатилъ?» и т. п. Послѣдними контрольными задачами должны быть задачи на вычитаніе многозначнаго числа изъ многозначнаго же, принуждающія, такъ сказать, перейти къ изученію письменнаго производства вычитанія. Учащіеся поймутъ, что дальнѣйшую работу они должны направить къ тому, чтобы уяснить себѣ, какъ производится вычитаніе одного многозначнаго числа изъ другого многозначнаго, когда результатъ этого вычитанія не очевиденъ.

Первые шаги въ области вычитанія.

§ 13. Начать упражненія въ вычитаніи надо, конечно, съ выясненія себѣ и учащимся, насколько послѣдніе владѣютъ изустнымъ вычитаніемъ двузначнаго числа изъ числа первой сотни. Это вычисленіе должно производиться, конечно, изустно. Затѣмъ можно перейти къ такимъ случаямъ вычитанія, когда каждая цифра уменьшаемаго обозначаетъ число большее, чѣмъ соотвѣтствующая цифра вычитаемаго. Останавливаться на вопросѣ о томъ, какъ записывать числа въ этомъ случаѣ, вѣроятно, уже не придется. Учащіеся, можетъ-быть, и сами пожелаютъ записывать вычитаемое подъ уменьшаемое. Если бы этого не случилось, то надо довести ихъ до того, чтобы они убѣдились, но безъ такъ называемыхъ «объясненій» учителя, что если одно число подписано подъ другимъ, то виднѣе, легко ли сдѣлать это вычитаніе. Этого одного мотива для учениковъ достаточно для того, чтобы они поняли, что при вычитаніи многозначнаго числа изъ многозначнаго же полезно записать вычитаемое подъ письменнымъ обозначеніемъ умень-

шаемаго или же уменьшаемое подъ записью вычитаемаго. Принято же писать уменьшаемое выше вычитаемаго, подъ записью вычитаемаго проводить черту и снабжать вычитаемое знакомъ вычитанія. Этотъ знакъ нуженъ, если дѣйствіе еще не произведено и если по записи не видно, что надо выполнить вычитаніе. Такъ, напр., при вычитаніи частныхъ произведеній дѣлителя на цифры частнаго можно не ставить знака вычитанія. Не надо его ставить въ случаяхъ, когда записанъ смыслъ чиселъ, напр.:

и т. п. Учащіеся должны уразумѣть, что не въ знакѣ дѣло и что ставить знакъ не всегда обязательно.

Пристрастіе къ излишнимъ знакамъ и записямъ у учащихся иногда бываетъ такъ велико, что они, не отдавая себѣ отчета въ вопросѣ, въ отвѣтъ на предложенія: «помножить семь на шесть», «раздѣлить 12 на 2», считаютъ необходимымъ записать множителя подъ множимое, затѣмъ поставить знакъ умноженія и подчеркнуть, а подъ чертой записать 42, а при дѣленіи записать 12, поставить вертикальную черту и т. д., и т. д.

Учащіеся, привыкшіе къ такому неосмысленному записыванію, готовы утверждать, что «такъ легче», если новый учитель отъ нихъ потребуетъ записать оба дѣйствія въ строчку или просто сказать, сколько получится, и если «старый» учитель училъ ихъ больше писать, чѣмъ вычислять и думать.

Переходъ къ раздробленію одной единицы высшаго разряда въ 10 единицъ низшаго.

§ 14. Раньше чѣмъ переходить къ тому случаю, когда для возможности вычитанія приходится раздроблять одну единицу высшаго разряда въ 10 единицъ ближайшаго — низшаго, слѣдуетъ учениковъ пріучить къ тому, чтобы они начинали записывать остатокъ отъ лѣвой руки къ правой, т.-е. начиная отъ единицъ высшаго разряда. Это удобно только въ тѣхъ случаяхъ, когда остатокъ очеви-

день. При этомъ они не должны говорить: два изъ пяти, останется три; семь изъ девяти, останется два и т. д. Затѣмъ надо взять примѣры, когда такое записываніе остатка уже неудобно. Это неудобство должно пройти черезъ сознаніе учащихся и подготовить ихъ къ вычитанію, начинающемуся съ единицъ низшаго разряда. Въ такомъ случаѣ вполнѣ обоснована рѣчь о томъ, что де «семь вычесть изъ трехъ нельзя, раздробимъ одну единицу (одинъ десятокъ, одну сотню и т. п.) въ единицы такого-то разряда, получимъ двѣнадцать; семь изъ двѣнадцати—пять, 5 записываемъ» и т. д. Слѣдуетъ пріучать ихъ къ словамъ: «одинъ десятокъ раздробляю въ единицы», «раздробляю одну сотню въ десятки», «раздробляю одну тысячу въ сотни» и т. д. Это болѣе цѣлесообразно, чѣмъ говорить: «займемъ одинъ десятокъ и обратимъ его въ единицы» и т. п. Дѣло въ томъ, что понятіе о «займѣ» заключаетъ въ себѣ совершенно неумѣстное въ этомъ случаѣ понятіе о возвращеніи взятаго взаймы. Между тѣмъ здѣсь не можетъ быть рѣчи о настоящемъ займѣ. Здѣсь есть только, преобразованіе одной единицы одного разряда въ единицы ближайшаго низшаго.

Раздробленіе единицы высшаго разряда въ единицы низшаго.

§ 15. Первыя упражненія въ раздробленіи должны относиться къ раздробленію одного десятка единицъ въ единицы. Слѣдующія— должны относиться къ раздробленію одной сотни въ десятки, дальнѣйшія упражненія—одной тысячи въ сотни, и т. д. При этомъ, однако же, каждый разъ раздробленіе въ данномъ примѣрѣ должно относиться только до одной единицы одного изъ имѣющихся на-лицо разрядовъ. Раздробленіе единицъ разныхъ разрядовъ въ одномъ и томъ же примѣрѣ должно занимать слѣдующее мѣсто въ упражненіяхъ этого рода. Нуль въ уменьшаемомъ на мѣстѣ разряда, одна единица котораго должна быть раздроблена, въ этомъ случаѣ еще не умѣстенъ. Дальше могутъ пойти упражненія въ такомъ вычитаніи, когда цифра уменьшаемаго нуль, и дальнѣйшее вычитаніе совершается безъ затрудненій, т.-е. безъ дальнѣйшихъ раздробленій. Разсужденія, требуемыя при этомъ должны словесно выражаться учениками сначала подробно. Первыя упражненія должны относиться до тѣхъ случаевъ, когда нуль представляетъ собой цифру отдѣльныхъ единицъ низшаго разряда, для того, чтобы при раздробленіи вычитаніе относи-

лось до вычитанія нѣкотораго однозначнаго числа изъ десяти единицъ. Дальше нуль можетъ появляться ужъ на мѣстѣ цифры десятковъ, на мѣстѣ цифры сотенъ и т. д., при томъ условіи, чтобы такихъ раздробленій было не болѣе одного въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ. Затѣмъ могутъ встрѣчаться примѣры, въ которыхъ требуется нѣсколько раздробленій, но ни одинъ изъ нулей уменьшаемаго не замѣняется при вычисленіи девяткой.

Замѣна нуля девяткой.

§ 16. Послѣ этого могутъ появиться упражненія, при которыхъ на мѣстѣ цифры 0, такъ сказать, подразумѣвается цифра 9, т.-е. когда приходится раздроблять, скажемъ, сотню въ десятки, а десятковъ отдѣльныхъ нѣтъ, и приходится одинъ десятокъ раздробить въ единицы. На этомъ пунктѣ надо нѣсколько остановиться, не считая, что учащіеся легко его усваиваютъ, только на томъ основаніи, что учитель это выяснялъ, и что они запомнили, что вмѣсто нуля на этомъ мѣстѣ «подразумѣвается» 9. Разсужденіе должно итти сначала подробное. Появленіе нѣсколькихъ нулей, чередующихся со значущими цифрами или стоящихъ рядомъ въ цифровомъ обозначеніи уменьшаемаго, должно быть трактуемо, какъ нѣкоторая новая задача, для разрѣшенія которой надо хорошенько отдать себѣ отчетъ въ томъ, какой нуль замѣняетъ девятку, а какой нуль девятки не замѣняетъ.

Нули вычитаемаго

§ 17. Если въ цифровомъ обозначеніи вычитаемаго есть нули, то это не представляетъ для учащагося особыхъ затрудненій, но на немъ тоже надо нѣсколько остановиться. Принято говорить: «нуль изъ семи—семь», «нуль изъ пяти—пять», «нуль изъ нуля—нуль». Конечно, этотъ способъ описанія процесса совершенно вѣренъ, если на нуль смотрѣть, какъ на число. Но если учащійся еще не смотритъ на нуль какъ на число, а смотритъ на него только какъ на знакъ, обозначающій, что единицъ даннаго разряда нѣтъ, то гораздо полезнѣе говорить такъ: единицъ не надо вычитать (274—120), останется четыре единицы; десятковъ не надо вычитать (384—102), десятковъ останется восемь и т. п. Если и въ уменьшаемомъ, и въ вычитаемомъ на мѣстѣ единицъ одного и того же разряда нули, и нуль уменьшаемаго не обратился въ девятку, то можно говорить такъ: десятковъ нѣтъ, и вычитать ихъ не надо (408—205), пишу нуль, или: сотенъ нѣтъ, и вычитать ихъ не надо (7064—2032), пишу нуль, и т. п.

Точки надъ нѣкоторыми цифрами уменьшаемаго.

§ 18. Когда учащіеся освоились съ самымъ способомъ производства вычитанія въ разныхъ случаяхъ, полезно ихъ пріучить и къ тому, чтобы они, при вычитаніи, для памяти, заблаговременно и предварительно отмѣтили точками цифры уменьшаемаго, которыя придется замѣнить другими цифрами на одну единицу меньше, а нуль замѣнить девяткой. Точки эти слѣдуетъ ставить надъ этими цифрами уменьшаемаго, а не между цифрами. Предварительная, а не во время производства дѣйствія, простановка этихъ точекъ упорядочиваетъ работу съ чисто-технической точки зрѣнія и очень полезна для того, чтобы учащіеся не дѣлали ошибокъ по винѣ несвоевременно сдѣланной отмѣтки надъ цифрою, которую нужно при вычитаніи будетъ измѣнить. Кромѣ того, она вноситъ много разумѣнія въ существо самаго процесса вычитанія.

Зрѣніе, слухъ и ритмъ при вычитаніи.

§ 19. Учащіеся должны уразумѣть, что письменное производство сложенія и вычитанія представляетъ собою процессъ, который легко осуществляется, благодаря зрѣнію и благодаря таблицамъ сложенія и вычитанія. Только въ исключительныхъ случаяхъ, когда слагаемыя — круглыя числа, или вычитаемое — круглое число, или же когда приходится имѣть дѣло съ двузначными числами, достаточно одного слухового воспріятія данныхъ намъ чиселъ для того, чтобы изустнымъ способомъ произвести это вычитаніе. Записываніе цифръ должно итти ритмически на-ряду съ изустнымъ вычисленіемъ этихъ цифръ. Здѣсь оказывается крайне полезной нѣкоторая забота о ритмичности работы. Учащіеся должны понять, что усвоенные ими способы письменнаго производства сложенія и вычитанія—благодѣяніе, а не случайное, выдуманное учителемъ или кѣмъ-нибудь другимъ, упражненіе, которое никому не нужно.

Вслухъ, втихомолку и шопотомъ.

§ 20. Изъ частностей производства сложенія заслуживаетъ вниманія слѣдующая: какъ производить сложеніе однозначныхъ чиселъ:

вслухъ, втихомолку или же шопотомъ? Многіе при сложеніи чиселъ 8, 7, 7 и 9 произносятъ вслухъ слѣдующія слова: «восемь да семь—пятнадцать, пятнадцать да семь—двадцать два, двадцать два да девять — тридцать одинъ». Такимъ образомъ каждая промежуточная сумма произносится два раза. Лучше это дѣлать короче, а именно произнося только слѣду-

ющія слова: «восемь да семь—пятнадцать, да семь—двадцать два, да девять — тридцать одинъ», т.-е. не повторяя полученнаго результата. Для этого тоже полезно слѣдовать требованіямъ ритма1). Еще лучше, не называя слагаемыхъ вслухъ, пользуясь только зрѣніемъ и надлежащимъ образомъ передвигая карандашъ или мѣлъ, называть получаемыя суммы. Въ нашемъ примѣрѣ это сведется къ произнесенію слѣдующихъ словъ: «восемь, пятнадцать, двадцать два, тридцать одинъ». При этомъ учащійся облегчаетъ себѣ работу, показывая то слагаемое, которое онъ прибавляетъ къ полученной суммѣ. Само собою разумѣется, что если вычисляющій произноситъ вычисленія вслухъ, то самый процессъ вычисленія облегчается. Практическія соображенія, сводящіяся, главнымъ образомъ, къ тому, чтобы въ классѣ при выполненіи учениками самостоятельныхъ работъ не было шума, требуютъ, чтобы учащіеся научились складывать шопотомъ. Требовать же отъ нихъ, чтобы они производили всѣ вычисленія въ глубокомъ молчаніи, не вполнѣ благоразумно съ двухъ точекъ зрѣнія. Во-первыхъ, учащіеся, особенно не чисто-зрительнаго типа, при этомъ не достаточно быстро и вѣрно вычисляютъ и, во-вторыхъ, потому, что они при этомъ гораздо больше устаютъ. Первыя упражненія въ сложеніи должны производиться, конечно, вслухъ, со всѣми промежуточными числительными именами.

Сложеніе многочисленныхъ слагаемыхъ.

§ 21. Заслуживаютъ вниманія также способы сложенія многочисленныхъ слагаемыхъ. Въ учебникахъ ариѳметики рекомендуется сначала сложить только нѣсколько слагаемыхъ, затѣмъ—изъ остальныхъ нѣсколько и т. д., а въ концѣ-концовъ, сложить всѣ полученныя суммы. Къ сожалѣнію, этотъ способъ вычисленія ведетъ къ недостаточно достовѣрнымъ результатамъ. Провѣрка же результата утомительна. Кромѣ того, во время работы ее прерывать, хотя бы только на нѣсколько секундъ, крайне неудобно, а при болѣе продолжительномъ перерывѣ надо начинать всю работу по отысканію одной изъ частныхъ суммъ чуть не сначала. Гораздо удобнѣе тотъ способъ вычисленія, который можно охарактеризовать,

1) О ритмѣ при вычисленіяхъ см. гл. VIII „Методики ариѳметики для учителей начальныхъ школъ“, ч. I (изд. 8-е), и одинъ изъ параграфовъ послѣдней главы этой книги.

какъ сложеніе многозначныхъ чиселъ «въ два пріема». Сколько бы ни было слагаемыхъ, можно сначала сложить только единицы и окончательный результатъ записать. Затѣмъ можно эту работу прервать и въ случаѣ надобности этотъ одинъ столбецъ провѣрить. Потомъ можно сложить десятки, результатъ записать, конечно, въ надлежащемъ мѣстѣ, далѣе—сложить сотни, и т. д. Когда всѣ разряды слагаемыхъ будутъ исчерпаны, полученныя такимъ образомъ числа надобно опять-таки сложить. Но это послѣднее сложеніе уже не представляетъ большой опасности для вѣрнаго вычисленія. Если бы оказалось, что какая-нибудь изъ суммъ внушаетъ опасенія или сомнѣнія, одну эту сумму можно провѣрить отдѣльно отъ другихъ суммъ, чего при другомъ способѣ сложенія сдѣлать нельзя. Далѣе: если посреди работы надъ сложеніемъ единицъ какого-либо разряда пришлось работу почему-либо прервать, то не надо начинать все вычисленіе сначала: надо только обратиться къ сложенію единицъ даннаго разряда. Это представляетъ собой большой выигрышъ во времени и въ затратѣ силъ. Такой способъ сложенія многозначныхъ чиселъ полезенъ и въ тѣхъ случаяхъ, когда слагаемыхъ не очень много. Но въ особенности полезно составлять подобную запись частныхъ суммъ въ случаяхъ, если дано очень много слагаемыхъ. Тогда въ итогѣ сложенія единицъ какого-либо разряда могутъ получиться не только десятки этихъ единицъ, но даже сотни ихъ, которыя удержать въ памяти ужъ прямо затруднительно. Именно вслѣдствіе этой затруднительности, въ учебникахъ, главнымъ образомъ, и рекомендуется разбивать слагаемыя, если ихъ много, на группы. Записывать надъ столбцомъ цифръ единицъ одного и того же разряда то число единицъ того же разряда, которое получилось отъ сложенія единицъ низшаго разряда, не для чего. Лучше это число единицъ даннаго разряда принять за первое слагаемое, и къ нему прибавлять остальныя единицы того же разряда.

Сложеніе и вычитаніе на счетахъ.

§ 22. Сложеніе многозначныхъ чиселъ на счетахъ, конечно, тоже представляетъ собою не что иное, какъ задачу, которой рѣшеніе

ученики понимаютъ очень скоро. Но сколько-нибудь значительной увѣренности въ томъ, что полученная сумма дѣйствительно вѣрна, у вычисляющаго на счетахъ быть не можетъ. А въ случаѣ неувѣренности приходится повторить все вычисленіе отъ начала до конца. Въ этомъ состоитъ главное неудобство сложенія на счетахъ. Конечно, и въ этомъ сложеніи можно достигнуть такого совершенства, чтобы ошибокъ не было, или чтобы ихъ было чрезвычайно мало. Но вычисленія письменныя даютъ гораздо больше гарантій даже для учащихся дѣтей въ томъ, что сложеніе сдѣлано вѣрно. Вычисленіе суммъ на счетахъ имѣетъ зато методическое значеніе, выясняя учащемуся значеніе десятичной системы счисленія. То же справедливо относительно вычитанія на счетахъ. Практическое значеніе такого вычисленія для жизни у насъ довольно велико. Но школѣ особенно настаивать на снабженіи дѣтей умѣніемъ быстро вычислять на счетахъ не слѣдуетъ. Это выходитъ за предѣлы ея главныхъ культурныхъ задачъ. См. «Мет. ар.», ч. I, § 8 гл. II.

Условія возможности производства сложенія и вычитанія.

§ 23. Чтобы производить (изустно или письменно) сложеніе и вычитаніе чиселъ, надобно быть въ состояніи: а) запомнить такъ называемую таблицу сложенія любыхъ двухъ чиселъ перваго десятка; б) быть въ состояніи быстро прибавлять любое однозначное число къ любому двузначному, трехзначному и многозначному числу; в) запомнить такъ называемую таблицу вычитанія любого числа перваго десятка изъ любого числа перваго же десятка, большаго, чѣмъ вычитаемое, и любого однозначнаго числа изъ числа второго десятка, дающаго въ результатѣ однозначное число. Это не только долженъ помнить учитель, но вполнѣ уразумѣть и учащіеся.

Для возможности же вѣрнаго и быстраго письменнаго производства сложенія и вычитанія надо, въ настоящее время, имѣть въ своемъ распоряженіи также тотъ способъ обозначенія чиселъ съ помощью такъ называемыхъ арабскихъ цифръ, при которомъ каждая цифра, написанная рядомъ съ другою цифрой, имѣетъ свое безотносительное (абсолютное) значеніе и свое помѣстное (позиціонное) значеніе и при которомъ не имѣющееся на-лицо число отдѣльныхъ единицъ любого разряда обозначается нулемъ. Этимъ способомъ человѣчество обязано индусамъ. Въ Европѣ онъ сталъ прививаться, прибли-

зительно, въ IX вѣкѣ по Р. Хр. Одинъ изъ величайшихъ математиковъ XVIII и XIX вѣковъ, Лапласъ (ум. въ 1827 г.), говоритъ о значеніи этого способа письменнаго обозначенія чиселъ въ слѣдующихъ восторженныхъ выраженіяхъ: «Мысль обозначенія чиселъ помощью десяти знаковъ, основаннаго на безусловномъ и помѣстномъ значеніи цифръ, такъ проста, что только по этой причинѣ мы забываемъ — какого она достойна удивленія. Но именно эта простота и та легкость, которою ей обязано ариѳметическое вычисленіе, дѣлаютъ ариѳметическую систему индусовъ однимъ изъ полезнѣйшихъ изобрѣтеній. Насколько трудно было изобрѣтеніе этой системы, можно судить по тому, что ея не могли изобрѣсти ни Архимедъ, ни Аполлоній Пергейскій, принадлежащіе къ числу величайшихъ людей древности»1). Все значеніе этого великаго изобрѣтенія постигается только при сознательномъ производствѣ всѣхъ дѣйствій. Но даже на занимающей насъ ступени дѣти должны понять, какъ важенъ нуль при обозначеніи чиселъ и какъ ясно обозначеніе чиселъ съ помощью арабскихъ цифръ по сравненію съ цифрами римскими и церковно-славянскими2). Учитель долженъ уже на этой ступени обученія привить ученикамъ не только это сознаніе, но даже прямо чувство благоговѣнія предъ тѣмъ благодѣяніемъ, которое человѣку

1) Взгляды Н. М. Бубнова на „ариѳметическую самостоятельность европейской культуры“ и на не-индусское происхожденіе нынѣ общепринятой системы письменнаго обозначенія чиселъ являются, повидимому, плодомъ нѣкотораго недоразумѣнія. Въ этомъ убѣждаетъ отзывъ авторитетнаго въ вопросахъ исторіи математики В. В. Бобынина о работахъ Н. М. Бубнова въ „Отчетѣ о XIII присужденіи премій митрополита Макарія (Спб. 1911)“. Во всякомъ случаѣ, изслѣдованія Н. М. Бубнова не могутъ умалить значенія системы „позиціонной“ письменной нумераціи для письменнаго же производства четырехъ дѣйствій надъ числами.

2) Архимедъ, какъ извѣстно, вѣрно вычислилъ число песчинокъ, которое заключалось бы въ шарѣ, составленномъ изъ песчинокъ и имѣющемъ въ поперечникѣ удвоенное разстояніе отъ земли до солнца, и при этомъ пользовался составленными имъ десятичными единицами высшихъ разрядовъ. Однако же, до десятичной нумераціи съ помощью десяти цифръ этотъ великій, по мнѣнію Ф. Араго, едва ли не величайшій геометръ всѣхъ временъ и народовъ, не додумался. Ср. А. В. Васильева: „Изъ исторіи и философіи понятія о цѣломъ положительномъ числѣ“. Казань 1891 г.

оказываетъ десятичный способъ счисленія вмѣстѣ съ десятью арабскими цифрами, среди которыхъ нуль играетъ столь важную роль. Если учитель этого не сумѣлъ сдѣлать во-время, то онъ сдѣлалъ вообще немного для возбужденія истиннаго интереса къ прохожденію учениками дальнѣйшихъ ступеней обученія письменному производству четырехъ дѣйствій надъ числами.

ГЛАВА III.

Письменное производство умноженія и дѣленія многозначныхъ чиселъ.

31-я ст.: одинъ сомножитель—однозначное число.

§ 1. Тридцать первая ступень курса посвящена умноженіе многозначнаго числа на однозначное и однозначнаго числа на многозначное.

При этомъ умноженіе на 10, какъ и всякое другое умноженіе на двузначное число, произведенія котораго на числа однозначныя извѣстны (напр., на 11, 12 и нѣкот. другія), можно совершать точно такъ же, какъ мы совершаемъ умноженіе на однозначное число, а именно: не разбивая множителя на разрядныя числа. Умноженіе на десять представляетъ собою именно такой случай, когда произведеніе любой цифры множимаго на это число извѣстно учащемуся изъ таблицы умноженія1).

Обычное правило, по которому при умноженіи на 10 надо только приписать къ цифровому обозначенію множимаго нуль съ правой стороны, на этой ступени неумѣстно. На этой ступени умноженіе на 10 должно сначала совершаться, притомъ такъ же, какъ умноженіе на однозначное число. Приписываніе нуля къ письменному обозначенію множимаго, обозначеннаго арабскими цифрами, нельзя считать умноже-

1) Почти съ такой же легкостью можно умножить любое однозначное число на 12, 13 и многія другія двузначныя числа. Довольно легко умножить на 11, на 12, на 13 и т. п., не прибѣгая къ разложенію множителя на части, помня, что 13 разъ одинъ будетъ 13, 13 разъ два—26, 13 разъ три—39, 13 разъ четыре—52, 13 разъ пять—65, 13 разъ шесть—78, 13 разъ семь—91, 13 разъ восемь—104 и 13 разъ девять—117. Но это менѣе удобно, чѣмъ тотъ способъ умноженія, когда умножаютъ на отдѣльныя единицы и на 10.

ніемъ на десять. Приписавъ нуль, мы только получили запись произведенія, не отыскивая и не вычисляя его.

Переходъ къ умноженію.

Переходя къ умноженію, надо раньше всего потребовать отъ учениковъ, чтобы они сложили нѣсколько такихъ трехзначныхъ чиселъ, которыя складываются быстро, такъ какъ суммы ихъ не требуютъ письменнаго вычисленія. Таковы, напр., числа: 332, 332 и 332, таковы же числа: 121, 121, 121 и 121 и т. п. Ученики должны при этомъ производить сложеніе по всѣмъ правиламъ искусства, или же однимъ только зрѣніемъ, т.-е. подписывая подъ чертою получаемую сумму, начиная отъ лѣвой руки къ правой (это очень легко), или на самомъ дѣлѣ, складывая и говоря: 2 да 2—четыре и еще 2—шесть, еще 2— восемь и т. п. Они должны себѣ уяснить, что когда они такъ поступаютъ, то они именно складываютъ числа, а не умножаютъ данное число на другое. Только съ того момента, когда учащійся начинаетъ говорить: 3 раза 2—шесть (или трижды-два—шесть, трижды-одинъ—три и т. д.), появляется умноженіе. Какъ при этомъ записано требованіе (въ видѣ ли слагаемыхъ или же въ видѣ множимаго и однозначнаго множителя), конечно, безразлично. Просто принято, что если одинаковыя числа записаны въ видѣ слагаемыхъ, то ихъ требуется сложить. Но ихъ сумму можно найти и умноженіемъ. Если же требованіе дѣйствія записано въ видѣ множимаго и множителя, то результатъ этого дѣйствія надобно найти непремѣнно умноженіемъ, т.-е. пользуясь таблицею умноженія. Если, при сложеніи равныхъ между собою многозначныхъ чиселъ, отъ сложенія единицъ получаются также десятки, или отъ сложенія десятковъ получаются также сотни и т. п., то само собою разумѣется, что въ этомъ случаѣ удобнѣе прибѣгать къ умноженію, а не къ сложенію. Ибо при сложеніи мы то число единицъ слѣдующаго разряда, которое получается отъ сложенія единицъ разряда низшаго, сейчасъ же прибавляемъ къ единицамъ слѣдующаго разряда, чтобы не обременять своей памяти и не записывать подлежащаго прибавленію числа. При умноженіи же мы сначала умножаемъ, а потомъ прибавляемъ единицы низшаго разряда, получившіяся отъ умноженія единицъ высшаго. Дѣйствительно: если мы складываемъ 2124, 2124 и 2124, то складывая 4 да 4—восемь, да 4—двѣнадцать, мы записываемъ 2, а десятокъ естественно

прибавляемъ къ десяткамъ, не найдя сначала суммы всѣхъ десятковъ. Въ этомъ случаѣ мы совершенно не пользуемся выгодами таблицы умноженія. Эту сторону дѣла должны, между прочимъ, уяснить себѣ и учащіеся для того, чтобы понять, что сумму равныхъ слагаемыхъ, особенно если ихъ много и если они — числа многозначныя, притомъ не круглыя, удобнѣе находить съ помощью умноженія, а не съ помощью сложенія. Этимъ и объясняется, почему надо начинать изученіе умноженія многозначнаго числа на однозначное и на десять со сложенія равныхъ слагаемыхъ, а не прямо съ умноженія.

Процессъ умноженія на однозначное число.

§ 2. Что касается самаго процесса, самаго способа производства умноженія многозначнаго числа на однозначное, то трудности этого дѣйствія невелики. Только въ самомъ началѣ надо достигнуть того, чтобы ученики отдавали себѣ отчетъ въ томъ, какія единицы они получаютъ при умноженіи единицъ на однозначное число, какія—отъ умноженія десятковъ на однозначное число, сотенъ—на однозначное число, и т. д.

Какъ записывать множимое, множителя и произведеніе.

Какъ записывать требованіе умноженія (въ одну строчку, или въ двѣ строки, поставивъ слѣва множителя знакъ умноженія и подчеркнувъ запись достаточно длинной чертой), для самаго способа производства (алгориѳма) дѣйствія безразлично. Но для внесенія болѣе, если можно такъ выразиться, математическихъ записей въ ариѳметику, полезнѣе записывать множителя направо отъ множимаго, а послѣ записи множителя ставить знакъ равенства. Затѣмъ можно производить умноженіе такъ, какъ этого требуетъ данный случай. Весь вопросъ только въ томъ, куда записать первую, считая отъ правой руки къ лѣвой, цифру (цифру единицъ) произведенія, которая получится при этомъ умноженіи. Этотъ вопросъ представляетъ собою поводъ для лучшаго проникновенія учащихся въ самое существо дѣла. Они должны понимать, что отъ умноженія сотенъ, если дано трехзначное множимое, могутъ получиться не только отдѣльныя сотни, но также нѣкоторое количество тысячъ. Сообразовываясь съ этимъ, учащіеся должны отмѣтить послѣ знака равенства то мѣсто, которое займетъ запись произведенія. При этомъ надо обратить вниманіе на то, что цифра тысячъ въ записи произведенія должна быть отдѣлена отъ цифры сотенъ большимъ промежуткомъ,

чѣмъ промежутки, отдѣляющіе одну отъ другой остальныя цифры произведенія. Когда множитель подписанъ подъ записью множителя, а подъ послѣдней проведена черта, этого вопроса нѣтъ. Но расчетъ числа цифръ въ произведеніи важенъ во многихъ другихъ отношеніяхъ. Главная его цѣль—внести поболѣе сознательности въ работу учащихся и возбудить ихъ интересъ къ оцѣнкѣ величины произведенія, хотя бы только приблизительной. Время, потраченное на упражненія въ такомъ расположеніи вычисленій при умноженіи на однозначное число, окупится впослѣдствіи, притомъ много разъ. Если самъ учитель настолько привыкъ записывать множителя непремѣнно подъ записью множимаго, что ему, если можно такъ выразиться, «непріятно» записывать множителя рядомъ со множимымъ, то примириться съ этимъ, конечно, возможно. Однако же, это можетъ создать нѣкоторыя неудобства впослѣдствіи, когда учащіеся перейдутъ къ раздробленію составныхъ именованныхъ чиселъ, да и въ случаяхъ, когда приходится по самому смыслу задачи, записать, что однозначное число надо умножить на многозначное. Ибо записывать многозначнаго множителя подъ запись однозначнаго множимаго нѣсколько неудобно1). Нѣкоторые записываютъ полученное произведеніе два раза: разъ подъ чертой, которая проведена подъ записями множимаго и множителя, записанныхъ въ одну строку, и другой разъ—послѣ знака равенства. Это, конечно, вполнѣ допустимо.

Задачи съ условіями.

§ 3. Задачи съ условіями на этой ступени, конечно, полезны. Пріобрѣтенный навыкъ можно использовать для нѣкоторыхъ случаевъ раздробленія простыхъ именованныхъ чиселъ; напр.: сколько въ лотѣ долей, если въ золотникѣ 96 долей, а въ лотѣ 3 зол., сколько вершковъ въ сажени, сколько саженъ въ однозначномъ числѣ верстъ. Эти вопросы представляютъ собою только задачи на умноженіе. При этомъ съ большой выгодой для дѣла то пре-

1) Только при умноженіи многозначнаго числа на многозначное же есть нѣкоторыя выгоды въ записываніи множителя подъ множимое. Одна изъ нихъ сводится къ тому, что цифры множимаго и множителя въ такомъ случаѣ не слишкомъ отдалены одна отъ другой, и не приходится, такъ сказать, затрачивать вниманіе на то, какую цифру множимаго мы множимъ въ данномъ случаѣ на какую цифру множителя. Но эта затрата вниманія имѣется на-лицо и при такомъ записываніи данныхъ для умноженія чиселъ, которое обычно практикуется не столько въ математикѣ, сколько въ учебникахъ ариѳметики и на урокахъ по этому предмету.

образованіе именованнаго числа, которое извѣстно подъ именемъ раздробленія, тѣснѣйшимъ образомъ связывается съ тѣмъ дѣйствіемъ, которое для этого преобразованія необходимо. Благодаря этому, учитель и учащіеся имѣютъ возможность соблюсти то требованіе методики, по которому вопросы однородные не должны, благодаря различнымъ названіямъ, подъ которыми они извѣстны въ учебникахъ, отдѣляться одинъ отъ другого непроницаемой стѣной. См. § 14 гл. III «Мет. ар.»,. ч. I, изд. 8-е, 1915.

Если учитель считаетъ удобнымъ и цѣлесообразнымъ возбудить и поддержать интересъ учащихся кь ариѳметическимъ прогрессіямъ (это, конечно, вопросъ математическій, притомъ гораздо болѣе интересный для малолѣтнихъ учениковъ, чѣмъ задачи на торговцевъ, фабрикантовъ и т. п.), то онъ можетъ взять прогрессію, въ которой первый членъ, напр., равняется 1238, а каждый послѣдующій ровно на 15 единицъ больше. Такимъ образомъ онъ получитъ слѣдующій рядъ чиселъ: 1238, 1253, 1268, 1283, 1298 и т. д. Взявши такихъ чиселъ не больше 18-ти (четное число, меньшее двадцати), онъ учащимся предлагаетъ изустно прибавлять двузначное число. Во-вторыхъ, можно предложить найти сумму всѣхъ этихъ чиселъ слѣдующимъ образомъ: сложить первое съ послѣднимъ, второе — съ предпослѣднимъ, третье отъ начала—съ третьимъ отъ конца и т. д., и ученикъ будетъ въ такомъ случаѣ въ состояніи сложеніе замѣнить впослѣдствіи умноженіемъ. Онъ при этомъ убѣдится въ томъ, что умноженіе и въ этомъ случаѣ быстрѣе ведетъ къ цѣли, чѣмъ сложеніе восемнадцати многозначныхъ чиселъ. Примѣненіе умноженія къ вопросу о числѣ «перемѣщеній» для даннаго числа элементовъ для него тоже можно сдѣлать поучительнымъ.

Множимое — однозначное число.

§ 4. Что касается умноженія однозначнаго числа на многозначное, то это дѣйствіе содержитъ въ себѣ, главнымъ образомъ, два момента: 1) необходимость правильной и осмысленной записи (учащійся всегда долженъ понимать, что, для опредѣленія того, что стоятъ 2 326 аршинъ по 7 рублей за аршинъ, не надо 2 326 арш. умножить на 7, или—что еще хуже—на 7 рублей); 2) важно, чтобы учащійся при этомъ дѣлалъ мысленное перемѣщеніе множимаго и множителя на основаніи разсужденій, а не на основаніи неосмысленнаго правила. Надо помножить 7 рублей на 2 326; это значитъ взять 2 326 рублей, еще 2 326 рублей, еще 2 326 рублей, покуда мы не наберемъ семь разъ по 2 326 рублей. Учащійся долженъ хорошенько разсудить, что 2 326 разъ по семи рублей—то же, что семь разъ по 2 326 руб.

Поэтому умножить можно наоборотъ, а именно многозначное отвлеченное число на однозначное отвлеченное съ тѣмъ, чтобы въ результатѣ получить именованное число того же наименованія, которымъ снабжено множимое. Такая постановка вопроса отвѣчаетъ требованіямъ дѣйствительности и интересамъ какъ логики, такъ и ученическаго разумѣнія.

Дѣйствительное умноженіе на 10.

§ 5. О томъ способѣ дѣйствительнаго умноженія многозначнаго числа на 10, который тожествененъ со способомъ умноженія многозначнаго числа на любое однозначное, т.-е. о томъ способѣ, который основанъ на таблицѣ умноженія, въ которой 10 является множителемъ (десятью-два, десятью-три, десятью-четыре и т. д.), сказано было нѣсколько словъ раньше. Здѣсь умѣстно, можетъ-быть, отмѣтить только еще одно обстоятельство. Правило записыванія произведенія любого числа на 10, сводящееся къ тому, что для того, чтобы записать это произведеніе цифрами, достаточно приписать къ письменному обозначенію множимаго справа нуль, не должно формулировать раньше, чѣмъ ученики сами до него не доберутся путемъ опыта. Это—не правило умноженія, а правило записыванія произведенія на 10. По существу дѣла, вопросъ можно поставить такъ, чтобы, благодаря дѣйствительному умноженію, возбудить уваженіе учащихся къ десятичной системѣ счисленія съ помощью нуля. Дѣйствительно, что 2347, помноженное на 10, даетъ въ результатѣ число, цифровое обозначеніе котораго (23470) содержитъ всѣ цифры множимаго, взятыя въ томъ же порядкѣ съ присоединеніемъ къ нимъ нуля съ правой стороны, представляетъ собою не какое-нибудь случайное обстоятельство, а обстоятельство, въ которое стоитъ вдуматься. Для того, чтобы возможно было вдуматься въ этотъ вопросъ какъ слѣдуетъ, не надо опираться на то, что отъ умноженія на 10 одна единица будто бы «увеличивается» въ 10 разъ, одинъ десятокъ «становится» сотней, и т. д. Это и невѣрно: единица никогда не обращается въ десятокъ, а десятокъ никогда не обращается въ сотню и т. п. Лучше прибѣгнуть къ слѣдующему пріему: предложите ученикамъ написать какое-нибудь многозначное число 10 разъ одно подъ другимъ. Конечно, въ немъ не должно быть больше 3—4 цифръ. Каждый изъ учениковъ запишетъ другое число, и тогда можно ихъ попросить сложить эти числа, не пользуясь таблицей умно-

женія, а пользуясь таблицей сложенія (7 да 7—четырнадцать, да еще 7—двадцать одинъ и т. д. и т. д.). Тогда они проникаются прямо удивленіемъ по поводу того, что у всѣхъ получились, хотя и разныя числа, но у всѣхъ получился нуль на мѣстѣ цифры единицъ, а всѣ остальныя цифры оказались повтореніемъ цифръ одного слагаемаго, взятыхъ въ томъ же порядкѣ, но только предшествующихъ нулю. Тогда дѣти легко объяснятъ себѣ причину этого факта.

Важность умноженія на 10.

Надо при этомъ помнить, что умноженіе на 10, въ сущности говоря, во всемъ ученіи объ умноженіи является, можно сказать, важнѣйшимъ вычисленіемъ. Дѣйствительно: послѣ того, какъ дѣти научились умножать на 10, они свободно уясняютъ себѣ, что при умноженіи на 20, на 30, на 40 и т. д., вообще на однозначное число единицъ десятковъ, можно множимое сначала помножить на десять, или мысленно приписать къ записи множимаго нуль, а затѣмъ полученное число помножить на 2, на 3 и т. п. Равнымъ образомъ и умноженіе на 100, на 1000 и т. д. и на любое круглое число опирается не на что иное, какъ именно на умноженіе на 10. Бояться того, что ученики не подмѣтятъ правила записи, не надо. Надо бояться шаблона и помнить, что то правило, до котораго дѣти добрались сами, усваивается гораздо прочнѣе, чѣмъ то, которое имъ навязали, и гораздо лучше внѣдряется въ ихъ сознаніе, чѣмъ правило, рекомендуемое, часто несвоевременно, учителемъ. Въ З. д. учителей и въ З. д. учениковъ умноженіе на 10 фигурируетъ и на 31-й ступени, и на 33-й ступени. На 31-й ступени дѣйствительное умноженіе на 10 умѣстно потому, что оно ничѣмъ не отличается отъ умноженія на любое другое число второго десятка. А на 33-й ступени, посвященной вопросамъ умноженія многозначнаго числа на однозначное число единицъ любого высшаго разряда, оно необходимо, какъ основа этого послѣдняго умноженія. Здѣсь опять-таки осуществляется важный принципъ «тяготѣнія» однородныхъ вопросовъ къ общему центру («Мет. ар.», ч. I, §14 гл. VI). Подробности относительно того, что говорить при умноженіи на число перваго десятка можно найти въ З. д. учителей1).

1) О ритмѣ при производствѣ умноженія многозначнаго числа на однозначное см. соотвѣтствующій параграфъ послѣдней главы этой книги. Здѣсь достаточно отмѣтить одно: ритмъ и интонацію при произнесеніи относящихся

Множимое 10.

§ 6. На умноженіе десяти на какое бы то ни было многозначное число надо смотрѣть, какъ на случай, гдѣ перестановка сомножителей является чрезвычайно важнымъ подспорьемъ къ надлежащему вычисленію произведенія. Упражненія въ этомъ направленіи никогда не бываютъ вредны, а потому можно указать, что если 10 надо помножить на 237, то 200 разъ по 10—все равно, что 100 разъ по 10-ти, еще 100 разъ по 10-ти, или все равно, что 1000 да 1000, потому что сто разъ по десяти все равно, что десять разъ по 100, и т. п. Только подобныя вычисленія и подобныя разсужденія надо доводить всегда до конца, прежде чѣмъ ученики усвоятъ себѣ самый механизмъ производства дѣйствія умноженія («алгориѳмъ» умноженія) любого многозначнаго числа на число перваго десятка, и любого числа перваго десятка на любое многозначное число1).

32-я ст.: дѣленіе на числа перваго десятка.

§ 7. Тридцать вторая ступень посвящена дѣленію многозначныхъ чиселъ на числа перваго десятка. При этомъ надо различать два случая: либо въ дѣлимомъ и въ частномъ одно и то же число цифръ, либо въ дѣлимомъ одной цифрой больше, чѣмъ въ частномъ. Подвести учениковъ къ дѣленію любого многозначнаго числа на число однозначное можно съ помощью методическаго повторенія какъ тѣхъ случаевъ дѣленія двузначнаго числа на однозначное, когда въ частномъ получается число однозначное же, такъ и тѣхъ случаевъ, когда отъ дѣленія двузначнаго числа на однозначное получается число двузначное. Первый случай дѣленія осуществляется съ помощью такъ наз. таблицы умноженія, второй — съ помощью разложенія дѣлимаго на части, изъ которыхъ одна навѣрное дѣлится на извѣстное число частей и даетъ извѣстное число десятковъ въ частномъ, а другая—либо дѣлится, либо не дѣлится на дѣлителя безъ остатка, но въ обоихъ случаяхъ мы вообще пользуемся таблицей умноженія.

къ данному произведенію словъ надо взять тѣ же, которые брались при ритмическомъ усвоеніи данныхъ такъ наз. таблицы умноженія. Въ случаѣ надобности, можно разрѣшить дѣтямъ имѣть предъ глазами напечатанную или написанную дѣйствительную таблицу умноженія.

1) Слово „алгориѳмъ“ въ настоящее время обозначаетъ самый способъ всякаго вычисленія. Оно представляетъ собою искаженное прозвище замѣчательнаго араба-математика, жившаго въ IX в. по Р. X., Мохамеда ибнъ-Муса, прозваннаго Альхварицми по мѣсту его рожденія.

Въ дѣлимомъ и въ частномъ одно и то же число цифръ.

§ 8. Первое мѣсто послѣ повторительныхъ (на всякій случай) упражненій въ дѣленіи двузначнаго числа на однозначное, какъ въ случаяхъ, когда въ частномъ получается однозначное число, такъ и въ случаяхъ, когда въ частномъ получается число двузначное, занимаютъ упражненія въ такомъ дѣленіи на однозначное число, при которомъ въ дѣлимомъ и въ частномъ одно и то же число цифръ. Въ этомъ случаѣ лучше производить дѣленіе на извѣстное число одинаковыхъ частей, независимо отъ того, требуется ли раздѣлить число на извѣстное число равныхъ частей, или же требуется раздѣлить число на части, въ каждой изъ которыхъ находится столько единицъ, сколько ихъ въ дѣлителѣ. Такъ, напр., если требуется девять десятковъ тысячъ раздѣлить на какое-нибудь число, напр., на два, то удобнѣе разсчитать, что въ каждую часть попадетъ цѣлыхъ десятковъ тысячъ четыре. Это легче постигается, чѣмъ вопросъ о томъ, сколько разъ двѣ единицы содержатся въ девяти десяткахъ тысячъ единицъ. Начинать надо съ тѣхъ случаевъ, когда не получается остатка (напр., 4888 раздѣлить пополамъ, или то же самое число раздѣлить на четыре равныя части и т. п., или 3969 раздѣлить на три одинаковыя части и т. д.). Цѣль такихъ упражненій заключается въ томъ, чтобы внѣдрить въ сознаніе учениковъ навыкъ разсматривать каждый разрядъ отдѣльно и отыскивать, сколько получается въ частномъ цѣлыхъ единицъ именно этого разряда. Затѣмъ можно перейти къ такимъ примѣрамъ, когда первая же цифра при раздѣленіи на дѣлителя даетъ въ остаткѣ одну или двѣ или нѣсколько единицъ, но съ тѣмъ, чтобы послѣдующія цифры уже не затрудняли учениковъ соображеніями о томъ, какъ отыскать цифры частнаго. Только впослѣдствіи можно перейти къ дѣленію такихъ многозначныхъ чиселъ, которыя послѣ каждаго отысканія цифры частнаго даютъ остатокъ, который надо раздробить въ единицы слѣдующаго разряда. Таковъ, наприм., случай: 7596 раздѣлить на 2; здѣсь каждый разъ получается остатокъ.

Въ частномъ одной цифрой меньше, чѣмъ въ дѣлимомъ.

Когда механизмъ раздѣленія многозначнаго числа на однозначное, дающаго въ частномъ столько же цифръ, сколько ихъ въ дѣлителѣ, учениками усвоенъ, можно перейти къ тому случаю, когда въ частномъ получается одной цифрой меньше

чѣмъ въ дѣлимомъ. Большихъ затрудненій это дѣленіе не представляетъ. Но, тѣмъ не менѣе, опытъ убѣждаетъ, что хотя ученики умѣютъ безукоризненно дѣлить двузначное число на двузначное при однозначномъ частномъ, каковое умѣніе ими усвоено отчасти въ первый годъ обученія, но при дѣленіи многозначнаго числа на двузначное первая цифра частнаго представляетъ для учениковъ нѣкоторое затрудненіе, если надо двѣ первыя цифры дѣлимаго раздѣлить на дѣлителя. Однако же и эта трудность легко преодолѣвается, если учащіеся прибѣгаютъ къ дѣленію на извѣстное число одинаковыхъ частей. Сначала надо избѣгать только такихъ примѣровъ, когда въ частномъ получаются нули. Надъ цифрами частнаго (а въ случаѣ надобности и надъ цифрами дѣлимаго) можно записывать первыя буквы имѣющихся на-лицо и получаемыхъ въ частномъ разрядовъ (т., с., д., и т. п.).

Запись дѣленія на однозначное число.

§ 9. Дѣленіе двузначнаго на однозначное число при двузначномъ частномъ должно производиться безъ записи частныхъ произведеній. А именно такъ: пусть требуется найти 57 | 3; въ такомъ случаѣ учащійся долженъ вычислить, что 30 единицъ, по раздѣленіи на 3 части,, дадутъ 10, а остальныя 27, по раздѣленіи на 3, дадутъ 9; итого получится 19. Другой примѣръ: 96 | 4; точно такъ же учащійся долженъ сначала раздѣлить 80 на 4 части, а потомъ 16—на 4 части. Пріучать учениковъ къ многописанію въ этомъ случаѣ въ высшей степени нецѣлесообразно Вредно и самому писать, и дѣтямъ дозволять записи вродѣ, напр., слѣдующихъ (къ сожалѣнію, кое-гдѣ принятыхъ):

Ставить въ случаяхъ, когда остатокъ равенъ нулю, ковычки, какъ это дѣлаютъ очень многіе, тоже не слѣдуетъ, такъ какъ этотъ знакъ въ математикѣ значенія не имѣетъ и почему-то только въ ариѳметикѣ укоренился. Но этотъ недостатокъ записи менѣе существененъ, чѣмъ вообще подробная запись вычисленія. Кромѣ дѣлимаго, дѣлителя, частнаго, остатка, если послѣдній есть, и знаковъ дѣйствія и равенства, ничего болѣе въ этомъ случаѣ писать не должно. Если дѣленіе даетъ остатокъ, то это можно записывать такъ:

При этомъ не надо говорить, что 4 въ семи содержится одинъ разъ, а надо говорить такъ: «4 десятка раздѣлить на 4 одинаковыя части, получимъ 1 десятокъ въ частномъ; не раздѣленныхъ останется 38 единицъ; 38 раздѣлимъ на 4 одинаковыя части, въ частномъ получимъ еще 9 отдѣльныхъ единицъ», и т. п. Когда приходится дѣлать кратное сравненіе:

78 : 4 = 19 (ост. 2),

то тоже не надо говорить такъ, какъ это выше замѣчено, а слѣдующимъ образомъ: 4 единицы въ 4-хъ десяткахъ, или въ сорока единицахъ, содержится одинъ десятокъ разъ, и т. д. Предоставляется благоусмотрѣнію учителя рѣшеніе вопроса, не умѣстнѣе ли на этой ступени, чѣмъ на одной изъ слѣдующихъ, ознакомить дѣтей съ обозначеніемъ частнаго въ видѣ цѣлаго числа съ дробью, если при раздѣленіи числа получается остатокъ, меньшій дѣлителя. Можно ограничиться, для начала, случаемъ, когда остатокъ равенъ одной единицѣ. Но посѣять въ умѣ учениковъ начатки этого представленія можно и на этой ступени. Не надо думать, что всякое ученіе должно давать сразу непремѣнно въ законченномъ видѣ: къ нему можно и должно возвращаться.

Дробь какъ частное.

§ 10. Упомянутый выше способъ обозначенія частнаго въ видѣ смѣшаннаго числа въ тѣхъ случаяхъ, когда дѣлимое больше дѣлителя, легко выяснить ученикамъ только въ случаѣ дѣленія числа на извѣстное число равныхъ частей, и только при соблюденіи слѣдующихъ трехъ условій: 1) Прежде всего, должно взять такія дѣлимыя и такіе дѣлители, чтобы въ остаткѣ получалась единица. Что единица, раздѣленная на двѣ равныя части, даетъ въ частномъ одну половину, что раздѣленная на три равныя части, она даетъ одну треть, на четыре—одну четверть, дѣти уже должны знать. Нетрудно также усвоеніе ими случаевъ, когда дробь равна і і и т. д. 2) Гораздо труднѣе зато усвоеніе ими того, что 3 и 4 единицы, раздѣленныя на 5, 6, на 7 и т. д. частей, даютъ въ частномъ дроби -у, -g-, -g-, -g- и т. д. Къ выясненію этого можно приступить лишь съ нѣкоторыми предосторожностями, и первоначально остатокъ долженъ равняться 2-мъ единицамъ при различныхъ дѣлителяхъ, потомъ 3-мъ единицамъ и т. д. 3) Выясненіе того, что частное, происходящее отъ раздѣленія 2-хъ на 3 равныя части, равняется двумъ третямъ одной единицы, можетъ опираться на наглядные примѣры, исходя изъ того соображенія, что вмѣсто того, чтобы раздѣлить сразу 2 единицы на 3 равныя части, можно сначала раздѣлить одну изъ этихъ единицъ на 3 равныя части, а потомъ и другую. — Во всякомъ случаѣ непосредственная цѣль этой ступени обученія заключается не въ выясненіи намѣченныхъ выше ученій объ образованіи дроби при раздѣленіи одного числа на нѣсколько равныхъ частей, а, главнымъ образомъ,—въ

пріученіи дѣтей къ послѣдовательному дѣленію каждаго изъ разрядовъ дѣлимаго на однозначнаго дѣлителя.

Запись дѣленія многозначнаго числа на однозначное.

§ 11. Расположеніе вычисленій при дѣленіи многозначнаго числа на однозначное должно быть, по возможности, просто,—безъ записи остатковъ и частныхъ произведеній. Наприм., вычисленіе 8785 I 5 сначала должно производить такъ: 5000 раздѣлимъ на 5 частей, получимъ 1000; останутся нераздѣленныя 3 тысячи; обратимъ ихъ въ сотни («размѣняемъ» на сотни): получится 30 сотенъ, да еще 7 сотенъ; будетъ 37 сотенъ; раздѣлимъ 35 сотенъ на 5 частей, получимъ 7 сотенъ, и т. д. — все изустно! И записывать должно только частныя. Но можно сдѣлать дѣленія и по слѣдующимъ образцамъ:

Записывать же всѣ частныя произведенія не слѣдуетъ ни въ какомъ случаѣ, т.-е. не слѣдуетъ выполнять вычисленіе такъ:

Ибо подобное вычисленіе—образчикъ того многописанія и рабскаго слѣдованія одному правилу, которыя дѣлаютъ изъ ариѳметики предметъ, наводящій тоску и скуку. Тоска и скука являются только слѣдствіемъ безсмысленнаго слѣдованія правиламъ многописанія. Эти правила разсчитаны на потребности человѣка, производящаго дѣленіе на многозначное число со многими значащими цифрами.

Дѣленіе на 10.

§ 12. Когда дѣлитель равенъ 10-ти, то въ записи частнаго непремѣнно одной цифрой меньше, чѣмъ въ записи дѣлимаго. Правило, по которому частное представляетъ въ этомъ случаѣ число, обозначенное тѣми же цифрами, какими обозначено дѣлимое, за исключеніемъ послѣдней его цифры,—это правило ученики открываютъ не такъ быстро и осмысленно, какъ правило приписыванія нуля при умноженіи на десять. Но тѣмъ благодарнѣе задача усвоенія учениками методическаго нахожденія цифръ частнаго, слѣдующихъ одна за другою по опредѣленному закону. Вначалѣ цѣлесообразно надъ будущими цифрами частнаго отмѣчать, какихъ разрядовъ цифры получатся, съ помощью одной буквы: т (тысячи), с (сотни), д (десятки), е (единицы), и т. п. Это упорядочиваетъ работу и съ самаго

начала выясняетъ ученикамъ, что для нихъ вся задача сводится къ тому, какъ бы не пропустить какой-либо цифры частнаго. Тогда появленіе нулей въ частномъ будетъ не случайнымъ и только непріятнымъ обстоятельствомъ, а вполнѣ обоснованнымъ результатомъ означеннаго раздѣленія. Бороться, при условіи методической проработки этой ступени, съ ошибками въ пропускѣ нулей въ записи частнаго въ такомъ случаѣ не придется ни учащимся, ни учителю.

Письменное или изустное вычисленіе.

§ 13. На этой ступени весьма полезно обратиться къ выясненію ученикамъ разницы между устнымъ вычисленіемъ и письменнымъ.

Хотя, строго говоря, при дѣленіи многозначнаго числа на однозначное ничего, кромѣ цифръ дѣлимаго, дѣлителя и частнаго, писать не слѣдуетъ, но это вычисленіе — все же вычисленіе письменное или, по меньшей мѣрѣ, зрительно-письменное. Но, въ то время какъ цифры произведенія многозначнаго числа на однозначное находятся постепенно, начиная отъ правой руки къ лѣвой, т.-е., начиная съ единицъ, переходя къ десяткамъ, сотнямъ и т. д., цифры частнаго, при раздѣленіи многозначнаго числа на однозначное, мы находимъ, начиная съ единицъ высшаго разряда, и записываемъ прежде всего число единицъ наивысшаго разряда, какія только могутъ получиться при данномъ дѣленіи, затѣмъ переходимъ къ слѣдующей справа цифрѣ, и т. д. Въ этомъ отношеніи дѣленіе многозначнаго числа на однозначное напоминаетъ изустное производство сложенія, вычитанія и умноженія, но только въ томъ смыслѣ, что мы не записываемъ никакихъ побочныхъ вычисленій. Мы, однако, при дѣленіи многозначнаго числа производимъ дѣйствіе, находя цифру за цифрой, а не такъ, какъ при изустномъ вычисленіи, когда весь результатъ вычисляютъ изустно, а потомъ сразу, если въ томъ есть надобность, этотъ результатъ записываютъ. Ср. «Мет. ар.», § 2 гл. V, стр. 201. Поэтому производство дѣленія многозначнаго числа на однозначное должно считать письменнымъ, посколько мы не сразу вычисляемъ все частное, а вычисляемъ только постепенно цифры, его обозначающія.

33-я ст.: письменное производство умноженія на круглое число.

§ 14. На тридцать третьей ступени учащіеся должны усвоить письменное производство умноженія многозначнаго числа на круглое число, т.-е. на одну или нѣсколько единицъ

одного изъ высшихъ разрядовъ. Во главу этого ученія, конечно, надо поставить умноженіе любого многозначнаго числа на 10. На этой ступени непремѣнно надо подвести учащагося къ правилу быстрой записи произведенія, если онъ самъ его еще не подмѣтилъ. На 31-й ступени умноженіе на 10 на самомъ дѣлѣ выполнялось съ помощью таблицы умноженія, такъ какъ мы на самомъ дѣлѣ умножали множимое на 10. На этой же ступени учащимся уже приходится усвоить себѣ механизмъ умноженія, потому что безъ этого механизма дальнѣйшее движеніе въ область письменнаго производства умноженія многозначныхъ чиселъ было бы въ высшей степени затруднительно. Къ счастью, надо отмѣтить, что правило записи произведенія, когда множитель равенъ 10, учениками подмѣчается очень быстро. Само собою разумѣется, что, умножая на 5, на 6, на 10 и на другія числа перваго десятка, надо пользоваться въ задачахъ съ условіями также тѣми выраженіями, которыя ранѣе усвоены учащимися, но которыя нуждаются въ повторномъ примѣненіи. Выраженія: «больше во столько-то разъ», «больше на столько-то», «увеличить во столько-то разъ» и т. п. должны употребляться часто и умышленно.

Множитель—круглое число первой сотни.

§ 15. Когда множитель—любое однозначное число десятковъ (т.-е. двузначное круглое число), все искусство производства умноженія состоитъ въ томъ, что къ записи множимаго мысленно присоединяютъ нуль и полученное число умножаютъ на число десятковъ множителя, или наоборотъ: множимое умножаютъ на «цифру» десятковъ, а къ полученной записи приписываютъ нуль. Для того чтобы учащіеся поняли, что это дѣйствительно такъ, можно прибѣгнуть не только къ разсужденіямъ, но и къ воздѣйствію на ихъ воображеніе, освѣщающему это умноженіе. «Взять» какое-нибудь число, напр., 37 кубиковъ, 20 разъ значитъ «взять» десять кучекъ кубиковъ, въ каждой изъ которыхъ 37 кубиковъ, и взять еще десять кучекъ кубиковъ. Стало-быть, получимъ, что 370 надобно помножить на 2. Тотъ способъ разсужденія, къ которому обыкновенно прибѣгаютъ, а именно предварительно умножаютъ множимое на 2, а потомъ полученное число—на 10, конечно, тоже пріемлемъ. Но онъ не столь очевиденъ для учащихся, какъ способъ, только-что отмѣченный, ибо число 20 учащійся представляетъ себѣ не какъ два да два, да два

и т. д., пока не наберется 10 разъ по два, а именно и только какъ десять да еще десять. Аналогичное справедливо также относительно остальныхъ круглыхъ двузначныхъ чиселъ, т.-е. относительно 30, 40, 50 и т. д.

Множитель—сто и однозначное число сотенъ.

§ 16. При множителѣ, равномъ ста единицамъ, конечно, нужно исходить изъ того же соображенія, какъ и для множителей, представляющихъ собою круглое число десятковъ. А именно, вмѣсто того, чтобы взять данное число слагаемымъ сто разъ, можно взять его слагаемымъ только 10 разъ,—мысленно, стало-быть, приписавъ къ обозначенію множимаго справа одинъ нуль,—а полученное число помножить опять на 10. Умноженіе это можно, въ случаѣ надобности, выполнять по всѣмъ правиламъ таблицы умноженія: 10-ью-0—нуль, 10-ью-1—десять, 10-ью-2—двадцать и т. д. Не надо стремиться къ тому, чтобы поскорѣе свести дѣло къ измѣненію цифровой записи, т.-е. къ механическому приписыванію къ записи, получившейся отъ умноженія даннаго числа на 10, еще одного нуля. Для внесенія большей наглядности въ эту работу, можно воспользоваться слѣдующимъ обозначеніемъ:

Многоточія учащіеся понимаютъ, если имъ указать ихъ значеніе. Этимъ способомъ мы совершенно наглядно рѣшаемъ задачу о томъ, какъ 137 помножить на 100, а именно: взять 137 слагаемымъ десять разъ, получится 1370, взять 137 слагаемымъ еще 10 разъ, но уже мысленно, опять получимъ 1370 и т. д., а потомъ взять 1370 слагаемымъ еще 10 разъ. Когда множитель — однозначное число сотенъ, большее ста, то работа идетъ въ томъ же направленіи, какъ въ томъ случаѣ, когда множитель—однозначное число десятковъ. А именно при умноженіи 743 на 400,—для ясности вопроса надо брать число, въ которомъ есть нѣсколько отдѣльныхъ единицъ, а не число, въ цифровомъ обозначеніи котораго послѣдняя цифра нуль, — можно число помножить на 100, а полученное произведеніе—на 4. Хотя на прак-

тикѣ рѣдко приходится умножать даже на четырехзначныя числа и особенно на числа съ очень многими цифрами въ ихъ обозначеніяхъ, но отъ дальнѣйшаго обученія умноженію на единицы и на круглое число единицъ высшихъ разрядовъ все же отказываться не слѣдуетъ. Облегчается дѣло тѣмъ, что методическая сторона дѣла постепенно упрощается, и учащіеся сами соображаютъ, что новаго здѣсь ничего нѣтъ.

Множитель единица или однозначное число единицъ высшаго разряда.

§ 17. Когда множитель — единица высшаго разряда (1000, 10000 и т. д.), то дѣло сводится только къ уже усвоенному дѣтьми навыку приписывать нуль при умноженіи на десять и приписывать два нуля при умноженіи на сто. Для того, чтобы умножить на тысячу, надо умножить сначала на сто, а полученное умножить на 10, или приписать еще одинъ нуль справа, и т. д. При множителѣ, представляющемъ собою однозначное число единицъ высшаго разряда, идетъ та же работа, которая была уже раньше. Считать, что эту работу учащіеся совершенно усвоили, нѣтъ, однако же, основаній. Но можно утверждать, что учащіеся настолько развиты, послѣ всѣхъ упражненій при умноженіи на 10, на 100, на 20, на 30, на 300 и т. д., что они уже себѣ усвоили, по крайней мѣрѣ, самый механизмъ. Можетъ такъ случиться, что они на дѣло смотрятъ нѣсколько формально, не особенно вникая въ существо дѣла. Но вникнуть въ него необходимо, ибо умѣнье умножать на любое круглое число единицъ высшихъ разрядовъ лежитъ въ основѣ всего дальнѣйшаго курса письменнаго производства умноженія и дѣленія многозначныхъ чиселъ.

Терминъ „множитель“.

§ 18. На этой ступени можно выяснить дѣтямъ терминъ «множитель», который въ очень скоромъ времени учащемуся окажетъ услугу, когда ему придется формулировать нѣкоторыя свои познанія, безъ этого термина формулирующіяся съ нѣкоторыми затрудненіями. Терминъ этотъ надо, какъ это ни трудно, поставить на почву не столько точнаго опредѣленія, сколько языкового чутья учащихся, на почву смысла слова, обозначающаго, такъ сказать, нѣкоторое дѣйствующее лицо. Прежде всего, можно обратиться къ слову «много», поставивши дѣло такъ: было, напр., 37, надо его умножить на 9; надо сдѣлать такъ, чтобы учащіеся почувствовали, что корень этого слова — «много». Было 37 единицъ,—не много, а когда помножимъ

37 на 9, ихъ станетъ больше, станетъ ихъ много, умножится число единицъ, и вотъ это-то число 9, собственно говоря, и множитъ первоначально бывшее у насъ число. Число 9 въ этомъ случаѣ множитель. Конечно, терминъ этотъ можно ввести и раньше, можно ввести и позже. Это зависитъ отъ вкуса учителя и отъ вкусовъ и потребностей учащихся. Но въ этомъ мѣстѣ можно сдѣлать хорошее употребленіе изъ этого термина. Поэтому ознакомленіе съ терминомъ «множитель» на этой ступени является цѣлесообразнымъ. Съ терминомъ «множимое» (а равно съ другими терминами того же этимологическаго устройства: «слагаемое», «уменьшаемое», «вычитаемое», «дѣлимое») учащіеся уже сроднились. Поэтому, при такой постановкѣ терминологіи, бояться, что учащіеся перепутаютъ множимое и множителя нѣтъ основаній1).

34-я ст.: умноженіе многозначнаго числа на многозначное.

§ 19. Тридцать четвертая ступень посвящена умноженію многозначнаго числа на многозначное. Здѣсь вопросъ не столько въ уразумѣніи того, какъ надо выполнять это умноженіе, сколько въ томъ, какъ записывать частныя произведенія множимаго на «цифры» множителя. У насъ распространенъ тотъ способъ расположенія вычисленій при умноженіи на многозначное число, который сводится къ слѣдующему: сначала умножаютъ на отдѣльныя единицы множителя, потомъ—на отдѣльные десятки множителя, на отдѣльныя сотни множителя и т. д., и каждое изъ этихъ произведеній записываютъ надлежащимъ образомъ, т.-е., отодвигая первую цифру каждаго частнаго произведенія, начиная со второго, на одну цифру влѣво отъ послѣдней цифры предшествующаго частнаго произведенія. Записываютъ у насъ, большею частью, множителя подъ запись множимаго. Конечно, въ указанномъ способѣ умноженія нѣтъ никакого математическаго недочета. Наоборотъ: тутъ сконцентрировано довольно много соображеній чисто-логическаго и, въ то же время, математическаго содержанія. Но для начала, если учитель даже привыкъ къ этому способу расположенія вычисленій, т.-е. къ тому, чтобы начинать умноженіе непремѣнно съ низшихъ цифръ множителя, полезно посмотрѣть на дѣло нѣсколько

1) Случаи, когда множитель не множитъ, учащемуся на этой ступени еще не извѣстны. Это—тѣ случаи: а) когда множитель равенъ нулю, б) когда онъ равенъ единицѣ, и в) когда онъ равенъ правильной дроби.

иначе. Когда требуется взять какое-нибудь число, наприм., 9 354, слагаемымъ 2 178 разъ, то, съ точки зрѣнія здраваго смысла, мы раньше всего должны взять множимое двѣ тысячи разъ, потомъ четыреста разъ, далѣе семьдесятъ разъ, и только подъ-конецъ—восемь разъ. Обыкновенно же учатъ умножать множимое сначала непремѣнно на 8, потомъ—на 70, и т. д.

На обычай начинать умноженіе съ единицъ низшаго разряда множителя надо смотрѣть съ исторической точки зрѣнія. Дѣло въ томъ, что письменное производство сложенія и вычитанія издавна начинали съ единицъ низшаго разряда. Естественно было и къ производству умноженія примѣнить ту же точку зрѣнія. Даже при письменномъ производствѣ дѣленія записываніе дѣлителя подъ дѣлимое считалось въ одинъ изъ раннихъ періодовъ развитія письменной ариѳметики вполнѣ естественнымъ. Только впослѣдствіи, съ большимъ проникновеніемъ въ существо вопроса, такая запись была замѣнена (и то не сразу) нынѣ практикуемой. Ср. Кэджори „Исторія элементарной математики“ (пер. И. Ю. Тимченко), стр. 157.

Письменное производство умноженія, однако же, можно начинать, во всякомъ случаѣ, съ умноженія множимаго на единицы наивысшаго разряда множителя. При этомъ на первыхъ порахъ частныя произведенія можно записывать со всѣми тѣми нулями, которые соотвѣтствуютъ самому смыслу этихъ произведеній. Число нулей при этомъ не можетъ быть особенно значительно, потому что рѣдко приходится умножать даже на четырехзначное число. Запись одного, двухъ и даже нѣсколькихъ «излишнихъ» нулей потребуетъ времени, конечно, очень мало, всего какихъ-нибудь 5—6 секундъ, которыя въ счетъ времени, потраченнаго на остальное вычисленіе, итти не могутъ.

Сначала можно располагать вычисленіе даже слѣдующимъ образомъ:

Эта запись цѣлесообразна только вначалѣ, но, конечно, не обязательна. Здѣсь подробно записанъ какъ бы весь ходъ промежуточныхъ разсужденій, при чемъ надо замѣтить, что необходимо только частныя произведенія записывать такъ, чтобы въ нихъ единицы

одинаковыхъ разрядовъ были записаны въ одни и тѣ же отвѣсные (вертикальные) столбцы.

Въ этой записи нѣтъ указаній, откуда получились множимыя, такъ какъ опущены начальныя записи, выражающія, что 587 сначала надо помножить на 400, а потомъ 587 — помножить на 70. Записано же только то, что умноженіе числа на 400 можно замѣнить приписаніемъ справа двухъ нулей къ множимому и умноженіемъ записаннаго такимъ образомъ числа на 4, а умноженіе числа на 70 можно замѣнить приписаніемъ справа одного нуля къ записи множимаго и умноженіемъ записаннаго такимъ образомъ числа на 7.

Когда промежуточныя упражненія проработаны, можно перейти къ записи, приведенной подъ литерой в. Эта запись еще короче, такъ какъ здѣсь записаны, со всѣми нулями, только частныя произведенія множимаго на каждый изъ разрядовъ множителя. Записаны они такъ, что первая справа значащая цифра каждаго частнаго произведенія записана въ одинъ столбецъ съ тою цифрою множителя, на которую мы умножаемъ въ данномъ случаѣ данное намъ множимое.

Въ этой, послѣдней, формѣ запись письменнаго производства умноженія отличается отъ предыдущихъ отсутствіемъ излишнихъ для сложенія нулей и представляетъ собою, въ то же время, окончательный результатъ, къ которому можно привести учениковъ въ дѣлѣ быстраго умноженія многозначнаго числа на многозначное же. Но крайне полезно для учениковъ, если они начинаютъ съ формы а, переходятъ къ формѣ б и заканчиваютъ формами в и г. Это будетъ не потерей, а выигрышемъ времени, такъ какъ ученики вполнѣ усво-

ятъ себѣ логическія основанія способовъ письменнаго производства дѣйствія умноженія, а не только способы записыванія, поддающіеся, какъ извѣстно, словеснымъ объясненіямъ весьма туго и не вполнѣ соотвѣтственно развитію учениковъ.

Удобства обозначенія чиселъ такъ наз. арабскими цифрами.

Письменное производство умноженія многозначнаго числа на многозначное принадлежитъ къ числу тѣхъ ариѳметическихъ вычисленій, при усвоеніи которыхъ (разъ матеріалъ 33-й ступени разработанъ основательно) болѣе или менѣе безплодныя „объясненія“ учителя не столь важны, какъ наглядное представленіе учениковъ объ истинномъ благодѣяніи, которое оказываютъ арабскія цифры (и — особенно — нуль) при обозначеніи чиселъ и при умноженіи на 10, на 100, на 1000 и т. п. Такъ, напр., чтобы записать произведеніе 274 на 10, если числа обозначены арабскими цифрами, можно, какъ извѣстно, къ совокупности цифръ 274 справа приписать нуль. И это ученики отлично понимаютъ. Для умноженія же этого числа, если оно обозначено такъ ’сод, или такъ: CCLXXIV, на десять, надо сначала разсчитать — сколько получится, а потомъ уже записать, что 'сод X 1 = или, что CCLXXIV X X =MMDCCXL. Здѣсь цифровыя обозначенія множимаго и произведенія ничего общаго не имѣютъ, и способу письменнаго производства умноженія многозначнаго числа на многозначное никакой пользы не приносятъ. — Это освѣщаетъ ученикамъ пользу десятичной системы счисленія, пользующейся нулемъ, и арабскихъ цифръ для письменнаго производства умноженія.

Нѣкоторыя удобства записи подъ литерой е.

Логическихъ трудностей для учащихся разсмотрѣнный способъ расположенія вычисленій при производствѣ умноженія не представляетъ, такъ какъ учащіеся уже вполнѣ усвоили себѣ всѣ промежуточныя разсужденія и всѣ промежуточныя вычисленія, требующіяся при умноженіи на многозначное число. На томъ способѣ производства умноженія, по которому слѣдуетъ начинать дѣйствіе съ умноженія на высшіе разряды множителя, особенно настаиваетъ одинъ изъ величайшихъ математиковъ всѣхъ временъ и народовъ Лагранжъ (род. въ 1736, ум. въ 1813 г.) въ одной изъ своихъ лекцій въ Высшей Нормальной Школѣ. Но онъ имѣетъ въ виду также требованія приближеннаго вычисленія произведенія. Съ методической же точки зрѣнія, важно, что если данъ множитель 357, то этотъ множитель — именно триста пятьдесятъ семь, а не «семь пятьдесятъ триста», хотя, конечно,

Это расположеніе записей при письменномъ производствѣ умноженія на многозначное число представляетъ слѣдующія выгоды: 1) высшія цифры произведенія и разряды, которые получаются въ произведеніи, появляются ранѣе, чѣмъ при томъ производствѣ дѣйствія, которое начинается съ единицъ множителя; 2) когда интересно приблизительное значеніе произведенія, легче его намѣтить при способѣ расположенія записей, приведенныхъ подъ литерами в и г; 3) запись множимаго можно поставить близко къ лѣвому краю, и не приходится записывать множимое и множителя по срединѣ тетради или классной доски, такъ какъ для остальныхъ записей не придется подвигаться отъ правой руки къ лѣвой; наконецъ, 4) для учащихся, какъ это выше уже отмѣчено, при этомъ способѣ расположенія вычисленій, легче разобраться въ самомъ смыслѣ и въ самомъ способѣ (въ «алгориѳмѣ») вычисленія произведенія двухъ чиселъ.

Среди цифръ множителя есть нули.

§ 20. Надо ли множителя записывать непремѣнно подъ запись множимаго, или же его можно записать рядомъ съ записью множимаго— вопросъ болѣе или менѣе второстепенный. Ему уже посвящено нѣсколько соображеній въ § 19 этой же главы. Но есть нѣкоторыя другія частности производства умноженія, на которыя слѣдуетъ обращать вниманіе съ точки зрѣнія методической. Не надо считать, что эти частности могутъ быть усвоены учащимися мимоходомъ. Есть большая разница между тѣми случаями, когда всѣ цифры множителя — значащія цифры и когда среди цифръ множителя есть также и нули. При томъ способѣ расположенія вычисленій, который рекомендуется выше, а именно, когда всѣ нули записаны въ частныхъ произведеніяхъ, вопросъ этотъ разрѣшается самъ собою. Надо, положимъ, умножить на 2030, мы умножаемъ сначала на 2000; цифра сотенъ множителя — нуль, а цифра 3 обозначаетъ 3 десятка, мы умножаемъ на 30, просто пропустивъ нуль множителя; на мѣстѣ единицъ нуль, и мы складываемъ произведенія такъ, какъ они записаны. Въ этомъ случаѣ получается простая запись

Но если учитель потратилъ много силъ и времени на то, чтобы пріучить учениковъ не писать «излишнихъ» нулей, то дѣло усложняется. Въ этомъ случаѣ иногда считаютъ болѣе удобнымъ «подвѣшиваніе» нуля въ томъ случаѣ, когда умноженіе начинается съ единицъ низшаго разряда. Но это соображеніе, конечно, отпадаетъ. Пусть требуется помножить 276 на 207; совершенно безразлично, приписать ли нуль ко второму частному произведенію или къ первому, т.-е. записать ли:

Съ точки зрѣнія техники производства умноженія на многозначное число, эти записи одинаково трудны или одинаково легки; но первая запись, конечно, проще, прозрачнѣе и логичнѣе второй. Во всякомъ случаѣ «подвѣшивать» нуль въ томъ и въ другомъ случаѣ надо съ полнымъ разумѣніемъ. Только впослѣдствіи учащіеся, механически производя умноженіе, не будутъ ошибаться въ надлежащемъ записываніи частныхъ произведеній. Но этотъ моментъ наступаетъ тѣмъ скорѣе, чѣмъ яснѣе для нихъ записи со всѣми нулями.

Нецѣлесообразно ставить все дѣло на почву правила. Но особенно нецѣлесообразна, со всѣхъ точекъ зрѣнія, слѣдующая запись, къ сожалѣнію, иногда практикуемая неопытными учителями, въ которой, къ тому же, множитель подписанъ подъ множимое, и которая всецѣло основана на правилѣ и требуетъ, кромѣ того, умноженія на нуль1).

Что сначала дѣти должны производить дѣйствіе, по возможности, не механически, а со всѣми (не безсмысленными, конечно, — см. примѣръ) нулями въ частныхъ произведеніяхъ, и съ указаніями на весь процессъ дѣйствія,— это разумѣется само собою.— Если цифра единицъ перваго разряда во множителѣ единица, то лучше всего сводить дѣло не къ умноженію на единицу, а къ тому, что надо прибавить

1) Умноженія на нуль дѣти не понимаютъ и склонны считать, что при умноженіи на нуль получается не нуль, а множимое. Автору этой книги приходилось встрѣчать чисто-русскихъ дѣтей, учившихся умножать по правилу и говорившихъ „нулью-два — нуль“, „нулью-три—нуль“ (по образцу „пятью“, „шестью“), что недопустимо уже съ точки зрѣнія требованій русской рѣчи.

еще одно множимое, и т. д. Этотъ послѣдній случай тоже говоритъ за то, чтобы умноженіе на цифры множителя начинать съ высшихъ цифръ множителя, а не съ цифры единицъ.

Располагать записи въ случаяхъ, когда среди внутреннихъ цифръ множителя есть нули, можно съ той же методической постепенностью, которая выяснена выше:

Въ послѣднемъ образцѣ можно справа приставить („подвѣсить“) одинъ нуль въ первомъ частномъ произведеніи, но только для того, чтобы запись была прозрачнѣе и аккуратнѣе. — При выполненіи учащимися самостоятельныхъ упражненій надо постараться объ особенно аккуратномъ записываніи вычисленій одного подъ другимъ.

Записи сомножителей.

§ 21. Еще одинъ пунктъ, относящійся до записей письменнаго производства умноженія, заслуживаетъ вниманія. Множимое и множитель и частныя произведенія, во избѣжаніе недостаточнаго изящества записи и ради того, чтобы вниманіе вычисляющаго было сосредоточено на существенно важномъ, должно записывать безъ

промежутковъ между цифрами различныхъ классовъ, и только въ окончательномъ результатѣ надо эти промежутки, для большей четкости и вразумительности записи окончательнаго произведенія, принять во вниманіе.

Термины: „произведеніе“, „частное произведеніе“ и „полное произведеніе“.

§ 22. На этой же ступени цѣлесообразно ознакомить учащихся съ терминами: «произведеніе» (вообще), «частное произведеніе» и «полное произведеніе». Почему результатъ умноженія называется произведеніемъ, а не какъ-нибудь иначе, конечно, вопросъ, на который можно отвѣтить только съ исторической точки зрѣнія. Вѣдь и сумма — тоже въ нѣкоторомъ смыслѣ произведеніе, полученное благодаря сложенію, и остатокъ—«произведеніе» въ аналогичномъ смыслѣ слова, и частное — тоже нѣкоторымъ образомъ произведеніе, если слову «произведеніе» приписывать то значеніе, въ которомъ оно употребляется въ литературной рѣчи. Но тѣмъ не менѣе надо, все-таки, хоть отчасти обосновать для учащихся тотъ смыслъ, въ которомъ слово это употребляется въ математикѣ. Когда мы складываемъ, мы получаемъ, правда, нѣкоторое новое число, которое не было дано, но всѣ единицы слагаемыхъ содержатся въ этомъ результатѣ нашего сложенія. Когда мы вычитаемъ, мы равнымъ образомъ не создаемъ новыхъ единицъ, или новаго числа, котораго не было у насъ раньше, такъ какъ оно было въ скрытомъ видѣ въ уменьшаемомъ. Когда же мы умножаемъ одно число на другое, то мы, строго говоря, создаемъ, производимъ новое число, потому что дано только одно множимое, а множитель—только указатель того, сколько разъ нужно взять слагаемымъ данное число. Самыхъ слагаемыхъ же у насъ на-лицо нѣтъ; они, по крайней мѣрѣ, не записаны. Говоря иначе: на-лицо есть только число 256, и его надо умножить на 37. Множимое—только часть искомаго числа, а множитель совсѣмъ не входитъ въ составъ искомой нами суммы. Такимъ образомъ, благодаря умноженію, мы получаемъ новое число, котораго у насъ не было1). Съ помощью подобныхъ соображеній можно учащимся

1) Это освѣщеніе смысла термина „произведеніе“ пригодно, конечно, лишь для множителей, большихъ единицы, и совершенно непригодно для случаевъ, когда множитель равенъ единицѣ, нулю, правильной дроби и отрицательному, а также ирраціональному числу. Для этихъ случаевъ требуются прежде всего опредѣленія смысла дѣйствія умноженія.

выяснить, что то число, которое получается отъ умноженія, дѣйствительно, нѣкоторое произведеніе въ томъ смыслѣ, въ какомъ произведеніемъ является вырощенное дерево или изготовленный изъ глины или мѣди предметъ. Относительно «частнаго произведенія» надо замѣтить, что смыслъ этого термина должно освѣтить въ связи со смысломъ слова «часть». Частное произведеніе является не чѣмъ инымъ, какъ имени» частью всего произведенія одного числа на другое. А все произведеніе называется полнымъ произведеніемъ.

Послѣднія цифры сомножителей—нули.

§ 23. Дальнѣйшія упражненія относятся до перемноженія чиселъ, въ цифровыхъ обозначеніяхъ которыхъ послѣднія цифры — нули. Обыкновенно принято въ этомъ случаѣ умножать только значащія цифры съ тѣмъ, чтобы къ цифровому обозначенію полученнаго произведенія приписать опущенные нули. Дѣлается это для экономіи мѣста и времени. Относительно экономіи мѣста можно замѣтить, что его при этомъ можно сберечь не особенно много. Что же касается экономіи во времени, то надо замѣтить слѣдующее. Если писать всѣ нули или, что еще того хуже, умножать на нули множителя, то при этомъ времени будетъ потрачено дѣйствительно нѣсколько больше, чѣмъ слѣдуетъ. Однако же, несмотря на это, сначала слѣдуетъ научить дѣтей, когда послѣднія цифры множимаго нули, умножать такъ, какъ они привыкли умножать любое многозначное число на многозначное въ тѣхъ случаяхъ, когда послѣднія цифры множимаго — значащія цифры. То же относится и до случая, когда послѣднія цифры множителя—нули. Тогда можно разсуждать такъ, что, раньше чѣмъ множить на значащія цифры, мы помножимъ множимое мысленно на 10, на 100 и т. д., смотря по тому, сколькими нулями кончается запись множителя. Тогда у насъ нули множителя будутъ записаны только одинъ разъ, а все остальное будетъ итти своимъ чередомъ. То же самое относится до случая умноженія, когда у обоихъ сомножителей послѣднія цифры—нули. Тогда можно переписать заданіе извѣстнымъ образомъ, а именно такъ, какъ оно предложено, а потомъ переписать его нѣсколько иначе.

Расположеніе вычисленій при производствѣ умноженія многозначнаго числа на многозначное, когда запись одного изъ сомножителей или обоихъ оканчивается нулями, лучше всего практико-

вать сначала слѣдующее, при которомъ нулей не зачеркиваютъ и, такимъ образомъ, своей работы не пачкаютъ и не портятъ:

Вскорѣ можно избавиться отъ записи между линейками, умножая просто 238 на 57 и подписывая частныя произведенія сообразно съ производствомъ дѣйствія. Когда это дѣйствіе произведено, остается только переписать запись полученнаго произведенія снова, но снабдивъ ее нулями. Можно впослѣдствіи и такъ:

Затрудняетъ учащихся случай, когда среди цифръ множителя не послѣднія, а нѣсколько среднихъ смежныхъ цифръ— нули. Тогда есть опасность, что ученикъ не туда, куда нужно, запишетъ первыя цифры нѣкоторыхъ частныхъ произведеній. Весь вопросъ только въ осмысленной записи частныхъ произведеній. Но если учитель практикуетъ описанные выше способы записей, то не будетъ ошибокъ и описокъ. Тогда учащійся къ нулямъ относится осмысленно и работаетъ безъ правилъ.

Ежели, напр., требуется помножить 8367 на 2006, то, съ точки зрѣнія логической, безразлично, какъ записать:

или, наконецъ,—но только при аккуратной записи,—такъ:

Но, съ методической и практической точки зрѣнія, лучше всего не гнаться за призрачнымъ выигрышемъ времени и записывать вычисленіе такъ:

Цѣлесообразность мысленнаго перемѣщенія сомножителей въ нѣкоторыхъ случаяхъ.

§ 24. Если сомножители записаны одинъ рядомъ съ другимъ, то часто встрѣчается надобность мысленно перемѣстить ихъ. Это полезно, во-первыхъ, тогда, когда число цифръ множителя больше, чѣмъ число цифръ множимаго, во-вторыхъ, въ тѣхъ случаяхъ, когда цифры множителя обозначаютъ крупныя числа перваго десятка, а соотвѣтствующія цифры множимаго—числа перваго пятка. Пусть требуется умножить 4232 на 9786. Конечно, умножать на числа большія не труднѣе, чѣмъ на меньшія. Т.-е.: говорить 6-ю два—12 или дважды-шесть 12—все равно. Но все же, умножать на 2 удобнѣе, чѣмъ на 6. Вообще, надо стремиться къ тому, чтобы учащіеся видѣли, съ какими числами они имѣютъ дѣло, и пользовались по возможности тѣми выгодами, которыя представляются при письменномъ производствѣ дѣйствія умноженія въ томъ или иномъ частномъ случаѣ.

Терминъ „сомножитель“.

§ 25. Терминъ «сомножитель» можно выяснить на почвѣ перемѣщенія множимаго на мѣсто множителя, и множителя — на мѣсто множимаго. Дѣло въ томъ, что множимое и множитель являются сомножителями только потому, что они, такъ сказать, равноправны при производствѣ умноженія, и что произведеніе одного числа на другое не зависитъ отъ перемѣны порядка сомножителей. Такимъ образомъ вмѣсто того, чтобы говорить «произведеніе одного числа на другое» можно говорить: «произведеніе двухъ чиселъ». Если это не сдѣлано ранѣе, то съ этими терминами можно ознакомить и на этой ступени. Дѣти уже на первыхъ ступеняхъ сроднились съ возможностью перемѣщенія множимаго на мѣсто множителя, и множителя—на мѣсто множимаго. Слова «множимое» и «множитель» ими тоже усвоены, притомъ слово «множимое» раньше, чѣмъ слово «множитель». Для того, чтобы слово «сомножитель» учащіеся усвоили себѣ не на основаніи только опредѣленія, можно прибѣгнуть къ аналогичнымъ случаямъ словообразованія; «ратникъ— соратникъ», «товарищъ — сотоварищъ», «братъ — собратъ», «владѣлецъ—совладѣлецъ» и т. п.

Умноженіе и раздробленіе простыхъ именованныхъ чиселъ.

Къ умноженію чиселъ тѣснѣйше примыкаетъ то преобразованіе простыхъ именованныхъ чиселъ, которое извѣстно подъ именемъ раздробленія именованныхъ чиселъ. За-

дачи на это преобразованіе должны встрѣчаться въ упражненіяхъ въ умноженіи и встрѣчаются въ «Новыхъ задачникахъ Шохоръ-Троцкаго» съ первыхъ же шаговъ учащихся въ области ариѳметики. Ибо вопросъ о томъ, сколько аршинъ въ двухъ или въ трехъ саженяхъ—не что иное, какъ задача на раздробленіе трехъ саженей въ аршины, а рѣшается съ помощью умноженія и умѣстенъ на той ступени, къ которой отнесено перемноженіе двухъ однозначныхъ чиселъ, произведеніе которыхъ не превышаетъ даже десяти. Нѣкоторый интересъ представляетъ вопросъ о томъ, какъ записывать задачи на такъ наз. раздробленіе, въ которыхъ спрашивается, напр., сколько футовъ въ 847 саженяхъ? Разсужденія просты: въ одной сажени 7 футовъ, а въ 847 саженяхъ въ 847 разъ больше; выходитъ, что надо 7 футовъ умножить на 847. Такъ и надобно записать самую задачу. Къ сожалѣнію, рѣшеніе задачи часто записываютъ и иначе, несогласно съ самымъ смысломъ этого вопроса.

35-ая ст.: раздробленіе сост. им. чиселъ.

§ 26. Къ 35-й ступени отнесены подробности раздробленія составныхъ именованныхъ чиселъ. Это преобразованіе представляетъ рѣшеніе сложной задачи на чередующееся примѣненіе умноженія и сложенія. Но такихъ составныхъ именованныхъ чиселъ, въ которыхъ болѣе двухъ или трехъ наименованій, конечно, не слѣдуетъ брать. Равнымъ образомъ не надо брать и такихъ составныхъ именованныхъ чиселъ, которыя выражены въ единицахъ, слишкомъ далеко отстоящихъ другъ отъ друга въ таблицѣ мѣръ. Напр., совершенно безполезно, раздроблять 186 верстъ и 15 вершковъ, или 27 пудовъ въ 18 долей, или 26 лѣтъ 36 секундъ. Такія числа никогда не встрѣчаются въ жизни. Такое число, въ которомъ рядомъ съ годами встрѣчаются дни, минуты и секунды, возможно въ астрономическихъ вычисленіяхъ, но и въ нихъ не приходится раздроблять подобное именованное число непремѣнно въ секунды. Однако же въ виду того, что въ школьной (преимущественно экзаменаціонной) практикѣ иногда могутъ встрѣтиться требованія, относящіяся до раздробленія многосоставныхъ именованныхъ чиселъ, въ «Новыхъ задачникахъ Шохоръ-Троцкаго» (для учителей и для учениковъ) предложены немногочисленныя задачи этого рода. Опытъ показываетъ, что учащихся задачи на раздробленіе составныхъ именованныхъ чиселъ ни-

сколько не затрудняютъ при слѣдующихъ условіяхъ: а) если они понимаютъ, что эти задачи требуютъ только простыхъ разсужденій, б) если ихъ рѣшеніе основывается не на правилахъ, и в) если вычисленія записываются и располагаются согласно со смысломъ преобразованія единицъ высшаго наименованія въ единицы наименованій низшихъ, а не такъ, какъ это было принято еще недавно. Это послѣднее расположеніе записей получило въ старой школѣ наименованіе: «записывать раздробленіе дождичкомъ, сверху внизъ». (См. конецъ § 25 этой главы).

Поучительны могутъ быть примѣры въ такомъ родѣ: раздробить 2 версты 2 сажени 2 арш. 2 вершка въ вершки и т. п., въ которыхъ число единицъ разныхъ наименованій одинаково. Особенно они поучительны, если сравнить раздробленіе составныхъ именованныхъ чиселъ, выраженныхъ въ метрическихъ мѣрахъ съ раздробленіемъ составныхъ именованныхъ чиселъ, выраженныхъ въ мѣрахъ тѣхъ системъ мѣръ, которыя приняты въ Россіи. Напр.: пусть надо раздробить

4 килом. 4 метра и 4 центиметра

въ центиметры и

4 версты 4 сажени и 4 вершка

въ вершки. Преимущества метрической системы мѣръ будутъ оцѣнены учащимися только въ томъ случаѣ, если послѣдніе своевременно настолько освоились съ главнѣйшими метрическими мѣрами, что для нихъ совершенно ясны соотношенія:

1 килом. = 1000 м., а 1 м. = 100 цм., и т. п.

Расположеніе записей и вычисленій при раздробленіи.

§ 27. Располагать вычисленія при раздробленіи составныхъ именованныхъ чиселъ надо не на основаніи правилъ (притомъ крайне громоздкихъ) относительно единичныхъ отношеній, а на основаніи послѣдовательнаго разрѣшенія ряда вопросовъ, на которые распадается эта сложная задача. Сообразно съ симъ, и расположеніе вычисленій при раздробленіи составныхъ именованныхъ чиселъ должно согласовать съ требованіями, предъявляемыми къ рѣшенію всякой сложной ариѳметической задачи, и записать въ видѣ такъ называемыхъ «строчекъ».

Такъ, напр., записи раздробленія составного именованнаго числа «4 пуда 17 ф. 23 лот. 1 зол. 84 доли» (такое многосоставное число взято умышленно, дабы яснѣе обрисовалась запись вычисленія) можно придать слѣдующій видъ:

Если учитель считаетъ нужнымъ и болѣе удобнымъ придать записи раздробленія болѣе прозрачный видъ, то онъ можетъ, въ особенности вначалѣ, держаться также слѣдующаго образца:

*) 1706200 получилось отъ умноженія числа 17 062 на 100, а 68 248—отъ умноженія числа 17 062 на 4.

То расположеніе вычисленій, которое практиковалось въ старину и при которомъ всѣ числа писались въ одинъ столбецъ («дождичкомъ»), представляетъ излишнія трудности,—особенно тогда, когда отъ учащихся требуютъ объясненія производимыхъ дѣйствій. Дѣло въ томъ, что записи умноженія не отвѣчаютъ истинному смыслу вопросовъ, и что объясненія требуютъ многословныхъ разсужденій, не двигающихъ учениковъ впередъ, а наоборотъ—задерживающихъ ихъ успѣхи и ослабляющихъ ихъ интересъ къ дѣлу. При этомъ самая запись, въ которой извѣстное число пудовъ умножается на отвлеченное число и отъ умноженія получается извѣстное число фунтовъ, непріемлема ни въ какомъ случаѣ. Такъ располагать вычисленія можно только тогда, когда никакія записи не снабжены наименованіями.

Слово „раздробить“.

§ 28. Значеніе термина «раздробить» можно выяснить такъ. Какая мѣра меньше, мельче: аршинъ или вершокъ? (Вершокъ).—Сколько въ аршинѣ вершковъ? (16).—Сколько въ 3-хъ аршинахъ? въ 4-хъ? въ 5-ти?..— Когда надо узнать—сколько болѣе мелкихъ мѣръ содержится въ болѣе крупныхъ, то говорятъ: надо «раздробить» эти крупныя мѣры въ мелкія...—Узнать, сколько вершковъ въ сажени— значитъ раздробить сажень въ вершки...—Что это значитъ: раздробить четыре часа въ минуты? И т. д.1).

Если дѣло на низшихъ ступеняхъ ставилось надлежащимъ образомъ, то съ терминомъ «раздробить» учащіеся сроднились при тѣхъ дѣйствіяхъ надъ числами, гдѣ десятки приходится раздроблять въ единицы, сотни—въ десятки, и т. д.

Таблица мѣръ.

§ 29. Съ единицами мѣры учащіеся должны ознакомиться по возможности конкретно, наглядно. Съ таблицей мѣръ они должны освоиться изъ моделей и путемъ упражненій и, въ крайнемъ случаѣ, усвоить себѣ ее частымъ повтореніемъ данныхъ этой таблицы въ задачахъ. Особеннаго вниманія заслуживаетъ метрическая система мѣръ и различныя приблизительныя значенія нѣкото-

1) Въ Малороссіи слово „дрибный“, означающее „мелкій“, очень помогаетъ усвоенію значенія термина „раздробить“. Раздробить и по-русски означаетъ измельчить, и полезно на это обратить вниманіе учениковъ, не думая, что будто на это нѣтъ времени.

рыхъ мѣръ: метръ равняется 221/2 вершка, граммъ—221/2 доли; метръ равенъ полусажени безъ полутора вершка, и т. п. Не маловажны тѣ «лабораторныя» работы, которыя даютъ возможность учащимся сродниться съ мелкими единицами мѣръ длины и вѣса на обыденныхъ предметахъ: четвертушкѣ бумаги, цѣльномъ карандашѣ, шведскихъ спичкахъ, и т. п. Мало кому извѣстно, что діаметръ серебрянаго пятиалтыннаго равенъ 2 цм., а діаметръ двугривеннаго — полъ-вершка. Ширина и длина листа писчей бумаги, длина карандаша, длина шведской спички, вѣсъ 32 шведскихъ спичекъ, и т. п., должны быть извѣстны учащимся изъ опыта. См. «Мет. ар.», ч. I, § 9 гл. II. Полезны всякія таблицы мѣръ, въ томъ числѣ «Таблицы соотношеній нѣкоторыхъ мѣръ протяженія» и «Сравнительная таблица малыхъ мѣръ длины», составленныя авторомъ этой книги. Если учитель хотя бы изрѣдка держится пріемовъ лабораторной методы, то для снабженія учащихся вѣрными и ясными представленіями о нѣкоторыхъ единицахъ мѣры представляется не мало поучительныхъ случаевъ.

Если иной ученикъ желаетъ сдѣлать раздробленіе, начиная непремѣнно съ единицъ самаго низшаго размѣра, то этому препятствовать не надо. Ученикъ этотъ несомнѣнно принадлежитъ къ числу самыхъ дѣльныхъ, и онъ самъ, а вмѣстѣ съ нимъ и остальные учащіеся, усмотрятъ, насколько этотъ порядокъ вычисленій неудобенъ. Этотъ порядокъ вычисленія прежде всего требуетъ цѣлаго ряда умноженій для опредѣленія— сколько долей въ одномъ лотѣ, въ одномъ фунтѣ и въ одномъ пудѣ, потомъ цѣлаго ряда умноженій,—въ нашемъ примѣрѣ — на 4, на 17, на 23 для опредѣленія, сколько долей въ 4-хъ пудахъ, въ 17-ти фунтахъ и т. д.,—и, наконецъ, сложенія нѣсколькихъ слагаемыхъ. Всякое уклоненіе учениковъ отъ того порядка вычисленій, который представляетъ сравнительно съ другимъ наибольшія удобства, можно и должно сдѣлать для учениковъ поучительнымъ. Пренебреженіе къ способамъ вычисленія, отличающимся отъ общепринятыхъ, вредно въ двухъ отношеніяхъ: а) оно задерживаетъ усовершенствованіе самыхъ пріемовъ вычисленія, чему можно найти много доказательствъ въ исторіи ариѳметики1); б) учителя,

1) Такъ, напр., только въ XVIII столѣтіи въ Англіи былъ оставленъ тотъ способъ письменнаго производства дѣленія, который былъ извѣстенъ подъ именемъ способа „галеры“, или способа „помарокъ“. А между тѣмъ,

которые не дозволяютъ учащимся, при рѣшеніи задачъ разнаго рода и при изобрѣтеніи ими способовъ вычисленія, искать свои пути, лишаютъ ихъ самаго стремленія къ творчеству.

36-я ст.: дѣлитель— круглое число.

§ 30. Дѣленію многозначнаго числа на однозначное число и на 10 отведена 32-я ступень нашего курса. На этой ступени учащіеся должны были усвоить себѣ (особенно при дѣленіи на однозначное число) пользу постепеннаго нахожденія цифръ частнаго, начиная съ высшей его цифры. Тридцать шестая ступень курса посвящена дѣленію многозначныхъ чиселъ на однозначное число единицъ высшаго разряда, т.-е. на круглое число. Надо имѣть въ виду, что дѣленію многозначныхъ чиселъ на однозначное число единицъ высшаго разряда принадлежитъ то же мѣсто въ способахъ письменнаго производства дѣленія, какое принадлежитъ умноженію многозначнаго числа на однозначное число единицъ высшаго разряда въ способахъ письменнаго производства умноженія. Понятно, почему этому дѣленію посвящена отдѣльная, а именно 36-я, ступень. Значеніе познаній и навыковъ, относящихся до матеріала этой ступени, обыкновенно недостаточно рѣзко отмѣчается не только въ сознаніи учащихся, но даже въ сознаніи многихъ (особенно—начинающихъ) учителей. Какъ-то мимоходомъ начинающіе учителя учатъ, а ихъ ученики должны сообразить или запомнить, что при дѣленіи многозначнаго числа на 10, надо для отысканія частнаго отбросить послѣднюю цифру дѣлимаго, а при дѣленіи на 100—двѣ послѣднія цифры дѣлимаго, и т. д.

И этимъ часто ограничивается вся роль дѣленія на одну единицу высшаго разряда. Забываютъ о томъ, что безъ дѣленія на однозначное число единицъ высшаго разряда, уразумѣніе дѣтьми самой сущности и самаго производства дѣленія многозначнаго числа на многозначное же является задачей чрезвычайно трудной. Между тѣмъ, не только учащіеся, но даже и начинающіе учителя часто не подозрѣваютъ, что все дѣленіе многозначнаго числа на многозначное основано на дѣленіи многозначныхъ чиселъ на единицы высшихъ разрядовъ.

еще Лука Пачіоли (XV в.) зналъ „способъ придачи“ (названный такъ потому, что послѣ каждаго вычитанія „придавалась“, „сносилась“, одна цифра дѣлимаго къ полученному остатку), способъ, употребляемый въ настоящее время! Ср. Кэджори, стр. 156.

Они только по опыту знаютъ, что дѣленіе представляетъ собою одно изъ самыхъ трудныхъ дѣйствій, въ логическомъ и математическомъ, а равно въ техническомъ и методическомъ отношеніяхъ1). Болѣе того: дѣйствіе дѣленія многозначнаго числа на многозначное представляетъ собою чаще всего прямо камень преткновенія не только для учениковъ. Для учителей оно—причина огорченій по поводу незначительныхъ успѣховъ учащихся въ этомъ дѣйствіи. При производствѣ этого дѣйствія болѣе, чѣмъ при производствѣ всякаго иного, встрѣчаются ошибки: то не та взята цифра частнаго, то пропущенъ нуль въ записи частнаго, то надо зачеркнуть не только невѣрную цифру, но и частное произведеніе этой цифры на дѣлителя, то снесена не та цифра частнаго, то остатокъ больше дѣлителя, то этотъ остатокъ далъ лишнюю цифру частнаго, и т. п.

Ни въ одномъ изъ четырехъ дѣйствій не скоплено столь значительнаго количества логическихъ трудностей, особенно въ нѣкоторыхъ пунктахъ теоретическаго обоснованія дѣленія. А именно: есть дѣленіе двоякаго рода, а надо оба вида обобщить. Требуется двоякое опредѣленіе дѣленія въ зависимости отъ того, выполняется ли оно на-цѣло безъ остатка, или же даетъ остатокъ. Въ одномъ случаѣ дѣлимое равно произведенію дѣлителя на частное, а въ другомъ оно не представляетъ собою такого произведенія. Сюда же примыкаетъ та трудность, которая наблюдается въ тѣхъ случаяхъ, когда мы частное выражаемъ въ видѣ смѣшаннаго числа, или въ видѣ дроби. Въ одномъ случаѣ эта—дробь именованная, въ другомъ—отвлеченная. И т. п.

Дѣленіе на десять.

§ 31. Ввести въ интересы дѣленія обоего рода на десять можно, начавъ съ дѣленія двузначнаго числа на число однозначное, какъ въ тѣхъ случаяхъ, когда въ частномъ получается однозначное число (по таблицѣ умноженія), такъ и въ тѣхъ, когда въ частномъ получается двузначное число. Въ этомъ послѣднемъ

1) Лѣтомъ 1897 года я былъ случайно приглашенъ дня на два въ Пензу, гдѣ въ это время шли учительскіе курсы. Я могъ предоставить слушателямъ только небольшое число часовъ въ ихъ распоряженіе. Когда я явился въ аудиторію и спросилъ, что представляетъ для слушателей наибольшій интересъ, я услышалъ единодушный возгласъ: „дѣленіе, дѣленіе!“ И мы посвятили этому дѣйствію почти все имѣвшееся въ нашемъ распоряженіи время.

случаѣ вычисляющій отыскиваетъ сначала цифру десятковъ, а затѣмъ — цифру единицъ. Затѣмъ можно перейти уже къ дѣйствительному дѣленію двузначнаго и многозначнаго (напр., пятизначнаго) числа на десять. Рѣчь идетъ о дѣйствительномъ раздѣленіи двузначнаго или многозначнаго числа на 10, потому что записать, что 2375 :10 = 237 (ост. 5), значитъ только записать частное и остатокъ. Но найдены ли при этомъ послѣдовательныя цифры частнаго и остатка разсужденіемъ и вычисленіемъ, или же частное и остатокъ только записаны на основаніи соотвѣтствующаго правила, изъ этой записи не видно. Для облегченія и уясненія себѣ самой работы вычисленія полезно надъ получающимися цифрами частнаго записывать начальныя буквы названій единицъ разныхъ разрядовъ (т, с, д, е). Не слѣдуетъ при этомъ записывать частныя произведенія десяти на цифру частнаго, т.-е. не слѣдуетъ писать такъ, какъ пишутъ при дѣленіи многозначнаго числа на многозначное же число со многими значащими цифрами, когда изустное вычисленіе произведенія полученной цифры на дѣлителя трудно выполнимо. Не слѣдуетъ говорить при производствѣ дѣленія въ этомъ случаѣ такъ: 10 въ 83 содержится 8 разъ, пишу 8, восемью-десять восемьдесятъ, вычитаю 80, получаю 3; сношу такую-то цифру» и т. д. Безъ этихъ разговоровъ очень легко обойтись. (Такой способъ вычисленія вполнѣ дозволителенъ и полезенъ только для тѣхъ случаевъ, когда дѣлитель отличается отъ единицы высшаго разряда). Лучше при этомъ производить дѣленіе «на части», чѣмъ «по содержанію»: 83 тысячи раздѣлимъ на 10 равныхъ частей, получимъ 8 тысячъ, остаются 3 тысячи; раздробимъ ихъ въ сотни, получимъ 30 сотенъ, да еще 5 сотенъ, всего 35 сотенъ; раздѣлимъ ихъ на 10 равныхъ частей, получимъ 3 сотни, и т. д. (Терминъ «раздробить» для этого случая вполнѣ цѣлесообразенъ). Такъ же надо вычислять и при кратномъ сравненіи съ десяткомъ. Ибо, если производить дѣйствіе пріемомъ кратнаго сравненія, а не дѣленія на извѣстное число равныхъ частей, то производство кратнаго сравненія представляетъ уже нѣкоторыя излишнія трудности.

Неудобства кратнаго сравненія.

§ 32. При дѣйствительномъ кратномъ сравненіи надо сообразить, сколько десятковъ составляютъ столько-то тысячъ или столько-то сотенъ и т. п. А это представляетъ собою уже нѣкоторыя излишнія затрудненія.

Напр., требуется узнать, сколько сотенъ разъ 10 содержится въ 27-ми сотняхъ. По шаблону легко: 10 въ 27 два раза:

Но шаблонъ на первыхъ порахъ только вреденъ. А разсужденіемъ этого результата можно достигнуть двоякимъ способомъ: а) двѣ тысячи—то же, что 20 сотенъ; а 20 сотенъ—то же, что 10 сотенъ да еще 10 сотенъ, т.-е. сто десятковъ да еще сто десятковъ. т.-е. 200 десятковъ, или б) 27 сотенъ—то же, что 100 разъ по 27-ми, т.-е. 100 разъ по десяти да еще разъ сто разъ по десяти, или двѣсти разъ по десяти, да еще сто разъ по семи; а потому десять содержится въ 27-ми сотняхъ двѣ сотни разъ. И т. п. Подобныя разсужденія утомительны, крайне скучны, безполезны для образованія, да, къ тому же, практически не нужны, такъ какъ учащіеся уже давно освоились съ тѣмъ, что численныя значенія отношенія при дѣленіи „по содержанію“ (при кратномъ сравненіи) и частнаго при дѣленіи „на части“ (при дѣленіи на извѣстное число равныхъ частей) равны между собою. Такимъ образомъ ясно, что пользоваться шаблономъ и въ этомъ случаѣ (какъ и всегда) вредно. Поэтому въ нашемъ случаѣ лучше всего кратное сравненіе (дѣленіе „по содержанію“) сводить къ дѣленію на извѣстное число равныхъ частей (къ дѣленію „на части“).

Дѣлитель—одна единица высшаго разряда.

§ 33. Дѣленіе на одну единицу высшаго разряда не содержитъ въ себѣ для учащихся ничего существенно новаго. Надо начать съ дѣленія трехзначнаго числа на сто, а затѣмъ перейти къ дѣленію четырехзначнаго числа на сто, пятизначнаго и т. д. Здѣсь опять-таки въ обоихъ случаяхъ дѣленія полезнѣе производить дѣленіе такъ, какъ будто дѣлимое требуется раздѣлить на извѣстное число равныхъ частей, а не узнавать, сколько разъ сто или тысяча единицъ, и т. д. содержатся въ данномъ числѣ. Пусть, напр., требуется узнать, сколько разъ въ двухъ милліонахъ содержится одна сотня. По правилу надо отдѣлить отъ правой руки къ лѣвой три цифры, и получится два десятка тысячъ. Разсужденіе же относительно того, сколько разъ сотня содержится въ двухъ милліонахъ, довольно утомительно. А дѣленіемъ на части результатъ добывается такимъ образомъ (всѣ разсужденія приведены полностью): если два милліона раздѣлить на 100 равныхъ частей, то въ каждой части не получится ни одного милліона; раздробимъ 2 милліона въ сотни тысячъ, получимъ 20 сотенъ ты-

сячъ; если 20 сотенъ тысячъ раздѣлить на 100 равныхъ частей, то сотенъ тысячъ въ каждой части не будетъ; раздробимъ 20 сотенъ тысячъ въ десятки тысячъ, получимъ 200 десятковъ тысячъ; а если 200 десятковъ тысячъ раздѣлить на 100 равныхъ частей, то въ каждой части получимъ два десятка тысячъ. А потому

Больше дѣлить нечего, а потому

Такъ какъ учащіеся до правила еще не дошли, то очевидно, что разсужденія въ этомъ случаѣ удобнѣе формулируются, если производить дѣйствіе дѣленія «на части», а не «по содержанію». Иногда, впрочемъ, удобнѣе прибѣгнуть къ дѣленію по содержанію, а именно когда дѣлитель равенъ единицѣ извѣстнаго класса, напр., одной тысячѣ, одному милліону. Пусть, напр., требуется узнать, сколько разъ тысяча содержится въ 356 784, или раздѣлить 356 784 на 1000 равныхъ частей. Здѣсь, очевидно, что, съ какимъ бы случаемъ мы ни имѣли дѣло, частное равно 356-ти. Этотъ примѣръ превосходно освѣщаетъ непригодность мертвыхъ правилъ въ живомъ дѣлѣ надлежащаго обученія.

Записывать частныя произведенія дѣлителя на послѣдовательно получаемыя цифры частнаго въ тѣхъ случаяхъ, когда дѣлитель равенъ десяти, ста и т. д., можно только для большей ясности. Но необходимости въ этихъ записяхъ нѣтъ никакой. Во всякомъ случаѣ механизмъ дѣленія учащіеся, какъ слѣдуетъ и съ разумѣніемъ, усвоятъ только тогда, когда они предварительно освоились съ самымъ существомъ и смысломъ дѣйствительнаго дѣленія на единицы любого разряда и вообще освоились не съ правиломъ, а съ самымъ процессомъ (съ «алгориѳмомъ») этого дѣйствія.

Дѣлитель—круглое число.

§ 34. Дѣленіе многозначнаго числа не на одну единицу, а на любое однозначное число единицъ высшаго разряда: на 20, 30, 40 и т. д., на 200, 300, 400 и т. д., и вообще на всякое круглое число, представляетъ собою задачу, которая важна не только сама по себѣ, но отлично подготовляетъ къ раздѣленію многознач-

наго числа на закруглимое число. Не умѣющій дѣлить на 200, конечно, не сумѣетъ быстро раздѣлить число на 201, на 199 и вообще на закруглимыя числа. Полезно обратиться для должной проработки этого ученія къ тому способу раздѣленія какого-нибудь числа или какой-нибудь величины на 20 одинаковыхъ частей, на 30 и т. д., который сводится къ тому, что сначала дѣлимое дѣлятъ на одну единицу высшаго разряда, т.-е. на 10, а потомъ полученное на число единицъ этого разряда въ дѣлителѣ (т.-е. на 2, на 3 и т. д.). Вся трудность заключается только въ томъ, чтобы учащіеся не сразу записывали частное, происходящее отъ раздѣленія на 10, на сто и т. д. Такое производство дѣленія удалило бы учащихся отъ основной цѣли письменнаго производства дѣленія. Эта основная цѣль—постепенное, шагъ за шагомъ, отысканіе цифръ частнаго, начиная съ единицъ наивысшаго разряда частнаго и переходя къ единицамъ слѣдующаго. Но такое уклоненіе учащихся, если бы оно случилось, отъ прямой цѣли не сильно задержитъ ихъ. Оно можетъ выяснить имъ сущность вопроса, до которой ариѳметика дошла, въ теченіе вѣковъ борясь съ трудностями письменнаго производства дѣленія. Во всякомъ случаѣ, прежде чѣмъ перейти къ дѣленію на круглое число, дающему въ результатѣ многозначное частное, надо научить дѣленію на круглое число, дающему частное однозначное.

Однозначное частное при кругломъ дѣлителѣ.

§ 35. Когда дѣлитель круглое число, а частное—число однозначное, можно различать два случая: 1) въ дѣлимомъ столько же цифръ, сколько ихъ въ дѣлителѣ, и 2) въ дѣлимомъ одной цифрой больше, чѣмъ въ дѣлителѣ. Въ первомъ случаѣ (876 : 300; 3560 : 2000 и т. п.) единственная цифра частнаго будетъ найдена, если мы раздѣлимъ дѣлимое на одну единицу того наивысшаго разряда, изъ единицъ котораго составленъ дѣлитель (на 100, 1000 и т. п.), а полученное частное — на число этихъ единицъ, заключающееся въ дѣлителѣ. Остатокъ при этомъ вычисляется очень просто, если помножить (по возможности изустно!) дѣлителя на частное и полученное произведеніе вычесть изъ дѣлимаго. Во второмъ случаѣ (2263:300; 7684:900; 15364:4000 и т. п.) можно поступить совершенно такъ же, какъ въ первомъ случаѣ. Слѣдуетъ остерегаться несвоевременнаго сообщенія дѣтямъ правила: «надо

первыя двѣ цифры дѣлимаго раздѣлить на первую цифру дѣлителя». До этого правила учащіеся должны и могутъ быстро добраться путемъ опыта, наблюденія и разсужденія, являющихся результатомъ цѣлесообразныхъ упражненій.

Необычный способъ дѣленія на круглое число.

§ 36. При переходѣ къ дѣленію на круглое число, дающему въ частномъ многозначное число, можетъ случиться,—какъ это отмѣчено выше,— что учащіеся пожелаютъ произвести дѣленіе на круглое число (напр., число 23763 на 300) слѣдующимъ образомъ: сначала раздѣлить все дѣлимое на 100, а потомъ—частное на 3. Этому препятствовать, конечно, не слѣдуетъ. При этомъ получатся слѣдующія записи:

Если мы раздѣлимъ сразу на 300, то получимъ то же самое:

Но въ другомъ примѣрѣ

а если сначала совершить дѣленіе:

а затѣмъ—дѣленіе:

то вопросъ усложнится вопросомъ о смыслѣ этого остатка. Останавливаться на этомъ вопросѣ, пока учащіеся не знаютъ о полномъ частномъ, не слѣдуетъ,—особенно въ начальной школѣ. Но скрывать отъ нихъ трудность рѣшенія вопроса на этомъ пути тоже не слѣдуетъ. Эта трудность убѣдитъ дѣтей въ необходимости иного способа вычисленія, т.-е. постепеннаго и послѣдовательнаго нахожденія цифръ частнаго.

Послѣдовательное отысканіе цифръ частнаго на 36-й ст.

§ 37. Важно научить дѣтей послѣдовательному нахожденію цифръ частнаго при раздѣленіи многозначнаго числа на однозначное число единицъ высшаго разряда. Вопросъ о томъ, поймутъ ли учащіеся возможность раздѣленія, напр., на 300, основаннаго на томъ, что сначала надо дѣлимое раздѣлить на 100, а полученное на 3 равныя части, можно разрѣшить въ положительномъ смыслѣ. Если бы это представле-

ніе почему-либо затруднило учащихся, то можно прибѣгнуть хотя бы къ такому примѣру: умѣемъ ли мы сразу раздѣлить прямую на 6 равныхъ частей? Конечно, умѣемъ. Но нельзя ли раздѣлить ее не сразу на 6 одинаковыхъ частей, а поступить иначе: сначала раздѣлить прямую на 3 одинаковыя части, а затѣмъ каждую изъ частей пополамъ?—Умѣемъ ли мы раздѣлить данную прямую сразу на 40 одинаковыхъ частей? Нельзя ли вмѣсто этого раздѣлить данную прямую сначала на 10 одинаковыхъ частей, потомъ каждую изъ полученныхъ частей—на 4 одинаковыя части? И т. п.—Можно найти и болѣе конкретные примѣры. Но не въ этомъ, какъ отмѣчено выше, главная трудность, а въ томъ, чтобы учащіеся не сразу находили все частное отъ раздѣленія дѣлимаго на 10, на 100 и т. д. равныхъ частей, а дѣлили бы только тѣ части дѣлимаго, которыя могутъ дать нужныя цифры частнаго. Научить этому можно только путемъ цѣлесообразныхъ упражненій.

Начать эти упражненія можно съ повторенія дѣленія многозначныхъ чиселъ на числа перваго десятка, каковому дѣленію посвящена 32-я ступень нашего курса (§ 7 этой главы). Эти важныя повторительныя упражненія вернутъ дѣтей къ основной идеѣ нахожденія цифръ многозначнаго частнаго, нѣсколько затушеванной упражненіями въ нахожденіи однозначнаго частнаго въ случаяхъ, освѣщенныхъ въ § 8 настоящей главы. Эта идея составляетъ главную идею дѣленія, отъ котораго получаются цифры многозначнаго частнаго одна за другою. До нея человѣчество добралось въ теченіе сотенъ лѣтъ упорнѣйшаго труда и борьбы съ трудностями дѣленія.

Разсужденія при нахожденіи цифръ многозначнаго частнаго на 36-й ст.

§ 38. Требуется раздѣлить 4 261 на 40. Для отысканія одного только частнаго можно 4261 раздѣлить на 10, получимъ 426 (остатокъ отбрасываемъ), а отъ раздѣленія 426-ти на 4, получимъ 106 (остатокъ опять отбрасываемъ). Но раздѣлить 4261 на 40 значитъ найти не одно только частное, но и остатокъ. А потому будемъ вычислять такъ: если 4 тысячи раздѣлить на 40 равныхъ частей, то въ каждой части тысячъ не будетъ; 42 сотни раздѣлимъ на 40 равныхъ частей, въ каждую часть попадетъ одна сотня,—записываемъ въ частное 1 сотню; двѣ сотни остаются на-рукахъ; больше сотенъ въ частномъ не будетъ; 26 десятковъ на 40 равныхъ частей, десятковъ не будетъ,—записываемъ на мѣстѣ десятковъ

нуль; 261 единицу дѣлимъ на 40 равныхъ частей такъ: раздѣлимъ на 10 равныхъ частей, получимъ 26 единицъ; 26 единицъ дѣлимъ на 4, получимъ 6 единицъ; записываемъ 6 на мѣстѣ единицъ. И т. д. Только настойчивыя упражненія могутъ привести къ должному уразумѣнію сущности производства дѣленія многозначнаго числа на многозначное.

Механизмъ дѣленія на 36-й ст.

§ 39. Надо ли сообщать извѣстный механизмъ («алгориѳмъ») дѣленія («40 въ 42-хъ одинъ разъ, пишу 1, остается 2; сношу 6; сорокъ въ 26-ти не содержится; пишу нуль; сношу 1; сорокъ въ 261-й единицѣ,— 4, въ 26-ти,—6 разъ; пишу 6; шестью-нуль 0, шестью-четыре— 24; остатокъ 21»)? До этого механизма учащіеся должны добраться и дорасти. Записывать на занимающей насъ ступени частныя произведенія дѣлителя на получаемыя цифры частнаго и остатки тоже не нужно, но по другой причинѣ. Механизмъ преждевремененъ, а записываніе остатковъ и частныхъ произведеній почти безполезно. Но если самъ учитель привыкъ къ этому записыванію, то оно особеннаго вреда учащимся уже не принесетъ. Только при дѣленіи на 10, на 100 и т. д. совершенно нецѣлесообразно записывать произведенія цифръ частнаго на 10, на 100 и т. д. Желательно, конечно, избѣгать этого многописанія. При дѣленіи же на круглое число, отличающееся отъ единицы высшаго разряда, записывать можно остатки такъ:

Но необходимость въ такой записи не всегда имѣется на-лицо: иногда остатки очевидны, и видѣть ихъ учащійся въ состояніи.

Въ первыхъ упражненіяхъ въ дѣленіи на круглое число можно рядомъ съ цифрой частнаго или надъ нею проставить сокращенное наименованіе разрядовъ, но потомъ это наименованіе можно опускать, сначала имѣя его въ виду, а затѣмъ чисто механически записывая цифру за цифрой. Только при многочисленныхъ упражненіяхъ въ этомъ направленіи, отъ настойчивости учителя въ проведеніи методическихъ точекъ зрѣнія въ обученіи и отъ интереса учащихся къ планомѣрному вычисленію каждой цифры частнаго въ отдѣльности зависятъ дальнѣйшіе успѣхи въ производствѣ дѣленія. Этотъ интересъ воз-

будить нетрудно, внеся намѣченныя выше точки зрѣнія въ обученіе и пользуясь ритмическимъ производствомъ вычисленія.

Правила нахожденія цифры частнаго на 36-й ст.

§ 40. Когда дѣлитель—однозначное число единицъ высшаго разряда, нужно, какъ извѣстно, различать два случая: 1) когда частное—однозначное число, и 2) когда частное—число многозначное. Первый случай не представляетъ особаго затрудненія, потому что здѣсь вопросъ прямо сводится къ вопросу о томъ, сколько разъ дѣлитель содержится въ дѣлимомъ: 831 раздѣлить на 300: 300 въ 831 содержится только 2 раза, остается остатокъ; или 960 на 200; 200 въ 960 содержится 4 раза, остается остатокъ, и т. д. Нѣсколько иначе обстоитъ дѣло тогда, когда мы дѣлимъ такія числа (какъ, напр., 2456 на 400 и т. п.), что число цифръ дѣлимаго на одну единицу больше числа цифръ дѣлителя, а въ частномъ получается однозначное число. Пусть требуется раздѣлить 2556 на 400. Сколько разъ 400 содержится въ 2556? Эта задача нѣсколько затруднительнѣе. Поэтому лучше обратиться къ дѣленію на извѣстное число частей: 2556 надо раздѣлить на сто равныхъ частей, получится 25 единицъ, а если 25 раздѣлить на 4 равныя части, то получится 6; значитъ, 400 содержится въ 2556 шесть разъ. Другой примѣръ: 2556 на 600. Сколько разъ 600 содержится въ 2556, можно только сказать либо на основаніи усвоеннаго механизма (столько разъ, сколько разъ 6 содержится въ 25-ти), либо на основаніи разсужденія (двѣ тысячи все равно, что 20 сотенъ, у насъ еще есть 5 сотни, всего сотенъ 25; въ 25-ти сотняхъ 4 сотни содержатся 6 разъ), либо, наконецъ, можно такимъ образомъ: 2556 раздѣлимъ на 100 частей, получимъ 25, полученное раздѣлимъ на 4, получимъ 6, и т. д. Очевидно, что этотъ пріемъ удобнѣе другихъ. Въ случаѣ достаточнаго количества упражненій, подобныхъ только-что приведенному, можно скоро достигнуть того, что учащіеся, благодаря интуиціи, «глазами» увидятъ, что цифра частнаго получается отъ раздѣленія первой цифры или первыхъ двухъ цифръ дѣлимаго на первую цифру дѣлителя. Правила этого имъ сообщать не надо. Оно будетъ полезно только въ томъ случаѣ, если ученики сами его подмѣтятъ. Чтобы не склонять числительныхъ именъ и не говорить: «въ двухъ тысячахъ четырехстахъ пятидесяти шести» и т. д., можно говорить, что въ числѣ 2456 и т. д. Въ случаѣ многозначнаго частнаго, когда дѣлитель — много-

значное число (200, 300 и т. д. 2000, 3000 и т. д.), приходится разсуждать съ самаго начала такъ, чтобы ученики поняли, что мы послѣдовательно вычисляемъ, какъ велики разрядныя числа частнаго: сначала—какъ велика, скажемъ, цифра десятковъ тысячъ, потомъ—цифра тысячъ, далѣе—цифра сотенъ, цифра десятковъ и цифра единицъ, начиная съ цифры высшаго разряда. Пусть требуется раздѣлить 75638 на 200 равныхъ частей. Говорить въ этомъ случаѣ «двѣсти въ семистахъ пятидесяти шести» съ самаго начала крайне неудобно, потому что учащіеся не обязаны, на основаніи раньше усвоенныхъ знаній, сообразить, что такъ можно разсуждать. На самомъ дѣлѣ можно сначала говорить такъ: «если семь десятковъ тысячъ раздѣлить на двѣсти одинаковыхъ частей, десятковъ тысячъ въ частномъ не получится; если семьдесятъ пять тысячъ раздѣлить на двѣсти одинаковыхъ частей, въ частномъ тысячъ тоже не получится; если семьсотъ пятьдесятъ шесть сотенъ раздѣлить на двѣсти одинаковыхъ частей, то въ частномъ должны получиться сотни; можно, значитъ, первую цифру частнаго помѣтить буквой с (сотни). А сколько получится сотенъ, можно разсчитать двоякимъ способомъ: «или 750 раздѣлить на 100, получится 7, а полученныя семь раздѣлить пополамъ, получится три»; или же сказать такъ: «двѣсти содержится въ числѣ семьсотъ пятьдесятъ шесть 3 раза», и записать 3. Въ этомъ случаѣ записывать частныя произведенія дѣлителя на получаемыя цифры частнаго уже дозволительно. Можно, конечно, обойтись и безъ этихъ записей, записывая только остатки, такъ какъ частныя произведенія круглыхъ сотенъ на цифры частнаго легко вычисляются. Но если записывать частныя произведенія въ этихъ случаяхъ, то это будетъ первый случай, когда дѣленіе производится со значительнымъ количествомъ записей, хотя оно еще и не сведено къ обычно практикуемому механизму: «двѣсти въ семистахъ пятидесяти шести—три раза» и т. д.

Упражненія въ механизмѣ дѣленія.

§ 41. Этому послѣднему механизму надо посвятить отдѣльныя упражненія. Самостоятельныя же упражненія учащихся, пока они еще не усвоили матеріала, подготовляющаго къ алгориѳму дѣленія, могутъ относиться къ любой изъ предыдущихъ ступеней, на которыя учитель считаетъ почему-либо необходимымъ перенести вниманіе учащихся. Алгориѳму дѣленія должно посвятить (какъ это

отмѣчено выше) особое мѣсто. Противъ «механизма» можно возражать только тогда, когда съ него начинаютъ обученіе производству дѣленія, когда учитель удовлетворяется тѣмъ, что онъ самъ нѣсколько поговоритъ или «объяснитъ», «растолкуетъ» ученикамъ, въ чемъ дѣло, и когда онъ требуетъ отъ учениковъ неосмысленнаго или полуосмысленнаго способа производства дѣйствія по извѣстному шаблону. Если же учащіеся сами, путемъ опыта и наблюденія, пришли къ механизму, или учитель умѣлой рукой направилъ ихъ къ нему, то алгориѳмъ этотъ не только не вреденъ, но полезенъ, такъ какъ, въ концѣ-концовъ, вѣдь, учащійся долженъ же научиться вычислять болѣе или менѣе быстро. Нужно достигнуть того, чтобы учащійся не задумывался надъ причинами принятаго имъ способа вычисленія, если это почему-либо въ данномъ случаѣ не требуется. Но если это почему-либо требуется, учащійся долженъ быть въ состояніи вернуться къ разсужденіямъ и объясненіямъ, ведущимъ къ механизму. Не надо ни на минуту забывать, что дѣленіе многозначныхъ чиселъ, какъ это отмѣчено выше, наитруднѣйшее изъ дѣйствій. Способы производства («алгориѳмъ»), самый механизмъ этого дѣйствія достигли современнаго своего развитія позднѣе способовъ производства остальныхъ дѣйствій. Трудностей методическаго характера, при обученіи дѣтей этому дѣйствію, несравненно больше, чѣмъ при обученіи остальнымъ математическимъ дѣйствіямъ, не исключая даже способовъ обученія извлеченію корней (квадратныхъ и кубичныхъ) и логариѳмированію.

Алгориѳмъ дѣленія многозначнаго числа на однозначное число единицъ высшаго разряда, если цифръ въ частномъ болѣе одной, сводится, въ концѣ-концовъ, какъ это извѣстно читателю, къ очень небольшому количеству простыхъ манипуляцій. Прежде всего нужно отдѣлить, считая отъ лѣвой руки къ правой, въ дѣлимомъ столько цифръ, сколько ихъ необходимо и достаточно для того, чтобы получить первую цифру частнаго. Между послѣдней цифрой, отдѣленной отъ лѣвой руки къ правой, и слѣдующей за ней цифрой дѣлимаго можно сверху поставить точку. Отмѣченное слѣва число мы дѣлимъ на дѣлителя, записываемъ цифру частнаго и умножаемъ эту цифру на дѣлителя. Это дѣленіе въ занимающемъ насъ случаѣ сводится къ раздѣленію числа, обозначаемаго первою или первыми двумя высшими цифрами дѣлимаго, на

первую цифру дѣлителя. Мы записываемъ цифру частнаго и частное произведеніе ея на дѣлителя въ надлежащемъ мѣстѣ и дѣлаемъ вычитаніе. Въ разсужденіи можно обращать этотъ остатокъ въ единицы слѣдующаго разряда, прибавить тѣ единицы того же разряда, которыя есть въ дѣлимомъ, и произвести дальнѣйшее дѣленіе. Вотъ тутъ-то и требуется поставить точку между «снесенной» цифрой дѣлимаго и слѣдующей. Эти точки, которыя ставятся въ промежутки между цифрами дѣлимаго сверху, играя, казалось бы, только ничтожную вспомогательную роль, тѣмъ не менѣе помогаютъ вычисляющему не ошибаться въ такъ называемомъ «сносѣ» слѣдующихъ цифръ дѣлимаго въ остатокъ. Что касается самаго механизма нахожденія каждой отдѣльной цифры частнаго, то онъ выше описанъ и для учениковъ долженъ явиться результатомъ предварительной методически-планомѣрной работы. Онъ важенъ не только для случаевъ, когда дѣлитель—однозначное число единицъ высшаго разряда (т.-е. когда онъ круглое число), но для случаевъ, когда дѣлитель — число закруглимое, и даже для случаевъ, когда дѣлитель — число незакруглимое. Въ этомъ послѣднемъ случаѣ, какъ въ томъ убѣдимся ниже, въ § 57, часто приходится его примѣнять два раза. Очевидно, что можно довести учащихся до механизма вычисленія, научивъ ихъ тѣмъ разсужденіямъ, на которыхъ основанъ этотъ механизмъ. А механизмъ вычисленія сводится только къ ряду словъ и къ ритмической и своевременной записи отдѣльныхъ цифръ частнаго и частныхъ произведеній дѣлителя на цифры частнаго. Конечно, не словамъ и не записямъ должно учить, а тому, что лежитъ въ основѣ цѣлесообразныхъ вспомогательныхъ словъ и записей.

Ошибочный пропускъ нулей въ частномъ.

§ 42. Наибольшее количество ошибокъ, которыя встрѣчаются у учащихся, помимо невѣрныхъ цифръ частнаго, особенно въ случаяхъ дѣленія на незакруглимое число, сводится къ ошибочному пропуску нулей въ частномъ. Остатокъ получился, сносится слѣдующая цифра дѣлимаго, но получается новое число, которое на дѣлителя тоже не дѣлится на-цѣло безъ остатка, и вотъ учащійся забываетъ поставить нуль въ частномъ и торопится «снести» еще одну цифру дѣлимаго. Послѣ этого онъ продолжаетъ дѣленіе, пропустивши въ частномъ нуль. Такимъ образомъ одна или нѣсколько цифръ частнаго пропадаютъ, и

частное получается совершенно невѣрное, меньше истиннаго. Особенно часто эта ошибка наблюдается въ случаяхъ, когда послѣдняя цифра частнаго—нуль, и когда послѣ сноса послѣдней цифры дѣлимаго получается число, меньшее, чѣмъ дѣлитель; напр., при дѣленіи:

Въ этихъ случаяхъ, если «сносъ» цифры дѣлимаго не отмѣчается точкой и если учащійся работаетъ не ритмически, онъ легко можетъ здѣсь пропустить одинъ изъ нулей частнаго.

Пусть, напр., требуется раздѣлить 424823 на 600 равныхъ частей; первая цифра частнаго получится отъ раздѣленія 4248 на 600, эта цифра 7; въ первомъ остаткѣ получается сорокъ восемь, снеся цифру 2, получимъ четыреста восемьдесятъ два, которыхъ тоже нельзя раздѣлить на 600 равныхъ частей такъ, чтобы въ каждой части получилось по нѣсколько единицъ слѣдующаго за уже вычисленной цифрой разряда. Надо обратиться къ вопросу о томъ, что обозначаетъ цифра 7: тысячи ли, или сотни, или десятки? Что мы дѣлили на 600? (4248).—Чего 4248? (4248 сотенъ).—Мы, значить, получили семь сотенъ въ каждой части. — Когда мы снесли цифру 2, что мы получили? (482).—Чего 482? (482 десятка).— Послѣ цифры сотенъ направо отъ нея какая идетъ цифра? (Цифра десятковъ).—Сколько отдѣльныхъ десятковъ должно получиться отъ раздѣленія четырехсотъ восьмидесяти двухъ десятковъ на шестьсотъ одинаковыхъ частей? (Десятковъ не получится ни одного).—Какъ это записать? И т. п.

Умноженіе дѣлителя на нуль частнаго на 36-й ст.

§ 43. Когда въ частномъ получился на мѣстѣ единицъ какого-либо разряда нуль, то является искушеніе: нуль помножить на дѣлителя или (что—еще хуже) дѣлителя помножить на нуль, и съ этимъ искушеніемъ стоитъ побороться. Лучше не помножать ни нуля на дѣлителя, ни тѣмъ болѣе—дѣлителя на нуль. Можно обойтись безъ этого. Отдѣльныхъ десятковъ, напр., ни въ одну изъ искомыхъ частей не попало; десятки дѣлимаго, стало-быть, остались «на-рукахъ»: раздробимъ ихъ въ единицы и «снесемъ» цифру единицъ. И т. д. Для того чтобы ученики научились внимательно относиться къ послѣдовательно получаемымъ цифрамъ частнаго, конечно, недостаточно опираться только на случайные примѣры, которыхъ можетъ оказаться гораздо

меньше, чѣмъ сколько ихъ нужно для того, чтобы дѣти уяснили себѣ этотъ навыкъ, или же гораздо больше, чѣмъ слѣдуетъ. Надо проработать съ учащимися достаточное и необходимое количество цѣлесообразныхъ, въ этомъ направленіи, вычисленій, а не надѣяться на случайные примѣры этого рода, которые, конечно, могутъ встрѣтиться на практикѣ. Когда учащіеся усвоили себѣ способъ вычисленій, полезно возвращаться къ способамъ, сопровождаемымъ полными разсужденіями относительно каждой цифры частнаго, въ случаѣ когда дѣлитель — круглое число единицъ высшаго разряда. Это—случай основной.

Послѣднія цифры дѣлимаго—нули, дѣлитель—круглое число.

§ 44. Слѣдующее мѣсто занимаетъ дѣленіе многозначнаго числа, въ которомъ послѣднія цифры нули, на круглое число, т.-е. на однозначное число единицъ какого-либо высшаго разряда. При этомъ въ записяхъ дѣлимаго и дѣлителя можетъ на послѣднихъ мѣстахъ стоять одинаковое число нулей, въ дѣлителѣ послѣднихъ нулей можетъ быть больше, чѣмъ послѣднихъ нулей въ дѣлимомъ, и, наконецъ, въ дѣлимомъ ихъ можетъ быть меньше, чѣмъ въ дѣлителѣ. Есть искушеніе просто зачеркнуть одинаковое число нулей въ дѣлимомъ и дѣлителѣ и произвести дѣйствіе надъ полученными числами. Но это дозволительно только въ слѣдующихъ случаяхъ: а) когда дѣленіе совершается безъ остатка, б) когда мы легко разбираемся въ вопросѣ о томъ, что нужно сдѣлать съ остаткомъ, если дѣленіе совершается съ остаткомъ, в) если мы частное выразимъ въ видѣ дроби, г) если его выразимъ въ видѣ смѣшаннаго числа, и д) его выражаемъ въ видѣ десятичной дроби. Если намъ требуется раздѣлить 72600 на 500, то раздѣливъ, не производя сокращенія дѣлимаго и дѣлителя, на 500, мы получимъ въ частномъ 145, а въ остаткѣ 100. Если же мы сократимъ дѣлимое и дѣлителя на 100 и раздѣлимъ 726 на 5, то мы въ частномъ получимъ 145, но въ остаткѣ— только одну единицу. На этой ступени, въ виду затруднительности вопроса, приходится отказаться отъ этого сокращенія.

Чтобы выяснить дѣтямъ (если бы имъ пришло въ голову послѣ многихъ упражненій этого рода, что нулей можно не принимать во вниманіе, —что вполнѣ возможно), почему нули надо принимать во вниманіе, можно предложить слѣдующую задачу: пусть у меня 170 яблокъ, я хочу ихъ раздать семидесяти мальчикамъ и хочу разсчитать наибольшее число яблокъ, которое можетъ получить каждый

мальчикъ, и сколько у меня останется не розданныхъ яблокъ. Если раздѣлить 170 на 70, то получится, что яблокъ каждый получитъ по двѣ штуки, а останется у меня не розданныхъ яблокъ тридцать штукъ. Если бы я откинулъ въ записяхъ дѣлимаго и дѣлителя ихъ нули, то семнадцать, раздѣленныя на семь, дали бы въ частномъ тоже два, но въ остаткѣ я получилъ бы только три. Тутъ что-нибудь не такъ. — Такихъ примѣровъ надо продѣлать нѣсколько.

Искушеніе сокращать нули можетъ прійти въ голову самимъ ученикамъ, если они продѣлали много упражненій въ раздѣленіи такого дѣлимаго на такого дѣлителя, въ письменныхъ обозначеніяхъ которыхъ послѣднія цифры нули. Но это сокращеніе можетъ ученикамъ и не прійти въ голову. Скорѣе самъ учитель склоненъ поддаться такому искушенію. Онъ даже можетъ подумать, что ученикамъ-де легко уяснить себѣ, что это дѣлать можно, и что послѣ этого требуется сдѣлать только поправку въ остаткѣ, сообразную съ условіемъ задачи. Но дѣло въ томъ, что какъ-разъ вопросъ объ измѣненіи остатка принадлежитъ къ числу довольно тонкихъ вопросовъ ариѳметики. Поэтому учитель обязанъ помнить, что учащійся долженъ пріобрѣсти довольно много чрезвычайно важныхъ навыковъ въ производствѣ дѣйствій, а сокращеніе нулей къ нимъ не принадлежитъ. Поэтому посвящать особенное вниманіе выше намѣченному вопросу было бы нецѣлесообразно. Это возможно было бы сдѣлать при изученіи измѣненій частнаго и остатка въ зависимости отъ измѣненій дѣлимаго и дѣлителя, либо же при обозначеніи частныхъ въ видѣ дробей или смѣшанныхъ чиселъ. На это обыкновенно возражаютъ, что, не сокращая дѣлимаго и дѣлителя, мы при вычисленіи пишемъ много «лишнихъ» нулей и тратимъ на это много времени и много мѣста. Но если бы это даже было такъ, то въ крайнемъ случаѣ пришлось бы лучше затратить много времени и мѣста, чѣмъ рисковать вѣрностью вычисленій и прививать учащимся не осознанныя ими правила. Тотъ выигрышъ во времени, который можетъ получиться отъ того, что нули, общіе у дѣлимаго и у дѣлителя, зачеркнуты, настолько малъ, что хлопотать объ этомъ выигрышѣ и вообще не стоитъ, а проигрышъ въ отношеніи сознательности производства учащимися дѣленія въ этомъ частномъ случаѣ, каковой частный случай встрѣчается довольно рѣдко, весьма значителенъ. Лучше оставить нѣсколько нулей, чѣмъ ошибиться въ остаткѣ, или же хотя

бы даже не ошибиться, но все же сдѣлать остатокъ вѣрнымъ безъ достаточнаго къ тому логическаго основанія. Ибо логическое основаніе измѣненія остатка въ этомъ случаѣ, какъ извѣстно, слишкомъ тонко для учениковъ, только вступившихъ на эту ступень, которая посвящена дѣленію многозначнаго числа на однозначное число единицъ высшаго разряда. Впослѣдствіи, когда можно будетъ обозначать частное и въ видѣ обыкновенной дроби, и въ видѣ дроби конечной десятичной (точно или приближенно), и въ видѣ цѣлаго числа съ дробью, возможно позволить себѣ уменьшеніе дѣлимаго и дѣлителя въ одно и то же число разъ, равное единицѣ нѣкотораго высшаго разряда. Выигрышъ мѣста при опусканіи нулей на занимающей насъ ступени тоже слишкомъ малъ по сравненію съ тѣмъ вредомъ, который принесетъ эта погоня за сомнительной скоростью вычисленія и за сбереженіемъ мѣста ариѳметическому разумѣнію учащихся. Нулей въ дѣлимомъ и дѣлителѣ зачеркивать не надо, вотъ что ученики должны понимать.

Нужные и безсмысленные нули.

§ 45. Вообще преувеличенная боязнь записать нѣсколько нулей—наслѣдіе тѣхъ временъ, когда всѣ дѣйствія совершались по правиламъ, и когда вся ариѳметика предлагалась учащимся въ готовомъ видѣ безъ вниманія къ методическимъ требованіямъ. Боязнь эта неосновательна, потому что много времени подобныя записи не требуютъ. Не нужны нули только тогда, когда они искажаютъ смыслъ записи, или же когда они прямо безсмысленны. Таковъ, напр., случай умноженія многозначнаго числа на такое многозначное, письменное обозначеніе котораго содержитъ въ себѣ нули, когда учащіеся, по непонятной имъ причинѣ, ставятъ въ частномъ произведеніи столько нулей, сколько цифръ во множимомъ, т.-е. когда они пишутъ слѣдующимъ образомъ:

37-я ст.: дѣленіе на закруглимыя числа.

§ 46. Когда учащіеся совершенно освоятся съ дѣленіемъ многозначнаго числа на любое круглое число, т.-е. на однозначное число единицъ высшаго разряда, можно перейти къ дѣленію на всякое многозначное число. Но, если не вносить

методическихъ точекъ зрѣнія въ обученіе дѣленію многозначныхъ чиселъ, то дѣленіе на любое многозначное число останется для учениковъ почти навсегда весьма плохо усвоеннымъ дѣйствіемъ. Можетъ оказаться, что и результаты невѣрно будутъ вычисляться, что въ записяхъ будетъ много зачеркнутыхъ цифръ, что вычеркиваться будутъ и побочныя вычисленія частныхъ произведеній, а не только цифры частнаго, и т. п. Чтобы избѣгнуть совершенно ненужныхъ и устранимыхъ ошибокъ и затрудненій при письменномъ производствѣ дѣленія, полезно различать: 1) дѣленіе на закруглимое многозначное число и 2) дѣленіе на число незакруглимое.

Классификація чиселъ.

Съ попытками такой классификаціи учащіеся ознакомились еще на 25-й ступени при дѣленіи двузначныхъ чиселъ на двузначныя же.

Цѣлыя группы чиселъ таковы, что вопросъ о томъ, закруглимо ли данное число или не закруглимо, разрѣшается непосредственно здравымъ смысломъ. Такъ, напр., не можетъ быть сомнѣнія въ томъ, что 251 или 249 числа незакруглимыя, а 203 и 199 или 198—числа закруглимыя. Но такая постановка вопроса пригодна только для сужденія о закруглимости и незакруглимости тѣхъ или иныхъ чиселъ, когда не можетъ быть сомнѣнія въ близости даннаго числа къ ближайшему круглому или въ отдаленности его отъ ближайшаго круглаго. Чтобы внести въ этотъ вопросъ большую опредѣленность, надо установить нѣкоторые опредѣленные признаки, которые облегчили бы сужденіе о закруглимости и незакруглимости даннаго числа.

Относительно чиселъ первой сотни можно принять, что всѣ числа закруглимы. Всѣ числа

явно незакруглимы: каждое изъ нихъ слишкомъ далеко отстоитъ отъ ближайшихъ къ нему двухъ круглыхъ чиселъ,— одного меньшаго, чѣмъ это число, и другого, большаго, чѣмъ оно. Всѣ остальныя числа, не входящія ни въ одну изъ группъ, обозначенныхъ римскими цифрами (I) и (II), тоже можно отнести къ числу незакруглимыхъ, хотя каждое изъ нихъ ближе къ одному изъ ближайшихъ къ нему круглыхъ чиселъ, чѣмъ числа группы (II). Отъ этого обученіе дѣленію чиселъ на двузначное число не страдаетъ1).

Что касается чиселъ трехзначныхъ, четырехзначныхъ и т. д., то и ихъ можно, для простоты, особенно на первыхъ порахъ, раздѣлить тоже на два класса: а) классъ закруглимыхъ чиселъ и б) классъ чиселъ незакруглимыхъ. — Къ классу закруглимыхъ чиселъ можно отнести: 1) всѣ трехзначныя числа вида

гдѣ к—однозначное число, а буква а обозначаетъ число, не большее 20-ти, т.-е. числа:

а также: 2) числа вида

гдѣ буква к обозначаетъ число перваго десятка, не меньшее 2-хъ, а буква а—число меньшее, чѣмъ 20, т.-е. числа:

1) Если буква а обозначаетъ любое однозначное число, а буква к число, равное одной единицѣ или двумъ единицамъ, то общій видъ двузначнаго закруглимаго числа а. 10 ± к, общій видъ незакруглимаго числа а. 10 + 5 ± к. Незакруглимо, конечно, и число вида а. 10 + 5.

Всѣ же остальныя трехзначныя числа можно называть и считать незакруглимыми. Это раздѣленіе можно провести и для чиселъ многозначныхъ, и его на первыхъ порахъ для практическихъ цѣлей вполнѣ достаточно.

Раздѣленіе трехзначныхъ чиселъ на 5 классовъ.

§ 47. Впослѣдствіи можно ввести болѣе тонкую классификацію многозначныхъ чиселъ, а именно разбить ихъ на пять классовъ: а) закруглимыя до ближайшаго меньшаго круглаго числа, б) закруглимыя до ближайшаго большаго круглаго числа, в) числа незакруглимыя, г) числа, трудно закруглимыя до ближайшаго меньшаго круглаго числа, д) числа, трудно закруглимыя до ближайшаго большаго круглаго числа.

Закруглимы до ближайшаго меньшаго круглаго числа:

Закруглимы до ближайшаго большаго круглаго числа:

Незакруглимы слѣдующія числа:

Трудно закруглимы всѣ остальныя числа, т.-е., съ одной стороны, числа:

Съ другой стороны, трудно закруглимы также числа:

961, 962, 963 и т. д. до 980-ти включительно.

Числа первой группы (I) близки къ ближайшимъ меньшимъ круглымъ числамъ (къ 100, 200, 300,...,900). Числа группы (II) близки къ ближайшимъ большимъ круглымъ числамъ (къ 200, 300,....,1000). Это—двѣ группы легко закруглимыхъ чиселъ, числа (IV) и (V) группъ—трудно закруглимы, но одни,—группа (IV), — ближе къ ближайшимъ меньшимъ круглымъ числамъ, другія,—группа (V), — ближе къ ближайшимъ большимъ круглымъ числамъ. Все это имѣетъ значеніе для того, кто, вычисляя частное при раздѣленіи многозначнаго числа на число трехзначное, хочетъ получше «взвѣсить» отдѣльныя цифры частнаго. Числа средней группы (III) не-

закруглимы, находясь на болѣе или менѣе одинаковомъ разстояніи отъ двухъ ближайшихъ къ нимъ круглыхъ чиселъ1).

Закруглимыя и незакруглимыя четырехзначныя числа.

Числа четырехзначныя можно по тому же принципу раздѣлить на три главныхъ класса: а) закруглимыя до ближайшаго круглаго меньшаго числа, б) незакруглимыя и в) закруглимыя до ближайшаго круглаго большаго числа. Къ первому и третьему классамъ принадлежатъ всѣ числа

Пять группъ многозначныхъ чиселъ.

§ 48. Аналогично съ раздѣленіемъ трехзначныхъ чиселъ на 5 классовъ можно провести подобное же раздѣленіе четырехзначныхъ чиселъ на пять классовъ. Первую группу составляютъ числа отъ 1001 до 1200 включительно, закруглимыя до тысячи, отъ 2001 до 2200, закруглимыя до 2000, и т. д. Вторую группу (закруглимыхъ чиселъ) составляютъ числа отъ 1801 до 1999, закруглимыя до двухъ тысячъ, отъ 2801 до 2999, закруглимыя до трехъ тысячъ, и т. д. Третью группу (не закруглимыхъ чиселъ) составляютъ числа отъ 1401 до 1600 включительно, отъ 2401 до 2600, и т. д. Четвертую группу (трудно закруглимыхъ чиселъ) составляютъ числа отъ 1201 до 1400. отъ 2201 до 2400 и т. д.; наконецъ, пятую группу тоже трудно закруглимыхъ чиселъ составляютъ числа отъ 1601 до 1800 включительно, отъ 2601 до 2800, и т. д. Аналогичное распредѣленіе чиселъ пятизначныхъ и т. д. на пять классовъ совершенно подобно раздѣленію трехзначныхъ на классы. Въ цѣляхъ письменнаго производства дѣленія многозначныхъ чиселъ, эта классификація не столь важна, потому что на практикѣ рѣдко встрѣчаются даже четырехзначныя. Но въ смыслѣ развитія ариѳметическихъ интересовъ это распредѣленіе многозначныхъ чиселъ далеко не безполезно. Оно

1) Введя обозначенія, аналогичныя тѣмъ, которыя предложены въ подстрочномъ примѣчаніи на стр. 84, составимъ соотвѣтствующія формулы для выше установленныхъ пяти группъ. Пусть буква k обозначаетъ число, которое меньше 20-ти, а буква а обозначаетъ любое однозначное число. Тогда общій видъ чиселъ группы (I) такой: а . 100+k или а . 100+20;

заставляетъ учащихся вдуматься «въ ту перспективу чиселъ», о которой говоритъ покойный С. А. Рачинскій1).

Число закруглимыхъ и незакруглимыхъ чиселъ и трудности дѣленія.

§ 49. Пока мы находимся въ области чиселъ первой сотни, всякое закруглимое число, съ послѣдовательнымъ прибавленіемъ къ нему одной единицы или съ отнятіемъ отъ него одной единицы, быстро приближается къ ближайшему къ нему круглому числу; напр., если къ 28-ми прибавить 1, получимъ 29, а если къ 29-ти прибавить 1, получимъ 30. Точно также, если отъ незакруглимаго числа 33 отнять 1, получимъ 32, еще единицу—31, еще единицу—30. Съ переходомъ въ область трехзначныхъ чиселъ, прибавленіе единицы и вычитаніе единицы вообще не такъ быстро приближаетъ закруглимое число къ круглому: 281 — наименьшее изъ закруглимыхъ чиселъ, близкихъ къ тремстамъ; 282, 283, 284 и т. д. все ближе и ближе къ тремстамъ, но не такъ быстро приближаются къ тремстамъ, какъ закруглимыя числа первой сотни къ своимъ ближайшимъ круглымъ числамъ. То же справедливо относительно чиселъ 320, 319, 318 и т. д., приближающихся медленно къ тремстамъ, убывая на одну единицу. Незакруглимыхъ чиселъ среди двузначныхъ приходится всего 3 (максимумъ—5) на каждый десятокъ (отъ одного круглаго до ближайшаго круглаго), среди трехзначныхъ чиселъ — незакруглимыхъ двадцать въ каждой сотнѣ (отъ круглаго числа до ближайшаго круглаго); если же присчитать къ незакруглимымъ также всѣ трудно закруглимыя числа, то тѣхъ и другихъ чиселъ окажется уже 60. Закруглимыхъ же—39. Изъ этого расчета вытекаетъ, что случаевъ наиболѣе труднаго письменнаго производства дѣленія

1) Общій видъ многозначныхъ чиселъ, разсматриваемыхъ съ точки зрѣнія установленныхъ выше признаковъ ихъ закруглимости, незакруглимости и трудной закруглимости, можно установить также въ слѣдующемъ порядкѣ:

больше, чѣмъ случаевъ болѣе или менѣе легкаго производства этого дѣйствія. Эти случаи относятся только къ дѣленію многозначныхъ чиселъ на круглыя и закруглимыя числа. Этимъ и объясняются: а) несовершенства методической проработки способовъ производства дѣленія на многозначныя числа, б) изобиліе ошибокъ, встрѣчающихся при производствѣ дѣленія дѣтьми и учащимися разныхъ возрастовъ, и в) грязное, если можно такъ выразиться, выполненіе ими письменныхъ работъ, требующихъ дѣленія многозначнаго числа на многозначное. Безъ особеннаго вниманія къ классификаціи чиселъ на круглыя, закруглимыя и незакруглимыя, эти недочеты въ короткій срокъ прямо не устранимы.

Условность классификаціи.

§ 50. Прежде чѣмъ перейти къ дѣленію на многозначное некруглое число, надо достигнуть того, чтобы учащіеся себѣ усвоили, на основаніи конкретныхъ примѣровъ, что многія числа близки къ числамъ круглымъ, и что ихъ можно закруглить. Если мы ихъ можемъ закруглить, они—числа закруглимыя. Таковы, напр., 21 рубль, 19 рублей, 31 сажень, 32 сажени, 28 саженъ, 29 саженъ и т. д. Затѣмъ можно перейти къ числамъ трехзначнымъ и четырехзначнымъ. Здѣсь учащіеся могутъ сдѣлать наблюденіе, что среди чиселъ трехзначныхъ больше закруглимыхъ чиселъ, чѣмъ среди двузначныхъ, и т. д. Пусть они трудно закруглимыя числа считаютъ сначала незакруглимыми и руководятся непосредственнымъ чутьемъ, интуиціей. Отъ этого не будетъ никакой бѣды. Выше охарактеризованнаго раздѣленія чиселъ на пять классовъ можно и не давать учащимся. Но чтобы не было колебаній относительно того, считать ли, напр., 478 или 422 закруглимыми или не закруглимыми числами, лучше установить и напоминать, что числа отъ 401 до 420 мы будемъ считать закруглимыми, точно также— числа 480—499 закруглимыми, а остальныя числа пятой сотни— незакруглимыми, и т. п. Что это—только условіе, только договоръ, учащіеся довольно быстро усваиваютъ. Требовать не только отъ малолѣтнихъ, но даже отъ взрослыхъ учащихся, чтобы они сразу усвоили все значеніе того или иного термина, по меньшей мѣрѣ, неразсудительно. Малолѣтнимъ ученикамъ начальной школы не можетъ быть особенно легко усвоеніе нѣкоторой условности установленнаго термина «закруглимое» число. Пусть они знаютъ и твердо себѣ усвоятъ, что

мы число 420 (или 481) будемъ считать числами, близкими къ 400 (или къ 500); но почему 421 (или 479) мы считаемъ числами, не близкими къ 400 (или 500), для нихъ сначала будетъ не вполнѣ ясно. Надо достигнуть того, чтобы они поняли, что мы не забудемъ о томъ, что число 421 довольно близко къ двумстамъ, но что мы въ этомъ случаѣ не будемъ считать это число закруглимымъ, хотя оно отличается отъ закруглимаго всего на одну единицу. Аналогичное относится до чиселъ 280, 279 или 278: они довольно близки къ тремстамъ, но закруглимыми числами мы будемъ считать 281 и числа, большія, чѣмъ 281, но меньшія, чѣмъ 300, число же 280 мы будемъ называть трудно закруглимымъ или даже незакруглимымъ. Условность раздѣленія трудно дается, и безъ нѣкоторой работы въ этомъ направленіи не обойтись.

Конкретный примѣръ можно взять такой. У насъ есть густая роща; если срубить одно дерево, она все же будетъ густою рощей, срубимъ еще одно дерево, на нѣкоторомъ разстояніи — еще одно дерево и т. д. Наступитъ, наконецъ, время, когда мы перестанемъ называть рощу густою. Когда же это время наступитъ? Надо договориться, напр., такъ: если на пространствѣ квадрата, котораго сторона три сажени, будетъ только одно деревцо, то рощу мы уже не будемъ называть густою. И т. п.

Чтобы учащіеся не были затруднены усвоеніемъ слишкомъ большого числа терминовъ за-разъ, можно сначала разработать съ ними только одинъ терминъ «закруглимое» число. Понятія же о числахъ незакруглимыхъ и—тѣмъ болѣе—трудно закруглимыхъ отодвинуть до того момента, когда въ нихъ представится на практикѣ надобность.

Дѣлитель—закруглимое число.

§ 51. Когда дѣти научились различать закруглимыя и незакруглимыя числа, ихъ можно научить также дѣленію на двузначное закруглимое число въ случаѣ однозначнаго частнаго. Этому дѣленію отведена тридцать седьмая ступень. При этомъ могутъ быть два случая, а именно: а) въ дѣлимомъ и въ дѣлителѣ одно и то же число цифръ, какъ, напр., 65 и 21 или 86 и 22 и т. п., и б) въ дѣлимомъ одной цифрой больше, чѣмъ въ дѣлителѣ, напр., 163 раздѣлить на 29, или 151 раздѣлить на 62, или 216 на 39, и т. п. Прежде всего учащіеся должны умѣть разсчитать число цифръ частнаго. Это прямо необходимо. Такъ какъ въ отмѣченномъ только-что случаѣ въ частномъ

всего только одна цифра, то это дается очень легко. Далѣе учащіеся должны себѣ усвоить, что когда надо раздѣлить, скажемъ, число 738 на 29 равныхъ частей, то мы можемъ опредѣлить цифры частнаго, считая, что надо раздѣлить не на 29 равныхъ частей, а на 30 частей, такъ какъ это гораздо легче разсчитать (вычислить). При этомъ мы не дѣлаемъ никакой ошибки, потому что мы опредѣляемъ только цифру частнаго. Если же при этомъ остается остатокъ, то уже остатокъ должно вычислить сообразно съ условіями задачи, а именно необходимо считать, что въ каждую часть попадаетъ два десятка, а такихъ частей на самомъ дѣлѣ не тридцать, а только двадцать девять. Поэтому нужно 2 дес. помножить на двадцать девять, или двадцать девять (а не 30) помножить на 2 дес., и полученное вычесть изъ дѣлимаго. Такимъ образомъ закругленіе дѣлителя облегчаетъ отысканіе частнаго, но не вліяетъ на остатокъ. Можно обратиться къ конкретному примѣру такого рода (при этомъ закруглимое число меньше того круглаго, къ которому мы его приближаемъ). Предположимъ, что надо раздать извѣстное количество предметовъ (рублей, копеекъ, карандашей) двадцати девяти человѣкамъ; предполагаемъ, что людей тридцать, раздѣляемъ данное число предметовъ на 30 одинаковыхъ частей, но, конечно, только мысленно прикидываемъ, что можетъ получиться въ каждой части; мы такимъ образомъ получаемъ величину этого частнаго. Но затѣмъ мы вычисляемъ, сколько будетъ роздано двадцати девяти человѣкамъ, чтобы узнать, какъ великъ будетъ остатокъ. Остатокъ же мы въ свое время примемъ во вниманіе. Надо избѣгать непрерывныхъ величинъ (длины, вѣса и т. п.) въ качествѣ конкретнаго примѣра, потому что непрерывную величину можно сразу раздѣлить на любое число равныхъ частей. Лучше брать группы отдѣльныхъ предметовъ. Учащіеся не сразу понимаютъ, что мы только при расчетѣ цифры частнаго облегчаемъ себѣ вычисленіе, пользуясь другимъ дѣлителемъ. Требуется раздѣлить на 29, а мы считаемъ временно, что дѣлитель—не 29, а 30; требуется раздѣлить на 31, мы дѣлимъ тоже на 30, и т. п. Дѣти, послѣ работы надъ наглядными пособіями и послѣ достаточной работы воображенія надъ вопросами и задачами этого рода, могутъ понять, что никакой ошибки мы при этомъ не дѣлаемъ. Лучше всего это постигается учениками на при-

мѣрѣ, дѣйствующемъ, какъ выше уже отмѣчено, на воображеніе учениковъ. Раздѣлить на 30 одинаковыхъ частей легче, чѣмъ на 29 или на 31, т.-е. легче разсчитать частное, а на величину частнаго наше предположеніе можетъ и не повліять, а если повліяетъ, то что дѣлать? Исправимъ частное! Повліяло бы предположеніе на остатокъ, если бы мы приняли за дѣлителя не данное число, а круглое. Цѣль будетъ лишь въ томъ случаѣ достигнута, если ученики поймутъ, что каждую цифру частнаго легче угадать, закругляя дѣлителя, и что мы, поступая такъ, беремъ наиболѣе подходящее частное, а не вычисляемъ его на-удачу. Дальнѣйшія упражненія должны касаться закругленія трехзначныхъ дѣлителей, затѣмъ—четырехзначныхъ и т. д. при однозначномъ частномъ.

Дѣлитель — многозначное закруглимое число.

§ 52. Дѣленіе на многозначное закруглимое число не представляетъ собою существенно новаго въ логическомъ отношеніи. Оно требуетъ только большаго количества вычисленій для отысканія остатка. Здѣсь также придется снова обратиться къ составленію части таблицъ закруглимыхъ чиселъ въ предѣлахъ нѣкоторыхъ тысячъ. Напр., закруглимы числа:

Чтобы дѣти лучше усвоили себѣ самый способъ дѣленія многозначнаго числа на закруглимое многозначное число, полезно продѣлать нѣкоторое количество систематическихъ упражненій въ раздѣленіи одного и того же многозначнаго числа на числа закруглимыя до величины одного и того же круглаго числа, напр., на 398, 399, 401, 402 и т. п. Такія упражненія, между прочимъ, предложены въ «Новыхъ задачникахъ Шохоръ-Троцкаго» для учителей и для учениковъ на соотвѣтствующей, т.-е. на 37-й ступени.

Дѣлитель—закруглимое число, частное— многозначное число.

§ 53. Дѣленіе многозначнаго числа на закруглимаго дѣлителя, дающее въ частномъ многозначное число, не представляетъ собою ничего существенно новаго по сравненію съ дѣленіемъ на круглое число, дающимъ многозначное частное. Методическіе пріемы для отысканія каждой отдѣльной цифры

частнаго, какіе употребляются для отысканія частнаго—тѣ же, что въ томъ случаѣ, когда оно—однозначное число. Тѣ же ошибки въ пропускѣ нулей въ частномъ, которыя возможны и при дѣленіи на круглое число, и тѣ же пріемы для освобожденія вычисленій учащихся отъ этихъ ошибокъ. Дабы дѣленіе на закруглимое число можно было свести къ дѣленію на число круглое, слѣдуетъ обратиться къ примѣру, дѣйствующему на воображеніе учениковъ и способному внушить имъ, что, задаваясь цифрою частнаго, мы тотчасъ же провѣряемъ, точно разсчитываемъ — пригодна ли для насъ найденная нами, сначала какъ будто на-угадъ, цифра частнаго. Для этой цѣли можно прибѣгнуть къ слѣдующему, дѣйствующему на воображеніе учениковъ, примѣру: 8 тысячныхъ билетовъ (т.-е. билетовъ, изъ коихъ каждый стоитъ одну тысячу рублей, — такіе билеты, хотя и не кредитные, есть!), 7 сотенныхъ, 5 десятирублевокъ и 6 рублевокъ надо раздать 31-му человѣку такъ, чтобы всѣмъ досталось денегъ поровну. Запишемъ это такъ:

Тысячныхъ билетовъ никто изъ нихъ не получитъ (для того, чтобы они могли получить хотя бы только по одному тысячному билету, необходимо было бы имѣть въ своемъ распоряженіи 31 тысячный билетъ, а ихъ у насъ—всего 8 штукъ). Размѣняемъ эти 8 билетовъ на сотенныя бумажки, за каждый дадутъ 10 сотенныхъ, а за 8 дадутъ 80 сотенныхъ; да у насъ еще есть 7 сот., стало-быть, всѣхъ сотенныхъ билетовъ у насъ будетъ 87 шт. Если бы людей было 30, то каждый получилъ бы по двѣ сотенныхъ сторублевки. Дадимъ тридцатиодному человѣку по двѣ бумажки; мы раздадимъ такимъ образомъ всего 62 сторублевки. Посмотримъ—что изъ этого выйдетъ, а запишемъ это такъ (для ясности еще разъ приводится первая строчка):

Чтобы узнать, сколько сотенныхъ билетовъ осталось нерозданныхъ, вычтемъ 62 изъ 87-ми; получимъ, что «на-рукахъ» осталось 25 сот. бумажекъ. Разсчитали хорошо: осталось столько сотенныхъ билетовъ, что изъ нихъ ужъ нельзя отдать никому изъ нашихъ получате-

лей ни одной сторублевки.—Размѣняемъ оставшіяся сотенныя, поэтому, на десятирублевки (на красненькія); сколько за нихъ дадутъ десятирублевыхъ бумажекъ? и т. д.

Способъ дѣленія.

§ 54. Опытъ показываетъ, что прежде чѣмъ обратиться къ дѣленію на закруглимое число, нѣкоторое время надо посвятить повторительнымъ упражненіямъ разнаго рода. Иногда надо не надолго вернуться къ дѣленію числа многозначнаго на однозначное число въ двухъ случаяхъ (когда число цифръ частнаго равно числу цифръ дѣлимаго, и когда оно на одну цифру меньше); далѣе—къ дѣленію на одну единицу какого-либо высшаго разряда, затѣмъ къ дѣленію на любое однозначное число единицъ высшихъ разрядовъ, на каковомъ дѣленіи слѣдуетъ нѣсколько остановиться, и наконецъ—къ дѣленію на закруглимое двузначное число. Механизмъ («алгориѳмъ») этого послѣдняго дѣленія сводится къ тому, что даннаго дѣлителя закругляютъ, а затѣмъ первую цифру или первыя двѣ цифры дѣлимаго или дѣлимой части его дѣлятъ на первую цифру круглаго дѣлителя. Такъ, если требуется раздѣлить 92 на 28, то цифру частнаго находимъ, закругливъ 28 и раздѣливъ 92 на 30 или 9—на 3. А если надо раздѣлить 237 на 48, мы закругляемъ 48 и дѣлимъ 237 на 50 или 23 на 5. И т. п. Подобнымъ же образомъ поступаютъ при закруглимомъ трехзначномъ, четырехзначномъ и т. д. числѣ. Достойно, между прочимъ, вниманія, что жизнь и наука рѣдко требуетъ раздѣленія на многозначное число, въ письменномъ обозначеніи котораго болѣе четырехъ или пяти цифръ.

38-я ст.: дѣлитель—незакруглимое или трудно закруглимое число.

§ 55. Только на тридцать восьмой ступени мы приступаемъ къ дѣленію на незакруглимое число. Раньше всего учащійся долженъ вполнѣ усвоить себѣ, что всякое число, не принадлежащее къ числу закруглимыхъ, для насъ будетъ числомъ незакруглимымъ. Пусть у меня 2511 рублей. Можно ли сказать, что у меня съ небольшимъ двѣ тысячи рублей? Нѣтъ, этого сказать нельзя, потому что 2511 рублей значительно больше, чѣмъ 2000 руб. Можно ли сказать, что у меня безъ малаго три тысячи? Тоже нельзя, — до трехъ тысячъ не хватаетъ сравнительно большой суммы денегъ: четырехсотъ восьмидесяти девяти рублей. Такими примѣрами можно достигнуть того, чтобы дѣти уяснили себѣ, что не закруглимы тѣ числа, которыя явно близки къ среднему между двумя бли-

жайшими къ нимъ круглыми числами (къ 15, къ 25, къ 35 и т. д., къ 150, къ 250, къ 350 и т. д., къ 1500, къ 2500, къ 3500 и т. д.). Послѣ этого можно достигнуть того, чтобы учащіеся болѣе точно усвоили себѣ, что числа, заключенныя между 221 и 280, между 321 и 380, между 4201 и 4800, между 5201 и 5800 и т. п.,—числа незакруглимыя. У дѣтей явится естественный вопросъ, почему мы числа 5199 и 5200 считаемъ еще закруглимыми числами, а 5201 или 5202 — уже числомъ не закруглимымъ. Появленіе этого вопроса надо не только считать естественнымъ, но признать прямо полезнымъ въ образовательномъ смыслѣ. Онъ только укрѣпитъ въ учащихся нужную для дѣла твердость и разсудительность при дѣленіи на многозначное число (что крайне важно съ практической точки зрѣнія) и дастъ имъ возможность уразумѣть, что къ смыслу словъ надо относиться серьезно и что разъ смыслъ какого-нибудь слова установленъ, то въ этомъ смыслѣ и надо его употреблять. Это полезно и въ смыслѣ воспитательномъ.

Первыя упражненія 38-й ступени.

§ 56. Когда все это усвоено, надо обратиться къ случаямъ раздѣленія многозначнаго числа на явно незакруглимое число 251, 249, 454, 348 и т. п. Для первыхъ упражненій это очень важно. Если частное—многозначное число, то приходится для отысканія каждой цифры его дѣлить только часть дѣлимаго на дѣлителя, а именно такую часть, чтобы частное было числомъ однозначнымъ. А потому надо брать сначала примѣры, въ которыхъ дѣлитель—явно незакруглимое число, а частное— число однозначное. При этомъ слѣдуетъ различать два случая: а) когда въ дѣлимомъ столько же цифръ, сколько въ дѣлителѣ, и б) когда въ дѣлимомъ одной цифрой больше, чѣмъ въ дѣлителѣ.

Важность планомѣрной работы на 38-й ступени.

Искусство вѣрно «задаваться» цифрами частнаго въ случаяхъ, когда дѣлитель—число, явно незакруглимое или трудно закруглимое, близкое къ явно незакруглимому числу, достигается путемъ многочисленныхъ упражненій въ планомѣрномъ взвѣшиваніи цифръ частнаго. Начинающему учителю, можетъ-быть, чужды точки зрѣнія, намѣчаемыя относительно дѣленія многозначныхъ чиселъ въ этой книгѣ и въ «Новыхъ задачникахъ» того же автора для учителей и для учениковъ начальныхъ школъ. Можетъ-быть, онъ предпочитаетъ тотъ

способъ вычисленія частнаго, который для него привыченъ и удобенъ и который можно назвать «угадывающимъ». Но если онъ желаетъ довести учащихся до полной власти надъ дѣйствіемъ дѣленія во всѣхъ случаяхъ, то цѣлесообразнѣе пріучать дѣтей не къ угадыванію, а къ совершенно спокойному (что часто не совмѣстимо съ угадываніемъ), увѣренному и, если можно такъ выразиться, строго-разсудительному способу производства этого дѣйствія. Сначала надо разсуждать подробно, указывая, какіе разряды должны и могутъ получиться въ частномъ, обращая вниманіе на то, что прежде чѣмъ дѣлить, надо разобраться, будутъ ли въ данномъ числѣ единицы наивысшаго разряда, единицы слѣдующаго и т. д. Но это относится уже къ дѣленію многозначнаго на многозначное, когда частное — тоже многозначное число.

Пробныя частныя на 38-й ст.

§ 57. Учитель и учащіеся должны сродниться съ привычкой находить, при раздѣленіи на незакруглимое число, сначала двѣ пробныя цифры для однозначнаго частнаго, и на основаніи этихъ частныхъ брать частное, заключающееся между ними, или изъ нихъ взять меньшее. Напр., при раздѣленіи на 35, надо сначала вычислить, сколько получилось бы, если бы дѣлимое раздѣлили на 30, затѣмъ—вычислить, сколько получится при раздѣленіи на 40, и, наконецъ, узнавъ эти цифры, «задаться» нужнымъ частнымъ, наиболѣе «безопаснымъ», если можно такъ выразиться, въ данномъ случаѣ. При этомъ важно, чтобы самъ учитель не торопился и такимъ образомъ пріучалъ бы дѣтей къ неторопливому, спокойному и особенно сознательному производству интересующаго насъ дѣйствія. (Въ «З. для учителей» и «З. для учениковъ» помѣщены методически подобранныя упражненія такого рода, что послѣдовательная ихъ проработка неизбѣжно приведетъ учениковъ къ усвоенію главнѣйшихъ пріемовъ и трудностей этой ступени обученія). При этомъ бываютъ слѣдующіе случаи: а) пробныя частныя, найденныя помощью двухъ закругленій, равны между собою; при дѣленіи, напр., 475 на 85, мы, дѣля 475 на 80, получаемъ въ частномъ 5, и дѣля на 90, получаемъ тоже 5; б) изъ двухъ пробныхъ частныхъ одно больше другого только на одну единицу: при дѣленіи 356-ти на 45, мы, дѣля дѣлимое на 40, получаемъ въ первомъ пробномъ частномъ 8, а дѣля его на 50, получаемъ во второмъ пробномъ частномъ 7; в) изъ двухъ

пробныхъ частныхъ одно болѣе другого на двѣ единицы: при дѣленіи 156-ти на 25, мы, дѣля дѣлимое на 20, получаемъ въ первомъ пробномъ частномъ 7, а дѣля на 30, во второмъ—5; наконецъ, г) изъ двухъ пробныхъ частныхъ одно значительно больше другого: при дѣленіи 112 на 14, мы, дѣля на 10, получаемъ въ частномъ 9 (получить въ частномъ 10 и больше мы не можемъ), а дѣля на 20, получаемъ въ частномъ 5; при дѣленіи же 217 на 24 мы, дѣля дѣлимое на 20, получаемъ въ пробномъ частномъ 9, а дѣля на 30, во второмъ — 7.

Умѣніе сразу, во всевозможныхъ случаяхъ, болѣе или менѣе вѣрно «задаваться» цифрою частнаго дается практикой, йно вѣрное, если такъ можно выразиться, взвѣшиваніе это цифры съ помощью не угадыванія только, а также сознательнаго выбора подходящей цифры, все-таки можетъ быть скоро пріобрѣтено учениками. Для этого учитель долженъ требовать не механическаго производства дѣленія, которое при незакруглимомъ дѣлителѣ рѣдко даетъ вѣрныя цифры, а требовать также, чтобы дѣти различали намѣченные выше случаи: а) когда оба пробныхъ частныхъ—одно и то же число, то они должны смѣло принять это число за истинное частное; б) когда разность между пробными частными — одна единица, то они должны за истинное частное принять меньшее изъ частныхъ; в) если одно пробное частное болѣе другого на двѣ единицы, то ученики должны принять за истинное частное то число, которое заключается между пробными частными; г) если между пробными частными заключаются два числа, то изъ этихъ двухъ лучше выбрать меньшее; наконецъ, д) если между пробными частными заключается нѣсколько цѣлыхъ чиселъ, то надо взять среднее между ними, и изъ двухъ среднихъ— меньшее. Пусть данъ примѣръ: 17753 раздѣлить на 36.

Разсуждать можно, примѣрно, слѣдующимъ образомъ: одинъ десятокъ тысячъ раздѣлить на 36 равныхъ частей,— десятковъ тысячъ въ каждой части не получится. 17 тысячъ раздѣлить на 36 равныхъ частей, въ частномъ—тысячъ также не получится; 177 сотенъ раздѣлить на 36 равныхъ

частей, получатся сотни. Сколько? Если 177 раздѣлить на 30 частей, то въ каждой части получится цѣлыхъ сотенъ 5; если же 177 сотенъ раздѣлить на 40 равныхъ частей, то получатся 4 сотни. Возьмемъ поэтому 4 сотни въ частномъ.—Теперь разсчитаемъ, сколько во всѣхъ 36-ти частяхъ окажется сотенъ и сколько осталось сотенъ, не раздѣленныхъ на части. И т. д.— При этомъ въ нѣкоторыхъ случаяхъ могутъ получиться двѣ пробныя цифры, различающіяся болѣе, чѣмъ на одну единицу. Напр., въ нашемъ примѣрѣ 335 десятковъ, раздѣленные на 30 частей, дадутъ 11 цѣлыхъ десятковъ въ каждой части, что невозможно, а 335 десятковъ, раздѣленные на 40 частей, дадутъ только 8 цѣлыхъ десятковъ въ каждой части; между 8-ю и 11-ю два числа, изъ которыхъ одно—десять, что невозможно; поэтому мы возьмемъ 9.—При этомъ, конечно, только вначалѣ полезно отмѣчать начальной буквой названіе получаемаго въ частномъ разряда. Знаковъ же вычитанія писать, строго говоря, рѣшительно не для чего, такъ какъ вопроса о томъ, какое въ данномъ случаѣ надо совершить дѣйствіе, здѣсь и быть не должно.

Упражненія при незакруглимомъ дѣлителѣ.

§ 24. Упражненій въ дѣленіи на незакруглимое число должно съ учениками проработать довольно много съ тѣмъ, чтобы впослѣдствіи ужъ не возвращаться къ началу и чтобы ученикамъ дать въ руки пріемъ, вѣрно и планомѣрно ведущій къ цѣли. Задачъ съ условіями на этой ступени не требуется, такъ какъ таковыя только замедляютъ усвоеніе учениками самаго способа письменнаго производства дѣленія и преодолѣніе его трудностей. Дѣленіе чиселъ на извѣстныя одинаковыя части, которыя выражены незакруглимымъ числомъ (т.-е. кратное сравненіе многозначныхъ чиселъ съ незакруглимыми многозначными числами) новыхъ трудностей не содержитъ. Производство дѣйствія кратнаго сравненія надо свести къ дѣленію «на части». Само собою разумѣется, что при этомъ придется только иначе понимать частное: при дѣленіи на извѣстное число одинаковыхъ частей ищутъ, сколько единицъ заключается въ каждой части, при кратномъ же сравненіи надобно узнать, сколько разъ дѣлитель содержится въ дѣлимомъ. Если дѣленіе на извѣстное число одинаковыхъ частей дѣтьми усвоено, и если матеріалъ предыдущихъ ступеней разрабатывался также съ точки зрѣнія кратнаго сравненія чиселъ,

то примѣненіе выше намѣченнаго производства дѣленія къ случаямъ кратнаго сравненія не будетъ заключать въ себѣ ничего особенно труднаго. Многіе примѣры въ этомъ случаѣ полезно брать съ одинаковыми дѣлимыми, дабы ученики могли обратить вниманіе на сущность дѣла. Эту сущность, какъ извѣстно, часто слишкомъ сильно заслоняетъ случайное разнообразіе примѣровъ, задаваемыхъ при усвоеніи учениками дѣленія многозначныхъ чиселъ на многозначныя и большею частью предлагаемыхъ безъ всякаго вниманія къ особенностямъ дѣлителя и къ методическимъ требованіямъ момента. Этимъ несоблюденіемъ методическихъ требованій и объясняются какъ недостаточные успѣхи учениковъ въ производствѣ дѣленія многозначныхъ чиселъ, такъ и недостаточный интересъ къ этому дѣйствію со стороны учениковъ. Это отсутствіе интереса учитель напрасно относитъ къ невниманію учениковъ или къ своему собственному нерадѣнію. Оно зависитъ только отъ указаннаго выше и, къ сожалѣнію, довольно обычнаго невниманія къ методическимъ требованіямъ.

Случаи трудно закруглимыхъ дѣлителей.

§ 25. Когда учащіеся освоились съ дѣленіемъ на явно незакруглимыя числа и научились безъ особенныхъ колебаній вѣрно записывать цифры частнаго въ этихъ случаяхъ, можно перейти къ дѣленію на трудно закруглимыя числа. Но и въ этихъ случаяхъ учащіеся должны предпочитать «слабыя» цифры болѣе «сильнымъ». Пусть требуется раздѣлить 834 на незакруглимое число 177; дѣлитель — трудно закруглимое число, но все же—закруглимое. Взвѣсивъ частныя 800:100, т.-е. 8, и 800:200, т.-е. 4, получимъ, что среднее частное было бы 6; вѣрнѣе было бы взять 5; но 177 такъ близко къ ближайшему большему круглому числу, что лучше взять 4. Если бы дѣлимое было не 834, а 898, то мы получили бы такую запись:

т.-е. пришлось бы сдѣлать одну поправку въ частномъ, притомъ прибавить къ нему только одну единицу, но не пришлось бы дѣлать поправокъ въ частномъ произведеніи дѣлителя на частное.

Другой примѣръ, въ которомъ трудно закруглимый дѣлитель ближе къ меньшему круглому числу: 834 раздѣлить на 124; раздѣливъ 800 на сто, получимъ въ частномъ 8, а раздѣливъ 800 на двѣсти, получимъ въ частномъ 4. Среднее

между ними 6; но 124 ближе къ сотнѣ, чѣмъ къ двумъ сотнямъ; можетъ-быть, можно взять и 7. Не желая дѣлать излишнихъ поправокъ, возьмемъ лучше 6. Получимъ:

Если бы мы побоялись рискнуть и взяли бы не 6, а 5, то пришлось бы сдѣлать одну поправку въ частномъ и произвести еще одно вычитаніе. Но если бы мы взяли не 6, а 7, то тогда пришлось бы вычеркнуть частное произведеніе или, какъ это часто дѣлаютъ учащіеся, вычеркнуть часть его, не доведя умноженія до конца, что вноситъ безпорядокъ въ вычисленія. Аккуратная запись въ такихъ случаяхъ можетъ имѣть такую форму:

При этой записи дѣлимое снова переписано (что важно, при многозначномъ частномъ, для вѣрнаго «сноса» слѣдующихъ цифръ дѣлимаго), и слишкомъ большое частное произведеніе вычислено до конца. Это послѣднее вычисленіе полезно во избѣжаніе торопливости и ненужнаго перерыва въ работѣ и даже во избѣжаніе ошибокъ. Иногда это невѣрное частное произведеніе можетъ быть полезно для сужденія о томъ, не надо ли записанную цифру частнаго уменьшить не на одну, а на цѣлыхъ двѣ единицы.

Угадываніе и «черновое» вычисленіе частныхъ произведеній.

§ 26. Во всякомъ случаѣ важно спокойное и планомѣрное взвѣшиваніе искомой цифры частнаго, связанное съ ясно формулированными разсужденіями, совершенно посильными для учащихся и никогда не вредными. Особенно они нужны, когда дѣлитель принадлежитъ къ числу трудно закруглимыхъ чиселъ, близкихъ къ границамъ между ними и загруглимыми съ одной стороны или между ними и незакруглимыми съ другой. Разсужденія эти часто на практикѣ замѣняются либо простымъ угадываніемъ, либо же незаписаннымъ вычисленіемъ (приближеннымъ или точнымъ) частнаго произведенія, которое получилось бы, если бы мы взяли такую-то цифру въ частномъ. Угадываніе, конечно, нельзя считать способомъ вычисленія. Что же касается незаписаннаго, какъ бы «чернового» вычисленія, то приближенное вычисленіе учащимся на этой ступени недоступно, а полное («черновое») вычисленіе не га-

рантировано отъ излишнихъ ошибокъ и часто представляетъ собою излишнюю и утомительную затрату силъ и времени.

Среднее ариѳметическое двухъ пробныхъ частныхъ.

§ 27. Дѣленіе на незакруглимое число соприкасается съ вопросомъ о среднемъ ариѳметическомъ двухъ чиселъ. Если даны два нечетныхъ числа, то ихъ среднее ариѳметическое представляетъ собою число, занимающее какъ-разъ середину между ними. Напр., среднее ариѳметическое чиселъ:

Среднее ариѳметическое двухъ четныхъ чиселъ тоже занимаетъ середину между ними; напр., среднее ариѳметическое чиселъ:

Учащіеся должны прямо увидѣть, что это—такъ, выписавъ числа и подчеркнувъ число, стоящее по-серединѣ между ними:

Если же надо найти среднее ариѳметическое двухъ чиселъ, изъ которыхъ одно—четное, а другое—нечетное число (напр., 4 и 9), то точное среднее ариѳметическое ихъ равно половинѣ ихъ суммы, т.-е. 61/2, и такого цѣлаго числа, которое стояло бы между ними, нѣтъ. Дѣйствительно, въ слѣдующемъ рядѣ чиселъ среднія мѣста занимаютъ два числа:

Но учащіеся дѣленію многозначныхъ чиселъ уже знаютъ простѣйшія дроби. А потому они могутъ уразумѣть, что такое точное среднее ариѳметическое двухъ чиселъ, и что у точнаго средняго ариѳметическаго двухъ чиселъ есть два ближайшихъ къ нему цѣлыхъ числа,—въ данномъ случаѣ 6 и 7.

Эти понятія могутъ пригодиться для формулировки способа раздѣленія на незакруглимое число и для формулировки того, какому числу равно частное при раздѣленіи на незакруглимое число. На занимающей насъ 38-й ступени въ «Новыхъ

задачникахъ» для учителей и для учениковъ въ этомъ направленіи предложено достаточное число цѣлесообразныхъ упражненій.

Случаи особаго рода.

§ 28. Когда все это усвоено, слѣдуетъ перейти къ нѣкоторымъ особымъ случаямъ дѣленія двузначнаго числа на однозначное и двузначное и дѣленія трехзначнаго на двузначное. Въ этихъ особенныхъ случаяхъ, взвѣшивая цифру частнаго, надо соблюдать нѣкоторую осторожность по отношенію къ тому частному, которое получается при дѣленіи. Иногда возможно не только держаться правила, но также пользоваться соображеніемъ. Всегда угадывать не надо, но иногда возможно угадать частное съ тѣмъ, чтобы быстро и изустно разсчитать, подходящая ли взята цифра. Пусть, напр., 57 надо раздѣлить на 19. Если держаться только требованій разсудительности, то надо закруглить 19 до двадцати, и выйдетъ, что въ частномъ получится два; но если взять въ частномъ три, потому что число 57 близко къ 60-ти, и изустно вычислить, сколько будетъ трижды девятнадцать, то окажется, что вѣрное частное—три, а не два. Ученики также могутъ и должны обращать вниманіе на то, что въ данномъ случаѣ искомая цифра, очевидно, должна быть такая-то. Разсудительность въ дѣлѣ образованія и самообразованія никогда не вредна,—особенно для начинающаго, каковымъ всегда былъ и останется учащійся. Но отсюда вовсе не слѣдуетъ, что учащійся письменному производству дѣленія долженъ закрывать глаза на индивидуальность данныхъ чиселъ. Это вниманіе, впрочемъ, нисколько не противорѣчитъ разсудительности, а является только ея слѣдствіемъ. Если, напр., требуется найти частное 412:251, то очевидно, что 251 въ четырехстахъ двѣнадцати не содержится больше одного раза, и никакихъ особыхъ пріемовъ тутъ не нужно. Этого результата можно достигнуть и съ помощью двухъ пробныхъ частныхъ, но въ нихъ нѣтъ необходимости, потому что дважды 251, очевидно, больше, чѣмъ 412. Когда у насъ есть остатокъ тысяча шестьсотъ тринадцать, и его требуется раздѣлить на 251, то опять-таки очевидно, что цифра частнаго будетъ шесть, и т. п. Правило, осторожность и вообще твердые навыки въ разсужденіи — вещи очень хорошія, но здравый смыслъ въ каждомъ частномъ случаѣ не долженъ терять при этомъ своихъ правъ. Къ развитію воли и этого важнаго качества ума

учащихся и надо стремиться. Но, конечно, требовать находчивости отъ всѣхъ дѣтей во всѣхъ случаяхъ, по меньшей мѣрѣ, неразсудительно. Полезно при проработкѣ упражненій этого рода имѣть въ виду для этой цѣли таблицу слѣдующихъ двузначныхъ и трехзначныхъ чиселъ, дѣлящихся на двузначныя же и представляющихъ собою случаи, въ которыхъ закругленіе дѣлителя либо невозможно, либо недостаточно быстро ведетъ къ цѣли (жирно напечатаны особенно замѣчательныя произведенія, не очевидныя для учащихся):

Изъ исторіи ариѳметики.

До чего медленно совершенствовались и улучшались способы письменнаго производства дѣленія, легко видѣть изъ исторіи производства этого дѣйствія. Еще въ XVIII вѣкѣ почти исключительно практиковалось такое производство дѣйствія дѣленія, при которомъ дѣлитель подписывался подъ дѣлимое, остатки записывались надъ дѣлимымъ, частныя произведенія находились умноженіемъ дѣлимаго на найденную цифру дѣлителя отъ лѣвой руки къ правой (т.-е. начиная съ единицы высшаго разряда дѣлителя), наконецъ, вычитаніе частныхъ произведеній производилось по частямъ этихъ произведеній. При этомъ дѣлитель записывался нѣсколько разъ, подвигаясь каждый разъ на одну цифру направо. Чтобы судить объ утомительности этого способа вычисленія частнаго, стоитъ только взглянуть на слѣдующее вычисленіе, имѣющее цѣлью только отысканіе трехзначнаго частнаго, получающагося отъ раздѣленія 59078 на 74:

Все вычисленіе при раздѣленіи числа 97535399 па 9876 имѣло такой видъ (для удобствъ набора, зачеркнутыя при вычисленіяхъ въ обоихъ примѣрахъ цифры замѣнены обыкновенными):

Этотъ способъ вычисленія частнаго представляетъ не что иное, какъ графическое (письменное) изображеніе способа, который осуществлялся ранѣе на усыпанной пескомъ доскѣ, на которой цифры писались палочкой и съ которой уже сослужившія свою службу цифры стирались, такъ-что, въ концѣ-концовъ, при томъ же вычисленіи на доскѣ, получалась весьма краткая запись:

Въ ней подъ дѣлимымъ записанъ дѣлитель, надъ дѣлимымъ остатокъ, а послѣ дѣлимаго рядомъ съ вертикальной чертой—частное.— Примѣръ этотъ приведенъ у Унгера, въ его „Методикѣ практической ариѳметики въ историческомъ освѣщеніи“ и взятъ имъ у Лука ди-Борго, жившаго, правда, въ XV столѣтіи, но оказавшаго большое вліяніе и на ариѳметику слѣдующихъ двухъ и даже трехъ вѣковъ. Первый примѣръ взятъ у Кэджори (стр. 157).

Изъ области нумераціи.

§ 29. Какъ мы видѣли въ § 1 этой главы, опредѣленіе числа единицъ высшаго разряда, заключающихся въ данномъ числѣ, относится къ 36-й ступени. Но когда всѣ случаи письменнаго производства дѣленія дѣтьми усвоены, полезно вернуться къ этому-вопросу. Это надо сдѣлать въ цѣляхъ лучшаго усвоенія одного изъ вопросовъ десятичной нумераціи. Если у насъ записано многозначное число 47 684, то, конечно, очевидно, что тысячъ здѣсь сорокъ семь; сколько здѣсь десятковъ тысячъ, можетъ-быть, тоже очевидно. Но сколько въ этомъ числѣ всего сотенъ,

сколько въ этомъ числѣ всего десятковъ, это уже вопросы, интересные не только съ точки зрѣнія 36-й ступени, посвященной дѣленію на однозначное число единицъ высшаго разряда. Дѣло въ томъ, что если отбрасывать отъ цифровой записи многозначнаго числа, обозначенной по десятичной системѣ, по одной цифрѣ, то мы получимъ слѣдующія цифровыя обозначенія:

и каждое изъ нихъ обозначаетъ нѣкоторое число, и каждое число выражаетъ какъ-разъ, по порядку: сколько десятковъ въ данномъ числѣ, сколько въ немъ сотенъ, сколько тысячъ, сколько десятковъ тысячъ. Чтобы понять все значеніе этого факта, достаточно обозначить то же число словами: «сорокъ семь тысячъ шестьсотъ восемьдесятъ четыре», и въ этой записи отбросить послѣднее слово, два послѣднихъ слова и т. д. При этомъ получатся записи, вовсе не тожественныя съ цифровыми записями, выше приведенными. Въ этомъ одна изъ особенностей десятичной «позиціонной» системы счисленія, при которой цифра, кромѣ своего собственнаго значенія, имѣетъ значеніе, зависящее отъ ея мѣста среди другихъ цифръ. Хорошо это выясняется также при обозначеніи чиселъ римскими цифрами. Если написано MCCLII, то удаленіе цифры единицъ, потомъ—цифры десятковъ и цифръ сотенъ, приведетъ къ слѣдующимъ числамъ: MCCL, т.-е. 1250, далѣе МСС, т.-е. 1200, и, наконецъ, М, т.-е. 1 000.

Пройдя всѣ ступени, посвященныя дѣленію, учащіеся уже въ состояніи, хотя бы отчасти, постигнуть нѣкоторыя особенныя и, можно сказать, удивительныя свойства десятичной позиціонной письменной системы счисленія, пользующейся нулемъ1). Приблизить ихъ къ уразумѣнію этихъ

1) Десятичная изустная система счисленія встрѣчалась и у древнихъ культурныхъ народовъ: въ основѣ счета лежали названія для десяти, ста-тысячи, десяти тысячъ и т. д. Позиціонная письменная десятичная система (но безъ нуля) употреблялась индусами до изобрѣтенія нуля. Позиціонная, безъ нуля, письменная шестидесятичная система счисленія употреблялась ассиро-вавилонянами (за 16, если не за 23 столѣтія до Р. Х.). Когда для краткости, говорятъ о десятичной системѣ счисленія, то при этомъ чаще всего разумѣютъ не изустную нумерацію, ведущую счетъ десяткамъ, сотнямъ, тысячамъ и т. д., а также не письменную десятичную и буквенную нумерацію (въ родѣ еврейской, греческой, церковно-славянской) и не свое-

свойствъ «одного изъ величайшихъ изобрѣтеній человѣческаго ума» чрезвычайно полезно. Это именно и отнесено отчасти и къ занимающей насъ ступени обученія.

Можно достигнуть того, чтобы учащійся понялъ, что такое разрядъ и что такое—классъ. Отдѣльныя единицы всякаго числа представляютъ разрядъ единицъ, отдѣльные десятки—разрядъ десятковъ, и т. д. Отдѣльныя сотни, отдѣльные десятки и отдѣльныя единицы всякаго числа, вмѣстѣ взятые, составляютъ классъ единицъ. Затѣмъ получаемъ классъ тысячъ, классъ милліоновъ, а потомъ—классъ билліоновъ или милліардовъ. Въ наименованіяхъ дальнѣйшихъ классовъ уже нѣтъ надобности, потому что числа, встрѣчающіяся въ жизни и въ наукѣ, рѣдко превышаютъ милліарды. Въ названіяхъ единицъ дальнѣйшихъ классовъ, къ тому же, нѣтъ и особенной надобности также потому, что тысяча единицъ одного класса составляетъ одну единицу слѣдующаго высшаго класса и что тысяча—единица второго класса. Тогда милліонъ—единица третьяго класса, милліардъ—единица четвертаго класса, а за ними идутъ уже единицы пятаго, шестого и т. д. классовъ. Конечно, всему этому можно отвести и другое мѣсто въ курсѣ. Но, освоившись съ письменнымъ производствомъ всѣхъ четырехъ дѣйствій, учащіеся должны немного подвинуться впередъ въ уразумѣніи важности нумераціи и главнѣйшихъ ея частностей, а также услугъ, ею оказываемыхъ человѣку.

Возможность письменнаго производства четырехъ дѣйствій надъ любыми многозначными числами.

§ 30. Учащіеся должны уразумѣть, что какой бы рядъ цифръ они ни написали рядомъ, въ одну строку, хотя бы они даже не умѣли прочесть обозначаемое этими цифрами число, надъ этимъ числомъ они въ состояніи произвести какое угодно изъ четырехъ дѣйствій. Пусть написано число 47 683 483 611 504 000 635. Оно содержитъ сорокъ семь единицъ седьмого класса, шестьсотъ восемьдесятъ три—шестого класса, четыреста восемьде-

образную этрусско-римскую. Подъ именемъ десятичной нумераціи разумѣютъ чаще всего письменную, притомъ съ помощью нуля (этого, по мнѣнію Кэджори, «Колумбова яйца» и «удивительнаго символа»), позиціонную систему обозначенія чиселъ такъ наз. арабскими цифрами. Именно эта система представляетъ собою „одно изъ величайшихъ изобрѣтеній человѣческаго ума“ (Лапласъ). Ей современная ариѳметика письменнаго производства дѣйствій обязана своимъ совершенствомъ.

сятъ три—пятаго класса, шестьсотъ одиннадцать—четвертаго, а пятьсотъ четыре—третьяго класса (или класса милліоновъ), ни одной единицы класса тысячъ, а перваго класса—всего шестьсотъ тридцать пять единицъ. Надо показать ученикамъ, что важно не то, можемъ ли мы прочесть это число, и что важно не то, чтобы единицы каждаго класса были названы какимъ-нибудь именемъ, а важно то, что всякое число, записанное съ помощью арабскихъ цифръ, всегда можно и легко сложить съ любымъ другимъ числомъ, что изъ него можно и легко вычесть нѣкоторое любое число, которое меньше его, что его легко вычесть изъ любого числа, которое больше его, что его можно помножить на какое угодно число, раздѣлить на какое угодно число и т. д. Въ старину раньше всего дѣти изучали нумерацію во всемъ ея объемѣ. Ихъ сразу учили производить дѣйствія надъ громадными числами, и результаты этого обученія оказывались весьма сомнительными. Происходило это вообще отъ того, что тогда обученіе не руководилось методическими точками зрѣнія, и въ частности—отъ того, что значеніе главнѣйшихъ трехъ условій всякаго вычисленія для учащихся было не ясно. Этими тремя условіями являются: 1) десятичная система счисленія (въ полномъ значеніи этого слова); 2) такъ называемыя таблицы четырехъ дѣйствій, и 3) возможность изустнаго вычисленія надъ числами во многихъ случаяхъ. Для вычисленій же письменныхъ, какъ они дѣлаются въ настоящее время, важно также обозначеніе чиселъ такъ называемыми арабскими цифрами, среди которыхъ такъ велико значеніе нуля. На занимающей насъ ступени учащіеся могутъ уразумѣть (хотя, конечно, не въ полной мѣрѣ) важность этихъ условій. Надо особенно постараться о томъ, чтобы учащіеся поняли (хотя бы отчасти), какое удивительное изобрѣтеніе представляетъ собою нумерація съ помощью такъ называемыхъ арабскихъ цифръ.

Для лучшаго освѣщенія размѣровъ благодѣяній, оказываемыхъ ариѳметикой при разрѣшеніи числовыхъ вопросовъ, можно обратиться къ нѣкоторымъ вопросамъ, относящимся до именованныхъ чиселъ (З. д. уч-лей и соотвѣтствующіе нумера З. д. уч-ковъ).

Дѣленіе составного именованнаго числа на именованное того же рода.

§ 31. Дѣленіе составного именованнаго числа на другое составное именованное число того же рода вполнѣ умѣстно на этой сту-

пени. Оно представляетъ собою только нѣкоторую сложную задачу, для рѣшенія которой послѣднее дѣйствіе — дѣленіе, вообще, многозначнаго числа на другое многозначное число. Само собою разумѣется, что начинать изученіе дѣленія именованныхъ чиселъ на именованныя же надо со случая, когда дѣлитель и дѣлимое—числа одного и того же наименованія, затѣмъ можно перейти къ случаю, когда у нихъ наименованія различныя, далѣе—къ случаю, когда одно изъ данныхъ чиселъ (дѣлимое или дѣлитель)—составное, а другое—простое именованное число, и, наконецъ, къ случаю, когда оба числа—составныя именованныя числа.—Расположеніе записи въ этомъ послѣднемъ случаѣ можно практиковать слѣдующее:

Точно такъ же вычислимъ, что 4 п. 12 ф. 20 л. равны 5 524 лотамъ, а послѣ этого произведемъ кратное сравненіе:

что и требовалось опредѣлить.

Эти записи можно сократить въ томъ смыслѣ, чтобы не было записано, что 21 пудъ=40 ф.Х21 и что 863 ф.=32 л.Х863, а было бы записано только дѣйствіе: 40 ф. Х21 и 32 л. X 863. Но это—несущественно. Ученики должны вполнѣ ясно понять, что для кратнаго сравненія двухъ разноименныхъ (пуды и лоты, версты и сажени и т. п.) и двухъ составныхъ именованныхъ чиселъ не только полезно, но чаще всего прямо необходимо, приведеніе ихъ къ общему наименованію. Для этой спеціальной цѣли полезно задавать задачи въ родѣ слѣдующихъ: «Сколько разъ 12 вершковъ содержится въ 3-хъ саженяхъ, 20 лот. въ 4-хъ пудахъ?» и т. п. Таблица произведеній на стр. 103 даетъ много такихъ чиселъ, которыя могутъ служить матеріаломъ для задачъ этого рода. Напр., 49×3 = 167; можно составить такую задачу: сколько разъ 49 фунтовъ содержится въ 167 пудахъ? И т. п.

ГЛАВА IV.

Составныя именованныя числа и дроби (обыкновенныя и десятичныя).

39-ая ст.: превращеніе именованныхъ чиселъ.

§ 1. Къ тридцать восьмой ступени тѣснѣйшимъ образомъ примыкаетъ ступень тридцать девятая, посвященная такъ называемому превращенію именованныхъ чиселъ и четыремъ дѣйствіямъ надъ составными именованными числами. Эти послѣднія дѣйствія представляютъ собою не что-нибудь существенно новое, а только нѣкоторое примѣненіе уже усвоенныхъ учащимися четырехъ дѣйствій надъ цѣлыми отвлеченными и простыми именованными числами. Превращеніе же именованныхъ чиселъ можно свести исключительно къ кратному сравненію чиселъ, или же къ болѣе естественному, съ логической точки зрѣнія, примѣненію ряда умноженій для отысканія, впослѣдствіи, отношенія даннаго числа къ нужной въ данномъ случаѣ единицѣ наивысшаго (для величинъ этого рода) наименованія. При этомъ достойно вниманія, что часто при производствѣ сложенія и умноженія приходится прибѣгать къ превращенію именованныхъ чиселъ, при вычитаніи же и дѣленіи—къ раздробленію.

Обычные способы расположенія вычисленій при превращеніи для учащихся рѣдко бываютъ занимательны. Нѣкоторый интересъ можетъ возбудить вопросъ о величинѣ милліона. Вопросъ же о превращеніи, напр., одного милліона долей въ пуды естественно и строго логически приводитъ прежде всего къ необходимости опредѣленія — сколько въ одномъ пудѣ всего долей, а не къ обычнымъ пріемамъ превращенія.

Рѣшеніе вопроса о превращеніи съ помощью ряда умноженій и ряда дѣленій

§ 2. Но этотъ вопросъ допускаетъ двоякое рѣшеніе, исходящее либо изъ единицъ низшаго, либо же изъ единицъ наивысшаго наименованія, и даже не напоминающее обычнаго,—наиболѣе короткаго, но наименѣе вытекающаго изъ условій вопроса, — способа превращенія.

Первый способъ:

Такимъ образомъ получится отвѣтъ на ближайшій вопросъ, а именно, что милліонъ долей составляетъ всего 2 пуда и, сверхъ того, остается еще 262 720 долей. Послѣ этого можно предложить вопросъ: сколько фунтовъ въ этомъ остаткѣ, и для рѣшенія этого вопроса можно воспользоваться отвѣтомъ строки ІІІ-ей, изъ которой вытекаетъ, что въ фунтѣ 9 216 долей, и опредѣлить—сколько разъ 9 216 содержится въ 262 720-ти и т. д. Само собою разумѣется, что разъ вычисленіе этого рода начато, то его надо довести до конца. Для учащихся вообще крайне вредно не доводить начатой работы до конца1).

Второй способъ рѣшенія, исходящій изъ единицъ высшаго наименованія, ведетъ къ слѣдующимъ вопросамъ:

1) Авторъ этой книги слышалъ отъ покойнаго К. Д. Краевича, что академикъ П. Л. Чебышевъ, принадлежавшій, какъ извѣстно, къ числу величайшихъ математиковъ XIX вѣка, часто говаривалъ, что всякое вычисленіе надо доводить до конца, какъ бы оно просто ни казалось. Съ методической точки

Производить ли дѣйствія надъ числами именованными, какъ это сдѣлано выше, или же надъ отвлеченными (что гораздо изящнѣе съ внѣшней стороны), съ логической точки зрѣнія, безразлично. Важно здѣсь лишь то, что дѣйствіе дѣленія произведено только одинъ разъ, остальныя же дѣйствія—умноженія.—Когда это выполнено, можно точно такъ же, какъ и выше, задаться вопросомъ о томъ—сколько единицъ слѣдующаго высшаго наименованія, т.-е. фунтовъ, составляетъ остатокъ, т.-е. 262 720 долей. Этотъ вопросъ, рѣшенный такимъ же образомъ, дастъ отвѣтъ: въ 262720 доляхъ содержится 28 ф. и, сверхъ того, еще 4 672 доли. (Такимъ образомъ ученики пріучаются къ уразумѣнію самаго вопроса превращенія,—вопроса, по существу своему, чуждаго интересамъ учениковъ.) Въ одномъ милліонѣ долей содержится 2 п. 28 ф. и еще 4 672 доли. Относительно этихъ долей зарождается новый вопросъ—сколько онѣ составляютъ лотовъ? Оказывается, что въ этомъ числѣ долей содержится 16 лотовъ и, сверхъ того, еще 64 доли. Итакъ:

Утомительность пріема.

Когда ученики вполнѣ усвоили этотъ ходъ разсужденій на нѣсколькихъ примѣрахъ, притомъ— также и самостоятельно рѣшая эти задачи, можно выяснить—какъ утомительны эти способы обращенія простого именованнаго числа въ равное ему составное, въ которомъ число единицъ каждаго наименованія меньше единичнаго отношенія единицы ближайшаго наименованія къ единицѣ даннаго наименованія. Въ этомъ, вѣдь, все дѣло, чтобы получилось составное именованное число, въ которомъ, напримѣръ, фунтовъ—менѣе сорока, лотовъ—менѣе 32-хъ, золотниковъ—менѣе 3-хъ, долей—менѣе 96-ти. Учитель не долженъ бояться при этомъ мнимой потери времени, ибо никакой тутъ потери времени нѣтъ. Это — только рѣшеніе задачи, притомъ нисколько не менѣе поучительной, чѣмъ обычныя задачи съ условіями относительно купли, продажи, дохода, стоимости чего-либо, убытка, прибыли и т. п. Выше приведенные пріемы превращенія, обладая всѣми достоинствами пріемовъ, логически весьма простыхъ, въ школахъ, къ сожалѣнію, не приняты. Поэтому относящійся до нихъ текстъ напечатанъ болѣе мелкимъ шрифтомъ. Но учитель, ставшій

зрѣнія, это замѣчаніе тоже весьма цѣнно. Надѣяться на то, что учащіеся, не докончивъ вычисленія, „все-равно“ де поймутъ, „въ чемъ дѣло“, не вполнѣ разсудительно. Особенно это неразсудительно, если учитель самъ не доканчиваетъ начатыхъ вычисленій и надѣется на то, что ученики уже поняли, въ чемъ дѣло. Незаконченность вычисленія, къ тому же, развиваетъ въ учащихся дурную привычку небрежно относиться къ дѣлу. Важно, можетъ-быть, для характеристики интереса Чебышева къ элементарной ариѳметикѣ также и то, что онъ, великій математикъ, членъ Петроградской (тогда С.-Петербургской) Императорской Академіи Наукъ и другихъ ученыхъ учрежденій и обществъ, не разъ заявлялъ, что ему очень хотѣлось бы написать коротенькій учебникъ ариѳметики, но что это—очень трудная задача.

на эти точки зрѣнія и доведшій ихъ осуществленіе до конца, никогда въ этомъ не раскается. Онѣ принесутъ учащимся большую пользу. Надо однако же брать числа незначительныя: на нихъ учащіеся быстрѣе поймутъ, въ чемъ дѣло, и уяснятъ себѣ сущность и цѣль превращенія.

Превращеніе съ помощью дѣленія.

§ 3. Когда всѣ вопросы превращенія разрѣшены съ точки зрѣнія логической, можно предложить себѣ вопросъ—нельзя ли задачи этого рода разрѣшать не съ помощью ряда умноженій и одного дѣленія, а съ помощью однихъ дѣленій. Т.-е: нельзя ли составить себѣ такой планъ рѣшенія: сначала узнать— сколько въ одномъ милліонѣ долей всего золотниковъ, потомъ—сколько лотовъ составляетъ это число золотниковъ, далѣе—сколько фунтовъ въ полученномъ числѣ лотовъ, и, наконецъ,—сколько пудовъ въ этомъ числѣ фунтовъ? Но ошибочно было бы считать, что одинъ разъ предложить подобный вопросъ достаточно для того, чтобы учащіеся поняли все содержаніе вопроса и слѣдующаго изъ него вывода. Еще менѣе того поможетъ «объясненіе» учителя. Здѣсь нужно къ намѣченнымъ выше вопросамъ возвращаться послѣ каждаго вычисленія. При этомъ могутъ получиться и остатки, которые тоже крайне важны. Учащіеся и учитель должны смотрѣть на обычный способъ превращенія только какъ на особый пріемъ рѣшенія задачи.

Сначала можно эти вычисленія располагать такъ:

I) 1000000 дол. : 96 дол. = 10 416;

Это значитъ, что въ милліонѣ долей золотниковъ 10 416 и, сверхъ того, 64 доли. Записать рядомъ съ этимъ, существенно-отвлеченнымъ, частнымъ 10 416, но послѣ точки съ запятою, можно слѣдующее (см. ниже): 10 416 зол. Далѣе:

II) 10 416 зол. : 3 зол. = 3 472; 3 472 лота.

Это значитъ, что 10 416 зол. = 3 472 лот. и что, сверхъ того, отдѣльныхъ золотниковъ, не составляющихъ цѣлаго лота, въ этомъ числѣ нѣтъ.

Это значитъ, что въ 3 472 лотахъ содержится 108 фунтовъ и, сверхъ того, еще 16 лотовъ.

Это значитъ, что въ 108 фунтахъ содержится 2 пуда и еще, сверхъ того, 28 фунтовъ.

Кратчайшая запись вычисленія.

§ 4. Когда ученики усвоили себѣ вполнѣ всѣ вычисленія (при чемъ частныя надо записывать, конечно, безъ наименованій), то можно показать имъ, что вычисленія эти можно располагать также иначе, притомъ несравненно короче, а именно такъ, какъ это предложено впервые, кажется, въ книгахъ автора этой книги, соотвѣтственно съ расположеніемъ вычисленій, практикуемымъ нѣкоторыми при нахожденіи общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ по Евклидову способу нахожденія общей мѣры. См. вычисленіе, приведенное на стр. 114, подъ литерой б. При этомъ не надо писать именованій. Они внесли бы только путаницу и несогласны съ самымъ смысломъ дѣленія: отношеніе одного именованнаго числа къ другому именованному же числу того же рода можетъ быть числомъ только отвлеченнымъ. По большей части нынѣ располагаютъ вычисленія такъ:

б) Слѣдующій способъ распредѣленія вычисленій еще удобнѣе, потому что онъ, при такой же краткости, прозрачнѣе предыдущаго и менѣе допускаетъ злоупотребленій наименованіями.

При этомъ послѣднемъ способѣ расположенія вычисленій дѣлитель пишется надъ вертикальною чертою, а частное рядомъ съ дѣлителемъ, слѣдующій дѣлитель—надъ второю вертикальною чертою, и т. д. Знаковъ дѣленія и равенства здѣсь нѣтъ. А потому, если въ томъ есть надобность, всѣ записи смѣло можно снабдить наименованіями.

При такой, исключительно методической, а потому вначалѣ медленной, разработкѣ вопроса о превращеніи простого именованнаго числа въ составное такъ называемаго «правильнаго» вида, ученіе это для учениковъ представляетъ значительный интересъ. Этого нельзя сказать про ничѣмъ не объяснимое требованіе учителя дѣлать превращеніе согласно общепринятой формѣ записи нужныхъ вычисленій, — формѣ, для учениковъ совершенно не вытекающей изъ сущности вопроса.

Сложеніе составн. именов. чиселъ.

§ 5. Превращеніе именованныхъ чиселъ (какъ это отмѣчено выше) иногда требуется при сложеніи и умноженіи составныхъ именованныхъ чиселъ: эти два дѣйствія даютъ иногда въ результатѣ числа, подлежащія превращенію. Примѣровъ учитель можетъ придумать и самъ сколько угодно (задачи съ условіями въ этихъ случаяхъ вовсе не необходимы). Но ученики должны уяснить себѣ, что дѣло не столько въ самомъ сложеніи, сколько въ преобразованіи составного именованнаго числа неправиль-

наго вида въ составное именованное вида правильнаго.—Запись производства дѣйствія можно практиковать слѣдующую:

Первая запись.

Послѣдняя.

Вторая запись.

Вспомогательныя вычисленія.

ТѢ числа, которыя попадутъ въ отвѣтъ, полезно дважды подчеркнуть. — Запись вычисленій при умноженіи должна быть производима также согласно логическимъ требованіямъ, предъявляемымъ къ записи рѣшенія задачи, и подобно вышепоказанному образцу записи вычисленій при сложеніи.—Но, независимо отъ записи, всѣ вычисленія при сложеніи и умноженіи составныхъ именованныхъ чиселъ должны быть таковы, чтобы то, что можно выполнить изустно, дѣлалось непремѣнно изустно, а только не поддающееся быстрому изустному вычисленію отдѣльно вычислялось бы письменно.

Термины: „число“, „именованное число“, „правильное“ и „неправильное“ именованныя числа, и т. п.

§ 6. По усвоеніи сложенія составныхъ именованныхъ возможно достигнуть того, чтобы учащіеся усвоили себѣ термины: «именованное число», «составное именованное число», «правильное составное именованное число», «неправильное составное именованное число».

Всѣ эти термины надо усваивать не разомъ и не на основаніи опредѣленій. Восемнадцать—число, просто число, 18 рублей,

18 аршинъ, 18 дней—именованныя числа. Далѣе: 18 рублей—простое именованное число, а 18 руб. 25 коип.—составное именованное число. И т. п. Наконецъ, 8 арш. 5 вершк., 8 арш. 6 вершк., 8 арш. 7 вершк., и т. д., 8 арш. 15 вершк.— правильныя составныя именованныя числа, а 18 арш.

16 вершк. или 18 арш. 17 вершк. и т. д.—числа неправильныя. Надо достигнуть того, чтобы дѣти, измѣряя на самомъ дѣлѣ длину комнаты или бечевки саженью, убѣдились въ томъ, что если остатокъ меньше сажени, то надо прибѣгнуть къ аршину для измѣренія остатка, а если останется второй остатокъ, меньшій, чѣмъ аршинъ, то надо прибѣгнуть къ вершку для измѣренія этого остатка, и т. п. Тогда и только тогда именованныя числа простыя и составныя, и изъ составныхъ—правильныя и неправильныя, будутъ говорить воображенію, а черезъ него—и уму учащихся, то, чего не достигнуть словесными опредѣленіями. Не въ словахъ опять-таки дѣло, а въ дѣлѣ- Слова въ этомъ случаѣ, какъ и во многихъ другихъ, должны слѣдовать за дѣломъ, а не предшествовать ему. Сложеніе составныхъ именованныхъ чиселъ подаетъ учителю поводъ къ тому, чтобы ученики обратили вниманіе на то, что называется неправильнымъ составнымъ именованнымъ числомъ. При сознательномъ и разумномъ измѣреніи, неправильныхъ именованныхъ чиселъ, какъ извѣстно, не получается.

Термины: „единичное отношеніе“ и „отвлеченное число“.

§ 7. Нельзя не признать, что термины, разсмотрѣнные въ предыдущемъ параграфѣ, не принадлежать къ числу тѣхъ, безъ которыхъ обойтись невозможно, особенно въ курсѣ начальной ариѳметики. Они полезны только для упрощенія и сокращенія рѣчи. Вмѣсто того, чтобы сказать: «сдѣлайте такъ, чтобы вмѣсто 4 саж. 26 арш. и 37 вершк. получились, сколько нужно, саженъ, аршинъ же чтобы было меньше трехъ, а вершковъ—меньше 16-ти», мы говоримъ короче: «замѣните неправильное составное именованное число 4 саж. 26 арш. 37 вершк. правильнымъ, ему равнымъ». Еще менѣе необходимы термины «единичное отношеніе» и «отвлеченное число». Первый терминъ, къ тому же, особенно затруднителенъ, если учитель не употреблялъ ранѣе и не употребляетъ термина «отношеніе» (вмѣсто термина «частное») при дѣленіи величины и числа на извѣстныя равныя части (при дѣленіи по содержанію).

Здѣсь опять-таки дѣло все не въ логически-строгомъ опредѣленіи, а въ томъ, чтобы учащіеся вѣрно поняли, въ чемъ дѣло, и вѣрно примѣняли пріобрѣтенное понятіе къ частнымъ случаямъ. Сколько вершковъ въ аршинѣ? (Конечно, 16). Число 16 — единичное отношеніе аршина къ вершку. Не 16 вершковъ, а именно 16—единичное отношеніе аршина къ вершку. Записать это можно такъ:

Это число—отношеніе одного аршина къ одному вершку потому, что его можно получить дѣленіемъ одного аршина на части, изъ которыхъ каждая—одинъ вершокъ. Оно—единичное отношеніе потому, что оно выражаетъ отношеніе одной единицы мѣры къ другой единицѣ мѣры. Если давать этотъ терминъ, то надо достигнуть того, чтобы учащіеся безошибочно умѣли писать и понимали бы, какъ слѣдуетъ, такія тожества:

Термина «отвлеченное число» тоже не надо опредѣлять. Достаточно, если учащіеся усвоили себѣ, что 16 аршинъ— именованное число, а 16 (просто шестнадцать)—отвлеченное число, что 7 столовъ—число столовъ (такъ называемое «предметное», но не именованное, число), а число 7 (просто семь) — отвлеченное число. И т. п.

Умноженіе составныхъ именованныхъ чиселъ.

§ 8. Умноженіе составного именованнаго числа не представляетъ собою ничего существенно новаго или сколько-нибудь затруднительнаго. Все дѣло здѣсь въ расположеніи вычисленій. Если на дѣло смотрѣть только какъ на сложную задачу извѣстнаго содержанія, то вопросъ можетъ быть только относительно того, какъ расположить записи вычисленій. Въ этомъ случаѣ каждое заданіе лучше всего помѣщать въ отдѣльную «строчку», далѣе—что можно вычислить изустно, то вычислять изустно, что вычислить изустно затруднительно— то вычислять письменно и, наконецъ, въ надлежащемъ мѣстѣ

записать окончательный результатъ. Онъ долженъ быть, если выражается не въ видѣ простого именованнаго числа, составнымъ именованнымъ числомъ, но въ окончательномъ видѣ, конечно, правильнымъ.

Расположеніе вычисленій можно практиковать слѣдующее:

Для окончательнаго результата (онъ долженъ быть правильнымъ составнымъ именованнымъ числомъ) оставимъ мѣсто подъ чертой. Вычисленія приведены сбоку.

Окончательный результатъ:

Нѣсколько изящнѣе расположеніе записей заданія и окончательнаго результата, если записать заданіе съ помощью скобокъ и окончательный результатъ такъ:

Здѣсь кстати можно выяснить (потому что это вытекаетъ изъ потребностей даннаго момента) способъ употребленія скобокъ, когда приходится записать, что результатъ сложенія двухъ чиселъ требуется умножить на нѣкоторое число.

Вычитаніе составныхъ именованныхъ чиселъ.

§ 9. То же относится къ письменному производству вычитанія составныхъ именованныхъ чиселъ. Здѣсь также не представляется никакихъ новыхъ идей, и все дѣло сводится къ надлежащему расположенію записей вычисленій. Единственный пунктъ, заслуживающій въ этомъ дѣйствіи вниманія учителя и, можетъ-быть, даже учащихся, сводится къ тому, что вычитаніе, строго говоря, вообще требуетъ меньше вычисленій, чѣмъ остальныя дѣйствія. Кромѣ обычнаго вычи-

танія, здѣсь требуется иногда раздробленіе одной единицы какого-либо наименованія или нѣсколькихъ единицъ разныхъ наименованій въ единицы наименованія низшаго, чѣмъ раздробляемая единица даннаго наименованія. Поэтому, если руководиться принципомъ, по которому легкое должно предшествовать болѣе трудному, то вычитанію составныхъ именованныхъ чиселъ слѣдовало отвести мѣсто тотчасъ же послѣ сложенія и вычитанія отвлеченныхъ чиселъ, т.-е. не только раньше сложенія составныхъ именованныхъ чиселъ, но даже раньше умноженія многозначныхъ чиселъ и раньше раздробленія составныхъ именованныхъ чиселъ. Это не сдѣлано ни въ этой книгѣ, ни въ «Новыхъ задачникахъ» того же автора (для учителей и для учениковъ начальныхъ школъ) потому, что это слишкомъ сильно расходится съ господствующими привычками и съ принятой въ учебникахъ ариѳметики «системой» дѣйствій надъ составными именованными числами.

Порядокъ производства вычитанія и расположеніе записей.

Пусть требуется вычесть 5 п. 17 ф. 84 зол. изъ составного именованнаго числа 27 пуд. 4 ф. 27 зол.—Запишемъ такъ:

Для окончательнаго результата слѣдуетъ оставить мѣсто. Что начинать производство дѣйствія надо съ единицъ низшаго наименованія, учащіеся подсказываютъ сами. Что въ нашемъ случаѣ надо одинъ фунтъ раздробить въ золотники, а одинъ пудъ въ фунты, учащіеся тоже соображаютъ почти тотчасъ же послѣ того, какъ подобная задача записана. Почти все вычисленіе можно въ этомъ случаѣ совершить изустно.

Но ужъ если записывать, то задачу и ея рѣшеніе записывать въ слѣдующемъ порядкѣ:

Изъ 3-хъ фунтовъ уменьшаемаго нельзя вычесть 17 фунтовъ; раздробимъ одинъ пудъ уменьшаемаго, отмѣтимъ точкой это измѣненіе уменьшаемаго и будемъ продолжать вычисленіе (слѣдуетъ изустно, но можно записать и въ строчки).

Подчеркнутое число пудовъ, фунтовъ и золотниковъ выпишемъ въ оставленномъ для этихъ записей пробѣлѣ:

Важно, чтобы учащіеся выполняли во всѣхъ случаяхъ, когда это возможно, всѣ вычисленія изустно.

Дѣленіе составныхъ именованныхъ чиселъ на отвлеченное.

§ 10. Гораздо сложнѣе, чѣмъ производство сложенія, умноженія и вычитанія составныхъ именованныхъ чиселъ, дѣленіе. Въ этомъ пунктѣ особенно ярко выступаетъ методически важная разница между дѣленіемъ на извѣстное число одинаковыхъ частей и дѣленіемъ на извѣстныя равныя части. Ср. «Мет. ар.», ч. I, § 42 гл. IV. Въ случаѣ, когда дѣлимое— составное именованное число, а дѣлитель—число отвлеченное (при дѣленіи «на части»), даже сведеніе этого дѣленія къ кратному сравненію (къ дѣленію «по содержанію») представляетъ собою дѣло скучное и не легко выполнимое, а главное совершенно ни для чего не нужное. Принципіально важно то, что при дѣленіи «по содержанію», т.-е. при дѣленіи составного именованнаго числа на именованное же (простое или составное), вообще приходится составныя именованныя числа раздроблять въ единицы низшаго наименованія. При дѣленіи же составного именованнаго числа «на части» (т.-е. на отвлеченное число) такое раздробленіе всего дѣлимаго необходимо только въ исключительныхъ случаяхъ. Остальное относится преимущественно до наинагляднѣйшихъ способовъ расположенія записей вычисленій1).

1) Штёклинъ („Мет. ар.“, ч. III, стр. 128 русскаго перевода) принадлежитъ къ числу противниковъ опредѣленныхъ схемъ расположенія вычисленій, считая, что онѣ сводятся къ механизму и шаблонамъ. Но тутъ же вступаетъ въ противорѣчіе со своимъ собственнымъ утвержденіемъ, особенно настаивая на такъ наз. „дробномъ“ расположеніи вычисленій при рѣшеніи задачъ на такъ наз. тройныя правила.—Надо помнить, что только заученные и не понятые, какъ слѣдуетъ, способы расположенія вычисленій вредны. Способы же, вытекающіе изъ самаго существа вопросовъ, не являются шаблонами и не только не вредны, но составляютъ одинъ изъ важнѣйшихъ элементовъ обученія письменному производству дѣйствій и примѣненію ихъ къ рѣшенію ариѳметическихъ вопросовъ. Безпорядочное расположеніе вычисленій—одно изъ громадныхъ, но, къ счастію, легко устранимыхъ золъ обученія математикѣ вообще, и ариѳметикѣ въ частности.

Располагать вычисленія при дѣленіи составного именованнаго числа на отвлеченное число можно такъ:

Дважды подчеркивать надо только тѣ результаты, которые войдутъ въ запись окончательнаго результата. Конечно, изящнѣе не только съ внѣшней стороны, но и съ математической точки зрѣнія, заданіе и окончательный результатъ лучше записывать такъ:

Дѣленіе составного именованнаго числа на именованное и простого именованнаго числа на составное.

§ 11. Что касается дѣленія простого или составного именованнаго числа на составное именованное того же рода, или дѣленія составного именованнаго числа на простое того же рода, то вычисленія, относящіяся къ этому дѣйствію, вообще сводятся: а) къ раздробленію дѣлимаго или дѣлителя или же обоихъ чиселъ въ единицы низшаго наименованія, встрѣчающіяся въ данныхъ числахъ, и б) къ дѣленію одного числа на другое того же наименованія «по содержанію». Сообразно съ этимъ, раньше всего надо записать заданіе, напр.:

или, еще лучше:

а затѣмъ заняться раздробленіемъ дѣлимаго и дѣлителя въ лоты. Что при этомъ возможно сдѣлать изустно, то учащіеся должны сдѣлать изустно. Записи будутъ слѣдующія:

Запишемъ это, куда слѣдуетъ, и получимъ, что дѣлимое

Теперь раздробимъ дѣлителя:

Запишемъ это сверху рядомъ со знакомъ равенства, получимъ дѣлитель, равный данному намъ, т.-е.:

Теперь раздѣлимъ полученное нами дѣлимое, которое равно данному, на полученный нами дѣлитель:

Окончательный результатъ надо занести послѣ знака равенства въ запись заданія. Конечно, обученіе дѣленію надо въ свое время поставить на надлежащую высоту методической обработки. Тогда у учащихся и возникнуть не можетъ вопросъ о томъ, что обозначаетъ частное при дѣленіи составного именованнаго числа на другое составное именованное число, или при дѣленіи составного именованнаго числа на простое того же рода или же простого именованнаго числа на составное.

Преобразованія и дѣйствія надъ имен. числами.

§ 12. Вообще оба преобразованія составныхъ именованныхъ чиселъ въ именованныя, тожественныя съ данными, но выраженныя иначе (т.-е. раздробленіе и превращеніе именованныхъ чиселъ), и четыре дѣйствія надъ именованными числами надо ставить такъ: а) чтобы учащіеся понимали, что ничего новаго въ нихъ нѣтъ, б) чтобы они знали, что это— только особенныя задачи, и в) чтобы они понимали, что главный интересъ занятій состоитъ въ этихъ случаяхъ только въ надлежащей записи всѣхъ промежуточныхъ вычисленій и въ вѣрномъ вычисленіи всѣхъ результатовъ.

Дѣленіе простого именованнаго числа на составное, очевидно, тоже требуетъ раздробленія дѣлимаго и дѣлителя въ единицы низшаго наименованія. На это дѣйствіе опять-таки надо смотрѣть только какъ на задачу (притомъ рѣдко встрѣчающуюся), а не съ точки зрѣнія какихъ-нибудь отдѣльныхъ правилъ.

Мѣры времени.

§ 13. На этой ступени умѣстно внести нѣкоторыя особыя величины (З. д. уч-лей, 39-я ступень) и единицы мѣры. Есть обыкновеніе относить мѣры времени къ концу курса, вѣроятно, въ виду того, что рѣшеніе задачъ календарнаго содержанія требуетъ отъ учащихся нѣкоторыхъ особыхъ соображеній. На самомъ дѣлѣ мѣры времени можно внести въ курсъ гораздо раньше, хотя онѣ и не принадлежатъ къ числу столь «осязательныхъ», какъ мѣры длины, вѣса и денежныя. Онѣ и отнесены въ курсѣ къ восемнадцатой ступени. На 39-й же ступени онѣ должны быть только болѣе разработаны и точнѣе пояснены. Таковы термины: «пополуночи», «пополудни», «обыкновенный годъ», «годъ високосный», «начало сутокъ», «начало года», и т. п. Только календарныя задачи полезно отнести къ другой ступени курса. Что же касается вопросовъ, сколько минутъ въ однѣхъ суткахъ, сколько секундъ въ суткахъ, сколько часовъ въ столькихъ-то минутахъ и т. д., то всѣ такіе вопросы не представляютъ собою ничего, кромѣ задачъ на примѣненіе умноженія или дѣленія «по содержанію». Равнымъ образомъ задачи на раздробленіе составныхъ именованныхъ чиселъ, выраженныхъ въ единицахъ времени, на этой ступени вполнѣ умѣстны. Не только дѣти, но часто и взрослые, не имѣютъ совершенно ясныхъ представленій объ истинной величинѣ очень многихъ единицъ мѣры1). Но особенно это справедливо относительно единицъ времени, и на это надо обратить вниманіе. Только съ часами въ рукахъ, безмолвно наблюдая за ходомъ секундной или минутной стрѣлки, можно уяснить себѣ, какъ значительна продолжительность одной минуты, и этотъ опытъ

1) Извѣстный популяризаторъ научнаго знанія въ Германіи, жившій въ серединѣ XIX вѣка, А. Бернштейнъ, въ одной изъ своихъ популярныхъ книжекъ для простого народа, рѣшаетъ вопросъ о томъ, какъ великъ объемъ одной кубической мили. Онъ, путемъ вычисленій, пришелъ къ интересному выводу, что въ ящикъ, емкость котораго равна одной кубической милѣ, можно было бы помѣстить всѣ города земного шара со всѣми ихъ садами, парками, домами, храмами, памятниками и другими сооруженіями.

слѣдуетъ съ учениками продѣлать притомъ не одинъ, а нѣсколько разъ. Эта продолжительность кажется гораздо меньше, чѣмъ она есть па дѣлѣ, только тогда, когда мы заполняемъ этотъ промежутокъ времени какимъ-нибудь дѣломъ. Всѣмъ извѣстно, какъ время «летитъ», когда мы заняты, и какъ оно плетется «черепашьимъ шагомъ», когда мы находимся въ ожиданіи чего-либо. Здѣсь умѣстны вычисленія величины одного милліона секундъ, одного милліона дней и т. п.

Площадь и единицы мѣры площадей.

§ 14. Къ этой же ступени можно отнести нѣкоторыя мѣры площадей, тоже не принадлежащія къ числу «осязательныхъ» мѣръ.

Необходимо, конечно, чтобы на этой ступени дѣлались попытки выясненія понятія о площади. О томъ, что разумѣютъ подъ площадью фигуры, дѣти уже освѣдомились въ большей или меньшей степени на одной изъ предыдущихъ ступеней, особенно если учитель не пренебрегалъ въ свое время лабораторными занятіями геометрическаго содержанія. Послѣднія намѣчены, согласно требованіямъ современной методики ариѳметики, даже на первыхъ ступеняхъ обученія ариѳметикѣ въ «Новыхъ ариѳметическихъ задачникахъ Шохоръ-Троцкаго» для учителей и для учениковъ начальныхъ школъ. Выработку болѣе точнаго понятія о площади надо поставить

Рис. 4.

такъ, чтобы учащіеся поняли слѣдующія два положенія: 1) если двѣ фигуры равны между собою, то и ихъ площади между собой равны; 2) если одна фигура разрѣзана на части такъ, что изъ нихъ можно составить другую, то у такихъ фигуръ площади тоже равны. Таковы, напр., площади безъ пробѣловъ и безъ покрытія одной части другою всѣхъ фигуръ, изображенныхъ на рис. 5, одинаковы. Примѣры можно брать изъ области квадратовъ, разлагаемыхъ на части, изъ которыхъ можно составить и треугольникъ, и параллелограммъ, и трапецію. Равнымъ образомъ надобно ученикамъ дать возможность лабораторными пріемами усвоить, что изъ двухъ равныхъ фигуръ, изготовленныхъ изъ равныхъ кусковъ бумаги, можно одну разрѣзать на части, изъ которыхъ можно сложить фигуры другой формы.

Термины „фигура“ и „форма“.

§ 15. Слова «фигура» и «форма» и ихъ смыслъ не очень затрудняютъ учащихся. Но при этомъ надо избѣгать двухъ ошибокъ, вытекающихъ изъ преувеличеннаго пристрастія нѣкоторыхъ начинающихъ учителей къ опредѣленіямъ: а) не надо стремиться къ составленію точныхъ опредѣленій тѣхъ понятій, которыя выражаются словами «фигура» и «форма»,—тѣмъ болѣе, что формулировка опредѣленій этихъ понятій весьма затруднительна и даже не выполнима въ школьномъ курсѣ, и б) не надо относить эти слова къ одному и тому же моменту обученія. Двухъ значительныхъ трудностей за-разъ не надо предлагать учащимся до тѣхъ поръ, пока не преодолѣна каждая изъ нихъ въ отдѣльности. Достаточно изготовить изъ бумаги, начертить или нарисовать какія-либо геометрическія фигуры и, указывая на каждую изъ нихъ, предложить вопросы и дождаться отвѣтовъ на нихъ: у этой фигуры сколько угловъ? сколько сторонъ? нѣтъ ли у этой фигуры прямыхъ угловъ? А у этой? и т. п. Тогда, благодаря вопросамъ и отвѣтамъ, въ которые входитъ слово «фигура», учащіеся уразумѣваютъ

Рис. 5.

смыслъ этого слова. Таковъ процессъ усвоенія не только въ раннемъ возрастѣ значеній цѣлой массы словъ. Не слѣдуетъ и при обученіи математикѣ избѣгать этого естественнаго процесса, сводящагося къ тому, что смыслъ слова выясняется, благодаря его мѣсту среди другихъ (понятныхъ) словъ, благодаря такъ называемому «контексту». Только въ строго научныхъ построеніяхъ, а не въ учебныхъ предметахъ (да и то не всегда), необходимо стремиться къ опредѣленіямъ понятій, входящихъ въ составъ этихъ построеній. То же, что выше сказано о терминѣ «фигура», относится и до термина «форма».

Единицы мѣры площадей.

§ 16. Понятіе о единицахъ мѣры площадей надо построить нѣсколько точнѣе, чѣмъ на болѣе раннихъ ступеняхъ. Надо установить, что квадратнымъ аршиномъ называется не самый квадратъ, сторона котораго равна аршину, а только площадь этого квадрата. И т. п. Что касается единичныхъ отношеній квадратныхъ мѣръ одной и той же системы мѣръ, то эти единичныя отношенія учащіеся должны усвоить по возможности путемъ разсужденій и многочисленныхъ упражненій въ соотвѣтствующемъ направленіи и, гдѣ возможно, съ помощью чертежей. Единичныя отношенія нѣкоторыхъ единицъ площадей разныхъ системъ, какъ-то: одного квадратнаго вершка къ одному квадратному дюйму, одного квадратнаго центиметра къ одному квадратному вершку, квадратнаго центиметра къ квадратному дюйму и т. п., должны быть даны по возможности наглядно. Ихъ часто нельзя добыть путемъ вычисленій, потому что вычисленія эти требуютъ довольно большихъ знаній въ области вычисленій надъ дробями. Для возможно болѣе нагляднаго ознакомленія учащихся съ единичными отношеніями въ нѣкоторыхъ случаяхъ и для возможности усвоенія ихъ взаимныхъ отношеній учениками, съ пользой для дѣла, могутъ служить «Наглядная таблица соотношеній нѣкоторыхъ мѣръ протяженія» и «Сравнительная таблица малыхъ мѣръ длины», составленныя авторомъ этой книги.

Линейный уголъ и величина его.

§ 17. Понятіе о линейномъ углѣ можно дать на этой же ступени, ибо линейный уголъ представляетъ собою величину, которой смыслъ можетъ быть усвоенъ учащимися и можетъ быть имъ полезенъ. Но что такое уголъ, опредѣлять опять-таки не надо. Равнымъ образомъ не надо опредѣлять, что такое сторона угла

и что называется его вершиной. Достаточно выяснить учащимся, что если изъ точки, взятой въ плоскости, провести два «луча» (двѣ прямыя) не въ одномъ и томъ же и не въ прямо противоположныхъ, а въ разныхъ направленіяхъ, то при этомъ образуется уголъ. Это выясненіе должно быть совершенно ясно въ чертежномъ отношеніи, т.-е. дѣти сами должны рисовать и чертить углы. Но дѣти должны изготовлять шаблоны угловъ изъ бумаги и понять, что одинъ уголъ можетъ быть равенъ другому. Надо достигнуть не разговорами, а лабораторными упражненіями, того, чтобы учащіеся уяснили себѣ, что одинъ уголъ можетъ составлять часть другого, что одинъ уголъ можетъ быть только равенъ части другого, что величина угла не зависитъ отъ длины его сторонъ, что частью угла можетъ бытъ опять-таки нѣкоторый уголъ, и т. п.

На шаблонѣ (модели) угла учащіеся должны понять, что для раздѣленія угла на части надо разрѣзъ вести отъ вершины угла или къ его вершинѣ. На чертежѣ уголъ раздѣляется на двѣ части третьимъ лучемъ, проведеннымъ внутри даннаго угла изъ его вершины. Пріобрѣтеніе дѣтьми этого знанія равнымъ образомъ должно сопровождаться ихъ упражненіями въ рисованіи и черченіи. Для измѣренія угловъ нужно обратиться къ прямому углу (давно уже извѣстному дѣтямъ) и къ 90-й долѣ прямого угла, и научить учениковъ понимать показанія транспортира, надлежащимъ образомъ наложеннаго на уголъ. Классный транспортиръ у учителя долженъ быть подъ-руками, а начерченный транспортиръ—въ книгѣ. Пользуясь этимъ послѣднимъ, учащіеся должны надлежащимъ образомъ накладывать шаблоны разныхъ угловъ на изображеніе транспортира. Еще лучше, конечно, если въ ихъ распоряженіи имѣются хотя бы бумажные транспортиры. Здѣсь равнымъ образомъ полезны самостоятельные чертежи учащихся, вырѣзываніе шаблоновъ угловъ изъ бумаги, измѣреніе съ помощью имѣющагося въ книгѣ для учениковъ чертежа транспортира и т. п. Полезно изготовить на-глазахъ учениковъ изъ картона или крѣпкой бумаги полукругъ-угломѣръ, сначала раздѣленный только пополамъ, потомъ на четыре равныя части, а затѣмъ на-глазъ раздѣленный на 180 равныхъ частей. Здѣсь же полезно вернуться къ циферблатамъ и къ тому, сколько градусовъ образуютъ стрѣлки часовъ въ наиболѣе легко под-

дающіеся вычисленію моменты, напр., какой уголъ образуютъ стрѣлки часовъ, когда часы показываютъ: часъ дня, два часа, три часа и т. п. Слово «транспортиръ» (его произношеніе довольно затруднительно) можно замѣнять словомъ «угломѣръ».

Объемъ тѣла.

§ 18. Вопросъ о лѣпкѣ и о приготовленіи картонныхъ или бумажныхъ моделей простѣйшихъ многогранниковъ, а равно вопросъ объ изготовленіи такъ наз. сѣтокъ куба и прямоугольнаго параллелепипеда, для русской школы еще вопросъ будущаго. Въ виду краткости учебнаго года (отъ 160 до 200 дней въ теченіе года) въ русской начальной школѣ, трудно требовать введенія лѣпки и изготовленія моделей въ курсъ ея. Но это—только теперь вопросъ. Рано или поздно, его придется и надо будетъ разрѣшить для русской школы въ положительномъ смыслѣ. Во всякомъ случаѣ пользоваться кускомъ мыла, картофелемъ, брюквой, рѣпой для того, чтобы ознакомить учащихся съ тѣмъ, что называется объемомъ даннаго тѣла, чрезвычайно полезно, совершенно независимо отъ того, привилась ли въ какой бы то ни было степени къ школьному обиходу такъ называемая «лабораторная метода» обученія математикѣ, или не привилась. Вопросъ объ объемѣ всякаго тѣла (бруска, бревна, доски и т. п.) должно ставить опять-таки не на почву опредѣленія, а на почву выясненія того смысла, въ которомъ употребляется слово «объемъ» въ различныхъ случаяхъ. Если два тѣла совершенно равны между собою, то говорятъ, что и объемы ихъ между собой равны; если одно тѣло можно разрѣзать на такія части, чтобы изъ нихъ можно было составить другое безъ пустотъ, то тоже говорятъ, что эти оба тѣла имѣютъ одинъ и тотъ же объемъ, или что объемы ихъ равны между собою. И этого совершенно достаточно. Если въ распоряженіи учителя есть кусокъ глины для лѣпки или кусокъ пластилина, то, разминая этотъ кусокъ глины или пластилина въ рукахъ, учитель можетъ ему придать любую форму, и ученикамъ станетъ ясно, что объемъ этихъ, получаемыхъ такимъ образомъ, тѣлъ все время остается одинъ и тотъ же.

Единицы мѣры объемовъ.

§ 19. Аналогично тому, какъ квадратный вершокъ представляетъ собой только площадь того квадрата, у котораго сторона равна вершку, кубическій вершокъ представляетъ собой не самый кубъ, а только объемъ того куба, котораго ребро

равно одному вершку. Упражненія въ этомъ направленіи въ высшей степени полезны. Надо показать учащимся, что многія тѣла могутъ имѣть объемъ, равный одному кубическому вершку, не будучи въ то же самое время кубами. Для лѣпки, для вырѣзыванія моделей изъ брюквы или изъ другого подходящаго матеріала эти упражненія представляетъ собою чрезвычайно много поводовъ для полезнаго воздѣйствія на пространственное воображеніе дѣтей. Полезно научить дѣтей чертить и рисовать кубъ и всякій прямоугольный параллелепипедъ по какому-нибудь опредѣленному правилу.

Какъ начертить кубъ и прямоугольный параллелепипедъ.

Наипростѣйшее правило вычерчиванія (и рисованія отъ-руки, безъ соблюденія правилъ художественной перспективы) можно формулировать такъ: чтобы начертить кубъ, котораго объемъ равенъ 1 куб. вершку (котораго «ребро», т. н. кантъ, равно одному линейному вершку), начертимъ раньше всего квадратъ, сторона котораго — 1 вершокъ, а потомъ изъ верхней лѣвой его вершины проведемъ прямую, длиною въ полъ-вершка, чтобы она образовала съ верхней стороной квадрата уголъ, равный половинѣ прямого угла; потомъ изъ правой верхней вершины квадрата проведемъ еще одну, такой же длины и въ томъ же направленіи, прямую, далѣе изъ правой нижней вершины квадрата проведемъ третью, такой же длины и въ такомъ же направленіи, прямую; конецъ первой прямой соединимъ прямою съ концомъ второй, а конецъ второй прямой—съ концомъ третьей. Это—только условное изображеніе куба. Можно избрать и другое. Но это условное изображеніе

Рис. 6.

Рис. 7.

проще другихъ. Невидимыя ребра можно проводить пунктиромъ. Весьма важно разъ навсегда установить способъ вычерчиванія куба и прямоугольнаго параллелепипеда.

Изъ двухъ палочекъ, сдѣланныхъ изъ свернутой въ трубочку и склеенной потомъ бумаги, съ помощью кнопки, служащей для сшиванія бумагъ, можно изготовить модели двухъ прямыхъ угловъ, а равно модели трехъ прямыхъ угловъ прямоугольнаго параллелепипеда, выходящихъ изъ одной общей его вершины. При извѣстномъ навыкѣ, можно и самому изготовлять такъ называемые скелеты куба и прямоугольнаго параллелепипеда. Изъ такихъ же трубокъ, соединяемыхъ либо съ помощью проходящей черезъ нихъ проволоки, либо какимъ-нибудь другимъ образомъ, можно изготовить скелеты другихъ многогранниковъ. На рисункахъ изображены скелеты угловъ, скрѣпленные кнопками, употребляемыми для сшиванія бумагъ.

Прежде чѣмъ переходить къ такъ называемому измѣренію (вѣрнѣе къ вычисленію) объемовъ прямоугольныхъ параллелепипедовъ, надобно показать учащимся возможность составленія параллелепипедовъ изъ кубовъ, въ которыхъ ребра равны

Рис. 8.

Рис. 9.

какой-либо единицѣ длины (дюйму или центиметру). Слово «параллелепипедъ» принадлежитъ къ числу наиболѣе трудно произносимыхъ учащимися терминовъ. Учитель, пользуясь имъ, можетъ разрѣшить учащимся говорить вмѣсто этого: брусъ, брусокъ, столбъ, слой, пластина и т. п., смотря по надобности. Плотники называютъ прямоугольный параллелепипедъ «брусомъ на четыре канта». Вычерчивать прямоугольный параллелепипедъ надо аналогично съ чертежомъ куба: передняя грань должна быть начерчена въ натуральную величину или въ извѣстномъ масштабѣ; верхнее основаніе должно представлять собою косоугольный параллелограммъ, въ которомъ каждый острый уголъ долженъ равняться половинѣ прямого угла, а каждая изъ двухъ сторонъ, представляющая собою толщину параллелепипеда, должна быть менѣе истинной (или взятой въ извѣстномъ масштабѣ) ширины ровно въ два раза. На рисункѣ 11 изображенъ прямоугольный параллелепипедъ, котораго высота равна 7 цм., ширина 6 цм., а толщина 3 цм., но эти три центиметра начерчены сокращенными въ 2 раза.

Объемъ и емкость.

§ 20. На этой же ступени полезно выяснить учащимся разницу между объемомъ какого-нибудь тѣла и емкостью какого-нибудь сосуда. Рис. 12 и 13 приведены только для того, чтобы напомнить читателю этой книги о томъ, что необходимо «развязать» руки учащихся,

Рис. 10. Рис. 11.

а не только заботиться о вычисленіяхъ и томъ, чтобы они учились говорить то, что надо говорить на экзаменахъ.

Само собою разумѣется, что дѣтей для этого надо научить измѣренію внутреннихъ размѣровъ ящика или коробки и вычисленію емкости ящиковъ, коробокъ, и т. п. «сосудовъ», а также дать имъ возможность прилагать ихъ познанія въ области такъ называемаго измѣренія (вѣрнѣе: вычисленія) объемовъ прямоугольныхъ параллелепипедовъ на практикѣ. Въ «Новыхъ задачникахъ Шохоръ-Троцкаго» (для учителей и для учениковъ нач. шк.) задачъ такого рода вполнѣ достаточно для полнаго уразумѣнія учениками существа этого дѣла. Изготовленіе моделей скелетовъ хотя бы только одного кубическаго аршина, или модели одного кубическаго вершка и т. п., обязательно, если не для дѣтей, то, по крайней мѣрѣ, для учителя, желающаго достигнуть хорошихъ и результатовъ изготовляющаго эти модели въ присутствіи учениковъ (можетъ-быть, не во время урока). Время, потраченное учителемъ на изготовленіе моделей, окупится впослѣдствіи, въ особенности если дѣти въ часы досуга будутъ имѣть возможность принять участіе, хотя бы и небольшое, въ этой работѣ. «Скелеты» можно изготовлять изъ лучинокъ и палочекъ, связываемыхъ проволокой или тонкой и крѣпкой бечевкой. Только работая въ этомъ направленіи, учащіеся соображаютъ, что грани прямоугольнаго параллелепипеда—прямоугольники, что поверхность и объемъ— вещи разныя, и т. п.

Рис. 12. Рис. 13.

Единичныя отношенія мѣръ объема.

§ 21. Что касается единичныхъ отношеній нѣкоторыхъ мѣръ объема одной и той же системы мѣръ, то, конечно, этотъ вопросъ является однимъ изъ самыхъ серьезныхъ на данной ступени. Надо выполнять чертежи и надо дѣйствовать на воображеніе учащихся. Единичное же отношеніе нѣкоторыхъ единицъ мѣры объемовъ одной системы къ единицамъ другой, можно легко уразумѣть и даже запомнить благодаря «Наглядной таблицѣ соотношеній нѣкоторыхъ мѣръ протяженія», о которой упоминалось выше. Само собою разумѣется, что вычисленіе объемовъ нѣкоторыхъ параллелепипедовъ должно провести такъ, чтобы среди реберъ этихъ многогранниковъ не было такихъ двухъ реберъ, имѣющихъ общую вершину, которыя выражаются дробнымъ или смѣшаннымъ числомъ. Ибо смыслъ перемноженія двухъ дробей или смѣшанныхъ чиселъ для учащихся на этой ступени недостаточно ясенъ. Равнымъ образомъ формула объема прямоугольнаго параллелепипеда (бруска) можетъ гласить не такъ, какъ она обыкновенно формулируется въ учебникахъ геометріи. На этой ступени можно не говорить о томъ, что для вычисленія этого объема надо площадь основанія помножить на высоту параллелепипеда. Гораздо удобнѣе формулировать это правило такъ: надо измѣрить длину, ширину и высоту (или длину, ширину и глубину) одной и той же единицей длины, полученныя числа перемножить, и получится число кубическихъ одноименныхъ единицъ, содержащееся въ объемѣ параллелепипеда. Конечно, не начинать надо съ этой «формулы», а осторожно и методически подвести къ ней надо учащихся.

Терминъ „параллелепипедъ“.

§ 22. Что касается термина «параллелепипедъ», то, какъ это отмѣчено выше, этотъ терминъ для учащихся въ начальной школѣ, можетъ-быть, затруднительнѣе, чѣмъ всѣ остальные геометрическіе термины. Совокупность звуковъ, входящихъ въ составъ многосложнаго слова «параллелепипедъ», слишкомъ чужда русскому уху. Употребляя этотъ терминъ, учитель не долженъ сейчасъ же требовать вѣрнаго употребленія этого термина отъ учениковъ. Во всякомъ случаѣ онъ долженъ мириться не только на первыхъ порахъ съ тѣми ошибками, которыя будутъ замѣчаться въ искаженіяхъ этого термина школьниками. Вводить новые термины вмѣсто укоренившихся, какъ извѣстно,

чрезвычайно трудно. Но, тѣмъ не менѣе, можно было бы удовлетвориться и другимъ терминомъ, если бы былъ придуманъ такой, который объемлетъ всевозможные виды прямоугольныхъ параллелепипедовъ. На самомъ же дѣлѣ въ одномъ случаѣ можно говорить «пластина», въ другомъ—«прямоугольный столбъ», въ третьемъ случаѣ прямоугольный брусъ или брусъ «на четыре канта». Можно считать вполнѣ достаточнымъ, если учащіеся употребляютъ поименованныя слова правильно, и если они умѣютъ вычислять объемы параллелепипедовъ и емкости сосудовъ, имѣющихъ форму прямоугольнаго параллелепипеда. Это тѣмъ болѣе дозволительно, что самый терминъ «параллелепипедъ» чрезвычайно рѣдко встрѣчается даже въ обычной литературной рѣчи, если не считать того употребленія, которое дѣлается изъ этого термина спеціально въ области геометріи. Не въ словѣ сила, а въ дѣлѣ. Неудобства такихъ грубо-конкретныхъ, взывающихъ къ чувственнымъ воспріятіямъ, терминовъ, какъ «столбъ», «брусъ», «пластина» и т. п., особенно сказываются въ тѣхъ случаяхъ, когда приходится разсматривать обыкновенную коробку, чертежную линейку или даже листъ почтовой бумаги какъ нѣкоторый столбъ или какъ брусъ на четыре канта. Еще неудобнѣе эти термины, когда мы должны говорить, что воздухъ заключенный въ обыкновенномъ ящикѣ или содержащійся въ комнатѣ, или жидкость, налитая въ сосудъ, имѣющій форму прямоугольнаго параллелепипеда, представляютъ собою «брусъ» или «столбъ», хотя въ физикѣ и говорятъ о столбѣ воздуха, давящемъ на квадратный футъ, и т. п. Совершенно обойтись безъ слова «параллелепипедъ» вообще чрезвычайно трудно. Но, въ интересахъ школы съ кратковременнымъ курсомъ, приходится отказаться отъ этого термина. Насколько бѣдна математическая терминологія въ обыденной жизни, можно убѣдиться и изъ того факта, что хотя слово «квадратъ» почти всегда и всѣми употребляется для извѣстной плоской фигуры правильно, но слово «квадратикъ» обозначаетъ иногда и линейку, имѣющую форму правильной четыреугольной призмы, т.-е. прямоугольнаго параллелепипеда съ квадратнымъ основаніемъ.

Изустныя вычисленія при обученіи ариѳметикѣ письменнаго производства дѣйствій.

§ 23. Разсмотрѣнными выше тридцатью девятью ступенями, строго говоря, заканчивается курсъ ариѳметики натуральныхъ чиселъ. Внесенные, тамъ и сямъ, въ курсъ эле-

менты изъ области дробей, именованныхъ чиселъ и геометріи играютъ преимущественно практическую образовательную, воспитательную или методическую роль.

Можетъ возникнуть важный вопросъ о томъ, какое мѣсто въ этомъ курсѣ занимаютъ изустныя вычисленія. Если не считать необходимыхъ въ школѣ, чуть не ежедневныхъ, непродолжительныхъ упражненій въ изустныхъ вычисленіяхъ съ помощью той или иной таблицы чиселъ (напр., «Таблицы» Шохоръ-Троцкаго или Мартеля), то упражненія въ изустныхъ вычисленіяхъ, кромѣ того, должны занимать весьма важное служебное мѣсто въ курсѣ ариѳметики письменной. Когда мы говоримъ объ ариѳметикѣ, то подъ этимъ словомъ мы непремѣнно должны разумѣть ариѳметику въ полномъ смыслѣ этого слова,—не только ариѳметику цифирную, письменную, обыкновенно излагаемую въ учебникахъ по этому предмету, но и изустную. Отказаться отъ изустнаго вычисленія въ курсѣ ариѳметики чиселъ первой сотни значило бы отказаться отъ ариѳметики совсѣмъ. Отказаться же отъ изустнаго вычисленія въ курсѣ ариѳметики вычисленій письменныхъ значитъ отказаться едва ли не отъ важнѣйшаго орудія всѣхъ вычисленій и отъ лучшей части ариѳметики,—лучшей съ точки зрѣнія практической и образовательной. Это значитъ также лишить своихъ учениковъ возможности пользоваться своими силами и здравымъ смысломъ. Поэтому всякое вычисленіе, которое требуется сдѣлать, ученикъ долженъ дѣлать изустно, если изустное вычисленіе цѣлесообразнѣе письменнаго, и письменно, если изустное затруднительно, а письменное болѣе цѣлесообразно. Да и при самомъ производствѣ письменнаго вычисленія всегда приходится встрѣчаться съ такими побочными вычисленіями, которыя слѣдуетъ и можно дѣлать только изустно. Таковы, напр., не только всѣ случаи письменнаго производства четырехъ дѣйствій, но нѣкоторые частные случаи сложенія, вычитанія и умноженія при раздробленіи именованныхъ числъ. (См., напр., стр. 115 и 119 этой книги).

Метода цѣлесообразныхъ задачъ.

§ 24. Въ какой мѣрѣ «метода цѣлесообразныхъ задачъ» примѣнима въ курсѣ ариѳметики письменнаго производства дѣйствій? Въ первой сотнѣ простыя цѣлесообразныя задачи, можно сказать, положены въ самую основу всего курса. Съ за-

дачъ, при методѣ цѣлесообразныхъ задачъ, въ изустной ариѳметикѣ начинается урокъ; задача дѣлается исходною точкою, когда приходится обратиться къ новому ариѳметическому представленію, будь то представленіе о сущности умноженія однозначнаго числа на однозначное же, будь то двоякій смыслъ дѣленія, условное значеніе словъ «на столько-то больше», будь то смыслъ доли или части, и т. д. Задача является необходимымъ условіемъ выработки всякаго ариѳметическаго представленія. При этомъ цѣлый рядъ однородныхъ задачъ предлагается, при точномъ слѣдованіи этой методѣ, не для пріобрѣтенія умѣнья рѣшать задачи именно этого рода, не ради того, что этотъ типъ задачъ можетъ оказать особенное вліяніе на умственное развитіе учащагося, а только ради выработки вѣрнаго представленія о томъ или иномъ ариѳметическомъ ученіи или о какой-либо ариѳметической истинѣ. (Метода цѣлесообразныхъ задачъ вообще стремится преимущественно къ выработкѣ вѣрныхъ ариѳметическихъ представленій, а не понятій, каковыя послѣднія вырабатываются уже на почвѣ представленій впослѣдствіи). Въ курсѣ ариѳметики письменнаго производства дѣйствій собственно задачамъ съ условіями не приходится придавать столь же большого значенія. Здѣсь мѣсто задачи съ условіями занимаютъ преимущественно численные примѣры, т.-е. опять-таки задачи, но не съ такъ наз. «условіями». Примѣры, однако же, должны быть подчинены требованіямъ цѣлесообразности и занимать то же мѣсто, какое въ курсѣ ариѳметики первой сотни занимаютъ простыя «задачи съ условіями». Съ вычисленія наиболѣе цѣлесообразнаго начинается урокъ. Вычисленіе численнаго примѣра дѣлается исходной точкой, когда приходится обратиться къ новому представленію ариѳметическаго содержанія, будь то умноженіе на 10, на другую единицу высшаго разряда или на многозначное число, будь то представленіе о раздробленіи именованныхъ чиселъ, о дѣленіи на круглое двузначное число или на число закруглимое, будь то выработка представленія о дроби, и т. д. Примѣръ численный въ этомъ курсѣ,—притомъ примѣръ цѣлесообразно, а не случайно взятый,—является необходимѣйшимъ условіемъ для выработки вѣрнаго представленія о данномъ способѣ ариѳметическаго вычисленія и долженъ не слѣдовать за правиломъ, а чаще всего предшество-

вать ему. Но это мѣсто примѣра совершенно согласуется съ требованіями именно методы «цѣлесообразныхъ задачъ», какъ методы обученія. Почему въ этомъ курсѣ примѣру, а не «задачѣ съ условіями», должно придаваться такое значеніе? Дѣло въ томъ, что курсъ «письменной» ариѳметики преслѣдуетъ почти исключительно цѣль усвоенія учениками способовъ производства разныхъ вычисленій надъ цѣлыми числами. При этомъ рядъ однородныхъ примѣровъ сначала предлагается не ради пріобрѣтенія учениками умѣнія производить вычисленія по ранѣе выученнымъ опредѣленіямъ или правиламъ и не ради того, что эти вычисленія оказываютъ на умственное развитіе учениковъ какое-либо особенное вліяніе, а ради выработки вѣрнаго представленія о способѣ вычисленія, о нѣкоторомъ «алгориѳмѣ», почему-либо важномъ въ ариѳметикѣ. Задачи же съ условіями въ этомъ курсѣ занимаютъ мѣсто только полезнаго упражненія въ примѣненіи четырехъ дѣйствій къ житейскимъ вопросамъ, по возможности не выходящимъ за предѣлы круга представленій учениковъ этого возраста и развитія ихъ на данной ступени обученія. Особенно важны нетрудные денежные расчеты.

Простыя задачи, требующія, стало-быть, только одного дѣйствія надъ данными числами, въ курсѣ письменнаго производства четырехъ дѣйствій, не могутъ уже играть той роли, которую онѣ играютъ въ ариѳметикѣ первой сотни и вообще въ ариѳметикѣ изустныхъ вычисленій. Сложныя же задачи должны въ курсѣ отличаться полной прозрачностью, т.-е. принадлежать къ классу «приведенныхъ» сложныхъ задачъ. И сложныя задачи этого рода должны служить исключительно для упражненія учащихся въ сознательномъ примѣненіи уже усвоенныхъ дѣйствій къ вопросамъ разнаго рода. Въ качествѣ задачъ, служащихъ для установленія степени разумнаго отношенія учащихся къ дѣйствіямъ, можно предлагать, на разныхъ ступеняхъ курса, задачи не только простыя, но и сложныя, для разрѣшенія которыхъ требуется примѣненіе дѣйствія, еще не усвоеннаго и даже совершенно неизвѣстнаго учащимся, напр., задачи, требующей дѣленія на многозначное число, когда дѣти еще не знаютъ этого дѣйствія или дѣленія на незакруглимое число, когда учащіеся умѣютъ дѣлить только на числа круглыя. И т. п. Такія задачи заставляютъ

учащихся отдавать себѣ отчетъ въ предѣлахъ своего знанія и своихъ силъ1).

Четыре дѣйствія въ старину и теперь.

§ 25. Если обученіе письменному производству четырехъ дѣйствій надъ натуральными и именованными числами руководится вѣрными методическими и педагогическими принципами, то это производство для учащихся въ высшей степени занимательно. Въ старину, когда учащіеся должны были усвоить себѣ множество правилъ и когда методика обученія математикѣ еще не существовала, дѣло, конечно, стояло иначе, чѣмъ теперь. Старую школу не выручало правило, по которому «повтореніе— матерь ученія». Тогда наблюдалась въ школѣ картина, изображенная въ вышедшей въ 1856 г. книжечкѣ Іереміи Готгельфа, подъ заглавіемъ «Страданія и радости школьнаго учителя». Вотъ какъ она рисуетъ картину тѣхъ успѣховъ по предмету ариѳметики, которыхъ можно достигнуть при не-методическомъ слѣдованіи учебникамъ и учебному плану, старающемся вести учениковъ все впередъ да впередъ, не обращая вниманія на методическія требованія. Сначала вся работа относилась (по воспоминаніямъ Готгельфа) до сложенія, потомъ ученики переходили къ вычитанію, далѣе — къ умноженію, и т. д. Въ умноженіи ученики обыкновенно дѣлали большія ошибки, хотя и предполагалось, что таблицу умноженія они знаютъ. «Но когда учитель переходилъ къ дѣленію, продолжаетъ Готгельфъ, дѣло начинало итти скверно. Мы, правда, знали, что дѣленіе надо начинать спереди, а умноженіе—сзади; но рѣдкій изъ учениковъ достигалъ, до окончанія курса, такого великолѣпія, чтобы быть въ состояніи сказать: 4 въ 2-хъ не содержится— 4 въ 24-хъ шесть разъ. При этомъ всѣ наши вычисленія подвигались впередъ съ великими мученіями и медленностью, такъ какъ все проходилось безъ всякаго разумѣнія и такъ какъ никто не зналъ, почему надо говорить такъ, а не иначе. Забывали

1) Основатель конфуціанства, жившій въ VI в. до Р. Хр., Конфутзе (обыкновенно называемый Конфуціемъ) такъ опредѣлилъ природу и сущность знанія: „Знать, что знаешь то, что ты дѣйствительно знаешь, и знать, что не знаешь того, чего ты дѣйствительно не знаешь, собственно и значитъ знать: безъ этого знанія нѣтъ знанія“. Эта точка зрѣнія заслуживаетъ должнаго вниманія также при обученіи математикѣ. Большинство ошибокъ мысли и сужденія зависитъ отъ того, что человѣкъ не отдаетъ себѣ полнаго отчета въ томъ, дѣйствитетьно ли онъ знаетъ то, что онъ утверждаетъ.

ученики рѣшительно все. При этомъ каждую зиму приходилось съ учениками начинать все сначала и преодолѣвать рѣшительно тѣ же трудности. Никто не кончалъ курса съ достаточными знаніями по ариѳметикѣ. Но этого мало: проходя одно дѣйствіе, мы забывали то, что знали о другомъ; проходя умноженіе, мы уже не умѣли дѣлать вычитанія... Когда однажды батюшка на экзаменѣ пожелалъ задать ученику примѣръ на сложеніе, учитель заявилъ: «простите, высокочтимый отче, мы уже давненько не дѣлали сложенія, и дѣти наврядъ ли справятся со сложеніемъ, такъ какъ мы въ послѣднее время болѣе всего занимались дѣленіемъ». И никакой начальникъ этому не удивлялся,—а самъ штатгальтеръ по этому поводу даже замѣтилъ, что совершенно то же самое испытываетъ и онъ: если ему почему-либо долго не приходится дѣлать сложенія, онъ де и теперь забываетъ, какъ оно дѣлается».

При такихъ условіяхъ усвоеніе четырехъ дѣйствій, конечно, и крайне скучно для учащихся, и для нихъ недостижимо. Если же на каждый пріемъ вычисленія смотрѣть только какъ на задачу, если дѣлать учащихся участниками въ изобрѣтеніи способовъ рѣшенія этой задачи, то трудности ариѳметики, какъ учебнаго предмета, дѣлаются средствомъ для умственнаго развитія учащихся и для усвоенія ими твердыхъ и разумныхъ навыковъ ариѳметическаго содержанія.

Наглядныя пособія въ курсѣ письменной ариѳметики.

§ 26. Не мѣшаетъ, можетъ-быть, оглянуться нѣсколько назадъ, остановившись на вопросѣ объ употребленіи наглядныхъ пособій при прохожденіи курса, намѣченнаго выше. Эти пособія могутъ быть двухъ родовъ: 1) пособія, преслѣдующія цѣль ознакомленія дѣтей съ разными единицами мѣры, и 2) пособія, помогающія уразумѣнію и усвоенію тѣхъ или иныхъ навыковъ. О пособіяхъ перваго рода всегда должно помнить, что дѣти должны имѣть о нѣкоторыхъ единицахъ мѣры непремѣнно наглядныя представленія. Таковы: величина фута, аршина, дюйма, вершка, фунта, золотника, четверика, и т. п. Извѣстно, что даже взрослые люди не обладаютъ такимъ глазомѣромъ, чтобы безошибочно отложить на бумагѣ или на веревочкѣ длину аршина, фута, дюйма, вершка, и т. п. Было бы поэтому неосновательно требовать отъ дѣтей подобнаго глазомѣра; но развивать его необходимо и при обученіи ариѳметикѣ. Прямо необходимо, чтобы дѣти изъ опыта знали—что больше:

футъ или аршинъ, дюймъ или вершокъ, и знали это не только теоретически и благодаря своей памяти, но также и благодаря наглядному знакомству съ этими мѣрами. Желательно, съ практической точки зрѣнія, полное знакомство ихъ также и съ величиною метра аршина безъ полутора вершка или 221/2 вершка). Чтобы представленія дѣтей основывались на прочувствованныхъ воспріятіяхъ, надобно ихъ упражнять въ измѣреніи роста, длинъ, во взвѣшиваніи и т. п. Они должны изъ тесемки изготовлять мѣрительныя ленты въ вершкахъ, дюймахъ, центиметрахъ, взвѣшивать нѣкоторые предметы, и т. п. Объ этомъ говорилось не разъ и въ «Мет. ар.», ч. I.

Что касается наглядныхъ пособій второго рода, преслѣдующихъ цѣли лучшаго усвоенія четырехъ дѣйствій, то наилучшимъ изъ нихъ должно, рядомъ со «спичками», считать обыкновенно русскіе счеты. Вычисленію суммъ и разностей на счетахъ необходимо дѣтей учить и научить; въ немъ необходимо упражняться, притомъ не столько для практическихъ надобностей, сколько для цѣлей образовательныхъ. Не надо только, ради этого вычисленія, жертвовать чѣмъ-либо важнымъ въ курсѣ. Чтобы найти для него время, необходимо отказаться въ курсѣ ариѳметики письменной не только отъ рѣшенія сколько-нибудь замысловатыхъ задачъ алгебраическаго характера, но даже отъ рѣшенія неприведенныхъ сложныхъ чисто-ариѳметическихъ задачъ. Производство сложенія и вычитанія на счетахъ извѣстно учителю. Остальныхъ дѣйствій производить на счетахъ не надо. Время для упражненій учениковъ въ вычисленіяхъ на счетахъ, не пріуроченное непремѣнно къ той или къ иной ступени обученія, удобно всякое. Они только внесутъ разнообразіе въ занятія. Для сложенія и вычитанія составныхъ именованныхъ чиселъ полезно прибѣгнуть къ помощи школьныхъ счетовъ Шохоръ-Троцкаго.

Особенно велико значеніе цѣлесообразныхъ упражненій въ духѣ требованій такъ наз. лабораторной методы, въ черченіи и рисованіи не только при занятіяхъ геометріей. Наглядныя пособія, изготовленныя самими учащимися изъ бумаги, бечевки, палочекъ, лучинокъ, картона и т. п. матеріала, полезны на разныхъ ступеняхъ обученія. Сюда же относятся чертежи и рисунки учениковъ.

40-я ст.: изъ области дробей.

§ 27. Отдавъ себѣ отчетъ въ особенностяхъ всего курса ариѳметики письменнаго произ-

водства четырехъ дѣйствій надъ цѣлыми числами, обратимся къ слѣдующей ступени. Сороковая ступень посвящена преимущественно ученіямъ, относящимся до дробей (обыкновенныхъ и десятичныхъ). Къ этой области отнесены: дѣленіе круга на шесть равныхъ частей, составленіе правильнаго шестиугольника изъ равныхъ между собою равностороннихъ треугольниковъ, вычерчиваніе равностороннихъ треуголь-

Рис. 14.

никовъ, вычерчиваніе такъ называемыхъ «розетокъ» и т. п. Опытъ показываетъ, что дѣти не только относятся къ этимъ чертежамъ съ чрезвычайнымъ интересомъ, но и выполняютъ ихъ вполнѣ удовлетворительно. Учитель можетъ воспользоваться правильнымъ шестиугольникомъ или кругомъ, точно раздѣленными на шесть равныхъ частей, также для выясненія понятій объ одной шестой долѣ, о двухъ шестыхъ, какъ трети, о трехъ шестыхъ, какъ половинѣ, о четырехъ шестыхъ, какъ двухъ третяхъ, и, наконецъ, о пяти шестыхъ. Отсюда учащіеся могутъ извлечь довольно много поучительнаго матеріала для уразумѣнія того, что трети и половины можно выразить въ шестыхъ доляхъ, о сложеніи половины съ шестою или съ третью, и т. п. Это подготовляетъ также къ уразумѣнію раздробленія дроби въ болѣе мелкія доли, хотя бы только въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ.

Раздробленіе дробей въ нѣкоторыя, болѣе мелкія, доли.

§ 28. Изъ частныхъ случаевъ раздробленія дробей въ болѣе мелкія доли учащіеся еще въ первый годъ обученія усвоили себѣ обращеніе цѣлаго и половины въ четверти и двухъ четвертей въ половину. На этой ступени можно нѣсколько усилить это раздробленіе, предлагая вопросы о томъ, сколько восьмыхъ долей въ цѣломъ, сколько ихъ въ одной половинѣ, въ одной четверти и т. п., и научить учащихся записывать относящіяся сюда равенства надлежащимъ образомъ. Это надо провести, конечно, безъ всякихъ разсужденій о неизмѣняемости дроби отъ одновременнаго увеличенія числителя и знамена-

Рис. 15.

Рис. 16. Рис. 17.

теля въ одно и то же число разъ. Въ томъ же направленіи можно поработать и для выясненія раздробленія шестыхъ долей въ двѣнадцатыя, въ двадцать четвертыя и т. п. Можно обратиться къ чертежу, имѣя въ виду двадцатыя доли. Авторъ этой книги, на основаніи собственнаго опыта и опыта сторонниковъ его взглядовъ, пришелъ къ заключенію, что раздѣленіе прямой линіи на двадцать одинаковыхъ частей и изученіе двадцатыхъ долей, съ точки зрѣнія ихъ группировки для составленія половинъ, четвертей, пятыхъ и десятыхъ, представляетъ собою чрезвычайно полезное упражненіе. Оно можетъ оказать большое вліяніе на уясненіе себѣ учениками вообще способовъ раздробленія любой дроби въ дроби, какъ мы обыкновенно говоримъ, съ болѣе крупными знаменателями. Еще полезнѣе, если на это есть время, прибѣгнуть въ этомъ случаѣ не только къ прямой линіи, но къ прямоугольному параллелограму, можетъ-быть, къ квадрату, раздѣленіе котораго на двадцать одинаковыхъ частей, изъ которыхъ можно составить множество дробей съ разными числителями и разными знаменателями. Само собою разумѣется, что, занимаясь раздробленіемъ дробей въ болѣе мелкія доли, можно сначала обратиться къ половинѣ этого квадрата. На ней учащіеся могутъ себѣ уяснить, изъ какихъ долей можетъ состоять эта половина вплоть до десяти двадцатыхъ, потомъ обратиться къ четверти этого квадрата, къ тремъ четвертямъ, къ двумъ четвертямъ, потомъ къ пятымъ долямъ и десятымъ. Соотвѣтственныя упражненія учащихся должны сводиться къ тому, чтобы они поняли, что любую данную дробь, выраженную въ часто встрѣчающихся доляхъ, т.-е. въ половинахъ, третяхъ, четвертяхъ, шестыхъ, въ пятыхъ, десятыхъ, восьмыхъ, шестнадцатыхъ доляхъ, можно всегда выразить въ болѣе мелкихъ,

Рис. 18.

но не во всякихъ мелкихъ, доляхъ. Отсюда имъ возможно прійти къ заключенію, что и всякую дробь можно выразить въ доляхъ, вдвое, втрое и т. д. меньшихъ, чѣмъ каждая доля данной дроби. Они могутъ понять, что для того, чтобы выразить дробь въ болѣе мелкихъ доляхъ, нужно только раздѣлить каждую долю на опредѣленное число равныхъ частей.

Превращеніе нѣкоторыхъ дробей въ дроби съ болѣе крупными долями.

§ 29. Обратное преобразованіе дроби, а. именно превращеніе нѣкоторыхъ дробей въ дроби, выраженныя въ болѣе крупныхъ доляхъ, какъ извѣстно, не всегда осуществимо. Но и учащіеся могутъ и должны изъ чертежей и работы надъ какими-нибудь предметами, дѣлимыми на части, понять съ самаго начала, что третей нельзя выразить въ половинахъ, четвертей въ третяхъ, шестыхъ — въ четвертяхъ и т. п. Они могутъ и должны понять, что нѣкоторыя дроби можно выразить въ болѣе крупныхъ доляхъ, въ то время какъ въ болѣе мелкихъ (хотя тоже не во всякихъ) доляхъ можно выразить всякую дробь. Трудность превращенія дроби въ болѣе крупныя доли заключается въ томъ, что учащіеся должны догадкой (интуитивно) дойти до разсужденія, что такъ какъ составляетъ цѣлое, то + въ 4 раза меньше, чѣмъ и т. п. Такимъ образомъ учащійся долженъ «сокращать» дроби, т.-е. переводить дробь съ большимъ знаменателемъ въ дробь со знаменателемъ меньшимъ, не зная того правила, по которому для этой цѣли надо только числителя и знаменателя раздѣлить на одно и то же число, т.-е. не зная преобразованія дробей, намъ извѣстнаго подъ именемъ сокращенія дробей. Учащіеся должны и могутъ «глазами» увидѣть, не зная правила сокращенія дробей и даже не зная терминовъ «числитель» и «знаменатель», можно ли данную дробь съ четнымъ числителемъ и четнымъ знаменателемъ сократить и какъ ее сократить. Надо обратиться къ длинѣ, раздѣленной на 20 или на 16 равныхъ частей, къ квадрату, раздѣленному на 32 равныя части, и т. п. Учащіеся очень скоро раскрываютъ «секретъ» сокращенія дробей съ болѣе или менѣе естественными знаменателями. Чтобы не затруднять учениковъ многочисленными чертежами, можно обратиться къ четвертушкѣ бумаги, которую легко сложить сгибаніемъ на сороко-

выя доли. При этомъ учитель можетъ пользоваться цвѣтными карандашами для того, чтобы обвести стороны нѣкоторыхъ изъ получаемыхъ фигуръ для иллюстраціи того, что

Полезны для этого и чертежи вродѣ изображеннаго на рис. 18.

Десятичныя дроби въ нач. школѣ.

§ 30. Если не считать обычныхъ дробей: половинъ, четвертей, восьмыхъ и т. п., то главнѣйшую роль въ наукѣ и въ жизни играютъ дроби, знаменатели которыхъ представляютъ собою степени десяти, т.-е. выраженныя въ десятыхъ, сотыхъ, тысячныхъ доляхъ, и т. п. При этомъ надо отмѣтить, что въ Россіи эти дроби играютъ гораздо меньшую роль, чѣмъ во многихъ другихъ странахъ, потому что у насъ система мѣръ принята не метрическая. Само собою разумѣется также, что, вслѣдствіе этой причины, дѣйствія надъ десятичными дробями у насъ не играютъ той роли въ жизни и въ школѣ, которую они могли бы и должны бы играть. Только при логариѳмическихъ и тригонометрическихъ вычисленіяхъ десятичныя дроби получаютъ полное право гражданства.

Въ курсѣ начальной школы совершенно неосуществимо усвоеніе учащимися такого сокращенія дробей, которое требуетъ знанія признаковъ дѣлимости чиселъ не только на 10, на 2 и на 5, но на 3, на 9, на 6, или даже умѣнія находить общаго наибольшаго дѣлителя знаменателей съ помощью послѣдовательнаго дѣленія. Гораздо полезнѣе въ курсѣ обратиться къ десятымъ и сотымъ долямъ, тѣмъ болѣе, что въ Россіи монетная система къ этому достаточно хорошо приспособлена. Въ нѣкоторыхъ мѣстностяхъ фабричнаго района, въ землемѣріи и въ нѣкоторыхъ отрасляхъ техники получили распространеніе раздѣленіе сажени на сотыя доли, а также метрическія мѣры: метръ, центиметръ и миллиметръ1). Это

1) Нѣкоторыя изъ мѣръ метрической системы у насъ привились въ мѣстностяхъ преимущественно фабричныхъ районовъ, причемъ успѣли образоваться искаженныя (хотя и весьма выразительныя) названія нѣк. мѣръ: вм.

даетъ поводъ для внесенія въ курсъ начальной школы сложенія и вычитанія десятичныхъ дробей съ двумя и даже тремя знаками послѣ запятой1).

Обозначеніе десятичныхъ дробей.

§ 31. Обозначеніе десятичныхъ смѣшанныхъ чиселъ съ помощью запятой и обозначеніе дробей десятичныхъ, принадлежащихъ къ числу правильныхъ, т.-е. меньшихъ единицы, съ помощью нуля передъ запятой, не представляетъ для учащихся сколько-нибудь значительныхъ трудностей. Надо только исходить изъ того, что запятая играетъ въ этомъ случаѣ роль знака, послѣ котораго слѣдуетъ цифра десятыхъ долей. О томъ, что послѣ цифры десятыхъ должна слѣдовать цифра сотыхъ долей, рѣчь впереди. На обозначеніи десятыхъ долей можно нѣсколько остановиться, чтобы не усложнять работы учениковъ упражненіями, которыя не имѣютъ прямого отношенія къ ихъ ежедневной жизни и ежедневнымъ потребностямъ. Впослѣдствіи можно перейти къ обозначенію дроби съ двумя цифрами послѣ запятой. Но эти двѣ цифры учащіеся должны сначала понимать только какъ обозначенія двухъ слагаемыхъ. Они должны смотрѣть на записи: 0,37; 0,28 и т. п., какъ на нѣсколько десятыхъ долей, которыя надо сложить съ нѣсколькими сотыми долями. Эти записи замѣняютъ сначала запись двухъ слагаемыхъ, которую можно потомъ замѣнить одной дробью, равною ихъ суммѣ. Сначала можно замѣнять десятичныя дроби обыкновенными и, обратно, обыкновенныя — десятичными. Этому можно научить, обратившись къ нѣкоторымъ

„центиметръ“ въ просторѣчіи иногда приходится слышать „сотомѣръ“, а вм. „миллиметръ“—„маломѣръ“. Объ этомъ пишущій эти строки случайно узналъ отъ проф. О. Д. Хвольсона.

1) Вопросъ о томъ, не исключать ли изъ курса ариѳметики всѣ обыкновенныя дроби и не начинать ли обученіе дробямъ съ десятичныхъ, невозможно разрѣшить въ положительномъ смыслѣ. Дѣло въ томъ, что половина всегда была и будетъ яснѣе, чѣмъ пять десятыхъ, а три четверти яснѣе, чѣмъ 0,75. Еще убѣдительнѣе примѣры одной трети и одной двѣнадцатой доли, которыхъ и совсѣмъ не выразить въ видѣ десятичныхъ дробей.—Возникла подобная мысль по винѣ того, что въ курсѣ обыкновенныхъ дробей, къ сожалѣнію, очень много лишняго матеріала, который смѣло можно бы исключить. Но отсюда, конечно, нельзя дѣлать того вывода, что обыкновенныя дроби въ курсѣ ариѳметики совсѣмъ не нужны.

точкамъ зрѣнія, принятымъ въ области нумераціи. Научившись сначала сопоставлять записи:

ученики могутъ впослѣдствіи уяснить себѣ, что обозначеніе десятичныхъ дробей съ помощью запятой короче и удобнѣе, а затѣмъ—что оно представляетъ собой развитіе нумераціи, съ которой они уже знакомы. Можно исходить изъ дробей, обозначаемыхъ двумя или тремя цифрами послѣ запятой, и достигнуть того, чтобы учащіеся увидѣли, что каждая цифра имѣетъ не только свое безусловное (абсолютное) значеніе, но также и помѣстное («позиціонное») значеніе въ зависимости отъ того мѣста, которое она занимаетъ среди другихъ цифръ. Можно на этомъ случаѣ даже прибѣгнуть къ изображенію десятичныхъ дробей въ лицахъ. При этомъ, вмѣсто запятой, можно поставить, напр., стулъ, налѣво отъ него ставить «цѣлыя числа», а направо—десятыя доли и сотыя. Это упражненіе учащимся чрезвычайно нравится, и перемѣщеніе стула съ одного мѣста на другое, въ особенности вправо, покуда учащіеся еще не умѣютъ обозначать чиселъ, выраженныхъ въ тысячныхъ доляхъ, ихъ очень занимаетъ. Рубли и копейки, сажени и сотыя доли сажени должны быть разсмотрѣны и съ точки зрѣнія нумераціи десятичныхъ дробей и десятичныхъ чиселъ вообще. Учащіеся должны себѣ усвоить, что

Что касается термина «десятичная дробь», то его выясненіе не представляетъ собой особенныхъ затрудненій. Надо дѣло поставить такъ, что если какая-нибудь дробь, напр., пять десятыхъ, обозначена такъ: — , то такимъ образомъ обозначена дробь обыкновенная. А если дробь обозначена слѣдующимъ образомъ: 0,5, то эта запись обозначаетъ дробь, равную пяти десятымъ, но эта запись называется записью десятичной дроби.

Обращеніе дробей, выраженныхъ въ половинахъ, четвертяхъ, пятыхъ, десятыхъ, двадцатыхъ, двадцать пятыхъ и пяти-

десятыхъ въ десятичныя представляетъ собою интересную для учащихся задачу. Все дѣло только въ томъ, чтобы они сначала уразумѣли, что для обращенія подобныхъ дробей въ десятичныя нужно отыскать то число, на которое надо помножить знаменателя, чтобы вмѣсто него получилось десять или сто. Это учащіеся усваиваютъ очень быстро. Гораздо труднѣе для нихъ другое обстоятельство, а именно: имъ надо научиться смотрѣть на десятичную дробь не только какъ на запись нѣкотораго ряда слагаемыхъ, но также какъ на сумму этихъ слагаемыхъ. Говоря иначе: если записана дробь 0,28, то они должны прежде всего усвоить, что эта запись представляетъ собою запись двухъ слагаемыхъ, изъ которыхъ одно равно двумъ десятымъ, а другое равно восьми сотымъ долямъ единицы. Но этого мало: они должны также понять, что эта запись обозначаетъ также и самую сумму, которая происходитъ отъ сложенія этихъ двухъ дробей, а именно 28 сотыхъ. Надо достигнуть того, чтобы учащіеся уразумѣли, что запись десятичныхъ дробей съ помощью запятой подобна записи цѣлаго числа, обозначеннаго съ помощью двухъ цифръ. Если у насъ, напр., записано 27, то эта запись выражаетъ не только два слагаемыхъ (два десятка и семь единицъ), но также и ихъ сумму, т.-е. двадцать семь.

Обращеніе обыкновенной дроби въ десятичную.

§ 32. Гораздо труднѣе т. наз. обращеніе обыкновенной дроби, не выражающейся въ десятыхъ или сотыхъ доляхъ единицы, въ десятичную. Для начала надо разсматривать это дѣло съ точки зрѣнія раздробленія даннаго цѣлаго числа въ единицы низшаго разряда. Напр., спрашивается, сколько сотыхъ долей въ одной шестой долѣ единицы. Мы можемъ сначала узнать, сколько десятыхъ долей въ одной шестой долѣ единицы. Разсуждаемъ такъ: въ одной цѣлой единицѣ десять десятыхъ, а въ одной шестой долѣ въ шесть разъ меньше, т.-е. всего одна десятая. И это очевидное, само по себѣ, соотношеніе мы можемъ записать въ слѣдующую строку:

У насъ остались четыре десятыхъ на-рукахъ. Но мы ихъ можемъ раздробить такъ: въ одной десятой долѣ 10 сотыхъ, а въ четырехъ десятыхъ 40 сотыхъ. Но

а потому

Если спрашивается, сколько сотыхъ долей въ одной седьмой долѣ единицы, то мы разсуждаемъ подобнымъ же образомъ. Тогда мы получаемъ приблизительное значеніе одной седьмой доли, сначала одно, а именно: что одна седьмая доля равняется одной десятой, а потомъ еще одно, а именно: одна седьмая доля равняется одной десятой, сложенной съ четырьмя сотыми, полученными отъ раздѣленія оставшихся трехъ десятыхъ въ сотыя. Опять-таки получаемъ, что приблизительно

Путемъ подобныхъ, довольно легкихъ, разсужденій, эта задача рѣшается сравнительно просто. Какъ далеко итти въ усвоеніи учащимися обозначенія десятичныхъ дробей, завититъ отъ времени, имѣющагося въ распоряженіи школы.

Обычный способъ обращенія доли единицы въ десятичную дробь.

§ 33. Нѣсколько искусственнѣе тотъ способъ записи вычисленій и обращенія обыкновенныхъ дробей въ десятичныя, который рекомендуется въ учебникахъ ариѳметики. Онъ тоже представляетъ полное развитіе идеи постепеннаго и послѣдовательнаго раздробленія остатковъ въ единицы послѣдовательныхъ десятичныхъ разрядовъ. Но общепринятая и извѣстная запись очень мало говоритъ воображенію учащихся. Только впослѣдствіи имъ очень нравится этотъ способъ записи, при которомъ частныя произведенія чередуются съ остатками. При дѣленіи цѣлыхъ чиселъ и вообще десятичныхъ чиселъ на однозначныя числа не слѣдуетъ, какъ извѣстно, записывать частныхъ произведеній. Но при такъ называемомъ обращеніи обыкновенной дроби въ десятичную оказывается, что эти частныя произведенія довольно цѣлесообразны. Они напоминаютъ о самомъ процессѣ раздробленія, которое не вполнѣ тожественно съ раздробленіемъ именованныхъ чиселъ въ единицы низшаго наименованія. При обращеніи обыкновенной дроби въ десятичную приходится оперировать надъ необозначенными въ дѣлимомъ числами, и въ этомъ все затрудненіе. Учитель не долженъ забывать этого, какъ бы легко это раздробленіе ни казалось ему самому.

Обращеніе обыкнов. дроби въ десятичную и проц. отношеніе.

§ 34. Когда обращеніе долей единицы въ десятыя и сотыя доли совершенно выяснено, можно обратиться къ обращенію другихъ дробей въ десятичныя съ двумя цифрами послѣ

запятой. Потомъ можно обратиться къ нѣкоторымъ упражненіямъ въ области процентныхъ вычисленій. Если одно число представляетъ три четверти другого, то можно сказать, что оно составляетъ 75 процентовъ другого, или 0,75 другого. Въ разныхъ обозначеніяхъ этого соотношенія много поучительнаго для учащихся. Обозначенія: семьдесятъ пять сотыхъ, 75 сотыхъ, —-, 0,75 и 75% выражаютъ одно и то же. Которое изъ этихъ обозначеній въ данномъ случаѣ и въ данный методическій моментъ удобнѣе, то и надо употреблять.

Съ этой точки зрѣнія, вопросъ о томъ, сколько процентовъ одного числа составляетъ другое, или сколькимъ процентамъ одного числа равно нѣкоторое другое, иногда на этой ступени умѣстенъ и можетъ сдѣлаться предметомъ размышленій и плодотворнаго обсужденія. Но къ вопросу этому приходится обращаться и на другихъ ступеняхъ курса. Точно указать ту ступень курса, на которой это наиболѣе цѣлесообразно, конечно, довольно затруднительно. Это зависитъ отъ многихъ условій. На 46-й ступени этотъ вопросъ изучается подробно. Но это нисколько не доказываетъ, что онъ на занимающей насъ ступени не цѣлесообразенъ. Надо стремиться къ тому, чтобы дѣти постепенно сроднились со значеніемъ слова «процентъ». Слово это только замѣняетъ въ этихъ случаяхъ извѣстныя два слова «сотая доля». Читатель, интересующійся этимъ вопросомъ съ цѣлью оцѣнки того, насколько, съ логической точки зрѣнія, здѣсь умѣстно понятіе о процентѣ, можетъ обратиться къ тѣмъ параграфамъ этой книги, въ которыхъ разрабатывается 46-я ступень.

Тысячныя доли въ десятичныхъ дробяхъ.

§ 35. Появленіе тысячныхъ долей въ десятичныхъ дробяхъ не представляетъ собою уже никакихъ особенныхъ затрудненій, если только договориться, что послѣ цифры сотыхъ долей справа стоитъ цифра тысячныхъ долей, какъ послѣ цифры сотенъ слѣва стоитъ цифра тысячъ. Раньше всего можно научить дѣтей читать запись десятичной дроби, только указывая и называя тѣ разрядныя слагаемыя, изъ которыхъ состоитъ эта десятичная дробь, обозначенная данною записью. Такъ, напр., если записано 0,716, то учащіеся должны умѣть это прочесть слѣдующимъ образомъ: «семь десятыхъ, да еще одна сотая, да еще шесть тысячныхъ», а затѣмъ прочитать ее

иначе, сказавъ: «нуль цѣлыхъ, 716 тысячныхъ». Сначала они должны, конечно, дѣйствительно сложить:

и подобныхъ сложеній надо выполнить нѣсколько.

Если учитель и ученики привыкли послѣ цифры тысячъ, при обозначеніи цѣлыхъ чиселъ, ставить запятую, то запятая для обозначенія десятичныхъ дробей является знакомъ неудобнымъ, когда дробь имѣетъ три цифры послѣ запятой. Вотъ почему, между прочимъ, въ этой книгѣ и въ остальныхъ книгахъ того же автора цифра тысячъ отъ цифры сотенъ либо отдѣляется болѣе значительнымъ промежуткомъ, чѣмъ промежутки между остальными цифрами одного и того же класса, либо же ставится рядомъ съ цифрой сотенъ безъ увеличеннаго промежутка, но и безъ запятой. Запятую слѣдовало

Рис. 18.

бы употреблять только для обозначенія десятичныхъ дробей. Но если ученики и учитель привыкли отдѣлять запятою цифру тысячъ отъ цифры сотенъ, то, по крайней мѣрѣ, надо пріучиться цифры послѣ запятой писать болѣе мелко, чѣмъ цифры цѣлыхъ, напр., такъ: 8,375 или 10,843 и т. п.1).

Нѣкоторыя частности метрической системы мѣръ.

§ 36. Къ этой же ступени отчасти примыкаютъ нѣкоторыя частности метрической системы мѣръ, съ которой учащіеся ранѣе ознакомились въ недостаточной степени. Они должны отлично знать, что въ метрѣ точно 100 центиметровъ, или безъ малаго 221/2 вершка, что метръ почти то же, что полтора аршина безъ полутора вершка, что метръ раздѣляется на 100 равныхъ частей, что сотая доля метра называется центиметромъ, что длина строки задачника, ими употребляемаго, приблизительно равняется десяти центиметрамъ, что 10 центиметровъ составляютъ 1 дециметръ, что десятая доля дециметра называются центиметромъ, и т. п. Но имъ не мѣшаетъ также усвоить, что одинъ аршинъ составляетъ 0,71 съ небольшимъ метра, или, что—то же, 71 центиметръ съ небольшимъ, что

Рис. 19.

Рис. 20.

1) Въ Англіи принято правильныя десятичныя дроби (особенно въ математическихъ таблицахъ разнаго рода) писать безъ обозначенія числа цѣлыхъ цифрою нуль, а вмѣсто запятой ставить точку, но не рядомъ съ цифрами, а въ промежуткѣ между ними, нѣсколько выше его середины. Такъ, вмѣсто 0,75 англичане пишутъ ’75, а вмѣсто 7,63 они пишутъ 7’63.

одинъ метръ равенъ 1,41 аршина безъ малаго и т. п. Вводить въ курсъ начальной школы декаметры и гектометры не слѣдуетъ. Но миллиметръ ученикамъ слѣдовало бы знать.—Для того, чтобы связать представленіе о центиметрѣ съ чѣмъ-нибудь конкретнымъ, достаточно имѣть въ виду, что поперечникъ серебряной монеты въ 15 коп. (т.-е. пятиалтыннаго) точно равенъ двумъ центиметрамъ. Это легко и полезно запомнить. Изображенные на рисункахъ 18, 19 и 20 манипуляціи полезны, между прочимъ, и для углубленія познаній учащихся относительно круга, діаметра, касательныхъ прямыхъ, параллельныхъ прямыхъ, разстоянія между двумя параллельными, и т. п. Хорошо, если учащіеся въ состояніи написать слѣдующій рядъ равенствъ:

Полезны также слѣдующія приблизительныя равенства:

Изъ большихъ мѣръ длины и разстояній заслуживаетъ особеннаго вниманія километръ, который, какъ извѣстно, равенъ одной тысячѣ метровъ: эта мѣра часто встрѣчается въ книгахъ. Ученики должны быть въ состояніи разсчитать, что больше: верста или километръ, притомъ разсчитать непремѣнно изустно: въ верстѣ 500 саженъ, или 1500 аршинъ, а метръ равенъ полутора аршинамъ безъ полутора вершка; значитъ, тысяча метровъ—то же, что полторы тысячи аршинъ безъ полуторы тысячи вершковъ, т.-е. верста больше, чѣмъ километръ. На сколько именно верста болѣе, чѣмъ километръ, надо не только умѣть вычислить съ точностью до аршина, но также запомнить, а именно, что километръ равенъ довольно точно 1406,01 аршина. Менѣе важенъ былъ бы дециметръ, если бы мѣрой для жидкихъ тѣлъ не былъ кубическій дециметръ, называемый литромъ. Но не надо давать всѣ мѣры сразу. Съ возникновеніемъ надобности въ литрѣ, можно обратиться къ дециметру, равному десяти центиметрамъ, и къ

квадратному и кубическому дециметрамъ. Съ метромъ, центиметромъ, дециметромъ и миллиметромъ должно сродниться по возможности конкретнымъ путемъ. Для этой цѣли могутъ служить нѣкоторыя данныя, которыя можно взять изъ какой-нибудь таблицы (напр., изъ «Наглядной таблицы нѣкоторыхъ мѣръ протяженія» или изъ «Таблицы для классныхъ упражненій въ изустныхъ вычисленіяхъ», составленныхъ авторомъ этой книги). Для сравненія малыхъ мѣръ длины можетъ служить «Сравнительная таблица малыхъ мѣръ длины», составленная имъ же.

Мѣры площадей метрической системы.

§ 37. Изъ мѣръ площадей метрической системы наиболѣе важны квадратный дециметръ, употребляемый для измѣренія небольшихъ площадей, и гектаръ, какъ мѣра площадей участковъ земли. Только путемъ долгихъ упражненій учащіеся могутъ усвоить себѣ приблизительное, притомъ довольно грубое, соотношеніе между квадратными мѣрами площадей разныхъ системъ, напр., между квадратнымъ вершкомъ, квадратнымъ дюймомъ, квадратнымъ дециметромъ. Къ счастію, это не нужно, если эти соотношенія связаны съ наглядными упражненіями учениковъ въ изготовленіи шаблоновъ этихъ квадратныхъ мѣръ изъ бумаги и въ преобразованіи квадрата, сторона котораго равна одному дециметру, въ квадраты, стороны которыхъ порознь равны: одному вершку, одному дюйму и т. п. Наглядныя изображенія этихъ соотношеній на чертежѣ можно найти въ упоминаемой выше «Наглядной таблицѣ соотношеній нѣкоторыхъ мѣръ протяженія». Но важно не то, т.-е. не запоминаніе численныхъ значеній разныхъ соотношеній, а усвоеніе того факта, что въ то время, какъ линейный дециметръ равенъ 2 вершкамъ слишкомъ или 4 дюймамъ безъ малаго, квадратный дециметръ не во столько же разъ больше квадратнаго вершка, во сколько разъ линейный дециметръ больше линейнаго вершка, и квадратный дециметръ не во столько же разъ больше квадратнаго дюйма, во сколько разъ дециметръ больше линейнаго дюйма. А именно 1 кв. дцм.= =5,06 кв. вершка=15,5 кв. дюйма. Аналогичное справедливо относительно соотношеній мѣръ площадей, принятыхъ въ Россіи: въ то время, какъ вершокъ равенъ 1,75 дюйма, квадратный вершокъ равенъ 3,06 квадратнаго дюйма. И т. п. Что касается гектара и ара, то очень легко запомнить величину ара,

равнаго приблизительно 22 квадратнымъ саж. безъ малаго, и величину гектара, которая немного меньше десятины, а именно на 0,08 долей десятины. Въ числахъ эти соотношенія гектара и десятины выражаются такъ:

Нѣк. мѣры объемовъ метрической системы.

§ 38. Изъ объемовъ, выраженныхъ въ единицахъ метрической системы, полезны главнымъ образомъ кубическій метръ (называемый при измѣреніи громоздкихъ тѣлъ также стеромъ), кубическій дециметръ и кубическій центиметръ. Кубическій центиметръ особенно важенъ въ томъ отношеніи, что вѣсъ одного кубическаго центиметра дестиллированной (перегнанной) воды, взятой при температурѣ 3,2° по Реомюру, или (что — то же) при 4° Цельзія, называется граммомъ, а граммъ представляетъ собою, какъ извѣстно, основную единицу метрическаго вѣса. Чтобы запомнить соотношенія между единицами метрическаго вѣса и русскими мѣрами, достаточно запомнить для начала число 22: граммъ приблизительно равенъ 221/2 долямъ русскаго вѣса. Въ соотношеніяхъ кубическихъ мѣръ разныхъ системъ важно не столько сохраненіе въ памяти учениковъ этихъ соотношеній, сколько уразумѣніе ими того факта, что, въ то время какъ дециметръ равняется 2 вершкамъ слишкомъ или 4 дюймамъ безъ малаго, кубическій дециметръ не во столько же разъ больше кубическаго вершка, во сколько разъ линейный дециметръ больше линейнаго вершка, и кубическій дециметръ не во столько же разъ больше кубическаго дюйма, во сколько разъ линейный дециметръ больше линейнаго дюйма. То же самое справедливо относительно соотношенія между кубическимъ вершкомъ и кубическимъ дюймомъ. Въ то время какъ линейный вершокъ равенъ 1,75 линейнаго дюйма, кубическій вершокъ равенъ не 5,36 кубическаго дюйма. Полезно сопоставить хотя бы только слѣдующія соотношенія:

чтобы учащіеся убѣдились въ томъ, что единичныя отношенія линейныхъ, квадратныхъ и кубическихъ мѣръ одного названія весьма существенно отличаются одно отъ другого.

Мѣры объемовъ громоздкихъ и жидкихъ тѣлъ.

§ 39. Для мѣръ объемовъ громоздкихъ тѣлъ въ метрической системѣ употребляются иногда стеръ, но чаще декастеръ, причемъ стеромъ называется кубическій метръ, а декастеръ равенъ 10-ти стерамъ. Запомнить, сколько кубическихъ аршинъ содержится въ кубическомъ метрѣ, довольно затруднительно: единичное отношеніе кубическаго метра къ кубическому аршину равно трудно запоминаемому числу 2,78. Легко запомнить, что декастеръ почти куб. сажень. Къ счастью, мѣры громоздкихъ тѣлъ рѣдко встрѣчаются не только въ общежитіи, но даже и въ научныхъ сочиненіяхъ. Чаще встрѣчается кубическій дециметръ, какъ мѣра объемовъ жидкихъ тѣлъ, но тогда онъ называется литромъ. Онъ равенъ приблизительно 61 куб. дюйму, а 100 литровъ называются гектолитромъ, который содержитъ слишкомъ 8 ведеръ, точнѣе 8,13 ведра. Большія количества жидкости выражаются въ гектолитрахъ, а небольшія—въ литрахъ. Литръ содержитъ около 4-хъ чайныхъ стакановъ.

Мѣры десятичнаго вѣса.

§ 40. Изъ мѣръ вѣса, кромѣ грамма, полезно, съ практической и образовательной точки зрѣнія, усвоить себѣ названіе «килограммъ», часто встрѣчающееся въ книгахъ. Килограммъ, какъ извѣстно, равенъ 1000 граммовъ. Ученики должны запомнить, что килограммъ не только болѣе одного фунта, но больше даже, чѣмъ 2 фунта, и лишь немного меньше, чѣмъ 21/2 фунта. Точнѣе, килограммъ равняется 2 фунтамъ и 42 золотникамъ. Упражненія въ приблизительной замѣнѣ килограммовъ фунтами и золотниками можно отнести къ упражненіямъ на умноженіе составного именованнаго числа на отвлеченное. Число золотниковъ, содержащееся въ одномъ килограммѣ, очень легко запомнить: оно приблизительно равно трехзначному числу 234, которое запоминается чрезвычайно легко.

Выгоды метрической системы.

§ 41. Выясненіе всѣхъ выгодъ метрической системы мѣръ и вѣса на этой ступени, конечно, невозможно. Цѣль этой (счетомъ—второй) экскурсіи въ область метрической системы сводится преимущественно къ тому, чтобы учащіеся еще болѣе сроднились съ наичаще встрѣчающимися въ книгахъ единицами метрической системы и съ отношеніями ихъ другъ къ другу и къ единицамъ русскихъ системъ мѣры. Закончить эту экскурсію можно

единичными отношеніями въ метрическихъ мѣрахъ и въ мѣрахъ русскихъ, не вводя, однако, слишкомъ большого количества мѣръ метрической системы. Изъ мѣръ длины достаточны: километръ, метръ, дециметръ, центиметръ и миллиметръ. Декаметры и гектометры не такъ нужны, потому что они встрѣчаются чрезвычайно рѣдко. Запомнить величину миллиметра чрезвычайно легко, такъ какъ миллиметръ представляетъ одну десятую долю центиметра, а центиметръ вдвое короче діаметра серебрянаго пятиалтыннаго. Важны единичныя отношенія, которыя выражаются слѣдующими равенствами:

Для того, чтобы уяснить себѣ удобство этихъ единичныхъ отношеній, учащіеся могутъ обратиться къ единичнымъ отношеніямъ русскихъ единицъ мѣры длины. Они страдаютъ слишкомъ большимъ разнообразіемъ. Только денежная мѣра, рубль, равна 100 копейкамъ, и въ нѣкоторыхъ случаяхъ—сажень и ведро дѣлятся на сто равныхъ частей, изъ которыхъ каждая называется «сотой долей», или «соткой». Нѣкоторыя удобства и преимущества метрической системы предъ системой русской можно освѣтить и въ начальной школѣ. Но какъ далеко итти въ дѣлѣ сравненія метрической системы съ русскою (не десятичною) системой мѣръ и вѣса, зависитъ уже исключительно отъ запаса того времени, которое имѣется въ распоряженіи данной школы, отъ вкусовъ учителя и отъ его собственной власти надъ метрической системой. Нѣкоторое вниманіе этому вопросу удѣлить, однако же, необходимо во всякомъ случаѣ, такъ какъ безъ этого вниманія существованіе десятичной системы мѣръ не можетъ быть оправдано сколько-нибудь убѣдительнымъ для учениковъ образомъ.

Всѣ выгоды метрической системы можно выяснить только въ томъ случаѣ, если учащіеся (чего въ русской начальной школѣ нѣтъ возможности достигнуть) усвоили ее вполнѣ, со всѣми подробностями. Для этого необходимы всѣ мѣры метрической системы и всѣ четыре дѣйствія надъ десятичными дробями. Но и въ средней школѣ въ Россіи это недостижимо, вслѣдствіе того, что метрическая система не употребительна въ ежедневной жизни. Усвоеніе

учащимися всѣхъ мѣръ метрической системы (миріаметровъ, гектометровъ, декаметровъ, миріаграммовъ, гектограммовъ и т. д.) особенно затруднительно въ начальной школѣ, да и совершенно въ ней не нужно. Только съ введеніемъ метрической системы въ жизнь она и въ школѣ привьется. Выгоды же ея сводятся, главнымъ образомъ, къ слѣдующему:

1) Принятыя въ ней единицы мѣры вполнѣ опредѣленны и разъ навсегда установлены; метръ отличается отъ длины десятимилліонной доли четверти земного меридіана на вполнѣ опредѣленную (притомъ весьма незначительную) величину;

2) всѣ единицы мѣры для величинъ разнаго рода весьма просто и тѣснѣйшимъ образомъ связаны между собою;

3) для величинъ одного рода, но разныхъ размѣровъ, существуютъ вполнѣ удобныя для ихъ измѣренія единицы;

4) единицы мѣры для величинъ однородныхъ связаны одна съ другою весьма просто, по десятичной системѣ счисленія;

5) названія разныхъ единицъ мѣры немногочисленны и образованы единообразно;

6) метрическая система мѣръ, благодаря своему устройству, допускаетъ простоту вычисленій надъ именованными числами, не доступную при другихъ системахъ мѣръ, и въ сравненіи съ нашей системой мѣръ, прямо необычайную;

7) дѣйствія надъ составными именованными числами, выраженными въ единицахъ этой системы, и преобразованія величинъ однѣхъ въ другія не требуютъ отдѣльной статьи въ курсахъ ариѳметики, такъ какъ представляютъ простое примѣненіе десятичной системы нумераціи.

Распространенность метрической системы.

Нынѣ метрическая система принята обязательно не только во Франціи, но также въ Бельгіи, Голландіи, Греціи, Германіи, Даніи, Швеціи, въ Мексикѣ, Бразиліи, Южныхъ Штатахъ Америки, Египтѣ и мн. др. странахъ земного шара.

Въ Финляндіи она тоже обязательна. Въ Англіи же и Сѣверо-Американскихъ Соединенныхъ Штатахъ она принята, но не обязательна. Во Франціи метрическая система обязательна съ 1 января 1840 г. —Надо надѣяться, что и у насъ, въ Россіи, метрической системѣ мѣръ, благодаря Высочайше утвержденному „Положенію о мѣрахъ и вѣсахъ“, предстоитъ будущее. § 11 этого „Положенія“ гласитъ такъ: «Международные метръ и килограммъ, ихъ подраздѣленія, а равно и иныя метрическія мѣры дозволяется примѣнять въ Имперіи, наравнѣ съ основными россійскими мѣрами, въ торговыхъ и иныхъ сдѣлкахъ, контрактахъ, смѣтахъ, подрядахъ и т. п., по взаимному соглашенію договаривающихся сторонъ, а также въ предѣлахъ дѣятельности отдѣльныхъ казенныхъ вѣдомствъ, общественныхъ управленій, съ разрѣшенія и по распоряженію подлежащихъ министровъ, и съ тѣмъ, чтобы распоряженія по сему предмету не обязывали частныхъ лицъ безъ согласія примѣнять метрическія мѣры въ сношеніяхъ съ означенными учрежденіями».

Особенности курса дробей въ начальной школѣ.

§ 42. Оглянувшись на выше освѣщенный курсъ ариѳметики, можно прійти къ нѣкоторымъ заключеніямъ, изъ которыхъ главныя приведены въ этомъ параграфѣ. Четыре дѣйствія надъ цѣлыми числами, какъ отвлеченными, такъ и именованными (простыми или составными), въ этотъ курсъ вошли цѣликомъ. Изъ дѣйствій надъ дробями вошли только сложеніе и вычитаніе дробей, встрѣчающихся въ жизни, т.-е. половинъ, четвертей, восьмыхъ, десятыхъ, шестнадцатыхъ и т. п. Отдѣльное дѣйствіе умноженія дробей, когда множитель правильная или неправильная дробь и смѣшанное число, въ этомъ курсѣ не разрабатывалось во всѣхъ подробностяхъ. Только въ случаѣ значительнаго количества времени, имѣющагося въ распоряженіи школы, можно выяснить, что, по существу, нахожденіе части цѣлаго, если эта часть выражена въ видѣ дроби, возможно называть «умноженіемъ на данную дробь». Дѣленію, когда дѣлитель представляетъ собою дробь, удѣлено лишь чрезвычайно мало вниманія, потому что это дѣйствіе требуетъ уже довольно серьезнаго интереса учащихся къ терминологіи и къ условнымъ опредѣленіямъ. Дѣленіе на отвлеченную дробь представляетъ собою только задачу на нахожденіе цѣлаго по данной части его, если отношеніе этой части къ извѣстному цѣлому выражено отвлеченной дробью. Но включеніе такой точки зрѣнія въ этотъ курсъ не вполнѣ соотвѣтствуетъ продолжительности курса. Покуда мы имѣемъ дѣло съ примѣрами, когда часть цѣлаго есть цѣлое число, и когда это послѣднее цѣлое число дѣлится безъ остатка на числителя той дроби, которая выражаетъ отношеніе части къ цѣлому, учащіеся еще легко разрѣшаютъ задачу этого рода. Таковы задачи: «три четверти неизвѣстнаго числа равны 15-ти», или «пять восьмыхъ неизвѣстнаго числа равняются 30-ти», и т. п. Но если часть цѣлаго числа представляетъ собою нѣкоторую дробь или нѣкоторое смѣшанное число, если часть нѣкотораго цѣлаго числа представляетъ собою нѣкоторое смѣшанное число, и т. п., то разрѣшеніе такихъ вопросовъ наталкивается не только на большія техническія, но и на серьезныя логическія трудности. Не менѣе затруднительно, а, скорѣе, даже болѣе затруднительно дѣленіе одного (цѣлаго, дробнаго или смѣшаннаго) числа на нѣкоторое цѣлое, дробное или смѣшанное число, когда отыскивается отноше

ніе одного числа къ другому числу. Часто это отношеніе выражается въ видѣ дроби. Еще чаще оно требуетъ утомительныхъ и искусственныхъ вычисленій и довольно затруднительныхъ разсужденій. Если самъ учитель на умноженіе и дѣленіе на дробь смотритъ преимущественно съ точки зрѣнія многочисленныхъ правилъ и если онъ отъ этой точки зрѣнія затрудняется отдѣлаться, то лучше всего совершенно отказаться отъ формулированнаго умноженія и дѣленія на дробное или смѣшанное число. Стремленіе поставить эти вопросы также и въ начальной школѣ на почву правилъ можетъ учащимся только повредить. Особеннаго же вреда отсутствіе терминовъ и записей умноженія и дѣленія на дробь въ курсѣ ариѳметики, подлежащемъ усвоенію въ начальной школѣ, не принесетъ. Зато пусть учащіеся умѣютъ справляться съ нахожденіемъ части любого числа и съ нахожденіемъ (въ простѣйшихъ случаяхъ) цѣлаго по данной части его.

Изъ преобразованій дробей въ этомъ курсѣ болѣе или менѣе освѣщено то преобразованіе, которое сводится къ умноженію числителя и знаменателя на одно и то же число, т.-е. то, которое можно считать раздробленіемъ данной дроби въ болѣе мелкія доли. Менѣе освѣщено такъ наз. сокращеніе, такъ какъ для этого преобразованія требуется знаніе хотя бы главнѣйшихъ признаковъ дѣлимости чиселъ. Если числитель и знаменатель не могутъ быть сокращены на основаніи этихъ признаковъ дѣлимости чиселъ, если учащіеся не умѣютъ находить общаго наибольшаго дѣлителя любыхъ цѣлыхъ чиселъ съ помощью такъ наз. послѣдовательнаго дѣленія, — а они этого не умѣютъ,—то сокращеніе дробей съ любыми числителями и знаменателями не можетъ быть осуществлено сколько-нибудь удовлетворительнымъ образомъ. Поэтому сокращенію всякихъ дробей — не мѣсто въ начальной школѣ. Но, къ счастью, это преобразованіе не важно ни съ образовательной, ни съ практической точки зрѣнія. Въ жизни дроби со значительными числителями и знаменателями не встрѣчаются, а въ наукѣ и въ техникѣ употребляются только дроби десятичныя. При этомъ и десятичныя-то дроби имѣются въ виду по большей части не точныя, а взятыя съ извѣстнымъ приближеніемъ. Вотъ, между прочимъ, почему десятичнымъ дробямъ надо отвести въ этомъ курсѣ то мѣсто, которое онѣ могутъ занимать съ точки зрѣнія практической. По той же причинѣ

въ немъ не предлагается ученія о всѣхъ четырехъ дѣйствіяхъ надъ десятичными дробями. Важны: а) самое понятіе о десятичныхъ дробяхъ, б) сложеніе и вычитаніе дробей съ тремя цифрами послѣ запятой, в) замѣна дробей обыкновенныхъ десятичными, выраженными съ точностью до сотой или до тысячной доли. — Десятичныя же числа со многими цифрами послѣ запятой въ немъ не встрѣчаются.

Примѣнимость усвоеннаго къ надобностямъ обученія.

§ 43. Достаточно ли въ этомъ курсѣ такого матеріала, который давалъ бы возможность учащимся рѣшать болѣе или менѣе прозрачныя задачи разнаго рода, представляющіяся въ обыденной жизни и представляющія дѣйствительный ариѳметическій интересъ? Если смотрѣть на дѣло съ точки зрѣнія требованій ежедневной жизни, то охарактеризованный матеріалъ достаточенъ для этой цѣли. Но надо признать, что въ общепринятыхъ задачникахъ, предназначенныхъ для начальной школы, есть много такихъ задачъ, которыя требуютъ особенной находчивости и подобныя которымъ въ ежедневной жизни встрѣчаются очень рѣдко. Для удовлетворенія потребностямъ тѣхъ учителей, которые привыкли или которымъ необходимо рѣшать съ учениками задачи на такъ наз. «тройныя правила», довольно сложныя задачи на всѣ четыре дѣйствія и т. п., въ «Новые задачники Шохоръ-Троцкаго» (для учителей и для учениковъ), въ третьей части послѣдняго внесены задачи, которыя даютъ возможность использовать также упражненія, обыкновенно считаемыя нужными въ курсѣ третьяго, и особенно—четвертаго года ученія.

Систематизація усвоеннаго ариѳметическаго матеріала.

§ 44. Что касается систематизаціи и внесенія въ курсъ болѣе отвлеченнаго логическаго элемента, то этому матеріалу отведены высшія ступени «Новаго задачника Шохоръ-Троцкаго для учителей» и 4-я часть «Новаго задачника для учениковъ». Въ книгѣ для учителей, вышедшей въ свѣтъ въ 1915 году, учитель можетъ найти тѣ частныя методическія указанія относительно добавочнаго матеріала, который включенъ отчасти въ «Задачникъ для учениковъ», ч. III. Эта часть книги для учениковъ предназначена преимущественно для третьяго и частью четвертаго годовъ обученія въ начальной школѣ. Ссылки въ ІІІ-й части книги для учениковъ на высшія ступени книги для учителей не должны смущать учи-

теля. Дважды освѣщать въ одной и той же книгѣ одинъ и тотъ же матеріалъ представлялось не экономной тратой мѣста. Нѣкоторые отдѣлы добавочнаго матеріала напечатаны въ ІІІ-й части З. д. уч-ковъ болѣе мелкимъ штрифтомъ, дабы оттѣнить, что часть учебнаго матеріала совершенно необходима, а матеріалъ, напечатанный болѣе мелкимъ шрифтомъ, имѣетъ, до поры до времени, второстепенное значеніе.

Задачи съ условіями.

§ 45. При практикуемой въ нашей школѣ продолжительности курса, чрезвычайно трудно внести въ курсъ не только трехлѣтней, но даже и четырехлѣтней, школы все то, что обыкновенно въ этотъ курсъ стараются внести. Строго говоря, только содержаніе вышеосвѣщенныхъ сорока ступеней можно усвоить болѣе или менѣе основательно, вмѣстѣ съ рѣшеніемъ прозрачныхъ сложныхъ задачъ, относящихся до четырехъ дѣйствій надъ цѣлыми числами и до нѣкоторыхъ примѣненій чиселъ дробныхъ. Особенно трудно усвоеніе всякаго добавочнаго матеріала при трехлѣтней продолжительности курса. Подъ добавочнымъ матеріаломъ въ этомъ случаѣ надо разумѣть рѣшеніе сложныхъ задачъ съ произвольно размѣщенными условіями (задачъ «неприведенныхъ», по терминологіи, установленной въ § 22 гл. II «Методики ар. для уч-лей нач. шк.», ч. I, изд. 1915 г.) и—особенно — рѣшеніе замысловатыхъ задачъ алгебраическаго характера, задачъ на сложное тройное правило, и т. п.

Включеніе въ курсъ ариѳметики большого количества задачъ съ условіями имѣетъ, конечно, свои историческія причины. Еще въ глубочайшей древности, напр., въ папирусѣ египтятина Ахмеса, жившаго не позже XVIII, а, можеть-быть, въ началѣ XXI вѣка до Рождества Христова, т.-е. тысячи за четыре лѣтъ до нашего времени, мы находимъ задачи, которыя можно считать задачами, относящимися до рѣшенія вопросовъ объ отысканіи цѣлаго по данной части его, и т. п. Въ этомъ папирусѣ рядомъ съ разными правилами, относящимися до разложенія дроби на сумму различныхъ долей, которыхъ числители равняются единицѣ, а знаменатели непремѣнно различныя числа, мы находимъ также задачи съ условіями преимущественно ариѳметическаго содержанія. — Ариѳметика у древнихъ культурныхъ народовъ, конечно, не имѣла въ своемъ распоряженіи десятичной системы счисленія и

обозначенія чиселъ десятью цифрами, изъ которыхъ одна равносильна нашему нулю. Но и у нихъ встрѣчаются задачи, преимущественно разсчитанныя не на ежедневныя потребности, а также на особенную сообразительность рѣшающаго эти задачи. Они удѣляли нѣкоторое вниманіе даже « загадкамъ-задачамъ».

Но народной школы въ современномъ значеніи слова ни древній міръ, ни средніе вѣка, ни даже новое время, за исключеніемъ новѣйшаго, т.-е. начиная съ XIX вѣка, не знали. Тѣмъ не менѣе, задачи встрѣчались уже въ учебникахъ XIV и XV вѣковъ, когда еще не вполнѣ были усвоены способы обозначенія чиселъ съ помощью т. наз. арабскихъ цифръ и способы письменнаго производства четырехъ дѣйствій надъ такими числами. Въ XV и XVI вѣкахъ развитіе торговли въ Италіи и Германіи поспособствовало, конечно, также развитію способовъ ариѳметическихъ вычисленій, впрочемъ, не всегда и не вполнѣ опиравшихся на десятичную систему счисленія съ десятью арабскими цифрами, какъ средствомъ для обозначенія чиселъ и какъ орудіемъ, способствующимъ быстрому письменному производству четырехъ дѣйствій. Тогда же возникли задачи о выраженіи денегъ одной страны въ денежныхъ единицахъ другой (задачи на такъ называемое цѣпное правило), а также задачи на расчетъ процентныхъ денегъ за любые промежутки времени. Но ариѳметика была доступна лишь немногимъ, и книги по предмету ариѳметики писались не для малолѣтнихъ школьниковъ, а для болѣе или менѣе взрослыхъ людей, желавшихъ ознакомиться съ этимъ предметомъ. Въ учебникахъ XV, XVI и XVII вѣковъ встрѣчались не только задачи, свидѣтельствующія о развитіи нѣкоторыхъ коммерческихъ вычисленій, но и о стремленіи составителей учебниковъ заинтересовать занимающихся ариѳметикою задачами забавными, интересными, и т. п. Самыя же правила ариѳметики предлагались иногда въ стихотворной формѣ, и почти никто не сомнѣвался въ необходимости выучиванія правилъ учащимися наизусть. Это выучиваніе наизусть было не только въ ходу, но даже въ большомъ почетѣ и въ XVIII, и даже въ XIX вѣкѣ, да и донынѣ еще встрѣчаются въ школѣ стремленія сводить дѣло къ усвоенію учениками учебнаго матеріала съ помощью заучиванія наизусть если не правилъ, то опредѣленій, текста теоремъ, способовъ разсужденія, и т. п.—Жанъ-Жакъ Руссо,

Гейнрихъ Песталоцци и др. педагоги конца XVIII и начала XIX вѣковъ были противниками этого способа пріобрѣтенія учениками познаній, а Песталоцци даже создалъ методу обученія, опиравшуюся на наглядность и на усвоеніе, безъ правилъ, взаимныхъ отношеній между числами. Впрочемъ, значительно ранѣе, чѣмъ Руссо и Песталоцци, великій славянскій педагогъ Янъ Амосъ Коменскій (1595 — 1672) былъ противникомъ заучиванія текста учебниковъ наизусть.

Задачи въ курсѣ стали играть нѣсколько иную роль, чѣмъ какую онѣ играли ранѣе, только въ XIX вѣкѣ. Но надо, впрочемъ, отмѣтить, что почти всѣ педагоги XIX вѣка считали возможнымъ обращаться къ рѣшенію задачъ преимущественно только для упражненія учащихся въ примѣненіи уже усвоенныхъ ими такъ наз. «теоретическихъ» познаній и техники производства дѣйствій, т.-е. въ примѣненіи уже усвоенныхъ учащимися четырехъ дѣйствій въ болѣе или менѣе законченномъ видѣ. Даже Грубе, стремившійся отдѣлаться отъ книжнаго обученія и достигнувшій въ этомъ направленіи весьма многаго, задачамъ съ условіями отводилъ мѣсто послѣ «чистаго созерцанія числа».

Само собою разумѣется, что задачи и ихъ содержаніе (ихъ, такъ сказать, фабула) часто переходили изъ вѣка въ вѣкъ по наслѣдству, отъ однихъ составителей задачниковъ къ другимъ. Нѣкоторая разница наблюдалась только въ томъ, что въ то время какъ, напр., у Леонтія Магницкаго въ «Ариѳметикѣ» говорится о «кади питія», какую могутъ выпить мужъ и жена вмѣстѣ, эта задача уступила мѣсто бассейнамъ, а бассейны уступили мѣсто водоемамъ. Точно такъ же путешественники уступили мѣсто курьерамъ, курьеры уступили мѣсто снова путешественникамъ, и т. д. Но задачи, какъ средство обученія ариѳметикѣ, какъ таковой, а не только какъ матеріалъ для примѣненія уже усвоенныхъ познаній, стали примѣняться сравнительно недавно. Первый, кто рѣзко формулировалъ роль задачъ, какъ стимула, какъ побудительнаго повода къ занятіямъ ариѳметикою, былъ, насколько извѣстно автору этой книги, не кто иной, какъ Жанъ Масе.

Попытки съ помощью задачъ снабдить учащихся по возможности значительной совокупностью фактическихъ знаній изъ области другихъ наукъ тоже бывали неоднократно.

Выучиваніе же правилъ учащимися наизусть потеряло первоначальное значеніе, какъ главное средство обученія. Тогда къ задачамъ обратились съ особенной надеждою на то, что, рѣшая задачи, ученики усвоятъ себѣ и правила и, сверхъ того, выиграютъ въ смыслѣ умственнаго своего развитія. Результатомъ этого взгляда бывала часто недостаточная власть учащихся и надъ техникой вычисленій, и надъ искусственными способами рѣшенія задачъ. Въ старину господствовали многочисленныя опредѣленія и многословныя правила, и отъ этого способа обученія отказались въ пользу задачъ.

Въ настоящее время весьма большимъ правомъ гражданства пользуется раздѣленіе всѣхъ задачъ, предлагаемыхъ въ курсѣ ариѳметики, на такъ наз. типы. Рѣшеніе задачъ при этомъ совершается не по правиламъ, какъ въ старину (у Леонтія Магницкаго: «твори сице»), а на основаніи неоднократнаго повторенія однѣхъ и тѣхъ же задачъ, то на «синее и красное сукно», то на «бассейны», то на «встрѣчу» и т. п. Благодаря такому повторенію, ученики, дѣйствительно, и на время «набиваютъ себѣ руку» въ рѣшеніи задачъ тѣхъ или иныхъ типовъ. «Эта задача—какъ на колокола»,—говорятъ дѣти и совершаютъ извѣстный рядъ дѣйствій. При этомъ надо отмѣтить, что они рѣшаютъ задачи, при такомъ способѣ обученія, чаще всего безъ должнаго разумѣнія. Осуждать учителей, держащихся такой методы обученія дѣтей рѣшенію такъ наз. «типичныхъ» задачъ, нельзя. Дѣло въ томъ, что эта метода хотя и временно, но, все же, довольно вѣрно ведетъ къ цѣли подготовки учениковъ къ экзамену, если подобныя задачи (на «красное и синее сукно» и т. п.) предлагаются на экзаменѣ. Но это обстоятельство нимало не оправдываетъ сказаннаго способа съ методической и педагогической точки зрѣнія. Этотъ способъ—даже не метода, и во всякомъ случаѣ не метода обученія ариѳметикѣ. Такіе способы извѣстны въ педагогикѣ и дидактикѣ подъ именемъ дрессировки учащихся въ тѣхъ или иныхъ спеціальныхъ направленіяхъ. Задачи, при такомъ способѣ дрессировки, являются самоцѣлью, что недопустимо ни съ образовательной, ни съ практической, ни съ воспитательной точки зрѣнія.

Задачи съ условіями въ методѣ цѣлесообразныхъ задачъ.

§ 46. Слѣдуя методѣ цѣлесообразныхъ задачъ, приходится особое мѣсто въ курсѣ отвести простымъ задачамъ, а именно мѣсто

исходнаго пункта для образованія надлежащихъ ариѳметическихъ представленій и для возбужденія у учащихся интереса къ ариѳметическому вычисленію. Такова роль простыхъ задачъ почти на всѣхъ первыхъ ступеняхъ обученія ариѳметикѣ въ предѣлѣ первой сотни, т.-е. ариѳметикѣ преимущественно и даже исключительно изустной. Но при этомъ подъ задачей, какь мы видѣли, надо разумѣть непремѣнно задачу съ условіями, но всякій численный примѣръ, который ведетъ ученика впередъ, а не служитъ для примѣненія уже пріобрѣтеннаго имъ какимъ-нибудь другимъ путемъ ариѳметическаго навыка. Задача, какъ мы это видѣли («Мет. ар.», ч. I, изд. 8-е, § 25 гл. II), можетъ относиться не только до работы учащихся надъ числами, но и изготовленія того или иного примитивнаго нагляднаго пособія и до примѣненія этого нагляднаго пособія къ потребностямъ даннаго момента обученія, можетъ относиться и до работы учащагося надъ чертежомъ, рисункомъ, измѣреніемъ и т. п.

Въ ариѳметикѣ такъ наз. письменнаго производства дѣйствій мы, слѣдуя методѣ цѣлесообразныхъ задачъ, беремъ требующійся именно для даннаго момента новый ариѳметическій примѣръ, тотъ или иной частный случай, который заставляетъ учащихся изобрѣсти пріемъ, или, по крайней мѣрѣ, принять участіе въ изобрѣтеніи такого пріема, который далъ бы возможность выполнить данное вычисленіе по возможности въ связи съ имѣющимися въ нашемъ распоряженіи средствами. Средства эти доставляетъ намъ въ настоящее время десятичная система письменнаго обозначенія чиселъ съ помощью десяти цифръ, изъ коихъ одна—нуль. Исторія ариѳметики доказываетъ, что этими средствами не вполнѣ владѣли даже ученые люди XVII и ХVIII вѣковъ, даже авторы учебниковъ по предмету ариѳметики. Нынѣ же эта система, при методическомъ обученіи, въ состояніи побудить даже малолѣтнихъ учащихся изобрѣсти тотъ или иной способъ вычисленія или принять посильное участіе въ этомъ изобрѣтеніи. Неизлишне, можетъ-быть, отмѣтить, что въ этомъ направленіи методикѣ ариѳметики и личному творчеству учителей предстоитъ еще широкое поле для усовершенствованія пріемовъ обученія и много работы для надлежащей постановки обученія письменному производству четырехъ дѣйствій.

Сложныя задачи съ приведенными въ надлежащій порядокъ условіями могутъ встрѣчаться какъ на первыхъ, такъ и на среднихъ ступеняхъ обученія, но онѣ служатъ уже для примѣненія пріобрѣтенныхъ учащимися навыковъ. Задачи же сложныя, изъ числа чисто-ариѳметическихъ, принадлежащія къ классу задачъ «не приведенныхъ», можно предлагать ученикамъ, какъ задачи дѣйствительно цѣлесообразныя, только тогда, когда они къ той комбинаторно-логической работѣ, съ которою связано приведеніе условій задачи въ должную связь, въ должный порядокъ, достаточно подготовлены. Для этого требуется уже извѣстный, притомъ довольно значительный, уровень умственнаго развитія и навыковъ въ болѣе или менѣе послѣдовательномъ логическомъ мышленіи и разсужденіи. Въ этомъ отношеніи сложныя чисто-ариѳметическія задачи часто предъявляютъ къ учащимся болѣе высокія требованія, чѣмъ даже задачи алгебраическаго характера. Для рѣшенія послѣднихъ достаточно знать пріемы, если можно такъ выразиться, «уловки», съ помощью которыхъ задача рѣшается, и задача будетъ разрѣшена. Въ задачахъ же сложныхъ, изъ числа не приведенныхъ ариѳметическихъ задачъ, не существуетъ такихъ единообразныхъ «уловокъ». Достойно вниманія, что для рѣшенія дѣтьми такихъ задачъ необходимымъ условіемъ является возможность для нихъ сосредоточить все свое вниманіе только на должное комбинированіе условій. А это возможно только въ томъ случаѣ, когда смыслъ и техника четырехъ дѣйствій ими въ совершенствѣ усвоены. Сложнымъ неприведеннымъ задачамъ можно, поэтому, отвести надлежащее мѣсто только въ послѣдній годъ обученія.

Задачи же, принадлежащія къ числу болѣе или менѣе замысловатыхъ задачъ алгебраическаго характера, прямого отношенія къ ариѳметикѣ четырехъ дѣйствій, какъ таковой, не имѣютъ. Быстро онѣ разрѣшаются чаще всего только съ помощью уравненій. Способы же такъ называемаго «разрѣшенія уравненій» обыкновенно излагаются въ учебникахъ алгебры. Но способы эти, однако же, отчасти могутъ и должны быть усвоены, при нормальной постановкѣ курса математики въ школѣ, также и въ курсѣ ариѳметики, по крайней мѣрѣ, въ случаяхъ, когда это рѣшеніе не требуетъ преобразованій сложныхъ буквенныхъ выраженій. Только малая продолжительность курса въ начальныхъ школахъ въ нашемъ отечествѣ

заставляетъ, изъ чисто-практическихъ соображеній, отказаться отъ примѣненія способовъ рѣшенія задачъ алгебраическаго характера съ помощью уравненій въ курсѣ начальной школы. Когда условія существованія русской школы и подготовки учителей начальныхъ школъ сложатся такъ, что въ начальной школѣ возможно будетъ удлинить не только продолжительность курса, но и продолжительность учебнаго года хотя бы только до восьми мѣсяцевъ, тогда увеличится и курсъ начальной математики въ этой школѣ, и рѣшеніе задачъ алгебраическаго характера можно будетъ поставить на надлежащую высоту.—Важно также, чтобы изъ курса было кое-что исключено,—особенно рѣшеніе слишкомъ сложныхъ неприведенныхъ чисто-ариѳметическихъ задачъ. Въ настоящее время, однако же, надо имѣть въ виду, что во многихъ задачникахъ, употребляемыхъ въ русскихъ начальныхъ школахъ, довольно много сложныхъ и замысловатыхъ задачъ, и что на экзаменахъ часто требуютъ, чтобы учащіеся рѣшали задачи алгебраическаго характера такъ наз. ариѳметическими способами, вѣрнѣе: способами часто скрыто-алгебраическими, но безъ помощи записанныхъ уравненій.

Въ третьей части „Новаго ариѳметическаго задачника Шохоръ-Троцкаго для учениковъ“ задачъ алгебраическаго характера, сколько-нибудь замысловатыхъ, не предложено даже въ качествѣ добавочнаго матеріала. Но составленіе простѣйшихъ алгебраическихъ уравненій изъ этого курса не совершенно исключено. Дабы не повторяться, авторъ этой книги не посвящаетъ этому добавочному матеріалу, имѣющемуся въ упомянутой части задачника для учениковъ, отдѣльнаго вниманія въ этой книгѣ, а разсматриваетъ ниже всѣ вопросы, которые при этомъ могутъ родиться у учителя, въ той же постепенности, въ какой они проработаны въ „Новомъ задачникѣ для учителей“.

Четвертый годъ обученія и составъ курса.

§ 47. Разсмотрѣнныя 40 ступеней курса не содержатъ задачъ слишкомъ сложныхъ и неприведенныхъ, затѣмъ — замысловатыхъ алгебраическаго характера, а также задачъ на сложное тройное правило и даже на простое тройное правило, требующее слишкомъ большихъ познаній въ сокращеніи дробей при рѣшеніи ихъ такъ наз. «способомъ приведенія къ единицѣ». Если бы можно было курсъ трехлѣтней школы ограничить матеріаломъ этихъ ступеней, то учащіеся выходили бы даже изъ этой школы съ опредѣленнымъ, довольно

большимъ, запасомъ навыковъ въ производствѣ изустныхъ вычисленій, въ производствѣ вычисленій письменныхъ, въ рѣшеніи задачъ прозрачныхъ и въ нѣкоторыхъ вопросахъ геометрическаго содержанія. Къ сожалѣнію, стало обычаемъ увеличивать этотъ курсъ, вопреки даже указаніямъ офиціальныхъ программъ, рѣшеніемъ задачъ довольно запутанныхъ и замысловатыхъ. Это создало, какъ это отмѣчалось выше, спросъ на задачники, въ которыхъ задачи распредѣлены на такъ называемые «типы». Само собою разумѣется, что это распредѣленіе на «типы» преслѣдуетъ цѣль удовлетворенія требованіямъ тѣхъ экзаминаторовъ, которые, во что бы то ни стало, считаютъ входящимъ въ составъ курса начальной школы также рѣшеніе задачъ сложныхъ и замысловатыхъ алгебраическихъ. Если бы въ теченіе трехъ лѣтъ обученія учащіеся болѣе или менѣе освоились съ тѣмъ, что разработано на выше разсмотрѣнныхъ сорока ступеняхъ курса, то четвертый годъ обученія можно было бы посвятить нѣкоторому, отчасти дополнительному и систематизаціонному, матеріалу, который подробно разработанъ въ «Новомъ задачникѣ для учителей» (ступени 41—56) и въ «Новомъ задачникѣ для учениковъ», ч. IV. Но при этомъ надо принять во вниманіе, что на четвертый годъ обученія не слѣдуетъ смотрѣть какъ на такой годъ, въ курсъ котораго можно включить особенно много новаго учебнаго матеріала. Такой взглядъ на четвертый годъ противорѣчитъ дѣйствительнымъ силамъ какъ учащихся, такъ и учителей школы, имѣющихъ въ своемъ распоряженіи только весьма непродолжительный промежутокъ времени въ теченіе учебнаго года. Во всякомъ случаѣ, рѣшенію задачъ слишкомъ замысловатыхъ или слишкомъ сложныхъ должно предпочесть ознакомленіе учащихся съ нѣкоторыми геометрическими представленіями и съ примитивными хотя бы начатками землемѣрія. Все остальное, относящееся до слишкомъ замысловатыхъ и сложныхъ задачъ, хотя бы и распредѣленныхъ на «типы», дозволительно считать для школы начальной не вполнѣ цѣлесообразнымъ. Въ курсѣ ариѳметики изустной и ариѳметики письменнаго производства дѣйствій такъ много логическихъ элементовъ и техническихъ трудностей, что главное вниманіе слѣдовало бы посвятить именно методическому преодолѣнію этихъ трудностей, а не обремененію курса затруднительными и, по существу своему, второстепенными подробностями.

Нѣкоторыя отступленія отъ требованій современной методики ариѳметики.

§ 48. Нѣкоторыя отступленія отъ требованій современной методики ариѳметики, все же, пришлось сдѣлать автору этой книги почти во всѣхъ четырехъ частяхъ „Новаго задачника для учениковъ“.

Дистервегъ правъ, говоря, что въ книгахъ, предназначенныхъ исключительно для учениковъ, никакого текста, за исключеніемъ текста задачъ въ тѣхъ случаяхъ, когда дѣти уже совершенно грамотны, не должно быть; книга же, предназначенная для неграмотныхъ учениковъ, только начинающихъ учиться ариѳметикѣ, должна содержать въ себѣ одни численные примѣры. Дистервегъ справедливо отмѣтилъ, что опредѣленія, правила, образцовыя вычисленія и т. п. добавленія къ книгѣ, предназначенной для учениковъ, тамъ тоже не должны находить себѣ мѣста. Причины отрицательнаго отношенія къ печатному тексту въ книгѣ для еще неграмотныхъ учениковъ очевидны. Дѣти еще не умѣютъ читать, а поэтому не для чего увеличивать объемъ книжки задачами съ условіями и вообще какимъ бы то ни было текстомъ, кромѣ текста цифирныхъ вычисленій. Причина же отрицательнаго отношенія Дистервега ко всякимъ правиламъ, замѣчаніямъ, образцовымъ вычисленіямъ и т. п. въ книгахъ для учениковъ тоже понятна. Дѣло въ томъ, что учащіеся изъ всѣхъ подобныхъ замѣчаній часто выносятъ мало даже въ случаѣ, если ихъ занятіями руководитъ опытный учитель. Если учащіеся уже знаютъ то, о чемъ говорится въ этихъ замѣчаніяхъ и добавленіяхъ, то послѣднія почти безполезны; если же они этого еще не знаютъ, то они этихъ добавленій не поймутъ. Эти замѣчанія часто написаны такъ, что учащійся изъ нихъ не всегда въ состояніи извлечь все то, о чемъ въ нихъ иногда говорится.

Но, къ сожалѣнію, практика русской школы не даетъ права держаться такого же отрицательнаго взгляда на текстъ въ первой книжкѣ по ариѳметикѣ для учениковъ, и на замѣчанія и образцы записей вычисленія—въ остальныхъ. Дѣло въ томъ, что въ зарубежныхъ странахъ (Германіи, Франціи и другихъ) строго раздѣлены двѣ книги, изъ которыхъ одна предназначена исключительно для учителя, а другая—для учениковъ. Тамъ уже давно практикуется такое раздѣленіе, и, конечно, ученикамъ тамъ можно раздать книжки, удовлетворяющія выше охарактеризованному взгляду на текстъ книжки, предназначенной для начинающихъ, и на замѣчанія разнаго рода въ книжкахъ, предназначенныхъ для дѣтей уже грамотныхъ. У насъ же еще не привился тотъ взглядъ, что въ ежедневной жизни школы важно отдѣлять книгу для учителей отъ книги для учащихся. По первой учитель можетъ подготовлять матеріалъ для предстоящаго урока, ею же онъ можетъ пользоваться и во время урока. Книга же для учениковъ должна быть на-рукахъ учащихся, и по ней учащійся долженъ только выполнять извѣстныя вычисленія и рѣшать извѣстныя задачи. Но разсчитывать на то, что „Новый задачникъ для учителей“, составленный авторомъ этой книги, дѣйствительно будетъ въ рукахъ и подъ-руками у всѣхъ тѣхъ учителей, которые почему-

либо будутъ пользоваться „Новымъ задачникомъ для учениковъ“, у составителя этихъ книгъ нѣтъ основаній. А потому ему пришлось считаться съ тѣмъ фактомъ, что книга, по которой начинаются занятія ариѳметикою съ малолѣтними неграмотными дѣтьми, должна содержать также и тѣ упражненія, которыя учащіеся будутъ выполнять подъ непосредственнымъ руководствомъ учителя. По этой причинѣ пришлось въ первую часть „Новаго задачника для учениковъ“ внести много текста, разрабатывающаго въ извѣстномъ порядкѣ тѣ же вопросы, которые подлежатъ проработкѣ въ этомъ курсѣ подъ непосредственнымъ руководствомъ учителя. Напечатана эта книга крупнымъ штрифтомъ на всякій случай, такъ какъ она можетъ попасть и въ руки дѣтей уже грамотныхъ, напр., въ руки учащихся въ приготовительныхъ школахъ разнаго рода, въ приготовительныхъ классахъ и при первоначальномъ домашнемъ обученіи дѣтей ариѳметикѣ.

Что же касается замѣчаній, носящихъ болѣе или менѣе теоретическій характеръ и имѣющихъ цѣлью направить работу учениковъ въ надлежащую сторону, то и въ этомъ случаѣ составитель „Новаго задачника для учениковъ“ не счелъ возможнымъ слѣдовать взглядамъ Дистервега. Сдѣлано это, главнымъ образомъ, въ интересахъ начинающихъ учителей. Учителя опытные, конечно, въ этихъ замѣчаніяхъ не нуждаются, но и такіе учителя могутъ иногда найти въ подобныхъ замѣчаніяхъ регулирующіе ихъ работу указанія. Тѣ же учителя, которые прямо со школьной скамьи приступаютъ къ занятіямъ ариѳметикою съ малолѣтними, въ подобныхъ замѣчаніяхъ нуждаются не только при обученіи дѣтей ариѳметикѣ письменнаго производства дѣйствій надъ многозначными числами, но также при обученіи ариѳметикѣ вычисленій изустныхъ въ области первой сотни. Кромѣ того, замѣчанія эти могутъ пригодиться также учащимся, уже освоившимся съ тѣмъ, о чемъ говорится въ данномъ замѣчаніи, при подготовкѣ ихъ къ устнымъ испытаніямъ по курсу начальной школы. То же относится до предлагаемыхъ въ упоминаемыхъ книгахъ способовъ записи и расположенія вычисленій.

ГЛАВА V.

Систематизація и дополненія въ курсѣ ариѳметики цѣлыхъ чиселъ.

41-я ст.: сложеніе и вычитаніе.

§ 1. Ступень 41-я нашего курса посвящена выработкѣ болѣе точныхъ понятій о дѣйствіяхъ сложенія и вычитанія цѣлыхъ чиселъ въ умахъ учениковъ, посколько такая систематизація возможна въ начальномъ курсѣ ариѳметики. Учащіеся изъ предыдущаго

курса достаточно хорошо овладѣли ясными представленіями и навыками въ области сложенія (изустнаго и письменнаго), цѣликомъ, какъ извѣстно, основанныхъ на таблицахъ сложенія и вычитанія. Но если учащіеся въ состояніи, по своему развитію, а учитель можетъ, благодаря имѣющемуся въ его распоряженіи количеству времени, заняться логической выработкой болѣе точныхъ понятій учащихся о четырехъ дѣйствіяхъ, то этому можно только посочувствовать. Въ «Новомъ задачникѣ для учителей» выяснено, какой рядъ упражненій нужно продѣлать для того, чтобы показать ученикамъ, что суммою называется то число, которое можно получить, присчитавъ единицы одного числа къ единицамъ другого, а сложеніемъ называется не дѣйствіе присчитыванія по одной единицѣ, а какъ-разъ то дѣйствіе, съ помощью котораго мы, не прибѣгая къ непосредственному присчитыванію единицъ, быстро находимъ эту сумму, благодаря тому, что мы усвоили себѣ таблицу сложенія. Далѣе тамъ же приведены въ систему тѣ случаи, когда примѣняется сложеніе. И т. п.

Конкретные случаи сложенія и понятіе о сложеніи.

§ 2. Когда для рѣшенія задачи надо выполнить сложеніе двухъ чиселъ, то иногда каждое изъ данныхъ чиселъ дѣйствительно составляетъ часть суммы. Такова, напр., задача: «у одного мальчика 29 орѣховъ, а у другого—13; сколько всего орѣховъ у обоихъ?» Въ другихъ случаяхъ лишь одно изъ данныхъ чиселъ составляетъ часть нужной намъ суммы, второе же слагаемое только равно другому данному числу. Такова, напр., задача: «у одного мальчика 29 орѣховъ, а у другого на 13 орѣховъ больше, чѣмъ у перваго; сколько орѣховъ у второго?» Въ этомъ случаѣ орѣхи перваго мальчика не являются слагаемымъ, — къ нимъ ничего не прибавляется,—а 13 орѣховъ второго мальчика, на которые у него больше, чѣмъ у перваго, надо прибавить къ 29-ти орѣхамъ того же, т.-е. второго же, мальчика, т.-е. къ тому числу орѣховъ, которое только равно числу орѣховъ перваго мальчика. Еще ярче эта частность въ слѣдующемъ случаѣ: «на одной полкѣ стоитъ 29 стакановъ, а на другой—на 13 штукъ больше чашекъ, чѣмъ на первой—стакановъ; сколько чашекъ на второй полкѣ?» Здѣсь совершенно нелогично, для рѣшенія задачи, прибавлять къ 29 стаканамъ 13 чашекъ для того, чтобы вычислить, сколько чашекъ на второй полкѣ. По условію задачи,

на второй полкѣ столько же чашекъ, сколько стакановъ на первой полкѣ, да еще 13 чашекъ. Стало-быть, не къ одному изъ данныхъ чиселъ, а къ числу, которое равно одному изъ данныхъ чиселъ, надо прибавить другое данное число. При этомъ мы имѣемъ дѣло даже съ измѣненнымъ наименованіемъ чиста, или вѣрнѣе—съ отвлеченными числами. Доступны ли такія тонкости малолѣтнимъ? Въ указанной выше формѣ, особенно если свести дѣло къ отвлеченнымъ числамъ, онѣ, вѣроятно, недоступны. Но если каждую задачу на сложеніе разсматривать сообразно ея чисто-житейскому смыслу, то учащіеся вполнѣ могутъ уяснить себѣ разнообразіе случаевъ, требующихъ сложенія, и это весьма важно съ образовательной и воспитательной точки зрѣнія. Исходя изъ конкретныхъ случаевъ, учащійся можетъ подняться и до болѣе точныхъ понятій о сложеніи.

Нельзя ли требовать отъ учащихся, чтобы они были въ состояніи высказать словами, формулировать то, что они знаютъ и понимаютъ? Извѣстно, что не только для малолѣтнихъ, но часто и для взрослыхъ, умѣть что-нибудь дѣлать, понимать—почему это такъ дѣлается, сказать—какъ и почему оно такъ дѣлается, наконецъ, самому себѣ отдать отчетъ въ томъ, почему и какъ что-нибудь дѣлается—все вещи разныя. У малолѣтнихъ же умѣніе чаще всего предшествуетъ пониманію, умѣніе сказать что-нибудь иногда тоже предшествуетъ пониманію, а иногда—очень медленно слѣдуетъ за пониманіемъ. Умѣніе же себѣ и другому отдать въ чемъ-либо отчетъ и сознательно и точно выразить, формулировать отвлеченную мысль словами труднѣе всего. Лучшимъ тому доказательствомъ служитъ существованіе плохихъ учебниковъ. Стремиться къ тому (каковое стремленіе особенно вредило успѣхамъ старой, не методической, школы), чтобы ученики все это пріобрѣтали одновременно, значило бы итти наперекоръ требованіямъ и законамъ развитія дѣтскаго ума. Это значитъ также итти въ разрѣзъ съ вытекающимъ изъ этихъ законовъ требованіемъ относительно необходимости преодолѣнія, во всякій моментъ обученія, одной только трудности (начало Коменскаго). Стремиться же къ тому, чтобы малолѣтній ученикъ начальной школы умѣлъ точно формулировать свои знанія, и совсѣмъ неблагоразумно. Пусть ученику предложенъ вопросъ: «что значитъ сложить два числа?». Совершенно достаточно,

если онъ дастъ не опредѣленіе, а увѣренно скажетъ: «возьмемъ два числа: 238 и 563; ихъ можно сложить такъ: 3 да 8 одиннадцать, 1 пишу, одинъ въ умѣ; 1 да 6 семь, да еще 3—десять», и т. д. Это, конечно, не опредѣленіе, но этого вполнѣ достаточно для сужденія о мѣрѣ разумѣнія учащагося.

Надо ли ученикамъ что-либо выучивать наизусть?

Само собою разумѣется, что ни о какомъ выучиваніи опредѣленій и вообще чего бы ни было наизусть со словъ учителя, изъ учебника или изъ «записокъ» и рѣчи быть не можетъ. Здѣсь можно только достигнуть того, чтобы учащіеся добрались до понятій о томъ, что такое сумма, что такое слагаемое, и что такое сложеніе, на частныхъ примѣрахъ. Можно показать, какъ было бы утомительно, если бы мы должны были находить сумму присчитываніемъ, сколько бы на это могло пойти времени, и какъ легко и просто находятъ сумму, пользуясь только десятичной системой счисленія и таблицею сложенія при изустномъ и при письменномъ производствѣ сложенія. И т. п.

Нуль, какъ слагаемое, и нѣк. суммы.

§ 3. Не мѣшаетъ также учащимся уяснить себѣ, что нуль иногда бываетъ слагаемымъ. Дѣло въ томъ, что учителя, а по ихъ примѣру—и учащіеся, часто говорятъ: 7 да 0 семь, 8 да 0 восемь, 0 да 0 нуль, и т. п. Полезно познакомить съ отысканіемъ суммъ въ тѣхъ случаяхъ, когда одно изъ слагаемыхъ близко къ одной единицѣ или нѣсколькимъ единицамъ какого-либо высшаго разряда, т.-е. когда оно—закруглимое число. Напр., при отысканіи суммы такихъ чиселъ, какъ 37 и 99, или какъ 999 и 598 и т. п., ученикъ долженъ понимать, что въ этомъ случаѣ сложеніе можно замѣнить прибавленіемъ ближайшаго круглаго числа, съ тѣмъ чтобы изъ полученной суммы вычесть одну или нѣсколько единицъ перваго разряда. Таковы, напр., случаи, когда слагаемыми являются числа 997, 998, 99, 599, 498 И т. п.

Значеніе письменнаго производства сложенія.

§ 4. Для того, чтобы учащіеся яснѣе уразумѣли, что принятые способы письменнаго производства сложенія многозначныхъ чиселъ представляютъ собою великое благодѣяніе, служащее къ сокращенію труда и времени, полезно съ ними на этой ступени разсчитать, сколько времени отняли бы вычисленія, требующія сложенія, если бы мы, вмѣсто

сложенія, прибѣгли къ послѣдовательному прибавленію отдѣльныхъ единицъ одного слагаемаго къ другому. Подобныя упражненія убѣждаютъ учащихся, что если числа даны многозначныя, то для подобнаго сложенія требуется громадный промежутокъ времени, а также и громадная затрата силъ.

Вычитаніе съ логической точки зрѣнія.

§ 5. Что касается вычитанія, то, какъ извѣстно, труднѣе всего для учащихся уразумѣніе того формальнаго опредѣленія вычитанія, по которому вычитаніе—дѣйствіе, посредствомъ котораго по суммѣ двухъ чиселъ и одному изъ нихъ отыскивается другое слагаемое. Строго говоря, для учащихся въ этомъ опредѣленіи нѣтъ настоятельной надобности. Но, тѣмъ не менѣе, то обстоятельство, что уменьшаемое всегда равно вычитаемому, сложенному съ остаткомъ, должно для нихъ выдвинуться въ этомъ мѣстѣ съ логической ясностью на первый планъ. Для этого могутъ служить цѣлесообразныя задачи, въ которыхъ связь вычитанія со сложеніемъ должна быть очевидна. Этого нельзя утверждать относительно всякихъ задачъ, требующихъ выполненія этого дѣйствія. Задачи, наиболѣе для этого цѣлесообразныя, должны быть построены такъ, чтобы было очевидно, что одно изъ данныхъ чиселъ есть сумма двухъ чиселъ или равно суммѣ ихъ, другое есть одно изъ нихъ или равно одному изъ нихъ, и требуется найти другое. Задача: «отецъ оставилъ двумъ сыновьямъ своимъ наслѣдство всего 86256 рублей, и одному изъ нихъ досталось изъ этой суммы 35297 рублей; сколько досталось второму?» Въ этой задачѣ одно число есть сумма двухъ другихъ, и одно изъ этихъ послѣднихъ тоже дано намъ. Нѣсколько иначе дѣло обстоитъ въ томъ случаѣ, когда требуется узнать, на сколько единицъ одно число больше другого. Здѣсь первое число не есть сумма второго съ нѣкоторымъ третьимъ, а только равно суммѣ второго съ нѣкоторымъ третьимъ. Изъ большаго числа вычитается не второе число, а число, равное второму. На этотъ пунктъ слѣдуетъ обратить вниманіе потому, что по существу нельзя отдѣлять отъ данной группы элементовъ тѣ элементы, которые въ составъ большей группы не входятъ. Объ этомъ уже говорилось раньше въ 1-й части «Методики», но весьма полезно обратить вниманіе также и въ дополнительномъ курсѣ на тотъ же вопросъ. Учащіеся отлично знаютъ, что если изъ суммы двухъ слагаемыхъ вычесть одно изъ нихъ, то по-

лучится другое, и что если сложить вычитаемое съ остаткомъ, то получится число, равное уменьшаемому. Но этого мало. Точное, съ теоретической точки зрѣнія, опредѣленіе вычитанія требуетъ, чтобы мы на уменьшаемое смотрѣли только какъ на сумму двухъ слагаемыхъ, на вычитаемое, какъ на одно изъ этихъ слагаемыхъ, намъ данное, а на остатокъ (или разность), какъ на искомое слагаемое. Нельзя не признать, что для учащихся начальной школы это — тонкость, притомъ тонкость, безъ которой они легко могутъ обойтись. Выучить опредѣленіе («вычитаніемъ называется» и т. д.) учащіеся могутъ, но толку отъ этого можетъ не получиться никакого. Достаточно, если они понимаютъ, когда одно число есть сумма двухъ другихъ чиселъ, изъ которыхъ одно извѣстно, а другое неизвѣстно, если учащіеся понимаютъ, когда большее число только равно суммѣ двухъ чиселъ, и понимаютъ, что для отысканія неизвѣстнаго число надо поступить такимъ-то образомъ. И т. п.

Примитивныя уравненія.

§ 6. Гораздо важнѣе этой тонкости употребленіе и рѣшеніе примитивныхъ уравненій вродѣ слѣдующихъ:

х + 7684 = 10000; х — 2364 = 7628; 9637 — x =14, и т. п.

Разсужденія при разрѣшеніи такихъ уравненій могутъ сводиться къ тому, что въ десяти тысячахъ содержатся 7684 да еще какое-то, намъ покуда еще неизвѣстное, число, а потому, и т. д.; или: въ нѣкоторомъ, намъ еще неизвѣстномъ, числѣ содержатся 2364 да еще 7628 единицы, стало-быть, и т. д. Числа надо брать значительныя, дабы учащіеся не угадывали результатовъ, а были бы принуждены разсуждать. Не надо думать, что это уже алгебра. Уравненія представляютъ собою въ этихъ случаяхъ только буквенныя записи сокращенныхъ (т. наз. «синкопированныхъ») фразъ: «неизв. ч. да еще 7684 сост. 10000», и т. п. Задачи эти, ихъ разрѣшеніе и разсужденія—тѣ же самыя, что въ уравненіи, но онѣ, если ихъ не записывать совсѣмъ, а только выражать полными фразами, не столь прозрачны, какъ въ тѣхъ случаяхъ, когда все обозначено съ помощью буквы X въ видѣ уравненія. Тутъ же умѣстно снова вернуться къ терминамъ и уяснить себѣ, какъ совершается вычитаніе письменное, какъ—вычитаніе на счетахъ, и какъ—при изустномъ вычисленіи. Тутъ же можно выяснить значеніе нуля, какъ вычитаемаго, хотя въ прямомъ ариѳмети-

ческомъ значеніи нуль, какъ число, въ задачахъ не встрѣчается. Вопросъ о томъ, сколько останется, если изъ 53 рублей истратить 53 рубля—вопросъ безполезный, и на этотъ вопросъ надо непремѣнно отвѣтить, что ничего не останется, если на него вообще необходимо отвѣчать. Но если требуется записать эту «задачу», то надо и можно записать это слѣдующимъ образомъ:

Въ этомъ смыслѣ говорятъ, что разность между двумя равными числами равна нулю. Точно такъ же нуль не можетъ сдѣлаться дѣйствительнымъ вычитаемымъ. Задача: «было 78 рублей, изъ нихъ не истрачено ни одной копейки; спрашивается, сколько осталось?» содержитъ вопросъ странный. Ибо разъ ничего не истрачено, то вопросъ «сколько осталось?» лишенъ смысла. Но если почему-либо непремѣнно надо облечь задачу и ея рѣшеніе въ одежду равенства, то запись этого равенства можетъ имѣть слѣдующій видъ:

Введеніе нуля въ повторительный курсъ ариѳметики письменнаго производства вычитанія въ качествѣ остатка и въ качествѣ вычитаемаго оправдывается тѣмъ обстоятельствомъ, что иные, вычитая, напр., 8 изъ восьми, говорятъ: «восемь изъ восьми нуль», а когда одинъ изъ разрядовъ вычитаемаго— нуль, говорятъ такъ: «нуль изъ восьми восемь» или «нуль изъ нуля—нуль», и т. п.

Замѣна поразряднаго вычитанія двумя дѣйствіями.

§ 7. Что касается нахожденія разности между числами, когда вычитаемое — закруглимое число, настолько близкое къ какому-нибудь круглому, что вычисленіе можно произвести изустно, то на этой ступени учащимся интересно обратить вниманіе на то, что когда мы находимъ какимъ-нибудь особеннымъ способомъ разность между двумя числами, то мы этимъ только замѣняемъ поразрядное вычитаніе. Замѣнять его другимъ рядомъ дѣйствій цѣлесообразно тогда, когда поразрядное вычитаніе хлопотнѣе, чѣмъ примѣненіе этого особеннаго способа. Пусть изъ 27582 надо вычесть 9998. Мы сей-

часъ же видимъ, что можно вычесть 10000, а къ полученному результату прибавить 2 единицы, такъ какъ мы вычли на двѣ единицы больше, чѣмъ слѣдуетъ. Вычитаніе же десяти тысячъ производится изустно, причемъ весь результатъ выписывается безъ письменнаго поразряднаго вычитанія. Учитель при этомъ долженъ имѣть въ виду, что подобныя разсужденія не должны непремѣнно основываться на законахъ измѣненія разности въ зависимости отъ измѣненія вычитаемаго и т. п. Весь вопросъ тутъ быстро рѣшается безъ правилъ, а съ помощью простого здраваго смысла: требовалось отдѣлить 9998, а мы отдѣлили 10000, стало-быть, отдѣлили слишкомъ много, и т. д.

42-я ст.: умноженіе и дѣленіе.

§ 8. Выработкѣ болѣе точныхъ понятій о дѣйствіяхъ умноженія и дѣленія посвящена 42-я ступень. Она представляетъ собою опять-таки только попытку приведенія въ должный порядокъ всего того, что учащіеся себѣ уже усвоили относительно умноженія и дѣленія. Обратимся къ умноженію. Дѣло здѣсь, конечно, не въ опредѣленіяхъ и не въ правилахъ, а въ томъ, чтобы ученики уяснили себѣ и отдали себѣ полный отчетъ въ томъ, для чего нужно особое дѣйствіе—умноженіе. Они уже многаго въ этомъ направленіи достигли, благодаря цѣлесообразнымъ задачамъ, которыхъ предложено довольно во всемъ предшествующемъ курсѣ. Но дѣти должны вернуться также къ терминологіи, ясно и вполнѣ понявъ, какъ велико значеніе таблицы умноженія, и уяснивъ себѣ, какое значеніе имѣетъ умноженіе на 10, на 100 и т. д. и на всѣ круглыя числа для письменнаго производства умноженія многозначныхъ чиселъ. Они должны уяснить себѣ, что найти сумму многихъ равныхъ слагаемыхъ съ помощью сложенія гораздо затруднительнѣе, чѣмъ найти ту же сумму съ помощью умноженія, а иногда даже прямо не осуществимо. Они должны понять, наконецъ, что умноженіе часто представляетъ прямое благодѣяніе. Ибо, если бы намъ пришлось взять слагаемымъ какое-нибудь число, напр., 3856, хотя бы только 2734 раза, то на одно выписываніе этихъ слагаемыхъ пришлось бы затратить громадное количество времени, затѣмъ на сложеніе—еще того больше времени, а результаты сложенія были бы чрезвычайно мало надежны. Для самаго осуществленія сложенія потребовалась бы такая масса труда и времени, что отъ этого дѣйствія, пожалуй, пришлось бы отказаться.

Нуль и единица, какъ сомножители.

§ 9. Высокій и особенный логико-теоретическій интересъ представляютъ собою два случая умноженія, а именно: когда одинъ изъ сомножителей и—особенно, когда множитель равенъ нулю или единицѣ. Въ нашемъ курсѣ нуль и единица, какъ сомножители, могутъ найти себѣ здѣсь нѣкоторое (впрочемъ, весьма скромное) мѣсто. Можно обойтись и безъ нуля, а равно и безъ единицы, какъ множителей, но нѣкоторыя практическія соображенія говорятъ за то, что нѣкоторое вниманіе этимъ вопросамъ можно посвятить въ методикѣ курса начальной школы. Хотя этому вопросу въ первой части этой книгѣ (§ 74 гл. IV) въ своемъ мѣстѣ уже посвящено нѣкоторое вниманіе, но для читателя, который, можетъ-быть, не имѣетъ этой части книги подъ-руками, тѣ же соображенія приводятся вторично. Первоначальный смыслъ умноженія на цѣлое число имѣетъ въ виду сложеніе равныхъ между собой слагаемыхъ. Но слагаемыхъ, по самому смыслу сложенія, не можетъ быть менѣе двухъ. А потому такъ наз. «умноженіе» на одну единицу и на нуль требуетъ, чтобы смыслъ этого слова былъ установленъ. Житейскихъ задачъ, которыя слѣдуетъ рѣшать умноженіемъ на единицу, въ дѣйствительности не бываетъ. Нельзя, напр., предложить задачу такого рода: «купленъ 1 арш. сукна по 5 руб. за аршинъ; что заплачено за этотъ аршинъ сукна?» Въ задачѣ условіе содержитъ въ себѣ уже отвѣтъ на ея вопросъ. Умноженіе же 5-ти руб. на единицу въ этомъ случаѣ совершенно излишне и является только результатомъ математическаго обобщенія, которое начинающему заниматься математикой ненужно и недоступно. Это—скорѣе загадка, чѣмъ задача. Еще менѣе отвѣчаетъ требованіямъ житейскаго здраваго смысла такъ наз. «умноженіе» на нуль. Такой задачи, въ которой требуется узнать, что стоитъ нуль аршинъ сукна, если аршинъ его стоитъ 2 р. 75 к., и т. п.,—быть не можетъ. При письменномъ производствѣ дѣйствія умноженія на многозначное число, ни на нуль, ни даже на единицу умножать не приходится, если дѣло поставлено разумно. Если во множителѣ какая-нибудь цифра высшаго разряда—1, то приходится умножать на 10, на 100, на 1000 и т. п., смотря по тому, единицу какого разряда обозначаетъ цифра 1. Если же цифра 1 обозначаетъ одну единицу перваго разряда, то множимое входитъ въ составъ полнаго произведенія въ качествѣ одного изъ слага

емыхъ, которыя надо сложить по выполненіи всѣхъ умноженій. Въ этомъ случаѣ множимое въ качествѣ слагаемаго надо записать ранѣе или послѣ всѣхъ частныхъ произведеній на другія цифры множителя. Однако же говорятъ иногда: «единожды-одинъ— одинъ», «единожды-два — два» и т. п., и съ этимъ обычаемъ надо считаться. Надо установить, что когда записано 7×1, то эта запись обозначаетъ семь, такъ-что

7×1 = 7; 864 × 1 = 864 и т. п.

и говорятъ: «единожды-семь—семь», «единожды 864—восемьсотъ шестьдесятъ четыре». Что же касается умноженія на нуль, то считаютъ, что 7×0=0; 864×0=0, и что вообще отъ умноженія любого числа на нуль получается нуль. Но на нуль никогда умножать не приходится. Умноженіе же нуля на какое угодно число, большее, чѣмъ 1, даетъ, по самому смыслу сложенія нулей, нуль; ибо

0 + 0 + 0 + 0 = 0, а потому 0×4 = 0;

умноженіе нуля на 1 даетъ нуль, если считать, что отъ умноженія на единицу и въ этомъ случаѣ получается множимое. А умноженіе нуля на нуль даетъ нуль, если и въ этомъ случаѣ пользоваться опредѣленіемъ умноженія на нуль.

Легко видѣть, что все это (особенно—умноженіе на нуль) ненужныя въ начальной школѣ тонкости. Если о нихъ идетъ здѣсь рѣчь, то только для того, чтобы установить, что нуль, какъ число, одно изъ самыхъ тонкихъ математическихъ понятій. Къ сожалѣнію, нѣкоторые методисты вводятъ его даже на самыхъ первыхъ ступеняхъ обученія. Даже тѣ методисты, которые, держась методы такъ наз. изученія чиселъ, въ то же время прибѣгаютъ къ рисункамъ, на которыхъ нуль, какъ число, не осуществимъ, пытаются ввести это понятіе на первой ступени, сопоставляя «одинъ», «много» и «ничего»1). Къ счастію учащихся, это понятіе впослѣдствіи не нужно, а къ нулю,

1) Нуль, какъ число, иллюстраціи съ помощью рисунка не поддается. Но, съ другой стороны, каждый рисунокъ, на которомъ что-либо изображено, иллюстрируетъ, при особомъ желаніи зрителя, и нуль какъ число. Если на рисункѣ, напр., изображена вѣтка съ яблоками, то этотъ рисунокъ иллюстрируетъ и нуль арбузовъ, и нуль слоновъ, и нуль десятинъ земли. Но это-то и доказываетъ неумѣстность нуля, какъ числа, на низшихъ ступеняхъ обученія.

какъ къ слагаемому, какъ къ вычитаемому и какъ къ разности, они относятся чисто практически и безъ интереса. Нуль, какъ множитель, для нихъ просто непонятенъ.

Наименованіе чиселъ при умноженіи.

§ 10. Большаго вниманія заслуживаетъ на нашей ступени наименованіе множимаго и произведенія и сокращенное отысканіе произведенія двухъ чиселъ, изъ которыхъ одно равно одному изъ слѣдующихъ чиселъ: 5, 25, 9, 99, 98, 998 и нѣк. др. Наименованіе произведенія при умноженіи именованнаго числа на отвлеченное, конечно, тожественно съ наименованіемъ множимаго. Это учащіеся постигаютъ еще на одной изъ первыхъ ступеней обученія, посвящаемыхъ умноженію. Равнымъ образомъ они усваиваютъ перемѣстимость сомножителей въ этихъ случаяхъ, при чемъ перемѣщаются не только отвлеченныя числовыя значенія сомножителей, но также и наименованіе множимаго. Умноженіе именованнаго числа на именованное же не представляетъ собою ничего противорѣчащаго здравому смыслу, если условное значеніе нѣкоторыхъ произведеній такого рода строго установлено. Однако же, въ курсѣ начальной школы не слѣдуетъ говорить объ условномъ смыслѣ даже такихъ ясныхъ произведеній, какъ 7 арш.Х4 арш. или 8 вершк.Х7 дюйм., и т. п. Условный смыслъ перваго изъ этихъ произведеній заключается, какъ извѣстно, въ томъ, что помножить 7 аршинъ на 4 аршина только и значитъ найти площадь прямоугольника, котораго основаніе равно 7 аршинамъ, а высота — 4-мъ аршинамъ, и т. п. Точно такь же запись 8 кв. арш.Х12 вершк. обозначаетъ только объемъ прямоугольнаго параллелепипеда, въ которомъ площадь основанія равна 8 кв. арш., а высота—12 линейнымъ вершкамъ. Но, все же, въ начальной школѣ эти обозначенія не вполнѣ умѣстны потому, что сами учителя не склонны пользоваться такими обозначеніями, да и въ учебникахъ ариѳметики они не пользуются у насъ правомъ гражданства. Еще менѣе пріемлемъ на этой ступени условный смыслъ умноженія именованнаго числа на именованное другого рода, напр., скорости на время, и т. п. Зато въ высшей степени важно, чтобы учащіеся не умножали именованнаго числа на именованное по небрежности. Если десятина земли стоитъ 235 руб., то на вопросъ о томъ, что стоятъ 14 десятинъ такой земли, дѣти иногда могутъ нечаянно отвѣтить, что надо 235 рублей помножить на 14 деся-

тинъ. Конечно, этого ни въ какомъ случаѣ допускать не слѣдуетъ. Но такіе способы рѣшенія задачъ на умноженіе представляютъ собою чаще обмолвку, чѣмъ результатъ непониманія. Еще хуже разсужденія такого рода: аршинъ сукна стоитъ 3 рубля, а 246 аршинъ—въ 3 раза больше, а потому надо 246 (чего?), помножить на 3. Подобныя обмолвки и ошибки проистекаютъ отъ недостаточнаго вниманія къ смыслу умноженія на болѣе раннихъ ступеняхъ и отъ желанія непремѣнно записать:

Въ этомъ нежеланіи учащихся записывать то, что надо записать, иногда виновато слишкомъ большое значеніе, какое часто придаютъ сами учителя (особенно начинающіе) привычнымъ для нихъ записямъ. Само собою разумѣется, что записывать надо то, что вытекаетъ изъ самаго смысла задачи, т.-е.

а произвести умноженіе можно такъ, какъ будто 246 рублей надо было помножить на 3.

Вычисленіе произведеній въ нѣк. частныхъ случаяхъ.

§ 11. Нахожденіе произведенія на нѣкоторыя числа часто допускаетъ значительныя упрощенія въ вычисленіяхъ, и этихъ упрощеній довольно много. Но не надо увлекаться представляющимися въ этихъ случаяхъ особенными способами нахожденія произведеній. Важно, чтобы учащіеся прежде всего поняли, что иногда можно находить произведенія иными способами. Если, напр., множитель равенъ 5-ти или 25-ти, если множитель равенъ 9-ти, 99-ти, 999-ти и т. п., то нѣтъ надобности умножать непремѣнно на 5, на 25 и т. п. Дѣти должны научиться инымъ вычисленіямъ. Но это имѣетъ, главнымъ образомъ, большое развивательное значеніе, хотя и практическое значеніе подобныхъ вычисленій не мало. При вычисленіи произведенія какого-нибудь числа, напр., 276 на 5, гораздо удобнѣе не умножать на 5, а мысленно удесятерить множимое и полученное число раздѣлить пополамъ. Выгода подобнаго вычисленія состоитъ въ томъ, что мысленно приписать къ цифрамъ множимаго нуль и раздѣлить полученное такимъ образомъ новое число пополамъ, конечно, гораздо

легче, чѣмъ воспользоваться таблицей умноженія на 5. При этомъ и вѣроятность ошибки въ вычисленіи меньше, чѣмъ при умноженіи на 5. То же справедливо относительно умноженія на 25. Для того, чтобы умножить на 25, мы мысленно приписываемъ къ цифрамъ множимаго два нуля справа и полученное такимъ образомъ новое число раздѣляемъ на четыре равныя части. Сдѣлать это тоже легче, чѣмъ умножить отдѣльныя разрядныя числа множителя на 5, потомъ тѣ же цифры на 2, полученные результаты должнымъ образомъ записать и эти частныя произведенія сложить.

Произведенія любого числа на 9, на 99, на 998 и т. п. лучше находить не съ помощью умноженія на 9, 99, 998 и т. п., а на основаніи того, что 9 отличается отъ 10-ти на одну единицу, 998—отъ тысячи на двѣ единицы, и т. п. Можно къ цифрамъ множимаго приписать (мысленно или на самомъ дѣлѣ) одинъ или нѣсколько нулей, а изъ полученнаго числа вычесть множимое или удвоенное множимое, и т. п. Такое вычисленіе представляетъ тоже большія выгоды. Не приходится умножать на большія однозначныя числа (при каковомъ умноженіи замѣчается наибольшее число ошибокъ); вычитаніе же не столь затруднительно, какъ умноженіе. Расположеніе вычисленій въ разсмотрѣнныхъ случаяхъ можно практиковать и такое:

При этомъ нулей въ уменьшаемыхъ можно и не писать.

„Правило“ умноженія.

§ 12. Что касается «правила» умноженія на многозначное число, т.-е. словесной формулировки самаго процесса («алгориѳма») вычисленія, то учащимся усваивать это правило наизусть, по учебнику, нѣтъ рѣшительно никакого основанія и надобности. Гораздо важнѣе, чтобы они были въ состояніи на дѣлѣ помножить одно

число на другое вѣрно и болѣе или менѣе быстро и понимали бы, въ чемъ самая суть этого дѣйствія и какъ велики размѣры того благодѣянія, которое намъ это дѣйствіе оказываетъ. Умноженіе сокращаетъ трудъ и время, которые понадобились бы, если бы мы должны были прибѣгать къ сложенію для нахожденія суммы многочисленныхъ, равныхъ между собою, слагаемыхъ. Развивательное значеніе этого сознанія гораздо больше, чѣмъ развивательное значеніе рѣшенія многихъ задачъ съ условіями. Правило же умноженія многозначнаго числа на многозначное ничего подобнаго не даетъ. Къ тому же, это правило крайне многословно, да и вообще правила, словесно характеризующія всякій болѣе или менѣе сложный «алгориѳмъ», описываютъ этотъ алгориѳмъ весьма несовершенно и не вполнѣ вразумительно для малолѣтняго. Въ старину, когда на правилахъ и на усвоеніи учащимися текста учебниковъ наизусть строилось почти все обученіе ариѳметикѣ, нерѣдко встрѣчались среди учащихся и субъекты, «на-зубокъ» знавшіе правила наизусть, но не бывшіе въ состояніи выполнить почти ни одного дѣйствія, и такіе субъекты, которые, наоборотъ, умѣли хорошо вычислять, но совсѣмъ не знали правилъ наизусть. Оно и не удивительно: для вычисленій надо умѣть разумно вычислять и умѣло пользоваться таблицами и изустнымъ вычисленіемъ (голосомъ, ритмомъ, своевременнымъ записываніемъ), а для знанія правилъ наизусть надо обладать только хорошей словесной памятью.

Разные случаи примѣненія умноженія.

§ 13. Гораздо важнѣе всякихъ правилъ вниманіе учащихся къ тому, когда они должны помножить данное число на нѣкотораго множителя, и когда они должны помножить число, только равное данному, на извѣстнаго множителя. Пусть у насъ двѣ задачи: «крестьянинъ купилъ 8 кулей овса по 7 р. 60 коп. за куль; спрашивается, что онъ заплатилъ за овесъ?» и «у одного крестьянина 7 р. 60 коп., а у другого въ 8 разъ больше; спрашивается, сколько денегъ у второго?» Для рѣшенія первой задачи надо самоё цѣну куля овса, т.-е. 7 р. 60 к., помножить на 8, для рѣшенія же второй задачи не надобно денегъ перваго крестьянина помножать на 8 (хотя иногда дѣти говорятъ такія вещи), а надо количество денегъ, равное 7 р. 60 к., или просто 7 р. 60 к. помножить на 8. Вообще надо дѣйствіе характеризовать согласно условіямъ задачи, а не исходить изъ

теоретическихъ соображеній. Во второй задачѣ деньги перваго крестьянина, такъ сказать, неприкосновенны; въ первой же данное число 7 р. 60 к. является какъ-разъ тѣмъ числомъ, которое надо взять 8 разъ слагаемымъ.

Дѣленіе.

§ 14. Дѣленіе представляетъ собою самое трудное, какъ это уже неоднократно отмѣчалось въ этой книгѣ и какъ это извѣстно читателю, дѣйствіе, вслѣдствіе содержащихся въ немъ логическихъ и техническихъ трудностей разнаго рода. Наибольшія трудности заключаются въ томъ, что опредѣленіе дѣленія тѣсно связано съ умноженіемъ. Далѣе, неизбѣжно различать дѣленіе двоякаго рода: дѣленіе «по содержанію» (т.-е. такъ наз. «измѣреніе» одного числа другимъ или дѣленіе на извѣстныя равныя между собою части) и дѣленіе «на части» (т.-е. дѣленіе на извѣстное число равныхъ частей). Если же этого различія не вводить, то еще труднѣе, съ логической точки зрѣнія, общее опредѣленіе дѣленія, какъ одного дѣйствія. Затѣмъ приходится различать случаи: а) когда дѣлимое равно произведенію двухъ цѣлыхъ чиселъ, изъ которыхъ одно дано, а другое требуется найти, и б) когда дѣлимое не равно произведенію даннаго цѣлаго дѣлителя на какое бы то ни было другое цѣлое число. Въ послѣднемъ случаѣ дѣлимое больше произведенія дѣлителя на нѣкоторое такое цѣлое число, что разность между дѣлимымъ и этимъ произведеніемъ равна нѣкоторому числу, меньшему, чѣмъ дѣлитель. Связь между дѣленіемъ и умноженіемъ должна уясниться учащимся благодаря ряду цѣлесообразныхъ задачъ. Равнымъ образомъ только на основаніи задачъ можно уяснить себѣ разницу между обоими видами дѣленія, т.-е. разницу между собственно частнымъ и отношеніемъ дѣлимаго къ дѣлителю. Для лучшаго уясненія соотношеній между сложеніемъ, умноженіемъ и дѣленіемъ обоего рода полезно разсмотрѣть, напр., слѣдующій рядъ равенствъ:

Изъ этого ряда учащіеся должны увидѣть, что во всѣхъ этихъ случаяхъ 76 рублей представляютъ собою часть нѣкотораго цѣлаго, что 3 представляетъ собою число такихъ частей,

заключающихся въ цѣломъ, но что въ одномъ случаѣ мы записали необходимость составить новое число (228 руб.) изъ трехъ равныхъ между собою чиселъ, изъ которыхъ каждое равно 76 рублямъ съ помощью сложенія, а въ другомъ это же сдѣлано съ помощью умноженія. Въ третьемъ намъ извѣстны цѣлое (228 р.) и число равныхъ между собою частей, а требуется найти каждую часть, а въ четвертомъ намъ извѣстны цѣлое и каждая изъ частей, равныхъ между собою (76 рублей), а требуется найти число ихъ. Вся разница въ этихъ записяхъ заключается исключительно въ вопросѣ о томъ, что требуется узнать и какое надо совершить дѣйствіе.

Единица, какъ дѣлитель.

§ 15. Единица, какъ дѣлитель, представляетъ собою опять-таки вопросъ довольно тонкій, въ особенности когда нѣкоторое именованное число надо раздѣлить на отвлеченную единицу, напр., если 87 вершковъ надо раздѣлить на отвлеченное число 1. Разница между слѣдующими двумя записями:

чрезвычайно велика. Въ послѣднемъ случаѣ намъ требуется найти отношеніе нѣкотораго числа единицъ длины къ одной единицѣ того же наименованія, что очень просто и слишкомъ легко, если только учитель и учащіеся привыкли смотрѣть на такое дѣленіе, какъ на дѣленіе на извѣстныя намъ части, дающее въ результатѣ отвлеченное число, выражающее число этихъ частей. Въ первомъ же случаѣ намъ требуется найти не отношеніе, а частное, происходящее отъ раздѣленія нѣкотораго именованнаго числа на отвлеченное. Но въ этомъ исключительномъ случаѣ нельзя смотрѣть на дѣлителя, какъ на извѣстное число частей, на подобіе того, когда дѣлитель равенъ 2-мъ, 3-мъ, 25-ти, и т. д. Число частей не можетъ равняться единицѣ (частей можетъ быть въ цѣломъ никакъ не менѣе двухъ), и само собою разумѣется, что тогда теряется самое значеніе, самый смыслъ дѣленія на извѣстное число частей. Въ этомъ случаѣ единственное спасеніе отъ противорѣчія со здравымъ смысломъ въ томъ, что дѣленіе есть дѣйствіе, съ помощью котораго мы находимъ то множимое, которое надобно помножить на дѣлителя для того, чтобы

получить произведеніе, равное данному дѣлимому. Изъ ученія объ умноженіи извѣстно, что такое множимое равно самому произведенію. Но, по существу вопроса, житейской задачи такого рода: «одинъ аршинъ сукна стоитъ пять рублей, что стоитъ одинъ аршинъ сукна?» быть не можетъ, особенно, если нужно эту задачу понимать, какъ задачу на дѣленіе. Принимая это во вниманіе, слѣдуетъ, строго говоря, на этотъ случай дѣленія не обращать особеннаго вниманія. Но если бы учитель почему-либо пожелалъ это сдѣлать, — сами ученики отъ него не потребуютъ этого,—то ученикамъ пришлось бы съ его помощью уразумѣть, что это дѣленіе представляетъ собою именно задачу нахожденія множимаго при множителѣ, равномъ отвлеченной единицѣ. Разъяснять, насколько этотъ отвлеченный вопросъ чуждъ интересамъ учащихся, конечно, не для чего. Это—вопросъ чисто-теоретическій, къ счастію, не важный для цѣлей обученія практической ариѳметикѣ и въ жизни не встрѣчающійся. Не встрѣчаются и такія записи: 7 р. :1.

Нуль, какъ дѣлимое.

§ 16. Вопросъ о нулѣ, какъ дѣлимомъ, тоже не можетъ быть вопросомъ, который можно было бы облечь въ фабулу нѣкоторой задачи съ условіями. Крайне искусственна была бы задача такого содержанія: «куплено 15 аршинъ сукна, за все сукно заплаченъ нуль рублей; спрашивается, почемъ заплачено за аршинъ этого сукна?» Само собою разумѣется, что такой задачи никто, кромѣ учителя, предложить не можетъ. Но нуль, какъ дѣлимое, появляется въ тѣхъ случаяхъ, когда мы, при дѣленіи многозначнаго числа на нѣкоторое однозначное, сносимъ нѣкоторую цифру дѣлимаго. Возьмемъ слѣдующій случай: раздѣлить 7035 на 7; въ этомъ случаѣ, конечно, можно говорить такъ: «7000 раздѣленныя на 7 дадутъ одну тысячу въ частномъ; «сношу» нуль сотенъ; отъ раздѣленія нуля сотенъ на 7 одинаковыхъ частей получится въ частномъ тоже нуль сотенъ» и т. д. Но, при такъ наз. «сносѣ» нуля, этотъ нуль надо раздѣлить на 7 равныхъ частей только въ томъ случаѣ, если держаться извѣстнаго правила о поразрядномъ нахожденіи цифръ частнаго. На самомъ же дѣлѣ на этотъ случай можно смотрѣть проще, притомъ независимо отъ дѣленія нуля, какъ нѣкотораго отдѣльнаго числа, на дѣлителя. Дойдя до этого пункта, можно сказать такъ: «въ дѣлимомъ нѣтъ сотенъ, въ частномъ ихъ тоже не будетъ; запишемъ въ частномъ нуль на мѣстѣ сотенъ

и будемъ продолжать дѣленіе дальше». При этомъ вопросъ стоитъ, конечно, тоже на точкѣ зрѣнія поразряднаго отысканія цифръ частнаго. Однако же, непремѣнно избѣгать того взгляда на нуль, при которомъ мы нуль дѣлимъ на извѣстное число равныхъ частей, не слѣдуетъ. Даже говорить, что нѣкоторое число въ другомъ числѣ содержится нуль разъ, представляется болѣе или менѣе пріемлемымъ, если учитель этого непремѣнно желаетъ.

Нуль дѣлителемъ быть не можетъ.

§ 17. Въ то время какъ нуль можетъ быть слагаемымъ, множимымъ и даже множителемъ, вычитаемымъ и даже уменьшаемымъ (въ этомъ послѣднемъ случаѣ и вычитаемое равно нулю), и, наконецъ, дѣлимымъ, онъ, однако, отнюдь не можетъ быть дѣлителемъ, и дѣлителемъ дѣйствительно никогда не бываетъ. Только въ нѣкоторыхъ случаяхъ, выходящихъ далеко за предѣлы вопросовъ производства четырехъ дѣйствій надъ числами и за предѣлы школьнаго курса ариѳметики, иногда говорятъ о дѣленіи на нуль. Но о такомъ дѣленіи говорятъ только въ смыслѣ условномъ, и нужно замѣтить, что иногда говорятъ совершенно неправильно. Слѣдовало бы совершенно устранить нуль, какъ дѣлителя, изъ математики, и многіе теоретики-математики на этомъ даже настаиваютъ, считая, что нуль дѣлителемъ быть не можетъ. Само собою разумѣется, что если этотъ случай слѣдуетъ устранить, то—особенно изъ курса начальной ариѳметики. Но, въ случаѣ, если бы пришлось коснуться этого вопроса, учитель долженъ особенно настойчиво требовать отъ учениковъ, чтобы они твердо знали, что нуль никогда не можетъ быть дѣлителемъ. Не только такой задачи нѣтъ, когда, напр., былъ купленъ нуль аршинъ сукна и за него заплачено 15 рублей, но ея и быть не можетъ. О дѣленіи на нуль тоже рѣчи быть не можетъ.

Почему нуль дѣлителемъ быть не можетъ.

Причина, по которой нуль дѣлителемъ быть не можетъ, заключается, конечно, не только въ безсмысленности задачи вродѣ вышеприведенной, когда за нуль аршинъ будто бы заплачено извѣстное количество рублей. Дѣло въ томъ, что всѣ четыре дѣйствія принадлежатъ къ числу дѣйствій, относительно которыхъ можно установить и часто устанавливаютъ требованіе, чтобы каждое изъ нихъ въ результатѣ давало какое-либо число, и притомъ давало бы только одно число. Въ математикѣ такія дѣйствія извѣстны подъ именемъ дѣйствій однозначныхъ. Тогда дѣленіе на нуль не принадлежитъ къ числу ариѳ-

метическихъ дѣйствій. Если дѣлимое отличается отъ нуля, то дѣйствіе дѣленія просто не имѣетъ смысла, потому что нѣтъ такого числа (цѣлаго или дробнаго), на которое надо помножить нуль, чтобы получить въ произведеніи число, отличающееся отъ нуля. Дѣйствительно: если бы мы сказали, что 17 надо раздѣлить на нуль, то это значило бы, что надо найти такое число, на которое надо помножить нуль, чтобы получить 17. Но, на какое бы число, какъ бы оно велико ни было, мы ни умножали нуль, намъ не получить числа, отличнаго отъ нуля. Стало-быть, нуль не можетъ быть дѣлителемъ въ случаѣ, когда дѣлимое отличается отъ нуля, потому что это дѣйствіе не даетъ никакого числа въ результатѣ. Если мы пожелали бы раздѣлить нуль на нуль, то это значило бы, что мы ищемъ такое число, на которое надо помножить нуль для того, чтобы получить нуль. Но такихъ чиселъ, на которыя надо помножить нуль, чтобы получить нуль, безчисленное множество. Слѣдовательно дѣленіе, если бы оно было возможно, было бы дѣйствіемъ не однозначнымъ, т.-е. въ результатѣ его получилось бы безчисленное множество различныхъ чиселъ. А потому и этотъ случай дѣленія надо исключить изъ числа дѣйствій ариѳметическихъ. Такимъ образомъ дѣленіе числа на нуль невозможно потому, что оно въ одномъ случаѣ результата дать не можетъ, такъ какъ въ этомъ случаѣ нѣтъ частнаго, а въ другомъ случаѣ оно невозможно потому, что, если бы мы приняли, что оно возможно, то дѣленіе не было бы дѣйствіемъ однозначнымъ, чего въ ариѳметикѣ обыкновенно не допускаютъ.

Нуль, какъ число.

§ 18. Въ связи съ только-что сказаннымъ (но, конечно, безъ выясненія этихъ точекъ зрѣнія ученикамъ) стоитъ вопросъ о томъ, можно ли разсматривать нуль, какъ число. Этому вопросу, конечно, можно удѣлить нѣкоторое вниманіе, но не слишкомъ большое. Это сдѣлано въ своемъ мѣстѣ въ «Новомъ задачникѣ Шохоръ-Троцкаго для учителей». Сдѣлать это можно и даже слѣдуетъ въ такой мѣрѣ, которая соотвѣтствуетъ практическимъ надобностямъ обычныхъ способовъ вспомогательныхъ изустныхъ вычисленій («нуль да четыре—четыре», «семь изъ семи—нуль», «нуль изъ девяти—девять», «восемью-нуль—нуль», «нуль раздѣлить на пять, получимъ нуль» и т. п.). Особенно полезны эти фразы съ точки зрѣнія надобностей ритмическихъ вычисленій, о чемъ рѣчь въ одномъ изъ параграфовъ главы XI, посвященной въ этой книгѣ нѣкоторымъ частностямъ обученія.

Связь между обоими родами дѣленія.

§ 19. Дѣленіе «на части» можно замѣнить, какъ извѣстно, дѣленіемъ «по содержанію» и, наоборотъ, дѣленіе «по содержанію» дѣле-

ніемъ «на части». Но какъ это сдѣлать при обученіи малолѣтнихъ? Прежде всего это надо дѣлать на разныхъ ступеняхъ курса, притомъ непремѣнно съ помощью цѣлесообразныхъ задачъ, сначала конкретнаго, а потомъ—и отвлеченнаго содержанія. Но еще лучше всегда брать задачи содержанія не отвлеченнаго и даже обращаться къ наглядному пособію, взявши достаточно большое количество предметовъ и дѣля это число предметовъ на извѣстное число равныхъ частей слѣдующимъ образомъ. — Требуется 84 книжки раздать тремъ ученикамъ такъ, чтобы всѣ получили поровну. Для этого надо совершить такъ наз. дѣленіе на части, т.-е. дѣленіе на извѣстное число равныхъ частей. Можно разсуждать такъ: сначала раздадимъ 60 книжекъ тремъ человѣкамъ; каждый получитъ 20 книжекъ; затѣмъ мы остальныя 24 книжки раздадимъ тремъ человѣкамъ; каждый получитъ еще 8 книжекъ; поэтому каждый получитъ всего 28 книжекъ. Мы при этомъ совершили дѣленіе на извѣстное число равныхъ частей въ точномъ смыслѣ этого слова. Но можно было бы разсуждать и иначе. Сначала возьмемъ изъ 84 книжекъ 3 книжки и ихъ раздадимъ ученикамъ,—каждому одну. Возьмемъ еще 3 книжки и ихъ тоже раздадимъ. Возьмемъ еще 3, опять раздадимъ, и т. д. до тѣхъ поръ, пока это возможно. Тогда мы могли бы разсудить: чтобы раздѣлить 84 на 3 равныхъ части, можно поступить такъ: узнать, сколько разъ по три можно взять отъ 84-хъ,— столько же единицъ попадетъ въ каждую часть. Послѣ достаточнаго числа упражненій въ этомъ направленіи (а это уже могло быть сдѣлано и на болѣе раннихъ ступеняхъ, почти на всѣхъ ступеняхъ, посвященныхъ дѣленію) учащіеся еще лучше усваиваютъ себѣ связь между дѣленіемъ на извѣстное число равныхъ между собою частей и кратнымъ сравненіемъ.

Кратное сравненіе и вычитаніе.

§ 20. Значеніе кратнаго сравненія, какъ замѣны послѣдовательнаго вычитанія, важно съ образовательной точки зрѣнія. Если бы мы стали послѣдовательно вычитать 3 изъ 84-хъ, еще разъ 3 —изъ остатка, и т. д., то такое вычитаніе было бы очень продолжительно и утомительно. Число такихъ вычитаній и выражало бы, сколько разъ 3 содержится въ 84-хъ и по сколько единицъ будетъ въ каждой части, если 84 раздѣлить на 3 равныя между собою части. Этотъ пріемъ замѣны одного дѣйствія (вычитанія) другимъ (дѣленіемъ) полезенъ для

уразумѣнія размѣровъ благодѣянія, оказываемаго намъ письменнымъ производствомъ дѣленія. Связь обоихъ видовъ дѣленія между собою и возможность замѣнить одно разсужденіе другимъ, къ сожалѣнію, подаютъ нѣкоторымъ методистамъ поводъ къ тому взгляду, по которому дѣленіе есть только одно, а мы только примѣняемъ это дѣйствіе къ разнымъ случаямъ. Но подняться до этого обобщенія учащимся начальной школы довольно трудно, да и не столь необходимо, какъ разграниченіе этихъ двухъ дѣйствій и какъ самый методъ разсужденій, приводящій къ возможности упомянутаго обобщенія. См. § 42 гл. IV части I «Мет. ар. для учителей начальныхъ школъ». Строго-логическое обобщеніе возможно, впрочемъ, только при томъ условіи, если признать, что существуютъ только абсолютно-отвлеченныя числа.

Съ методической и съ образовательной точки зрѣнія, замѣна дѣленія вычитаніемъ представляетъ собою гораздо болѣе поучительный пріемъ. Онъ можетъ послужить для уясненія учащимся, до какой степени великимъ благодѣяніемъ является письменное производство дѣленія одного многозначнаго числа на многозначное. Если себѣ представить, что изъ 36563 надо вычесть 78 одинъ разъ, потомъ еще разъ и т. д., и т. д. для того, чтобы узнать, сколько разъ 78 содержится въ 36563-хъ, то легко увидѣть, что эта работа потребовала бы довольно большого количества труда и времени. Въ томъ-то и сила дѣйствія дѣленія, что оно избавляетъ отъ необходимости вычитать 78 множество разъ и замѣняетъ это вычитаніе вычитаніемъ не 78-ми, а крупными группами единицъ, въ составъ которыхъ входитъ 78. Важна мысль о томъ, нельзя ли вычесть 78 изъ дѣлимаго сразу 1000 разъ, 2000 разъ, 3000 разъ, и т. д., а если нельзя, то нельзя ли 78 вычесть сразу 100 разъ, 200 разъ и т. д. Собственно говоря, къ этому и сводится самый смыслъ способовъ письменнаго производства раздѣленія одного числа на другое, приводящихъ къ послѣдовательному поразрядному отысканію цифръ частнаго.

Дѣленіе обоего рода.

§ 21. Отсутствіе должнаго вниманія къ тому, что дѣленіе бываетъ двоякаго рода, является характерной чертою ариѳметики въ вѣка, если можно такъ выразиться, до-методическіе. Въ сочиненіяхъ по исторіи элементарной ариѳметики неоднократно указывается, что въ такомъ-то вѣкѣ это различіе не устанавливалось въ учеб-

никахъ ариѳметики, что въ такомъ-то вѣкѣ тоже не устанавливалось, и т. д. Этимъ обстоятельствомъ объясняется частью медленность въ развитіи надлежащихъ пріемовъ производства дѣленія и надлежащихъ пріемовъ обученія производству этого дѣйствія. Стремленіе тѣхъ, кто въ ариѳметикѣ, какъ учебномъ предметѣ, предлагаетъ не различать дѣленія двоякаго рода, равносильно стремленію вернуть насъ къ точкамъ зрѣнія до-методическаго обученія ариѳметикѣ.

На низшихъ ступеняхъ обученія достаточно учащимся подмѣтить, что численныя значенія частнаго въ обоихъ случаяхъ дѣленія тожественны. На дальнѣйшихъ имъ уже слѣдуетъ уяснить себѣ возможность замѣны дѣленія «на части» дѣленіемъ «по содержанію», если намъ важно знать только численное значеніе частнаго и если это удобно, а также пользу замѣны дѣленія «по содержанію» (напр., на однозначное число) дѣленіемъ «на части». На занимающей же насъ ступени можно пойти дальше, а именно довести учащихся до пониманія, что естественно называть и то, и другое дѣйствіе просто дѣленіемъ, и что для обоихъ дѣйствій можно употреблять одинъ и тотъ же знакъ. При этомъ учащіеся всегда должны отдавать себѣ отчетъ въ томъ, что, собственно, требуется узнать: число ли одинаковыхъ частей, изъ которыхъ каждая равна дѣлителю, т.-е. отношеніе дѣлимаго къ дѣлителю, или часть дѣлимаго, т.-е. частное отъ раздѣленія дѣлимаго на столько равныхъ частей, сколько единицъ въ отвлеченномъ дѣлителѣ. Для этого полезно сопоставить рядъ записей; 15 р. : 5 р. = 3; 15 р. | 5 = 3 р.; 15 р. : 3 = 5 р.; 15 : 5 = 3. Въ послѣдней записи не разобрать, что требуется узнать: пятую ли часть пятнадцати или же, во сколько разъ 15 больше пяти. Въ этомъ случаѣ можно сказать: требуется 15 раздѣлить на 5. Дѣло въ томъ, что въ послѣднемъ тожествѣ двоеточіе служитъ знакомъ дѣленія для обоихъ видовъ дѣленія, и ученикамъ легко себѣ усвоить, что когда и дѣлимое, и дѣлитель — отвлеченныя числа, то этотъ знакъ означаетъ любой видъ дѣленія, и что тѣмъ же знакомъ можно замѣнять знакъ |_, если только обращать вниманіе на то, какое число (именованное или отвлеченное) является частнымъ. Изъ этихъ четырехъ записей также видно, что мы всякій разъ дѣлимъ на части, но въ одномъ случаѣ намъ неизвѣстна каждая часть, извѣстно же число частей, а въ другомъ неизвѣстно число частей, но извѣстна

каждая часть. Кромѣ того, очевидно, что численное значеніе частнаго получается одно и то же, дѣлимъ ли мы какое-нибудь число на данное число равныхъ между собою частей, или дѣлимъ его на извѣстныя части, изъ которыхъ каждая содержитъ въ себѣ столько единицъ, сколько ихъ въ дѣлителѣ. Важны, конечно, не эти обобщенія, а уразумѣніе учениками разныхъ частныхъ случаевъ, требующихъ дѣленія того или другого рода, и уразумѣніе того, что иногда удобнѣе производить дѣленіе «на части», а иногда—дѣленіе «по содержанію».

Законы сложенія и умноженія въ теоріи дѣйствій и въ практикѣ обученія.

§ 22. Въ теоріи четырехъ дѣйствій надъ натуральными числами есть цѣлая система опредѣленій и законовъ четырехъ дѣйствій, которые для учителя представляютъ не только теоретическій интересъ. Эта система можетъ сильно и полезно повліять и на самую постановку содержанія учебнаго матеріала практической ариѳметики, ариѳметики-искусства, которой только и можно учить малолѣтнихъ. Интересующимся этими вопросами слѣдуетъ обращаться только къ строго теоретическимъ курсамъ, вродѣ, напр., Таннери («Курсъ теоретической и практической ариѳметики», перев. подъ ред. Д. Л. Волковскаго, М. 1912), особенно—Фэрбера («Ариѳметика», для студентовъ и преподавателей, перев. подъ ред. А. А. Волкова, М. 1914).

Обращать вниманіе учащихся на теоретическую важность законовъ сложенія (перемѣстительнаго и сочетательнаго) и умноженія (перемѣстительнаго, сочетательнаго и распредѣлительнаго по отношенію къ сложенію) не представляется возможнымъ. Умъ учениковъ слишкомъ мало склоненъ къ отвлеченностямъ этого рода. Къ тому же, законы эти настолько ясны для учащихся въ конкретной ихъ формулировкѣ, что ученикамъ, даже немалолѣтнимъ, не понятно, что объ этомъ вообще можно говорить. Дѣйствительно, въ чемъ состоятъ эти законы для сложенія?

По закону перемѣстительному:

(т.-е. слагаемыя можно взять въ любомъ порядкѣ).

По закону сочетательному:

(т.-е. слагаемыя можно суммировать въ какихъ угодно ихъ комбинаціяхъ); по тому же сочетательному закону:

(т.-е.каждое слагаемое можно разсматривать, какъ сумму нѣкоторыхъ слагаемыхъ, и эти послѣднія можно суммировать въ какомъ угодно порядкѣ).—Всѣ эти «законы» настолько ясны для учащихся, что они не въ состояніи въ нихъ углубиться.

Для умноженія по закону перемѣстительному:

Надѣяться на то, что малолѣтніе учащіеся могутъ уразумѣть всю силу этихъ законовъ и все значеніе ихъ для четырехъ дѣйствій надъ числами, нѣтъ никакого основанія. Сила этихъ законовъ и ихъ значеніе лежатъ слишкомъ глубоко въ основѣ строго логическаго обоснованія четырехъ дѣйствій. Законы эти, въ то же время, такъ для дѣтей очевидны безъ всякой формулировки, они такъ понятны въ своихъ примѣненіяхъ, что логическая ихъ сила, на которую обратили должное вниманіе только въ XIX вѣкѣ, для малолѣтнихъ совершенно недоступна. Это — вопросы, соприкасающіеся съ вопросами особой отрасли математическаго знанія, извѣстной подъ именемъ основоначалъ ариѳметики. Поэтому желаніе нѣкоторыхъ внести формулировку этихъ законовъ въ курсъ математики начальной въ настоящее, по крайней мѣрѣ, время приходится считать недоразумѣніемъ. Законами этими пользовались всегда, но строго формулированы они и надлежащимъ образомъ оцѣнены только въ серединѣ, приблизительно, XIX вѣка.

(т.-е. сомножителей можно взять въ какомъ угодно порядкѣ).

По закону сочетательному для умноженія

(т.-е. сомножителей можно перемножать въ какихъ угодно комбинаціяхъ). По тому же сочетательному закону, вмѣсто сомножителей, которые сами разлагаются на множителей, можно изъ сомножителей данныхъ для перемноженія чиселъ составить въ любомъ порядкѣ тѣ или иныя произведенія и найти произведенія этихъ произведеній.

По распредѣлительному закону для умноженія, по отношенію къ сложенію, справедливо, какъ извѣстно, слѣдующее тожество:

Система опредѣленій четырехъ дѣйствій въ школѣ.

§ 23. Значительнымъ сомнѣніямъ подлежитъ польза внесенія въ курсъ ариѳметики, предназначенный для малолѣтнихъ учениковъ, болѣе строгой системы опредѣленій, относящихся до всѣхъ ариѳметическихъ дѣйствій. Опредѣленія эти, конечно, могутъ быть выучены учащимися наизусть и даже вполнѣ усвоены (чего нельзя сказать о т. н. законахъ сложенія и умноженія), но практическаго и значительнаго образовательнаго значенія они для малолѣтнихъ учащихся, особенно для учащихся начальныхъ

школъ, имѣть не могутъ. Практически для нихъ важнѣе навыки, ариѳметическія умѣнія и разумное отношеніе къ примѣненію этихъ навыковъ и умѣній къ частнымъ случаямъ. Образовательное же значеніе знанія извѣстнаго количества опредѣленій весьма не велико. Только нѣкотораго воспитательнаго, въ смыслѣ логическомъ, значенія этихъ опредѣленій отрицать нельзя. Къ сожалѣнію, русская начальная школа только въ весьма незначительной степени въ состояніи послужить этой цѣли. Во всякомъ случаѣ, достигнуть этого можно только съ помощью удовлетворительнаго, написаннаго простымъ языкомъ, краткаго учебника по предмету начальной ариѳметики. Встарину знанію опредѣленій учащимися придавалось слишкомъ большое значеніе. Тогда и опредѣленія эти, конечно, не отличались той точностью, которая требуется нынѣ, и выучивались учащимися, къ тому же, почти безъ всякаго разумѣнія, наизусть. Сколько-нибудь значительной пользы образованію они, при этихъ условіяхъ, не приносили. Нынѣ, съ улучшеніемъ методъ и способовъ обученія, дѣло обстоитъ нѣсколько иначе. Но, все же, придавать большое значеніе опредѣленіямъ четырехъ дѣйствій надъ натуральными числами въ курсѣ начальной ариѳметики не представляется возможнымъ. О способахъ и условіяхъ употребленія учебника ариѳметики см. „Мет. ар.“, ч. I, изд. 8-е, 1915 г., §§ 43— 46, гл. II. Безусловно вредны такъ наз. «записки», составляемыя подъ диктовку учителя.

Условія употребленія учебника ариѳметики въ школѣ.

§ 24. Здѣсь, можетъ-быть, умѣстно вкратцѣ формулировать главнѣйшія условія употребленія учебника ариѳметики въ школѣ:

1) Ученики могутъ обращаться къ учебной книгѣ не ранѣе третьяго года обученія въ начальной школѣ, и то—только въ томъ случаѣ, если учитель непосредственно руководитъ занятіями учениковъ по этой книгѣ.

2) По содержанію своему, каждый параграфъ и каждая часть его, по книгѣ прорабатываемые учителемъ съ учениками, должны быть ученикамъ, ранѣе чтенія книги, въ главныхъ своихъ чертахъ, вполнѣ хорошо извѣстны. Необходимо, чтобы ученикамъ приходилось, при ближайшемъ ознакомленіи съ учебной книгой, работать не надъ содержаніемъ ея, а преимущественно надъ тѣмъ, какъ то или иное ученіе ариѳметики выражено, изложено въ книгѣ, и отчасти надъ тѣмъ, почему оно такъ или иначе изложено.

3) Подготовка къ усвоенію учениками того или иного ученія, той или иной мысли, того или иного правила должна опираться на рядъ предварительныхъ цѣлесообразныхъ задачъ, вопросовъ и упражненій, имѣющихъ въ виду не только содер-

жаніе предстоящей по книгѣ работы, но и словесное выраженіе, въ которое облечено это содержаніе. Иногда, при этомъ, можетъ оказаться, что работу учениковъ надъ словеснымъ выраженіемъ того или иного ученія надо приноровлять, такъ сказать, подгонять къ избранному въ книгѣ способу изложенія, къ избранной въ ней формулировкѣ.

4) Хотя такъ наз. «введенія» занимаютъ въ книгахъ первое мѣсто, но изученія (изученія, а не усвоенія наизусть!) ихъ содержанія не должно относить къ началу занятій. Введеніе можно вначалѣ опустить, съ тѣмъ чтобы къ нему обращаться въ разное время, при прохожденіи самаго курса ариѳметики, въ третій или даже въ четвертый годъ обученія. Это не только допустимо. Это прямо необходимо особенно по отношенію къ ученикамъ, еще не интересующимся отвлеченными понятіями. Такъ наз. «введенія» включаются въ книги и ставятся на первое мѣсто только для большей стройности изложенія, для большей систематичности его. Система же изученія предмета дѣтьми, какъ извѣстно, не только не должна, но часто (изъ чисто-психологическихъ основаній) не можетъ совпадать съ системою изложенія его въ книгѣ. При недосугѣ, при недостаточной подготовкѣ учениковъ къ усвоенію ряда сопоставленныхъ въ извѣстномъ порядкѣ терминовъ, наконецъ, при недостаткѣ интереса и вкуса учениковъ къ этимъ тонкостямъ, содержаніе «введенія» можно и совсѣмъ опустить. Ибо что такое единица, отвлеченное число и т. п.,—ученики третьяго или четвертаго отдѣленія и безъ всякихъ введеній понимаютъ, а умѣютъ ли они формулировать ту или иную постановку этихъ вопросовъ — чаще всего для дальнѣйшаго не столь важно. Это тѣмъ справедливѣе, что многія изъ тѣхъ понятій, о которыхъ обыкновенно говорится во «введеніяхъ» къ учебникамъ ариѳметики, не всегда принадлежатъ къ числу легко поддающихся вѣрному и понятному опредѣленію. Таковы, напр., понятія о единицѣ, о счетѣ, о величинѣ, и т. п.

5) Словамъ вообще надо придавать меньше значенія, чѣмъ существу дѣла и идеямъ. А потому выучивать что бы то ни было изъ учебной книги наизусть ученики не должны ни въ какомъ случаѣ. Они должны хорошенько усвоить мысли и идеи, а не слова. Если данная мысль ариѳметическаго содержанія учениками усвоена, то,

послѣ надлежащей проработки относящагося къ ней текста даннаго параграфа, подходящія слова для надлежащаго выраженія этой мысли также найдутся въ распоряженіи учениковъ. Текстъ книги долженъ только упорядочивать ариѳметическое мышленіе учениковъ и, вмѣстѣ съ тѣмъ, развивать и упорядочивать также и навыкъ учениковъ въ надлежащемъ выраженіи, въ надлежащей формулировкѣ, тѣхъ или иныхъ ариѳметическихъ мыслей или правилъ.

Система опредѣленій въ дѣйствіи сложенія.

§ 25. Систему опредѣленій въ области сложенія можно построить такъ: „Пусть дано 27 какихъ-нибудь предметовъ и еще 9 такихъ же предметовъ. Всѣ эти 9 предметовъ прибавимъ по одному къ даннымъ намъ 27-ти предметамъ; тогда мы получимъ, что всѣхъ предметовъ 36“1). Далѣе можно выяснить возможность такого присчитыванія любого числа къ любому другому. Затѣмъ можно дать опредѣленіе суммы: „суммою данныхъ чиселъ называется то число, которое можно получить, сосчитавши, сколько всѣхъ единицъ во всѣхъ данныхъ числахъ“. Далѣе можно обратиться къ тому свойству суммы двухъ или нѣсколькихъ чиселъ, по которому величина ея не зависитъ отъ порядка слагаемыхъ. Затѣмъ ранѣе опредѣленія понятія о сложеніи можно указать, что необходимо знать такъ называемую таблицу сложенія, т.-е. знать на-память, какъ велика сумма любыхъ двухъ однозначныхъ чиселъ, и не затрудняться въ быстромъ нахожденіи суммы любого двузначнаго числа съ однозначнымъ. Только послѣ этого можно установить понятіе о сложеніи натуральныхъ чиселъ: „Сложить какія бы то ни было цѣлыя числа значитъ отыскать сумму этихъ чиселъ, съ помощью таблицы сложенія“. Опредѣленіе термина „слагаемыя“ не затруднительно. Надо ли эти опредѣленія знать, выяснено выше, въ § 2 этой главы.

Форма опредѣленій вообще.

Но если учитель непремѣнно желаетъ достигнуть того, чтобы учащіеся усвоили себѣ извѣстную совокупность опредѣленій, онъ, во всякомъ случаѣ, не въ правѣ забывать слѣдующихъ, крайне важныхъ въ методическомъ отношеніи, взглядовъ на опредѣленія: а) опредѣленій не должно давать въ готовомъ видѣ, они должны быть выводимы самими учениками изъ примѣровъ и съ помощью товарищей и учителя; б) окончательную форму опредѣленію можетъ придать учитель, который долженъ постараться о томъ, чтобы ученики къ ней приблизились, благодаря классной работѣ, и чтобы окончательная форма опредѣленія была согласна съ установленною въ учебникѣ; в) опредѣленіе не должно быть даваемо непремѣнно

1) См. «Ариѳметику для нач. школъ» Шохоръ-Троцкаго. Спб. 1903.— Книга эта давно распродана. Можетъ-быть, автору этой книги удастся ее выпустить въ свѣтъ новымъ изданіемъ въ непродолжительномъ времени.

въ такой формѣ: „сложеніемъ называется дѣйствіе“ и т. д., или „суммою называется число“ и т. д., „слагаемымъ называется число“ и т. д. Согласно современнымъ требованіямъ логики, этимъ опредѣленіямъ можно придать и такую форму: „сложить два числа, или одно число съ другимъ, значитъ найти“ и т. д., „если у насъ есть два числа и требуется найти третье, въ которомъ“ и т. д., „то это третье число называется суммою“ и т. п.—Этотъ послѣдній пунктъ важенъ съ методической и логической точки зрѣнія при обученіи не только ариѳметикѣ, но и другимъ предметамъ. Нынѣ можно считать неосновательнымъ то требованіе многихъ учителей, по которому каждое опредѣленіе должно имѣть непремѣнно такую форму: „именемъ существительнымъ называется“, „умноженіемъ называется“, „млекопитающимъ называется животное, которое“ и т. п. Учитель, не признающій другихъ формъ опредѣленія, кромѣ сейчасъ приведенной, крайне затрудняетъ усвоеніе самой сущности дѣла дѣтьми, которымъ отглагольныя имена существительныя и вообще слишкомъ книжные обороты рѣчи чужды. Онъ жертвуетъ этой сущностью ради достиженія никому ненужной округленности и призрачной точности опредѣленій. По поводу этой особенности обычныхъ опредѣленій извѣстный философъ Германъ Лотце высказываетъ въ своемъ сочиненіи по предмету логики слѣдующія, весьма важныя для всякаго учителя, мысли: „Необразованный человѣкъ, къ великому огорченію лицъ, занимающихся логикой, опредѣляетъ „болѣзнь“ слѣдующимъ, извѣстнымъ своею неуклюжестью, образомъ: „болѣзнь—это если кто-нибудь нездоровъ“. Такое опредѣленіе, конечно, нуждается въ исправленіи, но это исправленіе однако же заключается вовсе не въ томъ, чего столь упрямо требуетъ логика... Мы имѣемъ полное право опредѣлять болѣзнь, исходя и изъ имени прилагательнаго: боленъ человѣкъ въ томъ случаѣ, если отправленія его организма неправильны и если эта неправильность переходитъ извѣстныя границы... Никакой пользы не приносятъ стремленія къ опредѣленію всякихъ понятій непремѣнно съ помощью имени существительнаго (болѣзнью называется и т. д.)... Обычная форма опредѣленій, напротивъ, страдаетъ именно тѣмъ недостаткомъ, что, благодаря ей, мы слишкомъ сильно привыкаемъ принимать за нѣчто самостоятельное какъ-разъ то, что представляетъ собою не что иное, какъ только нѣкоторое качество или состояніе какого-нибудь другого предмета, безъ котораго это качество, состояніе или свойство само по себѣ вовсе и не существуетъ“.

Система опредѣленій въ дѣйствіи вычитанія.

§ 26. Опредѣленіе вычитанія связано съ большими логическими тонкостями. Исходя изъ конкретныхъ примѣровъ, можно привести къ слѣдующей системѣ опредѣленій, относящихся до вычитанія. Пусть у насъ есть какое-нибудь число (напр., 57) какихъ-нибудь предметовъ; пусть требуется отдѣлить нѣкоторое число ихъ, напр., 25 штукъ, и сосчитать, сколько предметовъ входятъ, сверхъ этихъ 25-ти, въ составъ данныхъ намъ 57-ми предметовъ. Сдѣлавши это, узнаемъ, что у насъ, сверхъ 25-ти

предметовъ, есть еще 32, которые вмѣстѣ съ этими 25-ю составляютъ данные намъ 57 предметовъ, или что въ 57-ми единицахъ, сверхъ 25-ти единицъ, содержатся еще 32 единицы.—Всякое число, отличающееся отъ одной единицы, можно разсматривать, какъ сумму нѣкотораго извѣстнаго числа его единицъ съ нѣкоторымъ другимъ (а иногда—съ такимъ же) числомъ его же единицъ.

Для того, чтобы по данной суммѣ двухъ слагаемыхъ и одному изъ нихъ быстро вычислить другое, не данное намъ, слагаемое, необходимо знать такъ называемую таблицу вычитанія, т.-е. знать па-память, какъ велико однозначное слагаемое, ежели извѣстна его сумма съ извѣстнымъ намъ однозначнымъ слагаемымъ.

Вычесть изъ даннаго числа нѣкоторое число его же единицъ значитъ, съ помощью таблицы вычитанія, найти третье число, отъ сложенія котораго со вторымъ получится первое. Первое изъ данныхъ намъ чиселъ называется уменьшаемымъ, данное намъ слагаемое называется вычитаемымъ, а не данное намъ (искомое) слагаемое—остаткомъ отъ вычитанія, или просто остаткомъ. Въ этомъ случаѣ уменьшаемое число больше вычитаемаго и больше остатка.—Другая задача гласитъ такъ: пусть даны не одно число и нѣкоторая часть его, а два различныхъ числа, напр., 18 единицъ и 7 такихъ же единицъ, изъ которыхъ ни одна не входитъ въ составъ первыхъ 18-ти единицъ. Тогда изъ большаго числа можно вычесть столько его единицъ, сколько ихъ содержится во второмъ числѣ, т.-е. изъ большаго числа можно вычесть 7 его же единицъ. Мы такимъ образомъ узнаемъ, какое третье число надо прибавить къ меньшему изъ данныхъ двухъ чиселъ, т.-е. къ 7-ми, чтобы получить число, равное большему. Говорятъ также, что такимъ образомъ узнаютъ, на сколько единицъ большее число больше меньшаго, или (что—то же) на сколько единицъ меньшее число меньше большаго. То число единицъ, на которое одно число больше или меньше другого числа, называется разностью между данными числами. — Разность между данными двумя числами находятъ съ помощью вычитанія: для этого изъ большаго числа вычитаютъ столько его единицъ, сколько единицъ въ меньшемъ изъ данныхъ чиселъ. Разность между данными двумя числами равна тогда остатку отъ этого вычитанія. Поэтому остатокъ отъ вычитанія меньшаго числа изъ большаго называется также разностью между данными двумя числами.—Если два числа равны между собою, то говорятъ: разность между ними равна нулю.

Чего можно требовать отъ учениковъ въ области этихъ опредѣленій? Опытъ показываетъ, что весьма немногаго. Достаточно, если они могутъ сказать, что для вычитанія надо знать таблицу вычитанія, что то число, которое мы уменьшаемъ, наз. уменьшаемымъ, что то число, которое вычитаемъ—вычитаемымъ, что если сложить вычитаемое съ остаткомъ, то получимъ уменьшаемое, и т. п.

Система опредѣленій въ дѣйствіи умноженія.

§ 27. Систему опредѣленій, относящихся до умноженія, можно построить, примѣрно, слѣдующимъ образомъ. Пусть даны четыре одинако-

выхъ числа: 35, 35, 35 и 35, и пусть требуется ихъ сложить; въ этомъ случаѣ говорятъ, что 35 требуется взять слагаемымъ четыре раза. — Всякое число можно взять слагаемымъ столько разъ, сколько единицъ въ другомъ числѣ, если послѣднее больше единицы.—Такъ, 27 взять слагаемымъ 5 разъ значитъ—сложить пять чиселъ, изъ которыхъ каждое содержитъ 27 единицъ. Третье число, которое получится, если возьмемъ первое число слагаемымъ столько разъ, сколько единицъ во второмъ числѣ, называется произведеніемъ перваго числа на второе.—Такъ, 20 — произведеніе 5-ти на 4, а 49—произведеніе 7-ми па 7. — Второе число должно быть больше единицы, потому что слагаемыхъ должно быть, по крайней мѣрѣ, два.

Если даны два числа, то произведеніе перваго на второе равно произведенію второго на первое.—Такъ, если даны два числа: 7 и 3, то, возьмемъ ли мы 7 слагаемымъ 3 раза, или же 3 — слагаемымъ 7 разъ, мы въ обоихъ случаяхъ получимъ одно и то же произведеніе, а именно 21.—Произведеніе одного числа на другое называютъ также произведеніемъ данныхъ двухъ чиселъ.— Всякое цѣлое число, отличающееся отъ единицы, можно разсматривать, какъ произведеніе одной единицы на это же число; такъ, 7 есть произведеніе одной единицы на 7. — Существуютъ числа, которыя можно разсматривать какъ произведенія двухъ одинаковыхъ или двухъ различныхъ чиселъ; такъ, 49 — произведеніе 7-ми на 7, а 50—произведеніе 10 на 5.

Пусть даны пять чиселъ: 7, 5, 4, 3 и 10; найдемъ произведеніе 7-ми па 5, получимъ 35; возьмемъ это произведеніе слагаемымъ 4 раза, получимъ 140; найдемъ произведеніе этого числа на 3, получимъ 420; найдемъ, наконецъ, произведеніе 420-ти на послѣднее изъ данныхъ чиселъ, т.-е. на 10, и мы получимъ новое число, а именно 4 200. — Всякое цѣлое число можно взять слагаемымъ столько разъ, сколько единицъ въ другомъ; полученное произведеніе можно взять слагаемымъ столько разъ, сколько единицъ въ третьемъ числѣ, и такимъ образомъ можно поступать до тѣхъ поръ, пока не будутъ исчерпаны всѣ данныя числа. То число, которое при этомъ получится въ концѣ-концовъ, называется произведеніемъ всѣхъ данныхъ чиселъ. — Такъ, 40 — произведеніе чиселъ: 5, 2 и 4.

Если дано нѣсколько чиселъ, то, въ какомъ бы порядкѣ ихъ ни взяли, произведеніе всѣхъ чиселъ получится одно и то же. Такъ, произведеніе чиселъ: 7, 5, 4 и 3—то же, что произведеніе чиселъ: 3, 5, 7 и 4.—Этого мало: если даны числа: 7, 4, 5, 2 и 8, то ихъ произведеніе можно найти по-разному, напр., такъ: сначала найдемъ произведеніе третьяго числа на четвертое (т.-е. 5-ти на 2), получимъ 10, затѣмъ — произведеніе второго на пятое, получимъ 32,—такъ-что, вмѣсто чиселъ: 5, 2, 4 и 8, мы возьмемъ два произведенія: 10 и 32; теперь будемъ искать уже произведеніе чиселъ: 7, 10 и 32; для этого, вмѣсто чиселъ: 10 и 32, возьмемъ ихъ произведеніе 320, и тогда намъ придется уже искать произведеніе чиселъ 320 и 7.—Важно при этомъ только слѣдующее: 1) чтобы,

при отысканіи произведенія, каждое изъ данныхъ чиселъ принималось въ расчетъ, 2) чтобы каждое изъ чиселъ принималось въ расчетъ только одинъ разъ, и 3) чтобы ни одно лишнее число, сверхъ тѣхъ, которыя даны, не было принято въ расчетъ при составленіи какого-либо промежуточнаго или при составленіи окончательнаго произведенія.

Для того, чтобы быстро вычислить произведеніе какихъ угодно чиселъ, необходимо знать такъ наз. таблицу умноженія, т.-е. знать на-память произведенія любыхъ двухъ, одинаковыхъ или разныхъ, чиселъ перваго десятка. При этомъ считаютъ, что произведеніе любого числа на единицу равно первому числу, т.-е.: единожды-одинъ—одинъ, единожды-два—два, и т. д.

Умножить одно число на другое, или перемножить два данныхъ числа значитъ найти ихъ произведеніе съ помощью таблицы умноженія. Когда требуется перемножить два числа, то говорятъ иногда, что „первое требуется взять столько разъ, сколько единицъ во второмъ“.—Такъ, если требуется 12 помножить на 5, то говорятъ, что 12 надо взять 5 разъ (при этомъ пропущено слово „слагаемымъ“).—Первое число (слагаемое) называется множимымъ, а второе (число слагаемыхъ)—множителемъ.

Перемножить нѣсколько чиселъ значитъ найти ихъ произведеніе, пользуясь, при этомъ, таблицею умноженія. Величина произведенія нѣсколькихъ чиселъ не измѣняется отъ перемѣны въ ихъ порядкѣ или въ порядкѣ ихъ перемноженія. Всѣ числа, которыя требуется перемножить, а также числа, которыхъ произведеніе уже найдено, называются сомножителями этого произведенія.

Чего можно требовать отъ учащихся въ этой области? Только пониманія нѣсколькихъ фактовъ: 1) когда мы говоримъ 23 да 23 будетъ 46, то это—сложеніе, а когда говоримъ „дважды 23 будетъ 46“, то это—умноженіе; когда мы пользуемся таблицей умноженія, то мы производимъ умноженіе; ученикъ долженъ это показать на примѣрѣ; 2) то число, которое мы множимъ, называется множимымъ, то, на которое множимъ—множителемъ, и т. д.; 3) можно перемѣщать сомножителей; 4) если множитель—единица, то произведеніе равно множимому.

Особенные случаи умноженія.

§ 28. Есть два случая, когда дѣйствіе умноженія теряетъ свой первоначальный смыслъ (т.-е. смыслъ дѣйствія, съ помощью котораго находятъ сумму нѣсколькихъ равныхъ слагаемыхъ).

Вслѣдствіе этого, смыслъ слова „произведеніе“ долженъ тогда быть установленъ еще разъ. Это—случаи, когда множитель равенъ одной единицѣ и когда онъ равенъ нулю. Дѣло въ томъ, что если у насъ написано 7×3, 7×5, 7×2, то каждая изъ этихъ записей выражаетъ, что число 7 надо взять слагаемымъ нѣкоторое число разъ. Когда же мы напишемъ 7×1, то эта запись не можетъ обозначать, что 7 надо взять слагаемымъ 1 разъ, потому что слагаемыхъ должно быть нѣсколько или, по крайней мѣрѣ, два. Точно такъ же запись 7×0 не можетъ имѣть того значенія, которое придается множителю, когда онъ не меньше 2-хъ. Говорить, что въ

этомъ случаѣ 7 взято слагаемымъ нуль разъ и что, стало-быть, въ такомъ случаѣ семи не надо брать слагаемымъ, значитъ ничего не сказать. Ибо самое представленіе о слагаемомъ связано съ представленіемъ о нѣсколькихъ или, по крайней мѣрѣ, о двухъ числахъ, которыя надо сложить. Вотъ почему, съ теоретической точки зрѣнія, или (что—то же) съ точки зрѣнія логической, надо отмѣтить слѣдующія два опредѣленія: если множитель—единица, то въ такомъ случаѣ считаютъ, что произведеніе равно множимому, а если множитель—нуль, то считаютъ, что произведеніе равно нулю.

Система опредѣленій въ дѣйствіи дѣленія.

§ 29. Въ то время какъ система опредѣленій, устанавливающихъ понятіе о сложеніи натуральныхъ чиселъ, довольно проста, уже система опредѣленій, относящихся до вычитанія, сложнѣе, а система опредѣленій, устанавливающая понятіе объ умноженіи, еще сложнѣе. Гораздо сложнѣе система опредѣленій, относящихся до дѣленія. Если въ основу этой системы (какъ того требуютъ сторонники только общихъ опредѣленій) положить условіе, что мы имѣемъ дѣло только съ отвлеченными числами, то и тогда эта система довольно громоздка. Что она для учащихся почти не доступна, о томъ двухъ мнѣній быть не можетъ. Она связана съ понятіемъ о дѣленіи (конечно, безъ остатка), какъ о дѣйствіи, цѣль котораго—отысканіе одного изъ сомножителей произведенія, когда даны это произведеніе и другой сомножитель. Для того, чтобы съ пользой для своего образованія усвоить себѣ какъ слѣдуетъ это опредѣленіе и все то, что связано съ нимъ, требуются столь значительныя усилія отвлеченнаго мышленія, которыя не подъ-силу малолѣтнимъ учащимся начальной школы. При томъ построеніи ученія о дѣленіи, въ основѣ котораго сначала лежитъ понятіе о дѣленіи двоякаго рода, система опредѣленій сводится къ слѣдующему. Пусть даны два числа, изъ которыхъ первое больше второго. При этомъ могутъ встрѣтиться два случая: 1) первое число представляетъ собою произведеніе нѣкотораго третьяго, намъ не даннаго, числа на второе; такъ, если даны числа 28 и 4, то первое изъ нихъ представляетъ произведеніе нѣкотораго третьяго числа (7-ми единицъ) на второе (т.-е. на 4); 2) первое число не представляетъ собою произведенія какого-либо третьяго числа на второе; такъ, если даны числа 31 и 4, то 31 не представляетъ собою произведенія какого-либо третьяго числа на второе, потому что, какое бы цѣлое число ни помножить на 4, мы не получимъ 31-й единицы. — Въ этомъ послѣднемъ случаѣ, однако же, существуетъ такое третье число (7), что если мы его помножимъ на второе, т.-е. на 4, то получимъ произведеніе 28, которое меньше перваго изъ данныхъ чиселъ (т.-е. 31-го) на число 3, меньшее, чѣмъ второе изъ данныхъ намъ чиселъ.

Въ первомъ изъ этихъ двухъ случаевъ даны: произведеніе двухъ чиселъ и множитель, а неизвѣстно множимое. Во второмъ же случаѣ даны: извѣстный множитель и число, которое не равно произведенію какого-либо цѣлаго множимаго на этого множителя, а болѣе произведенія нѣкотораго цѣлаго множимаго на даннаго множителя на число, которое меньше этого множителя.

Меньшее изъ данныхъ двухъ чиселъ можетъ представлять собою извѣстное множимое. Тогда возможны такіе ж.е два случая, какіе разсмотрѣны выше, т.-е.: 1) первое число представляетъ собою произведеніе нѣкотораго даннаго числа на нѣкоторое третье, намъ не данное; такъ, если даны два числа 28 и 4, то первое изъ нихъ представляетъ собою произведеніе второго числа (4-хъ единицъ) на нѣкоторое третье число (т.-е. на 7); 2) первое число не представляетъ собою произведенія даннаго числа на какое-либо третье; такъ, если даны два числа 31 и 4, то 31 не представляетъ собою произведенія второго числа на нѣкоторое третье, потому что на какое бы третье число мы ни помножили 7, мы не получимъ 31-й единицы. И т. д. (см. выше).

Послѣ опредѣленій, установленныхъ такимъ образомъ и подготовляющихъ къ общему опредѣленію дѣленія, можно, въ случаѣ необходимости этого послѣдняго опредѣленія, перейти къ слѣдующей установкѣ (невозможныхъ въ начальной школѣ) опредѣленій:

Для того, чтобы для всякой пары чиселъ, быстро вычислить неизвѣстнаго сомножителя, необходимо знать такъ называемую таблицу дѣленія, т.-е. знать на-память, какъ великъ неизвѣстный однозначный сомножитель, когда извѣстны другой однозначный сомножитель и произведеніе обоихъ этихъ сомножителей.

Пусть изъ данныхъ двухъ чиселъ первое (большее) равно произведенію второго (меньшаго) числа на нѣкоторое третье. Въ этомъ случаѣ раздѣлить большее число на меньшее значитъ, пользуясь таблицею дѣленія, по данному произведенію двухъ сомножителей и одному изъ нихъ найти другого сомножителя. Такъ, раздѣлить 45 на 5 значитъ найти, пользуясь таблицей дѣленія, число 9, которое надо помножить на 5 (или на которое надо помножить 5), чтобы получить 45.

Пусть изъ данныхъ двухъ чиселъ первое (большее) не равно произведенію меньшаго числа на нѣкоторое третье число. Тогда можно найти такого сомножителя, что если второе число помножить на него (или его помножить на второе), то получится произведеніе, которое менѣе большаго числа на число, меньшее, чѣмъ второе. Въ этомъ случаѣ раздѣлить большее число на меньшее также значитъ, пользуясь таблицею дѣленія, найти этого неизвѣстнаго сомножителя. Такъ, если даны числа 47 и 5, то раздѣлить 47 на 5 значитъ найти, пользуясь таблицей дѣленія, число 9, которое надо помножить на 5 (или на которое надо помножить число 5), чтобы получить число 45, при чемъ 45 меньше даннаго большаго числа (47-ми) на число 2, которое въ свою очередь меньше, чѣмъ данное намъ второе число (т.-е. чѣмъ 5). Понятны дѣтямъ термины:

Число, которое надо раздѣлить на другое, называется дѣлимымъ, второе число (извѣстный сомножитель)—дѣлителемъ, а неизвѣстный сомножитель—частнымъ отъ раздѣленія дѣлимаго на дѣлителя, или просто частнымъ. Если дѣлимое не равно произведенію дѣлителя на частное, или (что—то же) не равно произведенію частнаго на дѣлителя, то разность между дѣлимымъ

и этимъ произведеніемъ называется остаткомъ отъ дѣленія, или остаткомъ. — Такъ, если требуется раздѣлить 45 на 5, то 45—дѣлимое, 5—дѣлитель, а 9—частное. Если же даны числа 47 и 5, и требуется раздѣлить 47 на 5, то 47—дѣлимое, 5—дѣлитель, 9—частное, а 2—остатокъ. Если дѣлимое равно произведенію дѣлителя на частное, или (что—то же) произведенію частнаго на дѣлителя, то говорятъ, что дѣленіе совершается на-цѣло безъ остатка, или же говорятъ, что остатокъ отъ дѣленія равенъ нулю.

Если меньшее число разсматривать какъ сумму двухъ слагаемыхъ, изъ которыхъ одно равно произведенію большаго числа на нуль (т.-е. нулю), а другое равно столькимъ единицамъ, сколько ихъ содержится въ меньшемъ числѣ, то тогда можно считать, что, напр., 7 = 0 × 9 + 7. Иногда приходится говорить о раздѣленіи меньшаго числа на большее. Считаютъ, что отъ раздѣленія меньшаго числа на большее въ частномъ получается пуль, а въ остаткѣ— меньшее число. Это можно записать такъ: 7:9 — 0 (ост. 7).

Если требуется найти неизвѣстное множимое, то это множимое называется частнымъ отъ раздѣленія дѣлимаго на дѣлителя. Если же требуется найти неизвѣстнаго множителя, то этотъ множитель тоже называется частнымъ отъ раздѣленія дѣлимаго на дѣлителя, а также отношеніемъ дѣлимаго къ дѣлителю.

Чего можно требовать отъ учащихся въ этой системѣ опредѣленій? Опытъ показываетъ, что вполнѣ достаточно для малолѣтнихъ, при какой бы то пи было системѣ опредѣленій, относящихся до дѣленія цѣлыхъ чиселъ, если они твердо знаютъ, что число, которое дѣлимъ, называется дѣлимымъ, число, на которое дѣлимъ— дѣлителемъ, число, которое получаемъ отъ дѣленія — частнымъ, что иногда получается остатокъ. Терминъ „отношеніе“ одного числа къ другому уже затруднителенъ для учащихся.—Важно, чтобы дѣти были въ состояніи придумать задачи на дѣленіе, чтобы они различали два рода дѣленія и умѣли придумывать задачи на дѣленіе любого рода, чтобы они могли частное (не отношеніе!) обозначить въ видѣ смѣшаннаго числа и чтобы они умѣли сводить дѣленіе на извѣстное число равныхъ между собою частей къ дѣленію на извѣстныя равныя части. Остальное для нихъ слишкомъ сложно.

Провѣрка дѣйствій.

§ 30. Встарину провѣркѣ четырехъ дѣйствій придавалось очень большое значеніе.

Въ настоящее время въ методической литературѣ, да и на практикѣ, провѣркѣ дѣйствій уже не придается того значенія, какъ встарину. Дѣло въ томъ, что всякая провѣрка (провѣрка, напр., сложенія) естественно требуетъ, чтобы было еще разъ произведено то же или иное дѣйствіе. Но при производствѣ всякаго дѣйствія опять можетъ вкрасться та же или иная ошибка. Поэтому не слѣдуетъ думать, что если при провѣркѣ дѣйствія полученъ удовлетворительный результатъ, то дѣйствіе

произведено вѣрно. Можно утверждать только одно, а именно, что для повѣрки сложенія можно произвести это дѣйствіе еще разъ въ томъ же или иномъ порядкѣ, и что если оба раза сложеніе произведено вѣрно, то получатся одинаковыя суммы. Но нельзя утверждать, что если въ обоихъ случаяхъ получилась одна и та же сумма, то въ первый разъ сложеніе произведено вѣрно. Если же при провѣркѣ получилось не то число, которое нужно, то нельзя утверждать, что въ первый разъ дѣйствіе произведено не вѣрно. Можно допустить только нѣкоторую вѣроятность того, что сложеніе совершено вѣрно, если оба раза получился одинаковый результатъ. Но насколько велика эта вѣроятность — сказать нельзя. Иногда производящій вычисленіе и сдѣлавшій какую-либо ошибку, ту же ошибку повторяетъ и при вторичномъ производствѣ того же дѣйствія,—въ особенности, если это дѣйствіе произведено въ томъ же порядкѣ. Иногда же ошибка можетъ быть сдѣлана при повѣркѣ. Однимъ словомъ, полагаться на повѣрку не слѣдуетъ, и это учащіеся ариѳметикѣ должны ясно сознавать. Весьма полезно, кромѣ того, внушить имъ сознаніе, что дѣйствіе слѣдуетъ по возможности производить прежде всего такъ, чтобы оно въ повѣркѣ не нуждалось, т.-е. со всей той рачительностью и вниманіемъ, со всею тою аккуратностью въ работѣ, которыя являются прямо необходимыми и существенными условіями вѣрнаго вычисленія. Вообще, какъ обычныя правила повѣрки, такъ и самое ученіе о провѣркѣ четырехъ дѣйствій, крайне устарѣли. Поэтому нынѣ къ правиламъ провѣрки не слѣдуетъ прибѣгать. Провѣрка съ помощью признаковъ дѣлимости на 9 и на 11 выходитъ за предѣлы курса начальной школы. Кромѣ того, и эти способы провѣрки не даютъ совершенной достовѣрности въ томъ, что дѣйствіе совершено вѣрно или невѣрно. То же надо сказать относительно повѣрки дѣйствія обратнымъ дѣйствіемъ.—Цѣнны въ повѣркѣ дѣйствій два момента: 1) логическая сторона дѣла: если оба раза дѣйствія произведены вѣрно, то оба результата дѣйствій должны быть вѣрны, но не наоборотъ, т.-е. если повѣрка дала удовлетворительный (или неудовлетворительный) результатъ, то это не значитъ, что провѣряемое дѣйствіе произведено вѣрно (или невѣрно); 2) методическая же сторона дѣла сводится къ тому, что, благодаря упражненіямъ въ такъ наз. повѣркѣ, учащіеся усваиваютъ себѣ взаимоотношенія между данными

числами и искомыми; особенно это справедливо относительно вычитанія и дѣленія. Но для этой послѣдней цѣли прибѣгать къ провѣркѣ не необходимо: эти взаимоотношенія могутъ быть усвоены учащимися благодаря примитивнымъ уравненіямъ (см. § 6 этой же главы). Насколько нужны логическія тонкости въ упражненіяхъ учащихся въ провѣркѣ дѣйствій, судить можетъ только учитель, руководясь уровнемъ развитія учащихся и временемъ, имѣющимся въ ихъ распоряженіи.

Отдѣльное ученіе объ измѣненіи искомыхъ чиселъ.

§ 31. Устарѣло въ настоящее время также отдѣльное ученіе о такъ наз. измѣненіяхъ искомыхъ чиселъ въ зависимости отъ измѣненій чиселъ данныхъ. Различными случаями, когда приходится считаться съ этими измѣненіями, довольно богаты многіе вопросы ариѳметики. Сверхъ того, они умѣстны скорѣе тогда, когда вообще идетъ рѣчь о зависимости однихъ чиселъ отъ другихъ. Немаловажное возраженіе противъ отдѣльнаго ученія объ этихъ измѣненіяхъ сводится къ тому, что болѣе или менѣе ясное освѣщеніе измѣненій искомыхъ чиселъ естественно требуетъ буквенныхъ обозначеній. Противъ этого ученія говоритъ и то обстоятельство, что словесная формулировка иногда чрезмѣрно многословна (напр., при одновременныхъ измѣненіяхъ сомножителей при умноженіи и дѣлимаго и дѣлителя при дѣленіи). Въ своемъ мѣстѣ нѣкоторые вопросы этого рода разсмотрѣны. Какъ это указывалось неоднократно, нѣкоторые способы нахожденія суммы, разности и произведенія въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ важнѣе самаго ученія объ измѣненіяхъ, хотя находятся въ зависимости отъ замѣны данныхъ чиселъ другими, для болѣе быстраго и изящнаго вычисленія искомаго результата. Измѣненіямъ частью посвящена 48-я ступень.

Что такое изящное вычисленіе?

§ 32. Не только въ третій и четвертый, но даже въ первые годы обученія дѣтей въ начальныхъ школахъ, ученики должны быть научаемы болѣе или менѣе изящному вычисленію. Что это значитъ—«изящное вычисленіе»? Если ученикъ, при умноженіи какого-нибудь числа на 98, поступаетъ согласно правилу письменнаго производства умноженія на многозначное число, не зависящему отъ особенностей этого послѣдняго, то это вычисленіе будетъ не изящно. Если же онъ помножитъ множимое на 100 и изъ полученнаго вычтетъ удвоенное мно-

жимое, то это будетъ, напротивъ, изящнымъ вычисленіемъ. Подобныхъ примѣровъ множество даже въ ариѳметикѣ чиселъ первой сотни. Случаевъ, когда ариѳметика-искусство, какъ совокупность способовъ изустнаго и письменнаго производства четырехъ дѣйствій, дозволяетъ едва ли не каждое вычисленіе сдѣлать изящно, т.-е. сообразно не только съ общими правилами, но и съ требованіями здраваго смысла и требованіями искусства вычисленія, — такихъ случаевъ практика представляетъ гораздо больше, чѣмъ это кажется съ перваго взгляда человѣку, привыкшему смотрѣть на ариѳметику только съ точки зрѣнія учебниковъ этого предмета.

Невозможно считать такую постановку обученія согласною съ требованіями искусства вычисленія, при которой ученики, на соотвѣтствующей ступени обученія, не умѣютъ сколько-нибудь увѣренно, быстро и безъ карандаша въ рукахъ, безъ ошибокъ въ умноженіи, вычислить—что, напр., стоятъ 191/2 ф. говядины, если фунтъ стоитъ 141/2 коп., или что стоятъ 23/4 фун. чаю, если фунтъ его стоитъ 2 руб. 40 коп. Большинство учениковъ непремѣнно станетъ обращать 191/2 и 141/2 въ неправильныя дроби и даже 23/4 въ неправильную дробь, въ то время какъ первую задачу легко рѣшить, узнавъ—что стоятъ 20 ф. говядины, а вторую, узнавъ — что стоятъ 3 ф. чаю.—Вотъ почему на многихъ ступеняхъ обученія ариѳметикѣ надо и можно пріучить дѣтей къ изящнымъ способамъ вычисленія. Напр., даже въ ариѳметикѣ чиселъ первыхъ десятковъ возможны случаи, когда вычисленіе можно сдѣлать не обычно практикуемыми способами, пригодными для всякихъ чиселъ, а способомъ, вытекающимъ изъ особенностей данныхъ чиселъ. Такъ, при сложеніи однозначнаго числа съ однозначнымъ, если сумма ихъ больше десяти, вообще можно образовать десятокъ изъ одного слагаемаго и соотвѣтствующаго числа единицъ другого, но для сложенія чиселъ 7 и 8, можно сложить 7 да 7 и къ полученному прибавить 1, или сложить 8 да 8 и изъ полученнаго вычесть одинъ; для отысканія суммы чиселъ 8 и 8 можно сложить 10 да 8, а изъ полученнаго вычесть два. И т. п. На возможность изящнаго выполненія вычисленій обращено нѣкоторое вниманіе въ обоихъ «Новыхъ ариѳметическихъ задачникахъ Шохоръ-Троцкаго».

43-я ст.: именованныя числа.

§ 33. Ступень 43-я курса посвящена систематизаціи, съ нѣкоторыми дополненіями, по-

знаній учащихся въ области раздробленія именованныхъ чиселъ, ихъ превращенія и четырехъ дѣйствій. Дополненія относятся преимущественно до вычисленія площадей нѣкоторыхъ фигуръ, до объемовъ нѣкоторыхъ многогранниковъ и до раздробленія и превращенія именованныхъ чиселъ, выражающихъ площади и объемы. Преобразованія именованныхъ чиселъ и дѣйствія надъ ними встрѣчаются въ курсѣ и на раннихъ ступеняхъ обученія. Даже на первой ступени дѣти уже встрѣчаются съ вершкомъ, на 9-й—съ квадратами, изъ которыхъ составляется сѣтка Пиѳагоровой таблицы умноженія, и т. п. 35-я ступень посвящена раздробленію составныхъ именованныхъ чиселъ, а 39-я—превращенію именованныхъ чиселъ и дѣйствіямъ надъ ними. На болѣе раннихъ ступеняхъ въ условія задачъ, сообразно съ цѣлями каждой изъ ступеней, включены именованныя числа. Вообще именованныя числа не должны занимать въ курсѣ мѣста, обособленнаго отъ всего остального учебнаго матеріала. 43-я ступень посвящена, такимъ образомъ, преимущественно систематизаціи и нѣкоторымъ попутнымъ дополненіямъ.

Задачи на время.

§ 34. Хотя на 39-й ступени учащіеся и ознакомились съ единицами мѣры времени, но и на 43-й ступени нѣкоторое мѣсто можно удѣлить простѣйшимъ задачамъ календарнаго содержанія. Въ виду этого, здѣсь не предлагается задачъ вродѣ, напр., слѣдующей: Гоголь родился 19 марта 1809 г., а умеръ, имѣя отъ-роду 42 года 11 мѣс. и 2 дня; спрашивается, какого числа, мѣсяца и года онъ умеръ?» Задачи этого типа, къ тому же, и совершенно безполезны. Жизнь даетъ календарныя указанія относительно начала и конца даннаго промежутка времени, но никогда не предлагаетъ задачъ, вродѣ приведенной выше.

Ясное представленіе должны получить учащіеся о принятой въ христіанскихъ странахъ эрѣ счисленія. Они должны уяснить себѣ, что обозначаютъ выраженія «по Рождествѣ Христовѣ», «до Рождества Христова», понимать, къ какимъ столѣтіямъ принадлежатъ годы 1900, 1800 и т. д., что 1861 годъ принадлежитъ XIX столѣтію, и всѣ годы, въ нумерахъ которыхъ первыя двѣ цифры 1 и 8, за исключеніемъ 1800 года, принадлежать къ XIX столѣтію, что къ XIX же столѣтію принадлежитъ и 1900 годъ. Извѣстно, что въ этомъ отношеніи встрѣчаются недоразумѣнія, при переходѣ изъ одного столѣтія

въ другое, даже у людей взрослыхъ и культурныхъ. Чтобы дѣти себѣ уяснили, что 1900-й годъ былъ послѣднимъ годомъ XIX вѣка, можно прибѣгнуть къ слѣдующему факту. Числа, начиная отъ 1 до 100, всѣ принадлежатъ первой сотнѣ; точно такъ же число 200 принадлежитъ второй сотнѣ, и т. д. Число 1900 принадлежитъ девятнадцатой сотнѣ, а никакъ не двадцатой. А потому 1900-ый годъ принадлежитъ къ XIX вѣку. — Нѣкоторую важность имѣютъ слова «включительно» и предлогъ «по» въ указаніяхъ относительно промежутковъ времени (до 15-го іюля «включительно» или «по» 15-е іюля). Если кто-нибудь говоритъ, что онъ провелъ въ городѣ все время отъ 12-го іюня мѣсяца до 27 числа іюля, то остается не яснымъ, принадлежатъ ли къ этому времени 12-е число іюня мѣсяца и день 27 іюля. Во избѣжаніе недоразумѣній, добавляютъ слово «включительно», и тогда понятно, что надо считать и эти два дня. Въ этомъ же смыслѣ употребляется предлогъ «по», а именно говорятъ: отъ 17 числа по 26-е, это значитъ, что и 17-е число, и 26-е принадлежатъ къ тому промежутку времени, о которомъ идетъ рѣчь. На вопросѣ о переводѣ календарныхъ данныхъ въ ариѳметическія, надъ которыми надо произвести дѣйствіе (чаще всего—вычитаніе), въ методикѣ ариѳметики здѣсь останавливаться не стоитъ. Это разработано въ З. д. уч-лей. Все дѣло въ томъ, что если надо вычислить промежутокъ времени между днемъ освобожденія крестьянъ и днемъ объявленія мобилизаціи во вторую Отечественную войну, то надо изъ 1913 лѣтъ 6 мѣсяцевъ и 17 дней вычесть 1860 л. 1 мѣс. и 18 дней, такъ какъ освобожденіе крестьянъ состоялось 19-го февраля 1861 г., а день мобилизаціи русскихъ войскъ—18 іюля 1914 г. Выраженіе подобнаго промежутка времени въ дняхъ, конечно, тоже возможно, но требуетъ довольно утомительныхъ и въ практической жизни никому ненужныхъ вычисленій.—Понятіе о високосномъ годѣ и о способѣ опредѣленія, имѣемъ ли мы дѣло съ високоснымъ или съ простымъ годомъ, когда намъ заданъ его нумеръ, не представляетъ собою особенныхъ затрудненій, если этотъ вопросъ освободить отъ продолжительныхъ объясненій. Считаютъ, что 4-й годъ, 8-й годъ, 12-й, 16-й годъ по Р. Хр. и т. д.—годы високосные, а остальные—обыкновенные. Въ обыкновенномъ годѣ 365 дней, а въ високосномъ 366 дней. Добавочный день високоснаго года— 29-е число февраля мѣсяца. И т. д.

44-я ст.: изъ области геометріи.

§ 34. Геометрическимъ представленіямъ, терминамъ и вычисленіямъ не чужды и болѣе раннія ступени курса. Даже на 11-й ступени дѣленіе отрѣзка прямой на равныя части поставлено на почву точнаго чертежа и предшествуетъ дѣленію чиселъ, не превышающихъ 20-ти единицъ. На другихъ, еще болѣе раннихъ, ступеняхъ дѣти знакомились съ квадратомъ, съ угломъ и т. п. На 39-й ступени они ознакомились въ нашемъ курсѣ съ угловымъ градусомъ, транспортиромъ, площадями, сѣтками прямоугольныхъ параллелепипедовъ, съ вычисленіемъ нѣкоторыхъ объемовъ, и т. п. Но, въ случаѣ возможности, этотъ матеріалъ надо систематизовать и можно дополнить. Такой систематизаціи и нѣкоторымъ дополненіямъ посвящена 44-я ступень.

Если учащіеся ранѣе не чуждались геометрическихъ точекъ зрѣнія, которыя часто вводились изъ соображеній педагогическихъ, образовательныхъ и методическихъ, если учитель не боялся ставить многія упражненія на почву такъ наз. «лабораторныхъ» занятій, то, конечно, 44-ую ступень легко посвятить приведенію въ систему уже пріобрѣтенныхъ представленій и навыковъ геометрическаго содержанія. Если же этого не дѣлалось, то эта ступень является обособленной отъ остальныхъ и, вслѣдствіе этого, представляетъ нѣкоторыя затрудненія. Во всякомъ случаѣ, матеріалъ, относящійся до этой ступени, распадается на три части: одна изъ нихъ посвящена всему тому, что не относится непосредственно до вычисленія, вторая часть относится до вычисленія площадей, и третья—до вычисленія объемовъ. Хотя нѣкоторымъ пріемамъ примитивнаго землемѣрія посвящена одна изъ дальнѣйшихъ ступеней курса (а именно 55-я), но и въ занимающую насъ 44-ю ступень тоже можно кое-что внести изъ этой области.

Не относящееся до вычисленій.

§ 35. Не относящееся до вычисленій сводится преимущественно къ систематизаціи представленій учащихся о точкѣ, прямой линіи, углѣ, о сторонѣ угла, вершинѣ угла, прямомъ углѣ, перпендикулярной (отвѣсной) линіи, о параллельныхъ («равнобѣжныхъ») прямыхъ, далѣе, о разстояніи между параллельными прямыми, и т. п. При этомъ надо особенно остерегаться опредѣленій и всякихъ доказательствъ. Надо основываться только

на непосредственномъ наблюденіи и пользоваться здравымъ смысломъ учащихся.

Опредѣлять, что называется точкой и прямою, что—угломъ, что—стороною угла, и что—вершиной его, и т. п., совершенно не для чего. Надо отмѣтить, что, съ точки зрѣнія логической и научной, такъ называемыя точныя опредѣленія точки, прямой и плоскости подлежатъ сомнѣнію и считаются не только не важными, но даже не считаются возможными. Понятіе прямого угла можетъ возникнуть съ помощью складыванія бумаги и благодаря непосредственнымъ пространственнымъ воспріятіямъ (интуиціи). Трудны для дѣтей не понятія о прямомъ углѣ, перпендикулярѣ, параллельности, параллелограммѣ, а трудны иногда названія: перпендикуляръ, параллельная прямая и т. п. Вмѣсто слова «перпендикуляръ» можно употреблять слово «отвѣсъ». Нужно только стремиться къ тому, чтобы ученики понимали, въ чемъ дѣло. Не важно, умѣютъ ли они произносить слова, которыя полезны только съ точки зрѣнія обогащенія «словаря», находящагося въ распоряженіи дѣтей. Такъ, не представленіе о полосѣ съ двумя

Рис. 22,

Рис. 23.

краями, идущими параллельно другъ къ другу, затрудняетъ дѣтей. Параллельныя прямыя встрѣчаются чрезвычайно часто въ ежедневной жизни учащихся. Имъ стоитъ только посмотрѣть на разлинованную тетрадку, на обѣ стороны улицы, на рельсы и т. п., чтобы получить ясное представленіе, что такое взаимнопараллельныя прямыя. Слово «параллельный» можно сначала замѣнять или сопровождать словомъ «равнобѣжный», или словами: «края прямой полосы», или даже просто словами: «края полосы». Прямоугольникъ является только извѣстной частью полосы, ограниченной съ четырехъ сторонъ прямыми линіями, изъ которыхъ двѣ попарно параллельны, другія двѣ тоже взаимно параллельны, и каждая изъ послѣднихъ образуетъ съ каждой изъ первыхъ двухъ прямыхъ прямые углы. Равнымъ образомъ разстояніе между двумя параллельными линіями представляетъ собою не что иное, какъ ширину полосы, и учащіеся эту ширину очень хорошо знаютъ съ ранняго дѣтства, когда они переходятъ съ одной стороны улицы на другую. Они переходятъ улицу «прямо», т.-е. подъ прямымъ угломъ къ краямъ улицы. При этомъ должны быть использованы всѣ средства для усвоенія учениками представленія о параллельныхъ прямыхъ и о перпендикулярахъ. Для этого учащіеся должны пользоваться линейкой, моделями угловъ, параллелограммовъ, полосъ и т. п. Важно при этомъ не то, чтобы учащіеся могли сказать, что «параллельными прямыми называются такія прямыя» и т. д., или что «прямымъ угломъ называется такой уголъ» и т. д., или что «прямоугольникомъ называется такой параллелограммъ, въ которомъ» и т. д.

Учащіеся всякой начальной школы совсѣмъ этого не должны говорить, и учить ихъ этому не надо, да и невозможно. Важно, чтобы они видѣли, что въ прямоугольникѣ всѣ четыре угла—прямые, что какъ бы далеко они ни продолжали параллельныя прямыя, онѣ никогда не пересѣкутся, и т. п. Извѣстный французскій математикъ Эмиль Борель во введеніи къ своей «Геометріи» считаетъ возможнымъ не давать сначала точнаго опредѣленія прямого угла. Онъ ограничивается такой постановкой вопроса: «если мы сложимъ листъ бумаги пополамъ, то мы получимъ прямую линію; если мы сложимъ листъ бумаги на такія четыре части, что двѣ части этого листа покроютъ остальныя двѣ части, то мы получимъ прямой уголъ;

края этого угла будутъ сторонами его» и т. д. Въ примѣчаніи къ этимъ объясненіямъ (которыхъ, конечно, нельзя считать математическими опредѣленіями) Борель говоритъ: «уголъ мы опредѣляемъ въ первой части геометріи; здѣсь мы ограничимся только тѣмъ, что опредѣляемъ прямой уголъ». Если такъ смотритъ на вопросы геометріи въ курсѣ ея, предназначенномъ для среднихъ учебныхъ заведеній во Франціи, такой ученый, какъ Борель, то стоитъ призадуматься надъ тѣмъ, какъ нецѣлесообразно вносить отвлеченныя математическія вообще и отвлеченныя геометрическія точки зрѣнія въ частности—въ курсъ русской начальной школы.

Рис. 24. Рис. 25.

Рис. 26.

Повести первыя упражненія въ томъ геометрическомъ матеріалѣ, который не относится до вычисленій, можно примѣрно слѣдующимъ образомъ.

Точка, прямая, уголь и т. п.

Вотъ точка; проведемъ изъ нея на доскѣ прямую...—Можно ли отъ-руки? (Можно)...—Но можно и съ помощью линейки...—Что мы провели? (Прямую).—Откуда? (Изъ точки).—Въ какомъ направленіи? (Вотъ въ этомъ!..)1)—Много ли можно изъ точки провести прямыхъ? (Сколько угодно).—Вотъ прямая линія...— А это—не прямая.».—Это—тоже линія, но не прямая!., и т. д. (Ученики должны, конечно, и сами поупражняться въ проведеніи прямыхъ линій на доскѣ, на полу, въ тетради).— Проведу прямую изъ точки...— Что я сдѣлалъ?.. — Проведу изъ той же точки еще одну прямую въ направленіи прямопротивоположномъ...—Гдѣ направленіе прямо-противоположное?.. (Всѣ, безъ исключенія, ученики должны поупражняться въ изображеніи прямыхъ и въ продолженіи прямыхъ въ ту же и въ прямопротивоположную сторону).— Проведу прямую изъ точки...— Проведу другую прямую, въ другомъ направленіи, но не въ прямо-противоположномъ...—Что получилось?..—Получился уголъ...—Начертите уголъ!—Еще уголъ!..— Гдѣ вершина угла?..—Гдѣ стороны его?..—Кто знаетъ?..—Начертимъ уголъ!..—Еще одинъ!..—Вырѣжемъ изъ бумаги такой же уголъ, какъ второй!..—На длину сторонъ не смотрите,—уголъ все тотъ же, хотя бы стороны его были меньше сторонъ этого угла...— Вотъ уголки изъ бумаги—одинаковые, хоть у нихъ стороны и разныя...—Это—углы равные между собою.—Этотъ уголъ равенъ тому...—Вотъ уголъ!—Начертимъ еще одинъ!..—Вырѣжемъ изъ бумаги уголъ, равный второму...—Вотъ первая сторона (нижняя) перваго угла, вотъ вторая сторона перваго угла...—Гдѣ первая сторона второго, гдѣ вторая сторона второго угла?—Приложимъ первую сторону вотъ этого (вырѣзаннаго изъ бумаги) угла ко второй сторонѣ перваго; вершину угла (вырѣзаннаго изъ бумаги) на вершину, а весь уголъ на доску...—Проведемъ по второй сторонѣ (бумажнаго) угла мѣломъ прямую...—Получимъ новый (четвертый) уголъ, который состоитъ изъ двухъ угловъ...—Мы сложили два

Рис. 27.

1) Ученикъ долженъ показать рукою —въ какомъ направленіи проведена прямая. Многоточія обозначаютъ моменты привлеченія учащихся къ работѣ.

угла...—Мы получили сумму двухъ угловъ...—Въ новомъ углѣ гдѣ первая сторона, гдѣ вторая?..—Какой уголъ образуютъ эти двѣ стороны?..—Какіе тутъ углы равны между собою? (Первый и третій).—Вотъ два угла1).—Сложимъ ихъ...—Что получимъ? (Не получимъ угла)...—Вторая сторона второго угла и первая перваго образуютъ ли уголъ? (Нѣтъ, не образуютъ)...—Что же онѣ составляютъ? (Онѣ составляютъ одну прямую, одну прямую линію)...— Такіе два угла называются прямыми...—Каждый изъ этихъ угловъ называется прямымъ угломъ!..—Сложить слѣдующіе два угла!— Найти сумму вотъ такихъ двухъ угловъ!..—Прибавить вотъ этотъ уголъ къ слѣдующему!.. И т. д.2).

Прямой уголъ, перпендикуляръ.

Возьмемъ прямую (прямую линію) и на ней точку...—Изъ этой точки проведемъ па доскѣ еше прямую... — Сколько получилось угловъ?. (Два)...—Можно ли провести изъ точки на прямой такую прямую, чтобы оба угла были равны между собою?.. — Проведемъ... — Получимъ ли прямые углы?..—Когда получимъ два прямыхъ угла? — Два прямыхъ угла можно получить, если изъ точки на прямой проведемъ другую прямую такъ, чтобы оба угла, которые при этомъ получатся, были одинаковы...—Проведите прямые углы...—Изъ куска бумаги вырѣжемъ два прямыхъ угла...—Разорвемъ бумажку такъ, чтобы получилось два прямыхъ угла (сложимъ кусокъ бумаги сначала, какъ слѣдуетъ)...— Начертите одинъ прямой уголъ... — Любая сторона прямого угла,—такъ говорятъ,— «перпендикулярна», отвѣсна къ другой сторонѣ...—Говорятъ такъ: эта сторона «перпендикуляръ» къ другой сторонѣ, а эта — перпендикуляръ къ той...—Вотъ прямая, а вотъ точка на ней...—Проведемъ изъ этой точки перпендикуляръ (отвѣсъ) къ этой прямой... — Проведите отвѣсы (перпендикуляры) къ прямымъ (вверхъ, въ бокъ, внизъ, влѣво, вправо!)...

Рис. 28.

1) Надо взять два прямыхъ угла, оторванныхъ отъ осьмушки бумаги.

2) Надо поупражнять дѣтей и въ сложеніи различныхъ угловъ.

Циркуль, перпендикуляръ и дѣленіе конечной прямой пополамъ.

§ 36. Учащіеся уже на болѣе раннихъ ступеняхъ научились, если они держались той послѣдовательности упражненій, которая рекомендуется авторомъ этой книги, дѣлить прямую линію на нѣсколько равныхъ частей. Полезно ихъ научить пользоваться циркулемъ, изготовленнымъ хотя бы изъ бумажки, для дѣленія прямой линіи пополамъ и для проведенія перпендикуляра къ данной конечной прямой, черезъ ея середину. Для того, чтобы учащихся подготовить къ рѣшенію этихъ задачъ съ помощью циркуля, можно воспользоваться двумя палочками одинаковой длины, изъ которыхъ каждая длиннѣе, чѣмъ половина прямой линіи. Иллюстраціи (рис. 24—28) достаточно выясняютъ, какъ пользоваться такими двумя палочками, которыя, сходясь другъ съ другомъ надъ данной прямой и подъ данной прямой, намѣчаютъ точки схожденія этихъ палочекъ, и затѣмъ, какъ, соединивъ эти двѣ точки прямою, можно провести черезъ ея середину прямую, перпендикулярную къ ней. Это подготовляетъ къ употребленію циркуля для примѣненія засѣчекъ. Тутъ же полезно воспользоваться тѣмъ, что ученики знакомы съ градусами (угловыми и дуговыми), и обратиться къ изготовленію хотя бы примитивнаго транспортира. См. З. д. уч-лей.

Самодѣльный экеръ.

§ 37. Если учитель считаетъ разумѣніе учениковъ для того достаточнымъ, то можетъ заняться съ ними изготовленіемъ модели (конечно, несовершенной) такъ наз. экера, изображенной на рисункѣ 29. Достаточно взять двѣ дощечки, скрѣпить одну съ другою подъ прямымъ угломъ, на нихъ провести двѣ взаимно перпендикулярныя прямыя, на концахъ этихъ прямыхъ приспособить перпендикулярно къ нимъ четыре иголки, эти дощечки пригвоздить или привинтить къ ровному отрѣзу кола, и модель, хоть и грубая, экера готова. Для того, чтобы съ помощью этого экера, двухъ вѣхъ и одного помощника провести двѣ взаимно перпендикулярныя прямыя на поверхности земли изъ данной ея точки, надо колъ вколотить въ этой точкѣ въ землю. Затѣмъ надо привести глазъ свой въ одну плоскость съ двумя

Рис. 29.

иголками, вколоченными въ концы одной изъ линій, проведенныхъ на экерѣ, и вѣхой помощника, стоящаго хотя бы неподалеку отъ экера. Тогда одна прямая линія проведена. Не трогая экера, надо перейти къ одной изъ иголокъ на другой изъ взаимно-перпендикулярныхъ линій экера, привести свой глазъ, двѣ иголки и другую вѣху того же помощника въ одну плоскость, такъ чтобы эти двѣ иголки и вѣха находились въ одной плоскости. Если помощникъ вколотитъ еще одинъ колышекъ въ этомъ новомъ мѣстѣ, то двѣ прямыя, соединяющія колья, поставленные помощникомъ, съ коломъ экера, образуютъ прямой уголъ на поверхности земли. Это упражненіе надо продѣлать на самомъ дѣлѣ въ школьномъ дворѣ, въ полѣ, на улицѣ. Только въ крайнемъ случаѣ можно удовлетвориться подобнымъ упражненіемъ въ классной комнатѣ. Къ работѣ надо привлекать учащихся.

Изготовленіе моделей параллелограммовъ изъ бумаги и понятіе о площади.

§ 38. Если изготовленіе модели экера и упражненія въ проведеніи перпендикуляровъ на земной поверхности съ помощью экера невозможны по недостатку времени, то можно для дальнѣйшихъ успѣховъ въ области геометріи заняться изготовленіемъ моделей прямоугольниковъ изъ полосы бумаги. Изготовленіе моделей прямоугольниковъ изъ клочка бумаги съ неровными краями представляетъ собою достаточные поводы для образованія въ умахъ учениковъ надлежащихъ представленій о прямомъ углѣ, о прямоугольникѣ и о квадратѣ, какъ разновидности прямоугольника. На этой же ступени можно поупражняться въ вычисленіи площадей прямоугольниковъ и квадратовъ. Полезны лабораторныя упражненія въ изготовленіи моделей изъ куска бумаги, имѣющихъ одну и ту же форму и одну и ту же величину. Затѣмъ можно преобразовывать эти модели такъ, чтобы учащійся понялъ, что форма можетъ быть различна, а площадь та же самая. Тутъ же можно повторить способы вычисленія площадей прямоугольниковъ и квадратовъ. Полезно здѣсь вычислить, сколько въ квадратной сажени квадратныхъ футовъ, сколько въ квадратномъ футѣ квадратныхъ дюймовъ, въ квадратномъ аршинѣ—квадратныхъ вершковъ или квадратныхъ дюймовъ. Ученики должны вполнѣ уяснить себѣ, что нелѣпо спрашивать, сколько линейныхъ аршинъ въ квадратной сажени, что нелѣпо думать, будто въ квадратной сажени 4 сажени. Они

должы наглядно убѣдиться въ томъ, что въ квадратной сажени непремѣнно девять квадратныхъ аршинъ, что вопросъ о томъ, сколько въ квадратной сажени линейныхъ аршинъ, столь же нелѣпъ, какъ, напр., вопросъ о томъ, сколько фунтовъ въ мѣсяцѣ, или пудовъ въ дюймѣ, четвериковъ въ часѣ, а минутъ—въ четверикѣ. При этомъ весьма полезно вычислить площади небольшихъ прямоугольниковъ, намѣченныхъ на земной поверхности вѣхами, хотя бы даже только приблизительно.

Косоугольные параллелограммы и ихъ превращеніе въ равновеликіе съ ними прямоугольники.

§ 39. Изъ остальныхъ фигуръ полезно разсмотрѣть косоугольные параллелограммы. Надо привлечь учащихся къ изготовленію косоугольныхъ параллелограммовъ изъ бумаги и къ уясненію ими себѣ того факта, что площадь косоугольнаго параллелограмма точно такъ же, какъ и площадь прямоугольника, равняется произведенію его основанія на высоту. При этомъ высотою является, конечно, ширина той полосы, изъ которой образованъ данный косоугольный параллелограммъ, и на краяхъ которой лежатъ его основанія. Лучше всего достигнуть того, чтобы ученики убѣдились въ справедливости этой истины путемъ изготовленія моделей косоугольнаго параллелограмма и раздѣленія моделей на такія части, изъ которыхъ можно составить прямоугольникъ (рис. 30—32). Такимъ образомъ они убѣдятся въ справедливости той истины, которая только что отмѣчена. Очень полезны упражненія въ разрѣзываніи параллелограмма на такія части, изъ которыхъ можно составить прямоугольный параллелограммъ. При этомъ бываютъ разные случаи: а) иногда возможно разрѣзать косоугольный параллелограммъ на двѣ такія части, чтобы изъ этихъ двухъ частей можно было легко составить прямоугольникъ. Въ одномъ случаѣ высота соединяетъ одну изъ точекъ одной стороны верхняго основанія съ одной изъ точекъ нижняго основанія. Въ другомъ—высота соединяетъ двѣ противоположныя вершины даннаго косоугольнаго параллелограмма и разбиваетъ этотъ косоугольный параллелограммъ на два прямоугольныхъ треугольника, какъ это дано на рис. 33. Въ третьемъ же случаѣ высота, проведенная отъ одной изъ вершинъ, попадаетъ не на противоположное основаніе, а только на его продолженіе. Но во всѣхъ этихъ случаяхъ площадь параллелограмма равняется площади прямо-

угольника» имѣющаго то же основаніе и ту же высоту. Объ этомъ даетъ ясное представленіе рисунокъ, изображающій раздѣленіе косоугольнаго параллелограмма на шесть частей, изъ которыхъ четыре представляютъ собою прямоугольные треугольники, одна трапецію, и одна — малый прямоугольный треугольникъ, обозначенный буквою е на нашемъ чертежѣ (рис. 34). Самый терминъ «косоугольный параллелограммъ» представляетъ для дѣтей нѣкоторое затрудненіе, а поэтому его смѣло можно замѣнить терминомъ «косоугольникъ». Но избѣгать употребленія слова «параллелограммъ» не слѣдуетъ, хотя не слѣдуетъ также непремѣнно требовать отъ учениковъ, чтобы они сразу же вѣрно произносили это слово. Сначала оно имъ дается съ нѣкоторыми затрудненіями, но впослѣдствіи они уже послѣ того, какъ слышали этотъ терминъ изъ устъ учителя нѣсколько разъ, начинаютъ произносить это слово болѣе или менѣе правильно.

Площадь треугольника.

§ 40. Безъ всякихъ стремленій къ доказательствамъ, можно учащихся привести къ должному представленію о томъ, что площадь треугольника равна площади нѣкотораго прямоугольника, котораго основаніе равно основанію даннаго треугольника, а высота вдвое меньше высоты того же треугольника. Здѣсь изготовленіе учениками моделей сначала остроугольнаго

Рис. 30.

Рис. 31.

треугольника, затѣмъ треугольника прямоугольнаго и, наконецъ, тупоугольнаго и упражненія въ разрѣзываніи этихъ треугольниковъ на части, изъ которыхъ можно составить прямоугольникъ съ тѣмъ же основаніемъ, гораздо полезнѣе всякихъ доказательствъ. Для обращенія треугольника въ равновеликій съ нимъ параллелограммъ, достаточно раздѣлить двѣ стороны треугольника пополамъ, въ точкахъ дѣленія перегнуть треугольникъ и отогнуть часть треугольника къ основанію такъ, чтобы вершина его попала на основаніе (рис. 35— 37), а остальныя двѣ вершины остались въ серединѣ двухъ противолежащихъ сторонъ. Когда это сдѣлано, можно отрѣзать

Рис. 32.

Рис. 33.

или аккуратно оторвать отогнутый треугольникъ и приложить его къ полученной трапеціи такъ, чтобы получился косоугольный параллелограммъ (рис. 37). Можно этотъ косоугольный параллелограммъ, въ свою очередь, обратить въ равновеликій съ нимъ прямоугольникъ.

Но можно и непосредственно обратить всякій остроугольный или прямоугольный треугольникъ въ равновеликіе съ ними прямоугольники, пользуясь раздѣленіемъ треугольника на такія части, какія намѣчены на первыхъ двухъ чертежахъ рис. 38. — Что касается тупоугольнаго треугольника, то и его можно превратить въ прямоугольникъ, хотя бы мы пожелали принять за основаніе непремѣнно сторону тупого угла. Въ этомъ случаѣ приходится сначала обратить треугольникъ въ равновеликій съ нимъ косоугольный параллелограммъ, а затѣмъ

Рис. 34.

Рис. 35.

Рис. 36.

послѣдній обратить въ прямоугольный треугольникъ (3-й чертежъ рис. 38). Нѣтъ основанія стремиться къ тому, чтобы дѣти непремѣнно усвоили себѣ слова: «площадь треугольника: равна произведенію основанія на половину высоты» или слова-«площадь треугольника равна половинѣ произведенія основанія на высоту», и т. п. Опытъ показываетъ, что иногда даже и въ средней школѣ учащіеся, вслѣдствіе того, что дѣло часто ставятъ исключительно на почву доказательствъ и словесныхъ или буквенныхъ формулировокъ, то и дѣло ошибаются, утверждая, напримѣръ, что площадь треугольника равняется основанію, помноженному на высоту, не понимая, какъ существенна та ошибка, которую они при этомъ дѣлаютъ и какъ велика та нелѣпость, которую они, несмотря на доказательства, ими выученныя, выдаютъ за истину. Причина этого непониманія только въ томъ, что ученіе о площадяхъ ихъ не интересуетъ. А не интересуетъ оно ихъ чаще всего потому, что они сами не работаютъ для открытія или уразумѣнія тѣхъ конкретныхъ фактовъ, которые имъ предлагаются въ готовомъ, строго-логически обоснованномъ, видѣ.

Цѣль лабораторныхъ упражненій на этой ступени.

§ 41. Цѣль введенія намѣченныхъ выше лабораторныхъ упражненій—развитіе у учащихся вѣрныхъ представленій о площадяхъ параллелограмма и треугольника, а не усвоеніе

Рис. 37.

Рис. 38.

ими теоремъ и формулъ, относящихся до этихъ площадей. Конечно, эта цѣль не исключаетъ возможности разсмотрѣнія всякаго параллелограмма съ той точки зрѣнія, что каждый изъ нихъ раздѣляется на два равныхъ треугольника, и что площадь каждаго треугольника поэтому равняется половинѣ площади параллелограмма. Но для усвоенія сущности дѣла важно не это разсужденіе, а важно то, что треугольникъ дѣйствительно можно обратить въ прямоугольникъ, имѣющій то же основаніе и такую высоту, которая вдвое меньше, чѣмъ высота даннаго треугольника.

Измѣреніе и вычисленіе.

§ 42. Надо строго различать «измѣреніе» и «вычисленіе». Дѣйствительно измѣрять можно, большею частью, только прямолинейные элементы фигуръ, т.-е. только прямыя линіи. Измѣрять площади или объемы на самомъ дѣлѣ мы не можемъ, потому что понятіе о площади есть понятіе отвлеченное, какъ и понятіе объ объемѣ. Если данная намъ фигура—не прямоугольникъ, то въ этой фигурѣ квадратъ не можетъ умѣститься такъ, какъ онъ иногда умѣщается въ прямоугольникѣ. Покуда мы имѣемъ дѣло съ прямоугольникомъ, иногда можно на него наложить квадратъ столько разъ, сколько требуется для того, чтобы узнать, сколько такихъ квадратовъ нужно для того, чтобы образовать данный прямоугольникъ. Но если намъ данъ треугольникъ, хотя бы даже прямоугольный, то квадратъ въ немъ ужъ не можетъ умѣститься такъ, какъ онъ умѣщается въ прямоугольномъ параллелограммѣ, хотя бы

Рис. 39. Рис. 40.

даже площадь этого треугольника равнялась цѣлому числу квадратныхъ единицъ мѣры. Даже въ этомъ послѣднемъ случаѣ наложеніе квадрата на треугольникъ не приведетъ къ цѣли. Придется разрѣзать послѣдній на такія части, чтобы изъ нихъ можно было составить цѣлые квадраты. Проще (и въ этомъ одна изъ многочисленныхъ заслугъ геометріи) измѣрить основаніе и высоту треугольника, и зная ихъ длину, вычислить площадь этого треугольника.

Площадь трапеціи.

§ 43. Когда площади параллелограммовъ и треугольниковъ усвоены, можно перейти къ трапеціи и ея площади. Слово «трапеція» учащіеся усваиваютъ скорѣе, чѣмъ слово « параллелограммъ ». Охарактеризовать трапецію можно, какъ нѣкоторую «невѣрную часть полосы». Что трапецію можно діагональю раздѣлить на два треугольника, не подлежитъ никакому сомнѣнію для учениковъ, если они въ этомъ хоть разъ въ жизни убѣдились съ помощью линейки. Тогда они быстро соображаютъ, что площадь трапеціи можно вычислить, вычисливши предварительно площади тѣхъ двухъ треугольниковъ, изъ которыхъ состоитъ трапеція, и сложивши эти двѣ площади. Для этого учащимся надо только понять, что имъ необходимо умѣть вычислять площади всякихъ треугольниковъ. Но полезно также умѣніе обращать трапецію въ равновеликій съ ней треугольникъ и въ равновеликій съ нею прямоугольникъ. Особенно интересно обращеніе трапеціи

Рис. 41.

Рис. 42.

въ треугольникъ. Это дѣлается очень легко, какъ показано на рис. 41 и 42, которые выясняютъ, какой треугольникъ надо отдѣлить отъ данной трапеціи для того, чтобы этотъ треугольникъ, прибавленный къ оставшейся фигурѣ извѣстнымъ образомъ, далъ въ результатѣ треугольникъ равновеликій данной трапеціи. Формула площади трапеціи, конечно, тоже ненужна, пока до нея не добрались сами учащіеся. Но имъ надо знать, что площадь трапеціи можно вычислить, вычисливши площади тѣхъ двухъ треугольниковъ, изъ которыхъ она состоитъ, и сложивши эти двѣ площади. Полезно также знать, что всякую трапецію можно обратить въ равновеликій ей треугольникъ или прямоугольникъ. Только благодаря упражненіямъ въ изготовленіи моделей трапеціи и въ ихъ преобразованіи въ треугольники, имѣющіе ту же высоту, учащіеся могутъ добраться до уразумѣнія слѣдующей теоремы: площадь трапеціи равна суммѣ ея параллельныхъ сторонъ, помноженной на половину высоты. Ученики не должны этой теоремы выучивать наизусть, а учителя сами не должны говорить объ этомъ. И то, и другое безполезно.

Площадь многоугольника и вычисленіе площадей.

§ 44. Площадь многоугольника ученики должны понимать, какъ сумму площадей тѣхъ треугольниковъ, на которые этотъ многоугольникъ можно раздѣлить. При этомъ приходится прибѣгнуть къ термину, который не представляетъ особенно большой трудности, а именно къ термину «діагональ». Что всякій многоугольникъ можно діагоналями разложить на треугольники, учащіеся должны уразумѣть путемъ рисованія и черченія, а что площадь его можно разыскать, найдя сначала площади всѣхъ треугольниковъ, входящихъ въ его составъ, а затѣмъ сложивши эти площади, ученики должны понять, пользуясь здравымъ смысломъ. Важно только понятіе о площади прямолинейной фигуры, а не формулы различныхъ площадей и теоремы о площадяхъ. Единственная словесная формула, которую учащійся можетъ себѣ усвоить съ пользою для дѣла, это—формула площади прямоугольника. По этой

Рис. 43.

формулѣ, для отысканія площади прямоугольника надобно основаніе прямоугольника помножить на высоту его. Хороню, если учащіеся понимаютъ, что они не въ состояніи вычислить площадь прямоугольника, въ которомъ основаніе и высота выражены въ видѣ дробей или смѣшанныхъ чиселъ. Пусть, напр., основаніе равняется 2,7 вершка (или 5/8 вершка), а высота 3,94 вершка (или 0,17 вершка) и т. п. Учащемуся надо бы понимать, что именно затруднительно въ этомъ случаѣ. Во-первыхъ, онъ не знаетъ, надо ли и въ этомъ случаѣ помножить основаніе на высоту. Во-вторыхъ, онъ не сумѣлъ бы помножить основаніе на высоту, если бы онъ даже зналъ, что и въ этом ь случаѣ надо выполнить это умноженіе. Если и основаніе и высота—числа смѣшанныя, учащійся можетъ вычислить, что площадь прямоугольника, въ которомъ основаніе равно 12,7 вершка, а высота 53/8 вершка, больше, чѣмь 60 кв. вершковъ и меньше, чѣмъ 78 кв. вершк. Но этого, конечно, недостаточно съ математической точки зрѣнія. Непремѣнно избѣгать вопроса о томъ, что есть случаи, когда учащіеся не умѣютъ вычислить площади фигуры, не слѣдуетъ. Наоборотъ: учащемуся слѣдуетъ разбираться въ томъ, что онъ твердо знаетъ и понимаетъ, и что онъ того не знаетъ, чего онъ дѣйствительно не знаетъ. Вѣдь и читатель, имѣющій дѣло въ настоящее время съ обученіемъ малолѣтнихъ дѣтей, и не изучавшій высшей математики и способовъ вычисленія площадей всякихъ плоскихъ фигуръ съ помощью особыхъ приборовъ, именуемыхъ планиметрами, или же съ помощью особаго исчисленія, именуемаго интегральнымъ, не знаетъ, какъ находятъ площади множества фигуръ. Но отъ того, что онъ знаетъ предѣлы своего знанія, вреда никакого нѣтъ. Это только можетъ возбудить его самодѣятельность и стремленіе къ самообразованію, если онъ себѣ отдаетъ полный отчетъ въ томъ, что такого-то вопроса онъ разрѣшить не въ состояніи, и если ему этотъ недочетъ необходимо и возможно пополнить.

Умноженіе дробей.

§ 45. Умноженіе дробей представляетъ собою, строго говоря, нѣкоторыя затрудненія только въ тѣхъ случаяхъ, когда множитель — дробное или смѣшанное число. Во и эти затрудненія не такъ велики, какъ это кажется съ перваго взгляда. Можно сказать, что, если учащійся только уразумѣлъ, что умножить на дробь значитъ найти извѣстную

часть множимаго, выражаемую множителемъ, то онъ, строго говоря, уже умноженіе па дробь знаетъ. Поэтому было бы полезно включить въ курсъ самое простое опредѣленіе умноженія па дробь, гласящее, какъ извѣстно, такъ: умножить на 3/4 значитъ найти 3/4 даннаго множимаго; умножить па 5/8 значитъ найти 5/8 множимаго, и т. д. А умножить па смѣшанное число 3 7/20 значитъ помножить множимое на 7/20 или сначала помножить множимое на 3, потомъ—то же множимое на 37/20, а полученныя два числа сложить, и т. п. Внесеніе этихъ опредѣленій въ курсъ гораздо полезнѣе, чѣмъ рѣшеніе множества сложныхъ и замысловатыхъ задачъ разнаго рода. Умноженіе же дроби на цѣлое число и совсѣмъ просто. Но настаивать на непремѣнномъ внесеніи умноженія на дробь въ курсъ авторъ этой книги не рѣшается. Это слишкомъ расходится съ обычными представленіями многихъ учителей и составителей разныхъ учебныхъ пособій по ариѳметикѣ. Многіе думаютъ, что умноженіе на дробь требуетъ непремѣнно правилъ, притомъ многочисленныхъ. Правила эти, совершенно никому не нужныя, дѣйствительно, трудны для учащихся. Но это зависитъ отъ ихъ отвлеченности и отъ того, что ихъ безъ нужды много. О методикѣ обученія дѣтей умноженію на дробь и о геометрической иллюстраціи этого вопроса см. ниже, въ одномъ изъ параграфовъ, посвященныхъ 46-й ступени.

Вычисленіе объемовъ прямоугольныхъ параллелепипедовъ.

§ 46. Что касается вычисленія объемовъ нѣкоторыхъ тѣлъ, то, къ сожалѣнію, въ начальной школѣ, особенно съ непродолжительнымъ курсомъ, приходится ограничиваться только объемами прямоугольныхъ параллелепипедовъ. Дѣло въ томъ, что только въ прямоугольныхъ параллелепипедахъ мы имѣемъ дѣло съ такими многогранниками, для которыхъ вычисленіе объема учащіеся могутъ себѣ уяснить болѣе или менѣе нагляднымъ образомъ. Въ качествѣ наглядныхъ пособій для лабораторныхъ занятій могутъ служить бруски мыла или брусья деревянные, ящики, коробки и т. п. Но во всякомъ случаѣ необходимо привлечь учащихся къ изготовленію изъ мыла или изъ другого подходящаго матеріала (брюквы, картофеля и т. п.) прямоугольныхъ параллелепипедовъ.

Важнѣе всего при этомъ учащимся разобраться въ томъ, что прямоугольный параллелепипедъ можно мысленно разбить на столбы, которыхъ основанія представляютъ собою квадраты такой величины, чтобы площадь каждаго равнялась одной квадратной единицѣ. Число такихъ столбиковъ равно числу квадратныхъ единицъ, заключающихся въ основаніи даннаго прямоугольнаго параллелепипеда. Поэтому нужно вычислить

площадь основанія, затѣмъ измѣрить высоту всего параллелепипеда и полученныя такимъ образомъ числа перемножить. Произведеніе выразитъ число кубическихъ единицъ мѣры, содержащихся въ объемѣ даннаго параллелепипеда. Учащіеся должны понять, что всякій прямоугольный параллелепипедъ достаточно крупныхъ размѣровъ они могутъ раздѣлить также на такіе слои, чтобы высота каждаго была равна, скажемъ, одному вершку, далѣе, что каждый слой они могутъ раздѣлить на такіе бруски, чтобы каждый изъ нихъ имѣлъ въ ширину и въ толщину одинъ вершокъ, и что каждый брусокъ они опять-таки могутъ раздѣлить на кубы. Узнавши, сколько кубовъ въ такомъ брускѣ, сколько такихъ брусковъ въ слоѣ, сколько слоевъ въ параллелепипедѣ, они могутъ вычислить и объемъ всего параллелепипеда. Они должны постигнуть возможность различно дѣлить параллелепипедъ на кубы. Одинъ способъ изображенъ на рис. 46. Полезно, на всякій случай, снова обратиться къ вопросу о томъ, какая разница между

Рпс. 14.

Рис. 45.

Рпс. 46.

объемомъ тѣла и емкостью сосуда, къ вопросу о томъ, когда говорятъ объ объемѣ, когда—о емкости, и т. п. Новаго на этой ступени ученія объ объемахъ не заключается почти ничего, за исключеніемъ только нѣкотораго обогащенія самыхъ представленій учащихся объ объемахъ. Здѣсь точно такъ же, какъ и при вычисленіи площадей, вопросъ объ умноженіи на дробь является вопросомъ важнымъ. Если такъ наз. «измѣренія» (размѣры) даннаго параллелепипеда (т.-е. его длина, ширина и высота или глубина) выражаются въ дробныхъ числахъ, то дѣтямъ слѣдовало бы понимать, что они не умѣютъ вычислить объема только потому, что они не знаютъ, что съ этими дробными числами сдѣлать, чтобы вычислить объемъ.

Объемы нѣкоторыхъ другихъ тѣлъ призматической формы.

§ 47. Было бы очень интересно внести въ курсъ начальной школы понятіе о способахъ вычисленія объемовъ хотя бы только прямыхъ призмъ и прямыхъ цилиндровъ. Но, къ сожалѣнію, надо признать, что то количество времени, которое въ русской начальной школѣ обыкновенно находится въ распоряженіи учащихся, недостаточно для уясненія ими самимъ себѣ того, что всякую прямую призму можно обратить въ равновеликій съ нею прямой параллелепипедъ, и что такимъ образомъ можно добраться до того, что объемъ прямой призмы и прямого цилиндра равенъ площади ихъ основанія, умноженной на длину ребра призмы.

Основывать эти познанія на доказательствѣ теоремъ, конечно, нѣтъ никакой возможности. Тутъ можно было бы ограничиться тѣмъ, чтобы привлечь всю силу воображенія учащихся къ дѣлу уясненія ими себѣ того, что всякое прямое тѣло призматической формы можно себѣ представить разбитымъ на столбы, основанія которыхъ представляютъ собою квадраты или части квадратовъ. Если останутся, сверхъ прямоугольныхъ параллелепипедовъ съ квадратными основаніями, еще нѣкоторые столбики треугольной или другой формы, то каждый изъ этихъ столбиковъ представляетъ собою нѣкоторую часть такого же точно столбика съ квадратнымъ основаніемъ, и совокупность этихъ частей можетъ составить нѣсколько столбиковъ съ квадратными основаніями. Для цилиндровъ это потребовало бы также соображеній о томъ, чему равняется площадь круга, что уже выходитъ далеко за предѣлы курса начальной школы, хотя, строго говоря, уразумѣніе самой величины площади круга не представляетъ собою ничего особенно затруднительнаго, если не смотрѣть на дѣло съ точки зрѣнія теоремъ о площади круга. Площадь всякаго круга, какъ извѣстно, всегда въ три слишкомъ раза больше площади квадрата, построеннаго на радіусѣ этого круга, или точнѣе (но тоже приблизительно)—равна устроен-

ной площади этого квадрата, сложенной съ одной седьмой долею такого же квадрата. Площадь круга можно было бы найти съ помощью взвѣшиванія, о чемъ рѣчь можетъ пойти, напр., на 47-ой ступени курса. Тогда вопросъ объ объемѣ всякаго призматическаго тѣла, а также и прямого цилиндра вращенія можетъ быть исчерпанъ. Но, повторяемъ, это выходитъ за предѣлы учебнаго матеріала начальной школы даже съ четырехлѣтней продолжительностью курса, не говоря уже о начальной школѣ съ трехлѣтней его продолжительностью.—Еще менѣе основаній для внесенія въ самый курсъ такой школы совершенно голословныхъ формулъ для вычисленія объемовъ пирамиды, прямого конуса вращенія и шара.

ГЛАВА VI.

Систематизація и дополнительный отдѣлъ, въ области ученія о дробяхъ.

Систематизація и дополненіе матеріала, относящагося до дробей.

§ 1. Вопросы примѣненія дробей внесены такъ же, какъ и нѣкоторые элементы изъ области геометріи, въ матеріалъ различныхъ ступеней курса ариѳметики. Вообще не надо думать, что при обученіи точно такъ же, какъ при научномъ построеніи данной области знанія, необходимо каждый вопросъ за-разъ исчерпывать до конца. Даже развитіе науки не шло такимъ исчерпывающимъ образомъ. Исторія наукъ доказываетъ, что ея побѣды и добытые ею результаты требовали постепеннаго движенія впередъ, съ остановками, колебаніями и перерывами. Тѣмъ естественнѣе этотъ процессъ при обученіи дѣтей, которое можетъ итти только постепенно. Хотя о дробяхъ дѣти узнали уже многое, но, при систематизаціи ихъ познаній, приходится вернуться къ дробямъ и нѣкоторымъ (притомъ немногимъ) ихъ примѣненіямъ. Этому матеріалу посвящены слѣдующія восемь ступеней курса: 45-я посвящена систематизаціи простѣйшихъ примѣненій дробей (обыкновенныхъ и десятичныхъ) и основнымъ свойствамъ дробей, 46-я—нахожденію части извѣстнаго цѣлаго, 47-я—нѣкоторымъ процентнымъ вычисленіямъ и 52-я—нахожденію цѣлаго по извѣстной части его. Для удобствъ изложенія (и только съ этой цѣлью) въ эту главу включено освѣщеніе, съ методическихъ точекъ зрѣнія, матеріала 52-ой ступени, посвященной тоже одному изъ вопросовъ примѣненія дробей,

но въ школьномъ курсѣ значительно отодвинутой отъ простѣйшихъ примѣненій дроби къ частнымъ вопросамъ.

45-я ст.: дроби и нѣк. ихъ примѣненія.

§ 2. Первый вопросъ на 45-й ступени относится до происхожденія дроби. Прежде всего не надо давать никакихъ опредѣленій дроби. Нужно, чтобы ученики могли припомнить, что если единицу, которую можно дѣлить, раздѣлить на 5 равныхъ частей, то каждую часть называютъ одной пятой долею единицы, а если раздѣлить единицу на 16 равныхъ частей, то каждая часть будетъ называться одной шестнадцатой, и что изъ долей единицы можно составить дроби, напр.: 5/16, 5/17 и т. д. При этомъ каждая изъ долей и каждая изъ составленныхъ такимъ образомъ частей единицы представляетъ собою нѣкоторую дробь.—Нѣсколько труднѣе смыслъ дроби, какъ частнаго, происходящаго отъ раздѣленія числа, равнаго числителю, на число, равное знаменателю. Если не пользоваться при этомъ помощью наглядныхъ пособій и не обращаться къ лабораторнымъ упражненіямъ и къ воздѣйствію на воображеніе учащихся, то, конечно, задача значительно усложняется. Въ такомъ случаѣ приходится только на словахъ описывать то, что нужно выполнять на дѣлѣ. Слѣдуетъ пользоваться и чертежами, которые, впрочемъ, не даютъ совершенно ясныхъ представленій о томъ, какъ возникаетъ дробь отъ дѣленія нѣсколькихъ единицъ на то или иное число равныхъ между собою частей. Все дѣло въ томъ, что ученики должны дѣйствительно уразумѣть, что если требуется раздѣлить, напр., три листа бумаги между четырьмя человѣками такъ, чтобы всѣ получили поровну, то каждый получитъ три четверти листа бумаги, но не одного и того же листа бумаги, а три четверти листа вообще. Дѣло въ томъ, три листа бумаги между четырьмя человѣками можно раздѣлить различнымъ способомъ, а именно: можно отъ каждаго листа оторвать одну четверть, и тогда оставшіяся части каждаго листа попадутъ тремъ человѣкамъ, а три четвертушки, отрѣзанныя или оторванныя отъ разныхъ листовъ, достанутся четвертому. Можно задачу разрѣшить и по-иному, напр., такъ: раздѣлить сначала одинъ листъ на четыре равныя между собою части и каждому дать по одной четвертушкѣ, затѣмъ раздѣлить второй листъ на четыре равныя между собою части и отдать каждому еще по одной четвертушкѣ, такъ же поступить съ третьимъ листомъ бу-

маги. Этотъ послѣдній способъ наиболѣе естествененъ и наиболѣе простъ. Но логическая трудность въ томъ, что когда мы говоримъ: «три четверти листа бумаги», то при этомъ мы не должны думать, что эти четвертушки составляютъ части одного и того же листа, а что только количество бумаги равно тремъ четвертямъ одного листа бумаги, и что количество бумаги остается одно и то же, взяли ли мы три четвертушки одного и того же или различныхъ листовъ бумаги. Все дѣло въ слѣдующемъ: учащіеся должны понять, что если мы раздѣляемъ одну единицу, скажемъ, на шестнадцать равныхъ частей и такихъ частей собираемъ пять, то полученная нами дробь будетъ равна тому частному, которое получилось бы отъ раздѣленія пяти листовъ на шестнадцать одинаковыхъ частей. Этого можно достигнуть только путемъ достаточныхъ упражненій.

Чѣмъ конкретнѣе и нагляднѣе представленія учениковъ на этой ступени, тѣмъ лучшее основаніе будеть пріобрѣтено ими для дальнѣйшаго уразумѣнія болѣе отвлеченнаго въ ученіи о дробяхъ. Подобныхъ мысленныхъ упражненій надъ листами бумаги, караваями хлѣба и т. п. предметами надо проработать довольно много, и только тогда содержаніе всѣхъ этихъ упражненій усваивается съ интересомъ. Только при этомъ условіи дѣти подготовлены къ тому, чтобы совершенно уяснить себѣ и остальное. Крайне важно, чтобы ученики обратили вниманіе па то, что послѣ знака равенства при дѣленіи какого бы то ни было числа на извѣстное число равныхъ частей всегда записываютъ, чему равна только одна изъ этихъ частей. Что это важно, къ сожалѣнію, часто забываютъ не только ученики, но даже и учителя, особенно начинающіе. Вслѣдствіе этого, дробь, какъ частное, какъ долю нѣкотораго числа, а не только какъ сумму одинаковыхъ долей единицы, ученики понимаютъ не всегда и не вполнѣ отчетливо.

Хотя отысканію части цѣлаго учащіеся учились уже и раньше и хотя этому вопросу посвящена отдѣльная (а именно 46-я ступень курса), но и на 45-й ступени умѣстны нѣкоторыя упражненія въ нахожденіи частей цѣлаго. Доли надо брать такія, которыя часто встрѣчаются въ ежедневной жизни: половины, четверти, восьмыя, десятыя, шестнадцатыя, двадцатыя, сороковыя, сотыя, рѣже—пятыя, шестыя. Къ этой же ступени относится вторичная проработка представленій о смѣ-

шанномъ числѣ, о такъ называемой правильной дроби и о дроби неправильной. Здѣсь очень полезной можетъ оказаться также и та точка зрѣнія, по которой между дробями и именованными числами существуетъ нѣкоторая аналогія.

Дробь, какъ именованное число.

§ 3. Въ очень многихъ пунктахъ свойства дробей совершенно аналогичны нѣкоторымъ свойствамъ именованныхъ чиселъ. Когда у насъ даны три четверти, то эту дробь можно разсматривать, какъ именованное число, при чемъ наименованіемъ служитъ слово „четверть“. Тогда преобразованіе смѣшаннаго въ неправильную дробь, т.-е. такъ наз. обращеніе смѣшаннаго числа въ неправильную дробь, представляетъ собою не что иное, какъ раздробленіе нѣкотораго составного именованнаго числа въ единицы низшаго наименованія. Дѣйствительно: если у насъ есть 75/8, то мы при этомъ разсуждаемъ совершенно такъ же, какъ мы разсуждаемъ при раздробленіи составного именованнаго числа: въ одной единицѣ содержится восемь восьмыхъ, въ семи единицахъ содержится семь разъ восемь восьмыхъ, т.-е. 56 восьмыхъ, да еще пять восьмыхъ, всего шестьдесятъ одна восьмая, и мы записываемъ это такъ:

Такъ же мы разсуждали бы, если бы пришлось раздробить составное именованное число 7 четвертей и 5 четвериковъ. Т. наз. „исключеніе цѣлаго числа изъ неправильной дроби“ представляетъ собою не что иное, какъ превращеніе нѣкотораго простого именованнаго числа, выраженнаго въ низшихъ единицахъ мѣры, въ нѣкоторое составное именованное число.—Если у насъ есть семьдесятъ одна восьмая доля, то мы при этомъ разсуждаемъ такъ же, какъ мы разсуждаемъ, когда у насъ есть какое-нибудь число мелкихъ единицъ, которое требуется выразить въ видѣ равнаго ему составного именованнаго числа, въ которомъ единицы болѣе крупны. При этомъ мы производимъ вычисленіе, совершенно аналогичное тому вычисленію, съ которымъ связано превращеніе именованныхъ чиселъ. Мы разсуждаемъ при этомъ, что въ одномъ цѣломъ восемь восьмыхъ, а въ семидесяти одной восьмой содержится столько цѣлыхъ, сколько разъ 8 содержится въ семидесяти одномъ, и мы дѣлимъ 71 на 8. При этомъ мы получаемъ въ результатѣ 8. Столько цѣлыхъ, т.-е. единицъ высшаго наименованія, содержится въ нашей дроби. Въ остаткѣ получаемъ 7; эта цифра обозначаетъ число единицъ низшаго наименованія, т.-е. число восьмыхъ долей, не составляющихъ единицы. Такимъ образомъ мы получимъ, что

Аналогія существуетъ и между первыми двумя дѣйствіями надъ дробями и дѣйствіями надъ простыми или составными именованными числами одного рода, но выраженными въ разныхъ единицахъ мѣры. Только перемноженіе двухъ дробей и дѣленіе дробей до тѣхъ поръ не аналогичны съ соотвѣтствующими дѣйствіями надъ именованными числами, пока не внесены въ ариѳметику перемноженіе двухъ именованныхъ чиселъ и дѣленіе одного именованнаго числа на другое другого рода1).—Насколько удобно отмѣтить выше намѣченную аналогію въ начальной школѣ, можетъ судить только учитель, знающій уровень развитія своихъ учениковъ и всегда обязанный считаться съ имѣющимся у школы запасомъ времени.

Термины въ курсѣ дробей.

§ 4. Переходя къ терминологіи, мы видимъ, что терминъ «смѣшанное число» для учащихся не представляетъ никакихъ затрудненій, и на этомъ терминѣ здѣсь останавливаться не стоитъ. Что же касается терминовъ «неправильная дробь» и «правильная дробь», то эти термины нуждаются въ нѣкоторомъ освѣщеніи съ методической точки зрѣнія. Конечно, дѣля 4 одинаковыхъ хлѣба между 4-мя человѣками, мы раздадимъ ихъ, и каждый получитъ по одному хлѣбу, и это будетъ наиболѣе естественнымъ рѣшеніемъ вопроса. Но если бы мы вздумали каждый хлѣбъ раздѣлить на 4 равныя части и каждому изъ четырехъ лицъ, которымъ нужно раздать хлѣбъ, роздали бы всѣ эти четверти, то такимъ образомъ каждый изъ нихъ получилъ бы четыре четверти каравая хлѣба, и это число было бы въ извѣстномъ смыслѣ слова неправильнымъ. Но на самомъ дѣлѣ намъ не для чего было дѣлить каждый хлѣбъ на четыре равныя части. Эту точку зрѣнія надо привить ученикамъ, чтобы они понимали, что всякая дробь, числитель которой равенъ ея знаменателю, является только другимъ обозначеніемъ одной единицы. Вслѣдствіе этого, мы можемъ называть эту дробь неправильной. Равнымъ образомъ и дробь 17/4 представляетъ собою дробь неправильную, потому что, по

1) См. «Методика ариѳметики для учителей среднихъ учебныхъ заведеній», изд. 3-е (1914 г.), стр. 136 и стр. 301—Особенно велико значеніе этихъ дѣйствій надъ именованными числами въ механикѣ, физикѣ и техникѣ.—Мое вниманіе на аналогіи между дробями и именованными числами обратилъ впервые, много лѣтъ тому назадъ, извѣстный русскій физикъ и педагогъ В. А. Розенбергъ.

существу, 17/4 составлены слѣдующимъ образомъ: единица раздѣлена на 4 одинаковыя части, но такихъ частей въ одной единицѣ всего только четыре, а мы собрали такихъ четвертей 17. Это значитъ, что мы должны были четверти брать изъ другихъ единицъ. Семнадцать четвертей мы могли собрать, только взявъ четыре цѣлыхъ единицы; раздѣливъ каждую изъ нихъ на 4 равныя части, мы получили шестнадцать четвертей, а раздѣливши еще одну единицу на 4 равныхъ части, мы взяли изъ нихъ одну четверть. Когда мы всѣ эти 17 четвертей собрали, то получили семнадцать четвертей и назвали эту сумму дробью. Учащіеся и должны понять, что дробь, равную одной единицѣ, и дробь, которая больше одной единицы, не напрасно называютъ неправильными, а всѣ остальныя дроби, которыя меньше одной единицы, называютъ правильными1). Это ученики, при надлежащей постановкѣ вопроса, усваиваютъ себѣ съ легкостью.—Очень полезно для выясненія понятія о правильной дроби обратиться къ нѣкоторымъ лабораторнымъ упражненіямъ въ дѣленіи, напр., пяти картофелинъ, которыя надо имѣть въ такомъ случаѣ подъ руками, между тремя учениками, чтобы ученики уяснили себѣ, какъ можно это выполнить. Кто никогда не пробовалъ въ классѣ выполнять подобныя работы лабораторнаго характера, тотъ не можетъ себѣ представить всей плодотворности этой работы и тѣхъ успѣховъ, которые тогда достигаются въ ученіи о дробяхъ. При этомъ надо обращать вниманіе учащихся на то, что 7/5 одного и того же яблока, конечно, невозможны, потому что яблоко состоитъ только изъ пяти пятыхъ долей. Когда говорятъ о семи пятыхъ доляхъ яблока, то при этомъ имѣютъ въ виду только 7 такихъ частей, изъ которыхъ каждая равняется одной пятой долѣ яблока.

Термины: „на-цѣло безъ остатка“ и „полное“ частное.

§ 5. Въ этомъ мѣстѣ, вѣроятно, умѣстно ознакомить учащихся съ употребляемыми (не безъ основанія) въ нѣкоторыхъ книгахъ терминами: 1) одно число дѣлится на другое «на-цѣло безъ остатка», и 2) «полное» частное, происходящее

1) Здѣсь тоже есть аналогія между дробями и именованными числами. Ср. § 3 этой же главы.

отъ раздѣленія одного числа на другое. Могутъ быть разные случаи дѣленія:

Первое тожество говорить, что 15 дѣлится на 5 нацѣло безъ остатка, второе—что 15 не дѣлится на 4 на-цѣло безъ остатка, и, наконецъ, третье—что отъ раздѣленія 15 на 4 получается 33/4 и что это смѣшанное число—полное частное, происходящее отъ раздѣленія 15-ти на 4. Въ этомъ послѣднемъ случаѣ число 15 раздѣлилось на 4 безъ остатка, но не на-цѣло. Иногда для краткости говорятъ, что пятнадцать дѣлится на 5 на-цѣло, не прибавляя словъ «безъ остатка»; иногда говорятъ также, что 15 дѣлится на 5 безъ остатка, не прибавляя слова «на-цѣло». Часто говорятъ еще короче, а именно просто: «15 дѣлится на 5», не прибавляя словъ «нацѣло безъ остатка». Но, конечно, такъ говорить можно только въ тѣхъ случаяхъ, когда слушающій и говорящій отдаютъ себѣ ясный отчетъ въ томъ, что они въ данномъ случаѣ имѣютъ въ виду именно дѣленіе на-цѣло безъ остатка.

Нѣк. другіе термины въ курсѣ дробей.

§ 6. Тѣ преобразованія смѣшанныхъ и дробныхъ чиселъ, которыя извѣстны подъ именами обращенія цѣлаго числа въ неправильную дробь, обращенія смѣшаннаго числа въ неправильную дробь и обращенія неправильной дроби въ смѣшанное число, можно замѣнять по порядку болѣе выразительными терминами: раздробленіе цѣлаго числа въ нѣкоторыя доли единицы, раздробленіе смѣшаннаго числа въ доли дробной его части и превращеніе неправильной дроби въ цѣлое или смѣшанное число. Дѣло, конечно, не въ названіяхъ, а въ умѣніи выполнять эти простыя преобразованія. По возможности меньшее количество новыхъ терминовъ для начальной школы было бы въ высшей степени полезно. Но, къ сожалѣнію, иногда можетъ оказаться, что ученикъ, умѣя раздроблять цѣлое число въ любыя доли единицы, можетъ на экзаменѣ стать втупикъ, если предложить вопросъ о томъ, умѣетъ ли обращать цѣлое или смѣшанное число въ неправильную дробь, или исключить изъ неправильной дроби цѣлое число, и т. п. А потому съ этими терминами ознакомить слѣдуетъ.

Увеличеніе членовъ дроби въ одно и то же число разъ.

§ 7. Термина для раздробленія числа въ болѣе мелкія доли въ русскомъ языкѣ нѣтъ. Умноженіемъ числителя и знаменателя на одно и то же число осуществляется раздробленіе дроби въ болѣе мелкія доли. Съ этимъ преобразованіемъ дѣти знакомы изъ предыдущаго курса, и единственное затрудненіе представляетъ собою не самый процессъ раздробленія и не уразумѣніе его сущности, а иногда требуемое учителями объясненіе, почему можно числителя и знаменателя одной и той же дроби помножить на одно и то же число, и почему величина дроби отъ этого не измѣнится. То объясненіе, которое дается обыкновенно, для дѣтей неубѣдительно.

Иногда говорятъ такъ: число долей увеличится, но зато каждая доля уменьшится во столько же разъ. Это объясненіе неубѣдительно прежде всего въ смыслѣ дидактическомъ, потому что учащимся оно не достаточно ясно. Но можно поставить дѣло на почву лабораторныхъ занятій, при которыхъ какой-нибудь квадратъ разбивается на извѣстное количество равныхъ частей, и потомъ каждая часть дѣлится пополамъ, на 3 части, на 4, и т. п. Собравъ извѣстное количество частей, на которыя первоначально раздѣленъ этотъ квадратъ, можно замѣнить эти части новыми долями. Въ такомъ случаѣ самое уразумѣніе этого преобразованія является не затруднительнымъ для учащихся. Въ русской ариѳметической литературѣ для этого преобразованія нѣтъ отдѣльнаго названія, и тѣмъ не менѣе учащіеся овладѣваютъ этимъ преобразованіемъ. Это доказываетъ, что не въ терминахъ дѣло, а въ уразумѣніи дѣтьми сущности дѣла. Раздробленіе дробей въ болѣе мелкія доли по правилу, — которое гласитъ, что для этого раздробленія необходимо помножить числителя и знаменателя на одно и то же цѣлое число,—это раздробленіе по правилу, конечно, не столь важно, какъ самое уразумѣніе и усвоеніе дѣтьми того факта, что дроби нельзя раздробить въ любыя болѣе мелкія доли, но что всякую дробь можно раздробить въ доли, вдвое, втрое, вчетверо, въ пять разъ (и т. д.) болѣе мелкія, чѣмъ доли данной дроби. Путемъ цѣлесообразныхъ упражненій, учащихся можно привести къ тому правилу, по которому числитель и знаменатель данной дроби можно умножить на одно и то же число. Но это надо сдѣлать безъ разсужденій о томъ, что дробь—частное, и что отъ увеличе-

нія дѣлимаго и дѣлителя въ одно и то же число разъ частное не измѣняется и т. п. Разсужденія этого рода, строго говоря, неудовлетворительны также и съ логической точки зрѣнія. Ибо смотрѣть на дробь, какъ на частное, возможно, но распространять на это частное тѣ законы измѣненія и неизмѣняемости частнаго, которые справедливы относительно частныхъ, происходящихъ отъ раздѣленія цѣлаго числа на другое на-цѣло безъ остатка, не логично. То, что справедливо для цѣлыхъ чиселъ, не всегда справедливо для дробей. Это тѣмъ болѣе надо имѣть въ виду, что полное ученіе объ измѣненіи частнаго въ курсѣ ариѳметики начальной школы невозможно проработать такъ, какъ слѣдуетъ. Это послѣднее ученіе, какъ и вообще ученіе объ измѣненіяхъ искомыхъ чиселъ въ зависимости отъ измѣненій данныхъ, выходитъ далеко за предѣлы тѣхъ средствъ, которыми обладаетъ ариѳметика при обсужденіи вопросовъ этого рода. Оно представляетъ собою только пережитокъ того времени, когда въ курсъ ариѳметики съ особеннымъ стараніемъ включалось по возможности болѣе правилъ.

Термины „числитель“ и „знаменатель“.

§ 8. Если дѣтьми еще не усвоены термины «числитель» и «знаменатель», то на этой ступени надо обратиться къ этимъ двумъ терминамъ. Но опредѣленія ихъ значенія надо дать по возможности простыя. Число частей, которое есть въ данной дроби— числитель, а число частей, на которыя раздѣлено цѣлое—знаменатель. Слово «числитель» не особенно нуждается въ томъ, чтобы его объясняли. Оно этимологически выражаетъ число частей, которое взято. Иное дѣло—терминъ «знаменатель»,— слово происхожденія слишкомъ книжнаго. Для поясненія его служатъ, какъ уже указано въ другомъ мѣстѣ, слова «знать», «знамя», «знаменіе», «знаменовать», «ознаменовать». Знаменатель знаменуетъ, т.-е. даетъ знать, указываетъ, говоритъ, напоминаетъ о томъ числѣ долей, на которое раздѣлено цѣлое для составленія извѣстной дроби изъ долей этого цѣлаго.

Обращеніе дробей въ десятыя, сотыя и тысячныя доли.

§ 9. Къ этой же ступени можно отнести обращеніе обыкновенной дроби въ десятыя, сотыя и тысячныя доли въ тѣхъ случаяхъ, когда это обращеніе выполняется точно, а

также въ тѣхъ, когда это обращеніе можетъ быть осуществлено только съ извѣстной степенью точности. Если у насъ есть какая-нибудь дробь, напримѣръ, —, то ее раздробить въ со-тыя доли, конечно, возможно безъ всякаго знанія тѣхъ пріемовъ, которые излагаются въ учебникахъ ариѳметики подъ видомъ обращенія обыкновенной дроби въ десятичную. Дробь 7/25, очевидно, обращается въ сотыя доли. Если взять доли въ два раза меньшія, то получатся пятидесятыя, если взять доли въ три раза меньшія, получатся семьдесятъ пятыя, а если взять въ четыре раза меньшія, то получатся сотыя доли, и такихъ сотыхъ долей будетъ 28. Вслѣдствіе этого, на основаніи такихъ непосредственныхъ и простыхъ разсужденій, можно написать слѣдующія равенства:

Въ такомъ же родѣ можно продѣлать упражненія надъ двадцатыми, двадцать пятыми и пятидесятыми долями. Раздробленія одной сто-двадцать-пятой въ тысячныя доли можно достигнуть такимъ же точно разсужденіемъ. При этомъ надо вспомнить, какъ обозначаются десятыя, сотыя, тысячныя доли съ помощью запятой, т.-е. безъ записи знаменателя, подписанной подъ запись числителя.

Болѣе затруднительные случаи.

§ 10. Но не всегда можно такъ быстро обратить обыкновенную дробь въ десятыя, сотыя или тысячныя доли, какъ въ указанныхъ выше примѣрахъ. Пусть, напр., у насъ есть 17/40. Для того, чтобы сообразить, что эту дробь можно выразить въ тысячныхъ доляхъ, требуются большой навыкъ въ изустныхъ вычисленіяхъ и умѣніе разбираться въ природѣ чиселъ болѣе крупныхъ. Въ этомъ случаѣ можно поступить подобно тому, какъ поступаютъ въ случаѣ дѣленія одного именованнаго числа на части, когда мы желаемъ выразить результатъ въ видѣ смѣшаннаго именованнаго числа. Дѣйствительно, въ нашемъ случаѣ можно 17 единицъ раздѣлить на 40 одинаковыхъ частей. Въ каждой части не будетъ цѣлой единицы. Раздробимъ 17 единицъ въ десятыя доли; въ одной единицѣ 10 десятыхъ, а въ 17-ти единицахъ 170 десятыхъ долей. Раз-

дѣлимъ 170 на 40 одинаковыхъ частей. Запишемъ результатъ 0,4 и остатокъ 10 (десятыхъ) въ соотвѣтственномъ мѣстѣ:

Не нужно думать, что учащіеся сразу это поймутъ. Поэтому тотъ же примѣръ надо продѣлать еще разъ. Но 10 десятыхъ долей осталось не раздѣленныхъ. Надо эти 10 десятыхъ долей раздробить въ единицы слѣдующаго низшаго разряда, т.-е. въ сотыя доли. Это нисколько не должно удивлять учащихся, потому что, дѣля сажени на нѣкоторое число одинаковыхъ частей, мы сажени раздробляемъ въ футы, или въ аршины, и т. д. Если сажени раздроблены въ аршины, то придется остатокъ раздробить въ вершки; если—въ футы, то придется остатокъ раздробить въ дюймы. И т. п. Такимъ образомъ мы получимъ, что 10 десятыхъ долей мы можемъ раздробить въ сотыя, и при этомъ мы получимъ вмѣсто 10-ти десятыхъ долей 100 сотыхъ. Эти сто сотыхъ долей мы можемъ раздѣлить опять-таки на 40 равныхъ частей, и мы получимъ слѣдующую запись:

Такимъ образомъ мы получили, что

У насъ остался еще остатокъ, а именно 20 сотыхъ долей. Эти 20 сотыхъ долей мы можемъ раздробить въ тысячныя; тысячныхъ будетъ двѣсти. Послѣ этого мы двѣсти тысячныхъ долей раздѣлимъ на 40 и получимъ, что

Приближенное десятичное значеніе дроби.

§ 11. Приблизительное обращеніе нѣкоторыхъ обыкновенныхъ дробей въ десятичныя можно и нужно ставить сначала на почву тѣхъ же соображеній, на которыхъ зиждутся вопросы этого рода въ предыдущихъ строкахъ. Но если мы

желаемъ непремѣнно, чтобы учащійся выполнялъ это обращеніе въ десятичную дробь тѣмъ же способомъ, какимъ мы привыкли обращать обыкновенныя дроби въ десятичныя, согласно указаніямъ учебниковъ, то мы должны тѣмъ большее вниманіе обращать на промежуточныя разсужденія, относящіяся до раздробленія остатковъ, выражающихъ доли одного наименованія, въ единицы наименованія низшаго. Въ томъ случаѣ, когда знаменатель представляетъ собою однозначное число, всѣ вычисленія могутъ производиться изустно. Но для того, чтобы разсужденія были болѣе прочно усвоены учащимися, можно записывать не только дѣлимое и дѣлителя и каждую цифру частнаго, но также и частныя произведенія, получаемыя отъ умноженія каждой цифры частнаго на дѣлителя, и остатки, при этомъ получаемые. Только въ этомъ случаѣ можно быть увѣреннымъ, что учащіеся вполнѣ усвоятъ себѣ этотъ способъ вычисленія,—этотъ извѣстный намъ съ дѣтства «алгориѳмъ»:

Можетъ-быть, на этой ступени цѣлесообразно обратиться къ извѣстному уже термину „процентъ“, руководясь, главнымъ образомъ, первыми упражненіями (см. ниже) 47-ой ступени. Во всякомъ случаѣ слово „процентъ“ должно замѣнить и замѣняетъ собою только два слова „сотая доля“. Когда вопросъ идетъ о томъ, сколько процентовъ какого-нибудь числа представляетъ другое данное число, то сначала можно выразить въ видѣ дроби, какую часть одного числа составляетъ другое, а затѣмъ эту дробь обратить въ десятичную, выраженную въ сотыхъ доляхъ. Но это, конечно, необязательно.

Сокращеніе нѣк. дробей.

§ 12. Что касается сокращенія нѣкоторыхъ дробей, то достаточно достигнуть того, чтобы ученики умѣли сокращать дроби только на 10, на 2 и на 5, потому что только признаки дѣлимости на эти три числа достаточно просты и цѣлесообразны въ началъ-

ной школѣ. Полное ученіе о сокращеніи дробей неумѣстно въ этой школѣ, потому что оно требуетъ большихъ познаній въ области признаковъ дѣлимости и даже въ теоріи общаго наибольшаго дѣлителя, а также потому, что въ немъ нѣтъ никакой практической надобности. Умноженіе обыкновенныхъ дробей на цѣлое число (т.-е. увеличеніе дроби въ нѣсколько разъ) и дѣленіе дробей на цѣлое число (т.-е. уменьшеніе дробей въ нѣсколько разъ) тоже не представляютъ затрудненій.

Увеличеніе и уменьшеніе дроби въ нѣск. разъ.

§ 13. Вопросъ объ увеличеніи и уменьшеніи дроби въ нѣсколько разъ является вопросомъ, имѣющимъ значеніе только въ дальнѣйшемъ курсѣ (если въ немъ отведено «дробной записи» при рѣшеніи задачъ на простое и сложное тройное правила не заслуживаемое ею вниманіе). Тотъ способъ увеличенія дроби, который состоитъ въ раздѣленіи знаменателя на нѣкоторое цѣлое число, на которое знаменатель дѣлится нацѣло, здѣсь неумѣстенъ. Ученикамъ надо уяснить себѣ, что для увеличенія дроби достаточно помножить числителя на нѣкоторое число, а для уменьшенія дроби въ нѣсколько разъ достаточно помножить знаменателя. Дѣленіе дроби на извѣстное число одинаковыхъ частей можетъ совершаться безъ всякаго правила, если имѣть въ виду, что уменьшеніе каждой доли въ нѣсколько разъ уменьшаетъ всю дробь въ нѣсколько разъ. Поэтому начинать надо съ дѣленія доли на извѣстное число равныхъ частей. Но уменьшеніе дроби можетъ совершаться и по извѣстному правилу. Это правило просто, но многословно: «для уменьшенія данной дроби въ нѣкоторое число разъ, можно знаменателя дроби помножить или же, если числитель дроби дѣлится на данное число» и т. д., и т. д. Правило это для учащихся, впрочемъ, безполезно.

Гораздо полезнѣе для учащихся на этой ступени обращаться къ лабораторнымъ упражненіямъ въ черченіи или хотя бы въ рисованіи квадрата и прямоугольника, въ раздѣленіи этихъ фигуръ иа извѣстное количество равныхъ частей, и одной изъ этихъ частей на нѣсколько, опять-таки равныхъ между собою, частей. Сначала надо дѣлить долю на извѣстное число равныхъ частей, а затѣмъ можно перейти и ко всякой другой дроби, въ которой число долей больше единицы. Правило при этомъ можно формулировать, но лучше, если его не формулируютъ, и если ученики добираются до него сами. Та-

ково, напр., краткое правило: «чтобы уменьшить дробь въ нѣсколько разъ, можно помножить знаменателя». Но это правило должно вытекать только изъ разсужденій, подобныхъ тѣмъ, на которыя наводятъ лабораторныя упражненія, или даже упражненія надъ отвлеченными числами, если учащіеся ранѣе, какъ слѣдуетъ, поработали. Подобныя правила должны не доказываться на томъ основаніи, что при увеличеніи знаменателя въ нѣсколько разъ каждая доля уменьшается во столько же разъ, а потому и дробь уменьшается во столько же разъ, но должны вытекать изъ работы надъ конкретными примѣрами. Дѣло не въ доказательствѣ и не въ отвлеченныхъ разсужденіяхъ, которыя вносятъ въ дѣло много словеснаго матеріала, для учащихся въ данный моментъ затруднительнаго и неинтереснаго. Гораздо поучительнѣе, полезнѣе и занимательнѣе для учащихся хотя бы примитивныя лабораторныя упражненія, приводящія къ тѣмъ представленіямъ, которыя нужны въ данный моментъ. Само собою разумѣется, что когда числитель дѣлится на дѣлителя на-цѣло безъ остатка, то ученики сами обратятъ вниманіе на этотъ частный случай, если ихъ учили какъ слѣдуетъ, но никакихъ особыхъ правилъ въ этомъ случаѣ не нужно. Въ этихъ правилахъ учащіеся и въ дальнѣйшемъ курсѣ, и въ жизни не нуждаются.

Если многіе изъ учениковъ не видятъ, что 15/16, раздѣленныя на пять одинаковыхъ частей, дадутъ въ результатѣ только три шестнадцатыхъ, то они не видятъ этого только потому, что для нихъ шестнадцатая доля представляется чѣмъ-то инымъ, чѣмъ вообще всякая единица даннаго наименованія. Если 15 яблокъ раздѣлить между 5 человѣками учащійся можетъ, а дробь 15/16 раздѣлить на 5 равныхъ частей онъ не въ состояніи, то это доказываетъ, что для него дроби не имѣютъ того конкретнаго значенія, которое имъ на самомъ дѣлѣ принадлежитъ. Опытъ показываетъ, что если къ дробямъ обратиться слишкомъ поздно, и если вообще дроби изучаются безъ всякихъ наглядныхъ пособій и безъ лабораторныхъ упражненій, то для учащихся дроби являются чѣмъ-то совершенно чуждымъ ихъ воображенію и пониманію. На самомъ же дѣлѣ понятія о половинахъ, четвертяхъ или другихъ частяхъ у учащихся дѣтей возникаютъ гораздо раньше, чѣмъ даже умѣніе считать и производить дѣйствія надъ числами первыхъ двухъ десятковъ. Бѣда въ томъ, что, при неблагопріятныхъ

условіяхъ обученія, учащіеся думаютъ, что тѣ половины, съ которыми они встрѣчаются въ жизни, говоря о половинѣ каравая хлѣба, о половинѣ куска говядины или о половинѣ яблока, ихъ интересующаго, то эти половины—совсѣмъ не тѣ половины, надъ которыми надо совершать дѣйствія на урокахъ ариѳметики. Первобытный человѣкъ часто имѣетъ о части цѣлаго болѣе ясное представленіе, чѣмъ даже объ не очень значительныхъ числахъ. То же до нѣкоторой степени справедливо относительно малолѣтнихъ.

Если ученикъ не видитъ, что 15/16, будучи раздѣлены на 5 одинаковыхъ частей, дадутъ только 3/16 въ каждой части, то учитель долженъ при этомъ задуматься надъ тѣмъ, такъ ли онъ велъ обученіе ариѳметикѣ, какъ онъ долженъ былъ его вести согласно требованіямъ современной методики. Пожелаетъ ли учитель систематизовать все то, что ученики усвоили себѣ на предыдущихъ ступеняхъ, или не пожелаетъ, ему во всякомъ случаѣ необходимо удостовѣриться въ томъ, владѣютъ ли учащіеся преимущественно увеличеніемъ и уменьшеніемъ дроби въ нѣсколько разъ. Важно, чтобы учащіеся не только знали то, что ими уже проработано, но умѣли бы проработанное прилагать и знали бы, что они этими знаніями и навыками владѣютъ вполнѣ.

Приведеніе дробей къ общему знаменателю, сложеніе и вычитаніе дробей.

§ 14. Совершенно неосуществимо въ начальной школѣ снабженіе дѣтей умѣніемъ, какъ слѣдуетъ приводить обыкновенныя дроби къ общему наименьшему знаменателю, и тѣмъ самымъ сразу выражать сумму и разность всякихъ двухъ дробей въ наименьшихъ доляхъ.

На этомъ пунктѣ поэтому особенно останавливаться въ начальной школѣ и не слѣдуетъ, потому что это выходитъ слишкомъ далеко за предѣлы надобностей жизни и школы и даже за предѣлы надобностей образованія. Дѣло въ томъ, что въ вопросахъ научнаго содержанія дроби обыкновенно выражаются въ десятичныхъ доляхъ. А что касается приведенія десятичныхъ дробей къ общему знаменателю, то это преобразованіе не представляетъ собою затрудненій. Тѣмъ не менѣе, однако же, надо научить учащихся складывать и вычитать обыкновенныя дроби, выраженныя въ половинахъ, четвертяхъ, восьмыхъ, шестнадцатыхъ, тридцать вторыхъ, въ пятыхъ, десятыхъ и шестыхъ доляхъ, но не въ такихъ доляхъ,.

которыя никогда въ жизни не употребляются. Таковы, напр., двадцать первыя, тридцать седьмыя, девятыя, одиннадцатыя, восемьдесятъ пятыя, и т. п. Если бы дѣйствительно понадобилось сложить двѣ такія дроби (что можетъ случиться только при особенно неблагопріятныхъ условіяхъ), изъ которыхъ одна выражена въ 35-хъ доляхъ, а другая въ 63-хъ, то, конечно, лучше всего эти двѣ дроби приближенно обратить въ десятичныя и выполнить вычисленіе надъ этими приближенными значеніями. Надо только достигнуть того, чтобы учащіеся отдавали себѣ нѣкоторый отчетъ въ томъ, достаточно ли имъ выразить данныя дроби въ десятыхъ, или лучше ихъ выразить въ сотыхъ и даже тысячныхъ доляхъ. Что это приблизительное значеніе не будетъ учащимся понято и оцѣнено съ чисто-математической точки зрѣнія, не представляетъ большого практическаго значенія. Если вычисленіе должно относиться не къ выдуманнымъ дробямъ, а къ случаямъ дѣйствительной жизни, когда приходится вычислять съ точностью до копейки, съ точностью до вершка и т. п., то подобныя вычисленія надъ приближенными значеніями десятичныхъ дробей не можетъ внести особенно крупныхъ ошибокъ. Надо къ этому добавить, что дѣйствительная жизнь представляетъ очень мало такихъ случаевъ, когда приходится вычитать одну выдуманную дробь изъ другой выдуманной же дроби со знаменателями, отличающимися отъ 10, 100, 4, 2, 5, 8, 16 и т. п.

Умноженіе и дѣленіе на дробь и дробное отношеніе одного числа къ другому.

§ 15. Въ курсъ начальной школы дѣйствія умноженія и дѣленія на дробь обыкновенно не входятъ. Большинству учащихъ, при недостаткѣ времени, дѣйствіе умноженія на дробь кажется слишкомъ труднымъ. Еще труднѣе дѣленіе на дробь. Многіе думаютъ, что для производства этихъ дѣйствій непремѣнно требуются правила, притомъ многочисленныя. Но дѣти должны умѣть находить часть цѣлаго, и цѣлое по данной части его, удовлетворительно безъ правилъ. Эти двѣ задачи и представляютъ собою задачи на умноженіе и на дѣленіе на дробь, и дѣти съ задачами этихъ двухъ родовъ справляются довольно легко, не зная никакихъ правилъ умноженія и дѣленія на дробь и не зная даже, что они именно одно изъ этихъ дѣйствій примѣняютъ. Вслѣдствіе преувеличеннаго страха предъ терминами „помножить на дробь“ и „раздѣлить на дробь“, многое остается не разработаннымъ. Но, конечно, если учитель не можетъ отрѣшиться отъ взгляда, что для производства этихъ дѣйствій необходимы правила, то лучше отказаться отъ введенія этихъ терминовъ въ курсъ. Вслѣдствіе отсут-

ствія этихъ терминовъ въ курсѣ, приходится на 45-ой ступени отказаться и отъ отысканія отношенія цѣлаго или дробнаго именованнаго числа къ другому цѣлому или дробному именованному числу того же рода, если это отношеніе выражается отвлеченной дробью. Дѣло въ томъ, что отысканіе этого отношенія тождественно съ вопросомъ объ отысканіи той отвлеченной дроби, на которую надо помножить одно число для того, чтобы получить другое. Конечно, нѣкоторый выходъ изъ этого положенія есть, а именно: можно обѣ дроби привести къ общему знаменателю и, такимъ образомъ, составивъ двѣ новыя дроби съ одинаковыми знаменателями, понять, что одна дробь составляетъ такую же часть другой, какую часть числителя второй дроби составляетъ числитель первой. Такимъ образомъ, напр., отношеніе 3/4 къ 5/6, т.-е. та дробь, на которую, съ точки зрѣнія ариѳметической, надо помножить 5/6, чтобы получить 3/4, можно найти слѣдующимъ образомъ: обратить 3/4 и 5/6 въ двѣнадцатыя доли, вмѣсто 3/4 получимъ 9/12, а вмѣсто 5/6 получимъ 10/12. Тогда, путемъ лабораторныхъ упражненій и благодаря интуиціи, учащіеся уразумѣваютъ, что девять двѣнадцатыхъ—такая же часть десяти двѣнадцатыхъ, какую часть десяти единицъ составляютъ девять единицъ. Учащіеся ранѣе не встрѣчали разсужденій подобнаго рода, которыя къ тому же требуютъ пониманія, такъ сказать, не высказанной пропорціи. Но въ крайнемъ случаѣ приходится прибѣгать къ подобнымъ разсужденіямъ. Въ „Новыхъ задачникахъ Шохоръ-Троцкаго“ (для учителей и для учениковъ), однако, этому вопросу не посвящено особаго мѣста изъ соображеній чисто-практическихъ, такъ какъ это—вопросъ второстепенный. Безполезно обращать вниманіе учащихся на то, что они не умѣютъ находить этого отношенія. Дѣло въ томъ, что отъ нихъ ускользаетъ важность подобнаго вопроса, такъ какъ этотъ вопросъ представляетъ собою вопросъ слишкомъ, если можно такъ выразиться, академическій. Можно ограничиться только самымъ необходимымъ, а именно тѣми простѣйшими случаями, когда отношеніе равно цѣлому отвлеченному числу:

Безсмысленныя дроби.

§ 16. Приводя въ систему весь тотъ учебный матеріалъ, который относится до дробей, надо обратить нѣкоторое вниманіе на вопросъ о томъ, что частное отъ раздѣленія всякаго цѣлаго числа на извѣстное число равныхъ частей можно выразить въ видѣ дроби. Исключеніе представляютъ только тѣ случаи, когда единицы, въ которыхъ выражено дѣлимое, не допускаютъ раздѣленія на части, т.-е. когда онѣ недѣлимы, напр., стаканы, люди, стулья и т. п. Дѣйствительно: если требуется продать

120 стульевъ 10-ти покупателямъ, притомъ всѣмъ поровну, то, конечно, каждый получитъ по столько стульевъ, сколько получится, если 120 раздѣлить на 10, т.-е. по 12 стульевъ. Но говорить, что каждый покупатель получитъ —- стула, по меньшей мѣрѣ, неудобно. Каждый стулъ дѣлить на равныя части не слѣдуетъ. Учитель можетъ даже прямо заявить, что это будутъ уже не стулья, а хламъ, который почти ни на что не годенъ. Учащіеся должны придумать такія задачи, въ которыхъ частное не можетъ быть выражено въ видѣ дробнаго числа. Таковы задачи на стекла, которыя надо вставить въ окна, на стаканы и чашки, которыя надо разставить на полки, на горшки, которые надо раздать нѣсколькимъ хозяйкамъ, на лошадей, которыхъ надо разставить въ стойла, и т. п.

46-я ст.: нахожденіе части цѣлаго.

§ 17. Нахожденіе опредѣляемой данною дробью части извѣстнаго цѣлаго не представляетъ собою большихъ трудностей, если учащіеся, какъ слѣдуетъ, усвоили себѣ, что такое—полное частное, происходящее отъ раздѣленія числа на цѣлое число равныхъ между собою частей. Но письменной техникѣ нахожденія части цѣлаго надо посвятить отдѣльную работу. Этому посвящена 46-я ступень. Раньше всего надо находить доли цѣлыхъ чиселъ. Учащіеся далѣе должны находить доли дробныхъ чиселъ. Они должны понимать, что это нахожденіе доли сводится къ дѣленію дробнаго числа на извѣстное число одинаковыхъ частей. Къ сожалѣнію, часто на первыхъ ступеняхъ курса недостаточно оттѣняется, что частное представляетъ только одну изъ частей дѣлимаго, равныхъ между собою (т.-е. долю дѣлимаго). Раздѣлить 175 на 5; говорятъ: «будетъ 37». Что такое представляютъ собою 37 единицъ въ этомъ случаѣ? Эти 37 единицъ и представляютъ собою не иное что, какъ именно пятую долю 175-ти единицъ. Этого учащіеся часто не замѣчаютъ. Да это и не удивительно: запись

выражаетъ только то, что надобно 175 единицъ раздѣлить на 5 равныхъ частей и что при этомъ 37 получится въ результатѣ, или что 175 больше 5-ти въ 37 разъ. Но что 37 равны одной пятой долѣ 175-ти, или что 5 равны одной тридцать-

седьмой долѣ 175-ти, эта запись не говоритъ прямо. Эти факты выражаются равенствами:

Если бы учащіеся знали смыслъ умноженія на дробь, то это можно было бы кратко записать слѣдующимъ образомъ:

Эти записи ничего иного и не обозначаютъ, хотя ихъ можно читать и такъ: «175 помножить на одну пятую, получится 37» и «175 помножить на 1/37, получится 5».

Нахожденіе нѣсколькихъ долей числа приходится и можно записать въ двѣ строчки, изъ которыхъ одна выражаетъ, что требуется нѣкоторое число раздѣлить на извѣстное число равныхъ частей, а другая—что полученное частное нужно помножить на нѣкоторое число. Дѣйствительно: для того, чтобы найти три четверти одной тысячи, можно рѣшеніе этой задачи записать въ три строчки (притомъ непремѣнно въ три строчки, а не въ одну) слѣдующимъ образомъ:

Но первыя двѣ строчки не выражаютъ, въ чемъ заключалась задача. Ее вполнѣ выражаетъ, съ точки зрѣнія математической, только третья строчка. Если бы дѣти знали смыслъ умноженія на дробь, то не пришлось бы словами писать третью строку. Они могли записать задачу и ея рѣшеніе такъ:

Первая строка обозначала бы тогда, что надо вычислить — тысячи, подъ чертой были бы записаны дѣйствія, которыя

требуется совершить для рѣшенія этой задачи, а когда результатъ будетъ найденъ, то его надо записать надъ чертою послѣ знака равенства. Подобнымъ же образомъ можно записать (для большей ясности задачи и ея рѣшенія) слѣдующее:

Когда вычисленіе выполнено, надо послѣ слова «равны» надъ чертой записать 750.

„Дробное“ расположеніе вычисленія.

§ 18. Конечно, расположеніе вычисленія, при нахожденіи части цѣлаго или части нѣкоторой дроби, можно впослѣдствіи сдѣлать въ двѣ строки. Такъ, напр., для того чтобы найти 5/16 тридцати семи, можно сначала 37 дѣйствительно раздѣлить на 16 равныхъ частей (при этомъ получится нѣкоторое смѣшанное число), затѣмъ это смѣшанное число можно помножить на 5. Но такое расположеніе вычисленій иногда неудобно, потому что отнимаетъ довольно много времени и требуетъ нѣкоторыхъ вычисленій, отъ которыхъ можно легко избавиться, воспользовавшись возможностью сократить одного изъ сомножителей числителя съ однимъ изъ сомножителей знаменателя. Сверхъ того, такое расположеніе вычисленій не совсѣмъ удобно потому, что оно часто требуетъ умноженія смѣшаннаго числа на цѣлое, въ то время какъ можно всѣ вычисленія свести къ одному или къ двумъ перемноженіямъ цѣлыхъ чиселъ и одному дѣленію. Выше изображенныя три строки, конечно, вполнѣ ясно выражаютъ все то, что нужно сдѣлать для рѣшенія нашей задачи. Иногда можетъ понадобиться и большее число строкъ. Но обыкновенно принято это вычисленіе производить иначе, а именно: прежде чѣмъ, напр., найти 5/16 тридцати семи, находятъ одну 16-ую тридцати семи, и этотъ результатъ изображаютъ только въ видѣ дроби —. Потомъ можно эту дробь помножить на 5, и тогда получимъ, что

Но обыкновенно сначала записываютъ —, а потомъ получается слѣдующая запись:

При этомъ (хотя это вовсе не необходимо) сначала записываютъ 37, потомъ говорятъ: «одна шестнадцатая доля этого числа въ 16 разъ меньше 37-ми», и въ это время запись 37-ми подчеркиваютъ и подъ чертой записываютъ 16; затѣмъ говорятъ: «а пять (съ удареніемъ на словѣ пять) шестнадцатыхъ въ 5 разъ больше, чѣмъ одна шестнадцатая», и при этомъ надъ чертою дроби — ставятъ справа знакъ умноженія и рядомъ съ этимъ знакомъ—цифру 5. За этой манерой вычисленія нельзя не признать извѣстныхъ удобствъ. Но цѣнна она только тогда, когда учащіеся вполнѣ отдаютъ себѣ отчетъ въ вѣрности и смыслѣ всѣхъ манипуляцій. Считать эти манипуляціи безусловно обязательными для всякой начальной школы, не приходится: онѣ требуютъ слишкомъ большой затраты времени, которое можно употребить на усвоеніе учащимися болѣе важныхъ навыковъ. Нельзя, къ тому же, не признать, что задачи нахожденія части цѣлаго и части дроби не такъ часто встрѣчаются въ жизни, чтобы необходимо было дать учащимся навыкъ въ выше охарактеризованныхъ манипуляціяхъ. Но если снабжать учащихся этими навыками, то необходимо также убѣждаться въ томъ, являются ли они у учащагося результатомъ размышленія и разсужденія, или же — только результатомъ, если можно такъ выразиться, внушенія и дрессировки. Во всякомъ случаѣ, коли учить этому, то надо выяснить учащимся значеніе ритма въ этой работѣ своевременнаго записыванія и своевременныхъ «объясненій». Смѣло можно утверждать, что «дробное» расположеніе вычисленій въ этихъ и подобныхъ случаяхъ не настолько существенно, чтобы безъ него нельзя было обойтись въ курсѣ начальной школы.

Умноженіе на дробь.

§ 19. Есть одинъ важный не только въ практическомъ, но и въ образовательномъ отношеніи, случай, когда нахожденіе части цѣлаго (или вѣрнѣе: умноженіе на дробь) важно. Это—случай, когда къ этому дѣйствію приходится прибѣгать при вычисленіи площадей и объемовъ.

Но непремѣнно исходить изь выше намѣченнаго навыка нѣтъ крайней необходимости.—Къ сожалѣнію, какъ-разъ условному смыслу умноженія на дробное (или смѣшанное) число не отводится, по недостатку времени и вслѣдствіе естественнаго пристрастія учебниковъ къ правиламъ, заслуживаемое этимъ смысломъ мѣсто въ курсѣ.

Все дѣло въ слѣдующемъ. Говорятъ: умножить 17 на 3/4 и пишутъ 17 X 3/4 вмѣсто того, чтобы говорить и писать словами, что требуется найти три четверти семнадцати. Боязнь внесенія термина „умножить на дробь“ въ курсъ начальной ариѳметики, по всей вѣроятности, объясняется исторически. Она проистекаетъ отъ того, что лишь въ сравнительно недавнее время вопросъ объ умноженіи на дробь сталъ разсматриваться (и то не всѣми) съ точки зрѣнія только-что упомянутаго простого опредѣленія.—Въ старину же не только умножали на дробь, но старались доказать, что умножить на дробь надо именно такимъ-то и такимъ-то образомъ. При этомъ употреблялись разныя ухищренія, начиная отъ особаго опредѣленія умноженія на дробь, какъ дѣйствія, съ помощью котораго „изъ множимаго надо составить произведеніе такъ, какъ множитель составленъ изъ единицы“. Еще раньше, для доказательства или „объясненія“ правила умноженія на дробь, дѣлалось не допустимое, съ логической точки зрѣнія, предположеніе, что мы сначала должны умножить на цѣлое число, равное числителю, а потомъ должны полученное уменьшить во столько разъ, сколько единицъ содержится въ знаменателѣ, „потому“, что отъ увеличенія множителя въ нѣсколько разъ произведеніе увеличивается во столько же разъ. Мнимое разсужденіе при этомъ гласило такъ: „надо умножить на пять восьмыхъ; помножимъ множимое на пять; но мы должны были помножить на 5 восьмыхъ; умноживъ на 5, мы увеличили множителя въ 8 разъ, а потому надо полученное произведеніе уменьшить въ 8 разъ“. Логическая же ошибка состоитъ, во-1-хъ, въ томъ, что измѣненіе произведенія въ зависимости отъ измѣненія множителя относится къ случаю цѣлаго множителя. Такимъ образомъ то, что справедливо для цѣлыхъ чиселъ, считается справедливымъ также для чиселъ дробныхъ. А это, съ логической точки зрѣнія, совершенно недопустимо. Лучшимъ доказательствомъ непріемлемости подобныхъ разсужденій можетъ служить какъ-разъ занимающее насъ дѣйствіе умноженія. (Дѣйствительно: при умноженіи числа, которое болѣе нуля, на цѣлое число, большее единицы, получается число, большее, чѣмъ множимое. Но изъ этого нельзя дѣлать заключенія, что отъ умноженія нуля на цѣлое число получится больше нуля, а отъ умноженія любого числа на одну единицу тоже должно получиться число, большее, чѣмъ множимое). Во-2-хъ, разсужденіе, выше приведенное, непріемлемо и потому, что, не зная, что значитъ „умножить на дробь“, нельзя разсуждать такъ, какъ будто мы знаемъ смыслъ этого умноженія. Про-

изводить дѣйствіе, смыслъ котораго не извѣстенъ, конечно, по меньшей мѣрѣ, неразсудительно.

Авторъ этой книги далекъ отъ мысли, что умноженіе на дробь надо непремѣнно внести въ курсъ начальной школы, особенно въ курсъ начальной школы съ трехлѣтней и даже съ четырехлѣтней продолжительностью курса. Но нельзя не признать, что если не считать правилъ умноженія неизбѣжно необходимыми, то все дѣло только въ томъ, чтобы учащіеся усвоили, что когда говорятъ «умножить на -- », то эти четыре слова замѣняютъ собою только слѣдующія 13 словъ: «сначала надо найти одну четверть даннаго числа, а полученное число помножить на 3», и т. п. Учащійся,—въ томъ убѣждаютъ сдѣланные авторомъ книги въ этомъ направленіи опыты въ примѣненіи этого термина,—можетъ себѣ усвоить такъ наз. умноженіе съ большой пользою для дѣла. Выгоды же употребленія термина «умножить на дробь» ясны сами собою. Одна изъ нихъ состоитъ въ томъ, что можно записывать самую задачу такъ, какъ она формулируется словами, съ помощью одного знака умноженія. Дѣйствительно: если записано или сказано, что данное число надо умножить на семнадцать двадцать пятыхъ, то это именно и значитъ, что надо найти семнадцать двадцать пятыхъ даннаго числа. Но не только въ краткости записи и словеснаго требованія есть нѣкоторыя удобства. Запись

450 : 15

выражаетъ, какъ это выяснено выше, только то, что 450 надо раздѣлить на 15, но съ какой цѣлью это надо сдѣлать, изъ этой записи не видно. Запись же

выражаетъ только одно требованіе, а именно, что требуется вычислить одну пятнадцатую долю числа 450. А рѣшается этотъ вопросъ дѣленіемъ. Нѣкоторыя подробности выяснены ниже, въ §§ 20—24 этой главы.

Безполезность общаго опредѣленія правила умноженія на дробь.

§ 20. Если согласиться съ тѣмъ, что условный смыслъ термина „умножить на дробь“ учащимся полезно себѣ усвоить, то отсюда вовсе еще не слѣдуетъ, что они также должны усвоить себѣ такъ наз. правила умноженія дробей. Не говоря уже о томъ, что учащіеся сами легко подмѣчаютъ пріемъ вычисленія, эти правила представляютъ собою не иное что, какъ только перефразировку уже извѣстнаго опредѣленія, смыслъ котораго совершенно ясенъ. Если учитель желаетъ проработать съ учениками такъ называемое умноженіе на дробь, то главное свое вниманіе онъ долженъ обратить только на самый смыслъ этого термина: говорятъ то-то и то-то вмѣсто того, чтобы говорить то-то и то-то. Общее опредѣленіе термина тоже не нужно. Оно слишкомъ отвлеченно. Лучше ставить дѣло на почву конкретныхъ примѣровъ: вмѣсто того, чтобы говорить, что надо найти три четверти какого-нибудь числа, говорятъ иначе, а именно, что это число надо помножить на три четверти, а вмѣсто того, чтобы говорить, что надо найти пять шестыхъ какого-нибудь числа, говорятъ, что это число надо помножить на пять шестыхъ, и т. д. Такихъ примѣровъ можно взять, сколько угодно. Но надо взять ихъ столько, сколько ихъ необходимо для полнаго усвоенія учащимися термина умножить на дробь.

Законы умноженія.

§ 21. Что при умноженіи на дробь можно переставить сомножителей, представляетъ собою упражненіе болѣе поучительное, чѣмъ это можетъ казаться непосвященному. Требуется шестьдесятъ помножить на семь восьмыхъ и семь восьмыхъ помножить на шестьдесятъ. Интересно сравнить эти два результата. Оказывается, что эти результаты равны между собою. Конечно, вопросъ о томъ и разъясненія того, почему здѣсь примѣнимъ перемѣстительный законъ умноженія,, не только въ начальной школѣ, но и въ низшихъ классахъ школы средней, неумѣстны. Вся логическая сила такъ наз. перемѣстительнаго закона для всякаго умноженія и его значеніе въ теоріи дѣйствій учащимся недоступны. Но уяснить себѣ, что произведеніе и въ этомъ случаѣ не измѣняется отъ перестановки сомножителей, ученики могутъ съ большой пользой для своего образованія.— Полезно учащимся уяснить себѣ, если только дѣйствительно введено понятіе объ умноженіи на дробь, что задачи, при которыхъ требуется производить умноженіе, всѣ, по своему логическому смыслу, одинаковы. Для уясненія этого учащимся можетъ служить, конечно, только рядъ цѣлесообразныхъ задачъ, а не такъ наз. „объясненія“ учителя. Когда мы спрашиваемъ, что стоитъ пять фунтовъ чая, если фунтъ его стоитъ 1 руб. 80 к., или сколько стоятъ 10 фунтовъ сахара, если фунтъ сахара стоитъ 17 к., и т. п., то мы, безъ всякаго сомнѣнія, приходимъ къ заключенію, что намъ надо совершить умноженіе. Для рѣшенія же вопроса о томъ, что стоитъ одна четверть фунта того же сахара, или того же чая, нужно, безъ всякаго сомнѣнія, произвести обратное дѣйствіе, а

именно цѣну фунта раздѣлить на 4. Какъ же можно въ такомъ случаѣ говорить, что для рѣшенія задачи надо помножить на дробь? Конечно, можно такъ говорить, если только подъ этимъ разумѣть, что помножить на одну четверть именно и значитъ раздѣлить на 4.

Но есть еще одинъ вопросъ: для чего говорятъ „умножить на четверть“ вмѣсто: „раздѣлить на 4“? На этотъ вопросъ можно отвѣтить: это—удобно. Удобно на вопросы одного и того же рода (какъ узнать, что стоитъ такое-то количество товара или сколько верстъ пройдетъ поѣздъ въ извѣстное время, и т. п.) давать одинъ и тотъ отвѣтъ: „надо помножить“.—Болѣе глубокое проникновеніе въ цѣль условныхъ опредѣленій не только для учащихся начальной школы, но и для учениковъ среднихъ и даже высшихъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній, сопряжено со слишкомъ значительными логическими трудностями. А потому, кромѣ цѣлесообразныхъ задачъ, уясняющихъ самый смыслъ термина „умножить на дробь“, на этой ступени не надо прибѣгать ни къ какимъ особымъ объясненіямъ.

Умножить не всегда значитъ увеличить.

§ 22. Гораздо полезнѣе, чѣмъ объясненіе цѣли опредѣленій, указаніе на то, что мы говоримъ иногда „умножить“ не потому, что въ результатѣ получается много, какъ это бываетъ всегда, когда намъ приходится умножать на цѣлое число, которое не меньше двухъ, или на какое бы то ни было смѣшанное число. Мы говоримъ „умножить“ въ этомъ случаѣ потому, что намъ иногда удобнѣе записать, что требуется умножить, а не раздѣлить.— Умножить не всегда значитъ увеличить; напр., когда мы умножаемъ на одну единицу, мы вовсе не умножаемъ въ буквальномъ смыслѣ этого слова. Мы не получаемъ больше, чѣмъ сколько есть единицъ во множимомъ. А при умноженіи на нуль, мы и совсѣмъ не получаемъ ни одной единицы. Тѣмъ не менѣе, мы говоримъ, что мы умножаемъ на единицу и на нуль, и говоримъ: „единожды-семь—семь“ и „нуль разъ девять—нуль“, и т. п.

Умноженіе дроби на дробь.

§ 23. Что касается умноженія дроби на дробь, то и этотъ терминъ не представляетъ собою ничего особенно затруднительнаго, если учащіеся умѣютъ находить дробную часть нѣкоторой дроби. Имъ тогда надо освоиться только съ тѣмъ, что нахожденіе дробной части нѣкоторой дроби и представляетъ собою то, что называютъ для краткости умноженіемъ этой послѣдней дроби на первую. Требуется найти три десятыхъ семи восьмыхъ; это можно записать слѣдующимъ образомъ:

и вычисляютъ сначала одну десятую долю дроби -, а потомъ три

десятыхъ этой дроби. Но можно записать и записываютъ это по-иному, а именно такъ:

и вычисляютъ точно такимъ же образомъ, принявъ во вниманіе, что одна десятая семи восьмыхъ равна семи восьмидесятымъ, а три десятыхъ семи восьмыхъ въ три раза больше, чѣмъ одна десятая доля семи восьмыхъ, т.-е.

Иногда, напр., когда члены обѣихъ дробей или одной изъ нихъ— многозначныя числа, принято сначала записывать результатъ дѣйствія въ видѣ новой дроби, члены которыхъ обозначены въ видѣ произведеній. Если, напр., требуется вычислить произведеніе

то пишутъ

Къ сожалѣнію, этому способу записыванія часто придаютъ слишкомъ большое значеніе, и слишкомъ большое значеніе придаютъ также тѣмъ словеснымъ объясненіямъ и манипуляціямъ, которыми подобныя записи сопровождаются. Но, помимо того, что записи эти часто безполезны въ практическомъ отношеніи, въ жизни и въ наукахъ подобныя вычисленія не могутъ встрѣтиться, а въ начальной школѣ—и совсѣмъ не должны встрѣчаться. Надо брать такія дроби, которыя въ жизни встрѣчаются и надъ которыми можно и должно выполнять всѣ вычисленія изустно. Отчасти по винѣ записей, правилъ и манипуляцій, подобныхъ выше охарактеризованнымъ, умноженіе на дробь доселѣ не нашло себѣ доступа въ курсъ начальной школы, хотя по существу это дѣйствіе не представляетъ никакихъ особенныхъ трудностей.

Трудность дидактическаго характера, неизбѣжная при усвоеніи сказанныхъ манипуляцій, заключается только въ томъ, что учащіеся должны научиться одновременно съ тѣмъ, какъ говорятъ: „въ десять разъ меньше“ приписывать 10 къ знаку умноженія предшествующему 10-ти въ знаменателѣ, а говоря: „въ три раза больше“, приписывать цифру 3 къ предшествующему этой цифрѣ знаку умноженія послѣ записи числителя. Но этотъ, если можно такъ выразиться, чисто-мускульный навыкъ пріемлемъ только въ томъ случаѣ, если учащіеся отдаютъ

себѣ полный отчетъ въ томъ, почему одно число надо записывать въ знаменателѣ, а другое число—въ числителѣ. Манипуляціи этого рода встрѣчаются также при рѣшеніи задачъ на такъ наз. простое и сложное тройныя правила. Пока задачи этого рода и устарѣлые способы ихъ рѣшенія не изгнаны изъ курса ариѳметики, надо признать, что исключеніе термина умноженія на дробь нельзя оправдывать нежеланіемъ вводить упомянутыя манипуляціи въ курсъ начальной школы и ихъ трудностью. Это тѣмъ болѣе справедливо, что безъ этихъ манипуляцій при такъ наз. умноженіи на дробь обойтись весьма легко.

Геометрическое значеніе умноженія на дробь.

§ 24. Кромѣ образовательнаго значенія, котораго нельзя не признать за надлежащей постановкой вопроса о такъ наз. умноженіи на дробь въ школьномъ курсѣ ариѳметики, эта постановка вопроса имѣетъ значеніе практическое. Вычисленіе площади прямоугольника со сторонами, которыя выражены дробными числами, находится въ тѣсной связи съ этимъ вопросомъ. О площадяхъ такихъ прямоугольниковъ рѣчь шла раньше, на стр. 226. Но провести этотъ вопросъ надо чистолабораторнымъ способомъ. Учащіеся должны сами построить прямоугольникъ, котораго одна сторона равняется, напр., тремъ четвертямъ вершка, а другая тремъ пятымъ долямъ вершка. Задача состоитъ въ томъ, во-1-хъ, чтобы узнать, какую площадь занимаетъ этотъ прямоугольникъ, или (что— то же) какую часть квадратнаго вершка составляетъ площадь этого прямоугольника, и во-2-хъ, какое дѣйствіе надо совершить для того, чтобы вычислить эту площадь. Логически свести его къ нахожденію части цѣлаго возможно, но утомительно и трудно. А потому удобнѣе обратиться къ чертежу и къ умноженію дробей. Чертежъ надо выполнять также на доскѣ, но вмѣсто вершка надо взять аршинъ, вмѣсто трехъ

Рис. 47.

четвертей вершка—три четверти аршина, а вмѣсто трехъ пятыхъ вершка—три пятыхъ аршина. (Это, кстати, въ свое время укрѣпитъ въ умахъ дѣтей начальную мысль о «масштабѣ» чертежа). Затѣмъ можно раздѣлить полученный прямоугольникъ на части длиною въ четверть вершка (или въ четверть аршина), а шириною въ пятую долю вершка (или—въ пятую долю аршина). Получимъ въ такомъ случаѣ новую фигуру, которая состоитъ изъ 9-ти равныхъ частей. Изъ этихъ девяти частей каждая составляетъ нѣкоторую долю квадрата, и вопросъ только въ томъ, какую именно долю квадрата представляетъ собою каждая часть нашей фигуры. Для этого стоитъ только дополнить чертежъ до квадрата и сосчитать, сколько разъ такая доля содержится въ верхней полосѣ, и сколько такихъ полосъ окажется во всемъ квадратѣ. Такихъ частей будетъ во всемъ квадратѣ двадцать, и площадь нашего прямоугольника, который имѣетъ въ длину три четверти вершка, а въ ширину три пятыхъ вершка, равна девяти двадцатымъ площади всего квадрата. Выходитъ такъ, какъ будто узнали три четверти трехъ пятыхъ или, что—то же, какъ будто мы три четверти помножили на три пятыхъ. Послѣ достаточнаго количества упражненій этого рода выяснится, что площадь прямоугольника и въ томъ случаѣ, когда основаніе и высота выражаются дробными числами, можно вычислить, помноживъ основаніе на высоту.—Само собою разумѣется, что внесеніе этихъ взглядовъ въ курсъ возможно только въ томъ случаѣ, если школа имѣетъ въ своемъ распоряженіи достаточное количество времени, если самъ учитель совершенно свободно разбирается въ этихъ вопросахъ, и если, наконецъ (что, вѣроятно, важнѣе всего) курсъ не страдаетъ отъ слишкомъ большого количества сложныхъ ариѳметическихъ и замысловатыхъ задачъ и отъ множества совершенно безполезныхъ правилъ. Эти соображенія убѣждаютъ въ томъ, что и для внесенія надлежащаго матеріала въ курсъ ариѳметики надо въ этомъ курсѣ отказаться отъ слишкомъ сложныхъ и замысловатыхъ задачъ, которыя и вообще отнимаютъ у школы слишкомъ много золотого времени.

Вопросъ о дѣленіи на дробь.

§ 25. Дѣленіе на дробь представляетъ собою вопросъ уже болѣе трудный, чѣмъ умноженіе. Дѣло въ томъ, что и въ этомъ случаѣ дѣленіе бываетъ двоякаго рода и что есть большая разница между вопросомъ о томъ, что значитъ раздѣлить три четверти

аршина на отвлеченную дробь, напр., на пять шестыхъ, и вопросомъ о томъ, что значитъ раздѣлить три четверти аршина на пять шестыхъ аршина. Вопросъ о дѣленіи на дробь, съ. методической точки зрѣнія, во всякомъ случаѣ неудобно ставить рядомъ съ вопросомъ объ умноженіи на дробь, потому что способы производства этихъ двухъ дѣйствій слишкомъ похожи другъ на друга. Разница только въ томъ, что въ одномъ случаѣ мы умножаемъ числителя на числителя, а знаменателя—на знаменателя, а въ другомъ случаѣ умножаемъ числителя дѣлимаго на знаменателя дѣлителя, а знаменателя дѣлимаго на числителя дѣлителя. При дѣленіи мы непремѣнно должны первое произведеніе принять за числителя, а второе— за знаменателя искомаго частнаго, а не наоборотъ. Опытъ показываетъ, что вообще учениковъ часто затрудняютъ тѣ пріемы, которые слишкомъ другъ на друга похожи, но на самомъ дѣлѣ, съ логической точки зрѣнія, другъ отъ друга отличаются весьма значительно1). Но, и помимо этого, вопросъ о возможности, при современныхъ условіяхъ, внесенія ученія о дѣленіи на дробь въ курсъ начальной школы приходится разрѣшать большей частью въ отрицательномъ смыслѣ.

Мѣсто вопроса о нахожденіи цѣлаго по части его въ курсѣ.

§ 26. Въ виду намѣченныхъ выше соображеній о сходствѣ вопросовъ о нахожденіи части цѣлаго и о нахожденіи цѣлаго по части его, послѣдній вопросъ, какъ извѣстно, требующій замаскированнаго дѣленія на дробь, отнесенъ не къ ближайшей, а къ одной изъ дальнѣйшихъ ступеней нашего курса, а именно къ ступени 52-й, которую отдѣляютъ отъ ступени, гдѣ проходится нахожденіе части цѣлаго, слѣдующія ступени: 47-я, посвященная нѣкоторымъ процентнымъ вычисленіямъ, 48-я, посвященная вопросу о зависимости однихъ величинъ отъ другихъ и о пропорціональности, 49-я, посвя-

1) Такъ, напр., если проходить (какъ это дѣлается иногда въ средней школѣ) ученія объ общемъ наибольшемъ дѣлителѣ и о наименьшемъ кратномъ числѣ на смежныхъ, такъ сказать, ступеняхъ обученія, то учащіеся, при сколько-нибудь благопріятныхъ для того условіяхъ, смѣшиваютъ одинъ терминъ съ другимъ и одинъ способъ вычисленія („алгориѳмъ“) съ другимъ, хотя эти „алгориѳмы“ рѣзко отличаются одинъ отъ другого и имѣютъ совершенно разныя цѣли. Аналогичное наблюдается въ ученіяхъ о признакахъ равенства и подобія треугольниковъ, о поверхности и объемѣ, о длинѣ окружности и площади круга, и т. п.

щенная сокращенію дробей и нѣкоторымъ признакамъ дѣлимости чиселъ, 50-я, посвященная задачамъ на такъ наз. сложное тройное правило, и 51-я, посвященная вычисленію процентныхъ денегъ за любой промежутокъ времени. Весь этотъ матеріалъ болѣе или менѣе тѣсно соприкасается съ содержаніемъ 46-ой ступени. См. § 14 гл. III ч. I «Методики».

Вопросъ объ отношеніи одного числа къ Другому.

§ 27. Рѣшеніе задачъ о томъ, какую часть одного цѣлаго числа составляетъ нѣкоторое другое, или какую часть одной дроби составляетъ нѣкоторая другая, съ точки зрѣнія теоретической, не представляетъ собою затрудненія только въ томъ случаѣ, если на эти задачи смотрѣть, какъ на задачи на дѣленіе одного числа на другое. Дѣйствительно: чтобы узнать, какую часть восьми единицъ составляютъ три единицы, надобно узнать, на какое число надо помножить 8, чтобы получить 3. А для этого надо 3 раздѣлить на 8, съ цѣлью отысканія отношенія трехъ единицъ къ восьми единицамъ. Но это — слишкомъ теоретическій взглядъ на практическій вопросъ. Еще труднѣе этотъ вопросъ тогда, когда требуется узнать, какую, напр., часть трехъ четвертей составляетъ пять шестыхъ долей. Для рѣшенія этой задачи, съ точки зрѣнія теоретической, надобно пять шестыхъ раздѣлить на три четверти, т.-е. узнать, на какое число надо помножить три четверти, чтобы получить пять шестыхъ, и т. п.

Несмотря, однако же, на трудности этого вопроса для учащихся къ матеріалу 46-й ступени, изъ чисто-практическихъ соображеній, отнесенъ также вопросъ о томъ, какъ узнать, какую часть одного цѣлаго числа составляетъ нѣкоторое другое цѣлое число. Но при этомъ дѣло ставится не на теоретическую точку зрѣнія, т.-е. не на ту точку зрѣнія, по которой этотъ вопросъ о нахожденіи отношенія одного числа къ другому рѣшается дѣленіемъ. Начинать упражненія этого рода можно съ рѣшенія задачъ, въ которыхъ требуется узнать, какую часть даннаго числа составляетъ одна единица этого числа. Вопросъ этотъ рѣшается не путемъ дѣленія, а путемъ чистоинтуитивнымъ, нагляднымъ. Что одна единица равна одной восьмой долѣ восьми, для учащихся ясно не потому, что отношеніе одной единицы къ восьми равняется одной восьмой долѣ отвлеченной единицы, и не потому, что восемь единицъ,

помноженныя на одну восьмую долю единицы, даютъ въ результатѣ одну цѣлую единицу, а потому, что одна единица содержится въ восьми такихъ же единицахъ ровно восемь разъ. Такимъ же интуитивнымъ способомъ дѣти рѣшаютъ и остальныя задачи, въ которыхъ спрашивается, какую часть любого цѣлаго числа представляетъ одна единица этого числа. Если же предложенъ вопросъ, какую часть восьми единицъ представляютъ три единицы, то при этомъ можно уже разсуждать такъ: одна единица представляетъ одну восьмую долю восьми единицъ, а т р и единицы—въ три раза большую часть, т.-е. три восьмыхъ доли. Весь вопросъ въ томъ, что въ этомъ случаѣ выражаетъ эта дробь: три восьмыхъ? Это—не три восьмыхъ рубля, аршина или другой единицы мѣры. Эта дробь только отвѣчаетъ на предложенный вопросъ о томъ, какую часть восьми единицъ составляютъ три единицы. Эта дробь отвѣчаетъ на вопросъ такъ: «три единицы составляютъ три восьмыхъ доли 8-ми единицъ» или: «три единицы равны тремъ восьмымъ долямъ восьми единицъ». Точно такъ же рѣшается эта задача для любого цѣлаго числа, о которомъ спрашиваютъ, какую часть другого цѣлаго числа оно составляетъ.—Какое дѣйствіе приходится при этомъ произвести надъ 3-мя и восемью, ученикъ отвѣтить не въ состояніи. Ибо для него этотъ вопросъ представляетъ собою задачу, для рѣшенія которой ни одно изъ извѣстныхъ ему дѣйствій не подходяще. Чтобы узнать, какую часть восьми представляютъ пять единицъ, учащійся не можетъ ни пяти раздѣлить на восемь, что было бы, впрочемъ, совершенно вѣрно, ни восьми раздѣлить на пять, что дало бы непонятный для него результатъ. Онъ вообще не можетъ совершить ни одного изъ извѣстныхъ ему четырехъ дѣйствій, а можетъ только сказать и записать слѣдующее:

Какой части одного числа равно другое?

§ 28. Имѣетъ ли учитель обыкновеніе прибѣгать къ пріемамъ рисованія и черченія или не имѣетъ, ему надо привлечь къ рѣшенію вопроса о томъ, какой части одного числа равно другое, двѣ конечныя прямыя, изъ которыхъ каждая содержитъ нѣкоторый отрѣзокъ цѣлое число разъ. Еще

лучше брать двѣ полосы, изъ которыхъ одна состоитъ, напр., изъ четырехъ одинаковыхъ квадратовъ, а другая изъ пяти такихъ же квадратовъ, и т. п. Какой части второй полосы равна первая? Очевидно, что этотъ вопросъ будетъ разрѣшенъ такимъ образомъ: каждый квадратъ первой полосы представляетъ собою четверть этой полосы; каждый квадратъ второй полосы представляетъ собою одну пятую долю этой же полосы; каждый квадратъ первой полосы равенъ одной пятой долѣ второй, а каждый квадратъ второй равенъ одной четверти первой полосы. Вся первая полоса равна четыремъ пятымъ долямъ второй полосы; вся вторая полоса равна пяти четвертямъ первой. При этомъ важно различать смыслъ словъ: «равняется» и «составляетъ». (Деньги одного лица не составляютъ части денегъ другого, но равны нѣкоторой части денегъ другого). При такой постановкѣ вопроса можно обойтись и безъ высказаннаго дѣйствія дѣленія. Какъ освѣщается этотъ вопросъ съ точки зрѣнія дѣленія, выяснено въ другомъ мѣстѣ этой книги, въ §§ 40 и 41 этой главы.

Запись вычисленій въ интересующемъ насъ случаѣ можно практиковать въ слѣдующемъ родѣ: пусть требуется узнать, какую часть 18-ти рублей составляютъ 5 рублей; записываемъ такъ:

На занимающей насъ ступени такія записи вполнѣ удовлетворяютъ потребностямъ практики.

Къ сожалѣнію, аналогичныя разсужденія и вычисленія для случаевъ, когда требуется узнать, какой части одной данной дроби (напр., дроби 4,5) равна другая дробь (напр., дробь 7/12), предста-

Рис. 48.

вляютъ громадныя, можно сказать—непреодолимыя въ начальной школѣ, трудности для непосредственнаго вычисленія (безъ помощи раздѣленія дроби 7/12 на 4/5 и безъ приведенія дѣлимаго и дѣлителя къ общему знаменателю). Что 1/12 доля единицы составляетъ 5/12 одной пятой доли единицы, а 7/12 равны 35/12 одной пятой, для малолѣтнихъ разсчитать очень трудно. Но что 7/12 составляетъ 35/48 четырехъ пятыхъ долей единицы, сообразить еще труднѣе. Для этого вычисленія требуется не только большая власть надъ своей ариѳметической мыслью, но и сильное ариѳметическое воображеніе. Даже широко поставленныя упражненія лабораторнаго содержанія не скоро могутъ привести учащихся къ навыкамъ въ подобныхъ вычисленіяхъ. Поэтому отъ такихъ задачъ надо отказаться. Только надлежащая постановка умноженія на дробь можетъ привести въ этомъ случаѣ къ возможности математическаго рѣшенія подобныхъ вопросовъ. Единственный методически цѣлесообразный и практически возможный выходъ можно найти только въ приведеніи данныхъ двухъ дробей къ общему (хотя бы даже и не наименьшему) знаменателю. См. §§ 15 и 41 этой главы.

52-я ст.: нахожденіе цѣлаго по данной части его.

§ 29. Нахожденіе цѣлаго по извѣстной части его требуетъ, чтобы было точно указано, чему равна извѣстная часть нѣкотораго цѣлаго, и точно указано, какую именно часть цѣлаго составляетъ эта часть. Напр., требуется узнать то число, три четверти котораго равняется 375. Мы тутъ знаемъ, чему равна часть, и знаемъ также, какую именно часть цѣлаго эта часть составляетъ. Этому вопросу посвящена 52-я ступень курса.

Начинать надо съ геометрическихъ упражненій, съ черченія и, такъ сказать, съ лабораторныхъ занятій. Учащій, имѣя въ рукахъ тесемку, длина которой ему извѣстна, предлагаетъ задачу слѣдующаго содержанія: «длина этой черты составляетъ длины вотъ этой тесемки; какъ велика длина тесемки?» При этомъ черта должна быть, конечно, начерчена вѣрно, для того чтобы можно было впослѣдствіи провѣрить, вѣрно ли рѣшена задача; тесемку надо взять не слишкомъ длинную, чтобы учащіеся могли начертить на доскѣ прямую, которой длина равна длинѣ тесемки. Такія же задачи можно предложить относительно квадратовъ: нѣкоторый квадратъ составляетъ извѣстную часть какого-нибудь прямоугольника, котораго одна сторона равна сторонѣ даннаго квадрата, или же:

начерченъ нѣкоторый квадратъ; сторона его равна четыремъ пятымъ одной стороны нѣкотораго прямоугольника и одной четверти другой его стороны; начертить этотъ прямоугольникъ, и т. п. Упражненія въ нахожденіи цѣлаго по части его умышленно отнесены къ 52-ой ступени курса, а не къ 45-ой, которая посвящена дробямъ и нѣкоторымъ ихъ примѣненіямъ (см. выше), и не къ 46-ой ступени, которая посвящена упражненіямъ въ нахожденіи части цѣлаго. Опытъ, какъ это отмѣчено выше, показываетъ, что близкое расположеніе матеріала, имѣющаго внѣшнее сходство съ какимъ-нибудь другимъ учебнымъ матеріаломъ, логически совершенно на него непохожимъ, учащимся приноситъ иногда большой вредъ. Этимъ надо руководствоваться, когда изучаются, напр., термины, избѣгая скопленія всѣхъ терминовъ, относящихся къ данному вопросу, въ одинъ и тотъ же моментъ обученія. Не надо, напр., сразу знакомить учащихся съ терминами «дѣлимое», «дѣлитель», «частное», «отношеніе», и т. п.—Въ этой книгѣ, посвященной вопросамъ методики ариѳметики, однако же, цѣлесообразно сопоставить содержаніе ступени 52-ой съ содержаніемъ 45-ой и 46-ой ступеней, дабы исчерпать вопросы, подлежащіе изученію въ школѣ въ той или иной мѣрѣ, и освѣтить вопросы, въ ней не всегда пріемлемые.

Первыя задачи на занимающей насъ 52-й ступени относятся исключительно къ такимъ числамъ, въ которыхъ и данная часть, и все цѣлое представляютъ собою числа цѣлыя. Рѣшеніе задачъ этого рода для учащихся не представляетъ затрудненія при двухъ условіяхъ: а) когда эти задачи не слѣдуютъ сейчасъ же за задачами на нахожденіе части цѣлаго, и б) когда ихъ рѣшенію предшествуютъ и сопутствуютъ лабораторныя упражненія.

Запись задачи и ея рѣшенія.

§ 30. Очень полезно научить учащихся записывать задачу слѣдующимъ образомъ:

(I)

Затѣмъ можно сокращать слова «неизвѣстное число», замѣнивъ эти слова двумя буквами «н. ч.», а именно такъ:

(II)

Буквенное уравненіе въ этомъ случаѣ.

§ 31. Этотъ способъ записи представляетъ не что иное, какъ обычный алгебраическій способъ, но только не символическаго письма, а способъ такъ наз. „синкопической“ алгебры (слово „синкопическій“ происходитъ отъ греческаго слова, обозначающаго сокращеніе). Можно, конечно, потомъ перейти и къ чистоалгебраическому обозначенію, причемъ, однако же, учителю (не учащимся) слѣдуетъ принимать къ свѣдѣнію, что обыкновенная запись обозначаетъ не иное что, какъ xX3/4. Такія обозначенія чрезвычайно удобны, такъ какъ они очень выразительны и не занимаютъ много мѣста. Буквенное рѣшеніе этой задачи можетъ быть приведено къ слѣдующимъ тремъ строчкамъ:

При этомъ слова „весь иксъ“ или „все число иксъ“ должны быть произносимы, но не записываемы. Конечно, если алгебраически-буквенныя обозначенія не употреблялись ранѣе, то это буквенное обозначеніе будетъ требовать большаго количества времени для усвоенія его учениками, чѣмъ въ случаяхъ, когда буквенныя обозначенія употреблялись и на болѣе раннихъ ступеняхъ.

„Дробная“ запись.

§ 32. Нельзя забывать, что когда учащіеся рѣшаютъ задачи по схемѣ (I) или (II) и даже когда они рѣшаютъ эти задачи, не записывая равенствъ (I), (II) и (III), а только говорятъ то, что въ этихъ схемахъ записано, не употребляя слова «иксъ», они тоже рѣшаютъ только нѣкоторыя уравненія. Они рѣшаютъ не записанное уравненіе даже въ томъ случаѣ, когда они пользуются «дробною» записью:

(IV)

и, записывая 36, говорятъ: «36 составляютъ три четверти неизвѣстнаго числа, а одна четверть въ три раза меньше»

(и при этомъ проводятъ горизонтальную черту и подъ ней пишутъ цифру 3), «а все неизвѣстное число въ 4 раза больше» (и, произнося эти слова, записываютъ надъ чертой знакъ умноженія и цифру 4). Разница только въ томъ, что при записяхъ схемъ (I, II и III) и задача, и ея рѣшеніе гораздо нагляднѣе и яснѣе, чѣмъ безъ всякихъ записанныхъ схемъ. Что же касается «дробной» записи, по схемѣ (IV), то чисто-мускульныя, если можно такъ выразиться, манипуляціи, при этомъ играющія столь важную роль, иногда лишаютъ учащихся необходимой вдумчивости. Онѣ требуютъ отъ дѣтей слишкомъ сгущенныхъ, въ короткій моментъ вычисленія, представленій и познаній въ области ученія о дроби, какъ о частномъ.

Есть еще одно удобство буквеннаго обозначенія, когда данное число равно нѣкоторой неправильной дроби (напр., -|) неизвѣстнаго числа. Тогда уравненіе

разрѣшается такъ:

гдѣ все вычисленіе не только произносится, но наглядно записывается, не будучи, въ то же время (когда въ томъ нѣтъ надобности), вычисленіемъ письменнымъ. Въ этомъ, какъ и во многихъ другихъ случаяхъ, буквенно-алгебраическая запись весьма сильно способствуетъ наглядности записей, вопроса и ясности его разрѣшенія.

Умноженіе на дробь и дѣленіе на отвлеченную дробь.

§ 33. Если учащіеся усвоили себѣ смыслъ термина „умножить на дробь“, то имъ легко (хотя и не въ той же степени) усвоить себѣ также смыслъ термина „раздѣлить на отвлеченную дробь“. Дѣйствительно, пусть предложена задача: „семь десятыхъ задуманнаго числа равны 574, и требуется узнать, какъ велико задуманное число“. Эту задачу можно истолковать слѣдующимъ образомъ: нѣкоторое неизвѣстное число помножено на и въ результатѣ получились 574 единицы. Если какое-нибудь неизвѣстное число помножено на цѣлое число и произведеніе (т.-е. результатъ этого умноженія) намъ извѣстно, то для отысканія неизвѣст-

наго множимаго можно извѣстное намъ произведеніе раздѣлить на извѣстнаго намъ множителя. Пусть учащіеся уже знаютъ, что, когда мы ищемъ три пятыхъ какого-нибудь числа, напр., 450-ти, то мы можемъ сказать, что мы умножаемъ 450 на 3,5. Но отсюда еще далеко до мысли, что когда мы ищемъ неизвѣстное намъ число, 3/5 котораго равняются 450-ти, то намъ въ этомъ случаѣ дано произведеніе 450, и множитель 3/5, и на этотъ послѣдній надо помножить неизвѣстное число, чтобы получить 450. Для уразумѣнія этого требуется нѣкоторая зрѣлость ума.

Еще дальше за предѣлами непосредственнаго разумѣнія и познаній учащихся лежитъ мысль о томъ, что мы можемъ въ этомъ случаѣ говорить такъ: надо 450 раздѣлить на 3/5. Положимъ, что учащіеся весьма тверды въ знаніи, что если дано произведеніе двухъ чиселъ и одно изъ нихъ, то для отысканія другого надобно произведеніе раздѣлить на извѣстнаго сомножителя. Но это они знаютъ только для области цѣлыхъ чиселъ. Для случая же дробнаго множителя можно только условиться смотрѣть па умноженіе и дѣленіе такимъ же образомъ. Только въ случаѣ, если они поняли, что это—условные термины (конечно, не въ томъ видѣ, какъ это изложено выше), можно разсчитывать на то, что они поймутъ наше право говорить такъ: когда надо вычислить то число, три пятыхъ котораго равняются четыремъ стамъ пятидесяти, то мы можемъ говорить, что четыреста пятьдесятъ надо раздѣлить на 3/5. Само собою разумѣется, что это усвоить себѣ нѣтъ возможности для учащихся, если они съ терминомъ „умножить на дробь“ недостаточно освоились раньше, или если этотъ вопросъ вообще недостаточно хорошо и основательно проработанъ. Само собою разумѣется также, что самое вычисленіе частнаго

отнюдь не должно совершаться съ помощью какихъ бы то ни было правилъ, а можетъ совершаться по одной изъ слѣдующихъ трехъ схемъ:

(I)

(II)

(III)

Изъ этихъ трехъ схемъ первая пользуется записями алгебры словесной („реторической“, по терминологіи Нессельмана, автора книги, посвященной исторіи алгебры), вторая — записями алгебры „синкопированной“, а третья—алгебры „символической“.

„Дробная“ запись.

§ 34. Что касается «дробной записи», часто употребляемой при рѣшеніи задачъ этого рода, то въ этой записи, какъ это отмѣчено выше, особенной надобности нѣтъ. Но, тѣмъ не менѣе, такъ какъ сами учителя къ этимъ записямъ привыкли, возможно и ученикамъ выяснить эту запись. Пусть предложена задача: «найти число, котораго 5/6 равны семи стамъ пятидесяти». Разсуждаемъ такъ: пять шестыхъ (удареніе на словѣ «пять») неизвѣстнаго числа равняется семи стамъ пятидесяти; одна шестая (удареніе на словѣ «одна») въ пять разъ меньше, чѣмъ пять шестыхъ, т.-е. равна

а все неизвѣстное число (удареніе на словѣ «все») въ шесть разъ больше, чѣмъ одна шестая доля его (удареніе на словѣ «одна»), т.-е. равна

При этомъ возможно пользоваться сокращеніемъ этой записи, конечно, въ предѣлахъ извѣстныхъ ученикамъ признаковъ дѣлимости чиселъ. Это вполнѣ возможно на занимающей насъ, а именно на 52-ой, ступени нашего курса. Главное вниманіе свое учитель долженъ обращать на упражненія

учащихся въ нахожденіи цѣлаго по извѣстной части его въ такихъ задачахъ, въ которыхъ извѣстная часть цѣлаго представляетъ собою число тоже цѣлое. Важно также соблюденіе требованія нѣкотораго ритма въ записяхъ и объясненіяхъ.

Предлогъ „отъ“ въ текстѣ нѣк. задачъ и записей.

§ 35. Во многихъ задачникахъ принято выражать задачи, требующія нахожденія нѣкоторой части цѣлаго, а также нахожденія цѣлаго по части его, однимъ, не свойственнымъ русскому языку, оборотомъ. А именно многіе говорятъ: «найти три пятыхъ отъ семидесяти», въ то время какъ можно говорить только такъ: «найти три пятыхъ семидесяти». Предлогъ «отъ» взятъ изъ иностранныхъ языковъ и задачниковъ, гдѣ безъ него обойтись нельзя. Получилъ онъ въ указанныхъ случаяхъ право гражданства въ нашей учебно-ариѳметической литературѣ по той простой причинѣ, что безъ этого предлога записывать требованіе «найти-четырехсотъ» сплошь цифрами не принято: писать - 500 — дѣйствительно очень неудобно.

Писать же словами то число, котораго часть надо найти, считаютъ излишней тратой времени, а потому привился обычай, не отвѣчающій требованіямъ русскаго языка, а именно писать въ задачникахъ такъ:

Насколько эта запись не отвѣчаетъ требованіямъ языка, можно судить по тому, что только немногіе рѣшатся говорить: «найти цѣлое, если извѣстно, что три пятыхъ отъ этого числа, равняются двадцати четыремъ», а говорятъ просто: «| неизвѣстнаго числа равны», и т. п. Избѣгнуть этого невѣрнаго употребленія предлога «отъ» можно троякимъ образомъ: а) либо множимое писать словами, б) либо обозначать нахожденіе части знакомъ умноженія, в) либо вставлять между цифровымъ обозначеніемъ дроби и цифровымъ обозначеніемъ множимаго слово «числа». Такимъ образомъ, вмѣсто записи

можно писать:

Въ послѣднемъ случаѣ есть нѣкоторое неудобство въ записи результата, такъ какъ писать:

тоже нѣсколько неудобно.

Опытъ показываетъ, что слово «умножить» и знакъ умноженія въ тѣхъ случаяхъ, когда надо найти дробь какого-нибудь числа, учащимся даются безъ труда и по другой причинѣ. Когда записано:

то часто говорятъ: «взять два раза 56 рублей». Отсюда одинъ только шагъ къ тому, чтобы запись

прочесть такъ: «взять 2/7 пятидесяти шести рублей». Предлогъ же «отъ», какъ показываетъ опытъ, неудобенъ также въ томъ отношеніи, что требованіе «взять одну четверть отъ пяти седьмыхъ» или «отъ трехъ единицъ» иные ученики (притомъ довольно упорно) понимаютъ въ томъ смыслѣ, что требуется отнять одну четверть отъ пяти седьмыхъ или отъ трехъ единицъ. Осуждать ихъ за это было бы неосновательно, потому что этотъ предлогъ выражаетъ вычитаніе, а не умноженіе. Въ «Новыхъ задачникахъ Шохоръ-Троцкаго» для учителей и учениковъ, при всемъ желаніи составителя не итти (по крайней мѣрѣ, въ мелочахъ) противъ установившихся обычаевъ, относящіяся къ соотвѣтствующимъ отдѣламъ задачи и записи сообразованы въ вопросѣ о предлогѣ «отъ» съ выше намѣченной точкой зрѣнія о неправильности его употребленія для обозначенія и нахожденія части числа.

Болѣе трудные случаи.

§ 36. Въ тѣхъ случаяхъ, когда извѣстное число представляетъ собою нѣкоторую часть другого, неизвѣстнаго, числа, и отвѣтъ на вопросъ выражается дробью, выраженной въ необычныхъ доляхъ (напр., g неизв. числа равны 15-ти, и т. п.), лучше всего окончательный отвѣтъ выражать, хотя бы приблизительно, въ видѣ десятичной дроби. Кстати это будетъ и упражненіемъ въ приблизительномъ обращеніи обыкновенной дроби въ десятичную. Въ нашемъ случаѣ:

такъ какъ послѣдній остатокъ (4) больше половины 7-ми единицъ. Если извѣстная часть неизвѣстнаго числа равна дроби или смѣшанному числу, то, казалось бы, должно усложниться только вычисленіе. На самомъ же дѣлѣ затрудняются и процессъ вычисленія, и уразумѣніе учениками самаго существа дѣла. Въ начальной школѣ (особенно съ трехлѣтнимъ курсомъ) слѣдовало бы держаться, по возможности, пріемовъ «синкопической» алгебры, а именно писать, напр., такъ:

затѣмъ разсуждать можно такъ: одна восьмая доля неизвѣстнаго числа въ 5 разъ меньше, чѣмъ 7у саж., а потому

Подъ чертой выполнено вычисленіе предварительнаго результата, происходящаго отъ умноженія одной сажени и сажени на 8, надъ чертою записанъ окончательный результатъ.

Дробь выражена въ процентахъ, т.-е. въ сотыхъ доляхъ.

§ 37. Полезно на 52-й ступени проработать также рѣшеніе такихъ задачъ, когда указано процентное отношеніе извѣстной части неизвѣстнаго числа къ этому послѣднему числу. Пусть предложена задача: «въ рощѣ сосна и береза; сколько всѣхъ деревьевъ, мы не знаемъ, но березокъ тамъ 1044 штуки, и число березъ составляетъ 39% числа всѣхъ деревьевъ; сколько деревьевъ, въ рощѣ?» Такія вычисленія полезно дѣлать надъ небольшими числами, причемъ учащіеся не только должны уразумѣть, но также усвоить себѣ слѣдующія соотношенія:

При этомъ при рѣшеніи задачъ, надо, конечно, ссылаться на то, что процентомъ даннаго числа называется одна сотая доля этого числа, а нѣсколько процентовъ—все равно, что столько же сотыхъ долей.

Изъ предыдущаго читатель, если онъ въ томъ не убѣдился изъ собственнаго опыта, легко усмотрѣлъ, что «нахожденіе цѣлаго по извѣстной части его» должно быть для учащихся значительно труднѣе, чѣмъ «нахожденіе части даннаго числа». Здѣсь, можетъ-быть, умѣстно коснуться еще двухъ вопросовъ: а) удачны ли эти два термина и б) какъ быть съ дѣленіемъ въ тѣхъ случаяхъ, когда дѣлимое и дѣлитель— именованныя дроби.

Термины: „нахожденіе части“ и „нахожденіе цѣлаго“.

§ 38. Первый изъ вопросовъ, поименованныхъ въ концѣ предыдущаго параграфа, можно разрѣшить въ томъ смыслѣ, что термины эти не вполнѣ удачны. Но, за отсутствіемъ другихъ, съ ними приходится примириться. Дѣло въ томъ, что когда приходится найти даннаго числа, то конечно, - этого числа не составляютъ части этого числа.

Дѣйствительно: - тридцати равны сорока единицамъ, а 40 единицъ не составляютъ части тридцати. Точно такъ же, когда мы вычисляемъ число, - котораго равны 56-ти единицамъ, то намъ дана не часть искомаго числа. Ибо 56 въ этомъ случаѣ не часть искомаго числа, которое равно сорока. Наоборотъ: искомое число представляетъ собою часть даннаго числа. Выходъ изъ этого затрудненія затруднителенъ. Можно считать, что такъ наз. «нахожденіе части цѣлаго» всегда требуетъ умноженія на дробь, а такъ наз. «нахожденіе цѣлаго по данной части его» требуетъ дѣленія на дробь. Но въ этомъ выходѣ въ курсѣ начальной школы, къ счастію, нѣтъ особенной надобности, такъ какъ тамъ можно обойтись и безъ интересующихъ насъ двухъ терминовъ. Этотъ вопросъ, однако же, для учителя не маловаженъ, такъ какъ онъ освѣщаетъ необходимость возможно конкретныхъ и жизненныхъ точекъ зрѣнія въ курсѣ начальной математики, которыя осуществимы только на почвѣ конкретныхъ же задачъ.

Нѣк. частные случаи дѣленія на именованную дробь.

§ 39. Вопросъ о томъ, какъ вычислить какой части одного цѣлаго числа равно другое цѣлое число, затронутъ, съ методической точки зрѣнія, въ § 28, притомъ не съ точки зрѣнія дѣленія одного числа на другое, а съ точки зрѣнія интуитивной. Вопросъ же о томъ, какой части одной дроби равна другая—одинъ изъ самыхъ тонкихъ вопросовъ ариѳметики, какъ это выяснено въ слѣдующемъ параграфѣ. Но это не мѣшаетъ въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ рѣшать эти вопросы путемъ непосредственнаго усмотрѣнія, путемъ интуитивнымъ. Рѣшить тѣмъ же путемъ вопросъ о томъ, какую часть дроби составляетъ дробь весьма за-

труднительно (см. ниже). Но рѣшать вопросы о томъ, что 3/10 равны половинѣ шести десятыхъ, или что 2/5 все равно, что 1/2 четырехъ пятыхъ, учащіеся, конечно, могутъ. Къ сожалѣнію, такихъ вопросовъ немного, и, къ счастію, вопросы болѣе трудные, рѣдко встрѣчаются въ жизни.

Дѣленіе на именованную дробь вообще съ теоретической точки зрѣнія.

§ 40. Гораздо труднѣе, въ методическомъ отношеніи, вопросъ о дѣленіи именованной дроби на именованную же дробь. Когда мы находимъ такъ наз. цѣлое по данной части его, мы въ состояніи довести учащихся до уразумѣнія сущности дѣла съ помощью разсужденій, пользуясь лабораторными упражненіями, наглядными записями, наконецъ—выразительной, при разсужденіяхъ, рѣчью.

Совершенно иначе дѣло обстоитъ съ нахожденіемъ отношенія одного именованнаго числа къ другому того же рода и наименованія. Никакими лабораторными упражненіями нельзя, съ достаточной прозрачностью, уяснить себѣ, почему 3/5 единицы равны семи десятымъ шести седьмыхъ долей единицы. Этотъ фактъ можно только провѣрить.

Даже то обстоятельство, что одна седьмая доля аршина равна пяти шестымъ долямъ шести тридцать-пятыхъ аршина, не можетъ быть выяснено ученикамъ достаточно просто лабораторнымъ способомъ и сколько-нибудь удовлетворительнымъ образомъ усвоено ими безъ значительнаго количества упражненій, на которыя требуется довольно много времени. Не помогаютъ здѣсь и записи, а тѣмъ болѣе разсужденія, аналогичныя разсужденіямъ, къ которымъ можно прибѣгнуть при такъ наз. „нахожденіи цѣлаго по данной части его“. А, между тѣмъ, это — такой же вопросъ на дѣленіе, какъ и только-что указанный вопросъ. Вся трудность въ томъ, что при дѣленіи именованнаго числа на именованное, мы отыскиваемъ множителя, на который надо помножить дѣлителя, чтобы получить дѣлимое, и этотъ множитель равенъ отношенію одной дроби къ другой.

Съ теоретической точки зрѣнія, дѣло рисуется такъ:

гдѣ буква х обозначаетъ то отвлеченное число, на которое надо помножить именованную дробь 7,25. аршина, чтобы получить другую именованную дробь, а именно 5/6 аршина. Отъ умноженія дѣлителя на это отношеніе мы, стало-быть, должны получить дѣлимое, т.-е.

Зная, что величина произведенія не измѣнится отъ надлежащей перестановки сомножителей и наименованія, мы можемъ утверждать, что

стало-быть, 7/25 нѣкотораго неизвѣстнаго числа единицъ равно такой же единицы, или, что—то же:

а эта задача уже требуетъ такъ наз. нахожденія цѣлаго по части его.—Очевидно, что всѣ эти разсужденія и вся эта „игра“ знаками, цифрами, буквой х и наименованіемъ для учащихся начальной школы мало пріемлемы въ виду иевышколеннаго (въ послѣдовательныхъ и совершенно вѣрныхъ математическихъ силлогизмахъ) ума малолѣтнихъ.

Казалось бы, что проще поставить дѣло такъ: требуется раздѣлить -g-аршина на — аршина, т.-е узнать, па какое число надо помножить чтобы получить —. Отъ перемѣны порядка сомножителей величина произведенія не измѣняется, а потому вмѣсто того, чтобы узнать, на какое число надо помножить чтобы получить у., можно узнать, какое число надо помножить на 2^, чтобы получить g. А этотъ вопросъ требуетъ найти то число, st- котораго равны z. Но на самомъ дѣлѣ это разсужденіе, какъ показываетъ опытъ, еще менѣе, чѣмъ предыдущее, попятно учащимся. Оно какъ будто проще, но отвлеченнѣе. Ученики могутъ его, при благопріятныхъ для того условіяхъ, выучить наизусть, но понять самую сущность строго логическихъ разсужденій и логическую силу ихъ учащіеся не въ состояніи.

Третья, тоже теоретическая, точка зрѣнія можетъ быть установлена въ томъ случаѣ, если учащіеся владѣютъ умноженіемъ дробей и быстро разбираются въ томъ, что

т.-е. что произведеніе двухъ взаимно-обратныхъ чиселъ равно единицѣ. Тогда вопросъ о дѣленіи рѣшается такъ:

поэтому

Очевидно, что и эта точка зрѣнія для учащихся начальной школы непріемлема. Вотъ почему дѣленіе именованной дроби на именованную дробь, какъ таковое, не входитъ въ составъ курса ариѳметики, подлежащаго усвоенію въ начальной школѣ. Надо при этомъ отмѣтить, что даже ученикамъ второго класса средней школы дѣленіе на дробь дается, чаще всего, чисто-формальнымъ путемъ (см. Шохоръ-Троцкій, „Методика ариѳметики для учителей среднихъ учебныхъ заведеній“, изданіе 2-ое и слѣд., стр. 268—276).

Все вышеизложенное весьма убѣдительно доказываетъ, какъ малообоснованъ тотъ взглядъ, по которому и въ курсѣ начальной ариѳметики не слѣдуетъ различать дѣленія двоякаго рода. Въ то время какъ дѣленіе на отвлеченную дробь очень легко сводится къ т. наз. нахожденію цѣлаго по части его, дѣленіе на дробь именованную требуетъ довольно тонкихъ промежуточныхъ разсужденій.

Отношеніе одной дроби къ другой.

§ 41. Легко прійти къ заключенію, что дѣленію именованной дроби на именованную въ курсѣ начальной школы не мѣсто, если ставить вопросъ на точку зрѣнія дѣленія, какъ такового.

Если не гнаться за неосуществимымъ въ начальной школѣ приведеніемъ всякихъ дробей къ общему наименьшему знаменателю, то, приведя дѣлимое и дѣлителя къ какому-нибудь общему знаменателю, можно, пользуясь нѣкоторыми лабораторными упражненіями, достигнуть того, что учащіеся свободно будутъ вычислять какой „части“ одной дроби равна другая. Это намѣчено въ § 15 этой главы.—Если учащіеся научились понимать, что число 15 равно 15/17 семнадцати, а число 17 равно 17/15 пятнадцати, и т. п., то для нихъ нетрудно разсудить и понять, что

а

потому что

Вычисленіе площади съ помощью вѣсовъ.

§ 42. Если учитель не боится лабораторныхъ упражненій и не страшится взвѣшиванія съ помощью шведскихъ спичекъ, съ помощью горошинокъ, дроби, зеренъ ржи и т. п., онъ можетъ ознакомить учащихся съ вычисленіемъ площади любой небольшой фигуры, какова бы ни была ея форма, съ помощью сравненія ея «вѣса» съ вѣсомъ нѣкоторой другой фигуры. Учащіеся къ этимъ упражненіямъ относятся съ чрезвычайнымъ интересомъ. Они знаютъ, что вычисленіе площадей прямолинейныхъ фигуръ представляетъ собою задачу болѣе или менѣе сложную и что для этого вычисленія требуется измѣреніе нѣкоторыхъ сторонъ этихъ фигуръ. Но они не отдаютъ себѣ яснаго отчета въ томъ, какъ безконечно велико то количество фигуръ, площадей которыхъ они вычислить не въ состояніи. Полезно обратить на это ихъ вниманіе (см. подстрочное примѣчаніе на стр. 138 этой книги).

Рис. 49.

Надо изготовить какую-нибудь фигуру съ криволинейнымъ контуромъ изъ картона, жести или другого подходящаго листового матеріала. Изъ того же матеріала можно изготовить квадратъ, сторона котораго равняется одной единицѣ длины (напр., вершку), и когда и то, и другое сдѣлано, можно сначала уравновѣсить квадратъ дробинками, горошинами, шведскими спичками, и т. п. однородными мелкими предметами. Затѣмъ можно уравновѣсить модель данной фигуры, изготовленную изъ картона, такими же предметами, которыми уравновѣшенъ былъ квадратъ. Для этого нужно положить на одну чашку вѣсовъ эту модель, а на другую чашку — столько этихъ предметовъ, чтобы они уравновѣсили интересующую насъ модель фигуры. Вѣсъ послѣдней зависитъ исключительно отъ ея площади, потому что толщина модели—та же, что толщина модели того квадрата, которую мы уравновѣсили ранѣе. Путемъ нѣсколькихъ упражненій этого рода, учащіеся уясняютъ себѣ, что площадь фигуры можно «взвѣсить». Если для того, чтобы уравновѣсить модель квадрата нужно 12 спичекъ, а чтобы уравновѣсить модель фигуры—43 спички, то это значитъ, что площадь фигуры равна 3 — квадр, вершка.

Этотъ методъ вычисленія площади фигуры важенъ не только самъ по себѣ, но также въ отношеніи образовательномъ. Учащіеся, по крайней мѣрѣ, поймутъ, что, такимъ образомъ, можно вычислить (хотя и приблизительно) площади множества фигуръ. Это и занимательно для учащихся, и многому их учитъ. Единственный вопросъ, который можетъ ихъ нѣсколько расхолодить по отношенію къ этому методу, заключается въ вопросѣ о томъ: «какъ такимъ способомъ измѣрить площадь участка земли?» Учащимся, если такой вопросъ будетъ ими поставленъ, надо предложить нѣсколько подождать для того, чтобы они поняли, что сразу всего изучить нельзя. Впослѣдствіи, когда учащіеся освоятся съ нѣкоторыми ученіями геометріи, относящимися до отношенія площадей двухъ подобныхъ фигуръ, когда они поймутъ, что такое планъ и масштабъ, и уяснятъ себѣ, что существуютъ способы изготовленія плановъ (для этого достаточны самыя элементарные пріемы примитивнаго землемѣрія), они уяснятъ себѣ, что площадь участка земли можно вычислить съ помощью «взвѣшиванія», если только извѣстенъ планъ этого участка земли. Вопросамъ

землемѣрія посвящена 55-я ступень этого курса, и если у школы есть достаточное для того количество времени, то и вопросъ объ измѣреніи площади участка земли на основаніи его плана, или при помощи взвѣшиванія, можно если не вполнѣ выяснить, то, по крайней мѣрѣ, намѣтить въ главныхъ его чертахъ.

Лучше уравновѣшивать модели фигуръ и квадрата мелкими предметами, а не разновѣсомъ, потому что дѣйствительное взвѣшиваніе разновѣсомъ можетъ привести къ такимъ числамъ, что раздѣленіе одного числа на другое отниметъ слишкомъ много времени, или же учащимся не вполнѣ доступно, напр., въ случаяхъ, когда дѣлимое—дробное число или именованное число, которое меньше, чѣмъ именованный дѣлитель (дѣлимое — 2І золотника, а дѣлитель—1 л. 1 золотникъ).

Дальнѣйшія дополненія геометрическаго матеріала, вмѣстѣ съ нѣкоторымъ матеріаломъ изъ области землемѣрія, отнесенъ къ 55-ой ступени курса.

Площадь круга.

§ 43. Этимъ способомъ вычисленія площадей можно воспользоваться для вычисленія площади круга, которая, какъ извѣстно, равна суммѣ площадей трехъ квадратовъ, въ которыхъ сторона равна радіусу круга, сложенныхъ съ одной седьмой долей площади такого же квадрата. Для этого можно изготовить изъ подходящаго листового матеріала модели круга, трехъ квадратовъ, въ которыхъ сторона равна радіусу круга, и прямоугольника, равнаго одной седьмой долѣ такого же квадрата. Положивъ на одну чашку вѣсовъ модель круга, а на другую—остальныя модели, приведемъ вѣсы въ равновѣсіе.

Составляетъ и равно.

§ 44. Есть одинъ вопросъ, касающійся того, какъ узнать, какую часть одного числа составляетъ другое? Этотъ вопросъ представляетъ собою нѣкоторыя, не только логическія трудности, но и трудности съ точки зрѣнія здраваго смысла. Можно ли предложить такой вопросъ: „какую часть двухъ аршинъ составляютъ семь аршинъ?“ Конечно, нельзя, потому ч