С. И. Шохоръ-Троцкій.

МЕТОДИКА АРИѲМЕТИКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ НАЧАЛЬНЫХЪ ШКОЛЪ,

въ двухъ частяхъ.

Изданіе 8-е.

ЗАНОВО ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ЗНАЧИТЕЛЬНО ДОПОЛНЕННОЕ

(съ иллюстраціями и чертежами въ тенчь).

ЧАСТЬ I.

АРИѲМЕТИКА ИЗУСТНЫХЪ ВЫЧИСЛЕНІЙ, преимущественно надъ числами первой сотни.

Изд. T-ва И. Д. Сытина.

Цѣна 1 руб. 10 к.

С. И. ШОХОРЪ-ТРОЦКІЙ.

МЕТОДИКА АРИѲМЕТИКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ НАЧАЛЬНЫХЪ ШКОЛЪ,

въ двухъ частяхъ.

Изданіе 8-е,

заново переработанное и значительно дополненное,

съ иллюстраціями и чертежами въ текстѣ.

ЧАСТЬ I.

АРИѲМЕТИКА ИЗУСТНЫХЪ ВЫЧИСЛЕНІЙ, преимущественно надъ числами первой сотни.

Изданіе Т-ва И. Д. Сытина.

Цѣна 1 руб. 10 коп.

Типографія Т-ва И. Д. Сытина, Пятницкая улица, свой домъ.

МОСКВА.—1915.

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Стр.

ВМѢСТО ВВЕДЕНІЯ................................................... 1

ГЛАВА I. Что такое методика ариѳметики?.......................... 19

ГЛАВА II. Средства обученія ариѳметикѣ........................... 29

ГЛАВА III. Распредѣленіе курса ариѳметики по годамъ начальной школы............................................................ 97

ГЛАВА IV. Ариѳметика чиселъ первыхъ двухъ десятковъ...........119

ГЛАВА V. Изустное сложеніе и вычитаніе, преимущественно чиселъ первой сотни, большихъ двадцати..................................198

ГЛАВА VI. Перемноженіе двухъ чиселъ перваго десятка и соотвѣтствующее дѣленіе.....................................................221

ГЛАВА VII. Изустныя вычисленія за предѣлами таблицъ четырехъ дѣйствій и чиселъ первой сотни......................................252

ГЛАВА VIII. О выразительности рѣчи, жестѣ и ритмѣ при обученіи ариѳметикѣ .........................................................287

НЕДОСМОТРЫ, которые слѣдуетъ исправить ранѣе чтенія книги.

Стр. § Строка. Напечатано. Должно быть.

6 — 8 сн. ариѳметики ариѳметикѣ

14 — 17 „ примѣру правилу

16 — 18 св. онъ она

35 6 3 „ въ къ

— — — „ въ къ

— - is „ Ѵі 4

48 8 5 „ д) и)

51 — 1 сн. 48 47

54 9 5 „ мѣръ нѣк. нѣкоторыхъ

55 — 1 „ 16 шведскихъ спичекъ 32—36 шведскихъ спичекъ

60 14 3 св. цѣтная цвѣтная

66 20 15 сн. помножимъ помноженное

85 33 12 св. семь восемь

103 6 18 „ лѣтъ классовъ

114 20 2 сн. не учась учась

137 16 1 св. предваратсльно предварительно

145 24 3 сн. усвоивать усваивать

149 27 19 „ на въ

164 45 1 св. 45 § 45

180 60 5 сн. на рукахъ; на рукахъ; положимъ еще по одному, останется на рукахъ 5 кубиковъ;

181 61 9 св. попадетъ въ каждую всѣхъ кучекъ кучку

— — 14 „ бумаги листовъ бумаги

— — 14 и 15 св. получилъ каждый ученикъ;

было учениковъ;

— 68 13 „ 36 32—36

209 10 16 „ потерею его потерею

218 18 6 и 7 сн. 82 80

221 1 5 „ потомъ впослѣдствіи впослѣдствіи

242 21 17 св. 24| 6_ 2414

248 2 18 „ 20 28 ~

254 1 13 сн. единицы единицъ

257 3 8 св. глаголовъ причастій

269 12 24 „ 9 + 13 9 + 11 + 13

ПРЕДИСЛОВІЕ къ 8-му изданію.

Это изданіе книги отличается отъ предыдущихъ весьма значительно. Она совершенно переработана, значительно дополнена и почти цѣликомъ заново написана. Но перечислять всѣ отступленія этого изданія отъ предыдущихъ было бы излишне.

Книга раздѣлена на двѣ части и носитъ теперь заглавіе «Методика ариѳметики для учителей начальныхъ школъ» (въ двухъ частяхъ). Первая часть посвящена общимъ методикоариѳметическимъ соображеніямъ и частнымъ вопросамъ методики обученія изустной ариѳметикѣ, преимущественно надъ числами первой сотни, вторая—вопросамъ методики обученія дѣтей письменному производству четырехъ дѣйствій. Число ступеней, на которыя распадается курсъ, въ книгѣ разсматриваемый, значительно увеличилось. Сверхъ обычно практикуемаго въ русскихъ начальныхъ школахъ учебнаго ариѳметическаго матеріала, въ книгу внесено методическое освѣщеніе нѣкоторыхъ (впрочемъ, вообще необязательныхъ) упражненій дѣтей въ такъ наз. «лабораторныхъ» занятіяхъ, въ дѣтскомъ рисованіи, черченіи, землемѣріи, въ рѣшеніи уравненій и т. п. Хотя и не во всякой школѣ эти упражненія можно ввести въ курсъ ея, но всякому учителю надо поболѣе сродниться съ идеями, лежащими въ ихъ основѣ.—Книга снабжена иллюстраціями и чертежами.

Неизлишне, можетъ-быть, отмѣтить также слѣдующее: 1) основныя начала, которыми руководился составитель книги въ многолѣтней посильной своей кабинетной и практической, въ школахъ разнаго рода, работѣ надъ вопросами обученія математикѣ вообще и ариѳметикѣ въ частности, остались тѣ же; 2) несмотря на возродившуюся у насъ, отчасти подъ вліяніемъ Лайя, моду на методу т. наз. «изученія чиселъ», въ книгѣ, попрежнему, разрабатывается «метода цѣлесообразныхъ задачъ» въ виду того, что «метода изученія чиселъ» (помимо ея основныхъ недочетовъ) въ русской начальной школѣ

и практически непріемлема, въ то время какъ метода цѣлесообразныхъ задачъ, кажется мнѣ, вполнѣ отвѣчаетъ требованіямъ жизни и современной методики математики вообще и ариѳметики въ частности1); 3) вступать въ полемику не только по частнымъ вопросамъ методики ариѳметики, но даже по основнымъ ея вопросамъ съ кѣмъ бы то ни было я считаю въ этой книгѣ безполезнымъ; только иногда приходилось мнѣ защищать свои взгляды; 4) равнымъ образомъ я считаю излишнимъ приводить многочисленныя цитаты въ доказательство вѣрности проводимыхъ въ книгѣ взглядовъ, — тѣмъ болѣе, что мною, вмѣсто введенія, сопоставлены мысли и взгляды, которые высказаны въ разное время весьма авторитетными въ занимающей насъ области учеными и педагогами; 5) эти взгляды достойны особеннаго вниманія учителя; выдержки, въ которыхъ они получили свое выраженіе, думается, учителю полезно читать и перечитывать совершенно независимо отъ того, подтверждаютъ ли онѣ или не подтверждаютъ тотъ или иной методическій совѣтъ. Само собой, однакоже, разумѣется, что подборъ выдержекъ (что вполнѣ естественно) сдѣланъ мною въ зависимости отъ того, что я считаю въ настоящее время наиболѣе важнымъ съ принципіальной точки зрѣнія.

Если и этому изданію книги выпадетъ на долю такое же вниманіе со стороны учителей-практиковъ и критики, какого удостоились предыдущія ея изданія, то цѣль его достигнута. Я никогда не работалъ для того, чтобы книги мои имѣли шансы на особенно широкое распространеніе. Цѣль моей многолѣтней работы на поприщѣ учебно-математической литературы—иная. Я всегда руководился и буду руководиться стремленіемъ, по мѣрѣ силъ моихъ и разумѣнія, способствовать теоретической и практической разработкѣ вопросовъ математическаго образованія, въ цѣляхъ воплощенія въ школьномъ дѣлѣ въ Россіи высшихъ педагогическихъ идей и идеаловъ.

С. Шохоръ-Троцкій.

Пгр., Нижегородская, 23А.

Декабрь 1914 г.

1) Практически непріемлема въ русской начальной школѣ „метода изученія чиселъ“, между прочимъ, по слѣдующимъ бытовымъ условіямъ: а) у насъ дѣти попадаютъ въ школу, достигнувъ приблизительно восьмилѣтняго возраста, а не шестилѣтняго (какъ во многихъ другихъ странахъ); б) продолжительность учебнаго года у насъ въ полтора, если не въ два раза меньше, чѣмъ академическій годъ въ зарубежной школѣ; в) учатся у насъ въ начальной школѣ зимы три-четыре, а не въ теченіе 6 — 8 академическихъ годовъ; г) не отвергая пригодности нѣк. пріемовъ изученія чиселъ для русскихъ дѣтей дошкольнаго возраста, надо признать, что бездушная дисциплина (вѣрнѣе — муштровка), которою проникнуты весь строй нѣмецкой школы, нѣмецкаго „дѣтскаго сада“ и соотвѣтствующая этому строю метода „изученія чиселъ“, какъ метода обученія ариѳметикѣ,—школѣ русской чужда и не нужна.

ВМѢСТО ВВЕДЕНІЯ1).

Значеніе и содержаніе ариѳметики.

Если бы у меня были дѣти, то они должны были бы не только заниматься языками и выслушивать разные разсказы, но также научиться музыкѣ и изучить ариѳметику.

Мартинъ Лютеръ (1483—1546).

Такъ какъ послѣ грѣхопаденія люди ослабѣли разумомъ настолько, что сами не умѣютъ должнымъ образомъ видѣть и слышать, то Всеблагій далъ имъ искусства, съ помощью коихъ они могутъ пріобрѣсти съ трудомъ часть того, что ими при грѣхопаденіи утрачено въ помянутыхъ способностяхъ. Среди сихъ искусствъ ариѳметика отнюдь не принадлежитъ къ числу ничтожнѣйшихъ.

Шей (XVII в.).

Леонтій Магницкій (1669—1739).

Первоначальныя познанія изъ области математики должны входить въ составъ обученія

1) Фамиліи нѣкоторыхъ мыслителей, педагоговъ и ученыхъ XIX вѣка, взгляды которыхъ на ариѳметику и на обученіе этому предмету приведены ниже, не снабжены хронологическими указаніями.

дѣтей. Числа и линіи говорятъ ихъ воображенію гораздо болѣе, чѣмъ это кажется непосвященному. Поэтому числа и линіи представляютъ собою наивѣрнѣйшее средство для упражненія дѣтей въ мышленіи, не рискующее сбить ихъ съ толку.

Кондорсе (XVIII в.).

Если бы главнѣйшею цѣлью обученія дѣтей ариѳметикѣ даже было разрѣшеніе сложныхъ и трудныхъ задачъ, то и тогда одною изъ дальнѣйшихъ цѣлей этого обученія было бы все-таки усовершенствованіе разсудка. Обученіе ариѳметикѣ должно быть для дѣтскаго ума тѣмъ же, чѣмъ точильный камень служитъ для еще не отточеннаго рѣжущаго орудія.

Клаусбергъ (XVIII в.).

Ариѳметика, благодаря своему содержанію, является наилучшимъ средствомъ для развитія сужденія; но она перестаетъ быть таковымъ средствомъ, если ученикъ, какъ это очень часто случается, принимаетъ ученіе ея на-вѣру.

Базедовъ (1723—1790).

И родное слово, и созерцаніе пространства могутъ насъ ввести иногда въ заблужденіе. Только число ведетъ къ безошибочнымъ результатамъ; только оно безошибочно, ибо оно служитъ для расчета, для вычисленія. Поэтому оно должно входить въ составъ начальнаго обученія.

Гейнрихъ Песталоцци (1746—1827).

Мысль обозначенія чиселъ помощью десяти знаковъ, основаннаго на безусловномъ и мѣстномъ значеніяхъ цифръ, такъ проста, что только по этой причинѣ мы забываемъ—какого она достойна удивленія. Но именно эта простота и та легкость, которою ей обязано ариѳметическое вычисленіе, дѣлаютъ ариѳметическую систему индусовъ однимъ изъ полезнѣйшихъ изобрѣтеній. Насколько было трудно изобрѣтеніе этой системы, можно судить по тому, что ея не могли изобрѣсти ни Архимедъ, ни Аполлоній Пергейскій, принадлежащіе къ числу величайшихъ умовъ древности.

Лапласъ (1749—1827).

Одинъ древній писатель назвалъ ариѳметику и геометрію «крыльями» математики. Я думаю, что можно безъ преувеличенія сказать: онѣ — фундаментъ и ядро всѣхъ наукъ, имѣющихъ дѣло съ величинами.

Лагранжъ (1736—1813).

Ариѳметика стоитъ въ томъ же отношеніи къ математикѣ (включая въ нее геометрію и механику), въ какомъ математика — къ изученію природы. Математика — царица естествознанія, а ариѳметика — царица математики.

Гауссъ (1777—1855).

Математику отнюдь не должно обращать въ безплодную игру логическими доказательствами.

Жозефъ Бертранъ (1822—4900).

Роль геометріи въ ариѳметикѣ оправдывается исторіей и философіей науки. Если бы ариѳметика никогда не сближалась съ геометріей, она знала бы только цѣлыя числа. Только для того, чтобы приспособиться къ нуждамъ геометріи, она изобрѣла нѣчто другое.

Пуанкаре (1854—1911).

Обученіе ариѳметикѣ и вообще математикѣ.

Вычисляя, ребенокъ прежде всего долженъ учиться. Янъ Амосъ Коменскій (1592—1672).

Ариѳметика — самый легкій родъ отвлеченной умственной дѣятельности и, слѣдовательно, первый, какой обыкновенно можетъ вынести умъ или къ которому онъ привыкаетъ. Она вообще такъ полезна во всѣхъ житейскихъ положеніяхъ и дѣлахъ, что едва ли что-нибудь можетъ быть сдѣлано безъ нея. Но здѣсь, какъ и во всѣхъ отрасляхъ воспитанія, надо очень тщательно наблюдать за тѣмъ, чтобы съ дѣтьми начиналось обученіе съ легкаго и простого, чтобы имъ за одинъ разъ сообщалось какъ можно меньше и чтобы сообщенное укрѣпилось въ ихъ головахъ, прежде чѣмъ они перейдутъ къ чему-либо новому.

Джонъ Локкъ (1632—1704).

При обученіи ариѳметикѣ не надо удовлетворяться тѣмъ, что учитель провозглашаетъ истины: надо стремиться къ уразумѣнію истинъ этихъ учениками. Поэтому надо дѣйствовать не только на память учениковъ, но вліять также на ихъ разумѣніе. Отъ начинающихъ, конечно, нельзя требовать вполнѣ точныхъ объясненій и доказательствъ, ибо природа не терпитъ скачковъ ни въ вещественномъ мірѣ, ни въ мірѣ духовномъ. Но даже первоначальное обученіе должно стремиться къ тому, чтобы умъ учениковъ совершенствовался.

Хр. Вольфъ (1679—1754).

Ариѳметика—учебный предметъ, опирающійся на доводы и заключенія разума. Она приноситъ тѣмъ большую пользу образованію, чѣмъ болѣе учитель старается вызвать учениковъ на самодѣятельную и творческую работу.

Гауфъ (ХVIII в.).

Вмѣсто того чтобы въ геометріи давать дѣтямъ свою методу, мы гораздо лучше поступили бы, заимствовавъ у нихъ ихъ методу... Сдѣлайте точныя фигуры, комбинируйте ихъ, наложите одну фигуру на другую, изслѣдуйте ихъ отношенія. И вы изобрѣтете всю элементарную геометрію, переходя отъ наблюденія къ наблюденію, и при этомъ не будетъ вопросовъ объ опредѣленіяхъ, о теоремахъ... Обыкновенно пренебрегаютъ удовлетворительнымъ чертежомъ: его предполагаютъ, подразумѣваютъ, и устремляются поскорѣе къ доказательству... Геометрія для моего ученика должна быть искусствомъ умѣло пользоваться линейкой и циркулемъ.

Жанъ-Жакъ Руссо (1712—1778).

Не задерживайте своихъ учениковъ на опредѣленіяхъ (ариѳметики, именованнаго числа, числа отвлеченнаго, ариѳметическаго дѣйствія и т. п.), а напротивъ: поскорѣе приступите къ упражненіямъ въ счетѣ. Не показывайте имъ, какъ надо рѣшить предложенный вопросъ, а напротивъ: дайте имъ самимъ поработать надъ вопросомъ. Упражняйте ихъ на такихъ примѣрахъ, которые имѣютъ какое-либо отношеніе къ ремеслу и роду

занятій ихъ родителей. Не мучайте дѣтей большими числами и не двигайте учениковъ впередъ, пока они не усвоили предыдущаго. Пусть въ вашемъ распоряженіи всегда имѣются предметы, надъ которыми ученики могли бы совершать свои расчеты, и всегда предпочитайте такія вычисленія вычисленіямъ умственнымъ и на доскѣ.

Овербергъ (XVIII в.).

Изустныя вычисленія тѣмъ хороши, что пріучаютъ дѣтей заниматься тѣмъ, чѣмъ въ настоящую минуту надо заниматься, и не уподобляться мотылькамъ, перелетающимъ съ одного цвѣтка на другой.

Бирманъ (XVIII в.).

Дѣти должны учиться ариѳметикѣ, потому что она ихъ пріучитъ къ вниманію и вдумчивости, къ уразумѣнію вопросовъ о прибыли и убыткѣ, къ осторожности въ предпріятіяхъ, къ легкому и быстрому выполненію могущихъ встрѣтиться вычисленій. Вся остановка только за хорошей методой обученія.

Овербергъ (XVIII в.).

Извѣстно, что ариѳметика во всѣхъ учебникахъ этого предмета, большею частью, опирается на выучиваніе учениками правилъ наизусть или, въ лучшемъ случаѣ, на упражненія безъ должнаго уразумѣнія правилъ. Но мнѣ этотъ родъ ученія всегда казался слишкомъ поверхностнымъ. Я всегда думалъ, что при обученіи ариѳметикѣ надо, главнымъ образомъ, имѣть въ виду разумъ. Послѣдній испытываетъ великое удовлетвореніе, когда ему въ ариѳметикѣ удается постигнуть самый корень вещей, т.-е. самый способъ примѣненія правила къ примѣру, какъ и способъ изобрѣтенія этого правила.

Клаусбергъ (XVIII в.).

Наши ученики не нуждаются въ педантическомъ и шарлатанскомъ аппаратѣ обычныхъ учебниковъ ариѳметики, во всѣхъ этихъ громадныхъ задачахъ, многословныхъ правилахъ и

опредѣленіяхъ ит. п. Они нуждаются не въ научной ариѳметикѣ и не въ искусственныхъ вычисленіяхъ, а только во власти надъ такими вычисленіями, въ которыхъ они будутъ нуждаться и которыя они будутъ въ состояніи примѣнить въ своей жизни. Для игры въ ариѳметику у насъ нѣтъ времени... Всѣ вычисленія надо брать изъ областей, доступныхъ дѣтскому пониманію: они должны относиться до размѣровъ участка земли, до разстояній, до количества кочней капусты, до количества сѣна и т. п. Пора бросить вычисленія надъ десятизначными числами, умноженія и дѣленія десятизначныхъ чиселъ на пяти и шестизначныя, и т. п.

Петръ Вилъомъ (XVIII в.).

Если кто пріобрѣлъ въ примѣненіи четырехъ дѣйствій должный навыкъ, то онъ пріобрѣлъ также навыкъ въ вычисленіи и болѣе ни въ чемъ не нуждается. Поэтому совершенно безполезно задерживать учащихся на примѣрахъ, относящихся до всяческихъ товаровъ, до вѣса упаковки, до сложныхъ процентовъ, скидокъ и учетовъ, до сравненія денежныхъ единицъ разныхъ странъ, до сложныхъ расчетовъ о прибыляхъ и убыткахъ и т. п.

Базедовъ (1723—1790).

Многолѣтній опытъ убѣждаетъ въ томъ, что только тѣ ученики умѣютъ хорошо вычислять письменно, которыхъ учили также вычисленію изустному.

Келеръ (XVIII в.).

Прежде чѣмъ поощрять дѣтей къ болтовнѣ о тысячахъ и милліонахъ, учениковъ надо научить вычисленію надъ числами первой сотни.

Буссе (XVIII в.).

Въ старину удовлетворялись при обученіи ариѳметики тѣмъ что память обременялась великимъ множествомъ словъ и правилъ. При этомъ не обращалось вниманія на взаимодѣйствіе между этою способностью и воображеніемъ. Кромѣ того, не соблюдалась постепенность въ развитіи способностей человѣческой души, а умъ ребенка наполнялся шелухою отвлеченныхъ мыслей, какую представляютъ собою, по причинѣ своей неудобовари-

мости, всяческія сухія опредѣленія, раздѣленія и расчлененія понятій, которыми старались напитать умъ учениковъ.

Гейнрихъ Песталоцци (1746—1827).

Геометрія представляетъ собою, можетъ-быть, ту часть математики, которой слѣдуетъ учить дѣтей раньше, чѣмъ другимъ отдѣламъ математики. Мнѣ кажется, что она можетъ чрезвычайно интересовать дѣтей,—особенно если ее предлагать ученикамъ, преимущественно съ точки зрѣнія ея примѣненія на бумагѣ или въ полѣ, на дворѣ и т. п. Операціи проведенія линій и измѣренія не мало ихъ будутъ занимать и не мало имъ доставятъ удовольствія, а также приведутъ дѣтей къ разсужденію.

Лакруа (1765—1843).

Для того, чтобы обученіе ариѳметикѣ было нехорошо, надобно: а) изъ четырехъ часовъ въ недѣлю одинъ отводить только «теоріи», другой—изустнымъ вычисленіямъ, а остальные два—вычисленіямъ письменнымъ; б) начинать съ отвлеченнѣйшихъ понятій и большую часть времени посвящать ненужному; в) при изустныхъ вычисленіяхъ поощрять не творчество учениковъ, а заставлять ихъ дѣлать эти вычисленія подобно письменнымъ; г) для наѣзжаго ревизора съ учениками вытвердить наизусть нѣсколько трудныхъ изустныхъ вычисленій; д) для письменныхъ вычисленій задавать ученикамъ непосильные примѣры, и е) задачи и примѣры брать изъ областей, совершенно чуждыхъ дѣтскому разумѣнію и съ числами очень большими.

Адольфъ Дистервегъ (1790—1866).

Научить ребенка одному механическому расчету и игрѣ въ мертвыя цифры значитъ—надѣть на его духъ колодки, значитъ—окончательно убить въ немъ ариѳметическое разумѣніе.

Ад. Дистервегъ (1790—1866).

Дѣти не должны вычислять ничего такого, что имъ недоступно, такъ какъ даже совершеннѣйшій механизмъ вычисленій не достигаетъ цѣли. Что выходитъ за предѣлы вычисленій обыденной жизни и домашняго быта уче-

никовъ, то не можетъ входить въ курсъ школы, а можетъ быть только предметомъ частныхъ уроковъ.

Динтеръ.

Истинно-воспитывающее, истинно-методическое обученіе требуетъ не только общаго раздѣленія курса на ступени, но и такого его раздѣленія, при которомъ предшествующее вполнѣ обосновывалось бы послѣдующимъ и къ нему вело бы самымъ непосредственнымъ образомъ. Для ариѳметики (и вообще для математики) подобная связь, прозрачный распорядокъ и достовѣрная обоснованность курса прямо неизбѣжны. Но надъ всѣми ступенями курса должны господствовать слѣдующія правила: 1) всегда развитіе даннаго ученія, полное разумѣніе и ясность воспріятія должны стоять на первомъ планѣ, упражненіе—на второмъ, а примѣненіе—на третьемъ; 2) вѣрное воспріятіе ученія идетъ путемъ нагляднымъ, при чемъ наглядность можетъ быть какъ внѣшнею, такъ и внутреннею; 3) изъ разсмотрѣнія нѣсколькихъ примѣровъ ученики выводятъ правило, законъ, который долженъ быть вѣрно выраженъ; 4) на каждой ступени должно простоять такъ долго; чтобы ученики пріобрѣли въ упражненіяхъ и примѣненіяхъ полную власть надъ ея матеріаломъ; 5) вычисленія надъ отвлеченными числами и надъ числами именованными должны всегда итти рука объ руку; одно безъ другого невозможно; 6) цифирныя вычисленія должны слѣдовать за вычисленіями не цифирными; 7) сначала долженъ итти счетъ изустный, затѣмъ—письменный, но всегда—осмысленный; 8) задачи должны имѣть въ виду принятую систему мѣръ; только въ концѣ-концовъ можно обратиться къ мѣрамъ неизвѣстнымъ; 9) на совершенно точномъ и ясномъ изложеніи учениками учебнаго матеріала надо особенно настаивать: они не только должны найти вѣрный результатъ, но бѣгло и вѣрно разсказать весь ходъ разсужденій; 10) на всѣхъ ступеняхъ обученія ученики должны быть въ состояніи придумать задачи, относящіяся до этой ступени.

Ад. Дистервегъ (1780—1866).

Всѣ люди отъ рожденія приносятъ съ собою способности къ математикѣ. У однихъ онѣ развиваются, а у большинства совершенно не развиваются, атрофируются, и это зависитъ только отъ недостатковъ обученія и упражненія. Цѣль этихъ способностей заключается въ постепенномъ открытіи законовъ, которымъ подчиняется міръ.

Ламе (1793—1870).

Весь долгій путь развитія человѣчества каждый разъ повторяется во всякомъ ребенкѣ... Первый человѣкъ, которому пришлось сдѣлать ариѳметическое вычисленіе, началъ не съ общихъ правилъ, изложенныхъ въ учебныхъ книжкахъ. Вполнѣ очевидно, что прежде всего онъ встрѣтился лицомъ къ лицу съ практической задачей, изъ трудностей которой онъ могъ выйти побѣдителемъ, лишь пустивъ въ ходъ всѣ пружины своего ума,—и только пустивъ въ ходъ всѣ пружины своего ума, онъ могъ добраться до правила. При этомъ онъ работалъ вовсе не ради самаго процесса работы, не ради самаго искусства. Заставлять поэтому ребенка начинать съ общихъ правилъ, опредѣленій и отвлеченностей, и затѣмъ уже предлагать задачи для разрѣшенія—это значитъ итти противъ естественнаго хода развитія человѣческаго ума, который у ребенка находится на той же ступени, на которой онъ находился въ періодъ дѣтскаго возраста человѣческаго рода. И главное: чего мы достигаемъ такимъ образомъ? Мы достигаемъ того, что умъ ребенка, оскорбленный столь жестокимъ съ нимъ обращеніемъ, всѣми силами своими сопротивляется преждевременнымъ отвлеченностямъ и что только память его работаетъ для печальнаго нагруженія себя массою словъ и навыковъ, смыслъ которыхъ отъ нея непремѣнно ускользнулъ. Истинная метода обученія ариѳметикѣ состоитъ въ томъ, чтобы поставить умъ ребенка въ условія, приличествующія начальному періоду развитія его, и въ томъ, чтобы ребенокъ присутствовалъ, такъ сказать, при самомъ изобрѣтеніи ариѳметики.

Жанъ Масе (1815—1894).

Нѣтъ никакой причины скрывать отъ нихъ (отъ крестьянскихъ дѣтей), въ теченіе всего перваго года, существованіе тысячъ, десятковъ и сотенъ тысячъ,—безконечную перспективу чиселъ, группирующихся по системѣ, уже извѣстной имъ по копейкамъ, гривенникамъ и рублямъ. Конечно, нужно избѣгать упражненій, превышающихъ силы учащихся, сообщенія такихъ математическихъ истинъ, которыя могутъ быть восприняты только ихъ памятью. Но не менѣе того нужно избѣгать слишкомъ долгаго пережевыванія уже извѣстнаго ученикамъ: оно порождаетъ скуку, отучаетъ ихъ отъ необходимыхъ умственныхъ усилій.

С. А. Рачинскій (1833—1902).

Въ курсѣ ариѳметики необходимы простыя задачи и естественныя сложныя, безполезны—ббльшая часть упражненій надъ обыкновенными дробями; должны же быть исключены изъ курса — дѣйствія надъ составными именованными числами и задачи на вычисленіе времени, на сложное тройное правило и на нѣкоторыя процентныя вычисленія.

Штейеръ.

Кто желаетъ лазить по горамъ, тотъ не долженъ бояться напряженія... Но дѣтей не слѣдуетъ нести на вершину горы на рукахъ: они сами должны взбираться на нее. Задача учителя сводится поэтому къ тому, чтобы бодро и весело шагать впереди, осмотрительно подымаясь съ одной ступени на другую и соразмѣряя свой шагъ съ шагомъ дѣтей, чтобы, не утомляя ихъ, укрѣплять ихъ силы и этимъ усиливать ихъ интересъ къ работѣ.

Бээтцъ.

Какъ чумы надо избѣгать опредѣленій, съ которыхъ обыкновенно начинаютъ. Мы будемъ избѣгать ихъ въ особенности по двумъ основаніямъ: во 1-хъ, потому, что они въ начальные моменты обученія не понятны нашимъ ученикамъ; во 2-хъ. потому, что большая часть этихъ опредѣленій отличается ужасающею схоластичностью и неясно-

стью, которыя поражали бы насъ, если бы мы сами съ дѣтства не были пріучены повторять ихъ какъ попугаи.

Лэзанъ.

Нужно стремиться къ тому, чтобы не проходило ни одного дня безъ упражненія учениковъ въ рѣшеніи задачъ. На задачахъ нагляднымъ образомъ можетъ проявиться иниціатива ученика; здѣсь онъ можетъ показать и самому себѣ уяснить, что онъ дѣйствительно усвоилъ, и умѣетъ ли онъ примѣнять на практикѣ тѣ свѣдѣнія, которыя ему были сообщены. Насколько полезны задачи, хорошо построенныя, ясно и толково выраженныя, предлагаемыя въ надлежащей послѣдовательности, настолько же вредна даже одна безсмысленная, неудачно выбранная задача, которая можетъ произвести прямо опустошительное дѣйствіе. Она можетъ обезкуражить ребенка, породить у него недовѣріе къ себѣ, и въ результатѣ въ одинъ день можетъ погибнуть то, что было пріобрѣтено въ теченіе нѣсколькихъ мѣсяцевъ. Къ сожалѣнію, нужно сознаться, что подобнаго рода задачи— явленіе далеко не рѣдкое, даже въ очень распространенныхъ книгахъ, которыми учащіеся обыкновенно пользуются.

Лэзанъ.

Надо предлагать задачи, связанныя съ жизнью и съ дѣйствительностью, и излагать ихъ просто и ясно. Но этого недостаточно: прежде чѣмъ предложить какую-нибудь задачу, учитель долженъ самъ ее рѣшить. Это необходимо для того, чтобы онъ убѣдился, что условія задачи и рѣшеніе ея не содержатъ въ себѣ ничего неправдоподобнаго.

Лэзанъ.

Много столѣтій существуетъ обыкновеніе разбивать задачи на группы, которыя носятъ прямо варварскія и безсмысленныя названія: тройное правило, прямое, обратное, простое, сложное... На каждую изъ указанныхъ категорій приводится извѣстное число задачъ-типовъ, дается нѣчто въ родѣ шаблоновъ, которые ученикъ впослѣдствіи долженъ прилагать ко всѣмъ аналогичнымъ задачамъ, послѣ того, какъ заучитъ рѣшеніе основныхъ задачъ. Каждое изъ рѣшеній сопровождается

разсужденіемъ, которое ученикъ тоже принужденъ заучить напамять, хотя это «разсужденіе» очень часто состоитъ изъ ряда совершенно безсмысленныхъ формулъ. Ученикъ при этомъ приходитъ въ концѣ-концовъ къ тому, что перестаетъ схватывать аналогію между однородными вопросами, отличающимися одинъ отъ другого только формой, и постепенно пріучается отказываться отъ размышленія и своего здраваго смысла. Такимъ образомъ, когда ему предлагается какая-нибудь новая задача, то всѣ его стремленія сводятся къ тому, чтобы рѣшить вопросы: какое правило надо примѣнить въ этомъ случаѣ? какъ нужно поступить, чтобы примѣнить его? какое разсужденіе здѣсь примѣнимо? И ученикъ только старается о томъ, чтобы припомнить все это.

Лэзанъ.

Полезно обращать вниманіе на то, что на практикѣ мы никогда ни одной величины не знаемъ съ абсолютной точностью, что все перемѣнно, относительно, что, слѣдовательно, всѣ результаты нашихъ опытовъ могутъ быть только относительными. Важно умѣть опредѣлить необходимый предѣлъ приближенія и знать, что для тѣхъ практическихъ цѣлей, которыя мы имѣемъ въ виду, это приближеніе совершенно достаточно.

Лэзанъ.

Для того, чтобы ученикъ учился хорошо, нужно, чтобы онъ учился охотно. Для того, чтобы онъ учился охотно, нужно: 1) чтобы то, чему его учатъ, было понятно и занимательно и 2) чтобы душевныя силы его были въ самыхъ выгодныхъ условіяхъ. Чтобы ученику было понятно и занимательно то, чему его учатъ, избѣгайте двухъ крайностей: не говорите ученику о томъ, чего онъ не можетъ знать и понять, и не говорите о томъ, что онъ знаетъ не хуже, а иногда лучше учителя. Для того, чтобы не говорить того, что ученикъ не можетъ понять, избѣгайте всякихъ опредѣленій, подраздѣленій и общихъ правилъ... Избѣгайте всѣхъ ариѳметическихъ опредѣленій и правилъ, а заставляйте производить какъ можно больше дѣйствій, и поправляйте не потому, что сдѣлано не по правилу, а потому, что сдѣланное

не имѣетъ смысла... Сообщайте опредѣленіе, подраздѣленіе, правило, названіе — только тогда, когда ученикъ имѣетъ столько свѣдѣній, что самъ въ состояніи провѣрить общій выводъ,—когда общій выводъ не затрудняетъ, а облегчаетъ его... Ни на чемъ такъ не замѣтенъ вредъ сообщенія общихъ правилъ, какъ въ математикѣ. Чѣмъ короче тотъ путь, которому вы научите ученика дѣлать дѣйствія, тѣмъ хуже онъ будеть понимать и знать дѣйствія. Другая причина, по которой урокъ бываетъ непонятенъ и незанимателенъ, заключается въ томъ, что учитель объясняетъ слишкомъ длинно и сложно то, что давно уже понялъ ученикъ. Ученику такъ просто, что ему сказали, что онъ ищетъ особеннаго, другого значенія и понимаетъ ошибочно или вовсе не понимаетъ. Такого рода толкованія очень обыкновенны, и въ особенности когда предметы уроковъ взяты изъ жизни, напр., когда учитель начнетъ толковать ученику: что такое столъ, или какое животное лошадь, или чѣмъ отличается книга отъ руки, или одно перо и одно перо, сколько будетъ перьевъ?.. Для того, чтобы душевныя силы ученика были въ наивыгоднѣйшихъ условіяхъ, нужно: 1) чтобы не было новыхъ, непривычныхъ предметовъ и лицъ, гдѣ онъ учится; 2) чтобы ученикъ не стыдился учителей или товарищей; 4) очень важное: чтобы ученикъ не боялся наказанія за дурное ученіе, т.-е. за непониманіе; умъ человѣка можетъ дѣйствовать только тогда, когда онъ не подавляется внѣшними вліяніями; 4) чтобы умъ не утомлялся; 5) чтобы урокъ былъ соразмѣренъ силамъ ученика: не слишкомъ легокъ, не слишкомъ труденъ... Нужно стараться, чтобы все вниманіе ученика было поглощено заданнымъ урокомъ. Для этого давайте ученику такую работу, чтобъ каждый урокъ чувствовался ему шагомъ впередъ въ ученіи.

Л. Н. Толстой (1828—1910).

Я заранѣе отказываюсь отъ обученія ариѳметикѣ, если оно должно основываться на какомъ бы то ни было одномъ наглядномъ методѣ, какимъ бы образцовымъ онъ ни казался. Ребенокъ любитъ разнообразіе. Такую систему, какъ система Грубе, я безусловно отрицаю; она мнѣ представляется воплощеніемъ стремленія во что бы то ни стало достигнуть совершенства въ вычисленіи. Трудно болѣе насиловать дѣтскую природу, нельзя глубже погрязнуть въ

область безплоднаго механическаго обученія, чѣмъ слѣдуя тому методу, который разсматриваетъ каждое число, какъ отдѣльное явленіе... На урокахъ ариѳметики болѣе, чѣмъ на другихъ какихъ бы то ни было урокахъ, гдѣ примѣняется рисованіе, надо стараться достигнуть того, чтобы ребенокъ умѣлъ немногими штрихами изобразить самое существенное въ предметѣ... Черточки, проведенныя на доскѣ и въ тетради, черточки одинаковой длины и толщины одинъ разъ изображаютъ грифеля, другой — палки, спички... Штрихами же ребенокъ легко можетъ изобразить цѣлое семейство: отца, мать и четырехъ дѣтей.

Герлахъ.

Совѣтую не заставлять учить ни именованныя числа, какъ особый отдѣлъ, ни тройное правило,—а прямо задавать задачи на именованныя числа и на тройное правило. Именованныя числа трудны только тогда (и безполезны), когда ученикъ при рѣшеніи задачъ въ первый разъ узнаетъ содержаніе мѣръ и вѣса одного въ другомъ. Правила трудны только тогда, когда отъ ученика требуется, чтобы онъ рѣшилъ задачи непремѣнно по указанному примѣру... Трудность большей части задачъ въ задачникахъ состоитъ въ дурномъ языкѣ, которымъ изложены вопросы. Для того, чтобы ясно изложить за дачу, надо надъ ней подумать.

Л. Н. Толстой (1828—1910).

Счетъ и геометрія возникли отъ пересчитыванія и измѣренія предметовъ. Въ области преподаванія математики точно также необходимо нѣкотораго рода экспериментированіе... Изобразительное рисованіе, ариѳметика и геометрія родственны другъ другу. Они должны находиться во взаимодѣйствіи съ перваго же года обученія, и на урокахъ по этимъ предметамъ долженъ воспроизводиться матеріалъ вещественнаго преподаванія.

Лай.

Если бы мнѣ предложили формулировать, въ чемъ состоитъ главное зло господствующей системы обученія матема-

тикѣ, то я сказалъ бы, что примѣры часто слишкомъ длинны и скучны, что метода обученія весьма далека отъ тѣхъ, которыя дѣйствительно примѣняются математиками, что изложеніе слишкомъ отвлеченно, дидактично и не экспериментально, что содержаніе предмета блѣдно, незначительно и съ трудомъ усваивается... Важнѣе всего, чтобы собственныя идеи учителя были до прозрачности ясны и чтобы отношеніе учителя или учительницы къ предмету обученія, т.-е. къ математикѣ, отличалось энтузіазмомъ. Лучшаго рецепта для надлежащаго обученія математикѣ нѣтъ.

О. Лоджъ.

Обученіе слѣдуетъ начинать со счета. Счету можно научиться во время игръ и за обѣдомъ, но учиться необходимо сначала на отдѣльныхъ предметахъ, а не на раздѣленной линейкѣ или на другой какой-нибудь сплошной величинѣ. Сосчитываемые предметы должны быть изъ ряда такихъ, которые возбуждаютъ дѣтскій интересъ, напр., фрукты, сласти, марки, орѣхи, монеты. Бобы или камешки также годятся для этой цѣли, но они должны быть красивы, привлекательны, какъ объекты дѣтскаго имущества и, вслѣдствіе этого, какъ бы достойны счета. Удобны также очки обыкновенныхъ игральныхъ картъ: они легко могутъ привести къ идеѣ о геометрическомъ или правильномъ расположеніи предметовъ, что позволяетъ быстро, съ одного взгляда, уловить ихъ число... Совершенно ошибочно со стороны учителей предполагать, что есть трудныя и легкія вещи: все зависитъ отъ способа обученія и отъ расположенія матеріала въ извѣстной постепенности. Трудно попасть въ первый этажъ дома, если нѣть лѣстницы; но если устроена удобная лѣстница, то необходима лишь небольшая доза терпѣнія, чтобы подняться хотя бы на крышу. На всемъ пути встрѣчаются все тѣ же ступеньки, только количество ихъ больше. Педагогъ не долженъ гнать учащихся цѣлой толпой вверхъ по незаконченной или плохо устроенной лѣстницѣ, по какой могутъ подыматься только гимнасты. Чрезвычайно трудно удержаться отъ слишкомъ скораго прохожденія намъ хорошо знакомаго предмета. Но уси-

лія, направленныя къ тому, чтобы взять надлежащій темпъ, часто приводятъ еще къ худшимъ результатамъ, а именно къ черезчуръ медленному прохожденію курса, что крайне утомительно и тоже дѣйствуетъ на дѣтей угнетающимъ образомъ.

О. Лоджъ.

Многія задачи ариѳметическаго содержанія лучше всего рѣшаются съ самаго начала посредствомъ зачаточной (рудиментарной) алгебры, т.-е, посредствомъ введенія буквы для обозначенія неизвѣстной величины, надъ которой можно легко оперировать. Не слѣдуетъ бояться введенія икса для обозначенія неизвѣстной величины и оперированія надъ нимъ, даже на самыхъ первыхъ порахъ, ибо при этомъ всѣ разсужденія только выигрываютъ въ ясности, и задачи рѣшаются легче... Букву х слѣдуетъ себѣ представлять чѣмъ-то вродѣ костыля; иногда же онъ является тѣмъ же, чѣмъ шестъ для туристовъ, дающій имъ возможность взбираться на высоты, которыя иначе были бы для нихъ недоступны.

О. Лоджъ.

Въ старину люди науки и особенно тѣ изъ нихъ, которые подвинули впередъ естествознаніе, не пренебрегали ни ручнымъ трудомъ, ни ремесломъ. Галилей дѣлалъ телескопы, Ньютонъ въ дѣтствѣ учился слесарному ремеслу, и когда принялся за изысканія по оптикѣ, то самъ шлифовалъ стекла для своихъ инструментовъ. Онъ сдѣлалъ знаменитый телескопъ, который считается для своего времени издѣліемъ прекраснымъ. Лейбницъ любилъ изобрѣтать машины. Линней сдѣлался ботаникомъ, помогая въ работѣ садовнику-отцу. Короче сказать: занятія ручнымъ трудомъ не только не мѣшали геніальнымъ людямъ при ихъ отвлеченныхъ изысканіяхъ, но скорѣе помогали имъ... Время дѣтства не должно проходить такъ безполезно, какъ проходитъ теперь. Нѣмецкіе педагоги доказали, что даже игры могутъ служить для ознакомленія дѣтей съ ариѳметикой и геометріей. Дѣти, ознакомившіяся съ теоремой Пиѳагора при помощи квадратиковъ изъ цвѣтного картона, не смотрятъ на нее при дальнѣй-

шемъ изученіи геометріи, какъ на пытку для ума, а примѣняютъ ее такъ же легко, какъ плотникъ примѣняетъ свой матеріалъ... При изученіи геометріи обыкновенно слѣдуютъ такой методѣ, при которой все сводится исключительно къ затверживанію доказательствъ наизусть... Но существуетъ другая, болѣе цѣлесообразная метода. По этой методѣ каждая геометрическая истина является въ видѣ задачи; выводъ заранѣе не дается; ученику приходится находить его самому. При такихъ условіяхъ, послѣ нѣсколькихъ уроковъ черченія, уже нельзя найти ни одного мальчика, ни одной дѣвочки изъ 20-ти, которые не были бы въ состояніи начертить, при незначительной помощи со стороны учителя, угла, равнаго данному, объяснить, почему они равны, и т. п. Если подобныя задачи задаются въ должной послѣдовательности, то учителю не приходится подгонять учениковъ: они сами переходятъ отъ одной задачи къ другой съ изумительной быстротою.

П. А. Кропоткинъ.

Дѣти должны дѣлать свои собственныя заключенія, и ихъ слѣдуетъ доводить до того, чтобы они дѣлали небольшія открытія и изобрѣтенія. Математика даетъ наиболѣе удобный матеріалъ для дешеваго и легкаго экспериментированія. Этотъ фактъ затемненъ невѣжествомъ и тупостью, отчасти—неосновательной традиціей. Даже авторитетные люди часто говорятъ о математикѣ, какъ о такомъ учебномъ предметѣ, который будто бы «не нуждается въ наблюденіи, индукціи и экспериментѣ». Это—прямо роковое, хотя и распространенное, заблужденіе, которое больше повредило дѣлу обученія, чѣмъ какой-либо другой невѣрный взглядъ.

О. Лоджъ.

Теперь требуются великія реформы въ дѣлѣ воспитанія и обученія... Заурядный мальчикъ черезъ посредство однѣхъ игръ, а не съ помощью уроковъ, воспитывается въ школѣ. Ему необходимо познакомиться съ дѣйствительными предметами, прежде чѣмъ его заставятъ разсуждать о нихъ. Съ самаго ранняго возраста ему слѣдуетъ играть въ лавочники, мѣрить, взвѣшивать, считать, продолжать изученіе наблюдательной и экспери-

ментальной науки, которую онъ началъ изучать со дня своего рожденія... Мы дѣлаемъ двѣ огромныя ошибки: мы болѣзненно внушаемъ ребенку, что нѣкоторая идея очень трудна, хотя она знакома ему уже съ трехлѣтняго возраста, и въ то же время предполагаемъ, что ребенокъ легко понимаетъ другую идею, выработанную вполнѣ трудами многихъ поколѣній, только потому, что она намъ представляется простою.

Джонъ Перри.

Доказательства математическихъ истинъ для начинающаго иногда темнѣе самыхъ истинъ, и напрасно вы его будете на нихъ задерживать, чтобы онъ лучше ихъ постигъ. Ему нужно пріобрѣсти нѣкоторыя привычки, которыхъ у него нѣтъ, и подвигаться впередъ, иногда не зная, куда онъ идетъ и откуда.

Жюль Таннери.

Элементарная алгебра представляется трудной исключительно только благодаря общепринятому способу ея изученія... Запугайте мальчика разсказами о привидѣніяхъ, и самыя простыя вещи ему покажутся таинственными и будутъ ему внушать страхъ... Я бы далъ мальчику съ самаго начала рѣшать простѣйшія уравненія въ видѣ задачъ, которыя рѣшаются съ ихъ помощью... Я знаю, что всякій заурядный мальчикъ быстро понимаетъ и легко изучаетъ простыя уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ х, а также съ двумя неизвѣстными x и у, равно какъ и задачи, приводящія къ этимъ уравненіямъ.

Джонъ Перри.

ГЛАВА ПЕРВАЯ.

Что такое методика ариѳметики?

Что такое учебный предметъ?

§ 1. Всякій учебный предметъ имѣетъ въ виду только нѣкоторыя истины, только нѣкоторые законы, которымъ подчиняются тѣ или иныя явленія, только нѣкоторые навыки (при обученіи искусствамъ), которые составляютъ предметъ того или иного искусства. Учебный предметъ не задается ни полнымъ изслѣдованіемъ, ни всестороннимъ разсмотрѣніемъ этихъ истинъ, ни открытіемъ новыхъ доселѣ еще неизвѣстныхъ законовъ, ни изобрѣтеніемъ какихъ-либо новыхъ художественныхъ пріемовъ. Учебный предметъ имѣетъ въ виду учениковъ, большею частью малолѣтнихъ которымъ онъ долженъ дать только нѣкоторый кругъ полезныхъ въ жизни, практически важныхъ знаній или умѣній. Кромѣ того, онъ долженъ оказать на духовное развитіе ученика полезное воспитательное вліяніе. При обученіи дѣтей какому-либо предмету и при преподаваніи этого предмета болѣе взрослымъ ученикамъ, необходимо знать всѣ условія обученія: а) возрастъ учениковъ, б) ихъ подготовку, т.-е. уровень знаній и мѣру ихъ разумѣнія, в) уровень способностей и личныя (индивидуальныя) особенности каждаго въ отдѣльности ученика, г) всѣ особенности данной школы, общеобразовательныя или иныя цѣли, преслѣдуемыя въ данной школѣ при обученіи этому предмету или при преподаваніи его. Учебному предмету учатъ учителя. Учебные предметы, по содержанію своему и по объему усвояемыхъ учениками знаній, ограничены довольно тѣсными предѣлами и опредѣляются учебными программами. Въ составъ учебныхъ предметовъ можетъ входить лишь установленное, безспорно извѣстное и учащимся на данной ступени доступное. Учебные предметы совершенствуются преимущественно въ отношеніи способовъ

обученія и, по содержанію, измѣняются только въ зависимости отъ успѣховъ тѣхъ отраслей знанія, изъ области которыхъ учебный предметъ черпаетъ входящія въ составъ его данныя, и въ зависимости отъ педагогическихъ требованій.

Что такое наука?

§ 2. Другое дѣло—науки. Онѣ обнимаютъ все, относящееся до ихъ предмета, и задаются возможно полнымъ изслѣдованіемъ, возможно всестороннимъ разсмотрѣніемъ того, что входитъ въ ихъ область. Онѣ стараются объ открытіи новыхъ законовъ природы, новыхъ пріемовъ изслѣдованія, объ изобрѣтеніи новыхъ способовъ изученія и открытія истины. Науки имѣютъ въ виду не учениковъ, а ученыхъ,—людей, самостоятельно работающихъ въ области научной. Содержаніе наукъ и объемъ ихъ ничѣмъ не ограничены, и въ составъ наукъ входитъ въ данное время также много еще не вполнѣ установленныхъ, спорныхъ взглядовъ, на почвѣ которыхъ люди науки считаютъ возможнымъ, путемъ неустанной работы, добраться до болѣе точнаго познанія истины и до болѣе вѣрныхъ взглядовъ.

Согласованіе данныхъ учебнаго предмета съ научной истиной.

§ 3. Эти различія между науками и учебными предметами учитель и воспитатель должны сознавать вполнѣ ясно. Смѣшеніе учебнаго предмета съ наукою можетъ повести учителя къ прегрѣшеніямъ противъ требованій и цѣлей обученія дѣтей, а также противъ требованій дѣтской природы и разумѣнія. Одного въ правѣ требовать наука отъ учителей, а именно: чтобы данныя учебнаго предмета не противорѣчили тѣмъ научнымъ взглядамъ, которые твердо установлены, и чтобы то, въ чемъ наука еще не достигла опредѣленнаго взгляда, не выдавалось въ учебномъ предметѣ за достовѣрное.

Ариѳметика, какъ учебный предметъ.

§ 4. Ариѳметика, какъ учебный предметъ, содержитъ въ себѣ ученія о производствѣ четырехъ дѣйствій надъ цѣлыми и дробными числами и о примѣненіи этихъ дѣйствій къ рѣшенію разнаго рода задачъ съ числовыми данными. При этомъ задачи, предлагаемыя на урокахъ ариѳметики, обыкновенно не требуютъ никакихъ особенныхъ познаній изъ области какихъ-либо наукъ и должны, въ словесномъ отношеніи, быть вполнѣ понятными разумѣнію учениковъ. Но курсы ариѳметики, подлежащіе прохожденію въ различныхъ учебныхъ заведеніяхъ, различны иногда и по содержанію, и по объему. Въ учебныхъ заведеніяхъ одного рода курсъ этотъ содержитъ прямо больше учебнаго матеріала, т.-е. содержитъ больше ученій даннаго предмета (напр., въ однихъ учебныхъ заведеніяхъ

проходятъ, а въ другихъ не проходятъ ученій о десятичныхъ дробяхъ, о т. наз. цѣнномъ правилѣ, о пропорціяхъ и т. п.). Кромѣ того, одно и то же ученіе въ учебныхъ заведеніяхъ одного рода проходится вкратцѣ, а въ другомъ съ подробностями, т.-е. одно и то же проходится въ разномъ объемѣ.—Въ Зап. Европѣ въ составъ ариѳметики входитъ многое, относимое у насъ къ курсу алгебры.

Содержаніе ариѳметики.

§ 5. Содержаніе ариѳметики, какъ предмета обученія въ русской начальнойодноклассной школѣ, ограничивается, въ виду кратковременности курса этой школы, нумераціею (устною и письменною), четырьмя дѣйствіями надъ цѣлыми числами и только простѣйшими примѣненіями чиселъ дробныхъ. Рѣшать дѣти должны только задачи, не принадлежащія къ числу многосложныхъ или сколько-нибудь замысловатыхъ. Непосредственная цѣль обученія ариѳметикѣ въ школахъ этого рода состоитъ въ томъ, чтобы дѣти научились: а) правильно, болѣе или менѣе быстро и вполнѣ сознательно производить четыре дѣйствія надъ цѣлыми числами; б) ясно понимать нѣкоторые простѣйшіе случаи примѣненія дробныхъ чиселъ къ задачамъ на сложеніе и вычитаніе дробей (половинъ, четвертей, восьмыхъ, шестнадцатыхъ, десятыхъ и сотыхъ долей), на нахожденіе части даннаго числа и на нахожденіе цѣлаго по данной части его; и в) примѣнять четыре дѣйствія къ рѣшенію не замысловатыхъ задачъ. Въ низшихъ классахъ среднихъ учебныхъ заведеній и въ высшихъ начальныхъ и мн. др. училищахъ подлежитъ усвоенію полный курсъ ариѳметики. Т.-е. сверхъ того, что проходится въ начальной школѣ, учащіеся должны усвоить полное ученіе объ обыкновенныхъ и десятичныхъ дробяхъ, а также научиться рѣшенію задачъ, выходящихъ за предѣлы, выше намѣченные. Въ тотъ же курсъ входятъ болѣе или менѣе полныя ученія о признакахъ дѣлимости чиселъ и о нахожденіи наименьшаго кратнаго и общаго наибольшаго дѣлителя.

Элементы геометрическаго содержанія.

§ 6. Въ настоящее время нельзя считать достаточными тѣ познанія по вычисленію площадей и объемовъ, которыя бѣгло пріобрѣтаются учащимися въ послѣдній годъ обученія въ начальной одноклассной школѣ. Помимо того, что учащіеся должны освоиться съ нѣкоторыми геометрическими представленіями

(объ углахъ, о параллельныхъ прямыхъ, о кругѣ, о геометрическихъ тѣлахъ), эти представленія могутъ сослужить службу и при обученіи собственно ариѳметикѣ (при изученіи дробей, при усвоеніи смысла дѣленія и т. п.) На многочисленные отдѣльные уроки геометрическаго содержанія у начальной школы съ четырехлѣтнимъ, а тѣмъ болѣе съ трехлѣтнимъ курсомъ, нѣтъ времени. Но это не исключаетъ возможности внести нѣкоторые элэменты геометрическаго содержанія въ самый курсъ ариѳметики. При этомъ, конечно, надо стоять на практическихъ точкахъ зрѣнія, и средствомъ для усвоенія учащимся элементовъ геометрическаго содержанія могутъ служить: а) употребленіе линейки, циркуля, транспортира, чертежнаго наугольника и масштаба въ простѣйшихъ случаяхъ ихъ примѣненія и б) изготовленіе моделей изъ подходящаго матеріала. Цѣль этихъ занятій — самостоятельная (снабженіе учащихся познаніями о равенствѣ и подобіи фигуръ и о вычисленіи площадей и объемовъ) и методическая.

Методика ариѳметики.

§ 7. Какъ надобно учить ариѳметикѣ для того, чтобы наиполезнѣйшимъ для ученика образомъ были достигнуты всѣ (практическая, образовательная и воспитательная) цѣли обученія ариѳметикѣ, тому учитъ методика ариѳметики. Въ ней не только освѣщаются программа обученія ариѳметики, способы ея осуществленія и распорядокъ всего курса, т.-е. распредѣленіе его по годамъ. Въ ней указываются частные пріемы обученія тому или другому изъ области ариѳметики на той или другой ступени курса. Въ руководствахъ по методикѣ ариѳметики должна быть также изложена какая-либо метода обученія, т.-е. вся цѣлокупность тѣхъ пріемовъ, которые ихъ изобрѣтатель или сторонникъ считаетъ наиболѣе цѣлесообразными при обученіи этому предмету. Разумное выполненіе учителемъ своихъ обязанностей по отношенію къ ученикамъ почти немыслимо, если онъ не знаетъ заранѣе, какой ему держаться методы обученія (т.-е. съ помощью какой совокупности пріемовъ обученія ему приняться за обученіе и продолжать это обученіе на всѣхъ ступеняхъ его), какъ ему поступать, чтобы программа была наиполезнѣйшимъ для учащихся образомъ выполнена, и какъ ему распредѣлить учебный матеріалъ не только по годамъ, но и по полугодіямъ, по недѣлямъ и даже по днямъ недѣли.

Кому нужны указанія методики ариѳметики?

§ 8. Всѣ ли учителя ариѳметики нуждаются въ указаніяхъ методики этого предмета? Въ нихъ, конечно, нуждаются начинающій учитель и готовящійся къ занятію должности учителя. Но въ нихъ нуждается и учитель опытный, если онъ не желаетъ остановиться на уже достигнутой имъ степени удовлетворительнаго исполненія обязанностей. А такое нежеланіе обязательно для всякаго, уважающаго себя и любящаго свое дѣло, учителя. Въ указаніяхъ методики нуждается не только учитель, получившій не особенно значительное образованіе: въ нихъ нуждается и учитель даже съ образованіемъ высшимъ. Ибо, въ то время какъ первый нуждается не только въ указаніяхъ методики ариѳметики относительно частностей обученія и въ поднятіи уровня своего педагогическаго образованія, второй долженъ усвоить себѣ тѣ точки зрѣнія, которыя, сравнительно, весьма близки начальному учителю и отъ которыхъ очень далекъ, вслѣдствіе занятій высшими отраслями знанія, часто чуждыми вопросовъ обученія и воспитанія малолѣтнихъ, человѣкъ съ образованіемъ высшимъ. Учитель русской начальной школы поставленъ въ одномъ отношеніи въ особенное положеніе: первые годы обученія для многихъ его учениковъ, вслѣдствіе нѣкоторыхъ, не зависящихъ отъ школы, причинъ,—иногда, можетъ-быть, единственные годы, проводимые этими учениками въ школѣ. Поэтому начальная школа наша обязана озаботиться привитіемъ ребенку, въ первые же годы его пребыванія въ школѣ, нѣкотораго хотя и незначительнаго, но опредѣленнаго, круга необходимѣйшихъ ученику навыковъ по закону Божію, родному языку (чтенію и письму) и ариѳметикѣ. Это ведетъ къ необходимости такъ называемаго «концентрическаго», т.-е. постепенно расширяющагося, распредѣленія всего курса по годамъ,—распредѣленія, при которомъ ученикъ уже къ концу перваго года обученія владѣетъ нѣкоторыми основными навыками изъ области поименованныхъ выше предметовъ. Но такое распредѣленіе курса создаетъ для учителя особенныя затрудненія, и учитель можетъ ихъ преодолѣть только при полномъ знакомствѣ съ законными требованіями методики обученія. Впрочемъ, и учителю средняго учебнаго заведенія, а также учителю высшей начальной школы, невозможно обойтись безъ указаній руководствъ по методикѣ ариѳметики, такъ какъ не только начинающій, но и опытный учитель нуждается въ указаніяхъ, которыхъ не найти въ руководствахъ и учебникахъ ариѳметики и до которыхъ добраться собственнымъ умомъ, чаще всего, невозможно. Извѣстно, напр., что ученику не должны быть предлагаемы уже готовыя во всѣхъ своихъ частяхъ ученія даннаго предмета, и что, напротивъ, ученія эти, большею частью, должны постепенно развиваться, опредѣляться, такъ сказать, вырастать на глазахъ учениковъ, со всею тою предварительною и болѣе или менѣе самостоятельною душевною работою, которая одна дѣлаетъ ученика господиномъ усваиваемыхъ представленій, понятій, навыковъ и познаній. Ученикъ долженъ, по справедливому замѣчанію Масе, присутствовать при изобрѣтеніи

ариѳметики. Болѣе того: онъ самъ долженъ участвовать въ этомъ изобрѣтеніи. А это требуетъ уже такихъ пріемовъ, изъ которыхъ только немногіе могутъ быть изобрѣтены учителемъ. Этого мало: методика математики не стоитъ на одномъ мѣстѣ, а напротивъ — совершенствуется и стремится къ улучшенію пріемовъ обученія. Она чутко прислушивается къ успѣхамъ какъ науки и учебнаго предмета, такъ и способовъ обученія ему, и никакой учитель, по самому существу своихъ обязанностей, не въ правѣ думать, что ему уже рѣшительно нечему учиться у другихъ.

Основныя начала.

§ 9. Основныя начала разумнаго, соотвѣтствующаго природѣ дѣтскаго пониманія и сущности предмета, обученія ариѳметикѣ сводятся къ необходимости слѣдующихъ свойствъ обученія: а) обученіе должно отличаться наглядностью пріемовъ, б) предлагаемый ученикамъ матеріалъ долженъ отличаться возможно большею простотою, в) самодѣятельность ученика должна стоять на первомъ планѣ, и г) работа его должна быть совершенно сознательною. Эти начала освѣщены въ приведенныхъ выше, подъ заглавіемъ «Вмѣсто введенія», мысляхъ авторитетовъ въ этой области. Онѣ могутъ быть дополнены слѣдующими соображеніями:

1) Учить другихъ чему-нибудь значитъ показать своимъ ученикамъ, что они должны сдѣлать для того, чтобы самимъ научиться тому, чему ихъ хотятъ научить (Жакото, 1770— 1840).—Это значитъ, что надо стремиться къ тому, чтобы у учениковъ развивалась способность къ самостоятельной работѣ и чтобы все обученіе съ самаго начала опиралось на самодѣятельность учениковъ.

2) Обученіе должно быть подчинено тому вѣчному закону, по которому знанія человѣка начинаются не съ отвлеченныхъ понятій, а съ наглядныхъ представленій, и только въ концѣ-концовъ приходятъ къ понятіямъ (Песталоцци, 1746—1827).—Это значитъ, что надо начинать не съ отвлеченныхъ правилъ или опредѣленій, не съ разсужденій, не съ общихъ соображеній, не съ умозрѣнія, а съ частныхъ житейскихъ случаевъ, съ частныхъ наглядныхъ примѣровъ, дѣйствующихъ на органы чувствъ учениковъ и на ихъ воображеніе, съ задачъ, допускающихъ наглядное рѣшеніе,—съ вопросовъ, уже встрѣчавшихся въ жизни учениковъ и подлежащихъ только приведенію въ порядокъ и взаимную связь.

3) Каждый разъ надо стремиться къ преодолѣнію только одной трудности, не соединяя двухъ или болѣе трудностей

въ одно и то же мгновеніе, въ одинъ и тотъ же моментъ обученія (Коменскій, 1592—1672).—Это вытекаетъ изъ требованій простоты предлагаемаго ученику матеріала и означаетъ, что если въ данный моментъ обученія, по самому существу дѣла, скопилось нѣсколько трудностей, то надобно вопросъ расчленить, учениковъ научить преодолѣнію сначала одной трудности, потомъ другой и т. д., затѣмъ двухъ трудностей, далѣе — еще одной и т. д., и въ концѣ-концовъ научить ихъ одновременному за-разъ преодолѣнію всѣхъ трудностей.

4) Вычисляя, ребенокъ долженъ учиться (Коменскій).— Это значитъ, что, вычисляя, ребенокъ долженъ работать не механически только, отнюдь не рабски и не слѣпо слѣдуя только правилу, но разумно и сознательно относясь ко всему, что онъ дѣлаетъ, и стараясь (это и значитъ «учиться») изъ вычисленія извлечь пользу для развитія своего познающаго, духа.

Кромѣ этихъ, высказанныхъ вышепоименованными великими педагогами, правилъ и руководящихъ мыслей, приведенныхъ выше, вмѣсто введенія, слѣдуетъ имѣть въ виду и слѣдующее:

5) Правилъ производства дѣйствій учитель не долженъ давать въ готовомъ видѣ, а напротивъ: они должны быть создаваемы и развиваемы, исправляемы и изобрѣтаемы постепенно самими учащимися, но, конечно, подъ должнымъ руководствомъ учителя.

6) Изустныя вычисленія ученики должны производить свободно, изобрѣтающимъ способомъ, какъ данному ученику въ данное мгновеніе кажется удобнѣе; письменныя же вычисленія должно пріурочивать къ опредѣленнымъ и осмысленнымъ, наиболѣе простымъ, прозрачнымъ и изящнымъ по внѣшности образцамъ записи вычисленій даннаго рода.

7) Простыя задачи (т.-е. требующія для своего рѣшенія примѣненія одного только дѣйствія) должны лежать въ самой основѣ вырабатываемыхъ въ умѣ учениковъ ариѳметическихъ представленій; на задачахъ сложныхъ (т.-е. требующихъ для своего рѣшенія нѣсколькихъ дѣйствій) должны примѣняться пріобрѣтенныя познанія. Но увлеченіе задачами, умышленно усложненными, не отвѣчаетъ ни образовательной, ни практической, ни воспитательной цѣли обученія

математикѣ вообще, ни цѣлямъ обученія ариѳметикѣ въ начальной школѣ въ особенности.

8) Въ первый годъ обученія въ начальной школѣ должны быть положены основанія курса ариѳметики, во второй онъ долженъ быть законченъ въ главныхъ своихъ чертахъ, въ третій и четвертый онъ можетъ быть закругленъ, а въ слѣдующіе годы, въ высшемъ начальномъ училищѣ, дополняемъ алгебраическими точками зрѣнія.

9) Рѣчь учителя должна быть безусловно проста и ясна, выполненіе письменныхъ работъ учениками по возможности—аккуратно и изящно; это—необходимыя условія всякаго обученія, а потому и обученія математикѣ; каждый урокъ ариѳметики долженъ быть урокомъ родного языка и пріучать къ аккуратности и серьезности въ выполненіи всякой работы.

10) Задачи и примѣры, прорабатываемые учащимися вмѣстѣ съ учителемъ, подъ его непосредственнымъ руководствомъ, должны быть строго отдѣлены отъ задачъ и примѣровъ, прорабатываемыхъ учащимися безъ помощи учителя, хотя бы даже въ его присутствіи. Цѣль первыхъ—учить, цѣль вторыхъ—упражнять въ усвоенномъ, подготовлять учащихся къ предстоящимъ занятіямъ и будить ихъ самодѣятельность.

11) Учитель долженъ самъ говорить мало, но дѣтей онъ долженъ неустанно упражнять въ мышленіи и связанномъ съ нимъ разумномъ употребленіи родной рѣчи. Это справедливо относительно всѣхъ предметовъ обученія и, конечно, также относительно обученія ариѳметикѣ.

12) Каждое изъ наглядныхъ пособій должно быть употребляемо лишь въ тѣхъ случаяхъ, когда именно это наглядное пособіе, а не иное, въ состояніи оказать самую существенную и самую достовѣрную услугу на данной ступени курса.

13) Учитель, желающій примѣнить къ дѣлу обученія математикѣ пріемы такъ наз. «лабораторной» методы, долженъ поощрять учащихся въ ихъ естественномъ стремленіи не только смотрѣть и наблюдать, но и самимъ рисовать, чертить и изготовлять нѣкоторые предметы; многіе такіе предметы можно сдѣлать наглядными, при обученіи дѣтей математикѣ, пособіями.

14) Къ каждому своему уроку учитель долженъ подготовиться, уяснивъ себѣ, что онъ будетъ дѣлать, чему учить, какія задачи рѣшать, къ какимъ нагляднымъ пособіямъ онъ долженъ будетъ прибѣгнуть (ихъ онъ долженъ предварительно заготовить), чѣмъ будутъ заниматься остальныя отдѣленія, которымъ изъ отдѣленій ему придется посвятить особенно много вниманія и времени, и т. д.

Какъ не должно учить ариѳметикѣ?

§ 10. Одинъ изъ крупнѣйшихъ нѣмецкихъ педагоговъ, Адольфъ Дистервегъ (1790—1866 гг.), при жизни пріобрѣтшій себѣ множество враговъ своею неустанною борьбою за истинное народное просвѣщеніе, обнародовалъ въ свое время «Шесть правилъ не хорошаго обученія ариѳметикѣ», которыя, несмотря на нѣсколько шутливый характеръ изложенія, въ сущности содержатъ весьма важныя указанія и весьма сильно и полезно повліяли на обученіе. По мнѣнію Дистервега, для того, чтобы обученіе ариѳметикѣ было нехорошо, надо: а) изъ четырехъ часовъ въ недѣлю, посвященныхъ ариѳметикѣ, часъ отводить теоріи, часъ—изустнымъ вычисленіямъ, а остальные два — вычисленіямъ письменнымъ; при этомъ каждый изъ уроковъ долженъ итти своимъ чередомъ: письменныя вычисленія не должны имѣть ничего общаго съ изустными, а урокъ теоріи не долженъ имѣть ничего общаго ни съ тѣмъ, ни съ другимъ. Это и будетъ не хорошо, б) При изученіи теоріи должно начинать съ самыхъ отвлеченныхъ понятій, а не съ наглядныхъ представленій, большую часть времени посвящать ненужнымъ ученіямъ, въ томъ числѣ подробной теоріи пропорцій и тройныхъ правилъ. Это также будетъ не хорошо, в) При изустныхъ вычисленіяхъ надо развивать не творчество учениковъ, не изобрѣтательность и не стремленіе ихъ пользоваться своимъ здравымъ смысломъ, а заставлять ихъ, напр., при производствѣ дѣленія, указательнымъ пальцемъ въ воздухѣ или мысленно писать дѣлимое, вертикальную черту, дѣлителя, подъ нимъ — горизонтальную и т. д. Это равнымъ образомъ не хорошо, г) Дабы придать изустнымъ вычисленіямъ, въ глазахъ наѣзжаго ревизора, должный вѣсъ и такимъ образомъ отличиться по службѣ, должно затвердить съ учениками нѣсколько искусственныхъ (сложныхъ) примѣровъ наизусть. Это будетъ не только не хорошо, но вредно и для нравственнаго благополучія учащихся, д) При письменномъ вычисленіи должно задавать учащимся такіе примѣры, которые учителемъ вычислены, но не объяснены, и, съ собраніемъ отвѣтовъ въ рукахъ, посмотрѣвъ работы учениковъ, восклицать: «вѣрно!» «невѣрно!» и т. п. Это, говорятъ, значитъ «развивать самостоятельность», но на самомъ дѣлѣ это значитъ — отбивать всякую охоту къ занятіямъ, а потому тоже не хорошо, е) Но наиболѣе подходящимъ средствомъ для дурного обученія ариѳметикѣ должно считать выборъ такихъ задачъ и примѣровъ, въ которыхъ числа очень велики, единицы мѣры учащимся, по возмож-

ности, не извѣстны, условія же задачи совершенно чужды ихъ интересамъ и пониманію. — Эти предостереженія Дистервега, къ сожалѣнію, и доселѣ не утратили всего своего предостерегающаго значенія, и ихъ надобно учителю помнить.

Неправильныя и несвоевременныя выраженія.

§ 11. Дабы рѣчь учителя была дѣтямъ всегда доступна, онъ никогда не долженъ говорить условными выраженіями, которыхъ значеніе еще не усвоено учащимися и которыя извѣстны только изъ ариѳметики и употребляются только тогда, когда рѣчь касается ариѳметическихъ вопросовъ. Поэтому, напр., не слѣдуетъ говорить: «цифра»—вмѣсто «число» (т.-е. «цифра десятковъ» вмѣсто «число десятковъ»), «число изображается цифрами» вмѣсто «число (записываютъ) обозначаютъ особенными знаками—цифрами»; «увеличимъ (уменьшимъ) число» вмѣсто: «возьмемъ большее (меньшее) число»; «возьмемъ 3 рубля 4 раза» вмѣсто: «помножимъ 3 рубля на 4» вмѣсто: «возьмемъ 3 рубля слагаемымъ 4 раза» и вмѣсто: «возьмемъ 3 рубля, да еще другіе 3 рубля, да еще 3 рубля, да еще 3 рубля»1)? «прибавлю къ слагаемымъ по десяти» вмѣсто: «прибавляю къ каждому слагаемому десять»; «10 фунтовъ муки купили по 7-ми коп. за фунтъ» вмѣсто: «я, ты, онъ купилъ 10 фунтовъ муки по 7 коп. за фунтъ»; «восемь, сложенныя съ пятью, даютъ тринадцать» вмѣсто: «восемь да пять—тринадцать»; «восемь, уменьшенныя натри, составятъ, будутъ или дадутъ пять» вмѣсто: «восемь безъ трехъ—пять»; «семь, помноженныя на восемь, дадутъ пятьдесятъ шесть» вм.: «восемью-семь — пятьдесятъ шесть», или вм.: «восемью-семь все равно, что пятьдесятъ шесть»; «десять, дѣленныя на два, или уменьшенныя въ два раза, даютъ пять» вм.: «половина десяти все равно, что пять», или «если раздѣлить десять на двѣ равныя части, то каждая часть будетъ пять»; «множимое оканчивается нулями» вм.: «послѣднія цифры множимаго— нули»; «въ срединѣ множимаго нули» вм.: «нѣкоторыя, не послѣднія, цифры множимаго — нули»; «мальчикъ имѣлъ девять грушъ» вм.: «у мальчика было девять грушъ»; «сколько денегъ у обоихъ братьевъ?» (вм.: «сколько денегъ у каждаго изъ братьевъ?»); «что онъ заплатилъ за корову и за лошадь?» (вм.: «что онъ заплатилъ за корову и что—за лошадь?»); «сколько лѣтъ отцу и матери вмѣстѣ?» вм.: «сколько получится, если сложить число лѣтъ отца съ числомъ лѣтъ матери» ; «сложимъ аршины, купленные въ первый разъ, и аршины, купленные во второй разъ», вм.: «сложимъ число аршинъ матеріи, которая куплена въ первый разъ, съ числомъ аршинъ матеріи, купленной во второй разъ»;

1) Нѣкоторыя изъ этихъ выраженій умѣстны на соотвѣтствующей ступени обученія; только выраженіе „возьмемъ 3 рубля 4 раза“ не умѣстно ни на какой, потому что оно ничего не выражаетъ, пока его условное значеніе не вполнѣ усвоено учащимися. То же справедливо относительно выраженія: „повторимъ 3 рубля 4 раза“ и т. п. Эти выраженія условны, мало выразительны и вначалѣ непонятны, а потому вредны.

«должно подписать одно число подъ другое такъ и т. д.» вм.: «можно записать (или запишемъ) всѣ числа такъ»; «займемъ отъ десятковъ единицу» вм.: «раздробимъ одинъ десятокъ въ единицы»; «нуль обозначаетъ, что десятковъ въ этомъ числѣ нѣтъ» вм.: «нуль обозначаетъ, что отдѣльныхъ десятковъ въ этомъ числѣ нѣтъ»; «пятнадцать человѣкъ раздѣлить на три части» вм.: «число человѣкъ, т.-е. 15, раздѣлить на три»; «раздѣлить двадцать карандашей между пятью учениками поровну» вм.: «раздать (это — проще!) двадцать карандашей пяти ученикамъ (такъ, чтобы послѣдніе получили карандашей)—поровну». И т. п.

Выраженія, вродѣ приведенныхъ выше, встрѣчаются не только въ ежедневной жизни учителя, но иногда даже въ довольно извѣстныхъ сочиненіяхъ по предмету преподаванія ариѳметики, и это только доказываетъ — какъ трудно отъ нихъ отдѣлаться. Но все-таки учителю, желающему учить дѣтей математикѣ какъ слѣдуетъ, надо избѣгать несвоевременнаго употребленія условныхъ выраженій, говорить просто и вразумительно и вдумчиво и осторожно относиться даже къ обычно употребляемымъ въ книгахъ выраженіямъ.

ГЛАВА ВТОРАЯ.

Средства обученія ариѳметикѣ.

Воздѣйствіе на органы чувствъ.

§ 1. Всѣ знанія объ окружающемъ (о внѣшнемъ, вещественномъ мірѣ) должны, для того, чтобы сдѣлаться дѣйствительнымъ достояніемъ нашего ума, основываться на воспріятіяхъ, полученныхъ чрезъ посредство нашихъ органовъ чувствъ. Отсюда вытекаетъ необходимость также и пріобрѣтенія дѣтьми такихъ знаній путемъ работы соотвѣтствующихъ органовъ чувствъ обучаемыхъ. Обученіе ариѳметикѣ должно опираться преимущественно на зрительныя, осязательныя, мышечныя и слуховыя впечатлѣнія. Работа органовъ рѣчи, конечно, тоже чрезвычайно важна при выработкѣ ариѳметическихъ представленій въ умѣ учениковъ и при усвоеніи дѣтьми ариѳметическихъ навыковъ, умѣній и познаній.

Ариѳметика и ея связь съ чувственными воспріятіями.

§ 2. Счетъ и четыре дѣйствія надъ цѣлыми и дробными числами представляютъ собою предметъ ариѳметики. — Считать можно все, что поддается счету: естественные предметы (или вещи), явленія природы, дѣйствія, слова и т. д. Производить же ариѳметическія дѣйствія можно надъ числами. Но въ основѣ этихъ

дѣйствій лежатъ представленія о дѣйствіяхъ надъ совокупностями предметовъ или явленій. Говоря иначе: если бы человѣку никогда не приходилось складывать въ одну кучу двѣ группы предметовъ и отдѣлять отъ одной ихъ совокупности нѣкоторую часть этой совокупности, то не возникли бы также ариѳметическія дѣйствія сложенія и вычитанія. Если бы совокупности предметовъ не могли быть одинаковы по числу предметовъ, въ нихъ входящихъ, то никогда не могли бы возникнуть ариѳметическія дѣйствія умноженія и дѣленія. Если бы, далѣе, цѣлое никогда не приходилось дѣлить на нѣкоторое число одинаковыхъ частей, то никогда не возникли бы дроби и дѣйствія надъ ними. Однимъ словомъ, если бы не было предметовъ и явленій, поддающихся счету, и если бы не было цѣлыхъ предметовъ и ихъ частей, то не было бы также ариѳметики. А отсюда вытекаетъ, что обученіе ариѳметикѣ должно опираться прежде всего на соотвѣтствующія зрительныя, осязательныя, мышечныя и слуховыя ощущенія и впечатлѣнія. При этомъ, къ числу мышечныхъ надо отнести также тѣ ощущенія, съ которыми связано употребленіе нашихъ органовъ рѣчи не только у обладающихъ слухомъ и рѣчью, но также у оглохшихъ и даже у глухонѣмыхъ отъ самаго рожденія.

Классификація наглядныхъ пособій.

§ 3. Если ученикъ только смотритъ на данный предметъ, то онъ, казалось бы, испытываетъ только чисто-зрительное ощущеніе. Но ближайшее изслѣдованіе этого явленія показываетъ, что глазъ не остается неподвижнымъ и что къ этому чисто-зрительному ощущенію чаще всего присоединяется также мышечная работа, связанная съ перемѣщеніемъ глазного яблока и съ измѣненіемъ кривизны хрусталика при перемѣщеніи глазного яблока. Эта мышечная работа необходима для того, чтобы предметъ былъ разсмотрѣнъ какъ слѣдуетъ. Выходитъ, что даже чисто-зрительное ощущеніе, при разсматриваніи предмета, соединяется съ нѣкоторой мышечной работой. Равнымъ образомъ иногда и чисто-осязательное ощущеніе находится тоже въ нѣкоторой связи съ мышечнымъ чувствомъ. И т. д. Несмотря на это, возможно, однако же, раздѣлить, конечно, приблизительно, всѣ наглядныя пособія на нѣсколько группъ изъ коихъ одну составляютъ пособія зрительныя, другую, такъ сказать, зрительно-осязательныя, третью — зри-

тельно-мышечныя, далѣе—вычислительныя и, наконецъ, измѣрительныя и чисто-геометрическія. При этомъ можетъ случиться, что на одной ступени то или иное пособіе является чисто-зрительнымъ, на другой—также вычислительнымъ, и т. д.

Окружающая природа, какъ сокровищница наглядныхъ пособій.

§ 4. Кромѣ описанныхъ ниже или мелькомъ упоминаемыхъ, такъ сказать, искусственныхъ наглядныхъ пособій, придуманныхъ и изготовленныхъ спеціально для обученія ариѳметикѣ, окружающая обстановка даетъ громадное количество пособій естественныхъ. Вѣточка съ листьями на ней, столы и стулья, книжки въ книжномъ шкапу и разныя письменныя принадлежности, карточки разрѣзной азбуки, коробка шведскихъ спичекъ, обрывки разорваннаго на части куска бумаги, стекла оконъ, тиканіе часовъ, шаги учителя и учениковъ, ритмическіе (какъ при управленіи хоромъ) взмахи рукою, мѣрно производимый учителемъ стукъ карандаша по столу, членораздѣльные звуки голоса учителя и ученика и т. п. могутъ служить отличными наглядными пособіями на соотвѣтствующихъ ступеняхъ курса, сближая обученіе ариѳметикѣ съ ежедневной жизнью и сродняя ученика съ ариѳметическими представленіями. Это сліяніе ариѳметическихъ интересовъ ученика съ интересомъ къ ежедневнымъ явленіямъ его жизни, понятно, крайне важно во всѣхъ отношеніяхъ. Безъ этого сліянія создается рознь, приносящая только вредъ обученію и не отвѣчающая разумнымъ требованіямъ жизни,—рознь, крайне вредная не только въ практическомъ, но въ образовательномъ и воспитательномъ отношеніяхъ.

Раздѣленіе наглядныхъ пособій.

§ 5. Къ чисто-зрительнымъ принадлежатъ: а) числовыя фигуры и чертежи, служащіе для выясненія какого-либо ариѳметическаго вопроса, если ученикъ только видитъ ихъ въ готовомъ видѣ, но самъ не выполняетъ, б) разныя таблицы и всякіе предметы, которые онъ только видитъ, но до которыхъ онъ не дотрагивается (окна, предметы, лежащіе на учительскомъ столѣ, и т. п.).

Къ наглядно-осязательнымъ принадлежатъ: пальцы рукъ, кубики и другіе предметы, удобные для счета, палочки (такъ называемая «солома», «спички»), еловыя шишки, буквы разрѣзной азбуки, карандаши, косточки шведскихъ счетовъ, если ихъ считаетъ самъ ученикъ и прикасается къ нимъ руками, и т. д.

Изъ наглядно-вычислительныхъ пособій первое мѣсто принадлежитъ, конечно, русскимъ торговымъ счетамъ. Но къ ихъ числу могутъ быть присоединены также счеты шведскіе, спички (пальцы — преимущественно для прибавленія и для таблицы умноженія), Пиѳагорова таблица умноженія и всяческія таблицы цифръ, написанныя на доскѣ, для производства дѣйствій надъ числами, или напечатанныя (напр., таблица Мартеля, таблицы умноженія, «Таблица Шохоръ-Троцкаго для классныхъ упражненій въ изустныхъ вычисленіяхъ», и т. п.).

Къ наглядно-измѣрительнымъ пособіямъ принадлежатъ образцы (модели) единицъ мѣры и изготовленные самими учениками изъ бумаги или изъ тесемки «носители» единицъ мѣры длины, а также квадраты, которыхъ площади равны квадратному аршину или футу, кв. вершку или дюйму, и т. п.

Къ числу чисто-геометрическихъ пособій принадлежатъ геометрическіе чертежи и тѣла для всѣхъ случаевъ, когда ариѳметическій вопросъ касается геометрическихъ представленій (объ углѣ, о квадратѣ, о площади, о кубѣ и т. п.). Если ученикъ самъ выполняетъ чертежи, изготовляетъ фигуры и вообще производитъ работу мускульную, то эта работа у зрячаго ученика является работой осязательно-зрительно-мышечной, у слѣпого же—осязательно-мышечной.

Зрительно-наглядныя пособія.

§ 6. Обратимся прежде всего къ зрительнонагляднымъ учебнымъ пособіямъ.

Числовыя фигуры.

а) Изъ нихъ наиболѣе употребительны «числовыя фигуры», если онѣ предлагаются учащимся только для наблюденія. Такъ называются рисунки, въ которыхъ кружки или др. значки расположены въ порядкѣ, принятомъ въ игральныхъ картахъ, или въ расположеніи, употребляемомъ на косточкахъ домино, или въ порядкѣ, рекомендуемомъ Лайемъ (см. стр. 33), и т. п. Таковы, напр., фигуры:

Числовыя фигуры, въ которыхъ болѣе десяти значковъ, не цѣлесообразны въ виду того, что онѣ перестаютъ быть наглядными и, такимъ образомъ, лишаются своего значенія. Наилучшими значками для числовыхъ фигуръ являются точки, кружочки и косые крестики (вродѣ знака умноженія). Прямые

кресты неудобны потому, что горизонтальныя части ихъ иногда сливаются, при неаккуратномъ письмѣ, въ сплошную прямую линію и поэтому не достигаютъ цѣли.

Пріобрѣтшій себѣ извѣстность и въ Россіи нѣмецкій педагогъ Лай настойчиво рекомендуетъ исключительно такое расположеніе кружковъ на числовыхъ фигурахъ:

и т. д. до 10-ти включительно:

При этомъ кружки группируются по четыре въ группѣ, и такія четверки отдѣляются одна отъ другой болѣе значительнымъ промежуткомъ, чѣмъ пары одной и той же четверки.

Черточки.

б) Изъ другихъ чисто-наглядныхъ (и въ то же время не исключительно геометрическихъ) пособій можно пользоваться палочками, рисуемыми учителемъ на доскѣ не въ видѣ числовыхъ фигуръ, а рядомъ одна съ другою,—для упражненій въ одиночномъ и хоровомъ счетѣ.— Если ученики ихъ рисуютъ, то онѣ служатъ и для подготовки дѣтей къ письму цифръ.

Прямая линія.

в) Къ чисто-нагляднымъ пособіямъ принадлежитъ прямая линія съ рѣзко обозначенными концами, для выработки представленій: о цѣломъ, о части, о дѣленіи на части, о длинѣ, о нѣкоторыхъ мѣрахъ длины, и т. п., если надъ ней оперируетъ только учитель. Чаще всего учитель съ помощью задачи относительно прямой линіи можетъ выяснить иное чисто-ариѳметическое ученіе лучше, чѣмъ съ помощью отвлеченныхъ разсужденій. Прямая линія, какъ мы увидимъ ниже, можетъ сослужить большую службу дробямъ, дѣйствію дѣленія и при рѣшеніи даже самыхъ замысловатыхъ задачъ алгебраическаго характера.

Если числовыя фигуры и чертежи выполняются учащимися, то они уже являются мышечно-зрительными наглядными пособіями. Опыты и психологическія соображенія убѣждаютъ въ томъ, что въ этомъ случаѣ они полезнѣе при обученіи.

г) Къ числу зрительно-наглядныхъ пособій принадлежатъ разныя таблицы мѣръ, напр., «Таблица русскихъ мѣръ» Лав-

рова, «Наглядная таблица соотношеній нѣкоторыхъ мѣръ протяженія», сост. Шохоръ-Троцкимъ, и др. Особенности послѣдней состоятъ въ слѣдующемъ: а) она включена въ раму шириною въ аршинъ и длиною болѣе метра; рама подобна той рамѣ, въ которую заключена «Таблица Шохоръ-Троцкаго для классныхъ упражненій въ изустныхъ вычисленіяхъ»; б) внутри рамы даны чертежи, наглядно показывающіе отношенія: а) квадратнаго дециметра къ квадр, вершку или квадр, дюйму; б) квадратнаго вершка къ

Рис. 1.

квадр, дюйму; в) квадратнаго вершка, квадратнаго дюйма и квадратнаго дециметра къ квадр, центиметру; г) кубическаго дециметра въ куб. дюйму, къ куб. центиметру и въ куб. вершку; д) кубическаго вершка къ куб. центиметру и къ куб. дюйму, и е) кубическаго дюйма къ куб. линіи и къ куб. центиметру.—Чертежи выполнены, во второмъ, значительно улучшенномъ и напечатанномъ на черномъ фонѣ, изданіи, въ перспективѣ.—Охарактеризованныя соотношенія очевидны, при нѣкоторомъ желаніи разобраться въ чертежѣ, и, такъ сказать, наглядно выясняютъ и оправдываютъ тѣ соотношенія, которыя приходится либо принимать на-вѣру, либо находить путемъ вычисленій, дающихъ иногда болѣе точныя числовыя данныя, но требующихъ большой затраты времени и въ данный моментъ ученику, можетъ-быть, еще неизвѣстныхъ. Благодаря «Наглядной таблицѣ», становятся совершенно очевидными многія важныя приблизительныя соотношенія, весьма нужныя въ практическомъ смыслѣ; напр.: 6 сотокъ=5 дюйм. слишкомъ, 1 дюймъ=У4 вершка сл.; 1 арш.=71 цм. сл.; 1 футъ=3 дцм. сл.; 1 вершокъ = 4Ѵ2 цм. безъ малаго и т. д., и т. д. Эти соотношенія весьма легко могутъ быть использованы въ качествѣ числовыхъ данныхъ для задачъ.

Наглядно-осязательныя пособія.

§ 7. Обзоръ наглядно-осязательныхъ пособій слѣдуетъ начать съ кубиковъ, т.-е. съ такъ наз. « ариѳметическаго ящика ».

Кубики.

а) Кубики являются удобнымъ наглядноосязательнымъ пособіемъ почти на всѣхъ ступеняхъ обученія ариѳметикѣ, относящихся до дѣйствій надъ числами первой сотни. Они легко складываются въ группы, не сваливаются со стола, видимы всѣми учениками, ихъ можно ставить на планку классной доски, на верхъ рамы этой доски, или же на верхъ рамы шведскихъ счетовъ. Сверхъ того, они могутъ служить пособіемъ при рисованіи учениками квадратовъ и при образованіи учениками представленій о кубическихъ единицахъ мѣры.

Ариѳметическій ящикъ.

б) Такъ называютъ совокупность нѣсколькихъ десятковъ кубиковъ, столбиковъ и досокъ. Изъ этихъ послѣднихъ двухъ пособій столбикъ представляетъ собою прямоугольный брусъ (параллелепипедъ), основаніе котораго равно основанію кубика, а высота въ 10 разъ больше высоты кубика, доска же—параллелепипедъ, основаніе

котораго въ 100 разъ больше основанія кубика, а высота равна высотѣ его. Изъ всѣхъ этихъ предметовъ особенно полезны кубики. — Бруски же довольно плохо выполняютъ свое назначеніе, т. к. не даютъ вѣрнаго нагляднаго представленія о десяткѣ кубиковъ, равно какъ и доски не даютъ вѣрнаго нагляднаго представленія о сотнѣ кубиковъ. Дѣло въ томъ, что десятокъ и сотня представляютъ собою только новыя единицы счета, притомъ единицы составныя, но далеко не представляютъ собою такого же сплошного цѣлаго, каковыми являются каждый столбикъ (брусокъ) и каждая доска. Поэтому и при письменномъ обозначеніи чиселъ, и при выясненіи сущности производства дѣйствій надъ двузначными и трехзначными числами эти два пособія не оказываютъ большихъ услугъ. Они, напротивъ, искажаютъ вѣрное представленіе объ условности десятичной системы счисленія и о тѣхъ услугахъ, которыя эта условность оказываетъ производству дѣйствій. Здѣсь группа въ десять единицъ одного разряда сливается въ единицу слѣдующаго высшаго разряда, или же, наоборотъ, одна единица высшаго разряда, при надобности, совершенно свободно распадается на десять единицъ ближайшаго низшаго разряда. Столбики же и доски этого не осуществляютъ.—Въ виду этого, тѣ начальныя школы, въ которыхъ нѣтъ ариѳметическаго ящика, и не должны бы покупать его въ магазинахъ учебныхъ пособій. Всякій плотникъ или столяръ, по указанію учителя, а то и самъ учитель, могутъ изготовить сотню-другую кубиковъ.

Отдѣльные предметы.

в) Вмѣсто кубиковъ можно употреблять какіе-либо другіе, болѣе или менѣе одинаковые по формѣ, предметы: камешки, еловыя и сосновыя шишки, деревянныя палочки, и т. п. Есть, впрочемъ, упомянутый выше, случай, когда кубики могутъ оказать особенную, имъ однимъ присущую, услугу. Въ этомъ случаѣ обойтись безъ кубиковъ опредѣленной величины трудно: это— при изученіи кубическихъ мѣръ.

Солома.

г) Что касается палочекъ, спичекъ, такъ называемой «соломы», то это пособіе состоитъ изъ сотни-другой палочекъ одинаковой длины и оказываетъ значительныя услуги при прохожденіи нумераціи и при изученіи производства сложенія и вычитанія двузначныхъ чиселъ.—Палочки учащихъ должны имѣть въ длину около

полуаршина. Конечно, изготовленіе этого учебнаго пособія для учителей и для учениковъ не представитъ затрудненій. Вмѣсто выструганныхъ палочекъ, можно довольствоваться (въ мѣстностяхъ, гдѣ есть камыши или растенія съ подходящими стволами) палочками естественными (напр., изъ ракитника, липы, вербы, осины). Дѣти могутъ и должны и сами изготовить (каждый для себя и для товарищей своихъ) достаточное количество такихъ палочекъ.—Надо пріучить дѣтей къ быстрому связыванію, съ помощью нитки, пучковъ по десяти спичекъ въ каждомъ. Полезно это связываніе производить безъ узловъ. Для этого закладываютъ одинъ конецъ внутрь пучка, а другой протягиваютъ въ промежутки между палочками. Это полезно для того, чтобы и развязываніе производилось быстро.— «Солому» можно считать и наглядно-вычислительнымъ, при вычисленіяхъ, пособіемъ,—въ особенности на первыхъ ступеняхъ обученія.—Палочки можно изготовить изъ клочковъ бумаги, свернувъ изъ нихъ трубочки и приклеивъ конецъ каждой свернутой бумажки къ самой трубкѣ.

Шведскіе счеты.

д) Шведскіе счеты состоятъ изъ четыреугольной рамки, стоящей на ножкахъ. Въ ней про-

Рис. 2. Рис. 3.

дѣто восемь, десять или болѣе горизонтальныхъ проволокъ, на каждой изъ которыхъ свободно могутъ двигаться деревянные шары. Кромѣ того, на отдѣльномъ брускѣ, или сверху рамки, иногда находятся нѣсколько вертикальныхъ проволокъ, на которыя можно надѣть отдѣльные шары. На этихъ послѣднихъ можно разработать нумерацію, и отчасти —

Рис. 4.

Рис. 5.

сложеніе и вычитаніе многозначныхъ чиселъ. Шведскіе счеты могутъ служить хорошимъ класснымъ вычислительнымъ инструментомъ только на первыхъ ступеняхъ обученія, когда еще не приходится придавать проволокамъ мѣстнаго значенія проволоки единицъ, проволоки десятковъ и т. д., соотвѣтствующихъ цифрамъ разныхъ разрядовъ, записываемымъ въ горизонтальную строку. Нѣтъ сходства между письменнымъ обозначеніемъ многозначныхъ чиселъ съ помощью цифръ, при которомъ цифры стоятъ рядомъ въ одной строкѣ, и условнымъ обозначеніемъ многозначныхъ чиселъ на шведскихъ счетахъ, при которомъ «цифры» разныхъ разрядовъ стоятъ одна надъ другой. На отдѣльномъ брускѣ, или сверху рамки находится нѣсколько вертикальныхъ проволокъ, на которыя можно надѣть отдѣльные шары. На этихъ проволокахъ можетъ быть разработана нумерація (у насъ обозначено число 3023).

Шведскіе счеты, конечно, не принадлежатъ къ числу тѣхъ учебныхъ пособій, которыя могутъ быть изготовлены самимъ учителемъ,—въ особенности, если онъ не знаетъ столярнаго мастерства. Но плотникъ или столяръ, при указаніяхъ учителя, можетъ изготовить раму на ножкахъ, которая составляетъ остовъ этого пособія. Вмѣсто шаровъ, если ихъ некому выточить, можно прибѣгнуть къ полымъ цилиндрамъ (катушкамъ) съ закругленными краями; проволоку всегда можно купить для счетовъ по болѣе или менѣе дешевой цѣнѣ, и соединеніе всѣхъ этихъ частей въ одно цѣлое не представитъ трудностей для человѣка, даже и не особенно искуснаго въ мастерствахъ. Простѣйшая форма разборныхъ шведскихъ счетовъ изображена на стр. 38.

Вычислительные инструменты.

§ 8. Среди наглядно-вычислительныхъ инструментовъ первое мѣсто принадлежитъ, конечно, такъ называемымъ, русскимъ торговымъ счетамъ.

Торговые счеты.

а) Съ помощью торговыхъ счетовъ можно выполнять очень многія вычисленія, притомъ особенно легко — первыя два дѣйствія надъ многозначными числами. Торговые счеты у насъ извѣстны всѣмъ и каждому, а потому ихъ описаніе было бы излишне. Должно, однако же, замѣтить, что большій (противъ обыкновеннаго) размѣръ счетовъ для школьнаго, въ классѣ, употребленія не только желателенъ, но даже просто необходимъ для того, чтобы уче-

ники, сидящіе далеко отъ доски, могли ясно различать отдѣльныя косточки счетовъ. Понятно, что тѣ школы, въ которыхъ нѣтъ такихъ счетовъ, но есть такъ называемые шведскіе, не должны пріобрѣтать непремѣнно торговые счеты, хотя шведскіе и не могутъ служить въ такой же мѣрѣ инструментомъ для вычисленія. (Вспомнимъ, что въ шведскихъ счетахъ нельзя, какъ это замѣчено выше, придавать, безъ натяжки, проволокамъ, лежащимъ горизонтально, мѣстнаго разряднаго значенія: значенія проволоки единицъ, десятковъ, сотенъ и т. д.). Вполнѣ возможно ограничиться пріобрѣтеніемъ торговыхъ счетовъ преимущественно предъ шведскими, такъ какъ первые сравнительно дешевле послѣднихъ, могутъ ихъ замѣнить и употребительны въ жизни. Но тогда мѣстное значеніе проволокъ должно быть введено уже послѣ того, какъ счеты отслужили свою службу въ качествѣ исключительно нагляднаго пособія.—Хорошо торговые классные счеты устраивать такъ, чтобы ихъ можно было вѣшать на стѣну и чтобы при этомъ проволоки шли горизонтально, и косточки не скатывались всѣ въ одну сторону.

Истинное значеніе торговыхъ счетовъ.

Не слѣдуетъ увлекаться слишкомъ частымъ примѣненіемъ торговыхъ счетовъ въ тѣхъ случаяхъ школьной практики, когда смѣло можно обойтись изустнымъ вычисленіемъ и когда вычисленіе письменное должно предпочитать вычисленію на счетахъ. Русскіе торговые счеты—вычислительный инструментъ, лишь въ Россіи исключающій во многихъ случаяхъ письменное производство дѣйствій. Поэтому въ благоустроенной школѣ они могутъ и должны быть только пособіемъ при обученіи ариѳметикѣ, а въ курсѣ этого предмета должны занимать только мѣсто пособія. Въ Западной Европѣ, на практикѣ, даже служащіе въ торговыхъ учрежденіяхъ, гдѣ быстрота вычисленій особенно важна, предпочитаютъ вычисленіе письменное и изустное вычисленіямъ на счетахъ. И у насъ, какъ и на всемъ свѣтѣ, школа должна распространять грамотность и просвѣщеніе, по предмету же ариѳметики учить сознательному устному и письменному производству четырехъ дѣйствій. Она поэтому не должна особенно распространять счетный инструментъ, который получилъ у насъ большое распространеніе именно по причинѣ незначительнаго развитія въ Россіи грамотности и просвѣщенія.

Школьные счеты Шохоръ-Троцкаго.

б) Во избѣжаніе неудобствъ торговыхъ счетовъ для школы, пишущій эти строки къ счетамъ приспособляетъ для каждой проволоки зажимы для бѣлья (ц. 2 коп. штука), съ помощью которыхъ можно достигнуть того, чтобы косточки не сваливались внизъ, когда проволокамъ придано отвѣсное положеніе. Благодаря такому устройству, можно достигнуть, — повѣсивъ счеты такъ, чтобы проволоки шли отвѣсно,—полнѣйшаго соот-

Рис. 6.

вѣтствія между письменною нумераціею и нумераціей на счетахъ. Школьные счеты Шохоръ-Троцкаго даютъ также возможность сдѣлать наглядными первыя два дѣйствія надъ составными именованными числами и надъ десятичными дробями. Это достигается записями на обѣихъ дощечкахъ, которыми снабжены эти счеты, и упомянутыми выше зажимами. (Вмѣсто зажимовъ, можно сдѣлать другое приспособленіе, испытанное на опытѣ: учитель свертываетъ въ трубочку небольшой кусокъ бумаги и вкладываетъ въ каждый шарикъ эту трубочку, а затѣмъ надѣваетъ шарикъ съ трубочкой въ проволоку такъ, чтобы трубочка проходила между проволокой и внутреннимъ ходомъ шарика. Благодаря тренію и упругости трубочки, шарикъ, двигаясь свободно по отвѣсной проволокѣ, не падаетъ внизъ, а остается на томъ мѣстѣ, гдѣ его оставляютъ. Такое приспособленіе служитъ довольно долго и требуетъ отъ учителя лишь нѣкоторой затраты времени въ самомъ началѣ года).—Въ счетахъ Шохоръ-Троцкаго, какъ и во многихъ другихъ школьныхъ счетахъ, проволоки легко вынимаются. Благодаря выдвижнымъ ножкамъ, школьные счеты Шохоръ-Троцкаго можно поставить такъ, чтобы проволоки шли горизонтально (шведская форма), и такъ, чтобы онѣ шли отвѣсно (нумераціонная форма). Ихъ можно также повѣсить въ томъ или иномъ положеніи.—Употребленіе школьныхъ счетовъ Шохоръ-Троцкаго въ школѣ возможно при выясненіи: 1) письменнаго обозначенія чиселъ съ помощью арабскихъ цифръ, въ особенности чиселъ двузначныхъ, трехзначныхъ и т. д., 2) письменнаго производства сложенія и вычитанія многозначныхъ чиселъ, 3) при сложеніи и вычитаніи составныхъ именованныхъ чиселъ, и 4) при обозначеніи десятичныхъ дробей и производствѣ первыхъ дѣйствій надъ ними. Школьные счеты Шохоръ-Троцкаго могутъ быть легко снабжены также пружинными пластинками, прикрѣпляемыми къ доскѣ такъ, чтобы шарики могли задерживаться и спускаться внизъ по желанію. Такими пластинками снабжены счеты И. Н. Кавуна. (См. ниже). При изученіи нумераціи на проволокахъ счетовъ Шохоръ-Троцкаго надо брать только по девяти шаровъ. Схематическое изображеніе этихъ счетовъ дано на рис. 6, стр. 41.

Вертикальные счеты Кавуна.

в) По мысли преподавателя Петроградской земской учительской семинаріи И. Н. Кавуна устроены очень удобные школьные верти-

Рис. 7 (счеты Кавуна).

кальные счеты («абакъ»), въ которыхъ роль зажимовъ исполняютъ пружины, помѣщенныя такъ, что косточки счетовъ съ вертикальными проволоками остаются на томъ мѣстѣ, гдѣ это нужно. Въ вертикальныхъ счетахъ ряды проволокъ съ шариками расположены не горизонтально, какъ на обыкновенныхъ счетахъ, а вертикально. Они могутъ облегчить переходъ отъ устной нумераціи къ письменной и способствовать уясненію письменнаго производства сложенія и вычитанія. (Рис. 7).

Самодѣльный „абакъ“.

г) Вмѣсто счетовъ Шохоръ-Троцкаго или Кавуна можно взять самодѣльные вертикальные счеты (по мысли А. П. Аксюка). Въ листъ толстой папки или въ доску вбиваются ряды гвоздей съ широкими шляпками. Въ каждомъ ряду находится 10 гвоздей. Шляпки гвоздей для крѣпости съ изнанки аккуратно заклеены листомъ папки. На гвозди вмѣсто шариковъ обыкновенныхъ счетовъ надѣваются кружки бристольскаго картона съ отверстіями въ центрѣ. Счеты эти подвѣшиваются на классную доску такъ, что ряды гвоздей, обозначающіе разряды, располагаются вертикально.

Счетная линейка В. В. Лермантова.

д) Счетная линейка В. В. Лермантова изготовлена (для чиселъ первыхъ двухъ десятковъ и для чиселъ первой сотни, см. рис. 8) изъ линолеума. На равныхъ другъ отъ друга разстояніяхъ продѣланы отверстія, въ которыя входятъ концы ножекъ деревяннаго циркуля. Между отверстіями поставлены цифры. Для прочности, отверстія снабжены такъ называемыми пистонами. Сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе осуществляются съ помощью циркуля и счета. В. В. Лермантовъ исходилъ изъ нѣкоторыхъ взглядовъ на счетъ и дѣйствія, которыхъ держится проф. Д. Ф. Селивановъ въ брошюрѣ, посвященной теоретической ариѳметикѣ, подъ заглавіемъ. «Основанія ариѳметики» (Спб. 1913). Такую же линейку можно изготовить только для чиселъ перваго десятка.

1) Указаніями относительно „абака“ Кавуна (имѣется въ продажѣ въ торговомъ домѣ Ильина и К°, въ Пгр., Разъѣзжая, 10) и вертикальныхъ счетовъ по мысли А. П. Аксюка я обязанъ преподавателю Петроградской земской учительской семинаріи М. А. Знаменскому. — „Абакомъ“ у древнихъ грековъ и римлянъ называлась доска, на которую вычисляющій клалъ камешки или другіе небольшіе предметы, производя надъ ними манипуляціи, подобныя тѣмъ, какія мы производимъ при вычисленіяхъ на счетахъ.—Счеты Шохоръ-Троцкаго имѣются въ продажѣ у „Песталоцци“ (Пгр., Казанская, 5).

Рис. 8.

Классные счеты Лайя и счеты Лайя для учениковъ.

е) Классные счеты Лайя, а равно счеты Лайя (малаго формата) для учащихся, имѣютъ въ виду упражненія въ духѣ методы Лайя, опирающейся на свойства «квадратныхъ» Лайевскихъ числовыхъ фигуръ. Дѣтскіе счеты Лайя могутъ быть изготовлены и домашнимъ способомъ. Они представляютъ собою деревянную дощечку такой формы

съ дырочками, въ которыя ученики вставляютъ гвоздики со шляпками. Дощечку можно окрасить въ какой-либо цвѣтъ, отличающійся отъ цвѣта шляпки гвоздиковъ.

Рис. 9.

Пальцы рукъ.

ж) Не надо забывать, что къ числу наглядновычислительныхъ пособій принадлежатъ, въ особенности на первыхъ ступеняхъ обученія, всякіе предметы. Среди нихъ пальцы, казалось бы, должны занимать первое мѣсто. Пальцы, конечно, помогаютъ вычисленію, преимущественно при отысканіи суммы какого-либо числа съ однозначнымъ, помощью присчитыванія. На первыхъ ступеняхъ запрещать дѣтямъ употребленіе пальцевъ съ этою цѣлью, отнюдь, не слѣдуетъ: это наглядно-вычислительное пособіе принадлежитъ, конечно, къ числу самыхъ естественныхъ. Не-

обходимо, однако, постепенно освобождать учениковъ отъ привычки всегда прибѣгать къ пальцамъ, т.-е. путемъ упражненій довести до знанія такъ называемой таблицы сложенія. Но, какъ это ни странно, пальцы для обученія счету на первыхъ порахъ не принадлежатъ къ числу цѣлесообразнѣйшихъ наглядныхъ пособій. Во-1-хъ, ученики знаютъ, сколько у нихъ пальцевъ на одной рукѣ и сколько на обѣихъ, часто не умѣя ихъ сосчитать. Во-2-ыхъ, чтобы сосчитать число всѣхъ пальцевъ, ученику надо отрѣшиться отъ ненужныхъ и мѣшающихъ ему осязательныхъ и мускульныхъ ощущеній, вносящихъ въ вычисленіе элементъ смущенія. (Если бы пальцы дѣйствительно были наилучшимъ нагляднымъ пособіемъ для вычисленій, то вычисленіе достигло бы высокихъ ступеней развитія у народовъ первобытныхъ культуръ. Этого, между тѣмъ, не замѣчается). Въ-3-хъ, у малолѣтнихъ мускульное чувство еще такъ мало развито, что считать указательнымъ пальцемъ лѣвой руки всѣ пальцы правой для нихъ иногда бываетъ трудно, вѣроятно, по той причинѣ, что пальцы являются то считаемыми предметами, то орудіемъ счета, «счетчикомъ».

Пальцы рукъ при умноженіи.

з) Гораздо больше значеніе пальцевъ обѣихъ рукъ при усвоеніи дѣтьми труднѣйшей для усвоенія наизусть части таблицы умноженія, начиная съ произведенія 6×6. Конечно, прежде чѣмъ приступить къ усвоенію дѣтьми таблицы умноженія наизусть, должно убѣдиться въ томъ—понимаютъ ли они: 1) цѣль дѣйствія умноженія, 2) простѣйшіе случаи его примѣненія, и 3) цѣль усвоенія таблицы наизусть. Добираться до произведеній какимъ-нибудь образомъ, притомъ изустно, должны умѣть всѣ ученики, какъ бы много на это ни потребовалось труда, и объ этомъ рѣчь впереди. Въ свое время, лучше всего вести упраж-

Рис. 10.

ненія въ повтореніи таблицы умноженія хоромъ, и провѣрять познанія учащихся — на каждомъ въ отдѣльности. — Но, при отысканіи данныхъ таблицы умноженія почти безъ вычисленій, очень большія услуги можетъ оказать именно пальцевой, чисто-инструментальный, способъ усвоенія части таблицы умноженія, въ которой каждый сомножитель больше пяти. Этотъ способъ употреблялся въ древности римлянами, у которыхъ вообще было развито вычисленіе съ помощью приборовъ и пальцевъ.—Способъ этотъ, будучи довольно занимателенъ, даетъ и орудіе для усвоенія труднѣйшей части таблицы умноженія наизусть, а на практикѣ приводитъ къ блестящимъ результатамъ.

Въ этомъ случаѣ пальцы являются какъ бы замѣною написанной части таблицы умноженія.

Способъ этотъ состоитъ въ слѣдующемъ: мизинецъ каждой руки обозначаетъ 6, безымянный палецъ—7, средній—8, указательный—9. Чтобы узнать, сколько будетъ, напр., 8×7, надо (какъ показано на рис. 10) сложить пальцы, обозначающіе 6 и 7 одной руки, съ пальцами, обознающими 6, 7, и 8 другой. Тогда каждый изъ сложенныхъ пальцевъ уже обозначаетъ десятокъ; въ данномъ случаѣ десятковъ 5; число же свободныхъ пальцевъ одной руки надо помножить на число свободныхъ пальцевъ другой, — въ данномъ случаѣ, стало-быть, 2 надо помножить на 3. Затѣмъ 5 дес. надо сложить съ полученнымъ произведеніемъ, и эта сумма (56) составитъ произведеніе 8×7.— Другой примѣръ: надо узнать, сколько будетъ 9×8; складываю пальцы, обозначающіе 6, 7, 8 и 9 на одной рукѣ, съ пальцами, обозначающими 6, 7 и 8 на другой; получимъ 7 десятковъ +1×2, т.-е. 72, каковое число и есть произведеніе 9×8.—Третій примѣръ: 6×6; складываю мизинцы обѣихъ рукъ, обозначающіе 6, по условію получаю: 2 десятка-4-4×4, т.-е. 20+16, или 36, каковое число и есть произведеніе 6×6.—Этотъ способъ опредѣленія произведеній однозначныхъ чиселъ, не меньшихъ 6-ти, нерѣдко употребляется взрослыми понынѣ на югѣ Франціи, въ Италіи, въ Испаніи, въ Румыніи, а также у насъ, въ Бессарабіи, Малороссіи и др. мѣстахъ.—Основаній этого способа, конечно, не надо объяснять учащемуся, такъ какъ они не довольно просты. Въ нихъ не представляется и надобности. — По сдѣланнымъ пишущимъ эти строки и его друзьями наблюденіямъ,

дѣти въ скоромъ времени перестаютъ пользоваться пальцами, хотя во время усвоенія этотъ пріемъ ихъ болѣе интересуетъ, чѣмъ написанная таблица. Особенно важенъ этотъ способъ для дѣтей «мускульнаго» типа.

Пиѳагорова таблица умноженія.

д) Къ числу наглядно-вычислительныхъ пособій принадлежитъ такъ наз. Пиѳагорова таблица умноженія. Но особенно полезна она не въ обычной своей формѣ.

1 2 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81

Въ этой формѣ надо, какъ извѣстно, пользоваться правиломъ: «чтобы найти 6×7, веди пальцемъ по строкѣ, начинающейся числомъ 6, до тѣхъ поръ, пока дойдешь до столбца, начинающагося числомъ 7», и т. д. Пиѳагорова таблица въ. этой, обычной, формѣ, къ сожалѣнію, не особенно полезна. Громадны зато услуги ея, если ее развить на глазахъ учащагося и если ее по частямъ изготовляютъ сами учащіеся,. Тогда она полезна и для усвоенія учениками вѣрнаго представленія о площади прямоугольнаго четыреугольника, а также и въ смыслѣ развивательномъ.—Предположимъ, что надо разработать таблицу умноженія 6-ти на разныя цѣлыя числа. Беру одну клѣтку и ставлю въ ней цифру 1, къ ней приставляю еще клѣтку, въ которую ставлю цифру 2, и т. д. вплоть до шестой клѣтки включительно (можно, впрочемъ, этихъ цифръ и не писать):

1 2 3 4 5 6

Присоединяю къ этому ряду клѣтокъ еще одинъ рядъ такихъ же клѣтокъ и записываю въ послѣдней—число 12, т.-е. число всѣхъ клѣтокъ въ обоихъ рядахъ. Такъ поступаю еще съ однимъ рядомъ клѣтокъ и т. д.—Если и ученики это дѣлаютъ постепенно, т.-е. такъ, чтобы клѣтки съ цифрами постепенно и притомъ, при полномъ уразумѣніи ими всего происходящаго, подъ ихъ руками, предъ ихъ глазами и при участіи ихъ во всей работѣ, появлялись на бумагѣ, и если это продолжать до любого предѣла, то, въ концѣ-концовъ, получатся части такъ называемой Пиѳагоровой таблицы. Напр., та часть таблицы, гдѣ изображено четырежды шесть, не только уму и воображенію учащагося будетъ гораздо болѣе говорить, но и уму и воображенію учителя скажетъ гораздо болѣе, чѣмъ сколько та же таблица говоритъ въ готовомъ видѣ. Упражненіе въ собственноручномъ изготовленіи учениками (на глазахъ учителя) подобной развивающейся таблицы не только сослужитъ великую службу усвоенію на-память таблицы умноженія, но и общему развитію учащихся. Въ этомъ случаѣ заинтересованнымъ является и ихъ мышечное чувство, что для дѣла крайне важно. — Ученики поймутъ, что изобрѣтеніе этой таблицы не напрасно приписывается какому-то греческому мудрецу (по имени Пиѳагоръ), жившему въ VI в. до P. X.—

Чтобы ученики поскорѣе пріобрѣли навыкъ въ изустномъ перемноженіи однозначныхъ чиселъ, надо соблюдать слѣдующее правило. Ученики, нарисовавъ два ряда клѣтокъ, всякій разъ сосчитываютъ, сколько всего клѣтокъ въ данномъ прямоугольникѣ, и говорятъ вслухъ: «дважды шесть 12», а нарисовавъ три ряда, сосчитываютъ и говорятъ: «трижды шесть 18», и т. д.

Значеніе Пиѳагоровой таблицы для ученія о площадяхъ.

Пиѳагорова таблица представляетъ собою, строго говоря, таблицу площадей прямоугольниковъ извѣстной длины и ширины. Надо только сторону квадрата, равнаго тѣмъ, изъ которыхъ она состоитъ, принять за единицу мѣры длины, а площадь такого квадрата—за единицу мѣры площадей. Съ первоначальнымъ понятіемъ о площади можно сроднить учащихся уже во второй годъ обученія, положивъ въ основу этихъ занятій: а) измѣреніе длины вершкомъ, аршиномъ, футомъ, б) представленіе о величинѣ площади, вырабатывающееся наглядно путемъ разрѣзанія прямолинейныхъ фигуръ и складыванія изъ ихъ частей другихъ фигуръ, имѣющихъ другую форму, но ту же «площадь», и в) Пиѳагорову таблицу умноженія.

Рисунки учащихся при вычисленіяхъ.

к) Рисованіе въ западно-европейской и особенно въ американской школѣ заняло уже подобающее этому, въ высшей степени важному, предмету мѣсто. Русской школѣ до этого еще далеко. Но отсюда не слѣдуетъ, что пользоваться случаями для упражненія дѣтей въ этомъ искусствѣ не дозволительно. Не надо при этомъ думать, что упражненія дѣтей въ «дѣтскомъ», примитивномъ, рисованіи при обученіи ариѳметикѣ не умѣстны, такъ какъ они, будто бы, не имѣютъ ничего общаго съ ариѳметикою. Это — невѣрно. Дѣти, какъ умѣютъ, рисуютъ вѣточки съ листьями, яблоки, груши, морковь, елочки и т. п., записываютъ, сколько нарисовано, подбавляютъ еще нѣсколько яблокъ, грушъ и т. п., сосчитываютъ и записываютъ результаты. О рисункахъ въ задачникахъ и о рисункахъ, выполняемыхъ учителемъ на доскѣ, см. ниже, стр. 60 и слѣд.

Таблицы для упражненій въ изустныхъ вычисленіяхъ.

л) Къ числу пособій, служащихъ для усвоенія учениками способовъ вычисленія, принадлежатъ таблицы, на которыхъ напечатанъ рядъ цифръ и ихъ совокупностей. «Таблица Шохоръ-Троцкаго для классныхъ упражненій въ изустныхъ вычисленіяхъ» (изд. 3-е, доп.) содержитъ рядъ цифръ:

Рис. 11.

Выписывать каждый день, на время, рядъ цифръ на доскѣ, конечно, неудобно. Гораздо лучше повѣсить подобную таблицу на одну изъ свободныхъ стѣнъ классной комнаты, съ тѣмъ, чтобы въ таблицѣ можно было съ любымъ отдѣленіемъ класса обращаться во всякое время. «Таблица Шохоръ-Троцкаго» въ послѣднихъ изданіяхъ заключена въ раму, нижняя и верхняя части которой представляютъ собою аршинъ въ его соотношеніяхъ къ вершку, дюйму, сотой долѣ сажени и центиметру; боковыя же части рамы представляютъ собою метръ въ его соотношеніяхъ къ центиметру, къ аршину (221/2 в.), къ футу (3 ф. 3 д. 3 линіи слишкомъ) и къ сотой долѣ сажени (48 сотокъ).

Употребленіе таблицъ.

Подобныя таблицы, при надлежащемъ ихъ употребленіи въ классѣ, приводятъ къ хорошимъ результатамъ. Среди урока, послѣ письменнаго вычисленія, одно отдѣленіе встаетъ, обращается лицомъ къ «Таблицѣ» и начинаетъ упражненія въ изустномъ вычисленіи. Взявъ въ руки палочку, учитель (смотря по надобности) предупреждаетъ, что дѣти должны все показываемое либо прибавлять, либо все вычитать, либо первыя два числа сложить, слѣдующее — вычесть, четвертое — опять прибавить, и т. д. Учитель можетъ, показывая число, сказать: «прибавить», потомъ, показавъ слѣдующее число, сказать: «помножить», затѣмъ—«вычесть» и т. д. Классъ же, пріученный къ соблюденію ритма, по указанію и безмолвной командѣ учителя, можетъ хорошо, въ теченіе двухъ-трехъ минутъ и долѣе, поупражняться въ почти самостоятельномъ изустномъ вычисленіи. Оно является ступенью, какъ бы переходною, отъ изустныхъ вычисленій подъ непосредственнымъ руководствомъ учителя къ изустнымъ, совершенно самостоятельнымъ, вычисленіямъ.—Благодаря этимъ класснымъ вычисленіямъ, при которыхъ ученики стоятъ, а учитель почти не говоритъ, и классъ и учитель нѣсколько освѣжаются. (Въ особенности эта передышка нужна тѣмъ учителямъ, которые, къ сожалѣнію, склонны къ слишкомъ громкому веденію урока,—отъ каковой склонности, какъ извѣстно, очень трудно, хотя и слѣдуетъ, освободиться).—Молчаливыя или самыя краткія указанія учителя относительно того, что ученики должны дѣлать, имѣютъ очень важное психологическое и воспитательное значеніе. При этомъ воспитываются рѣчь, воля и вниманіе учениковъ, а зрительныя ихъ впечатлѣнія, при помощи немногихъ слуховыхъ, являются источникомъ волевой работы.

Извѣстно, что дѣти, всегда вычисляющія по полному требованію учителя, пріучаются изустно вычислять только по этому полному требованію, какъ бы поддаваясь внушенію и голосу учителя. Но они зато оказываются слабыми въ самостоятельныхъ изустныхъ вычисленіяхъ, переходъ къ которымъ и облегчается описанною выше «Таблицею». Сверхъ того, «Таблица» полезна при задаваніи ученикамъ самостоятельныхъ работъ въ тѣхъ школахъ, въ которыхъ не употребляются книжки, предназначенныя спеціально для учениковъ, а если и употребляются, то съ недостаточнымъ для даннаго отдѣленія количествомъ числовыхъ примѣровъ.

Таблица Мартеля.

м) Заслуживаетъ вниманія таблица Мартеля, изображенная ниже. Нумераціи А, Б, В и т. д. и I, II, III и т. д. отпечатаны въ ней красной краской и служатъ для облегченія указаній, о какихъ числахъ идетъ рѣчь.

н) Нѣкоторое значеніе можетъ имѣть «счетный циферблатъ» Мартеля. Онъ назначенъ для устнаго счета и тоже избавляетъ учителя отъ необходимости громко называть однозначныя числа. Онъ напечатанъ на бумагѣ, съ указаніями, какъ изъ него сдѣлать классный картонный циферблатъ для вычисленій. Онъ полезенъ въ тѣхъ случаяхъ, когда второе (активное въ дѣйствіи) число — число одно значное.

Рис 12.

Рис. 13.

Модели единицъ мѣры.

§ 9. Наглядно-измѣрительными пособіями являются при обученіи ариѳметикѣ, конечно, прежде всего модели (образцы) единицъ мѣры.

а) Для выясненія и укрѣпленія въ умѣ учащагося представленій о величинахъ, единицахъ мѣры и измѣреніи, необходимо собраніе мѣръ длины и вѣса, хотя бы самыхъ важныхъ въ жизни: 1) аршинъ съ подраздѣленіями на вершки и футъ съ подраздѣленіями на дюймы, 2) фунтовая гиря въ обычной въ торговлѣ формѣ, допускающей взвѣшиваніе и частей фунта, или же фунтовая и золотниковая гири, 3) модель четверика.— Раздробленіе и превращеніе именованныхъ чиселъ и четыре дѣйствія надъ этими числами лишены основы, если ученики только наизусть знаютъ единичныя отношенія мѣръ и не имѣютъ наглядныхъ представленій о томъ, что они знаютъ. Крайне неестественна постановка упомянутаго выше «знанія», при которой ученикъ не сознаетъ—что больше: аршинъ или футъ, при которой ученикъ не представляетъ себѣ, что аршинъ содержитъ 28 дюймовъ, а футъ — только 12, что футъ поэтому меньше половины аршина на 2 дюйма, и т. п. Въ этомъ смыслѣ полезно измѣрить съ дѣтьми главнѣйшіе размѣры и величины, встрѣчающіеся въ обыденной школьной жизни: длину и ширину листа бумаги, стола, доски, длину цѣлаго карандаша, вѣсъ нѣкоторыхъ предметовъ, ростъ нѣкоторыхъ учениковъ и учителя и т. п. Употребленіе моделей понятно само собою.— Что касается измѣренія, то оно не представляетъ затрудненій, если учитель не забудетъ начала наглядности (по возможности мышечной) ради кажущагося ускоренія дѣла.—Только въ крайнемъ случаѣ можно удовлетвориться изображеніемъ единицъ мѣры на доскѣ, что, впрочемъ, для единицъ вѣса не цѣлесообразно ни въ какомъ случаѣ.—Весьма важно, чтобы въ школѣ были вѣсы и разновѣсъ,—въ крайнемъ случаѣ хотя бы только пружинные. Стоимость небольшихъ вѣсовъ вмѣстѣ съ разновѣсомъ въ настоящее время не велика (около двухъ рублей).— Къ числу моделей принадлежитъ модель часового циферблата съ подвижными на немъ стрѣлками. — Единичныя (наглядныя) соотношенія мѣръ нѣк. мѣръ протяженія имѣются на «Таблицахъ» Шохоръ-Троцкаго.

Таблицы мѣръ.

б) Существуютъ въ продажѣ таблицы, на которыхъ изображены главнѣйшія единицы мѣръ. Такія таблицы содержатъ изображеніе многихъ мѣръ и

сначала слишкомъ развлекаютъ вниманіе учениковъ. Полезно поэтому переносить занимающія въ данное время учениковъ мѣры съ таблицы также на классную доску.—Пишущимъ эти строки составлена «Наглядная таблица соотношеній нѣкоторыхъ мѣръ протяженія». Ея особенность состоитъ въ томъ, что каждое изъ соотношеній (1 метръ = 22У2 вершка = 39 дюймамъ; 1 кв. дюймъ = 6,451 кв. цм., 1 куб. верш. = 5,4 кубич. дюйма, 1 куб. дюймъ =16,38 куб. цм., и т. п.) иллюстрируется чертежами. (Ср. рис. 11 на стр. 51-ой).

Мѣры длины.

в) На классную доску или, вѣрнѣе, на края ея, должны быть перенесены и отмѣчены надрѣзами нѣкоторыя мѣры длины: аршинъ (съ одной стороны доски), футъ (съ другой стороны), а также метръ и т. п., дабы эти мѣры длины были всегда у учениковъ предъ глазами и подъ руками. Это необходимо.

Единицы мѣры въ обыденныхъ предметахъ и ариѳметическая „антропометрія“.

г) Учащіеся могутъ на обычныхъ предметахъ получить вершокъ (четвертушка бумаги, сложенная аккуратно вдоль два раза, имѣетъ въ длину 5 вершковъ, а въ ширину вершокъ), шведская спичка имѣетъ въ длину приблизительно 2 дюйма, цѣлый карандашъ имѣетъ въ длину 4 вершка; 16 шведскихъ спичекъ вѣсятъ, приблизительно, одинъ золот-

Рис. 14. Рис. 15.

Рис. 16. Рис. 17.

никъ.—Вытянувъ правую руку горизонтально вправо, учащійся можетъ «отмѣтить» у себя на плечѣ точку, отстоящую отъ конца ногтя большого пальца руки на разстояніи, равномъ аршину. Онъ можетъ знать свой ростъ, вѣсъ, обхватъ грудной клѣтки, длину своей ступни и т. п. Эти данныя относятся къ области, которую можно назвать «ариѳметической антропометріей» (т.-е. областью измѣреній человѣческаго тѣла). Они роднятъ учащихся съ нѣкоторыми единицами мѣры.

Геометрическія пособія.

§ 10. Наглядно-геометрическія средства для усвоенія дѣтьми вѣрныхъ геометрическихъ представленій сводятся обыкновенно къ чертежамъ, выполняемымъ учениками и учителемъ на доскѣ и учениками въ своихъ тетрадяхъ, притомъ безъ помощи линейки и циркуля. — При разумной постановкѣ обученія ученики должны научиться выполнять простѣйшіе чертежи какъ отъ руки, такъ и съ помощью линейки и циркуля: они должны правильно проводить прямыя линіи, строить прямые углы, квадраты и т. д. Для выработки представленій объ объемѣ прямоугольнаго параллелепипеда и куба, можно прибѣгать къ имѣющимся подъ руками кубикамъ. Вообще желательно, чтобы ученики зрѣніемъ и съ помощью работы рукъ

составляли себѣ вѣрныя геометрическія представленія. — Къ числу наглядно-геометрическихъ пособій принадлежитъ, конечно, также Пиѳагорова таблица умноженія.

Дробные счеты, представленіе о дроби и „дробныя“ таблицы.

§ 11. Иногда въ школахъ встрѣчаются такъ называемые «дробные» счеты. Главная составная ихъ часть — трубки, нанизываемыя, вмѣсто косточекъ, на проволоки шведскихъ счетовъ и долженствующія сдѣлать наглядными половину, четверть и др. доли цѣлаго, а также дроби, числители которыхъ больше единицы: 3/4, 5/8 и т. д. Къ сожалѣнію, пригодность этихъ счетовъ для намѣченной цѣли весьма мала. Дѣло въ томъ, что: 1) всѣ составныя части этихъ счетовъ представляютъ собою не что иное, какъ только трубки и притомъ, безотносительно говоря, цѣлыя; 2) это—пособіе чисто-зрительное, со слишкомъ малою возможностью привлечь мускульное чувство учениковъ къ образованію представленія о дроби. (Гораздо цѣлесообразнѣе при образованіи представленія о доляхъ и дробяхъ брать величины: длину аршина, фута, вершка и дѣлить ихъ на одинаковыя части: половину аршина никому не придетъ въ голову считать тоже аршиномъ).—Столь же мало, какъ дробные счеты, даютъ предметы, которыхъ часть составляетъ того же имени предметъ: палочка и половина ея (тоже палочка), шнурокъ и половина шнурка, карандашъ и половина карандаша (тоже карандашъ) и т. д. Зато яблоко и полъ-яблока, картофелина и половина картофелины, листъ бумаги и полъ-листа, полный кругъ и полъ-круга и т. д.—наглядныя пособія, наиболѣе подходящія и во всякомъ случаѣ, болѣе цѣлесообразныя во всѣхъ отношеніяхъ, чѣмъ трубочки «дробныхъ» счетовъ. Для выработки понятія о дробяхъ цѣлесообразнѣе выполненіе учащимися нѣкоторыхъ чертежей и нѣкоторыя работы такъ наз. «лабораторнаго» характера. Изъ таблицъ, посвященныхъ дробямъ, заслуживаютъ вниманія «Таблица для нагляднаго объясненія всѣхъ дѣйствій съ дробями» А. П. Павлова (Москва) и «Таблицы для нагляднаго обученія сложенію дробей» Н. А. Извольскаго (Книгоиздательство «Школа», М.).

Наглядныя пособія и такъ называемая внутренняя наглядность.

§ 12. Когда ариѳметическія представленія, почерпнутыя изъ работы надъ наглядными пособіями, накопились въ достаточномъ количествѣ и пріучились къ надлежащему самоассоціированію воспроизводящая и творческая сила вообра-

женія дѣтей въ состояніи выполнить ту работу, которая ранѣе выполнялась непосредственнымъ усмотрѣніемъ. Ранѣе ученикъ долженъ былъ видѣть на столѣ кубики, осязать ихъ, брать въ руки, перекладывать ихъ съ мѣста на мѣсто. Но наступаетъ моментъ, когда онъ можетъ представить себѣ, что на столѣ стоятъ кубики, что онъ ихъ видитъ, что онъ ихъ осязаетъ, что онъ ихъ беретъ въ руки, что онъ ихъ перекладываетъ съ мѣста на мѣсто и т. п. «Внутренней наглядности» помогаютъ цѣлесообразныя, сознательныя и иногда безсознательныя движенія, дѣлаемыя ученикомъ въ то время, когда онъ воспроизводитъ мысленно ту или иную, уже ранѣе выполнявшуюся, работу рукъ и соотвѣтствующихъ органовъ чувствъ.

Общіе выводы.

§ 13. Общіе выводы изъ всего предыдущаго сводятся къ слѣдующему: а) Каждому готовому наглядному пособію свое мѣсто въ курсѣ, и каждой ступени обученія ариѳметикѣ соотвѣтствуютъ свои наглядныя пособія. б) Цѣль большинства готовыхъ наглядныхъ пособій—не облегченіе вычисленій, а привитіе уму и соображенію дѣтей надлежащихъ ариѳметическихъ представленій и навыковъ, в) Употребленіе того или иного готоваго нагляднаго пособія обусловливается психологическими и воспитательными соображеніями, г) Значеніе мускульнаго чувства при обученіи ариѳметикѣ громадно, д) Уча дѣтей ариѳметикѣ, слѣдуетъ прежде всего учить ихъ сознательному и самодѣятельному употребленію наглядныхъ пособій, готовыхъ и изготовляемыхъ самими учащимися.

Такъ называемая лабораторная метода обученія.

§ 14. Такъ называемая лабораторная метода обученія ариѳметикѣ и вообще математикѣ требуетъ отъ учащихся умѣнія изготовлять и самимъ тѣ или иныя наглядныя пособія, совершать нѣкоторыя дѣйствія руками (нѣкоторыя «манипуляціи»), производить нѣкоторыя работы и т. п. Часто эта метода требуетъ отъ учащагося нѣкоторыхъ навыковъ въ такъ называемомъ «ручномъ трудѣ», въ болѣе или менѣе широкомъ смыслѣ этого слова. Отъ малолѣтнихъ учащихся младшихъ отдѣленій требовать этихъ навыковъ нельзя. Но есть такія работы учащихся, которыя полезны при обученіи ариѳметикѣ и вполнѣ имъ доступны даже въ младшихъ отдѣленіяхъ. Къ числу этихъ работъ принадлежатъ слѣдующія: а) все то, что можетъ быть

легко достигнуто складываніемъ бумаги; б) примитивные пріемы измѣренія длины; в) манипуляціи съ палочками («соломой»); г) изготовленіе примитивныхъ рисунковъ; д) употребленіе самодѣльныхъ (изъ бумаги) линеекъ, циркулей (тоже изъ бумаги), кнопокъ для прикалыванія, шаблоновъ изъ бумаги и т. п. для выполненія примитивныхъ чертежей.—Самодѣятельность учащихся и интересъ ихъ къ вопросамъ ариѳметики, какъ показываетъ опытъ, при этомъ значительно повышаются и способствуютъ лучшему усвоенію того матеріала, который подлежитъ усвоенію.

Къ числу лабораторныхъ занятій надо отнести всѣ тѣ работы по измѣренію, которыя учащіеся могутъ выполнить, при малѣйшемъ къ тому желаніи учителя и съ великой пользой для дѣла, въ классной комнатѣ (планъ и т. п.), въ полѣ и огородѣ, если эти работы преслѣдуютъ, такъ сказать, математическія цѣли. Если дѣти учатся ручному труду, то они могутъ изготовить многія наглядныя пособія. При этомъ часто даже одно изготовленіе ихъ можетъ учащагося многому научить. Къ тому же роду занятій принадлежитъ изготовленіе учащимися, изъ соотвѣтствующихъ матеріаловъ, тѣхъ или иныхъ моделей (единицъ мѣры длины, вѣса, площадей, объемовъ и т. п.) и измѣреніе.

Не задаваясь цѣлью сколько-нибудь обстоятельно освѣтить лабораторную методу, однакоже, надо перечислить нѣкоторые важнѣйшіе матеріалы, инструменты и измѣрительные приборы, пригодные при примѣненіи этой методы къ обученію ариѳметикѣ. Возраженіе, будто бы это примѣненіе потребуетъ слишкомъ много времени, падаетъ само собою. Время, затраченное на это примѣненіе, окупается успѣхами учащихся. Еще не такъ давно считалось неосуществимой организація практическихъ занятій для учащихся, не только для учащихся начальныхъ школъ, по различнымъ отдѣламъ естествознанія (физикѣ, химіи, зоологіи, ботаникѣ), но даже для учащихся среднихъ учебныхъ заведеній. Но оказалось, что время, затраченное на практическія занятія, чаще всего наверстывается на урокахъ, благодаря болѣе ясному, со стороны учащихся, пониманію ихъ содержанія.

Инвентарь ариѳметической лабораторіи.

Инвентарь, такъ сказать, «хозяйство» ариѳметической лабораторіи обходится недорого. Учащіеся сами могутъ собрать очень много предметовъ нуж-

наго имъ инвентаря. Онъ представляется, приблизительно, въ слѣдующемъ видѣ:

а) Сырой матеріалъ: бумага (писчая, цѣтная, прозрачная восковая, оловянная, миллиметренная), картонъ, бѣлая тонкая жесть, фанера, проволока (мягкая мѣдная и желѣзная), вязальныя спицы, резиновыя тонкія трубки, пластицинъ или пластилинъ, глина для лѣпки, брюква, картофель, мыло, деревянныя палочки («солома»), бумага вязальная, нитки разноцвѣтныя, бечевка, тесемка и т. п.

б) Вспомогательный матеріалъ: гуммиарабикъ, сургучъ, тинолъ (для паянія металловъ безъ паяльной трубки), облатки, гвозди, кнопки, пробки, стеклянныя банки, пузырьки, цвѣтные мѣлки и т. п.

в) Инструменты классные: циркуль, линейка, транспортиръ, плоскогубцы, острогубцы, круглогубцы, тиски, молотокъ, клещи, ножи, пила, ножницы, «стэки« (для лѣпки), напильникъ, шило, такъ наз. «универсальный инструментъ» (содержащій нѣсколько инструментовъ въ одномъ предметѣ и стоящій около рубля) и т. п.

г) Измѣрительные приборы и пособія: вѣсы, масштабы, рулетки, разновѣсы русскій и метрическій, калибрированные сосуды, пробирки, таблицы мѣръ, модели единицъ мѣры и т. п. классныя пособія.

На рукахъ у учащихся должны быть: запасная бумага, карандашъ, маленькій кусочекъ резинки, изготовленныя собственноручно палочки одинаковой длины, нарѣзанные изъ бумаги разнаго цвѣта кружки разной величины («жетоны»), замѣняющіе собою монеты (съ надписями: 1, 2, 3, 5 для мѣдной монеты и съ надписями: 10, 15, 20, 50 и 1 рубль—для монеты серебряной); конецъ тесемки съ нанесенными учащимся отмѣтками единицъ мѣры длины и т. п.—Многіе предметы инвентаря учитель и ученики могутъ сами собрать: спичечныя коробки, дощечки, картонъ и т. п.

Иллюстраціи въ ариѳметическихъ задачникахъ.

§ 15. За послѣднее время обычай иллюстрировать ариѳметическіе задачники картинками разнаго рода получилъ нѣкоторое право гражданства не только въ Америкѣ и Западной Европѣ, но и у насъ. О томъ, что въ букваряхъ, хрестоматіяхъ, такъ называемыхъ «книгахъ для чтенія», учебныхъ и популярныхъ книгахъ и брошюрахъ по разнымъ отдѣламъ знанія, иллюстраціи часто являются прямо необходимымъ элементомъ, говорить здѣсь не для чего. Въ букваряхъ рисунки выполняютъ весьма важную задачу, ибо рядомъ съ рисунками можно привести, держась той или иной методы обученія грамотѣ, слово, или рядъ словъ, относящихся до этого рисунка. Въ хрестоматіяхъ и другихъ учебныхъ книгахъ иллюстраціи помогаютъ уразумѣнію содержанія той или иной статьи. При этомъ само

собой разумѣется, что чѣмъ иллюстрація художественнѣе, тѣмъ, конечно, она лучше выполняетъ предназначенную ей роль. Вопросъ о значеніи иллюстрацій въ ариѳметическихъ задачникахъ довольно сложенъ, и его освѣтить въ этой книгѣ съ достаточной полнотою не представляется возможнымъ. Этому вопросу авторъ книги посвятитъ со временемъ отдѣльную работу. Иллюстраціи въ ариѳметическихъ задачникахъ можно разсматривать съ трехъ точекъ зрѣнія: а) съ художественной, б) съ чисто-ариѳметической и в) съ точки зрѣнія согласія съ жизнью. Если художественная сторона иллюстраціи вполнѣ удовлетворительна, то естественно, что ариѳметическая сторона дѣла непремѣнно отступитъ у учащихся на задній планъ. Было бы даже грустно, если бы учащійся, видя хорошо выполненный рисунокъ, изображающій опушку лѣса, охоту, стадо и т. п., не проникся бы чувствомъ красоты, а сталъ бы считать, сколько кустовъ на этой опушкѣ, сколько онъ видитъ деревьевъ, сколько въ стадѣ коровъ или сколько овецъ, сколько въ охотѣ участвуетъ охотниковъ, и сколько у нихъ собакъ, и т. п. Это было бы столь же грустно, какъ если бы мы читали съ дѣтьми какое-нибудь доступное имъ художественное стихотвореніе съ ариѳметическими цѣлями, т.-е. обращали бы вниманіе на то, сколько въ этомъ стихотвореніи именъ существительныхъ, сколько прилагательныхъ, сколько союзовъ, и во сколько разъ число именъ существительныхъ больше числа союзовъ въ этомъ стихотвореніи. И тому подобное. Аналогичное было бы справедливо относительно подсчета числа діэзовъ и бемолей въ данной музыкальной піесѣ, какъ средства при обученіи ариѳметикѣ. Если рисунокъ художественно выполненъ, то, съ воспитательной и образовательной точки зрѣнія, не цѣлесообразно заставлять учениковъ переживать на ряду съ чувствованіями, вызываемыми художественнымъ рисункомъ, ариѳметическія представленія, лишающія этотъ рисунокъ его истиннаго значенія и назначенія. Если же художественная сторона иллюстраціи неудовлетворительна, т.-е. если готовый рисунокъ сухъ, условенъ, невѣренъ, то вліяніе этого рисунка на эстетическое чувство учащихся будетъ вредно, хотя недостатки этого рисунка, можетъ-быть, и поспособствуютъ возможности придать ему, такъ сказать, ариѳметическое истолкованіе. Но, къ сожалѣнію, при этомъ будетъ нарушено то требованіе надлежащаго воспитанія, по которому учащимся

должны быть прививаемы облагораживающія человѣка чувства эстетическаго порядка. Кромѣ того, въ этомъ послѣднемъ случаѣ, т.-е. въ случаѣ, когда рисунки неудовлетворительны съ эстетической точки зрѣнія, гораздо лучше, вмѣсто рисунковъ, прибѣгать къ числовымъ фигурамъ и обычнымъ, не оскорбляющимъ эстетическаго чувства, нагляднымъ пособіямъ, могущимъ дать тѣ же самые результаты. Занятія ариѳметикой на плохихъ рисункахъ не эстетичны, а на хорошихъ— не умѣстны. Что же касается согласія съ дѣйствительностью, то если, на одной и той же страницѣ, рядомъ съ жукомъ изображенъ слонъ, а рядомъ со слономъ—домъ, и требованія пропорціональности не соблюдены, вредъ наносится уже требованіямъ правды. А между тѣмъ иллюстраціи этого рода встрѣчаются во многихъ ариѳметическихъ задачникахъ. Въ продажѣ есть даже цѣлыя таблицы, на которыхъ изображены (притомъ нехудожественно), рядомъ (съ небольшими, между ними пробѣлами) кошка, лошадь, птица и бѣлый грибъ, при чемъ кошка раза въ полтора толще лошади, а ножка гриба шире лошадиной головы. Въ той же «Таблицѣ нагляднаго изученія чиселъ перваго десятка», на одной изъ картинокъ изображены на полу кошка и чашка, а на ларькѣ—три крупныхъ котенка, и эта картинка снабжена снизу подписью 4 — 2 = 2. Такія картинки, конечно, не удовлетворяютъ ни требованіямъ эстетическимъ, ни требованіямъ жизни, ни, наконецъ, требованіямъ обученія ариѳметикѣ. Есть задачники, гдѣ рисунокъ изображаетъ бочку съ водой, которую какая-то невидимая рука пилой, до половины впившейся въ бочку съ водою, соотвѣтственнымъ образомъ перепиливаетъ пополамъ. На другомъ рисункѣ изображены кули зерна съ крупными на нихъ надписями 3 пуда, 5 пудовъ и т. п. Вѣдь это не только не наглядно, но прямо не соотвѣтствуетъ дѣйствительности, поэтому совершенно недопустимо.

Рисунки учителя на классной доскѣ.

§ 16. Другое дѣло, если учитель самъ умѣетъ рисовать. Тогда онъ можетъ содержаніе задачи иллюстрировать хотя бы слѣдующимъ образомъ: учитель говоритъ, что онъ купилъ столько-то книгъ, и эти книги зарисовываетъ (конечно, простѣйшимъ образомъ); говоритъ, что первая книга стоитъ столько-то, и отмѣчаетъ это какимъ-нибудь образомъ въ сторонѣ, вторая—столько-то, третья на столько-то больше; говоритъ, что, кромѣ того, онъ купилъ

еще чернильницу, на которую истратилъ столько-то, ручку для пера, банку съ чернилами, и изображеніе всѣхъ этихъ предметовъ появляется по мѣрѣ ихъ упоминанія, на классной доскѣ, а въ другомъ мѣстѣ доски, тоже по мѣрѣ упоминанія, относящееся до нарисованныхъ предметовъ. Тутъ уже, конечно, естественнымъ образомъ возникаютъ ариѳметическіе вопросы, и смыслъ этихъ вопросовъ будетъ гораздо ближе пониманію учащихся, чѣмъ вопросы, относящіеся до готовыхъ рисунковъ.

Рисунки учащихся.

§ 17. Гораздо важнѣе и цѣлесообразнѣе рисунки самихъ учащихся, хотя бы и совершенно неудовлетворительные съ художественной точки зрѣнія, неумѣлые, дѣтскіе. Они—результатъ дѣтскаго творчества, и, благодаря имъ, для учителя открывается широкое поле для развитія самодѣятельности, т.-е. активности и интереса учащихся къ ариѳметической сторонѣ дѣла. «Нарисуйте елочки. Нарисовали? Запишите, сколько вы нарисовали елочекъ! (Учащемуся будетъ интересно сосчитать, сколько онъ нарисовалъ елочекъ.) Нарисуйте еще двѣ елочки! Запишите, что вы прибавили къ своимъ елочкамъ еще двѣ, а потомъ запишите, сколько вы нарисовали всѣхъ елочекъ». Эта естественная задача относится до сложенія 2 чиселъ перваго десятка. «Нарисуйте вѣточку съ листьями, хотя бы такъ»! (При этомъ учитель можетъ сдѣлать набросокъ, тоже не вполнѣ, конечно, удовлетворительный, но онъ можетъ этого наброска и не дѣлать. Учащіеся къ этой «стилизованной» вѣточкѣ не будутъ предъявлять большихъ требованій, и недостатки рисунка на нихъ не повліяютъ вредно.) «Запишите, сколько листочковъ на этой вѣточкѣ; возьмите резинку и сотрите изъ нихъ два и запишите, что вы стерли два листка, а потомъ сосчитайте, сколько у васъ листковъ осталось, и запишите все это». Опять-таки занимательная для учащихся задача на вычитаніе. И сложеніе, и вычитаніе, дѣйствительно, дѣлались; стремленіе учащихся къ ручной работѣ удовлетворено, и собственные рисунки учащихся учатъ ихъ воспроизводить то, что они знаютъ. Ни истиннаго сложенія, ни истиннаго вычитанія, ни умноженія, ни, наконецъ, дѣленія готовый рисунокъ въ такой степени иллюстрировать не въ состояніи. Дѣйствительно если ученикъ видитъ три яблока, на нѣкоторомъ отъ нихъ разстояніи еще три, и на нѣкоторомъ—еще три, онъ можетъ сказать только одно, что нарисованы три яблока, а на другой та-

релкѣ тоже три, и на третьей тарелкѣ тоже три. Требуется ли тутъ сдѣлать сложеніе или умноженіе или даже дѣленіе, ученикъ, конечно, не видитъ, да и никто изъ насъ этого не видитъ и увидѣть не въ состояніи. Нѣкоторое (впрочемъ, довольно сомнительное съ эстетической точки зрѣнія) значеніе можетъ имѣть готовый рисунокъ въ ариѳметическомъ задачникѣ только при двухъ условіяхъ: а) если учитель держится методы изученія чиселъ (стало-быть, въ дѣтскомъ саду), и б) если учитель ими пользуется для того, чтобы съ ихъ помощью поощрить учащагося къ составленію задачъ. Но готовый рисунокъ даетъ мало простора и для комбинацій по изученію числа. Напримѣръ, рисунокъ, изображающій трехъ мальчиковъ и на нѣкоторомъ отъ нихъ разстояніи двухъ дѣвочекъ, даетъ (и то лишь съ большой натяжкой) только три комбинаціи:

3+2 = 5; 5 — 3 = 2 и 5 — 2 = 3.

Еще меньше просторъ для изобрѣтенія учащимися такихъ задачъ, которыя были бы цѣлесообразны въ данный моментъ.

Выводы относительно рисунковъ при обученія ариѳметикѣ.

§ 18. Въ виду изложеннаго выше, можно прійти къ слѣдующимъ заключеніямъ: 1) если рисунокъ удовлетворяетъ эстетическимъ требованіямъ, то, съ педагогической точки зрѣнія, нецѣлесообразно разрушать эстетическое удовлетвореніе отъ зрительнаго ощущенія, испытываемаго учащимся при взглядѣ на хорошій рисунокъ, не относящимся къ нему, якобы ариѳметическимъ, содержаніемъ. 2) Если же рисунокъ (что столь часто бываетъ съ рисунками въ ариѳметическихъ задачникахъ) неудовлетворителенъ съ эстетической точки зрѣнія, то этимъ приносится вредъ эстетическому развитію учащихся, являющемуся тоже одной изъ цѣлей школьнаго обученія. 3) Изученію 4-хъ дѣйствій, какъ таковыхъ, рисунокъ способствовать можетъ только въ весьма незначительной степени, и поэтому онъ умѣстенъ только въ тѣхъ задачникахъ (хотя бы, напримѣръ, для дѣтскихъ садовъ), въ которыхъ составители держатся, въ большей или меньшей степени, методы изученія чиселъ. 4) Гораздо больше значеніе иллюстративнаго обученія ариѳметикѣ, если самъ учитель набрасываетъ на доскѣ тѣ рисунки, которые иллюстрируютъ предлагаемыя имъ задачи. 5) Еще больше значеніе самостоятельныхъ дѣт-

скихъ рисунковъ, хотя бы эти рисунки были въ высшей степени несовершенны1).

Иллюстраціонныя работы учителя и учащихся.

§ 19. Гораздо важнѣе, чѣмъ готовые рисунки, въ задачникахъ для учениковъ и даже для учителей такія иллюстраціи, которыя давали бы возможность уяснить себѣ самый процессъ работы учителя и учащихся на разныхъ ступеняхъ обученія,—особенно въ тѣхъ пунктахъ, гдѣ приходится дѣлать что-нибудь руками, какъ, напр., при измѣреніяхъ, при выполненіи чертежей, при работахъ лабораторнаго содержанія и т. п. Готовый чертежъ даетъ чаще всего уже окончательный результатъ, въ то время какъ иллюстрація можетъ дать послѣдовательный рядъ моментовъ выполненія этого чертежа. То же справедливо во многихъ др. случаяхъ. Такими иллюстраціями снабжена и эта книга, и «Новые ариѳметическіе задачники», составленные авторомъ ея для учителей и учениковъ.

Слуховой и ритмическій элементъ въ обученіи ариѳметикѣ.

§ 20. Не подлежитъ никакому сомнѣнію, что счетъ и вычисленія носятъ въ себѣ не только элементы зрительнаго, но также элементы слуховыхъ воспріятій и работы органовъ рѣчи. Уча дѣтей считать, надо сдѣлать такъ, чтобы они

1) Опытъ показываетъ, что въ школахъ, гдѣ ученикамъ предлагается рисовать елки, яблоки, окна и т. п. для ариѳметическихъ цѣлей, каждый изъ учащихся по-своему рисуетъ не только елку, не только человѣка, собаку, утку съ утятами и т. п. изображенія, но даже яблоко, грушу, морковку и другіе предметы, которые, казалось бы, не требуютъ особой сноровки при рисованіи. Что интересъ учащихся къ собственному рисованію чрезвычайно великъ, знаетъ всякій наблюдатель дѣтской жизни. До чего велико желаніе самостоятельно осмыслить свою работу, можно судить по слѣдующему (одному изъ многихъ) факту. Въ 1897 году, на лѣтнихъ учительскихъ курсахъ въ г. Городнѣ (Черниговской губ.), во временной школѣ, практикантка предложила учащимся младшаго отдѣленія нарисовать шесть квадратовъ (дѣти уже ранѣе научились рисовать квадраты), сначала три, а подъ ними— другіе три. Ни у кого не оказалось въ тетради квадратовъ замѣтно разной величины; всѣ помѣстили ихъ такъ, что промежутки были одинаковы. А одинъ мальчикъ заключилъ квадраты въ прямоугольникъ, снабдивъ послѣдній крышей съ трубой, и сталъ „вставлять стекла“ въ окна.—Даже, когда вся работа сводится только къ изображенію числовыхъ фигуръ внутри квадратовъ, учащіеся изображаютъ элементы фигуръ, одни—въ видѣ маленькихъ точекъ, другіе—въ видѣ колецъ, третьи—въ видѣ большихъ черныхъ кружковъ, и т. п. Во временныхъ при курсахъ школахъ я начинаю работу съ младшей группой съ рисованія квадратовъ. Учащіеся большею частью берутся случайные, безграмотные, и школьныхъ порядковъ не знающіе. Условія работы—неблагопріятныя: присутствіе постороннихъ, болѣе или менѣе торжественная и, во всякомъ случаѣ, необычная обстановка. А тѣмъ не менѣе учащіеся съ первой же минуты заинтересовываются дѣломъ настолько, что черезъ нѣсколько минутъ для меня возможно обратиться къ провѣркѣ предварительно предложенныхъ среднему отдѣленію самостоятельныхъ работъ.

по возможности считали ритмически, чтобы они умѣли произносить слова счета, соединяя ихъ по два, по три, по четыре, по пяти, по десяти. Считая предметы попарно, они должны произносить слова примѣрно въ такомъ ритмѣ, съ одинаковой длительности паузами: одинъ-два (пауза!), три-четыре (пауза!), и т. д. Считая тройками: одинъ-два-три (пауза!), четыре-пять-шесть (пауза!) и т. д. При изустныхъ вычисленіяхъ разнаго рода равнымъ образомъ необходимо воздѣйствіе учителя на слухъ учащихся. При чтеніи задачъ слѣдуетъ, какъ извѣстно, обращать вниманіе на выразительность этого чтенія. Задачи, выразительно читаемыя учителемъ и учащимися, будятъ и поддерживаютъ вниманіе и разумѣніе учащихся. Даже при чтеніи болѣе или менѣе сложныхъ выраженій со скобками, которыми не только въ курсѣ ариѳметики, но и вообще, не слѣдуетъ особенно увлекаться, выразительное чтеніе часто избавляетъ отъ необходимости говорить о томъ, гдѣ надобно ставить скобки и гдѣ ихъ ставить не надо. Пусть, напримѣръ, даны несложныя выраженія съ одинаковыми числами и одинаковыми знаками дѣйствій, въ которыхъ скобки поставлены въ разныхъ мѣстахъ:

Первое можно прочесть такъ: 7 + 8,—здѣсь сдѣлать паузу,— помножимъ на 5,—опять пауза,—плюсъ,—опять пауза,—14. Второе выраженіе можно прочесть такъ: 7 + 8 (пауза!), помноженное (пауза!) на 5 + 14 (безъ паузъ!). Наконецъ, послѣднее выраженіе: 7 (пауза!), плюсъ (пауза!), 8, помноженное на 5 + 14 (безъ паузъ!). Здѣсь разница есть и въ интонаціяхъ, и въ паузахъ, и въ самомъ ритмѣ чтенія. Опыты и соотвѣтственныя научныя изслѣдованія показываютъ, что, при ритмическомъ выполненіи всякой работы, работа эта идетъ успѣшнѣе, чѣмъ при исполненіи ея, не подчиненномъ никакому ритму. Конечно, не въ одномъ ритмѣ залогъ успѣшности работы, но безъ ритма работа идетъ вяло, и ошибки въ работѣ встрѣчаются чаще, чѣмъ въ тѣхъ случаяхъ, когда она совершается ритмически. Для того, чтобы научиться дѣлать какую-либо работу ритмически, конечно, необходимо прежде всего ее понять. Но не подлежитъ никакому сомнѣ-

нію, что внесеніе, и притомъ сознательное внесеніе, ритмическаго элемента въ данную работу, облегчаетъ даже ея уразумѣніе и научаетъ производить эту работу, т.-е. научаетъ самой техникѣ этой работы. На разныхъ ступеняхъ обученія учитель долженъ обращать вниманіе на то, чтобы ученики уразумѣли пользу ритма, пользу выразительнаго чтенія, пользу логическихъ удареній и т. п. Особенно сильно замѣтно вліяніе ритмическаго выполненія работы въ тѣхъ случаяхъ, когда приходится умножать одно многозначное число на другое многозначное же. Равнымъ образомъ довольно замѣтно вліяніе ритмичности въ работѣ при усвоеніи таблицъ наизусть (напр., таблицы умноженія), а также при сложеніи и вычитаніи двузначныхъ чиселъ. Къ этому вопросу читатель будетъ имѣть возможность обратиться въ тѣхъ мѣстахъ книги, которыя касаются ариѳметическихъ навыковъ разнаго рода, встрѣчающихся на разныхъ ступеняхъ обученія. Опыты, сдѣланные авторомъ этой книги въ разныхъ, какъ временныхъ, такъ и постоянныхъ, школахъ надъ дѣтьми разныхъ возрастовъ доказали важность вниманія къ ритмической сторонѣ ариѳметическихъ вычисленій. Вообще надо учащихся пріучать къ ритмическому воспроизведенію соотвѣтствующихъ фразъ вычисленія. При этомъ ритмическое воспроизведеніе ихъ чрезвычайно облегчаетъ и самый ходъ вычисленій. Считаясь съ индивидуальностью учащихся разныхъ типовъ, надо все же принять во вниманіе, что, несмотря на недостаточное развитіе болѣе или менѣе музыкальнаго слуха и вкуса учащагося къ ритмическому произношенію словъ, этотъ слухъ и вкусъ надо развивать. Учащемуся надо предоставлять, конечно, возможность пользоваться тѣми способами, которые наиболѣе отвѣчаютъ его индивидуальности. Такъ, не только для глухонѣмыхъ, но и для тугоухихъ главную роль играютъ тѣ пособія, которыя разсчитаны на зрѣніе и на мускульное чувство, а для близорукихъ и для дѣтей со слабымъ зрѣніемъ—пособія изъ области тѣхъ, которыя дѣйствуютъ на мускульное чувство и слухъ. Но не надобно избѣгать тѣхъ средствъ обученія. которыя особенно пригодны для дѣтей одного типа, при обученіи ариѳметикѣ дѣтей другихъ типовъ. При классномъ обученіи это прямо необходимо, да и при одиночномъ не слѣдуетъ лишать учащихся возможности развитія въ тѣхъ направленіяхъ, которыя болѣе или менѣе отдалены отъ

ихъ индивидуальныхъ склонностей. Поэтому, не насилуя индивидуальности отдѣльныхъ учащихся, необходимо всѣхъ учить такъ, чтобы ритмическій элементъ обученія игралъ извѣстную роль въ обученіи, т.-е. нѣкоторую роль играло вниманіе учителя къ слуховому и ритмическому чувству.

Классификація задачъ.

§ 21. Условимся различать среди задачъ, обыкновенно предлагаемыхъ въ такъ называемыхъ ариѳметическихъ задачникахъ, задачи двоякаго рода: а) задачи чисто-ариѳметическія и б) задачи алгебраическаго характера. Чисто-ариѳметическими будемъ называть какъ задачи, при рѣшеніи которыхъ мы, обозначивъ неизвѣстное буквою х, надъ x-омъ, по условіямъ задачи, не обязаны производить никакого дѣйствія, такъ и задачи, при рѣшеніи которыхъ, съ помощью икса, надъ послѣднимъ производится только одно дѣйствіе, въ результатѣ котораго получается извѣстное число. Задачами алгебраиче скаго характера условимся называть: а) задачи, при рѣшеніи которыхъ съ помощью икса, мы, обозначивъ искомое число буквою х, надъ нимъ производимъ дѣйствіе, надъ полученнымъ новое дѣйствіе и т. д., и въ результатѣ получаемъ извѣстное число, и б) задачи, при рѣшеніи которыхъ съ помощью икса мы производимъ надъ х-омъ одно дѣйствіе, но въ результатѣ получаемъ опять неизвѣстное число или выраженіе, въ составъ котораго входитъ х.

Классификація такъ называемыхъ ариѳметическихъ задачъ на чисто-ариѳметическія и алгебраическаго характера вызываетъ у нѣкоторыхъ сомнѣніе въ возможности установки точнаго критерія для установленія рѣзкой границы между ними. Классификація эта предполагаетъ слѣдующія предварительныя соображенія.

Окончательный результатъ тѣхъ или иныхъ дѣйствій надъ данными въ ариѳметической задачѣ (постоянными) числами будемъ обозначать буквою С; искомое число будемъ обозначать буквою х. Примитивными функціями буквы х будемъ называть функціи видовъ х^С и С^х, гдѣ знакъ замѣняетъ одинъ изъ знаковъ четырехъ ариѳметическихъ дѣйствій. Если искомое число въ данной ариѳметической задачѣ съ одной неизвѣстной обозначить буквою х, то, придавъ рѣшенію задачи видъ уравненія, мы наталкиваемся на одно изъ слѣдующихъ уравненій:

Здѣсь буква С обозначаетъ результатъ нѣсколькихъ ариѳметическихъ дѣйствій надъ данными въ задачѣ числами, а С’ обозначаетъ либо одно изъ данныхъ чиселъ, либо результатъ дѣйствій надъ ними. Символы же f(x) и ср(х) обозначаютъ нѣкоторыя алгебраическія функціи отъ x-а, изъ которыхъ только одна можетъ равняться x-у. Онѣ, конечно, принадлежатъ къ числу такихъ, которыя приводятъ къ рѣшенію уравненія первой степени, разъ мы имѣемъ дѣло съ такъ наз. ариѳметической задачей.

Задачи, предлагаемыя въ ариѳметическихъ задачникахъ и приводящія къ уравненіямъ съ двумя или болѣе неизвѣстными, несомнѣнно принадлежатъ къ числу задачъ алгебраическаго характера, какъ равно и задачи, приводящія къ уравненіямъ вида III. Задачи, приводящія къ уравненіямъ вида II, принадлежатъ къ числу задачъ чисто-ариѳметическихъ, если F (х) есть примитивная функція отъ x-а, и къ числу задачъ алгебраическаго характера, если F(х) функція не примитивная. Задачи, приводящія къ уравненіямъ вида III— задачи алгебраическаго характера. Наконецъ, задача, приводящая къ уравненіямъ вида (I), представляетъ собою задачу чисто-ариѳметическую. Результаты С и С’ при этомъ должны получаться путемъ простыхъ, на основаніи опредѣленій четырехъ дѣйствій, умозаключеній. Конечно, путемъ умозаключеній можно, какъ это извѣстно, всякую задачу видовъ (II) и (III) привести къ уравненію вида (I). Но въ основѣ такихъ умозаключеній будетъ лежать скрытое рѣшеніе нѣкотораго, только не написаннаго, но на самомъ дѣлѣ такъ или иначе составленнаго уравненія1).

Раздѣленіе ариѳметич. задачъ.

§ 22. Чисто-ариѳметическія задачи различаютъ двухъ родовъ: 1) задачи, для разрѣшенія которыхъ требуется только одно изъ четырехъ дѣйствій, и 2) задачи, для разрѣшенія которыхъ требуется два дѣйствія или болѣе. Первый классъ чисто-ариѳметическихъ задачъ называютъ простыми, второй -сложными, независимо отъ легкости или трудности ихъ разрѣшенія для ребенка, на той или другой ступени обученія.

Задачи простыя, въ свою очередь, можно различать двоякаго рода: а) задачи, въ которыхъ условія такъ очевидны, что и дѣйствіе, требуемое для рѣшенія задачи, совершенно оче-

1) См. статью подъ заглавіемъ: „О задачахъ алгебраическаго характера“ („Русская школа“, № 2 за 1900 годъ) и статью подъ заглавіемъ: „Первоначальная математика“ въ томѣ „Педагогической академіи въ очеркахъ и монографіяхъ“, посвященномъ „Методамъ начальнаго обученія“.— Въ „Очеркахъ по методикѣ ариѳметики“ Ѳ. А. Эрна (Рига, 1912 г.), почтенный авторъ, къ сожалѣнію, считается, опровергая мою попытку установленія классификаціи задачъ на чисто-ариѳметическія и алгебраическаго характера, только съ указаніями, сдѣланными на этотъ счетъ въ 7-мъ изданіи моей „Методики ариѳметики для учителей начальныхъ школъ“ (Спб., 1903 г.). Но разъясненію этого разногласія здѣсь, конечно, не мѣсто.

видно, и б) задачи, для разрѣшенія которыхъ требуется нѣкоторое умозаключеніе. — Пусть, напримѣръ, предложена задача: «На столѣ лежатъ 4 кубика, а я туда положу еще 3 кубика; сколько послѣ этого будетъ кубиковъ на столѣ?» Эта задача можетъ затруднить ученика не по смыслу своему, а только въ томъ отношеніи, что онъ затрудняется отвѣтить на вопросъ, т.-е. произвести дѣйствіе. Если же онъ и смысла ея не понимаетъ, то никакія умозаключенія и разсужденія не помогутъ ребенку въ ея уразумѣніи: либо онъ для нея слишкомъ малъ, либо же его разумѣніе вообще слабо. При рѣшеніи этой задачи надо понимать, что означаетъ въ этомъ случаѣ слово е щ е.—Другое дѣло, если ребенку предложена слѣдующая задача: «На столѣ лежали кубики; я снялъ со стола 3 кубика, и послѣ этого на немъ осталось 4 кубика; сколько на немъ было кубиковъ?» Здѣсь можно уже разсуждать: я снялъ 3, стало-быть, на немъ лежали эти 3 кубика; на немъ осталось 4 кубика; стало-быть, эти 4 кубика и раньше тоже лежали на столѣ; поэтому на столѣ лежали 4 да еще 3 кубика.—Эта послѣдняя задача, такимъ образомъ, представляетъ собою простую задачу второго рода.

Сложныя чисто-ариѳметическія задачи отличаются одна отъ другой не только степенью сложности, т.-е. не только числомъ дѣйствій, требующихся для ихъ рѣшенія. Онѣ бываютъ двухъ родовъ. Въ однѣхъ вся задача изложена такъ, что условія, приводящія къ разрѣшенію каждаго изъ промежуточныхъ вопросовъ, приведены рядомъ, и задача, вслѣдствіе этого, безъ всякаго анализа разрѣшается очень быстро. Такова, напр., сложная задача, гласящая такъ: «Лавочникъ купилъ 15 фунтовъ кофе по 32 коп. за фунтъ и 25 фунтовъ сахару по 15 к. за фунтъ. Сколько онъ могъ бы купить чаю на тѣ же деньги, если фунтъ чаю стоитъ 2 руб. 85 коп.?» Къ числу задачъ того же рода принадлежитъ, напримѣръ, также сложная задача, гласящая такъ: «У землевладѣльца было 524 четверти овса; половину этого количества онъ продалъ, половину оставшагося овса употребилъ на посѣвъ, а изъ остального овса отдалъ сосѣду 24 четверти 5 четвериковъ и 7 гарнцевъ въ уплату своего долга. Сколько овса у него осталось?» Но сложныя чисто-ариѳметическія задачи могутъ быть составлены и чаще всего составляются такъ, что условія, тѣсно одно къ другому примыкающія, стоятъ не рядомъ, а отдѣлены одно

отъ другого однимъ или нѣсколькими такими условіями, которыя надо на время оставить безъ вниманія, пользуясь при рѣшеніи тѣснѣе примыкающими другъ къ другу условіями. Такова, напримѣръ, сложная задача, гласящая такъ: «Въ свѣчной лавкѣ 4 ящика свѣчей, въ каждомъ ящикѣ по ЗѴ2 пуда; кромѣ того, въ ней 8 бочекъ керосину, 5 бочекъ деревяннаго масла и одинъ ящикъ спичекъ. Что стоитъ фунтъ свѣчей, если всего въ лавкѣ товару на 253 руб. 40 коп., и если бочка керосину стоитъ 10 руб. 25 коп., бочка деревяннаго масла— 9 руб. 50 коп., а ящикъ спичекъ — 70 коп.?»—Здѣсь только первыя два условія (по которымъ въ лавкѣ 4 ящика и въ каждомъ ящикѣ по 31/2 пуда свѣчей) тѣсно примыкаютъ одно къ другому и прямо приводятъ къ рѣшенію одного изъ вопросовъ, которые надо разрѣшить для разрѣшенія задачи. Третье же условіе, по которому въ лавкѣ, кромѣ того, 8 бочекъ керосину, со слѣдующимъ (по которому въ ней также 5 бочекъ масла) не связано ариѳметически, т.-е. не даетъ такихъ чиселъ, надъ которыми можно было бы совершить дѣйствіе для разрѣшенія какого-либо изъ нужныхъ вопросовъ. Четвертое условіе (по которому въ лавкѣ находится одинъ ящикъ спичекъ) и пятое (по которому всего товару въ лавкѣ на 253 р. 40 к.) отдѣляютъ отъ третьяго то условіе (въ задачѣ помѣщенное на шестомъ мѣстѣ), которое тѣсно примыкаетъ, по сущности задачи, къ третьему и по которому бочка керосину стоитъ 10 р. 25 коп. и т. д. Размѣстивъ условія этой задачи сообразно съ внутреннею связью условій, мы получимъ слѣдующую задачу, рѣшеніе которой уже не требуетъ должнаго сочетанія условій: «Въ свѣчной лавкѣ было 8 бочекъ керосину, каждая стоимостью въ 10 руб. 25 коп., 5 бочекъ деревяннаго масла, каждая стоимостью въ 9 руб. 50 коп., и одинъ ящикъ спичекъ стоимостью въ 70 коп.; кромѣ того, въ ней были и свѣчи; всего товару было тамъ на 253 руб. 40 коп.; свѣчей было въ лавкѣ 4 ящика, а въ каждомъ ящикѣ — по ЗѴ2 пуда свѣчей; въ пудѣ, какъ извѣстно, 40 фунт. Спрашивается, что стоитъ фунтъ этихъ свѣчей?»

Сложныя чисто-ариѳметическія задачи, въ которыхъ условія изложены въ томъ порядкѣ, который наиболѣе отвѣчаетъ порядку требуемыхъ дѣйствій, условимся называть приведенными къ ряду простыхъ задачъ, а задачи съ условіями, этому порядку не отвѣчающія, — неприведенными.

Раздѣленіе алгебраич. задачъ.

§ 23. Задачи алгебраическаго характера полезно, какъ и въ алгебрѣ, различать двоякаго рода: а) задачи, въ которыхъ одна неизвѣстная величина, и б) задачи, въ которыхъ нѣсколько, взаимно зависящихъ одна отъ другой, неизвѣстныхъ величинъ.—Задачи съ одной неизвѣстной величиною полезно различать въ свою очередь также двоякаго рода: а) задачи, въ которыхъ рядъ дѣйствій надъ неизвѣстною величиною даетъ, по условію, въ результатѣ извѣстное число, и б) задачи, въ которыхъ одно или нѣсколько дѣйствій даютъ, по условію, опять-таки неизвѣстную величину. Послѣднія задачи, большею частью, принадлежатъ къ числу замысловатыхъ.

Такимъ образомъ мы пришли къ слѣдующему распредѣленію всѣхъ задачъ, обыкновенно предлагаемыхъ въ ариѳметическихъ задачникахъ, на классы:

Истинное значеніе простыхъ задачъ.

§ 24. Чтобы понять все значеніе задачъ простыхъ въ дѣлѣ обученія ариѳметикѣ, должно принять къ свѣдѣнію слѣдующія соображенія.

Прежде чѣмъ учить дѣтей производству ариѳметическихъ дѣйствій, должно уяснить самую необходимость дѣйствій и ихъ право на существованіе, ихъ цѣль, ихъ внутренній смыслъ. Въ старину учащемуся задавали «примѣръ» на то или иное дѣйствіе и при этомъ требовали, чтобы онъ зналъ правило наизусть и вѣрно совершилъ заданное дѣйствіе. Понимаетъ ли онъ самую цѣль дѣйствія, его смыслъ, сущность дѣйствія и право этого послѣдняго на вниманіе, этимъ не интересовались. Мало интересовались и тѣмъ, понимаютъ ли ученики особенности производства того или иного дѣйствія и размѣры того благодѣянія, которое ариѳметика

оказываетъ человѣку, желающему что-либо вычислить. Несущественно измѣнилась постановка ариѳметики и тогда, когда было понято, что однимъ выучиваніемъ правилъ ариѳметики наизусть при обученіи ариѳметикѣ удовлетворяться не слѣдуетъ. Въ старину дѣти преимущественно выучивали правила наизусть, а впослѣдствіи наступило увлеченіе другой крайностью, а именно увлеченіе рѣшеніемъ возможно большаго количества задачъ и тѣмъ взглядомъ, что оказать на дѣтей полезное развивательное вліяніе можно только благодаря многочисленнымъ труднымъ и замысловатымъ задачамъ преимущественно алгебраическаго характера. Замысловатыми, по самому существу своему, задачами переполнялись даже такіе задачники, въ основу которыхъ положено было такъ называемое изученіе чиселъ первой сотни, явившееся посильною поправкою къ господствовавшему у насъ еще менѣе полустолѣтія тому назадъ безсмысленному выучиванію учениками текста учебниковъ наизусть. Значеніе же простыхъ задачъ и нетрудныхъ сложныхъ изъ числа чисто-ариѳметическихъ, какъ средства къ обученію ариѳметикѣ, въ старину почти не было извѣстно и, впрочемъ, еще доселѣ недостаточно оцѣнено.

Простыя задачи перваго рода (см. выше) должны предшествовать опредѣленіямъ и правиламъ и, на первыхъ ступеняхъ обученія, должны и могутъ съ большой пользой для дѣла: а) привести учениковъ къ мысли о необходимости даннаго дѣйствія, б) уяснить имъ самую цѣль, самый смыслъ того или другого дѣйствія, и в) привести ихъ къ сознанію, что необходимо изобрѣсти пріемъ болѣе простой, чѣмъ тотъ, который ученикамъ въ данную минуту извѣстенъ. — Простыя задачи второго рода наиболѣе пригодны для того, чтобы съ ихъ помощью: а) уяснить различные въ логическомъ отношеніи случаи примѣненія одного и того же дѣйствія, и б) сдѣлать совершенно понятными различные въ словесномъ отношеніи способы выраженія требованій, приводящихъ къ однимъ и тѣмъ же дѣйствіямъ.

Какъ, въ самомъ дѣлѣ, убѣдить ребенка въ томъ, что необходимо создать, придумать такое-то ариѳметическое дѣйствіе, строго, точно и безошибочно различая его отъ другихъ? Какъ уяснить ему цѣль и смыслъ даннаго дѣйствія, случаи его примѣненія и различныя словесныя выраженія требованія,

чтобы это дѣйствіе было совершено? Какъ убѣдить его въ томъ, что однимъ счетомъ нельзя обойтись и что необходимо умѣть складывать, что однимъ сложеніемъ нельзя обойтись, а надо придумать умноженіе, что однимъ вычитаніемъ невозможно обойтись, когда требуется узнать, сколько разъ одно, небольшое, число содержится въ другомъ, большомъ? Никакія увѣренія учителя, никакое изложеніе или «объясненіе», никакія опредѣленія не могутъ, конечно, убѣдить ученика въ томъ, что чуждо его представленію. Опредѣленія дѣти точно такъ же, какъ и взрослые, понимаютъ только тогда, когда всѣ понятія, входящія въ составъ опредѣленія, имъ хорошо извѣстны, когда имъ извѣстны цѣль опредѣленія и всѣ соприкасающіяся съ даннымъ опредѣленіемъ понятія и представленія. А это-то именно и отсутствуетъ въ умѣ малолѣтняго. Всякая попытка къ изложенію и объясненію тѣхъ случаевъ, которые требуютъ того или иного дѣйствія, разбивается на практикѣ впрахъ, потому что малолѣтніе ученики не умѣютъ сосредоточивать надолго свое вниманіе и неспособны понять умомъ то, что не прошло чрезъ ихъ сознаніе въ видѣ цѣлаго ряда однородныхъ представленій. Правило, навязанное ученикамъ какъ бы насильно, несмотря на отсутствіе у дѣтей потребности въ этомъ правилѣ, конечно, тоже малополезно.

Что такое ариѳметическая задача?

§ 25. Что разумѣть подъ ариѳметической задачей? Часто думаютъ, что задачей можно называть только предложеніе, въ которомъ требуется на основаніи «условій» вычислить нѣкоторое, такъ наз., «искомое» число. На самомъ же дѣлѣ ариѳметическая задача можетъ относиться не только къ числамъ, связаннымъ условіями, но къ готовымъ нагляднымъ пособіямъ, къ изготовленію наглядныхъ пособій учащимися, къ выполненію какого-либо чертежа или рисунка, преслѣдующихъ ариѳметическія цѣли, къ вычисленію особаго рода и т. п.

Задачи ариѳметическія и алгебраическія.

§ 26. Для того, чтобы уяснить себѣ на конкретныхъ примѣрахъ разницу между чистоариѳметическими и алгебраическими задачами въ вышеустановленномъ смыслѣ этихъ словъ, разсмотримъ рѣшеніе трехъ задачъ. Прибѣгнувъ къ обозначенію искомаго числа какой-либо буквою (напр., буквою х), составимъ уравненія, т.-е. равенства, выражающія связь

искомыхъ чиселъ съ данными. Задачи пусть будутъ слѣдующія:

1) Торговецъ разсчиталъ, что если онъ весь остатокъ своего ситца станетъ продавать по 8 коп. за аршинъ, то онъ понесетъ при этомъ убытку 92 руб.; если бы онъ сталъ продавать его по 10 коп., то онъ получилъ бы 28 руб. прибыли. Сколько у него оставалось ситца?

2) Нѣкто купилъ 7 аршинъ сукна по 3 руб. за аршинъ и 5 аршинъ бархата по 7 руб. за аршинъ; послѣ этого у него осталось столько денегъ, что на нихъ онъ могъ бы купить еще два аршина сукна, по 4 руб., и три аршина бархата, по 6 руб. за арш. Сколько у него было денегъ до покупки?

3) У торговца было 2400 руб. наличныхъ денегъ; онъ въ теченіе дня выручилъ за проданный имъ товаръ еще 76 руб. 50 коп. Спрашивается, сколько у него оказалось всего денегъ, по прошествіи этого дня?

Читателю, вѣроятно, извѣстенъ изъ алгебры тотъ способъ рѣшенія ариѳметическихъ задачъ, который приводитъ къ уравненію, т.-е. къ равенству двухъ выраженій, въ каждое или въ. одно изъ которыхъ входятъ: искомая величина и нѣкоторыя изъ данныхъ. Неизвѣстное, искомое число обозначаютъ, при подобномъ пріемѣ рѣшенія, какою-либо изъ послѣднихъ буквъ латинской азбуки (x, у, z); затѣмъ надъ величиною, которую обозначаетъ эта буква, совершаютъ всѣ тѣ дѣйствія, которыя вытекаютъ изъ условій задачи. Вся трудность заключается въ отысканіи двухъ такихъ выраженій, которыя обладали бы тѣмъ свойствомъ, чтобы, выражая одну и ту же величину, они въ то же время были различны не только по виду, но не были бы тождественны при всякихъ значеніяхъ, входящихъ въ ихъ составъ буквъ, при чемъ эти выраженія должны быть выведены изъ условій задачи. При обученіи ариѳметикѣ къ подобному пріему, къ сожалѣнію, не прибѣгаютъ, и если выше въ общихъ чертахъ описанъ этотъ пріемъ, то исключительно съ цѣлью установленія различія между задачами различныхъ двухъ родовъ.

Первая изъ заданныхъ выше задачъ разрѣшается, помощью описаннаго выше пріема, слѣдующимъ образомъ. Пусть все число аршинъ ситца, оставшагося у торговца, равно х. Продавъ весь ситецъ по 8 коп. за аршинъ, онъ, по условію задачи, всего выручилъ бы 8 X х копеекъ и при этомъ понесъ

бы 92 рубля убытка; стало-быть, весь ситецъ обошелся ему самому въ копеекъ1). Продавъ же весь ситецъ по 10 копеекъ за аршинъ, торговецъ выручилъ бы 10 X х копеекъ и при этомъ, согласно другому условію задачи, получилъ бы 28 руб. прибыли; стало-быть, весь ситецъ ему самому обошелся въ копеекъ2). Мы получили два выраженія:

изъ которыхъ каждое, въ различной формѣ, выражаетъ одну и ту же величину, а именно—стоимость всего, оставшагося у торговца, ситцу. Поэтому можемъ утверждать, что если буква х обозначаетъ количество аршинъ имѣющагося у торговца ситцу, то

Это равенство и представляетъ собою нѣкоторое уравненіе, на основаніи котораго можно различными способами вычислить величину неизвѣстнаго числа, числовое значеніе буквы х, т.-е. количество аршинъ оставшагося у торговца ситца.—На способахъ отысканія неизвѣстной даннаго уравненія мы останавливаться не станемъ: они для насъ въ данномъ случаѣ не важны. Для насъ важно только то обстоятельство, что существуютъ задачи, которыя обладаютъ слѣдующимъ свойствомъ: обозначивъ неизвѣстную въ нихъ величину буквою х, мы, основываясь на условіяхъ задачи, производимъ надъ этою величиною, два дѣйствія (разъ мы на х умножаемъ 8, а другой разъ — на ту же величину умножаемъ 10). Кромѣ того, мы надъ полученными нами неизвѣстными произведеніями производимъ еще два дѣйствія. — Точно такъ же существуютъ и такія задачи, при переводѣ которыхъ на алгебраическій языкъ при-

1) 8 X х выражаетъ нѣкоторое число копеекъ; поэтому и 92 рубля выражены въ копейкахъ.

2) 10 X х выражаетъ нѣкоторое число копеекъ; поэтому и 28 рублей выражены въ копейкахъ.

ходится надъ неизвѣстными величинами производить нѣсколько дѣйствій1).

Рѣшеніе второй изъ вышеприведенныхъ задачъ, по примѣненіи того же алгебраическаго пріема, приводить только къ одному дѣйствію надъ неизвѣстнымъ числомъ, а при нѣкоторой сообразительности—даже и одного дѣйствія надъ неизвѣстною величиною не потребуетъ. Дѣйствительно, пусть у даннаго лица было х до сдѣланной имъ покупки; купивъ 7 аршинъ сукна, оно истратило 3 р. × 7, т.-е. 21 рубль; на бархатъ же оно истратило 7 руб. × 5, т.-е. 35 руб.; итого оно истратило 21 р.+35 руб., т.-е. 56 рублей. Но, по условію задачи, у этого лица осталось столько денегъ, что оно могло купить еще 2 аршина сукна по 4 рубля и 3 аршина бархата по 6 рублей за аршинъ; стало-быть, оно могло истратить еще

4 р. × 2 + 6р. × 3, т.-е. 26 р.;

поэтому

X — 56 = 26, или же x = 56+26.

Т.-е. бывшее у этого лица число рублей равно суммѣ тѣхъ денегъ, которыя оно на самомъ дѣлѣ истратило, и тѣхъ, которыя оно, кромѣ того, могло истратить. — Изъ этого рѣшенія до очевидности ясно, что надъ количествомъ х мы, при рѣшеніи задачи, могли совершить только одно дѣйствіе,—никакъ не болѣе, и что въ такомъ случаѣ мы въ результатѣ получили бы извѣстное число, для вычисленія котораго надъ x-омъ никакихъ дѣйствій не потребовалось бы. Отсюда замѣчаемъ, что существуютъ задачи, которыя обладаютъ слѣдующимъ свойствомъ: обозначивъ въ нихъ неизвѣстное число буквою х и произведя всѣ дѣйствія, вытекающія изъ условій задачи, мы должны надъ величиною, которая обозначена у насъ буквою X, произвести только одно изъ четырехъ ариѳметическихъ дѣйствій, при чемъ въ результатѣ получается извѣстное число. Таковы, напр., задачи: къ какому числу надо прибавить 8, чтобы получить 30? Какое число

1) Тотъ способъ рѣшенія задачи, при которомъ рѣшающій не прибѣгаетъ къ помощи уравненія, для насъ въ данную минуту не важенъ. Поэтому мы на немъ и не останавливаемся. Этотъ способъ обыкновенно называется ариѳметическимъ, хотя гораздо вѣрнѣе его называть способомъ не-алгебраическимъ, а еще вѣрнѣе—небуквеннымъ.

надо прибавить къ 17-ти, чтобы получить 30? Какое число надо вычесть изъ 25-ти, чтобы получить 13? Изъ какого числа надо вычесть 25, чтобы получить 13? И т. п.1).

Обратимся къ третьей задачѣ; обозначивъ въ ней неизвѣстное намъ число копеекъ, оказавшихся у торговца по истеченіи дня, буквою х, мы получимъ, что

х =240 000 +7 630.

Есть безчисленное множество задачъ, которыя обладаютъ слѣдующимъ свойствомъ: обозначивъ искомое число буквою х, мы, при рѣшеніи задачи, надъ x-омъ не должны, пользуясь условіями задачи, производить никакихъ дѣйствій.

Метода цѣлесообразныхъ задачъ.

§ 27. Результатомъ этихъ разсужденій относительно задачъ разныхъ родовъ является слѣдующее основное положеніе: для развитія у учащихся правильныхъ представленій, а впослѣдствіи— и понятій о четырехъ дѣйствіяхъ, соотвѣтствующія части курса начальной ариѳметики можно построить на задачахъ и притомъ на задачахъ простыхъ. Это соприкасается съ вопросомъ о томъ, какъ назвать ту методу, которая разрабатывается въ настоящемъ сочиненіи. Ариѳметическія задачи вообще должны, при разумномъ обученіи, быть не цѣлью, а только средствомъ обученія ариѳметикѣ. Съ ихъ помощью должно вырабатывать и развивать вѣрныя и ясныя представленія и понятія: о четырехъ дѣйствіяхъ, объ ихъ смыслѣ и цѣли, и т. п. Поэтому изъ десяти случаевъ въ девяти задача должна быть исходною точкою обученія ариѳметикѣ. Вотъ что говоритъ извѣстный французскій педагогъ Жанъ Масе объ этомъ предметѣ: «Развитіе человѣчества повторяется въ каждомъ малолѣтнемъ... Первый, кому пришлось сдѣлать вычисленіе, началъ не съ отвлеченныхъ правилъ, излагаемыхъ въ учебникахъ. Онъ, очевидно, прежде всего

1) Какъ ни просты задачи: какое число надо вычесть изъ 28-ми для того, чтобы получить то же самое число, которое мы вычли, и на какое число надо раздѣлить 25, чтобы получить число, равное дѣлителю, но эти задачи не принадлежатъ уже къ числу только что разсмотрѣнныхъ, такъ какъ въ этихъ задачахъ въ результатѣ дѣйствія надъ неизвѣстнымъ числомъ получается опять-таки неизвѣстное число. На введеніи въ курсъ ариѳметики рѣшенія задачъ извѣстныхъ родовъ съ помощью уравненій настаиваютъ Лэзанъ, Лоджъ, Перри (см. стр. 16 и 18).

долженъ былъ не потеряться при рѣшеніи практическихъ вопросовъ и задачъ, надъ которыми онъ могъ одержать побѣду, только пустивъ въ дѣло всѣ средства своего ума, и онъ занимался этимъ искусствомъ вовсе не ради самого искусства. Заставлять ребенка начинать съ отвлеченнаго правила и затѣмъ предлагать ему задачи — это значитъ итти наперекоръ ходу развитія человѣческаго ума... Истинная метода состоитъ въ томъ, чтобы ставить ребенка въ условія, при которыхъ умъ человѣческій началъ изобрѣтать ариѳметику, и сдѣлать его, такъ сказать, свидѣтелемъ этого изобрѣтенія». Такова метода цѣлесообразныхъ задачъ. Ея точки зрѣнія учитель долженъ прежде всего себѣ усвоить, прибѣгая къ задачамъ чаще для выработки ариѳметическихъ представленій и понятій, чѣмъ для ихъ примѣненія къ тѣмъ случаямъ, когда именно эти представленія почти непримѣнимы, какъ, напр., при рѣшеніи замысловатыхъ задачъ алгебраическаго характера. (Въ духѣ этой методы составлены и настоящее руководство по предмету методики ариѳметики, и приноровленные къ нему «Новый ариѳметическій задачникъ для учителей» и «Новый ариѳметическій задачникъ для учениковъ»,— послѣдній въ четырехъ частяхъ). Метода эта названа методою «задачъ» потому, что задачи, въ обширномъ смыслѣ этого слова, являются исходною точкою во всякій моментъ обученія. Метода эта названа методою цѣлесообразныхъ задачъ потому, что для каждой ступени, для каждаго ученія, для преодолѣнія каждой трудности, надо предлагать ученикамъ не какія ни попало задачи даннаго отдѣла и не задачи ради самаго разрѣшенія ихъ, а задачи, сообразованныя съ исключительною цѣлью предстоящаго урока ариѳметики. Во взглядъ же Жана Масе надо, въ настоящее время, внести весьма существенную поправку. Учащіеся ариѳметикѣ (и вообще математикѣ) должны быть не только свидѣтелями изобрѣтенія, но активными (по возможности) участниками изобрѣтенія ариѳметики (или математики).

Сложныя ариѳметическія задачи.

§ 28. Что же касается болѣе или менѣе сложныхъ чисто-ариѳметическихъ задачъ, то ихъ значеніе для надлежащаго обученія ариѳметикѣ лишь постольку важно, поскольку онѣ служатъ той же цѣли развитія у учащихся вѣрныхъ и ясныхъ представленій и точныхъ понятій о четырехъ дѣйствіяхъ.

Для ежедневной жизни важно рѣшеніе лишь весьма немногочисленныхъ видовъ задачъ (рѣдко на простое тройное правило, чаще —на вычисленіе процентныхъ денегъ, и т. п.). Образовательное (развивательное) значеніе сложныхъ чисто-ариѳметическихъ задачъ сводится къ тому, что для ихъ рѣшенія требуется чаще всего большее развитіе вниманія и болѣе значительная мѣра пониманія родной рѣчи. Но, говоря о развивательномъ значеніи сложныхъ чисто-ариѳметическихъ задачъ, надо имѣть въ виду не умственное развитіе вообще, но развитіе необходимаго навыка къ употребленію, а главное— къ пониманію ариѳметической рѣчи, рядомъ съ развитіемъ большаго вниманія къ вопросамъ ариѳметическаго содержанія. Не надо только преувеличивать обще-развивательное значеніе рѣшенія многочисленныхъ сложныхъ чисто-ариѳметическихъ задачъ. Наибольшее значеніе въ дѣлѣ развитія полезныхъ умственныхъ навыковъ должно придавать не рѣшенію особенно-сложныхъ ариѳметическихъ задачъ, а самому курсу ариѳметики и тому учебному и логически-стройному матеріалу, который составляетъ его содержаніе. Задачи же являются только наиболѣе цѣлесообразнымъ къ его проработкѣ, на нѣкоторыхъ ступеняхъ его усвоенія, средствомъ.

Сравненіе строчекъ сложныхъ чисто-ариѳм. задачъ со строчками задачъ алгебраическихъ.

§ 29. При разрѣшеніи сложныхъ чисто-ариѳметическихъ задачъ представляется простѣйшій случай къ уясненію способа разложенія сложной задачи на составляющія ее простыя. Какъ бы многочисленны ни были условія такой задачи, разборъ (анализъ) задачи этого рода не требуетъ особенной сноровки въ уразумѣніи ея составныхъ элементовъ. При этомъ замѣчательно, что тѣ простыя задачи, къ разрѣшенію которыхъ приводится задача сложная изъ класса чистоариѳметическихъ, всегда могутъ быть легко, вкратцѣ и точно выражены. Этого далеко нельзя сказать о задачахъ алгебраическихъ.

При рѣшеніи сложныхъ чисто-ариѳметическихъ задачъ принято каждое дѣйствіе записывать въ видѣ отдѣльной «строчки». Если распредѣлить рѣшеніе чисто-ариѳметическихъ задачъ въ видѣ такъ называемыхъ «строчекъ», то каждая изъ нихъ отвѣчаетъ на какой-нибудь частный вопросъ, не представляющій никакихъ особенныхъ затрудненій при установленіи его содержанія, цѣли и смысла.

Напр., приведенная выше сложная ариѳметическая задача располагается въ видѣ слѣдующихъ семи строчекъ:

Эти строчки по порядку выражаютъ: 1) сколько заплачено за сукно, 2) сколько за бархатъ, 3) сколько—за то и другое, 4) сколько лицо, о которомъ рѣчь, могло бы еще истратить на сукно, 5) сколько на бархатъ, 6) сколько оно могло всего истратить, сверхъ того, что имъ уже истрачено, и 7) сколько всего у этого лица было денегъ. Эти вопросы чрезвычайно ясны.

Далеко не въ такой же степени просты вопросы алгебраическихъ задачъ. Приведенная выше алгебраическая задача сводится, напр., всего къ тремъ строчкамъ:

Но зато каждая изъ нихъ выражаетъ нѣсколько весьма отвлеченныхъ мыслей, не поддающихся столь краткому и простому выраженію, какое допускаютъ выше разсмотрѣнныя семь строчекъ чисто-ариѳметической задачи. Дѣйствительно: первая строчка занимающей насъ алгебраической задачи отвѣчаетъ на слѣдующій весьма тонкій, глубоко въ условія задачи запрятанный, вопросъ: если торговецъ станетъ продавать ситецъ по 10-ти копеекъ за аршинъ, то на сколько онъ больше выручитъ денегъ по сравненію съ тѣмъ количествомъ ихъ, которое онъ выручилъ бы, продавая ситецъ по 8-ми копеекъ? Вторая строчка, заключая въ себѣ опять-таки тонкую и глубоко запрятанную въ условія задачи мысль о причинѣ такой разницы въ выручкѣ, отвѣчаетъ въ то же время на сравнительно простой, но по цѣли опять-таки глубокій, вопросъ: сколько торговецъ получитъ лишку на каждомъ аршинѣ ситцу продавая его по 10-ти коп., по сравненію съ тѣмъ, сколько онъ получалъ бы за аршинъ, продавая его по 8-ми копеекъ? Третья строчка отвѣчаетъ опять-таки на простой, но, тѣмъ не менѣе, требующій также весьма значительной степени вдумчивости, во-

просъ: сколько у торговца осталось ситца?—Очевидно, что самый характеръ и форма вопросовъ только-что разсмотрѣнной задачи — совсѣмъ иные. Въ то время какъ къ сложной чисто-ариѳметической задачѣ между строчками (если можно такъ выразиться) лежатъ мысли очень понятныя и доступныя при одномъ взглядѣ на строчку, между строчками задачи алгебраической лежатъ мысли болѣе или менѣе скрытыя и для большинства дѣтей мало доступныя. Такъ, между строчками первой и второю нашей алгебраической задачи лежитъ, какъ выше замѣчено, мысль о причинѣ избытка, и между второй и третьею—мысль о томъ, что полученный избытокъ зависитъ исключительно отъ разности между цѣною аршина въ томъ и другомъ случаѣ. Болѣе того: самая постановка первой строчки уже предполагаетъ такой навыкъ въ тонкомъ разборѣ и расчлененіи, въ такъ назыв. анализѣ задачи и такой рядъ разсужденій, къ какимъ никогда не приходится прибѣгать при разрѣшеніи задачи, хотя бы и очень сложной, изъ числа чисто-ариѳметическихъ.

Истинное значеніе алгебраическихъ задачъ.

§ 30. Послѣ всего вышеизложеннаго легко разобраться въ вопросѣ объ истинномъ значеніи алгебраическихъ задачъ въ курсѣ ариѳметики, подлежащемъ усвоенію учениками начальной школы, и во всякомъ иномъ курсѣ того же учебнаго предмета. Задачи простыя, т.-е. требующія одного дѣйствія, важны какъ основной сырой матеріалъ, на почвѣ котораго созидаются въ умѣ учениковъ вѣрныя ариѳметическія представленія и подготовляется возможность построенія въ умѣ учениковъ также точныхъ ариѳметическихъ понятій. На этомъ же матеріалѣ зиждутся основные ариѳметическіе навыки, которые ученикъ долженъ пріобрѣсти въ области дѣйствій надъ числами первой сотни. Благодаря имъ, возникаютъ мысли о необходимости письменнаго производства дѣйствій надъ числами, выходящими болѣе или менѣе далеко за предѣлы первой сотни, и объ измѣненіи результатовъ дѣйствій въ зависимости отъ чиселъ данныхъ. Задачи же болѣе или менѣе сложныя изъ числа чисто-ариѳметическихъ, укрѣпляя вниманіе учащихся, развивая ихъ мысль, способность къ пониманію рѣчи и умѣніе разбираться въ условіяхъ чистоариѳметическихъ вопросовъ, въ то же время могутъ имѣть нѣкоторое значеніе для обученія ариѳметикѣ какъ та

новой, служа къ лучшему уясненію цѣли ариѳметическихъ дѣйствій, ихъ взаимныхъ отношеній, и взаимныхъ (такъ наз. функціональныхъ) зависимостей разныхъ величинъ между собою. Что же касается задачъ алгебраическихъ, въ особенности изъ числа замысловатыхъ, то онѣ вообще не въ состояніи оказать при обученіи тѣхъ же услугъ, если при ихъ рѣшеніи отказываться отъ помощи уравненій. Ибо, при отсутствіи интереса у большинства дѣтей къ отвлеченнымъ пріемамъ мышленія и при недостаточномъ развитіи у дѣтей стремленія къ анализу, вниманіе дѣтей на алгебраическихъ задачахъ изощряется очень мало. Столь же мало изощряется также и мысль ихъ. Наконецъ, для обученія ариѳметикѣ эти задачи тоже мало полезны, нисколько не содѣйствуя ни уясненію дѣйствій и ихъ соотношеній, ни выработкѣ чисто-ариѳметическихъ навыковъ, понятій и представленій, если помощь уравненій почему-либо исключена.

Что необходимо для разрѣшенія алгебр. задачи?

§ 31. Понявъ слова, заключающіяся въ данной алгебраической задачѣ, понявъ даже и условія ея, дѣти далеко еще не подготовлены къ анализу этихъ условій, если они недостаточно упражнялись въ этомъ одностороннемъ, особенномъ направленіи. Дѣло въ томъ, что одно пониманіе и знаніе четырехъ дѣйствій, будучи необходимымъ условіемъ рѣшенія алгебраической задачи, далеко не достаточны для того, чтобы задача была вѣрно и логично разрѣшена. Какъ, въ самомъ дѣлѣ, разрѣшить алгебраическую задачу, если къ ней приступить только съ знаніемъ четырехъ дѣйствій и безъ болѣе или менѣе тонкаго разбора, анализа, который въ задачахъ простыхъ и даже «приведенныхъ» сложныхъ, изъ числа чисто-ариѳметическихъ, отличается краткостью и непосредственностью? Для рѣшенія алгебраической задачи, кромѣ знанія дѣйствій, необходимъ еще особенный, чаще всего весьма значительный, навыкъ въ изслѣдованіи вопроса, въ расчлененіи его, въ анализѣ, требующемъ не только часто непосильнаго дѣтскому разумѣнію труда, но даже особенной изобрѣтательности и для ученика стороннихъ, не данныхъ въ условіяхъ задачи, соображеній. Неудивительно поэтому, что учащіеся чаще всего только въ состояніи заучить способъ рѣшенія задачи «на красное и синее сукно», на «бассейны» или на «путешественниковъ» и что они отъ этого не получаютъ никакихъ благъ образованія или воспитанія.

Отношеніе задачъ алгебраическаго характера къ ариѳметикѣ.

§ 32. Не вдаваясь въ дальнѣйшее обсужденіе вопроса о роли задачъ алгебраическаго характера, тѣмъ не менѣе, изъ предыдущаго можно сдѣлать слѣдующіе выводы:

1) ученія ариѳметики не оказываютъ никакихъ услугъ при разрѣшеніи задачъ этого рода: они только необходимы для возможности рѣшенія, но для того не достаточны, и 2) обученію ариѳметикѣ, какъ таковой, задачи алгебраическія (въ особенности изъ числа замысловатыхъ), въ свою очередь, тоже не оказываютъ никакихъ услугъ, такъ какъ не относятся ни къ сущности, ни къ производству ариѳметическихъ дѣйствій. Каково же въ такомъ случаѣ истинное значеніе этого рода задачъ въ школѣ? Ознакомленіе дѣтей съ аналитическою формою мышленія, конечно, полезно въ развивательномъ отношеніи, если дѣти къ этому подготовлены, и если данная школа имѣетъ въ распоряженіи своемъ достаточное для того количество времени. Но увлеченіе задачами алгебраическими, притомъ, конечно, въ ущербъ самому курсу ариѳметики, не заслуживаетъ никакого сочувствія, если на дѣло смотрѣть съ точки зрѣнія требованій только начальной школы и если при этомъ отказываться отъ помощи уравненій. Это тѣмъ справедливѣе, что въ самомъ прохожденіи надлежащаго курса ариѳметики заключается гораздо болѣе истинно-развивательнаго матеріала, чѣмъ это кажется съ перваго взгляда. Обученіе вообще оказываетъ на дѣтскій умъ въ высшей степени важное и полезное воспитательное вліяніе. Оно внушаетъ дѣтямъ должное уваженіе къ уму человѣческому и прививаетъ дѣтскому разумѣнію такъ много необходимыхъ привычекъ, что въ сравненіи съ послѣдними навыкъ въ рѣшеніи алгебраическихъ задачъ безъ помощи уравненій, по причинѣ крайней односторонности, является навыкомъ, которому можно приписывать только второстепенное значеніе. Доказательствомъ справедливости этого взгляда можетъ служить то, что можно указать людей, имѣющихъ полное право считаться людьми даже истинно-образованными, но не могущихъ похвастать ни малѣйшимъ умѣніемъ разрѣшать задачи алгебраическаго характера. Къ тому же и практическая жизнь рѣдко предлагаетъ намъ такія задачи: большинство заддачъ,

представляющихся въ практической жизни, принадлежитъ къ числу чисто-ариѳметическихъ. Итакъ, алгебраическимъ задачамъ обыкновенно придается слиткомъ большое значеніе. А потому начальный учитель скорѣе можетъ повредить дѣлу, чѣмъ быть ему полезнымъ, если не отведетъ замысловатымъ задачамъ алгебраическаго характера второстепеннаго или даже третьестепеннаго, послѣдняго мѣста. Въ особенности это справедливо, когда мы имѣемъ въ виду истинныя условія обученія въ нашей начальной школѣ и истинныя, а не призрачныя, потребности ея. Въ школахъ съ повышеннымъ курсомъ ариѳметики имъ можно отвести (хотя прямой необходимости въ томъ и нѣтъ) болѣе значительное мѣсто, но уже въ связи съ нѣкоторыми свѣдѣніями изъ алгебры или, только въ крайнемъ случаѣ, независимо отъ послѣдней.

Задача о пастухахъ.

§ 33. Часто ученики высшихъ классовъ среднихъ учебныхъ заведеній, несмотря на довольно основательное знаніе средне-образовательнаго курса ариѳметики, не въ состояніи безъ помощи одного или двухъ уравненій, т.-е. безъ алгебры, разрѣшить извѣстную задачу, гласящую такъ: „Одинъ пастухъ сказалъ другому: «Отдай мнѣ одну изъ своихъ овецъ, и у меня будетъ вдвое болѣе, чѣмъ у тебя».—«Нѣтъ,—отвѣчалъ ему другой,—отдай лучше ты мнѣ одну изъ своихъ овецъ, и у насъ будетъ поровну». Сколько у каждаго изъ нихъ овецъ?“ Трудность этой задачи не только для дѣтей, но и для взрослыхъ, заключается въ томъ, что по порядку надо изслѣдовать слѣдующіе семь вопросовъ: 1) у котораго изъ пастуховъ больше? 2) если бы первый пастухъ одну овцу отдалъ третьему лицу, то у котораго изъ пастуховъ и на сколько было бы больше, чѣмъ у другого? (у перваго одною овцою больше); 3) если бы онъ не отдавалъ никому ни одной овцы, то на сколько у него было бы больше овецъ, чѣмъ у второго? (на двѣ); 4) если бы второй пастухъ отдалъ третьему лицу одну овцу, то на сколько у перваго было бы въ этомъ случаѣ больше овецъ, чѣмъ у второго? (на три овцы); 5) если бы онъ отдалъ одну овцу второму пастуху, то на сколько у него было бы больше овецъ, чѣмъ у второго? (на четыре); 6) но, по условію, у него въ этомъ случаѣ было бы вдвое болѣе, чѣмъ у второго; стало-быть, сколько у второго въ этомъ случаѣ овецъ?

(четыре); 7) сколько у него было ранѣе? (пять); 8) а сколько у перваго? (семь).—Эти вопросы приведены для того, чтобы показать, какая длинная цѣпь ихъ необходима, чтобы привести къ рѣшенію задачи, повидимому, вовсе не особенно запутанной ни въ числовомъ, ни въ словесномъ отношеніи. Разсмотрѣніе того, къ какимъ «строчкамъ» ведетъ эта задача, будетъ читателю весьма полезно для лучшаго уясненія себѣ содержанія предыдущихъ параграфовъ. Строчекъ этихъ всего пять. Первая изъ этихъ строчекъ отвѣчаетъ на вопросъ: если первый пастухъ отдастъ третьему лицу одну изъ своихъ овецъ, а потомъ возьметъ ее себѣ обратно, то на сколько у него будетъ овецъ болѣе, чѣмъ у второго пастуха? Вторая строка выражаетъ, на сколько овецъ у перваго пастуха станетъ больше, чѣмъ у второго, если второй отдастъ третьему лицу одну изъ своихъ овецъ? Третья выражаетъ, на сколько у перваго пастуха станетъ больше, чѣмъ у второго, если второй отдастъ эту овцу не третьему лицу, а первому пастуху? Четвертая строчка выражаетъ, сколько овецъ у второго пастуха, а пятая—сколько овецъ у перваго пастуха. Но между строками третьею и четвертою скрыто разсужденіе о томъ, что если у перваго пастуха на 4 овцы болѣе, чѣмъ у второго, и если въ то же время у него (по условію задачи) вдвое болѣе, чѣмъ у второго, то у второго въ такомъ случаѣ непремѣнно четыре овцы. Мысль эта представляетъ не только для учениковъ неимовѣрныя трудности, но и отъ учителя требуетъ большого количества труда и подготовительной работы. Между остальными строчками также немало мыслей, скрытыхъ для глаза непосвященныхъ.—Всякій иной способъ не-буквеннаго разрѣшенія этой задачи содержитъ въ себѣ другія трудности и, такъ или иначе, содержитъ въ себѣ скрытое использованіе, въ той или иной формѣ, слѣдующей системы уравненій:

гдѣ буква х обозначаетъ число овецъ перваго пастуха, а буква у — число овецъ второго.

Ариѳметическіе примѣры.

§ 34. Среди чисто-ариѳметическихъ упражненій особое мѣсто занимаютъ такъ называемые примѣры, т.-е. вычисленіе ариѳметическихъ

выраженій, въ которыхъ съ помощью знаковъ выражены требованія относительно производства одного или нѣсколькихъ ариѳметическихъ дѣйствій. Значеніе примѣровъ чаще и прежде всего чисто-практическое. Упражняясь въ вычисленіи примѣровъ, дѣти пріобрѣтаютъ навыкъ въ аккуратномъ, ничѣмъ не усложняемомъ, письменномъ и изустномъ производствѣ дѣйствій. На примѣрахъ дѣти научаются располагать письменныя вычисленія сообразно тѣмъ образцамъ, которые имъ даны учителемъ, и вообще быстро вычислять (что можно изустно, а чего нельзя изустно, то—письменно). Понятно, что въ вычисленіи примѣровъ дѣти должны упражняться по возможности старательно и неустанно, и притомъ безъ непосредственной помощи учителя. Только тотъ научается вѣрному и быстрому вычисленію, кто самъ много упражнялся въ этомъ дѣлѣ, притомъ часто, настойчиво и сознательно. Въ практикѣ веденія занятій въ начальной школѣ ариѳметическіе примѣры для вычисленія оказываютъ величайшую услугу, представляя собою наилучшій матеріалъ для самостоятельныхъ, втихомолку, занятій того или другого отдѣленія ариѳметикой, когда остальные ученики работаютъ при участіи учителя и притомъ вслухъ. Понятно, что и примѣры должны быть расположены строго-сообразно съ требованіями цѣлесообразности и что, согласно «методѣ цѣлесообразныхъ задачъ», къ ариѳметическимъ примѣрамъ могутъ быть предъявляемы всѣ требованія, предъявляемыя къ обученію основными началами разумнаго обученія, приведенными въ § 4 главы I.

Форма обученія ариѳметикѣ.

§ 35. Средствами для прямого воздѣйствія учителя на учениковъ при обученіи ариѳметикѣ служатъ: а) живое слово учителя, и б) работа учениковъ подъ непосредственнымъ руководствомъ учителя. Эти средства неразрывно связаны съ формою обученія, т.-е. съ тѣмъ, въ какомъ видѣ со стороны представляется воздѣйствіе учителя на учениковъ. Встарину учителями практиковалось такое обученіе, при которомъ учитель только задавалъ уроки по учебнику, и на слѣдующемъ урокѣ провѣрялъ, на сколько хорошо ученикъ усвоилъ себѣ текстъ учебника наизусть. Учитель былъ только экзаменаторомъ и ревизоромъ. Нынѣ эта форма обученія признается самой нецѣлесообразной, вслѣдствіе чего она почти совершенно оставлена. Поэтому различаютъ только двѣ формы обученія:

а) излагательную (лекціонную, монологическую, акроаматическую), и б) вопросо-отвѣтную (катехизическую, эратематическую). Держась излагательной формы обученія, учитель можетъ только излагать, заставлять учениковъ повторять за нимъ только-что имъ сказанное, диктовать ученикамъ то, что они, по его мнѣнію, должны усвоить, показывать, какъ что дѣлается и требовать отъ учениковъ подражанія, и т. п. Во всякомъ случаѣ, при излагательной формѣ обученія предполагается, что ученикъ внимателенъ и понятливъ и что онъ интересуется предметомъ преподаванія. Требуется же отъ него, чтобы онъ прежде всего воспринялъ предлагаемое ему учителемъ, а потомъ уже это усвоилъ себѣ и восполнилъ самостоятельнымъ трудомъ.—Держась вопросо-отвѣтной формы обученія, учитель можетъ предлагать вопросы для опредѣленія того, знаетъ ли ученикъ то, что онъ, по мнѣнію учителя, долженъ знать изъ прежнихъ уроковъ (экзаменаціонная форма), можетъ предлагать вопросы для того, чтобы поупражнять учениковъ въ усвоенномъ ими ранѣе (репетиціонная форма), можетъ предлагать вопросы для того, чтобы путемъ вопросовъ возбудить въ сознаніи учениниковъ на почвѣ того, что уже есть въ этомъ сознаніи, новыя представленія, новыя понятія, новыя мысли (изобрѣтающая, эвристическая форма), и т. п. При этомъ не только учитель можетъ спрашивать ученика, но и ученикъ-учителя, и учитель съ классомъ представляютъ одно цѣлое, какъ бы стремящееся, хотя и подъ руководствомъ учителя, къ одной и той же цѣли. Вопросо-отвѣтная форма признается нынѣ самой цѣлесообразной формой обученія малолѣтнихъ, такъ какъ она допускаетъ наилучшее примѣненіе основныхъ началъ всякаго разумнаго обученія. Въ школѣ эта форма обученія особенно необходима, такъ какъ только она допускаетъ дѣйствительное участіе всего класса въ работѣ. Держась ея, учитель не предполагаетъ вниманія класса, а старается это вниманіе возбудить и поддержать. Онъ не предполагаетъ особенной понятливости и интереса со стороны учениковъ, каковую понятливость онъ старается развить, а интересъ создать вопросами. При этомъ самостоятельная работа учениковъ надъ новымъ матеріаломъ совершается чаще всего тутъ же, въ классѣ, а не отлагается на внѣ-урочное время. Но, къ сожалѣнію, увлеченіе катехизической формою обученія доходитъ

иногда до крайностей. Все искусство учителя многіе сводятъ къ умѣнію предлагать вопросы, упраздняя методу самообученія и замѣняя ее одной вопросо-отвѣтной формой, которая безъ активности учащихся является, конечно, формою безъ содержанія. Учителю не надо всегда катехизировать: увлеченіе исключительно этой формой ведетъ за собою и крайнюю искусственность уроковъ, и чрезмѣрную, притомъ часто невознаградимую, потерю времени. Въ ариѳметикѣ есть не только частности, но даже цѣлые отдѣлы, при усвоеніи которыхъ катехизація можетъ быть только повторительной. Таковы, напр., правила нумераціи вмѣстѣ съ правилами употребленія цифръ. Никакіе вопросы, какъ бы разумно они поставлены ни были, не могутъ довести учащагося ни до начертанія цифръ, ни до нумераціи, ни до обозначенія обыкновенныхъ дробей, ни до способа нахожденія наименьшаго кратнаго числа и т. д. Такъ же мало катехизація примѣнима къ выработкѣ способовъ принятаго расположенія письменныхъ вычисленій и вообще къ выработкѣ условныхъ пріемовъ ариѳметическаго вычисленія, къ усвоенію дѣтьми такихъ фактовъ, что миля содержитъ приблизительно 7 верстъ, что сажень равна 7 футамъ, а стопа—20-ти дестямъ, что частное иногда называется отношеніемъ, что сотни, десятки и единицы составляютъ классъ единицъ, и т. п. Нѣкоторые педагоги придаютъ катехизаціи слишкомъ большое значеніе. Масса вопросовъ, предлагаемыхъ какъ бы съ цѣлью наведенія, на самомъ дѣлѣ иногда только загромождаютъ урокъ безполезными подробностями и отнимаетъ у школы драгоцѣнное время. Но это все-таки не мѣшаетъ вопросо-отвѣтной формѣ быть наилучшею формою обученія.

Необходимость чередованія формъ обученія.

§ 36. Ранѣе чѣмъ приступать къ катехизаціи, должно, пользуясь естественнымъ чутьемъ и не обращая вниманія ни на какія дидактическія правила, уяснить самому себѣ естественнѣйшій, самый прямой путь уясненія учащемуся интересующаго его въ данную минуту ученія. Учащій не долженъ думать, что окольные пути мышленія дѣтямъ доступнѣе прямого. Онъ долженъ всегда избѣгать сколько-нибудь продолжительнаго (долѣе полуминуты) изложенія (лекціонной формы). Всегда надо учениковъ привлекать къ работѣ, какъ по прямому пути, такъ и по путямъ косвеннымъ. От-

отупленія отъ прямого пути дозволительны только тогда, когда они почему-либо осебенно цѣлесообразны. Но и въ этомъ случаѣ на отступленіе отъ прямого пути должно смотрѣть именно какъ на отступленіе, не возводя его въ правило и стараясь достигнуть цѣли урока иными способами, не увлекаясь разговоромъ, развивающимъ рѣчь учителя и убивающимъ самодѣятельность дѣтей. Обученіе, пока оно живо и разумно, не допускаетъ рабскаго примѣненія только одной формы обученія. Формы обученія поэтому должны чередоваться. Слѣдованіе же только одной изъ нихъ вредно отзывается какъ на самомъ содержаніи урока, такъ и на образовательномъ его значеніи. За вопросами учителя должны слѣдовать отвѣты класса, поправки учениковъ и учителя, повтореніе поправленнаго учениками, указанія учителя, новыя повторенія, новые вопросы, и т. д., и т. д.

Воздѣйствіе на воображеніе.

§ 37. Въ связи съ формою урока находится вопросъ о томъ, надо ли при обученіи ариѳметикѣ только развивать способность сужденія и вкусъ къ правильному умозаключенію, или же также прибѣгать къ помощи и къ работѣ воображенія, фантазіи, живого представленія учениковъ? Надо помнить, что безъ участія и работы воображенія учениковъ разумное обученіе чему бы то ни было невозможно. Поэтому учащіеся должны во всѣхъ вопросахъ ариѳметическаго содержанія возможночаще пользоваться этой драгоцѣнной способностью своею.

Живое слово учителя.

§ 38. Главнѣйшимъ средствомъ обученія является, конечно, живое слово учителя. Встарину ему придавалось очень небольшое значеніе, и тогда почти весь трудъ по усвоенію учениками какого-либо знанія возлагался на этихъ послѣднихъ. Учитель задавалъ по книгѣ «урокъ» и только провѣрялъ, на сколько хорошо этотъ урокъ выученъ на-память, вѣрно ли разрѣшена задача, и т. п. Впослѣдствіи учителя стали преувеличивать значеніе своихъ «объясненій», т.-е. того, что они сами связно излагали въ классѣ, и стали требовать, чтобы ученики, не пользуясь учебными книгами, то же самое на слѣдующемъ урокѣ излагали «своими словами». Но лишь недавно стали живому слову учителя придавать то значеніе, какое ему придавать на самомъ дѣлѣ можно: оно только должно поощрять, будить вниманіе учениковъ, поддерживать и возбуждать интересъ къ данному

вопросу и направлять ихъ работу въ должную сторону. «Объясненіямъ» же, т.-е. непрерывному въ теченіе болѣе или менѣе продолжительнаго промежутка времени, изложенію чего-либо учителемъ, уже не придается (не только при обученіи малолѣтнихъ, но даже при лекціонномъ преподаваніи взрослымъ слушателямъ) того значенія, которое изложенію придавалось ранѣе. Въ то время какъ малолѣтняго, а иногда и взрослаго, продолжительное изложеніе учителя очень немногому научаетъ по причинѣ слишкомъ большой работы вниманія, требующейся отъ слушателя для усвоенія излагаемаго, даже для взрослаго слушателя возможно изъ лекціи усвоить себѣ только весьма поверхностное и не достовѣрное знаніе того, что онъ выслушалъ. Эти недостатки излагательной формы преподаванія однакоже нисколько не умаляютъ важности живого слова учителя, если оно сказано во-время и надлежащимъ образомъ. Катехизическая форма обученія тоже не мѣшаетъ учителю пользоваться своимъ живымъ словомъ. Живое слово учителя только должно итти рука объ руку съ работою учениковъ, и разные пріемы каждой изъ двухъ главнѣйшихъ формъ обученія должны чередоваться. Только въ этомъ случаѣ всѣ цѣли обученія могутъ быть достигнуты.

Требованія обѣихъ формъ обученія.

§ 39. Изъ основныхъ требованій вопросоотвѣтной формы обученія учитель всякаго предмета вообще, и ариѳметики въ частности, долженъ имѣть въ виду слѣдующія: а) вопросъ долженъ отличаться краткостью, ясностью, цѣлесообразностью, содержательностью и опредѣленностью; б) съ вопросами школьный учитель долженъ обращаться ко всему классу, и затѣмъ уже изъ желающихъ отвѣчать на вопросъ выбирать одного ученика, долженствующаго отвѣчать; в) при этомъ учениковъ, почему-либо не пожелавшихъ отвѣчать, учитель отнюдь не долженъ забывать и оставлять въ покоѣ, а, напротивъ, долженъ привлекать къ дружной и совмѣстной работѣ; г) поучительнымъ для учениковъ долженъ быть сдѣланъ какъ правильный, такъ и отчасти лишь правильный, а равно и вовсе неправильный отвѣтъ; д) отсутствіе же всякаго отвѣта должно служить для учителя только поводомъ для самоисправленія, для самоизученія и для лучшаго изученія класса, и е) неправильнаго по формѣ или невѣрнаго по содержанію отвѣта одного изъ уче-

никовъ учитель отнюдь не долженъ повторять; надо повторить вопросъ, и, оставивъ ученика до поры до времени въ покоѣ, дождаться вѣрнаго отвѣта другихъ учениковъ и тогда уже снова обратиться къ давшему невѣрный отвѣтъ. — Изъ основныхъ требованій, которыя можно предъявлять къ изложенію самого учителя, главнѣйшія сводятся: а) къ простотѣ и содержательности изложенія, и б) къ его краткости. Начальный учитель долженъ стремиться къ тому, чтобы его изложеніе длилось каждый разъ не больше одной минуты, и во всякомъ случаѣ меньше того количества времени, въ теченіе котораго малолѣтніе могутъ быть дѣятельно-внимательны.

Самостоятельныя работы учениковъ.

§ 40. Кромѣ живого слова учителя, средствами обученія ариѳметикѣ служатъ: а) самостоятельныя работы учениковъ въ классѣ и б) задаваніе ученикамъ уроковъ на-домъ. Въ русской начальной школѣ задаваніе уроковъ на-домъ можно, вслѣдствіе домашнихъ условій жизни учениковъ, практиковать лишь въ весьма незначительной степени, и то лишь съ учениками старшихъ отдѣленій, которые уже хорошо ознакомились съ требованіями школы. Но увлекаться задаваніемъ уроковъ на-домъ и учителю высшаго начальнаго училища и даже учителю средняго учебнаго заведенія не слѣдуетъ.—Гораздо больше значеніе самостоятельныхъ классныхъ работъ учениковъ. Онѣ являются большимъ подспорьемъ при обученіи ариѳметикѣ, если онѣ строго предопредѣлены и согласованы съ методою обученія. Отдѣленіе, которому предложена такъ называемая самостоятельная работа, должно прежде всего знать, какъ ему эту работу выполнить. Безъ этого ученики не только не научатся тому, чему эта работа должна ихъ научить, но и пріобрѣтутъ себѣ вредныя привычки. Поэтому, прежде чѣмъ предоставить учениковъ самостоятельнымъ занятіямъ, учитель долженъ убѣдиться въ томъ, знаютъ ли ученики, чего отъ нихъ требуютъ, и научить ихъ должному выполненію предложенной работы. Эта работа можетъ относиться къ недавно или только-что усвоенному, можетъ носить повторительный характеръ упражненія въ уже давно усвоенномъ, но можетъ также служить для подготовки къ предстоящимъ занятіямъ. Прежде чѣмъ, напр., перейти къ умноженію, можно предложить учащимся упражненія въ сложеніи одинаковыхъ слагаемыхъ, и т. п.

Порядокъ работы въ классѣ.

§ 41. Держась методы цѣлесообразныхъ задачъ и смѣшанной, однакоже преимущественно катехизической, формы обученія, учителю надо соблюдать слѣдующій порядокъ усвоенія учениками чего-либо изъ области ариѳметики: 1) сначала надо предложить цѣлесообразныя задачи на наглядномъ пособіи, наиболѣе подходящемъ для данной ступени, и работу для рукъ и зрѣнія учениковъ надъ этими задачами; 2) затѣмъ задачи изъ обыденной жизни и работу воображенія учениковъ надъ этими задачами; 3) далѣе, отвлеченныя задачи (если въ нихъ есть надобность) и работу для сужденія учениковъ надъ этими задачами; 4) потомъ логическій выводъ изъ всей работы (если таковой есть) со стороны учениковъ съ поправками учениковъ и учителя и выводъ учителя; наконецъ, 5) должно закрѣпить выводъ въ представленіи и разумѣніи учениковъ и предложить ученикамъ словесныя упражненія въ этомъ направленіи. Только съ учениками старшихъ отдѣленій можно вообще опускать задачи на наглядныхъ пособіяхъ, если въ помощи этихъ послѣднихъ нѣтъ прямой надобности.

Сборники задачъ и примѣровъ для учащихся.

§ 42. Іенике, извѣстный знатокъ методики ариѳметики, около 20 лѣтъ тому назадъ насчитывалъ среди тѣлесныхъ наглядныхъ пособій 22 отдѣльныхъ пособія, среди изобразительныхъ наглядныхъ пособій (напечатанныхъ и нарисованныхъ) восемь, а среди пособій, служащихъ для упражненія—четыре. (Теперь число пособій всякаго рода неимовѣрно возрасло). Изъ числа послѣднихъ онъ особенно сочувствуетъ сборникамъ упражненій для учащихся, каковыхъ сборниковъ въ Германіи множество. Особенно горячимъ сторонникомъ этого учебнаго пособія былъ Дистервегъ. «Для одноклассной народной школы,— говоритъ Іенике,—въ которой должны быть заняты работою одновременно, по крайней мѣрѣ, четыре отдѣленія (рѣчь идетъ о нѣмецкихъ школахъ съ двумя учителями) сборникъ упражненій для учащихся, въ которомъ, по Дистервегу, не должно предлагать никакихъ правилъ, образцовыхъ вычисленій, и т. п., а должны имѣться на-лицо только упражненія въ вычисленіяхъ и въ рѣшеніи задачъ, играетъ особенно важную роль. Въ то время какъ два отдѣленія занимаются по такому сборнику, другія подъ руководствомъ учителя и его помощника занимаются другимъ дѣломъ» (стр. 147 его «Исторіи преподаванія

ариѳметики»). Въ Пруссіи, согласно приказу министерства отъ 15 октября 1872 г., «въ основаніе преподаванія ариѳметики должны быть во всѣхъ школахъ положены сборники для учащихся (Schülerhefte), при чемъ въ рукахъ учителя должны быть отвѣты на задачи этихъ сборниковъ». (Въ виду вполнѣ вѣрной мысли, лежащей въ основѣ этого взгляда, задачники, предназначенные составителемъ этой книги для низшихъ учебныхъ заведеній, распадаются на двѣ книги: одну—для учителей, другую—для учениковъ). Списокъ отвѣтовъ къ книгѣ, предназначенной для учениковъ, часто лишаетъ учителя возможности быстро провѣрять самостоятельныя работы учениковъ. А потому гораздо цѣлесообразнѣе, въ особенности въ одноклассной начальной школѣ, оказывается отсутствіе въ книгѣ для учениковъ списка отвѣтовъ на задачи и упражненія. Послѣднія требуютъ только отъ малолѣтнихъ значительнаго труда, а учителемъ разрѣшаются съ большою легкостью. Списокъ отвѣтовъ на задачи болѣе трудныя долженъ быть либо составленъ самимъ учителемъ, либо же приложенъ къ книгѣ для учителей.

Учебникъ ариѳметики.

§ 43. Изъ другихъ пособій при обученіи ариѳметикѣ заслуживаютъ упоминанія учебники этого предмета, При этомъ надо помнить, что подъ учебникомъ надо разумѣть только ту учебную книгу, въ которой изложены ученія даннаго учебнаго предмета. Поэтому, отнюдь не должно смѣшивать задачниковъ съ учебниками и не должно называть (какъ это иногда дѣлается для краткости) задачники— также учебниками. Учебнику встарину придавалось первостепенное значеніе, а усвоеніе текста учебниковъ учениками напамять считалось главнѣйшимъ средствомъ обученія. Съ конца пятидесятыхъ и начала шестидесятыхъ годовъ текущаго столѣтія укрѣпилось у насъ то направленіе дидактики, которое лишило учебникъ прежняго его значенія. Встарину предавались одной крайности, которая приводитъ къ очень грустнымъ послѣдствіямъ, только обременяя память учениковъ и почти не обращая вниманія на ихъ разумѣніе. Только впослѣдствіи стали обращать вниманіе на разумѣніе учениковъ, и свое справедливое несочувствіе къ безсмысленному выучиванію учениками текста учебника наизусть распространили и на самые учебники, какъ на учебныя пособія, не признавая за ними ровно никакого значенія. Это, можетъ-быть, тоже крайность. Въ настоящее время есть нѣкоторыя основанія для слѣдующихъ утвержденій: 1) въ первые годы обученія начальной ариѳметикѣ въ начальной школѣ (или въ соотвѣтсвующихъ низшихъ классахъ среднихъ учебныхъ заведеній) учебнику ариѳметики нельзя отвести ни-

какого мѣста въ обученіи, такъ какъ ученики еще не въ состояніи усваивать себѣ познанія по книгѣ и изъ книги; 2) учебникомъ надо ученика научить пользоваться послѣ того, какъ ученикомъ данная часть учебнаго матеріала усвоена съ разумѣніемъ, при помощи учителя и благодаря классной, безъ учебника, работѣ надъ этимъ матеріаломъ; 3) въ третій или даже четвертый годъ, но никакъ не ранѣе конца второго года обученія въ начальной школѣ, учениковъ можно уже пріучать и къ чтенію незнакомыхъ частей текста учебника; 4) ихъ надо научить пользоваться этимъ текстомъ, при чемъ слѣдуетъ стремиться къ тому, чтобы ученики понимали, знали его, если можно такъ выразиться, вдоль и поперекъ, но это возможно только при вполнѣ сознательной, со стороны учителя и учениковъ, работѣ въ этомъ направленіи.—Цѣль употребленія учебника двоякая: практическая (то, что понято и усвоено съ помощью текста учебника, гораздо прочнѣе и полнѣе, сознательнѣе усвояется навсегда) и образовательная (благодаря учебнику, ученикъ пріучается къ усвоенію знаній, притомъ отвлеченныхъ, изъ книги). Главнѣйшее условіе, при которомъ учебникъ приноситъ дѣйствительную пользу, сводится къ тому, чтобы ученики по учебнику сначала только приводили въ порядокъ ранѣе уже вполнѣ усвоенные ими навыки и познанія. Учебникъ долженъ эти навыки и познанія только укрѣпить, оформить и свести къ кратчайшему и точнѣйшему способу выраженія. Выучивать же что-либо изъ учебника наизусть ученики не должны ни въ какомъ случаѣ.

Учебникъ ариѳметики въ 3-й и 4-й годы обученія.

§ 44. Въ послѣдніе годы обученія въ начальной школѣ курсъ ариѳметики иногда, какъ извѣстно, содержитъ довольно много отвлеченнаго и часто ненужнаго матеріала, напр., правила, опредѣленія и т. п. Внесеніе нѣкотораго количества этого матеріала въ курсъ ариѳметики третьяго года обученія можно облегчить, главнымъ образомъ, благодаря учебнику. Чтеніе въ классѣ ясно и просто изложеннаго текста возможно краткаго учебника, притомъ чтеніе медленное, толковое и сопровождаемое цѣлесообразными разъясненіями учениковъ и учителя, въ состояніи внести нѣкоторую полезную сознательную работу въ занятія учащихся даннымъ предметомъ. Для этого, послѣ надлежащихъ предварительныхъ упражненій, можно упражнять учащихся поочередно въ чтеніи текста учебника (отъ точки до точки) и связывать съ прочитаннымъ цѣлесообразныя разъясненія со стороны читающаго, его слушателей, а въ случаѣ надобности—и со стороны самого учителя. Опредѣленія и правила при этомъ могутъ быть (конечно, послѣ соотвѣтственной предварительной классной проработки и разъясненій) усвоены изъ учебника, почти слово въ слово, почти наизусть, но не простымъ выучиваніемъ наизусть, а благодаря усвоенію мыслей и идей, составляющихъ внутреннее содержаніе этихъ опредѣленій и правилъ. Важно не то, что «лучше учебника не скажешь»,—какъ говаривали встарину учителя, для которыхъ методическія цѣли обученія не

существовали,—а то, что учащихся можно исподволь пріучать къ сжатому изложенію мыслей, примѣромъ и образцомъ которыхъ должно быть изложеніе учебника. Но дѣлать это нужно съ величайшей осторожностью и при достаточно благопріятныхъ для того условіяхъ.—Гораздо важнѣе сознательные навыки въ производствѣ четырехъ дѣйствій и въ ихъ приложеніи къ житейскимъ практическимъ вопросамъ.

Что можно усвоить на-память?

§ 45. Само собою разумѣется, что только то можетъ быть въ благоустроенной начальной школѣ усваиваемо памятью, что уже вполнѣ, такъ сказать, до тонкости извѣстно ученику и что имъ въ совершенствѣ усвоено на практикѣ (таковы нѣкоторыя опредѣленія и правила производства дѣйствій) или во время урока (таковы всяческія разсужденія ариѳметическаго содержанія). Начальному учителю отнюдь не должно забывать, что заучиваніе наизусть не усвоеннаго и не понятаго учащимся текста—не только безполезно, но даже прямо и особенно вредно. Съ другой стороны, педагогика осуждаетъ только безсмысленное заучиваніе словъ наизусть, вовсе не будучи склонна отрицать необходимость разумнаго и полнаго усвоенія учебнаго матеріала во многихъ случаяхъ учебной практики. Въ учебникѣ каждое ученіе, каждая фраза и даже каждое слово должны ученикамъ напоминать цѣлый рядъ практическихъ навыковъ и ариѳметическихъ мыслей, ими уже ранѣе усвоенныхъ на урокахъ. Поэтому, при проработкѣ, подъ своимъ руководствомъ, текста того или иного учебника, учитель долженъ выяснять этотъ текстъ вполнѣ подробно, отыскивая съ учениками причины— почему данная мысль выражена такъ, а не иначе, почему употреблено то, а не иное слово, и т. д. Такъ, напр., при прохожденіи текста всякаго учебника ариѳметики придется обратить вниманіе на совокупность опредѣленій, на различіе между общепринятыми, для удобства, правилами (способами производства дѣйствія) и ученіями, не заключающими въ себѣ ничего условнаго, и т. д. Разъясненій потребуютъ также ученія о провѣркѣ дѣйствій, о нумераціи, и представленія о томъ, что такое число, единица, величина. и т. п.

На что обращать вниманіе?

§ 46. Особенно внимательно учитель долженъ относиться, во-первыхъ, къ различію между тѣми ученіями, которыя необходимо вытекаютъ изъ основныхъ понятій о дѣйствіяхъ, и тѣми, которыя отличаются большею или меньшею условностью, во-вторыхъ, вообще къ различію между необходимостью, полезностью или дозволительностью чего-либо. Напр., при умноженіи числа на 10 письменное обозначеніе произведенія непремѣнно будетъ отличаться отъ письменнаго обозначенія множимаго нулемъ на мѣстѣ единицъ, число, дѣлящееся на 4, непремѣнно дѣлится пополамъ нацѣло, и т. д. Не необходимо, но зато полезно подписывать многозначныя слагаемыя одно подъ другимъ; полезно, но не необходимо, приводить дроби, при сложеніи ихъ, къ наименьшему знаменателю,

и т. п. Обращать вниманіе на подобныя различія возможно, конечно, только тогда, когда въ дѣтяхъ вообще, и въ особенности при проработкѣ ими текста учебника, поддерживался и развивался духъ сознательнаго отношенія къ дѣлу. Только при соблюденіи этого условія усвоеніе дѣтьми текста учебника совершится какъ бы само собою и принесетъ несомнѣнную пользу дѣлу. Лишь при соблюденіи этого условія возможно, чтобы текстъ учебника былъ вполнѣ усвоенъ учащимися не только по смыслу своему, во всемъ своемъ внутреннемъ значеніи, но частью и въ своемъ словесномъ выраженіи, въ своей словесной формулировкѣ1).

ГЛАВА ТРЕТЬЯ.

Распредѣленіе курса ариѳметики по годамъ начальной школы.

Необходимость концентрическаго распредѣленія курса.

§ 1. Необходимость распредѣленія учебныхъ предметовъ начальной одноклассной школы кругами, т.-е. необходимость концентрическаго распредѣленія его, обусловливается тѣмъ практически важнымъ обстоятельствомъ, что каждый изъ годовъ обученія въ этихъ учебныхъ заведеніяхъ долженъ дать учащимся болѣе или менѣе закругленныя свѣдѣнія и навыки по каждому изъ предметовъ обученія. Въ каждомъ предметѣ есть существенное и менѣе существенное. При такъ называемой «поступательной» системѣ, ученія даннаго предмета проходятся сподрядъ, одно за другимъ, каждое во всѣхъ своихъ подробностяхъ, со всѣми частностями, притомъ въ такомъ порядкѣ, какъ данный предметъ изложенъ въ учебникѣ. Такой порядокъ, однако, не всегда удовлетворителенъ не только съ практической, но и съ педагогической точки зрѣнія. Практическія его неудобства состоятъ въ томъ, что учащіеся, почему-либо не кончающіе курса въ томъ учебномъ заведеніи,

1) Для удовлетворенія практическимъ потребностямъ школы и учителя, пишущимъ эти строки составлена „Ариѳметика для начальныхъ школъ“. Спб., 1903 г. (ц. 15 коп.). Книжка эта давно распродана. Можетъ-быть, въ скоромъ времени удастся выпустить ее въ свѣтъ новымъ изданіемъ.

въ которомъ онъ принятъ, выходятъ изъ него безъ важнѣйшихъ навыковъ и знаній, а съ одними лишь обрывками ничѣмъ не связанныхъ другъ съ другомъ свѣдѣній по каждому предмету. Педагогическая же неудовлетворительность его обусловливается тѣмъ, что ученикъ, при слѣдованіи поступательному распорядку курса, не въ состояніи отличить существенное отъ второстепеннаго. Онъ не получаетъ должнаго понятія о данномъ учебномъ предметѣ, какъ о нѣкоторомъ неразрывномъ, стройномъ цѣломъ, проникнутомъ во всѣхъ своихъ частяхъ единой общей идеею. Пройденное въ теченіе перваго года въ одноклассной начальной школѣ съ трехгодичнымъ или четырехлѣтнимъ курсомъ непремѣнно должно быть центромъ, средоточіемъ всего курса,—средоточіемъ, вокругъ котораго должно быть расположено и къ которому, такъ сказать, должно тяготѣть остальное содержаніе даннаго предмета.

Распредѣленіе курса.

§ 2. Курсъ ариѳметики, который сводится къ изученію производства ариѳметическихъ дѣйствій, долженъ опираться на постепенное развитіе соотвѣтствующихъ ариѳметическихъ представленій, понятій и навыковъ. Поэтому въ первый годъ обученія, если это возможно, должны бы быть пройдены: нумерація и четыре ариѳметическихъ дѣйствія въ примѣненіи къ простѣйшимъ случаямъ, во второй—тѣ же дѣйствія во всѣхъ своихъ частностяхъ и въ примѣненіи къ случаямъ, менѣе очевидно требующимъ этихъ дѣйствій, наконецъ, въ третій и четвертый— болѣе или менѣе закругленный и систематизованный, урегулированный содержаніемъ учебника, курсъ ариѳметики. Таковымъ въ общихъ чертахъ долженъ былъ бы быть курсъ занимающаго насъ предмета, если бы мы могли стремиться къ тому, чтобы концентрація курса была точно и строго выполнена. Но, къ сожалѣнію, въ нашей, даже вполнѣ правильно устроенной, начальной школѣ съ трехгодичнымъ и даже съ четырехлѣтнимъ курсомъ, обученію посвящается не болѣе шести мѣсяцевъ въ теченіе всего учебнаго года. Поэтому въ ней вполнѣ точно держаться выше намѣченнаго плана почти невозможно безъ явнаго ущерба для дѣла. Такая концентрація была бы въ нѣкоторой степени возможна, если бы эта школа могла посвящать обученію, по крайней мѣрѣ, девять мѣсяцевъ или включить въ курсъ перваго года только самое необходимое. Важно принять къ свѣдѣнію, что въ первый годъ обученія

въ трехгодичной и четырехлѣтней одноклассной начальной школѣ, только при особо благопріятныхъ условіяхъ, учащимся возможно усвоить сколько-нибудь удовлетворительно четыре дѣйствія надъ числами первой сотни.

Курсъ 1 -го года.

§ 3. Какой же возможенъ выходъ изъ этого положенія? Вопросъ въ томъ, какіе ариѳметическіе навыки и познанія наиболѣе существенны какъ въ практическомъ и образовательномъ, такъ и въ воспитательномъ отношеніи. Безъ сомнѣнія, такими навыками и познаніями являются: а) четыре дѣйствія надъ числами первой сотни, б) нумерація и в) первыя два ариѳметическія дѣйствія надъ цѣлыми числами перваго класса. Эти знанія должны бы быть усвоены учащимися младшаго отдѣленія. Наконецъ, въ тотъ же курсъ перваго года должны бы войти также нѣкоторыя представленія объ обыкновенныхъ дробяхъ. Первая сотня во всякомъ случаѣ должна бы быть къ концу перваго года въ полномъ распоряженіи учащагося, притомъ не столько при письменномъ, сколько при изустномъ вычисленіи. Школа, не дающая этого въ теченіе перваго года, не можетъ считать достигнутые ею результаты удовлетворительными. Но практически это выполнимо только при двухъ условіяхъ: а) при отсутствіи въ курсѣ перваго года обученія задачъ не совершенно прозрачныхъ и б) при отсутствіи упражненій въ такъ назыв. «изученіи чиселъ», какъ извѣстно, сильно задерживающемъ успѣхи учащихся, достигшихъ восьмилѣтняго возраста1). У автора этой книги много основаній утверждать, что въ первый годъ обученія учащіеся русской начальной

1) Ф. Кэджори въ своей „Исторіи элементарной математики съ указаніями на методы преподаванія“ (русскій пер. И. Ю. Тимченко) увѣренъ въ томъ, что метода Грубе въ Германіи „скоро встрѣтила рѣшительное противодѣйствіе“. Можетъ-быть, это справедливо относительно методы Грубе въ чистомъ ея видѣ, но даже новѣйшая нѣмецкая методико ариѳметическая литература, а за ней переводная и подражательная русская, доказываютъ, что эта метода очень живуча. Вѣрно, однакоже, слѣдующее замѣчаніе Кэджори: „Опытъ какъ преподавателей, такъ и учащихся, приводитъ, повидимому, къ тому заключенію, что для достиженія удовлетворительныхъ результатовъ требуется необычайная затрата энергіи. Выражаясь языкомъ физики, можно сказать, что метода Грубе похожа на машину съ небольшимъ коэффиціентомъ полезнаго дѣйствія“ (стр. 227 русскаго перевода). Особенно это вѣрно у насъ, гдѣ учиться въ начальной школѣ начинаютъ дѣти, большею частью достигшіе восьмилѣтняго возраста, и гдѣ учебный годъ такъ непродолжителенъ.

школы въ состояніи усвоить весьма значительный ариѳметическій матеріалъ. Многіе друзья «методы цѣлесообразныхъ задачъ» изъ среды начальныхъ учителей и учительницъ неоднократно подтверждали этотъ взглядъ. Но въ ихъ школахъ, въ первый годъ обученія, задачи рѣшались только простыя.

Въ крайнемъ случаѣ учащіеся русской начальной школы должны къ концу перваго года овладѣть четырьмя дѣйствіями надъ числами первыхъ двухъ десятковъ, четырьмя дѣйствіями надъ круглыми десятками въ нѣкоторыхъ случаяхъ, простѣйшими дробями (половиной, четвертями) и нумераціей чиселъ первой сотни.

Разъ курсъ перваго года обученія въ общихъ чертахъ установленъ, то распредѣленіе курса остальныхъ годовъ является уже дѣломъ сравнительно нетруднымъ. Во второй и третій года курсъ ариѳметики долженъ быть законченъ, а въ четвертый— приведенъ въ порядокъ и дополненъ, притомъ, если это возможно, съ помощью указаній краткаго учебника.

Курсъ остальныхъ лѣтъ.

§ 4. Въ первое полугодіе второго года слѣдуетъ пройти часть нумераціи, сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе нѣкоторыхъ чиселъ первой сотни и примѣненіе этихъ дѣйствій къ случаямъ, опять-таки очевиднымъ. Во второе полугодіе того же года должно знакомить съ именованными числами и снабдить нѣкоторымъ навыкомъ въ рѣшеніи сложныхъ (но не замысловатыхъ) ариѳметическихъ задачъ. Наконецъ, въ теченіе третьяго и четвертаго годовъ обученія пройденное надо болѣе или менѣе систематизовать, внеся въ него ученіе о дробяхъ и примѣненія этого ученія къ рѣшенію задачъ на тройныя правила, на правило процентовъ, а также нѣкоторые элементы геометрическаго и элементарно-алгебраическаго содержанія, и т. п. Первые два года должны быть посвящены преимущественно изустной ариѳметикѣ чиселъ первой сотни, остальное время—ариѳметикѣ письменной.

Но само собою разумѣется, что курсъ, намѣченный выше для первыхъ двухъ лѣтъ обученія, можно осуществить при

благопріятныхъ условіяхъ, изъ которыхъ главнѣйшее состоитъ въ исключеніи изъ этого курса задачъ не только замысловатыхъ и алгебраическаго характера, но и задачъ прозрачныхъ, требующихъ болѣе трехъ или четырехъ дѣйствій. Въ противномъ случаѣ къ концу второго года трудно добраться даже до дѣйствій надъ числами четырехзначными.

Содержаніе курса каждаго года.

§ 5. Курсъ ариѳметики въ русской начальной школѣ не можетъ совпадать съ курсомъ ариѳметики, проходимымъ въ средней школѣ въ теченіе четырехъ и даже пяти лѣтъ (считая одинъ или два приготовительныхъ класса и три низшихъ класса средней школы). Помимо этого, у послѣдней въ теченіе учебнаго года больше времени для выполненія программы, такъ какъ продолжительность учебнаго года въ средней школѣ значительно превосходить продолжительность учебнаго года въ школѣ начальной. Но этого мало. Въ то время, какъ въ средней школѣ въ поименованныхъ низшихъ классахъ изъ области математики проходится только ариѳметика, въ школѣ начальной необходимо внести въ этотъ курсъ довольно много элементовъ геометрическаго содержанія. Считаясь съ фактическимъ положеніемъ дѣла обученія въ начальной школѣ, приходится признать, что въ первый годъ обученія можетъ быть усвоено учащимся незначительно больше, чѣмъ то, что можно охарактеризовать словами: «ариѳметика 4-хъ дѣйствій надъ числами первыхъ двухъ десятковъ»; во второй годъ то, что можно охарактеризовать, какъ ариѳметику чиселъ первой сотни. Въ третій годъ—ариѳметика чиселъ многозначныхъ, и, наконецъ, въ четвертый—все то, что можно охарактеризовать какъ дополненіе этого курса навыками въ области дробей обыкновенныхъ и десятичныхъ и въ области задачъ, извѣстныхъ подъ именемъ такъ называемыхъ «тройныхъ» правилъ. Во всѣ года обученія необходимо имѣть въ виду, что геометрическіе элементы и элементы ученія о простѣйшихъ дробяхъ не должны быть чужды не только третьему и четвертому годамъ обученія, но даже и курсу первыхъ лѣтъ. Разсчитывать на то, что 4-й годъ обученія можно посвятить значительному количеству дополнительнаго учебнаго математическаго матеріала, нѣтъ никакого основанія. То, что у насъ въ недавнее время, да и доселѣ, практикуется въ школахъ съ трехгодичнымъ курсомъ, не можетъ быть усвоено въ три зимы со значительными перерывами,

4-й годъ является не годомъ дополнительнымъ, и даже не вспомогательнымъ. Онъ прямо необходимъ для того, чтобы прежняя и нынѣ во всѣхъ нач. школахъ практикуемая программа могла быть учащимися болѣе или менѣе основательно усвоена. Изъ области алгебры въ курсъ начальной школы слѣдовало бы и можно, при желаніи, внести нѣкоторыя буквенныя обозначенія при рѣшеніи сложныхъ ариѳметическихъ задачъ и при рѣшеніи простѣйшихъ задачъ алгебраическаго характера: на такъ называемое «правило товарищества», на «сумму и разность» и нѣкоторыя другія. Метрическая система, во всемъ ея объемѣ, конечно, не только для начальной, но даже и для русской средней школы, не можетъ считаться обязательной. Но полное знакомство съ такими мѣрами, какъ метръ, километръ, центиметръ и миллиметръ, какъ граммъ и килограммъ, въ начальной школѣ необходимо. Ознакомленія съ ними тоже не надо откладывать въ дальній ящикъ, а ввести постепенно даже во 2-й и въ 3-й годы обученія, пользуясь таблицами мѣръ и дѣлая соотвѣтствующія и цѣлесообразныя, на дальнѣйшихъ ступеняхъ, дополненія. Декаметры, гектометры, декаграммы, гектограммы и т. п. въ начальной школѣ не нужны, потому что безполезны. Что касается черченія плановъ и начатковъ землемѣрія, то и съ этими интересами надо дѣтей ознакомить, притомъ не непремѣнно въ 4-й годъ обученія, когда дѣло губитъ спѣшка по подготовкѣ къ экзаменамъ, а постепенно вводя вопросы землемѣрія съ помощью шнура, землемѣрной цѣпи, эккера. Изображеніе плана классной комнаты и даже всего школьнаго зданія могутъ внести въ занятія учащихся много жизненнаго, поучительнаго и крайне для дѣтей интереснаго учебнаго матеріала разнаго рода. Вычисленіе площадей прямолинейныхъ фигуръ и необходимыя для нихъ измѣренія, а также вычисленія объемовъ нѣкоторыхъ многогранниковъ и связанныя съ ними измѣренія, равнымъ образомъ не должно относить непремѣнно къ четвертому году обученія, а можно постепенно вкрапливать въ курсъ предшествующихъ годовъ ученія. Знакомства съ часовымъ циферблатомъ, съ измѣреніемъ времени не должно отлагать до того момента, когда ученики приступаютъ къ рѣшенію, чаще всего крайне безполезныхъ, задачъ «на время». Многія задачи этого послѣдняго рода должны быть помѣщены въ курсъ только развѣ ради экзаменаціонныхъ требованій, ежели на экзаменахъ

экзаминаторы предлагаютъ задачи этого рода. Важнѣе полное разумѣніе календаря и вычисленія приблизительнаго количества лѣтъ, отдѣляющаго одинъ годъ отъ другого.

Курсъ однокл., двукл. и многоклассныхъ училищъ.

§ 6. Курсъ, такъ наз., училищъ (одноклассныхъ, двуклассныхъ, трехклассныхъ и высшихъ начальныхъ) гораздо выше трехгодичнаго и четырехгодичнаго курсовъ тѣхъ начальныхъ школъ, къ типу которыхъ принадлежитъ большинство народныхъ школъ, сельскихъ и городскихъ. По положенію о городскихъ училищахъ, Высочайше утвержденному 31 мая 1872 г., всѣ училища (одноклассныя, двуклассныя и проч.) въ томъ сходны между собою, что курсъ ученія въ нихъ шестилѣтній, а разнятся они другъ отъ друга количествомъ лѣтъ ученія въ классахъ. Въ такъ наз. одноклассныхъ училищахъ, конечно, одинъ классъ съ тремя послѣдовательными отдѣленіями, но въ каждомъ дѣти учатся по два года. Въ двуклассныхъ — два класса, изъ которыхъ въ первомъ ученіе продолжается четыре года сподрядъ, а во второмъ—два года. Въ училищахъ трехклассныхъ—три класса, курсъ каждаго изъ которыхъ продолжается два года. Наконецъ, въ четырехклассныхъ училищахъ курсъ первыхъ двухъ классовъ продолжается по два, а курсъ остальныхъ двухъ лѣтъ—по одному году. Само собою разумѣется, что не только многоклассное, но даже одноклассное училище имѣетъ въ своемъ распоряженіи гораздо (вдвое) больше времени, и вслѣдствіе этого, гораздо лучше можетъ исполнить свои задачи, чѣмъ обыкновенная начальная (сельская и даже городская) одноклассная школа съ трехгодичнымъ и четырехгодичнымъ курсомъ. Понятно также, что въ курсѣ начальной ариѳметики однокласснаго училища концентрація курса можетъ быть лучше выдержана, чѣмъ въ начальной школѣ.—По Высочайше утвержденному 12 іюня 1912 года закону о высшихъ начальныхъ училищахъ (п. 10 главы II), объемъ преподаванія, таблица числа недѣльныхъ уроковъ и правила пріемныхъ испытаній въ этихъ школахъ устанавливаются Министромъ Народнаго Просвѣщенія. Продолжительность курса — четыре года съ годичнымъ курсомъ въ каждомъ. Въ первый классъ принимаются дѣти въ возрастѣ отъ 10-ти до 13-ти лѣтъ отроду, прошедшія курсъ не ниже однокласснаго начальнаго училища М. Н. Пр. или соотвѣтствующихъ по своимъ программамъ сему курсу школъ другихъ вѣдомствъ или выдержавшія соотвѣтствующія этому курсу вступительныя испытанія. Изъ области математики въ курсъ высшихъ начальныхъ училищъ входятъ: а) ариѳметика б) начала алгебры и в) геометрія. Объемъ курса ариѳметики, вѣроятно, приближается къ курсу, практикуемому въ среднихъ уч. заведеніяхъ. Въ этой книгѣ лишь отчасти затронуты элементы курса начальной математики, аналогичнаго курсу того же предмета въ высшей начальной школѣ, охарактеризованному выше, согласно п. 8 гл. 11 упомянутаго закона о высшихъ начальныхъ училищахъ. Вопросамъ же полнаго курса ариѳметики посвящены составленные авторомъ на-

стоящаго руководства «Задачникъ для учителей», «Задачникъ для учениковъ среднихъ учебныхъ заведеній» и «Методика ариѳметики для учителей среднихъ учебныхъ заведеній» (Спб., 1914).

Курсъ перваго года.

§ 7. Въ § 3 этой же главы къ курсу перваго года обученія въ начальной трехгодичной и четырехгодичной школѣ отнесенъ слѣдующій минимумъ: 1) Нумерація и дѣйствія сложенія и вычитанія въ предѣлахъ чиселъ первыхъ двухъ десятковъ, 2) дѣйствія умноженія и дѣленія въ тѣхъ же предѣлахъ, 3) первоначальныя представленія о дробяхъ, и 4) полная власть надъ нумераціей чиселъ первой сотни.

Дѣйствія сложенія и вычитанія въ примѣненіи къ простѣйшимъ случаямъ этихъ дѣйствій, а равно нумерація представляютъ собою легчайшую часть курса перваго года. Дѣйствія же умноженія и дѣленія въ предѣлѣ первыхъ двухъ десятковъ отнесены въ этотъ курсъ и потому, что упражненія въ этихъ дѣйствіяхъ вносятъ въ курсъ необходимое, съ методической и педагогической точки зрѣнія, разнообразіе. Кромѣ того, дѣтьми, благодаря этимъ упражненіямъ, будетъ усвоена часть таблицы умноженія. Знаніе это важно, съ практической точки зрѣнія, во-первыхъ, какъ знаніе, которое необходимо для дальнѣйшихъ ступеней курса, и во-вторыхъ, какъ такое знаніе, безъ котораго крайне трудно обойтись въ практической жизни. Что же касается начальныхъ представленій о дробяхъ, то выработка ихъ въ теченіе перваго года обученія полезна, главнымъ образомъ, въ образовательномъ смыслѣ. Для дальнѣйшаго курса выработка надлежащихъ представленій о дробяхъ такъ же важна, какъ нумерація для ученія о производствѣ дѣйствій надъ цѣлыми числами. Власть надъ числами первыхъ двухъ десятковъ— конечная цѣль курса перваго года обученія. Власть надъ дѣйствіями съ числами первой сотни — конечная цѣль курса второго года. Власть же надъ ученіями ариѳметики цѣлыхъ чиселъ и надъ простѣйшими примѣненіями дробей— цѣль курса третьяго и четвертаго годовъ обученія.

Мѣсто ученій объ именов. числахъ и о тройныхъ правилахъ.

§ 8. Для достиженія выше намѣченныхъ цѣлей весьма важно уяснить себѣ мѣсто именованныхъ чиселъ въ курсѣ начальной ариѳметики. Вслѣдствіе кратковременности курса начальной школы и по причинѣ оставленія школы большин-

ствомъ учащихся до окончанія полнаго въ ней курса, необходимо размѣстить ученіе о такъ наз. именованныхъ числахъ такъ, чтобы въ курсъ каждаго года входили всѣ доступныя, на данной ступени, части его. Къ тому же подобное размѣщеніе согласно и съ логическими основаніями ученія объ именованныхъ числахъ. Дѣло въ томъ, что ничего новаго по существу ученіе объ именованныхъ числахъ не содержитъ. Преобразованія именованныхъ чиселъ (простыхъ и даже составныхъ) и дѣйствія надъ ними представляютъ собою только приложеніе познаній и навыковъ, пріобрѣтенныхъ ранѣе при усвоеніи всего того, что относится до чиселъ отвлеченныхъ.

Единицы мѣры.

§ 9. Въ первый годъ обученія поэтому необходимо своевременное и попутное ознакомленіе дѣтей съ нѣкоторыми мѣрами: денегъ, длины и вѣса, конечно, не во всемъ ихъ объемѣ, и (въ предѣлахъ возможнаго) съ пріемами раздробленія нѣкоторыхъ именованныхъ чиселъ. Эти знанія дѣтямъ необходимо пріобрѣсти преимущественно съ образовательной точки зрѣнія, такъ какъ жизнь и сама не преминетъ въ свое время сообщить эти знанія бывшему ученику начальной школы. Кромѣ своего образовательнаго значенія, указанныя знанія въ курсѣ перваго года даютъ возможность полезнымъ образомъ расширить матеріалъ задачъ и упражненій какъ надъ цѣлыми, такъ и надъ дробными числами. Въ курсъ второго года должно войти ознакомленіе съ остальными мѣрами, можетъ-быть, за исключеніемъ мѣръ поверхности и объемовъ, но съ болѣе усиленной практикою надъ именованными числами. Наконецъ, въ слѣдующіе годы изъ этого ученія должно усвоить неусвоенныя мѣры и задачи на вычисленіе времени, поверхностей и объемовъ (послѣднее въ связи съ нѣкоторыми первоначальными ученіями геометріи), а также систематически проработано кое-что, относящееся до отвлеченныхъ и именованныхъ чиселъ, по учебнику.

Геометрическій матеріалъ въ курсѣ первыхъ лѣтъ обученія.

§ 10. Элементы геометрическаго содержанія можно внести въ курсъ ариѳметики, начиная съ перваго года обученія. Употребленіе линейки (хотя бы и самодѣльной, изъ куска бумаги) и вычерчиваніе квадратовъ съ помощью модели прямого угла (то же сдѣланной изъ бумаги), рисованіе пря-

мыхъ, квадратовъ, прямоугольниковъ въ разные моменты обученія ариѳметикѣ можетъ сослужить громадную службу этому обученію и внесенію въ курсъ интереса и производительнаго труда. Такихъ моментовъ въ обученіи ариѳметикѣ множество. Счетъ, числовыя фигуры, умноженіе, дѣленіе на части, мелкія единицы мѣры длины даютъ множество поводовъ для черченія и рисованія нѣкоторыхъ геометрическихъ фигуръ. Опытъ такого внесенія геометрическихъ элементовъ сдѣланъ въ «Новомъ ариѳметическомъ задачникѣ Шохоръ-Троцкаго для учителей начальныхъ школъ» (М. 1914) и въ «Новомъ ариѳметическомъ задачникѣ Шохоръ-Троцкаго для учениковъ начальныхъ школъ, въ четырехъ частяхъ» (М. 1914). Но эти упражненія, конечно, не обязательно проработать непремѣнно въ первый же годъ обученія, хотя это въ высшей степени желательно.

Тройныя и другія правила.

§ 11. Что касается такъ наз. тройныхъ правилъ, то задачи этого рода можно размѣстить слѣдующимъ образомъ: въ первый годъ дѣти должны освоиться съ простымъ тройнымъ правиломъ, когда отъ раздѣленія не получается дробнаго числа (эта часть курса послужитъ также къ лучшему усвоенію части таблицы умноженія), во второй—съ тѣмъ же правиломъ для случая, когда въ результатѣ дѣленія получаются числа первой сотни и съ такъ наз. правиломъ смѣшенія (перваго рода), въ третій — съ вычисленіемъ процентныхъ денегъ, и, если позволитъ время, то съ простымъ тройнымъ, требующимъ познаній относительно дробей, съ пропорціональнымъ дѣленіемъ.

Распредѣленіе курса дробей.

§ 12. Нѣкоторыя затрудненія представляютъ также опредѣленіе границъ и распредѣленіе по годамъ курса дробей, умѣстнаго въ курсѣ начальной трехгодичной или четырехгодичной школы. Не подлежитъ никакому сомнѣнію, что болѣе или менѣе полная теорія дѣлителей въ начальной школѣ неумѣстна какъ по причинѣ большихъ трудностей этой статьи, такъ и по причинѣ недостатка времени, имѣющагося въ распоряженіи этой школы, и по причинѣ малаго практическаго значенія этой теоріи. Отсюда вытекаетъ, что полное ученіе о дробяхъ тоже неумѣстно въ курсѣ начальной школы. Эта невозможность введенія теоріи дѣлителей въ курсъ приводитъ къ тому,

что въ немъ неумѣстны и полныя ученія о сокращеніи и о приведеніи дробей къ общему наименьшему знаменателю, а вмѣстѣ съ тѣмъ—также о сложеніи и вычитаніи всякихъ дробей. Практическаго значенія упомянутыя преобразованія дробей и дѣйствія надъ нимъ тоже не имѣютъ. Дроби съ знаменателями, равными 91, 84, 267 и т. п., ни въ жизни, ни въ наукѣ, ни въ техникѣ не встрѣчаются. Гораздо важнѣе четыре дѣйствія надъ десятичными дробями съ двумя или тремя десятичными знаками послѣ занятой. Въ начальной школѣ можно и полезно ознакомить дѣтей съ признаками дѣлимости чиселъ на 2, 5 и на 10. Въ предѣлахъ этого знанія дѣтей можно ознакомить и съ сокращеніемъ дробей. Далѣе дѣтей можно научить приведенію дробей къ общему знаменателю, равному (въ случаѣ крайности) хотя бы даже произведенію знаменателей данныхъ дробей, и въ предѣлахъ этого знанія они могутъ научиться производству сложенія и вычитанія дробей. Но еще лучше ограничиться вычисленіями надъ половинами, четвертями, восьмыми, шестнадцатыми, третями, шестыми, двѣнадцатыми, десятыми и сотыми, не останавливаясь надъ неупотребительными въ жизни и наукѣ дробями: седьмыми, девятыми, семнадцатыми, двадцать первыми и т. п.

Зато, благодаря такой постановкѣ дѣла, дѣтей можно научить умноженію и дѣленію дроби на цѣлое число, а равно и отысканію частей цѣлаго и отысканію цѣлаго по части его (другими словами, неосознаннымъ дѣйствіямъ умноженія и дѣленія на дробь). Но это можно провести только въ послѣдніе годы обученія—не ранѣе; при чемъ постановка вопросовъ должна отличаться наибольшею простотой и конкретностью. Дѣти должны умѣть находить часть цѣлаго и цѣлое по части его, не изучая умноженія и дѣленія на дробь и даже не зная, что нахожденіе части цѣлаго называется иногда умноженіемъ на дробь, нахожденіе цѣлаго по части его можно считать дѣленіемъ на нѣкоторую дробь. Важны также первыя два дѣйствія надъ десятичными дробями.

Десятичныя дроби.

§ 13. Что касается дробей десятичныхъ, то о нихъ уже въ третій годъ обученія слѣдуетъ дать совершенно ясное представленіе, при чемъ можно стремиться лишь къ тому, чтобы ученики вынесли умѣніе прочесть десятичную дробь и понимали составъ десятичной дроби изъ десятичныхъ долей единицы, а также умѣли

бы складывать и вычитать десятичныя дроби. Только въ школахъ, особенно благоустроенныхъ или съ высшимъ курсомъ, учитель можетъ достигнуть большаго количества знаній изъ этой, хотя и не особенно трудной, но все-таки довольно обширной и, къ сожалѣнію, не имѣющей у насъ должнаго практическаго значенія статьи. Причина, по которой у насъ десятичныя дроби въ жизни не играютъ подобающей имъ роли, заключается преимущественно въ нашей системѣ мѣръ и вѣсовъ.

Тяготѣніе нѣк. ученій къ общему центру.

§ 14. По чисто-историческимъ причинамъ, давно уже утратившимъ свою силу и не имѣющимъ нынѣ ни математическаго, ни педагогическаго значенія, многія задачи, по существу и даже во всемъ составѣ своемъ однородныя, принято относить къ различнымъ частямъ курса. Не только въ курсѣ начальной школы, но и въ курсѣ болѣе полномъ, учитель долженъ помнить, если можно такъ выразиться, о тяготѣніи задачъ и вопросовъ одного рода къ общему центру, какъ бы далеко они другъ отъ друга ни отстояли въ задачникахъ и курсахъ. Такъ, напр.: а) вопросъ о томъ, сколько всѣхъ единицъ перваго разряда въ данномъ многозначномъ числѣ десятковъ, сотенъ или единицъ другихъ высшихъ разрядовъ, относится не столько къ нумераціи, сколько къ умноженію; вопросъ же о томъ, сколько всѣхъ единицъ того или другого высшаго разряда въ данномъ числѣ единицъ низшаго разряда, относится не столько къ нумераціи, сколько къ дѣленію; б) вопросы такъ назыв. раздробленія простыхъ именованныхъ чиселъ въ полномъ объемѣ своемъ принадлежатъ къ числу задачъ на умноженіе, вопросы же о раздробленіи составныхъ именованныхъ чиселъ принадлежатъ къ числу задачъ на умноженіе и сложеніе чиселъ; в) равнымъ образомъ вычитаніе составныхъ именованныхъ чиселъ и вычитаніе простого именованнаго числа низшаго наименованія изъ числа наименованія высшаго не представляютъ вопросовъ сколько-нибудь самостоятельныхъ, а являются либо вопросами только вычитанія, либо же вопросами сложенія (чаще всего изустнаго) и слѣдующаго за нимъ простого вычитанія; г) по подобной же причинѣ въ качествѣ задачъ на дѣленіе можно предлагать многія задачи на такъ наз. превращеніе именованныхъ чиселъ; д) къ вопросамъ объ измѣненіи результата дѣйствія въ зависимости отъ данныхъ чиселъ, являющимся во всѣхъ задачникахъ статьею, не имѣю-

щею почти никакихъ практическихъ примѣненій, а потому усваиваемою учащимися безъ должнаго интереса, прямо необходимо пріурочить многочисленныя упражненія, допускающія множество упрощеній въ письменномъ производствѣ первыхъ трехъ дѣйствій, напр., прибавленіе и вычитаніе такихъ чиселъ, какъ 98, 99, 999 и т. п., умноженіе на подобныя числа, на 15, на 25, на 5, на 75 и т. д.; е) въ отдѣлѣ на нахожденіе опредѣленной части даннаго числа и на нахожденіе цѣлаго, по извѣстной опредѣленной части его, можетъ быть отведено мѣсто вопросамъ о нахожденіи нѣкотораго числа процентовъ даннаго числа и процентнаго отношенія одного числа къ другому; ж) нѣкоторое мѣсто въ томъ же отдѣлѣ можно отвести вопросамъ такъ наз. простого тройного правила, столь же сильно тяготѣющимъ и столь же тѣсно примыкающимъ, съ логической и математической точекъ зрѣнія, къ этому отдѣлу, на сколько простѣйшія задачи на простое тройное правило, не требующія сокращенія дробей («3 аршина ситца стоятъ 21 коп., что стоятъ 5 аршинъ?» «5 аршинъ сукна стоятъ 35 р., сколько сукна можно купить на 49 руб.»), примыкаютъ къ числу простѣйшихъ задачъ на послѣдовательное отысканіе частнаго и произведенія или задачъ на послѣдовательное отысканіе частнаго и отношенія. Да и самый способъ такъ называемаго приведенія къ единицѣ представляетъ собою, конечно, не иное что, какъ именно послѣдовательное отысканіе частнаго и произведенія или, иначе говоря, части цѣлаго и цѣлаго по части его; з) немало задачъ того же рода можно отнести къ отдѣламъ задачъ на умноженіе и дѣленіе обыкновенныхъ дробей. И т. п.

Для наилучшаго распредѣленія подлежащаго проработкѣ ариѳметическаго матеріала, такимъ образомъ, должно обращать побольше вниманія на то, какія ученія одно съ другимъ логически связаны или соприкасаются. На основаніи этого можно слѣдовать, въ этомъ распредѣленіи, требованіямъ тяготѣнія ученій однородныхъ къ одному и тому же общему началу, къ общему центру. Это справедливо и по отношенію къ геометрическому матеріалу, входящему въ составъ начальнаго курса ариѳметики. Дѣленіе прямой линіи на равныя части примыкаетъ къ дѣленію чиселъ на извѣстное число одинаковыхъ частей, площади прямоугольниковъ — къ умноженію, и т. п. Этотъ взглядъ нашелъ себѣ примѣненіе ниже и въ «Новыхъ ариѳметическихъ задачникахъ» автора этой книги.

Задачники.

§ 15. Сообразно съ вышеизложенными требованіями распредѣленія курса, составлены первыя изданія «Задачника для учителей» и «Задачника для учениковъ», въ которыхъ курсъ раздѣленъ на ступени. («Новые задачники Шохоръ-Троцкаго» для учителей и для учениковъ начальныхъ школъ еще въ болѣе значительной степени руководятся указанной точкой зрѣнія). Ни ученики, ни даже учитель не должны помнить, что на какой ступени проходится. Изъ этихъ книгъ задачники для учениковъ составляютъ отдѣльное пособіе, выдаваемое на руки ученикамъ. Задачи и упражненія расположены методически, т.-е. сообразно постепенному ходу занятій и требованіямъ методики занимающаго насъ предмета.

Подготовка учителя къ урокамъ.

§ 16. Учащій предъ каждымъ урокомъ долженъ (въ началѣ пользованія какими бы то ни было книгами) хотя бы только пробѣжать нужныя ему для этого урока задачи и упражненія, замѣчанія, которыя относятся до этого урока въ какомъ-либо руководствѣ по методикѣ. Если онъ это сдѣлаетъ, то дѣло можетъ пойти какъ слѣдуетъ, и онъ не будетъ имѣть основаній для жалобъ на малоуспѣшность своихъ занятій съ учениками. Въ противномъ случаѣ, т. е. если учитель готовиться къ своимъ урокамъ почему-либо совсѣмъ не станетъ, ему будетъ неизвѣстна цѣль работы и упражненій. Тогда легко можетъ оказаться, что и онъ и учащіеся не только очень устанутъ отъ этой непланомѣрной работы, но даже прямо не достигнутъ должныхъ результатовъ.—На задачи и упражненія каждой ступени обученія, предлагаемыя въ «Нов. задачникѣ Шохоръ-Троцкаго для учителей», должно смотрѣть какъ на примѣрныя задачи и упражненія, съ содержаніемъ которыхъ учащій долженъ вполнѣ ознакомиться (въ особенности для первыхъ ступеней), дабы изустныя упражненія предлагать учащимся наизусть, безъ помощи книги, — отъ чего выигрываетъ и живость урока, и непосредственное вліяніе учащаго на воображеніе и мышленіе учащихся. Выполненіе же учащимися упражненій изъ «Нов. задачника Шохоръ-Троцкаго для учениковъ» предполагаетъ только два условія: 1) учащіеся должны знать, какъ имъ выполнять работы, и 2) они должны быть пріучаемы къ возможно изящному и согласному съ указаніями учителя выполненію этихъ работъ. При этомъ само собою разумѣется, что многія работы надо выполнить по нѣсколько разъ и что слишкомъ трудныя задачи (а иногда и вычисленія) должно предлагать, особенно въ качествѣ самостоятельныхъ упражненій, только вполнѣ успѣвающимъ и сильнымъ ученикамъ.

Опусканіе нѣкоторыхъ упражненій.

§ 17. Употребляя «Нов. задачники», надо помнить, что пропускать нѣкоторыя упражненія на какой-либо ступени онъ въ правѣ только въ томъ случаѣ, если убѣдится, что ученики совершенно владѣютъ представленіями и познаніями, составляющими содержаніе ступени. Чаще ему придется, особенно при самостоятельныхъ упражненіяхъ учениковъ, возвращаться къ упражненіямъ какой-либо

изъ предыдущихъ ступеней. Но пропускать всѣ упражненія какой-нибудь промежуточной ступени учителю почти навѣрное не придется. Если же онъ себѣ что-либо подобное позволитъ, то это можетъ привести къ пониженію успѣховъ учениковъ въ ариѳметикѣ.

Списокъ отвѣтовъ.

Приложенный къ «Новому задачнику для учителей» списокъ отвѣтовъ на многія упражненія, предложенныя въ «Новомъ задачникѣ для учениковъ», долженъ служить для провѣрки полученныхъ дѣтьми результатовъ. Практикъ-учитель должнымъ образомъ оцѣнитъ пользу подобнаго списка отвѣтовъ. Отвѣты же на упражненія и задачи «Новаго задачника для учителей» нельзя считать необходимыми, такъ какъ учащіеся прорабатываютъ эти упражненія подъ непосредственнымъ воздѣйствіемъ и руководствомъ учащаго.

Раздѣленіе курса на ступени.

§ 18. Раздѣленіе курса ариѳметики, подлежащаго усвоенію начальной одноклассной школы съ трехгодичнымъ или четырехгодичнымъ курсомъ, на ступени преслѣдуетъ цѣли методическія и проистекаетъ изъ соображеній логическихъ, психологическихъ и методическихъ. Каждое изъ ученій этого курса, не исключая умѣніе считать, предполагаетъ, что нѣкоторыя представленія уже существуютъ, что нѣкоторыя понятія уже образованы въ умѣ учениковъ, что нѣкоторые навыки, умѣнія или познанія уже усвоены учениками. Весь вопросъ въ томъ, чтобы эти представленія и понятія были выработаны, а навыки, умѣнія и познанія своевременно проработаны и усвоены. Возьмемъ примѣръ. Пусть требуется дѣтей научить сложенію двухъ однозначныхъ чиселъ, напр., 8-ми и 5-ти, дающему въ суммѣ болѣе десяти. Очевидно, что для уразумѣнія этого сложенія ученикамъ необходимы: а) умѣніе изъ 8-ми и 2-хъ составлять десятокъ, б) умѣніе вычитать однозначное число изъ однозначнаго (2-хъ изъ 5-ти) и в) умѣніе прибавлять однозначное число (3) къ десятку. Поэтому сложеніе однозначныхъ чиселъ, дающее въ суммѣ болѣе десяти, отнесено къ 8-й ступени, въ то время какъ на 7-й ученики научаются сложенію десятка съ однозначнымъ числомъ, на 6-й—вычитанію однозначнаго числа изъ однозначнаго, а на 5-й—составленію десятка.

Метода изученія чиселъ.

§ 19. Въ настоящее время составители большинства новыхъ задачниковъ (переводныхъ и болѣе или менѣе подражательныхъ), появившихся у насъ за послѣднія нѣсколько лѣтъ, обратились къ методамъ, весьма близкимъ къ извѣстной «методѣ изученія чиселъ», родоначальникомъ которой былъ въ концѣ первой по-

ловины XIX вѣка А. В. Грубе. Того обстоятельства, что нѣмецкіе и американскіе задачники даются въ руки дѣтямъ, едва достигшимъ шестилѣтняго возраста, нѣкоторые изъ составителей русскихъ учебныхъ пособій не принимаютъ во вниманіе. Для русской начальной школы, въ которую поступаютъ большею частью дѣти, уже достигшія 8-милѣтняго возраста, метода изученія чиселъ является очень малопримѣнимой. (Ср. также подстрочное примѣчаніе на стр. 94). Среди русскихъ противниковъ методы изученія чиселъ особенно слѣдуетъ отмѣтить покойныхъ П. С. Гурьева, Л. Н. Толстого и А. И. Гольденберга.

«Что такое метода Грубе?—спрашиваетъ Книллингъ.—Какую пользу она принесла? Въ положительномъ смыслѣ никакой, а въ отрицательномъ она была полезна только тѣмъ, что довела песталоцціевскій принципъ наглядности до крайностей, вслѣдствіе чего яснѣе проявилась его нецѣлесообразность въ дѣлѣ обученія ариѳметикѣ. Я вовсе не намѣренъ отрицать въ этой методѣ какую бы то ни было цѣнность. Я даже признаю, что она была необходимою стадіей развитія обученія ариѳметикѣ, и что если намъ удастся дойти до болѣе правильныхъ взглядовъ и болѣе практичныхъ принциповъ, то мы обязаны этимъ частью методѣ Грубе. Ибо заблужденіе должно пройти пѣлый рядъ фазисовъ, прежде чѣмъ оно будетъ признано таковымъ. Поэтому, кто выводитъ изъ даннаго невѣрнаго принципа его крайнія послѣдствія, тотъ невольно споспѣшествуетъ раскрытію истины. Онъ такимъ образомъ открываетъ намъ глаза; онъ, самъ того не желая, раскрываетъ скрытые недостатки и одностороннія ошибки мнимой истины, которой онъ служитъ; онъ своимъ примѣромъ свидѣтельствуетъ, къ чему она въ состояніи привести, какія нелѣпости (Ungereimtheiten) и безобразія (Ungeheuerlichkeiten) кроются въ ея основаніи, и такимъ образомъ облегчаетъ намъ возможность узрѣть заблужденіе и отыскать все то, что дѣйствительно истинно, разумно, практично. Не что иное, какъ именно чудачество, странность (die Wunderlichkeit, die Bizarrerie) всесторонняго изученія чиселъ, продолжаетъ Книллингъ, было побужденіемъ къ предлежащимъ методико-ариѳметическимъ изслѣдованіямъ моимъ. Моя книга не была бы написана, если бы ей не предшествовало «Руководство» Грубе. Оригинальный образъ мыслей этого глубокомысленнаго автора меня несравненно болѣе принуждалъ къ этимъ изслѣдованіямъ, чѣмъ менѣе ошибочныя (благодаря только нѣкоторой счастливой непослѣдовательности), но зато и болѣе практичныя сочиненія Дистервега, Гейзера, Генчеля и др.» (стр. 146 и 147).

Изъ русскихъ составителей курсовъ методики ариѳметики и пособій по ариѳметикѣ, методѣ изученія чиселъ отдали, въ свое время, дань подражанія Паульсонъ, Воленсъ, Евтушевскій и мн. др. Методы этой отчасти держатся и нѣк. современные иностранные педагоги: Штёклинъ, Лай и др. и. русскіе ихъ подражатели.

Метода изученія чиселъ съ трехъ точекъ зрѣнія.

§ 20. На „изученіе чиселъ“ можно смотрѣть съ трехъ точекъ зрѣнія: 1) либо какъ на цѣль курса ариѳметики, 2) либо какъ на средство сдѣлать содержаніе ариѳметики доступнымъ малолѣтнему, 3) либо какъ на побочное, но, тѣмъ не менѣе, нужное для умственнаго развитія упражненіе.

1) Первая точка зрѣнія неосновательна, ибо содержаніе ариѳметики составляютъ только четыре дѣйствія надъ числами и ихъ примѣненіе. Ариѳметика безъ дѣйствій, — безъ дѣйствій, какъ таковыхъ,—такъ же невозможна, какъ химія безъ явленій химическаго взаимодѣйствія тѣлъ другъ на друга, какъ механика безъ явленій движенія, какъ грамматика безъ изученія формъ языка и ихъ измѣненій, какъ исторія безъ послѣдовательнаго изложенія историческихъ событій, какъ наука о жизни (біологія), основанная только на изученіи труповъ. Ариѳметику, какъ искусство вычисленія, поэтому занимаютъ способы производства дѣйствій. Число въ ариѳметикѣ есть только объектъ, надъ которымъ совершается дѣйствіе, а потому ею изучается и должно изучаться не самое число (это—дѣло такъ наз. теоріи чиселъ), а только дѣйствіе надъ числомъ и способъ его производства. Всѣ свойства чиселъ въ томъ смыслѣ, какъ они понимаются ариѳметикой, постигаются только при помощи дѣйствій надъ ними. Цѣлью обученія ариѳметикѣ можетъ быть, такимъ образомъ, только усвоеніе учащимися ариѳметическихъ дѣйствій, если на время отвлечься отъ воспитательной цѣли, преслѣдуемой всякимъ учебнымъ предметомъ общеобразовательной школы. Если бы изученіе чиселъ даже и не было безполезно, если бы оно приносило пользу хотя бы въ одномъ какомъ-либо отношеніи, то и тогда нельзя было бы считать его цѣлью обученія ариѳметикѣ, которая при этомъ изученіи была бы въ сторонѣ. Принимать изученіе чиселъ за цѣль обученія ариѳметикѣ въ этомъ случаѣ было бы такъ же странно, какъ странно было бы принимать изученіе различныхъ типографскихъ шрифтовъ и ихъ особенностей за цѣль обученія грамотѣ. Но считать изученіе чиселъ цѣлью обученія ариѳметикѣ невозможно еще и потому, что самое-то изученіе, безъ всякаго отношенія къ учебному и воспитательному значенію ариѳметики, можетъ быть иногда цѣлесообразно, а именно въ случаѣ, если оно слѣдуетъ за усвоеніемъ дѣйствій, и совершенно нецѣлесообразно—въ томъ случаѣ, если оно предшествуетъ дѣйствіямъ. Ибо въ первомъ случаѣ оно можетъ служить случаемъ для примѣненія дѣйствій, а во второмъ оно нецѣлесообразно по своей необоснованности (такъ какъ оно не можетъ быть, какъ слѣдуетъ, т.-е. сознательно проработано безъ помощи дѣйствій надъ числами и яснаго пониманія дѣйствій).

2) Не можетъ ли, въ такомъ случаѣ, изученіе чиселъ разсматриваться лишь какъ средство при обученіи ариѳметикѣ, лишь какъ вспомогательный пріемъ, который можно и должно оставить къ тому времени, когда его услуги болѣе уже не нужны? Какъ средство, изученіе чиселъ можетъ быть, въ свою очередь, разсматри-

ваемо съ трехъ точекъ зрѣнія: а) или съ точки зрѣнія чисто-психологической, б) или съ точки зрѣнія обще-педагогической, или же, наконецъ, в) съ точки зрѣнія спеціально-ариѳметической.

а) Съ чисто-психологической точки зрѣнія необходимость и пользу изученія множества чиселъ доказываютъ всѣ грубеисты, а пользу изученія нѣкоторыхъ чиселъ (напр., перваго или первыхъ двухъ десятковъ) признаютъ тѣ, кто имѣетъ въ виду маленькихъ дѣтей, не старше пяти или шестилѣтняго возраста. Лай при этомъ опирается на опыты, которые онъ произвелъ надъ такими дѣтьми, п которые доказываютъ, что дѣти, не умѣющія считать, знаютъ и узнаютъ число кружковъ въ Лайевскихъ числовыхъ фигурахъ даже тогда, когда число кружковъ равно 12-ти. Но это отнюдь не доказываетъ необходимости изученія чиселъ дѣтьми, достигшими восьмилѣтняго возраста, уже умѣющими считать. Къ несчастію, та психологія, на которую нѣкоторые при этомъ ссылаются, на каждомъ шагу противорѣчитъ основамъ дѣйствительно-научной психологіи. Паульсонъ, напр., вмѣстѣ съ цитируемымъ имъ Грубе, настаиваютъ на томъ, «чтобы каждое число первыхъ двухъ разрядовъ, со всѣми свойствами и отношеніями своими, ясно представлялось воображенію ученика» («Ар. по Грубе», стр. 9), забывая при этомъ, что такое требованіе рѣшительно неисполнимо. Они думаютъ, что учащемуся доступнѣе число «со всѣми свойствами и отношеніями своими», чѣмъ дѣйствіе надъ нимъ, въ то время какъ на самомъ дѣлѣ именно всѣ свойства чиселъ и недоступны нашему воображенію, тогда какъ дѣйствія надъ ними—вполнѣ доступны. Они видятъ во всестороннемъ разсмотрѣніи числа средство къ уясненію представленія объ этомъ числѣ, въ то время какъ ясность представленія въ этомъ случаѣ, напротивъ, становится призрачною. Дѣйствительно: когда представленіе о любомъ числѣ (напр., о 17) яснѣе: тогда ли, когда мы его разсматриваемъ съ точки зрѣнія нумераціи, т.-е. разсматриваемъ его такъ, какъ его разсматривать надлежитъ, или же тогда, когда мы его разсматриваемъ такимъ образомъ:

не имѣя еще точнаго понятія о логическомъ смыслѣ сложенія и умноженія? Очевидно, что ясность-то представленія о числѣ и исчезаетъ, какъ только мы приступаемъ къ изученію его, ибо ясность представленія о данномъ предметѣ вовсе не тожественна съ изобиліемъ разнообразныхъ о немъ свѣдѣній. Словомъ, если смотрѣть на изученіе чиселъ съ психологической точки зрѣнія, то оно оказывается тоже не вполнѣ раціональнымъ. Въ раннемъ дѣтскомъ возрастѣ дѣти не считаютъ и не производятъ дѣйствій, но числа „узнаютъ“ на основаніи непосредственнаго воспріятія. Но они это дѣлаютъ только по отношенію къ очень небольшимъ числамъ. И изъ этого слѣдуетъ только одно, а именно: что въ раннемъ дѣтскомъ возрастѣ дѣти, не учась въ дѣтскомъ саду, болѣе или менѣе слѣдуютъ, а не учась—могутъ слѣдовать методѣ изученія чиселъ.

б) Съ точки зрѣнія общепедагогической, изученіе чиселъ оказывается тоже въ высшей степени сомнительнымъ средствомъ для обученія ариѳметикѣ. Паульсонъ вмѣстѣ съ Грубе говорятъ, что преподаваніе ариѳметики пѳ этой методѣ дѣйствуетъ на учениковъ «нравственно», возбуждая ихъ самодѣятельность и внушая имъ любовь къ ученію, что оно развиваетъ ихъ способности, «знакомитъ съ сущностью науки» и сообщаетъ необходимыя въ жизни практическія знанія. На самомъ же дѣлѣ эта метода (метода изученія чиселъ) не обладаетъ, по очень многимъ причинамъ, ни однимъ изъ этихъ достоинствъ. Она весьма однообразна и утомительна и поэтому не можетъ дѣйствовать на учащагося сколько-нибудь развивающимъ образомъ, а тѣмъ болѣе — развивать его въ «нравственномъ» (волевомъ) отношеніи. Она требуетъ отъ учителя такой массы наводящихъ вопросовъ и искусственныхъ пріемовъ, что на долю именно самодѣятельности-то учащихся остается очень мало интересной и полезной въ какомъ бы то ни было смыслѣ работы. Такимъ образомъ не совсѣмъ справедливо, будто эта метода возбуждаетъ любовь къ ученію и къ труду вообще. Внушить любовь къ ученію и труду вообще, можетъ-быть, и удается инымъ учителямъ и учительницамъ, учащимъ по этой методѣ, но это имъ удается скорѣе вопреки методѣ, нежели благодаря ей. Ибо въ дѣлѣ развитія въ учащихся любви къ ученію и труду вообще, при обученіи не менѣе важную роль, чѣмъ метода, а можетъ-быть, и гораздо болѣе важную роль, играютъ нравственная личность учителя и самодѣятельность учащихся. Сомнительно также и благотворное вліяніе этой методы на умственныя способности учащихся. Она въ состояніи скорѣе ослабить пріемы мышленія учащихся, нежели правильно и цѣлесообразно «развить» ихъ, такъ какъ въ самой ея основѣ лежитъ упражненіе, приводящее къ шаблонамъ и не интересное для активнаго преодолѣти трудностей вопроса. Остальныя же два притязанія, заявляемыя этой методой, а именно, возможность при ея помощи ознакомленія «съ сущностью науки» и сообщенія учащимся необходимыхъ въ жизни практическихъ знаній, можно сказать, столь же сомнительны. Съ сущностью науки метода эта не имѣетъ и не можетъ имѣть ничего общаго. Ариѳметика, какъ наука, заключаетъ въ себѣ много тонкостей и трудностей. Въ ней (какъ это легко видно изъ первыхъ главъ „Энциклопедіи элементарной математики“ Вебера и Вельштейна) такъ много серьезныхъ и тонкихъ математическихъ понятій и ученій, что не только метода изученія чиселъ, но и вообще никакая, хотя бы и самая раціональная, метода первоначальнаго обученія малолѣтнихъ ариѳметикѣ съ этой наукой познакомить дѣтей не въ состояніи. Что касается необходимыхъ въ жизни «практическихъ знаній», то метода эта не только ихъ не даетъ, но и дать не въ состояніи. Необходимыя въ жизни практическія знанія по ариѳметикѣ сводятся, главнымъ образомъ, къ умѣнію толково, вѣрно и быстро производить вычисленія. А именно этого-то умѣнія изученіе чиселъ дать не въ состояніи вслѣдствіе того, что оно вовсе не «беретъ

быка за рога», т.-е. вовсе не приступаетъ къ дѣлу кратчайшимъ и вѣрнѣйшимъ путемъ, и вслѣдствіе того, что изученіе чиселъ требуетъ громадной затраты времени.

в) Съ точки зрѣнія спеціально ариѳметической, всестороннее изученіе чиселъ вообще и въ частности не можетъ быть разсматриваемо, какъ средство къ дальнѣйшему обученію ариѳметикѣ. При усвоеніи того или другого дѣйствія иногда, въ видѣ упражненія, можно и полезно предложить ученику задачу, какъ будто напоминающую изученіе числа въ томъ или другомъ отношеніи. Такъ, напр., при изученіи дѣйствія кратнаго сравненія можно задать въ видѣ упражненія задачу на разложеніе числа на равныя слагаемыя. Но это будетъ, во-первыхъ, не изученіе каждаго даннаго числа въ отдѣльности, а во-вторыхъ, изученіе въ этомъ случаѣ не будетъ средствомъ къ обученію ариѳметикѣ вообще. Вся сила и заслуга ариѳметики въ томъ именно и состоятъ, что она избавляетъ отъ необходимости всесторонняго изученія каждаго числа, когда приходится имѣть съ нимъ дѣло. Это изученіе не можетъ быть полезно въ роли универсальнаго средства въ дѣлѣ первоначальнаго обученія ариѳметикѣ по той же причинѣ, по которой оно не можетъ быть цѣлью обученія ариѳметикѣ, а именно, по причинѣ безцѣльности его съ чисто-ариѳметической, нецѣлесообразности съ педагогической и сомнительности съ психологической точки зрѣнія. Какъ это, кажется, уже разъяснено выше, не число, а дѣйствіе надъ нимъ интересуетъ ариѳметику, и не число, всесторонне изученное, для нея важно, а дѣйствіе надъ числомъ, разсматриваемое только съ двухъ точекъ зрѣнія, а именно: 1) съ точки зрѣнія логическаго его смысла и цѣли, и 2) съ точки зрѣнія его производства въ связи съ нумераціею. Индивидуальныя особенности даннаго числа иногда полезно для лучшаго производства надъ нимъ того или иного дѣйствія, но раскрываются эти свойства опять-таки дѣйствіемъ.

3) Остается еще разсмотрѣть значеніе изученія чиселъ, какъ упражненія хотя и не преслѣдующаго цѣлей обученія ариѳметикѣ, но все-таки почему-то полезнаго въ развивательномъ отношеніи.. Подобныхъ заблужденій въ исторіи педагогики немало: очень часто специфической дрессировкѣ дѣтей въ какомъ-нибудь совершенно спеціальномъ, крайне одностороннемъ, направленіи педагоги иногда склонны приписывать слишкомъ большое, общее педагогическое значеніе. Достаточно вспомнить о крайностяхъ объяснительнаго чтенія, предметныхъ уроковъ и нѣкоторыхъ другихъ педагогическихъ, имѣвшихъ въ свое время смыслъ и значеніе, пріемовъ, чаще всего и въ основѣ своей довольно сомнительныхъ, чтобы убѣдиться въ томъ, что совершенно чуждымъ истинной цѣли образованія упражненіямъ иногда придается громадное, несоразмѣрное настоящей цѣнности ихъ, значеніе. Пріученіе дѣтей къ шаблонамъ изученія чиселъ принадлежитъ къ числу заблужденій того же рода. Это — игра, отнимающая массу драгоцѣннаго времени, и въ этой игрѣ гораздо менѣе развивательныхъ моментовъ, чѣмъ сколь-

ко ихъ во всякой другой ариѳметической игрѣ. Относительно изученія чиселъ какъ игры, впрочемъ, соотвѣтствующихъ опытовъ не сдѣлано. Но что эта игра не должна лежать въ основѣ обученія ариѳметикѣ въ русской начальной школѣ, въ томъ, надѣемся, читатель убѣдился, если удостоилъ вышеизложенное своего вниманія.

8-лѣтній возрастъ дѣтей, начинающихъ учиться ариѳметикѣ.

§ 21. Гр. Л. Н. Толстой справедливо замѣчаетъ: «Для того, чтобы заимствовать пріемы европейскихъ школъ, мы обязаны отличать то, что въ нихъ основано на вѣчныхъ законахъ разума, отъ того, что родилось только вслѣдствіе историческихъ условій». («Сочиненія гр. Толстого», изд. V, часть IV, стр. 27). Насколько вѣрны выводы, дѣлаемые гр. Толстымъ изъ этого положенія въ отношеніи къ обученію грамотѣ — не мѣсто здѣсь разсматривать. Но справедливости этого положенія невозможно не признать во всякомъ случаѣ. Весь вопросъ можетъ быть только о томъ, что считать вытекающимъ изъ «вѣчныхъ законовъ разума», и что—вытекающимъ изъ историческихъ условій. Есть достаточно основаній для того, чтобы признать такъ называемое «изученіе чиселъ» однимъ изъ тѣхъ пріемовъ, которые развились въ Германіи вовсе не въ силу «вѣчныхъ законовъ разума», а вѣроятно, вслѣдствіе спеціальныхъ историческихъ условій, для русской школы, которая имѣетъ дѣло съ дѣтьми не моложе 8-ми лѣтъ отроду, нисколько не обязательныхъ.

Мнѣніе Книллинга.

§ 22. Руд. Книллингъ, имѣющій въ виду нѣмецкую школу, высказываетъ слѣдующія мысли о методѣ изученія чиселъ.

1) Трудъ, потраченный на то, чтобы привести дѣтей къ яснымъ представленіямъ о числахъ, напрасенъ. 2) Разложеніе чиселъ на составные элементы есть игра, умерщвляющая духъ. 3) Разнообразіе дѣйствій при такъ называемомъ всестороннемъ разсматриваніи числа сбиваетъ начинающаго съ толку и создаетъ путаницу, неурядицу въ его мышленіи. 4) Концентрація обученія при этой методѣ невозможна. 5) Всестороннее изученіе каждаго числа первой сотни скучно, утомительно, безрезультатно и неосновательно съ психологической и съ ариѳметической точки зрѣнія. 6) Метода Грубе требуетъ слишкомъ большой потери времени отъ школы, требуетъ слишкомъ большого искусства и терпѣнія отъ учителя и слишкомъ большихъ усилій отъ учениковъ, не давая взамѣнъ всего этого необходимаго дѣтямъ знанія ариѳметики.

Удобства и неудобства методы изученія чиселъ.

§ 23. Въ книгѣ Флоріана Кэджори, подъ заглавіемъ «Исторія элементарной математики съ указаніями на методы преподаванія» (русскій переводъ И. Ю. Тимченко, Одесса, 1910 г.), находимъ указаніе, что критику методы Грубе съ психологической точки зрѣнія можно найти въ «Психологіи числа» Макъ-Лиллена и Дьюи (1895 г.). Но онъ почему-то не замѣчаетъ, что въ настоящее время въ Германіи, Швейцаріи, Америкѣ метода изученія чиселъ, во многихъ пунктахъ тѣсно примыкающая къ методѣ Грубе, пользуется

большимъ успѣхомъ у составителей ариѳметическихъ задачниковъ. Причина этого успѣха кроется въ нѣкоторыхъ особенностяхъ западно-европейской школы и въ нѣкоторыхъ особенностяхъ методы изученія чиселъ. Къ числу послѣднихъ принадлежитъ, можетъ-быть, необычайная легкость распредѣленія курса па ступени, если въ основаніе построенія положить методу изученія чиселъ: сначала «одинъ» и «много», а тамъ «два», «три» и т. д. Кромѣ того, важное вліяніе, какъ это указано выше, оказываетъ шестилѣтній, приблизительно, возрастъ дѣтей, начинающихъ учиться ариѳметикѣ въ Западной Европѣ и въ Америкѣ. Для дѣтей этого возраста изученіе чиселъ въ теченіе нѣкотораго (впрочемъ, весьма небольшого) промежутка времени можетъ оказаться не безполезнымъ.

Духъ обученія.

§ 24. Главнѣйшее условіе успѣха занятій по предмету математики вообще и ариѳметики въ частности состоитъ въ томъ, чтобы во всѣ моменты обученія ариѳметикѣ, на всѣхъ его ступеняхъ, т.-е. при обученіи изустнымъ и письменнымъ вычисленіямъ, при рѣшеніи задачъ и выполненіи письменныхъ работъ, при изученіи учебника учащійся могъ проявить свою самодѣятельность, активность, и чтобы онъ былъ воспитываемъ въ духѣ уваженія и истинной любви къ правдѣ, въ духѣ уваженія къ здравому смыслу, къ сознательной работѣ и къ доброй волѣ человѣка въ преодолѣніи препятствій на пути къ знанію. Онъ долженъ быть воспитываемъ въ духѣ уваженія къ истинному знанію, къ надлежащимъ полезнымъ навыкамъ и привычкамъ, къ искреннему и безкорыстному стремленію пріобрѣсти ихъ и къ стремленію сохранить знанія и пріобрѣтенные нами навыки на всю жизнь. Безъ воспитанія въ дѣтяхъ этого уваженія воспитаніе, не соприкасающееся прямо съ нравственностью, ограничивается лишь малоцѣнною, съ точки зрѣнія истинныхъ требованій разумнаго воспитанія, выучкою и дрессировкою дѣтей въ тѣхъ или иныхъ особенныхъ направленіяхъ. Эта выучка далеко не всегда заслуживаетъ сочувствія, являясь иногда лишь слѣдствіемъ недоразумѣнія или временнаго увлеченія. Школа должна стремиться къ болѣе несомнѣннымъ, высокимъ, вѣчнымъ, идеальнымъ цѣлямъ, которыя недостижимы безъ воспитанія дѣтей въ намѣченномъ направленіи. Но это воспитаніе можетъ учителю удаться только въ томъ случаѣ, если онъ будетъ соблюдать истинныя требованія разумнаго обученія: а) наглядности пріемовъ обученія, б) простоты учебнаго матеріала, в) цѣлесообразности упражненій, г) надлежащей концентраціи курса, д) постепенности въ распредѣленіи курса,

е) надлежащаго духа обученія, ж) примѣнимости пріобрѣтенныхъ навыковъ и познаній къ жизни, и, въ связи со всѣми этими особенностями обученія, з) самодѣятельной работы учениковъ. Удовлетворять этимъ требованіямъ должно всякое обученіе дѣтей, и тѣмъ самымъ—также обученіе ариѳметикѣ.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.

Ариѳметика чиселъ первыхъ двухъ десятковъ.

Раздѣленіе курса ариѳметики на ступени.

§ 1. Необходимость раздѣленія курса ариѳметики на ступени сознавалась еще Адольфомъ Дистервегомъ, но и доселѣ это раздѣленіе является чрезвычайно затруднительнымъ въ виду нѣкоторыхъ условій проведенія этого курса въ начальной школѣ, — особенно русской. Конечно, наиболѣе легкимъ является такое раздѣленіе курса на ступени, которое основывается на методѣ изученія чиселъ. Дѣло въ томъ, что нѣтъ ничего легче, какъ распредѣлить весь учебный матеріалъ, хотя бы даже въ предѣлѣ первой сотни чиселъ, руководясь тѣмъ, что первую ступень представляетъ число 1, вторую — число 2, третью — число 3, и т. д. Это и сдѣлано извѣстнымъ нѣмецкимъ педагогомъ Грубе и его послѣдователями. Аналогичное дѣлаютъ тѣ методисты, которые отстали отъ методы Грубе и раздѣлили курсъ на другія ступени, опять-таки въ зависимости отъ предѣла чиселъ, въ которыхъ вращаются задачи, предлагаемыя учащимся. Такъ, напр., многіе раздѣляютъ курсъ на ступени слѣдующаго содержанія: 1) ариѳметика перваго десятка, 2) ариѳметика первой сотни и 3) ариѳметика многозначныхъ чиселъ, и т. п. Въ этомъ новомъ изданіи «Методики ариѳметики», разсчитанномъ на потребности учащихъ въ русскихъ начальныхъ школахъ, и въ «Новыхъ задачникахъ» для учителей и учениковъ этихъ школъ курсъ ариѳметики раздѣленъ на ступени сообразно съ успѣхами, которыхъ начальная математика достигла за послѣднее десятилѣтіе, и съ тѣми указаніями, которымъ составитель этихъ книгъ обязанъ своему личному опыту и опыту своихъ друзей. Отступленіе отъ того распредѣленія курса ариѳметики на ступени, которое

было принято въ прежнихъ изданіяхъ книги и задачниковъ того же составителя, коснулись, главнымъ образомъ, расчлененія нѣкоторыхъ ступеней, если можно такъ выразиться, на подступени. Главное же отличіе принятаго въ настоящемъ изданіи «Методики ариѳметики» распредѣленія курса на ступени заключается въ томъ, что ариѳметика первыхъ двадцати чиселъ выдѣлена, такъ сказать, въ отдѣльную, подобающую этой ариѳметикѣ, рубрику. Это сдѣлано преимущественно изъ практическихъ и дидактическихъ соображеній, такъ какъ многіе учителя и учительницы затрудняются въ самостоятельномъ выдѣленіи этого отдѣла изъ всего курса ариѳметики чиселъ первой сотни.

Основанія раздѣленія курса на ступени и содержаніе первыхъ ступеней.

§ 2. Раздѣленіе курса на ступени должно руководиться не только логическими, но также психологическими и педагогическими основаніями. Изъ числа послѣднихъ заслуживаетъ упоминанія необходимость нѣкотораго разнообразія въ учебномъ матеріалѣ. Это основаніе является, въ то же время, наиболѣе субъективнымъ. Остальныя же основанія распредѣленія курса на ступени должны быть по возможности объективными, и составитель этой книги въ приноровленныхъ къ ней «Новыхъ задачникахъ» старался, по возможности, руководиться именно объективными основаніями. Ариѳметика чиселъ въ предѣлѣ первыхъ двухъ десятковъ должна по нѣкоторымъ причинамъ, о которыхъ рѣчь ниже, содержать въ себѣ также нѣкоторыя представленія и упражненія, относящіяся до дробей, и завершаться нумераціей чиселъ всей первой сотни. Безъ нѣкотораго матеріала, относящагося до дробей, ариѳметика первыхъ двухъ десятковъ пострадала бы на той ступени, къ которой отнесено дѣленіе числа на извѣстное число одинаковыхъ частей, а безъ нумераціи въ предѣлѣ первой сотни эта ариѳметика страдала бы нѣкоторыми такими несовершенствами, которыя неизбѣжны при слишкомъ схематическомъ отношеніи къ живому учебному дѣлу. Къ тому же отдѣлу отнесены четыре дѣйствія, въ нѣкоторыхъ особыхъ случаяхъ, надъ круглыми десятками. Въ этомъ тоже сказалась невозможность слѣдовать слишкомъ схематическому раздѣленію курса на ступени. Извѣстный русскій педагогъ С. А. Рачинскій изъ педагогическихъ соображеній идетъ еще дальше и не безъ основанія замѣчаетъ: «нѣтъ никакой причины скрывать отъ кре-

стьянскихъ дѣтей, въ теченіе всего перваго года, существованіе тысячъ, десятковъ и сотенъ тысячъ, безконечную перспективу чиселъ, группирующихся по системѣ, уже извѣстной имъ по копейкамъ, гривенникамъ и рублямъ. Конечно, нужно избѣгать упражненій, превышающихъ силы учащихся, сообщеніе такихъ математическихъ мыслей, которыя могутъ быть восприняты только ихъ памятью, но не менѣе того нужно избѣгать слишкомъ долгаго пережевыванія уже извѣстнаго ученикамъ: оно порождаетъ скуку, отучаетъ ихъ отъ необходимости умственныхъ усилій». Въ первой части «Новаго задачника Шохоръ-Троцкаго для учениковъ начальныхъ школъ» составитель, однакоже, ограничился только числами первой сотни, хотя главное мѣсто этой части «Новыхъ задачниковъ» принадлежитъ числамъ первыхъ двухъ десятковъ. Опытъ показываетъ, что нумерація чиселъ, большихъ ста, съ пользой для дѣла заинтересовываетъ учащихся только по ознакомленіи ихъ съ нумераціей всѣхъ чиселъ первой сотни и по усвоеніи ими, по меньшей мѣрѣ, первыхъ двухъ дѣйствій надъ числами первой сотни.

Что такое ариѳметика чиселъ первыхъ двухъ десятковъ и раздѣленіе ея на ступени.

§ 3. Что въ этой книгѣ разумѣется подъ ариѳметикой чиселъ первыхъ двухъ десятковъ? Кромѣ счета въ предѣлѣ первыхъ двухъ десятковъ, сюда должны, конечно, войти сложеніе и умноженіе въ тѣхъ случаяхъ, когда сумма и произведеніе не больше двадцати, и вычитаніе и дѣленіе въ тѣхъ случаяхъ, когда уменьшаемое и дѣлимое не больше двадцати. Само собою разумѣется также, что это— ариѳметика исключительно изустная, но это нимало не исключаетъ необходимости введенія также письменныхъ обозначеній этихъ дѣйствій и ихъ результатовъ съ помощью арабскихъ цифръ, знаковъ дѣйствій и знака равенства. Не исключаетъ понятіе объ этой ариѳметикѣ также четырехъ дѣйствій надъ круглыми десятками въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ, когда дѣйствія эти всецѣло зависятъ отъ четырехъ дѣйствій надъ числами первыхъ двухъ десятковъ, и нѣкоторыхъ, прямо необходимыхъ, представленій и упражненій, относящихся до дробей и до нѣкоторыхъ геометрическихъ фактовъ и понятій. Эти элементы, кажущіеся съ перваго взгляда чуть ли не чуждыми интересамъ ариѳметики чиселъ первыхъ двухъ десятковъ, освѣщены и мотивированы ниже.

Ступени курса ариѳметики чиселъ первыхъ двухъ десятковъ.

§ 4. Ариѳметика чиселъ первыхъ двухъ десятковъ распадается на слѣдующія 15 ступеней: 1) упражненіе дѣтей въ счетѣ предметовъ отъ 1 до 20 включительно; 2) ознакомленіе дѣтей съ цифрами въ ихъ обычномъ или въ слѣдующемъ порядкѣ: 4, 7, 1, 5, 3, 6, 9, 8 и 2; 3) прибавленіе одной единицы къ числу, не большему восьми, знаки сложенія и равенства, вычитаніе 1-цы изъ однозначныхъ чиселъ, знаки вычитанія и равенства; 4) обозначеніе чиселъ отъ 10-ти до 20-ти включительно арабскими цифрами и сложеніе чиселъ, большихъ 10-ти и меньшихъ 20-ти, съ одной единицей, а также вычитаніе единицы изъ чиселъ, которыя не больше 20-ти; 5) выработка понятія о дѣйствіи сложенія однозначныхъ чиселъ, сумма которыхъ не больше десяти, сначала на наглядныхъ пособіяхъ, а потомъ на задачахъ; 6) выработка понятія о дѣйствіи вычитанія однозначнаго числа изъ числа перваго десятка; 7) сложеніе десятка съ числомъ 1-го десятка и соотвѣтствующіе случаи вычитанія; 8) сложеніе однозначныхъ чиселъ, сумма которыхъ болѣе десяти, сложеніе чиселъ двузначныхъ съ однозначными, дающихъ въ суммѣ не болѣе 20-ти, и соотвѣтствующіе случаи вычитанія; 9) сложеніе нѣсколькихъ слагаемыхъ (различныхъ и одинаковыхъ) и умноженіе чиселъ перваго десятка, дающихъ произведенія, которыя не болѣе двадцати; 10) дѣленіе числа, не большаго двадцати, на извѣстныя части (такъ называемое «дѣленіе по содержанію» или измѣреніе одного числа другимъ, «кратное сравненіе») безъ остатка; 11) дѣленіе числа, не большаго 20-ти, на извѣстное число одинаковыхъ частей (такъ называемое «дѣленіе на части») безъ остатка; 12) дѣленіе обоего рода съ остаткомъ; 13) сложныя задачи на четыре дѣйствія, при чемъ суммы, уменьшаемыя, множимыя и дѣлимыя не больше двадцати; 14) сознательный счетъ до сотни и нумерація чиселъ первой сотни, и 15) четыре дѣйствія надъ круглыми десятками первой сотни въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ. — Мотивировка и частности каждой изъ этихъ ступеней приведена ниже.

1-ая ступень: счетъ.

§ 5. Прежде всего учитель, на первомъ же урокѣ по предмету ариѳметики, долженъ уяснить себѣ, понимаютъ ли дѣти цѣль счета, а также въ какой мѣрѣ и до какого предѣла ученики младшаго отдѣленія обладаютъ важнѣйшимъ, для возможности обученія этому

предмету, умѣніемъ, а именно умѣніемъ сознательно считать. Крестьянскія дѣти семи или восьмилѣтняго возраста, по большей части, не затрудняются произнесеніемъ нѣкотораго ряда числительныхъ именъ въ ихъ натуральномъ порядкѣ. Но изъ этого еще не слѣдуетъ, что всѣ дѣти понимаютъ, для чего считаютъ, и въ состояніи дѣйствительно сосчитать соотвѣтствующее ихъ словесному знанію количество вещественныхъ предметовъ. Случается, что иной ребенокъ этого возраста отлично знаетъ слова: одинъ, два, три и т. д., т.-е.. умѣетъ произносить ихъ въ надлежащемъ порядкѣ, но не понимаетъ цѣли счета. Вь этомъ случаѣ онъ на вопросъ о томъ, сколько у васъ братьевъ или сколько ключей у васъ въ карманѣ, отвѣчаетъ, что ему въ голову придетъ. Иногда онъ понимаетъ, что для того, чтобы отвѣтить на этотъ вопросъ, надо сосчитать или, по крайней мѣрѣ (если братьевъ или ключей у васъ немного), увидѣть этихъ братьевъ или ключи, но не въ состояніи, дѣйствительно, сосчитать соотвѣтствующаго его словеснымъ знаніямъ числа предметовъ, коль скоро это число превышаетъ нѣкоторый предѣлъ. Этотъ предѣлъ часто значительно ниже предѣла извѣстныхъ ему числительныхъ именъ. Напр., вы даете ребенку болѣе или менѣе значительное количество кубиковъ и требуете отъ него, чтобы онъ сосчиталъ, сколько ихъ. Сначала дѣло идетъ довольно складно: произнося то или другое числительное имя, ученикъ отдѣляетъ одинъ изъ сосчитываемыхъ предметовъ отъ остальныхъ, еще не сосчитанныхъ. Но вскорѣ онъ начинаетъ отбирать либо больше, либо меньше, чѣмъ слѣдуетъ, предметовъ, сбивается въ счетѣ и, конечно, такимъ образомъ дѣлаетъ ошибку противъ самой цѣли, противъ сущности этого дѣла. Это значитъ, что онъ считать (сознательно считать) не умѣетъ. Если же онъ ошибокъ не дѣлаетъ, то считать умѣетъ. — Поэтому учащій долженъ убѣдиться не только въ знакомствѣ дѣтей со словами, сопровождающими счетъ, и съ порядкомъ этихъ словъ, но также въ дѣйствительномъ умѣніи сосчитать то или другое количество предметовъ. Если дѣти не умѣютъ сознательно и вѣрно считать до двадцати, то ихъ этому слѣдуетъ научить прежде всего. Съ дѣтьми, не умѣющими считать до двадцати, никакія дѣйствительныя занятія по ариѳметикѣ четырехъ дѣйствій не могутъ быть оправданы вѣскими соображеніями. Не будучи тверды въ счетѣ, дѣти

бываютъ невнимательны на урокахъ ариѳметики, такъ какъ имена числительныя ничего не говорятъ или крайне мало говорятъ ихъ уму и воображенію. Въ такомъ случаѣ у нихъ нѣтъ привычки связывать называемое ими и учителемъ число съ неразрывно присущимъ послѣднему счетомъ. Ихъ раньше всего надо научить счету: а) сначала до пяти и до десяти, б) потомъ— до пятнадцати и двадцати. Кто умѣетъ считать до десяти, скоро научается считать и до двадцати. — Конечно, можно, не считая, вѣрно сказать, сколько кружковъ въ данной числовой фигурѣ, сколько у собаки ногъ, и т. п. Можно, не пользуясь счетомъ и дѣйствіями, отвѣчать на вопросы, относящіеся до числовыхъ фигуръ, въ которыхъ не слишкомъ много значковъ, и требующіе, съ ариѳметической точки зрѣнія, сложенія или вычитанія. Но отсюда отнюдь не слѣдуетъ, что учить счету не надо и что на первыхъ ступеняхъ обученія ариѳметикѣ въ русскихъ школахъ, гдѣ нѣтъ учащихся моложе 7-ми и даже 8-ми лѣтъ, надо непремѣнно избѣгать счета. Безъ счета нѣтъ ариѳметики и, рано или поздно, къ счету обратиться придется, какъ бы ни смотрѣть на природу числа и какъ бы быстро учащіеся ни отвѣчали на вопросы о числѣ значковъ въ числовой фигурѣ1).

Обученіе счету до двадцати.

§ 6. Изъ числительныхъ именъ указаннаго предѣла (отъ одного до двадцати включительно) только первыя десять суть слова первообразныя (не производныя). Что же касается числительныхъ именъ отъ одиннадцати до девятнадцати включительно, то ихъ происхожденіе въ русскомъ языкѣ подчиняется единообразному закону. Однако слова «одиннадцать», «двѣнадцать» и т. д. до «девятнадцати» включительно — слова все таки болѣе или менѣе новыя. Въ русскомъ, да и въ другихъ славянскихъ языкахъ, въ составъ именъ числительныхъ отъ одиннадцати до девятнадцати включительно, входятъ слова, означающія числа

1) Строго логическое построеніе понятія о натуральномъ рядѣ чиселъ, т.-е. о рядѣ 1, 2, 3, 4, 5, и т. д. безъ конца, представляетъ, какъ извѣстно, чрезвычайныя трудности. Учителю ариѳметики и учащимся ей надо принять, что есть слова: одинъ, два, три и т. д. и ихъ сочетанія, и что эти слова, когда мы считаемъ, должны слѣдовать одно за другимъ въ нѣкоторомъ одномъ, разъ на всегда установленномъ, порядкѣ. Насколько затруднительно логическое установленіе понятія о натуральномъ числѣ, легко видѣть изъ „Энциклопедіи элементарной математики“ Вебера и Вельштейна. Въ первомъ ея изданіи была сдѣлана попытка нѣкотораго построенія, а въ слѣдующемъ авторамъ пришлось наотрѣзъ отъ него отказаться.

отъ одного до девяти включительно, и во всѣхъ именахъ повторяющійся предлогъ «на». Это облегчаетъ дѣло счета. Но при усвоеніи этихъ числительныхъ именъ ученикъ на первыхъ порахъ вовсе не обязанъ непремѣнно разбивать каждое изъ соотвѣтствующихъ даннымъ словамъ чиселъ на одинъ десятокъ и столько-то единицъ. Это знаніе можетъ явиться результатомъ дальнѣйшихъ занятій его. Зато необходимо, чтобы учащійся безусловно вѣрно примѣнялъ слова: «одиннадцать», «двѣнадцать» и т. д. до слова «девятнадцать» включительно. Слово «двадцать» образовано по другому закону, который учащемуся выясняется безъ особеннаго труда.

Упражненія въ счетѣ.

§ 7. Чисто-словесное знаніе числительныхъ именъ, конечно, недостаточно для дальнѣйшихъ занятій ариѳметикой. Но оно, все же, облегчаетъ учителю переходъ отъ счета исключительно словеснаго, отъ болѣе или менѣе безсмысленнаго произнесенія дѣтьми числительныхъ именъ въ извѣстномъ порядкѣ, къ счету вполнѣ сознательному. Въ раннемъ дѣтствѣ человѣкъ научается произносить слова, не понимая первоначально ихъ значенія. Только впослѣдствіи онъ постепенно научается связывать съ каждымъ словомъ болѣе или менѣе ясное представленіе. То же справедливо и относительно числительныхъ именъ.—Поэтому учащій, убѣдившись въ томъ, что дѣти обладаютъ умѣніемъ произносить числительныя имена «механически», этимъ долженъ непремѣнно воспользоваться для того, чтобы пріучить ихъ къ связыванію извѣстныхъ имъ словъ съ представленіями сознательнаго счета. Если же дѣти не знакомы даже и съ механическимъ счетомъ, то ихъ надо научить уже прямо счету сознательному, сначала въ указанныхъ выше предѣлахъ. Въ обоихъ случаяхъ при обученіи сознательному счету обязательно должно пользоваться наглядными пособіями: кубиками, спичками, другими предметами и болѣе или менѣе простыми значками и числовыми фигурами, изображаемыми учителемъ на классной доскѣ и дѣтьми въ тетрадяхъ или на грифельныхъ доскахъ.

Порядокъ упражненій.

§ 8. Порядокъ упражненій въ устномъ счетѣ можетъ быть слѣдующій: упражненія въ одиночномъ счетѣ (поочередно каждый изъ учащихся, безъ прямого участія остальныхъ, считаетъ), упражненія въ такъ называемомъ обратномъ счетѣ и упражненія въ хоро-

вомъ счетѣ предметовъ, отбираемыхъ учителемъ. Относительно обратнаго счета, однакоже, должно замѣтить, что это—вовсе не счетъ, и что онъ сводится лишь къ называнію числительныхъ именъ, начиная съ даннаго изъ нихъ, въ порядкѣ, обратномъ естественному. Это упражненіе и не принадлежитъ къ числу цѣлесообразныхъ. Обратный счетъ—не счетъ: съ его помощью мы только узнаемъ, сколько останется изъ даннаго числа предметовъ, напр., изъ 16-ти, если начать счетъ съ 16-ти, переходя къ 15-ти, 14-ти, 13-ти и т. д. и дойдя, такимъ образомъ, напр., до числа 10. Въ этомъ случаѣ мы должны будемъ сказать, что оставшихся не отмѣченными нашими числительными именами предметовъ оказалось девять,—даже не десять, хотя послѣднимъ словомъ было именно слово «десять». Происхожденіе убѣжденія въ цѣлесообразности упражненій въ обратномъ счетѣ, вѣроятно, объясняется тѣмъ, что въ старину все дѣло обученія чему бы то ни было сводилось къ тому, чтобы учащіеся усвоили себѣ порядокъ нѣкоторыхъ словъ. Обратный счетъ—въ томъ же смыслѣ не счетъ, въ какомъ произнесенныя въ обратномъ порядкѣ слова какого-нибудь стихотворенія — не стихотвореніе. Думать, что человѣкъ, научившійся, дѣйствительно, считать, будетъ лучше считать, если онъ поупражняется въ обратномъ называніи именъ числительныхъ, конечно, неосновательно. Принимая это во вниманіе, слѣдовало бы изъ упражненій въ счетѣ на первой ступени исключить упражненія въ такъ наз. обратномъ счетѣ. Для того же, чтобы привлечь учащихся къ самодѣятельнымъ упражненіямъ въ счетѣ, полезно, напр., на первыхъ же порахъ раздать имъ бумажки квадратной формы, и снабдивъ ихъ кусочками облатокъ (съ помощью которыхъ можно эти бумажки прилѣпить къ тетради), попросить учащихся наклеить эти квадратики въ ихъ тетрадяхъ. (Дабы не развить у учащихся, и безъ того не склонныхъ къ особенной опрятности, привычки неопрятно относиться къ своимъ учебнымъ пособіямъ, еще лучше воспользоваться жидкимъ клеемъ въ бутылочкѣ съ резиновымъ наконечникомъ и самому нанести въ тетрадяхъ учениковъ нѣкоторое количество маленькихъ клеевыхъ пятенъ, на которыя учащійся будетъ уже самостоятельно наклеивать свои квадратики изъ бумаги). Полезно также побудить учащихся рисовать безъ образцовъ (хотя бы совершенно невѣрные) кружки: кольца, картофелины, яблоки и

т. д. Нужды нѣтъ, что ученики будутъ сначала рисовать очень плохо: начавъ съ плохого рисунка, можно впослѣдствіи сдѣлать и удовлетворительный. (Первые опыты учащихся въ письмѣ тоже неудачны, но никто изъ этого не дѣлаетъ заключенія, что лучше не развивать ихъ навыковъ въ письмѣ упражненіями и дождаться того момента, когда дѣти будутъ хорошо писать).—Надо научить дѣтей считать удары по столу карандашомъ, шаги, черточки, рисуемыя на доскѣ учителемъ и учащимися, самихъ учениковъ, стекла въ окнахъ, и т. п. Нужно научить учащихся считать поднятія рукъ вверхъ, движенія головою и т. п. тѣлесныя движенія. Предметы для счета лучше брать такіе, которые не скатываются со стола и которые въ жизни встрѣчаются. Кубики, правда, не скатываются со стола, но для учениковъ они представляютъ собою предметы не обычные. Гораздо лучше поэтому еловыя шишки, куски бумаги, грифеля, палочки, буквы разрѣзной азбуки и т. п.

Самостоятельныя упражненія.

§ 9. Въ качествѣ самостоятельныхъ упражненій на этой ступени можетъ служить изображеніе числовыхъ фигуръ отъ одного до десяти включительно, въ порядкѣ прямого и такъ наз. обратнаго счета. Въ № 1 «Новаго задачника для учителей» приведены образцы работы учениковъ подъ руководствомъ учителя, а въ № 2 «Новаго задачника для учениковъ» даны образцы самостоятельныхъ упражненій, которые сначала должны быть копируемы учащимися, а впослѣдствіи, если это окажется возможнымъ и цѣлесообразнымъ, изображаемы на-память. Нумерація задачъ этихъ двухъ книжекъ, для удобства, устроена такъ, что нумера, недостающіе въ одной изъ нихъ, помѣщены въ другой. Рекомендовать, въ качествѣ самостоятельнаго упражненія, изображеніе дѣтьми числовыхъ фигуръ съ большимъ, чѣмъ десять, количествомъ значковъ нельзя, такъ какъ эти фигуры лишены наглядности. Поэтому они врядъ ли нужны и, притомъ, отличаются чрезвычайною громоздкостью. Скорѣе такое упражненіе, если оно вообще умѣстно, полезно при непосредственномъ участіи учащаго. Во всякомъ случаѣ, цѣль указанныхъ выше упражненій — исключительно твердое усвоеніе дѣтьми самаго дѣйствія, самаго процесса счета.

Неумѣстность на этой ступени задачъ съ условіями.

§ 10. Что касается упражненія дѣтей въ счетѣ на задачахъ съ условіями, то оно не цѣлесообразно, такъ какъ это—упражненіе въ сложеніи чиселъ, а не въ счетѣ предметовъ. Сложеніе же—новое ариѳметическое дѣйствіе, съ которымъ дѣти ознакомятся только впослѣдствіи, и притомъ—въ свое время. Учитель долженъ упражнять дѣтей, на занимающей насъ (1-й) ступени, только въ счетѣ, стараясь, по возможности, разнообразить эти упражненія. Должно замѣтить,

что вводить задачи, разсказъ, въ эти упражненія не слѣдуетъ еще и потому, что практическая жизнь предлагаетъ задачи непосредственнаго счета вовсе не въ повѣствовательной формѣ. Естественность и простота — вотъ тѣ требованія, которыхъ не имѣетъ права забывать учитель на всѣхь ступеняхъ обученія, а потому и на первой ступени, т.-е. при упражненіяхъ дѣтей въ счетѣ.—Хорошо, при счетѣ въ области второго десятка, класть десять палочекъ на столъ рядышкомъ, а на нихъ класть поперекъ остальныя, произнося пояснѣе первую часть словъ: одиннадцать, двѣнадцать и т. д. Наглядныя пособія — какія угодно; особенно полезны шведскіе счеты.

Лабораторныя занятія на первыхъ ступеняхъ.

§ 11. Въ качествѣ «лабораторныхъ» работъ въ младшемъ отдѣленіи особое мѣсто занимаютъ упражненія въ изготовленіи изъ бумаги нѣкоторыхъ предметовъ: бумажной линейки изъ четвертушки бумаги, сложенной сначала вдоль пополамъ, а потомъ полученнаго — снова пополамъ, и бумажныхъ моделей угловъ, квадратовъ и т. п. Въ распоряженіи школы должно быть достаточное количество дешевой писчей и оберточной бумаги для раздачи учащимся. Линейка, изготовленная изъ четвертушки бумаги, полезна для усвоенія учениками длины вершка, такъ какъ ширина подобной ли-

Рис. 18. Рис. 19.

Рис. 20. Рис. 21.

нейки, изготовленной по вышеуказанному правилу, равна одному вершку, а длина—5-ти вершкамъ. Изготовленіе же квадрата приведетъ и къ тому, что дѣти, выполняя разныя числовыя фигуры, будутъ въ состояніи пользоваться собственноручно изготовленными квадратами. Само собою разумѣется, что не безполезно научить ихъ также изготовлять модель прямого угла изъ клочка бумаги съ неровными краями, а равно и квадрата изъ подобнаго же клочка. Это съ самаго начала вводитъ учащихся въ интересы лабораторной методы и даетъ достаточно большое поле для развитія нѣкоторыхъ навыковъ въ ручномъ трудѣ. Въ

Рис. 22.

тѣхъ школахъ, гдѣ практикуется ручной трудъ въ той или иной формѣ, количество лабораторныхъ занятій даже на первыхъ ступеняхъ можетъ быть значительно расширено1). Чтобы у учащихся возникло представленіе о томъ, что углы бываютъ и не прямые, учитель можетъ ознакомить съ углами, сдѣланными изъ складного аршина или изъ бумажной трубки. Какъ они называются, не важно. Важно, чтобы учащіеся понимали, что имъ надо чертить углы прямые.—Рисунки приводятся здѣсь для того, чтобы учитель не пренебрегъ ими, и убѣдился, что эти упражненія—не «игра», а дѣло, при томъ серьезное.

2-я ступень: цифры.

§ 12. Когда устный счетъ дѣти болѣе или менѣе основательно усвоили, учитель можетъ приступить къ ознакомленію ихъ съ такъ называемыми арабскими цифрами. Это—вторая ступень обученія.

Рис. 23. Рис. 24.

1) Въ „Новыхъ задачникахъ“ Шохоръ-Троцкаго для учителей и учениковъ начальныхъ школъ упражненія лабораторнаго характера отмѣчены звѣздочками, и текстъ, до нихъ относящійся, набранъ другимъ шрифтомъ. Это сдѣлано для того, чтобы учащіе не чувствовали себя какъ бы стѣсненными въ способѣ проведенія своихъ собственныхъ методовъ въ школу и въ виду того, что лабораторныя упражненія имъ могутъ казаться нецѣлесообразными или неудобоисполнимыми. Надо, однакоже, отмѣтить, что опытъ показываетъ полную примѣнимость примитивныхъ лабораторныхъ занятій не только на высшихъ, но даже на первыхъ ступеняхъ занятій ариѳметикой въ начальной школѣ. Они болѣе, такъ называемыхъ, предварительныхъ бесѣдъ роднятъ учащихся со школой и лучше, чѣмъ эти бесѣды, вводятъ учащихся не въ словесные только, а истинные школьные интересы.—Ниже въ ссылкахъ на „Новые задачники“ для учителей и для учениковъ названія ихъ будутъ соотвѣтственно сокращаемы такъ: 3. д. уч-лей и 3. д. уч-ковъ.

Многословныхъ разговоровъ о цѣли обозначенія чиселъ цифрами, конечно, вести не слѣдуетъ. Дѣти очень легко усваиваютъ себѣ значеніе записи и пользу установленія условнаго знака для обозначенія числа. Опасеніе, будто ребенокъ станетъ смѣшивать число съ цифрою, тоже не основательно, если онъ ранѣе упражнялся въ дѣйствительномъ счетѣ предметовъ. Порядокъ ознакомленія съ цифрами можно избрать слѣдующій: сначала можно дѣтямъ показать три цифры: 1, 2 и 3, и объяснено ихъ условное значеніе, потомъ еще двѣ цифры: 4 и 5 и т. д. до цифры 9 включительно. При этомъ учитель долженъ упражнять классъ, прежде всего, въ хоровомъ и одиночномъ называніи цифръ, изображаемыхъ учителемъ на доскѣ или по «Таблицѣ». Когда, такимъ образомъ, дѣти научились отличать одну отъ другой первыя три цифры, изображаемыя учителемъ на доскѣ по порядку и въ разбивку, они могутъ перейти уже и къ изображенію цифръ подъ диктовку и подъ непосредственнымъ наблюденіемъ учителя. При этомъ цифру 1 можно изображать въ одинъ пріемъ (безъ тонкой черты), или въ два такта (сначала тонкую черту снизу вверхъ, а потомъ толстую—сверху внизъ), цифру 2—въ два, а цифру 3 — въ два или три такта (третій тактъ приходится на точку, которою можно заканчивать тонкій поворотъ цифры вверхъ). Убѣдившись въ томъ, что каждый изъ учащихся въ отдѣльности умѣетъ изображать каждую изъ этихъ цифръ, учитель можетъ задать младшему отдѣленію соотвѣтствующее упражненіе. (3. д. уч-лей, 4—7). Иной порядокъ ознакомленія съ цифрами, обусловливаемый соображеніями чистописанія, конечно, тоже дозволителенъ. Если бы учитель пожелалъ держаться иного порядка, то сначала цѣлесообразнѣе всего было бы научить дѣтей изображенію цифръ 1, 4 и 7, требующихъ только умѣнія проводить прямыя линіи. Лучше въ такомъ случаѣ обратиться сначала къ цифрѣ 4 (такъ какъ цифра 1 можетъ быть принята учениками прямо за палочку, а не за знакъ), потомъ перейти къ цифрѣ 7 и, наконецъ,—къ цифрѣ 1. Ознакомленіе съ остальными цифрами и соотвѣтствующія самостоятельныя упражненія должны итти въ томъ же порядкѣ, при чемъ дѣтей надо пріучить къ изображенію цифры 4, 5 и 7—въ три, цифръ 9, 6 и 8—въ два пріема. Сначала надо научить дѣтей изображать цифры, оставляя между ними промежутокъ въ одну клѣтку, если они пишутъ на клѣт-

чатой бумагѣ, и только впослѣдствіи можно показать возможность изображать ихъ рядомъ. Форма этихъ цифръ наиболѣе проста, удобна и въ высшей степени опредѣленна. Удобства состоятъ въ томъ, что въ нихъ нѣтъ излишнихъ волнистыхъ линій и украшеній, трудно дающихся малолѣтнимъ. Съ нулемъ знакомить дѣтей на этой ступени не для чего1).

Лэзанъ рекомендуетъ цифры другого стиля, руководясь тѣмъ соображеніемъ, что цифры надо писать, не отрывая пера отъ бумаги. Вышеприведенныя цифры допускаютъ такой же способъ ихъ изображенія. Но форма цифръ, предлагаемыхъ Лэзаномъ, у насъ натолкнулась бы на нѣкоторыя затрудненія, вслѣдствіе необычности этой формы для учащихъ.

3-я ступень: прибавленіе единицы и вычитаніе.

§ 13. Ознакомленіе съ обозначеніемъ десятка должно отнести къ числу затруднительнѣйшихъ ступеней курса. Поэтому лучше перейти отъ цифръ прямо къ простѣйшему случаю сложенія чиселъ, представляемому задачами, требующими несомнѣннаго (даже для ребенка) присоединенія, прибавленія къ данному числу, не большему восьми, одной единицы. Это будетъ третья ступень, содержаніе которой обусловливается педагогическими соображеніями, и которая даетъ возможность предложить ученикамъ и самостоятельныя работы. Объ «увеличеніи» даннаго числа на одну единицу не должно быть

Рис. 25.

1) Сторонникамъ не натуральнаго порядка упражненій учащихся въ письмѣ цифръ, а порядка, диктуемаго трудностями изображенія цифръ, можно рекомендовать тотъ порядокъ цифръ, который принятъ составителемъ этой книги и практиковался въ школахъ постоянныхъ, а также во временныхъ школахъ при многочисленныхъ педагогическихъ курсахъ, которыми онъ въ разное время, руководилъ, и который удостоился сочувствія участниковъ курсовъ: 4, 7, 1 5, 3, 6, 9, 8 и 2.

рѣчи въ такихъ задачахъ. Ихъ словесное содержаніе въ общемъ видѣ не должно выходить за рамки слѣдующей задачи: есть 5 предметовъ; прибавлю къ нимъ еще одинъ; сколько получилось? Было бы, однакоже, ошибочно считать задачи этого рода задачами на счетъ. Онѣ, конечно, могутъ быть рѣшены помощью счета, и дѣти будутъ и имѣютъ право ихъ рѣшать такимъ именно образомъ. Но въ очень скоромъ времени они сами оставляютъ и должны оставить этотъ пріемъ и прибѣгать къ присчитыванію. Пусть предложена задача: «Вотъ лежатъ три спички; вотъ еще одна; сколько здѣсь всего спичекъ?» Только очень неразвитой ребонокъ семи-восьми лѣтъ начнетъ счетъ сначала, съ единицы. Большинство же дѣтей этого возраста очень скоро научится отвѣчать: «четыре», т.-е. предпочтетъ присчитываніе и, такимъ образомъ, самъ того не сознавая, произведетъ сложеніе, опустивъ процессъ счета, результатомъ котораго тоже можетъ явиться данное число. Есть глубокая разница между требованіемъ—«сосчитать— сколько здѣсь всего предметовъ» и требованіемъ, которое выражается задачею, подобною вышеприведенной, такъ какъ въ послѣдней даны уже извѣстныя числа. Лучше всего задачи этого рода предлагать сначала на наглядныхъ пособіяхъ. (Но если бы учащій захотѣлъ повести эти упражненія непремѣнно съ условіями, то онъ таковыя найдетъ въ 3. д. уч-лей, 8).

Знакъ сложенія.

§ 14. На этой же, третьей, ступени курса умѣстно ознакомленіе дѣтей со знакомъ сложенія. При этомъ учитель долженъ имъ выяснить, что если есть число, напр., 4 предмета и еще одинъ, и требуется узнать—сколько у насъ всего предметовъ, то это записываютъ такъ: 4 + 1, а написанное можно прочесть такъ: «четыре да одинъ». Въ то же время умѣстно ознакомить дѣтей со знакомъ равенства, который отдѣляетъ запись отъ записи числа, получаемаго въ концѣ-концовъ. Должно выяснить смыслъ записей: 4 + 1 = 5, 5 + 1 = 6 и т. п. Равнымъ образомъ должно научить дѣтей читать подобныя записи такъ: «четыре да еще одинъ будетъ (или же «все равно что», или «получится») пять». (Когда дѣти себѣ усвоили эти два знака, имъ можно предложить упражненія изъ 3. д. уч-ковъ, 9). Вмѣсто слова «предметы» надо называть тѣ предметы, тѣ вещи, которыя имѣются въ виду. Полезно рисованіе дѣтьми

вѣточекъ съ листьями, числовыхъ фигуръ въ открытой справа рамкѣ. Сначала учащійся рисуетъ

и записываетъ: 7; затѣмъ онъ присоединяетъ справа еще одинъ кружокъ и справа стѣнку и получаетъ

и, наконецъ, приписываетъ къ записанной семеркѣ знакъ +и одну единицу, т.-е. получаетъ запись

7 + 1-

Послѣ этого ему остается записать знакъ равенства и результатъ. Такъ же онъ поступаетъ съ вѣточками, съ палочками, которыя у него должны быть подъ руками и т. п. Изображать, какъ это совѣтуютъ нѣкоторые, числовыя фигуры и ставить между ними знаки дѣйствія и равенства, т.-е. такъ:

нецѣлесообразно въ той же мѣрѣ, какъ нецѣлесообразно ставить знакъ плюсъ между кубиками, съ тѣмъ, чтобы, прибавивъ одинъ кубикъ, затѣмъ поставить знакъ равенства, и послѣ него — положить такое число другихъ кубиковъ, которое равно числу кубиковъ, находящихся налѣво отъ знака равенства. Идя дальше въ этомъ направленіи, можно дойти до того,

Рис. 26.

чтобы ставить знакъ плюсъ между книгами, число которыхъ надобно опредѣлить, а послѣ злака равенства положить другія книги, и т. п. Такое обращеніе съ наглядными пособіями противорѣчить элементарнѣйшимъ требованіямъ принципа наглядности. — Готовые рисунки тоже не цѣлесообразны, въ качествѣ нагляднаго пособія, для выясненія понятій о дѣйствіяхъ. Дѣйствіе дѣлается нагляднымъ только благодаря дѣйствію же. Четыре медвѣжонка на готовой картинкѣ, изъ которыхъ одинъ стоитъ поодаль, не иллюстрируютъ ни прибавленія, ни вычитанія, а иллюстрируютъ только позы медвѣжатъ и обстановку, въ которую художникъ помѣстилъ этихъ медвѣжатъ. Другое дѣло, если трехъ медвѣжатъ нарисовалъ самъ ребенокъ, и если онъ къ нимъ присоединилъ еще одного медвѣжонка. Такое иллюстративное рисованіе, и только такое, можетъ быть весьма полезно при обученіи ариѳметикѣ. Для дѣтскихъ иллюстрацій пригодны изображеніе ими яблокъ, грушъ, моркови, вѣточки съ листьями. Учитель можетъ и самъ нарисовать на доскѣ рисунки, подобные приведеннымъ здѣсь, но только для того, чтобы ободрить своихъ учениковъ. Лучше, если они сами рисуютъ. Нарисовавъ что-либо, учитель, давши ученикамъ возможность посмотрѣть рисунокъ, стираетъ рисунокъ и просить нарисовать что-нибудь въ этомъ родѣ. Не надо рисовать вещей сложныхъ (людей, животныхъ, дома).

Рис. 27.

Рис. 28. Рис. 29.

Перемѣщеніе слагаемыхъ.

§ 15. Должно замѣтить, что на этой ступени не вполнѣ цѣлесообразно выясненіе ученикамъ, что 5 + 1 = 1 + 5; 3 + 1 = 1 + 3, и т. д.

Дѣло въ томъ, что прибавленіе нѣсколькихъ единицъ, хотя бы даже и къ единицѣ, для дѣтей на этой ступени обученія представляетъ уже нѣкоторыя, можетъ-быть, не соотвѣтствующія ихъ развитію, и отвлекающія ихъ вниманіе, трудности. Поэтому, съ педагогической точки зрѣнія, умѣстнѣе, для внесенія разнообразія въ самостоятельныя занятія дѣтей, ознакомить ихъ съ простѣйшимъ случаемъ вычитанія, а именно съ вычитаніемъ одной единицы изъ однозначнаго числа. При этомъ задачи должны быть сначала задаваемы на наглядныхъ пособіяхъ; можно ввести также и задачи повѣствовательныя съ двумя условіями. Но должно при этомъ помнить, что на этой ступени умѣстны только задачи простѣйшаго типа: «было столько-то единицъ; отнята, отдѣлена, удалена одна единица; сколько осталось?» (Задачи этого рода приведены въ 3. д. уч-лей, 10.) Тутъ же умѣстно ознакомленіе со знакомъ вычитанія и со способомъ чтенія записи 4 — 1 = 3. Лучше всего читать ее такъ: «четыре безъ одного будетъ три» или же: «четыре безъ одного все равно, что три», или «четыре, отнять одинъ», или, наконецъ, такъ: «четыре (пауза!) долой одинъ!» (Матеріалъ для самостоятельныхъ работъ данъ въ 3. д. уч-ковъ, 11.) Слова «плюсъ» и «минусъ», взятыя изъ латинскаго языка, на этихъ ступеняхъ, да и вообще раньше третьяго года обученія, не умѣстны.—Для внесенія въ самостоятельныя работы учащихся большей активности, они должны рисовать и стирать одинъ изъ нарисованныхъ предметовъ (яблокъ, грушъ, листковъ) резинкой и записывать произведенное дѣйствіе. Изъ одной резинки стоимостью въ двѣ копейки можно изготовить четыре или даже шесть резинокъ. Дѣти эти резинки берегутъ не менѣе, чѣмъ остальныя учебныя принадлежности.

4-я ступень: десятокъ и числа 2-го десятка.

§ 16. Ознакомивъ дѣтей съ указанными выше простѣйшими случаями сложенія и вычитанія, учащій можетъ перейти къ обозначенію чиселъ, большихъ девяти, помощью цифръ (это—четвертая ступень). Цифра нуль, а главное — ея роль при обозначеніи чиселъ, должны на первыхъ порахъ совершенно отсутствовать. При этомъ, прежде всего, придется

предварительно разработать изустно сложенія: десять да одинъ, десять да два и т. д. до суммы десять да десять. Затѣмъ учащій долженъ выработать въ умѣ дѣтей представленіе о десяткѣ и научить ихъ такимъ сложеніямъ: десятокъ шишекъ да одна шишка, десятокъ яблокъ да два яблока, десятокъ кубиковъ да три кубика и т. д. до девятнадцати и двадцати включительно. Это послужитъ укрѣпленію въ дѣтяхъ навыка въ сознательномъ счетѣ. Затѣмъ надо научить разложенію каждаго изъ чиселъ этой области на десятокъ и нѣсколько единицъ. Это, конечно, не всестороннее изученіе чиселъ второго десятка, а только раскрытіе только одного свойства всѣхъ чиселъ второго десятка, состоящаго въ томъ, что каждое изъ нихъ состоитъ изъ двухъ частей: одна часть—десятокъ, а другая—число, не большее десяти.

Но выработка яснаго представленія о десяткѣ принадлежитъ къ числу задачъ довольно трудныхъ. Дѣло въ томъ, что десять единицъ и десятокъ—одно и то же только съ точки зрѣнія величины, но не съ логической точки зрѣнія. Для того, чтобы возникло представленіе, полезно взять десять кубиковъ въ безпорядкѣ, а потомъ тѣ же десять кубиковъ сложить въ рядъ или въ столбецъ, десять спичекъ взять отдѣльно, и тѣ же десять спичекъ связать въ пучокъ, десять кружковъ нарисовать въ безпорядкѣ, а другіе десять кружковъ нарисовать въ видѣ карточной фигуры. При этихъ упражненіяхъ слѣдуетъ достигнуть (и можно достигнуть) того, чтобы дѣти уяснили себѣ сами ту разницу между десяткомъ и десятью единицами, на которую легко указать, но которую учителю трудно имъ выяснить. Для этой цѣли, хотя бы дѣти не умѣли считать далѣе двадцати, полезно взять нѣсколько десятковъ (пучковъ) «спичекъ», и показать дѣтямъ, что они знаютъ, сколько здѣсь десятковъ спичекъ, хотя и не могутъ сразу сказать, сколько отдѣльныхъ спичекъ во всѣхъ пучкахъ. Тогда дѣти поймутъ, что десятокъ представляетъ собою не только десять отдѣльныхъ предметовъ, но группу въ десять предметовъ. Само собою разумѣется, что палочки дѣтямъ слѣдуетъ «раздобыть», что учащіеся должны научиться связывать (безъ узловъ) палочки въ пучки, по десяти штукъ въ каждомъ пучкѣ, и т. п. Десятками считаютъ яйца, яблоки, и этимъ учитель долженъ пользоваться. Слова «группа» употреблять на этой ступени, конечно, не надо.

Составъ чиселъ

2-го десятка.

§ 17. Если все это продѣлано, и знаніе счета десятками усвоено дѣтьми какъ слѣдуетъ, то, съ помощью наглядныхъ пособій и пользуясь этимологическимъ составомъ числительныхъ именъ занимающей насъ области чиселъ, возможно въ какихъ-нибудь два-три пріема научить дѣтей устному разложенію чиселъ этой области на одинъ десятокъ и нѣсколько единицъ. Когда это достигнуто, дѣтямъ можно указать, что для обозначенія различныхъ чиселъ придумывать все новые и новые знаки, все новыя цифры, было бы прежде всего неудобно. Цифръ въ такомъ случаѣ скоро набралось бы слишкомъ много. Оставляя въ сторонѣ до поры до времени цифру нуль, учитель долженъ привести дѣтей къ сознанію, что они не умѣютъ однимъ знакомъ обозначить больше девяти единицъ. Когда они вполнѣ сознаютъ свое неумѣніе, онъ, обращая ихъ вниманіе на то, что число десять онъ умышленно пропускаетъ, долженъ научить ихъ помощью цифръ обозначать числа отъ одиннадцати до девятнадцати включительно. При этомъ онъ неутомимо выясняетъ на примѣрахъ и упражненіяхъ то правило, по которому цифра десятковъ пишется ранѣе цифры единицъ.—Еще лучше сначала не трогать даже одиннадцати, такъ какъ здѣсь соединены для начинающаго двѣ трудности: обѣ цифры одинаковы, и которая изъ нихъ обозначаетъ десятокъ, ему запомнить и даже замѣтить трудно. Къ одиннадцати же можно перейти уже тогда, когда ученики привыкли записывать раньше всего десятокъ, а потомъ число отдѣльныхъ единицъ. Неудобно и обозначеніе числа 12, потому, что въ немъ порядокъ цифръ совпадаетъ съ обычнымъ порядкомъ цифръ въ ихъ послѣдовательности. Лучше начать съ 15-ти или другого числа второго десятка. Эта ступень курса преодолѣвается дѣтьми не быстро, но при настойчивости вскорѣ результаты непремѣнно будутъ достигнуты.

Введеніе нуля.

§ 18. Когда дѣти уже научились безошибочно обозначать числа отъ одиннадцати до девятнадцати включительно, тогда можно перейти къ цифрѣ нуль, къ обозначенію — сначала одного десятка и десяти единицъ, а потомъ двухъ десятковъ или двадцати, съ помощью этой, крайне важной, цифры. — Только такимъ образомъ у учащихся развивается привычка разлагать

число сказанной области на одинъ десятокъ и нѣсколько единицъ и смотрѣть на число, большее десяти, съ точки зрѣнія десятичной системы. Привычка эта въ высшей степени важна какъ въ образовательномъ отношеніи, такъ и для будущихъ занятій дѣтей ариѳметикой. (Въ 3. д. уч-лей, 12—13, приведены въ указанномъ порядкѣ упомянутыя выше упражненія этой ступени.) Въ числѣ упражненій на сложеніе, въ которыхъ второе слагаемое равно единицѣ, появляются и такія, въ которыя входитъ также и крайне важное число десять.

Пріемъ Чеха.

§ 19. Можно, слѣдуя Чеху (австрійскому педагогу первой половины XIX в., много сдѣлавшему для обученія глухонѣмыхъ), нарисовать два кружка рядомъ (двѣ «тарелки»); въ первый записать число десятковъ (1), а во второй справа—число отдѣльныхъ единицъ. Если во второй нѣтъ единицъ, то оставимъ пустую «тарелку». Эта пустая «тарелка» впослѣдствіи останется въ качествѣ цифры. Можно потомъ договориться число десятковъ записывать безъ «тарелки», а число единицъ (чтобы онѣ «не разсыпались») записывать сначала въ тарелку, а потомъ тоже безъ «тарелки»; въ случаѣ же, когда отдѣльныхъ единицъ нѣтъ, рисовать уже пустую «тарелку» и т. п. Вмѣсто «тарелки», удобной при одиночномъ обученіи (каковымъ, по необходимости, часто является обученіе глухонѣмыхъ) можно одному ученику взять кружку или стаканъ въ лѣвую руку, и другой ученикъ будетъ въ него класть палочки до тѣхъ поръ, пока не наберется десятка. Какъ

Рис. 30. Рис. 31.

только набрался десятокъ палочекъ, первый ученикъ беретъ въ правую руку новую палочку, и ею какъ бы отмѣчаетъ, что одинъ десятокъ есть. Если, кромѣ десятка, ему второй ученикъ дастъ нѣсколько палочекъ, получится число второго десятка, отдѣльныя единицы котораго, не составляющія десятка, находятся въ лѣвой рукѣ перваго ученика, а десятокъ отмѣченъ палочкой въ его правой рукѣ. Если же отдѣльныхъ единицъ, не составляющихъ десятка, нѣтъ, то у него въ лѣвой рукѣ остается кружка. Онъ ее повернетъ отверстіемъ къ остальнымъ учащимся, и она олицетворитъ нуль въ письменной нумераціи. Опыты показываютъ, что подобныя упражненія удобнѣе мертвыхъ «клѣточекъ», въ которыя помѣщаются цифры.—Какъ записать десять? — Ученикъ отвѣчаетъ: «записать одинъ десятокъ и пустую кружку».

Какихъ не надо упражненій?

§ 20. Упражненія въ разложеніи чиселъ занимающей насъ области на сумму двухъ слагаемыхъ, изъ которыхъ первое равно десяти, и въ сложеніи двухъ слагаемыхъ, изъ которыхъ первое равно десяти, могутъ быть только изустными, не записываемыми. На этой (4-й) ступени, можетъ-быть, не вполнѣ умѣстны «разложенія», являющіяся какъ бы упражненіями въ вычитаніи и прибавленіи однозначнаго числа, такого вида:

14 = 10+ 4, 15=10+ 5, и т. д.,

и упражненія вида:

10+4 = 14, 10+ 5 = 15 и т. д.

Рис. 32.

Рис. 33.

Зато тѣмъ умѣстнѣе здѣсь упражненія вида:

10 + 1 = 11, 11 + 1 = 12 и т. д.

и вида: 11 — 1 = 10, 12—1 = 11 и т. д.

Указанныя выше (стр. 140) упражненія преждевременны, потому что ослабляютъ вниманіе учащихся къ упражненіямъ, прямо относящимся къ 4-ой ступени. Но нельзя сказать, что они вредны.

Упражненія въ прибавленіи и отниманіи одной единицы предложены какъ въ 3. д. учителей, такъ Какія умѣстны? и въ 3. д. уч-ковъ. Въ этомъ послѣднемъ дѣло начинается съ упражненій такого вида: 2+1, 12 + 1, 3 + 1, 13 + 1 и т. д., дабы ученики, дѣйствительно, собственнымъ умомъ добрались до секрета этихъ сложеній и вычитаній.—На эти послѣднія упражненія, впрочемъ, отнюдь не слѣдуетъ смотрѣть какъ на упражненія въ письменномъ производствѣ дѣйствій сложенія и вычитанія, а только какъ на работы, преслѣдующія лучшее усвоеніе нумераціи чиселъ первыхъ двухъ десятковъ.—Прежде чѣмъ задать дѣтямъ самостоятельныя упражненія, должно выяснить уже легкое для нихъ обозначеніе «двадцати» помощью цифръ. Можетъ-быть, небезполезно попытать счастія, предложивъ учащимся обозначить цифрами три десятка, четыре десятка и т. п.

Письменное ли это производство дѣйствія?

§ 21. Ошибочно думать, что упражненія въ сложеніи числа второго десятка съ единицею и въ вычитаніи одной единицы изъ числа второго десятка являются на этой ступени курса преждевременными. Знаніе правилъ письменнаго сложенія и вычитанія вовсе не нужно для сложенія числа второго десятка съ единицею и для вычитанія одной единицы изъ числа второго десятка. Для этихъ дѣйствій достаточно, если учащійся умѣетъ считать, понимаетъ нумерацію и ясно понялъ сложеніе и вычитаніе, когда второе слагаемое и вычитаемое равны единицѣ. Надо строго различать запись дѣйствія и результата его отъ письменнаго производства дѣйствія. Если кто записалъ, что 21 + 33 = 54, то это еще не значитъ, что онъ письменно произвелъ дѣйствіе, ибо здѣсь только записаны слагаемыя, требуемое дѣйствіе и результатъ. Произвести же дѣйствіе письменно значитъ не только его записать, но и поступить по правилу письменнаго производства. Точно такъ же существованіе записи 2 + 1 = 3 нельзя считать результатомъ письменнаго производства дѣйствія, о которомъ въ этомъ случаѣ, къ тому же, не можетъ быть и рѣчи. Эта запись—только замѣна словъ «два да одинъ—три», и съ письменнымъ производствомъ дѣйствія она не имѣ-

етъ ничего общаго. Въ чемъ же состоитъ изустное сложеніе числа съ единицей? Оно состоитъ въ томъ, что учащійся не начинаетъ счета съ начала, а прямо говоритъ, что 13 да одинъ будетъ 14. Для этого онъ долженъ: 1) уразумѣть, что считать, сколько всего единицъ, не благоразумно, и 2) уразумѣть, что счетъ до 13-ти уже выполненъ и что, прибавивъ одинъ, мы получимъ 14, т.-е. то число, которое слѣдуетъ за тринадцатью. Вообще, въ предѣлахъ не только первыхъ двухъ десятковъ, но и въ предѣлахъ всей первой сотни, при обученіи ариѳметикѣ нѣтъ письменнаго вычисленія и не должно быть.

5-я ступень: сумма не больше десяти.

§ 22. По усвоеніи дѣтьми вышенамѣченныхъ навыковъ, можно приступить къ уразумѣнію ими сложенія всякихъ двухъ однозначныхъ чиселъ, сумма которыхъ не больше десяти (пятая ступень). До сихъ поръ дѣти прибавляли къ числу, не считая, одну единицу. На этой (пятой) ступени обученія надо ихъ пріучить къ мысли, что есть случаи, когда требуется прибавить и больше одной единицы, что при этомъ тоже не надо считать и что можно научиться, не считая, говорить сколько будетъ 4 да 3, 5 да 4 и т. п. Для этого могутъ быть предложены соотвѣтствующія задачи: сначала на наглядныхъ пособіяхъ, и потомъ—задачи съ условіями, которыя не должны, впрочемъ, выходить за предѣлы простѣйшаго случая сложенія: «есть 5 единицъ, прибавлены, присоединены еще 3 единицы; сколько послѣ этого получилось всего единицъ?» Когда дѣти поймутъ смыслъ требованія подобныхъ задачъ и сначала только научатся на наглядныхъ пособіяхъ (лучше всего на пальцахъ) присчитывать единицы второго слагаемаго къ первому, то они въ состояніи понять пользу запоминанія наизусть нѣкоторыхъ результатовъ. Къ послѣдовательному упражненію въ этомъ запоминаніи учитель и можетъ въ такомъ случаѣ приступить на своихъ урокахъ съ младшимъ отдѣленіемъ. Но, во всякомъ случаѣ, прежде чѣмъ перейти къ этимъ упражненіямъ, должно убѣдиться въ томъ, всѣ ли учащіеся вполнѣ поняли, какой смыслъ имѣютъ вопросы: «сколько будетъ три да еще два», «четыре да еще два», «пять да два», «три да три», «четыре да три» и т. д. Только въ случаѣ, если одни самостоятельныя упражненія не научили дѣтей этой части таблицы, и если они вполнѣ ясно понимаютъ смыслъ подобныхъ вопросовъ, можно приступить къ упражне-

нію въ ритмическомъ усвоеніи наизусть таблицы сложенія чиселъ, сумма которыхъ не болѣе десяти. (Сюда именно и относятся соотвѣтствующія задачи и упражненія 3. д. уч-лей, 17—20). Что же касается задачъ на сложеніе чиселъ, сумма которыхъ равна десяти, и соотвѣтствующихъ упражненій, то ихъ надо выдѣлить изъ общей массы задачъ для того, чтобы дѣти могли обратить особенное вниманіе на новую единицу счета—на десятокъ. Онъ играетъ въ нумераціи и въ производствѣ дѣйствій надъ двузначными числами такую роль, какой остальныя числа перваго десятка не играютъ. Эти упражненія могутъ быть предложены и на наглядныхъ пособіяхъ, и на задачахъ, а также отличаться отвлеченнымъ характеромъ. (Въ № 17 3. д. уч-лей ученики ознакомляются также съ перемѣною порядка обоихъ слагаемыхъ, въ № 18—съ выраженіемъ «поровну» и «больше», въ № 19—со словами: «столько же» и «по сколько», въ № 20—со словами «получится», «прибавить», «присоединить», «приложить», «сложить»). Въ качествѣ самостоятельныхъ упражненій могутъ быть предложены изъ «Новаго задачника для уч-ковъ»: № 21 (прибавленіе двухъ), № 22 (прибавленіе трехъ), № 23 (прибавленіе четырехъ), № 24 (прибавленіе остальныхъ чиселъ перваго десятка).

Въ чемъ состоитъ, такъ сказать, «секретъ» прибавленія 2-хъ единицъ? Умѣя безошибочно отвѣчать на вопросъ, сколько будетъ 7 да 1, учащійся называетъ число «восемь», непосредственно слѣдующее за семью. А прибавляя къ семи двѣ единицы, онъ долженъ называть число, слѣдующее не за семью, а за восемью. Прибавленіе трехъ единицъ должно дѣлаться на основаніи прибавленія двухъ единицъ. Пусть требуется узнать, сколько будетъ 6 да 3; можно говорить такъ: 6 да 2 восемь, да еще одинъ—девять. Послѣ этого надо повторить: 6 да 3—девять, и т. п. Да и вообще надо факты таблицы сложенія усвоить. — Легче сложеніе одинаковыхъ слагаемыхъ: 2 да 2, з да 3, 4 да 4, 5 да 5. Этимъ тоже надо пользоваться, напр., при прибавленіи четырехъ къ пяти: 4 да 4 восемь, а 5 (удареніе на словѣ пять) да 4—девять, или: 5 да 5 десять, а 5 да 4 (удареніе на словѣ четыре)—девять. Самостоятельныя работы должны служить для укрѣпленія учениковъ въ знаніи занимающей насъ части таблицы сложенія,—въ знаніи, важность котораго они должны постигнуть подъ непосредственнымъ руководствомъ учителя. На этой же ступени (См. 3. д.

уч-лей, 25, и 3. д. уч-ковъ, 26) ученики упражняются также въ сложеніи нѣсколькихъ однозначныхъ слагаемыхъ. Перестановка слагаемыхъ здѣсь уже вполнѣ умѣстна и необходима.

6-я ступень: вычитаніе однозначнаго числа.

§ 23. Далѣе дѣти должны понять необходимость вычитанія одного однозначнаго числа изъ другого (шестая ступень). Для этой цѣли нужны (№ 27 «Новаго задачника для уч-лей») соотвѣтствующія упражненія на наглядныхъ пособіяхъ, и послѣ этихъ упражненій—другія, цѣль которыхъ—выясненіе необходимости дѣйствія вычитанія для рѣшенія нѣкоторыхъ вопросовъ. Условія задачъ и упражненій этого рода не должны выходить за предѣлы простѣйшаго требованія: «отдѣлить нѣсколько единицъ отъ даннаго числа ихъ». Распространеніе понятія о вычитаніи одной единицы изъ даннаго ихъ числа на случай, когда требуется изъ числа вычесть болѣе одной единицы, для учащихся не представляетъ особенныхъ трудностей. Однакоже, было бы преждевременно (на этой, шестой, ступени обученія) особенно настаивать на связи вычитанія со сложеніемъ: это можно лучше сдѣлать только впослѣдствіи. Но этимъ не исключается польза соотвѣтствующихъ самостоятельныхъ упражненій (подъ № 28 «Новаго задачника для уч-ковъ»), въ коихъ эта связь проявляется довольно замѣтнымъ образомъ. Преждевременнымъ точное формулированіе сказанной связи вычитанія со сложеніемъ на этой ступени надо признать потому, что семи и даже восьмилѣтнія дѣти съ большимъ трудомъ уясняютъ себѣ, что задачи такого вида: «сколько надо прибавить единицъ къ 5, чтобы получить 7» и «къ какому числу надо прибавить 2, чтобы получить 9» ведутъ къ вычитанію одного числа изъ другого, а не къ сложенію. Самостоятельныя же упражненія (подъ № 29) могутъ быть исполнены на основаніи однѣхъ только догадокъ, вполнѣ отвѣчающихъ сущности обоихъ дѣйствій и ихъ истинной связи. Эти упражненія полезны также для внесенія большаго разнообразія въ занятія дѣтей. Но надо твердо помнить, что ни въ какомъ случаѣ не слѣдуетъ задавать вопросовъ на сравненіе двухъ чиселъ въ разностномъ отношеніи, въ родѣ, напр., слѣдующаго: «на сколько здѣсь, на столѣ, болѣе предметовъ, чѣмъ на стулѣ?» Задача на наглядныхъ пособіяхъ должна на этой ступени гласить, примѣрно, такъ: «вотъ 6 кубиковъ: отдѣли, отними, отодвинь, откинь два изъ нихъ; сколько оста-

лось?» Дѣти сначала рѣшаютъ такія задачи помощью сосчитыванія оставшихся предметовъ, и этому не слѣдуетъ препятствовать. Не слѣдуетъ препятствовать и рѣшенію дѣтьми задачъ этого рода на пальцахъ. Даже наоборотъ: если дѣти къ пальцамъ не обращаются, но, еще не обладая этимъ средствомъ вычисленія небольшихъ результатовъ, затрудняются въ отсчитываніи въ умѣ, то ихъ слѣдуетъ научить употребленію пальцевъ съ этою цѣлью. Это—одна изъ полезныхъ ступеней развитія въ нихъ интереса къ вычисленію и умѣнія вычислять изустно, безъ нагляднаго пособія. Задачи, допускающія примѣненіе наглядныхъ пособій, должны быть рѣшаемы на самомъ дѣлѣ съ помощью этихъ пособій. Учить ариѳметикѣ на первыхъ ступеняхъ значить учить дѣтей разумно пользоваться наглядными пособіями и съ ихъ помощью учиться ариѳметикѣ

Таблица вычитанія.

§ 24. Усвоеніе т. н. таблицы вычитанія надо вести методически-послѣдовательно, начиная со случая вычитанія, когда вычитаемое равно единицѣ, и переходя постепенно къ случаямъ вычитанія, когда вычитаемое равно двумъ, тремъ и т. д. Уменьшаемое на этой, шестой, ступени, конечно, не должно быть болѣе десяти. Но приступать къ упражненіямъ въ усвоеніи «наизусть» этой части таблицы вычитанія слѣдуетъ только въ томъ случаѣ, когда дѣти вполнѣ понимаютъ не только цѣль дѣйствія вычитанія, но также необходимость и пользу запоминанія результатовъ вычитанія однихъ чиселъ изъ другихъ. Въ противномъ случаѣ заучиваніе, хотя бы даже и хоровое (это упражненіе менѣе утомляетъ учениковъ), этой части таблицы вычитанія будетъ въ нѣкоторомъ смыслѣ насиліемъ надъ дѣтской природою. На этой же ступени можно усвоить послѣдовательное производство сложенія и вычитанія, не выходящее за предѣлы шестой ступени. Работая надъ выполненіемъ самостоятельныхъ упражненій, учащіеся будутъ усвоивать себѣ часть «таблицы вычитанія» наизусть. Можетъ-быть, здѣсь же зародится представленіе о связи вычитанія со сложеніемъ.

7-я ступень: сложеніе десятка съ числомъ перваго десятка и соотвѣтствующее вычитаніе.

§ 25. Прежде чѣмъ перейти къ сложенію чиселъ, сумма которыхъ больше десяти, должно вернуться къ сложенію одного десятка съ нѣсколькими единицами, не составляющими десятка, и къ разложенію чиселъ, отъ одиннадцати до девятна-

дцати включительно, на сумму одного десятка съ нѣкоторымъ однозначнымъ числомъ единицъ. Это—седьмая ступень обученія.

Сумма и разность меньше 20-ти.

Необходимо замѣтить, что упражненія въ такомъ сложеніи числа, большаго десяти и меньшаго двадцати, съ однозначнымъ числомъ, которое (сложеніе) даетъ въ суммѣ число, меньшее двадцати, не преждевременны на этой, восьмой, ступени обученія. Они также могутъ быть разсматриваемы съ точки зрѣнія примѣненія къ нимъ общаго правила сложенія многозначныхъ чиселъ, но это дѣла не измѣняетъ. Въ такой же мѣрѣ нельзя считать преждевременными изустныя упражненія въ вычитаніи изъ двузначнаго числа, меньшаго двадцати, всякаго однозначнаго числа, дающемъ въ остаткѣ не меньше десяти. Откладывать же сознательное сложеніе и вычитаніе въ этихъ случаяхъ (12+3 или 19—2 и т. п.) до ознакомленія дѣтей съ правилами письменнаго производства этихъ дѣйствій прямо невозможно. Это было бы ни съ чѣмъ не сообразно.

На седьмой ступени счетъ или сложеніе и вычитаніе?

§ 26. Лицу, не учившему или мало учившему дѣтей начальной ариѳметикѣ, можетъ показаться, что седьмая ступень является излишнею, такъ какъ въ ней какъ бы повторяется нумерація чиселъ второго десятка. Но на самомъ дѣлѣ это не совсѣмъ такъ. Дѣло въ томъ, что когда мы, считая, дошли до 10-ти, а потомъ считаемъ 11,12,13, 14 и т. д. до 20-ти включительно, то, конечно, можно подумать, что мы находимъ суммы десятка съ нѣкоторымъ числомъ перваго же десятка. Но это только такъ кажется: мы только считаемъ. Нѣтъ чиселъ, данныхъ для сложенія, а есть только предметы, которые мы должны сосчитать. Счетъ—не сложеніе, и съ помощью счета мы только добываемъ нѣкоторыя числа, которыя можно разсматривать какъ нѣкоторыя суммы, но дѣйствія сложенія данныхъ чиселъ мы не дѣлаемъ. Но, чтобы разсматривать 14, какъ нѣкоторую сумму, составленную изъ одного десятка и четырехъ отдѣльныхъ единицъ, не достаточно только знать числительное имя «четырнадцать», этимологически, впрочемъ, состоящее изъ трехъ словъ: «четыре», «на» и «дцать» (послѣднее замѣняетъ «десять»). Когда мы предлагаемъ задачу: «сколько будетъ всѣхъ яицъ, если взять одинъ десятокъ яицъ и еще 7 штукъ», то эта задача представляетъ собою не задачу на счетъ, а задачу именно на сложеніе, и требуется

не счетомъ найти сумму этихъ двухъ чиселъ, а тѣмъ именно способомъ, который является сложеніемъ. Въ чемъ же состоитъ, если можно такъ выразиться, сущность сложенія? Сущность его въ томъ именно и состоитъ, что рѣшающій задачу долженъ себѣ представить, что у него есть 10 и, сверхъ этихъ десяти, еще 7 единицъ, и что этотъ десятокъ вмѣстѣ съ семью составляютъ это число 17, которое, впрочемъ, можно найти, сосчитавши всѣ единицы. Задачу эту, конечно, можно разрѣшить съ помощью счета, но въ томъ-то и дѣло, что ее и подобныя ей задачи надо рѣшать безъ этой помощи, а путемъ соображеній и особаго навыка. Аналогичное, притомъ еще въ большей степени, относится до вычитанія. Изъ числа второго десятка надо вычесть такое число единицъ, чтобы въ остаткѣ получился десятокъ, или обратно—изъ числа второго десятка вычесть одинъ десятокъ. Конечно, достаточно только умѣть считать для того, чтобы безошибочно и быстро рѣшать задачи, подобныя слѣдующей: «У крестьянки было 17 цыплятъ, изъ нихъ она продала 7 пѣтушковъ, сколько у ней осталось цыплятъ?» или «у крестьянки было 18 яицъ, десятокъ она продала, сколько яицъ у ней осталось?» Здѣсь однимъ отсчитываніемъ единицъ задачу рѣшить можно. Но это будетъ отсчитываніе, требующее впослѣдствіи примѣненія счета (сначала отсчитать 10, а потомъ сосчитать, сколько осталось или сначала отсчитать 7, а потомъ сосчитать, сколько осталось). Это—не вычитаніе.

Нецѣлесообразность умноженія и дѣленія въ предѣлѣ перваго десятка на первыхъ ступеняхъ.

§ 27. Почти всѣ русскіе и нѣмецкіе методисты считаютъ цѣлесообразнымъ знакомить учащихся, изучая числа перваго десятка, не только съ дѣйствіями сложенія и вычитанія, но также съ дѣйствіями умноженія и дѣленія.

Опытъ, однакоже, показываетъ, что въ очень многихъ случаяхъ, когда мы, взрослые, считаемъ, что мы примѣнили дѣйствіе умноженія или дѣленія, учащіеся чаще всего настаиваютъ на томъ, что они прибѣгли для рѣшенія той или иной задачи къ сложенію. Пусть, напр., предложена задача: «что стоятъ 2 колача, если колачъ стоитъ 5 коп.?» Малолѣтній учащійся, еще не знающій умноженія, отъ котораго учитель требуетъ уразумѣнія, что здѣсь требуется умноженіе, говоритъ, что 2 колача стоятъ 10 коп., а на вопросъ о томъ, почему онъ такъ думаетъ, отвѣчаетъ, что 5 да 5 будетъ 10.

На вопросъ же о томъ, какое онъ совершилъ дѣйствіе или что онъ сдѣлалъ, онъ отвѣчаетъ: «я сложилъ 5 и 5». Равнымъ образомъ, если предложить учащемуся задачу: «почемъ обошелся карандашъ, если за два карандаша заплачено 6 коп.?», то онъ отвѣчаетъ, что карандашъ обошелся въ 3 коп., а на вопросъ о томъ, какъ онъ это разсчиталъ, онъ отвѣчаетъ: «3 да 3 будетъ 6». Если перебрать всѣ случаи перемноженія чиселъ и всѣ случаи, когда, по мнѣнію взрослаго, требуется раздѣленіе числа перваго десятка на извѣстное число одинаковыхъ частей и на извѣстныя части, то получится, что подавляющее большинство этихъ задачъ рѣшается гораздо проще сложеніемъ, чѣмъ тѣми дѣйствіями, понятіе о которыхъ мы хотимъ дать учащимся, и въ которыхъ они не видятъ никакой надобности. Дѣйствительно: при умноженіи чиселъ перваго пятка чиселъ на 2, такъ же легко вычислить, сколько будетъ 5 да 5, 4 да 4, 3 да 3, 2 да 2 и 1 да 1, какъ вычислить, опредѣлить, сколько получится, если «помножить» данное число перваго пятка на 2. Сокращенія записи при этомъ тоже не наблюдается, ибо записать ли 3+3=6 или же записать 3×2=6, количество записанныхъ знаковъ и количество потраченнаго труда—одинаково. Болѣе того: запись въ видѣ сложенія гораздо вразумительнѣе для учащихся, чѣмъ запись съ помощью знака умноженія. Въ случаѣ, когда требуется сложить три одинаковыхъ слагаемыхъ въ предѣлѣ перваго десятка, то эти случаи сводятся только къ слѣдующимъ тремъ:

1+1+1, 2+2+2, 3+3+3.

Конечно, эти записи занимаютъ больше мѣста, чѣмъ записи умноженія:

1×3, 2×3, 3×3,

но незначительно больше. А для учащагося первыя вразумительнѣе. Если же обратиться къ задачамъ, для рѣшенія которыхъ, по мнѣнію учителя, надо будто бы совершить умноженіе, то легко увидѣть, что учащійся и для рѣшенія этихъ задачъ охотнѣе будетъ прибѣгать къ извѣстному ему дѣйствію сложенія, смыслъ котораго онъ уже понимаетъ, чѣмъ къ дѣйствію умноженія, понятіе о которомъ мы только собираемся ему привить. Болѣе того: его на этихъ ступеняхъ слѣдуетъ прямо научить разсужденію нѣсколько иного рода, чѣмъ то, которое тре-

буется для установленія понятія объ умноженіи. «Что стоятъ три карандаша, если карандашъ стоитъ 3 коп.?» Учащійся долженъ на первыхъ порахъ эту задачу рѣшать такъ: «за первый 3 коп., за второй 3, за оба 6, и еще за одинъ 3 копейки,—6 да 3 будетъ 9, за всѣ карандаши заплачено 9 коп.» Это гораздо полезнѣе, чѣмъ если ученикъ научится машинально писать 3×3 и, въ угоду намъ, будетъ говорить, что онъ будто бы три «беретъ» 3 раза, а на самомъ дѣлѣ не будетъ понимать, въ чемъ тутъ дѣло. При умноженіи же на 4, встрѣчается только одинъ случай въ предѣлѣ перваго десятка: 2×4. Предложена задача: «карандашъ стоитъ 2 коп., что стоятъ 4 карандаша?» Учащійся можетъ разсуждать при этомъ такъ: «если бы за карандашъ заплачено было по копейкѣ, то за 4 карандаша было бы заплачено 4 коп.; надо отдать еще по 1 коп., стало-быть, заплатимъ еще 4 коп., всего уплатимъ 8 коп.» Это опять-таки на низшихъ ступеняхъ обученія будетъ гораздо полезнѣе, чѣмъ навязанная учащемуся запись: 2×4 — 8, которой смыслъ раскроется для него только тогда, когда ему дѣйствительно встрѣтится надобность на особомъ пріемѣ при производствѣ умноженія, — въ томъ пріемѣ, который является только примѣненіемъ одного изъ фактовъ таблицы умноженія.

Вслѣдствіе этихъ соображеній, въ книгахъ составителя этой «Методики ариѳметики для учителей начальныхъ школъ», въ теченіе многихъ лѣтъ, не выдѣлялось умноженіе для случаевъ, когда отъ умноженія получается не болѣе 10-ти. Равнымъ образомъ не вводилось также и дѣленіе, относительно котораго справедливы аналогичныя разсужденія, которыя приведены выше относительно умноженія. Въ этой книгѣ (и въ «Новыхъ задачникахъ Шохоръ-Троцкаго» для учителей и учениковъ начальныхъ школъ) умноженіе отнесено къ тѣмъ ступенямъ обученія, которыя слѣдуютъ за ступенями, посвященными сложенію и вычитанію чиселъ, когда сумма больше десяти, но не больше двадцати, а уменьшаемое тоже болѣе 10-ти, но не больше 20-ти. Въ нѣкоторыхъ учебникахъ по начальной математикѣ, обнародованныхъ въ Америкѣ, авторы этихъ учебниковъ держатся того же взгляда на умноженіе и дѣленіе, который приведенъ выше, и котораго авторъ этой «Методики ариѳметики для учителей начальныхъ школъ» держится уже въ теченіе свыше четверти вѣка.

Значеніе таблицы умноженія.

§ 28. Умноженіе и дѣленіе получаютъ смыслъ только благодаря тому, что существуетъ таблица умноженія, и тому, что эту таблицу можно усвоить себѣ наизусть. Въ первомъ десяткѣ она столь незначительна, что ея существованіе для ученика остается не осознаннымъ, и ея польза—неощутительной. Образовать же себѣ понятіе объ умноженіи и дѣленіи, покуда произведеніе не больше 10-ти и дѣлимое не больше 10-ти, приблизительно столь же трудно, какъ образовать себѣ понятіе о томъ, что такое извлеченіе корня, если имѣть въ виду только квадратные корни изъ 4, 9, 16, 25 и т. д. до 100 включительно. На вопросъ о томъ, какое число надо помножить на то же самое число, чтобы получить 36, человѣкъ, знающій только таблицу умноженія, смѣло заявитъ, что это число равно шести, и на вопросъ о томъ, какъ онъ это узналъ, онъ сошлется на то обстоятельство, что шестью-шесть—тридцать шесть. Если же ему сказать, что онъ при этомъ извлекъ «квадратный корень» изъ тридцати шести, онъ, конечно, намъ не повѣритъ и будетъ совершенно правъ. Если же онъ не имѣетъ никакого представленія о томъ, что такое квадратный корень, онъ, само собою разумѣется, прямо не пойметъ этого замѣчанія. Съ вашей же стороны будетъ самообольщеніемъ, ежели вы будете на основаніи его вѣрнаго отвѣта думать, что вы ему дали понятіе о дѣйствіи извлеченія квадратнаго корня. Въ такомъ же положеніи находится малолѣтній учащійся, когда вы ему говорите, что для того, чтобы узнать, что стоятъ два колача по 3 коп. за штуку, надо 3 коп. умножить на 2, или 3 коп. «повторить» 2 раза, или, что еще хуже, 3 копейки «взять» 2 раза. Онъ, все равно, будетъ складывать 3 да 3 для того, чтобы рѣшить эту задачу. Только впослѣдствіи, когда безъ дѣйствія умноженія не обойтись, онъ, путемъ обобщенія, пойметъ, что при сложеніи даже двухъ небольшихъ, но равныхъ между собою слагаемыхъ, хотя бы каждое изъ нихъ равнялось одной единицѣ, можно говорить, что мы совершаемъ такъ называемое умноженіе, являющееся дѣйствіемъ особаго рода.

Аналогичное справедливо для дѣленія. Учащійся это дѣйствіе будетъ, покуда онъ вращается въ предѣлѣ чиселъ перваго десятка, производить съ помощью сложенія. На вопросъ о томъ, сколько разъ 4 содержится въ восьми, если онъ понимаетъ, о чемъ его спрашиваютъ, онъ отвѣтитъ: «два

раза», и на вопросъ вашъ о томъ, почему онъ такъ думаетъ, онъ вамъ отвѣтитъ: «4 да 4 восемь». Наконецъ, на вопросъ о томъ, что онъ сдѣлалъ, онъ вамъ отвѣтитъ, что онъ сложилъ 4 да 4. Только въ нѣкоторыхъ случаяхъ дѣленія учащійся будетъ нѣсколько затрудненъ. Пусть предложена, напр., задача: «сколько карандашей можно купить на 10 коп., если карандашъ стоитъ 2 коп.?» Учащійся, если понимаетъ, въ чемъ дѣло, захочетъ примѣнить и примѣнитъ сложеніе, и въ очень скоромъ времени добьется того результата, который вамъ нуженъ. Но что онъ при этомъ дѣлалъ дѣленіе, это для него будетъ только потому болѣе или менѣе пріемлемымъ, что вы ему говорите, будто онъ дѣлалъ дѣленіе. Если же вы ему предложите вопросъ, что стоитъ колачъ, если 2 колача стоятъ 8 коп., то въ этомъ случаѣ онъ, навѣрное, отвѣтитъ вамъ, что колачъ стоитъ 4 коп., а на вопросъ о томъ, какъ онъ это узналъ, скажетъ или даже напишетъ: 4+4=8. Вотъ почему не слѣдуетъ вводить умноженія для чиселъ, дающихъ числа перваго десятка, а также дѣленія числа перваго десятка на извѣстное число одинаковыхъ частей и на извѣстныя части. Восьмая ступень поэтому посвящена не умноженію и дѣленію чиселъ перваго десятка, а сложенію такихъ двухъ однозначныхъ чиселъ, сумма которыхъ больше десяти, и вычитанію однозначнаго числа изъ числа второго десятка, дающему въ результатѣ число перваго же десятка.

8-ая ступень: сумма двухъ однозначныхъ чиселъ больше десяти.

§ 29. На восьмой ступени курса можно приступить къ сложенію двухъ однозначныхъ чиселъ, дающему въ суммѣ болѣе десяти, а также къ сложенію двузначнаго числа, меньшаго двадцати, съ однозначнымъ, дающему въ суммѣ также не болѣе двадцати. Прежде всего должно убѣдить дѣтей, что сложеніе такихъ чиселъ иногда требуется. Съ дѣтьми это должно проработать сначала на наглядныхъ пособіяхъ, потомъ— на задачахъ (напр., изъ «Новаго задачника для учителей»). Когда они убѣдились въ возможности такихъ задачъ и поняли смыслъ ихъ, они поймутъ, во-первыхъ, что самая сущность процесса сложенія въ этомъ случаѣ состоитъ въ томъ, что сумма однихъ слагаемыхъ, напр., 6 и 7, сводится къ суммѣ другихъ двухъ: 10 и 3, и во-вторыхъ, что запомнить наизусть суммы, происходящія отъ сложенія двухъ однозначныхъ чиселъ, не только возможно и полезно, но почти необходимо.

Способъ составленія суммы.

§ 30. Сущность процесса сложенія двухъ однозначныхъ чиселъ, сумма которыхъ больше десяти, какъ выше замѣчено, состоитъ въ томъ, что каждая такая сумма двухъ слагаемыхъ замѣняется суммою другихъ двухъ слагаемыхъ, изъ которыхъ одно равно десяти. Такъ, напр., если дано сложить 7 и 8, то, отдѣливъ отъ 8-ми единицъ три и прибавивъ къ 7-ми эти три единицы, мы получимъ 10, а присоединивъ къ этой суммѣ остальныя пять единицъ изъ числа восьми единицъ второго слагаемаго, мы получимъ 10 + 5, или 15. Дѣти должны вполнѣ овладѣть этимъ пріемомъ, прежде чѣмъ перейти къ упражненіямъ въ усвоеніи наизусть, подъ руководствомъ учителя, остальной, имъ еще неизвѣстной, части таблицы сложенія. Способъ сложенія двухъ однозначныхъ чиселъ, дающаго въ суммѣ болѣе десяти, зависитъ большею частью отъ того, что десятокъ и легко составить, и легко сложить съ однозначнымъ числомъ. Но часто замѣчается, что дѣти легко складываютъ одинаковыя числа (6 да 6, 7 да 7 и т. д.) и прибѣгаютъ, гдѣ это можно сдѣлать, къ этому сложенію. Напр., 8 да 7 они отыскиваютъ такъ: 8 да 8 — шестнадцать, долой одинъ, пятнадцать. Этому не только не надо препятствовать, но учащихся надо въ этомъ направленіи, гдѣ это цѣлесообразно, поощрять. Но необходимо все-таки достигнуть также того, чтобы дѣти составляли сознательно десятокъ и сознательно оперировали бы надъ нимъ. Это особенно необходимо въ тѣхъ случаяхъ, когда разность между данными слагаемыми значительна. Таковы, напр., суммы: 9+2; 8 +3; 7 +4; 9+4; 8+4 и т. п.

Составленіе десятковъ при вычитаніи.

§ 31. Способъ вычитанія однозначнаго числа изъ двузначнаго, при которомъ получается однозначный остатокъ (12—5), основанъ на томъ, что десятокъ очень легко составить и что изъ десятка вычесть тоже нетрудно. Все дѣло только въ томъ, чтобы ученикъ предварительно научился этимъ примѣненіямъ вычитанія. Вычитаніе въ этомъ случаѣ даже легче сложенія: десятокъ составляется вычитаніемъ изъ числа второго десятка легче, чѣмъ сложеніемъ—изъ однозначнаго числа.

Утвержденіе больше на столько-то.

§ 32. Здѣсь умѣстно ознакомить дѣтей съ утвердительнымъ выраженіемъ «на столько-то больше». Работа можетъ итти въ слѣдующемъ, примѣрно, порядкѣ: ставлю (при этомъ учитель долженъ дѣ-

лать то, что онъ говоритъ) на столъ 6 кубиковъ; въ сторонѣ ставлю тоже 6 и еще 3 кубика; здѣсь, стало-быть, 6 кубик., а тутъ—тоже 6 кубиковъ, да еще 3...1) Это выражаютъ и иначе,—говорятъ: «здѣсь 6 кубиковъ, а тутъ на три кубика больше»... Теперь я кладу сюда 4 кубика, а сюда—4 да еще 2, и говорю: «здѣсь 4 кубика, а здѣсь на два кубика больше». Такъ ли я сказалъ?.. У меня въ одномъ карманѣ 4 коп., въ другомъ на двѣ копейки больше. Что это значитъ? (Это значитъ, что въ другомъ карманѣ тоже 4 коп., да еще двѣ)... У одного крестьянина въ огородѣ 7 грядокъ, а у другого — на 4 грядки больше» и т. д. При этомъ вопросительная форма «на сколько больше?» представляетъ свои (новыя) трудности, которыя въ этотъ моментъ обученія не умѣстны.

Утвержденіе: на столько-то меньше.

§ 33. Терминъ «на столько-то меньше» (въ утвердительной формѣ) можно проработать, примѣрно, слѣдующимъ образомъ. «Ставлю на столъ 8 кубиковъ и въ сторонѣ (на тетрадь) столько же, т.-е. тоже 8 кубиковъ; съ тетради снимаю три кубика. Что я сдѣлалъ?— Сколько на тетради не хватаетъ кубиковъ для того, чтобы на ней было столько же кубиковъ, сколько на столѣ? (Не хватаетъ трехъ, которые вы сняли съ тетради.) — Кладу на одну проволоку счетовъ 10 шариковъ и на другую тоже 10; со второй проволоки отбрасываю 4 шарика. Сколько шариковъ не хватаетъ на второй проволокѣ для того, чтобы на ней было столько же, сколько на первой? (Не хватаетъ 4-хъ, которые вы сбросили.)—Придумайте сами такія задачи!—Это говорятъ иначе: на столѣ 8 кубиковъ, а на тетради на 3 кубика меньше.—Что это значитъ? (Это значитъ, что на тетради не хватаетъ 3-хъ кубиковъ для того, чтобы было 8.)—У меня въ одной рукѣ 15 спичекъ, а въ другой на 4 спички меньше. Что это значитъ?.. И т. д.—У меня въ одной рукѣ 15 спичекъ, а въ другой на 4 спички меньше; выходитъ такъ: какъ будто раньше въ другой рукѣ тоже было 15 спичекъ, да кто-то 4 вынулъ изъ лѣвой руки... Въ двухъ ящикахъ поровну перьевъ, а именно, по 17 перьевъ; я вынулъ изъ одного ящика 5 перьевъ; въ немъ перьевъ стало меньше; можно сказать, что въ немъ стало на 5 перьевъ меньше. Сколько же въ немъ оста-

1) Многоточія обозначаютъ, что надо привлечь учениковъ къ повторенію задачи или упражненія, къ описанію того, что сейчасъ было сдѣлано, и т. п.

лось? (17—5, или 12 перьевъ.) — Теперь будемъ рѣшать задачи.—Въ одномъ карманѣ у меня 10 руб., а въ другомъ—на 2 рубля меньше. Сколько у меня денегъ въ другомъ карманѣ? Какъ будто было тоже 10 руб., да кто-то изъ него два рубля вынулъ. (10—2 будетъ 8.) И т. п.

Вопросы: на сколько больше и на сколько меньше?

§ 34. Вопросительная форма тѣхъ же выраженій («на сколько больше или меньше?») требуетъ новой работы. «На столъ кладу 10 кубиковъ, а на стулъ 6; отъ 10 кубиковъ отдѣляю столько же кубиковъ, сколько ихъ на стулѣ, т.-е.?.. (Т.-е. 6 кубиковъ.)...—Узнаю, на сколько кубиковъ на столѣ больше, чѣмъ на стулѣ. — На сколько? — Что я сдѣлалъ?— Въ руку беру 12 палочекъ, а на столъ кладу 7. Отдѣляю отъ 12-ти палочекъ въ рукѣ столько, сколько ихъ на столѣ, т.-е.?.. (Т.-е. 7 палочекъ,) — Узнаю, на сколько у меня въ рукѣ больше палочекъ, чѣмъ на столѣ. — На сколько?' (12—7 будетъ 5.)—И т. д.—Здѣсь 8 кубиковъ, а тутъ 7; гдѣ больше?—На сколько?—Гдѣ меньше?—На сколько?—Въ правомъ карманѣ 10 рублей, въ лѣвомъ—3 р. — Гдѣ больше? — Гдѣ меньше? — На сколько больше?—На сколько меньше?» И т. д. — Эти упражненія требуютъ весьма тщательной отдѣлки.

9-ая ступень: сложеніе нѣсколькихъ слагаемыхъ и умноженіе.

§ 35. На слѣдующей ступени обученія было бы, съ логической точки зрѣнія, вполнѣ естественно перейти къ дальнѣйшему изученію нумераціи чиселъ, большихъ двадцати, и къ производству дѣйствій сложенія и вычитанія надъ подобными числами. Но такимъ образомъ въ обученіе ариѳметикѣ было бы внесено чрезвычайное и весьма вредное въ педагогическомъ отношеніи однообразіе. Во избѣжаніе этого, при томъ съ педагогической точки зрѣнія, на девятой ступени курса надо ввести что-либо новое. Теперь уже умѣстны понятіе и обозначеніе умноженія. Но, прежде чѣмъ перейти къ умноженію, дѣти должны усвоить себѣ возможность и самый смыслъ сложенія нѣсколькихъ цѣлыхъ чиселъ. Ибо умноженіе возникаетъ на первыхъ порахъ только какъ частный случай сложенія нѣсколькихъ чиселъ, — частный случай, въ которомъ мы, вмѣсто одинаковыхъ слагаемыхъ, записываемъ только, какъ велико каждое слагаемое и сколько ихъ счетомъ. Вычисляемъ же результатъ не съ помощью сложенія, а на основаніи нами усвоенныхъ ранѣе суммъ такихъ равныхъ слагаемыхъ, которыя да-

ютъ не больше 20-ти. Итакъ, въ виду чисто-педагогическихъ соображеній, на этой ступени умѣстно введеніе въ курсъ, прежде всего, сложенія нѣсколькихъ слагаемыхъ и умноженія такихъ чиселъ, произведеніе которыхъ сначала не болѣе 20-ти.

Сложеніе нѣск. чиселъ.

§ 36. Займемся поэтому вопросами сложенія нѣсколькихъ, вообще не равныхъ, слагаемыхъ. Необходимость этого дѣйствія дѣти могутъ уяснить себѣ при помощи наглядныхъ пособій и цѣлесообразныхъ задачъ съ условіями. Прежде всего они должны себѣ уяснить смыслъ вопросовъ, требующихъ сложенія нѣсколькихъ слагаемыхъ. Когда это достигнуто, они должны уяснить себѣ, что для производства дѣйствія можно первое слагаемое сложить со вторымъ, а полученную сумму — съ третьимъ, и т. д. (Сюда относятся № 38 «Новаго задачника для учителей» и № 39 «Новаго задачника для уч-въ»). Далѣе ученики уже встрѣчаются со случаемъ сложенія одинаковыхъ слагаемыхъ, съ умноженіемъ, какъ частнымъ случаемъ сложенія, и съ записью умноженія, какъ съ сокращенною записью сложенія. Выше подчеркнуты слова «частнымъ» и «записью» для того, чтобы этимъ указать, что не самое дѣйствіе умноженія есть сокращенное (какъ это нѣкоторые утверждаютъ) сложеніе, а что только запись 5 + 5 + 5 + 5 замѣняется болѣе короткою записью 5×4, и что для возникновенія понятія объ умноженіи недостаточно одного лишь равенства слагаемыхъ. Для этого необходимо еще и существованіе данныхъ нѣкоторой части таблицы умноженія. — Засимъ должно пріучить дѣтей къ записыванію слагаемаго ранѣе всего, потомъ—знака умноженія, и наконецъ — числа равныхъ слагаемыхъ. Запись 5×4 = ученики могутъ сначала читать «пять да пять, да еще пять, да еще пять, будетъ», затѣмъ такъ: «пять да пять, да пять, да пять, будетъ». Умноженіе же выражается словами «четыре раза по пяти будетъ», потомъ—«четырежды пять будетъ» и, наконецъ: «пять, умноженное на четыре, будетъ». Должно строго соблюдать, чтобы дѣти пріучались число, записанное ранѣе знака умноженія, всегда принимать за множимое, а число, обозначенное послѣ знака— за множителя, но отнюдь не обратно. Поэтому записи: 2×3, 2×4, 2×5 и т. д. должно сначала читать не «дважды три», «дважды четыре», «дважды пять», а непремѣнно отъ правой руки къ лѣвой, «трижды два», «четырежды два»,

или «два, помноженное на три», «два, помноженное на четыре» и т. д. Только впослѣдствіи, когда учащіеся уяснили себѣ неизмѣняемость произведенія двухъ отвлеченныхъ чиселъ отъ ихъ порядка, можно запись 3×5 читать безразлично: «трижды-пять», или «пятью-три»1).

Дважды, трижды, и т. д. и перемѣна порядна сомножителей.

§ 37. Съ реченіями «дважды», «трижды», «четырежды», «пятью», «шестью», «семью» и т. д. дѣти должны ознакамливаться не сразу, при чемъ они должны значеніе этихъ реченій усвоить себѣ вполнѣ точно. Лучше, если дѣти сначала говорятъ такъ: «два раза по два», «два раза по три», «три раза по три», и т. д. Ихъ должно пріучить обозначать, помощью цифръ, реченіямъ «пятью-два», «пятью-три» и т. п. слѣдующимъ образомъ: 2 × 5, 3 × 5 и т. д. Должно замѣтить также, что ранѣе, чѣмъ приступить къ упражненіямъ въ усвоеніи части таблицы умноженія чиселъ, произведенія которыхъ не болѣе двадцати, учащіеся должны убѣдиться въ пользѣ и необходимости знанія этой таблицы при разрѣшеніи нѣкоторыхъ вопросовъ. (Для этого нужны задачи въ родѣ предложенныхъ въ № 40 «Новаго задачника для учителей»). Въ условія задачъ и въ упражненія, прорабатываемыя учениками при непосредственной помощи учителя, на этой ступени, конечно, не должно входить «увеличеніе» числа въ нѣсколько разъ.

Перемѣщеніе сомножителей.

§ 38. Особеннаго вниманія заслуживаетъ также перемѣна порядка сомножителей, которую должно здѣсь поставить только на почву упражненія дѣтей надъ наглядными пособіями: шведскими счетами, кубиками, Пиѳагоровой таблицей и спичками. При упо-

1) Настаивать, какъ это дѣлаютъ нѣкоторые, непремѣнно на томъ, чтобы множитель записывался налѣво отъ множимаго, нѣтъ достаточныхъ основаній. Авторитетный математикъ К. Фэрберъ, напр, въ своей „Ариѳметикѣ“ (русскій переводъ Бема и Струве, подъ ред. Волкова, М. 1914) обозначаетъ произведеніе a на b такъ а.b. Онъ же (стр. 18 русскаго перевода) въ примѣчаніи говоритъ: „Иногда пишутъ множитель передъ множимымъ; общаго соглашенія объ ихъ порядкѣ не имѣется“. Въ начальной ариѳметикѣ умножаютъ именованное или предметное число на отвлеченное. Принявъ, что множителя надо писать предъ множимымъ, пришлось бы писать такъ: 3×5 арш. или 7×3 руб.,—что стояло бы въ противорѣчіи съ твердо установившимися у насъ обычаями, не принося дѣлу никакой существенной пользы. Единственное удобство такой записи состояло бы въ томъ, что запись 3×5 аршинъ можно было бы читать такъ, какъ написано, отъ лѣвой руки къ правой, а именно; „три раза пять аршинъ“. Но это удобство повело бы къ неудобству другого рода: пришлось бы читать справа налѣво ту же фразу въ томъ случаѣ, когда мы пожелали бы сказать, что 5 аршинъ помножены на 3.

требленіи первыхъ трехъ пособій надо сначала принимать за множимое горизонтальный рядъ, а число рядовъ—за множителя съ тѣмъ, чтобы потомъ принять вертикальный рядъ за множимое, а число ихъ—за множителя. Ученики должны движеніемъ правой руки показывать ряды, которые они имѣютъ въ виду, и столбцы, къ которымъ они переходятъ: работа мышечнаго чувства здѣсь очень полезна. При употребленіи спичекъ, надо, отнимая отъ каждой кучки по одной спичкѣ, составить новыя кучки. — Особенно быстро къ цѣли приводятъ кубики, рисунки и шведскіе счеты. Надо, чтобы не учитель, а ученики, положили въ горизонтальный рядъ, близко одинъ къ другому,—четыре кубика (шарика), подъ ними — на большемъ разстояніи, чѣмъ на какомъ находятся эти кубики (шарики) одинъ отъ другого,—еще четыре, а подъ этими—еще четыре; послѣ этого имъ надо сдвинуть первые три кубика (шарика) этихъ рядовъ, слѣдующіе три и т. д., а потомъ—полученные столбцы раздвинуть. Стало-быть, сначала будетъ:

Первая изъ этихъ фигуръ даетъ весьма наглядное представленіе о произведеніи 3×4, вторая же — о произведеніи 4×3. Надо при этомъ замѣтить, что къ неизмѣняемости произведенія двухъ сомножителей приходится много разъ, въ теченіе курса, возвращаться, и почти всякій разъ надо исходить изъ мускульной работы учащихся надъ наглядными пособіями. Безъ знанія этого свойства произведенія, вычисленія такихъ произведеній, какъ девятью-два или шестью-три, лишаютъ учениковъ должной настойчивости и ихъ занятія—интереса.—Рисунки учащихся могутъ относиться до 12-ти «баранокъ», нанизываемыхъ на нитки по четыре на нитку, и по три на нитку, и т. п.

Какъ добираться до произведеній?

§ 39. Когда множитель меньше множимаго, до отвѣтовъ надо добираться либо простымъ сложеніемъ, либо (когда въ томъ есть надоб-

ность) умноженіемъ «по частямъ» на основаніи такъ называемаго распредѣлительнаго закона, по которому, напр.,

Когда множитель больше множимаго, надо пользоваться либо перемѣстительнымъ закономъ, по которому, напр.,

либо распредѣлительнымъ, по которому, напр.,

Задачи должны рѣшаться непремѣнно согласно съ частностями каждаго отдѣльнаго случая. «Куплено 5 фунтовъ хлѣба по 2 коп. за фунтъ; что заплачено за хлѣбъ?» Рѣшать эту задачу лучше всего такъ: отдадимъ по копейкѣ за фунтъ; тогда заплатимъ 5 коп.; но надо отдать еще по копейкѣ за фунтъ; тогда заплатимъ еще 5 коп. Другая задача: «въ каждой изъ шести кучекъ два орѣха; сколько во всѣхъ кучкахъ?» Въ каждой кучкѣ по одному орѣху и еще по одному орѣху, т.-е. 6 орѣховъ, да еще 6 орѣховъ, и т. д. Только на наглядныхъ пособіяхъ, имѣющихся на-лицо, да на отвлеченныхъ числахъ можно осуществить перемѣщеніе сомножителей; въ задачахъ же на воображаемые предметы лучше пользоваться закономъ распредѣлительнымъ.

Утвержденіе: во столько-то разъ больше.

§ 40. Утвержденіе «во столько-то разъ больше» въ случаяхъ, когда оно требуетъ умноженія, можно прорабатывать, связавъ съ уже усвоеннымъ смысломъ выраженіе «на столько-то больше», примѣрно, слѣдующимъ образомъ: Я кладу на столъ 4 кубика, а сюда—4 да еще 2, и говорю: «Здѣсь 4 кубика, а здѣсь на два кубика больше». Такъ ли я сказалъ?.. У меня въ одномъ карманѣ 4 коп., въ другомъ на двѣ копейки больше; что это значитъ? (Это значитъ, что въ другомъ карманѣ тоже 4 коп., да еще двѣ)... У одного крестьянина въ огородѣ 7 грядокъ, а у другого—на 4 грядки больше... И т. д. Для выраженія «во столько-то разъ больше» рядъ цѣлесообразныхъ задачъ и упражненій можетъ быть слѣдующій: «Я кладу на стулъ 4 кубика; на столъ же я кладу другіе 4 кубика, да еще 4, да еще 4, т.-е. 3 раза по 4 кубика. — Что я сдѣлалъ?»...—Въ такомъ случаѣ говорятъ: «На стулѣ 4 кубика, а на столѣ въ

три раза (или втрое) больше»...—Говорятъ не «три раза больше», а «въ три раза больше»...—У меня въ одномъ карманѣ 5 копеекъ, а въ другомъ въ два раза больше.— Что это значитъ? (Это значитъ, что въ другомъ карманѣ 5 коп. да еще 5 коп. или два раза по 5 коп.).—Говорятъ: «въ два раза больше», а не «два раза больше»...—Самостоятельныхъ, въ этомъ направленіи, работъ учениковъ нѣтъ на этой ступени. Но съ этого момента учитель можетъ смѣло употреблять въ своихъ задачахъ выше разсмотрѣнныя выраженія, конечно, только въ утвердительной (а не въ вопросительной) формѣ. Надо, какъ и въ другихъ случаяхъ, требовать отъ учениковъ, чтобы они сами сочиняли задачи (на карандаши, кубики, грифеля, яблоки). Пока учащіеся не освоились съ дѣленіемъ, выясненіе смысла выраженія: «во столько-то разъ меньше?» и вопроса: «во сколько разъ больше или меньше», конечно, неумѣстно по логическимъ и методическимъ основаніямъ.

Сочетанія новаго предлога «въ» съ числительными именами «три», «четыре», «пять», «шесть», «семь», представляютъ для учащихся нѣкоторую трудность, такъ какъ звукъ в въ этихъ случаяхъ обращается въ звукъ ф (слышно: фтри, фчетыре, фпять и т. д.). Опытъ показываетъ, что лучше дѣло идетъ съ сочетаніями «въ два раза», «въ девять разъ», «въ десять разъ», «въ одиннадцать разъ» и «въ двѣнадцать разъ» (звукъ в слышенъ). Потомъ и сочетанія «въ три», «въ четыре» учащимся становятся понятными. Надо достигнуть пониманія смысла этихъ сочетаній. Поэтому можно результатовъ не вычислять, а если необходимо вычислить, то, конечно, сложеніемъ.

О дѣленіи обоего рода въ предѣлѣ чиселъ первыхъ двухъ десятковъ.

§ 41. Выбравшись за предѣлы первыхъ двухъ десятковъ, учащіеся могутъ пріобрѣсти болѣе или менѣе ясныя представленія о дѣленіи чиселъ на извѣстное число одинаковыхъ частей и о дѣленіи чиселъ на извѣстныя части. Какъ мы видѣли выше, числа перваго десятка не представляютъ достаточно цѣлесообразнаго матеріала для возникновенія яснаго представленія о дѣленіи, какъ объ особомъ дѣйствіи. Числа перваго десятка слишкомъ незначительны, и почти всѣ задачи на дѣленіе числа перваго десятка на извѣстное число одинаковыхъ частей и на извѣстныя части учащимися сводятся къ болѣе для нихъ доступнымъ дѣйствіямъ сложенія (ср. § 27 этой главы). Только впослѣдствіи они въ состоя-

ніи уяснить себѣ, что для раздѣленія десяти единицъ на двѣ одинаковыя части можно какъ бы прибѣгнуть къ особому дѣйствію, или, вѣрнѣе, что этотъ случай можно считать особымъ дѣйствіемъ, которое называется дѣленіемъ, и что вопросовъ этого рода не надо рѣшать съ помощью сложенія. Въ этомъ изданіи «Методики ариѳметики» и въ «Новыхъ задачникахъ» того же составителя для учителей и для учениковъ начальныхъ школъ, какъ и въ болѣе раннихъ изданіяхъ нѣкоторыхъ книгъ его, умноженіе и дѣленіе появляются послѣ сложенія и вычитанія въ предѣлѣ чиселъ первыхъ двухъ десятковъ. Въ поименованныхъ книгахъ содержаніе десятой ступени преимущественно и сводится къ дѣленію числа, которое больше 10-ти, но не больше 20-ти, на извѣстныя части, и къ смежнымъ упражненіямъ геометрическаго содержанія.

Слѣдуетъ ли или не слѣдуетъ различать дѣленіе двоякаго рода?

§ 42. Вопросъ о томъ, надо ли или не надо при обученіи различать два дѣйствія дѣленія (дѣленіе на извѣстное число одинаковыхъ частей и дѣленіе на извѣстныя части) въ настоящее время сталъ почему-то спорнымъ. Такъ, въ предисловіи къ русскому переводу «Начальной ариѳметики» Уэнтворта и Рида, изданному подъ редакціей и съ дополненіями г. Мрочека, читаемъ: «Съ методической и даже математической точекъ зрѣнія настоящая книга вноситъ нѣкоторыя весьма желательныя новшества, которыя необходимо привѣтствовать. На первомъ планѣ—дѣленіе, которое у Уэнтворта одно, а именно — дѣленіе по содержанію (курсивъ подлинника). Что двойной видъ дѣленія—математическая нелѣпость, это въ настоящее время прописная истина; но, къ сожалѣнію, до сихъ поръ существуютъ защитники методическаго двойного дѣленія: они — въ рядахъ защитниковъ счета и присчитыванія. Здѣсь не мѣсто разбивать ихъ слабую аргументацію; желающіе увидятъ, какъ умѣло и просто рѣшаетъ вопросъ о дѣленіи Уэнтвортъ, показывая одновременно, что дѣленіе на части есть не что иное, какъ замаскированное дѣленіе по содержанію» (стр. XVIII). На третьей страничкѣ обложки «Букваря-задачника по ариѳметикѣ» г. Игнатьева читаемъ: «Многіе безрезультатно, а то и съ вредомъ для дѣла, тратятъ слишкомъ много усилій на выясненіе «двухъ видовъ» дѣленія: на равныя части и по содержанію, въ то время какъ дѣйствіе-то одно. Предлагаютъ даже вводить для одного и того же дѣйствія два

разныхъ знака. Не входя по этому поводу въ разговоры, скажемъ, что на первыхъ ступеняхъ обученія ариѳметикѣ всякія разсужденія (жирно у автора) съ дѣтьми по этому поводу излишни. Достаточно съ первыхъ же шаговъ только подвести дѣтей къ дѣленію, какъ это сдѣлано у насъ». По поводу взглядовъ, только-что приведенныхъ, можно отмѣтить слѣдующее. Въ первой части большой «Энциклопедіи математическихъ наукъ», издаваемой въ Лейпцигѣ и Парижѣ, при содѣйствіи академій наукъ (Мюнхенской и Вѣнской) и «Научнаго общества» въ Геттингенѣ, подъ редакціею и въ сотрудничествѣ крупнѣйшихъ математиковъ настоящаго времени, читаемъ (стр. 16 нѣмецкаго изданія): «Какъ вычитаніе, такъ равно и дѣленіе имѣетъ съ точки зрѣнія логической два обратныхъ дѣйствія; ибо какъ пассивный сомножитель (множимое), такъ и сомножитель активный (множитель) можетъ быть при этомъ искомымъ числомъ. Если дѣлимое—именованное число, то отысканіе дѣлителя называется дѣленіемъ, а отысканіе множителя— измѣреніемъ. Вслѣдствіе справедливости перемѣстительнаго закона для отвлеченныхъ чиселъ, нѣтъ необходимости различать въ этомъ случаѣ оба дѣйствія, обратныя умноженію». Авторомъ статьи, посвященной «Основамъ ариѳметики», въ упомянутой выше «Энциклопедіи» является не кто иной, какъ Шубертъ, — имя, достаточно авторитетное въ области математики. Въ другой книгѣ, посвященной научному построенію ариѳметики, а именно въ «Ариѳметикѣ» Фэрбера (стр. 27) читаемъ: «Задачу объ отысканіи, по числамъ а и Ъ, такого числа с, чтобы а равнялось Ъ.с, записываютъ такъ: с = а:Ъ, и называютъ а дѣлимымъ, Ъ — дѣлителемъ, с — частнымъ, а самое дѣйствіе, посредствомъ котораго по даннымъ а и Ъ находятъ с, называютъ дѣленіемъ. Нахожденіе по данному произведенію и второму сомножителю с перваго сомножителя Ъ, въ силу коммутативнаго закона для поименованныхъ сомножителей, представляетъ ту же задачу. Если же А и В — именованныя числа и, слѣдовательно, представляютъ множества однородныхъ объектовъ, а с — число не именованное, то можно, съ одной стороны, по даннымъ А и с, искать множество В, которое удовлетворяетъ равенству А=Вс; это множество называютъ с-ою частью А; съ другой стороны, если даны А и В, можно искать число с, которое должно показывать, какою кратностью относительно В обладаетъ множество А, или иначе,

сколько разъ В содержится въ А. Въ первомъ случаѣ дѣленіе называютъ дѣленіемъ на части, а во второмъ—измѣреніемъ (дѣленіемъ по содержанію)». Такимъ образомъ, въ научной математической литературѣ вовсе не считается «прописной истиной», что «нелѣпо» различать два вида дѣленія: 1) дѣйствіе дѣленія на извѣстное число равныхъ частей и 2) дѣйствіе дѣленія на извѣстныя равныя части (или короче: такъ наз. «дѣленіе на части» и такъ называемое «дѣленіе по содержанію»). Съ методической же точки зрѣнія, различное въ логическомъ и фактическомъ смыслахъ должно и въ учебномъ предметѣ строго различать. Ибо нѣтъ основаній къ несвоевременному обобщенію математическихъ понятій, разъ для этого обобщенія еще нѣтъ достаточныхъ данныхъ. — Къ двумъ знакамъ для обозначенія дѣленія тоже нѣтъ основаній относиться презрительно. Особенно полезны два знака именно на первыхъ порахъ, когда, согласно принципамъ наглядности пріемовъ обученія, всѣ задачи рѣшаются на наглядныхъ пособіяхъ и касаются, въ дальнѣйшемъ, только конкретныхъ данныхъ, въ которыхъ встрѣчаются не только именованныя, но и предметныя числа.—Для учащагося должны быть совершенно различны вопросы о томъ, сколько колачей по 5 коп. можно купить на 10 коп., и почемъ обойдется колачъ, если куплено 5 одинаковыхъ колачей, и за нихъ заплачено 10 коп.

Который видъ дѣленія долженъ занимать первое мѣсто?

§ 43. Принимая вышеизложенное во вниманіе, составитель этой книги и приноровленныхъ къ ней задачниковъ, много лѣтъ тому назадъ различалъ дѣленіе двоякаго рода, при чемъ для болѣе полной ихъ характеристики называетъ одно дѣленіе дѣленіемъ на извѣстное число равныхъ частей, а другое — дѣленіемъ на извѣстныя равныя части. Который изъ обоихъ видовъ дѣленія долженъ предшествовать другому—вопросъ, съ методической точки зрѣнія, вѣроятно, разрѣшимый только путемъ экспериментальнаго изслѣдованія. Вопросъ въ томъ, что для учащихся удобнѣе? Мой личный опытъ и опытъ нѣкоторыхъ друзей «методы цѣлесообразныхъ задачъ» показалъ, что на первыхъ ступеняхъ обученія учащихся болѣе интересуетъ разложеніе даннаго числа предметовъ на группы («кучки») съ одинаковымъ числомъ предметовъ въ каждой группѣ. Съ точки зрѣнія психологической, измѣреніе, вѣроятно, тоже проще и должно предшествовать

дѣленію на извѣстное число равныхъ частей. Процессъ измѣренія одного отрѣзка прямой другимъ отрѣзкомъ требуетъ несравненно меньше познаній въ области геометріи, чѣмъ процессъ вѣрнаго раздѣленія даннаго отрѣзка на извѣстное число одинаковыхъ частей. Поэтому въ этой книгѣ и въ «Новыхъ задачникахъ» того же составителя дѣленіе на извѣстныя части предшествуетъ, въ предѣлѣ чиселъ первыхъ двухъ десятковъ, дѣленію на извѣстное число одинаковыхъ частей.

10-ая ступень: дѣленіе на извѣстныя части.

§ 44. Десятая ступень отведена дѣленію числа, не большаго 20-ти, на извѣстныя части. Первыми упражненіями на этой ступени должны бы быть упражненія лабораторнаго характера, а именно измѣреніе одной конечной прямой линіи другою, сравненіе вѣса одинаковыхъ предметовъ, взятыхъ въ разныхъ количествахъ и т. п. Для этихъ цѣлей были бы пригодны бумажныя ленты, палочки и т. п. На этой ступени дѣти могутъ усвоить длину дюйма и число дюймовъ въ половинѣ и въ четверти аршина и т. п. Здѣсь же можно заронить въ умы учащихся важное представленіе о томъ, что одна величина «содержитъ» другую нѣсколько разъ. Благодаря упражненіямъ въ измѣреніи, учащіеся вводятся въ интересы измѣренія.—Опытъ показываетъ, что если начинать съ дѣленія извѣстнаго числа предметовъ на извѣстныя части, то это дѣленіе содержитъ нѣкоторыя, въ данный моментъ излишнія, трудности. Цѣлесообразнѣе, какъ показываетъ опытъ, начинать съ дѣленія неизвѣстнаго числа на извѣстныя части. У насъ на рукахъ разные, не сосчитанные, предметы: кубики, орѣхи, еловыя шишки, кусочки картона, буквы разрѣзной азбуки и т. п. Мы предлагаемъ кому-нибудь изъ учениковъ раздать эти предметы нѣсколькимъ человѣкамъ такъ, чтобы всѣ получили по столько-то, и чтобъ затѣмъ, дѣйствительно, можно было сосчитать, сколько именно народу получили эти предметы и сколько вещей послѣ этой раздачи осталось на рукахъ. Самостоятельныя упражненія дѣтей въ распредѣленіи палочекъ и другихъ подходящихъ предметовъ на группы («кучки») желательны. Безъ работы рукъ и зрѣнія учащихся усвоеніе дальнѣйшаго не имѣетъ опоры въ предшествовавшихъ упражненіяхъ учащихся въ раздѣленіи даннаго числа на извѣстныя равныя части. Далѣе надобно перейти къ раздѣленію извѣстнаго

числа предметовъ на извѣстныя группы и обучить дѣтей обозначенію этого дѣйствія съ помощью двоеточія. Пусть требуется раздѣлить 18 какихъ-нибудь предметовъ на «кучки» по три предмета въ каждой. Это можно записать такъ: 18:3. Читать же можно это сначала довольно подробно. Надо только соблюдать, чтобы въ то время, когда мы что-нибудь пишемъ, мы произносили то слово, которое записываемъ. Въ то время, когда ученикъ произноситъ слова, которыхъ онъ не записываетъ, ему слѣдуетъ опускать пишущую руку, если запись идетъ на доскѣ. Наши записи онъ можетъ читать сначала такъ: 18 палочекъ раздѣлить на кучки, по 3 палочки въ каждой кучкѣ. Въ то время, когда онъ произноситъ слово 18, онъ долженъ его записать, затѣмъ опустить руку; слово «палочекъ» онъ долженъ произнести; когда онъ произноситъ слово «раздѣлить», онъ ставитъ двѣ точки, а когда онъ произноситъ слова «на кучки», то онъ можетъ опустить руку. Когда онъ произноситъ слово «три», онъ можетъ цифру 3 записать, а когда произноситъ слова «палочки въ каждой кучкѣ», онъ можетъ руку опустить. Затѣмъ онъ долженъ записать знакъ равенства и произнести въ это время слово «будетъ», снова опустить руку и начать вычисленіе, если не знаетъ результата.

Какъ производить вычисленіе?

45. Это вычисленіе должно происходить сначала путемъ пробъ. Ученикъ можетъ производить расчетъ такъ: «Сколько будетъ кучекъ?

Если ихъ двѣ, то на нихъ пойдетъ только 6 палочекъ—мало. Не три ли кучки? Нѣтъ, не три, три кучки по три кубика, всѣхъ кубиковъ будетъ 9, а у насъ ихъ 18. Не четыре ли кучки по 3 кубика въ каждой, четырежды-три двѣнадцать, нѣтъ, мало!» и т. д. Время, затраченное на подобные расчеты, не только не будетъ потеряно, но, напротивъ, оно будетъ временемъ, въ высшей степени полезно затраченнымъ. Ибо, дѣлая эти расчеты, учащійся упражняется въ усвоенной части таблицы умноженія и уясняетъ себѣ тѣснѣйшую связь между этимъ видомъ дѣленія и умноженіемъ. Затѣмъ можно предложить задачи, и эти задачи ученики должны, конечно, рѣшать съ полнымъ пониманіемъ условій каждой задачи. Только въ томъ случаѣ эти задачи будутъ согласны съ требованіями жизни и методики, если каждую задачу учащійся рѣшаетъ сообразно съ фактами, сообщаемыми въ задачѣ, съ ея существомъ.

Вопросы: во сколько разъ больше или меньше?

§ 46. Далѣе на этой ступени можно выяснить значеніе вопросовъ: «во сколько разъ одно число больше другого» и «во сколько разъ одно число меньше другого». Выясненіе значенія этихъ вопросовъ должно тѣсно связать съ задачами, въ которыхъ утверждается, что одно число больше другого въ извѣстное число разъ. Этому выясненію могутъ предшествовать упражненія въ сужденіяхъ о томъ, что больше: ширина листа бумаги или длина карандаша, ширина доски или ширина листа бумаги, и т. п. Затѣмъ можно взять задачи, въ которыхъ утверждается, что одно число больше другого въ извѣстное число разъ, напримѣръ: «у одного мальчика два пера, а у другого въ шесть разъ больше,—сколько у второго?», а затѣмъ можно предложить вопросъ: «во сколько разъ у второго больше, чѣмъ у перваго?» («вы сами сказали, что въ 6 разъ больше»). И т. д. Потомъ можно перейти къ бесѣдамъ такого рода: «а теперь я не скажу, во сколько разъ у одного мальчика больше, чѣмъ у другого, и васъ спрошу, во сколько разъ... Предложу вамъ такую задачу: одна крестьянка продала 20 яицъ, а другая только 5 яицъ; во сколько разъ первая продала больше яицъ, чѣмъ вторая?» и т. д.—Значеніе вопроса: «во сколько разъ меньше» надо поставить въ тѣснѣйшую связь со значеніемъ вопроса «во сколько разъ одно число больше другого». Надо достигнуть того, чтобы ученики ясно поняли, что если спрашиваютъ, во сколько разъ 20 рублей больше 4-хъ рублей, или спрашиваютъ, во сколько разъ 4 рубля меньше 20-ти рублей, то по существу это одинъ и тотъ же вопросъ, предложенный только «по-разному». Пусть предложена задача: «у одного крестьянина 3 руб., а у другого 15 руб., во сколько разъ у перваго меньше, чѣмъ у второго?» У перваго меньше, чѣмъ у второго; значитъ, у второго больше, чѣмъ у перваго... Во сколько разъ у перваго меньше? Во столько же разъ, во сколько разъ у второго больше, чѣмъ у перваго. И т. п. Это далеко не такъ просто, какъ кажется. Часто вслѣдствіе того, что учитель преувеличиваетъ легкость этихъ привычныхъ для него соображеній, учащіеся не осваиваются съ утвердительными выраженіями: больше на..., меньше на..., больше въ..., меньше въ..., и съ выраженіями вопросительными: на сколько больше? на сколько меньше? во сколько разъ больше? во сколько разъ меньше?

Термины: дѣлимое, дѣлитель, частное.

§ 47. Терминовъ «дѣлимое», «дѣлитель» и «частное» на этой ступени сообщать ученикамъ не для чего. Впослѣдствіи придется пріучить ихъ къ термину «отношеніе», который цѣлесообразнѣе, чѣмъ терминъ «частное», при дѣленіи одного числа на части, равныя нѣкоторому другому. Изучая главнѣйшее изъ ариѳметики чиселъ двухъ первыхъ десятковъ, учащимся нужно усвоить не терминологію четырехъ дѣйствій, а ясныя представленія объ этихъ дѣйствіяхъ, притомъ сначала па почвѣ конкретныхъ чувственныхъ воспріятій, затѣмъ — на задачахъ. На этой же ступени можно пріучить учениковъ къ тому, чтобы запись 18 : 3 = 6 они читали сначала такъ: «18 раздѣлить на части по 3 единицы въ каждой, частей будетъ 6», а потомъ короче: «18 раздѣлить на 3 будетъ 6». Но это сокращенное описаніе сложнаго логическаго процесса не столь необходимо, какъ уразумѣніе самаго существа дѣла и самаго смысла этого дѣйствія.

11-ая ступень: дѣленіе на извѣстное число равныхъ частей и представленія о доляхъ.

§ 48. Одиннадцатую ступень нашего курса можно посвятить дѣленію числа, не большаго 20-ти, на извѣстное число равныхъ частей, т.-е. такъ называемому дѣленію «на части». Прежде всего надобно учащихся сроднить съ представленіемъ о долѣ, а простѣйшими долями въ этомъ случаѣ являются четверти и половины. Безъ представленій о доляхъ нѣтъ представленія о дѣленіи на извѣстное число одинаковыхъ частей. Съ психологической точки зрѣнія, представленіе о долѣ цѣлаго предшествуетъ даже представленію о счетѣ многихъ предметовъ. Первобытный человѣкъ самой жизнью ставился въ такія условія, что ему необходимо было добычу, служившую для его пропитанія, дѣлить на части хотя бы болѣе или менѣе одинаковыя. Дѣти въ самомъ раннемъ возрастѣ, еще не умѣя какъ слѣдуетъ считать, и не имѣя представленій о числахъ болѣе или менѣе значительныхъ, знаютъ половину и обращаются къ родителямъ и старшимъ съ просьбами такого рода: «дай большую половину» и т. п. Думать, что представленіе о долѣ должно давать учащимся только послѣ того, какъ ими усвоены всѣ дѣйствія надъ многозначными числами и надъ числами именованными, нѣтъ никакого основанія. Только для цѣлей систематизаціи и систематическаго изложенія ученій ариѳметики, въ учеб-

никахъ излагаются сначала четыре дѣйствія надъ цѣлыми числами, а затѣмъ уже надъ числами дробными. Но это отнюдь не доказываетъ, что при обученіи малолѣтнихъ надобно держаться такого же раздѣленія учебнаго ариѳметическаго матеріала на части. Учащійся, не понимающій, что если мы раздѣлимъ 20 на 4 одинаковыя части, то каждая часть будетъ только долею, а именно одною четвертью 20-ти, а если мы раздѣлимъ 20 на десять одинаковыхъ частей, то 2 будетъ десятою долею 20-ти и т. п.,—такой учащійся, въ сущности говоря, не имѣетъ яснаго и вѣрнаго представленія о цѣли дѣленія на извѣстное число одинаковыхъ частей. Здѣсь рѣчь идетъ, конечно, не о дѣйствіяхъ надъ дробями. Важны только представленія о доляхъ и дробяхъ.

Слѣдуетъ ли сводить дѣленіе на части къ дѣленію по содержанію?

§ 49. Что такъ называемое дѣленіе на части можно свести къ такъ называемому дѣленію по содержанію, для насъ не подлежитъ никакому сомнѣнію. Но логическія трудности такой замѣны одного дѣйствія другимъ гораздо значительнѣе, чѣмъ это кажется тѣмъ методистамъ, которые настаиваютъ на существованіи только одного дѣйствія дѣленія. Дѣйствительно, разсуждать учащемуся приходится довольно долго для установленія этой связи. Разсужденія эти состоятъ въ слѣдующемъ: «мнѣ нужно 20 палочекъ раздать четыремъ мальчикамъ такъ, чтобы всѣ получили поровну; для этого я беру четыре палочки и изъ нихъ каждому мальчику даю одну; возьму еще четыре и каждому мальчику дамъ опять одну и т. д., а потомъ буду разсуждать такъ: сколько разъ я отбиралъ по четыре палочки, по столько же палочекъ получитъ каждый изъ этихъ мальчиковъ». Само собою разумѣется, что это разсужденіе для учащагося, стоящаго на этой ступени обученія, слишкомъ отвлеченно и представляетъ довольно большія, не только теоретическія, но также логическія и психологическія трудности.

Наглядныя пособія для долей.

§ 50. Не всѣ наглядныя пособія для изученія и усвоенія представленій о доляхъ цѣлесообразны. Часть не должна носить того же названія, которое принадлежитъ цѣлому. Доля цѣлой трубочки, имѣющей большую длину, для дѣтей представляетъ собой все-таки не часть и не долю, а тоже нѣкоторую трубочку. То же справедливо относительно палочекъ, соломинокъ и т. п. Наиболѣе подходящими являются такіе предметы, доли кото-

рыхъ не могутъ носить того же имени, которое носятъ цѣлыя. Таковы, напримѣръ, плоды, корнеплоды, единицы мѣръ длины, листы бумаги, квадраты, круги и т. п. Кругъ является хорошимъ нагляднымъ пособіемъ, но, къ сожалѣнію, его раздѣленіе на любое число частей требуетъ довольно значительныхъ познаній въ области геометріи, да и на-глазъ осуществимо въ немногихъ случаяхъ. То же справедливо, конечно, и для осуществимости раздѣленія круга на извѣстное число секторовъ съ помощью линейки и циркуля. Точно это дѣленіе на небольшое число частей осуществляется, какъ извѣстно, при раздѣленіи на 3, 4, 5, 6, 10 и 17 частей. Раздѣленіе на 10 и на 5 одинаковыхъ частей довольно затруднительно, а дѣленіе круга на 17 частей—задача, не входящая даже въ составъ курса геометріи въ средней школѣ. Конечно, раздѣливъ окружность круга на четыре одинаковыя части, мы въ состояніи раздѣлить ее на 8, 16, 32 и т. д. частей, а раздѣливъ ее на 6 одинаковыхъ частей, мы въ состояніи раздѣлить ее также на 12, 24, 48 и т. д. равныхъ частей. Но всѣ эти дѣленія представляютъ собою задачи довольно затруднительныя, съ точки зрѣнія емкости ума учащихся на этой ступени. Этому мѣсто въ дальнѣйшемъ курсѣ высшей начальной школы. Иначе дѣло обстоитъ съ раздѣленіемъ даннаго отрѣзка прямой на сколько угодно равныхъ между собою частей. Этому раздѣленію учащіеся легко научаются и имъ чрезвычайно интересуются. Опытъ показываетъ, что они въ теченіе нѣсколькихъ дней сподрядъ просятъ у учителя разрѣшенія, при самостоятельныхъ своихъ занятіяхъ (когда учитель занятъ съ другими отдѣленіями), дѣлить прямыя линіи на любое число одинаковыхъ частей. Наступаетъ при этомъ день, когда сами дѣти говорятъ: «теперь мы это уже знаемъ, научите насъ чему-нибудь другому!» Важнѣе всего, при усвоеніи учащимися представленія о доляхъ цѣлаго, чтобы они сами по возможности работали руками, сами изготовляли тѣ наглядныя пособія, которыя наиболѣе при этомъ цѣлесообразны. Объ опредѣленіи дроби (понятіе о дроби принадлежитъ къ числу довольно тонкихъ вопросовъ математики) на этой ступени и рѣчи быть не можетъ, а тѣмъ болѣе — объ умноженіи и дѣленіи на какую угодно дробь. На этой ступени надо ограничиться только представленіями о половинахъ, четвертяхъ, восьмыхъ.

Дѣленіе конечной прямой.

§ 51. Лабораторныя работы дѣтей надъ раздѣленіемъ прямой на извѣстное число равныхъ частей сводятся къ дѣленію конечныхъ прямыхъ на небольшое число равныхъ частей. Это раздѣленіе, какъ извѣстно, осуществляется съ помощью ряда параллельныхъ линій. Но проведеніе многихъ параллельныхъ линій представляетъ для учащагося начальной школы, въ виду того, что у него нѣтъ въ распоряженіи линейки, чертежнаго наугольника и т. под. чертежныхъ инструментовъ, большія трудности. Къ счастью, ихъ возможно обойти, пользуясь однимъ, изготовленнымъ изъ бумаги, шаблономъ остраго угла.—Это раздѣленіе можно осуществить съ помощью двухъ параллельныхъ линій, проведенныхъ изъ концовъ даннаго отрѣзка въ прямо противоположныхъ направленіяхъ. Дальнѣйшее ясно изъ рисунковъ, которыми снабжены также и «Новые задачники» (для учителей и для учениковъ), составленные авторомъ этой книги. Изготовленіе угла изъ бумаги, съ помощью кото-

Рис. 37.

Рис. 38. Рис. 39.

раго можно выполнить чертежи, подобные иллюстрированнымъ въ этихъ рисункахъ, представляетъ собою тоже лабораторную работу, для дѣтей чрезвычайно интересную. Учениковъ поражаетъ, послѣ нѣсколькихъ опытовъ дѣленія отрѣзковъ прямой линіи на нѣсколько равныхъ частей, независимость результата какъ отъ величины угла, такъ и отъ длины отрѣзка, откладываемаго на параллельныхъ линіяхъ, идущихъ отъ концовъ данной прямой, подлежащей раздѣленію. Не менѣе поражаетъ ихъ, что, соблюдая нумерацію концовъ откладываемаго отрѣзка, они каждый разъ соединяютъ точки, отмѣченныя цифрами, сумма которыхъ равняется тому числу частей, на которое требуется раздѣлить. Въ нашемъ примѣрѣ соединены точки, отмѣченныя цифрами: 1—4, 4—2, 2—3, 3—2. Когда ясныя представленія о доляхъ есть, учащіеся могутъ усвоить себѣ такія назва-

Рис. 40.

Рис. 41.

Рис. 42.

нія, какъ «пятая доля», «шестая доля», «седьмая доля» и т. д. Это не представляетъ собою ничего особенно затруднительнаго. Далѣе можно смѣло перейти къ дальнѣйшей работѣ по дѣленію.—Цѣль ознакомленія учащихся съ нѣкоторыми простѣйшими дробями троякая: 1) оно вноситъ большое разнообразіе въ занятія, 2) оно подготовляетъ учениковъ къ воспріятію ясныхъ представленій о части, о цѣломъ, о долѣ

Рис. 43. Рис. 44.

Рис. 45. Рис. 46.

и вообще о дѣленіи величины на одинаковыя части, 3) оно даетъ малолѣтнему ясныя представленія о частяхъ, наичаще встрѣчающихся въ жизни. Модель (шаблонъ) угла можно изготовлять изъ бумаги, и этому надо тоже научить дѣтей. На всякій случай здѣсь приведены рисунки, которые изображаютъ главнѣйшіе моменты этой работы. Двуцвѣтную бумагу долженъ употреблять только учитель, дабы яснѣе былъ процессъ складыванія.

Порядокъ работы надъ долями предметовъ.

§ 52. Порядокъ работы (№№ 44 и 45 «Новаго задачника для учителей») состоитъ въ слѣдующемъ: листъ бумаги, яблоко и т. п., дѣлится сначала пополамъ, а потомъ — на четыре одинаковыя части. То же можно продѣлать и надъ лентою бумаги длиною въ одинъ аршинъ, и надъ кругомъ. На этой же ступени можно научить обозначенію дробей, начавъ съ дроби Въ ней очевиднѣе, чѣмъ въ половинѣ и въ четверти, проявляются значенія числителя и знаменателя. Этихъ названій, впрочемъ, отнюдь не должно сообщать ученикамъ. Во главу самостоятельныхъ упражненій, сюда относящихся, можно поставить (№ 46 «Новаго задачника для учениковъ») цѣлесообразные чертежи, которые могутъ оказать ученикамъ большую услугу. Надо этихъ послѣднихъ только научить, какъ чертежами пользоваться, т.-е. научить ихъ смотрѣть и видѣть, что

Дробь должно записывать съ помощью прямой (горизонталь ной), а не косой, наклонной черты, такъ какъ послѣдняя можетъ подать поводы къ недоразумѣніямъ (ее можно смѣшать съ единицей, 1| можно принять, при неаккуратномъ письмѣ, за у и т. п.). Ученики, поупражнявшіеся въ направленіи усвоенія представленій хотя бы только о половинѣ, четверти и о трехъ четвертяхъ, оказываются подготовленными къ воспріятію

Рис. 47.

не только представленія о дѣленіи, но и болѣе живыхъ представленій объ умноженіи. У такихъ учениковъ накопляется большой запасъ пониманія взаимныхъ отношеній между цѣлымъ и его равными частями, и потому они лучше уразумѣваютъ, что множимое есть часть произведенія. А это очень важно. Можно обратиться къ листу бумаги, но при этомъ надо помнить, что учащіеся часто и половину и четверть листа бумаги называютъ листомъ. Отъ этого ихъ надо освободить. «Вотъ листъ бумаги! Разрѣжу или разорву его пополамъ!.. Каждую половину опять разорву (поперекъ!) пополамъ!.. Какъ назвать каждую изъ этихъ частей?.. Четвертушка, четвертинка... А вотъ три четвертушки!.. Запишу, что разрѣзалъ (провожу черточку слѣва направо!)... Запишу, что взялъ части 3...— А на сколько такихъ частей разорвалъ весь листъ бумаги?.. Запишу подъ чертой 4... И т. п.

Рис. 48.

Рис. 49.

Рис. 50.

Вершокъ, 1/4, 1/2 и 3/4 вершка.

§ 53. Можно взять черту длиною въ вершокъ.

Учащіеся должны видѣть: а) цѣлый вершокъ, б) двѣ его половины, в) одну половину, г) четыре его четверти, д) одну его четверть, е) три четверти вершка, ж) половину, сложенную съ четвертью. — Съ помощью этого чертежа они могутъ и должны производить дѣйствія сложенія и вычитанія этихъ долей. Если ученики умѣютъ дѣлить прямую, то у нихъ весьма большое поле для плодотворной работы.

Рис. 51.

Рис. 52.

Рис. 53.

Кругъ и его доли.

§ 54. Цѣлесообразнымъ пособіемъ на этой ступени является кругъ и нѣкоторыя его доли. Чертежи говорятъ сами за себя. Если учитель (что вполнѣ возможно) пожелаетъ научить дѣтей дѣленію круга на одинаковыя части, то онъ можетъ воспользоваться шаблономъ прямого угла. Учитель можетъ раздать учащимся бумажные кружки, а ученики ихъ будутъ сгибать.

Дѣленіе круга и циркуль.

§ 55. Наилучшимъ и самымъ дешевымъ класснымъ циркулемъ является дощечка съ двумя дырочками: одной (квадратной) для мѣла, другой (круглой) для кнопки. Подъ квадратнымъ отверстіемъ надо сдѣлать съ одной стороны дощечки выемъ, чтобы дощечка не стирала мѣла съ классной доски. Учащіеся могутъ себѣ сдѣлать «циркуль» изъ куска бумаги и поль-

Рис. 54.

Рис. 55.

Рис. 56.

Рис. 57. Рис. 58.

Рис. 59. Рис. 60.

зоваться кнопкой для укрѣпленія центра. Съ помощью палочки, сдѣланной изъ бумаги, ученикъ на-глазъ дѣлитъ кругъ на четыре и на восемь равныхъ между собою частей. Такимъ образомъ появляются уже восьмыя доли. Здѣсь же учащіеся знакомятся съ терминами: поперечникъ круга (на этой ступени не нужно радіусовъ и діаметровъ!), центръ его, окружность круга и полупоперечникъ (см. стр. 57).

Разложеніе неизвѣстнаго числа на извѣстное число равныхъ частей.

§ 56. Первое мѣсто въ такъ называемомъ дѣленіи числа «на части» принадлежитъ разложенію неизвѣстнаго числа предметовъ на извѣстное число одинаковыхъ частей. Представимъ себѣ, что въ тарелкѣ лежатъ вишни въ большомъ количествѣ, и что ихъ надо раздать, скажемъ, пяти человѣкамъ поровну. Какъ мы въ этомъ случаѣ поступимъ? Учащіеся должны сами додуматься, что правильно будетъ поступить, чтобы никому не было обидно, такъ: каждому изъ нихъ взять сначала по одной вишнѣ, потомъ каждому еще по одной, потомъ еще по одной и т. д., покуда не будутъ розданы всѣ вишни; если же останется вишенъ меньше пяти, то ихъ уже раздавать не придется. Почему? П. ч. мы желаемъ, чтобы всѣ получили поровну. Потомъ можно сосчитать, сколько досталось одному изъ учащихся. Столько же досталось и каждому изъ остальныхъ. Это упражненіе полезно и для уразумѣнія дѣленія извѣстнаго числа на извѣстное же число одинаковыхъ частей. Сначала должно повести это дѣленіе на наглядныхъ пособіяхъ, при чемъ вопросъ о сведеніи этого вида дѣленія къ дѣленію на извѣстныя части надо отложить до другого момента курса.

Дѣленіе извѣстнаго числа на части.

§ 57. Только тогда, когда ученики поняли, что они могутъ разрѣшить подобную задачу, отбирая отъ даннаго числа предметовъ по одному и составляя изъ нихъ извѣстное число кучекъ, наступилъ моментъ, когда они могутъ приступить къ дѣленію «на части». Ученикъ долженъ понять, почему и для чего онъ «задается» цифрой частнаго и почему надо разсчитать, по скольку предметовъ можетъ попасть въ каждую кучку. Пусть 18 орѣховъ надо раздать тремъ мальчикамъ такъ, чтобы всѣ получили поровну, по скольку они могутъ получить? По два—мало, по три—тоже мало, по четыре, трижды четыре — двѣнадцать, тоже мало, и т. д. Послѣ достаточнаго количества упражненій

въ этомъ направленіи учащіеся поймутъ, что хорошо пользоваться тѣми познаніями въ области умноженія, которыя у нихъ уже имѣются въ полномъ распоряженіи. Не надо при этомъ считать задачи, въ которыхъ требуется найти половину 16, четверть 20, одну треть 18 и т. п., преждевременными. Наоборотъ: крайне полезно, чтобы учащіеся понимали, что то, что мы, взрослые, называемъ частнымъ, является дѣйствительною частью цѣлаго, и не только частью, но долею его. Когда это усвоено, надо научить учащихся обозначать дѣленіе съ помощью прямого угла и писать такъ: 20| 4. Этотъ прямой уголъ дѣти часто называютъ «полъ-рамочки». При этомъ они сначала могутъ и должны говорить: «двадцать», и въ это время записать число 20; затѣмъ «раздѣлить»,—въ это время нарисовать «полъ-рамочки»,—«на двѣ» (записать цифру 2 внутри угла, опустить руку и сказать: «одинаковыя части»). Потомъ можно присоединить знакъ равенства, который читается въ этихъ случаяхъ «будетъ», а послѣ знака равенства писать то, что мы называемъ частнымъ. Сначала дѣти могутъ писать и говорить то, что вытекаетъ изъ самаго существа вопроса, а затѣмъ они могутъ научиться произносить подобную запись короче такъ: «12 раздѣлить на 6, будетъ 2». Само собою разумѣется, что задачи съ условіями, относительно грибовъ, яблокъ, кулей ржи, денегъ и т. п., должны рѣшаться въ полномъ согласіи съ данными условіями, т.-е. съ разсужденіями, относящимися прямо до вопросовъ: «почемъ куль ржи» или «почемъ яблоко», «по скольку въ каждой кучкѣ грибовъ» и т. д.

Во столько-то разъ меньше.

§ 58. Когда техническія трудности раздѣленія на извѣстное число одинаковыхъ частей преодолѣны, и смыслъ этого раздѣленія совершенно понятъ, можно перейти къ задачамъ, въ которыхъ встрѣчается выраженіе: во столько-то разъ меньше. Это находится въ связи съ тѣмъ, что уже учащіеся знаютъ. Учащимся надо только понять, что если одно число больше другого, то второе меньше перваго, притомъ во столько же разъ, и что если требуется найти число, которое меньше другого въ нѣсколько разъ, то это значитъ, что искомое число составляетъ нѣкоторую долю даннаго.

«У меня больше денегъ, чѣмъ у моего брата въ 3 раза, что это значитъ?» Отвѣтъ: «это значитъ, что у васъ три раза по стольку денегъ, сколько у вашего брата».—А у кого меньше? («У вашего

брата»),—А теперь скажу такъ: «у моего брата въ 3 раза меньше, чѣмъ у меня, правда ли это?»...—Скажите, что я сначала сказалъ? «Вы сначала сказали, что у васъ больше денегъ, чѣмъ у вашего брата; потомъ спросили, у кого изъ васъ меньше; а затѣмъ вы сказали, что у васъ въ три раза меньше, чѣмъ у вашего брата, и спросили, правда ли это?» и т. д.

Вдвое, втрое, вчетверо, увеличить, уменьшить и т. п.

§ 59. На этой ступени можно также выяснить значеніе словъ «вдвое», «втрое», «вчетверо», «увеличить», «уменьшить», и ввести терминъ: «помножить на» и т. п. Можно на этой же ступени провести параллели между смысломъ выраженій: «на столько-то» и «во столько-то разъ» больше, и смысломъ выраженій «на столько-то меньше» и «во столько-то разъ меньше», а равно поставить въ болѣе тѣсную связь оба вида дѣленія и умноженіе. Можно показать, и учащіеся должны совершенно ясно понять и усвоить, что каждую задачу на умноженіе можно передѣлать въ двѣ задачи на дѣленіе того и другого рода. Въ этомъ, конечно, надо поощрять наблюдательность учащихся и заставлять ихъ придумывать задачи, притомъ такія задачи, чтобы дѣленіе совершалось безъ остатка, т.-е. взятыя изъ области усвоенной уже учащимися части таблицы умноженія.

12-ая ступень: дѣленіе съ остаткомъ.

§ 60. Дѣленіе обоего рода при дѣлимомъ, которое не больше 20-ти, и при такомъ дѣлителѣ, что получается остатокъ, отнесено къ новой ступени нашего курса. Опять-таки и здѣсь дѣленіе «по содержанію» предшествуетъ дѣленію «на части». Начинать дѣленіе по содержанію должно съ лабораторныхъ упражненій учащихся, съ укладыванія одной длины на другую и соотвѣтствующихъ упражненій на палочкахъ. «Возьмите 17 палочекъ, разложите ихъ въ кучки, по двѣ палочки въ каждой кучкѣ, и посмотрите сначала, сколько у васъ образовалось кучекъ, по двѣ палочки въ каждой кучкѣ, а потомъ—сколько у васъ осталось» и т. п. Эти. упражненія должны провести на наглядныхъ пособіяхъ, сами учащіеся. Затѣмъ уже можно перейти къ дѣленію на извѣстныя части при дѣлителѣ, равномъ тремъ единицамъ, и при остаткѣ, равномъ одной единицѣ. (Дѣлимое въ этомъ случаѣ довольно близко къ ближайшему числу, меньшему дѣлимаго на одну единицу). Затѣмъ можно перейти къ дѣленію на извѣстныя части, при остаткѣ, равномъ двумъ единицамъ. Надо научить учениковъ находить

тѣ два числа, которыя дѣлятся на даннаго дѣлителя и между которыми находится данное дѣлимое. Это требуетъ весьма продолжительныхъ и многочисленныхъ самостоятельныхъ упражненій, которыя чередуются съ соотвѣтствующими упражненіями подъ непосредственнымъ руководствомъ учителя. Остатки можно записывать въ скобкахъ послѣ частнаго, нѣсколько отступивъ отъ записи частнаго, напр., такъ:

17:3 = 5 (2).

При дѣленіи на извѣстное число одинаковыхъ частей полезно обращать вниманіе учащихся на то, что если мы дѣлимъ прямую линію на нѣсколько одинаковыхъ частей, то при этомъ остатка никакого не получается, а при дѣленіи прямой на части, изъ которыхъ каждая равна нѣкоторой другой прямой, остатокъ можетъ получиться. При дѣленіи же чиселъ остатокъ можетъ получиться при дѣленіи обоего рода. Оставлять этотъ вопросъ безъ вниманія значитъ оставить учащагося съ нѣсколько туманнымъ представленіемъ объ особенностяхъ дѣленія величины на извѣстное число одинаковыхъ частей, когда эта величина—величина непрерывная, и дѣленія величины на извѣстныя части, когда эта величина представляетъ собой величину прерывную. Переходя къ дѣленію числа на извѣстное число одинаковыхъ частей, учащійся долженъ непремѣнно много и усердно поработать надъ собственными наглядными пособіями.

Сначала учитель предлагаетъ задачу, въ родѣ слѣдующей: «у меня 17 кубиковъ, я хочу разложить ихъ въ 4 кучки такъ, чтобы въ этихъ 4-хъ кучкахъ было поровну. Удастся ли мнѣ это сдѣлать?..—Положу по 2 кубика въ кучку, останется 9 кубиковъ на рукахъ; положу еще по одному, останется на рукахъ одинъ кубикъ; попробую положить по пяти кубиковъ, получу только 3 кучки, а на рукахъ останется 2 кубика, мнѣ же нужно разложить на 4 кучки, и притомъ такія, чтобы во всѣхъ было поровну. И т. п.

Матеріалъ задачъ на дѣленіе съ остаткомъ при дѣленіи „на части“.

§ 61. Матеріаломъ для задачъ съ условіями на дѣленіе «на части» въ этомъ случаѣ должны служить преимущественно предметы, которые не дозволяютъ раздѣленія каждаго на части.

Напримѣръ, непригодны для этого хлѣбы, яблоки и другіе предметы, относительно которыхъ дѣти знаютъ, что можно взять полъ-хлѣба, полъ-яблока, четверть круга и т. д. Учащійся долженъ понимать, что это раздѣленіе на извѣстное

число одинаковыхъ частей содержитъ въ себѣ одно условіе (конечно, имъ этого говорить не надо), а именно: то условіе, чтобы осталось въ остаткѣ меньше, чѣмъ сколько всѣхъ частей. Задачи съ условіями вовсе не такъ просты въ этомъ случаѣ, какъ это можетъ показаться начинающему учителю или лицу, не посвященному въ вопросы этого порядка. Если, напр., у мальчика было 18 орѣховъ, и если бы онъ пожелалъ разложить ихъ въ 5 кучекъ, то это ему не удастся. У него останется меньше, чѣмъ сколько попадетъ въ каждую кучку: пусть онъ оставшіеся орѣхи съѣлъ. Тогда представляются два вопроса: сколько орѣховъ оказалось въ каждой кучкѣ и сколько орѣховъ онъ съѣлъ. У учителя было 17 листовъ писчей бумаги; эту бумагу онъ роздалъ пяти ученикамъ такъ, что всѣмъ досталось поровну; но онъ не разорвалъ ни одного листа, и у него осталось бумаги меньше, чѣмъ сколько получилъ каждый ученикъ; сколько листовъ онъ роздалъ, по скольку листовъ получилъ каждый изъ пяти учениковъ, и сколько листовъ бумаги осталось у учителя на рукахъ? Подобныя задачи приведены въ 3. д. уч—лей и въ 3. д. уч—ковъ. Онѣ составлены авторомъ книгъ для того, чтобы учащій, при неопытности, не затруднялся изобрѣтеніемъ задачъ такого рода, когда остатокъ не можетъ дать дробнаго частнаго. Для того, чтобы научиться подыскивать надлежащія дѣлимыя, дѣлящіяся безъ остатка на даннаго дѣлителя, ученики должны пройти цѣлый рядъ методически подобранныхъ упражненій, въ которыхъ сначала дѣлителемъ является 2, въ остаткѣ единица; потомъ—упражненія съ дѣлителемъ 3 и остаткомъ, тоже равнымъ единицѣ; затѣмъ—съ дѣлителемъ 3, а съ остаткомъ, равнымъ 1 или 2; далѣе—такія упражненія, въ которыхъ, при дѣленіи на 4, въ остаткѣ остается 1, затѣмъ—2, далѣе—3, и т. д. Безъ надлежащимъ образомъ организованныхъ занятій съ учителемъ и безъ надлежащаго количества самостоятельныхъ цѣлесообразныхъ упражненій въ этомъ направленіи, учащіеся эту ступень курса не скоро преодолѣваютъ.

Связь дѣленія съ умноженіемъ и вычитаніемъ.

§ 62. Связь дѣленія безъ остатка съ умноженіемъ очевидна, и, при извѣстномъ количествѣ методическихъ въ этомъ направленіи упражненій, эта связь ученикамъ вполнѣ доступна. Связь же дѣленія обоего рода въ случаяхъ, когда при дѣленіи того или иного рода получается не только частное или отношеніе, но

также и остатокъ, съ умноженіемъ, вычитаніемъ и сложеніемъ, для учениковъ не совсѣмъ ясна. На самомъ же дѣлѣ эта связь является необходимымъ условіемъ для полнаго уразумѣнія учениками, если можно такъ выразиться, «секрета» дѣленія. Дѣйствительно: пусть требуется раздѣлить 19 на 4; пусть это дѣленіе будетъ дѣленіемъ на извѣстныя части. Учащійся долженъ подыскать то число, которое меньше 19-ти и которое дѣлится на 4 безъ остатка. Кромѣ того, онъ долженъ знать и то число, которое больше 19-ти и тоже дѣлится на 4 безъ остатка. Но оба эти числа (16 и 20) таковы, что если 16 вычесть изъ 19-ти, то получится меньше 4-хъ (а именно 3), и если изъ 20-ти вычесть 19, то тоже получится меньше 4-хъ (а именно 1). Надо удивляться, что учащіеся прямо чутьемъ научаются угадывать то число, которое нужно, не перебирая чиселъ, значительно отличающихся отъ дѣлимаго. Но удивляться этому недостаточно: надо этимъ пользоваться, и эту сообразительность поощрять. Возможно же это только на почвѣ методически цѣлесообразныхъ задачъ, проведенныхъ подъ непосредственнымъ руководствомъ учителя и на почвѣ надлежащимъ образомъ подобранныхъ самостоятельныхъ упражненій учащихся. Въ нихъ нѣкоторымъ случаямъ дѣленія предшествуютъ, такъ сказать, наводящія на соотвѣтствующія мысли упражненія, не дающія никакого остатка.

13-я ступень: упраженія въ усвоенномъ и сложныя задачи.

§ 63. Учащіеся на предыдущихъ ступеняхъ усвоили себѣ примѣненія каждаго изъ четырехъ дѣйствій (при этомъ дѣленіе обоего рода считается за одно дѣйствіе). Конечно, нѣкоторыя изъ этихъ дѣйствій, а особенно—дѣленіе и умноженіе, не всѣми учащимися одинаково хорошо усвоены. Поэтому необходимо часть самостоятельныхъ работъ учащихся посвящать повторнымъ упражненіямъ, по книгѣ для учениковъ, въ производствѣ этихъ дѣйствій. Но надо использовать также все то, что учащіеся уже знаютъ, и научить ихъ примѣненію четырехъ дѣйствій къ задачамъ болѣе или менѣе сложнымъ на 2, 3, 4 дѣйствія, въ которыхъ сумма, уменьшаемое, множимое и дѣлимое не больше 20-ти. Первое мѣсто должны занимать упражненія въ рѣшеніи задачъ (конечно, совершенно прозрачныхъ), требующихъ примѣненія только двухъ дѣйствій, за тѣмъ задачъ, требующихъ примѣненія трехъ дѣйствій. Задачи эти должны быть чисто ариѳметическими и приведенными къ

прозрачному виду, такъ чтобы учащійся не долженъ былъ тратить время на непосильную для него, на первыхъ ступеняхъ обученія, работу по систематизаціи условій данной задачи и по ихъ надлежащему комбинированію. (Ср. § 22 гл. II). Такія задачи должны относиться до предметовъ, учащимся совершенно понятныхъ и вполнѣ доступныхъ ихъ воображенію. Въ нихъ могутъ встрѣчаться выраженія: «на столько-то меньше», «на столько-то больше», «во столько-то разъ меньше» и т. д.

14-ая ступень: счетъ и нумерація въ предѣлахъ первой сотни.

§ 64. Четырнадцатая ступень нашего курса посвящена счету и нумераціи въ предѣлахъ всѣхъ чиселъ первой сотни. Конечно, ученики и сами «знаютъ» названія чиселъ: 25, 26, 35, 38 и т. п., въ зависимости отъ своего ариѳметическаго развитія и отъ жизненныхъ условій быта. Но отъ этого полусознательнаго, а, часто и безсознательнаго, произнесенія числительныхъ именъ или повторенія ихъ съ чужихъ словъ, до сознательнаго счета въ предѣлѣ первой сотни довольно далеко, а до письменной нумераціи чиселъ того же предѣла и еще дальше. Часто наблюдается у учащихся, даже умѣющихъ съ чужихъ словъ произносить массу числительныхъ именъ, что они при счетѣ, дойдя, скажемъ, до 27-ми, говорятъ дальше: 28, 29, двадцать десять, двадцать одиннадцать, двадцать двѣнадцать и т. д., или, дойдя до 39-ти, останавливаются и не соображаютъ или даже просто не знаютъ, что слѣдующее за 39-ю число—сорокъ, хотя слово «сорокъ» знаютъ, и т. п. Что первая слѣва цифра ведетъ счетъ десяткамъ, а вторая — отдѣльнымъ единицамъ, не составляющимъ одного десятка, ученики усваиваютъ быстро. Но это не гарантируетъ правильности записей, если учащіеся пишутъ подъ чью-либо диктовку. Сплошь и рядомъ можно встрѣтиться съ недоразумѣніемъ такого рода: для того, чтобы написать 53, учащіеся пишутъ 503, считая, что это именно и обозначаетъ 53. Изъ всего вышеизложеннаго слѣдуетъ, что на этой ступени надо дѣтей научить: 1) сознательному счету предметовъ, не боясь затратить на это обученіе слишкомъ много времени; затѣмъ, 2) разложенію каждаго числа первой сотни на составляющіе его десятки и отдѣльныя единицы и, наконецъ, 3) нумераціи. Это нужно для того, чтобы ученики легко переводили числительное имя, напр. 64, въ «именованное» число—6 десятковъ и 4 отдѣльныхъ единицы и, благодаря этому, скоро научились бы безошибочной письменной нумераціи. Со-

знательно же считать учащіеся должны умѣть потому, что безъ этого умѣнія и самыя-то числа лишаются того значенія, которое они имѣютъ въ жизни и въ ариѳметикѣ. Ибо какой толкъ въ нумераціи, когда обозначенныя цифрами числа для учащагося лишены смысла?

Нумерація ,,въ лицахъ“.

§ 65. Очень полезно на этой ступени упражненіе, которое можно назвать «нумераціей въ лицахъ». Оно состоитъ въ томъ, что два ученика изображаютъ съ помощью пальцевъ данное число, стоя при этомъ лицомъ къ классу. Стоящій слѣва ведетъ счетъ отдѣльнымъ десяткамъ, а стоящій съ лѣвой стороны отъ него (или по отношенію къ классу справа) ведетъ счетъ отдѣльнымъ единицамъ.— Числительныя имена, обозначающія круглое число десятковъ этимологически различны. Имена числительныя «двадцать» и

Рис. 61.

Рис. 62.

Рис. 63.

«тридцать» имѣютъ одинъ этимологическій составъ; слова «пятьдесятъ», «шестьдесятъ», «семьдесятъ», «восемьдесятъ»— другой, а слова «сорокъ» и «девяносто» являются словами, совершенно несходными съ именами числительными поименованныхъ двухъ родовъ. Составленіе полной сотни или десяти десятковъ является новой задачей, съ которой учащіеся не сразу осваиваются, такъ какъ послѣ девяноста семи (числа, для нихъ слишкомъ большого) они иногда считаютъ: девяносто восемь, девяносто девять, девяносто десять, девяносто одиннадцать и т. д. Въ этомъ случаѣ «нумерація въ лицахъ» равнымъ образомъ помогаетъ дѣлу и приводитъ къ превосходнымъ результатамъ. Для «изображенія» сотни «въ лицахъ», слѣдуетъ достигнуть того, чтобы дѣти сами догадались, что нуженъ третій человѣкъ, который отмѣтитъ, что сотня набрана. Отсутствіе же отдѣльныхъ десятковъ и отдѣльныхъ единицъ «изображается» такъ, какъ это показано на рисункахъ. Эта нумерація чрезвычайно интересуетъ дѣтей, и результатъ ея такой: для «изображенія» числа, которое меньше ста, нужны два человѣка (двѣ «цифры»), а для «изображенія» ста—три.

Нумерація, предшествующая счету.

§ 66. При изученіи нумераціи отъ двадцати до ста включительно дѣти могутъ пойти и обратнымъ путемъ. Они могутъ сначала усвоить счетъ десятками и даже письменное обозначеніе двузначныхъ чиселъ, выраженныхъ въ десяткахъ и отдѣльныхъ единицахъ, помощью арабскихъ цифръ, а потомъ уже перейти къ примѣненію словъ «двадцать», «тридцать» и къ нумераціи чиселъ, словесно обозначаемыхъ съ помощью этихъ послѣднихъ словъ, и т. д. Этотъ послѣдній путь иногда сокращаетъ трудъ по усвоенію нумераціи, на-ряду съ устнымъ счисленіемъ, и не только удобнѣе въ практическомъ отношеніи, но иногда цѣлесообразнѣе и въ развивательномъ. Дѣло въ томъ, что механическое называніе именъ числительныхъ въ нату ральномъ порядкѣ, начиная съ двадцати (двадцать одинъ, двадцать два, двадцать три, двадцать четыре и т. д.) чрезвычайно утомительно и весьма мало говоритъ дѣтскому уму и воображенію. Но научить ихъ этому счету прямо необходимо, и безъ него счеть десятками и нумерація недостаточны.

Упражненія въ счисленіи.

§ 67. Упражненія въ счетѣ должно вести на наглядныхъ пособіяхъ. Изъ нихъ лучше всѣхъ оказываются на этой ступени «спички», связы-

ваемыя въ пучки по десяти спичекъ въ каждомъ. При усвоеніи нумераціи, полезно прибѣгнуть и къ помощи обыкновенныхъ торговыхъ счетовъ. На этой ступени, какъ и на предыдущихъ, можетъ сослужить службу не только для классныхъ, вслухъ, но и для самостоятельныхъ (про себя) упражненій, «Таблица для классныхъ упражненій въ изустныхъ вычисленіяхъ» или таблица Мартеля. Можно предложить ученикамъ списываніе двузначныхъ чиселъ въ извѣстномъ порядкѣ съ тѣмъ, чтобы потомъ провѣрить—знаютъ ли дѣти, что обозначаетъ каждая запись. Одну запись отъ другой дѣти должны отдѣлять пространствомъ въ двѣ или три цифры величиною.

Небезполезно научить дѣтей (какъ это нѣкоторые и дѣлаютъ) счету въ слѣдующей формѣ: одинъ, два, три..., восемь, девять, десять; одинъ, два, три.... восемь, девять, двадцать; одинъ, два, три... восемь, девять, тридцать; одинъ, два, три.... восемь, девять, сорокъ и т. д. Слѣдуетъ научить и ритмическому счету парами и пятками, т.-е.: одинъ— два (пауза!), три—четыре (пауза!), пять—шесть (пауза!) и т. д. Для двузначныхъ чиселъ тоже нетрудно соблюсти ритмъ: двадцать—одинъ, двадцать—два (пауза!), двадцать—три, двадцать—четыре (пауза!) и т. д. Ритмическій счетъ пятками нѣсколько труднѣе, но тоже легко осуществимъ: одинъ—два-три—четыре—пять (пауза!), шесть—семь—восемь—девять—десять (пауза!) и т. д.; тридцать одинъ—тридцать два—тридцать три—тридцать четыре—тридцать пять (пауза!) и т. д.

Единицы мѣры.

§ 68. Упражненія въ счетѣ и нумераціи сначала учащихся интересуютъ, но, по усвоеніи ими счета и письменной нумераціи, занятія эти становятся прямо не интересными. Не только по этой причинѣ, но и по той причинѣ, что необходимо стремиться при обученіи ариѳметикѣ къ образовательной его цѣли, а не только къ усвоенію нѣкоторой техники, необходимой для вычисленія, чрезвычайно важно сроднить учащихся съ нѣкоторыми мѣрами, единичныя отношенія которыхъ къ другимъ единицамъ мѣры, больше 20-ти. Къ числу такихъ мѣръ принадлежатъ: аршинъ,—въ немъ 28 дюймовъ; торговый фунтъ, такъ какъ въ немъ 32 лота или 96 золотниковъ; золотникъ, т.-е. 96 долей; сажень, т.-е. 48 вершковъ, или 84 дюйма, или 100 такъ наз. «сотокъ»; пудъ, т.-е. 40 фунтовъ; десть бумаги, т.-е. 4 листа; наконецъ, часъ времени, т.-е. 60 минутъ, и минута

(60 секундъ). Съ нѣкоторыми единицами мѣры учащимся слѣдуетъ ознакомиться путемъ лабораторныхъ занятій. Къ числу таковыхъ принадлежитъ изготовленіе бумажныхъ лентъ и тесемки, длина которыхъ больше аршина и фута, и нанесеніе на нихъ соотвѣтственныхъ дѣленій. Полезно изготовленіе изъ такъ наз. оловянной бумаги (станіоля) шариковъ вѣсомъ въ 1 золотникъ. Такую бумагу слѣдуетъ собирать при покупкѣ чая, шоколада, карамели и т. п. Слѣдуетъ имѣть въ распоряженіи тонкую мягкую мѣдную проволоку. Изъ нея можно, съ помощью обыкновенныхъ ножницъ (если нѣтъ острогубцевъ) изготовить куски проволоки, вѣсомъ въ золотникъ или въ долю. Ученики легко усваиваютъ себѣ, что шведская спичка имѣетъ въ длину 2 дюйма, что 36, приблизительно, спичекъ вѣситъ 1 золотникъ и т. п. Избѣгать при этомъ понятія о томъ, что всѣ измѣренія совершаются только приблизительно, отнюдь не слѣдуетъ. Это дѣтямъ дается на этой ступени уже безъ особеннаго труда. Они должны понять, какъ измѣряется ростъ человѣка, хотя бы съ помощью такихъ примитивныхъ пріемовъ, какъ веревочка съ грузомъ, какъ это изображено на рисункахъ. Полезно ввести въ школу то, что можно бы назвать «ариѳметической антропометріей», т.-е. ученики должны были бы знать свой вѣсъ, свой ростъ, длину своей ступни, обхватъ своей головы,

Рис. 64. Рис. 65.

Рис. 66. Рис. 67.

обхватъ кулака, длину сустава указательнаго пальца, длину своей пяди и т. п. (Ср. § 9 гл. II). Не слѣдуетъ также избѣгать ознакомленія учащихся, хотя они не знаютъ всей нумераціи, съ верстой, хотя въ ней 500 саж. и т. п. Всѣ эти данныя и имъ подобныя могутъ войти въ составъ задачъ1). При желаніи сроднить учащихся съ центиметромъ, можно воспользоваться тѣмъ, что поперечникъ серебряной монеты въ 15 коп. равенъ двумъ центиметрамъ. Не надо только торопиться съ сообщеніемъ остальныхъ мѣръ метрической системы, за исключеніемъ метра: 100 центиметровъ равны одному метру, т.-е. 50 пятиалтынныхъ пятнадцатикопеечными монетами, положенные по прямой линіи, занимаютъ въ длину одинъ метръ.

15-ая ступень: четыре дѣйствія надъ круглыми десятками въ нѣкоторыхъ случаяхъ.

§ 69. Въ очень многихъ руководствахъ по предмету методики ариѳметики четыре дѣйствія надъ круглыми десятками, не дающія болѣе одной сотни, вводятся сейчасъ же послѣ четырехъ дѣйствій надъ числами перваго десятка. Логическія основанія такого распредѣленія учебнаго

1) „Таблица Шохоръ-Троцкаго для классныхъ упражненій въ изустныхъ вычисленіяхъ“ заключена въ раму, въ которой учащіеся могутъ найти многія приблизительныя соотношенія нѣкоторыхъ мѣръ длины. Въ такую же раму заключена „Наглядная таблица соотношеній нѣк. мѣръ протяженія“.

матеріала, конечно, очевидны: кто умѣетъ прибавлять два яблока къ тремъ яблокамъ или узнавать, сколько получится, если отъ 8 яблокъ отдѣлить 3 яблока и т. п., долженъ быть въ состояніи разрѣшить тѣ же задачи также въ томъ случаѣ, когда вмѣсто яблокъ взяты десятки1). Но таковы только логическія основанія для введенія дѣйствій надъ круглыми десятками, тотчасъ же послѣ дѣйствій надъ числами перваго десятка. Съ точекъ же зрѣнія психологической и методической, такая поспѣшность вовсе не обязательна. Мы уже видѣли, что дѣти въ предѣлѣ перваго десятка совершаютъ преимущественно два дѣйствія: сложеніе и вычитаніе. Существованіе чиселъ, которыя больше десяти, конечно, для учащихся не секретъ. Но въ области представленій и воспріятій числового содержанія у учащихся, не вышедшихъ за предѣлы перваго десятка, еще нѣтъ достаточнаго матеріала, который оправдывалъ бы полезность производства сложенія надъ круглыми десятками, не дающаго больше сотни, вычитанія въ случаяхъ, когда оба данныхъ числа выражены въ круглыхъ десяткахъ, а уменьшаемое не болѣе ста; умноженія, при которомъ произведеніе не болѣе ста, стало-быть, множимое не больше 50 и выражено въ круглыхъ десяткахъ и, наконецъ, дѣленія обоего рода въ случаяхъ, когда дѣлимое не больше ста, и оба числа, дѣлимое и дѣлитель, числа круглыя. Но это умѣстно не послѣ 4-хъ дѣйствій въ предѣлѣ перваго десятка. Только 15-ая ступень нашего курса посвящена четыремъ дѣйствіямъ надъ цѣлымъ числомъ десятковъ первой сотни, притомъ лишь для нѣкоторыхъ частныхъ случаевъ и надъ круглыми числами первой сотни, выраженныхъ не въ цѣлыхъ десяткахъ, а въ единицахъ, т.-е. въ видѣ именъ числительныхъ, такъ сказать, односоставныхъ, выраженныхъ такъ: 50, 60, 40, 30, 90 и т. д. Конечно, вычисленія надъ цѣлыми десятками для учениковъ на этой ступени не представляютъ затрудненій. Но вопросъ о томъ, сколько стоитъ 3 аршина матеріи по 30 коп. или 5 арш. по

1) Дѣти, страдающія самомнѣніемъ (особенно — городскія), иди не свободныя отъ желанія устанавливать размѣры своихъ знаній и объ этихъ размѣрахъ дать понятіе другимъ, иногда говорятъ, что они знаютъ, сколько будетъ три тысячи да три тысячи, два милліона да два милліона, и т. п. Но отсюда отнюдь не слѣдуетъ, что они отдаютъ себѣ отчетъ въ истинномъ смыслѣ этихъ словъ, выражающихъ только факты сложенія. — Обучая ариѳметикѣ, надо стремиться къ тому, чтобы произносящій такія формулы имѣлъ ясное представленіе о томъ, что такое тысяча и что такое милліонъ.

20 коп. и т. п., или во сколько разъ 80 больше 20, сколько получилъ каждый изъ нищихъ, если имъ роздано 80 к., а ихъ 40 человѣкъ, представляютъ собою уже задачи, выходящія на первыхъ ступеняхъ за предѣлы численныхъ представленій учащихся. Это больше «разговоры» о большихъ числахъ, чѣмъ ариѳметика.—Къ пятнадцатой ступени отнесены только цѣлесообразныя задачи на круглые десятки, за исключеніемъ случаевъ двузначнаго дѣлителя. Въ качествѣ наглядныхъ пособій на этой ступени наиболѣе подходящими являются палочки, связанныя въ пучки, по 10-ти палочекъ въ пучкѣ. Задачи должны относиться преимущественно къ такимъ даннымъ, которыя имѣютъ какое-нибудь практическое значеніе. Къ числу таковыхъ принадлежатъ задачи на опредѣленіе половины, четверти, трехъ четвертей пуда, выраженнаго въ фунтахъ, и т. п. Здѣсь, конечно, содержится довольно много серьезнаго логическаго и практически полезнаго матеріала, а потому для своего усвоенія подобныя задачи требуютъ довольно много времени.

Какъ великъ объемъ курса перваго года обученія ариѳметикѣ.

§ 70. Опытъ автора этой книги въ двухъ начальныхъ школахъ, а равно и опытъ нѣкоторыхъ друзей «методы цѣлесообразныхъ задачъ» показали, что въ первый годъ обученія учащіеся въ состояніи осилить къ концу года почти всю ариѳметику первой сотни. Но для этого необходимы слѣдующія условія: а) занятія должны итти болѣе или менѣе непрерывно, начинаясь и оканчиваясь своевременно, и б) учитель не долженъ увлекаться тонкими задачами на небольшія числа. Эти задачи часто требуютъ, какъ извѣстно, не только умѣнія производить четыре дѣйствія и разбираться въ условіяхъ задачъ, но также и примѣнять особые, искусственные пріемы и скрыто алгебраическіе способы разсужденій. Эти пріемы не только для учащихся перваго отдѣленія начальной школы совершенно недоступны. То обстоятельство, что въ первомъ отдѣленіи не успѣваютъ осилить болѣе четырехъ дѣйствій въ предѣлѣ первыхъ двухъ десятковъ, объясняется большею частью тѣмъ, что учащіеся принуждены рѣшать задачи, недоступныя ихъ пониманію и ихъ умѣнію разсуждать, что они должны усваивать себѣ способы рѣшенія задачъ на довольно большомъ матеріалѣ такъ называемыхъ «сложныхъ» задачъ. Требованія учителей, не воздерживающихся даже въ первый годъ обученія отъ

рѣшенія болѣе или менѣе замысловатыхъ задачъ, и желаніе пойти навстрѣчу этимъ требованіямъ естественно породили довольно богатую литературу сборниковъ, такъ наз. «типическихъ» задачъ, т.-е. задачъ, расположенныхъ по типамъ. Не вдаваясь въ обсужденіе вопроса о томъ, насколько пріемлемо рѣшеніе многихъ задачъ сподрядъ одного и того же типа ради самаго ихъ рѣшенія, а не для цѣлей обученія, здѣсь, конечно, не мѣсто. Но нельзя отрицать того факта, что учащіеся, рѣшая задачи одного и того же типа (на «предположенія», «сумму и разность», «красное и синее сукно», и т. п.) только на время пріобрѣтаютъ извѣстный навыкъ въ надлежащемъ порядкѣ дѣйствій, необходимыхъ для рѣшенія этихъ задачъ. Съ другой стороны, нельзя не отмѣтить, что: а) рѣшеніе замысловатыхъ задачъ одного и того же типа сподрядъ механизируетъ навыки учащихся, не давая имъ знаній, б) умѣнія разсуждать учащіеся при этомъ тоже не пріобрѣтаютъ, вслѣдствіе невозможности дѣйствительно усвоить себѣ тонкости разсужденій и изложенія этихъ мнимыхъ разсужденій, в) ни образовательнаго, ни воспитательнаго, ни практическаго значенія, ни, наконецъ, подготовки къ жизни и сліянія интересовъ школы съ интересами жизни онѣ не даютъ. То же справедливо относительно сложныхъ задачъ въ 1-ый годъ обученія.—Во всякомъ случаѣ выше разсмотрѣнный и разработанный въ нашихъ «Новыхъ задачникахъ» курсъ ариѳметики въ предѣлѣ первыхъ двухъ десятковъ, при надлежащемъ веденіи курса, можно осилить менѣе, чѣмъ въ теченіе одного учебнаго года, если требованія образованія, воспитанія и жизни принимаются во вниманіе.

Не чисто-ариѳметическій матеріалъ первыхъ 15-ти ступеней.

§ 71. Среди учебнаго матеріала, предлагаемаго въ этой книгѣ на первыхъ пятнадцати ступеняхъ курса, есть много такого, который не имѣетъ прямого отношенія къ ариѳметикѣ чиселъ первыхъ двухъ десятковъ. Таковы, напр.: всѣ упражненія учащихся въ выполненіи числовыхъ фигуръ; наглядное ознакомленіе ихъ, путемъ лабораторныхъ упражненій надъ складываніемъ бумаги, съ величиною вершка; далѣе выполненіе дѣтьми рисунковъ, служащихъ для лучшаго усвоенія учениками прибавленія и отниманія; всѣ упражненія съ палочками, носящія болѣе или менѣе характеръ лабораторныхъ занятій; упражненія учащихся надъ половинами и четвертями, а равно относящіеся сюда рисунки и чертежи учащихся;

упражненія въ складываніи бумаги, для ознакомленія учащихся съ углами (прямыми, острыми и тупыми); упражненія въ раздѣленіи отрѣзка прямой линіи на равныя части съ помощью нѣкотораго угла; наконецъ, упражненія въ нумераціи чиселъ первой сотни, а также нѣкоторыя дѣйствія надъ круглыми десятками первой сотни въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ. Къ этому надо присоединить упражненія дѣтей въ измѣреніи длинъ, въ изготовленіи ими частей Пиѳагоровой таблицы и въ усвоеніи дѣтьми значенія утвердительныхъ терминовъ: «больше на столько-то», «меньше на столько-то», «больше во столько-то разъ», «меньше во столько-то разъ», и вопросовъ: «на сколько больше?», «на сколько меньше?», «во сколько разъ больше?» и «во сколько разъ меньше?». Этимъ исчерпываются почти всѣ элементы внесеннаго въ курсъ сторонняго учебнаго матеріала, которые прямого отношенія къ ариѳметикѣ чиселъ первыхъ двухъ десятковъ не имѣютъ.

Цѣль добавочнаго матеріала.

§ 72. Въ курсъ ариѳметики чиселъ первыхъ двухъ десятковъ внесено примитивное дѣтское рисованіе, примитивное черченіе и нѣкоторыя простѣйшія лабораторныя занятія. Для чего это сдѣлано, выяснено въ своемъ мѣстѣ. См. стр. 14 (Герлахъ и Лай), 58, 63. Что касается терминовъ «больше на столько-то» и т. п., то ознакомить съ ними полезно для обогащенія языка учащихся употребительными въ математикѣ выраженіями. Эти послѣднія, къ тому же, дозволяютъ строить задачи согласно съ требованіями разнообразія и приближенія учащихся къ математическимъ интересамъ. Ознакомленіе же дѣтей съ первыми двумя дѣйствіями надъ половинами и четвертями и ихъ обозначеніемъ важно въ томъ отношеніи, что, благодаря этому, знакомство дѣтей съ наичаще встрѣчающимися въ жизни долями, имѣетъ практическое значеніе и подготовляетъ учениковъ къ уразумѣнію смысла дѣленія цѣлаго на нѣкоторыя части. — Не меньше практическое значеніе ознакомленія учащихся со счетомъ и нумераціей въ предѣлѣ первой сотни Въ жизни учащіеся встрѣчаются съ этими названіями круглыхъ десятковъ и чиселъ двузначныхъ: Было бы очень грустно, если бы они, умѣя рѣшать задачи на числа первыхъ двухъ десятковъ, были бы лишены всякаго знакомства съ числами двузначными (ср. взглядъ Бачинскаго на числа значительныя, стр. 10). Что же касается нѣкоторыхъ дѣйствій

надъ круглыми десятками, то эти дѣйствія требуютъ только знанія дѣйствій надъ числами первыхъ двухъ десятковъ. Они не представляютъ собою для дѣтей ничего существенно новаго. Но, въ то же время, вычисленія эти обогащаютъ ихъ ариѳметическое разумѣніе и увеличиваютъ ихъ власть надъ житейскими расчетами въ значительной степени.

Геометрическій матеріалъ (хотя и чрезвычайно примитивный), внесенный въ первыя 15 ступеней нашего курса, представляетъ собою цѣнность не только какъ таковой, но также цѣнность методическую. Не имѣя яснаго представленія о дѣленіи цѣлаго на части,—а это представленіе логически и психологически предшествуетъ представленію о дѣленіи чиселъ,— учащіеся объ этомъ послѣднемъ дѣленіи могутъ себѣ составить только смутное представленіе. Они не связываютъ его почти ни съ чѣмъ реальнымъ и не различаютъ двухъ глубоко различныхъ между собою, съ логической точки зрѣнія, видовъ дѣленія. Это логическое различіе двухъ видовъ дѣленія не исчезаетъ даже въ случаѣ дѣленія одного отвлеченнаго числа на другое, хотя ариѳметически оба дѣленія одного отвлеченнаго числа на другое приводитъ къ одному и тому же результату. Особенно рѣзко разница эта выступаетъ предъ глазами, когда одна задача относится до раздѣленія данной конечной прямой на нѣсколько равныхъ частей, а другая — до измѣренія одной конечной прямой другою прямою.

Измѣреніе длинъ, а частью также и величины прямоугольника (при усвоеніи части таблицы умноженія), тоже не прямо относится до ариѳметики,—тѣмъ болѣе, что процессъ измѣренія входитъ, такъ сказать, въ сферу вѣдѣнія физики. Хотя измѣренія, производимыя учащимися, непремѣнно не точны, но, вѣдь, и всякое, даже самое точное, измѣреніе съ помощью измѣрительныхъ приборовъ — процессъ неточный. Разница только въ степени неточности. Упражненія въ измѣреніи являются преимущественно методическимъ средствомъ для лучшаго усвоенія ариѳметическихъ дѣйствій. Кромѣ того, оно имѣетъ цѣлью болѣе глубокое проникновеніе учащихся въ математическіе интересы. Опытъ показываетъ, что эти упражненія не только интересуютъ дѣтей, но чрезвычайно сильно двигаютъ ихъ именно въ сторону заинтересованности ариѳметическими и вообще математическими вопросами.

Характеръ лабораторныхъ занятій на первыхъ ступеняхъ курса.

Что же касается упражненій, носящихъ еще болѣе, чѣмъ измѣренія, лабораторный характеръ, то эти упражненія сведены къ минимуму и относятся, главнымъ образомъ, къ работѣ надъ палочками при вычисленіи и къ складыванію бумаги. Относить больше лабораторныхъ занятій къ первымъ ступенямъ курса, при современныхъ условіяхъ, когда еще и учитель съ этими занятіями не сроднился и когда обученіе въ начальной школѣ съ трехлѣтнимъ и даже четырехлѣтнимъ курсомъ длится такъ мало времени, можетъ-быть, не вполнѣ цѣлесообразно. Но боязнь, что приведенныя и отмѣченныя въ разныхъ параграфахъ этой книги лабораторныя занятія отнимутъ у школы слишкомъ много времени, только естественна, но не вполнѣ основательна. То время, которое они могутъ отнять, окупается впослѣдствіи въ значительной степени. Они вносятъ въ курсъ много такихъ частностей, которыя помогаютъ учащимся гораздо быстрѣе, чѣмъ это замѣчалось доселѣ, освоиться съ чисто-ариѳметическимъ матеріаломъ, предлагаемымъ имъ на урокахъ ариѳметики. То же относится до упражненія дѣтей въ самостоятельномъ рисованіи на урокахъ ариѳметики и до примитивнаго выполненія ими нѣкоторыхъ простѣйшихъ чертежей.

Примитивныя уравненія.

§ 73. Что касается внесенія примитивныхъ уравненій въ курсъ перваго года, то пользы ихъ можно было бы не доказывать, если бы учителя и учительницы сами смотрѣли на уравненіе проще, чѣмъ это принято1). Писать ли вопросительные знаки, вмѣсто неизвѣстныхъ чиселъ или вмѣсто буквы х, въ формулахъ слѣдующаго вида ?+7 = 11; 4×? = 20; 8:? = 4, или же писать, вмѣсто вопросительнаго знака, какую-нибудь букву или какой бы то ни было другой знакъ, конечно, безразлично. Но писать не такъ удобно, какъ писать

1) Если условимся знакъ »—' употреблять для обозначенія одного изъ первыхъ четырехъ дѣйствій, то уравненія вида

мы будемъ называть примитивными, если буквы а и b обозначаютъ такія числа, что разрѣшеніе даннаго уравненія возможно.

Буква, правда, имѣетъ свое звуковое значеніе. (Лучше, поэтому, латинскія буквы съ другими названіями, чѣмъ тѣ, которыя эти буквы имѣютъ въ русскомъ языкѣ: иксъ, игрекъ и т. п.) Но и вопросительный знакъ, во-первыхъ, имѣетъ значеніе вопроса, а во-вторыхъ, для обозначенія чиселъ принято употреблять буквы. Боязнь буквенныхъ обозначеній и спеціально буквы х въ ариѳметикѣ особенно велика въ Россіи, потому что буквенныя обозначенія и рѣшеніе уравненій въ Россіи не вносятся въ курсъ ариѳметики, какъ таковой. Въ другихъ странахъ, гдѣ школьное дѣло въ послѣднее время сдѣлало большіе успѣхи, чѣмъ у насъ, давно уже смотрятъ на уравненіе, какъ на одинъ изъ важнѣйшихъ элементовъ курса ариѳметики. (Ср. мнѣнія Лэзана, Лоджа и др. на этотъ вопросъ, стр. 12, 16, 18).

Исключенныя изъ курса первыхъ 15-ти ступеней дѣйствія.

§ 74. Не излишне отмѣтить всѣ тѣ случаи производства дѣйствій надъ числами первыхъ двухъ десятковъ, которыя въ курсъ первыхъ 15-ти ступеней не внесены. Прежде всего нуль, какъ число, совершенно отсутствуетъ въ этомъ курсѣ, и тѣмъ самымъ исключены четыре дѣйствія надъ нулемъ. (Знакъ нуля служитъ только для цѣлей нумераціи). Причина этого заключается, прежде всего, въ томъ, что нуль, какъ число, представляетъ собою одно изъ довольно тонкихъ математическихъ понятій, не нужныхъ на первыхъ ступеняхъ обученія и не доступныхъ разумѣнію малолѣтнихъ. Сверхъ того, нуль, какъ число, въ задачахъ не можетъ имѣть реальнаго смысла, необходимаго малолѣтнимъ ученикамъ. Дѣйствительно: сказать, что нѣкто купилъ 4 арш. сукна, а потомъ прикупилъ еще 0 арш., или, что нѣкто купилъ 4 арш. сукна, цѣною по нулю рублей за аршинъ, или: купилъ нуль арш, сукна по 5 рублей за аршинъ, роздалъ нуль копеекъ тремъ человѣкамъ поровну, или что надо узнать, сколько разъ 7 аршинъ содержится въ нулѣ аршинъ, или: спрашивается, по скольку рублей получилъ каждый работникъ, если всѣхъ работниковъ нуль человѣкъ, а роздано имъ 15 рублей,—говорить все это значитъ говорить вещи, которыя ученикамъ совершенно не нужны и которыхъ въ жизни никогда не говорятъ. Это—задачи, для малолѣтнихъ прямо странныя.

Поэтому среди многочисленныхъ упражненій надъ числами нѣтъ ни прибавленія, ни отниманія нуля, ни умно-

женія нуля, ни умноженія на нуль, ни дѣленія нуля на какое-нибудь число, ни, наконецъ, тѣмъ болѣе, дѣленія какого-либо числа на нуль. (Это послѣднее дѣйствіе, къ тому же, не имѣетъ никакого ариѳметическаго смысла безъ нѣкоторыхъ, вообще почти не нужныхъ, соглашеній). Равнымъ образомъ на первыхъ ступеняхъ обученія нѣтъ умноженія на единицу, такъ какъ, по первоначальному смыслу умноженія, это умноженіе не имѣетъ смысла. Ибо взять какое-нибудь число одинъ разъ слагаемымъ не имѣетъ смысла: слагаемыхъ можетъ быть никакъ не меньше двухъ. Если же мы иногда и говоримъ единожды-пять—пять, единожды-семь—семь и т. д., то мы это говоримъ, только обобщая понятіе объ умноженіи. Для этого надо установить опредѣленіе: если говорятъ «умножить число на единицу», то это значитъ, что произведеніе надо положить равнымъ множимому. Для учащихся же это слишкомъ тонко. Мало того: житейскихъ задачъ, которыя слѣдуетъ рѣшать умноженіемъ на единицу, въ дѣйствительности и не бываетъ. Нельзя, напр., предложить задачу такого рода: «купленъ 1 арш. сукна по 5 руб. за аршинъ; что заплачено за аршинъ этого сукна?» Въ этой задачѣ условіе содержитъ въ себѣ уже отвѣтъ на ея вопросъ. Умноженіе же 5-ти руб. на единицу въ этомъ случаѣ совершенно излишне и является только результатомъ математическаго обобщенія, которое начинающему заниматься математикой ненужно и недоступно. Это—скорѣе загадка, чѣмъ задача1). Равнымъ образомъ нѣтъ дѣленія на одну отвлеченную единицу, ибо первоначальный смыслъ дѣленія исключаетъ возможность дѣленія на одну одинаковую часть. Другой видъ дѣленія (дѣленіе «по содержанію») на одну единицу, конечно, имѣетъ смыслъ. Но спрашивать, сколько разъ 1 аршинъ содержится въ 7-ми аршинахъ или сколько разъ 1 футъ содержится въ 12-ти футахъ,—спрашивать это значитъ игнорировать здравый смыслъ учениковъ. Это — тоже загадки, для отгадки которыхъ дѣти либо еще не дозрѣли, либо уже перезрѣли. Ученикъ на подобный вопросъ можетъ не отвѣтить только потому, что онъ не понимаетъ, какъ это можно предлагать подобные вопросы, или же по-

1) Загадка эта была бы столь же умѣстна и безвредна, какъ загадка о томъ, что стоитъ пятикопеечная булка, если бы она не задавалась цѣлью потребовать отъ учащагося, чтобы онъ примѣнилъ къ ея отгадкѣ непремѣнно дѣйствіе умноженія.

тому, что онъ предполагаетъ, что это—вопросъ, должно-быть, хитрый, и на него надо отвѣтить хитро. Въ жизни подобные вопросы не встрѣчаются. Равнымъ образомъ нуль, какъ разность между двумя равными числами, не встрѣчается на выше освѣщенныхъ ступеняхъ нашего курса. Во-первыхъ, вопросъ о томъ, сколько останется яблокъ, если изъ пяти яблокъ продать пять штукъ, для учащихся почти не имѣетъ смысла: объ этомъ спрашивать странно. Во-вторыхъ, прямо безсмысленны вопросы слѣдующаго вида: на сколько 5 больше 5-ти, на сколько 7 меньше 7-ми и т. п., ибо и 5 не больше 5-ти, и 7 не меньше 7-ми, и вопросъ о разности между двумя равными числами не имѣетъ для учениковъ того смысла, какой онъ имѣетъ для насъ. Нуль для насъ число, надъ которымъ иногда можно производить дѣйствія. Для насъ запись 5—5 обозначаетъ, что требуется найти число, которое надо прибавить къ пяти, чтобы получить пять. Для малолѣтнихъ же это—совершенно непонятная и уже поэтому не нужная тонкость. Въ прибавленіи нуля, въ вычитаніи нуля, въ вычитаніи числа изъ равнаго ему числа и въ умноженіи нуля на какое-либо число надобность можетъ представиться только при письменномъ производствѣ дѣйствій надъ многозначными числами. Въ умноженіи же и въ дѣленіи на одну единицу совсѣмъ нѣть надобности даже въ этихъ случаяхъ.

Нуль же, какъ знакъ для обозначенія отсутствія единицъ нѣкотораго разряда, при обозначеніи чиселъ по той или иной системѣ счисленія, требующей употребленія нуля (извѣстно, что въ нумераціяхъ латинской, греческой, церковнославянской и т. п. нуль совсѣмъ не употребляется), — нуль, какъ знакъ, повторяемъ, употребляющійся для обозначенія отсутствія единицъ какого-либо разряда, конечно, представляетъ одно изъ величайшихъ изобрѣтеній человѣческаго ума (ср. взглядъ Лапласа, стр. 2). Къ счастью, это изобрѣтеніе малолѣтнимъ вполнѣ доступно. Поэтому усвоеніе нумемераціи даже въ раннемъ возрастѣ вполнѣ возможно1).

1) Нуль, какъ число, иногда называютъ модулемъ сложенія, а единицу — модулемъ умноженія. Этимъ желаютъ сказать, что нуль, какъ слагаемое, не измѣняетъ другого слагаемаго (т.-е. а + 0 = а и 0 + а = а), а единица какъ сомножитель не измѣняетъ другого сомножителя (т.-е. а × 1 = а и 1 × а = а). Такъ какъ слово „модуль“ примѣняется въ математикѣ въ нѣсколькихъ (притомъ различныхъ) случаяхъ, то нѣкоторые предлагаютъ единицу называть идемпотентомъ умноженія, а нуль какъ число — идемпотентомъ сложенія.

Еще одно надо отмѣтить: въ этомъ курсѣ не нужны опредѣленія и правила. Не должно быть въ немъ и скобокъ, только усложняющихъ задачи курса. Все должно основываться только на здравомъ смыслѣ учащихся и на ихъ самодѣятельности (активности). Учить дѣтей ариѳметикѣ чиселъ первыхъ двухъ десятковъ значитъ учить ихъ разумно пользоваться наглядными пособіями. Скобки же имѣютъ значеніе преимущественно въ вычисленіяхъ надъ буквенными выраженіями.

ГЛАВА ПЯТАЯ.

Изустное сложеніе и вычитаніе, преимущественно чиселъ первой сотни, большихъ 20-ти.

Содержаніе курса ариѳметики 1-й сотни.

§ 1. Дальнѣйшій курсъ ариѳметики (чиселъ большихъ двадцати) характеризуется слѣдующими особенностями: а) сумма и произведеніе, множимое и дѣлимое вообще не больше ста, но и не меньше двадцати, и б) всѣ безъ исключенія дѣйствія совершаются изустно, и записываются, въ случаѣ надобности, только данныя числа и окончательные результаты дѣйствій. Курсъ этотъ слагается изъ слѣдующихъ ступеней, при чемъ нумерація ступеней согласована съ нумераціей ступеней ариѳметики надъ числами первыхъ двухъ десятковъ: 16) сложеніе (непремѣнно изустное) двухъ чиселъ, сумма которыхъ больше двадцати, но не больше ста; 17) изустное же вычитаніе изъ чиселъ первой сотни, большихъ 20-ти; 18) изустное сложеніе равныхъ между собою чиселъ перваго десятка, дающихъ въ суммѣ больше 20-ти, и таблица умноженія; 19) дѣленіе числа первой сотни, большаго 20-ти, на извѣстныя части (короче: «дѣленіе по содержанію», т.-е. измѣреніе одного числа другимъ, кратное сравненіе), при чемъ дѣлитель и частное — числа перваго десятка; 20) дѣленіе числа, большаго 20-ти, на извѣстное число одинаковыхъ частей (короче: «дѣленіе на части»), при чемъ дѣлитель и частное— числа перваго десятка; 21) нахожденіе дробной части цѣлаго въ тѣхъ же предѣлахъ. Нѣсколько за предѣлы этого курса ариѳметики, на первый взглядъ, выходятъ слѣдующія ступени: 22) нумерація трезначныхъ чиселъ и одной тысячи;

23) умноженіе двузначныхъ чиселъ на однозначное число, не дающее больше ста; 24) дѣленіе всякихъ двузначныхъ чи селъ на однозначныя; 25) дѣленіе (обоего рода) чиселъ первой сотни на двузначныя числа; 26) сложныя задачи приведеннаго вида на числа первой сотни; 27) кое-что изъ области нумераціи многозначныхъ чиселъ, и 28) четыре дѣйствія надъ круглыми сотнями въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ.

Этими двадцатью восемью ступенями почти исчерпывается ариѳметика изустнаго производства четырехъ дѣйствій. Конечно, и на дальнѣйшихъ ступеняхъ могутъ встрѣтиться случаи, когда надъ числами значительными и надъ дробями, отличающимися отъ четвертей, половинъ, восьмыхъ и т. п., необходимо производить дѣйствія изустно. Напр., чтобы сложить 2 500 съ 3 500, не надо непремѣнно подписывать одно число подъ другимъ и начинать сложеніе съ единицъ низшаго разряда и т. д., а достаточно сложить изустно 25 сотенъ и 35 сотенъ. Равнымъ образомъ для умноженія 45 000 на 2 не надо подъ запись множимаго подписывать цифру 2, и начинать умноженіе съ единицъ множимаго, и т. п. Точно такъ же для сложенія одной двадцать-пятой доли единицы и одной десятой не надо разлагать знаменателей на первоначальныхъ множителей, а достаточно сообразить, что

Но вообще надъ многозначными числами и надъ обыкновенными дробями приходится чаще всего производить дѣйствія письменно. Въ учебномъ же матеріалѣ, составляющемъ содержаніе занимающихъ насъ въ первыхъ двухъ частяхъ «Новаго ариѳметическаго задачника для учителей начальныхъ школъ» и въ соотвѣтствующихъ частяхъ «Новаго задачника для учениковъ начальныхъ школъ», всѣ дѣйствія должны производиться изустно. Ибо производить ихъ письменно иногда и невозможно (напр., какъ сложить письменно 5 и 7?), а чаще всего, по меньшей мѣрѣ, неблагоразумно.

Разница между изустнымъ и письменнымъ способами вычисленія.

§ 2. Здѣсь умѣстно, можетъ-быть, вспомнить, въ чемъ состоитъ разница между письменнымъ и изустнымъ способами вычисленія. Дѣло не въ томъ, записаны ли данныя

числа и надо ли записать ихъ результатъ. Изъ того, что записано

24-3 = 5 или 174-28=45,

отнюдь еще не слѣдуетъ, что вычисленія сдѣланы письменно. Первое вычисленіе и не приходится дѣлать такъ, какъ дѣлается сложеніе по правилу письменнаго его производства, а второе можно сдѣлать по этому правилу, а именно, сложивъ сначала единицы и записавъ только 5, а потомъ—сложивъ десятки слагаемыхъ и образованный отъ перваго сложенія десятокъ и записавъ 4 на мѣстѣ разряда десятковъ. Но на самомъ дѣлѣ учащіеся должны это вычисленіе дѣлать изустно, не прерывая его записью отдѣльныхъ цифръ, а начавши изустно сложеніе съ десятковъ, и т. д. Учащіеся, пока они не перешли къ дѣйствіямъ надъ многозначными числами, могутъ даже не знать, что существуютъ способы письменнаго производства дѣйствій. Автору этой книги довелось быть на одномъ урокѣ, гдѣ ученица I класса женской гимназіи дала весьма интересную, хотя и дѣтскую, характеристику разницы между изустнымъ и письменнымъ способами вычисленія. Характеристика эта гласила, приблизительно, такъ: «когда мы вычисляемъ изустно, то мы все говоримъ да говоримъ, а потомъ сразу пишемъ, сколько получилось; а когда дѣлаемъ письменное вычисленіе, то немножко поговоримъ, записываемъ одну цифру, потомъ опять немножко поговоримъ и опять записываемъ цифру и т. д.». Жюль Таннери въ своей объемистой книгѣ по ариѳметикѣ смотритъ на сложеніе многозначныхъ чиселъ, какъ на задачу слѣдующаго содержанія: дано нѣсколько чиселъ, записанныхъ цифрами по десятичной системѣ счисленія, а требуется написать ихъ сумму по той же системѣ счисленія1). Къ этому слѣдовало бы еще добавить, что опредѣлять и записывать цифры суммы, при этомъ, вообще слѣдуетъ (это — тоже требованіе), начиная съ единицъ перваго разряда, перейдя затѣмъ къ единицамъ второго разряда и т. д., и что только въ частныхъ случаяхъ можно сразу написать всѣ цифры суммы. При такомъ взглядѣ на дѣло, введенный покойнымъ А. И. Гольденбергомъ

1) Таннери придаетъ столь большое значеніе охарактеризованному выше взгляду на сложеніе, что считаетъ себя обязаннымъ въ подстрочномъ примѣчаніи отмѣтить слѣдующее: „Я обязанъ г. де-Пелліе, профессору лицея Генриха IV, этой наиболѣе ясной формулировкой задачи“.

терминъ «полу-письменныя вычисленія» оказывается излишнимъ и нецѣлесообразнымъ. (Полу-письменнымъ при этомъ названо такое вычисленіе, при которомъ данныя числа и ихъ результаты записываются, а вычисленія дѣлаются изустно). Такія вычисленія надо считать изустными. То обстоятельство, что данныя числа и результаты записаны, не дѣлаютъ вычисленія ни письменнымъ, ни полу-письменнымъ: вычисленіе производится при этомъ либо изустно, либо письменно, либо «глазами» (см. стр. 208, § 8). Запись же данныхъ чиселъ изустному вычисленію только помогаетъ; она помогаетъ и вычисленію «глазами»; для письменнаго же она прямо необходима.

16-я ступень: изустное сложеніе двухъ двузначныхъ чиселъ, сумма которыхъ не больше ста.

§ 3. Прежде чѣмъ перейти къ сложенію, притомъ непремѣнно изустному, всякихъ двухъ двузначныхъ чиселъ, необходимо возобновить въ сознаніи учениковъ все то, что относится до счета и до нумераціи чиселъ въ предѣлѣ первой сотни, т.-е. вернуться на нѣкоторое время къ содержанію 14-й и 15-й ступеней нашего курса. Тогда переходъ къ изустному сложенію двузначныхъ чиселъ будетъ тѣсно связанъ съ понятіемъ о системѣ счисленія. Послѣ этого необходимо заняться изустнымъ сложеніемъ круглыхъ десятковъ и десятковъ съ числами перваго десятка. Начать дѣло можно со сложенія нѣсколькихъ пучковъ спичекъ по 10-ти въ каждомъ пучкѣ съ нѣсколькими отдѣльными спичками. Потомъ можно перейти къ задачамъ съ условіями, относящимися до нѣсколькихъ десятковъ яблокъ и нѣкотораго числа штукъ ихъ, не составляющихъ десятка, до сложенія нѣкотораго числа гривенниковъ съ нѣкоторымъ числомъ отдѣльныхъ копеекъ, не составляющихъ гривенника, и т. п.

Далѣе можно обратиться къ сложенію, опять-таки изустному, некруглаго двузначнаго числа съ однозначнымъ, не дающимъ новаго десятка: у мальчика было 32 коп.; отъ отца онъ получилъ пятачокъ; сколько у него послѣ этого оказалось денегъ? и т. п. Задачи этого рода должны привести учащихся къ сознанію, что бываютъ случаи, когда десятки остаются неприкосновенными, а только къ единицамъ даннаго двузначнаго числа прибавляются единицы другого даннаго слагаемаго. Затѣмъ можно вернуться къ ранѣе уже усвоенному учащимися изустному сложенію круглыхъ чиселъ: 20 да 20—сорокъ и т. п. Хотя эти упражненія уже разъ про-

дѣлывались раньше, на 15-й ступени, но все-таки совершенно игнорировать все это на 16-й ступени не представляется методически цѣлесообразнымъ. Послѣ этого можно перейти къ сложенію некруглаго двузначнаго числа съ круглымъ: у учителя была десть бумаги, т.-е. 24 листа, да еще 20 листовъ, и т. п.—Учащійся долженъ научиться въ такихъ случаяхъ прибавлять десятки къ десяткамъ, а къ полученному—остающіяся единицы одного изъ двухъ слагаемыхъ.

При изустномъ сложеніи некруглаго двузначнаго числа съ однозначнымъ, а равно круглыхъ двузначныхъ чиселъ или некруглаго двузначнаго числа съ круглымъ, возможно и полезно прибѣгать къ ритмическому вычисленію. Пусть требуется сложить 34 и 5. Прежде всего надо повторить самое заданіе: 34 и 5! Затѣмъ можно сказать: 30 такъ и остаются 30, а 4 и 5—девять, 30 да 9—тридцать девять. Или: 52 да 6! 50 такъ и остаются пятьдесятъ; 2 да 6—восемь; 50 да 8—пятьдесятъ восемь, и т. п. Слова «такъ и остаются» служатъ для ритма и для фиксированія вниманія. Сложить 30 да 40. Повторить: 30 да 40! 3 да 4—семь, 30 да 40—семьдесятъ; или: 3 десятка да 4 десятка—семь десятковъ, 30 да 40—семьдесятъ. При сложеніи некруглаго числа съ круглымъ можно вычислять такъ: 24 да 30! 20 да 30—пятьдесятъ, 50 да 4—пятьдесятъ четыре.

Слѣдующія упражненія уже относятся до сложенія двузначнаго числа съ двузначнымъ же, не дающимъ новаго десятка. Исходя изъ задачи, можно повести учащихся такъ, чтобы у нихъ выработался извѣстный пріемъ. Самымъ цѣлесообразнымъ, вѣроятно, является отдѣльное сложеніе десятковъ и отдѣльное сложеніе единицъ. Требуется сложить 23 да 35. Прежде всего надо повторить заданіе: 23 да 35! Продолжать можно такъ: 20 да 30—пятьдесятъ; 3 да 5—восемь; 50 да 8 — пятьдесятъ восемь. При этомъ, конечно, могутъ быть разные случаи: а) оба числа одинаковы: 24 да 24; б) одинаковы только цифры единицъ: 32 да 42; в) одинаковы только цифры десятковъ: 42 да 47. Во всѣхъ этихъ случаяхъ полезно произносить одинаковыя цифры однимъ тономъ и одинаково сильно, а различныя—разнымъ тономъ и не одинаково сильно.

Ритмъ при сложеніи.

Сверхъ того, надо стремиться къ тому, чтобы вычисленіе совершалось ритмически. Ритмическому вычисленію посвящены двѣ главы этой книги: одна (въ 1-й части этой книги) относится до

изустной ариѳметики чиселъ первой сотни, другая (во 2-й части этой книги)—до ариѳметики письменной. Здѣсь достаточно отмѣтить слѣдующее: 24 да 24! 20 да 20 — сорокъ,- 4 да 4 — восемь; 40 да 8 — сорокъ восемь. Второй случай: единицы одинаковы, а десятки различны. Тридцать четыре да пятьдесятъ четыре; 30 да 50 — восемьдесятъ; 4 да 4 — восемь; 80 да 8 — восемьдесятъ восемь. Подчеркнуты всѣ слова, которыя нужно произнести громче. Упражненія въ такомъ ритмическомъ и выразительномъ сложеніи очень занимаютъ дѣтей, и они сами просятъ дѣлать вычисленія, по возможности, какъ они говорятъ, «на-распѣвъ». Въ этомъ случаѣ услугу могутъ оказать таблицы Мартеля или Шохоръ-Троцкаго, или же числа, записанныя на свободной доскѣ.

Изустное сложеніе двузначнаго числа съ однозначнымъ, дающее круглую сумму, представляетъ собою новую задачу: сколько будетъ 7 да 3, а потомъ —17 да 3, 27 да 3, и т. д., 8 да 2, 18 да 2, 28 да 2 и т. д. При этомъ можно говорить такъ: 27 да 3! 20 такъ и останется 20; 7 да 3 — десять; 20 да 10 — тридцать. Или: 48 да 2; 40 такъ и остается 40; 8 да 2 — десять; 40 да 10—пятьдесятъ.

Всѣ разсмотрѣнные случаи допускаютъ ритмическое вычисленіе, но не требуютъ его. За-то изустное сложеніе двузначнаго числа съ однозначнымъ, дающее въ некруглой суммѣ новый десятокъ, представляетъ уже нѣкоторыя затрудненія, если учащіеся ранѣе не примѣняли ритмическихъ способовъ вычисленія. Какъ, напримѣръ, изустно вычислить, сколько будетъ 27 да 8? Прежде всего надо повторить заданіе: 27 да 8. Затѣмъ слѣдуетъ говорить такъ: «20 оставимъ въ покоѣ» (или 20 такъ и остается 20); 7 да 8 — пятнадцать; 20 да 15 — тридцать пять. Эти слова «оставимъ въ покоѣ» (или «такъ и остаются») весьма облегчаютъ дальнѣйшее вычисленіе. Они вносятъ ритмъ въ вычисленіе и заставляютъ обратить вниманіе на то число десятковъ, которое уже есть, съ тѣмъ чтобы къ нему прибавить число второго десятка. Упражненія въ этомъ направленіи должны занимать надлежащее мѣсто при вычисленіяхъ, и не надо считать, что навыкъ въ этомъ вычисленіи дастся ученикамъ самъ собою. Для того, чтобы, однакоже, не вносить слишкомъ много механизма въ вычисленіе, можно въ послѣднемъ случаѣ данное некруглое число дополнить столькими единицами, чтобы получилось круглое.

Напримѣръ: 27 да 8. Повторить: 27 да 8, а затѣмъ сказать: 27 да 3 —тридцать, да еще 5 — тридцать пять, или 58 да 5; 58 да 2 — шестьдесятъ, 60 да 3 — шестьдесятъ три. Какъ въ томъ, такъ и въ другомъ случаѣ ритмичность вычисленія, безъ сомнѣнія, является условіемъ, чрезвычайно облегчающимъ самое вычисленіе.

Отъ сложенія получается еще десятокъ

§ 4. Труднѣе изустное сложеніе двухъ двузначныхъ некруглыхъ чиселъ, дающихъ круглую сумму, или же двухъ двузначныхъ чиселъ, дающихъ некруглую сумму, но съ новымъ десяткомъ. Такъ, напр., если приходится сложить 78 да 22, то это вычисленіе можно совершить такъ: 70 да 20—девяносто; 8 да 2 — десять; 90 да 10 — сто, и т. д. Если же приходится сложить 47 да 38, то тутъ получается не только новый десятокъ, но, сверхъ десятка, еще нѣсколько единицъ, не составляющихъ десятка. Повторимъ задачу: 47 да 38! 40 да 30 — семьдесятъ; 7 да 8 — пятнадцать; 70 да 15 — восемьдесятъ пять. При этомъ слѣдуетъ, для легчайшаго усвоенія изустнаго вычисленія, различать случаи: а) когда десятки одинаковы и единицы одинаковы, б) когда только единицы одинаковы, в) когда только десятки одинаковы, и г) когда и десятки различны, и единицы различны. Надлежащее произнесеніе слагаемыхъ приводитъ къ естественному облегченію изустнаго производства сложенія, и ритмическій способъ вычисленія здѣсь прямо чрезвычайно важенъ.— Само собою разумѣется, что возможны и другіе способы вычисленія, кромѣ указанныхъ выше. Напримѣръ: если приходится сложить двузначное число съ двузначнымъ,—при чемъ безразлично, получается ли новый десятокъ и нѣсколько отдѣльныхъ единицъ, не составляющихъ десятка, или нѣтъ,— то можно ко всему первому слагаемому прибавить только десятки второго, а потомъ къ полученному прибавить единицы, т.-е. поступать такимъ образомъ: 37 да 26! 37 да 20 — пятьдесятъ семь; 57 да 6 — шестьдесятъ три. Но опытъ показываетъ, что для дѣтей, вычисляющихъ по-русски, удобнѣе сложить десятки, затѣмъ сложить единицы, наконецъ, сложить результаты, т.-е. поступить такъ: 37 да 26, 30 да 20 — пятьдесятъ; 7 да 6 — тринадцать; 50 да 13 — шестьдесятъ три. Но, конечно, и другіе способы вычисленія должны быть ученикамъ понятны, и они должны знать, что каждое

вычисленіе можно совершать такъ или иначе, лишь бы оно было сдѣлано вѣрно и скоро.

Задачи съ условіями на 16-й ступени.

§ 5. Этимъ, строго говоря, исчерпывается техника сложенія двухъ двузначныхъ чиселъ, дающихъ въ суммѣ не больше ста. Но надо отмѣтить, что, упражняясь въ этой техникѣ, нѣтъ особенной надобности прибѣгать къ многочисленнымъ задачамъ. Ибо цѣль этихъ упражненій не столько въ примѣненіи вычисленій къ частнымъ случаямъ, сколько въ скоромъ усвоеніи механизма этихъ вычисленій учащимися. Еще менѣе цѣлесообразно на этой ступени, когда еще ученики не усвоили себѣ техники вычисленія, предлагать ученикамъ сколько-нибудь замысловатыя задачи, а тѣмъ болѣе — задачи, требующія особой изобрѣтательности и принадлежащія къ числу слишкомъ сложныхъ, требующихъ болѣе трехъ дѣйствій. Это только задержитъ учащихся безъ пользы для дѣла. Цѣль 16-й ступени заключается преимущественно въ усвоеніи учениками сложенія двузначныхъ чиселъ, которое имѣетъ свою самостоятельную цѣнность. Но, кромѣ того, оно необходимо для дальнѣйшаго прохожденія ариѳметики и преимущественно для сознательнаго вычисленія въ предѣлахъ произведеній, такъ наз. таблицы умноженія. Тѣмъ не менѣе нельзя не отмѣтить, что если дѣло поставить такъ, чтобы ученики производили дѣйствія только надъ отвлеченными числами, то отъ этого въ нѣкоторыхъ случаяхъ будетъ страдать интересъ учениковъ къ занятіямъ. Вслѣдствіе этого, надо чередовать чистыя упражненія въ вычисленіяхъ и рѣшеніе немногочисленныхъ задачъ на двузначныя числа, соотвѣтствующихъ содержанію упражненій. Задачи эти должны отличаться простотою и не противорѣчить требованіямъ жизни. Ученики должны складывать разстоянія, вѣса, деньги, количества зерна, промежутки времени и т. п.

Термины: „больше на“ и т. п.

§ 6. Учащіеся ранѣе пріобрѣли на одной изъ ступеней предшествующаго курса навыкъ въ употребленіи термина «на столько-то больше».

Во избѣжаніе всякихъ затрудненій, можно снова обратиться къ этому термину, съ тѣмъ, чтобы ученики сами вспомнили, что это значитъ: на 3 больше, на 4 больше, и т. д. Для этого можно повторить упражненія, относящіяся до этого пункта на 8-ой ступени курса (см. стр. 152). Тутъ можно пред-

дожить цѣлый рядъ задачъ, относящихся до разныхъ величинъ, выяснить значеніе словъ: «длиннѣе», «шире», «выше», «глубже», «дороже», «старше», «барышъ», «прибыль». Тутъ же можно познакомить съ устройствомъ термометра, со значеніемъ его показаній, съ выясненіемъ слова «градусъ» и выраженіемъ «температура повысилась на столько-то» и т. д. Благодаря такому обогащенію запаса понятій и словъ, находящагося въ распоряженіи учащихся, въ содержаніе задачъ можно внести разнообразіе. При этомъ могутъ быть выяснены попутно такія слова, какъ вышеупомянутыя, а также выяснено, что это значитъ: длина больше, разстояніе больше, такая-то вещь дороже, тяжелѣе и т. п.—Затрудняетъ учениковъ творительный падежъ именъ существительныхъ, обозначающихъ некруглыя двузначныя числа, когда вмѣсто того, чтобы говорить, что одно число больше другого на тридцать три, говоримъ: «число больше другого тридцатью тремя». Еще труднѣе формы: восемьюдесятью девятью, тридцатью однимъ, сорока двумя, сорока девятью, девяноста пятью и т. д. Творительный падежъ числительныхъ именъ иногда представляетъ для учащихся столь большія затрудненія, что на этомъ останавливаться,—особенно на этой ступени,—не слѣдуетъ. Самое большое, что учитель можетъ себѣ позволить, сводится къ слѣдующему: онъ можетъ самъ употреблять подобныя выраженія. Но не стоитъ требовать отъ дѣтей, чтобы они тоже употребляли эти выраженія. Наоборотъ, пусть они замѣняютъ ихъ равнозначащими выраженіями, а именно: «на столько-то больше».

Термометръ и температура.

§ 7. Выясненіе смысла показаній термометра (градусника) не нужно считать чѣмъ-то для учениковъ труднымъ. Градусникъ — предметъ культурнаго обихода, и выяснить, что въ трубочкѣ градусника есть блестящій столбикъ, столбикъ живого серебра или ртути, нетрудно. Надо показать на опытѣ, что этотъ столбикъ меньше, когда градусникъ погруженъ въ холодную воду, и больше, когда градусникъ погруженъ въ воду теплую, и т. п. Это представляетъ задачу прямо благодарную. Можно также выяснить вопросъ о томъ, когда градусникъ показываетъ нуль градусовъ, сдѣлавши соотвѣтствующій опытъ, а именно погрузивши шарикъ термометра въ чашку съ тающимъ льдомъ. Само собою разумѣется, что здѣсь учителю невозможно обойтись безъ

нѣкотораго разсказа. Но еще нужнѣе «показъ». Упражненія, относящіяся до этого пункта, могутъ имѣть слѣдующій видъ: «Посмотрите градусникъ: въ трубочкѣ есть свѣтлый блестящій столбикъ; этотъ «столбикъ»—ртуть, живое серебро... (Можно показать нѣкоторое количество ртути, сохраняемой учителемъ въ плотно закупоренномъ пузырькѣ, — въ противномъ случаѣ ртуть испарится безъ остатка).—На дощечкѣ, къ которой прикрѣплена эта запаянная стеклянная трубочка съ шарикомъ внизу, есть черточки и цифры.—Какія тамъ цифры? 0, 10, 20 и т. д.— вверхъ и, считая отъ нуля внизъ — тоже 10, 20 и т. д. Какъ раздѣлено разстояніе между двумя числами? Ровно на 10 частей, 5 одинаковыхъ частей и еще 5, и т. п. — Какая часть называется градусомъ? Вотъ отъ этой черточки до этой градусъ, до слѣдующей 2 градуса, далѣе—з градуса и т. д. Вотъ почему эта вещь называется градусникомъ. И т. д., и т. д.—Подробности можно найти въ «Новомъ задачникѣ для учителей начальныхъ школъ», стр. 85, 86, 87, и ниже, стр. 217.

„Увеличить“ на столько-то.

§ 8. Въ математикѣ часто употребляется терминъ «на столько-то единицъ увеличить». Это — терминъ чисто условный. Количество (вообще количество) предметовъ, конечно, можно увеличить; но «увеличить» 10 на 3 единицы или «увеличить» 27 на 15, въ буквальномъ смыслѣ этихъ словъ, невозможно. Мы къ смыслу этихъ словъ такъ привыкли, что не замѣчаемъ ихъ условности. Этотъ условный смыслъ ученики должны себѣ уяснить сообразно съ самымъ существомъ дѣла. Жалованье работ-

Рис. 68.

Рис. 69.

ника, табунъ лошадей, число учениковъ въ школѣ, число книгъ можно увеличить. Но когда говорятъ, что надо увеличить 58 книгъ на 24, то подъ этимъ мы разумѣемъ только то, что къ 58-ми книгамъ надо прибавить еще 24 книги. При этомъ 58 книгъ останутся тѣми же пятьюдесятью восемью книгами, какими онѣ были раньше. Данное число 58 не можетъ увеличиться. Никакое опредѣленное («постоянное») число не можетъ стать больше или меньше: можно взять число большее или меньшее, чѣмъ данное; вмѣсто одного значенія нѣкоторой величины можно взять другое. Длина стержня вообще можетъ увеличиться и увеличивается отъ его нагрѣванія. Но если стержень имѣетъ въ длину 2 аршина, то эти два аршина, какъ таковые, не могутъ увеличиться ни на какую, сколь угодно малую, долю вершка. Однако же, вмѣсто того, чтобы говорить: прибавить 12 къ 45, иногда говорятъ: 45 увеличить на 12. Надо, конечно, ознакомить учениковъ и со страдательной формой «увеличиться»: напримѣръ, нѣкто получалъ 25 руб. жалованья, а съ прошлаго года его жалованье увеличилось, повысилось на 5 руб. въ мѣсяцъ, и т. п.

§ 8. Сложеніе двузначныхъ чиселъ, записанныхъ (можетъ-быть, и не произнесенныхъ) тѣмъ, кто долженъ выполнить дѣйствіе, послѣ извѣстнаго количества упражненій дѣлается, такъ сказать, «глазами», благодаря зрительному воспріятію записей. Одни этому научаются быстро, другіе — медленнѣе. Особенно это справедливо для тѣхъ случаевъ, когда отъ сложенія единицъ не получается числа второго десятка. Таковы, напр., сложенія: 30 + 20; 32 + 20; 32 + 7; 32 + 43; 36 + 42 и т. п. Нѣсколько труднѣе сложенія въ родѣ слѣдующихъ:

Сложеніе двухъ записанныхъ двузначныхъ чиселъ „глазами“.

Но и въ этихъ случаяхъ быстро пріобрѣтается навыкъ въ зрительномъ выполненіи сложенія. Принимая это во вниманіе, учитель долженъ упражнять дѣтей въ изустномъ вычисленіи суммъ двухъ двузначныхъ чиселъ, не записанныхъ ни на доскѣ, ни въ книгѣ, и придумываемыхъ самими учащимися, такъ сказать, по заказу учителя: «скажите два числа съ одинаковымъ числомъ десятковъ въ обоихъ и сложите ихъ» или: «скажите два числа съ различными десятками и такими единицами, чтобы получилась круглая сумма!» и т. п. Только

благодаря такимъ упражненіямъ, учащіеся пріобрѣтаютъ полную власть надъ дѣйствительно изустнымъ сложеніемъ. Само собою разумѣется, что упражненія въ отысканіи суммы «глазами» тоже полезны. Они умѣстны и практикуются во время такъ наз. самостоятельныхъ упражненій въ вычисленіи примѣровъ на сложеніе. Но ихъ однихъ не достаточно.

17-ая ст.: изустное вычитаніе.

§ 10. Семнадцатая ступень курса посвящена изустному вычитанію чиселъ, превышающихъ 20 единицъ, изъ чиселъ 1-ой сотни. Здѣсь такъ же, какъ и при сложеніи, нужно различать нѣсколько случаевъ. При этомъ каждый изъ этихъ случаевъ надобно разсматривать отдѣльно, и ему посвящать активное вниманіе учащихся. На этой ступени, какъ и на предыдущей, задачи должны занимать нѣкоторое мѣсто лишь постолько, посколько это нужно для внесенія разнообразія въ занятія. Ибо цѣль этой ступени—исключительно усвоеніе дѣтьми механизма изустнаго вычитанія. Задачи должны принадлежать къ классу преимущественно простыхъ. Ограничиваться же вычисленіями надъ отвлеченными числами, какъ это отмѣчено выше, значитъ понизить интересъ къ этимъ вычисленіямъ. А затрата времени и силъ учащихся на неинтересныя вычисленія является почти безполезною потерей его.

Изустное вычитаніе изъ чиселъ первой сотни требуетъ методическихъ упражненій, расположенныхъ приблизительно слѣдующимъ образомъ: а) вычитаемое—однозначное число, а остатокъ—круглое двузначное число. Надо обратить вниманіе и на вычитаніе одной единицы изъ круглаго числа. Этотъ послѣдній случай является тѣмъ упражненіемъ, которое примыкаетъ въ методикѣ ариѳметики къ такъ называемому обратному счету (см. стр. 126). Что касается вычитанія однозначнаго числа изъ двузначнаго въ томъ случаѣ, когда въ остаткѣ получается круглое двузначное число, то это дѣйствіе для учениковъ не представляетъ затрудненія. «Было 56 коп., истрачено 6 коп., сколько осталось?» Подобная задача для учащихся чрезвычайно легка. Нѣсколько затруднительнѣе для учащихся вычитаніе одной единицы изъ круглаго двузначнаго числа: напримѣръ, изъ 90, изъ 60, изъ 70, и, какъ сказано выше, на это обстоятельство надо обратить вниманіе, б) Уменьшаемое и вычитаемое оба—круглыя числа. Въ этомъ случаѣ учащіеся встрѣчаются съ упражненіями, уже ранѣе бывшими;

они дѣлу не только не приносятъ никакого вреда, но приближаютъ къ усвоенію болѣе трудныхъ вычисленій, в) Только вычитаемое—круглое число, а уменьшаемое—число некруглое: изъ 73-хъ вычесть 20, изъ 98-ми вычесть 30. При вычисленіи надо непремѣнно повторить заданіе (это—общее правило для всякихъ изустныхъ вычисленій): «73, долой 30», послѣ этого надо сказать: «70, долой 30, будетъ 40, а 40 да 3 сорокъ три». Въ случаѣ, когда въ остаткѣ получается однозначное число, т.-е. когда вычитаемое равно десяткамъ уменьшаемаго (напр., изъ 85 вычесть 80), несмотря на кажущуюся простоту примѣра, тоже требуется нѣкоторое (хотя и незначительное) количество упражненій. Для того чтобы внести ритмъ въ вычисленіе искомаго остатка, въ этомъ случаѣ можно говорить такъ: «37, долой 30! тридцать—не въ счетъ, остается семь; 85, долой 80; восемьдесятъ—не въ счетъ, остается пять», и т. п. г) Въ обоихъ числахъ цифры единицъ или цифры десятковъ одинаковы: 83, долой 23! 65, долой 45; 78, долой 28 и т. д., или 47, долой 42; 64, долой 61, и т. п. Надлежащее логическое удареніе на различныхъ числахъ, въ одномъ случаѣ на десяткахъ, а въ другомъ—на единицахъ, крайне полезно. Напр., 75, долой 35! Ударенія на словахъ семьдесятъ и тридцать, а слово пять оба раза—безъ ударенія, быстро даютъ въ остаткѣ 40. Аналогичное справедливо также для вычисленія тѣхъ примѣровъ, когда десятки одинаковы, а различны единицы. Напр.: 47, долой 42; или 58, долой 51; 69, долой 63, и т. д. Самое вычисленіе можно выполнять такъ: «69, долой 63; шестьдесятъ не въ счетъ; 9, долой 3 — шесть». Достойно вниманія, что если уменьшаемое и вычитаемое обладаютъ свойствами, охарактеризованными въ этомъ пунктѣ, и если они записаны цифрами, то примѣры этого рода принадлежатъ къ числу тѣхъ, которые учащійся выполняетъ (см. выше) «глазами»: онъ видитъ, какіе разряды одинаковы, и ихъ не принимаетъ во вниманіе при вычитаніи. д) Если оба числа некруглыя и если при этомъ не приходится раздроблять десятка уменьшаемаго (напримѣръ, 87, долой 36, или 39, долой 21), то учащійся равнымъ образомъ, имѣя передъ глазами эти записи, вычисленія дѣлаетъ не изустно, а глазами. Въ случаѣ же, если у него записей этихъ чиселъ нѣтъ передъ глазами, и если они даны какимъ-нибудь образомъ въ задачѣ или продиктованы учителемъ, то ученикъ можетъ вычислять это, слѣдуя требованіямъ ритмиче-

скаго и выразительнаго вычисленія. Пусть требуется вычесть 26 изъ 87; надо повторить заданіе: «87, долой 26; 80, долой 20 — шестьдесятъ; 7, долой 6 — одинъ, 60 да 1 — шестьдесятъ одинъ». Другой примѣръ: «79, долой 32; 70, долой 30 —сорокъ; 9, долой 2 — семь; 40 да 7 — сорокъ семь». Конечно, въ этомъ случаѣ возможенъ и другой способъ вычисленія, напр., такой: «89, долой 32! восемьдесятъ два, долой тридцать два— 50; 50 да 7—пятьдесятъ семь». Такое вычисленіе короче: оно требуетъ всего только трехъ фразъ, въ то время какъ ранѣе приведенное вычисленіе требуетъ четырехъ фразъ. Но надо стремиться къ тому, чтобы учащіеся дѣлали вычисленія посвободнѣе, не держась непремѣнно того или другого шаблона. Поэтому лучше, если каждый ученикъ пользуется тѣмъ способомъ вычисленія, который ему больше нравится, е) Вычитаніе однозначнаго числа изъ двузначнаго, требующее раздробленія одного десятка, представляетъ собою то упражненіе, которое особенно легко и удачно усваивается учащимися на палочкахъ, связанныхъ въ пучки, по 10-ти палочекъ въ каждомъ. Конечно, можно и въ этомъ случаѣ обойтись безъ этого нагляднаго пособія. Но опытъ показываетъ, что дѣти, поработавшія въ теченіе нѣсколькихъ минутъ надъ палочками, очень скоро осваиваются также съ изустнымъ вычисленіемъ примѣровъ указаннаго типа: 32 — 8; 43 — 6 и т. п. Какъ вычесть 2 изъ 80? Восемьдесятъ все равно, что 7 десятковъ и еще 1 десятокъ: 7 десятковъ оставимъ безъ перемѣны, а изъ 8-го десятка вычтемъ 2 единицы. Поэтому изустное вычисленіе можетъ имѣть такой видъ: «80, долой 2 (пауза)! 70 да 10, долой 2; 70 такъ и остается семьдесятъ; 10, долой 2, будетъ 8; 70 да 8—семьдесятъ восемь». Другой примѣръ: «30, долой 8; 30, долой 8 (пауза); 20 да 10, долой 8; 20 такъ и остается двадцать; 10, долой 8, остается 2», и т. п. Иначе вычисленіе выполняется въ случаяхъ слѣдующаго рода: «81, долой 4! 81, долой 1—восемьдесятъ; 80, долой 3 — семьдесятъ семь». Упражненію, только-что приведенному, очевидно, должны предшествовать упражненія въ вычитаніи однозначнаго числа изъ круглаго десятка, ж) Вычитаніе двузначнаго некруглаго числа изъ круглаго требуетъ непремѣнно раздробленія одного десятка уменьшаемаго. Вычисленіе сводится къ тому, что сначала вычитаются десятки вычитаемаго: «80, долой 36! 80 долой 30 — пятьдесятъ; 50, долой 6 — сорокъ четыре», и т. п.

з) Если же приходится дѣлать вычитаніе не изъ круглаго числа, а изъ числа некруглаго, и если при этомъ требуется раздробить одинъ десятокъ, то это вычисленіе можно сдѣлать слѣдующимъ образомъ: «72, долой 36; 72, долой тридцать два — сорокъ; 40, долой 4 — тридцать шесть». Другой примѣръ: «83, долой 49; 83, долой сорокъ три — сорокъ; 40, долой 6 — тридцать четыре», и т. п. Въ этомъ случаѣ вмѣсто даннаго вычитаемаго берется другое, въ которомъ цифра единицъ та же, что цифра единицъ въ уменьшаемомъ.

Таблицы цифръ.

§ 11. Во всѣхъ упражненіяхъ этого рода полезны таблицы цифръ, въ родѣ Мартеля или Шохоръ-Троцкаго. Онѣ могутъ сослужить учителю большую службу въ слѣдующихъ отношеніяхъ. Онъ можетъ показывать, съ помощью указки, сдѣланной и склеенной изъ свернутаго въ трубку листа бумаги, тѣ числа, надъ которыми надо совершить дѣйствіе, и называть только дѣйствія, которыя нужно совершить, а учащіеся будутъ ритмически и вслухъ выполнять названныя дѣйствія. Если учитель привыкъ къ слишкомъ громкому веденію урока (отъ этой привычки очень трудно, хотя и слѣдуетъ, отдѣлаться), то употребленіе таблицы цифръ полезно для сохраненія здоровья. Методически важно, что учитель, благодаря безмолвной командѣ, относящейся до производства вычисленій, освобождаетъ учениковъ отъ того внушенія (гипноза), которымъ страдаютъ вычисленія, производимыя только подъ непосредственную диктовку самого учителя, и освобождаетъ дѣтей отъ привычки вычислять только глазами. Надо учащихся пріучить къ тому, чтобы они сами произносили требующіяся фразы, съ должнымъ выраженіемъ и въ должномъ ритмѣ, и усиліемъ своей воли сосредоточивали бы свое вниманіе на тѣхъ особенностяхъ данныхъ двухъ чиселъ, которыя даютъ возможность вычисленіе производить такъ, а не иначе, т.-е. производить ихъ съ полнымъ разумѣніемъ. Эти упражненія—переходъ къ свободному, совершенно самостоятельному и дѣйствительному изустному, вычисленію. Ибо вычисленія по книжкѣ, гдѣ учащійся видитъ цифры и не обязанъ (а иногда не въ правѣ, напр., въ начальной школѣ, при выполненіи самостоятельныхъ работъ въ тетради) вслухъ произносить данныхъ чиселъ и результатовъ вычисленія,—такія вычисленія производятся почти исключительно «глазами». Для учениковъ полезно и то, что

они освобождаются отъ вреднаго для здоровья гипноза, подъ вліяніемъ котораго они находятся, когда учитель произноситъ заданія. Часто ученики, отлично вычисляющіе, когда учитель говоритъ, надъ какими числами надо произвести дѣйствіе, вычисляютъ вяло и невѣрно, когда надо вычислить что-либо самостоятельно. — Посвящать таблицѣ цифръ слѣдуетъ ежедневно нѣсколько минутъ, на каждомъ урокѣ ариѳметики.

Термины: „на столько-то меньше“ и др.

§ 12. На этой же ступени умѣстны упражненія въ употребленіи терминовъ: «на столько-то меньше», «короче», «уже», «ниже», «дешевле», «легче», «моложе», «убытокъ». Начинать упражненія въ этомъ направленіи нужно, конечно, съ вопросовъ, могущихъ удостовѣрить учителя и учащихся, что послѣдніе понимаютъ значеніе этихъ словъ и умѣютъ это значеніе примѣнить къ соотвѣтствующему случаю. Что касается терминовъ: «на столько-то уменьшить», то относительно его справедливо то же, что справедливо относительно термина «на столько-то увеличить» (см. стр. 207). Этотъ терминъ представляетъ собою условное обозначеніе того, что изъ одного числа надо вы честь другое. — Выясненіе термина «убытокъ» даетъ просторъ для соотвѣтствующихъ задачъ. Не надо только думать, что термины «убытокъ» и «барышъ» учащимся всегда извѣстны безъ всякаго поясненія. Очень легко можетъ случиться, что дѣтямъ они извѣстны. Но это не исключаетъ возможности, что эти термины представятъ сначала нѣкоторыя затрудненія. Выясненіе вопроса можно поставить на почву «игры» въ куплю и продажу и на почву воздѣйствія на воображеніе учениковъ съ помощью задачъ, примѣрно, слѣдующаго типа: «я купилъ въ городѣ калоши для сестры за 2 р. 50 к.; калоши оказались слишкомъ велики, и ихъ пришлось уступить нашему лавочнику. Лавочникъ не пожелалъ дать мнѣ полностью 2 р. 50 к., а предложилъ мнѣ только 2 р. 20 к...—Я при этомъ недовыручилъ, потерялъ 30 коп. Денегъ у меня убыло...—Вотъ эти 30 коп. составляютъ мой убытокъ... Этихъ 30 коп. я недополучилъ...—Я потерпѣлъ убытку 30 коп.: самъ купилъ калоши за 2 р. 50 к. (удареніе на словѣ «пятьдесятъ»), а пришлось уступить калоши за 2 р. 20 к. (удареніе на словѣ «двадцать»).— Это все равно, какъ если бы я прямо 30 к. изъ кармана потерялъ...—Я потерялъ на калошахъ 30 коп.» И т. п.

Сказано: „больше на столько-то“, а надо вычесть.

§ 43. Бываютъ, какъ извѣстно, случаи, что въ задачѣ употребленъ терминъ «больше на столько-то», а для рѣшенія задачи надо сдѣлать вычитаніе, и обратно: въ задачѣ употребленъ терминъ «меньше на столько-то», а для рѣшенія задачи требуется совершить сложеніе двухъ чиселъ. Если ученики привыкли къ тому, чтобы только механически примѣнять сложеніе во всѣхъ задачахъ, гдѣ употребленъ терминъ «больше на столько-то», а вычитаніе — во всѣхъ тѣхъ задачахъ, гдѣ сказано «меньше на столько-то», то они будутъ рѣшать задачи занимающаго насъ типа совершенно невѣрно. Пусть предложена такая задача: «у меня больше денегъ, чѣмъ у моего брата на 15 р.; денегъ же у меня всего 50 р.; скажите, сколько денегъ у моего брата?» Для рѣшенія этой задачи надо уяснить себѣ, что, по условію, у меня больше денегъ, чѣмъ у моего брата, а изъ этого уже вытекаетъ, что у брата моего меньше денегъ, чѣмъ у меня, на столько же (на сколько у меня больше, чѣмъ у него). Такъ какъ у меня 50 руб., то, стало-быть, изъ 50-ти рублей надо вычесть ту сумму денегъ, которая выражаетъ, на сколько у меня больше денегъ, чѣмъ у моего брата. Шаблонъ, къ которому такъ охотно прибѣгаютъ не только ученики, но иногда даже учителя, особенно начинающіе, сводится къ тому, что коли въ задачѣ сказано «больше на столько-то», то надобно прибавить, а коли сказано, что «меньше на столько-то», то надобно отнять, — этотъ шаблонъ оказывается чрезвычайно вреднымъ въ этомъ случаѣ. Ибо онъ, какъ и всякій шаблонъ, пріучаетъ дѣтей рѣшать вопросы, не задумываясь надъ смысломъ вопроса. Шаблонъ—источникъ многихъ ошибокъ и,—что еще хуже,—многихъ дурныхъ привычекъ.

Вопросъ: „на сколько больше?“

§ 14. Здѣсь умѣстно ознакомить учениковъ съ тѣмъ же терминомъ, но въ вопросительной его формѣ: «на сколько больше?» Не надо думать, что если учащіеся справляются съ задачами, въ которыхъ употребляются термины «на столько-то больше» и «на столько-то меньше», то они уже тѣмъ самымъ научились и сами сообразятъ, какъ рѣшать задачи, въ которыхъ употреблена не утвердительная, а вопросительная форма термина. Пусть на столѣ 83 кубика, а въ сторонѣ 28. Само собою разумѣется и очевидно, что на столѣ больше, чѣмъ въ сторонѣ. Но отсюда вовсе еще не слѣдуетъ, что учащіеся понимаютъ во-

просъ: «на сколько на столѣ больше кубиковъ, чѣмъ въ сторонѣ?» Для того чтобы они его поняли, необходимо, чтобы они раньше сообразили, что отъ кубиковъ, лежащихъ на столѣ, можно отдѣлить столько же кубиковъ, сколько ихъ въ сторонѣ, и что, отдѣливши ихъ, они могутъ сказать, что на столѣ на столько-то кубиковъ больше, чѣмъ въ сторонѣ. Они могутъ прямо не додуматься до того, что можно разсудить, въ чемъ дѣло, и отвѣтить на этотъ вопросъ: «на сколько именно кубиковъ находится на столѣ больше, чѣмъ въ сторонѣ?»

Разностное сравненіе и вычитаніе.

§ 15. Рѣшая задачи этого рода, учащіеся подвергаются опасности невѣрно осмысливать то, что они дѣлаютъ для рѣшенія предложеннаго вопроса. Начинающіе учителя могутъ подвергнуться той же опасности. Пусть предложена задача: «у старшаго брата 30 руб., а у меньшого—12 руб.; на сколько рублей у старшаго больше денегъ, чѣмъ у младшаго?» Задача очень проста. Научившись рѣшать задачи этого рода, дѣти отвѣчаютъ: «надо 12 руб. вычесть изъ 30-ти рублей». Это, конечно, вѣрно. Но стоитъ предложить вопросъ: «какіе 12 руб. надо вычесть изъ 30-ти рублей?», и можетъ оказаться, что ученики отвѣтить: «деньги младшаго брата надо вычесть изъ денегъ старшаго». А это—совершенно невѣрно. Вычитать надо не деньги младшаго изъ денегъ старшаго (это и невозможно). Денегъ младшаго брата при этомъ вовсе и трогать не надо, да и старшій братъ при этомъ не отдастъ ни единой копейки изъ своихъ денегъ. Здѣсь и деньги-то надо себѣ только представить. Но отъ числа, равнаго количеству денегъ, имѣющихся у старшаго брата, надо отдѣлить число, равное количеству денегъ, имѣющихся у младшаго. Когда мы узнаёмъ, на сколько денегъ у какого-нибудь богача больше, чѣмъ у какого-нибудь бѣдняка, никто не отнимаетъ ничего у богача, а тѣмъ болѣе—не отнимаетъ у него тѣхъ денегъ, которыя есть у бѣдняка и которыя не принадлежатъ богачу. Эта задача вовсе не тожественна съ задачей, гласящей, что какой-то богачъ изъ своего милліона пожертвовалъ столько-то тысячъ на такое-то дѣло. Правда, и въ этой послѣдней мы только воображаемъ и мыслимъ данныя числа; но все же одно изъ этихъ чиселъ (меньшее) представляетъ собою часть другого. Въ задачѣ же о томъ, на сколько денегъ у богача больше, чѣмъ у бѣдняка, когда извѣстны

капиталы каждаго, меньшее число не составляетъ части большаго, а только равно нѣкоторой части его.

Разница между вычитаніемъ и разностнымъ сравненіемъ должна быть ясна и для учащихся. Въ первомъ случаѣ изъ даннаго числа дѣйствительно надо вычесть другое данное число, при чемъ послѣднее составляетъ часть перваго. Во второмъ же случаѣ надобно изъ числа, равнаго большему, вычесть число, равное меньшему, при чемъ это послѣднее не составляетъ части перваго. Вопросъ можно выяснить только на цѣлесообразныхъ задачахъ. Ихъ надо перерѣшить съ учащимися довольно много, не пренебрегая помощью наглядныхъ пособій. Не надо пренебрегать и помощью доступныхъ дѣтскому воображенію случаевъ дѣйствительнаго вычитанія одного даннаго числа изъ другого, когда первое составляетъ часть второго, и воображаемаго вычитанія числа, равнаго меньшему изъ данныхъ чиселъ, изъ большаго числа, когда меньшее не составляетъ части большаго.

Для большей ясности можно сравнить задачи, предлагаемыя на наглядныхъ пособіяхъ, слѣдующихъ типовъ: а) Вотъ на столѣ 82 кубика; сниму со стола 37 кубиковъ; сколько останется? б) Вотъ на столѣ 82 бѣлыя бумажки, а на стулѣ 37 цвѣтныхъ бумажекъ; на сколько кусковъ бумаги на столѣ больше, чѣмъ на стулѣ? в) Вотъ на столѣ 82 кубика, а у меня въ рукѣ 37 палочекъ; на сколько число кубиковъ больше, чѣмъ число палочекъ?—Не надо только предаваться самообольщенію и думать, что если учитель это «объяснилъ», то для дѣтей это уже ясно. Надо ихъ поупражнять на разныхъ примѣрахъ. Дано, напр., нѣкоторое количество (совокупность) предметовъ, напр., стакановъ. Изъ этихъ стакановъ нѣкоторые надо переставить на другую полку. Это—задача на отдѣленіе отъ данной совокупности элементовъ нѣсколькихъ элементовъ, входящихъ въ составъ этой совокупности. Иное дѣло, если даны двѣ совокупности предметовъ, которыя обладаютъ тѣмъ свойствомъ, что ни одинъ изъ элементовъ одной совокупности не входитъ въ составъ другой. Таковы, напр., нѣкоторое количество стакановъ и нѣкоторое количество чашекъ, при чемъ стакановъ больше, чѣмъ чашекъ. (При этомъ надо умышленно брать предметы разнаго наименованія, для того чтобы ярче оттѣнить, что это—разныя двѣ совокупности). Задачу можно сначала предлагать такъ: я спрашиваю,

на сколько здѣсь стакановъ больше, чѣмъ чашекъ? Это не значитъ, что надобно изъ стакановъ вычесть чашки. (При этомъ мы избѣгли даже слова «число»).

На сколько меньше?

§ 16. Въ какой мѣрѣ ученики освоились со смысломъ вопроса такъ называемаго разностнаго сравненія, можно судить съ помощью иной формулировки вопроса. Они научились отвѣчать на вопросъ, на сколько одно число больше другого, и рѣшать этотъ вопросъ вычитаніемъ числа, равнаго меньшему, изъ числа, равнаго большему. Но вопросъ можно формулировать и иначе: насколько меньшее число меньше, чѣмъ большее? Ученики, благодаря задачамъ на измѣреніе и на взвѣшиваніе, должны сами уяснить себѣ, что если одно число больше другого, то второе меньше перваго на столько же, и наоборотъ.

Термометръ и температура.

§ 17. Къ показаніямъ термометра здѣсь можно вернуться въ связи съ выясненіемъ «паденія» и «поднятія» температуры и съ терминами «повыситься» и «понизиться»: температура понизилась на 17 градусовъ, потомъ повысилась на 5 градусовъ и т. п. (О доходѣ тоже говорятъ иногда, что онъ «повысился» или «понизился»; говорятъ, что «понизились» успѣхи учащихся, и т. п.). Задачи на температуры должны принадлежать къ числу если не простыхъ, то не слишкомъ сложныхъ. О температурахъ «ниже нуля» и «выше нуля» тоже можно побесѣдовать съ дѣтьми при подходящемъ случаѣ. Но при этомъ подъ температурой, во избѣжаніе всякихъ недоразумѣній, надо разумѣть только показанія термометра. Можно считать, что въ этомъ вопросѣ познанія учащихся вполнѣ достаточны, если учащіеся знаютъ на этой ступени слѣдующее: а) если термометръ (градусникъ) погруженъ въ тающій снѣгъ или ледъ или же въ замерзающую воду, то градусникъ показываетъ нуль градусовъ во все время, пока ледъ таетъ или вода замерзаетъ; б) когда весь ледъ растаялъ, то температура получившейся при этомъ воды можетъ повыситься; в) когда вся вода на морозѣ замерзла, то температура льда можетъ понизиться; г) если градусникъ «показываетъ» какое-либо число «градусовъ» выше нуля, то это—градусы тепла: д) если онъ показываетъ какое-либо число градусовъ ниже нуля, то это — градусы холода; е) если въ градусникѣ (Реомюра) есть дѣленія до 80-ти градусовъ, то 80 градусовъ онъ показываетъ тогда, когда онъ

погруженъ въ кипящую чистую воду (или вѣрнѣе — въ пары кипящей воды). — Что знакомство съ термометромъ и со смысломъ его показаній важно съ практической и культурной точекъ зрѣнія, спору, конечно, не подлежитъ. Но ознакомленіе учащихся съ двоякой термометрической шкалой (Реомюра, и Цельзія) можно отнести къ другой ступени. Слѣдуетъ, можетъ-быть, не разъ указывать на то, что въ комнатныхъ и уличныхъ термометрахъ у насъ, въ Россіи, у «точки кипѣнія воды» должно быть поставлено 80.—Многія упражненія надъ вычисленіемъ температуры должно ставить на почву дѣйствительно производимыхъ съ термометромъ опытовъ. Здѣсь одного «разсказа» и даже «показа» недостаточно.—Надо учащимся показать также спиртовый термометръ, въ которомъ вмѣсто ртути—подкрашенный спиртъ. (Спиртъ ни на какомъ морозѣ не замерзаетъ).

Взаимоотношеніе между вычитаніемъ и сложеніемъ.

§ 18. Къ этой ступени можно отнести выясненіе ученикамъ взаимоотношенія, которое существуетъ между вычитаніемъ и сложеніемъ. Они уже раньше пріучились, благодаря вычисленіямъ, соображать, что сложеніе и вычитаніе — дѣйствія взаимно обратныя, хотя формулировать это не въ состояніи. Они уже неоднократно встрѣчались съ упражненіями такого рода: 12 и 15 будетъ 27, а 27, долой 15, будетъ 12, и 27, долой 12, будетъ 15. Надо, однакоже, придать этому знанію большую опредѣленность. Для этого служатъ задачи слѣдующаго типа: къ какому числу надо прибавить 14, чтобы получить 32, и какое число надо прибавить къ 14, чтобы получить 32? Задачи, относящіяся до этихъ вопросовъ, могутъ относиться и къ нагляднымъ пособіямъ, дѣйствительно находящимся предъ глазами и подъ-руками у учениковъ, а также къ воображаемымъ нагляднымъ пособіямъ и къ предметамъ ежедневнаго обихода. Засимъ можно перейти къ задачамъ на задуманныя числа. «Я задумалъ число, къ нему прибавилъ 37, получилъ 82; сколько я задумалъ?» Или: «я задумалъ число, его прибавилъ къ 37-ми и получилъ 82; сколько я задумалъ?» Разсужденіе, съ помощью котораго рѣшаются подобныя задачи, заключается въ слѣдующемъ: я задумалъ число и къ нему прибавилъ 37; получилъ послѣ этого 80; это значитъ, что 80 содержитъ въ себѣ 37 и еще какое-то число, и именно то, которое я задумалъ. Надо узнать, какое число я задумалъ.

Когда я получилъ 80?..—80 состоитъ изъ двухъ частей: изъ нихъ одна часть 37, а другая часть — то число, которое я задумалъ. Если отдѣлить 37 отъ 80-ти, то останется какъ-разъ то число, которое я задумалъ. И т. п. Казалось бы, что подобное довольно многословное разсужденіе ученикамъ на этой ступени ненужно. Но на дѣлѣ оказывается, что если конкретныя задачи не предшествуютъ задачамъ отвлеченнымъ, то тогда отвлеченныя задачи затруднительны. Если начинать съ отвлеченныхъ, то интересъ къ задачамъ падаетъ, и обращаться къ нагляднымъ пособіямъ уже поздно или почти безполезно. При этомъ надобно, однакоже, принять во вниманіе слѣдующее: 1) упражняя дѣтей въ отысканіи задуманнаго числа, къ которому прибавлено нѣкоторое другое число, послѣ чего получено въ результатѣ нѣкоторое третье число, намъ тоже извѣстное, числа надо брать не слишкомъ незначительныя. Ибо въ этомъ послѣднемъ случаѣ учащіеся угадываютъ искомые результаты, не производя дѣйствія вычитанія и не отдавая себѣ отчета въ томъ, какое именно дѣйствіе они совершили, чтобы получить задуманное число. Дѣйствительно: если предложена задача, сколько надо прибавить къ 2-мъ, чтобы получить 5, то ученикъ, понятно, не задумываясь, скажетъ, что къ 2-мъ надо прибавить 3, чтобы получить 5. На вопросъ же о томъ, какъ онъ это узналъ, ученикъ можетъ отвѣтить, что онъ сложилъ 2 и 3,—и онъ будетъ правъ, — въ то время какъ для логическаго рѣшенія задачи слѣдовало вычесть 2 изъ 5-ти. 2) Въ задачахъ, совершается, предположимъ, сложеніе: я задумалъ число и къ нему прибавилъ 25 и получилъ 71, а для рѣшенія надо прибѣгнуть къ вычитанію. Этого не надо говорить ученикамъ.

Вопросительный знакъ и уравненіе.

§ 19. Къ сожалѣнію, у насъ не принято въ ариѳметикѣ обозначать неизвѣстныя числа буквами. Для этого у насъ пользуются вопросительнымъ знакомъ (см. стр. 194). Мы сначала, напр., пишемъ: ? + 25 = 71, а потомъ записываемъ: 71 — 25 = 46. При этомъ запись дѣйствія, къ которому приводитъ данная задача, только логически, а не наглядно связана съ самой задачею. Гораздо прозрачнѣе и нагляднѣе связь между данной задачей и ея рѣшеніемъ, если задача и рѣшеніе обозначены, можно сказать, «изображены» въ видѣ трехъ уравненій:

x + 25 = 71, х = 71—25, x = 46.

Конечно, никто не можетъ воспретить намъ писать:

? + 25 = 71; ? = 71 —25 и ? = 46.

Но такъ писать не только не принято; такъ писать не удобно и съ дидактической точки зрѣнія. У вопросительнаго знака свое значеніе, п учащійся легко понимаетъ, что запись

? + 25 = 71

обозначаетъ вопросъ: къ какому числу надо прибавить 25, чтобы получить 71? Но, придавая всегда это значеніе вопросительному знаку, онъ долженъ будетъ прочесть записи

? = 71 — 25 и ? = 46

такъ: какое число равно 71-му безъ 25-ти (что не лишено смысла) и какое число равно 46-ти (что для учащагося уже почти лишено смысла или слишкомъ тонко). Въ уравненіяхъ же

х + 25 =71, x =71—25 и x = 46 связь вычитанія со сложеніемъ и смыслъ буквы х ясны. Если не употреблять буквъ для обозначенія чиселъ, то приходится для выясненія этой связи прибѣгнуть къ многочисленному ряду мало говорящихъ воображенію равенствъ:

17 + 28 = 45; 45— 17 = 28 и 45—28=17.

Гораздо яснѣе выступаетъ взаимная связь вычитанія и сложенія въ тѣхъ задачахъ на задуманныя числа, гдѣ неизвѣстное уменьшаемое или вычитаемое обозначено буквою. Благодаря уравненіямъ вида

х — 26 =49 и x = 49 + 26 и вида 78—x = 35 и x=78 — 35,

наглядно выясняются связь вычитанія со сложеніемъ и перемѣстимость вычитаемаго и остатка. Для этихъ уравненій справедливо то же, что выше выяснено относительно уравненій, въ которыхъ неизвѣстно слагаемое. А именно: а) слишкомъ малыя числа къ цѣли не ведутъ, и б) уравненія буквенныя болѣе выразительны, чѣмъ уравненія, въ которыхъ неизвѣстныя числа обозначены вопросительнымъ знакомъ. Уравненіе же вида x = 46 легко читается такъ: задуманное число равно сорока шести.

Правила.

§ 20. Нѣтъ надобности въ томъ, чтобы учащіеся на этой ступени непремѣнно знали «правила»: неизвѣстное слагаемое равно суммѣ безъ другого сла-

гаемаго, уменьшаемое равно вычитаемому, сложенному съ остаткомъ, вычитаемое равно уменьшаемому безъ остатка. Достаточно, если дѣти умѣютъ примѣнять усвоенное, если они понимаютъ связь между сложеніемъ и вычитаніемъ, разбираются въ задачахъ этого рода и въ терминахъ: «сумма», «слагаемое», «уменьшаемое», «вычитаемое», «остатокъ», «разность».

ГЛАВА ШЕСТАЯ.

Перемноженіе двухъ чиселъ перваго десятка и соотвѣтствующее дѣленіе.

18-я ст.: сложеніе и умноженіе.

§ 1. Восемнадцатая ступень посвящена изустному сложенію нѣсколькихъ, равныхъ между собою, чиселъ перваго десятка, сумма которыхъ не больше ста, и упражненіямъ, приводящимъ къ выясненію ученикамъ смысла умноженія и важности таблицы этого послѣдняго дѣйствія. Прежде всего надо научить учащихся быстрому изустному сложенію равныхъ между собою слагаемыхъ путемъ группировки слагаемыхъ. Сначала можно записывать дѣйствія съ помощью знака сложенія: «6 мальчиковъ получили по 7 орѣховъ каждый, сколько орѣховъ получили всѣ вмѣстѣ?» Для рѣшенія этой задачи надо изустно сложить 7 да 7, да 7, да 7, да 7, да еще 7. Чтобы, складывая, не взять слишкомъ мало или слишкомъ много слагаемыхъ, надо на пальцахъ отмѣчать каждое произносимое въ слухъ слагаемое, какъ это обыкновенно и дѣлается въ жизни. Затѣмъ надо показать, что это сложеніе можно изустно выполнить разнообразнѣйшими способами. Можно записать (но только для большей наглядности) слагаемыя такъ: 7+7+7+7+7+7. Можно найти сумму, соединивъ ихъ попарно:

съ тѣмъ чтобы потомъ впослѣдствіи сложить 14 да 14, да еще 14. Можно сложить сначала 7+7+7, потомъ прибавить еще 7, потомъ прибавить два слагаемыхъ, т.-е. сгруппировавъ ихъ слѣдующимъ образомъ:

Можно ихъ сгруппировать, взявши сначала 3 слагаемыхъ, затѣмъ 2 и присоединивши къ нимъ шестое слагаемое, т.-е. такъ:

или взявши 3 слагаемыхъ да еще 3 слагаемыхъ, т.-е. такъ:

Учащіеся должны при этомъ пользоваться, по возможности самостоятельно, всѣми пріемами, какіе имъ самимъ придутъ въ голову: надо ихъ только заинтересовать подобными упражненіями въ отсчетѣ числа слагаемыхъ на пальцахъ. Упражненій надо много. Цѣль ихъ двоякая: а) надо достигнуть того, чтобы учащіеся поняли, какъ надо складывать равныя слагаемыя; б) они должны уяснить себѣ утомительность, медленность и другія неудобства сложенія, если слагаемыхъ много. Благодаря этому, они могутъ понять, что важно и полезно затвердить, сколько получится, если мы сложимъ 6 слагаемыхъ по 7-ми, или 5 слагаемыхъ по 8-ми, 3 слагаемыхъ по 9-ти, 8 слагаемыхъ по 6-ти, и т. п. Въ случаѣ недостаточно быстраго уразумѣнія дѣтьми неудобствъ сложенія съ помощью группировки слагаемыхъ, можно обратиться къ помощи палочекъ (т. наз. «спичекъ») и на нихъ убѣдить учениковъ, что такое сложеніе дѣйствительно хлопотно, хотя и возможно.

Убѣдиться въ неудобствахъ сложенія можно только поработавши на дѣлѣ, а не благодаря такъ наз. «объясненіямъ» учителя, скучнымъ и не поучительнымъ.

Какія произведенія надо знать?

§ 2. Учащіеся уже знаютъ произведенія чиселъ перваго десятка на 2, первой полудюжины чиселъ—на 3, перваго пятка—на 4, первыхъ четырехъ чиселъ на 5, вообще всѣ произведенія, которыя не больше 20-ти. Надо знать всѣ произведенія любыхъ двухъ чиселъ 1 го десятка и, по крайней мѣрѣ, таблицу умноженія 20-ти—на числа перваго пятка, 30-ти, 40-ка, 50-ти, 15-ти, 25-ти, 35-ти, 45-ти на тѣ числа, отъ умноженія на которыя получается не болѣе ста. Учащіеся знаютъ терминъ «дважды», и поэтому остается пріучить ихъ употреблять его для чиселъ, дающихъ больше 20-ти: дважды-15, дважды-20, дважды-40. То же вѣрно относительно рѣченій пятью-пять, шестью-восемь и т. п. При этомъ

полезны выразительное произнесеніе заданія и ритмическій способъ вычисленія.

Умноженіе на 4.

§ 3. Отъ умноженія на 2 можно перейти къ умноженію на 4. При этомъ умноженіе на 4 можно сводить къ тому, что сначала умножаютъ множимое на 2, а полученное опять—на 2, окончательный же результатъ узнаютъ съ помощью сложенія. Предположимъ, что надо найти, сколько будетъ 4-жды-8. Дважды-восемь—16, да еще 16 (или: еще разъ 2-жды-8), т.-е. 16 да 16, будетъ 32. Очень полезно въ этомъ случаѣ для учащихся составлять «клѣтчатую» (Пиѳагорову) таблицу умноженія на 4 въ слѣдующемъ родѣ:

Для усвоенія этой части таблицы умноженія наизусть полезно прибѣгнуть къ одиночнымъ и къ хоровымъ упражненіямъ въ ритмическомъ усвоеніи таблицы умноженія на 4. Простыя задачи съ условіями на этой ступени полезны. Но главная ихъ цѣль сводится къ тому, чтобы онѣ, во-1-хъ, внесли нѣкоторое разнообразіе въ работу чистаго усвоенія данныхъ таблицы умноженія наизусть и, во-2-хъ, убѣдили учащихся въ томъ, что знаніе результатовъ перемноженія полезно. Для упражненій въ ритмическомъ способѣ усвоенія этихъ результатовъ дозволительна маршировка, въ свободное отъ занятій время, и даже (но не въ классной комнатѣ) во время урока, такъ сказать, подъ звуки таблицы умноженія. Опытъ показываетъ, что дѣтямъ эта маршировка доставляетъ удовольствіе. Они сами, безъ совѣта учителя, включаютъ ее въ разрядъ игръ, носящихъ гимнастическій характеръ. Она быстро ведетъ къ цѣли и, какъ всякія планомѣрныя движенія, не лишена воспитательно-волевого значенія.

Ученики, для лучшаго усвоенія произведеній двухъ сомножителей, изъ которыхъ одинъ—4, должны усвоить себѣ не только ту часть «таблицы» умноженія, въ которой число 4

Рис. 70.

является множителемъ (4-жды-2, 4-жды-3, 4-жды-4, 4-жды-5, 4- жды-6, 4-жды- 7 и т. д.), но и ту «таблицу», въ которой число 4 является множимымъ (т.-е.: 2-жды-4, 3-жды-4, 4-жды-4, 5- ю-4, 6-ю-4, 7-ю-4 и т. д.). Перемѣстимость сомножителей учащимся извѣстна изъ тѣхъ случаевъ умноженія, когда произведеніе не больше 20-ти (ср. стр. 156 этой книги). Но это нисколько не исключаетъ полезности и даже необходимости обращать вниманіе на этотъ законъ и на дальнѣйшихъ ступеняхъ обученія. Однимъ изъ лучшихъ средствъ для усвоенія этого закона можетъ служить рисованіе и изученіе фигуръ въ родѣ изображенныхъ на рис. 71, съ точки зрѣнія группировки кружковъ то по «строкамъ», то по «столбикамъ».

Почти ту же роль можетъ сыграть и «клѣтчатая» таблица умноженія. Рядомъ съ этими упражненіями можетъ итти работа соображенія надъ цѣлесообразными задачами такого рода: 4 яблока по 7-ми коп. за штуку обойдутся во сколько копеекъ? А 7 яблоковъ по 4 коп. во что обойдутся? Во второмъ случаѣ можно разсуждать такъ: 7 яблоковъ по копейкѣ за штуку обойдутся въ 7 коп.; еще по копейкѣ—еще 7 коп.; еще по копейкѣ—еще 7 коп., и еще по копейкѣ—еще 7 коп.; выходитъ такъ, что для рѣшенія задачи можно: либо 4 коп. помножить на 7, либо 7 коп. помножить на 4.

Умноженіе на 3.

§ 4. Усвоивши себѣ произведенія двухъ сомножителей, изъ которыхъ одинъ 4, можно было бы перейти къ умноженію чиселъ на 8. Но здѣсь пришлось бы слишкомъ часто обращаться къ перемѣщенію сомножителей. Поэтому цѣлесообразнѣе обратиться къ отыска-

Рис. 71.

нію произведеній чиселъ 1-го десятка на 3, сводящемуся къ тому, что сначала множимое умножаютъ на 2, а затѣмъ къ полученному прибавляютъ еще одно множимое. При «умноженіи» на 3 (какъ и при умноженіи на 4) всѣхъ чиселъ перваго десятка надо различать: а) случаи, когда число 3 является множителемъ (3-жды-2, 3-жды-З, 3-жды-4, 3-жды-5, 3-жды-6 и т. д.), и б) случаи, когда число 3 является множимымъ (2-жды-З, 3-жды-З, 4-жды-З, 5-ю-3, 6-ю-3, 7-ю-3 и т. д.).

Усвоеніе таблицы должно начинаться съ перваго случая. Кромѣ предметовъ обихода, въ качествѣ нагляднаго пособія можетъ служить Пиѳагорова таблица, которая даетъ возможность очень быстро и навѣрняка усвоить себѣ какъ результаты, такъ и смыслъ умноженія.

Запись умноженія.

§ 5. Многіе методисты и учителя придаютъ записи умноженія слишкомъ большое значеніе. Это отзывается довольно вредно на выработкѣ вѣрнаго представленія о томъ, что такое умноженіе. Дѣло не въ томъ, какъ данное требованіе записано. Можно записать:

7 + 7+7,

а выполнить умноженіе, сказавши, что «3-жды-7—двадцать одинъ». Можно записать: 7 Х3, а самое вычисленіе выполнить такъ: 7 да 7 — четырнадцать, 14 да 7 — двадцать одинъ, и будетъ сдѣлано сложеніе. Неосновательно также утверждать, будто умноженіе—сокращенное сложеніе. Умноженіе — не сложеніе, и поэтому не сокращенное сложеніе. Сложеніе одинаковыхъ слагаемыхъ можно замѣнить умноженіемъ, и запись сложенія — вообще болѣе краткою записью умноженія. Но принято считать, что если записано:

7 + 7 + 7 + 7,

то надо сложить, а если записано 7×4, то надо «умножить». Если мы вмѣсто того, чтобы сдѣлать сложеніе

7 + 7 + 7 + 7,

говоримъ: «четырежды-семь— двадцать восемь», то мы не производили сложенія, а произвели именно умноженіе, хотя и нашли сумму четырехъ слагаемыхъ. Все дѣло въ томъ, что при умноженіи мы пользуемся данными такъ наз. таблицы умноженія, отнюдь не дѣлая (какимъ бы то ни было образомъ!) сложенія равныхъ между собою слагаемыхъ.

Нахожденіе произведенія на 5.

§ 6. Отысканіе произведенія числа перваго десятка на число, не меньшее, чѣмъ пять, допускаетъ вспомогательныя вычисленія. Первый способъ состоитъ въ послѣдовательномъ прибавленіи. Это послѣдовательное прибавленіе — отнюдь не умноженіе, и его можно замѣнить группировкой, которая представляетъ собою второй способъ отысканія произведенія. Группировку можно разнообразно выполнить, и число группировокъ зависитъ только отъ величины множителя. Изустно этотъ способъ отысканія произведенія можно провести по частямъ множителя, пользуясь распредѣлительнымъ закономъ умноженія, а именно: если спрашивается, сколько будетъ 5 разъ 8, то вычисляемъ, напр., такъ: 3-жды-8—двадцать четыре, да еще 2-жды-8—шестнадцать, 24 да 16—сорокъ. Третій способъ отысканія произведенія на 5 состоитъ въ томъ, что 5 разъ восемь—все равно, что половина произведенія восьми на десять: десять разъ 8—восемьдесятъ, а пять разъ 8—половина восьмидесяти. (Этотъ способъ можно примѣнить, пользуясь только-что отмѣченнымъ вычисленіемъ, ко всякому множителю, большему, чѣмъ 5. Для этого стоитъ только каждый разъ заново вычислить упятеренное множимое и къ полученному прибавить недостающее). Наглядно все осуществляется рисованіемъ кружковъ и клѣтчатой (Пиѳагоровой) таблицей. Можно достигнуть того, чтобы и ученики находили произведенія на 5 слѣдующимъ образомъ: узнать, сколько будетъ 5-ю-8; 10-ю-8=80, а половина 80-ти=40; 10-ю-4 = 40, а 5-ю-4 = 20; 10-ю-9 = 90, а 5-ю-9 = 45. Четвертый способъ: пятью-8 все равно, что 5 разъ по 4 да еще 5 разъ по 4, по распредѣлительному закону.

Умноженіе на 6 и на 7.

§ 7. Нахожденіе произведенія любого числа на 6 и на 7 въ тѣхъ случаяхъ, когда множимое меньше множителя, должно опираться, конечно, на перемѣстимость сомножителей. Въ случаяхъ же, когда множимое не меньше множителя (6×6; 7×6; 8×6; 9×6 и 7×7; 8×7; 9×7),можно пользоваться раздѣленіемъ множителя на два слагаемыхъ (6 = 3 + 3, а 7 = 4 + 3), т.-е. пользоваться распредѣлительнымъ закономъ, по которому всякое число а, помноженное на 6 (или на 7), даетъ (это—группировка) а × 3 + а × 3 (или а × 4 + а × 3). Не надо вести все дѣло на отвлеченныхъ числахъ. Шесть яблокъ по восьми копеекъ стоятъ столько же, сколько стоятъ 3 яблока по 8 коп.

да еще 3 яблока по 8 коп., и т. п. Но однѣ задачи съ подобными условіями недостаточны для усвоенія таблицы умноженія наизусть. Точно также и одни письменныя упражненія къ этому не ведутъ. Кромѣ того, надо помнить, что злоупотребленіе письменными упражненіями скоро понижаетъ интересъ учащихся къ дѣлу. Наизусть таблица усваивается только благодаря многочисленнымъ изустнымъ же упражненіямъ, и особенно—благодаря ритмическимъ вычисленіямъ.

Умноженіе на 8 и на 9.

§ 8. Умноженіе на 8 и на 9 представляетъ главнымъ образомъ случай для полнаго усвоенія того взгляда, что безъ знанія данныхъ т. наз. таблицы умноженія наизусть довольно трудно обойтись при рѣшеніи вопросовъ, требующихъ сложенія равныхъ слагаемыхъ, число которыхъ значительно. При этомъ учащійся усваиваетъ, что въ тѣхъ случаяхъ, когда множимое меньше множителя, лучше всего пользоваться свойствомъ перемѣстимости множимаго на мѣсто множителя и множителя на мѣсто множимаго (перемѣстительнымъ закономъ умноженія). При умноженіи на 8 (и на 9), конечно, этимъ свойствомъ пользоваться слѣдуетъ только въ томъ случаѣ, когда множимое меньше, чѣмъ 8 (или чѣмъ 9). При умноженіи же 8-ми и 9-ти на 8 и при умноженіи 9-ти на 9 надо уже воспользоваться группировкой слагаемыхъ по четыре штуки въ каждой группѣ или умноженіемъ 8-ми и 9-ти на 10. Такое использованіе близости 8-ми и 9-ти къ 10-ти единицамъ для учениковъ имѣетъ значеніе также развивательное. Поэтому 8-ю-9 полезно вычислять такъ: 8-ю-10—восемьдесятъ, долой 8—семьдесятъ два. Аналогичное относится къ произведенію 9-ю-9, гдѣ, впрочемъ, гораздо удобнѣе исходить изъ произведенія 9-ти на 10: 10-ю-9 — девяносто, долой 9 — восемьдесятъ одинъ. Наглядное пособіе, наиболѣе удобное въ этомъ случаѣ, шведскіе счеты: на нихъ видна необходимость откинуть нѣкоторое число единицъ.

Выучивать наизусть или упражняться?

§ 9. Встарину данныя таблицы умноженія выучивались («вызубривались») наизусть. При этомъ учащіеся часто даже не понимали смысла заучиваемыхъ фразъ («формулъ» таблицы умноженія). Добираться до результатовъ перемноженія двухъ чиселъ перваго десятка они тоже не умѣли: ихъ этому не учили. Упражненія въ умноженіи и въ сознательномъ ритмическомъ воспроизведеніи данныхъ таблицы умноженія въ настоящее время

могутъ быть основаны: 1) на осмысленномъ отысканіи произведеній, 2) на цѣлесообразныхъ упражненіяхъ, на наглядныхъ пособіяхъ, въ отысканіи этихъ произведеній, 3) на изустныхъ съ учителемъ и на письменныхъ самостоятельныхъ упражненіяхъ учениковъ, и 4) на томъ, что ритмическія упражненія помогаютъ усвоенію всякой работы, которая, въ концѣ-концовъ, должна дѣлаться болѣе или менѣе механически.

Во столько-то разъ больше.

§ 10. Для того чтобы упражненія въ совершенно сознательномъ отысканіи произведеній не были слишкомъ однообразны, полезно пользоваться не только задачами, прямо требующими умноженія по самому смыслу своему, но также задачами, въ которыхъ встрѣчается выраженіе: во столько-то разъ больше. При этомъ надо дать учащимся также возможность усвоить себѣ выраженія: вдвое, втрое, вчетверо, впятеро больше. Надобно въ задачахъ пользоваться выраженіями: длиннѣе, тяжелѣе, глубже, шире, выше, дороже и т. п.

Основное методическое правило относительно прохожденія умноженія.

§ 11. Прежде чѣмъ механически усваивать таблицу умноженія наизусть, учащимся необходимо уразумѣть: 1) смыслъ умноженія и случаи его примѣненія, и 2) цѣль усвоенія результатовъ умноженія наизусть. Добираться до произведенія данныхъ двухъ чиселъ какимъ-нибудь образомъ, притомъ непремѣнно изустно, учащіеся должны самостоятельно, какъ бы много труда ни потребовалось для этого. Нагляднымъ пособіемъ могутъ служить счеты и чертежи учащихся. Весьма полезна Пиѳагорова таблица умноженія, записываемая и постепенно составляемая учащимися. Большое значеніе также, особенно для дѣтей мускульнаго (механическаго, моторнаго) типа, имѣетъ пальцевая метода, дающая произведенія любыхъ двухъ чиселъ второго пятка, т.-е. двухъ чиселъ, изъ которыхъ каждое не меньше шести и не больше десяти (см. стр. 46 этой книги). Наконецъ, совершенно неизбѣжны упражненія въ сознательномъ ритмическомъ вычисленіи и въ постепенномъ усвоеніи формулъ умноженія наизусть. Надо при этомъ отмѣтить, что нормальныя дѣти всегда обладаютъ чувствомъ ритма и инстинктивно пользуются вычисленіями этого рода. Учителю только остается внести въ эти вычисленія поболѣе сознательности и разумѣнія.—Составленіе дѣйствительныхъ (писанныхъ) таблицъ умноженія учащимися тоже полезно.

Сложныя задачи на два или на три дѣйствія и раздробленіе составныхъ именованныхъ чиселъ.

§ 12. Дабы въ матеріалъ этой ступени внести должное разнообразіе, полезно, между прочимъ, предлагать задачи, требующія болѣе одного дѣйствія, напр., сложенія и умноженія или вычитанія и умноженія. Задачи могутъ носить такой характеръ, чтобы въ нихъ употреблялись слова: на столько-то больше, на столько-то меньше, во столько-то разъ больше, и т. п. Не надо упускать также случаевъ, когда знаніе таблицы умноженія помогаетъ такъ называемому раздробленію нѣкоторыхъ именованныхъ чиселъ. Для этого изъ мѣръ длины удобны сажени и аршины, или сажени и футы, изъ мѣръ вѣса — лоты и золотники. Но слова эти: сажень, аршинъ, лотъ, золотникъ, должны и воображенію учениковъ говорить о тѣхъ величинахъ, которыя они обозначаютъ. А для этого дѣти должны измѣрять и взвѣшивать.

Артикуляція и таблица умноженія.

§ 13. Если не считать всѣхъ тѣхъ произведеній, въ которыхъ множимое равно единицѣ или 10-ти, а также не считать тѣхъ произведеній, въ которыхъ множитель больше множимаго и которыя поэтому можно найти перемѣщеніемъ сомножителей, то тѣхъ произведеній, которыя надо усвоить, счетомъ всего 36. Но произведенія, получаемыя отъ умноженія на 2, на 3, на 4 и на 5, принадлежатъ къ числу болѣе или менѣе легко усвояемыхъ наизусть. Поэтому произведеній, усвоить которыя болѣе или менѣе трудно, остается всего около десяти штукъ. Изъ нихъ, какъ показываетъ опытъ, наиболѣе трудно даются учащимся произведенія: 7-ю-8, 6-ю-9 и 8-ю-9. Принимая это во вниманіе, учителю приходится озаботиться тѣмъ, чтобы эти произведенія, во время усвоенія формулъ умноженія наизусть, встрѣчались нѣсколько чаще, чѣмъ остальныя. Усваивая таблицу умноженія, учащіеся должны особенно сильно пользоваться, какъ это уже выяснено раньше, и какъ это будетъ выяснено въ послѣдней главѣ первой части этой книги, ритмическимъ и выразительнымъ произнесеніемъ соотвѣтствующихъ равенствъ.—Интересно также примѣнить точку зрѣнія расчлененія произносимыхъ словъ на звуковые элементы (т.-е.: такъ наз. артикуляцію словъ) къ тѣмъ словамъ таблицы умноженія, которыя могутъ или не могутъ быть произнесены открытымъ ртомъ. Открытымъ ртомъ можно произнести: трижды-три, трижды-четыре, трижды-шесть,

трижды-десять, четырежды-четыре, четырежды-шесть, шестью-шесть и др. Другія заданія таблицы умноженія требуютъ непремѣнно закрыванія рта при произнесеніи нѣкоторыхъ звуковъ. Таковы, напр., всѣ заданія при умноженіи на два, потому что слово «два» требуетъ закрытія рта при произнесеніи звука в, а также заданія, содержащія звуки м (семь, восемь) и п (пять). Весьма многое въ дѣлѣ полнаго усвоенія формулъ таблицы умноженія наизусть зависитъ отъ власти учащихся надъ своимъ дыханіемъ при произнесеніи этихъ формулъ. Поэтому трудности въ этомъ дѣлѣ можно одолѣть только благодаря повторному ритмическому произнесенію этихъ формулъ. Напр., формула «семью-восемь — пятьдесятъ шесть» требуетъ произнесенія звуковъ м и в въ словахъ семью-восемь и произнесенія звука п тотчасъ же послѣ мягкаго м. Мягкое м въ словѣ восемь требуетъ другой совокупности движеній органовъ рѣчи, чѣмъ непосредственно слѣдующій за нимъ мягкій звукъ п въ словѣ пятьдесятъ. Въ этомъ кроется одна изъ причинъ ошибокъ въ формулѣ семью-восемь—пятьдесятъ шесть.—Во всякомъ случаѣ, къ артикуляціи словъ учитель долженъ относиться съ нѣкоторымъ вниманіемъ. Къ сожалѣнію, техника обученія глухонѣмыхъ устной рѣчи, гдѣ артикуляція играетъ большую роль, большинству учителей нормальныхъ дѣтей почти совершенно неизвѣстна. Вслѣдствіе этого, учителя нормальныхъ дѣтей лишены такого знанія, которое весьма было бы полезно для обученія всякихъ дѣтей, если бы оно было въ распоряженіи учителя.

Перемѣщеніе сомножителей въ ариѳметикѣ.

§ 14. Перестановка сомножителей въ случаѣ умноженія одного числа на другое на первыхъ ступеняхъ обученія (когда произведеніе не больше 20-ти) является фактомъ, надъ которымъ учащіеся задумываются мало. На дальнѣйшихъ ступеняхъ обученія эту перестановку учитель иногда считаетъ фактомъ, чрезвычайно легко усвояемымъ учениками, на которомъ нѣтъ особенной надобности останавливаться. Этотъ взглядъ невѣренъ: на этомъ фактѣ надо останавливаться не только на первыхъ, но также на дальнѣйшихъ ступеняхъ. Сверхъ того, учитель долженъ себѣ отдавать отчетъ въ томъ, что когда множимое—именованное число, а множитель—число отвлеченное (преимущественно эти случаи и имѣются въ виду въ курсѣ начальной ариѳметики), то перестановка сомножителей

требуетъ перестановки и наименованія. Дѣйствительно: 5 рублей, помноженные на 4, равняются 4-мъ рублямъ, помноженнымъ на 5. Запись же «5 руб. × 4 = 4×5 руб.» не имѣетъ никакого смысла, если въ правой части равенства 4 считать множимымъ, а 5 рублей—множителемъ, потому что отвлеченное число 4 нельзя помножить на 5 рублей. На дѣлѣ число, которое было числомъ отвлеченнымъ, — множитель, — дѣлается числомъ именованнымъ, а то число, которое было множимымъ, притомъ именованнымъ, при перестановкѣ лишается своего наименованія. Строго говоря, въ этомъ случаѣ мы имѣемъ дѣло не только съ перемѣстительнымъ закономъ, а съ частнымъ случаемъ закона сочетательнаго. Дѣйствительно, вмѣсто того, чтобы писать: (1 руб. × 5) × 4 мы пишемъ 5 руб.×4. Когда же мы въ послѣдней записи хотимъ переставить сомножителей, то мы, вмѣсто того, чтобы написать (1 руб. × 4) × 5, пишемъ 4 руб. × 5. Такимъ образомъ перемѣщеніе произошло только въ двухъ послѣднихъ сомножителяхъ. Только въ случаѣ абсолютно отвлеченныхъ чиселъ (не допускающихъ присвоенія ни одному изъ нихъ какого бы то ни было наименованія) и въ случаяхъ соглашеній особаго рода относительно перемноженія двухъ именованныхъ чиселъ возможно говорить о перемѣстительномъ законѣ, какъ о таковомъ.

19-я ступень: дѣленіе по содержанію.

§ 15. Девятнадцатая ступень посвящена такъ называемому дѣленію «по содержанію», когда въ результатѣ дѣленія не получается остатка. Этотъ терминъ («дѣленіе по содержанію») не достаточно выразителенъ. Лучше было бы называть это дѣйствіе либо измѣреніемъ одного числа другимъ, либо кратнымъ сравненіемъ, либо (болѣе многословно, но за-то вполнѣ ясно) дѣленіемъ числа на извѣстныя равныя части. Дѣлимое на 19-й ступени не должно быть больше ста. Начинать обученіе дѣтей дѣленію на этой ступени можно съ того, съ чего начинается обученіе дѣленію по содержанію на низшей ступени, посвященной дѣленію числа, не большаго двадцати, на извѣстныя части, а именно съ измѣренія одной конечной прямой другою. Здѣсь открывается громадное и плодотворное поприще для лабораторныхъ занятій въ измѣреніи длинъ, въ черченіи и въ употребленіи циркуля, а за неимѣніемъ циркуля—хотя бы бумажки, на которой можно отмѣтить ту длину, которая откладывается въ другой длинѣ. Понятное дѣло, что при этомъ

появляется необходимость признать, что это дѣленіе, по смыслу и по способу его выполненія, не имѣетъ ничего общаго съ дѣленіемъ прямой линіи на извѣстное число равныхъ между собою частей. Можно обратиться къ кратному сравненію вѣса какого-либо обыденнаго предмета съ вѣсомъ другого, напр., вѣса палочки («ручки») для пера и вѣса пера и т. п. На одну чашку вѣсовъ можно положить вставочку для пера, а на другую — столько перьевъ или шведскихъ спичекъ, сколько ихъ надо для того, чтобы вѣсы пришли въ равновѣсіе. Тутъ же ученики могутъ уяснить себѣ вѣсъ золотника, лота, фунта и получить болѣе ясное представленіе о другихъ единицахъ вѣса. Не мѣшаетъ замѣтить, что 32 — 36 шведскихъ спичекъ вѣсятъ около золотника. Это даетъ возможность взвѣшивать разные предметы съ помощью спичекъ.

Дѣленіе неизвѣстнаго числа на извѣстныя части.

Далѣе можно перейти къ дѣленію неизвѣстнаго числа на извѣстныя части. «У насъ есть совокупность кубиковъ, — я не знаю, сколько ихъ всѣхъ,—хочу раздать ихъ ученикамъ, всѣмъ, кому достанется, поровну, по три штуки. Какъ узнать, сколькимъ человѣкамъ достанутся кубики?» Тутъ кстати выдвинется на должный планъ связь кратнаго сравненія съ умноженіемъ. Это упражненіе важно для того, чтобы учащіеся впослѣдствіи поняли, что дѣленіе извѣстнаго числа на другое извѣстное число требуетъ не счета, а расчета, вычисленія. Отъ дѣленія неизвѣстнаго числа на извѣстныя части переходъ къ дѣленію извѣстнаго числа на извѣстныя части чрезвычайно легокъ. Если дѣленіе неизвѣстнаго числа было проведено такъ, что ученикъ пользовался умноженіемъ для того, чтобы узнать, сколько роздано всѣхъ предметовъ, то отысканіе отношенія извѣстнаго числа первой сотни къ другому извѣстному числу первой сотни представится для учениковъ работою, для выполненія которой имъ нужно принимать во вниманіе только формулы таблицы умноженія.

Дѣленіе извѣстнаго числа на извѣстныя части.

«Хочу раздать нѣсколькимъ дѣтямъ по 9 орѣховъ: у меня орѣховъ 63; сколькимъ дѣтямъ я могу раздать эти 63 орѣха? Троимъ? Мало: 3-жды-9 — 27, а у меня орѣховъ 63; четверымъ? пятерымъ? семерымъ? да семерымъ: 7-ю-9 —шестьдесятъ три». Ученики должны научиться тому, что извѣстно подъ именемъ «прикинуть», сколько «попадетъ» въ каждую

часть, т.-е. планомѣрно «задаваться» цифрой частнаго. При этомъ отнюдь не надо гнаться за большимъ разнообразіемъ задачъ съ условіями въ этотъ моментъ. Орѣхи, спички, палочки, кубики, перья, — вотъ матеріалъ задачъ, цѣлесообразныхъ для уразумѣнія дѣтьми существа и изустнаго способа отысканія отношенія одного числа къ другому. Далѣе можно уже перейти къ извѣстному дѣтямъ примѣненію къ этому дѣйствію знака его (двоеточія) и знака равенства. Здѣсь ученики не встрѣчаютъ ничего новаго. Они раньше, на одной изъ предыдущихъ ступеней, уже ознакомились съ этими обозначеніями. Дѣлимыя и дѣлители надо брать такія, чтобы дѣлитель и отношеніе были числами перваго десятка.

Во сколько разъ больше или меньше?

§ 16. Здѣсь вполнѣ умѣстны задачи на вычисленія, имѣющія прямою, ясно выраженной, цѣлью опредѣленіе, во сколько разъ одно число больше или меньше другого. Но на этой ступени надо брать такія числа, чтобы остатка не получалось. Если бы здѣсь произошла какая-нибудь заминка, то она можетъ зависѣть только отъ терминологіи, и ее можно устранить методическимъ упражненіемъ въ томъ, что ученикамъ уже извѣстно, но чѣмъ они почему-либо владѣютъ не вполнѣ. Большая разница между утвердительнымъ предложеніемъ: «въ 5 разъ больше» или «въ 5 разъ меньше» и предложеніемъ вопросительнымъ: «во сколько разъ больше?» или «во сколько разъ меньше?» Первое требуетъ либо умноженія, либо въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ дѣйствія обратнаго (ср. § 12 гл. V). Второе же требуетъ того, чтобы ученики прочно усвоили себѣ, что вопросъ о томъ, во сколько разъ одно число больше другого, требуетъ непремѣнно дѣленія числа, равнаго большему, на части, равныя меньшему. Но «выучивать» это правило учащіеся отнюдь не должны. При выясненіи термина «меньше во столько-то разъ» можно исходить изъ конкретныхъ примѣровъ:. 18 больше 3-хъ въ 6 разъ, а 3 меньше 18-ти въ 6 разъ, и т. п.—При рѣшеніи вопроса о томъ, во сколько разъ одно число больше другого, учащіеся могутъ впасть въ ошибку, аналогичную той, въ которую они склонны впадать при разностномъ сравненіи одного числа съ другимъ (см. стр. 216). «У старшаго брата 72 рубля, а у младшаго 9 рублей; во сколько разъ у старшаго больше денегъ, чѣмъ у младшаго?» Учащіеся часто отвѣчаютъ такъ: «надо узнать,

сколько разъ деньги младшаго брата содержатся въ деньгахъ старшаго». Это, конечно, невѣрно: деньги младшаго брата въ деньгахъ старшаго не содержатся.

Кратное сравненіе и умноженіе.

§ 17. Связь между кратнымъ сравненіемъ и умноженіемъ является довольно легкимъ упражненіемъ для учениковъ, если они каждую задачу на умноженіе обращаютъ въ задачу на кратное сравненіе, и обратно: каждую задачу на кратное сравненіе обращаютъ въ задачу на умноженіе. Такъ называемую таблицу дѣленія слѣдуетъ ставить въ тѣсную связь съ соотвѣтствующими случаями умноженія. Усиленно упражнять учащихся въ таблицѣ дѣленія наизусть не представляется необходимымъ. Они сами оставляютъ тѣ дѣлимыя безъ вниманія, которыя на данныхъ дѣлителей не дѣлятся безъ остатка, и скоро уясняютъ себѣ значеніе таблицы умноженія для производства дѣленія.

Дѣленіе съ остаткомъ.

§ 18. Когда «формулы» дѣленія безъ остатковъ усвоены благодаря упражненіямъ, можно перейти къ дѣленію съ остаткомъ. Но здѣсь требуется расчленить вопросъ на слѣдующія «методическія единицы»: а) надо уразумѣть и усвоить дѣленіе нечетныхъ чиселъ на 2, когда остатокъ равняется только одной единицѣ, б) дѣленіе па 3, когда остатокъ можетъ равняться либо единицѣ, либо 2-мъ, и в) дѣленіе на остальныя числа, гдѣ остатокъ можетъ получиться значительно большій. Упражненія въ дѣленіи съ остаткомъ требуютъ большой настойчивости отъ учителя, и многочисленныхъ упражненій — отъ учащихся. Дѣло въ томъ, что при дѣленіи, напр., 19-ти на 7, ученику довольно трудно найти наибольшее изъ тѣхъ чиселъ, которыя дѣлятся на 7. Оно, въ то же время, должно дать остатокъ, меньшій 7-ми. Для этого требуется довольно большая сноровка. Для пріобрѣтенія этой сноровки можно поупражнять учениковъ въ томъ, чтобы они называли по порядку числа, которыя не дѣлятся на 7, или какъ-разъ тѣ числа, которыя на 7 дѣлятся. При этомъ они должны произносить эти числа, соблюдая требованія ритма и нѣкотораго темпа, напримѣръ: надо назвать тѣ числа, начиная съ 5-ти, которыя дѣлятся на 5, а затѣмъ — тѣ, которыя не дѣлятся на 5. При этомъ, назвавъ особенно громко то число, которое на 5 дѣлится, остальныя можно произнести тише. Тогда получится слѣдующее: пять погромче, 6, 7, 8, 9; остановиться; десять—

опять погромче, 11, 12, 13, 14; остановиться; пятнадцать— снова погромче, и т. д. Можно упражнять дѣтей и въ такомъ направленіи: число, дѣлящееся, скажемъ, на 4, опускается, но отмѣчается паузой. Пусть требуется назвать тѣ числа, которыя не дѣлятся на 4, и не называть тѣхъ, которыя дѣлятся на 4. Это упражненіе приводитъ къ слѣдующему: 5, 6, 7; пауза; 9, 10, 11; пауза; 13, 14, 15; пауза, и т. д. Чтобы избѣгнуть слова «пауза», ученикамъ не извѣстнаго, можно вмѣсто этого слова употреблять слово «остановка»: дойдешь до 9-ти—остановка, дойдешь до 12-ти—остановка, и т. д.—При производствѣ дѣленія впервые оказывается полезною дѣйствительная (т.-е. записанная) таблица умноженія. Дѣти могутъ себѣ таблицу составить и имѣть ее подъ руками.

Первоначальное понятіе о приближеніи.

§ 19. Чиселъ, не дѣлящихся на даннаго дѣлителя, больше, чѣмъ чиселъ, на него дѣлящихся,—исключеніе составляетъ только дѣлитель 2. Вслѣдствіе этого всѣ дѣленія, при которыхъ получается остатокъ, могутъ совершаться, покуда учащіеся не овладѣли дробью, какъ частнымъ, только приблизительно. Понятіе о приблизительномъ вычисленіи откладывать до усвоенія учащимися дѣленія многозначнаго числа на многозначное не разсудительно. Упражненія, относящіяся до приблизительнаго вычисленія, могутъ быть слѣдующаго рода:

Во сколько разъ 5 больше 2-хъ? Въ два раза или въ три раза?— Не въ 2 раза и не въ 3 раза!—Можно сказать: приблизительно въ два раза, съ небольшимъ (слишкомъ) въ два раза, или безъ малаго въ 3 раза!—Во сколько разъ 17 больше 8-ми?— Не въ 2 раза и не въ 3 раза.—Сказать „въ два раза“—невѣрно, сказать: „въ три раза“—тоже невѣрно.—Надо сказать: безъ малаго въ три раза или съ небольшимъ въ два раза! — Во сколько разъ 22 больше четырехъ?—Въ 5 разъ—мало! Въ 6 разъ— много!—22 больше 20-ти на двѣ единицы, а 24 больше 22-хъ на двѣ единицы. — Можно сказать, что 20 такъ же близко къ двадцати двумъ, какъ 24, но въ одномъ случаѣ не хватаетъ двухъ единицъ, а въ другомъ лишку двѣ единицы.—Во сколько же разъ 22 больше четырехъ? — Приблизительно въ 5 разъ или же приблизительно въ 6 разъ!—Во сколько разъ 34 больше 4-хъ?— Въ 8 или въ 9 разъ? — Можно сказать приблизительно въ 8 разъ или приблизительно въ 9 разъ. — Во сколько разъ 68 больше восьми? 36 больше восьми? И т. п.

Здѣсь умышленно приведено много примѣровъ, дабы этимъ оттѣнить, что необходимы многочисленныя упражненія уча-

щихся, а не только т. наз. «объясненія» учителя. Приблизительное дѣленіе по содержанію до тѣхъ поръ обязательно, пока учащіеся не усвоили себѣ того, что точное отношеніе одного числа къ другому, если первое не дѣлится на второе на-цѣло безъ остатка, возможно только въ томъ случаѣ, когда отношеніе можно выразить въ видѣ отвлеченной дроби. Но не подлежитъ сомнѣнію, что отвлеченная дробь, какъ отношеніе, принадлежитъ къ числу тонкихъ математическихъ понятій. Для должнаго установленія этого понятія необходимо знать умноженіе на дробь. Тѣмъ не менѣе, нельзя не признать, что даже малолѣтніе и люди безъ всякаго математическаго образованія употребляютъ выраженія: въ 21/2 раза больше, въ 31/2 раза или даже въ 33/4 раза больше, и т. п. Противъ этого бороться въ школѣ не слѣдуетъ. Поэтому, когда мы производимъ дѣленіе на 2, если ученики къ тому склонны, а равно при измѣреніяхъ, если ученики въ нихъ упражняются, имъ можно дозволить писать слѣдующее: 5 :2 = 2| и т. п. Но это, конечно, не обязательно. Понятіе о приблизительномъ значеніи величины, взятомъ съ недостаткомъ или взятомъ съ избыткомъ, все же доступно на этой ступени. Если сукно стоитъ по 3 р. 96 к. за аршинъ, то можно сказать, что приблизительно сукно это стоитъ по 4 р. за аршинъ, и противъ этого учащіеся спорить не будутъ. Надо дѣло ставить только на почву конкретныхъ примѣровъ. Можно продѣлать и упражненія въ родѣ слѣдующаго, если время позволяетъ:

Во сколько разъ 19 больше 3-хъ? (можно взять 19 саженъ и 3 сажени или 19 аршинъ и 3 аршина и т. п.).—Можно ли сказать, что 19 больше 3-хъ ровно въ 6 разъ?..—Ровно въ 7 разъ? Къ какому числу 19 ближе: къ 18-ти или къ двадцати одному?..—Узнаемъ, во сколько разъ 19 больше 3-хъ? Въ 6 разъ? (Нѣтъ!)—Въ 7 разъ? (Нѣтъ!) — Съ небольшимъ въ 6 разъ (лишняя одна единица!)—Приблизительно въ 6 разъ!—Но можно ли сказать, что 19 больше трехъ безъ малаго въ 7 разъ? — Семыо-три — 21 (не хватаетъ двухъ единицъ),—можно сказать, что 19 больше трехъ безъ малаго въ 7 разъ, но этого не говорятъ, и лучше этого не говорить: вѣрнѣе сказать, съ небольшимъ въ 6 разъ (лишняя одна единица), чѣмъ безъ малаго въ 7 разъ (не хватаетъ двухъ единицъ!)—Во сколько разъ 66 больше девяти?—Семью-девять—63; лишнихъ 3 единицы; восемью-девять—72, не хватаетъ шести единицъ...—Лучше поэтому сказать, что 66 больше девяти съ небольшимъ въ 7 разъ, чѣмъ безъ малаго въ 8 разъ! — Во сколько разъ 68 больше девяти? — Семью-девять—63,—лишнихъ пять единицъ;

восемью-девять—72,—не хватаетъ четырехъ единицъ,—68 ближе къ 72-мъ, чѣмъ къ 63-мъ; а потому лучше сказать, что 68 больше девяти безъ малаго въ восемь разъ!

Цѣль такихъ упражненій вполнѣ достижима, если ставить дѣло на почву «взвѣшиванія» такъ называемаго приближенія съ недостаткомъ и приближенія съ избыткомъ. Въ жизни весьма часто приходится говорить и слышать о приблизительномъ отношеніи одного числа къ другому: «Это сукно приблизительно (или «примѣрно») вдвое дороже того», и т. п.— Упражненія этого рода, къ тому же, служатъ къ лучшему усвоенію таблицы умноженія и таблицы дѣленія и не страдаютъ тѣмъ скучнымъ однообразіемъ, которое неизбѣжно при «выучиваніи» таблицы дѣленія въ обычномъ ея видѣ. Кромѣ того, эти упражненія подготовляютъ къ закругленію закруглимыхъ чиселъ, которое такъ нужно при дѣленіи на многозначныя числа.—Упражненія могутъ быть такія:

Бываетъ ли такъ, что мы не знаемъ точно (въ точности), сколько кому лѣтъ, не знаемъ точно, что стоитъ фунтъ какого-нибудь товара, билетъ для проѣзда по желѣзной дорогѣ, какъ велико разстояніе между двумя деревнями и т. п., но знаемъ это приблизительно?—Сколько мнѣ лѣтъ, кто знаетъ?—Сколько лѣтъ Мишѣ или Колѣ?—Какъ далеко отъ насъ до ближайшаго города? — Отъ Москвы до Петрограда приблизительно 600 верстъ; Мишѣ приблизительно 9 лѣтъ), мнѣ приблизительно 28 лѣтъ, и т. п.— Знаете ли вы, во что приблизительно обошлась постройка школы, сколько приблизительно вѣситъ ваша книга для чтенія?

Учащіеся могутъ понять, что всѣ измѣренія дѣлаются только приблизительно, что трудно и даже невозможно измѣрить длину чего-нибудь вполнѣ точно и т. п., что глаза человѣка иногда не могутъ судить о величинѣ, что часто трудно и невозможно сказать, что тяжелѣе: карандашъ или ручка съ перомъ, яблоко или груша и т. п. — Можно для выясненія этого обратиться къ лабораторному упражненію въ измѣреніи. «Давайте измѣримъ приблизительно длину комнаты, длину класснаго стола, длину классной доски, вѣсъ куска мѣла, вѣсъ картофелины, кочня капусты и т. п.» (что легко имѣть подъ руками). Къ этой работѣ надо привлечь учащихся, и они должны убѣдиться въ томъ воочію, что тутъ не хватаетъ, что здѣсь «чуть-чуть», можетъ-быть, меньше, чѣмъ вершокъ, и т. п. Цѣлесообразны упражненія такого содержанія:

Отцу приблизительно 40 лѣтъ, а сыну 10 лѣтъ отъ-роду; во сколько разъ отецъ старше сына? (Приблизительно въ 4 раза).— Длина одного конца веревки 26 аршинъ приблизительно, а длина другого 5 аршинъ; во сколько разъ первый конецъ длиннѣе второго? (Приблизительно въ 5 разъ). — Вѣсъ одного коровая хлѣба 7 фунтовъ, а другого — приблизительно 2 фунта; во сколько разъ первый коровай хлѣба тяжеле второго? (Приблизительно въ 3 раза).— Отцу приблизительно 30 лѣтъ отъ-роду, а сыну — тоже приблизительно 5 лѣтъ отъ-роду; во сколько разъ отецъ старше сына? — Можетъ-быть, онъ ровно въ 6 разъ старше сына, если ему, напримѣръ, на самомъ дѣлѣ 30 лѣтъ и 6 мѣсяцевъ, а сыну 5 лѣтъ и 1 мѣсяцъ...—Провѣрьте, такъ ли я говорю?—А можетъ-быть, и не ровно въ 6 разъ старше... — Если не знаемъ навѣрное, будемъ говорить: приблизительно во столько-то разъ больше. И т. п.

Дѣлимое равно дѣлителю.

§ 20. Если учитель придаетъ практическое значеніе тому случаю дѣленія по содержанію, когда дѣлимое и дѣлитель равны между собой и когда требуется, стало-быть, найти отношеніе одного числа къ другому, которое ему равно, то, конечно, можно прибѣгнуть къ записямъ 5 : 5 = 1 ; 7 : 7 = 1, и т. п. Но особенной надобности въ этомъ нѣтъ. Вопросъ о томъ, сколько разъ 5 содержится въ пяти, не имѣетъ практическаго значенія. Во всякомъ случаѣ, цѣль этого дѣленія заключается не въ томъ, чтобы узнать, во сколько разъ 5 больше 5-ти (или 5 меньше 5-ти), ибо 5 не больше и не меньше пяти. Узнавать же, сколько разъ 5 какихъ-либо единицъ содержится въ тѣхъ же пяти единицахъ, не для чего. Этотъ вопросъ имѣетъ только нѣкоторый чисто-теоретическій смыслъ, чуждый интересамъ учащихся. Дѣло въ томъ, что умноженіе на единицу, дѣленіе на извѣстное число одинаковыхъ частей, если дѣлитель равенъ одной единицѣ, и дѣленіе «по содержанію», когда дѣлимое равно дѣлителю, имѣютъ каждое свой особый смыслъ. Умноженіе на одну единицу вовсе не умноженіе (въ первоначальномъ смыслѣ слова); дѣленіе на извѣстное число одинаковыхъ частей, когда этихъ частей не нѣсколько, а только одна, вовсе не дѣленіе, и дѣленіе на извѣстныя одинаковыя части (которыя должны бы отличаться отъ цѣлаго), когда «часть» есть то же цѣлое, не имѣетъ первоначальнаго смысла. (Особенно затруднительно разсѣять недоумѣніе, возникающее при дѣленіи «на одну часть». Поэтому лучше этого вопроса совсѣмъ не касаться или не касаться до поры до времени.

Этотъ случай «дѣленія» можно освѣтить только съ той точки зрѣнія, что дано произведеніе двухъ чиселъ (дѣлимое), что данъ множитель (дѣлитель), и онъ равенъ единицѣ, а требуется найти множимое. Но очевидно, что все это слишкомъ тонко).

20-ая ступень: дѣленіе на части.

§ 21. Двадцатая ступень посвящена дѣленію числа, большаго 20-ти, но не большаго ста, на извѣстное число равныхъ частей. Такое дѣленіе называется дѣленіемъ на части. Но этотъ терминъ не харак-

Рис. 72. Рис. 73.

Рис. 74. Рис. 75.

теризуетъ дѣйствія, потому что всякое дѣленіе есть дѣленіе на части, за исключеніемъ дѣленія на единицу, когда единица есть отвлеченное число, и дѣленія на отвлеченную правильную дробь, когда не частное является частью дѣлимаго, а наоборотъ, дѣлимое представляетъ собою часть частнаго.— Первое мѣсто на этой ступени слѣдуетъ отвести дѣленію конечной прямой линіи и квадрата или другого прямоугольника на извѣстное число одинаковыхъ частей.— Дѣленіе прямой линіи пополамъ можно, какъ извѣстно, осуществить циркулемъ. Чтобы привести дѣтей къ этому способу дѣленія, полезно прибѣгнуть къ двумъ одинаковой длины палочкамъ, которыя приводятъ къ засѣчкамъ. На этой ступени можно (если это не сдѣлано ранѣе, на 11-й ступени) ознакомить учащихся съ окружностью, съ дѣленіемъ окружности и круга на 4 и на 8 равныхъ частей, а также съ дѣленіемъ круга на 6 равныхъ частей

Рис. 76. Рис. 77.

Рис. 78.

(рис. 56—60, стр. 175). Эти упражненія полезны и для будущаго и привлекаютъ кругъ въ область интересовъ учащихся.

Далѣе можно перейти къ дѣленію неизвѣстнаго числа на извѣстное число равныхъ частей. Положимъ, что у меня есть палочки, что я ихъ не сосчиталъ, а хочу раздать ихъ 8-ми мальчикамъ поровну, какъ это сдѣлать? Ученики должны понять, что лучшій способъ надлежащей раздачи состоитъ въ слѣдующемъ: мы раздаемъ сначала всѣмъ мальчикамъ по одной палочкѣ, потомъ — опять всѣмъ по одной и т. д., пока не останется ни одной палочки или же останется меньше, чѣмъ сколько мальчиковъ у насъ на-лицо. Это упражненіе связываетъ дѣленіе съ умноженіемъ и даетъ ясное представленіе о томъ, что дѣленіе всегда осуществимо, если число единицъ дѣлимаго не меньше дѣлителя. Далѣе должно пойти дѣленіе извѣстнаго числа на извѣстное число одинаковыхъ частей, когда остатка не получается, и примѣненіе таблицы умноженія къ этому дѣленію. Здѣсь уже полезно пользоваться дѣйствительной (написанной или напечатанной) таблицей умноженія. Сначала надо гадать, сколько попадетъ въ каждую часть, потомъ научиться примѣненію этой таблицы. Торопиться не слѣдуетъ, и прибѣгать къ нагляднымъ пособіямъ (лучше всего къ палочкамъ) въ этомъ случаѣ прямо необходимо. Это только ускоряетъ усвоеніе смысла дѣленія.

Обозначеніе неизвѣстнаго числа буквою.

§ 21. На этой ступени можно предложить дѣтямъ задачи съ условіями, для того чтобы производство этого дѣйствія не вносило слишкомъ большого однообразія въ занятія учениковъ съ учителемъ. Тутъ же учащіеся должны вернуться къ условнымъ выраженіямъ: «во столько-то разъ меньше», «уменьшить во столько-то разъ». Они должны уяснить себѣ, что задачу на умноженіе можно передѣлать въ задачу на дѣленіе на части, и обратно: всякую задачу на дѣленіе можно обратить въ задачу на умноженіе. Эта связь между умноженіемъ и дѣленіемъ на части требуетъ довольно большого количества упражненій. Эти послѣднія чрезвычайно важны. Главнѣйшая трудность ихъ заключается въ томъ, что если надъ неизвѣстнымъ числомъ совершаются дѣйствія умноженія или дѣленія, а требуется вычислить это неизвѣстное число, то для отысканія этого неизвѣстнаго числа надо произвести дѣйствіе, обратное тому, которое совершено, по условіямъ задачи, надъ неизвѣст-

нымъ числомъ. Большую услугу въ этомъ направленіи оказываетъ обозначеніе неизвѣстнаго числа какой-нибудь буквой или какимъ-нибудь другимъ знакомъ. Вопросительный знакъ въ этомъ случаѣ (какъ это указано выше) неудобенъ потому, что онъ выражаетъ только вопросъ, а число этимъ знакомъ никогда не обозначается. Дѣйствительно: писать ?= 15; ? = 76 и т. п. не столь удобно, какъ x = 15; а = 76 и т. п. Принято, какъ это замѣчено выше, думать, что обозначеніе неизвѣстнаго числа буквою преждевременно въ курсѣ ариѳметики. Опытъ же показываетъ, что это опасеніе не вполнѣ основательно. Въ курсѣ ариѳметики, конечно, неумѣстны тѣ упражненія, которыми преизобилуютъ первые уроки такъ наз. алгебры. Но упражненія въ рѣшеніи «уравненій», подобныхъ нижеприведеннымъ, отнюдь невозможно считать недоступнымъ:

Употребленіе буквы x для обозначенія неизвѣстнаго или искомаго числа въ этихъ случаяхъ не труднѣе употребленія вопросительнаго знака, а если и затруднительнѣе, то незначительно. Польза же отъ этого обозначенія громадна. Не надо только думать, что это—алгебра, и потому въ ариѳметикѣ неумѣстно. Писать букву x надо въ два овала, а не въ видѣ косого креста, употребляемаго въ качествѣ знака умноженія.

Называть же эту букву надо иксомъ. Это названіе лишаетъ букву ея звукового значенія, и въ этомъ отношеніи она удобнѣе, чѣмъ буква а. Послѣдняя можетъ вызвать недоумѣніе: какъ это звукъ а равенъ числу 76? Впрочемъ, и это недоумѣніе быстро разсѣивается, если учитель на него обратитъ должное вниманіе, а не будетъ считать, что обозначеніе само собою понятно. Здѣсь, какъ во многихъ другихъ случаяхъ обученія начальной математикѣ, возможны преувеличенія двоякаго рода. Либо мы считаемъ учащихся слишкомъ неразумными, и предлагаемъ имъ упражненія въ томъ, что бываетъ одинъ предметъ, что ихъ бываетъ и много, заставляемъ дѣтей «изучать» числа: 1, 2, 3 и т. д., либо же считаемъ ихъ развитѣе, чѣмъ они есть на дѣлѣ, и взваливаемъ на ихъ плечи неудобноносимыя бремена отвлеченностей и условностей.

Два рода задачъ.

§ 22. На этой же ступени надо обратиться къ задачамъ, въ которыхъ, по условію, одно число больше другого въ нѣсколько разъ, а для рѣшенія требуется дѣленіе, и наоборотъ: по условію одно число меньше другого во столько-то разъ, а требуется умноженіе. Вообще на этой ступени слѣдуетъ уже пользоваться тѣми навыками, которые пріобрѣтены учащимися, для разрѣшенія ими задачъ (конечно, не многосложныхъ) разнаго рода. Есть такіе моменты, когда цѣлесообразныя задачи служатъ только поводомъ, стимуломъ для образованія въ умѣ и въ воображеніи учащихся надлежащихъ представленій и понятій, еще не имѣющихся въ распоряженіи учащихся. Но есть и такіе моменты, когда задача служитъ для того, чтобы учащіеся стали прилагать уже имѣющіеся въ ихъ распоряженіи представленія, понятія, знанія и навыки къ рѣшенію посильныхъ для нихъ задачъ.

21-я ст.: нахожденіе дробной части цѣлаго.

§ 23. Двадцать первую ступень курса можно посвятить нахожденію дробной части цѣлаго и дальнѣйшему развитію представленія о дробяхъ. Извѣстно, что первыя два дѣйствія надъ дробями (сложеніе и вычитаніе) въ жизни почти вовсе не встрѣчаются, если не считать дробей, составленныхъ изъ четвертей и восьмыхъ долей да изъ половинъ. Равнымъ образомъ не встрѣчается и дѣленіе на дробь. Зато довольно часто встрѣчается надобность въ нахожденіи части цѣлаго (представляющее собою, съ ариѳметической точки зрѣнія, не иное что, какъ умноженіе цѣлаго на дробь). Когда ученики работаютъ

надъ цѣлыми числами, которыя болѣе 20-ти, но не болѣе ста, то возможность задачи отысканія части цѣлаго въ жизни не исключена: фунта,пуда, -| аршина или фута, -^-сажени (выраженной въ сотыхъ доляхъ) и т. п. Вотъ почему въ изустную ариѳметику чиселъ первой сотни внесена 21-ая ступень, посвященная нахожденію части числа первой сотни, если эта часть равна цѣлому числу. Задачи можно брать изъ области измѣренія длины, вѣса и изъ области житейской. Надо при этомъ пользоваться всякимъ удобнымъ случаемъ для того, чтобы ученикамъ были ясны длины аршина, сажени, фута, метра, центиметра, вѣсъ пуда (въ фунтахъ), фунта (въ золотникахъ), золотника въ доляхъ, и т. п. Рѣшать подобныя задачи дѣти должны непремѣнно изустно. Но если вопросъ идетъ, напр., о томъ, сколько вершковъ содержится въ — аршина, и если требуются дѣйствія и отвѣтъ записать, то это надо дѣлать такъ:

Отвлеченныя упражненія въ нахожденіи трехъ восьмыхъ шестидесяти четырехъ, семи восьмыхъ или четырехъ десятыхъ сорока, двухъ пятыхъ 45-ти и т. п. тоже умѣстны.

Предварительныя упражненія.

Для того, чтобы представленія о дробяхъ сдѣлались полнымъ достояніемъ ума и воображенія учащихся, надо обратиться къ помощи геометрическаго матеріала. Учащіеся ранѣе (на 11-й ст.) научились дѣлить прямую на нѣсколько равныхъ частей. Если же они этому не научились, надо ихъ этому научить хотя бы на 21-ой ступени. Благодаря этому, они сумѣютъ дѣлить всякій прямоугольникъ на сколько угодно равныхъ частей. Какъ бы мы ни дѣлили отрѣзокъ прямой на равныя части, части одинаковы и только занимаютъ разныя мѣста на данной прямой.

Часть прямой (напр., — ея) можно взять, принявъ любой конецъ ея за начало этой части. За начало части можно принять и нѣк. другія точки дѣленія данной прямой. Всякая часть прямой будетъ прямая, но только другой длины. Иначе дѣло

обстоитъ съ дѣленіемъ прямоугольной фигуры (хотя бы, напримѣръ, квадрата) на такое число частей, которое разлагается на множителей, напр., на 8, на 6, на 12 равныхъ частей.

При дѣленіи прямоугольника на 12 равныхъ частей можно получить фигуры различныя, а именно, раздѣлить основаніе на 6 одинаковыхъ частей, а высоту — пополамъ, раздѣлить основаніе на 4 одинаковыя части, а высоту—на 3 одинаковыя части и т. п. Собрать — этого прямоугольника можно различно, но при этомъ и форма части можетъ быть различная. Оставить этотъ вопросъ безъ вниманія значитъ принести нѣкоторый вредъ пространственному воображенію учащихся. Нахожденіе нѣкоторой части (не доли, а именно части) данной прямой, впрочемъ, не столь наглядно, какъ нахожденіе нѣкоторой части квадрата или другого прямоугольника. Упражненія въ этомъ направленіи для учащихся могутъ быть чрезвычайно полезны. Лучше всего это дѣлать на прямоугольныхъ лоскуткахъ бумаги и при этомъ оторванный кусокъ уничтожать для того, чтобы яснѣе было видно, что мы дѣйствительно беремъ только извѣстную часть нѣкотораго цѣлаго. Въ тетрадяхъ эти упражненія дѣти могутъ выполнить, заштриховывая взятую часть карандашомъ. Складываніе бумаги на этой ступени тоже полезно. Полезно и дѣленіе прямого угла на-глазъ на три равныя части и составленіе изъ даннаго листа бумаги, путемъ складыванія его, равносторонняго треугольника (рис. 79), и т. п.

О дробяхъ учащіеся уже имѣютъ нѣкоторыя представленія, благодаря предшествовавшимъ упражненіямъ надъ че-

Рис. 79.

твертями и половинами. Надо это представленіе только укрѣпить путемъ нагляднымъ и расширить. Если упомянутыя упражненія надъ половинами и четвертями почему-либо учитель опустилъ, то къ нимъ надо обратиться прежде всего. Обозначеніе всякой дроби съ помощью горизонтальной черты между цифровымъ обозначеніемъ числителя и цифровымъ обозначеніемъ знаменателя можно осуществить весьма простыми пріемами (см. стр. 174 этой книги).

Задачи на „тройное правило“.

§ 24. Обыкновенно (въ особенности учителя средней школы) думаютъ, что задачи на такъ наз. «тройное правило» слѣдуетъ относить къ одной изъ послѣднихъ ступеней курса. Этотъ взглядъ основанъ не на логическихъ или математическихъ соображеніяхъ. (Причины, вслѣдствіе которыхъ тройное «правило», въ настоящее время уже не представляющее собою дѣйствительнаго правила, относятъ къ послѣднимъ главамъ ариѳметики, чисто-историческія.) Дѣйствительно: если 3 арш. ситца стоятъ 30 коп., то вопросъ о томъ, что стоитъ 1 арш., не представляетъ собою вопроса сколько-нибудь затруднительнаго. А если этотъ вопросъ разрѣшенъ, то вопросъ о томъ, что стоятъ 5 арш. такого же ситца, равнымъ образомъ незатруднителенъ. Задачи на тройное правило на этой ступени могутъ быть двухъ родовъ: а) для разрѣшенія однѣхъ задачъ нужно совершить дѣленіе «на части» и умноженіе, б) для разрѣшенія другихъ надобно сначала произвести дѣленіе «на части», а затѣмъ—дѣленіе «по содержанію». Вышеприведенная задача относительно стоимости 5-ти арш. ситца, три аршина котораго стоятъ 30 к., требуетъ примѣненія дѣленія на части и умноженія полученнаго частнаго на нѣкоторое число. Задача же «4 арш. кумачу стоятъ 40 к., сколько кумачу можно купить на 30 коп.?» требуетъ сначала раздѣленія тридцати коп. на 3, а потомъ—сорока коп. на 10 коп. Рѣшеніе же послѣдней задачи такъ наз. приведеніемъ къ единицѣ требуетъ разсужденій, совершенно неумѣстныхъ не только на этой ступени, но и на слѣдующихъ. Если учитель привыкъ записывать рѣшеніе задачи на такъ называемое простое тройное правило непремѣнно въ видѣ дробей и разсуждать надъ дробями, то онъ долженъ помнить, что на этой ступени это не только не нужно, но и неумѣстно. Здѣсь задачи этого рода логично рѣшаются съ помощью двухъ дѣйствій, и каждое изъ нихъ, во избѣжаніе

искушенія писать все въ одну строку, можно записывать, если это требуется, въ видѣ двухъ строчекъ (см. выше):

а не съ помощью дробной черты, надъ которой записаны два числа и знакъ умноженія, а въ знаменателѣ—одно. Особенно искусственна та строка, съ помощью которой обыкновенно, при такъ наз. приведеніи къ единицѣ, рѣшается, напр., задача въ родѣ слѣдующей: за 9 карандашей заплачено 36 коп., сколько такихъ же карандашей можно купить за 28 коп.? При этомъ обыкновенно рѣшаютъ задачу такъ: если 36 коп. заплачено за 9 карандашей, то на одну коп. можно купить (хотя на одну копейку на дѣлѣ нельзя купить никакой части карандаша), а на 28 коп. можно купить въ 20 разъ большее количество долей, чѣмъ на одну коп., и поэтому это послѣднее число, отвѣчающее на нашъ вопросъ, выражается будто бы слѣдующей дробью:

Помимо того, что такое примѣненіе дроби учащимся на этой ступени неизвѣстно, такое разсужденіе крайне неестественно и 9 для болѣе взрослыхъ учащихся. Ибо — долей одного карандаша не удовлетворяютъ требованіямъ жизни и простого здраваго смысла. Поэтому учитель долженъ прежде всего, разрабатывая задачи этого рода, самъ освободиться отъ этого шаблона, если онъ его себѣ усвоилъ въ той школѣ, гдѣ онъ самъ учился. На задачи на такъ наз. тройное правило и на способы ихъ рѣшенія надо смотрѣть прежде всего съ точки зрѣнія здраваго смысла, а не съ точки зрѣнія какихъ бы то ни было шаблоновъ. Въ противномъ случаѣ задачи этого рода для учениковъ крайне трудны и совершенно безполезны и къ тому же лишены практическаго и образовательнаго значенія. Только на одной изъ высшихъ ступеней учащихся

можно ознакомить съ рѣшеніемъ задачъ на такъ наз. тройное правило по такъ наз. способу приведенія къ единицѣ.

Содержаніе изустной ариѳметики.

§ 25. Если хорошенько изслѣдовать, чему учащіеся могли научиться на предыдущихъ ступеняхъ, то окажется, что они могли усвоить себѣ: а) способы изустнаго сложенія двухъ двузначныхъ чиселъ, не дающихъ больше ста, изустнаго же вычитанія любого числа первой сотни изъ другого числа первой сотни, б) таблицу умноженія, т.-е. умноженіе числа перваго десятка на число перваго же десятка, и в) изустное дѣленіе любого числа первой сотни на однозначное, когда частное—тоже однозначное число. Считать, что этимъ исчерпана вся изустная ариѳметика чиселъ первой сотни, совершенно несправедливо. Во-первыхъ-сюда не вошли всѣ тѣ случаи умноженія двузначнаго числа на однозначное, которыя даютъ въ результатѣ хотя бы только числа первой сотни. Далѣе сюда не вошли тѣ случаи дѣленія, когда отъ дѣленія двузначнаго числа на однозначное получается двузначное же частное. Говоря иначе: если бы учащіеся остановились только на 21-ой ступени, то для нихъ множество практически важныхъ и жизненныхъ вопросовъ остались бы незатронутыми въ курсѣ изустной ариѳметики и были бы отнесены, безъ всякаго къ тому основанія, къ курсу письменнаго производства дѣйствій. Откладывать эти случаи до тѣхъ поръ, пока учащіеся не овладѣютъ письменнымъ производствомъ четырехъ дѣйствій надъ цѣлыми числами, конечно, нѣтъ разумнаго основанія. Ибо не разумно было бы ставить дѣло такъ, чтобы учащійся не былъ въ состояніи разсчитать, безъ карандаша и бумаги въ рукахъ, что стоитъ 1 фунтъ сахару, если за три фунта заплачено 51 коп., или что стоятъ 3 аршина матеріи по 27 коп. за аршинъ. Для рѣшенія подобныхъ вопросовъ прибѣгать къ бумагѣ и карандашу прямо непростительно съ образовательной точки зрѣнія, нецѣлесообразно съ точки зрѣнія культурной и нелѣпо въ ариѳметическомъ смыслѣ. Разрѣшить подобныя задачи по правиламъ письменнаго производства дѣйствій, конечно, возможно. Но пользоваться этими правилами въ случаяхъ, подобныхъ указаннымъ, нѣтъ достаточныхъ основаній. Равнымъ образомъ неразумно скрывать отъ учащихся, добравшихся до полной власти надъ числами первой сотни, то, что они знаютъ уже изъ жизни, а именно: существованіе трехзначныхъ чиселъ, большихъ ста, и тысячъ.

22-я ст.: нумерація трехзначн. чиселъ.

§ 26. Покойный С. А. Рачинскій (см. стр. 10 этой книги) совершенно справедливо отмѣтилъ, что крестьянскія дѣти (это надо сказать и о дѣтяхъ не только крестьянскихъ), учащіеся ариѳметикѣ, очень интересуются той перспективой чиселъ, которая имъ открывается, какъ только они нѣсколько ознакомились съ содержаніемъ первыхъ 4-хъ дѣйствій надъ небольшими числами. Лучшимъ тому доказательствомъ служитъ то обстоятельство, что дѣти, склонныя къ разговорамъ о числахъ (а къ этимъ разговорамъ склонны всѣ дѣти, которыхъ хорошо учатъ), часто, когда кто-нибудь говоритъ о сложеніи, говорятъ: «а я могу сложить 500 да 300 или 5000 да 3000» и т. д. Даже не умѣя считать, не зная письменной нумераціи, учащіеся, благодаря тому, что они въ разговорахъ взрослыхъ часто слышатъ названія разныхъ крупныхъ чиселъ, сами произносятъ эти названія, не отдавая себѣ отчета въ ихъ значеніи и только имѣя въ виду самыя слова. Вслѣдствіе этого, слѣдуетъ признать нумерацію трехзначныхъ чиселъ и нумерацію хотя бы только одной тысячи вполнѣ умѣстными на одной изъ ступеней курса, ближайшихъ къ занимающимъ насъ ступенямъ. Начинать ли съ письменной нумераціи трехзначныхъ чиселъ, а потомъ перейти къ счету или, наоборотъ, начать со счета, а потомъ перейти къ нумераціи трехзначныхъ чиселъ—дѣло вкуса учителя. Но во всякомъ случаѣ необходимо принять во вниманіе, что дѣти, умѣя писать числа трехзначныя по десятичной системѣ совершенно безошибочно, при этомъ ошибаются въ счетѣ и не знаютъ, какое число слѣдуетъ за 299-ю или какое число слѣдуетъ за 399-ю или даже за 400. Поэтому учащимся прямо необходимо поупражняться въ счетѣ сотнями, десятками, и особенно — единицами. Нумерація «въ лицахъ» и на этой ступени весьма полезна.

Относительно цифры тысячъ надо сдѣлать одно замѣчаніе, которое можетъ показаться нѣсколько мелкимъ, но ко-

Рис. 80.

Рис. 81.

Рис. 82.

Рис. 83.

торому надо придавать нѣкоторое значеніе. У насъ очень часто принято отдѣлять запятою цифру тысячъ отъ цифры сотенъ, и такимъ образомъ запись становится тожественной съ записью десятичной дроби. Десятичныя дроби у насъ не столь распространены, какъ въ тѣхъ странахъ, гдѣ введена метрическая система. Но, тѣмъ не менѣе, все-таки запятая, отдѣляющая запись тысячъ отъ записи сотенъ, можетъ ввести учениковъ и всякаго въ заблужденіе. Равнымъ образомъ и точка въ качествѣ знака, отдѣляющаго цифру тысячъ отъ цифры сотенъ, не вполнѣ умѣстна, потому что очень часто (даже въ книгахъ по начальной ариѳметикѣ) точка замѣняетъ косой крестъ и является, такимъ образомъ, знакомъ умноженія. Удобнѣе всего между цифрою тысячъ и цифрою сотенъ дѣлать промежутокъ нѣсколько большій промежутка, отдѣляющаго остальныя цифры одну отъ другой. Поэтому одну тысячу слѣдуетъ писать

такъ: 1 000, а тысячу двѣсти пятьдесятъ три — такъ: 1 253. Привычка отдѣлять цифру тысячъ отъ цифры сотенъ нѣсколько большимъ промежуткомъ вноситъ много сознательности во всю письменную нумерацію многозначныхъ чиселъ. Равнымъ образомъ впослѣдствіи милліоны и даже билліоны не должны при записяхъ затруднять учащихся. Они быстро привыкаютъ цифру милліоновъ отдѣлять отъ цифры сотенъ тысячъ и цифры билліоновъ отъ цифры сотенъ милліоновъ нѣсколько большимъ промежуткомъ1).

Для надлежащаго обученія нумераціи четырехзначныхъ чиселъ въ качествѣ нагляднаго пособія наиболѣе пригодны вертикальные счеты всякаго рода, напримѣръ: самодѣльныя Аксюка, «абакъ» Кавуна и школьные счеты Шохоръ-Троцкаго (см. стр. 41—43), послѣдніе—съ девятью шариками на каждой проволокѣ и съ большимъ промежуткомъ между проволокой тысячъ и проволокой сотенъ. Проволоки высшихъ разрядовъ надо вынуть изъ рамы.—Опытъ показываетъ, что дѣти, учившіяся нумераціи съ помощью «нумераціи въ лицахъ», никогда болѣе не дѣлаютъ тѣхъ ошибокъ, которыя часто встрѣчаются у дѣтей, учившихся этой нумераціи болѣе или менѣе отвлеченно. Дѣло въ томъ, что въ сознаніи учащихся ярко отражается то обстоятельство, что для числа, въ которомъ есть только сотни или сотни и еще какіе-нибудь разряды, ниже сотни, требуется три человѣка (или три цифры), а для числа, содержащаго въ себѣ тысячу или однозначное число тысячъ, требуется четыре человѣка. Провести нумерацію «въ лицахъ» можно примѣрно слѣдующимъ образомъ (рис. 81—83):

Умѣемъ ли мы написать сорокъ пять, шестьдесятъ, пятьдесятъ пять?—Конечно, умѣемъ!—Прошу двоихъ изъ васъ пойти къ доскѣ, стать рядышкомъ лицомъ къ намъ, спиною къ доскѣ.—Я буду говорить числа, а вы обозначайте пальцами то, что я скажу: одинъ изъ васъ ведетъ счетъ единицамъ, а другой — десяткамъ, десятки

1) Только при производствѣ умноженія многозначныхъ чиселъ, и особенно— дѣленія многозначныхъ чиселъ на многозначныя, промежутки въ записяхъ данныхъ чиселъ не только не полезны, но даже препятствуютъ быстрому вычисленію. Зато, какъ это будетъ выяснено на одной изъ слѣдующихъ ступеней, расчетъ числа цифръ произведенія и числа цифръ многозначнаго частнаго должно вести такъ, чтобы учащіеся совершенно ясно сознавали максимумъ числа цифръ, которыя могутъ получиться въ записи произведенія и въ записи многозначнаго частнаго. Сообразно съ этимъ, они должны оставлять достаточно мѣста для обозначенія искомыхъ чиселъ. Но объ этомъ рѣчь впереди, во второй части этой книги.

слѣва, единицы—справа отъ насъ!—Считаемъ, а вы показывайте: девяносто! девяносто одинъ! девяносто два! девяносто три! девяносто четыре! девяносто пять! девяносто шесть! девяносто семь! девяносто восемь! девяносто девять! — А послѣ девяносто девяти что идетъ? — Не девяносто десять, а сто. — Какъ же вы это вдвоемъ обозначите?—Единицъ отдѣльныхъ нѣтъ!—А десятковъ сколько?— Десятковъ—десять!—Это одна сотня.—Поди еще кто-нибудь одинъ къ доскѣ!—Стань рядомъ съ десятками!—Десять десятковъ—одна сотня!—Десятковъ отдѣльныхъ нѣтъ; единицъ отдѣльныхъ нѣтъ!— Есть только одна сотня, и больше ничего.—Вы двое („десятникъ“ и „единичникъ“) покажите „ничего“ (руки сложите у пояса), а ты („сотникъ“) покажи одну сотню.—Теперь запишите одну сотню, или сто.—А какъ записать 500? 506? 560? 578? И т. п.

ГЛАВА СЕДЬМАЯ.

Изустныя вычисленія за предѣлами таблицъ четырехъ дѣйствій и чиселъ первой сотни.

23-я ступень: изустное сложеніе двухъ двузначныхъ чиселъ и умноженіе всякаго двузначнаго числа на однозначное.

§ 1. Сложеніе и вычитаніе двузначныхъ чиселъ, сумма которыхъ не больше ста, усвоены учащимися на 16-й и 17-й ступеняхъ. Кромѣ такихъ случаевъ сложенія, въ жизни, однакоже, весьма часто встрѣчается необходимость произвести нѣкоторые, по преимуществу денежные, расчеты, для которыхъ требуется сложеніе двухъ двузначныхъ чиселъ, сумма которыхъ равна числу второй сотни, и умноженіе такого двузначнаго числа на однозначное, которое даетъ трехзначное произведеніе. Это относится къ области изустной ариѳметики, а не письменной, и этому, конечно, въ не слишкомъ широкихъ размѣрахъ, посвящена 23-я ступень.

Сложеніе двухъ составныхъ именованныхъ чиселъ, изъ которыхъ каждое выражено однозначнымъ или двузначнымъ числомъ рублей и двузначнымъ числомъ копеекъ надо отнести непремѣнно къ этой ступени курса. Это сводится къ сложенію двузначныхъ чиселъ. Изустное сложеніе двухъ записанныхъ трехзначныхъ чиселъ равнымъ образомъ должно быть въ распоряженіи учащихся. И это дѣйствіе дается учащимся безъ непосильнаго для нихъ труда. Если два трехзначныхъ числа не записаны, то изустное производство сло-

женія иногда представляетъ трудности. Напр., 378 да 586 вычислить изустно—трудно. Легче оно дѣлается, если числа записаны изустно—зрительнымъ методомъ: 800 (видны) да 150 (тоже видны) дадутъ 950, да 14—всего 964. Изустное и даже изустное, соединенное со зрительнымъ, вычисленіе разности двухъ трехзначныхъ чиселъ бываетъ еще труднѣе. Къ счастью, надобность непремѣнно въ такомъ вычитаніи (756—379 и т. п.) встрѣчается рѣдко. Въ случаѣ, когда тѣ же два числа представляютъ собою денежный расчетъ (7 руб. 56 коп. — 3 руб. 79 коп.) нѣсколько легче, потому что конкретнѣе. Этотъ расчетъ можно выполнить такъ: 7 руб. 56 коп., долой 3 руб. 56 коп., останется 4 руб., отнять («глазами») еще 23 коп., останется .3 руб. 77 коп. Для усвоенія подобныхъ вычисленій надо сначала поупражнять дѣтей надъ такими числами, когда уменьшаемое—цѣлое число рублей (безъ копеекъ), а вычитаемое составное (рубли съ копейками). Такія задачи предложены только въ «Новомъ задачникѣ для учениковъ», и ихъ учащіеся должны проработать дважды: разъ съ помощью учителя, другой разъ—безъ его помощи. Полезны на этой ступени также вычисленія на русскихъ счетахъ.

Что касается умноженія, то прежде всего учащіеся должны научиться изустному умноженію такого двузначнаго числа на однозначное, которое даетъ не больше ста, и при которомъ отъ умноженія цифры единицъ на множителя получается меньше десяти или ровно десять. Затѣмъ можно обратиться къ умноженію двузначнаго числа на однозначное, когда отъ умноженія цифры единицъ на множителя получается не круглое число второго десятка. Далѣе можно заняться умноженіемъ такого двузначнаго числа на однозначное, чтобы отъ умноженія единицъ на множителя получалось число 3-го или 4-го десятка. Напримѣръ: 3 фунта лампаднаго масла по 28 к. за фунтъ, или 4 фунта сахара по 18 к. за фунтъ, и т. п.

Заслуживаетъ вниманія умноженіе однозначнаго числа на двузначное, при чемъ не надо полагаться на то, что учащіеся уже въ предѣлѣ перваго десятка освоились съ тѣмъ, что отъ перемѣны порядка сомножителей не измѣняется величина произведенія. Надобно при этомъ достигнуть того, чтобы ученики не только знали, что 2, умноженное на 24, то же самое, что 24, помноженное на 2, но чтобы они умѣли примѣняться къ условіямъ задачи (см. задачи на стр. 66 «Зад. для уч-лей).

При этомъ учащіеся должны понимать, что удобнѣе вычислять: 36 разъ по 2 или же 2 раза по 36 (см. «Зад. для уч-лей», стр. 167). Денежные расчеты могутъ простираться и на составныя числа: 5 пудовъ муки по 1 руб. 28 коп.; 7 аршинъ сукна по 3 руб. 60 коп., и т. п.

Методическое распредѣленіе упражненій въ умноженіи двузначнаго числа на однозначное (или обратно) въ случаяхъ, когда произведеніе не больше ста, можетъ руководствоваться тѣмъ соображеніемъ, что сначала нужны предварительныя упражненія въ умноженіи круглаго числа на однозначное, дающее произведеніе меньше ста: 2-жды-20, 3-жды-20, 4-жды-20 и т. д., 2-жды-40, 3-жды-20, 3-жды-30 и т. п. Эти упражненія уже встрѣчались раньше на 15-й ступени, но тѣмъ не менѣе ихъ надобно возобновить въ сознаніи учащихся, и для этого могутъ служить задачи на вычисленія денежнаго содержанія: 3 двугривенныхъ, 4 гривенника и т. п. Далѣе могутъ итти упражненія въ умноженіи такихъ двузначныхъ чиселъ на однозначное число, которыя даютъ меньше ста, но въ которыхъ число единицъ, умноженное на множителя, даетъ меньше 10-ти. Только какъ бы для провѣрки, насколько учащіеся соображаютъ, въ чемъ дѣло, можно предложить и задачи такого рода, гдѣ отъ умноженія единицы множимаго на множителя получается число первой сотни: 13 умножить на 5 или 23 помножить на 4 и т. п. Затѣмъ могутъ итти упражненія въ такомъ умноженіи, которое даетъ круглое число первой сотни. Для этого, конечно, цифра единицъ множимаго должна быть или 2 или 5, а множитель долженъ быть соотвѣтственно пять или два: 5 аршинъ ситцу по 12 коп. или 2 фунта сахару по 15 коп., и т. п.

Аналогичное можно проработать надъ трехзначными числами: сначала одна сотня, засимъ нѣсколько сотенъ, потомъ трехзначное число безъ нулей, затѣмъ — съ нулемъ на мѣстѣ единицъ (учащіеся умѣютъ писать 60, 30, 50 и т. д.), наконецъ—съ нулемъ на мѣстѣ десятковъ.

24-я ступень: дѣленіе любого числа первой сотни на однозначное число.

§ 2. Двадцать четвертая ступень посвящена дѣленію двузначныхъ чиселъ и на такія однозначныя, что въ результатѣ получаются числа тоже двузначныя (72 на 6; 84 на 7; 96 на 4 и т. п.). Оставлять дѣленіе любого двузначнаго числа на однозначное не усвоеннымъ до тѣхъ поръ, покуда

учащіеся не усвоятъ себѣ общаго пріема раздѣленія многозначнаго числа на однозначное, по меньшей мѣрѣ, неразсудительно. Это не отвѣчаетъ требованіямъ жизни и образованія. Когда двузначное дѣлимое и однозначный дѣлитель таковы, что частное тоже представляетъ собою однозначное число, тогда учащимся легко уяснить себѣ взаимную связь между такъ называемымъ дѣленіемъ «на части» и дѣленіемъ «по содержанію». При этомъ наиболѣе существенно не то, что отвлеченные результаты дѣленія получаются одни и тѣ же. Важно то, что любой видъ дѣленія можно свести къ другому. Легче всего замѣтить и отмѣтить разницу между обоими видами дѣйствія дѣленія на геометрическомъ дѣленіи: взять не измѣренную прямую и узнать, сколько разъ въ ней содержится другая неизмѣренная прямая, взять неизмѣренную прямую и ее (съ помощью шаблона остраго угла) раздѣлить на извѣстное число равныхъ частей и тѣ же лабораторныя упражненія продѣлать на прямыхъ измѣренныхъ. Но для того, чтобы выяснить возможность сведенія одного вида дѣленія къ другому, можно взять и лабораторное упражненіе надъ палочками (стр. 168 «Зад. для уч-лей). Надобно, чтобы всѣ учащіеся приняли въ этомъ упражненіи участіе и чтобы подобныя упражненія были продѣланы для различныхъ чиселъ. Разсужденія надъ отвлеченными числами, конечно, могутъ слѣдовать только за упражненіями надъ предметами. Только мускульная и зрительная работа надъ дѣйствительнымъ раздѣленіемъ даннаго числа предметовъ на извѣстное число частей и дѣйствительнымъ сведеніемъ этого вопроса къ раздѣленію даннаго числа предметовъ на группы, въ каждой изъ которыхъ находится столько же предметовъ, на сколько частей ранѣе было совершено дѣленіе, можетъ привести къ цѣли. Только послѣ мускульной и зрительной работы учащіеся могутъ разсужденіе, сюда относящееся, повторить и надъ числами отвлеченными. Въ самомъ дѣлѣ: пусть требуется разсудить, одинаковыя ли частныя получатся отъ того, раздѣлимъ ли мы 28 на 4 равныя части или же раздѣлимъ 28 на равныя части по 4. единицы въ каждой. Разсужденіе это можно повести, примѣрно, въ слѣдующемъ Духѣ:

Достаньте 28 палочекъ, разложите ихъ въ кучки по семи штукъ въ каждой кучкѣ; сколько такихъ кучекъ? — Замѣтьте: въ этомъ

случаѣ четыре кучки!—А теперь разложите эти спички въ 7 одинаковыхъ кучекъ.—Что вы сдѣлаете?—Вы возьмете 7 палочекъ изъ одной кучки и разложите ихъ одну отдѣльно отъ другой; возьмете другую кучку въ 7 штукъ и ея палочки по одной прибавите къ первымъ семи спичкамъ, и т. д.—И въ каждой кучкѣ у васъ окажется по 4 палочки, т.-е. по столько палочекъ, сколько было сначала кучекъ! — Возьмите 54 палочки, разложите ихъ въ кучки по шести палочекъ въ каждой, вы и получите кучекъ 9.—Раздѣлите эти 54 палочки, разложенныя въ кучки по шести палочекъ въ каждой, на шесть одинаковыхъ кучекъ, и вы въ каждой кучкѣ получите девять палочекъ. И т. п.

Благодаря упражненіямъ въ родѣ только-что охарактеризованнаго, учащіеся могутъ уяснить себѣ, что каждый изъ видовъ дѣленія можно замѣнить другимъ. Но отъ этого еще очень далеко до уразумѣнія того, что иногда, рѣшая какую-либо задачу или вычисляя какой-либо примѣръ, удобнѣе употреблять не тотъ видъ дѣленія, который логически требуется по самому смыслу задачи, а другой. Дѣйствительно, предложена задача: портной купилъ сукна на 64 рубля; ему аршинъ сукна обошелся въ 4 рубля; сколько онъ купилъ сукна? Учителю и ученику надо отдать себѣ отчетъ въ томъ, что легче вычислить: сколько разъ 4 содержится въ шестидесяти четырехъ, или что получится, если 64 раздѣлить на 4 равныя части. Конечно, можно разсчитать (вычислить), сколько частей, по 4 рубля въ каждой, содержится въ 64 рубляхъ, слѣдующимъ образомъ: отдѣлимъ отъ 64 рублей сорокъ; узнаемъ, сколько аршинъ можно купить на 40 рублей, платя по 4 рубля за аршинъ (10 аршинъ!); остается еще 24 рубля; на эти 24 рубля сколько можно купить аршинъ сукна по 4 рубля за аршинъ? (6 аршинъ!) 10 да 6 — шестнадцать!—Или 56 : 4; въ сорока 4 содержится 10 разъ; остается 16; въ 16-ти 4 содержится 4 раза; 10 разъ да 4 раза—четырнадцать разъ. Записать это можно такъ:

56 : 4 = 14, и т. п.

Но въ такомъ способѣ «расчета» учащіеся могутъ поупражняться, чтобы понять выгоды другого способа, съ которымъ они познакомятся впослѣдствіи, когда они (см. послѣдній примѣръ) будутъ говорить: «4 въ 5 одинъ разъ, остается 1; 4 въ 16-ти 4 раза» и т. п. Но вычислять можно и удобнѣе и по-иному: 64 руб. заплачено за сукно, цѣною по 4 руб,

за аршинъ; сколько куплено аршинъ этого сукна?—Надо раздѣлить: 64:4. Но отъ этого дѣленія (64:4) получимъ столько же (такое же число), какъ отъ дѣленія 64 |_4. — А 40 раздѣлить на 4 — десять, 24 на 4 — шесть; 10 да 6 — шестнадцать...— Стало быть? — Стало-быть, можно высчитывать, сколько получится частей, такъ же, какъ разсчитываемъ каждую часть. Въ этомъ частномъ случаѣ, можетъ-быть, еще удобнѣе 64 раздѣлить пополамъ, получится 32, а потомъ 32 раздѣлить пополамъ, получится 16!

Когда удобнѣе примѣняется дѣленіе «на части» и когда — дѣленіе «по содержанію», зависитъ исключительно отъ величины дѣлителя. Если дѣлитель — число перваго десятка, то цѣлесообразнѣе примѣнять, каковъ бы ни былъ логическій смыслъ дѣленія въ данномъ случаѣ, дѣленіе «на части». Въ противномъ же случаѣ, т.-е. когда дѣлитель больше десяти, цѣлесообразнѣе дѣленіе «по содержанію». Объ этомъ см. ниже, § 8 этой главы.

Термины: слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, множимое, дѣлимое.

§ 3. Когда учащіеся освоились съ тѣмъ ходомъ мысли, который подготовляетъ ихъ къ уразумѣнію того, что производить дѣйствіе (вычислять) можно, въ случаѣ любого вида дѣленія, двоякимъ образомъ, можно внести нѣкоторые термины.—Не надо торопиться съ сообщеніемъ всѣхъ терминовъ. Начать можно съ тѣхъ терминовъ, которые представляютъ собою страдательныя формы глаголовъ: «слагать», «уменьшать», «вычитать», «множить» и «дѣлить». Терминологію четырехъ дѣйствій прорабатывать можно не сразу, а частями. Конечно, только-что поименованные термины можно проработать и ранѣе, и спустя нѣсколько времени. Но, во всякомъ случаѣ, поставить усвоеніе терминовъ надо не на почву отвлеченныхъ словесныхъ опредѣленій, а на почву языкового чувства учащихся, примѣрно, въ слѣдующемъ духѣ:

То, что мы любимъ, наше любимое; то, что мы видимъ—видимое; то, что мы гонимъ—гонимое; хранимъ—хранимое; то число, которое мы дѣлимъ?..—Дѣлимое.—Что читаемъ—читаемое; что бросаемъ—бросаемое...—Когда мы одно число уменьшаемъ на нѣсколько единицъ, оно...?—Уменьшаемое...—То число, которое мы вычитаемъ изъ другого...— Вычитаемое...— Примѣры! — Тѣ числа, которыя мы должны сложить—слагаемыя (мы ихъ складываемъ, слагаемъ!)...—То число, которое мы множимъ—множимо е.—Примѣры!

Здѣсь умышленно (какъ это отмѣчено выше) даны только тѣ термины, которые представляютъ собою причастныя страдательныя формы. Впослѣдствіи можно дать названія «множитель» и «дѣлитель», — торопиться сообщеніемъ терминовъ, какъ это тоже отмѣчено выше, вообще не для чего, если безъ нихъ можно обойтись.

Частное при дѣленіи „на части“—двузначное число.

§ 4. До сихъ поръ не производилось дѣленія, при которомъ частное представляетъ собою нѣкоторое двузначное число, большее десяти. Прежде всего учащимся надо понять, чѣмъ они будутъ заниматься, и осмыслить, что они приступаютъ къ тому вопросу, когда частное—число двузначное. Для этого они должны понять, что бываютъ такіе случаи, когда часть больше 10-ти. Сразу они даже могутъ не понять, въ чемъ существо этого вопроса. Поэтому требуется нѣсколько остановиться на самомъ вопросѣ. Можно взять его даже нѣсколько шире, напр., въ такомъ объемѣ:

Бываетъ ли такъ, что либо часть, либо число частей больше десяти?—Повторите мой вопросъ!..—Напримѣръ: 22 пера розданы двумъ ученикамъ поровну; по сколько получилъ каждый: больше десяти перьевъ или меньше? — Больше: если бы роздано было 20 перьевъ, то каждый получилъ бы 10 перьевъ, но ученикамъ отданы еще два пера, т.-е. по одному перу каждому; а потому каждый получилъ не 10 перьевъ, а 11 перьевъ. — 3 фунта сахару стоятъ 48 коп.: что стоитъ фунтъ этого сахара? — Разсчитать это можно по-разному: кладемъ по 10 коп. за фунтъ, всего 30 коп., а у насъ за сахаръ уплачено 48 коп.; остается еще 18 коп., стало-быть, еще по сколько копеекъ надо прибавить за фунтъ?—По шести копеекъ! — Фунтъ этого сахара стоитъ 16 коп. — Повторите! — Можно и по-иному: 48 коп. надо раздѣлить па 3 одинаковыя части, сколько копеекъ попадетъ въ каждую часть, по столько копеекъ пришлось заплатить за фунтъ.—Повторите.—Но мы сначала 30 коп. раздѣлимъ на 3 одинаковыя части, получимъ 10 коп. въ каждой части; раздѣлимъ остальныя 18 коп. на 3 одинаковыя части,—придется еще по 6 коп. на фунтъ! (все изустно!); десять да шесть—16; стало-быть, фунтъ сахара обошелся въ 16 коп...—Другой примѣръ: надо 96 раздѣлить на 4 одинаковыя части; раздѣлимъ 80 на 4 одинаковыя части, получимъ въ каждой части по двадцати; остается не раздѣленныхъ единицъ (остается „на-рукахъ“) еще 16; раздѣлимъ на 4, получимъ 4; двадцать да четыре (все изустно!)—24. А потому — Коли надо раздѣлить число, которое больше восьмидесяти, на 8 одинаковыхъ частей, можно сначала 80 отдѣлить (отъ „дѣли-

маго“), ихъ раздѣлить на 8 одинаковыхъ частей (получится 10), а потомъ раздѣлить остальное на 8 одинаковыхъ частей.—Примѣры: 96 I 8, 8818.—Коли число больше семидесяти, и его надо раздѣлить на 7 равныхъ частей, то его надо „разбить“ сначала на двѣ части: одна часть—70, другая—остальное...—А потомъ? И т. п.

Для болѣе методическаго расчлененія трудностей можно брать сначала такіе примѣры, когда число десятковъ дѣлится на-цѣло безъ остатка на дѣлителя, напр.: 22 на 2, или 36 на 3, и т. п. Далѣе можно перейти къ тѣмъ случаямъ, когда число десятковъ дѣлимаго не дѣлится безъ остатка на-цѣло на дѣлителя и когда можно отъ этого числа десятковъ отдѣлить столько, сколько нужно, десятковъ и его раздѣлить на дѣлителя, а затѣмъ оставшіеся десятки вмѣстѣ съ единицами раздѣлить опять на дѣлителя, и полученныя частныя изустно сложить. Можно научить и записыванію результата сразу послѣ знака равенства, если эта запись нужна1).

Термины „частное“ и „отношеніе“.

§ 5. Весьма полезно для учащихся освоиться съ терминами «частное» и «отношеніе». Первое слово этимологически происходитъ отъ слова «часть», а средній родъ зависитъ отъ подразумѣваемаго слова «число». Такимъ образомъ «частное» есть «частное число», т.-е. число, представляющее собою часть. Въ связь съ этимъ

1) Надо остерегаться примѣненія того правила, по которому нѣкоторые дѣленіе этого рода совершаютъ письменно и произносятъ цѣлый рядъ никому ненужныхъ словъ, напр., такъ: требуется раздѣлить 92 на 4; для этого, по правилу дѣленія многозначнаго числа, надо непремѣнно записать

а затѣмъ сказать: „4 въ 9-ти 2 раза“, и записать послѣ знака равенства или подъ горизонтальной чертой знака дѣленія 2; далѣе сказать: „2-жды-4—восемь“ и 8 записать подъ цифрою 9 дѣлимаго; потомъ поставить знакъ вычитанія налѣво отъ цифры 8 и эту цифру подчеркнуть; далѣе сказать: „8 изъ 9-ти одинъ“, и подъ чертой записать цифру одинъ; засимъ сказать: „снесемъ 2“, и приписать направо отъ остатка цифру 2; потомъ сказать: „4 въ 12-ти будетъ 3“, и цифру 3 приписать къ цифрѣ частнаго; затѣмъ сказать: „3-жды-4— двѣнадцать“, и записать 12 подъ цифрами 12, записанными подъ чертой; записанное подчеркнуть и подъ этой чертой поставить кавычки.—Всѣ эти вычисленія и манипуляціи не только непростительная трата времени: они прямо вредны, лишаютъ смысла самый процессъ вычисленія и могутъ только убить самодѣятельность учащихся.—Кстати о знакѣ дѣленія и о кавычкахъ. Знакъ дѣленія, изображаемый въ видѣ вертикальной и горизонтальной черты, образующихъ одна съ другою два прямыхъ угла, и записываніе частнаго подъ записью дѣлителя и подъ чертою крайне устарѣли, не представляютъ никакихъ выгодъ и дѣлаютъ невозможнымъ весьма полезный въ математикѣ знакъ равенства. Что же касается кавычекъ, то это—знакъ, въ математикѣ не принятый и въ тѣхъ случаяхъ, когда остатокъ равенъ нулю, прямо безсмысленный и безцѣльный.

можно поставить и усвоеніе учащимися смысла этого термина, примѣрно, такимъ образомъ:

Когда мы дѣлимъ 36 на 4 одинаковыя части, мы получаемъ, что каждая часть въ этомъ случаѣ 9.—Въ этомъ случаѣ 9 единицъ можно называть частнымъ, т.-е. частнымъ числомъ, или также частнымъ отъ раздѣленія 36-ти на 4. — Говорятъ такъ: „Если раздѣлить 36 на 4, то частное будетъ 9“, или такъ: „Если раздѣлить 36 на 4, то въ частномъ получится 9“, и т. п.—Частное, т.-е. частное число—часть дѣлимаго числа. И т. п.

Значительно труднѣе, чѣмъ терминъ «частное», усваиваютъ дѣти терминъ «отношеніе». Къ сожалѣнію, эта трудность такъ велика, что даже въ средней школѣ терминъ этотъ еще не получилъ должнаго права гражданства и распространенія. Тѣмъ не менѣе, терминъ этотъ чрезвычайно важенъ и полезенъ, такъ какъ вообще встрѣчается въ математикѣ и въ другихъ наукахъ. Математически онъ важенъ потому, что устанавливаетъ ту разницу между частными въ обоихъ случаяхъ дѣленія, которая такъ важна въ приложеніяхъ этихъ дѣйствій. Различіе въ терминахъ полезно и въ логическомъ смыслѣ. Въ обоихъ случаяхъ можно говорить: «частное, происходящее отъ дѣленія одного числа на другое», но въ одномъ случаѣ слѣдуетъ говорить только: «отношеніе одного числа къ другому». Слово «отношеніе» въ житейскомъ смыслѣ слова, когда говорятъ объ отношеніи одного человѣка къ другому или о чьемъ-либо отношеніи къ какому-нибудь явленію или поступку, употребляется только въ средѣ, привыкшей къ литературному русскому языку. Думать, что этотъ терминъ въ ариѳметикѣ дѣти могутъ усвоить на основаніи опредѣленія, конечно, неразсудительно. Въ этомъ, какъ и во многихъ другихъ случаяхъ, урокъ ариѳметики особенно ярко получаетъ характеръ урока родного и литературнаго языка. И это не только не бѣда: это очень хорошо, ибо всякій урокъ долженъ быть, въ большей или меньшей мѣрѣ, урокомъ языка. Подойти къ этому можно путемъ бесѣды, напр., такого рода:

Вы хорошо работаете и занимаетесь, дѣти...—Вмѣсто этого я могъ бы сказать: „Вы хорошо, дѣти, относитесь къ своимъ занятіямъ“...— Вы никого не обижаете, а, наоборотъ: ласковы и вѣжливы со всѣми, стараетесь помочь всякому человѣку, чѣмъ можете... — Вмѣсто этого я могъ бы сказать: „Вы хорошо относитесь къ людямъ“... — У васъ хорошее отношеніе къ людямъ.— Какое ваше отношеніе къ больнымъ? (Жалѣемъ ихъ).— Какое

отношеніе къ домашнимъ животнымъ?..—Во сколько разъ 24 больше, чѣмъ 8? (Въ 3 раза).—И въ этомъ случаѣ говорятъ объ отношеніи двадцати четырехъ къ восьми...—Но при этомъ говорятъ такъ: „отношеніе 24-хъ къ 8-ми равно 3-мъ“, и это пишутъ такъ: 24 : 8=3.

25-я ступень: дѣленіе чиселъ І-й сотни на двузначныя числа.

§ 6. Двадцать пятая ступень цѣликомъ посвящена дѣленію чиселъ первой сотни на числа двузначныя. Первое мѣсто среди упражненій этого рода должны занимать случаи дѣленія, когда дѣлитель — круглое число. Терминъ «круглое число» уясняется весьма легко, на основаніи задачъ и соотвѣтствующихъ упражненій.

Способъ вычисленія, когда дѣлитель — круглое число, не представляетъ собою никакихъ особенныхъ затрудненій. При этомъ количество примѣровъ по-неволѣ здѣсь становится чрезвычайно небольшимъ: сначала нужно дѣлить круглыя числа на круглыя же: 40 на 20, 60 на 20, 80 на 20 и т. д., для того чтобы дѣленіе совершилось безъ остатка. Затѣмъ можно перейти къ случаямъ, когда получается остатокъ, а далѣе—къ тѣмъ случаямъ, когда отъ дѣлимаго можно отдѣлить часть, дѣлящуюся на дѣлителя, и другую часть, на дѣлителя не дѣлящуюся. Далѣе слѣдуетъ обратиться къ дѣленію на такъ называемое «закруглимое» число. Терминъ этотъ можетъ быть выясненъ, примѣрно, слѣдующимъ образомъ (3. для уч-лей, № 345):

Когда у меня 21 руб., могу ли я сказать, что у меня слишкомъ 20 руб.? — Когда у меня 31 руб., могу ли я сказать, что у меня „съ небольшимъ“ 30 руб.?—Когда у меня 29 рублей, могу ли я сказать, что у меня безъ малаго 30 рублей? — Придумайте сами такіе случаи и разскажите, къ какимъ числамъ ближе придуманныя вами числа.—Числа 31 и 32 близки къ 30-ти; 41 и 42— къ сорока; 28 и 29—къ тридцати; 38 и 39—къ сорока...—У меня 59 рублей; много ли мнѣ не хватаетъ денегъ до шестидесяти?..— Шестьдесятъ—круглое число; пятьдесятъ, сорокъ, двадцать— тоже...—Скажите-ка какое-нибудь круглое число!..—У меня 49 копеекъ, закруглить!—У одного человѣка 68 коп., закруглить!— Сколько будетъ?—11 и 12 близки къ какому числу?—21 и 22—къ какому?—41 и 42—къ какому? 58 и 59, и т. п.—Такія числа, которыя близки къ круглымъ и которыя поэтому можно закруглить, мы иногда будемъ называть закруглимыми...

Когда учащіеся усвоили себѣ закругленіе закруглимаго числа, техника дѣленія на закруглимое число сводится къ тому, что дѣлятъ на ближайшее круглое, но при дальнѣйшемъ

вычисленіи принимаютъ во вниманіе истиннаго дѣлителя. Въ этомъ случаѣ лучше начинать съ дѣленія «по содержанію». Пусть надо раздѣлить 94 на равныя части, изъ которыхъ каждая равна 19-ти, т.-е. узнать, сколько разъ 19 содержится въ 94-хъ и сколько, сверхъ того, остается. Разсуждать будемъ такъ: 19 близко къ двадцати; 20 содержится въ 94-хъ четыре раза; 19 въ 94-хъ будетъ содержаться не меньше 4-хъ разъ; вычислимъ, сколько будетъ 4-жды 19; четырежды-двадцать — 80, долой 4, семьдесятъ шесть; останется 18; въ 18-ти 19 ужъ не содержится ни разу. Записывать это не необходимо. Но если надо записать, то это можно сдѣлать такъ:

Другой примѣръ:

Но 18 близко къ 20-ти; 20 въ девяноста шести — 4 раза; жды-восемнадцать, — 4-жды-10 — сорокъ, 4-жды-8 — тридцать два, вмѣстѣ — 72; 96, долой 72, будетъ 24; въ 24-хъ 18 содержится одинъ разъ; стало-быть, 18 въ девяносто шести содержится не 4 раза, а 4 раза да еще одинъ разъ, т.-е. 5 разъ. Можно поправить ошибку такъ: пять разъ 18, — пятью-десять — 50, пятью-восемь — 40, пятьдесятъ да сорокъ — 90; у насъ 96, — остается 6. Но можно и такъ: 24, долой 18, будетъ 6. Если все это записано, то сначала будетъ записано 96118 = 4; перечеркнемъ 4, поставимъ еще разъ знакъ= послѣ этого знака поставимъ 5

но 5 разъ 18—девяносто, а не 96; а потому

Способъ вычисленія, стало-быть, заключается въ томъ, что вмѣсто того, чтобы дѣлить на незакруглимое число, мы дѣлимъ на число закруглимое. При этомъ въ обоихъ случаяхъ дѣленія лучше сводить дѣло къ нахожденію отношенія, а не къ нахожденію частнаго.

Незакруглимый дѣлитель.

Значительно труднѣе техника дѣленія числа на незакруглимаго дѣлителя. Терминъ «незакруглимый дѣлитель» можно выяснить въ зависимости отъ ранѣе усвоенныхъ учащимися терминовъ

«круглое» и «закруглимое» число. Число 30 — круглое, числа 28, 29, 31 и 32 закруглимыя числа, а числа 23, 24, 25, 26 и 27 — незакруглимы. (Ср. стр. 261). Способъ же вычисленія заключается въ томъ, что мы «глазами» находимъ отношеніе дѣлимаго къ дѣлителю, если это возможно. Если же заданіе не записано, то дѣлаемъ двѣ пробы: сначала дѣлимъ на ближайшее меньшее круглое, а потомъ — на ближайшее большее круглое. Оба полученныхъ отношенія сравниваемъ: если одно отличается отъ другого на одну единицу, отдаемъ предпочтеніе меньшему изъ нихъ; если одно изъ нихъ больше другого на двѣ единицы, беремъ среднее число; если они отличаются одно отъ другого на три единицы, беремъ меньшее изъ среднихъ. Это вычисленіе осуществляется, примѣрно, слѣдующимъ образомъ (при этомъ удобнѣе вычислять, если заданіе за писано):

Пусть требуется найти отношеніе 97 : 26.—Если взять 97 :20, то получимъ 4; если возьмемъ 97:30, получимъ 3.—Лучше возьмемъ 3 и запишемъ

97 : 26 = 3;

но 3-жды-20—шестьдесятъ, а 3-жды-6—восемнадцать, 60 да 18—семьдесятъ восемь; 97, долой 78, остается 19... — А потому

97 : 26 = 3 (ост. 19).

Другой примѣръ:

97 : 24 =

Если взять 97 : 20, получимъ 4; если возьмемъ 97 : 30, получимъ 3; лучше возьмемъ 3 и запишемъ

97 : 24 = 3;

3-жды-24—семьдесятъ два, 97, долой 72, остается 25, а въ 25-ти

24 содержится еще одинъ разъ, а потому надо исправить

97 : 24 = 3 = 4 (ост. 1).

—Еще примѣръ: 98136.—Если возьмемъ 981 30, получимъ 3, если возьмемъ 981 40, получимъ 2.—Возьмемъ лучше 2.—Получимъ

98] 36 = 2 (ост. 26).

—Мы всякій разъ пробуемъ: надо раздѣлить на 36, а мы дѣлимъ сначала на 30, потомъ—на 40 и подбираемъ частное.—Еще примѣръ:

84 : 36 =

—„Глазами“ или мысленно найдемъ 2...—Возьмемъ такой примѣръ: 51 Ц6 =

Если мы возьмемъ 51|10, получимъ 5; если возьмемъ 51] 20, получимъ 2; пять — много, а два — мало.—Повторить еше разъ тоже вычисленіе!—Надо сказать, что 16 въ пятидесяти одной единицѣ содержится либо 4, либо 3 раза. — Лучше возьмемъ меньше, а именно 3, и запишемъ 51116 = 3; трижды-10 — тридцать, трижды-6 — восемнадцать, всего 48; остается 3, а потому

Дѣленіе „зрительное“.

§ 7. Часто наиболѣе цѣлесообразно дѣленіе «глазами», и это дѣленіе учащимся доступнѣе, чѣмъ остальные случаи дѣленія, такъ какъ дѣйствительно часто видно, какое должно получиться частное. Пусть требуется раздѣлить 81 на 36; сейчасъ видно, что больше 2-хъ въ частномъ не получимъ, потому что трижды-тридцать уже больше 81-го, а тѣмъ болѣе—3-жды 36. Или 78:25; здѣсь очевидно, что въ частномъ не можетъ быть больше 3-хъ; но и меньше 3-хъ нельзя взять, потому что 25×3 равно 75-ти. Этотъ навыкъ дается учащимся только благодаря цѣлесообразнымъ упражненіямъ, и чѣмъ меньше эти упражненія похожи на правила, тѣмъ лучше. Только несвоевременно навязываемыя дѣтямъ правила внушаютъ имъ нелюбовь къ ариѳметикѣ; творчество же и самодѣятельность всегда интереснѣе, для дѣла полезнѣе, и совершенно несовмѣстимы съ отвращеніемъ къ занятіямъ математикой.

Способъ дѣленія, знаки дѣйствія и наименованія.

§ 8. На этой ступени, какъ и на всѣхъ предыдущихъ, вычисленіе должно совершать непремѣнно изустно. Знакъ же дѣленія при записяхъ надо употреблять тотъ, который соотвѣтствуетъ существу вопроса. Дѣлимое при дѣленіи «на части» (на извѣстное число одинаковыхъ частей) можно снабдить наименованіемъ, если оно—число именованное; дѣлитель долженъ быть отвлеченнымъ, а частное и остатки должны быть числами того же наименованія. Если же и дѣлимое, и дѣлитель— именованныя числа или числа предметныя одного и того же наименованія, то дѣлимое, дѣлитель и остатокъ должно снабдить наименованіемъ, а частное, или вѣрнѣе, отношеніе дѣлимаго къ дѣлителю должно быть обозначено безъ всякаго наименованія, какъ число отвлеченное. При дѣленіи (обоего рода) числа первой сотни на однозначное число, дающемъ въ результатѣ число двузначное, для изустнаго вычисленія и для лучшей работы воображенія, полезно замѣ-

нять дѣленіе на извѣстныя части («по содержанію») дѣленіемъ на извѣстное число одинаковыхъ частей (дѣленіемъ «на части»). При дѣленіи же числа первой сотни на двузначное число, дающее (само собою разумѣется) число однозначное, иногда весьма полезно дѣленіе на извѣстное число равныхъ частей («на части») замѣнять дѣленіемъ на извѣстныя части («по содержанію»).

Пусть, напримѣръ, требуется раздѣлить 97 на 19 одинаковыхъ частей. Представить себѣ величину каждой изъ этихъ частей, конечно, приблизительно, не слишкомъ трудно. Но все же гораздо легче сообразить, сколько разъ 19 можетъ содержаться въ 97, и такимъ образомъ при вычисленіи найти цифру частнаго, найдя на самомъ дѣлѣ цифру отношенія. Съ другой стороны, для того чтобы узнать, сколько разъ 3 содержатся въ 87-ми единицахъ, гораздо удобнѣе разсчитать, по сколько единицъ можетъ попасть въ каждую часть, если 87 раздѣлить на три одинаковыя части. Вычислить это можно такъ: 60 раздѣлить на три одинаковыя части, въ каждой части получится по 20, трижды-двадцать — шестьдесятъ, остается 27; 27 раздѣлить на 3 равныя части, будетъ 9. Если, значитъ, приходится дѣлить число первой сотни на двузначное число равныхъ частей, то удобнѣе прибѣгнуть къ дѣленію на одинаковыя части, т.-е. къ нахожденію отношенія дѣлимаго къ дѣлителю, хотя, по смыслу задачи, надобно найти частное. Если же приходится значительное число первой сотни сравнить въ кратномъ отношеніи съ однозначнымъ числомъ, то легче прибѣгнуть къ дѣленію на отвлеченное число частей, равное данному числу единицъ дѣлителя, хотя по смыслу надо найти отношеніе1).—Когда сдѣлать двоеточіе знакомъ дѣленія вообще, установить можетъ только учитель.

1) Этимъ, между прочимъ, объясняется, почему, находя цифры частнаго при дѣленіи многозначнаго числа на многозначное, предпочитаютъ говорить: „такое-то число (дѣлитель) содержится въ такомъ-то (въ части дѣлимаго) столько-то разъ“, чѣмъ говорить: „если такое-то число (дѣлимое) раздѣлить на столько-то одинаковыхъ частей, то въ каждой получится столько-то“. Аналогичное справедливо и для дѣленія на однозначное число: дѣлимъ ли мы данное число первой сотни на однозначное число одинаковыхъ частей или же дѣлимъ на одинаковыя части, изъ которыхъ каждая равна данному однозначному числу, намъ удобнѣе поразрядно отыскивать тѣ дѣлимыя, которыя, будучи раздѣлены на данное однозначное число одинаковыхъ частей, дадутъ сначала опредѣленное число десятковъ въ частномъ, а потомъ—опредѣленное число единицъ перваго десятка этого частнаго. Но для того, чтобы такая замѣна дѣленія одного рода дѣленіемъ другого рода была учащимся совершенно понятна,

Дѣленіе при очевидныхъ частныхъ.

§ 9. Есть очень много случаевъ дѣленія двузначнаго числа на двузначное, когда неблагоразумно обращаться къ какимъ-либо особеннымъ пріемамъ и не требуется никакой особенной изобрѣтательности. Эти дѣленія, можно сказать, совершаются «глазами». Достаточно посмотрѣть на слѣдующіе примѣры:

86:21; 72:34; 92:25; 63: 24 и т. п.,

чтобы убѣдиться въ томъ, что для вычисленія ученикъ, даже не особенно интересующійся техникой вычисленій, не долженъ будетъ прибѣгнуть ни къ какимъ особымъ соображеніямъ. При этомъ ученики должны не только упражняться въ вычисленіи подобныхъ примѣровъ, но ихъ надо научить находить для даннаго двузначнаго дѣлителя такое дѣлимое, которое дѣлилось бы безъ остатка на этого дѣлителя. Упражненія этого рода должны себѣ найти надлежащее мѣсто въ курсѣ ариѳметики первой сотни. Но особенно важно при этомъ, чтобы развивался, какъ и всегда, здравый смыслъ учащихся и чтобы ученики умѣли не только разсуждать, но и видѣть то, какъ можно совершить вычисленіе, если примѣръ даже не записанъ. Если онъ не записанъ, и его можно выполнить изустно, то учащійся не долженъ опускать рукъ и хвататься за карандашъ и бумагу. Онъ долженъ смѣло приниматься за изустное вычисленіе даже тогда, когда оно трудно.

Послѣдовательныя вычисленія.

§ 10. Прежде чѣмъ перейти къ слѣдующей ступени, учащіеся должны поупражняться въ послѣдовательномъ изустномъ вычисленіи, требующемъ трехъ, четырехъ и даже болѣе дѣйствій надъ двузначными числами. Для чисто-изустныхъ вычисленій надъ числами, обозначенныхъ цифрами, можно прибѣгнуть къ таблицамъ Мартеля или Шохоръ-Троцкаго. Если же требуется данныя числа и результатъ дѣйствія записать, то записи могутъ имѣть слѣдующій видъ:

необходимо, какъ это выяснено выше, тѣсно связать оба вида дѣленія. Это надо сначала сдѣлать на небольшихъ числахъ первой сотни въ предѣлахъ таблицы умноженія (что уже было отчасти сдѣлано), а потомъ—на числахъ болѣе значительныхъ, что входитъ прямо въ задачи этой ступени обученія.

Изъ области прогрессій.

§ 11. На предыдущихъ ступеняхъ встрѣчались задачи изъ числа такъ наз. сложныхъ на три или четыре дѣйствія въ предѣлѣ первой сотни. Но все же выборъ этихъ задачъ не былъ разнообразенъ и почти не двигалъ учащихся въ область математическихъ интересовъ. Когда ученики освоились съ производствомъ всѣхъ четырехъ дѣйствій надъ двузначными числами, возможно этимъ задачамъ придать характеръ, такъ сказать, математической работы. Она можетъ ученикамъ доставить даже умственное удовлетвореніе. Задачи должны относиться до измѣренія и житейскихъ вопросовъ. Надо привлекать учащихся къ рѣшенію и составленію задачъ, представляющихъ нѣкоторый математическій интересъ. Можно ввести ариѳметическія прогрессіи и даже прогрессіи геометрическія. Къ числу задачъ на ариѳметическія прогрессіи относятся задачи отысканія суммы нѣкотораго числа членовъ натуральнаго ряда и ариѳметическаго ряда нечетныхъ чиселъ, т.-е. рядовъ:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14...

и

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.

О доказательствахъ теоремъ, относящихся до ариѳметическихъ прогрессій, здѣсь и рѣчи быть не можетъ. (См. § 12). Только чисто-историческими причинами объясняется то обстоятельство, что о прогрессіяхъ рѣчь идетъ только въ курсѣ алгебры, да еще въ придачу, не на первыхъ ступеняхъ курса. Всякій здравомыслящій человѣкъ можетъ добраться до суммированія членовъ любой ариѳметической прогрессіи сложеніемъ членовъ, равноотстоящихъ отъ крайнихъ членовъ прогрессіи.

Очень занимаетъ учащихся задача на взвѣшиваніе съ помощью четырехъ гирь, изъ которыхъ одна вѣситъ 1 фунтъ, другая — 3, третья — 9, четвертая—27. Рядъ чиселъ 1, 3, 9 и 27 составляетъ часть геометрической прогрессіи, знаменатель которой равняется 3-мъ, т.-е. каждое послѣдующее число больше предыдущаго въ 3 раза. Какъ извѣстно, съ помощью этихъ четырехъ гирь можно, накладывая извѣстныя гири на одну чашку вѣсовъ, а товаръ и другія гири—на другую, взвѣсить любое цѣлое число фунтовъ товара, начиная отъ одного фунта и кончая сорока. Эту послѣднюю задачу можно разрѣшить (лучше нарисовать схему вѣсовъ) такъ:

Подъ правый треугольникъ можемъ записать вѣсъ гири въ 1 фунтъ; подъ правый записать 3, а подъ лѣвый 1; засимъ подъ правый 3 + 1; далѣе подъ правый 9, а подъ лѣвый 3 + 1, и т. д.

Должны получиться слѣдующія группы чиселъ: на правой чашкѣ вѣсовъ то, что записано въ верхнюю строчку, а на лѣвой — товаръ и то, что записано въ нижнюю строчку (см. ниже).—Начиная съ 14-ти, комбинаціи, за исключеніемъ весьма немногихъ, иногда довольно затруднительны, но онѣ вполнѣ подъ-силу ученикамъ, овладѣвшимъ матеріаломъ ступеней, посвященныхъ сложенію и вычитанію. Если задача эта не предложена тамъ же, то только изъ-за неувѣренности въ томъ, достаточно ли развито у учащихся воображеніе. Нулей учащіеся писать не должны.

Сумма членовъ ариѳметической прогрессіи.

§ 12. Что касается ариѳметическихъ прогрессій, то дѣло можно повести такъ: Запишите одно число подъ другимъ, начиная съ 1-цы и кончая 12-ю!— Сложите всѣ эти числа! — Сколько получилось? (78). — Какъ вы складывали? — Можно и по-иному! — Сложите первое число съ послѣднимъ (1 да 12 будетъ 13), второе съ предпослѣднимъ (2 да 1 будетъ 13), третье—съ третьимъ отъ конца (3 да 10 будетъ 13) и т. д.—Отмѣтьте точками слѣва, какія числа вы уже сложили! —

Рис. 84.

Сколько разъ по 13-ти вы получили? (6 разъ).—Сколько будетъ 6 разъ по 13-ти? (Шесть разъ по 10-ти — шестьдесятъ, 6 разъ по три—18, шестьдесятъ да восемнадцать—78)...—Напишите рядъ чиселъ: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.—Какія это числа: четныя или нечетныя?—Сколько ихъ записано? (10 нечетныхъ чиселъ, начиная съ 1-цы и кончая 19-ю.) — Сложите ихъ!—Какъ вы складывали?—Можно ли по-иному?— Нельзя ли—такъ же, какъ мы складывали числа 1, 2, 3, 4 и т. д.?—Попробуйте: 1 да 19—двадцать; 3 да 17—двадцать; и т. д.—Сколько разъ по двадцати вы получите? (Пять разъ по двадцати). — Сколько получите всего? — Посмотрите хорошенько:

Всмотритесь хорошенько:

1 да 3, да 5, да 7 — сколько чиселъ вы складываете? (4 числа!)—А сколько получите отъ сложенія? (4×4).—Всмотритесь: 1 да 3, да 5, да 7, да 9, да 11,— сколько чиселъ вы теперь складываете? (6 чиселъ).—А сколько получили отъ сложенія? (6×6).—Сколько вы получите, если сложите:

1 + 35 + 7 + 9 + 13 + 15?

Не складывайте, а узнайте умноженіемъ, а потомъ провѣрьте!

Нарисуйте квадратъ, къ нему прибавьте три квадрата такъ: одинъ справа, другой снизу и одинъ въ «пустое» мѣсто, справа снизу:

Опять получите квадратъ!—Теперь къ этому квадрату прибавьте пять квадратовъ такъ: справа два, снизу два, и добавить одинъ въ пустое мѣсто:

Опять квадратъ! И т. д.

Важно привлечь геометрическія иллюстраціи нѣкоторыхъ задачъ въ духѣ, рекомендуемомъ у Лезана въ его интересной книжечкѣ, посвященной начальной математикѣ для дѣтей. («Начатки математики», перев. Егунова).

Рис. 85.

Рис. 86.

Геометрическій матеріалъ.

§ 13. Спеціально геометрическій матеріалъ предыдущихъ ступеней можетъ относиться къ представленіямъ о единицахъ мѣры, о мѣрахъ площадей, и о рѣшеніи нѣкоторыхъ задачъ на поверхности земли, носящихъ характеръ примитивнаго землемѣрія. Аршинъ съ подраздѣленіями на вершки и дюймы, сажень съ подраздѣленіями (между прочимъ, и на «сотки»), футъ съ раздѣленіемъ на дюймы и метръ въ центиметрахъ и въ вершкахъ (22^ вершка или полтора аршина безъ полутора вершка) должны быть въ полномъ распоряженіи учащихся. Для этого требуются только цѣлесообразныя задачи и упражненія. Наглядно соотношенія мѣръ длины даны на рамахъ: «Таблицы для классныхъ упражненій въ изустныхъ вычисленіяхъ» и «Наглядной таблицы соотношеній нѣк. мѣръ протяженія» Шохоръ-Троцкаго. — Полезно усвоить, что діаметръ (поперечникъ) серебрянаго пятиалтыннаго—2 цм., а двугривеннаго—полъ-вершка.

§ 14. Понятіе площади принадлежитъ къ числу тѣхъ, которыя требуютъ вниманія и упражненій. Сказать, что площадью называется величина фигуры, значитъ ничего не сказать. Надо, для начала, установить слѣдующее: когда говорятъ, что площади двухъ различныхъ фигуръ равны, то это значитъ, что одну изъ нихъ можно разрѣзать на такія части, что изъ нихъ можно составить другую изъ фигуръ. При этомъ не вполнѣ хорошо, что говорятъ о квадратномъ аршинѣ, будто такъ называется квадратъ и т. д. Дѣло въ томъ, что не самый квадратъ, а площадь его, при извѣстныхъ условіяхъ, называется квадратнымъ аршиномъ. Но на первыхъ ступеняхъ эта неточность допустима.—Упражненія можно повести въ такомъ духѣ:

Изготовлю два равныхъ (одинаковыхъ) куска бумаги, имѣющіе видъ (форму) квадрата... — Разрѣжу одинъ (на три куска) ножницами и изъ нихъ составлю новую фигуру...—Такъ сложу эти три куска, чтобы не было пробѣловъ (промежутковъ между ними) и чтобы ни одинъ кусокъ не покрылъ какой-либо части другого куска...—Что я сдѣлалъ?..— О цѣломъ квадратѣ и объ этой фигурѣ говорятъ такъ: форма, т.-е. видъ, у нихъ различный, но площади ихъ равны между со-

Рис. 87.

бою... — Еще разъ! — Изготовьте изъ кусковъ бумаги, которые я вамъ раздамъ, квадраты! (Надо раздать прямоугольные листки).— Изготовьте изъ кусковъ бумаги безъ прямыхъ краевъ квадраты, длина которыхъ (и ширина)— одинъ вершокъ (надо раздать куски бумаги съ непрямыми краями).—Одинаковы ли площади всѣхъ вашихъ квадратовъ?..—Возьмите четвертушку бумаги и раздѣлите ее складываніемъ на «квадратные вершки»...—Сколько квадратныхъ вершковъ умѣстится, если ихъ класть одинъ вплотную къ другому, въ цѣломъ листѣ бумаги...—Сколько—на столѣ?..—Въ «квадратномъ аршинѣ»? (на классной доскѣ начертить «кв. аршинъ»)... — Длина этого кусочка бумаги (его учитель долженъ изготовить по чертежу)—6 центиметровъ, а ширина 4 ц.; сколько въ немъ «кв. цм.»? И т. п.

На этой ступени квадратнымъ вершкомъ еще можно называть самый квадратъ, сторона котораго равна вершку, и т. п. Впослѣдствіи потребуется внести поправку: квадратнымъ вершкомъ надо называть не самый квадратъ, сторона котораго равна вершку, а только площадь этого квадрата.—Допущенная выше неточность на этой ступени, конечно, вполнѣ дозволительна. Она встрѣчается даже въ учебникахъ.—Совершенно аналогичное справедливо относительно понятія объ объемѣ и о кубическихъ мѣрахъ. Но это отнесено къ другой ступени курса.

Рис. 88.

Мѣры времени.

§ 15. На этой же ступени, а то и ранѣе (это зависитъ отъ развитія учениковъ), можно ознакомить съ нѣкоторыми мѣрами времени, напр., такимъ образомъ:

Въ одномъ часѣ 60 минутъ...—Знаете ли вы, дѣти, какъ долго тянется (продолжается) одна минута? — Давайте помолчимъ одну минуту!—Я выну часы и укажу вамъ, когда начнется минута! (Это надо сдѣлать на самомъ дѣлѣ)... — Видите, какъ это долго! — Въ часѣ 60 минутъ, а въ суткахъ ровно 24 часа.—Сутками считается время отъ полудня до полудня слѣдующаго дня или отъ полуночи до полуночи слѣдующаго дня... — Кто знаетъ, который теперь часъ? (10-ый).—Да, идетъ десятый часъ отъ полуночи... — Что вы дѣлали въ полночь? (Спали). — Когда паши часы пробьютъ (или покажутъ) десять часовъ, мы сдѣлаемъ перерывъ, прекратимъ урокъ...— Будетъ 10 часовъ утра... — Отъ десяти часовъ утра до десяти завтрашняго утра сколько пройдетъ времени? (24 часа, сутки)...—Когда

пробьетъ 10 часовъ, начнется 11-ый часъ... — А когда пробьетъ 11 часовъ, начнется который чась? (12-ый)... — А когда пробьетъ 12 часовъ, начнется который часъ? (Не 13-ый, а первый)...

Не только дѣти, но и взрослые, не знаютъ хорошенько, какъ велика продолжительность одной минуты. Она гораздо больше, чѣмъ это кажется. Когда мы говоримъ или что-нибудь дѣлаемъ, то мы не замѣчаемъ времени. Когда мы ждемъ, ничего не дѣлая, по возможности неподвижно, то только тогда становится яснымъ, что продолжительность минуты довольно велика.—Надо имѣть въ своемъ распоряженіи модель часового циферблата, чтобы научить дѣтей «смотрѣть», который часъ. Надо самому выполнять на доскѣ при учащихся рисунки, изображающіе циферблатъ часовъ и на немъ стрѣлки (одну поменьше, другую—побольше), и т. п. Раньше всего надо достигнуть того, чтобы учащіеся уяснили себѣ значеніе показаній одной часовой стрѣлки: часъ, два часа, три часа и т. д. Затѣмъ надо перейти (при помощи опять-таки одной часовой стрѣлки) къ порядковымъ числительнымъ: «первый», «второй» и т. д. въ примѣненіи къ счету времени по часамъ. Послѣ этого можно перейти къ часамъ (см. чертежи на слѣдующей страницѣ) съ одной минутной стрѣлкой и къ смыслу ея собственныхъ показаній. Завершить эти подготовительныя упражненія можно упражненіями на часовомъ циферблатѣ съ двумя стрѣлками. Учащіеся могутъ рисовать циферблаты съ одной часовой, съ одной минутной и съ двумя стрѣлками въ доступныхъ дѣтямъ предѣлахъ разумѣнія. Вся трудность заключается въ томъ, что одна стрѣлка указываетъ, который часъ или число цѣлыхъ часовъ и часть часа, протекшихъ отъ полудня (или отъ полуночи) до даннаго момента, а другая ведетъ счетъ минутамъ текущаго часа. Исключеніе составляетъ совпаденіе минутной стрѣлки съ точкой полудня. Кромѣ модели циферблата и классныхъ часовъ, можно использовать чертежи въ родѣ помѣщенныхъ на слѣдующей страницѣ, исполняемые учителемъ на доскѣ и учащимися въ тетрадяхъ. Полезно, если учащіеся резинкой стираютъ стрѣлки, а потомъ помѣщаютъ новыя стрѣлки подъ диктовку учителя.

Полдень и гномонъ.

§ 16. О полуднѣ можно дать понятіе съ помощью т. наз. «гномона». Упражненія можно повести такъ:

Когда будетъ солнечный день, мы поставимъ (во дворѣ или въ комнатѣ) прямо («вертикально»), по «отвѣсу», шестъ (вколотимъ его въ землю); или палку поставимъ въ пустую бутылку отъ чер-

Рис. 89.

Рис. 90.

Рис. 91.

нилъ... —Мы будемъ отмѣчать конецъ тѣни!—Замѣтилъ ли кто-нибудь изъ васъ, какая тѣнь у человѣка бываетъ въ полѣ вечеромъ: длинная или короткая?..—А днемъ опа короче!—Когда она— самая короткая, тогда полдень...—Вѣрные часы въ полдень показываютъ (а часы съ «боемъ»—бьютъ) 12...—Когда часы показываютъ полдень, обѣ стрѣлки часовъ показываютъ 12... — Какъ устроить «отвѣсъ»?—Не помнитъ ли кто, какъ мы узнавали ростъ Мити?— Взять бечовку или нитку, къ ней привязать грузъ (гирьку, картошку, кусокъ мѣла)... — Теперь поставимъ какой-нибудь шестъ или какую-нибудь палку отвѣсно... — Отмѣтимъ конецъ тѣни (вколотимъ колышекъ, помѣтимъ мѣломъ на полу)... — Черезъ часокъ-другой посмотримъ, гдѣ будетъ конецъ тѣни...

Подобныя работы лучше дѣлать не въ классѣ, а въ школьномъ дворѣ; но, въ крайнемъ случаѣ, можно и въ комнатѣ, даже въ классной.

Который часъ и сколько минутъ какого часа?

§ 17. Когда учащіеся поняли, смыслъ словъ «теперь 11 часовъ, 5 часовъ» и т. п., можно пойти дальше и выяснить, что это значитъ «четверть третьяго», 20 мин. второго и т. п., примѣрно, такъ: Теперь наши часы показываютъ полдень... — Когда пройдетъ часъ, минутная (большая) стрѣлка будетъ показывать 12, а часовая— часъ... — Когда пройдетъ еще одинъ часъ (будетъ уже два часа дня), минутная будетъ показывать 12, а часовая — 2... — Упражненія!—Которая стрѣлка бѣжитъ скорѣе?—Когда минутная пробѣгаетъ весь кругъ, часовая пробѣгаетъ какую часть круга?—Сосчитайте!..— Часовая бѣжитъ въ 12 разъ скорѣе!..—Теперь поставимъ стрѣлки такъ, чтобы онѣ показывали полдень... — Какъ это сдѣлать? — По прошествіи трехъ минутъ минутная стрѣлка (болѣе длинная) отодвинется на три «дѣленія» отъ «точки», стоящей па 12-ти...—А часовая чуть-чуть двинется вправо,—мы этого не замѣтимъ...—Покажите «дѣленія», на которыя раздѣлена вся окружность круга!.. Когда пройдетъ одинъ часъ отъ полудня, минутная стрѣлка будетъ показывать 12, а часовая—1 часъ: минутная обошла весь кругъ, а часовая только долю его...—Какую долю? — Такихъ долей въ кругѣ 12...—И т. д.—Многочисленныя упражненія! — Что это значитъ 5 минутъ 11-го?—10 минутъ 11-го? — 20 минутъ одиннадцатаго?—Многочисленныя упражненія! — Вмѣсто словъ 15 минутъ 11-го говорятъ: «четверть одиннадцатаго»...

Термины: „горизонтальный“, „вертикальный“, „отвѣсный“ (перпендикулярный).

§ 18. Термины, перечисленные ниже, въ боковомъ заглавіи, можно выяснить, примѣрно, такъ: Привяжемъ грузъ къ ниткѣ... — Возьмемъ свободный конецъ въ руку, и грузъ натянетъ нитку: припомните, какъ мы измѣряли ростъ!—Нитка приняла отвѣсное направленіе... — Возьмемъ глубокую миску съ водой... Поверхность воды будетъ горизонтальна...—Опустимъ грузъ нашего отвѣса въ воду...—Нитка отвѣса будетъ отвѣсна къ поверхности воды въ чашкѣ... — Положимъ на воду де-

ревянную палочку (спичку безъ головки), поближе къ ниткѣ отвѣса...— Какіе углы образуетъ нитка съ палочкой? (Прямые)...— Положимъ ту же палочку иначе, но все-таки такъ, чтобы она касалась нитки...—Какіе теперь углы образовала нитка съ палочкой? (Опять прямые)... — О прямой линіи, которая съ другою прямою образуетъ прямой уголъ, говорятъ, что она перпендикулярна ко второй, проще—что она отвѣсна ко второй... — Повторите: сторона прямого угла пер-пен-ди-ку-ляр-на къ другой его сторонѣ...— Проще: сторона прямого угла отвѣсна къ другой сторонѣ...— Стороны прямого угла отвѣсны (пер-пен-ди-ку-ляр-ны) другъ къ другу, взаимно пер-пен-ди-ку-ляр-ны..., взаимно отвѣсны одна къ другой... — Возьму въ руки прямой уголъ, сдѣланный изъ бумаги или изъ складного аршина... — Какъ бы я его ни держалъ въ рукахъ, онъ будетъ прямымъ угломъ, и стороны его отвѣсны одна къ другой... — Начертите пару прямыхъ угловъ, въ которыхъ одна сторона принадлежитъ обоимъ угламъ... въ которыхъ одна сторона — общая...

Слово «перпендикуляръ» для учащихся представляетъ трудности: его прямо трудно произнести. Въ случаѣ надобности, его можно замѣнять словами «отвѣсъ», «отвѣсный».

Прямыя на поверхности земли.

§ 19. Провѣшиваніе прямыхъ на поверхности земли, измѣреніе ихъ, проведеніе взаимно-перпендикулярныхъ линій и нѣкоторыя другія простѣйшія землемѣрныя работы можно повести примѣрно такъ

Какъ мы проводимъ прямыя линіи? (Съ помощью линейки).— Плотники проводятъ прямыя съ помощью бечевки, натертой мѣломъ...—Какъ это сдѣлать?—Надо бечовку, натертую мѣломъ, натянуть и закрѣпить въ концахъ къ доскѣ, а потомъ поднять середину натянутой бечевки и отпустить: она отпечатаетъ прямую линію...— Огородники вколачиваютъ въ землю два колышка и между ними натягиваютъ бечовку или веревку...—А какъ провести длинную прямую на землѣ?—Для этого берутъ длинные круглые колья длиною не менѣе сажени—вѣхи—и вколачиваютъ одну вѣху въ началѣ, и одну—въ концѣ прямой, которую надо провести; потомъ между ними вколачиваютъ третью вѣху такъ, чтобы, ставши передъ первой вѣхой увидѣть, что она закрыла послѣднюю и третью между ними...—Это надо дѣлать вдвоемъ: одинъ смотритъ, а другой ставитъ третью вѣху такъ, какъ надо, т.-е. такъ, чтобы первая вѣха «покрывала», когда на нее смотрятъ прямо, остальныя двѣ...—Вѣхъ можно поставить сколько угодно, смотря по надобности...—А ну-ка, пусть двое станутъ въ классѣ, лицомъ ко мнѣ, такъ, чтобы одинъ заслонялъ другого, когда я буду смотрѣть на перваго изъ нихъ!..— Еще одинъ пусть станетъ въ одинъ рядъ съ остальными тремя!..—И вѣхи надо ставить такъ же!..

Чтобы учащіеся поняли «провѣшиваніе», какъ слѣдуетъ, надо это упражненіе продѣлать на школьномъ дворѣ, на улицѣ.

Если это почему-либо невозможно, то надо продѣлать подобное упражненіе на столѣ съ помощью булавокъ. Учащіеся должны это продѣлать на своихъ столахъ съ помощью булавокъ. Безъ упражненій эти разговоры не имѣютъ цѣны.

Измѣреніе длины прямой на поверхности земли.

Какъ измѣрить разстояніе отъ одного мѣста до другого?..—Можно шагами...—Но пойдетъ ли человѣкъ прямо, т.-е. по прямой линіи, если разстояніе большое? (Нѣтъ, можетъ случиться, что уклонится иногда вправо, иногда влѣво)...—Да и шаги могутъ быть разные...— Надо прежде всего «провѣсить» разстояніе...—А затѣмъ измѣрить разстояніе «мѣрной тесьмой» (рулеткой)...—Есть и такія цѣпи длиною въ 10 саженъ (землемѣрныя цѣпи); съ ихъ помощью землемѣры часто мѣряютъ разстоянія...

Упражненія этого рода для учащихся чрезвычайно полезны и занимательны. Поэтому ихъ слѣдуетъ продѣлать на воздухѣ, въ школьномъ дворѣ, на улицѣ, на дорогѣ.

Пѳрепендикулярныя прямыя на поверхности земли.

А какъ провести на поверхности земли прямую отвѣсно (пер-пен-ди-ку-ляр-но) къ другой прямой?..— Для этого есть нѣсколько способовъ...— Одинъ изъ нихъ такой: возьмемъ довольно большой конецъ бечевки и свяжемъ его концы крѣпкимъ узломъ.—Отрѣжемъ аккуратно «хвосты»!—Сложимъ бечевку сначала пополамъ и отмѣтимъ чернилами точку, которая отстоитъ отъ узла, по бечевкѣ, на одинаковомъ разстояніи... — Постараемся аккуратненько раздѣлить каждую половину на 6 равныхъ частей и каждую точку дѣленія отмѣтимъ чернилами...—Бечевка будетъ раздѣлена на 12 равныхъ частей (на 12 дѣленій). — Узелъ прикрѣпимъ къ классной доскѣ кнопкой...—Отсчитаемъ 3 дѣленія и конецъ третьяго дѣленія тоже прикрѣпимъ кнопкой къ доскѣ...—Отсчитаемъ отъ узла по свободной части бечевки 4 дѣленія и натянемъ бечевку такъ, чтобы одна сторона «треугольника» занимала 3 дѣленія, другая—4, а третья — остальныя 5...—Тогда уголъ при узлѣ бечевки будетъ прямой уголъ... — Подобнымъ образомъ можно поступить и для полученія прямого угла на поверхности земли...—Упражненія!

Проведеніе перпендикуляра па землѣ учащимся надобно тоже выполнять въ школьномъ дворѣ, на улицѣ, на лугу.

Параллельныя прямыя.

§ 20. Упражненія въ проведеніи параллельныхъ линій на чертежѣ и земной поверхности можно повести такъ (ссылаясь на способъ проведенія параллельныхъ прямыхъ при раздѣленіи прямой на нѣсколько равныхъ частей, рис. 37 и 38, стр. 169 этой книги):

Какъ мы дѣлили прямую на нѣсколько равныхъ частей? — Кто помнитъ? — Проведемъ прямую и отъ концовъ ея проведемъ двѣ прямыя въ прямо противоположныхъ направленіяхъ... — Продол-

жимъ эти послѣднія двѣ прямыя въ прямо противоположныхъ направленіяхъ... — Образуется ли треугольникъ?

(Нѣтъ)... — Къ одной и той же прямой проведемъ изъ двухъ точекъ отвѣсныя къ ней прямыя. — «Встрѣтятся» ли онѣ? — (Нѣтъ). — Такія двѣ прямыя называются «па-рал-лель-ными», — по -русски равнобѣжными прямыми...—Они «идутъ» («бѣгутъ») такъ, что разстояніе между ними остается одно и то же...—Края всякой «вѣрной» полосы па-рал-лель-ны, равнобѣжны... — Покажите въ комнатѣ равнобѣжныя прямыя! (Края доски, стола, досокъ пола, листа бумаги, линейки).—Какъ провести на землѣ двѣ прямыя, изъ которыхъ одна па-рал-лель-на другой? (Надо провѣсить одну прямую и къ ней провести два отвѣса)... — Упражненія! — Начертить въ тетради взаимно параллельныя прямыя съ помощью чертежнаго наугольника или съ помощью бумажнаго угла.

Слово «равнобѣжный» взято изъ «Толковаго словаря живого великорусскаго языка» Даля. Слово «параллельный» сначала учащимся прямо трудно произнести. На первыхъ порахъ такія слова, какъ «перпендикуляръ», «параллельный» и т. п., долженъ произносить только учитель. Привыкнувъ къ этимъ словамъ, и учащіеся начнутъ ихъ произносить.—И. Н. Кавунъ сообщилъ автору этой книги, что въ Малороссіи слово «рівнобіжный» употребляется для обозначенія параллельности.

Нумерація трехзначныхъ чиселъ и тысячъ.

§ 21. Двадцать седьмая ступень посвящена нумераціи многозначныхъ чиселъ. Центръ тяжести изустной ариѳметики лежитъ, конечно, въ области первой сотни, но безъ нумераціи трехзначныхъ и многозначныхъ чиселъ, меньшихъ милліона, дѣйствія надъ числами первой сотни крайне ограничиваютъ ариѳметическій кругозоръ учащихся. Кто владѣетъ четырьмя дѣйствіями надъ двузначными числами, для того возможно производить четыре дѣйствія надъ круглыми десятками во многихъ случаяхъ и даже четыре дѣйствія надъ нѣкоторыми другими круглыми числами въ тѣхъ случаяхъ, когда сумма, уменьшаемое, произведеніе и дѣлимое выражаются въ круглыхъ числахъ. Будучи въ состояніи примѣнить эти знанія ко многимъ частнымъ случаямъ, учащійся не бу-

Рис. 92.

детъ безпомощенъ въ дальнѣйшемъ своемъ ариѳметическомъ развитіи. Это приблизитъ его къ требованіямъ жизни.

Относительно нумераціи надо помнить, что наитруднѣйшіе пункты этого ученія заключаются въ слѣдующемъ: а) въ классѣ тысячъ обозначенія идутъ по тому же правилу, что въ классѣ единицъ, и б) если въ числѣ есть тысячи, то въ классѣ единицъ во всякомъ случаѣ три цифры. Въ этомъ послѣднемъ пунктѣ «нумерація въ лицахъ» сильнѣе всякихъ правилъ. Начинать надо уже съ извѣстнаго, т.-е. вернуться къ счету и къ нумераціи чиселъ всей первой сотни и слѣдующихъ сотенъ. Надо удостовѣриться, умѣютъ ли учащіеся считать при переходѣ изъ одной сотни въ другую, т.-е. не склонны ли они послѣ двухсотъ девяноста девяти считать: двѣсти девяносто десять, двѣсти девяносто одиннадцать и т. п. На этой ступени нѣтъ особенной надобности считать отдѣльные предметы. Это было бы и неудобно, потому что предметовъ понадобилось бы очень много. Вмѣсто предметовъ можно присчитывать дѣйствія, напр., взмахи рукою, удары карандашомъ по столу и т. п. Въ крайнемъ случаѣ можно считать буквы книги, точки на доскѣ, черточки и т. п. Точки можно расположить такъ:. Ихъ здѣсь сотня.— На этой ступени учащіеся въ состояніи представить себѣ еще сто точекъ и, не поставивъ ихъ, продолжать счетъ на тѣхъ же точкахъ: сто одинъ, сто два, сто три и такъ дальше, показывая палочкой, сдѣланной изъ бумаги, присчитываемую точку.

На этихъ же точкахъ они уяснятъ себѣ значеніе счета сотнями. Дальнѣйшее можно повести такъ:

Какъ мальчики обозначали 62, 63 и 100 пальцами! (см. стр. 184, рис. 61, 62, 63, и стр. 250, рис. 81,82 и 83). Идите къ доскѣ двое!—Покажите 67, 80, 99, 10!—Покажите втроемъ сто!—Покажите сто одинъ!—Двѣсти сорокъ пять!—Сколько сотенъ?—Сколько

Рис. 93.

отдѣльныхъ десятковъ!—Сколько отдѣльныхъ единицъ? И т. п.— Какъ вы обозначите девятьсотъ девяносто восемь? девятьсотъ девяносто девять? — Прибавь, „единичникъ“, еще одинъ палецъ! — Неладно выходитъ: всѣ десять пальцевъ пошли въ дѣло! — Сложи, единичникъ, руки „на нуль“!—„Десятникъ“, а ты прибавь къ своимъ десяткамъ одинъ десятокъ! — Опять неладно: десять десятковъ— сотня. — Сложи и десятникъ руки „на нуль“! — „Сотникъ“, а ты прибавь сотню къ своимъ со