А.В. ШЕВКИН

ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В 5—6 КЛАССАХ

Книга учителя

РУССКОЕ СЛОВО

А.В. ШЕВКИН

ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В 5—6 КЛАССАХ

Книга учителя

Допущено Департаментом общего среднего образования Министерства образования Российской Федерации

3-ое издание, исправленное

Москва «Русское слово» 2002

ББК22.1я.721 Ш37

Рецензенты:

Н.П. Адамская, учитель школы № 510 г. Москвы,

Б.П. Пигарев, учитель школы № 420 г. Москвы,

Т.В. Федоренко, учитель гимназии № 1519 г. Москвы.

Художественное оформление Т.Н. Войткевич

Шевкин А.В.

Ш 37 Обучение решению текстовых задач в 5—6 классах: Книга для учителя.- 3-е изд., дораб. —М.: ООО «ТИД «Русское слово-РС», 2002.-208 с: ил.

ISBN 5-У4853-030-2

Эта книга содержит 6 параграфов, каждый из которых начинается вступительной статьей, содержащей рекомендации по методике обучения решению задач, и завершается системой задач для учащихся.

К большинству задач приведены решения и рекомендации по их использованию в учебном процессе. Книгу можно использовать при работе по любым учебникам.

ББК 22.1я.721

ISBN 5-5-94853-030-2 © ООО «ТИД «Русское слово-РС», 2002

Все права защищены.

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы самые сильные отрицательные эмоции у учащихся на уроке математики вызывает задание: решите задачу. Примерно половина из них на контрольной работе или на экзамене даже не приступает к решению так называемых текстовых задач. Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и как это делать? — вот вопросы, которых мы коснемся в нашей книге.

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи занимали особое место, и это почти исключительно российский феномен. В других странах никогда не были так озабочены обучением детей решению задач. Почему так происходило?

Одна из причин заключается в том, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания с их решениями. Обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.). Так было и в России. Обучение велось по образцам, ученики подражали учителю, не всегда понимая сути выполняемых ими вычислений.

Со временем работа с задачами совершенствовалась, она была выстроена в систему, оказывающую определенное воздействие на развитие мышления и речи учащихся, развивающую их смекалку и сообразительность, показывающую связь изучаемого с практикой.

Работа над развитием речи учащихся в процессе обучения решению задач оказалась полезной, учитывая богатство и сложность нашего великого и могучего языка. Она развивала язык общения и обучения, готовила учащихся к изучению математики и смежных дисциплин. В этом, по-видимому, кроется одна из причин большого внимания к решению задач в традиционной отечественной методике.

В нашей книге обучение решению текстовых задач рассматривается в исторической перспективе, используется опыт мастеров отечественной методики прошлого, изучаются аргументы сторонников изменения отношения к текстовым задачам во время реформы математического образования в конце 60-х годов, предлагаются варианты использования прежнего опыта в современных условиях.

Книга содержит 6 параграфов: «Натуральные числа», «Дроби», «Пропорции», «Проценты», «Уравнения» и «Задачи на повторение». Они охватывают все вопросы, связанные с решением текстовых задач в 5—6 классах. Первые параграфы посвящены методике обучения решению задач указанной тематики, последний — общим рекомендациям по обучению школьников поиску решения задач.

Суть наших предложений подробно излагается в начале каждого параграфа. Выделим некоторые из них.

Мы предлагаем отказаться от использования уравнений на ранней стадии обучения и вернуться к более широкому применению арифметических способов решения задач, внося коррективы в традиционную методику обучения и стараясь избежать характерных недостатков ее применения.

Мы предлагаем значительно шире, чем это делалось до сих пор, использовать «исторические» задачи и «старинные» способы их решения в работе со всеми учащимися. Это позволит разнообразить приемы решения задач, расширить пред-

ставления школьников о способах их решения в далекие и не очень далекие времена, будет способствовать развитию школьников, формированию у них интереса к решению задач и к самой математике.

Наконец, мы предлагаем отказаться от хаотичного предложения учащимся задач на разные темы, так как не считаем полезным для обучения каждый раз ставить в тупик наименее подготовленных из них. Вместо этого в каждом разделе мы предлагаем непочки задач от самых простых, доступных всем учащимся, до сложных и очень сложных. Эти последние не всегда могут быть решены самими учащимися, они рассчитаны на разбор решения под руководством учителя.

В учебниках «Арифметика 5»1 и «Арифметика 6»2 предложенные нами идеи реализованы достаточно полно. Данную книгу можно рассматривать как методическое пособие по работе с задачами из этих учебников, а также из учебников «Математика 5» и «Математика 6» под ред. Г В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина. Книга поможет молодым учителям освоить методику работы с задачами по указанным учебникам.

Работая по другим учебникам, учитель может использовать предлагаемые материалы выборочно. При этом желательно как можно точнее следовать порядку развития задачного материала в книге, внося необходимые коррективы в использование задач из учебника.

Первый вариант этой книги со сборником задач из нее был издан фирмой «Галс» в 1995 г., а в 1997 г. издательство «Просвещение» выпустило сборник «Текстовые задачи» для учащихся старших классов, в котором были развиты на новом содержании идеи данной книги. Большая часть задач из этого сборника вошла в учебники алгебры для 7-9 классов и алгебры и математического анализа для 10—11 классов серии «МГУ - школе», которые выпускает издательство «Просвещение».

Данная книга вместе со сборником задач составляют учебно-методический комплект. Учителю достаточно иметь одно методическое пособие, а для более основательного и эффективного использования материалов пособия надо приобрести на класс комплект сборников задач.

Этот учебно-методический комплект могут использовать и заботливые родители, желающие сделать трудное дело обучения своих детей познавательным и интересным.

Во всех разделах данной книги задачи одинакового уровня сложности в одном номере стоят под буквами: а), б), в)... — из них учащимся достаточно решить одну, а дубли учитель может использовать для работы с отстающими учениками и организации повторения. Задачи, расположенные по нарастанию трудности или не являющиеся дублями, помечены цифрами: 1), 2), 3)... — их желательно решать без пропусков. Задачи, отмеченные знаком (*), не являются обязательными для всех учащихся, но желательно, чтобы в работе с ними соблюдался олимпийский принцип «главное не победа, а участие». Задачи, отмеченные знаком (°), предназначены для устного решения.

1 Арифметика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учрежд. / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 1999, 2000.

2 Арифметика: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учрежд. / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2000.

§ 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Текстовые задачи являются традиционным средством обучения математике. Они дают большой простор в тренировке мышления учащихся и в выполнении ими арифметических действий, связанных с различными практическими или специально придуманными ситуациями.

Первоначально обучение математике велось через обучение решению практических задач. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило». При этом учащие мало заботились о сознательном усвоении учениками того или иного способа действия. По мнению старинных авторов, понимать-то едва ли нужно было. «Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», — утешал бывало наставник своего питомца и вместо понимания рекомендовал не заноситься, а выучить наизусть все, что задают, и потом стараться применить это к делу. [4, с. 163]

Иначе и быть не могло, т. к. первые российские учебники во многом подражали европейским, в которых обучение слабо опиралось на понимание. Подтверждением тому служит фрагмент из книги И. Бёшенштейна (1514 г.), в котором дается определение тройного правила, формулируется само правило, приводится задача и рецепт ее решения по правилу.

«Тройным правилом называется régula magistrate, или régula aurea (т. е. магистерское правило, или золотое правило), с помощью которого совершаются все торговые расчеты всех ремесленников и купцов; оно называется в гражданском обиходе de try или de tree, ибо содержит в себе три величины, при помощи которых можно вычислить все.

...Заметь еще числа, стоящие сзади и спереди. Надо стоящее сзади число помножить на среднее и разделить на переднее».

Далее то же правило дано в зарифмованном виде и приведен пример на его применение: Я купил 100 фунтов шерсти за 7 гульденов. Что стоят 29 фунтов?

фунты гульдены фунты

100 7 29

Помножь 29 на 7, затем раздели на 100, что получится, и будет стоимостью 29 фунтов. [8, с. 11]1

Аналогично обучали решению задач по одному из первых и самому известному в России учебнику «Арифметика» Л.Ф. Магницкого (1703 г.). Следы обучения по правилам находим и в «Арифметике» А.П. Киселева. Однако у него правила давались как обобщения подробно разобранных и обоснованных способов решения.

К середине XX века сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики традиционной методики обучения решению задач в то время обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, попросту натаскивали учащихся на решении типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам. Они учили школьников выделять задачи данного типа из массы других и разучивали способы их решения.

Вот как описывал И.В. Арнольд практику обучения решению задач, сложившуюся в нашей стране к середине 40-х годов: «Учеников — в том или ином порядке — знакомят с соответствующими «типами» задач, причем обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приемов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае. Количество задач, которые ученики решают действительно са-

1 Пример и комментарий к нему упрощены в соответствии с замечаниями Г. Вилейтнера об обозначениях и соотношениях величин.

мостоятельно, с тем напряжением мысли, которое и должно являться источником полезности процесса решения задачи, ничтожно. В итоге — полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач...» [2, с. 14].

Соавторы Н.Я. Виленкина по первому варианту ныне действующих учебников К.И. Нешков и А.Д. Семушин, критикуя практику обучения решению задач до введения их учебника, совершенно справедливо задавались вопросом: «Разве возможно проявление хотя бы незначительных элементов сообразительности при решении задач по заученной схеме?» Ответ напрашивался сам собой: «Невозможно!» Но правда заключается в том, что правильная методика обучения никогда и не требовала решать задачи по заученной схеме, т. е. менять надо было не методику, а негодную практику ее применения.

Вместо того, чтобы попытаться понять, зачем нужны арифметические способы решения задач, найти разумное сочетание этих способов и использования уравнений, вместо того, чтобы сохранить лучшее из традиционной методики, авторы учебников искоренили саму методику. Это напоминало лечение головной боли отсечением головы. Почему так произошло? Трудно объяснить.

Спору нет, не все было гладко с обучением решению задач. Методика и школьная практика нуждались в совершенствовании. Это и предполагалось осуществить в ходе реформы школьного математического образования конца 60-х годов. Тогда считалось, что раннее введение уравнений позволит по-новому организовать обучение решению задач, что учащимся будут раскрыты преимущества алгебраического способа решения перед арифметическим, а в дальнейшем предполагалось предоставить право выбора способа решения задачи самим учащимся. Это написано в объяснительной записке к программе по математике для 4—5 классов на 1971/72 учебный год. Хотели как лучше, а получилось... как всегда.

На практике новые идеи не реализовывались уже потому, что способ решения задачи выбирали не ученики, а авторы

единственного тогда учебника. Традиционных арифметических способов решения задач больше не изучали. В самом начале 4 (теперь 5) класса учащихся ориентировали на решение задач с помощью уравнений. Такое отношение к арифметическим способам решения задач отражало мнение многих методистов и авторов учебников. Даже через двадцать лет после начала реформы Н.Я. Виленкин писал: «Следует отказаться от многих разделов, сохраняющихся в школьном курсе математики лишь по традиции. Здесь придется ломать сопротивление тех методистов, которые и по сей день восхваляют решение задач арифметическим способом...» [7].

А в те годы ведущие методисты пришли к мнению о нецелесообразности и даже вредности решения задач арифметическими способами. Свидетельство тому находим у Ю.М. Колягина: «Заметим, что старые традиции весьма живучи и способны к такой внешней трансформации, что иногда их трудно распознать. Отрицательная обучающая роль типовых арифметических задач признана всеми. Однако не уготована ли та же участь задачам на составление уравнения?» [11].

Волнения о задачах, решаемых с помощью уравнений, оказались преждевременными, но роль алгебраического способа решения задач в учебном процессе была явно преувеличена именно потому, что из школьной практики были удалены арифметические способы их решения.

Математиков-методистов почему-то волновало не влияние работы с задачами на развитие мышления и речи обучаемых, на развитие их смекалки и сообразительности (этот момент был поставлен под сомнение), а формирование в процессе работы с типовыми задачами «таких умений и навыков, которые в дальнейшем почти не находят практических приложений; отсутствие в школьном курсе математики задач, решение которых могло бы подготовить школьника к деятельности, характерной для современного производства: наладке, управлению, контролю, регулированию, рационализации и т. п....» [11]. Такое упрощенное понимание роли и места задач в школьной мате-

матике и вера в их влияние на воспитание учащихся преобладали долгие годы.

Думается, обучение решению задач никогда не было простым делом, даже тогда, когда обучались не все дети школьного возраста. А с превращением учительской профессии в массовую методисты того времени не нашли ничего лучше как механизировать трудоемкий процесс решения задач — дать один универсальный способ для решения разнообразных задач. Они сделали ставку на уравнение — и ошиблись. В этом беда современной школы.

Многие годы совершенствование обучения математике в школе проводилось под лозунгом приближения обучения к жизни. При этом больше внимания уделялось тем способам деятельности школьников, которые в большей степени применимы на практике и в дальнейшем обучении. Осуществление этой идеи применительно к курсу математики (арифметики) 5—6 классов привело к постепенному отказу сначала от обучения школьников решению некоторых типов задач, а потом и к полному отказу от традиционной методики обучения ввиду ее несовершенства и малой применимости на практике некоторых из приемов решения задач. Наибольшее распространение получил способ решения задач с помощью уравнения. Этим способом решают теперь многие из задач, которые в прошлом решали различными способами. Традиционные арифметические задачи, например, на совместную работу, вовсе исключены из рассмотрения в 5—6 классах на долгие годы.

Практика показала, что раннее введение этого перспективного (в смысле использования в дальнейшем обучении) способа решения задач без достаточной подготовки мышления учащихся малоэффективно. И это не удивительно! Исторически люди пришли к применению уравнений, обобщая решения задач, в которых приходилось оперировать с неизвестным числом, называемым словами «куча», «часть» и т. п.

Думается, ребенок должен пройти тот же путь — сначала рассуждать о «частях», опираясь на воображаемые действия с

конкретными предметами или величинами, и лишь потом подойти к применению уравнения. За этот путь говорят и особенности мышления учащихся 5—6 классов, тяготеющего к оперированию наглядными образами, а не абстрактными моделями.

На данном этапе обучения арифметические способы решения задач имеют преимущество перед алгебраическим уже потому, что результат каждого отдельного шага в решении по действиям имеет совершенно наглядное и конкретное истолкование, не выходящее за рамки опыта учащихся. Не случайно школьники быстрее и лучше усваивают различные (в том числе и сложные) приемы рассуждений, опирающиеся на воображаемые действия с известными величинами, чем единый для задач с различной арифметической ситуацией способ решения, основанный на применении уравнения. Кроме того, включение уравнений на самом раннем этапе обучения приводит к такой вот противоестественной формулировке заданий.

Решите с помощью уравнения задачу: В корзине было несколько грибов. После того, как в нее положили еще 27 грибов, их стало 75. Сколько грибов было в корзине? [15, с. 70]

Маша сказала: «Я своим трем подругам раздала 18 конфет, всем поровну. Угадайте, по скольку конфет я дала каждой». Как записать условие этой задачи с помощью буквы х и как найти число X? [23, с. 13]

Совершенно очевидно, что использование задач такого типа не способствует развитию представлений учащихся о применении четырех арифметических действий и уяснению взаимосвязи между ними. Более того, оно искусственно разделяет прямые и обратные арифметические операции: при решении текстовых задач практического характера учащиеся учатся применять сложение и умножение, действуя непосредственно с известными величинами или составляя уравнения, а обратные операции — при решении этих уравнений.

Что же мы имеем теперь? Указанные выше недостатки реализации традиционной методики обучения решению задач, связанные с разучиванием различных способов решения, не пре-

одолены и теперь. Разница только в том, что типовых задач стало меньше, а опыт мыслительной деятельности школьников — беднее. А дети, как и в прежние годы, все равно выделяют для себя типы задач.

Как рассказала нам коллега, в группе отстающих школьников ее попросили однажды: «Научите нас, пожалуйста, решать задачи «на пусть» — так дети назвали задачи, решение которых начинается фразой «Пусть х...». Теперь учителя разучивают со школьниками практически единственный способ решения задач (с помощью уравнения), но результаты обучения от этого не стали лучше. Стоит ли и дальше в обучении следовать принципу «экономии мышления»?

Сравнивая традиционное отечественное преподавание математики с американским, академик В.И. Арнольд1 писал: «Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики [конца 60-х годов. — А. Ш.] превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим». [1]

Как известно, мышление пятиклассников (тем более учащихся начальной школы) еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений, и получает мало пользы для своего развития от работы с уравнениями. Мышление ребенка конкретно и развивать его надо в деятельности с конкретными объектами и величинами или их образами, чем мы и занимаемся при арифметическом решении задач. А волноваться за формирование способов действий, не имеющих непосредственного приложения к рационализации производства и т. п. не следует.

Рассчитывать на изобретение методики обучения решению задач, пригодной для всех детей и во всех случаях — все равно

1 В.И. Арнольд — сын известного математика-методиста И.В. Арнольда.

что искать универсальное лекарство от всех болезней. Мы не тешим себя такими надеждами, однако, считаем, что возрождение элементов традиционной методики было бы полезным для обучения и развития всех школьников. При этом, правда, хотелось бы избежать характерных ошибок ее применения. Обучение школьников решению задач можно усовершенствовать, если рассматривать его не только как практически важную цель (научить ребенка определенным действиям в определенных ситуациях), но и как средство развития его мышления.

Если хорошо продуманная и специальным образом организованная работа учителя с задачами позволит ребенку переходить от простого к сложному, опираясь на наглядность, переходить от практических действий с предметами к воображаемым действиям с данными в условии задачи величинами; обогатит его опыт мыслительной деятельности разнообразными, пусть и искусственными, приемами рассуждений, то тем самым будет достигнута истинная цель обучения, заключающаяся не столько в освоении школьниками конкретных способов деятельности, сколько в развитии их мышления и практических умений в процессе освоения этих способов деятельности.

Практическая ценность обучения школьников решению текстовых задач разнообразными способами в современных условиях заключается совсем не в том, что это обучение раз и навсегда вооружит их приемами решения различных задач, возникающих на практике и в дальнейшем обучении (этого, быть может, было бы достаточно во времена Л.Ф. Магницкого), а в том, что оно обогатит их опыт мыслительной деятельности. Ведь отдельный прием решения задач может быть попросту забыт учащимися или вытеснен в дальнейшем обучении Другим, более общим приемом. Но развивающиеся в процессе обучения мышление и речь, сообразительность и память помогут им не только восстанавливать утраченное, если потребуется, но и находить решения новых встающих перед ними задач. Таким образом, в современных условиях цели обучения школьников решению текстовых задач должны включать обогащение опыта

мыслительной деятельности школьников различными приемами рассуждений, воспитание у них умения ориентироваться в различных по своей природе взаимоотношениях величин. Они не должны ограничиваться минимальными потребностями практики и дальнейшего обучения или потребностями чисто арифметического характера, о которых писал известный методист С.И. Шохор-Троцкий в начале XX века: «Арифметические задачи вообще должны, при разумном обучении, быть не целью, а только средством обучения арифметике. С их помощью должны быть вырабатываемы и развиваемы верные и ясные представления и понятия: о четырех действиях, об их смысле и цели, о наилучших способах их производства и т. п.» [26, 6]

Для того, чтобы развитие мышления и речи, сообразительности и памяти учащихся было не побочным результатом процесса обучения решению текстовых задач, а явилось закономерным, планируемым результатом обучения, необходима специальная организация самого процесса обучения. Во-первых, учитель должен ставить перед собою конкретную цель (чему учить детей на ближайших уроках) и не стремиться к одновременному достижению еще и других, пусть и очень важных, целей. Во-вторых, необходимо отобрать задачи, отвечающие поставленной цели и образующие «цепочку», по которой учащиеся могут продвигаться от простого к сложному. При этом учащиеся с разной начальной подготовкой должны получить возможность продвигаться по ней с разной скоростью. Заметим, что в современных учебниках система упражнений разрезана по учебным пунктам. Это затрудняет учителю обзор задач. Кроме того, в ней есть намеренные перебивки задачами «не из той оперы» — их назначение разрушать формирующиеся стереотипы решения, разнообразить способы деятельности школьников. Вот этого разнообразия в момент освоения нового приема решения как раз и нужно избегать. Когда же прием решения задач освоен, испытывать его на прочность можно любым способом.

Следует сказать еще об одном важном моменте — выборе фабулы задач. Дело в том, что никакой автор учебника не в силах предусмотреть всех трудностей, которые могут возникнуть в работе с каждым конкретным классом или учащимся. Зачастую возникают ситуации, когда учителю необходимо дополнить имеющуюся «цепочку» задач еще одной задачей. Так вот в момент первоначального усвоения приема решения какого-либо типа задач их фабула должна быть как можно проще — она не должна содержать отвлекающей информации, мешающей ученику сосредоточиться на взаимосвязи известных и неизвестных величин. Здесь нам хотелось бы предостеречь учителя, отбирающего или составляющего задачи для работы, от переоценки возможностей воспитательного воздействия на учащихся через фабулу задачи. В качестве примеров, которым не стоит следовать и на более поздних этапах обучения, приведем три задачи из нашей коллекции.

На китобойное судно подняли 6 взрослых китов, весом в среднем по 150 т каждый, и отпилили им головы. Какое расстояние заняли бы все 6 китовых туш без голов, если длина взрослого кита составляет 18 м, а длина головы — — всего кита? [23, с. 78]

Чтобы образовался 1 кг молока, через вымя коровы должно протечь 500 кг крови. Для получения от коровы за сутки 20 кг молока, сколько т крови протечет через ее вымя? Сколько раз за сутки пройдет кровь через вымя коровы, если у коровы 40 кг крови? [22, с. 146]

Один кубометр неочищенных сточных вод в среднем загрязняет 12,5 м? чистых. Вычислить, сколько кубометров неочищенных сточных вод достаточно для того, чтобы загрязнить водный бассейн, находящийся в вашем школьном саду? Проследить, в течение какого времени это произойдет. [24, с. 78]

Приведенные образцы, конечно же, представляют особый, вырожденный случай, но они отражают направление, в котором пытались много лет совершенствовать методику обучения решению задач. Это так называемое приближение школы к

жизни. Фабулы приведенных задач вряд ли отвечают хоть каким-то разумным целям обучения и воспитания.

Мы вовсе не хотим сказать, что при обучении решению задач не следует стремиться к достижению каких-либо воспитательных целой, не связанных с конкретными математическими или общеучебными умениями. Можно, и даже нужно! Но эта работа требует определенного вкуса и такта в обращении с фактами, отбираемыми для составления задач.

Традиция просвещать и воспитывать учащихся (и даже взрослых) через фабулу задачи родилась не вчера. Подтверждение тому находим в «Двенадцати стульях» И. Ильфа и Е. Петрова: старый ребусник Синицкий, сочинявший шарады и ребусы для газет и журналов, плакал от зависти, читая задачу, составленную кем-то из его более молодых и политически грамотных конкурентов. Вот эта задача.

На трех станциях: Воробьево, Грачево и Дроздово было по равному количеству служащих. На станции Дроздово было комсомольцев в шесть раз меньше, чем на двух других вместе взятых, а на станции Воробьево партийцев было на 12 человек больше, чем на станции Грачево. Но на этой последней беспартийных было на б человек больше, чем на первых двух. Сколько служащих было на каждой станции и какова была там партийная прослойка?

Приведенная задача интересна не только как литературная иллюстрация идеи воспитания через фабулу задачи. Она не имеет единственного решения. Если попросить учащихся найти наименьшее возможное число служащих, считая число комсомольцев, партийцев и беспартийных на каждой станции большим нуля, то можно с уверенностью утверждать, что необычность формулировки задания и запутанность взаимосвязей между величинами отвлекут учащихся от политизированной фабулы задачи. Они будут искать ответ, действуя с комсомольцами, партийцами, и беспартийными так же, как они действовали бы с тетрадями, пеналами и ручками. Воспитательный же эффект задачи будет нулевым.

Что же касается «попутного воспитания», то вряд ли стоит переоценивать влияние на подрастающее поколение задач оборонной тематики, включенных в предвоенные школьные сборники задач, или задач о Продовольственной программе в учебниках 80-х годов. Из всех воспитательных целей, которые следовало бы ставить при обучении решению задач, особо выделим лишь одну — формирование у учащихся представлений о богатстве культурно-исторического наследия человечества, связанного с их решением. Расширению кругозора школьников и созданию «исторического фона» обучения послужат включенные в сборник старинные задачи, а также задачи, связанные с именами выдающихся личностей, с деталями быта и вычислительной практики прошлого. Включение старинных задач имеет целью познакомить учащихся с разнообразными приемами рассуждений, которые применялись раньше при их решении. Все это позволит расширить арсенал средств, используемых учащимися при решении задач.

Далее мы приводим подборку задач, предназначенную для работы в первом полугодии 5 класса. Задачи разбиты на 7 разделов, ко многим из них даны методические комментарии. В начале учебного года нужно обеспечить качественное повторение материала, изученного в начальной школе. При этом необходимо убедиться, что все учащиеся правильно связывают с соответствующими арифметическими операциями отношения «больше на ...», «меньше на...», «больше в...», «меньше в...», слова «всего», «вместе», «осталось», «поровну» и т. п.

Решению задач с помощью уравнения, на наш взгляд, должна предшествовать работа с задачами «на части». Мы бы советовали простые задачи, которые в учебниках предлагается решать с помощью уравнения, решать без него по действиям, или как задачи «на части», или как задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Более сложные задачи лучше оставить на второе полугодие 6 класса, когда будут изучены отрицательные числа и техника решения самих уравнений будет лучше освоена учащимися. При решении задач из раздела

1.3 следует подвести учащихся к правильному применению рассуждений о частях в ситуации, когда известно отношение двух неизвестных величин и их сумма (разность). Следует уделить внимание устному обоснованию решения и записи пояснений к каждому действию. В результате работы с задачами данного раздела учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность), затем получать ответ на вопрос задачи. Обобщать этот способ в виде какого-либо правила не требуется.

Раздел 1.4 сборника начинается с подготовительных задач, решение которых должно подвести учащихся к пониманию способа нахождения двух величии по их сумме и разности. Лишь тогда, когда учащиеся освоят способ решения задач указанного типа, можно отметить то общее, что имеется в условии и в способе их решения: известна сумма и разность двух чисел; чтобы их найти, нужно сначала из суммы вычесть разность — получится удвоенное меньшее число. После изучения отрицательных чисел можно будет вернуться к обоснованию сформулированного выше правила:

Не будем останавливаться подробнее на характеристике задач из других разделов, так как здесь, в отличие от разделов 1.1 — 1.4, где мы предлагаем отказаться от применения уравнений, нет столь принципиальных изменений. Во всех местах, требующих разъяснения цели включения в сборник отдельных задач или методики работы с ними, мы приводим небольшой комментарий. Наиболее трудные задачи решены полностью. Разумеется, не все предложенные задачи, хоть и относящиеся формально к разделу «Натуральные числа», должны быть решены в первом полугодии 5 класса. Среди них есть и задачи «на вырост», которые можно отложить до 6 класса. В книге есть и задачи, которые не всегда могут решить сами учащиеся. Они рассчитаны на разбор решения под руководством учителя.

1.1. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Задами 1-7 нацелены на повторение связи отношений «на...больше» и «на...меньше» со сложением и вычитанием.

1. а) Ученик токаря обточил 120 деталей за смену, а токарь — на 36 деталей больше. Сколько деталей обточили токарь и его ученик имеете?

б) От Санкт-Петербурга до Петрозаводска 401 км, а от Петрозаводска до Мурманска — на 643 км больше. Сколько километров от Санкт-Петербурга до Мурманска через Петрозаводск?

2. а) Общая тетрадь стоит 3 р. 40 к., а блокнот — на 80 к. меньше. Сколько стоят общая тетрадь и блокнот вместе?

б) Мальчик прочитал 42 страницы, и ему осталось прочитать на 8 страниц меньше, чем он уже прочитал. Сколько страниц в книге?

3. 1) В коллекции имеется 128 марок. Из них 93 российские, а остальные иностранные. На сколько в коллекции российских марок больше, чем иностранных?

2) За /цзе педели бригада собрала 113 т картофеля. Из них за первую неделю - 54 т. На сколько тони меньше собрано картофеля в первую неделю, чем во вторую?

3) За сентябрь и октябрь завод выпустил 193 станка, причем за сентябрь - 98 станков. В какой из этих месяцев было выпущено больше станков и на сколько?

4. а) Туристы планировали за три дня пройти 65 км. За первый день они прошли 24 км, за второй - на 3 км меньше. Сколько километров им осталось пройти в третий день?

б) В швейной мастерской было 900 м ткани. За первый месяц израсходовали 225 м, за второй - на 23 м больше. Сколько метров ткани осталось в швейной мастерской к концу второго месяца?

5. Из «Арифметики» Л.Н. Толстого.

1) У одного мужика 23 овцы, а у другого — на 7 больше. Сколько у них овец вместе?

2) У одного мужика 26 овец, а у другого — на 5 овец меньше. Сколько у них вместе овец?

3) У двух мужиков 50 овец, а у одного — 15. На сколько у него меньше против другого?

6. Первая бригада собрала за смену 52 прибора, вторая - на 9 приборов меньше, чем первая, а третья - на 12 приборов больше, чем вторая. Сколько приборов собрали три бригады за смену?

7. а) Учащиеся 5 класса собрали 220 кг яблок, учащиеся 6 класса - на 60 кг больше, а учащиеся 7 класса - на 190 кг меньше, чем учащиеся 5 и 6 классов вместе. Сколько килограммов яблок собрали учащиеся трех классов вместе?

б) За первый день старшеклассники собрали 312 ящиков огурцов, а за второй - на 120 ящиков больше. За третий день они собрали на 218 ящиков меньше, чем за первые два дня вместе. Сколько ящиков огурцов собрали старшеклассники за три дня?

Задачи 8 и 9 предназначены для закрепления понимания взаимосвязи операций сложения и вычитания. Здесь молено продемонстрировать учащимся способ решения задач «с конца».

8. 1) Задумали число, увеличили его на 45 и получили 66. Каким действием можно найти задуманное число? Найдите его.

2) Задумали число, уменьшили его на 45 и получили 66. Найдите задуманное число.

3) Задумали число, увеличили его на 120, результат уменьшили на 49. Получили 200. Найдите задуманное число.

9. 1) В автобусе было 25 пассажиров. На первой остановке вышло 8 и вошло 12 пассажиров, на второй - вышло 7 и вошло 5 пассажиров. Сколько пассажиров стало в автобусе после второй остановки?

2) В автобусе было несколько пассажиров. На первой остановке вышло 7 и вошло 4, а на второй вышло 6 и вошло 13 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе до первой остановки, если после второй остановки автобуса их стало 38?

Условия задач 10-12 заданы в так называемой «косвенной» форме. Здесь для нахождения неизвестного числа требуется

определить, оно больше или меньше известного. Эти задачи требуют большего внимания к анализу условия задачи, к выяснению взаимосвязи между известными и неизвестными величинами.

10. В трех классах 44 девочки - это на 8 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в трех классах?

11.1) Сын на 24 года моложе мамы, а папа на 3 года старше мамы. Сколько лет папе, если сыну 10 лет?

2) Мама на 23 года старше сына, а папа на 2 года старше мамы. Сколько лет сыну, если папе 34 года?

12. 1) Алеша прыгнул в длину на 3 м 12 см. Это на 9 см лучше результата Бори и на 13 см хуже результата Вовы. Какой результат в прыжках в длину показал Боря? Какой — Вова?

2) Доярки надоили за июль 300 000 л молока; это на 4 000 л больше, чем в июне и на 6 000 л меньше, чем в августе. Сколько литров молока они надоили за летние месяцы?

13. Покупатель из 50 р. в уплату за купленный товар отдал 30 р. и получил 2 р. сдачи. Сколько денег у него осталось?

14. Задача С.А. Рачинского. Летом у меня целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1 комар, во второй - 2, в третий - 3 и т. д. Сколько комаров налетело за сутки?

15. В понедельник утром в баке было 1 000 л воды. Каждый день расходовали по 600 л, а ночью доливали половину того количества, что находилось в баке утром. Хватит ли воды в баке на четверг?

В задачах 16-17 учащиеся могут предложить несколько способов решения, что нужно всячески поощрять, так как обсуждение различных способов решения одной и той же задачи, кроме прочего, способствует развитию речи школьников. Для анализа условия и выбора плана решения задачи 17 полезно использовать «круги Эйлера». Завершить работу с такими задачами можно следующим заданием:

- Миша и Коля за лето прочитали 15 книг. Из них Миша прочитал 10 книг, а Коля - 12. Поставьте различные вопросы и ответьте на них.

По ходу решения получаемые ответы удобно отмечать на рисунке. Например:

1) Сколько книг прочитал Миша, но не прочитал Коля?

15- 12-3

2)...

16. а) Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сестер? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?

б) На XXII Олимпийских Играх в Москве (1980 г.) спортсмены СССР получили 195 медалей, из них 126 золотых и бронзовых, 149 золотых и серебряных. Сколько золотых, серебряных и бронзовых медалей в отдельности получили спортсмены СССР?

17.* 1) В нашем классе коллекционируют только марки и монеты. Марки коллекционируют 8 человек, монеты - 5 человек, а всего в классе 11 человек. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? Сколько - только монеты?

2) Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоре и 15 в лыжной секции. Сколько учащихся занимается и в хоре, и в лыжной секции, если в классе нет учащихся, не посещающих занятий хора или лыжной секции?

3) 12 человек участвовали в конкурсе певцов, 3 человека — и в конкурсе певцов, и в конкурсе чтецов. Хотя бы в одном из этих конкурсов участвовали 26 человек. Сколько человек участвовало в конкурсе чтецов?

4) В соревнованиях по прыжкам в длину участвовало 18 человек, а по прыжкам в высоту — 21 человек. Причем и в тех, и других соревнованиях участвовали 16 человек. Сколько человек участвовало в соревнованиях?

5) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино — 21 человек, 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?

6) В нашем классе 8 человек коллекционируют марки, 6 человек коллекционируют монеты, причем и марки, и монеты коллекционируют 3 человека, а ничего не коллекционируют 19 учащихся. Сколько учащихся в нашем классе?

7) В нашем классе 32 человека. Из них 23 человека любят кошек, 18 человек — собак. Причем 10 человек любят и кошек, и собак. Сколько человек нашего класса не любят ни кошек, ни собак?

8) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино и в музей — 6 человек, а 2 человека не ходили ни в кино, ни на экскурсию. Сколько человек нашего класса ходило в кино?

1.2. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Задачи 18-23 предназначены для повторения учащимися связи отношений «больше в ...» и «меньше в ...» с умножением и делением. В большинстве из них решение затруднено добавлением шагов, связанных с отношениями «больше на ...» и «меньше на ... ».

18. а) Число 48 увеличьте на 3, полученный результат увеличьте в 3 раза.

б) Число 48 увеличьте в 3 раза, полученный результат увеличьте на 3.

19. а) В первый день туристы прошли 18 км, а во второй день они проехали на автобусе в 5 раз больше. Какое расстояние туристы преодолели за два дня?

б) В первом мотке 42 м проволоки, а во втором — в 3 раза больше. Сколько проволоки в двух мотках?

20. а) Число 64 уменьшите на 8, полученный результат уменьшите в 4 раза.

б) Число 64 уменьшите в 4 раза, полученный результат уменьшите на 8.

21. а) Велосипедисты проехали от города А до города В 168 км, а от города В до города С - в 3 раза меньше. Сколько всего километров проехали велосипедисты?

б) Девочка прочитала 56 страниц и ей осталось прочитать в 4 раза меньше страниц, чем она уже прочитала. Сколько страниц в книге?

22. Маме 36 лет, сыну 12, а дочери 4 года. Во сколько раз дочь моложе матери? Во сколько раз брат старше сестры?

23. 1) У Васи было 46 марок. За год его коллекция увеличилась на 230 марок. Во сколько раз увеличилась коллекция?

2) Было 420 р., потратили 360 Во сколько раз уменьшилась сумма?

24. Старинная задача. С завода отправили 9 подвод с посудой, на каждой по 2 ящика, и в каждом ящике по 45 дюжин1 тарелок. Сколько тарелок отправлено с завода?

25. а) На овощную базу привезли помидоры на 6 машинах по 120 ящиков в каждой, потом еще на 8 машинах по 140 ящиков в каждой. Сколько всего ящиков помидоров привезли на базу?

б) Токарь за 1 ч обтачивает 12 деталей, а другой токарь -11 деталей. Над выполнением задания первый работал 2 ч, а потом второй 3 ч. Сколько деталей они обточили вместе?

26. а) Девочка купила 2 марки по 75 к. и 3 открытки по 80 к. Какую сдачу она должна получить с 5 р.?

б) В швейной мастерской было 12 кусков материи по 40 м и 8 кусков материи по 30 м. Сколько метров материи осталось после того, как израсходовали 340 м?

27°. 1) За 8 марок заплатили 4 р. Сколько стоит 1 марка?

2) Одна линейка стоит 40 к. Сколько линеек купили на 8 р. 40 к.?

3) За 1 ч поезд прошел 60 км. За сколько часов он пройдет 240 км, если будет идти с той же скоростью?

1 Дюжина — двенадцать.

4) За 3 ч велосипедист проехал 36 км. Сколько километров он проезжал за 1 ч?

28 °. Дачник пришел от своей дачи на станцию через 12 мин после отхода электрички. Если бы он на каждый километр тратил на 3 мин меньше, то пришел бы как раз к отходу электрички. Далеко ли от станции живет дачник?

Тратя на каждый километр на 3 мин меньше, дачник мог бы сэкономить 12 мин на расстоянии 12:3 = 4 км. Он живет в 4 км от станции.

С задачей 29(1) связан поучительный диалог, рассказанный нашей коллегой и отражающий трудности, с которыми сталкиваются некоторые учащиеся. Учительница объясняет решение этой задачи отстающей ученице:

- Здесь надо 72 делить на 8.

- Нет, - возражает ученица, - когда «на сколько», надо вычитать.

В задачах 29(2,3) «во сколько» и «осталось» не требуют деления и вычитания; здесь имеются лишние условия.

29 °. 1) На каждую телегу грузили по 8 мешков картофеля. На сколько телег погрузили 72 мешка картофеля?

2) В некоторые из 40 пакетов насыпали по 2 кг сахарного песку. Осталось 10 пустых пакетов. Во сколько пакетов насыпали сахарного песку?

3) В швейной мастерской за месяц израсходовали 350 м материи, осталось 2 куска по 60 м. Сколько метров материи осталось?

Задачи 30(1-4) «с подвохом». При их решении учащиеся часто начинают вычислять до того, как хорошо обдумают их условия.

30. 1) Тройка лошадей проскакала 90 км. Сколько километров проскакала каждая лошадь?

2) Чтобы сварить яйцо всмятку, мама держит его в кипящей воде 2 мин. Сколько минут потребуется, чтобы сварить всмятку 8 яиц?

3) У Алеши, Бори и Васи вместе 120 марок. У Алеши столько, сколько у Бори и Васи вместе. Сколько марок у Алеши?

4) Коля и Миша вместе с папой поймали 24 карася. Папа поймал столько, сколько его сыновья вместе, а они поймали карасей поровну. Сколько карасей поймал Коля?

31. Задача С.А. Рачинского. Родник в 24 мин дает бочку воды. Сколько бочек воды дает родник в сутки?

32. а) В 12 коробках 144 карандаша. Сколько карандашей в 15 таких же коробках?

б) За 3 ч автомат на кондитерской фабрике заворачивает 1245 конфет . Сколько конфет он завернет за 5 ч?

33. На некотором участке железной дороги меняют старые рельсы длиной 8 м на новые длиной 12 м. Сколько потребуется новых рельсов вместо 240 старых?

34. а) Для поездки трех взрослых и двух детей по железной дороге купили билеты общей стоимостью 60 р. Сколько стоит детский билет, если билет для взрослого стоит 16р.?

б) Для санатория купили 12 кресел и 50 стульев на общую сумму 9880 р. Сколько стоит 1 кресло, если 1 стул стоит 86 р.?

35. В мягком вагоне 18 спальных мест, а в плацкартном вагоне 54 места. В составе скорого поезда 1 мягкий вагон, 6 плацкартных и 11 купейных. Сколько спальных мест в купейном вагоне, если во всех вагонах состава 738 спальных мест?

36. а) Велосипедист в каждый из 10 дней проезжал по 36 км. Сколько километров в день ему надо проезжать, чтобы вернуться обратно за 9 дней?

б) Велосипедист в каждый из 10 дней проезжал по 21 км. За сколько дней он может вернуться обратно, если будет проезжать в день по 35 км?

37. а) Маме 36 лет, она на 31 год моложе бабушки и в 6 раз старше дочери. Сколько лет каждой?

б) Папе 34 года, он в 2 раза моложе дедушки и на 29 лет старше сына. Сколько лет каждому?

38. а) Завод по плану должен изготовить 7920 приборов за 24 дня. За сколько дней завод выполнит это задание, если будет изготавливать в день на 30 приборов больше, чем намечено по плану?

б) Токарь должен за 7 ч обточить 84 детали. Применяя усовершенствованный резец, он может обтачивать в час на 2 детали больше. На сколько часов раньше срока токарь обточит 84 детали, применяя усовершенствованный резец?

39. 1) Первая машинистка печатает 10 страниц в час, а вторая за 5 ч печатает столько же страниц, сколько первая за 4 ч. Сколько страниц отпечатают обе машинистки за 3 ч совместной работы?

2) Первый рабочий за 1 ч делает 32 детали, а второй за 4 ч делает столько деталей, сколько первый за 5 ч. За сколько часов они сделают 216 деталей при совместной работе?

40. На изготовление 2100 деталей первая бригада затрачивает на 2 ч меньше, чем вторая, которая делает 420 деталей за 1 ч. Сколько деталей за час делает первая бригада?

Многошаговые задачи 39—40 сложны тем, что при их решении учащиеся не всегда умеют определить, что требуется знать для ответа на вопрос задачи и как можно найти требуемое. На примере таких задач можно обучать их поиску решения задачи.

Анализ условия и составление плана решения задачи 39(1) можно провести в таком диалоге.

— Сформулируйте главный вопрос задачи.

— Сколько страниц отпечатают обе машинистки за 3 ч совместной работы?

— Что нужно знать, чтобы ответить на этот вопрос?

— Сколько страниц печатают две машинистки за 1 ч?

— Все ли мы знаем для этого? Что нужно еще узнать?

— Нет, не все. Нужно узнать, сколько страниц печатала вторая машинистка за 1 ч.

— Что известно о работе второй машинистки?

— Она за 5 ч печатает столько же страниц, сколько первая за 4 ч.

— А мы знаем, сколько страниц печатает первая машинистка за 4 ч?

— Нет, но можем узнать, умножив 10 на 4.

Слева мы показали записи, которые учитель может делать на доске по ходу обсуждения. Стрелки, поставленные от последней записи к первой, дают план решения. Для повышения эффективности обучения решению задач, а также для приучения школьников к планированию своей деятельности, советуем обучать их делать краткую запись условия задачи и намечать по ней план решения. Разумеется, этот совет нельзя превращать в обязательное требование. Учащиеся могут делать краткую запись условия задачи в произвольной, удобной для них форме тогда, когда она действительно помогает им в работе.

41. 1) В двух корзинах лежало 86 яблок. Когда из первой во вторую переложили 3 яблока, то яблок в корзинах стало поровну. По скольку яблок было в каждой корзине первоначально?

2) На двух полках лежало 196 пачек печенья. Когда с первой полки на вторую переложили 28 пачек, то печенья на полках стало поровну. Сколько пачек печенья было на каждой полке первоначально?

42. а) В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли еще 12 человек, а во вторую - 8 человек, то людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?

б) В двух комнатах было 45 человек. Когда из первой вышли 9 человек, а из второй - 14 человек, то людей в комнатах стало поровну. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?

43. а) В магазине было 420 мужских и женских часов. Когда продали 150 мужских и 140 женских часов, то тех и других осталось поровну. Сколько мужских часов было в магазине?

б) На заправочной станции было 540 т бензина и дизельного топлива. Когда того и другого продали поровну, то осталось 120 т бензина и 130 т дизельного топлива. Сколько тонн бензина было на станции?

44. а) В булочной было 654 кг черного и белого хлеба. После того, как продали 215 кг черного и 287 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталось поровну. Сколько черного и белого хлеба в отдельности было в булочной?

б) В двух магазинах было 452 холодильника. После того, как оба магазина продали холодильников поровну, в одном осталось 72, а в другом - 84 холодильника. Сколько холодильников было в каждом магазине первоначально?

45.* На четырех полках было 164 книги. Когда с первой полки сняли 16, со второй на третью переставили 15, а на четвертую поставили 12 книг, то на всех полках книг оказалось поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

46. 1) За задание, выполненное двумя рабочими, заплатили 510 р. Сколько денег получит каждый, если первый сделал 48 деталей, а второй — 54 детали?

2) В понедельник магазин продал 5 коробок яиц, а во вторник — 7. Известно, что от продажи яиц во вторник магазин выручил на 396 р. больше, чем в понедельник. Сколько стоит коробка яиц?

1.3. ЗАДАЧИ «НА ЧАСТИ»

Задачи 47-58 - это задачи «на части». В первых из них речь о частях идет в явном виде. При их решении создается основа для решения задач 54-58 на нахождение двух чисел по их отношению и сумме (разности). Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность).

47. Для варенья на 2 части малины берут 3 части сахара.

1) Сколько килограммов сахара следует взять на 2 кг 600 г ягод?

2) Сколько килограммов малины было у мамы, если для варки варенья она приготовила 4 кг 500 г сахара?

48. При пайке изделий из жести применяют сплав, содержащий 2 части свинца и 5 частей олова.

1) Сколько граммов свинца и олова в отдельности содержится в 350 г сплава?

2) Сколько граммов свинца и олова в отдельности содержит кусок сплава, в котором олова на 360 г больше, чем свинца?

49. При помоле ржи на каждые три части муки получается одна часть отходов. Сколько центнеров ржи смололи, если муки получилось на 36 ц больше, чем отходов?

50. а) Купили 1800 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши - 3 части и сливы - 2 части массы сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности купили?

б) Яблоки составляют 7 частей, груши - 4 части, а сливы — 5 частей массы сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности содержится в 1600 г сухофруктов?

51 .* Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слив. Оказалось, что груш и слив вместе взяли 2 кг 400 г. Определите массу взятых:

1) яблок; 2) фруктов.

52.* 1) При изготовлении кофейного напитка «Ячменный» на 4 части ячменя берут 1 часть цикория. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит 250 г, и на изготовление партии напитка израсходовано ячменя на 36 кг больше, чем цикория?

2) При изготовлении кофейного напитка «Наша марка» на 7 частей кофе берут 6 частей цикория, 5 частей желудей и 2 части каштанов. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит 200 г, а кофе и цикория вместе израсходовали 26 кг?

53°. 1) Сплав содержит 1 часть свинца и 2 части олова. Во сколько раз в этом сплаве олова больше, чем свинца?

2) Сплав содержит олова в 3 раза больше, чем свинца. Сколько частей олова приходится на 1 часть свинца?

54. 1) Купили 60 тетрадей, причем тетрадей в клетку было в 2 раза больше, чем тетрадей в линейку. Сколько частей приходится на тетради в линейку; на тетради в клетку; на все тетради? Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько в клетку (рис. 1)?

2) На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?

При решении задачи 54(1) лучше опираться на схематический рисунок 1, легко воспроизводимый в тетради и дополняемый по ходу решения нужными записями.

Рис. 1

Рассмотрим решение этой задачи «с пояснениями». Пусть тетради в линейку составляют 1 часть, тогда тетради в клетку составляют 2 части.

1)1+2=3 (части) - приходится на все тетради;

2) 60:3 = 20 (тетр.) - приходится на 1 часть;

3) 20-2 = 40 (тетр.) - приходится на 2 части (тетр. в клетку).

С целью развития мышления и речи школьников советуем иногда давать им задание решить задачу «с вопросами». Для задачи 54(2) такое решение имеет вид:

1) Сколько частей приходится на все книги?

1+3=4 (части)

2) Сколько книг приходится на 1 часть (стояло на II полке)?

120:4 = 30 (книг)

3) Сколько книг стояло на I полке?

303 = 90 (книг).

55. а) За рубашку и галстук папа заплатил 40 р. Рубашка дороже галстука в 4 раза. Сколько стоит галстук?

б) В плацкартном вагоне в 3 раза больше спальных мест, чем в мягком вагоне. Всего в плацкартном и мягком вагонах 72 спальных места. Сколько спальных мест в мягком вагоне?

56. 1 ) Календарь дороже тетради в 2 раза, а вместе они стоят 9 р. Сколько стоит календарь?

2) Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Всего они сорвали 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше мальчика. Сколько орехов было у мальчика и девочки в отдельности?

3) Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось прочитать. Всего в книге 176 страниц. Сколько страниц прочитала девочка?

Задача 56(2) взята из повести Н. Носова «Витя Малеев в школе и дома», дающей довольно точное описание характерных ошибок учащихся и самой процедуры поиска решения.

«Прочитал я задачу и далее смех разобрал. «Вот так задача! -думаю. - Чего тут не понимать? Ясно. 120 надо поделить на 2, получится 60. Значит, девочка сорвала 60 орехов. Теперь нужно узнать, сколько мальчик: 120 отнять 60, тоже будет 60. Только как же это так? Получается, что они сорвали поровну, а в задачнике сказано, что девочка сорвала в 2 раза меньше орехов. Ага! - думаю. - Значит, 60 надо поделить на 2, получится 30. Значит, мальчик сорвал 60, а девочка 30 орехов». Посмотрел в ответ; а там: мальчик 80, а девочка 40».

Витя смог решить задачу лишь тогда, когда нарисовал девочку в переднике с одним карманом, а мальчика в курточке с двумя карманами.

«Все 120 орехов теперь лежали у них в трех карманах: в двух карманах у мальчика и в одном кармане у девочки, а всего, значит, в трех. И вдруг у меня в голове, будто молния, блеснула мысль: «Все 120 орехов надо делить на три части!»

Надо сказать, что первое действие, к которому с таким трудом пришел Витя Малеев, вызывает большие трудности у учащихся, этот шаг решения задач «на части» требует специальной отработки, которая будет тем успешнее, чем активнее учащиеся опираются на наглядные образы.

57. а) Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадей в линейку. Причем их было на 18 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько всего тетрадей купил ученик?

б) На первой полке стояло в 4 раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой палке?

58. а) Девочка прочитала в 3 раза больше страниц, чем ей осталось прочитать. Она прочитала на 78 страниц больше, чем ей осталось прочитать. Сколько страниц прочитала девочка?

б) Книга дороже общей тетради в 3 раза или на 6 р. Сколько стоит книга?

59. Задача С.А. Рачинского. Я провел год в деревне, в Москве и в дороге - и притом в Москве в 8 раз более времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней провел я в дороге, в Москве и в деревне?

1.4. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ ПО ИХ СУММЕ И РАЗНОСТИ

Первые задачи раздела 1.4 предполагают мысленные эксперименты с величинами. Например, «Уменьшим число тетрадей в первой пачке на 10, тогда в обеих пачках тетрадей станет поровну...». Или: «Если 4 мальчика выйдут из класса, то девочек и мальчиков в классе станет поровну...». После решения задач 60-63 нужно отметить то общее, что имеется в условии и в способе их решения: известна сумма и разность двух неизвестных чисел; чтобы их найти, нужно сначала из их суммы вычесть разность - получится удвоенное меньшее число.

Возможно и иное решение. Для задачи 60(2) оно выглядит так. Уравняем число тетрадей в пачках, переложив половину разницы из большей пачки в меньшую. Тогда тетрадей в пачках станет поровну - по 70:2 = 35. Вернем 5 тетрадей назад и получим 35 - 5 = 30 тетрадей во второй пачке.

К этому способу решения можно подготовить учащихся, решив задачи 69(1-2). Но делать это лучше не со всеми учащимися и только тогда, когда будет хорошо освоен первый способ решения.

Учащиеся часто предлагают неверные решения. Например, задачу 60(2) они иногда решают так:

Желая научить школьников проверять найденное решение, нужно обязательно учить их определять, удовлетворяет ли оно условию задачи. Специально придумывать ситуации для такого обучения не приходится, учащиеся создают их довольно часто. Ими нужно только умело пользоваться. Чтобы научить их искать свои ошибки, нужно дать им возможность сначала научиться искать ошибки в чужих решениях.

60. 1) В двух пачках было 40 тетрадей. Когда из первой пачки взяли 10 тетрадей, то тетрадей в пачках стало поровну. Сколько тетрадей было во второй пачке первоначально?

2) В двух пачках 70 тетрадей - в первой на 10 тетрадей больше, чем во второй. Сколько тетрадей во второй пачке (рис. 2)?

Рис.2

61. В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух вместе - 30 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?

62. а) Мама дала 16 р. сыну и дочери. Дочери она дала на 4 р. больше, чем сыну. Сколько денег она дала каждому?

б) Саша собрал на 5 кг яблок больше, чем Коля, а вместе они собрали 43 кг яблок. Сколько яблок собрал каждый?

63. а) Брат с сестрой нашли в лесу 25 белых грибов. Брат нашел на 7 грибов больше, чем сестра. Сколько белых грибов нашел брат?

б) В классе 36 учащихся. Девочек на 4 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?

64.1) Сумма двух чисел 230. Если первое из них уменьшить на 20, то числа станут равными. Найдите эти числа.

2) Сумма двух чисел 350. Одно из них больше другого на 10. На сколько нужно уменьшить большее число, чтобы получились равные числа? Найдите эти числа.

65. а) Сумма двух чисел равна 432, первое больше второго на 18. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел равна 537, первое меньше второго на 131. Найдите эти числа.

66. а) Сумма двух чисел 96, разность 18. Найдите эти числа, б) Сумма двух чисел 87, а разность 19. Найдите эти числа.

67. 1) Периметр прямоугольника равен 48-см, его длина на 4 см больше ширины. Найдите стороны прямоугольника.

2) Периметр прямоугольника равен 54 см, его длина на 5 см больше ширины. Найдите площадь прямоугольника.

68. Из «Арифметики» Л.Н. Толстого.

1) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?

2) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько овец у каждого?

69. 1) На двух полках было поровну книг. С первой полки сияли 10 книг и поставили на вторую полку. На сколько книг на второй полке стало больше, чем на первой?

2) В первой пачке на 30 тетрадей больше, чем во второй. Сколько тетрадей надо переложить из первой пачки во вторую, чтобы уравнять число тетрадей в пачках?

1.5. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ ПО РЕКЕ

Развитием линии задач раздела 1.4 являются задачи на движение по реке, не вызывающие обычно каких-либо затруднений у пятиклассников. Опыт, полученный ими при решении задач 70-75 можно обобщить при работе с задачей 76, в которой возникают сложности только в последнем задании, где требуется определить скорость течения реки по двум скоростям - по течению и против течения реки. Для успешного усвоения этого материала следует показать, что скорости по течению и против течения - суть сумма и разность собственной скорости и скорости

течения. Чтобы их найти, нужно применить освоенный ранее прием нахождения двух величин по их сумме и разности: разность скоростей по течению и против течения равна удвоенной скорости течения. Будет еще лучше, если к этому выводу учащиеся придут самостоятельно. Ведь ситуации, в которых школьники находят возможность для применения ранее полученных знаний, способствуют их развитию. Когда же отрицательные числа будут изучены, этот факт будет просто доказать:

А пока молено обойтись ссылкой на уже известное правило нахождения двух чисел по их сумме и разности или на графическую иллюстрацию:

70°. 1) Мальчик заметил, что на путь по течению реки было затрачено меньше времени, чем на тот же путь против течения. Чем это можно объяснить, если мотор лодки работал одинаково хорошо во время всей поездки?

2) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь - 2 ч. В каком направлении течет река?

3) Скорость катера по озеру (в стоячей воде) 18 км/ч. Какой путь пройдет катер за 3 ч?

4) Скорость течения реки 2 км/ч. На сколько километров река относит любой предмет (плот, лодку) за 1 ч, за 5 ч?

71. Скорость катера в стоячей воде 18 км/ч. Скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью будет двигаться катер по течению реки? Против течения?

72. Скорость катера в стоячей воде (собственная скорость) 12 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. Определите: скорость катера по течению и против течения реки; путь катера по течению реки за 3 ч; путь катера против течения реки за 5 ч.

73. 1) Собственная скорость теплохода 27 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь по течению реки между двумя причалами, если расстояние между ними равно 120 км?

2) Сколько времени потребуется для того, чтобы проплыть на моторной лодке 90 км против течения, если ее собственная скорость 20 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?

74. Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, плыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние он проплыл за все время, если скорость течения реки 2 км/ч?

75. а) Расстояние между двумя причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если ее собственная скорость 10 км/ч, а скорость течения 2 км/ч?

б) Расстояние между двумя причалами 36 км. Сколько времени потратит на путь от одного причала до другого и обратно катер, если его собственная скорость 15 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?

76. Определите скорости и заполните таблицу:

77.* Определите, какая скорость получится в результате:

78. 1) Моторная лодка проплыла 48 км по течению за 3 ч, а против течения за 4 ч. Найдите скорость течения.

2) Катер проплыл 72 км по течению за 2 ч, а против течения — за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты?

79. Скорость течения реки 3 км/ч. На сколько километров в час скорость катера по течению больше его скорости против течения?

1.6. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ

Традиционно трудными для учащихся являются задачи на движение. Для подведения их к понятию скорости удаления в задаче 81(1) следует найти расстояние между участниками движения в 3 действия, записать числовое выражение (например, 3 4+3-5), вынести общий множитель за скобки и задаться вопросом: что показывает сумма 4 + 5? После этого нужно показать решение задачи в два действия с использованием скорости удаления. Аналогично вводится понятие скорости сближения.

80.° 1) Пешеход за 3 ч прошел 12 км. Сколько километров он проходил в час? Какова скорость пешехода?

2) Скорость велосипедиста 12 км/ч. Какой путь он проедет за 3 ч?

3) За сколько часов поезд прошел 180 км, если его скорость 60 км/ч?

4) 15 июля 1923 года из Москвы в Нижний Новгород вылетел аэроплан «Ультиматум». Так была открыта первая трасса Аэрофлота длиной 420 км. Аэроплан шел на высоте 250 м и преодолел все расстояние за 3 ч 30 мин. Найдите скорость аэроплана. Какие условия в задаче лишние?

81. 1) Два пешехода одновременно вышли в противоположных направлениях из одного пункта. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? На сколько километров в час пешеходы удаляются друг от друга? (Эту величину называют скоростью удаления.)

2) Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины. Их скорости 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления автомашин.

3) Два поезда вышли одновременно из одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?

82. 1) Из двух сел, расстояние между которыми 36 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Их скорости 4 км/ч и 5 км/ч. На сколько километров в час пешеходы сближаются друг с другом? (Эту величину называют скоростью сближения.) Какое расстояние будет между ними через 3 ч?

2) Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 60 й 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.

83. 1) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго — 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

2) Старинная задача. Идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст1, а другой человек идет навстречу ему из другого города и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?

84. 1) Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 ч до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие?

2) Расстояние от села до города 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?

3) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух сел, расстояние между которыми 54 км. Скорость первого 12 км/ч, второго — 15 км/ч. Через сколько часов они будут находиться друг от друга на расстоянии 27 км?

85. 1) Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одною пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста

1 Сведения о старинных единицах измерения приведены на с. 206.

40 км/ч, а велосипедиста — 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км?

2) Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго — 50 км/ч, Через сколько часов второй догонит первого?

86. Старинная задача. Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день по 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой, юноша, проходивший в день по 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?

87. Старинная задача. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?

Чуть позже такие задачи учащиеся будут решать с помощью уравнения. Так гораздо легче добраться до ответа, но мы предлагаем поискать со школьниками арифметическое решение задачи, так как уверены, что в обучении не всегда легче -значит полезнее. Ведь еще легче заглянуть в справочник и найти там ответ на вопрос задачи, и не в верстах, а в километрах. Думается, читатель и сам уверен, что в школе задачи решают совсем не для того, чтобы узнать расстояние от Москвы до Твери.

Попробуйте подвести ребят к такому решению.

1)26 >2 -52 (версты) — на столько второй поезд отстал от первого;

2) 39-26" 13 (верст) — на столько второй поезд отставал за 1ч от первого поезда;

3) 52:13 - 4 (ч) - столько времени был в пути первый поезд; 4)39 %4 - 156 (верст) - расстояние от Москвы до Твери.

88. 1) Расстояние между городами А и В равно 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода скорого поезда они встретятся?

2) Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 ч вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?

89. 1) Задача Алькуина. Собака гонится за кроликом, находящимся в 150 футах от нее. Она делает прыжок в 9 футов каждый раз, когда кролик прыгает на 7 футов. Сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать кролика?

2) Старинная задача. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 мин по 500 сажен, а собака в 5 мин — 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца.

3) Старинная задача. Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидела зайца. За сколько прыжков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно сорока прыжкам собаки и пять прыжков собаки равны шести прыжкам зайца? (Считайте, что собака и заяц делают прыжки одновременно.)

Уровень сложности задачи 90 превосходит возможности большинства пятиклассников. Однако необычность условия (дана лишь одна величина) и неожиданность ответа позволяют дать учащимся запоминающуюся иллюстрацию силы математических методов, а также формировать у них доказательные умения.

90.* Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 15 мин папа заметил пропажу, быстро развернул лодку и они поплыли по течению с той же собственной скоростью. За сколько минут они догонят шляпу?

На первом этапе достаточно подвести школьников к идее решения этой задачи с различными недостающими данными (собственная скорость и скорость течения) - это может быть хорошим домашним заданием. На следующем уроке можно будет подвести итог. Только не нужно делать вид, что совпадение результатов при различных значениях собственной скорости и скорости течения что-либо доказывает. Оно лишь подтверждает предположение «время движения туда и обратно одинаково». Если учащиеся хорошо освоили задачи

76-77, то им можно показать общее рассуждение, являющееся доказательством:

Скорость удаления лодки и шляпы равна vnp м + vm = vc Скорость сближения лодки и шляпы равна vno т — vm = vc Удаление и сближение лодки и шляпы происходило на одно и то же расстояние и с одной и той же скоростью, значит, время движения туда и обратно одинаково. Проверить понимание этого материала можно, предложив учащимся решить ту же задачу, но при условии, что папа и сын сначала плыли по течению, а потом против течения реки.

Заметим, что физики решают эту задачу еще проще. Они считают, что термин «собственная скорость» некорректен, так как скорость имеет смысл только в какой-то системе отсчета. Они считают, что относительно воды шляпа неподвижна, а лодка, плывущая с постоянной относительно воды скоростью, удаляется от шляпы и сближается с ней за одно и то же время - за 15 мин. Смотрите также более сложную задачу 115 аналогичного содержания.

1.7. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

Раздел 1.7 включает в себя задачи, многие из которых если и решают теперь в 5-6 классах, то только с помощью уравнения (см. задачи 102, 105 и др.), а также задачи, которые являются типовыми задачами из предыдущих разделов или сводятся к ним. «Цепочка» задач (94) дает хорошую иллюстрацию для метода решения «с конца». Здесь .же мы приводим задачи 97-99, которые и сами учителя привыкли решать с помощью уравнения. Мы предлагаем решать задачи этой серии арифметически, так как, на наш взгляд, мысленное манипулирование предметами и величинами, о которых идет речь в условии задачи, «проигрывание» задачной ситуации способствуют развитию воображения и интуиции учащихся в большей степени, чем формальные действия с иксами в процессе составления и решения уравнения. К первой задаче такого рода мы даем рекомендации в разделе «Ответы и советы».

91. Задача С.А. Рачинского. В школе равное число девочек и мальчиков. Я принес 234 ореха, и каждому мальчику досталось по 5 орехов, каждой девочке по 4 ореха. Но девочки обиделись, и в другой раз я принес столько орехов, что всем досталось по 6. Сколько орехов я принес?

92. Из «Азбуки» Л.Н. Толстого. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 р. меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собою, и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома?

93. В бочке было 40 ведер воды. Когда из нее отлили несколько ведер, то воды осталось в 7 раз больше, чем отлили. Сколько ведер отлили?

94.* 1) На двух полках стояло 12 книг. Когда с первой полки на вторую переставили столько книг, сколько до этого было на второй полке, то книг на полках стало поровну. Определите, сколько книг первоначально стояло на каждой полке.

2) У Светы и Наташи вместе было 8 яблок. Света дала Наташе столько яблок, сколько было у Наташи. Потом Наташа дала Свете столько яблок, сколько было у Светы. После этого у девочек оказалось яблок поровну. Сколько яблок первоначально было у каждой девочки?

3) Старинная задача. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; в свою очередь, и третий дает каждому из двух столько яблок, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

95. 1) А, В, и С сыграли три партии, причем проигравший обязан был удваивать суммы, принадлежащие остальным в начале партии. Проиграли последовательно А, В и С и в результате у всех троих оказалось по 48 р. Сколько денег было у каждого из них вначале?

2) Старинная задача. А, В, С и D сыграли четыре партии, причем проигравший обязан был удваивать суммы, принадлежащие остальным в начале партии. Проиграли последовательно А, В, С и D и в результате у всех четверых оказалось по 48 р. Сколько денег было у каждого из них вначале?

96.* Старинная задача (Индия, III-IV вв.). Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвертый — вчетверо больше третьего, все вместе дали 132. Сколько дал первый?

97.* 1) Мама посчитала, что если дать детям по 4 конфеты, то 3 конфеты останутся лишними. А чтобы дать по 5 конфет, двух конфет не хватает. Сколько было детей?

2) Если в вазы поставить по 5 роз, то две розы останутся лишними. А чтобы поставить по 6 роз, четырех роз не хватает. Сколько было ваз?

98.* 1) Если выдать учащимся по 2 тетради, то 19 тетрадей останутся лишними; если выдать по 3 тетради, то 6 тетрадей не хватит. Сколько было учащихся и сколько тетрадей?

2) В актовый зал школы привезли стулья. Если их расставить по 25 штук в ряд, то четырех стульев не хватит. Если же их расставить по 24 стула в ряд, то 12 стульев останется. Сколько было стульев?

99.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динариев (денежная единица) больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздает лишь по два, и у него еще остается три. Сколько бедных?

Задачи 100-108 примыкают к предыдущим и объединены с ними общей идеей решения, связанной с предполагаемыми действиями с предметами и величинами. Их можно назвать задачами «на предположение», хотя некоторые из них в традиционной методике имели свои устоявшиеся названия: задача 105(6) -«на синее и красное сукно», задача 106(2) - «на смешение II-го рода». К первым из задач этой серии начало рассуждения дано в разделе «Ответы и советы». Что же касается названий типов

задач, то зачастую они были больше связаны с фабулой задачи, а не с арифметической ситуацией, отраженной в ней. Например, задачу 102 можно переформулировать так, чтобы она превратилась в задачу «на синее и красное сукно» или «на смешение II-го рода»:

- На 94 р. купили 35 аршин синего и красного сукна. За аршин синего сукна платили по 2 р., а за аршин красного сукна - по 4 р. Сколько аршин того и другого сукна в отдельности купили?

- Смешали 35 фунтов чая двух сортов общей стоимостью 94 р. Сколько фунтов того и другого сорта в отдельности взяли, если фунт первого сорта стоил 4 р., а фунт второго сорта -2р.?

100.* 1) Для детского сада купили 20 пирамид, больших и маленьких, — по 7 и по 5 колец (рис. 3). У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

2) В детском саду имеется 20 велосипедов - трехколесных и двухколесных. У всех велосипедов 55 колес. Сколько двухколесных велосипедов в детском саду?

101.* Вася посчитал, что если каждая девочка принесет по Зр., а каждый мальчик - по 5 р., то все 30 учащихся класса соберут 122 р. Сколько в классе мальчиков?

102.* Старинная задача (Китай). В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.

Рис. 3

Задачу 102 можно было бы решить аналогично предыдущим, но не менее интересно другое рассуждение, найденное нами у старых мастеров методики математики и вызывающее у детей живейшее участие в решении задачи. Опишем примерный диалог учителя с классом.

— Представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

— 70 ног.

— Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

— Остальные не посчитаны - это передние лапы кроликов.

— Сколько их? -24.

— Сколько же кроликов?

— 12.

— А фазанов? -23.

Слева показаны записи, которые можно делать на доске по ходу диалога. После его завершения можно предложить учащимся записать решение задачи в тетрадях «с пояснениями». Разумеется, здесь трудно кратко и точно пояснить первое действие.

103.* Старинная задача. За 1000 р. я купил 44 коровы — по 18 р. и по 26 р. Сколько тех и других?

104.* Старинная задача. Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у человека?

105.* Из рассказа А.П. Чехова «Репетитор». Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 р. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а черное — 3 р.?

106.* Из «Арифметики» А.П. Киселева.

1) Смешано три сорта муки: 15 фунтов по 8 к., 20 фунтов по 7 к. и 25 фунтов по 4 к. за фунт. Что стоит фунт смеси?

2) Из двух сортов чая составлено 32 фунта смеси; фунт первого сорта стоит 3 р., фунт второго сорта — 2 р. 40 к. Сколько фунтов взято от того и другого сорта, если фунт смешанного чая стоит 2 р. 85 к. ?

107.* Старинная задача. Крестьянин хочет купить лошадь и для этого продает рожь. Если он продаст 15 ц ржи, то ему не хватит для покупки лошади 80 р., а если он продаст 20 ц ржи, то после покупки у него останется 110 р. Сколько стоит лошадь?

108.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Купил 112 баранов старых и молодых, дал 49 рублей и 20 алтын. За старого платил по 15 алтын и по 2 деньги, а за молодого по 10 алтын. Сколько старых и молодых баранов купил он?

Познакомимся с решением этой задачи у Л.Ф. Магницкого.

Приведенное решение можно объяснить так.

Пусть сначала за всех баранов заплатили как за молодых — по 30 к., т. е. 112 9 30 = 3360 к. За каждого старого барана платили на 46 - 30 - 16 к. больше, чем за молодого», а за всех вместе на 4960 - 3360 = 1600 к. больше, чем за молодых. Тогда старых баранов было 1600 : 16 = 100, а молодых 112 - 100 = 12.

В тетрадях это решение молено записать так:

1) 112 - 30 = 3360 (к.) — стоят 112 молодых баранов;

2) 4960 - 3360 = 1600 (к.) — надо доплатить за старых баранов;

3) 46 -30 - 16 (к.) — на 16 к. старый баран дороже молодого;

4) 1600 : 16 = 100 (бар.) — число старых баранов;

5) 112 - 100 = 12 (бар.) — число молодых баранов.

109. Старинная задача. Купец купил 110 фунтов табака. 50 фунтов оказались подмоченными, и купец продал их на 2 р. дешевле за 1 фунт, чем заплатил сам. Остальной табак он продал на 3 р. дороже за 1 фунт, чем уплатил сам. Подсчитайте прибыль купца.

Мы не ошиблись, включив в сборник задачи 110-111, решаемые обычно с помощью системы уравнений. Наша цель заключается в том, чтобы задолго до формальных манипуляций с уравнениями учащиеся получили опыт аналогичных действий с верными равенствами. Например, запишем коротко условия задачи 111:

Что теперь можно определить? Например, вес 7 утят и 7 гусят (4900 г), затем вес 1 утенка и 1 гусенка (700 г), а потом вес 3 утят и 3 гусят (2100 г). Сравнение полученного результата с первым условием показывает, что 1 гусенок весит 400 г. В процессе решения пришлось складывать верные равенства, умножать и делить их части на одно и то же число. И это не формальные манипуляции с переменными, обоснования которым даются иногда с помощью графиков функции, а вполне содержательные действия с конкретными величинами.

110.* 1) За краски и 2 кисти заплатили 32 р. 19 к., за краски и кисть — 21 р. 72 к. Сколько стоят краски? Сколько стоит кисть?

2) За 2 тетради и ручку заплатили 6 р. 66 к,, за тетрадь и 2 ручки — 9 р. 93 к. Сколько стоят тетрадь и ручка?

3) За 3 линейки и угольник заплатили 1 р. 12 к., за линейку и 3 угольника — 2 р. 24 к. Сколько стоит линейка? Сколько стоит угольник?

111.* Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2 кг 400 г. Сколько весит один гусенок?

Задачи 112-113 содержат лишние данные и имеют целью подготовку школьников к решению задач на совместную работу («на бассейны»). Аналогичные задачи, по без указания площади поля, объема бака и т. п. включены в § 2 «Дроби». Их сходство

с рассматриваемыми задачами не только в фабуле и в плане решения, но и в постановке вопросов и выборе действия. Рекомендуем к таким задачам отнестись со всем вниманием.

112. а) В рукописи 42 страницы. Одна машинистка перепечатает рукопись за 3 ч, а вторая - за 6 ч. За сколько часов машинистки перепечатают рукопись при совместной работе?

б) Бак вмещает 600 л воды. Через первый кран его можно заполнить за 10 мин, а через второй - за 15 мин. За сколько минут можно заполнить бак через оба крана?

в) Скорый поезд проходит расстояние 900 км между двумя городами за 10 ч, а товарный - за 15 ч. Через сколько часов встретятся поезда, если одновременно выйдут из этих городов навстречу друг другу?

г) Две бригады убрали картофель с площади 12 га за 4 дня. Первая бригада может выполнить эту работу за 6 дней. За сколько дней вторая бригада может выполнить ту же работу?

113. а) Токарь может обточить 72 заготовки за 3 ч, а его ученику на выполнение той же работы требуется в 2 раза больше времени. За сколько часов они обточат 144 такие же заготовки при совместной работе?

б) На первом станке можно отштамповать 480 деталей за 4 ч, а на втором станке на выполнение той же работы требуется в 3 раза больше времени. За какое время можно отштамповать 960 деталей при совместной работе двух станков?

114.* 1) Алеша и Боря вместе весят 82 кг, Алеша и Вова весят 83 кг, Боря и Вова весят 85 кг. Сколько весят вместе Алеша, Боря и Вова?

2) Старинная задача. Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 р.; сложившись без второго - 85 р.; сложившись без третьего - 80 р.; сложившись без четвертого - 75 р. Сколько у кого денег?

3) Старинная задача. Отец имеет семь сыновей. Сумма возрастов первого и четвертого сына равна 9 годам, первого и шестого - 8 годам, второго и пятого - 8 годам, второго и третьего -

9 годам, третьего и шестого - 6 годам, четвертого и седьмого -4 годам, седьмого и пятого - также 4 годам. Сколько лет каждому? Рассмотрим два способа, решения задачи 114(1).

I способ. Сравнение двух первых условий показывает, что Боря легче Вовы на 1 кг, а вместе они весят 85 кг. Боря весит (85 -1):2 = 42 кг, а Алеша, Боря и Вова вместе весят 42 +83-125кг.

II способ. Если записать условие задачи так:

А+Б-82 А+В = 83 В+Б = 85

и сложить левые и правые части равенств, то получим: 2(А+Б+В)= 250,

откуда

А+Б+В = 125. Также двумя способами можно решить и задачу 114(2).

I способ. Из двух первых условий следует, что у II-го купца было на 5 р. больше, чем у I-го. Из второго и третьего условий следует, что у III-го купца было на 5 р. больше, чем у II-го. Если бы III-й купец дал 1-му 5 р., то у I-го, II-го и III-го денег стало бы поровну - по 75:3 = 25р. Значит, у 1-го купца было 25 - 5 = 20 р., у II-го - 25 р., у III-го -25 + 5 = 30 р., у IV-го -30 + 5- 35 р.

II способ. Запишем коротко условие:

и сложим левые и правые части равенств:

откуда

Тогда у I-го купца было 110-90 = 20р., у II-го купца 110 - 85= 25 р., у III го 110 -80- 30 р., у IV-го купца 110 -75- 35 р.

115.* Спортсмен плыл против течения реки. Проплывая под мостом, он потерял флягу. Через 10 мин пловец заметил пропа-

жу, повернул обратно и догнал флягу у второго моста. Найти скорость течения реки, если расстояние между мостами 1 км.

116. Два поезда движутся навстречу друг другу - один со скоростью 70 км/ч, другой — со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд прошел мимо него за 12 с. Какова длина первого поезда?

117*. Три соседки готовили обед на общей плите в коммунальной квартире. Первая принесла 5 поленьев, вторая — 4 полена, а у третьей дров не было - она угостила своих соседок, дав им 9 яблок. Как соседки должны поделить яблоки по справедливости?

При решении задачи 117 учащиеся чаще всего не обращают внимание на то, что яблоки были даны лишь за 3 полена.

118. Железнодорожный состав длиной 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин, а через туннель при той же скорости — за 3 мин. Какова длина туннеля?

119.* 1) Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между A и В равно 30 км?

2) Из пункта А в пункт 23, расстояние между которыми 17 км, выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно с ним из А в В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Велосипедист доехал до 5, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся?

3) Расстояние между двумя пунктами 12 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростями 10 км/ч и 8 км/ч. Каждый из них доехал до другого пункта, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся во второй раз?

Приведем «длинное» решение задачи 119(1) без пояснений:

Его молено упростить, заметив, что в задаче речь идет по сути дела о движении навстречу друг другу с удвоенного расстояния. Тот же ответ получится, если переформулировать задачу следующим образом:

- Расстояние между пунктами А и В равно 60 км. Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через сколько часов после начала движения они встретятся?

Это редкий пример удачной переформулировки задачи, приводящей к упрощению ее решения. В задачах 119(2,3) «длинное» решение в натуральных числах вообще невозможно.

120. На лугу паслось несколько коров. У них ног на 24 больше, чем голов. Сколько коров паслось на лугу?

Наконец, две последние задачи, решения которых содержат один и тот же шаг - найти два числа по их сумме и разности.

121. На вопрос учеников о дне своего рождения учитель ответил загадкой: «Если сложить день и номер месяца моего рождения, то получится 20; если из дня рождения вычесть номер месяца рождения, то получится 14; если к произведению дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900, то получится год моего рождения».

Когда родился учитель математики?

122. Из двух городов, расстояние между которыми 400 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Определите их скорости, если известно, что они встретились через 4 ч и что скорость одного на 10 км/ч больше скорости другого.

§ 2. ДРОБИ

Начнем с небольшой исторической справки о задачах на дроби. Эти задачи являются древнейшими из дошедших до нас по письменным источникам; их решение было весьма сложной проблемой до тех пор, пока не изобрели обозначения для обыкновенных дробей, не разработали правила действий с ними. В Древнем Египте, например, существовали иероглифы только для обозначения дробей с числителем 1. Единственным исключением была дробь g , для которой имелось соответствующее обозначение. Не случайно поэтому в тексте одной из задач папируса Ахмеса находим выражение «две трети от трети скота» (см. задачу 162) - выразить эту часть стада дробью ~^ египтяне еще не могли. В том же папирусе Ахмеса встречается задание «Разделить 7 хлебов между 10 лицами», ответ к^которому в современной записи можно выразить так: ^ + . Решение более сложных задач на дроби, аналогичных задаче 172, было для египтян довольно сложной проблемой.

Гораздо позже Анания Ширакаци (Армения, VII в.) записал ответ в одной из задач в виде: 4" "g ^2 22, что выражает дробь ~ получающуюся сложением указанных дробей (см. задачу 211).

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны сравнительно недавно. Это обстоятельство как будто бы отразилось и на методике обучения решению задач на дроби. До сих пор методисты и авторы учебников особо выделяют аликвотные дроби, называя их

«долями», и различают терминологически, например, нахождение «доли числа» и «дроби числа». Спору нет, изучение дробей должно начинаться с аликвотных дробей так же, как обучение решению составной задачи - с выделения его первого шага. Но ниоткуда не следует, что методическая терминология учителя должна доводиться до учащихся и быть их рабочей терминологией. Тем более, что теперь дробь не определяется как доля или совокупность нескольких долей, как это было в учебниках А.П. Киселева или И.Н. Шевченко. В противном случае с дробями, частями и долями будет трудно избежать вряд ли понятных ученикам формулировок вроде такой: «Вы умеете решать задачи на нахождение числа по заданной его доле. Научимся решать задачи на нахождение числа по заданной его дроби». [3, с. 167] Мы считаем малополезным для учащихся выделение «долей» из всех дробей и задач на нахождение доли числа и числа по его доле из соответствующих задач на дроби, так как в русском языке слова «доля» и «часть» являются синонимами. Слово «доля» употребляют и в тех случаях, когда часть не выражается аликвотной дробью. Имея в виду, что часть числа может быть выражена обыкновенной дробью (в том числе аликвотной), десятичной дробью или в процентах, мы будем говорить о нахождении части числа и числа по его части как общих задачах, частные случаи которых приводят к нахождению доли, процентов числа и обратным задачам. Это небольшое терминологическое уточнение позволит в дальнейшем подчеркнуть взаимосвязь способов решения простейших задач на дроби и проценты. Однако проблема не только в терминологии.

В прошлые годы задачам на дроби уделялось много внимания в начальной школе. Теперь в этом вопросе произошли существенные изменения, о которых не всегда знают учителя, работающие в 5-6 классах. Вернемся на несколько лет назад и рассмотрим задачи на дроби в учебнике математики для 3 (выпускного для начальной школы) класса 1976 года издания. Еще до раздела «Дроби» в нем имеется 8 задач на нахождение доли числа и 3 задачи на нахождение числа по его доле. Причем в первых задачах каждого типа доли записывались слова-

ми, а потом - с помощью дроби. Даже эти первые задачи были составными - в 3 - 4 действия. Правда, простые задачи, связанные с долями (в том числе и с обозначением долей в виде дроби) встречались до этого в учебнике для 2 класса.

В разделе «Дроби» после разнообразной работы по формированию самого понятия «дробь», знакомства с терминами «числитель», «знаменатель», после приведения дробей к новому знаменателю и сравнения дробей с разными знаменателями (все с опорой на рисунки) давался образец решения задачи на нахождение дроби числа в два действия. Дальше на 100 страницах учебника были разбросаны 32 задачи на нахождение дроби числа и 5 задач на нахождение числа по его доле (четыре из них составные). Чтобы читатель получил представление о быстроте нарастания сложности задач, приведем шестую после разобранного образца задачу на нахождение дроби числа и следующую за ней задачу на нахождение числа по его доле.

574. Автотуристы за три дня проехали 360 км; в первый день они проехали ~^,а во второй день - g всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?

575. Отец купил сыну костюм за 24 р., на что израсходовал ^ своих денег. После этого он купил несколько книг, и у него осталось 39р. Сколько стоили книги? [14]

Разумеется, недостаточное число более простых задач и большие временные перерывы между задачами не позволяли добиваться хороших результатов в обучении, но эти и другие недостатки можно было легко устранить. Однако при переходе к четырехлетнему обучению в начальной школе произошла странная вещь — дроби вообще исчезли из учебников. Программа по математике 1988 года предусматривала обучение детей лишь нахождению доли числа и числа по его доле в 3 классе и решение задач на нахождение нескольких долей числа в 4 классе [19]. Но и это требование программы не было выполнено в новом комплекте учебников под редакцией Ю.М. Коля-

гина. Если в учебнике для 4 класса содержится 16 задач первого и 4 задач второго типа (в учебнике для 3 класса - 18 и 14 соответственно), то в нем нет ни одной задачи на нахождение нескольких долей числа. Таким образом, в начальной школе не предполагалось обучение школьников нахождению дроби числа и числа по его дроби.

Здесь нам хочется подчеркнуть, что требования программы 1988 года являлись шагом назад даже по сравнению с требованиями программы трехлетних начальных народных училищ, утвержденной в 1897 году, в которой на втором году обучения предполагалось знакомство учащихся с долями, а на третьем -вычисления с ними. В программе был указан «наибольший размер сведений о долях, какие могут быть допускаемы... : 1) нахождение одной или нескольких частей, которые сами выражаются целым числом; 2) нахождение таких частей единицы, которые наиболее употребительны в жизни (напр. 3) употребление нескольких из числа уже знакомых долей единицы, 4) образование целых из частей единицы и выражение целых в долях единицы; 5) сложение и вычитание одинаковых частей единицы; 6) повторение частей единицы несколько раз; 7) нахождение по целому части и по части целого, когда и данное, и искомое суть целые числа; 8) сложение и вычитание различных долей могут быть допущены только относительно употребительнейших в жизни случаев, напр. Tj" с ^, и если ученики сейчас же угадывают, в каких долях может быть выражена сумма. Все эти упражнения могут быть допускаемы только при решении задач, без всяких теоретических объяснений и выводов».

Из одной крайности - обучения решению сложных и не всегда хорошо организованных в учебнике задач на дроби - начальная школа попала в другую. Теперь она выпускает детей не только не умеющих найти Т числа, но и не видевших такое обозна-

чение в учебнике. Все сказанное говорит за то, что в изучении задач на дроби в начальной школе произошли не самые лучшие изменения. При этом изложение материала, связанного с дробями, в учебниках 5 класса и не изменилось. Этот методический просчет требует определенной компенсации.

Справедливости ради сделаем оговорку. В последнее время появилось много разных учебников для начальной школы, и в некоторых из них изучение дробей достаточно продвинуто. Например, в учебниках Н.Я. Виленкина и Л.Г. Петерсон для начальной школы «пройдены» почти все задачи на дроби. Думается, такое забегание вперед вряд ли оправдано. Оно ведь не сопровождается изучением теоретических сведений о дробях, как это принято в 5—6 классах. Следовательно, обучение может строиться только на подражании учителю.

С чего же нужно начинать работу с задачами на дроби? Очевидно, что сначала учащимся нужно напомнить задачи, которые они решали в начальной школе. При этом на первых порах доли должны задаваться словами: половина, треть, четверть и т. п. Потом - для упрощения чтения и записи - с помощью дробей. Знакомство с терминами «дробь», «числитель», «знаменатель», уяснение их смысла и назначения вполне могут проходить до специально организованной работы по учебнику, так как при решении первых задач сами дроби еще не воспринимаются учащимися как числа, над которыми нужно выполнять действия. Такие задачи есть в разделе 2.1 - их можно решать уже в первом полугодии 5 класса. Здесь же есть и задачи, готовящие учащихся к решению задач «на бассейны». Их решение будет способствовать углублению понимания учащимися смысла дроби.

В разделе 2.1 есть такая задача из раздела «Задачи повышенной трудности» учебника Н.Я. Виленкина и др. (1984 г.):

Колхозница продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая половину остатка и еще пол-яйца, а третья последние 10 яиц. Сколько яиц принесла колхозница на рынок?

С этой задачей связана история, которую стоит вкратце рассказать. Газета «Московский комсомолец» опубликовала

(26.04.87) г. в разделе «Сатира & юмор» реплику В. Сумина, которую мы приводим с сокращениями: «Встречали вы в магазине, чтобы продавали по половине яйца? Нет? Я тоже. А на рынке - пожалуйста! Мы-то, взрослые, знаем, почему. Там целое яйцо не каждому и по карману. И дети пусть об этом знают, пусть! ... А все-таки ушлый народец, эти продавцы!.. И как они умудряются? Я целый день потратил, сотню яиц извел, а пополам ни одного не разделил. Может, мне кто поможет, а?..»

Такой вот грустный получается юмор. Особенно, если учесть, что автор реплики окончил московскую физико-математическую школу № 2, славную своими победителями математических олимпиад различного уровня, и сам написал учебник для металлургических техникумов. Ну, - скажет читатель, -с кем не бывает! И мы бы согласились, да вот беда! После получения 11 писем читателей газета еще раз вернулась к обсуждению «Дела о яйце», напомнив содержание предыдущей публикации следующим образом: «Теперь - о реплике. В ней высказывается нехитрая и в общем-то, на наш взгляд, справедливая мысль, что учебник должен учить не только математике, но и отражать реальные отношения между людьми и предметами. В задаче № 1513 математическая логика вступила в противоречие с обыкновенным здравым смыслом. Математика утверждает, что пол-яйца и пол-яйца будет одно целое яйцо. Здравый смысл говорит, что ни одного...»

В завершение развернутой дискуссии газета опять предоставила слово В. Сумину, который, прочитав письмо Н.Я. Виленкина, содержащее ответ «43 яйца», пишет: «...Это что же получается? Били-били яйцо, разбили пополам, всучили в таком виде покупателям (и где таких смирных отыскали-то?), а оно опять оказалось целым!» и т. д. в том же духе.

Трудно поверить, чтобы взрослые люди, зная ответ, не поняли всю бессмысленность развернутой «научной дискуссии». Трудно также поверить и в то, что это был розыгрыш (хоть это и «Сатира & юмор»). Видимо, дело здесь в другом. Весь сыр-бор разгорелся из-за буквального понимания операции «взять половину всех яиц и еще пол-яйца» и выполнения ее

«физически» - в области тех величин и предметов, о которых идет речь в условии задачи. Если следовать такой логике, то нам, конечно же, не удастся из трех яиц взять половину и еще пол-яйца, т. е. два целых яйца. В этом смысле В. Сумин прав. Но так ли уж серьезно здесь обвинение математиков в отрыве от практики, ведь они решают практические задачи с помощью математических моделей - в данном случае арифметических операций с рациональными числами. Промежуточные результаты решения внутримодельной задачи могут не иметь интерпретации, приемлемой с точки зрения тех величин, о которых идет речь в условии задачи.

На практике часто приходится находить, например, 25 % от 36 человек. Первая операция приводит к результату 0,36 человека, но означает ли это, что сама задача не отражает «реальные отношения между людьми и предметами» или не отвечает «обыкновенному здравому смыслу»? Совсем нет! Этот результат, скорее, показывает, что данную задачу лучше предлагать школьникам тогда, когда они научатся соединять два действия (36:100*25), не интерпретируя промежуточного результата, или получать тот же результат умножением 36 на 0,25. А до тех пор нужно находить 25 % от 36 метров, 36 рублей, 3600 человек и т. п., то есть от таких величии, сотая часть которых может быть легко истолкована.

Из следующего издания учебника (1990 г.) задача № 1513 была исключена (вместе с разделом «Задачи повышенной трудности»). Мы привели эту историю совсем не для того, чтобы развлечь читателя. Она затрагивает важные методические вопросы, связанные с взаимоотношением практической ситуации и ее арифметической модели, которые нам хотелось прокомментировать.

Задачи раздела 2.2 посвящены нахождению части числа и числа по его части. Первые задачи каждого из этих типов надо решать в 2 действия до тех пор, пока все учащиеся не уяснят себе назначение первого шага в решении. Потом эти действия объединяются в одно выражение.

Если по вашему учебнику умножение и деление дробей не изучаются в 5 классе, то следующий шаг в решении задач (нахождение части числа умножением на дробь и числа по его части делением на дробь) придется отложить почти на год. Решения задач из разделов 2.3 и 2.4 основываются на ранее изученном материале и умении выполнять действия с дробями. В 5 классе можно использовать только те из них, в решении которых требуется выполнить сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, а остальные задачи - годом позже. В 6 классе следует решать и задачи «на бассейны» (раздел 2.5) - классические задачи, известные с древнейших времен. Про них следует сказать отдельно.

Достойно сожаления, что в начале 70-х годов из учебников математики 4-5 классов исчезли задачи, отражающие важнейшую, часто встречающуюся зависимость:

(1)

Впрочем, решение самих задач не требует восприятия зависимости между известными и неизвестными величинами в виде равенства (1). Но хотя бы из чисто практических соображений учащимся 5-6 классов необходимо решать задачи типа:

Через первый крап сосуд наполняется за 20 мин, а через второй - за 30 мин. За сколько минут можно наполнить сосуд через оба крана?

Ведь в 8 классе они встретятся с той же арифметической ситуацией, но иначе поставленным вопросом в задаче типа:

Через два крана сосуд наполняется за 12 мин. Известно, что через один первый кран сосуд наполняется на 10 мин быстрее, чем через один второй. За сколько минут можно наполнить сосуд через каждый кран в отдельности?

Отсутствие в учебном процессе первой задачи при наличии второй является просчетом, который необходимо устранить. Ведь для проверки решения второй задачи учащиеся должны составить ей обратную задачу (первую) и решить ее.

Есть и менее очевидные соображения за возвращение в учебный процесс задач «на бассейны». Когда их в свое время исключали, шла борьба против решения задач «по шаблону» -довольно странная борьба, если учесть, что по шаблону, по ранее показанным образцам решается большинство задач, и не только в математике. Кроме того, задачи «на бассейны» критиковались за искусственность и оторванность от практики. Ведь в реальных ситуациях обычно бывают известны объем бассейна, который надо наполнить, задание, которое надо выполнить, расстояние, на которое должны приблизиться участники движения и т. п. Что здесь можно возразить?

Во-первых, ребенок не может сам открыть способы решения всех задач. Проблема заключается совсем не в том, чтобы вовсе избежать шаблонов - это невозможно, а в том, чтобы при изучении способов решения составных задач начинать не с демонстрации учащимся решения, а подводить их к «открытию» этого решения с помощью специально подобранных подготовительных задач.

Использование способов решения нескольких опорных задач и выстраивание из них решения составной задачи - это самостоятельная проблема, решение которой может способствовать развитию ребенка. На следующем этапе обучения эта составная задача сама может выступать как опорная, к которой ученик будет сводить решение более сложной составной задачи. Чтобы не создавать ситуаций, когда ученики запоминают шаги решения и даже воспроизводят их, но не понимают смысла каждого отдельного действия, нужно было изменить методику обучения, но этого-то как раз и не было сделано.

Во-вторых, ценность задач «на бассейны» и многих других типовых задач, решаемых арифметическими методами, заключается совсем не в непосредственной применимости на практике способов их решения. Думается, китайцы, составившие во II в. задачу о дикой утке и диком гусе, вылетевших одновременно навстречу друг другу от северного и южного морей (см. задачу 207), вряд ли имели в виду такую практическую пользу.

Ценность арифметических способов решения задач заключается в их влиянии на развитие мышления ребенка, в конечном счете - в применимости на практике развитого мышления. Есть и другие соображения в пользу задач «на бассейны», связанные с лишними данными, введением отвлеченной единицы, общностью математической модели для различных практических ситуаций - на них мы остановимся в комментариях к решениям задач.

Покажем на примере обсуждаемых здесь задач «на бассейны», как можно выстроить систему задач, готовящую к решению составной задачи. Пусть мы хотим подвести учащихся к решению такой задачи:

Через первую трубу бассейн можно наполнить за 10 ч, а через вторую - за 15 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через обе трубы?

Приведем ее решение без пояснений:

Очевидно, что для самостоятельного выстраивания такого решения (в худшем случае - для его понимания) ученик должен научиться решать три задачи:

A. Бассейн наполняется за 10 ч. Какая часть бассейна наполняется за 1ч? j

B. В каждый час первая труба наполняет бассейна, а вторая - бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы?

C. В каждый час труба наполняет g бассейна. За сколько часов она наполнит бассейн?

Сначала нужно научить школьников решать задачи Л и С -для их решения не требуется выполнять деление. Достаточно, опираясь на понимание смысла дроби, проводить такие рассуждения:

Бассейн наполняется за 10 ч, значит, в час наполняется бассейна.

В каждый час наполняется — бассейна, значит, весь бассейн наполнится за 6 ч.

По мере того, как учащиеся будут осваивать действия с дробями, эти рассуждения можно заменять приведенными выше действиями, а после усвоения способа решения задачи В им можно предложить задачи-связки А —► В и В —► С и составную задачу с промежуточным вопросом:

- Через первую трубу бассейн можно наполнить за 10 ч, а через вторую - за 15 ч. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы? ^

- В каждый час первая труба наполняет бассейна, а вторая - ^5 бассейна. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы?

- Через первую трубу бассейн можно наполнить за 10 ч, а через вторую - за 15 ч. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы? За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы?

Для отработки решения каждой из предложенных задач желательно иметь достаточное число дублей с разными данными и фабулами, а для первой предъявляемой учащимся составной задачи - с промежуточным вопросом. Столь подробная и упорядоченная система задач должна быть составлена в интересах наиболее слабых учащихся, в работе с которыми лучше следовать известному принципу, сформулированному С.И. Шохор-Троцким: «Каждый раз надо стремиться к преодолению только одной трудности». [28]

Представляется более разумным и экономным, более гуманным по отношению к детям предлагать им «цепочки» задач, с помощью которых учитель может целенаправленно подводить учащихся к «открытию» решения составной задачи, учить их при поиске решения новой задачи опираться на хорошо усвоенные способы решения опорных задач. По таким «цепочкам» учащиеся смогут с большей самостоятельностью продвигаться от простых задач к сложным. При этом более подготовленные из них по указанию учителя могут идти вперед более крупными шагами, пропуская ненужные им дубли и промежуточные задачи и переходя к решению необязательных для всех задач. Такая организация работы с задачами повысит эффективность учебного процесса как с точки зрения его результата - научить детей определенным способам действий в определенных ситуациях, так и с точки зрения его влияния на их развитие. Когда же решение составной задачи будет усвоено, ее дубли и более сложные варианты можно предлагать учащимся в порядке повторения вперемешку с задачами других типов.

Описанный порядок организации задачного материала и подготовки учащихся к решению составных задач дает учителю достаточный простор в организации уроков и в создании ситуаций, в которых школьники будут учиться связывать порознь усвоенные приемы решения, комбинировать их при поиске решений новых задач, Этот порядок позволит учителю отказаться от практикуемого сейчас экстенсивного пути обучения -хаотичного предложения учащимся большого числа задач на разные темы в надежде на то, что до них когда-нибудь «дойдут» способы их решения. Этот порядок поможет учителю в обучении школьников решению текстовых задач занять более активную методическую позицию.

Быть может, задачам «на бассейны» мы уделили слишком много внимания. На их примере нам хотелось показать, что методические возможности традиционных арифметических способов решения задач далеко не исчерпаны, что опыт отечественной школы в обучении решению задач требует более внимательного изучения и использования. Кроме того, рассмотренные задачи входят в математический фольклор и ценны именно в этом своем качестве.

В § 2 мы продолжили работу по созданию «исторического фона» обучения, включив в сборник «старинные» задачи. Использование таких задач имеет целью расширение представлений учащихся о практике решения задач в старые времена и развитие у них интереса к предмету через знакомство с его историей. Тем самым преследуется еще одна важная цель: более активное и непосредственное изучение и освоение учащимися опыта предыдущих поколений в сфере деятельности, которой они занимаются.

В заключение отметим, что при решении основных задач на дроби использование десятичных дробей не вносит ничего нового, так как десятичные дроби являются иной записью некоторых из обыкновенных дробей. Считая изучение десятичных дробей после изучения обыкновенных дробей в полном объеме более естественным и оправданным, мы уделили больше внимания именно обыкновенным дробям - тому вопросу, который, в свете последних перемен в начальном обучении, нуждается в наибольшей поддержке. Кроме того, мы надеемся, что естественный порядок изучения обыкновенных и десятичных дробей в скором будущем вернется в школу.

Десятичные дроби впервые появляются в разделе 2.6. Мы предполагаем, что перед их решением учащиеся уже освоили нахождение части числа умножением и числа по его части делением на дробь. Эти задачи лучше использовать в 6 классе.

2.1. ВВОДНЫЕ ЗАДАЧИ

Первый раздел содержит задачи, в которых встречаются слова «половина», «треть» и т. п. - это большей частью знакомые учащимся задачи на нахождение доли числа и числа по его доле. Здесь же для упрощения записей появляется обозначение долей в виде дроби. Так как это новый для учащихся материал, то следует обратить внимание на усвоение ими понятий «числитель» и «знаменатель», на правильное чтение и употребление дробей.

123°. а) Сколько минут содержится в половине, в трети, в четверти часа?

б) Сколько сантиметров содержится в половине, в четверти, в пятой части метра?

124. Туристы проехали на автобусе 48 км, потом они прошли пешком половину того расстояния, что проехали на автобусе. Какое расстояние преодолели туристы на автобусе и пешком?

125. В тетради 24 страницы. Сколько чистых страниц осталось в тетради, если исписали четверть всех страниц?

126. У Алеши 80 марок, у Бори на 20 марок больше, у Вовы -третья часть числа всех марок первых двух мальчиков. Сколько марок у Вовы?

127. 1) В книге 60 страниц. Девочка прочитала в первый день половину, а во второй день - треть всех страниц. Сколько страниц ей осталось прочитать?

2) В книге 60 страниц. Девочка прочитала в первый день половину всех страниц, а во второй день - треть оставшихся. Сколько страниц ей осталось прочитать?

3) В мастерской было 960 м ткани. За месяц израсходовали треть всей ткани, причем на пошив платьев пошла половина израсходованной ткани. Сколько метров ткани пошло на пошив платьев?

128. Старинная задача (Франция, XVII - XVIII вв.). Трое хотят купить дом за 24000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй - одну треть, а третий - оставшуюся часть. Сколько даст каждый?

В такой формулировке эта задача из «Курса математики» Ж. Озанама приведена Г.И. Глейзером. Та же задача у В Д. Чистякова дана в иной редакции:

- Трое хотят купить дом за 26000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй - одну треть, а третий -одну четверть. Сколько даст каждый? [25]

Здесь сумма

превосходит единицу, следовательно, 26000 ливров нужно разделить на части, пропорциональные указанным дробям или числам 6, 4 и 3. Эту задачу можно будет предложить учащимся, но значительно позже.

129°. За четыре дня похода туристы израсходовали половину запасенных продуктов. На сколько дней им хватит оставшихся продуктов? На сколько дней было запасено продуктов?

130. Из 36 белых грибов половину нашел папа, третью часть остатка - мама, а остальные белые грибы нашел сын. Сколько белых грибов нашел сын?

131. Мальчик прочитал 30 страниц, что составило треть всех страниц книги. Сколько страниц в книге?

132. Когда туристы прошли 12 км, то они подсчитали, что пройденная часть пути составляет треть оставшейся. Какова длина пути?

133. Половина учащихся класса участвовала в конкурсе чтецов, треть из них стала победителями. Сколько учащихся в классе, если победителей было 5?

134. Литровая бутылка, наполненная растительным маслом, весит 950 г. Когда из нее вылили половину масла, она стала весить 550 г. Сколько весит масло? Сколько весит пустая бутылка?

В следующих задачах будет встречаться обозначение долей с помощью дробей. Если к этому моменту учащиеся еще не знакомы с дробями, то необходимо объяснить им смысл этого обозначения.

135. Потратили "о от 40 р. Сколько денег потратили?

136. Длина.мотка веревки 27 м. От него отрезали 3 часть. Сколько метров веревки отрезали?

137. 1) Школьники собрали с одного участка 504 кг моркови, с другого — в 3 раза меньше, "g всей собранной моркови израсходовали. Сколько килограммов моркови израсходовали?

2) На сахарный завод привезли в первый день 633 т 600 кг свеклы, во второй день - в 2 раза меньше. Сколько сахара получится из всей свеклы, если масса сахара составляла "g массы свеклы?

138. Столовая израсходовала за 4 месяца 3672 кг овощей: в первый месяц 3 этих овощей, во второй месяц - в 2 раза меньше, чем в первый, а остальные овощи - поровну в третий и четвертый месяцы. По сколько килограммов овощей расходовала столовая в третий и четвертый месяцы?

139.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто оставил в наследство жене, дочери и трем сыновьям 48000 рублей и завещал жене "g всей суммы, а каждому из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из наследников? Познакомимся с решением этой задачи у Л.Ф. Магницкого.

140.° а) Работу выполнили за 4 ч. Какую часть работы выполняли в каждый час?

б) Бассейн наполняется за 5 ч. Какая часть бассейна наполняется в каждый час?

в) Пешеход прошел некоторое расстояние за 6 ч. Какую часть этого расстояния он проходил в каждый час?

141.° а) Путник проходит в час lj пути. За сколько часов он пройдет весь путь?

б) Каждый час труба наполняет g" бассейна. За сколько часов она наполнит весь бассейн?

в) Каждый день выполняется у некоторого задания. За сколько дней будет выполнено задание?

142.° 1) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. На какую часть первоначального расстояния они сближались каждый час?

2) Два путника вышли одновременно навстречу друг другу. Они проходят в каждый час "д всего пути. Через сколько часов путники встретятся?

Задачи 140-142 имеют двойное назначение. С одной стороны, они помогают формированию понятия доли (части) величины, с другой - готовят к задачам «на бассейны». Эти задачи можно решать устно. Желательно при этом изображать расстояние (всю работу и т. п.) в виде отрезка и показывать ту его часть, которая соответствует 1 часу, 1 минуте и т. п.

143.° 1) Поезд проходит некоторое расстояние за 8 ч. Какую часть расстояния он пройдет за 1 ч\ за 2 ч; за 3 ч\ за 8 ч?

2) Из семи дней недели было три солнечных дня. Какую часть недели составляет один день? Какую часть недели составляют солнечные дни?

3) В магазин привезли 200 лампочек; 5 из них оказались неисправными. Какую часть числа всех лампочек составляют неисправные лампочки?

4) В букете было 4 розовых цветка и 3 белых. Какую часть всех цветов составляют белые цветы?

144.* 1) Алеша с папой стреляли в тире. Алеша из 10 выстрелов имел 5 попаданий, а папа из 5 выстрелов имел 3 попадания. Чей результат лучше?

2) Саша и Коля играли в баскетбол. Саша из 10 бросков имел 6 попаданий в кольцо, а Коля из 8 бросков имел 5 попаданий. Чей результат лучше?

Задачу 144 следует предложить учащимся после изучения сравнения дробей, причем мы советуем показать учащимся сравнение дробей с разными знаменателями и в том случае, если это не предусмотрено в учебнике 5 класса. Можно ожидать, что учащимся будет трудно самостоятельно найти решение, приводящее к сравнению дробей. Предложите им использовать уже знакомую идею уравнивания. Предположим, что папа выстрелил еще 5 раз и имел тот же результат - 3 попадания. Сколько всего попаданий будет у папы? Чей же результат лучше?

После обсуждения первого способа решения задачи можно перейти ко второму, задав вопросы: Какую часть всех выстрелов Алеши составляют попадания? Какую часть всех выстрелов папы составляют попадания? Как получить ответ на вопрос задачи?

В задаче 144(2) для уравнивания числа бросков нужно будет взять общее кратное чисел 8 и 10, а для упрощения вычислений -их наименьшее общее кратное.

145. 1) На столе лежало несколько книг. Когда взяли половину всех книг и еще одну книгу, то осталось две книги. Сколько книг лежало на столе первоначально (рис. 4)?

Рис. 4

2)* Мама дала своим детям конфеты: дочери половину всех конфет и еще 1 конфету, сыну половину остатка и последние 5 конфет. Сколько всего конфет мама дала детям (рис. 5)?

Рис.5

3)* Старинная задача. Отец дает денег своим детям. Старшему - половину всего и 1 рубль, среднему - половину остатка и еще 1 рубль, младшему - половину остатка и еще 3 рубля. И таким образом всю сумму раздал. Сколько было денег?

4)* Старинная задача. Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и еще 1 рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег да еще 2 рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да еще 1 рубль. После этого денег у крестьянина совсем не осталось. Сколько денег было у крестьянина первоначально?

При решении задачи 145(1 ) стоит обратить внимание на то, что если из одного из двух равных чисел вычесть, а к другому прибавить третье число, то разность полученных результатов будет в два раза больше третьего числа. Это наблюдение нужно связать с известным учащимся правилом нахождения двух чисел по их сумме и разности. Оно поможет решить задачу: взяли книг на 2 больше, чем осталось.

При решении задачи 145(2) можно изобразить количество всех конфет в виде отрезка, показать на нем количество конфет, данных дочери, и оставшиеся конфеты (рис. 5). Можно попросить учащихся дополнить рисунок, показав на нем отрезок, соответствующий 5 конфетам, о которых идет речь в условии задачи. Дальше им будет нетрудно сообразить, что у мальчика было 10 конфет, а у девочки - на 2 больше. Такого рода схематические рисунки будут полезны и при решении следующих задач.

146. 1) У Васи есть три шоколадки. Он утверждает, что сможет взять половину всех шоколадок и еще полшоколадки, не ломая ни одной них. Сможет ли Вася выполнить свое обещание? Если сможет, то как (рис. 6)?

Рис. 6

2) В вазе лежало 5 яблок. Мальчик взял половину всех яблок и еще пол-яблока. Сколько яблок взял мальчик?

3) В коробке лежали карандаши. Сестра взяла половину всех карандашей и еще полкарандаша. Остальные 4 карандаша взял брат. Сколько карандашей было в коробке первоначально?

147.* Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая — половину остатка и еще пол-яйца, а третья — последние 10 яиц. Сколько яиц принесла крестьянка на рынок?

148.* Старинная задача. К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей, - сказал табунщик, - первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму - половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадыо. Себе же оставлю только 5 лошадей». Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?

2.2. НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИ ЧИСЛА И ЧИСЛА ПО ЕГО ЧАСТИ

В процессе решения задач 149-156 надо подвести учащихся к пониманию правила нахождения части числа:

Чтобы найти часть числа, выраженную дробью, можно это число разделить на знаменатель дроби и полученный результат умножить на ее числитель.

Разумеется, это правило учащиеся могут формулировать лишь для конкретных ситуаций: чтобы найти ~7 числа 24, можно это число разделить на знаменатель дроби 4 и полученный результат умножить на числитель 3.

149. а) На ветке сидели 12 птиц; "о их числа улетели. Сколько птиц улетело? ^

б) В классе 32 учащихся; "Т всех учащихся каталось на лыжах.

Сколько учащихся каталось на лыжах?

150. а) Велосипедисты за два дня проехали 48 км. В первый день они проехали ~ö всего пути. Сколько километров они проехали во второй день?

б) Некто, имея 350 рублей, потратил у своих денег. Сколько денег у него осталось?

в) В тетради 24 страницы. Девочка исписала "g числа всех страниц тетради. Сколько осталось неисписанных страниц?

151. Старинная задача. Купивши комод за 36 р., я потом вынужден был продать его за ^ цены. Сколько рублей я потерял при этой продаже?

152. Автотуристы за три дня проехали 360 км; в первый день они проехали ^, а во второй день - g" всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?

153. 1) В драмкружке занимаются 24 девочки и несколько мальчиков. Число мальчиков составляет "^ числа девочек.

Сколько всего учащихся занимается в драмкружке?

2) В коллекции имеется 45 юбилейных рублевых монет.

Число 3-х и 5-ти рублевых монет составляет ~д числа рублевых монет. Сколько всего юбилейных монет в 1, 3 и 5 рублей в коллекции?

Задачи 154-156 учащиеся дою/сны решать, находя сначала указанную часть величины, а потом увеличивая или уменьшая эту величину на найденную часть. Другой способ решения будет показан позже.

154. 1) Уменьшите 90 рублей на ~Jq~ этой суммы.

2) Увеличьте 80 рублей на у этой суммы.

155. в прошлом месяце цена товара составляла 90 р. Теперь она понизилась на этой суммы. Какова теперь цена товара?

156. в прошлом месяце зарплата составляла 400 р. Теперь она увеличилась на у этой суммы. Какова теперь зарплата?

В процессе решения задач 157-158 и следующих задач нужно подвести учащихся к пониманию и правильному применению правша нахождения числа по его части:

Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, можно эту часть разделить на числитель дроби и полученный результат умножить на ее знаменатель.

Формулировка этого правила сложна из-за необходимости как-то называть число, которое у нас названо «частью». Эту трудность вынуждены обходить и авторы учебников. Так, в учебнике И.В. Барановой и З.Г. Борчуговой правило формулируется лишь для конкретных случаев: чтобы найти число, "g" которого составляют 90 км, надо 90 км разделить на числитель дроби 3 и полученный результат умножить на знаменатель дроби 5. [3, с. 103]

Именно в таком виде им могут пользоваться учащиеся. Правда, говоря о числе, лучше не использовать наименований, так как число и величина не одно и то же.

157. а) 120 р. составляют ~^ имеющейся суммы денег. Какова эта сумма?

б) Определите длину отрезка, "f которого равны 15 см.

158. а) Сыну 10 лет. Его возраст составляет j возраста отца. Сколько лет отцу?

б) Дочери 12 лет. Ее возраст составляет g" возраста матери. Сколько лет матери?

159. На покупку овощей хозяйка израсходовала 6 р., что составило "g имевшихся у нее денег. Затем она купила 2 кг яблок по 7 р. за килограмм. Сколько денег у нее осталось после этих покупок?

160. Отец купил сыну костюм за 24 р., на что израсходовал "о своих денег. После этого он купил несколько книг, и у него осталось 39 р. Сколько стоили книги?

161. Сыну 8 лет, его возраст составляет д" возраста отца. А возраст отца составляет возраста дедушки. Сколько лет дедушке?

162.* Из папируса Ахмеса (Египет, ок. 2000 г. до н.э.). Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:

- Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада? Пастух отвечает:

- Я привожу две трети от трети скота. Сочти! Сколько быков в стаде?

2.3. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

В реальном учебном процессе требуется не так много задач на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателя-

ми - здесь будет достаточно задач из учебника. Больше внимания мы уделим задачам, при решении которых вся величина принимается за единицу. Причем сначала представлять ее лучше как ~2 , "g и т. п. величины.

163. Девочка прочитала g", потом еще "g книги. Какую часть книги она прочитала?

164. Туристы прошли у, потом еще у всего маршрута. Какую часть маршрута им осталось пройти?

165. Два тракториста скосили "л луга, причем первый тракторист скосил g- луга. Какую часть луга скосил второй тракторист?

166. Первый тракторист вспахал у поля, второй - у поля.

Вместе они вспахали 10 га. Определите площадь поля.

167. Решите задачи 150(а-в), используя вычитание дробей.

168. Решите задачи 154(1-2), используя вычитание дробей.

169. 1) На ветке сидели воробьи. Когда третья часть воробьев улетела, то их осталось 6. Сколько воробьев было на ветке первоначально?

2) Некто израсходовал ^ своих денег, и у него осталось 200 р. Сколько денег у него было?

3) В первый день туристы прошли "g намеченного маршрута, а во второй день — оставшиеся 15 км. Какова длина маршрута?

4) У Васи в коллекции 200 марок. За последний год число марок в коллекции увеличилось на . Сколько марок было в коллекции год назад?

170. До обеда токарь выполнил g" задания, после обеда - g" задания, после чего ему осталось обточить 24 детали. Сколько деталей он должен был обточить?

171. Из «Арифметики» Л.Н. Толстого. Муж и жена брали деньги из одного сундука, и ничего не осталось. Муж взял ^ всех денег, а жена— 690 р. Сколько было всех денег?

Советуем обратить внимание на задачи 172-173\ допускающие несколько способов решения. Необходимые рекомендации даны в разделе «Ответы и советы».

172. Решите двумя способами задачи из египетских папирусов.

1) Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Найти количество.

2) Число и его половина составляют 9. Найти число.

173. Составьте задачу, аналогичную египетским задачам, и решите ее двумя способами.

Начиная со следующей задачи в решениях встречаются сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Если этот материал в 5 классе не изучался, то оставшиеся задачи, связанные с дробями, следует отложить до 6 класса.

174. а) Каждый час первая труба наполняет "о бассейна, а вторая - -д бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы?

б) Первая бригада может выполнить в день го задания, а вторая - g" задания. Какую часть задания выполнят две бригады за 1 день совместной работы? ^

в) Легковая машина в час проезжает расстояния между городами, а грузовая - ^2 этого расстояния. На какую часть этого расстояния сближаются за 1 ч машины при движении навстречу друг другу?

175. а) Два тракториста за 1 день совместной работы вспахали "g поля. Первый тракторист вспахал Tj" поля. Какую часть поля вспахал второй тракторист?

б) Две машины, едущие навстречу друг другу, приблизились за 1 ч на иг расстояния между двумя городами. Первая машина проехала-g этого расстояния. Какую часть всего расстояния проехала вторая машина?

в) Через две трубы за каждый час наполняется ~ö бассейна.

Через первую трубу за 1 ч наполняется j~q бассейна. Какая часть бассейна наполняется за 1 ч через вторую трубу?

176. Из бочки вылили сначала о" находившейся в ней воды, потом "д , ß и îq. Какую часть воды вылили?

177.* Я отпил полчашки черного кофе и долил ее молоком. Потом я отпил "g чашки и долил ее молоком. Потом я отпил "g чашки и долил ее молоком. Наконец, я допил содержимое чашки до конца. Чего я выпил больше: кофе или молока?

178. Старинные задачи. 1) Два пешехода вышли в одно время навстречу друг другу из двух деревень. Первый может пройти расстояние между двумя деревнями за 8 % а второй — за 6 ч. На какую часть расстояния они приближаются за 1 ч?

2) Для постройки купальни наняты три плотника; первый сделал в день всей работы, второй — ^, третий— ^. Какую часть всей работы сделали все они в день?

3) Для переписки сочинения наняты 4 писца; первый мог бы один переписать сочинение в 24 дня, второй — в 36 дней, третий — в 20 и четвертый — в 18 дней. Какую часть сочинения перепишут они в один день, если будут работать вместе?

179. 1) Машинистка перепечатала третью часть рукописи, потом еще 10 страниц. В результате она перепечатала половину всей рукописи. Сколько страниц в рукописи?

2) Старинная задача. Прохожий, догнавший другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?

180. Задача Адама Ризе (XVI в.). Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлось т этой суммы, на долю второго — у , а на долю третьего — 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?

2.4. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

181. 1) Стороны прямоугольника "g м и g" м. Вычислите его площадь.

2) Каждый день турист проходит g" намеченного маршрута. Какую часть маршрута он пройдет за 2 дня; за ^ дня; за т дня?

3) Метр ткани стоит 9 р. 60 к. Сколько стоит т м\ ~^ м ткани?

4) Старинная задача. Некто за ^ аршина сукна заплатил 3 алтына. Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна?

182. Старинная задача. Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

После того, как учащиеся научатся умножать дроби и освоят применение этого действия для решения простых задач, им нужно показать обоснование нового способа решения задачи

183(а) на нахождение части числа:

Сформулируем новое правило нахождения части числа. Чтобы найти часть числа, выраженную, дробью, можно число умножить на данную дробь.

Это правило учащиеся также могут формулировать для конкретных случаев: чтобы найти "g" числа 60, можно число 60 умножить на 1=*.

184. Что больше:

185. 1) Уменьшите 90 р. на

2) Увеличьте 15 р. на

Решение задачи 185(1) учащимся знакомо. Его полезно записать по действиям:

Потом составить выражение 90 — 90 -/g для решения задачи; вынести общий множитель 90 за скобки и выяснить с учащимися смысл действия 1 — ~ô. Теперь можно рассмотреть второй способ решения:

Задача 185 готовит учащихся к решению соответствующих задач на проценты, а понимание смысла действий 1 — g" и 1 + ~F потребуется им при решении многих задач на дроби и проценты. Аналогичные задачи легко составят и сами учащиеся, только желательно пользоваться «именованными» числами, чтобы не провоцировать действия типа 90 — "о (см. задачу 185(1)).

186.* Число 200 увеличили на этого числа, полученный результат уменьшили на его ~Jq. Получилось ли снова число 200? Ответ обосновать.

Задача 186 знакомит учащихся с ситуацией, с которой им лучше освоиться до того момента, когда она встретится при решении задач на проценты.

187. а) Найдите число, 1=" которого равны 60.

б) Найдите число, га которого равны 99.

После того, как учащиеся научатся делить дроби и освоят применение этого действия для решения простых задач, им нужно показать обоснование нового способа решения задачи 187(a) на нахождение числа по его части:

Сформулируем новое правило нахождения числа по его части.

Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, можно эту часть разделить на данную дробь.

И это правило учащиеся могут формулировать для конкретных случаев: чтобы найти число, ~Е которого равны 60, можно 60 разделить на ~Е .

188. 1) За 4 дня похода израсходовали "с всех запасенных продуктов. На сколько дней было запасено продуктов?

2) На стоянке автомашин было 15 «Жигулей». Они составляли ~д всех автомашин. Сколько всего автомашин было на стоянке?

189. а) Число уменьшили на Jq этого числа, получилось 210. Найдите число.

б) Задумали число, увеличили его на у задуманного числа и получили 56. Какое число задумали?

190. Столб вкопали в землю на его длины. Он возвышается над землей на 6 м 30 см. Определите длину столба.

191. Половина книг школьной библиотеки - учебники. Шестая часть всех учебников - учебники математики. Какую часть от всех книг составляют учебники математики?

192. В классе 18 мальчиков и 16 девочек, g" мальчиков и ~7 девочек занимается в литературном кружке. Сколько учащихся класса занимается в литературном кружке?

193, а) У мальчика было 24 р. Он потратил "J этой суммы и 2; остатка. Сколько денег он потратил?

б) Туристы прошли за три дня 48 км. В первый день они прошли j всего расстояния, а во второй день — "g остатка.

Сколько километров они прошли в третий день?

194.1) В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал 5 , после обеда - ^ привезенных арбузов, и осталось продать 80 арбузов. Сколько арбузов привезли в магазин?

2) Некто израсходовал половину своих денег и g* остатка. После этого у него осталось 6 р. Сколько денег было у него первоначально?

195. Задача Бхаскары (Индия, XII в.). Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве - третью долю этого множества, Вишну - пятую и Солнцу - шестую; четвертую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?

196. Старинная задача. Капитан на вопрос «Сколько людей имеет он в своей команде?* ответил, что Т его команды в карауле, J в работе, *j в лазарете, да еще 27 человек налицо.

Спрашивается число людей его команды.

197.* Из «Азбуки» Л.Н. Толстого. Мужик вышел пешком из Тулы в Москву в 5 ч утра. В 12 ч выехал барин из Тулы в Москву. Мужик идет 5 верст в каждый час, а барин едет 11 верст в каждый час. На какой версте барин догонит мужика?

198.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Два почтальона А и В находятся друг от друга на расстоянии 59 миль. Утром они отправляются друг другу навстречу. А проходит в два часа 7 миль, В - в три часа 8 миль, но В выходит часом позднее, чем А. Сколько миль пройдет А до встречи с В?

199. Задача Герона Александрийского (I в.). Бассейн емкостью 12 кубических единиц получает воду через две трубы, из которых одна дает в каждый час кубическую единицу, а другая в каждый час - четыре кубические единицы. В какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?

200. Нужно проверить 360 тетрадей диктанта. Один учитель может проверить их за 15 ч, другой - за 10 ч, третий - за 6 ч. За сколько часов они проверят тетради втроем?

2.5. ЗАДАЧИ «НА БАССЕЙНЫ» И ДРУГИЕ

Этот раздел начинается знакомыми задачами. Новое в их решении заключается в том, что теперь вместо рассуждении типа «Бассейн можно наполнить за 3 ч, значит, в каждый час наполняется ^ бассейна» или «В каждый час наполняется ^ бассейна, значит, бассейн можно наполнить за 2 ч» учащиеся будут писать действия: 1:3 = "g и 1: ^ = 2. При этом каждый раз предполагается и устно оговаривается, что объем бассейна (расстояние, выполненная работа и т. п.) принимается за единицу. Отметим, что без такого перехода к делению учащимся будет сложено решать задачи с дробными ответами (207,211 и др.).

201. 1) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 3 ч, через вторую — за 6 ч. Какую часть бассейна наполнит каждая труба за 1 ч?

2) За 1 ч первая труба наполняет ^ бассейна, а вторая - 7j бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 ч совместной работы? За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?

3) Через первую трубу можно наполнить бак за 10 мин, через вторую - за 15 мин. За сколько минут можно наполнить бак через обе трубы?

202. Старинная задача. Путешественник идет из одного города в другой 10 дней, а другой путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

Задачи 203(а-в) составлены с таким расчетом, чтобы показать, что различные по фабуле задачи могут отражать одну и ту же арифметическую ситуацию, могут иметь один и тот же способ решения.

203. а) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 20 ч, а через вторую - за 30 ч. За сколько часов наполнится бассейн через обе эти трубы?

б) Один ученик может убрать класс за 20 мин, а второй - за 30 мин. За сколько минут они могут убрать класс, работая вместе?

в) Грузовая машина может проехать расстояние между двумя городами за 30 ч, а легковая - за 20 ч. Машины одновременно выехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?

204. На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям - на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит привезенного корма и уткам, и гусям вместе?

Завершая цепочку задач рассматриваемой серии, приводящих к сложению дробей, можно напомнить учащимся задачу 112(6). Желательно обратить внимание учащихся на то, что эта задача уже была ими решена (№201(3)). При этом объем бака не учитывался. Это означает, что задача 112(6) содержит лишнее условие - объем бака. Учащимся нужно предоставить возможность убедиться в том, что от замены числа 600 на 300 или любое другое число ответ не меняется. Здесь, конечно, нужна оговорка: мы предполагаем, что при уменьшении объема бака, например, в 2 раза, скорость вытекания воды тоже уменьшается в 2 раза. Решения с различными числовыми данными нужно обсудить устно, записать одно из них с краткими пояснениями на доске и использовать его для сравнения с новым способом решения. Например:

Разумеется, несколько случайных проб, в результате которых получен ответ «6 минут», еще не доказывают утверждения «В этой задаче ответ не зависит от объема бака». Для его доказательства учитель может прибегнуть к помощи букв. После 2-3 решений с различными числовыми данными можно привести аналогичное решение с буквой. При этом буква выступает не как переменная (что далеко от опыта ребенка данного возраста), а как неизвестное число.

Пусть объем баках л, тогда

Здесь нужно подчеркнуть, что вместо числа х можно было взять число 300, 200 или любое другое число - в каждом случае в последнем действии дробь сократится на это число. Значит, ответ не зависит от выбора числа х.

205. а) Заготовленных материалов хватит для работы двух цехов в течение 10 дней, или одного первого цеха - в течение 15 дней. На сколько дней хватило бы этих материалов для работы одного второго цеха?

б) Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один вспахать то же поле за 10 ч. За сколько часов второй тракторист мог бы вспахать это поле?

206. Старинная задача. Один человек выпьет кадь1 пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь. Учащимся можно показать старинное решение задачи: За 140 дней человек выпьет 10 бочонков, а вместе с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков. Значит, за 140 дней жена выпьет 14-10 = 4 бочонка. Один бочонок она выпьет за 140 :4 = 35 дней.

Разумеется, для решения этой задачи было бы проще взять 70, а не 140 дней.

207.* Старинная задана. (Китай, II в.) Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Условие задачи 208 провоцирует «сбой» - решение по шаблону в ситуации, когда никакой совместной работы не происходит.

208.* Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая - за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?

Ее решение можно оформить так:

1 Кадь, кадка, кадушка — деревянная обручная посуда с одним дном (по Далю).

Два первых действия можно заменить одним (3:9- lj ), определив, какую часть работы выполнит I бригада за 3 дня,

209.* Из пунктов Л и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после выхода, а через 32 мин после встречи первый пришел в В, Через сколько часов после выхода из В второй пришел в Л?

210.* Из пункта А в пункт В выехала грузовая машина. Одновременно с ней из пункта В в Л выехала легковая машина. Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и еще через 3 ч прибыла в пункт В, Сколько времени потратила легковая машина на путь из В в Л?

211.* Старинная задача. (Армения, VII в.). В городе Афинах был водоем, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоем за 1 ч, другая, более тонкая, - за 2 ч} третья, еще более тонкая, - за 3 ч. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоем.

Обратите внимание на то, что задачи 212(а, б) полностью воспроизводят арифметическую ситуацию предыдущей задачи -те же числовые данные, но иной сюжет и вопрос.

212.* Старинные задачи, а) Лошадь съедает воз сена за месяц, коза - за два месяца, овца - за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

б) Лев съел овцу за один час, волк съел овцу за два часа, а пес съел овцу за три часа. Спрашивается, как скоро они втроем съели бы овцу.

Заметим, что старинное решение задачи 212 (б), приведенное в математической рукописи, основано на предположении, что лев, волк и пес едят овец в течение 12 часов. [10, с. 45] Тот же прием использует автор рукописи для решения следующей задачи.

213.* Старинная задача. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за 1 год, второй - за 2 года, третий - за 3 года, четвертый - за 4 года. Спрашивается, за сколько лет они построят дом при совместной работе.

В 12 лет каждый плотник в отдельности сумеет построить: первый —12 дворов, второй - 6 дворов, третий - 4, четвертый - 3. Таким образом, за 12 лет они могут построить 25 дворов. Следовательно, один двор все вместе они сумеют построить за

Приведенные способы решения задач стоит показать детям для того, чтобы подчеркнуть важную мысль: авторы решений применяли такие нереалистичные, хоть и остроумные, рассуждения, видимо, потому, что не умели действовать с дробями.

214.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить ее один раз за 3 недели, В — три раза за 8 недель, С — пять раз за 12 недель. Спрашивается, в какое время они смогут выполнить эту работу все вместе. (Считать в неделе 6 рабочих дней по 12 ч).

Более сложным продолжением рассматриваемой серии задач являются задачи на движение по реке.

215.* Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки - за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту на такое же расстояние?

Покажем решение первой задачи из этой серии. Примем все расстояние за 1, тогда за 1 ч катер проходит по течению а по озеру — всего расстояния; по течению на расстояния больше - это и есть часть расстояния, на которую в час течение сносит все предметы. Значит, то же расстояние плот проплывет за 30 ч. Без пояснений решение можно записать так:

Труднее всего здесь объяснить результат третьего действия. Объяснение можно упростить, введя букву. Пусть х км - данное расстояние, тогда

216.* Расстояние между двумя пристанями по течению катер проходит за 8 ч, а плот - за 72 ч. Сколько времени потратит катер на такой же путь по озеру?

217.* Лодка проплыла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за 12 ч. Сколько времени затратит лодка на тот же путь по течению реки? против течения?

218.* а) Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и В по течению реки за 2 ч, а плот - за 8 ч. Какое время затратит моторная лодка на обратный путь?

б) Плот плывет от А до В 40 ч, а катер - 4 ч. Сколько часов катер плывет от В до Л?

219.* а) Теплоход от Киева до Херсона идет трое суток, а от Херсона до Киева — четверо суток (без остановок). Сколько времени будут плыть плоты от Киева до Херсона?

б) Из Нижнего Новгорода в Астрахань теплоход плывет 5 суток, а обратно — 7 суток. За сколько суток из Нижнего Новгорода в Астрахань приплывут плоты?

в) Расстояние между двумя пунктами пароход проходит вниз по течению реки за 2 ч, а вверх по течению - за 3 ч. За сколько часов между теми же пунктами проплывет бревно?

Рассмотрим решение задачи 219(a). Пароход в сутки проходит по течению реки 1:3 т ~5 пути, а против течения 1:4- ^ пути. Вычтем ~^ из jjr, получим ^ > 40 Это еще не «скорость течения» - полученный результат надо поделить на 2. Плоты за сутки проходят 24 пути, значит, весь путь пройдут за 1: 24 = 24 дня.

Эту задачу, как и большинство задач данной серии, можно решить, обозначив буквой все расстояние (работу и т. п.). Такой алгебраический прием не приводит к уравнению, но позволяет проще объяснить отдельные шаги решения.

Пусть х км - расстояние от Киева до Херсона, тогда скорость парохода по течению ~ö км/сут., против течения — ~^ м/сут.

220.* 1) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады - за 18 дней; первая и третья бригады - за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?

2) В бассейн проведены три трубы. Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин; через первую и третью тру-

бы он наполняется за 1 ч 24 мин; а через вторую и третью — за 2 ч 20 мин. За сколько минут наполнится бассейн через все три трубы?

3) По условию задачи 220(1) определите, за сколько дней третья бригада сможет выполнить то же задание, работая отдельно?

Приведем решение задачи 220(1):

221.* 1) За 1 ч прогулочный катер может проплыть 10 км против течения или 15 км по течению реки. На какое наибольшее расстояние он может удалиться от пристани и вернуться обратно во время часовой прогулки?

2) Швейный цех выпускает за смену 300 джинсовых курток или 600 джинсовых брюк. Сколько джинсовых костюмов, состоящих из куртки и брюк, может выпустить швейный цех за смену?

Рассмотрим решение задачи 221(1). На 1 км по течению и 1 км против течения катер тратит ~Jq + = ~ß ч. Тогда за 1 ч катер может удалиться от пристани на 1 : ~ß - в км и вернуться обратно.

Задачу 221(2) можно решить двумя способами.

I способ. На одну куртку тратится Jqq, а на одни брюки — ßOQ смены, т. е. на один костюм тратится Jqq + qqq - 2ö0 смены, поэтому за смену швейный цех выпустит 1 : s 200 костюмов.

II способ. По условию задачи, на одну куртку тратится вдвое больше времени, чем на одни брюки, следовательно, вместо 100 курток цех может пошить 200 брюк. Тогда за смену цех выпустит 300 курток или 200 курток и 200 брюк, то есть 200 костюмов.

2.6. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

В этот раздел включено небольшое число задач, в решении которых используются десятичные дроби. Мы предполагаем, что их решение позволит учащимся закрепить второй способ нахождения части числа и числа по его части (умножением и делением на дробь соответственно) и подготовиться к решению задач на проценты.

222. 1) Вася сказал, что у них в классе 35 учащихся и девочки составляют g" всех учащихся. Папа заметил, что такого не может быть. Почему?

2) Известно, что ^5 класса учатся на «4» и «5». Сколько учащихся может быть в классе?

3) Известно, что "g класса девочки и у из них отличницы.

Сколько учащихся в классе?

4) Известно, что ~g класса отличники, a g" класса - девочки. Сколько учащихся в классе?

223. Старинная задача. Мастер сплавил 3 куска серебра в 4 фунта, в -Q фунта ив g фунта, сделал из него ложки и продал их. Сколько получил он денег, если фунт серебра ценил в 24 р., да за работу взял 8 р.?

224. 1) Ставка учителя математики составляет 18 уроков в неделю. Какую часть ставки имеет учитель, ведущий: 18 уроков? 24 урока? 27 уроков?

2) У преподавателя музыки обучаются игре на фортепиано четверо старших и семеро младших школьников. Какую часть ставки имеет преподаватель музыки, если на ставку у него должно быть 9 старших или 12 младших школьников?

225. 1) Книга и тетради стоят 12 р. Стоимость тетрадей составила 0,4 стоимости всей покупки. Сколько стоят тетради?

2) Конфеты и печенье стоят 70 р. Стоимость конфет составила 0,3 стоимости всей покупки. Сколько стоят конфеты?

226. 1) Папе 40 лет. Возраст сына составляет 0,3 возраста отца. Сколько лет сыну?

2) Бабушке 60 лет. Возраст мамы составляет 0,6 возраста бабушки. На сколько лет бабушка старше мамы?

227. 1) В книге 300 страниц. Прочитали 0,6 всей книги. Сколько страниц осталось прочитать?

2) В коллекции было 200 марок. За год их число увеличилось на 0,2 первоначального числа. Сколько марок стало в коллекции?

228. 1) Бригада заасфальтировала 10 км шоссе, что составило 0,2 всего расстояния между двумя городами. Определите это расстояние.

2) Туристы прошли пешком 8 км, что составило 0,4 длины всего маршрута. Какова длина маршрута?

229. а) Найдите 0,6 числа 240. 6) Найдите 0,7 числа 280.

230. а) Найдите число, 0,6 которого равны 240. б) Найдите число, 0,7 которого равны 280.

231. 1) В магазин привезли 600 роз и гвоздик. Число роз составило 0,4 числа всех цветков. Сколько гвоздик привезли в магазин?

2) Потратили 0,2 от 540 р. Сколько рублей осталось?

3) Потратили 0,3 имевшейся суммы денег, осталось 210 р. Сколько денег было первоначально?

232. 1) В коллекции было 240 значков. За год их число увеличилось на 0,3 первоначального числа. Сколько теперь значков в коллекции?

2) В банк положили 400 р. За год вклад увеличится на 0,3 этой суммы. Какой станет сумма вклада через год?

3) Увеличьте число 810 на 0,5 этого числа.

233. 1) За и у м ленты заплатили 18 р. Сколько стоит 1 м ленты?

2) За ~2 м тесьмы заплатили на 6 р. больше, чем за т м такой же тесьмы. Сколько стоит 1 м тесьмы?

3) Старинная задача. За 11 копеек куплены одна пятириковая (в "g фунта) и одна шестириковая (в ~q фунта) стеариновые свечи. Сколько стоит фунт стеариновых свечей?

234.* У Саши на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал ~q часть пирога, второму — "g остатка, третьему — ^ того, что осталось, четвертому — ^ нового остатка. Последний кусок Саша разделил пополам с пятым другом. Кому достался самый большой кусок?

Заметим, что при решении задачи 234 школьники чаще всего начинают с обозначения всего пирога через х (или через 1) и пускаются в долгие вычисления. Если ваши учащиеся поступят

так же, не надо мешать им в полезном упражнении, результат которого легко проверить с помощью рис. 7. Пусть пирог разделен на 6 равных частей. Первому дали "g пирога - 1 кусок, осталось 5 кусков; второму дали "д от этих 5 кусков, то есть такой же кусок и т. д. В результате все получили поровну. Здесь надо подчеркнуть, что поиску решения задачи часто помогает схематический рисунок.

235.* 1) В нашем классе есть певцы и танцоры. Известно, что Tj всех певцов еще и танцует, а ~£ танцоров еще и поет. Кого у нас в классе больше: певцов или танцоров?

2) В делегации иностранных гостей g говорящих по-английски говорит и по-немецки, a i=- говорящих по-немецки говорит и по-английски. Кого в делегации больше: говорящих по-немецки или говорящих по-английски?

3) В делегации иностранных гостей о" англичан знала немецкий язык, а у немцев знала английский язык. Кого в делегации больше: немцев или англичан? Можно ли ответить на этот вопрос?

Решению задачи 235(1) существенно поможет рис. 8, а вот с задачей 235(3) труднее. Здесь "g англичан и у немцев - это не одна и та же группа людей. Поэтому ответить на поставленный вопрос нельзя.

Рис. 7 Рис. 8

236. Легковая машина может проехать расстояние между двумя городами за 3 g" ч, а грузовая - за 5 ч. Машины выехали из этих городов одновременно навстречу друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся?

237.* Древнеримская задача (IIв.) Некто, умирая, завещал: если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано о" имения, а жене остальная часть. Если же родится дочь, то ей - g, а жене - ^. Родилась двойня - сын и дочь. Как разделить имение?

Из условия задачи следует, что мать должна получить в 2 раза больше, чем дочь, а сын - в 2 раза больше, чем мать. Дочери достанется 1 часть, матери - 2, сыну - 4, то есть ч , ч 4 ' ' и у имения соответственно.

238.* Из Акмимского папируса (VI в.) Некто взял из сокровищницы "уд" • Из того, что осталось, другой взял ~jy. Оставил же в сокровищнице 150. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?

239.* Старинная задача (Индия, XI в.) Есть кадамба цветок, На один лепесток Пчелок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла Вся в цвету сименгда И на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, Ее трижды сложи И тех пчел на Кутай посади.

Лишь одна не нашла Себе места нигде Все летала то взад, то вперед и везде Ароматом цветов наслаждалась. Назови теперь мне, Подсчитавши в уме, Сколько пчелок всего здесь собралось. Было бы неплохо, если бы учащиеся смогли подсчитать число пчелок устно, как этого требует условие задачи.

240.* Старинная задача (Армения, VII в.). Один купец прошел через три города, и взыскали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества, во втором городе — половину и треть (с того, что осталось), и в третьем городе снова взыскали половину и треть (с того, что у него было); и когда он прибыл домой, у него осталось 11 дахеканов (денежных единиц), узнай, сколько всего дахеканов было вначале у купца.

241.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят: за первую игрушку заплатил "g часть всех своих денег, за другую— у остатка от первой покупки, за третью игрушку заплатил "jj остатка от второй покупки, а по приезде в дом нашел остальных в кошельке денег 1 р. 92 к. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за которую игрушку денег заплачено.

Начнем решение задачи с конца, постепенно заполняя рис. 9, на котором вся сумма изображена в виде прямоугольника. 192 к.— это 1 - ~Е = "? второго остатка, который равен 192 : т = 480 к. Эта сумма составляет 1 - у = у первого остатка, который равен 480 : у - 840 к. Эта последняя сумма составляет 1 - у = j всей суммы, которая равна 840 : Т= 1050 к., или Юр. 50 к.

Рис.9

242.* Старинная задача. Надгробная надпись на могиле Диофанта имеет следующее содержание: «Диофант провел шестую часть своей жизни в детстве, двенадцатую - в юности, после седьмой части, проведенной в бездетном супружестве, и еще пяти лет у него родился сын, умерший по достижении половины числа лет жизни отца, после чего Диофант прожил только 4 года». Сколько лет жил Диофант?

Задачу о возрасте Диофанта можно решить с помощью уравнения. Мы вовсе не исключаем такой возможности, но и арифметическое решение не представит большого труда, если заметить, что "g , ^ и У возраста Диофанта и еще 4+5= - 9 лет приходятся на половину его возраста, которую он прожил до рождения и после смерти своего сына. То есть 9 лет составляют возраста Диофанта, который прожил 84 года.

243.* Старинная задача. Смешано два сорта кофе: 10 2 пуда первого сорта по шести гривен за фунт и 21 пуд второго сорта по 12 р. за пуд. Что стоит фунт смеси?

244.* Задача Метродора. Корона весит 60 мин (греческая мера) и состоит их сплава золота, меди, олова и железа. Золото и медь составляют "g, золото и олово — ~£, золото и железо — ~Е общего веса. Определить вес каждого металла в отдельности.

Сначала определим, сколько мин приходится на каждую из упомянутых в условии задачи частей.

Сумма полученных результатов превышает массу короны на удвоенную массу золота.

Завершим § 2 примером, подтверждающим своеобразный закон сохранения занимательных задач: их недостаток в учебниках восполняется в газетах и журналах. Это измененная в первой строке задача С. Сатина (Крокодил, 1990, № 34).

245. За пять недель пират Ерема способен выпить бочку рома.

А у пирата у Емели ушло б на это две недели.

За сколько дней прикончат ром пираты, действуя вдвоем?

§ 3. ПРОПОРЦИИ

Задачи, решаемые с помощью пропорций, по традиции изучаются в курсе арифметики 5-6 классов. Считается, что именно в этом возрасте учащиеся должны научиться решать пропорции, ознакомиться с двумя практически важными зависимостями - прямой и обратной пропорциональностями, научиться их различать и решать соответствующие задачи. Изучение пропорций и указанных зависимостей мало связано с потребностями самого арифметического курса или с потребностями обучения решению задач в 6 классе - в учебниках, как правило, нет задач на прямую и обратную пропорциональность, которые нельзя было бы решить без пропорций. Однако, использование пропорций имеет большое значение для последующего изучения математики. В учебниках 6 класса часто и задачи на проценты предлагается решать с помощью пропорций. Хотя, на наш взгляд, решение задач на проценты не нуждается в применении пропорций.

Рассмотрим прием решения задач на пропорции, который, видимо, принадлежит учителям химии, утомленным плохим знанием учащимися процентных расчетов. Он сводится к совету: в записи

отделите двумя чертами числовые данные в двух строках, сблизьте две черточки до получения знака «=» и решите полученную пропорцию:

Иногда в процессе решения задач пропорция не фиксируется в явном виде. Например, в пособии для «500 задач по химии» (Просвещение, 1981) дана краткая запись решения:

Как видим, здесь пропорции остались «за кадром», учащиеся могут умножать и делить числа «крест-накрест». Ничего предосудительного в таком способе оформления решения нет, им вполне можно пользоваться при решении большого числа однотипных задач на уроках химии. Правда, мы бы не стали применять громоздкий общий прием в очевидном случае «б» и использовать знак «=» вместо знака «~» в случае «в». Но мы уверены, что если учащийся не разбирается в пропорциях и не может объяснить смысл своих действий, то решение задач по образцу дает мало пользы для его развития.

Химикам хорошо! Они имеют дело с прямой пропорциональностью. А учащиеся 6 класса (особенно пропустившие объяснение учителя) иногда приносят из дома такой способ решения первой задачи без пропорции: «перемножим числа крест-накрест: 20 умножим на 100, х - на 400, приравняем полученные результаты и найдем х». Таких учащихся трудно учить применению пропорций, так как они считают более простым свой способ, но эта трудность легко снимается после попыток решать способом «крест-накрест» задачи на обратную пропорциональность.

Отметим, что правило «умножай и дели крест-накрест» сродни правилам, которые применяли в старину при решении арифметических задач. Воспользуемся этим обстоятельством и вернемся еще раз к истории вопроса. Но сначала уточним терминологию.

В давние времена для решения многих типов задач существовали специальные правила их решения. Знакомые нам задачи на прямую и обратную пропорциональность, в которых по трем значениям двух величин нужно найти четвертое, назывались задачами на тройное правило (простое тройное правило). Если же для трех величин были даны пять значений и требовалось найти шестое, то правило называлось пятерным. Аналогично для четырех величин существовало «семиричное» правило. Эти правила назывались еще задачами на сложное тройное правило.

В первом параграфе нашей книги мы привели фрагмент из книги И. Бёшенштейна (1514 г.), в котором отражено почти мистическое отношение обучающих к тройному правилу, а само изложение материала имеет ярко выраженный рецептурный характер. Обучение по правилам было широко распространено и в России. Желая описать методику обучения решению задач времен Л.Ф. Магницкого, сошлемся на С.И. Шохор-Троцкого, который в своей «Методике арифметики для учителей средних учебных заведений» писал: «Насколько преизобиловали правилами книги по арифметике встарину - можно судить по весьма почтенному для своего времени труду Леонтия Магницкого... В книге первой... кроме множества правил о целых и дробных числах, изложены правила, называемые автором «подобными» (ныне называемые тройными)... автор различает: правило тройное в целых, правило тройное в долях, правило тройное сократительное, правило «возвратительное» (обратно-пропорциональное), правило пятерное, правило «семиричное».,., а затем, в виде применения этих правил, предлагает ряд «статей»: статью тройную торговую («в целых» и «в долях»), тройную торговую о куплях и продажах, тройную торговую в товарных овощах и «с вывескою» (то есть о вычислении тары товара), о «прикупах» и о «накладах», «вопросную» о тройном правиле, «вопросную же со времены», «деловую в тройном правиле», торговую «меновную в тройном правиле»... [26]

Далее С.И. Шохор-Троцкий приводит фрагмент из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого, из которого хорошо видно, что ре-

цептурный стиль изложения материала, характерный для более ранних европейских источников, в первом российском учебнике арифметики еще не был преодолен. В этом фрагменте, посвященном применению пятерного правила, сначала дается определение правила и пример на его применение (текст задачи здесь выделен курсивом), потом рецепт для получения ответа; в других случаях рекомендуется поступать так же.

«Пятерное правило есть, егда случаются таковые сметы творити, яже не могут иным чином или правилом уразуметися, токмо через сие пятерное или пятиперечневое, глаголется же и тройно-сугубое... понеже пять перечней [чисел] в правиле поставляется, а шестый изобретается...: некто име сто рублев в купечестве един год, и приобрете ими токмо 7 рублей, и паки отдал в купечество 1000 рублев на 5 годов, колико ими приобрящет, и ты твори сице, поставив почину тройнаго правила:

И умножай два перечня иже от левыя руки между собою, также прочыя три иже к правой руке, такожде между собою порядком умножай, и произведение их раздели тем произведением еже от дву первых произведеся: яко же зде». [там же]

О возможности использования задач такого рода в процессе обучения мы еще поговорим, а пока, следуя правилу, получим верный ответ:

Во времена С.И. Шохор-Троцкого еще сохранилась традиция решения задач по правилам. Наиболее известным учебником арифметики того времени был учебник А.П. Киселева (первое издание в 1884 г.). Чтобы читатель получил представление о методике изложения материала, связанного с задачами на тройное правило, в этом учебнике, смог представить себе практику обучения школьников решению задач на прямую и обратную пропорциональность в то время, приведем несколь-

ко выдержек из 9-го издания этого учебника (1896 г.). Наши комментарии в тексте выделены курсивом.

Простое тройное правило.

Задачи на это правило решаются способом пропорций или приведением к единице.

Задача. 8 аршин сукна стоят 30 руб.; сколько стоят 15 аршин этого сукна?

Способ пропорций. Обозначим буквою х стоимость 15-ти арш. сукна и расположим числа так:

Так как стоимость сукна пропорциональна количеству аршин, то

Приведение к единице. Чтобы решить задачу этим способом, узнаем сначала, сколько рублей стоит 1 аршин (от этого самый способ наз. приведением к единице). Ход решения для ясности расположим строчками:

Заметим, что изложить материал в учебнике можно было бы проще. Ведь второй способ решения задачи является всего лишь другой записью решения по действиям:

Таким способом, по с выражением стоимости сукна в копейках, учащиеся должны были уметь решать задачу еще до изучения действий с дробями, Способ приведения к единице с намеренным сохранением сократимых дробей был необходим для изложения решения задачи на сложное тройное правило, для «окончательной формулы», для обучения школьников последовательному изменению сначала одной величины (как здесь), а потом и нескольких величии (как при решении задач на сложное тройное правило),

Также двумя способами (сначала с помощью пропорции, потом приведением к единице) решена и задача на обратную пропорциональность,

Способ решать такие задачи, в которых дано по одному соответствующему значению двух величин, прямо или обратно пропорциональных, а требуется найти, какое значение примет одна из них, если другая получит повое данное значение, наз. простым тройным правилом.

Далее приведена задача на сложное тройное правило, сложность которой превышает потребности первоначального обучения - здесь было бы достаточно взять три величины, а не четыре (то есть взять задачу на пятерное правило, как у Л.Ф, Магницкого, а не на «семиричное»).

Сложное тройное правило.

Задача. Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фун. керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунт, керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

Способ пропорций. Расположим данные этой задачи в две строки:

Если оставить без изменения число фунтов и ламп (эти величины взяты в скобки), то можно найти Х\ - число дней, соответствующих 20 комнатам, решив задачу на простое тройное правило.

Далее заменим 120 фунтов на 125, не меняя других данных задачи:

Теперь заменим 4 лампы на 3 лампы:

Способ решать такие задачи, когда данных величин более двух, наз. сложным тройным правилом.

Приведение к единице.... Расположим для удобства данные и искомое числа так, чтобы х стояло в последнем справа столбце:

Теперь узнаем, какое окажется число дней, если будет освещаться 1 комната, керосина будет 1 фунт и в каждой комнате

будет 1 лампа. Это мы узнаем, приводя к 1 постепенно одно условие за другим.

Теперь будем постепенно заменять единицы числами, заданными в вопросе задачи:

Остается полученную формулу сократить и вычислить. Окончательная формула. При достаточном навыке в решении задач на сложное тройное правило можно сразу писать окончательную формулу для х. Покажем, как это делается. Возьмем решенную выше задачу:

Число дней было бы 48, если бы освещалось 18 комнат; если бы освещалась только одна комната, то дней было бы 48-18, а при освещении 20 комнат дней должно быть ол (при оди-

паковых прочих условиях). Такое число дней было бы при условии 120 фунтов керосина; если бы керосина был 1 фунт, то число дней было бы а при 125 фунтах керосина оно должно быть . Такое число дней было бы при условии 4-х ламп; при 1 лампе оно было , а при 3 лампах оно должно быть:

Правило. Чтобы получить искомое число, достаточно данное значение той же величины умножить последовательно на отношения данных значений остальных величин, беря отношение нового значения к прежнему, если величина прямо пропорциональна той, значение которой отыскивается, и прежнего значения к новому, когда величина обратно пропорциональна той, значение которой отыскивается.

Запоминать и безошибочно применять это правило было, видимо, не так уж просто. Обратим внимание на то, что к окончательной формуле предполагалось переходить «при достаточном навыке в решении задач на сложное тройное правило» двумя первыми способами. Стоит ли удивляться, что такое обучение было сложным и малополезным для учащихся, вызывало возражения у учителей и методистов. Так, например, в программе для I и II ступени семилетней школы единой трудовой школы 1921 года достаточно определенно записано: «Все же остальные «правила» представляют собою пережитки прошлого и чепуху даже не натуральную, а искусственную». И дальше: «Сложное тройное правило охватывает коллекцию искусственных задач, которые давно следует выбросить из школьного обихода вследствие их бессмысленности».

Столь резкая категоричность авторов программы, видимо, была связана не столько с самими задачами (их условия впол-

не можно было приблизить к опыту ребенка), сколько с малополезной методикой обучения школьников решению задач «по правилам». Приведенные выше фрагменты текста из учебника А.П. Киселева дают представление о методике изложения интересующего нас материала в дореволюционных учебниках. Заметим, что в переработанном в 1938 г. варианте учебника задачи на сложное тройное правило все же сохранились и разбору одной такой задачи - сразу на «семеричное» правило - посвящено чуть больше страницы учебника. Однако здесь рассматривается только «окончательная формула» и правило не формулируется. Очевидно, что это изменение не решило проблему использования задач рассматриваемого типа.

Лишь упростив методику использования такого рода задач, можно с пользой для дела сохранить в практике школы целый класс традиционных задач. Как мы увидим позже, многие из них могут иметь достаточно близкое к практике содержание, а проведение подготовительной работы при обучении решению задач на простое тройное правило и построение цепочки задач (от простых к сложным) повысят доступность задач рассматриваемого типа. Правда, остается нерешенным вопрос: нужно ли обучать всех учащихся решению таких задач? Ответ на него зависит от того, в чем мы видим практическую ценность обучения решению текстовых задач - только в обучении решению встречающихся в практике задач или, кроме того, в развитии мышления школьников в процессе решения самых разнообразных, в том числе и искусственных, задач. Достижению второй цели вполне может способствовать использование в учебном процессе задач на сложное тройное правило. Разумеется, требование уметь решать такие задачи не может быть обязательным для всех учащихся, но участие в разборе их решений, тренировка в различении прямой и обратной пропорциональностей будут полезны каждому из них.

Что же касается использования задач на прямую и обратную пропорциональность в современных учебниках, то в учебнике Н.Я. Виленкина и др. прямой и обратной пропорциональ-

иым зависимостям отведен пункт 22. В нем содержится 18 задач. Причем, начиная с образцов в учебном тексте, соответствующие значения величин выражаются десятичными дробями или натуральными числами, отношения которых не выражаются целыми числами. Это затрудняет обучение. Кроме того, треть задач - это задачи на проценты. При первоначальном обучении применению пропорций лучше разделить трудности: изучать пропорции отдельно от десятичных дробей и процентов. В следующих пунктах учебника время от времени встречаются задачи «на пропорцию», но их немного и большинство из них также легко решить без пропорций.

Таким образом, сами пропорции ненамного обогащают арсенал способов решения задач, используемых школьниками в процессе изучения всего курса математики 5 — 6 классов, а без нарастания сложности задачи на прямую и обратную пропорциональность не оказывают желаемого влияния на развитие школьников. На небольшом числе несложных однотипных задач не всегда удается достичь еще одной важной цели - научить школьников хорошо различать прямую и обратную пропорциональности.

Мы не утверждаем, что в былые времена задачи на прямую и обратную пропорциональность использовались намного эффективнее, чем сейчас. Но все же более разнообразные задачи, включая задачи «на сложное тройное правило», оставляли учителю возможность для развития наиболее сильных учащихся. Вот почему мы рекомендуем учителям использовать в своей работе со всеми учащимися, особенно с наиболее подготовленными из них, эти теперь уже практически забытые задачи. Разумеется, мы упростим их включение в учебный процесс и внесем необходимые коррективы в методику обучения их решению. Мы вовсе не предлагаем учить всех школьников решению таких задач, как задача про керосиновые лампы, и именно таким способом, который был показан выше. Быть может, эту задачу надо сделать последней в цепочке задач, решая которые ученик сможет не только понимать решения, предлагаемые учителем, но и

самостоятельно продвигаться вперед от простого к сложному. Такая работа была бы полезнее топтания на месте при решении однотипных задач одинаковой сложности, она позволила бы дать учащимся хорошую тренировку в различении прямой и обратной пропорциональности. С чего же надо начинать?

Во-первых, надо научить школьников решать пропорции. Основной способ их решения должен опираться на основное свойство пропорций. Когда эта цель будет достигнута, то можно показать использование свойств пропорций для упрощения их решения. Например, для решения пропорции g* = ~Yq можно правую и левую части равенства умножить на 5 или поменять местами средние члены пропорции.

Во-вторых, нужно научить школьников выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид зависимости между ними.

В-третьих, нужно научить их по условию задачи составлять пропорцию.

Тем самым учащиеся освоят минимальный круг умений, предусмотренный действующей программой по математике. Только после этого для подготовки к решению более сложных задач на пропорциональные величины (сложное тройное правило) нужно показать учащимся способ решения изученных задач вообще без пропорций. Пусть требуется решить задачу:

- Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?

Путь пропорционален скорости при постоянном времени движения, значит, с уменьшением скорости в ~бк раза путь уменьшится в "бтг раза.

Таким же приемом решается задача, если скорость не уменьшилась, а увеличилась, если величины не прямо, а обратно

пропорциональны. Разумеется, первому применению этого приема должны предшествовать вопросы, задаваемые при решении предыдущих задач: во сколько раз увеличилась (уменьшилась) эта величина? Первые ответы на них должны выражаться целыми числами, а потом дробями, всегда получаемыми делением большего значения величины на меньшее. Только после того, как учащиеся научатся определять, как изменится значение второй величины при соответствующем изменении первой, можно переходить к решению задач сначала с двумя величинами (тройное правило), потом с тремя и четырьмя величинами (сложное тройное правило).

3.1. ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ОБРАТНУЮ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ

Задачи 246-250 предполагают получение ответа с опорой на опытные представления учащихся, они нацелены на подготовку к введению понятий прямой и обратной пропорциональности.

При решении первых задач полезно подчеркнуть, что стоимость покупки определяется по формуле

стоимость = цена • количество

и проследить, как при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз изменяется вторая величина при неизменной третьей. Аналогичная работа с задачами 249-250 проводится по формуле:

путь = скорость • время.

246.° За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 к. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их:

а) в 2 раза больше? б) в 2 раза меньше?

247.° За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 к. Сколько нужно заплатить за такое же количество карандашей, каждый из которых:

а) в 2 раза дороже? б) в 2 раза дешевле?

248.° Имеются деньги на покупку 30 карандашей.

а) Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?

б) Сколько ручек можно купить на те же деньги, если ручка дороже карандаша в 10 раз?

249. Велосипедист за несколько часов проехал 36 км.

а) Какое расстояние пройдет за то же время пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

б) Какое расстояние проедет за то же время мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

250. Некоторое расстояние велосипедист проехал за 3 ч.

а) За сколько часов это расстояние пройдет пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

б) За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

Наблюдения, полученные учащимися при решении задач 246-250, нужно использовать при формировании понятий прямой и обратной пропорциональностей.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз вторая увеличивается во столько же раз.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз вторая уменьшается во столько же раз.

Далее, опираясь на опыт решения задач 246-250 и определения, учащиеся должны ответить на вопросы заданий 251-254. Здесь следует постоянно обращать их внимание на то, какие величины изменяются, а какие - нет. В случае затруднений нужно обращаться к конкретным числовым данным.

251.° Какова зависимость между:

1) ценой одного карандаша и стоимостью нескольких карандашей при постоянном их количестве?

2) количеством карандашей и их стоимостью при постоянной их цене?

3) количеством карандашей и их ценой при постоянной их стоимости?

252.° Какова зависимость между:

1) скоростью и расстоянием при постоянном времени движения?

2) временем и расстоянием при постоянной скорости?

3) временем движения и скоростью при постоянном расстоянии?

253.° Какова зависимость между:

1) количеством тракторов и площадью, которую они вспашут за 1 день?

2) числом дней работы трактора и площадью, которую он вспашет?

3) количеством тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?

254.° 1) Покупают одинаковые тетради. Какова зависимость между количеством тетрадей и стоимостью покупки?

2) Расстояние между городами можно проехать на велосипеде или на мотоцикле. Какова зависимость между временем и скоростью движения?

Работу над заданиями 251-254 надо обобщить, заметив, что если три величины связаны равенством, а = bс, то при постоянном произведении множители обратно пропорциональны, а при постоянном множителе другой множитель и произведение прямо пропорциональны. Этот факт нужно рассмотреть применительно к формулам:

стоимость = цена • количество, путь = скорость • время, работа = производительность • время.

Перейдем к решению задач с помощью пропорций. Первая из них содержит целые значения первой величины, отношение которых тоже целое число.

255. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна?

Разумеется, эту и многие следующие задачи учащиеся могут решить «по-старому» - подавлять такие решения не следует, но перед учащимися нужно ставить цель решить задачу новым способом, а предлагаемые решения по действиям использовать

для сравнения способов решения. При этом нужно обязательно отметить, что еще встретятся задачи, в которых «старый» способ не сработает.

Для нового способа решения потребуется краткая запись условия задачи:

В процессе устного обсуждения выясняем, что время и путь уменьшились в одно и то же число раз, так как при постоянной скорости эти величины прямо пропорциональны. Это число находится делением большего числа на меньшее (в направлении стрелок).

256. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку Сколько килограммов сахарного песку надо взять на:

1) 12 кг ягод? 2) 3 кг ягод?

257. 1) В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько граммов соли содержится в 300 г раствора?

2) В 4000 / раствора содержится 80 / соли. Сколько граммов соли содержится в 200 г раствора?

258. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройде! то же расстояние со скоростью 40 км/ч?

В краткой записи условия задачи стрелки показывают, что скорость уменьшилась, а время увеличилось в одно и то же число раз. Это число находится делением большего числа на меньшее (в направлении стрелок).

Чтобы учащиеся лучше освоили прием составления пропорций, надо постоянно задавать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) первая величина?» Тогда число, дающее от-

вет, будет находиться делением большего значения величины на меньшее (в направлении стрелок). На первых порах это число должно быть целым, позднее - дробным.

Цель задаваемого вопроса двоякая: помочь учащимся определить вид зависимости и подготовить их к усвоению нового приема решения тех же задач - без пропорций, необходимого для решения задач на сложное тройное правило.

259. 5 маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор:

1)10 маляров? 2) 1 маляр?

Заметим, что эту задачу молено решить без пропорции, но для этого придется ввести не очень удобные «человеко-дни»:

1) 5 • 8 = 40 (человеко-дней) потребуется на всю работу;

2) 40:10 = 4 (дня).

Пропорции позволяют обойтись без человеко-дней.

В задаче 259, как и во многих других задачах, предполагается, что все работники трудятся с одинаковой производительностью и не мешают друг другу. Это желательно каждый раз оговаривать, чтобы учащиеся внимательнее относились к такого рода условиям.

Чтобы у них не сложилось впечатление, будто зависимость бывает только двух видов - прямой или обратной пропорциональностью, полезно рассмотреть провокационные задачи, в которых зависимость имеет другой характер. Так, если в задаче 260 пропорциональность числа пойманных карасей и времени рыбной ловли весьма проблематична, то в задаче 261 уж точно такой зависимости нет - это нужно подробно разобрать с учащимися.

260. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 ч?

261. 1) Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят пять петухов?

2) Трое пошли - три гвоздя нашли. Четверо пойдут - много ли найдут?

3) Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?

Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за обратную пропорциональность, так как чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать. Обратите внимание детей на то, что увеличение одной и уменьшение другой величины происходит не в одно и то лее число раз. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть данный пример. В книге 10 + 90 = 100 страниц.

Если прочитано 10 стр., то осталось прочитать 90 стр. » » 30 » » » 70 »

Рассмотрим еще две задачи, в которых зависимость между величинами часто принимают за прямую пропорциональность. К первой из них в разделе «Ответы и советы» приведено решение, которое желательно разобрать с учащимися.

262.* Пруд зарастает лилиями, причем за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?

263.* Некоторый вид бактерий размножается со скоростью 1 деление в минуту (каждую минуту бактерии раздваиваются). Если посадить 1 бактерию в пустой сосуд, то он наполнится за 1 ч. За какое время наполнится сосуд, если в него сначала посадить 2 бактерии?

До сих пор мы рассматривали задачи, в которых отношение двух известных значений одной величины было целым числом. В следующих задачах оно часто выражается дробью. Как и раньше, здесь следует постоянно задавать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) величина?» В случае затруднения нужно просить учащихся округлить данные и дать ответ сначала приближенно, а потом точно. Так, при решении задачи 264 учащиеся могут сказать: «Количество сукна увеличилось примерно в ~б = 2 раза, а точнее, в ~ö раза». Такая примерная

оценка изменения величины полезна не только для лучшего определения вида зависимости и получения верного ответа, но и для подготовки к решению задач на сложное тройное правило.

264. 8 м сукна стоят столько же, сколько стоят 63 м ситца. Сколько метров ситца можно купить вместо 12 м сукна?

265. Старинная задача. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч выпьют такой же бочонок кваса?

266. 1) Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 аршин сукна стоят 30 р.; сколько стоят 15 аршин этого сукна?

2) Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?

267. 1) Грузовой автомобиль со скоростью 60 км/ч проехал расстояние между городами за 8 ч. За сколько часов то же расстояние проедет легковой автомобиль со скоростью 80 км/ч?

2) Бригада из 4 человек выполнила задание за 10 дней. За сколько дней выполнит то же задание бригада из 5 человек?

Задачи 267(1,2) можно решить, вычислив расстояние между городами и объем всей работы в «человеко-днях».

268. 1) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал мост через реку за 40 с. На обратном пути он проехал мост за 30 с. Определите скорость автомобиля на обратном пути.

2) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал тоннель за 1 мин. За сколько минут он проехал бы этот тоннель со скоростью 50 км/ч?

269. Две шестеренки сцеплены зубьями. Первая, имеющая 60 зубьев, за минуту делает 50 оборотов. Сколько оборотов за минуту делает вторая, имеющая 40 зубьев?

Рассмотренных выше задач вполне достаточно, чтобы учащиеся научились различать прямую и обратную пропорциональность, составлять пропорции и решать их. Если эта цель будет достигнута раньше, то нет нужды решать все задачи полностью - решения части из них можно доводить до составления пропорций или отложить для повторения.

Если до пропорций десятичные дроби уже изучены, как это происходит в учебнике Н.Я. Виленкина и др., то самое время использовать задачи из учебника. Если же учащиеся хорошо освоили применение пропорций, то им молено показать способ решения тех лее задач без пропорций, показанный выше. Применим его к задаче 264.

Количество сукна увеличилось в ~g~ раза, значит, денег во второй раз было в ~g~ раза больше, на них можно купить ситца в "о раза больше:

270. За одно и то же время токарь обтачивает 6 деталей, а его ученик - 4 детали.

1) Сколько деталей обточит ученик за то же время, за которое токарь обточит 27 деталей?

2) Сколько времени потратит ученик на задание, которое токарь выполняет за 1 ч?

271. За одно и то же время пешеход прошел 6 км, а велосипедист проехал 18 км.

1) Сколько километров проедет велосипедист за то же время, за которое пешеход пройдет 10 км?

2) Сколько времени потратит велосипедист на тот путь, который пешеход пройдет за 2 ч?

272. Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 человек рабочих оканчивают некоторую работу в 18 дней; во сколько дней окончат ту же работу 9 человек, работая так же успешно, как и первые?

273.* а) Шесть маляров выполнят работу за 5 дней. Сколько еще маляров надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу за 3 дня?

б) Двое рабочих могут выполнить задание за 10 дней. Сколько еще рабочих надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу за 4 дня?

274.* Старинная задача. Десять работников должны кончить работу в 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось необходимым кончить работу через 3 дня. Сколько еще нужно нанять работников?

275. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?

276.* Старинная задача. Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев; и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить.

277. 1) Старинная задача. Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая - из 30 человек - в 45 дней. Какая артель работает лучше?

2) Одна бригада, состоящая из 3 человек, может вырыть колодец за 12 дней, а другая - из 4 человек - за 10 дней. Какая бригада работает лучше?

3.2. ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ОБРАТНУЮ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ДЛЯ ТРЕХ И БОЛЕЕ ВЕЛИЧИН

Все задачи из данного раздела являются необязательными в том смысле, что не ну ясно добиваться от всех учащихся умения их решать. Используйте их настолько, насколько это будет интересно учащимся, насколько вы сумеете организовать учебную деятельность школьников, способствующую их развитию. Первые задачи хороши для фронтальной работы с классом. После работы с ними учащиеся лучше различают прямую и обратную пропорциональность, испытывают меньше затруднений с задачами на простое тройное правило.

278.* 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

Учащиеся очень удивятся, когда узнают, что «очевидный» ответ «12 яиц» неверен. Решение первой задачи из этого раздела лучше разобрать коллективно, быть может, после домашнего обдумывания. Наводящие вопросы даны в разделе «Ответы и советы». Записав кратко условие задачи:

в ходе диалога нужно выяснить, во сколько раз увеличилось число кур (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось (увеличилось в 4 раза); во сколько раз увеличилось число дней (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц (увеличилось в 4 раза). В результате число яиц равно:

279.* 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней? 280.* 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон.

а) Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?

б) Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?

в) За сколько дней 2 маляра покрасят 48 окон?

281.* а) 2 землекопа за 2 ч выкопают 2 м канавы. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?

б) 10 насосов за 10 мин выкачивают 10 т воды. За сколько минут 25 насосов выкачают 25 т воды?

282.* Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за аренду 4 классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 336 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?

283.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто имел 100р. в купечестве 1 год и приобрел ими только 7 р. А когда отдал в купечество 1000 р. на 5 лет, сколько ими приобретет?

284.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

285.* Старинная задача. Переписчик в течение 4 дней может переписать 40 листов, работая по 9 ч в день. Во сколько дней он перепишет 60 листов, работая по 12 ч в день?

286.* У хозяйки спросили:

- Хорошо ли несутся Ваши куры?

- Считайте сами, - был ответ, - полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, а всего у меня 12 кур.

Сколько яиц несут куры в день?

287.* а) В первой бригаде землекопов 4 человека - они за 4 ч выкопали 4 м канавы. Во второй бригаде землекопов 5 человек -они за 5 ч выкопали 5 м канавы. Какая бригада работает лучше?

б) У первой хозяйки 3 курицы за 3 дня снесли 6 яиц, а у второй хозяйки 4 курицы за 4 дня снесли 8 яиц. У какой хозяйки лучше несутся куры?

288.* Старинные задачи, а) На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?

б) На напечатание книги, содержащей по 32 строки на странице и по 30 букв в строке, нужно 24 листа бумаги на каждый экземпляр. Сколько нужно листов бумаги, чтобы отпечатать эту книгу в том же самом формате, но чтоб на странице было 36 строк и в строке 32 буквы?

Рассмотрим более сложные задачи с четырьмя и даже шестью величинами. Их можно задать в качестве необязательного домашнего задания наиболее сильным учащимся, которые любят распутывать головоломные задачи.

289.* Из «Арифметики» А.П. Киселева.

а) Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На

сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

б) На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 ч ежедневно, израсходовано 120 л керосина. На сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 ч в день?

290.* Старинная задача. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?

Задачу 290 С.И. Шохор-Троцкий считал не удовлетворяющей жизненным условиям и не подходящей для школьной практики, он рассматривал ее в своей «Методике арифметики» (1935 г.) «для себя». Применим усовершенствованную нами «окончательную формулу». В сильном классе этот способ можно показать учащимся, но только при их активном участии в решении - в противном случае работа будет бессмысленной. Ниже записано краткое условие задачи и дано рассуждение, параллельно которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись, показанная справа.

Окончательно имеем: х = 320. Это означает, что 39 землекопов могут вырыть канал длиной 320 м.

§ 4. ПРОЦЕНТЫ

Задачи на проценты традиционны для программы 5 — 6 классов. Обучение их решению всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни. Так, в дореволюционной школе изучение процентов было довольно тесно связано с потребностями коммерческих расчетов. Например, в учебнике А.П. Киселева разъяснялся смысл слов «должник», «заимодавец» (кредитор), «ссуда», «начальный капитал», «процентная такса», «процентные деньги», «наращенный капитал» (начальный капитал с процентными деньгами), отдать деньги «в рост». Разъяснялось различие между простыми и сложными процентами. Задачи на проценты делились на 4 группы, в зависимости от того, что неизвестно из следующих величин: а) процентные деньги или наращенный капитал, Ъ) начальный капитал, с) процентная такса (процент за год) и (1) время, в течение которого капитал находится в росте.

Задачи второй группы рассматривались двух типов: в одних известны процентные деньги, в других - наращенный капитал.

Далее показывались образцы решения пяти типов задач, условия которых мы здесь приводим. Во всех задачах проценты применяются для денежных расчетов и рассматриваются так называемые простые проценты, т. е. не учитываются проценты, начисляемые на процентные деньги.

Задача 1. Найти процентные деньги с капитала 7285р., отданного в рост по 8 % на 3~^ года.

Задача 2. Какой капитал, отданный в рост по 6-^%, принесет в 6 лет 8 месяцев 3330 р. процентных денег?

Задача 3. Какой капитал, отданный по 5 %, обратится через 6 лет в 455 р. ?

Задача 4. По скольку процентов (по какой таксе) надо отдать капитал 15108 р., чтобы в 2 года 8 месяцев получить 2417 р. 28 к. процентных денег?

Задача 5. На сколько времени надо отдать 2485 р. по 7 %, чтобы получить 139 р. 16 к. процентных денег?

Обратим внимание на замечание в учебнике, указывающее на связь задач на проценты с ранее рассмотренными задачами: «Так как процентные деньги пропорциональны капиталу, времени и проценту, то задачи на простые проценты можно большей частью решать посредством сложного тройного правила».

Например, приведенная выше задача 1 могла быть решена так:

В послереволюционные годы новая школа уточняла цели обучения, осмысливала прежний опыт, решительно и бесповоротно расставалась со всем, что не отвечало новому пониманию задач обучения. При всей революционной категоричности авторов программы 1921 г., значительно сокративших задачный «репертуар», в программе все же записано: «... понятие о проценте и вычисление процентных отношений обязательны в школе и включены в программу».

Однако в соответствии с «правдой жизни» сфера приложения процентных расчетов была значительно сокращена, что объяснялось следующим образом: «Исчисление процентных денег с капитала или срока, в течение которого данный капитал даст определенную прибыль, представляет собою (не говоря даже о том, что современная жизнь аннулировала подобный вопрос) простенькую задачу, которую легко решить на основании здравого смысла, без всяких «правил». Задачи, где вычисляются барыши купцов и барышников, шокируют нравственное чувство и, следовательно, имеют безусловно отрицательное значение».

Современная нам жизнь снова делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Везде - в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения и т. п. Добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на раз-

личных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита и пр. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий. Формирование соответствующих умений в настоящее время оставляет желать лучшего.

Обратим внимание на пример, показывающий, что проценты могут стать средством вольной или невольной дезинформации населения. Его нам подарил 7 июля 1997 г., сам того не ведая, первый вице-премьер правительства России Б. Немцов.

Ведущий программы «Час-пик» спросил:

- Как Вы ожидаете, какой будет через год квартплата, скажем, за двухкомнатную квартиру в Нижнем Новгороде?

Б. Немцов не стал приводить конкретные цифры, он ответил «в процентах»:

- Оплата жилья поднимется за год примерно на 15 %. Сейчас население оплачивает в среднем 35 % реальных расходов на содержание жилья, а через год (в 1998 г.) будет оплачивать уже 50 %.

- И всего-то? - воскликнул явно удовлетворенный сказанным ведущий передачи.

Однако вряд ли граждане будут так же довольны изменениями, которые могут произойти. В самом деле, из каждых 100 р. реальных расходов на оплату жилья население оплачивало в 1997 г. примерно 35 р., а в 1998 г. должно было оплачивать уже 50 р. Разница 15 р. действительно составляет 15 % - 15 сотых от 100! Но почему рост оплаты жилья надо считать от 100? Это правительство отслеживает рост процентов по отношению к реальной стоимости содержания жилья, а население ощутит совсем другой рост - от того, что реально платит сейчас, то есть от 35 р. Этот рост составит ~ 42,86 (%). И никакого обмана! Просто правительство и население по-разному считают проценты.

Довольно часто взрослые люди считают, что повышение цены в 3 раза соответствует ее повышению на 300 %, а повышение

зарплаты на 50 % не могут сравнить с ее увеличением в 1,5 раза. Процентные расчеты довольно плохо знают и учащиеся школы. Тому есть несколько причин.

Во-первых, в настоящее время проценты изучаются без всякой связи с соответствующими задачами на дроби. Первое знакомство с процентами происходит по учебнику Н.Я. Виленкина и др. в конце 5 класса. К этому времени учащиеся умеют в задачах практического характера находить дробь числа, число по его дроби и какую часть одна величина составляет от другой. Указанные умения если и обобщаются учителем в виде правил, то сами правила никак не помогают перенести уже освоенное умение в новую ситуацию, так как при решении конкретных задач на проценты речь ведут не про числитель и знаменатель дроби, а про количество процентов, содержащихся в целом и его части.

Во-вторых, и это сказывается преимущественно на умении школьников решать более сложные задачи на проценты, после изучения в б классе правил нахождения дроби числа умножением на дробь и нахождения числа по его дроби делением на дробь эти приемы не переносятся на задачи на проценты.

В-третьих, в решении задач на проценты довольно скоро начинают применять пропорции - тем самым процесс решения задач «механизируется», что мешает учащимся понимать смысл своих действий.

Плохое знание процентов не является исключительно российской проблемой. Сошлемся на пример из статьи В. Арнольда «Для чего мы изучаем математику?» (Квант, 1993, № 1-2). «В тесте для 14-летних американских школьников предлагалось оценить (не вычислить, а лишь оценить), что произойдет с числом 120, если от него взять 80 %. И предлагалось три варианта ответа: увеличилось; осталось прежним; уменьшилось. Крестики напротив правильного ответа поставили примерно 30 % опрашиваемых. Иными словами, школьники ставили крестики наудачу. Вывод: никто ничего не знает». Остается только надеяться, что аналогичный опрос наших школьников дал бы результаты чуть лучше.

Приступая к описанию наших предложений, еще раз подчеркнем, что задачи на проценты являются частным случаем задач на дроби. При построении системы задач и организации процесса обучения с учетом этого положения можно добиться существенного улучшения методики изложения материала и тем самым повысить эффективность обучения. Кроме того, изучение частного случая с опорой на общий больше способствует развитию учащихся.

Выделим основные этапы повторения ранее изученного и изучения нового материала в 6 классе в таком порядке, который, на наш взгляд, обеспечивает преемственность в обучении решению задач на дроби и проценты, способствует усвоению процентов большинством учащихся и достаточному продвижению вперед более сильных из них. Школьников надо научить:

I. Находить часть числа умножением на дробь; увеличивать (уменьшать) число на некоторую его часть. Это последнее действие позволяет естественным образом подвести учащихся к восприятию первоначального числа как отвлеченной единицы.

II. Находить число по его части делением на дробь. Кроме задачи, указанной в этом пункте плана, здесь следует рассмотреть и более сложные задачи, требующие представления неизвестного числа как отвлеченной единицы, а также задачи, усложненные дополнительными действиями.

III. Находить, какую часть одно число составляет от другого. Эта задача является опорной для нахождения процентного отношения двух чисел, она может быть усложнена вопросами типа: «Цена товара увеличилась с 40 р. до 50 р. На какую часть первоначальной цены произошло ее повышение?»

IV. Выражать проценты в виде обыкновенной и десятичной дроби, выполнять обратное преобразование. Для решения более сложных задач учащиеся должны научиться отвечать на вопросы типа: «Сколько процентов числа а составляет число 0,12«?» или «На сколько процентов число 1,12а больше числа я?»

V. Находить несколько процентов числа, увеличивать (уменьшать) число на несколько процентов.

VI. Находить число по нескольким его процентам.

VII. Находить процентное отношение двух чисел, а также на сколько процентов одно число больше (меньше) другого. Конкретные рекомендации будут даны ниже. Здесь лишь отметим, что при решении задач на дроби мы уделили достаточно внимания тем задачам, которые станут опорными для решения соответствующих задач на проценты - не только традиционных для обучения в 5 — 6 классах, но и задач повышенного уровня сложности.

4.1. НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ЧИСЛА

В этом разделе система задач строится из предположения, что первые три пункта описанного выше плана уже реализованы. Если это не так, то при изучении процентов нужно ограничиться решением задач с помощью рассуждений об 1 %.

Первые из задач на нахождение процентов числа, как и соответствующие задачи на дроби, надо решать в 2 действия до тех пор, пока все учащиеся не поймут назначение первого шага в решении (поначалу лучше избегать задач, приводящих к результату типа «0,36 ученика»). Потом эти действия объединяются в одно выражение. Следующий шаг в решении задач на проценты -использование умножения на десятичную дробь. При работе по учебникам Н.Я. Виленкина и др. он откладывается до 6 класса.

Задачи 291 — 293 нацелены на обучение переходу от задач на проценты к соответствующим задачам на дроби. Сделаем оговорку по поводу записей вида 39 % = 0,39, которые имеются и в учебниках, но вызывают недоумение у многих учителей и методистов. Чаще всего говорят, что запись «39 % » является неполной, так как не сказано, от чего находят проценты. Заметим, что запись «0,39» в этом смысле также не полна. Забегая вперед, скажем, что мы не видим ничего крамольного в записи 120 ' 60 % = 120 • 0,6 =..., к которой приходим естественным образом, принимая равенство 60 % = 0,6. Более того, эта запись облегчает запоминание того факта, что 60 % числа X - это 0,6х.

291. Выразите в виде обыкновенной и десятичной дроби: 1 %; 39 %; 17 %; 3 %; 50 %; 25 %; 20 %; 10 %; 100 %; 117 %.

292. Какую часть числа составляют его 50 %; 25 %; 20 %; 10 %?

293. Выразите в процентах: 0,01; 0,99; 0,25; 0,7; 1,02; 1,21.

294.° Найдите 1 % от:

а) 1 рубля; б) 1 метра; в) 1 центнера.

295.° Найдите 5 %; 17 %; 23 % от:

а) 1 рубля; б) 1 метра; в) 1 центнера.

296. Папа вложил 500 р. в акции своего предприятия и получил 20 % дохода. Сколько рублей дохода получил папа?

297. Товар стоил 500 р. Его цена повысилась на 20 %. На сколько рублей повысилась цена? Какова новая цена товара?

298. Несколько лет назад сберегательные кассы выплачивали доход из расчета 2 % вложенной суммы в год. Сколько рублей оказывалось на счете через год, если на него положили:

1) 100 р.; 2) 200 р.; 3) 1000 р.; 4) 12000 р.?

Задачи 299 — 303 нацелены на уяснение школьниками важного факта: целое содержит 100 % самого себя. Если учащиеся в первой задаче этой серии начнут вычислять суммы, потраченные на каждый подарок в отдельности, то не надо им мешать - пусть это будет еще одной тренировкой в вычислении процентов. По окончании работы нужно сравнить исходную сумму со стоимостью трех подарков и задать вопрос: «А нельзя ли было ответить на вопрос задачи, выполнив меньше вычислений?» Здесь необходимо обратить внимание учащихся на лишнее условие (200 р.), без которого молено ответить на вопрос задачи.

299. Папа потратил премию 200 р. на подарки жене и детям. 40 % этой суммы он потратил на подарок жене, 30 % - сыну и 30 % - дочери. Все ли деньги потратил папа?

300.° 1) 25 % учащихся класса соревновались в прыжках в высоту, еще 75 % - в прыжках в длину. Все ли учащиеся класса участвовали в соревнованиях?

2) Туристы проехали 80 % намеченного маршрута на поезде и 15 % - на автобусе. Весь ли маршрут они уже проехали?

3) Маша потратила 70 % имевшихся у нее денег на книги и 30 % - на тетради. Все ли деньги потратила Маша?

На задачи 301(1,2) ну окпо обратить особое внимание - при одинаковых числовых данных они описывают разные ситуации (если не считать, конечно, что Вася 10% книги читал еще раз).

301.° 1) В делегации иностранных гостей 50 % говорили по-французски и 60 % - по-английски. Как вы это объясните?

2) Желая блеснуть знанием процентов, Вася сказал, что 60 % книги он прочитал на прошлой неделе, а оставшиеся 50 % -на этой. Вася ничего не напутал?

302.° Учитель сказал: «С этой контрольной работой справились 100 % учащихся нашего класса». Как это понимать?

303. а) Потратили 80 % суммы. Сколько процентов этой суммы осталось?

б) Мужчины составляют 75 % всех работников завода. Сколько процентов работников завода составляют женщины?

в) Девочки составляют 40 % класса. Сколько процентов класса составляют мальчики?

304. 1) В магазин привезли 2500 кг помидоров. В первый день продали 30 % всех помидоров. Сколько килограммов помидоров осталось продать?

2) В школе 400 учащихся, 52 % этого числа составляют девочки. Сколько мальчиков в школе?

Задачи 304(1, 2) желательно решить двумя способами.

305. Масса сушеных груш составляет 20 % массы свежих. Сколько сушеных груш получится из: 100 кг; 350 кг; 25 кг свежих? Сколько процентов массы свежих груш теряется при сушке?

306. Виноград при сушке теряет 70 % своей массы. Сколько килограммов изюма (сушеного винограда) получится из 100 кг; 250 кг; 80 кг свежего винограда?

307. У Алеши 80 марок, у Бори - на 20 % больше, чем у Алеши. У Вовы - на 25 % меньше, чем у Алеши. Сколько марок у Бори и Вовы в отдельности?

308. Что больше:

а) 30 % от 40 или 40 % от 30?

б) 80 % от 60 или 60 % от 70?

309.° Определите без вычислений, что больше:

а) 12 % от 34 или 13 % от 34?

б) 12% от 49 или 12% от 50?

в) И % от 72 или 12% от 73?

310. Из «Арифметики» А.П. Киселева. Найти процентные деньги с капитала 7285 р., отданного в рост по 8 % на 3,5 года.

311.° 1) Число а умножили на 0,19. Сколько сотых числа а нашли этим действием?

2) Число а умножили на 0,12. Сколько процентов числа а нашли этим действием?

312. 1) Сколько процентов числа а составляют 0,99а? На сколько процентов 0,99а меньше числа a?

2) Сколько процентов числа а составляют 1,01а? На сколько процентов 1,01а больше числа а?

313. 1) Сколько процентов числа а составляют 0,8а? На сколько процентов 0,8а меньше числа а?

2) Сколько процентов числа а составляют 1,21а? На сколько процентов 1,21а больше числа а?

314. Увеличьте число 200 на 10 %. Полученное число уменьшите на 10%. Получится ли снова число 200? Почему?

315. Цена товара 1000 р. Ее увеличили сначала на 10 %. Какой стала цена? Потом цену увеличили еще на 10 %. Какой стала цена?

316. 1) Зарплату увеличили на 80 %. Верно ли, что она увеличилась в 1,8 раза?

2) Если цена увеличилась в 2 раза, то на сколько процентов она увеличилась?

3) Цена товара увеличилась на 100 %. Во сколько раз увеличилась цена?

317.* Служащая банка объяснила клиенту, что вложенная им сумма увеличится на 200 %, то есть в 2 раза. В чем ошиблась служащая и как нужно исправить сказанное, если проценты указаны верно?

318. * Несколько лет назад сберегательный банк выплачивал доход по срочному вкладу из расчета 3 % в год от вложенной суммы. Сколько рублей оказывалось на счете через 2 года, если на него положили 10000 р.?

4.2. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ПРОЦЕНТАМ

Первые задачи этого раздела также должны решаться в два действия: первым из них опять находим 1 %. Следующий шаг в решении - использование деления на дробь. В процессе работы с задачами двух первых разделов параграфа нужно показать учащимся, что задачи на проценты - это те же задачи на дроби. Поэтому они решаются умножением (делением) на соответствующую процентам дробь.

319.1) В магазин электротоваров привезли лампочки. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2 % их числа. Сколько лампочек привезли в магазин?

2) Посадили семена гороха. 270 из них взошли. Это составило 90 % всех посаженых семян. Сколько семян посадили?

320. а) Найдите число, 7 % которого равны 14; б) Найдите число, 13 % которого равны 39.

321. а) Найдите число, 110 % которого равны 33; б) Найдите число, 150 % которого равны 60.

322. Диктор телевидения сообщил, что сахарная свекла убрана с 2,8 млн га, что составляет 82 % всей площади, занятой под сахарную свеклу. Какую площадь занимала сахарная свекла? Ответ округлите до десятых.

323. 60 % класса пошли в кино, а остальные 12 человек - на выставку. Сколько учащихся в классе?

324. а) Цена товара повысилась на 30 % и составляет теперь 91р. Сколько стоил товар до повышения цены?

б) После снижения цены на 20 % прибор стал стоить 16 р. Какова была его первоначальная цена?

в) Мальчик израсходовал 70 % имевшихся у него денег, у него осталось 4 р. 20 к. Сколько денег было у мальчика первоначально?

325. Завод запланировал выпустить 10000 машин. План перевыполнили на 2 %. Сколько машин завод выпустил сверх плана? Сколько всего машин выпустил завод?

Задачу 325 лучше решить двумя способами. Сначала следуя поставленным вопросам:

потом задав дополнительные вопросы:

Обратите внимание, учащиеся не всегда хорошо различают «выполнил на 2%» и «перевыполнил на 2 %». Их можно потренировать вопросами типа: Бригада перевыполнила задание на 10 %. На сколько процентов она выполнила задание? Магазин выполнил план товарооборота на 105 %. На сколько процентов магазин перевыполнил план товарооборота?

326. Трава при сушке теряет 80% своей массы. Сколько сена получится из A т свежей травы? Сколько травы нужно накосить, чтобы насушить 4 т сена?

327. Масса муки составляет 80 % массы перемолотого зерна. При выпечке хлеба припек составляет 40 % массы взятой муки. Сколько хлеба получится из 1 т зерна? Сколько зерна пошло на выпечку 3360 кг хлеба?

328. В магазин привезли овощи. В первый день продали 35 % и еще 240 кг, после чего в магазине осталось 540 кг овощей. Сколько килограммов овощей привезли в магазин?

329. Цена альбома была снижена сначала на 15 %, потом еще на 15 р. Новая цена альбома после двух снижений — 19 р. Определите его первоначальную цену.

330. Сложили три числа. Первое составило 25 % суммы, а второе - 40 %. Найдите третье число, если оно на 45 меньше второго.

331. "g класса пошли в кино, 15 % класса - на выставку, а остальные 8 человек готовились к школьному вечеру. Сколько человек в классе?

332. 30 % класса и еще 5 человек пошли в кино, а оставшиеся g" класса и еще 8 человек - на экскурсию. Сколько человек в классе?

333. Одна треть рабочих предприятия имела отпуск летом, 35 % остальных рабочих отдыхали осенью и еще 2314 человек отдыхали зимой и весной. Сколько рабочих на предприятии?

334. Магазин продал до обеда 20 % привезенного картофеля, а после обеда - остатка. После чего осталось продать еще 2,6 т картофеля. Сколько т картофеля привезли в магазин?

335. а) При продаже товара за 693 р. получено 10 % прибыли. Определите себестоимость товара.

б) Колхоз продал продукции на 45 000 р. и имел 10 % убытка. Какова себестоимость товара?

4.3. НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТНОГО ОТНОШЕНИЯ

Решая задачи из этого раздела, учащиеся должны освоить одну простую идею: чтобы найти процентное отношение двух чисел, т. е. сколько процентов одно число составляет от другого, можно выразить отношение первого числа ко второму в процентах. Так, в задаче 336 имеем:

Отметим, что в учебнике Н.Я. Виленкина и др. для 5 класса первая задача такого типа в учебном тексте связана с отношением jgQQ, в котором, как и в нашем примере, числитель «хорошо» делится на знаменатель. Разбор одной такой задачи (далее с более простыми числовыми данными) не дает доказательства сформулированному выше правилу. Кроме того, следуя правилу, учащиеся не смогут, например, выразить в процентах отношение 1 к 3, т. к. с такими «нехорошими» случаями деления

они не встречались. В той же задаче 336 ответ можно получить с помощью рассуждения, дающего по сути дела обоснование и для «нехороших» отношений:

Таким образом, чтобы найти процентное отношение первого числа ко второму, можно первое число разделить на второе и результат умножить на 100.

336. Из 16 кг свежих груш получили 4 кг сушеных. Какую часть массы свежих груш составляет масса сушеных? Выразите эту часть в процентах. Сколько процентов массы теряется при сушке?

337. Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50?

338. а) Посадили 50 семян, 47 из них взошли. Определите процент всхожести семян.

б) В школе 400 учащихся, 12 из них учатся на «5». Сколько процентов учащихся школы учится на «5»?

339. Маша прочитала 120 страниц и ей осталось прочитать 130 страниц книги. Сколько процентов всех страниц она прочитала? Сколько процентов всех страниц ей осталось прочитать?

340. В месяце было 12 солнечных и 18 пасмурных дней. Сколько процентов месяца составляют:

1) солнечные дни? 2) пасмурные дни?

341.* На сколько процентов:

1) 50 больше 40? 2) 40 меньше 50?

342.1) Цена товара снизилась с 40 р. до 30 р. На сколько рублей снизилась цена? На сколько процентов снизилась цена?

2) Зарплата повысилась с 500 р. до 600 р. На сколько процентов повысилась зарплата?

В задаче 342(1) учащимся трудно определить, какое число принимать за 100 %. Нужно обратить их внимание на то число, с которым сравнивают другое число. В этом помогает переформулировка задачи: «На сколько процентов 30 р. меньше, чем 40 р.?» Сравнивают с суммой 40 р., значит, 40 р. - это 100%.

343. Зарплата мамы увеличилась на 70 %, а зарплата папы -только на 60 %. Означает ли это, что мама получила большую прибавку зарплаты, чем папа?

4.4. СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

Задачи этого раздела являются необязательными для всех учащихся, среди них есть действительно сложные задачи, но есть и такие, в которых всем учащимся разобраться полезно. Это задачи на так называемые сложные проценты - проценты, начисляемые на процентные деньги. Первая задача этого раздела была дана на олимпиаде Малого мехмата МГУ для семиклассников в 1991 году. Здесь важно понять, что получится, если число сначала увеличить, а потом уменьшить на 50 % (на одно и то же число процентов). Полученный здесь опыт поможет решить и другие олимпиадные задачи.

344.* В начале года винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене 1 р. за 1 кг. 30 февраля был принят закон о повышении цен на винтики на 50 % и снижению цен на шпунтики на 50 %. 31 февраля был принят закон о снижении цен на винтики на 50 % и повышению цен на шпунтики на 50 %. Какой товар будет самым дорогим и какой самым дешевым в марте?

Ошибочное решение задачи 345 нетрудно предвидеть: учащиеся сложат проценты от разных величин.

345.* 1) Число увеличили на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов увеличили число за два раза?

2) Число увеличили на 10 %, результат уменьшили на 10 %. Какое получилось число - больше или меньше первоначального? На сколько процентов?

346. * Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

347.* Женя за весну похудел на 20 %, потом поправился за лето на 30 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму прибавил в весе 10 %. Остался ли за этот год его вес прежним?

Если Женя весил х кг, то после уменьшения веса на 20 % он стал весить 0,8х кг, а после увеличения веса на 30 % -0,8х - 1,3 кг и т. д., в итоге Женя весил 0,8х • 1,3 • 0,8 • 1,1 или 0,9152х кг, что меньше х кг. Значит, Женя похудел.

348.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10 %?

349.* Все стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?

350.* Каждую сторону квадрата увеличили на 20 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?

351.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие уменьшили на 20 %. Как изменилась площадь прямоугольника?

352. * Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие уменьшили на 10 %. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

353. * Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

354. * Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10 % меньше, но по цене на 10 % больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой неделе и на сколько процентов?

355. * На некотором участке пути машинист уменьшил скорость поезда на 25 %. На сколько процентов увеличится время движения на этом участке?

356.* Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98 %. Какова теперь масса арбуза?

На первый взгляд кажется, что масса арбуза мало изменилась, но это на первый взгляд! Масса «сухого вещества» арбуза составляла 100 — 99 = 1 (%). Это 20 • 0,01 в 0,2 кг. После усушки его масса составляла уже 100 — 98 = 2 (%).То есть те же самые 0,2 кг составляют 2% от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2 :0,02 - 10 (кг).

Интересная переформулировка этой известной задачи встретилась недавно на олимпиаде.

357. * Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99 % сосны. После рубки сосна будет составлять 98 % всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?

358. * а) Яблоки, содержащие 70 % воды, потеряли при сушке 60 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?

б) Груши, содержащие 65 % воды, потеряли при сушке 50 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?

Объясняя решение задачи 358(a), воспользуемся иллюстрацией. Вода составляла 70 % массы яблок, 60 из них испарилось, а 10 осталось. Теперь 10 частей воды приходится на 30 частей «сухого вещества» яблок или на 40 частей массы сушеных яблок. Масса воды составляет 10 : 40 = 0,25 или 25% массы сушеных яблок.

359. * а) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15 % соли, чтобы получить 10 %-й раствор соли?

б) Сколько граммов воды нужно добавить к 120 г раствора, содержащего 30 % сахара, чтобы получить раствор, содержащий 20 % сахара?

360.* На коробке вермишели написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13 %». Какова масса вермишели, если она хранится при влажности 25 %?

361.* Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько томат-пасты, содержащей 30 % воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей 95 % воды?

362. * Из 40 т руды выплавили 20 т металла, содержащего 6 % примесей. Сколько процентов примесей в руде?

363. * Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие - 20 %. Сколько сухих фруктов получится из 40 кг свежих?

364. * До сушки влажность зерна составляла 23 %, а после сушки составила 12 %. Сколько процентов массы теряет зерно при сушке?

365.* В драмкружке число мальчиков составляет 80 % от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?

I способ. Число мальчиков составляет 80 % от числа девочек (100 %). Определим, сколько процентов составляют 100 % от 80 % :

II способ. Число мальчиков (т) составляет 80 % от числа девочек (d), значит, т = 0,8d. Отсюда d = 1,25т, то есть число девочек составляет 125 % от числа мальчиков.

III способ. На 10 девочек приходится 8 мальчиков, число девочек составляет ~g , или 125 % от числа мальчиков.

366. С 1 октября 1993 г. за хранение денег на срочном депозите в течение года Сбербанк выплачивал доход из расчета 150 %

от вложенной суммы; в течение полугода - 130 % годовых, в течение трех месяцев - 120 % годовых. Каким образом за год на условиях Сбербанка можно было получить наибольший доход на 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?

На первый взгляд самое выгодное вложение денег на год - под 150 % годовых (через год сумма обратится в 1250 тыс. р.). Но это только на первый взгляд! Давайте для сравнения положим деньги на полгода, а через полгода получим их обратно с доходом 130:2 = 65(%) от вложенной суммы. Затем все полученные деньги положим еще на полгода. Таким образом, через год мы получим: 100 - 1,65-1,65 = 272,25 (тыс. р.).

Это несколько больше полученной ранее суммы. Попросите учащихся Провести расчеты для третьего случая. Пусть они убедятся, что знание процентов может быть полезным при выборе более выгодного способа вложения денег.

367. * Компания X выплачивает доход по своим акциям ежегодно из расчета 140 % годовых. Компания 7 выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?

368.* Производительность труда повысили на 25 %. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания?

369.* Если при повышении производительности труда рабочего на 10 % повысить его зарплату на 6,7 %, то это позволит снизить расход на оплату труда в расчете на единицу продукции на 3 %. Проверьте это.

370.* Рабочий повысил производительность труда на 15 %, а его зарплата увеличилась на 10,4 %. На сколько процентов уменьшился расход на оплату труда в расчете на единицу продукции?

371.* Купили конфеты и печенье. За 1 кг конфет заплатили на 50 % больше, чем за 1 кг печенья, но их купили на 50 % меньше, чем печенья. За что заплатили больше?

372.* Кусок сплава весом 700 г, содержащий 80 % олова, сплавили с куском олова весом 300 г. Определите процентное содержание олова в полученном сплаве.

373. * Имеется 500 г 40 %-го раствора кислоты. Сколько воды требуется добавить, чтобы получить 25 %-й раствор кислоты?

374. * В первый день рабочий перевыполнил дневное задание на 2 %, во второй день он перевыполнил дневное задание на 4 %. На сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней?

375.* В автоинспекции города N подсчитали, что число легковых автомобилей увеличивалось в последние годы на 15 % ежегодно. Во сколько раз увеличится число легковых автомобилей за пять лет, если эта тенденция сохранится?

376. * Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20 % дохода. За сколько лет вложенная сумма удвоится?

377. * В спортивной секции девочки составляют 60% числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?

Если число мальчиков принять за 100 %, то число девочек от него составляет 60 %, а число всех участников секции 160 % от числа мальчиков. 60 % от 160 % составляет

Но понять это решение из-за нагромождения процентов нелегко. Если же число мальчиков обозначить буквой х, то те же самые действия легче объяснить и понять. Итак, число девочек равно 0,6х, а число всех участников секции х + 0,6х = 1,6х. Определим, сколько процентов от 1,6х составляет число 0,6х:

378. В некотором царстве, в некотором государстве школьники стали изучать математику не 6, а 5 уроков в неделю. Кроме того, урок у них стал длиться не 45, а 40 минут. Сколько процентов учебного времени потеряли школьники? Ответ округлите до десятых.

Эту задачу могли бы решить учителя математики всего несколько лет назад, чтобы объяснить себе катастрофическую нехватку времени, которая стала ощущаться в связи с указанными в условии задачи нововведениями.

Учебное время теперь составляет от прежнего.

Потеря составила

или примерно 25,9 %.

379.* а) Торговец продал книгу со скидкой 5 % от назначенной цены и получил 14 % прибыли. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец при продаже книги?

б) Торговец продал товар, имевший небольшой дефект, уступив покупателю 30 % от назначенной цены. При этом он имел 16 % убытка. Какой процент прибыли планировал получить торговец при продаже товара?

Рассмотрим решение первой задачи. Пусть торговец планировал продать книгу за а р., тогда он продал ее за (1 — 0,05)а = 0,95а р. Эта сумма составила 100 + 14 = 114 (%) цены, по которой торговец сам купил книгу и которая составляла 0,95а: 1,14 = g ар. Подсчитаем доход, который планировал получить торговец (в процентах):

Торговец планировал получить 120 — 100 = 20% дохода.

§ 5. УРАВНЕНИЯ

Параграф, посвященный уравнениям, не требует пространного введения уже потому, что об использовании букв и самих уравнений было много сказано раньше. Использование уравнений является новым и, безусловно, важным шагом в развитии умения школьников решать задачи, этот шаг подготовлен развитием задачного материала в предыдущих параграфах.

Использование уравнений лучше отложить до второго полугодия VI класса, до того времени, когда действия с отрицательными числами и дробями уже будут изучены. В этом случае сами уравнения изучаются наиболее эффективно. К этому времени учащиеся должны иметь опыт решения уравнений без использования терминов «уравнение», «корень уравнения» в заданиях типа «найдите неизвестное слагаемое», «найдите х, при котором равенство верно», «решите пропорцию» и пр. А учитель должен всячески использовать этот опыт при введении новых понятий.

Выделим основные этапы, которые должно пройти формирование умения решать текстовые задачи с помощью уравнений. Прежде всего учащиеся должны решить задачи 380 — 389, готовящие их к использованию букв в составлении уравнений. Затем они должны научиться решать некоторые из уже известных им типов задач с помощью уравнений. При этом лучше начать с задач «на части», решение которых мало изменяется от замены «частей» на «иксы». Следует учесть, что при решении задачи «на части» учащиеся будут отдавать предпочтение старому, уже освоенному методу, поэтому в необходимых случаях потребуются специальные указания «решите задачи с помощью уравнения». Но когда учитель убедится, что новый способ решения задач уже освоен, выбор способа решения нужно оставить на усмотрение учащихся.

Следующим шагом в развитии умения решать задачи должно стать появление таких задач, решение которых арифметиче-

ским способом затруднительно или приводит к громоздким рассуждениям, тогда как использование уравнений облегчает процесс решения. Этот шаг необходим для подкрепления мотивации учения.

Наконец, учащиеся должны встретить и такие задачи, арифметическое решение которых если и возможно, то чаще всего после того, как решение будет найдено с помощью уравнения. Именно так иногда поступали учителя в те времена, когда сборники задач по арифметике были полны чересчур сложными задачами.

Какого же уровня сложности задачи должны научиться решать все школьники в 6 классе? Учитывая, что этот прием решения станет основным в следующих классах, достаточно ограничиться задачами на нахождение двух величин по их сумме и разности, по отношению и сумме (разности) - это уже известные с 5 класса задачи, решавшиеся раньше арифметически. Из новых задач нужно добавить такие, в которых величин две или больше, но решение уравнения с неизвестным в одной части уравнения не приводит к громоздким преобразованиям, а также такие, в которых неизвестное оказывается в разных частях уравнения. Задачи последнего типа, в которых одна из двух величин, выраженных через х, больше другой в несколько раз, мы считаем необязательными для 6 класса, они даны со звездочкой.

Говоря с учащимися о выборе подходящего способа решения, не следует все же формировать у них представление о некоем абсолютном преимуществе уравнений перед арифметическими способами решения задач. Скорее, следует говорить о том, что каждый способ хорош в подходящей ситуации. Подтверждения тому будут приведены ниже.

5.1. ВВОДНЫЕ ЗАДАЧИ

В этом разделе помещены задания, готовящие школьников к составлению уравнений. Требование «решите задачу, составляя числовое выражение» может показаться учащимся противоес-

тествеппым, так как записывать действия с числами, составлять числовые выражения и до поры до времени не вычислять -это искусственное усложнение работы. Но точно так же они будут поступать, когда будут работать чуть позлее с буквенными выражениями.

Решите задачи 380 — 382, составляя числовые выражения.

380. 1) Купили 7 тетрадей по 50 к. и 2 ручки по 3 р. Сколько заплатили?

2) Купили 4 линейки по 40 к. и 3 угольника по 80 к. Сколько сдачи получили с 5 р.?

381. 1) Турист 2 ч ехал на поезде со скоростью 60 км/ч и 3 ч шел пешком со скоростью 5 км/ч. Какое расстояние он преодолел за все время?

2) Длина маршрута 400 км. Турист ехал 3 ч поездом со скоростью 75 км/ч и2 ч автобусом со скоростью 70 км/ч. За сколько часов он пройдет остаток пути со скоростью 5 км/ч?

382. 1) В бригаде 8 маляров, каждый за 2 ч может покрасить 1 окно. За сколько часов бригада покрасит 24 окна?

2) Бригаде из 8 маляров нужно покрасить 40 окон. Каждый маляр за 2 ч может покрасить 1 окно. Сколько окон останется покрасить через 6 ч работы бригады?

Решите задачи 383 — 387, составляя буквенные выражения.

383. 1) Книга стоит х р. Сколько стоит 8 книг?

2) Купили 10 тетрадей по х к. и 3 ручки по 2 к. Сколько заплатили за всю покупку?

3) Купили X линеек по 40 к. и 4 тетради по 50 к. Сколько сдачи получили с 5 р.?

384. 1) Турист ехал хч на поезде со скоростью 50 км/ч и шел пешком 2 ч со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние преодолел турист за все время?

2) Длина маршрута 400 км. Турист ехал 4 ч поездом со скоростью X км/ч и 3 ч автобусом со скоростью 70 км/ч. За сколько часов он пройдет остаток пути со скоростью 4 км/ч?

385. Через одну трубу можно наполнить бассейн за а мин, через другую - за Ъ мин. За сколько минут наполнится бассейн,

если открыть обе трубы? Составьте буквенное выражение для получения ответа, найдите, его значение при:

а) а - 30, b -20; б) а - 70, Ь - 30; в) а - 60, Ъ - 90.

Задача 385 хороша как для тех учеников, которые быстро справятся с предыдущими задачами и которых надо «отключить» на время для самостоятельной работы, так и для обсуждения ее решения со всем классом. С ее помощью учитель может показать школьникам те преимущества, которые дает использование букв в решении однотипных задач. Если учащиеся хорошо помнят, как они решали задачи «на бассейны», то решение по действиям можно записать с буквами, а потом составить буквенное выражение. В случае затруднений можно сначала выполнить задание 385(a) с числовыми данными, а потом с буквами. Чтобы учащиеся лучше осознали тот факт, что в общем виде они решили целый класс однотипных задач, можно попросить их прочитать условия трех задач, которые получатся заменой букв данными числами, а также попросить их составить свои задачи и получить по готовой формуле ответы к ним.

Будет совсем хорошо, если учащиеся переформулируют условия задач так, что получатся задачи на движение навстречу друг другу и на совместную работу. Вся описанная работа нацелена на расширение представлений учащихся о способах решения задач, на уяснение пользы, которую они получат от применения букетных выражений. Уровень сложности преобразования буквенных выражений не дою/сен пугать учителя, так как преобразования

не отрабатываются в 6 классе как обязательные.

Решая задачи 386 — 389, учащиеся должны научиться обозначать подходящую величину через х и выражать через х другие величины в соответствии с условием задачи. Там, где это возможно сделать разными способами, лучше так и поступать, сравнивая результаты и подводя учащихся к выводу, что чаще всего бывает удобно обозначать через х меньшее число, тогда большее число будет находиться сложением или умножением.

386. Сестра нашла х грибов, а брат в 2 раза больше. Сколько грибов нашел брат? Сколько грибов они нашли вместе?

387. 1) В классе х девочек, а мальчиков на 4 меньше, чем девочек. Сколько всего учащихся в классе?

2) На решение примеров Вася затратил х мин, а на решение задач — на 10 мин больше. Сколько минут Вася затратил на все задание?

Обозначив через х подходящую величину, выразите через х другие величины. Составьте буквенные выражения для получения ответа (388-389):

388. 1) Когда Маша прочитала несколько страниц, то ей осталось прочитать на 40 страниц больше, чем она уже прочитала. Сколько страниц в книге?

2) Когда была пройдена часть пути, то осталось пройти на 10 км меньше, чем уже пройдено. Определите весь путь.

3) В многоэтажном доме двухкомнатных квартир в 3 раза больше, чем однокомнатных. Сколько всего в этом доме двухкомнатных и однокомнатных квартир?

4) В поселке имеются только одноэтажные и двухэтажные дома. Причем двухэтажных домов в 10 раз меньше, чем одноэтажных. Сколько всего домов в этом поселке?

389. 1) Папа в 3 раза старше сына. На сколько лет сын моложе папы?

2) Дочь в 4 раза моложе мамы. На сколько лет мама старше дочери?

3) Папа на 28 лет старше сына. Во сколько раз он старше сына?

4) Мама на 24 года старше дочери. Во сколько раз она старше дочери?

5.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ

Начиная с задачи 390 надо приучать школьников анализировать условие задачи и выбирать более простой способ составления уравнения. Например, решение задачи 390 (а) можно при-

вести к уравнению - 2,а можно к уравнению 2х + х - 60.

Общее пожелание таково: если для двух величин известно отношение и сумма (разность), то первое условие надо использовать для выражения одной величины через другую, а второе -для составления уравнения.

Решите задачи 390 — 437 с помощью уравнения.

390. а) В книге 60 страниц. Прочитали в 2 раза больше страниц, чем осталось прочитать. Сколько страниц осталось прочитать?

б) На автостоянке стоят 24 автомобиля, причем легковых автомобилей в 3 раза больше, чем грузовых. Сколько грузовых автомобилей стоит на автостоянке?

391. а) На двух полках 72 книги, причем на первой полке в 3 раза больше, чем на второй. Сколько книг на первой полке?

б) В двух пачках 48 тетрадей, причем в первой пачке в 2 раза больше, чем во второй. Сколько тетрадей в первой пачке?

392. а) У хозяйки было 20 кур и цыплят. Кур было в 4 раза меньше, чем цыплят. Сколько цыплят было у хозяйки?

б) У хозяйки было 16 уток и утят. Уток было в 3 раза меньше, чем утят. Сколько утят было у хозяйки?

393. а) Кусок полотна в 124 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной части была на 12 м больше другой. По сколько метров полотна будет в каждой части?

б) Кусок лески длиной 8,6 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной части была на 1 м больше другой. По сколько метров лески будет в каждой части?

394. а) В школу привезли 690 столов и стульев. Стульев было на 230 больше, чем столов. Сколько столов и стульев в отдельности привезли в школу?

б) В соревнованиях по лыжам участвовали 53 человека. Девочек было на 17 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в соревнованиях?

395. Двое должны поделить между собою 15 р. так, чтобы одному досталось на 4 р. больше, чем другому. Сколько достанется каждому?

Для задач 396-397 на нахождение двух чисел по их отношению и разности алгебраическое решение учащиеся усваивают обычно лучше, чем арифметическое. Можно посоветовать учащемся в том случае, когда известны разность двух величин, составлять уравнение по схеме Б - т = Р, а не Б — Р = т или Б т т + Р, где Б - большая величина, т - меньшая, Р - разность.

В первом случае неизвестное будет в одной части уравнения и оно будет проще.

396. За конфеты заплатили в 3 раза больше, или на 6 р. больше, чем за печенье. Сколько заплатили за печенье?

б) За тетради заплатили в 4 раза больше, или на 7 р. 20 к. больше, чем за линейки. Сколько заплатили за линейки?

397. Папа в 8 раз старше дочери, а дочь на 28 лет моложе папы. Сколько лет папе?

б) Мама в 6 раз старше сына, а сын на 25 лет моложе мамы. Сколько лет маме?

398. 1) На солнышке грелись несколько кошек. У них лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?

2) На солнышке грелись кошка и несколько котят. У них лап на 21 больше, чем хвостов. Сколько котят у кошки?

Задачи 392 — 398 учащиеся могут решить и арифметически. Например, задача 398(1) решается довольно просто: у каждой кошки лап на 2 больше, чем ушей; значит, кошек 10 :2 = 5.

Следующая задача тоже про кошек. И про собак. Здесь нам приятно процитировать Рэймонда М. Смаллиана, который писал: «Самым поучительным в этой задаче является то, что, хотя она легко решается посредством элементарных алгебраических выкладок, ее можно решить вообще без всякой математики -лишь с помощью рассуждений. Более того, решение, подсказанное здравым смыслом, по-моему, гораздо интереснее и уж, конечно, более творческое, а также содержит больше информации, чем сугубо математическое решение». [21, с. 203] Рассуждение это таково: Раздадим всем животным по 5 галет - всего 5 ' 10 =50 галет. Оставшиеся 56 - 50 = 6 галет надо раздать по одной собакам. Следовательно, собак 6, а кошек 10 - 6 = 4.

Однако учащиеся должны научиться решать эту задачу и с помощью уравнения. Хотя бы потому, что в следующих задачах не всегда удастся провести такое простое рассуждение.

399. Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой собаке досталось 6 галет, а каждой кошке - 5. Сколько было собак и сколько кошек?

400. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе:

а) 19 голов и 46 ног; б) 30 голов и 74 ноги?

Приведем возможный вариант решения.

Пусть в хозяйстве было х овец, тогда кур было 19 - х. Число ног у овец равно 4х, а у кур 2(19 - х). Составим уравнение:

4х + 2(19-х)=46.

Здесь надо обратить внимание учащихся на то, что за х можно было принять число кур, тогда уравнение имело бы вид:

4(19 -х)+2х = 46.

Нельзя сказать, что это уравнение сложнее предыдущего, но если учащиеся не хотят получать отрицательные коэффициенты при X, то следующий раз они дою/сны думать, какую из величин удобнее принять за х.

401. У пятнадцати треугольников и четырехугольников 53 угла. Сколько треугольников? Сколько четырехугольников?

402. 1) Сумму в 74 р. заплатили девятнадцатью монетами по 2 и 5 р. Сколько было монет по 2 р.?

2) Старинная задача. Сколько будет гривенников и двугривенных1, если разменять 27 рублей на гривенники и двугривенные так, чтобы всех монет было 170?

403. На 100 р. куплено 5 м ткани двух сортов. Известно, что 1 м ткани первого сорта стоил 17 р., а 1 м ткани второго сорта стоил 22 р. Сколько метров каждого сорта купили?

404. Куплено 2 м одной и 3 м другой ткани на 180 р. Известно, что 1 м первой ткани в 3 раза дороже 1 м второй ткани. Сколько стоит 1 м каждой ткани?

405. 8 телят и 5 овец съели 835 кг корма. За все время каждому теленку дали на 28 кг корма больше, чем овце. Сколько корма съел каждый теленок, сколько — каждая овца?

Арифметическое решение задачи 405 не сложено, но неудобно, так как приходится считать, будто бы телята сначала съели разницу в 28 кг, а потом ели корм с той же скоростью, что и овцы. Использование уравнения снимает трудности такого рода.

406. Доску длиной 6,75 м распилили на 2 части так, что одна из них была в 3,5 раза короче другой. Определите длину каждой части доски.

407. а) В первой вазе стояло в 3 раза больше роз, чем во второй, а в третьей - на 5 роз больше, чем во второй. Сколько роз стояло в первой вазе, если всего было 45 роз?

б) В первой вазе лежало в 2 раза больше конфет, чем в третьей, а во второй вазе - на 4 конфеты больше, чем в третьей. Сколько конфет лежало в первой вазе, если всего было 164 конфеты?

408. а) Купили краски, книгу и карандаши. Стоимость карандашей составляет 0,2 стоимости красок; книга на 2 р. дороже красок. Сколько рублей заплатили за карандаши, если книга и краски вместе стоят 6 р. 40 к.?

б) Купили тетради, книгу и альбом. Стоимость тетрадей составляет 0,3 стоимости книги; альбом на 1 р. дешевле книги. Сколько заплатили за тетради, если книга и альбом вместе стоят 3 р. 60 к.?

409. С трех участков собрали 237 т картофеля. С первого и второго - поровну, а с третьего участка собрали на 12 т больше, чем с каждого из первых двух. Сколько картофеля собрали с каждого из трех участков?

410. Разделите число 480 на 3 части так, чтобы первая была на 40, а вторая на 80 больше третьей.

411. Веревку длиной 28 м разрезали на 3 части так, что вторая часть была в 3,5 раза, а третья в 2,5 раза больше первой. Найти длину каждой части.

412. Один человек спросил своего приятеля:

- Сколько лет твоему сыну?

- Если к возрасту моего сына прибавить столько же, да еще половину, то будет 10 лет.

Сколько же лет сыну?

413. Одного человека спросили:

- Сколько Вам лет?

Он ответил:

- Когда я проживу еще половину, да треть, да четверть моих теперешних лет, тогда мне будет 100 лет.

Сколько лет этому человеку?

414. Старинная задача. Летит стая гусей и навстречу ей гусь.

- Здравствуйте, сто гусей! - сказал гусь.

- Нас не сто, - ответил вожак стаи. - Вот если бы нас было еще столько, да полстолько, да четверть столько, да еще один гусь - вот тогда бы нас было сто гусей.

Сколько гусей было в стае?

С задачи 415 начинается цепочка задач, решение которых приводит к уравнению с неизвестным в правой и левой части, получаемому приравниванием двух величин, выраженных через х.

415. На двух полках 72 книги. Когда с первой полки переставили на вторую 14 книг, то книг на полках стало поровну. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?

416. В двух бумажниках было 250 р. Если из одного переложить в другой 25 р., то в обоих бумажниках денег станет поровну. Сколько рублей было в каждом?

417. На первом складе в два раза больше муки, чем на втором. Когда из первого склада вывезли 48 га, а из второго 11 т, то муки на складах стало поровну. Сколько тонн муки было на первом складе первоначально?

418. 1) Из двух пунктов, расстояние между которыми 96 км, одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста на 50 км/ч больше скорости велосипедиста. Какой путь проехал каждый из них до встречи, если известно, что они встретились через 1,2 ч?

2) Из двух пунктов, расстояние между которыми 132 км, одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста в 4 раза больше скорости велосипедиста. Какой путь проехал каждый из них до встречи, если известно, что они встретились через 2,2 ч?

419.* Стрелки часов показывают полдень. Через сколько часов они встретятся в следующий раз?

Эта задача интересна тем, что ее арифметическое решение легче алгебраического. Рассмотрим оба способа решения.

I способ. Минутная стрелка догонит часовую первый раз после 1 часа, второй раз - после 2 часов, ... , 11-й раз — после 11 часов: ровно в 12 часов. То есть промежуток между встречами стрелок составляет 12 : 11

II способ. Пусть первая встреча произойдет через х чу за это время минутная стрелка сделает х оборотов, а часовая — ^ оборотов, причем минутная стрелка сделает на 1 оборот больше, чем часовая. Составим уравнение:

Начиная с задачи 420 учащиеся должны освоить еще один прием составления уравнений, который заключается в выражении какой-либо величины через х разными способами.

420. а) Задумали число, увеличили его на 28. Оно увеличилось в 3 раза. Найдите задуманное число.

б) Задумали число, увеличили его на 35. Оно увеличилось в 6 раз. Найдите задуманное число.

421. а) Написали число, приписали к нему справа нуль. Число увеличилось на 405. Найдите первое число.

б) Написали число, оканчивающееся нулем, зачеркнули этот нуль. Число уменьшилось на 117. Найдите первое число. 422.* Старинные задачи.

а) Летели галки, сели на палки: по две сядут - одна палка лишняя, по одной сядут - одна галка лишняя. Сколько было галок, сколько палок?

б) Стояли березы, летели галки. На каждую березу село по галке, и осталось 5 галок. Потом на каждую березу село по 2 галки, и осталось 5 берез без галок. Сколько было галок и сколько берез?

Решим задачу 422(a). Пусть было х палок. Тогда число галок молено подсчитать двумя способами: 2(х — 1) или х + 1. Составим уравнение:

Было 4 галки и 3 палки.

423. Задача С.А. Рачинского. Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5. Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов?

424. Старинная задача. Куплены тетради для учеников первого класса. Если каждому дать по 9 тетрадей, то не хватило бы семи ученикам по тетради, а потому каждый получил по 8 тетрадей, и тогда еще осталось 16 тетрадей. Сколько куплено тетрадей и сколько было учеников в классе?

425. Старинная задача. Некто, желая раздать деньги нищим, рассчитал, что если каждому дать по 15 к., то у него не хватит 10 к., а если каждому дать по 12 к., то останется 14 к. Сколько было нищих и сколько у него было денег?

426. Старинные задачи.

1) Ученики собираются выписать газету. Если они соберут с каждого по 15 к., то им не хватит 2 р., а если каждый внесет по 25 к., то получится лишних 2 р. Сколько было учеников? Сколько стоит газета?

2) В обществе желали собрать некоторую сумму денег в пользу бедного семейства. Если каждый из присутствующих пожертвует по 1 р., то соберется на 3 р. больше предполагаемой суммы; если же каждый внесет по 50 к., то не хватит 11р. Сколько особ было в обществе и как велика была предположенная к сбору сумма?

427. Старинная задача (Китай, I в.). Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8 (денежных единиц), то избыток равен 3. Если каждый человек внесет по 7, то недостаток равен 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

428. Старинная задача (Китай, II в.). Сообща покупают курицу. Если каждый человек внесет по 9 (денежных единиц),

то останется 11, если же каждый внесет по 6, то не хватит 16. Найти количество людей и стоимость курицы.

429. Старинная задача (Китай, II в.). Сообща покупают буйвола. Если каждые семь семей внесут по 190 (денежных единиц), то недостаток равен 330. Если же каждые девять семей внесут по 270, то избыток равен 30. Сколько семей и сколько стоит буйвол?

430. Работники получили за некоторую работу по 120 р. Если бы их было на 2 меньше, то каждый из них получил бы по 150 р. Сколько было работников?

431. Бригада трактористов должна вспахать поле за 5 дней, но трактористы перевыполняли норму на 2 га каждый день, поэтому выполнили все задание за 4 дня. Сколько гектаров в день вспахивала бригада?

432. а) Поезд должен был пройти расстояние между двумя станциями за 4 ч, но был задержан на первой станции на 0,5 ч и, чтобы прибыть на следующую станцию по расписанию, машинист увеличил скорость на 10 км/ч. С какой скоростью должен был идти поезд по расписанию?

б) Трактористы должны вспахать поле за 5 дней. Увеличив выработку на 2,5 га в день, они выполнили работу за 4 дня. Какова площадь поля?

в) Токарь ежедневно перевыполняет норму на 20 деталей. Сколько деталей ежедневно обтачивает токарь, если пятидневную норму он выполняет за 3 дня?

433. Старинная задача. За 1007 р. куплена карета, сани и дрожки; цена саней составляет ~ö цены дрожек; цена дрожек — д~ цены кареты. Сколько заплачено за каждую вещь?

434. Старинная задача. На вопрос: «Который час?» был дан ответ: « ~е прошедших часов от полуночи до сего времени равны -g часов, оставшихся до полудня». Спрашивается, сколько сейчас времени?

435. В двух библиотеках 50 000 томов. За год количество книг первой увеличилось на 5 %, а второй — на 6 %, так что общее количество книг увеличилось на 2 800. Сколько книг было в каждой библиотеке первоначально?

436. Ученик рассчитал, что стоимость одной книги составляет 70 % имеющихся у него денег, а другой книги - 60 %. Если бы у него было еще 18 р., то он смог бы купить обе книги. Сколько денег было у ученика?

437. Старинная задача (Греция).

- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?

- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины. Сколько учеников было у Пифагора?

5.3. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ УРАВНЕНИЕМ

438. Сейчас отцу 38 лет, сыну 15 лет, дочери 5 лет. Через сколько лет сыну и дочери вместе будет столько же лет, сколько и отцу?

439. а) У Васи было на 10 марок меньше, чем у Коли. Каждый мальчик подарил Саше по 15 марок. У Васи осталось в 2 раза меньше марок, чем у Коли. По сколько марок было у мальчиков первоначально?

б) У Маши было на 5 открыток меньше, чем у Кати. Девочкам подарили еще по 3 открытки. У Кати стало в 2 раза больше открыток, чем у Маши. По сколько открыток было у девочек первоначально?

Начиная с задачи 439 (а) составление уравнения производится кратным сравнением величин, выраженных через х.

Пусть у Васи было х марок, тогда у Коли было х + 10 марок. После того, как они подарили Саше по 15 марок, у Васи стало X — 15, у Коли X + 10 — 15 = X — 5 марок. У Васи стало в 2 раза меньше марок, чем у Коли, поэтому 2(х — 15) - х — 5, откуда X - 25. У Васи было 25 марок, у Коли 25 + 10 - 35 марок.

440.* На станции стояло два состава товарных вагонов (все вагоны одинаковой длины). В первом составе было на 12 вагонов больше, чем во втором; когда от каждого состава отцепили по 4 вагона, то длина первого состава оказалась в 2 раза больше длины второго состава. Сколько вагонов было в каждом составе?

441.* У мальчика в коллекции было 210 российских марок и 65 иностранных. Когда ему подарили еще 25 марок, то российских марок стало в 3 раза больше, чем иностранных. Сколько российских марок подарили мальчику?

На примере этой задачи можно показать учащимся способ краткого оформления решения задачи с помощью таблицы. Он пригодится для решении более сложных задач.

Пусть мальчику подарили х российских марок, тогда ему подарили 25 — X иностранных марок.

было

подарили

стало

Российских

210

X

210+х

Иностранных

65

25-х

90-х

Остается составить уравнение 210 + х = 3(90 - х) и решить его.

442. Отцу 32 года, сыну 8 лет. Через сколько лет отец будет: 1) в 3 раза старше сына? 2) в 5 раз старше сына?

443. Брату 12 лет, он в 3 раза старше своей сестры. Через сколько лет он будет в 2 раза старше своей сестры?

444. а) Мама в 8 раз старше своей дочери, а через 4 года она будет старше дочери в 4 раза. Сколько лет дочери сейчас?

б) Брат в 3 раза старше сестры, а через 5 лет он будет в 2 раза старше сестры. Сколько сейчас лет брату и сестре?

445. Отец старше сына на 24 года. Сейчас он старше сына в 3 раза. Через сколько лет отец будет:

1) в 2 раза старше сына? 2) в 5 раз старше сына?

Завершим цепочку задач о возрастах родственников задачей из сборника задач и упражнений Е.С. Березанской.

446. Мать старше дочери в 2,5 раза, а 6 лет назад мать была в 4 раза старше дочери. Сколько лет матери и сколько лет дочери?

К этой задаче дано указание: Мать старше дочери в 2,5 раза, то есть в разности лет матери и дочери возраст дочери содержится 1,5раза (2,5 — 1). В этой же разности 6 лет назад возраст дочери содержался 3 раза (4 — 1). Значит, возраст дочери через 6 лет увеличился в 2 раза (3 :1,5).

Остается добавить, что теперь дочери 6 • 2 = 12 лет, а матери 12 • 2,5 = 30 лет. Здесь как раз тот случай, когда алгебраическое решение надо признать более простым.

447. В двух бидонах 70 л молока. После того, как из каждого бидона продали по 20 л молока, в одном осталось в 2 раза больше молока, чем в другом. Сколько молока было в каждом бидоне первоначально?

Рассмотрим пример использования таблицы для решения задачи 448, которую можно было бы решать с помощью системы.

448.* Двое ели сливы. Один сказал другому: «Дай мне свои две сливы, тогда у нас слив будет поровну», на что другой ответил: «Нет, лучше ты дай мне свои две сливы - тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя». Сколько слив у каждого?

Пусть у двоих первый раз станет по х слив, тогда сначала у первого было х — 2, а у второго х + 2 сливы. Второй раз у первого станет х — 4, а у второго — х + 4 слив.

станет 1-й раз

было сначала

станет 2-й раз

у первого

X

X - 2

X - 4

у второго

X

х + 2

X + 4

По условию задачи х + 4 в 2 раза больше, чем х — 4. Составим уравнение:

2(х — 4) - X + 4,

откуда х = 12.

У первого было х — 2 = 10, у второго х + 2 - 14 слив.

449.* Старинная задача (Греция). Ослица и мул шли вместе, нагруженные мешками равного веса. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Чего ты жалуешься, - сказал мул, - если ты мне дашь один твой мешок, моя ноша станет вдвое больше

твоей, а если я дам тебе один мешок, наши грузы только сравняются». Сколько мешков было у каждого?

450.* Задача Бхаскары. Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?

451.* Задача Л. Эйлера. Мул и осел несли груз весом в несколько сотен каких-то единиц. Осел, жалуясь на свою судьбу, сказал мулу: «Мне нужно только сто единиц твоей ноши, чтобы моя стала вдвое тяжелее твоей». На это мул ответил: «Да, это так, но если бы ты мне отдал сто единиц из твоей ноши, то я был бы нагружен втрое больше тебя». Какого веса была ноша осла и ноша мула?

452.* Мне теперь вдвое больше лет, чем было тогда, когда мой брат был в моем возрасте. Когда мне будет столько лет, сколько теперь моему брату, то нам вместе будет 98 лет. Сколько лет каждому?

Таблица поможет распутать головоломное условие задачи 452.

было

теперь

будет

мне

X

Зх

брату

Зх

Остается составить уравнение и решить его.

453.* Задача ал-Каши. Плата работнику за 30 дней — десять динаров и платье. Он работал 3 дня и заработал платье. Сколько динаров стоит платье?

454.* Из книги «Косс» К. Рудольфа (XVI в.). Некто согласился работать с условием получить в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?

Пусть одежда стоила х флоринов. За 7 месяцев работник должен получить ^ ' ' флоринов, а получил при расчете X + 2 флорина. Остается приравнять полученные выражения и получить ответ 9,2 флорина.

Отметим, что задачи 453 — 455 имеют арифметическое решение, основанное на подсчете платы за 1 месяц (день) не по отработанному, а по оставшемуся времени. Например, в задаче 454 работнику за оставшиеся 5 месяцев предстояло заработать 10 — 2 = 8 флоринов, значит, плата за месяц составляла 8:5= 1,6 флорина. Тогда одежда стоила

1,6 - 7 - 2 = 9,2 (флорина).

455.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был.

456.* Старинная задача. Нескольким работникам заплатили 120 р. Если б их было четырьмя меньше, то каждый из них получил бы втрое больше. Сколько было работников?

I способ. Пусть было х работников и каждый получил р. Если бы работников было на 4 меньше, то каждый получил бы р., что в 3 раза больше, чем р. Составим уравнение:

После деления обеих частей уравнения на 120 становится ясно, что в задаче есть лишнее условие: 120 р. Уравнение выглядит непривычно, по решить его можно как пропорцию.

II способ. Пусть было х работников. Если меньшим числом каждый получил бы в 3 раза больше, то работников было бы в 3 раза меньше. То есть х — 4 в 3 раза меньше х:

x = 3(х — 4).

Если не использовать обратную пропорциональность, то задачу молено решить, введя два неизвестных.

III способ. Пусть было х работников и каждый получил по у р. Если бы работников было х — 4, то каждый из них получил бы 3 у р. Оба раза все работники получили бы одну и ту же сумму:

Здесь у^ О, поэтому

Осталось решить уравнение и получить ответ.

457.* Старинная задача. Принес крестьянин на рынок продавать яйца. Подходит к нему торговец и спрашивает: «Сколько стоит десяток яиц?» Крестьянин ответил замысловато: «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц». Сосчитайте, по какой цене продавал крестьянин десяток яиц.

458.* Старинная задача. Двадцать пять яиц с полуденьгой стоят столько, сколько 3 деньги без 5 яиц. Сколько яиц приходится на 1 деньгу?

Пусть X денег стоит яйцо, тогда:

25х + 0,5-3 - 5х, 30х = 2,5.

Это означает, что 30 яиц стоят 2,5 деньги. Тогда на 1 деньгу приходится 30 :2,5 = 12 яиц.

459*. За неделю до получения стипендии у четырех студентов осталось 45 р. Если деньги первого студента увеличить на 2 р., деньги второго уменьшить на 2 р., деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое, то у всех четверых денег будет поровну. Сколько денег было у каждого студента?

Для решения задачи надо обозначить через х число рублей, которое оказалось бы у каждого студента, если бы деньги первого увеличить на 2 р., деньги второго уменьшить на 2 р., деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвертого уменьшить вдвое. Остается выразить через х первоначальные суммы денег, составить уравнение и решить его.

460*. Три брата делили мешок яблок. Старший оставил себе на 12 яблок больше, чем дал среднему, и в 3 раза больше, чем дал младшему. Из своих яблок средний брат съел ровно в 2 раза больше, чем было дано младшему, но на 9 яблок меньше, чем старший. Сколько яблок съел старший брат, если известно, что младший съел на 42 яблока меньше, чем было дано среднему, и у него еще осталось 6 яблок?

§ 6. ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

Идея написания последнего параграфа родилась в процессе работы над книгой и была связана с тем, что, описывая методику обучения решению задач того или иного раздела, мы касались общих проблем обучения решению задач, но такого рода замечания и советы оказались разрозненными. Используя повторение в конце 6 класса, учитель имеет возможность не только повторить с учащимися решения основных типов задач, но и дать детям некоторые общие советы и приемы, применимые не только к рассматриваемым типам задач. Таким образом, чтобы не заниматься простым повторением по школьным учебникам или по задачам из предыдущих параграфов, мы предлагаем в процессе повторения постараться достичь и другой цели: помочь детям освоить некоторые общие идеи, связанные с процессом решения задач, научить их помогать себе в трудных ситуациях.

В известной книге Д. Пойа «Как решать задачу» приведена таблица «Как искать решение?» (см. Приложение). В ней выделены четыре этапа решения задачи. В простых случаях, когда план решения ясен, некоторые этапы пропускают. К каждому из этапов в таблице приведены вопросы, которые помогают достичь цели.

При работе в 6 классе многие вопросы таблицы Д. Пойа можно опустить. Нас вполне устроит более простая таблица, помещенная ниже и как приложение в сборнике задач.

Очевидно, что учитель неоднократно задавал учащимся вопросы из этой таблицы при решении различных задач, постоянно напоминал им о необходимости проверки каждого шага решения и окончательного результата. Таблица не содержит ничего нового и для учащихся.

Все эти вопросы и советы они много раз слышали от своего учителя. Но если нам удастся подобрать яркие запоминающиеся примеры использования вопросов из таблицы, то можно надеяться, что дети возьмут их на вооружение, а учитель все реже будет видеть в своем классе учащихся, которые читают условие задачи и не могут даже ответить, понятно оно им или

нет, которые не могут предпринять хоть какие-то шаги в поисках решения, так как не знают, в какой стороне искать и что может быть ориентиром в их поисках.

Как искать решение?

1. Понять задачу.

— Что известно?

— Что надо найти?

— Нельзя ли сформулировать задачу иначе, проще?

— Нельзя ли задачу свести к уже решенной?

— Все ли данные задачи были уже использованы?

2. Найти путь от неизвестного к известному.

— Что необходимо знать, чтобы найти неизвестное?

3. Реализовать решение от известного к неизвестному.

— Что молено найти, зная известное?

— Проверять правильность каждого шага.

4. Проверить решение.

— Правдоподобен ли результат?

— Нельзя ли сделать проверку?

— Нельзя ли упростить решение?

Итак, перейдем к примерам. Пропустим два первых вопроса, польза которых очевидна, и рассмотрим фрагмент из рассказа Н. Носова. Витя Малеев пришел домой и приготовление уроков на завтра начал с решения задачи:

В магазине было 8 пил, а топоров в три раза больше. Одной бригаде плотников продали половину топоров и три пилы за 84 рубля. Оставшиеся топоры и пилы продали другой бригаде плотников за 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила?

Сначала Витя ничего не понял, но после недолгих рассуждений и простых вычислений, которые мы здесь опускаем, сумел сократить условие задачи следующим образом:

Одной бригаде продали 12 топоров и 3 пилы за 84 рубля. Другой бригаде продали 12 топоров и 5 пил за 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила?

Задача стала короче, и я стал думать, как бы ее еще сократить. Ведь не валено, кому продали эти пилы и топоры. Важно только, за сколько продали. Я подумал, подумал - и задача получилась такая:

12 топоров и 3 пилы стоят 84 рубля. 12 топоров и 5 пил стоят 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила?

Сокращать больше было нельзя, и я стал думать, как решить задачу.

Следующую задачу из книги Раймонда М. Смаллиана «Как же называется эта книга?» учащиеся вполне смогут решить, если сумеют упростить ее условие.

Человек разглядывает портрет. «Чей это портрет вы рассматриваете?» - спрашивают у него, и человек отвечает: «В семье я рос один, как перст, один. И все ж отец того, кто на портрете, -сын моего отца (вы не ослышались, все верно - сын!)». Чей портрет разглядывает человек?

Если опустить лишние слова, получится:

Человек разглядывает портрет. «Чей это портрет вы рассматриваете?» - спрашивают у него, и человек отвечает: «В семье я рос один. И все ж отец того, кто на портрете, - сын моего отца». Чей портрет разглядывает человек?

Дальше можно спросить учащихся, кто в соответствии с условием задачи может быть сыном моего отца? Текст задачи окончательно упростится:

Человек разглядывает портрет. «Чей это портрет вы рассматриваете?» - спрашивают у него, и человек отвечает: «В семье я рос один. И все ж отец того, кто на портрете, - я». Чей портрет разглядывает человек?

Очевидно, что человек разглядывает портрет своего сына или своей дочери.

Еще один пример из другой книги Р.М. Смаллиана.

Торговец купил некий товар за 7 долларов, продал его за 8, потом вновь купил за 9 долларов и опять продал его за 10. Какую прибыль он получил?

При решении этой задачи учащихся часто смущает покупка следующего товара на 2 доллара дешевле. В результате они дают ответы 0 или 1 доллар. Переформулировать задачу можно, добавив условие: торговец купил другой товар. Или иначе: он сначала купил оба товара, а потом продал их. Предложенные переформулировки не меняют ответа: прибыль составила 2 доллара.

Столь ярких примеров переформулировок задач не так много, но один пример изменения условия задачи 102 учащиеся уже встречали. Внесение дополнительного условия (кролики встали на задние лапы) не изменило условие задачи, но позволило быстро найти ее решение. Другой пример переформулировки был показан для задачи 119.

Вопрос «Нельзя ли задачу свести к уже решенной?» - один из любимых вопросов, который задают себе математики. Он возникает тогда, когда появляется надежда свести решение новой задачи к решению одной или нескольких уже известных задач. Например, задачу 277 легко свести к уже решенной, если считать, что одно из четырех данных чисел неизвестно. Формулировка промежуточной задачи такова:

Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом за 54 дня. За сколько дней другая артель, состоящая из 30 человек, может построить дом, если будет работать так, как первая?

Получив ответ в этой задаче, сравним его с условием «45 дней» и сделаем вывод.

Примеры сведения задачи к предыдущей многочисленны, приведем лишь один. Если условие задачи 349 сформулировать иначе: сначала на 10 % увеличили одну пару сторон, а потом вторую, то станет ясно, что решение данной задачи сводится к двукратному решению задачи 348.

Вопрос «Все ли данные задачи были уже использованы?» учащиеся должны задавать всегда, когда решение задачи заходит в тупик. «Лишнее» условие может подсказать следующий

шаг в решении. Если же задача уже решена, то возможны два случая: 1) «лишнее» условие действительно является лишним, но это бывает довольно редко; 2) задача решена неверно. В обоих случаях надо проверить свое решение.

Пример продвижения от неизвестного к известному описан в решении задачи 39(1). Такой ход рассуждений можно рекомендовать тогда, когда прямое продвижение от известного к неизвестному неочевидно или может идти несколькими путями. Прежде чем выполнять какие-либо действия с известными величинами, надо посмотреть, какие из них могут привести к цели. Это напоминает поиск маршрута движения по плану лабиринта. С конца маршрута его иногда найти проще.

При решении ряда задач продвижение от неизвестного к известному достаточно трудно. Бывает проще попробовать продвигаться от известного к неизвестному, задавая вопрос «Что можно найти, зная известное?» Довольно часто учащиеся предлагают выполнить нелепые действия и не всегда видят их нелепость. Поэтому полезно обратить их внимание на совет «Проверять правильность каждого шага» и вопрос «Правдоподобен ли результат?» Например, при решении задачи 203(6) учащиеся иногда предлагают сложить 20 и 30 и считают, что оба мальчика уберут класс за 50 мин. Такой результат не отвечает условию задачи, так как один из мальчиков без помощи другого убирает класс за 20 мин. Иногда нелепость действия видна из размерности, например, умножают минуты на минуты или рубли на рубли. В результате получают квадратные минуты или квадратные рубли. Других аргументов, подтверждающих неправильность действия, не требуется.

Есть еще один пример из американского теста, который привел В.И. Арнольд: «В классе 26 учеников. С ними нужно провести экскурсию на автомобилях. В одной машине могут ехать один родитель и 4 школьника. Сколько родителей нужно попросить помочь? Типичный ответ: 65 родителей. Компьютер выдает: 26:4 = 6,5. Ну а школьник уже знает, что если в решении должны быть целые числа, то с десятичной запятой надо что-то сделать, например, отбросить» (Квант, 1993, № 1/2).

Не нужно думать, что наши дети не способны выдать такой результат, но если приучить их задавать себе вопрос «Правдоподобен ли результат?», то можно надеяться, что ответов такого рода будет значительно меньше.

Вопросы «Нельзя ли сделать проверку?» и «Нельзя ли упростить решение?» в особых рекомендациях не нуждаются. Желая убедиться, что задача решена верно, ученик должен проверить ее решение. Если полученный результат не удается отбросить как заведомо неправдоподобный, то нужно решить задачу, обратную данной, используя полученное значение неизвестного как известное. Если при этом удастся получить такое же значение известной величины, как в условии задачи, то можно надеяться, что задача решена верно.

Учащиеся довольно часто ошибаются; для того чтобы приучить их проверять себя, научить искать свои ошибки, надо постоянно привлекать их к поиску ошибок, допущенных на доске. Сначала они научатся замечать чужие ошибки, потом - свои.

Завершая обсуждение возможностей применения вопросов из таблицы, процитируем Д. Пойа: «Учитель, стремящийся развить способности учеников к решению задач, должен пробудить у них известный интерес к этим задачам и обеспечить им широкие возможности для подражания и приобретения опыта. Если учитель хочет, чтобы мыслительные процессы, соответствующие вопросам и советам нашей таблицы, стали для учеников чем-то привычным, он должен обращаться к ним с этими вопросами и советами как можно чаще, не теряя, однако, естественности.

Более того, решая задачу перед классом, он должен излагать свои мысли немного театрально, ставя себе те же вопросы, которые он предлагает ученикам. Руководимый указанным образом, ученик овладеет, в конце концов, правильным употреблением этих вопросов и советов и тем самым приобретет нечто более ценное, чем знание какого-либо частного математического предложения». [17]

Остается сказать несколько слов о выборе способа решения задач. В отличие от предыдущих параграфов, здесь нет строгой

упорядоченности задач по уровню сложности и методам их решения, здесь много задач, решение которых требует применения нескольких из освоенных приемов. Даже в том случае, когда встречается задача некоторого типа в чистом виде, желательно искать развитие идеи ее решения, чтобы повторение не было простым топтанием на месте, что крайне нежелательно для сильных учащихся. Например, при повторении задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности можно показать «старинный» способ их решения (чтобы по сумме и разности двух чисел найти большее число, надо к полусумме двух чисел прибавить их полуразность; чтобы найти меньшее число, надо из полусуммы двух чисел вычесть их полуразность). Можно попросить сильных учащихся обосновать его с помощью преобразования буквенных выражений:

Выбор способа решения задачи остается сложной проблемой и для старших школьников. После того, как для них основным способом решения задач станет уравнение (особенно при теперешней исключительности этого метода), после изучения систем уравнений с двумя неизвестными они перестают пытаться найти простое решение, а действуют по раз и навсегда освоенной схеме. Не смотря на то, что методы решения следующей задачи не изучаются в 5 — 6 классах, мы все же приведем их. Первый способ решения показывает, что не стоит обрывать ученика, уклонившегося по какой-то причине от пути, предполагаемого учителем.

Известную задачу про кадь пития мы предлагали школьникам разного возраста. Естественно, что, не изучая в 5 — 6 классах задач «на бассейны», они часто были не в силах справиться с ней, что не удивляет. Интересно другое: какие попытки предпринимают старшеклассники для поиска решения задачи. Один ученик 9 класса предложил такое начало решения.

Пусть муж выпивает в день х л, а жена у л пития. Тогда в кади пития содержится 14г л или 10(х + у) л пития. Однако, со-

ставив одно уравнение с двумя неизвестными, ученик не смог получить ответ. Такое начало решения все же может привести к ответу, если из уравнения

получить соотношение 14г - 35z/, показывающее, что тот объем пития, который муж выпивает за 14 дней, жена выпьет за 35 дней. Это рассуждение и дает ответ к задаче.

Такого рода нестандартные приемы решения задач, отличающиеся от ожидаемых учителем, нужно всячески поощрять. Здесь нелишне напомнить слова Д. Пойа: «Если обучать лишь механическому выполнению шаблонных математических операций, то это значит опуститься ниже уровня поваренной книги, ибо кулинарные рецепты все же оставляют повару возможность проявить свой вкус и воображение, чего не допускают математические рецепты». [17]

Другое решение той же задачи дал выпускник вуза, окончивший в свое время физико-математический класс. Он составил систему:

где vM и^ж- количество пития, выпиваемое за 1 день мужем и женой соответственно, V - объем кади, t - время, за которое жена выпивает кадь пития.

Приравняв левые части первого и третьего уравнения, разделив почленно второе уравнение на первое, он исключил все неизвестные, кроме t, и получил:

Продемонстрировав хорошую технику решения систем, он обнаружил неумение найти простое решение задачи.

Наше последнее замечание относится к вопросу о сложности предлагаемых задач и их влияния на развитие и образование учащихся. Эта проблема всегда волновала методистов. Напри-

мер, С.И. Шохор-Троцкого беспокоило неоправданное увлечение авторов сборников задач, да и самих учителей, слишком сложными задачами. Он считал, что решению сложных чисто арифметических задач иногда приносится в жертву образовательное значение обучения арифметике, что затрата значительного количества времени на решение слишком сложных задач не оправдывается и не окупается ни слабым влиянием их на умственное развитие учеников, ни ничтожными их приобретениями в области арифметики. [24, с. 69—71]

Здесь требуется уточнить, какие именно арифметические задачи С.И. Шохор-Троцкий считал неоправданно сложными. В качестве примера он приводил сложные арифметические задачи из «Собрания арифметических задач» И.П. Верещагина, имевшего, по его словам, «громадный, прямо непостижимый, успех» в России. Вот их условия:

3329. Между Гмунденом и Ишлем (в Зальцкаммергуте, в Австрии) проведена железная дорога, на которой среди живописнейшей местности расположены две главные станции: Траункирхен и Эбензее. Расстояние между Гмунденом и первой из этих станций относится к расстоянию между первой и второй станцией, как 3,1(3):1,8(6); Эбензее лежит на середине дороги между Гмунденом и Июлем; если принять, что окружность ведущего колеса локомотива курьерского поезда равна 23 ~б фута и окружность несущего колеса 12— фута, то во время движения локомотива на протяжении всей железной дороги между Июлем и Гмунденом первое из этих колес должно сделать 3900 оборотами менее второго. Определите длину части упомянутой дороги между Июлем и Траункирхеном и длину части между Траункирхеном и Гмунденом.

3358. Купец поместил 0,3 своего капитала в рост по 6~1 %, 0,41(6) остатка — по 7 %,и остальную часть капитала — по5~2 на процентные деньги,полученные с первой части в не-

известное время, был куплен чай первого сорта по 3~^ р. за фунт, и на процентные деньги, полученные в другое время со второй части, был куплен чай второго сорта, по 2 р. 10 к. фунт; третья часть капитала, будучи в обороте всего 1 год 3 месяца, обратилась вместе с прибылью в 6272 р.; для составления 3 пудов смеси купец смешал 0,8 всего первого сорта с 0,64 чаю второго; он получит 25 % прибыли, если будет продавать фунт смешанного чаю на 9,7(2) % дешевле фунта чаю первого сорта; за какое время были получены с первой и второй части капитала процентные деньги, которые пошли на покупку?

Сборник задач И.П. Верещагина был составлен еще в то время, когда на гимназических испытаниях зрелости по арифметике предлагались задачи, каждая из которых требовала знания по возможности большего числа приемов решения задач разного рода. Условия этих задач, по мнению С.И. Шохор-Троцкого, не могли принадлежать к числу естественных и целесообразных для математического образования учащихся. Неудивительно, что большинство учеников к слишком сложным задачам относилось «если не с прямым отвращением, то, во всяком случае, довольно равнодушно...» [26, с. 70]

Мы надеемся, что в нашем сборнике не так много задач, способных вызвать столь негативную реакцию школьников.

Итак, ставя целью не только обеспечение повторения пройденного, но и развитие и обобщение уже освоенных учащимися идей, начнем с четырех задач из книги Р.М. Смаллиана.

461. Торговец купил некий товар за 7 долларов, продал его за 8, потом вновь купил за 9 долларов и опять продал его за 10. Какую прибыль он получил?

462. Предположим, что у вас и у меня имеется одинаковая сумма денег. Сколько денег я должен вам дать, чтобы у вас стало на 10 долларов больше, чем у меня?

463. Бутылка вина стоит 10 долларов. Вино на 9 долларов дороже бутылки. Сколько стоит пустая бутылка?

464*. В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица вдвое дороже маленькой. Леди, зашедшая в магазин, купила 5 больших птиц и 3 маленьких. Если бы она вместо этого купила 3 больших птицы и 5 маленьких, то потратила бы на 20 долларов меньше. Что стоит каждая птица?

Учитывая условие задачи, можно каждую большую птицу заменить двумя маленькими. Тогда тринадцать маленьких птиц дороже одиннадцати на 20 долларов, то есть 2 маленькие птицы стоят 20 долларов.

465*. Большая коробка конфет в 2 раза дороже маленькой. Хотят купить 3 большие коробки и 2 маленькие, но если купить 2 большие и 3 маленькие коробки, то покупка будет дешевле на 3 р. Сколько стоит каждая коробка конфет?

466. С конвейера автозавода каждые полторы минуты сходит один автомобиль. Сколько автомобилей выпускает завод за 1 ч?

467. а) Маша сказала, что у нее сестер на две больше, чем братьев. На сколько в семье Маши сестер больше, чем братьев?

б) Миша сказал, что у него сестер на две больше, чем братьев. На сколько в семье Миши сестер больше, чем братьев?

Задача 467(a) замечательна тем, что решается в одно действие: 2 + 1. При этом для определения количества братьев и сестер данных недостаточно. Не исключено, что учащиеся, обозначив через X число братьев у Маши, найдут число всех сестер так: х + 2 +1-х + 3 и получат ответ: х + 3 — х - 3.

Иногда решение задачи упрощает введение неизвестного, от значения которого ответ не зависит, но здесь, кажется, не тот случай.

Вернувшись к задаче 462, заметим, что здесь можно ввести два неизвестных: х долларов было у каждого, у долларов - переданная сумма, тогда уравнение имеет вид:

(х + у) - (х - у) - 10, откуда у = 5. Мы видим двойную пользу от применения «лишних» неизвестных. Во-первых, оно развивает абстрактное мышление, то есть увеличивает группу учащихся, которым такое решение покажется более понятным и коротким. Будем наде-

яться, что именно среди них находятся будущие математики. Во-вторых, привлекая буквенные преобразования для доказательств, связанных с задачами практического характера, мы обеспечиваем внутрипредметную мотивацию изучения буквенных преобразований в дальнейшем.

468. Мальчика спросили, сколько у него братьев и сестер. Он ответил: «Столько же братьев, сколько и сестер». Тогда спросили его сестру, сколько у нее братьев и сестер. Она ответила: «У меня сестер вдвое меньше, чем братьев». Сколько в этой семье братьев и сестер?

469. Старинная задача. Продавая аршин сукна по 5 р., торговец получил бы на всем остатке этого сукна 12 р. прибыли. Продавая же по 3 р., он получил бы 4 р. убытка. Как велик остаток этого сукна и по чем ему самому обошелся аршин его?

470. Скорость лодки по течению реки 7,2 км/ч, а против течения — 4,8 км/ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде.

471. 1) Пункт А расположен на притоке в 20 км от места впадения притока в реку. Пункт В расположен на реке на 16 км выше места впадения притока в реку. На какой путь - из А в В или из В в А — моторная лодка потратит больше времени и на сколько минут, если собственная скорость моторной лодки 10 км/ч, скорость течения в реке 2 км/ч, в притоке — 2,5 км/ч?

2) Решите задачу 471(1), считая, что пункт А удален от места впадения притока на 15 км, а пункт В - на 16 км.

3) Решите задачу 471(1), считая, что пункт В расположен на 16 км ниже места впадения притока в реку.

472. Пассажир метро, стоя на ступеньке эскалатора длиной 150 м, поднимается вверх за 3 мин. За сколько минут он поднимется, если будет идти вверх со скоростью 25 м/мин?

473. а) Стоя неподвижно на ступени эскалатора метро, человек поднимается вверх за 1 мин. Тот же человек, взбегая по ступеням неподвижного эскалатора, поднимается вверх за 40 с. За какое время тот же человек взбежит вверх по движущемуся эскалатору?

б) Пассажир спустился бегом по движущемуся эскалатору метро за 15 с. Следующий раз он спустился вниз в том же темпе, но по неподвижному эскалатору, за 24 с. За сколько секунд спустился бы пассажир, стоя на ступеньке движущегося эскалатора?

В случае затруднения учащихся с решением задач 472 - 473 можно обратить их внимание на то, что похожие задачи они решали в 5 классе. Тогда речь шла о движении по реке. Было бы неплохо, если бы учащиеся самостоятельно установили, что в этой задаче является аналогом скорости по течению, против течения, собственной скорости. Затем можно разобрать один из двух способов решения задачи: обозначить длину эскалатора за 1 или за х.

474.* 1) Чтобы проплыть некоторое расстояние по течению, лодке требуется времени в 3 раза меньше, чем против течения. Во сколько раз собственная скорость движения лодки больше скорости течения?

2) Пловец по течению быстрой реки проплыл 150 м. Когда же он поплыл против течения, то за такое же время его снесло течением на 50 м ниже по течению. Во сколько раз скорость течения реки больше скорости пловца?

Первая задача имеет следующее алгебраическое решение. По условию VnonL =3Vn„m;

475. а) Колонна автобусов с детьми длиной 1 км двигалась по шоссе со скоростью 50 км/ч. Инспектору, машина которого замыкала колонну, понадобилось подъехать к головному автобусу и вернуться обратно. Сколько минут уйдет у инспектора на путь туда и обратно, если он будет ехать со скоростью 70 км/ч?

б) Колонна солдат длиной 250 м движется со скоростью 4,5 км/ч. Из конца колонны в ее начало отправился сержант со скоростью 5,5 км/ч, затем с той же скоростью он возвратился в конец колонны. Сколько минут затратил сержант на путь туда и обратно?

476. В магазине было 8 пил, а топоров в три раза больше. Одной бригаде плотников продали половину топоров и три пилы за 84 р. Оставшиеся топоры и пилы продали другой бригаде плотников за 100 р. Сколько стоит один топор и одна пила?

477. На одну чашку весов поставили пакет с конфетами, на другую - с печеньем. Масса двух пакетов 1200 г. Если отсыпать 100 г конфет и 200 г печенья, то весы придут в равновесие. Определите массу конфет и массу печенья.

478. Мастерская должна отремонтировать 124 цветных и 150 черно-белых телевизоров. Когда отремонтировали 178 телевизоров, то тех и других осталось отремонтировать поровну. Сколько отремонтировали цветных телевизоров?

479. 3 яблока и 4 груши весят 1250 г, а 4 яблока и 2 груши весят 1000 г. Сколько весит яблоко?

480. Старинная задача. Если предположить, что лошадь бежит втрое медленнее поезда железной дороги, то она будет от него отставать на 1 версту каждые 3 минуты. Определите скорость поезда. Выразите ответ в километрах в час, округлив его до десятых.

481. Из А в В вышел пешеход со скоростью 4,8 км/ч. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч, который доехал до Л, повернул назад и поехал с той же скоростью. Догонит ли велосипедист пешехода до его прихода в 5?

482. Старинная задача. Некто пошел пешком из Москвы в Киев. За сколько дней он дойдет до Киева, если будет проходить по 1 т" версты в каждые ч ч и ежедневно будет находиться в дороге 10 2* V? От Москвы до Киева 855 верст.

483. Старинная задача. Лошадь вместе с седлом стоит 235 р.; лошадь вместе со сбруей стоит 250 р.; сбруя же с седлом стоит 135 р. Что стоит лошадь, что седло, что сбруя?

484. Некто купил 4 книги. Все книги без первой стоят 8,4 р., без второй - 8 р., без третьей - 7,6 р., без четвертой -7,2 р. Сколько стоит каждая книга?

485. Продавец приготовил к продаже 1400 гвоздик в 300 букетах по 3 и 5 цветков. Сколько букетов каждого вида было приготовлено к продаже?

486. Старинная задача. За 31 р. нанято 10 работников, из числа которых каждый взрослый получил по 3,5 р., а каждый мальчик — по 2,5 р. Сколько было взрослых работников и сколько мальчиков?

487. Дедушка говорит своим внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на две части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как нужно разделить орехи?

488. Брат и сестра одновременно начали сбор малины: брат собирал ягоды в четырехлитровую корзину, а сестра - в трехлитровую. Брат собирал ягоды в 1,5 раза быстрее сестры. В какой-то момент они поменялись корзинами и закончили сбор ягод одновременно. Сколько литров ягод собрал брат за все время? Сколько литров ягод собрала сестра до обмена корзинами?

Брат и сестра начали сбор ягод и закончили его одновременно. Чтобы узнать, сколько литров ягод собрал каждый, надо собранные 4+3 = 7'л ягод разделить пропорционально производительности их работы, т. е. в отношении 1,5 : 1 = 3 : 2. Брат собрал за все время = 4,2 л ягод. Для ответа на второй вопрос задачи введем обозначения. Пусть до обмена корзинами сестра собрала X л, тогда брат собрал 1,5х л ягод. После обмена корзинами сестра собрала (4 - 1,5х) л, а брат собрал (3 - х) л ягод. Так как брат и после обмена корзинами работал в 1,5раза быстрее, то (3 - х) в 1,5раза больше, чем (4 - 1,5х). Составим уравнение:

3 -х = 1,5 - (4 - 1,5х),

откуда х = 2,4, т. е. сестра до обмена корзинами собрала 2,4 л ягод.

Решение задач на пропорциональное деление развивает известную идею решения задач на части. Нужно разъяснить школьникам новую терминологию; показать запись а : в : с = 2 :3 : 5 как более короткую запись равенств а : в = 2:3 и в : с = 3 :5; научить их делить число на две, три и более частей в заданном отношении арифметически, подсчитывая общее число частей. Правило пропорционального деления раньше называли правилом

товарищества, потому что с помощью этого правила решали задачи, в которых требовалось разделить общую прибыль между несколькими лицами, составившими товарищество для общего коммерческого предприятия.

489. 1) Разделите 90 р. в отношении 5 : 4.

2) Разделите 90 р. на части пропорционально числам 2 и 3.

3) Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Трем солдатам разделили 90 золотых. Первому надо взять на 4 месяца, второму на 3, а третьему на 2. Спрашивается, по сколько каждому достанется.

490.* Из «Арифметики» А.П. Киселева.

1) Разделить 84 на три части пропорционально числам 7,5 и 2.

2) Разделить 125 на такие 4 части, чтобы первая часть относилась ко второй, как 2 : 3, вторая к третьей, как 3 : 5, а третья к четвертой, как 5 : 6.

3) Разделить 125 на такие 4 части, чтобы первая часть относилась ко второй, как 2 : 3, вторая к третьей, как 4 : 5, а третья к четвертой, как 6:11.

4) Три купца составили товарищество для ведения торгового дела. Первый купец внес для этой цели 15 000 р., второй — 10 000 р., третий — 12 500 р. По окончании торгового дела они получили общей прибыли 7 500 р. Спрашивается, сколько из этой прибыли придется получить каждому купцу?

5) На железной дороге работало 3 артели рабочих; в первой артели было 27 рабочих, во второй — 32, в третьей — 15; первая артель работала 20 дней, вторая — 18, третья — 16; все три артели получили за работу 4 068 р. Сколько рублей придется получить каждой артели?

Решение задачи 490(3) можно начать так:

491. Старинная задача. Чтобы приготовить стекло, берут 10 частей поташу1, 31 часть песку и 2 части мелу. Сколько нужно этих материалов на 86 пудов стекла?

1 Поташ — щелочная соль, вывариваемая из древесной или травяной золы.

492. Старинная задача. На мельнице 3 жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором — 54 четверти, а на третьем — 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих жерновах. За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для этого на каждый жернов надо зерна насыпать?

493. Банк А платит 20 % годовых, а банк Б платит 15 % годовых. Некто хочет поместить в эти банки 7000 р., распределив эти деньги между банками обратно пропорционально процентам годовых ставок. По скольку рублей он должен отнести в каждый банк?

494. Первый мастер шьет шубу за 5 дней, а второй - за 3 дня. Как распределить между ними заказ на пошив 9 шуб, чтобы каждый сшил целое число шуб и заказ был выполнен в кратчайший срок?

Очевидно, что наименьшее время выполнения заказа получится тогда, когда мастера работают одновременно. Решим задачу на совместную работу.

Те же ответы можно получить, разделив 9 шуб обратно пропорционально времени пошива одной шубы, т. е. в отношении 3:5.

Так как при совместной работе каждый мастер сошьет дробное число шуб, то придется согласиться с тем, чтобы один из них закончил работу раньше другого. Нужно рассмотреть два случая: первый и второй мастера пошьют 3 и 6 или 4 и 5 шуб соответственно. В первом случае мастера будут работать 3 5= 15 и 6 • 3 = 18 дней, заказ будет выполнен за 18 дней. Во втором случае они будут работать 4 • 5 = 20 и 5 - 3 = 15 дней, заказ будет выполнен за 20 дней. Первый способ распределения заказа дает выигрыш во времени. Но задачу можно решить еще проще.

Первый мастер шьет 1 шубу 5 дней, а 3 шубы 15 дней. Второй мастер шьет 1 шубу 3 дня, а 5 шуб 15 дней. Значит, за пятнадцать дней совместной работы они сошьют 8 шуб. Оставшуюся девятую шубу лучше отдать шить второму мастеру, тогда заказ будет выполнен в минимальный срок. Первому мастеру нужно дать 3 шубы, второму — 6 шуб.

495. Старинная задача. Некто рассчитал, что у него столько же двадцатипятирублевых купюр, сколько и пятирублевых; но, с другой стороны, у него двадцатипятирублевыми купюр на 400 рублей больше, чем пятирублевыми. Сколько у него денег?

496. Кенгуру прыгает в длину на расстояние, в 4 раза большее и на 9 м большее, чем в высоту. На какое расстояние кенгуру прыгает в длину?

497. 1) Одна бригада собрала на 29 т винограда больше, чем вторая, а вместе они собрали 523 т винограда. Сколько тонн винограда собрала каждая бригада в отдельности?

2) Слон тяжелее бегемота на 0,7 m, а вместе они весят 8,3 т. Сколько весит каждое животное?

498. У одного мальчика на 18 значков меньше, чем у другого, притом число имеющихся у него значков составляет 0,6 от числа значков другого мальчика. Сколько значков у каждого из них?

499. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Пятеро человек купили вместе 1 пуда гвоздики, дали 15 р., а деньги платили следующем образом: первый дал половину того, что дал второй, третий - половину того, что дал первый, четвертый - половину того, что дал второй, пятый - половину того, что дал четвертый. Спрашивается, сколько каждому по его деньгам взять гвоздики.

500. Протяженность реки Дон составляет 85 % протяженности реки Днепр. Дон короче Днепра на 330 км. Найдите протяженность каждой реки.

501. Протяженность реки Енисей на 308 км меньше, чем протяженность реки Лена, и составляет 93 % протяженности реки Лена. Найдите протяженность каждой реки.

502. Участники математического кружка сели по 2 человека за парту, и 9 парт осталось свободными. Если же сядут по одному за парту, то одному человеку не хватит парты. Сколько было участников кружка?

503. Старинная задача. Аршин сукна и аршин бархата стоят вместе 10 р. 80 к., а 25 аршин сукна стоят столько же, сколько 11 аршин бархата. Сколько стоит аршин бархата?

504. Задача С.А. Рачинского. Я всем своим ученикам раздал орехов поровну. Четверо из них съели по 12 орехов, и тогда у этих четверых вместе осталось столько орехов, сколько получил от меня каждый из них. По скольку орехов я раздавал?

505. В трех палатках у продавщиц было поровну мандаринов. Когда каждая продала по 600 мандаринов, то у всех вместе осталось столько, сколько было первоначально у каждой. Сколько же это?

Если учащиеся освоили применение уравнений, то решение задачи этим способом не вызовет затруднений, но задача легко решается и без уравнения:

1) 600 • 3 = 1800 (манд.) - продали 3 продавщицы.

Из условия следует, что продали столько мандаринов, сколько было у двух продавщиц первоначально.

2) 1800 :2 = 900 (манд.) - было у каждой первоначально.

506. 1) Старинная задача. Подрядчик нанял работника с условием за каждый день платить ему по 75 к., а за каждый праздный день удерживать с него по 15 к. По прошествии 30 дней работнику следовало выдать 18 р. Сколько дней он работал?

2) Задача Э. Безу. По контракту работникам причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них взыскивается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

507. Старинная задача. Для перевозки 25 зеркал нанят извозчик с условием заплатить ему по 1 р. 50 к. за доставку каждого зеркала в целости и вычесть с него по 5 р. за каждое разбитое им зеркало. На дороге извозчик действительно разбил несколько зеркал и за перевозку получил только 18 р. Сколько зеркал он доставил в целости?

508. Старинные задачи. 1) На фабрике работает 45 мужчин и 25 женщин. Мужчина получает впятеро больше женщины, всем рабочим платят 7500 р. в год. Сколько получает в год каждый мужчина и каждая женщина?

2) За двенадцатидневную работу на фабрике заплачено 334 р. 80 к. Работало 8 мужчин, 9 женщин и несколько детей. Мужчины получали по 1 р. 50 к., женщины — по 90 к., а дети — по 65 к. в день. Сколько было детей?

509. Несколько торговцев продавали бананы по 8 р. за 1 кг, а один из них - по 7 р. за 1 кг. Контролеры проверили его весы, и оказалось, что при взвешивании гири в 1 кг весы показывали ровно 1,2 кг. По какой цене продавал бананы этот торговец?

510. а) Старинная задача. 48 землекопов вырыли канал за 240 дней. За сколько дней могли бы вырыть такой же канал 72 землекопа?

6) Когда стрижка стоила 11 р. 50 к., учитель математики задолжал парикмахеру 50 к. Когда стрижка стоила уже 575 р., учитель вспомнил о долге. Сколько денег он должен вернуть парикмахеру?

511.* Старинная задача. На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?

512.* Для 16 голов скота на 36 дней требуется 1,92 т сухой подстилки. Сколько тонн сухой подстилки требуется для 20 голов скота на 40 дней?

513.* Старинная задача. 10 ветряных мельниц смололи 200 четвертей ржи в 12 дней, работая в день по 14 ч. По сколько часов в день должны работать 8 таких же мельниц, чтобы в 21 день смолоть 300 четвертей ржи?

514.* 1) Велосипедист ехал из А в В со скоростью 15 км/ч, а возвращался назад со скоростью 10 км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всем участке?

2) Велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч, потом точно такое же время со скоростью 10 км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всем участке?

Решим задачу 514 (1) с помощью «лишнего» неизвестного.

Пусть х км - расстояние от А до В, тогда затрачено на путь туда и обратно. Вычислим среднюю скорость, поделив пройденный путь на время движения:

515.* Двое путников одновременно вышли из А в В. Первый путник половину времени, затраченного им на переход, шел со скоростью 5 км/ч, а затем пошел со скоростью 4 км/ч. Второй же половину пути шел со скоростью 4 км/ч, а затем пошел со скоростью 5 км/ч. Кто из них раньше пришел в В?

516.* На дороге, соединяющей два горных селения, нет ровных участков. Автобус едет в гору со скоростью 30 км/ч, а под гору — со скоростью 60 км/ч. Найти расстояние между селениями, если путь туда и обратно без остановок занимает ровно 2 ч.

Решим задачу с помощью двух «лишних» неизвестных. Пусть на пути из А в В автобус х км ехал в гору и у км - с горы, на обратном пути соответственно у км их км. Путь 2(х + у) км автобус проехал за ~Jq + + ~qq + ~Jq - ~~2q~ ч, что по условию равно 2 ч. Отсюда х + у - 40, т. е. весь путь от А до В равен 40 км.

Эту задачу можно решить с помощью уравнения с одним неизвестным или без уравнения. В обоих случаях можно переформулировать условие задачи, считая, что в одну сторону автобус ехал в гору, а обратно - с горы. Ответ от этого не изменится.

517.* Половина дороги, соединяющей два горных селения, проходит по ровной местности. Автобус едет в гору со скоростью 30 км/ч, на ровном участке — со скоростью 50 км/ч, а под гору — со скоростью 60 км/ч. Найти расстояние между селениями, если путь туда и обратно без остановок занимает 2 ч 15 мин.

518. Имея полный бак топлива, рыбак может проплыть на моторной лодке 20 км против течения или 30 км по течению реки. На какое наибольшее расстояние он может отплыть по реке, чтобы топлива хватило и на обратный путь?

На каждый километр пути при движении туда и обратно расходуется "^q + ~Jq в "/^ бака топлива, значит, наибольшее расстояние, на которое может отплыть рыбак, равно 1 : 388 = 12 км.

519.* 1) Автолюбитель отправился в путешествие на четырехколесном автомобиле с одним запасным колесом. По дороге он менял колеса. Определите, сколько километров проехал автомобиль, если каждое колесо проехало 4000 км; сколько километров проехало каждое колесо, если автомобиль проехал 4000 км?

2) Автолюбитель сказал: «Я отправился путешествовать на «Москвиче», имея одно запасное колесо. Время от времени я заменял колеса, и оказалось, что первое колесо проехало 10 000 км, второе - 9 000 км, третье - 8 000 км, четвертое -7 000 км, а пятое - 6 000 км». Сколько километров проехал автомобиль? Может ли автомобилист так менять колеса, чтобы первое колесо проехало 14 000 км, второе - 12 000 км, третье -10 000 км, четвертое - 8 000 км, а пятое - 6 000 км?

520.* Остап Бендер купил для «Антилопы-Гну» четыре новых колеса. Передние колеса автомобиля изнашиваются через 12000 км пробега, а задние - через 8000 км пробега. Какой наибольший путь может проехать «Антилопа-Гну», если Адам Козлевич догадается вовремя поменять задние колеса с передними?

Если бы задние колеса меняли с передними через каждую тысячу километров, то на 2 тыс. км расходовалось бы j2 + ~8= ~2Л ресурса каждого колеса. То есть 2 тыс. км составляют наибольшего пути, который равен 1 : = 9,6 тыс. км.

521. Старинная задача. Куплено 5 столовых и 7 чайных ложек за 56 р. В другой раз по тем же ценам куплено 10 столовых и 3 чайных ложки за 79 р. Сколько стоит каждая столовая и чайная ложка?

522. У двоих поровну денег; если первый отдаст второму 40р., то у него станет втрое меньше денег, чем у второго. Сколько денег было у каждого?

523. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Три человека сложили денег в купечество. Из них первый — неизвестное число денег, второй — 6 кусков сукна, третий — 30 р. Прибыли получено 24 р., из них первый взял 6 р., а второй — 8 р. Спрашивается, сколько денег положил первый, какова стоимость сукна.

524. Старинная задача. Мальчик рассчитал, что если он из одного ящика перьев переложит в другой 10 штук перьев, то во втором окажется вдвое больше, чем в первом; но если бы он пе-

реложил из второго ящика в первый 5 штук, то во втором оказалось бы втрое меньше, чем в первом. Сколько перьев в каждом из ящиков?

525. Брат и сестра имеют по некоторой сумме денег. Если брат даст сестре 2А р., то у них окажется денег поровну. Если сестра даст брату 27 р., то у брата окажется в 2 раза больше денег, чем у сестры. Сколько денег у каждого?

526. Старинная задача. Если бы я хотел купить себе сукна на пальто по 4 р. 50 к. за аршин, то у меня на это не хватило бы одного рубля и пяти копеек. На свои деньги я мог бы купить себе этого сукна только в том случае, если бы мне торговец уступил то же сукно по 4 р. 20 к. Сколько мне надобно сукна на пальто и сколько у меня денег?

527. Старинная задача. Двое желали купить дом. Первый мог заплатить только g" требуемой суммы, а второй — у. Что стоит дом, если оба вместе могли внести 58000 р.?

528. Задача Я.И. Перельмана. Бригада из шести плотников и столяра взялась выполнить одну работу. Каждый плотник заработал по 20 р., столяр же на 3 р. больше, чем заработал в среднем каждый из семи членов бригады. Сколько же заработал столяр?

Эту задачу можно решить арифметически. Предположим, что столяр решил разделить деньги поровну между всеми членами бригады. Для этого нужно разделить 3 р. на шестерых плотников, дав каждому по 0,5 р. В этом случае все члены бригады будут иметь по 20,5 р. Значит, столяр заработал 20,5 + 3 = - 23,5 р. С помощью уравнения можно решить задачу без всяких предположений.

Пусть столяр заработал х р. Тогда средняя зарплата семи членов бригады равна п р., что на 3 р. меньше зарплаты столяра. Остается составить уравнение и решить его.

529. Старинная задача. Четыре наследника получили в наследство 173000 р. Второму было назначено вдвое больше, нежели первому, и еще 400 р.; третьему — втрое более, нежели первому, без 400 р., а четвертому — половина частей второго и первого и еще 300 р. Сколько было назначено каждому?

530. Задачи Л. Эйлера.

1) Отец, у которого было трое сыновей, оставил им 1600 крон. В завещании уточнялось, что старший должен получить на 200 крон больше среднего, а средний - на 100 крон больше младшего. Требуется найти долю каждого из сыновей.

2) Отец оставил четырех сыновей, доля которых при разделе наследства выражалась следующим образом: первому досталась половина всех денег минус 3000 ливров; второму досталась одна треть минус 1000 ливров; третьему - одна четверть; четвертому - 600 ливров и одна пятая часть всех денег. Какой сумме было равно все наследство и сколько должен был получить каждый из сыновей?

531.* Старинная задача. Некоторая сумма денег распределена между тремя братьями так, что первый получил на 200 р. меньше т£ всей суммы, второй — на 300 р. меньше тт , а третий — на 100 р. меньше т всей суммы. Как велика эта сумма?

532. Трем мальчикам раздали 145 орехов. Половина того числа орехов, которое получил первый мальчик, равна ^ того числа орехов, которое получил второй мальчик, или 4 того числа орехов, которое получил третий мальчик. Сколько орехов получил каждый из мальчиков?

533. Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый - математик. Кого больше: философов или математиков?

534. На первом экзамене в институт получили двойки 1/7 всех абитуриентов, на втором экзамене - 1/8 остальных абитуриентов, на третьем экзамене - g" остатка. Какая часть всех абитуриентов не получила двоек на первых трех экзаменах?

535. а) В два магазина привезли яблок поровну. В первом магазине продали треть всех яблок и еще 30 кг, во втором магазине продали четверть всех яблок и еще 40 кг. После чего оказалось, что магазины продали яблок поровну. Сколько яблок привезли в каждый магазин первоначально?

б) В нашем классе мальчиков и девочек поровну. На школьный вечер пришли половина всех мальчиков и еще 3 мальчика, треть всех девочек и еще 6 девочек. Оказалось, что на школьный вечер пришло мальчиков и девочек поровну. Сколько учащихся в нашем классе?

536. Сплав содержит 1120 г чистого золота и 80 г меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы получить сплав 896-й пробы? (89,6% чистого золота).

537.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Один путник идет от города в дом, а ходу его будет 17 дней, а другой путешественник от дома до города тот же путь может пройти в 20 дней. Оба эти человека пошли в один и тот же час от мест своих, и спрашивается, в сколько дней сойдутся.

538. Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Велосипедист может проехать все расстояние за 3,5 ч, а мотоциклист - за 1,4 ч. Через сколько часов после начала движения они встретятся?

539. Трем работникам поручено некоторое дело. Первый и второй кончили бы вместе данную работу в 12 дней, второй и третий — в 20 дней, а первый и третий — в 15 дней. Во сколько дней каждый может кончить работу без помощи других?

540. Задача Я.И. Перельмана. Двое очистили 400 штук картофеля; один очищал 3 штуки в минуту, другой - 2. Второй работал на 25 мин больше, чем первый. Сколько времени работал каждый?

541.* 1) За 1 ч бригада маляров покрасила половину стены дома. Оставшуюся часть стены покрасил 1 человек за Ач. Сколько маляров в бригаде?

2) Бригада за полдня выполнила "F задания. Оставшуюся часть задания выполнил! человек за полдня. Сколько человек в бригаде?

3) Бригада плотников выполнила "F задания за полдня.

Оставшуюся часть задания выполнил один плотник за день.

Сколько плотников в бригаде?

4) Задача Л.Н. Толстого. Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились: одна половина осталась на первом лугу и к вечеру его докосила, а другая перешла косить на второй луг, площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?

С помощью задач 541(1 -3) можно подготовить учащихся к решению задачи 541(4), которое молено проиллюстрировать так:

Так как после полудня половина бригады выкосила в 2 раза меньшую площадь, чем вся бригада до полудня, то до полудня было выкошено -~ большого поля(нарис. слева). Тогда на поле (на рис. справа) осталась невыкошенной ~2~~~з~~§ площади большого поля. Этот участок 1 человек выкосил за 1 день, значит, за т> дня 1 человек выкосит ^ площади большого поля. Это в j : ^ = 8 раз меньше, чем за то же время выкосит бригада, следовательно, в бригаде было 8 косцов.

542.* Старинная задача. Некто купил 64 рулона сукон. Из них 20 рулонов белых, 13 рулонов черных, 5 красных, 19 зеленых, 7 лазоревых, и дал за них 486 рублей. Цена же их была не-

одинакова: за черный рулон он платил четырьмя рублями дороже белого, за красный - тремя рублями дешевле черного, за зеленый - двумя рублями дешевле красного, и за лазоревый -одним рублем дороже зеленого. Спрашивается, сколько денег он платил за каждый рулон.

543. Старинная задача. Доход с одного имения, по причине некоторых улучшений, увеличился на 8 % с дохода прошлого года. Определите доходы настоящего и прошлого годов, зная, что за оба года получено 3640 р.

544. Масса копья для метания у женщин на 200 г меньше и составляет 75 % массы копья для мужчин. Какова масса копья для метания у мужчин, у женщин?

545.* Число а составляет 80 % числа Ъ. Сколько процентов числа а составляет число b?

546. Старинная задача. Составлено 80 фунтов смеси из селитры и серы в такой пропорции, что на 7 частей селитры приходится 3 части серы. Сколько должно к этой смеси прибавить селитры, чтобы на 11 частей селитры приходилось 4 части серы?

547. Имеется 9 кг раствора. Кислоты в нем на 20 % меньше, чем воды. Сколько воды и кислоты в растворе?

548.* Древесина только что срубленного дерева массой 2,5 ц содержала 64 % воды. Через некоторое время масса воды стала составлять 55 % массы дерева. На сколько центнеров уменьшилась за это время масса дерева?

549.* Отец и сын принялись косить два соседних участка. Когда сын выкосил половину меньшего участка, они присели отдохнуть и подсчитали, что отец косит в 2 раза быстрее сына, и что если они будут работать так же хорошо, но поменяются участками, то закончат работу одновременно. Определите площадь каждого участка, если один из них больше другого на 1 сотку.

Пусть сын до отдыха скосил х соток, тогда отец скосил 2х соток. После отдыха отец скосил оставшиеся на меньшем участке x соток, а сын в два раза меньше: 0,5х соток. По условию задачи известно, что один из участков больше другого на 1 сотку, составим уравнение:

откуда х = 2. Меньший участок имеет площадь 2-2=4 сотки, больший — 2,5 -2=5 соток.

550.* Сулико подошла к роднику с двумя кувшинами. Вода из родника текла двумя струями - одна давала в 3 раза больше воды, чем другая. Сулико поставила одновременно два кувшина под струи и, когда набралась половина меньшего кувшина, она поменяла кувшины местами. Как это ни удивительно, но кувшины наполнились одновременно. Определите объем каждого кувшина, если вместе они вмещают 8 л.

Эта задача имеет, два решения, соответствующие двум возможностям: поставить под слабую струю меньший или больший кувшин. Рассмотрим первую из них.

Пусть меньший кувшин поставили под слабую струю и пусть до перестановки кувшинов наполнилась половина кувшина - X л воды. Тогда в большем кувшине, до того как их переставили, оказалось Зх л воды. После перестановки кувшинов сильная струя наполнила оставшиеся х л воды, а слабая — в 3 раза меньше, то есть ~ö х л. Значит, кувшины вмещают

Следовательно, меньший кувшин вмещает 2-1,5 = 3 л воды, а больший 8 - 3 = 5 л воды.

Во втором случае (под слабую струю поставили больший кувшин) получается тот же ответ.

551. Лиса Алиса, Кот Базилио и Буратино откопали на Поле чудес кувшин с золотыми. Лиса Алиса хотела взять треть всех золотых и половину остатка дать Коту Базилио. Кот Базилио хотел взять половину всех золотых и треть остатка дать Лисе Алисе. На каком варианте дележа они остановились, Буратино не помнит, но ему досталось 10 золотых. Сколько золотых было в кувшине?

Ответ в этой задаче не зависит от того, какой вариант дележа выберут Лиса Алиса и Кот Базилио, так как в первом случае Буратино останется

а во втором найденной суммы. Тогда в кувшине было 10 • 3 " 30 золотых.

552. Папа планировал многодневное путешествие на автомобиле и предложил в первый день проехать *f пути, а во второй — g- остатка. Мама сказала,^ что лучше в первый день проехать *g пути, а во второй — остатка. Вася заметил, что молено не спорить, так как в том и в другом случае после двух дней останется проехать один и тот же путь. Прав ли Вася?

553.* а) Обнаружив в 64 метрах от себя уползающую черепаху, Ахиллес начал ее преследовать. Сократив расстояние до черепахи в 8 раз и осознав свое превосходство, он прекратил погоню. Какой путь проделал Ахиллес с начала погони, если его скорость в 15 раз больше скорости черепахи, причем движение Ахиллеса и черепахи происходило по прямой?

б) До приближающегося Ахиллеса оставалось еще 6 м, когда черепаха поняла, что ей не уйти от погони, и она обреченно остановилась. Какой путь с начала погони проделала черепаха, если ее скорость в 17 раз меньше скорости Ахиллеса, расстояние между ними за время погони сократилось в 9 раз и их движение происходило по прямой?

Эти задачи были даны на конкурсном экзамене в МГУ. Если учащиеся догадаются, что Ахиллес в первой задаче пробежал путь в 15раз больший, чем черепаха, то обозначив путь черепахи за x м, путь Ахиллеса за 15х м, они составят уравнение:

15х -х- 64 -64:8

и получат ответ «60 м».

554. Задача Алькуина. Два человека купили на 100 сольдов свиней и платили за каждые 5 штук по 2 сольда. Свиней они разделили, продали опять каждые 5 штук по 2 сольда и при этом получили прибыль. Как это могло случиться? А вот как: на 100 сольдов приходится 250 свиней, их они разделили пополам на два стада. Из первого стада отдавали по 2 свиньи на 1 сольд, а из второго — по 3. Тогда достаточно продать по 120 штук из каждого стада pi придется получить 60 сольдов за свиней из первого стада, 40 — за свиней из второго стада, всего 100 сольдов. Пять же штук из каждого стада останется в прибыли. Откуда взялась прибыль?

Объясняется все очень просто. Покупали каждую пару свиней сольда, а продавали за сольда.

555.* Задача Д. Пойа. Патрульный самолет в тихую, безветренную погоду делает 220 миль в час. Запас топлива рассчитан на 4 ч полета. На какое расстояние может удалиться этот самолет, если ему необходимо вернуться к месту вылета и если против направления, в котором он первоначально летит, дует ветер, скорость которого 20 миль в час?

Решим задачу арифметически. Па каждую милю пути при движении туда и обратно расходуется часа, следовательно, наибольшее расстояние, на которое может удалиться самолет за 4 ч, равно

Задачу молено решить и с помощью уравнения.

556.* Старинная задача. Предание повествует, что царь Гиерон поручил мастеру изготовить венец для одной статуи и приказал выдать ему необходимое количество золота и серебра. Когда венец был доставлен, взвешивание показало, что он весит столько же, сколько весили золото и серебро. Однако правителю донесли, что мастер утаил часть золота, заменив его

серебром. Гиерон призвал Архимеда и предложил ему определить, сколько золота и серебра заключает изготовленная мастером корона. Архимед решил эту задачу исходя из того, что чистое золото при взвешивании в воде теряет 20-ю долю своего веса, а серебро — 10-ю долю. Определите, сколько золота утаил мастер, если ему выдали 8 кг золота и 2 кг серебра, а корона весила в воде 9 т кг?

Пусть в короне было х кг золота и (10 - х) кг серебра. Корона весит в воде

Решив уравнение

получим x = 5. Мастер утаил 8 - 5 = 3 кг золота.

Рассмотрим две последние задачи, которые хоть и мало связаны с практикой, но дают прекрасную возможность организовать увлекательную работу по поиску решения.

557.* 1) Автомобилист собирается пересечь пустыню. Его машина тратит 1 л бензина на 10 км пути. Автомобилист имеет 120 л бензина, но с собой может взять не более 60 л. Он может преодолеть более 600 км, если будет оставлять по пути следования часть бензина и возвращаться назад для пополнения бензобака. Пустыню какой наибольшей ширины он может пересечь?

2) Решите предыдущую задачу, если автомобилист имеет 180 л бензина.

Решим первую задачу. Автомобилист может оставить 20 л бензина в 200 км от, начала маршрута. В этом случае он потратит на путь туда и обратно 40 л бензина. Заправив последние 60 л, он доедет до места, где оставил 20 л бензина, истратив как раз 20 л, дополнит бак и, имея 60 л, проедет, последние 600 км. Всего он проедет 200 + 600 = 800 км.

Если учащиеся не догадаются, что запас бензина можно оставить в 200 км от начала маршрута или захотят вычислить это расстояние, то задачу можно решить так.

Пусть автомобилист сделал запас топлива на расстоянии х км от начала маршрута. Тогда на путь до этого места и обратно будет потрачено 0,2х л бензина, а оставшиеся 60 - 0,2х л бензина можно оставить в запасе. Приехав еще раз в это место, автомобилист будет иметь 60 - 0,1 х л бензина, что вместе с оставленным бензином должно дать 60 л. Из уравнения 60 - 0,1х + 60 - 0,2х = 60

получим x - 200.

Решим вторую задачу. Как израсходовать последние 120 л бензина, мы уже знаем. Остается истратить 180 - 120 = 60 л на перевозку 120 л бензина на новое место. При этом придется заправляться бензином 3 раза (180:60)и 5раз проехать расстояние в 120 км от начала маршрута до места, где хранится бензин. То есть автомобиль проедет по пустыне 120 + 800 = 920 км.

ОТВЕТЫ И СОВЕТЫ

3. 1) На 58 марок; 2) на 5 т\ 3) в сентябре, на 3 станка. 7. а) 810 кг; б) 1270 ящиков. 8. 3) 129.13. 22 р. 19. а) 108 км; б) 168 м. 21. а) 224 км; б) 70 страниц. 24. 9720 тарелок. 28. А км. 30. Не торопитесь считать, подумайте. 31. 60 бочек. 34. а) 6 р.; б) 465 р. 35. 36 мест. 38. а) За 22 дня; б) на 1 ч. 41. а) Сначала определите, по скольку яблок стало в каждой корзине. 42. а) 26 и 30 человек; б) 20 и 25 человек. 43. а) 215 мужских часов; б) 265 т. 45. 56, 55, 25 и 28 книг. 49. 72 ц. 51. 1 кг 800 г яблок; 4 кг 200 г фруктов. 52. 1) 240 пачек; 2) 200 пачек. 54. 2) 90 и 30 книг. 65. а) 225 и 207; б) 203 и 334. 73. 1) 4 ч; 2) 5 ч. 74. 73 км. 78. 1)2 км/ч. 84.1) Лишнее условие «900 км»; 3) через 1 ч или 3 ч. 86. Через 8 дней. 87. 156 верст. 90. За 15 мин. 91. 312 орехов. 92. По 2000 р. 94. 1) Определите сначала, по скольку книг стало на каждой полке; 2) у Светы 5 яблок, у Наташи 3 яблока; 3) 13, 7 и 4 яблока. 97. 1) Пусть мама сначала дала детям по 4 конфеты. Если она станет раздавать оставшиеся 3 конфеты, то трем детям хватит еще по одной (пятой) конфете, а двум - не хватит (закончите решение); 2) 6 ваз. 98. 1) 25 учащихся, 69 тетрадей; 2) 396 стульев. 99. 11 бедных. 100. 1) Если бы все 20 пирамид имели по 5 колец, то колец было бы 20-5 = 100, а по условию их 128 (закончите решение). 101. Предположим, что сначала мальчики и девочки принесут поровну - по 3 р. (закончите решение). 103. 26 коров по 26 р. и 18 коров по 18 р. 110. 1) Подумайте, за счет чего в первый раз образовалась большая сумма; 2) найдите сначала стоимость трех тетрадей и трех ручек, потом одной тетради и одной ручки (закончите решение). 111. 400 г. 117. 6 яблок первой соседке и 3 яблока второй. 118. 2 км. 121. 17.03.51.127. 1) 10 страниц; 2) 20 страниц; 3) 160 л*. 134. 800 г, 150 г. 145. 2) 22 конфеты; 3) 30 р. 146. 2) 3 яблока; 3) сестра взяла половину всех карандашей и еще полкарандаша, значит, у нее стало на 1 карандаш больше, чем у брата (закончите решение). 147. Определите сначала, на сколько яиц больше купила вторая хозяйка, чем третья (закончите решение). 150. а) 16 км; б) 100 р.; в) 9 страниц. 151. 15 р. 152. 81 км. 157. а) 160; б) 25 см. 159. 26р. 160.9р. 161. 60 лет. 167. а) | -1 -± (пути) - туристы проехали во второй день; 48:3 =16 (км). 168. 1) ~ - yL = JL (суммы) — получится; 90:10-9 = 81 (р.). 171. 2300 р. 172. 1) Первый способ прост - подберите число, удовлетворяющее условию. Второй способ с давних пор называют «методом ложного положения». Вот как он записан в папирусе Ахмеса: «Считай с 4; от них ты должен взять четверть, а именно 1; вместе 5». Взятое для пробы количество (4) и его четвертая часть дают вместе только 5. Это в 3 раза мень-

ше, чем 15. Как нужно изменить выбранное количество/ (Закончите решение). Третий способ. Определите, сколько четвертых долей количества содержится в числе 15 (закончите решение). 177. Кофе и молока поровну. 180. 28 флоринов. 197. На 65-й версте. 198.35 миль. 200. За 3 н. 211. Ответ к этой задаче Анания Ширакаци дал в виде:

, Подумайте, как его можно использовать для проверки вашего решения. 214. 5 дней и 4 ч. 215. 30 ч. 216. 9 ч. 217. 1) 3 «<; 2) 6 ч. 221.1) На 6 км. 223. Задачу проще решить без сложения дробей:

ставки. 227. 1) 120 страниц; 2) 240 марок. 232.1) 312 значков; 2) 520 р.; 3) 1215.236. Через 2 ч. 239.15 пчелок. 240. 2376 дахеканов. 241.10 р. 50 к. было заплачено: 2 р, 10 к., 3 р. 60 к., 2 р. 88 к. 242. 84 года. 261. 1) Ответить на вопрос задачи нельзя. 262. За 7 недель. Здесь нет прямой пропорциональности. Пруд покрылся лилиями наполовину за 1 неделю до того момента, когда он полностью покрылся лилиями. 263. За 59 мин. 269. 75 оборотов. 273. а) Надо пригласить четверых маляров. 275. 120 человек. 278. Подумайте, как изменится число яиц от увеличения числа куриц в 4 раза при неизменном числе дней. Как изменится число яиц, если еще и число дней увеличится в 4 раза. 279.1 кг. 289. б) Если по очереди учитывать изменение только одной величины, оставляя другие без изменения, то при увеличении числа керосинок в | раза число дней уменьшится в 5 раза. Если еще и число часов горения в. день увеличится в ^ раза, то число дней уменьшится в & раза. Если еще и количество литров увеличится в 120 раза, то число дней увеличится в ^ раза.

Окончательно имеем:

297. На 100 р.; 600 р. 301. 1) 10 % гостей говорили на двух языках. 304. 1) 1750 кг. 310. 7285-0,08-3,5 - 2039,8 (р.). Здесь для простоты считается, что каждый год вложенная сумма увеличивается на одну и ту же величину. 314. Не получится, так как первый раз число увеличили на 0,1-200 - 20, а второй раз уменьшили на 0,1-220 - 22. 316. 1) Вся зарплата составляла 100 % от самой себя. Она увеличилась на 80 % и теперь новая зарплата составляет 180 % старой, то есть увеличилась в 1,8 раза; 2) цена товара была 100 %, стала 200 % - увеличилась на 100 %; 3) цена товара была 100 %, стала 200 % - увеличилась в 2 раза. 318. Увеличить 10000 р. на 3 % можно, вычислив сначала 3 % от 10000:1) 100000,03 = 300; 2) 10000 + 300 - 10300. Тот же результат можно получить иначе: 1) 100 + 3 - 103 (%); 2) 10000 1,03 = 10300. Увеличим данную сумму на 3 % два раза: 10000-1,03-1,03 = 10609 (р.). Через два года на счете окажется 10609 р. Здесь, в отличие от задачи 310, учитываются проценты на

процентные деньги. 320. а) 14:0,07 - 200. 322. 2,8:0,82 = 3,41... ~ 3,4 {млн. га). 326. 0,8до, 20 до. 335. а) 630р.; 6) 50 тыс.р. 337. 40 от 50 составляет 40^° = 80 (%); 50 от 40 составляет = 125 (%). 342. 1) На 25 %; 2) на 20 %.

343.Вовсе нет. Если, например, зарплата мамы 800 р., а папы 1000 р., то прибавка зарплаты у папы больше (проверьте). 345. 1) Только не торопитесь отвечать «на 20 %» - здесь проценты вычисляются от разных величин, поэтому их нельзя складывать. Пусть число а сначала увеличили на 10 %, то есть на ОДО«, получили а + 0,10« = 1,10а. (Заметьте, увеличить число на 10 % можно, умножив это число на 1,10). Теперь второе число увеличим на 10 %, умножив его на 1,10, получим: 1,10(1,10а) - 1,21а. Последний результат на 21 % больше числа а. 2) Число уменьшилось на 1 %. 346. Ответ «На 30 %» неверен. За три месяца цены увеличились в 1,1я = 1,331 раза, то есть примерно на 33%. 347. Женя похудел. 348. Если соседние стороны прямоугольника а и b, а площадь ab, то после увеличения одной пары противоположных сторон (все равно какой) на 10 % площадь будет равна \,1аЬ. Это больше ab на 0,1аЬ, или на 10%. 349. на 21 %. 353. Пусть длина прямоугольника а, ширина Ь. Длина стала 0,8а= р а. Чтобы площадь ab не изменилась, надо длину |- а умножить на ширину 4 b - \,25b, то есть надо увеличить ширину на 4 Ь, или на 25%.

355. См. решение аналогичной задачи 353. Только вместо а и Ь, произведение которых не менялось, здесь скорость v и время t, произведение которых (длина участка пути) не меняется. 356.10 кг. Учтите, что масса сухого вещества арбуза сначала составляла 1 %, а потом 2 % новой массы арбуза. 357. Если бы экологи хорошо знали проценты, то они смогли бы возразить предприимчивому директору леспромхоза, который в соответствии с условием задачи может вырубить половину леса - это при условии, что вырубать будут только сосны. Если же топор коснется и других деревьев, то от соснового леса останется меньше половины. Ведь удовлетворить условию задачи можно, оставив в лесу 50 деревьев - 49 сосен и 1 березу. 358. а) Конечно не 10 %. Подумайте, какую часть массы свежих и сушеных яблок составляет сухое вещество, какую часть массы сушеных яблок составляет вода. 361. 2 до. 362. В металле 200,06 = 1,2 до примесей, в руде 40 - 20 + 1,2 = 21,2 до примесей, что составляет 21,2:40 - 0,53, или 53 % массы руды. 365. 125 %. 367. Конечно же в акции компании Y. Во-первых, если цены растут, то доход лучше потратить сразу, а не спустя полгода. Во-вторых, если цены не меняются, то доход можно вложить в новые акции компании Y, по которым в конце года будет получен дополнительный доход. 368. См. похожую задачу 355. 370. На 4 %. Пусть за а деталей рабочий должен получить b р. На одну деталь приходится ^ р. Фактически рабочий сделал 1,15а деталей и получил за них 1,1046 р., теперь на одну де-

таль приходится Ь Vi = 0,96 - р. Это на 4 % меньше, чем - . 371. За печенье. 374. Не на 6 %! Обозначим дневное задание через а, тогда за два дня рабочий выполнил 1,02а + 1,04а - 2,06а вместо 2а, что составило 2,Оба Л 00 « = 1,03, или 103 % задания двух дней. Задание перевыполнено на 3 % 375. Первоначальное число автомобилей пять раз увеличится в 1,15 раза, т. е. в 1,155, или примерно в 2 раза. 376. За 4 года. 378. Примерно на 25,9 %. 379. а) 20 %; б) 20 %. 400. а) 4 овцы и 15 кур. 402. 1)7 монет; 2) 70 гривенников и 100 двугривенных. 403. 2 м по 17 р. и 3 м по 22 р. 411. 4 м, 14 м, 10 м. 416. 150 и 100. 418. 1) 18 км и 78 км; 2) 26,4 км и 105,6 м. 422. 4 галки и 3 палки. 423. 83 ореха. 429. 126 семей, 3750 денежных единиц. 432. в) 50 деталей. 433. Карета стоила 477 р., дрожки - 318 р., сани - 212 р. 437. 28 учеников. 438. Через 18 лет. 442. 1) Через 4 года; через ( - 2 года), то есть 2 года тому назад. 446. 30 и 12 лет. 448. 10 и 14 слив. 449. У ослицы 5, у мула 7 мешков. 450. 170 и 40 рупий. 453. 1 ~ динара. 454. 9,2 флорина. 458. 12 ящиков. 459. 8, 12, 20 и 5 р.

460. Здесь удобно обозначить через х число яблок, данных младшему брату. Заполним таблицу:

Дано

Съели

Осталось

Старший

Зх

2х + 9

Средний

Зх- 12

Младший

X

Зх- 12-42

6

Составьте уравнение и решите задачу. 461. Ответ не изменился бы, если бы торговец сначала купил оба товара, а потом их продал. 468. 3 сестры и 4 брата. 469. 8 аршин по 3,5 р. 472. 2 мин. 480. 21,3 км/ч. 484. 200, 240, 280 и 320 р. 488. Брат за все время собрал 4,2 л ягод, сестра до обмена корзинами собрала 3,6 л ягод. 490.1) Пусть первая, вторая и третья части содержат по 7,5 и 2 равные доли соответственно. Сколько всего долей? (Продолжите решение); 2) Пусть первая и вторая части содержат по 2 и 3 равные доли соответственно; вторая и третья - по 3 и 5 таких же долей ... (продолжите решение); 5)Сначала найдите число «человеко-дней», отработанных каждой артелью. 494. Первому - 3 шубы, второму - 6 шуб. 498. 45 и 27 значков. 510.6) 25 р. Сумму долга надо увеличить во столько же раз, во сколько увеличилась стоимость стрижки. 511. 4250 р. 512. 21 т. 513. По 15 ч. в день. 518.12 км. 519. 1) Если каждое колесо проехало 4 тыс. км, то автомобиль проехал 4-5:4 в 5 тыс. км. Если автомобиль проехал 4 тыс. км, то колесо проехало 4:5-4 - 3,2 тыс. км. 2) 10 тыс. км. Не может, так как в соответствии с условием задачи автомобиль

проедет 12,5 тыс, км, а первое колесо — 14 тыс. км, что невозможно. 520. 9,6 тыс. км. 524. Попробуйте обозначить через х число перьев, которое окажется в первом ящике после первого перекладывания и выразите через х число перьев во втором ящике. После этого выразите через х число перьев в ящиках до первого перекладывания и после второго. Составьте уравнение и решите задачу. 525. У брата — 177 р., у сестры — 129 р. 526. Нужно 3,5 аршина сукна, было'14 р. 70 к. 528. 23,5 р. 530. 1) 400, 500, 700крон; 2) 1200 крон, по"3000 крон. 532. 60,45 и 40 орехов. 537.9 ^ дня. 541.4)8 косцов. 543. 1750 и 1890р. 548. На 0,5 ц. 549. 4 сотки и 5 соток. 551. 30 золотых. 552. Прав, так как после двухдней пути в обоих случаях останется проехать | пути. 553. а) 60 м. 556. Мастер утаил 3 кг золота. 557. 1) 800 км\ 2)920 км.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Арнольд В.И. Избранное. - М.: ФАЗИС, 1997.

[2] Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач // Вопросы методики математики. Вып. 6.- М., 1946. - С. 7-28.

[3] Баранова И.В., Борчугова З.Г Математика: Пробный учебник для 4 кл. средней шк. /Под ред. Н.М .Матвеева. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1984.- 256 с.

[4] Беллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. - М.-П., 1923.

[5] Березанская Е.С. Сборник задач и упражнений по арифметике для 5 и 6 кл. семилетней и средней школы. —16-е. изд.— М., 1949. -237 с.

[6] Бычков Ф. Сборник примеров и задач, относящихся к курсу элементарной алгебры. — 24-е изд. — П., 19,15. - 574 с.

[7] Виленкин Н.Я. Современные проблемы школьного курса математики и их исторические аспекты // Математика в школе. 1988. - № 4.

[8] Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики. Выпуск I. Арифметика и алгебра/ Пер. с нем. П.С. Юшкевича. — М.-Л., 1932.

[9] Глейзер Г.И. История математики в школе: IV-VI классы: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.

[10] Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. -М.-Л., 1946.

[11] Колягин Ю.М. Функции задач в обучении математике и развитие мышления школьников // Советская педагогика, 1974. - № 6. -С. 56-61.

[12] Лямин А.А. Физико-математическая хрестоматия. Т. 1. Арифметика. - М., 1912. - 280 с.

[13] Малинин А.Ф., Буренин К.П. Собрание арифметических задач для гимназий. 1874.

[14] Математика: Учебник для 3 кл. /А.С. Пчелко, М.А. Бантова, М.И. Моро, А.Н. Пышкало. - М.: Просвещение, 1976.

[15] Математика: Учебник для 5 кл. сред. шк. / Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, СИ. Шварцбурд, В.И. Жохов. - М., 1990. - 304 с.

[16] Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. - М.: Наука, 1988. - 160 с.

[17] Пойа Д. Как решать задачу. Пособие для учителей. — 2-е изд. -М.: Учпедгиз, 1961. - 207 с.

[18] Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. — 2-е. изд. — М., 1976. - 448 с.

[19] Программы средней общеобразовательной школы: Начальные классы. (1-4 кл. 11-летней школы). - М., 1988.

[20] Смаллиан Р.М. Как же называется эта книга? - М., 1981.

[21] Смаллиан Р.М. Принцесса или тигр? - М., 1985.

[22] Совайленко В.К. Содержание задач в учебниках математики //Проблемы школьного учебника. Выпуск 12. - М, 1983.

[23] Сорокин П.И. Занимательные задачи по математике. С решениями и методическими указаниями: Пособие для учителей. I-IV кл. - М., 1967.

[24] Ходжамбердиев А.Ш., Абдумаликова Т. Ознакомление учащихся VI-VII классов с элементами охраны природы на основе межпредметных связей курсов физики и математики // Вопросы преподавания физики и математики в школе /Отв. ред. Э. Турдыкулов, Н. Гайбуллаев.- Ташкент, 1980.

[25] Чистяков В Д. Старинные задачи по элементарной математике.— 3-е. изд., испр. - Минск: Вышэйшая школа, 1978. - 272 с.

[26] Шохор-Троцкий СИ. Методика арифметики для учителей средних учебных заведений. — 2-е. изд., испр. и доп. - СПб., 1912. -XVI + 524 с.

[27] Шохор-Троцкий СИ. Опыт методики арифметики для преподавателей математики средних учебных заведений.— М., 1888. - 208 с.

[28] Шохор-Троцкий СИ. Чему и как учить на уроках арифметики? — 2-е. изд., испр. и доп., — Вып. I. - М.-СПб., 1899.

Приложения

КАК ИСКАТЬ РЕШЕНИЕ?

(Таблица Д.Пойа)

1. Понять предложенную задачу.

2. Найти путь от неизвестного к данным, если нужно, рассмотрев промежуточные задачи («анализ»).

3. Реализовать найденную идею решения («синтез»).

4. Решение проверить и оценить критически

2.

Сформулировать отношение (или отношения) между неизвестным и данным.

Преобразовать неизвестные элементы. Попытаться ввести новые неизвестные, более близкие к данным задачи.

Преобразовать данные элементы. Попытаться получить, таким образом, новые элементы, более близкие к искомым неизвестным.

Решить только часть задачи.

Удовлетворить только части условий: насколько неопределенным окажется тогда неизвестное? (Геометрические места!)

Обобщить. Рассмотреть частные случаи. Применить аналогию.

3

Испытывать правильность каждого шага, принимая лишь то, «что усматривается с полной ясностью или выводится с полной достоверностью » (Декарт )

1.

Что гласит задача? Что дано? Что нужно найти?

Определено ли неизвестное данными задачи? Или они недостаточны, или чрезмерны?

Нельзя ли сформулировать задачу иначе?

Нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным решением? Или с задачей, решающейся проще? Решающейся сразу?

Эти вопросы нужно повторять каждый раз, когда в ходе решения наступает заминка, при решении каждой промежуточной задачи. Кроме того:

Все ли данные задачи были уже использованы?

«Заменить термины определениями» (Паскаль)

4.

Правдоподобен ли результат? Почему? Нельзя ли сделать проверку?

Нет ли другого пути, ведущего к полученному результату? Более прямого пути? Какие результаты еще можно получить на том же пути?

СПРАВОЧНАЯ ТАБЛИЦА

Старинные российские денежные единицы

Гривна - слиток серебра, вес которого был приблизительно равен более позднему фунту. Во второй половине XIII в. гривну стали рубить пополам. Новый слиток в половину гривны назвали рублем, он стал основной денежной единицей России с XV в. Позднее гривной, или гривенником, стали называть десятую часть рубля.

Старинные российские меры длины

(уточнены в XVIII в. указом Петра I)

1 миля = 7 верст ~ 7 км 469 м = 7,469 км

1 верста = 500 саженей ~ 1 км 67 м = 1,067 км

1 сажень = 3 аршина = 7 футов -2м 13 см 4 мм = 2,134 м

1 аршин = 16 вершков ~ 71,12 см

1 вершок « 4,445 см

1 фут = 12 дюймов ~ 30,48 см

1 дюйм = 10 линий ~ 2,54 см

1 линия = 10 точек « 2,54 мм

Старинные российские меры веса

1 пуд = 40 фунтам ~ 16 кг 380 г = 16,38 кг

1 фунт = 32 лота « 409,512 г

1 лот = 3 золотника ~ 12,797 г

1 золотник = 96 долей « 4,266 г

1 доля ~ 44,43 мг

Английские меры длины

1 миля = 1760 ярдов « 1 км 609 м = 1,609 км

1 ярд = 3 фута ~ 91,44 см

1 фут = 12 дюймов ~ 30,479 см

1 дюйм = 12 линий ~ 2,54 см

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение............................................3

§1. Натуральные числа...............................5

1.1. Сложение и вычитание натуральных чисел................18

1.2. Умножение и деление натуральных чисел .................22

1.3. Задачи «на части» ....................................28

1.4. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности ...............................32

1.5. Задачи на движение по реке ............................34

1.6. Задачи на движение...................................37

1.7. Разные задачи .......................................41

§ 2. Дроби.................... ....................52

2.1. Вводные задачи......................................64

2.2. Нахождение части числа и числа по его части .............71

2.3. Сложение и вычитание обыкновенных дробей.............74

2.4. Умножение и деление обыкновенных дробей ..............78

2.5. Задачи "на бассейны" и другие .........................83

2.6. Разные задачи ......................................92

§ 3. Пропорции ............... ...................101

3.1. Задачи на прямую и обратную пропорциональность........113

3.2. Задачи на прямую и обратную пропорциональность для трех и более величин.............................121

§4. Проценты .....................................126

4.1. Нахождение процентов числа..........................131

4.2. Нахождение числа по его процентам ....................135

4.3. Нахождение процентного отношения ...................137

4.4. Сложные задачи на проценты .........................139

§5. Уравнения ....................................146

5.1. Вводные задачи.....................................147

5.2. Решение задач с помощью уравнений...................150

5.3. Более сложные задачи, решаемые уравнением ............159

§ 6. Задачи на повторение ........................ . .165

Ответы и советы .......................................198

Используемая литература.................................203

Приложения ..........................................205

Оглавление............................................207

Учебное издание

Шевкин Александр Владимирович

ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В 5-6 КЛАССАХ

Художественное оформление Т.Н. Войткевич Редактор Е.Ю. Петухова Компьютерная верстка И.П. Хайдарова, ТА. Кузина.

Издательская лицензия ЛР №066327 от 23 февраля 1999 г. 000 «Торгово-издательский дом «Русское слово — PC» Тел. (095) 351-72-64, 202-62-37 119034, г. Москва, Пречистенская наб., д. 15, стр. 2. Гигиенический сертификат № 77.99.02. 953. Д. 000641.02.01 от 07.02.2001г.

Подписано в печать 08.07.2002 .Формат 60x84/16 Печ. л. 13. Гарнитура Петербург. Бумага газетная. Печать офсетная. Тираж 5000. Заказ 965,

Отпечатано в Подольском филиале ЧПК 142110, Подольск, ул. Кирова, 25.

РУССКОЕ СЛОВО