И.Ф. ШАРЫГИН

Рассуждения о концепции школьной геометрии

МЦНМО

Москва 2000

И. Ф. ШАРЫГИН

РАССУЖДЕНИЯ О КОНЦЕПЦИИ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

МЦНМО

2000

Издание осуществлено при финансовой поддержке федеральной целевой программы «Интеграция» (направление 1.6 «Воссоздание научных олимпиад, конкурсов, научных молодежных школ и конференций», этап 2000 года), гос. контракт № Н-0035/99.

Ш 25 Шарыгин И. Ф. Рассуждения о концепции школьной геометрии. — М.: Изд-во Московского центра непрерывного математического образования, 2000. — 56 с.

ISBN 5-900916-62-6.

В этой брошюре известный специалист по элементарной геометрии И. Ф. Шарыгин, излагает свои взгляды на преподавание математики (в особенности, геометрии) в средней школе.

ИД № 01335 от 24.03.2000. Подписано и печать 06.09.2000. Формат 60-88 1/16. Печать офсетная. Бумага офсетная № I. Печ л. 3.5. Тираж 1000 экз. Заказ 6068 МЦНМО

121002. Москва, Большой Власьевский пер., 11 Отпечатано в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ. 140010. г. Люберцы. Московской обл.. Октябрьский пр-т. 403. Тел. 554-21-86

ISBN 5-900916-62-6

© Шарыгин И. Ф., 2000. © МЦНМО, 2000.

Не в том суть жизни, что в ней есть, но в вере в то, что в ней должно быть.

Иосиф Бродский

Концепция любого учебного предмета должна отвечать на три вопроса: Зачем (нужна геометрия)? Какая (нужна геометрия)? Как (нужно преподавать геометрию)? Соответственно этим трем вопросам мы имеем три части.

1. Цели обучения

В последнее время в различных газетах и журналах, в радио и телевизионных передачах часто встречаются материалы, касающиеся положения дел в средней школе. Однако если судить по этим публикациям и передачам, то может создаться впечатление, что в современной средней школе почти отсутствует математика. Нынче школьник изучает массу разных предметов, тут история и сексуальное воспитание, информатика и Закон Божий, эстетика и основы маркетинга, и многое, многое другое. Но математики нет, а если она еще где-то и существует, то входит в число второстепенных предметов. Похоже, именно так думают сегодня многие руководители нашего государства, а за ними и руководящие образованием чиновники. И в этом — большая стратегическая ошибка. Родной язык и литература, физкультура, математика — вот три стержня среднего образования. Среди всех предметов математика охватывает самый широкий спектр учебных, образовательных, развивающих и других самых разных целей. Понятно, что основные цели математического образования в той или иной степени относятся и к его геометрической составляющей, хотя некоторые специфичны именно для нее. Но прежде чем мы перейдем к описанию этих целей, зададим и попробуем ответить еще на один вопрос.

Кто определяет цели образования? На этот вопрос дается стандартный ответ: общество, которое формирует так

Работа написана от первого лица множественного числа. Это больше соответствует традициям жанра, чем единственное число. Этим автор также демонстрирует уверенность, что его мнение разделяет, по крайней мере, еще один человек.

называемый социальный заказ. Но тогда возникают другие вопросы: а кто конкретно выступает в качестве доверенного лица общества и доводит до его же сведения им же сформированный социальный заказ? Как можно быть уверенным, что цели образования, сформулированные какими-то крупными учеными или высокопоставленными чиновниками, в самом деле выражают этот социальный заказ? Как меняются цели образования в пространстве и времени?

В западных социологических исследованиях существует теория, согласно которой развитие общества и его компонент происходит по следующей схеме: накапливающиеся изменения и противоречия формируют социальный вызов (social challenge), на который должен последовать соответствующий ответ (response), и если этот ответ в самом деле соответствует вызову, то общество (общественные институты) развиваются. Если же данный ответ не соответствует вызову, то продолжающие накапливаться внутренние противоречия могут стать мощной разрушающей силой. (Очевидная аналогия — внутренние болезни человека.) Нетрудно увидеть сходство понятий социальный заказ и социальный вызов.

Подобная схема справедлива и для системы образования, при этом для школы важен ответ не в виде формулировок общих целей, а их реализация в комплекте учебников и учебных пособий. Но в любом случае очень важно, насколько имеющийся ответ соответствует социальному заказу. Похоже, что в первой половине этого столетия российское (советское) общество получило от школьного математического (и не только математического) образования адекватный ответ на социальный заказ (социальный вызов). Накопившиеся затем внутренние противоречия не нашли своего адекватного ответа (конец семидесятых) и математическое (опять же не только) образование начало деградировать. Известные общественно-политические события конца восьмидесятых резко обострили ситуацию и в системе образования. Ответ на социальный вызов попыталась дать небольшая группа ученых от образования, расположившихся в далеких от стола президиума рядах. К сожалению, попытка оказалась с негодными (если не учитывать деньги) средствами, хотя основной своей цели реформаторы все же достигли, они пересели в кресла первого ряда и отчасти в президиум (в смутное время повсеместно всплывают мутные люди), слегка потеснив старожилов, но процесс деградации образования не только продолжился, но и ускорился.

Практическое значение (общематематический аспект). Говоря о практическом значении математики, надо

иметь в виду, что практическое значение математики как науки, и математики как образовательного предмета — это далеко не одно и то же, хотя сходство безусловно есть.

Академик В. И. Арнольд, начиная свою лекцию «Зачем нужна математика?», процитировал слова Роджера Бэкона, сказанные более семисот лет тому назад: «Человек, не знающий математики, неспособен ни к каким другим наукам. Более того, он даже неспособен оценить уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства.» По мнению В. И. Арнольда, в современном обществе роль математики если и изменилась, то в сторону увеличения ее значимости.

Стоит напомнить здесь также высказывание Наполеона: «Процветание и совершенствование математики тесно связано с благосостоянием государства.» Сегодня в западных или, как у нас любят самоуничижительно говорить, цивилизованных государствах резко выросло значение математического образования и математического знания в сфере бизнеса. Возникли такие разделы математики как финансовая математика, актуарная математика (если сфера интересов первой понятна из названия, то по поводу второй поясним: здесь исследуется теория страхового бизнеса); некоторые достижения математиков, например, полученная ими формула справедливой цены, произвели настоящий переворот в технике биржевых и вообще коммерческих сделок (именно за это была присуждена Нобелевская премия по экономике в 1997 г.), организуются семинары и конференции, в которых участвуют математики и бизнесмены, на высокооплачиваемые должности в банки и другие коммерческие структуры приглашаются профессиональные математики. Нам кажется, что уже этих доводов достаточно. Образование вообще и математическое в особенности имеет огромное экономическое значение. Но в нашей стране трудно убедить общественно-обывательское сознание в полезности математического знания для достижения жизненного успеха, в то время как со всех сторон — с экранов телевизоров, со страниц газет, из соседних подъездов — видны совершенно противоположные примеры. И пока наше общество и его руководители не осознают важность образования, математического образования, пока это осознание не будет переведено в конкретную практическую плоскость, мы не выберемся с задворок цивилизации, на которых находимся сегодня.

Сегодняшний уровень развития техники и технологий предъявляет особые требования к математической подготовке обслуживаю-

щего персонала. В Японии, например, одним из критериев отбора на некоторые рабочие должности является знание высшей математики. Во все времена и во всех странах (кроме России сегодня) большое внимание к математическому образованию проявляли военные ведомства и близкие к нему структуры, они же во многом содействовали его развитию. (Хотя математики от этого и не всегда в восторге.) Сегодня особенно справедлив тезис, что от качества математического образования зависит обороноспособность страны. Математически неподготовленному солдату нельзя доверить сверхточную, сверхмощную и сверхдорогую современную военную технику. Практика последних военных конфликтов показала, что современные войны, а тем более будущие, выигрываются в школьных аудиториях и научных лабораториях.

Как видно из сказанного, роль математического знания сегодня в обществе столь велика, что справедливо утверждение: Плохое математическое образование ограничивает свободу личности, ущемляет права человека, в частности, право на свободный выбор профессии. Плохое математическое образование — прямая угроза национальной безопасности, причем почти всем ее аспектам: военному, экономическому, технологическому и прочим.

Знание. Одним из результатов любого обучения является знание. Знание основных геометрических законов, формул и теорем необходимо человеку для нормального функционирования в обыденной жизни. Но следует все же признать, что объем этих знаний весьма невелик и может быть вмещен в очень небольшой курс. Поэтому, как бы мы ни подчеркивали, что геометрия возникла из практических потребностей человека и ее практическая значимость сегодня по-прежнему велика, убедить общество в необходимости выделения большого количества часов в школе для изучения геометрии лишь на этом основании нам вряд ли удастся. Не следует также преувеличивать значение знания школьной геометрии для продолжения образования. Многие понятия школьной геометрии заканчивают свое существование в школе и никак не используются в высшей математике.

Здесь стоит заметить, что очень часто со стороны многочисленных обывателей, в том числе и высокопоставленных обывателей, влияющих на принятие важных решений, раздаются обвинения в адрес математики, упреки в том, что те или иные математические знания не применяются в практической жизни. «А зачем надо уметь ре-

шать квадратные уравнения, извлекать корни? Где в практической жизни встречаются логарифмы? Для чего нужно знать свойства описанного четырехугольника?» — строго спрашивают они. И как только математики начинают всерьез отвечать на подобные вопросы, опровергать выдвинутые обвинения, они тотчас попадают в глупое положение, их позиции становятся очень уязвимыми. Ответ здесь один: подобные вопросы свидетельствуют о глубоком непонимании целей математического образования, его роли и места в современном обществе. Нельзя говорить отдельно о практическом значении того или иного конкретного математического утверждения, но можно и нужно говорить о большом практическом значении математического знания в целом. Отдельные теоремы — это звено в цепи, убери его — разрушится вся цепь.

Особая роль элементарной геометрии по отношению к серьезной науке, причем не только математической, состоит также в том, что она (элементарная геометрия) является неисчерпаемым источником интересных и оригинальных идей, облегчает поиск решения самых различных научных и технических проблем.

Культурное развитие. Геометрия — это феномен общечеловеческой культуры. Человек не знающий геометрии, не может считаться культурным. Можно сказать, что геометрия является самым гуманитарным из негуманитарных предметов, посредством геометрии реализуются многие цели, специфичные именно для предметов гуманитарного цикла. При этом геометрический критерий культурного развития человека, в отличие от, скажем, литературного, является общечеловеческим. Например, некий человек, живущий в Новой Зеландии, вполне может быть культурным, даже если он не знаком с творчеством Пушкина. Но если он не знает теоремы Пифагора, то его право называться культурным очень и очень сомнительно. Многие теоремы геометрии представляют собой одни из самых древних памятников мировой культуры. Здесь очень важно понимать, что история геометрии по сути является отражением истории развития человеческой мысли, что она является одной из (двух, трех? а может, вообще единственной?) первонаук, и ее возраст совпадает с возрастом вида homo sapiens. Знание истории развития человеческого общества, необходимое для любого культурного человека, включает в себя и определенные элементы геометрии.

Не следует, однако, упускать из виду, что геометрическая культура при всей своей общечеловечности, обладает и национальным

колоритом, отражает национальный менталитет. Курс геометрии, например, во французской школе достаточно сильно отличается от российского курса.

Духовное развитие. Геометрия возникла не только из практических потребностей человека, но, и это очень важно, и из его духовных потребностей. И здесь ее можно поставить в один ряд с поэзией, музыкой и живописью. Геометрия занимает важное место в ряду культовых наук. В качестве примера можно взять Японию. Синтоизм — основная религия Японии — всячески поощряет занятия геометрией. В средние века в этой стране была сильно развита так называемая храмовая геометрия. Достижения японских геометров, которые они оформляли в виде ярко раскрашенных досок и вывешивали при синтоистских храмах, во многом опережали достижения европейских геометров.

Конечно, отделить духовное развитие от культурного не так просто. В некотором смысле культура есть форма проявления духовности. Но не только. Возможно, что духовное развитие — один из наиболее непонятных и труднопроверяемых видов развития. Но его нельзя отрицать, как нельзя отрицать и то, что геометрия способствует духовному развитию личности.

Интеллектуальное развитие. То, что математика является одним из самых важных средств интеллектуального развития человека, которыми располагает человечество, общеизвестно и общепризнано. Математика является также важнейшим средством оценивания уровня интеллектуального развития человека. При этом геометрические критерии особо значимы для высоких уровней.

Геометрия, впрочем, как и алгебра, является носителем собственного метода познания мира. Овладение этим методом — важнейшая цель образования. Но вклад геометрии в интеллектуальное развитие человека этим не исчерпывается. Отдельно следует выделить роль геометрии на начальных ступенях школьного образования. Надо помнить, что не только исторически (для всего человечества), но и генетически (для отдельного человека) геометрическая деятельность является первичным видом интеллектуальной деятельности, и заниматься этой деятельностью человеку приходится буквально с момента рождения.

Выявленная и доказанная психологами и физиологами функциональная асимметрия головного мозга заставляет нас также несколько иначе взглянуть на значение геометрии в развитии человека. Оказывается, наши полушария отвечают за разные действия. Ле-

вое ведает логическим, алгоритмическим мышлением. Работает левое полушарие лишь во время бодрствования. Когда человек спит, оно выключается. Правое отвечает за чувственную, образную сферы нашего сознания. Правое полушарие функционирует постоянно. Наши сновидения — продукт деятельности правого полушария. Некоторые из известных методик обучения математики чрезмерно перегружают левое полушарие. Это очень опасно именно на ранних ступенях школьного обучения и особенно в отношении детей с доминирующим правополушарным типом мышления, а таких детей довольно много, возможно даже подавляющее большинство. В результате мы имеем учебные перегрузки, стрессы и даже неоправданную дебилизацию некоторых учеников, которые начинают отставать в своем интеллектуальном развитии. Широко известно, что переучивание левши может привести к ослаблению его умственных возможностей. Переучивание же «интеллектуального левши» может привести и вовсе к трагическим последствиям.

Отсюда можно сделать вывод, и этот вывод уже подтвержден практикой, что при широкой геометризации школьной математики на ее начальных ступенях значительно сокращается число отстающих, лучше усваиваются и негеометрические разделы. Сам процесс занятий геометрией уже имеет большое развивающее значение.

Творческое развитие. Если декларирование необходимости интеллектуального развития в качестве одной из целей среднего образования представляется вполне оправданным, то этого нельзя утверждать относительно развития творческого. С точки зрения правящих слоев стабильного общества главной целью образования, определяющей все другие цели, является воспроизводство социальной системы. Перепроизводство творческих личностей — угроза стабильности общества. Это в равной мере верно в отношении режимов и тоталитарных, и демократических. Но если в стране стабильность режима сопровождается высоким жизненным уровнем всего населения, то указанная основная цель образования соответствует интересам общества. Впрочем, наверное, ни в одном государстве, будь то КНДР или Франция, в официальных концепциях не говорится, что творческое развитие не является важной целью образования, но на полуофициальном уровне с подобными утверждениями приходится сталкиваться.

Развитие творческих способностей традиционно является одной из важнейших целей российского образования. Возможно, это как раз потому, что в России никогда не было настоящей стабильно-

сти. Именно сегодня эта цель особо актуальна. Несколько упрощая проблему, можно сказать, что в основе любого творческого процесса лежит воображение. Вольтер как-то сказал: «В голове у Архимеда было больше воображения, чем в голове у Гомера.» В литературе по методике преподавания геометрии достаточно часто встречается термин «геометрическое воображение». Подобные словосочетания в методиках по другим предметам, в том числе и математическим, не встречаются. Уже на этом основании можно сделать вывод о больших возможностях геометрии для развития творческих способностей.

Общая цель — развитие творческих способностей — содержит более конкретную и специальную цель — выявление и обучение одаренных детей, в частности, математически одаренных, и даже еще уже — геометрически одаренных детей.

Эстетическое развитие. Вся математика, а геометрия в особенности, обладает своеобразной эстетикой. Впрочем, говоря о геометрии, оборот «своеобразный» можно убрать, поскольку геометрическая эстетика видна и понятна любому образованному человеку. Нельзя проникнуть в суть геометрии, если не видеть красоты геометрических форм, формул и формулировок. Говоря о решении геометрических задач, мы часто используем характеристики: красивое решение и некрасивое решение. К красивым мы обычно относим короткие, чисто геометрические решения, а некрасивыми считаем длинные и счетные. Не как-нибудь решить задачу, а решить ее красиво — вот цель, которую должен ставить перед собой любой геометрически хорошо воспитанный человек: и школьник, и профессиональный математик (здесь мы вынуждены сделать определенный упрек в адрес некоторых победителей олимпиад и их воспитателей). Причем не ради каких-то конкретных выгод, а ради самой красоты.

Нравственное воспитание. В романе «Война и мир», характеризуя старшего князя Болконского Николая, Л. Н. Толстой пишет: «Он говорил, что есть только два источника людских пороков: праздность и суеверие, и что есть только две добродетели: деятельность и ум. Он сам занимался воспитанием своей дочери и, чтобы развить в ней обе главные добродетели, давал ей уроки алгебры и геометрии и распределил всю ее жизнь в беспрерывных занятиях.» Зная отношение великого писателя к математике, можно предположить, что здесь Толстой высказывает свое мнение о воспитательном значении математики.

Занятия математикой развивают добродетели, обостряют чувства справедливости и собственного достоинства, воспитывают внутреннюю честность и принципиальность. Замечено, что при тоталитарных режимах нередко возрастает интерес к математике в самых широких слоях общества. Математика дает людям отдушину в атмосфере страха и унижения, возможность выжить, не вступая в конфликт с совестью. Впрочем, при любом режиме математика привлекательна полной независимостью от каких-то конъюнктур; тем, что математическое знание абсолютно истинно, но всегда неполно и потенциально бесконечно развивается; и тем, что математическое сообщество являет собой пример идеального демократического сообщества.

Несколько лет тому назад российского обывателя вдруг со всех сторон начали пугать образом бездушного технократа, который может прийти к власти. При этом на математиков также смотрели, как на потенциальных технократов. Прошло некоторое время, у власти по-прежнему бездушные люди, среди которых много всяких «кратов», старых и новых, но технократов не видно. Хотим посоветовать всем тем, кто мечтает о власти: как можно меньше занимайтесь математикой и особенно остерегайтесь геометрии. Сама идея доказательства чужда всякой власти. Трудно найти другой такой предмет, чья нравственная основа столь далека от идеи власти, как геометрия.

Нам могут возразить: а Наполеон! Есть даже задача Наполеона, и именно геометрическая. Скорее всего, это миф, созданный льстивыми царедворцами. Властители во все времена, начиная с Нерона и до Ельцина, хотели прославиться на поприще искусства или науки. Но даже если Наполеон и вправду разбирался в геометрии, то это как раз тот случай, когда исключение подтверждает правило. И, кроме того, сегодняшних наполеонов можно найти только в психбольницах.

Дополнительные локальные цели начального периода. Одной из важных особенностей настоящего периода человеческой истории является быстрое изменение среды обитания. Настолько быстрое, что человек как биологический вид просто не успевает к ним приспособиться. При этом уже с самого рождения ребенок попадает в жесткую и враждебную техногенную среду. Возникает необходимость в средствах, амортизирующих столкновение ребенка с враждебным миром, компенсирующих недостаток привычных и необходимых для нормального развития видов деятельности.

Подобные функции, хотя бы частично, может взять на себя геометрия.

Чтобы нормально развиваться, ребенку необходимо полноценное питание. Для нормального интеллектуального развития ему необходима полноценная интеллектуальная пища. Сегодня геометрия является одним из немногих экологически чистых продуктов, потребляемых в образовании. А по «потребительским» качествам с геометрией не может сравниться никакой другой школьный предмет. Более того, возможно именно геометрия должна сыграть важную роль в сохранении в природе вида homo sapiens, если, конечно, мы желаем этот вид сохранить. Передоверяя компьютеру многочисленные интеллектуальные функции — память, вычисления, построение изображений, анализ текстов и многое другое, фетишизируя выдаваемые компьютером результаты, человек рискует исчезнуть с лица земли как биологический вид и продолжать свое существование уже в качестве homo computeric. Но именно геометрическое мышление пока сопротивляется «всеобщей компьютеризации», именно в области геометрии человек еще не проиграл интеллектуального соревнования компьютеру. И значит, развитие геометрического мышления является одной из важнейших задач школы, причем с первых классов.

Геометрия обладает также уникальными возможностями для полноценного эмоционального развития ребенка. (Здесь очень важны правильный отбор содержания и выбор методики.) А как показывают последние исследования, именно эмоциональное развитие образует фундамент для полноценного интеллектуального, творческого и иных видов развития и даже может скорректировать отставание ребенка в умственном развитии.

2. Характеристика курса геометрии. Основные идейные и содержательные линии.

Главный вопрос математического образования. Опасность американизации. Много опасностей угрожает сегодня российскому математическому образованию, но главной из них, по мнению В. И. Арнольда, является начавшаяся американизация. Казалось бы, об этом ли нам сейчас думать, когда американский дух и образ мыслей проник во все поры нашей жизни. Здесь стоит напомнить, что советское математическое образование являлось одним из достижений советской власти и его

высокий уровень признан во всем мире. Сегодня мы наблюдаем относительное падение этого уровня. Однако это падение несравнимо с деградацией, которая имеет место в других сферах общественной и культурной жизни. Несмотря на усилия отдельных руководителей нашего образования по внедрению американского стиля, математическая общественность более или менее успешно этому сопротивляется. И беда от американизации даже не в том, что американское математическое образование, по мнению многих экспертов, является одним из худших в мире. (Это не мешает, однако, процветанию и совершенствованию математики в американском обществе. По известному мнению Наполеона математика напрямую связана с благосостоянием государства.) Оно — иное. Главным вопросом математического образования в России всегда был вопрос почему?, в то время как для американского главным является вопрос к а к ? И здесь мы четко видим соответствие особенностям национального характера. Вместо американского «ноу хау» (know how — знаю как) имеем российское «знаю почему» (ноу вай — know why). Понятно, что соответственно этим парадигмам мы получаем совершенно разные системы математического образования, требующие разных типов учебников и учебных пособий, подразумевающие совершенно различные методические системы. Понятно также, что проникновение американского стиля в наше математическое образование создаст в нем серьезное внутреннее противоречие и в результате может его просто разрушить. При этом особенно тяжелые последствия будут именно в области геометрического образования.

Американская наука «питается мозгами» всего мира, мы же — только своими. Снижение уровня математического образования может окончательно добить российскую науку.

Люди могут сильно заболеть в результате простой смены пищи. Если у всего народа резко меняется состав пищи духовной, меняются местами нравственные ориентиры, то все общество заболевает тяжелым психическим недугом вроде раздвоения личности. Оно теряет способность ориентироваться, а следовательно, развиваться. Вряд ли мы сумеем увидеть в обозримом будущем наше общество здоровым. Так постараемся сохранить относительно здоровыми еще не очень пораженные органы, например, математическое образование.

Одной из важнейших задач образования в целом является сохранение национального генетического кода, введение этого кода в личностные генетические программы новых поколений.

Именно с этой точки зрения необходимо оценивать все значимые изменения, так называемые «новации», а тем паче «инновации» (что бы это могло значить?) в педагогике, которые так любит чиновник от педагогики. Умеренный национализм и консерватизм входят в число условий, определяющих эффективную систему образования.

Хотелось бы здесь сделать еще одно замечание. Сохранение национальных традиций в образовании, и не только в нем, полезно человечеству в целом, оно создает в человеческом сообществе некую разность потенциалов и тем самым способствует развитию земной цивилизации. А посему создание всемирного единого образовательного пространства — это вовсе не благо. И пусть одни генерируют идеи, а другие доводят их до ума, возвращая авторам в виде «ноу хау». Suum quique.

Геометризация науки и образования как всеобщая тенденция. Из предыдущего раздела видно, что ареал геометрии далеко выходит за границы собственно математических дисциплин и распространяется на территории, традиционно приписываемые другим предметам, в том числе такими далекими от математики, как физкультура или рисование. В последнее время значительно выросло значение геометрической компоненты на всех этажах математического здания, и в образовании, и в науке. Причем это является общемировой тенденцией. Сегодня мы наблюдаем своеобразный геометрический бум. Во многих странах (Япония, Франция и др.) дети вовлечены в содержательную геометрическую деятельность уже с детсадовского возраста, увеличились по объему и возросли по сложности школьные курсы геометрии, варианты вступительных экзаменов в институты содержат много трудных задач по геометрии. В математической науке значительная часть исследований, конференций и публикаций относятся к геометрии. Геометрические идеи глубоко проникли в современные исследования по физике, биологии и другим наукам.

Что касается математического образования, то и здесь уместно говорить о его широкой геометризации как о характерной особенности. Общеизвестен алгебраический метод, применяемый в самых различных науках и разделах математики, в том числе и в геометрии. То, что алгебра помогает геометрии, дает ей свой инструмент для исследований, — явление обычное. Но важно и то, что геометрия может оказать большую помощь при обучении алгебре и другим математическим наукам. Всевозможные геометрические интер-

претации и методы доказательств могут помочь в изучении алгебры, помочь понять смысл формул, вывести их и прочно запомнить. И эти возможности геометрии необходимо максимально использовать.

Взгляд в прошлое. Уникальность геометрии, ее отличие от всех других предметов, в том числе и предметов математического цикла, состоит также и в том, что ее содержание существенно не изменилось за многовековую и даже тысячелетнюю историю. (Говорят, что в Англии в качестве учебника до сих пор используются «Начала» Евклида. Скорее всего, это не так, но интересно, что в принципе это возможно.)

Но, говоря об истоках геометрии, нельзя все сводить к эллинской культуре. Безусловно, греческая цивилизация оказала огромное влияние на европейскую науку и культуру, а евклидовские «Начала» стали, по существу, первым учебником, по которому училась вся европейская наука. Именно «Начала» сформировали взгляд на геометрию как на основное средство развития логического мышления, и именно этот взгляд являлся, да и сегодня является, господствующим во многих странах, в том числе и в России.

Совсем иной взгляд на геометрию имели древние восточные ученые. В Китае, например, в геометрии запрещались словесные формулировки, рассуждения, объяснения. Китайские ученые полагали, что слова являются причиной противоречий, софизмов, ими нельзя выразить сущность геометрических явлений. И наоборот, рисунок, чертеж считался источником геометрических фактов, одновременно показывая и доказывая их.

Длительное время в Европе геометрия оставалась предметом для избранных. Она служила своеобразным полигоном для оттачивания логического мастерства, умения вести научный диспут, входила в число светских наук. (Во времена Пушкина вышла даже «Геометрия для светских людей».) Получается, что геометрия, в отличие от арифметики и алгебры, пришла в школу в некотором смысле сверху. Отсюда и серьезные педагогические проблемы, которые начались уже с того момента, как геометрия стала общеобразовательным предметом в массовой школе. Прежняя геометрическая концепция перестала соответствовать новым образовательным целям. Возможно, что возникшее несоответствие проявилось с особой силой именно в России. Ведь российское образование формировалось по западным образцам, в то время как национальные корни значительной частью располагались на Востоке.

Идея евразийства, или, точнее, востокозападничества, в которой восток более отдален, чем он трактуется обычно (геометрически-географически Россия представляет собой своеобразный магнит с двумя естественно обозначенными полюсами: восточным и западным) является важнейшей составляющей — сознательной или подсознательной — российской духовной и культурной жизни. Геометрия являетсая именно тем предметом, в котором эта идея может быть и должна быть адекватно отражена.

В конце XIX столетия в России появилась «Геометрия» А. П. Киселева, которая через некоторое время, благодаря поддержке военного ведомства (!), стала основным учебником в царских гимназиях. Именно этот учебник, подвергшийся нескольким переработкам, просуществовал в России в качестве единственного школьного учебника почти весь советский период, в течение полувека. Случай беспрецедентный в мировой практике. Вывод очевиден: автор правильно выполнил социальный заказ. Мы не будем анализировать содержание учебника Киселева и рассказывать о жизненном пути автора, но на одно обстоятельство хотим обратить внимание. Киселев имел в нашем понимании высшее педагогическое, но не математическое образование, преподавал в провинциальных гимназиях, в кадетском училище, репетировал купеческих дочек.

В начале 70-х годов началась реформа российского и советского математического образования, возглавил которую выдающийся математик А. Н. Колмогоров. Ревизии подверглись все школьные программы и учебники. Конечно же, это не было проявлением простой прихоти великого человека. Сходные процессы, причем гораздо раньше, начали происходить повсеместно. Дело в том, что на фоне бурных изменений в науке, начавшихся в конце XIX столетия, система образования выглядела застывшей и отсталой, не соответствующей новым научным реалиям. Возникло желание пересмотреть эту систему и привести в соответствие с достижениями современной науки, причем это желание возникло у очень крупных и уважаемых ученых. В области математического образования самым ярким примером может служить Франция. Там в середине XX века произошли значительные изменения, и сделаны они были под влиянием идей группы крупных ученых, объединившихся под псевдонимом Бурбаки. Главным итогом этих изменений стала всеобъемлющая формализация содержания школьного математического образования. В результате, например, ученики начальных классов на вопрос «Чему равно 2 + 3?» отвечали: «Поскольку сложение явля-

ется коммутативной операцией, то 2 + 3 равно 3 + 2.» (Этот пример взят из лекции В. И. Арнольда.) Печальные последствия бурбакизации французского математического образования уже стали явно заметны, когда у нас начались реформы математического образования и Сейчас-то мы понимаем, что образовательные процессы подчиняются строгим биологическим законам и ускорить их нельзя, подобно тому как нельзя ускорить время вынашивания плода.

Что касается непосредственно геометрии, то справедливости ради надо заметить, что в нашем обществе к тому моменту (начало 70-х) накопилась неудовлетворенность состоянием преподавания геометрии. Главной причиной снижения уровня геометрической подготовки, вероятно, стало решение о всеобщем среднем образовании. Ситуация вековой давности повторилась, систематический курс геометрии пришлось изучать всем школьникам Страны Советов и выяснилось, что многие из них к этому интеллектуально не готовы. Программу по геометрии начали упрощать, затем возникли некоторые учебники переходного периода, а потом в школе начал действовать учебник, созданный под руководством А. Н. Колмогорова.

Здесь следует также признать, что учебник Киселева, уже в течение длительного времени функционировавший в школе, ко времени начала реформ значительно морально устарел. Его существенным недостатком, например, была чрезмерная статичность, отсутствие идеи движения. Именно идея движения была взята в качестве концептуальной основы учебника Колмогорова. Однако эта идея в учебнике была реализована с формально математической точки зрения через теорию преобразований плоскости. А это очень глубокая и труднодоступная для массового школьного сознания теория. Недовольство снизу, жесткая критика со стороны математиков сверху вытеснили учебник Колмогорова из школы. На смену ему пришел учебник А. В. Погорелова.

Учебник А. В. Погорелова действует в российской школе и по сей день и является одним из двух основных учебников. (Второй — учебник авторского коллектива, возглавляемого Атанасяном.) Не будем анализировать и оценивать эти учебники. По общему мнению ситуация с геометрией в сегодняшней школе обстоит неблагополучно, настолько неблагополучно, что взоры многих с надеждой обратились к Киселеву. Но к Киселеву возврата нет и быть не может, он не соответствует современным требованиям. Выход надо искать в другом направлении, надо идти (вы правильно догадались) вперед.

Типы геометрических курсов. Возможны различные типы геометрических курсов при формально одном и том же содержании. Начать с того, что геометрия может быть частью единого предмета на всех этапах школьного образования. То, что в начальной школе математика представляет собой единый предмет, выглядит естественным и даже единственно возможным. Это мы видим во многих школах мира. Выделение с некоторого момента геометрии в отдельный предмет — явление достаточно распространенное, но не повсеместное. Именно так традиционно устроен курс математики в российской школе. И мы выступаем за сохранение этой традиции: многие важнейшие общеобразовательные цели реализуются именно через геометрию и их достижение окажется затруднено при включении геометрии в общий курс математики.

Далее, систематический курс геометрии может основываться на разных принципах. В нашей стране длительное время мы наблюдаем курс аксиоматический, а вернее, частично аксиоматический. И сегодня мы в основном встречаемся с курсами геометрии на аксиоматической основе, но именно эта основа у разных курсов разная: одни тяготеют к аксиоматике классической, евклидовско-гильбертовской, другие предпочитают системы аксиом вейлевского типа, третьи буквально с самого начала включают в курс аксиомы движения. Мы не будем обсуждать здесь сравнительные достоинства и недостатки различных систем, а сразу выскажем утверждение, обоснованность которого исходит из нашей практики, но не только из нее: логически строгий аксиоматический курс школьной геометрии невозможен. (В скобках заметим, что сомнение автора по поводу возможности построения строгого аксиоматического курса геометрии выходят за рамки школы и переходит в неверие — какое кощунство! — в существование аксиоматического курса геометрии вообще.) В качестве одного из доводов приведем следующий: как только у нас в рассуждениях появляется рисунок, мы теряем логическую строгость. А курс геометрии в школе без рисунков — такая же нелепость, как и нестрогий аксиоматический курс. Предлагаемый нами курс геометрии мы характеризуем как наглядно-эмпирический, при этом в русле этой единой концепции рассматриваются все этапы школьной геометрии, а не только систематический курс, начинающийся в 7 классе. Уже само название достаточно точно указывает на основные особенности этого курса, которые более подробно будут разъяснены позднее.

Следует также заметить, что одним из качеств, которым должен обладать в той или иной мере школьный курс геометрии (и не только

геометрии) — это эклектичность. И этим, в частности, школьный учебник должен отличаться от учебника вузовского, а тем более от научной монографии. Безусловно, наличие основополагающей концепции — необходимое условие полноценного курса. И все же следует познакомить ученика с различными точками зрения, предъявить различные идеи и идеологии, чтобы он имел возможность, пусть даже полуфиктивно, реализовать свое право на выбор.

Важнейшей методологической и методической проблемой школьной геометрии является также взаимоотношение и последовательность изложения теорий плоской, двумерной и пространственной, трехмерной геометрий. Эту проблему мы также обсудим несколько позднее.

Геометрия в начальной школе. Специфику геометрического материала на этом этапе определяют общие и локальные цели, о которых было сказано в предыдущем разделе. При этом уже наличие локальных целей выделяет этот этап, подчеркивает его значимость. Геометрия в начальных классах является инструментом развития в самом широком понимании, вплоть до физиологического развития.

Содержание геометрического материала в начальной школе распределяется по следующим направлениям: знакомство со свойствами простейших геометрических фигур, выработка навыков по изображению этих фигур, геометрический эксперимент, развитие геометрической интуиции. Несмотря на огромную важность геометрии в начальной школе, она все же формально выполняет вспомогательную роль по отношению к арифметике и некоторым другим разделам, арифметический и геометрический материал в учебнике и на уроке очень тесно переплетаются, неотделимы друг от друга. Необходимо выработать прочные ассоциативные связи в парах «фигура— число» и «фигура — слово».

В связи с математикой в начальной школе считаем необходимым сказать несколько слов по поводу получившей в последнее время широкое распространение концепции «развивающего обучения». Собственно говоря, сама концепция, как и большинство общих концепций, представляется вполне разумной. Определенное отторжение вызывает разве название, отдающее саморекламой. Но уже беглое знакомство с программами по математике вызывает чувство недоумения, которое переходит в более сильные чувства, когда видишь многочисленные учебники, реализующие эту концепцию. Эти учебники формируют неверное представление о важнейших мате-

матических понятиях и даже о самой математике. И дело даже не в многочисленных конкретных недочетах и ошибках, от них исходит острый антиматематический дух, они вырабатывают антиматематический менталитет. С другой стороны, эти учебники плохо способствуют формированию базовых умений, необходимых на последующих этапах математического образования. К сожалению, апологеты развивающего обучения пользуются серьезной поддержкой как руководящих структур (некоторые из них сами являются руководителями), так и общественного мнения, реагирующего больше на название и ученые звания, чем на содержание.

Начальный этап средней школы. Несмотря на то, что математика все еще остается единым предметом, алгебраические, геометрические и прочие разделы все более и более обособляются и приобретают самостоятельность. Геометрия выступает в виде естественнонаучного предмета. Основные методы получения геометрического знания — наблюдение и эксперимент, возможно, умозрительный. В каком-то смысле на этом этапе мы имеем аналог доевклидовского этапа развития геометрии, но с некоторыми включениями достижений современной науки. На примере геометрии учащиеся знакомятся с важнейшими общенаучными идеями, понятиями и методами исследования: свойство и признак, классификация объектов (отдельно и во взаимодействии), непрерывность и дискретность, перебор вариантов и т. д. Особенно важной на этом этапе является учебная геометрическая деятельность, связанная с пространственными объектами. Это последняя возможность развить пространственное воображение, поставить пространственное мышление. Ведь в течение трех следующих лет мы в лучшем случае можем лишь поддерживать эти качества на некотором уровне, но не развивать, а потом это уже поздно делать.

Основной курс геометрии. Устойчивость содержания. Уже было упомянуто, что сегодня в нашей школе действуют различные в своей концептуальной основе курсы геометрии. Но тем не менее эти курсы едины по своему содержанию, по номенклатуре сообщаемых сведений (вернее, почти едины), и как говорят, соответствуют программе. Каждый автор, работая над учебником, решает своеобразную краевую задачу, условия которой задаются действующей программой. И здесь возникает один вопрос: насколько вольны авторы учебников или комиссии по выработке программ при отборе содержания? (Вспомните первый пункт в раз-

деле «Цели обучения».) Многое определяется одной важной характеристикой учебного предмета, его внутренней устойчивостью. Дело в том, что геометрия — учебный предмет со многовековой историей не только вообще, но и внутри школы, ее содержание — продукт длительного естественного отбора. Она обладает очень высокой внутренней устойчивостью. Многочисленные доказательства этому мы наблюдаем в нашей школе: ряд геометрических теорем и фактов, необдуманно выброшенных из учебных программ, сегодня практически и стихийно восстановлены в реальной школе. Несмотря на внешнюю незначительность некоторых из этих фактов, без них геометрическое знание было неполным, а геометрические умения недостаточными. Оказалось, что геометрия — это некий единый организм, способный к регенерации, если, конечно, основная часть сохранилась. Так что возможности к волеизъявлению и вкусовым решениям у программных комиссий (а также у авторов учебников, руководителей образования и пр.) не столь уж велики. Об этом следует знать и помнить.

Необходимо вернуть в школьную геометрию многие разделы, выброшенные из нее в последние десятилетия. Следует также ввести в школу некоторые малоизвестные факты из классических разделов геометрии треугольника и окружности, замечательные, незаслуженно забытые достижения старых мастеров. Некоторые из этих фактов, несмотря на малоизвестность, настолько близко прилегают к курсу, что ввести их можно без труда и почти без затрат учебного времени. А с другой стороны, их введение может резко повысить развивающий потенциал школьной геометрии и даже странным образом приблизить ее к современной геометрической науке. (Многие современные достижения математики берут свое начало в работах классиков геометрии.) Таким образом, можно говорить о своего рода курсе в стиле ретро-авангарда.

Два раздела геометрии: планиметрия и стереометрия. Одной из самых важных и трудноразрешимых проблем школьной геометрии является проблема взаиморасположения во времени планиметрии и стереометрии. С одной стороны, с точки зрения процесса познания, первичной является трехмерная геометрия, твердое тело — вот основа и основной объект исследования геометрии. Это реальный объект, во всяком случае, не менее реальный, чем объекты, изучаемые в физике, в то время как плоские фигуры являются математическими абстракциями и полноценно изучаться они могут при хорошем уровне развития абстрактного мышления.

С другой стороны, с точки зрения развития математической теории более удобным выглядит путь от плоской геометрии к пространственной. Кроме того, большинство методов стереометрии основаны на различных способах сведения пространственной задачи к одной или нескольким плоским задачам. А это требует и соответствующей последовательности при изучении.

Поиски решения проблемы на пути полного фузионизма — одновременного изучения плоской и пространственной геометрий — не представляются нам перспективными. Дело в том, что эти разделы играют все же различную роль в образовательном процессе, посредством их преследуются и достигаются различные цели обучения. Планиметрия представляет собой замкнутую в себе модель науки, внутри которой можно бесконечно совершенствоваться. Она дает нам большие возможности для развития творческого, интеллектуального. Стереометрия же является предметом инженерного типа, в ней широко используются соответствующие методы, она развивает такое специфическое качество, как пространственное воображение, профессионально значимое для многих специальностей, далеких и от математики, и от науки вообще. Одновременное изучение этих разделов может привести к тому, что достижение важнейших целей обучения окажется сильно затруднено или станет вообще невозможным.

В общем, налицо противоречие, точнее, целый комплекс противоречий, разрешить их все невозможно, поскольку имеет место нечто вроде соотношения неопределенности: улучшая одну характеристику, мы ухудшаем другую. Можно указать и на другую аналогию: в биологии при скрещивании близких видов большею частью появляется нежизнеспособное потомство (похоже, есть соответствующий закон). Не поэтому ли все (известные нам) попытки создания фузионистских курсов геометрии оказались безуспешными — в них удивительным образом произошло взаимоуничтожение (аннигиляция) планиметрии и стереометрии.

Предлагаемый нами курс — это курс с элементами фузионизма. В нем вначале изучается теория плоской геометрии, а трехмерное пространство выступает в качестве своеобразного интерьера. Некоторые простейшие тела используются в качестве объектов для применения теории планиметрии.

Две части геометрии: основания геометрии и собственно геометрия. Обсуждение первой части. Необходимо признать, что по сути мы изучаем (а лучше

сказать по-школьному — проходим) две различные геометрии: основания геометрии и собственно геометрию. Они отличаются друг от друга как предметом, так и методом исследования. В начале курса предметом исследования являются простейшие геометрические формы: прямые, лучи, отрезки, углы и пр. (Здесь мы говорим о планиметрии. Сказанное почти автоматически распространяется и на стереометрию, хотя, конечно, с определенными изменениями.) В некотором смысле, мы изучаем свойства плоскости в целом. Во второй части мы изучаем свойства геометрических фигур, рассматривая понятие фигуры в обыденном смысле, т.е. включая в него плоско протяженные объекты: треугольники, специальные четырехугольники, окружности (круги) и т. п.

Основным методом исследования при изучении начал геометрии является аксиоматический метод. Суть его в том, что мы имеем дело не с геометрическим объектом, а со списком свойств этого объекта. Список этот расширяется по законам логики, а его начальная часть постулируется. Во второй же части используются два метода: внутренний, геометрический, и внешний, алгебраический. Коротко смысл геометрического метода состоит в том, что в процессе решения мы каким-то способом перестраиваем изучаемую конфигурацию: проводим дополнительные линии, вычленяем отдельные элементы, преобразуем и др. Различен и уровень доказательности, принятый в выделенных частях геометрии: уровень, достигнутый в первой части, является как бы исходным во второй. Иными словами, факты, которые мы доказывали в самом курсе и при решении задач в первой части, во второй считаем очевидными. Добраться до содержательных геометрических теорем, передвигаясь мелким шагом в соответствии с аксиоматическим методом, за разумное время невозможно.

Весьма распространенный тезис — целью обучения геометрии является развитие логического мышления — индуцирован именно первой частью, основаниями геометрии. Этот тезис представляется нам ошибочным и мы заявляем: не логического мышления, но логической интуиции, которая, объединившись с интуицией геометрической, является мощнейшим инструментом исследования.

Интересно, что многочисленные и достаточно острые дискуссии по поводу школьного курса геометрии, происходившие в нашей стране одно-два десятилетия тому назад, не выходили за рамки начал геометрии, и в то же время оценка качества геометрической подготовки учащихся всегда проводится по программе второй ча-

сти. Безусловно, не следует недооценивать роли основ геометрии для интеллектуального развития школьника. И здесь очень важно не противопоставлять различные точки зрения на происхождение геометрических форм, а показать их во взаимодополняющем единстве. Так любой объект, скажем, прямая, может выступать как бы в двух ипостасях: как готовый образ и как траектория движения. И поэтому возмущение по поводу употребления в связи с понятием «прямая линия» оборота «сколько бы ее ни продолжали» отражает одну точку зрения (хотя оборот в самом деле неудачен), а утверждение, что в природе не бывает прямых, а лишь отрезки, которые мы можем продолжать, — другую.

Увлечение основами математических наук характерно для конца прошлого и первой половины нынешнего столетия. Уже из этого следует, что начинать школьные курсы с этих разделов — значит нарушать важнейший принцип историзма. Здесь можно возразить и напомнить, что подобный подход к построению геометрического курса восходит к Евклиду, именно его «Начала» и послужили образцом для многих современных учебников. Эту тему мы уже затрагивали и высказали мнение, что не все так однозначно, а библеизация евклидовских «Начал» принесло образованию скорее вред, нежели пользу.

Большое впечатление на математиков и научно-педагогическое сообщество произвела многовековая борьба с пятым постулатом, а особенно неожиданный исход этой борьбы. Возникла иллюзия, что математики докопались до первооснов своей науки и все это можно изложить на школьном уровне. На наш взгляд как раз наоборот, история пятого постулата должна была доказать невозможность полноценного введения основ геометрии в школьный курс. Похоже, что сегодня математики отказались от иллюзии возможности создания абсолютно прочного логического фундамента для своей науки и пришли к заключению, что основа надежности математического знания та же, что и у большинства других естественных наук, — здравый смысл и эмпиризм. Математика становится математикой начиная с некоторого этажа, а бесконечное копание котлована лишь разрушает ее основы, создает трещины в здании.

Тем не менее и сегодня мы наблюдаем в школе курсы геометрии, заявленные их авторами как курсы «на аксиоматической основе». Но для нормального усвоения «аксиоматических основ» нужен очень высокий уровень логической подготовки, которой не имеют ни ученики, ни учителя (продолжим: ни методисты, ни некоторые

авторы). В результате мы имеем полную профанацию. Можно провести аналогию с абстрактным искусством: мало кто в нем разбирается, но все дружно делают умный вид и восторгаются каким-нибудь мотком ржавой проволоки, выставленным наглым жуликом. Бедных учителей, а за ними и учеников заставляют произносить бессмысленные сочетания слов, выдавая их за умозаключения, заучивать формулировки определений, делающих определяемое понятие абсолютно неузнаваемым. В результате учащиеся получают искаженное представление о том, что такое геометрическое доказательство, дискредитируется сама идея доказательства. К счастью, здравый смысл учителей и учеников не позволяют всем этим извращениям проникнуть в сознание, а уж тем более там закрепиться. Однако при этом отбивается интерес к предмету.

Причиной снижения интереса к геометрии является также и то, что в течение длительного времени учащиеся, по существу, не получают никаких новых знаний, а то, чем они занимаются на первых уроках геометрии, просто навевает скуку и вызывает усталость. И к тому же, как мы уже отмечали, основы геометрии плохо связаны с основной (нечаянный каламбур) частью школьного курса геометрии. Нелепо, обучая какому-то ремеслу, сначала долго изучать свойства используемых инструментов, но еще нелепее начинать с изучения свойств инструментов, которыми в дальнейшем не придется пользоваться. Но именно так строятся многие курсы геометрии.

Научность и доступность. Одной из важнейших и трудноразрешимых задач, возникающих перед авторами, пишущих для средней школы, — это задача разумного и в некотором смысле оптимального сочетания научности и доступности курса. Но, наверное, ни в каком другом предмете эти проблемы не встают с такой остротой, как в геометрии. Уже сам термин «научность» понимается разными авторами по-разному. Но и уяснив для себя, что такое научность, автор сталкивается с огромной массой проблем: от чисто литературных до специфически методических. Как найти ту тропинку, по которой надо провести школьника, не потеряв его в колючих зарослях математических тонкостей и не утопив в болоте невежества? Ведь упомянутые заросли растут прямо на берегу упомянутого болота. Плохо математически образованный автор, конечно же, не способен создать качественный учебник даже для начальной школы, но большую опасность представляют и математики-профессионалы, рассматривающие школьную математику как часть математической

науки, смотрящие на нее сверху вниз. (Школьная математика и математическая наука относятся друг другу примерно как физкультура и спорт.) В качестве руководства к действию разумно, наверное, взять формулу, которой должен следовать свидетель в суде, правда, несколько ее урезав: «Говорить правду, только правду и ничего, кроме правды.» Как видите, здесь отсутствует обязательство говорить всю правду.

В этой связи упомянем одну очень важную научно-методическую проблему, связанную с выстраиванием систематического курса геометрии — проблему легализации знаний. Эта проблема относится и к содержанию обучения (какая?) и к методике (как?). Не секрет, что к началу систематического курса учащиеся располагают достаточно большим запасом геометрических знаний, полученных как самостоятельно из личного опыта, так и в процессе обучения в предыдущих классах.

Логика же систематического курса вынуждает нас в начале смотреть на ученика как на некую tabula rasa, которая должна постепенно и в определенном порядке заполняться. Один разумный школьник, объясняя, что такое геометрия, заметил, что «в геометрии есть квадрат, но это еще нужно доказать». В результате, с одной стороны, ученик длительное время, по существу, не получает никаких новых реальных знаний, а с другой — многие имеющиеся у него знания остаются невостребованными. А отсюда почти неизбежна потеря интереса к предмету. Необходимы особые совместные усилия ученых и методистов, чтобы этого не допустить.

Две основные фигуры геометрии: треугольник и окружность. Выделяя этот пункт в концепции, мы тем самым подчеркиваем, что предлагаемая нами геометрия — это, в первую очередь, геометрия фигуры. Такой подход может показаться малосовременным и даже архаичным. Куда как современнее выглядят курсы, основанные на идее преобразования плоскости, на координатной или векторной основе.

Но, как ни странно, подобные современные подходы значительно сужают творческое поле геометрии, ряд геометрических фактов плохо укладывается в эти теории, за кадром остаются большинство рукодельных приемов, благодаря которым геометрия и превращается в своего рода искусство, которые образуют основной развивающий потенциал геометрии. И с этой точки зрения выделяется роль двух фигур: треугольника и окружности (правильнее было бы сказать «круга», поскольку окружность — не фигура, а линия).

С одной стороны, треугольник и окружность как бы ограничивают учебное пространство. Треугольник — простейший многоугольник и даже простейшая фигура. Окружность — единственный изучаемый в школе представитель класса гладких фигур, она представляет собой иллюстрацию идеи предельного перехода. Между треугольником и окружностью расположены всевозможные многоугольники, исчерпывая тем самым все изучаемые в школе фигуры.

С другой стороны, окружность в некотором смысле фигура более первичная, чем треугольник. Исторически элементарная геометрия — это геометрия циркуля и линейки, а здесь важнее циркуль. Ведь прямую можно рассматривать как окружность бесконечного радиуса (опять предельный переход, но уже в другом направлении). Подчеркивает роль окружности также известный факт, что все построения на плоскости, выполняемые циркулем и линейкой, могут быть выполнены одним циркулем. С алгебраической точки зрения треугольник является достаточно сложным объектом, он описывается уравнением третьего порядка.

Кроме того, треугольник и окружность задают два важнейших метода геометрии. С треугольником связан метод, который можно назвать «методом ключевого треугольника». В изучаемом объекте выделяется один или несколько треугольников, к исследованию которых сводится данная задача. Можно утверждать, что таким образом решается подавляющее большинство геометрических задач. С окружностью связан ряд технических приемов и методов, в частности, так называемый «метод вспомогательной окружности». Большинство трудных задач — это задачи про окружности. Уже поверхностное знакомство с олимпиадными задачами показывает, что во многих задачах в условии упоминается окружность; и очень часто отсутствовавшая в условии окружность появляется в решении.

На наш взгляд, одной из причин снижения уровня геометрической подготовки в сегодняшней школе является недостаточное внимание программ и учебников к геометрии окружности.

Треугольник — это клетка геометрии, окружность—ее душа.

Методы геометрии. Существует традиция, в соответствии с которой в содержание геометрических курсов не включаются методы геометрии. Исключение делается для двух: векторного и координатного. Однако и они изучаются больше как самостоятельные разделы, чем как геометрические методы, которые могут быть ис-

пользованы в задачах, в условии которых нет ни векторов, ни координат. Справедливости ради следует заметить, что иногда также школьникам внушают, что эти два метода являются универсальными, любая задача может быть с их помощью решена. Так, кстати, думают многие победители математических олимпиад. И бывает жалко талантливых ребят, когда видишь метры бумаги, исписанной ими для решения пустяковой геометрической задачи.

Методы геометрии можно разбить на пары двумч способами: методы внутренние и внешние, общие и частные. С точки зрения такой классификации векторный и координатный методы являются внешними и общими. Наибольший же интерес на наш взгляд представляют как раз методы внутренние и частные. Именно они дают нам красивые геометрические решения. И эти методы должны быть включены в содержание курса геометрии.

Система задач. За многовековую историю в геометрии образовалась большая коллекция всевозможных задач. Некоторые из них вошли в золотой фонд геометрии. Без знакомства с этими задачами геометрическое знание не может быть полным. Кроме того, геометрические навыки и геометрическое развитие оценивается в первую очередь через умение решать задачи. Полноценный геометрический курс — это объединение теории и соответствующей системы задач.

Большим недостатком некоторых современных курсов геометрии является отрыв от системы задач, они не только не знакомят с жемчужинами из геометрической коллекции, но и, что уж совсем странно, оказываются далекими от современной геометрической практики (например, практики конкурсных экзаменов). Эти курсы обслуживают сами себя, из теоретической части выкинуты многие важные факты и теоремы, на первый взгляд не очень значительные для развития геометрической теории. Но вместе с ними оказалась зачеркнутой большая и даже большая часть классических задач.

Три этапа систематического курса геометрии. По сложившейся в нашей школе традиции систематический курс планиметрии изучается в течение трех учебных лет. И это выглядит настолько привычным и разумным, что никому не приходит в голову эту традицию ломать. (Последнее утверждение уже устаревает и появились «горячие» головы, желающие эту традицию пересмотреть.) Похоже, что и по объему, и по времени параметры курса

определены оптимально. Получающееся геометрическое трехлетие также естественным образом распадается на три этапа.

Первый этап. Основная методическая задача — заинтересовать — вступает в противоречие со скудным и, прямо скажем, скучным теоретическим материалом. По сути дела, ученики не узнают никаких новых фактов, происходит упорядочение и систематизация уже накопленного и не очень богатого геометрического знания. Ученые и методисты, а за ними и учителя попадают в почти патовую ситуацию. Установка на «научность» курса (под этим понимался аксиоматический подход, который мы уже обсуждали) провалилась. Возможно, одной из причин провала состояла в том, что за дело взялись профессиональные математики, плохо знающие школу и психологию ученика, зато слишком хорошо понимающие, что такое настоящий уровень строгости. В результате мы получили не интерес к геометрии, а аллергию на нее. Но не менее опасен и вульгарно-упрощенный подход к началам геометрии. Не получив нужного научного воспитания или, еще хуже, получив неправильное научное воспитание, не смогут стать учеными некоторые одаренные дети, зато в избытке расплодятся журналисты, убежденные в том, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются и с восторгом повествующие читателю о том, как очередной народный умелец нашел квадратуру круга.

Нам кажется, что предлагаемая нами наглядно-эмпирическая концепция позволяет найти выход из этой ситуации. Теоретическая схема курса на первом этапе такова: трехмерное пространство, поверхности и линии в нем — плоскость, линии и фигуры на плоскости, — прямая, геометрия прямой линии, осевая симметрия, углы и многоугольники, окружность, — треугольники, равнобедренный треугольник, признаки равенства треугольников, некоторые свойства окружности, — основные задачи на построение, геометрические места точек, неравенство треугольника, касание окружностей некоторые другие факты, — повторение.

Все это сопровождается системой задач, которые можно разбить на следующие (пересекающиеся) группы: чисто занимательные задачи; учебные задачи, развивающие некоторые важные в будущем технические элементы; задачи по топологии, не требующие никаких предварительных знаний; задачи на движение, непрерывное и дискретное; задачи, в которых описываемая ситуация может реализовываться различными способами, и др. Что касается собственно планиметрической части, то она имеет достаточно серьезную научную

подоплеку: предлагаемый курс — это курс абсолютной геометрии. Особо выделять это обстоятельство не следует, но понимать (имеется в виду учитель) необходимо.

Второй этап. Здесь сосредоточен основной теоретический материал. Девиз — научить. Начало достаточно очевидно: теория параллельных и сумма углов треугольника. И тут же учащиеся получают один из самых важных инструментов решения геометрических задач, использующих свойства окружности, — теорию вписанных углов. Именно на этой теории основан метод вспомогательной окружности. Следующий шаг в развитии теории не столь очевиден. Возникает альтернатива: теория подобия или же теория площадей. Исторические аналогии помогают мало, в реальной истории геометрии многие разделы развивались одновременно, мы же должны эти разделы упорядочить во времени. Мы все же считаем, что следующим шагом должна быть теория подобия, она в некотором роде первичнее. Предваряет же эту теорию раздел, посвященный параллелограммам, трапециям и другим специализированным четырехугольникам, естественным образом связывающий теорию параллельных прямых с теорией подобия. Затем теория подобия переходит в метрическую теорию, возглавляет которую теорема Пифагора. Как известно, именно метрические теоремы геометрии создают основу для применения алгебраических методов, а эти методы являются основным инструментом решения задач конкурсного типа. Таковы основные вехи развития теории на втором этапе. Содержание дополняется различными геометрическими фактами по таким классическим темам, как замечательные точки в треугольнике, вписанные и описанные четырехугольники. Безусловно, по идейной нагрузке ко второму этапу относится и теория площадей, но возникающая при этом перегрузка вынуждает нас отнести эту тему к третьему этапу. Именно на втором этапе мы имеем возможность начать полноценную работу с основным массивом геометрических задач.

Третий этап носит, главным образом, повторительный характер. Исключение составляют первые разделы: это уже упомянутая теория площадей, которую мы относим к ядру нашего курса, и главы, посвященные правильным многоугольникам и выводу формул длины окружности и площади круга, имеющие чисто теоретическое значение. Инструментом повторения являются векторный и координатный методы, теоретическая основа которых развивается в следующих главах. Эти внешние по отношению к геометрии и весьма общие методы дают возможность просмотреть предыдущее содер-

жание с иной точки зрения, записать известные факты и теоремы на другом языке. Следует обратить внимание на то, что векторы и координаты концептуально не очень хорошо соответствуют предлагаемому курсу геометрии, они являются представителями иной математики. Завершает курс теория преобразований плоскости. Без знакомства с этой теорией геометрическое знание является недостаточным. Кроме того, завершая курс именно теорией преобразования, мы в некотором роде следуем известному в драматургии закону рамки: осевая симметрия была в начале, ею мы и заканчиваем, показывая при этом, что законы осевой симметрии являются важнейшими законами планиметрии.

Некоторые особенности стереометрии. В предыдущих разделах было сказано несколько слов о стереометрии, был произведен небольшой сравнительный анализ планиметрии и стереометрии. В результате мы пришли к следующим рекомендациям: в первой половине школьного периода (начальная школа и первая ступень средней) стереометрия и планиметрия выступают равноправными партнерами, причем в конце этого периода роль стереометрии несколько возрастает; во второй половине вначале идет систематический курс планиметрии с небольшими выходами в пространство и завершает геометрическое образование в средней школе систематический курс стереометрии.

Каковы же особенности этого систематического курса? Для начала заметим, что, как и в планиметрии, здесь можно выделить две части: начало (основы стереометрии) и геометрию тел. В первой части постулируются основные свойства пространства, изучаются свойства прямых и плоскостей в пространстве, параллельность и перпендикулярность. Здесь особо следует выделить теоремы о перпендикулярности, именно они определяют основные отличия трехмерного пространства от двумерного и в будущем станут главными рабочими теоремами стереометрии.

Но основное содержание курса стереометрии составляет геометрия тел, в первую очередь многогранников. Как сказал Пуанкаре: «Не будь в природе твердых тел, не было бы геометрии.» При этом простейшие многогранники появляются в курсе с самого начала, выполняя функции своеобразных опор для «подвешивания» прямых. Тем самым мы с самого начала реализуем одну из важнейших практических и теоретических установок: надо научиться привязывать рассматриваемую ситуацию к тому или иному простейшему, удобному для изображения многограннику. Помимо этого мы с самого

начала можем решать простейшие задачи на построение сечений на изображении многогранника и тем самым сделать наш курс более интересным и содержательным. Подчеркнем, именно построение на изображении, а не просто построение в пространстве, поскольку построения в пространстве опираются на ряд условностей, вроде возможности проведения плоскостей, кажущихся нам противоестественными. Нам кажется также, что во многих известных учебниках объем первой части неоправданно велик, его можно сделать существенно меньшим безо всякого ущерба для полноты и строгости изложения.

Что касается специфики методов стереометрии, то здесь следует выделить две крайние особенности. С одной стороны, многие доказательства опираются на хорошо развитое пространственное воображение. Главное — увидеть, увидел — понял, а затем и доказал. Важную роль играет умение делать чертеж. Чертеж становится элементом решения и составной частью доказательства, среди изучаемых методов есть и специальные методы построения чертежа. А с другой стороны, в стереометрии возрастает роль общих и внешних методов, таких, как векторный и метод координат. Смысл этих методов также и в том, что с их помощью мы можем компенсировать плохое развитие пространственного воображения.

Вопросы уровневой дифференциации в содержании. Программа обучения, учебники и учебные пособия должны давать возможность каждому ученику в полной мере реализовать свой интеллектуальный потенциал. Вопрос, для какого контингента учеников создается программа и пишется учебник, является очень важным, концептуальным. В нашей школе мы встречаем математические учебники попроще и посложнее, одни пишутся для сильных школьников, другие для середняков и даже слабых, причем последних (учебников, но не учеников) значительно больше. Наверное, в полной мере отвечать интересам детей с разным уровнем подготовки и интеллектуального развития учебник по математике в принципе не может. И геометрия здесь не является исключением, хотя ее специфика дает возможность сделать "интеллектуальную толщину" учебника достаточно большой. При этом основное содержание должно быть таковым, чтобы обеспечивать достаточно высокий уровень подготовки.

Что касается конкретной реализации идей дифференциации в учебнике, то она идет по двум линиям: теория и задачи. В начале теоретический курс является единым для всех. Затем в нем

появляются разделы, как углубляющие теорию, так и расширяющие ее. Но наиболее полно и ярко принцип дифференциации виден в системе задач. Ведь именно задача является основным инструментом оценки уровня геометрической подготовки. (Более детально вопросы дифференциации будут обсуждены в третьей части.)

Содержание геометрии в классах с углубленным обучением математики. Одной из реалий сегодня является появление классов, занимающихся по разным программам, причем это может иметь место даже в пределах одной школы. (Используется явно неудачный термин: «профильные классы».) Это имеет место на последних этапах среднего образования. Что касается математики, то, по мнению большинства экспертов, она должна развиваться по трем направлениям: общий курс, углубленный курс и курс для гуманитариев. Реальностью сегодня стали классы с углубленным изучением математики.

Совершенно очевидно, что программа по математическим дисциплинам в этих классах должна отличаться от программ в обычных классах, но вовсе не очевидно, что для этих классов надо создавать полностью автономные учебники. Представляется вполне разумным и возможным вести преподавание геометрии в этих классах по обычным учебникам, вернее по таким учебникам, в которых реализованы идеи дифференциации. Конечно, без некоторого дополнения к этим учебникам нам не обойтись. В первую очередь это касается задач. Но не только. Следует несколько увеличить в объеме и теоретическую часть, создав для этого специальные учебные пособия. Не будем перечислять темы, которые следовало бы включить в эти пособия. Набор этих тем должен учитывать, что выпускники этих классов в подавляющем большинстве продолжат свое образование в вузах, в которых математика является одним из основных или просто основным предметом.

Многие студенты уже после нескольких месяцев занятий математикой в институте начинают думать, что геометрия закончилась в школе, умерла в школе. Надо обладать достаточно хорошим математическим образованием и культурой, чтобы понимать, что это не так, что идеи элементарной геометрии буквально пронизывают всю математику, обогащают ее. Молодые люди осознать это в полной мере еще не в состоянии. И было бы очень неплохо ввести в классы с углубленным изучением математики темы, показывающие связи школьной геометрии с современной наукой. Именно в геометрии такие темы есть, и этим она также отличается от алгебры.

Геометрия в гуманитарных классах. Содержание математики в гуманитарных классах вызывает сегодня особенно яростные споры. С одного края располагаются те, кто убежден, что никакой специальной математики для гуманитариев нет и быть не может и обучаться гуманитарии должны по общей программе. Другие считают, что гуманитарии — это люди, абсолютно неспособные к математике и даже умственно отсталые в математическом смысле, и им соответственно и нужна такая умственно-отсталая математика. С этими последними, безусловно, никак нельзя согласится. Однако сегодня мы наблюдаем в качестве массового явления возникновение классов, в которых вовсе не изучается математика (один час в неделю нельзя принимать в расчет), в эти классы широкой толпой пошли все неуспевающие по математике, объявив себя гуманитариями. Забавно, что это явление оправдывается с высоких трибун громкими словами о свободе личности и о свободе выбора. Утверждают даже, что ученики старших классов имеют право совсем отказаться от математики. Но на самом деле при этом как раз наоборот ограничивается свобода личности, например, свобода выбора профессии. Мало кто может на школьной скамье полностью осознать свои возможности, интересы, а тем более предвидеть возможные жизненные коллизии. Не получив же нужного математического образования, выпускник средней школы окажется профессионально непригодным для многих современных специальностей. А если вспомнить, что истинные гуманитарии в большинстве больше «работают» правым полушарием, то отлучение от геометрии может ухудшить и их гуманитарные возможности.

И все-таки, если предположить, что специальная математика для гуманитариев нужна, то какой она должна быть? Свое мнение, некоторые рекомендации по этому вопросу у нас есть. Но высказывать их здесь, даже коротко, мы не будем: нет смысла, непонятно, кто будет их реализовывать в учебниках и учебных пособиях. Здесь нужно сочетание особых и даже противоположных качеств. Но если авторы, обладающие нужным спектром качеств, появятся и пожелают заняться созданием учебников для гуманитариев, то они наверняка предпочтут реализовывать свои собственные идеи, а не следовать чужой концепции.

Внеклассная работа. Роль геометрии в обучении одаренных детей. Одной из целей математического образования является выявление и обучение одаренных детей. (Мы не будем устраивать здесь дискуссию на тему, что такое одарен-

ность вообще и математическая, в частности. Она завела бы нас слишком далеко. Но все же заявляем: определенный ответ на этот вопрос у нас есть и он не очень совпадает с общепринятым ответом, даваемым психологами.) Надо иметь в виду, что математика может помочь в развитии и обучении не только математически одаренных детей. И здесь мы вновь можем добавить: особенно велики при этом при этом возможности геометрии. Работа с одаренными детьми, начавшись в классе, в значительной мере выходит за его границы и имеет большею частью внеклассный характер. Основные виды деятельности: кружки, олимпиады, специальные школы, изучение дополнительной литературы. К сожалению, единой федеральной программы по обучению одаренных детей у нас нет. Этим занимаются отдельные энтузиасты, ничем структурно не связанные с друг другом, кроме личных знакомств.

Обычно более или менее регулярная работа со способными к математике детьми начинается в 5 или 6 классе. Основные формы учебной деятельности: класс, кружок, математическое соревнование. Цель — заинтересовать, привлечь внимание к математике всех потенциально способных детей. Если угодно, на этом этапе учителя-предметники вступают в своеобразную конкурентную борьбу за умы и души детей, ведь одаренные дети почти всегда разносторонне одарены, надо предъявить им широкий спектр будущих возможностей, чтобы они смогли сделать свой выбор. (Не хочется говорить «правильный».) Геометрия является как раз тем предметом, который может показать математику с самой привлекательной стороны, выполнить роль «зазывалы». Что касается нужного геометрического материала для этого возраста, то он хорошо известен и доступен, более того, некоторые новые учебники содержат специальный геометрический материал занимательно-привлекающего характера.

Следующие два этапа учебной деятельности с одаренными учениками определяются целями: выявить и научить. Здесь необходимо отметить, что задача выявить ни в коем случае не должна сводиться к одноразовой акции, это — процесс, который, вообще говоря, может продолжаться до конца обучения. Характерной особенностью развития одаренных детей является наличие резкого скачка, который может произойти и очень поздно.

В старших классах формы работы с одаренными становятся более разнообразными, вплоть до самостоятельной научной деятельности. И опять лидер — геометрия. В геометрии можно обнаружить новые факты и теоремы, имеющие научный интерес, формально не

выходя за круг знаний, очерченный школьной программой. В других разделах математики это почти исключено. (Разве что в теории чисел?) Можно сказать, что именно в области геометрии достигает своего наименьшего значения расстояние между школьной математикой и математической наукой.

Одним из самых главных принципов, на которых должна строиться работа с одаренными детьми, — это принцип демократизма, а точнее, — пара дополняющих друг друга принципов: демократизм и элитарность. Задачи многочисленных математических олимпиад для старших школьников если и похожи на обычные школьные, то лишь в части геометрии. При этом нередко оказывается, что единственной задачей, с которой не справился отлично подготовленный олимпиадный профессионал, — это геометрическая задача, и именно эту задачу почти в единственном числе решил впервые пришедший на олимпиаду школьник. Получается, что геометрия, с одной стороны, наиболее демократическая часть школьной математики, а с другой, — наиболее элитарная.

Теоретический материал школьного учебника по геометрии может служить хорошей базой для работы с одаренными учениками. Его можно немного расширить, включив такие разделы, как инверсия, элементы проективной геометрии, теоремы Чевы, Менелая, Карно и т. д. и т. п.

Взгляд в будущее. Чтобы не опоздать завтра, уже сегодня надо начать обдумывать изменения содержания математического образования, возможные в будущем. Что касается негеометрических дисциплин, то здесь можно сделать некоторый обоснованный прогноз. Например, становится совершенно нетерпимым отсутствие в школьной математике вероятностных идей, без элементарного знания теории вероятностей в конце XX столетия нельзя считаться образованным человеком. Кстати, введение в школу теории вероятностей совсем не противоречит принципу историзма. А какой будет школьная геометрия? Этим вопросом мы и закончим вторую часть.

3. Некоторые вопросы методики

Методику можно коротко определить как сумму образовательных технологий. В последнее время появилось великое множество новых образовательных технологий, большинство из которых носит

сомнительный характер. В геометрии особенно с большой осторожностью надо подходить к многочисленным новациям в обучении. Все эти искусственные методики могут разрушить экологическую чистоту геометрии, оказаться вредными в отдаленной или даже не очень отдаленной перспективе. Нам известен целый ряд примеров, на основании которых можно сделать вывод, что даже не очень длительное общение школьников с компьютером угнетает некоторые мыслительные процессы, подавляет геометрическое мышление, и им требуется значительное время для восстановления. Здесь можно привести аналогию с технологиями в пищевом и сельскохозяйственном производстве: продукты, изготовленные по старинным рецептам, овощи, выращенные дедовским способом, оказываются питательнее и полезнее.

Мы, конечно же, не выступаем против всех новейших технологий в образовании, в частности, компьютерных. Мы против непосредственного общения детей с компьютером, особенно в больших объемах и в младших классах. Другое дело — компьютерная поддержка образования, использование компьютера в качестве помощника учителя. Вообще вопрос о роли и месте компьютеров в математическом образовании, о пользе и вреде компьютера, о взаимоотношениях между математикой и информатикой, — вопрос особый и требующий специальных исследований. Здесь очень много неизвестного, недоказанного и спорного. Во всяком случае, именно сторонники компьютеризации должны доказывать безопасность предлагаемых ими образовательных технологий для здоровья новых поколений. Но похоже, большие деньги, сопровождающие компьютеры, мешают трезво посмотреть на суть дела.

Большинство современных методик преподавания математики и особенно компьютерно-ориентированные методики нацелены на школьников с доминирующим левым полушарием. Порой они просто подавляют геометрическое мышление. Многие из них основаны на теории поэтапного формирования умственных умений. (Сама по себе теория эта вполне банальна и стара и вряд ли стоит наклеивать на нее этикетку с именем.) Но интеллектуальные умения могут формироваться не только поэтапно, но и скачкообразно. Возможно, именно последний тип типичен для школьников с доминирующим правым полушарием. При этом характерно то, что могут возникать умения, которые специально не отрабатывались в упражнениях. Так, занятия геометрией могут способствовать улучшению арифметических умений учеников начальной и средней школы.

Обычная жалоба ученика, сталкивающегося с незнакомой задачей: «Нас этому не учили», — очень часто вызывает сочувствие. Но ведь научить делать то, чему не учили (не выходя за рамки формального содержания учебной программы) и есть важнейшая задача образования, во всяком случае образования, ставящего интеллектуальное и творческое развитие своей целью. А отсюда возникает и частная задача сегодняшней методики — разработка специальных методик для «интеллектуальных левшей». И в этой связи один важный вопрос, на первый взгляд совершенно второстепенный.

Каким должен быть учебник по геометрии? Задавая этот вопрос, мы имеем в виду вовсе не содержание (это обсуждалось во второй части). Речь идет об оформлении. Правильно художественно оформленный учебник может повысить качество обучения, плохое оформление может погубить самый лучший текст. (Плохое оформление — это не только учебник на газетной бумаге, нельзя превращать его в рекламный проспект.) Учебник должен и читаться (книга для чтения), и смотреться (книжка с картинками). В идеале можно мечтать об учебнике, состоящем из двух параллельных текстов — словесного и изобразительного, когда картинки — не только иллюстрации, но и, выстраиваясь в последовательность, образуют своего рода изотекст, изоконспект учебника.

Упомянем также и проблему языка учебника. Математические тексты часто страдают языковым однообразием, тяжеловесностью и даже косноязычием, они плохо соответствуют лучшим образцам русского литературного языка. (В качестве отрицательного примера можно взять почти любой учебник математики.) В принципе, собственно математический язык представляет собой набор штампов. При этом необходимость точно выразить мысль, не забыв все нюансы, приводит к многословию, составленному из тех же штампов. В результате даже простые утверждения часто становятся малопонятными. С другой стороны, хорошо литературно оформленные пояснения к математическим текстам обычно неточны математически. И возникает малоприятная альтернатива: либо математически точно, но не очень литературно, либо вполне литературно, но не очень точно. А надо бы и то, и другое.

Отступление от темы: Геометрическая задача как основное средство решения основных задач геометрического образования и, в частности, ее роль при реализации идеи уровневой дифференциации

Математика отличается от большинства других школьных предметов также и тем, что на ее уроках очень много внимания уделяется решению задач. Геометрия в свою очередь выделяется среди других математических дисциплин также и особой ролью геометрической задачи. Как заметил один остроумный учитель математики, задачи бывают стандартные, нестандартные и по геометрии.

Задача как цель и средство обучения. Принцип активизации учебной деятельности. Главная функция методики заключается в определении средств и методов, с помощью которых на базе имеющегося содержания реализуются основные цели обучения. А для начала надо этим общим, развивающим целям обучения поставить в соответствие конкретные учебные цели. Первый шаг состоит в том, что мы объявляем своей целью математическое и, конкретнее, геометрическое развитие, заменяя им одним все перечисленные в целях виды развития, и считаем такую замену вполне адекватной. Теперь возникает вопрос о способах измерения уровня геометрического развития и методах повышения этого уровня. И тут естественным образом мы вспоминаем о таком явлении, как геометрическая задача. Постулируется следующее утверждение: уровень геометрического развития школьника эквивалентен уровню сложности решаемых им задач. Задача становится одновременно и целью, и средством обучения. Все наши проблемы переводятся в плоскость задач: мы должны разработать методы оценки уровня сложности задачи и методики, развивающие умение решать достаточно сложные задачи.

На роль задачи в математическом образовании можно посмотреть и с другой позиции. Виды учебной деятельности можно упорядочить по степени активности ученика. С одного края располагаются пассивные виды учебной деятельности, а с другого — активные. Можно принять за аксиому, что более активные виды учебной деятельности дают лучший результат. Отсюда следует принцип активизации учебной деятельности как один из ведущих методических принципов. Что касается математики, то в ней явно пассивные виды отсутствуют. К наиболее пассивным следует отнести следующие виды учебной деятельности: работа с учебником и слушание лекций.

Хотя о какой пассивности здесь может идти речь, когда перед учеником в процессе чтения математического учебника, слушания лекции возникает проблема понимания, а процесс понимания требует активной умственной работы. И все же процесс работы с учебником гораздо менее активен, чем процесс работы над задачей. Работа над задачей является самым активным видом учебной математической деятельности. Таким образом, принцип активизации учебной деятельности также выводит на первые роли в учебном процессе задачу.

Если считать, что учебник и задачник — это представители крайних по степени активности видов учебной математической деятельности, то между ними располагается так называемая «рабочая тетрадь» — методическое изобретение последнего времени. Рабочая тетрадь — нечто промежуточное между учебником и задачником.

Такова схема, причем сильно упрощенная. Однако она вполне удобна теоретически и практически. Теоретические удобства вполне очевидны. Можно также надеяться, что подобный акцент на задачу не приведет к упрощенному взгляду на учебный процесс. На практике же необходимость научить школьников решать геометрические задачи вынудит нас заниматься самыми различными видами учебной деятельности, на первый взгляд далекими от решения задач. Так, шахматисты в свою подготовку включают игру в футбол, а футболисты — игру в шахматы. Поэтому опасения, что при таком сужении целевого множества обучение станет однобоким, можно отбросить. Впрочем, любой учитель математики скажет, что никакого упрощения предлагаемая схема не дает. С тем, что наша главная цель — научить решать задачи, согласны многие (хотя и не все), и если бы учителя умели бы это делать (и решать, и учить решать), то... (Здесь автору не хватило воображения, вместо многоточия поставить можно что угодно, поскольку в соответствии с законами логики из ложной посылки что угодно и следует.) И кроме того, в процессе обучения нельзя ограничиваться лишь задачами определенного уровня сложности, соответствующего реальным и даже потенциальным возможностям ученика. Задача —это не только умения, задача — это также и элемент знания. Есть целый ряд очень красивых и трудных задач, входящих в золотой фонд геометрии. Эти задачи должны быть включены в курс наравне с важнейшими теоремами. Знание этих задач, умение их (именно их) решать относится к важнейшим знаниям и умениям, какими должен овладеть ученик в процессе обучения.

Вопросы классификации задач. (Содержание этого и нескольких следующих пунктов относится главным образом к систематическому курсу планиметрии.) Мы не будем здесь обсуждать, что такое задача, математическая вообще и геометрическая в частности, и вовсе не потому, что на него в методической литературе уже дан ответ, тем более, что ответ этот представляется абсолютно бессмысленным и противоречащим здравому смыслу. (Не хотелось бы этот полунамек расшифровывать, указывая конкретные названия и имена.) Будем считать, что каждый нормально развитой человек имеет представление о математической задаче и способен ее отличить от всего иного. Конечно, существуют пограничные случаи, но они большого интереса не представляют. Прежде всего нас будут интересовать вопросы классификации именно геометрических задач.

Геометрические задачи образуют необычайно пестрое множество, в котором почти отсутствуют большие однородные участки. Существует много критериев, по которым можно классифицировать эти задачи. Для наших целей мы вполне можем обойтись несколькими, достаточно грубыми и даже немного наивными, классифицирующими признаками.

Рассмотрим следующие способы классификации задач: по заданию, по объекту, по теме, по методу и по сложности. Особенно нас интересует последний способ классификации, но сначала о первых четырех.

По заданию задачи можно разделить на типы: задачи на вычисление, на доказательство, на геометрические места точек, на построение, геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. Вот, пожалуй, и все типы заданий. Наиболее распространенным типом выглядят здесь задачи на вычисление, в их условии фигурирует задание «найти» (или «найдите»). Конечно, провести точную границу между задачами разных типов не очень просто, за счет простой переформулировки можно почти всегда перевести задачу с заданием «доказать» в задачу с заданием «найти». Обратное удается сделать гораздо реже. С точки зрения учебного процесса, возможностей для его интенсификации и контроля, наиболее удобными являются задачи на вычисление, в них присутствует такая важная деталь, как ответ. Они также наиболее привычны для школьников, кажутся менее страшными. Значительная часть задач на вычисление — это задачи с числовыми данными. Обучающую и развивающую роль этих задач трудно переоценить, через них в первую очередь происходит

взаимодействие геометрии с арифметикой и алгеброй. Серьезным недостатком задач на вычисление является вырабатываемая почти поголовно привычка фетишизировать ответ, особенно ответ, данный в учебнике. Попадая в ситуацию экзамена, иные школьники начинают страдать из-за невозможности сверить ответ. И тем не менее задачи на вычисление имеют достаточно высокий творческий потенциал, как правило, перед исследователем ставится задание «найти», в том числе и «найти, что надо доказывать». Для нас важна еще одна особенность задач на вычисление: для них можно предложить некую весьма общую схему решения, схему поиска решения (что важнее), методику обучения этому поиску и некоторые формальные признаки, по которым можно оценивать уровень сложности этих задач. Короче говоря, задачи на вычисление лучше поддаются методической обработке и именно их мы выбираем в качестве основного типа учебных задач. Это, конечно, не означает, что задачи других типов мы из учебного процесса исключаем. Нормальное геометрическое развитие немыслимо без усвоения некоторого базового объема задач на построение, на геометрические места точек и других. Просто задачи этих типов вначале остаются на базовом уровне и геометрическое развитие школьников идет, в основном, за счет задач на вычисление. Полноценное включение в учебный процесс задач на доказательство и иных происходит на достаточно высоком уровне геометрического развития. Кроме того, на первом этапе систематического курса геометрии объем решаемых задач на вычисление относительно невелик из-за отсутствия необходимой теоретической базы и технического арсенала.

По рассматриваемому объекту задачи могут быть на треугольник, на трапецию, на окружность или иные фигуры, в зависимости от того, какая фигура фигурирует в условии. Это и есть классификация по объекту. Понятно, что такой подход весьма условен, очень часто одну и ту же задачу безо всяких изменений можно вполне обоснованно отнести к разным ячейкам. Можно, конечно, предложить более детальную классификацию: два треугольника, три окружности, окружность в параллелограмме, но это не очень естественно и не соответствует содержанию курса. Более разумным и удобным для учебных целей будет следующий подход: в задачах на треугольник выделяется подмножество задач на медиану и т. п. Но мы не будем вдаваться в эти детали, а, оставаясь на нижнем этаже классификационного дерева, объявим, что основными у нас будут задачи про треугольник и окружность. Это соответствует нашей концепции.

Классификация задач по теме носит чисто учебный характер. Она частично пересекается с классификацией по объекту. Например, описанный четырехугольник — это и учебная тема, но это, безусловно, и объект. Но вполне могут быть задачи на теорему косинусов, а это уже учебная тема в чистом виде. Здесь следует иметь в виду, что классификация по теме должна быть привязана к учебной программе, и если тема подобия изучается раньше темы площади, то в задачах на подобие мы не имеем права предполагать знания формул для вычисления площади.

Классификация по методу также имеет учебный характер. Особенность здесь состоит в том, что задача классифицируется вместе с методом ее решения. Такой подход правомерен для задач чисто учебного уровня, в которых предлагаемый метод или очевидно единственен, или явно предпочтительнее других. На наш взгляд, педагогически неверно давать задачу с требованием решить ее именно таким способом, если возможен иной, более короткий и красивый и не очень замаскированный способ ее решения.

Мы уже упоминали, что методы бывают внутренние и внешние, общие и частные, алгебраические и геометрические. Это самая общая классификация методов решения. Взаимоотношения различных методов решения геометрических задач, их описание, рекомендации по применению — тема для отдельного и большого исследования. Мы же ограничимся тем, что заявим некоторые приоритетные методы и коротко объясним наш выбор. Прежде всего, это метод ключевого треугольника как общий и внутренний метод. Этот выбор можно не объяснять. Следующее наше предложение выглядит с точки зрения концепции не очень логичным. Несмотря на то, что нашей главной целью является научить геометрическому методу, учить мы начинаем методу алгебраическому. Причина в том, что он более технологичен и более привычен. Он удобен уже тем, что в нем ясно выделяются две модификации: прямое вычисление и составление уравнений. Эти модификации имеют очевидные аналогии в виде текстовых арифметических задач и текстовых алгебраических задач. Как следствие этих особенностей, алгебраический метод легче усваивается учениками, технология обучения этому методу проще. Алгебраическому методу присуще такое качество, как прагматизм. Нельзя сказать, хорошо это или плохо. По отношению к слабому ученику это хорошо, поскольку укрепляет его веру в себя, развивает, а по отношению к сильному, наоборот, плохо, поскольку обедняются его возможности и тем самым тормозится геометрическое развитие.

Среди большого количества внутренних и частных методов и приемов мы выделяем несколько видов дополнительных построений: соединить две точки отрезком, продолжить отрезок прямой, через данную точку провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной. Смысл этих приемов необычайно прост: увеличивается число треугольников (метод ключевого треугольника), появляются новые возможности для применения алгебраических методов, поскольку большинство метрических теорем относятся к геометрии треугольника. Получается достаточно стройная методическая картина.

Теперь мы переходим к проблеме классификации задач по сложности. Для начала необходимо разумно поставить проблему. Даже чисто теоретически множество геометрических задач, пусть даже ограниченное сделанным нами выбором, не может быть упорядочено по степени сложности, ведь задача может быть решена разными способами, кроме того, уровень сложности может меняться во времени в процессе обучения, то, что сложно сегодня, может оказаться простым завтра. Но нет никакой необходимости пытаться искать способы упорядочения больших массивов задач. Самым правильным выглядит подход, принятый многими авторами различных задачников. Задачи разбиваются по степени сложности на несколько групп. Отсюда и первый вопрос: сколько таких групп сложности следует выделить? Ответив на этот вопрос, мы можем начать разработку технологии, посредством которой задачу надо отнести к той или иной группе по сложности. При этом мы, чтобы не усложнять проблему, будем интересоваться не текущей оценкой задачи, а только итоговой. И тут мы плавно перетекаем в русло другой методической проблемы.

Уровневая дифференциация и ее реализация в системе задач. Итак, вопрос об оценке уровня геометрической подготовки ученика мы свели к оценке уровня сложности задач, которые он умеет решать, при этом мы рассматриваем не все множество задач, а указанным выше способом отобранное его подмножество, и желаем для рассматриваемой задачи из этого подмножества указать группу сложности, класс сложности, к которому эта задача принадлежит. Первый шаг состоит в определении числа этих групп или классов сложности. Наша школа уже давно функционирует по трехуровневому принципу: 3, 4, 5 (удовлетворительно, хорошо, отлично). Таковы уровни знания, поскольку 2 (неудовлетворительно) — это незнание. Мы будем называть наши три уровня:

уровни А, Б и В. По этому принципу мы можем построить дерево уровней. А, Б и В — это первый слой уровней. Второй слой содержит уже 5 уровней: АА, АБ, ББ, БВ и ВВ. В принципе этот процесс может быть продолжен и дальше, но это кажется уже бессмысленным.

А теперь мы сформулируем два принципа, а вернее один парный принцип, определяющий идеологию уровневой дифференциации: реализм и динамика. Первая часть нашего принципа требует от нас при определении характеристик каждого уровня учитывать реальную ситуацию в школе, а второй утверждает необходимость качественного и как можно более значительного возрастания сложности задач при переходе от одного уровня к следующему. Будем считать, что возрастание сложности происходит в направлении от А к В. Первая часть принципа тянет нас вниз, к земле, а вторая — вверх. Возрастание сложности от низшего уровня к высшему определяет некий уровневый зазор, создает своего рода разность потенциалов. Этот зазор не может быть слишком маленьким, тогда развивающие возможности геометрии будут невелики. Но именно практическое отсутствие такого зазора мы часто наблюдали и наблюдаем в реальной школе. Этот зазор не должен быть и слишком велик. Тогда произойдет разрыв между уровнями и для многих школьников исчезнут стимулы для развития.

Следующим шагом будет определение главного, ведущего уровня. Существуют два крайних подхода. Первый: главным является верхний, а от него идут две ступени вниз. Второй — соответственно, снизу вверх. Подобно тому как, определяя школьную оценку, мы исходим либо из нашего представления о пятерке, либо о тройке. Каждый подход имеет свои недостатки. Первый ориентирован на элиту и слабые ученики могут оказаться за бортом математики. Второй же ориентирован именно на слабого, здесь возникает опасность опускания верхнего уровня, его слипания с нижними. В результате потенциал сильных учеников реализуется недостаточно. С точки зрения социального заказа оба крайних подхода кажутся неверными. Общество не вправе требовать от школы массового производства отличников, прекрасно владеющих математикой. Обществу не нужны и троечники, именно они являются виновниками всех сегодняшних катастроф (за исключением природных). Наиболее разумно, по нашему мнению, выбрать в качестве основного средний уровень, соответствующий оценке «хорошо». От него одна ступенька идет вверх, а одна вниз.

Указанный выбор уровня теоретически облегчает нам решение вопроса об определении параметров, задающих уровень. Если мы определим границы уровня Б, то тем самым автоматически определим границы и двух других уровней. Что же касается критериев (условий), по которым можно определить, какому уровню соответствует тот или иной ученик, то тут мы можем говорить о двух типах критериев: о критериях вне рассматриваемого уровня и о критериях внутри него. В первом случае речь идет просто о необходимом и достаточном условии соответствия данному уровню. Если ученик не умеет решать хотя бы одну задачу, соответствующую основной части уровня А, то он не соответствует уровню Б (не выполнено необходимое условие соответствия уровню Б). Если же ученик умеет решать хотя бы одну задачу основной части уровня В (решает сам, а не знает решение), то он соответствует уровню Б (выполнено достаточное условие). Внутри же самого уровня критерии статистические. Необходимо уметь решать, скажем, 80% случайной выборки из 10-20% задач уровня Б.

Следующий шаг состоит в заполнении самих уровней. Надо предложить способ или способы, с помощью которых можно указать для каждой задачи соответствующий ей уровень. (Напоминаем, что речь идет об итоговом уровне сложности.) Способы могут быть формальными и неформальными. Формальными мы считаем способы определения уровня сложности по некоторым внешним признакам задачи и ее решения, причем эти признаки можно более или менее формализовать. Неформальные методы сводятся к экспертным оценкам. Но поскольку подвергнуть экспертизе даже большинство существующих задач не представляется возможным, то сначала с помощью экспертных оценок следует составить некий задачник-каталог типичных представителей изучаемого уровня (прежде всего, уровня Б). В него входят лишь задачи, не поддающиеся формальной оценке. Этот каталог, как подсказывает практика, может быть вовсе не таким уж большим, задач 200-300 вполне достаточно. Отбор в этот задачник происходит последовательно, сначала наиболее очевидно соответствующие рассматриваемому уровню, затем — другие, менее очевидные, в конце экспертами внимательно изучаются два пограничных слоя. Разработав такой каталог хотя бы для уровня Б, мы значительно упростим процедуру оценки уровня сложности произвольной задачи. Для произвольной задачи возможны четыре случая: она имеет аналог в нашем каталоге, она явно сложнее любой задачи из каталога, она легче этих задач, и последний случай — ни то, ни

другое и не третье. В первых трех случаях все понятно, а четвертый требует дополнительной экспертизы. После чего задача попадает на свою полку и может в дальнейшем исполнять роль прецедента.

Получившаяся трехуровневая система задач должна представлять не просто три группы задач, а быть именно единой системой. А для этого она должна реализовывать соответствующие методические принципы. Задачи разных уровней должны находиться во взаимодействии, при этом функцией нижних уровней является обслуживание верхних, на нижнем уровне должны быть задачи-детали, из которых на более верхних конструируются более трудные задачи. И наоборот, задачи верхнего уровня за счет каких-то приемов — переформулировок, выделения отдельных частей — адаптируются к нижним уровням, растворяются в нем. Это взаимодействие должно происходить как по линии задач, так и по линии идей: на нижнем уровне — одноидейные задачи, на верхнем — многоидейные. Такая система задач может выполнять не только оценочные, но и обучающие функции. Ее можно интегрировать в содержание. Таким образом, взаимодействие между содержанием и методикой приобретает новое качество, не только содержание определяет методику, но и методика влияет на содержание.

Такова схема, и эта схема представляется вполне реализуемой на практике.

Элементарные и опорные задачи. На множестве геометрических задач можно выделить два подмножества по другим признакам.

Элементарными мы будем считать задачи, которые могут быть решены при помощи некоторой формулы в одно действие. То есть этот вид задач определяется относительно некоторой формулы, при этом одной формуле всегда соответствуют несколько элементарных задач. Например, теорема косинусов определяет три элементарные задачи. Элементарная задача — не обязательно простая. Все зависит от того, известна требуемая формула или нет. Иными словами, сложность элементарной задачи есть категория субъективная. Понятие элементарной задачи в некоторых случаях можно использовать для формального определения уровня сложности данной задачи, пытаясь разложить ее на цепочку элементарных задач, и, в случае такой возможности, в зависимости от длины этой цепочки определить уровень сложности этой задачи.

Другое полезное в методическом плане множество задач — это множество так называемых опорных задач. Дело в том, что умение

решать геометрические задачи в большой степени зависит от знания достаточного количества геометрических фактов, в большинстве своем не содержащихся в учебнике, от знакомства с некоторыми частными приемами, до которых трудно догадаться самостоятельно. Вот эти факты и приемы могут быть введены через систему опорных задач. Соответственно и у нас будут опорные задачи-факты и опорные задачи-методы. Задачи второго типа иллюстрируют определенный прием решения, причем эта иллюстрация должна быть очень ясной и не содержать посторонних примесей. Задачу-метод надо запомнить вместе с решением. Как показывает практика, количество опорных задач, нужных хорошему ученику, вовсе не так велико, как это может показаться. Всего за время обучения ему вполне достаточно накопить 20-30 опорных задач. Повышение уровня геометрической подготовки школьника требует и увеличения числа опорных задач, входящих в его арсенал.

Основная схема решения геометрических задач на вычисление. Для многих вычислительных задач можно предложить некую схему решения, опираясь на которую можно отчасти формализовать процесс решения и даже процесс поиска решения. Схема эта состоит из четырех этапов:

— Построение чертежа.

— Поиск метода решения.

— Вычисления.

— Исследование (или анализ).

Имеем схему: рисуем, думаем, считаем, снова думаем. Схема эта очень упрощает в простейших случаях оценку сложности задачи. (Анализировать эту схему мы будем главным образом для планиметрических задач, хотя работает она и в пространстве.) Так, для уровня А характерны двухшаговые задачи: рисуем, считаем. Реальное появление других этапов свидетельствует о повышении уровня сложности. На уровне В возможны случаи, когда эта схема «прокручивается» несколько раз. Основным в нашей схеме является пункт 2. Его мы обсудим отдельно, а сейчас коротко — об остальных пунктах.

Умение строить правильный чертеж — одно из важнейших базовых геометрических умений. Необходимо выработать у учеников привычку, граничащую с инстинктом: — начинать решение абсолютно любой геометрической задачи с построения чертежа. При этом чертеж должен быть «большим и красивым». Подчеркиваем, речь

идет о построении чертежа в начале работы над задачей, на черновике, для себя, а не для учителя. Как показывает сегодняшняя практика, культура чертежа у современных школьников находится на очень низком уровне.

И еще на один вопрос в связи с чертежом считаем необходимым ответить. Как лучше строить чертеж, с использованием чертежных инструментов или без них? Наш ответ: лучше научиться обходиться без них. Установка на непременное использование чертежных инструментов закрепощает ученика, сужает оперативное пространство. Очень часто для построения нужного чертежа требуется несколько попыток, но ученик продолжает работать на заведомо неудачном чертеже, поскольку ему жаль потраченных на него усилий. Иногда полезно смотреть на геометрическое изображение как на рисунок, а не чертеж. Проблемы, связанные с построением чертежа, многократно возрастают в стереометрии. Решение некоторых трудных задач группы В целиком сводится к построению чертежа.

Отдельно стоит вопрос о методах обучения методам построения чертежа. Учебники и учебные пособия очень часто просто дезориентируют учеников. Они в начале решения задачи, в начале доказательства теоремы предлагают чертеж, который может появиться лишь в самом конце, они не показывают процесс возникновения этого итогового чертежа, тот своеобразный «мультфильм», который сопровождает этапы решения. Кроме того, многие имеющиеся в учебных пособиях геометрические чертежи сильно усложнены, их не может выполнить простой человек.

На этом мы закончим разговор о роли чертежа в геометрии, тема эта очень большая и более или менее полно рассказать о ней можно лишь в специальной монографии.

Третий пункт — вычислительный. При его выполнении ученик оперирует большею частью негеометрическими знаниями и умениями. Но все же не следует упускать из виду геометрическое содержание проделываемых выкладок, учет геометрического смысла может оказать значительную помощь в решении. Кроме того, этот этап, связывая алгебру и геометрию, требует согласования соответствующих уровней.

Последний, четвертый пункт далеко не всегда возникает в реальных задачах по существу, но его всегда надо делать хотя бы символически. Необходимо выработать привычку, закончив решение любой задачи, выдержать паузу, внимательно просмотреть все

решение, проверить его, подумать, нельзя ли геометрическую ситуацию реализовать иным образом, и т. п.

Поиск решения — второй этап нашей схемы. Когда мы говорим, что наша главная цель — научить решать задачи, то мы включаем сюда более общую цель: научить думать. Здесь мы исходим из положения: если человек умеет решать достаточно трудные задачи, значит он умеет думать. А для того, чтобы научиться думать, надо именно думать, хотя бы иногда. Многие школьники, даже неплохо успевающие по математике, на самом деле не умеют думать, они лишь думают, что думают, а на самом деле процесс думанья при решении задачи у них заменяется процессом оформления решения. Путь решения они или находят сразу или не находят вовсе. А если к тому же у них слабые вычислительные умения и в процессе вычислений была сделана ошибка, в результате которой они так и не добрались до конца решения, то они могут отказаться и от верной идеи. Умение думать при решении задачи проявляется в умении найти решение со второй, третьей и т. д. попытки, в умении контролировать процесс решения, думать в процессе решения, а не только в начале, заниматься трудной задачей в течение достаточно продолжительного времени.

Нерешенную задачу можно сравнить с запертым замком. Его легко открыть, если мы имеем один ключ и ключ этот от данного замка, хотя иногда могут быть проблемы и в этой ситуации. (Сравните с элементарной задачей.) Открыть замок несколько труднее, если ключей несколько. Когда же ключей становится очень много, открыть замок может оказаться совсем непростым делом. Именно это имеет место в замках с шифром. Первый шаг поиска решения задачи можно сравнить с подбором ключа из небольшой связки. Но для этого ученик должен эту связку иметь.

Поиск решения вычислительной задачи следует начинать с выбора одной из двух разновидностей вычислительного метода: прямое вычисление или составление уравнений. Прямое вычисление в геометрической задаче аналогично арифметическому решению текстовой задачи. Мы должны построить цепочку, соединяющую то, что дано, с тем, что нужно найти. Создавать нужную цепочку можно, не делая сначала никаких вычислений, а строить дерево возможностей, растущее от начальных данных. Смотрим, что можно найти на первом шагу, затем — на втором, и так, пока не захватим искомую величину. Затем убираем лишнее и приступаем к численной реали-

зации. Можно идти и с конца: что нужно знать, чтобы вычислить искомую величину, и т. д.

Решение геометрической задачи при помощи составления уравнений абсолютно аналогично такому же методу решения текстовых алгебраических задач. Геометрическая специфика сказывается и на процедуре выбора неизвестных, и на процессе составления уравнений. В отличие от текстовых задач многие условия, задающие уравнения, в тексте задачи не указаны, а следуют из геометрических теорем.

Если сразу путь решения не виден, то мы должны попытаться подготовить почву для алгебраических методов при помощи известных нам дополнительных построений. За счет этих построений возрастает число треугольников и тем самым возрастают возможности для использования метрических теорем.

Если путь решения все еще не виден, то мы переходим на следующий, более высокий уровень эвристики. Начинаем анализировать особенности заданной геометрической конфигурации. Возможно, что какие-то прямые перпендикулярны, три точки лежат на одной прямой, а три прямые пересекаются в одной точке и т. д. Каждая из подобных особенностей может оказаться полезной для решения задачи. (Найдя такую особенность, сделайте новый чертеж.)

4. Последние штрихи к концепции

Одна проблема календарного планирования. Серьезным затруднением для овладения геометрией является то обстоятельство, что окончание изучения последней геометрической темы совпадает и с окончанием изучения всей геометрии. В результате ученик не имеет возможности увидеть всю геометрию в целом, она остается для него набором пройденных тем. А чтобы по-настоящему овладеть геометрией, необходимо иметь возможность позаниматься всей геометрией в целом. Улучшить ситуацию можно за счет нужной последовательности изучения тем, поставив в конец курса темы, которые могут быть использованы как инструмент для повторения. В планиметрии можно более радикально решить проблему, либо выделив достаточный объем времени для повторения в конце курса, либо заняв какое-то время у стереометрии, но уже в следующем классе. Второй способ не улучшит знания школьников, уже покинувших школу, но большинству из них это и не нужно. Нам

известно, что немалое число учителей средней школы избирает второй путь. При этом можно так организовать учебный процесс, что стереометрия от подобного ужимания никак не пострадает.

Некоторые методические частности. В сегодняшней реальной методике можно встретить ряд положений, выполнение которых, по всеобщему убеждению, необходимо при обучении математике. Некоторые из этих положений в большей степени относятся именно к геометрии. Например, считается необходимым иметь в курсе изрядное число заданий на отработку основных понятий и технических деталей, встречающихся в решениях задач, и посвятить этой отработке достаточно большое время. О таких упражнениях в нашей работе пока не сказано ни слова. Нам представляется, что их роль сильно преувеличена, а выполнение большого числа однообразных заданий в соответствии с законами физиологии может вызвать торможение. Собрать достаточно сложную конструкцию из слишком мелких деталей за небольшой срок невозможно, равно как нельзя научить езде на велосипеде, если сначала отрабатывать движение правой ноги, потом — левой и т. д. При чрезмерном дроблении задачи на этапы может проявиться эффект сороконожки, которая остановилась, как только задумалась, какая нога должна двигаться первой, какая — второй и т. д. Можно указать и на аналогию с зеноновским парадоксом: двигаясь слишком маленькими шагами, мы никогда не доберемся до содержательных задач.

А с другой стороны, закон перехода количества в качество все же справедлив, хотя и ассоциируется с марксизмом-ленинизмом. Важно, чтобы перерабатываемое количество содержало необходимое качество. Нельзя в процессе обучения ограничиваться уровнем задач, которые учащиеся способен решить самостоятельно. Разобраться в решении трудной задачи иногда гораздо полезнее, чем самостоятельно решить пустяковую задачу. У нас почему-то нет разработок о методической и обучающей роли подсказки. А жаль, деликатная и грамотная (математически и педагогически) подсказка — очень сильное оружия обучения. (Иногда даже простое присутствие доброжелательного учителя, кивок головы могут помочь школьнику справиться с задачей, подобно тому как слабый пловец может переплыть широкую реку, если рядом с ним просто плывет лодка.)

И еще одно замечание о частностях методики. Большое распространение получили у нас уроки некоторых специальных типов, например, урок под девизом «Одна задача — много решений». И это совсем неплохо. Только не надо чрезмерно увлекаться. Не стремиться к рекордам, а демонстрировать действительно разные методы решений. Кроме того, не следует забывать и о другом более

традиционном подходе: «Один метод — много задач». Что лучше, знать поверхностно много методов или хорошо владеть небольшим числом? Ответ нам кажется очевидным.

О реализуемости концепции. От ученого — к учителю. Главным вопросом любой концепции является в итоге вопрос о ее реализуемости и реализации. Концепции пишут одни, учебники — другие, у доски стоят третьи. Между первыми и третьими целых две пропасти. Одна пропасть в данном случае преодолена, поскольку автор этой концепции является также и автором ряда учебников, в которых, по его мнению, данная концепция реализована, хотя и не все обозначенное в концепции в полной мере отражено в его учебниках. (Концепция — это всегда идеализация, в полной мере нельзя реализовать даже собственную концепцию. Что тогда говорить о чужой.)

В системе образования действуют с той или иной степенью эффективности сообщества ученых и учителей. Друг с другом эти сообщества связаны очень слабо и коэффициент корреляции между ними скорее отрицателен. Иные новации, вводимые в школу по инициативе ученых, приносят школе объективный вред, а многочисленные исследования являют собой образцы схоластики и пустословия. Чего стоят, например, непомерно длинные и утомительные рассуждения на тему, что такое математическая задача? Редкие визиты диссертантов-экспериментаторов в школу просто бессмысленны. Какой объективный вывод можно сделать о результатах эксперимента, если экспериментатор кровно заинтересован в этих результатах и никем не контролируется? Но еще удивительнее выглядит эксперимент, состоящий в следующем. В одном классе, экспериментальном, в течение некоторого времени проводят занятия в соответствии с предложенной методикой по обучению детей искусству шевелить ушами. В другом, контрольном, этих занятий нет. Через некоторое время сравнивают результаты этих классов в умении шевелить ушами, после чего делается вывод о достоинствах предложенной методики. И смех, и грех. Все подобные эксперименты лучше проводить в кабинетной тиши, но похоже, там они и проводятся. Одним словом, школа только мешает педагогической науке успешно развиваться, не будь школы, успехи этой науки были бы более значительными.

Сообщество учителей представляет очень мощную социальную силу. Именно учитель является главным звеном в системе образования. Мы ни в коей мере не склонны идеализировать учительское сословие. Как во всякой массовой профессии, среди учителей встречаются самые разные люди. Но все-таки именно они определяют ка-

чество образования, его настоящее и будущее, а в конечном итоге и будущее всей страны. Сегодня особенно. И тут возникает ряд вопросов. Нужно ли учителю знать и понимать научные концепции? Должен ли он, отбирая упражнения к завтрашнему занятию, думать о том, какой общеобразовательной цели соответствует та или иная задача? Не разовьется ли в нем при этом упомянутый нами комплекс сороконожки или, того хуже, комплекс неполноценности из-за непонимания научных концепций? Но мы все же считаем, что учителю необходимо время от времени отрываться от будней, от земной поверхности, чтобы увидеть перспективу, понять, ради чего он работает, понять глубинные цели образования.

Одним из самых злободневных вопросов сегодня является вопрос о подготовке учителя, профессиональной и методической. Какая из этих двух составляющих является наиболее значимой? Говоря о математическом образовании, мы с уверенностью заявляем: самой важной сегодня является профессионально-математическая подготовка учителя. Под этим мы в первую очередь понимаем знание именно школьной математики, а не современной математической науки. И главное здесь не в том, что эта современная математика в педвузе обычно вырождается в некий суррогат. Даже крупные ученые-математики далеко не всегда хорошо владеют школьной элементарной математикой, а геометрией особенно. А в наших педвузах очень плохо обучают элементарной геометрии, геометрии же, концепцию которой мы здесь изложили, в педвузах нет совсем. И это, возможно, — главное возражение против нее.

Методическая подготовка учителя также очень важна, и все же она вторична. Учитель, плохо знающий математику, но владеющий методикой, представляет большую общественную опасность. Свои неверные знания, неправильное представление о математике, о геометрии он может передать ученику, внушить ему, и он усвоит их прочно и надолго. А переучивать всегда труднее!

Заключение первое

Концепция — это система взглядов. Исходя из такого понимания концепции, писал автор эту работу. Может броситься в глаза то, что работа плохо структурирована, содержит многочисленные повторы. Но ведь взгляды на образование, образующие концепцию, существуют одновременно и охватывают пересекающиеся участки

образовательного пейзажа. Их трудно выстраивать в шеренгу и отделять один от другого. Обилие точек зрения, с которых надо было посмотреть на предмет, вынудило автора в некоторых случаях ограничиться маловнятной скороговоркой, а в других и вовсе заявлением о существовании своей точки зрения. Работа непомерно раздувалась и автор уже подумывал о том, что надо ограничиться концепцией концепции, но и то, что получилось, лишь часть концепции.

В этом раздувании «виновата» также компьютерная технология, косвенно обруганная в тексте, но все же использовавшаяся автором в процессе работы. Каждая пришедшая в голову и понравившаяся мысль без особого труда, без помарок и подтирок вставлялась в текст. Теперь понятно, почему трактаты древних так хорошо выстроены. Прежде чем приступить к непосредственному написанию, древний автор должен был представить в голове весь трактат, и достаточно детально.

К данной работе также трудно приложимо прилагательное «научная». Но это же можно сказать по поводу любого методико-педагогического творения.

Автор безо всякой гордости, но и без сожаления, признается в плохом знании методической литературы, а потому все совпадения с общепринятыми в этой литературе тезисами или, наоборот, противоречия им носят чисто случайный характер. Однако автору посчастливилось в своей жизни общаться со многими умными людьми и выслушивать их рассуждения об образовании, о математическом образовании, о геометрии. С некоторыми мыслями автор настолько сжился, что теперь уже не может отделить, где мысли его личные, а какие он впервые услышал от В. М. Тихомирова, В. И. Арнольда, Ю. П. Соловьева или от другого умного человека. Но это не означает, что автор хочет прикрыться этими именами и протащить свои далеко не бесспорные мысли.

Автор сознательно использует устаревший термин «школа» вместо современных (?) «лицей», «гимназия», «колледж», поскольку он никак не может уяснить разницу между этими понятиями, взятыми из разных опер. По его мнению здесь мы имеем очередную иллюстрацию русской пословицы: «Тех же щей, да пожиже влей».

Кому-то может не понравится чрезмерная политизированность этого труда, постоянный поиск врагов и борьба с ними. Но, создавая концепцию, претендующую на относительную новизну, следует озаботиться привлечением единомышленников, при этом у автора может возникнуть (и возникло) желание не ограничивать зону единомыслия узко-предметными рамками. А как когда-то говорил кто-то

из ныне оплеванных классиков, жить в обществе и быть свободным от общества нельзя. Сегодня наше общество старательно мимикрирует, желая показаться своим в цивилизованном сообществе. Но в цивилизованных странах очень важно знать мнение чемпиона по боксу о классической музыке, а рассуждения бывалого гангстера о воспитании молодежи являются чуть ли не руководством к действию. Автор не является ни тем, ни даже другим. Но высказаться ему также хочется, тем более, что все имеющиеся в этой работе утверждения пришли ему в голову в процессе размышлений над концепцией, а значит, каким-то образом связаны с темой. Так почему бы ему не воспользоваться возможностью, даже если это произведение «ни один театр не будет ставить, и ни один зритель не будет смотреть». Как говорится, dixi animam levavi. (Внимательный читатель без труда заметит логическое противоречие между началом и концом в этом абзаце.)

Кто-то наверняка заявит, что автор — человек «самыхкрайнихвзглядов», а истина, как известно, находится посередине. Но истина потому и посередине, что кто-то — на краю, и любая попытка крайнего переместится в сторону (в какую?) предполагаемого местонахождения истины может привести к перемещению этой самой середины.

Автор признает, что в этом сочинении очень много банальных, тривиальных утверждений. Но это как раз, по его мнению, не так уж и плохо. Следует остерегаться изящных парадоксов. Они, как правило, ложны. Банальные высказывания почти всегда истинны, а истинные — банальны. Именно это и подтверждает ввиду своей банальности последнее высказывание. А, может, это как раз парадокс?

Заключение второе (смотри эпиграф)

Всякая концепция — это всего лишь декларация о намерениях. А намерения — они всегда благие. Сколь бы точно наши концепции ни отвечали на социальный вызов, никакого толка от них не будет, пока правители озабочены лишь личными интересами, борьбой за сохранение личной власти. Хорошо, если они хотя бы любят своих детей и внуков и понимают, что от образования зависит судьба этих детей и внуков. Если же они озабочены и судьбами...

Но это уже из области фантастики!

Москва, сентябрь 1996 —ноябрь 1998