А. Д. Семушин, О.С.Кретинин, Е. Е.Семенов

АКТИВИЗАЦИЯ МЫСЛИТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ

ОБУЧЕНИЕ ОБОБЩЕНИЮ И КОНКРЕТИЗАЦИИ

А. Д. СЕМУШИН, О. С. КРЕТИНИН, Е. Е. СЕМЕНОВ

АКТИВИЗАЦИЯ МЫСЛИТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ

Обучение обобщению и конкретизации

Пособие для учителей

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1978

51

С30

ИБ №. 3279

Алексей Дмитриевич Семушин Олег Степанович Кретинин Ефим Евстафьевич Семенов

АКТИВИЗАЦИЯ МЫСЛИТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ

Редактор Э. К. Викулина Художественный редактор Е. Н. Карасик Технический редактор С. Л. Птицына Корректор О. С. Захарова

Сдано в набор 23.03.78. Подписано к печати 01.08.78. 60X90Vi6. Бумага тип. № 3. Гарнитура литературная. Печать высокая. Условн. печ. л. 4,0. Уч.-изд. л. 4,16. Тираж 80 000 экз. Заказ № 3018. Цена 10 коп.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41

Отпечатано с матриц Саратовского ордена Трудового Красного Знамени полиграфического комбината Росглавполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли в типографии им. Смирнова Смоленского облуправления издательств, полиграфин и книжной торговли, г. Смоленск, пр. им. Ю. Гагарина, 2.

С30 Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. Обучение обобщению и конкретизации. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1978. 64 с. с ил.

Перед загл. авт.: А. Д. Семушин, О. С. Кретинин, Е. Е. Семенов.

В пособии раскрываются оригинальные основы и методика обучения обобщению и конкретизации в средней школе (4—10 классы). В нем дается система упражнений, органически связанных с изучением основного курса математики.

Издательство «Просвещение», 1978 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение .......................... 4

§ 1. Теоретико-множественный подход к обучению обобщению и конкретизации ............................. 7

Теоретико-множественная трактовка понятий «объем понятия» и «содержание понятия» ................. —

Понятия «обобщение» и «конкретизация», особенности их применения ........................ 9

§ 2. Пропедевтика обучения обобщению и конкретизации в IV—V классах 13

§ 3. Обучение обобщению и конкретизации при изучении геометрических понятий .......................... 21

Система задач и четыре требования к ней.......... —

Обучение обобщению и конкретизации при изучении понятий в IV—V классах..................... 24

Обучение обобщению и конкретизации при изучении понятий в VI—VIII классах ................... 31

§ 4. Возможности обучения обобщению и конкретизации на уроках алгебры ........................... 40

Пропедевтика понятия «операция» ............ —

Изучение понятия «операция» .............. 41

Свойства операции на данном подмножестве........ 47

Пропедевтика теоретико-групповых представлений...... 55

Изучение понятия группы ................ 61

ВВЕДЕНИЕ

Характерной чертой происходящего научно-технического прогресса является небывало интенсивная генерализация и специализация различных областей знаний, научных теорий, концепций. Наиболее ярким примером генерализации знаний может служить появление науки кибернетики. Она возникла как обобщение ряда точных наук, наук о живых организмах, наук об обществе и др. Процессу генерализации характерно создание новых теорий на стыке ряда уже сложившихся наук. В настоящее время получили глубокое развитие различные направления когда-то единой науки «радиотехника»; в частности, в самостоятельные отрасли знаний выделились радиокосмическая связь, управление на расстоянии и др.

Процессы генерализации и специализации происходят и внутри одной и той же отрасли знаний. В математике, например, создана высоко абстрактная теория структур, результатами которой пользуются почти все другие отрасли математики (и не только математики). В то же время в математике идет такая специализация знаний, что не всегда специалисты одной отрасли математики понимают специалистов другой отрасли математики.

Процессы генерализации и специализации знаний развиваются в диалектическом единстве, дополняют друг друга. Генерализация знаний развивается так, что открывает широкие возможности применения обобщенных знаний к ряду конкретных наук, конкретных областей знаний. Например, результаты, язык и аппарат общей теории структур применяются к изучению конкретных структур (групп, полей, геометрических преобразований и др.), поэтому специалист, приступающий к изучению теории групп, может воспользоваться, как известными, результатами, полученными при изучении общей структуры. Необходимо иметь в виду и то, что генерализация знаний строится не на пустом месте, а представляет собой обобщение ряда теорий, появившихся в результате специализации.

Отмеченный объективно проходящий процесс генерализации и специализации знаний оказывает и будет оказывать определенное влияние на преподавание математики в школе.

Прежде всего, школа в целом должна подготовить учащихся к пониманию процессов генерализации и специализации знаний. Курс математики, как это будет показано в публикуемом пособии, располагает для этого богатыми возможностями.

Отметим далее, что процесс генерализации и специализации школьного курса математики уже начался. В настоящее время повысился уровень абстрактности школьного курса математики, все более отчетливо осознается необходимость создания единого курса математики, объединяющего в себе арифметику, алгебру, начала анализа и геометрию. В прошедшую перестройку в этом направлении сделан уже первый шаг: в IV и V классах изучается единый курс математики. Вошедшие в школу факультативные занятия представляют собой отражение процесса специализации: на факультативных занятиях учащиеся углубленно изучают отдельные вопросы математики. В очередной реформе среднего математического образования его генерализация и специализация будут представлены еще более отчетливо.

В школе не представляется возможным изучать процессы генерализации и специализации, но школа может готовить учащихся к пониманию этих процессов, обучая учащихся обобщению и конкретизации, через овладение которыми учащимся будет раскрываться суть процессов генерализации и специализации.

Представление об обобщении и конкретизации у учащихся формировалось всегда, однако делалось это стихийно, не под руководством учителя, а как результат, сопутствующий текущему изучению программного материала. Некоторые учащиеся овладевали этими понятиями. Другие учащиеся не замечали ни проводимых в курсе математики обобщений, ни конкретизации изучавшегося материала. Это наносило серьезный ущерб общей математической подготовке школьника.

В новых условиях обучение обобщению и конкретизации необходимо проводить целенаправленно, добиваться осознанного усвоения понятий «обобщение» и «конкретизация», овладения приемами обобщения и конкретизации при изучении доказательств, решении задач и формирования понятий. Прочно вошедший в школу теоретико-множественный подход изучения программного материала создает благоприятные предпосылки и для обучения обобщению и конкретизации. Теоретико-множественная трактовка понятий «обобщение» и «конкретизация» позволяет делать это системно, внести элемент осознанности как в действия преподавателя, так и в процесс усвоения понятий «обобщение» и «конкретизация» учащимися.

Понимание процессов обобщения и конкретизации — один из путей освоения новых программ, уровень абстрактности которых значительно выше, чем всех предшествующих программ. Учащихся теперь надо не только научить пониманию действий над числами, но и подготовить к пониманию «операции» вообще. Учащимся надо освоить обобщенное понимание функции как отображение множеств с элементами произвольной природы (например, преобразование). Трудными для усвоения (в силу своей абстрактности) являются и понятия производной, интеграла, дифференциального уравнения и многих других. Изучение материала в достаточно обобщенном виде

наиболее экономно, но оно будет действенным, если вместе с тем учащиеся будут обучаться и конкретизации, применению общих положений к частным случаям рассматриваемых ситуаций: для учащихся значительные трудности представляют применение формул производных для конкретных рассматриваемых ситуаций; еще большие трудности представляет отыскание первообразных.

Из изложенного следует, что осознанное овладение процессами обобщения и конкретизации будет содействовать формированию у учащихся прочных знаний программного материала и, как следствие, будет служить средством активизации мыслительной деятельности учащихся, их активности при усвоении знаний. Эффективная активизация мыслительной деятельности учащихся возможна только на основе прочных знаний учащегося.

Обучать школьников обобщению и конкретизации можно повседневно (с IV по X класс), на любом программном материале. Возможности проведения этой работы раскрываются в публикуемом пособии. В нем сначала раскрывается теоретико-множественное содержание понятий «обобщение» и «конкретизация», а затем освещаются возможности обучения учащихся обобщению и конкретизации и их применений к изучению школьного курса математики с IV по X класс.

§ 1. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД К ОБУЧЕНИЮ ОБОБЩЕНИЮ И КОНКРЕТИЗАЦИИ

Введение в среднюю школу теоретико-множественного подхода открывает широкие возможности для обучения учащихся обобщению и конкретизации. Это объясняется тем, что сами понятия обобщения и конкретизации связаны с понятиями множества, подмножества, отношением включения одного множества в другое. Обучение обобщению и конкретизации облегчается использованием этих понятий, а также операций пересечения, объединения множеств, диаграмм Эйлера, при теоретико-множественной трактовке объема понятия и его содержания.

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА ПОНЯТИЙ «ОБЪЕМ ПОНЯТИЯ» И «СОДЕРЖАНИЕ ПОНЯТИЯ»

Объем понятия есть множество объектов, удовлетворяющих определению понятия; содержание понятия есть множество свойств, которыми обладает понятие.

1. Объем понятия может содержать конечное множество объектов. Например, объем понятия четного однозначного числа есть множество А = {2, 4, 6, 8}; объем понятия двузначного числа, кратного 3, есть множество В — {12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 96, 99}. Если число объектов, входящих в объем понятия, невелико, то эти элементы в условиях обучения могут быть учащимися перечислены (как это сделано в случае указания множества А). Если же конечное число объектов, входящих в объем понятия, таково, что на их полное перечисление уйдет много времени, то обычно перечисляются не все объекты, а лишь некоторые — «первые» и «последние» (а иногда и некоторые «промежуточные», если в этом имеется необходимость). «Промежуточные» объекты, как это сделано при записи множества В, заменяются обычно многоточием (...).

Объем понятия может содержать бесконечное множество объектов. Примером могут служить объем понятия натурального числа, кратного 4, и объем понятия параллелограмма. Объем первого из этих понятий записывают обычно так: С = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}. В этой записи многоточие заменяет бесконечное множество натуральных чисел, кратных 4 и больших 36. Несколько иначе обстоит дело с объемом понятия параллелограмма. Множество объектов, входящих в объем понятия параллелограмма, несчетно, поэтому эти объекты не могут быть пронумерованы. Кроме того, в отличие от предыдущих примеров, неясно, в каком порядке их целесообразно перечислять. Поэтому в практике обучения выделение множества параллелограммов производится на неупорядоченном конечном множестве фигур. Например, на рисунке 1 изображено некоторое конечное множество фигур (множество М). Множество V параллелограммов, являющееся под-

множеством, выделено на рисунке с помощью диаграммы Эйлера.

Однако, если параллелограммы из M обозначить Ри Р2, Р3, то получим:

А теперь сравним все рассмотренные примеры объемов понятий. У них есть общность: во всех случаях, чтобы создать представление об объеме того или иного понятия, мы, выбрав некоторое конечное подмножество бесконечного множества, выделяли из него новое (конечное) подмножество. В случае получения множества А мы из множества натуральных чисел выделяли подмножество однозначных натуральных чисел, а затем уже из этого множества — множество А. Множество В мы получали аналогично, причем в записи этого множества перечисляли (по нашему усмотрению) лишь элементы его некоторого подмножества. То же самое можно сказать о получении множества С: из множества N мы, возможно, не осознавая этого, выделили первые несколько десятков натуральных чисел (т. е. конечное подмножество), а из этого конечного подмножества выписали первые 9 чисел, кратных 4. В последнем случае из бесконечного множества фигур мы выделили конечное множество 7w, а из него — множество V параллелограммов.

Приведенные примеры показывают, что для того, чтобы дать учащимся представление об объеме понятия, в практике обучения широко используются задачи по выделению из некоторого конечного множества объектов подмножества, входящего в объем понятия. Решение такого рода задач является важным средством формирования правильных представлений об объеме того или иного понятия и используется при обучении обобщению и конкретизации.

2. Как и объем понятия, содержание понятия может представлять собой бесконечное множество свойств. Однако роль этих свойств при формировании понятия и при его использовании в процессе решения задач различна. Одни из них входят в определение понятия, другие являются их следствиями. Дополнение свойств, входящих в определение, их следствиями не меняет объема понятия, приводя лишь к так называемому «избыточному» определению. Таким образом, можно сказать, что содержание понятия «определяется» множеством свойств, входящих в определение. При введении понятия первоначально под его содержанием учащимися мыслится именно это множество. Множество свойств, входящих в определение понятия, будем называть поэтому первичным содержанием понятия. Множество свойств, являющихся следствием первичного содержания, назовем произ-

Рис. 1

водным содержанием понятия. Следовательно, содержание понятия в принятой терминологии представляет собой объединение первичного и производного содержаний.

В качестве примера рассмотрим понятие параллелограмма. Его первичное содержание представляет собой множество, состоящее из свойств ах и а2, где аг и а2 — следующие:

av Параллелограмм — это четырехугольник.

а2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны.

В производное содержание понятия параллелограмма входят такие свойства, как Ьг — ЬА.

bv Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны.

Ъ2. Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Ь3. Точка пересечения диагоналей параллелограмма есть его центр симметрии.

Ь4. Не во всякий параллелограмм можно вписать окружность.

Первичное содержание понятия параллелограмма а = {аи а2). Множество ß = b2y bs, ЬА) есть подмножество его производного содержания y:

Такие подмножества дают представление о производном содержании понятия. Содержание ф понятия параллелограмма может быть представлено тогда как объединение множеств а и у;

Выяснение, принадлежит ли некоторое свойство производному содержанию понятия, поиски свойств, входящих в производное содержание понятия, с целью их использования в системе задач, являются важными элементами в обучении обобщению и конкретизации.

ПОНЯТИЯ «ОБОБЩЕНИЕ» И «КОНКРЕТИЗАЦИЯ», ОСОБЕННОСТИ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

В математике под обобщением понимают переход от рассмотрения элементов одного множества M к рассмотрению элементов другого множества N', такого, что его собственное подмножество N' изоморфно множеству M, а под конкретизацией — обратный переход от рассмотрения элементов второго множества к рассмотрению элементов первого. Например, очень часто множество объектов, охватываемых обобщаемым понятием, не входит в множество объектов, охватываемых обобщенным понятием: последнее может лишь содержать собственное подмножество, изоморфное множеству объектов, охватываемых первым понятием. В этом спуск по общности — ограничение понятий — принципиально отличен от восхождения — обобщения понятий: спускаться можно по той же лестнице, подниматься же можно, строго говоря, переступив на другую лестницу. Отмеченная тонкость важна на более высоком, по сравнению со школьным, уровне.

В частности, в курсе алгебры и теории чисел производится обобщение понятия числа в указанном выше смысле. Например, поле рациональных чисел рассматривается как минимальное расширение кольца целых чисел, в котором операции сложения и умножения обладают свойствами, называемыми основными законами арифметики, а деление всегда выполнимо, если только делитель отличен от нуля. При этом замена одного такого минимального расширения кольца целых чисел другим минимальным его расширением не приводит к получению нового числового множества, отличающегося по своим свойствам от первоначально построенного, так как оказывается, что любые два минимальных поля, являющиеся расширением кольца целых чисел, изоморфны1. Поэтому изоморфные кольца или поля не считаются различными. Обычно говорят о единственности, с точностью до изоморфизма, минимального поля, являющегося расширением, например, кольца целых чисел.

Новые учебники математики позволяют формировать у школьников понятие о приемах обобщения и конкретизации и особенностях их применения, упражнять учащихся в применении этих приемов. В рамках школьного курса знакомство учащихся с сущностью обобщения и конкретизации оказывается возможным для частного случая их теоретико-множественной трактовки: если множество M является подмножеством множества N, то переход от рассмотрения элементов множества M к рассмотрению элементов множества N есть обобщение, обратный переход — конкретизация (Пойя Д. Математика и правдоподобные рассуждения, т. 1. М., ИЛ, 1957, с. 31).

Д. Пойя говорит о двух направлениях обобщения:

1) замене постоянной переменной,

2) отбрасывании ограничений

и, соответственно, о двух направлениях конкретизации:

1) замене переменной постоянной,

2) внесении некоторого ограничения (там же, с. 31).

Нетрудно убедиться, что первое направление обобщения есть частный случай второго: замену постоянной переменной (переход от рассмотрения множества треугольников к рассмотрению множества я-угольников) можно считать и отбрасыванием ограничения (переход от рассмотрения множества многоугольников с тремя сторонами к рассмотрению множества многоугольников). Это замечание справедливо и для конкретизации. Поэтому в дальнейшем отмеченные направления обобщения и конкретизации различаться не будут.

Отбрасывание ограничения означает, что из характеристического свойства, задающего не пустое множество, в результате исключения какого-либо свойства строится характери-

1 Поля Р и Р\ называются изоморфными, если существует обратимое отображение одного из них на другое, при котором для любых элементов а и b из Р и соответствующих элементов а и Ь' из Pu сумме а+Ь и произведению ab соответствуют соответственно сумма а'-\-Ь' и произведение а'Ь',

стическое свойство другого множества, являющегося надмножеством первого. Соответственно, внесение некоторого ограничения означает, что из характеристического свойства, задающего не пустое множество, в результате добавления какого-либо дополнительного свойства строится характеристическое свойство нового множества, являющегося подмножеством первого. В этом случае необходима проверка того, не будет ли новое множество пустым. Поэтому появляется задача установления существования объектов, обладающих построенным свойством, для чего и рассматриваются так называемые теоремы существования. В школе эта проверка сводится к указанию 1-го или нескольких элементов, обладающих построенным характеристическим свойством.

Обобщением будет и выявление некоторого свойства, которым обладают все элементы данного множества, и распространение этого свойства на все элементы другого множества, являющегося надмножеством данного. Например, установленное свойство всех элементов конечного множества В = {а, Ь, с) может распространяться на все элементы его надмножества А = {а, Ь, с, ...}, являющегося бесконечным множеством. Формулировка такого свойства для множества А является утверждением, требующим доказательства, что каждый элемент множества А обладает найденным свойством, и, обратно, каждый элемент, обладающий этим свойством, является элементом множества Л.

Например, на уроках геометрии в школе так устанавливается свойство биссектрисы угла, свойство срединного к отрезку перпендикуляра. В обучении в тесном единстве с обобщением применяется конкретизация. Так, при установлении свойства, которым обладают все элементы бесконечного множества А = {а, Ь, с, ...}, приходится вначале рассматривать некоторое конечное его подмножество, например В = {а, Ь> с}, т. е. совершать переход от рассмотрения элементов некоторого множества к рассмотрению элементов его подмножества.

Понимание особенностей применения приемов обобщения и конкретизации связано с пониманием следующего общего положения: все элементы множества, являющегося подмножеством другого множества, наряду с общими для всех элементов обоих множеств свойствами, обладают еще рядом дополнительных свойств. Действительно, каждое свойство всех элементов некоторого множества является свойством всех элементов его подмножества. А это и означает, что совокупность свойств всех элементов первого множества включается в совокупность свойств, которыми обладают все элементы его подмножества.

В случае применения конкретизации — перехода от изучения элементов некоторого множества к изучению элементов второго множества, являющегося подмножеством первого, — каждое свойство, установленное для всех элементов исходного

множества, остается справедливым и для всех элементов его подмножества. Поэтому, если доказано какое-либо свойство для всех элементов множества, его доказательство для всех элементов подмножества сводится к построению примерно следующего высказывания: «Так как всякий элемент второго множества является элементом первого множества, а всякий элемент первого множества обладает некоторым свойством, то и всякий элемент второго множества обладает этим свойством».

Данное высказывание всегда истинное, так как в нем легко усматривается схема логического закона — закона силлогизма. «Индивидуальное» доказательство проводится для каждого из тех дополнительных свойств, которыми обладают все элементы подмножества. Например, при изучении на уроках геометрии свойств прямоугольника выясняется: «Так как прямоугольник есть параллелограмм, то он обладает всеми его свойствами. Кроме того, прямоугольник обладает свойствами, указанными в следующей теореме и ее следствиях» (Геометрия. Учебное пособие для VII класса средней школы. Под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. 2-е. М., «Просвещение», 1973, с. 8—9).

В случае применения обобщения — перехода от изучения элементов некоторого множества к изучению элементов его надмножества — вначале устанавливаются и доказываются свойства всех элементов первого множества, а затем — свойства всех элементов его надмножества. Так как все элементы последнего обладают только частью свойств всех элементов исходного множества и поскольку заранее неизвестно, какие свойства всех элементов исходного множества сохраняются, то, даже располагая свойствами всех элементов исходного множества, нельзя сразу сказать, какими свойствами обладают все элементы его надмножества. Поэтому свойства всех элементов надмножества приходится устанавливать и доказывать вновь. А понимание того обстоятельства, что они составляют часть уже известных свойств, которыми обладают все элементы исходного множества, облегчает их выявление. При этом, если хотя бы один элемент надмножества не обладает каким-либо свойством, которым обладают все элементы его подмножества, то установление этого факта является доказательством того, что все элементы надмножества не обладают данным свойством.

Например, свойство конгруэнтности диагоналей справедливо для каждого элемента из множества прямоугольников и не имеет места для каждого элемента его надмножества — множества параллелограммов. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть пример параллелограмма, не являющийся примером прямоугольника. Установление для всех элементов надмножества свойства, которыми обладают все элементы исходного множества, сопровождается проведением нового доказательства (несмотря на то, что доказательство этого свойства у всех элементов исходного множества проводилось).

Так, несмотря на проведение доказательства свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности для отношения конгруэнтности, соответствующие доказательства этих же самых свойств необходимы при последующем изучении более общего отношения подобия.

Таким образом, часть свойств, установленных для всех элементов некоторого множества, сохраняется, часть из них теряет свою силу при переходе к изучению элементов нового множества, являющегося надмножеством исходного множества. При этом некоторые из них заменяются новыми при обобщенном их понимании.

Например, для всех элементов из множества прямоугольных треугольников справедливо свойство, известное как теорема Пифагора, которое не имеет места для всех элементов более широкого множества — множества треугольников. Для всех элементов последнего справедливо более общее свойство — теорема косинусов, для которой теорема Пифагора является частным случаем.

§ 2. ПРОПЕДЕВТИКА ОБУЧЕНИЯ ОБОБЩЕНИЮ И КОНКРЕТИЗАЦИИ В IV—V КЛАССАХ

Последовательное использование начальных понятий теории множеств и математической логики в новых учебниках позволяет осуществлять на уроках соединение обучения математике с развитием умственных способностей учащихся. В частности, формируемые в школе понятия множества и подмножества позволяют знакомить учащихся с сущностью обобщения и конкретизации и особенностями их применения.

В данном параграфе описывается опыт использования формируемых на уроках математики понятий множества и подмножества для проведения с учащимися IV—V классов работы по пропедевтике обучения обобщению и конкретизации. Приводится система упражнений, которая готовит учащихся к знакомству с сущностью обобщения и конкретизации, служит систематическому использованию теоретико-множественного языка на уроках математики, а также готовит школьников к работе по построению определений формируемых в школе понятий и установлению между ними имеющих место отношений.

Для проведения указанной работы потребовалось формирование у учащихся умений и навыков в установлении отношения включения как между конечными, так и бесконечными множествами. Для учащихся младших классов восьмилетней школы была разработана система упражнений. Важную роль в ней играют упражнения с конечными множествами, задаваемыми списками и характеристическими свойствами. В ходе их выполнения выявляются и закрепляются основные положения, которые в дальнейшем позволяют выполнять такие же упражнения с бесконечными множествами, задаваемыми характеристическими свойствами (термин «характеристическое свойство» учащимся не сообщался).

I. При формировании понятия множества в IV классе выполнялись два вида упражнений.

Упражнения, в которых по характеристическому свойству конечного множества надо было записать это множество списком, и обратные им упражнения, в которых для заданного списком множества надо было указать его характеристическое свойство (Математика. Учебник для IV класса средней школы. Под ред. А. И. Маркушевича. М., «Просвещение», 1975, № 109, 110, 112, 118, 124, 125 и др.).

Аналогичные упражнения выполнялись с бесконечными множествами. Последние задавались с помощью фигурных скобок и многоточия. Так, множество натуральных чисел N задавалось следующим образом: N = {1, 2, 3, ...}.

Примеры.

1. А — множество натуральных чисел, кратных 5. Запишите это множество с помощью фигурных скобок, указав несколько первых его элементов и поставив знак многоточия.

2. В = {2, 4, 6, ...}. По какому признаку составлено это множество?

II. Упражнения, в которых различными характеристическими свойствами задано одно и то же множество (список элементов этого множества не приводился), а учащиеся должны были установить их равносильность (записав в случае затруднения это множество списком), и обратные им упражнения, в которых для заданного списком множества требовалось указать различные его характеристические свойства. Как и в предыдущем случае, рассматривались упражнения с конечными и бесконечными множествами.

Примеры.

1) Что можно сказать о множествах Л и В, если

а) А — множество двузначных чисел, кратных 11;

В — множество двузначных чисел, обе цифры которых одинаковы;

б) А — множество решений неравенства 1 < х < 5;

В — множество решений неравенства 2 ^ х ^ 4 и др.?

2) По какому признаку составлено множество: а) А = {5, 6, 7, 8, 9};

В = {10, 20, 30, ...} и т. д.? Хотя явно от учащихся не требовалось указывать различные характеристические свойства заданного списком множества, на уроке это получалось само собой. Например, часть учащихся называла множество В «множеством натуральных чисел, кратных 10», другие учащиеся — «множеством натуральных чисел, оканчивающихся нулем».

Как показал опыт, выполнение упражнений вида I помогало в дальнейшем успешно проводить работу по построению определений формируемых понятий, когда всякий раз в результате рассмотре-

ния некоторого конечного множества элементов — примеров формируемого понятия — формулируется характеристическое свойство всего множества объектов, охватываемых этим понятием. Выполнение упражнений вида II помогало учащимся понимать, почему одному и тому же понятию могут даваться различные определения, учило строить различные определения одного и того же понятия.

Упражнения вида I—II выполнялись с учащимися и в последующих классах.

В V классе при формировании понятия подмножеств на уроках математики устанавливается отношение включения между конечными множествами, задаваемыми списками. В дополнение к этому, с учащимися рассматривались упражнения, в которых отношение включения устанавливалось между конечными множествами, задаваемыми списками и характеристическими свойствами.

Задание множеств списками позволяло определить, какое из двух данных множеств является подмножеством другого. Дальнейшее сопоставление их характеристических свойств помогало обращать внимание учащихся на ту закономерность, что все элементы подмножества обладают некоторым дополнительным свойством. А поскольку это справедливо и для бесконечных множеств, то появлялась возможность установления отношения включения между множествами, как конечными, так и бесконечными, в результате сопоставления их характеристических свойств.

Например, если говорилось о множестве целых чисел и множестве целых четных чисел, то учащиеся делали вывод, что второе множество является, подмножеством первого (так как характеристическое свойство второго множества, наряду с общим для обоих множеств свойством «быть целым числом», содержит дополнительное свойство «четности»).

Следует иметь в виду, что одно и то же множество может задаваться различными характеристическими свойствами. Поэтому установить отношение включения между множествами в результате сопоставления их характеристических свойств часто можно только после замены одного из характеристических свойств другим, ему равносильным. Пятиклассникам предлагались только те упражнения, в которых отношение включения между множествами можно было сразу установить в результате сопоставления их характеристических свойств.

Ниже приводятся основные виды данных упражнений.

III. Упражнения, в которых два множества задаются списками и для обоих множеств приводятся их характеристические свойства. Учащиеся определяли, какое из множеств является подмножеством другого, и указывали дополнительное свойство, добавлением или исключением которого из характеристического свойства одного множества можно получить характеристическое свойство другого множества. В ходе выполнения этих упражнений учащиеся вначале из двух заданных списком множеств находили подмножество, после чего рассматривались характеристические свойства этих множеств.

В результате их сопоставления выделялось дополнительное свойство, которым обладают все элементы подмножества. Примеры.

Какое из двух данных множеств является подмножеством другого? Подчеркните дополнительное свойство, которым обладают все элементы подмножества.

1) А = {январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь} — множество месяцев.

В = {июнь, июль, август} — множество летних месяцев.

2) M = {0, 3, б, 9} — множество однозначных чисел, кратных 3.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — множество однозначных чисел.

3) С = {р, л, м, н, г, б, з, ж, д, в} — множество звонких согласных букв.

D = {б, В, Г, Д, Ж, 3, к, л, м, н, п, р, с, т, ф, X, ц, ч, ш, щ} — множество согласных букв.

4) Р - {11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91} —множество двузначных чисел, оканчивающихся единицей.

Q= {21, 51, 81} — множество двузначных чисел, оканчивающихся единицей, и кратных 3.

IV. Упражнения, в которых два множества задаются списками и для одного из них приводится его характеристическое свойство. Требовалось определить подмножество и сформулировать характеристическое свойство второго множества.

Примеры.

1. Определите, какое множество является подмножеством другого. Впишите вместо точек дополнительное свойство, которым обладают все элементы подмножества.

а) А = {к, а, н, и, у, л, ы} — множество ........ букв слова «каникулы».

В = {к, н, л} — множество ........... букв слова «каникулы».

б) С = {22, 44, 66, 88} — множество ......... двузначных чисел, обе цифры которых одинаковы.

D = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99} — множество ........... двузначных чисел, обе цифры которых одинаковы.

В ходе выполнения этих упражнений учащиеся находили подмножество, сравнивая списки элементов, после чего определяли дополнительное свойство, которым обладают все элементы подмножества, и вписывали его вместо точек. Характеристическое свойство другого множества оставляли без изменения.

2. Определите, какое множество является подмножеством другого. Укажите дополнительное свойство, которым обладают все элементы подмножества. По какому признаку составлено второе множество?

а) M = {весна} — множество времен года, когда цветут сады. N = {зима, весна, лето, осень} — множество .....

б) Р = {И, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99} — множество двузначных чисел, у которых обе цифры одинаковы.

Q = {33, 66, 99} — множество ... .

Учащиеся определяли подмножество, находили дополнительное свойство, которым обладают все элементы подмножества. Если было известно характеристическое свойство подмножества, то искомое характеристическое свойство второго множества получалось из данного исключением найденного дополнительного свойства; если же давалось характеристическое свойство надмножества (множества), то искомое характеристическое свойство получалось из данного добавлением найденного дополнительного свойства.

V. Упражнения, в которых два множества задаются своими характеристическими свойствами и, кроме того, приводится список элементов одного из них. В результате сопоставления характеристических свойств учащиеся устанавливали отношение включения между данными множествами, затем по характеристическому свойству составляли список элементов другого множества. Располагая списками элементов обоих множеств, проверяли, правильно или неправильно было найдено имеющее место отношение включения.

Примеры.

1) А — множество праздничных дней: А = {1 января, 8 марта, 1 мая, 2 мая, 9 мая, 7 октября, 7 ноября, 8 ноября}.

В — множество весенних праздничных дней. Какое множество является подмножеством другого? Запишите множество В с помощью фигурных скобок и проверьте, правильно ли было найдено подмножество.

2) С — множество нечетных однозначных чисел: С = {1, 3, 5, 7, 9}.

D — множество однозначных чисел. Какое множество является подмножеством другого? Запишите с помощью фигурных скобок множество D и проверьте, правильно ли было найдено подмножество.

3) M — множество планет Солнечной системы (записаны в порядке удаления их от Солнца): М= {Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон}.

N — множество планет Солнечной системы, удаленных от Солнца на меньшее, чем Земля, расстояние.

Какое множество является подмножеством другого? Запишите множество Q при помощи фигурных скобок и проверьте, правильно ли было найдено подмножество.

4) Р — множество служебных частей речи: Р = {предлоги, частицы, союзы, междометия}.

Q — множество частей речи.

Какое множество является подмножеством другого? Запишите множество Q при помощи фигурных скобок и проверьте, правильно ли было найдено подмножество.

VI. Упражнения, в которых одно множество задается своим характеристическим свойством и приводится список его элементов. По данному характеристическому свойству этого множества учащиеся формулировали характеристическое свойство другого,

множества, являющегося подмножеством или надмножеством данного, и составляли список его элементов. Составление списка элементов нового множества позволяло проверить правильность выполнения упражнений вида VI, в частности, давало возможность убедиться, что из данного множества новым характеристическим свойством выделено собственное его подмножество.

Примеры.

1) А — множество однозначных чисел: А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Укажите какой-нибудь признак, по которому можно составить множество В, являющееся подмножеством множества А. Запишите множество В списком.

2) С— множество частей света, название которых оканчивается буквой «я»: С = {Австралия, Азия}.

Укажите какой-нибудь признак, по которому можно составить множество D, для которого множество С является его подмножеством. Запишите множество D списком.

Выполнение упражнений вида I — VI подготовило учащихся к выполнению упражнений, в которых требовалось устанавливать отношение включения между множествами, задаваемыми только характеристическими свойствами. Вначале с учащимися рассматривались упражнения с конечными множествами, что давало возможность в случае затруднения записывать эти множества списками или хотя бы «представить» их. После этого рассматривались упражнения с бесконечными множествами. Выбор подмножества из двух заданных своими характеристическими свойствами множеств обосновывался наличием некоторого дополнительного свойства у характеристического свойства подмножества.

Учащимся предлагались следующие виды упражнений.

VII. Упражнения, в которых характеристическими свойствами задаются два множества, находящиеся между собой в отношении включения. Учащиеся определяли множество, являющееся подмножеством другого множества, в результате сопоставления данных характеристических свойств и выявления, наряду с общими для элементов обоих множеств свойствами, некоторого дополнительного свойства.

Примеры.

Даны два множества.

1) Какое множество является подмножеством другого? Укажите дополнительное свойство, которым обладают все элементы подмножества:

а) Л — множество космонавтов СССР,

В — множество космонавтов СССР, совершивших групповой полет;

б) M — множество черных кошек, N — множество кошек;

в) С — множество букв, симметричных относительно прямой, D — множество букв;

г) Е — множество углов,

F — множество острых углов;

д) Р — множество целых чисел, кратных 5,

Q — множество целых чисел, кратных 10 (кратных 5 и кратных 2).

2) Укажите свойство, исключением которого из признака, задающего одно множество, получается признак, задающий другое множество. Какое множество является подмножеством другого?

а) Л — множество космонавтов СССР, В — множество космонавтов;

б) С — множество хвойных деревьев, D — множество деревьев;

в) £ — множество четных целых чисел, F — множество целых чисел;

г) Р — множество дробей,

Q — множество правильных дробей.

VIII. Упражнения, в которых характеристическим свойством задавалось одно множество. По данному характеристическому свойству этого множества учащиеся формулировали характеристическое свойство другого множества, являющееся характеристическим свойством надмножества или подмножества первого множества. В последнем случае надо было указывать хотя бы один элемент, принадлежащий второму множеству.

1) Запишите, по какому признаку можно составить множество В, чтобы множество Л было его подмножеством:

а) А — множество полевых цветов;

б) А — множество монет желтого цвета, находящихся в обращении в СССР;

в) А — множество однозначных чисел, кратных 4, и т. п.

2) Запишите, по какому признаку можно составить второе множество В, чтобы оно было подмножеством множества А:

а) А — множество двузначных чисел;

б) А — множество домашних животных;

в) А — множество учебников и др. Назовите несколько элементов множества В.

3) Запишите, по какому признаку можно составить: множество ß, чтобы В cz Л; множество С, чтобы А а С. Какое множество из двух множеств В и С является подмножеством другого множества:

а) А — множество букв русского алфавита;

б) А — множество чисел, кратных 15;

в) А — множество учеников класса.

При выполнении упражнения вида VIII ответы учащихся были не однозначны. Например, для множества однозначных чисел, кратных 4, в качестве его надмножества называлось и множество чисел, и множество однозначных чисел, и множество чисел, кратных 4, и множество однозначных четных чисел, и множество чисел, кратных 2. А для множества букв русского алфавита в качестве

его подмножества называлось и множество букв русского алфавита, симметричных относительно прямой, и множество букв русского алфавита, симметричных относительно двух прямых, и множество гласных букв русского алфавита и т. п.

Чтобы в результате выполнения упражнений вида III—VIII у учащихся не сложилось представления, что любые два множества обязательно находятся в отношении включения, на уроках рассматривались упражнения, в которых из двух данных множеств ни одно не является подмножеством другого (при этом рассматривались случаи, когда пересечение этих множеств есть пустое множество, не пустое множество).

Кроме того, с этой точки зрения оказались полезными упражнения, в которых рассматривается более двух множеств, причем таких, что взятые попарно, они могут находиться или не находиться в отношении включения.

Примеры.

Какое из данных множеств является подмножеством другого:

а) А — множество четных однозначных чисел;

В — множество нечетных однозначных чисел; С — множество однозначных чисел;

б) M — множество чисел, кратных 2; N — множество чисел, кратных 6; Р — множество чисел, кратных 3;

в) D — множество треугольников;

Е — множество прямоугольных треугольников;

F — множество остроугольных треугольников;

G — множество тупоугольных треугольников? Упражнения I—VIII выполнялись не только в IV и V классах при изучении, соответственно, понятий множества и подмножества, но и при изучении других тем как в этих, так и в последующих классах.

Нетрудно видеть, что выполнение упражнений III—VIII сводится к рассмотрению элементов одного и последующему рассмотрению элементов другого множества, являющегося подмножеством или надмножеством первого множества. Но это и означает, что всякий раз при выполнении данных упражнений учащиеся тренируются в проведении обобщения и конкретизации.

Как показал опыт, формирование у учащихся умений и навыков в установлении отношений между данными множествами (как конечными, так и бесконечными) и понимание сущности обобщения и конкретизации достигается в ходе выполнения упражнений вида III, V и VII. А выполнение упражнений вида IV, VI и VII (когда характеристическое свойство одного множества используется для построения характеристического свойства другого множества) готовит учащихся к работе по построению определения одного понятия при помощи уже известного им определения другого понятия.

§ 3. ОБУЧЕНИЕ ОБОБЩЕНИЮ И КОНКРЕТИЗАЦИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

СИСТЕМА ЗАДАЧ И ЧЕТЫРЕ ТРЕБОВАНИЯ К НЕЙ

Переход от понятия с объемом V к другому, с более широким объемом Vi, таким, что V ci Vu означает обобщение. Обратный переход означает конкретизацию. Второе понятие в этом случае называют обобщением первого, а первое — конкретизацией второго.

В процессе обучения обобщению и конкретизации при изучении понятий учащийся должен осознать, что включение в первичное содержание понятия свойства, входящего в производное содержание понятия, не изменяет объема понятия, т. е. не ведет к его конкретизации. Если некоторое свойство, входящее в первичное содержание понятия, есть следствие других свойств, то исключение этого свойства также не изменяет объема понятий, т. е. не приводит к обобщению понятия. Такое свойство может быть переведено в производное содержание понятия.

Например, если в определение параллелограмма включить свойство: «Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны», то объем понятия параллелограмма от этого не изменится и нового понятия не получится.

Приведем другой пример. При определении понятия прямоугольника в школьном учебнике в его первичное содержание (в определение) включаются следующие свойства: ах) Прямоугольник ABCD— параллелограмм. а2) А = 90°. а3) В = 90°. а4) С=90°. аь) О=90°(в учебнике говорится: «все углы прямые» (Если из определения исключить свойства а3, а4, аъ, то объем понятия прямоугольника от этого не изменится, т. е. исключение свойств Од, а4 аъ не приведет к обобщению понятия прямоугольника. Это объясняется тем, что свойства а3, а4, аь являются следствиями свойств at и а2. В то же время включение в первичное содержание параллелограмма свойства: «Один из углов параллелограмма прямой» — приводит к конкретизации понятия параллелограмма — к новому понятию «прямоугольник».

В связи с этим возникает вопрос: как установить, приводит ли включение нового свойства в первичное содержание некоторого понятия к его конкретизации (а исключение — к обобщению)? В решении этого вопроса приходится пользоваться двумя путями.

1) Устанавливать, что включаемое свойство есть следствие свойств, входящих в определение исходного (конкретизируемого) понятия. Если это удается сделать, то делаем вывод, что включение данного свойства в первичное содержание исходного понятия не конкретизирует это понятие (не приводит к сужению объема понятия). Например, установив, что конгруэнтность противополож-

ных сторон параллелограмма есть следствие свойств, входящих в его определение, получаем вывод, что включение этого свойства не конкретизирует понятия «параллелограмм».

2) Выбираем некоторое (обычно, конечное) множество объектов, входящих в объем исходного понятия. Причем среди этих объектов должны быть и такие, которые обладают включаемым свойством. Если множество объектов, обладающих дополнительным свойством, есть собственное подмножество выбранного множества, то включение этого свойства в первичное содержание исходного понятия приводит к сужению объема этого понятия, т. е. к его конкретизации. Например, на рисунке 1 множество D состоит из трех параллелограммов Ри Р2, Р3, а множество Е параллелограммов, имеющих прямой угол (состоит из объектов Рх и Р3), есть собственное подмножество множества D. Это означает, что прямоугольник есть конкретизация параллелограмма.

Другими словами, чтобы убедиться в конкретизирующем воздействии свойства, включаемого в первичное содержание исходного понятия, необходимо и достаточно убедиться в том, что среди объектов, входящих в объем исходного понятия, существуют как такие, которые обладают вновь включаемым свойством (этим самым устанавливается непротиворечивость этого свойства первичному содержанию исходного понятия), так и такие, которые не обладают указанным свойством (этим самым устанавливается независимость вновь включаемого свойства от первичного содержания исходного понятия).

Аналогичным образом (но в «обратном» порядке) устанавливается, приводит ли исключение некоторого свойства, входящего в первичное содержание понятия, к понятию с более широким объемом, т. е. к обобщению исходного понятия. Если исключаемое свойство есть следствие других свойств из первичного содержания понятия, то его исключение не приводит к обобщению. Если же исключаемое свойство независимо от других свойств, принадлежащих первичному содержанию понятия, то его исключение приведет к обобщению этого понятия.

Анализ содержания обобщения и процесса обобщения и конкретизации при исключении свойства, принадлежащего первичному содержанию понятия, или включении в первичное содержание нового свойства позволяет сделать вывод, что обучение учащихся обобщению и конкретизации при изучении понятий должно включать в себя решение следующих типов задач.

1. На перечисление свойств понятий, содержащихся в их определении (на перечисление свойств, принадлежащих первичному содержанию понятия).

2. На выявление и перечисление свойств, являющихся следствием первичного содержания понятия (т. е. на выработку представлений о производном содержании понятия).

3. На установление невозможности одновременного выполнения указанных свойств (на «противоречивые свойства»).

4. На установление непротиворечивости свойств.

5. На установление независимости свойств.

6. На усвоение необходимого и достаточного условия конкретизации и обобщения понятия в случае включения или исключения некоторого свойства.

7. На выяснение, является ли одно из двух данных понятий обобщением (конкретизацией) другого (является ли множество объектов, удовлетворяющих определению одного понятия, собственным подмножеством объектов, удовлетворяющих определению другого понятия).

Необходимо иметь в виду, что в конкретных задачах цели, преследуемые тем или иным типом задач, могут быть сформулированы в неявном виде или в явном виде. Из соображений доступности задачи для IV—V классов раскрывают преследуемую цель, как правило, неявно. В задачах на обучение обобщению и конкретизации в VI—VIII классах целесообразно параллельное использование неявного и явного раскрытия преследуемых целей, сочетание неявного подхода с явным.

Важно также отметить, что задачам каждого из указанных типов могут предшествовать подготовительные задачи.

Задачи на выяснение, является ли одно из двух данных понятий обобщением другого, несут в себе несколько дидактических функций. Выделим две из них, важных для обучения обобщению и конкретизации. Во-первых, через них учащиеся осознают, что существуют такие пары понятий, что ни одно из них не является ни обобщением, ни конкретизацией другого. Во-вторых, с помощью такого типа задач учащиеся знакомятся с доступными им способами обобщения и конкретизации понятий, отличными от способа, состоящего в исключении или включении свойства. Следовательно, при обучении обобщению и конкретизации, во-первых, необходимо учитывать необходимость еще одного типа задач:

8. Задачи на сравнение понятий, ни одно из которых не есть обобщение (следовательно, и конкретизация) другого.

Во-вторых, система задач должна отражать в себе все доступные логически возможные способы обобщения и конкретизации понятий. Кроме этого требования, к системе задач на обучение обобщению и конкретизации необходимо предъявить еще два требования. Одно из них вытекает из теоретико-множественного подхода к истолкованию объема понятия и доступности и наглядности сравнения конечных множеств: в задачах по обучению обобщению и конкретизации необходимо широкое использование конечных множеств. Другое требование следует из неразрывной связи обобщения и конкретизации и обязывает обеспечить единство работы по обучению этим мыслительным операциям.

Подводя краткий итог, можно заключить, что в обучении обобщению и конкретизации (при изучении понятий) необходима система задач, удовлетворяющая четырем требованиям:

I. Содержать перечисленные типы задач 1—8.

II. Использовать все доступные логически возможные способы обобщения и конкретизации.

III. Широко использовать конечные множества.

IV. Обеспечивать единство работы по обучению обобщению и конкретизации.

Весьма существенным фактором, обеспечивающим как успех обучения обобщению и конкретизации, так и положительное влияние процесса такого обучения на усвоение изучаемого материала, является то, что каждая из задач перечисленных типов (1—8) есть органическое объединение (в иной форме) традиционных задач, несет теперь большую смысловую нагрузку и связана с другими задачами более широкой целью: научить сравнивать объемы понятий, выяснять, не является ли одно из них обобщением другого.

Сформулированные четыре требования к системе задач на обучение обобщению и конкретизации при изучении понятий представляют собой основу методики обучения указанным мыслительным операциям в процессе изучения математических понятий. При этом необходимо иметь в виду, что совсем не предполагается, чтобы при изучении каждого понятия выполнялись все эти требования. Осуществление перечисленных требований означает их реализацию не в рамках обучения обобщению и конкретизации при изучении одного понятия, а в конечном итоге и рассчитано на длительный срок.

Рассмотрим систему задач и методику обучения обобщению и конкретизации при изучении ряда геометрических понятий в IV, V, VI и VII классах, явно раскрывая при этом их связь с указанными требованиями, с типизацией задач.

ОБУЧЕНИЕ ОБОБЩЕНИЮ И КОНКРЕТИЗАЦИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПОНЯТИЙ В IV—V КЛАССАХ

Работа по обучению обобщению и конкретизации при изучении геометрических понятий в IV—V классах носит «неявный характер». Учащимся не сообщаются такие термины, как «обобщение», «конкретизация», «независимость», «непротиворечивость», «следствие». Вместо этих терминов используются выражения «это множество «шире», «это множество «уже», «это свойство может выполняться, а «это» свойство может в то же время не выполняться», «если «это» свойство выполнено, то «второе» не может выполняться», «если это свойство выполнено, то это не значит, что и «это» свойство выполняется», «эти два свойства одновременно не могут выполняться», «при выполнении «этого» свойства «другое» свойство может выполняться и может не выполняться». Учащиеся IV—V классов могут также пользоваться выражениями: «эти свойства противоречивы», «эти свойства непротиворечивы» в силу близкого к математическому смыслу вкладываемого в них «житейского смысла», известного учащимся. Однако эти выражения должны играть сопутствующую роль и раскрываться такими, как «эти свойства одновременно выпол-

няться не могут», «если одно из этих свойств выполняется, то другое не выполняется», «эти свойства могут выполняться одновременно».

После введения понятия подмножества и отношения включения для множеств в V классе наряду с выражениями «это множество шире», «это множество уже» используются выражения: «это множество есть собственное подмножество «этого» множества», «это множество содержит в себе «вот это» множество» и соответствующая символическая запись.

Перейдем к рассмотрению задач, в процессе решения которых осуществляется обучение обобщению и конкретизации.

Прежде всего отметим, что в IV—V классах существенную «подготовительную» роль играют занимательные задачи и задачи, использующие материал алгебры. Приведем примеры таких задач.

1. Капризный Петя потребовал, чтобы ему купили собачку, обладающую одновременно двумя свойствами:

1) Вся собачка должна быть черной.

2) Вся собачка должна быть рыжей. Может ли быть удовлетворен Петин каприз?

Решая эту задачу, учащиеся неявно знакомятся с понятием противоречивости свойств. Они говорят, что такой собачки не существует, что если собачка рыжая, так она не черная, а если черная, так не рыжая.

2. Существуют ли два таких числа а и Ь, для которых выполняются два таких свойства:

Эта задача, как и предыдущая, — на установление противоречивости свойств.

3. Существуют ли два таких числа а и ft, для которых выполняются два таких свойства:

Выяснив, что такими числами могут быть числа 2 и 1, учащиеся неявно осознают непротиворечивость указанных свойств для чисел а и Ь. Следовательно, эта задача — на установление непротиворечивости свойств.

4. Коля сначала искал такие два натуральные числа а и Ь, для которых выполняются свойства: 1) ab = 0; 2) число а на I больше числа Ь. Нашел ли он два таких числа? Найдет ли Коля два таких натуральных числа а и о, для которых выполняются указанные два свойства и еще одно свойство: 3) а + Ъ = 1. Какие это числа? Почему эти числа оказались теми же самыми?

Эта задача — на установление независимости свойств 1 и 2 и одновременно на выявление того, что свойство 3 есть следствие свойств 1 и 2. Учащиеся должны сделать вывод, что натуральные числа, обладающие свойствами 1 и 2, существуют (эти свойства могут выполняться одновременно), что свойство 3 обязательно выполняется, если выполняются свойства 1 и 2. В данной задаче не-

явно проводится мысль, что включение в множество свойств их следствия не приводит к конкретизации.

5. Найдите такие два натуральных числа тип, для которых выполняются три свойства: 1) тп = О, 2) m меньше п на 2, 3) m + + п = 2. Затем найдите такие два натуральных числа тип, для которых выполнены свойства 1 и 2. Почему получилось то же самое множество чисел, что и в первом случае?

Здесь учащиеся в неявной форме должны осознать, что если исключаемое свойство есть следствие «остающихся» свойств, то его исключение не приводит к обобщению. При решении этой задачи необходимо помочь учащимся понять, что если свойства 1 и 2 выполняются, то и свойство 3 обязательно выполняется — независимо от того, упоминается оно в задаче или нет. По этой причине во втором случае получаются те же самые значения тип.

Задачи 4 и 5 можно отнести и к задачам на установление непротиворечивости свойств, и к задачам на усвоение необходимого и достаточного условия обобщения и конкретизации при исключений (включении) некоторого свойства, т. е. они выполняют не одну функцию.

Наличие задач 4 и 5 означает также выполнение требования об единстве обучения обобщению и конкретизации.

Рассмотрим далее задачи, опирающиеся на свойства биссектрисы угла (IV класс).

6. Пользуясь определением биссектрисы угла, перечислить ее свойства.

Очевидно, что данная задача относится к типу на перечисление свойств, входящих в определение (в первичное содержание понятия).

Эти свойства следующие:

1) Биссектриса угла — это луч.

2) Биссектриса угла выходит из вершины угла.

3) Биссектриса угла делит его пополам.

7. а) Откажемся от свойств 2 и 3 биссектрисы угла. Будем считать биссектрисой угла фигуру, удовлетворяющую свойству 1. Изобразите угол и несколько фигур, которые можно при этом условии считать биссектрисами изображенного угла. Сколько таких фигур можно построить?

(Учащийся должен понять, что в этом случае любой луч можно считать биссектрисой.)

б) Будем считать биссектрисой угла фигуру, удовлетворяющую свойствам 1 и 2. От свойства 3 откажемся. Изобразите несколько фигур, которые можно в этом случае считать биссектрисами угла. Сколько таких фигур можно построить? Всякий ли луч, выходящий из вершины угла, делит этот угол пополам?

в) Когда Коля учился в III классе, он спросил у старшего брата: «Что такое биссектриса?» Брат ответил ему: «Это луч, который делит угол пополам». Коля поверил ему. Изобразите угол и несколько фигур, которые Коля будет считать

биссектрисами этого угла. Сколько будет у Коли биссектрис?

Обязательно ли выполняется свойство 2, если выполняются свойства 1 и 3?

г) Будем под биссектрисами угла подразумевать фигуру, удовлетворяющую свойствам 1, 2, 3. Изобразите биссектрису угла. Можно ли в определении биссектрисы угла опустить одно из свойств (получим ли тогда то же самое)? Какое множество шире: множество биссектрис или множество лучей, обладающих свойством 2; множество биссектрис или множество лучей, обладающих свойством 3? Почему?

Решая задачу 7, учащиеся должны осознать роль каждого из свойств, входящих в первичное содержание биссектрисы угла. Они начинают понимать, что «потеря» свойства может привести к другому понятию, объем которого будет представлять более широкое множество объектов. Данная задача выполняет функции нескольких типов: в ней устанавливается независимость свойств, вырабатывается представление о необходимом условии обобщения и конкретизации при исключении и включении некоторого свойства. В неявном виде здесь учащиеся встречаются с обобщением и конкретизацией, что означает выполнение требования о единстве в обучении этим мыслительным операциям. В процессе решения учащиеся изображают в данном случае некоторое конечное число объектов, которые принадлежат объему рассматриваемого понятия, сравнивают множества этих объектов. Следовательно, в этой задаче неявно устанавливается, не является ли одно из понятий обобщением другого, используются для получения и осмысления выводов конечные множества.

Большие возможности обучения обобщению и конкретизации содержит в себе изучение точечных отображений в V классе. Рассмотрим это для случая изучения параллельного переноса.

Прежде всего необходимо добиться овладения учащимися свойствами, перечисленными в учебнике при раскрытии содержания (первичного содержания) понятия «параллельный перенос фигур». Поэтому предлагаем следующую задачу.

8. Как перемещаются точки при параллельном переносе?

После выделения свойств необходимо записать (на доске и в тетрадях):

1) При параллельном переносе все точки перемещаются в одном и том же направлении.

2) При параллельном переносе все точки перемещаются на одно и то же расстояние.

На начальной стадии изучения параллельного переноса фигуры полезно воспользоваться конечными множествами точек. С этой точки зрения удобна модель, состоящая из 16 точек пересечения

Рис. 2

прямых, образующих сетку квадратов («клетчатую бумагу») (см. рис. 2). Указанные точки пронумерованы и обозначены соответствующими цифрами (и сочетаниями цифр) от 1 до 16.

На основе этой модели можно предложить ряд задач на обучение обобщению и конкретизации.

9. Фигура F = {1, 2, 3} перешла в фигуру Ф = {5, 10, 15} так, что точка 1 перешла в точку 5 (краткая запись 1 5), точка 2 отобразилась (перешла) на точку 10 (2 10), точка 3 отобразилась на точку 15 (3 15).

Выполняется ли здесь первое свойство параллельного переноса фигуры? второе свойство?

При решении данной задачи устанавливается независимость второго свойства параллельного переноса фигуры от первого свойства.

10. Фигура F = {2, 3} отобразилась (перешла) на фигуру Ф = = {1,4}, причем точка 2 перешла в точку 1, а точка 3 — в точку 4. Выполняются ли свойства параллельного переноса фигуры в этом отображении F на Ф?

Решение этой задачи позволяет учащимся сделать вывод, что второе свойство параллельного переноса может быть выполнено, а первое свойство при этом может и не выполняться.

11. Фигуру F = {1,2} отобразили на фигуру Ф = {3, 4} двумя способами: а) 1 -> 4, 2 3; б) 1 3, 2 4. Которое из этих двух отображений есть параллельный перенос? Почему?

Данная задача подчеркивает непротиворечивость свойств параллельного переноса фигур.

12. Каким образом можно отобразить фигуру F = {2, 3} на фигуру Ф = {6, 7}? Сколько всего способов отображения F на Ф в данном случае? Сколько из них являются параллельным переносом? Почему параллельных переносов меньше, чем всех отображений?

Отвечая, что всех отображений первой фигуры на вторую два, а параллельный перенос один и что параллельных переносов меньше потому, что в одном отображении не выполняется первое свойство, а в параллельном переносе оно должно выполняться, учащиеся осознают, что дополнение второго свойства первым ведет к уменьшению количества отображений (т. е. к конкретизации).

Таким образом, приведенная задача вместе с задачами 10 и 11 образует «задачу» на уяснение необходимого и достаточного условия конкретизации понятия при включении в его первичное содержание нового свойства.

13. Коля сказал, что параллельный перенос — «это когда одна фигура переходит в другую так, что все точки первой фигуры перемещаются на одно и то же расстояние». Как вы оцениваете Колины знания? Какие из указанных отображений фигуры F = {6, 7, 11, 10} на фигуру Ф = {1,4, 16, 13} можно считать на основании Колиного определения параллельным переносом: а)6->1, 7 -*- 4,

11-* 16, 10-* 13; б) 6-* 4, 7-* 1, 11 -> 13, 10-* 16; в) 6-* 1, 7-* 4, 11 -* 13, 10-* 16. Можно ли первую фигуру отобразить на вторую с помощью параллельного переноса? Почему? Можно ли опустить первое свойство параллельного переноса фигур?

Эта задача выполняет несколько функций, отраженных в наименовании типов задач в первой части этого параграфа. Во-первых, в сочетании с задачей 10 она образует «задачу» на уяснение необходимого и достаточного условия обобщения понятия при исключении свойства из определения (из первичного содержания) понятия. Во-вторых, вместе с предшествующей задачей она способствует осуществлению требования о единстве обучения обобщению и конкретизации. В-третьих, это и задача на установление противоречивости свойств: данные фигуры неконгруэнтны, что противоречит свойству параллельного переноса фигур — всякая фигура переходит в конгруэнтную ей фигуру; вследствие этого не существует параллельного переноса, отображающего первую фигуру на вторую.

14. Какие свойства параллельного переноса, кроме двух ранее указанных, вы знаете?

Эта задача — на выявление и перечисление свойств, входящих в производное содержание понятия (являющихся следствием первичного содержания).

Для удобства использования выявленных свойств в последующих задачах нужно эти свойства пронумеровать и записать. В данном случае выделим свойство 3: «При параллельном переносе всякая фигура переходит в конгруэнтную ей фигуру».

При решении задачи 13 это свойство было использовано для установления невозможности отобразить первую данную фигуру на вторую путем параллельного переноса. Этим самым подчеркивалось, что если свойства 1 и 2 выполняются, то и свойство 3 выполняется (т. е. оно есть следствие первых двух свойств).

15. Коля сказал, что параллельный перенос фигуры — это отображение одной фигуры на другую, в котором выполняются свойства 1 и 2. Саша сказал, что «это отображение, в котором выполняются свойства 1, 2 и 3». После этого им предложили фигуру F = {5, 1, 2} отобразить на фигуру Ф = {7, 3, 4} путем параллельного переноса. Коля получил: 5 -* 7, 1 -* 3, 2 -* 4. Как отобразит точки 5, 1, 2 Саша? Почему он получил то же самое?

Предложенная задача способствует усвоению необходимого и достаточного условия конкретизации при включении в первичное содержание нового свойства.

Большую пользу приносят задачи на самостоятельное «конструирование» отображения одной фигуры на другую и на использование отношения включения множества. Например, можно предложить учащимся отобразить фигуру F = {2, 3, 7, 6} на фигуру Ф = {10, 11, 15, 14} так, чтобы: а) это отображение было параллельным переносом; б) не выполнялось второе свойство, а первое свойство выполнялось; в) свойство 1 не выполнялось, а свойство 2 выполнялось. А — множество отображений F на Ф в случае а);

В — множество отображений F на Ф в случае б); С — множество отображений в случае в). Какое множество есть собственное подмножество других множеств? Какие отношения верны: А а В, А с С, В œ Л, С œ А, В с С?

Успешное решение задач такого рода означает более высокий уровень неявного осознания учащимися понятия независимости свойств, их непротиворечивости, понимания отношения включения множеств.

Аналогичным образом может быть построена работа по обучению обобщению и конкретизации при изучении центральной симметрии.

Благодатным материалом для обучения обобщению и конкретизации является материал о смежных углах (IV класс). Здесь можно выделить следующие свойства, входящие в определение (первичное содержание) понятия смежных углов:

1) Смежных углов — два.

2) Объединение смежных углов — развернутый угол.

3) Пересечение смежных углов — луч.

В качестве свойства-следствия (свойства, принадлежащего производному содержанию понятия) можно выделить свойство:

4) Сумма величин смежных углов равна 180°.

Работу по обучению обобщению и конкретизации здесь можно строить аналогично тому, как это показано для случаев биссектрисы угла и параллельного переноса фигуры.

Для установления независимости свойств, входящих в первичное содержание понятия смежных углов, можно воспользоваться таблицей всевозможных случаев выполнения и невыполнения свойств 1—3. В таблице 1 выполнение свойства отмечено знаком «+», невыполнение — знаком «—». Ученик, выполнивший, к примеру, рисунок для случая 7, неявно убеждается в независимости третьего свойства от первых двух свойств. Переход от случая 5 к случаю 7 может быть использован для неявного осознания учащимися, что исключение из определения смежных углов свойства 3

Таблица 1

Ne

Свойства

Выполнение свойств

1

Углов (отмеченных) — два

+

+

+

+

2

Объединение углов — развернутый угол

+

+

+

+

3

Пересечение углов — луч

+

+

+

+

Номера случаев

1

2

3

4

5

6

7

8

ведет к обобщению понятия (расширению его объема). Сделав акцент на случае 7 и перейдя от него к случаю 5, мы подчеркнем конкретизирующую роль свойства 3. Чертеж для случая 5 показывает непротиворечивость свойств 1—3 смежных углов, показывает, другими словами, что смежные углы существуют. Установление, что не существует смежных углов, для которых выполняется свойство: «Сумма величин смежных углов не равна 180°», означает установление противоречивости этого свойства свойствам 1—3.

Рассмотренные задачи показывают, что при изучении геометрических (и алгебраических) понятий в IV—V классах имеются широкие возможности для обучения учащихся обобщению и конкретизации.

Поступая аналогично, опираясь на сформулированные в первой части данного параграфа требования к обучению обобщению и конкретизации при изучении понятий, учитель сможет осуществить такое обучение и при изучении других понятий, здесь не рассмотренных.

ОБУЧЕНИЕ ОБОБЩЕНИЮ И КОНКРЕТИЗАЦИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПОНЯТИЙ В VI—VIII КЛАССАХ

В связи с увеличением запаса геометрических сведений и развитием, совершенствованием навыков проведения дедуктивных рассуждений в процессе изучения систематического курса геометрии учащимися VI—VIII классов и повышением логического уровня изложения материала работа по обучению обобщению и конкретизации при изучении геометрических понятий в этих классах может принимать все более явный и четкий характер. В этих классах могут быть более полно и более явно представлены все перечисленные в пункте 1 типы задач (1—8).

В VI—VIII классах продолжают использоваться термины, выражения, используемые в IV—V классах (см. начало предыдущего пункта). Это объясняется тем, что эти выражения позволяют осознавать сущность той работы, которая проводится при обучении обобщению и конкретизации. Однако вместе с тем в VI—VIII классах вводятся и новые термины, выражения. («Старая» терминология IV—V классов выполняет теперь еще одну функцию: она способствует овладению и осознанию новой терминологии.) Так, в VI классе можно использовать такие выражения: «Можно ли доказать «это» свойство с помощью указанных свойств?»; «Является ли «это» свойство следствием «таких-то» свойств?»; «На основе «указанных» свойств доказано «данное свойство», что это значит?».

В VII классе можно постепенно перейти к использованию выражений: «Это» свойство не зависит от «этих» свойств (т. е. выполнение «данных» свойств не означает, что «это» свойство выполняется); «это» свойство — следствие этих свойств; докажите независимость «этого» свойства от указанных свойств; докажите непротиворечивость «таких-то» свойств. Наряду с выражениями вида «Мно-

жество параллелограммов шире множества прямоугольников», «Множество параллелограммов есть собственное подмножество множества четырехугольников» можно употреблять более краткие выражения: «Параллелограмм — обобщение прямоугольника»; «Прямоугольник — конкретизация понятия параллелограмма»; «Параллелограмм — конкретизация понятия четырехугольника».

Рассмотрим ряд задач на обучение обобщению и конкретизации при изучении понятий в VI—VII классах.

При введении понятия расстояния в VI классе указываются три его свойства (см. учебное пособие по геометрии А. Н. Колмогорова и др.). Множество этих свойств и есть первичное содержание понятия расстояния (они входят в определение расстояния). Следовательно, свойства, принадлежащие первичному содержанию понятия, здесь уже перечислены.

Из свойств, входящих в производное содержание понятия расстояния, в учебном пособии указывается одно:

4) Для любых трех точек Л, ß, С расстояние \АВ\ не меньше разности расстояний \АС\ и \ВС\.

Пользуясь перечисленными свойствами расстояния, можно предложить, например, следующие задачи на обучение обобщению и конкретизации.

15. На берегу реки расположены три населенных пункта Л, В и С. Условимся под расстоянием от одного пункта до другого подразумевать время движения от первого из них до второго на лодке. Все ли свойства расстояния будут в этом случае выполняться? Обязательно ли выполняется 2-е свойство расстояний, если выполняются свойства 1 и 3? Можно ли указанное время движения на лодке считать расстоянием? Почему? Можно ли было считать это время расстоянием, если бы свойство 2 расстояний не указывалось?

Данная задача позволяет нам установить независимость свойства 2 от свойств 1 и 3. Учащиеся, решив эту задачу, начинают осознавать, что дополнение свойств 1 и 3 приводит к тому, что некоторые величины, которые до этого можно было считать расстоянием (в данном случае — время движения по реке), после включения свойства 2 расстоянием считать нельзя. Таким образом, устанавливается «конкретизирующее воздействие» свойства 2 расстояний по отношению к свойствам 1 и 3. В результате решения этой задачи устанавливается также (неявно) непротиворечивость свойств 1 и 3.

16. Дан ААВС, причем А = 20°, В = 40°, С = 120°. Можно ли за расстояние между двумя вершинами треугольника принять величину угла при третьей вершине (т. е. считать, что \АВ\ = 120, \АС\ = 40, \ВС\ = 20)? Почему?

При решении предложенной задачи устанавливается независимость свойства 3 от свойств 1 и 2. Неявно учащиеся осознают, что дополнение свойств 1 и 2 свойством 3 «что-то меняет», уменьшает число случаев, когда та или иная величина может быть принята за расстояние. Эта задача способствует усвоению необходимого и

достаточного условия конкретизации и обобщения при включении или исключении свойства.

При изучении осевой симметрии можно предложить следующие задачи на обучение обобщению и конкретизации.

17. Перечислить свойства осевой симметрии, указанные в определении этого понятия.

В результате решения задачи выделяем следующие свойства:

1) Осевая симметрия — это перемещение.

2) Существует прямая /, все точки которой остаются на месте.

3) Полуплоскости с границей I отображаются одна на другую.

Множество этих свойств есть первичное содержание понятия осевой симметрии.

Изучение осевой симметрии в V классе и использование физической модели осевой симметрии в виде перегибания листа бумаги относительно прямой убеждает учащихся в непротиворечивости свойств 1—3. В последующих задачах целесообразно показать независимость перечисленных свойств друг от друга и этим подвести учащихся к осознанию их конкретизирующей роли.

18. Всякое ли перемещение является осевой симметрией? Отрицательный ответ на этот вопрос говорит о независимости свойств 2 и 3 от свойства 1 и «важности» свойств 2 и 3.

19. Каждую точку плоскости отобразим на себя. (Такое отображение называется тождественным.) Какие свойства осевой симметрии для такого отображения выполняются? не выполняются? Почему это отображение нельзя считать осевой симметрией? Можно ли свойство 3 осевой симметрии доказать с помощью первых двух свойств?

Эта задача — на установление независимости свойства 3 осевой симметрии от свойств 1 и 3.

20. А — множество перемещений, обладающих свойством 2, В — множество осевых симметрий. Какое из этих двух множеств есть собственное подмножество другого? Почему? Изобразите эти множества диаграммами Эйлера.

21. Какими из указанных трех свойств осевой симметрии обладает центральная симметрия?

Здесь доказывается независимость свойства 2 осевой симметрии от свойств 1 и 3. Как и в предшествующем случае, используем эту задачу для сравнения объемов двух понятий.

22. А — множество осевых симметрий, В — множество перемещений, обладающих свойством 3. Какие из отношений верны: а) В œ Л, б) А = Я, в) А с ß, г) А с ß, Аф В, д) AczB, А[\ВФ 0, е) A (J В = ß? Изобразите эти множества диаграммами Эйлера.

В только что предложенной задаче неявно устанавливается, какое из двух понятий есть конкретизация (обобщение) другого.

В задачах 16—21 использовались свойства, входящие в определение (первичное содержание) осевой симметрии. Для обучения обобщению и конкретизации целесообразно использовать также

следствия первичного содержания (свойства, входящие в производное содержание). Поэтому целесообразно предложить следующую задачу.

23. Найдите несколько свойств осевой симметрии, не указанных в определении (вытекающих из свойств., входящих в определение).

Пусть выделены следующие свойства:

4) Существует бесконечное множество прямых, отображающихся на себя.

5) Существует окружность, отображающаяся на себя.

Выделенные свойства в неявном виде дают учащимся представление о производном содержании, о содержании понятия. Ими можно воспользоваться для продолжения обучения обобщению h конкретизации.

24. А — множество осевых симметрий, В — множество перемещений, обладающих свойствами 2—5. Изобразите оба множества с помощью диаграммы Эйлера.

Здесь учащиеся устанавливают, что включение в определение (в первичное содержание) нового свойства не приводит к конкретизации понятия. Этим самым они подводятся к осознанию необходимого и достаточного условия получения конкретизации понятия при включении нового свойства.

25. Какими из свойств 1—5 осевой симметрии обладает центральная симметрия? А — множество осевых симметрий, В — множество перемещений, обладающих свойствами 3—5. Верно ли, что а) В а Л, б) А = ß, в) A œ В?

26. А — множество центральных симметрий, В — множество перемещений, обладающих свойствами 4 и 5. Какое из этих множеств есть подмножество другого? Почему?

Данная задача — на установление, какое из двух понятий есть конкретизация (обобщение) другого.

27. Каково множество перемещений, которые являются осевыми симметриями и обладают свойством: «Не существует окружности, которая отображается на себя».

Ответ: 0. Эта задача — на установление противоречивости свойств.

Выделение других свойств-следствий, содержащихся в определении, приводит к большому числу разнообразных задач на обучение обобщению и конкретизации.

Большие возможности обучения обобщению и конкретизации имеются при изучении понятий параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата (VII класс). Рассмотрим это для случая параллелограмма.

Сначала предлагаем задачу на перечисление свойств, принадлежащих первичному содержанию понятия параллелограмма.

28. Перечислить свойства параллелограмма, указанные в его определении.

Эти свойства следующие:

1) Параллелограмм — это четырехугольник.

2) Противоположные стороны параллелограмма параллельны.

Введение понятия параллелограмма обычно начинается с демонстрации соответствующих рисунков, моделей, что означает не что иное, как установление непротиворечивости свойств, входящих в определение (первичное содержание). После перечисления свойств, принадлежащих первичному содержанию, целесообразно предложить учащимся построить параллелограмм, т. е. четырехугольник, обладающий свойством 2. Еще раз убедившись построением в существовании такого четырехугольника, учащиеся осознают непротиворечивость свойств 1 и 2. Эту цель и преследует следующая задача.

29. Построить четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны.

Далее учащиеся убеждаются в независимости свойств, входящих в определение параллелограмма. Это делается при решении следующей задачи.

30. а) Постройте четырехугольник, не обладающий свойством 2. б) Постройте многоугольник, обладающий свойством 2, но не обладающий свойством 1.

В процессе решения пункта а) этой задачи учащиеся осознают, что свойство 2 выделяет из множества четырехугольников его собственное подмножество — множество параллелограммов. Это означает, что неявно учащимися осознается непротиворечивость и независимость свойств — достаточное условие конкретизации. Таким образом, при решении двух последних задач учащиеся подготавливаются к пониманию необходимого и достаточного условия конкретизации.

Решение пункта б) предложенной задачи подводит учащихся к пониманию, что замена одного свойства (быть четырехугольником) другим (быть многоугольником) может, как в данном случае, привести к другому понятию. Они осознают, что от замены множества четырехугольников более широким множеством — множеством многоугольников — получили новое понятие, содержащее более широкое множество объектов, чем прежнее. А это есть не что иное, как знакомство с еще одним доступным способом обобщения понятия. Чтобы сделать осознание этих фактов более явным, предлагаем следующую задачу.

31. А — множество четырехугольников, обладающих свойством 2, В — множество многоугольников, обладающих свойством 2. Изобразите эти множества диаграммами Эйлера. Какие высказывания верны: а) В а А\ б) В = А\ в) А с ß, А ф В?

После решения рассмотренных задач можно ввести явно термины «обобщение», «конкретизация». Дли этого предлагаем изобразить диаграммами Эйлера множество M четырехугольников и множество Р параллелограммов. Затем надо подвести итог: множество четырехугольников более широкое, чем множество параллелограммов (Р cz M, Рф М). Это высказывают иногда иначе: «Четырехугольник есть обобщение параллелограмма» (т. е. фигура более

«общая» — она может быть и параллелограммом, и непараллелограммом). Говорят также и иначе: «Параллелограмм — конкретизация четырехугольника» (частный, конкретный случай четырехугольника). Необходимо записать: «Четырехугольник — обобщение понятия параллелограмма»; «Параллелограмм — конкретизация понятия четырехугольника». После этого надо предложить выяснить, какое из двух понятий, рассмотренных в последней задаче (многоугольника с параллельными противоположными сторонами и параллелограмма), есть обобщение другого; конкретизация другого.

Введение терминов «обобщение», «конкретизация» не должно быть навязчивым. Учащиеся должны привыкать к ним постепенно. Достоинство ответа: «Множество четырехугольников — более широкое, чем множество параллелограммов» или «Множество параллелограммов есть собственное подмножество множества четырехугольников» вместо «Четырехугольник — это обобщение параллелограмма» — нельзя считать уменьшенным. Наиболее целесообразно использовать эту терминологию параллельно. Этим самым правильно постепенно осознаются термины «обобщение» и «конкретизация». В то же время введение этих терминов обеспечивает постепенный переход к более свернутым суждениям при сравнении объемов понятий и лучшему осознанию понятий обобщения и конкретизации.

Как уже неоднократно подчеркивалось, при обучении обобщению и конкретизации важно, чтобы учащиеся смогли отличить свойства-следствия от свойств, независимых от других свойств (свойства, вытекающие из первичного содержания понятия, от свойств, входящих в него). Поэтому предлагаем такую задачу.

32. Указать несколько свойств параллелограмма, являющихся следствиями свойств, входящих в определение параллелограмма (вытекающих из свойств, входящих в определение).

Пусть при решении этой задачи выделены следующие свойства, принадлежащие производному содержанию понятия параллелограмма:

3) Имеется пара конгруэнтных сторон.

4) Имеется пара параллельных сторон.

5) Имеется центр симметрии.

В таком случае при решении последней задачи по существу решались каждый раз задачи на доказательство факта, что если свойства 1 и 2 выполняются, то и свойства 3—5 также выполняются.

Чтобы добиться от учащихся понимания, что включение в определение понятия следствий его первичного содержания не приводит к конкретизации понятия, предлагается такая задача.

33. Почему в определении параллелограмма не указываются все перечисленные свойства 1—5?

По форме данная задача не совпадает с традиционной. Решение этой задачи позволяет учащимся осознать, что включение в определение «лишних» свойств не приводит к новому понятию. Определение делается от этого громоздким и неудобным для использова-

Рис. 3

ния в доказательствах. Если бы свойства 1—5 входили в определения параллелограмма, то для доказательства, что некоторый четырехугольник — параллелограмм, нужно было бы доказывать выполнение всех пяти свойств. Кроме того, в самом начале нужно было бы доказывать и непротиворечивость всех пяти свойств. Поэтому включение в определение свойства, являющегося следствием других включенных свойств, нецелесообразно. Осознание этого факта учащимися оказывает существенную помощь в повышении их математической культуры.

Следующая задача подводит итог предыдущих задач.

34. А — множество четырехугольников, обладающих свойством 2; В — множество четырехугольников, обладающих свойствами 2—5. Изобразите эти множества с помощью диаграммы Эйлера. Какое из этих двух понятий есть обобщение (конкретизация) другого?

35. Какими из перечисленных свойств обладает каждый из четырехугольников, изображенных на рисунке 3?

Устанавливая выполнение или невыполнение свойств для фигур, изображенных на рисунке 3, учащиеся тем самым устанавливают неявно независимость одних свойств от других. Например, в случае а) выполняются свойства 1 и 3, а другие свойства не выполняются, потому что они независимы от свойств 1 и 3. В этом случае целесообразно поставить вопрос: можно ли свойства 2, 4, 5 доказать на основе свойств 1 и 3? Иначе: являются ли свойства 2, 4, 5 следствиями 1 и 3? Случай ж) подчеркивает непротиворечивость свойств 1—5.

Предыдущая задача — по готовым чертежам. Более конструктивный характер носит следующая задача.

36. Изобразите четырехугольник, не являющийся параллелограммом и обладающий свойствами: а) 3; б) 4; в) 5; г) 3 и 4. Почему в случае в) искомого четырехугольника не существует?

Дайте другое определение параллелограмма, равносильное имеющемуся.

Важно, чтобы понятие непротиворечивости, независимости, необходимое и достаточное условие обобщения и конкретизации явно или неявно использовались при сравнении объемов понятий. Эту цель преследует следующая задача.

37. А — множество параллелограммов, В — множество четы-

рехугольников, обладающих свойством 3; С — множество четырехугольников, обладающих свойством 4; £ — множество четырехугольников, обладающих свойствами 3 и 4. а) Какое из этих множеств есть собственное подмножество какого-либо другого множества? б) Какое из этих понятий есть обобщение какого-либо другого понятия? в) Изобразите эти множества попарно с помощью диаграммы Эйлера, г) Является ли понятие четырехугольника, обладающего свойством 3, обобщением или конкретизацией понятия четырехугольника, обладающего свойством 4?

Предложенная задача — это также и задача на сравнение объемов понятий, ни одно из которых не является обобщением или конкретизацией другого (сравнение множеств В и С). Выяснение, не является ли одно из множеств В и С подмножеством другого, состоит ли из трех логически взаимосвязанных частей. При этом учащиеся осознанно используют понятие обобщения и конкретизации, представление о том, в каком случае одно понятие считается обобщением или конкретизацией другого. Приведя примеры объекта, принадлежащего пересечению множеств В и С (например, равнобедренная трапеция, параллелограмм), они делают вывод о том, что пересечение В и С непусто и, возможно, одно из двух понятий, о которых говорится в пункте г), есть обобщение другого. Установив, что трапеция, у которой нет конгруэнтных сторон, принадлежит множеству С и не принадлежит множеству ß, ученик делает предположение, что С — более широкое множество, чем В, т. е., возможно, В а С. Однако установление, что среди четырехугольников, имеющих пару конгруэнтных сторон, есть и такие, которые не имеют параллельных сторон (например, ромбоид, не являющийся ромбом) приводит к выводу, что ни одно из указанных в пункте г) понятий не является обобщением другого.

Только что подробно рассмотренная часть задачи представляет для учащихся значительные трудности. Поэтому в итоге ее решения должен появиться рисунок, наглядно раскрывающий полученный вывод. Он представляет собой диаграмму Эйлера, дополненную изображениями соответствующих четырехугольников (см. рис. 4). (Этот рисунок находится в соответствии с требованием об использовании конечных множеств при сравнении объемов понятий.)

В следующей задаче предлагается сравнить объемы понятий, ни одно из которых не есть обобщение другого.

38. Установите, не является ли одно из двух понятий: а) понятие четырехугольника, имеющего пару параллельных сторон и б) понятие четырехугольника, имеющего две пары конгруэнтных сторон — обобщением другого.

В результате решения должен появиться рисунок, аналогичный рисунку 4.

Рис. 4

Особая ситуация для обучения обобщению и конкретизации возникает при изучении понятий прямоугольника и ромба. Это вызвано тем, что из соображений удобства использования этих понятий в их первичное содержание включены свойства — следствия других свойств. Например, для случая прямоугольника имеем следующие, содержащиеся в определении свойства.

1) Прямоугольник ABCD — параллелограмм.

2) А = 90°; 3) В = 90°; 4) С = 90°; 5) D = 90°.

Поэтому здесь после перечисления свойств, входящих в определение, с целью обучения обобщению и конкретизации целесообразно предложить следующие две задачи.

39. Коля, давая определение прямоугольника, опустил свойство 5. Будет ли определенная им фигура прямоугольником?

40. А — множество прямоугольников. В — множество параллелограммов, обладающих свойствами 2 и 3. С — множество параллелограммов, обладающих свойством 2. D — множество параллелограммов. Докажите, что В = С = Л, А Ф D, Л с D. Какое определение можно дать прямоугольнику?

Обучение обобщению и конкретизации позволяет более целенаправленно, четко и последовательно организовать работу с учащимися по формированию и изучению понятий, обеспечить их более высокую математическую подготовку, развитие, умения и навыки самостоятельного изучения новых понятий.

Осуществление обучения обобщению и конкретизации при изучении понятий способствует систематизации традиционных задач и является также методом построения системы задач, в большей мере обеспечивающей успех работы по формированию понятий.

Необходимо иметь в виду, что в данном параграфе указаны различные возможности обучения обобщению и конкретизации. Использовать их следует при изучении всех разделов программы выборочно. При изучении одного и того же понятия не обязательно предлагать все типы задач; из них необходимо отобрать те, которые отвечают целям и задачам изучения понятия. Многие из предложенных выше задач могут быть опущены при первом изучении понятия и могут быть использованы для повторения материала. Кроме того, предложенные задачи преследуют цель раскрыть на конкретных примерах возможности обучения обобщению и конкретизации и тем самым показать учителю, как он может действовать при изучении других понятий.

Возможно также, что некоторые учителя сочтут возможным ввести более четко и явно термины «независимость», «непротиворечивость», «объем понятия». Это зависит от уровня подготовки учащихся, от мастерства учителя.

§ 4. ВОЗМОЖНОСТИ ОБУЧЕНИЯ ОБОБЩЕНИЮ И КОНКРЕТИЗАЦИИ НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ

Обучение обобщению и конкретизации рассматривается на примере формирования у учащихся понятия «операция», а также на примере формирования у них очень важных и полезных теоретико-групповых представлений. Описанный ниже подход осуществим в школе и при изучении других понятий. В данном случае он используется как наиболее характерный пример раскрытия общей методики обучения обобщению и конкретизации. Выбор понятия операции и понятия группы обусловлен тем, что их успешное формирование связано с последовательным использованием обобщения и конкретизации на разных уровнях: первый уровень — пропедевтика этих понятий, второй уровень — их формирование для частного случая, для случая коммутативной операции, третий уровень — формирование данных понятий в общем виде.

ПРОПЕДЕВТИКА ПОНЯТИЯ «ОПЕРАЦИЯ»

Пропедевтика понятия заключается в предварительном знакомстве учащихся с его существенными свойствами. На этом этапе обычно еще не ставится цель сообщения соответствующего термина и построения формально-логического определения понятия. Такая работа может проводиться с учащимися, если на уроках неоднократно рассматриваются объекты, являющиеся примерами этого понятия. Причем эта работа может проводиться в течение длительного времени: при изучении одних тем школьной программы могут рассматриваться примеры, выявляющие одно свойство понятия, при изучении других тем — другое и т. д. При этом не должна упускаться любая возможность выявления существенных свойств данного понятия в различных комбинациях. Особый интерес представляет возможность неоднократного рассмотрения с учащимися такой комбинации свойств, которая позволяет проводить обобщение и строить с ними определение этого понятия.

Рассмотрим характер и содержание работы по пропедевтике общего понятия операции.

Как известно, операцией на множестве M называется правило, ставящее в соответствие каждой упорядоченной паре элементов из множества M единственный третий элемент этого же множества, или, короче, отображение множества МхМ в множество M (МхМ = {(л;, у)\ X Ç M и у Ç М}). Нетрудно видеть, что примеры понятия операции являются и примерами понятия функции.

В процессе обучения математике в школе с учащимися рассматривается большое число примеров понятия операции на множествах объектов как числовой, так и нечисловой природы. Действительно, обычное сложение и умножение, нахождение наибольшего или наименьшего числа на множествах натуральных, целых, рациональных, действительных чисел; возведение в степень на множест-

вах натуральных, рациональных, действительных чисел; нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного на множестве натуральных чисел; нахождение среднего арифметического на множестве рациональных, действительных чисел; сложение и умножение на множествах многочленов и дробей; сложение на множестве векторов, а также композиция таких геометрических преобразований, как поворотов с общим центром, параллельных переносов, подобий, — вот далеко не полный перечень примеров понятия операции, с которыми учащиеся постоянно встречаются на уроках математики. Поэтому имеется возможность знакомства учащихся с существенными свойствами этого понятия.

Наша работа по пропедевтике понятия операции состояла из выявления на уроках таких правил соответствия двух элементов рассматриваемого множества третьему его элементу, которые распространяются на все элементы данного множества без всяких ограничений. Знакомство учащихся с понятиями «множество», «элемент множества», отношением «принадлежности элемента множеству» позволило проводить эту работу, начиная с IV класса.

Например, рассматривая с учащимися IV класса умножение натуральных чисел, обращали внимание учащихся на тот факт, что числа 5 и 3 принадлежат множеству натуральных чисел, результат умножения 5 • 3 совпадает с единственным числом 15, которое также принадлежит множеству натуральных чисел. Другими словами, паре натуральных чисел 5 и 3 соответствует единственное натуральное число 15. Проводя аналогичные рассуждения для других троек натуральных чисел, формулировали затем общее утверждение: любой паре натуральных чисел а и Ь соответствует только одно натуральное число £, такое, что ab = с.

Описанная работа проводилась и при рассмотрении с учащимися других перечисленных выше примеров понятия операции. В частности, при изучении в VII классе сложения векторов формулировалось и проверялось, теперь уже дедуктивным способом, следующее утверждение: любой паре векторов а и b соответствует единственный третий вектор с, такой, что а + b = с. (Геометрия. Учебное пособие для VII класса средней школы. Под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. 2-е. М., «Просвещение», 1973, с. 81—82).

ИЗУЧЕНИЕ ПОНЯТИЯ «ОПЕРАЦИЯ»

Понятие операции и способы ее задания рассматриваются на уроках математики неявно на протяжении всего времени ее изучения. В восьмилетней школе имеется полная возможность обобщения имеющихся фактов и рассмотрения с учащимися как определения операции, так и способов ее задания. Например, мы это делали с учащимися VII класса при повторении с ними общего понятия функции и способов ее задания. Аналогично обстоит дело и с рас-

смотрением свойств операции, которые систематически выявляются на уроках при изучении конкретных операций.

Ниже приводятся учебные материалы, для которых характерно два уровня обобщения и конкретизации при изучении рассматриваемых понятий. Эти материалы можно широко использовать и для внеклассной работы с учащимися VI—VIII классов. В них учитывается формируемое в школе твердое, но ошибочное убеждение учащихся, что всякая операция обязательно коммутативна. С учетом данного обстоятельства изучение понятия операции проводится в два этапа.

Используя запас конкретных коммутативных операций, изученных с учащимися, и рассматривая с ними примеры таких операций, можно выявить существенные свойства этого понятия и построить его определение, не подчеркивая вначале того обстоятельства, что порядок, в котором берутся элементы некоторого множества, существен.

Рассмотрение с учащимися различных способов задания операции позволяет разнообразить предлагаемые им упражнения, организовать самостоятельную работу учащихся, проверку усвоения изучаемого материала без его простого воспроизведения.

Вначале выявляются различные, в большинстве своем известные учащимся свойства, которыми могут обладать конкретные операции. Рассматривается, как может быть обнаружено то или иное свойство при различных способах задания операции. После рассмотрения достаточного количества примеров некоммутативной операции может формулироваться определение общего понятия операции.

а) Операция на данном множестве

Вспомним обычное умножение натуральных чисел, например 5 и 3. Числа 5 и 3 принадлежат множеству натуральных чисел, результат умножения 5 • 3 совпадает с единственным числом 15, которое также принадлежит множеству натуральных чисел. Верно и общее утверждение: для любых натуральных чисел а и Ь существует единственное натуральное число с, такое, что ab =» с.

Рассмотрим композицию поворотов с общим центром, например /?30° и /?20° с общим центром О. Каждое из отображений R30° и R20° принадлежит множеству поворотов с общим центром О, результат их последовательного выполнения совпадает с единственным отображением Rb0°, которое также принадлежит множеству поворотов с тем же центром О. Верно и общее утверждение: для любых поворотов с общим центром Ra и R^ существует только один поворот Ra+& с тем же центром, что R^ • Ra — /?а+р.

Несмотря на то, что рассматривались различные множества — множество натуральных чисел и множество поворотов с общим центром — нетрудно заметить следующие общие свойства: 1) по опре-

деленному правилу для любых двух элементов каждого множества находится третий элемент, 2) такой элемент только один, 3) он принадлежит тому же самому множеству.

Если на некотором множестве можно указать правило, для которого выполняются одновременно все три свойства, то говорят, что на этом множестве задана операция. Так, сложение является операцией на множестве натуральных чисел, а композиция поворотов с общим центром является операцией на множестве поворотов с общим центром.

Вообще, операцией на данном множестве M называется правило, по которому любым двум1 элементам множества M соответствует единственный третий элемент, принадлежащий этому же множеству.

Так, правило нахождения наименьшего общего кратного двух натуральных чисел есть пример операции на множестве натуральных чисел. Сложение векторов является примером операции на множестве векторов.

Правило получения третьего элемента по двум элементам некоторого множества не будет операцией на нем, если можно показать существование таких двух элементов данного множества, которым по рассматриваемому правилу не соответствует ни одного элемента данного множества (результат не совпадает ни с одним элементом данного множества), или же можно показать существование двух элементов данного множества, которым по этому правилу соответствует более одного элемента данного множества.

Например, обычное вычитание не является примером операции на множестве натуральных чисел, так как паре натуральных чисел 2 и 5 нельзя поставить в соответствие ни одного натурального числа.

Не является операцией деление (деление на нуль исключается) на множестве {0, 1, 2, 3} — множестве вычетов по модулю 4, так как существуют два элемента этого множества — 2 и 2, которым соответствуют два различных элемента того же множества2. Действительно, 2:2= 1, так как 2 • 1 = 2 и 2 : 2 = 3, так как 3-2=2. Этого достаточно, чтобы сделать вывод, что деление на множестве вычетов по модулю 4 не является примером операции. Можно показать и существование пары элементов, например 3 и 2, этого множества, для которой результат не совпадает ни с одним элементом этого множества.

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что одно и то же правило может быть операцией на одном множестве и не быть операцией на другом множестве.

1 Такая операция называется бинарной.

2 Деление а:Ь на данном множестве означает, как обычно, нахождение по двум элементам а и b этого множества третьего его элемента с, такого, что Ьс=а, но умножение be означает нахождение остатка от деления произведения чисел b и с на 4.

Например, обычное вычитание не является операцией на множестве натуральных чисел, но является операцией на множестве целых чисел; обычное умножение не является операцией на множестве отрицательных целых чисел, но является операцией на множестве целых чисел.

По этой причине говорят не просто об операции, а об операции на данном множестве.

Упражнения

1. Являются ли операциями на данных множествах (в случае отрицательных ответов привести примеры, подтверждающие выводы): а) сложение, вычитание, умножение и деление на множестве: целых чисел; целых отрицательных чисел; четных (нечетных) чисел; положительных рациональных чисел; действительных чисел; б) сложение на множестве {0}, умножение на множестве {1}; в) возведение в степень на множестве натуральных чисел; г) нахождение: наибольшего общего делителя, среднего арифметического, предшествующего числа; наибольшего числа двух данных чисел на множестве натуральных чисел; д) композиция: двух осевых симметрий на множестве симметрий; двух центральных симметрий на множестве центральных симметрий; двух подобий на множестве подобий.

2. Назовите множество и операции на нем, по которым числам 2 и 3 можно поставить в соответствие число: а) 8; б) 2; в) 1; г) 3;

Указание. Назовите как можно больше операций на различных множествах; например, для случая г) операциями на множестве натуральных чисел является нахождение наибольшего, а также последующего числа; на множестве {0, 1, 2, 3, 4} — полной системе вычетов по модулю 5 — возведение в степень (23 = 3).

б) Способы задания операций

Часто операция на множестве задается текстовой формулировкой. На конечном множестве операция может задаваться таблицей. В этом случае элементы множества записываются в верхней строке и в том же порядке в левом столбце таблицы, а на пересечении строк и столбцов записывается результат выполнения операции над соответствующими элементами данного множества.

Пример 1.

Составим таблицу композиции на множестве поворотов равностороннего треугольника вокруг его центра, приводящих его к самосовмещению.

Вращая треугольник ЛВС в своей плоскости вокруг центра О (см. рисунок 5),

Рис. 5

Рис. 6

можно получить три его различных положения (рис. 6).

Обозначим все повороты этого треугольника вокруг центра в его плоскости, приводящие треугольник к самосовмещению:

R0 — поворот на угол в 0°;

/?! — поворот на угол в 120°, переводящий А в В;

R2 — поворот на угол в 240°, переводящий А в С (рис. 5, 6).

Композицией поворотов R2 и R2 является поворот Rl9 так как R2 R2 = Rv Действительно, последовательное выполнение двух поворотов треугольника ABC вокруг центра О, каждый из которых есть поворот на 240°, совпадает с поворотом его из начального положения вокруг центра О на угол 120°, т. е. совпадает с поворотом R1. Аналогично можно найти все возможные композиции двух элементов из множества {R0> Rly R2}.

В результате получим таблицу 2 (с. 46). Из нее видно, что композиция поворотов равностороннего треугольника вокруг центра является операцией на множестве этих поворотов.

Пример 2.

Возьмем множество, состоящее из трех элементов, например {1,2, 3}. Их можно расположить по порядку шестью способами: 123; 132; 213; 231; 312; 321.

Говорят, что возможны шесть перестановок из трех элементов. Запишем одну под другой две любые перестановки из трех элементов, например

Две перестановки, записанные таким образом, дают обратимое отображение множества {1, 2, 3} на себя. Это отображение называют подстановкой третьей степени (по числу элементов множества). Аналогично можно определить и подстановку степени п.

Обозначим подстановки 3-й степени, а их всего 3! = 1 • 2 • 3 = 6, соответственно Р0, Pu ^2» ?з> Р*> Ру Подстановки одинаковы и имеют одно и то же обозначение Р3, так как во всех этих перестановках 1 переходит в 1,2 — в 3, а 3 — в 2.

Умножением подстановок 3-й степени (я-й степени) назовем новую подстановку той же степени, производящую такое изменение

в расположении элементов 1; 2; 3 (1; 2; 3; я), которое получается в результате последовательного выполнения этих двух подстановок. Например,

Действительно, посредством подстановки Р2 1 переходит в 3, посредством подстановки Р3 3 переходит в 2; посредством подстановки Р2 2 переходит в 1; а посредством подстановки Р3 1 переходит в 1 и т. п. Подстановка Рь переводит 1 в 2, 2 в 1 и т. д.; она и будет произведением двух первых подстановок. Нетрудно убедиться, что определенное таким образом умножение подстановок 3-й степени является операцией на множестве подстановок 3-й степени с таблицей умножения, представленной таблицей 3.

Таблица 2

Таблица 3

Упражнения

3. Найдите произведение подстановок: а) Р0 и Р3; б) Р3 и Р2\ г) Рх и Р4. Результаты сверьте с таблицей 2.

4. По таблице 2 найдите произведение подстановок: а) Р3 и Рг\ б) Рх и Р3\ в) Рь и Я5; г) Р19 Р3 и Рл.

5. Объясните, почему умножение подстановок 3-й степени есть операция на множестве этих подстановок.

6. Составьте таблицу умножения подстановок 2-й степени.

7. {R0, Rl9 R2t Slf S2, S3} — множество самосовмещений равностороннего треугольника АВСУ где R0t Rlf R2 — повороты вокруг его центра О соответственно на 0°, 120° и 240°, Si — симметрия с осью ЛО, переводящая В в С, а С в] В, S2 и S3 — две другие осевые симметрии (рис. 5). Составьте таблицу композиции самосовмещений равностороннего треуголь-

ника. Является ли операцией композиция самосовмещений равностороннего треугольника?

8. {/?0, /?!, /?2, #з) — множество поворотов квадрата ABCD вокруг центра О (рис. 7). Составьте таблицу композиции поворотов на данном множестве. Является ли эта композиция операцией?

9. Составьте таблицу композиции самосовмещений квадрата A BCD на множестве {/?o» Rl> ^?2> Rsy $1> ^2> 53, 54} (рис. 7).

10. Составьте таблицу композиции на множестве {/?0, Ri>Sl9 S2} — множестве самосовмещений прямоугольника A BCD (рис 8).

11. Являются ли примерами операции композиции самосовмещений квадрата и прямоугольника?

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ НА ДАННОМ ПОДМНОЖЕСТВЕ

а) Коммутативность операции

Сложение натуральных чисел является операцией, для нее выполняется переместительный, или коммутативный, закон: для любых натуральных чисел а и b верно равенство а + b = b + а. Будем говорить, что операция сложения на множестве натуральных чисел коммутативна.

Вообще, если на некотором множестве M задана операция, то она называется коммутативной, когда для любых элементов а и b из множества M верно равенство а * b = b * а.

Так, композиция поворотов с общим центром, сложение векторов, умножение рациональных чисел являются примерами коммутативной операции. Вычитание на множестве целых чисел есть пример некоммутативной операции.

Установление коммутативности операции, заданной на конечном множестве, можно свести к перебору всех возможных пар элементов этого множества и установлению того, что для каждой пары результат выполнения операции не зависит от порядка, в каком берутся элементы этой пары.

Например, так можно установить коммутативность композиции на множестве {R0i Rl9 R2} — множестве поворотов равностороннего треугольника вокруг его центра, приводящих его к самосовмещению.

Данный способ не пригоден для установления коммутативности операции, заданной на конечном множестве с достаточно большим числом элементов, а тем более на бесконечном множестве. В этом

Рис. 7

Рис. 8

случае установление коммутативности операции требует общего доказательства, которое обычно сводится к ранее установленной коммутативности другой операции, заданной на другом множестве. Например, доказательство коммутативности композиции поворотов с общим центром сводится к ранее установленной коммутативности сложения чисел (Геометрия. Учебное пособие для 8 класса. Под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. 2-е. М., «Просвещение», 1974, с. 8). Другим примером доказательства коммутативности операции является доказательство коммутативности сложения векторов (Геометрия. Учебное пособие для 7 класса. Под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. 2-е. М., «Просвещение», 1973, с. 82—86).

Чтобы убедиться в отсутствии свойства коммутативности операции на множестве М, достаточно указать хотя бы одну пару таких элементов а и b из множества М, что а * b Ф b * а.

Например, операция вычитания на множестве целых чисел не является коммутативной, так как для целых чисел 5 и 3 5 — 3 Ф 3—5. Не является коммутативной операция возведения в степень на множестве натуральных чисел, так как 23 Ф З2. Некоммутативна и композиция перемещений (Геометрия. Учебное пособие для 7 класса. Под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. 2-е. М., «Просвещение», 1973, с. 100).

Замечание 1. Если коммутативная операция задана на конечном множестве таблицей, например таблицей 2, то в ней элементы, симметричные относительно главной диагонали, одни и те же (табл. 4).

Верно и обратное: если операция задана таблицей и элементы, симметричные главной диагонали, равны, то операция является коммутативной. Докажите это.

Если указанная симметрия отсутствует, то заданная таблицей операция некоммутативна. Например, операция о, заданная на множестве Е = {а, Ь, с, dy е) таблицей 5 некоммутативна, так

Таблица 4

Таблица 5

как симметричными относительно главной диагонали являются различные элементы. Так, элементы b и d являются результатами соответственно d о с и с о d. А это значит, что d о с Ф с о d.

Замечание 2. Как показывают разобранные выше примеры, на некоторых множествах возможны операции, когда порядок, в котором берутся элементы из этого множества, существен — перестановка элементов приводит к изменению результатов применения операции. Приведенное ранее определение операции требует уточнения.

Операцией на множестве M будем называть правило, по которому каждой упорядоченной паре (а, Ь) элементов а и b из множества M соответствует единственный элемент с этого же множества1.

Упражнения

12. Являются ли коммутативными операции:

а) сложение и умножение на множестве действительных чисел;

б) объединение, пересечение на множестве подмножеств универсального множества;

в) заданные таблицами 2—4;

г) заданные таблицами, составленными при выполнении упражнений 7—10?

13. Укажите другие примеры некоммутативной операции.

б) Ассоциативность операции

Сложение векторов, умножение натуральных чисел являются примерами операции, которая обладает сочетательным свойством, или, как говорят, свойством ассоциативности.

Операцию, обозначим ее *, будем называть ассоциативной на множестве М, если для любых элементов а, Ь, с из множества M верно равенство (а * Ь) * с = а * (Ь * с).

Установление ассоциативности операции требует проведения определенного доказательства. Например, на уроках геометрии в VII классе рассматривается доказательство ассоциативности сложения векторов.

Чтобы показать, что операция на множестве M неассоциативна, достаточно указать три таких элемента а, Ь, с € М, что (а * Ь) * с Ф а * (Ь * с).

Например, операция деления на множестве положительных рациональных чисел неассоциативна, так как

Неассоциативна и заданная таблицей 4 операция, так как для элементов 6, ct е из множества Е (Ь о с) о е = b о е = d, b о (с о е) = b о Ь = с.

Ассоциативность операции * на множестве M определяет,

1 Операцией на множестве M является отображение МхМ в М.

как применять операцию * сразу к трем его элементам. Выражению а * Ь * с можно придать определенный смысл, заключая в скобки два первых или два последних элемента. Тогда выражение примет вид (а * Ь) * с или а * (Ь * с). Так как * есть операция на множестве М, то a*b = uub*c = v принадлежат множеству М. Значит, (а * Ь) * с и а * (Ь * с) можно рассматривать как выражения, в которых участвуют по два элемента множества М: и и с или а и v. Если операция неассоциативна, то элементы и * с и а * V, вообще говоря, различны и выражение а * b * с нельзя определить однозначно. Если же операция ассоциативна, то элементы и * с и а * V совпадают и, следовательно, нет никакой разницы, как расставлены скобки. В каждом случае получается представление одного и того же элемента. Поэтому выражения а * b * с, (а * Ь) * с и а * ф * с) определяют один и тот же элемент.

Замечание. Справедливы следующие теоремы, примем их без доказательства.

Т. 1. Если операция на множестве ассоциативна для любых трех его элементов, то она ассоциативна и для любого числа его элементов.

Т. 2. Если операция на множестве коммутативна для любых двух элементов и ассоциативна, то порядок любого числа элементов безразличен (она полностью коммутативна).

Упражнения

14. Является ли ассоциативной операция: а) объединения, пересечения на множестве подмножеств универсального множества;

б) заданная таблицей 1; в) заданная таблицами, составленными в упражнениях 6—10?

15. Приведите примеры ассоциативной и неассоциативной операций.

в) Нейтральный элемент

При сложении целого числа 7 с нулем в результате получаем то же самое число 7. Для любого целого числа а справедливо равенство а + 0 = а.

При выполнении композиции поворотов (табл. 1) результат композиции любого поворота и поворота R0 совпадает с первым поворотом.

Говорят, что нуль является нейтральным элементом относительно сложения на множестве целых чисел, а поворот R0 — нейтральным элементом относительно композиции на множестве {/?0, Rl9 R2}.

Вообще, нейтральным элементом относительно некоторой операции * на множестве M называется такой элемент I £ М, что для любого элемента а € M а * I = I * а = а.

Нейтральным элементом относительно объединения на множестве подмножеств универсального множества является пустое множество; существует нейтральный элемент и относительно сложения на множестве векторов — им является нулевой вектор.

В то же время можно назвать операции на различных множествах, относительно которых не существует нейтрального элемента. Например, не существует нейтрального элемента относительно умножения на множестве четных чисел. Не существует такого элемента и относительно операции на известных числовых множествах, согласно которой из пары чисел выбирается наибольшее, так как не существует числа, которое бы вместе с любым числом давало то же самое число как наибольшее число второй пары.

Если нейтральный элемент существует относительно операции, заданной таблицей, то одна из строк, а именно строка, соответствующая нейтральному элементу, тождественна строке, расположенной над таблицей; один из столбцов, а именно столбец, соответствующий нейтральному элементу, тождествен столбцу, расположенному слева от таблицы. Верно и обратное. Это позволяет легко находить нейтральный элемент (если он существует) относительно операции, заданной таблицей (см. табл. 1).

Упражнения

16. Существует ли нейтральный элемент (укажите его) относительно: а) композиции перемещений на множестве перемещений; б) композиции подобий на множестве подобий; в) нахождения наибольшего общего делителя на множестве натуральных чисел; г) пересечения, объединения на множестве подмножеств универсального множества; д) операций, заданных таблицами 2 и 4?

17. Приведите примеры операций, относительно которых на множестве существует нейтральный элемент; не существует его.

18. В рассмотренных выше примерах операции на данном множестве, относительно которой существует нейтральный элемент, такой элемент единственный. Какое можно сделать предположение?

Имеет место следующая теорема.

Т. 3. Если нейтральный относительно операции на данном множестве элемент существует, то такой элемент единственный. Докажите ее.

г) Симметричные элементы

При сложении противоположных чисел, например 5 и —5, в результате получаем 0 — нейтральный относительно сложения элемент. При умножении взаимно-обратных чисел, например 5 и —, в результате умножения получаем 1 — нейтральный относительно умножения элемент. Будем называть элементы 5 и —5, 5 и i симметричными.

Вообще, если на множестве M задана некоторая операция *, относительно которой существует нейтральный элемент / € Л1, то элементом, симметричным элементу a € M, называется такой элемент а'€ М, что а * а' = а' * а = /.

Если элемент а' симметричен элементу а, то для операции сложения на данном множестве он называется противоположным и обозначается — а\ для операции умножения — обратным и обозначается а"1, или —.

Если операция задана таблицей, то симметричные элементы можно найти, проследив, на пересечении каких строк и столбцов находится нейтральный элемент. Например, на пересечении второй строки и третьего столбца находится нейтральный элемент RQ\ значит, элемент /?2, стоящий над третьим столбцом, является симметричным элементу Rlt стоящему перед второй строкой (табл. 1).

Существование нейтрального элемента относительно операции на данном множестве есть необходимое, но не достаточное условие существования симметричного элемента для каждого элемента этого множества. Действительно, если относительно операции на множестве нет нейтрального элемента, например относительно умножения на множестве четных чисел, то относительно нее в этом множестве нельзя указать симметричных элементов. В множестве может существовать нейтральный элемент относительно заданной операции, но в нем можно указать элементы, для которых симметричные элементы отсутствуют. Например, нейтральным элементом относительно умножения на множестве натуральных чисел служит 1, а натурального числа, симметричного, или обратного, натуральному числу 2, указать нельзя.

Упражнения

19. Какой элемент симметричен нейтральному элементу?

20. Пусть элемент а' симметричен элементу а. Элементом, симметричным элементу а', является элемент (а'у. Чему он равен?

21. Для каждого ли элемента можно указать ему симметричный относительно операции: а) сложения на множестве действительных чисел (как расположены такие элементы на числовой оси?); б) сложения на множестве положительных действительных чисел; в) сложения на множестве векторов; г) умножения на множестве целых чисел; д) умножения на множестве положительных рациональных чисел; е) композиции на множестве перемещений, подобий; ж) пересечения, объединения на множестве подмножеств универсального множества; з) нахождения наибольшего общего делителя, наименьшего общего кратного на множестве натуральных чисел?

22. Приведите примеры операции на множестве, относительно которой в нем для каждого элемента существует или не существует ему симметричный элемент.

23. Пусть * — некоторая операция, заданная таблицей (упр. 6, 8; 10), и а, с' — симметричные, / — нейтральный элемент. Ука-

жите все пары элементов а, /и а, а! такие, что а * / = аиа * а' = /.

24. Рассмотренные примеры операции позволяют увидеть, что если существует нейтральный элемент относительно операции на данном множестве, то он один и тот же для всех элементов этого множества, а если для каждого его элемента можно указать ему симметричный, то различным элементам соответствуют и различные им симметричные элементы. При этом имеет место следующая теорема.

Т. 4. Если операция на данном множестве ассоциативна, то элемент а', симметричный а, единствен, если он существует. Докажите ее.

д) Обратимость операции

Сложение является операцией на множестве целых чисел. Вычитание на нем выполняется по правилу: вычесть, например, из числа 5 число 7 — значит найти число х, удовлетворяющее равенству 7 + X = 5. Число X — —2 называют разностью чисел 5 и 7, обозначая 5 — 7 = —2. Поскольку на множестве целых чисел для любых элементов a, b € Z можно указать единственный третий элемент х 6 Z, такой, что b + х = а, то вычитание на множестве Z является операцией. При этом вычитание называется операцией, обратной к операции сложения, а операция сложения — обратимой.

Операция * на множестве M называется обратимой, если для любых a, b £ M уравнение b * х = а имеет единственное решение х £М.

Умножение является операцией на множестве натуральных чисел. Деление на нем операцией не является, так как, например, паре натуральных чисел 5 и 7 нельзя указать третьего натурального числа X, чтобы 7х = 5. Операция умножения на множестве натуральных чисел необратима.

Заданная таблицей 1 операция обратима, так как для каждой пары элементов данного множества соответствующее уравнение на этом множестве имеет единственное решение.

Заданное таблицей 6 умножение на множестве вычетов по модулю 4 необратимо, так как выше было показано, что деление на нем не является операцией.

Рассмотренные примеры позволяют заметить, что заданная таблицей операция обратима, если каждый элемент множества, на котором задана операция, встречается в любой строке или столбце таблицы только один раз.

Приведенные выше примеры обратимой операции являются одновременно примерами коммутативной и ассоциативной операций. Поэтому все сказанное справедливо для всех коммутативных и ассоциативных операций.

Рассмотрим пример ассоциативной, но не коммутативной операции — умножение на множестве подстановок 3-й степени (табл. 2). Элементам этого множества р2 и ръ соответствуют два уравнения ръ x X = рь и у x р2 = Рь* каждое из которых имеет на данном множестве единственное решение. При этом решением первого

уравнения является х = рд$ так как р2 X р3 = рь. Решением второго — у = р4 , так как /?4 х р2 = р5. Таким образом, паре элементов данного множества соответствуют два уравнения (каждое из них имеет единственное решение), которые между собой могут быть и не равны. Приведенное выше определение обратимой операции справедливо для коммутативной и ассоциативной операции и не годится для случая, когда операция ассоциативна, но не коммутативна. Требуется более общее определение.

Операция на множестве M называется обратимой, если для любых a, b € M каждое из уравнений b*x = auy*b = a имеет единственное решение х £ M и у Ç М.

В том случае, когда операция коммутативна, данное определение совпадает с ранее приведенным.

Свойство обратимости ассоциативной, но некоммутативной операции можно легко обнаружить, если операция задана таблицей: любой элемент множества, на котором задана операция, встречается только один раз в каждой строке и каждом столбце этой таблицы.

Таблицами задаются операции на конечных множествах. А как выявить обратимость операции на бесконечном множестве?

В этом случае можно использовать зависимость, существующую между наличием свойства обратимости и наличием нейтрального, и для каждого элемента, ему симметричного у ассоциативной операции, заданной на некотором множестве.

Например, операция сложения на множестве целых чисел обратима. На нем относительно этой операции существует нейтральный элемент — 0, а каждому числу соответствует симметричное ему число (—а). Операция умножения на множестве подстановок 3-й степени обратима. На данном множестве относительно нее существует нейтральный элемент — р0 и каждый элемент имеет себе обратный. Операция умножения на множестве натуральных чисел необратима. На нем есть нейтральный относительно умножения элемент — 1, но нет симметричных элементов (кроме 1). Необратимо умножение и на множестве четных целых чисел (на нем нет ни нейтрального, ни симметричных элементов).

Справедлива следующая теорема.

Т. 5. Если для ассоциативной операции на множестве существует нейтральный элемент и для каждого элемента — ему симметричный, то эта операция обратима.

Справедлива и обратная теорема.

Т. 6. Если ассоциативная на множестве операция обратима, то на нем существует нейтральный элемент и для каждого элемента — ему симметричный.

Упражнения

25. Докажите теорему 5: а) для коммутативной операции; б) в общем виде.

26. Обратимы ли операции: а) сложение на множестве рациональных чисел; б) сложение на множестве векторов; в) сложение

на множестве положительных рациональных чисел; г) композиция на множестве поворотов с общим центром; д) умножение на множестве положительных рациональных чисел; е) нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного на множестве натуральных чисел, ж) пересечение и объединение на множестве подмножеств универсального множества?

27. Приведите примеры операций, обратимых (необратимых) на известных вам множествах.

28. Докажите теорему 6: а) для коммутативной операции; б) в общем виде.

Подводя итог изучению операций и их свойств, можно отметить, что некоторые свойства операции зависят друг от друга: наличие одних свойств операции определяет и наличие других ее свойств. Например, из свойства ассоциативности и обратимости операции на данном множестве следует существование нейтрального элемента и для каждого элемента множества, ему симметричного (Т. 6). При этом из существования нейтрального элемента следует его единственность (Т. 3), из существования для каждого элемента множества, ему симметричного элемента, следует его единственность (Т. 4). Обратно, из ассоциативной любой операции на данном множестве и одновременного существования в нем нейтрального элемента и для каждого элемента множества, ему симметричного, следует обратимость этой операции (Т. 3—5).

Но можно указать и такие свойства операции, которые не зависят друг от друга: наличие одного свойства или их совокупности может дополняться наличием некоторого свойства у одной операции и его отсутствием у другой операции.

Коммутативность, ассоциативность, обратимость являются независимыми друг от друга свойствами операции. Операция может быть ассоциативной, но не коммутативной (например, операция, заданная таблицей 2). Коммутативная и ассоциативная операции могут быть обратимыми или не обратимыми операциями (например, сложение и умножение на множестве положительных действительных чисел коммутативны и ассоциативны, но при этом умножение обратимо, а сложение — нет).

ПРОПЕДЕВТИКА ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Формирование понятия операции тесно связано с формированием одного из центральных понятий современной алгебры — понятия группы. Обучение обобщению и конкретизации является необходимой частью работы по изучению этих понятий.

Успешное изучение с учащимися понятий группы, как и успешное изучение понятия операции, требует проведения работы по его пропедевтике.

Напомним, что группой называется множество с одной операцией, в котором: (1) эта операция ассоциативна, (2) существует нейтральный относительно этой операции элемент, (3) для каждого

элемента данного множества существует симметричный (противоположный, или обратный) элемент. Если операция на данном множестве еще и (4) коммутативна, то группу называют коммутативной, или абелевой.

Входящие в определение понятия группы свойства (1) — (3) позволяют доказать другие свойства, в частности (5); в группе имеется ровно один нейтральный элемент; (6) для каждого элемента группы имеется ровно один симметричный элемент; (7) групповая операция обратима. В определении понятия группы могут быть включены свойства операции (1) и (7), тогда остальные свойства (2), (3), (5) и (6) можно доказать.

Для проведения работы по пропедевтике понятия группы в школе есть все условия. На уроках математики учащиеся неоднократно встречаются с примерами этого понятия. Так, каждое из множеств: множество целых, множетсво рациональных, множество действительных чисел по сложению — является примером абелевой группы. Примерами абелевой группы являются и рассматриваемые в школе множества: множество отличных от нуля рациональных или действительных чисел по умножению; множество многочленов и множество дробей (алгебраических) по сложению; множество этих дробей (отличных от нуль-дроби) по умножению; множество поворотов с общим центром, множество подобий, множество параллельных переносов относительно их композиции. В учебнике геометрии имеются и примеры конечных групп, не являющихся коммутативными: множества самосовмещений равностороннего треугольника и квадрата относительно их композиции (Геометрия. Учебное пособие для 7 класса средней школы. Под ред. А. Н. Колмогорова. Изд. 2-е. М., «Просвещение», 1973, с. 98—104).

Рассматриваемые на уроках математики примеры понятия группы позволили проводить работу по пропедевтике этого понятия: выявлять с учащимися его существенные свойства (1) — (3), (5) — (7). При рассмотрении примеров абелевой группы выявлялось и не существенное для понятия группы свойство (4).

Проводимую нами работу по пропедевтике понятия группы можно условно разбить на следующие этапы: во-первых, систематическое выявление существенных свойств понятия (бинарной) операции на примерах этого понятия1; во-вторых, установление групповых свойств (1) — (7) операции на изучаемых множествах объектов; в-третьих, выявление общности устанавливаемых свойств (1) — (7) на различных множествах объектов.

Выявление групповых свойств (1) — (7) операции наиболее полно проводится на уроках математики при изучении числовых множеств уже в V классе. В частности, при изучении сложения и умножения на множества рациональных чисел в V классе индуктивно устанавливаются следующие свойства:

Для любых чисел а, Ъ, с из множества рациональных чисел справедливы равенства:

1 Описание этой работы было рассмотрено выше.

При этом свойства (1) и (4), выражающие ассоциативность и коммутативность сложения или умножения, несколько раз рассматриваются в I—IV классах при изучении действий над натуральными числами, в IV классе при изучении десятичных дробей, в V классе при введении отрицательных чисел и изучении обыкновенных дробей.

Неоднократно, начиная с начальной школы, внимание учащихся обращается на свойство (2), выражающее существование в изучаемом числовом множестве нейтрального относительно сложения или умножения элемента.

Со свойством (3) сложения и умножения на множестве рациональных чисел учащиеся впервые встречаются в V классе. После введения отрицательных чисел рассматривается понятие «противоположные числа», устанавливается, что «для каждого числа есть одно противоположное ему число» (Математика. Учебное пособие для 5 класса средней школы. Под ред. А. И. Маркушевича. М., «Просвещение», 1975, с. 33), при этом «сумма двух противоположных чисел равна нулю» (там же, с. 60). После этого свойство (3) сложения на множестве рациональных чисел используется как при выполнении упражнений (там же, упр. № 359 и т. п.), так и при обосновании правила вычитания. При изучении обыкновенных дробей рассматривается понятие «взаимно-обратные числа» (там же, с. 149). Выполнение с учащимися упражнений (№ 852, 859) позволяет формулировать утверждение: «Для каждого отличного от нуля числа есть одно взаимно-обратное ему число». При этом произведение двух взаимно-обратных чисел равно 1 (там же, с. 149). После этого свойство (3) умножения на множестве рациональных чисел используется при выполнении упражнений (№ 852—855) и при обосновании правила деления дробей.

Таким образом, до V класса с учащимися неоднократно устанавливались групповые свойства (1) — (2) и не существенное для понятия группы свойство (4), а в V классе, в дополнение к ним, устанавливались еще и групповые свойства (3), (5), (6). Но это и означает, что учащимся становилась известной совокупность свойств, определяющих абелеву числовую группу по сложению или умножению. Иными словами, с пятиклассниками выяснялось содержание понятия абелевой группы без построения формальнологического определения, а также и без сообщения термина «группа». Все это имеет большое значение для обучения обобщению и конкретизации.

Итогом описываемой работы стало составление с учащимися следующих таблиц.

Таблица 6

Таблица 7

В данных таблицах свойства (2°) и (3°) представляют конъюнкцию групповых свойств (2) и (5), (3) и (6). Естественно, что таблица б рассматривалась с пятиклассниками при изучении положительных и отрицательных чисел на обобщающих уроках по этой теме, а таблица 7 — при изучении обыкновенных дробей. Формулирование учащимися свойств умножения, представленных в таблице 7, облегчалось повторением с ними аналогичных свойств сложения по таблице 6.

В новых учебниках математики сложение рассматривается в тесной взаимосвязи с вычитанием, умножение — с делением. В частности, при изучении арифметических действий с натуральными числами учащиеся с I класса проверяют вычитание сложением, а со II —деление умножением. В III классе для частных случаев формулируются утверждения, выражающие зависимость между сложением и вычитанием, умножением и делением.

В IV классе данные утверждения формулируются в общем виде.

(Математика. Учебник. 4 класс. Под ред. А. И. Маркушевича. М., «Просвещение», 1975, п. 32 и 42).

Таким образом, установление неограниченной выполнимости вычитания и деления на изучаемом числовом множестве сводится к установлению существования в нем единственного решения уравнения X + Ь = а или xb = а для любых чисел а и b из этого множества. Но это означает, что устанавливается свойство (7) обратимости сложения и умножения.

В V классе свойство обратимости (7) для умножения выявлялось

при получении правил деления дробей (Математика. Учебник для 5-го класса средней школы. Под ред. А. И. Маркушевича. М., «Просвещение», 1976, п. 47).

С учащимися выполнялись следующие упражнения:

а) Назовите число, обратное данному:

б) Будут ли взаимно-обратными числа:

в) Упростите выражение:

г) Решите уравнение:

В заключение получали вывод, что для любого, отличного от нуля числа а существует только одно взаимно-обратное ему число

Для получения правила деления обыкновенных дробей рассматривалась задача, в которой по заданной величине площади прямоугольника и заданной длине его стороны надо было найти длину другой стороны. Данные величины выражались натуральными числами (40 м2 и 5 м) и дробями

Требовалось делить натуральные числа и дроби.

Таблица 8

Делается вывод о неограниченности деления на множестве рациональных чисел; таблица 7 дополнялась свойством обратимости умножения на множестве отличных от нуля рациональных чисел.

(5) Для любых, отличных от нуля рациональных чисел а и b деление всегда выполнимо.

Таким образом, выявление групповых свойств в ходе изучения программного материала в IV—V классах выполнялось при рассмотрении сложения и умножения на числовых множествах и сводилось к ставшей уже привычной для нашей школы работе: уста-

новлению основных арифметических законов, сохраняющихся неизменными при всех расширениях числовых множеств; выявлению особой роли нуля при сложении и единицы при умножении; изучению противоположных и взаимно-обратных чисел; установлению обратимости сложения и умножения на числовых множествах.

Работа по пропедевтике понятия группы проводилась нами и в VI—VIII классах при изучении программного материала, когда на уроках встречались с примерами этого понятия; это были и множества многочленов со сложением, и множества алгебраических дробей со сложением или умножением, и множества векторов со сложением, и множества поворотов с общим центром и подобий с их композициями.

Учащимся давалось представление о сложении, вычитании и умножении многочленов, о сложении, вычитании, умножении и делении дробей. Рассматривались таблицы, в которых были приведены свойства сложения и умножения на множествах алгебраических выражений. Например, с учащимися VI класса рассматривалась таблица 9.

Данная работа проводилась и на уроках геометрии. Например, при изучении в VII классе сложения векторов на последних уроках рассматривалась таблица 10.

Таблица 9 Таблица 10

Таким образом, и при изучении примеров операции на множествах объектов нечисловой природы с учащимися могут рассматриваться групповые свойства (1) — (7), которые в составленных для учащихся таблицах частично объединены1.

Работа по пропедевтике понятия группы на каждом из рассмат-

1 Свойство 2° в таблицах объединяет групповые свойства (2) и (5), а свойство 3° — групповые свойства (3) и (6)-

риваемых при изучении школьной математики множестве объектов включала, в дополнение к установлению соответствующих отношений между его элементами и выявлению их свойств (1) — (7), еще и выявление общности одних и тех же свойств новых отношений на других множествах объектов. В результате раскрывалась структура изучаемых множеств. Выявление на уроках общности свойств проводилось при помощи сравнения таблиц, содержащих свойства конкретных операций. Например, после изучения сложения векторов и составления таблицы 10 учащиеся сопоставляли свойства сложения векторов, представленные в этой таблице, с ранее выявленными свойствами других операций, представленных, например, в таблицах 6, 7 и др.

После этого учащиеся могли указывать и другие множества, на которых конкретная операция обладает той же самой совокупностью свойств: например, сложение на множестве целых чисел, композиция на множестве поворотов с общим центром и т. п.

ИЗУЧЕНИЕ ПОНЯТИЯ ГРУППЫ

Изучение понятия группы также проводится в два этапа: вначале учащиеся знакомятся с понятием коммутативной, или абелевой группы, а затем и с понятием группы.

Рассмотренные выше теоремы (3 — 6) позволяют построить с учащимися два различных определения каждого из этих понятий и показать их равносильность.

После построения определений и установления их равносильности, как обычно, рассматриваются примеры и контрпримеры формируемых понятий. При этом выясняется, что в случае, когда операция на конечном множестве задается таблицей, более удобным оказывается определение 1. В том случае, когда рассматриваемое множество с одной операцией является бесконечным, более удобным оказывается определение 2.

а) Коммутативная группа

Будем рассматривать множества с заданной на каждом из них одной операцией. Рассмотрим, например, множество целых чисел Z с обычным сложением и множество {R0l Rl9 R2} с определенным таблицей 1 умножением.

Несмотря на то, что: а) различна природа элементов данных множеств, б) различно число их элементов (первое множество бесконечное, второе конечное), в) различна природа заданных на них операций, можно указать ряд общих для них свойств.

Действительно, кроме того, что на каждом из этих множеств задано по одной операции, в каждом из них: 1) эта операция коммутативна, 2) ассоциативна, 3) обратима, 4) существует нейтральный элемент, 5) такой элемент только один, 6) для каждого элемента множества существует симметричный элемент, 7) такой элемент только один.

Любое множество с заданной на нем одной операцией, обладающее свойствами (1 — 7), называют коммутативной, или абелевой, группой. Последняя будет конечной, если множество конечное; число элементов этого множества определяет порядок группы. Так, рассмотренное выше второе множество с умножением является примером конечной, коммутативной, или абелевой, группы порядка 3, а первое множество со сложением — примером бесконечной коммутативной группы.

Построим определение коммутативной, или абелевой, группы. Мы знаем, что некоторые свойства задаваемой на множестве операции зависимы друг от друга. Поэтому в наше определение могут не входить все свойства (1—7), в него следует включить только независимые друг от друга свойства. Такими свойствами будут свойства (1—3). Включив их в искомое определение, с их помощью можно доказать свойства (4—7) (Т. 3, 4, 6). Независимыми свойствами являются и свойства (1, 2, 4, 6). Включив их в искомое определение, можно доказать остальные свойства (5, 7), а затем и (3) (Т. 3-5).

Таким образом, можно построить два различных определения.

Определение 1. Коммутативной, или абелевой, группой называется множество G0 с одной операцией, в котором эта операция коммутативна, ассоциативна, обратима.

Определение 2. Коммутативной, или абелевой, группой называется множество G0 с одной операцией, в котором эта операция коммутативна, ассоциативна, существует нейтральный относительно данной операции элемент, для каждого элемента множества G0 существует симметричный ему элемент.

Для распознавания того, являются ли множества элементов с одной операцией коммутативными группами, можно пользоваться любым из этих определений. В том случае, когда множество конечно и операция на нем задается таблицей, более удобным оказывается определение 1.

Действительно, из таблицы легко видеть такие свойства операции, как коммутативность (симметрия таблицы относительно главной диагонали) и обратимость (каждая строка и столбец таблицы содержат все элементы множества, на котором задана операция). По таблице можно обнаружить и ассоциативность операции.

Для распознавания того, является ли коммутативной группой, например, множество векторов со сложением, более удобным оказывается определение 2. На множестве векторов операция сложения коммутативна, ассоциативна, в нем существует нейтральный относительно сложения элемент — 0, для каждого вектора а существует ему противоположный вектор (—а).

Примером коммутативной группы порядка 1 будет множество {1} с обычным умножением. Так как 1 • 1 = 1, то умножение на этом множестве является операцией, коммутативной, ассоциативной, в нем существует нейтральный относительно умножения эле-

мент — 1, этот же элемент обратен сам себе. Множество с обычным умножением коммутативной группой быть не может, так как результат умножения, например, элементов 2 и 2 не принадлежит данному множеству — умножение на нем операцией не является.

Таким образом, при распознавании того, является ли данное множество коммутативной группой, для получения утвердительного ответа требуется выявление всех свойств, которые имеются в одном или другом ее определении, для отрицательного же ответа достаточно убедиться в невыполнимости хотя бы одного из этих свойств.

Упражнения

29. Является ли коммутативной группой:

1) множество натуральных чисел N относительно а) сложения, б) умножения, в) нахождения наибольшего общего делителя, г) нахождения среднего арифметического;

2) множество целых чисел Z относительно а) сложения, б) умножения;

3) множество Z2 = {..., —4, —2, 0, 2, 4, ...} относительно а) сложения, б) умножения;

4) множество {—1, 1} относительно умножения;

30. Является ли коммутативной, или абелевой, группой:

1) множество поворотов с общим центром относительно их композиции;

2) множество перемещений относительно их композиции;

3) множество подобий относительно их композиции?

31. При выполнении упражнений 7—10 были составлены таблицы умножения на множествах самосовмещений равностороннего треугольника, квадрата, прямоугольника. Являются ли примерами коммутативной группы множества с операцией, задаваемой этими таблицами?

б) Группа

Рассмотрим таблицу, задающую умножение на множестве подстановок 3-й степени (табл. 2). Как видно из таблицы, операция умножения некоммутативна — нет симметрии таблицы относительно главной диагонали. Например, на пересечении 3-й строки и 6-й колонки стоит элемент Р4, совпадающий с результатом умножения элементов Р2 и Я5, симметричным ему относительно главной диагонали является элемент Р3, стоящий на пересечении 6-й строки и 3-й колонки и совпадающий с результатом умножения элементов Ръ и Р2- Тогда множество подстановок 3-й степени отно-

сительно умножения нельзя назвать коммутативной группой, В то же время в этом множестве 1) операция умножения ассоциативна, 2) операция обратима — в каждой строке и каждом столбце таблицы содержатся все подстановки 3-й степени, 3) существует нейтральный относительно умножения элемент — подстановка Р0, 4) такой элемент только один, 5) для каждой подстановки существует взаимно-обратная ей, 6) такая подстановка только одна.

Таким образом, множество подстановок 3-й степени с умножением обладает всеми, кроме свойства коммутативности операции, свойствами, которыми обладает всякая коммутативная группа. Данное множество с умножением называют группой. Очевидно, всякий пример коммутативной группы будет и примером группы.

Определение группы можно получить из определения коммутативной, или абелевой, группы, исключив из него свойство коммутативности операции. Как и в случае с коммутативной группой, можно получить два соответствующих определения группы.

Определение 1. Группой называется множество G с одной операцией, в котором эта операция ассоциативна и обратима.

Определение 2. Группой называется множество G с одной операцией, в котором эта операция ассоциативна, существует нейтральный относительно этой операции элемент, для каждого элемента существует симметричный ему элемент.

Не вошедшие в определение 1 свойства (3—6) можно доказать; соответственно, не вошедшие в определение 2 свойства (4, 6), а затем и (2) также можно доказать. А это значит, что оба определения группы равносильны. Каждое из этих определений задает один и тот же класс объектов, любой его представитель является группой. Поскольку всякий пример коммутативной группы является и примером группы, то класс объектов, охватываемых определением группы, включает в себя класс объектов, охватываемых определением коммутативной, или абелевой, группы; обратное неверно.

Упражнения

32. Являются ли примерами группы:

а) множество самосовмещений равностороннего треугольника относительно их композиции;

б) множество самосовмещений квадрата относительно их композиции;

в) множество перемещений относительно их композиции?