Г. И. САРАНЦЕВ

ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМ В ШКОЛЕ

• Просвещение •

КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Г. И. Саранцев

Обучение математическим доказательствам в школе

книга для учителя

Москва «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 2000

УДК 372.8:51 ББК 74.262.21 С20

Рецензенты: доктор педагогических наук, профессор кафедры методики преподавания математики МПГУ В. И. Крупич; кандидат педагогических наук, учитель лицея «ФТШ» при ФТИ им. А. Ф. Иоффе В. И. Рыжик (С.-Петербург)

Саранцев Г. И.

С20 Обучение математическим доказательствам в школе: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 2000. — 173 с: ил. — ISBN 5-09-008650-8.

В книге обоснована и раскрыта новая методическая концепция обучения доказательству в школе. Освещены такие вопросы, как методика формирования логических и эвристических приемов доказательства, методы доказательства, формы организации работы с теоремой. Значительное внимание уделено формированию эвристических приемов доказательства, разработке средств его обучению, умению опровергать готовые доказательства.

Для учителей математики, преподавателей и студентов педвузов.

УДК 372.8:51 ББК 74.262.21

© Издательство «Просвещение», 2000

© Художественное оформление.

Издательство «Просвещение», 2000

Все права защищены

ISBN 5-09-008650-8

Предисловие

О роли математики в современном мире, о математизации знаний написано немало различных книг. Стало очевидным, что в наше время трудно указать область математики, не нашедшую применения в огромном разнообразии проблем практики, а также область человеческого знания, которая не пользовалась бы математическими методами. Смысл математизации знаний, как отмечает академик Б. В. Гнеденко, состоит не в том, чтобы все познание свести к чисто вычислительным или логическим операциям и не оставить места ни эксперименту, ни наблюдению. Цели математизации более реальны и плодотворны. Их смысл можно высказать, пожалуй, таким образом: из точно сформулированных предпосылок выводить логические следствия, в том числе и такие, которые могут быть непосредственно наблюдаемы; сделать доступными логическому и количественному анализу сложные и запутанные процессы; не только описывать уже установленные факты, но и предсказывать новые закономерности. Математизация наших знаний, как далее подчеркивает он, состоит не только и не столько в том, чтобы использовать готовые математические методы и результаты, а в том, чтобы создавать тот специфический математический подход, а вместе с ним и формальный аппарат, который позволил бы наиболее полно и точно описывать интересующий нас круг явлений, выводить следствия и использовать полученные результаты для практической деятельности.

Реализация современной роли математики предполагает улучшение математической подготовки учащихся, важное место в которой отводится умению открывать закономерности, обосновывать их и применять на практике. Особенностью математики, которая отличает ее как от естествознания, так и от опытных наук вообще, является, как правило, дедуктивный характер ее доказательств. В опытных науках мы постоянно обращаемся к наблюдениям и экспериментам, чтобы проверить те или иные утверждения. Совершенно иначе обстоит дело в математике. Теорема считается доказанной только в том случае, если она логически выведена из других предложений. Поэтому проблема обучения учащихся доказательству всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики.

В настоящее время ее актуальность возросла. Дело в том, что осуществляемый процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности на формирование нравственности, чему способствует обучение доказательству. Другими словами, обучение доказательству

должно быть одной из целей математического образования и являться составляющей основы конструирования содержания обучения математике в средней школе. Последнее заставляет взглянуть на проблему обучения доказательству учащихся с более широких позиций. Это обусловлено и тем, что в дидактику проникает новый подход к формированию мышления, идущий от работ М. М. Бахтина. Суть его заключается в рассмотрении мышления как диалога разных культур, формы общения людей. В свете этого подхода доказательство понимается не только как цепочка логических утверждений и их обоснований, но и как борение разных логик, т. е. применяемых правил вывода (И. Лакатос, М. Клайн). Из сказанного следует, что в обучении доказательству важная роль отводится обучению поиска способов доказательства, их сравнения, выбора наиболее простого из них.

Анализ многочисленной литературы, в которой рассматривается проблема обучения доказательству, показывает, что в ее решении преобладает логический подход, заключающийся в том, что основной акцент делается на исследовании логических аспектов доказательства: сущности доказательства, его видов, правил вывода, обучения логическим действиям, входящим в процесс доказательства. В ряде работ находит отражение обучение эвристикам, овладение которыми облегчает поиск доказательства. (Наиболее ярко это направление представлено известными работами Д. Пойа.) Однако, несмотря на обилие работ и рекомендаций по обучению учащихся доказательству, владение ими соответствующим умением находится на низком уровне, о чем свидетельствуют многочисленные публикации, авторы которых анализируют результаты экзаменационных работ по математике учащихся за курс средней школы и работ абитуриентов на вступительных экзаменах в вузы. Основной причиной этому является традиционная методика обучения доказательству, которая исходит, главным образом, из отождествления доказательства с его логической формой. Хотя в последнее время и активизировалось обсуждение эвристической составляющей обучения доказательству, тем не менее рекомендации по обучению школьников доказательству исходят из автономности логической и эвристической составляющих. Можно предположить, что нетрадиционный подход к решению этой извечно актуальной проблемы, основу которого составляет единство логики и эвристики, окажется более результативным. Очевидно, что его разработка невозможна вне накопленного теоретического и практического опыта.

Как уже было отмечено, анализ работ по указанной проблеме приводит к выводу о том, что ее решение осуществляется по двум направлениям. Первое составляют исследования логических аспектов проблемы, второе — эвристических. К первому направлению относятся работы В. А. Байдака, М. И. Бурды, Г. Р. Бреслер, С. Т. Обидныка, А. А. Столяра и многих других авторов. Предметом их исследований является обучение дедук-

тивным выводам, умение осуществлять цепочки дедуктивных умозаключений, приемы мышления, адекватные доказательству, воспитание потребности в доказательстве утверждений и т. п.

Второе направление, связанное с формированием у школьников эвристических приемов поиска способов доказательства, получило развитие в работах А. К. Артемова, Я. И. Груденова, В. И. Крупича, Ю. Н. Кулюткина, Д. Пойа, Г. И. Саранцева и др.

Отметим также исследования, в которых предпринята попытка выделения уровней понимания доказательства. Так, К. Поппером и И. Лакатосом выделены такие уровни: 1) понимание аргументации и ее повторение; 2) самостоятельный разбор доказательства теоремы и его воспроизведение; 3) самостоятельное доказательство теоремы; 4) опровержение готовых доказательств. Содержание выделенных уровней обнаруживает необходимость владения для понимания доказательства как логическими действиями, так и эвристическими приемами. Отсюда следует предположение, что обучение доказательству должно основываться на единстве логики и эвристики, что предполагает обучение процессам поиска, построения доказательства и опровержения готового доказательства.

Некоторые мысли в реализации целостного подхода к обучению доказательству содержатся в работах И. Лакатоса, Д. Пойа, М. Клайна. Однако общий вывод о необходимости целостного (логико-эвристического) подхода к разработке теоретических основ обучения доказательству нуждается в специальном методическом анализе.

Изучение литературы, опыта работы учителей приводит к выводу о том, что основу разработки методики обучения доказательству составляют следующие положения:

обучение доказательству есть обучение анализу доказательства, его воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию его доказательства, а также опровержению предложенных доказательств;

единство логики и эвристики в обучении доказательству;

обучение доказательству — деятельность, имеющая специфическое строение, условия и формы осуществления.

В первой части данной книги рассматриваются теоретические основы обучения школьников доказательству: обосновываются указанные выше положения, выделяются действия, адекватные доказательству, конструируется уровневая структура процесса обучения доказательству и т. д. Вторая часть содержит методику обучения некоторым действиям и приемам, адекватным доказательству.

Книга ориентирована на учителей математики, студентов математических факультетов университетов и педагогических вузов, преподавателей, ведущих курс методики преподавания математики. Она будет полезна и научным работникам в области обучения математике, и аспирантам, и преподавателям институтов повышения квалификации учителей, и даже учащимся старших классов.

Глава I

Теоретические основы обучения доказательству

§ 1. Проблема обучения школьников доказательству в учебно-методической литературе

Прежде всего заметим, что в литературе существуют разные точки зрения на сущность понятия «обучение доказательству». Одна из них сформулирована А. А. Столяром: «Под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, а не обучение воспроизведению и заучиванию готовых доказательств» [15]. Таким образом, А. А. Столяр основной акцент в обучении доказательству делает на обучение процессам поиска и построения доказательства, специально противопоставляя его обучению работать с готовыми доказательствами. Эта концепция явилась, по-видимому, протестом против традиционно сложившейся в прошлом методики, в основном ориентированной на разучивание теорем и их доказательств и мало внимания уделявшей обучению самостоятельному открытию теорем и способов их доказательств.

В связи со сказанным вспоминается такой случай. Читая как-то лекцию учителям математики, автор подчеркнул мысль о необходимости привлечения учащихся к открытию теоремы, поиску способа доказательства и иллюстрировал ее конкретными примерами. Одна из слушательниц, закончившая математический факультет университета, была очень удивлена такой организацией работы с теоремой, объяснив свое удивление тем, что ее всегда учили, как она объяснила, заучивать теорему с ее доказательством.

По-видимому, истоки такого понимания обучения доказательству восходят к Евклиду, в «Началах» которого был систематизирован и обобщен весь геометрический материал, накопленный к тому времени. Доказательства, по Евклиду, состоят из нескольких частей, одна из которых отнесена к логической операции (процесс установления истинности предложения), другие — к словесной форме и чертежу (предложение, изложение, построение, заключение). Подобное понимание доказательства ограничивает его усвоение рамками созерцательности и подражания.

Дальше Евклида в понимании природы доказательства продвинулся Аристотель, наиболее полно раскрывший логическую сущность данного процесса. Он считал использование силлогиз-

мов и индукции основными путями приобретения знаний в обучении и научном исследовании. Научиться доказывать — это овладеть логическими категориями, которые широко рассмотрены в его работах.

В конце XIX в. Д. Гильберт построил концепцию формализации доказательства, осуществив тем самым превращение интуитивного понятия доказательства в точное математическое понятие, что закрепило отождествление доказательства с его логической формой.

Труды Евклида, Аристотеля, Гильберта в значительной мере определили направление обучения доказательству, сводя его к формированию представления о логической форме, что по сути составляет содержание работы с готовым доказательством.

Немаловажную роль в становлении взгляда на обучение доказательству, в котором важное место занимает обучение самостоятельному открытию теорем и доказательств, очевидно, сыграли и работы Д. Пойа. Последние значительно стимулировали исследования проблемы методики обучения решению задач, в частности, обучения поиску способа решения задачи (Ю. М. Колягин, А. К. Артемов, В. И. Крупич, Я. И. Груденов, Е. С. Канин и др.), использованию методов научного познания в изучении математики (А. Д. Семушин, О. С. Кретинин, В. А. Байдак и др.), формированию эвристических приемов (А. К. Артемов, А. И. Волхонский и др.) и т. д. Результаты исследований имели большое значение в «повороте» методики обучения решению задач и, в частности доказательству, к ученику, в приобщении его к поисковой деятельности.

Однако ощутимых конкретных успехов школьников в доказательстве теорем и решении задач было мало. По-видимому, одну из причин этому явлению объясняет несколько иная точка зрения на обучение доказательству, сформулированная З. И. Слепкань: «Под обучением доказательствам мы понимаем обучение учащихся готовым доказательствам, предлагаемым учителем или учебником, и обучение самостоятельному поиску доказательств» [14]. Нельзя не согласиться с З. И. Слепкань в том, что «...при надлежащей постановке обучения готовым доказательствам можно формировать у школьников необходимые компоненты самостоятельного поиска и построения доказательств как более высокого уровня решения этой дидактической задачи. Готовые доказательства должны выступать как модели, на которых школьники обучаются приемам умственной деятельности, лежащим в основе умения доказывать, применять различные методы доказательств, самостоятельно искать доказательство по аналогии с изученными. Кроме того, при эвристическом изложении готовых доказательств учитель раскрывает учащимся пути открытия способа доказательства, учит их обосновывать, рассуждать, самостоятельно искать отдельные элементы доказательства» [14]. В связи со сказанным заметим, что готовые

доказательства должны быть и предметом специального изучения, предусматривающего рассмотрение структуры логического шага, последовательности шагов, выделение идеи доказательства, использование эвристических приемов при доказательстве, оформление доказательства. Отсутствие этого этапа в обучении доказательству явилось препятствием, которое не позволило результатам исследований проблемы самостоятельного поиска доказательства проникнуть в практику обучения школьников.

З. И. Слепкань выделяет в проблеме обучения доказательству и ряд последовательно решаемых задач: 1) изучение готовых доказательств, умение воспроизводить их; 2) самостоятельное построение доказательств по аналогии с изученными; 3) поиск и изложение доказательств указанным учителем способом; 4) самостоятельный поиск и изложение учащимися доказательств математических предложений. З. И. Слепкань не раскрывает содержание перечисленных этапов, а их формулировки вызывают сомнение в логике их последовательности. Так, третий этап вряд ли реален вне умений решать четвертую задачу. Метод аналогии имеет довольно-таки сложную структуру, а потому решение второй задачи вслед за решением первой вызовет большие трудности у школьников. Сознательное использование аналогии предполагает владение рядом непростых действий, которые не могут быть сформированы к началу изучения систематического курса геометрии, хотя, безусловно, формированию метода аналогии следует уделять внимание уже на первых уроках геометрии и даже в V—VI классах.

Удивительно, что многие годы оставалась и остается незамеченной книга И. Лакатоса «Доказательства и опровержения», автором которой были высказаны интересные мысли об обучении доказательству. Как уже отмечалось на с. 5, им было выделено четыре уровня понимания доказательств. Особенностью концепции И. Лакатоса является наличие не только этапа использования готовых доказательств, но и этапа опровержения предложенных доказательств. Мысль о важности последнего этапа подчеркивалась в работах Я. С. Дубнова, В. Л. Минковского, А. И. Фетисова, а также болгарского методиста К. Петрова.

Подводя итог изложенному, под обучением доказательству будем понимать обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию фактов, поиску и конструированию доказательств, а также опровержению предложенных доказательств.

Имеется большое число работ, в которых обсуждаются отдельные аспекты проблемы обучения доказательству. Прежде всего отметим работы психологов, результаты которых служат обоснованием принятой концепции обучения доказательству (П. П. Блонский, С. Л. Рубинштейн, М. Г. Ярошевский и др.). Среди таких положений выделим следующие:

структуры мозга, руководящие аналитической деятельностью, формируются к 13—14 годам;

развитие «доказательного» мышления проходит две стадии. В собственно подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их. В юношеском же возрасте уже заметно выступают критическое отношение к готовым доказательствам и стремление к собственным доказательствам;

доказательство — специфическая деятельность, овладение которой требует специального, целенаправленного формирования составляющих ее действий.

Действия, адекватные доказательству, имеют логический и эвристический характер. Их выделению и разработке методики формирования посвящены работы многих исследователей. Отметим наиболее важные результаты исследований логических аспектов доказательства.

1) Обучение дедукции, включающее разъяснение простейших схем дедуктивных рассуждений, неявно применяемых в доказательствах, является необходимым условием успешного применения дедукции как метода обучения, метода получения новых знаний (А. А. Столяр).

2) Процесс доказательства — сложный процесс мышления, и он формируется лишь постепенно, от простых к более сложным структурам. Этому должны соответствовать и постепенное усложнение структуры доказательства, постепенное повышение его уровня строгости (А. А. Столяр).

3) Деятельность по доказательству включает следующие действия:

подведение объекта под понятие; выбор системы признаков, необходимых и достаточных для подведения под понятие, соответствующей конкретным условиям теоремы или задачи на доказательство; развертывание условия — выведение системы следствий; выделение в условии «поисковых» областей (Г. А. Буткин, М. Б. Волович);

вычленение из формулировки теорем их объектов, условия, заключения; запись теоремы в краткой символической форме, построение для данной теоремы ей обратной и установление ее справедливости; перевод формулировки теоремы на язык необходимых и достаточных условий (Л. М. Фридман);

выполнение логического анализа формулировки теоремы, разработка логических схем доказательства отношений необходимости, достаточности, необходимости и достаточности между двумя событиями (Н. В. Миничкина);

построение умозаключений таким образом, чтобы заключение любого из умозаключений использовалось в качестве посылки в одном или нескольких последующих (Р. Хашимов);

выделение условия и заключения утверждения, заданного в словесно-символической форме; пользование правилами отделения,

импликации, дедукции, противоречия, контрапозиции; распознавание понятия (отношения) с помощью подведения под теорему-признак; отыскание следствий с помощью выведения следствий из определения или с помощью подведения под теорему-свойство; расчленение теоремы с заключением вида «В, и B2» на две подтеоремы с заключениями «B1» и «B2» (Э. И. Айвазян).

Простой обзор перечисленных результатов показывает, что выделенная Э. И. Айвазяном совокупность действий, составляющих доказательство утверждений, включает почти все действия, отмечаемые его коллегами. Заметим, что среди математиков, методистов и учителей распространена и иная точка зрения на обучение школьников правилам вывода. Так, З. И. Слепкань, ссылаясь на мнение заслуженной учительницы УССР В. Н. Осинской, отмечает, что положительный эффект в обучении применению элементов логики и математической символики был обнаружен у способных школьников, а средние и слабые учащиеся попрежнему плохо рассуждали и решали задачи. Попутно заметим, что лучший результат дает обучение элементам логики наряду с обучением общим умственным действиям (анализ, синтез, обобщение и т. д.) и специфическим умственным действиям, лежащим в основе умения доказывать.

Очевидно, что даже самостоятельный разбор готового доказательства предполагает понимание хотя бы простейших и наиболее распространенных в доказательствах силлогизмов, например:

В некоторых работах более детально рассматривается компонентный состав действий и методика их формирования. В 70-х годах уделяется большое внимание внедрению в школьный курс математики элементов логики и рассмотрению в этом контексте проблемы обучения школьников доказательству теорем. Исследователи делают акцент на методике изучения логических отношений («следует», «равносильно», «противоположно», «противоречиво», «необходимо», «достаточно»), логической структуры математического предложения, на обучении доказательству истинности или ложности суждения, обосновании символьной формы записи высказываний, обучении простейшим умозаключениям, выяснении отношений между двумя данными предложениями, развертывании доказательства в 1—3 шага и т. д. (И. Л. Никольская, М. Е. Драбкина, С. Т. Обиднык, Т. А. Кондрашенкова и др.). Особо выделим диссертационное исследование Г. Р. Бреслер, в котором решается проблема целенаправленного обучения школьников IV—V (теперь V—VI) классов элементам доказательства. Автор выделяет следующие направления в решении проблемы: воспитание потребности в доказательстве; ознакомле-

ние с некоторыми дедуктивными выводами и с идеей доказательства «от противного»; подготовка к восприятию взаимно обратных теорем. Отметим, что на необходимость специального формирования потребности в логическом доказательстве утверждений указывается Н. М. Бескиным, В. М. Брадисом, В. И. Зыковой, Ф. Ф. Притуло, А. Д. Семушиным и др.

В ряде работ рассматривается проблема обучения школьников построению формулировок теорем: метод эксперимента (К. С. Богушевский, Ф. φ. Притуло); метод познавательных задач (А. Г. Нудельман); метод использования эквивалентных определений понятий (А. А. Столяр); эвристический метод (В. М. Брадис, Ю. М. Колягин, А. Д. Семушин, А. И. Фетисов и др.); метод подведения предметно-специфических событий (термин, используемый авторами) под логическое понятие необходимости и достаточности (И. П. Калошина, Н. В. Миничкина, Г. А. Шманова). В контексте некоторых направлений рассматривается и обучение учащихся доказательству.

Так, например, с помощью последнего метода анализируются логические приемы мышления, лежащие в основе доказательства теорем: прием представления событий в теореме обобщенным способом (в качестве событий выступают условие и заключение теоремы), прием получения из одного обобщенного события другого в соответствии с их логическими отношениями. Каждый из приемов, в свою очередь, отображен в совокупности действий, использование которой позволяет в высшей степени алгоритмизировать и формализовать доказательство теорем. Для того чтобы читатель ощутил все изящество этого метода, приведем часть доказательства теоремы:

Если функция у = f (х) имеет предел при x → +∞, то она ограничена на некотором бесконечном интервале (N, +∞).

Программа, на которую ориентирован студент, включает в себя четыре части: логический анализ формулировки теоремы, разработку логических схем доказательства теоремы, разработку программы реализации схем доказательства, выполнение доказательства. Первая часть содержит четыре действия, вторая — два, третья — два и четвертая — три. Действия, на которые опирается логический анализ формулировки теоремы, следующие:

1. Установление логической формы суждения, представляющего теорему.

2. Выделение в суждении двух событий, взаимосвязь между которыми утверждается в теореме.

3. Установление по форме суждения логического характера взаимосвязи между этими событиями.

4. Установление того, какой характер логических отношений — необходимый, достаточный, необходимый и достаточный — требуется доказать.

Доказательство. Для того чтобы доказать теорему, необходимо в соответствии с составом действий выполнить четыре группы действий.

В соответствии с первым действием устанавливаю логическую форму суждения, представляющего теорему. В данном случае теорема выражена логическим суждением типа «если ..., то ...».

В соответствии со вторым действием выделяю два события, о которых говорится в теореме. Всякая теорема рассматривает два события. В данном случае первое событие, стоящее после слова «если» до слова «то», — функция y = f(x), имеющая предел при х → +∞. Второе событие, идущее после «то», — функция y = f (x) ограничена на некотором бесконечном интервале (N; + ∞ ). Первое событие условно обозначу через А, а второе — через В.

На основании третьего действия по форме суждения устанавливаю логический характер взаимосвязи между выделенными событиями. Данная теорема представлена логическим суждением типа «если ..., то ...», значит, выделенные события взаимосвязаны отношением необходимости либо достаточности, т. е. событие В является необходимым условием для события А, а событие А, в свою очередь, есть достаточное условие для события В.

Согласно четвертому действию делаю вывод: в данной теореме требуется доказать, что событие В (функция y = f(x) ограничена на некотором бесконечном интервале (N; +∞)) является необходимым условием для А (функция y = f(x) имеет предел при х → ∞). Аналогично выполняются действия других трех групп.

Мы намеренно привели этот фрагмент доказательства с целью показать, что возможен высокий уровень обобщения логических приемов и формализации доказательств, а их применение выхолащивает всю красоту математического доказательства, связанную с поиском способа доказательства и его реализацией. Удивительно то, что математики предостерегают от чрезмерного увлечения логикой, тогда как психологи и педагоги пытаются найти все более и более вычурные пути для ее применения. В данном случае радует то, что предлагаемые методические обработки доказательств теорем, содержащихся в книге, написанной весьма известным математиком Г. М. Фихтенгольцем, не ориентированы на среднюю школу. Мы же переходим к рассмотрению нового аспекта проблемы обучения доказательству, отражающему формирование эвристических приемов, адекватных поиску и конструированию доказательств.

Многие методисты (А. К. Артемов, Д. Пойа, Г. Д. Балк, М. Б. Балк, Е. Ф. Данилова, М. И. Бурда, В. И. Крупич и др.) считают центральным звеном в обучении доказательству формирование умения осуществлять поиск доказательства. Особенно много сделано в данном направлении Д. Пойа. Им разработана

общая методика решения математических задач, в частности задач на доказательство, методика использования методов научного познания в решении задач. Лейтмотивом его работ является мысль о том, что важно развивать у учащихся не только логические рассуждения, но и навыки правдоподобного, эвристического мышления.

Последователями Д. Пойа были выделены различные эвристические приемы: аналогии, предельного случая, соображений непрерывности, равносильного преобразования требования задачи, получения следствий, незавершенных задач, постановки и выполнения производного задания, сопоставимого вычленения, сведения задачи к подзадачам, парадигмы и т. д. В ряде работ предлагаются эвристические схемы поиска решения задач. Отметим, что отдельные авторы работ обращают внимание на важность выделения идеи доказательства, ознакомления с ней учащихся, обучения умению осуществлять это действие. Исследование доказательств теорем курса геометрии VII класса, проведенное нами, показало, что многие из них опираются на следующий прием: сравнение двух углов (отрезков) осуществляется посредством введения третьего угла (отрезка), отношения которого с данными фигурами известны. Однако ни в каких методических руководствах для учителей математики об этом не сказано.

Отметим, наконец, и ряд исследований трудностей, возникающих у учащихся при доказательствах (В. И. Зыкова, Л. Н. Ланда, Ф. Н. Гоноболин и др.). Выделяются такие причины, как: плохое качество знаний, неумение их применять, неосознанность умственных операций, неумение устанавливать связи между логическими шагами и т. д. В качестве средств, устраняющих трудности, предлагается использование приемов: формулирования общей идеи доказательства, мотивации дополнительных построений, приведения плана доказательства, проведения доказательства с опорой на краткую запись, использования блок-схемы доказательства, таблиц и т. д. Обращается внимание на целесообразность использования «родственных» отношений между объектами при выполнении дополнительных построений. Приведем примеры.

«Семью» образуют касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания. Поэтому если в задаче задана касательная, то целесообразно на соответствующем рисунке провести радиус в точку касания и использовать их перпендикулярность.

Взаимосвязаны два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой, описанная окружность, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Часто в условии задачи даются не все указанные объекты. Успеху сопутствует восстановление на рисунке отсутствующих объектов. Например, рисунок, содержащий два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой, следует дополнить окружностью, описанной около них.

Блок фигур составляют хорда, перпендикуляр к ней, опущенный из центра окружности, радиус, проведенный в конец хорды, и прямоугольный треугольник, образованный этими отрезками. Если в условии некоторой задачи используются отдельные элементы этого блока (например, хорда), то продвижение в решении задачи можно получить, дополнив рисунок недостающими элементами этого блока (в нашем случае радиусом в конец хорды и перпендикуляром к хорде из центра, тогда рассмотрение образовавшегося прямоугольного треугольника может привести к ответу на вопрос задачи).

Знание «семей» объектов помогает в решении некоторых задач, но и в этих ситуациях подлинный успех обусловлен умением осуществлять преобразования содержания задачи, адекватные поиску способа ее решения. Успешная творческая деятельность обусловлена умением пользоваться методами научного познания (обобщением, конкретизацией, аналогией и т. д.).

Итак, налицо большое число работ, в которых, решается проблема обучения учащихся доказательству. Основными их результатами являются следующие:

Существуют разные точки зрения на содержание понятия «обучение доказательству». Авторы одной из них ставят акцент на обучении школьников поиску способа доказательства и самостоятельному его осуществлению, авторы другой — на обучении умению разбираться в готовых доказательствах. Уже анализ литературы показывает, что эти точки зрения не противоречат друг другу, они лишь отражают две стороны проблемы обучения доказательству: логическую и эвристическую. Между тем реальный процесс доказательства опирается на единство логического и эвристического, в нем логика и эвристика (логические и эвристические приемы мышления, составляющие доказательство) взаимосвязаны и взаимообусловлены. Отсюда следует, что концепция обучения доказательству должна включать обучение как умению разбираться в готовых доказательствах, так и умению самостоятельно осуществлять их поиск и конструирование.

Существующие точки зрения на обучение доказательству определяют соответствующие им направления в исследовании этой проблемы: логические аспекты обучения доказательству и эвристические аспекты этой проблемы. Оба направления представлены большим количеством работ и значительными результатами. В русле первого направления выделены различные логические приемы мышления, лежащие в основе обучения доказательству, во втором направлении отражена совокупность эвристических приемов мышления. Предлагаются многочисленные рекомендации по использованию приемов, зачастую противоречащие друг другу и потому трудно реализуемые в практике обучения. Отсутствует целостная программа обучения доказательству с учетом соответствия ее содержания содержанию обучения математике в различных классах.

Выполненные исследования создали условия целостного решения проблемы обучения доказательству исходя из новой концепции обучения доказательству, основывающейся на деятельностном подходе, единстве логического и эвристического в обучении доказательству и более расширенном содержании самого понятия обучения доказательству.

§ 2. Логическая основа доказательства в школьном курсе математики

Концепция обучения доказательству определяется не только содержанием понятия «доказательство», но и целями, которые выдвигаются в связи с рассмотрением доказательств. Несомненно и то, что ее формирование должно учитывать возрастные особенности школьников. Очевидна зависимость обучения доказательству от содержания обучения математике, от принятой структуры курса, ступеней обучения. Формирование концепции обучения доказательству должно осуществляться с учетом методов обучения, средств и форм обучения математике. Таким образом, обучение доказательству представляет собой сложную систему, структура которой обусловлена многочисленными связями между различными ее составляющими. Рассмотрим прежде всего содержание понятия «доказательство».

Под доказательством в теории, построенной в рамках формальной аксиоматической системы, понимают «такую конечную последовательность (A1, A2, . . ., Аn) предложений теории, что каждое предложение либо аксиома, либо получено из предшествующих предложений этой последовательности по какому-нибудь (из принятых в базисной логической системе) правилу вывода. Если существует хотя бы одна такая последовательность предложений, оканчивающаяся предложением Т, то Т — теорема или выводимое предложение теории» [15]. Дедуктивная система включает систему специфических аксиом теории, систему логических аксиом и исходных правил вывода, определяющих логический язык развиваемой теории. Ясно, что школьный курс математики далек от формальных математических теорий. Поэтому смыслы термина «доказательство» в содержательной и формальной теориях различны. Итак, какой же смысл приобретает доказательство в понятийно-терминологической системе методики обучения математике?

Доказательства представляют собой цепочки умозаключений (правильных), ведущих от истинных посылок (исходных для данного доказательства суждений) к доказываемым (заключительным) тезисам. Истинность посылок не должна обосновываться в самом доказательстве, а должна каким-либо образом устанавливаться заранее. В этом заключается логический смысл доказательства. Однако рассмотрение доказательства как педагогической задачи выходит за рамки этого представления и приобре-

тает более широкий смысл. Доказательство выступает не только борением разных логик, но и борением эвристик, что обусловливает широкий поиск различных способов доказательства, их оценку. Посредством доказательства устанавливается истинность данного суждения. Доказательство включает в себя три основных элемента:

1) Тезис, установить истинность которого — главная цель доказательства. Форма выражения тезиса — суждение.

2) Аргументы (основания) доказательства — положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов — суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключениям, которые строятся по определенным правилам.

3) Демонстрация — логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

К тезису, аргументам и демонстрации предъявляют определенные требования, нарушение которых приводит к ошибкам в доказательствах. К доказываемому предложению (тезису) предъявляют следующие требования:

1) Тезис должен быть сформулирован ясно и определенно. (Под логическим предложением понимаем грамматическое предложение, выражающее суждение.) Пример небрежной формулировки тезиса: большей дуге соответствует большая хорда (это справедливо для дуг одной и той же или равных окружностей и при условии, что большая дуга меньше полуокружности).

2) Тезис должен оставаться неизменным на протяжении всего доказательства (точнее, тезис может заменяться, но лишь равносильным ему).

Перечислим требования к аргументам. Они следующие:

1) Аргументы доказательства должны быть суждениями истинными и доказанными.

2) Аргументы должны быть такими суждениями, истинность которых доказана независимо от тезиса.

К типичным случаям нарушения первого требования относят:

а) использование в качестве аргумента доказательства такого положения, которое само нуждается в доказательстве;

б) использование в качестве аргумента доказательства ложного суждения;

в) использование в качестве основания суждения, с помощью которого можно доказать не только данный тезис, но и заведомо ложные утверждения.

Нарушение второго требования приводит к «порочному кругу» в доказательстве.

В демонстрации, т. е. в переходе от аргументов к тезису, также возможны ошибки, обусловленные нарушением правил вывода, используемых в этом переходе. Различают ошибки двух видов:

а) тезис не вытекает из аргументов, а произвольно присоединяется к ним;

б) тезис выведен из аргументов путем ошибочного умозаключения.

Очевидно, что число таких ошибок уменьшилось, если бы правила вывода были бы предметом изучения в школе. Читатель может ознакомиться с примерами ошибочных доказательств по книгам [3] и [4].

Способ связи аргументов от условия к заключению суждения называют методом доказательства. Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, делят на прямые и косвенные (по тому, как строится обоснование тезиса). Методы доказательства делят и в зависимости от математического аппарата, используемого в доказательстве.

Различают следующие приемы прямого доказательства:

1) прием преобразования условия суждения (синтетический);

2) прием преобразования заключения суждения: отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ);

3) прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.

К приемам косвенного доказательства относят:

1) метод «от противного» (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения);

2) разделительный (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предложений, когда отвергаются все предположения, кроме одного).

В зависимости от математического аппарата методы доказательства разделяются на алгебраические, метод геометрических преобразований, векторный и т. д.

Методы доказательства, основанные на использовании математического аппарата, рассматриваются в главе IV. Здесь мы остановимся на обсуждении приемов прямого и косвенного доказательства.

Прием преобразования условия (синтетический)

Теорема. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны и AB = CD (рис. 1).

Проведем диагональ АС, разделяю-

Рис. 1

щую данный четырехугольник ABCD на два треугольника: ABC и CDА. Так как AB и CD — параллельные прямые, а АС — секущая, то ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и CD секущей АС.

В треугольниках ABC и CDA АС — общая сторона, ∠1 = ∠2, AB = CD по условию, следовательно, △АВС = △CDА (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что ∠3 = ∠4 (в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы).

Углы 3 и 4 образованы при пересечении прямых AD и ВС секущей АС и являются накрест лежащими углами (определение накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух прямых третьей).

Так как ∠3 = ∠4, то прямые AD и ВС параллельны (признак параллельности прямых).

В четырехугольнике ABCD АВ||CD и AD||BC, следовательно, ABCD — параллелограмм (определение параллелограмма).

Суть синтетического доказательства заключается в том, что из условия У доказываемого предложения выводят следствие B1, затем из В, выводят B2 и так до тех пор, пока следствием не окажется заключение 3 предложения. Другими словами, суть рассматриваемого приема состоит в доказательстве того, что заключение необходимо для условия доказываемого предложения. Схематично этот вид рассуждения можно изобразить так:

У ⇒ B1 ⇒ B2 ⇒ ... ⇒ Вn ⇒ З.

Заметим, что выведение предложений осуществляется с привлечением известных фактов (теорем, аксиом, определений). Учитывая это, суть синтетического доказательства можно изобразить следующим образом:

T, У ⇒ З,

где Т — предложения некоторой теории.

Каждый абзац в записи доказательства представляет собой логический «шаг», для свершения которого необходимо знание особых правил (правил вывода), общего утверждения, называемого большой посылкой (в тексте она указана в скобках; в доказательствах из учебников большие посылки обычно не фиксируются), частного утверждения, называемого малой посылкой.

Прием преобразования заключения (восходящий анализ)

Раскроем этот прием на уже рассмотренной теореме.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD — параллелограмм, достаточно доказать, что AB||CD и AD||BC.

Учитывая, что АВ||CD по условию, докажем параллельность сторон AD и ВС.

Для доказательства того, что AD||BC, достаточно доказать, что ∠3 = ∠4.

Для доказательства равенства углов 3 и 4 достаточно доказать, что ААВС = ACDA.

Для доказательства равенства треугольников достаточно доказать, что ∠1 = ∠2 и AB = CD.

Равенство сторон AB и CD задано условием, а для утверждения равенства углов 1 и 2 достаточно доказать, что AB||CD. Последнее входит в условие.

Процесс рассуждения по методу восходящего анализа можно изобразить следующей схемой:

Для доказательства заключения подбирают суждение B1, являющееся достаточным условием для заключения, затем подбирают суждение B2, достаточное для B1, и так до тех пор, пока не обнаружат, что данные являются достаточным условием для суждения Вn из цепи суждений, достаточных для заключения доказываемого предложения. Другими словами, суть метода восходящего анализа заключается в доказательстве того, что условие предложения является достаточным для его заключения.

Прием преобразования заключения (нисходящий анализ) Задача. Доказать, что при а > 0, b > 0, c > 0

(1)

Доказательство. Предположим, что неравенство (1) верно, тогда будут верными и неравенства, полученные путем выполнения указанных ниже преобразований неравенства (1).

Умножим обе части неравенства (1) на а+b+с и, производя дальнейшие преобразования, последовательно перепишем его следующим образом:

(2) (3) (4) (5) (6)

Мы установили: (1) ⇒ (2), (2) ⇒ (3), (3) ⇒ (4), (4) ⇒ (5), (5) ⇒ (6), или (1) ⇒ (6). Неравенства (6) могут быть приняты в качестве исходных для доказательства неравенства (1), которое будет заключаться в проверке обратимости всех шагов, т. е. в установлении соотношений (6) ⇒ (5), (5) ⇒ (4), (4) ⇒ (3), (3) ⇒ (2), (2) ⇒ (1).

Итак, сущность нисходящего анализа заключается в следующем: исходя из допущения, что заключение доказываемого предложения верно, получают следствия B1, B2 и т. д. до тех пор, пока не приходят к выводу, который может служить исходным соотношением в цепи обратных рассуждений. Очевидно, что этим путем находят условие, необходимое для заключения доказываемого предложения. Поэтому в отличие от восходящего анализа этот вид анализа не является доказательным. Установление того, что найденное верное соотношение является и достаточным условием для доказываемого утверждения, суть соответствующего ему вида синтеза.

Нисходящий анализ применяется при решении задач на построение, что выражается в следующем: предполагают, что задача решена — требуемая фигура построена и путем различных преобразований этой фигуры отыскивают такую фигуру, которую можно построить и которая определяла бы построение искомой фигуры. Известно, что компонентом решения задачи на построение является доказательство, которое и имеет целью обосновать, что построенная фигура удовлетворяет заданным требованиям.

Прием последовательного преобразования то условия, то заключения предложения

Реальный процесс доказательства некоторого предложения не осуществляется только по одному пути: аналитическому либо синтетическому. Он следует как по одному, так и по другому. Применительно к рассмотренной теореме процесс ее доказательства будет осуществляться примерно следующим образом:

Учитель. Как доказать, что четырехугольник ABCD— параллелограмм? (Что нужно знать, чтобы утверждать, что четырехугольник ABCD — параллелограмм?)

Ученики. Для этого надо доказать, что AB||CD и AD||BC.

Учитель. Как доказать параллельность двух прямых?

Ученики. Для этого надо доказать, что выполняется один из признаков параллельности прямых.

Учитель. Давайте обратимся к условию теоремы и чертежу. Нет ли в условии того, что облегчит наш дальнейший поиск?

Ученики. В условии сказано, что AB||CD. Значит, нам нужно доказать, что AD||BC.

Учитель. Как это сделать?

Ученики. Можно воспользоваться одним из признаков параллельности прямых. Надо доказать, что либо ∠А+ ∠B = 180° (∠С + ∠D = 180°), либо ∠3 = ∠4 (∠ABD = ∠CDB), либо угол А равен углу, смежному с углом В.

Учитель. Итак, мы наметили несколько путей поиска доказательства теоремы. Давайте обсудим их и выберем наиболее удобный в заданной ситуации. Для этого придется вновь обратиться к условию теоремы. Что же нам дано?

Ученики. AB = CD и AB||CD.

Учитель. Давайте развернем эти условия. Что же следует из данных?

Ученики. ∠A+∠D = 180°; ∠B+∠C = 180°; ∠1 = ∠2; ∠CBD = ∠BDA; угол А равен углу, смежному с углом D.

Учитель. Какой же из выделенных нами путей является более простым?

Ученики. Доказать, что ∠3 = ∠4. Его простота обусловлена тем, что эти углы вместе с углами 1 и 2, равными друг другу, являются углами треугольников ABC и CDA, которые имеют еще и по равной стороне.

Учитель. Давайте докажем, что △АВС = ∠CDA.

Ученики. Они равны по первому признаку равенства треугольников (∠1 = ∠2 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС, АС — общая сторона, AB = CD по условию). Следовательно, ∠3 = ∠4, а потому AD||BC.

Учитель. Каков же общий вывод?

Ученики. В четырехугольнике ABCD AB||CD, AD||BС. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм.

Далее учителю следует обратить внимание учащихся на то, что аналогичное решение получили бы, доказывая, что ∠CBD = ∠BDА. В данном случае надо обосновать равенство треугольников ABD и DBС. Этот вариант доказательства можно было бы предложить некоторым ученикам в качестве домашней работы. Можно поступить и так: этот вариант рассмотреть на уроке, а книжный — дома.

На заключительном этапе работы с теоремой (задачей) целесообразно обсудить с учащимися все предложенные ими пути доказательства. В нашем случае такая работа сводится к обсуждению путей, ведущих к доказательству того, что: а) ∠А + ∠В = 180°; б) угол А равен углу, смежному с углом В. Легко увидеть, что, доказав а), мы доказали и б) и наоборот. Поэтому исследуем вариант a): ∠В + ∠С = ∠В+ ∠2+ ∠4 = ∠B+∠1 + ∠4 = 180°. Чтобы перейти от суммы ∠B+∠C к сумме ∠В+∠А и доказать, что ∠A + ∠B = 180°, надо доказать равенство углов 3 и 4, для чего требуется доказательство равенства треугольников ABC и CDА. Рассматриваемый вариант доказательства теоремы оказался более сложным по сравнению с приведенным выше. Некоторым ученикам можно предложить воспользоваться этим путем доказательства.

Метод доказательства «от противного»

Вопрос о содержании метода доказательства «от противного» в методической литературе освещался неоднократно. Авторы работ, посвященных данной теме, обычно рассматривают этот метод как замену доказательства данной теоремы доказательством

теоремы, противоположной обратной. Так, И. С. Градштейн пишет: «Часто непосредственное доказательство той или иной теоремы представляет большие затруднения (иногда оказывается даже невозможным), между тем как доказательство теоремы, противоположной обратной, не представляет особой сложности. В таких случаях вместо прямой теоремы доказывают равносильную ей противоположную обратной. Однако вместо того, чтобы говорить о замене доказательства данной теоремы доказательством теоремы, противоположной обратной, говорят о доказательстве «от противного».

Логическая основа метода доказательства «от противного» усматривается в эквивалентности импликации А ⇒ В и ее контрапозиции ¬B ⇒ ¬А. Однако такая трактовка этого метода несколько ограничивает его содержание.

Рассматривая принцип доказательства теоремы методом «от противного» в более широком плане, мы показываем, что предположение о ложности заключения теоремы приводит к противоречию с аксиомой или с уже известной теоремой. Формулировка принципа доказательства «от противного» может быть дана в следующей форме:

Пусть Г — множество посылок, включающее аксиомы, определения и ранее доказанные теоремы теории, на языке которой выражено и доказываемое предложение Т. Тогда допущением косвенного доказательства будет ¬Т. Устанавливается следование Г, ¬T ⇒ ¬A, где А∈Г. По свойствам следования имеем также Г, ¬Т ⇒ А. Но из Г, ¬T ⇒ ¬A и Г, ¬Т ⇒ А получаем Г ⇒ Т [13].

Сведение доказательства импликации к доказательству ее контрапозиции является частной формой метода доказательства «от противного», при которой показывается, что предположение о ложности теоремы приводит к противоречию с исходным предложением. Однако часто проще получить противоречие не с исходным предложением, а с аксиомой или ранее доказанной теоремой.

Проиллюстрируем сказанное на доказательстве теоремы: Если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Доказательство. Допустим, что утверждение, которое нам нужно доказать, неверно, т. е. углы 1 и 2 не равны (рис. 2). Проведем через точку Р прямую так, чтобы ∠A1PQ = ∠PQD. Тогда будем иметь, что прямые A1B1, и CD параллельны. Так как AB и — различные прямые, то получаем, что существуют две прямые, проходящие через точку Р и параллельные CD. Но это противоречит аксиоме параллельности.

Так как предположение, что углы 1 и

Рис. 2

2 не равны, привело к противоречию, то это предположение неверно. Следовательно, ∠1 = ∠2.

Конечно, можно закончить доказательство, показав, что из нашего допущения действительно вытекает отрицание предположения теоремы, т. е. заменить доказательство теоремы доказательством теоремы, противоположной обратной: «...A1B1||CD по известной теореме. А так как по аксиоме параллельности существует только одна прямая, содержащая точку Р и параллельная прямой CD, то прямая AB не параллельна прямой CD. Но это противоречит условию, что прямые AB и CD параллельны». Однако эта концовка излишняя, она лишь загромождает доказательство.

Метод исключения предложений

Теорема. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны [23].

Доказательство. Обозначим прямые пересечения через а и b, а параллельные плоскости через α, ß. Тогда могут представиться следующие случаи: а) а и b — скрещивающиеся прямые; б) а и b пересекаются; в) а и b параллельны. Случай а) отвергается сразу, так как прямые а и b принадлежат одной плоскости. Если бы имел место случай б), то плоскости α и ß пересекались бы, а нам известно, что они параллельны. Остается принять случай в), т. е. а||b.

Различают содержательные и формальные доказательства, применяющиеся соответственно в содержательных (неформальных) или полуформальных и формальных математических теориях.

Школьный курс математики включает начальные фрагменты некоторых математических теорий (алгебры, геометрии, анализа) в содержательном изложении. Поэтому и доказательства в школьном курсе математики строятся как содержательные доказательства, в которых используются обычные рассуждения, а правила логического вывода не фиксируются. Приведем в качестве примера доказательство теоремы:

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм— прямоугольник [21].

Доказательство. Пусть в параллелограмме ABCD диагонали АС и BD равны (рис. 3). Треугольники ABD и DCA равны по трем сторонам (AB = DC, BD = CA, AD — общая сторона). Отсюда следует, что ∠A = ∠D. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ∠А = ∠C и ∠B = ∠D. Таким образом, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D. Параллелограмм — выпуклый четырехугольник, поэтому ∠A + ∠B+ ∠С+ ∠D = 360°. Следовательно, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°, т. е. параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Рис. 3

Это доказательство можно записать в виде такой последовательности предложений:

1) ABCD — параллелограмм

По условию

2) AC = BD

По условию

3) AB = DC

Свойство параллелограмма

4) AD = AD

Аксиома 11

5) AABD = ADCA

Утверждения 2, 4

6) ∠A = ∠D

Свойство равных треугольников (в учебнике отсутствует)

7) ∠A = ∠С и ∠B = ∠D

Свойства параллелограмма

8) ∠D = ∠C и ∠A = ∠B

Утверждения 6, 7 и свойство транзитивности

9) ∠A = ∠B = ∠C = ∠D

Утверждения 7, 8

10) ABCD — выпуклый четырехугольник

Задача 378

11) ∠А+ ∠B+ ∠C+ ∠D = 360°

Свойство выпуклого четырехугольника

12) ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

Утверждения 9, 11

13) ABCD — прямоугольник

Утверждения 1, 12

Рассмотренный пример показывает, что доказательства в школьном курсе математики опираются не только на объекты математики, в них используются и понятия обычного, естественного языка (а также понятия физики, механики и т. д.). К тому же зачастую либо делается ссылка на интуитивно ясные факты, либо применяются теоремы, не доказанные в курсе геометрии. В данном доказательстве используется положение о том, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

Еще пример. Доказательство теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника опирается на многие факты, не рассмотренные или не обоснованные в учебнике, однако истинность их не может вызвать сомнений: возможность отложить на отрезке другой отрезок меньшей длины; если ОС — внутренний луч угла ОАВ, то ∠AOC < ∠AOB и т. д.

Сочетание интуитивных воззрений в доказательстве с логическими моментами создает определенные трудности использования логического аппарата для выявления логики доказательства, т. е. тех средств вывода, которые неявно используются в доказательствах. Отказ от интуитивных моментов потребовал бы поднять уровень доказательства, что невозможно из-за возрастных особенностей школьников. Но тем не менее следует даже на самых первых уроках геометрии VII класса использовать развернутую запись доказательства теоремы с акцентированием внимания на утверждениях, обоснованиях и умозаключениях. Ясно, что сказанное не исключает важности приобщения школьников к открытию фактов и способов их обоснования.

Надо сказать, что уровень строгости доказательств зависит от построения школьного курса геометрии. Например, учебник

геометрии А. В. Погорелова построен на аксиоматике, которая вводится постепенно, что предполагает постепенное усиление строгости доказательности утверждений. Построение учебника геометрии Л. С. Атанасяна и др. осуществляется на дедуктивной основе, но сама система аксиом не вводится (она содержится в приложении к учебнику), для аргументации используются ранее доказанные теоремы, интуитивно ясные положения, свойства фигур, вычитанные из рисунка. Ряд учебников геометрии отличает то, что используемая в них система аксиом вводится в начале курса, раскрывается смысл терминов «аксиома», «теорема», «доказательство». Ясно, что последний вариант учебников предоставляет возможность осуществлять доказательства уже на достаточно высоком уровне строгости, который, естественно, должен отвечать возрастным особенностям школьников.

Каждая теорема содержит утверждения, относящиеся ко всем объектам определенного рода и отношениям между ними. Между тем доказательство, будучи связано с конкретным чувственно-наглядным образом — рисунком, строго говоря, относится к последнему и только через него уже к тем, идеальным объектам, для которых данный образ считается полноправным представителем. Это положение вместе с сжатостью изложения доказательств в школьном курсе геометрии требует не только развернутой записи доказательства в виде последовательности предложений, но и обращения к умозаключениям, к выделению посылок, т. е. теорем, используемых при выводе. Так, в отношении к доказательству ранее рассмотренной теоремы это требование будет конкретизироваться тем, что учащиеся должны будут развернуть, например, умозаключение, приводящее к выводу 3:

В любом параллелограмме противоположные стороны равны. (Большая посылка.)

AB и DC — противоположные стороны параллелограмма ABCD. (Малая посылка.)

AB = DC. (Вывод.)

Пропедевтика ознакомления с умозаключениями может осуществляться еще до изучения систематического курса геометрии.

Возвращаясь к содержанию понятия доказательства, мы видим, что зачастую его отождествляют с отдельным элементом — демонстрацией. В этом случае действительно обучение доказательству сводится к разучиванию готовых доказательств. Эта мысль очень четко звучала, например, в работе Ф. Н. Гоноболина «К вопросу о понимании геометрических доказательств учащимися». (Изв. АПН РСФСР. — 1954. — Вып. 54.) Он выделяет три уровня понимания доказательства. Первый уровень характеризуется тем, что учащиеся схватывают лишь отдельные фрагменты доказательства без последующей их связи друг с другом. Основная черта второго уровня состоит в понимании учащимися последовательной связи отдельных элементов доказательства, но

без выделения логической схемы, без обобщения системы его основных связей. Третьему уровню свойственны понимание учеником идеи доказательства, его принципа, способность ученика применять усвоенную им схему рассуждений в другой, измененной ситуации. Однако доказательство включает и аргументы, что предполагает поиск способа обоснования, умения использовать нужные теоремы и их комбинации, соотносить их с заданными условиями и т. д. Обучение такому доказательству требует более широкого толкования этого явления, что обусловливает и иное представление об уровнях понимания доказательства (см., например, приведенную выше точку зрения И. Лакатоса).

Рассмотрев логическую основу доказательства, перейдем к построению методической концепии обучения доказательству.

§ 3. Методическая концепция обучения доказательству

Роль и место доказательства в обучении математике

Умение доказывать включает различного рода действия (логические, познавательные, учебные и т. д.). Методика обучения учащихся доказательству должна ответить на вопросы:

1) Зачем надо доказывать?

2) Что надо доказывать?

3) Как надо доказывать?

Ответ на первый вопрос обусловлен мотивационным компонентом деятельности, который обеспечивается действиями целеполагания и мотивации. Второй вопрос актуализирует действия анализа теоремы — выделение условия, заключения теоремы, объектов, отношений между ними, построение графической модели ситуации, отраженной в теореме. С данным вопросом соотносится и открытие доказываемых фактов, что обеспечивается владением и различными эвристиками. Ответ на третий вопрос предполагает поиск метода доказательства, его соотнесение с доказываемым утверждением, прогнозирование результатов использования метода, нахождение других методов доказательства, выбор наиболее оптимального из них и т. д.

Ответ на вопрос: «Зачем доказывать?» — в его широком понимании обусловлен целями обучения доказательству, которые, в свою очередь, обусловлены целями обучения математике.

Проблема целей обучения математике является одной из сложных проблем методики преподавания математики, не получившей до сих пор положительного решения. Многие исследователи упрекают друг друга в слишком общем характере отмечаемых ими целей обучения, в недостаточно четкой и корректной их формулировке. Мы не ставим перед собой задачи решить эту проблему, однако считаем необходимым высказать свою точку зрения на нее. Из дидактики известно, что процесс обучения и его компоненты могут быть подвергнуты анализу на следующих

уровнях: 1) теоретического представления о процессе обучения; 2) учебного предмета; 3) учебного материала; 4) реализации содержания образования; 5) усвоения личностью содержания образования. Эта схема используется для анализа понятия приема обучения, однако, очевидно, она может служить основанием и для анализа других педагогических категорий, в частности целей обучения. Следуя логике этой схемы, цели обучения математике могут быть рассмотрены на уровнях: 1) теоретического представления о математическом образовании; 2) учебного предмета математики; 3) учебных материалов. На уровне теоретического представления цели обучения математике могут быть сформулированы в достаточно общем виде, и на этом уровне они определяют содержание. Положение дидактики о том, что содержание обучения является дидактической моделью целей обучения, справедливо для этого уровня анализа. Однако после того, как содержание учебного предмета сконструировано и написан учебник, приоритетным во взаимосвязи целей и содержания обучения математике становится содержание обучения, и оно уже обусловливает цели обучения. Другими словами, цели и содержание обучения находятся в диалектической связи, в зависимости от уровня анализа акцент в приоритете делается либо на целях, либо на содержании обучения. Эта мысль прослеживается и в Программе по математике. Вначале сформулированы самые общие цели, затем цели изучения курса математики, курса алгебры, курса геометрии, курса алгебры и начал анализа, после чего цели обучения трансформируются в знания и умения школьников. В рамках же конкретного учебника математики возможна еще большая конкретизация целей обучения (знаний, умений и навыков школьников).

Проиллюстрируем сказанное конкретным примером. Общие цели (задачи) обучения математике:

формирование представлений об идеях и методах математики и их роли в познании действительности;

овладение системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения других дисциплин, для продолжения обучения в системе непрерывного образования;

формирование и развитие средствами математики качеств личности, необходимых человеку для его полноценного функционирования в обществе.

Так сформулированы цели обучения математике в «Концепции школьного математического образования» (цели обучения математике нами взяты из «Концепции...» потому, что в ней они сформулированы более четко, чем в Программе, и с учетом новых образовательных идей).

Есть попытки конкретизации перечисленных целей, в частности с позиции гуманизации образования, например:

овладение комплексом математических знаний, умений и навыков, необходимых: а) для повседневной жизни и профессиональной деятельности, содержание которой не требует использования математических знаний, выходящих за пределы потребностей повседневной жизни; б) для изучения на современном уровне предметов естественно-научного и гуманитарного циклов; в) для продолжения изучения математики в любой из форм системы непрерывного образования (в том числе при переходе к обучению по любому профилю на старшей ступени обучения);

формирование и развитие качеств мышления, необходимых образованному человеку для полноценного функционирования в современном обществе, в частности формирование эвристического и алгоритмического мышления;

формирование и развитие абстрактного мышления, и прежде всего его дедуктивной составляющей как специфической для математики;

реализация возможностей математики в формировании научного мировоззрения учащихся, в освоении ими научной картины мира;

формирование и развитие у учащихся потребности и способности непрерывно и целенаправленно расширять и углублять свои знания;

формирование математического языка и математического аппарата как средства описания и исследования окружающего мира и его закономерностей, в частности как базы компьютерной грамотности;

ознакомление с ролью математики в развитии человеческой цивилизации, в научно-техническом прогрессе, в современной науке и производстве;

ознакомление с природой научного знания, с принципами построения научных теорий в единстве и противоположности математики и естественных наук;

формирование и развитие морально-этических качеств личности, адекватных процессу полноценной математической деятельности. (Дорофеев Г. В. О принципах отбора содержания школьного математического образования//Математика в школе. — 1990.—№ 6.—С. 2—5.)

Сформулировав цели математического образования и соответствующие им принципы отбора содержания обучения математике, Г. В. Дорофеев выделяет на уровне общего математического образования целевые группы знаний, соответствующие различным разделам математики (арифметика, геометрия, алгебра, математический анализ, теория вероятностей и математическая статистика, логика, информатика, язык, история и философия математики).

Легко видеть, что в реализации общих целей математического образования огромное значение принадлежит доказательствам. Действительно, овладение комплексом математических зна-

ний и умений предполагает овладение доказательством, ибо важное место в системе математических знаний занимают теоремы, изучение которых связано с доказательствами; умения применять знания (теоремы, понятия, аксиомы) предполагают выполнение доказательств. Формирование алгоритмического, эвристического, абстрактного мышления учащихся осуществляется также главным образом в процессе доказательств. Вне этого процесса невозможна реализация и других целей, в частности цели формирования морально-этических качеств личности. Обучение математике предполагает обучение способам деятельности по приобретению знаний, что требует выявления и освоения в процессе обучения математике различных схем используемых в математике рассуждений. «Ответственность преподавателей математики здесь особенно велика, так как отдельного предмета «логика» в школе нет и знакомство с началами логики практически в значительной мере происходит на уроках математики. При этом нет никаких оснований бояться широкого внедрения в школьный курс символических обозначений и формул математической логики, записывая, например, правило силлогизма в виде

или схему доказательства «от противного» в виде

Здесь речь идет о символической записи законов обычной общечеловеческой логики», — подчеркивает А. Н. Колмогоров в своей статье «Научные основы школьного курса математики». (Математика в школе. — 1969. — № 3. — С. 17.)

В связи с приведенными словами А. Н. Колмогорова заметим, что возможности ознакомления школьников с логическими схемами рассуждений в рамках даже ныне действующих учебников математики возросли. Дело в том, что упражнения на распознавание объектов, принадлежащих понятию, выведение следствий из факта принадлежности понятию являются неотъемлемым атрибутом методики формирования математических понятий, а потому «проникли» во все учебники математики. А ведь ученики, выполняя такие упражнения, рассуждают либо по правилу заключения, либо по правилу отрицания. Действительно, отвечая, например, на вопрос: «Что следует в силу определения смежных углов из того, что углы 1 и 2 смежные?» — ученики используют следующую схему рассуждений:

Смежные углы имеют общую сторону, а две другие являются дополнительными лучами. (Большая посылка.)

Углы 1 и 2 являются смежными. (Малая посылка.)

Одна сторона углов 1 и 2 общая, а две другие — дополнительные лучи. (Вывод.)

Выполняя упражнение на распознавание смежных углов, например заданных рисунком 4, ученики рассуждают так:

Смежными являются углы, у которых одна общая сторона, а две другие стороны — дополнительные лучи. (Большая посылка.)

Углы 1 и 2 не имеют общей стороны. (Малая посылка.)

Углы 1 и 2 не являются смежными. (Вывод.)

В первой ситуации используется правило заключения, во второй — правило отрицания. Учителю остается лишь обобщить конкретные рассуждения, познакомить школьников с общей схемой рассуждений и с ее символической записью:

В дальнейшем эти логические схемы могут служить ориентировочными основами действий школьников в процессе выполнения ими упражнений на распознавание и выведение следствий.

В Программе по математике для общеобразовательных учреждений дается конкретизация целей обучения, что определяет стиль изложения элементов математики и, в частности, уровень строгости доказательств (последнее определяется не только целями обучения, но и возрастными особенностями школьников, профилем обучения и т. д.). Цели изучения курса геометрии в VII—IX классах формулируются, например, так: систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин и курса стереометрии в старших классах.

Указанные цели конкретизируются следующим набором умений, которыми должен овладеть ученик в результате изучения этого курса:

изображать геометрические фигуры, указанные в условиях теорем и задач, и выделять известные фигуры на чертежах и моделях;

решать типичные задачи на вычисление, доказательство и построение, опираясь на теоретические сведения, полученные в курсе;

проводить доказательные рассуждения в ходе решения типичных задач;

вычислять значения геометрических величин, применяя изученные свойства и формулы, и т. д.

В методических пособиях для учителей цели обучения математике получают еще большую конкретизацию в отношении сопо-

ставления их уже с конкретной темой учебного предмета (алгебра, геометрия, алгебра и начала анализа).

Говоря о роли и месте доказательств в обучении математике, мы не можем удержаться от соблазна привести слова, подтверждающие их особую значимость: «Доказательство в математике не все, но без него в ней нет ничего» [8]. Обучать математике — обучать доказательству — такой основной вывод напрашивается из рассмотрения целей математического образования.

Проблема обучения доказательству не может быть решена без учета возрастных возможностей учащихся. Выше мы отмечали, что структуры мозга, руководящие аналитической деятельностью, формируются к 14 годам, поэтому систематическое использование доказательств возможно не ранее VII класса, хотя обучение элементам доказательства должно осуществляться в V—VI классах. По мнению психологов, в младших классах доказательство должно сводиться к проверке полученного результата перепроверкой или каким-либо другим действием. Однако, как отмечает П. П. Блонский, проверяющее мышление постепенно развивается в доказывающее мышление. Направляющим моментом в этом процессе становится вопрос: «Истинно ли? Соответствует ли действительности?»

К 13—14 годам жизни мозг школьника становится способным овладеть абстрактным, обоснованным, рассуждающим мышлением. Подростковый возраст «можно назвать возрастом развития доказывающего мышления — доказывающего как с точки зрения формальной правильности, так и с точки зрения истинности, соответствия данных положений действительности» (П. П. Блонский). Развитие доказательного мышления, отмечает далее П. П. Блонский, проходит две стадии. В собственно подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их: в этом возрасте доказывание скорее дело памяти. Из «собственных доказательств» чаще других применяется гипотетическое умозаключение, причем чаще всего отрицательный модус. В юношеском же возрасте уже заметно выступают критическое отношение к даваемым доказательствам и стремление к своим доказательствам.

В связи со сказанным еще раз заметим, что школьные учебники математики дают хорошую возможность для использования правила отрицания, что согласуется с рекомендацией П. П. Блонского. Из сказанного следует важность обучения школьников умению разбираться в готовых доказательствах, и этот этап должен предшествовать этапу обучения самостоятельному доказательству, хотя это и не исключает на начальном этапе формирование отдельных эвристических приемов. Крайне важно правильно расставить акценты в обучении доказательству школьников подросткового периода, так как он характерен становлением логического мышления учащегося.

Говоря о месте доказательств в школьном курсе математики, уместно вспомнить мнение Д. Пойа: «Прежде всего, учащийся должен быть убежден, что доказательства заслуживают того, чтобы их изучали, что они необходимы и интересны. В судебном разбирательстве, например, доказательства необходимы. Подозревают, что обвиняемый виновен, но это только подозрение, твердой уверенности в нем нет. Виновен обвиняемый на самом деле или нет — это еще надо доказать. Цель юридического доказательства состоит в том, чтобы устранить сомнения, но именно такова и самая очевидная, и самая естественная цель математического доказательства. У нас имеются сомнения в справедливости ясно сформулированного математического утверждения, мы не знаем, верно оно или ложно. В этом случае перед нами стоит альтернатива: для того чтобы ликвидировать сомнение, нужно либо доказать это утверждение, либо опровергнуть его.

Теперь я могу пояснить, почему я так твердо убежден, что доказательству упомянутого ранее предложения (имеется в виду теорема: «Из трех данных точек, расположенных на одной прямой, единственная лежит между двумя другими») не может быть места в средней школе. Юнец школьных лет, познакомившись с утверждением о трех точках, не усомнится в нем. Здесь перед нами не встает задача ликвидировать сомнение — и поэтому доказательство кажется бесполезным, бесцельным, бессмысленным... Оно может создать у учащихся впечатление, что математика занимается тем, что весьма неочевидным путем доказывает совершенно очевидные вещи».

Уместно привести и такие слова Д. Пойа: «Нужно ли в средней школе обучать проведению математических доказательств? Мне кажется, что ответ вряд ли может вызвать сомнения... Строгие доказательства — это отличительный признак математики; он представляет собой существенную часть вклада математики как науки в общую культуру. Учащийся, на которого математическое доказательство ни разу не оказало впечатляющего влияния, упустил одно из важнейших интеллектуальных переживаний». Можно только добавить то, что интеллектуальные переживания ученика во многом обусловлены действиями учителя и авторов методических пособий. Эти переживания достигают апогея в случае приобщения школьников к открытию теорем, их формулировок. В этом случае понимание необходимости логического обоснования утверждений возрастает.

Итак, доказательства в школьном курсе математики играют огромную роль. Они являются источником и условием развития логического, абстрактного, дедуктивного и эвристического мышления. Они представляют сплав логического и эвристического. Велико их значение в формировании и развитии нравственных качеств личности. Доказательства являются способом систематизации учебного материала, с их помощью и посредством их устанавливается связь между доказываемой теоремой и ранее

доказанными теоремами. Они являются средством мотивации и получения обучаемым новых знаний, в процессе доказательств развиваются важнейшие интеллектуальные и учебные умения. Велико и общекультурное значение доказательств.

Структура деятельности обучения доказательству в школьном курсе математики

Итак, под обучением доказательству мы понимаем обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию доказательства, а также опровержению предложенных доказательств. Исходным моментом в обучении учащихся доказательству является формирование потребности в логических доказательствах. На это указывается во многих исследованиях, авторы которых предлагают и различные средства осуществления этой цели.

Потребность служит источником активности, проявлением которой являются мотивы. Следовательно, формирование потребностей учащихся в логических обоснованиях обусловливает развитие мотивов к соответствующей деятельности. Средства формирования потребностей выступают в качестве мотивации введения доказательств. Вообще говоря, изучение любой теоремы предполагает мотивацию ее введения. Этот аспект методики работы с теоремой специально рассматривается в главе V.

Очевидно, что потребность в логических обоснованиях должна формироваться еще при изучении пропедевтического курса геометрии, т. е. в V—VI классах. Как уже было сказано, в младшем подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их. Поэтому важно еще до изучения систематического курса геометрии осуществлять формирование у школьников некоторых навыков дедуктивных умозаключений и добиваться понимания ими того факта, что из одних утверждений логическим путем можно выводить новые утверждения. Как было отмечено в предыдущем параграфе, достижению этой цели могут служить, в частности, упражнения на распознавание объектов, принадлежащих понятию, и выведение следствий из принадлежности объекта данному понятию. Таким образом, указанные упражнения являются средством решения сразу нескольких задач: формирования понятий, навыков дедуктивных умозаключений, потребности в логических обоснованиях, понимания того, что из одних предложений можно выводить новые.

Наши наблюдения приводят к выводу о том, что у школьников VII класса развивается естественная потребность в проведении доказательств. В связи с обсуждаемым вспоминается такой эпизод. Учащиеся одной из школ г. Саранска начали экспериментально обучаться по учебнику геометрии А. В. Погорелова, в то время как их сверстники обучались по учебнику геометрии

А. Н. Колмогорова и др. Известно, что названные учебники, особенно в первых разделах, значительно отличаются друг от друга. Первые разделы учебника геометрии А. В. Погорелова ориентированы на целенаправленное обучение доказательствам, а второго— на разучивание большого числа фактов, очевидных для школьников. С доказательствами в учебнике А. Н. Колмогорова и др. ученики встречались лишь к концу первого полугодия VI класса. Какой же радостью светились ученики, изучающие геометрию по учебнику А. В. Погорелова, когда на вопрос к учителю математики: «Будем ли мы сегодня на уроке доказывать?» — получали утвердительный ответ. Этот эпизод подчеркивает выводы психологов о том, что к 14 годам развивается способность к аналитической деятельности, в частности к доказательству.

Итак, первый уровень обучения доказательству должен включать формирование потребности в логических обоснованиях утверждений, навыков выполнения дедуктивных умозаключений и понимания того, что из одних предложений логическим путем можно получать новые предложения.

Следующий уровень должен характеризоваться умением школьников выполнять цепочки дедуктивных умозаключений и применять некоторые эвристики. На этом уровне следует формировать действия преобразования требования задачи (заключения теоремы) в равносильное ему или в такое требование, из которого данное вытекает как следствие, а также действия выведения следствий, составления вспомогательных задач и т. д. Эти действия составляют основу применения многих эвристических приемов (элементарных задач, достраивания фигур, представления задачи в пространстве состояний и т. д.) и методов научного познания (аналогии, обобщения и т. д.) в различных ситуациях. К тому же некоторые логические действия, например выведение следствий, имеют эвристический характер и используются в поиске способа доказательства. Другими словами, формирование логических действий включает знакомство учащихся с их эвристичностью и использованием в осуществлении поиска решения задачи. Это, в частности, и является проявлением единства логического и эвристического в доказательствах, осуществляемых учащимися.

Данный уровень по характеру своих действий и их соотнесению с курсом геометрии наиболее свойствен первым разделам систематического курса планиметрии, которые содержат и многие эвристики, основанные на ассоциациях «равенство отрезков — равенство треугольников», «равенство углов — равенство треугольников», «сторона а треугольника больше стороны b — угол, лежащий против стороны а, больше угла, лежащего против стороны b», «сравнить два объекта — ввести в рассмотрение третий объект, находящийся с данными в известных отношениях» и т. д. Формированию эвристик учитель должен уделить самое серьезное внимание.

Итак, обучение умениям осуществлять цепочки логических шагов в доказательстве и применять эвристические приемы составляет содержание второго уровня в обучении школьников доказательству.

Первые уроки геометрии изобилуют изучением определений многих понятий (биссектрисы, смежных углов, вертикальных углов и т. д.), что позволяет формировать действия подведения объекта под понятие, выведения следствий. Задачи на доказательство, содержащиеся в этом разделе, дают возможность совершенствовать навыки дедуктивных умозаключений. Появление теорем, доказательство которых основано на 6—12 логических шагах, позволяет вести работу по приобщению школьников к разбору доказательств, формируя тем самым умение самостоятельно разбираться в готовых доказательствах. Изучение таких теорем дает основу для развития умения выделять и формулировать идею доказательства. Все это способствует и развитию потребностей учащихся в доказательстве.

Доказательства в школьном курсе геометрии содержательны, свернуты и содержат в значительной мере интуитивный компонент, а порой даже ссылку на утверждение, отсутствующее в учебнике. Обучение анализу доказательства: выделению логических шагов, поиску и устранению логических пробелов, развертыванию дедуктивных умозаключений в логическую схему, выделению идеи доказательства и его воспроизведению, применению эвристических приемов — составляет содержание третьего уровня обучения школьников доказательству. Содержание этого уровня, особенно поиск и устранение логических пробелов в тексте доказательства теоремы, выделение идеи доказательства готовит школьников к новому уровню — самостоятельному поиску и осуществлению доказательства. Немаловажное значение в этом принадлежит и вооружению школьников эвристическими приемами, начало чему положено уже на более раннем уровне усвоения доказательства.

Огромная роль в самостоятельном поиске доказательства принадлежит умению использовать методы научного познания: аналогию, обобщение, конкретизацию, анализ и т. д. Уже изучение первых теорем, например первого и второго признаков равенства треугольников, дает возможность формирования метода аналогии, а заключительный этап работы с задачей является хорошим средством обучения школьников обобщению и конкретизации. Умение использовать методы научного познания и умение самостоятельно выполнять доказательство можно считать содержанием четвертого уровня работы с доказательством. На этом уровне осуществляются доказательства по аналогии, с использованием обобщения и т. д. Он соответствует программе VII—VIII классов.

В методической литературе этот уровень представлен слабо. Проблема формирования умения использовать методы познания

даже не ставилась в методических исследованиях, а затрагивалась лишь в ряде работ (О. С. Кретинин, Г. И. Саранцев, П. М. Эрдниев, Л. С. Лунина, А. Д. Семушин, Е. Е. Семенов, А. Я. Цукарь). Отметим и недостаточную разработанность методики обучения эвристическим приемам. Дело в том, что в большинстве работ раскрывается содержание этих приемов и иллюстрируется их применение, тогда как речь должна идти о целенаправленном их формировании в условиях школьных учебников математики. Необходимо, как уже было отмечено, вновь вернуться к проблеме формирования у учащихся потребности в логических обоснованиях аргументаций, умения осуществлять дедуктивные умозаключения. Наконец, необходима систематизация результатов выполненных исследований, оценка рекомендаций, решение вопроса о включении их в разрабатываемую программу обучения доказательствам.

Наибольшее число рекомендаций относится к формированию умений осуществлять поиск способа доказательства (решения задач). Однако нерешенность проблемы на более низких уровнях обучения школьников доказательствам лишает учителей математики и учащихся той основы, на которой эти рекомендации могут быть эффективны.

Содержание пятого уровня обучения доказательству составляет обучение умению опровергать предложенные доказательства. Выполняя анализ учебно-методической литературы, мы неоднократно подчеркивали мысль многих авторов о важности умения опровергать готовые доказательства. Например, на это прямо указывают известный философ и логик К. Поппер и известный математик, логик и философ И. Лакатос. С точки зрения методики преподавания математики обучение умению опровергать предложенные доказательства важно по ряду причин. Во-первых, как уже было отмечено, психологи выделяют у детей юношеского возраста развитие способности критического отношения к окружающему и изучаемому, что предполагает необходимость адекватной этой способности деятельности, а таковой и является деятельность по опровержению готовых доказательств. Подчеркнем, что формирование и развитие способностей является одной из важных задач (если не самой важной!) обучения, в частности обучения математике. Далее, доказательства могут содержать ошибку, источником которой может быть нарушение требований к тезису, аргументации или демонстрации доказательства. И наконец, опровержение доказательств есть логическое завершение деятельности, адекватной доказательству, ибо оно в отличие от анализа готового доказательства, самостоятельного конструирования доказательства направлено не только на выявление ошибки в доказательстве, но и на ее исправление.

Итак, обучение учащихся доказательству включает формирование потребности в логическом обосновании утверждений, умения осуществлять дедуктивные выводы и цепочки логических

шагов, обучение логическим действиям и эвристическим приемам, самостоятельному разбору готовых доказательств, открытию фактов, самостоятельному поиску и выполнению доказательства, умению использовать методы научного познания и, наконец, умению опровергать предложенные доказательства. Очевидно, что отдельные умения включают в себя более простые. Так, умение самостоятельно разбирать готовые доказательства включает умения выполнять дедуктивные выводы, их цепочки, владение логическими действиями, а умение самостоятельно доказывать предполагает не только умение разбираться в готовых доказательствах, но и умение открывать теоремы, владение набором эвристических приемов.

Усложнение логических и эвристических действий, их связи, соотнесение умений с содержанием обучения математике в средней школе обусловливают иерархию уровней обучения доказательству. Ее можно представить следующей схемой:

Обучение доказательству

Формирование потребности в логических обоснованиях

Формирование умения выполнять дедуктивные выводы

V—VI классы

Обучение эвристическим приемам и их применению

Обучение выполнению цепочки логических шагов

VI—VII классы

Обучение самостоятельному разбору готового доказательства

Формирование умения выделять идею доказательства

VII класс

Обучение использованию методов научного познания

Самостоятельное доказательство

VII—VIII классы

Обучение умению опровергать предложенные доказательства

IX—XI классы

Ясно, что не следует считать указанные границы абсолютными. Например, обучение эвристическим приемам осуществляется на протяжении изучения всего курса математики. Так, прием достраивания фигур широко используется в изучении не только планиметрии, но и стереометрии. Прием введения нового неизвестного применяется при решении различных уравнений и неравенств как в девятилетней, так и в средней школе. Однако формирование базовых эвристик (переформулировка требования задачи, выведение следствий, составление вспомогательных задач) должно осуществляться в VI—VII классах. Истоки обучения школьников методам научного познания (аналогии, обобщения и т. д.) лежат в V—VI классах, но активное использование методов относится к IX—XI классам.

Приведенная схема фиксирует уровневую организацию обучения доказательству. Логика нашей работы предполагает выполнение методического анализа этого явления, о чем будет рассказано в следующей главе.

Глава II

Методические аспекты обучения учащихся доказательствам

§ 1. Формирование потребности в логических рассуждениях и умений выполнять дедуктивные выводы в V—VI классах

В данном параграфе речь идет о начальном уровне функционирования системы «обучение доказательствам». Он относится в основном к V—VI классам, хотя, разумеется, развитие потребности в логических рассуждениях, формирование умения выполнять дедуктивные выводы и понимания того факта, что из одних утверждений можно выводить другие, осуществляются на протяжении всего периода обучения.

Очевидно, что формирование сознания необходимости логических доказательств, возможности из одних утверждений получать другие осуществляется в единстве с обучением умению выполнять дедуктивные выводы. Применительно к пропедевтическому курсу математики (V—VI классы) эти вопросы специально рассматривались в исследовании Г. Р. Бреслер. Однако они решались в рамках курса, насыщенного элементами теории множеств, математической логики и геометрическими сведениями. Поэтому многие рекомендации не могут быть востребованы содержанием действующего курса математики.

Формирование у учащихся потребности в доказательстве рассматривается Г. Р. Бреслер как воспитание потребности в обосновании истинности каждого высказывания. Этой цели отвечают следующие виды упражнений:

на узнавание высказывания;

на определение истинности высказывания (непосредственным сопоставлением с действительностью, измерением, построением, приведением примера, логическим доказательством);

на выявление неравноценности различных способов обоснования истинности высказывания.

Обучение выполнению умозаключений рекомендуется осуществлять посредством упражнений следующих видов:

на отработку понятий «множество», «элемент множества»;

на определение принадлежности элемента множеству;

на умение по двум данным посылкам сделать заключение;

на построение доказательств, состоящих из одного умозаключения;

на построение доказательств, состоящих более чем из одного умозаключения.

Элементы теории множеств и логики не используются в ныне действующем курсе математики V—VI классов, потому некоторые типы предлагаемых упражнений «не вписываются» в содержание действующего курса математики. Не потеряли значения рекомендации об использовании вычислений, построений, измерений, примеров, логического рассуждения как способов обоснования, о разъяснении структуры умозаключения на примере умозаключения, в основе которого лежит правило заключения. Отметим, что использование способов обоснования посредством вычислений, построений, измерений, приведением примера способствует формированию потребности в обосновании истинности лишь частных утверждений, но даже и в этом случае не всегда можно получить точный ответ.

Одно время широко практиковались в качестве средства формирования потребности в обосновании истинности утверждений упражнения, связанные с иллюзией зрения. Затем наблюдался отказ от таких упражнений, мотивируемый тем, что их использование закрепляет мысль об опасности «верить глазам своим». Однако в связи с широким использованием наблюдения, опыта в обучении математике такие упражнения вновь появились на страницах сборников задач. Поскольку упражнения, связанные с иллюзией зрения, способствуют воспитанию потребности в обосновании истинности утверждений, то они могут использоваться в обучении учащихся. Однако они малоэффективны в воспитании потребности логического обоснования утверждений, поэтому увлекаться ими не следует. Приведем примеры таких упражнений.

Верны ли утверждения:

1) длина отрезка AB меньше длины отрезка CD (рис. 5);

2) длина отрезка BF равна длине отрезка DF (рис. 6)?

Обоснованием ответа на вопрос задачи служит измерение.

Воспитать потребность в рассуждениях можно только в процессе рассуждений. Поэтому необходимы такие упражнения, в которых учащиеся убедились бы в справедливости утверждения общим рассуждением. Приведем примеры упражнений, способствующих воспитанию потребности в логическом обосновании утверждений.

Рис. 5 Рис. 6

1. Верны ли утверждения:

а) все ломаные состоят из трех звеньев;

б) всякий квадрат является прямоугольником?

Первое утверждение легко опровергается приведением ломаной, состоящей, например, из четырех звеньев. Со вторым утверждением сложнее, поскольку построения, измерения, примеры не помогут решить эту задачу: в данной ситуации необходимо логическое рассуждение. Оно может быть таким: «У всякого квадрата углы прямые. Четырехугольник с прямыми углами есть прямоугольник. Значит, всякий квадрат есть прямоугольник».

2. Существует ли треугольник, длины сторон которого равны 4 см, 6 см, 7 см?

Ответ на вопрос можно дать с помощью как построения треугольника, так и логического рассуждения. Второй вариант таков: «Существует треугольник со сторонами 4 см, 6 см, 7 см, так как 4 + 6 > 7».

3. Об углах 1 и 2 известно, что их сумма равна 180°. Можно ли утверждать, что углы 1 и 2 смежные? Как дополнить условие, чтобы из него следовало заключение?

4. Прямая а пересекает стороны угла А в точках Р и Q. Могут ли обе прямые АР и AQ быть перпендикулярными к прямой а?

Решение. Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Прямые АР и AQ пересекаются в точке А. Поэтому прямые АР и AQ не перпендикулярны к прямой а.

Решение данной задачи является одношаговым, основу его составляет правило отрицания. Использование доказательств следует начинать с таких одношаговых задач, переходя затем к двушаговым и т. д. Вот пример еще одной одношаговой задачи.

5. Лежат ли точки А, В, С на одной прямой, если АС = b см, АВ = 3 см, ВС = 4 см?

Решение. Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то больший из отрезков AB, ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший отрезок АС равен 5 см, а сумма отрезков AB и ВС равна 7 см. Следовательно, точки А, В, С не лежат на одной прямой.

Решение следующей задачи состоит уже из двух логических шагов.

6. Один из смежных углов равен 40°. Найти второй угол.

Решение. Сумма смежных углов равна 180°. Данные углы смежные. Значит, их сумма равна 180° (1-й шаг). Неизвестное слагаемое равно разности суммы и известного слагаемого. Сумма и известное слагаемое равны соответственно 180° и 40°. Следовательно, угол, смежный с углом в 40°, равен разности 180° и 40°, т. е. 140° (2-й шаг).

7. Можно ли на основании предложений: «В понедельник я хожу в школу. Сегодня я был в школе» — сделать вывод: «Се-

годня понедельник»? (Нет. Первое предложение не содержит сведений о других днях недели.)

Курс математики V—VI классов содержит большие возможности для привития школьникам навыков логических рассуждений. Этой цели могут служить арифметические упражнения.

Пример. Какая из дробей больше: 3/15 или 8/15?

Ответ. Из двух дробей с равными знаменателями больше та, числитель которой больше. Числитель дроби 8/15 больше числителя дроби 3/15. Значит, дробь 8/15 больше дроби 3/15.

Выполнение подобных упражнений можно использовать для ознакомления школьников с дедуктивными выводами, в основе которых лежит правило заключения:

И самому учителю, и ученикам, выполняющим упражнения, желательно озвучивать свои действия. Известно, что если ученик что-то говорит, решая геометрические задачи, то совершенно безмолвствует при выполнении арифметических и алгебраических упражнений, хотя возможности последних в формировании умений рассуждать немалые.

Приведем обычный эпизод урока. Изучается тема «Сложение дробей с равными знаменателями». Учащиеся выполняют упражнение: «Вычислите: 4/8 + 3/8». Ученики молча записывают: 4/8 + 3/8 = 4 + 3 / 8 = 7/8. Учитель молча следит за выполнением упражнения. Однако этот эпизод можно наполнить другим содержанием.

Выполнение данного упражнения должно сопровождаться следующими рассуждениями. Дроби 4/8 и 3/8 имеют один и тот же знаменатель. При сложении дробей с равными знаменателями нужно сложить их числители и оставить тот же знаменатель. Следовательно, при сложении дробей 4/8 и 3/8 нужно сложить 4 и 3, оставив знаменателем 8, т. е. 4/8 + 3/8 = 4 + 3 / 8 = 7/8. Легко видеть, что основу приведенного обоснования составляет правило заключения.

Конечно, не следует надеяться на то, что ученики сразу же начнут грамотно рассуждать. Учителю следует терпеливо и настойчиво внедрять подобные рассуждения в объяснения учащимися действий, осуществляемых ими в связи с выполнением упражнений, самому приводить образцы рассуждений. Давайте вспомним учителя I класса, обучающего учащихся чтению, который прибегает не только к многократному проговариванию слов

Рис. 7

и предложении, но и проговариванию всем классом.

Приведем пример ([22], № 603):

Какие углы, изображенные на рисунке 7: 1) больше 90°; 2) меньше 90°; 3) равны 90°?

Рассмотрим задание 1) и приведем соответствующее его выполнению рассуждение: «Угол больше 90°, если прямой угол является его частью. Угол ЕОВ содержит прямой угол. Значит, угол ЕОВ больше 90°».

Обучение школьников умению логически рассуждать должно получить развитие в процессе изучения математики в VI и VII классах. Хорошим полигоном в реализации этих целей является формирование понятий. Известно, что действия подведения объекта под понятие и выведения следствий из принадлежности объекта понятию адекватны деятельности по оперированию понятиями. Между тем логическое обоснование подведения под понятие основывается на правилах заключения и отрицания. Рассмотрим упражнение:

Какие из углов 1 и 2 (рис. 8, а — г) являются смежными?

Углы 1 и 2 (рис. 8, а) являются смежными, потому что у них общая сторона, а две другие образуют дополнительные лучи. Полная структура обоснования такова:

Если у двух углов одна сторона общая, а две другие образуют дополнительные лучи, то такие лучи являются смежными. (Большая посылка.)

Углы 1 и 2 имеют одну общую сторону, а две другие являются дополнительными лучами. (Малая посылка.)

Углы 1 и 2 смежные. (Вывод.)

Рис. 8

В качестве большой посылки используется определение смежных углов.

Углы 1 и 2 (рис. 8, б) не являются смежными, поскольку не имеют общей стороны (хотя две их стороны образуют дополнительные лучи). Полная структура умозаключения следующая:

Углы являются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие — дополнительные лучи. (Большая посылка.) Углы 1 и 2 не имеют общей стороны. (Малая посылка.)

Углы 1 и 2 не являются смежными. (Вывод.)

Обобщенная схема приведенного умозаключения по правилу отрицания такова:

Таким образом, мы видим, что курс математики V—VI классов уже дает возможность в единстве осуществлять формирование потребности в логическом обосновании, умения осуществлять дедуктивные выводы и понимание того, что из одних утверждений можно выводить другие. Стержнем, который связывает эти три типа задач, являются правила заключения и отрицания.

Опыт показывает эффективность специального акцентирования внимания школьников при решении задач на выводимости одних утверждений из других. Объясним суть этой работы на следующей задаче: «Докажите, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°». Доказав требование задачи, подчеркнем, что утверждение «Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°» выведено из следующих утверждений:

сумма углов любого треугольника равна 180°;

один из углов прямоугольного треугольника равен 90°.

Развитие представления о том, что из одних утверждений можно выводить другие, целесообразно осуществлять не только при изучении геометрического материала, но и при решении арифметических задач. Поясним это положение на примере. Пусть решается задача:

Рабочий изготовлял в час на 5 деталей больше, чем ученик. За 2 ч совместной работы они сделали 58 деталей. Сколько деталей в час изготовил рабочий и сколько ученик?

Учащиеся нашли, что рабочий изготовлял в час 17 деталей, а его ученик— 12 деталей. После этого внимание учащихся обращается на то, что из утверждений:

рабочий изготовлял в час на 5 деталей больше, чем ученик;

за 2 ч совместной работы они сделали 58 деталей — получены утверждения:

рабочий изготовлял в час 17 деталей;

ученик изготовлял в час 12 деталей.

Дальнейшее развитие этой идеи может осуществляться в направлении выведения «неочевидных» утверждений, выяснения зависимостей между утверждениями, составления новых задач путем варьирования утверждений. Например: «Рабочий изготовлял в час на 5 деталей больше, чем его ученик. Ученик изготовлял в час 12 деталей. Сколько деталей изготовлял рабочий и сколько деталей они изготовляли за 2 ч совместной работы?» или «Рабочий изготовлял в час 17 деталей, а ученик— 12 деталей. Сколько они изготовили деталей за 2 ч совместной работы и на сколько больше деталей изготовлял в час рабочий, чем его ученик?». Такая постановка вопроса не только не снижает смысловой нагрузки задачи, но и способствует уяснению зависимости между условием и заключением теоремы, пониманию сущности логического вывода.

Полезны и упражнения такого характера:

В автобусе было 50 пассажиров. На одной остановке из него вышло 12 пассажиров, на другой — 18 пассажиров. Сформулируйте несколько утверждений, которые следуют из данных утверждений.

Такими утверждениями могут быть, например, следующие: на остановках вышло 30 пассажиров; в автобусе осталось после выхода пассажиров на двух остановках 20 человек; на второй остановке вышло на 6 пассажиров больше, чем на первой, и т. д.

Уяснению структуры наиболее употребимых дедуктивных умозаключений может способствовать использование специальных упражнений на отыскание: 1) большой посылки; 2) малой посылки; 3) вывода. Приведем примеры.

Запишите пропущенные утверждения:

1)...........

Углы 1 и 2 вертикальные. ∠l = ∠2.

2) Вертикальные углы равны. ∠1 = ∠2.

3) Углы в основании равнобедренного треугольника равны. △ABC — равнобедренный.

Формированию потребности в доказательствах, интереса к ним способствует использование «визуальных» доказательств. Особенно они эффективны в V—VII классах, так как в мышлении школьника, возраст которого соответствует этому этапу обучения, преобладает наглядно-образная составляющая. Приведем примеры «визуальных» доказательств.

1. Докажите, что n2 = (n—1)(n+1)+1 (n — натуральное число).

Обосновать утверждение можно так: начертить квадрат, разделить его стороны на n (например, шесть) равных частей (квадрат разобьется на n2 единичных квадратов), «срезать» в квадрате верхнюю полосу, т. е. прямоугольник со сторонами 1 и n, «приставить» ее к боковой стороне образовавшегося прямоугольника со сторонами n и n— 1, так чтобы данный квадрат оказался преобразованным в фигуру, состоящую из прямоугольника со сторонами n—1, n+1 и единичного квадрата.

2. Докажите, что (а + b)2 = a2+2ab + b2.

Наглядное доказательство утверждения заключается в разбиении квадрата со стороной а + b на два квадрата со сторонами соответственно а и b и два прямоугольника, стороны которых равны а и b.

Приведенные нами эксперименты в V—VI классах свидетельствуют об эффективности специальной работы по формированию умения проводить дедуктивные умозаключения, по воспитанию потребности в доказательстве утверждений, по привитию взгляда на то, что справедливость утверждений выясняется рассуждением и что из одних предложений, пользуясь исключительно одними рассуждениями, можно вывести другие. Учащиеся, с которыми проводилась эта работа, в VII классе значительно свободнее ориентировались в доказательствах теорем, испытывали меньше трудностей в изучении курсов алгебры и геометрии.

Вводный геометрический материал, изучаемый на первых уроках геометрии в VII классе, является хорошим полигоном для продолжения этой работы. Она может осуществляться как на материале доказательства различных теорем, так и на задачах.

§ 2. Формирование умения доказывать на первых уроках геометрии в VII классе

Опыт работы показывает, что не следует спешить с введением термина «доказать». Дело в том, что реализация требования доказать предполагает выполнение ряда действий, например преобразования требования задачи в равносильное ему, сопоставления условия задачи с ее требованиями и т. д. Без овладения этими действиями в мышлении ученика не возникает тех ассоциаций, которые позволили бы ему продвигаться в решении задачи или в доказательстве теоремы. К числу таких ассоциаций относятся следующие: доказать — выделить условие и заключение теоремы, зафиксировать их словесно и графически, доказать—преобразовать требование задачи (теоремы) в новое, из которого старое вытекает как следствие, и т. д. Отсутствие в мышлении школьника ассоциаций, связанных с термином «доказать», делает его беспомощным в решении задач. Многим учителям известна ситуация, когда ученик замолкает после выполнения рисунка, записей «Дано» и «Требуется доказать». Поэтому

действенная помощь ученику может быть только в одном: сформировать в его мышлении нужные для осуществления доказательства ассоциации.

Приведенные ниже упражнения 1—7 направлены на овладение умениями извлекать информацию из условия и требования задачи, вычленять отдельные элементы, комбинировать их, выводить следствия, переформулировать требование задачи. При их выполнении указанные умения еще не являются предметом специального формирования, однако, выполняя такие упражнения, учащиеся приобретают первые навыки в овладении этими умениями.

1. Даны прямая m и три точки A, B, С, не принадлежащие этой прямой. Известно, что отрезок AB пересекает прямую m. При каком условии пересекает данную прямую отрезок ВС?

2. На луче AB отложен отрезок АС. При каком условии точка С лежит между точками А и В?

3. Точки A, B, С принадлежат одной прямой. При каком условии точка С лежит между точками А и B?

4. Даны углы ас и ab. При каком условии луч с проходит между сторонами угла ab?

5. Из вершины С равнобедренного треугольника ABC с основанием AB отложены отрезки: СA1 — на стороне CA и CB, — на стороне СВ. Дополните условие так, чтобы из него следовало равенство треугольников CAB1 и СВA1.

6. Треугольники ABC, PQR, XYZ равны. Известно, что AB = 5 см, QR = 6 см. Длину какого отрезка надо знать, чтобы были известны остальные стороны каждого треугольника?

7. Отрезок АА' пересекает прямую ВС в точке О так, что AO = OA' и ∠АОВ ≠ ∠BOA'. Симметричны ли точки А и А' относительно прямой ВС? Как надо изменить условие, чтобы точки А и А' были симметричны относительно ВС?

Эти упражнения предлагаются учащимся при изучении соответствующих фактов. Например, упражнение 3 — при изучении основных свойств откладывания отрезков, упражнение 7 — при изучении равенства треугольников. Многие из упражнений могут выполняться устно. Основной акцент делается на их целевое назначение. В качестве примера рассмотрим методику работы с упражнением 3. Этап анализа содержания задачи включает выяснение условия, заключения, выполнение рисунка. Дальше беседа учителя с учащимися может быть такой:

Учитель. Итак, нам известно, что отрезок АС отложен на луче AВ. Что можно сказать о расположении точек A, В и С, если точки В и С не совпадают?

Ученик. Либо точка С лежит между точками А и B, либо точка В лежит между точками А и С.

Учитель. А что нам надо установить?

Ученик. Надо найти такое условие, которое вместе с данным позволило бы сделать вывод: точка С лежит между точками А и В.

Учитель. Что еще нужно знать, чтобы утверждать, что точка С лежит между точками А и В?

Ученик. Отрезок АС меньше отрезка AB.

Учитель. Какое же утверждение мы должны включить в условие?

Ученик. АС < АВ.

Оформление решения этой задачи может быть таким: С лежит между А и В при условиях С∈AВ, АС < АВ.

Упражнения 8 — 20 ориентированы на овладение учащимися действием выведения следствий из данных условий. Напомним, что суть его заключается в выделении утверждений, являющихся следствием данных. Очевидно, овладение этим приемом обусловливает видение различных связей между объектами, данными в условии задачи. Выведение следствий — действие, которое имеет как логический, так и эвристический характер и соответственно входит составляющей в логические и эвристические приемы мышления, адекватные решению задач и, в частности, доказательству.

Проиллюстрируем сказанное на примере задачи: Биссектрисы углов при основании AB равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке М. Докажите, что прямая СМ перпендикулярна к прямой AB ([21], № 684).

Доказательство. Для доказательства перпендикулярности прямых СМ и AB достаточно доказать, что СМ — высота △АСВ (преобразование требования). Последнее основывается на том, что СМ — биссектриса △АСВ либо СМ — медиана △АСВ. Учитывая, что в условии заданы биссектрисы углов при основании треугольника, попробуем доказать, что СМ — биссектриса △АСВ.

По условию △АСВ равнобедренный, следовательно, высота, проведенная к его основанию, есть медиана и биссектриса треугольника; стороны АС и ВС равны; биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (свойство любого треугольника) и т. д. Поскольку M — точка пересечения биссектрис, значит, СМ — третья биссектриса △АВС. Доказательство найдено.

Процедура выведения утверждений из того, что △АВС равнобедренный, и есть сущность приема получения следствий. Основана она на правилах вывода, в основном используется правило заключения. В этом аспекте прием выведения следствий является логическим приемом.

Однако не каждое из полученных следствий может продвинуть решение задачи, использование некоторых следствий может удлинить решение задачи. В нашей ситуации можно было двигаться по пути доказательства равенства углов АСМ и ВСМ, отправляясь от равенства сторон АС и СВ треугольника АСВ, но это удлинило бы решение.

Использование приема выведения следствий не гарантирует получения нужного результата, но может и привести к нему.

В этом аспекте прием выведения следствий обладает эвристичностью и может быть отнесен к эвристическим приемам.

8. Точка С лежит между точками А и В, а точка X — между точками А и С. Докажите, что точки А, В, С и X принадлежат одной прямой. Сформулируйте все утверждения, полученные в процессе решения этой задачи.

9. Точка X принадлежит отрезку AB и не совпадает ни с точкой А, ни с точкой В. Что следует из этого?

10. Составьте задачу, имеющую условием следующие данные: из вершины развернутого угла проведены в одной полуплоскости лучи b и с, ∠ab = 40°, ∠ас = 50°.

11. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30°. Что следует из этого?

12. Известно, что один из смежных углов тупой. Что следует из этого?

13. Известно, что сумма двух вертикальных углов равна 180°. Что следует из этого?

По мере продвижения учащихся в изучении геометрии выбор задач должен быть таким, чтобы число сформулированных следствий могло возрастать.

14. Треугольники ABC и АВC1 — равнобедренные с общим основанием AВ. Что отсюда следует?

15. Известно, что △АВС = △A1B1C1, АВ = ВС, ∠А = 40°. Что следует из условия?

16. На рисунке 9 имеем ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. Сформулируйте несколько следствий, вытекающих из условия.

17. В равнобедренном треугольнике ABC на основании ВС отмечены две точки M и N так, что BM = CN. Что следует из этого?

18. Известно, что два внешних угла треугольника равны 120° и 150°. Что следует из этого условия? Что можно сказать о внутренних и третьем внешнем углах треугольника?

19. Из точки А данной окружности с центром О проведены две хорды AB и АС, каждая из которых равна радиусу. Сформулируйте несколько утверждений, вытекающих из данных.

20. Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Что следует из этого?

При выполнении упражнений этой группы внимание учащихся акцентируется на выводимых следствиях, что прямо подчеркивается в требовании задачи. Рассмотрим, например, упражнение 9. Из условия упражнения и определения отрезка следует, что точка X лежит между точками A и В. Из последнего утверждения следует, что АХ + ХВ = АВ, откуда получаем АХ < АВ, ВХ < АВ. Запись при этом может быть следующей:

Рис. 9

точка X лежит между точками А и В (определение отрезка); АХ + ХВ = АВ (свойство измерения отрезков); АХ < АВ, ВХ < АВ (свойство величин).

При выполнении упражнений этой группы можно предлагать учащимся составлять задачи, используя данные утверждения и их следствия. Примером такой задачи может быть следующая: «Точка X принадлежит отрезку AВ. Докажите, что АХ < АВ».

Выполняя упражнения этой группы, можно прибегать к «развертке» получения отдельных следствий. Например, в рассмотренном случае утверждение АХ + ХВ = АВ получено следующим образом:

Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. (Большая посылка.)

Точка X разбивает отрезок AB на отрезки АХ и ХВ. (Малая посылка.)

АХ + ХВ = АВ. (Вывод.)

В качестве большой посылки умозаключения используется свойство измерения отрезков. В основе вывода лежит правило заключения [23].

На первых уроках геометрии VII класса специальным предметом формирования должен быть прием переформулировки требования задачи (заключения теоремы), играющий большую роль в решении задач (доказательстве теорем). Основным средством формирования этого эвристического приема также являются специальные упражнения. Как известно, сущность приема переформулирования (преобразования) требования задачи заключается в замене требования задачи новым так, чтобы из него вытекало первоначальное требование. Очевидно, использование этого приема предполагает владение приемами выведения следствий, подведения объекта под понятие, навыками анализа ситуаций, т. е. по своему содержанию этот прием более сложен, чем ранее рассмотренные, а потому его формированию надо уделить самое серьезное внимание. Рассмотрим упражнения, выполнение которых способствует формированию этого приема.

21. Решите задачи, заменив предварительно их требования новыми так, чтобы из них следовали первоначальные требования. (Такая редакция формулировки задачи принята потому, что ученики VII класса не знакомы с понятием равносильности.)

1) От луча OA в одну из полуплоскостей, на которые разбивается плоскость прямой OA, отложен угол АОС, равный 35°. От луча OB, дополнительного к лучу OA, в другую полуплоскость отложен угол BOD в 35°. Докажите, что лучи ОС и OD являются дополнительными.

2) Отрезки AB и CD пересекаются в точке О. Докажите, что если отрезки АС, СВ, BD и AD равны, то прямые AB и CD перпендикулярны.

3) Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

4) Два отрезка AB и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC.

5) Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

6) Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от прямых, содержащих боковые стороны.

Методику работы с рассмотренной группой упражнений проиллюстрируем на упражнении 21 (3). Выясняются условие и требование задачи, выполняется рисунок, затем учитель обращается к ученикам с вопросом: «Каким предложением можно заменить требование задачи?» Ученик отвечает: «Доказать, что угол между биссектрисами вертикальных углов развернутый».

Далее следует дальнейший поиск решения задачи, который заканчивается выяснением способа решения — доказательством того, что ∠MOK = 180°, где лучи ОМ и OK — биссектрисы вертикальных углов АОВ и COD, с опорой на свойство смежных углов. Запись решения задачи:

В процессе поиска решения задачи (доказательства теоремы) часто приходится не только осуществлять выведение следствий, замену требования задачи новым, равносильным первоначальному, но и самостоятельно формулировать промежуточные задачи. В приведенных ниже упражнениях учащимся предлагалось к имеющемуся набору данных самостоятельно подобрать требование (вопрос) и решить полученную задачу. Приведем примеры.

22. Четыре луча имеют общее начало. Сформулируйте требование и решите полученную задачу.

Требование. Сколько углов можно задать с помощью этих лучей?

23. Известно, что АВ = 8 см, ВС = 4 см, FС = 12 см. Составьте несколько задач с данным условием.

Вопросы. 1) Принадлежат ли точки A, В и С одной прямой? 2) Лежит ли точка В между точками A и С? 3) Лежит ли точка А между точками S и С?

24. Даны два луча AB и ВА. Сформулируйте требование и составьте задачу с данным условием и полученным требованием.

Требования. 1) Назовите лучи с начальной точкой A. 2) Назовите лучи с начальной точкой В. 3) Укажите лучи, не имеющие общих точек. 4) Назовите дополнительные лучи.

25. На отрезке AB длиной 20 см отмечена точка С. Известно, что отрезок AB на 6 см длиннее отрезка ВС.

Вопросы. 1) Чему равна длина отрезка AС? 2) Чему равна длина отрезка ВС?

26. Сумма вертикальных углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50°. Сформулируйте несколько задач с данным условием.

Требования. 1) Найдите эти углы. 2) Найдите сумму двух других углов. 3) Найдите все углы.

27. Угол AOD прямой. ∠АОВ = ∠ВОС = ∠COD. Лучи OB и ОС проходят между сторонами угла AOD, OK — биссектриса угла АОВ, ОМ — биссектриса угла COD.

Требования. 1) Найдите угол АОВ. 2) Найдите угол, образованный биссектрисами OK и ОМ.

28. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка К. Составьте несколько задач с данным условием.

Требования. 1) Докажите, что треугольники АВК и СВК равны. 2) Докажите, что треугольники АКМ и СКМ равны. 3) Докажите, что АК = КС, и т. д.

29. Известно, что △АВС = △A1B1C1. На сторонах AB и A1B1 отмечены точки О и О, так, что АО = 0В и A1О1 = 01B1.

Вопросы. 1) Докажите, что ОС = O1C1. 2) Докажите, что △АОС = △A1О1C1. 3) Докажите, что △ОВС = △О1B1C1.

В этой серии упражнений предусматривается формирование умения составлять задачи. Однако, прежде чем составить задачу, учащиеся должны сами сформулировать требование, для чего необходимо уметь из данных условий получать некоторые следствия. Рассмотрим упражнение 23. Из условия задачи следует, что точка В лежит между точками A и С, а следовательно, точка С не лежит между точками А и В. Требуемые задачи могут быть следующими:

Известно, что АВ = 8 см, BC = 4 см, АС = 12 см. Принадлежат ли точки A, В, С одной прямой?

Известно, что АВ = 8 см, ВС = 4 см, AС = 4 см. Лежит ли точка В между точками A и С?

Известно, что АВ = 8 см, ВС = 4 см, AС = 4 см. Докажите, что точки A, B, С принадлежат одной прямой.

В процессе решения задач следует обращать внимание на развертывание дедуктивного обоснования. Ясно, что такая работа необязательна при выполнении каждого упражнения, в отдельных случаях она выполняется устно. Так, решение последней задачи можно сопровождать следующим рассуждением:

Точки A, B, С принадлежат одной прямой, если выполняется одно из равенств: АВ + ВС = АС, либо АС + СВ = АВ, либо ВА+АС = ВС.

Известно, что АС+СВ = 4 + 4 = 8 = АВ.

Следовательно, точки A, С, В принадлежат одной прямой.

Записать доказательство в тетрадях школьники могут так: «Так как АС + CB = 4 + 4 = 8, т. е. AB, то А, С, В принадлежат одной прямой».

Упражнения на развертывание обоснования можно конструировать на материале доказательства различных теорем. Например, на материале теоремы:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (ВС — основание равнобедренного треугольника ABC) — возможна постановка упражнений.

Заполните пропущенные места:

1)............

AD — биссектриса угла ВАС.

∠BAD = ∠CAD.

2) В равных треугольниках соответствующие элементы равны.

∠B = ∠C.

3) Первый признак равенства треугольников.

В треугольниках ABD и ADC АВ = АС, AD — общая, ∠BAD = ∠DAC.

Итак, особенность указанных выше упражнений заключается в том, что их выполнение ориентировано на формирование логических приемов подведения под понятие, выведения следствий, умения осуществлять дедуктивные выводы, понимания необходимости логических обоснований и вместе с тем на формирование эвристических приемов составления задач, анализа задачных ситуаций и т. д. Другими словами, особенностью упражнений является их направленность на формирование логических и эвристических приемов, входящих в структуру доказательства.

Учителя математики, как уже было сказано на с. 46, хорошо знакомы с ситуациями, когда ученик, решающий геометрическую задачу, выполняет чертеж, записывает условие задачи, ее требование, после чего прекращаются все попытки по решению задачи или доказательства теоремы. Вооружение школьников рассмотренными эвристическими приемами делает попытки школьников более успешными, многие учащиеся значительно продвигаются в умении доказывать. Однако важное значение в решении геометрических задач (доказательстве теорем) принадлежит умению читать чертеж. Актуальность умения обусловлена и тем, что в школьных учебниках условия многих задач на доказательство заданы чертежом. Под чтением чертежа понимают осознание чертежа в соответствии с условием задачи. Возникает вопрос: из каких действий складывается умение читать чертеж?

Рассмотрим задачу ([21], № 189):

Используя данные рисунка 10, докажите, что BC||AD.

Как видим, условие данной задачи полностью задано рисунком, а потому должно из него вычитываться. Проанализируем механизм умственной деятельности, осуществляемой в процессе решения этой задачи.

Прежде всего ученик должен выделить отрезки ВС и AD (на рисунке они указаны как стороны четырехугольника ABCD), осуществляя тем самым действие — сопоставимое вычленение фигур. Далее, вычленив отрезки ВС и AD, ученик мыслит их как прямые ВС и AD, т. е. выполняет умственное действие, заключающееся в переосмыслении элементов чертежа с точки зрения другого понятия. Доказать параллельность прямых — подвести их под один из признаков параллельности. Значит, нужно доказать равенство либо накрест лежащих углов, образованных при пересечении этих прямых секущей, либо соответственных углов, или равенство суммы односторонних углов, образованных при пересечении прямых секущей, 180°. Каждый из этих признаков определяет свое направление поиска способа решения задачи, реализация которого обусловлена умением преобразовывать требование задачи и составлять новые задачи. Однако, прежде чем выполнять эти действия, продолжим анализ нашего рисунка, так как он поможет сформулировать наиболее оптимальную для данной ситуации задачу.

Итак, что же мы видим на рисунке? Прежде всего выделим треугольник ABC, у которого АВ = ВС. Отметим опять-таки, что решающий задачу мыслит эту фигуру и как треугольник, и как часть трапеции, а отрезок АС как диагональ трапеции, как сторону треугольника ABC, как секущую и т. д. Сказанное подчеркивает важность действий простого вычленения фигур, сопоставимого вычленения фигур, переосмысления фигуры с разных точек зрения, сравнения фигур. Используя прием выведения следствий, заключаем, что ∠ВАС = ∠ВСА, а так как ∠ВАС = ∠CAD, то ∠CAD = ∠ACВ. Приведенные рассуждения показывают, что наиболее оптимальный путь заключается в использовании признака параллельности прямых, заключающегося в равенстве накрест лежащих углов, образованных при пересечении этих прямых секущей. Соответственно наиболее целесообразной вспомогательной задачей является следующая: «Используя данные рисунка, докажите, что ∠ВСА = ∠CAD», полученная посредством действия преобразования требования задачи в равносильное ему.

Как видим, умение читать чертеж — сложное умение, имеющее непростой состав. Его составляют такие действия, как:

1) простое вычленение фигур;

2) сопоставимое вычленение фигур;

3) распознавание фигур;

Рис. 10

4) переосмысливание элементов чертежа с точки зрения другого понятия;

5) сравнение фигур;

6) изменение взаимного расположения образов;

7) изменение структуры образов.

К тому же оно базируется на упоминаемых уже эвристических и логических приемах: выведения следствий из данных условий, преобразования требования задачи в равносильное ему, составления задач, подведения объекта под понятие и т. д. Поэтому формированию этого умения должно быть уделено серьезное внимание, в частности, уже в V—VI классах и на первых уроках геометрии VII класса. Основным средством формирования являются упражнения. Надо сказать, что таких упражнений в учебниках математики V и VI классов мало. Поэтому учитель должен не забывать о необходимости целенаправленной работы по обучению школьников доказательству. Приведем примеры таких упражнений.

1. Сколько треугольников и сколько четырехугольников изображено на рисунке 11 ([22])?

Очевидно, решение задачи предполагает вычленение фигур, их сравнение, осознавание фигур в плане разных понятий. Выполнение этих действий предполагает создание образов, их удержание в памяти, сопоставление с ними элементов заданного чертежа. Все это свидетельствует о высокой эффективности подобных упражнений в развитии пространственных представлений школьников.

2. Прямоугольный параллелепипед с измерениями 6 дм, 12 дм и 15 дм разрезали на кубики с ребром, равным 5 см. Какую длину имела бы цепочка из кубиков, если бы их выстроили в один ряд?

Решение этой задачи ([22]) предполагает изменение взаимного расположения образов, изменение их структуры, т. е. оно формирует уже достаточно высокие уровни пространственного мышления.

3. Элементами каких фигур является отрезок АС (рис. 12)?

4. Каким может быть расстояние от центра окружности до точки, не принадлежащей этой окружности, по сравнению с ее радиусом?

Рис. 11 Рис. 12 Рис. 13

Для ответа на этот вопрос необходимо представить образ пары «окружность — точка», затем мысленно изменять взаимное расположение точки и окружности (точка принадлежит внутренней области окружности; не принадлежит ей). Выполнение этого упражнения способствует овладению умением оперировать образами, которое приводит к изменению их взаимного расположения.

5. Выделите треугольники: а) тупоугольные; б) прямоугольные; в) остроугольные, изображенные на рисунке 13, если известно, что BD ⊥AC, BE⊥BС. Можно ли отнести треугольник ABD к одному из указанных видов? Если нет, то как надо дополнить условие задачи, чтобы из него следовала определенность вида треугольника ABD?

Надо сказать, что распознавание фигур на чертеже является специализацией действия распознавания объектов, принадлежащих понятию, а это действие входит в состав умения оперировать понятием. Можно сказать, что усвоить определение понятия — это значит овладеть действиями подведения объекта под понятие (распознавание объектов, принадлежащих понятию), выведения следствий из принадлежности объекта понятию, конструирования объектов, принадлежащих заданному понятию, и их совокупностью. Однако в учебниках геометрии задач, ориентированных на овладение перечисленными действиями, почти нет, а они необходимы как в отношении формирования понятий, так и в плане умения читать чертеж.

В учебно-методической литературе содержатся рекомендации по формированию различных приемов чтения чертежа. Так, например, М. В. Коробкова характеризует прием простого вычленения фигур следующей совокупностью действий: 1) выяснить, какую фигуру надо вычленить на чертеже; 2) мысленно представить эту фигуру и отметить ее существенные признаки; 3) выделить эту фигуру на чертеже.

Обучать приему рекомендуется при помощи таких групп задач:

Задачи, в которых искомая фигура названа в условии и обозначена; требуется выделить эту фигуру из состава чертежа.

Задачи, в условиях которых дается способ получения фигуры либо ее название; учащиеся должны обозначить искомую фигуру и выделить ее на чертеже.

Задачи, при решении которых учащиеся самостоятельно решают вопрос о том, какую фигуру надо вычленить.

Проиллюстрируем конкретными примерами приведенные типы задач.

1. Запишите: а) множество отрезков, изображенных на рисунке 14; б) множество лучей; в) множество прямых.

2. Угол ВАК, величина которого равна 84°, разделен на четыре равные части. Найдите величину угла, образованного: а) бис-

Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16

Рис. 17

сектрисами углов ВАК и DAK (рис. 15); стороной угла ВАК и биссектрисой угла BAD.

3. Дано: ABCD — прямоугольник (рис. 16), ВК — биссектриса угла ABС. Найдите величину наибольшего из углов, изображенных на рисунке.

Прием сопоставимого вычленения геометрических фигур представлен совокупностью действий: 1) выяснить, о вычленении каких фигур говорится в задаче;

2) вычленить каждую из них на чертеже;

3) рассмотреть их вместе по определенному признаку, указанному в задаче. Задачи для формирования приема аналогичны рассмотренным выше.

Пример. AB⊥CD, ∠СКО = ∠DKP (рис. 17). Найдите на рисунке луч, являющийся биссектрисой двух углов.

Отметим, что проведенные нами эксперименты убеждают в том, что применение наглядности (схем, чертежей, моделей) облегчает учащимся поиск решения задачи в том случае, если такие действия соотносятся с необходимыми преобразованиями содержания этой задачи, т. е. с умением преобразовывать требование задачи, извлекать информацию из требования и условия задачи, вычленять отдельные элементы, комбинировать их и т. д. Таким образом, формирование умения читать чертеж должно осуществляться в единстве с формированием умения анализировать условие и требование задачи. Эта цель хорошо достигается в процессе составления задач на готовых чертежах.

§ 3. Составление геометрических задач на готовых чертежах

Как уже было отмечено, умение решать задачи основано на ряде действий: преобразование требования задачи, составление задач, выведение следствий из данных условий и т. д. Решение

геометрических задач осложняется тем, что учащиеся обязаны владеть умением соотносить действия с чертежом с необходимыми преобразованиями задачи (некоторые из них указаны выше). Комплекс многих действий, лежащих в основе умения доказывать, формируется в процессе составления задач на заданных чертежах. Действительно, для составления задачи необходимо проанализировать ситуацию, заданную рисунком (выделить объекты, отношения между ними, привести словесную формулировку заданной ситуации, указать ряд требований, причем при этом приходится осуществлять простое и сопоставимое вычленение фигур, представлять фигуру в плане различных понятий и т. д.), выводить следствия из данных рисунка, формулировать возможные заключения.

Кроме сказанного, отметим, что решение школьных задач в учебнике геометрии основано на трансформации словесной формулировки задачи в чертеж, а использование обратной трансформации специально не предусмотрено, что ведет к перекосу в обучении умения решать геометрические задачи, а в конечном счете к значительным трудностям, испытываемым учащимися при решении геометрических задач.

Отметим еще такой момент. В учебно-методической литературе указывается на важность выделения опорных знаний, опорных задач и опорных конфигураций. Под последними понимаются такие геометрические конфигурации, которые несут основные теоретические положения какой-либо темы (раздела), могут использоваться для ознакомления с понятиями и теоремами темы и используются при решении большинства задач изучаемого раздела. Это положение должно быть учтено в обучении составлению задач таким образом, чтобы опорные конфигурации являлись в первую очередь источником составления задач.

Рассмотрим конкретные примеры. Тема: сравнение отрезков и углов. Раздел «Вопросы и задачи» может быть дополнен упражнениями на составление по рисунку задач, а также возможна замена отдельных задач учебника либо их трансформация.

1. Объясните ситуацию, зафиксированную на рисунке 18.

Рис. 18 Рис. 19 Рис. 20

Указанная ситуация может быть охарактеризована так: на луче с началом О отмечены точки A, В, С так, что точка В лежит между точками О и A, а точка A — между точками В и С.

2. Сформулируйте несколько задач, условия которых зафиксированы на рисунке 18.

К таким задачам можно отнести следующие: 1) докажите, что OB < OA; ОС = OВ + ВС; 2) сравните отрезки OB и OA и т. д.; 3) назовите дополнительные лучи, изображенные на рисунке 18.

Приведенные две задачи составлены на основе конфигурации, заданной в словесной форме ([21], № 18).

3. Охарактеризуйте ситуацию, изображенную на рисунке 19 ([21], № 23), составьте по ней несколько задач, условиями которых являются эти ситуации.

Примеры задач: на рисунке 19 углы, обозначенные цифрами, равны.

1) Докажите, что ∠1 < ∠2+∠3; ∠1 + ∠3 = ∠2+∠4.

2) Назовите все углы, биссектрисой которых является луч ОС.

Можно предложить учащимся сформулировать аналогичную задачу для отрезков.

4. Изобразите ситуацию для отрезков, аналогичную заданной в задаче 3.

Эта ситуация представлена на рисунке 20.

5. Сформулируйте задачи, аналогичные задачам, составленным в процессе решения задачи 3.

Например, задача, аналогичная задаче 3(2), может быть сформулирована так: на рисунке 20 изображены равные отрезки. Назовите все отрезки, серединой которых является точка С.

Необходимо обратить внимание на аналогии в рассматриваемых задачах: угол — отрезок; равные углы — равные отрезки; биссектриса угла — середина отрезка. Систематическое обращение к аналогии поможет сформировать у учащихся этот мощный прием решения задач.

Рассмотрим еще ряд примеров, иллюстрирующих прием составления задач по рисунку [21].

6. Составьте задачу, используя рисунок 21.

Рисунок 21 фиксирует конфигурацию, состоящую из смежных углов и их биссектрис. Требованиями задачи могут быть следующие предложения: 1) найдите угол между биссектрисами; 2) докажите, что угол между биссектрисами смежных углов прямой. (На второе утверждение может навести восприятие рисунка.)

Можно предложить учащимся сформулировать утверждение, обратное утверждению 6.2, доказать его либо опровергнуть. Решение соответствующей задачи предполагает выполнение «обратного» действия, заключающегося в трансформации словесной формулировки задачи в ее графическую модель.

Рис. 21

По мере продвижения в изучении геометрии в качестве средства постановки задач надо брать опорные конфигурации, которые целиком либо частично используются при решении многих задач темы или для иллюстрации теорем этой темы. Такую конфигурацию дает, например, условие задачи 111 [21]. Она часто используется в задачах на равнобедренный треугольник, признаки равенства треугольников.

7. На рисунке 22 изображена конфигурация. Используя ее, составьте несколько задач.

Такими задачами может быть целый блок задач:

1) АВ = АС, ∠1 = ∠2. Докажите, что BD = DC.

2) АВ = АС, ∠1 = ∠2. Докажите, что ABDC равнобедренный.

3) АВ = АС, ∠1 = ∠2. Докажите, что AD⊥BC.

4) Докажите, что DB = DC, где D — точка биссектрисы равнобедренного треугольника ABC (ВС — основание).

5) Треугольник ABC равнобедренный, D — точка биссектрисы ∠А. Докажите, что △ВB1С = △СC1В, где C1 — точка пересечения прямых CD и AB, a B1 — точка пересечения прямых АС и BD.

6) Точка D равноудалена от точек В и С угла А (АВ = АС). Докажите, что она принадлежит биссектрисе угла А.

Результат решения задачи 5) можно использовать для составления новой задачи.

7) На сторонах угла А отмечены точки C1, В, B1, С так, что АC1 = АB1, АВ = АС. Докажите, что точка D пересечения прямых ВB1 и СC1 принадлежит биссектрисе угла А.

8) С помощью циркуля и линейки разделите угол пополам.

Еще пример. Рисунок к задаче ([21], № 213) является опорным, так как он позволяет актуализировать знания о параллельных прямых, равенстве отрезков, углов, признаки равенства треугольников, ввести понятия трапеции, ее средней линии и т. д. Заметим, что указанная задача расположена в учебнике до темы «Четырехугольники» в разделе «Параллельные прямые». Используя этот рисунок (рис. 23), можно поставить целый блок адекватных сказанному задач.

8. Охарактеризуйте конфигурацию, заданную рисунком 23. Используя ее, составьте несколько задач.

Приведем примеры задач:

1) CE = ED, BE = EF. Докажите, что △ВСЕ = △FDE.

Рис. 22 Рис. 23

Рис. 24

2) ABCE = AFDЕ. Докажите, что: a) ∠СВЕ = ∠DFE; б) АВСЕ = ∠FDE.

3) Используя результат предыдущей задачи, докажите, что BC||AD.

4) Известно, что BC||AD и ∠BKE = ∠KAD. Докажите, что KE||AD и KE||BС. Запишите несколько следствий, вытекающих из доказанного.

5) Используя рисунок 23, объясните, как построить с помощью линейки сумму отрезков AD и ВС.

В зависимости от уровня подготовки класса, интереса учителя и учащихся к задачам приведенный блок задач может быть расширен, причем часть такой работы может составить предмет кружковых занятий. Работа по составлению задач с использованием готового рисунка, как показывает наш опыт, не только продвигает учащихся в умении работать с задачей, доказывать, но и является хорошим средством их интеллектуального развития.

Итак, мы рассмотрели формирование эвристических и логических приемов мышления, которые помогут овладеть доказательствами первых теорем или решением задач на доказательство. По мере продвижения в изучении систематических курсов алгебры и геометрии расширяется запас приемов, адекватных доказательству, что вызывает необходимость специального рассмотрения проблемы развития обучения доказательству.

§ 4. Обучение школьников доказательству в VII—VIII классах

Доказательство теорем курса геометрии представляет уже достаточно длинную цепь последовательно связанных дедуктивных умозаключений (логических шагов), устанавливающую истинность теоремы. Установление же связи между отдельными шагами, их выделение, обоснование представляют для многих учащихся VII класса значительную трудность. Снижению этой трудности может способствовать использование специального приема. Поясним его сущность.

Доказательство теоремы можно записать в виде таблицы, состоящей из двух колонок, одна из которых содержит утверждения, другая — их обоснование. Запишем в виде такой таблицы доказательство теоремы о сумме углов треугольника по учебнику А. В. Погорелова (рис. 24).

Утверждение

Обоснование

1) BD||АС

По построению

2) А и D по разные стороны от прямой ВС

По построению

3) ∠DBC и ∠ACB — внутренние накрест лежащие для прямых АС и BD и секущей ВС

По определению внутренних накрест лежащих углов

4) ∠DBC = ∠ACB

По свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей

5) ∠ABD = ∠ABC+ ∠CBD

ВС — внутренний луч угла ABD

6) ∠ABD = ∠АВС+ ∠ACB

Утверждения 4, 5

7) ∠ВАС и ∠ABD — внутренние односторонние углы при параллельных прямых АС и BD и секущей ВС

По определению внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей

8) ∠BAC + ∠ABD = 180°

По свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей

9) ∠BAC+ ∠АВС+ ∠ACB = 180°

Утверждения 6, 8

Приведенная запись доказательства теоремы показывает, что оно непростое, состоит из девяти шагов, а это ведь теорема, изучаемая учениками VII класса, имеющими небольшой опыт доказательства. Поэтому выделить обосновываемые утверждения, найти им обоснования, выстроить последовательность шагов — задача для многих учеников чрезвычайно сложная. К тому же опыт показывает, что спешить с привлечением школьников к самостоятельному доказательству не следует, ученики должны сначала разобраться в структуре готовых доказательств, научиться работать с ними. Как же помочь в этом школьнику? Естественно, при встрече учащихся с теоремой и ее доказательством учитель разъясняет содержание понятия теоремы, знакомит с составными частями, доказательством на доступном ученику уровне, приводит примеры теорем, которые учащиеся уже доказывали, хотя и не называли эти предложения теоремами.

Заметим, что в учебнике А. В. Погорелова первым суждением, имеющим статус теоремы, является следующее:

Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон. Факт, утверждаемый теоремой, очевиден для школьников, поэтому необходимость его доказательства для учеников сомнительна и не вызывает эмоционального настроя. А это создает дополнительные трудности и для учеников, и для учителя.

В учебнике Л. С. Атанасяна и др. в качестве первой теоремы выступает первый признак равенства треугольников. Факт, утверждаемый этой теоремой, менее очевиден, а потому его обос-

нование не вызывает удивления школьников. Отметим и то, что ранее были доказаны свойства смежных и вертикальных углов, что служит хорошим примером теоремы и ее доказательства. Положительным является и то, что первые две теоремы (первый и второй признаки равенства треугольников) доказываются одним и тем же методом наложения, что позволяет более активно привлекать школьников к работе с этими теоремами.

Итак, доказательство теоремы может быть записано в виде таблицы с двумя колонками. На основе приведенной на с. 61—62 таблицы составим карточку, сделав в таблице некоторые пропуски. Такая карточка имеет следующий вид:

Утверждение

Обоснование

1) BD||AC

2)...........

По построению

3) ∠DBC и ∠ACB —внутренние накрест лежащие углы для прямых АС и BD и секущей ВС

4) ∠DBC = ∠ACB

5) ∠ABD = ∠АВС+ ∠CBD

ВС — внутренний луч угла ABD

6) ∠ABD = ∠ABC+ ∠ACB

Утверждения 4, 5

7)...........

По определению внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей

8)...........

9) ∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB = 180°

Утверждения 6, 8

Использование подобных карточек снижает трудности школьников в усвоении логики доказательства. Карточки могут использоваться при самостоятельной работе учащихся на уроке и при выполнении домашнего задания. Их можно видоизменять с учетом индивидуальных возможностей учащихся. Количество пропусков в карточке зависит от того, как ученик ориентируется в материале. Если хорошо, то пропусков в его карточке больше; если хуже — меньше. (Некоторые учащиеся доказывают теорему без карточек.) Работа с такими карточками требует от учащихся воспроизведения всей цепи рассуждений, способствует усвоению сущности дедуктивного метода, ускоряет математическое развитие учащихся.

Проиллюстрируем методику использования карточек на уроке при изучении теоремы:

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой [21].

Рис. 25

Доказательство. Обратимся к рисунку 25, на котором ABC — равнобедренный треугольник с основанием ВС. AD — его биссектриса. Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD = DC и ∠3 = ∠4. Равенство BD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и AD — медиана треугольника ABС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также высотой треугольника ABС. Теорема доказана. Как видим, приведенное доказательство очень сжато, поэтому выделение утверждений, их обоснование, построение цепочки дедуктивных умозаключений, наконец, оформление доказательства — задача даже для сильного ученика непростая.

Развернем доказательство и запишем его в виде таблицы с двумя колонками.

Утверждение

Обоснование

1) ABC — равнобедренный треугольник

По условию

2) АВ = АС

По определению равнобедренного треугольника

3) AD — биссектриса угла А

По условию

4) AD — внутренний луч угла А и ∠1 = ∠2

По определению биссектрисы угла

5) D — внутренняя точка отрезка ВС

По определению внутреннего луча угла

6) Треугольники ABD и ADC существуют

Утверждение 5

7) AABD = AACD

По первому признаку равенства треугольников

8) BD и DC, ∠3 и ∠4 — соответствующие стороны и углы равных треугольников ABD и ACD

Утверждение 7

9) BD = DC

Утверждение 8

10) ∠3 = ∠4

Утверждение 8

11) AD — медиана треугольника ABC

Утверждения 5, 9

12) ∠3 и ∠4 — смежные углы

По определению смежных углов

13) ∠3+∠4 = 180°

По теореме о сумме смежных углов

14) ∠3 = ∠4 = 90°

Утверждения 12, 13

15) AD⊥BC

Утверждение 14

16) AD — высота треугольника ABC

По определению высоты треугольника

Анализ доказательства рассматриваемой теоремы показывает, что оно имеет достаточно сложную, многошаговую структуру, разобраться в которой ученику, только приступившему к изучению систематического курса геометрии, очень сложно. Кстати, логическая структура доказательства второго признака равенства треугольников более проста и было бы естественнее от изучения первого признака равенства треугольников перейти ко второму, а материал параграфа «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника» изучать, по крайней мере, после рассмотрения двух признаков равенства треугольников. (Так, например, ведется изложение материала в учебнике геометрии А. В. Погорелова.)

Вернемся к рассмотренному доказательству теоремы и попробуем упростить его, опустив из него совершенно очевидные факты. К последним относятся утверждения 4, 5, 6, 8 (в некоторых учебниках геометрии теорема о равенстве соответствующих элементов в равных треугольниках даже не рассматривается). Учитывая сказанное, запись доказательства можно представить в следующем виде:

Утверждение

Обоснование

1) ABC — равнобедренный треугольник

По условию

2) AD — биссектриса угла А

По условию

3) АВ = АС

По определению равнобедренного треугольника

4) △ABD = △ACD

По первому признаку равенства треугольников

5) BD = DC, ∠3 = ∠4

Утверждение 4

6) D — середина отрезка ВС

Утверждение 5

7) AD — медиана треугольника ABC

Утверждение 6

8) ∠3 и ∠4 — смежные углы

По определению смежных углов

9) ∠3+∠4 = 180°

По теореме о сумме смежных углов

10) ∠3 = ∠4 = 90°

Утверждения 5, 8

11) AD⊥BC

Утверждение 9

12) AD — высота треугольника ABC

По определению высоты треугольника

На основе полученной таблицы можно составлять карточки для индивидуальной и коллективной работы школьников. Вот одна из них.

Утверждение

Обоснование

1) ABC — равнобедренный треугольник

2)...........

По условию

3) АВ = ВС

4) △ABD = △ACD

5)...........

Утверждение 4

6) D — середина отрезка ВС

7) AD — медиана треугольника ABC

8) ∠3 и ∠4 — смежные углы

9) ∠3+∠4 = 180°

10)...........

11) AD⊥ВС

Утверждение 9

12)...........

Опишем методику использования таких карточек при изучении теоремы. Отметим, что процесс изучения теоремы включает следующие этапы: 1) мотивация изучения теоремы; 2) ознакомление с фактом, отраженным в теореме (или его открытие); 3) формулировка теоремы; 4) усвоение содержания теоремы; 5) ознакомление со способом доказательства (его открытие); 6) доказательство теоремы; 7) применение теоремы; 8) установление связи данной теоремы с другими теоремами.

«Открытие» теоремы может быть осуществлено либо посредством эксперимента с бумажной моделью равнобедренного треугольника, заключающегося в перегибании этой модели так, чтобы вершина треугольника оставалась на линии сгиба, а вершины при основании совпали бы друг с другом, либо с помощью специального упражнения, например, такого: «Треугольник ABC — равнобедренный (ВС — основание), AD — биссектриса, ∠A = 40°. Найти: ∠B, ∠ADB и ∠ADC». Это упражнение закрепляет теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника и приводит к факту о том, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой. Выполнение упражнения приводит и к открытию способа обоснования этого факта: доказать равенство треугольников ABD и ACD. Манипуляция с бумажной моделью равнобедренного треугольника также приведет к указанным результатам. После этого формулируется теорема, записывается ее условие и требование.

Далее учитель намечает канву доказательства, ставя при этом вопросы: «Как доказать равенство треугольников? Что надо знать, чтобы утверждать, что AD — медиана треугольника, AD — высота треугольника? Что следует из равенства треугольников?» и т. д. Естественно, к ответу на них привлекаются и учащиеся. По мере накопления опыта доказательства участие школьников в постановке вопросов и нахождении ответов на них должно возрастать.

Проработав канву доказательства, учитель выдает каждому ученику карточку, в которой он должен заполнить пустые места. При этом ученик может пользоваться и учебником, сопоставляя

содержание карточки с доказательством теоремы, содержащимся в учебнике. Во время работы учеников с карточками учитель следит за действиями учащихся и оказывает им необходимую помощь. По выполнении задания осуществляется проверка понимания учащимися доказательства теоремы. В данной ситуации возможны вопросы: «Как доказать равенство треугольников, отрезков, углов? Как доказать, что отрезок является высотой треугольника?» и т. д. Заметим, что многие вопросы закрепляют в сознании школьника эвристики, другие формируют ассоциации, связанные с ними. Примеры:

Для доказательства равенства отрезков (углов) нужно доказать равенство треугольников, сторонами (углами) которых являются эти отрезки (углы).

Для доказательства перпендикулярности двух прямых надо доказать равенство смежных углов, образуемых при пересечении прямых.

Данные эвристики образуют ассоциации: равенство отрезков (углов) → равенство треугольников; перпендикулярность прямых → равенство образуемых смежных углов.

В зависимости от уровня подготовки класса учитель может поставить и ряд более сложных вопросов, например: «Почему точка D лежит между точками В и С?», «Почему BD = DC, а не BD = AD?» и т. д. Однако прибегать к таким «утонченным» вопросам при изучении первых теорем вряд ли целесообразно даже в сильном классе, но в VIII—IX классах постановка аналогичных вопросов, обсуждение ответов на них уже уместны.

В процессе работы с карточками возможны задания на развертывание дедуктивных умозаключений, составляющих доказательство теоремы. Развернем, например, шаги 7 и 9.

Шаг 7. Утверждение: AD — медиана треугольника ABС. Обоснование: D — середина отрезка ВС.

Медиана — отрезок, одним концом которого является вершина треугольника, а другим — середина противоположной стороны.

AD — отрезок, соединяющий точку А с серединой противоположной стороны ВС треугольника ABC.

Вывод: AD — медиана треугольника ABC.

Шаг 9. Утверждение: ∠3+∠4 = 180°. Обоснование: по теореме о сумме смежных углов.

Сумма смежных углов равна 180°.

∠3 и ∠4 — смежные углы.

Вывод: ∠3+∠4 = 180°.

Заметим, что в учебниках геометрии в качестве обоснования используется как большая посылка, так и малая.

После работы с карточками оформляется доказательство теоремы на доске и в тетрадях учеников. На первых уроках геометрии это оформление выполняет учитель, по мере накопления

опыта в доказательствах — учитель с привлечением учащихся и, наконец, сами школьники. Учитель может предложить им выполнить упражнение на оформление записи доказательства в своих тетрадях.

Записать доказательство рассматриваемой теоремы можно так:

1) AABD = AACD (АВ = АС, ∠1 = ∠2, AD — общая сторона), откуда BD = DC и ∠3 = ∠4.

2) Так как BD = DC, то D — середина отрезка ВС, a AD — медиана треугольника ABC.

3) Поскольку ∠3 и ∠4 — смежные и ∠3 = ∠4, то они прямые, а значит, AD — высота треугольника ABC.

Запись данного доказательства содержит три основных блока. Первый связан с равенством треугольников ABD и ACD, второй— с доказательством того, что AD — медиана треугольника ABC, третий объединяет шаги доказательства, обусловливающие утверждение о том, что AD — высота треугольника ABC.

Итак, работа с доказательствами теорем на первых уроках геометрии включает три этапа. На первом обсуждается канва доказательства, второй включает изучение доказательства с помощью специальных карточек и сопутствующих упражнений, на третьем этапе осуществляется запись доказательства в тетрадях школьников и на классной доске. По мере продвижения учащихся в изучении геометрии надобность в использовании карточек учащимися будет уменьшаться, а доля самостоятельности в отыскании способа доказательства, его построении, записи увеличиваться. Активности ученика в процессе доказательства будет способствовать работа учителя по формированию эвристических приемов, адекватных доказательству.

О формировании таких эвристических приемов, как преобразование требования задачи (заключения теоремы) в равносильное, выведение следствий, составление геометрических задач, в частности на готовых чертежах, речь уже шла. Названные приемы являются базовыми, на которых основаны как общие, так и специальные эвристики. К первым можно отнести аналогию, рассмотрение частных случаев, предельных положений и т. д., примерами эвристик второго вида являются предложения: «Для доказательства равенства отрезков докажите равенство треугольников, сторонами которых являются данные отрезки», «Для обоснования некоторых зависимостей в прямоугольном треугольнике рассмотрите комбинацию этого треугольника и окружности, описанной около него» и т. д.

Формирование общих эвристик будет рассмотрено ниже, здесь мы остановимся на некоторых специальных эвристиках и на выделении их в процессе изучения учебных курсов.

Овладение эвристическими приемами выведения следствий, преобразования требования в равносильное, составления задач, вычленения фигуры на заданном рисунке, сопоставимого вычле-

нения фигур, их сравнения, переосмысливания элементов чертежа с точки зрения различных понятий позволяет приобщать школьников к самостоятельному поиску способа доказательства и знакомить их с новыми эвристиками. Рассмотрим эту проблематику на примере изучения курса геометрии VII класса. На первых уроках геометрии основное внимание уделяется формированию перечисленных действий. Наряду с этим осуществляется и развитие навыков выполнения дедуктивных умозаключений. Хороший полигон для такой работы представляет процесс формирования понятий. Выше рассматривалось формирование навыков выполнения умозаключений в процессе овладения действиями подведения объекта под понятие, составления задач и их решения.

Учебники геометрии содержат большое количество эвристик, которые должны быть подчеркнуты при изучении учебного материала. Например, в учебнике геометрии Л. С. Атанасяна и др. равенство фигур определяется через понятие наложения, что дает общий метод доказательства равенства фигур. Так, для доказательства равенства двух отрезков (углов) следует убедиться в совмещении наложением одного отрезка (угла) на другой отрезок (угол). При изучении параграфа «Измерение отрезков» ученики встречаются с понятием длины отрезка и утверждением о том, что равные отрезки имеют равные длины. Однако верно и обратное утверждение: если отрезки имеют равные длины, то они равны. Последнее утверждение вооружает школьников новым приемом доказательства равенства отрезков: он заключается в доказательстве равенства их длин. Заметим, что в учебнике геометрии А. В. Погорелова этот прием обусловлен определением равенства отрезков. Аналогично для доказательства равенства углов можно сравнить их градусные меры: равенство градусных мер будет обусловливать равенство углов. Соответствующие ассоциации в мышлении школьников закрепляются специальными упражнениями типа следующих:

Установите с помощью линейки (циркуля), какие из изображенных на рисунке (рисунок дан) отрезков равны.

Известно, что отрезок AB равен отрезку CD. В каком соотношении находятся их длины?

Изучение равенства треугольников дает новый способ доказательства равенства отрезков: для установления равенства двух отрезков надо доказать равенство треугольников, сторонами которых являются данные отрезки. Чаще такие треугольники приходится строить, а это возможно лишь в случае хорошо развитого умения читать чертеж. Поэтому задача формирования этого умения должна быть актуальна для учителя. В контексте изучения равенства треугольников она решается посредством упражнений на распознавание на чертежах заданных равных треугольников, на построение треугольников, удовлетворяющих заданным условиям, и т. д.

Рис. 26 Рис. 27 Рис. 28

Приведем примеры таких упражнений:

1. Обозначьте вершины треугольников, изображенных на рисунке 26. Укажите два равных треугольника и запишите их равенство. (Последнее важно в контексте учебника геометрии А. В. Погорелова, поскольку в записи равенства треугольников существен порядок в записи вершин треугольника.)

2. Достройте фигуру, изображенную на рисунке 27, так, чтобы она содержала два равных треугольника.

Изучая соотношения между сторонами и углами треугольника, учащиеся знакомятся с признаком равнобедренного треугольника: если два угла треугольника равны, то он равнобедренный. Данное утверждение вооружает школьников новым приемом доказательства равенства отрезков: включить отрезки в треугольник и доказать равенство двух углов, которые образуют эти отрезки с третьей стороной треугольника.

Отметим, что доказательство теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника основывается на распространенном в школьном курсе геометрии приеме: сравнение двух объектов (в данном случае углов) осуществляется посредством введения третьего объекта, который находится в известных связях с данными. На этот прием необходимо обратить внимание школьников и постараться закрепить его в их сознании специальными упражнениями.

Учитель, готовясь к уроку, на котором предполагается ознакомить школьников с новым для них способом доказательства теорем, естественно, продумывает методику ознакомления с ним. Применительно к данной теореме ознакомление с этим способом может быть осуществлено посредством такого упражнения: «Докажите, что ∠BAD > ∠C, где D — внутренняя точка стороны ВС треугольника ABC, a AB = BD». Выполнив упражнение, учитель подчеркивает, что сравнение двух углов (∠BAD и ∠С) осуществляется путем введения третьего угла (∠BDА), связанного с двумя данными углами. Этот метод, отмечает далее учитель, часто используется при решении задач, в частности, он будет использован нами и при доказательстве рассматриваемой теоремы. Как показывает опыт, доказательство теоремы при такой организации ее изучения осуществляется почти самостоятельно

учениками, учитель лишь в отдельные моменты направляет их действия. Возможны такие вопросы учителя: «Как доказать, что угол А треугольника больше угла С?» (Ответ: «Ввести третий угол».); «Где должна быть расположена его вершина D?» (Ответ: «На стороне ВС».); «На каком расстоянии от точки В ее наиболее целесообразно взять?» (Ответ: «BD = AB».)

Готовясь к уроку, целью которого является изучение теоремы, учитель продумывает не только способ ознакомления учащихся с доказательством теоремы. Он думает и над тем, как привлечь школьников к «открытию» ими теоремы, каким образом актуализировать знания и умения учащихся, необходимые для доказательства теоремы, и т. д. Есть разные пути решения этих задач. Однако наиболее эффективным является использование специальных упражнений. При этом желательно конструирование таких упражнений, которые «несли бы на себе» несколько функций: знакомили бы с зависимостью, утверждаемой теоремой, методом ее доказательства и актуализировали бы опорные знания и умения. Приведенное выше упражнение позволяет решить все эти проблемы. Его выполнение опирается на свойства равнобедренного треугольника и свойство внешнего угла треугольника. При этом можно подчеркнуть и неявно используемые в доказательстве теоремы очевидные факты: 1) если на отрезке ВС от точки В отложить отрезок BD меньшей длины, то D — внутренняя точка отрезка ВС; 2) если луч, исходящий из вершины угла A, пересекает отрезок ВС с концами на сторонах этого угла в некоторой внутренней точке D, то ∠BAD < ∠ВАС. Выполнение упражнения знакомит школьника с новой идеей доказательства, закрепляет его убежденность в справедливости зависимости, утверждаемой теоремой, которая может быть «открыта» учениками в процессе выполнения домашнего задания на установление зависимости между сторонами и углами треугольника, выполняя непосредственные измерения.

Доказанная теорема вооружает школьников обобщенным приемом сравнения сторон треугольника через сравнение углов, противолежащих сравниваемым сторонам треугольника, и наоборот. Данный прием позволяет ответить не только на вопрос, равны ли отрезки (углы), но и на вопрос, какой из двух данных отрезков (углов) больше другого. Важно при использовании этого приема включить данные отрезки (углы) в треугольник так, чтобы они были его элементами. Покажем применение рассматриваемого приема в доказательстве теоремы, утверждающей неравенство треугольника (в учебнике геометрии Л. С. Атанасяна и др. эта теорема следует за теоремой о соотношении между сторонами и углами треугольника).

Первый этап работы с доказательством заключается в определении канвы доказательства. Учитель специальными вопросами побуждает учащихся к активной деятельности в поиске способа доказательства. При этом он не должен упускать из

вида и формирование комплекса эвристических приемов: преобразование требования задачи (заключение теоремы), выведение следствий, составление вспомогательных задач, сопоставимое вычленение фигур, рассмотрение фигуры с точки зрения различных понятий.

Итак, возникает вопрос: как доказать, что наибольшая сторона АС треугольника ABC меньше суммы двух других его сторон AB и ВС, т. е. АС < АВ + ВС (рис. 28)?

Ответ на этот вопрос требует знания способа сравнения отрезка АС и ломаной ABС. Попробуем решить этот вопрос, «спрямив» ломаную ABC в отрезок AD, что приведет к новому требованию: доказать, что AC < AD. Мы приходим к задаче сравнения двух отрезков с общим концом. Очевидно, что ее решение можно искать на пути сравнения сторон треугольника ADС. Попробуем сравнить стороны AD и АС треугольника ADC через сравнение его углов, для чего преобразуем требование «доказать, что AC < AD» в новое: «доказать, что ∠ADC < ∠DCA». Обратимся к рисунку, на котором выделим углы D и DCA, и зафиксируем информацию, которую несет рисунок: 1) ACBD — равнобедренный; 2) ∠D = ∠BCD; 3) В — внутренняя точка отрезка AD; 4) ∠ACD > ∠BCD; 5) ∠ACD > ∠D. Среди выделенных следствий оказалось то утверждение (∠ACD > ∠D), из которого, в свою очередь, следует неравенство треугольника. Канва доказательства теоремы обозначена, вместе с тем осуществлялось и совершенствование умения учащихся в овладении эвристическими и логическими приемами, адекватными процессу доказательства.

На втором этапе возможна работа с карточками, в процессе которой постигаются уже детали доказательства, цепочка дедуктивных умозаключений и т. д. Учитель может организовать и коллективную работу по усвоению доказательства, заранее подготовив таблицу с двумя колонками и попеременно закрывая строки из колонок, предлагая школьникам либо обосновать утверждение, либо по указанному обоснованию назвать утверждение. После этой работы записывается доказательство теоремы, при этом особо следует подчеркнуть идею доказательства (решения задачи). Основная идея доказательства теоремы, выражающей неравенство треугольника, заключается в том, что соотношение между сторонами треугольника выводится из соотношения между углами, противолежащими сравниваемым сторонам треугольника.

Заметим, что число идей доказательства теорем в школьном курсе геометрии невелико. Это идеи наложения треугольников, введения нового объекта, находящегося в известных отношениях с данными, равенства треугольников, подобия треугольников, геометрических преобразований, векторов, координат и т. д.

Продолжаем линию эвристических приемов. По мере изучения геометрии учащиеся встречаются с новыми приемами. Так,

например, тема «Четырехугольники» вооружает школьников новыми способами доказательства равенства отрезков: отрезки равны, если они являются противоположными сторонами параллелограмма, диагоналями равнобедренной трапеции и т. д. Эвристики желательно вписывать в специальную тетрадь либо фиксировать на специальном плакате и по мере надобности использовать в процессе доказательства теорем или при решении задач.

Наряду с частными эвристиками в поиске способа доказательства, открытии закономерностей используются общие эвристические приемы и их специализации: аналогия, обобщение, прием элементарных задач, прием рассмотрения предельного случая и т. д. Их обсуждению мы посвятим следующую главу, а эту закончим рассмотрением весьма важного и во многом нетрадиционного компонента обучения доказательству — обучения опровержению предложенных доказательств. Такие доказательства содержат ошибку и поэтому не являются доказательствами в математическом смысле этого термина. Ошибки могут быть в формулировке утверждения, аргументации, рассуждениях. Опровержение таких доказательств предполагает нахождение ошибки и ее исправление.

§ 5. Обучение опровержению предложенных доказательств

Как было отмечено выше, к 15 годам у школьников созревает критическое мышление, которое обусловливает потребность оценивать, контролировать, сомневаться, опровергать различные факты. Однако рассмотрение школьных учебников математики показывает, что в них отсутствуют упражнения на опровержение предлагаемых утверждений и их доказательств. В лучшем случае авторы учебников ограничиваются заданиями типа: «Верно ли ...», «Справедливо ли ...», «Можно ли ...». Структура упражнений по многим разделам учебников такова, что в них приводятся только те данные, которые необходимы для ответа на поставленный вопрос, притом в готовом виде. Формулировки теорем всегда безошибочны. Учащимся при таком правильном, «положительном» материале не приходится хотя бы изредка затруднять себя дополнительным вопросом: «А верно ли?»

Надо сказать, что в 40—60-х гг. появился ряд работ, в которых затрагивалась проблема обучения школьников опровержению готовых доказательств (В. М. Брадис, Я. С. Дубнов, В. Л. Минковский и др.). В основном работы этого периода содержали различные софизмы типа: «Площадь прямоугольника равна нулю», «Все треугольники равновелики» и т. д. Нелепость утверждения просматривается уже из самой его формулировки, которая заставляет ученика искать подвох. В основе доказательства софизмов используются такие ошибки, как «круг» в доказа-

тельстве, ссылка на прямую теорему вместо обратной, рассмотрение частного случая, использование еще не доказанного предложения, подмена тезиса и т. д. Однако рассмотрение ошибок в математических рассуждениях, вырванное из общего контекста обучения доказательству школьников, не вызвало к книгам большого интереса учителей, и они не нашли должного применения в обучении математике.

Ясно, что при обосновании различных утверждений учащиеся допускают разнообразные ошибки. Предусмотреть характер всех ошибок школьников в адекватных им упражнениях невозможно, поэтому основу упражнений на формирование умения опровергать готовые доказательства должны составить наиболее распространенные ошибки учащихся. Согласно Словарю русского языка С. И. Ожегова, опровергнуть — значит доказать ложность, неверность чего-либо. Опровержение — это обоснование или доказательство ложности суждения (предложения) или умозаключения (рассуждения).

Процессу проверки на истинность могут быть подвергнуты все три составные части доказательства: тезис (формулировка теоремы), аргументы (факты, использованные при обосновании тезиса), демонстрация (способы связи фактов в логически стройную последовательность). Таким образом, умение опровергать готовые доказательства составляют умения опровергать тезис, аргументы, демонстрации.

Рассмотрим ошибки, встречающиеся в различных частях доказательства.

Ошибки в тезисе доказательства

Напомним, что тезис должен удовлетворять следующим требованиям:

1) Тезис — суждение ясное и точно определенное.

2) Тезис остается тождественным, не изменяется на протяжении всего доказательства.

3) Тезис не должен находиться в логическом противоречии с суждениями по данному вопросу, высказанными ранее.

4) Тезис не должен содержать в себе логическое противоречие.

5) Тезис должен быть обоснован фактами.

6) Тезис не должен принадлежать к числу тех суждений, которые приняты в качестве основных принципов или начал данной отрасли знания.

7) Тезис определяет собой весь ход доказательства так, чтобы то, что в результате будет доказано, было именно тем, что требовалось доказать.

Нарушения перечисленных требований могут быть следующими:

Несоблюдение первого правила приводит к возможности двусмысленного толкования формулировки теоремы. Сокращение

формулировки часто ведет к искажению дальнейшего смысла рассуждения.

Нарушение второго правила, называемое подменой тезиса, выражается в том, что фактически теорема доказывается не для любого объекта, о котором говорится в ней, а только для частного случая (или нескольких частных случаев).

Нарушение этого вида часто можно наблюдать в действиях учащихся при выполнении рисунка, моделирующего задачную ситуацию, когда рисунок охватывает лишь частный случай и служит основанием для проведения доказательства. Иногда, наоборот, подмеченный частный случай в решении задачи распространяется на общую ситуацию. Даже в учебниках геометрии авторы, доказывая теорему, иногда ограничиваются частным случаем. Ниже приведены конкретные примеры.

Нарушение остальных требований приводит к столь грубым ошибкам, что они сразу могут быть замечены.

Умение опровергать тезис есть владение определенными приемами, т. е. совокупностями действий, выполняемых в определенном порядке и служащих для решения определенных задач.

Каковы же приемы опровержения тезиса?

Наиболее распространен прием, известный под названием «приведение контрпримера». Под контрпримером понимают такой объект, для которого условие утверждения истинно, а заключение ложно. Чтобы убедиться в ложности утверждения, нужно найти хотя бы один объект, для которого условие окажется истинным, а заключение — ложным. Прием приведения контрпримера можно описать так:

1) прочитайте формулировку теоремы, выделите ее условие и заключение;

2) выполните, если это возможно, различные чертежи, соответствующие условию теоремы, или рассмотрите возможные частные случаи;

3) если удалось выявить конкретный пример, для которого условие теоремы выполняется, а заключение нет, то необходима корректировка теоремы;

4) если для всех приведенных примеров формулировка теоремы верна полностью, т. е. выполняется и условие, и заключение, то можно сделать предположение об истинности исходного суждения и перейти либо к его доказательству, либо к поиску неточностей в аргументах и демонстрации.

Навыки самоконтроля при проверке правильности формулировки утверждения могут формироваться посредством специальных упражнений. Приведем их примеры.

1. Среди предложенных утверждений есть истинные и ложные. Укажите те, в которых допущена ошибка. Объясните ее:

а) биссектриса угла в равнобедренном треугольнике есть его медиана и высота;

б) средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон;

в) если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды;

г) в треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Из предложенных утверждений верными являются б), в).

Легко убедиться, что все возможные частные случаи приводят к выполнению и условия, и заключения. В остальных вариантах допущены ошибки, которые обнаруживаются посредством контрпримеров. Например, ложность утверждения а) легко обнаружить, если провести биссектрису одного из равных углов треугольника. В случае, когда биссектриса проведена к основанию, рисунок убеждает в справедливости утверждения, что, в свою очередь, дает возможность уточнения формулировки утверждения: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является его медианой и высотой. Аналогично можно уточнить и формулировки других утверждений.

2. Какие слова в формулировках следующих утверждений можно опустить:

а) сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°;

б) если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то противоположный ему острый угол равен 30°?

3. Используя прием контрпримера, выявите неверные утверждения:

а) в трапеции проведена средняя линия, и образовавшиеся трапеции подобны;

б) квадрат и прямоугольник подобны;

в) два равносторонних треугольника подобны друг другу;

г) равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному острому углу.

4. Можно ли по аналогии с понятием «остроугольный треугольник» ввести понятие «остроугольный четырехугольник» как такой выпуклый четырехугольник, у которого все углы острые?

5. Докажите неравенство

где а, b, с — стороны треугольника, р — его полупериметр.

Указание. Рассмотрите частный случай: а = b = с, который приводит к ошибочности утверждения.

6. Решите уравнение

Указание.

поэтому

Уравнение не имеет решении.

При решении не только физических, но и геометрических задач хорошим и простым средством самоконтроля является «проверка по размерности»: в любой формуле величины, записанные

в правой и левой частях, должны иметь одинаковую размерность. Это соображение позволяет сразу опровергнуть некоторые гипотезы, возникающие при поиске математических закономерностей.

Пример. Известно, что площадь треугольника со сторонами а, b, с вычисляется по формуле Герона S = √р (р — а) (р — b) (р — с), где р — полупериметр треугольника. Возникает гипотеза, что площадь четырехугольника со сторонами а, b, с, d вычисляется по формуле S = √р (р — а)(р — b)(р — с) (р — d). Сравнение размерностей обеих частей отвергает эту гипотезу.

Иногда используется специальная форма приема приведения контрпримера, суть которой в том, что не приводится сам контрпример, а указывается способ его построения. Приведем пример.

Задача. Опровергните утверждение: в параллелограмме диагональ делит его углы пополам.

Выполним следующее построение: начертим произвольный угол BAD и проведем внутри его луч АР, не являющийся его биссектрисой. На этом луче отмечаем произвольную точку С и проводим через нее прямые, параллельные сторонам угла BAD. Образовавшаяся фигура является параллелограммом, в котором диагональ АС не делит его угол пополам.

Заметим, что опровержение тезиса еще не означает его полного отрицания и отбрасывания как ложного утверждения. В некоторых случаях возможно его уточнение. В нашем примере приведенное построение показывает, что утверждение будет верным, если параллелограмм будет являться ромбом.

Задача. Верно ли утверждение: если два отрезка, заключенные между двумя параллельными прямыми, равны, то они параллельны?

Воспользуемся построением: проведем отрезок AB с концами на параллельных заданных прямых а и b, не перпендикулярный им. Затем из произвольной точки С прямой b (рис. 29) проведем луч CK так, чтобы ∠КСА = ∠BAС. Отрезки AB и CK не параллельны, так как ∠ВАС+ ∠АСК ≠ 180°, однако они равны. Для

Рис. 29 Рис. 30 Рис. 31

доказательства проведем отрезок КЕ параллельно AB, тогда АВКЕ — параллелограмм и ∠А = ∠КЕС = ∠С, а потому КЕ = КС. Учитывая, что AB = КЕ, получаем, что AB = КС, а вместе с тем и ложность утверждения о параллельности отрезков равной длины, заключенных между параллельными прямыми.

Наряду с рассмотренным приемом приведения контрпримера можно использовать косвенные приемы для опровержения утверждений. Поясним их.

Задача. Площадь прямоугольника, описанного около правильного треугольника, вдвое больше площади этого треугольника.

Пусть △АВС вписан в прямоугольник AMLK (рис. 30). Проведем через точку В прямую BD, параллельную стороне АК, пересекающую отрезки AM и АС в точках D и F соответственно.

Тогда

Отсюда

Найденный частный случай опровергает высказанное утверждение, к которому может привести другой частный случай (рис. 31).

Решение задачи применительно к рисунку 31 и распространенное на общий случай иллюстрирует пример нарушений логических требований к тезису, о которых речь шла выше.

Задача. Верно ли утверждение: сумма расстояний от внутренней точки треугольника до его вершин не превышает половины длины его периметра?

Попробуем найти основание для гипотезы об истинности или ложности утверждения. Пусть M — внутренняя точка треугольника ABC. «Устремим» точку M к одной из вершин треугольника. Этот мысленный эксперимент приводит к выводу о ложности утверждения или истинности противоречащего ему утверждения, т. е.

где Р — периметр треугольника ABC.

Докажем его. Используя неравенство треугольника, получаем:

Сложив почленно эти неравенства и выполнив преобразования, имеем:

Доказанное утверждение опровергает истинность исходного.

Рассмотренная задача иллюстрирует прием опровержения утверждения, суть которого заключается в следующем: опровержение осуществляется посредством доказательства истинности утверждения, противоречащего исходному.

Используя этот прием, опровергните утверждения:

1. Периметр параллелограмма меньше или равен сумме длин его диагоналей.

2. Из точки основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Периметр образовавшегося параллелограмма зависит от выбора точки на основании треугольника.

3. Любой неравносторонний треугольник нельзя целиком накрыть двумя меньшими подобными ему треугольниками.

Прежде чем перейти к следующему приему, рассмотрим ситуацию.

Ученик, анализируя рисунок к решаемой им задаче, в условии которой содержится равнобедренная трапеция, обнаружил, что ее диагонали будто бы точкой пересечения делятся пополам (такая ситуация вполне правдоподобна, если на рисунке изображена трапеция, длины оснований которой отличаются незначительно). Это наблюдение привело его к следующей задаче:

Задача. Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся пополам.

Пусть АО = OC и BO = OD, тогда △AOD = △ВОС и △АВO = △CDO (рис. 32), а потому ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4, следовательно, AD||BC и AB||CD.

Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Доказано, что если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Истинность тезиса привела к противоречию с условием, т. е. с утверждением о том, что четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция. Указанное противоречие опровергает истинность доказываемого утверждения. Суть используемого в опровержении тезиса приема в следующем: из тезиса выводится следствие, противоречащее заведомо истинному положению.

Используя этот прием, опровергните утверждения:

1. Биссектриса разностороннего треугольника может быть перпендикулярна к стороне треугольника.

2. Градусная мера каждого из трех углов треугольника не может быть больше (меньше) 60°.

Ошибки в аргументах доказательства

Перечислим требования к логически правильным аргументам:

1) аргументы должны быть истинными;

2) аргументы должны являться достаточными обоснованиями подтверждения тезиса;

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

3) истинность аргументов должна быть доказана независимо от тезиса.

Наиболее типичными нарушениями этих требований являются:

использование в качестве аргумента доказательства положения, которое само нуждается в доказательстве;

использование в качестве аргумента ложного суждения;

использование в качестве аргумента такого суждения, с помощью которого можно доказать не только данный тезис, но и заведомо ложные утверждения;

использование аргументов, самих по себе верных, но не являющихся достаточными основаниями тезиса;

использование утверждений, справедливость которых ограничена некоторыми условиями, в качестве аргументов положений, где учет ограничений существен;

тезис А доказывается при помощи аргумента В, тогда как само суждение В было ранее выведено из суждения А.

Выявление ошибок в аргументации доказательства осуществляется с помощью различных приемов. Каждое из перечисленных выше требований обусловливает соответствующий прием.

Прием проверки истинности аргументов. Рассмотрим пример:

Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны.

Доказательство. Пусть AB и CD — отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла Е (рис. 33).

Тогда по теореме о пропорциональных отрезках AE/CE = BE/DE, откуда

(1)

Умножив обе части равенства (1) на разность AB и CD и выполнив следующие преобразования, получим:

(2)

Разделив обе части последнего равенства на разность AE∙DE и ВЕ∙СЕ, получим AB = CD.

Замечание. Почленное деление равенства (2) на разность AE∙DE — BE∙CE недопустимо, так как эта разность в силу (1) равна нулю.

Подобные задачи (софизмы) мы найдем в различных книгах (см., например, [2], [4]), которые сейчас стали библиографической редкостью. Приведем пример:

Найдите ошибку в аргументации доказательства утверждения: прямой угол равен тупому.

Пусть в четырехугольнике ABCD (рис. 34) ∠D = 90°, ∠C > 90° и BC = DA.

Из середин сторон AB и CD восстановим перпендикуляры, которые пересекутся в точке О; соединим точку О со всеми вершинами четырехугольника.

Из попарно равных прямоугольных треугольников АКО и ВКО, DLO и CLO устанавливаем:

Так как AD = BC, ОА = 0В, OD = OC, то △AOD = △ВОС. Из равенства этих же треугольников следует:

(2)

Складывая почленно равенства (2) и (1), имеем:

т. е. прямой угол равен тупому.

Нелепое утверждение оказалось «доказанным» из-за принятия в качестве верного недоказанного суждения о том, что точка О пересечения перпендикуляров лежит внутри четырехугольника ABCD. Между тем точка О должна находиться вне этого четырехугольника, причем так, что тупой угол BCD и треугольник ВОС лежат по разные стороны от прямой BC, а в этом случае ∠АDС ≠ ∠BCD (угол ADC равен разности углов ADO и ODC, а угол BCD дополняет до 360° сумму двух таких же углов).

Второй прием — прием опровержения аргументов заключается в проверке доказанности используемых аргументов. Рассмотрим следующее доказательство утверждения: если в треугольнике две биссектрисы равны, то он равнобедренный.

Пусть AM и BN — биссектрисы и AM = BN. Построим ∠ВМК = ∠2 и отложим MK = BN (рис. 35), тогда четырехугольник BNМК — параллелограмм, а так как AM = BN, то АМ = МК. Следовательно, △АМК равнобедренный и потому ∠МАК = ∠МКА. Но ∠МКА = ∠NBA = ∠2, значит, ∠1 = ∠2 и ∠A = ∠B, т. е. △ACВ равнобедренный.

Приведенное доказательство истинного утверждения обосновывается на недоказанном факте о том, что MN||AB или точки A, B, K принадлежат одной прямой.

Предложим читателю найти логический пробел в доказательстве утверждения, если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Пусть

(1)

Проведем окружность, касающуюся сторон AB, ВС и CD (рис. 36, а). Докажем, что она будет касаться и стороны AD.

Допустим, что прямая AD не касается этой окружности. Проведем из точки А касательную AD1, тогда четырехугольник ABCD1 будет описанным около указанной окружности. Следовательно, в силу прямой теоремы

(2)

Вычитая равенство (2) из равенства (1), получаем:

что невозможно.

Следовательно, окружность, касающаяся сторон AB, ВС и CD, будет касаться и стороны AD.

Указание. Обоснование опирается на недоказанное положение о том, что точка касания окружности лежит между точками А и В. Если точки А и D будут расположены так, как показано на рисунке 36, б, то для них нельзя будет провести те рассуждения, которые приводятся в доказательстве. Доказать, что точки касания должны лежать между А и В и между С и D, можно, но это приводит к длинным рассуждениям.

Рассмотрим задачу: если длины сторон треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5, то этот треугольник прямоугольный.

Учащийся предложил следующее решение. Обозначим стороны треугольника буквами а, b и с, тогда, учитывая условие, a = 3k, b = 4k и c = 5k, где k — некоторое натуральное число, и a2+b2 = 9k2+ 16k2 = 25k2 = c2. Следовательно, по теореме Пифагора этот треугольник прямоугольный.

Ошибка ученика заключается в том, что вместо ссылки на теорему, обратную теореме Пифагора, сделана ссылка на саму тео-

Рис. 35 Рис. 36

рему Пифагора. Надо сказать, что подобные ошибки довольно распространены в доказательствах школьников. Значит, необходима проверка достаточности аргументов, так как учащимися используются сами по себе верные факты, но из которых нельзя вывести требуемое заключение. Сам прием выявления подобных ошибок можно назвать приемом проверки достаточности аргументов.

Иногда в качестве аргумента предъявляется способ построения геометрического объекта, который удовлетворяет требуемому заключению, однако гарантии, что к нему приведут другие способы, нет. В такой ситуации этот способ не является достаточным основанием доказательства. Хорошим примером в контексте сказанного служит доказательство того, что через точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой.

Доказательство. Пусть а — данная прямая, Р — точка вне ее. Проведем через Р перпендикуляр PQ к прямой а. Далее через точку Р проведем прямую b, перпендикулярную прямой PQ. Прямые а и b параллельны, так как они перпендикулярны к одной и той же прямой PQ. Вместе с тем прямая b единственная, так как через точку Р к прямой а можно провести только один перпендикуляр.

Ясно, что при данном способе построения мы получим одну прямую b, не пересекающую а. Однако из этого вовсе не следует, что мы не получим других непересекающихся прямых, пользуясь иными способами построения.

Отмеченные выше нарушения в требованиях к аргументам приводят к необходимости использования еще одного приема, суть которого состоит в проверке независимости аргументов от доказываемого утверждения, т. е. выявления того, что приведенные аргументы не являются следствием исходного тезиса.

Пример. Найдите ошибку в доказательстве теоремы о сумме углов треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC (рис. 37). Разобьем его отрезком CD на два треугольника ACD и BCD. Пусть X—неизвестная сумма углов треугольника. Тогда

Складывая левые и правые части этих равенств, получаем:

Учитывая, что

имеем:

Пробел в доказательстве имеет следующую причину: сумму углов любого

Рис. 37

треугольника мы обозначили через х, считая ее одной и той же для любого треугольника. А это как раз и вытекает из того, что сумма углов треугольника равна 180°.

Для обнаружения нарушений требований к используемым аргументам, когда непосредственно выявить их трудно, прибегают к косвенному пути. На этом пути допускают истинность всех аргументов, затем оперируют с ними и другими необходимыми истинными посылками так, чтобы, соблюдая безукоризненную логическую схему, прийти к абсурдному заключению.

Примером ошибочного доказательства может служить рассуждение, приведенное в [4]:

Квадрат со стороной 21 см имеет ту же площадь, что прямоугольник со сторонами 34 см и 13 см.

Воспроизведем его. Квадрат Q разрезан на два прямоугольника размерами 13×21 и 8×21 (рис. 38); первый прямоугольник разрезан на две одинаковые прямоугольные трапеции с основаниями 13 и 8, второй прямоугольник — на два одинаковых прямоугольных треугольника с катетами 8 и 21. Из полученных четырех частей складываем прямоугольник R, как показано на рисунке 39 (одинаковые части квадрата и прямоугольника помечены одинаковыми римскими цифрами). Точнее говоря, к прямоугольной трапеции I прикладываем прямоугольный треугольник III так, чтобы прямые углы при общей стороне 8 оказались смежными, — образуется прямоугольник с катетами 13 и 13 + 21 = 34. Точно такой же треугольник складывается из частей II и IV; наконец, из полученных двух равных прямоугольных треугольников складывается прямоугольник R со сторонами 13 и 34. Площадь этого прямоугольника равна 34—13 = 442 (см2), между тем как площадь квадрата Q, состоящего из тех же частей, есть 21∙21 = 441 (см2).

Откуда же взялся лишний квадратный сантиметр? Я. С. Дубнов рекомендует читателю произвести опыт: вырезать из бумаги (удобно — из клетчатой, принимая, например, длину клетки за 1 см) квадрат Q, разрезать его на 4 части, точно соблюдая указанные размеры, и из этих частей сложить прямоугольник R.

Причина столь странного результата в том, что прикладывание частей друг к другу образует фигуру, изображенную на рисунке 40, а не фигуру, которая представлена на рисунке 39.

Рис. 38 Рис. 39 Рис. 40

Углы α и α1 не равны друг другу, а α > α1, откуда α + ß > 180°. Данное неравенство будет обусловливать излом; части I, II, III, IV квадрата действительно можно расположить внутри прямоугольника, но при этом они не покрывают полностью этот прямоугольник. Обнаруженный пробел делает рассмотренное доказательство несостоятельным.

Ошибки в демонстрации

Начнем наш разговор опять-таки с требований к логически правильным демонстрациям и их нарушений:

1) основное требование — полнота демонстрации, т. е. использование всех необходимых аргументов;

2) демонстрация должна представлять собой логически строгую последовательность умозаключений, построенных по известным правилам вывода.

Удовлетворить этим требованиям возможно лишь в рамках аксиоматической теории. Их нарушения могут проявляться в неполноте демонстрации; несоблюдении правил вывода (возможны одновременно оба варианта).

Таким образом, опровержение демонстрации предполагает достаточно высокий уровень культуры доказывать, оно основывается на понимании логической структуры доказательства, знании правил вывода, строения умозаключений и т. д. Правила вывода в школьном курсе математики не рассматриваются, поэтому основной акцент может быть сделан на проверке полноты демонстрации, хотя и на этом пути есть серьезные ограничения. В школьных учебниках при оформлении доказательств большие посылки умозаключений (аргументы) не приводятся, а указываются только вывод и малая посылка, причем все это делается в свободной манере, без соблюдения требований к строению дедуктивного вывода, а порой опускаются и некоторые логические шаги в доказательстве. Выше на различных примерах из школьных учебников математики мы показывали наличие логических пробелов в осуществлении доказательств. Выявление этих пробелов может быть предметом деятельности учащихся специальных математических классов либо обычных, но на факультативных или кружковых занятиях. В массовой школе работа в этом направлении осуществляется в анализе доказательства, выделении в нем логических шагов, выявлении аргументов, выводов и т. д. Распространенной ошибкой школьников, совершаемой в процессе доказательства, является рассмотрение ими лишь частного случая (выше не раз демонстрировалось, к каким курьезам это может привести). Поэтому при анализе доказательства следует выявить степень общности обоснования, рассмотреть по необходимости другие случаи и т. п. Ясно, что в учебниках математики должны быть упражнения, ориентированные на формирование умения опровергать предложенные доказательства.

Примеры.

1. Дано уравнение

Что можно сказать в связи с его решением о рассуждениях:

А что можно сказать о следующих рассуждениях?

2. Дано уравнение

Согласны ли вы с приведенным ниже решением этого уравнения? Если нет, то исправьте его:

3. Выполните логический анализ теоремы, обратной теореме Пифагора (по учебнику «Геометрия, 7—9» Л. С. Атанасяна и др.), постройте всю логическую цепь умозаключений, составляющую доказательство, и сопоставьте ее с доказательством в учебнике. Выделите правила вывода, используемые при доказательстве.

4. Ученик привел следующее решение задачи: Треугольник ABC равнобедренный с основанием АС. Окружность радиуса R с центром О проходит через точку А и В и пересекает прямую ВС в точке М, отличной от В и С. Найдите расстояние от точки О до центра окружности, описанной около треугольника АСМ.

Решение. Пусть О1— центр окружности, описанной около треугольника АСМ (рис. 41), тогда ∠АО1М = 2∠АСМ, так как угол АО1М измеряется дугой AM, а угол АСМ — половиной дуги AМ. Но ∠MCA = ∠ВСА = ∠ВАС, так как △АВС равнобедренный с основанием АС. Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180°, получаем, что 2∠АСМ = 2∠АСВ = 180° — ∠СВА =

Рис. 41 Рис. 42 Рис. 43

= 180°— ∠АВМ. А это означает, что точки A, В, M и O1 лежат на одной окружности, искомое расстояние равно R.

Оцените это решение с точки зрения полноты его аргументации.

Указание. Подумайте, необходимо ли рассмотрение других случаев взаимного расположения точек B, M, С, например случая, когда M не лежит между точками В и С.

Сказанное выше позволяет дать рекомендации ученику, которому предстоит проверка справедливости доказательства некоторого утверждения:

1) Прочитайте формулировку утверждения (теоремы, задачи). Выделите условие и заключение.

2) Проверьте выполнение утверждения на нескольких частных примерах.

3) Если хотя бы в одном примере утверждение не подтверждается, то попробуйте опровергнуть тезис известными способами (приведением контрпримера, выведением из тезиса ложного следствия, доказательством утверждения, противоречащего данному).

Если каким-либо способом тезис опровергается, то он полностью отклоняется либо корректируется и вновь подвергается проверке.

4) Если же тезис подтверждается во всех частных случаях или его не удается опровергнуть известными способами, то приступайте к проверке аргументации.

5) Если аргументы опровергаются, то доказательство отклоняется. Если нет, то переходите к проверке демонстрации.

6) Если в приведенной демонстрации ошибки не установлены, то делается вывод об истинности приведенного доказательства.

Если обнаруживаются ошибки, то доказательство отклоняется.

Примеры.

1. Докажите, что если два отрезка, заключенные между двумя параллельными прямыми, равны, то они параллельны.

Читаем формулировку утверждения, выделяем его условие и заключение.

Проверяем выполнение утверждения в нескольких частных случаях. Для этого выполняем ряд рисунков. Замечаем, что рисунок 42 подтверждает формулировку, а рисунок 43 иллюстрирует невыполнимость доказываемого утверждения. Этот рисунок и представляет собой контрпример, наличие которого отвергает заключение. Однако он указывает способ корректировки условия.

Уточненное утверждение можно сформулировать так: «Докажите, что если два отрезка, заключенные между двумя параллельными прямыми, равны и расположены под одинаковым углом к прямым, то они параллельны». Этот тезис вновь подвергается проверке, после чего переходят к проверке аргументации и демонстрации.

2. Верно ли, что при

(1)

Выяснив суть предлагаемого задания, проверим справедливость неравенства в частных случаях. Возьмем α = π/4. Тогда

Итак, при α = π/4 неравенство не выполняется. Проверим его при α = π/3. В этом случае

Рассмотренные частные примеры не подтверждают справедливость неравенства. Попробуем опровергнуть доказываемое утверждение путем выведения из тезиса ложного следствия.

Предполагаем, что неравенство (1) верно.

Выполним преобразования, ведущие к уменьшению числа тригонометрических функций:

(2)

(3)

Так как α ≠ π/2k, то sin2α ≠ 0. Умножая обе части неравенства (3) на | sin 2α | > 0, получаем:

что неверно, так как

Итак, из предположения о справедливости данного неравенства получено ложное следствие, что полностью отвергает неравенство.

Надо сказать, что в школьных учебниках математики, особенно геометрии, содержатся «правильные» задачи, т. е. задачи, не имеющие нарушений в их формулировках. Такие задания не ориентированы на формирование умения опровергать готовые доказательства. Поэтому учитель математики должен иметь в запасе задания, в которых нарушены либо тезис, либо аргументация, либо демонстрация. Примеры таких заданий были рассмотрены выше. Приведем еще несколько упражнений рассматриваемого типа.

3. Согласны ли вы с рассуждениями в связи с решением неравенства:

4. Дано решение задачи: найдите углы треугольника ABC, если H — точка пересечения его высот, ∠ВАН = α, ∠ABH = ß.

Согласны ли вы с ним? Если нет, внесите в него необходимые дополнения.

Так как AK⊥BC, то △АВК прямоугольный, а потому ∠АВК = 90° — ∠ВАК = 90° — α (рис. 44). Аналогично △ABD прямоугольный, значит, ∠BAD = 90° — ∠ABD = 90° — ß. Поскольку ∠АВС = ∠АВК, а ∠ВАС = ∠BAD, то ∠АВС = 90° — α и ∠ВАС = 90° — ß. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна 180°, имеем ∠АСВ = 180°-(∠ВАС + ∠ABC) = α + ß

Указание. Приведенное решение соответствует случаю α < 90°, ß < :90°. Полнота решения предполагает рассмотрение других случаев: α > 90°, ß < 90°; α < 90°. ß > 90°.

Рис. 44

Заметим, что подобные упражнения легко могут быть составлены на основе задач различных сборников. Надо отобрать из них те задачи, решения которых предусматривают рассмотрение нескольких случаев. На их основе можно составить упражнения на оценку решения задачи, учитывающего лишь один из возможных случаев.

5. Ученику предложили следующую задачу: докажите, что

Ученик, взяв несколько положительных значений а, b и с, убедился в справедливости этого неравенства. Затем он решил испытать способ проверки, заключающийся в выведении из истинного утверждения ложного следствия, рассуждая при этом следующим образом: «Пусть

тогда

Если а > 0, b > 0, c > 0, то последнее неравенство верно; если а < 0, b < 0, с < 0, то значения числителя и знаменателя отрицательны, а значение дроби положительно, значит, и в этом случае неравенство верно. Поскольку из верного утверждения выведено верное следствие, то исходное неравенство верно».

Согласны ли вы с рассуждениями ученика? Если нет, то как исправить его ложные рассуждения?

6. Уточните формулировку следующего задания: докажите, что 63+3n кратно 72, если n — ... .

Указание. Воспользуйтесь тем, что число, кратное 72, кратно и 9, и 8.

7. Выполните логический анализ доказательства признака подобия треугольников по двум углам, содержащегося в различных учебниках геометрии. Сравните доказательства по параметрам: число умозаключений, используемых в них, число логических шагов, не имеющих обоснования, число посылок, используемых в аргументации.

8. Приведем решение задачи: докажите, что у четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 45). Тогда угол А, как вписанный в окружность, равен половине дуги BCD, а угол С — половине дуги BAD. Сумма дуг составляет 360°, следовательно, сумма противоположных углов А и С четырехугольника ABCD равна 1/2 ∙ 360°, т. е. 180°.

Все ли положения, используемые в доказательстве, обоснованы?

Указание. Полнота доказательства требует обоснования факта о том, что противоположные вершины четырехугольника лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие противоположные вершины.

9. Даны два предложения: А и В.

А: углы α и ß вертикальные.

В: углы α и ß равны.

Сформулируйте такое предложение, в котором А является условием, а В — заключением и наоборот.

10. Для всех ли вертикальных углов верно утверждение, что вертикальные углы равны?

11. В каждом из следующих предложений вместо многоточия поставьте: «необходимо», или «достаточно», или «необходимо и достаточно»:

а) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, ..., чтобы его диагонали были равны.

б) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, ..., чтобы все его стороны были равны.

в) Для того чтобы параллелограмм был прямоугольником, ..., чтобы его диагонали были равны.

12. Каким условиям должны удовлетворять числа а, b, с, чтобы

Рис. 45

Глава III

Приемы открытия фактов и поиска доказательств

Успеху в открытии фактов, поиске способа доказательства, его конструировании способствует использование аналогии, обобщения, конкретизации, индукции и их специализаций, а также обобщений уже рассмотренных эвристик.

§ 1. Прием аналогии

Пожалуй, наиболее эффективным методом в открытии фактов, самостоятельном построении доказательства и поиске его способа является аналогия.

Под аналогией понимают сходство предметов в каких-либо свойствах, признаках или отношениях. Умозаключение по аналогии — это такое умозаключение, в результате которого делается вывод о том, что исследуемый предмет, возможно, имеет еще один признак X, поскольку остальные известные нам признаки этого предмета сходны с признаками другого предмета, обладающего, кроме того, и признаком Х. В качестве предметов могут выступать объекты, явления, процессы и т. д.

Говоря о применении аналогии в обучении математике, обычно подчеркивают аналогию: 1) в изучении десятичных дробей и натуральных чисел; 2) между свойствами алгебраических дробей и обыкновенных дробей; 3) между свойствами геометрической и арифметической прогрессий; 4) в изучении свойств фигур на плоскости и свойств фигур в пространстве, например в изучении треугольника и тетраэдра и т. п.

Между тем такое представление о роли аналогии в обучении математике сильно ограничивает ее возможности, особенно применение аналогии в контексте обучения школьников доказательству. Так, решение одной задачи (доказательство теоремы) может быть использовано в решении другой задачи (доказательстве теоремы), аналогичной первой, т. е. имеющей с первой сходные условия или заключения. Для этого каждый шаг решения одной задачи «переносится» на решение другой, т. е. конструируется по аналогии с каждым шагом решения одной задачи каждый шаг решения другой, ей аналогичной. Причем аналогия может проявляться в самых неожиданных ситуациях, например в доказа-

тельстве первых двух признаков равенства треугольников, в изучении свойств равнобедренного треугольника и равнобедренной трапеции и т. п. Таким образом, аналогия способствует не только открытию свойств и признаков изучаемых объектов, она является инструментом поиска способа доказательства и его реализации.

Школьные учебники математики, алгебры и геометрии имеют хорошие возможности для формирования аналогии и ее использования учащимися в изучении математики. Рассмотрим в основном нестандартные примеры применения аналогии. Обычные ситуации с аналогией рассматриваются в различной литературе, например в работах П. М. Эрдниева.

Задачи на доказательство

1. Докажите, что у равнобедренного треугольника биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны.

Доказательство. Пусть ABC— равнобедренный треугольник, в котором АВ = ВС, AD и СЕ — биссектрисы углов при основании, D∈BC, E∈AВ. Докажем, что AD = CE.

1*. Докажите, что у равнобедренного треугольника медианы, проведенные из вершин при основании, равны.

Доказательство. Пусть A1B1C1— равнобедренный треугольник, в котором A1B1 = B1C1, A1D1 и C1E1 — медианы. Докажем, что A1D1 = C1E1.

Сравнение рассуждений в доказательствах приведенных задач 1 и 1* показывает сходство (аналогию) между ними. Если будем считать, что углу при основании равнобедренного треугольника в задаче 1 соответствует боковая сторона равнобедренного треугольника в задаче 1*, углу между биссектрисой и основанием треугольника (задача 1) — отрезок боковой стороны,

заключенный между медианой и основанием (задача 1*), биссектрисе треугольника (задача 1)—медиана треугольника (задача 1*), то каждый шаг в решении задачи 1* может быть получен из соответствующего шага решения задачи 1 путем замены объекта его аналогом. Налицо полноценная аналогия в доказательстве утверждений, содержащихся в задачах 1 и 1*.

Аналогия в решении задач должна подчеркиваться учителем, демонстрироваться им. Решив одну из двух аналогичных задач, следует постепенно переносить каждый шаг решения одной задачи на решение другой, при этом естественно заменяя объекты и отношения между ними на аналоги этих объектов и отношений между последними. Отметим, что в контексте сказанного задачу 1* следовало бы сформулировать так: «Докажите, что у равноугольного треугольника медианы, проведенные из вершин этих углов, равны».

Обычно, говоря об аналогии в различной методической литературе, ее связывают с фигурами на плоскости и пространстве, между тем аналогия широко может использоваться и при изучении только планиметрии либо только стереометрии. Заметим, что аналогия может применяться не только при решении задач на доказательство либо при доказательстве теорем, но и при решении различных задач, например, на доказательство и построение.

2. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины.

Пусть ABC и A1B1C1 — два треугольника, у которых AD и A1D1 — медианы, АВ = A1B1, АС = A1C1, AD = A1D1. Докажем, что треугольники равны (рис. 46).

Доказательство.

1. Продолжим медианы AD и A1D1 на их длину: AD = DE, A1D1 = D1E1.

2. Соединим точки Е и E1 соответственно с точками В и B1.

Рис. 46 Рис. 47

3. △ADC = △EDB по первому признаку равенства треугольников (AD = DE, BD = DC, ∠BDE = ∠ADC).

4. Аналогично △A1D1C1 = △E1D1B1.

5. Из утверждения 3 следует, что АС = ВЕ и ∠BED = ∠DAC.

6. Аналогично из утверждения 4 следует, что A1C1 = B1E1 и ∠B1E1D1 = ∠D1A1C1.

7. Из утверждений 5 и 6 выводим: ВЕ = B1E1.

8. △АВЕ = △A1B1E1 (АВ = A1B1, ВЕ = B1E1 и АЕ = A1E1).

9. Из равенства треугольников ABE и A1B1E1 следует: ∠ВАЕ = ∠B1A1E1, ∠ВЕА = ∠B1E1A1.

10. Учитывая, что ∠BEA = ∠EAC, ∠B1E1A1 = ∠E1A1C1 и ∠BEA = ∠B1E1A1, получаем ∠DAC = ∠D1A1C1.

11. ∠ВАС = ∠B1A1C1, так как каждый из них составлен равными друг другу углами.

12. △АВС = △A1B1C1 по первому признаку равенства треугольников.

2*. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.

Пусть ABC и A1B1C1 — два треугольника, у которых AD и A1D1 — медианы, ∠BAD = ∠B1A1D1, ∠DAC = ∠D1A1C1. Докажем, что треугольники равны (рис. 47).

Прежде чем доказывать, обратим внимание на аналогию в условиях задач 2 и 2*, которая устанавливает следующее соответствие: АВ → ∠BAD, АС → ∠DAC и т. д. (первыми элементами соответствия указаны объекты задачи 2, вторыми — объекты задачи 2*). Теперь перенесем каждый шаг решения задачи 2 с учетом указанного соответствия на решение задачи 2*.

Доказательство.

1. Продолжим медианы AD и A1D1 на их длину: AD = DE, A1D1 = D1E1.

2. Соединим точки Е и Ех соответственно с точками В и В1.

3. △ADC = △EDB по первому признаку равенства треугольников (AD = DE, BD = DC, ∠BDE = ∠CDA).

4. Аналогично △A1D1C1 = △E1D1B1.

5. Из утверждения 3 следует: АС = ВЕ, ∠BED = ∠DAC.

6. Аналогично из утверждения 4 следует, что A1C1 = B1E1 и ∠B1E1D1 = ∠C1A1D1.

7. Из утверждений 5 и 6 выводим: ∠BED = ∠B1E1D1.

8. △АВЕ = △A1B1E1 (∠BAE = ∠B1A1E1, ∠BEA = ∠B1E1A1, АЕ = A1E1).

9. Из равенства треугольников ABE и A1B1E1 следует: АВ = A1B1, ВЕ = B1E1.

10. Учитывая, что ВЕ = B1E1, ВЕ = АС и B1E1 = A1C1, получаем АС = A1C1.

11. ∠ВАС = ∠B1A1C1, так как каждый из них составлен из равных друг другу углов.

12. △ABC = △A1B1C1 по первому признаку равенства треугольников.

Решение задачи 2* может быть получено самими учащимися путем переноса каждого действия решения задачи 2 на решение задачи 2*. Можно осуществлять и параллельное решение двух аналогичных задач, перенося каждый шаг решения одной задачи на другую, ей аналогичную, предварительно выделив соответствующие элементы в этих задачах.

3. Докажите, что любая плоскость, проходящая через точку пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда, делит его на равновеликие части.

Составим задачу, аналогичную данной, заменив в условии последней объекты их плоскостными аналогами: плоскость — прямой; прямоугольный параллелепипед — прямоугольником; точку пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда — точкой пересечения диагоналей прямоугольника.

3*. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей прямоугольника, делит его на равновеликие части.

Решение задачи 3* основано на том, что точка пересечения диагоналей прямоугольника является его центром симметрии. Легко показать, что центральная симметрия относительно центра симметрии прямоугольника отобразит прямую, проходящую через центр симметрии, на себя, а одну часть прямоугольника, отсекаемую этой прямой, на другую, откуда будет следовать равенство частей, а значит, и их равновеликость. Аналогичные рассуждения по отношению к решению задачи 3* делают это решение совершенно прозрачным.

Использование аналогии при решении стереометрических задач значительно облегчает поиск плана решения, ведь чертеж к стереометрической задаче в отличие от чертежа к планиметрической задаче меньше помогает в осознании задачной ситуации. Читатель может убедиться в этом на примере задачи: в данный шаровой сектор впишите куб так, чтобы четыре его вершины находились на сфере, а другие четыре — на конической поверхности. Другое дело — ее аналог: в данный сектор впишите квадрат так, чтобы две его вершины находились на окружности, а другие две — на прямых, содержащих образующие сектора. Анализ задачи-аналога приводит к способу ее решения — использование гомотетии с центром в вершине сектора. Остается провести аналогичные рассуждения в контексте данной задачи, при этом надобности в чертеже уже нет.

Приведем несколько пар аналогичных задач.

4. Докажите, что у равных треугольников соответственные медианы равны.

4*. Докажите, что у равных треугольников соответственные биссектрисы равны.

5. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

5*. Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются вершинами другого равностороннего треугольника.

6. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

6*. Докажите, что углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.

7. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

7*. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

8. Точка пересечения биссектрис треугольника соединена с вершинами. Докажите, что площади образовавшихся треугольников пропорциональны соответствующим сторонам данного треугольника.

8*. Точка пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов тетраэдра соединена с вершинами тетраэдра. Докажите, что объемы образовавшихся тетраэдров пропорциональны площадям соответствующих граней данного тетраэдра.

Теоремы

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны [23].

Доказательство.

1. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠A = ∠A1, АВ = A1B1, АС = A1C1 (рис. 48). Докажем, что они равны.

2. △A1B2C2 = △ABC по построению (см. рис. 48).

3. Точка C2 совпадает с точкой C1, так как A1C1 = A1C2.

4. Луч A1B2 совпадает с лучом A1B1, так как ∠B1A1C1 = ∠B2A1C2.

5. Вершина B2 совпадает с точкой B1, так как A1B1 = A1B2.

6. △A1B1C1 совпадает с △А1B2C2, значит, △A1B1C1 = △АВС.

1*. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 48 Рис. 49

Доказательство.

1. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠А = ∠A1, ∠B = ∠B1, АВ = A1B1 (рис. 49). Докажем, что они равны.

2. △A1B2C2 = ААВС по построению (см. рис. 49).

3. Точка B2 совпадает с точкой B1, так как A1B2 = A1B1.

4. Луч A1C2 совпадает с лучом A1C1, а луч B1C2 совпадает с лучом B1C1, так как ∠B1A1C2 = ∠B1A1C1 и ∠A1B1C2 = ∠A1B1C1.

5. Из утверждения 4 следует, что точка C2 совпадает с точкой C1.

6. △A1B1C1 совпадает с △A1B2C2, а значит, △A1B1C1 = △АВС.

В данных теоремах конструкция «две стороны и угол между ними треугольника» аналогична конструкции «два угла и прилежащая к ним сторона треугольника». По отношению к треугольнику ABC из теоремы 1 и треугольнику ABC из теоремы 1* эта аналогия конкретизируется так:

(слева от стрелок обозначены элементы треугольника ABC из теоремы 1, справа от стрелок — элементы треугольника ABC из теоремы 1*). Если бы мы заменили указанные элементы в теореме 1 элементами теоремы 1* в рассуждениях, составляющих доказательство теоремы 1, то получили бы доказательство теоремы 1*.

Аналогичны доказательства указанных признаков равенства треугольников и в учебнике геометрии Л. С. Атанасяна и др. Поэтому разрывать изучение этих теорем изучением свойств равнобедренного треугольника является неоправданным. Но, даже следуя схеме учебника Л. С. Атанасяна и др., при изучении второго признака равенства треугольников полезно сопоставлять его доказательство с доказательством ранее изученного первого признака равенства треугольников.

Хороший пример использования аналогии дают признаки подобия треугольников. Их доказательство основано на идее гомотетичного преобразования одного из данных треугольников так, чтобы образовавшийся треугольник был равен второму данному треугольнику, и использования транзитивности отношения подобия. Поскольку доказательства всех признаков подобия треугольников имеют одну и ту же основу и аналогичны, то после изучения первого признака рассмотрение последующих признаков можно осуществить самостоятельно, вооружив школьников планом доказательства, коллективно составленным в процессе работы с первым признаком. Возможно использование карточек, о которых говорилось ранее. В этом случае этап доказательства, сводящийся к поиску плана решения и обозначения канвы доказательства, можно опустить.

Одним словом, у учителя богатый выбор приемов работы с конкретными теоремами. Он обусловлен особенностями учебного

материала, целями, которые ставит учитель, и возможностями учащихся класса. Основной стержень изучения материала — включение школьника в активную мыслительную деятельность в зависимости от его индивидуальных особенностей.

Применительно к признакам подобия треугольников план доказательства всех трех теорем может быть следующим:

1. Постройте треугольник A2B2C2, гомотетичный данному треугольнику A1B1C1 относительно произвольной точки О и коэффициентом гомотетии k = AB/A1B1.

2. Сравните треугольники A1B1C1 и A2B2C2, выведите следствия относительно углов и сторон треугольника A2B2C2.

3. Докажите равенство треугольников A2B2C2 и ABC.

4. Докажите подобие треугольников ABC и A1B1C1.

Если учитель решил привлечь учащихся к самостоятельному доказательству теорем с использованием плана, то, разумеется, опорные умения в реализации каждого шага плана должны быть специально отработаны. К таким умениям следует отнести: построение фигуры, гомотетичной данной; выделение соответственных элементов в заданных гомотетичных фигурах; выражение элементов одной фигуры через элементы фигуры, ей гомотетичной; подведение данных треугольников под понятие равных треугольников. Актуализации этих умений будут способствовать следующие упражнения:

1. Начертите произвольный треугольник и постройте треугольник, гомотетичный ему относительно произвольной точки О с k = 2.

2. Используя рисунок (упражнение 1), ответьте на вопрос: как связаны соответственные стороны и углы треугольников?

3. Известно, что A2B2C2 — треугольник, гомотетичный треугольнику A1B1C1 с k = AB/A1B1, где AB — сторона треугольника ABC, в котором ∠А = ∠A1, ∠B = ∠B1 (рис. 50). Докажите, что: а) △АВС = △A2B2C2; б) АA1B1C1 ~ △АВС.

Приведенные упражнения могут быть выполнены перед рассмотрением первого признака подобия треугольников, форма их выполнения может быть различной.

Рис. 50

Ясно, что метод аналогии должен формироваться не только в процессе изучения геометрии, но и при изучении алгебры и курса математики в V—VI классах. Уже последний располагает богатыми возможностями для привлечения аналогии. Темы «Прямоугольный параллелепипед», «Площади», «Признаки делимости», «Десятичные дроби», «Арифметическая и геометрическая прогрессии», «Исследование функций» являются хорошим полигоном для формирования аналогии и умения использовать ее в различных конкретных ситуациях.

Идея применения аналогии может быть развита на внеклассных занятиях. Много интересных задач содержится в книге П. М. Эрдниева, Б. П. Эрдниева «Аналогия в задачах». Рассмотрим пример применения аналогии при составлении задач на решение уравнений (В. Н. Сан-Кай).

Пример. Решите уравнение

(1)

Решим уравнение (1) как квадратное относительно а:

(2) (3) (4) (5)

Решив относительно переменной х оба квадратных уравнения, получаем:

(6)

Уравнение (1) имеет:

а) четыре действительных корня при а > — 1;

б) два действительных корня при —3 < а < — 1;

в) равные корни: x1 = x2 = — 1 при а = — 3,

х1, x2, x3 = x4 = 1 при а = — 1;

г) нет действительных корней при а < —3.

Далее учащимся предлагается составить уравнение по аналогии с решенным, которое также решалось бы приведением к квадратному уравнению.

Выполнение задания начнем с конца:

Корни уравнения (6):

Пусть корни составляемого уравнения имеют вид:

Далее преобразуем y1,2, y3,4, следуя обратному преобразованию: (6) → (5) → (4) → ... → (1).

Последовательно получаем:

Свернем выражения a1 и a2 в выражение вида (3):

Найдем параметры m, n, р:

Используя метод неопределенных коэффициентов, получаем:

Далее, выполняя преобразования, имеем:

Указанный способ, очевидно, может найти широкое применение при решении подобных упражнений в теме «Квадратные уравнения».

Итак, школьный курс математики имеет богатые возможности для обучения учащихся методу аналогии и использованию его в различных ситуациях. Однако подчеркнем, что обучить методу — это прежде всего обучить действиям, его составляющим, и их совокупностям. Методу аналогии, как легко понять из рассмотренных решений задач, адекватны следующие действия:

1) составлять аналоги различных заданных объектов и отношений;

2) находить соответственные элементы в заданных аналогичных предложениях;

3) составлять предложения, аналогичные данным;

4) составлять задачи, аналогичные заданным, т. е. задачи, имеющие с данными сходное условие или заключение;

5) проводить рассуждения при решении задачи по аналогии с решением сходной задачи.

Как уже было отмечено, формирование указанных умений следует осуществлять уже в V—VI классах и систематически осуществлять не только на уроках геометрии и алгебры, но и на кружковых и других видах внеклассных занятий.

§ 2. Приемы обобщения и конкретизации

Эффективным приемом открытия закономерностей, поиска доказательства теоремы или способа решения задачи является использование обобщения или конкретизации. Обобщение как форма перехода от частного к общему имеет целью выделение общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу объектов. Использование обобщения при решении задач основано на расширении области изменения параметра либо на переходе от данного множества к более широкому множеству, содержащему данное. Первое направление преимущественно применяется в алгебре, второе — в геометрии.

Например, рассматривая равенства 3 + 5 = 8, 1 + 7 = 8, 15 + 17 = 32, учащиеся замечают, что в правой части каждого равенства записана сумма двух нечетных чисел, а в левой — четное число. Затем осуществляется переход от множества конкретных нечетных чисел к множеству четных чисел, т. е. делается обобщение. Отвлекаясь от других свойств множества натуральных чисел, используя абстрагирование, формулируем свойство: сумма двух нечетных чисел есть число четное.

Второе направление проиллюстрируем на примере задач:

1. Докажите, что ОМ = 1/2(OA + OB), где О — произвольная точка пространства, M — середина отрезка AВ. Во всех учебниках геометрии эту задачу используют в качестве иллюстрации применения векторного метода: выразив ОМ через векторы OA и AM, а также через векторы OB и ВМ, затем сложив полученные векторные равенства и выполнив небольшие преобразования, получим требуемый результат.

Замечаем, что приведенные рассуждения можно использовать в случае замены в условии задачи отрезка параллелограммом. Преобразование условия вызовет изменение и в заключении задачи: OM = — 1/4(OA + OB + OC + OD), где А, В, С, D — вершины параллелограмма.

Стремление к дальнейшему обобщению задачи приводит к замене параллелограмма параллелепипедом, что обусловливает и новое требование задачи: доказать, что ОМ =

где А, В, С, D,

A1, B1, C1, D1 — вершины параллелепипеда. Анализируя все преобразования условия задачи, видим, что они осуществляются вокруг основной идеи: фигура, заданная в условии, должна быть центрально-симметричной. Это условие и определяет направление обобщения.

2. Дана точка Р, принадлежащая внутренней области квадрата A1A2A3A4. Из вершины A1 опущен перпендикуляр на прямую A2Р, из вершины A2 — на прямую A3Р, из вершины A3 — на прямую A4Р, из вершины A4— на прямую A1Р. Докажите, что четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Поскольку в условии задачи заданы взаимно перпендикулярные прямые, то естественно предположение о целесообразности использования в ее решении поворота. Это предположение усиливается тем, что в задаче речь идет о квадрате, а квадрат, как известно, поворот вокруг точки пересечения его диагоналей на 90° отображает на себя. Итак, несложные рассуждения приводят нас к целесообразности использования поворота вокруг точки О пересечения диагоналей квадрата на 90°. Исследуем это предположение дальше. Указанный поворот переводит точку A1 в точку A2, прямую A1B1 в прямую A2Р. Аналогично точка A2 перейдет в точку A3, прямая A2B2 — в прямую A3Р, точка A3 — в точку A4, прямая A3B3— в прямую A4Р, точка A4— в точку A1, прямая A4B4— в прямую A1Р (точки B1, B2, B3, B4 — основания указанных перпендикуляров). Прямые A1Р, A2Р, A3Р, A4Р пересекаются в точке P, следовательно, пересекаются в некоторой точке прямые A1B1, A2B2, A3B3, A4B4, которые переводятся рассматриваемым поворотом в прямые A2Р, A3Р, A4Р, A1Р. План решения задачи найден. Основная идея доказательства — использование поворота вокруг центра квадрата A1A2A3A4 на 90°.

Изучение условия задачи показывает, что ограничение на положение точки Р несущественно в реализации плана решения задачи, а потому его можно снять. Кроме этого, замечаем, что идея решения задачи не изменится, если квадрат заменить правильным n-угольником (например, шестиугольником), а перпендикулярные прямые A1B1 и A2Р, A2B2 и A3Р, A3B3 и A4Р, A4B4 и A1Р — прямыми, образующими углы в 360°/n (например, 60°). Обобщением рассмотренной задачи будет следующая задача:

Произвольная точка Р плоскости соединена с вершинами правильного n-угольника A1, A2, . . ., Аn. Через вершину A1 проведена прямая A1B1 под углом 360°/n к прямой A2Р, через вершину A2 проведена прямая A2B2 под углом 360°/n к прямой A3Р и т. д. Наконец, через вершину An проведена прямая AnBn под углом 360°/n

к прямой A1Р. Докажите, что прямые A1B1, A2B2, . . ., АпBn пересекаются в одной точке, если считать, что указанные прямые являются сторонами положительно направленных углов.

Придавая n конкретное значение, будем получать аналоги задачи 2. В частности, n = 6 соответствует следующая задача:

Произвольная точка Р плоскости соединена с вершинами правильного шестиугольника A1A2A3A4A5A6. Через вершину A1 проведена прямая a1 под углом 60° к прямой A2Р, через вершину A2 — прямaя a2 под углом 60° к прямой A3Р и т. д., через вершину A6 — прямая a6 под углом 60° к прямой A1Р. (Ориентация многоугольника А1A2A3A4A5A6 и построенных углов, конечные стороны которых принадлежат прямым a1, a2 ..., a6, одинакова.) Докажите, что прямые a1, a2, . . ., a6 пересекаются в одной точке.

Одним из распространенных направлений обобщения служит выход из плоскости в пространство. Рассмотренная задача 1 иллюстрирует эту идею.

Нахождению способа решения задачи иногда, наоборот, помогает рассмотрение более частного случая. Приведем примеры решения задач:

1. Отрезки, концами которых служат внутренние точки противоположных сторон квадрата, перпендикулярны. Докажите, что эти отрезки равны.

Ситуация, заданная в условии задачи, обозначена на рисунке 51. Решение задачи значительно упрощается, если заданная пара взаимно перпендикулярных прямых проходит через центр квадрата (рис. 52). Поворот вокруг центра квадрата на 90° переведет квадрат в себя, при этом одна из указанных прямых перейдет в другую. Эта мысль может быть использована при решении основной задачи. Результат будет получен, если заметим, что ситуацию, заданную рисунком 51, можно получить из ситуации, обозначенной рисунком 52, с помощью параллельного переноса на вектор ОР (рис. 53). Последовательное использование поворота вокруг центра квадрата на 90° и параллельного переноса на вектор ОР и дает решение данной задачи.

2. Задача 2.1. Постройте треугольник, равновеликий данному четырехугольнику ABCD (рис. 54).

Предположим, что данная задача не поддается решению. Тогда попробуем рассмотреть более частную ситуацию:

Рис. 51 Рис. 52 Рис. 53

Рис. 54 Рис. 55 Рис. 56

Задача 2.2. Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму (рис. 55).

Анализ условия задачи приводит к следующему способу ее решения: удвоить высоту параллелограмма, оставив без изменения его основание (удвоить основание параллелограмма, оставив без изменения его высоту). Реализация этого способа показана на рисунке 55. У треугольника АВМ сторона AM = 2AD, а высота его совпадает с высотой параллелограмма. Основание AD треугольника AFD совпадает со стороной параллелограмма, а высота, проведенная из вершины F, в 2 раза больше высоты параллелограмма на сторону AD. Оба названных треугольника равновелики параллелограмму ABCD.

Заметим, что точки Р и Q являются серединами сторон CD и ВС параллелограмма. Этот факт обусловливает иной способ решения задачи: через вершину В и середину Р стороны CD проводим прямую до пересечения с AD в точке M или через вершину A и середину Q стороны ВС проводим прямую до пересечения с DC в точке F.

Если учесть, что Р — середина отрезков CD и ВМ, a Q — середина отрезков ВС и AF, то можно указать еще один путь построения треугольников АВМ и AFD. Четырехугольники BCMD и ABFC — параллелограммы, значит, точка M лежит на прямой, проходящей через вершину С и параллельной диагонали BD параллелограмма ABCD, и на прямой AD. Аналогично можно построить и точку F. Таким образом, можно построить восемь различных треугольников, равновеликих параллелограмму ABCD.

Задача 2.3. Дана трапеция ABCD, где АВ||CD. Постройте треугольник, равновеликий данной трапеции.

Попробуем при решении данной задачи воспользоваться способом решения предыдущей задачи. Легко убедиться в том, что такие треугольники можно построить с помощью проведения прямых через вершины трапеции и середины боковых сторон, не содержащих эти вершины (рис. 56). Треугольники ADL и BCF равновелики трапеции ABCD. Таких треугольников можно построить четыре.

Другие треугольники, равновеликие трапеции ABCD, можно построить с помощью проведения прямых, проходящих через

Рис. 57 Рис. 58 Рис. 59

вершины трапеции параллельно диагоналям, не проходящим через эти вершины. На рисунке 57 построены два треугольника, равновеликие трапеции ABCD: △МСВ и △ADF. Этот способ позволяет получить еще четыре треугольника, равновеликих данной трапеции.

Теперь перейдем к основной задаче 2.1. При ее решении воспользуемся способом, который был применен при решении задач на построение треугольника, равновеликого параллелограмму, и треугольника, равновеликого трапеции. На рисунке 58 построены два треугольника, равновеликие четырехугольнику ABCD: △АМВ и △ВРС. (Прямая, параллельная диагонали АС, проведена через вершину D.) Аналогичным образом можно построить два треугольника, равновеликие четырехугольнику ABCD, проведя через вершину В прямую, параллельную диагонали АС. Проведя через вершины А и С прямые, параллельные диагонали BD, можно получить еще четыре треугольника, равновеликих четырехугольнику ABCD.

Решение задачи для частного случая помогло найти путь решения обобщенной задачи. Этот путь можно использовать в различных конкретных ситуациях. Приведем пример:

3. Постройте треугольник, равновеликий данному пятиугольнику ABCDE.

Рассмотренный способ позволяет преобразовать пятиугольник ABCDE (рис. 59) в четырехугольник MBCD, равновеликий пятиугольнику ABCDE.

Очевидно, что рассмотренный в задаче 2.1 способ решения применим для любого n-угольника: сначала n-угольник превращаем в (n—1)-угольник, затем последний превращаем в равновеликий ему (n — 2)-угольник и так до тех пор, пока не построим треугольник, равновеликий полученному четырехугольнику.

На заключительном этапе работы с задачей следует прибегать к составлению задач, аналогичных данной, ее обобщающих и т. д. Рассмотрим пример.

4. Основная задача: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. (В учебнике «Геометрия, 7—9» Л. С. Атанасяна и др. это утверждение имеет статус теоремы, в

учебнике «Геометрия, 7—11» А. В. Погорелова оно представлено задачей.)

Решив задачу, можно обратить внимание учащихся на то, что произведение отрезков хорды можно рассматривать как площадь прямоугольника, сторонами которого являются отрезки хорды. Таким образом, приходим к следующей задаче:

4.1. Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке Р. Докажите, что площадь прямоугольника со сторонами АР и PB равна площади прямоугольника со сторонами PC и PD.

Теперь рассмотрим частный случай задачи 4: одна из хорд (пусть AB) является диаметром окружности, а другая (пусть хорда CD) перпендикулярна ей. Тогда АР∙PB = CP2. В данной ситуации наиболее важным является формулировка решенной задачи:

4.2. Если из некоторой точки окружности опустить перпендикуляр на диаметр, то квадрат перпендикуляра равен произведению отрезков диаметра. (Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки окружности на диаметр, есть среднее пропорциональное между отрезками диаметра.)

Заметив, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, ситуацию, отраженную в задаче 4.2, можно интерпретировать следующим образом: если из вершины прямого угла опустить перпендикуляр на гипотенузу, то квадрат перпендикуляра равен произведению отрезков гипотенузы.

Поставим вопрос о справедливости утверждения, обратного утверждению 4.1:

4.3. Пусть отрезки AB и CD пересекаются в точке Р так, что АР∙РВ = СР∙PD. Тогда точки A, B, С и D лежат на одной окружности.

Нетрудно установить истинность этого утверждения: пусть точка D не лежит на окружности, проходящей через точки A, B, C, a D1 — точка окружности, в которой ее пересекает прямая CD, тогда АР∙РВ = СР∙PD1 = CP∙PD, откуда дочка D совпадает с точкой D1, т. е. тогда D, не лежит на указанной окружности.

Теперь можно перейти к обобщению задачи 4:

4.4. Через точку Р вне окружности проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках А и B, а другая— в точках С и D. Докажите, что PA∙PB = PC∙PD.

Эта задача интересна и тем, что ее решение аналогично решению задачи 4.

Будем исследовать задачную ситуацию, взяв предельный случай, который дает совпадение точек, например, А и В. Этот случай трансформирует задачу 4.4 в следующую:

4.5. Через точку Р проведены касательная РА (А — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Докажите, что PA2 = PC∙PD.

Можно предложить самим учащимся сформулировать задачу, соответствующую описанной выше ситуации.

Анализ задачи 4.5 приводит к гипотезе о справедливости утверждения:

4.6. Прямая AM — касательная к окружности, AB — хорда этой окружности. Докажите, что угол MAB измеряется половиной дуги AB, расположенной внутри угла MAB.

Второй предельный случай задачной ситуации 4.4 (совпадение точек С и D) соответствует следующей задаче:

4.7. Из точки Р проведены к окружности две касательные РА и PC (А и С — точки касания). Докажите, что РА = РС.

В данной ситуации также целесообразно привлечь учащихся к конструированию и формулировке задачи 4.7. Теперь можно рассмотреть более сложную конфигурацию, состоящую из двух окружностей и отрезков их хорд. Итак, выдвигаем проблему: найти условия такого расположения двух окружностей и хорд в них, чтобы точка пересечения хорд обладала тем же свойством, что и точка Р в задаче 4. Простейший анализ этой проблемы, ее сопоставление с задачной ситуацией 4 приводят к выводу о том, что данные окружности пересекаются, а точка Р принадлежит их общей хорде (рис. 60). Формулируется задача:

4.8. Через точку Я, принадлежащую общей хорде двух пересекающихся окружностей, проведены в каждой из них хорды AB и CD. Докажите, что AP∙PB = CP∙PD.

Задачи 4.8 и 4.3 порождают новую задачу:

4.9. Через точку P, принадлежащую общей хорде двух пересекающихся окружностей, проведены в каждой из них хорды AB и CD. Докажите, что точки А, В, С и D принадлежат одной окружности.

Заметим, что формулировка и этой задачи может быть выполнена учащимися. Кстати, основной акцент в работе с приведенными задачами делается на анализе учащимися соответствующих ситуаций и формулировках задач.

Рис. 60 Рис. 61

Изучая конфигурацию, изображенную на рисунке 60, замечаем, что свойством точки Р (предыдущая задача) обладает любая точка прямой MN, исключая точки М, N. Таким образом, приходим к более общему случаю:

4.10. Две окружности пересекаются в точках M и N. Через точку Р прямой MN, отличную от точек M и N, проведены в каждой из окружностей секущие AB и CD. Докажите, что AP∙PB = CP∙PD.

Данная задача аналогична задаче 4.4.

Решенные выше задачи показывают, что аналогом задач 4.5 и 4.7 являются следующие задачи:

4.11. Две окружности пересекаются в точках M и N. Через точку Р прямой MN проведены касательные PC и PD к окружностям (С и D — точки касания). Докажите, что PC = PD.

Частным случаем данной задачи является следующая: CD — общая касательная двух пересекающихся в точках M и N окружностей. Докажите, что точка пересечения прямых CD и MN делит отрезок CD пополам.

Последняя задача дает способ деления пополам отрезка, определяемого точками касания общей касательной к двум пересекающимся в двух точках окружностям, с помощью одной линейки.

4.12. Две окружности касаются в точке М. Через точку Р касательной, проходящей через точку М, проведены секущие, пересекающие окружности в точках А, В и С, D. Докажите, что PA∙PB = PC∙PD.

4.13. Две окружности касаются в точке М. Через точку Р касательной, проходящей через М, проведены касательные РА и PB к данным окружностям (А к В — точки касания). Докажите, что РА = РВ.

Исследование конфигурации, состоящей из двух окружностей, может быть распространено на конфигурацию, состоящую из трех окружностей. Итак, пусть нам дана конфигурация, состоящая из окружностей S1, S2, S3, попарно пересекающихся друг с другом в точках А, В, С и D (рис. 61), a M — точка пересечения прямой CD с окружностью S2.

Рассмотрение этой конфигурации приводит к ряду проблем, например: выяснить, при каком расположении окружностей S1, S2, S3 выполняется равенство PC∙РМ = РС∙PD = AP∙PВ. Нетрудно усмотреть, что прямая AB должна быть общей касательной к окружностям S1 и S3. Таким образом, приходим к задаче:

4.14. Окружности S1, S2 и S3 проходят через точку M и пересекаются попарно, кроме точки М, в точках A, В, N (рис. 62), причем AB — касательная к окружностям S1 и S2. Докажите, что:

а) точка Р пересечения прямых AB и NM делит отрезок NC, где С — точка пересечения прямой NM с окружностью S3, пополам;

Рис. 62 Рис. 63

б) четырехугольник ACBN— параллелограмм. Данная задача в свою очередь порождает задачу:

4.15. В параллелограмме ABCD окружность, описанная около треугольника BCD, пересекает большую диагональ АС в точке М. Докажите, что прямая BD является общей касательной к окружностям, описанным около треугольников АВМ и ADM.

Обратим внимание на задачу 4.14(6) и рассмотрим ситуацию, в которой окружности S1 и S2 касаются в точке M (рис. 63). Нетрудно установить, что в этом случае параллелограмм ACBN (см. рис. 62) вырождается в квадрат АСВМ (см. рис. 63), а мы приходим к новым задачам:

4.16. Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке М. Прямая AB — общая внешняя касательная этих окружностей. Через точки А, В и M проведена окружность S3, с которой вторая общая касательная, проходящая через точку М, пересекается в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ — квадрат.

4.17. Две окружности касаются в точке М. К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках А и В. Докажите, что ∠AMB = 90°.

Итак, довольно-таки большое число задач мы объединили общей идеей. Каждая последующая задача либо обобщает предыдущую, либо конкретизирует ее, либо является ее аналогом, либо использует результат предыдущей задачи. Цепочки таких задач (будем называть их динамическими задачами) имеют «разную длину» в зависимости от цели их использования. Они могут объединять разделы одной темы и применяться на уроках обобщения знаний по теме, охватывать несколько тем, углубляя изучение зависимостей, тогда решение задач может выходить за пределы уроков и распространяться на кружковые занятия.

Говоря об использовании аналогии, специализации, обобщения при решении задач, рассмотрим доказательство теоремы Пифагора, восходящее к Евклиду. Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами а, b и с, из которых с является гипотенузой. Докажем, что a2+b2 = c2.

Построим на сторонах а, b, с прямоугольного треугольника подобные многоугольники, площади которых равны соответственно λа2, λb2, λс2. Если c2 = a2+b2, то λс2 = λа +λb2. Очевидно, верно и обратное утверждение: если λа2+ b2 = λс2, то a2+b2 = c2. С помощью обобщения приходим к следующей теореме: если три подобных многоугольника построены на трех сторонах прямоугольного треугольника, то площадь многоугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей двух других многоугольников.

Это обобщение равносильно не только частному случаю, от которого мы отправлялись, но и любому другому частному случаю. С помощью специализации находим частный случай, который мы получим, если проведем высоту из вершины данного треугольника на гипотенузу (рис. 64). Действительно, данный треугольник, треугольник I и треугольник II подобны, площадь данного треугольника равна сумме площадей треугольников I и II.

Наряду с рассмотренными общими приемами открытия закономерностей, поиска доказательства, его конструирования в методике преподавания математики используют и более специальные приемы. К ним относятся прием элементарных задач, прием представления задачи в пространстве состояний, прием введения вспомогательной фигуры, прием рассмотрения предельных случаев, прием опорных задач и т. д.

§ 3. Прием элементарных задач

Суть приема элементарных задач различные авторы определяют по-разному. Для одних она заключается в использовании простейших упражнений для формирования навыков применения отдельных теорем, определений, аксиом. Другие усматривают ее в поэлементном формировании сложного умения, например умения применять векторы в конкретных ситуациях. Третьи связывают этот прием с решением задач, которые являются элементами основной, и т. д. Очевидно, что указанные точки зрения на сущность приема элементарных задач отражают различные его стороны.

Я. И. Груденов в книге [3] иллюстрирует этот прием так. Он отмечает, что умение упрощать выражение

Рис. 64 Рис. 65 Рис. 66

обусловлено в первую очередь прочными навыками применения основных тригонометрических формул и умением проводить преобразования вида

Для отработки навыков выполнения этих преобразований рекомендуются упражнения, подобные следующим.

Упростите:

Обучение школьников применению признака перпендикулярности прямой и плоскости предлагается осуществлять на таком ряде элементарных упражнений:

1. Дано: ∠АВК = ∠KBC = 90° (рис.65). Докажите: КВ⊥АС.

2. Дано: углы ABC и СВК — прямые (рис. 66). Докажите: ВС⊥АК.

3. Дано: основание пирамиды МАВСК — прямоугольник, ребро MB перпендикулярно плоскости основания (рис. 67). Докажите: ∠КСМ = 90°. Найдите угол МАК.

4. Дано: КЕ и РЕ — высоты треугольников КОС и РОС (рис. 68). Докажите: ОС⊥РК.

Заметим, что зачастую элементарные задачи предлагают на готовых чертежах. Эффективность такого приема очевидна. Решение задачи на готовом чертеже требует меньше времени на анализ ее формулировки, при этом отпадает необходимость выполнения чертежа, сам рисунок направляет внимание школьника на главное в задаче. К тому же задачи на готовых чертежах являются элементом методики обучения математике. Например, формирование понятий предусматривает овладение обучаемым действием распознавания объектов, принадлежащих понятию, и

Рис. 67 Рис. 68

осуществляется в процессе выполнения таких упражнении, в которых каждое существенное свойство, используемое в определении понятия, является предметом усвоения, при этом необходимо варьирование распознаваемых объектов. Выполнение этих требований предполагает использование большого числа задач. Задачи же на готовых чертежах позволяют экономить время и сосредоточивать деятельность школьников на главной в данной ситуации цели — овладеть действием распознавания.

Немаловажно и то, что задачи на готовых чертежах решаются чаще устно, однако не исключается и письменное оформление решения задачи. Более того, сами упражнения на готовых чертежах могут выступать в качестве средства обучения школьников письменному оформлению решения, так как легко позволяют дозировать число умозаключений в доказательствах предложений.

Система вспомогательных (элементарных) упражнений, используемых для обучения решению задачи, может быть построена с помощью анализа этого решения. Умение строить такую систему позволит сделать процесс решения задачи управляемым, заранее предвидеть трудности учащихся и оказать помощь в их преодолении.

Рассмотрим задачу: докажите, что полусумма кубов двух неравных положительных чисел больше куба их полусуммы. Итак, нам нужно доказать, что

(А)

Будем использовать восходящий анализ.

1) Очевидно, что для доказательства неравенства А достаточно доказать неравенство

(A1)

2) Для того чтобы доказать неравенство A1, достаточно доказать неравенство

(A2)

3) Для того чтобы доказать неравенство A2, достаточно доказать, что

(A3)

4) Чтобы доказать неравенство A3, достаточно доказать, что

(A4)

(A5)

Структура решения данной задачи может быть представлена следующим образом:

Последовательность упражнений, направленная на подготовку решения задачи А, такова: A5, A4, A3, A2, A1, А.

Ясно, что учитель перед решением задачи А может использовать не всю цепочку упражнений, а лишь некоторые из них. Упражнения A5, A4, A3, A2, A1 можно считать элементарными задачами по отношению к задаче А.

В литературе часто рекомендуют перед решением сложной задачи решать вспомогательные задачи-элементы. Однако следует иметь в виду, что деятельность по решению задач имеет сложную структуру. Работа с цепочкой вспомогательные задачи → основная задача хотя и упрощает решение конкретной задачи, тем не менее не обеспечивает формирования сложного комплекса умений осуществлять поиск способа решения задачи. Сам процесс поиска играет огромную роль в формировании общих приемов работы с задачей, творческой деятельности учащихся. Поэтому деятельность, вызываемая решением цепочки вспомогательные задачи основная задача, неадекватна деятельности поиска способа решения задач, а предварение всякий раз решения сложной задачи решением ее компонентов обедняет влияние этого процесса на развитие ученика.

Более эффективен метод элементарных задач в иной модификации, суть которой в следующем. Для каждой темы любого школьного учебника математики можно указать ряд задач, являющихся элементами большинства задач темы (зачастую они в учебниках отсутствуют). Решение таких задач-элементов должно быть специальным предметом обучения школьников в процессе изучения этой темы.

Например, использование свойств пирамиды в различных конкретных ситуациях часто опирается на такие свойства:

1) Если боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности.

2) Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды проходит через центр вписанной в основание пирамиды окружности.

Ясно, что указанные свойства должны быть сформированы посредством специальных задач. Приведем их примеры.

1. Боковые ребра треугольной пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом а. Докажите, что проекции боковых ребер пирамиды на плоскость ее основания равны.

2. Известно, что боковые ребра треугольной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности.

3. В основании пирамиды, боковые ребра которой наклонены к основанию под одним и тем же углом, лежит прямоугольный треугольник. Изобразите эту пирамиду и ее высоту, проведенную к основанию.

4. Сформулируйте задачу, аналогичную задаче 2, применительно к четырехугольной пирамиде и решите ее.

5. Известно, что высота пирамиды, в основании которой находится тупоугольный треугольник, проходит через точку, принадлежащую внутренней области этого треугольника. Докажите, что боковые ребра пирамиды не могут быть наклонены к плоскости ее основания под одним и тем же углом.

6. Постройте задачу, являющуюся обобщением задачи 2, и решите ее.

Серия задач, ориентированных на усвоение свойства 2, может быть уже составлена по аналогии с указанными самими учащимися.

Отметим еще один аспект элементарных задач. Формирование любого метода предполагает формирование действий, его составляющих. Так, например, метод геометрических преобразований составляют умения: 1) строить образы фигур при заданном преобразовании; 2) видеть соответственные точки на соответственных при том же преобразовании фигурах; 3) выделять элементы, определяющие преобразование; 4) строить соответственные при заданном преобразовании точки на произвольных заданных фигурах; 5) использовать специфические свойства преобразования. В учебниках геометрии должны быть задачи, ориентированные на формирование этих умений и их совокупностей. Этот аспект метода элементарных задач очень важен, и его реализации должно быть уделено специальное внимание как в методической литературе, так и в практике обучения математике.

Очевидно, что рассматриваемый прием в некотором роде является формой использования индукции в обучении математике.

§ 4. Прием представления задачи в пространстве состояний

Авторы книги «Методы обучения математике» так поясняют сущность этого приема. Представим себе игру в домино. Первый игрок выставляет кость 1—2. Сразу возникает система поиска следующего хода: можно приложить кость или к 1, или к 2. Если

второй игрок выставит кость 1—5, то затем можно будет воспользоваться пятерками, а если он выставит 1—6, то шестерками и т. д. Возникает так называемое пространство состояний. Проиллюстрируем эту мысль пространством состояний, соответствующим задаче:

Докажите тождество

Начальное состояние:

Целевое состояние:

Наиболее реальные пути преобразования начального состояния приводят к появлению новых трех вершин. Будем преобразовывать далее состояния, свойственные каждой из полученных трех вершин, и иллюстрировать преобразование, раскрывая всякий раз последнюю вершину.

Мы нашли один из путей решения задачи, может быть, и не самый рациональный. Для нахождения последнего надо иметь несколько путей преобразования начального состояния в целевое. Ниже показаны различные варианты поиска доказательства, а наиболее оптимальный из них выделен жирной стрелкой.

Процедура использования приема представления задачи в пространстве состояний достаточно трудоемка и громоздка и в чистом виде в школьной практике не используется. Изучение тригонометрического выражения, записанного в левой части равенства, приводит к мысли об использовании формулы tgx = sinх/cosx, так как это преобразование привело бы к выражению, coдержащему sin2x и cos х (sin2х легко представить через cos2х), правая часть равенства содержит cos х. Перспектива рассматриваемого пути преобразования очевидна.

Практическая реализация идеи представления задачи в пространстве состояний осуществляется путем продвижения в двух направлениях: от начального состояния к целевому и от целевого к начальному.

Задача. Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника ABC пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что BD/AB = DC/AC ([21], № 619).

Построим произвольный треугольник ABC и биссектрису внешнего угла при вершине A, отметим точку D, в которой биссектриса пересекает прямую ВС (рис. 69).

Рис. 69 Рис. 70 Рис. 71

Начнем продвигаться в поиске доказательства с анализа заключения, которое состоит в требовании доказать пропорциональноность отрезков: BD/AB = DC/AC. Естествен вопрос: как доказать пропорциональность отрезков? Ответ на него в рамках различных учебников геометрии будет разным. Он будет обусловлен теоретическими фактами, с которыми учащихся знакомит учебник. Замечаем, что отрезки BD, CD, AB и АС входят в треугольники ABD и ACD. Из учебника геометрии Л. С. Атанасяна и др. школьники уже знают признаки подобия треугольников, откуда следует пропорциональность их сторон, и утверждение о том, что прямые а и b, пересеченные параллельными прямыми АА1, BB1, CC1 (точки A, B, C лежат на прямой а, а A1, B1, C1 — на прямой b), высекают отрезки, такие, что AB/BC = A1B1/C1D1.

Треугольники ABC, ACD, ABD, очевидно, не являются подобными, а потому необходимо прибегнуть к дополнительным построениям. Конфигурация, изображенная на рисунке 70, будет удовлетворять указанному утверждению, если пересечь стороны угла ABD прямой, содержащей точку C и параллельной прямой AD. Пусть это будет прямая се. Тогда BD/CD = AB/AE. Полученная пропорция отличается от доказываемой только одним членом ае. Задача будет решена, если докажем, что АЕ = АС.

Обратимся к условию задачи, осуществляя тем самым путь от начала к концу. Так как AD — биссектриса внешнего угла при вершине A, то ∠1 = ∠2. Далее, ∠2 = ∠СЕА как соответственные при параллельных прямых СЕ и AD и секущей АС, а ∠1 = ∠АСЕ как накрест лежащие при тех же параллельных прямых и секущей AC. Поэтому △АСЕ равнобедренный, откуда АЕ = АС.

Возможна и иная схема движения в поиске доказательства. Ее основу составляет «отсечение» от треугольника ABD треугольника CKD, подобного ему, для чего проводится прямая CK, параллельная прямой AB. Эта ситуация приводит к пропорциональности BD/CD = AB/CK (рис. 71). Требуемое равенство отношений мы получим, доказав, что △ACK равнобедренный (∠CAK = ∠AKC), и, следовательно, АС = CK.

Очевидно, прием представления задачи в пространстве состояний является формой приема выведения следствий.

§ 5. Прием рассмотрения предельного случая

Использование этого приема оказывается полезным при поиске закономерности, способа доказательства, оценке готового результата и построении опровержения предложенного обоснования. Он уже затрагивался нами при построении аналогий и обобщений, идущих от факта, утверждающего равенство произведений отрезков хорд окружности, пересекающихся в одной точке. В частности, рассмотрение предельного случая помогло открыть закономерность, связывающую касательную и произведение отрезков секущей, проведенных из одной точки. Аналогия и предельный случай указали и на способ обоснования открытого факта, заключающегося в построении подобных треугольников и выведении из подобия пропорциональности, связывающей касательную и отрезки секущей.

Приведем примеры применения данного приема.

Задача 1. Дана окружность радиуса R (рис. 72). Из точки А, отстоящей от центра О окружности на расстоянии a (a > R), проведена секущая. Точки В и С ее пересечения с окружностью соединены с центром О. Найдите tgγ/2tgβ/2, если ∠СОА = γ, ∠BOA = ß.

Рассмотрим предельный случай, заключающийся в вырождении секущей в касательную (рис. 73). В этом случае γ = ß и

Полученный результат подсказывает целесообразность введения в рассмотрение в общем случае отрезков а — R и a+R, т. е. отрезков АЕ и AM, где Е и M — точки пересечения прямой АО с окружностью (см. рис. 72).

Решение.

Так как △ЕСМ и △ЕВМ прямоугольные, то

откуда

Рис. 72 Рис. 73

Из подобия треугольников СМА и ЕВА следует, что

а из подобия треугольников CAE и ВАМ —

Учитывая последние два равенства, получаем:

Задача 2. В четырехугольнике ABCD две стороны AD и ВС не параллельны. Что больше: полусумма этих сторон или отрезок, соединяющий середины двух других сторон?

Пусть MN — отрезок, о котором говорится в условии задачи (рис. 74). Рассмотрим предельный случай, фиксирующий сближение точек А и В и их совпадение (рис. 75). При этом преобразовании точки С и D займут положение точек К и L. Четырехугольник KDLC — параллелограмм (CK = DL, CK||DL), следовательно, точки K, N и L лежат на одной прямой. Задача сводится к сравнению суммы двух сторон треугольника и медианы, проведенной к третьей стороне. Последняя задача легко решается путем продолжения медианы на отрезок, равный ей, и рассмотрения полученного треугольника (рис. 76).

§ 6. Прием построения вспомогательной фигуры

Задача. На гипотенузе ВС прямоугольного треугольника ABC (∠А прямой) построен квадрат BCDK, в котором Р — точка пересечения диагоналей. Докажите, что луч АР — биссектриса угла А (рис. 77).

Рассмотрим частный случай: пусть △АВС — прямоугольный и равнобедренный (рис. 78). Даже непосредственное рассмотрение рисунка, моделирующего эту ситуацию, приводит к выделе-

Рис. 77 Рис. 78 Рис. 79

нию на нем фигуры АВРС, имеющей прямую АР своей осью симметрии (точки А и Р равноудалены от точек В и С), откуда и следует доказываемое утверждение.

Теперь будем изучать рисунок с целью отыскать путь обобщения задачной ситуации. Его анализ подсказывает, что около четырехугольника АСРВ можно описать окружность, диаметром которой является отрезок ВС. Углы ВАР и РАС оказываются вписанными в эту окружность и опирающимися на равные дуги BP и PС. Обнаружен еще один способ решения частной задачи. Однако он указывает и путь обобщения: перемещение точки А по дуге ВАС приводит к обобщенной задачной ситуации, указанной в условии данной задачи. Ключ к ее решению найден. Им является вспомогательная окружность, описанная около прямоугольного треугольника ABС. Анализ задачи позволяет выделить эвристический прием, суть которого в следующем: если дан прямоугольный треугольник, то опишите вокруг него окружность и рассматривайте конфигурацию, состоящую из этой окружности и прямоугольного треугольника, вписанного в нее.

Выше, рассматривая эвристические приемы (эвристики), мы отмечали, что успеху в решении задач помогает знание «родственных» отношений между объектами. (Совокупность (блок) таких объектов называют «семьей».) Учитывая эту терминологию, можно сказать, что прямоугольный треугольник с описанной около него окружностью образует «семью». Рассмотренный пример выводит нас на взаимосвязь двух прямоугольных треугольников с общей гипотенузой, описанной окружности и вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу или равные дуги. «Семью» образуют касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания. Блок фигур составляют хорда, перпендикуляр к ней, опущенный из центра окружности, радиус, проведенный в конец хорды, и прямоугольный треугольник, образованный этими отрезками. Если в условии задачи используются отдельные элементы блока, то желательно дополнить рисунок недостающими элементами этого блока. Последние и будут образовывать вспомогательную фигуру.

Разновидностью приема «семьи» является прием достраивания тетраэдра. Суть его заключается в том, что тетраэдр

достраивается до призмы, в частности параллелепипеда. Проиллюстрируем сказанное следующим примером.

Задача. Докажите, что объем тетраэдра

где а и b — длины двух противоположных ребер тетраэдра, d — расстояние между прямыми, на которых лежат эти ребра, φ — угол между этими прямыми.

Проведем через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру. Получим три пары параллельных плоскостей, образующих параллелепипед. Ребра данного тетраэдра являются диагоналями получившегося параллелепипеда (рис. 79). Площадь граней параллелепипеда, содержащих ребра а и b, равна ab sin φ, а расстояние между плоскостями граней равно d. Тогда объем параллелепипеда равен 1/2abd sin φ. Объем данного тетраэдра составляет 1/3 от объема параллелепипеда, т. е.

Рассматриваемый прием построения вспомогательной фигуры часто используется при доказательстве теорем или решении задач, когда требуется доказать некоторую зависимость между двумя данными фигурами. Если эту зависимость обосновать непосредственно не удается, то прибегают к третьей фигуре, находящейся в известных отношениях с заданными. Примером может служить теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. Ее доказательство опирается на введение угла, находящегося в известных отношениях со сравниваемыми углами (он больше одного, так как является внешним по отношению к треугольнику с заданным углом, и равен части другого сравниваемого угла и, следовательно, меньше его). В рассматриваемой теореме введенный угол и является той вспомогательной фигурой, использование которой дает толчок в поиске ее доказательства.

Важная роль в обосновании теоремы о том, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон, принадлежит вспомогательной фигуре — треугольнику, образованному одной из сторон исходного треугольника и продолжением его второй стороны на длину третьей.

Однако метод вспомогательной фигуры широко используется не только в геометрии. Некоторая его модификация находит применение и в курсе алгебры. Например, при решении уравнений используют прием введения нового неизвестного, относительно которого уравнение приобретает более простой вид. Рассмотрим ряд примеров.

1. Решите уравнение

Учитывая, что подкоренное выражение

преобразуется к виду

данное уравнение принимает вид:

Введем вспомогательное неизвестное:

тогда

данное уравнение легко приводится к виду 2t2 — 3t+1 = 0. Корни последнего уравнения t1 = 1, t2 = 1/2. Принимая во внимание произведенную замену, получаем, что данное уравнение имеет один корень: х = 1.

В рассмотренном случае введение вспомогательного неизвестного было осуществлено по ходу решения. Однако часто это приходится делать, не приступая к непосредственному решению уравнения.

2. Решите уравнение

Положим √x = t, тогда уравнение примет вид:

Решение его не вызывает затруднений.

В некоторых ситуациях приходится вводить не одно неизвестное, а несколько.

3. Решите уравнение

Введем два вспомогательных неизвестных:

Тогда придем к системе уравнений:

откуда y = 1, z = 2. Использовав какое-либо из этих неизвестных, получаем х = 3.

4. Решите уравнение 3 cos 2x+sin2 x + sin 2х = 1.

Перенесем 1 в левую часть, заменив ее на sin2 x + cos2 х, а cos 2х и sin 2х выразим через sin х и cos х. Выполнив преобразования, получим:

Разделив почленно на cos2 х (cosx ≠ 0) и сделав замену у = tg x, получим:

Возвращаясь к х, найдем

Приведенный пример иллюстрирует следующую эвристику: уравнения, однородные относительно sin х и cos х, или уравнения, приводящиеся к однородным, могут быть сведены к алгебраическим уравнениям при помощи замены y = tgx. Попутно отметим, что уравнение вида

приводится к квадратному заменой y = sinx, а замена y = cosx оказывается полезной при сведении к квадратному уравнения вида

Обобщая сказанное и учитывая решения наиболее распространенных в курсе алгебры видов уравнений, можно выделить следующие замены:

1) у = xn. В частности, с помощью замены у = x2 решаются биквадратные уравнения, т. е. уравнения вида ах4+bx2+c = 0.

2) у = Р(х) или у = √Р (х), где P(x)—многочлен. Такая замена использовалась в примерах 1—3.

3) у = P(x)/Q(x), где Р (х) и Q (х)—многочлены. Данная замена была применена при решении уравнения в примере 1. В частности, с помощью замены у = решаются уравнения вида

Разделив почленно уравнение на x, получим:

Используя замену у = х+ и учитывая, что

получаем:

Каждый из видов замены обусловливает и соответствующую ему эвристику.

Этим приемом пользуются и при доказательстве неравенств. Иногда, доказывая неравенства а < b, удается ввести промежуточное число (выражение) с, такое, что а < с, с < b.

Глава IV

Методы доказательства в школьном курсе математики

§ 1. Общематематические методы доказательства

Как уже было сказано, доказательства в школьном курсе математики строятся как содержательные, в которых не фиксируются правила вывода и используются обычные рассуждения. Способы связи рассуждений различны. Они могут осуществляться либо от условия к требованию, либо от требования к условию. В первом случае говорят о синтетическом построении доказательства, во втором — об аналитическом. Возможны и такие ситуации, когда используются обе схемы построения доказательства. Надо сказать, что реальный процесс доказательства осуществляется именно по третьему пути, являясь аналитико-синтетическим. Для начала процесса характерен аналитический путь, затем осуществляется синтетический. В сложном доказательстве оба пути чередуются по нескольку раз. В главе I было раскрыто содержание приемов, адекватных этим путям, поэтому остановимся лишь на практической стороне их применения.

Теорема. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Пусть АС и BD — диагонали ромба ABCD, О — точка пересечения диагоналей АС и BD.

Рассмотрим аналитический путь доказательства теоремы.

1) Для того чтобы доказать, что BD⊥АС, достаточно доказать, что ВО⊥AC, т. е. что:

2) ВО — высота треугольника ABC.

3) Для того чтобы доказать, что ВО — высота треугольника ABC, достаточно доказать, что:

4) △АВС равнобедренный и ВО — его медиана.

5) Для того чтобы доказать, что ААВС равнобедренный и ВО — его медиана, достаточно доказать, что:

61) АВ = ВС и 62) АО = OС.

7) Для доказательства 61) и 62) достаточно доказать, что четырехугольник ABCD — ромб.

Заметим, что каждый пункт решения определяет соответствующую ему элементарную задачу, а совокупность всех пунктов дает расклад всего набора элементарных задач, соответствующих рассматриваемой теореме.

Выполнение этого вида аналитического обоснования состоит не только в установлении того факта, что данные являются усло-

виями, достаточными для доказываемого соотношения, но и в определении совокупности элементарных задач. Этому виду анализа соответствует свой вид синтеза, который заключается в последовательном переходе от данных условий к заключению и в решении выделенных элементарных задач.

По отношению к данной теореме этот вид синтеза можно развернуть так:

1. Так как четырехугольник ABCD — ромб, то AB = ВС (по определению ромба) и АО = OC (по свойству диагоналей параллелограмма).

2. Так как АВ = ВС, то △АВС равнобедренный, в котором ВО — медиана (АО = OC).

3. Медиана равнобедренного треугольника является и его высотой, значит, ВО — высота △АВС.

4. Так как ВО — высота △АВС, то по определению высоты треугольника ВО ⊥АС.

5. Отрезок ВО является частью отрезка BD, а так как BO⊥АС, то и BD⊥AC.

Такая форма синтетического решения и используется в учебниках геометрии. Естественно, это решение может быть развернуто с большей степенью полноты вплоть до выделения всех логических шагов.

Реальный же процесс доказательства теоремы осуществляется ни по пути анализа, ни по пути синтеза. Его можно представить примерно следующим образом.

Учитель. Как доказать перпендикулярность отрезков? (Что нужно знать, чтобы утверждать о перпендикулярности отрезков?)

Ученики. Для этого надо доказать, что: а) смежные углы АBО и ВОС равны, либо б) ВО — высота △АВС, либо в) прямая BD является осью симметрии четырехугольника ABCD, либо г) ∠ABO+ ∠BAO = 90° (перечень условий может быть продолжен).

Учитель. Итак, существуют различные пути доказательства. Давайте рассмотрим каждый из них. Как доказать равенство смежных углов АВО и ВОС? Что нужно знать, чтобы утверждать, что ВО — высота △АВС? Как доказать тот факт, что BD — ось симметрии ромба ABCD? Какие условия будут обусловливать то, что сумма углов АВО и ВАО равна 90°?

Ученики. Для ответа на первый вопрос надо доказать равенство треугольников АВО и СВО; ответ на второй вопрос получим, доказав, что △АВС равнобедренный, а ВО — его медиана; факт, утверждаемый в третьем вопросе, будет следовать из равенств АВ = ВС и AD = DC; ответ на последний вопрос потребует доказательства того, что АС и BD — биссектрисы углов ромба.

Учитель. Давайте соотнесем ваши предложения о продолжении доказательства с условием теоремы. Что же нам известно?

Ученики. Четырехугольник ABCD — ромб, АС и BD — его диагонали, О — точка их пересечения.

Учитель. Давайте еще поразмышляем над условием задачи. Что следует из того, что ABCD — ромб?

Ученики. Стороны AB, ВС, CD и AD равны; АО = OC, BO = OD; ∠A+∠B = 180° (перечень свойств может быть продолжен).

Учитель. Какое же из ваших предложений быстрее приведет нас к цели?

Ученики. Доказательство равенства треугольников АBО и BОС; доказательство того, что BD — ось симметрии; доказательство факта о том, что ВО — высота △АВС.

Учитель. Давайте рассмотрим треугольники АBО и BОС. Как доказать их равенство?

Ученики. Подвести под один из признаков равенства треугольников. Треугольники АBО и BОС равны (по трем сторонам).

Ясно, что ученики могут предложить и другое продолжение доказательства, например: доказать, что BD — ось симметрии ромба, что будет сразу следовать из равенства сторон. (Это доказательство будет, пожалуй, самым изящным.) Все предложенные пути должны быть обсуждены на уроке. Можно выбрать из них наиболее понравившийся ученикам, рассмотрение же других путей может быть рекомендовано для домашней работы.

Выше мы рассмотрели один вид анализа, называемый восходящим анализом, и соответствующий ему вид синтеза. Используется еще один вид анализа, называемый нисходящим анализом. Его суть заключается, как известно, в следующем: исходя из допущения, что задача решена (фигура построена или искомое значение величины существует), разыскивают те соотношения, которые являются следствиями этого допущения, затем те соотношения, которые вытекают из этих следствий, и так до тех пор, пока не приходят к выводу, который может служить исходным соотношением в цепи обратных рассуждений. Очевидно, что этим путем находят условие, необходимое для существования фигуры или величины. Поэтому в отличие от восходящего анализа этот вид анализа не является доказательным. Установление того, что найденные условия, необходимые для существования искомой фигуры или значений искомой величины, являются и достаточными, суть соответствующего ему вида синтеза. Однако нисходящий анализ используется не только для нахождения отправного положения в решении задачи, он применяется и для проверки истинности сформулированного предложения. Обе эти грани нисходящего анализа рассмотрены выше (см. § 2 главы I и § 5 главы II).

В основе аналитико-синтетической деятельности лежат действия переформулировки требования задачи (теоремы), выведения следствий, подведения объекта под понятие, чтения чертежей, перехода от определения понятия к существенным свойствам,

составления задач и т. д. В главе III мы рассматривали эвристики, помогающие осуществлять доказательство, например: а) для доказательства равенства отрезков докажите равенство треугольников, сторонами которых являются эти отрезки; б) для сравнения двух фигур введите в рассмотрение третью фигуру, находящуюся с данными в известных отношениях; в) если в условии фигурируют два параллельных и неравных отрезка, то воспользуйтесь гомотетией, отображающей один отрезок на другой. Наряду с отдельными эвристиками существуют эвристические схемы, включающие различные эвристики и помогающие ориентироваться в сложных задачных ситуациях. Вот одна из них, использование которой может направлять поиск решения задач:

1) Прочитайте задачу.

2) Выделите условие и требование задачи, запишите их, сделайте рисунок.

3) Замените термины, содержащиеся в требовании задачи, определением понятий, которые они обозначают, либо их признаками.

4) Если необходимо, преобразуйте требование задачи в равносильное ему. Попробуйте выразить требование задачи на векторном, координатном языке.

5) Установите те положения, из которых следует требование задачи.

6) Прочитайте еще раз условие и, сообразуясь с соотношениями, из которых следует требование задачи, выберите одно из них.

7) Выявите информацию, непосредственно содержащуюся в условии.

8) Старайтесь из полученной информации получить новую информацию и так до тех пор, пока не осуществите «стыковку» полученной информации с положением, принятым в п. 6.

9) Если выбранный путь не привел к успеху, то рассмотрите другой путь, идя по нему до «стыковки» с новым положением п. 5.

10) Продолжайте рассматривать возможные пути до тех пор, пока не придете к одному из положений п. 5.

Приведенная схема распространяется прежде всего на задачи, поиск решения которых обусловлен их требованием. Если же рассматриваемая задача содержит требование, которое не обусловливает однозначно поиск способа ее решения, то, после того как высказана гипотеза, осуществляется поиск согласно приведенной схеме.

Целесообразность выбора специального метода решения задачи (векторного, метода уравнений, геометрических преобразо-

ваний и т. д.) осуществляется после п. 5. Сообразуясь с условием данной задачи, выбирается один из известных методов решения. С этого момента «включаются» в работу и специфические умения, характеризующие деятельность по овладению тем или иным методом. Однако, прежде чем перейти к рассмотрению специальных методов, остановимся на специфическом методе рассуждений — методе математической индукции.

Этот метод, как известно, применяется к предложениям, выражающим некоторое свойство, присущее любому натуральному числу или любому натуральному числу, большему некоторого натурального числа k. Суть его в следующем: устанавливают наличие этого свойства у числа 1 и доказывают, что из допущения о наличии его для некоторого n следует наличие этого свойства и для n+1, после чего заключают об истинности предложения для всех натуральных чисел.

Примеры.

1. Докажите, что при всех натуральных n

1) Проверяем справедливость данного утверждения для n = 1:

2) Полагаем, что утверждение верно для n = k, т. е.

3) Докажем, что оно верно и для n = k+1, т. е.

Учитывая 2), перепишем его так:

Приведя левую часть к общему знаменателю и выполнив упрощения, получаем:

Вывод: утверждение доказано.

2. Докажите, что при любом натуральном n число 11n+2+122n+1 делится на 133

1) Если n = 1, то 11n+2+122n+1 = 113+ 123 = 3059 —делится на 133.

2) Пусть число 11k+2+122k+1 делится на 133.

3) Докажем, что число 11(k+1)+2+122(k+1)+1 делится на 133. Преобразуем это выражение следующим образом:

Число 11k+2+ 122k+1 по предположению делится на 133, следовательно, на 133 делится и число (11k+2+ 122k+1)∙144. На 133 делится число 133∙11k+2, а потому на 133 делится и число, равное разности двух целых чисел, делящихся на 133.

Метод математической индукции имеет алгоритмическую форму, и его применение не вызывает больших трудностей у учащихся даже девятых классов. Трудности возникают при выполнении преобразований, которыми сопровождается переход от предположения справедливости утверждения для любого натурального числа n к доказательству его справедливости для последующего натурального числа n+1. Зачастую эти преобразования имеют довольно-таки искусственный характер.

§ 2. Специальные методы доказательства

Метод геометрических преобразований

Использование геометрических преобразований в школьном курсе геометрии имеет большое методическое значение. Методы симметрии, поворота, параллельного переноса, гомотетии позволяют решать значительный класс задач на доказательство, построение и вычисление.

Действующая программа по геометрии не предполагает использования идеи геометрических преобразований в качестве руководящей в школьном курсе геометрии, хотя предусматривает знакомство с отдельными видами движений (осевой симметрией, центральной симметрией, поворотом вокруг точки, параллельным переносом) и подобием. Однако геометрические преобразования занимают значительное место в программах факультативных занятий, а также в углубленном и профилированном изучении математики. Мы рассматриваем использование геометрических преобразований лишь в аспекте доказательства.

Задача 1. Через центр О параллелограмма ABCD проведена прямая l, пересекающая стороны ВС и AD параллелограмма соответственно в точках M и N. Докажите, что BM = DN.

Решение. Симметрия с центром О переведет точку А в точку С и точку В в точку D (АО = OС, BO = OD), при этом отрезок ВС перейдет в отрезок DA (центральная симметрия переводит отрезок в отрезок). Точке M отрезка ВС в этой симметрии будет соответствовать точка отрезка AD, являющаяся пересечением его с прямой МО, т. е. точка N, а потому BM = DN.

Задача 2. Докажите, что прямая, содержащая точку О пересечения диагоналей трапеции ABCD и точку M — середину

основания ВС, пересекает второе основание AD трапеции ABCD в точке N, являющейся серединой основания AD.

Решение. Рассмотрим гомотетию с центром О, при которой отрезок ВС переходит в отрезок AD (рис. 80). Образом точки M в этой гомотетии является точка пересечения прямой МО и отрезка AD. Так как гомотетия сохраняет расстояние, то этой точкой является середина отрезка AD, т. е. точка N.

Рассмотрим традиционное решение этой задачи.

△DNO ~ △ОВМ (∠ВОM = ∠NOD, ∠ОВМ = ∠NDO), следовательно, BM/ND = MC/AN. Аналогично из подобия треугольников МОС и AON имеем MC/AN = OM/ON. Значит, BM/ND = MC/AN или BM/MC = ND/AN, но BM/MC = 1, следовательно, ND/AN = 1, т. е. N — середина отрезка AD.

Мы опустили в решении этой задачи обоснование многих фактов, например равенств углов ОВМ и NDO, ВСО и CAD и т. д., и тем не менее совершенно очевидно, что решение задачи с использованием геометрических преобразований проще традиционного решения.

Задача 3. Докажите, что в произвольном треугольнике ABC точка M пересечения медиан, точка H пересечения высот и центр О описанной окружности принадлежат одной прямой и ОМ:МН = 1:2.

Так как в задаче требуется доказать, что точка M делит отрезок ОН в отношении 1:2, то целесообразно использовать гомотетию с центром в точке M и k = 1/2.

Рассмотрим общий случай: треугольник ABC разносторонний и, значит, точки О, H, M различные.

Гомотетия с центром M и коэффициентом k = 1/2 переводит треугольник ABC в треугольник А'В'С, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. Соответствующие стороны этих треугольников параллельны. Высоты АА1, ВВ1, СС1 треугольника ABC переходят в высоты А'А'1, В'В'1, С'С'1 треугольника А'В'С, которые являются перпендикулярами к сторонам данного треугольника, проведенными через их середины.

Значит, точка H пересечения высот треугольника при указанной гомотетии переходит в центр О описанной около треугольника ABC окружности. Отсюда следует, что точки M (центр гомотетии), H и О (соответственные точки в гомотетии) лежат на одной прямой и

Если треугольник ABC правильный, то O = Н = М и прямая, о которой идет речь в задаче, не определена.

Рис. 80

Читатель, который попробует решить эту задачу традиционным методом, думается, оценит преимущества метода геометрических преобразований. Однако эти преимущества слагаются из многих факторов, среди которых важное место занимает овладение действиями, составляющими метод геометрических преобразований.

Анализ решений задач методами симметрии, поворота, параллельного переноса и гомотетии позволил выделить требования, которые предъявляют эти методы к мышлению решающего. Учащиеся должны уметь:

строить фигуры, в которые переходят данные фигуры при симметрии, повороте, параллельном переносе и гомотетии;

видеть соответственные при указанном преобразовании точки на соответственных при том же преобразовании фигурах;

выделять элементы, определяющие преобразование: строить ось симметрии, центр поворота, определять угол поворота, направление параллельного переноса, его расстояние, находить центр гомотетии, вычислять его коэффициент;

строить соответственные при указанном преобразовании точки на заданных произвольных фигурах;

использовать специфические свойства преобразований.

Формирование указанных умений должно быть предметом специального обучения, оно осуществляется в процессе выполнения упражнений. Методика формирования умений и соответственно конструирование и использование адекватных им упражнений рассмотрены в [11] и [12].

Возникает вопрос: нельзя ли указать эвристическую схему применения различных видов геометрических преобразований в конкретных ситуациях? Оказывается, что возможны рекомендации относительно применения частных видов геометрических преобразований.

Доказать некоторое соотношение в равнобедренном треугольнике, равнобедренной трапеции, прямоугольнике, ромбе удается часто с помощью осевой симметрии. Использование поворота эффективно при установлении зависимостей в равностороннем треугольнике, квадрате, при доказательстве перпендикулярности прямых. Метод параллельного переноса дает желаемый результат при доказательстве различных соотношений в параллелограмме, трапеции, а также при построении этих фигур. Преобразование гомотетии эффективно, если рассматриваются два параллельных отрезка разной длины, отрезок, разделенный в данном отношении, две окружности различной длины радиусов.

Разумеется, никакие критерии не сообщаются ученику в готовом виде, а учащиеся овладевают ими в ходе работы. Проиллюстрируем сказанное на упражнениях.

1. Дан квадрат ABCD. Через центр этого квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, отличные от прямых

АС и BD. Докажите, что отрезки, образуемые пересечением этих прямых с квадратом, равны.

Известно, что квадрат имеет четыре оси симметрии, а повороты вокруг точки пересечения диагоналей квадрата на 90°, 180°, — 90° отображают его на себя. Поэтому для доказательства соотношений в квадрате может быть использован метод симметрии либо метод поворота. Так как в условии задачи используются две взаимно перпендикулярные прямые, содержащие центр квадрата, то в данном случае предпочтительнее метод поворота.

2. Длины отрезков, одним концом которых является общая точка, а другим — точки одной прямой, разделены в одном и том же отношении. Докажите, что точки деления также принадлежат одной прямой.

Так как в задаче говорится о делении отрезков в одном и том же отношении, то для доказательства указанного соотношения целесообразно использование метода гомотетии.

Векторный метод

Векторный метод является одним из важнейших математических методов. Он эффективен при: а) доказательстве параллельности прямых и отрезков; б) обосновании утверждения о делении отрезка данной точкой в указанном отношении; в) выяснении принадлежности трех точек одной прямой; г) доказательстве перпендикулярности прямых и отрезков; д) доказательстве зависимостей между длинами отрезков; е) нахождении величины угла.

Задача 1. Докажите, что медианы треугольника, пересекаясь, делятся в отношении 2:1.

Пусть отрезки AL и ВК — медианы треугольника ABC, а M — точка их пересечения, тогда

(1)

(2)

Из равенств (1) и (2) следует, что

(3)

Подставив в равенство (3) вместо вектора AB равный ему вектор АМ+МВ и выполнив преобразования, получаем:

(4)

Из равенства (4), учитывая, что векторы AM — 2ML и MB — 2КМ соответственно коллинеарны векторам AL и ВК, следует:

а потому

Возьмем другую пару медиан: al и cn. Пусть d — точка их пересечения. Рассуждая аналогично, получаем AM/ML = 2, BM/MK = 2.

Значит, точка D, так же как и точка M, делит медиану AL в отношении 2:1, следовательно, D совпадает с M. Отсюда следует, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1.

Задача 2. Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

Пусть ABCD — данный прямоугольник. Тогда АС = АВ + ВС, DB = AB - BC.

Учитывая, что AB⋅BC = 0, получаем:

(1)

Далее,

(2)

Из соотношений (1) и (2) имеем |AC|2 = |DB|2, откуда AC = DB.

Две рассмотренные задачи уже позволяют утверждать то, что умение применять векторы в различных конкретных ситуациях предполагает умения:

переводить геометрический язык на векторный и обратно (осуществлять переход от соотношения между фигурами к соотношению между векторами и обратно);

выполнять операции с векторами (находить сумму, разность векторов, произведение вектора на число, скалярное произведение векторов);

представлять вектор в виде суммы векторов, разности векторов;

представлять вектор в виде произведения вектора на число; преобразовывать векторные равенства;

переходить от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и наоборот;

выражать длину вектора через его скалярный квадрат;

выражать величину угла между векторами через их скалярное произведение.

Перечисленные действия и их совокупности формируются в процессе выполнения специальных упражнений. Методика их конструирования и использования представлена в [11] и [12].

Применять векторный метод в конкретных ситуациях следует начинать с решения задач, условия которых наводят на метод

решения. Это, прежде всего, задачи на доказательство параллельности прямых, отрезков; принадлежности трех точек одной прямой; факта, что данная точка делит данный отрезок в данном отношении; перпендикулярности прямых и отрезков; соотношений между длинами отрезков, величин углов.

Примерами таких задач являются следующие:

1. Докажите, что если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то четырехугольник — параллелограмм.

2. В окружность (0; R) вписан четырехугольник ABCD. Докажите, что если АB2+ CD2 = 4R2, то диагонали этого четырехугольника перпендикулярны.

Так, требование первой задачи на векторном языке означает доказательство равенства векторов, определяемых парой противоположных сторон четырехугольника, либо доказательство коллиниарности пар векторов, определяемых противоположными сторонами четырехугольника. Условие задачи, а именно равенство отрезков диагонали, на которые она разбивается точкой пересечения диагоналей четырехугольника, что на векторном языке означает равенство векторов, определяемых отрезками диагонали, усиливает целесообразность использования векторного метода.

Рассмотрим пример задачи, метод решения которой «не просматривается» из ее условия:

На стороне AB треугольника ABC взяты точки M и N так, что AM = MN = NВ. Точки A1 и В1 — середины сторон ВС и АС соответственно, BB1||CN = P, АA1||СМ = К. Выразите PK через AB.

Успех в применении векторного метода в различных ситуациях во многом обусловлен владением специальным словарем, служащим для перевода с языка геометрического на язык векторный и обратно. Этот словарь можно представить следующей таблицей:

Язык геометрии

Язык векторов

Продолжение

Язык геометрии

Язык векторов

Данный словарь включает в себя и ряд опорных задач, являющихся ключом к решению многих более сложных задач с помощью векторов. К ним относятся условия, определяющие принадлежность точки прямой, деление отрезка в данном отношении, принадлежность четырех точек плоскости.

Координатный метод

Использование координатного метода в конкретных ситуациях, так же как и векторного, предполагает обычно выполнение трех этапов: 1) перевод задачи на координатный язык; 2) преобразование аналитического выражения; 3) обратный перевод, т. е. перевод с координатного языка на язык задачи. Применение

координатного метода в алгебре связано с осуществлением перевода аналитических соотношений, т. е. языка уравнений и неравенств, в геометрические. Например, требование решить систему уравнений

на геометрическом языке означает требование найти координаты точек пересечения фигур, заданных уравнениями окружности и параболы.

Координатный метод в геометрии особенно эффективен при обосновании зависимостей между элементами фигур, в частности между длинами, а также при нахождении множества точек, удовлетворяющих определенным условиям. Примером ситуации первого вида является следующая задача:

В треугольнике ABC имеем АВ = с, АС = b, ВС = а, BD — медиана. Докажите, что BD = .

Примером ситуации второго вида является задача: Найдите множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная.

Компонентами умения применять координатный метод в конкретных ситуациях являются следующие умения:

переводить геометрический язык на язык координат и обратно;

строить точку по заданным координатам; находить координаты заданных точек;

вычислять расстояние между точками, заданными координатами;

оптимально выбирать систему координат; составлять уравнения заданных фигур;

видеть за уравнением конкретный геометрический образ; выполнять преобразования алгебраических выражений. Формирование перечисленных умений рассматривается в [11] и [12].

Приведем примеры использования координатного метода в конкретных ситуациях.

1. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть ABC — произвольный треугольник. Примем за начало общей декартовой системы координат точку А, а векторы AB и АС за координатные векторы. В этой системе координат вершины треугольника ABC будут иметь координаты А (0; 0), B(1; 0), С(0; 1), середины D, E, F сторон ВС, CA и AB — координаты

Прямые AD, BE и CF задаются уравнениями х — у = 0, х+2у— 1 = 0, 2х+у— 1 = 0 соответственно. Очевидно, что полученная система трех уравнений с двумя переменными х и у имеет решение х = 1/3, у = 1/3.

2. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°). Построен отрезок СС, (C1∈АВ), перпендикулярный медиане АА1. Найдите ВC1:C1А.

Введем прямоугольную систему координат так, чтобы прямая CA служила осью Ох (положительное направление оси определяется лучом CA), прямая СВ — осью Oy (луч СВ определяет положительное направление оси); за единицу измерения примем длину отрезка АС. Тогда имеем A(1; 0), В (0; 1), A1(0; 1/2),

Уравнение прямой СС1 имеет вид у = —х, а уравнение прямой

Используя условие перпендикулярности прямых, получаем

Приведем для сравнения и другие способы решения этой задачи.

Решение 1 (метод преобразований). Рассмотрим поворот (рис. 81). Он переведет точку А в точку В, а точку A1 в точку Р, такую, что PC:CA = 1:2. При этом повороте луч АА1 перейдет в луч BP, причем прямая BP перпендикулярна прямой АА1. Из последнего и того, что СС1⊥АА1, получаем ВР||C1С, а потому ВC1:C1А = РС:СА = 1:2.

Решение 2 (векторный метод). Введем векторы СА = а, СВ = b. Пусть BC1:C1A = k, тогда

Из условия задачи следует, что

или

Но a2 = b2, поэтому k = 1/2.

Рис. 81 Рис. 82

Решение 3 (геометрическое). Построим C1М||АС (рис. 82). Пусть Н = АА1||C1М. Так как C1М⊥АС, а АА1⊥СС1, то H — точка пересечения высот треугольника АС1С, поэтому СН⊥АС1. Поскольку треугольник ABC — равнобедренный, то высота CK, проведенная к его основанию, является и его медианой. Учитывая, что АА1 — медиана треугольника ABC, получаем, что H — точка пересечения медиан треугольника ABC, а потому A1Н:НА = 1:2. Значит, ВC1:C1А = 1:2.

Приведем словарь для перевода с геометрического языка на язык координат на плоскости в виде следующей таблицы:

Язык геометрии

Язык координат

Продолжение

Язык геометрии

Язык координат

Применение производной к доказательству

В связи с введением элементов математического анализа в среднюю школу появилась возможность их использования в различных доказательствах. Широко известны применения производной при исследовании функций и построении их графиков, при решении задач на максимум и минимум, при доказательстве различных неравенств, при вычислении площадей и объемов фигур, в приближенных вычислениях и т. д. Практические приложения элементов математического анализа освещены в различной литературе. Поэтому мы остановимся на тех приложениях, которые в меньшей мере известны учителю математики.

Применение производной к доказательству неравенств

В самом общем виде доказательство неравенств основано на следующем принципе: для того чтобы доказать неравенство f(x) ⩾ 0 при x ⩾ 0, достаточно доказать, что f(0) ⩾ 0 и f'(x) ⩾ 0 при х ⩾ 0.

1. Докажите, что при х ⩾ 0 имеет место неравенство

Решение. Рассмотрим функцию Имеем f(0) = 0, f'(x) =

при х > 0, а потому рассматриваемая функция при х > 0 возрастает. Из непрерывности функции следует, что свое наименьшее значение она принимает при х = 0, значит, f(x) ⩾ 0 при х ⩾ 0 или

В отдельных ситуациях при доказательстве неравенств приходится рассматривать вторую и т. д. производные. Так, для доказательства неравенства f'(x) ⩾ 0 при х ⩾ 0 можно воспользоваться неравенством f" (х) ⩾ 0 при х ⩾ 0 и т. д.

2. Докажите, что при х ⩾ 0 имеет место неравенство

Решение. Введем функцию f (х)

Имеем

Непосредственно ответить на вопрос о поведении полученной функции при х ⩾ 0 нельзя, а потому воспользуемся второй производной: f" (х) = —sin х+х. Известно, что sinx ⩽ x при x ⩽ 0, значит, f" (х) ⩾ 0 при x ⩾ 0, а потому

Эта идея применяется и к решению различных числовых неравенств. В этом случае используется прием формализации неравенства.

3. Верно ли неравенство

Решение. Перепишем данное неравенство в виде

Введем функцию

и рассмотрим ее при —1 < x < 1. В указанном интервале

если х < 0, и f'(х) < 0, если х > 0. Следовательно, функция f (х) возрастает на интервале ( — 1; 0) и убывает

на интервале (0; 1). Свое наибольшее значение она принимает при x = 0, поэтому

т.е. заданное неравенство верно.

Применение производной к доказательству непериодичности функций

Основная идея доказательства непериодичности функций заключается в использовании утверждения о том, что производная периодической функции сама является периодической функцией с тем же периодом.

4. Докажите, что функция у = x3 не является периодической.

Решение. Предположим, что функция у = x3 периодическая, тогда периодическими будут и функции у = 3×2, у = 6х. Однако последняя не является периодической, поскольку она монотонна. Полученное противоречие доказывает данное утверждение.

Применение производной к доказательству тождеств

Один из приемов доказательства основан на признаке постоянства функции: если f'(x) = 0 на некотором промежутке, то функция f постоянна на этом промежутке.

5. Докажите тождество

Решение. Рассмотрим функции

Имеем:

Так как f' (x) = g'(х), то разность функций постоянна, т. е. f(х) — g (х) = С. Найдем постоянную С, взяв, например, х = 0: f(0) — g(0) = 0.

Таким образом, на множестве R функции f и g тождественно равны, т. е.

Приведенное решение использует утверждение: если две функции f и g имеют равные производные в каждой точке промежутка, то разность функций на этом промежутке постоянна, т. е. f (х) — g(x) = C (следует из указанной выше теоремы).

Рассматриваемый способ доказательства тождества f(x) = g(x) на [а; b] имеет следующую ориентировочную основу: проверить непрерывность функций f (х) и g(x) на [а; b]; установить равенство производных f (х) и g' (х) на [а; b]; зафиксировать хотя бы одну точку x0∈(a; b), в которой равны значения функций f (х) и g (х).

Решения задач рассмотренных и многих других типов обсуждаются в статье Г. В. Дорофеева «Применение производных при решении задач в школьном курсе математики». (Математика в школе. — 1980. — № 5, 6.) Существует много литературы по использованию производной в решении задач практического содержания, экспериментальных задач, задач экономического содержания. В более поздней литературе (например, в книге И. М. Шапиро «Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики») стали появляться задачи на составление расчетных таблиц, на применение и обоснование эмпирических формул, на вывод формул зависимостей, встречающихся на практике. Некоторые задачи решаются классическими способами, решение других предполагает использование элементов математического анализа. Вот одна из них: выведите формулу для определения длины стрелы автомобильного крана, с помощью которого можно построить здание высоты H и ширины 2l с плоской крышей.

Поскольку в школьном курсе математики важное место занимают теоремы и именно при их изучении главным образом раскрываются все нюансы обучения доказательству, рассмотрим организационные формы работы с теоремой.

Глава V

Организационные формы работы с теоремой

§ 1. Этапы работы с теоремой

Существуют разные точки зрения на содержание понятия теоремы. Известно, что форма мышления, в которой утверждается или отрицается что-либо относительно предметов, их свойств и отношений и которая обладает свойством выражать либо истину, либо ложь, называется суждением. Если речь в суждении идет о математических объектах, то его называют теоремой. Эта точка зрения отражает широкий взгляд на теорему. Согласно ему теоремой будет являться не только истинное, но и ложное утверждение. Например, наряду с теоремой: вертикальные углы равны — можно говорить и о теореме: если углы равны, то они вертикальные, — которая неверна.

При таком подходе любая теорема имеет теорему, обратную ей, однако истинность второй не обусловлена истинностью первой. Этот взгляд на содержание понятия теоремы заметен в книге В. В. Репьева «Общая методика преподавания математики». Так, среди различных заданий, предлагаемых в названной книге, есть и такие: «В левом столбце таблицы записаны прямые теоремы. Сформулируйте соответствующие им обратные теоремы и выясните, какие из них верны, какие ложны». Такой же смысл в содержание понятия теоремы вкладывается в статье В. Г. Болтянского «Как устроена теорема?» (Математика в школе. — 1973. — № 1.) «Меняя местами условие и заключение и оставляя без изменения разъяснительную часть, мы получаем новую теорему, которая называется теоремой, обратной первоначальной. . . В данном случае исходная теорема и обратная ей теорема — обе справедливы. Однако это бывает не всегда», — пишет он в названной статье.

Авторы другой точки зрения на содержание понятия теоремы полагают, что к теоремам следует относить общеутвердительные или общеотрицательные истинные суждения. Из приведенного на с. 15 высказывания следует, что А. А. Столяр теоремой считает истинное утверждение, а потому не каждая теорема имеет теорему, обратную ей. Так, предложение: «Если углы равны, то они вертикальны» — не является теоремой. В школьном курсе математики проводится вторая точка зрения на понятие теоремы.

Выше были сформулированы логические требования к тезису, аргументам и демонстрации. Учитывая требования к тезису и приемы, опровергающие ложный тезис, можно на начальной

стадии работы с доказываемым предложением опровергнуть ложный тезис. Например, предлагается доказать: если углы равны, то они вертикальны. Справедливость утверждения отвергается сразу же приведением контрпримера. Поэтому все «теоремы», имеющие ложный характер, не представляют интереса и могут быть исключены из разряда теорем. Однако это не означает, что среди заданий не должно быть таких, в которых требуется установить истинность и ложность данных утверждений. Подобные упражнения весьма важны в русле обучения школьников доказательству. Ведь общепризнанным является положение о целесообразности открытия различных фактов самими школьниками, а потому необходимы проверка правильности сформулированного предложения, его уточнения, корректировки и т. п.

Процесс изучения теоремы включает следующие этапы: 1) мотивация изучения теоремы; 2) ознакомление с фактом, отраженным в теореме; 3) формулировка теоремы; 4) усвоение содержания теоремы; 5) ознакомление со способом доказательства теоремы; 6) доказательство теоремы; 7) применение теоремы; 8) установление связи теоремы с другими теоремами [12].

Общепризнано, что эффективным средством реализации перечисленных этапов являются специальные упражнения, которые должны:

способствовать мотивации введения теоремы;

выявлять закономерности, отраженные в теореме;

способствовать усвоению содержания теоремы;

помогать пониманию значения каждого слова в формулировке теоремы, запоминанию ее формулировки;

обеспечивать восприятие идеи доказательства, раскрывать приемы доказательства;

обучать применению теоремы;

раскрывать взаимосвязь изучаемой теоремы с другими теоремами.

Первые два требования реализуют упражнения, связанные с непосредственным измерением величин, оперированием моделями фигур, а также цепочки взаимосвязанных упражнений и упражнения на материале практического содержания. Усвоению содержания теоремы способствует выполнение упражнений на выделение условия и заключения теоремы, на вычленение на чертежах и моделях фигур, удовлетворяющих условию теоремы, а также выполнение чертежа, моделирующего условие. Восприятие доказательства теоремы обеспечивают упражнения на ознакомление с методом доказательства теоремы, моделирующие приемы доказательства. Упражнения эффективны в воспитании потребности в обосновании утверждений, в воспитании навыков дедуктивного мышления, в привитии взгляда на то, что справедливость утверждений устанавливается рассуждением. Усвоению логики доказательства способствуют упражнения со специальными карточками. На этапе применения теоремы важны упраж-

нения на систематизацию знаний и их обобщение, на применение знаний и умений в комплексе, на углубление и расширение знаний и умений, на составление «родословной» доказательства теоремы, на группирование теорем по приемам их доказательства. Схема иллюстрирует указанные связи.

Этапы работы с теоремой

Упражнения, реализующие их

Мотивация изучения теоремы

Упражнения на измерение величин, на оперирование моделями фигур

Упражнения с практическим содержанием

Ознакомление с теоремой

Упражнения на применение ранее изученных теорем и понятий

Усвоение содержания теоремы

Упражнения на выделение условия и заключения теоремы

Упражнения на распознавание ситуаций, удовлетворяющих теореме

Запоминание формулировки теоремы

Упражнения на выполнение чертежей, моделирующих условие теоремы

Ознакомление со способом доказательства

Упражнения на ознакомление с методом доказательства теоремы

Доказательство теоремы

Упражнения, моделирующие способ доказательства

Упражнения на выделение в доказательствах недостающих утверждений и их обоснований

Применение теоремы

Упражнения на систематизацию теорем

Установление связей теоремы с теоремами, изученными ранее

Упражнения на составление родословной теоремы

Упражнения на составление плана доказательства теоремы

Упражнения на составление алгоритмов

Перейдем к изучению конкретных теорем.

§ 2. Методика работы с теоремой

Теорема о вписанном угле

Данной теореме предшествует введение понятия вписанного угла. Оно сопровождается решениями задач, в процессе которых осуществляется знакомство с понятием вписанного угла, усваиваются действия распознавания вписанных углов, их построения, выведения следствий из факта принадлежности углов к классу вписанных и совокупность этих действий. При отборе задач следует помнить о том, что изучению теоремы надо предварить актуализацию знаний и умений, используемых при ее доказательстве, знакомство с фактом, отраженным в теореме, и способом ее доказательства. Рассмотрим следующую задачу:

Найдите угол АBС, если ^AС = 50° (рис. 83).

Работа с ней может быть организована разными способами.

1-й способ. Учитель обращается к учащимся с вопросом: нельзя ли указать угол, связанный с дугой АС, зная который можно найти угол ABC? Выясняется, что таким углом является △АОС.

∠АОС = 50° (свойство центрального угла изучено на предыдущем уроке, и акцентирование на нем внимания учащихся уже поэтому важно). Заметим и то, что решение задачи опирается на эвристику: сравнение двух объектов осуществляется посредством третьего объекта, находящегося с исходными в известных отношениях. Таким объектом и будет угол АОС, который является центральным, опирающимся на дугу АС, с одной стороны, и внешним углом равнобедренного треугольника ABO — с другой. Отсюда ∠ВАО = ∠АВО и ∠AOC = 2∠ABO, а ∠ABC = 25°.

2-й способ. Можно организовать самостоятельную работу по специальным карточкам, задание предлагается на готовом чертеже. Карточка содержит и указания, число которых зависит от возможностей учащихся. Приведем примеры наборов указаний.

1. а) Как связаны ∠АОС и ∠ABO?

б) Как найти ∠ABO, зная ∠АОС?

в) Найдите ∠АОС.

2. а) Найдите ∠АОС.

б) Докажите, что ∠АВО = ∠BAO.

в) Найдите ∠АBО.

Еще раз подчеркнем важность заключительного этапа работы с упражнением. Основная его цель заключается в выявлении зависимости между углом АБС и дугой АС, на которую он опирается, и метода ее установления, суть которого в следующем: зависимость между углом АБС и дугой АС обнаруживается по-

Рис. 83

средством введения угла АОС, отношения которого с углом ABC и дугой АС известны.

Итак, выполнение упражнения позволило открыть зависимость между вписанным углом и дугой, на которую он опирается, и способ ее обоснования в том случае, когда сторона угла содержит диаметр окружности. Теперь можно сформулировать теорему, затем выполнить рисунок, записать «Дано», «Требуется доказать» и коллективно наметить способ доказательства. Оформление доказательства учащиеся могут выполнить самостоятельно. Доказательство теоремы в других частных случаях может быть рассмотрено самостоятельно в классе либо дома, при этом, естественно, учитель показывает, как эти ситуации сводятся к первому случаю.

Работа с доказательством теоремы может быть организована и по-другому. Сильные учащиеся разбирают доказательство сами, более слабые получают помощь в виде упражнений на специальных карточках. Приведем один из возможных вариантов такой карточки.

Утверждение

Обоснование

1) ∠AOC = ^AC

2).................

Внешний угол равнобедренного треугольника АВО

3) △AOC — равнобедренный

4) ∠1 = ∠2

5) ∠AOC = ∠l + ∠2

6) ∠AOC = 2∠1

7).................

Утверждения 6 и 1

8) ∠ABC = 1/2 ^АС

Количество пропусков определяется способностями учащихся. Такие карточки могут быть подготовлены учителем и даны учащимся при домашнем (или классном) разборе двух других ситуаций. При обсуждении работы по карточкам следует прибегать к развертыванию того или иного логического шага. Например, развернем шаги 3 и 4.

Шаг 3. В приведенной карточке ученик, продолжая строчку 3, запишет: ОА = OC. Развертывание этого силлогизма предполагает указать большую посылку, малую посылку и вывод. Малая посылка и вывод зафиксированы на карточке. Большой посылкой является определение равнобедренного треугольника.

Рассматриваемый силлогизм имеет строение:

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. (Большая посылка.)

В треугольнике АОС стороны АО и ОС равны. (Малая посылка.)

Треугольник АОС равнобедренный. (Вывод.)

Шаг 4.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (Большая посылка.)

∠1 и ∠2 — углы при основании равнобедренного треугольника АОС. (Малая посылка.)

∠1 = ∠2. (Вывод.)

Выполнение заданий на развертывание логических шагов может осуществляться как письменно, так и устно.

Акцентирование внимания школьников на дедуктивных выводах может осуществляться при выполнении упражнений на распознавание объектов, принадлежащих понятию, на выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию, т. е. в процессе формирования понятий. В контексте рассматриваемого учебного материала эти функции несут следующие упражнения:

1. Какие из углов, изображенных на рисунке 84, а—е, являются вписанными?

Формы выполнения таких упражнений могут быть различными. Это — самостоятельное выполнение упражнения, условие которого предъявляется ученику на карточке, затем объяснение вслух результатов работы. Можно использовать и такую форму: один ученик читает вслух первую логическую часть определения вписанного угла: «Угол, вершина которого лежит на окружности. . .», а другие отыскивают на рисунках такие углы. Выделив их, первый ученик продолжает читать: «.. .а стороны пересекают окружность ...», остальные находят углы, обладающие также и

Рис. 84

Рис. 85 Рис. 86

этими признаками. Первый ученик заканчивает чтение определения: «.. .называется вписанным углом». Учащиеся называют те рисунки, на которых изображены вписанные углы. Учитель может контролировать выполнение упражнения наиболее слабыми учащимися. Можно поступить и так: видовые отличия понятия вписанного угла зафиксировать на плакате, с которым учащиеся будут соотносить свои действия, выполняя упражнение.

Задания учащимся можно предъявлять не только посредством карточек, но и с помощью кодоскопа. Необходимые рисунки желательно заранее выполнить на доске. При разнообразии форм выполнения упражнения необходимо подчеркнуть ориентацию его на формирование умения осуществлять обоснование дедуктивных выводов. Так, на рисунке 85, а:

Вершина изображенного угла принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным.

Угол на рисунке 85, а является вписанным.

Угол, изображенный на рисунке 85, б, отличается тем, что его вершина не лежит на окружности, хотя стороны угла пересекают окружность, а потому этот угол не является вписанным. Структура этого умозаключения имеет следующую форму:

Если угол вписан в окружность, то его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

Вершина угла, изображенного на рисунке 85, б, не лежит на окружности.

Угол на рисунке 85, б не будет вписанным.

2. Известно, что угол ABC является вписанным в окружность (В — вершина угла). Что следует из этого?

Данное упражнение ориентировано на усвоение действия выведения следствий из принадлежности объекта понятию и адекватного ему правила вывода. Полный ответ на вопрос таков:

Угол ABC — вписанный в окружность. Если угол вписан в окружность, то его вершина принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность. Следовательно, точка В принадлежит окружности, а лучи ВА и ВС пересекают ее.

В процессе решения более содержательных задач должны широко использоваться методы научного познания, приемы построения утверждений, приемы проверки правильности тезиса, контрпримеры, различные способы аргументации.

Закрепив теорему о вписанном угле на ряде простых упражнений на нахождение по данным рисунка либо величины вписанного угла, либо дуги окружности, переходим к решению более сложной задачи. Пусть это будет задача 658 из учебника «Геометрия, 7—9» Л. С. Атанасяна и др.:

Через точку А к данной окружности проведены касательная AB (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите ∠BAD и ∠ADB, если BD = 110°20'.

Изобразим задачную ситуацию рисунком 86.

Данную задачу можно решать разными способами. Рассмотрим один из них.

∠BOD = 110°20' (центральный угол, опирающийся на ^BD). В равнобедренном треугольнике BOD имеем: ∠OBD = ∠ODB =

Тогда

(внешний угол треугольника равен сумме внутренних, не смежных с ним; касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания).

Полезно обратить внимание учащихся на угол DBК. Он равен 55°10'. Этот угол хотя и не является вписанным, но имеет с ним много общего: его вершина принадлежит окружности, одна сторона пересекает окружность, а другая является касательной к ней. Из решения задачи явствует, что этот угол, т. е. угол, образованный касательной и хордой окружности, проведенной из точки касания, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его.

Обратим внимание на угол BAD. Поставим вопрос: как этот угол связан с дугами BE и BD? Замечаем, что он равен полуразности дуг BD и BЕ. Сформулируем замеченное утверждение: угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны образуют касательная, проведенная через вершину, и секущая, проходящая через центр круга, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами. Обобщая это утверждение, мы приходим к гипотезе о том, что угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны пересекают круг, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Итак, фиксируем первое сформулированное утверждение: угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его. Обращение к решен-

Рис. 87 Рис. 88 Рис. 89

ной задаче подтверждает справедливость этого утверждения: угол ABD равен 124°50', а дуга, заключенная внутри его, равна 249°40', т. е. ∠ABD = 1/2 ∠ABED.

Изученная ранее теорема о том, что касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, доказывает частный случай утверждения: угол, образованный касательной и диаметром, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его. Последнее усиливает мысль о справедливости утверждения, к доказательству которого следует перейти ([21], № 664 и [23], № 59).

Теперь можно перейти к обоснованию второго сформулированного утверждения. Однако опять-таки попробуем убедиться в его справедливости. Этому поможет, например, задача 661 из учебника «Геометрия, 7—9» Л. С. Атанасяна и др.:

Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими, равны 140° и 52°.

Пусть ^DE = 140°, a ^BC = 52° (рис. 87), тогда по теореме о вписанном угле ∠DCE = 1/2 ^DE = 70°, a ∠BDC = 1/2 ^BC = 26°. По теореме о внешнем угле треугольника ∠DCE = ∠ADC+ ∠DAC, откуда ∠DAE = ∠DCE — ∠ADC = 70° — 26° = 44°. Решение данной задачи моделирует доказательство утверждения в общем случае.

Теперь возникает проблема о выяснении связи угла, образованного двумя пересекающимися хордами окружности, с дугами, заключенными внутри сторон, и их продолжениями. Эта проблема содержится в следующей задаче ([21], № 662):

Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ^AD = 54°, ^BC = 70°.

Выполнение этого упражнения позволит ученику самостоятельно найти решение указанной проблемы, тем более что оно аналогично решению только что рассмотренной проблемы.

В развитии темы «Вписанные углы» можно предусмотреть задачи на оценку способов доказательства, опровержение готовых доказательств и т. д. Примером тому является следующая задача ([21], № 663):

Отрезок AC — диаметр окружности, AB — хорда, MA — касательная, угол MAB острый. Докажите, что ∠MAB = ∠ACB.

Авторы учебника предполагают, по-видимому, следующее решение (утверждение о том, что угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его, рассматривается в следующей задаче).

Представим задачную ситуацию на рисунке 88, тогда ∠МАВ = 90° — ∠A (∠MAB по условию острый, /А как угол прямоугольного треугольника также острый), ∠C = 90°— ∠А, а потому ∠MAB = ∠С.

В следующей задаче ([21], № 664) требуется доказать, что угол MAB измеряется половиной дуги AB, расположенной внутри угла MAB, где AM — касательная к окружности, AB — хорда этой окружности.

Возникает вопрос: можно ли решение предыдущей задачи считать доказательством данного утверждения? (Полнота доказательства утверждения предполагает рассмотрение случая, когда угол, образованный касательной и хордой, является тупым.)

И еще один важный аспект в контексте обучения доказательству — формирование эвристик. Равенство углов, связанных с многоугольником, иногда удается доказать, введя вписанные углы, т. е. описать около многоугольника или его части окружность. В качестве примера рассмотрим задачу ([21], № 732):

В прямоугольном треугольнике ABC из точки M стороны АС проведен перпендикуляр МН к гипотенузе AВ. Докажите, что углы МНС и МВС равны.

В четырехугольнике НМСВ (рис. 89) противоположные углы H и С прямые, поэтому около него можно описать окружность, в новой конструкции углы МНС и МВС являются вписанными, опирающимися на дугу MC.

Теорема о пересечении хорд окружности

Актуализация опорных знаний и умений может быть осуществлена посредством серии упражнений:

а) Выделите на рисунке 90 вписанные углы.

б) Каково соотношение между ними?

в) Какой вывод можно сделать об отношении между треугольниками АКС и BKD?

г) Запишите отношение между сторонами этих треугольников.

Можно выполнить упражнения на переход от соотношения вида AK∙ВК = СК∙KD к соотношению вида АК:СК = KD:BK, который используется в доказательстве теоремы.

Указанная последовательность упражнений не только позволяет актуализировать

Рис. 90

опорные знания, но и служит приемом проверки изученного на предыдущем уроке материала. Организация выполнения упражнений может быть осуществлена разными способами:

1) Учитель заранее выполняет рисунок на доске, предъявляет учащимся вопросы, и осуществляется коллективное выполнение упражнения.

2) Ученикам выдается карточка с рисунком, на доске вывешивается плакат с вопросами (формулировки вопросов могут быть зафиксированы на доске и с помощью кодоскопа). Учащиеся самостоятельно выполняют упражнения, учитель при этом консультирует и координирует их действия.

Проследим действия учащихся по выполнению упражнений:

а) Вписанные углы: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4.

б) ∠1 = ∠2 (опираются на ^AD), ∠3 = ∠4 (опираются на ^CB).

в) △AKC ~ △BKD (∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4).

г) AK/KD = CK/KB = AC/BD.

Предлагаем учащимся записать первое равенство отношений AK:KD = CK:KB, содержащееся в пропорции г), в виде произведения АК⋅КВ = KD⋅КС. Читаем полученное равенство: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Затем сообщается теорема о пересечении хорд, учащиеся в тетрадях выполняют рисунок, учитель может выполнить его на доске (этот рисунок служит и средством контроля правильного выполнения рисунка учащимися), записывается (в тетрадях и на доске) факт, подлежащий доказательству.

Обратим внимание читателя на то, что «открытие» теоремы учащимися было сделано посредством выполнения цепочки упражнений, актуализирующих опорные знания и умения, адекватные рассматриваемой теореме. Учащиеся были подведены сразу к общей формулировке закономерности. В данной ситуации этот путь является самым оптимальным, потому что «открыть» теорему посредством измерений, построений из опыта малоестественно. Этот путь освобождает и от проверки справедливости утверждения в различных случаях, хотя и возможно еще раз убедиться в справедливости путем измерения отрезков пересекающихся хорд окружности.

Заметим, однако, что путь к открытию многих теорем проходит через измерения, построения, рассмотрение частных случаев (теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника, стороной треугольника и суммой двух других его сторон, о сумме углов треугольника и т. д.).

Работа с доказательством теоремы может быть осуществлена по-разному. Она может вестись в контексте как восходящего анализа, так и нисходящего. Рассмотрим сначала работу с доказательством в контексте восходящего анализа.

а) Коллективный поиск способа доказательства с последующей самостоятельной работой.

Учитель ведет примерно следующую беседу с учащимися.

Учитель. Итак, нам нужно доказать равенство двух произведений. Каким образом можно преобразовать это равенство? (Предыдущие упражнения помогут проявлению нужного действия: преобразовать равенство произведений в равенство отношений (пропорцию) AK:CK = DK:BK.)

Учитель. Что нужно знать для доказательства полученного равенства?

Ученик. Подобие треугольников АКС и BKD.

Учитель. Что можно утверждать об указанных треугольниках?

Ученик. ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 (либо ∠AKD = ∠ВКС).

Затем осуществляется самостоятельная работа с учеником. Учитель акцентирует внимание учащихся на основных положениях доказательства. (Почему ∠1 = ∠2? Откуда следует подобие треугольников АКС и BKD? Что следует из подобия этих треугольников?)

б) Коллективный поиск способа доказательства с последующим использованием карточек.

Первая часть приема осуществляется так же, как и в предыдущем случае. Вторая часть приема реализуется с помощью карточек. Вот одна из них.

Утверждение

Обоснование

1) ∠1 = ∠2

2)........

Углы вертикальные

3) △AKC ~ △BKD

4) AK:KD = CK:KB

5).........

Утверждение 4

Естественно, некоторые ученики могут разобраться в доказательстве без карточек, другие нуждаются в более тщательном пояснении (карточки для них будут содержать незначительное число пропусков).

в) Самостоятельная работа с учебником.

Этот прием может быть реализован следующим образом. Учитель предлагает учащимся прочитать абзац доказательства и ответить на его вопросы. Чтение первого абзаца сопровождается вопросами: о каких фигурах идет речь в прочитанном абзаце? (О двух пересекающихся хордах окружности.) Могут ли эти хорды располагаться не так, как на рисунке учебника? (Они могут быть перпендикулярными, одна из хорд либо обе быть диаметрами окружности.)

Усвоение второго абзаца осуществляется путем вопросов:

Почему ∠l = ∠2?

Почему ∠3 = ∠4?

Почему △АСК ~ △DBK?

Откуда следует равенство

Почему утверждаем, что AK⋅КВ = KD⋅CK?

г) Коллективный поиск способа доказательства теоремы и коллективное доказательство.

Этот прием отличается от рассмотренных выше тем, что доказательство осуществляется всеми учащимися под руководством учителя. При этом запись некоторых шагов доказательства на доске учителем может осуществляться после соответствующей записи учащимися в тетрадях.

Работу с доказательством можно вести и в контексте нисходящего анализа. Этот вид соотносится с приемом опровержения тезиса: из тезиса выводится следствие, противоречащее заведомо истинному положению. Если же окажется, что к такому следствию не придем, тогда усиливается уверенность в справедливости доказываемого утверждения и находится отправное положение в доказательстве теоремы.

Итак, пусть

(1)

Из верности равенства (1) следует верность равенства

(2)

Из равенства (2) и того, что углы АКС и DKB вертикальные, следует подобие треугольников АКС и DKB.

Из подобия треугольников АКС и DKB следует равенство соответствующих углов, т. е.

(3)

Углы 1 и 2, 3 и 4 действительно равны, поскольку они опираются соответственно на дугу ВС и дугу AD.

Процесс выведения следствий из доказываемого утверждения не привел ни к каким противоречиям. Этот результат еще раз подтверждает истинность утверждения и указывает отправное действие в доказательстве теоремы, заключающееся в построении треугольников АКС и BKD (или ВКС, или AKD). Затем осуществляется переход к доказательству их подобия и выведению следствий, конечным из которых будет являться доказываемое утверждение.

В процессе работы с доказательством, как уже было отмечено, можно предлагать учащимся развернуть тот или иной силлогизм: выделить общее и частное положения, вывод, указать правило вывода. На этапе применения теоремы следует развить видение ситуаций, удовлетворяющих теореме, ее конкретных приложений. Надо предложить учащимся рассмотреть случай, когда хорды перпендикулярны и одна из них является диаметром. Этот случай является частным, а потому доказанная теорема справедлива для него. Доказанное равенство AK⋅КВ = СК⋅KD здесь

будет иметь следующий вид: СК2 = АК⋅KB (легко доказать, что CK = KD). Учащимся надлежит перевести полученный результат на язык новой ситуации и сформулировать доказанное утверждение. Такая работа имеет большое значение для математического воспитания школьников. Ее продолжением будет построение интерпретации доказанного факта, когда отрезок CK мыслится как высота, опущенная из вершины прямого угла треугольника АСВ на гипотенузу AB.

Развитие закономерности можно получить за счет использования обобщения, приводящего к рассмотрению ситуации, которую образуют прямые, содержащие хорды AB и CD и пересекающиеся в некоторой точке, не принадлежащей кругу. Предельный случай ситуации возникает тогда, когда секущая становится касательной и т. д. Использование методов научного познания для развития ситуации, отраженной в рассматриваемой теореме, описано в главе II.

Еще раз подчеркнем важность выделения идеи доказательства. В рассматриваемом случае в основе доказательства теоремы лежит идея подобия треугольников в сочетании со свойствами вписанных углов. Эта идея лежит также в основе доказательства теорем-обобщений, их частных случаев. Так, доказательство теоремы о произведении отрезков секущих, проведенных из одной точки к окружности, аналогично доказательству теоремы о произведении отрезков хорд окружности, пересекающихся в некоторой точке. Эта идея работает и при доказательстве утверждения о равенстве квадрата касательной и произведения отрезков секущей, имеющей с касательной общую точку, отличную от точки касания. Весь блок утверждений, доказательства которых опираются на идеи подобия треугольников в сочетании со свойствами вписанных углов, должен быть выделен и сгруппирован вокруг стержневой мысли доказательства.

Итак, существуют разные способы введения теоремы. Она может быть открыта учащимися в процессе выполнения упражнений, различных измерений, построений, анализа явлений окружающей действительности. Теорема может быть сообщена и учителем, особенно в старших классах, сформулирована по аналогии и т. д. После ознакомления с теоремой желательно проверить ее справедливость на частных случаях, на моделях, постараться поискать контрпримеры, которые отвергали бы закономерность в определенных ситуациях. В случае наличия контрпримеров необходимо откорректировать условие теоремы, затем попробовать вывести из предположения о справедливости доказываемого утверждения заведомо ложное утверждение. Последнее зачастую указывает и способ доказательства теоремы.

Изложенное выше иллюстрирует указанное обобщение, поэтому ограничимся рассмотрением нескольких примеров.

1) Основное свойство степени с натуральным показателем учащиеся могут выделить, выполнив упражнение: «Представьте

в виде степени с показателем, отличным от единицы, произведение: a) x2⋅x3; б) bb2⋅b5». После выполнения нескольких подобных упражнений учащиеся замечают, что произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней.

2) Изучение теоремы о сумме углов треугольника. С фактом, отраженным в этой теореме, учащиеся могут ознакомиться, измеряя непосредственно углы треугольника. Обобщая результаты измерений, учащиеся с помощью учителя приходят к выводу, что сумма углов треугольника равна 180°.

3) Теорема: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны — может быть открыта путем анализа реальной ситуации проверки вертикальности кирпичной кладки с помощью отвеса.

4) Теорема: диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам — своим появлением может быть обязана аналогии с теоремой о пересечении диагоналей параллелограмма.

Ясно, что необходимость в контрпримерах, в проверке правильности сформулированных утверждений, в корректировке их формулировок возникает в том случае, если учащиеся сами открывают закономерности. Поэтому очень важно привлекать самих школьников к составлению задач. Их источником являются обобщение исходных задач, аналогия, конкретизация ситуаций, готовые рисунки (составление задач по готовым рисункам было рассмотрено выше), обращение задачи.

Блоки родственных задач можно получить, составляя задачи так, чтобы: а) результат решения задачи использовался в условии последующей; б) результат решения задачи использовался в решении последующей; в) предыдущие задачи являлись бы элементами последующей; г) задачи блока решались бы одним методом.

Приведем примеры блоков родственных задач.

Задача 1. Даны два равнобедренных треугольника, у которых одна боковая сторона общая, а две другие боковые стороны лежат на одной прямой (рис. 91). Докажите, что: а) высоты на боковые стороны одного треугольника равны высотам на боковые стороны другого треугольника; б) основания AB и DB этих треугольников взаимно перпендикулярны.

Требование б) легко доказывается. Пусть ∠CAB = α, а ∠CDB = ß, тогда ∠АВС = α, a ∠CBD = ß. По теореме о сумме углов треугольника α+α+ß+ß = 180°, откуда α + ß = 90°, т. е. угол ABD прямой.

Требование а) доказывает тот факт, что высоты равнобедренного треугольника, опущенные на его боковые стороны, равны, а высоты данных равнобедренных треугольников, опущенные на стороны АС и CD, равны высоте треугольника ABD, проведенной из точки В на сторону AD.

Составим задачу, при решении которой используется результат решения данной задачи. Ею будет следующая задача:

Задача 2. На рисунке 91 изображены два равнобедренных треугольника АСВ и BCD, у которых боковая сторона ВС общая, а боковые стороны АС и CD лежат на одной прямой. Найдите точки, принадлежащие этим треугольникам, сумма расстояний от которых до прямых, проходящих через их боковые стороны, равна длине высоты этих треугольников на боковую сторону.

Используя решение предыдущей задачи и тот факт, что сумма расстояний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон равна длине высоты этого треугольника, проведенной на боковую сторону, получаем, что искомые точки принадлежат отрезкам AB и BD, которые имеют общий конец и взаимно перпендикулярны.

Отметим и то, что задачи 1 и 2 имеют одно условие, но различные требования. Задачи 3 и 4 также относятся к рассматриваемому блоку родственных задач и представляют собой обращение и конкретизацию закономерности, используемой в задаче 2.

Задача 3. Если в треугольнике сумма расстояний от точек одной стороны до прямых, проходящих через две другие стороны, постоянна, то треугольник равнобедренный.

Задача 4. Высота на боковую сторону равнобедренного треугольника равна 15. Найдите сумму расстояний от точек его основания до боковых сторон (или до прямых, проходящих через боковые стороны).

Достаточно распространенным средством формулировок теорем является использование признаков понятий. Приведем пример.

Определение. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны. Признаки.

1. Если в треугольнике две медианы равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренный.

3. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник равнобедренный.

4. Если в треугольнике биссектриса является высотой и медианой, то он равнобедренный.

5. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

6. Если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный.

Рис. 91

7. Если в треугольнике сумма расстояний от точек одной стороны до прямых, проходящих через другие стороны, постоянна, то треугольник равнобедренный.

Эти теоремы могут быть открыты посредством задач, обращения свойства в признак, эксперимента с моделями треугольников. Такая работа может совершаться на уроках и, главным образом, на внеклассных занятиях. Ее начало может быть на уроке, а продолжение — на внеклассных занятиях и самостоятельной работе. Такое сочетание является хорошим примером связи урочной и внеурочной форм работы школьников.

Открыв некоторую зависимость между понятиями, следует организовать проверку ее справедливости (и вместе с тем усвоение ее формулировки) на частных примерах, на моделях фигур, посредством упражнений на выделение условия и заключения теоремы (задачи); распознавание ситуаций, удовлетворяющих теореме; выполнение нисходящего анализа, т. е. получение следствий из предположения верности доказываемого утверждения.

Многие из указанных приемов выше уже были иллюстрированы различными примерами. Дополним их число.

1. В курсе алгебры некоторые теоремы сначала доказываются для частного случая. Такой прием особенно эффективен тогда, когда доказательство для частного случая моделирует доказательство теоремы. Так, теорема: если а > 0, р и q — любые рациональные числа, то ар⋅аq = ар+q — доказывается сначала для частного случая (р = 2/3, q = 1/5) в Учебнике [20]. (В учебнике [19] эта теорема доказывается сразу для общего случая.) Заметим, что в учебниках алгебры обоснование утверждения для частного случая иногда предшествует даже формулировке теоремы. Очевидно, авторы полагают, что в этой ситуации будут открыты теорема и способ ее доказательства.

2. Пусть введено понятие прямой, параллельной плоскости. Учитель предлагает учащимся упражнение: «Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости?» Рассматривая, например, модель куба, можно привести такие ситуации, которые позволяют дать отрицательный ответ. Вместе с тем возникает вопрос: «Есть ли в плоскости прямая, параллельная данной?» Опять-таки модель куба позволяет дать ответ, но на этот раз положительный. Рассмотренная ситуация наводит на следующее утверждение: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Содержание этого утверждения усваивается в процессе выполнения упражнений на отыскание на модели куба или рисунках таких фигур, которые удовлетворяли бы условию теоремы. Приведем их примеры:

2.1. Известно, что а||α (рис. 92). Укажите на рисунке параллельные прямые. Правильно ли изображены на рисунке пря-

мые? Если нет, то внесите необходимые исправления.

2.2. Какие из сечений куба плоскостью, проходящей через точки Р, K, L, изображены верно (рис. 93, а — в)?

Ознакомление со способом доказательства осуществляется в процессе выполнения специальных упражнений на использование этого способа в частных случаях, анализа задачи (восходящего и нисходящего) и т. д. В процессе доказательства следует выполнять упражнения на выделение логических шагов, их развертывание, на выделение в доказательствах недостающих утверждений и их обоснований, на указание используемых в доказательстве правил вывода, на выделение идеи доказательства, на составление плана доказательства, на группирование теорем, доказываемых одним способом. Выше все указанные приемы были разъяснены и показаны на примерах. Остановимся на организационных вопросах работы с теоремой.

Прежде всего отметим формы работы, связанные с выполнением упражнений на распознавание ситуаций, удовлетворяющих теореме. Выполнение таких упражнений предполагает оперирование формулировкой теоремы. Однако в случае громоздкости формулировки многие учащиеся не запоминают ее сразу, а потому испытывают затруднения в ее применении. В такой ситуации учителя используют прием разбиения теоремы на элементы и применения их в процессе выполнения упражнений. Так, указанная теорема может быть разбита на следующие элементы: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости,|и пересекает эту плоскость,|то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

При выполнении упражнений учащиеся поэлементно соотносят формулировку теоремы с заданием. Применительно к упражнению 2.1 (см. рис. 92) ученик должен выполнить действия: 1) прочитать первый элемент формулировки теоремы: «Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости»; 2) соотнести этот элемент с условием задания; 3) выделить эту прямую и плоскость (прямую а, плоскости ß, γ, δ); 4) прочитать второй элемент формулировки теоремы: «...и пересекает эту плоскость»; 5) соотнести этот элемент с выделенными плоскостями ß, γ, δ и сделать вывод (указанные плоскости пересекают плоскость а); 6) прочитать следующий элемент формулировки: «...то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой»; 7) выделить линии пересечения плоскостей ß, γ, δ с плоскостью а (прямые AB, KM, CD); 8) сделать вывод (АВ||а, КМ||а, CD || а); 9) ответить на последующие вопросы (отрезок КМ изображен неправильно, он должен быть параллелен и AB, и CD).

Рис. 92

Рис. 93

В упражнении 2.2 (см. рис. 93, б) плоскость сечения, проходя через прямую AD, параллельную плоскости грани ВВ1C1С, пересекает эту плоскость по прямой, проходящей через точку L, параллельно AD. Вывод: изображение сечения неверное.

Поэлементное овладение формулировкой теоремы очень эффективно на начальных этапах обучения геометрии (VII—VIII классы), так как оно способствует формированию умения выделять условие, требование, запоминанию формулировки теоремы. Заметим, что в условиях активных способов работы непроизвольное запоминание (в нашем случае мы и имеем этот вид запоминания) оказывается более прочным, чем произвольное, опирающееся на пассивные способы работы. Второе мы имели бы тогда, когда предложили ученику прочитать несколько раз формулировку и заучить ее. Активность работы обусловлена выполнением упражнений.

Ознакомление со способом доказательства, как мы уже отмечали, осуществляется посредством специальных упражнений на моделирование доказательства, ознакомление с идеей доказательства, доказательство теоремы в частном случае. Поиск способа доказательства может быть осуществлен в процессе восходящего и нисходящего анализа, эвристической беседы, с использованием плана доказательства и т. д. Формы работы также могут быть различными: самостоятельное доказательство, объяснение учителя в сочетании с самостоятельной работой школьников, коллективный поиск доказательства, использование различных схем, карточек и т. д. Многие приемы и формы работы были рассмотрены выше. В контексте сказанного остановимся на приемах работы с доказательством, освещаемых в различной литературе.

Так, А. К. Артемов, анализируя структуру учебников алгебры и геометрии, отмечает существенное различие в подходах к обучению доказательству алгебраических и геометрических теорем. (Артемов А. К. Состав и методика формирования геометрических умений школьников. — Пенза, 1969. — С. 224.) Если в курсе

алгебры сам учебный материал способствует формированию обобщенных умений, то в курсе геометрии доказательства теорем воспринимаются изолированно, при изучении каждой теоремы нужно запоминать «свое» доказательство. Например, при изучении формулы (а + b)2 = a2+2ab + b2, варьируя слагаемые а и b, у учащихся формируется обобщенное умение применять эту формулу. При изучении геометрических теорем способы доказательства сознаются разрозненно, необобщенно.

Для устранения этого недостатка А. К. Артемов рекомендует формировать обобщенные умения по аналогии с тем, как это делается в курсе алгебры. Для этого нужно иметь группу теорем, доказываемых одним и тем же методом. Такие группы легко обнаружить. Это теоремы о метрических соотношениях в треугольнике и круге (они доказываются путем отыскания на чертеже подобных треугольников и вывода соответствующих пропорций); признаки подобия треугольников и т. д. Сущность метода, используемого при доказательстве группы теорем, может быть раскрыта при решении задач. Например, метод доказательства теорем о метрических соотношениях в треугольнике и круге может быть разъяснен в процессе решения задачи:

Две окружности внешне касаются. Докажите, что отрезок их внешней касательной, заключенный между точками касания, есть среднее пропорциональное между диаметрами окружностей.

Решение задачи позволяет сформулировать обобщенный прием работы и записать его в виде правила. Для нахождения плана доказательства равенств, состоящих из произведений двух пар отрезков, можно:

1) записать доказываемое равенство в виде пропорции;

2) отыскать на чертеже к задаче (или путем проведения вспомогательных отрезков построить вновь) треугольники, сторонами которых являются члены полученной пропорции;

3) поставить вопрос о подобии этих треугольников. Решение задачи осуществляется в обратном порядке:

1) выделяем на чертеже необходимые треугольники;

2) обосновываем их подобие;

3) составляем пропорции из сходственных сторон этих треугольников;

4) получаем из пропорций доказываемое равенство.

Рассмотренный прием работы с теоремой напоминает прием изучения теоремы с помощью плана, в составлении которого значительная роль отводится ученикам. Формирование ассоциаций и их актуализация могут сыграть большую роль в отыскании способа доказательства. Кстати, на этой основе строятся и другие приемы, связанные с использованием родственных отношений между объектами, эвристических программ и т. д. Однако подлинный успех в осуществлении доказательств зависит от умений анализировать условие и требование задачи, т. е. распозна-

вать объекты, выводить следствия, преобразовывать требование задачи в равносильное ему, соотносить с условием и требованием задачи свои мыслительные действия с чертежом, оценивать свои действия с точки зрения целесообразности и т. д., выполнять построение силлогизмов, применять правила вывода, осуществлять цепочки логических шагов. Только синтез логических, эвристических умений и ассоциаций, особенно связанных с актуализацией основных способов доказательства, создаст такие отношения между учеником и задачей, которые будут служить источником радости ученика от общения с задачей или теоремой.

Известный методист Я. И. Груденов, рассматривая методику изучения математических предложений [3] (с. 113—130), акцентирует внимание читателя на трех этапах изучения математических предложений (аксиом, теорем и определений): введение, усвоение и закрепление. Им указываются три способа введения математических предложений.

I способ. Учащиеся подготавливаются к самостоятельному формулированию определения, аксиом, к «открытию» теоремы.

II способ. Учащиеся готовятся к сознательному восприятию, пониманию нового математического предложения, формулировка которого им сообщается затем в готовом виде.

III способ. Учитель сам формулирует новые определения, аксиомы, теоремы без какой-либо предварительной подготовки, а затем сосредоточивает усилия над усвоением и закреплением.

Третий способ, очевидно, эффективен тогда, когда подведение школьников к открытию теоремы затруднительно либо требует много времени. В старших классах используется лекция, на которой рассматривается блок взаимосвязанных теорем. В этой ситуации оправдан такой прием, как введение в тему, акцентирование внимания на узловых вопросах темы, после чего учитель сам может сообщить классу формулировки теорем.

Подготовка школьников к восприятию теоремы осуществляется посредством задач, аналогии, обобщения, рассмотрения различных моделей и т. п. Выше все эти пути были иллюстрированы конкретными ситуациями, поэтому ограничимся лишь некоторыми примерами.

1. Учащимся известно определение понятия перпендикулярности прямой и плоскости. Возникает вопрос: какое число прямых плоскости, перпендикулярных к данной прямой, обусловливает перпендикулярность этой прямой с любой прямой плоскости? Эксперимент с листом бумаги и карандашом показывает, что перпендикулярность прямой к некоторой прямой плоскости не обеспечивает перпендикулярности прямой плоскости (эта ситуация иллюстрируется примерами). Очевидно, что из перпендикулярности прямой к двум параллельным прямым плоскости не вытекает перпендикулярность прямой к плоскости. Однако пер-

пендикулярность прямой к двум пересекающимся прямым плоскости приводит к искомому признаку. Такой вид работы очень эффективен, поскольку он предполагает выдвижение гипотезы, ее подтверждение либо опровержение, самостоятельную формулировку открытой закономерности, поиск способа ее обоснования.

2. Теорема о сумме n первых членов арифметической прогрессии. В учебнике [19] рассматривается задача о нахождении суммы всех натуральных чисел от 1 до 100. Решение задачи позволяет открыть не только теорему, но и способ ее доказательства, заключающийся в записи суммы первых членов арифметической прогрессии двумя способами, сложении соответствующих равенств и нахождении суммы. Этот пример иллюстрирует как бы синтез первых двух способов введения теорем: подготовки учителя к восприятию и самостоятельного открытия теоремы школьниками.

3. Задача: докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника — на применение определения параллелограмма в сочетании со свойствами углов, образуемых при пересечении секущей двух параллельных прямых. Из равенства треугольников следуют многие свойства параллелограмма, которые могут быть сформулированы самими школьниками. «Открытые» школьниками теоремы могут стать источниками новых теорем — признаков параллелограмма.

Я. И. Груденов выделяет три метода усвоения математических предложений, в частности теорем: раздельный (сначала предложения запоминают, затем применяют), компактный (запоминание осуществляется в процессе поэлементного применения предложения) и алгоритмический (математическое предложение заменяется алгоритмом). Одной из форм реализации алгоритмического метода является использование плана с обозначенной совокупностью действий, которые должен в указанной последовательности выполнить школьник.

Анализируя школьную практику, Я. И. Груденов указывает и приемы закрепления математических предложений. Сформулируем их применительно к теоремам.

Первый прием. Учитель предлагает сформулировать и применить теоремы, встречающиеся по ходу решения. Данный прием входит составной частью во многие наши рекомендации: развертывание силлогизмов, использование карточек и т. д.

Второй прием. Учитель предлагает сформулировать ряд теорем во время фронтального опроса, с тем чтобы повторить их и проверить, помнят ли их учащиеся.

Третий прием. Сущность его заключается в том, что учитель предлагает не только воспроизвести теорему, но и сопроводить воспроизведение примером либо контрпримером.

Четвертый прием. Опрос ведется сразу по группе теорем с указанием примера или контрпримера по каждой теореме.

Пятый прием заключается в применении теорем к выполнению специальных упражнений, которые требуют умения применять определения, теоремы в различных ситуациях.

Рассмотренные приемы настолько известны учителю, что не нуждаются в специальном разъяснении и комментировании. Все эти приемы хорошо согласуются с рекомендациями, вытекающими из рассмотренной концепции обучения доказательству.

Немало интересного и полезного для учителя математики в контексте обучения доказательству содержится в книге Я. И. Груденова «Изучение определений, аксиом, теорем» (М.: Просвещение, 1981). Остановимся на этих вопросах подробнее. Прежде всего отметим приемы, используемые в школах по ознакомлению учащихся с доказательством теоремы и систематизированные автором названной книги.

Суть первого приема заключается в том, что учитель излагает доказательство с использованием эвристической беседы. Однако многими учителями этот прием применяется неудачно. Первая причина неудачи заключается в том, что учителя чаще используют синтетическую форму эвристической беседы. Проводя такую беседу, учителя не изменяют доказательство теоремы, изложенное в учебнике. Они лишь делят его на части, предлагая учащимся обосновать их. Проиллюстрируем беседу на примере доказательства одного из свойств неравенства.

Пример. Докажите, что а + с > b+с, где а > b и с — любое число.

Учитель. Рассмотрим разность (а + с) — (b+с). Как упростить это выражение?

Ученики. (а+с) — (b+с) = а+с — b — с = а — b.

Учитель. Какой знак имеет разность а — b?

Ученики, а — b > 0.

Учитель. Почему?

Ученики. Так как по условию а > b, то по определению разность а — b > 0.

При такой беседе учащимся не ясно, почему вдруг понадобилось рассмотреть разность (a+b) — (b + c), затем устанавливать знак а — b и т. д.

Для проведения беседы аналитико-синтетическим способом учителю приходится изменять структуру рассуждения, приведенного в учебнике, что вызывает у него затруднения. Примеры аналитико-синтетического способа рассуждения приведены в главах I и III.

Часто эвристическая беседа неудачно проводится из-за многословия учителя, неумелой постановки вопросов. Поэтому последнее послужило основанием для некоторых методистов высказать сомнение в целесообразности использования эвристической беседы при доказательстве теорем в курсе геометрии старших классов. Объяснение этому такое: доказательство стереометрических теорем содержит большое число логических шагов,

а вопросно-ответная форма рассуждения разрывает цель доказательства, создавая тем самым дополнительные трудности в усвоении логического рассуждения.

Неудачи в проведении эвристической беседы объясняются плохо сформулированными вопросами, отсутствием пауз между ними, пренебрежением психологическими особенностями учащихся. Так, после неудачных ответов нескольких учеников учитель обычно продолжает опрос до тех пор, пока не услышит правильного ответа, тем самым снижается интерес, ослабевает внимание школьников и теряется время. В подобных случаях учителю следует ответить на вопрос самому.

Второй прием заключается в том, что учитель излагает доказательство теоремы в виде рассказа, не прерывая его вопросами. Этот прием эффективен при изложении негромоздких по объему доказательств. Он уместен и в тех случаях, когда способ доказательства является принципиально новым для учащихся и подвести их к его открытию трудно. Данный прием оправдывает себя и тогда, когда понимание отдельных частей доказательства предварительно выясняется при выполнении специальных упражнений.

Сущность третьего приема состоит в том, что после выполнения учащимися чертежа к теореме и выделения условия и заключения теорема превращается в задачу по готовому чертежу. (Методика работы с такими задачами освещена выше.) Если задача посильна учащимся, то им предлагается самостоятельно решить ее. Самостоятельное доказательство теоремы облегчается, если учитель дает план доказательства.

Например, к доказательству признака перпендикулярности плоскостей можно предложить следующий план:

1) Построить линейный угол двугранного угла.

2) Доказать, что этот угол прямой.

3) Сделать вывод.

Четвертый прием заключается в том, что доказательство теоремы учащимся предлагается изучить самостоятельно по учебнику. Следует подчеркнуть распространенность приема использования учителями плана при изучении теорем.

Прежде всего отметим, что составление плана является одним из основных приемов запоминания (А. А. Смирнов). Деятельность по составлению плана важна не сама по себе. Она приводит к более внимательному изучению материала и к лучшему запоминанию. Составляя план, учащиеся выполняют следующую работу: 1) разбивают материал на отдельные логические части; 2) дают им названия. Всю эту работу можно сделать при условии четкого понимания материала.

В обучении школьников составлению плана выделяют ряд этапов.

1-й этап. Дается готовый план доказательства теоремы, используя который учащиеся должны доказать теорему самостоя-

тельно. Например, к теореме: если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом — предлагается такой план:

1) Провести диагональ четырехугольника.

2) Доказать равенство полученных треугольников.

3) Доказать параллельность противоположных сторон четырехугольника.

4) Сделать вывод.

По наблюдению учителей, такую форму задания учащиеся воспринимают с исключительным интересом, который объясняется рядом обстоятельств:

План разбивает доказательство на ряд элементарных задач, которые учащиеся могут решить.

Учащиеся чувствуют, что с помощью плана они могут доказать новую теорему.

План позволяет охватить все доказательство в целом, и у учащихся возникает ощущение полноты понимания. Это приводит к уверенности, возрастает желание работать.

2-й этап. Школьники учатся составлять план уже изученной теоремы. Сначала эта работа выполняется коллективно, а затем самостоятельно. Параллельно с этим школьников учат составлять план прочитанного текста учебника, который не содержит теорем.

Подобная работа многое дает для различных категорий учащихся. Сильные учащиеся старших классов обычно не запоминают детали доказательства теоремы. Слабоуспевающие стараются заучить все детали доказательства. Им приходится запоминать материал очень большого объема. План доказательства освобождает школьников от заучивания деталей и поднимает их до уровня сильных учащихся.

Хорошие результаты получаются в тех случаях, когда для доказательства нескольких теорем дается один, общий план. Теоремы, доказательства которых объединены общей идеей, усваиваются особенно продуктивно. Дело в том, что в этих случаях имеет место неоднократное, активное и разнообразное повторение. Последнее более эффективно, чем запоминание путем однообразного и многократного повторения изучаемого материала.

Заключение

В предлагаемой книге обоснована и раскрыта новая методическая концепция обучения доказательству в средней школе. Ее основными составляющими являются: 1) представление об обучении доказательству как обучении учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию доказательства, а также опровержению предложенных доказательств; 2) единство логики и эвристики в обучении доказательству.

Эта основа обусловливает следующие уровни в усвоении доказательства: 1) потребность в логическом обосновании, умение осуществлять простейшие дедуктивные выводы, осознавание того, что из одних предложений логическим путем можно выводить новые утверждения; 2) владение эвристическими приемами и умение выполнять цепочки дедуктивных умозаключений; 3) умение самостоятельно разбираться в готовом доказательстве, выделять и формулировать основную идею доказательства; 4) умение использовать методы познания, специальные приемы открытия, поиска и выполнять самостоятельное доказательство; 5) умение опровергать готовые доказательства.

Уровневое строение усвоения доказательства позволяет соотнести каждый уровень с содержанием обучения математике в различных классах школы и выделить своеобразные этапы в обучении учащихся доказательству.

В работе анализируются все составные части доказательства: тезис, аргументация и демонстрация, выделяются требования к осуществлению каждой части и основные ошибки в осуществлении доказательства.

Исходя из разработанной методической концепции обучения доказательству, в книге получили освещение методы доказательства, методика формирования логических и эвристических приемов доказательства, формы организации работы с теоремой и т. д. Естественно, большее внимание уделено вопросам, которые мало разработаны в литературе: формированию эвристических приемов, умению опровергать готовые доказательства, разработке средств обучения доказательству.

Когда книга была завершена, журнал «Вопросы философии» (1998, № 9) опубликовал подборку статей, в которых анализируются в философском контексте понятия анализа и синтеза в геометрии, теоремы, доказательства. Автор статьи, посвященной доказательству, отмечает двойственную природу этого феномена. С одной стороны, в доказательстве есть определенные «логические ходы», структура, которая так или иначе может фиксироваться. С другой стороны, доказательство — это процесс, деятельность, в ходе которой логические ходы возникают, наделяются смыслом и актуализируются (с. 138). Таким образом, философы начинают выводить доказательство за рамки его логической формы (см. начало главы I) и вносят в содержание этого феномена деятельностную составляющую, включающую различные эвристики. Думается, что такое понимание математического доказательства в философии возникло и под влиянием концепций доказательства в теории и методике обучения математике. Очевидно, не только философское знание помогает предметным методикам решать их проблемы, но и результаты методических исследований «подпитывают» появление философских теорий.

Литература

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики: Пер. с франц. — М.: Сов. радио, 1970.

2. Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева А. К. Ошибки в математических рассуждениях. — М.: Учпедгиз, 1959.

3. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики. — М.: Просвещение, 1990.

4. Дубнов Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах. — М.: Наука, 1969.

5. Крупич В. И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. — М.: Прометей, 1995.

6. Кулюткин Ю. Н. Эвристические методы в структуре решений. — М.: Педагогика, 1970.

7. Лакатос И. Доказательства и опровержения. — М.: Наука, 1967.

8. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985.

9. Пойа Д. Математическое открытие (Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание): Пер. с англ. — М.: Наука, 1970.

10. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения: Пер. с англ. — М.: Наука, 1975.

11. Преподавание геометрии в 6—8 классах: Сб. статей / Сост. В. А. Гусев. — М.: Просвещение, 1979.

12. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. — М.: Просвещение, 1995.

13. Современные основы школьного курса математики: Пособие для студентов пед. ин-тов / Н. Я. Виленкин, К. И. Дуничев и др. — М.: Просвещение, 1980.

14. Слепкань З. И. Психолого-педагогические основы обучения математике. — Киев.: Рад. школа, 1983.

15. Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск: Вышэйшая школа, 1986.

16. Формирование приемов математического мышления / Под ред. Н. Ф. Талызиной. — М.: Вентана-Граф, 1995.

17. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачу. — М.: Просвещение, 1984.

18. Эрдниев П. М. Преподавание математики в школе (Из опыта обучения методом укрупненных упражнений). — М.: Просвещение, 1978.

Учебники

19. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — М.: Просвещение, 1992—1999.

20. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др.; Под ред. С. А. Теляковского. — М.: Просвещение, 1990—1999.

21. Геометрия: Учеб. для 7—9 кл. общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — М.: Просвещение, 1990—1999.

22. Нурк Э. Р., Тельгмаа А. Э. Математика: Учеб. для 5 кл. средней школы. — М.: Просвещение, 1988—1994.

23. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7—11 кл. общеобразоват. учреждений. — М.: Просвещение, 1990—1999.

Оглавление

Предисловие................ 3

Глава I. Теоретические основы обучения доказательству 6

§ 1. Проблема обучения школьников доказательству в учебно-методической литературе ...... —

§ 2. Логическая основа доказательства в школьном курсе математики............ 15

§ 3. Методическая концепция обучения доказательству 26

Глава II. Методические аспекты обучения учащихся доказательствам ............. 39

§ 1. Формирование потребности в логических рассуждениях и умений выполнять дедуктивные выводы в V—VI классах ............. —

§ 2. Формирование умения доказывать на первых уроках геометрии в VII классе........ 46

§ 3. Составление геометрических задач на готовых чертежах ................ 57

§ 4. Обучение школьников доказательству в VII—VIII классах................ 61

§ 5. Обучение опровержению предложенных доказательств ................ 73

Глава III. Приемы открытия фактов и поиска доказательств ............... 92

§ 1. Прием аналогии ............ —

§ 2. Приемы обобщения и конкретизации..... 102

§ 3. Прием элементарных задач ........ 111

§ 4. Прием представления задачи в пространстве состояний ................. 115

§ 5. Прием рассмотрения предельного случая . . . 119

§ 6. Прием построения вспомогательной фигуры . . 120

Глава IV. Методы доказательства в школьном курсе математики .............. 125

§ 1. Общематематические методы доказательства . . —

§ 2. Специальные методы доказательства..... 130

Глава V. Организационные формы работы с теоремой 144

§ 1. Этапы работы с теоремой......... —

§ 2. Методика работы с теоремой ....... 147

Заключение ................ 169

Литература ................ 171

Учебное издание

Саранцев Геннадий Иванович

ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМ В ШКОЛЕ

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. В. Кузнецова Младший редактор Н. В. Сидельковская Художники В. В. Костин, О. В. Корытов Художественный редактор Е. Р. Дашук Технические редакторы Н. А. Киселева, Н. Н. Бажанова Корректор О. Н. Леонова

Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93-953000. Изд. лиц. № 010001 от 10.10.96. Сдано в набор 27.10.98. Подписано к печати 01.09.99. Формат 60×901/16. Бумага типографская № 2. Гарнитура Литературная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 11. Усл. кр.-отт. 11,25. Уч.-изд. л. 10,86. Тираж 10 000 экз. Заказ № 1337.

Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Государственного комитета Российской Федерации по печати. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.

75 лет вместе с учителями

"Учительская газета" выходит с 1924 года. Ее выписывали Ваши учителя, ее выписываете и Вы. Достоверность и оперативность информации. Вдумчивый анализ и мудрые советы специалистов. Методики и технологии. Любимые рубрики и известные авторы. Для педагога, для директора, для ученика, для всей семьи.

"УГ в цифрах и фактах

24 полосы разнообразной информации еженедельно.

Кроме педагогических материалов, публикуются статьи и заметки о культуре, истории, науке, экономике, политике, спорте, путешествиях. Ежемесячно выходят специальные вкладки "Директорский клуб" (советы начинающим и опытным управленцам, портреты руководителей),

"Из первых рук" (официальные документы Минобразования РФ с комментариями и разъяснениями специалистов), "Классный руководитель" (секреты организации воспитательной работы в школе, сценарии праздников и классных часов, психологическая консультация), "Учебники" (новинки учебно-методической литературы, рецензии),

"Чужая азбука" (зарубежный педагогический опыт).

Один номер "УГ" в месяц полностью отдается рубрике "Методическая кухня", в которой публикуются лучшие методики и технологии как по предметам, так и интегрированным курсам, а также раскрываются общепедагогические приемы обучения.

Еженедельно "УГ" выпускает отдельные приложения -"Граждановедение" и "Открытый урок. Введение в рыночную экономику". Они рассказывают соответственно о преподавании экономики в школе и о новом предмете — «граждановедении».

Самый главный факт и самые важные цифры.

"УГ не распространяется в розничной продаже, поэтому самый надежный способ приобретения Своей газеты — подписка. Индексы "УГ: 50137 (для индивидуальных подписчиков) или 32168 (для организаций), приложений: "Граждановедение" — 32515 (для индивидуальных подписчиков) или 32715 (для организаций),"Открытый урок" — 32513 (для индивидуальных подписчиков) или 32713 (для организаций).

Контактные телефоны редакции:. (095)928-82-53 (справки), 924-29-27 (информация), 298-89-95 (реклама). E-mail ug@ug.ru Адрес в Интернет: www.ug.ru

ИЗДАТЕЛЬСТВО

«Просвещение»

МЫ ПРЕДЛАГАЕМ:

книги крупным и мелким оптом со складов издательства; контейнерную отгрузку во все регионы России и страны СНГ;

Книгу—почтой:

127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, издательство «Просвещение», «Книга—почтой». Телефон: 289 50 26

E-mail: textbook@glasnet.ru или textbook@glas.apc.org http://www.glasnet.ru/~textbook/

Нашу литературу оптом и в розницу можно приобрести в магазине

«Книги «Просвещения»

127521, Москва, ул. Октябрьская, 89 Телефоны: (095) 289 44 44, 289 60 44

Факс: (095) 289 60 26, 289 62 35

Торговый дом «Просвещение»:

129626, Москва, ул. Новоалексеевская, 8. Тел./факс: (095) 287 08 69

Торговый дом «Просвещение»:

193024, Санкт-Петербург, ул. Тележная, 17, офис 3,4. Тел.: (812) 275 3511 Факс: (812)275 31 12

ПРОЕЗД:

ст. метро «Белорусская», далее трол. 18 до ост. «Гостиница «Северная»; авт. 12 до ост. «1-й Стрелецкий пер.»;

ст. метро «Рижская», далее трол. 18, 42, авт. 84 до ост. «Гостиница «Северная».

В книге раскрыта новая методическая концепция обучения математическому доказательству, на основе которой показаны методы доказательства, раскрыты приемы его поиска. Значительное внимание уделено обучению учащихся опровергать предложенные доказательства на примере оригинальной системы задач. Книга поможет повысить профессиональный уровень учителей математики и улучшить качество подготовки студентов педвузов.

• Просвещение •