Г.И. Саранцев

Методика обучения математике в средней школе

• Просвещение •

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ

Г. И. Саранцев

Методика обучения математике в средней школе

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗОВ И УНИВЕРСИТЕТОВ

Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 032100 Математика

Москва

«Просвещение» 2002

УДК 372.8:51 ББК 74.58 С20

Саранцев Г. И.

С20 Методика обучения математике в средней школе : Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г. И. Саранцев. — М. : Просвещение, 2002. — 224 с. : ил. — ISBN 5-09-010148-5.

В пособии в контексте системного анализа и деятельностного подхода с учетом новых образовательных идей раскрываются общие вопросы методики обучения математике: предмет, методы исследования, цели обучения математике, формирование математических понятий, методика работы с задачей, роль задач в обучении математике, методы обучения математике, обучение доказательству, эвристики в обучении математике, современный урок математики.

Книга предназначена для преподавателей методики обучения математике в педвузах, университетах и институтах повышения квалификации работников образования, а также для аспирантов, студентов-математиков педвузов, университетов и учителей математики.

УДК 372.8:51 ББК 74.58

ISBN 5-09-010148-5

© Издательство «Просвещение», 2002

© Художественное оформление.

Издательство «Просвещение», 2002

Все права защищены

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ .................................... 5

Глава I. МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА «ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ» 7

1. Предмет методики обучения математике ................... 8

2. Связь методики обучения математике с другими научными областями 12

3. Методы методики обучения математике ................... 16

Вопросы и задания ................................... 19

Литература ....................................... 20

Глава II. ЦЕЛИ И СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ .................................. 21

1. Понятие образования. Цели образования................... —

2. Влияние предмета математики на цели образования ........... 25

3. Гуманизация и гуманитаризация математического образования..... 27

4. Цели обучения математике............................ 30

5. Функции обучения математике ......................... 34

6. Содержание математического образования.................. 39

7. Реформы среднего математического образования.............. 42

Вопросы и задания ................................... 46

Литература ....................................... 47

Глава III. ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ..... 49

1. Содержание и объем понятия.......................... —

2. Логические варианты конструирования понятий .............. 50

3. Виды определений. Классификация понятий ................ 53

4. Методика формирования понятий ....................... 56

Вопросы и задания ................................... 62

Литература ....................................... 65

Глава IV. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ................. 67

1. Виды теорем...................................... —

2. Этапы изучения теоремы............................. 70

3. Организация работы с теоремой ........................ 73

4. Логические основы доказательства....................... 82

5. Обучение доказательству ............................. 86

Вопросы и задания ................................... 103

Литература....................................... 105

Глава V. ЭВРИСТИКИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ........... 106

1. Специальные эвристики в обучении математике.............. —

2. Эвристические приемы .............................. 107

3. Методы научного познания в обучении математике............ 113

Вопросы и задания ................................... 128

Литература ....................................... 130

Глава VI. ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ .............. 131

1. Понятие задачи, классификация задач, упражнения............ —

2. Роль задач в обучении математике....................... 137

3. Методика обучения решению математических задач............ 143

Вопросы и задания ................................... 150

Литература ....................................... 153

Глава VII. МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ.............. 154

1. Понятие метода обучения математике..................... —

2. Классификация методов обучения математике ............... 159

3. Дидактические системы обучения ....................... 162

4. Технологии обучения................................ 167

Вопросы и задания ................................... 172

Литература ....................................... 175

Глава VIII. ОРГАНИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ......... 176

1. Урок математики, его структура. Основные требования к уроку, типы уроков ......................................... —

2. Подготовка учителя к уроку. Анализ урока ................. 181

3. Организация самостоятельной работы учащихся на уроке........ 199

4. Нестандартные уроки математики ....................... 204

5. Индивидуализация и дифференциация в обучении математике..... 209

6. Внеклассная работа по математике....................... 213

Вопросы и задания ................................... 215

Литература ....................................... 222

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие охватывает первый раздел программы курса «Методика обучения математике», изучаемого на математических факультетах педагогических вузов и государственных университетов. Этот основной раздел имеет специальное название «Общая методика обучения математике». Можно указать ряд учебных пособий, в которых раскрывается его содержание. Как правило, каждое из них соотносится с определенным этапом развития математического образования, который обусловлен социальными изменениями, образовательными реформами, новыми педагогическими концепциями, совершенствованием методологии науки и т. д. Современный этап определяют весьма существенные обстоятельства: изменения в ценностях образования, внесение в науку «человеческого измерения», выход математики за рамки ее логической формы, появление ряда образовательных концепций, совершенствование методологии научного поиска и т. д.

Чем отличается данное пособие от аналогичных ему?

Во-первых, методика обучения математике рассматривается как самостоятельная научная область с собственным предметом, методами исследования и концепциями. С этих позиций и излагается учебный материал, относящийся к рассматриваемому разделу.

Во-вторых, при разработке методических концепций учитываются новые образовательные идеи (гуманизация, гуманитаризация образования, личностная направленность обучения), общеобразовательные стандарты, результаты исследований в других научных областях.

В-третьих, изложение материала ведется в контексте системного анализа и деятельностного подхода, что проявляется в системном представлении методических феноменов, выделении их компонентов, установлении взаимосвязей между ними, конструировании деятельности, адекватной изучаемым понятиям, теоремам, способам деятельности.

Деятельностный подход как одна из составляющих методологии методики обучения математике выступает в форме деятельностной природы математического знания. Реализация этого подхода предполагает понимание знания как деятельности и ее результата.

В-четвертых, при написании пособия использовались результаты научных исследований по методике обучения математике, проведенных в последние два десятилетия, опыт учителей математики, благодаря которому появились оригинальные методические приемы и нестандартные формы обучения математике.

В-пятых, большое внимание уделяется формированию эвристик в обучении математике. С выведением математики за рамки ее логичес-

кой формы, с развитием представления о ней как о деятельности возрастает роль эвристической составляющей в математическом образовании школьников, что обусловливает проблему обучения школьников эвристической деятельности.

Работая над книгой, автор исходил из того, что читатель должен не столько усваивать готовые выводы, сколько принимать участие в их обосновании, формулировке. Поэтому в пособии большое внимание уделяется анализу различных точек зрения на изучаемые феномены, динамике их развития, становлению и утверждению взглядов и представлений.

Каждая глава содержит задачи и список литературы. Задачи ориентированы не столько на закрепление учебного материала, сколько на его понимание, овладение умением оперировать им, оценивать различные варианты изложения материала. По мере продвижения в изучении курса возрастает роль задач в развитии профессиональных умений будущих учителей, их познавательной самостоятельности, творческой активности. Решение ряда задач представляет самостоятельное методическое исследование. Приведенный список литературы позволит получить ответы на все вопросы, которые возникнут при изучении курса, и более глубоко освоить учебный материал.

Глава I

МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА «ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ»

1. Предмет методики обучения математике.

2. Связь методики обучения математике с другими научными областями.

3. Методы методики обучения математике.

Вы начинаете изучать новый курс «Методика обучения математике». Официально он до сих пор в учебных планах математических специальностей педагогических вузов значится под названием «Методика преподавания математики». Как вы скоро убедитесь, данное название явно не соответствует перечню вопросов, ответы на которые должны содержаться в этом курсе: они выходят за его рамки.

Методика преподавания математики в средней школе, как и другие предметные методики, возникла с целью поиска педагогически целесообразных путей и способов изложения учебного материала, причем содержание школьного курса математики формировалось специалистами в области математики. По мере расширения круга задач, решаемых методикой преподавания, пытались изменить название курса. Учебные пособия выходят под различными заголовками: «Педагогика математики», «Дидактика математики», «Методика обучения математике» и т. д. Научная область, основы которой излагаются в рассматриваемой учебной дисциплине, с недавних пор носит название «Теория и методика обучения и воспитания (математика)», однако учебная дисциплина называется по-старому. Пожалуй, наиболее адекватным ее содержанию будет название «Методика обучения математике», поскольку оно охватывает проблемы не только обучения, но и воспитания, и образования. Известно, что образование и воспитание реализуются главным образом через обучение, т. е. через совместную деятельность учителя и ученика. Преподавание же соотносится с деятельностью учителя.

Надо сказать, что на различных этапах развития школы существовали разные точки зрения на сущность предметных методик. Как уже было отмечено, они появились в процессе поиска приемов изложения учебного материала. С увеличением числа этих приемов возникла необходимость их обобщения, что привело к появлению новой научной области — дидактики, в контексте которой предметная методика начинает рассматриваться как прикладная дидактика. Были и другие точки зрения на сущность методики: одни авторы считали ее прикладной психологией, другие видели в ней приложение знаний из

различных научных областей. Очень четко эта точка зрения на сущность предметной методики высказана И. М. Кантором. Он утверждает, что, дидактически прорабатывая данные психологии, возрастной физиологии и других наук, методика находит педагогически целесообразные пути и способы обучения учебному предмету и отдельным его разделам [3, с. 79]. Однако наибольшее распространение получила точка зрения, согласно которой методика обучения математике является самостоятельной наукой. По мере развития методики это мнение все более и более укрепляется, в чем вы убедитесь сами при обсуждении ответов на вопросы: что является предметом методики обучения математике? Как она связана с другими науками? Каковы ее методы исследования?

1. Предмет методики обучения математике

Традиционно считается, что методика обучения математике призвана ответить на вопросы: кого учить? Зачем учить? Чему учить? Как учить? Ответ на первый вопрос предполагает знание возраста, с которого следует начинать обучение ребенка элементам математики, систематическому курсу математики, осуществлять профессионализацию математического образования и т. п. Вопрос: «Чему учить?» — требует определения содержания математического образования (знаний, умений, способов деятельности). Ответ на вопрос: «Как учить?» — предполагает выявление методов, средств, форм обучения математике. И наконец, вопрос: «Зачем учить?» — обращает исследователей к выявлению целей обучения математике. Уже сказанное позволяет утверждать, что предмет методики обучения математике шире, чем он трактуется в аналогичных пособиях. Как же он представлен в них?

В учебном пособии [13] автора А. А. Столяра отмечается, что предметом педагогики математики является обучение математике. Под обучением автор понимает процесс управления, осуществляемый учителем с использованием ряда вспомогательных средств (учебников, наглядных пособий, технических средств обучения). Обучение математике трактуется как обучение математической деятельности, основными составляющими которой являются математическая организация эмпирического материала, логическая организация математического материала и применение математической теории.

В. В. Репьев считает, что методика преподавания математики имеет своим предметом математическое образование, обучение основам математической науки и неразрывно связанное с ним воспитание подрастающего поколения в условиях средней общеобразовательной школы. Математическое обучение им трактуется как организованное в школьных условиях познание подрастающим поколением пространственных форм и количественных отношений материального мира, познание основ математической науки [11].

В книге [7] «Методика преподавания математики: Общая методика» (Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр) указывается, что методика

преподавания математики есть наука о математике как учебном предмете и закономерностях процесса обучения математике учащихся различных возрастных групп.

Автор книги «Дидактика математики» Н. В. Метельский заключает, что предметом дидактики математики является математическое образование, включая обучение и связанное с ним воспитание, в современной общеобразовательной школе, а также проблемы и перспективы его развития [6]. Далее он замечает, что предмет дидактики математики — процесс и результат усвоения предметных программных знаний, умений и навыков. И наконец, авторы книги «Методика преподавания математики в средней школе» [8] прямо объявляют методику разделом педагогики.

Не вдаваясь в подробный анализ этих трактовок (а он приводит ко многим вопросам, среди которых — что есть математическая деятельность, какая научная область определяет программные знания, умения и навыки, и т. д.), отмечу, что авторы учебных пособий рассматривают предмет методики обучения математике, включая в него обучение, образование и воспитание, а порой ограничивая его совокупностью средств и методов усвоения содержания математического образования. Авторы исходят и из различного понимания обучения, считая его либо совместной деятельностью учителя и учащихся, либо процессом овладения действиями, либо познавательной деятельностью.

Ясно, что если задачи методики обучения математике ограничить лишь поиском методов и приемов преподавания тем, «заданных» математикой, то вряд ли можно говорить о ней как о науке. Поэтому будем исходить из того, что методика обучения математике призвана исследовать проблемы математического образования, обучения математике и математического воспитания. Опять-таки замечу, что существуют разные точки зрения на содержание этих понятий и связей между ними, хотя исследователи признают, что все они взаимосвязаны, но не идентичны. К указанному выводу приводит нас и круг вопросов, на которые, как традиционно считается, должна ответить методика обучения математике (они перечислены выше). Ответы на них распространяются на цели математического образования и воспитания, содержание образования, методы, средства и формы обучения математике.

Итак, предмет методики обучения математике отличается исключительной сложностью. Для изучения сложного явления используют системный анализ, суть которого заключается в системном представлении этого явления, выделении его компонентов и связей между ними. Совокупность этих связей и образует теорию изучаемого явления.

Попытку раскрыть содержание предмета методики обучения математике предпринял А. М. Пышкало [10], предложив систему, включающую цели, содержание, методы, формы и средства обучения математике (он назвал ее методической системой «Обучение математике»). Цель методики обучения математике заключается в исследовании компонентов этой системы и связей между ними. А. М. Пышкало, создавая методическую систему, как видим, ограничивается проблемами процесса обучения. Но допустимо ли такое ограничение?

Ответ на этот вопрос обусловлен следующим положением одной известной монографии: «Обучением мы назовем особую коллективную социальную деятельность по организации ускоренного усвоения молодым поколением накопленного обществом опыта, воплощенного в соответствии с социальным заказом в содержании образования... Процессом обучения мы назовем целенаправленную последовательную смену учебных задач и изменение всех элементов обучения, происходящее по объективным законам и имеющее своим результатом формирование свойств обучаемых в результате их деятельности по усвоению содержания социального опыта» [14, с. 54].

В приведенной цитате просматривается воспитательная направленность процесса обучения и заданность содержания образования. Как видим, целеполагание, отбор содержания образования, его конструирование не входят в число проблем, относящихся к категориям «обучение», «процесс обучения». Поэтому в качестве объекта методики обучения математике, подчеркнем еще раз, должны выступать математическое образование, обучение математике и математическое воспитание.

Надо сказать, что в работах некоторых психологов, педагогов уже не проводится жесткой границы между обучением и воспитанием. Так, В. А. Петровский отмечает, что образовательный процесс при личностно ориентированном подходе заключается в порождении человека как субъекта активности в единстве четырех ипостасей: вхождение в мир природы, в рукотворный мир, приобщение к миру значимых других, возникновение самосознания человека. Воспитывать — значит приобщать к ценностям постижения, действования и переживания. Обучать — порождать средства (в широком смысле — способности) освоения мира в указанных четырех ипостасях. Личностно ориентированная дидактика, по мнению В. А. Петровского, предполагает синтез обучения (предметный аспект) и воспитания (коммуникативный аспект), которые традиционно различались [9].

В современных условиях, очевидно, разработанная ранее методическая система обучения математике (А. М. Пышкало) не адекватна комплексу задач образования, обучения и воспитания, хотя в какой-то мере воспитание проявляется как в целях образования, так и в других компонентах системы. Замечу, что традиционная модель создавалась в условиях функционирования системы «государство — общество — школа — ученик». Сегодня же последовательность этой цепочки иная. В центре внимания — ученик, его саморазвитие. Главное в новой педагогической парадигме — личностно ориентированное не только обучение, но и все образование. Поэтому ныне к исходным положениям, определяющим специфику методической системы обучения математике, следует отнести структуру личности, закономерности ее развития.

Ранее выполненные и выполняемые методические исследования направлены от учебного предмета к личности школьника. Если даже исследуются проблемы развития самостоятельности учащихся, их мышления, интеллекта, активности, то в решении этих проблем исследо-

ватели идут от фиксированного содержания образования, которое, в свою очередь, формируется под влиянием развития математики. Любопытно, что даже авторы стандартов среднего математического образования, находящиеся под влиянием идей гуманизации образования, придерживаются этой направленности, утверждая, что изучение программного материала дает возможность учащимся понять, усвоить, научиться и т. д., хотя именно гуманизация образования предполагает направленность обучения от личности, ее структуры через учебный предмет к личности (индивидуальности) конкретного ребенка. Это проявляется прежде всего в целях обучения и через них в содержании образования, методах, формах и средствах обучения. Как было сказано, в методической системе должна быть учтена и индивидуальность ребенка. Цели являются идеальными результатами обучения, которые, как правило, не достигаются в учебном процессе, поэтому важно знание полученных результатов.

Итак, в учебных пособиях по методике обучения математике объект и предмет исследования не разделяются, а зачастую эти понятия подменяют друг друга. Под объектом науки понимают часть действительности, выделенную для изучения или исследования. В качестве предмета науки выступает идеализация объекта, его мысленное отражение в сознании исследователя. Объектом методики обучения математике являются математическое образование, обучение математике и воспитание средствами математики. Предметом методики обучения математике является специальная методическая система (будем называть ее традиционно «Обучение математике»), составляемая целями и содержанием математического образования, методами, средствами, формами обучения, индивидуальностью ученика и результатами обучения. На функционирование методической системы обучения математике оказывает влияние ряд факторов, например цели образования, роль математики в науке, жизни, производстве, новые образовательные идеи и т. д. Совокупность этих факторов образует внешнюю среду. Закономерные связи компонентов методической системы и ее внешней среды, способы конструирования их, методы исследования составляют методологию методики обучения математике. Внешняя среда методической системы обучения математике включает закономерности развития личности, общие цели образования, его роль в жизнедеятельности общества, гуманизацию и гуманитаризацию образования, предмет математики, ее место в науке, жизни, производстве, результаты исследований в психологии, дидактике, логике, практику. Особенно значительно влияние внешней среды на выделение целей обучения математике. Поэтому лидирующим компонентом методической системы являются цели обучения математике. (Эти вопросы обсуждаются в главе II.)

В качестве объекта конкретного исследования могут выступать аспекты, свойства, части указанного объекта методики обучения математике, тогда предметом такого исследования будет методическая система, адекватная объекту. Например, решается проблема использования задач в обучении математике. Объектом такого исследования является

процесс использования задач. Методическая система, соответствующая указанному объекту, включает цели использования задач, содержание математического образования (понятия, теоремы, способы деятельности, эвристики), последовательность решения задач, деятельность учащихся, формы решения задач.

Если объект конкретного методического исследования выделяет какой-либо аспект или свойство объекта методики обучения, то и предмет этого исследования будет соотноситься с предметом методики математики и охватывать либо подмножество основной методической системы, либо отдельные свойства и т. д. Методическая система, адекватная исследуемому объекту, содержит цели, содержание, средства, методы и формы его функционирования.

Учитывая сказанное, можно утверждать, что предметом методики обучения математике являются методические системы.

Как мы видели, авторы отдельных учебных пособий в качестве объекта методики обучения математике указывали процесс обучения математике. Учитывая, что образование, воспитание и развитие реализуются главным образом в процессе обучения, можно согласиться с данным утверждением относительно объекта методики математики при условии расширения номенклатуры функций обучения. Образовательная, воспитательная и развивающая функции обучения, традиционно подчеркиваемые, должны быть дополнены эвристической, прогностической, эстетической, практической, контрольно-оценочной, информационной, корректирующей и интегрирующей функциями (глава II).

Внешняя среда оказывает различное влияние на методическую систему обучения математике. Многие компоненты внешней среды воздействуют на нее через цели обучения математике. Однако взаимодействие методики обучения математике с рядом научных областей осуществляется в более широком плане и имеет существенный методологический характер, поэтому рассмотрим эти связи в данной главе.

2. Связь методики обучения математике с другими научными областями

Методика обучения математике связана с такими науками, как философия, математика, психология, педагогика, логика, информатика, история математики и математического образования, физиология человека.

Философия, особенно ее составляющая — теория познания, разрабатывает методы познания, которые, естественно, используются в методических исследованиях и обучении математике. Сошлемся на системный подход, вне которого нельзя выполнить ни одного серьезного исследования. Буквально на первых страницах пособия вы уже встретились с методической системой обучения математике, ее компонентами. Методика обучения математике и призвана исследовать эти компоненты и связи между ними. Методы научного познания — аналогия, обобщение, конкретизация, абстрагирование и т. д. — широ-

ко используются и в обучении математике. Любопытно, что даже на первый взгляд весьма отдаленные от методики обучения математике философские положения лежат в основе специфической математической деятельности. Примером может служить закон отрицания отрицания. Нетрудно убедиться в том, что решение задач на построение соотносится с этим законом.

Рассмотрим задачу: постройте трапецию по ее диагоналям d1, d2 и основаниям а и b (а > b).

Предположим, что задача решена: трапеция ABCD — искомая (AD = a, BC = b, AC = d1, BD = d2). Однако как ее построить, мы не знаем. Попробуем преобразовать трапецию в такую фигуру, построение которой нам доступно. Мы отрицаем построение трапеции ABCD и переходим к построению треугольника ACD1 со сторонами d1, d2 и a + b. Построив этот треугольник, переходим к построению искомой трапеции, совершая тем самым новое отрицание. Таким образом, решение данной задачи осуществляется по схеме «отрицание отрицания».

Диалектический подход к исследованию методических проблем позволяет точно расставить акценты в их решении. Например, с помощью диалектического метода устанавливается соотношение между целями и содержанием математического образования. Деятельностный подход устраняет кризис знания. Знания-информация отрицаются знаниями-деятельностью. Деятельностная концепция знаний продвигает решение проблемы формирования понятий, обучения доказательству и решению задач. Освещение этих вопросов осуществляется в соответствующих главах данного пособия.

Ясно, что методика обучения математике в решении своих задач опирается на логику, исследующую законы «правильного» мышления. Такие понятия, как «выражение», «теорема», «доказательство», «уравнение», «правило вывода», являются логическими понятиями. Однако следует иметь в виду, что одни и те же термины, используемые в логике и методике обучения математике, могут обозначать понятия с разным содержанием. Например, доказательство в логике традиционно рассматривается как конечная последовательность предложений теории, в которой каждое предложение либо аксиома, либо получено из предшествующих предложений этой последовательности по какому-нибудь правилу вывода. Однако в методике обучения математике этот феномен уже имеет другой смысл.

С развитием науки подвергаются переосмыслению ее категории. Тенденция такова, что меняется представление и о содержании мышления. В одной из концепций оно рассматривается как «диалог и равноправное общение различных культур, как форма взаимодействия людей» (М. М. Бахтин). Так, современное математическое мышление пронизывает идея общения разных «математик». Математика, отмечает М. Клайн, выстраивается на границе нескольких спорящих друг с другом видений числа, множества, бесконечности [4]. В частности, в этой концепции доказательство выступает уже не просто цепочкой формально-логических рассуждений, оно становится «борением» разных логик (И. Лакатос). В методике обучения математике в понятие

доказательства следует включать не только логические действия, но и эвристики, доказательство будет выступать «борением» разных логик и эвристик. Такая трактовка доказательства определяет и специфику содержания понятия обучения доказательству. Оно включает обучение анализу готовых доказательств, их опровержению, самостоятельному открытию фактов, поиску и конструированию доказательства. Методическая концепция формирования математических понятий не исчерпывается известными логическими концепциями образования понятий. Последние не могут объяснить, каковы этапы формирования понятия, какие умственные действия адекватны каждому этапу и т. д. Частично эти вопросы исследуются в психологии, где, в частности, отмечается значимость овладения следующими умственными действиями: подведение объекта под понятие, отыскание следствий из принадлежности объекта понятию (глава III). По мере изложения курса методики обучения математике его связь с логикой будет все более проясняться.

Еще более сложной оказывается взаимосвязь педагогики, в частности дидактики, с методикой обучения математике.

В дидактике основным отношением, характеризующим обучение, является «преподавание — учение», в методике — «преподавание — учебный материал — учение». Поскольку основное отношение дидактики отличается от основного отношения методики, то общедидактические закономерности не могут быть прямо перенесены в методику. Надо сказать, что действие одной и той же общедидактической закономерности в различных методиках преподавания будет иметь свою специфику. В свою очередь, методические закономерности, инвариантные относительно содержания учебного материала, могут претендовать на статус общедидактических закономерностей. Сказанное относится и к закономерностям воспитания. Этот аспект, пожалуй, еще более сложен. Известно, что теория воспитания включает теории умственного воспитания, эстетического воспитания и т. д. Каждая из них располагает своими закономерностями, методические аналоги которых также могут отличаться от педагогических. Сложность заключается в том, что в методике все эти теории должны быть синтезированы, а это усложняет проблему выделения методических закономерностей.

Аналогично содержание понятий в дидактике и методике также может отличаться. Например, методы обучения в дидактике есть способы деятельности учителя и ученика, ориентированные на достижение образовательных целей. В методике же методы обучения являются способами организации учебного материала и взаимосвязанных деятельностей учителя и ученика, ориентированных на решение познавательных и воспитательных задач. Это различие обусловлено разными основными отношениями, характеризующими процесс обучения в дидактике и методике.

Поскольку методика обучения математике не только логически организует отобранный материал, но и ориентирует его на особенности учащихся того или иного класса, используя закономерности памяти, мышления, внимания и т. д., индивидуальные особенности возрастной группы, то она связана и с психологией. Влияние психологии на мето-

дику обучения математике усиливается в связи с внедрением личностно ориентированного образования, характеризующегося усилением внимания к ученику, его саморазвитию, самопознанию, к воспитанию умения искать и находить свое место в жизни.

Так, решая проблему развития интереса в обучении, исследователь должен использовать психологические концепции интереса (трактовка, уровни сформированности интереса и т. д.), однако он обязан построить собственную методическую концепцию, основной составляющей которой является методическая система, включающая содержание понятия интереса, критерии, характеризующие его состояние, уровни сформированности, содержание учебного материала, средства развития интереса. Вряд ли будет эффективной методика обучения доказательству, если исследователь проигнорирует тот факт, что структуры мозга, руководящие аналитической деятельностью, формируются к 14 годам, а потому систематическое использование доказательств возможно не ранее VII класса, хотя обучение элементам доказательства должно осуществляться в V—VI классах.

Методисты, решая те или иные проблемы, могут выполнить сами отдельные психологические аспекты проблем. Например, в решении проблемы отбора упражнений учитывается закономерность П. А. Шеварева, из которой вытекает необходимость чередования упражнений разных типов. Однако ответ на вопрос: каким должно быть оптимальное число однотипных упражнений? — может быть дан исследователем проблемы упражнений в методике обучения математике.

Поскольку к элементам содержания среднего математического образования относятся математические понятия, теоремы, аксиомы, то методика обучения математике связана с математикой и историей математики. Из первой методика черпает свое предметное содержание, вторая помогает учесть в конструировании учебного предмета те трудности, которые возникали при открытии и обосновании тех или иных математических фактов. Развитие математики оказывает влияние на методику обучения математике. Появление новых подходов, математических идей влечет изменение в содержании школьного математического образования. Однако, как показывает практика, к учету в методике новых математических концепций следует подходить очень осторожно. Свидетельством этому может служить реформа математического образования 70-х годов, идеологией которой являлись понятия теории множеств, математической логики и аксиоматический метод. Использование учебников математики, соответствующих духу реформы, не дало ожидаемых положительных результатов.

История математики не только обращает внимание учителя на те трудности, с которыми он может встретиться при изучении школьного курса математики, она помогает учителю отыскать пути устранения трудностей, вооружает его средствами мотивации изучения математики учащимися, дает примеры мужества ученых-математиков в отстаивании своих идей. Последнее является важным в контексте гуманизации образования, предполагающей «очеловечивание» знаний, придание им личностно значимого характера для обучаемых.

В последнее время в связи с развитием информатики, изучающей проблемы получения, хранения, преобразования, передачи и использования информации, усиливается ее влияние на методику обучения математике. С одной стороны, это влияние обусловливает ряд проблем, связанных с формированием определенного стиля мышления, с обучением переводу с одного языка на другой, с использованием компьютера, с другой — методика получает новые эффективные средства и даже информационные технологии, использование которых призвано повысить эффективность обучения математике.

Ясно, что методика обучения математике в своих исследованиях не может не учитывать данные физиологии, например учения о рефлексах, о связи деятельности больших полушарий головного мозга с сигнальными системами (сигналами, поступающими как от материальных предметов и явлений, так и от слов, символов и т. п.). Так, например, открытия, связанные с функциями полушарий головного мозга, существенно меняют представления о роли образного мышления в обучении математике.

3. Методы методики обучения математике

Для решения своих проблем методика обучения математике использует следующие методы:

— эксперимент;

— изучение и использование отечественного и зарубежного опыта обучения учащихся;

— анкетирование, беседы с учителями и учащимися;

— анализ;

— моделирование.

Методологическую основу исследований составляют диалектика, системный анализ и деятельностный подход.

Как известно, термин «диалектика» используется в двух значениях. Одно из них заключается в том, что исследование основывается на наиболее общих законах развития природы, общества и мышления. Основными законами являются единство и борьба противоположностей, переход количественных изменений в качественные, отрицание отрицания. Второе значение диалектики предполагает рассмотрение познаваемых объектов и явлений в развитии, обусловленности их изменений различными факторами, взаимосвязи с другими объектами и явлениями.

Читатель познакомится с применением диалектического подхода к анализу становления методики обучения математике как самостоятельной научной области, построению различных концепций, анализу взаимосвязи целей и содержания обучения математике и т. д. Диалектический подход, требующий учета взаимосвязи изучаемого явления с другими явлениями, невозможен вне системного анализа. В исследованиях используют различные формы системного анализа, основанные на различных пониманиях системы. Наиболее распространенной является трактовка системы как совокупности объектов, взаимодействие которых обусловливает наличие новых интегративных качеств, не

свойственных образующим ее частям, компонентам. Суть системного анализа в данном контексте заключается в том, что исследуемый объект рассматривается как система с определенными компонентами, указывается лидирующий компонент и выделяются связи между его составляющими. В таком варианте этот метод был применен нами при построении методической системы «Обучение математике».

Существует и другая форма системного анализа, обусловленная представлением о системе как множестве компонентов, на котором реализовано данное отношение с фиксированными свойствами [5]. Системный анализ в данном контексте, как отмечал А. И. Уёмов, заключается в членении системы и выделении ее минимального компонента — структурной единицы системы, которая способна к относительно самостоятельному существованию с выполнением определенной функции в рамках целого. Эта форма системного анализа используется нами при решении проблем методов обучения математике и дифференциации в обучении.

В последнее время все большее распространение в методике обучения математике получает деятельностный подход. Он применяется в разных смыслах: 1) как составляющая методологической основы методики обучения математике; 2) как обучение способам деятельности; 3) как обучение различным действиям, адекватным содержанию обучения математике; 4) как учебная деятельность.

В его основе находится понятие деятельности. Деятельностью называют процесс активности человека, характеризуемый предметом, потребностью и мотивом, целями и условиями их достижения, действиями и операциями.

Важнейшим видом деятельности является учебная деятельность, т. е. деятельность ученика, направленная на приобретение теоретических знаний о предмете изучения и общих приемах решения связанных с ним задач. В учебной деятельности выделяют следующие компоненты: понимание школьником учебной задачи, осуществление учебных действий, выполнение им действий контроля и оценки.

Некоторые дидакты называют в учебной деятельности следующие три компонента: организационно-действенный, стимулирующий и контрольно-оценочный.

Осуществление деятельностного подхода в обучении предполагает введение учащихся в круг учебных задач, т. е. в ситуацию, требующую ориентации на общий способ ее разрешения во всех возможных частных и конкретных вариантах условий.

Решение учебной задачи происходит посредством учебных действий и действий контроля и оценки.

Так, при решении текстовой задачи с помощью составления уравнения на этапе анализа могут быть сформулированы следующие учебные задания, составляющие учебную задачу: 1) вычленить условие и требование задачи; 2) установить зависимость между данными и искомыми; 3) выявить способ составления уравнения и т. д. Учебными действиями, посредством которых решается учебная задача, являются следующие: 1) преобразование условий предметной задачи с целью

выявления в ней основного отношения; 2) моделирование выделенного отношения в предметной, графической или буквенной форме; 3) преобразование модели отношения для изучения его свойств; 4) построение системы частных задач, решаемых общим способом.

В такой форме деятельностный подход еще достаточно редко встречается в обучении математике. Чаще он используется в форме представления изучаемого содержания математического образования (понятия, теоремы, способа деятельности) совокупностью действий, адекватных рассматриваемому элементу содержания. В такой ситуации усвоение способа деятельности есть овладение действиями, его составляющими. Например, усвоение определения понятия есть процесс овладения действиями распознавания объектов, принадлежащих понятию, их конструирования, выведения следствий из факта принадлежности объекта понятию и их совокупностью. Использование деятельностного подхода как методологии методики обучения математике предполагает построение деятельности, адекватной изучаемому объекту или явлению. В таком смысле он применяется при разработке методики формирования понятий, методики обучения доказательству и т. д.

Читателю, проявившему интерес к использованию деятельностного подхода в обучении математике, рекомендуем обратиться к литературе [1], [17].

Ясно, что не все положения можно обосновать теоретически или вывести их из существующих теорий. В этом случае для доказательства предполагаемых суждений используют эксперимент. Он представляет специально организуемое обучение с целью проверки гипотезы, фиксации реального уровня знаний, умений, навыков, развития ученика, сравнения результативности предлагаемых методик и традиционно используемых, обоснования различных утверждений. Существует несколько видов эксперимента. На этапе обоснования гипотезы используется констатирующий эксперимент, в процессе ее проверки — обучающий. Констатирующий эксперимент позволяет выявить состояние объекта исследования или проверить предположение, уточнить отдельные факты. Обучающий эксперимент (его называют и поисковым, и формирующим) проводится с целью выявить эффективность разработанной методики. Для проведения эксперимента отбирают экпериментальные и контрольные классы. В контрольных классах обучение ведется по традиционной схеме, а в экспериментальных — по разработанной исследователем. Заметим, что обучающий эксперимент может быть проведен и без контрольной группы.

В организации экперимента используются такие методы, как наблюдение за деятельностью учителя и учащихся, беседы с ними, анкетирование, качественный и количественный анализ результатов обучения. В конструировании предмета исследования используется моделирование, а гипотезы — анализ литературы по проблеме исследования. Основанием для качественного анализа результатов исследования являются контрольные работы школьников контрольных и экспериментальных групп, а количественного — результаты статистической обработки контрольных работ. Наблюдение широко используется как самостоятельный метод и как составная часть более сложного метода,

в частности эксперимента. Предположим, что исследуется проблема формирования математических понятий. Прежде всего необходимо пронаблюдать за работой учителей по формированию понятий. Наблюдению могут быть подвергнуты разные стороны этого процесса: введение понятия, работа по усвоению его определения, использование задач, формирование действий и т. д. Результаты наблюдения позволят составить мнение о работе учителя по формированию понятий. Констатирующий эксперимент выявит уровень знаний, умений школьников, субъективные и объективные причины неудач. Анализ литературы по проблеме исследования поможет исследователю оценить ее решение и найти подходы к его совершенствованию, что приведет к гипотезе исследования. Ясно, что эффективность гипотезы зависит от научной подготовки исследователя, владения им диалектикой, системным анализом и деятельностным подходом, понимания современных образовательных идей и тенденций их развития. Для оценки эффективности разработанной методики обучения используются различные статистические методы (см., например: Грабарь М. И., Краснянская К. А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях: Непараметрические методы. — М.: Педагогика, 1977; Вайнберг Дж., Шумахер Дж. Статистика.—М.: Статистика, 1979).

Вопросы и задания

1. Охарактеризуйте объект и предмет методики обучения математике.

2. Почему предмет методики обучения математике, сформулированный в учебных пособиях по методике обучения математике, не в полной мере соотносится с задачами этой научной области?

3. Какими условиями объясняется необходимость корректирования компонентного состава методической системы обучения математике, предложенной А. М. Пышкало?

4. Охарактеризуйте содержание понятий «обучение», «процесс обучения», «учебный процесс», «образование», «воспитание».

5. Назовите компоненты внешней среды методической системы обучения математике и раскройте их содержание.

6. Раскройте связь методики обучения математике с философией, педагогикой, математикой и историей математики, физиологией, информатикой.

7. Охарактеризуйте методы исследования в методике обучения математике.

8. В чем заключается сущность системного анализа?

9. В чем суть деятельностного подхода в обучении математике? Приведите конкретные примеры, иллюстрирующие применение деятельностного подхода в школьных учебниках алгебры или геометрии либо отклонение от него в изложении материала.

10. Изучите статистические методы, применяемые при обработке экспериментальных данных, используя указанную в пособии литературу.

11. Назовите составляющие методологии методики обучения математике.

Литература

1. Епишева О. Б., Крупич В. И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.

2. Загвязинский В. И. Методология и методика дидактического исследования. — М.: Педагогика, 1982.

3. Кантор И. М. Понятийно-терминологическая система педагогики: Логико-методологические проблемы. — М.: Педагогика, 1980.

4. Клайн М. Математика: Утрата определенности.—М.: Мир, 1984.

5. Крупич В. И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе.—М.: МГПИ, 1985.

6. Метельский Н. В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. — Минск: Изд-во БГУ, 1982.

7. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985.

8. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В. Я. Саннинский. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1980.

9. Петровский В. А. Личность в психологии.—Ростов-н/Д, 1996.

10. Пышкало А. М. Методические аспекты проблемы преемственности в обучении математике: Сб. статей/Сост. А. М. Пышкало. — М.: Просвещение, 1978. — С. 3.

11. Репьев В. В. Общая методика преподавания математики: Пособие для пед. ин-тов. — М.: Учпедгиз, 1958.

12. Саранцев Г. И. Методика преподавания: предмет, проблематика, связь с педагогикой//Педагогика. — 1997. — № 3. — С. 27.

13. Столяр А. А. Педагогика математики: Курс лекций.—2-е изд., перераб. и доп. — Минск: Высшая школа, 1974.

14. Теоретические основы процесса обучения в советской школе/Под ред. В. В. Краевского, И. Я. Лернера. — М.: Педагогика, 1989.

15. Успенский М. Б. Взаимодействие педагогики и методики//Педагогика. — 1994. — № 3. — С. 40.

16. Учебные стандарты школ России: Книга 2. Математика. Естественно-научные дисциплины/Под ред. В. С. Леднева, Н. Д. Никандрова, М. Н. Лазутовой. — М.: ТЦ Сфера: Прометей, 1998.

17. Формирование учебной деятельности школьников/Под ред. В. В. Давыдова, И. Ломпшера, А. К. Марковой. — М.: Педагогика, 1982.

Глава II

ЦЕЛИ И СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

1. Понятие образования. Цели образования.

2. Влияние предмета математики на цели образования.

3. Гуманизация и гуманитаризация математического образования.

4. Цели обучения математике.

5. Функции обучения математике.

6. Содержание математического образования.

7. Реформы среднего математического образования.

1. Понятие образования. Цели образования

В данное время, пожалуй, нет общепринятого определения понятия образования, хотя вряд ли мы сможем указать понятие, которое могло бы сравниться с ним по частоте использования. Одними авторами смысл образования видится в фиксации уровня усвоения культуры, другие рассматривают образование как процесс целенаправленного, педагогически организованного духовного, интеллектуального и физического развития человека, для третьих смысл образования заключается в обретении человеком своего образа, четвертые усматривают в этом феномене синтез обучения, воспитания и развития и т. д.

Приведем примеры, подтверждающие сказанное. Образование — это общественно организуемый процесс постоянной передачи предшествующими поколениями последующим социально значимого опыта, представляющий собой в онтогенетическом плане процесс становления личности в соответствии с генетической и социальной программами [19]. Образование — становление человека, обретение им себя, своего образа: неповторимой индивидуальности, духовности, творческого начала [5].

Из сказанного можно заключить, что образование — многогранное понятие, содержание которого не только трудно, но и нельзя уточнить, ибо всякие уточнения «отсекают» многие его аспекты. Понятие образования — это своеобразное неопределяемое понятие, используемое в философии, психологии, педагогической науке и практике.

Однако еще в начале XX в. Д. Д. Галанин выделил общее содержа-

ние, присущее различным лингвистическим толкованиям понятия образования, — придание воспитаннику определенного образа (образа мыслей, чувств, действий, поступков). С христианской точки зрения человек — это творец, поскольку создан по образу и подобию Бога-Творца. В стремлении открывать новое и создавать его человек реализует свою миссию. Образ человека-творца является путеводной звездой его образования, а процесс его становления составляет содержание образования. Найти, поддержать, развить человека в человеке и заложить в нем механизмы самореализации, саморазвития, адаптации, самовоспитания и другие необходимые для становления самобытного личностного образа и диалогического и безопасного взаимодействия с людьми, культурой, цивилизацией — цель образования [5].

Образование на современном этапе характеризуется усилением внимания к ученику, к его саморазвитию и самопознанию, общечеловеческим знаниям, обращенностью ученика к окружающему миру и себе, к воспитанию умения искать и находить свое место в жизни. В определении целей образования следует учитывать потребности общества и потребности личности, что проявляется в двух аспектах характеристики целей: социальном, отражающем требования общества к образованию, и личностном, заключающемся в определении целей образования с позиции становления личности. Цели современного образования — предельно полно достижимое развитие тех способностей личности, которые нужны и ей и обществу, включение ее в социально ценную активность; обеспечение возможностей эффективного самообразования за пределами институциализированных образовательных систем — таково мнение Б. М. Бим-Бада и А. В. Петровского [4, с. 3]. Ясно, что цели общества и личности связаны друг с другом сложным образом. Цели конкретной личности и общества могут быть противоречивыми, однако в общем равнодействующая соприкосновений целей, которые преследует общество и конкретный ученик, направлена в сторону их гармоничного сочетания. Максимальное раскрытие творческих способностей и их реализация являются благом и для общества, и для самого человека. Отсюда и глобальная цель образования видится в воспитании всесторонне развитой личности.

Следует заметить, что всестороннее гармоничное развитие личности провозглашалось целью образования и ранее. Однако при этом подразумевалось подведение ученика под заданный образец личности без достаточного учета и использования опыта ученика как активного творца собственного развития. Образование сводилось главным образом к овладению школьниками основами наук, а развитие представлялось через приращение знаний, умений и навыков.

В связи со сказанным заметим следующее. Сейчас часто можно прочитать о том, что знания, умения и навыки перестают быть существенным фактором в образовании ученика. Главное в содержании образования видят в удовлетворении потребностей бытия, личного существования, в предоставлении свободы и свободного выбора себя, своего мировоззрения, действий, поступков, позиции и т. п. Однако образование предполагает и формирование в сознании человека обра-

за окружающего нас мира, отражающегося в понятиях, суждениях, умозаключениях. Поэтому важнейшим условием образования человека является конструирование и усвоение им системы научных знаний. Умственное развитие, в сущности, и есть способность переосмысливать старые и генерировать новые понятия. Смысл того, что человек получил хорошее образование, заключается в том, что он не только усвоил систему понятий, суждений и умозаключений, но и овладел методологией научного поиска, стал способным к творческой деятельности и ответственности за свою работу.

Образованную личность, утверждают Б. М. Бим-Бад и А. В. Петровский, характеризуют: богатство потребностей личности, ее направленность на все более полную самореализацию в сферах труда, познания, общения, ясность и четкость понятий, которыми оперирует человек, определенность и конкретность мышления; умение обнаруживать нерешенные проблемы, ставить вопросы и выдвигать гипотезы, широта и гибкость мышления, умение видеть альтернативное решение проблем, преодолевать сложившиеся стереотипы; способность предвидеть развитие событий на основе тщательного анализа различных тенденций; высокая работоспособность и т. д. [4, с. 4—5].

Важные и оригинальные мысли о развитии целей и ценностей образования содержатся в работе В. П. Зинченко «О целях и ценностях образования» [14]. Развивая идеи В. С. Соловьева о трех основных областях жизнедеятельности человека — духовной, интеллектуальной и социальной как главных его ценностях, В. П. Зинченко отмечает, что главная ценность всей системы образования состоит в ее способности открыть, сформировать и упрочить индивидуальные ценности образования у своих питомцев. Главным в развитии образования, по его мнению, должно стать живое знание, которое он представляет как своего рода интеграл:

знание до знания (мироощущение, предзнаковые формы знания, неконцептуализируемые образы мира, бессознательные обобщения и умозаключения, житейские понятия и т. п.), т. е. «неявное» знание;

знание как таковое (формы знания, существующие в образовательных системах, в науке);

знание о знании (отрефлексированные формы знания);

знание о незнании (влекущая сила: «Я знаю только то, что ничего не знаю»).

Полагаю, можно утверждать, что образование и есть трансформация готового, устоявшегося знания в живое знание. Легко заметить, что сущность феномена «образованный человек» и формируется в процессе этой трансформации.

Математическое образование предполагает не только развитие личности средствами математики, как часто подчеркивают методисты, но и овладение системой знаний, дающей представление о предмете математики, методах математического исследования, основных понятиях, способах обоснования математических фактов, применении математики в исследовании явлений природы и общества.

Уже прописными стали утверждения о том, что математика является языком науки и техники, с ее помощью моделируются, изучаются и прогнозируются многие явления и процессы, происходящие в обществе и природе. Огромно значение математического образования для формирования духовной сферы человека, интеллектуальных и морально-этических компонентов человеческой личности. Осознание взаимосвязи реального и идеального, происхождения математических абстракций из практики, характера отражения математической наукой окружающего мира, роли математического моделирования в научном познании и в практике способствует формированию научного мировоззрения.

Изучение математики вносит заметный вклад в умственное развитие человека. В процессе обучения в арсенал приемов и методов мышления естественным образом включается анализ и синтез, индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умение формировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Математике принадлежит ведущая роль в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе изучения математики систематически и последовательно формируются навыки умственного труда — планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическая оценка результатов.

Обучение математике способствует становлению и развитию нравственных черт личности — настойчивости и целеустремленности, познавательной активности и самостоятельности, дисциплины и критичности мышления, способности аргументированно отстаивать свои взгляды и убеждения. Изучение математики вносит определенный вклад в эстетическое воспитание человека, формируя понимание красоты и изящества математических утверждений, способствуя восприятию геометрических форм, освоению идеи симметрии. Изучение математики развивает воображение и пространственные представления.

Учитывая роль математического образования, авторы учебных стандартов так формулируют основные цели обучения математике в школе:

— овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

— интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценного функционирования в обществе, формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;

— формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для общественного прогресса.

Лишь обзор перечисленных задач вызывает множество вопросов:

почему изучение идей и методов математики ограничено представлениями? Какие знания необходимы члену общества в его практической деятельности? Что значит полноценно функционировать в обществе? Какие идеи и методы математики являются приоритетными в обучении? И т. д. Ответы на эти и другие вопросы нельзя понять вне рассмотрения предмета математики.

2. Влияние предмета математики на цели образования

Много лет взгляд на математику разделялся с мнением, высказанным Ф. Энгельсом в его работе «Анти-Дюринг»: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал» (Маркс К., Энгельс Ф. Соч. — 2-е изд. — М., 1961. — Т. 20. — С. 37).

Указанное представление о математике определяло и соответствующее ему содержание школьного математического образования, основу которого составляли понятия числа, уравнения, неравенства, геометрические фигуры, элементы комбинаторики.

Определение математики было дано Ф. Энгельсом более ста лет назад. Ясно, что математика все это время бурно развивалась, коренным образом менялись ее понятия и методы. В конце XIX в. возникла новая область математики — теория множеств, которая вместе с аксиоматическим методом дала общие приемы определений понятий математики. Согласно теоретико-множественной точке зрения всякий предмет математики есть структура, т. е. множество каких-либо объектов с теми или иными отношениями между ними и его подмножествами.

Н. Бурбаки выделили три типа фундаментальных структур (порядковые, алгебраические и топологические), комбинациями которых являются любые математические структуры. Идеи Н. Бурбаки оказали значительное влияние на психологическую и методическую науки. Ж. Пиаже, исследуя умственное становление ребенка, показал, что каждому типу фундаментальных математических структур соответствует тип умственной структуры, т. е., например, порядковой структуре соответствует умственная порядковая структура и т. д. Математическое мышление, по Пиаже, и есть комбинация умственных фундаментальных структур.

В данном контексте считалось, что условием развития математического мышления школьников является обучение их курсу математики, построенному на наиболее общих и абстрактных понятиях, к которым, прежде всего, относятся элементы теории множеств и математической логики. Это положение и было взято за основу создания нового поколения школьных учебников математики. Отметим, что им были свойственны не только отрицательные нюансы (именно их чаще всего подчеркивали и подчеркивают критики), они обладали и рядом положительных характеристик. Школьные учебники алгебры и

геометрии, написанные в духе аксиоматического метода и теоретико-множественного подхода, оказались трудными для учащихся. Школа вновь перешла на учебники, идеология которых мало отличалась от идеологии учебников 50—60-х гг., а конкретное их исполнение уступало и уступает ранее действовавшим школьным учебникам. Заметим, что причина отрицательных результатов осуществляемой в 70-х гг. реформы среднего математического образования заключалась не только в учебниках. Неудача была обусловлена игнорированием авторами реформы положения о том, что изначально математику связывали с изучением количественных отношений и пространственных форм. Основной целью обучения математике в начальной школе является усвоение арифметических действий с натуральными числами, между тем учебники математики I—V классов были заполнены материалом, изучение которого готовило школьников к усвоению элементов теории множеств, логики и аксиоматического метода. «Перескок» через этап начального представления о математике нарушил естественную логику развития математического мышления.

Идея формализации математики получает дальнейшее развитие в связи с распространением понятия категории. Согласно «категориальным» представлениям, предметом исследования математики служат разнообразные категории абстрактных объектов, начиная с чисел и простейших геометрических фигур и кончая алгебраическими структурами, функционалами и операторами, топологическими и другими абстрактными пространствами. (Подробнее об этом можно прочитать в книге: Рузавин Г. И. Математизация научного познания. — М.: Мысль, 1984.)

Однако наряду со все усиливающейся формализацией математики осуществляется и обратный процесс сближения ее с окружающим миром. В математику начинает проникать человеческое измерение научного знания, содержание многих математических концепций выводится за рамки их логической формы и наполняется эвристической деятельностью. Этими идеями пронизаны работы Д. Пойа, Г. Фройденталя, М. Клайна и др. Естественно, новые представления нашли отражение во взглядах на предмет математики.

По мнению многих крупных ученых (В. И. Арнольд, Л. Д. Кудрявцев, М. М. Постников и др.), предметом математики являются модели. Так, Л. Д. Кудрявцев отмечает, что математика — это область человеческого знания, в которой изучаются математические модели, математическая модель рассматривается как логическая структура, у которой описан ряд отношений между ее элементами [18]. Несколько иная точка зрения на предмет математики высказана М. М. Постниковым. В статье «Является ли математика наукой?» [24] он указывает, что среди моделей, рассматриваемых в разных науках, обнаруживаются группы сходных моделей, что позволяет результаты, полученные в одной модели, применять в другой. Схожесть моделей обусловлена наличием общей схемы, т. е. схожими являются модели, которые основываются на одной и той же схеме. Математика — наука, изучающая все возможные — хотя бы мысленно — схемы, их взаимо-

связи, методы их конструирования, иерархии схем (схемы схем) и т. д. и т. п. По мнению М. М. Постникова, математика — наука о схемах моделей окружающего мира. Примером схем моделей служат математические понятия. Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами — схема всех моделей колебательного движения, в какой бы конкретной ситуации они ни возникали. Новые представления о предмете математики будут обусловливать содержание очередного поколения школьных учебников. В них должны быть отражены такие виды математической деятельности, как: 1) создание и разработка новых схем моделей и их вариантов; 2) создание моделей по известным схемам; 3) приложения уже разработанных схем к проблемам практики. Естественно, все эти направления должны быть реализованы в курсе математики средней школы на доступном школьникам уровне. В связи со сказанным актуально изучение функций, уравнений, неравенств, величин, наиболее важных геометрических моделей, доступных школьникам и имеющих большие содержательные возможности для приобщения их к творческой деятельности, элементов математического анализа, использование которых связано с практическими приложениями, элементов логики, теории вероятностей и статистики, аксиоматического метода. В методологическом плане аксиоматика, например, трехмерного евклидова пространства в школьном курсе выступает не как основа строго формализованной теории, а как совокупность характеристических свойств математической модели реального пространства.

Основной целью математического образования, отмечает В. И. Арнольд, должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира. Искусство составлять и исследовать мягкие математические модели является важнейшей составной частью этого умения [2]. Значительное место в школьном математическом образовании должны занять практическая направленность учебного материала, его приложения, мотивация познания школьника, и в частности мотивация содержанием обучения, эвристическая составляющая математической деятельности. Учебники математики должны формировать способность учащихся мыслить, думать, понимать окружающее так, как это присуще математикам.

3. Гуманизация и гуманитаризация математического образования

Цели обучения математике обусловлены и феноменами гуманизации и гуманитаризации образования, получившими в настоящее время широкое распространение. Надо сказать, что зачастую понятия гуманизации и гуманитаризации образования трактуются произвольно. Одними авторами они отождествляются, другими гуманизация образования относится к вопросам его организации — управления, обучения, воспитания, а гуманитаризация — к процессу обучения, третьи рассматривают гуманитаризацию как средство гуманизации образования. Ряд исследователей видят смысл гуманитаризации в усилении влияния дисциплин гуманитарного цикла,

в сокращении числа часов на изучение естественно-математических предметов.

Слово «гуманизм» происходит от латинского humanus — человечный. Гуманизация образования предполагает «очеловечивание» знания, т. е. такую организацию учебного процесса, при которой знания имели бы для ученика личностный смысл, сам ученик не «терялся бы» в процессе его обучения. В традиционном обучении учитель зачастую видел перед собой содержание учебника, забывая об ученике, о необходимости усвоения им этого содержания. Важными условиями гуманизации образования являются усиление мотивации и дифференциации обучения. Поэтому актуальность проблем мотивации и дифференциации обучения сильно возросла. К явлениям гуманизации образования следует отнести появление различных типов школ, классов с углубленным изучением математики.

Термин «humanitas», от которого и произошло слово «гуманитарный», использовался, оказывается, еще до нашей эры. Некоторые исследователи относят первое его употребление к середине II в. до н. э. Он встречался в следующих значениях: 1) как «образование», «образованность», «просвещение»; 2) как «интеллектуальная» доблесть человека; 3) как добродетель, доброе расположение человека к окружающим его людям; 4) как человеческий образ жизни, форма цивилизованного человеческого общежития; 5) как собственно философская категория, раскрывающая саму человеческую сущность, «человечность» в человеке.

По-видимому, такая изначальная многозначность феномена гуманитаризации и породила ряд точек зрения на содержание понятия гуманитаризации образования вообще и, в частности, математического. Одна из них и связывает его смысл с увеличением в учебных планах числа часов на изучение гуманитарных дисциплин. Сторонники другого взгляда на гуманитаризацию образования утверждают суть этого направления в приобщении школьников к духовной культуре, творческой деятельности, вооружении их методами научного поиска, среди которых особую роль играют эвристические приемы и методы научного познания. Авторы следующей точки зрения считают формой гуманитаризации идею приоритета развивающей функции обучения математике. Ее реализацию они видят в ориентации обучения «не столько на образование, сколько на образование с помощью математики».

Ряд исследователей видят гуманитаризацию образования в сближении содержания образования с историей развития науки, включении в учебники вопросов возникновения и развития понятий, методов, биографий ученых и т. п. Есть предложения связывать смысл гуманитаризации математического образования с современным значением латинского термина «humanitas» — человеческая природа, духовная культура. В данном контексте сущность гуманитаризации математического образования заключается в приобщении ученика к духовной культуре, творческой деятельности, в вооружении школьников методами научного поиска. Гуманитаризация образования призвана создать условия,

побуждающие ученика к активной творческой деятельности и обеспечивающие его участие в ней.

Некоторые авторы акцент в трактовке гуманитаризации делают на человеческой природе, связывая гуманитаризацию образования с усвоением школьниками гуманитарного знания. Последнее понимается как человекознание, преодолевающее одностороннее изучение индивида только как природного, биологического существа, или только как носителя некоей социальной функции, или только как хранителя культурной информации. Гуманитарное знание призвано «схватывать» человека в его целостности. Отдельные сторонники этого направления соотносят гуманитарное знание с изучением предметов гуманитарного цикла, другие рассматривают гуманитаризацию знания в выявлении гуманитарного начала, имеющегося имплицитно во всякой науке. Как известно, в научных теориях выражают не только объектированные рассуждения, но и сам ход интуитивного поиска, и исходные методологические предпосылки. Гуманитаризировать образование значит сделать его личностно ориентированным, субъективно значимым для каждого человека. Такие суждения распространяются не только на гуманитарные, но и на другие учебные предметы. Реализацию такого подхода видят в трансформации учебных предметов так, чтобы отразить присущее им «человеческое измерение». Как видим, «человеческое измерение» науки разные авторы интерпретируют усилением внимания либо к методологии научного поиска, отражению в содержании учебных предметов основ творческой деятельности, либо к истории науки и т. д.

Итак, существуют разные мнения о гуманитаризации образования, однако их можно объединить в две группы. Сторонники первой связывают гуманитаризацию с увеличением числа часов на изучение предметов гуманитарного цикла, сторонники второй группы видят в гуманитаризации один из принципов реформирования сферы образования, реализуемый посредством личностно ориентированной направленности образования, усиления в нем мотивационной сферы и творческого начала, ориентации на общечеловеческие личности.

Известно, что образование есть сфера функционирования знания, науки, и те процессы, которые характерны для ее развития, отражаются в сфере образования. Как уже было отмечено, вторая половина прошлого столетия ознаменовалась выходом математики из логической формы и проникновением в нее деятельностной природы математического познания.

Отражение сущности математического знания в образовании должно охватывать не только и не столько процессуальную сторону обучения, сколько содержательную. Оно предполагает выстраивание деятельности, адекватной понятиям, теоремам и составляемой мотивационной сферой, различного рода действиями, способами деятельности, эвристиками, контролем и самоконтролем. Например, гуманитаризация математического образования предполагает внесение корректив в содержание образования. Если с содержанием традиционно связывают совокупность аксиом, определений и теорем, то деятель-

ностная основа содержания ориентирует на отражение в нем действий, адекватных понятиям, теоремам, способов деятельности и эвристик. Последние должны быть «равноправны» с предметными знаниями. Эвристики наряду с учебным материалом должны быть указаны и в программах по математике. Гуманитаризация математического образования, понимаемая в смысле отражения в нем деятельностной природы знания, не противоречит представлению о ней как о приобщении учащихся к духовной культуре, творчеству. Последнее является лишь отдельной стороной обсуждаемого феномена.

Основное пространство понимания, взаимопонимания, общения, сотрудничества учителя и учащихся заключено в уроке. Поэтому гуманизация и гуманитаризация образования предполагают изменение в отношениях между учителем и учеником, вовлечение школьников в анализ, отбор и конструирование содержания образования, переход от монолога к диалогу, от управления к самоуправлению. Основной задачей педагога становится общение, взаимопонимание с учениками, сотрудничество, творчество.

Требование гуманизации и гуманитаризации образования не предполагает снижения научного уровня содержания образования, отказа от систематических курсов, а, наоборот, требует усиления внимания к методологическим аспектам математики и методологии научного поиска, важнейшими составляющими которых являются: предмет и метод математики, ее ведущие идеи и понятия, математический язык, связь с другими науками и практикой, математическое моделирование; процесс познания в математике; специфика творческой математической деятельности; методы научного познания; культура мышления, стиль научного мышления; история математики.

4. Цели обучения математике

Феномены гуманизации и гуманитаризации образования, понимание предмета математики вносят коррективы в функционирование методической системы обучения математике в средней школе. Прежде всего это влияние сказывается на целях обучения математике — лидирующем компоненте системы. В дидактике существует мнение, что содержание обучения является педагогической интерпретацией целей обучения.

В методической литературе уже много лет идут дискуссии по вопросам приоритета в паре «цели обучения — содержание» и корректности описания целей. Все недоумения, возникающие при этом, объясняются тем, что в анализе взаимодействия целей и содержания обучения есть несколько уровней: 1) уровень теоретического представления математического образования; 2) уровень учебного предмета математики; 3) уровень учебных материалов; 4) уровень реального учебного процесса. На первом уровне цели обучения могут быть сформулированы в достаточно общем виде, на этом уровне они определяют предметное содержание обучения. Кстати, отмеченное выше

представление о содержании как дидактической модели целей обучения, справедливо для этого уровня анализа. Однако после того как содержание учебного предмета сконструировано и написан учебник, приоритетным во взаимодействии целей и содержания обучения математике становится содержание, и оно обусловливает цели обучения. Другими словами, цели и содержание обучения находятся в диалектической связи, в зависимости от уровня анализа акцент в приоритете делается либо на целях, либо на содержании обучения. Цели обучения, сформулированные на первом, наиболее общем, уровне отображаются в специальные знания, умения, эвристики. Дальнейшая конкретизация целей обучения осуществляется уже в процессе подготовки учителя к уроку и обусловлена особенностями учебного материала.

Как правило, в большинстве учебных пособий по методике преподавания математики выделяют три группы целей обучения: общеобразовательные, воспитательные и практические. Общеобразовательные цели обычно описывают так: передать учащимся определенную систему математических знаний, умений и навыков; помочь учащимся овладеть минимумом математических сведений, нужных для того, чтобы применять имеющиеся у них знания, навыки и умения для активной познавательной деятельности в процессе обучения и самообразования или овладеть определенным объемом математических знаний, умений и навыков и т. д. Указанные формулировки вызывают ряд вопросов: как определять систему знаний, умений и навыков? В чем суть определенного объема математических знаний? Каков минимум математических сведений? Такая же неопределенность целей обучения присуща и официальным документам. Так, например, стандарт среднего математического образования фиксирует такие цели обучения математике: овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования; интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценного функционирования в обществе, и т. д. Такая редакция целей обучения позволяет субъективно истолковывать феномены полноценного функционирования человека в обществе, объема конкретных знаний и, как следствие, содержание обучения.

Следуя традиции, выделим три группы целей, соотнеся их с общеобразовательными, воспитательными и практическими функциями целей.

Первая группа целей включает: овладение системой математических знаний, умений и навыков, дающей представление о предмете математики, ее языке и символике, математическом моделировании, специальных математических приемах, об алгоритме и периодах развития математики; овладение основными общенаучными методами познания и специальными эвристиками, используемыми в математике.

Вторую группу целей обучения составляют: формирование мировоззрения учащихся, логической и эвристической составляющих мышления, алгоритмического мышления; воспитание нравственности,

культуры общения, самостоятельности, активности; эстетическое воспитание школьников, воспитание трудолюбия, ответственности за принятие решений, стремления к самореализации.

Ясно, что каждая из целей этой группы может быть представлена более конкретно. Например, логическая составляющая мышления включает понимание структуры определения понятия, умение оперировать определением (выяснять принадлежность объекта понятию, выводить следствия из факта принадлежности к понятию, используя определение, конструировать объекты, относящиеся к объему понятия), умение классифицировать понятия, умение конструировать новые понятия, понимание логической структуры теоремы, понимание сущности доказательства, владение приемами опровержения предложенных обоснований и т. д. Конкретизация отдельных составляющих целей обучения важна для построения совокупностей целей урока, адекватных предметному содержанию учебного материала. Трансформация целей обучения математике в действия позволит осуществлять диагностику и управление процессом усвоения знаний, умений школьников, их развитием и воспитанием.

К практическим целям обучения математике отнесем: формирование умений строить математические модели простейших реальных явлений, исследовать явления по заданным моделям, конструировать приложения моделей; ознакомление с ролью математики в научно-техническом прогрессе, современном производстве.

Перечисленные цели обучения математике отражают первый уровень анализа целей, т. е. уровень теоретического представления математического образования. (Перечисленные цели обучения можно считать целями математического образования.) Они составляют основу отбора содержания, адекватного им. Оно охватывает линии расширения понятия числа, уравнений и неравенств, функций, элементов математического анализа, элементов теории вероятностей и статистики, приложений математики, геометрических преобразований, векторов, координат, элементов математической логики, аксиоматического метода. В содержание математического образования, кроме предметных знаний, должны быть включены действия, адекватные математическим понятиям, теоремам, общенаучные методы познания, а также специальные эвристические приемы и различные эвристики.

На уровне учебного предмета цели обучения математике будут почти совпадать с перечисленными целями математического образования. Первая группа целей обучения будет заключаться в обеспечении овладением системой математических знаний и способов деятельности, эвристик, методов, составляющих содержание математического образования. Вторая и третья группы целей обучения совпадают с соответствующими целями математического образования. Возможно все эти цели представить и в более конкретной форме, разложив способы деятельности на составляющие. На уровне учебника математики цели обучения соотносятся со спецификой курса и задаются в форме знаний, умений или в какой-либо другой форме. Так, например, программа по математике для образовательных учреждений фиксирует следующие

цели изучения курса геометрии в VII—IX классах: систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин и курса стереометрии в старших классах. На уровне учебника цели обучения формулируются с учетом содержания учебного материала, а также требований к подготовке учащихся, определяемых стандартом среднего математического образования. На уровне реального учебного процесса цели обучения формулируются уже с учетом особенностей учащихся класса, возможностей дифференциации обучения.

Известны различные способы постановки целей обучения: 1) определение целей через изучаемое содержание (об этом речь шла выше); 2) определение целей через деятельность учителя; 3) постановка целей через внутренние процессы интеллектуального, эмоционального, личностного развития ученика; 4) постановка целей через учебную деятельность учащихся [17]. Наиболее популярной является система учебных целей, разработанная Б. Блумом. В технологии Б. Блума выделяется шесть уровней изучения учебного материала: знание, понимание, применение, анализ, синтез, оценка.

Категория знание обозначает запоминание и воспроизведение изученного материала. Показателем способности понимать может служить преобразование материала из одной формы выражения в другую, «перевод» его с одного языка на другой (например, из словесной формы в математическую). В качестве показателя понимания может также выступать интерпретация материала учеником (объяснение, краткое изложение) или предположение о дальнейшем ходе явлений, событий, предсказание последствий, результатов. Категория применение обозначает умение использовать изученный материал в конкретных условиях и новых ситуациях. Категория анализ обозначает умение разбить материал на составляющие так, чтобы ясно выступала его структура. Сюда относится вычленение частей целого, выявление взаимосвязей между ними, осознание принципов организации целого. Учебные результаты характеризуются при этом более высоким интеллектуальным уровнем, чем понимание и применение, поскольку требуют осознания как содержания учебного материала, так и его внутреннего строения. Категорией синтез обозначается умение комбинировать элементы, чтобы получить целое, обладающее новизной. Таким новым продуктом может быть план действий или совокупность обобщенных связей. Соответствующие учебные результаты могут быть получены в процессе деятельности творческого характера с акцентом на создание новых схем и структур. Категория оценка обозначает умение оценивать значение того или иного материала для конкретной цели. Суждения ученика должны основываться на четких критериях, которые могут определяться самим учеником или задаваться извне.

По системе учебных целей Б. Блума можно высказать следующие суждения:

1) содержание уровней усвоения учебного материала не адекватно сложившимся в нашей методике обучения математике представлениям

о них (сравните «знание» в понимании Б. Блума, в понимании В. П. Зинченко и нашем);

2) цели обучения трансформированы в учебные действия, которые определяют уровни усвоения учебного материала;

3) параметры системы Б. Блума в основном ориентированы на знания (в понимании автора). Возникает вопрос: как измерять развитие ученика? Теория Б. Блума не дает ответа на этот вопрос. Пожалуй, слабым местом всех перечисленных способов постановки целей обучения является диагностика развития и воспитанности ученика.

Для того чтобы обеспечить достижение целей обучения математике, обучение должно иметь определенные функции.

5. Функции обучения математике

Обучение, реализующее перечисленные цели математического образования, должно выполнять ряд функций.

1. Образовательная функция. Она заключается в таком конструировании процесса обучения, который способствовал бы становлению человека как субъекта активности в единстве четырех ипостасей: вхождение в мир природы, в рукотворный мир, приобщение к миру значимых других, возникновение самосознания человека (В. А. Петровский). Последнее предполагает овладение школьниками системой математических знаний, дающей представление о предмете математики, ее методах и приложениях. Рассматриваемая функция обучения фиксирует необходимость выделения понятий, осуществляемых взаимосвязь с другими науками, важность формирования определенной системы взглядов на окружающий мир, умения решать задачи с прикладной направленностью. Как видим, образовательная функция во многом обусловливает развитие мировоззрения школьников, которое представляет сплав знаний, умений и убеждений. Следует отметить и ориентацию процесса обучения на приобщение школьников к творческой деятельности, развитие математических способностей учащихся. Реализация этой функции предполагает знакомство школьников с методологией научного поиска, методами познания, эвристиками.

Творчество как особый вид деятельности предполагает: положительную мотивационную активность; направленность и целеустремленность; высокий уровень интеллектуального развития; оригинальное мышление; богатое воображение и фантазию; высокую самостоятельность, способность к постановке новых проблем; наличие адекватного уровня самооценки, самоорганизации (Я. А. Пономарев).

2. Воспитательная функция. Говоря словами В. А. Петровского, суть этой функции заключается в приобщении учащихся к ценностям постижения, действования и переживания. Последнее соотносится с формированием мировоззрения, мышления, представлением о математике как части общечеловеческой культуры, пониманием характера отражения математикой окружающего мира. Реализация воспитательной

функции обучения предполагает его ориентацию на формирование интеллектуальных и морально-этических компонентов личности, качеств мышления, характерных для математической деятельности. Ученые предлагают различные характеристики математического мышления. Так, известный математик и педагог А. Я. Хинчин выделяет следующие признаки математического мышления: 1) доминирование логической схемы рассуждения; 2) лаконизм мышления: предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения; 3) четкая расчлененность хода рассуждения; 4) точность символики. Основным определяющим признаком культуры математического мышления он считал полноценность аргументации.

Полноценность аргументации предполагает: 1) освоение учеником идеи доказательства; 2) умение пользоваться определениями понятий (осознавать их логическую структуру, уметь выполнять действия подведения под понятие и выведение следствий); 3) умение работать с теоремами (понимать логическое строение теоремы, сущность прямой и обратной теоремы и т. д.); 4) владение общими логическими методами доказательства: аналитическим, синтетическим, методом от противного, полной индукцией, математической индукцией; 5) владение частными методами и приемами, характерными для той или иной темы. Воспитание культуры мысли А. Я. Хинчин связывает и с осознанием сущности эвристических методов науки. Школьники должны понимать, что обобщения, основанные на аналогии, неполной индукции, требуют аргументированного доказательства. Выполнение полноты дизъюнкции в рассуждениях, рассмотрение всех возможных случаев изучаемой ситуации являются необходимой принадлежностью всякого правильного мышления, а не только математического.

К воспитательной функции относится формирование интереса к изучению математики, развитие устойчивой мотивации к учебной деятельности, волевых усилий.

Воспитание предполагает не столько формирование человека по установленным меркам и стандартам (хотя и это должно иметь место), сколько умение выявить способности человека к творчеству и вывести его на дорогу созидания.

3. Развивающая функция. Она заключается в формировании у учащихся познавательных психических процессов и свойств личности: внимания, памяти, мышления, познавательной активности и самостоятельности, способностей. К развивающей функции обучения относится формирование логических приемов мыслительной деятельности (анализа, синтеза, обобщения, абстрагирования и т. п.), общеучебных приемов. Развивающая функция предполагает ориентацию на выявление и реализацию в процессе обучения потенциальных возможностей математики как науки, в частности связанных со спецификой творческой математической деятельности. Именно специфика связи математики с действительностью, специфика математической аргументации, языка, история математики определяют духовное и интеллектуальное становление и развитие личности.

Общеизвестно, что творчество базируется на определенной системе знаний, умений и навыков. Между тем авторы различных методических работ, справедливо подчеркивая роль развивающей функции обучения, часто принижают значимость знаний, умений и навыков. Во многих статьях, посвященных проблеме целей обучения, даже не используются термины «знания», «умения», «навыки». Такая позиция является ошибочной. Если мы хотим, чтобы обучение было развивающим, подчеркивал известный психолог Д. Б. Эльконин, то должны позаботиться о том, чтобы дети усваивали систему научных знаний и способы их получения. Данное замечание весьма важно. Дело в том, что с понятием развития возникают разные ассоциации. До недавнего времени развитие ученика связывали с приращением объема знаний. Под знанием понимали и многие продолжают понимать информацию, усвоение которой сводится к запоминанию фактов и их воспроизведению. Естественно, позитивная роль такого знания подвергалась сомнению. Это вызвало изменение и во взгляде на понятие «развитие», в содержании которого акцент теперь смещается на познавательные процессы. Роль знаний начинает снижаться, и на первое место выдвигается развивающая функция обучения.

Обосновать это явление пытаются противопоставлением двух взаимосвязанных и взаимообусловленных аспектов: собственно математического образования и образования посредством математики. Первый из них, по мнению авторов указанного утверждения, реализуется информационной функцией обучения, второй — развивающей. Поскольку развитие ученика соотносят главным образом с формированием познавательных психических процессов, отрывая его от содержания собственно математического образования, то, по их мнению, развитие возможно осуществить на небольшом объеме учебного материала. Это приводит к тому, что отвергается необходимость систематических учебных курсов алгебры и геометрии. Такой вывод обусловлен не только ложностью постулата, но и устаревшей точкой зрения на содержание знания.

Деятельностная природа знаний вновь возвращает приоритет знаниям, отрицая примитивное толкование развития, не ориентирующее на обучение системе понятий, теорем. Усвоение знаний, воплощающих деятельность и ее результат, напрямую связано с развитием ученика. Оно опирается на овладение различными действиями, на разные уровни мотивации и волевых усилий, а переход от действий простых к более сложным, от уровней низких к более высоким и определяет развитие. Декларируемые качества знаний (гибкость, широта, полнота, оперативность и т. д.), плохо соотносящиеся с готовыми знаниями, становятся в деятельностном контексте их атрибутами.

Развивающее обучение, несомненно, должно учитывать индивидуальные особенности ученика, проявляющиеся в его мотивах, волевых усилиях и способностях усваивать учебный материал. Продвижение ученика от элементарного состояния, характеризуемого тем, что все три компонента личности находятся на самых низких уровнях, к самому сложному, символизирующему устойчивые познавательные моти-

вы, волевые проявления и способность к творческой деятельности, может осуществляться по одному из трех направлений. Первый характеризуется лидирующим изменением мотивационного компонента, второй — содержательно-операционного, третий — волевого.

4. Эвристическая функция. Она предполагает создание учителем условий в процессе обучения, обеспечивающих развитие способностей ребенка. Важное значение имеет то, насколько среда, создаваемая учителем на уроке и вне его, благоприятна для развития личности, как она обеспечивает самореализацию его личностного потенциала и побуждает к поиску собственных результатов в обучении. Анализ задачного материала школьных учебников показывает, что, даже находясь в рамках имеющихся в учебнике задач, путем изменения последовательности их расположения можно добиться большей эффективности в обучении. К эвристической функции обучения отнесем обеспечение усвоения разного рода эвристик, эвристических приемов, методов познания и овладения умениями применять их в различных конкретных ситуациях.

5. Прогностическая функция. Эта функция обучения математике обусловлена во многом усилением эвристической и развивающей функций, которые предусматривают включение школьника в процесс открытия фактов, их обоснования, анализа различных способов аргументации. Формирование у школьников прогностических умений значительно сократит область поиска способов решения задач, позволит осмысленно выбирать наиболее рациональные из них. Умение обнаруживать нерешенные проблемы, выдвигать гипотезы, широта и гибкость мышления, умение видеть альтернативное решение проблем и многие другие характеристики образованного человека не могут быть сформированы в обучении, которому не свойственна прогностическая функция.

6. Эстетическая функция. Математика обладает значительным эстетическим потенциалом, который должен использоваться для приобщения школьников к красоте, воспитания у них эстетических вкусов и переживаний. Известный психолог Р. Х. Шакуров, исследуя проблему красоты, высказал гипотезу: красивы те черты лица, которые при зрительном восприятии укладываются в их обобщенный образ, сформировавшийся в нашей голове в ходе общения с людьми. Перенос данного суждения на математический объект приводит к выводу о том, что наиболее привлекательным будет тот объект, представление о котором соответствует сформировавшемуся образу этого объекта. Данный вывод совпадает с математической моделью эстетической привлекательности математического объекта, предложенной Г. Биркгофом: M = O/C, где M — мера красоты, О — мера порядка, а С — мера усилий для понимания сути объекта (Биркгоф Г. Математика и психология. — М., 1977). В случае затраты минимума усилий, а это возможно, когда восприятие укладывается в обобщенный образ, мера красоты возрас-

тает пропорционально меры порядка. Отсюда следует, что для ученика красивыми будут те математические объекты, восприятие которых сопряжено с наименьшими его усилиями. По мнению многих исследователей творчества в области математики, именно эстетический фактор ориентирует исследователя на выбор наиболее оптимального пути из бесчисленных альтернативных направлений научного поиска. Ж. Адамар, К. Гаусс, Г. Вейль, Р. Курант, О. Коши, К. Вейерштрасс и многие другие выдающиеся математики видели «эстетический компонент» математики в склонности к обобщению и абстракции, направленности на визуализацию аналитических объектов, стремлении к унификации или преломлению тех или иных математических фактов и закономерностей в других математических разделах и дисциплинах, склонности к минимально возможной субъективной сложности, требуемой для достижения того или иного результата, потребности в полной логической обоснованности и доказательности. Перечисленные характеристики «эстетического компонента» математической деятельности должны быть учтены при конструировании содержания математического образования и организации обучения математике. Учебный материал должен быть эстетически оформлен, изложен логически последовательно, системно и привлекательно. Изложение материала должно быть образным и четким.

Практическая функция. Ее суть видится в ориентации обучения на решение задач, на формирование умения математически исследовать явления реального мира, на практическую направленность учебного материала. Изначальным стимулом развития математического знания является потребность в решении конкретных практических задач. Движение вперед в области математики обусловлено возникновением потребностей, в большей или меньшей мере носящих практический характер. Но, раз возникшее, оно неизбежно приобретает внутренний размах и выходит за рамки непосредственной полезности, отмечает Р. Курант.

Контрольно-оценочная функция. Ее смысл заключается в необходимости осуществления контроля, коррекции и оценки знаний и умений школьников. Методика обучения математике ищет новые формы контроля за усвоением учебного материала. Наряду с традиционным опросом учащихся, уроками-зачетами, уроками коррекции знаний и т. д. используется тестирование учащихся. В данное время достаточно основательно разработаны методики формирования математических понятий, обучения теоремам, решения задач, что позволяет осуществлять систематическое диагностирование математической подготовки учащихся. Организация обучения математике должна обеспечить реализацию ее контрольно-оценочной функции.

Информационная функция. Она заключается в том, что в процессе обучения ученик знакомится с историей возникновения математических идей, их развитием, биографией ученых, разными точками зрения на те или иные концепции, борьбой ученых за утверждение своих взглядов. В процессе обучения ученик знакомится с различными при-

ложениями математики, некоторыми новыми открытиями в области математики.

Корректирующая функция. Она заключается в корректировании информации, получаемой учащимися. Ученик получает информацию из многих источников (учитель, книги, телевидение и т. д.). Значение и сущность информации, полученной из различных источников, может быть различной. Зная конкретные ситуации, учитель должен откорректировать информацию и помочь ученику разобраться в ней и правильно ее оценить.

Интегрирующая функция. Ее сущность заключается в формировании системности знаний, в понимании взаимосвязи между изучаемыми понятиями, теоремами, способами деятельности, методами, в иерархии между отдельными видами знаний, в умении применять различные методы в решении задач, в выделении межпредметных связей, в понимании роли математики в науке, технике и жизнедеятельности общества.

Все функции обучения математике взаимосвязаны. Например, интегрирующая функция тесно связана с образовательной и наоборот. Развивающая функция не может быть реализована вне эвристической функции, в свою очередь, эвристическая функция обусловлена необходимостью развития ученика. Вряд ли можно считать нормальной ситуацию, когда ученик, изучив линейную функцию и арифметическую прогрессию, не видит в арифметической прогрессии линейную функцию, заданную на множестве натуральных чисел. Обучение математике, реализуя свои функции, обеспечивает достижение всех целей обучения.

6. Содержание математического образования

Общепризнанным является то, что содержание образования включает:

1) систему знаний о природе, обществе, мышлении, технике, способах деятельности, усвоение которых обеспечивает формирование в сознании учащихся верной картины мира, вооружает правильным методологическим подходом к познавательной и практической деятельности;

2) систему общих интеллектуальных и практических навыков и умений, являющихся основой множества конкретных деятельностей и обеспечивающих способность молодого поколения к сохранению культуры;

3) опыт творческой деятельности, ее основные черты, которые постепенно были накоплены человечеством в процессе развития общественно-практической деятельности, опыт, обеспечивающий способность к дальнейшему развитию культуры;

4) опыт эмоционально-волевого отношения к миру, друг к другу, являющийся вместе со знаниями и умениями условием убеждений и идеалов, формирования у личности системы ценностей [10, с. 102—103].

Есть и иные точки зрения на содержание образования. Так, М. И. Махмутов включает в это понятие систему научных знаний и связанных с ней способов деятельности и отношений [21, с. 36]. В. С. Леднев, исследуя соответствие между базисными видами деятельности человека и опытом личности, пришел к выводу, что базисную структуру содержания общего образования составляет содержание опыта личности (направленность, познавательные качества, созидательные качества (трудовые), коммуникативные качества, эстетические и физические качества) в отношении осуществления инвариантных видов деятельности (познавательной, преобразовательной, ценностноориентированной, коммуникативной, эстетической и физической). По В. С. Ледневу, структура образования включает и предметную структуру научного знания, и структуру деятельности, и структуру личности, и логику формирования личности. В содержании общего образования должны быть представлены как в явном виде, так и имплицитно (в качестве «сквозных» включений) все его базисные компоненты, обеспечивающие физическое, нравственное, эстетическое, коммуникативное, умственное и трудовое образование [19].

Следует отметить, что методисты обычно под содержанием образования понимают совокупность математических фактов (понятий, теорем). В подтверждение этого тезиса сошлюсь на учебное пособие «Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика» [22]. Авторы пишут: содержание школьного математического образования, несмотря на происходящие в нем изменения, в течение длительного времени сохраняет свое основное ядро... «Ядро» современной программы по математике составляют: 1. Числовые системы. 2. Величины. 3. Уравнения и неравенства... О способах деятельности, об опыте творческой деятельности, об отношениях нет ни слова.

Рассмотрим, например, процесс формирования понятий. Он состоит из мотивации введения понятия, выделения его существенных свойств, усвоения определения, применения понятия, понимания связи изучаемого понятия с другими, изученными ранее. Усвоение определения понятия предполагает овладение действиями распознавания объектов, принадлежащих к понятию, выведения следствий из факта принадлежности к понятию, конструирования объектов, относящихся к понятию, и их совокупностью. Применение понятий опирается на действия преобразования требования задачи в равносильное ему, составления вспомогательных задач, аналогии, обобщения, анализа и т. д. Эффективность применения понятия обусловлена владением совокупностью эвристических приемов. Эти действия и приемы должны входить в содержание обучения математике наряду с определениями, теоремами, аксиомами. В отличие от последних они включаются в содержание посредством задач. Однако анализ задачного материала показывает зачастую, что это требование авторами учебников просто игнорируется.

С развитием дидактики, методики обучения математике изменяет-

ся представление о научных категориях. Так, значительно изменилось представление о знании. Если ранее знание отождествлялось с воспроизведением факта, то теперь знание рассматривают как деятельность, оцененную с точки зрения ее результата. Можно прочитать и о более широкой точке зрения на знание. Так, В. П. Зинченко в ранее упомянутой статье «О целях и ценностях образования» отмечает, что главным в перспективе развития образования должно стать живое знание, которое отличается от готового знания тем, что оно не может быть усвоено, оно должно быть построено. В живом знании слиты значение и укорененный в бытии личностный, аффективно окрашенный смысл. Доминантами такого знания являются: знание до знания, знание как таковое, знание о знании, знание о незнании. В данном контексте о знании человека можно говорить тогда, когда оно им открыто, отрефлексировано и понято.

Перечисленные выше цели математического образования призваны составить основу отбора его содержания. Оно, как было отмечено, охватывает линии расширения понятия числа, уравнений и неравенств, функций, элементов математического анализа, теории вероятностей и статистики, приложений математики, геометрических преобразований, векторов, координат, аксиоматического метода. Организация содержания образования должна предусмотреть и овладение культурой мышления, в частности методами научного познания и культурой общения, различными формами деятельности. Следовательно, в содержание образования, подчеркнем еще раз, должны быть включены не только аксиомы, теоремы, определения, но и действия, адекватные им, общенаучные методы познания, а также специальные эвристические приемы и различные эвристики.

Обновленные цели и содержание математического образования потребуют обновления методов структурирования учебного материала. Очевидно усиление востребования укрупнения дидактических единиц (УДЕ), поскольку многолетние эксперименты доказали эффективность этой системы обучения. Термином «укрупнение дидактических единиц» обозначают совокупность следующих характеристик:

1) совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, теорем и т. п. (в частности, взаимно обратных);

2) единство процессов составления и решения задач (уравнений, неравенств и т. п.);

3) рассмотрение во взаимопереходах определенных и неопределенных заданий (в частности, деформированных упражнений);

4) обращение структуры упражнения;

5) выявление природы математического знания, достижение системности знаний;

6) реализация принципа дополнительности в системе упражнений [31].

Результаты проведенных экспериментов приводят к выводу о том, что укрупнение должно соотноситься не только с прямыми и обратными действиями, с определенными типами упражнений, но и со способами деятельности, с познавательными действиями учащегося и дидактическими приемами учителя.

7. Реформы среднего математического образования

Развитие математики, появление новых образовательных идей, изменение требований к выпускникам школ, совершенствование теории обучения математике обусловливают изменения в содержании, методах, формах и средствах обучения математике.

В истории реформирования среднего математического образования в XX в. можно выделить три этапа. Первый охватывает годы от начала столетия до 70-х гг., второй соотносится с периодом от 70-х гг. до 90-х, третий этап берет начало с 90-х гг. Первый этап реформирования математического образования осуществляется в условиях представления о математике как науке, изучающей количественные отношения и пространственные формы действительного мира. Цель методики преподавания математики на этом этапе сводилась к поиску дидактических приемов, способствующих качественному усвоению знаний, умений и навыков.

Математика в это время активно развивалась. Создание неевклидовой геометрии привело к новому пониманию предмета геометрии (в 1872 г. на лекции в Эрлангенгском университете немецкий математик Ф. Клейн высказал точку зрения на геометрию как науку, изучающую свойства фигур, инвариантные относительно группы преобразований), из которого следует существование различных геометрий, рассматривающих разные «пространства». Появление геометрии Лобачевского выдвинуло вопрос о ее непротиворечивости, что дало толчок развитию аксиоматического метода. Появляется и бурно развивается новая область математики — теория множеств, которая вместе с аксиоматическим методом дала общие приемы определения понятий математики. В первой половине XX в. были получены крупные результаты в области алгебры, в 30-х гг. даже была высказана мысль, что математика слагается из алгебры и топологии, истоками которой являются две формы существования в материальной действительности: дискретность и непрерывность. 40-е гг. ознаменовались появлением ЭВМ и возникновением кибернетики, в связи с чем происходит сдвиг в сторону дискретной математики, что привело к развитию таких разделов, как математическая логика, теория вероятностей, комбинаторика, теория игр, теория кодирования. Математика активно проникает во все науки.

Уже на рубеже XIX и XX вв. в России и за границей прогрессивные математики и педагоги выступали за реформу школьного математического образования, за приведение школьного курса математики в соответствие с новыми требованиями времени. Значительная часть ученых высказывалась против формально-логического преподавания математики в средней школе, за применение математических знаний во всех областях естествознания, за внедрение идеи функции в школьный курс математики. Так, в статье «Математика как наука и ее школьные суррогаты», опубликованной в журнале «Русская мысль» (№ 5, 1895), русский педагог В. П. Шереметевский писал: «Все великие изо-

бретения еще 17 века, составляющие самую суть математики как науки, обусловливающие великое значение ее в научном и техническом прогрессе нового времени, остаются за пределами школьной программы... Если вся математика есть, в сущности, учение о функциях, то ясно, и элементарный курс должен группироваться вокруг основного понятия о функциональной зависимости. Чем раньше оно будет вызвано и осторожно выращено в сознании учащихся, тем лучше. А сделать это гораздо лучше, чем утаивать его по мудрым правилам школьной традиции».

На Западе инициатором реформы школьного математического образования был известный немецкий математик и педагог Ф. Клейн, который высказывался за внедрение идеи функциональной зависимости в школьный курс математики и за сближение теории с практикой. Руководящей идеей в преподавании математики Ф. Клейн считал идею функциональной зависимости, которая должна пронизывать весь курс математики. Пожелания Ф. Клейна легли в основу Меранских программ, которые были приняты в 1905 г.

Надо сказать, что за изменение содержания математического образования и методов обучения отдельные математики России высказывались еще в первой половине XIX в. Так, реформу отстаивали М. В. Остроградский, Н. И. Лобачевский, который источником геометрических представлений считал движения. За строгость изложения математической теории выступал П. Л. Чебышев.

Одновременно с Меранскими программами появляются работы французского математика Э. Бореля, написанные в духе реформы школьного образования. В предисловии к немецкому изданию учебника геометрии Э. Борель пишет: «...преподавание геометрии не позже чем через несколько десятков лет получит новый фундамент. Он заключается в положении, что элементарная геометрия эквивалентна исследованию группы движений. Подобный взгляд находится в согласии с характерным стремлением современного естествознания заменить статическое исследование динамическим».

Говоря о движении за реформу школьного математического образования, нельзя не отметить значение первых всероссийских съездов преподавателей математики. Лейтмотивом большинства докладов на I и II съездах прозвучала необходимость введения в школьный курс математики идеи функциональной зависимости. I съезд (декабрь 1911 г.—январь 1912 г.) в своей резолюции записал: «Съезд признает своевременным опустить из курса математики средней школы некоторые вопросы второстепенного значения, провести через курс и ярко осветить идею функциональной зависимости». До сих пор не потеряли значение мысли, высказанные А. К. Власовым в его докладе на II съезде (декабрь 1913 г. — январь 1914 г.). Задача средней школы заключается в том, чтобы дать образование, возбуждающее работу мысли и интерес к знанию в различных областях наук, результаты которых сделались общим достоянием. Не изучение способов доказательств математических истин составляет главную задачу изучения математики, само содержание ее, содержание того, что дока-

зывается, представляет большую ценность. По мнению А. К. Власова, содержание, логически обработанное, и приобретенные при этой обработке умение и навык представляют наибольшую ценность для общего образования. Цель преподавания заключается в том, чтобы вызвать в учащемся математическое мышление, соответствующее познанию мира со стороны множественности и величины и со стороны формы [7, с. 66—74]. Октябрьская революция, войны отодвинули реформу образования, к которой вновь вернулись в 50-е гг. Наиболее значительными событиями являются внедрение в курс геометрии неполной средней школы гомотетии, попытка разъяснить на этом примере сущность идеи геометрических преобразований и ввести в среднюю школу элементы математического анализа, векторы и преобразования. Надо сказать, что все попытки приведения содержания школьного математического образования в соответствие с идеями современной математики не увенчались успехом. Новые идеи отторгались традиционной основой школьных учебников математики. Стало ясно, что реформа должна затронуть прежде всего основания школьного математического образования, а идеологией математики к этому времени становится теория множеств и математическая логика. Математика рассматривается как наука о математических структурах.

С 70-х гг. начинается новый этап реформы математического образования. Отметим еще одно положение, которое оказало значительное влияние на идеологию реформы. Мы выше уже говорили о том, что Ж. Пиаже, изучая умственное развитие детей, пришел к выводу о соответствии каждой элементарной математической структуре (алгебраической, порядковой и топологической) структуры умственной. Математическое мышление рассматривается им как композиция элементарных умственных структур, а потому условием формирования мышления является изучение математических структур. Другими словами, наибольшей эффективностью в контексте развития математического мышления учащихся обладает учебник математики, основу которого составляют элементы теории множеств и математической логики, т. е. понятия, наиболее абстрактные и обобщенные. Таким образом, «структурное» представление о предмете математики оказало свое влияние на школьные учебники математики.

В перестройке содержания школьного математического образования наметилось два направления: крайне модернистское и умеренное. Сторонники первого выступали за исключение многих традиционных разделов из школьного курса математики, за введение понятий современной математики. Ярким представителем этого направления являлся бельгийский математик Ж. Папи. Его курс математики построен на базе общих теоретико-множественных идей, без отделения геометрии от алгебры. Большое внимание в учебнике уделяется понятиям множества, соответствия, графа, группы, векторным пространствам, началам анализа. Центральным и основным понятием он считает векторные пространства. Такого же мнения придерживался известный французский математик Ж. Дьедонне (один из организаторов группы Н. Бур-

баки), методические установки которого заключаются в полном отказе от евклидовых традиций в преподавании математики и в отождествлении элементарной («школьной») геометрии с линейной алгеброй.

Наряду с крайне модернистским направлением перестройки школьного курса математики велись поиски умеренной модернизации. Это относилось к таким странам, как СССР, Польша, ГДР, Чехословакия, Румыния, США, Англия и т. д. В программах школ этих стран были отражены теоретико-множественный подход, идеи функции и преобразования, предусматривалось изучение начал дифференциального и интегрального исчислений, элементов комбинаторики. В некоторые программы были введены элементы статистики и теории вероятностей, математической логики, понятия группы, операции, структуры.

В СССР работу по реформе среднего математического образования возглавила комиссия при АН и АПН СССР во главе с академиком А. Н. Колмогоровым. Основу новых школьных учебников составили теоретико-множественные идеи, идеи функции и геометрических преобразований, идея вектора. Большое место заняли элементы математического анализа, координатный метод, идея аксиоматического метода. Однако опыт работы по учебникам математики, написанным в контексте теоретико-множественного подхода, выявил значительные трудности в их использовании и привел к выводу о необходимости отказа от этих учебников. В 80-х гг. школы переходят на учебники, для которых характерен полный отказ не только от теоретико-множественных моделей изучаемых понятий, но даже и от теоретико-множественного языка. Ныне действующие учебники математики по своей идеологии не отличаются от учебников, которые были в школах в 60-х гг., а по качеству исполнения некоторые даже уступают им.

В 90-х гг. принимается новый Закон об образовании, разрабатывается концепция среднего математического образования, появляются стандарты образования, школы получают право выбора учебника.

В данное время имеются различные варианты пробных учебников математики, многие из которых не отличаются от действующих. 90-е годы можно считать началом нового этапа реформы математического образования. Его идеология обусловлена новым представлением о предмете математики, а также современными концепциями гуманизации, гуманитаризации образования. Однако неразумное увлечение этой идеологией может привести к тем же результатам, к каким привела реформа математического образования 70-х гг. Опасности эти уже просматриваются. Идея модели уже заложена в некоторые учебники математики для I класса. Задания на выполнение арифметических действий включают указание на построение их предметных интерпретаций, что может увести школьника от основной цели, заключающейся в овладении умением выполнять арифметические действия.

Вопросы и задания

1. Охарактеризуйте уровни анализа педагогических явлений, и в частности целей обучения.

2. Как соотносятся цели образования и цели обучения математике?

3. Используя различную литературу, раскройте содержание понятий «гуманизация образования» и «гуманитаризация образования». Приведите конкретные примеры реализации в школьных учебниках математики идей гуманизации и гуманитаризации образования.

4. Охарактеризуйте динамику развития предмета математики и ее влияние на школьные учебники.

5. В чем некорректность формулировок целей обучения математике в учебных пособиях по методике преподавания математики?

6. Охарактеризуйте способы постановки целей обучения. Каково ваше отношение к ним?

7. Раскройте компоненты содержания математического образования. Все ли они реализованы в учебниках математики?

8. Проследите по учебникам математики разных поколений влияние на них предмета математики. Как отражается концепция предмета математики на содержании школьных учебников?

9. Объясните, как вы понимаете смысл утверждения о том, что математика выходит за рамки логической формы. В чем это проявляется в отношении учебников математики?

10. Объясните этапы реформы школьного математического образования и отличия между ними.

11. Охарактеризуйте роль математического образования.

12. Перечислите составляющие парадигмы совершенствования математического образования в современных условиях.

13. Охарактеризуйте функции обучения.

14. Попробуйте объяснить с позиции содержания эстетического потенциала математики следующие положения:

1) обучение доказательству следует начинать с использования готовых доказательств в качестве моделей изучения структуры логического вывода;

2) изучение геометрии в V—VI классах должно основываться на идее фузионизма, в основной школе должен изучаться систематический курс планиметрии, а в старших классах — курс стереометрии.

15. Какую задачу вы считаете красивой? Приведите примеры красивых задач.

16. К признакам эстетического качества математических фактов относят наиболее естественный ход их обоснования. Как с этой позиции можно оценить эффективность решения текстовых задач с помощью уравнений?

Литература

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики: Пер. с франц. — М.: Сов. радио, 1970.

2. Арнольд В. И. Математика и математическое образование в современном мире//Математическое образование. — 1997. — № 2. — С. 22.

3. Арнольд В. И. Математика с человеческим лицом//Природа. — 1998. — № 3. — С. 117.

4. Бим-Бад Б. М., Петровский А. В. Образование в контексте социализации//Педагогика. — 1996. — № 1. — С. 3.

5. Бондаревская Е. В. Гуманистическая парадигма личностно ориентированного образования//Педагогика. — 1997.—№ 4.—С. 11.

6. Бурбаки Н. Архитектура математики. — М.: Знание, 1972.

7. Власов А. К. Какие стороны элементарной математики представляют ценность для общего образования?//Математическое образование. — 1997. — № 3. — С. 66.

8. Гнеденко Б. В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. — М.: Просвещение, 1982.

9. Гусев В. А. Как помочь ученику полюбить математику? — М.: Авангард, 1994.—Ч. 1.

10. Дидактика средней школы: Некоторые проблемы современной дидактики/Под ред. М. Н. Скаткина. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1982.

11. Дорофеев Г. В. Гуманитарно ориентированный курс — основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе// Математика в школе. — 1997. — № 4. — С. 59.

12. Дорофеев Г. В. О принципах отбора содержания школьного математического образования//Математика в школе. — 1990. — № 6.—С. 2.

13. Дорофеева А. В. Гуманитарные аспекты преподавания математика/Математика в школе. — 1990. — № 6. — С. 12.

14. Зинченко В. П. О целях и ценностях образования//Педагогика. — 1997. — № 5. — С. 3.

15. Иванова Т. А. Гуманитаризация математического образования. — Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 1998.

16. Касьян А. А. Гуманитаризация образования: некоторые теоретические предпосылки//Педагогика. — 1998. — № 2. — С. 17.

17. Кларин М. В. Педагогическая технология в учебном процессе: Анализ зарубежного опыта. — М.: Знание, 1989.

18. Кудрявцев Л. Д. Мысли о современной математике и ее изучении. — М.: Наука, 1977.

19. Леднев В. С. Содержание образования: сущность, структура, перспективы. — М.: Педагогика, 1991.

20. Мадер В. В. Введение в методологию математики. — М., 1994.

21. Махмутов М. И. Современный урок: Вопросы теории.—М.: Педагогика, 1981.

22. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/А. Я. Блох,

Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985.

23. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В. Я. Саннинский.—2-е изд., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1980.

24. Постников М. М. Является ли математика наукой?//Математическое образование. — 1997. — № 2. — С. 83.

25. Программы общеобразовательных учреждений: Математика. — М.: Просвещение, 1998.

26. Рузавин Г. И. Математизация научного познания.—М.: Мысль, 1984.

27. Саранцев Г. И. Гуманизация и гуманитаризация школьного математического образования//Педагогика. — 1999. — № 4. — С. 39.

28. Саранцев Г. И. Цели обучения математике//Математика в школе. — 1999. — № 6. — С. 24.

29. Столяр А. А. Роль математики в гуманизации образования//Математика в школе. — 1990. — № 6. — С. 5.

30. Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.

31. Шакуров Р. Х. Эмоция. Личность. Деятельность. — Казань: Центр инновационных технологий, 2001.

32. Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1986.

Глава III

ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

1. Содержание и объем понятия.

2. Логические варианты конструирования понятий.

3. Виды определений. Классификация понятий.

4. Методика формирования понятий.

1. Содержание и объем понятия

Понятие наряду с суждением и умозаключением является одной из логических форм мышления. Понятие, говорил Ф. Энгельс, — это мысленное отображение вещей, оно выделяет в вещах и явлениях существенное. Все понятия образуются путем операции обобщения, которая неразрывно связана с абстрагированием. Абстрагирование в математике чаще всего осуществляется через ряд последовательных ступеней обобщения, а потому в математике преобладают абстракции от абстракций. Примером может служить даже понятие треугольника. Действительно, среди различных реальных предметов есть такие, которые имеют треугольную форму. Результатом их обобщения является геометрическая фигура «треугольник» с определенными углами и сторонами, являющаяся непосредственным воспроизведением реальных предметов. Абстрагируясь от конкретных размеров и учитывая лишь наличие трех углов и трех сторон, приходим к понятию «треугольник».

При образовании математических понятий используют различные виды абстракций. Абстракция отождествления, заключающаяся в выделении некоторых общих признаков и отношений, присущих разным предметам, приводит к образованию понятий. Примерами таких понятий являются понятия сонаправленных векторов, направления и т. д. Результатом изолирующей абстракции, которая состоит в отвлечении некоторых свойств или действий, принадлежащих предметам, являются понятия равенства фигур, равносильности, транзитивности отношений и т. д. При построении математических понятий используется такой специальный прием, как идеализация, заключающийся в наделении понятий не только свойствами, отвлеченными от их реальных прообразов, но и некоторыми воображаемыми свойствами, отсутствующими у исходных объектов. К таким понятиям относятся многомерные пространства, алгебраические дроби, группа и т. д.

Всякое понятие объединяет в себе множество объектов или отношений (объем понятия) и совокупность существенных свойств, присущих всем элементам этого множества, и только им (содержание понятия). Другими словами, существенные свойства — это такие, каждое из которых необходимо, а все вместе достаточны для характеристики объектов, принадлежащих понятию.

Примеры:

1. Понятие «треугольник». Объемом понятия является множество всевозможных треугольников, содержанием — наличие трех сторон, трех вершин, трех углов.

2. Понятие «отношение порядка». Объемом этого понятия является множество всевозможных отношений порядка («меньше» на множестве действительных чисел, «предшествовать» на множестве точек прямой), а содержанием — антисимметричность, антирефлексивность, транзитивность отношения (здесь речь идет об отношении строгого порядка).

Мы имеем понятие о некоторой вещи, если знаем и можем словесно выразить, какие условия необходимы и вместе с тем достаточны для ее однозначного определения [12]. Не каждое необходимое условие является достаточным и не каждое достаточное условие является необходимым. Например, равенство двух углов является необходимым условием для того, чтобы эти углы были вертикальные, но не является достаточным. Делимость на 2 является необходимым и достаточным условием четности целых чисел. Каждое из условий «быть четырехугольником», «иметь равные стороны», «иметь равные углы» только необходимо для определения квадрата. Любая пара названных условий также только необходима. И только все вместе они необходимы и достаточны для определения класса квадратов. Процесс конструирования понятий заключается в поиске такого числа необходимых условий, которое было бы достаточно для однозначного определения требуемого класса вещей. Совокупность этих условий и принимают за содержание понятия. Так, содержанием понятия квадрата является совокупность условий «быть четырехугольником», «иметь равные стороны», «иметь равные углы». Квадрат можно определить как четырехугольник с равными сторонами и равными углами. При определении понятия, т. е. раскрытии его содержания, часто используют родовое по отношению к нему понятие. Например, таким понятием для квадрата является понятие прямоугольника (ромба). Учитывая это, можно дать более «экономное» определение квадрата как прямоугольника с равными сторонами или ромба с равными углами.

2. Логические варианты конструирования понятий

Мы рассмотрели одну из наиболее распространенных логических схем образования понятий. В контексте данной схемы содержание понятия отождествляется с его определением. В различных учебниках ме-

тодики преподавания математики утверждается, что определение понятия — это предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т. е. совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса объектов, принадлежащих определяемому понятию. Процесс конструирования понятий протекает как поиск всех необходимых условий, которых достаточно для однозначного определения требуемого класса объектов.

Наряду с рассмотренной схемой есть и другие логические варианты конструирования понятий. Суть одного из них заключается в следующем: понятие рассматривается как логическая функция, заданная на множестве суждений и принимающая значение «истинно» или «ложно» (Е. К. Войшвилло [3]). В данной концепции единицей содержания понятия выступает отдельное необходимое условие, а потому содержание понятия не совпадает с его определением.

Очевидно, что ни первая, ни вторая логическая схема не реализуется в «чистом» виде в практике обучения математике.

Рассмотрим еще один логический вариант образования понятия. Под содержанием понятия подразумевают сообщаемую им (семантическую) информацию. Единицей содержания выступают классы объектов, исключаемые понятием из универсума, т. е. из множества объектов, в терминах которого определяется рассматриваемое понятие [12].

Примеры:

1. Пусть N — множество натуральных чисел, а — условие, определяющее делимость натурального числа на 2. Данное условие делит универсум, т. е. множество натуральных чисел, на два взаимно исключающих и совместно исчерпывающих универсум класса: N = A + Ä, где А — множество чисел, делящихся на 2, а A — множество чисел, не делящихся на 2. Условие а определяет понятие множества четных чисел. Это понятие исключает класс A, поэтому содержание понятия множества четных чисел равно классу A, а объем его составляет класс А.

2. Пусть И — множество четырехугольников, а — условие «иметь равные стороны», b — «иметь равные углы». Условие а разбивает универсум (множество И) на класс «четырехугольники с равными сторонами» (А) и его дополнение — класс «четырехугольники с неравными сторонами» (A). Условие b разбивает множество А на классы: «четырехугольники с равными сторонами и равными углами» (В) и «четырехугольники с равными сторонами и неравными углами» (В). Класс A (четырехугольники с неравными сторонами) условием b разбивается на класс С — «четырехугольники с неравными сторонами и равными углами» и класс С — «четырехугольники с неравными сторонами и неравными углами». Содержание понятия «квадрат» эквивалентно информации, присущей сумме классов: B + C + С. Объемом понятия является класс В. Усвоить понятие «квадрат» — это прежде всего уметь распознавать четырехугольники, образующие классы В, В, С, С, выводить следствия из принадлежности четырехугольника одному из указанных классов и строить четырехугольники, относящиеся к данным классам. В процессе выполнения перечисленных действий усваивается

информация, выделяющая квадраты из множества четырехугольников, т. е. словесная формулировка определения понятия.

Содержание и объем понятия принято считать его главными логическими характеристиками. Пусть два понятия А и В имеют один и тот же универсум. Тогда содержания А и В могут либо совпадать, либо частично пересекаться, либо не пересекаться, либо включаться одно в другое — аналогично и для соотношения объемов.

Примеры:

1. В отношении включения находятся объемы понятий квадрата и прямоугольника.

2. Объемы понятий ромба и прямоугольника находятся в отношении частичного пересечения.

3. Объемы понятий «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник» совпадают.

Если объем понятия В является частью объема понятия А, то понятие А называют родовым, а В — видовым понятием.

Отношение между содержаниями и объемами понятий подчиняется следующему закону: если два понятия имеют один и тот же универсум и объем одного из них составляет часть объема другого, то содержание второго понятия составляет часть содержания первого. Этот закон формулируют и более коротко: чем шире объем понятия, тем уже его содержание. Другими словами, отношения между содержаниями и объемами двух понятий с одним универсумом носят обратный характер.

Заметим, что объем понятия А составляет часть объема понятия В, тогда и только тогда, когда каждый элемент объема А является элементом объема В. Чем больше классов из универсума исключает некоторое понятие, тем больше сообщаемая этим понятием информация, тем богаче его содержание.

Обобщением понятия называют конструирование нового понятия с большим объемом, чем данное (с меньшим содержанием, чем данное).

Ограничением понятия называют конструирование нового понятия с меньшим объемом, чем данное (с большим содержанием, чем данное).

Пример. Пусть С — число, делящееся на 4 и 7, D — число, делящееся на 4 или на 7 (или на оба одновременно), Е — число, делящееся либо на 4, либо на 7.

Понятие С исключает все числа, не делящиеся на 4 или на 7, на 4 и на 7 одновременно, понятие D исключает все числа, не делящиеся на 4 или 7 одновременно, понятие Е исключает все числа, делящиеся на 4 и 7 одновременно и не делящиеся на 4 и 7 одновременно. Содержание понятия D является частью содержания С и частью содержания Е. Следовательно, объем D больше объема С и больше объема Е. Другими словами, понятие D обобщает как понятие С, так и понятие Е. Но ни содержание С не является частью содержания Е, ни содержание Е не является частью содержания С. Следовательно, понятия С и Е не находятся в отношении обобщения (ограничения).

По отношению объемов различают следующие виды понятий: равнозначные понятия, пересекающиеся понятия, понятия, находящиеся в отношении включения. Равнозначными называются понятия, объемы которых полностью совпадают. К пересекающимся относят понятия, объемы которых частично пересекаются. Понятие, объем которого содержит объем другого понятия, называют родовым, второе понятие — видовым. Отношение родовидового подчинения следует отличать от отношения целого к части. Если каждый вид обладает свойствами рода, то части не обладают свойствами целого.

Два понятия называют сравнимыми, если можно указать общий для них универсум. Сравнимые понятия, объемы которых находятся в одном из трех видов рассмотренных отношений, называют совместимыми.

3. Виды определений. Классификация понятий

Определить понятие — это значит перечислить его существенные свойства. Но перечислить их часто бывает нелегко, однако задача упрощается, если использовать ранее изученные понятия. Сказанное обусловило способ определения понятия, называемый через ближайший род и видовые отличия. Конструирование определения этим способом заключается в следующем:

1) указывается род, в который определяемое понятие входит как вид;

2) указываются видовые отличия и связь между ними. Объединение видовых отличий осуществляется посредством конъюнктивной либо дизъюнктивной связки.

Примеры:

1. Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны. Родовым понятием выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия.

2. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Родовым понятием является понятие четырехугольника, два видовых отличия трапеции соединены конъюнктивной связкой (союзом «и»).

Учащиеся часто допускают ошибки, связанные с неправильным указанием родового понятия. Иногда это проявляется в том, что указываемое родовое понятие не является для определяемого ни родовым, ни видовым. Примером может служить следующее предложение: хорда — прямая, содержащая две точки окружности. Иногда в определении и вовсе отсутствует родовое понятие, распространены и ошибки, связанные с «кругом» в определении. Например: прямым углом называется угол, стороны которого перпендикулярны, а перпендикулярные прямые определяют через прямой угол. Некоторые учащиеся включают в определение понятия зависимые свойства. Пример: параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого равны и параллельны. В определении, приводимом школьниками,

встречается тавтология, состоящая в том, что объект определяется через самого себя. Например: подобными фигурами называются такие фигуры, которые между собой подобны.

Кроме определения по способу «через ближайший род и видовые отличия», используется и так называемое генетическое определение. Его особенность заключается в том, что оно указывает на образование определяемого объекта. Например: сферой называется поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг своего диаметра.

В школьном курсе математики используются (хотя и редко) индуктивные определения. Примером индуктивного определения может служить определение функции, заданной на множестве натуральных чисел и строящейся по схеме:

Встречаются, особенно на ранних этапах обучения учащихся, описательные определения. Примером может быть определение тригонометрических функций y = sin x и y = cos x в учебнике «Геометрия, 7—9» авторов Л. С. Атанасяна и др. Еще пример. Проведем прямую и отметим на ней точку О. Эта точка разделяет данную прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О. Точка О называется началом каждого из лучей. (Так вводят авторы названного учебника понятие луча.)

Отметим еще и так называемые условные определения. Примером может служить следующее определение: a0 = 1 (а ≠ 0).

Цепь определений понятий теории, когда одни понятия определяются через другие, не может быть бесконечной, поэтому должны быть понятия, которые не определяются через другие понятия системы — неопределяемые понятия. Их содержание раскрывается через аксиомы. Такие определения называются косвенными.

Как уже было отмечено, учащиеся часто допускают ошибки в воспроизведении определений, пропуская отдельные слова. Пример: трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, или параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. В приведенных определениях пропущены видовые отличия. Эффективным средством исправления таких ошибок является использование контрпримеров.

Преодолению ошибок, связанных с пропуском выполнения всех требований, составляющих видовые отличия, способствует и использование логических знаков. Так, при решении задачи типа «доказать, что такая-то функция является четной» учащиеся часто допускают ошибки: проверяют только выполнение соотношения f(x) = f(—x). Запись определения четной функции с использованием логических знаков значительно уменьшает вероятность подобной ошибки. (∀f, M, где f—функция с областью определения M) (f — четная) ⇔ (∀x ∈ M) ((-х∈M)∧(f(x) = f(—х))) — определение четной функции.

Использование логических знаков позволяет без особого труда формулировать критерий непринадлежности к понятию. В качестве

примера рассмотрим критерий непринадлежности к понятию четной функции. Его мы получим, заменив высказывания, содержащиеся во второй и последней скобках определения, их отрицаниями:

(∀f, M) (f не является четной) ⇔(∃x∈M) ((-x∉M)∨(f(x) ≠ f(-x))).

Функция f (с областью определения M) в том и только в том случае не является четной, если найдется такое х∈М, что либо —x∉M, либо f(x) ≠ f(—x). Критерий непринадлежности к понятию используется при конструировании упражнений, ориентированных на формирование понятия. Использованию логической символики при работе с определениями посвящена статья В. Г. Болтянского, опубликованная в журнале «Математика в школе» (№ 5, 1973).

Объем понятия раскрывается с помощью классификации. Под классификацией часто понимают последовательное, многоступенчатое разбиение множества на два класса с помощью некоторого свойства. Такая классификация называется дихотомической, ее членами являются противоречащие понятия. Наряду с ней используется классификация понятия, каждый член которой является соподчиненным понятием. Указанная классификация понятия представляет собой конструирование видовых по отношению к нему понятий на основании видовых отличий, ее результатом является родовидовая иерархия понятия, раскрывающая его объем. Например, классификация понятия движения на плоскости объединяет следующие понятия: осевая симметрия, поворот вокруг точки, параллельный перенос, скользящая симметрия. Приведенный ниже пример выявляет классификации, в которых используются несколько оснований. Их называют последовательными классификациями. При построении классификации необходимо соблюдение следующих условий:

1. Основание деления должно быть одним и тем же.

Учащиеся часто допускают ошибки, связанные с нарушением этого условия. Например, треугольники учащиеся подразделяют на равнобедренные, остроугольные и прямоугольные.

2. Деление должно быть соразмерным: объем делимого понятия должен быть равен сумме объемов понятий, являющихся членами деления.

3. Члены деления должны взаимно исключать друг друга, т. е. ни один из них не должен входить в объем другого класса. Например, классификация «целые числа — простые числа, четные числа, нечетные числа» неправильна, так как число 7 попадает и в первый, и в третий класс.

4. Деление должно быть непрерывным, т. е. делимое понятие должно быть ближайшим родом для членов деления.

В качестве примера приведем классификации параллелограммов.

По сторонам

По углам

Ромбы

Не ромбы

Прямоугольники

| |

Непрямоугольники

/ /

/ /

4. Методика формирования понятий

Наблюдения за работой учителей математики приводят к выводу о том, что формирование математических понятий в школе не вписывается в чистом виде ни в одну из логических схем образования понятий. Чаще всего на уроках используется первая схема: учитель дает определение понятия или сначала привлекает учащихся к выделению существенных свойств понятия, а затем осуществляет логическую организацию подмеченных свойств в определение понятия. Отработка действий, адекватных понятию (подведение объекта под понятие, выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию, конструирование объектов), как правило, отсутствует, особенно при формировании геометрических понятий. Определение понятия сразу применяется к решению задач. Учитывая, что ученики младших классов не понимают смысла необходимых, достаточных условий, равносильности предложений, им остается заучивать определения понятий и под диктовку учителя решать задачи. Отдельные учителя, понимая важность формирования действий, используют специальные упражнения, адекватные формируемым действиям. Кстати, в учебниках геометрии таких упражнений почти нет, в небольшом количестве они встречаются в учебниках алгебры.

Рассмотрим, например, понятие «внешний угол треугольника». Ни в учебнике Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия, 7—9», ни в учебнике А. В. Погорелова «Геометрия, 7—11» нет задач на распознавание и конструирование внешних углов треугольника. Причем как в одном, так и в другом учебнике приведены задачи, решение которых основано на теореме о внешнем угле треугольника. Возникает вопрос: будут ли ученики допускать ошибки в распознавании внешнего угла треугольника? С целью получения ответа на этот вопрос было проведено наблюдение. Опытная учительница на уроке много внимания уделяла построению внешнего угла треугольника, причем использовались не только стандартные ситуации, но и такие, когда ученики строили и углы, расположенные под горизонтальной стороной треугольника. Однако лишь один из 33 учащихся назвал правильно внешний угол данного треугольника из заданных на рисунке углов.

В старших классах некоторые учителя акцентируют внимание учащихся на различных определениях понятия, стараются раскрыть содержание и объем понятия, показать, что определением понятия не ограничивается процесс его формирования. Анализ учительского опыта показывает, что в практике обучения математике используются элементы всех трех логических вариантов образования понятий. Сопоставление каждого из них с содержанием обучения математике приводит к выводу о том, что учащимся, начинающим изучать систематические курсы алгебры и геометрии, в большей мере соответствует третий вариант, так как он основывается на наглядно-образной составляющей мышления. Важность образного компонента обусловлена следующим психологическим положением: в свернутом виде распознавание может осуществляться по внешне выраженным, наглядным признакам

используемых объектов, а не по тем признакам, по которым оно осуществлялось на уровне развернутого выполнения действия. Очевидно, «идеальный» вариант возникает тогда, когда определение понятия позволяет воображению легко конструировать образы определяемых объектов. В связи с этим заметим, что в качестве определения могут быть приняты различные системы необходимых и достаточных свойств понятия. Например, понятие параллелограмма в различных учебниках геометрии определяется как: а) четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны; б) пересечение двух полос с непараллельными краями; в) четырехугольник, имеющий центр симметрии, и т. д. С точки зрения методики приведенные определения неравноценны в том, что они обладают «различной степенью наглядности», т. е. определяемый объект по-разному «просматривается» через определения. «Идеальным» определением параллелограмма является «классическое» определение: параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. В этом убеждает нас и практика: все «модные» определения «не прижились» в школьном курсе геометрии.

Обратимся к учебной литературе с целью выяснить представленные в ней концепции формирования математических понятий и практические рекомендации. В учебном пособии «Методика преподавания математики в средней школе» авторов А. Я. Блоха, Е. С. Канина и др. рассматриваются вопросы: содержание и объем понятия, формирование понятия, определение (способы определения, требования к определениям, структуры определений, примеры). Изложение материала ведется в рамках первой логической схемы. При чтении материала мы не найдем ни методической концепции формирования понятий, ни практических рекомендаций. Достаточно большое место занимает теория формирования математических понятий в учебном пособии «Методика преподавания математики в средней школе» авторов В. А. Оганесяна, Ю. М. Колягина и др. Авторы рассматривают различные способы введения понятия, усвоение математических понятий и общие вопросы понятия (содержание, объем и т. д.). За страницами учебника остались ответы на вопросы: каковы этапы формирования понятий? Каковы действия, адекватные им? Что значит усвоить понятие?

Главным образом логические аспекты понятий (содержание, объем, классификация) освещаются в книге А. А. Столяра «Педагогика математики». В книге В. В. Репьева «Общая методика преподавания математики» обсуждаются пути введения понятий, определения и их виды, классификация понятий. Много полезных советов учителю содержится в книгах Я. И. Груденова (см.: Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990; Изучение определений, аксиом, теорем: Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1981). Широкий спектр вопросов рассматриваемой проблемы затрагивается в книге З. И. Слепкань «Психолого-педагогические основы обучения математике» [13]. Основной акцент З. И. Слепкань переводит на психологические аспекты формирования математических понятий. В частности, отмечается важность овладения

действиями подведения объекта под понятие (распознавание), отыскания следствий (из факта принадлежности объекта понятию).

Необходимость формирования указанных действий отмечается и в работах психологов. Так, Н. Ф. Талызина видит главную причину формализма при усвоении математических понятий в том, что не уделяется должного внимания организации работы учащихся с определениями понятия. Содержание этой работы она усматривает в выполнении действия подведения под понятие, компонентами которого являются: указание системы необходимых и достаточных свойств объектов данного класса, установление, обладает ли данный объект выделенными свойствами или не обладает, заключение о принадлежности объекта к данному понятию; действия выведения следствий; действия классификации; действия конструирования объектов с учетом варьирования отношений [18]. Ряд психологов (Н. А. Менчинская, Е. Н. Кабанова-Меллер и др.) рекомендует при формировании понятий осуществлять варьирование несущественных признаков, тем самым способствуя усвоению существенных.

Опишем методические требования к формированию понятия. Начальным этапом является мотивация. Сущность этого этапа заключается в подчеркивании важности изучения понятия, в побуждении школьников к целенаправленной и активной деятельности, в возбуждении интереса к изучению понятия. Мотивация может осуществляться как посредством привлечения средств нематематического содержания, так и в ходе выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории. Например, появление обыкновенных дробей, как правило, мотивируется потребностями практики. Введение смежных углов можно мотивировать необходимостью изучения не только отдельных фигур, но и их объединений. Рассмотрение взаимного расположения прямой и окружности приводит к трем случаям, один из которых характерен тем, что окружность и прямая имеют только одну общую точку. Указанный случай и обусловливает введение понятия касательной к окружности.

Следующий этап — выявление существенных свойств понятия, которые составят его определение. Он реализуется в основном посредством упражнений, основное назначение которых на этом этапе заключается в выделении существенных свойств изучаемого понятия и акцентировании на них внимания учащихся.

Примеры:

1. Арифметическая (геометрическая) прогрессия может быть введена путем выполнения упражнений на запись числовых последовательностей, заданных определенными свойствами, либо на выявление свойств, которыми обладают указанные последовательности.

2. Ознакомление с существенными свойствами трапеции может осуществляться посредством предъявления учителем рисунка, на котором изображены различные четырехугольники, и выделения учащимися тех из них, у которых две стороны параллельны, а две другие нет. Введение понятия трапеции может быть осуществлено и пу-

тем выполнения упражнений на построение различных четырехугольников, в том числе и таких, которые являются трапециями.

3. Выделению существенных свойств геометрических понятий, особенно в V—VI классах, способствуют упражнения на конструирование моделей фигур, при выполнении которых учащиеся самостоятельно выявляют существенные свойства понятия. В частности, ознакомление с существенными свойствами биссектрисы угла может быть осуществлено посредством перегибания листа бумаги, являющегося моделью плоскости угла, так, чтобы его стороны совпали.

Итогом этого этапа является формулировка определения понятия, усвоение которого составит содержание нового этапа. Усвоить определение понятия означает овладеть действиями распознавания объектов, принадлежащих понятию, выведения следствий из принадлежности объекта понятию, конструирования объектов, относящихся к объему понятия, и их совокупностью.

На этапе усвоения определения понятия каждое существенное свойство, используемое в определении, делается специальным объектом изучения. Обеспечивается это требование с помощью упражнений. Одним из типов таких упражнений является распознавание объектов, принадлежащих понятию. Пусть, например, а и b — видовые отличия понятия А, соединенные конъюнктивной связкой. Объект X принадлежит понятию А тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию Х∈А ⇔a△b.

Условие непринадлежности объекта понятию А имеет вид: X∉A⇔â\/b. Зная условие принадлежности и непринадлежности объекта понятию, нетрудно сконструировать упражнения, формирующие действие распознавания объектов, принадлежащих понятию. Это упражнения вида: a∧b, a∧b, b∧a (черта над буквой обозначает отсутствие соответствующего свойства у объекта, используемого в упражнении). В некоторое литературе предлагается использовать еще один вид упражнений: ä∧b. В контексте первых двух концепций они излишни. Однако в концепции, связывающей образование понятия с информацией об объектах, исключаемых понятием, их использование естественно.

Проиллюстрируем конструирование упражнений на примере понятия биссектрисы угла. Логическая структура определения этого понятия такова: (Луч ОС — биссектриса угла АОВ) ⇔ 1(1) Луч ОС исходит из вершины угла АОВ, 1(2) Луч ОС делит угол АОВ пополам. Исходя из структуры определения понятия биссектрисы угла, осуществляем конструирование упражнений:

1. Луч ОС исходит из вершины угла AOB, а ∠АОС ≠ ∠COВ. Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ? ((1)∧(2))

2. Некоторый луч делит угол пополам, а его начало не совпадает с вершиной угла. Является ли луч ОС биссектрисой данного угла? ((2)∧(1))

3. Луч ОС исходит из вершины угла АОВ и делит его пополам. Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ? ((1)∧(2))

Как уже было отмечено, можно использовать упражнения, в которых либо отсутствуют оба отличительных признака, либо заменено родовое понятие. Например: прямая проходит через вершину угла и делит его пополам. Является ли она его биссектрисой?

При конструировании указанных упражнений следует предусмотреть и вариативность расположения объектов, так как применение действия в одной ситуации не гарантирует успеха при его применении в другой ситуации, отличной от первой. Отразить это требование в словесно заданных упражнениях невозможно, поэтому используют упражнения на готовых чертежах. Выполняя такие упражнения, учащиеся также вычленяют на рисунках объекты, принадлежащие данному понятию, рассматривают объекты с точки зрения других понятий.

Другим действием, адекватным усвоению понятия, является выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию.

Пример. Известно, что четырехугольник MNPQ — трапеция (NP и MQ — ее основания). Назовите следствия, вытекающие из данных условий в силу определения трапеции.

Необходимы комплексные упражнения, так как их выполнение основано не только на использовании существенных свойств понятия, но и на отыскании следствий.

Примеры:

1. Известно, что некоторый луч исходит из вершины угла. Следует ли отсюда, что этот луч является биссектрисой угла? Если нет, то измените условие так, чтобы из него следовало: луч является биссектрисой данного угла.

2. Луч ОС исходит из вершины угла AОВ, а ∠АОС ≠ ∠COВ. Является ли луч ОС биссектрисой угла AОВ? Если нет, измените условие так, чтобы луч ОС являлся биссектрисой угла AОВ.

Возможны различные организационные формы выполнения упражнений на распознавание объектов. При одной из них последовательность действий учащихся фиксируют на плакате, который вывешивается в классе так, чтобы он был всем виден. Учащиеся выполняют упражнения, соотнося свои действия с действиями, зафиксированными на плакате. Вторая заключается в том, что текст определения понятия разбивается на отдельные части, соответствующие свойствам (в тексте части отделяются одна от другой вертикальной чертой), и поэлементно используются при выполнении упражнений. При выполнении первых упражнений на распознавание объектов лучше использовать вторую форму работы с упражнениями, поскольку она предполагает совместную работу школьников, позволяет учителю контролировать действия учащихся, а последним — свои действия и быстро исправлять ошибки в случае их появления. По мере выработки умения работать с определением надобность в такой организации выполнения упражнений отпадает, учащиеся VIII—IX классов уже четко оперируют существенными признаками понятия, мысленно осуществляя подготовку текста определения к работе.

Следующий этап: использование понятия в конкретных ситуациях. На этом этапе прежде всего осуществляется знакомство со свойствами и признаками понятия; с его определениями, эквивалентными принятому; используются изученные свойства и признаки понятия. На данном этапе учащиеся овладевают умениями переходить от понятия к его существенным свойствам и обратно, переосмысливать объекты с точки зрения других понятий, в частности учатся переосмысливать элементы чертежа с точки зрения другой фигуры и т. д., а также овладевают различными их совокупностями. На этом этапе важно использование блоков задач, объединенных какой-либо общей идеей.

Упорядочение задач может быть осуществлено посредством обобщения и конкретизации, привлечения аналогии, взаимно обратных задач. Блоки задач могут конструироваться следующими способами:

а) результаты решения предыдущей задачи используются в решении последующей;

б) результаты решения предыдущей задачи используются в условии последующей;

в) предыдущие задачи являются элементами последующей;

г) решения совокупности задач осуществляются одним и тем же методом.

С блоками задач читатель может ознакомиться по статьям автора данной работы, опубликованным в журнале «Математика в школе»: «Составление геометрических задач на заданных чертежах» (1993. — № 6. — С. 14—16); «Использование методов научного познания для упорядочения геометрических задач» (1994. — № 6. — С. 2—4). Организация задач в соответствии с указанными направлениями возможна даже в рамках действующих учебников, однако полная их реализация требует существенной доработки задачного материала как в его содержании, так и в последовательности расположения. При этом оказывается, что многие задачи могут быть составлены самими учащимися, что важно в плане интеллектуального развития ученика.

В изучении любого учебного предмета, и особенно математики, важен этап систематизации материала, когда выясняется место данного понятия в системе других понятий. Это достигается следующими путями:

1) установлением связей между отдельными понятиями, теоремами;

2) разноплановой систематизацией материала по различным основаниям;

3) обобщением понятия;

4) конкретизацией понятия.

Доступные ученикам связи между знаниями выясняются путем анализа содержания учебного материала. В качестве средств представления информации в сжатом виде используют таблицы, вопросники, графики, рисунки, схемы, обобщающие рефераты и т. д. Например, в учебнике геометрии А. В. Погорелова в конце каждого параграфа помещается раздел «Контрольные вопросы», в которых заостряется внимание на «опорных точках» теории и взаимосвязях между ними. После этих вопросов дается набор упражнений к изучаемому параграфу.

Наличие в пособии специальных разделов «Контрольные вопросы» и «Задачи» является эффективным средством систематизации геометрических знаний.

Приведем примеры упражнений по теме «Смежные углы», выполнение которых способствует осознанию связей понятия смежных углов с ранее изученными понятиями.

1. Составьте родословную понятия смежных углов.

2. Между указанными понятиями укажите связи, характерные для определения смежных углов:

Учитывая, что упражнения являются основным средством формирования понятий в средней школе, сопоставим каждому этапу формирования понятия соответствующие ему упражнения (см. схему на с. 63).

Приведенная схема иллюстрирует соответствие между этапами формирования понятия и упражнениями, реализующими их. Однако заметим, что процесс формирования понятий является динамичным процессом. В зависимости от опыта учащихся, конкретного содержания понятий внимание к этапам формирования может быть различным, некоторые же из них могут отсутствовать. Например, понятие хорды окружности можно ввести непосредственно определением, опустив предварительное знакомство с существенными свойствами этого понятия.

Вопросы и задания

1. Охарактеризуйте логические варианты конструирования понятий.

2. Объясните методическую концепцию образования математических понятий.

3. Охарактеризуйте главные логические характеристики понятия. Каково соотношение между объемом и содержанием понятия?

4. Что значит «определить понятие»? Каковы способы определения понятий?

5. Каково назначение классификации понятий? Перечислите требования, предъявляемые к классификации понятий.

Схема

Этапы формирования понятия

Упражнения, реализующие их

Мотивация введения понятия

Упражнения на применение ранее изученных понятий и теорем

Выделение существенных свойств понятия

Упражнения практического характера

Синтез выделенных свойств, формулировка выделения понятия

Упражнения на построение объектов, удовлетворяющих указанным свойствам

Понимание смысла слов в определении понятия

Упражнения с моделями фигур

Упражнения на распознавание объектов, принадлежащих объему понятия

Усвоение логической структуры определения понятия

Запоминание определения понятия

Упражнения на выделение следствий из определения понятия

Упражнения на дополнение условий (распознавание и выведение следствий)

Применение понятия

Установление связей изучаемого понятия с другими понятиями

Упражнения на составление родословной понятия

Упражнения на применение понятия в различных ситуациях

Упражнения на систематизацию понятий

6. Из школьного курса математики выберите несколько определений: а) построенных способом «через ближайший род и видовое отличие»; б) генетических; в) описательных; г) индуктивных.

7. Опишите наиболее распространенные ошибки школьников в воспроизведении определений и работу по их устранению и предупреждению.

8. Раскройте содержание этапов формирования математических понятий и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.

9. Что значит «усвоить определение»? Охарактеризуйте действия, адекватные этому феномену. Выберите из учебников алгебры и геометрии по одному понятию и проследите по упражнениям учебника направленность их на усвоение определений этих понятий.

10. Разработайте систему упражнений на формирование понятия:

а) арифметической прогрессии; б) смежных углов.

11. Овладение действием в одной ситуации не гарантирует успеха его применения в ситуации, отличающейся от первой, если не было специального обучения применять это действие в новой ситуации. Например, ученик, неплохо справляющийся с построением угла между ребром пирамиды и плоскостью основания, испытывает большие затруднения при построении угла между высотой пирамиды и ее боковой гранью. Приведите другие примеры, подтверждающие указанный в начале условия упражнения тезис. Уточните разработанную вами систему упражнений с точки зрения отражения в ней всех ситуаций использования действия распознавания.

12. В ряде психологических и методических руководств содержится рекомендация варьировать несущественные признаки в формировании понятия. Как соотносится эта рекомендация с положением о необходимости отражения в системе упражнений всех особенностей ситуаций в использовании понятия?

13. Разработайте методику работы по систематизации материала посредством: а) установления связей между отдельными понятиями;

б) упорядочения материала по различным основаниям; в) обобщения понятия; г) конкретизации понятия. Проиллюстрируйте ее конкретным примером.

14. Используя способы конструирования блоков задач, разработайте методику реализации каждого из приведенных способов.

15. Проанализируйте на конкретной системе упражнений соответствие их этапам формирования понятий. В случае выявления недостатков в системе устраните их, внося в нее недостающие упражнения.

16. Согласно положению (упр. 11), система упражнений на распознавание геометрических фигур должна содержать достаточно большое количество упражнений, выполнение которых займет большую часть урока. С помощью каких средств можно разрешить это противоречие?

17. Дайте краткое изложение сути методики поэтапного формирования понятий. Проиллюстрируйте эту методику на примере формирования понятия угла.

18. Проанализируйте определения параллелограмма, приводимые в различных учебниках геометрии. Какое из определений параллелограмма в большей мере отвечает психологическим закономерностям усвоения?

19. Из курса математики V—VI классов приведите примеры упражнений, подводящих учащихся к пониманию необходимости определений.

20. Проанализируйте учебники математики для V—VI классов с точки зрения возможности выработки у учащихся необходимых навыков классификаций.

21. Один учитель, готовясь к уроку на тему «Смежные углы», решил провести его так, как он намечен учебником геометрии: ввести понятие смежных углов, дать его определение, доказать теорему о сумме смежных углов, выполнить ряд упражнений на применение этой теоремы. Другой учитель решил предусмотреть упражнения на распознавание смежных углов в ситуациях, определяемых существенными признаками этого понятия. Третий учитель посчитал необходимым предусмотреть в упражнениях различные ситуации расположения заданных углов, из которых требуется выделить смежные углы. Действия какого учителя, по вашему мнению, наиболее грамотные? Проведите эксперимент по сценариям уроков всех трех учителей и сделайте выводы.

Литература

1. Болтянский В. Г. Использование логической символики при работе с определениями //Математика в школе. — 1973. — № 5. — С. 45.

2. Виленкин Н. Я., Абайдулин С. К., Товарткиладзе Р. К. Определения в школьном курсе математики и методика работы с ними//Математика в школе. — 1984. — № 4. — С. 43.

3. Войшвилло Е. К. Понятия как форма мышления. — М., 1989.

4. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.

5. Груденов Я. И. Изучение определений, аксиом, теорем: Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1981.

6. Дразнин И. Е. О работе над определениями//Математика в школе. — 1995. — № 5. — С. 9.

7. Маликов Т. С. Логический и интуитивный компоненты в определениях математических понятий//Математика в школе. — 1987. — № 1. — С. 44.

8. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/А. Я. Блох, Е. С. Канин и др; Сост. Р.С.Черкасов, А. А. Столяр.—М.: Просвещение, 1985.

9. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В. Я. Саннинский. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1980.

10. Никитин В. В., Рупасов К. А. Определения математических понятий в курсе средней школы. — М.: Просвещение, 1963.

11. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике.—М.: Просвещение, 1995.

12. Светлов В. А. Практическая логика. — СПб.: Изд-во РХГИ, 1995.

13. Слепкань З. И. Психолого-педагогические основы обучения математике: Метод, пособие. — Киев: Рад. школа, 1983.

14. Столяр А. А. Педагогика математики.—2-е изд., перераб. и доп. — Минск: Высшая школа, 1974.

15. Тарасенкова Н. А. Найти ошибку//Математика в школе. — 1997. — № 2. — С. 19.

16. Финкельштейн В. М. О подготовке учеников к изучению нового понятия, новой теоремы//Математика в школе. — 1996. — № 6. — С. 21.

17. Финкельштейн В. М. О двух видах контрпримеров и одном неудачном определении из учебника//Математика в школе. — 1997. — № 5. — С. 57.

18. Формирование приемов математического мышления/Под ред. Н. Ф. Талызиной. — М.: ТОО «Вентана-Граф», 1995.

Глава IV

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ

1. Виды теорем.

2. Этапы изучения теоремы.

3. Организация работы с теоремой.

4. Логические основы доказательства.

5. Обучение доказательству.

1. Виды теорем

Связь между понятиями устанавливается с помощью суждений. Суждение — форма мышления, в которой утверждается или отрицается что-либо относительно предметов, их свойств и отношений и которая обладает свойством выражать либо истину, либо ложь. Суждение можно изобразить символически в виде формулы: S есть Р (S не есть Р), где S и Р — переменные.

Пример. Симметричные фигуры равны. В качестве переменной S используются симметричные фигуры, а переменной Р — равенство фигур. Приведенное суждение является истинным.

Суждения, отображающие отношения, например «5 > 3», имеют форму aRc, где а и с — переменные, R обозначает отношение.

В логике рассматриваются различные виды суждений в зависимости от объема и содержания отображаемых в суждении предметов, от характера связи предметов и свойств.

1. По объему отображаемых предметов суждения делятся на общие и частные: все S есть Р, некоторые S есть Р.

Примеры:

а) Все квадраты суть параллелограммы.

б) Некоторые треугольники равнобедренные.

2. По характеру связи отображаемых предметов и их свойств суждения делятся на условные, разделительные и категорические:

а) если S есть Р, то S, есть Р1; б) S есть Р1 или Р2; в) S есть Р.

Примеры:

а) Если четырехугольник — параллелограмм, то противоположные углы его равны.

б) Величины углов с соответственно параллельными сторонами равны или в сумме составляют 180°.

в) Вертикальные углы равны.

3. По качеству отображаемых предметов суждения делятся на утвердительные и отрицательные: а) все S суть Р; б) никакое S не есть Р.

Примеры:

Все квадраты — прямоугольники.

Никакие треугольники не являются квадратами.

В математической логике общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные суждения записываются так:

Общеутвердительное суждение: ∀x(S(x) ⇒Р(х)) — «Для всех х, если X присуще свойство S, то х присуще свойство Р».

Частноутвердительное суждение: ∃x(S(x) ∧Р(х)) — «Существует такой объект X, которому присуще свойство S и которому присуще также свойство Р».

Общеотрицательное суждение: ∀x(S(x) ⇒Р(х)) — «Ни одному х, которому присуще свойство S, не присуще свойство Р».

Частноотрицательное суждение: ∃х (S(х) ∧ Р(х)) — «Существует такой X, которому присуще свойство S и не присуще свойство Р».

Большинство суждений в математике являются общеутвердительными или общеотрицательными. Они либо принимаются за истинные без доказательства, либо их истинность устанавливается посредством специального логического рассуждения. В первом случае суждения называются аксиомами, во втором — теоремами.

Логическое действие, в результате которого из одного или нескольких суждений получается новое суждение, называется умозаключением. Исходные суждения называют посылками, а новое — выводом или заключением. Если вывод делается из одного суждения, то умозаключение называют простым; если из двух суждений, то умозаключение называют силлогизмом.

При доказательстве теорем в школьном курсе математики наиболее употребим силлогизм, имеющий следующее строение:

Все M суть Р (большая посылка)

S суть M (малая посылка)

S суть Р (вывод)

Любая теорема состоит из двух основных частей: условия S и заключения Р. Кроме того, можно выделить так называемую разъяснительную часть (см.: Болтянский В. Г. Как устроена теорема?//Математика в школе. — 1973. — № 1).

Запишем теорему в виде S⇒P, тогда суждение P⇒S называют теоремой, обратной теореме S⇒P (или, короче, обратной теоремой). Заменив в теореме S⇒P условие и заключение их отрицаниями, получим теорему S⇒P, которую называют противоположной. Теорему P⇒S называют обратной противоположной. Сказанное отражает «широкую» точку зрения на теорему. Согласно ей теоремой будет являться не только истинное, но и ложное утверждение. Например, наряду с теоремой «Вертикальные углы равны» можно говорить и о теореме «Если углы равны, то они вертикальные», которая неверна. Этот взгляд на содержание понятия теоремы заметен в книге В. В. Репьева «Общая мето-

дика преподавания математики» и в вышеназванной статье В. Г. Болтянского.

Есть и другая точка зрения, согласно которой к теоремам относят лишь общеутвердительные или общеотрицательные истинные суждения. Она отражена, например, в книге А. А. Столяра «Педагогика математики». В концепции этой трактовки предложение «Если углы равны, то они вертикальные» не является теоремой. Авторы школьных учебников придерживаются второй точки зрения на содержание понятия теоремы.

Наконец, отметим, что для словесного выражения теорем используются категорическая и условная формы суждений.

Примеры:

1. Вертикальные углы равны.

2. Если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Нетрудно убедиться, что теоремы S⇒P и P⇒S, а также P⇒S и S⇒P равносильны друг другу, т. е. если истинна одна, то истинна и другая.

Докажем равносильность теорем S⇒P и P⇒S. Пусть имеем S⇒Р. Докажем, что P⇒S.

Предположим, что P⇒S, тогда, учитывая условие, получаем Р⇒Р, что невозможно. Следовательно, P⇒S.

Аналогично доказывается, что из условия P⇒S следует S⇒P.

Если из S следует Р, то Р называют необходимым условием для 5, т. е. необходимое условие для S — это его следствие. Теорему «Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали перпендикулярны» можно истолковать и так: для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были перпендикулярны.

Если из S следует Р, то S называется достаточным условием для Р. В нашем примере условие «Четырехугольник — ромб» является достаточным для перпендикулярности его диагоналей. Это утверждение можно сформулировать так: для того чтобы диагонали четырехугольника были перпендикулярны, достаточно, чтобы этот четырехугольник был ромбом.

Очевидно, достаточное условие не всегда является необходимым и наоборот. Например, перпендикулярность диагоналей четырехугольника является необходимым условием того, что этот четырехугольник является ромбом, но не является достаточным условием.

Однако встречаются условия, которые одновременно являются и достаточными, и необходимыми. В контексте теорем это означает истинность прямой и обратной теорем.

Равносильность указанных выше пар теорем позволяет упрощать решение проблемы необходимых и достаточных условий. Если, например, доказательство теоремы, обратной данной, затруднительно, то эту теорему можно заменить теоремой, равносильной ей, т. е. теоремой, противоположной исходной, доказательство которой может оказаться более доступным.

2. Этапы изучения теоремы

Процесс изучения теоремы включает следующие этапы: 1) мотивация изучения теоремы; 2) ознакомление с фактом, отраженным в теореме; 3) формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы; 4) усвоение содержания теоремы; 5) запоминание формулировки теоремы; 6) ознакомление со способом доказательства; 7) доказательство теоремы; 8) применение теоремы; 9) установление связей теоремы с ранее изученными теоремами.

Указанные этапы отражают деятельностную природу теоремы, идеи гуманизации и гуманитаризации образования, особенности математического знания и его усвоения. Отсюда главным в изучении теорем является не заучивание их и их доказательств, а открытие школьниками теоремы, способа доказательства, самостоятельное конструирование доказательства, применение теоремы в различных ситуациях, установление различных связей теоремы с другими теоремами.

Первые два этапа реализуются посредством построений, измерений с последующим обобщением, анализа ситуаций окружающей действительности, специальных упражнений.

Примеры:

1) С теоремой о сумме углов треугольника учащиеся могут ознакомиться, измеряя непосредственно углы треугольника. Обобщая результаты измерений, учащиеся приходят к выводу, что сумма углов треугольника равна 180°.

2) Основное свойство степени с натуральным показателем учащиеся могут выделить, выполнив упражнение: «Представьте в виде степени с показателем, отличным от единицы, произведение: а) x2х3; б) bb2-b5». После выполнения нескольких подобных упражнений учащиеся замечают, что произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней.

3) Ознакомление с закономерностью может быть осуществлено посредством выполнения цепочки взаимосвязанных упражнений. Так, ознакомление с теоремой «В треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр описанной около треугольника окружности принадлежат одной прямой» осуществляется путем выполнения следующих упражнений:

1. Постройте треугольник, гомотетичный данному треугольнику ABС относительно точки пересечения его медиан и коэффициентом гомотетии k = —1/2.

2. Постройте отрезок, в который переходит высота BD треугольника ABС при указанной гомотетии.

3. Чем является для треугольника ABС точка, в которую указанная гомотетия переведет точку пересечения его высот?

4) Знакомство с теоремами курса стереометрии может осуществ-

ляться в процессе оперирования моделями фигур, построения аналога планиметрических теорем, анализа практических приемов. Например, теорема о перпендикулярности двух плоскостей может «возникнуть» в связи с обсуждением проверки вертикальности кирпичной кладки.

Для усвоения содержания теоремы можно использовать упражнения на выделение условия и заключения теоремы; на вычленение на чертежах и моделях таких фигур, которые удовлетворяли бы условию теоремы; на выполнение чертежа, моделирующего условие и заключение теоремы. Например, усвоению формулировки теоремы «Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти две плоскости пересекаются, то их линия пересечения параллельна каждой из данных прямых» будет способствовать отыскание на моделях куба или рисунках таких фигур, которые удовлетворяли бы условию теоремы. Надо сказать, что с помощью рисунков можно открыть многие факты или убедиться в их справедливости. Так, используя графики функций, учащиеся могут самостоятельно сформулировать большинство теорем, относящихся к элементам математического анализа.

В целях облегчения запоминания громоздких формулировок теорем целесообразно поэлементное усвоение содержания теоремы. Для этого формулировка теоремы разбивается на отдельные элементы (в тексте элементы отделяются вертикальной чертой), после чего каждый из элементов используется при выполнении упражнений.

Примеры:

1. Формулировка приведенной выше теоремы может быть разбита на следующие элементы: «Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, I причем эти две плоскости пересекаются, I то их линия пересечения параллельна каждой из данных прямых». После разбиения формулировки выполняются упражнения на распознавание ситуаций, удовлетворяющих условию теоремы, с последовательным использованием каждого элемента.

2. Формулировка теоремы о квадрате двучлена разбивается на следующие элементы: «Квадрат двучлена I равен сумме трех выражений: I квадрата первого члена, I удвоенного произведения первого члена на второй I и квадрата второго члена». Затем выполняются упражнения с последовательным использованием каждого элемента.

Верны ли равенства:

Один из учащихся вызывается к доске, другой работает с текстом, остальные выполняют упражнения в тетрадях. Ученик читает: «Квадрат двучлена», другие учащиеся убеждаются, что выражение, например (а — 7)2, есть квадрат двучлена и т. д., последовательно соотнося каждый элемент формулировки теоремы с соответствующим элементом выражения. Указанное соотнесение может выполняться учащимися самостоятельно при контроле учителем их действий.

Способ доказательства может быть открыт в процессе решения

специальных задач, посредством использования восходящего или нисходящего анализа, а также различных эвристических приемов (аналогии, обобщения, приема опорных задач, приема достраивания фигуры, приема введения нового неизвестного, приема представления задачи в пространстве состояний и т. д.).

Примеры:

1. Доказательство теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника опирается на следующий прием: чтобы сравнить два угла, надо ввести в рассмотрение третий угол, связанный с этими двумя углами. Кстати, этот прием широко используется при доказательстве многих теорем. Открыть его учащиеся могут, выполняя упражнение: «На стороне ВС треугольника ABС взята точка D так, что AB = BD. Доказать, что ∠BAD > ∠C». Данное упражнение имеет широкий целевой спектр: знакомит учащихся с новым способом доказательства, актуализирует знания и умения, необходимые при доказательстве теоремы.

2. Пусть доказывается теорема: «Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм».

Воспользуемся приемом преобразования заключения.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD — параллелограмм, достаточно доказать, что АВ||CD и AD||BС. Учитывая, что две стороны параллельны по условию (пусть AB||CD), докажем параллельность сторон AD и ВС.

Для доказательства того, что AD||BC, достаточно доказать, что, например, накрест лежащие углы, образованные прямыми AD и ВС и секущей АС, равны.

Продолжая аналогичные рассуждения, получим доказательство теоремы.

3. Открыть способ доказательства помогает рассмотрение частных случаев. Так, теоремам о свойствах степеней с любым рациональным показателем можно предпослать упражнения, например на умножение степеней с конкретными показателями, выполнение которых обнаружит способ доказательства изучаемых теорем.

4. Успеху в отыскании способа доказательства иногда помогает знание «родственных» отношений между объектами. Так, блок фигур составляют хорда, перпендикуляр к ней, опущенный из центра окружности, радиус, проведенный в конец хорды, и прямоугольный треугольник, образованный этими отрезками. Взаимосвязаны два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой, описанная окружность, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. «Семью» образуют касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания. Если в задаче задана касательная, то целесообразно на соответствующем рисунке провести радиус в точку касания и использовать их перпендикулярность. Рисунок, содержащий два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой, следует дополнить окружностью, описанной около них.

Усвоение теорем, так же как и усвоение понятий, предполагает умение применять их в различных конкретных ситуациях. В учебниках математики задачи в основном и ориентированы на формирование этого умения. Однако анализ задачного материала приводит к выводу о том, что в расположении задач отсутствует взаимосвязь, мало упражнений на формирование элементарных действий, немногие задачи позволяют использовать аналогию, обобщение их и т. д. Особое внимание должно быть уделено упражнениям на установление связей между изученными теоремами, на усвоение системы теорем. Эти связи выясняются как путем анализа учебного материала, так и путем анализа самого доказательства. Полезно составление «родословной» доказательства теоремы (сводя используемые предложения к аксиомам), использование упражнений на группирование теорем по приемам их доказательства.

В зависимости от конкретного содержания теоремы, опыта школьников отдельные этапы могут опускаться. Так, при изучении теоремы, формулировка которой достаточно проста, может отсутствовать, например, этап усвоения условия и заключения теоремы.

Учитывая важность задач в реализации этапов работы с теоремой, представим соответствие между ними схемой (см. схему на с. 74).

3. Организация работы с теоремой

Рассмотрим конкретные приложения методики работы с теоремой.

3.1. Теорема о вписанном угле. Данной теореме предшествует введение понятия вписанного угла. Оно сопровождается решениями задач, в процессе которых осуществляется знакомство с понятием вписанного угла, усваиваются действия распознавания вписанных углов, их построения, выведения следствий из факта принадлежности углов к классу вписанных и их совокупности. При отборе задач следует помнить о том, что изучение теоремы надо предварить актуализацией знаний и умений, используемых при ее доказательстве, знакомством с фактом, отраженным в теореме, и способом ее доказательства. Применительно к рассматриваемой теореме эти функции выполняет следующая задача: «Найти угол ABC, вписанный в окружность с центром О, если О∈ВС и ^AС = 50°». Работа с ней может быть организована разными способами.

1-й способ. Учитель обращается к учащимся с вопросом: нельзя ли указать угол, связанный с дугой АС, зная который можно найти угол ABС? Выясняется, что таким углом является угол АОС. ∠AOC = 50° (свойство центрального угла изучено на предыдущем уроке, акцентирование на нем внимания уже поэтому важно). Заметим и то, что решение задачи опирается на эвристику: сравнение двух объектов осуществляется посредством третьего, находящегося с исходными в известных отношениях. Таким объектом и будет угол АОС. Поскольку ААВО равнобедренный, то ∠ВАО = ∠АВО. Следовательно, ∠АОС = 2∠АВО, откуда ∠АВС = 25°.

Схема

Этапы работы с теоремой

Упражнения, реализующие их

Мотивация изучения теоремы

Упражнения на измерение величин, на оперирование моделями фигур

Ознакомление с теоремой

Упражнения с практическим содержанием

Упражнения на применение ранее изученных теорем и понятий

Усвоение содержания теоремы

Упражнения на выделение условия и заключения теоремы

Запоминание формулировки теоремы

Упражнения на распознавание 7 ситуаций, удовлетворяющих теореме

Упражнения на выполнение чертежей, моделирующих условие теоремы

Ознакомление со способом доказательства

Упражнения на ознакомление с методом доказательства теоремы

Доказательство теоремы

упражнения, моделирующие способ доказательства

Упражнения на выделение в доказательстве недостающих утверждений и их обоснований

Применение теоремы

Упражнения на систематизацию теорем

Упражнения на составление «родословной» теоремы

Установление связей теоремы с теоремами, изученными ранее

Упражнения на составление плана доказательства теоремы

Упражнения на составление алгоритмов

2-й способ. Можно организовать самостоятельную работу по специальным карточкам, задание предлагается на готовом чертеже. Карточка содержит и указания, число которых зависит от возможностей учащихся. Приведем примеры наборов таких указаний.

1. а) Как связаны ∠AOC и △АВО?

2. а) Найдите ∠AOC.

б) Как найти ∠ABO, зная ∠AOC?

б) Докажите, что ∠АВО = ∠ВАО.

в) Найдите ∠АОС.

в) Найдите ∠АВО.

Еще раз подчеркнем важность заключительного этапа работы с упражнением. Основная его цель заключается в выявлении зависимости между углом ABC и дугой АС, на которую он опирается, и метода ее установления, суть которого в следующем: зависимость между ∠ABC и ^АС устанавливается посредством введения ∠АОС, отношения которого с углом ABC и дугой АС известны.

Итак, выполнение упражнения позволило открыть зависимость между вписанным углом и дугой, на которую он опирается, и способ ее обоснования в том случае, когда сторона угла содержит диаметр окружности. Теперь можно сформулировать теорему, выполнить рисунок, записать «Дано», «Требуется доказать» и коллективно наметить способ доказательства. Оформление доказательства учащиеся могут выполнить самостоятельно. Доказательство теоремы во втором и третьем случаях может быть рассмотрено самостоятельно в классе либо дома, при этом, естественно, учитель показывает, как эти случаи сводятся к первому случаю.

Работа с доказательством теоремы в основном случае может быть организована и по-другому. Сильные учащиеся могут разобрать доказательство сами, некоторым же учащимся может быть оказана помощь в виде упражнений на специальных карточках. Приведем один из возможных вариантов такой карточки.

Основанием для ее составления является доказательство теоремы о вписанном угле, оформленное в виде данной таблицы.

Утверждения

Обоснования

Количество пропусков определяется способностями учащихся. Такие карточки могут быть подготовлены учителем и даны учащимся при домашнем (или классном) разборе двух других случаев.

При обсуждении работы по карточкам следует прибегать к развертыванию того или иного логического шага. Например:

Шаг 3. В приведенной карточке ученик, продолжая строчку 3, запишет: ОА = OС. Развертывание этого силлогизма предполагает

указать большую посылку, малую посылку и вывод. Малая посылка и вывод зафиксированы на карточке.

Большой посылкой является определение равнобедренного треугольника. Рассматриваемый силлогизм имеет строение:

Б.П.: Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

М.П.: В треугольнике AOB ОА = ОВ.

Вывод: Треугольник AOB — равнобедренный.

Шаг 4. Б.П.: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

М. П.: ∠ABO и ∠BAO — углы при основании равнобедренного треугольника AОВ.

Вывод: ∠ABO = ∠BAO.

Выполнение заданий на развертывание логических шагов может осуществляться как письменно, так и устно.

Заметим, что акцентирование внимания школьников на дедуктивных выводах может осуществляться при выполнении упражнений на распознавание объектов, принадлежащих понятию, на выведение следствий из факта принадлежности объекта понятию, т. е. в процессе формирования понятия вписанного угла.

Закрепив теорему о вписанном угле на ряде простых упражнений на нахождение по данным рисунка либо величины вписанного угла, либо дуги окружности, переходим к решению более сложной задачи. Пусть это будет задача 658 («Геометрия, 7—9» авторов Л. С. Атанасяна и др.):

Через точку А к данной окружности проведены касательная AB (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите ∠ВАВ и ∠ADB, если ^BD = 110°20' (рис. 1).

Данную задачу можно решать разными способами. Рассмотрим один из них.

∠BOD = 110°20'. В равнобедренном треугольнике BOD ∠OBD = ∠ODB = 34°50'. ∠BAO = ∠BOD-∠ABO = 110°20'-90° = 20°20'.

Полезно обратить внимание учащихся на угол DBK (К — точка луча AB, не лежащая между А и В). Он равен 55° 10'. Этот угол хотя и не является вписанным, но имеет с ним много общего: его вершина принадлежит окружности, одна сторона пересекает окружность, а другая является касательной к ней. Из решения задачи следует, что этот угол, т. е. угол, образованный касательной и хордой окружности, проведенной из точки касания, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его.

Обратим внимание на угол BAD. Замечаем, что он равен полуразности дуг BD и BЕ. Сформулируем замеченное утверждение: угол,

Рис.1

вершина которого лежит вне круга, а стороны образуют касательная, проведенная через вершину, и секущая, проходящая через центр круга, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами. Обобщая это утверждение, мы приходим к гипотезе о том, что угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны его пересекают круг, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Итак, фиксируем первое сформулированное утверждение: угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его. Использование теоремы о том, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, позволяет легко обосновать частный случай утверждения: угол, образованный касательной и диаметром, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его. Последнее усиливает мысль о справедливости утверждения, к доказательству которого следует перейти. Отметим, что в учебнике А. В. Погорелова оно значится как задача 59 (§ 11).

Теперь можно перейти к обоснованию второго сформулированного утверждения. Однако опять-таки попробуем убедиться в его справедливости. Этому поможет, например, задача 661 (учебник Л. С. Атанасяна и др.):

Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из тонки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими, равны 140° и 52°.

Решение данной задачи моделирует доказательство утверждения в общем случае.

Возникает проблема выяснения связи угла, образованного двумя пересекающимися хордами окружности, с дугами, заключенными внутри сторон. Эта проблема содержится в задаче 662.

Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ^AD = 54°, ^BC = 70°.

Выполнение этого упражнения позволит ученику самостоятельно решить указанную проблему. Более того, оно открывает ученику содержание теоремы о пересечении хорд окружности. Действительно, в процессе решения задачи легко установить подобие треугольников АСЕ и BED, откуда и будет следовать равенство, фиксируемое в указанной теореме. (Ниже рассмотрен иной подход к ознакомлению школьников с этой теоремой.)

В развитие темы «Вписанные углы» можно предусмотреть задачи на оценку способов доказательства, опровержение готовых доказательств и т. д.

Пример:

Задача 663: Отрезок АС — диаметр окружности, AB — хорда, МA — касательная, угол MAB острый. Докажите, нто ∠МАВ = ∠АСВ.

Авторы учебника предполагают, по-видимому, решение, не основанное на утверждении о том, что угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его (оно рассматривается в следующей задаче): ∠MAB = 90° — ∠BAC = ∠АСВ. В следующей задаче 664 требуется доказать, что угол MAB измеряется половиной дуги AB, расположенной внутри угла MAB, где AM — касательная к окружности, AB — хорда этой окружности.

Возникает вопрос: можно ли решение предыдущей задачи считать доказательством данного утверждения? (Полнота доказательства утверждения предполагает рассмотрение случая, когда угол, образованный касательной и хордой, является тупым.)

И еще один важный аспект в контексте обучения доказательству — формирование эвристик. Равенство углов, связанных с многоугольником, иногда удается доказать, введя вписанные углы, т. е. описать около многоугольника или его части окружность. В качестве примера рассмотрим задачу 732.

В прямоугольном треугольнике ABC из точки M стороны АС проведен перпендикуляр МН к гипотенузе AВ. Докажите, что углы МНС и МВС равны.

В четырехугольнике НМСВ противоположные углы H и С — прямые, поэтому около него можно описать окружность. В новой конструкции углы МНС и МВС являются вписанными, опирающимися на дугу MC.

3.2. Теорема о пересечении хорд окружности. Актуализация опорных знаний и умений может быть осуществлена посредством серии упражнений:

а) выделите на рисунке 2 вписанные углы;

б) определите, каково соотношение между ними;

в) сделайте вывод об отношении между треугольниками АКС и BKD;

г) запишите отношение между сторонами этих треугольников.

Можно выполнить упражнения на переход от соотношения вида АК⋅ВК = CK⋅KD к соотношению вида АK:СК = KD:ВК, которое используется в доказательстве теоремы.

Указанная последовательность упражнений позволяет не только актуализировать опорные знания, но и служит приемом проверки изученного на предыдущем уроке материала. Организация выполнения упражнений может быть осуществлена разными способами:

Рис. 2

а) Учитель заранее выполняет рисунок на доске, предъявляет учащимся вопросы, и осуществляется коллективное выполнение упражнения.

б) Ученикам выдается карточка с рисунком, на доске вывешивается плакат с вопросами (формулировки вопросов могут быть зафиксированы на доске и с помощью кодоскопа). Учащиеся самостоятельно выполняют упражнения, учитель при этом консультирует учащихся и координирует их действия.

Проследим действия учащихся:

а) вписанные углы: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4;

б) ∠1 = ∠2 (опираются на ^AD), ∠3 = ∠4 (опираются на ^СВ);

в) △АКС ~ △ВKD (∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4);

Предлагаем учащимся записать первое равенство отношений АК⋅KD = CK⋅KB, содержащееся в пропорции г), в виде равенства произведений АК⋅КВ = KD⋅CК. Читаем полученное равенство: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Затем сообщается теорема о пересечении хорд, учащиеся в тетрадях выполняют рисунок, учитель может выполнить его на доске (этот рисунок служит и средством контроля правильности выполнения рисунка учащимися), записывается (в тетрадях и на доске) факт, подлежащий доказательству.

Обратим внимание читателя на то, что открытие теоремы учащимися было сделано посредством выполнения цепочки упражнений, актуализирующих опорные знания и умения, адекватные рассматриваемой теореме. Учащиеся были подведены сразу к общей формулировке закономерности. В данной ситуации этот путь является самым оптимальным, потому что открыть теорему посредством измерений, построений малоестественно.

Работа с доказательством теоремы может быть осуществлена по-разному. Она может вестись в контексте как восходящего анализа, так и нисходящего. Рассмотрим эти приемы:

а) Коллективный поиск способа доказательства с последующей самостоятельной работой.

Учитель ведет примерно следующую беседу с учащимися.

Учитель. Итак, нам нужно доказать равенство двух произведений. Каким образом можно преобразовать это равенство? (Предыдущие упражнения помогут проявлению нужного действия: преобразовать равенство произведений в равенство отношений AK⋅KD = CK⋅КВ.)

Учитель. Что нужно знать для доказательства полученного равенства?

Ученик. Подобие треугольников АКС и BDK.

Учитель. Что можно утверждать об указанных треугольниках?

Ученик. ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 (либо ∠AKC = ∠BKD).

Затем осуществляется самостоятельная работа с учебником. Учитель акцентирует внимание учащихся на основных положениях доказательства. (Почему ∠1 = ∠2? Откуда следует подобие треугольников АКС и BKD? Что следует из подобия этих треугольников?)

б) Коллективный поиск способа доказательства с последующим использованием карточек.

Первая часть приема осуществляется так же, как и в предыдущем случае. Вторая часть приема реализуется с помощью карточек. Вот одна из них.

Утверждения

Обоснования

Естественно, некоторые ученики могут разобраться в доказательстве без карточек, другие нуждаются в более тщательном пояснении (карточки для них будут содержать незначительное число пропусков).

в) Самостоятельная работа с учебником. Этот прием может быть реализован следующим образом. Учитель предлагает учащимся прочитать абзац доказательства и ответить на вопросы. Чтение первого абзаца сопровождается вопросами: о каких фигурах идет речь в прочитанном абзаце? Могут ли эти хорды располагаться не так, как на рисунке учебника? (Они могут быть перпендикулярными, одна из хорд либо обе могут быть диаметрами окружности.)

Усвоение второго абзаца осуществляется посредством ответов на вопросы: почему ∠1 = ∠2? Почему ∠3 = ∠4? Почему △AKC ~ △BKD?

Откуда следует равенство AK/DK = CK/BK? Почему утверждаем, что АК⋅ВК = СК⋅DK?

г) Коллективный поиск способа доказательства теоремы и коллективное доказательство.

Этот прием отличается от рассмотренных выше тем, что доказательство осуществляется всеми учащимися под руководством учителя. При этом запись некоторых шагов доказательства на доске учителем может осуществляться после соответствующей записи учащимися в тетрадях.

Работу с доказательством можно вести и в контексте нисходящего анализа. Этот вид соотносится с приемом опровержения утверждения: из утверждения выводится следствие, противоречащее заведомо истинному предложению. Если же окажется, что к такому следствию не придем, тогда усиливается уверенность в справедливости доказываемого утверждения и находится отправное положение в доказательстве теоремы.

Итак, пусть

(1)

Из верности равенства (1) следует верность равенства

(2)

Из равенства (2) и того, что углы АКС и DKB вертикальные, следует подобие треугольников АКС и DKB.

Из подобия треугольников ЛКС и DKB следует равенство соответствующих углов, т. е.

∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4. (3)

Углы 1 и 2, 3 и 4 действительно равны, поскольку они опираются соответственно на дугу AD и дугу ВС.

Процесс выведения следствий из доказываемого утверждения не привел ни к каким противоречиям. Этот результат еще раз подтверждает верность утверждения и указывает отправное действие в доказательстве теоремы, заключающееся в построении треугольников ЛКС и BKD (ВКС и AKD). Затем осуществляется переход к доказательству их подобия и выведение следствий, конечным из которых будет являться доказываемое утверждение.

В процессе работы с доказательством, как уже было отмечено, можно предлагать учащимся развернуть тот или иной силлогизм: выделить общее и частное положения, вывод, указать правило вывода. На этапе применения теоремы следует развивать видение ситуаций, удовлетворяющих теореме, ее конкретных приложений. Надо предложить учащимся рассмотреть случай, когда хорды перпендикулярны и одна из них является диаметром. Этот случай является частным, а потому доказанная теорема справедлива для него. Доказанное равенство AК⋅КВ = KD⋅CK в этой ситуации (AВ — диаметр) имеет следующий вид: СК2 = AK⋅KВ (легко доказать, что CK = KD). Учащиеся должны будут перевести полученный результат на язык новой ситуации и сформулировать доказанное утверждение. Такая работа имеет большое значение для математического воспитания школьников. Ее продолжением будет построение интерпретации доказанного факта, когда отрезок CK мыслится как высота, опущенная из вершины прямого угла треугольника ACВ на гипотенузу AB.

Развитие закономерности можно получить за счет использования обобщения, приводящего к рассмотрению ситуации, которую образуют прямые, содержащие хорды AB и CD и пересекающиеся в некоторой точке, не принадлежащей кругу. Предельный случай ситуации возникает тогда, когда секущая становится касательной, и т. д.

Еще раз подчеркнем важность выделения идеи доказательства. В рассматриваемом случае в основе доказательства теоремы лежит идея подобия треугольников в сочетании со свойствами вписанных углов. Эта идея лежит также в основе доказательства теорем-обобщений, их частных случаев. Так, доказательство теоремы о произведении отрезков секущих, проведенных из одной точки к окружности, аналогично доказательству теоремы о произведении отрезков хорд окружности, пересекающихся в некоторой точке. Эта идея работает и при доказательстве утверждения о равенстве квадрата отрезка касательной и произведения отрезков секущей, имеющей с касательной общую точку, отличную от точки касания. Весь блок утверждений, доказательства которых опираются на идею подобия треугольников в сочетании со свойствами вписанных углов, должен быть выделен и сгруппирован вокруг стержневой мысли доказательства.

Итак, существуют разные способы введения теоремы. Она может быть открыта учащимися в процессе выполнения упражнений, различных измерений, построений, анализа явлений окружающей действительности. Она может быть сообщена и учителем, особенно в старших классах, сформулирована по аналогии и т. д. После ознакомления с теоремой желательно проверить ее справедливость на частных случаях, на моделях, постараться поискать контрпримеры, которые опровергали бы закономерность в определенных ситуациях. В случае наличия контрпримеров необходимо откорректировать условие теоремы, затем попробовать вывести из предположения о справедливости доказываемого утверждения заведомо ложное утверждение. Наличие такого факта отвергает справедливость доказываемого положения, а отсутствие подкрепляет предположение о его истинности.

4. Логические основы доказательства

Способ связи аргументов от условия к заключению суждения называют методом доказательства. Методы доказательства делят на прямые и косвенные. Различают приемы прямого доказательства: прием преобразования условия суждения (синтетический); прием преобразования заключения суждения: отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ); отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ); прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения. К приемам косвенного доказательства относят: 1) метод от противного (истинность доказываемого утверждения устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения); 2) разделительный (доказываемое утверждение рассматривается как один из возможных вариантов предложений, когда все предположения отвергаются, кроме одного). В зависимости от математического аппарата методы доказательства разделяются на алгебраические, метод геометрических преобразований, векторный и др. Рассмотрим перечисленные приемы.

1. Прием преобразования условия (синтетический).

Суть синтетического доказательства заключается в том, что из условия выводят следствие B1, затем из B1 выводят B2 и так далее до тех пор, пока следствием не окажется заключение теоремы. Другими словами, суть рассматриваемого приема состоит в доказательстве того, что заключение необходимо для условия доказываемого предложения. Схематично этот вид рассуждения можно изобразить так:

Заметим то, что выведение предложений осуществляется с привлечением известных фактов (теорем, аксиом, определений). Учитывая это, суть синтетического доказательства можно изобразить следующим образом: Т, У⇒З, где Т — предложение некоторой теории, а У и З — соответственно условие и заключение доказываемого предложения.

2. Прием преобразования заключения (восходящий анализ).

Процесс рассуждения по методу восходящего анализа можно изобразить следующей схемой:.

Для доказательства заключения подбирают суждение B1, являющееся достаточным условием для заключения, затем подбирают суждение B2, достаточное для B1, и так далее до тех пор, пока не обнаружат, что данные являются достаточным условием для суждения Bn из цепи суждений, достаточных для заключения доказываемого предложения. Другими словами, суть метода восходящего анализа состоит в доказательстве того, что условие теоремы достаточно для ее заключения.

3. Прием преобразования заключения (нисходящий анализ).

Сущность нисходящего анализа заключается в следующем: исходя из допущения, что заключение доказываемого предложения верно, получают следствия B1, B2 и так далее до тех пор, пока не приходят к выводу, который может служить исходным соотношением в цепи обратных рассуждений. Очевидно, что этим путем находят условие, необходимое для заключения доказываемого предложения. Поэтому в отличие от восходящего анализа этот вид анализа не является доказательным. Установление того, что найденное верное соотношение является и достаточным условием для доказываемого утверждения, — суть соответствующего ему вида синтеза.

Нисходящий анализ применяется при решении задач на построение, что выражается в следующем: предполагают, что задача решена — требуемая фигура построена, и путем различных преобразований этой фигуры отыскивают такую фигуру, которую можно построить и которая определяла бы построение искомой фигуры. Известно, что компонентом решения задачи на построение является доказательство, которое и имеет целью обосновать, что построенная фигура удовлетворяет заданным требованиям.

В следующей главе рассмотрены примеры применения указанных приемов в конкретных ситуациях.

4. Прием последовательного преобразования то условия, то заключения утверждения.

Реальный процесс доказательства некоторого предложения не осуществляется только по одному пути: аналитическому либо синтетическому. Он следует как по одному, так и по другому. Применительно к теореме «Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм» процесс ее доказательства будет осуществляться примерно следующим образом.

Пусть в четырехугольнике ABCD AB || CD и AB = CD.

Учитель. Как доказать, что четырехугольник ABCD — параллелограмм? (Что нужно знать, чтобы утверждать, что четырехугольник ABCD — параллелограмм?)

Ученик. Для этого надо доказать, что AB || CD и AD || ВС.

Учитель. Как доказать параллельность двух прямых?

Ученик. Для этого надо доказать, что выполняется один из признаков параллельных прямых.

Учитель. Давайте обратимся к условию теоремы. Нет ли в условии того, что облегчит наш дальнейший поиск?

Ученик. В условии сказано, что AB||CD. Значит, нам нужно доказать, что AD || ВС.

Учитель. Как это сделать?

Ученик. Можно воспользоваться одним из признаков параллельности прямых. Надо доказать, что ∠A + ∠В = 180° (∠С + ∠D = 180°) и т. д.

Предлагаем читателю самостоятельно завершить рассуждения учителя и ученика.

5. Метод от противного.

Вопрос о содержании метода доказательства от противного в методической литературе освещался неоднократно. Авторы работ, посвященных этой теме, обычно рассматривают его как замену доказательства данной теоремы доказательством теоремы, противоположной обратной. Так, И. С. Градштейн в книге «Прямая и обратная теорема» (М.: Наука, 1972. — С. 43) пишет: «Часто непосредственное доказательство той или иной теоремы представляет большие затруднения (иногда оказывается даже невозможным), между тем как доказательство теоремы, противоположной обратной, не представляет особой сложности. В таких случаях вместо прямой теоремы доказывают равносильную ей противоположную обратной. Однако вместо того чтобы говорить о замене доказательства данной теоремы доказательством теоремы, противоположной обратной, говорят о доказательстве от противного.» Логическая основа метода доказательства от противного усматривается в эквивалентности импликации А⇒В и ее контрапозиции В ⇒А . Однако такая трактовка этого метода несколько ограничивает его содержание.

Рассматривая принцип доказательства теоремы методом от противного в более широком плане, мы показываем, что предложение о ложности заключения теоремы приводит к противоречию с аксиомой или с уже известной теоремой. Формулировка принципа доказательства от противного может быть дана в следующей форме: пусть Г — множество посылок, включающее аксиомы, определения и ранее доказанные теоремы теории, на языке которой выражено и доказываемое предложение Т. Тогда допущением косвенного доказательства будет Т. Устанавливается следование Г, Т⇒А, где А∈Г. По свойствам следования имеем также Г, Т⇒А. Но из Г, Т⇒А и Г, Т⇒А получаем Г⇒Т (см.: Современные основы школьного курса математики: Пособие для студентов пед. ин-тов/Н. Я. Виленкин, К. И. Дуничев и др. — М.: Просвещение, 1980. — С. 230).

Сведение доказательства импликации к доказательству ее контрапозиции является частной формой метода доказательства от противного, при которой показывается, что предложение о ложности теоремы приводит к противоречию с исходным предложением. Однако часто проще получить противоречие не с исходным предложением, а с аксиомой или ранее доказанной теоремой.

6. Метод исключения предложений.

Теорема. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Обозначим прямые пересечения через а и b, а параллельные плоскости — α, ß, тогда могут представиться следующие случаи: а) а и b — скрещивающиеся прямые; б) а и b пересекаются; в) а и b параллельны. Случай а) отвергается сразу, так как прямые a и b принадлежат одной плоскости. Если бы имел место случай б), то плоскости α и ß пересекались бы, а нам известно, что они параллельны. Остается принять случай в), т. е. а||b.

Различают содержательные и формальные доказательства, применяющиеся соответственно в содержательных (неформальных) или полуформальных и в формальных математических теориях.

Школьный курс математики включает начальные фрагменты некоторых математических теорий (алгебры, геометрии, анализа) в содержательном изложении. Поэтому и доказательства в школьном курсе математики строятся как содержательные доказательства, в которых используются обычные рассуждения, а правила логического вывода не фиксируются. Процедура доказательства опирается не только на объекты математики, в ней используются и понятия обычного, естественного языка (а также понятия физики, механики и т. д.). К тому же зачастую либо делается ссылка на интуитивно ясные факты, либо применяются теоремы, не доказанные в курсе геометрии. Отказ от интуитивных моментов потребовал бы поднять уровень доказательства, что невозможно из-за возрастных особенностей школьников. Но тем не менее возможно даже на самых первых уроках геометрии VII класса использовать развернутую запись доказательства теоремы с акцентированием внимания на утверждениях, обоснованиях и умозаключениях. Ясно, что сказанное не исключает важности приобщения школьников к открытию фактов и способов их обоснований.

Надо сказать, что уровень строгости доказательства зависит от построения школьного курса геометрии. Например, учебник геометрии А. В. Погорелова построен на аксиоматике, которая предполагает постепенное усиление строгости доказательности утверждений. Построение учебника геометрии авторов Л. С. Атанасяна и др. осуществляется на дедуктивной основе, но сама система аксиом не вводится, для аргументации используются ранее доказанные теоремы, интуитивно ясные положения, свойства фигур, вычитанные из рисунка. Ряд учебников геометрии отличает то, что используемая в них система аксиом вводится в начале курса, раскрывается смысл терминов «аксиома», «теорема», «доказательство». Ясно, что последний вариант учебников предоставляет возможность осуществлять доказательства уже на достаточно высоком уровне строгости, который, естественно, должен отвечать возрастным особенностям школьников.

Каждая теорема содержит утверждения, относящиеся ко всем объектам определенного рода и отношениям между ними. Между тем доказательство, будучи связано с конкретным чувственно-наглядным образом — рисунком, строго говоря, относится к последнему и только

через него — уже к тем идеальным объектам, для которых данный образ считается полноправным представителем. Это положение вместе с сжатостью изложения доказательств в школьном курсе геометрии требует не только развернутой записи доказательства в виде последовательности предложений, но и обращения к умозаключениям, к выделению посылок, т. е. фактов, определений, теорем, используемых при выводе.

5. Обучение доказательству

Проблеме обучения доказательству посвящено большое количество работ, обобщение которых дано в книге автора данного пособия «Обучение математическим доказательствам в школе» [14]. Остановимся на основных положениях этой проблемы.

5.7. Что понимать под обучением доказательству? Оказывается, в разные периоды развития методики обучения математике вкладывали различный смысл в содержание этого понятия. Примерно до 60-х гг. оно отождествлялось с заучиванием готовых доказательств. Истоки такого представления восходят к Евклиду и закрепляются трудами Аристотеля, Гильберта, которые сводили доказательство к его логической форме. Поскольку учащиеся не владели правилами вывода, то под обучением доказательству и можно было понимать лишь заучивание и воспроизведение доказательств, содержащихся в учебниках математики. Эта мысль очень ярко выражена в одной из работ того времени. В статье «К вопросу о понимании геометрических доказательств учащимися» (Изв. АПН РСФСР, вып. 54, 1954) Ф. Н. Гоноболин выделяет три уровня понимания. Первый характеризуется тем, что учащиеся схватывают лишь отдельные фрагменты доказательства, без последующей их связи друг с другом; основная черта второго уровня состоит в понимании учащимися последовательной связи отдельных элементов доказательства, но без выделения логической схемы; третьему уровню свойственно понимание идеи доказательства.

Ясно, что продвижение ученика в овладении приведенными уровнями понимания доказательства невозможно вне обучения его логическим действиям. Некоторые исследователи (Г. А. Буткин, М. Б. Волович, Э. И. Айвазян и др.) обращают внимание на это. Так, рекомендуется специально обучать действиям подведения объекта под понятие, выведения следствий, правилам импликации, дедукции и т. д. Особо отметим работы А. А. Столяра по реализации логической составляющей доказательства. Однако, несмотря на значительные усилия исследователей, проблема обучения школьников логическим действиям не получила удовлетворительного решения. По-видимому, одной из причин этого было то, что предложенные авторами средства, в частности задачи, ориентированные на формирование действий, не вписывались в тогдашнее представление о содержании обучения математике, методике формирования понятий и работе с теоремой.

С начала 70-х гг. под влиянием книг Д. Пойа, работ Ю. М. Колягина, 3. Крыговской, П. М. Эрдниева и др. меняется представление

об обучении доказательству. Акцент смещается в сторону эвристической составляющей доказательства. Несколько категорично эта мысль выражена А. А. Столяром: «Под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, а не обучение воспроизведению и заучиванию готовых доказательств» [16, с. 145]. Новый акцент в обучении доказательству значительно стимулировал исследование проблемы методики обучения решению задач, в частности обучения поиску способа решения задачи, использованию методов научного познания и эвристических приемов в изучении математики. Надо сказать, что, хотя в теории обучения решению задач и произошел поворот в сторону приобщения ученика к поисковой деятельности, в школьной практике ощутимых конкретных успехов в обучении доказательству было мало. Основная причина этого заключалась в том, что рекомендации по реализации эвристической составляющей не имели необходимой логической основы. Кстати, это было замечено З. И. Слепкань, которая отмечала, что под обучением доказательству следует понимать обучение учащихся готовым доказательствам, предлагаемым учителем или учебником, и обучение самостоятельному поиску доказательств [15]. Отметим еще одну важную мысль, содержащуюся в названной книге. Готовые доказательства, подчеркивает З. И. Слепкань, должны выступать как модели, на которых школьники обучаются приемам умственной деятельности, лежащим в основе умения доказывать, применению различных методов доказательств, самостоятельному поиску доказательства. Однако практическая реализация этих важных и интересных мыслей не была найдена.

Удивительно, что многие годы оставалась и остается незамеченной книга И. Лакатоса «Доказательства и опровержения», в которой были высказаны важные положения об обучении доказательству. В частности, автор выделяет следующие уровни владения доказательством: 1) понимание и воспроизведение готовых доказательств; 2) самостоятельный разбор готового доказательства; 3) осуществление самостоятельного доказательства; 4) опровержение предложенных доказательств. Мысль о важности последнего уровня подчеркивалась в работах Я. С. Дубнова, В. Л. Минковского, А. И. Фетисова и др.

Прежде чем сформулировать обобщенную концепцию обучения доказательству, выделим ряд психологических положений, имеющих к ней непосредственное отношение: 1) структуры мозга, руководящие аналитической деятельностью, формируются к 13—14 годам; 2) развитие доказательного мышления проходит две стадии. В собственно подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их. В юношеском же возрасте уже заметно выступает критическое отношение к готовым доказательствам (П. П. Блонский, С. Л. Рубинштейн, М. Г. Ярошевский).

Резюмируя все вышесказанное, приходим к выводу, что обучение доказательству есть обучение анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и

конструированию доказательства, а также опровержению предложенных доказательств. Особенность данной концепции не только в расширенном толковании обучения доказательству, но и в том, что она не противопоставляет логику и эвристику, а объединяет обе составляющие в единое целое. Практическая реализация этой концепции требует ее методического анализа.

5.2. Начальный уровень обучения доказательству характеризуется формированием понимания учащимися необходимости логических обоснований, навыков осуществлять простейшие дедуктивные выводы и понимания того, что из одних утверждений логическим путем можно выводить новые утверждения. Он соотносится в основном с обучением математике учащихся V—VI классов.

Следующий уровень включает умение школьников осуществлять цепочки дедуктивных умозаключений, а также владение действиями выведения следствий, преобразования требования задачи (заключения теоремы) в новое, из которого данное вытекает как следствие, составления вспомогательных задач. Эти действия образуют основу поиска способа решения задачи (доказательства теоремы), а также применения методов научного познания (аналогии, обобщения и т. д.) в различных ситуациях и в этом смысле имеют эвристический характер. Этот уровень по своему содержанию соотносится с первыми разделами систематических курсов геометрии и алгебры, которые включают в себя и многие эвристики, основанные на ассоциациях: «равенство отрезков — равенство треугольников», «равенство углов — равенство треугольников», «сторона а треугольника больше стороны b — угол, лежащий против стороны a, больше угла, лежащего против стороны b»; «сравнить два объекта — ввести в рассмотрение третий объект, находящийся с данными в известных отношениях», «a > b — (а — b) > 0» и т. д. Обучение умениям осуществлять цепочки логических шагов в доказательстве и применять указанные эвристики составляет содержание рассматриваемого уровня в обучении доказательству.

Доказательства в школьном курсе геометрии содержательны, свернуты. В них присутствует в значительной мере интуитивный компонент, а порой даже делается ссылка на утверждение, отсутствующее в учебнике. Анализ доказательства: выделение логических шагов, поиск и устранение логических пробелов, развертывание дедуктивных умозаключений в логическую схему, выделение идеи доказательства и его воспроизведение составляют содержание следующего уровня усвоения доказательства. Этот анализ готовит учащихся к самостоятельному поиску и осуществлению доказательства. Немаловажное значение в этом принадлежит и вооружению школьников эвристическими приемами, начало чему положено на предыдущем уровне усвоения доказательства. Эвристическая составляющая переходит в такие приемы, как прием элементарных задач, прием представления задач в пространстве состояний, прием аналогии, прием обобщения и т. д. Возможности учебников, особенно учебников геометрии, для формирования указанных эвристических приемов значительны. Уже изучение первых теорем, например признаков равенства треугольников, способствует

формированию метода аналогии, а заключительный этап работы с задачей является хорошим средством обучения школьников обобщению и конкретизации. Приобщение учащихся к самостоятельному доказательству с использованием различных эвристик составляет содержание нового уровня в обучении доказательству, который соотносится с учебниками для VII—VIII классов.

Участие школьников в самостоятельном открытии фактов, формулировках, конструировании доказательств, естественно, сопряжено с возникновением различного рода ошибок, поэтому важно умение критически оценивать результаты своей работы и работы своих товарищей, которое и формируется в процессе опровержения предложенных утверждений и доказательств. Этот наиболее высокий уровень обучения доказательству обоснован и результатами психологических исследований. Вспомним хотя бы работы П. П. Блонского, в которых отмечается наличие в юношеском возрасте способности критического отношения к окружающему и изучаемому, развитие которой предполагает адекватную этой способности деятельность, а таковой и является деятельность по опровержению готовых доказательств. Этот уровень обучения доказательству можно отнести к VIII—IX классам.

В старших классах обучение доказательству включает самостоятельное открытие фактов, их обоснований, выбор наиболее рационального способа аргументации, опровержение предложенных рассуждений, их корректировку, составление задач и т. д.

5.3. Важной составляющей в работе учителя по обучению школьников доказательству является формирование потребности в логических обоснованиях. Прежде всего отметим, что не потеряли значения рекомендации об использовании вычислений, измерений, построений как способов обоснования утверждений. Воспитанию потребности в обосновании истинности утверждений, хотя и в небольшой мере, способствуют упражнения, связанные с иллюзией зрения. Ошибки подобного рода можно устранить, например, измерением.

Очевидно, что воспитать потребность в рассуждениях можно только в процессе рассуждений. Поэтому необходимы такие упражнения, в которых учащиеся убеждались бы в справедливости утверждения общим рассуждением.

Примеры:

1. Верны ли утверждения:

а) все ломаные состоят из трех звеньев;

б) всякий квадрат является прямоугольником?

Первое утверждение легко опровергается приведением ломаной, состоящей, например, из четырех звеньев. Со вторым утверждением сложнее, поскольку построения, измерения, примеры не помогут решить задачу: в данной ситуации необходимо логическое рассуждение. Оно может быть таким: у всякого квадрата углы прямые. Четырехугольник с прямыми углами есть прямоугольник. Значит, всякий квадрат есть прямоугольник.

2. Существует ли треугольник, длины сторон которого равны 4 см, 6 см, 7 см?

Ответ на вопрос можно дать как с помощью построения треугольника, так и с помощью логического рассуждения. Второй вариант таков: существует треугольник со сторонами 4 см, 6 см, 7 см, так как 4 + 6 > 7.

3. Прямая а пересекает стороны угла А в точках Р и М. Могут ли обе прямые АР и AM быть перпендикулярными к прямой а?

Решение данной задачи является «одношаговым», основу его составляет правило отрицания. Использование доказательств следует начинать с таких «одношаговых» задач, переходя затем к «двушаговым» и т. д.

4. Один из смежных углов равен 40°. Найти другой угол.

Сумма смежных углов равна 180°. Данные углы смежные. Значит, их сумма равна 180° (1-й шаг). Неизвестное слагаемое равно разности суммы и известного слагаемого. Сумма и известное слагаемое равны соответственно 180° и 40°. Следовательно, угол, смежный с углом в 40°, равен разности 180° и 40°, т. е. 140° (2-й шаг).

Воспитанию потребности в логических обоснованиях утверждений будет способствовать использование упражнений «бытового» содержания: можно ли на основании предложений: «В понедельник я хожу в школу. Сегодня я был в школе» — сделать вывод: «Сегодня понедельник»?

В контексте понимания того, что из одних утверждений можно выводить другие, целесообразно специально на этом акцентировать внимание учащихся при решении задач. Поясним суть этой работы на задаче: «Докажите, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°». Доказав требование задачи, подчеркиваем, что утверждение «Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°» выведено из утверждений: «Сумма углов треугольника равна 180°»; «Один из углов прямоугольного треугольника равен 90°».

Эту идею можно формировать и при решении арифметических задач. Пусть решается задача: «Рабочий изготовил в час на 5 деталей больше, чем ученик. За 2 часа совместной работы они сделали 58 деталей. Сколько деталей в час изготовил рабочий и сколько ученик?» Учащиеся нашли, что рабочий в час изготовлял 17 деталей, а его ученик — 15 деталей. После этого внимание учащихся обращается на то, что из утверждений: 1) рабочий изготовлял в час на 5 деталей больше, чем ученик; 2) за 2 часа совместной работы они сделали 58 деталей — мы получили утверждения: 3) рабочий изготовлял в час 17 деталей; 4) ученик изготовлял в час 12 деталей.

Дальнейшее развитие этой идеи может осуществляться в направлении выведения «неочевидных» утверждений, выяснения зависимостей между утверждениями, составления новых задач путем варьирования утверждений. Например: «Рабочий изготовлял в час на 5 деталей больше, чем ученик. Ученик изготовлял 12 деталей. Сколько деталей изготовлял рабочий и сколько деталей они изготовили за 2 часа совместной работы?» Такая постановка вопроса не только не снижает смысловой нагрузки задачи, но и способствует уяснению зависимости между условием и заключением теоремы, пониманию сущности логического вывода. Полезны и упражнения такого характера: «В автобусе было 50 пассажиров. На одной остановке из него вышло 12 пассажиров, на другой — 18. Сформулируйте несколько утверждений, которые

следуют из данных». Такими утверждениями могут быть: 1) на остановках вышло 30 пассажиров; 2) в автобусе осталось, после выхода пассажиров на двух остановках, 20 человек и т. д.

Формированию потребности в доказательствах способствует использование «визуальных» доказательств. Особенно они эффективны на ранней ступени обучения, так как у учащихся этого возраста преобладает наглядно-образный тип мышления.

Примеры:

1. Какой способ сложения проще?

2. Доказать, что n2 — (n — 1) (n + 1) + 1, где n — натуральное число, большее 1.

3. Что больше:

4. Доказать:

Идея визуализации математики используется в существующих школьных учебниках, в частности, при обосновании правила умножения дробей, алгебраических тождеств, геометрических фактов и т. д. Однако визуализация не снимает проблемы обучения школьников навыкам дедуктивного мышления, которая далека от положительного решения, хотя еще П. П. Блонский отмечал, что младшему школьному возрасту посильны рассуждения по схеме правила заключения и правила отрицания.

Однако специально подобранный для формирования навыков дедуктивного вывода материал не вписывался в школьные учебники математики. Иную ситуацию мы имеем сейчас.

Общеизвестно, что важным элементом методики формирования понятий являются упражнения на распознавание объектов, принадлежащих понятию.

Пример. Какие из углов, изображенных на рисунке 3, являются смежными?

Углы 1 и 2 (рис. 3, а) являются смежными, потому что у них общая сторона, а две другие образуют дополнительные лучи.

Рис.3

Полная структура обоснования такова.

Если у двух углов одна сторона общая, а две другие — дополнительные лучи, то такие углы являются смежными.

Углы 1 и 2 имеют общую сторону, а две другие их стороны — дополнительные лучи.

Углы 1 и 2 смежные. Обобщенная схема рассуждений имеет вид А⇒В, A/B и называется правилом заключения.

Углы 1 и 2 (рис. 3, б) не являются смежными, поскольку не имеют общей стороны (хотя две их стороны образуют дополнительные лучи). Полная структура умозаключения такова.

Если углы являются смежными, то у них одна сторона общая, а две другие — дополнительные лучи.

Углы 1 и 2 не имеют общей стороны.

Углы 1 и 2 не являются смежными.

Обобщенная схема умозаключения имеет вид A⇒В, В/A (правило отрицания).

Курс математики V—VI классов дает хорошую возможность для пропедевтики формирования умений рассуждать по указанным схемам.

Пример. Какая из дробей больше: 3/15 или 8/15 ?

Из двух дробей с равными знаменателями больше та, числитель которой больше.

Числитель дроби 8/15 больше числителя дроби 3/15.

Значит, дробь 8/15 больше дроби 3/15.

При выполнении подобных упражнений учитель озвучивает свои действия и требует этого от учащихся. Например, выполняя сложение дробей 4/8 и 3/8, ученики должны рассуждать так: дроби 4/8 и 3/8 имеют один и тот же знаменатель. При сложении дробей с равными знаменателями надо сложить их числители и оставить тот же знаменатель.

Следовательно, при сложении дробей 4/8 и 3/8 нужно сложить 4 и 3, оставив знаменателем 8, т. е.

Легко заметить, что основу обоснования составляет правило заключения. Конечно, не следует надеяться на то, что ученики сразу же начнут грамотно рассуждать. Учитель должен терпеливо и настойчиво внедрять подобные рассуждения в обоснования учащихся и давать при этом образцы рассуждений.

Еще пример из учебника математики Э. Р. Нурка и А. О. Тельгмаа.

Упражнение 603: «Какие из углов, изображенных на рисунке 4:

1) больше 90°; 2) меньше 90°; 3) равны 90°?»

Рис.4

Приведем рассуждения, сопутствующие выполнению первой части упражнения. Угол больше 90°, если прямой угол является его частью. Угол ЕОВ содержит прямой угол. Значит, угол ЕОВ больше 90°.

Обучение школьников умению логически рассуждать — важная задача учителя математики. При хорошо организованной пропедевтической работе в V—VI классах учащиеся VII класса уже с первых уроков овладевают рассуждениями, основу которых составляют правила заключения и отрицания, и используют эти правила в дальнейшем в качестве ориентировочной основы выполнения действий распознавания. Такая работа должна проводиться при выполнении упражнений не только на распознавание объектов, принадлежащих понятию, но и на распознавание ситуаций, удовлетворяющих теореме.

Пониманию структуры наиболее употребимых дедуктивных умозаключений может способствовать использование специальных упражнений на отыскание: а) большой посылки; б) малой посылки; в) вывода.

Примеры:

Запишите пропущенные утверждения:

а) Вертикальные углы равны.

в) Углы при основании равнобедренного треугольника равны. △АВС — равнобедренный.

Выполнение подобных упражнений должно подкреплять изучение первых теорем курса геометрии VII класса.

С первых уроков геометрии следует осуществлять систематическую работу и по формированию действий выведения следствий, переформулировки требования задачи, составления вспомогательных задач, образующих основу эвристических приемов. (Ясно, что пропедевтика их формирования может и должна осуществляться еще в V—VI классах.) Можно предложить следующую последовательность формирования указанных действий, которая учитывает усложнение структуры действий. Вначале акцент делается на овладении умениями извлекать информацию из условия и требования задачи, вычленять отдельные элементы, комбинировать их, соотносить требование с условием и т. д.

Примеры:

1. На луче AB отложен отрезок АС. При каком условии точка С лежит между точками А и В?

2. От вершины С равнобедренного треугольника ABC отложены отрезки СA1 на стороне АС и СB1 — на стороне СВ. Дополните условие так, чтобы из него следовало равенство треугольников САB1 и СВA1.

Подобные упражнения выполняются, как правило, устно при изучении соответствующих фактов: упражнение 1 — при изучении основных свойств откладывания отрезков, упражнение 2 — равенства треугольников.

В качестве примера рассмотрим методику работы с упражнением 1.

После выделения условия, заключения, выполнения рисунка проходит примерно следующая беседа.

Учитель. Итак, нам известно, что отрезок АС отложен на луче AВ. Что можно сказать о расположении точек А, В и С, если точки В и С не совпадают?

Ученик. Либо С лежит между А и В, либо В лежит между А и С. Учитель. А что нам надо установить?

Ученик. Надо найти условие, которое вместе с данным позволило бы сделать вывод: С лежит между А и В.

Учитель. Что еще нужно знать, чтобы утверждать, что С лежит между А и В?

Ученик. Отрезок АС меньше отрезка AB.

Учитель. Какое же утверждение мы должны включить в условие? Ученик. АС < АВ.

Оформление решения этой задачи может быть таким: С лежит между А и В при условии: С∈AB, АС < АВ.

Сама же беседа обучает школьников четкой формулировке вопросов, ответов на них, служит образцом рассуждений.

Последующая серия упражнений ориентирована на овладение учащимися действием выведения следствий из данных. Это действие является важным компонентом логической составляющей доказательства, однако оно зачастую помогает найти путь к решению задачи, и в этом случае прием выведения относят к эвристическим приемам.

Примеры:

3. Точка С лежит между точками А и В, а точка X — между точками А и С. Докажите, что точки А, В, С и X принадлежат одной прямой. Сформулируйте все утверждения, полученные в процессе решения этой задачи.

4. Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30°. Что следует из этого?

При выполнении подобных упражнений внимание учащихся акцентируется на выводимых следствиях, что прямо подчеркивается в требовании задачи. Полученные следствия и данные утверждения можно использовать для составления учащимися задач. Выполняя упражнения этой группы, можно прибегать к «развертке» получения отдельных следствий с указанием большой и малой посылок.

На первых уроках геометрии VII класса специальным предметом формирования должен быть прием переформулировки требования задачи (заключения теоремы). Сущность его заключается в замене требования задачи равносильным ему. Очевидно, использование приема предполагает владение действиями выведения следствий, подведения объекта под понятие, навыками анализа ситуаций. Приведем

примеры упражнений, ориентированных на усвоение приема переформулировки требования задачи.

5. Решите задачи, заменив предварительно их требования новыми так, чтобы из них следовали первоначальные. (Такая редакция формулировки задачи принята потому, что ученики VII класса незнакомы с понятием равносильности.)

1) Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

2) Отрезки AB и CD пересекаются в точке О. Докажите, что если отрезки АС, ВС, BD и AD равны, то прямые AB и CD перпендикулярны.

В процессе доказательства приходится не только осуществлять выведение следствий, замену требования новым, но и самостоятельно формулировать промежуточные задачи. В нижеприведенных упражнениях учащимся предлагается к имеющемуся набору данных самостоятельно подобрать требование и решить полученную задачу.

6. Даны два луча AB и ВА. Сформулируйте требование и решите полученную задачу.

Предполагаемые вопросы: 1) назовите лучи с вершиной А; 2) назовите лучи с вершиной В; 3) укажите лучи, не имеющие общих точек; 4) назовите дополнительные лучи.

7. Сумма вертикальных углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50°.

Предполагаемые вопросы: 1) найдите эти углы; 2) найдите сумму двух других углов; 3) найдите все углы.

Конструирование упражнений, позволяющих организовать целенаправленную работу по формированию указанных умений, можно осуществить на задачном материале первых разделов учебников геометрии. Для этого необходима лишь небольшая корректировка задач учебников. Приведенные упражнения могут служить образцом в осуществлении этой работы. Более подробно она представлена в книге [13].

Идея привлечения школьников к составлению геометрических задач может осуществляться при использовании готовых чертежей. Это позволяет формировать комплекс многих действий, составляющих умение доказывать. Действительно, составление задач предполагает анализ ситуации, заданной рисунком (выделять объекты, отношения между ними, приводить словесную формулировку заданной ситуации, обозначать ряд требований, при этом приходится осуществлять простое и сопоставимое вычленение фигур, представлять фигуру в плане различных понятий и т. п.), выведение следствий из данных рисунка. Отметим и то, что решение школьных задач в учебнике геометрии основано на трансформации словесной формулировки задач в чертеж, а обратная трансформация не используется, что ведет к перекосу в обучении умению решать задачи, а в конечном счете — к значительным трудностям, испытываемым учащимися при решении геометрических задач.

Пример. Составьте несколько задач, используя заданный рисунок. (Рисунок фиксирует конфигурацию, состоящую из смежных углов и их биссектрис.) Требованиями задач могут быть следующие предложения:

а) найдите угол между биссектрисами;

б) докажите, что угол между биссектрисами смежных углов прямой.

(На второе утверждение может навести восприятие рисунка.) Можно предложить учащимся сформулировать утверждение, обратное утверждению б), и доказать его. Более подробно эта идея изложена в нашей статье «Составление геометрических задач на заданных чертежах» (Математика в школе. — 1993. — № 6. — С. 14).

По-видимому, каждому учителю математики знакомы те трудности, с которыми встречается ученик VII класса при изучении теорем. Мы имеем в виду выявление отдельных шагов доказательства и связей между ними, обоснование утверждений. Частичному устранению этих трудностей способствует применение специальных карточек. На карточке дана таблица, состоящая из двух колонок. Одна колонка содержит утверждения, другая — их обоснования, причем в колонках имеются пропуски, которые предстоит заполнить ученику. Запишем в виде таблицы (без пропусков) доказательство теоремы о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника по учебнику Л. С. Атанасяна и др. (Доказательство приведено по рисунку учебника.)

I. Утверждения

II. Обоснования

1. АВ = АС

2. ∠1 = ∠2

3. △BAD = △CAD

4. BD = CD

5. ∠3 = ∠4

6. AD — медиана ABAC

7. Углы 3 и 4 смежные

8. ∠3 + ∠4 = 180°

9. ∠3 = ∠4 = 90°

10. AD⊥BC

11. AD — высота △BAC

Определение равнобедренного треугольника

Определение биссектрисы угла

I признак равенства треугольников

Утверждение 3

Утверждение 3

Утверждение 4

Определение смежных углов

Теорема о сумме смежных углов

Утверждения 5, 8

Определение перпендикулярных прямых

Определение высоты треугольника

Анализ доказательства рассматриваемой теоремы показывает, что оно имеет достаточно сложную структуру, разобраться в которой ученику, только приступившему к изучению систематического курса геометрии, непросто. (Совершенно очевидные факты, используемые в доказательстве, опущены.) Кстати, логическая структура доказательства второго признака равенства треугольников более проста и было бы естественно от изучения первого признака равенства треугольников перейти ко второму, а материал § 2 «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника» изучать, по крайней мере, после рассмотрения двух признаков равенства треугольников. (Так, например, ведется изложение материала в учебнике геометрии А. В. Погорелова.)

На основе полученной таблицы можно составить карточки для индивидуальной и коллективной работы школьников.

Вариант такой карточки можно составить, если сделать в таблице некоторые пропуски. Например, можно оставить пустыми клетки II, 1; II, 3—6; I, 2; I, 7 (римская цифра означает номер столбца, а следующие за ней арабские — номер строки в данном столбце). Карточки могут использоваться при самостоятельной работе учащихся на уроке и выполнении домашнего задания. Их можно видоизменять с учетом индивидуальных возможностей школьников. Количество пропусков в карточке и зависит от того, как ученик ориентируется в материале. Ясно, что хорошо успевающие учащиеся могут работать с доказательством и без карточек.

Формы работы с такими карточками весьма разнообразны. Вот одна из них. Учитель, проработав с классом канву доказательства, выдает каждому ученику карточку, в которой он должен заполнить пустые места. При этом ученик может пользоваться и учебником, сопоставляя содержание карточки с доказательством теоремы, содержащимся в учебнике. Во время работы учеников с карточками учитель следит за их действиями и оказывает им необходимую помощь. По выполнении задания осуществляется проверка понимания учащимися доказательства теоремы посредством специальных вопросов, одни из которых закрепляют в сознании школьника эвристики, другие формируют ассоциации, связанные с ними. Пример: «Для доказательства перпендикулярности двух прямых надо доказать равенство смежных углов, образованных при пересечении прямых». Данная эвристика обусловливает ассоциацию: равенство смежных углов → перпендикулярность прямых.

В процессе работы с карточками возможны задания на развертывание дедуктивных умозаключений, составляющих доказательство теоремы.

Итак, одну из моделей работы с доказательством на первых уроках геометрии составляют три этапа. На первом обсуждается канва доказательства, второй включает изучение доказательства с помощью специальных карточек и сопутствующих упражнений, на третьем этапе осуществляется запись доказательства в тетрадях учеников и на классной доске. По мере продвижения учащихся в изучении геометрии надобность в использовании карточек будет уменьшаться, а доля самостоятельности в отыскании способа доказательства, его построении, записи будет увеличиваться.

Активности ученика в процессе доказательства будет способствовать работа учителя по формированию эвристических приемов и повышению уровня логической строгости. Первое направление связано с использованием аналогии, обобщения, рассмотрением частных случаев, предельных положений и т. д., а также с продолжением работы по вооружению школьников специальными эвристиками, например: сравнение двух углов может осуществляться посредством третьего, находящегося с двумя данными в известных отношениях; равенство отрезков следует из того, что они являются противоположными сторонами параллелограмма и т. п.

Второе направление реализуется посредством привлечения упражнений на обоснование интуитивных положений, используемых в доказательствах теорем, на опровержение предложенных ученику утверждений и доказательств. Например, в доказательстве теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника указывается: «Так как AD < AB, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠C > ∠1» (см. учебник геометрии для VII—IX классов авторов Л. С. Атанасяна и др.). Ясно, что полученное утверждение не следует непосредственно из данного условия. Отыскание промежуточного предложения, корректировка доказательства и являются примером одного из отмеченных типов упражнений.

5.4. Как уже было отмечено выше, к пятнадцати годам созревает критическое мышление, которое обусловливает потребность оценивать, контролировать, сомневаться, опровергать различные факты. Однако в школьных учебниках математики отсутствуют упражнения на опровержение предлагаемых утверждений и их доказательств. В лучшем случае авторы учебников ограничиваются заданиями типа: «Верно ли...», «Справедливо ли...», «Можно ли...». Структура упражнений по многим разделам учебников такова, что в них приводятся только те данные, которые необходимы для ответа на поставленный вопрос. Формулировки утверждений в таких упражнениях, как правило, безошибочны. Учащимся при таком правильном «положительном» материале не приходится хотя бы изредка затруднять себя дополнительным вопросом: «А верно ли?»

Надо сказать, что в 40—60-х гг. появился ряд работ, в которых затрагивалась проблема обучения школьников опровержению готовых доказательств (В. М. Брадис, Я. С. Дубнов, В. Л. Минковский и др.). В основном в них содержались различные софизмы типа: «Площадь прямоугольника равна нулю», «Все треугольники равновелики» и т. д. Нелепость доказываемого в них утверждения просматривается уже в самой формулировке, которая заставляет ученика искать «подвох». В доказательствах софизмов используются такие феномены, как применение прямой теоремы вместо обратной, рассмотрение частного случая, использование еще не доказанного предложения, подмена тезиса и т. д. Однако рассмотрение ошибок в математических рассуждениях, вырванное из общего контекста обучения доказательству школьников, не вызвало к этим книгам большого интереса учителей, и они не нашли должного применения в обучении математике.

Проверке на истинность могут быть подвергнуты все три составные части доказательства: тезис (формулировка утверждения), аргументы (факты, использованные при обосновании тезиса), демонстрация (способы связи фактов в логически стройную последовательность).

Напомним, что тезис, аргументы и демонстрация должны удовлетворять определенным требованиям, с которыми можно ознакомиться по любому учебнику логики, в частности по книге Н. И. Кондакова (Логический словарь. — М.: Наука, 1971). Нарушение требований приводит к появлению ошибок, обнаружить которые можно с помощью специальных приемов.

Наиболее распространенным приемом опровержения тезиса является прием приведения контрпримера. Под контрпримером понимают такой объект, для которого условие утверждения истинно, а заключение ложно. Поскольку учащиеся привлекаются к открытию фактов, то естественны ошибки в их формулировках. Например, учащиеся допускают ошибку в формулировке теоремы о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника, заключающуюся в отсутствии ограничения на выбор биссектрисы. Ложность утверждения легко обнаружить, если провести биссектрису одного из равных углов треугольника. В случае, когда биссектриса проведена к основанию, рисунок убеждает в справедливости утверждения, что, в свою очередь, дает возможность уточнения формулировки утверждения.

Иногда используется специальная форма рассматриваемого приема, суть которой в том, что не приводится сам контрпример, а указывается способ его построения. Например, утверждение «Диагональ параллелограмма делит его углы пополам» можно опровергнуть следующим построением: начертим произвольный угол BAD, проведем внутри его луч АР, не являющийся биссектрисой этого угла, на луче отмечаем произвольную точку С и проводим через нее прямые, параллельные сторонам угла BAD. Образовавшаяся фигура является параллелограммом, в котором диагональ АС не делит его угол пополам. Заметим, что опровержение тезиса еще не означает его полного отрицания и отбрасывания как ложного утверждения. В некоторых случаях возможно его уточнение. В нашем примере построение показывает, что утверждение будет верным, если параллелограмм будет ромбом.

Проверка тезиса может осуществляться посредством отыскания частного случая, отвергающего утверждение.

Пример. Доказать неравенство

где а, b, с — стороны треугольника, а р — его полупериметр.

Частный случай а = b = с приводит к ошибочности утверждения. При решении задач используется прием проверки по размерности. Пример. Известно, что площадь треугольника со сторонами а, b, с вычисляется по формуле S = √p(p-a)(p-b)(p—c), где р — полупериметр треугольника. Возникает гипотеза: площадь четырехугольника со сторонами а, b, с, d вычисляется по формуле S = √p(p—a)(p—b)(p—c)(p—d). Сравнение размерностей обеих частей опровергает эту гипотезу.

Задача. Верно ли утверждение: сумма расстояний от внутренней точки треугольника до его вершины не превышает половины длины его периметра ?

Попробуем найти основание для гипотезы об истинности или ложности этого утверждения. Пусть M — внутренняя точка треугольника ABC. «Устремим» точку M к одной из вершин треугольника. Этот мысленный эксперимент приводит к выводу о ложности утверждения

или об истинности противоречащего ему утверждения, т. е. МА + MB + MC > 1/2p, где р — периметр треугольника ABС.

Используя неравенство треугольника, получаем: MA + MB > AB, MB + MO > ВС, MA + MO > АС. Сложив почленно эти неравенства и выполнив преобразование, имеем: МА + МВ + МО > 1/2 р. Доказанное утверждение опровергает истинность исходного.

Рассмотренный пример иллюстрирует прием опровержения утверждения, заключающийся в доказательстве утверждения, противоречащего исходному.

Ученик, анализируя рисунок к решаемой им задаче, в условии которой содержится равнобедренная трапеция, обнаружил, что ее диагонали как будто бы точкой пересечения делятся пополам. (Такая ситуация вполне правдоподобна, если на рисунке изображена трапеция, длины оснований которой отличаются незначительно.) Это наблюдение привело его к задаче.

Задача. Доказать, нто диагонали равнобедренной трапеции тонкой пересенения делятся пополам.

Пусть АО = OС и BO = OD, где О — точка пересечения диагоналей АС и BD трапеции ABCD. Тогда △AOD = △ВОС и △AOB = △DOC, а потому ∠ACB = ∠CAD и ∠BAC = ∠ACD, следовательно, AD||BC и AB||CD. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Доказано, что если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Истинность тезиса привела к противоречию с условием, т. е. с утверждением о том, что четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция. Указанное противоречие опровергает истинность доказываемого утверждения. Суть используемого в опровержении тезиса приема в следующем: из тезиса выводится следствие, противоречащее заведомо истинному положению.

Ошибки в аргументах доказательства являются следствиями использования положения, которое само нуждается в доказательстве; аргументов самих по себе верных, но не являющихся достаточными основаниями тезиса; ложных суждений, утверждений, справедливость которых ограничена некоторыми условиями; аргумента, ранее выведенного из доказываемого суждения. Характер ошибок порождает приемы опровержения аргументов: прием проверки истинности используемых аргументов, прием проверки достаточности аргументов, прием проверки доказательности аргументов, прием проверки независимости аргументов от доказываемого утверждения.

Проиллюстрируем некоторые из указанных приемов.

1. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то он равнобедренный.

Пусть AM и BN — биссектрисы треугольника ABC и AM = BN. Построим угол ВМК, равный углу NBC и лежащий с ним по разные стороны от прямой ВС. Отложим MK = BN, тогда четырехугольник BNМК — параллелограмм, а так как AM = BN, то АМ = МК. Следовательно, тре-

угольник AMК — равнобедренный, а потому ∠МАК = ∠МКА. Но ∠МКА = ∠NBA, значит, ∠MAK = ∠NBA и ∠А = ∠В, т. е. треугольник ABC — равнобедренный.

Построенное доказательство истинного утверждения основывается на недоказанном факте: точки А, В, К принадлежат одной прямой (прием проверки доказательности аргументов).

2. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

Рассмотрим произвольный △АВС. Разобьем его отрезком CD на два треугольника ACD и BCD. Пусть х — сумма углов треугольника. Тогда

Складывая левые и правые части этих равенств, получаем:

(прием проверки независимости используемых аргументов от доказываемого утверждения).

Пробел в доказательстве имеет следующую природу: сумму углов любого треугольника мы обозначили через х, считая, что она одна и та же для любого треугольника, а это как раз и вытекает из того, что сумма углов треугольника равна 180° (прием проверки независимости используемых аргументов от доказываемого утверждения).

3. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Пусть а — данная прямая, Р — точка вне ее. Проведем через Р перпендикуляр PQ к прямой а. Далее через точку Р проведем прямую b, перпендикулярную прямой PQ. Прямые а и b параллельны, так как они перпендикулярны к одной и той же прямой PQ. Вместе с тем прямая b единственная, так как через точку Р к прямой а можно провести только один перпендикуляр.

Ясно, что при данном способе построения мы получим одну прямую b, не пересекающую а. Однако из этого вовсе не следует, что мы не получим других прямых, не пересекающих прямую а, пользуясь иными способами построения (прием проверки достаточности аргументов).

Что же касается ошибок в демонстрации, т. е. в логическом преобразовании условия в заключение, они проявляются либо в неполноте демонстрации, либо в несоблюдении правил вывода. Опровержение демонстраций предполагает достаточно высокий уровень культуры доказывать, оно основывается на понимании логической структуры доказательства, знаний правил вывода, строения умозаключений и т. д. В школе работа в этом направлении может осуществляться главным образом в проверке полноты демонстрации, хотя и на этом пути есть серьезные ограничения. В основной школе следует осуществлять анализ доказательства: выделять в нем логические шаги, выявлять аргументы, выводы, степень общности обоснования, рассматривать различные случаи и т. д.

Сказанное выше позволяет дать рекомендации ученику, которому предстоит проверка справедливости доказательства:

1. Прочитайте формулировку утверждения (теоремы, задачи). Выделите условие и заключение.

2. Проверьте выполнение утверждения на нескольких частных примерах.

3. Если хотя бы в одном примере утверждение не подтверждается, то попробуйте опровергнуть тезис известными способами (приведение контрпримера, выведение из тезиса ложного следствия, доказательство утверждения, противоречащего данному).

4. Если же тезис подтверждается во всех частных случаях или его не удается опровергнуть известными способами, то приступайте к проверке аргументации.

5. Если аргументы опровергаются, то доказательство отклоняется. Если нет, то переходите к проверке демонстрации.

6. Если в приведенной демонстрации ошибки не установлены, то делается вывод об истинности приведенного доказательства. Если обнаруживаются ошибки, то доказательство отклоняется.

Пример. Верно ли, что при α ≠ π/2k |tgα + ctgα | < √2 | sin α + cos α |? Выяснив суть предлагаемого задания, проверим справедливость неравенства в частных случаях. Возьмем α = π/4. Легко проверить, что в этом случае неравенство не выполняется. Не выполняется оно и при к α = π/2.

Попробуем опровергнуть доказываемое утверждение путем выведения из тезиса ложного следствия.

Предположив, что неравенство верно, и выполнив преобразования, получаем:

что неверно, так как

Итак, из предположения о справедливости данного неравенства получено ложное следствие, что полностью опровергает неравенство.

Успех учащихся в самостоятельном открытии фактов, их обосновании обусловлен владением эвристическими приемами. Эвристикам в обучении математике и посвящена следующая глава.

Вопросы и задания

1. В чем сущность теоремы? Каковы виды теорем? Какова взаимосвязь между прямой, обратной, противоположной и противоположной обратной теоремами?

2. Раскройте содержание этапов изучения теоремы.

3. Выберите из школьных учебников алгебры и геометрии несколько теорем и разработайте методику ознакомления школьников с ними. Соотнесите ее с рекомендациями авторов учебников.

4. Проследите по учебникам геометрии и алгебры их ориентацию на реализацию этапов работы с теоремой.

5. Выберите из школьного учебника геометрии теорему с громозд-

кой формулировкой и разработайте методику поэлементного усвоения содержания теоремы.

6. Используя схему, фиксирующую соотношение между этапами работы с теоремой и упражнениями, реализующими их, проследите по учебникам алгебры и геометрии, насколько она реализуема в них.

7. Выберите любую геометрическую теорему и разработайте методику ее изучения, используя образцы, приведенные в данной книге.

8. В учебном пособии акцентировано внимание на различных способах введения теоремы. Проиллюстрируйте каждый из них конкретными примерами из школьных учебников.

9. Проанализируйте динамику изменения смысла, вкладываемого в понятие «обучение доказательству». Чем обусловлено это изменение?

10. Раскройте содержание современной концепции обучения доказательству.

11. Используя различные учебные пособия по методике преподавания математики, выделите рекомендации по формированию у школьников потребности в логических обоснованиях.

12. Проследите по школьным учебникам математики решение проблемы формирования потребности доказывать. С помощью каких средств она решается авторами учебников?

13. Большое внимание стали уделять использованию «визуальных» доказательств. Объясните причину этого феномена. Подберите несколько задач, решение которых осуществляется на визуальной основе.

14. Выберите какую-либо теорему и выделите в ее доказательстве логические шаги, его составляющие. Назовите эвристики, использование которых приводит к анализируемому вами доказательству. Выделите идею доказательства.

15. Составьте упражнения, ориентированные на усвоение действий: а) выведения следствий; б) переформулировки требования задачи; в) составления вспомогательных задач.

16. Запишите доказательство любой теоремы в виде таблицы с двумя колонками: а) утверждения; б) обоснования. На основе этой таблицы составьте несколько вариантов карточек для индивидуальной работы школьников.

17. Обоснуйте необходимость использования такого этапа в обучении доказательству, как опровержение предложенных обоснований. Выделите приемы, характерные для реализации этого этапа.

18. Используя приведенные в тексте рекомендации по проверке справедливости доказательства, проверьте истинность утверждений:

а) неравенства √u2 > v и u > v равносильны;

б) произведение ( ) ( ) принимает отрицательное значение;

в) при 0,8 < a < 6 корни уравнения 2ах + 5 = 3а — х удовлетворяют условию |x| < 1.

Литература

1. Болтянский В. Г. Как устроена теорема?//Математика в школе. — 1973. — № 1. — С. 41.

2. Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева А. К. Ошибки в математических рассуждениях. — М.: Учпедгиз, 1959.

3. Бреслер Г. Р. Об обучении доказательству в IV классе//Математика в школе. — 1974. — № 5. — С. 34.

4. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.

5. Груденов Я. И. Изучение определений, аксиом, теорем: Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1981.

6. Дубнов Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах. — М.: Наука, 1969.

7. Лакатос И. Доказательства и опровержения. — М.: Наука, 1967.

8. Метельский Н. В. Дидактика математики. — Минск: Изд-во БГУ, 1982.

9. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В. Я. Саннинский. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1980.

10. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985.

11. Пойа Д. Математическое открытие (Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание): Пер. с англ. — М.: Наука, 1970.

12. Репьев В. В. Общая методика преподавания математики. — М.: Учпедгиз, 1958.

13. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. — М.: Просвещение, 1995.

14. Саранцев Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе. — М.: Просвещение, 2000.

15. Слепкань 3. И. Психолого-педагогические основы обучения математике. — Киев: Рад. школа, 1983.

16. Столяр А. А. Педагогика математики: Курс лекций. — 2-е изд., перераб. и доп. — Минск: Высшая школа, 1974.

17. Финкельштейн В. М. О подготовке учеников к изучению нового понятия, новой теоремы//Математика в школе. — 1996. — № 6.— C. 21.

18. Эрдниев П. М. Преподавание математики в школе. — М.: Просвещение, 1978.

Глава V

ЭВРИСТИКИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

1. Специальные эвристики в обучении математике.

2. Эвристические приемы.

3. Методы научного познания в обучении математике.

1. Специальные эвристики в обучении математике

Термин «эвристика» понимается в различных значениях: 1) специальные методы, используемые в процессе открытия нового (эвристические методы); 2) наука, изучающая продуктивное творческое мышление (эвристическая деятельность); 3) восходящий к Сократу метод обучения (так называемые сократические беседы). Есть и другие точки зрения на сущность эвристики. Так, предлагается понимать под эвристикой направленность деятельности человека, ориентированную на создание им субъективно или объективно нового и значимого продукта. В данном контексте эвристика отождествляется с мотивом творческой деятельности. Предлагается понимать под эвристикой и любой совет — как искать решение задачи. В этом случае объем понятия эвристики настолько широк, что затруднительно провести классификацию этого понятия. Есть попытки охарактеризовать понятие эвристики посредством специального набора функций [14]. Мы термин «эвристика» будем использовать в основном в первом значении. Под эвристикой понимаем всякий способ, применение которого может привести к отысканию нужного метода решения задачи или доказательства теоремы.

В предыдущей главе речь шла о формировании базовых эвристик, основой которых являются действия выведения следствий, преобразования требования задачи в равносильное ему, составления промежуточных задач, а также специальных эвристик, обусловленных содержанием учебного материала. Знакомство с такими эвристиками осуществляется в процессе развития этого материала. Например, учащиеся VII класса, обучающиеся по учебнику геометрии Л. С. Атанасяна и др., равенство отрезков доказывают посредством наложения одного отрезка на другой, либо доказательства равенства их длин, либо доказательства равенства треугольников, сторонами которых являются данные отрезки. Тема «Четырехугольники» вооружает школьников новыми способами доказательства равенства отрезков: отрезки равны,

если они являются противоположными сторонами параллелограмма, диагоналями равнобедренной трапеции и т. д. В процессе изучения материала учащиеся встречаются и с приемом достраивания фигуры до конфигурации, рассмотрение которой ускорит приближение ученика к успеху. Такие конфигурации образуют два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой и окружность, описанная около них; касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания; хорда, перпендикуляр к ней, опущенный из центра окружности, радиус, проведенный в конец хорды, и прямоугольный треугольник, образованный этими отрезками. Если в условии задачи используются отдельные элементы конфигурации, то продвижение в решении задачи можно получить, дополнив рисунок недостающими элементами. Эвристики желательно вписывать в специальную тетрадь либо фиксировать на специальном плакате и по мере надобности использовать в процессе решения задач или доказательства теорем. Наряду с частными эвристиками в поиске способа обоснования утверждения и открытии закономерностей используются более общие эвристические приемы: прием элементарных задач, прием рассмотрения предельного случая, прием вспомогательной фигуры и т. д., которые составляются базовыми и специальными эвристиками.

2. Эвристические приемы

2.1. Прием элементарных задач. Его суть различные авторы трактуют по-разному. Для одних она заключается в использовании простейших упражнений для формирования навыков применения отдельных теорем, определений, аксиом. Другие усматривают ее в поэлементном формировании сложного умения, например умения применять векторы в конкретных ситуациях. Третьи связывают этот прием с решением задач, которые являются элементами основной, и т. д. Очевидно, что указанные точки зрения на сущность приема элементарных задач отражают различные его стороны. Например, Я. И. Груденов в книге «Совершенствование методики работы учителя математики» [4] разъясняет этот прием упражнением: упростить выражение

Выполнение подобных упражнений обусловлено навыками применения основных тригонометрических формул и умением проводить преобразования вида:

Для отработки навыков выполнения этих преобразований рекомендуются следующие элементарные упражнения:

Упростить

В названной книге читатель найдет немало примеров, иллюстрирующих эвристические приемы.

Заметим, что зачастую элементарные задачи предлагают на готовых чертежах. Эффективность такого средства очевидна — решение задачи на готовом чертеже требует меньше времени на анализ ее формулировки, при этом отпадает необходимость выполнения чертежа, сам рисунок направляет внимание школьника на главное в задаче. Задачи на готовых чертежах являются элементом методики обучения математике. Например, формирование понятий предусматривает овладение обучаемым действием распознавания объектов, принадлежащих понятию. Оно осуществляется при выполнении упражнений на подведение заданных объектов под понятие. Необходимость варьирования объектов предполагает использование большого числа задач. Задачи же на готовых чертежах экономят время и сосредоточивают деятельность школьников на главной в этой ситуации цели — овладеть действием распознавания.

Немаловажно и то, что задачи на готовых чертежах решаются чаще устно, однако не исключается письменное оформление решения. Более того, сами упражнения на готовых чертежах могут выступать в качестве средства обучения школьников письменному оформлению решения, так как легко позволяют дозировать число умозаключений в доказательстве предложения.

Система вспомогательных элементарных упражнений, используемых для обучения решению задач, может быть построена с помощью анализа этого решения. Умение строить такую систему позволяет сделать процесс решения задачи управляемым, заранее предвидеть трудности учащихся и помощь в их преодолении.

Рассмотрим задачу: Доказать, что полусумма кубов двух неравных чисел больше куба их полусуммы.

Итак, нам нужно доказать, что

(А)

1) Очевидно, что для доказательства неравенства (А) достаточно доказать неравенство

(A1)

2) Для того чтобы доказать неравенство (A1), достаточно доказать неравенство

(A2)

3) Для того чтобы доказать неравенство (A2), достаточно доказать,

что

(А3)

4) Чтобы доказать неравенство (A3), достаточно доказать, что

(A4)

и

(A5)

Структура решения данной задачи может быть представлена следующим образом: А⇐A1⇐A2⇐A3⇐A4∧A5.

Последовательность упражнений, направленная на подготовку решения задачи (А), такова: A5, АА, A3, A2, A1, А.

Ясно, что учитель перед решением задачи (А) может использовать не всю цепочку упражнений, а лишь некоторые из них. Упражнения A5, A4, A3, A2, A1 можно считать элементарными задачами по отношению к задаче (А).

Надо сказать, что в литературе часто рекомендуют перед решением сложной задачи прорешать вспомогательные задачи — элементы. Однако следует учитывать, что деятельность по решению задач имеет сложную структуру. Решение цепочки «вспомогательные задачи — основная задача», хотя и упрощает решение конкретной задачи, тем не менее не обеспечивает формирования сложного комплекса умений осуществлять поиск решения задачи. Сам поиск решения играет огромную роль в формировании общих приемов решения задач, творческой деятельности учащихся. Поэтому решение цепочки «вспомогательные задачи — основная задача» неадекватно деятельности поиска способа решения задачи. Предварение всякий раз сложной задаче решения ее компонентов обедняет влияние этого процесса на развитие ученика.

Более эффективен метод элементарных задач в иной модификации, суть которой заключается в следующем. Для задач каждой темы любого школьного учебника математики можно указать, в свою очередь, ряд задач, являющихся элементами большинства задач этой темы (зачастую они в учебниках отсутствуют). Решение таких задач-элементов должно быть специальным предметом обучения школьников в процессе изучения этой темы. Например, использование понятия пирамиды в различных конкретных ситуациях часто опирается на такие положения:

1. Если боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности.

2. Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды проходит через центр вписанной в основание пирамиды окружности.

Ясно, что знание указанных свойств должно быть сформировано посредством специальных упражнений. Примеры упражнений:

1. Боковые ребра треугольной пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом а. Докажите, что проекции боковых ребер пирамиды на плоскость ее основания равны.

2. Известно, что боковые ребра треугольной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности.

3. В основании пирамиды, боковые ребра которой наклонены к основанию под одним и тем же углом, лежит прямоугольный треугольник. Изобразите эту пирамиду и ее высоту, проведенную к основанию.

4. Сформулируйте задачу, аналогичную задаче 2, применительно к четырехугольной пирамиде, и решите ее.

5. Известно, что высота пирамиды, в основании которой находится тупоугольный треугольник, проходит через точку, принадлежащую внутренней области этого треугольника. Докажите, что боковые ребра пирамиды не могут быть наклонены к плоскости ее основания под одним и тем же углом.

6. Постройте задачу, являющуюся обобщением задачи 2, и решите ее.

Серия упражнений, ориентированных на усвоение свойства 2, может быть уже составлена самими учащимися по аналогии с указанными задачами.

Отметим еще один аспект элементарных задач. Формирование любого метода предполагает формирование действий, его составляющих. Так, например, метод геометрических преобразований составляют умения: 1) строить образы фигур при заданном преобразовании; 2) видеть соответственные точки на соответственных при том же преобразовании фигурах; 3) выделять элементы, определяющие преобразование; 4) строить соответственные при заданном преобразовании точки на произвольно заданных фигурах; 5) использовать специфические свойства преобразования. В учебниках геометрии должны быть упражнения, ориентированные на формирование этих умений и их совокупностей. Этот аспект метода элементарных задач очень важен, и его реализации должно быть уделено специальное внимание как в методической литературе, так и в практике обучения математике.

2.2. Прием представления задачи в пространстве состояний. Авторы книги «Методы обучения математике» [6] так поясняют сущность этого приема. Представим себе игру в домино. Первый игрок выставляет кость 1—2. Сразу возникает система поиска следующего хода: можно приложить кость или к 1, или к 2. Если второй игрок выставил кость 1—5, то затем можно будет воспользоваться пятерками, а если он выставит 1—6, то шестерками и т. д. Возникает так называемое пространство состояний. Проиллюстрируем эту мысль пространством состояний, соответствующим задаче:

Докажите тождество

Начальное состояние:

Целевое состояние:

Наиболее реальные пути преобразования начального состояния приводят к появлению новых трех вершин (состояний).

Будем преобразовывать далее состояния, свойственные каждой из полученных трех вершин.

Проиллюстрируем преобразование, раскрывая последнюю вершину:

Мы нашли один из путей решения задачи, может быть и не самый рациональный. Для нахождения последнего надо иметь несколько способов преобразования начального состояния в целевое.

Процедура использования приема представления задачи в пространстве состояний достаточно громоздка и «в чистом виде» в школьной практике не используется. Изучение тригонометрического выражения, записанного в левой части равенства, приводит к мысли об использовании формулы tg х = sinx/cosx, так как это преобразование приводит к выражению, содержащему sin2 х и cos х (sin2 х легко представить через cos2x), правая часть равенства содержит cos x. Перспектива рассматриваемого пути преобразования очевидна.

Практическая реализация идеи представления задачи в пространстве состояний осуществляется продвижением в двух направлениях: от начального состояния к целевому и от целевого к начальному.

2.3. Прием рассмотрения предельного случая. Сущность этого приема покажем на примере следующей задачи.

Задача. Дана окружность радиуса R. Из точки А, отстоящей от центра О окружности на расстояние a (a > R), проведена секущая. Точки В и С ее пересечения соединены с центром О.

Найдите

Рассмотрим предельный случай, заключающийся в вырождении секущей в касательную (точки В и С совпадают). Тогда γ = ß и

Полученный результат подсказывает целесообразность введения в рассмотрение в общем случае отрезков a — R и а + R, образующихся при пересечении прямой АО с окружностью.

2.4. Прием вспомогательной фигуры. Рассмотрим задачу: На гипотенузе ВС прямоугольного треугольника ABC (∠А — прямой) построен квадрат BCDK так, что точки A и Р (Р — точка пересечения его диагоналей) лежат по разные стороны от прямой ВС. Докажите, что луч АР — биссектриса угла А.

Рассмотрим частный случай: пусть △АВС — прямоугольный и равнобедренный. Даже непосредственное рассмотрение рисунка, моделирующего эту ситуацию, приводит к выделению на нем фигуры АВРС, имеющей прямую АР своей осью симметрии (точки А и Р равноудалены от точек В и С), откуда и следует справедливость доказываемого утверждения.

Теперь будем изучать рисунок с целью отыскать обобщение задачной ситуации. Его анализ подсказывает, что около четырехугольника АСРВ можно описать окружность, диаметром которой является отрезок ВС. Углы ВАР и РАС оказываются вписанными в эту окружность и опирающимися на равные дуги BP и PС. Обнаружен еще один способ решения частной задачи. Однако он указывает и путь обобщения: перемещение точки А по дуге ВАС приводит к обобщенной задачной

ситуации, указанной в условии данной задачи. Ключ к решению найден. Им является вспомогательная окружность, описанная около прямоугольного треугольника ABС. Анализ задачи позволяет выделить эвристический прием, суть которого в следующем: если дан прямоугольный треугольник, то опишите вокруг него окружность и рассмотрите конфигурацию, состоящую из этой окружности и прямоугольного треугольника, вписанного в нее.

Рассматриваемый прием часто используется при решении стереометрических задач, когда заданный тетраэдр достраивают до параллелепипеда, проводя через каждое его ребро плоскость, параллельную противоположному.

Прием вспомогательной фигуры широко используется не только в геометрии. Некоторая его модификация находит применение и в курсе алгебры. Например, при решении уравнений используют прием введения нового неизвестного, относительно которого уравнение приобретает более простой вид.

Введем вспомогательное неизвестное:

1. Решите уравнение.

Учитывая, что подкоренное выражение 1 + 15/x преобразуется к виду

получаем:

и данное уравнение примет вид:

Корни последнего уравнения:

Учитывая произведенную замену, получаем, что данное уравнение имеет корень: х = 1.

В рассмотренном примере введение вспомогательного неизвестного было осуществлено по ходу решения. Однако часто это приходится делать, не приступая к непосредственному решению уравнения.

2. Решите уравнение ∛x — 2 + √x + 1 = 3. Введем две вспомогательные неизвестные: ∛x-2 = y и √x + 1 = z. Тогда придем к системе уравнений: y + z = 3, z2 + y3 = 3, откуда у = 1, z = 2. Использовав какую-либо из этих неизвестных, получаем: х = 3.

3. Методы научного познания в обучении математике

К общенаучным методам познания относятся аналогия, наблюдение и опыт, анализ и синтез, индукция и дедукция, обобщение, абстрагирование, конкретизация. Методы познания выступают как элементы содержания образования — с одной стороны, и как приемы мышления — с другой. Обладая высокой эвристичностью, методы научного познания широко используются в обучении математике.

3.1. Аналогия. Под аналогией понимают сходство предметов в каких-либо свойствах, признаках или отношениях. Умозаключение по аналогии — это такое умозаключение, в результате которого делается вывод о том, что исследуемый предмет, возможно, имеет еще один признак X, поскольку остальные известные нам признаки этого предмета сходны с признаками другого предмета, обладающего, кроме того, и признаком Х. В качестве предмета могут выступать объекты, явления, процессы и т. д.

Анализ деятельности применения аналогии в различных конкретных ситуациях позволил выделить следующие действия:

1) составлять аналоги различных заданных объектов и отношений;

2) находить соответственные элементы в заданных аналогичных предложениях;

3) составлять предложение, аналогичное данному;

4) составлять задачу, аналогичную заданной, т. е. задачу, имеющую с данной сходное условие или заключение;

5) проводить рассуждение при решении задачи по аналогии с решением сходной задачи.

Проиллюстрируем сказанное на примере:

В данный шаровой сектор вписать куб так, чтобы четыре его вершины находились на сфере, а другие четыре — на конической поверхности.

Понятия, аналогичные понятиям шарового сектора, куба, сферы, соответственно круговой сектор, квадрат, окружность. Плоскостным аналогом данной задачи является следующая: в данный сектор вписать квадрат так, чтобы две его вершины находились на окружности, а другие две — на ее радиусах, ограничивающих сектор. Решим ее. Построим внутри сектора квадрат ABCD так, чтобы его вершины А и В принадлежали отрезкам, ограничивающим сектор. Рассмотрим гомотетию с центром в вершине сектора, отображающую точки С и D на точки С, и D1, принадлежащие дуге сектора. Пусть при этой гомотетии точки А и В отображаются соответственно на точки A1 и B1. Квадрат A1B1C1D1 искомый. Построив аналог каждого вышеприведенного шага решения, получим решение данной задачи. Внутри шарового сектора построим куб ABCDA1B1C1D1 так, чтобы четыре его вершины А, В, С, D принадлежали конической поверхности. Рассмотрим гомотетию с центром в вершине сектора, отображающую точки A1, B1, C1, D1 на точки A1', B1', C1', D1', принадлежащие сфере. Пусть при этой гомотетии точки А, В, С, D отображаются соответственно на точки А', В', С, D'. Куб A'B'CD'A1'B1'C1'D1' искомый.

Формирование указанных умений можно осуществлять уже в V—VI классах. Например, при изучении темы «Прямоугольный параллелепипед» в V классе следует обратить внимание учащихся на то, что фигурой, сходной с прямоугольным параллелепипедом, является прямоугольник. Далее выясняются соответственные элементы этих фигур и отношения между ними: грань прямоугольного параллелепипеда (прямоугольник) соответственна стороне прямоугольника (отрезку), противоположные стороны прямоугольника равны — противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны (последнее

устанавливается учащимися при рассмотрении модели прямоугольного параллелепипеда), у прямоугольника два измерения: длина и ширина, а у прямоугольного параллелепипеда три измерения: длина, ширина и высота. После этого можно сообщить учащимся, что такие фигуры будем считать аналогичными, и ввести термин «аналогия».

При изучении куба, применяя уже новую терминологию, учащимся можно задать вопросы:

1. Какая фигура аналогична кубу?

2. Какие элементы квадрата аналогичны граням куба? В чем их сходство? (Все грани куба — равные квадраты, все стороны квадрата — равные отрезки.)

3. Сколько измерений имеет квадрат? куб? В чем их сходство?

При изучении темы «Площади» можно установить аналогию между единицами длины и единицами площади. Познакомив учащихся с единицами площади, можно задать вопросы:

1. Какие единицы длины, аналогичные единицам площади, вы знаете?

2. Какая единица площади аналогична сантиметру (метру и т. д.)? В чем сходство этих единиц?

Установив, что 1 см — это длина отрезка, а 1 см2 — это площадь квадрата, сторона которого 1 см, можно выполнить упражнения:

1. Длина отрезка 3 дм. Определите площадь квадрата, аналогичного этому отрезку.

2. Площадь квадрата 25 см2. Начертите отрезок, аналогичный этому квадрату.

При изучении темы «Объемы» полезно установить аналогию между единицами объема и единицами площади.

Ученики иногда затрудняются быстро и правильно ответить на вопросы типа: сколько квадратных сантиметров в 1 дм2? Снижению таких трудностей способствует использование аналогии между единицами длины, площади и объема:

1 дм = 10 см — это длина отрезка;

1 дм2 — это площадь квадрата со стороной 1 дм = 10 см, поэтому 1 дм2 = 10⋅10 = 100 см2;

1 дм3 — это объем куба с ребром 10 см, поэтому 1 дм3 = 10⋅10⋅10 = 1000 см3.

Формировать умение составлять предложение, аналогичное данному, можно, например, при изучении признаков делимости в V классе. Выяснив с учащимися признак делимости чисел на 3, выполняем упражнение на формулирование признака делимости чисел на 9, по аналогии с признаком делимости на 5 формулируем признак делимости на 25 и т. д.

Примеры:

1. Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.

1*. Число делится на 8, если оно делится одновременно на 2 и на 4.

2. На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

2*. На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

Истинность утверждений, сделанных по аналогии, учащиеся долж-

ны обязательно проверить, чтобы не допустить ошибки, т. е. выяснить не являются ли утверждения 1* и 2* ложными.

При изучении операций сложения, вычитания, умножения и деления в V классе целесообразно устанавливать аналогию сложения и умножения, вычитания и деления. Для формирования приема аналогии здесь полезны упражнения типа приведенных ниже.

Среди данных выражений: а) 1442 + 3275; б) 1378 — 86; в) 2736:228; г) 6073⋅56; д) 927—633; е) 3735:83 — найдите аналогичные. Назовите их соответственные элементы.

Пример.

Основные законы умножения учащиеся могут формулировать по аналогии с законами сложения.

При изучении темы «Сложение десятичных дробей» следует использовать аналогию со сложением натуральных чисел, что позволит учащимся самостоятельно вывести правило сложения десятичных дробей. Для этого нужно параллельно рассмотреть сложение натуральных чисел и сложение десятичных дробей.

Пример.

Натуральные числа

2) Запишем одно слагаемое под другим так, чтобы одинаковые разряды слагаемых находились друг под другом:

3) Выполняем сложение по разрядам, начиная с правой стороны.

Десятичные дроби

2) Запишем слагаемые одно под другим так, чтобы одинаковые разряды слагаемых находились друг под другом:

3) Выполняем сложение по разрядам, начиная с правой стороны.

В выполненном упражнении на сложение десятичных дробей учащиеся замечают, что запятая оказалась под запятой. Можно задать вопрос: всегда ли так будет? Затем можно сформулировать правило сложения десятичных дробей.

Формирование приема аналогии можно осуществлять при изучении многих тем в курсе математики.

Мы уже говорили о том, что умозаключения по аналогии могут приводить как к верным заключениям, так и к ошибочным; это часто является источником неверных действий учащихся. Особенно много ошибок учащиеся допускают в курсе алгебры. Поэтому полезно сравнивать верные соотношения с неверными, например:

Доказательство того, что равенство нарушается, проще всего провести, подставив вместо букв числа и проведя нужные вычисления.

Богатый материал для формирования аналогии имеет геометрия. Надо сказать, что обычно подчеркивают аналогию: 1) в изучении десятичных дробей и натуральных чисел; 2) между свойствами алгебраических дробей и обыкновенных дробей; 3) между свойствами геометрической и алгебраической прогрессий; 4) в изучении свойств фигур на плоскости и свойств фигур в пространстве, например в изучении треугольника и тетраэдра. Между тем такое представление о роли аналогии в обучении математике сильно ограничивает ее возможности. Аналогия может появиться в самых «неожиданных» ситуациях, например в первых двух признаках равенства треугольников, в изучении свойств равнобедренного треугольника и равнобедренной трапеции и т. п. Аналогия не только способствует открытию свойств и признаков объектов, она является инструментом поиска способа решения задачи и его конструирования. Рассмотрим примеры применения аналогии в геометрии.

1. Докажите, нто у равнобедренного треугольника биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны.

Доказательство. Пусть ABC — равнобедренный треугольник, в котором АВ = ВС, AD и СЕ — биссектрисы углов при основании, D∈ ВС, Е∈AВ. Докажем, что AD = СЕ.

1*. Докажите, что у равнобедренного треугольника медианы, проведенные из вершин при основании, равны.

Доказательство. Пусть A1B1C1 — равнобедренный треугольник, в котором A1B1 = B1C1, A1D1 и C1E1 — медианы. Докажем, что A1D1 = C1E1.

1) A1B1 = B1C1 по определению равнобедренного треугольника.

3) C1D1 = 1/2 B1C1, так как D — середина стороны BC.

4) A1E1 = C1D1, что следует из утверждений 1) — 3).

5) △A1D1C1 = △A1C1E1 (A1C1 — общая, A1E1 = C1D1, ∠A1 = ∠C1).

6) A1D1 = C1E1 (утверждение 5).

Сличение рассуждений в доказательствах приведенных задач 1 и 1* показывает схожесть (аналогию) между ними. Если будем считать, что углу при основании равнобедренного треугольника в задаче 1 соответствует боковая сторона равнобедренного треугольника в задаче 1*, половине угла при основании треугольника (задача 1) — отрезок боковой стороны, определяемый ее серединой и вершиной треугольника (задача 1*), биссектрисе треугольника (задача 1) — медиана треугольника (задача 1*), то каждый шаг в решении задачи 1* может быть получен из соответствующего шага решения задачи 1 путем замены объекта его аналогом. Налицо полноценная аналогия в доказательстве утверждений, содержащихся в задачах 1 и 1 .

2. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠A = ∠A1, AB = A1B1, AC = A1C1. Докажем, что они равны.

1) △A1B2C2 = △ABC по построению (точки B2 и C2 принадлежат лучам ахвх и ахсх соответственно).

2) Точка B2 совпадает с точкой B1, так как A1B1=A1B2.

3) Вершина C2 совпадает с точкой С1, так как A1C1 = A1C2.

4) △A1B1C1 совпадает с △A1B2C2, а значит, равен △ABC.

2*. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, AB = A1B1. Докажем, что они равны.

1) △A1B2C2 = △ABC по построению (точки B2 и C2 принадлежат лучам ахвх и ахсх соответственно).

2) Точка B2 совпадает с точкой B1, так как A1B2 = A1B1.

3) Луч B1C2 совпадает с лучом B1C1, так как ∠A1B1C2 = ∠A1B1C1, а потому точки С1 и C2 совпадают.

4) △A1B1C1 совпадает с △A1B2C2, а значит, равен △ABC.

В данных теоремах конструкция две стороны и угол между ними треугольника аналогична конструкции два угла и прилежащая к ним сторона треугольника. По отношению к треугольнику ABC (теорема 2) и треугольнику ABC (теорема 2*) эта аналогия конструируется так: ∠A→AB, AC→∠A; AB→∠B (до стрелок обозначены элементы треугольника ABC (теорема 2), после стрелок — элементы треугольника ABC (теорема 2*). Если бы мы заменили указанные элементы в теореме 2 элементами теоремы 2* в рассуждениях, составляющих доказательство теоремы 2, то получили бы доказательство теоремы 2*.

Хороший пример использования аналогии дают признаки подобия треугольников. Их доказательство основано на одной идее — выполнении такого гомотетичного преобразования одного из данных треугольников, что образовавшийся треугольник равен второму данному треугольнику, и использовании транзитивности отношения подобия. Поскольку доказательства всех признаков подобия треугольников имеют одну и ту же основу и аналогичны, то после изучения первого признака рассмотрение последующих можно осуществить самостоятельно, вооружив школьников планом доказательства, коллективно составленным в процессе изучения первого признака:

1. Построить △A2B2C2, гомотетичный данному треугольнику A1B1C1 относительно произвольной точки О с коэффициентом гомотетии k = AB/A1B1 (треугольники ABС и A1B1C1 — данные).

2. Сравнить треугольники A1B1C1 и A2B2C2, вывести следствия относительно углов и сторон треугольника A2B2C2.

3. Доказать равенство треугольников A2B2C2 и ABС.

4. Доказать подобие треугольников ABC и A1B1C1.

Если учитель решил привлечь учащихся к самостоятельному доказательству теорем с использованием плана, то, разумеется, опорные умения в реализации каждого шага плана должны быть специально отработаны. К таким умениям следует отнести: построение фигуры, гомотетичной данной; выделение соответственных элементов в заданных гомотетичных фигурах; выражение элементов одной фигуры через элементы фигуры, ей гомотетичной; подведение данных треугольников под понятие равных треугольников. Актуализации этих умений будет способствовать использование специальных упражнений.

3.2. Обобщение и конкретизация. Эффективным приемом открытия фактов, поиска доказательства теоремы, способа решения задачи являются обобщение и конкретизация. Обобщение как форма перехода от частного к общему имеет целью выделение общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу объектов. Использование обобщения при решении задач основано на: а) расширении области изменения параметра; б) переходе от данного множества к более широкому множеству, содержащему данное. Первое преимущественно применяется в алгебре, второе — в геометрии. Например, рассматривая равенства: 3 + 5 = 8, 1 + 7 = 8, 15 + 17 = 32, учащиеся замечают, что в правой части каждого равенства записана сумма двух нечетных чисел, а в левой — четное число. Затем осуществляется переход от множества конкретных нечетных чисел к множеству чисел и от множества конкретных четных чисел к множеству четных чисел, т. е. делаем обобщение. Отвлекаясь от других свойств множества натуральных чисел, т. е. используя абстрагирование, мы формулируем свойство: сумма двух нечетных чисел есть число четное. Второе направление проиллюстрируем следующими задачами:

Задача 1. Докажите, что ОМ = 1/2 (OA + OB), где О — произвольная точка пространства, a M — середина отрезка AB.

Во всех учебниках геометрии эту задачу используют в качестве иллюстрации применения векторного метода: выразив ОМ через векторы OA и AM, а также через векторы OB и ВМ и сложив полученные векторные равенства, после небольших преобразований получим требуемый результат. Замечаем, что приведенные рассуждения можно использовать в случае замены в условии задачи отрезка параллелограммом. Преобразование условия вызовет изменение и в заключении задачи: OM = 1/4 (OA + OB + OC + OD), где А, В, С, D — вершины параллелограмма. Стремление к дальнейшему обобщению задачи приводит к замене параллелограмма параллелепипедом, что обусловливает и новое требование задачи: доказать, что A1, B1, C1, D1 — вершины параллелепипеда. Анализируя все преобразования условия задачи, видим, что они осуществляются вокруг основной идеи: фигура, заданная в условии, должна быть центрально-симметричной.

Задача 2. Дана точка Р, принадлежащая внутренней области квадрата A1A2A3A4. Из вершины A1 опущен перпендикуляр на прямую A2Р, из вершины A2 — на прямую A3Р, из вершины A3 — на прямую A4Р, из вершины A4 — на прямую A1Р. Докажите, что четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Поскольку в условии задачи заданы взаимно перпендикулярные прямые, то естественно предположение о целесообразности использования в ее решении поворота. Это предположение усиливается тем, что в задаче речь идет о квадрате, а квадрат, как известно, поворотом вокруг точки пересечения его диагоналей на 90° отображается на себя. Итак, несложные рассуждения приводят нас к целесообразности использования поворота квадрата вокруг точки О пересечения его диагоналей на 90°. Исследуем это предположение дальше. Указанный поворот переведет точку A1 в точку A2, прямую A1B1 — в прямую A2Р. Аналогично A2B2 — в прямую A3Р, точку A3 — в точку A4, прямую A3B3 — в прямую A4Р, точку A4 — в точку A1, прямую A4B4 — в прямую A1Р. (Точки B1, B2, B3, B4 — основания указанных перпендикуляров.) Прямые A1Р, A2Р, A3Р, A4Р пересекаются в точке Р, следовательно, пересекаются в некоторой точке прямые A1B1, A2B2, A3B3, A4B4, которые переводятся рассматриваемым поворотом в прямые A1Р, A2Р, A3Р, A4Р. План решения задачи найден. Основная идея доказательства — использование поворота вокруг центра квадрата A1A2A3A4 на 90°.

Изучение условия задачи показывает, что ограничение на положение точки Р не существенно в реализации плана решения задачи, а потому это ограничение можно снять. Кроме этого, замечаем, что идея решения задачи не изменится, если квадрат заменить правильным n-угольником (например, шестиугольником), а перпендикулярные прямые A1B1 и A2Р, A2B2 и A3Р, A3B3 и A4Р, A4B4 и A1Р — прямыми, образующими углы в 360°: n (например, 60°). Обобщением рассмотренной задачи будет следующая задача:

Произвольная тонка Р плоскости соединена с вершинами правильного n-угольника A1, A2, ..., Ап. Через вершину A1 проведена прямая A1B1 под углом 360°: n к прямой A2Р, через вершину A2 проведена прямая A2B2 под углом 360°: n к прямой A3Р и т. д. Наконец, через вершину An проведена прямая АпBn под углом 360°: n к прямой A1Р. Докажите, что прямые A1B1, A2B2, ..., АпBn пересекаются в одной точке, если считать, что указанные прямые являются сторонами положительно направленных углов.

Придавая n конкретные значения, будем получать аналоги задачи 2.

Одним из распространенных направлений обобщения служит выход из плоскости в пространство. Рассмотренная задача 1 иллюстрирует эту идею.

Нахождению способа решения задачи иногда, наоборот, способствует рассмотрение более частного случая. Пусть, например, предлагается решить задачу:

Отрезки, концами которых служат внутренние точки противоположных сторон квадрата, перпендикулярны. Докажите, что эти отрезки равны.

Решение задачи значительно упрощается, если заданная пара взаимно перпендикулярных прямых проходит через центр квадрата. Поворот вокруг центра квадрата на 90° переведет квадрат в себя, при этом одна из указанных прямых перейдет в другую. Эта мысль может быть использована при решении основной задачи. Результат будет получен, если заметим, что ситуацию, заданную в основной задаче, можно легко получить из ситуации, в которой центр квадрата является точкой пересечения прямых.

На заключительном этапе работы с задачей следует прибегать к составлению задач, аналогичных данной, ее обобщающих и т. д.:

1. Постройте треугольник, равновеликий данному четырехугольнику.

Предположим, что данная задача не поддается решению. Тогда попробуем рассмотреть более частную ситуацию (см. пункт 2).

2. Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму.

Анализ условия задачи приводит к следующему способу ее решения: удвоить высоту параллелограмма, оставив без изменения его основание (удвоить основание параллелограмма, оставив без изменения высоту). Реализация этого способа показана на рисунке 5. У треугольника АВМ сторона AM = 2AD, а высота его совпадает с высотой параллелограмма. Основание AD треугольника AFD совпадает со стороной параллелограмма, а высота, проведенная из вершины F, в два раза больше высоты параллелограмма на сторону AD. Оба названных треугольника равновелики параллелограмму ABCD. Заметим, что точки Р и Q являются серединами сторон CD и

Рис.5

ВС параллелограмма. Этот факт обусловливает иной способ решения задачи: через вершину В и середину Р стороны CD проводим прямую до пересечения с прямой AD в точке M или через вершину А и середину Q стороны ВС проводим прямую до пересечения с DC в точке F. Если учесть, что Р — середина отрезков CD и ВМ, a Q — середина отрезков ВС и AF, то можно указать еще один путь построения треугольников АВМ и AFD. Четырехугольники BCMD и ABFC — параллелограммы, значит, точка M лежит на прямой, проходящей через вершину С и параллельной диагонали BD параллелограмма, и на прямой AD. Аналогично можно построить и точку F. Таким образом можно построить 8 различных треугольников, равновеликих параллелограмму ABCD.

Задача 3. Дана трапеция ABCD (AB||CD). Постройте треугольник, равновеликий данной трапеции.

Попробуем при решении данной задачи воспользоваться способом решения предыдущей задачи. Легко убедиться в том, что такие треугольники можно построить с помощью проведения прямых через вершины трапеции и середины боковых сторон, не содержащих эти вершины (рис. 6). Треугольники ADL и BCF равновелики трапеции ABCD. Таких треугольников можно построить четыре. Другие треугольники, равновеликие трапеции ABCD, можно построить с помощью проведения прямых, проходящих через вершины трапеции параллельно диагоналям, не проходящим через эти вершины. На рисунке 7 построены два треугольника, равновеликих трапеции ABCD, — АМСВ и AADF. Этот способ позволяет получить еще четыре треугольника, равновеликих данной трапеции.

Теперь перейдем к основной задаче 1. При ее решении воспользуемся способом, который был применен при решении задач на построение треугольника, равновеликого параллелограмму, и треугольника, равновеликого трапеции. На рисунке 8 построены два треугольника, равновеликих четырехугольнику ABCD, —△АМВ и △ВРС. Аналогичным образом можно построить еще два треугольника, равновеликих четырехугольнику ABCD, проведя через вершину В прямую, параллельную диагонали АС. Проведя через вершины А и С прямые, параллельные диагонали BD, можно получить еще четыре треугольника, равновеликих четырехугольнику ABCD.

Решение задачи для частного случая помогло найти путь решения

Рис. 6 Рис. 7

обобщенной задачи. Этот путь можно использовать в различных конкретных ситуациях.

Пример. Постройте треугольник, равновеликий данному пятиугольнику ABCDE.

Рассмотренный способ позволяет преобразовать пятиугольник ABCDE (рис. 9) в четырехугольник MBCD, равновеликий пятиугольнику ABCDE.

Очевидно, что рассмотренный способ решения основной задачи применим для любого n-угольника: сначала n-угольник превращаем в (n- 1)-угольник, затем последний превращаем в равновеликий ему (n — 2)-угольник и т. д. до тех пор, пока не построим треугольник, равновеликий полученному четырехугольнику.

При решении рассмотренной группы задач мы осуществляли переход не только от менее общего к более общему, от частного к общему, но и от общего к частному, от более общего к менее общему, т. е. не только обобщение, но и конкретизацию. Так, конкретизация проявлялась во введении задач, соответствующих задаче 2 при конкретных значениях n. В серии задач на построение треугольника, равновеликого данному многоугольнику, прием конкретизации выступал в форме перехода от четырехугольника к параллелограмму и трапеции, а также в форме перехода от n-угольника к (n-1)-угольнику, от последнего — к (n-2)-угольнику и т.д.

Логической основой конкретизации является известное правило вывода

называемое правилом конкретизации.

Его смысл таков: из того, что свойством Р обладают все элементы некоторого множества, следует, что этим свойством обладает произвольный элемент а этого множества. С помощью этого правила осуществляется применение теорем к решению задач.

Говоря об использовании аналогии, конкретизации, обобщения при решении задач, рассмотрим доказательство теоремы Пифагора, восходящее к Евклиду.

Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с, из которых с является гипотенузой. Докажем, что a2 + b2 = c2.

Рис. 8 Рис. 9

Построим на сторонах а, b, с прямоугольного треугольника подобные многоугольники, площади которых равны соответственно λа2, λb2, λс2. Если a2 + b2 = c2, то λа2 + λb2 = λс2. Очевидно, верно и обратное утверждение: если λа2 + λb2 = λс2, то a2 + b2 = c2. С помощью обобщения приходим к следующей теореме: если три подобных многоугольника построены на трех сторонах прямоугольного треугольника, то площадь многоугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей двух других многоугольников. Это обобщающее утверждение равновелико не только частному утверждению, от которого мы отправлялись, но и любому другому, например тому, которое получим, если проведем высоту из вершины прямого угла на гипотенузу.

3.3. Анализ и синтез. Широкое применение при формировании понятий, доказательстве теорем и решении задач находят анализ и синтез. Анализ — логический прием, состоящий в том, что изучаемый предмет мысленно расчленяется на составные элементы, каждый из которых затем исследуется в отдельности. Синтез — мысленное соединение частей предмета, расчлененного в процессе анализа, установление взаимодействия и связей частей и познание этого предмета как единого целого. Синтез всегда связан с анализом. В нашем мышлении существует аналитико-синтетический метод, в котором анализ и синтез взаимно проникают друг в друга, сочетаясь в диалектическом единстве. В процессе формирования понятия анализ используется при выделении существенных признаков понятия, которые затем объединяются и образуют содержание понятия. Эта функция анализа рассмотрена в главе III.

Особенно велика роль анализа при решении задач. Рассуждения, как было отмечено в предыдущей главе, можно вести по-разному: отправляясь от данных, устанавливая связи между ними, идти к искомым (синтетический путь) или, отправляясь от искомых, устанавливая связи между искомыми и данными, идти к данным (аналитический путь).

Существуют два вида анализа. Рассмотрим первый. Пусть нам нужно установить некоторое соотношение В. Тогда стремятся найти такое соотношение (или систему соотношений) A1, из которого вытекает соотношение В, затем отыскивают предложение A2, из которого следует A1, и т. д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не приходят к соотношениям А, данным в условии доказываемого предложения. Данный вид анализа можно изобразить схемой:

Из схемы ясно, что данный вид анализа заключается в установлении того факта, что данные соотношения являются условиями, достаточными для доказываемого утверждения. Его называют восходящим анализом. Этот вид анализа является доказательным.

Пример. Докажите, что диагонали ромба перпендикулярны.

Обозначим вершины ромба через А, В, С, D. О — точка пересечения диагоналей АС и BD.

1) Для того чтобы утверждать, что AC⊥BD, достаточно доказать, что ВО⊥АС;

2) для доказательства перпендикулярности ВО и АС достаточно иметь, что ВО — высота треугольника ABC;

3) доказательство того, что ВО — высота треугольника ABC, будет следовать из условий:

△ ABC — равнобедренный (31) и ВО — его медиана (32);

4) для доказательства (31) и (32) достаточно доказать, что АВ = ВС (41) и АО = OС (42);

5) для доказательства последних соотношений достаточно того, что четырехугольник ABCD — ромб.

Итак, доказано, что перпендикулярность диагоналей четырехугольника является следствием предложения: этот четырехугольник — ромб.

Метод установления некоторого соотношения, состоящий в последовательном переходе от данных условий к заключению, представляет собой соответствующий рассматриваемому анализу вид синтеза.

Второй вид анализа заключается в следующем: исходя из допущения, что доказываемое соотношение верно, выводят следствие, затем из полученного следствия выводят новое и так до тех пор, пока не приходят к утверждению, которое может быть исходным в цепи обратных рассуждений. Очевидно, что этим путем находят условие, необходимое для заключения доказываемого предложения. Поэтому в отличие от восходящего анализа этот вид анализа не является доказательным. Установление того, что найденное верное соотношение является и достаточным условием, суть соответствующего ему вида синтеза.

Пример. Докажите, что для любых неотрицательных чисел а и b справедливо неравенство

(1)

Умножая обе части неравенства на 2 и производя дальнейшие преобразования, последовательно перепишем это неравенство следующим образом:

(2) (3) (4)

Если справедливо неравенство (1), то справедливы и неравенства (2), (3), (4). Заметим, что доказательства неравенства (1) мы не получили, а лишь установили, что из (1)⇒(2)⇒(3)⇒(4). Проверка обратимости всех шагов, т. е. установление соотношений (1)⇔(2), (2)⇔(3) и т. д., и представляет собой доказательство.

Рассматриваемый вид анализа называется нисходящим. Он применяется при решении задач на построение, что выражается в следующем: предполагают, что требуемая фигура построена, и путем различных преобразований этой фигуры отыскивают такую фигуру, которую можно построить и которая определяла бы построение искомой фигуры. Известно, что компонентом решения задачи на построение является доказательство, которое и имеет целью обосновать, что построенная фигура удовлетворяет заданным требованиям.

Анализ представляет наиболее трудную, творческую стадию процесса решения задачи. Очевидно, что составляющими его являются базовые эвристики: выведение следствий, преобразование требования задачи в равносильное ему, составление промежуточных задач. Поэтому владение анализом основывается на умении применять данные эвристики. (Методика формирования их рассмотрена в предыдущей главе.) Один из путей обучения анализу состоит в устном его обсуждении. Например, учащемуся можно предложить задание: не решая уравнения или неравенства, рассказать, какую последовательность преобразований он собирается выполнить и почему такая последовательность приведет к уравнению или неравенству уже известного типа. Анализ следует использовать не только при решении задач на построение, но и на доказательство. В практике анализ в чистом виде, как правило, не используется, он применяется в сочетании с синтезом. Выбор достаточного для того или иного утверждения условия осуществляется в соотнесении этого утверждения с условием задачи, с выведением из него следствий. Анализ помогает учащимся понять необходимость выполнения дополнительных построений. Анализ можно использовать, как уже было сказано, для построения системы вспомогательных упражнений, адекватной решаемой задаче.

3.4. Наблюдение и опыт. Индукция и дедукция. В обучении математике существенная роль принадлежит и таким методам познания, как наблюдение и опыт, индукция и дедукция. В процессе наблюдения и опыта устанавливается некоторое представление об исследуемом объекте, а результаты служат посылками для индуктивных выводов. В I—VI классах основную роль играют опытные методы установления фактов. Например, при обучении элементам геометрии в V—VI классах следует шире использовать вырезание фигур из бумаги, различные эксперименты с листом бумаги: сгибание, наложение и т. д. Даже в более старших классах можно применять «визуальные» доказательства. Их примеры приведены в предыдущей главе. Однако увлекаться такими доказательствами опасно, их частое использование может привести к трудностям в логических рассуждениях.

Надо сказать, что традиционная методика недооценивала опыт и наблюдение, которые на ранних порах убеждают учащихся в справедливости факта в большей степени, чем установление его логическим путем. Современная методика обучения математике в I—VI классах ориентирует на широкое использование опыта и наблюдения. Результаты опыта часто служат посылками индуктивных выводов. Значительное число выводов при изучении геометрического материала в I—VI классах делается как обобщение измерений и построений, выполненных учащимися с помощью чертежных инструментов. Например, измерением длины ломаной и отрезка, соединяющего ее концы, устанавливается свойство отрезка и ломаной.

Известная роль при обучении математике принадлежит и жизненному опыту самих учащихся.

Наблюдение и опыт не только содействуют открытию новых фак-

тов, но и подсказывают путь их логических обоснований. Примером может служить известный опыт, устанавливающий, что сумма углов треугольника равна 180°, и заключающийся в «отрывании» двух углов треугольника и «прикладывании» их к третьему углу. Другие примеры дают рассмотренные выше «визуальные» доказательства.

Индуктивный метод может использоваться и в старших классах. Например, с его помощью может быть открыто утверждение: сумма числа вершин многогранника и числа его граней больше числа его ребер на два.

Следует иметь в виду, что выводы, сделанные по индукции, т. е. на основании определенного числа наблюдений, не исчерпывающих всех частных случаев, являются правдоподобными, но недостоверными. История математики знает случаи, когда выводы, сделанные по индукции одним ученым, опровергались другими. Например, предложение П. Ферма о том, что числа вида 22n + 1 простые, было опровергнуто Л.Эйлером. Л.Эйлер нашел, что при n = 5 число 225 + 1 не является простым.

При обучении математике следует уделять внимание упражнениям, в которых предлагается учащимся сделать вывод, найти закономерность, пользуясь индукцией. Вопросы, что вы подметили, какой вывод можно сделать и т. д., должны постоянно сопровождать изучение материала.

Термин «дедукция» используется для обозначения метода рассуждений, заключающегося в переходе от общего к частному. Примером дедуктивного умозаключения могут служить рассмотренные выше правила вывода: правило заключения и правило отрицания. Термин «дедукция» употребляется и в смысле перехода от знания более общих положений к знанию менее общих. В соответствии со сказанным последовательность изложения учебного материала от свойств и признаков параллелограмма к свойствам и признакам квадрата следует отнести к дедукции. Применение изученных теорем к решению задач также иллюстрирует пример использования дедукции.

Термин «дедукция» используется и в смысле формы изложения материала. Дедуктивная форма изложения предполагает:

1) выделение основных (неопределяемых) понятий;

2) выделение системы предложений, формулируемых в виде аксиом;

3) определение всех остальных понятий, кроме основных, через основные или уже введенные понятия;

4) доказательство всех предложений, кроме аксиом, посредством аксиом или ранее доказанных предложений.

Изложение материала в школьных учебниках геометрии не удовлетворяет перечисленным требованиям. Попытки аксиоматической организации содержания школьного курса геометрии не дали положительных результатов.

Вопросы и задания

1. Выделите любую тему из школьного курса геометрии и выделите все эвристики, характерные для этой темы.

2. Проследите по учебникам математики V—VI классов их направленность на формирование базовых эвристик.

3. Раскройте содержание основных эвристических приемов, используемых в обучении математике, и проиллюстрируйте их примерами.

4. Выберите любую задачу из учебника геометрии и посредством анализа постройте систему вспомогательных элементарных упражнений, адекватную ей.

5. Отберите из учебников геометрии несколько задач, при решении которых целесообразно использование: а) приема элементарных задач; б) приема представления задачи в пространстве состояний; в) приема рассмотрения предельного случая; г) приема вспомогательной фигуры.

6. Проанализируйте задачи раздела «Четырехугольники» и выделите опорный рисунок, характерный для этих задач. Составьте несколько задач, используя опорный рисунок.

7. Выделите систему действий, адекватную теме «Пирамида», и разработайте систему упражнений, ориентированную на формирование этих действий.

8. В данном пособии перечислены действия, адекватные методу аналогии. Подтвердите (или опровергните) справедливость этого утверждения посредством использования аналогии в различных конкретных ситуациях.

9. Охарактеризуйте работу по формированию метода аналогии в процессе изучения курса математики V—VI классов.

10. В данном пособии приведены примеры применения аналогии при решении задач и доказательстве теорем. Выберите из учебников геометрии те задачи, решения которых аналогичны.

11. Объясните приемы метода обобщения и приведите конкретные примеры, иллюстрирующие приемы обобщения.

12. Отметьте любую тему курса геометрии. Проанализируйте задачи этой темы с целью возможности использования их для построения обобщений.

13. Отберите из журнала «Математика в школе» несколько задач, объединенных между собой обобщением или конкретизацией их.

14. Охарактеризуйте сущность анализа и синтеза. Проиллюстрируйте действие этих методов познания на конкретных примерах.

15. Решая уравнение

ученик последовательно упростил его следующим образом:

Представляет ли собой вышеуказанная последовательность действий анализ? Если да, то какого он вида?

16. Докажите или опровергните справедливость утверждения: составляющими анализа являются такие эвристики, как выведение следствий, преобразование требования задачи в равносильное ему, составление промежуточных задач.

17. Один из путей обучения анализу состоит в его устном обсуждении. Проиллюстрируйте различными примерами суть данного утверждения.

18. Выберите любую задачу и, используя анализ, постройте соответствующую ей систему вспомогательных задач.

19. В учебнике математики для V класса найдите утверждения, выведенные по индукции.

20. Используя индукцию, ученики часто делают ошибочные выводы. Приведите примеры ошибок и укажите пути их предупреждения.

21. Приведите примеры использования наблюдений и опыта при ознакомлении учащихся со свойствами понятий и при поиске доказательств теорем.

22. Объясните смысл термина «дедукция». Проиллюстрируйте примерами каждый конкретный вариант смысла.

23. Можно ли утверждать, что школьные учебники геометрии удовлетворяют требованиям дедуктивного изложения материала? Если нет, то какие из требований не выполняются? Выделите из действующих ранее и сейчас тот учебник геометрии, изложение которого в большей мере отвечает требованиям дедуктивной формы.

24. Выберите какую-либо тему из различных учебников геометрии. Выделите совокупность специальных эвристик, адекватных учебному материалу этой темы. Проанализируйте систему задач учебника с позиции возможности их использования для формирования эвристик и выполните необходимую ее корректировку.

25. Выберите любую тему из учебников алгебры. Выполните анализ учебного материала и выделите те эвристические приемы, которые могут быть использованы при изложении темы. Исследуйте соответствующий задачный материал с точки зрения возможности его использования для обучения выделенным эвристическим приемам.

26. Изучите по учебным пособиям для учителей математики методические рекомендации, касающиеся формирования эвристик при изучении курсов алгебры и геометрии. Отражены ли эти рекомендации в названных курсах?

Литература

1. Балк М. Б., Балк Г. Д. Математика после уроков: Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1971.

2. Болтянский В. Г. Анализ-поиск решения задачи //Математика в школе. — 1974. — № 1. — С. 34.

3. Основы технологии развивающего обучения математике: Учеб. пособие/Т. П. Григорьева, Т. А. Иванова, Л. И. Кузнецова, Е. Н. Перевощикова. — Н. Новгород: НГПУ, 1997.

4. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.

5. Кулюткин Ю. Н. Эвристические методы в структуре решений. — М.: Педагогика, 1970.

6. Методы обучения математике/Под ред. А. А. Столяра. — Минск: Высшая школа, 1978.

7. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985.

8. Пойа Д. Математическое открытие.—М.: Наука, 1970.

9. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1975.

10. Практикум по педагогике математики: Учеб. пособие для пед. ин-тов/Под ред. А. А. Столяра. — Минск: Высшая школа, 1978.

11. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике.—М.: Просвещение, 1995.

12. Саранцев Г. И., Калинкина Т. М. Использование методов научного познания для упорядочения геометрических задач//Математика в школе. — 1994. — № 6. — С. 2.

13. Саранцев Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе. — М.: Просвещение, 1999.

14. Семенов Е. Е. Размышления об эвристиках//Математика в школе. — 1995. — № 5. — С. 39.

15. Хуторской А. В. Эвристическое обучение: Теория, методология, практика. — М.: Международная педагогическая академия, 1998.

16. Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Аналогия в задачах.—Элиста: Калмыцкое книжное изд-во, 1989.

17. Эрдниев О. П. От задачи к задаче — по аналогии.—М.: Столетие, 1998.

Глава VI

ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

1. Понятие задачи, классификация задач, упражнения.

2. Роль задач в обучении математике.

3. Методика обучения решению математических задач.

1. Понятие задачи, классификация задач, упражнения

Существуют различные трактовки понятия задачи. Их обстоятельное исследование в психологической литературе было проведено Г. А. Баллом. Термин «задача», отмечает Г. А. Балл, употребляется для обозначения объектов, относящихся к трем различным категориям:

1) к категории цели действий субъекта, требования, поставленного перед субъектом;

2) к категории ситуации, включающей наряду с целью условия, в которых она должна быть достигнута;

3) к категории словесной формулировки этой ситуации.

Г. А. Балл отмечает, что в психологической литературе наиболее распространено употребление термина «задача» для обозначения объектов второй категории. Для объектов первой категории, указывает Г. А. Балл, вполне подходит выражение «цель действия», «требование задачи», а для объектов третьей категории — «формулировка задачи».

Анализируя структуры различных трактовок понятия задачи, можно заметить, что в каждой из них по-разному подходят к отношению между субъектом и задачей. Сторонники трактовки задачи как ситуации, в которой должен действовать субъект, явно включают субъекта в само понятие задачи. Кстати, такого же мнения придерживаются большинство психологов и кибернетиков. В методике обучения математике подобное толкование задачи особенно характерно для работ Ю. М. Колягина. Без субъекта, отмечает он, нет задачи. То, что для одних является задачей, для других может ею не быть.

Сторонниками третьей трактовки задачи субъект не включается в понятие задачи. Наиболее четко и последовательно эта точка зрения

реализуется в работах Л. М. Фридмана, который определяет задачу как модель проблемной ситуации, выраженную с помощью знаков некоторого естественного или искусственного языка [17]. Проблемная ситуация, отмечает Л. М. Фридман, возникает тогда, когда субъект в своей деятельности, направленной на некий объект, встречает какое-то затруднение, преграду. Однако проблемная ситуация — это не просто затруднение, преграда в деятельности субъекта, а осознанное субъектом затруднение, способ устранения которого он желает найти. Таким образом, в понятие проблемной ситуации Л. М. Фридман включает субъект. Значит, задача есть модель ситуации, элементом которой является субъект, осознавший затруднение в своей деятельности. Отсюда следует, что возникновение задачи обязано деятельности субъекта. Другими словами, Л. М. Фридман наделил понятие задачи «субъективными генами», однако это субъективное он старается не замечать.

Кстати, различные авторы по-разному подходят к соотношению понятий «задача» и «проблемная ситуация». Одни (Л. М. Фридман и др.) считают первичным понятие проблемной ситуации, причем некоторые психологи считают субъекта элементом проблемной ситуации. Другие (например, С. Л. Рубинштейн) под проблемной ситуацией понимают некоторую объективную ситуацию, в которой берет начало процесс мышления. Задача, по Рубинштейну, есть результат того, что проблемная ситуация, содержащая какие-то нераскрытые звенья, подвергается анализу со стороны человека. Как видим, субъект рассматривается С. Л. Рубинштейном как элемент задачи. Существует и противоположная точка зрения, при которой первичным считается понятие задачи, а вторичным — понятие проблемной ситуации. Проблемная ситуация оценивается как фактор, рассматриваемый в отношении субъекта и предполагающий обязательное участие субъекта, тогда как задача признается существующей объективно.

Вернемся к исследованиям тех авторов, которые включают субъекта в понятие задачи. В методике обучения математике ее последовательным сторонником, как было отмечено, является Ю. М. Колягин. Исходным понятием он считает систему «человек — задачная ситуация», где под вторым компонентом понимается множество Р взаимосвязанных через некоторые свойства и отношения элементов. Если человеку, вступившему в контакт с этим множеством, известны все его элементы, все их свойства и отношения, то такую систему Р называют стационарной по отношению к данному человеку. Если же человеку неизвестен хотя бы один элемент, одно свойство или отношение, то систему Р называют проблемной по отношению к данному субъекту. При наличии у человека потребности в установлении неизвестных ему элементов, свойств и отношений из множества Р, проблемный характер которого зафиксирован, последнее, указывает Ю. М. Колягин, становится задачей для данного субъекта. Решить задачу — значит преобразовать данную проблемную ситуацию в соответствующую ей стационарную или установить, что такое преобразование в данных условиях невозможно. Очевидно, что насколько Л. М. Фридман абсолютизирует объективный фактор задачи, настолько Ю. М. Колягин

абсолютизирует субъективный фактор. Однако нетрудно усмотреть и в этой концепции задачи «объективные гены».

Трактовка задачи как особого взаимодействия субъекта и объекта имеет место и в работах по кибернетике. Так, в монографии «Человек и вычислительная машина» (Киев: Наукова думка, 1971) задача определяется как задачная система, рассматриваемая в ее отношении к решающей системе. Основными компонентами задачной системы являются предмет действия и требование, а основными компонентами решающей системы — способы и средства решения задачи. Очевидно, что компоненты задачной системы — объективный фактор задачи, а компоненты решающей системы — субъективный. Отказ от объективного фактора приводит к тому, что не имеет смысла говорить о решении задачи. Действительно, поскольку стационарность системы Р субъективна, проблемность ситуации субъективна, то субъективно и решение (для каждого человека оно будет своим). С таким выводом согласиться нельзя. Можно говорить о субъективности поиска способа решения (да и то в определенных границах, поскольку в психологических исследованиях утверждается существование психологической структуры решения задач), однако логическая структура решения в рамках избранного метода не зависит от того, кто решает задачу. Так, решение уравнения 123 + 2x = 197 представляет цепочку преобразований: 123 + 2х = 197⇔2x = 197- 123⇔2x = 74⇔x = 74:2⇔x = 37.

К каким же выводам мы пришли?

Наиболее распространенным является определение задачи как системы (Г. А. Балл, Ю. М. Колягин, Л. М. Фридман, А. Ф. Эсаулов). Авторы по-разному очерчивают круг явлений, относящихся к объему понятия задачи. Одни из них (А. Н. Леонтьев) термин «задача» употребляют для обозначения объектов, относящихся к категории цели действий субъекта, другие (Л. Л. Гурова, Ю. М. Колягин, Ю. Н. Кулюткин, П. М. Эрдниев, А. Ф. Эсаулов и др.) — к категории ситуации, включающей наряду с целью условия, в которых она должна быть достигнута, третьи (Л. М. Фридман) — к категории словесной формулировки этой ситуации. Наиболее распространенным является использование термина «задача» для обозначения ситуации, включающей цель и условия для ее достижения. Для понятия задачи характерны две стороны: объективная и субъективная. К первой относятся предмет действия, требование, место в системе задач, логическая структура решения задачи, определенность или неопределенность условия и т. д., ко второй — способы и средства решения.

Проблеме классификации задач в методической, психологической, кибернетической литературе посвящено немало работ. В методике обучения математике многие годы была распространена классифицация, основу которой составлял характер требования: а) задачи на доказательство; б) задачи на построение; в) задачи на вычисление. Длительный успех этой классификации обеспечивало то, что она в какой-то степени предопределяла метод решения каждого типа задач. В связи с расширением целей обучения и роли задач в их обеспечении в школьный курс математики начали проникать задачи, не укладывающиеся

в традиционную типологию. Функции задач в обучении подчеркиваются в следующей классификации: а) задачи с дидактическими функциями; б) задачи с познавательными функциями; в) задачи с развивающими функциями (К. И. Нешков и А. Д. Семушин). Данная классификация позволяет обоснованно осуществлять отбор задач, хотя на практике довольно трудно отделить друг от друга указанные типы задач. Задачи с дидактическими функциями предназначены для усвоения теоретического материала, в процессе решения задач второго типа учащиеся углубляют теорию и методы решения задач, задачи третьего типа характеризует то, что их содержание может отходить от основного курса математики, посильно осложнять некоторые изученные ранее вопросы курса. Соглашаясь с авторами в целесообразности широкого использования задач в обучении, нельзя согласиться с тем, что развивающие функции присущи только задачам, содержание которых отходит от обязательного курса, расширяя его. Неубедительна рекомендация авторов считать задачи с познавательными функциями обязательными для решения всеми учащимися, а с развивающими — нет. Отметим, что указанная публикация является первой теоретической работой, в которой исследуются функции задачи (Математика в школе. — 1971. — № 3). Был предложен ряд модификаций данной типологии задач (Ю. М. Колягин, Е. И. Лященко и др.). Так, Е. И. Лященко выделяет следующие типы задач: дидактические, познавательные, развивающие. Каждый тип задач она описывает посредством их назначения, причем критерии отнесения задач к той или иной группе настолько расплывчаты, что трудно отделить один тип от другого.

Известный французский педагог А. Фуше выделяет четыре типа геометрических задач:

1. Обнаружить все свойства данной фигуры. Средства даны, но цель остается неопределенной.

2. Доказать, что данная фигура, обладающая определенным свойством, имеет также и другое свойство. Средства даны и цель точно указана.

3. Построить фигуру, обладающую данным свойством. Цель определена, средства не указаны.

4. Какой должна быть фигура, обладающая данным свойством? Цель неизвестна.

Приведенная классификация использует характер требования и условия задачи (их определенность либо неопределенность). В зависимости от смысла, вкладываемого авторами в понятия определенности и неопределенности условия и требования задачи, приводятся разные классификации задач. Например, голландский психолог Ван де Гер выделяет два вида задач: интерполяционные и экстраполяционные. Первые характеризуются определенными данными и четко определенной целью, вторые — либо определенной целью, либо определенными условиями. Основной критерий классификации задач в кибернетике состоит в том, хорошо или плохо определена задача, так как от этого зависит возможность построения программы ее решения.

Имеются попытки классификации задач по величине проблемности (У. Рейтман, Ю. М. Колягин). Так, Ю. М. Колягин в зависимости от

того, какие компоненты задачи (условие — А, заключение — В, решение — R, базис решения задачи — С) неизвестны решающему, получает следующую типологию задач:

I тип — известны все компоненты (ACRB).

II тип — неизвестен один компонент: a) XCRB; б) AXRB; в) АСХВ; г) ACRX.

III тип — неизвестны два компонента: a) AXYB; б) XCRY; в) XYRB и т. д.

IV тип — неизвестны три компонента: a) XYZB; б) AXYZ; в) XCYZ; г) XYRZ.

Задачи указанных типов Ю. М. Колягин называет соответственно стандартными, обучающими, поисковыми, проблемными.

Указанная классификация охватывает многие типы задач, выделенные в различной литературе. Однако, по нашему мнению, ей присущи и недостатки. Конкретная задача может быть отнесена к какому-либо типу лишь при соотнесении ее со знаниями решающего задачу. К тому же существование многих типов задач весьма сомнительно, например задачи, в которых неизвестны условие, заключение, базис, но известно решение.

Предлагается группировать задачи по методам их решения: задачи на геометрические преобразования, задачи на векторы и т. д. В зависимости от числа объектов, имеющихся в условии, и связей между ними различают сложные задачи и простые. Кроме того, различают задачи стандартные и нестандартные, теоретические и практические, устные и письменные и т. д. Заметим, что многие классификации относительны, они не удовлетворяют логическим требованиям, предъявляемым к классификации объектов. Поэтому правильнее было бы говорить об объединении задач в группы (типологии задач).

В последнее время получила распространение типология задач, в которой каждый тип задач соотносится с компонентами учебной деятельности: организационно-действенным, стимулирующим и контрольно-оценочным. Указанное сопоставление выделяет следующие типы задач: 1) задачи, стимулирующие учебно-познавательную деятельность; 2) задачи, организующие и осуществляющие учебно-познавательную деятельность школьников; 3) задачи, в процессе решения которых осуществляется контроль и самоконтроль эффективности учебно-познавательной деятельности. В зависимости от конкретизации учебной деятельности классификация будет наполняться более конкретным содержанием: 1) задачи, стимулирующие усвоение знаний, умений и навыков; 2) задачи, в процессе решения которых осуществляется усвоение знаний, умений и навыков; 3) задачи, контролирующие усвоение знаний, умений и навыков.

Наряду с термином «задача» используется и термин «упражнение». Возникает вопрос: как соотносятся эти понятия?

В литературе существуют различные толкования понятия «упражнения»: от понимания его как средства своеобразного тренажа в выработке навыков до отождествления понятий упражнения и задачи. Представление об упражнении как средстве тренажа, методике

закрепления знаний явно не соответствует их уже сложившейся роли в обучении математике, а отождествление упражнения и задачи вызывает сомнение в целесообразности использования двух различных терминов для обозначения одного понятия. Вместе с тем очевидно, что объем понятия задачи шире объема понятия упражнения (в ситуациях их любых толкований). Выделим понятие упражнения из понятия задачи, для чего необходимо указать видовые отличия упражнения.

При взаимодействии человека и задачной ситуации изменяется как сама задачная ситуация, так и субъект. Изменения в задачной ситуации обусловлены требованием задачи и включают преобразования условия, изменение связей между объектами задачной ситуации и т. д. Изменения в субъекте характеризуются присвоением им знаний, умений и навыков. Существенно важным во взаимодействии обучаемого и задачной ситуации могут быть либо изменения в задачной ситуации, либо изменения в личности ученика, решающего задачу. Результат, соответствующий цели деятельности, в психологии называют прямым продуктом (результатом). Цель задачи — результат, который характеризует изменение в системе «человек — задачная ситуация». Используя эту терминологию, сказанное можно выразить и так: прямым продуктом задачи могут выступать изменения в задачной ситуации или изменения в личности решающего задачу. Упражнением является задача, если прямым ее продуктом является приобретение знаний, умений и навыков.

Раскрыть содержание понятия упражнения можно в ином контексте, отправляясь от анализа интерпретаций процесса обучения, учебного познания, структуры урока, методов обучения, практики. Этот анализ освещен в книге [13], поэтому остановимся лишь на его результатах.

Использование методических концепций системности и целостности позволило объяснить современный процесс обучения. Общим в его интерпретациях, основанных на деятельностном подходе (М. И. Махмутов) и понимании содержания образования как социального опыта человечества, состоящего из четырех основных компонентов — знаний о мире, опыта осуществления способов деятельности, становящихся по мере усвоения навыками и умениями, опыта творческой деятельности, опыта эмоционально-чувственной воспитанности (И. Я. Лернер), является усвоение способов деятельности, которые представляют собой элемент содержания обучения. Эти способы деятельности реализуются через специальные объекты — их носители, которыми являются упражнения. Причем взаимодействие с этими объектами должно обеспечить усвоение способов деятельности. Так, успешное использование понятий во многом обусловлено владением рядом действий, в частности действием подведения объекта под понятие, действием выведения следствий из факта принадлежности объекта понятию. Эти действия включаются в содержание обучения математике посредством специальных упражнений, среди которых важное место занимают упражнения на распознавание объектов, принадлежащих объему изучаемого понятия. Указанные упражнения являются как носителем данных действий,

так и средством целенаправленного формирования математического понятия.

Исследования процесса обучения показали, что в нем осуществляется взаимопроникновение созерцания, мышления и практики. Хотя для обучения характерно разнообразие уровней и видов практики, однако в целом в нем преобладает практика в единстве с применением научных знаний [18]. Причем практика может не только заключать познание, но и предшествовать, и сопутствовать ему.

Сказанное приводит к выводу о том, что упражнения — многоаспектное явление обучения, обладающее следующими основными признаками: 1) быть носителем действий, адекватных содержанию обучения математике; 2) являться средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков; 3) быть способом организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся; 4) являться одной из форм реализации методов обучения; 5) служить средством связи теории с практикой. Построенная модель упражнений характеризует их со всех сторон процесса обучения. С точки зрения содержания обучения упражнения есть носитель действий, с точки зрения методов обучения — одна из форм их проявления, со стороны средств обучения упражнения выступают средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков, в деятельностном плане они являются одним из способов организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся. Чтобы понять сущность упражнения, следует учитывать все его аспекты. Однако для каждой конкретной ситуации может быть использован лишь один из указанных признаков, например рассмотрение упражнения как средства формирования умений.

Соотнося сказанное о задачах и упражнениях, видим, что в контексте учебников математики школьные задачи являются упражнениями, поэтому рассмотренные типологии задач можно считать типологиями упражнений. Учитывая традицию употреблять в школьных учебниках чаще термин «задача», мы также будем следовать ей.

2. Роль задач в обучении математике

В истории использования задач в обучении математике можно выделить следующие этапы:

1) изучение математики с целью обучения решению задач;

2) обучение математике, сопровождаемое решением задач;

3) обучение математике через решение задач.

Сущность этих этапов обусловлена целями обучения, новыми образовательными концепциями, целями математического образования. Особенности первого этапа хорошо вычитываются из предисловия к «Арифметике» Л. Ф. Магницкого, где утверждается, что математику следует «вытверживать» для решения задач, главным образом задач на банковские расчеты, купеческие сделки и т. п. Содержание второго этапа обусловлено прежде всего представлением о методике обучения математике, заключающимся в том, что предметные методики должны

заниматься поиском средств, приемов усвоения теоретического материала. Еще сейчас можно встретить уроки математики с жесткой структурой: проверка домашнего задания, опрос, объяснение нового материала, закрепление (решение задач), задание на дом.

Однако еще в конце XIX в. высказывались пожелания расширить функции задач в обучении математике. Так, С. И. Шохор-Троцкий в статье «Цель и средства преподавания низшей математики с точки зрения требований общего образования», опубликованной в 1892 г., отмечал, что задачи должны служить точкой исхода преподавания, а не средством дрессировки учащихся в определенном направлении. В документах Международного конгресса математиков, состоявшегося в 1966 г. в Москве, подчеркивается, что решение задач наиболее эффективная форма не только для развития математической деятельности, но и для усвоения знаний, навыков, методов и приложений математики. Такая точка зрения на использование задач в обучении математике была обусловлена результатами исследований процесса обучения, формирования понятий, учебной деятельности и т. д. (О них шла речь в предыдущих главах и этой главе.)

Однако в учебных пособиях по методике обучения математике роль и место задач в обучении несколько занижены. Например, в книге «Педагогика математики» А. А. Столяра обучение через задачи представлено схемой «задачи — теория — задачи», из которой явствует, что задачи рассматриваются автором как источник возникновения теории и средство ее применения. Из разделов, посвященных проблеме формирования понятий, методике работы с теоремой, можно заключить о большой роли задач в изучении теории. Так, задачи (упражнения) при формировании понятий призваны: способствовать мотивации введения понятия; выявлять существенные свойства понятия; способствовать их усвоению; способствовать усвоению терминологии, символики, пониманию смысла каждого слова в определении, запоминанию определения, овладению объемом понятия; раскрывать взаимосвязи понятия с другими понятиями; обучать применению понятия. Выполнение упражнений должно обеспечить овладение умениями распознавать объекты, принадлежащие понятию, выводить следствия из принадлежности объекта понятию, переходить от определения понятия к его признакам, переосмысливать объекты с точки зрения других понятий. Введение понятия осуществляется в процессе решения задач практического, физического и другого содержания. Ознакомление со многими геометрическими понятиями возможно в процессе решения задач на построение фигур, удовлетворяющих указанным свойствам, упражнений с моделями фигур. Усвоение определения понятия достигается при решении задач на распознавание, на выведение следствий, задач, требующих анализа условий, дополнения их так, чтобы из условий вытекала принадлежность объекта понятию. Систематизация понятий осуществляется в процессе решения задач на установление связей между понятиями, построение схем, устанавливающих связи, на составление «родословных» понятий и т. д.

Задачи, используемые для реализации различных этапов организа-

ции изучения теоремы, должны способствовать мотивации введения теоремы; выявлять закономерности, отраженные в теореме; способствовать усвоению содержания теоремы; способствовать пониманию значения каждого слова в формулировке теоремы, запоминанию ее формулировки; обеспечивать восприятие идеи доказательства, раскрывать приемы доказательства; обучать применению теоремы; раскрывать взаимосвязи изучаемой теоремы с другими теоремами. Первые два требования реализуют задачи на непосредственное измерение величин, оперирование моделями фигур, а также цепочки взаимосвязанных задач и упражнения на материале практического содержания. Усвоению содержания теорем способствует решение задач на выделение на чертежах и моделях фигур, удовлетворяющих условию теоремы, а также выполнение чертежа, моделирующего условие. Восприятие доказательства теоремы обеспечивают задачи на ознакомление со способом ее доказательства, моделирующие приемы доказательства. Задачи эффективны в воспитании потребности в обосновании утверждений, в воспитании навыков дедуктивного мышления, в привитии взгляда на то, что справедливость утверждений выясняется рассуждением. Усвоению логики доказательства способствует применение упражнений со специальными карточками. На этапе применения теоремы важны задачи на систематизацию знаний и их обобщение, на применение знаний и умений в комплексе, на углубление и расширение знаний и умений, на составление «родословной» доказательства теоремы, на группирование теорем по приемам их доказательства. С помощью задач формируются умения, составляющие основу применения знаний в конкретных ситуациях (переформулировка требования задач, составление промежуточных задач и т. д.).

Из сказанного легко представить роль и место задач в изучении теории. К уже отмеченному добавим, что задачи — основное средство развития пространственного мышления, творческой деятельности школьников, в процессе решения задач формируются не только логическая, эвристическая, алгоритмическая составляющие мышления, но и многие нравственные качества учащихся.

Приведем ряд конкретных рекомендаций по использованию задач на примере изучения линейной функции. С другими примерами можно ознакомиться по книге [13].

Усвоение раздела «Линейная функция» предполагает овладение следующими действиями: 1) распознавание линейных функций; 2) выведение следствий из факта принадлежности функции к классу линейных; 3) построение графика линейной функции (по точкам, по двум точкам, с помощью параллельного переноса); 4) нахождение по заданному значению х соответствующего значения у и обратно; 5) нахождение по заданному изменению значения х соответствующего изменения значения у и обратно; 6) определение расположения графика в зависимости от коэффициентов; 7) определение по формуле, задающей функцию, расположение графика этой функции и обратно.

Введение линейной функции можно осуществить посредством решения задач, приводящих к зависимостям, являющимся линейными функ-

циями: задачи на нахождение стоимости проезда в такси, стоимости телеграммы и т. д. Абстрагируясь от конкретных величин, приходим к зависимости, характерной для рассматриваемых ситуаций: у = кх + b, где к и b — некоторые числа. На основе определения линейной функции полезно составить алгоритм распознавания линейных функций, который в дальнейшем и будет использоваться при выполнении упражнений на распознавание. С учетом сложности структуры алгоритма (три свойства, соединенные союзом «или») целесообразно поэлементное его использование (сущность этого приема описана выше).

Приведем совокупность упражнений на формирование понятия линейной функции.

1. Из данных функций выделите линейные:

2. Приведите примеры линейных функций.

3. Какой вид имеет формула, задающая линейную функцию?

4. Постройте графики функций:

5. Среди указанных функций выделите такие, графиками которых является прямая:

6. Известно, что f(x) = 2x — 5.

а) Найдите значение f(x) при х = 0;

б) Найдите значение х, если f(x) принимает значения —3; -5.

7. Постройте график функции у = — 2х + 1. Найдите значение у при х = 3; —2; 0. Найдите значения x, при которых у = 0; -2; —. Как изменяется у, если 2 < х < 4?

8. Постройте графики функций у = — 3х + 1 и у = — 3x + 4. Как расположены эти графики относительно друг друга? Чем обусловлено различие в расположении графиков?

9. В одной и той же системе координат постройте графики функций у = — 2х + 3 и y = -3x + 3. Чем обусловлено сходство и различие этих графиков?

10. Приведите примеры таких линейных функций, графики которых были бы параллельны.

11. Среди функций укажите такие, графики которых: а) проходят через начало координат; б) пересекают ось ординат в точке с положительной (отрицательной) ординатой; в) параллельны оси абсцисс.

Среди этих функций выделите такие, графики которых составляют с осью абсцисс: а) острый угол; б) тупой угол.

12. Приведите по два примера линейных функций, графики которых: а) параллельны оси абсцисс; б) пересекают ось ординат и составляют тупой (острый) угол с осью абсцисс; в) проходят через начало координат и наклонены к оси абсцисс под углом меньше (больше) 135°. Постройте эскизы графиков этих функций. Укажите значения аргумента, при которых значения функций положительны; равны нулю.

13. Не выполняя построения, определите, каким (острым или тупым) является угол наклона графика к оси абсцисс и в какой точке он пересекает ось ординат, если функция задана формулой:

14. Покажите примерное расположение графика функции, заданной формулой: а) у = — 3х + 8; б) у = х + 2,5.

15. Выясните, проходит ли график функции, заданной формулой у = 1,3х-5, через точку: а) А (2,6; -2,4); б) B(15; 12).

16. Постройте график функции, если известно, что она задана формулой у = kx-4 и ее графику принадлежит точка А (5; 6).

17. Найдите параметр а, если известно, что графики функций у = 3х + 4 и у = ах — 5 параллельны.

18. Найдите параметр b, если известно, что графики функций у = 2х — b и у = —х + 2/3 проходят через одну и ту же точку оси ординат.

19. Задайте формулой функцию, если известен ее график.

20. Задайте формулой линейную функцию, если известно, что ее график параллелен графику функции у = — 3х + 4 и проходит через точку оси ординат, принадлежащую графику функции у = 4/3х— 5.

21. Задайте формулой линейную функцию, если известно, что ее график проходит через точку А (1; 2) и параллелен: а) графику функции у = 2х— 11; б) оси абсцисс; в) биссектрисе первого и третьего координатных углов.

Примеры использования задач в процессе изучения теорем приведены в предыдущей главе.

С изменением роли и места задач в обучении обновляются и сами задачи. Если ранее требование задачи выражалось словами: «найти», «построить», «вычислить», «доказать», то теперь — «объяснить», «выбрать из различных способов решения наиболее оптимальный», «выделить все эвристики, используемые при решении задачи», «исследовать», «спрогнозировать различные способы решения» и т. д. Отметим и попытки определить критериальную основу для выбора эстетически привлекательной задачи. Ее составляют универсальность использования в различных разделах математики, продуктивность, максимальная емкость охвата объектов рассматриваемого типа. Решение таких задач основывается на интеграции различных методов. Сказанное характеризует новый этап использования задач в качестве средства математического образования. Данный этап реализуется задачами, решение которых требует интеграции знаний из различных образовательных областей, использования методов познания, конструирования новых

способов аргументации, опровержения гипотез, прогнозирования результата, планирования исполнения, коррекции, оценки, развития темы. Среди функций задач важное место занимает функция управления математической деятельностью школьника, и в частности его развитием. При отборе задач следует учитывать ряд положений:

1. Если в процессе обучения выполняются три условия: 1) учащийся выполняет задания одинакового типа; 2) некоторая особенность заданий неизменно повторяется; 3) учащийся может получить верный ответ и в том случае, когда не осознает эту особенность, то степень осознания данной особенности снижается (закономерность П. А. Шеварева).

Несмотря на то что указанная закономерность известна давно и не раз в литературе отмечалось ее негативное влияние, авторами учебных пособий до сих пор создаются ситуации, в которых она проявляется. Из данной закономерности следует необходимость чередования упражнений. Возникает вопрос: каким должно быть оптимальное число однотипных упражнений? Ответ на этот вопрос содержится в следующем положении.

2. Упрочение ошибочной ассоциации, возникающей в соответствии с отмеченной выше закономерностью 1, начинается после выполнения трех однотипных упражнений.

К сожалению, в школьных учебниках эта закономерность учитывается не всегда. Так, на применение формулы разности квадратов в учебнике по алгебре для VII класса под ред. С. А. Теляковского содержится 36 однотипных упражнений (меняется лишь форма выражения), в учебнике Ш.А.Алимова и др. более 50 упражнений (кроме формы выражения меняется требование).

3. Выполнение упражнений на овладение каким-либо действием в некоторой ситуации вовсе не обеспечивает успеха в применении этого действия в другой ситуации, отличной от рассмотренной.

Это положение объясняет причину многих ошибок школьников. Например, многие учащиеся затрудняются в построении угла между высотой правильной треугольной пирамиды и ее боковой гранью, диагональю боковой грани правильной четырехугольной призмы и ее диагональным сечением, хотя в других «обычных», т. е. наиболее распространенных, случаях учащиеся правильно выполняют построение угла между прямой и плоскостью. Что же делать в таких ситуациях? Ответ дает следующая рекомендация: формировать умение владеть каким-либо действием следует во всех возможных ситуациях.

4. Если взаимно обратные действия изучаются раздельно, то в совокупность упражнений, выполнение которых требует прямых действий, следует включать упражнения на обратные действия. Этим достигается быстрое переключение мышления школьника с прямых на обратные действия и наоборот, исключается развитие инерции мышления. При одновременном изучении (на одном уроке) взаимно обратных действий следует выполнять упражнения, формирующие эти действия, вперемежку. Например, формирование действия возведения одночлена в квадрат и представление одночлена в виде квадрата дру-

гого одночлена целесообразно осуществлять в процессе выполнения упражнений типа: 1) возвести в квадрат выражение 7а2b; 2) представить в виде квадрата одночлена выражение 64a8b4.

5. Упражнения на выполнение действия на материализованном этапе существенно не влияет на овладение этими действиями на умственном этапе.

В учебниках математики формирование некоторых действий ограничено материализованным этапом, т. е. непосредственным оперированием моделями объектов, между тем использование этих действий в конкретных ситуациях предполагает выполнение действий в уме. Например, при использовании геометрических преобразований построение фигур, в которые переводятся данные фигуры преобразованием, осуществляется мысленно, а в учебниках геометрии формирование соответствующего умения реализуется только на этапе непосредственных действий с моделями фигур. Вот примеры упражнений, в которых предусмотрены оба указанных этапа: 1) Построить треугольник, симметричный данному при осевой симметрии с осью l. (Материализованный этап.) 2) Прямые l1 и /2 являются осями симметрии прямоугольника (рисунок дан). Какие стороны прямоугольника можно убрать, чтобы оставшаяся фигура также имела прямые l1 и l2 своими осями симметрии? (Умственный этап.) Возникает вопрос: зависит ли степень овладения действием на умственном этапе от количества упражнений, выполненных на материализованном этапе? Ответ на этот вопрос содержится в закономерности 5, которую следует учитывать при построении системы задач, ориентированной на овладение такими действиями.

Итак, важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления, является решение задач. Сказанное обусловливает важность ответа на вопрос: как обучать учащихся решению математических задач?

3. Методика обучения решению математических задач

Методика решения задач впервые в достаточно общем виде была разработана Д. Пойа и представлена в известной книге «Как решать задачу?». Автор выделяет в решении задачи четыре этапа: 1) понимание постановки задачи; 2) составление плана решения; 3) осуществление плана; 4) взгляд назад (изучение полученного решения). В книге сформулирована цель каждого этапа и раскрыто его содержание. Например, цель второго этапа заключается в нахождении связи между данными и неизвестными. При этом, замечает Д. Пойа, если не удается сразу обнаружить эту связь, возможно, полезно будет рассмотреть вспомогательные задачи. Эта рекомендация выполняется посредством ряда вопросов учителя и ответов учащихся. Примеры вопросов: не встречалась ли раньше вам эта задача, хотя бы в несколько другой форме? Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Не знаете ли вы теоремы, которая могла бы оказаться полезной? В случае затруднения учащимся предлагается рассмотреть неизвестное и постараться

вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным и ответить опять-таки на ряд вопросов.

Если привести примеры вопросов учителя не составляет труда, то с примерами ответов учащихся значительно сложнее. Думается, что большинство адресатов вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» — промолчит. Объяснение этому простое: деятельность по решению задач имеет сложное строение, ее составляют логические, эвристические действия, действия контроля и самоконтроля, учебные действия, поэтому ученик, не овладевший этими действиями, будет беспомощным в ответе на указанные вопросы. К тому же авторы учебников мало заботятся о таком расположении задач, чтобы они были взаимосвязаны. Ведь ответ на вопрос: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» — будет в том случае, если действительно решаемой задаче предшествуют родственные с ней задачи. Но даже если учитель исправит промахи авторов учебника в расположении задач, удовлетворительный ответ ученика будет в том случае, если он владеет всем спектром умения решать задачи.

Итак, методика обучения решению задач предполагает выделение этого спектра. Первый этап составляют действия: выделение условия и требования задачи, объектов и отношений между ними, выполнение рисунка, отметка на нем данных и искомых элементов, краткая запись условия и заключения задачи. Содержание этого этапа решения задачи, как правило, реализуется на практике. Второй этап включает анализ условия и требования задачи. Под анализом условия задачи будем понимать выявление такой информации, которая непосредственно не задана условием, но присуща ему. Анализ требования задачи предполагает выяснение возможных путей ответа на вопрос задачи. Информация, являющаяся результатом анализа условия задачи, может быть получена следующими способами: 1) выведением следствий непосредственно из условия задачи; 2) переосмысливанием объектов (фигур, отношений между ними) с точки зрения других понятий; 3) заменой термина его определением; 4) использованием характеристических свойств понятия; 5) интерпретацией символических записей; 6) переводом содержания задачи на язык специальной теории и наоборот.

Важнейшим компонентом умения анализировать требование задачи является умение преобразовывать требование задачи в равносильное ему. Проблема формирования этого умения непосредственно связана с вооружением учащихся как можно большим числом признаков и свойств понятий. Выполнение анализа требования задачи предполагает наличие ассоциаций: осознание термина, обозначающего понятие, — осознание определения этого понятия и термина, обозначающего понятие, — осознание его характеристических свойств. Очевидно, что одним из компонентов умения анализировать требование задачи является умение составлять вспомогательные задачи. Важным является и умение видеть различные пути решения задачи. Продвижение в решении задачи зависит от умения переосмысливать элементы фигуры с точки зрения другого понятия. Частным случаем этого умения является переосмысление элементов чертежа с точки зрения другой фигу-

ры, что, в свою очередь, связано с умением вычленять элементы чертежа, комбинировать их. К составляющим умения осуществлять поиск способа решения задачи следует отнести также умения: распознавать объекты, соотносить с условием и требованием задачи свои мыслительные действия с чертежом, оценивать свои действия с точки зрения целесообразности, формулировать производные задачи, распознавать ситуации, удовлетворяющие условию теоремы. В отдельных случаях помогает успеху в решении задачи знание «родственных» отношений между объектами, специальных эвристик, применение методов научного познания, в частности аналогии, обобщения.

Проиллюстрируем указанные умения на примере задачи: Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABС с прямым углом С и медианой АA1. Из вершины С проведен отрезок СС1, перпендикулярный отрезку АA1 (C1∈AВ). В каком отношении точка С, делит отрезок AB?

Поставим вопрос: что нужно знать, чтобы найти отношение AC1:C1В? Непосредственного ответа на этот вопрос нет. Попробуем поставить вопрос по-другому: нельзя ли данное отношение заменить отношением, равным ему? (Преобразование требования задачи в равносильное ему.)

Для ответа на этот вопрос обратимся к условию задачи. (Вычленение треугольника ABС, медианы АА1, перпендикуляра СC1, переосмысление элементов чертежа в плане различных понятий, переход от термина «медиана» к определению понятия.) Наличие в условии задачи медианы треугольника актуализирует ассоциацию «медиана треугольника — точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины», что, в свою очередь, вызывает мысль об отыскании на медиане AA1 точки К, такой, что AK:KA1 = AC1:C1В. (Аналогия с данным требованием задачи.)

Точка К легко найдется при актуализации ассоциации «равенство отношений отрезков на сторонах угла — пересечение угла пучком параллельных прямых». (Специальные эвристики.)

Итак, К— точка пересечения отрезка AA1 и отрезка C1D, перпендикулярного AС. Построение точки К позволяет переформулировать требование задачи в новое: найти отношение AK:КA1 и составить задачу, аналогичную данной. (Составление промежуточных задач.)

В треугольнике AСC1 К — точка пересечения двух высот, следовательно, прямая CK перпендикулярна AB. (Выведение следствий, переосмысление элементов чертежа в плане различных фигур, актуализация ряда специальных ассоциаций, постоянное соотнесение преобразований задачи с действиями с чертежом.)

Поскольку СК⊥AB, а △AСВ — равнобедренный, то прямой CK принадлежит вторая медиана треугольника ACВ, а потому К — точка пересечения медиан треугольника ABС. Следовательно, AK: КA1 = 2:1. Легко усмотреть в приведенном «блоке» рассуждений наличие почти всех перечисленных выше умений.

Отправляясь от анализа требования задачи, можно прийти и к другим вариантам ее решения: а) использовать поворот вокруг точки С на

90°, при котором А—и теорему о пересечении двух прямых пучком параллельных прямых; б) воспользоваться поворотом вокруг середины отрезка AB, при котором А→С, С→В, и гомотетией с центром С, и k = —1/2; в) применить векторный метод; г) использовать координатный метод; д) воспользоваться алгебраическим методом. Предоставляем возможность читателю самостоятельно разобраться во всех указанных подходах к решению задачи. Примеры, иллюстрирующие поиск способа решения задачи, приведены в предыдущих главах.

Резюмируя сказанное, отметим, что обучение решению задач включает формирование умений школьников выполнять действия, адекватные поиску способа решения задачи. Основное средство формирования — специальные упражнения. В главах III—V было рассмотрено формирование многих из выделенных умений.

Следующий этап — осуществление плана решения — Д. Пойа характеризует так: осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен? Сумеете ли доказать, что он правилен? Ясно, что реализация этого этапа предполагает владение логическими действиями, и в первую очередь правилами вывода, а они в школьном курсе явно не изучаются, хотя и подразумеваются. В предыдущей главе мы рассматривали методику формирования умения оперировать правилами вывода, поэтому отсылаем читателя к этому материалу.

Особое значение имеет четвертый этап — взгляд назад. Его особенность обусловлена тем, что он является хорошим полигоном для развития творческой инициативы учащихся, самостоятельности их мышления. Несмотря на большие возможности этого этапа в развитии ученика, он почти не используется учителями в их практике. Решение задачи, как правило, заканчивается получением ответа или, в лучшем случае, обсуждением базиса и идеи решения. Между тем реализация этого этапа должна включать, кроме изучения полученного решения, составление задач — аналогов данной, задачи-обобщения, задачи-конкретизации, задач, решаемых тем же способом, что и основная задача, поиск различных способов решения данной задачи, их оценку, выбор наиболее простого. Исследование задачной ситуации можно осуществлять со стороны: а) способа поиска решения задачи; б) способа развития ученика; в) способа систематизации знаний. Каждое из указанных направлений будет служить основой составления новых задач. Учитывая сказанное, можно заключить, что сущность рассматриваемого этапа заключается не столько «во взгляде назад» (Д. Пойа), сколько «во взгляде вперед».

Раскроем возможности заключительного этапа работы с задачей на примере задачи: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Решив задачу, можно обратить внимание учащихся на то, что произведение отрезков хорды можно рассматривать как площадь прямоугольника, сторонами которого являются отрезки хорды. Так приходим к задаче:

1.1. Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке Р. Докажите: площадь прямоугольника со сторонами АР и PB равна площади прямоугольника со сторонами PC и PD.

Теперь рассмотрим частный случай задачи 1.1: одна из хорд (пусть AB) является диаметром окружности, а вторая (пусть хорда CD) перпендикулярна ей. Тогда АР- PB = СР2. В данной ситуации наиболее важным является формулировка решенной задачи:

1.2. Если из некоторой точки окружности опустить перпендикуляр на диаметр, то квадрат перпендикуляра равен произведению отрезков диаметра. (Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки окружности на диаметр, есть среднее пропорциональное между отрезками диаметра.)

Заметив, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, ситуацию, отраженную в задаче 1.2, можно интерпретировать следующим образом: если из вершины прямого угла опустить перпендикуляр на гипотенузу, то квадрат перпендикуляра равен произведению отрезков гипотенузы.

Поставим вопрос о справедливости утверждения, обратного утверждению 1.1:

1.3. Пусть отрезки AB и CD пересекаются в точке Р так, что АР⋅РВ = СР⋅PD, тогда точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

Нетрудно установить истинность этого утверждения: пусть точка D не лежит на окружности, проходящей через точки А, В, С, a D1, — точка окружности, в которой ее пересекает прямая CD, тогда АР⋅PB = СР⋅PD1 = CP⋅PD, откуда точка D совпадает с точкой D1, т. е. точка Z), не лежит на указанной окружности.

Теперь можно перейти к обобщению задачи 1.1:

1.4. Через точку Р вне окружности проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках А и В, а вторая — в точках С и D. Докажите, что РА⋅PB = PC⋅PD.

Эта задача интересна и тем, что ее решение аналогично решению задачи 1.1.

Будем исследовать задачную ситуацию, взяв предельный случай, который дает совпадение точек, например А и В. Этот случай трансформирует задачу 1.4 в следующую задачу:

1.5. Через точку Р проведены касательная РА (А — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Докажите, что PA2 = PC⋅PD.

Можно предложить самим учащимся сформулировать задачу, соответствующую описанной выше ситуации.

Анализ задачи 1.5 приводит к гипотезе о справедливости утверждения:

1.6. Прямая AM — касательная к окружности, AB — хорда этой окружности. Докажите, что угол MAB измеряется половиной дуги AB, расположенной внутри угла MAB.

Второй предельный случай задачной ситуации 1.4 (совпадение точек С и D) соответствует следующей задаче:

1.7. Из точки Р проведены к окружности две касательные РА и PC (А и С — точки касания). Докажите, что РА = РС.

В данной ситуации также целесообразно привлечь учащихся к конструированию и формулировке задачи 1.7.

Теперь можно рассмотреть более сложную конфигурацию, состоящую из двух окружностей и отрезков их хорд.

Итак, выдвигаем проблему: найти условия такого расположения двух окружностей и хорд в них, чтобы точка пересечения хорд обладала тем же свойством, что и точка Р в задаче 1.1. Простейший анализ этой проблемы, ее сопоставление с задачной ситуацией 1.1 приводят к выводу о том, что данные окружности должны пересекаться, а точка пересечения хорд должна принадлежать общей хорде этих окружностей.

Формулируется задача:

1.8. Через точку Р, принадлежащую общей хорде двух пересекающихся окружностей, проведены в каждой из них хорды AB и CD. Докажите, что АР⋅PB = CD⋅PD.

Задачи 1.8 и 1.3 порождают новую задачу:

1.9. Через точку Р, принадлежащую общей хорде двух пересекающихся окружностей, проведены в каждой из них хорды AB и CD. Докажите, что точки А, В, С и D принадлежат одной окружности.

Заметим, что формулировка и этой задачи может быть выполнена учащимися. Кстати, основной акцент в работе с приведенными задачами и делается на анализе учащимися соответствующих ситуаций и формулировок задач.

Обращаем внимание учащихся на то, что свойством точки Р (предыдущая задача) обладает любая точка прямой, проходящей через точки пересечения окружностей, кроме самих этих точек. Таким образом, приходим к более общему случаю:

1.10. Две окружности пересекаются в точках M и N. Через точку Р прямой MN, отличную от точек M и N, проведены в каждой из окружностей секущие AB и CD. Докажите, что АР⋅РВ = СР⋅PD.

Данная задача аналогична задаче 1.4.

Решенные выше задачи показывают, что аналогом задач 1.5 и 1.7 являются задачи:

1.11. Две окружности пересекаются в точках M и N. Через точку Р прямой MN проведены касательные PC и PD к окружностям (С и D — точки касания). Докажите, что PC = PD.

Частным случаем данной задачи является следующая: CD — общая касательная двух пересекающихся в точках M и N окружностей. Докажите, что точка пересечения прямых CD и MN делит отрезок CD пополам.

Последняя задача дает способ деления отрезка, определяемого точками касания общей касательной к двум пересекающимся в двух точках окружностям, пополам с помощью одной линейки.

1.12. Две окружности касаются друг друга в точке М. Через точку Р касательной, проходящей через точку M, проведены секущие, пересекающие окружности в точках А, В и С, D. Докажите, что PA⋅PB = PC⋅PD.

Рис.10 Рис.11

1.13. Две окружности касаются друг друга в точке М. Через точку Р касательной, проходящей через точку М, проведены касательные РА и PB к данным окружностям (А и В — точки касания). Докажите, что РА = РВ.

Исследование конфигурации, состоящей из двух окружностей, может быть распространено на конфигурацию, состоящую из трех окружностей. Итак, пусть нам дана конфигурация, состоящая из окружностей S1, S2, S3, попарно пересекающихся друг с другом в точках А, В, С и D (рис. 10), a M — точка пересечения прямой CD с окружностью S2.

Рассмотрение этой конфигурации приводит к ряду проблем, например выяснить, при каком расположении окружностей S1, S2, S3 PC⋅РМ = PC⋅PD = AP⋅PВ. Нетрудно усмотреть, что прямая AB должна быть общей касательной к окружностям S1 и S3.

Так приходим к задаче:

1.14. Окружности S1, S2 и S3 проходят через точку M и пересекаются попарно, кроме точки M, в точках А, В, N (рис. 11), причем AB — касательная к окружностям S1 и S2. Докажите, что:

а) точка Р пересечения прямых AB и NM делит отрезок NC, где С — точка пересечения прямой NM с окружностью S3, пополам;

б) четырехугольник АСBN — параллелограмм. Данная задача, в свою очередь, рождает задачу:

1.15. В параллелограмме ABCD АС — большая диагональ, которую окружность, описанная около треугольника BCD, пересекает в точке М. Докажите, что прямая BD является общей касательной к окружностям, описанным около треугольников АВМ и ADM.

Обратим внимание на задачу 1.14, б и рассмотрим ситуацию, в которой окружности S1 и S2 касаются в точке М. Нетрудно установить, что в этом случае параллелограмм ACBN «вырождается» в прямоугольник АСВМ, а мы приходим к новым задачам:

1.16. Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке М. Прямая AB — общая внешняя касательная этих окружностей. Через точки А, В (точки касания) и M проведена окружность S3, с которой вторая общая касательная, проходящая через точку М, пересекается в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ — прямоугольник.

1.17. Две окружности касаются в точке М. К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках А и В. Докажите, что ∠АМВ = 90°.

Итак, довольно-таки большое число задач мы объединили общей идеей. Каждая последующая задача либо обобщает предыдущую, либо конкретизирует ее, либо является ее аналогом, либо использует результат предыдущей задачи. Цепочки таких задач (будем называть их динамическими задачами) могут быть разной длины в зависимости от цели их использования. Они могут объединять разделы одной темы и использоваться на уроках обобщения знаний по теме, могут углублять изучаемые зависимости, охватывать несколько тем, использование их тогда может выходить за пределы урока или уроков и распространяться на кружковые занятия.

Вопросы и задания

1. Объясните смысл различных трактовок понятия задачи. В чем вы видите достоинства и недостатки каждой из них? Какая из трактовок понятия задачи наиболее употребима в методике преподавания математики?

2. Объясните различные классификации задач. Какая из них соответствует трактовке задачи, принятой в методике преподавания математики?

3. Объясните смысл понятия упражнения. Как соотносятся понятия задачи и упражнения?

4. Раскройте содержание этапов использования задач в обучении математике и проиллюстрируйте их примерами из учебников, используемых в разное время.

5. Объясните смысл принципа «обучение через задачи».

6. Раскройте роль задач в процессе: а) формирования понятия, б) изучения теоремы и проиллюстрируйте ее примерами.

7. Раскройте содержание положений, определяющих отбор задач. Проследите по учебникам алгебры и геометрии учет этих положений при конструировании систем задач учебников.

8. Какие ошибки могут быть допущены учащимися при выполнении следующей совокупности упражнений:

Подтвердите предположение экспериментом. Внесите нужные изменения в последовательность указанных упражнений.

9. Подберите или составьте несколько упражнений по готовым чертежам, способствующих формированию умения анализировать формулировки теорем на примере конкретно выбранной вами теоремы.

10. Разработайте систему упражнений, соответствующую теореме, произвольно выбранной вами. Воспользуйтесь схемой соотнесения каждому этапу изучения теоремы определенных видов упражнений.

11. Разработайте систему упражнений по теме «Квадратные уравнения».

12. Успешное применение того или иного способа предполагает его использование в различных конкретных ситуациях в сочетании с другими способами. Однако в учебниках геометрии это требование часто игнорируется. Задачи на применение того или иного способа часто приводятся лишь в том разделе, где осуществляется знакомство со способом. Исследуйте задачный материал различных тем курса стереометрии в разных учебниках с целью выявления использования в них способа построения сечений. Если таких задач не обнаружите, то составьте по нескольку задач для каждой темы. (Воспользуйтесь книгой: Литвиненко В. Н. Задачи на развитие пространственных представлений: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1991.)

Выполните аналогичное задание применительно к методу доказательства равенства фигур, основанному на признаках равенства треугольников.

13. Объясните сущность каждого этапа работы с математической задачей: анализа условия задачи; поиска способа решения задачи; реализации способа решения; оценки различных способов решения; использования задачи и ее решения для составления новых задач. Проиллюстрируйте на примере конкретной задачи указанные этапы. Понаблюдайте, как учителя математики осуществляют работу по решению задач на уроках.

14. На примере решения нескольких задач выделите действия, адекватные деятельности по реализации каждого этапа решения задачи.

15. Одним из важных вопросов, ответ на который, по мнению Д. Пойа, способствует поиску способа решения задачи, является вопрос: известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Объясните сущность этого вопроса. Обеспечивает ли организация задач в школьных учебниках возможность положительного ответа на него?

16. Выберите из некоторого раздела любую задачу и разработайте методику ее решения, исходя из известных этапов ее решения.

17. Исследуйте систему упражнений по разделу «Свойства степени с натуральным показателем» («Алгебра-7», авторы Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др.). Как учтены авторами рекомендации об изучении взаимно обратных действий и психолого-дидактические закономерности [21]? Выполните соответствующую корректировку системы упражнений в различных учебниках алгебры.

18. Проанализируйте систему упражнений по теме «Алгебраические дроби» с позиций, отмеченных в предыдущем упражнении. Выделите какой-либо раздел темы, например умножение и деление алгебраических дробей, и разработайте систему упражнений по этому разделу.

19. Проследите варианты изучения темы «Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня» в различных учебниках алгебры. Какое изучение указанных действий — последовательное или одновременное — является, по вашему мнению, наиболее эффективным? Ответ обоснуйте. Подтвердите свои предположения экспериментом. Разработайте адекватную наиболее эффективному варианту изучения систему упражнений.

20. Составьте системы упражнений, предупреждающих ошибки, допускаемые учащимися при умножении натуральных чисел с нулями в середине их записей, а также делении натуральных чисел, запись частного от деления которых содержит нули. Проверьте эффективность системы упражнений с помощью специального эксперимента.

21. Выберите любой раздел из учебника геометрии и на основе его задач постройте такую их совокупность, что каждая последующая задача либо обобщает предыдущую, либо конкретизирует ее, либо является ее аналогом, либо использует результат предыдущей задачи (результат предыдущей задачи входит в условие последующей либо используется при ее решении).

22. В одной из контрольных работ некоторые учащиеся не справились с решением уравнения 3х2—147 = 0. Они пытались применить общую формулу для нахождения корней квадратного уравнения, но в данной необычной ситуации не смогли справиться с его решением. Объясните причину этого явления. Сконструируйте аналогичную ситуацию и экспериментально подтвердите ваш вывод. (Учащиеся занимались по учебнику алгебры Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина и др.)

23. Несколько учеников VIII класса в одной из контрольных работ допустили ошибки при решении уравнения 1/2x2 = 0. Данное уравнение решали так: x2 = — 1/2, далее следовал вывод о том, что это уравнение не имеет решения. Объясните причину ошибки, используя подборку упражнений учебника алгебры Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина и др. Подтвердите экспериментально ваш вывод.

24. Выберите несколько задач, решаемых с помощью признаков равенства треугольников. Выделите действия, составляющие данный метод, и разработайте систему задач, ориентированную на усвоение выделенных действий.

25. Подберите несколько задач, которые можно отнести к эстетически привлекательным задачам.

26. Отберите из различных источников несколько задач, решение которых представляет самостоятельное исследование, включающее наблюдение, формулировку гипотез и их проверку, прогнозирование результата, планирование решения задачи, исполнение, коррекцию, поиск других способов решения, применение, развитие темы.

Литература

1. Балл Г. А. О психологическом содержании понятия «задача»//Вопросы психологии. — 1970. — № 6. — С. 81.

2. Глушков В. М., Брановицкий В. И. и др. Человек и вычислительная машина. — Киев, 1971.

3. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики. — М.: Просвещение, 1990.

4. Гурова Л. Л. Психологический анализ решения задач. — Воронеж: Воронежский университет, 1976.

5. Епишева О. Б., Крупич В. И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.

6. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. I, II. — М.: Просвещение, 1977.

7. Лященко Е. И., Мазаник А. А. Методика обучения математике в IV—V классах. — Минск: Нар. асвета, 1976.

8. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В. Я. Саннинский. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1980.

9. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985.

10. Нешков К. И., Семушин А. Д. Функции задач в обучении//Математика в школе. — 1971. — № 3. — С. 4.

11. Пойа Д. Как решать задачу: Пер. с англ. — М.: Учпедгиз, 1959.

12. Преподавание алгебры и геометрии в школе: Пособие для учителей/Сост. О. А. Боковнев. — М.: Просвещение, 1982.

13. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. — М.: Просвещение, 1995.

14. Суворова С. Б. Упражнения в обучении алгебре. — М.: Просвещение, 1977.

15. Фуше А. Педагогика математики: Пер. с франц./Под ред. И. К. Андронова. — М.: Просвещение, 1969.

16. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи: Пособие для учащихся. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1984.

17. Фридман Л. М. Логико-психологический анализ учебных задач. — М.: Педагогика, 1977.

18. Шапоринский С. А. Обучение и научное познание. — М.: Педагогика, 1981.

19. Эрдниев П. М. Методика упражнений по математике: Пособие для учителей. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1970.

Глава VII

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

1. Понятие метода обучения математике.

2. Классификация методов обучения математике.

3. Дидактические системы обучения.

4. Технологии обучения.

1. Понятие метода обучения математике

В учебных пособиях по методике преподавания математики понятие метода обучения чаще не определяется либо приводится его трактовка, идущая из дидактики. Так, например, в учебном пособии [9] отмечается, что авторы исходят из достаточно широко распространенного и интуитивно ясного представления о методах обучения как упорядоченных способах взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленных на достижение целей обучения как средства образования и воспитания. Описание каждого метода обучения должно включать: 1) описание обучающей деятельности учителя; 2) описание учебной (познавательной) деятельности ученика и 3) связь между ними, или способ, каким обучающая деятельность учителя управляет познавательной деятельностью учащихся. По мнению авторов, система методов обучения математике состоит из общих методов обучения, разработанных дидактикой, и из специальных методов обучения математике, отражающих основные методы познания, используемые в математике. К группе специальных методов обучения математике отнесены моделирование и аксиоматический метод.

Сказанное позволяет утверждать, что авторы рассматриваемого пособия используют дидактическое определение методов обучения, в котором не учитывается предметное содержание обучения математике. Трудно представить то, как можно соотнести это определение с представлением об аксиоматическом методе как методе обучения.

Авторы учебника [10], указав на то, что методы обучения включают в себя методы преподавания (средства, приемы, способы информации, управления и контроля познавательной деятельностью школьников) и методы учения (средства, приемы, способы усвоения учебного материала, репродуктивные и продуктивные приемы учения и самоконтроля) в их органической взаимосвязи, дают такое определение: «Под методами обучения следует понимать упорядоченный комплекс дидактических приемов и средств, посредством которых реализуются цели обучения, воспитания и развития учащихся на том или ином эта-

пе обучения, трансформируясь из целей преподавания в цели учения». Сказанное вызывает множество вопросов: можно ли говорить о классификации методов обучения, не дав определение метода обучения? Что понимать под упорядоченным комплексом дидактических средств и приемов? В чем смысл целей преподавания и учения и трансформации одних в другие? Целесообразно ли включать в методы обучения средства обучения? Список вопросов и недоумений можно продолжить, если учесть, что классификация методов обучения никак не согласуется с тем определением методов обучения, которое приведено выше. Однако мы этого делать не будем, но отметим, что и концепция методов обучения, представленная в книге [10], никак не учитывает предметного содержания обучения математике.

Отсутствует удовлетворительное решение проблемы методов обучения математике и в более поздних изданиях учебных пособий по методике преподавания математики. В качестве примера сошлемся на книгу [4], где за основу берется дидактическое определение методов обучения (оно приведено выше) и предлагается классификация методов обучения математике, исходя из связей методики преподавания математики с другими науками. По мнению автора, методы обучения математике включают методы педагогики, психологии, логики, математики, информатики, эмпирические и истории. Странно то, что автор полностью подменяет методы обучения математике методами, используемыми другими научными областями, собрав вместе рассказ, самостоятельную работу, анализ и синтез, понятие, исторический подход и т. д.

Итак, авторы учебных пособий по методике преподавания математики исходят из дидактической трактовки метода обучения, которая, в свою очередь, обусловлена наиболее распространенными в дидактике представлениями о процессе обучения и уроке. Напомним о них. Процесс обучения представлялся как взаимодействие целей, содержания, методов, средств и форм обучения, причем взаимодействие считалось односторонним: цели обусловливали содержание, последнее определяло методы, а методы — уже средства и формы обучения. Столь же жестким было представление и о структуре урока. Например, урок, на котором учащиеся должны были овладеть новыми знаниями, строился в следующей последовательности: проверка домашнего задания, опрос, объяснение нового материала, закрепление, подведение итогов и задание на дом. Такой логике и соответствовала распространенная в то время классификация методов обучения: словесные, наглядные, практические. Первые две группы соотносились с объяснением нового учебного материала, третья — с его закреплением.

Основная цель исследований в методике преподавания математики заключалась в том, чтобы выявить дидактические приемы учителя, соответствующие указанным группам методов обучения. Для работ этого периода характерно соотнесение дидактических приемов не с содержанием учебного материала, а с этапами усвоения знаний и их организацией. Например, в статье А. П. Зенькович «Об условиях рационального сочетания методических приемов обучения на уроках

математики» (Проблемы методов обучения в современной общеобразовательной школе/Под ред. Ю. К. Бабанского, И. Д. Зверева, Э. И. Моносзона. — М.: Педагогика, 1980) выделены три типа приемов. К первому отнесены те, что способствуют формированию правильного понимания (эвристическая беседа, применение диафильма, решение задач по готовому чертежу, работа с моделями и т. д.), ко второму типу — приемы, связанные с отработкой быстроты усвоения (составление алгоритма решения задач, работа с перфокартами, практическая работа, составление схем и т. п.). Третий тип приемов обеспечивает запоминание учебного материала (углубленный устный счет, комментированное решение задачи, работа с учебником, рецензирование учащимися своих работ и работ товарищей).

В середине 60-х гг. И. Я. Лернер и М. Н. Скаткин предприняли попытку (и весьма удачную) выявить зависимость методов обучения от содержания образования. Выделив в последнем четыре вида (знания; умения и навыки; опыт творческой деятельности; отношение обучаемого к окружающему и себе), они разрабатывают соответствующую всем видам содержания систему методов обучения. В результате получается новая классификация методов обучения: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, эвристический, проблемное изложение знаний, исследовательский. Такой подход закрепил трактовку методов как способов взаимосвязанной деятельности учителя и ученика и открыл еще более широкое пространство для поиска и конструирования дидактических приемов, используемых в преподавании различных предметов.

По мнению дидактов, метод обучения как модель взаимодействия обучаемых и обучающих в предметных методиках наполняется конкретным содержанием, исходящим из специфики учебной дисциплины и ее усвоения. Однако специалисты по предметным методикам (Н. Ф. Верзилин, М. Р. Львов, И. С. Матрусов, М. В. Рыжаков и др.) высказывали несогласие с утверждением о такой связи общедидактических методов обучения с методами обучения в методиках. По их мнению, последние не «вмещаются» в систему общедидактических методов (см.: Сов. педагогика. — 1984.—№ 1, 11). Недостаток общедидактического подхода к трактовке методов обучения усматривался и в отсутствии их связи с предметным содержанием, с методами соответствующей науки. Так, по мнению известного методиста-филолога М. Р. Львова, своеобразие каждого предмета обусловливает специфические методы, которые не вписываются в дидактическую типологию методов. К ним он относит звуковой, аналитико-синтетический, метод анализа языка. Итак, в предметных методиках полагали, что наряду с общедидактическими методами обучения существуют специальные методы, обусловленные спецификой учебного предмета.

Надо сказать, что некоторые дидакты не были согласны со столь обобщающей дидактической трактовкой методов обучения и пытались дать более технологичные определения этого феномена. Е. И. Машбиц и Г. С. Костюк трактовали метод как способ определенной организации работы учащихся с учебным материалом. М. И. Махмутов определил

метод обучения как «модель поведения — регулятив, содержащий совокупность правил, предписывающих, определяющих целевую направленность деятельности в обучении и реализуемых через конкретные действия — приемы и способы деятельности» [8, с. 42]. Еще раз подчеркнем, что специалисты в области предметных методик пытались отразить в методах обучения содержание соответствующего учебного предмета, что проявляется в описании специфических методов. Однако такой подход приводит к рассогласованию между трактовкой методов обучения и конкретными методами обучения. Непросто понять, как аналогия или дедукция может выступать в качестве способа взаимосвязанной деятельности учителя и ученика, и уж совсем трудно представить, как в действиях учителя и ученика используется аксиоматический метод.

Для разрешения этого противоречия подойдем к проблеме методов обучения с другой стороны. Заметим, что в философии метод рассматривается как форма движения содержания. В дидактике основным отношением, характеризующим обучение, является «преподавание — учение», а, следовательно, содержанием обучения — взаимосвязанная деятельность учителя и ученика. Определение методов обучения как способов этой деятельности вполне соответствует гегелевской трактовке метода. Классификация методов обучения (по И. Я. Лернеру и М. Н. Скаткину) вполне корректна и логична, так как отражает уровни этого взаимодействия. Попытки сделать ее более технологичной и конкретной приводят к новым трудностям.

В частных методиках обучение характеризуется отношением «преподавание — предметное содержание — учение», и содержание обучения включает не только деятельность учителя и ученика, но и содержание учебного предмета. Методы обучения, будучи формой движения содержания обучения, в предметных методиках выступают в качестве способов организации учебного материала и взаимодействия обучающего и учащихся, направленных на решение образовательных и воспитательных задач. Метод обучения математике следует рассматривать как способ движения (развития) деятельностей учителя, ученика и математического содержания. Данная трактовка снимает отмеченные выше недоумения по поводу отнесения аксиоматического метода к методам обучения математике. Дело в том, что в основу построения математического курса может быть положен аксиоматический метод, тогда применительно к изучению учебного материала в контексте всего курса можно говорить об аксиоматическом методе как методе обучения математике.

Процесс обучения математике представляет взаимодействие преподавания, учения и математического содержания учебного предмета. Последнее может быть выражено дидактическими задачами, преподавание — деятельностью учителя, учение — деятельностью ученика. К дидактическим задачам можно отнести актуализацию знаний и умений, формирование методов решения задач (например, векторного метода), обучение применению какой-либо теоремы или понятия, обобщение учебного материала и т. д. Деятельность учителя включает

объяснение, рассказ, проведение опыта и т. п., деятельность ученика основывается на репродукции, эвристиках и т. д. Дидактические задачи, в свою очередь, можно представить математическими задачами, деятельность учителя — дидактическими приемами, а познавательную деятельность учащихся — системой познавательных действий.

Дидактические приемы учителя весьма разнообразны: предъявление плана; использование различных таблиц, схем; рассказ; предоставление образца и т. д. К познавательным действиям учащихся можно отнести установление логических шагов в доказательстве, подведение заданных объектов под понятие, выведение следствий, использование предложенного плана и т. п. Познавательные задачи обусловлены содержанием учебного материала: задачи на взаимное расположение точек и прямых на плоскости, геометрические построения, уравнения и неравенства и т. д. Очевидно, эти задачи можно группировать по основным содержательным направлениям.

Итак, процесс обучения математике имеет трехуровневую иерархическую структуру. На последнем из обозначенных уровней эта структура представлена совокупностью математических задач, дидактических приемов учителя и познавательных действий ученика. Дальнейшее членение процесса обучения образует объекты, которые лишаются свойств целого. Поэтому объект, в котором отражается взаимодействие познавательной математической задачи, действий учащихся по ее решению и приемов учителя, может быть принят за структурную единицу процесса обучения математике. Методы обучения математике на этом «клеточном» уровне выступают как способы взаимосвязи приемов учителя, действий ученика в процессе постановки, решения и развития математических познавательных задач. Полагая, что — дидактические приемы учителя, Аj — познавательные задачи, Sk — познавательные действия ученика, получаем, что процесс обучения математике на этом уровне моделируется объектами < EiAjSk > .

Рассмотрим в качестве примера объект < EiAjSk > . Пусть E1 — действие предъявления учителем образца решения задачи, A1 — задача обобщения и систематизации знаний, например, по теме «Движения», S1 — анализ задачи учеником по имеющемуся у него образцу. Рассматриваемую ситуацию можно выразить так: решается задача обобщения и систематизации знаний по теме, учитель предъявляет образец, по которому ученик анализирует задачу. Эта учебная ситуация обусловливает соответствующий ей метод обучения.

Обычно выделяют четыре типа обобщающих познавательных действий в связи с решением задачи: анализ, поиск способа решения и составление плана, осуществление плана, изучение полученного решения и составление новых задач. Им соответствует четыре группы дидактических приемов учителя: предъявление образца и предписаний алгоритмического, полуэвристического и эвристического типов. Число познавательных задач зависит от содержания учебного материала и числа дидактических задач. В обобщенном представлении обычно рассматривают пять типов дидактических задач: выдвижение и осознание учебной проблемы; актуализация знаний и способов деятельнос-

ти; усвоение учебного материала и его обобщение; закрепление знаний, формирование умений и навыков; обобщение и систематизация изученного. Решение каждой из отмеченных задач обеспечивается решением познавательных задач.

Учитывая, что центральным компонентом рассматриваемых объектов является познавательная задача, а параметры i и k изменяются от 1 до 4, можно выделить 16 способов взаимосвязи приема учителя и действия ученика в процессе ее решения. Приведем примеры.

1. < A1E1S1 > — решается задача A1, учитель предъявляет образец, ученик по нему осуществляет анализ задачи.

2. < A1E1S2 > — решается задача A1, учитель предъявляет образец, ученик использует его для осуществления поиска способа решения задачи и составления плана.

3. < A1E1S4 > — решается задача A1, учитель предъявляет предписание полуэвристического типа, содержащее алгоритмические и эвристические указания, а ученик использует его для анализа процесса решения задачи и составления новых задач.

Пусть в качестве познавательной выступает конкретная задача, решение которой возможно с помощью геометрических преобразований. Тогда образцом может служить эвристическая схема работы с задачей. Ученики используют эту схему на различных этапах ее решения. Эвристическая схема может быть задана в форме алгоритма или иметь эвристический характер. Последнее можно выразить рядом рекомендаций типа: если в условии задачи дан равнобедренный треугольник, равнобедренная трапеция, прямоугольник, ромб, то попробуйте обосновать требуемое соотношение с помощью осевой симметрии; если требуется доказать перпендикулярность прямых или установить некоторую зависимость в квадрате, равностороннем треугольнике, то воспользуйтесь поворотом вокруг точки.

Если учесть, что выделяют пять обобщенных типов дидактических задач, а для решения каждой из них требуется несколько познавательных, решение каждой из которых обусловливает 16 способов взаимодействий учителя и ученика, то легко представить себе число объектов, функционирование каждого из которых обусловливает метод обучения на «клеточном» уровне его анализа.

При обучении математике номенклатура конкретных познавательных задач более богата по содержанию, число значений параметров возрастает, что приводит к практической неисчерпаемости способов взаимосвязи дидактических приемов учителя и познавательных действий ученика в процессе решения задач, а это, в свою очередь, предоставляет широкие возможности для творчества учителя.

2. Классификация методов обучения математике

В дидактике существуют различные классификации методов обучения. Остановимся на наиболее распространенных из них. До 60-х гг. такой была классификация, основанием которой были источники знаний: словесные, наглядные и практические методы обучения.

В середине 60-х гг. И. Я. Лернером и М. Н. Скаткиным предлагается классификация методов обучения, основанием которой служит характер познавательной деятельности: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, эвристический, проблемное изложение знаний, исследовательский. В конце 70-х гг. Ю. К. Бабанский разрабатывает классификацию, основанную на сопоставлении групп методов обучения компонентам деятельности: организационно-действенному, стимулирующему и контрольно-оценочному. На основании ее выделены три группы методов обучения: а) методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности; б) методы стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности; в) методы контроля и самоконтроля эффективности учебно-познавательной деятельности. В свою очередь, каждая группа методов разделяется на подгруппы. Например, в группе методов организации и осуществления познавательной деятельности в зависимости от источника передачи и восприятия учебной информации выделены словесные, наглядные и практические методы; по логике передачи и восприятия учебной информации названы индуктивные, дедуктивные, аналитические, синтетические методы; репродуктивные, поисковые методы составляют подгруппу, выделенную по степени самостоятельности мышления школьников при овладении знаниями, и, наконец, по степени управления учебной деятельностью предлагаются методы учебной работы под руководством учителя и самостоятельной работы учащихся.

Чтобы исключить противоречия между данной классификацией и традиционным определением методов обучения, Ю. К. Бабанский предлагает рассматривать метод обучения как многоаспектное явление, характеризующееся набором признаков: быть определенной формой движения познавательной деятельности учащихся; выступать всякий раз как специфическое движение, способ раскрытия усваиваемого учащимися содержания знания в школе; выступать определенным способом обмена информацией между учащимися и учителями; быть определенным способом управления познавательной деятельностью учащихся; характеризоваться некоторыми способами общения учителей и учащихся; являться определенным способом стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности учащихся; выступать в роли способа контроля за эффективностью учения [1]. Данный подход к решению проблемы методов обучения вызывал оживленную дискуссию, в процессе которой были и ее сторонники, и противники. Мы не будем воспроизводить дискуссию, а сделаем лишь следующее замечание. Если связь между указанными признаками считать конъюнктивной, то вряд ли можно указать объект, принадлежащий понятию метода обучения. Если же она осуществляется посредством дизъюнкции, то большинство педагогических явлений относится к объему этого понятия.

Все из указанных классификаций выполнены в дидактическом контексте и не учитывают предметного содержания, а потому они не могут отразить всю номенклатуру методов обучения математике. Методическая классификация методов обучения должна соответствовать

трактовке метода обучения математике. Математическое содержание учебного предмета развивается главным образом посредством индукции, дедукции и обобщения, а способы взаимодействия учителя и ученика выражаются через репродукцию, эвристику и исследование. По характеру учебно-познавательной деятельности и организации содержания материала можно выделить следующие методы обучения: индуктивно-репродуктивный, индуктивно-эвристический, индуктивно-исследовательский, дедуктивно-репродуктивный, дедуктивно-эвристический, дедуктивно-исследовательский, обобщенно-репродуктивный, обобщенно-эвристический, обобщенно-исследовательский.

Суть индуктивно-репродуктивного метода заключается в том, что учитель создает такую ситуацию, в которой ученик воспроизводит понятие или теорему в процессе рассмотрения частных случаев, например, посредством решения задач на выделение ситуаций, удовлетворяющих условию теоремы, или решение задачи (изучение теоремы) осуществляется по плану, предложенному учителем.

Пример.

Перед выполнением упражнений на умножение чисел с разными знаками учащиеся получают предписание: «Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули этих чисел». Пользуясь этим предписанием, ученик выполняет упражнения, соотнося свои действия с указанными рекомендациями. Например, умножая —1,5 на 7, ученик указывает, что даны числа с разными знаками, читает по частям предписание и выполняет соответствующие действия.

Дедуктивно-репродуктивный метод предполагает воспроизведение частных случаев в процессе решения задач, где используется общее положение. Например, теорема о сумме смежных углов воспроизводится посредством решения задач на нахождение одного из смежных углов, если задан другой.

При обобщенно-репродуктивном методе цель достигается путем воспроизведения изученных фактов. Например, выполняя упражнения на воспроизведение умножения двучлена вида (а — b) на двучлен вида (а + b) на основе правила умножения многочлена на многочлен, учащиеся получают известную формулу: (a — b)(a + b) = a2 — b2. Или поэлементное овладение некоторым действием осуществляется в процессе усвоения его компонентов и их совокупностей. Так, усвоение векторного метода предполагает овладение действиями перевода геометрического языка на векторный и обратно, сложения и вычитания векторов, представления вектора в виде суммы, разности векторов и т. п.

Индуктивно-эвристический метод предполагает самостоятельное открытие фактов в процессе рассмотрения частных случаев. Вот примеры. Упражнения на умножение степеней с одинаковым основанием приводят к открытию определения произведения степеней с одинаковыми основаниями. Выполнение цепочки упражнений на построение образов треугольника и точки пересечения его высот в гомотетии с k = — 0,5 относительно точки пересечения медиан этого треугольника приводит к открытию известной теоремы Эйлера.

Дедуктивно-эвристический метод заключается в открытии частностей какого-либо факта при рассмотрении общего случая. Примером проявления этого метода может служить решение любой конкретной задачи на применение какой-либо теоремы. Пусть учителем предложена задача на применение свойств и признаков параллелограмма: «На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что PB = QD. Докажите, что четырехугольник ABCQ — параллелограмм». Ее решение позволяет открыть частный случай, заключающийся в том, что указанное в задаче условие обусловливает тот факт, что полученный четырехугольник является параллелограммом. Или: решение конкретного квадратного уравнения по общей формуле приводит к зависимости между заданными коэффициентами при x2, х и свободным членом и корнями данного уравнения.

Эвристическое обобщение предполагает создание учителем такой ситуации, в которой ученик самостоятельно (или с небольшой помощью учителя) приходит к обобщению. Например, измеряя стороны и углы произвольных треугольников, ученики могут открыть следующую зависимость между углами и сторонами треугольника: против большей стороны треугольника лежит больший угол и наоборот.

Индуктивно-исследовательский метод заключается в проведении исследований различных феноменов посредством изучения их конкретных проявлений. Например, изучая свойства четырехугольников в зависимости от наличия у них осей симметрии, приходим к таким видам четырехугольника, как прямоугольник, ромб, квадрат.

Сутью дедуктивно-исследовательского метода обучения является организация исследований посредством дедуктивного развития учебного материала. Он проявляется в таких формах, как аксиоматический метод, метод моделирования, решение задач на применение теорем.

Обобщенное исследование предполагает наличие в учебном материале ситуаций, исследование которых приводит к обобщенному знанию. Например, рассматривая различные случаи расположения вписанных в окружность углов, можно прийти к известной теореме о том, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

3. Дидактические системы обучения

Наряду с традиционной системой обучения, в основе которой лежит известная совокупность дидактических принципов, наиболее распространены проблемное обучение, программированное обучение, система обучения Л. В. Занкова. В качестве основы проблемного обучения предлагается следующая система дидактических принципов: научности и систематичности обучения; активности и самостоятельности учащихся в обучении; единства образования, воспитания и развития; связи теории с практикой; проблемности; мотивации учения и труда; трудности и доступности; бинарности; единства слова и наглядности; дифференциации и индивидуализации в обучении; профессиональной направленности [8, с. 29]. По мнению М. И. Махмутова, обучение, основанное на указанных принципах, повышает уровень научности об-

разования, способствует формированию научного мировоззрения учащихся, развивает познавательную самостоятельность и мыслительные творческие способности обучающихся, развивает эмоционально-волевые качества личности и формирует познавательную мотивацию учащихся.

В школьной практике проблемное обучение иногда сводит к эпизодической постановке вопросов, ответы на которые вызывают затруднения учащихся, хотя и традиционное обучение не исключает рассмотрения таких вопросов. Организация проблемного обучения предполагает качественно иное взаимодействие учителя и учащихся и специфическое построение учебного материала. Последнее основывается на выделении ведущих идей курса, их развитии, роли «человеческого фактора» в этом процессе. Важнейшим моментом взаимодействия учителя и обучающихся становится организуемое и руководимое учителем самостоятельное овладение учащимися знаниями. Познание учащихся осуществляется как исследование в процессе интеллектуальной учебной деятельности.

Важнейшим элементом проблемного обучения является содержательное обобщение. Вот как следовало бы организовать изучение школьниками темы «Параллелограмм» в контексте проблемного обучения. Предположим, что учащиеся знакомы с понятием параллелограмма, его свойствами и признаками. Выполняя перегибание различных моделей параллелограмма, учащиеся приходят к выводу, что некоторые из них имеют оси симметрии. После этого исследуются свойства параллелограмма, имеющего ось симметрии. Учащиеся видят, что частные случаи параллелограмма (прямоугольник, ромб, квадрат) определяются расположением и числом его осей симметрии. Затем изучаются эти виды параллелограмма: выделяются их общие свойства, различия, рассматриваются практические применения полученных выводов.

Из существующих школьных учебников геометрии, пожалуй, в большей мере удовлетворяет требованиям проблемного обучения учебник геометрии под редакцией А. Н. Колмогорова. Однако опыт его использования высветил немало трудностей в работе с этим учебником.

В методике обучения математике проблемное обучение, понимаемое в узком смысле, на уровне средней школы вполне обеспечивается эвристическим и исследовательским методами, на уровне высшей школы — методом проблемного изложения знаний и исследовательским. Содержание этих методов обучения было раскрыто ранее. Остановимся на приемах постановки проблемных ситуаций.

Под проблемной ситуацией понимают осознанное затруднение, порождаемое несоответствием, несогласованностью между имеющимися знаниями и теми, которые необходимы для решения возникшей или предложенной задачи. Задача, создающая проблемную ситуацию, называется проблемной задачей или проблемой. В методической литературе выделены требования к проблеме и пути создания проблемных ситуаций. Проблема должна быть доступной пониманию учащихся, а ее формулировка — вызвать интерес, постановка проблемы должна

быть естественной, проблемную ситуацию нужно готовить, она должна создаваться всем ходом урока, быть его органической частью.

В качестве путей создания проблемной ситуации видят: 1) предварительную постановку практической проблемы; 2) разбор возможностей использования изученного материала; 3) поиск средств выполнения решения; 4) решение нешаблонных задач. Примером первого пути может служить известная учащимся реальная ситуация проверки вертикальности кладки стен с помощью отвеса. Ее анализ порождает проблему выяснить математическую основу этого приема. Примером второго пути может служить следующая ситуация. После доказательства тождества (х—у) (х + у) = х2—у2 возникает вопрос, как использовать его для вычислений. Учащиеся, прежде всего, обращают внимание на применение этой формулы при умножении. Например, 87⋅93 = (90 — 3)⋅(90 + 3) = 902—32. С ее помощью можно вычислить квадраты чисел. Третий путь иллюстрирует, например, задача на построение треугольника по середине AO стороны, ортоцентру H и центру О описанной окружности, решение которой предполагает установление того факта, что точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, принадлежит описанной окружности, либо доказательство того, что ОA0 вдвое меньше АН. К нешаблонным задачам относят задачи, условия которых сформулированы необычно. Примером их являются задачи логического содержания, задачи на исследование и т. д. Читатель может ознакомиться более подробно с путями создания проблемных ситуаций и их иллюстрациями по статье Л. М. Лоповка «Создание и использование проблемных ситуаций в процессе преподавания» (Математика в школе. — 1977. — № 3. — С. 17).

Можно указать и другие пути постановки проблемных ситуаций на уроках математики. К ним относятся: а) постановка эксперимента; б) поиск метода решения задачи; в) использование средств наглядности; г) использование методов научного познания (аналогии, обобщения и т. д.); д) исторические экскурсы; е) проведение лабораторных и измерительных работ; м) использование занимательных сюжетов; з) составление задач по данной теме. Предоставляем читателю возможность проиллюстрировать перечисленные пути собственными примерами.

Программированное обучение предусматривает: 1) правильный отбор учебного материала; 2) рациональную дозировку его подачи; 3) активную самостоятельную деятельность ученика по усвоению материала; 4) обеспечение каждому ученику возможности работать со свойственной ему скоростью усвоения; 5) постоянный контроль за деятельностью обучаемого. Совокупность указанных положений является характеристическим свойством программированного обучения.

Существуют две системы программированного учебного материала — линейная и разветвленная программы. В линейной программе учебный материал подается небольшими порциями (кадрами), включающими, как правило, довольно простой вопрос по изучаемому в этом кадре материалу. Прочтя этот вопрос, ученик должен на него ответить, а потом уже переходить к следующему кадру (конечно, если ответ верен).

В разветвленной программе учебный материал также разбивается на кадры, содержащие вопросы. Ответ же выбирается из указанных (чаще четырех), среди которых только один правильный. Неправильные ответы составляются с учетом вероятных ошибок учеников. Против каждого из ответов указывается страница, к которой должен обратиться школьник, выбравший тот или иной ответ. Ученик, выбравший правильный ответ, отсылается к странице, которая содержит новую порцию материала.

Наиболее совершенной оказывается разветвленная программа. По сути дела, одну и ту же книгу при разветвленной программе учащиеся читают по-разному. Приведем примеры линейной и разветвленной программ.

Линейная программа 1.

При сложении дробей с равными знаменателями нужно сложить их числители и оставить тот же знаменатель. Например,

Вычисли:

2. Известно, что

Чему равно a?

3. Реши уравнение

4. Вычисли значение выражения

если b равно

5. Вычисли

Разветвленная программа

Страница 1.

«Мы узнали, что результат умножения чисел называется произведением этих чисел. Интересным и важным является случай, когда сомножителями являются равные числа.

В примере 3⋅3 = 9 число 3 появляется в качестве сомножителя два раза. Конечно, мы можем использовать одно и то же число в качестве сомножителей более чем два раза.

Чему равно произведение, если число 2 используется сомножителем три раза?

Ответ

См. страницу

6

2

8

4

9

3».

Предположим, что ученик выбрал ответ: число 6.

Страница 2.

«Ваш ответ: «Если 2 берется сомножителем 3 раза, то произведение равно 6». Вы просто использовали 2 и 3 как сомножители: 2⋅3 = 6. Это неверно.

Мы хотим узнать, какой результат вы получите, если возьмете число 2 сомножителем 3 раза. Другими словами, мы хотим узнать результат умножения: 2⋅2⋅2 = ? Теперь вернитесь к предыдущей странице и выберите правильный ответ».

Предположим, что ученик выбрал правильный ответ. В этом случае он должен открыть страницу 4.

Страница 4.

«Ваш ответ: 8. Он верен. Тот факт, что число 2 берется сомножителем 3 раза, записывается следующим образом: 23, где 2 — основание степени, 3 — показатель степени. Что означает запись 34?

Ответ

См. страницу

12

7

64

15

81

9».

Программированное обучение в обычной школе не нашло широкого применения. Причин этому несколько: 1) программированный учебник по сравнению с обычным учебником в меньшей степени готовит к самостоятельному приобретению знаний; 2) выпускнику школы придется работать с разного рода литературой, большая часть которой не является программированными пособиями; 3) издание программированного учебника более дорогостоящее, чем обычного; 4) обучение по программированному учебнику значительно снижает роль учителя и коллективных форм работы и т. д. Однако отдельные элементы программированного учебника используются в обучении, например выбор нужного ответа из нескольких заданных. С широким внедрением компьютеров в процесс обучения возможно оживление идеи программированного обучения в школе.

В последнее время, особенно в начальных классах, получило распространение так называемое развивающее обучение, концепция которого была разработана Л. В. Занковым. Однако даже формулировка исходных положений этой системы обучения вызывает недоумение своей некорректностью. Возьмем, например, принцип обучения на высоком уровне трудности. Л. В. Занков так раскрывает его содержание: «принцип... характеризуется не тем, что повышает некую абстрактную «среднюю норму трудности», но прежде всего тем, что раскрывает духовные силы ребенка, дает им простор и направление». И далее: «степень трудности регулируется соблюдением меры трудности. Мера трудности в нашем понимании отнюдь не направлена на снижение трудности, но выступает как необходимый компонент целесообразного применения принципа» (Занков Л. В. Обучение и развитие/Хрестоматия

по возрастной и педагогической психологии. — М., 1981. — С. 22—24). Объяснение автора ничего не проясняет, а лишь запутывает содержание принципов. Идеи Л. В. Занкова были подкорректированы В.В.Давыдовым и легли в основу учебников математики для начальной школы. В этих учебниках есть интересные и полезные находки и рекомендации, однако обилие привлеченных конкретных интерпретаций арифметических действий отвлекает учащихся от математического содержания изучаемого материала, а роль их в контексте развития школьников весьма сомнительна. Практическая реализация «туманно» сформулированных принципов развивающего обучения вызывает неуверенность в эффективности этого пути совершенствования начального математического образования.

В последние два года появились и другие типы обучения, например эвристическое, проблемно-модульное и т. п. Так, автор монографии «Эвристическое обучение: Теория, методология, практика» (М., 1998) указывает следующие принципы эвристического обучения: 1) принцип личностного целеполагания ученика; 2) принцип выбора индивидуальной траектории; 3) принцип метапредметных основ содержания образования; 4) принцип продуктивности обучения; 5) принцип первичности образовательной продукции учащегося; 6) принцип ситуативности обучения; 7) принцип образовательной рефлексии. Перечисленные принципы не противоречат известным дидактическим принципам, одни из указанных принципов вытекают из последних, другие являются переформулировкой традиционных дидактических принципов на языке «модной» терминологии (индивидуальная образовательная траектория, ситуативность обучения и т. д.). Что же касается эвристик, то они широко используются в обучении математике. Идеи гуманитаризации образования предполагают усиление внимания различным эвристикам, отводя им определенное место и как элементам содержания обучения математике. Эвристический метод обучения всегда был основным в обучении математике в средней школе.

В последнее время широкое освещение в педагогической литературе получили различные технологии обучения.

4. Технологии обучения

Термин «технология» в педагогической литературе используется в различных словосочетаниях: педагогическая технология, технология личностно ориентированного образования, технология учебного процесса, технология обучения, технология развивающего обучения и т. д. В научно-педагогической литературе представлен широкий спектр трактовок этих понятий. Так, понятие педагогической технологии предлагают вводить как посредством расплывчатых, вычурных определений, так и с помощью аксиоматического метода. Приведем ряд трактовок. Педагогическая технология — целенаправленное использование объектов, приемов, технических средств обучения, событий и отношений в учебном процессе; педагогическая технология — концептуальная мозаика педагогических понятий; педагогическая технология — педагогическая профессия; педагогическая технология — комплексный инте-

гративный процесс, включающий людей, идеи, средства, способы организации деятельности (см.: Боголюбов В. И. Введение в педагогическую технологию. — Пятигорск, 1994). Мы не будем останавливаться на анализе всех этих «мозаик» трактовок технологий. Отметим лишь, что появление понятия «технология» в педагогической науке и практике, динамика представлений о его содержании, место этого феномена в педагогической деятельности, перспективы его развития освещены в статье Т. С. Назаровой (Педагогические технологии: новый этап эволюции?//Педагогика. — 1997. — № 3. — С. 20). Как положительное явление отметим попытки авторов выделить признаки педагогической технологии. Их решения субъективны, спектр признаков колеблется от нескольких единиц до десятков. Среди них есть такие, которые совершенно не имеют отношения к технологии, однако диагностическое целеполагание, результативность, целостность, управляемость, корректируемость, алгоритмируемость относятся, несомненно, к признакам технологии.

Термин «технология», вообще говоря, не является для нас новым, правда, ранее он связывался главным образом с производственной сферой, например, технология металлов, технология изготовления бетона и т. д. Поскольку понятие технологии в педагогику пришло из производственной сферы, то рассмотрим основные признаки технологии производственного процесса. Энциклопедия разъясняет технологию как совокупность методов обработки, изготовления, изменения состояния, свойств, формы сырья материала или полуфабриката, осуществляемых в процессе производства продукции. Технологическая карта, важнейший элемент технологии, рассматривается как форма технологической организации, в которой записан весь процесс обработки изделия, указаны операции и их составные части, материалы, производственное оборудование и технологические режимы, необходимые для изготовления изделия время, квалификация работников и т. п. Укажем еще одно понятие — технологические теории, для которых характерно признание определяющей роли производства, техники в развитии общества и отрицание значения производственных отношений. Эти теории получили распространение в 40-х гг. XX в. под воздействием работ П. Друкера (США). Итак, технологизация процесса изначально предполагает достаточно глубокое знание закономерностей его функционирования и отрицание роли личностного фактора в его осуществлении. Главное в управлении технологизируемым процессом заключается в знании всех его этапов, последовательности их реализации, закономерностей протекания процесса. Очевидно, что, чем больше известно о каком-либо процессе, тем выше возможность его технологизации.

В данное время в педагогических науках, в частности в методике обучения математике, известны многие закономерности процесса обучения, поэтому правомерно говорить о технологии этого процесса. Ясно, что теоретическое осмысление явления, процесса невозможно вне построения его модели. В зависимости от конкретных целей исследования ученые выбирают разные модели исследуемого процесса. Кон-

струирование модели непременно требует отвлечения от некоторых атрибутов изучаемого феномена. Так, исследуя процесс обучения, авторы его моделей отвлекаются от личности конкретного учителя, которая имеет большое значение в реализации учебного процесса. Процесс обучения математике чаще моделируется системой, компонентами которой являются цели обучения математике, содержание математического образования, методы, формы и средства обучения математике. Появление ряда идей, в частности гуманизации и гуманитаризации образования, корректирует конструирование методической системы обучения математике введением в нее новых компонентов. Закономерные связи между компонентами системы, а также между компонентами и внешней средой образуют теорию обучения математике, обусловленную избирательной моделью процесса обучения и его внешней средой. В данном контексте методику обучения (в узком смысле) можно рассматривать как приложение теории. Например, методика формирования понятия линейной функции разрабатывается с учетом теории формирования математических понятий и специфики самого понятия линейной функции. Цель методики в узком смысле заключается в «переводе» теоретических положений в плоскость конкретных явлений. Технологии обучения призваны организационно упорядочить все зависимости процесса обучения, выстроить его этапы, выделить условия их реализации, соотнести с возможностями школьников и т. п. Можно сказать, что теория обучения математике выявляет закономерности функционирования методической системы обучения математике, методика строит их приложения, а технология разрабатывает способы реализации модели этой системы. При таком подходе технология предполагает диагностируемость целей и выявление условий (методов, средств, форм, зависимостей), т. е. проектирование процесса обучения математике, осуществление которого призвано достичь намеченных целей обучения. Таким образом, технология основывается на теории обучения математике и ее приложениях и ее эффективность зависит от уровня их развития. Мы же в понятие методики обучения математике вкладываем широкий смысл: теория, ее приложения, технология обучения математике являются составляющими методики обучения математике.

Пример. В методике обучения математике достаточно хорошо исследован процесс формирования понятий: выделены этапы формирования, известны действия, адекватные указанным этапам, разработаны типы упражнений, ориентированные на усвоение действий. Сказанное дает основание для утверждения о том, что процесс формирования понятий технологизируем. Данное утверждение истинно, если речь идет о всем процессе. Однако в нем присутствуют такие элементы, которые поддаются технологизации частично. Это касается, в частности, этапа применения понятия, особенно на творческом уровне. Его реализация осуществляется посредством задач, решение которых основывается на использовании различных эвристик. Однако даже владение большим набором эвристик не гарантирует однозначно успеха в решении задачи. Он во многом обусловлен интуицией ученика,

его опытом, многими личностными качествами. Таким образом, процесс формирования понятия не может быть технологизируем во всех деталях.

Еще сложнее технологизация воспитательной сферы, где огромное значение имеет личность учителя. А все то, что идет от нее, что воспитывается в ученике благодаря ей, остается за порогом технологии обучения. Между тем масса примеров из школьной жизни говорит о том, что личность педагога может многое изменить во взглядах, потребностях, идеалах обучаемых.

Известная «методика Шаталова», по сути, является одной из технологий обучения. Она базируется на определенной совокупности теоретических положений, каждое из которых уже было известно в дидактике и методике обучения математике. В. Ф. Шаталов выделил принципы крупноблочного введения теоретических знаний, усвоения знаний на основе их многократного вариативного повторения, сочетания постоянного внешнего контроля за ходом усвоения и его оценки с самоконтролем и самооценкой, гармоничного развития репродуктивного и продуктивного мышления. В его системе принципы реализуются с помощью специальных средств (опорные сигналы, письменные и магнитофонные опросы, творческие конспекты, релейные контрольные работы, листы самоконтроля и открытый учет знаний) и приемов (циклическое развитие практических навыков учащихся, открытые мысли и т. д.).

В. Ф. Шаталов весьма грамотно отобрал адекватные теоретическим положениям средства, приемы, нашел оптимальные их сочетания и последовательность, внедрил в практику свою методическую концепцию и получил планируемые результаты. Однако попытки многих учителей следовать ему не давали столь обнадеживающих результатов. Причина этому — особое влияние на учащихся В. Ф. Шаталова. Последователи уступали ему именно в личных качествах педагога-воспитателя. А как технологизировать воспитание у школьников уважения к чужому мнению, терпимости, способности к компромиссу и мн. др.? По-видимому, в общении обучающего и обучаемых есть такие нюансы, которые придают их отношениям неповторимость, исключающую массовое тиражирование.

Надо сказать, что технологизация обучения применялась всегда, однако ее уровень обычно соответствовал уровню развития методики. Используемые ранее тематическое планирование, планирование урока с постановкой его целей и указанием средств их достижения, проверочные и контрольные работы учащихся и т. п. — все это атрибуты технологизации учебного процесса. Новый, более высокий уровень развития теории обучения математике и ее приложений способствовал разработке технологии, однако многие увидели в этом либо перспективное модное направление, либо панацею от всех бед. Думается, в таком преувеличении роли технологии есть серьезная опасность.

Технологизация обучения предполагает диагностику, в частности диагностику целей обучения. Последнее предполагает постановку целей обучения так, чтобы можно было проверить их выполнимость.

Большое распространение в практике обучения получила таксономия Б. Блума. Очень кратко напомним о ней. Таксономией называют систему целей обучения, внутри которой выделены их категории и последовательные уровни. Таксономия Б. Блума включает следующие основные категории: знание, понимание, применение, анализ, синтез, оценку. Категория «знание» обозначает запоминание и воспроизведение изучаемого материала. Показателем способности понимать может служить преобразование материала из одной формы выражения в другую, перевод его с одного языка на другой (например, из словесной формы в математическую). В качестве показателя понимания может также выступать интерпретация материала учеником (объяснение, краткое изложение) или предположение о дальнейшем ходе явлений, событий, предсказание последствий результатов. Категория «применение» обозначает умение использовать изученный материал в конкретных условиях и новых ситуациях. Категория «анализ» обозначает умение разбить материал на составляющие так, чтобы ясно выступала его структура. Категория «синтез» обозначается умением комбинировать элементы, чтобы получить целое, обладающее новизной. Таким новым продуктом может быть план действий или совокупность обобщенных связей. Категория «оценка» характеризуется умением оценивать значение того или иного материала для конкретной цели. Вот так может выглядеть один из возможных вариантов планирования изучения начальных разделов темы «Треугольники».

Содержание цели

Знание

Понимание

Применение

Анализ

Синтез

Оценка

Понятия: треугольник, равенство треугольников, соответствующие элементы треугольников

X

X

Первый признак равенства треугольников

X

X

X

Продолжите заполнение таблицы и конкретизацию целей изучения темы «Треугольники».

Таксономия Б. Блума появилась в США в 50-х годах и явилась как бы венцом технологического подхода к обучению, широко распространенного в то время в США. Отрицательной реакцией на него была идея гуманизации образования, поэтому данная таксономия не отвечает духу гуманизации. Отметим и то, что представления Б. Блума о знании, понимании и других уровнях этой школы не соответствуют нашим традиционным представлениям о содержании этих понятий. Например,

знанием Б. Блум обозначает запоминание и воспроизведение материала, тогда как в нашей литературе знание понимают как деятельность и ее результат или даже как своеобразный интеграл, включающий знание до знания, знание как таковое, знание о знании, знание о незнании (см. гл. II). Или возьмем термин «понимание». Б. Блум сводит его содержание к преобразованию материала из одной формы выражения в другую. В контексте гуманизации образования феномен понимания должен быть вынесен из предметного содержания в плоскость общения учеников, учеников и учителя.

Основания для технологии обучения математике в отечественной методике обучения хорошо разработаны. Чтобы убедиться в этом, достаточно вернуться к главам, раскрывающим методику работы с теоремой, понятием, задачей. Указанная методика содержит этапы работы, действия, адекватные каждому из них, методику их формирования. Очевидно, что совокупность действий может быть отображена в совокупность целей. Например, процедура усвоения определения смежных углов включает овладение действиями распознавания смежных углов, выведения следствий из принадлежности углов к классу смежных, конструирования смежных углов и их совокупностью. Определение смежных углов усвоено, если ученик выполняет все перечисленные действия.

Итак, теория, ее приложения и технология обучения математике отражают различные уровни анализа процесса обучения математике. Каждый последующий уровень не отвергает предыдущего, он обусловлен им, и степень его развития зависит от уровня развития предыдущего. Технология обучения позволяет эффективно выстраивать процесс обучения, управлять им, получать результаты в соответствии с запланированными целями. В следующей главе будут приведены конкретные технологии различных уроков математики.

Вопросы и задания

1. Охарактеризуйте содержание понятия метода обучения в дидактике и теории и методике обучения математике. Объясните причину различия их трактовок.

2. Охарактеризуйте классификации методов обучения математике.

3. Понаблюдайте за работой учителей математики с целью использования ими методов обучения математике. Всегда ли выбранные ими методы в конкретных ситуациях отвечают специфике ситуаций?

4. Проиллюстрируйте каждый из методов обучения математике конкретными примерами. Попробуйте выделить критерии использования методов обучения математике в зависимости от содержания учебного материала и целей обучения.

5. Охарактеризуйте обучение: а) проблемное; б) программированное; в) развивающее; г) эвристическое; д) модульное.

6. Раскройте содержание путей создания проблемных ситуаций и проиллюстрируйте их примерами.

7. Выделите вопросы темы «Производная и ее применение», при изучении которых создаются проблемные ситуации при: а) решении

практических задач, требующих теоретического обоснования; б) поиске метода решения; в) постановке эксперимента; г) использовании средств наглядности; д) использовании методов научного познания; е) проведении исторических экскурсов; м) проведении лабораторных и измерительных работ; з) использовании занимательных сюжетов; и) составлении задач по теме.

8. Раскройте содержание понятия технологии обучения. Как связаны между собой теория, методика и технология обучения?

9. Охарактеризуйте таксономию Б. Блума. Выберите любую тему из школьного курса алгебры и по образцу, содержащемуся в данном пособии, составьте таблицу, отражающую цели обучения этой темы в контексте таксономии Б. Блума.

10. Опираясь на систему целей Б. Блума, выберите в учебниках алгебры (геометрии) учебный материал, основная цель которого может быть обозначена категорией: а) знание; б) понимание; в) применение; г) анализ; д) синтез; е) оценка.

11. Внедрение учебных стандартов в практику работы приводит к необходимости перестройки системы текущего контроля и самоконтроля за усвоением учебного материала. Основными принципами конструирования такой системы являются следующие положения:

1) Система заданий должна содержать все действия, адекватные изучаемым понятиям, теоремам и способам деятельности.

2) В системе заданий должна быть предусмотрена организация действий в блоки путем последовательного укрупнения составляющих их действий.

3) Система заданий должна строиться с учетом психологических закономерностей функционирования упражнений в учебном процессе [2, с. 59].

4) В системе заданий должны быть отражены все признаки качества знаний (см.: Качество знаний учащихся и пути его совершенствования/Под ред. М. Н. Скаткина, В. В. Краевского. — М.: Педагогика, 1978).

5) Система заданий должна отражать этапность изучения понятий и теорем.

Обоснуйте перечисленные принципы.

12. Используя основу конструирования системы заданий для контроля (самоконтроля) учащихся, разработайте систему контроля по усвоению учебного материала: а) какого-либо параграфа курса геометрии; б) темы, включающей выбранный вами параграф учебника.

13. «Давайте делать паузы в дороге», — поет Андрей Макаревич. А задумывались ли вы о роли паузы в усвоении учебного материала, и в частности в решении задач? Представьте себе следующие ситуации. Учитель прочитал условие задачи и сразу же своими вопросами стал побуждать учеников к решению этой задачи. Другой учитель, перед тем как приступить к решению, выдержал паузу. Как бы вы поступили в этой ситуации? Подтвердите свое предположение экспериментально. Как оцените вы действия учителя в такой ситуации: ученик затрудняется сформулировать определение. Тогда учитель предлагает: «Поду-

май» — и выдерживает паузу в 10—15 с, чтобы он вспомнил это определение. Теперь подумайте вы: есть ли разница в использовании паузы в ситуациях, когда ответ на вопрос требует размышления, а когда — четкого воспроизведения какого-либо положения (определения, формулировки теоремы и т. д.)?

14. Учителя математики в качестве опорных сигналов иногда используют конспекты. В таких конспектах изучения геометрических теорем вместо одного чертежа дается ряд рисунков, иллюстрирующих последовательность построений. Методика работы с теоремой такова: «Учащиеся читают по учебнику доказательство теоремы, иллюстрируя все рассуждения на модели, и составляют конспект примерно в таком виде:

Тема. Признак параллельности прямой и плоскости.

Определение...

Теорема...

Дано: а||b, прямая b лежит в плоскости α, a прямая а ей не принадлежит (рисунок дан). Доказать: а||α.

План доказательства:

Обоснование:

1. Через а и b проводим плоскость γ.

1........

2. у и а пересекаются (рисунок дан).

2........

3. Предположим: а пересекает α.

3........

4. Тогда а пересечет и прямую b, что невозможно.

4........

5. Значит, a||α.

5........

Особенности такого конспекта:

1. Наличие двух рисунков облегчает работу многих учащихся.

2. Формулировки определений, теорем учащиеся не переписывают, а в случае необходимости обращаются к учебнику.

3. Весь конспект отражает план ответа, который на следующем уроке должен дать вызванный ученик.

4. В конспекте оставляют место (см. справа) для более подробных обоснований, которые учащиеся записывают дома.

Таким образом, конспект не подменяет учебник, а помогает работать с ним. Очевидно, при работе с такими конспектами в классе и дома учащиеся используют комплекс мыслительных приемов: соотнесение, составление плана, реконструкцию и пр. Удобно расположенные записи облегчают восприятие и выполняют роль стимулирующих звеньев. Все это обеспечивает хорошее усвоение теоремы» [2, с. 207].

Каково ваше мнение об указанной работе с теоремой? При изучении каждой ли теоремы целесообразна такая методика? Если нет, то в каких классах и когда эта методика дает хороший результат? Подтвердите свое предположение экспериментом. Организуйте группу студентов и подвергните экспериментальной проверке эту методику работы на примере различных теорем.

Литература

1. Выбор методов обучения в средней школе/Под ред. Ю. К. Бабанского. — М.: Педагогика, 1981.

2. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики. — М.: Просвещение, 1990.

3. Дидактика средней школы/Под ред. М. Н. Скаткина. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1982.

4. Епишева О. Б. Общая методика преподавания математики в школе: Курс лекций: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. — Тобольск: Изд-во ТГПИ им. Д. И. Менделеева, 1997.

5. Занков Л. В. Обучение и развитие: Хрестоматия по возрастной и педагогической психологии/Под ред. И. И. Ильясова, В. Я. Ляудис— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981.

6. Лернер И. Я. Процесс обучения и его закономерности. — М.: Знание, 1980.

7. Лоповок Л. М. Создание и использование проблемных ситуаций в процессе преподавания//Математика в школе. — 1977. — № 3. — С. 17.

8. Махмутов М. И. Современный урок: Вопросы теории. — М.: Педагогика, 1981.

9. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985.

10. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В. Я. Саннинский. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1980.

11. Монахов В. М. Что такое новая информационная технология обучения?//Математика в школе. — 1990. — № 2. — С. 47.

12. Проблемы методов обучения в современной общеобразовательной школе/Под ред. Ю. К. Бабанского, И. Д. Зверева, Э. И. Моносзона. — М.: Педагогика, 1980.

13. Саранцев Г. И. Метод обучения как категория методики преподавания//Педагогика. — 1998. — № 1. — С. 28.

14. Саранцев Г. И. Теория, методика и технология обучения//Педагогика. — 1999. — № 4. — С. 19.

15. Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск: Высшая школа, 1974.

16. Хуторской А. В. Эвристическое обучение: Теория, методология, практика. — М.: МПА, 1988.

17. Чошанов М. А. Гибкая технология проблемно-модульного обучения: Метод, пособие. — М.: Народное образование, 1996.

18. Шаталов В. Ф. Точка опоры. — М.: Педагогика, 1987.

19. Эрдниев П. М. Укрупнение дидактических единиц как технология обучения. В 2 ч. — М.: Просвещение, 1992.

Глава VIII

ОРГАНИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

1. Урок математики, его структура. Основные требования к уроку, типы уроков.

2. Подготовка учителя к уроку. Анализ урока.

3. Организация самостоятельной работы учащихся на уроке.

4. Нестандартные уроки математики.

5. Индивидуализация и дифференциация в обучении математике.

6. Внеклассная работа по математике.

1. Урок математики, его структура. Основные требования к уроку, типы уроков

Урок остается самой распространенной организационной формой учебно-воспитательного процесса в школе. Основные положения, характеризующие урок, заложены в трудах Я. А. Коменского, И. Ф. Гербарта, К. Д. Ушинского, М. А. Данилова, Б. П. Есипова, И. Т. Огородникова, М. Н. Скаткина и др. Идеи отечественных и зарубежных педагогов получили развитие в исследованиях, проведенных Ю. Б. Зотовым, Г. Д. Кирилловой, М. И. Махмутовым, В. А. Онищуком, И. М. Чередовым и др. Результатом этих исследований явился вывод о вариативности урочной формы организации занятий, которая характеризуется расширением дидактических возможностей урока за счет синтеза его с другими формами обучения, что привело к появлению нестандартных уроков: урока-семинара, урока-конференции, урока-консультации и т. д.

Однако до 50-х гг. урок представлялся феноменом с достаточно жесткой структурой. Так, урок изучения нового материала состоял из следующих этапов: организационный момент, проверка домашнего задания, объяснение нового материала, закрепление, подведение итогов урока и задание на дом. Причем границы этапов жестко обозначались и последовательность их была строго определенной. В 50-х гг. липецкие учителя выступают за ликвидацию регламентации последовательности этапов и границ между ними, т. е. за отрицание прежних представлений об уроке. Опыт по внедрению липецкой инициативы убедил учителей в целесообразности сохранения структуры урока,

однако без прежней жесткости границ между ее компонентами. Налицо действие закона отрицания отрицания, что привело к новому представлению о структуре урока, повторяющему начальное представление об уроке, но на новой основе. Так, М. И. Махмутов выделяет следующие компоненты дидактической структуры урока: 1) актуализация прежних знаний и способов действий; 2) формирование новых понятий и способов действий; 3) применение-формирование умений и навыков. Эта структура раскрывается и конкретизируется в методической подструктуре урока, элементами которой будут различные виды деятельности учителя и учащихся: рассказ, упражнение, чтение текста и т. д. Если число компонентов дидактической структуры постоянно, то число элементов методической подструктуры — величина переменная. Взаимосвязь между указанными структурами урока М. И. Махмутов представляет следующей схемой:

Проблема типологии уроков в дидактике решается по-разному. Наиболее распространенной является типология уроков в зависимости от дидактической цели: а) урок усвоения новых знаний; б) урок усвоения навыков и умений; в) урок применения знаний, навыков и умений; г) урок обобщения и систематизации знаний; д) урок проверки, оценки и коррекции знаний, навыков и умений; е) комбинированный урок [15]. Рассмотрим несколько типов урока. Так, в уроке усвоения новых знаний выделяют следующую структуру: 1) проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся; 2) сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности школьников; 3) восприятие и первичное осознание нового материала, осмысление связей и отношений в объектах изучения; 4) обобщение и систематизация знаний; 5) подведение итогов урока и сообщение домашнего задания.

Урок усвоения навыков и умений имеет такую структуру: 1) проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний; 2) сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учения школьников; 3) изучение нового материала; 4) первичное применение

приобретенных знаний; 5) применение учащимися знаний в стандартных условиях; 6) творческий перенос знаний и навыков в новые условия; 7) итоги урока и сообщение домашнего задания.

С уроком обобщения и систематизации соотносят следующие элементы: 1) сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности школьников; 2) воспроизведение и коррекция опорных знаний; 3) повторение и анализ основных фактов, событий, явлений; 4) повторение, обобщение и систематизация понятий, усвоение соответствующей системы знаний, ведущих идей и основных теорий. Данная типология хорошо соотносится с практикой, с традиционно сложившейся типологией, усовершенствуя ее, соответствует методическим концепциям формирования математических понятий, работы с теоремой и т. д. (Конкретные уроки математики в соответствии с данной типологией приведены ниже.)

Прежде чем перейти к анализу урока математики, остановимся на требованиях к уроку как организационной форме обучения. В педагогической литературе число таких требований колеблется от 6 до 18 и более. Одни авторы в число требований к уроку включают все требования к педагогическому процессу, другие не раскрывают требований к уроку, в которых учитывались бы достижения современной дидактики. В дидактике есть и попытки классификации требований к уроку. Например, В. А. Онищук делит их на четыре группы: идеологические, дидактические, психологические, гигиенические. Условность этого деления автор видит в том, что в реальной действительности все эти требования тесно связаны между собой, взаимопроникают друг в друга [15, с. 168]. М. И. Махмутов отмечает, что, кроме основных правил организации урока, вытекающих из дидактических принципов, обучающий руководствуется и специальными, основанными на логике процесса обучения, принципах обучения и закономерностях преподавания. К последним относятся следующие правила: 1) определить цель, включающую учебную, развивающую и воспитательную цели (подцели); 2) подготовить содержание учебного материала; 3) определить дидактические задачи урока, последовательное решение которых приведет к достижению всех целей; 4) выбрать наиболее эффективное сочетание методов и приемов обучения в соответствии с поставленными целями, содержанием учебного материала, уровнем обученности учащихся и дидактическими задачами; 5) определить структуру урока, соответствующую целям и задачам, содержанию и методам обучения; 6) все дидактические задачи урока должны решаться на этом же уроке и не переноситься на домашнюю работу [10, с. 70—72].

В дореволюционной методической литературе не было специальных работ, посвященных уроку математики. Однако в трудах Н. А. Бобровникова, П. С. Гурьева, В. А. Евтушевского, Н. А. Извольского, К. Ф. Лебединцева, М. Г. Попруженко, С. И. Шохор-Троцкого и других ученых отражается сущность и направление изменения структуры урока математики: не ограничиваться «диктовкой», «задаванием и спрашиванием», а уделять больше времени объяснению и закреплению изучаемого материала.

В 20-х гг. классно-урочная система обучения объявляется архаичной и заменяется комплексной системой преподавания, введением бригадно-лабораторного метода обучения, метода проектов. Математика рассматривается не как самостоятельный учебный предмет, а выступает в качестве вспомогательного средства при ознакомлении учащихся с «комплексом знаний» по трем общим разделам: природа, труд, общество. Беспредметное обучение привело к резкому ухудшению знаний учащихся, особенно по математике, что послужило причиной восстановления в 30-х гг. урока в качестве основной организационной формы учебной работы в школе. Усилия методистов стали направляться на разработку требований к уроку математики, выявление особенностей построения его этапов, совершенствование методов и приемов обучения (А. Н. Барсуков, К. С. Барыбин, Е. С. Березанская, В. М. Брадис, С. Е. Ляпин, В. И. Мишин, В. В. Репьев, Р. С. Черкасов и др.). В 1955 г. защищается первая диссертация по проблеме урока математики (В. Я. Саннинский). В проведенном исследовании положено начало целенаправленному решению указанных проблем при построении уроков различных типов (урок ознакомления с новым материалом, урок закрепления изученного и урок проверки знаний). В теории и практике урока математики широко используются достижения педагогической психологии, результаты поиска учителями путей совершенствования урока, решения проблем развития школьников, индивидуализации и дифференциации обучения (учителя Липецкой и Ростовской областей, Татарии Б. Г. Зив, А. П. Карп, В. И. Рыжик, В. Ф. Шаталов и др.).

Принятие Закона Российской Федерации об образовании в 80-х гг. положило начало новому этапу в совершенствовании процесса обучения.

Открытый простор для поиска и внедрения новых форм обучения вызвал появление не только нестандартных уроков, но и различных мастерских, студий, разновозрастных классов и т. д. Большинство педагогов видят совершенствование процесса обучения в интеграции различных организационных форм, использовании урока в качестве связующего звена в этой интеграции.

Эффективность такого пути подтверждается и тем, что учителями все чаще при конструировании уроков используются структурные элементы различных форм организации обучения, что выражается в таких названиях, как урок-лекция, урок-дискуссия, урок-студия и т. д.

Таким образом, современный урок математики, сохраняя присущие ему характерные признаки, рассматривается не как статичная, а как постоянно развивающаяся форма организации занятий.

Анализируя особенности урока математики, С. Г. Манвелов выделяет следующие его признаки: 1) содержание урока математики, как правило, не является автономным, оно развивается с опорой на ранее изученное, подготавливая базу для освоения новых знаний, что обусловлено строгой логикой построения курса математики; 2) в процессе овладения своеобразной системой математических знаний происходит существенное разделение обучающихся по склонностям и способнос-

тям, что обусловливает необходимость осуществления на уроках математики дифференциации в обучении, развития логического мышления, формирования самоконтроля и т. д.; 3) при обучении математике должны быть созданы условия для того, чтобы каждый ученик мог усвоить на уроке главное в изучаемом материале, поскольку без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека; 4) школьный курс математики служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин; 5) в процессе обучения математике теоретический материал осознается и усваивается преимущественно в процессе решения задач, поэтому на уроках математики чаще всего теория не изучается в отрыве от практики [9].

Анализ требований к уроку, ключевых направлений развития образования (Вестник образования. — 1996. — № 4), учет образовательных идей гуманизации и гуманитаризации позволяет указать наиболее значимые требования к современному уроку математики: 1) его целенаправленность; 2) рациональное построение и дифференциация содержания урока; 3) использование гуманитарного потенциала математического образования; 4) обоснованный выбор средств, методов и приемов, ориентированных на обучение, развивающее личность; 5) организация продуктивной учебной деятельности учащихся на уроке с учетом их интересов, наклонностей и потребностей; 6) мотивация учения и формирование у учащихся умений учиться математике; 7) сотрудничество учителя и учащихся не только при проведении, но и при разработке урока.

Как уже было сказано, существуют различные типологии урока, и в учебных пособиях уроки анализируют, как правило, в контексте какой-либо конкретной типологии. На практике учитель, разрабатывая системы уроков по конкретным учебным темам, не всегда укладывается в рамки какой-то одной типологии. Учитывая это, С. Г. Манвелов предлагает перейти к разработке системы уроков таких типов, в которых актуализировались бы наиболее характерные структурные элементы современных уроков математики. Для этого он выявляет наиболее распространенные типы уроков математики и группирует их в блоки.

В первый блок уроков (B1) он включает: урок ознакомления с новым материалом; урок закрепления изученного; урок применения знаний и умений; урок обобщения и систематизации знаний; урок проверки и коррекции знаний; комбинированный урок.

Во второй блок уроков (B2) отнесены: урок-лекция, урок-семинар, урок-практикум, урок-консультация, урок-зачет.

В третий блок уроков (B3) включены: урок с дидактической игрой, урок-ролевая игра, урок-экскурсия, урок-дискуссия.

В четвертый блок уроков (B4) вошли: урок-соревнование, урок-деловая игра, интегрированный урок, театрализованный урок.

По мнению С. Г. Манвелова, всякий урок математики относится к одному из блоков либо является комбинацией структурных компонентов уроков указанных блоков. Например, урок ключевых задач он рассматривает как комбинацию элементов урока-лекции (изложение и

конспектирование содержания ключевых задач по изучаемой теме, критериев их отбора и обзор подходов к их решению), урока обобщения и систематизации знаний (освоение учебного материала путем систематизации знаний и умений), урока-практикума (использование инструкций по выполнению заданий с применением ключевых задач), урока-деловой игры (рефлексия, связанная с самооценками и суждениями учащихся о работе класса, группы, своей деятельности и т. д.).

Наблюдения показывают, что в основной школе предпочтение отдается урокам, входящим в указанные базисные блоки. При организации обучения учащихся классов естественно-математического профиля оказываются эффективными уроки-лекции, уроки-практикумы, интегрированные уроки, уроки-консультации, уроки-соревнования в виде математических боев. Уроки объяснения нового материала, уроки-экскурсии, уроки-ролевые игры, театрализованные уроки оказались более подходящими в организации обучения учащихся, которые не намерены использовать математику в своей будущей профессии.

2. Подготовка учителя к уроку. Анализ урока

Всякая разумная деятельность начинается с планирования. Подготовка учителя к урокам начинается с годового и тематического планирования учебного процесса. Годовой и тематический планы содержат следующие разделы: 1) наименование тем уроков; 2) число часов, отводимых на их изучение; 3) темы для предваряющего и итогового повторения; 4) перечень наглядных пособий и учебного оборудования; 5) учебно-методические пособия; 6) межпредметные связи; 7) типы уроков.

В дидактике и методике обучения математике процедура планирования учебного процесса доведена до уровня действий (операций). Например, дидактическая схема тематического планирования включает следующие операции:

1. Определение задач изучения темы путем ознакомления с программой и методическими указаниями по теме.

2. Ознакомление с содержанием учебного материала по теме в учебнике, выделение основных научных и воспитательных идей, понятий, законов, умений, навыков, которые должны быть усвоены учащимися в соответствии с поставленными задачами.

3. Обоснование логики раскрытия темы в соответствии с закономерностями усвоения знаний, дидактическими принципами, а также определение необходимых для раскрытия темы видов уроков.

4. Конкретизация числа последовательности всех уроков по теме в соответствии с выделенным программой числом часов на ее изучение.

5. Определение тематики каждого урока, формулировка основных задач, совокупность которых должна обеспечить решение общего комплекса задач изучения темы.

6. Конкретизация задач данного урока на основе изучения особенностей учащихся данного класса.

7. Отбор наиболее рационального содержания обучения на данном уроке, выделение в нем главного.

8. Выбор оптимального сочетания методов и средств обучения для решения намеченных учебно-воспитательных задач.

9. Выбор формы организации учебной работы школьников на уроке.

10. Определение оптимального темпа обучения на уроке.

11. Определение содержания и методов домашней работы учеников.

С. Г. Манвелов более детально характеризует действия учителя по составлению плана. Так, выявление содержания и постановку образовательных целей он сводит к: 1) определению содержания программных знаний, умений, навыков; 2) выявлению итоговых уровней их сформированности, которые зафиксированы в программе и учебниках; 3) конкретизации полученных сведений с учетом подготовленности класса и местом урока в системе уроков по изучаемой теме. Наряду с образовательными целями учитель формулирует развивающие цели, с которыми связывает творческий уровень овладения знаниями и умениями, и воспитательные цели.

Отбор содержания урока сводится к выполнению следующих действий:

1. Изучить содержание текста учебника, относящегося к теме урока, и выделить в нем самое главное (основная идея, опорные понятия и теоремы и т. п.), на что и будет направлено внимание учащихся в ходе актуализации знаний.

2. Выделить все символы, обозначения, термины и понятия; факты и математические предложения в виде аксиом, теорем, определений; указания, алгоритмы и правила их применения, математические доказательства. Выяснить происхождение, правильную запись и чтение символов, обозначений, терминов и пр. Проверить, какие из понятий являются основными, какие могут быть определены, но не определяются в соответствии с дидактическими принципами, какие понятия определяются; какие определения понятий и формулировки теорем надо знать дословно. Разобраться в доказательствах, выявить их логическую структуру, пробелы; проверить себя в умении воспроизводить изучаемые доказательства.

3. Проанализировать систему задач учебника, относящихся к изучаемой теме. Выделить задачи, ориентированные на введение понятий, теорем, усвоение их содержания, на применение и систематизацию понятий и теорем; распределить задачи по блокам родственных задач и т. д.

4. Изучить методическую характеристику отобранного материала, пояснения и комментарии к нему, возможные подходы к его изложению. Рассмотреть указания к упражнениям в учебнике и определиться с образцами оформления записей. Подобрать различные системы дополнительных заданий: контрольные вопросы, устные упражнения, математические диктанты, тесты, задания на готовых чертежах, игровые упражнения, задачи повышенной трудности и т. д.

5. Учесть особенности компоновки содержания материала, разработанные при тематическом планировании. Уточнить роль и место

изучаемого материала в теме и курсе; содержание материала, необходимого для организации повторения, установления межпредметных связей, проведения самостоятельных и контрольных работ и т. д.

6. Проверить возможности реализации поставленных целей урока с помощью отобранных материалов и обратить в то же время особое внимание на усиление его воспитывающего и развивающего влияния; насыщение учебного материала примерами, сведениями, фактами из повседневной действительности; углубление прикладной и практической направленности изучаемого материала; выявление эстетического содержания учебного материала; привлечение занимательных задач, исторических сведений; целенаправленное формирование навыков самоконтроля и т. д.

7. Дифференцировать содержание учебного материала с целью интенсификации самостоятельной познавательной деятельности наиболее подготовленных учащихся и активизации помощи слабоуспевающим. В случае необходимости подобрать индивидуальные и групповые задания, направленные на вовлечение учащихся в активную и посильную самостоятельную учебную деятельность.

8. Завершить отбор из учебника и других источников содержания учебного материала с таким расчетом, чтобы не перегрузить урок и обеспечить усвоение учащимися необходимых знаний и умений. Для организации работы в классе и дома, а также реализации возможного резерва времени на уроке распределить соответствующим образом весь отобранный материал.

Нередко содержание учебного материала во многом определяет выбор соответствующих методов и структуру урока. Так, при первичном рассмотрении достаточно сложного материала, когда учитель существенно ограничен во времени на его проработку с учащимися, более благоприятными оказываются репродуктивные методы обучения. Причем если для изложения материала предполагается занять весь или почти весь урок, то лучше сделать это в рамках урока-лекции, в противном случае подходящей оказывается структура урока ознакомления с новым материалом.

Определенная роль в профессиональной деятельности учителя отводится умению оформлять результаты разработки урока. И не только потому, что план или конспект урока является важным документом учителя при его проведении, а умение фиксировать строение урока и детализировать к тому же каждый из его составных элементов в конечном счете сказывается на организации урока. Конспект урока становится действенным средством осмысления и обобщения собственного педагогического опыта. Вот как оценивает роль конспекта известный учитель математики А. А. Окунев: «Вдохновение учителя, реакция учеников на его домашние заготовки вселяют душу в урок. Урок оживает и порой довольно часто идет совсем по другому руслу. Тогда после занятия бросаешься к конспекту и быстро, пока не забылись самые драгоценные его моменты, записываешь тот урок, который на самом деле получился» (Окунев А. А. Подготовка к уроку//Математика в школе.-1991.-№ 1.-С. 12).

Существуют разные формы написания конспекта урока: произвольный, с выделением деятельности учителя и учащихся, с выделением вопросов и ответов на них, раскрывающих содержание урока.

Рассмотрим подготовку учителя к проведению конкретных уроков.

Урок на тему «Вписанный угол. Теорема о вписанном угле»

Тип урока. Урок изучения нового материала.

Характеристика темы урока.

Содержанием темы являются понятие вписанного угла и теорема о вписанном угле, поэтому теоретическая часть темы насыщенная и большая по объему (доказательство теоремы рассматривает три случая). Определение понятия вписанного угла содержит два существенных свойства, формулировка теоремы несложная. Доказательство теоремы в условиях первого случая опирается на свойство центрального угла, доказательства в условиях двух последних случаев аналогичны.

Цели урока:

1. Сформировать понятие вписанного угла. Изучить теорему о вписанном угле.

2. Формирование навыков самостоятельной работы с учебником.

3. Формирование способа доказательства, заключающегося во введении новой фигуры, находящейся в известных связях с теми фигурами, отношение между которыми доказывается.

4. Формирование действий, адекватных понятию и теореме, на примере вписанного угла.

Отбор основного содержания учебного материала:

1. Актуализация опорных знаний и умений. К опорным знаниям и умениям относятся определение центрального угла, связь градусных мер центрального угла и соответствующей дуги, умение находить градусную меру центрального угла по градусной мере соответствующей дуги и обратно, умение чертить окружность, знание ее элементов, определения понятий равнобедренного треугольника, внешнего угла треугольника, знание свойств углов равнобедренного треугольника.

2. а) Формирование понятия вписанного угла: мотивация введения понятия, выделение существенных свойств, усвоение учебных действий распознавания вписанных углов и выведения следствий из факта принадлежности угла к вписанным углам, построение вписанных углов, применение определения вписанного угла.

б) Организация изучения теоремы о вписанном угле: мотивация изучения теоремы, усвоение ее формулировки, ознакомление со способом доказательства теоремы, доказательство теоремы, применение, связь теоремы с ранее доказанными теоремами.

Большое место на всех этапах формирования понятия и изучения теоремы занимают упражнения. С их помощью осуществляется и актуализация опорных знаний и умений.

Оборудование урока: 1. Кодоскоп. Кодопозитивы. 2. Рисунки.

Выбор методов обучения. Различные этапы урока реализуются с помощью различных методов обучения. Наибольшее применение получают эвристический и репродуктивный методы.

Структура урока:

1. Постановка цели урока.

2. Актуализация знаний и умений.

3. Формирование понятия вписанного угла.

4. Изучение теоремы о вписанном угле.

5. Применение теоремы.

6. Подведение итогов работы на уроке.

7. Задание на дом. Ход урока:

I. Актуализация знаний и умений.

Замечаем, что реализация всех этапов урока требует большого количества упражнений. Поэтому возникает необходимость конструирования таких упражнений, которые несли бы несколько функций. Причем следует иметь в виду и проверку усвоения предыдущего материала. Итак, попробуем сконструировать такое упражнение, при выполнении которого актуализировались бы выделенные знания и умения, осуществлялось бы знакомство с вписанным углом и способом доказательства теоремы о вписанном угле. Указанными качествами обладает следующее упражнение: «Вершина В угла ABC лежит на окружности с центром О (ВС — диаметр окружности). Найдите величину этого угла, если величина дуги АС равна 50°».

Выполнением этого упражнения и начинается обсуждаемый урок. Работа с упражнением может быть организована разными способами: 1) посредством специальных вопросов учитель подводит учащихся к требованию задачи; 2) учитель организует самостоятельную работу учащихся по специальным карточкам, которые позволяют дифференцировать работу школьников (см. гл. IV).

Выполнение данного упражнения позволяет ввести понятие вписанного угла, выделить его существенные свойства (вершина угла лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность), выявить зависимость между вписанным углом и дугой, на которую он опирается, и метод ее обоснования, суть которого заключается во введении центрального угла, опирающегося на ту же дугу, что и вписанный угол.

II. Формирование новых знаний и умений.

1. Предлагаем учащимся упражнения на распознавание вписанных углов, в процессе выполнения которых они овладевают действием подведения объекта под понятие.

Организация выполнения упражнения на распознавание вписанных углов (рисунок дан) может быть различной.

а) Условие упражнения предъявляется учащимся на карточках. Учащиеся выполняют упражнение самостоятельно, объясняя вслух результаты. Можно использовать и такую форму: один ученик читает вслух первую логическую часть определения вписанного угла: «Угол, вершина которого лежит на окружности...», остальные отыскивают на рисунках такие углы. Выделив их, первый ученик продолжает читать: «а стороны пересекают окружность...», другие ученики выделяют углы, обладающие также и этими признаками. Первый ученик заканчивает чтение определения: «...называется вписанным углом». Учащиеся

называют те рисунки, на которых изображены вписанные углы. Учитель может контролировать выполнение упражнения наиболее слабыми учащимися. Видовые отличия вписанного угла могут быть зафиксированы на плакате:

Учащиеся выполняют упражнения, соотнося свои действия с видовыми отличиями понятия вписанного угла.

б) Условие упражнения фиксируется на доске (учитель заранее выполняет на доске необходимые рисунки). Оно может быть предъявлено учащимся посредством кодоскопа. Формы организации учебной деятельности школьников остаются теми же, что и в случае а).

После выполнения упражнений указанных видов используются упражнения на построение вписанных углов и на их выделение в сложной заданной конфигурации.

2. Организуем работу с теоремой о вписанном угле.

Напоминаем школьникам, что выполненное в начале урока упражнение привело нас к выводу: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Теперь это утверждение нужно доказать. Учитель на доске, а учащиеся в тетрадях выполняют рисунок, делают записи «Дано», «Требуется доказать» и вместе намечают способ доказательства. Оформление доказательства учащиеся могут выполнить самостоятельно. Доказательство теоремы во втором и третьем случаях может быть рассмотрено самостоятельно в классе либо дома, при этом учитель показывает, как эти случаи сводятся к первому случаю.

Работа с доказательством в основном случае может быть организована и по-другому. Сильные учащиеся могут разобрать доказательство сами, учащимся же слабее может быть оказана помощь в виде упражнений на специальных карточках. Такие карточки были приведены в главе IV.

III. Применение знаний и умений.

Если учитель рассмотрит на уроке, кроме основного случая, еще один, то этот вид учебной деятельности можно отнести к реализации этапа применения знаний и умений. Если же рассмотрение двух случаев доказательства теоремы будет отнесено к домашнему заданию, то в классе можно выполнить несложное упражнение на применение теоремы. Примером такого упражнения может служить следующее: «Найдите вписанный угол ABC, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) 48°; б) 57°; в) 90°; г) 124°; д) 180°».

IV. На дом, кроме разбора теоремы о вписанном угле, можно предложить упражнение на нахождение по данным рисунка либо вписанного угла, либо дуги окружности.

Мы привели в конспекте урока и примерные рассуждения учителя, готовящего этот урок. Ясно, что в учительском варианте конспекта они не будут присутствовать.

Данный конспект можно оформить в виде таблицы с выделением деятельности учителя и деятельности ученика.

∠ABC — вписанный:

1) вершина В лежит на окружности;

2) сторона ВА пересекает окружность;

3) сторона ВС пересекает окружность.

Ход урока

Основное содержание учебного материала

Деятельность

учителя

учащихся

I. Постановка цели урока

Формулирует: сформулировать понятие вписанного угла, усвоить теорему о вписанном угле

II. Актуализация знаний и умений:

1. Выполнение упражнения: «Вершина В угла ABC лежит на окружности с центром О (ВС — диаметр окружности). Найдите величину угла ABC, если величина дуги АС равна 50°»

Предъявляет упражнение

Фиксируют упражнение в своих тетрадях

2. Вопросы для обсуждения: а) нельзя ли указать угол, связанный с дугой АС, зная который можно найти угол АВС\ б) как связаны угол ABC и дуга АС; в) в чем основная идея решения упражнения; г) перечислите существенные свойства угла ABC

Управляет посредством вопросов деятельностью учащихся и подводит их к понятию вписанного угла и к теореме. Наблюдает за работой учащихся. Осуществляет мотивацию введения понятия вписанного угла

Отвечают на вопросы учителя, обсуждают ответы товарищей, оформляют результаты упражнения, фиксируют новые понятия и суждения

III. Формирование понятия вписанного угла:

1. Выполнение упражнений на распознавание вписанных углов

2............................................

Предъявляет учащимся условия упражнений на карточках. Наблюдает за работой учащихся

Самостоятельно выполняют упражнения, соотнося свои действия с признаками понятия вписанного угла, обсуждают результаты выполнения упражнения и т. д.

Полагаю, что студенты самостоятельно могут продолжить трансформацию приведенного конспекта урока в табличную схему. Замечу лишь, что начинающему учителю выделение в конспекте деятельности учителя и деятельности ученика весьма полезно. Такая работа освободит его от часто совершаемой ошибки начинающего учителя, заключающейся в том, что на уроке виден и слышен лишь учитель. Учителю необходимо помнить о том, что колонка, куда заносятся действия учеников, должна быть заполненной.

Урок на тему «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Решение задач»

Тип урока. Формирование умений и навыков.

Характеристика темы урока.

На предыдущем уроке были рассмотрены пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. На предстоящем уроке формируется умение применять изученные факты в конкретных ситуациях. Для этого необходимо отобрать упражнения на применение этих фактов в простейших и сложных ситуациях. В конце урока проводится самостоятельная работа на 5—7 минут.

Цели урока:

1. Формирование умений и навыков в применении зависимостей между пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике.

2. Формирование умений видеть один и тот же факт в различных ситуациях.

3. Формирование умений работать с задачей. Отбор основного содержания учебного материала:

1. Актуализация опорных знаний. К опорным знаниям относятся следующие факты:

а) высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному;

б) высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза высотой;

в) катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Актуализация указанных фактов осуществляется посредством решения задач.

2. Формирование умений и навыков: нахождение элементов прямоугольного треугольника с помощью зависимостей между его элементами.

3. Применение умений и навыков. Выполнение упражнений. При отборе упражнений следует учитывать взаимосвязь между ними, возможность развития результатов предыдущего упражнения в последующее, видение известных фактов в новых ситуациях.

Оборудование урока: 1. Рисунки. 2. Кодоскоп. Кодопозитивы.

Выбор методов обучения. Основные методы — эвристические и репродуктивные.

Структура урока:

1. Постановка цели урока.

2. Актуализация опорных знаний и умений.

3. Формирование умений применять зависимости в прямоугольном треугольнике.

4. Подведение итогов работы на уроке.

5. Задание на дом. Ход урока:

I. Актуализация опорных знаний и умений.

Выполнение упражнения: «Треугольник ABС — прямоугольный. CD — высота, проведенная из вершины прямого угла, а) Сколько пар подобных треугольников образовалось? б) Запишите соотношения между сторонами подобных треугольников, в) Выразите словами полученные соотношения».

II. Формирование умений и навыков:

1) Найдите h, а и b, если bc = 25, ас = 16.

Отдельные элементы упражнения могут выполняться самостоятельно, например вычисления либо нахождение а или b.

2) Работа с соотношениями:

3) В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см, 13 см, проведена высота к большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.

Интересно обратить внимание учащихся на то, что из соотношения между средним арифметическим и средним геометрическим вытекает соотношение c > 2h.

Урок заканчивается подведением итогов работы и заданием на дом.

Урок на тему «Степенная функция» (IX класс)

Цель урока: систематизировать, расширить и углубить знания, умения и навыки учащихся, связанные с понятиями функции, области определения функции, графика функции, степенной функции, возрастающей функции.

Ядром урока может служить работа по систематизации учебного материала, результатом которой явится схема, фиксирующая связи между блоками учебного материала (см. схему на с. 190).

Указанная схема составляется и обсуждается учащимися всего класса под руководством учителя. Она фиксируется на доске и в тетрадях учащихся.

Вопросы для обсуждения:

1. Объясните, что такое функция.

2. Что понимается под областью определения функции?

3. Дайте определение графика функции.

4. Дайте определение степенной функции.

5. Назовите виды степенной функции.

6. Какие виды функций вам известны из курса алгебры предыдущих классов?

7. Как построить графики функций y = kf(x), y = —f(x), y = f(х + а), если известен график функции y = f(x)? Проиллюстрируйте на конкретном примере.

8. Объясните, что значит график функции симметричен относительно начала координат (оси Oy).

Следующий этап урока заключается в выполнении упражнений на выделение и систематизацию основных действий, адекватных изучаемому материалу. К ним относятся: распознавание степенных функций, нахождение по значению аргумента значения функции и обратно, нахождение промежутка изменения функции по промежутку изменения аргумента и обратное действие, построение графиков степенных функций, осознание зависимости расположения графика от показателя степени, выводы о взаимном расположении графиков, объяснение по формуле особенностей графика функции и наоборот, по графику особенностей формулы, выяснение принадлежности данной точки заданному графику. Приведем упражнения на выделение и систематизацию перечисленных действий.

1. Из указанных функций выберите те, которые являются степенными функциями:

2. Заполните таблицу, изобразив схематично графики указанных функций:

3. Схематически изобразите на одном рисунке графики степенной функции у = xn, если n = 1, 2, 3, 1/2, 1/3 при х ⩾ 0. Как изменяется расположение графика функции, если n возрастает от единицы (убывает от единицы, оставаясь положительным)?

4. Схематически изобразите график степенной функции у = хr (х ⩾ 0), если: а) r > 1; б) 0 < r < 1, — и график функции у = хr (х > 0), если r < 0.

5. Используя свойство степени с рациональным показателем, докажите, что степенная функция у = хr, где х > 0 и r — любое рациональное число, возрастает, если r > 0, и убывает, если r < 0.

6. Опишите расположение графика функции у = х-5, схематически изобразите его.

7. На рисунке (рисунок дан) изображен график степенной функции. Какой формулой может быть задана эта функция?

8. Объясните, как построить график функции:

9. Объясните, как графически решить следующее уравнение:

Заканчивается урок самостоятельной работой.

1. Докажите, что функция у = х4 является возрастающей при х > 0 и убывающей при х < 0.

2. Постройте график функции y = 1/x. Найдите: у(2), у(—1,5). Как изменяется у, если х изменяется от 1 до 2? Укажите те значения x, при которых у принимает значение, равное 2; —1/2. Как должны изменяться значения аргумента, если у изменяется от -1,5 до —1?

3. Найдите значения л, зная, что график функции у = xn проходит через точку С с координатами (2; 8).

4. График функции вида у = хr изображен на рисунке (рисунок дан). Каким может быть число r? Найдите r, если у 2) = 1/16.

Учитель может предусмотреть несколько вариантов самостоятельной работы либо один. В конце урока обсуждаются результаты самостоятельной работы, подводятся итоги и дается домашнее задание.

Урок на тему «Умножение и деление рациональных чисел»

Цель урока: проверка, оценка и коррекция знаний, умений и навыков учащихся, связанных с умножением и делением положительных

и отрицательных чисел, законами умножения, приведением подобных слагаемых в алгебраических выражениях.

Вопросы для беседы:

1. Объясните правило умножения двух чисел с одинаковыми знаками. Приведите примеры.

2. Объясните правило умножения двух чисел с разными знаками. Приведите примеры.

3. Чему равно произведение нескольких чисел, если одно из них нуль? При каких условиях ab = 0?

4. Чему равно произведение а(-1)? Приведите примеры.

5. Как изменится произведение при перемене знака одного из множителей?

6. Объясните переместительный закон умножения.

7. Как формулируется сочетательный закон умножения?

8. Запишите, используя буквы, переместительный и сочетательный законы умножения.

9. Как найти произведение трех, четырех рациональных чисел?

10. Ученик, выполняя упражнение на отыскание произведения 0,25⋅18⋅18⋅(—4), использовал следующую последовательность действий: (0,25⋅(-4))⋅18⋅18 = (-1)⋅18⋅18 = — 18⋅18. Какие законы он использовал?

11. Какой множитель алгебраического выражения называют коэффициентом?

12. Как найти коэффициент произведения, в котором несколько буквенных и числовых множителей?

13. Чему равен коэффициент выражения: а; —а; ab; —ab?

14. Объясните распределительный закон умножения. Запишите его с помощью букв.

15. Какие слагаемые алгебраической суммы называются подобными слагаемыми?

16. Объясните, что значит привести подобные слагаемые.

17. Объясните, с помощью каких законов выполняется приведение подобных слагаемых в выражении 5,2y — 8a — 4,8y — 2а.

18. Каково правило деления рациональных чисел с одинаковыми знаками?

19. По какому правилу выполняют деление рациональных чисел с разными знаками?

20. В каком случае частное двух рациональных чисел равно нулю?

21. В каком порядке выполняют совместные действия с рациональными числами?

Отдельные вопросы могут составить предмет коллективного обсуждения, ответы на другие вопросы могут быть проверены посредством листов взаимоконтроля, на основе некоторых вопросов можно провести математический диктант и т. д.

Последующая серия упражнений направлена на контроль, оценку, коррекцию умений учащихся. Возможны различные формы выполнения упражнений: самостоятельное решение упражнений, сопровождающееся самоконтролем учащихся, комментированное решение, выпол-

нение упражнений на доске, устный опрос и т. д. Эта серия охватывает две группы упражнений. Первая группа не требует для выполнения мыслительной деятельности реконструктивного характера, выполнение второй группы предполагает реконструкцию знаний и умений по изучаемой теме.

I группа

1. Какие из указанных равенств верные:

Выберите правильный ответ.

Ответ: 1), 2), 3), 4); верных равенств нет; не знаю.

2. Не выполняя вычислений, определите, какое произведение положительно:

Ответ: 1), 2), 3), 4); не знаю.

3. Укажите выражения, имеющие равные коэффициенты:

4. Какое из выражений содержит подобные слагаемые:

5. Укажите верные равенства:

6. Верно ли выполнено деление:

7. Не выполняя вычислений, укажите частные, являющиеся отрицательным числом:

Ответ: 1), 2), 3), 4); отрицательных частных нет; не знаю.

II группа

1. Определите знак значения выражения:

2. Упростите выражение:

3. Выберите наибольшее и наименьшее числа среди чисел:

4. Упростите выражение:

Легко заметить, что совокупность всех заданий и их последовательность охватывают все уровни усвоения знаний. Ответы на вопросы предполагают контроль, оценку и коррекцию знаний на уровне воспроизведения. Последующая серия упражнений ориентирована на прямое применение знаний, их выполнение не требует от учащихся мыслительной деятельности реконструктивного характера. Набор таких упражнений охватывает всю совокупность умений и навыков по изученной теме, но осуществление этой совокупности предполагается в простейших ситуациях. Завершает контроль знаний и умений школьников выполнение упражнений на применение знаний и умений в измененных ситуациях, требующих их реконструкции в соответствии с условием и требованием задачи.

Выполнение этой программы соответствует качественному усвоению знаний и умений и может быть оценено отличной отметкой. Усвоению знаний и умений на уровне их применения в ситуациях, не требующих реконструкции знаний и умений, соответствуют приведенные вопросы и упражнения первой группы. Правильные ответы на вопросы характеризуют усвоение знаний на уровне воспроизведения. Оценка «три» может быть выставлена ученику, ответившему на большинство вопросов и выполнившему большинство упражнений первой группы. Оценка «четыре» соответствует правильным ответам на вопросы, правильно выполненному большинству упражнений первой и второй групп.

Приведенная схема урока иллюстрирует урок проверки, оценки и коррекции знаний, умений и навыков. В подобных уроках выделяют следующие этапы: 1) мотивация учебной деятельности школьников и сообщение темы, цели и задач урока; 2) проверка знания учащимися фактического материала и умения раскрывать связи в предметах и явлениях; 3) проверка знания учащимися основных понятий и умений объяснять их сущность; 4) проверка глубины осмысления учащимися знаний и степени обобщения их; 5) применение учащимися знаний в различных конкретных ситуациях; 6) проверка, анализ и оценка выполненных заданий; 7) итоги урока, домашнее задание.

Рассмотрим еще один «классический» тип урока математики — комбинированный урок. Он имеет несколько равных по своему значению образовательных целей. Известны уроки с различными сочетаниями целей, например: контроль и оценка знаний и умений школьников и усвоение новых знаний; контроль и оценка знаний и умений и формирование умений и навыков и т. д.

Проведение комбинированного урока предполагает реализацию основных структурных элементов тех уроков, которые соответствуют целям комбинированного урока. При этом одни из этапов могут выпадать из структуры комбинированного урока, другие — объединяться. Такой, например, может быть структура урока контроля и оценки ранее усвоенного материала и усвоения новых знаний: 1) проверка выполнения домашнего задания; 2) проверка ранее усвоенных знаний: а) методом фронтальной беседы, б) методом индивидуального устного опроса или письменной работы с текстовыми заданиями; 3) мотивация учения и сообщение темы, цели и задач урока; 4) восприятие и осмысление учащимися нового учебного материала; 5) обобщение и систематизация знаний; 6) подведение итогов урока и сообщение домашнего задания.

Заметим, что структура комбинированного урока может охватить не один, а несколько уроков.

Урок на тему «Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю»

Цели урока:

1. Контроль и оценка знаний, умений и навыков, связанных с основным свойством дроби, сокращением дробей и приведением дробей к новому знаменателю.

2. Формирование действия приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.

Первая часть урока

I. Примерные вопросы для собеседования:

1. Объясните основное свойство дроби.

2. Что значит сократить дробь?

3. Всякую ли дробь можно сократить?

4. Какую дробь называют несократимой? Приведите примеры.

5. Как нужно сокращать дробь, чтобы получить несократимую дробь?

6. Что означает приведение дроби к общему знаменателю?

7. Какое число называют дополнительным множителем дроби? Приведите примеры.

II. Упражнения для самоконтроля.

1. Укажите верное равенство:

Ответ: 1), 2), 3), 4); не знаю.

2. Определите, какие из дробей 3/17, 34/17, 4/25 являются сократимыми. Выберите правильный ответ:

3. На какое число можно сократить дробь

4. Приведите дробь — к знаменателю 18 и укажите правильный ответ:

5. Сократите дробь

III. Упражнения для самостоятельной работы:

1. Вместо X поставьте такое число, чтобы равенство было верным:

2. Назовите дробь, сократимую на 2, 3, 5.

3. Придумайте несократимую дробь, знаменатель которой 210.

Вторая часть урока

Формирование действия приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.

1. Мотивация введения действия — решение задачи: «За первый день работы тракторист вспахал 2/5 поля, а за второй — 1/3 того же поля. В какой из этих дней тракторист выполнил большую часть работы?»

Решение задачи предполагает действие сравнения дробей 2/5 и 1/3, что возможно при приведении их к общему знаменателю. Учащимся следует показать образец оформления выполнения упражнений на приведение дробей к наименьшему общему знаменателю.

1. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

2. Какие из указанных пар дробей являются дробями, полученными в результате приведения дробей 1/6 и 9/10 к наименьшему общему знаменателю:

Тем учащимся, которые усвоили правило, можно предложить самостоятельную работу, те учащиеся, которые нуждаются в помощи, работают с учителем.

Самостоятельная работа

1. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

2. Сравните дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

Работа с учащимися, нуждающимися в помощи учителя:

1. Выполнение упражнений под контролем учителя:

2. Самостоятельная работа.

Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю и сравните их:

Урок заканчивается подведением итогов работы и домашним заданием.

Опыт краснодарских учителей выявил следующие закономерности: методические концепции, заложенные в школьных учебниках, как правило, ориентированы на введение математических понятий в рамках уроков изучения нового материала. При укрупнении дидактических единиц в ходе изучения нового материала более подходящими являются уроки-лекции. Если новый материал равномерно распределяется в системе уроков по учебной теме, то лучше воспользоваться комбинированными уроками. Для овладения ведущими идеями изучаемых тем больше подходят уроки обобщения и систематизации знаний. Если в ходе изучения нового материала привлекаются сведения из других учебных предметов, то лучше это сделать в рамках интегрированных уроков. Вопросы изучения исторических сведений, установления связи теории с практикой могут успешно решаться на уроках-экскурсиях. Воспроизведение изученного и его применение на уровне обязательных требований к математической подготовке учащихся лучше проводить в рамках урока формирования умений и навыков. Для отработки умений применять знания для решения задач с практическим и прикладным содержанием более подходят уроки-практикумы. Для самостоятельной проработки учебного материала можно использовать уроки-семинары. Своевременной ликвидации пробелов в знаниях учащихся, оказанию индивидуальной помощи в развитии их умений служат уроки-консультации. Обсуждение с учащимися различных способов доказательств теорем, решений задач лучше осуществляется на уроках-дискуссиях. Для поддержания у учащихся интереса к выполняемой работе, их активности можно воспользоваться уроками с дидактической игрой. Благоприятные условия для проявления инициативы учащихся, их возможностей создают уроки-ролевые игры. Театрализованные уроки служат привнесению в ученические будни атмосферы праздника, выработке чувства взаимопомощи, коммуникативных умений.

Остановимся на этапе, общем для многих типов уроков, — постановке домашнего задания. Ясно, что от его реализации зависит очень много, так как усвоение материала невозможно без систематической домашней работы учащихся. Она служит и связующим звеном между прошедшим и предстоящим уроками. В методике обучения математике выделены следующие виды домашних заданий: 1) устные и письменные; 2) репродуктивные, конструктивные и творческие; 3) обязательные и по желанию; 4) общие, дифференцированные и индивидуальные; 5) регламентированные и без установленного срока выполнения; 6) комбинированные.

Учителя домашние задания чаще всего предлагают с целью закрепления материала, изученного на уроке. Однако эффективность домашнего задания зависит от перспективы дальнейшего использования результатов домашней работы учащихся, от того, насколько активно они используются при получении новых знаний. Поэтому при определении домашнего задания следует предусмотреть возможность использования его для углубления изученного материала, для воспроизведения опорных знаний, особенно тех, которые применяются при объяснении нового материала. В литературе выделяют различные учебные цели использования на уроке домашнего задания: 1) повторение ранее изученного материала; 2) создание проблемной ситуации; 3) ознакомление с новым материалом (новый материал возникает как обобщение домашнего задания, изучение нового материала на уроке проходит в постоянном обращении к домашнему заданию); 4) обобщающее повторение (Руденко В. Н. Взаимосвязь домашнего задания с изучением нового материала//Математика в школе. — 1981. — № 4. — С. 17—22).

В практике обучения математике домашнее задание, как правило, дается в конце урока. Однако такая ситуация не всегда оправданна. По мнению учителей математики, окончание урока полезно разнообразить подведением итогов, ознакомлением учащихся с обобщающими выводами и идеями; использованием эффекта «незавершенного действия»; привлечением исторических сведений; выполнением игровых упражнений, решением головоломок, кроссвордов, анаграмм, ребусов на математическую тему; применением в концовке неожиданного хода, комплимента, шутки и т. д.

Важной составляющей методической подготовки учителя математики является умение анализировать уроки математики. В учебной литературе по дидактике и методике обучения математике содержится немало различных вариантов анализа урока, рекомендаций, предложений. Сопоставляя их в соотнесении с требованиями к уроку математики, приходим к следующей схеме анализа урока:

Схема анализа урока

1. Общие сведения об уроке

Школа, класс, предмет, Ф.И.О. учителя, тема урока, цель и тип урока.

2. Организация урока

1. Готовность учителя к уроку.

2. Готовность учащихся к уроку.

3. Подготовленность классного помещения.

4. Мобилизующее начало урока.

3. Структура урока

1. Этапы урока, распределение времени.

2. Четкость этапов, выделение главного.

3. Соответствие структуры урока целям и содержанию его.

4. Насыщенность урока и темы.

5. Сочетание коллективной, групповой и индивидуальной работы с учащимися.

4. Содержание урока

1. Объем фактического материала, соответствие программе и уровню знаний учащихся.

2. Научность изложения материала, единство образовательной и воспитательной функций.

3. Соответствие теории и упражнений.

4. Повторение пройденного, опорные знания.

5. Внутрипредметные и межпредметные связи, связь с жизнью.

5. Методы, приемы и средства обучения

1. Целесообразность методов обучения.

2. Достижение основных принципов дидактики в обучении.

3. Познавательная активность учащихся и роль учителя на уроке.

4. Наличие обратной связи «учитель — ученик».

5. Развитие логического мышления у учащихся и самостоятельность в обучении.

6. Работа со слабоуспевающими учащимися.

7. Методы проверки и оценки знаний учащихся.

8. Средства достижения и поддержания внимания учащихся на уроке и интереса к предмету.

9. Итог урока, его воспитательная ценность.

6. Учитель как личность

1. Знания и методическая грамотность учителя.

2. Культура речи и педагогический такт.

3. Доброта и требовательность к учащимся.

4. Контакт учителя с учащимися.

7. Заключение по уроку

1. Эффективность урока.

2. Ценные стороны урока и недостатки.

3. Предложения учителю.

3. Организация самостоятельной работы учащихся на уроке

Проблема самостоятельной работы учащихся и ее организации на уроке имеет богатую историю и свои традиции ее решения. Еще К. Д. Ушинский считал самостоятельную работу «единственно прочным основанием всякого плодовитого учения». Исследователи этой проблемы вкладывают разный смысл в понятие «самостоятельная работа». Одни рассматривают ее как метод обучения, другие — как форму организации познавательной деятельности учащихся, третьи — как средство обучения, а также как вид деятельности учащихся и как самостоятельную деятельность учения. По мнению ряда исследователей, самостоятельная работа есть синтез формы учебной деятельности

и средства организации познавательной деятельности, вида деятельности и организационной формы. Сопоставляя эти точки зрения, И. В. Харитонова пришла к выводу, что неоднозначность в толковании понятия самостоятельной работы у разных исследователей объясняется тем, что они исходят из разных групп признаков, определяющих ее сущность: организационных, дидактических, физиологических и др. Объясняется это тем, что самостоятельная работа является предметом дидактики, психологии, методики и т. д. В контексте методики обучения математике самостоятельная работа есть многогранное явление обучения, обладающее следующими признаками: 1) быть одной из форм проявления методов обучения; 2) являться одним из видов деятельности; 3) быть средством обучения; 4) являться одной из форм организации познавательной деятельности; 5) быть самостоятельной деятельностью учения. Такое представление самостоятельной работы позволяет рассмотреть различные аспекты ее функционирования в учебном процессе. Так, если с точки зрения деятельностного подхода самостоятельная работа выступает в качестве самостоятельной деятельности учения и является одним из видов деятельности, то в организации учебного процесса она может выступать как метод, средство или форма обучения. Каждый из признаков самостоятельной работы, взятый отдельно от других, имеет лишь определенное назначение. Поэтому для понимания сущности самостоятельной работы следует учитывать все ее аспекты.

Различные трактовки самостоятельной работы обусловливают наличие в учебной литературе различных классификаций самостоятельных работ. Они отличаются: 1) по дидактическим целям; 2) по уровню самостоятельности учащихся; 3) по степени индивидуализации; 4) по источнику и методу приобретения знаний; 5) по форме выполнения; 6) по месту выполнения. Наиболее распространенной является классификация самостоятельных работ, учитывающая динамику познавательной деятельности учащихся: 1) по образцу; 2) реконструктивные; 3) частично поисковые; 4) творческие (П. И. Пидкасистый).

И. В. Харитонова, учитывая специфику математических знаний (высокий уровень абстракции, дедуктивность доказательств, обобщенность, алгоритмичность и т. д.), особенности их формирования, концепцию самостоятельной работы, предлагает следующую совокупность типов самостоятельных работ при обучении математике: 1) алгоритмический; 2) с указанием способа выполнения; 3) распознавание; 4) обобщение; 5) творчество. Очевидно, что данная типизация учитывает и дифференциацию усвоения математических знаний. В работе первого типа ученик получает задание с абсолютно точными предписаниями всех шагов, которые ему надлежит выполнить; второй тип содержит указания, определяющие основное направление работы; третий тип предполагает распознавание объектов, принадлежащих понятию, и ситуаций, удовлетворяющих теореме; самостоятельные работы четвертого типа ориентированы на умение выделять свойства объекта, проводить анализ их связей и отношений, обобщать, проводить реконструкцию учебного материала, и, наконец, для самостоя-

тельной работы пятого типа предусматривается использование творческих заданий, в которых осуществляется неалгоритмический поиск решения задачи, составление задач и т. д. (см.: Харитонова И. В. Самостоятельные работы по теме «Неопределенный интеграл»//Математика в школе. — 1996. — № 2. — С. 34—36).

Предпринимаются попытки индивидуализировать самостоятельные работы, т. е. ориентировать их на индивидуальные особенности учащихся. Так, Т. М. Мамунова, исходя из характера учебной деятельности, выделяет три типа заданий для самостоятельной работы: 1) учебные задания, опосредующие учебную информацию; 2) учебные задания, направляющие работу ученика с учебным материалом; 3) учебные задания, требующие от ученика творческой деятельности. Замечу, что данная типология недостаточно мотивирована: очевидно, что выполнение заданий первых двух типов может основываться на творческой деятельности, а задания третьего типа могут быть осуществлены на материале учебника. Далее, автор этой типологии предлагает в каждом из указанных типов заданий предусмотреть еще четыре вида, учитывающие уровни: а) сформированности знаний, умений и навыков; б) развития индивидуальных особенностей; в) сформированности общеучебных умений; г) сформированности познавательных интересов учащихся. Таким образом, рассмотренная типология самостоятельных работ обусловливает в каждой из трех их групп наличие, как минимум, четырех вариантов самостоятельных работ. Надо сказать, что если ранее в дидактических материалах приводили три варианта, то теперь число вариантов значительно возросло. Объясняется это тем, что разброс скоростей усвоения математического материала различными учащимися намного больше, чем по другим предметам, а потому ориентировка на среднего ученика в обучении математике приводит к низким результатам. Учителя учитывают это обстоятельство и стараются максимально индивидуализировать работу учащихся с помощью карточек. Однако наблюдения показывают, что в классе обычно присутствует 6—8 однородных групп учащихся со сходными индивидуальными особенностями в каждой группе. Следовательно, вариантов самостоятельных работ для класса должно быть 6—8. Каждой группе учащихся примерно с одинаковым «показателем» усвоения материала предъявляется свой вариант. Но в таком случае возникают трудности с проверкой самостоятельных работ, выражающиеся в том, что для проверки пяти-шести вариантов самостоятельной работы, если они различны, требуется много времени, да и обсуждение результатов выполнения каждого варианта интересно лишь для соответствующей группы школьников, остальные учащиеся не могут принять участие в обсуждении, так как они незнакомы с заданиями.

Поэтому более эффективны самостоятельные работы с единой основой, которая в зависимости от уровня подготовки учащихся корректируется с помощью наборов указаний к выполнению предложенного задания. При подборе заданий можно исходить из трех уровней усвоения знаний, умений и навыков: первый состоит в осознании информации и ее запоминании; второй представляет усвоение

способов применения знаний по образцу, включая легко опознаваемые вариации этого образца, применение знаний в знакомой ситуации; третий заключается в готовности обучающегося творчески применять усвоенную информацию в новой, незнакомой ему ситуации. Эти уровни усвоения знаний, которых необходимо добиться при изучении того или иного материала на определенном этапе, должны определять подбор задач для самостоятельных работ. Корректировка заданий позволяет расширить диапазон этих базовых уровней усвоения знаний и умений до, например, уровней, характеризующих типологию И. В. Харитоновой. Приведем примеры многовариативных самостоятельных работ.

Признаки равенства треугольников

Вариант I

Отрезки AB и CD не лежат на одной прямой и имеют общую середину О. Докажите равенство треугольников AOD и ВОС.

Вариант II

Отрезки AB и CD не лежат на одной прямой и имеют общую середину О. Докажите равенство отрезков AD и СВ.

Вариант III

Отрезки AB и CD не лежат на одной прямой и имеют общую середину О. Выделите соответственно равные элементы в треугольниках AOD и ВОС.

Вариант IV

Отрезки AB и CD не лежат на одной прямой и имеют общую середину О. Пусть M и N — середины отрезков ВС и AD. Докажите, что OM = ON.

Вариант V

Отрезки AB и CD не лежат на одной прямой и имеют общую середину О. Пусть M и N — середины отрезков ВС и AD. Докажите, что OM = ON.

Указание. 1. Докажите равенство треугольников AOD и ВОС. 2. Докажите равенство треугольников СОМ и DON.

Вариант VI

Отрезки AB и CD не лежат на одной прямой и имеют общую середину О. Пусть M и N — середины отрезков ВС и AD. Докажите, что ОМ = ON.

Указание. 1. Отметьте на рисунке равные элементы. 2. Докажите равенство углов AOD и СОВ; равенство треугольников AOD и ВОС; равенство отрезков ВМ и AN; равенство углов OAD и ОВС; равенство треугольников AON и ВОМ.

Варианты I—VI реализуются с помощью карточек. Все карточки вариантов V—VI имеют указания, а в карточках вариантов I—III их нет.

Упражнения вариантов I—III имеют одно и то же условие. Для их выполнения нужен примерно один и тот же круг знаний, умений и навыков. Но требования этих упражнений неодинаковы; для вариантов I—II это часть требования упражнений варианта III. В связи с этим увеличивается число логических шагов, приводящих к выполнению упражнения, меняется степень актуализации знаний, используемых при его выполнении. В задачах вариантов IV—VI изменено условие (добавлены данные) по сравнению с условиями задач вариантов I—III, их требования, по существу, включают в себя требования задач вариантов I—III. Упражнения вариантов I—III предназначены для проверки знаний на первом и втором уровнях их усвоения. При этом метод доказательства, основной круг понятий, необходимых для выполнения упражнения, остаются неизменными, последовательность рассуждений удлиняется.

Проверке знаний, соответствующих третьему уровню усвоения, способствуют упражнения вариантов IV—VI, выполнение которых требует от учащихся глубокого осознания изучаемых понятий и методов решения, свободного оперирования полученными знаниями, умения применять их в новой ситуации, более высокой степени актуализации знаний. Проверка знаний и умений, соответствующая наиболее высокому уровню усвоения, может быть осуществлена только для наиболее успевающих учеников. Многовариативность самостоятельной работы можно обеспечить также путем использования специальных карточек с имеющимися в них пропусками. Организация работы с ними, технология их изготовления описаны в главе IV.

Рассмотрим вариант самостоятельной работы, предложенной авторами методических рекомендаций к курсу алгебры VI—VIII классов (М.: Просвещение, 1986):

1. Упростите выражение

2. Докажите тождество

Приведем несколько вариантов рекомендаций по выполнению первого упражнения.

Вариант I

1) Преобразуйте по формулам приведения множители произведения, находящегося в числителе дроби.

2) Разложите числитель дроби на множители.

3) Разложите знаменатель дроби на множители.

4) Выполните сокращение дроби.

5) Выполните преобразование суммы функций, находящихся в знаменателе дроби, в произведение.

Вариант II

1) Разложите числитель дроби на множители, используя формулы приведения.

2) Разложите знаменатель на множители и выполните сокращение дроби.

3) Выполните преобразование суммы функций в произведение.

Приведем несколько вариантов рекомендаций по выполнению упражнения 2 самостоятельной работы.

Вариант I

1) Представьте cos 4α и sin 4α через cos 2α и sin 2α.

2) Преобразуйте ctg α—tg α через sin α и cos α.

3) Воспользуйтесь основным тригонометрическим тождеством.

Вариант II

1) Используя основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса двойного аргумента, преобразуйте левую часть равенства.

2) Используя определение синуса и косинуса и формулу синуса двойного угла, преобразуйте правую часть равенства.

Вариант III

Используя основное тригонометрическое тождество, формулы синуса и косинуса двойного аргумента, приведите левую и правую части равенства к виду 2 cos2 2α.

Вариант IV

Заполните пропуски и выполните дальнейшие преобразования:

Совокупность полученных вариантов вполне обеспечит индивидуализацию выполнения учащимися данной самостоятельной работы и коллективное обсуждение ее результатов.

4. Нестандартные уроки математики

В последнее время в практике обучения распространены такие уроки, как урок-лекция, урок-практикум, урок-семинар, урок-зачет, урок-консультация, урок-соревнование, театрализованный урок, урок одной задачи, урок-бенефис и т. д. Структура этих уроков отличается от структуры классических типов уроков, рассмотренных выше, поэтому их и называют нестандартными уроками. Некоторые из них, например театрализованный урок, мало напоминают обычный урок. Еще более это относится к таким формам обучения, как мастерская; эффективна форма учебной работы, представляющая пару «урок — внеклассное мероприятие». Расширяющийся список уроков является результатом активного, творческого поиска учителей таких форм обучения, которые

соответствовали бы требованиям к выпускникам школ, тенденциям развития математического образования, новым образовательным идеям и максимально способствовали бы развитию способностей ученика, его личностных качеств, самостоятельности мышления и т. д. Рассмотрим некоторые из уроков.

Урок-лекция. В старших классах резко возрастает объем учебного материала, подлежащего изучению, значительно удлиняются цепочки логических рассуждений, что предполагает изложение материала крупными блоками, а это трудно реализовать в рамках урока усвоения новых знаний. К тому же в старших классах активизируется необходимость воспитания у учащихся способности к самостоятельному получению знаний, к работе с книгой (учебником, справочником, различными пособиями для учащихся, задачником). Реализовать сказанное возможно на уроке-лекции. Такие уроки будут готовить ученика и к учебе в вузе, где лекция занимает значительное место среди различных форм обучения студентов. Эффективность использования лекционного способа изложения учебного материала в школе доказана многими учителями, в частности учителем математики В. Ф. Шаталовым.

Опыт высшей школы показывает, что усвоение взаимосвязанного материала более успешно при его изложении крупными порциями (блоками), позволяющими установить различные отношения нового понятия с известными. При этом автоматически происходит выделение основного и второстепенного в изучаемом материале. Резко возрастающий объем материала, подлежащий усвоению, компенсируется увеличением времени на решение задач по данному материалу. При таком подходе несколько удлиняется период усвоения новых понятий и фактов, но усвоение их вполне сознательное, разностороннее и активное.

Ясно, что лекция в школе не должна быть полной копией соответствующей формы изложения учебного материала в вузе. Необходимо учитывать возрастные особенности учащихся и значительно более неоднородный состав учащихся в школе по сравнению с вузом. С учетом разной способности учеников к усвоению новой информации лекция учителя должна сопровождаться необходимым повторением узловых моментов рассуждения. Лекция в школе должна быть более короткой и чередоваться в отдельных случаях с другими формами учебной работы. Объяснение учителя должно опираться на известные учащимся факты (изучение нового в форме повторения и развития или уточнения известного); на аналогию; на моделирование новых понятий и отношений; на четкую постановку проблемы и «прозрачную» идею ее решения. Объяснение учителя должно сопровождаться контрольными вопросами к классу, но в минимально необходимом объеме, не нарушающем логику рассуждений. Промежутки времени между изучением теоретических фактов и их приложением в школе должны быть значительно меньше, чем в вузе. Контроль за усвоением знаний должен быть более частым и разнообразным по форме, опираться на индивидуальные и коллективные формы работы учащихся.

Урок-практикум. На уроках этого типа осуществляется работа по закреплению теоретического материала, изложенного на лекции. На

уроках-практикумах проводится работа по формированию умений и навыков решения основных типов задач, опорных задач темы, оформлению решений. Учащиеся овладевают эвристическими приемами, адекватными применению знаний и умений в различных конкретных ситуациях. При отборе задач учитель предусматривает необходимость усвоения внутрипредметных связей изучаемого материала. На таких уроках имеется хорошая возможность использования групповых форм учебной работы, приобщения в качестве консультантов групп учащихся. Уроки-практикумы в большей мере, чем уроки формирования умений и навыков, позволяют осуществлять дифференциацию в обучении, учитывать интересы и возможности школьников, приобщать их к творческой деятельности. Одним из средств реализации этих возможностей урока-практикума являются многовариативные самостоятельные работы, которые позволяют дифференцированно включать учащихся в творческий процесс и привлекать их к обсуждению результатов выполнения задания. Как уже было сказано, уроки-практикумы предоставляют возможность обстоятельно рассмотреть совокупность опорных задач, привлечь учащихся не только к их решению, но и выделению. Такие уроки следует использовать и для формирования умения составлять задачи, используя для этого различные приемы. Если уроки формирования умений и навыков в большей мере соотносятся с уровнем обязательных результатов, то уроки-практикумы — с уровнем возможностей школьников.

Урок-семинар. Семинары служат для формирования и развития навыков самообразования, приобщения школьников к самостоятельной работе, выработке умений формулировать гипотезы, анализировать литературу, аргументировать суждения и, наконец, выступать перед аудиторией, отвечать на вопросы своих товарищей. Уроки-семинары организуют для углубления и систематизации знаний, их обобщения. К таким урокам следует тщательно готовиться и учителю, и ученикам, подготовка к ним должна занимать не менее двух недель. Доклады учеников могут касаться не только теоретических вопросов, но и подборки задач, их составления, обсуждения различных способов решения задачи. Доклад может соотноситься не только с отдельным учеником, к его подготовке можно привлекать и группу школьников, причем с различным распределением функций. Последнее может проявляться в коллективной работе над докладом либо в выполнении каждым учеником группы индивидуального задания. Такие уроки эффективны на заключительном этапе изучения темы, целью которого является систематизация знаний, умений, способов решения задач, эвристик, обучение учащихся применению их в нестандартных ситуациях, знакомство учащихся с историей развития математики.

Урок-зачет. Как было отмечено выше, для определения уровня овладения учащимися умением самостоятельно применять знания в стандартных условиях чаще всего используются уроки проверки и коррекции знаний и умений. Однако важно знание уровня умения каждого учащегося выполнять все основные задания по изученной теме, соответствующие уровню обязательной математической подготовки.

Диагностика этого умения осуществляется на уроках-зачетах. Итак, основная цель урока-зачета заключается в том, чтобы выяснить, соответствуют ли знания и умения каждого школьника по изученной теме уровню обязательных результатов. Обычно учителя перед проведением таких уроков заранее сообщают круг теоретических и практических вопросов, выносимых на зачет, что позволяет ученикам ответственно подготовиться к уроку.

На практике используются различные формы зачета: учащиеся отчитываются о проделанной работе перед учителем; ученики контролируют друг друга (взаимозачет); зачет группы учащихся принимает консультант, назначенный учителем из числа специально подготовленных учеников. Сдающие зачет учащиеся выполняют задания на отдельных листках, которые консультантом сдаются учителю. Ясно, что при подборе консультантов следует учитывать не только уровень их математической подготовки, но и личностные качества (ответственность, тактичность, принципиальность, справедливость). Учителя используют и разные виды зачета: устный зачет без предварительной подготовки к ответу, теоретико-практический зачет с ответами на теоретические вопросы и решением задач, творческий зачет. Ответы учащихся могут быть даны как в письменной, так и в устной форме.

Для диагностики умения решать задачи по теме используется зачет в несколько этапов. Первый этап служит для оценки умения решать элементарные задачи по теме, на втором этапе диагностируется умение использовать блоки элементарных задач для решения опорных задач по теме, третий этап подводит итог в оценке способности школьника применять в различных ситуациях совокупность умений, приобретенных в процессе решения опорных задач.

Математические задачи, особенно геометрические, решаются различными способами, выявить и оценить которые на любом из разобранных типов уроков невозможно. Для этих целей используются уроки одной задачи. Ясно, что для уроков данного вида подходит не любая задача, а только такая, решение которой может быть выполнено различными способами (векторным, методом геометрических преобразований, алгебраическим, традиционно геометрическим и т. д.). Опорой в поисках способов решения задачи должны стать различные эвристики. Задачная ситуация должна позволять на ее основе широко использовать методы научного познания для составления новых задач. Такие задачи рассматривались нами в главе VII.

Урок-бенефис. Это уроки, на которых учащиеся выступают с результатами собственных самостоятельных исследований. Такие уроки обладают высоким стимулирующим воздействием на учащихся. Чувство ответственности, огромное желание оправдать надежды учителя, поднять свой авторитет среди товарищей мобилизуют мыслительные способности ученика. Ученик знает, что от него ждут изящного решения задачи, а отыскать его можно только в результате большой работы. Такая работа зачастую приносит ученику радость, «окрыляет» его. Знания, приобретенные при высоком эмоциональном настрое, надолго остаются в памяти.

Уроки-бенефисы проводятся в форме отчета о решении задачи. Поэтому для «бенефисной» задачи желательна нестандартная формулировка, наличие нескольких способов ее решения и среди них — изящного способа. К таким задачам можно отнести следующую задачу: «На гипотенузе АС прямоугольного треугольника ABC вне его построен квадрат ACDЕ. Докажите, что луч ВО является биссектрисой угла В (О — точка пересечения диагоналей квадрата)». Самое изящное ее решение получим при использовании поворота вокруг точки О на 90°, переводящего точку А в точку С, и признака биссектрисы угла.

В практике обучения математике появился новый способ организации деятельности учащихся под названием мастерская [14]. Мастерская состоит из ряда заданий, которые направляют работу учащихся в нужное русло, но внутри каждого задания школьники свободны. Важным признаком мастерской является необходимость выбора учеником пути исследования, средств для достижения цели, темпа работы и т. д. Мастерская начинается с выявления знаний каждого ученика по данному вопросу, затем эти знания обогащаются знаниями соседа по парте. На следующем этапе знания корректируются в разговоре с учащимися, сидящими за другой партой, и только после этого точка зрения группы объявляется классу. Знания еще не раз корректируются в результате сопоставления своей позиции с позицией других групп. В частности, теперь свою позицию может высказать учитель.

В качестве примера приведем из книги А. А. Окунева мастерскую по теме «Параллелограмм».

Работа идет в парах:

I. Напишите план изучения этой темы, перечислите все, что вы хотели бы узнать о параллелограмме.

II. Разговор в четверках, обмен соображениями.

III. Слушаем четверки. Учитель пишет общий план на доске, корректируя по ходу обсуждения порядок изучения вопросов. (Определение. Свойства. Признаки. Площадь.)

IV. На отдельном листке, работая в четверках, можно исследовать любые из этих вопросов. На эту работу дается около 20 мин. Затем каждая группа получает место на доске или пишет фломастером на большом листе все, что она сумела сделать.

V. Защита четверками результатов своих исследований.

VI. На дом задается § 4. Из него ребята должны получить всю информацию, которую не могли добыть сами.

В мастерской акцентируется внимание учащихся на некоторых вопросах, например: можно ли вычислить площадь параллелограмма по формуле площади трапеции? Воспроизведите формулу, по которой можно вычислить площади треугольника, трапеции и параллелограмма.

В названной книге приведен и другой вариант мастерской по этой же теме.

5. Индивидуализация и дифференциация в обучении математике

По мнению исследователей, феномен дифференциации возник во Франции в 1852 г. (П. Руднев), однако Н. К. Гончаров утверждает, что он появился значительно раньше. В России попытка дифференциации была предпринята в 1864 г. В то время это явление обозначалось термином «фуркация» и означало разделение учебных планов в старших классах по циклам знаний. В «Педагогической энциклопедии» (1964) приведено следующее пояснение: «Дифференцированное обучение применительно к образовательной школе представляет собой разделение учебных классов и профилей средней школы» (1964. — Т. 1. — С. 760). Цели дифференциации были направлены на: 1) выбор учащимися профессии в соответствии с их склонностями и интересами; 2) удовлетворение интереса учащихся к определенному циклу предметов; 3) повышение эффективности учебно-воспитательного процесса в школе; 4) подготовку к продолжению образования в высшей школе.

В 1963 г. при университетах открываются специальные школы — интернаты физико-математического профиля, а в 1966 г. в средних школах вводятся факультативные занятия с целью углубления знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, развития разносторонних интересов и способностей учащихся. В последнее время появились школы разного типа: лицеи, колледжи, гимназии, частные школы. Значительно шире стал спектр профилей школ: физико-математический, гуманитарный, технический, педагогический, экологический и т. д. Многообразие профилей и типов школ, естественно, ведет к изменению целей дифференциации. В концепции развития школьного математического образования сказано: «Дифференциация способствует более полному учету индивидуальных запросов учащихся, развитию их интересов и способностей, достижению целей образования. В условиях дифференцированного обучения ученик реализует право выбора предмета или уровня обучения в соответствии со своими склонностями: известная однородность интересов и уровня подготовленности учащихся облегчает и делает более эффективной работу учителя». В настоящее время широкое распространение получила уровневая дифференциация, которую связывают с планированием обязательных результатов обучения.

Итак, в методике обучения математике основную цель дифференциации видят в развитии личности ученика с учетом его индивидуальных особенностей. Такая широкая трактовка понятия дифференциации охватывает понятие индивидуализации, которое трактуется как такая организация учебного процесса, при которой выбор способов, приемов, темпа обучения учитывает индивидуальные различия учащихся, уровень развития их способностей к учению.

Надо сказать, что существуют разные точки зрения на содержание понятий дифференциации и индивидуализации и на отношение между ними. Так, одни соотносят дифференциацию с образованием, а индивидуализацию с обучением, другие дифференциацию рассматривают

как одну из форм индивидуализации. Ряд авторов понятие дифференциации подчиняют понятию индивидуализации, другие полагают, что индивидуализация — частный случай дифференциации. Мы не будем анализировать все эти трактовки, поскольку это занятие имеет чисто научное значение и не отражается в учебном пособии по методике преподавания математики. Читателю, проявившему интерес к проблеме соотношения между дифференциацией и индивидуализацией, рекомендуем обратиться к книге: Утеева Р. А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе. — М.: Прометей, 1997.

Эффективность дифференциации (индивидуализации) в обучении зависит от того, насколько удачно сформированы типологические группы школьников. Последнее понимается в контексте адекватности оснований деления на группы по математическим способностям. Заметим, что в дидактическо-методической литературе предлагается более 20 критериев деления учащихся на группы. Так, Е. С. Рабунский предлагает объединять учащихся в группы по успеваемости, устойчивости интереса и уровню познавательной самостоятельности. А. А. Кирсанов исходит из устойчивости восприятия, уровня развития памяти, соотношения наглядно-образного и словесно-логического компонентов мышления, уровня выполнения мыслительных операций. И. Э. Унт предлагает в качестве критериев деления обученность, обучаемость, умение самостоятельно работать, умение читать текст с пониманием и нужной скоростью, специальные способности, познавательные интересы, отношение к труду. Х. И. Лийметс называет следующие признаки: успеваемость по предмету, темп работы, информированность по предмету, способности, взаимоотношения учащихся. А. З. Макоев, Р. А. Утеева делят учащихся на группы, исходя из фактического уровня знаний и умений по разделу, теме, курсу. В. Ф. Чучуков в качестве основных параметров деления предлагает уровень знаний, умений, навыков; уровень развития способностей; уровень работоспособности.

В практике обучения дифференциация реализуется в основном посредством специальных дифференцированных заданий. Примеры таких заданий можно найти в методических рекомендациях для учителя. К таким заданиям можно отнести и многовариативные самостоятельные работы, рассмотренные в предыдущем параграфе, а также задания с использованием специальных карточек (см. гл. IV).

Одним из важных факторов организации учебной деятельности являются взаимоотношения между учащимися и учителем, между самими учащимися, которые определяют формы организации учебной деятельности. Выделяют отношения следующих видов: 1) учитель — ученик — класс; 2) учитель — класс — ученик; 3) учитель — группа — ученик; 4) учитель — ученик. В свою очередь, указанные виды отношений реализуются в следующих формах организации учебной работы школьников: фронтальной, коллективной, групповой, индивидуальной. Специальные исследования (Р. А. Утеева, Р. А. Хабиб и др.) показали, что эффективно использование на уроке комбинаций нескольких форм.

Так, на этапе изучения нового материала школьного курса мате-

матики эффективна взаимосвязь форм групповой и фронтальной, или групповой и коллективной, или индивидуальной и фронтальной, или индивидуальной и коллективной. Способ организации, в основе которого лежит взаимосвязь групповой и фронтальной форм, заключается в следующем: новый материал изучается учащимися коллективно в типологических группах, каждая из которых работает по своим заданиям; затем учитель организует совместную деятельность учащихся всех групп. Смысл композиции, например, индивидуальной и коллективной форм заключается в том, что учитель посредством заданий обеспечивает переход от индивидуальной к коллективной деятельности. Очевидно, что это можно осуществить посредством многовариативных самостоятельных работ, переходя от их индивидуального выполнения к коллективному обсуждению, либо заданий с карточками.

На этапе закрепления знаний и формирования умений целесообразно использование: а) взаимосвязей: Ф→И, Ф→Г, Г→И, И→Г, если изучается определение понятия и его применение к решению задач; б) Ф → Г→И, Г→И, К→Г, если изучаются теоремы, их доказательства, применения к решению задач; в) Ф→Г→И, Г→И, Ф→И, если изучаются приемы и способы решения задач.

На этапе проверки знаний и умений эффективны взаимосвязи вида Г→Ф или И→Ф. Например, взаимосвязь Г→Ф обусловливает выполнение каждой группой своих заданий с последующим фронтальным обсуждением результатов: анализом ошибок, показом рациональных способов решения задач.

Остановимся еще на одном подходе к реализации дифференциации обучения математике. При этом подходе исходят из структуры личности. Основаниями образования групп служат уровни сформированности мотивационного, операционально-действенного и волевого компонентов личности. Выделяют две группы мотивов: M1 — социальные мотивы, связанные с социальными взаимодействиями обучаемого с другими людьми; M2 — познавательные мотивы, связанные с содержанием курса математики и процессом его изучения. Операционально-действенный компонент будем характеризовать тремя уровнями: C1 — ученик знает основные теоремы и определения курса математики, умеет решать стандартные задачи, но допускает нарушение логической последовательности изложения, испытывает затруднения при решении нестандартных задач; C2 — ученик правильно применяет теоремы, не допускает существенных неточностей при формулировке теорем и определений, но его изложение неполное; C3 — ученик четко формулирует определения понятий и теоремы, не испытывает затруднений в доказательстве теорем и решении задач. В формировании волевого компонента зафиксируем следующие уровни: B1 — волевые усилия ученика проявляются слабо, т. е. ученик не стремится довести работу до конца, при первых затруднениях отказывается от выполнения задания; B2 — волевые усилия ученика проявляются в большинстве случаев, например, на занятиях работает напряженно, стремится довести работу до конца, но при серьезных затруднениях отступает; B3 — волевые усилия проявляются во всех видах учебно-по-

знавательной деятельности. Состояние личности ученика можно характеризовать объектом < MiCjBk > , где i = 1, 2; у = 1, 2, 3; k = l, 2, 3. Например, объект < M1C2B1 > соответствует такому состоянию личности: мотивационный компонент развит слабо, волевые проявления слабые, однако ученик способен при этом выполнять частично творческую деятельность.

Указанными объектами можно характеризовать развитие ученика. Наиболее низкому уровню развития соответствует объект < M1C1B1 > , характеризующий личность, все три компонента которой находятся на самых низких уровнях, а самому высокому — объект < M2C3B3 > , символизирующий устойчивые познавательные мотивы, волевые проявления и способность к творческой деятельности. Каждый ученик в зависимости от уровня мотивов, волевых усилий и уровня владения учебным материалом может продвигаться от самого элементарного состояния до самого сложного своим путем. Очевидно, можно выделить три направления в формировании личности: 1) в ситуации лидирующего изменения мотивационного компонента; 2) в ситуации лидирующего изменения содержательно-операционного компонента; 3) в ситуации лидирующего изменения эмоционально-волевого компонента. Первое направление реализуется по схеме: M1C1B1→M2C1B1→M2C2ВХ→M2C2B2→ M2C3B2→ M2C3B3, второе представляет следующую цепочку: M1C1B1 →МХC2ВХ →M1C3B1 →M2C3B1 →M2C3B2→M2C3B3, направленность развития личности в последней ситуации представляется схемой: M1C1B1→M1C1B2→M1C2B2 → M1C3B2→M2C3B2→M2C3B3. В главах II и III были рассмотрены условия упрочения мотивации в процессах работы с теоремой и формирования понятий. Используя тему «Векторы», приведем несколько задач, соответствующих каждому из рассмотренных направлений:

1. 1. Укажите на рисунке (рисунок дан) коллинеарные векторы.

2. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изображающие полет самолета сначала на 300 км на юг от города А до В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начертите вектор АС, который изображает перемещение из начальной точки полета в конечную.

3. Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и неколлинеарные; б) имеющие равные длины и противоположно направленные. В каком случае полученные векторы равны?

4. Верно ли утверждение: а) если а = b, то а||b; б) а—b, то а и b коллинеарны; в) если а—b, то а|[b; г) если а||b, то а = b?

II. 1. Начертите векторы AB, CD и EF так, чтобы AB, CD и EF были коллинеарны и |АВ| = 1 см, |CD| = 4,5 см.

2. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О.

Равны ли векторы: a) AB и DC; б) ВС и DA; в) АО и ОС; г) AC и BD?

3. Определите вид четырехугольника ABCD, если AB = DC и |АВ| = |BC|.

III. 1. Какие из следующих величин являются векторными: скорость, масса, сила, время, температура, длина, площадь, работа?

2. Начертите ненулевой вектор а и отметьте на плоскости точки А, В, С. Отложите от этих точек векторы, равные а.

3. Пользуясь параллелограммом, построенным на векторах а и b, проверьте справедливость равенств:

6. Внеклассная работа по математике

Под внеклассной работой понимают необязательные систематические занятия с учащимися во внеурочное время. Различают два вида внеклассной работы по математике: работа с учащимися, для которых усвоение программного материала вызывает существенные трудности; работа с учащимися, проявляющими повышенный интерес к изучению математики.

Первый вид внеклассной работы имеет место в каждой школе и реализуется в зависимости от конкретных ситуаций. Второе направление внеклассной работы преследует основную цель, которая заключается в развитии способностей школьников и их интереса к изучению математики и ее приложений. Кроме этого, внеклассная работа призвана способствовать углублению математических знаний, умений и навыков, усвоенных учащимися на уроках, формировать познавательную самостоятельность учащихся и приобщать их к творческой деятельности, выявлять учащихся с повышенными математическими способностями.

Предлагаются различные классификации форм внеклассной работы. По количественному признаку формы делятся на групповые, массовые, индивидуальные; по функции выделяют познавательные и соревновательные формы; на основе временного признака формы внеклассной работы по математике подразделяются на константные и темпоральные.

Нашей школой накоплен богатый опыт в организации внеклассной работы по математике. Широкое распространение получили такие формы внеклассной работы, как математический кружок, олимпиада, математический бой, математический вечер и т. д. По аналогии с систематизацией основных типов уроков, результатом которой являются блоки уроков, можно говорить о блоках форм внеклассной работы по математике. В первый блок отнесем константные формы: математический кружок, школа юного математика, творческая группа, научное математическое общество школьников. Вторую группу образуют темпоральные, т. е. приуроченные к определенному времени (предметной декаде, концу четверти, полугодия и т. п.), формы: математический вечер, математическая олимпиада, математический бой, математическая конференция, математический КВН. Все другие формы внеклассной работы по математике относятся к одному из указанных блоков либо являются комбинацией структурных компонентов форм блоков. К последним можно отнести познавательные и соревновательные формы внеклассной работы по математике.

Наиболее распространенной формой внеклассной работы по математике является кружок. В его основе лежит принцип добровольности. Содержание кружковых занятий определяет учитель. Считают, что в V—VI классах основным в работе кружка является развитие мышления и формирование первоначального интереса к математике, а в VII—XI классах — углубление знаний по математике и развитие мышления школьников.

Однако при определении содержания кружковых занятий следует иметь в виду следующие факторы. Учебными стандартами предусмотрено снижение часов на изучение математики. В то же время гуманитаризация математического образования предполагает приобщение учащихся к творческой деятельности, овладение ими системой знаний, умений и навыков, дающей представление о предмете математики, ее методах, способах рассуждений. Реализовать это крайне сложно в условиях снижения урочных часов. Разрешить указанное противоречие непросто даже в рамках нестандартных уроков.

В данной ситуации наиболее адекватной ей формой обучения математике является пара «урок — внеклассное мероприятие». Эффективность этой пары обусловлена и особенностями математического знания (обобщение, конкретизация, систематизация, аналогия). Форма обучения математике, являющаяся композицией урока и кружка, позволяет продолжить изучение учебного материала, начатое на уроке, на занятиях математического кружка. В частности, указанная форма позволяет реализовать все функции заключительного этапа решения математической задачи, особенно в части составления на основе заданной задачной ситуации задач-обобщений, задач-аналогов, блоков родственных задач и т. д. Заметим, что реализовать все функции заключительного этапа работы с задачей в условиях урочной формы обучения затруднительно даже на уроке решения одной задачи.

Использование пары «урок — внеклассное мероприятие» позволяет включать каждого ученика в учебную деятельность в соответствии с его психологическими особенностями, математическими способностями и желаниями. Данная форма обучения математике хорошо согласуется и с идеей уровневой дифференциации, давая возможность ученику выбирать в изучении материала либо уровень обязательных результатов, либо продвинутый. Примеры работы с задачей, которая может быть начата на уроке и продолжена на занятии кружка, даны в главах V и VII.

Идея взаимосвязи содержания урока и внеклассного мероприятия может быть перенесена на организацию факультативных занятий. Содержание факультатива должно исходить из содержания основного, программного материала, продолжать его посредством использования обобщения, конкретизации, аналогии, что позволит учащимся принимать участие в организации содержания факультативного курса. Примером такого факультатива может служить курс по изучению элементов четырехмерного пространства, объекты которого конструируются с помощью аналогии и обобщения из объектов трехмерного пространства.

Итак, внеклассная работа по математике, являясь естественным продолжением урока, решает свои задачи на наиболее трудных тема-

тических блоках Обязательного минимума содержания математического образования в средней школе. Определение круга математических тем, реализация которых предполагается в различных формах внеклассной работы, осуществляется посредством анализа возможностей учебного материала для использования во внеклассной работе и диагностировании усвоения учащимися конкретной темы.

Например, изучение признаков равенства треугольников, начатое на уроках, можно продолжить на кружковых занятиях, рассмотрев нестандартные признаки: а) по стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других сторон; б) по стороне, сумме двух других сторон и углу, противолежащему одной из них; в) по двум сторонам и разности противолежащих им углов и т. д. В контексте сказанного рекомендуем книги В. В. Прасолова «Задачи по планиметрии» (Ч. I, II. — М.: Наука, 1991). Много интересного и полезного содержится в книгах: Шарыгин И. Ф. Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. общеобразовательных учреждений.—М.: Просвещение, 1994; Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред, шк.—М.: Просвещение, 1991.

Вопросы и задания

1. Охарактеризуйте динамику развития представления о функциях и структуре урока.

2. Раскройте содержание требований к уроку математики. Проследите их выполнение учителями математики при проведении конкретных уроков.

3. Охарактеризуйте типологии уроков математики и их блоков.

4. Выясните, какие из уроков математики наиболее распространены в основной школе, в классах естественно-математического, гуманитарного профиля. Посетите уроки и выполните их анализ.

5. Охарактеризуйте содержание схемы тематического планирования. Выполните планирование изучения выбранной вами темы.

6. Раскройте действия по отбору содержания урока. Выясните из бесед с учителями математики суть практической реализации процедуры отбора.

7. Проанализируйте различные формы написания конспекта урока и соотнесите их с конспектами уроков учителей математики.

8. Проведите наблюдение за тем, как учителя математики учитывают взаимосвязь между содержанием учебного материала и методами обучения на уроках. Просматриваются ли какие-либо закономерности этой взаимосвязи из ваших наблюдений?

9. Разработайте планы 2—3 уроков, используя образцы пособия.

10. Посетите несколько уроков математики и выполните их анализ в соответствии с данной в пособии схемой.

11. Изучается тема «Касательная к окружности». Готовясь к одному из уроков по указанной теме, учитель отобрал к уроку следующую задачу: «Из концов диаметра AB данной окружности проведены пер-

пендикуляры АА1 и ВВ1 к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру AВ. Докажите, что точка касания является серединой отрезка A1B1». Какова, по вашему мнению, цель этого урока? Разработайте план этого урока и методику работы с этой задачей. Если возможно, составьте задачи-обобщения, задачи-конкретизации, задачи-аналоги, а также задачи, в условиях которых используется результат решения данной задачи. Сопоставьте решение данной задачи со «шкалой» усвоения учебного материала (по Б. Блуму) и выясните, какой категории соответствует решение этой задачи.

12. Один учитель решил изучать теорему о вписанном угле путем объяснения, другой — рассмотреть с учащимися лишь один частный случай, другие же частные случаи должны изучить учащиеся самостоятельно, третий считает наиболее эффективным методом самостоятельное изучение теории по данному учащимся плану. Как вы оцениваете действия каждого из этих учителей и как бы вы поступили в этой ситуации сами? Как можно определить наиболее эффективный прием?

13. Один из учителей решил излагать тему «Прямоугольный треугольник» лекционным методом, другой — путем объяснения с привлечением учащихся к обоснованию признаков равенства прямоугольных треугольников, третий решил «подвести» учащихся к открытию признаков с последующим их самостоятельным изучением на уроке и дома. Какой из этих способов вы считаете наиболее удачным? А как бы поступили вы? Подтвердите свои выводы экспериментом.

14. Готовясь к уроку на тему «Понятие движения», учитель так сформулировал цель урока: «Сформировать понятие движения. Ознакомить учащихся с условиями задания движений». Первую часть урока занимает понятие отображения плоскости на себя. Учитель так сформулировал цель этой части урока: «Ознакомить учащихся с понятием отображения плоскости на себя. Ввести понятие движения». В качестве средства достижения этой цели он избрал многовариативную самостоятельную работу, результатом итогового обсуждения которой явится понятие отображения плоскости на себя и его характеристическое свойство. Далее учитель решил вновь предложить самостоятельную работу по вариантам с одной основной целью — ввести понятие движения и показать, что осевая и центральная симметрии — движения. Корректно ли сформулировал учитель цели урока и его первой части? Если нет, то как следует организовать эту часть урока? Дайте обоснование своим ответам.

15. Разработайте многовариативную самостоятельную работу по контролю за усвоением теоремы: «В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну».

16. Учитель, продумывая сценарий урока изучения нового материала, остановился на следующей схеме: урок начинается с проверки домашнего задания (10—15 минут), затем изучается новая тема. Другой учитель выбрал иную схему: новая тема излагается в начале урока, домашнее задание проверяется в процессе закрепления новой темы. Используя закономерность Эббингауса, объясните, какой сценарий урока более эффективен.

Третий учитель, проанализировав обе ситуации, остановился все-таки на первой схеме, но на предыдущем уроке задал такое домашнее задание, проверка которого позволяет ознакомить учащихся как с самой теоремой, так и со способом ее доказательства. Каково ваше мнение о действиях этого учителя? Можно ли однозначно дать ответы на поставленные в данном упражнении вопросы, не соотнося их с конкретным материалом? (При подготовке ответа воспользуйтесь и таким положением: по истечении 20—25 минут урока внимание учащихся значительно ослабевает.)

Теперь откройте учебник геометрии и отберите учебный материал, который целесообразно изучать по схеме: а) второго учителя; б) третьего учителя; в) первого учителя. Объясните свой выбор.

17. В статье Е. И. Саниной «Обобщающее повторение начал стереометрии» (Математика в школе. — 1993. — № 6) утверждается, что большинство школьников сводят повторение к многократному и однообразному чтению текста. Проведите наблюдение за работой учителей в организации повторения учащимися изученного материала. Выделите виды повторения, используемые учителями. Побеседуйте с учителями о том, подводят ли они под решение проблемы повторения какую-либо теоретическую базу, в частности используется ли учителями известная закономерность Эббингауса: забывание более интенсивно протекает сразу после изучения материала, а затем оно замедляется.

18. Рассмотрите следующие схемы изучения умножения положительных и отрицательных чисел:

1. 1. Решите задачу: «Температура воздуха изменяется в течение суток, причем каждые сутки на а градусов. Как изменится температура через b суток (по сравнению с настоящим моментом), если: а) а = 2, b = 3; б) а = -2, 6 = 3; в) а = 2, b = -3; г) а = -2, b = -3?»

1) Выясните смысл высказываемых в задаче предположений: температура воздуха изменилась на а градусов, если а равно 2; —2; температура воздуха меняется в течение b суток, если b равно 3; -3;

2) проведите решение задачи для случая а): «Как изменится температура воздуха через трое суток, если каждые сутки она повышается на 2°?»

Искомое изменение температуры получим, если 2 умножим на 3: 2⋅3 = 6. Так как остальные задачи аналогичные, то делается вывод, что они также должны решаться с помощью умножения;

3) сформулируйте задачу для случая в): «Как изменится температура воздуха через трое суток, если каждые сутки она понижается на 2°?» — и приведите ее решение: устанавливаем, что температура воздуха через трое суток понизится на 6°; это понижение обозначается числом — 6, и делается запись: (—2)⋅3 = —6;

4) сформулируйте и решите задачи для остальных случаев, сделайте соответствующие им записи: 2⋅(— 3) = — 6; (—2)⋅(—3) = 6.

2. Сформулируйте правило умножения положительных и отрицательных чисел в алгебраической форме.

3. Выполните упражнения с подробной фиксацией всех действий

в соответствии с алгоритмом умножения чисел. Примеры записей: (-3)⋅(-9) = |-3|⋅|-9| = 3⋅9 = 27; (-8)⋅1,1 = -(|8|⋅| 1,1|) = -(8⋅1,1) = -8,8.

4. Осуществите постепенный переход к сокращенным записям вычислений: (-3,2)⋅(-9) = 3,2⋅9 = 38,8; 1,2⋅(-0,3) = - 1,2⋅0,3 = -0,36 и т. д.

II. 1. Актуализация действия умножения положительных чисел и законов умножения; выполнение упражнений.

2. Иллюстрация законов умножения натуральных и положительных дробных чисел. Обобщение.

3. Сообщение учащимся о том, что при умножении рациональных чисел изученные законы будут верны, если будем руководствоваться определенными правилами.

4. Сообщение правил умножения положительных и отрицательных чисел; показ образцов записи выполнения упражнений на умножение рациональных чисел.

5. Выполнение упражнений.

Какая из приведенных двух схем наиболее педагогически и психологически обоснована? Как бы вы построили обсуждаемый урок?

19. Охарактеризуйте нестандартные уроки математики. Обоснуйте причины их эффективности в обучении математике.

20. Разработайте конкретные: а) урок-семинар; б) урок-зачет; в) урок одной задачи; г) урок-бенефис; д) урок-мастерскую. Аргументируйте целесообразность изучения выбранного вами учебного материала на уроке.

21. Объясните сущность понятий дифференциации и индивидуализации в обучении математике.

22. Охарактеризуйте дифференциацию обучения математике, исходящую из структуры личности.

23. Разработайте методику обучения какому-либо разделу курса алгебры (геометрии) в контексте дифференциации, основанной на сформированности мотивационного, операционально-действенного и волевого компонентов личности.

24. Во время фронтального опроса учащиеся по требованию учителя воспроизводят ряд определений, не сопровождая их соответствующими примерами и вне процесса решения задач. Выступают ли в такой ситуации процессы воспроизведения определений в роли стимулирующих звеньев? Нужен ли такой фронтальный опрос?

25. Охарактеризуйте формы взаимосвязи деятельности учителя и деятельности ученика на уроке и соотнесите их эффективность с этапами уроков математики.

26. Разработайте план урока изучения нового материала с учетом использования различных форм обучения и их композиций. Апробируйте разработанный вами план.

27. Охарактеризуйте функции многовариативных самостоятельных работ. Выберите любую теорему и разработайте многовариативные самостоятельные работы, которые могут быть использованы на соответствующем уроке. Продумайте использование этих работ в качестве композиций форм обучения.

28. Изучите по различным учебникам математики VI класса раздел

«Умножение положительных и отрицательных чисел». Как авторы учебников решают проблему мотивации введения действия умножения положительных и отрицательных чисел и соответствующего правила? Оправданно ли формализованное введение умножения рациональных чисел и формулировка правила в форме, отличной от алгоритмической? (См. учебник Э. Р. Нурка и А. Э. Тельгмаа.) Считаете ли вы необходимым трансформировать правило умножения чисел в алгоритмическую его форму?

Проследите за образцами записи выполнения упражнений на умножение рациональных чисел в различных учебниках и выясните их соответствие следующим положениям:

1. Если задачи решаются обоснованно с опорой на изучаемые определения, аксиомы, теоремы, то достигается глубокое понимание и формируются прочные, устойчивые умения и навыки.

2. Последовательность рассуждений (А, В, С, M), повторяющаяся при решении однотипных задач, может свертываться до составной ассоциации (А, M).

Выполните анализ систем упражнений на усвоение действия умножения рациональных чисел по различным учебникам математики. Обратите внимание на закономерности функционирования упражнений (см. главу VI, раздел 2). Нет ли в учебниках таких ситуаций в подборе упражнений, когда непреднамеренно формируются ошибочные ассоциации?

29. Используя работы П. М. Эрдниева, выделите особенности структурирования учебного материала, удовлетворяющего укрупнению дидактических единиц (УДЕ). Разработайте методику изучения сложения и вычитания натуральных чисел, основу которой составляет концепция УДЕ. Проанализируйте учебники математики для V и VI классов с точки зрения их соответствия разработанной методике.

30. В книге «Спасибо за урок, дети!» (М.: Просвещение, 1988) известный учитель математики А. А. Окунев описывает один урок, который, по его мнению, не получился. Это был урок геометрии в VII классе по теме «Перпендикуляр и наклонная». Воспроизведем его.

1. На доске дан рисунок, изображающий точку Р и линию, ограничивающую озеро. Требуется изобразить отрезок, соединяющий данную точку с некоторой точкой этой линии, длину которого можно было бы назвать расстоянием от точки Р до озера.

2. Затем предлагается рассмотреть следующую ситуацию: имеется озеро, ограниченное окружностью (рисунок дан). Вопрос: что можно назвать расстоянием от некоторой точки А до озера?

3. Формулируется определение расстояния от точки плоскости до некоторой фигуры, лежащей в этой плоскости.

4. Предлагается изобразить отрезок, длину которого назвали расстоянием от точки до фигуры, если фигура — прямая линия.

5. Возникает необходимость доказать, что перпендикуляр из точки Р до прямой — самый короткий отрезок, соединяющий эту точку с точками прямой.

6. Вводится определение наклонной.

7. Сравниваются два объекта по общему их свойству — длине.

Формулируется утверждение о сравнительной длине перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки.

8. Вводится понятие проекции, сравниваются наклонная и проекция.

9. Выясняется истинность утверждений:

а) перпендикуляр, проведенный к прямой, всегда меньше наклонной, проведенной к этой же прямой;

б) если из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр всегда меньше наклонной;

в) наклонная всегда длиннее перпендикуляра, проведенного из одной точки к некоторой прямой;

г) из любой точки можно провести перпендикуляр, который будет длиннее наклонной, проведенной из этой же точки.

10. Предлагается на угольнике показать перпендикуляр и прямую, к которой он проведен, наклонную, ее проекцию.

11. Выясняется, можно ли утверждать, что катет — это наклонная к гипотенузе.

12. Проводится осмысление изучаемых понятий на модели.

13. Записывается в тетрадь доказательство теоремы о сравнении длин проекций равных наклонных.

14. Формулируется ответ на вопрос: что является расстоянием от точки до прямой?

15. Нахождение расстояний от вершин куба до плоскости одной из его граней.

16. Формулируется (по аналогии) определение расстояния от точки, лежащей вне плоскости, до этой плоскости.

17. Решается задача: «Дана пирамида РАВС. Как найти расстояние: а) от точки С до прямой AB; б) от точки Р до прямой AB?»

Изучите план урока и ответьте на вопросы:

1) Какую роль в изучении перпендикуляра и наклонной играет понятие расстояния от точки плоскости до фигуры, лежащей в этой же плоскости?

2) Сформулируйте цель девятого пункта.

3) Как вы оцените роль семнадцатого пункта?

4) Проследите этапы формирования изучаемых понятий и роль практических задач в этом процессе.

5) В чем, по вашему мнению, неудача урока?

Указание. По мнению А. А. Окунева, урок не содержал интриги, способной заворожить.

Изучите с. 45—50 названной книги и выделите то задание, которое и призвано было придать «изюминку» уроку.

31. Выделите любую тему и разработайте урок по ее изучению. Попробуйте внести в него ту интригу, которая, по мнению А. А. Окунева (см. предыдущую задачу), придаст великолепие этому уроку.

32. Рассмотрите тему «Параллельность прямых и плоскостей». Выполните планирование изучения темы, сформулируйте цели изучения как всей темы, так и отдельных ее разделов, рассмотрите выбор методов обучения различным понятиям и теоремам на уроках, подберите

необходимые средства обучения (таблицы, схемы, модели и т. п.), продумайте формы обучения школьников. Выполните логико-дидактический анализ данной темы, с учетом его и результатов вышеуказанной деятельности осуществите поурочное планирование этой темы; составьте фрагмент одного из уроков.

Указание. Целью логико-дидактического анализа учебного материала служит выявление его структуры и организации логики процесса обучения на материале темы. Предметом логического анализа является определение логики учебного материала на основе выявления его структуры: 1) выделение основных понятий, определяющих содержание темы, раздела; 2) выделение внутрипредметных (внутренних) связей между понятиями, а также межпредметных (внешних) связей. Предметом дидактического анализа является построение логики процесса обучения на основе: 1) учета логики учебного материала; 2) анализа закономерностей усвоения знаний и способов деятельности; 3) выбора методов обучения школьников (приемов деятельности учителя и деятельности ученика); 4) определения приемов активизации познавательной деятельности учащихся; 5) отбора приемов реализации дидактических принципов.

Разработайте деловую игру по поурочному планированию рассматриваемой темы, предусмотрев при этом роли учителей математики, а также роли В. Ф. Шаталова, Р. Г. Хазанкина, А. А. Окунева и др. Выясните мнение известных учителей математики вашего региона о проведенном вами планировании.

33. Учителя, готовясь к уроку на тему «Правильные многогранники», предложили различные сценарии урока. (Заметим, что в различных учебниках геометрии по-разному решается вопрос об отборе содержания.)

Учитель А. решил излагать материал методом лекции, привлекая к обоснованию некоторых утверждений учащихся с использованием их опыта.

Учитель Б. отправным этапом урока посчитал понятие правильного многоугольника, а затем с опорой на сведения о правильных многоугольниках и с привлечением аналогии «вывел» учащихся на понятие правильного многогранника. После этого были рассмотрены пять типов правильных многогранников с демонстрацией их моделей и элементы симметрии правильных многогранников. Урок, по мнению учителя, должен закончиться решением несложных задач типа: «Найти двугранные углы правильного тетраэдра».

Учитель В. предложил следующую схему урока:

I. Актуализация знаний: правильный многоугольник, его примеры, некоторые свойства (ось симметрии, центр симметрии), демонстрация правильных многоугольников на моделях правильных многогранников.

II. Конструирование определения понятия правильного многогранника по аналогии с определением правильного многоугольника.

III. Постановка и решение проблемы: сколько существует типов правильных многогранников?

IV. Иллюстрация различных типов правильных многогранников. Возможно использование книги «Модели многогранников» автора М. Веннинджера (М.: Мир, 1974), где содержатся сведения о построении моделей многогранников, что можно применить на внеклассных занятиях.

V. Элементы симметрии правильных многогранников с иллюстрацией на моделях.

VI. Решение задачи.

Расставьте акценты в целях обсуждаемого урока, подготовленного каждым из трех учителей. Каково ваше отношение к сценарию, предложенному каждым из них? Каким должен быть урок, по вашему мнению? Составьте план урока и проведите его. Что, по-вашему мнению, может выступать на этом уроке в качестве интриги, способной заворожить учащихся?

34. Дан фрагмент плана урока.

I. Актуализация опорных знаний и умений. Решение задачи на нахождение вписанного угла ABC, если известен соответствующий центральный угол АОС.

Предполагается коллективный поиск способа решения задачи, направляемый вопросом учителя: нельзя ли указать угол, связанный с дугой АС, зная который можно найти угол ABC? Основная цель — выявить зависимость между углом ABC и дугой АС, на которую он опирается, и найти метод ее решения.

Введение понятия вписанного угла, выделение его существенных свойств.

II. Формирование новых знаний и умений.

1. Выполнение упражнений на распознавание вписанных углов и их построение.

2. Организация работы с теоремой о вписанном угле.

Укажите тему урока, тип урока и сформулируйте его цели. Можно ли использовать указанную выше задачу на этапе актуализации знаний для открытия теоремы о вписанном угле? Предусмотрите другие варианты работы с этой задачей и оцените их в контексте сформулированных вами целей урока. Закончите конспект урока и, используя его, проведите урок.

35. Раскройте содержание целей внеклассной работы по математике. Каковы виды и формы внеклассной работы? Понаблюдайте в различных школах организацию внеклассной работы по математике.

36. Исследуйте состояние проблемы факультативных занятий в школах.

37. Охарактеризуйте особенности обучения математике в классах естественно-математического, гуманитарного и технического профиля.

Литература

1. Григорьева Т. П., Иванова Т. А. и др. Основы технологии развивающего обучения математике: Учеб. пособие. — Н. Новгород: НГПУ, 1997.

2. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики. — М.: Просвещение, 1990.

3. Гусев В. А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе//Математика в школе. — 1990. — № 4. — С. 27.

4. Дифференциация в обучении математике/Г. В. Дорофеев, Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, В. В. Фирсов//Математика в школе. — 1990. — № 4. — С. 15.

5. Карп А. П. Даю уроки математики...: Из опыта работы: Кн. для учителя: — М.: Просвещение, 1992.

6. Коваленко В. Г. Дидактические игры на уроках математики: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1990.

7. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Профильная дифференциация обучения математике//Математика в школе. — 1990. — № 4. — С. 21.

8. Курганов С. Ю. Ребенок и взрослый в учебном диалоге: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1989.

9. Манвелов С. Г. Разработка и проведение урока математики: Кн. для учителя.—Армавир: АГПИ, 1996.

10. Махмутов М. И. Современный урок: Вопросы теории. — М.: Педагогика, 1981.

11. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов/А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985.

12. Окунев А. А. Подготовка к уроку//Математика в школе. — 1991. — № 1. — С. 12.

13. Окунев А. А. Спасибо за урок, дети!: О развитии творческих способностей учащихся: Из опыта работы: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1988.

14. Окунев А. А. Углубленное изучение геометрии в 8 классе: Пособие для учителя. — М.: Просвещение, 1996.

15. Онищук В. А. Урок в современной школе: Пособие для учителей.—М.: Просвещение, 1981.

16. Пидкасистый П. И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении. — М.: Педагогика, 1980.

17. Руденко В. Н. Взаимосвязь домашнего задания с изучением нового материала//Математика в школе. — 1981. — № 4. — С. 17.

18. Рыжик В. И. 25000 уроков математики: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1993.

19. Утеева Р. А. Формы учебной деятельности учащихся на уроке//Математика в школе. — 1995. — № 2. — С. 33.

20. Утеева Р. А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе. — М.: Прометей, 1997.

21. Харитонова И. В. Самостоятельные работы по теме «Неопределенный интеграл»//Математика в школе. — 1996. — № 2.—С. 34.

22. Шаталов В. Ф. Точка опоры. — М.: Педагогика, 1987.

Учебное издание

Саранцев Геннадий Иванович

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Н. Б. Грызлова Младший редактор Н. В. Сидельковская

Художник Л. В. Иванова Художественный редактор А. В. Крикунов Компьютерная графика И. А. Шалеев Технический редактор Г. В. Субочева Корректоры Н. В. Бурдина, И. В. Чернова

Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции OK 005-93-953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Сдано в набор 10.05.01. Подписано к печати 16.11.01. Формат 60х901/16. Бумага типографская № 2. Гарнитура Ньютон. Печать офсетная. Усл. печ. л. 14,0. Усл. кр.-отт. 14,5. Уч.-изд. л. 15,74. Тираж 10 000 экз. Заказ № 473.

Федеральное государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени «Издательство «Просвещение» Министерства Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Министерства Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.

Г.И. Саранцев

Методика обучения математике в средней школе

Книга содержит теоретический и практический материал, соответствующий программе данного курса. Изложение ведется в контексте системного анализа, деятельностного подхода с учетом

— найденных учителями оригинальных методических приемов и нестандартных форм обучения,

— результатов научных исследований, проведенных в последние 20 лет.

Пособие предназначено студентам, учителям, преподавателям педвузов и институтов повышения квалификации.

•Просвещение•