В. И. Рыжик

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ

8—9 класс

ИЗДАТЕЛЬСТВО ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Санкт-Петербург 2014

Рыжик В. И. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии. 8-9 класс / В. И. Рыжик. — СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2014. — 85 с.

© Рыжик В. И., 2014

8 класс

1 вариант

Самостоятельная работа 1.1

ЛОМАНЫЕ И МНОГОУГОЛЬНИКИ

1. Рассматривается ломаная ABCDA. Можете ли Вы вычислить угол DAB, если:

а) она ограничивает четырехугольник, в котором одна диагональ равна каждой из двух соседних его сторон, а другая диагональ равна каждой из двух оставшихся сторон;

б) она такая, что ZABC = 10% ZBCD= 10°, Z CDA = 20°?

2. Ломаная идет по ребрам куба и выглядит на трех проекциях так:

а) Нарисуйте такую ломаную.

б) Найдите наименьшую длину такой ломаной в кубе с ребром 1.

Самостоятельная работа 1.2

ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА

1. Дан квадрат ABCD со стороной 2, С ним связаны еще два квадрата Кх и К2. Один из них — ANLM (/^ ) имеет сторону, равную 1,

причем вершина N — середина AB, вершина M — середина AD. Другой квадрат CPQT(K2) имеет сторону, равную х, причем вершина Р лежит на луче СВ, а вершина Г лежит на луче CD. Пусть F— пересечение квадратов Кх и К2, a G — их объединение. Найдите — в зависимости от х.

2. а) Чему равна площадь поверхности части куба с ребром 3, три проекции которой даны на рисунке:

б) Сравните ее с площадью оставшейся части.

Самостоятельная работа 1.3

ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ЛЯС с катетом равным 1. Из точки К иг гипотенузе AB проводятся перпендикуляры: KL на ВС и КМ на АС. Пусть BL = х, S{ — площадь треугольника BKL, S2 — площадь треугольника А КМ.

а) При каком значении xS{ = хУ2?

б) Найдите сумму площадей S{+ S2 в зависимости отх.

в) В каких границах лежит сумма 5| + S2?

Самостоятельная работа 1.4

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О, лежащей внутри ABCD. Пусть 5А0В = S{, Sm с= S2,

Найдите неизвестную площадь треугольниках, если:

а) S\ = Sj= S$= 1, 1S4 — лг;

б) .У1 = .У3= 1,^2 = 54 = х;

в) S,^- 1, .У3 = .У4 = je.

2. Найдите зависимость между этими площадями в общем случае.

3. Изменится ли результат, полученный в задании 2, если четырехугольник ABCD не будет выпуклым?

Самостоятельная работа 1.5

ТРАПЕЦИЯ

Дан равносторонний треугольник ABC со стороной а.

1. Точка вдвинулась по AB от а к в. Пройдя некоторое расстояние до точки Киг стороне AB, она двинулась по прямой, параллельной ас до ее пересечения со стороной вс в точке l, затем — по прямой вс до точки С, затем возвратилась в исходное положение — в точку а.

а) Нарисуйте траекторию движения точки X.

б) Чему равна ее длина, когда точка X находится в середине стороны AB.

в) Как изменяется ее длина по мере удаления точки ЛГ на стороне AR!

2. Точка К двинулась по вс от в к с одновременно с точкой Хис той же скоростью. Пройдя некоторое расстояние до точки Л/ на стороне вс, она двинулась по прямой, параллельной AB до ее пересечения со стороной ас в точке n, затем — по прямой CA до точки а, затем возвратилась в исходное положение — в точку в.

а) Сравните длины обеих траекторий.

б) Могут ли эти точки встретиться?

в) Как изменятся полученные результаты, если движения будут идти с разными скоростями?

3. Чему равны углы трапеции ABCD с основаниями AD и вс, если она составлена из:

а) прямоугольного треугольника ACD и равнобедренного треугольника ABC, причем три ее стороны равны;

б) двух прямоугольных треугольников ADB и CBD, причем ав = вс?

Самостоятельная работа 1.6

ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ

В трапеции ABCD проведена хорда KL (Улежит на AB, L лежит на CD), которая параллельна основанию AD трапеции и делит ее площадь, равную 6, пополам.

1. Найдите длину KL, если:

а) высота трапеции делится хордой KL на отрезки длиной 2 и 1 ;

б) основания трапеции 1 и 7.

2. Можно ли решить задачи 1 .а) и 1.6), если площадь трапеции неизвестна?

Самостоятельная работа 1.7

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

1. Дан равносторонний треугольник ABC. На стороне АС находится точка К. Из нее проводятся хорды КСХ и КАХ (С, е AB, Ах е ВС), параллельные сторонам ВС и AB соответственно. Из точки К начинают одновременно и с одной скоростью двигаться две точки: Тх и Г2. Точка Тх движется по ломаной КСХАКАХСК. Точка Т2 движется по ломаной КСХВАХК. Какая из них {Тх или Т2) окажется быстрее в конце движения, если:

а) К находится в середине АС;

б) А"находится в произвольной точке внутри АС.

2. Решите аналогичную задачу, взяв точку ^внутри равностороннего треугольника ABC и проведя три хорды, параллельные его сторонам. Точка Тх идет по границам трех полученных маленьких треугольников. Точка Т2 идет по границам всех полученных параллелограммов. Каждый из этих путей начинается и кончается в точке К.

3. Какую из задач ( 1.6) или 2) можно решить для произвольного треугольника?

Самостоятельная работа 1.8

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Дан параллелограмм ABCD,AD = 5. На стороне взяты точки К и Л/, на стороне ВС взяты точки L и N, причем АК = BL- DM = CN, Отрезки ВК и /4L пересекаются в точке Р, отрезки СМ и DN пересекаются в точке Q.

1. Чему равно PQ, если: а)АК= 1; б)>4/Г=4; в) ЛАГ=х.

2. Пусть точки Г, и Т2 движутся по сторонам А Ли #С параллелограмма с одной скоростью v и начали движение одновременно из А в Z) и из В в С. С какой скоростью движется точка Р пересечения отрезков АТ2 и BT{f

Самостоятельная работа 1.9

ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Дана трапеция ABCD. Проведены ее средняя линия боков MN, {M е AB, N е CD), отрезок CK, параллельный AB и отрезок NL, параллельный AB (точки К и L лежат на прямой AD). AD > ВС. S] и S2 — площади четырехугольников ABC К и AMNL

1. Сравните Sx и S2

а) если AD=4, ЯС= 1, высота трапеции равна 2;

б) при постоянных большем основании а и высоте h, переменном меньшем основании Ъ

2. а) Как изменяется S{/S2 при постоянных большем основании а, высоте Л, растущем меньшем основании Ь?

б) В каких границах лежит S{/S2 при постоянных основаниях а и Ъ, переменной высоте А?

Самостоятельная работа 1.10

ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММОВ

1.Дан ромб ABCD, отличный от квадрата. На сторонах AD и CD построены квадраты DKLA и DCMN (ориентация вершин квадратов — по часовой стрелке; квадраты не имеют с ромбом общих внутренних точек).

а) Найдите другие параллелограммы с вершинами в этих точках.

б) Какого вида эти параллелограммы (квадраты, ромбы, прямоугольники, общего вида)?

в) Есть ли среди них параллелограммы с равными площадями?

2. Как изменятся полученные Вами результаты, если исходный ромб является квадратом?

Самостоятельная работа 2.1-а

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

1. В прямоугольном треугольнике ABC катет ВС равен 1, ZABC = 30°. По катету ВС из точки В движется точка А'. Дойдя до точки К этого катета, она начинает двигаться по хорде треугольника КМ, параллельной АС, а затем движется по гипотенузе до вершины А. ВК = л. Рассматривается траектория этой точки.

а) Какова длина траектории, когда точка А' по катету ВС дошла до его середины?

б) Выразите длину траектории в зависимости от *.

в) В какой момент путь, который точка ЛГ прошла по гипотенузе составляет половину длины всей траектории?

г) Может ли длина траектории равняться 1,5?

д) Одновременно с точкой Хн с той же скоростью стартовала точка Y. Она прошла путь от В до А по двум катетам. Какая из этих точек добралась быстрее до финиша?

2. Чему равна длина пятизвенной ломаной, которая идет по поверхности единичного куба и выглядит на трех проекциях так:

Самостоятельная работа 2.1-б

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

1. а) В равнобокой трапеции большее основание равно 5, диагональ, равная 4, перпендикулярна боковой стороне. Чему равна площадь трапеции?

б) Решите задачу в общем виде.

2. В тетраэдре ABCD ZDCB = ADC А - ZADB = 90°. Будет ли грань ЛАС прямоугольным треугольником?

Самостоятельная работа 2.2

СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Из вершин прямоугольника ABCD провели перпендикуляры ВВ\ и DD[ на диагональ АС Точки В{ и D{ разделили диагональ на три отрезка.

1. Пусть АВ= \ ,AD=2. Чему равно Я,/),?

2. Пусть АВ= \,AD = x. Выразите В{ Dx как функцию от х.

3. Может ли выполняться равенство этих трех отрезков?

4. Перпендикуляр ВВХ продолжается до пересечения в точке К со стороной прямоугольника. В каком отношении эта сторона делится точкой К, когда эти три отрезка равны?

Самостоятельная работа 2.3

ФОРМУЛА ГЕРОНА

1. В равнобокой трапеции большее основание равно 6, диагональ равна 5, а бок равен

3. Чему равна ее площадь?

2. а) В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине В прямые. BD = 1, ВА = 2, ВС = 3. Чему равна площадь наибольшей грани этого тетраэдра?

б) Обобщите полученный результат.

3. а) Каждая сторона треугольника увеличилась в 10 раз. Что произошло с его высотами?

б) Обобщите эту задачу.

в) Решите обратную задачу.

Самостоятельная работа 2.4

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ФИГУРЫ

1. Дана трапеция ABCD.

а)/Ш=9, ВС=3,АВ= CD=6. Какая сторона трапеции ВС или Z?D ближе всего к вершине AI

б) Сравните эти расстояния, если основания трапеции остаются теми же, а бок трапеции изменяется.

2. а) Дан прямой угол. Точка движется по плоскости так, что расстояние от нее до его вершины равно 1. Чему равна наименьшая сумма расстояний от точки до сторон угла?

б) Дан квадрат со стороной 2. Точка движется по плоскости так, что расстояние до данной его вершины равно 1. Чему равна наибольшая сумма расстояний от точки до сторон квадрата?

Самостоятельная работа 2.5

МНОЖЕСТВО ТОЧЕК ПЛОСКОСТИ И РАССТОЯНИЯ

1. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°, а боковая сторона равна 6.

а) Чему равно расстояние от точки, равноудаленной от всех вершин этого треугольника, до ближайшей стороны треугольника?

б) Чему равно расстояние от точки, равноудаленной от всех сторон этого треугольника, до ближайшей вершины треугольника?

2. Даны квадрат и прямоугольник, одна сторона которого равна стороне квадрата, а другая — в 2 раза больше. Нарисуйте множество точек, равноудаленных от этих фигур, если они не имеют общих внутренних точек, но имеют общую:

а) сторону;

б) вершину, причем все углы при этой вершине прямые.

Самостоятельная работа 2.6

НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА

Оценки периметров сделайте, используя только неравенство треугольника.

1. В треугольнике ABC AB = ВС = 5, АС = 6.

а) Пусть точка £ лежит на стороне АС, АК= 1. Оцените периметры треугольников АВК и КВС.

б) Пусть точка L лежит на луче АС вис стороны AC, CL=\. Оцените периметр треугольника KBL. (Положение точки К как в задаче 1) а.

в) Пусть теперь точка M — любая точка внутри стороны АС. Оцените периметр треугольника MBL. (Положение точки L как в задаче 1)6).

г) Пусть теперь точка N -точка на луче АС вне стороны АС, точка Л/— точка внутри стороны АС. При этом AM= CN. Докажите, что периметр треугольника ЛЯС меньше периметра треугольника M BN.

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA{B]C]Dl AB =AD = = 1,А4, = 2.

а) Оцените расстояние ACV

б) Укажите кратчайший путь по поверхности параллелепипеда из А в С,.

Самостоятельная работа 2.7

СИНУС

1. В трапеции ABCD AB = CD = 2, ВС = 1, /1/) = 4. Проведена диагональ ЛС Найдите синусы углов:

а) CAD, б) CAB, в) ABC, г) ВСА, д) CDA.

2. Трапеция ABCD составлена из двух прямоугольных треугольников ЛС/) и ЛЯС.

ZB = Zy4Cö = 90°.Острый угол при ее основании AD равен а . Расположите ее стороны в порядке убывания, если а < 30°.

3. а) Докажите, что sin 2° < 2 sin Г.

б) Обобщите это неравенство.

Самостоятельная работа 2.8

РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ С ПОМОЩЬЮ СИНУСА

В тетраэдре ABCD BD 1 ABC, CD 1 АС, BD - 1, ZDAB - 40°, ZDCB = 50°.

1. Сравните AB и ВС.

2. Докажите, что угол ВСА — прямой.

3. Сравните углы ADC и ABC

4. Обобщите полученные результаты.

Самостоятельная работа 2.9

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА S = - ab sin у

Дана равнобокая трапеция ABCD (AB = CD). Точка О удалена от каждой ее вершины на расстояние 1. Каждая из трех сторон трапеции AB, ВС, CD видна из точки О под углом 45°.

1. Чему равна площадь трапеции?

2. Решите задачу, когда данный угол равен а, а > 60°.

3. При каком угле а площадь трапеции равна сумме площадей треугольников АОВ, BOQ COD?

Самостоятельная работа 2.10

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

В равнобедренном треугольнике ABC AB = ВС, ZABC = 120°. Проведена биссектриса АК. Из вершины А выходят одновременно с одной и той же скоростью точки Xw Y. Точка ЛГ идет по маршруту АКВА, точка К идет по маршруту АКСА.

1. Какая из этих точек финиширует раньше, если периметр исходного треугольника равен 1 ?

2. Имеет ли значение для полученного Вами результата заданный периметр?

Самостоятельная работа 2.11

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

В треугольнике ABC А С = \,ZA =45°, ZB= 30°. Вычислите:

1. наименьшую сторону треугольника.

2. высоту на сторону АС

3. биссектрису на сторону AB.

4. медиану на сторону ВС.

5. расстояние от точки, равноудаленной от всех сторон треугольника до самой далекой от нее вершины данного треугольника.

Самостоятельная работа 2.12

КОСИНУС

В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна основанию^/). 1. Пусть AB = 45Д CD = 3BD. Какой угол трапеции является: а) наибольшим; б) наименьшим?

2. Пусть ZBCD = ZABD - (p > 45°. Сравните: a) AB и СД б)/ШиЯС.

3. Пусть ZBCD = ZABD = cp < 45°. Могут ли одновременно выполняться неравенства AD > CD и AB > ВС?

Самостоятельная работа 2.13

КОСИНУС И ПРОЕКЦИИ

Через центр О прямоугольника ABCD {AB =1, ВС— VJ) проходит прямая р. Она пересекает прямую AB под углом ф.

1. Найдите проекцию АС на прямую /?, когда <р = 30°.

2. Найдите проекции всех сторон прямоугольника на прямую р в зависимости от ср.

3.

а) Пусть сумма квадратов проекций всех сторон прямоугольника на прямую р, равна 6. Чему равна аналогичная сумма при проектировании на прямую, перпендикулярную р?

б) Обобщите полученный результат.

Самостоятельная работа 2.14

ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ПИФАГОРА (ТЕОРЕМА КОСИНУСА)

Основание ВС трапеции ЛЯС/) равно 2, у4/) = 5,CD= \,АВ= а. 1.

а) При каком угле между боками трапеции а = 3?

б) Существует ли трапеция с заданными сторонами ВС, AD, CD, если угол между ее боками равен 60°?

в) При каком угле между боками существует трапеция с заданными сторонами ВС, AD, CD?

2. При каком а:

а) угол между боками трапеции является острым?

б) диагонали трапеции перпендикулярны?

в) равны средние линии трапеции?

3. Пусть известен угол D. Можно ли найти угол В? Приведите численный пример, если угол D — острый.

Самостоятельная работа 2.15

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ С ПОМОЩЬЮ КОСИНУСА

В тетраэдре ABCD ребро DB перпендикулярно плоскости ABC, DB=\, ZADB = 30°, ZCDB = 60°, ZADC = 45°.

1. Вычислите угол ABC.

2. Сравните углы ABC и A DC в общем случае.

Самостоятельная работа 2.16

СРАВНЕНИЕ СТОРОН И УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

1. а) В равнобедренном треугольнике ABC AB = ВС= 3, АС- 2. Точка /Улежит внутри АС.

а)Сравните KB и КС.

б) Обобщите полученный результат.

в) Проверьте обратное утверждение.

2. а) На луче ВА вне данного треугольника находится точка D такая, что AD= 3.

Сравните KB и KD.

б) Обобщите полученный результат.

в) Проверьте обратное утверждение.

3. ABCD — правильный тетраэдр. Точка /Г лежит внутри ребра AD, точка L лежит внутри ребра DC. Найдите наименьший угол в треугольнике BKL.

Самостоятельная работа 2.17

ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС

1. В четырехугольнике АВВХВ2 AB = 1, В{В LAB, В2В{ 1 АВЬ ZBXAB^ ZB2AB{ = ф. (Треугольники АВВ{ и АВХ В2 не имеют общих

внутренних точек. Ориентация треугольников идет против часовой стрелки.)

а) Пусть ф = 20°. Расположите стороны четырехугольника в порядке возрастания.

б) Решите эту задачу в случае, когда ф > 45°.

2. Треугольники АВХВХ+ j строятсятакжекакЛА^т.е. В]+]ВХ1АВЬ ZBi+xABt = ZBjAB^i, каждая пара треугольников не имеет общих внутренних точек. Точка В20 оказалась на прямой AB.

а) На каком расстоянии от В?

б) Обобщите полученный результат. 3.

а) Докажите, что tg40° / tg20° > 2.

б) Обобщите полученный результат.

Самостоятельная работа 2.18

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА С ПОМОЩЬЮ ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА

1. Отрезок KL, равный 2, перпендикулярен отрезкам АК и BL, лежащим с одной стороны от прямой KL. Из точки А отрезок KL виден под углом а , из точки В отрезок KL виден под углом ß.

а) Пусть а == 25°, ß = 35°. Под каким углом у отрезок KL виден из середины С отрезка ЛЯ?

б) Обобщите полученный результат.

2. Отрезок KL равный 1 перпендикулярен данной плоскости (точка Улежит на этой плоскости). Из точки А этой плоскости KL виден под углом а , из точки Яэтой плоскости KL виден под углом $.АВ=2.

а) Пусть а = 25°, ß = 35°. Верно ли, что угол у, под которым отрезок KL виден из середины С отрезка AB, равен 30°? Если нет, то сравните его с углом 30°.

б) Пусть a *ß. Верно ли, что угол у меньше, чем больший из этих углов?

Самостоятельная работа 3.1

ДИАМЕТР И ХОРДА ОКРУЖНОСТИ

Окружность с центром О имеет радиус 1. На ней берется точка К и проводится окружность с центром К и радиусом х. Пусть AB— общая хорда этих двух окружностей, и эта хорда пересекает радиус ОК.

1. Вычислите AB, когда х = 0,5.

2. Выразите AB как функцию отх

3. В каких границах лежит AB?

4. При каком х АВ = 1?

5. Изменятся ли полученные результаты, если ЛЯ пересекает не радиус OK, а его продолжение?

Самостоятельная работа 3.2

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

В окружности с центром О и радиусом 4 проведен диаметр AB. Точка движется по ломаной в данном круге и, дойдя до окружности, отражается от нее под тем же углом.

1. Точка начала свое движение от середины К отрезка АО по отрезку, перпендикулярному АО. Попадет ли точка в Я после первого отражения?

2. Может ли движущаяся точка попасть в точку В после первого отражения, начав движение перпендикулярно AB из точки на AB, отличной от А?

3. Может л и движущаяся точка попасть в точку В после первого отражения, начав движение из точки К на AB под углом, отличным от прямого и от развернутого?

4. Пусть точка начинает свое движение перпендикулярно ЛА из точки L диаметра ЛЯ такой, что OL = xu, дойдя окружности, уходит далее по касательной к ней. На каком расстоянии от окружности ее траектория пересекает прямую AB ?

5. Пусть точка К находится внутри радиуса OA, а точка L находится внутри радиуса OB. Можно ли из точки А направить луч света так, чтобы отразившись от окружности, попал в точку В?

Самостоятельная работа 3.3

ВПИСАННЫЙ УГОЛ

В окружности радиуса 1 проведена хорда AB = 1. Из точки А начала движение по ломаной точка, которая все время находится в данном круге. Дойдя до окружности, она отражается под тем же углом.

1. Какой угол должна составлять с прямой Л5 траектория этой точки в начале движения, чтобы после отражений в двух точках окружности она представляла собой равносторонний треугольник?

2. Пусть в начале движения траектория составляет с прямой AB угол 45°. Нарисуйте ее после четырех отражений в точках Сь С2, С3, С4. Получилась ли у вас правильная пятиконечная звезда с вершинами С,, С2, С3, С4, А?

3. При каком первоначальном угле с прямой AB после четырех отражений в точках окружности получится траектория в виде правильной пятиконечной звезды с одной из вершин в точке А?

Самостоятельная работа 3.4

ФОРМУЛА = 2R sincp

1. Вершины равнобокой трапеции ABCD (AB = CD, AD > ВС) лежат на одной и той же окружности. Сторона ВС видна из А под углом а. Сторона AD видна из С под углом ß.

а) Сравните углы а и ß.

б) Сравните АС и AD.

в) Сравните ЛС и CD.

г) При каком условии на углы а и ß AD >АВ?

2. Вычислите радиус данной окружности, если стороны исходной трапеции равны 2,5,5,10.

3. Вершины четырехугольника ABCD (AB > ВС, AD > DC, AC > BD) лежат на одной и той же окружности. Сможете ли Вы расположить все углы четырехугольника в порядке возрастания? (Если сможете, то в каком порядке; если нет, то почему?)

Самостоятельная работа 3.5

СЕГМЕНТ

1. Нарисуйте множество точек, из которых все стороны равностороннего треугольника видны под: а) тупым углом и находится вне треугольника; б) острым углом, и находится внутри треугольника.

2.

а) Отрезок AB длиной 1 виден из точки Х под острым углом ср. Найдите наибольшее расстояние СХ, где С — середина AB.

б) Обобщите эту задачу.

в) Предложите какое-либо следствие из полученного результата.

Самостоятельная работа 3.6

МНОЖЕСТВО ТОЧЕК, ИЗ КОТОРЫХ ОТРЕЗОК ВИДЕН ПОД ПРЯМЫМ УГЛОМ

1.

а) В треугольнике ABC AB = ВС=3,АС = 5. На AB и ВС как на диаметрах построены окружности. Пусть D — их общая точка, отличная от В. Каково расстояние от D до прямой АС?

б) Обобщите задачу а).

2. Лучи OA и OB образуют угол 150°. Луч ОС образует с этими лучами равные углы и находится в угле АОВ. Точка АГ лежит внутри угла АО В. Точки Аь Вь Сг проекции точки К на прямые OA, OB, ОС.

а) Можете ли Вы найти какой — либо угол в треугольнике

б) Можете ли Вы найти какой — либо угол в треугольнике А1В1С] в общем случае?

в) Может ли при каком либо угле АОВ этот треугольник оказаться равносторонним?

Самостоятельная работа 3.7

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА (ВПИСАННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК)

Окружность с центром О радиусом 1 описана около равнобедренного треугольника ABC {AB =AQ. Острый угол при вершине равен 2ф.

1.

а)Чему равно расстояние от О до основания ВС? б) Как оно изменяется с увеличением угла при вершине, остающемся острым? 2.

а) Найдите площадь этого треугольника.

б) Как изменяется площадь каждого из треугольников АОВ, ВОС,СОА с увеличением угла при вершине, остающемся острым?

в) Можете ли Вы установить, как изменяется площадь треугольника ABC с увеличением угла при вершине, остающемся острым?

г) Сравните ее с площадью равностороннего треугольника, вписанного в данную окружность для произвольного угла при вершине.

Самостоятельная работа 3.8

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО МНОГОУГОЛЬНИКА (ВПИСАННЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК)

Пятиугольник ABKCD вписан в окружность. ВК = КС = CD. В A LAD. ВА =AD.

1. Какие вершины этого пятиугольника являются вершинами равнобокой трапеции?

2. Какие вершины этого пятиугольника являются вершинами прямоугольного треугольника?

3. Какие вершины этого пятиугольника являются вершинами равностороннего треугольника?

4. Пусть радиус окружности равен 1.

а) Нарисуйте пятиугольную звезду KACBDK.

б) Чему равен угол при каждой из названных вершин звезды?

в) Докажите, что периметр звезды меньше, чем 9,6.

г) Можете ли вы вычислить площадь, ограниченную звездой? Если да, то укажите способ ее нахождения.

Самостоятельная работа 3.9

ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

1. Из двух равнобедренных треугольников составляется выпуклый четырехугольник. Можно ли около полученного четырехугольника описать окружность и если да, то каков ее радиус, если:

а) Треугольники имеют общее основание, их боковые стороны соответственно 3 и 2 и боковая сторона одного из них перпендикулярна боковой стороне другого.

б) Треугольники имеют общую боковую сторону, равную 3, а их основания соответственно равны 2 и 1.

в) Основание первого треугольника является боковой стороной второго и равно 3, боковая сторона первого равна 2, а основание второго равно 1.

г) Какую из этих задач вы можете решить в общем виде? 2.

а)В окружность радиуса 5 вписан четырехугольник. Три его стороны равны 1,2,3. Вычислите его четвертую сторону.

б) Для какого четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями длиной 1 Вы можете решить обратную задачу — найти радиус описанной окружности? Какой из них имеет наибольший радиус такой окружности?

Самостоятельная работа 3.10

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК

В равнобедренный треугольник ABC вписана окружность. Пусть АВ = ВС=Ъ,АС=Ъ

1. Вычислите радиус вписанной окружности.

2. Пусть L — точка касания этой окружности со стороной ВС. Сравните LBw LC.

3. Рассмотрим окружность, которая касается стороны АС и продолжений сторон ВА и ВС Чему равен ее радиус?

4. Рассмотрим окружность, которая касается стороны BC и продолжений сторон AB и АС Сравните ее радиус с радиусом окружности из п. 3

Самостоятельная работа 3.11

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

1. Дана равнобокая трапеция с основаниями 1 и 2. В ней проведена хорда, в результате чего трапеция разбилась на две трапеции. Может ли быть, что и в исходную, и в полученные трапеции можно было вписать окружность, если эта хорда:

а) параллельна основаниям;

б) делит основания пополам;

в) соединяет две произвольные точки оснований;

г) Обобщите задачу.

2. Можно ли вписать окружность в трапецию, составленную из двух прямоугольных треугольников?

Самостоятельная работа 3.12

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В МНОГОУГОЛЬНИК

1. Каждая сторона пятиугольника ABCDFравна 2. ZA = ZF.

а) ZB = ZD = 90°. Чему равен радиус окружности, вписанной в этот пятиугольник?

б) Пусть ZB = ZD = ф. Получите величину радиуса при этом условии.

Самостоятельная работа 3.13

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

В окружность радиуса 1 вписан правильный восьмиугольник. 1. Сколько прямоугольных треугольников определяется вершинами данного восьмиугольника?

2. Сколько квадратов определяется вершинами данного восьмиугольника?

3. Сколько трапеций определяется вершинами данного восьмиугольника?

4. Чему равна длина самой короткой диагонали?

5. Чему равен угол между двумя такими диагоналями, выходящими из соседних вершин?

6. Сравните площадь многоугольника, ограниченного всеми такими диагоналями с половиной площади исходного многоугольника.

Самостоятельная работа 3.14

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ЕЕ ЧАСТЕЙ

Дан квадрат ABCD со стороной 2. С центрами в его вершинах проводятся равные окружности.

1. Фигура ^ограничена дугами всех этих окружностей, не принадлежащими квадрату. Вычислите периметр фигуры F, если радиус этих окружностей равен:

а)1; 6)1,5; в) 2.

2. Попытайтесь получить результат в одном из случаев из задачи 1, если фигура F ограничена дугами всех этих окружностей, принадлежащими квадрату.

Самостоятельная работа 3.15

ПЛОЩАДЬ КРУГА И ЕГО ЧАСТЕЙ

Сторона квадрата A BCD равна 2.

1. Центр окружности радиуса 2 находится в точке В, а окружность пересекает стороны AD и AB b точках К,L таких, что АК = CL и Z KBL = 30°. Чему равна площадь меньшей части квадрата, находящейся вне круга?

2. Центр переменной окружности радиуса 2 движется по стороне ВС от В к С. В каких границах находится площадь меньшей части квадрата, находящейся вне круга?

3. С центрами в точках В и С проведены окружности радиусом 2. Чему равна площадь меньшей части квадрата, находящейся вне этих кругов?

Контрольная работа 1

Повторение курса 7 класса

1. В равнобедренном остроугольном треугольнике проведена биссектриса угла при основании. Может ли она быть равна большей части той стороны треугольника, к которой она проведена?

2. Участок леса имеет форму равностороннего треугольника. По его границе и внутри него идут прямые тропинки. Лесник обходит участок по его границе и по тропинкам, причем его скорость неизменна. Обозначим вершины участка А,В,С.

а) Одна тропинка ВК идет до противоположной стороны АС, причем АК= (1/4) АС. Обход участка АВКА лесник совершает за 3 ч. 30 мин, обход участка СВКС лесник совершает за 4 ч. 30 мин.

al) Какое время понадобится леснику, чтобы обойти весь участок по его границе?

а2) За какое время он проходит тропинку В/С!

б) На участке есть такая тропинка MN, параллельная АС, что участки MBNM и MNCAM лесник обходит за одно и то же время. Какое положение на границе участка занимают точки M и УУ?

в) На участке есть тропинки PQ(Pe AB, Qe ВС, Re AC), QR, RP. Ему известно время, за которое он обходит участки APRA, BPQB, CRQC Однажды ему надо было до наступления темноты обойти участок PQRP. Может ли он вычислить время, за которое обойдет этот участок?

г) Какие из предыдущих задач Вы сможете решить, если тропинки не будут прямыми?

3. В тетраэдре ABCD DB =АС, DA = ВС, DC -AB. а) Какие углы в гранях тетраэдра равны углу DAC?

б) Точка Л движется по ребру CS от Ск В. При каком положении точки треугольник является равнобедренным?

в) Пусть точка К— середина ВС, точка L — середина DA. Будут ли перпендикулярны прямые:

в!) АХ и в2) KL и ва

г) В гранях DAC и 5ЛС провели высоты m Du В. Попадут ли они в од ну точку?

Контрольная работа 2

Площади

1. Два равных квадрата DABCи DKLM(вершины расположены почасовой стрелке) имеют единственную общую точку D. Угол CDK равен 45°.

а) Докажите, что в точке D пересекаются отрезки AL и ВМ.

б) Укажите равнобокие трапеции, вершины которых лежат в вершинах данных квадратов.

в) Пусть SABCD = S, SDCK = 5|. Докажите, что = 85^ . г) Докажите, что SDCK= SDAM.

д) Какая из этих трапеций имеет самую большую площадь?

2. Какие из задач 1а,1б, 1в, 1г вы сможете сделать, если ZCDK = ф *45°,ф<90°?

Контрольная работа 3

Теорема Пифагора и следствия

1. В четырехугольнике ABCD (невыпуклом) диагонали АС и BD лежат на перпендикулярных прямых, которые пересекаются в точке О. Точка О лежит на диагонали BD и на луче CA.

а) Пусть АВ=\,ВС= 2, CD = 3. Чему равно DA?

б) Докажите, что в любом таком четырехугольнике АВ2+ CD2 = = AD2 + ВС2.

в) Докажите утверждение, обратное предыдущему.

г) Пусть точка А ближе к точке В, чем к точке D. К какой точке (В или D) ближе точка С? Как Вы обобщите полученный результат?

д) Оцените сверху сумму средних линий в таком четырехугольнике.

е) Пусть диагональ АС движется по прямой АС Какие из полученных Вами результатов остаются неизменными?

2. Пусть к тому же диагональ АС известна.

а) Можно ли найти BD? Если да, то каким образом?

б) Пусть затем треугольник ABC пере гнул и по прямой ЛС так, что ZBOD = 90°. Можно ли найти BD? Если да, то каким образом?

Контрольная работа 4

Метрические соотношения в треугольнике

1. Дан прямоугольник ABCD. AD= \ 2,АВ= 6. Траектория движения точки лежит в прямоугольнике. Начинается она в середине К стороны AD и представляет собой ломаную KLMK. При этом точка L лежит на стороне AB, а точка М— на границе прямоугольника. В задачах а)- в) со стороной ЛЯ траектория составляет равные углы и ZAKL = а .

а) Каков должен быть угол а , чтобы точки M и Ссовпали?

б) Для угла а , найденного в пункте а) вычислите: 61 ) длину траектории;

62) площадь, которую она ограничивает;

63) на каком расстоянии от центра прямоугольника проходит эта ломаная.

в) Каков должен быть угол а , чтобы точка M оказалась внутри: в1) СД в2) ВС?

г) Каким по виду треугольником может быть эта траектория?

2) В тетраэдре ABCDAD = 2, CD= 1, ZCDB = 90°, ZCBD = 60°, ZACB = 130°, ZCAB = 20°. Найдите площадь остроугольной его грани.

Контрольная работа 5

Многоугольники и окружности

Дан ромб ABC Deo стороной 1 и острым углом ф.

1. В этот ромб вписана окружность.

а) Чему равен ее радиус?

б) В каких границах изменяется при изменении ср отношение площади ромба к площади вписанного круга?

2. Каков радиус наименьшего круга, который содержит этот ромб?

3. На меньшей диагонали ромба как на диаметре построена окружность. Пусть l{ — длина той ее части, которая находится в ромбе, a l2 — длина той ее части, которая находится вне него.

а) Найдите — (ф).

б) Найдите границы —.

4. В этом же ромбе расположены еще две окружности. Каждая из этих окружностей касается двух сторон ромба и вписанной окружности. При этом обе они касаются стороны AB, первая окружность касается А Д а вторая — ВС. Пусть радиус первой — а, второй Ь.

а) Чему равно а/Ь ?

б) При каком угле ф û=i?

в) В каких границах изменяется — при изменении ф?

г) Можно ли, зная только величины а и Ь, найти г — радиус окружности, вписанной в ромб? Попробуйте это сделать при ö = 3,6-l.

2 вариант

Самостоятельная работа 1.1

ЛОМАНЫЕ И МНОГОУГОЛЬНИКИ

1. Рассматривается ломаная ABCDA. Можете ли Вы вычислить угол DAB, если :

а) она ограничивает четырехугольник, в котором: равны две его стороны и две его диагонали (то есть равны между собой все четыре отрезка) и еще две его стороны равны между собой.

б) она такая, что Z ABC = 110°, Z BCD = 110°, Z CDA = 120°?

2. Ломаная идет по ребрам куба и выглядит на трех проекциях так:

а) Нарисуйте такую ломаную.

б) Найдите наименьшую длину такой ломаной в кубе с ребром 1

Самостоятельная работа 1.2

ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА

1. Дан квадрат ABCD со стороной 4. С ним связаны еще два квадрата К} и К2. Один из них — DNLM(K{) имеет сторону, равную 2, причем вершина N — середина DA, вершина M — середина DC. Другой квадрат BPQT(K2) имеет сторону, равную х, причем верши-

на лежит на луче ВС, а вершина Г лежит на луче ВА. Пусть F — пересечение квадратов Кх и К2, a G — их объединение. Найдите S(F) -в зависимости от х.

2.

а) Чему равна площадь поверхности части куба с ребром 3, три проекции которой даны на рисунке:

б) Сравните ее с площадью оставшейся части.

Самостоятельная работа 1.3

ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ЛВС с катетом равным 1. Точки К и Улежат на катетах ЛС и ВС соответственно, KNи LM — перпендикуляры на AB. Пусть СК=х, S} — площадь треугольника KCL, S2 — площадь треугольника AKN.

а) При каком значении xS] = 2S2?

б) Найдите сумму площадей S} + 2S2 в зависимости отх.

в) В каких границах лежит сумма S{+ 2S2?

Самостоятельная работа 1.4

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О, лежащей внутри ABCD. Пусть SA0B = S\^SB0C= ^2,

Найдите неизвестную площадь треугольника х, если:

а) S J ~ S2 = Л*з= x, ~ 1 \

б) S{=-S3 = x,S2=S4 = 1; в).У1 = 5,2 = ;с, 5,з=5,4=1.

2. Найдите зависимость между этими площадями в общем случае.

3. Изменится ли результат, полученный в задании 2, если четырехугольник ABCD не будет выпуклым?

Самостоятельная работа 1.5

ТРАПЕЦИЯ

Дан равносторонний треугольник ЛВС со стороной а.

1. Точка вдвинулась по СВ от С к /?. Пройдя некоторое расстояние до точки К на стороне СВ, она двинулась по прямой, параллельной CA до ее пересечения со стороной А С в точке L, затем — по прямой ВА до точки А, затем возвратилась в исходное положение — в точку С.

а) Нарисуйте траекторию движения точки X.

б) Чему равна ее длина, когда точка А" находится в середине стороны С В?

в) Как изменяется ее длина по мере удаления точки Л' на стороне CR?

2. Точка вдвинулась по ВА от В к А одновременно с точкой Л" и с той же скоростью. Пройдя некоторое расстояние до точки А/ на стороне ВА, она двинулась по прямой, параллельной ВС до ее пересечения со стороной АС в точке N, затем — по прямой АС до точки С, затем возвратилась в исходное положение — в точку В.

а) Сравните длины обеих траекторий.

б) Могут ли эти точки встретиться?

в) Как изменятся полученные результаты, если движения будут идти с разными скоростями?

3. Чему равны углы трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если она составлена из:

а) прямоугольного треугольника ABD и равнобедренного треугольника BCD, причем три ее стороны равны;

б) двух прямоугольных треугольников АСВ и DAC, причем CD = = ВС?

Самостоятельная работа 1.6

ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ

В трапеции A BCD проведена хорда KL (К л ежит на AB, L лежит на CD), которая параллельна основанию AD трапеции и делит ее площадь, равную 6, пополам.

1. Найдите длину KL, если:

а) высота трапеции делится хордой KL на отрезки длиной 4 и 2; б)основания трапеции 2 и 14.

2. Можно ли решить задачи 1.а) и 1.6), если площадь трапеции неизвестна ?

Самостоятельная работа 1.7

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

1. Дан равносторонний треугольник ABC. На стороне ВС находится точка L. Из нее проводятся хорды LC, и LB{ (C1gAB,B[ eAQ, параллельные сторонам АС и AB соответственно. Из точки L начинают одновременно и с одной скоростью двигаться две точки: Т{ и 72. Точка Т{ движется по ломаной LCXBLBXCL. Точка ^Движется по ломаной LC\ABXL. Какая из них окажется быстрее в конце движения (Т{ или Г2), если:

а) L находится в середине ВС;

б) L находится в произвольной точке внутри ВС.

2. Решите аналогичную задачу, взяв точку L внутри равностороннего треугольника ЛАС и проведя три хорды, параллельные его сторонам. Точка Тх идет по границам трех полученных маленьких треугольников. Точка Т2 идет по границам всех полученных параллелограммов. Каждый из этих путей начинается и кончается в точке L.

3. Какую из задач ( 1.6) или 2) можно решить для произвольного треугольника?

Самостоятельная работа 1.8

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Дан параллелограмм ABCD, AD = 4. На его стороне AD взяты точки АГи М, на стороне ВС взяты точки L и УУ, причем y4/f= Д/,= = ZW = СМ Отрезки ВКи AL пересекаются в точке Р, отрезки СМ и DNпересекаются в точке Q.

1 .Чему равно PQ, если:

a)AK=U

6)АК=3;

в)АК=х.

2. Пусть точки Г, и ^ движутся по сторонам AD и ВС параллелограмма с одной скоростью v и начали движение одновременно из А в D и из В в С. С какой скоростью движется точка Q пересечения отрезков DT2 и СТХ1

Самостоятельная работа 1.9

ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Дана трапеция ABCD. Проведены ее средняя линия боков MN, (MsAB, NgCD), отрезок ВК, параллельный CD и отрезок ML, параллельный С/)(точки Ки /.лежат на прямой AD). AD > ВС «Sj и S2 — площади четырехугольников DCBK и DNML.

1. Сравните S2 и Sx

а) если AD= 5, ВС =2, высота трапеции равна 2;

б) при постоянных меньшем основании Ь, высоте h, переменном большем основании al

3.

а) Как изменяется S2/Sx при постоянных большем основании а, высоте А, растущем основании Ь ?

б) В каких границах лежит S2/Sx при постоянных основаниях avib, переменной высоте Л?

Самостоятельная работа 1.10

ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ПАРАЛЛЕЛОГРАММОВ

1. Дан ромб ABCD, отличный от квадрата. На сторонах AD и AB построены квадраты ADKL и AMNB (ориентация вершин квадратов — по часовой стрелке; квадраты не имеют с ромбом общих внутренних точек).

а) Найдите другие параллелограммы с вершинами в этих точках.

б) Какого вида эти параллелограммы (квадраты, ромбы, прямоугольники, общего вида)?

в) Есть ли среди них параллелограммы с равными площадями?

2. Как изменятся полученные Вами результаты, если исходный ромб является квадратом?

Самостоятельная работа 2.1-а

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

1. В прямоугольном треугольнике АБС катет АС равен 1, ZBAC = 30°. По катету АС из точки А движется точка X. Дойдя до точки К этого катета, она начинает двигаться по хорде треугольника КМ, параллельной ВС, а затем движется по гипотенузе до вершины В. АК= x. Рассматривается траектория этой точки.

а) Какова длина траектории, когда точка Х по катету АС дошла до его середины?

б) Выразите длину траектории в зависимости от*.

в) В какой момент путь, который точка Х по гипотенузе составляет половину длины всей траектории?

г) Может ли длина траектории равняться 1,5?

д) Одновременно с точкой Х и с той же скоростью стартовала точка Y. Она прошла путь от А до В по двум катетам. Какая из этих точек добралась быстрее до финиша?

2. Чему равна длина пятизвенной ломаной, которая идет по поверхности единичного куба и выглядит на трех проекциях так, как показано на рисунке:

Самостоятельная работа 2.1-б

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

1.

а) В равнобокой трапеции большее основание равно 5, боковая сторона равна 4, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Чему равна площадь трапеции?

б) Решите задачу в общем виде.

2. В тетраэдре ABCD ZDBA = ZDBC = ZADC = 90°. Будет ли грань АБС прямоугольным треугольником?

Самостоятельная работа 2.2

СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Из вершин прямоугольника ABCD провели перпендикуляры ААХ и ССХ на диагональ BD. Точки Ах и Сх разделили диагональ на три отрезка.

1. Пусть AD= 1, АВ= 2. Чему равно А\С{1

2. Пусть AD=\,AB^x. Выразите АХСХ как функцию от х.

3. Может ли выполняться равенство этих трех отрезков?

4. Перпендикуляр ССХ продолжается до пересечения в точке К со стороной прямоугольника. В каком отношении эта сторона делится точкой К, когда эти три отрезка равны?

Самостоятельная работа 2.3

ФОРМУЛА ГЕРОНА

1. В равнобокой трапеции меньшее основание равно 6, диагональ равна 7, а бок равен

3. Чему равна ее площадь?

2. а) В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине А прямые. AD = 4, ВА = 2, АС = 6. Чему равна площадь наибольшей грани этого тетраэдра?

б) Обобщите полученный результат.

3. а) Каждая сторона треугольника уменьшилась в 5 раз. Что произошло с его высотами?

б) Обобщите эту задачу.

в) Решите обратную задачу.

Самостоятельная работа 2.4

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ФИГУРЫ

1. Дана трапеция ABCD.

а) AD= 9, ВС=3,АВ= CD = 4. Какая сторона трапеции ВС или BD дальше всего от вершины С?

б) Сравните эти расстояния, если основания трапеции остаются теми же, а бок трапеции изменяется.

2.

а) Дан прямой угол. Точка движется по плоскости так, что расстояние от нее до его вершины равно 1. Чему равна наибольшая сумма расстояний от точки до сторон угла?

б) Дан квадрат со стороной 2. Точка движется по плоскости так, что расстояние до данной его вершины равно 1. Чему равна наименьшая сумма расстояний от точки до сторон квадрата?

Самостоятельная работа 2.5

МНОЖЕСТВО ТОЧЕК ПЛОСКОСТИ И РАССТОЯНИЯ

1, В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°, а высота к основанию равна 6.

а) Чему равно расстояние от точки, равноудаленной от всех вершин этого треугольника, до ближайшей стороны треугольника?

б) Чему равно расстояние от точки, равноудаленной от всех сторон этого треугольника, до ближайшей вершины треугольника?

2. Даны квадрат и прямоугольник, одна сторона которого равна стороне квадрата, а другая — в 2 раза меньше. Нарисуйте множество точек, равноудаленных от этих фигур, если они не имеют общих внутренних точек, но имеют общую:

а) сторону;

б) вершину, причем все углы при этой вершине прямые.

Самостоятельная работа 2.6

НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА

Оценки периметров сделайте, используя только неравенство треугольника. 1. В треугольнике ABC AB = Z?C= 5, АС = 6.

а) Пусть точка К лежит на стороне АС, СК= 1. Оцените периметры треугольников ABK и КВС.

б) Пусть точка /. лежит на луче CA вне стороны AC. CL = 1. Оцените периметр треугольника KBL. (Положение точки # как в задаче 1 ) а.

в) Пусть теперь точка M — любая точка внутри стороны АС. Оцените периметр треугольника MBL. (Положение точки L как в задаче 1 б).

г) Пусть теперь точка /V — точка на луче CA вне стороны АС, точка M — точка внутри стороны АС. При этом CM =AN. Докажите, что периметр треугольника ЛЯС меньше периметра треугольника M BN.

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX AB = = АА{ = \,AD=2.

а) Оцените расстояние АСХ.

б) Укажите кратчайший путь по поверхности параллелепипеда из А в Су

Самостоятельная работа 2.7

СИНУС

1. В трапеции ABCD AB = CD = 1, ВС=0,5, AD =2. Проведена диагональ А С.

Найдите синусы углов:

а) CAD,

б) CAB, s) ABC,

г) ВСА,

д) CDA.

2. Трапеция ABCD составлена из двух прямоугольных треугольников ACDи ABC. ZB= ZACD= 90°. Острый угол при ее основании AD равен а . Расположите ее стороны в порядке убывания, если а > 60°.

3.

а) Докажите, что sin 4° < 2 sin 2°.

б) Обобщите это неравенство.

Самостоятельная работа 2.8

РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ С ПОМОЩЬЮ СИНУСА

В тетраэдре ABCD BD 1АВС, СВ LAC, BD = 1, ZDAB = 20°, ZDCB= 70°.

1. Сравните AB и ВС.

2. Докажите, что угол DCA — прямой.

3. Сравните углы ADC и Л/?С.

4. Обобщите полученные результаты.

Самостоятельная работа 2.9

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА S = i ab sin y

Дана равнобокая трапеция ABCD (AB - CD). Точка О удалена от каждой ее вершины на расстояние 1. Каждая из трех сторон трапеции AB, ВС, CD видна из точки О под углом 30°.

1. Чему равна площадь трапеции?

2. Решите задачу, когда данный угол равен а, а > 60°.

3. При каком угле а площадь трапеции равна сумме площадей треугольников АОВ, BOCf COD.

Самостоятельная работа 2.10

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

В равнобедренном треугольнике ABC AB = ВС, ZABC = 120°. Проведена биссектриса АК. Из вершины С выходят одновременно с одной и той же скоростью точки Х и У. Точка Xидет по маршруту С К ВС, точка К идет по маршруту СКАС

1. Какая из этих точек финиширует раньше, если периметр исходного треугольника равен 1?

2. Имеет ли значение для полученного Вами результата заданный периметр?

Самостоятельная работа 2.11

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

В треугольнике АВСАС= 1, ZA = 135°, ZB= 30°. Вычислите:

1. наибольшую сторону треугольника.

2. высоту на сторону АС.

3. биссектрису на сторону AB.

4. медиану на сторону ВС.

5. расстояние от точки, равноудаленной от всех сторон треугольника до самой далекой от нее вершины данного треугольника.

Самостоятельная работа 2.12

КОСИНУС

В трапеции ЛЯСО диагональ ЛС перпендикулярна основанию Л/Х

1. Пусть у4/?= ЗАС, CD = 4АС. Какой угол трапеции является: а) наибольшим; б) наименьшим?

2. Пусть ZCBA = ZACD = <р < 45°. Сравните: а) ЛЯ и CD, 6)АОи ВС.

3. Пусть АС В А = ZACD = ф > 45°.

Могут ли одновременно выполняться неравенства AD > AB и DOCB?

Самостоятельная работа 2.13

КОСИНУС И ПРОЕКЦИИ

Через центр О прямоугольника ABCD (AB =1, ВС = yß ) проходит прямая р. Она пересекает прямую ÇD под углом ср.

1. Найдите проекцию BD на прямую р, когда ф = 30°.

2. Найдите проекции всех сторон прямоугольника на прямую р в зависимости от ф.

3.

а) Пусть сумма квадратов проекций всех сторон прямоугольника на прямую р равна 4. Чему равна аналогичная сумма при проектировании на прямую, перпендикулярную р?

б) Обобщите полученный результат.

Самостоятельная работа 2.14

ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ПИФАГОРА (ТЕОРЕМА КОСИНУСА)

Основание ВС трапеции ABCD равно 2, AD= 5,АВ= 1, CD-а. I.

а) При каком угле между боками трапеции а = 3?

б) Существует ли трапеция с заданными сторонами ВС, AD, AB, если угол между ее боками равен 60°?

в) При каком угле между боками существует трапеция с заданными сторонами ВС, AD, AW.

2. При каком а:

а) угол между боками трапеции является острым?

б) диагонали трапеции перпендикулярны?

в) равны средние линии трапеции?

3. Пусть известен угол А. Можно ли найти угол С? Приведите численный пример, если угол А — острый.

Самостоятельная работа 2.15

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ С ПОМОЩЬЮ КОСИНУСА

В тетраэдре ABCD ребро DA перпендикулярно плоскости ABC, DA=\, ZADC= 30°, ZADB = 60°, ZCDB = 45°.

1. Вычислите угол CAB.

2. Сравните углы CAB и CDB в общем случае.

Самостоятельная работа 2.16

СРАВНЕНИЕ СТОРОН И УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

1. а) В равнобедренном треугольнике ABC AB = ВС= 2, АС= 3. Точка К л ежит внутри AB.

а) Сравните KB и КС.

б) Обобщите полученный результат.

в) Проверьте обратное утверждение. 2.

а) На луче CA вне данного треугольника находится точка D такая, что AD= 3. Сравните КС и KD.

б) Обобщите полученный результат.

в) Проверьте обратное утверждение.

3. ABCD — правильный тетраэдр. Точка АТ лежит внутри ребра BD, точка L лежит внутри ребра ВС. Найдите наименьший угол в треугольнике AKL.

Самостоятельная работа 2.17

ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС

1. В четырехугольнике ВААХА2 ВА = 1, АХА 1 AB, А2АХ 1 ВАХ, ZA\BA = ZA2BAX = ф. (Треугольники ВААХ и ВАХА2 не имеют общих внутренних точек. Ориентация треугольников идет против часовой стрелки.))

а) Пусть ф = 10°. Расположите стороны четырехугольника в порядке убывания.

б) Решите эту задачу в случае, когда ф > 45°.

2. Треугольники А4Д+1 строятся также как ВАХА2, т.е. Aj+XAX±BAX, ZA^XBAK = ZAjBA^^ каждая пара треугольников не имеет общих внутренних точек. Точка А20 оказалась на прямой AB.

а) На каком расстоянии от Л?

б) Обобщите полученный результат.

3. а) Докажите, что tg20ytgl0° > 2. б) Обобщите полученный результат.

Самостоятельная работа 2.18

РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА С ПОМОЩЬЮ ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА

1. Отрезок KL, равный 2, перпендикулярен отрезкам АК и BL, лежащим с одной стороны от прямой KL. Из точки А отрезок KL виден под углом а , из точки В отрезок KL виден под углом ß.

а) Пусть а =55°, ß =65°. Под каким углом у отрезок KL виден из середины С отрезка AB?

б) Обобщите полученный результат.

2. Отрезок ÄX равный 1 перпендикулярен данной плоскости (точка L лежит на этой плоскости). Из точки А этой плоскости KL виден под углом а , из точки Я этой плоскости KL виден под углом ß. АВ= 2.

а) Пусть а = 55°, ß = 65°. Верно ли, что угол у, под которым отрезок KL виден из середины С отрезка AB, равен 60°? Если нет, то сравните его с углом 60°.

б) Пусть a *ß. Верно ли, что угол у больше, чем меньший из этих углов?

Самостоятельная работа 3.1

ДИАМЕТР И ХОРДА ОКРУЖНОСТИ

Окружность с центром О имеет радиус 1. На ней берется точка Ки проводится окружность с центром К и радиусом х. Пусть AB — общая хорда этих двух окружностей, и эта хорда пересекает продолжение радиуса 0# до диаметра.

1. Вычислите AB, когда х= 1,5.

2. Выразите AB как функцию от х.

3. В каких границах лежит AB?

4. При каком х АВ= 1?

5. Изменятся ли полученные результаты, если AB пересекает не продолжение радиуса OK до диаметра, а радиус OA?

Самостоятельная работа 3.2

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

В окружности с центром О и радиусом 6 проведен диаметр AB. Точка движется по ломаной в данном круге и, дойдя до окружности, отражается от нес под тем же углом.

1. Точка начала свое движение от середины К отрезка ВО по отрезку, перпендикулярному ВО. Попадет ли точка в А после первого отражения?

2. Может ли движущаяся точка попасть в точку А после первого отражения, начав движение перпендикулярно AB из точки на AB, отличной от К?

3. Может ли движущаяся точка попасть в точку А после первого отражения, начав движение из точки К на AB под углом, отличным от прямого и от развернутого?

4. Пусть точка начинает свое движение перпендикулярно AB из точки L диаметра ^А такой, что OL = jc и, дойдя окружности, уходит

далее по касательной к ней. На каком расстоянии от окружности ее траектория пересекает прямую AB ?

5. Пусть точка К находится внутри радиуса OB, а точка L находится внутри радиуса OA. Можно ли из точки В направить луч света так, чтобы отразившись от окружности, попал в точку А?

Самостоятельная работа 3.3

ВПИСАННЫЙ УГОЛ

В окружности радиуса 2 проведена хорда AB = 2. Из точки В начала движение по ломаной точка, которая все время находится в данном круге. Дойдя до окружности, она отражается под тем же углом.

1. Какой угол должна составлять с прямой AB траектория этой точки в начале движения, чтобы после отражений в двух точках окружности она представляла собой равносторонний треугольник?

2. Пусть в начале движения траектория составляет с прямой AB угол 45°. Нарисуйте ее после четырех отражений в точках С{, С2, С3, С4. Получилась ли у вас пятиконечная звезда с вершинами С}, С2, с3, С4, В}.

3. При каком первоначальном угле с прямой AB после четырех отражений в точках окружности получится траектория в виде правильной пятиконечной звезды с одной из вершин в точке В?

Самостоятельная работа 3.4

ФОРМУЛА = 2R sinq

1. Вершины равнобокой трапеции ABCD (AB = CD, AD > ВС) лежат на одной и той же окружности. Сторона ВС видна из D под углом а. Сторона AD видна из В под углом ß.

а) Сравните углы а и р.

б) Сравните BD и AD.

в) Сравните BD и AB.

г) При каком условии на углы аир AD > CD?

2. Вычислите радиус данной окружности, если стороны исходной трапеции равны 2,12,13,13.

3. Вершины четырехугольника ABCD (AB < ВС, AD < DC, AC < BD) лежат на одной и той же окружности. Сможете ли Вы расположить все углы четырехугольника в порядке возрастания? (Если сможете, то в каком порядке, если нет, то почему?)

Самостоятельная работа 3.5

СЕГМЕНТ

1. Нарисуйте множество точек из которых все стороны квадрата видны под: а) острым углом и находится вне треугольника; б) тупым углом и находится внутри треугольника.

2. а) Отрезок AB длиной 1 виден из точки ЛГ под тупым углом ср Найдите наименьшее расстояние СХ, где С — середина AB.

б) Обобщите эту задачу.

в) Предложите какое-либо следствие из полученного результата.

Самостоятельная работа 3.6

МНОЖЕСТВО ТОЧЕК, ИЗ КОТОРЫХ ОТРЕЗОК ВИДЕН ПОД ПРЯМЫМ УГЛОМ

1. а) В треугольнике ABC AB = ВС = 3, АС =4. На AB и ВС как на диаметрах построены окружности. Пусть D — их общая точка, отличная от В. Каково расстояние от D до прямой АО.

б) Обобщите задачу а)

2. Лучи OA и OB образуют угол 150°. Луч ОС образует с этими лучами равные углы и находится вне угла АОВ. Точка /Г лежит вне угла АОВ. Точки Ах, Вх, С\ - проекции точки AT на все три прямые OA, OB, ОС

а) Можете ли Вы найти какой — либо угол в треугольнике ЛХВХС{!

б) Можете ли Вы найти какой - либо угол в треугольнике Ах #| С{ в общем случае?

в) Может ли при каком либо угле АОВ этот треугольник оказаться равносторонним?

Самостоятельная работа 3.7

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА (ВПИСАННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК)

Окружность с центром О радиусом 1 описана около равнобедренного треугольника ABC (AB = АС). Тупой угол при вершине равен 2(р.

1.

а)Чему равно расстояние от О до основания ВС? б) Как оно изменяется с уменьшением угла при вершине, остающемся тупым? 2.

а) Найдите площадь этого треугольника.

б) Как изменяется площадь каждого из треугольников АОВ, ВОС, СОА с уменьшением угла при вершине, остающемся тупым?

в) Можете ли Вы установить, как изменяется площадь треугольника ABC с уменьшением угла при вершине, остающемся тупым?

г) Сравните ее с площадью равностороннего треугольника, вписанного в данную окружность для произвольного угла при вершине.

Самостоятельная работа 3.8

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО МНОГОУГОЛЬНИКА (ВПИСАННЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК)

Пятиугольник ABCDK вписан в окружность. AB = ВС = CD. DK1AK. DK^AK.

1. Какие вершины этого пятиугольника являются вершинами равнобокой трапеции?

2. Какие вершины этого пятиугольника являются вершинами прямоугольного треугольника?

3. Какие вершины этого пятиугольника являются вершинами равностороннего треугольника?

4. Пусть радиус окружности равен 1.

а) Нарисуйте пятиугольную звезду KACBDK.

б) Чему равен угол при каждой из названных вершин звезды?

в) Докажите, что периметр звезды меньше, чем 9,6.

г) Можете ли вы вычислить площадь, ограниченную звездой? Если да, то укажите способ ее нахождения.

Самостоятельная работа 3.9

ВПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

Из двух равнобедренных треугольников составляется выпуклый четырехугольник.

1. Можно ли около полученного четырехугольника описать окружность и если да, то каков ее радиус, если:

а) Треугольники имеют общее основание, их боковые стороны соответственно 2 и 1 и боковая сторона одного из них перпендикулярна боковой стороне другого.

б) Треугольники имеют общую боковую сторону, равную 4, а их основания соответственно равны 3 и 2.

в) Основание первого треугольника является боковой стороной второго и равно 4, боковая сторона первого равна 3, а основание второго равно 2.

г) Какую из этих задач вы можете решить в общем виде?

2. а)В окружность радиуса 5 вписан четырехугольник. Три его стороны равны 1,2,4. Вычислите его четвертую сторону.

б) Для какого четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями длиной 1 Вы можете решить обратную задачу — найти радиус описанной окружности? Какой из них имеет наименьший радиус такой окружности?

Самостоятельная работа 3.10

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК

В равнобедренный треугольник ЛЯС вписана окружность. Пусть Л5 = ЯС=6,/4С=4.

1. Вычислите радиус вписанной окружности.

2. Пусть l — точка касания этой окружности со стороной AB. Сравните LB и LA.

3. Рассмотрим окружность, которая касается стороны ЛС и продолжений сторон ВА и ВС. Чему равен ее радиус?

4. Рассмотрим окружность, которая касается стороны ВС и продолжений сторон AB и АС Сравните ее радиус с радиусом окружности из п. 3

Самостоятельная работа 3.11

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

1. Дана равнобокая трапеция с основаниями 2 и 3. В ней проведена хорда, в результате чего трапеция разбилась на две трапеции. Может ли быть, что и в исходную, и в полученные трапеции можно было вписать окружность, если эта хорда:

а) параллельна основаниям;

б) делит основания пополам;

в) соединяет две произвольные точки оснований;

г) Обобщите задачу.

2. Можно ли вписать окружность в трапецию, составленную из двух равнобедренных треугольников?

Самостоятельная работа 3.12

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В МНОГОУГОЛЬНИК

1. Каждая сторона пятиугольника ABCDF равна 2. ZA = ZF. Найдите радиус окружности, вписанной в этот пятиугольник, если: a) ZC= 90°; 6)ZC= ф.

Самостоятельная работа 3.13

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

В окружность радиуса 1 вписан правильный восьмиугольник.

1. Сколько равнобедренных треугольников определяется вершинами данного восьмиугольника?

2. Сколько равносторонних треугольников определяется вершинами данного восьмиугольника?

3. Сколько прямоугольников определяется вершинами данного восьмиугольника?

4. Чему равна длина средней по величине диагонали?

5. Чему равен угол между двумя такими диагоналями, выходящими из соседних вершин?

6. Сравните площадь многоугольника, ограниченного всеми такими диагоналями с половиной площади исходного многоугольника.

Самостоятельная работа 3.14

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ЕЕ ЧАСТЕЙ

Дан квадрат ABCD со стороной 4. С центрами в его вершинах проводятся равные окружности.

1. Фигура ^ограничена дугами всех этих окружностей, не принадлежащими квадрату. Вычислите периметр фигуры F, если радиус этих окружностей равен:

а) 2; 6)3; в) 4.

2. Попытайтесь получить результат в одном из случаев из задачи 1, если фигура F ограничена дугами всех этих окружностей, принадлежащими квадрату.

Самостоятельная работа 3.15

ПЛОЩАДЬ КРУГА И ЕГО ЧАСТЕЙ

Первый круг имеет центр в точке А, радиус 4 см, который растет со скоростью 2 см/с. Второй круг немеет центр в точке Ä, радиус 2 см, который растет со скоростью 4 см/с. А в = 24 см.

1. Какую часть (в %) составляет площадь пересечения этих кругов от площади их объединения через: а)3с.

б) Юс.

в) 37 с. 2.

а) Как ведет себя это отношение (возрастает или убывает) со временем?

б) Через какое время это отношение составит 1 %?

Контрольная работа 1

Повторение курса 7 класса

1. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Может ли она быть равна большей части той стороны треугольника, к которой она проведена?

2. Участок леса имеет форму равностороннего треугольника. По его границе и внутри него идут прямые тропинки. Лесник обходит участок по его границей по тропинкам, причем его скорость неизменна. Обозначим вершины участка А,В,С.

а) Одна тропинка ВКид$т до противоположной стороны АС, причем СК= (1/4)у4С. Обход участка СВКС лесник совершает за 3 часа 30 минут, обход участка АВКА лесник совершает за 4 часа 30 минут.

al) Какое время ему понадобится, чтобы обойти весь участок по его границе?

а2) За какое время он проходит тропинку М?

б) На участке есть такая тропинка MN, параллельная АС, что участки MBNM и MNCAMлесник обходит за одно и то же время. Какое положение на границе участка занимают точки Л/ и N?

в) На участке есть тропинки PQ(Pe СВ, Qe BAf Re AC), QR, RP. Ему известно время, за которое он обходит участки CPRC, BQPB, ARQA. Однажды ему надо было до наступления темноты обойти участок PQRP. Может ли он вычислить время, за которое обойдет этот участок?

г) Какие из предыдущих задач Вы сможете решить, если тропинки не будут прямыми?

3. В тетраэдре ABCD DB =АС, DA = ВС, DC-AB.

а) Какие углы в гранях тетраэдра равны углу DCB?

б) Точка ^движется по ребру ВА от В к А. При каком положении точки ^треугольник CXD является равнобедренным?

в) Пусть точка К— середина AB, точка L — середина CD. Будут ли перпендикулярны прямые:

b\)KL\\DC\ в2) KL и ВА?

г) В гранях DBC и ABC провели высоты из D и А. Попадут ли они в одну точку?

Контрольная работа 2

Площади

1. Два равных квадрата DABC и DKLMX вершины расположены против часовой стрелки) имеют единственную общую точку D. Угол ADM равен 135°.

а) Докажите, что в точке D пересекаются отрезки AL и ВМ.

б) Укажите равнобокие трапеции, вершины которых лежат в вершинах данных квадратов.

в) Пусть SABCD = S, SDCK = Sx. Докажите, что S1 = SS].

г) Докажите, что SDCK = SDAM.

д) Какая из этих трапеций имеет самую большую площадь?

2. Какие из задач 1а, 16,1 в, 1 г вы сможете сделать, если ZADM= = ф *135°, ф>90°?

Контрольная работа 3

Теорема Пифагора и следствия

1. В четырехугольнике ABCD (выпуклом) диагонали АС и BD лежат на перпендикулярных прямых, которые пересекаются в точке О.

а) Пусть AB = 1, ВС = 2, CD - 3. Чему равно DA?

б) Докажите, что в любом таком четырехугольнике АВР + CD2 = = А1Р+ВО.

в) Докажите утверждение, обратное предыдущему.

г) Пусть точка С ближе к точке 5, чем к точке D. К какой точке (Вит D) ближе точка А? Как Вы обобщите полученный результат?

д) Оцените сверху сумму средних линий в таком четырехугольнике.

е) Пусть диагональ BD движется по прямой BD. Какие из полученных Вами результатов остаются неизменными?

2. Пусть к тому же диагональ АС известна.

а) Можно ли найти BD? Если да, то каким образом?

б) Пусть затем треугольник ABC перегнули по прямой АС так, что ZBOD= 90°. Можно ли найти BD? Если да, то каким образом?

Контрольная работа 4

Метрические соотношения в треугольнике

Дан прямоугольник ABCD. AD~ 6, AB = 12. Траектория движения точки лежит в прямоугольнике. Начинается она в середине К стороны ВС и представляет собой ломаную KLM К. При этом точка L лежит на стороне CD, а точка M — на границе прямоугольника. В задачах а) — в) со стороной CD траектория составляет равные углы и ZCKL = а .

а) Каков должен быть угол а , чтобы М— С?

б) Для угла а , найденного в пункте а) вычислите: б1 ) длину траектории;

б2) площадь, которую она ограничивает;

б3) на каком расстоянии от центра прямоугольника проходит эта ломаная.

в) Каков должен быть угол а , чтобы точка Л/оказалась внутри: в1)АВ\ в2)AD?

г) Каким по виду треугольником может быть эта траектория ? 2) В тетраэдре ABCD ЛЯ = 2, СЯ = 1, ZCBD = 90°, ZCDB = 60°, ZACD = 130°, ZCAD = 20°. Найдите площадь остроугольной его грани.

Контрольная работа 5

Многоугольники и окружности

Дан ромб ABCD со стороной 1 и тупым углом ср.

1. В этот ромб вписана окружность.

а) Чему равен ее радиус?

б) В каких границах изменяется при изменении <р отношение площади ромба к площади вписанного круга?

2. Каков радиус наименьшего круга, который содержит этот ромб?

3. На меньшей диагонали ромба как на диаметре построена окружность. Пусть Lj — длина той ее части, которая находится в ромбе, a L2 — длина той ее части, которая находится вне него.

а) Найдите — (<р).

б) Найдите границы —.

4. В этом же ромбе расположены еще две окружности. Каждая из этих окружностей касается двух сторон ромба и вписанной окружности. При этом обе они касаются стороны АВУ первая окружность касается A D, а вторая — ВС Пусть радиус первой — а, второй Ь.

а) Чему равно а/Ы

б) При каком угле ф а=Ь?

в) В каких границах изменяется - при изменении ф?

г) Можно ли зная только величины а и b найти г— радиус окружности, вписанной в ромб? Попробуйте это сделать при а = 3, b = 1.

9 класс

Самостоятельная работа 4.1

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

1 вариант

Из точки О выходят три вектора: OA-а, ОВ = Е, ОС = с. |ö| = |&| = 2, |с| = 1, ZAOB = q>, ZAOC = ZBOC. Вектор с не лежит в угле АОВ.

1. а) Пусть ф = 120°. Вычислите |я + £ + с|.

б) В каких границах лежит |я + £+с| при изменении ф?

2. а) Докажите, что |с - а\ = |с - b|. б) При каком угле ф |й - b j = \â - с | ?

3. При каком угле ф из отрезков OA, OB, ОС можно составить треугольник?

4. а) Нарисуйте составляющие вектора с по прямым OA и OB. б) Найдите длины этих составляющих.

5. Пусть ф = 120°. Где находится точка X такая, что ХА + ХВ-ХС = 0?

2 вариант

Из точки О выходят три вектора: OA-а , ОВ-Ъ , ОС-с . |5| = |£| = 2, |с| = 3, ZAOB = (p, ZAOC = ZBOC . Вектор с не лежит в угле АОВ.

1. а) Пусть ф = 120°. Вычислите |й + й+с|.

б) В каких границах лежит + при изменении ф?

2. а) Докажите, что |с-5| = |с

б) При каком угле ср а - b | = \а - с | ?

3. При каком угле ср из отрезков OA, OB, ОС можно составить треугольник?

4. а) Нарисуйте составляющие вектора с по прямым OA и OB. б) Найдите длины этих составляющих.

5. Пусть ф = 120°. Где находится точка X такая, что ХА + Ш-Ж = 0?

Самостоятельная работа 4.2

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ

1 вариант

Из точки О выходят лучи OA, ОВ и вектор ОС единичной длины. ZAOB = 60°. Вектор ОС раскладывается по составляющим по прямым OA и OB.

1. Пусть одна из составляющих имеет длину 0,1. Может ли длина второй составляющей быть больше 1?

2. Докажите, что ОС можно разложить на такие составляющие, что длина одной из них в 2 раза больше другой.

3. Вектор ОС повернулся вокруг Она некоторый угол, после чего длины составляющих по каждой прямой не изменились. Возможно ли это?

4. Вектор ОС повернулся на угол 60°. В каких границах лежит изменение длины его составляющей по прямой OA?

2 вариант

Из точки О выходят лучи OA, ОВ и вектор ОС единичной длины. ZAOB = 120°. Вектор ОС раскладывается по составляющим по прямым OA и OB.

1. Пусть одна из составляющих имеет длину 0,1. Может ли длина второй составляющей быть больше 1?

2. Докажите, что ОС можно разложить на такие составляющие, что длина одной из них в 2 раза больше другой.

3. Вектор ОС повернулся вокруг Она некоторый угол, после чего длины составляющих по каждой прямой не изменились. Возможно ли это?

4. Вектор ОС повернулся на угол 120°. В каких границах лежит изменение длины его составляющей по прямой OÄ!

Самостоятельная работа 4.3

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

1 вариант

Дан треугольник ЛВС.

1. а) Пусть точка К лежит на стороне ВС. При этом В К : КС = 3:2. Выразите АК как линейную комбинацию векторов AB и АС .

б) Пусть точка L лежит на прямой ВС и BL: LC = 3:2. Выразите AL как линейную комбинацию векторов AB и АС .

2. Точка А"такова, что АХ = \.5АС-0.5АВ.

а) Лежит ли она на прямой ВС?

б) Вычислите ВХ.ХС.

3. Нарисуйте точку Y такую, что A Y = \,5АС-0,5АВ.

4. а) Будут ли коллинеарны векторы ВХ и CK? б) Будут ли они сонаправлены?

5. а) В каком отношении С делит отрезок KL1

б) Может ли выполняться такое соотношение: BK:KC = BL:CL = KC:CL?

2 вариант

Дан треугольник ABC.

1. а) Пусть точка К лежит на стороне ВС. При этом В К : КС = 2:3. Выразите АК как линейную комбинацию векторов AB и АС .

б) Пусть точка L лежит на прямой ВС и BL : LC = 2:3. Выразите AL как линейную комбинацию векторов AB и АС .

2. Точка А"такова, что АХ = \,5АС-0,5АВ.

а) Лежит ли она на прямой ВС!

б) Вычислите ВХ : ХС .

3. Нарисуйте точку Y такую, что AY = 1,5АВ-0,5АС.

4. а) Будут ли коллинеарны векторы СХ и BY ? б) Будут ли они сонаправлены?

5. а) В каком отношении В делит отрезок KU!

б) Может ли выполняться такое соотношение: CK : KB = CL \BL-KB\BL?

Самостоятельная работа 4.4

ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ

1 вариант

ABCD-трапеция. AB = BC = CD = l, AD > ВС , ZBAD = y.

1. Найдите проекцию на ось AD: а) вектора AB.

б)вектора CA .

в) вектора CA + BD.

2. верно ли, что равны проекции:

а) вектора AB на ось CD и вектора CD на ось ВА ?

б) вектора ВС на оси AB и CD?

3. Есть ли такой угол (р, при котором равны проекции на ось BD векторов ÄB и CD?

4. Можно ли найти такую ось/, что равны проекции на эту ось:

а) векторов AB и CD?

б) векторов AB, CD и Ж ?

2 вариант

ABCD- трапеция. АВ = ВС = CD = \, AD> ВС , Z,4£D = <p.

1. Найдите проекцию на ось AD : а) вектора А В.

б)вектора CA .

в) вектора CA л-BD .

2. верно ли, что равны проекции:

а) вектора AB на ось CD и вектора CD на ось ВА ?

б) вектора ВС на оси AB и CD?

3. Есть ли такой угол <р, при котором равны проекции на ось BD векторов АН и CD?

4. Можно ли найти такую ось /, что равны проекции на эту ось:

а) векторов AB и CD?

б) векторов ~ÂB, CD и ВС ?

Самостоятельная работа 4.5

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

1 вариант

В прямоугольном треугольнике ABC ZC = 90°, ZA = 30°, BC = l. Точка С — начало координат, точка В лежит на положительной части оси x, точка А лежит на положительной части оси у. Найдите координаты векторов

l.a) CS,

б) A4,

в) АС.

2. СН , где СН — высота треугольника ABC.

3. CL , где CL — биссектриса треугольника А ВС.

4. СО, ,где О, — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

5. С02, где02 — центр окружности, вписанной в треугольник ЛЯС.

2 вариант

В прямоугольном треугольнике ABCZC- 90°, ZA =60°, АС = 1. Точка С — начало координат, точка В лежит на положительной

части оси х, точка а лежит на положительной части оси у. Найдите координаты векторов

La) св,

б) Та,

в) ас.

2. сн , где сн — высота треугольника abc

3. cl , где cl — биссектриса треугольника abc

4. сох ,где ох — центр окружности, описанной около треугольника abc.

5. с02, где 02 — центр окружности, вписанной в треугольник ЛЯС

Самостоятельная работа 4.6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКАЛЯРНОГО УМНОЖЕНИЯ

1 вариант

1. В равностороннем треугольнике abc сторона равна 1. Точка о — его центр, точки к, l, m — середины его сторон ab, вс, ca соответственно. Вычислите:

а) ТаШ;

б) ко TÖ\

в) ЖШ\

г) Ш Ш.

2. Ребро куба abcdaxbxc{dx равно 1. Вычислите:

а) ас вв\;

б) cd\äb\-,

в) cb\cd\\

г) da\ D^C;

д) C4i bd._

3. Векторы oa и ob образуют острый угол (р, ср< 45°. Отточки О отложен вектор ос такой, что |ос| = ов\, ос lob.

а) Сравните ôaob и öaöc.

б) Обобщите задачу.

2 вариант

1. В равностороннем треугольнике ABC сторона равна 1. Точка О — его центр, точки К, L, M — середины его сторон AB, ВС, CA соответственно. Вычислите:

а) MB КС;

б) LO МО;

в) LM Ш;

г) Шкс.

2. Ребро куба ABCDAXBXCXDX равно 1. Вычислите:

а) ВЬСС\;

б) DC\BA\;

в) DA\ ~DC\;

г) ÂB\-ÄJ);

д) ACi BD._

3. Векторы OA и OB образуют тупой угол ср, ф>135° .Отточки О отложен вектор ОС такой, что |ос| = |Ь/?|, ОС 1ÖB.

а) Сравните ÖAÖB и OA ОС.

б) Обобщите задачу.

Самостоятельная работа 4.7

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО УМНОЖЕНИЯ

1 вариант

1. Пусть а ,6 , с — ненулевые векторы.

а) Упростите выражение А : А = (а + Ь► + с)(а + Ь - с) - (а + Ъ - с)2.

б) Пусть теперь Й + й+с =б . Может ли А = 0?

2. Вычислите скалярное произведение векторов АР и BQ, если дан равносторонний треугольник со стороной 1, Ре ВС и ВР:РС = \:2, Qe АС и AQ:QC = \:2.

3. Векторы а и b неколлинеарны. |д| = |о| = 1, Zäb =30°.

а) Найдите такой вектор с , что < _

б) Нарисуйте его.

в) Решите задачу а) в общем случае.

2 вариант

1. Пусть а , b , с — ненулевые векторы.

а) Упростите выражение Л: A = (a-b+c)(ä-b-c)-(ä-b-c)2.

б) Пусть теперь а + Е+с =б. Может ли А-0 ?

2. Вычислите скалярное произведение векторов АР и /?0,если дан равносторонний треугольник ABC со стороной 1, Ре ВС и ЯР:/>С = 1:3, (?е АС и Л<2:<2с = 1:3.

3. Векторы а и b неколлинеарны. |я|=|о| = 1, Zäb = 60°.

[с5 = -1

а) Найдите такой вектор с , что < _

б) Нарисуйте его.

в) Решите задачу в общем случае.

Самостоятельная работа 4.8

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ДЛИНЫ, УГЛЫ.

1 вариант

1. Пусть Щ - b = 1, alb. Найдите |25-й|.

2. Пусть |ö|= b =|5-2è|. 5^0, £ *ö. Найдите Zoô .

3. Пусть |5|= b =1, x = 2ä~b , ]; = -я+ 2*.

а) Сравните х и .

б) Сравните Zxa и Zyb .

в) Обобщите задачи а) и б).

г) Решите обратную задачу.

2 вариант

1. Пусть |я| = b = 1, alb. Найдите \a-2b .

2. Пусть \ä\= b =|25-£|. 5*0, ЬфО. Найдите Zäb .

3. Пусть |д| = 6=1, х = а-2Ь , y = -2ä + b .

а) Сравните х и |>?|.

б) Сравните Zxä и Zj# .

в) Обобщите задачи а) и б).

г) Решите обратную задачу.

Самостоятельная работа 4.9

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

1 вариант

Пусть 5 = (-1;2), й=(3;4). Найдите:

1. Zäb .

2. Вектор с такой, что с 15, |с| = 1.

3. Вектор р такой, что /55 = 1, =-1.

4. Вектор q такой, что 5+й+#=б, Zqä = Zqb .

5. Пусть точка 5 находится в прямоугольнике с координатами (0;0), (3;0), (3;4), (0;4). Пусть ОЛ=а (О — начало координат). В каких границах находится OA OB? (Точка В не совпадает с О).

6. В каких границах лежит выражение -x + 2y, если х2 л-у1 =25?

2 вариант

Пусть а = (1;-2), Л = (-3;-4). Найдите:

1. Z5è .

2. Вектор с такой, что с 1а, (с( = 1.

3. Вектор /? такой, что ра=-\, pb = \.

4. Вектор <7 такой, что а + й = О, Zqä = Z^ô .

5. Пусть точка В находится в прямоугольнике с координатами (0;0), (-3;0), (-3;-4), (0;-4). Пусть ÖA = ä (О — начало координат). В каких границах находится OA OB? (Точка В не совпадает с О).

6. В каких границах лежит выражение х-2у, если х2 + у2 = 25?

Самостоятельная работа 4.10

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

1 вариант

Дан квадрат ABCD со стороной 2. Точка К— середина стороны А В, точка ^движется по границе квадрата по ломаной ABCDA .

1. Вычислите DK AB .

2. При каком положении точки Г перпендикулярны векторы Ш и ÄT?

3. Пусть л: — длина ломаной отточки А до точки Т Нарисуйте график зависимости отх величины AT DK .

4. В каких границах лежит AT DK ?

2 вариант

Дан квадрат ABCD со стороной 2. Точка К— середина стороны CD, точка Г движется по границе квадрата по ломаной DCBAD .

1. Вычислите АК • DC.

2. При каком положении точки Г перпендикулярны векторы АК и DT?

3. Пусть x — длина ломаной отточки D до точки Т. Нарисуйте график зависимости от х величины DTAK.

4. В каких границах лежит DTAK ?

Самостоятельная работа 4.11

РАДИУС-ВЕКТОРНАЯ ТЕХНИКА. ЗАДАНИЕ ПРЯМЫХ И ОТРЕЗКОВ.

1 вариант

1. Даны точки у4, В, С. Известно, что для некоторой точки О верно равенство 20А-ОВ+ОС = 0.

а) Лежат ли точки А, В, С на одной прямой?

б) Где находится точка О?

2. Точка M — середина стороны AB, а точка /V — середина стороны CD четырехугольника ABCD. Пусть MN - а . Чему равна сумма Ж + АЗ + Ж + М?

3. о и b — две прямые. Точки Ах, Аь Аъ лежат на прямой а, точки Äj, В2, Въ лежат на прямой b (А2 между Ах и Аъ, В2 между 5, и В}). Проведены отрезки А]В],А2ВЪ А3В3.

а) Каждый из этих отрезков разделен в отношении 1:2, считая от прямой а. Лежат ли точки деления К, L, M на одной прямой?

б) Обобщите эту задачу.

2 вариант

1. Даны точки А, В, С. Известно, что для некоторой точки О верно равенство OA - 20В + ОС = О.

а) Лежат л и точки А, В, С на одной прямой?

б) Где находится точка О?

2. Точка M — середина диагонали АС , а точка N — середина диагонали BD четырехугольника ABCD. Пусть MN =а .Чему равна сумма Âlî+JD+œ+св?

З.аиЬ — две прямые. Точки АЬА2, Аъ лежат на прямой а, точки 5j, В2, A3 лежат на прямой b (Л2 между/4j иЛ3,52межДУ 5, и Д3). Проведены отрезки АХВХ, А2В2, А3В3.

а) Каждый из этих отрезков разделен в отношении 2:1, считая от прямой а. Лежат ли точки деления К, L, M на одной прямой?

б) Обобщите эту задачу.

Самостоятельная работа 4.12

ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД (АФФИННЫЕ ЗАДАЧИ)

1 вариант

Дан параллелограмм ABCD. Его диагональ ЛС разбили точками # и £ так, что AK = LC = -AC .

1. Прямая ВК пересекает AD в точке Р, прямая BL пересекает CD в точке Q. Будут ли параллельны PQ и АС?

2. Прямая DK пересекает AB в точке Л/, прямая DL пересекает ЯС в точке УУ. Будет ли четырехугольник PMNQ параллелограммом?

3. Пересекаются ли прямые:

а) MP и BD?

б) MQ, PN и АС?

4. Попробуйте обобщить полученные результаты.

2 вариант

Дан параллелограмм ABCD. Его диагональ ЛС разбили точками К и L так, что AK = LC=-AC.

1. Прямая ВК пересекает AD в точке Р, прямая BL пересекает Сов точке Q. Будут ли параллельны PQ и АС?

2. Прямая DK пересекает AB в точке Л/, прямая DL пересекает ВС в точке N. Будет ли четырехугольник PMNQ параллелограммом?

3. Пересекаются ли прямые:

а) MP и BD?

б) Л/<2, PN к АО.

4. Попробуйте обобщить полученные результаты.

Самостоятельная работа 4.13

ЦЕНТР МАСС

1 вариант

1. На сторонах треугольника Л/?Свыбраны точки А{, Вь С{ так, что ВА{ = А1С , СЯ, =ic4 , АС{ =^АВ.

а) Докажите, что центры масс треугольников Ах Вх Сх и ABC не совпадают.

б) Можно ли иначе выбрать точку Сх на стороне AB, чтобы эти центры масс совпали?

2. а) Дан равносторонний треугольник ABC. Переменная хорда KL этого треугольника параллельна АС vi движется по направлению к АС. По какой линии движется центр масс трапеции AKLCI

б) Обобщите задачу.

2 вариант

1. На сторонах треугольника ЛЯС выбраны точки Ах, Вь С{ так, что ВАх = А{С , СВХ =-ВА , АС =-АВ .

а) Докажите, что центры масс треугольников АХВХСХ и ABC не совпадают.

б) Можно ли иначе выбрать точку С, на стороне AB, чтобы эти центры масс совпали?

2. а) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC. Переменная хорда KL этого треугольника параллельна гипотенузе AB и движется по направлению к AB. По какой линии движется центр масс трапеции AKLC?

б) Обобщите задачу.

Самостоятельная работа 4.14

ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД (МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ).

1 вариант

В параллелограмме ABCD AB = 1, AD = 3, ZA = 60°.

1. Вычислите угол между диагоналями этого параллелограмма.

2. Вычислите расстояние между центрами масс треугольников:

а) ABD и BDC ;

б) ABD и ACD ;

в) АКБ и ALD, где точка К— середина CD, точка L — середина ВС.

2 вариант

В параллелограмме ABCD AB = 1, AD = 3 , ZA = 120°.

1. Вычислите угол между диагоналями этого параллелограмма.

2. Вычислите расстояние между центрами масс треугольников:

а) ABC и ACD\

б) ABD и /1С/);

в) /JLZ) и CKD, где точка L — середина 2?С, точка К— середина AB.

Контрольная работа 1

1 вариант

1. Дан квадрат ABCD. Точка К— середина ВС , точка L — середина CD, точка О — центр квадрата. Назовем как ^многоугольник ABKOLD. Пусть Т— центр масс фигуры F.

а) Верно ли, что Те F ?

б) Верно ли, что Те АО? Те BD?

в) Совпадает ли Тс центром масс треугольника AKL ?

г) От какой вершины ^дальше всего 77

д) Под каким углом видна из Т сторона AB ? 2.

а) В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 2. Пусть СА-СВ. Вычислите угол между медианой к гипотенузе и медианой к катету АС.

б) Пусть СА=СВ, а гипотенуза стала изменяться. Что будет происходить с величиной этого угла?

в) Пусть катет АС стал изменяться. Может ли он измениться так, что этот угол станет прямым? Если да, то что произойдет с ним при этом: увеличится или уменьшится?

2 вариант

1. Дан квадрат ABCD. Точка К— середина AB, точка L — середина А Д точка О — центр квадрата. Назовем как /"многоугольник KBCDLO. Пусть Т— центр масс фигуры F. а) Верно ли, что Те F ?

б) Верно ли, что Те СО? Те BD?

в) Совпадает ли Тс центром масс треугольника CKL ?

г) От какой вершины ^дальше всего Т ?

д) Под каким углом видна из Г сторона Л/??

2. а) В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 2. Пусть ВС = 1. Вычислите угол между медианой к гипотенузе и медианой к катету ВС

б) Пусть ВС =^АВ ,2l гипотенуза стала изменяться. Что будет происходить с величиной этого угла?

в) Пусть катет ЯС стал изменяться. Может ли он измениться так, что этот угол станет прямым? Если да, то что произойдет с ним при этом: увеличится или уменьшится?

Самостоятельная работа 4.15

КООРДИНАТЫ ТОЧКИ И ВЕКТОРА

1 вариант

Даны точки Л(-2;3), £(3;-2), С(-1;4), />(4;-1).

1. Будут ли эти точки вершинами

а) параллелограмма;

б) прямоугольника;

в) ромба?

2. Найдите точки Kw L такие, что точки А , В, К, L являются вершинами равнобокой трапеции ABKL с основаниями AB и KL.

2 вариант

Даны точки Л(2;-3), Д(-3;2), C(l;-4), D(-4;l).

1. Будут ли эти точки вершинами

а) параллелограмма;

б) прямоугольника;

в) ромба?

2. Найдите точки АГ и L такие, что точки А, В, К, L являются вершинами равнобокой трапеции ABKL с основаниями AB и KL.

Самостоятельная работа 4.16

ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ

1 вариант

1. Точки Р(2;2) и Q(l;5) делят отрезок AB на три равных отрезка. Каковы координаты концов отрезка?

2. Даны точки А(0;4) и #(-8;-12).

а) Точки Pw Оделят отрезок AB на части так, что АР = BQ --АВ.

Каковы координаты середины отрезка PQ ?

б) Пусть MN-кАВ и точка В делит отрезок MN в отношении 1:4. Чему равно к ?

3. Даны точки Л(-3;2), Д(-3;-5), С(0;-4), Z)(l;l). Найдите координаты:

а) точки пересечения прямых АС и BD.

б) центра масс этих точек.

2 вариант

1. Точки Р{\\2) и ô(3;4) делят отрезок AB на три равных отрезка. Каковы координаты концов отрезка?

2. Даны точки /1(0;-4) и Я(8;12).

а) Точки Р и С делят отрезок AB на части так, что АР = BQ=-AB.

Каковы координаты середины отрезка PQ ?

б) Пусть MN = kAB и точка В делит отрезок MN в отношении 1:3. Чему равно к ?

3. Даны точки Л(3;-2), Я(3;5), С(0;4), D{-\\-\). Найдите координаты:

а) точки пересечения прямых АС и BD.

б) центра масс этих точек.

Самостоятельная работа 4.17

ФОРМУЛА РАССТОЯНИЙ

1 вариант

1. Даны точки Л(2;4), Я(5;1), С(-3;-2).

а) Докажите, что они являются вершинами треугольника.

б) Пусть они являются серединами сторон треугольника MNP. Определите вид треугольника MNP (по сторонам и углам).

в) Будет л и расстояние от А до прямой ВС меньше 1?

2. Какой фигурой является множество точек К(х\у) таких, что

2 вариант

1. Даны точки Л(-2;-4), Я(-5;-1), С(3;2).

а) Докажите, что они являются вершинами треугольника.

б) Пусть они являются серединами сторон треугольника MNP. Определите вид треугольника MNP (по сторонам и углам).

в) Будет ли расстояние от А до прямой ВС меньше 1?

2. Какой фигурой является множество точек К{х\у) таких, что

Самостоятельная работа 4.18

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

1 вариант

1. Окружность проходит через точки Л(1;-1), в(1;1) и CHI).

а) Проходит ли она через точку /)(-4;-1)?

б) Принадлежит ли начало координат кругу, ограниченному этой окружностью?

2. а) Найдите расстояние между окружностями (х-22)2+(>; + 23)2 =100 и (х-2)2 + (>> + 3)2 = 200.

б) Какова наименьшая окружность, которая касается обеих данных?

3. х2 +ах + у2 -ау = а. При каких значениях а это уравнение является уравнением окружности?

2 вариант

1. Окружность проходит через точки /4(-1;1), и С(4;-1).

а) Проходит ли она через точку о(4;1)?

б) Принадлежит ли начало координат кругу, ограниченному этой окружностью?

2. а) Найдите расстояние между окружностями

(х + 22)2+(^-23)2 =100 и (jc + 2)2+(j-3)2 = 200.

б) Какова наименьшая окружность, которая касается обеих данных?

3. x2-ах + у2 +ау = а. При каких значениях а это уравнение является уравнением окружности?

Самостоятельная работа 4.19

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

1 вариант

1. Даны точки А(-4;2) и Д(6;8).

а) Отсекает ли прямая AB на осях координат равные отрезки?

б) Какая прямая, проходящая через середину AB отсекает на осях координат равные отрезки?

2. Даны точки Л(1;1), #(-2;3), С(-5;-3).

а) Докажите, что они являются вершинами треугольника.

б) Через центр масс этого треугольника проведена прямая, параллельная стороне ВС. В каких точках она пересекает другие его стороны?

3. Даны две прямые:/?, уравнение которой х-у + \=0 и ^уравнение которой х-у + 15 = 0 . Напишите уравнение прямой, равноудаленной от прямыхpwq.

2 вариант

1. Даны точки /4(4;-2) и Я(-6;-8).

а) Отсекает ли прямая AB на осях координат равные отрезки?

б) Какая прямая, проходящая через середину AB отсекает на осях координат равные отрезки?

2. Даны точки Л(-1;-1), й(2;-3), С(5;3).

а) Докажите, что они являются вершинами треугольника.

б) Через центр масс этого треугольника проведена прямая, параллельная стороне ВС. В каких точках она пересекает другие его стороны?

3. Даны две прямые: р, уравнение которой х + у-\ = 0 и ^уравнение которой х + у-\3 = 0 . Напишите уравнение прямой, равноудаленной от прямых pwq.

Самостоятельная работа 4.20

МЕТОД КООРДИНАТ

1 вариант

Дан ромб ABCD с диагоналями BD = 10 и АС = 20.

1. Точка Р лежит на AD, точка Q лежит на ВС. При этом АР = aAD, CQ = ßC/?. Верно ли, что точка О пересечения диагоналей ромба лежит на прямой PQ тогда и только тогда, когда а = ß?

2. Какой фигурой является множество точек Г таких, что

TA2 + TD2=TB2 + TC2f>

2 вариант

Дан ромб ABCD с диагоналями BD = 20 и АС = 30. 1. Точка Р лежит на AB, точка Q лежит на CD. При этом АР = аАВ, CQ=ßCD. Верно ли, что точка О пересечения диагоналей ромба лежит на прямой PQ тогда и только тогда, когда а = ß?

2. Какой фигурой является множество точек Г таких, что ta2+td2 = tb2+tc2t>

Контрольная работа 2

1 вариант

1. Даны точки Л(3;4), Я(4;3), С(-2;-2).

а) Докажите, что эти точки являются вершинами треугольника.

б) Определите его вид (по сторонам и углам).

в) Задайте этот треугольник системой неравенств.

г) Найдите точки: центроид; ортоцентр (точка пересечения высот).

д) Докажите, что каждая координата центра описанной окружности меньше, чем 1;

е) Докажите, что каждая координата центра вписанной окружности больше, чем 3.

2. Сумма двух смежных сторон переменного прямоугольника abcd равна 1. Из точки С на диагональ bd проводится перпендикуляр ck. Докажите, что все прямые САГ имеют общую точку.

2 вариант

1.Даны точки Л(-3;-4), Я(-4;-3), С(2;2).

а) Докажите, что эти точки являются вершинами треугольника.

б) Определите его вид (по сторонам и углам).

в) Задайте этот треугольник системой неравенств.

г) Найдите точки: центроид; ортоцентр (точка пересечения высот).

д) Докажите, что каждая координата центра описанной окружности меньше, чем 1;

е) Докажите, что каждая координата центра вписанной окружности больше, чем 3.

2. Периметр переменного прямоугольника abcd равен 2. Из точки в на диагональ ad проводится перпендикуляр вк. Докажите, что все прямые ЯАГ имеют общую точку.

Самостоятельная работа 5.1

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР

1 вариант

Преобразование / переводит точку (х,у) в точку (-y + l,jc-l).

1. Докажите, что оно является движением.

2. Найдите обратное движение.

3. Найдите образ:

а) окружности с центром О и радиусом R = 1.

б) квадрата, вершины которого (0;0), (0;1), (1;1), (1;0).

в) прямой у = -х.

г) вектора (1;2).

4. Имеет ли это движение

а) неподвижную точку.

б) прямую, которая переходит в себя?

2 вариант

Преобразование / переводит точку (х,у) в точку + .

1. Докажите, что оно является движением.

2. Найдите обратное движение.

3. Найдите образ:

а) окружности с центром О и радиусом R = 1.

б) квадрата, вершины которого (0;0), (0;1), (1;1), (1;0).

в) прямой у = —x .

г) вектора (1;2).

4. Имеет ли это движение

а) неподвижную точку.

б) прямую, которая переходит в себя?

Самостоятельная работа 5.2

ПЕРЕНОС

1 вариант

Дан равносторонний треугольник ABC со стороной 1. Треугольник АХВХСХ получается из треугольника ABC переносом на вектор СХ, где ХеСА. Треугольник А2В2С2 получается из треугольника ABC переносом на вектор СУ, где Y еСВ. При этом СХ-СУ-t. Пусть F— пересечение треугольников АХВХСХ и А2В2С2. Пусть G — пересечение треугольников АхВх Q^^Q и данного треугольника. Через SF, ^обозначим площади соответствующих фигур.

1. Установите вид фигуры Fw фигуры G.

2. Найдите / такое, что F = G.

3. Найдите —, если / =- .

4. Найдите —(/).

5. В каких границах лежит — ?

2 вариант

Дан прямоугольный равнобедренный треугольник АВС с гипотенузой АВ и катетами, равными 1. Треугольник А{ВХС{ получается из треугольника ABC переносом на вектор СХ , где ХеСА . Треугольник А2В2С2 получается из треугольника ABC переносом на вектор CY, где Ye СВ. При этом СХ -CY = /. Пусть F— пересечение треугольников АХВХСХ и А2В2С2. Пусть G— пересечение треугольников АхВхСХу А2В2С2 и данного треугольника. Через SF, SG обозначим площади соответствующих фигур.

1. Установите вид фигуры F и фигуры G

2. Найдите / такое, что F = G.

3. Найдите —, если / = -.

4. Найдите —(f).

5. В каких границах лежит

Самостоятельная работа 5.3

ОТРАЖЕНИЕ В ПРЯМОЙ

1 вариант

Треугольник ABC— равнобедренный. AB = ВС, AC = \,ZA = 2ср. Проводится биссектриса угла А — AD. Пусть A, = SAD(AABC) и пусть F = АпД,. Через ^обозначим площадь фигуры F

1. Найдите 5(F),если Z£ = 90°.

2. Найдите 5(F)(9).

3. Найдите ф такое, что 5(F) = —.

2 вариант

Треугольник ЛЯС — равнобедренный. AB = ВС = \, ZA = 2y. Проводится биссектриса угла А — AD. Пусть A, =SAD(àABC). Пусть F = AnA,. Через SFобозначим площадь фигуры F

1. Найдите 5 (F), если ZB = 90°.

2. Найдите 5(F)(9).

3. Найдите ср такое, что 5(F) = —.

4. Найдите

Самостоятельная работа 5.4

ПОВОРОТ

1 вариант

В прямоугольном треугольнике АБС катеты АС и ВС равны 2и 1.

1. Его повернули вокруг точки С на угол (р так, что образ Вх точки В оказался на AB. Чему равна площадь общей части исходного и полученного треугольников?

2. Его повернули вокруг Сна 45°. Найдите пересечение исходного и полученного треугольников.

2 вариант

В прямоугольном треугольнике ЛЯС катеты ЛС и #С равны 2 и 1.

1. Его повернули вокруг точки С на угол ф так, что точка В оказалась на АХВЬ где Ах — образ точки А, Вх — образ точки В. Чему равна площадь общей части исходного и полученного треугольников?

2. Его повернули вокруг Сна 45°. Найдите пересечение исходного и полученного треугольников.

Самостоятельная работа 5.5

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

1 вариант

Катет непрямоугольного треугольника ABC равен 6, а катет ВС равен 3. Рассматривается симметрия относительно точки Г пересечения медиан этого треугольника. Пусть образ данного треугольника — треугольник А х Вх Сх.

1. Нарисуйте треугольник Ах Вх Сх и его пересечение с треугольником АБС.

2. Докажите, что длина пересечения отрезка ВХСХ с треугольником Л/?С равна 1.

3. Чему равен периметр пересечения исходного и полученного треугольников?

4. Чему равна площадь пересечения исходного и полученного треугольников?

2 вариант

Катет непрямоугольного треугольника ABC равен 3, а катет ВС равен 9. Рассматривается симметрия относительно точки Г пересечения медиан этого треугольника. Пусть образ данного треугольника — треугольник А]В] Сх.

1. Нарисуйте треугольник А{ВХСХ и его пересечение с треугольником ABC

2. Докажите, что длина пересечения отрезка Вх Сх с треугольником ABC

3. Чему равен периметр пересечения исходного и полученного треугольников?

4. Чему равна площадь пересечения исходного и полученного треугольников?

Самостоятельная работа 5.6

СИММЕТРИЯ ФИГУРЫ

1 вариант

Фигура У7 является объединением трех равносторонних треугольников, при этом ни один из них не содержится в другом.

1. Нарисуйте F, если она имеет:

а) одну ось симметрии.

б) две оси симметрии.

в) три оси симметрии.

г) центр симметрии, а оси симметрии нет.

2. Какие элементы симметрии может иметь такая фигура?

2 вариант

Фигура /' является объединением трех квадратов, при этом ни один из них не содержится в другом. 1. Нарисуйте F, если она имеет: а) одну ось симметрии.

б) две оси симметрии.

в) три оси симметрии.

г) центр симметрии, а оси нет.

2. Какие элементы симметрии может иметь такая фигура?

Контрольная работа 3

1 вариант

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ЛЯС с гипотенузой AB =2.

1. Рассматриваются всевозможные переносы этого треугольника на вектор АХ , где X еАВ. Объединение всех образов треугольника ABC (включая сам треугольник) обозначим F{.

а) Нарисуйте F\.

б) Найдите все симметрии Fx.

в) Вычислите площадь Fv

2. Рассматриваются всевозможные центральные симметрии этого треугольника относительно точек отрезка AB. Объединение всех образов треугольника ABC (включая сам треугольник) обозначим F2.

а) Нарисуйте F2.

б) Найдите все симметрии F2.

в) Вычислите площадь F2.

3. Рассматриваются всевозможные осевые симметрии этого треугольника относительно прямых, параллельных прямой AB и имеющих с треугольником, хотя бы одну общую точку. Объединение всех образов треугольника ABC (включая сам треугольник) обозначим Fy

а) Нарисуйте F^

б) Найдите все симметрии F3

в) Вычислите площадь F3

4. Рассматриваются всевозможные повороты с центром К в середине гипотенузы на угол от 0° до 45° по часовой стрелке. Объединение всех образов треугольника ABC (включая сам треугольник) обозначим F4.

а) Нарисуйте FA.

б) Найдите все симметрии F4

в) Вычислите площадь F4

2 вариант

Дан равносторонний треугольник ЛВС со стороной I.

1. Рассматриваются всевозможные переносы этого треугольника на вектор АХ , где X еАВ. Объединение всех образов треугольника НАС (включая сам треугольник) обозначим Fx.

а) Нарисуйте Fy

б) Найдите все симметрии

в) Вычислите площадь Fv

2. Рассматриваются всевозможные центральные симметрии этого треугольника относительно точек отрезка AB. Объединение всех образов треугольника ABC (включая сам треугольник) обозначим F2.

а) .Нарисуйте F2.

б) Найдите все симметрии F2.

в) Вычислите площадь F2.

3. Рассматриваются всевозможные осевые симметрии этого треугольника относительно прямых, параллельных прямой AB и имеющих с треугольником, хотя бы одну общую точку. Объединение всех образов треугольника ABC (включая сам треугольник) обозначим F3.

а) Нарисуйте F3

б) Найдите все симметрии F3

в) Вычислите площадь F3

4. Рассматриваются всевозможные повороты с центром Кв центре этого трегольника на угол от 0° до 60° по часовой стрелке. Объединение всех образов треугольника ABC (включая сам треугольник) обозначим /*4.

а) Нарисуйте F4.

б) Найдите все симметрии FA

в) Вычислите площадь F4

Самостоятельная работа 5.7

ГОМОТЕТИЯ

1 вариант

Дана окружность радиусом 2 с центром в точке О. В ней проведена хорда AB. В меньшем из полученных сегментов расположен прямоугольник KLMN , причем точки К и TV находятся m AB. При этом KN:KL = 2:\, ZAOB = \20°.

1. Постройте этот прямоугольник.

2. Каково отношение площади прямоугольника к площади сегмента?

2 вариант

Дана окружность радиусом 2 с центром в точке О. В секторе АОВ расположен прямоугольник KLMN , при этом KN : KL = 2:1, точки К и До лежат на радиусах OA и OB.

1. Постройте этот прямоугольник.

2. Каково отношение площади прямоугольника к площади сектора?

Самостоятельная работа 5.8

ПОДОБИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

1 вариант

Треугольник ABC— прямоугольный, ZC = 90°,AC = b, ВС = а. Через точку К гипотенузы AB проведена прямая, ей перпендикулярная. Катет Z?Cона пересекает в точке L, а прямую АС— в точке М. Пусть ВК = х.

1. Выразите-как функцию от х при а = b = 1.

2. При каком значении х LK = LC ?

3. Может ли выполняться равенство LK = LC = CM ?

4. В каких границах лежит отношение-при изменении л: ?

2 вариант

Треугольник ABC — прямоугольный, ZC = 90°, АС = b, ВС = а. Через точку К гипотенузы AB проведена прямая, ей перпендикулярная. Катет НС она пересекает в точке L, а прямую ВС — в точке M . Пусть АК-х.

1. Выразите-как функцию отх при д = 6 = 1.

2. При каком значении jc LK = LC?

3. Может ли выполняться равенство LK = LC = CM ?

4. В каких границах лежит отношение-при изменении jc?

Самостоятельная работа 5.9

ПОДОБИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

1 вариант

Дана равнобокая трапеция ABCD, в которой AD = ВС CK — хорда этой трапеции, параллельная AD.

1. Пусть AB:CD = 2:\, диагонали трапеции пересекаются в точке F, CA" пересекает BD в точке L. В каком отношении точки F и L делят диагональ BD?

2. Найдите i = AB:CD , если:

а) DF = FL;

б) DF <BL\

в) FL> LB.

2 вариант

Дана прямоугольная трапеция ABCD, ZB = Z„ = 90°, CB = CD . CA"— хорда этой трапеции, параллельная AD.

1. Пусть AB:CD = 2:\, диагонали трапеции пересекаются в точке F, CA"пересекает BD в точке L. В каком отношении точки F и L делят диагональ BD?

2. Найдите t = AB:CD , если:

а) DF = FL ;

б) DF <BL\

в) FL > LB.

Самостоятельная работа 5.10

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ

1 вариант

В треугольнике ABC (AB = 4, ВС= 3,ЛС= 2) проведена биссектриса ЛД биссектриса ВКи биссектриса Я! угла, внешнего к углу B(L — точка пересечения ее с прямой АС). Точки К, С, I ортогонально проектируются на прямую AD и пусть К{, С,, — их проекции соответственно.

а) Каково отношение отрезков АК{ : КХСХ :СХ1^ ?

б) Изменится ли полученный результат, если АС = 6 ?

в) Сохранится ли это отношение, если вместо биссектрисы AD взять другую прямую, проходящую через А и проектировать ортогонально на нее эти же точки?

2 вариант

В треугольнике ABC (АВ= 4, ВС= 3, АС= 6) проведена биссектриса AD, биссектриса В К и биссектриса BL угла, внешнего к углу B(L — точка пересечения ее с прямой АС). Точки К, С, L ортогонально проектируются на прямую AD и пусть Кх, С{, Lj — их проекции соответственно.

а) Каково отношение отрезков АКХ : КХСХ :CjL, ?

б) Изменится ли полученный результат, если АС = 2 ?

в) Сохранится ли это отношение, если вместо биссектрисы AD взять другую прямую, проходящую через А и проектировать ортогонально на нее эти же точки?

Самостоятельная работа 5.11

ПОДОБИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

1 вариант

В трапеции ABCD AB=CD=2, Л D = 3 , ЯС = 1.

1. Проводится хорда трапеции KL, параллельная AD. (К е AB, L е CD) Сколько пар подобных между собой трапеций может получиться при этом?

2. Проводится хордатрапецииЛ/yV, перпендикулярная AD(Me ВС, Ne AD). Сколько пар подобных между собой (но не равных) трапеций может получиться при этом?

3. Проводятся две хорды KL и MN. Хорда KL параллельна AD (Ке AB, Le CD), хорда MN перпендикулярна AD (Me ВС, Ne AD). Каково наибольшее число пар подобных между собой (но не равных) трапеций при этом может получиться?

2 вариант

В трапеции ABCD AB = CD = \, AD = 3 , ВС =2.

1. Проводится хорда трапеции KL, параллельная AD. (К е AB, Le CD) Сколько пар подобных между собой трапеций может получиться при этом?

2. Проводится хорда трапеции MN, перпендикулярная AD(M е ВС, N е AD). Сколько пар подобных между собой (но не равных) трапеций может получиться при этом?

3. Проводятся две хорды KL и MN. Хорда KL параллельна AD (К е AB, Le CD), хорда MN перпендикулярна AD (M ВС, N AD). Каково наибольшее число пар подобных между собой (но не равных) трапеций при этом может получиться?

Контрольная работа 4

1 вариант

В трапеции ABCD A D = 3, ВС= \ ,AB = CD= 2. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Проведены отрезки DKWaB

(Улежит на продолжении АС) и AL II DC (Улежит на продолжении BD).

1. Укажите на полученном рисунке все пары подобных треугольников.

2. Докажите, что BCLK— равнобокая трапеция.

3. Подобны ли трапеции BCLKи ABCD ; BCLA и ABCD ?

4. Чему равна площадь трапеции BCLK?

5. Какие из полученных результатов верны для равнобокой трапеции ABCD с произвольными размерами?

6. Для произвольной равнобокой трапеции A BCD сравните ВС и среднюю линию трапеции AKLD.

2 вариант

В трапеции ABCDAD = 3, ВС = 1, AB = Со = 2. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Проведены отрезки ДАТ II CD (К е АС) uCLÏÏAB(LeBD).

1. Укажите на полученном рисунке все пары подобных треугольников.

2. Докажите, что adkl — равнобокая трапеция.

3. Подобны ли трапеции ADKL и ABCD ; ADKL и A DC LI

4. Чему равна площадь трапеции ADKL?

5. Какие из полученных результатов верны для равнобокой трапеции ABCD с произвольными размерами?

6. Для произвольной равнобокой трапеции ABCD сравните AD и среднюю линию трапеции АВСК.

Рыжик Валерий Идельевич

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ

8-9 класс

Компьютерная верстка Е. А. Типцовой

Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции OK 005-93, т. 2; 95 3005 - учебная литература

Подписано в печать 20.08.2014. Формат 60x84/16. Усл.-печ. л. 5,25, Тираж 100. Заказ 164.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного Издательством Политехнического университета, в Типографии Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812) 552-77-17; 550-40-14.