В.И.РЫЖИК А.А.ОКУНЕВ

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ по геометрии

Просвещение

В.И.РЫЖИК А.А.ОКУНЕВ

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ по геометрии ДЛЯ 9 КЛАССА

Для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики

Москва «Просвещение» 1999

УДК 373.167.1:51 ББК22.1я72 Р93

Рецензент: профессор РГПУ им. А. И. Герцена А. Л. Вернер

Рыжик В. И., Окунев А. А.

Р93 Дидактические материалы по геометрии для 9 класса: Для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики.— М.: Просвещение, 1999.- 112 с: ил.- ISBN 5-09-008460-2.

Дидактические материалы состоят из двух частей. В первой части собраны самостоятельные и контрольные работы В. И. Рыжика. Это традиционный дидактический материал, который содержит задачи различного уровня сложности. Во второй части — самостоятельные и зачетные работы А. А. Окунева. Они помогут опробовать новые методы преподавания. Книга составлена в соответствии с учебником «Геометрия для 8—9 классов» А. Д. Александрова и др.

УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72

Учебное издание

Рыжик Валерий Идельевич, Окунев Анатолий Арсеньевич

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 9 КЛАССА

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова. Редактор Т. Ю. Акимова. Младший редактор Н. В. Сидельковская. Художник В. В. Костин. Художественный редактор Е. Р. Дашук. Компьютерная верстка О. В. Храброва. Технический редактор Н. Н. Бажанова. Корректор И. В. Чернова.

Отпечатано с диапозитивов, изготовленных издательством «Просвещение»

Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции OK 005-93-953000. Изд. лиц. № 010001 от 10.10.96. Подписано к печати 16.03.99. Формат 60х90У16. Бумага офсетная № 1. Гарнитура Тайме. Печать офсетная. Усл. печ. л. 7. Усл. кр.-отт. 7,62. Уч.-изд. л. 7,06. Тираж 10000. экз. Заказ № 1147.

Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Государственного комитета Российской Федерации по печати. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.

ISBN 5-09-008460-2

© Издательство «Просвещение», 1999 © Художественное оформление.

Издательство «Просвещение», 1999

Все права защищены

«Знание есть творческое открытие действительности».

С. И. Гессен

ПРЕДИСЛОВИЕ

Самостоятельные и контрольные работы представлены в первой части и предназначены для тех учащихся, которые занимаются по учебнику «Геометрия для 8—9 классов» с углубленным изучением математики авторов А. Д. Александрова, А. Л. Вернера и В. И. Рыжика. Поэтому данные работы выдержаны в таком же духе, что и сам учебник. Возможно, их смогут использовать и учителя математики, преподающие и по другим учебникам геометрии.

В первую очередь подчеркнем, что геометрия видится здесь как неразрывное единство воображения и логики. Поэтому мы старались в каждой самостоятельной и контрольной работе в той или иной степени дать пищу для развития геометрического воображения.

При составлении этих работ мы попытались учесть самые разные соображения. Перечислим некоторые из них.

Каждая конкретная работа должна быть реальной для ученика. Иначе говоря, какая-то часть работы доступна для него.

Она же должна быть реальной и для учителя. Тем самым она удобна для проверки, а это значит, что не предусмотрено длинных доказательств, варианты схожи, почти идентичны, геометрические фигуры получают фиксированные буквенные обозначения и т. д.

В большинстве случаев работа построена по принципу «стрелы заданий», идущих по нарастающей сложности, что обеспечивает дифференцированный уровень обучения. Мы постарались в каждом задании дать чуточку неожиданности для ученика.

В целом каждая работа получилась достаточно объемной, поэтому вряд ли большинство учеников будут выполнять все задания. Тут учитель действует по своему разумению. Можно уменьшить число заданий, можно увеличить время, отведенное для решения (самостоятельной работе отводится 1 ч, контрольной работе — 2ч). Можно предложить самим учащимся выбрать для решения те или

иные задачи, а также решать их в произвольном порядке, а не только в том, который задан. Если учитель полагает, что работа в целом трудна, то предварительно в классе можно обсудить план решения наиболее сложных задач. И наконец, самостоятельная работа может быть предложена для домашней работы. В общем, учитель располагает при проведении этих работ всей полнотой возможностей. Жесткая система оценок вряд ли разумна. Далее, если ученик справился только с одной задачей из самостоятельной работы, то даже и в этом случае ему можно поставить положительную оценку, и даже хорошую, и даже отличную, если задача была достаточно сложной или решение совершенно оригинальным. И в этом случае учитель имеет полную возможность действовать по своему усмотрению. Выкладки и ссылки учеников могут быть сильно свернутыми. Вообще при работе на скорость, а таковой является любая самостоятельная или контрольная работа, проводимая на уроке, ученикам стоит больше доверять своей пространственной интуиции, а учителю быть не столь придирчивым по части обоснований.

И наконец, учитель может рассматривать данные дидактические материалы как дополнительный задачник к тому, который предложен в тексте учебника, и работать с ним согласно своим представлениям.

Несколько замечаний.

1) Точки, названные разными буквами, предполагаются, вообще говоря, различными. Исключения обычно ясны из содержания задачи.

2) Если угол в ответе записан с помощью обратных тригонометрических функций, а таковая символика еще не известна ученикам, то в качестве окончательного результата можно оставить найденную тригонометрическую функцию.

3) Задачи на движения и подобие являются заключительными в курсе планиметрии. Естественно поэтому (для повторения) в задачи этой темы включить больше фактов из предыдущих разделов. Тому служат задачи с явными аналитическими мотивами — нахождение длин отрезков, площадей и работа с этими величинами.

В. И. Рыжик

Вторую часть дидактических материалов составляют творческие и зачетные работы. Их могут использовать учителя, пробующие новые методы обучения в школе. Эти работы также полностью соответствуют содержанию учебника по геометрии для 8—9 классов А. Д. Александрова и др. С точки зрения нового подхода к обучению мы приводим свои размышления, которые помогут понять полезность введения новых форм дидактических материалов.

Размышления о целях и содержании дидактических материалов

Известно, какой интерес вызывает дидактический материал. Если он опубликован в журнале, то редакция может быть уверена, что этот номер будет пользоваться успехом. Думаем, что и сама редакция об этом знает и, идя навстречу пожеланиям, часто печатает разнообразный дидактический материал. Но вы не задумывались, читатель, почему различные самостоятельные и контрольные так привлекают наше внимание? Проще взять готовую работу и предложить ее своим ученикам. (Может быть, и проще, но...) Желание сверить знания, умения своих учеников с эталоном? (Если требуют добиться уровня, добьемся.)

Ну, значение контрольных работ еще понятно, а какова роль различных самостоятельных, часто дублирующих контрольные? Почему их так много? Надо ли чуть ли не каждый урок проводить работы, контролирующие процесс усвоения? Если надо, то с какой целью? Не заставляет ли учитель и себя и детей выполнять ненужную работу? Может быть, мы просто привыкли к самостоятельным работам, ведь кто-то их когда-то зачем-то выдумал? А может быть, они изначально были другие?

Вопросы, вопросы, вопросы...

Попробуем проанализировать содержание и цели, которые преследует дидактический материал, подумаем о его месте в современном образовательном процессе.

Традиционно дидактические материалы содержат набор самостоятельных и контрольных работ, позволяющих в разные временные промежутки изучения курса делать проверочные срезы и таким образом контролировать степень усвоения материала. Причем обычно самостоятельных работ в таких книгах гораздо больше, чем контрольных, и отличаются они от контрольных тем, что направлены на проверку усвоения более мелких вопросов курса.

Удивительно называются эти два типа работ: самостоятельные и контрольные. Самостоятельная подразумевает, что ученик будет выполнять все задания сам, без посторонней помощи. Так раскрывает смысл этого слова и толковый словарь русского языка С.И. Ожегова. А какой же смысл несут тогда слова «контрольная работа»? Разве она выполняется несамостоятельно? Да нет, любой учитель не хотел бы получить несамостоятельно выполненные контрольные работы. Думаем, что на самом деле один вид работ по сути мало чем отличается от другого. Хотя учителя иногда, в случае затруднений, помогают ученикам во время самостоятельных работ. На контрольной же ученики лишены такой помощи, и тогда им приходится тайно искать ее у своих товарищей.

Мы уверены, что контрольных работ должно быть немного, преимущественно по крупным темам, и проводить их стоит лишь тогда, когда ученику были предоставлены возможности изучать материал в своем темпе, понять взаимосвязь разных частей материа-

ла, сделать обобщения, увязать данную тему с изученными ранее. От учителя зависит выбор такого метода преподавания, который предоставит ученику условия работы, соответствующие его умственному, психическому развитию.

Одна из традиционных целей самостоятельных работ — подготовка ребят к контрольным. Цель достойная, но как же она реализуется в школе и как должна быть реализована? Стоит ли проводить самостоятельную работу, если она дублирует контрольную и учитель так же строго оценивает ее? Учителя часто говорят, что за самостоятельные работы они «плохих» отметок в журнале не выставляют. Журнал! Но ученик-то знает отметку, которой оценил его знания учитель. Его двойка, даже если она и не стоит в журнале, отражает его неуспех, его плохую работу. Да, ни завуч, ни директор про нее не узнают, но он-то знает! Единственного порой не знает ученик: что делать в этой ситуации? Он и все домашние задания выполняет, и на все уроки ходит, а неудача одна за другой. А может быть, во всем виноват не ребенок, а наша традиция контролировать его, когда надо и не надо, чаще — когда не надо? Может быть, шквал самостоятельных и контрольных не помогает учению, не способствует приобретению желанных знаний, умений, навыков, а, наоборот, мешает, вносит нервозность в педагогический процесс, сбивает его ритм?

Известный психолог В. В. Давыдов, размышляя о дидактических принципах современного образования, предлагает заменить принцип наглядности на принцип предметности, т. е. точного указания тех специфических действий, которые необходимо произвести с предметом, чтобы, с одной стороны, выявить содержание будущего понятия, с другой — изобразить это первичное содержание в виде знакомых моделей. Сами модели могут быть материальными, графическими, буквенно-словесными (см.: Возрастная и педагогическая психология. — М.: МГУ, 1992. — С. 116). Нам кажется, что в этих словах дано направление, в котором можно осуществлять поиск конструкции самостоятельных, исследовательских работ, позволяющих ученику приобретать знания в процессе деятельности. Задача сложная, ибо трудно выделить конкретные действия, раскрывающие содержание понятия, но выход — в заданиях широких, представляющих свободу поиска, стимулирующих инициативу ученика. Конечно, в этом случае увеличиваются шансы творческой деятельности и непредсказуемость результата. Задания другого типа, четко детерминирующие действия ученика, твердой рукой ведущие по определенному пути, известному учителю, к определенной цели, дают меньше простора для ошибок, но при этом суживается и пространство, в котором царит выдумка, фантазия, воображение.

Одним из направлений самостоятельных работ может стать формирование у школьников нового уровня способностей, необходимых для успешного изучения курса. К таким способностям относятся: восприятие информации, ее хранение, припоминание, иссле-

дование ситуации, постановка проблем и организация поиска их решения, переход от обобщений к конкретизации и, наоборот, классификация и т. д. Таким образом, автор самостоятельных работ, организуя деятельность ребенка, должен относиться к ней не как к самоцели, а как к необходимому условию умственного и нравственного развития ребенка, его интеллектуальной и мотивационной сферы (см. Возрастная и педагогическая психология.— М.: МГУ, 1992.- С. 252).

Думаем, что нужны работы, главной целью которых является не контроль, а самостоятельная деятельность, деятельность детей, связанная с самопознанием, самосознанием, овладением основными приемами мыслительной деятельности.

Читателям будут предложены работы, состоящие из ряда заданий. При выполнении каждого задания ребенок сможет свободно идти своим, самостоятельно выбранным путем. При этом чаще всего он не будет лишен возможности проконтролировать истинность своих утверждений, ибо большинство работ подразумевает работу и в парах и в группах. Да, надо сказать, что он не останется и без поддержки учителя, составившего задания так, чтобы интеллектуальных возможностей каждого ученика было достаточно для выполнения задания на своем уровне. Задания часто подключают прошлый жизненный опыт ребенка, основой их выполнения являются имеющиеся у ребенка знания. Но процесс поиска не очень затормозится, если вдруг каких-то знаний не будет хватать, ибо работы содержат задания, обращающие школьника к тексту параграфа, способствующие обмену мыслями с одноклассниками. Конечно, поиск новых знаний, новых способов работы должен непрерывно подниматься на новый уровень. Поэтому каждая самостоятельная работа, предложенная в этой книге, требует соавторства учителя. Очень важно включать ряд заданий, которые сделают эту работу значимой именно для ребят вашего класса. Огромна роль учителя и при проведении работы.

Цель работ — научить школьника самостоятельно, осознанно изучать теоретический материал, снять стресс перед решением задач, познакомить его с разнообразными способами и методами их решения. Творческие и самостоятельные работы основаны на пробуждении творчества, инициативы ученика, поэтому практически все работы начинаются с деятельности ребенка, основанной на его личном опыте, на имеющихся у него знаниях, на его интуиции и воображении.

Обратите внимание, что все задания, кроме обсуждения изучаемых вопросов с соседом по парте, обращены лично к школьнику и рассчитаны на самостоятельное их выполнение. Когда же давать эти работы: до объяснения учителя или после? Конечно же до. Слово учителя должно попасть на хорошо вспаханную, подготовленную для объяснений почву.

Однако, раздавая работы (лучше текст дать каждому учащемуся), учитель должен объяснить цели работы.

Ученик должен знать, что не стоит читать всю работу как захватывающий художественный текст, ибо она — руководство к действию: прочел первое задание — выполнил, потом прочел второе задание — выполнил и т. д. Иногда следующее задание содержит подсказку или просто ответ к предыдущему заданию, поэтому читать его следует только тогда, когда уверен, что полностью исчерпал свои резервы в поиске ответа на данный вопрос.

После того как вся работа выполнена, ученику полезно еще раз просмотреть все задания с самого начала и обязательно сделать для себя необходимые выводы, может быть, стоит их и записать. Важно осознать сам способ изучения теории и поиск решения задачи, который намечают задания. Ребят, наверное, удивит, что часто им предлагается читать текст параграфа не целиком, а фрагментами, иногда после беглого просмотра. Это делается для того, чтобы то главное, что надо понять, осмыслить и запомнить, постоянно было под пристальным вниманием школьника. Возможно, вначале ребята будут протестовать против такого способа изучения теории, ведь привыкли-то они к послушному чтению текста от первой строки параграфа до последней. Привыкли запоминать прочитанное, ибо четко знают, что обсуждать, спорить с авторами нечего, так как все написанное в учебнике — истина. Отсюда установка: ученик должен прочесть и запомнить прочитанное. Такая позиция ребенка разрушается, когда он выполняет задания, в которых на равных с авторами, еще до знакомства с текстом учебника сочиняет определения, признаки, придумывает свои доказательства теорем. Ученику предлагается выступить как бы в роли соавтора, занять равное с ним положение на троне познания у пьедестала, на который вознесена истина.

Итак, когда тексты работ всем ученикам розданы, учитель в это время свободен. Нам кажется, что его задача в этот момент — ликвидировать, разобрать организационные и интеллектуальные «завалы». Если кто-то раньше, чем его сосед, сделал задание и ему обсуждать сделанное не с кем, то разумно такого ученика посадить к однокласснику, работающему в том же темпе, или роль одноклассника, собеседника придется выполнять самому учителю. Возможно, что, несмотря на имеющиеся в тексте заданий подсказки, школьник все равно находится в тупике и никак не может выполнить какое-то задание. Тут ему нужна помощь учителя. Можно предложить ребенку выполнить какое-нибудь промежуточное задание, и тут вся надежда на импровизацию учителя, и можно выслушать его идеи. Часто человек, рассказывая кому-нибудь о том, что у него не получается, сам находит выход из положения.

Надо сказать, что все работы по объему не маленькие, их выполнение может выйти за рамки школьного урока. Некоторые из них можно безболезненно прервать на том месте, где предлагается решить аналогичную задачу, выполнить аналогичное умозаключение, проконтролировать себя или скорректировать свои действия.

В других же случаях стоит продолжить выполнение заданий дома или на другом уроке.

Выставление отметок за эти работы не подразумевается. Контроль за своей деятельностью ребенок ведет сам, разговаривая с соседом по парте, одноклассниками, общаясь с учителем. Полезно работы ребят вывешивать в классе на стене, получится своеобразная выставка, рассматривая которую каждый может многому научиться. Итак, опора делается на стимулирование внутреннего контроля даже тогда, когда работы представлены классу, когда ученик разговаривает с одноклассником.

Эти работы, естественно, разумно применять в сочетании с известными нам способами преподавания с позиции гуманистического образования, предоставления свободы выбора ученику, стимулирования развития его творческого начала, с позиции становления личности ребенка.

Л. С. Выготский писал, что умственное развитие имеет два уровня: 1) уровень актуального развития, фиксируемый по некоторым завершенным его циклам, и 2) уровень зоны ближайшего развития, фиксируемый по еще не завершенным его циклам.

Поэтому при подборе задач для самостоятельной работы учитель четко определяет тот уровень задач, который посилен учащемуся. Умения, необходимые для поиска и реализации решения, у ребят должны быть сформированы к этому моменту. Но не обойтись и без задач, которые школьник сейчас самостоятельно еще решать не может, однако решит их в сотрудничестве с одноклассниками, с учителем. Этот круг задач относится к зоне ближайшего развития и является хорошим материалом для групповой и парной работы. И тут встает вопрос об организации групповой деятельности ребят. Конечно, можно надеяться, что она стихийно найдет нужный ритм и выйдет на правильное направление поиска решения. В начале же пути нужное направление задает последовательность заданий, составленная учителем. Таким образом, ученик не остается один на один с задачами, с которыми он пока самостоятельно не может справиться, с задачами, которые находятся в зоне его ближайшего развития. Но надо заметить, что и в работах, приведенных в этой книге под названием «Учимся решать задачи, или Искусство решать задачи», ученика никто за руку не ведет, никто не склоняет к определенному решению. Задания лишь направляют его взгляд то на исследование закономерностей между данными задачи, то между данными и ее заключением, то на рассмотрение рисунка.

Иногда же ученику требуется просто остановиться, оглянуться на сделанное, оценить выбранный путь. Этой цели служат задания, предлагающие поговорить ему с соседом, с одноклассниками, просто походить по классу, посмотреть, кто что делает. Такое обучение, в процессе которого предлагаются задачи, ориентированные на зону ближайшего развития ребенка, направлено не в прошлое, а в будущее, не тормозит его развитие, а, наоборот, стимулирует, приот-

крывает горизонты познания, которыми стоит овладеть. А главное, если этот процесс протекает в благоприятных для ученика условиях, если он защищен от всяких оценок и в классе нет даже и повода для страха, то у него появляется уверенность в себе, вера в свои силы. Возможно, после выполнения таких работ не будет традиционного результата в виде отметки, но разве этого результата мы желаем, разве этого результата ждут ребята?

Надо сказать, что даже идеальная работа может быть провалена, если в классе отсутствует атмосфера творчества, равенства учителя и ученика, если царит культ знаний и программы, а не личности ребенка, если ему отказано в праве на ошибку, если не в почете трудный, но увлекательный, свободный, хотя, может быть, и не такой скорый, поиск истины. «Психологический закон гласит: прежде чем ты хочешь призвать ребенка к какой-либо деятельности, заинтересуй его ею, позаботься о том, чтобы обнаружить, что он готов к этой деятельности, что у него напряжены все силы, необходимые для нее, и что ребенок будет действовать сам, преподавателю же остается только руководить и направлять его деятельность»,— писал Л. С. Выготский (Педагогическая психология.— М.: Педагогика-Пресс, 1996.— С. 84). И далее: «...Личный опыт воспитанника делается основной базой педагогической работы. Строго говоря, с научной точки зрения нельзя воспитывать другого... Ребенок в конечном счете воспитывается сам... В воспитательном процессе личный опыт ученика представляет из себя все. Воспитание должно быть организовано так, чтобы не ученика воспитывали, а ученик воспитывался сам... В основу воспитательного процесса должна быть положена личная деятельность ученика (Там же.- С. 51).

Из этих двух цитат ясно, какую роль Л. С. Выготский отводил личности ученика, его личному опыту в воспитательном и образовательном процессах. Учителю же досталась совсем не главная, но несказанно важная должность помощника, он должен быть буфером между ребенком и средой. Его мудрости должно хватить, как утверждал Л. С. Выготский, на то, чтобы «лепить», «кроить» и «сочетать» самым различным образом элементы социальной среды, воспитывающей ребенка.

Предлагаемое пособие для указанного учебника геометрии является первым. Мы будем признательны всем доброжелательным критикам.

А. А. Окунев

Самостоятельные и контрольные работы

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

ВАРИАНТ 1

С—4.1 Сложение и вычитание векторов

Из точки О выходят три вектора: OA = а , OB = b, ОС = с. \а \ = \~Ь\= 2, И = 1, Z.AOB = ф, Z.AOC = Z.BOC Вектор~с не лежит в угле АОВ.

1. а) Пусть ф = 120°. Вычислите \а + b + с |.

б) В каких границах лежит | а + £ + с | при изменении ф?

2. Докажите, что |с — я | = \с — b |.

3. При каком угле ф ÖA + ÖB + ОС =ОГ?

4. а) Нарисуйте составляющие вектора с по прямым OA и 05. б) Найдите длины этих составляющих.

5. Пусть ф = 120°. Где находится точка X такая, что ХА + ХВ — - ХС=~Ъ1

С—4.2 Разложение вектора на составляющие

Из точки О выходят лучи OA, OB и вектор ОС единичной длины. А АОВ = 60°. Вектор ОС раскладывается на составляющие по прямым OA и OB.

1. Пусть одна из составляющих имеет длину 0,1. Нарисуйте возможные положения вектора ОС.

2. Пусть одна из составляющих имеет длину 0,1. Может ли длина другой составляющей быть больше 1?

3. Докажите, что ОС можно разложить на такие составляющие, что длина одной из них в 2 раза больше другой.

4. Вектор ОС требуется повернуть вокруг точки О на некоторый угол так, чтобы длины его составляющих по каждой прямой не увеличились. Возможно ли это?

5. Какова длина составляющей вектора ОС по прямой OA, когда длина составляющей ОС по прямой OB достигает наибольшего значения?

С—4.3 Умножение вектора на число

Дан треугольник ABC.

1. а) Пусть точка К лежит на стороне ВС. При этом ВК' КС = = 32. Выразите вектор ЛК как линейную комбинацию векторов AB и ÄC.

б) Пусть точка L лежит на прямой ВС и BL-LC = 3'2. Выразите вектор AL как линейную комбинацию векторов AB и АС.

2. Точка X такова, что АХ = \,5АС — 0,5АВ.

а) Лежит ли она на прямой ВС?

б) Вычислите ВХ'ХС.

3. Нарисуйте точку К такую, что AY = \,5АС — 0,5АВ.

4. а) Будут ли коллинеарны векторы ВХ и CY? б) Будут ли они сонаправлены?

5. а) В каком отношении С делит отрезок KU

б) Может ли выполняться такое соотношение: ВК'КС = = BL-CL = КС' CU

С—4.4 Проекция вектора на ось

ABCD — трапеция. AB = ВС = CD = 1, AD > ВС, Z.BAD = ср.

1. Найдите проекцию на ось AD:

а) вектора AB;

б) вектора С4;

в) вектора CA + BD.

2. Верно ли, что равны проекции:

а) вектора АВ на ось CD и вектора CD на ось ВА;

б) вектора ВС на оси AB и CD?

3. Есть ли такой угол ср, при котором равны проекции на ось BD векторов ÂB и CD?

4. Можно ли найти такую ось /, что равны проекции на эту ось:

а) векторов AZ? и CD ;

б) векторов AB, CD и ВС?

С—4.5 Координаты вектора

В прямоугольном треугольнике ABC ZC =90°, /LA =30°, ВС=\. Точка С — начало координат, точка В лежит на положительной части оси X, точка А лежит на положительной части оси у. Найдите координаты вектора:

1. ауСВ\ б) ВА\ в) ÀC.

2. СЯ, где СИ — высота треугольника ABC.

3. CL, где CL — биссектриса треугольника ABC.

4. СО,, где О, — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

5. С02, где 02 — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

С—4.6 Определение скалярного умножения

1. В равностороннем треугольнике ЛВС сторона равна 1. Точка О — его центр, точки К, L, M — середины сторон AB, ВС, CA соответственно. Вычислите:

a) LA • МВ\ б) КО • ZÔ; в) KL • LM; г) LM • MB.

2. Ребро куба AßCCHC,/), равно 1. Вычислите:

a) ÂC-BBX\ б) CD, • ÄBX\ в) СВХ • CD,; г) Д4, • D£; д) Cl, • BD.

3. Векторы 04 и OB образуют острый угол ср, ср < 45°. От точки О отложен вектор ОС такой что JQC| = |ОД|, ОС 1 05.

а) Сравните OA • OB и (24 • ОС.

б) Обобщите задачу.

С—4.7 Свойства скалярного умножения

1. Пусть а , 6 , с — ненулевые векторы.

а) Упростите выражение А'А = (а + Ь + с)(а + b — с) — - (а + V - 7)2

б) Пусть теперь а + £ + с = О . Может ли Л = О?

2. Вычислите скалярное произведение векторов АР и 50, если дан равносторонний треугольник ABC со стороной 1, Р € /?С и BP - PC = \: 2J2 еАС и AQ'QC =J : 2.

3. Векторы а и b таковы, что: |я | = \Ь\ = 1, Zltf* = 30°.

а) Найдите такой вектор с , что [cb =0.

б) Постройте его.

в) Решите задачу а) в общем случае.

С—4.8 Скалярное произведение, длины, углы

1.0 = |Г| = \7±Т. Найдите|27-Г|.

2. jöj = \bj = I Г— 2б1, X * "С? Е * Найдите ZaT.

з.и = |*| = = 2 7 - Г, 7 = -7+ 2/Г.

а) Сравните |х| и \у\.

б) Сравните /.яд и Zj/i.

в) Обобщите задачи а) и б).

г) Решите обратную задачу.

С—4.9 Скалярное умножение в координатной форме

1. Пусть = (— 1; 2), b = (3; 4). Найдите:

а) /La b ;

б) вектор с такой, что с JL а , \с \ = 1;

в) вектор /? такой, что ра= 1, /?*= —1;

г) вектор q такой, что а + b + # = 0 , zL#tf = ZL#£ .

2. Пусть точка В находится в прямоугольнике OMLK с координатами О (0; 0), К (3; 0), L (3; 4), M (0; 4). Пусть ÖA = 7JO - начало координат). В каких границах находится OA • OB? (В не совпадает с О.)

3. В каких границах лежит выражение — х + 2у, если х2 + у2 = 25?

С—4.10 Скалярное умножение в координатной форме

Дан квадрат ABCD со стороной 2. Точка К — середина стороны AB, точка Т движется погранице квадрата по ломаной ABCDA.

1. Вычислите ТУК • AB.

2. Вычислите DK • CT, когда точка Т находится в середине AD.

3. При каком положении точки Т перпендикулярны векторы DK и AT?

4. Пусть X — длина ломаной от точки А до точки Т. Постройте график зависимости от х величины AT • DK.

5. В каких границах лежит AT • DK?

С—4.11 Радиус-векторная техника. Задание прямых и отрезков

1. Даны точки А,В, С. Известно, чго для некоторой точки О верно равенство — 20А + OB + ОС = 0 .

а) Лежат ли точки А, В, С на одной прямой?

б) Где находится точка О?

2. Точка M — середина стороны AB, а сточкаN — середина стороны CD четырехугольника ABCD. Пусть MN = а . Чему равна сумма ÂC + ÂD + ВС + BD?

3. а и Ъ — две прямые. Точки Ах, А2, А3 лежат на прямой а, точки Д,, В2, В3 лежат на прямой b (А2 между Ах и А3, В2 между Вх и В3). Проведены отрезки Л,/?,, А2В2, АЪВУ

а) Каждый из этих отрезков разделен в отношении 1:2, считая от прямой а. В каком случае точки К, L, M лежат на одной прямой?

б) Обобщите эту задачу.

С—4.12 Векторный метод (аффинные задачи)

Дан параллелограмм ABCD. Его диагональ АС разбили точками К и L так, что АК — LC = ? АС.

1. Будут ли параллельны прямые ВК и DL?

2. Прямая ВК пересекает AD в точке Р, прямая BL пересекает CD в точке Q. Будут ли параллельны PQ и АС?

3. Прямая DK пересекает AB в точке М, прямая DL пересекает ВС в точке N. Будет ли четырехугольник PMNQ параллелограммом?

4. а) Пересекаются ли прямые MP и BD?

б) Имеют ли общую точку прямые MQ, PN и ЛС?

5. Попробуйте обобщить полученные результаты.

С—4.13 Центр масс

1. На сторонах треугольника ЛВС выбраны точки Ах, Вх, Сх так, что ВАХ = АХС, СВХ = \ CA, АСХ = \ AB. (Ах е ВС, Вх е CA, С, е AB.)

а) Докажите, что центры масс треугольников АХВХСХ и ABC не совпадают.

б) Можно ли иначе выбрать точку Сх на стороне AB, чтобы эти центры масс совпали?

2. а) Дан равносторонний треугольник ABC. Переменная хорда KL этого треугольника параллельна АС и движется по направлению к АС. По какой линии движется центр масс трапеции AKLCP.

б) Обобщите задачу.

С—4.14 Векторный метод (метрические задачи)

В параллелограмме ABCD AB = 1, AD = 3, А А = 60°.

1. Вычислите угол между диагоналями этого параллелограмма.

2. Вычислите расстояние между центрами масс треугольников: a) ABD и BDC; б) ABD и ACD; в) АКВ и ALD, где точка К — середина CD, точка L — середина ВС.

С—4.15 Координаты точки и вектора

Даны точки А (-2; 3), В (3; -2), С (-1; 4), D (4; -1).

1. Будут ли эти точки вершинами:

а) параллелограмма;

б) прямоугольника;

в) ромба?

2. Найдите точки К и L (хотя бы одну пару) такие, что точки А, В, К, L являются вершинами равнобокой трапеции ABKL с основаниями AB и KL.

С—4.16 Деление отрезка в данном отношении

1. Точки Р (2; 2) и Q (1; 5) делят отрезок AB на три равных отрезка. Каковы координаты:

а) середины отрезка PQ;

б) середины отрезка AB;

в) концов отрезка AB?

2. Даны точки А (0; 4) и В (-8; -12).

а) Точки Р и Q делят отрезок AB на части так, что АР = BQ= "I AB. Каковы координаты середины отрезка PQ1

б) Пусть MN = k AB vi точка В делит отрезок MN на части, отношение которых 1:4. Чему равно к?

3. Даны точки А (-3; 2), В (-3; -5), С (0; -4), D (1; 1). Найдите координаты:

а) точки пересечения прямых АС и BD;

б) центра масс этих точек.

С-4.17 Формула расстояния

1. Даны точки А (2; 4), В (5; 1), С (-3; -2).

а) Докажите, что они являются вершинами треугольника.

б) Пусть они являются серединами сторон треугольника MNP. Определите вид треугольника MNP (по сторонам и углам).

в) Будет ли расстояние от А до прямой ВС меньше 1?

2. Какой фигурой является множество точек К {х\ у) таких, что

С—4.18 Уравнение окружности

1. Окружность проходит через точки 4(1;—1), Д(1;1) и С(-4;1).

а) Проходит ли она через точку D (—4; —1)?

б) Принадлежит ли начало координат кругу, ограниченному этой окружностью?

2. а) Найдите расстояние между окружностями (х — 22)2 + + 0+ 23)2= 100 и (je - 2)2 + (у + З)2 = 200.

б) Какова наименьшая окружность, которая касается обеих данных?

3. X2 + ах + у2 — ау = а. При каких значениях а это уравнение является уравнением окружности?

С—4.19 Уравнение прямой

1. Даны точки А (-4; 2) и В (6; 8).

а) Каково уравнение прямой ABl

б) Отсекает ли прямая AB на осях координат равные отрезки?

в) Какая прямая, проходящая через середину отрезка AB, отсекает на осях координат равные отрезки?

2. Даны точки А (1; 1), В (-2; 3), С (-5; -3).

а) Докажите, что они являются вершинами треугольника.

б) Через центр масс этого треугольника проведена прямая, параллельная стороне ВС. В каких точках она пересекает другие его стороны?

3. Даны две прямые: прямая /?, уравнение которой х — у + 1 = 0, и прямая <7, уравнение которой х — у + 15 =0. Напишите уравнение прямой, равноудаленной от прямых рид.

С—4.20 Метод координат

Дан ромб ABCD с диагоналями BD = 10 и АС = 20.

1. Точка Р лежит на AD, точка Q лежит на ВС. При этом АР = = aAD, CQ = ßCB. Верно ли, что точка О пересечения диагоналей ромба лежит на прямой PQ тогда и только тогда, когда а = ß?

2. Какой фигурой является множество точек Т таких, что ТА2 + TD2 = ТВ2 + 7С2?

С—5.1 Преобразования фигур

Преобразование / переводит точку (х, у) в точку (—у + 1, х — 1).

1. Найдите: а) образ точки (0; 0);

б) прообраз точки (0; 0).

2. Докажите, что это преобразование является движением.

3. Найдите обратное движение.

4. Найдите образ:

а) окружности с центром О и радиусом R = 1;

б) квадрата, вершины которого (0; 0), (0; 1), (1; 1), (1; 0);

в) прямой у = -х;

г) вектора (1; 2).

5. Имеет ли это движение:

а) неподвижную точку;

б) прямую, которая переходит в себя?

С—5.2 Перенос

Дан равносторонний треугольник ЛВС со стороной 1. Треугольник А]В]С] получается из треугольника ЛВС переносом на вектор СХ, где X е CA. Треугольник А2В2С2 получается из треугольника ЛВС переносом на вектор CY, где Y G СВ. При этом СХ = CY = t. Пусть F — пересечение треугольников ЛС, и А2В2С2. Пусть G — пересечение треугольников АХВХСХ, Л2В2С2 и данного треугольника. Через SF, SG обозначим площади соответствующих фигур.

1. Установите вид фигуры F и фигуры G.

2. Найдите / такое, что F = G.

3. Найдите г- , если / = i.

4. Найдите .

5. В каких границах лежит sF ?

С—5.3 Отражение в прямой

Треугольник ЛВС — равнобедренный, AB = ВС, АС = 1, Z.A = 2ср. Проводится AD — биссектриса угла А. Обозначим как Л, образ треугольника ABC в результате отражения в прямой AD. Пусть F — пересечение исходного и полученного треугольников. Через S обозначим площадь фигуры F.

1. Нарисуйте F, когда:

a) Z.B = 90°; б) ср < 30°.

2. Найдите 5, если AB = 90°.

3. Найдите £(q>), если (р > 30°.

4. Найдите ф такое, что 5(ср) = .

С—5.4 Поворот

Дан прямоугольный треугольник ABC, в котором Z.C = 90°, АС = 2, ВС = 1. Рассматривается поворот этого треугольника вокруг точки С против часовой стрелки на угол ср. Обозначим как А] — образ точки А, Вх — образ точки 5.

1. Вычислите расстояние ААХ, когда: а) ф = 120°; б) Вх находится на прямой CA.

2. Нарисуйте объединение треугольников АСВ и АХСВХ, когда точка Вх находится на: а) прямой AB; б) прямой, проходящей через высоту треугольника АСВ, проведенной из точки С; в) прямой, проходящей через биссектрису треугольника АСВ, проведенной из точки С.

3. В одном из пунктов б) — в) задачи 2 вычислите расстояние AAV

С—5.5 Центральная симметрия

Катет АС прямоугольного треугольника ABC равен 6, а катет ВС равен 3. Рассматривается симметрия относительно точки Т пересечения медиан этого треугольника. Пусть образом точки А будет точка Ах, образом точки В будет точка Вх, образом точки С будет точка С,.

1. Нарисуйте ВХСХ. а) Нарисуйте KL — пересечение ВХСХ с треугольником ABC. б) Докажите, что KL < 1,5. в) Вычислите KL.

2. Нарисуйте треугольник АХВХСХ. а) Нарисуйте пересечение исходного и полученного треугольников, б) Вычислите площадь этого пересечения.

С—5.6 Симметрия фигуры

Фигура F является объединением трех равносторонних треугольников, при этом ни один из них не содержится в другом.

1. Нарисуйте F, если она имеет:

а) ровно одну ось симметрии;

б) ровно две оси симметрии;

в) ровно три оси симметрии;

г) центр симметрии, а оси симметрии нет.

2. Какие элементы симметрии может иметь фигура F?

С—5.7 Гомотетия

Дана окружность радиуса 2 с центром в точке О. В ней проведена хорда AB. В меньший из полученных сегментов вписан прямоугольник KLMN, причем точки К и N находятся на AB. При этом KN.KL = 2: 1, ААОВ = 120°.

1. Постройте этот прямоугольник.

2. Найдите отношение площади прямоугольника к площади сегмента.

С—5.8 Подобие прямоугольных треугольников

Треугольник ЛВС — прямоугольный, Z.C = 90°, АС = Ь, ВС = а. Через точку К гипотенузы AB проведена прямая, ей перпендикулярная. Катет ВС она пересекает в точке L, а прямую АС — в точке М. Пусть ВК = X.

1. Выразите как функцию от х: а) при а = b = 1; б) в общем случае.

2. При каком значении х LK = LCI

3. Может ли выполняться равенство LK = LC = СМ?

4. а) В каких границах лежит отношение при изменении х? б) Изменяется ли оно монотонно?

С—5.9 Подобие произвольных треугольников

Дана равнобокая трапеция ABCD, в которой AB = CD. CK — хорда этой трапеции, параллельная AB.

1. Пусть AD : ВС = 2:1, диагонали трапеции пересекаются в точке F, CK пересекает BD в точке L. В каком отношении точки F и L делят диагональ BD?

2. Пусть î = AD: ВС.

а) Есть ли такое /, при котором BF = FL?

б) Верно ли, что BF < DL, если t > 1?

в) Верно ли, что FL > LD, если t < 1?

С—5.10 Пропорциональное деление отрезков

1. В треугольнике ABC AB = 4, ВС = 3, АС = 2. В этом треугольнике проведены биссектриса ВК угла В и биссектриса BL угла, внешнего к углу В данного треугольника (L — точка пересечения ее с прямой АС).

а) Каково отношение отрезков КС : CL?

б) Изменится ли это отношение при увеличении АС?

в) Чему будет равно это отношение, если AB = 2, а остальные стороны треугольника не изменились?

2. В исходном треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Точки К, С, L ортогонально проектируются на прямую AD и пусть Кх, Cj, Lx — их проекции соответственно.

а) Каково отношение отрезков АКХ : КХСХ : CXLX?

б) Изменится ли полученный результат, если АС = 6, а остальные стороны треугольника не изменились?

в) Сохранится ли это отношение, если вместо AD взять другую прямую, проходящую через А, и проектировать ортогонально на нее те же точки? А если не ортогонально?

С—5.11 Подобие многоугольников

В трапеции ABCD AB = CD = 2, AD = 3, ВС = 1.

1. Проводится хорда трапеции KL, параллельная AD (К € AB, L G CD). Сколько пар подобных между собой, но не равных трапеций может получиться при этом?

2. Проводится хорда трапеции MN, перпендикулярная AD (Me ВС, N е AD). Могут ли при этом получиться подобные, но не равные трапеции?

3. Проводятся две хорды KL и MN. Хорда KL параллельна AD (К е AB, L G CD), хорда MN перпендикулярна AD (M e ВС, N e AD). При этом BM = 0,25BC. Могут ли при этом получиться подобные трапеции?

ВАРИАНТ 2

С—4.1 Сложение и вычитание векторов

Из точки О выходят три вектора: OA = а , OB = ~b , ОС = с . \а\ = \Ь\ = 2, И = 3, Z. АОВ = q>, Z АОС = А ВОС. Вектор 7 не лежит в угле АОВ.

1. а) Пусть ф = 120°. Вычислите \а + Ъ + с \.

б) В каких границах лежит \а + Ь + с \ при изменении ср?

2. Докажите, что \с — а\ = \с — Ь\.

3. При каком угле ср ÖA + ÖB + ОС =jf'?

4. а) Нарисуйте составляющие вектора с по прямым OA и OB. б) Найдите длины этих составляющих.

5. Пусть ф=120°. Где находится точка X такая, что ХА + ХВ - ХС= ~0?

С—4.2 Разложение вектора на составляющие

Из точки О выходят лучи OA, OB и вектор ОС единичной длины. Z. АОВ = 120°. Вектор ОС раскладывается на составляющие по прямым OA и OB.

1. Пусть одна из составляющих имеет длину 0,1. Нарисуйте возможные положения вектора ОС.

2. Пусть одна из составляющих имеет длину 0,1. Может ли длина другой составляющей быть больше 1?

3. Докажите, что ОС можно разложить на такие составляющие, что длина одной из них в 2 раза больше другой.

4. Вектор ОС повернулся вокруг точки О на некоторый угол, после чего длины составляющих по каждой прямой не уменьшились. Возможно ли это?

5. Какова длина составляющей вектора ОС по прямой OA, когда длина составляющей ОС по прямой OB достигает наибольшего значения?

С—4.3 Умножение вектора на число

Дан треугольник ABC

1. а) Пусть точка Улежит на стороне ВС При этом ВК.КС = = 2:3. Выразите вектор АК как линейную комбинацию векторов AB и АС.

б) Пусть точка L лежит на прямой ВС и BL.LC = 2: 3Выразите вектор AL как линейную комбинацию векторов AB и АС.

2. Точка X такова, что АХ = 1,5 АС— 0,5АВ.

а) Лежит ли она на прямой ВС?

б) Вычислите ВХ.ХС.

3. Нарисуйте точку У такую, что AY = \,5АВ — 0,5АС.

4. а) Будут ли коллинеарны векторы СХ и BY? б) Будут ли они сонаправлены?

5. а) В каком отношении точка В делит отрезок АХ?

б) Может ли выполняться такое соотношение: СК:КВ = = CL\BL= KB.BL?

С—4.4 Проекция вектора на ось

ABCD — трапеция. AB = ВС = CD = 1, AD > ВС, Z ABD = ср.

1. Найдите проекцию на ось AD:

а) вектора AB;

б) вектора CA;

в) вектора CA + BD.

2. Верно ли, что равны проекции:

а) вектора AB на ось CD и вектора CD на ось В А;

б) вектора ВС на оси AB и CD?

3. Есть ли такой угол ср, при котором равны проекции на ось BD векторов ÄB и CD ?

4. Можно ли надти такую ось /, что равны проекции на эту ось:

а) векторов Aß иС/);

б) векторов ÂB, CD и ВС?

С—4.5 Координаты вектора

В прямоугольном треугольнике ABC ZC = 90°, Z А = 60°, AC = 1. Точка С — начало координат, точка В лежит на положи-

тельной части оси х, точка А лежит на положительной части оси у. Найдите координаты вектора:

1. aJjC5; б) ВА\ в) ÀC.

2. СИ, где СН — высота треугольника ABC.

3. CL, где CL — биссектриса треугольника ABC.

4. СО,, где О, — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

5. С02, где 02 — центр окружности, вписанной в треугольник ABC

С—4.6 Определение скалярного умножения

1. В равностороннем треугольнике ABC сторона равна 1. Точка О — его центр, точки К, L, M — середины сторон AB, ВС, CA соответственно. Вычислите:

a) MB • КС; б) Zo • АЮ; в) LM • МК, г) МК • КС.

2. Ребро куба ABCDA]BlClDx равно 1. Вычислите:

а) BD • СС,; б) DCX • ВАХ; в) Д?, • Z)C,; г) • ÄJ)\ д) ЛС, • BD.

3. Векторы 04 и OB образуют тупой угол у, ср > 135° От точки О отложен вектор ОС такой, что |ОС| = \ОВ\, ОС 1 05.

а) Сравните ÖA - ÖB и ÖA • ОС.

б) Обобщите задачу.

С—4.7 Свойства скалярного умножения

1. Пусть а , b , с — ненулевые векторы.

а) Упростите выражение А:А = (а — b + с){а — b — с ) — - (7 - Г - сУ.

б) Пусть теперь я + b + с = 0 . Может ли А = О?

2. Вычислите скалярное произведение векторов АР и 50, если дан равносторонний треугольник ABC со стороной 1, Ре ВС и BP: PC = 1 :3, 0 <Е Ж: и Л0:0С = l : з.

3. Векторы а и b таковы, что: \а \ = \Ь \ = 1, /Lab = 60°.

а) Найдите такой вектор с , что \cb = 0.

б) Постройте его.

в) Решите задачу а) в общем случае.

С—4.8 Скалярное произведение, длины, углы

б) Сравните Z. ха и Ayb .

в) Обобщите задачи а) и б).

г) Решите обратную задачу.

С—4.9 Скалярное умножение в координатной форме

1. Пусть= (1; —2), b = (—3; —4). Найдите:

а) A ~af\

б) вектору такой, что cL а , \с[= 1;

в) вектор д такой, что ра = — 1, рЬ = \

г) вектор q такой, что а + b — q = 0 , A qa = Z. qb .

2. Пусть точка В находится в прямоугольнике OMLK с координатами О (0; 0), К (-3; 0), I (-3; -4), M (0; -4). Пусть ÖA =7 (О — начало координат, В не совпадаете О).

В каких границах находится OA • OB?

3. В каких границах лежит выражение х — 2у< если х1 + у2 = 25?

С—4.10 Скалярное умножение в координатной форме

Дан квадрат ABCD со стороной 2. Точка К — середина стороны CZ), точка Т движется погранице квадрата по ломаной DCBAD.

1. Вычислите АК • DC.

2. Вычислите АК • #7\ когда точка Т находится в середине АГК 3. При каком положении точки Т перпендикулярны векторы АК и DT?

4. Пусть X — длина ломаной от точки D до точки Т. Постройте график зависимости от х величины DT • АК.

5. В каких границах лежит DT • АК?

С—4.11 Радиус-векторная техника. Задание прямых и отрезков

1. Даны точки А, В, С. Известно, что для некоторой точки О верно равенство OA — 20В + ОС = 0 .

а) Лежат ли точки А, В, С на одной прямой?

б) Где находится точка О?

2. Точка M — середина диагонали АС, а точка А— середина диагонали BD четырехугольника ABCD. Пусть MN = а . Чему равна сумма ÄB + ÀD + CD + СВ?

3. а и b — две прямые. Точки Ах, А2, Аъ лежат на прямой а, точки Вх, В2, Въ лежат на прямой b (А2 между Ах и А3, В2 между Вх и В3). Проведены отрезки АХВХ, А2В2, АЪВЪ.

а) Каждый из этих отрезков разделен в отношении 2:1, считая от прямой а. В каком случае точки К, L, M лежат на одной прямой?

б) Обобщите эту задачу.

С—4.12 Векторный метод (аффинные задачи)

Дан параллелограмм ABCD. Его диагональ ас разбили точками к и L так, что ак = LC =jAC.

1. Будут ли параллельны прямые вк и DL?

2. Прямая вк пересекает AD в точке Р, прямая BL пересекает CD в точке Q. Будут ли параллельны PQ и ас?

3. Прямая DK пересекает AB в точке М, прямая DL пересекает вс в точке n. Будет ли четырехугольник PMNQ параллелограммом?

4. а) Пересекаются ли прямые MP и BD?

б) Имеют ли общую точку прямые MQ, PN и ас?

5. Попробуйте обобщить полученные результаты.

С—4.13 Центр масс

1. На сторонах треугольника ABC выбраны точки ах, вх, С, так, что вах = ахс, СД, =|С4, АС, = \аВ (Ах <Е ЯС, Д, <Е CA, С, G ЛЯ).

а) Докажите, что центры масс треугольников ахвхсх и А#С не совпадают.

б) Можно ли иначе выбрать точку сх на стороне AB, чтобы эти центры масс совпали?

2. а) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC Переменная хорда KL этого треугольника параллельна гипотенузе AB и движется по направлению к AB. По какой линии движется центр масс трапеции AKLC?

б) Обобщите задачу.

С—4.14 Векторный метод (метрические задачи)

В параллелограмме ABCD AB = 1, AD = 3, Z а = 120°.

1. Вычислите угол между диагоналями этого параллелограмма.

2. Вычислите расстояние между центрами масс треугольников:

а) ABC и ACD;

б) ABD и ACD;

в) ALZ) и САГ/), где точка L — середина вс, точка А' — середина AB.

С—4.15 Координаты точки и вектора

Даны точки а (2; -3), в (-3; 2), С (1; -4), D (-4; 1).

1. Будут ли эти точки вершинами:

а) параллелограмма;

б) прямоугольника;

в) ромба?

2. Найдите точки к и L (хотя бы одну пару) такие, что точки а, в, к, L являются вершинами равнобокой трапеции ABKL с основаниями AB и KL.

С—4.16 Деление отрезка в данном отношении

1. Точки Р (1; 2) и Q (3; 4) делят отрезок AB на три равных отрезка. Каковы координаты:

а) середины отрезка PQ;

б) середины отрезка AB;

в) концов отрезка AB?

2. Даны точки А (0; -4) и Б (8; 12).

а) Точки Р и Q делят отрезок Л# на части так, что АР = BQ = АВ. Каковы координаты середины отрезка PQ?

б) Пусть MN = к AB и точка В делит отрезок MN на части, отношение которых 1:3. Чему равно к?

3. Даны точки А (3; -2), В (3; 5), С (0; 4), D (-1; -1). Найдите координаты:

а) точки пересечения прямых АС и BD;

б) центра масс этих точек.

С—4.17 Формула расстояния

1. Даны точки А (-2; -4), В (-5; -1), С (3; 2).

а) Докажите, что они являются вершинами треугольника.

б) Пусть они являются серединами сторон треугольника MNP. Определите вид треугольника MNP (по сторонам и углам).

в) Будет ли расстояние от А до прямой ВС меньше 1?

2. Какой фигурой является множество точек К (х; у) таких, что

С—4.18 Уравнение окружности

1. Окружность проходит через точки А (—1; 1), В (—1; —1) и С (4; -1).

а) Проходит ли она через точку D (4; 1)?

б) Принадлежит ли начало координат кругу, ограниченному этой окружностью?

2. а) Найдите расстояние между окружностями

(х + 22)2 + (у - 23)2 - 100 и (je + 2)2 + (у - З)2 = 200.

б) Какова наименьшая окружность, которая касается обеих данных?

3. X2 — ах + у2 + ау = а. При каких значениях а это уравнение является уравнением окружности?

С—4.19 Уравнение прямой

1. Даны точки А (4; -2) и В (-6; -8).

а) Каково уравнение прямой AB?

б) Отсекает ли прямая AB на осях координат равные отрезки?

в) Какая прямая, проходящая через середину отрезка AB, отсекает на осях координат равные отрезки?

2. Даны точки А (—1; —1), В (2; -3), С (5; 3).

а) Докажите, что они являются вершинами треугольника.

б) Через центр масс этого треугольника проведена прямая, параллельная стороне ВС. В каких точках она пересекает другие его стороны?

3. Даны две прямые: прямая р, уравнение которой х + у — 1 = О, и прямая д, уравнение которой х + у — 13 = 0. Напишите уравнение прямой, равноудаленной от прямых рид.

С—4.20 Метод координат

Дан ромб ABCD с диагоналями BD = 20 и АС = 30.

1. Точка Р лежит на AB, точка Q лежит на CD. При этом АР = аАВ, CQ = ßCZ). Верно ли, что точка О пересечения диагоналей ромба лежит на прямой PQ тогда и только тогда, когда а = ß?

2. Какой фигурой является множество точек Т таких, что ТА2 + TD1 = ТВ2 + ГС2?

С—5.1 Преобразования фигур

Преобразование / переводит точку (х, у) в точку (у + 1, -х - 1).

1. Найдите: а) образ точки (0; 0);

б) прообраз точки (0; 0).

2. Докажите, что оно является движением.

3. Найдите обратное движение.

4. Найдите образ:

а) окружности с центром О и радиусом R = 1;

б) квадрата, вершины которого (0; 0), (0; 1), (1; 1), (1; 0);

в) прямой у = — х;

г) вектора (1; 2).

5. Имеет ли это движение:

а) неподвижную точку;

б) прямую, которая переходит в себя?

С—5.2 Перенос

Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с гипотенузой AB и катетами, равными 1. Треугольник А]В1С1 получается из треугольника ABC переносом на вектор СХ, где X € CA. Треугольник А2В2С2 получается из треугольника ABC переносом на вектор CY, где Y е СВ. При этом СХ = СУ = t. Пусть F — пересечение треугольников АВ и А2В2С2. Пусть G — пересечение треугольников АХВХСХ, А2В2С2 и данного треугольника. Через SF, SG обозначим площади соответствующих фигур.

1. Установите вид фигуры F и фигуры G.

2. Найдите / такое, что F = G.

3. Найдите

4. Найдите

5. В каких границах лежит

С—5.3 Отражение в прямой

Треугольник ЛВС — равнобедренный. AB = ВС = 1, /- А = 2ср. Проводится AD — биссектриса угла А. Обозначим как Л, образ треугольника ABC в результате отражения в прямой AD. Пусть F — пересечение исходного и полученного треугольников. Через S обозначим площадь фигуры F.

1. Нарисуйте F, если:

а) AB = 90°; б) ср < 30°.

2. Найдите S, если AB = 90°.

3. Найдите S(q>), если <р > 30°.

4. Найдите ср такое, что =~4~.

С—5.4 Поворот

Дан прямоугольный треугольник ABC, в котором Z.C = 90°, АС — 2, ВС = 1. Рассматривается поворот этого треугольника вокруг точки С по часовой стрелке на угол ср. Обозначим как Л, — образ точки А, Вх — образ точки В.

1. Вычислите расстояние ВВ{, когда: а) ср = 120°; б) Ах находится на прямой СВ.

2. Нарисуйте объединение треугольников АСВ и А{СВ}, когда точка А{ находится на: а) прямой AB; б) прямой, проходящей через высоту треугольника АСВ, проведенной из точки С; в) прямой, проходящей через биссектрису треугольника АСВ, проведенной из точки С.

3. В одном из пунктов б) — в) задачи 2 вычислите расстояние ВВ{.

С—5.5 Центральная симметрия

Катет АС прямоугольного треугольника ABC равен 3, а катет ВС равен 9. Рассматривается симметрия относительно точки Т пересечения медиан этого треугольника. Пусть образом точки А будет точка Ах, образом точки В будет точка Вх, образом точки С будет точка С,.

1. Нарисуйте АХСХ. а) Нарисуйте MN — пересечение АХСХ с треугольником ABC. б) Докажите, что MN < 1,5. в) Вычислите MN.

2. Нарисуйте треугольник АХВХСХ. а) Нарисуйте пересечение исходного и полученного треугольников, б) Вычислите площадь этого пересечения.

С—5.6 Симметрия фигуры

Фигура F является объединением трех квадратов, при этом ни один из них не содержится в другом.

1. Нарисуйте F, если она имеет:

а) ровно одну ось симметрии;

б) ровно две оси симметрии;

в) ровно три оси симметрии;

г) центр симметрии, а оси симметрии нет.

2. Какие элементы симметрии может иметь фигура Fl

С—5.7 Гомотетия

Дана окружность радиуса 2 с центром в точке О. В этой окружности проведены радиусы OA и OB, причем угол между ними равен 120°. В меньший из полученных секторов вписан прямоугольник KLMN, при этом точки К и N лежат на радиусах OA и OB, KN :KL=2:\.

1. Постройте этот прямоугольник.

2. Найдите отношение площади прямоугольника к площади сектора.

С—5.8 Подобие прямоугольных треугольников

Треугольник ABC — прямоугольный, АС = 90°, АС = Ь, ВС = а. Через точку К гипотенузы AB проведена прямая, ей перпендикулярная. Катет АС она пересекает в точке L, а прямую ВС — в точке М. Пусть АК = к.

1. Выразите -jr как функцию от х: а) при а = b = 1; б) в общем случае.

2. При каком значении х LK = LCP.

3. Может ли выполняться равенство LK = LC = СМ?

4. а) В каких границах лежит отношение при изменении jc? б) Изменяется ли оно монотонно?

С—5.9 Подобие произвольных треугольников

Дана прямоугольная трапеция ABCD, AB = АС = 90°, СВ = CD. CK — хорда этой трапеции, параллельная AD.

1. Пусть AB: CD = 2:1, диагонали трапеции пересекаются в точке F, CK пересекает BD в точке L. В каком отношении точки F и L делят диагональ BD?

2. Пусть t = AB : CD.

а) Есть ли такое /, при котором DF = FL?

б) Верно ли, что DF < BL, если / > 1?

в) Верно ли, что FL > BD, если t < 1?

С—5.10 Пропорциональное деление отрезков

1. В треугольнике ЛВС AB = 4, ВС = 3, АС = 6. В этом треугольнике проведены биссектриса ВК угла В и биссектриса BL угла, внешнего к углу В данного треугольника (L — точка пересечения ее с прямой АС).

а) Каково отношение отрезков КС : CL?

б) Изменится ли это отношение при уменьшении АС?

в) Чему будет равно это отношение, если ВС = 6, а остальные стороны треугольника не изменились?

2. В исходном треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Точки К, С, L ортогонально проектируются на прямую AD, и пусть A',, Cj, I, — их проекции соответственно.

а) Каково отношение отрезков АКХ : КХСХ : CXLX?

б) Изменится ли полученный результат, если АС = 2, а остальные стороны треугольника не изменились?

в) Сохранится ли это отношение, если вместо AD взять другую прямую, проходящую через А, и проектировать ортогонально на нее те же точки? А если не ортогонально?

С—5.11 Подобие многоугольников

В трапеции ABCD AB = CD = 1, AD = 3, ВС = 2.

1. Проводится хорда трапеции KL, параллельная AD (К € AB, L е CD). Сколько пар подобных между собой, но не равных трапеций может получиться при этом?

2. Проводится хорда трапеции MN, перпендикулярная AD (М € ВС, N е AD). Могут ли при этом получиться подобные, но не равные трапеции?

3. Проводятся две хорды KL и MN. Хорда KL параллельна AD (К G AB, L € CD), хорда MN перпендикулярна AD (M € ВС, N e AD). При этом BM = 0,25BC. Могут ли при этом получиться подобные трапеции?

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Векторы

К—1 Вариант 1

Дан квадрат ABCD со стороной 3.

1. Точка К лежит на стороне СВ, CK = 1. Точка L лежит на стороне CD, CL = 1. Точка M — четвертая вершина квадрата CKML. Обозначим через F многоугольник ABKMLD. Пусть Т такая точка, что ТА + ТК + TL = 0.

а) Нарисуйте точку Т.

б) Верно ли, что Т € АС1

в) Верно ли, что Т € BD?

г) Является ли точка Т центром масс многоугольника Fl

д) Лежит ли точка Т в многоугольнике Fl

2. Пусть теперь точки К и L являются переменными на сторонах С В и CD данного квадрата, и при этом CK = CL.

а) Какие утверждения задачи 1 остаются верными при любом положении точек К и LI

б) Какие утверждения задачи 1 остаются верными при некоторых дополнительных условиях?

в) Может ли угол KTL быть прямым?

г) Пусть точка Г, — центр масс четырехугольника АВКМ, а точка Т2 — центр масс четырехугольника ADLM. В каких границах изменяется величина ТХТ21

К—1 Вариант 2

Дан квадрат ABCD со стороной 3.

1. Точка К лежит на стороне AB, AK = 1. Точка L лежит на стороне AD, AL = 1. Точка M — четвертая вершина квадрата AKML. Обозначим через JF многоугольник CBKMLD. Пусть Т такая точка, что ТС + ТЕ + 7Х = 0.

а) Нарисуйте точку Т.

б) Верно ли, что Т е АС1

в) Верно ли, что Т € BDI

г) Является ли точка Т центром масс многоугольника Fl

д) Лежит ли точка Т в многоугольнике Fl

2. Пусть теперь точки К и L являются переменными на сторонах AB и AD данного квадрата, и при этом АК = AL.

а) Какие утверждения задачи 1 остаются верными при любом положении точек К и LI

б) Какие утверждения задачи 1 остаются верными при некоторых дополнительных условиях?

в) Может ли угол KTL быть прямым?

г) Пусть точка Г, — центр масс четырехугольника СВКМ, а точка Т2 — центр масс четырехугольника CDLM. В каких границах изменяется величина Г, Т21

Координаты

К—2 Вариант 1

1. Даны точки А (3; 4), В (4; 3) и С (-2; -2).

а) Докажите, что эти точки являются вершинами треугольника.

б) Определите его вид (по сторонам и углам).

в) Задайте этот треугольник системой неравенств.

г) Найдите точки: центроид (точка пересечения медиан); ортоцентр (точка пересечения высот).

д) Докажите, что каждая координата центра описанной окружности меньше чем 1.

е) Докажите, что каждая координата центра вписанной окружности больше чем 3.

2. Прямые а и b пересекаются в точке А под прямым углом. Точка D лежит на прямой а. Точка В лежит на прямой Ъ. Точка С — четвертая вершина прямоугольника ABCD. Точки В и D таковы, что AB + AD = 1. В каждом таком прямоугольнике ABCD из точки С на диагональ BD проводится перпендикуляр CK. Докажите, что все прямые CK имеют общую точку.

К—2 Вариант 2

1. Даны точки А (-3; -4), В (-4; -3) и С (2; 2).

а) Докажите, что эти точки являются вершинами треугольника.

б) Определите его вид (по сторонам и углам).

в) Задайте этот треугольник системой неравенств.

г) Найдите точки: центроид (точка пересечения медиан); ортоцентр (точка пересечения высот).

д) Докажите, что каждая координата центра описанной окружности меньше чем 1.

е) Докажите, что каждая координата центра вписанной окружности больше чем 3.

2. Прямые а и b пересекаются в точке D под прямым углом. Точка А лежит на прямой а. Точка В лежит на прямой Ь. Точка С — четвертая вершина прямоугольника АС BD. Точки В и D таковы, что AB + AD = 1. В каждом таком прямоугольнике ACBD из точки С на диагональ AB проводится перпендикуляр CK. Докажите, что все прямые CK имеют общую точку.

Движения

К—3 Вариант 1

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ЛВС с гипотенузой AB, равной 2.

1. Рассматриваются всевозможные переносы этого треугольника на вектор АХ, где X е AB. Объединение всех образов треугольника ABC, включая сам треугольник, обозначим Fx.

а) Нарисуйте фигуру Fx.

б) Найдите все симметрии фигуры F}.

в) Вычислите площадь фигуры Fx.

2. Рассматриваются всевозможные центральные симметрии этого треугольника относительно точек отрезка AB. Объединение всех образов треугольника ABC, включая сам треугольник, обозначим F2.

а) Нарисуйте фигуру F2.

б) Найдите все симметрии фигуры F2.

в) Вычислите площадь фигуры F2.

3. Рассматриваются всевозможные осевые симметрии этого треугольника относительно прямых, параллельных прямой AB и имеющих с треугольником хотя бы одну общую точку. Объединение всех образов треугольника ABC, включая сам треугольник, обозначим Fy

а) Нарисуйте фигуру Fy

б) Найдите все симметрии фигуры Fy

в) Вычислите площадь фигуры Fy

4. Рассматриваются всевозможные повороты с центром К в середине гипотенузы на угол от 0° до 45° по часовой стрелке. Объединение всех образов треугольника ABC, включая сам треугольник, обозначим F4.

а) Нарисуйте фигуру FA.

б) Найдите все симметрии фигуры F4.

в) Вычислите площадь фигуры FA.

К—3 Вариант 2

Дан равносторонний треугольник ABC со стороной, равной 1.

1. Рассматриваются всевозможные переносы этого треугольника на вектор АХ, где X е AB. Объединение всех образов треугольника ABC, включая сам треугольник, обозначим Fx.

а) Нарисуйте фигуру Fx.

б) Найдите все симметрии фигуры Fx.

в) Вычислите площадь фигуры Fx.

2. Рассматриваются всевозможные центральные симметрии этого треугольника относительно точек отрезка AB. Объединение всех образов треугольника ABC, включая сам треугольник, обозначим F2.

а) Нарисуйте фигуру F2.

б) Найдите все симметрии фигуры F2.

в) Вычислите площадь фигуры F2.

3. Рассматриваются всевозможные осевые симметрии этого треугольника относительно прямых, параллельных прямой AB и имеющих с треугольником хотя бы одну общую точку. Объединение всех образов треугольника ABC, включая сам треугольник, обозначим Fy

а) Нарисуйте фигуру F3.

б) Найдите все симметрии фигуры Fy

в) Вычислите площадь фигуры Fy

4. Рассматриваются всевозможные повороты с центром К в центре этого треугольника на угол от 0° до 60° по часовой стрелке. Объединение всех образов треугольника ABC, включая сам треугольник, обозначим FA.

а) Нарисуйте фигуру F4.

б) Найдите все симметрии фигуры F4.

в) Вычислите площадь фигуры F4.

Подобие

К—4 Вариант 1

В трапеции ABCD AD = 3, ВС = 1, AB = CD = 2. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Проведены отрезки DK || AB (К лежит на прямой АС) и AL || DC (L лежит на прямой BD).

1. Укажите на полученном рисунке все пары подобных треугольников.

2. Докажите, что BCLK — равнобокая трапеция.

3. Подобны ли трапеции BCLK и ABCD; BCLA и ABCD?

4. Чему равна площадь трапеции BCLK?

5. Какие из полученных результатов верны для равнобокой трапеции ABCD с произвольными размерами?

6. Для произвольной равнобокой трапеции ABCD сравните ВС и среднюю линию трапеции AKLD.

К—4 Вариант 2

В трапеции ABCD AD = 3, ВС = 1, AB = CD = 2. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Проведены отрезки ВК || CD (К лежит на прямой АС) и CL || AB (L лежит на прямой BD).

1. Укажите на полученном рисунке все пары подобных треугольников.

2. Докажите, что ADKL — равнобокая трапеция.

3. Подобны ли трапеции ADKL и ABCD; ADKL и ADCL1

4. Чему равна площадь трапеции ADKL?

5. Какие из полученных результатов верны для равнобокой трапеции ABCD с произвольными размерами?

6. Для произвольной равнобокой трапеции ABCD сравните AD и среднюю линию трапеции АВСК.

Творческие и зачетные работы

Глава IV.

ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ

§ 18. ВЕКТОРЫ

Работа 1 «Познание теории» предваряет разговор учителя с классом по теме «Векторы». Ребята самостоятельно осваивают целый набор новых понятий, вкладывая в них то содержание, которое они успели осознать, опираясь на свой опыт и свои знания. Психологи утверждают, что «учить ребенка понимать текст — значит добиться того, чтобы изучаемый материал был «уложен» ребенком в его собственно понятийной «системе»1. Эта работа позволяет ученику пересказать своему соседу смысл, который он вкладывает в понятия, представленные в этом параграфе, и в то же время обогатит его понимание текста после беседы с соседом. Задание V несколько неожиданно, ибо предлагает выполнить работу по рисункам следующего параграфа. Оно как бы прокладывает тропинку к изучению следующих вопросов этой темы.

Задание VI направлено на свободный поиск способов проверки. Ребята могут еще раз просмотреть текст параграфа, поговорить с одноклассниками, сидящими за соседней партой, и т. д. Когда же первое знакомство с многочисленными новыми понятиями состоялось, им предлагается в задании VII изучить доказательство, их взгляд теперь учится различать детали. К этому заданию школьники подготовлены всей предыдущей работой.

Работа 2 «Проверю свои знания» может быть дана после разговора учителя с классом по этой теме на 25 минут.

Работа 1. Познание теории

I. Прочтите основные определения и формулировки теорем § 18, доказательство теорем можете не читать.

II. Нарисуйте на одном листе рисунки, на которых были бы закодированы ответы на вопросы 1—6, данные в конце параграфа на с. 218.

1 Фридман Л. М., Кулагина И. Ю. Психологический справочник учителя.— М.: Просвещение, 1991. — С. 101.

III. Посмотрите с соседом рисунки друг друга, изучите их, подумайте, вся ли необходимая информация на них изображена. Если нет, то добавьте.

IV. Вдвоем с соседом по парте, используя сделанные вами рисунки, дайте ответы на все шесть вопросов. Если будет необходимость, то посмотрите текст параграфа.

V. Посмотрите вдвоем на рисунок 197 на с. 219.

а) Назовите изображенные там векторы.

б) Найдите сонаправленные векторы и, используя признаки сонаправленных векторов, докажите справедливость вашего выбора.

в) Найдите равные векторы и докажите их равенство, используя признаки равенства векторов.

г) Найдите нулевые векторы, выпишите их.

VI. Найдите способ проверки истинности своих поисков.

VII. Разберите доказательство признаков равенства векторов, данное в п. 18.4 на с. 216.

VIII. Воспроизведите в тетради доказательство всех признаков равенства векторов.

IX. Поменяйтесь тетрадями с соседом и прочитайте написанные доказательства.

Работа 2. Проверю свои знания

I. Нарисуйте правильный шестиугольник ABCDEF.

а) Среди его вершин выберите несколько пар точек и изобразите векторы, определяемые этими парами точек.

б) Выпишите равные векторы. Если их нет, то подберите необходимые пары точек и нарисуйте равные векторы, определяемые ими.

в) Используя признаки равенства векторов, докажите, что выписанные вами пары векторов равны.

г) Выпишите три сонаправленных вектора, определяемые тремя парами вершин шестиугольника. Докажите их сонаправленность, используя признаки. Выберите какую-нибудь вершину шестиугольника и отложите от нее вектор, равный одному из векторов, изображенных на вашем рисунке. Докажите их равенство.

II. Обменяйтесь работами с одноклассником, справившимся со своей работой, и проверьте ее друг у друга.

III. Поговорите о результате проверки.

§ 19. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Работа 3 «Проблемы, поиски их решения» начинается с разбора задачи, решение которой опирается на еще не изученную тему «Сложение векторов». Это задание предваряет изучение новой темы. Выполняя задание II, ребята сформулируют ряд проблем и вопросов, ответов на которые у них пока нет. Когда же вопросы выяснены, начинается поиск ответов на них (задание III). Задания IV

и V опять возвращают внимание ребят к задаче 19.15, им представляется возможность сразу увидеть применение теории к решению хорошей задачи. Далее идет самостоятельное изучение теории, время от времени прерываемое разговором с соседом, дабы сверить истинность понимания. Работа емкая, возможно, для ее проведения не хватит 45 минут, тогда можно перенести выполнение оставшихся заданий на дом или на следующий урок.

Работа 5 «Проверю свои знания» обычная проверочная, ее стоит давать тогда, когда ребята уже прорешали задачи 19.2, 19.3, 19.11, 19.21, 19.22, 19.24, 19.26.

Работа 6 «Искусство решать задачи» — обучающая поиску решения, отрабатывающая умение видеть частный случай, отбросив некоторые условия задачи, решить его и затем использовать найденную идею при решении более сложной ситуации.

Работа 3. Проблемы, поиски их решения

I. Прочтите решение задачи 19.15, данное на с. 226—227. Читая, выписывайте понятия, действия с векторами, которые для вас еще не были определены. Формулируйте вопросы, на которые вы еще не можете дать ответа.

II. Посмотрите, какие вопросы выписал ваш сосед.

III. Прочтите бегло § 19 на с. 219—224, отыскивая лишь ответы на сформулированные вами проблемы.

IV. Вернитесь к задаче 19.15, выясняя, все ли вам понятно в ее решении.

V. Расскажите по рисунку 209 решение этой задачи вместе с соседом.

VI. Самостоятельно или вместе с соседом расскажите доказательство свойств сложения векторов (п. 19.3) по рисункам 199, 201.

VII. Закройте учебник, запишите в тетрадь свойства сложения векторов, сделайте необходимые рисунки и проверьте доказательства этих свойств.

VIII. Проверьте у соседа выполненные доказательства.

IX. Изучите п. 19.4 «Вычитание векторов» и п. 19.5 «Противоположный вектор».

X. Сделайте в тетради рисунок 203.

XI. В тетради из точки О нарисуйте любые пять векторов а, Ь, с, d , е и найдите разность двух любых из них.

XII. Проверьте работу друг друга.

Работа 4. Я научусь складывать и вычитать векторы

I. Нарисуйте треугольник ЛВС, отметьте точку К — середину ВС. Нарисуйте вектор:

а) 4£ + ВК;

б) КС + СЛ.

Найдите сумму: ЛВ + ВК + КС + СЛ.

II. Нарисуйте параллелограмм ABCD, О — точка пересечения его диагоналей. Нарисуйте вектор:

а) ЛЯ + 2?0;

б) ÖB + ВС;

в) найдите сумму: ÂB + Ю + ÖB + ВС.

III. ABC — правильный треугольник, О — середина АС, длина AB = 1. Чему равна длина суммы векторов:

а) ВА + АО; б) AB + АС; в) ВС + Л2??

IV. Нарисуйте параллелограмм ABCD, О—точка пересечения диагоналей, ÂT — середина AD, Z, — середина CD. Нарисуйте вектор:

а) ВС — BL; б) АО — Й; в) ÖB — ÖK; г) ÂS - КО.

V. ABCD — тетраэдр.

а) Докажите, что Л2? + ВС + CD + DA = ÄC +СА.

б) О — середина ÄD. Нарисуйте сумму векторов AB + AD + АС.

VI. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Докажите, что ÄB + ССХ+ DAX= DC + ÄAX+ (\ВХ.

VII. Нарисуйте иллюстрации к такому векторному равенству: 7 - а + (-~Ь) = - (b +а) + 7.

VIII. Нарисуйте правильный треугольник ABC с центром в точке О. Нарисуйте составляющие по прямым AB и АС векторов:

а) ААХ, Ах — середина ВС; б) АО; в) ОАх.

IX. Придумайте задачи на сумму, разность векторов и решите их.

Работа 5. Проверю свои знания

I. Нарисуйте правильный шестиугольник ABCDEF.

1) Возьмите точку О внутри шестиугольника и докажите, что:

2) Возьмите точку n вне шестиугольника и докажите, что:

3) Разложите вектор AD на составляющие, лежащие на прямых AB и AF.

II. Проверьте все обоснования.

III. Поговорите о решении с одноклассником, тоже справившимся с этой работой.

Работа 6. Искусство решать задачи

I. Начните работать с задачей 19.16 а):

«Существует ли пятиугольник, стороны которого равны и параллельны диагоналям произвольно заданного пятиугольника?»

Постарайтесь мыслить нешаблонно, не бойтесь сойти с проторенной дорожки, ищите, опираясь на интуицию, ошибайтесь, отказывайтесь от ошибочного выбора пути, но верьте в себя, в свои

силы. Тогда вы обязательно найдете свою дорогу, которая и приведет вас к красивому решению.

II. Попробуйте прочитать задачу иначе, исходя из того, что дано и что требуется сделать.

III. Итак, есть какой-то пятиугольник ABCDE. Требуется найти пятиугольник AXBXCXDXEX, стороны которого равны и параллельны диагоналям пятиугольника ABCDE.

Слово «найти» можно заменить словом «построить» или «доказать существование».

Сделайте соответствующие рисунки и обдумайте первые версии, которые придут в голову.

IV. Если решение еще не найдено, то можно сделать попытку рассмотреть частные случаи задачи. Ну хотя бы такие:

Существует ли четырехугольник, стороны которого равны и параллельны диагоналям:

а) прямоугольника;

б) произвольного четырехугольника?

V. Один вариант решения случая а) дан на рисунке. AXBXCXDX — искомый.

Дайте решение случая б).

VI. Вернитесь теперь к задаче 19.16 а). Всмотритесь в рисунок пятиугольника ABCDE и подумайте, как можно получить пятиугольник AXBXCXDXEX со сторонами, равными АС, BD, СЕ, BE, DA. Не будем пока стремиться делать его стороны параллельными диагоналям.

VII. Если еще решение не найдено, попробуйте построить пятиугольник АХВХСХЬХЕХ на стороне AD.

VIII. Вы заметили, что требуется как бы распутать звездочку, составленную из диагоналей? Подумайте, как это сделать.

IX. Один из способов: построить ломаную АСХЕ, симметричную АСЕ относительно АЕ, a EBXD, симметричную EBD относительно ED. Получим пятиугольник CXADBXE, стороны которого равны диагоналям пятиугольника ABCDE. Сделайте это.

X. Осталось от каждой вершины CXADBXE отложить какой-нибудь вектор, ну, например, АЕ, тогда все стороны нового пятиугольника будут параллельны диагоналям ABCDE. Сделайте это.

XI. Задача решена. Теперь главное — осознать способ, которым был осуществлен поиск. Прочтите все этапы этой работы еще раз

и запишите в тетрадь основные этапы, из которых состоял поиск решения.

XII. Нарисуйте еще раз пятиугольник ABCDE и его диагонали. Расположите на диагоналях векторы так, чтобы их цепочка (конец предыдущего совпадает с началом следующего) начиналась в точке А и в ней же заканчивалась.

XIII. От любой точки О отложите все пять векторов цепочки. Векторы расположились в определенном циклическом порядке.

Осталось, не нарушая этого порядка, отложить их последовательно (конец предыдущего совпадает с началом следующего). Получим новую замкнутую цепочку — искомый пятиугольник.

§ 20. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Работа 7 «От частного к общему» начинается с простого задания, которое школьники выполняют с опорой на интуицию. Когда четыре вектора нарисованы, третье задание заставляет задуматься о правомерности их действий, выяснить, почему все точки А, Аь А2, Аъ и Ап в этом случае лежат на одной прямой. Четвертое задание приглашает к беглому просмотру текста § 20, этого вполне достаточно для того, чтобы самостоятельно ответить на все возникшие вопросы. Если же ответ так и не будет найден, то шестое задание прямо адресует их к следствию на с. 230.

Работа 8 «Изучу и придумаю свое». Когда автор дает в учебнике свое решение задачи — это образец. До образца страшно дотрагиваться не только ученику, но, порой, и учителю. А уж придумать другое решение не позволяет преклонение перед авторитетом автора. Работа 8 начинается с изучения авторского решения, ученику не дается даже нескольких минут для попытки придумать свое: читай, учись, делай, это хорошо. И только потом он потихоньку начинает сначала находить сумму двух векторов, а потом размышлять о месте нахождения точки X Думаю, правомерно, что вопрос об изучении единственности решения отнесен в самый конец работы.

Возможно, разумнобыло начать решение с поиска точки Ху такой, что ХА + ХВ = 0 . Эта простая задача дала бы нужное направление мысли.

Работа 9 «Определяю, что еще надо изучить». Ее выполнение поможет школьнику понять, до какого уровня обобщения он обработал всю информацию § 20. Приведем некоторые ответы к задачам:

а) отрезок ХК, где К лежит на луче DC и CK = у DC;

б) отрезок OZ, где О — точка пересечения диагоналей параллелограмма, и OZ II AB, OZ = AB;

в) параллелограмм AB FC, где F € [DC), С F = DC.

Работа 7. От частного к общему

I. Отложите от точки О векторы: OA = а, ОАх= 2а, ОА2= За, ОА3= За, если вектор а задан.

II. Сформулируйте свои наблюдения.

III. Теперь известно, что от точки О отложен вектор ОАп = па, охарактеризуйте положение точки Ап.

IV. Посмотрите основные определения и формулировки теорем, следствий § 20. Уточните свои ответы по первым трем заданиям.

V. Поговорите с соседом, сопоставьте сделанные вами выводы.

VI. Следствие о векторах на прямой на с. 230 позволяло найти ответ на все вопросы, возникшие в заданиях I—III. Прочтите его еще раз, подумайте, откуда следует его доказательство.

VII. Выпишите в тетрадь формулировку теоремы 27 (о коллинеарных векторах) и попробуйте ее доказать, исходя из определения умножения вектора на число.

VIII. Прочтите доказательство этой теоремы в учебнике. Сформулируйте характерное свойство коллинеарных векторов.

Работа 8. Изучу и придумаю свое

I. Рассмотрите решение задачд 20.1Ца). Даны три точки: А, В, С. Найдите точку X такую, что ХА + ХВ + ХС = 0.

Прочтите решение на с. 231. Выполните все построения, проделайте все выкладки.

II. Выделите и запишите в тетради суть этого способа решения.

III. Итак, самое главное — осмелиться выбрать точку О на плоскости и данные векторы представить в виде разности векторов, начало которых в точке О, а концы в точках, определяющих данные векторы.

IV. Теперь начнем решать эту задачу так, будто бы мы этого решения и не знаем. Отметьте на листе три точки А, Д, С игде-нибудь поставьте точку X. Найдите сумму векторов ХА и ХВ. Обозначьте полученный вектор ХК.

V. Посмотрите на рисунок: ХК + ХС = 0.

Сделайте вывод из этого равенства и установите, где примерно должна быть расположена точка

VI. Действительно, векторы ХК и ХС должны быть противоположны, значит, точки X, К и С должны лежать на одной прямой. Обдумайте эту информацию, возможно, она приведет вас к решению.

VII. Обратите внимание на тему § 20, может быть, точку К можно заменить другой, положение которой закреплено на рисунке.

VIII. Пусть середина отрезка AB — точка О, тогда ХО = \ {ХА + ХВ). Сделайте вывод.

IX. Итак, точка X должна лежать на прямой ОС, причем XÔ = = — \ ХС. Отсюда все ясно.

X. Значит, точка X лежит на медиане ХО в А ABC в точке пересечения медиан. Докажите, что точка X не может находиться вне отрезка ОС.

XI. Обдумайте еще раз это решение. Этот метод основан на анализе условия задачи. Логика, внимательное рассмотрение всех возникающих ситуаций, приводит к успеху. Дочитайте на с. 232 решение задачи до конца.

Работа 9. Определяю, что еще надо изучить

I. Дан параллелогдамм ABCD. Установите множество всех точек Z таких, что АХ + AY = AZ, если:

II. Придумайте аналогичную задачу и решите ее.

§ 21. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ

Работа 10 «Познание теории» сочетает и самостоятельное исследование, и изучение текста учебника, и применение рассмотренной теории. Работа дается после того, как ученики познакомятся с определением угла между ненулевыми векторами.

Работа 11 «Разговор с соседом по теме «Проекция вектора на ось». § 21 «Проекция вектора на ось» содержит много новых мелких понятий, которые надо ученику усвоить, и массу рисунков, которые необходимо успеть разглядеть. Данная работа направляет внимание школьника то на один рисунок, то на другой и предлагает их прокомментировать. Заметьте, что ребята дают свой комментарий лишь после предварительного просмотра текста § 21. Конечно, если кто-либо из ребят испытывает затруднение при комментировании, ему может помочь сосед или они еще раз читают соответствующее место в учебнике. Работа направлена на самоконтроль, на обнаружение самим учеником плохо усвоенных вопросов и позволяет ему ликвидировать пробелы.

Работа 12 «Решаю простые задачи» дана по теме «Угол между векторами». В ней предложены как простые задачи, требующие от ученика лишь правильного применения определения, так и несколько более сложные. Но поиск решения этих задач направ-

ляется заданиями, указаниями, рисунками, приведенными в работе. Ученик может сверить свой ответ с ответами, данными в работе.

Работа 13 «Пять задач на векторы» дана по той же теме «Угол между векторами». В ней решается пять задач: 21.5, 21.7, 21.8, 21.9, 21.10. Но сначала в каждой из пяти задач внимание ученика сосредоточивается лишь на рисунке. Строятся векторы, их сумма, разность, векторы, заданные линейной комбинацией единичных векторов. Выполняется доступная всем техническая работа. Это как бы увертюра ко всем остальным заданиям. Ученик может, если понадобится, исправить рисунок, сравнив его с рисунком соседа и с рисунками, данными в работе.

Затем после выбора задачи, которую он хочет решить первой, и после знакомства с указаниями к поиску решения, если это ему надо, ребенок находит решение, сверяет полученный ответ с ответом, данным в работе, и переходит к решению остальных задач.

Работа 14 «Проекция вектора на ось в задачах» направлена на отработку свойств проекции вектора на ось. Ее можно давать как до объяснения учителем этой темы для самостоятельного изучения, так и после разбора в классе свойств проекций вектора на ось. Для самопроверки в работе иногда даются ответы, иногда внимание ученика направляется на нужное свойство проекции вектора или же предлагается сравнить его ответы с ответами соседа.

Работа 15 «Проверю свои знания», с одной стороны, продолжает отрабатывать свойства проекции на ось, с другой — задания ее всячески способствуют организации самоконтроля, учат проверять свои решения.

Работа 10. Познание теории

I. Напишите в тетради «Проекция вектора на ось». Запишите вопросы, на которые должны были бы ответить авторы учебника при написании данного параграфа.

II. Итак, надо определить, что мы понимаем под проекцией вектора на ось; как ее вычислить; свойства проекций векторов на ось. Прочтите определение в п. 21.2 и попробуйте одним словом сказать, что понимается под проекцией вектора на ось.

III. Понятно, что проекция вектора на ось — число. Число, взятое с определенным знаком. Запишите это в тетрадь и сделайте рисунок.

IV. Выпишите в тетрадь лемму о проекции вектора на с. 235 и докажите ее самостоятельно.

V. Прочтите доказательство леммы, сравните со своим.

VI. Решите задачу 21.17.

VII. Ответы вы можете найти среди чисел:

Добейтесь верного ответа.

VIII. Прочтите п. 21.4 «Свойства проекций векторов на ось», причем читайте лишь формулировку и по рисунку попробуйте найти доказательство, а потом уже прочтите текст учебника.

Работа 11. Разговор с соседом по теме «Проекция вектора на ось»

I. Перед разговором посмотрите текст § 21 на с. 232—238. Особое внимание обратите на рисунки.

II. Поговорите по рисункам:

а) Рисунки 213, 214 (угол между векторами) комментируйте.

б) Рисунок 215 (определение проекции вектора на ось) комментируйте. Каждый раз после добавления к комментарию соседа необходимо сверить с текстом учебника то, что вы сказали.

в) Рисунок 216 (вычисление проекции с помощью координат) комментируйте.

г) Рисунок 217 (о вычислении проекции вектора на ось через косинус угла между вектором и осью) комментируйте.

д) Рисунки 218, 219, 220 (свойства проекций векторов на ось) комментируйте.

III. На отдельном листочке дайте ответы на вопросы к § 21 на с. 238.

IV. Обменяйтесь с соседом листочками.

V. Обсудите написанное.

Работа 12. Решаю простые задачи

I. Нарисуйте правильный шестиугольник ABCDEF. Найдите углы между векторами:

а) ВА и i?C; б) ВС и DC; в) £ и Й; г) й| и ÂFj д) ÄD и ËF; е) ВА и CD; ж) СЕ и ЕВ; з) CD и ÉF.

II. Сверьте свои результаты с результатами соседа.

III. В ответе должно получиться четыре угла по 120° и углы в 180°, 0°, 150°, 60°. Если все ответы верны, значит, основной материал усвоен добротно и можно переходить к следующему заданию. Если нет, то найдите углы, которые образует вектор С В с векторами, определяемыми парой вершин этого шестиугольника.

IV. Расскажите о своей задаче и ее решении соседу.

V. Решите задачу 21.3. Предварительно нагзисуйте единичные векторы ех, е2, образующие угол ф, и векторы ех + е2, ех — е2.

Задача 21.3. Пусть ех и е2 — два единичных вектора и /~ехе2 = ср. Найдите угол, который образует с данными векторами вектор е\ + е2> е\ ~ е2- Найдите угол между векторами ех + е2 и ех — е2.

VI. Эта задача решается просто, если помнить свойства ромба.

Сверьте ответы:

VII. Решите теперь задачу 21.4.

Пусть ех и е2 — два единичных вектора. При каком угле между ними:

Обязательно сделайте рисунок к каждому случаю, тогда все станет ясно.

VIII. Изучите эти рисунки:

IX. Сверьте ответы:

Постарайтесь дать четкое обоснование в каждом случае, возможно, в случае б) придется применить теорему косинусов.

Работа 13. Пять задач на векторы

I. Будем решать задачи 21.5—21.10. Но сначала прочтите условие каждой задачи и сделайте рисунки.

В задачах 21.5, 21.6 постройте а + b, а — b по заданным векторам а и b.

В задаче 21.7 вспомните, что означает условие а + b + с = 0, как при этом расположены векторы а, b, с. Постройте векторы а, b, с, удовлетворяющие условию задачи. Отметьте углы ф, и ф2, образованные векторами а и b с вектором с.

В задаче 21.8 постройте единичные перпендикулярные ректоры ех и е2, векторы а = 2ех — е2, b = ех + 2е2, а + b, а — b.

В задаче 21.9 постройте векторы а и b такие, что \а I = \b I, a Lb.

Постройте затем векторы я +2/> и 2я + b, —а + й иЗя —А.

В задаче 21.10 постройте векторы а и b такие, что lé I = \а + b 1 = = lö + 2*1.

II. Сверьте свои рисунки с рисунками соседа.

III. Посмотрите на рисунки:

21.5-21.6

21.7

21.8

21.9 а)

21.10

IV. Выберите те задачи, решения которых для вас сразу следуют из рисунка, и решите их.

V. Воспользуйтесь указаниями к решению задач 21.5—21.10, если они вам нужны, а если не нужны, переходите сразу к следующему пункту работы.

Указания: 21.5. Примените теорему косинусов.

21.6. ABCD — ромб, образованный векторами а и b с диагоналями а + b и а — b.

21.7. Примените к Д ABC теорему синусов.

21.8. Л АОС = A DCL, Z.ACD = 90°.

21.9. а) Д ABC — равнобедренный, Д ADB и Д ACN — прямоугольные.

б) Легко найти тангенсы углов АВО и DBE.

VI. Сверьте свое решение с решением одноклассника, который уже решил эти задачи.

VII. Решите все остальные задачи.

VIII. Сверьте свои ответы с ответами, данными ниже, но учтите, что ответы могут быть и неверные.

21.5 и 21.6 даны в указании.

IX. Подумайте над всей работой. Найдите в решенных задачах то, что пригодится при решении других задач.

Работа 14. Проекция вектора на ось в задачах

I. Прочтите свойства проекций векторов на ось в п. 21.4 на с. 236-237.

II. Решите задачу 21.23. Пусть вектор а длиной 1 образует с осью х угол 30°, а вектор b длиной 2 образует с осью х угол 135°. Чему равна проекция на ось X вектора: а) 2а ; б) — ЗЬ ; в) а + b ; г) b — а ; д) 0,5я - ЗЬ ;

е) -2а + \bl

III. Попробуйте определить то главное, что надо вычислить в этой задаче, для того чтобы почти устно дать ответы на все пункты а) — е).

IV. Конечно, если опираться на свойства проекции вектора на ось: при сложении векторов их проекции на ось складываются, а при умножении вектора на число его проекция умножается на это число, — то достаточно найти лишь проекцию вектора а на ось х и проекцию вектора b на ось х. Далее надо лишь умножить их на соответствующие числа, сложить и вычесть. Сделайте это.

V. Итак,

Тогда:

VI. Решите устно вместе с соседом задачу 21.22.

Пусть проекция вектора а на ось х равна 2, проекция вектора b на ось X равна —3, проекция вектора с на ось х равна 4. Чему равна проекция накось х вектора: а) —2а ; б) b + с ; в) с — а; г) За - 0,5Г; д) -а + 2Ь - 2с ?

VII. Нарисуйте систему координат. Нарисуйте векторы:

VIII. Определите их проекции на оси х и у.

IX. Сравните свои ответы с ответами соседа.

X. Определите угол, который эти векторы составляют с осью х.

XI. Сравните свои ответы с ответами соседа.

Работа 15. Проверю свои знания

I. Нарисуйте систему координат. Пусть \а\ = 1, \b I = 2, вектор а образует угол 60° с осью х, вектор b — угол 150° с осью х. Найдите:

II. Проверьте, верно ли вы решали:

а) сопоставьте свои действия с теорией (формула вычисления проекции вектора на ось, определение угла между векторами);

б) обратите внимание на правильность вычисления значений тригонометрических функций;

в) выясните, не подвели ли вас вычисления.

III. Сравните результаты решения с решением одноклассника, который тоже справился с этой работой.

IV. Придумайте и решите задачу, где надо было бы находить проекцию вектора на ось и вычислять угол между векторами.

V. Обменяйтесь условиями составленных самостоятельных задач с кем-нибудь в классе.

VI. Сравните решения.

§ 22. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Работа 16 «Координаты вектора. Нужны ли они?». Уже в самом ее названии зафиксирован один из основных вопросов, который обычно задают ребята, начиная изучать новую тему: зачем нужна эта теория и каков ее практический выход? Найти на него в учебнике ответ и предлагает первое задание. Возможно, что этот ответ ученика не удовлетворит, тем напряженнее будет поиск при дальнейшем чтении текста параграфа. Задания направлены на обучение самостоятельной работы с текстом. Чтение теории прерывается решением простейших задач, направленных на подведение под рассмотренное понятие. Завершается работа самостоятельным изучением теоремы о координатах вектора, самостоятельной записью ее доказательства в тетрадь. При этом ученик сам почувствует, что необходимость прибегнуть к помощи учебника свидетельствует о его недостаточном осмыслении этапов доказательства. И наконец, еще одна проверка качества изучения нового материала состоится при обсуждении доказательства теоремы 28 с соседом.

Работа 17 «Познание метода» направлена не только на ознакомление с авторским решением задачи 22.4 методом координат, но и на самостоятельный поиск решения. Ученикам предоставляется до использования метода координат найти и оценить другой способ ее решения, сопоставить два метода. Задание XIII, в котором предлагается рассмотреть вместо прямоугольника ромб, дает возможность ребятам убедиться в том, что иногда без метода координат обойтись трудно.

Для ромба ответ тот же, что и для прямоугольника, оси координат удобнее расположить по диагоналям.

Работы 18 и 19 «Составление и решение задачи, обратной данной». Если в задаче имеется пункт, в котором предлагается составить и решить обратную задачу, то ученики редко берутся за его выполнение. Это традиционно сложный вопрос. В работе рассматриваются различные варианты задач, обратных данной, организуется поиск их решения.

В работе 20 «Поиск обобщения» ученику предлагается не просто в лоб решать задачу 22.31, а после внимательного изучения ее условия направить свои усилия на поиск формулировки общего случая, из которого легко следовало бы решение всех пунктов данной задачи.

В работе 21 «Учусь решать задачи» организуется самостоятельный поиск решения хорошей задачи 22.32. Возможно, ученики за один урок не успеют ее сделать, тогда разумно посвятить ей еще один урок или предложить закончить ее решение дома.

Работа 22 «Я научусь строить. Обобщение задачи». Школьнику сразу предлагается прочесть четыре задачи. Он должен бегло их прочитать и задуматься о смысле самого требования обобщить задачу. И только после самостоятельного размышления, разговора с соседом, изучения понимания смысла этих слов ему предлагается

составить различные обобщения первой задачи. Внимание ученика в этот момент сконцентрировано лишь на поиске формулировки обобщения, трудности решения пока отходят на второй план. Сравнивая свои обобщения с теми, что даны в работе, школьник продолжает проникать в смысл понятия обобщения. Затем этот процесс продолжается в работе с остальными задачами. Ученик все время сравнивает результат своего поиска с результатом соседа или автора работы.

Работа 16. Координаты вектора. Нужны ли они?

I. Найдите в п. 22.1 ответ на вопрос: «Для чего вводятся координаты вектора?»

II. Как найти координаты вектора? Найдите ответ на этот вопрос. Для этого прочтите формулировку теоремы 28 (о координатах вектора) и п. 22.5 «Связь координат векторов и координат точек».

III. Выпишите в тетрадь итоговый вывод, который дан в конце п. 22.5.

IV. Решите задачу 22.4, но только для вектора AB. Решая, сравнивайте свои результаты с результатами, которые получились у соседа.

V. Найдите ответы среди пар чисел:

VI. Изучите в учебнике доказательство теоремы 28.

VII. Запишите в тетрадь доказательство о единственности координатного представления вектора.

VIII. Поговорите с соседом: расскажите друг другу доказательство теоремы 28.

Работа 17. Познание метода

I. Задача 22.40 а).

Пусть известны расстояния от точки К до трех вершин прямоугольника. Сможете ли вы найти расстояние от К до его четвертой вершины, если точка К лежит внутри прямоугольника?

Нарисуйте прямоугольник ABCD. Возьмите где-нибудь внутри его точку К. Пусть \КА\ = dx, \КВ\ = </2, \КС\ = dy \АВ\ = я, \ВС\ = Ь. Требуется найти \KD\ = dA.

Сосредоточьтесь на условии задачи и постарайтесь наметить несколько способов ее решения.

II. Обменяйтесь идеями с соседом.

III. Из условия задачи напрашивается вывод, что расстояние от точки К до четвертой вершины можно вычислить, если известны ее расстояния лишь до трех вершин прямоугольника.

Найдите удобное положение точки К, чтобы поиск расстояния d4 свелся к самым простым вычислениям.

IV. Кажется, d4 вычислить просто, если точка К — середина AB. Найдите d4 через расстояния dx, d2, d3 до точек А, В и С соответственно.

Таким образом, d4 вычислить просто. Теперь рассмотрите общий случай. Пусть точка К внутри прямоугольника. Наметьте план решения.

VI. Рассмотрите такой вариант.

Проведите через точку К два взаимно перпендикулярных отрезка NF и ML. Пусть МК = у, KN = х, M <Е AB, N 6 ВС. Тогда если AB = а, ВС = Ъ, то из прямоугольных треугольников находим:

Легко заметить, что d* +d* = d* + d2, отсюда легко найти d4. Проверьте дотошно все выкладки, все логические ходы.

VII. Прочтите на с. 247 учебника первый абзац решения задачи 22.40 а).

Сделайте рисунок прямоугольника, выберите самостоятельно систему координат самым удобным, с вашей позиции, способом. Вспомните, как длина отрезка находится через координаты его концов, и проведите все необходимые вычисления.

VIII. Прочтите второй и третий абзацы решения, сравните его со своим решением.

IX. Попробуйте иначе выбрать систему координат, возможно, решение будет проще.

X. Ось X можно провести через отрезок AB и начало координат О взять в середине AB, при этом несколько упростятся вычисления. Проверьте на с. 248—249, где авторы воспользовались тем, что в условии дан прямоугольник.

XI. Дочитайте до конца решение.

XII. Подумайте над всей выполненной работой. Сделайте в тетради необходимые вам заметки. Нет ли у вас продолжения работы с этой задачей?

Работа 18. Составление и решение задачи, обратной данной

I. Прочтите задачу 22.23.

В треугольнике ABC точка К — середина АСи точка L- середина А В, точка M — середина ВС. Пусть АВ= аАС = Ъ. Выразите как линейную комбинацию векторов а и b такие векторы: а) ВК\ б) CL; в) КМ; г) LK + МК; д) ÂM + CL + ВК. Решите какую-либо обратную задачу.

Что значит обратная задача?

Обсудите свое понимание этого вопроса с соседом.

II. В самом простом случае обратная задача получается перестановкой местами условия и заключения.

Но иногда такой способ ни к чему вразумительному не приводит. Тогда лишь часть условия и заключение меняют местами.

Рассмотрим нашу задачу. Запишите вектор ВК как линейную комбинацию векторов а и Ь.

III. Итак, ВК = \-а.

Составим обратную задачу:

В А ABC ÂB = ~а, ÄC = ВК = -j — <a. Докажите, что точка К — середина АС.

Проанализируйте, как составлена эта обратная задача, и решите ее.

IV. Найти ее решение нетрудно, главное — вектор АК записать как сумму векторов AB и ВК. Легко получить, что AK = -j, и тогда точка К — середина АС.

V. Выразите теперь вектор AM + CL + ВК как линейную комбинацию векторов а и Ь.

VI. Предыдущее задание выполняется легко, если помнить, что вектор, проведенный в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведенных в его концы, и т. д.

Тогда AM + CL + ВК = О. Теперь составьте обратную задачу.

VII. В заключение обратной задачи можно отправить такую часть условия:

Докажите, что точка К — середина АС, точка L — середина AB, точка M — середина ВС.

А каким же станет условие? Попробуйте написать условие обратной задачи.

VIII. Вот два варианта обратной задачи: 1. J треугольнике ABC точка К € АС, L е AB, M € ВС, AB = а, АС = Ь, причем AM + CL + ВК = 0. Определите положение точек L, М, К на сторонах АС, AB, ВС.

2. В треугольнике ABCjto4K3K —середина AC, L € AB, M е ВС, AB = a, AC = b, AM + CL + ВК = 0. Докажите, что L — середина AB, M — середина ВС.

Решите для начала какую-либо из этих задач.

IX. Первая задача — более общий случай! Если ее разобрать, то вторая решается просто.

Для решения первой достаточно осмелиться ввести тгзи переменные: а, ß, у такие, что AL = ßAB, СМ = аВС, АК = уАС, и воспользоваться условием единственности разложения вектора по двум непараллельным векторам и тем, что AM + CL = —ВК.

Реализуйте эти замечания.

X. Итак, получили: ЛЛ/ + CL = -jß, b + а(а - V) + ßö - V = = а - yb , (а + ß)a - аб = а - уй , fa+ß = l, отсюда ja = y

Решение неопределенно. Если задать а какое-нибудь значение от 0 до 1, то сразу будут определены и ß и у. Ну, а если У = у , как это дано во второй задаче, то ясно, что и а и ß равны у. А значит, в этом случае точки L и M — середины отрезков AB и ВС.

XI. Просмотрите все задания этой работы с самого начала.

XII. Вместе с соседом составьте обратную задачу к одному из оставшихся случаев.

Работа 19. Составление и решение задачи, обратной данной

I. Вы уже обладаете некоторым опытом составления и решения обратных задач, поэтому попробуйте сначала самостоятельно, реализуя свои планы, поразмышлять над задачей 22.24 а).

Дан правильный пятиугольник АХА2АУААА5. Выразите как линейную комбинацию векторов АХА2 и АХА5 векторы АХАЪ и АХАА. Решите обратную задачу.

II. Конечно, сначала попытайтесь решить данную задачу, прежде чем составлять обратную. Не забудьте воспользоваться свойствами правильного пятиугольника.

III. Вы заметили, что AWA, AWA, причем (Лз! = = \АХАА\, Ul = Uy44l, поэтому эти пары векторов коллинеарны с одним и тем же коэффициентом:

Найдите а.

IV. Сверим:

Тогда вектор А легко выражается через векторы а = АХА2 и b = АХА5, а вектор АХАА — через векторы АХА2 и А. Найдите выражение АХАА через а и b .

V. Получилось, что

Осталось найти вектор

С задачей справились.

Теперь давайте разберемся с обратной задачей.

VI. Обратная задача. Дан пятиугольник А1А2АА4А5, причем

Докажите, что пятиугольник А1А2АУА4А5 правильный.

Если возражений против такой формулировки нет, то давайте решать. Если есть, составьте свою обратную задачу, подвергните ее критическому рассмотрению и решите ее.

VII. Поговорите с соседом.

VIII. Итак, теперь надо доказать, что стороны пятиугольника равны и равны все его углы.

Это доказывается нетрудно, если установить коллинеарность векторов ААЪ и АХА4, АуА4 и ААЪ, АХАЪ и АА4.

IX. Посмотрите еще раз все задания этой работы. Подумайте. Здесь есть над чем. Возможно, вы внесете некоторые коррективы и в свои решения.

Работа 20. Поиск обобщения

I. Подумайте сначала над решением задачи 22.31.

Даны точки А{— 1, 3) и В(5, —3). Найдите координаты точки: а) С, такой, что она является серединой отрезка AB; б) С2 такой, что точка В является серединой отрезка АС2; в) С3 такой, что она делит отрезок AB в отношении 2:1; г) С4 такой, что точка А делит отрезок ВС4 в отношении 3:2.

Сравните задания а) — г) и выясните то общее, что в них имеется.

II. Попробуйте сформулировать обобщение всех этих задач — такую задачу, решив которую решения всех остальных можно было бы рассматривать как ее частные случаи.

III. Убедите соседа, что обобщение вами найдено верно.

IV. Рассмотрите такое обобщение задачи.

Задача. Даны точки А(хА, уА) и В(хв, ув). Найдите координаты точки С, делящей отрезок AB в отношении т.п. Подумайте, как ее решить. Наметьте план решения.

V. Если выразить вектор АС через AB, то легко будет найти и координаты вектора АС через координаты AB. По координатам АС и координатам точки А легко найти координаты С. Найдите.

VI. Сверьте свои результаты решения с результатами соседа.

VII. Так как

Так как

то

Учитывая, что координаты точки А (хА, уА ), находим координаты точки С

Так ли все здесь решено? Внимательно проверьте.

VIII. Определите в каждом случае а) — г) отношение и координаты точки С, воспользовавшись итогом данного выше решения.

IX. Сверьте свое решение с решением соседа.

X. Проверьте:

XI. Подумайте о всех этапах этой работы, сделайте выводы.

Работа 21. Учусь решать задачи

I. Прочтите задачу 22.32.

Пусть известны координаты трех вершин треугольника, а) Как найти координаты векторов, заданных его медианами, биссектрисами, высотами? Приведите примеры, б) Как найти координаты точки пересечения медиан, точки пересечения биссектрис? Приведите примеры.

II. Выберите себе один объект из: медиан, биссектрис, высот. Сделайте рисунок и проанализируйте ситуацию. Координаты вершин обозначьте так: А(хА, уА), В(хв, ув), С(х0 ус).

III. Поделитесь своими идеями с соседом.

IV. Постарайтесь скорректировать свои действия, учитывая точку зрения соседа.

V. Если проанализировать все три ситуации в п. а), то ясно, что в каждом случае координата одного из концов искомого вектора известна. Значит, дело за определением второй координаты. Подумайте, каким образом это можно сделать, если вектор задан: а) медианами; б) биссектрисами; в) высотами.

VI. Обсудите свои гипотезы с соседом.

VII. Думаю, что случай с медианами прост, ибо мы уже не раз находили координаты середины отрезка по координатам его концов. С биссектрисами надо воспользоваться свойством биссектрисы внутреннего угла треугольника; она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Реализуйте эти идеи и найдите координаты векторов, определяемых медианами и высотами.

VIII. Сверим ответы:

медиана AM

биссектриса АК

IX. Пусть АН - высота к ВС, тогда СН = ХСВ, где А=—.

Найдите СН, применяя теорему Пифагора к ААВН и ААНС, а затем и X.

X. Посмотрите внимательно свои вычисления, если же так и не найден вами путь решения, то выразите АН2 из à AB H и AACH

XI.

длины АС2, AB2 и ВС2 легко найти, ибо известны координаты концов этих отрезков. Тогда

Дальше все ясно.

Работа 22. Я научусь строить. Обобщение задачи

I. Рассмотрите задачи:

22.26. Известны координаты точек А и В и АХ = 0,5 AB. Как найти координаты точки XI Обобщите задачу.

22.29. Пусть точка О — начало координат, а точка Ах такова, что ОАх = (1, -2). Какие координаты имеет точка А2 такая, что АХА2 = (-2, 3)? Обобщите задачу.

22.34. б) Из конца единичного вектора ох, проведенного из начала координат и образующего угол ср с вектором /, ср < 90°, выхсь дит вектор а2 единичной длины, который образует с вектором ах угол ф. Каковы координаты вектора а21 Обобщите задачу.

22.38. Как найти площадь четырехугольника, зная координаты его вершин? Приведите пример. Обобщите задачу.

Во всех четырех задачах звучит требование ее обобщить. Как вы понимаете задание: обобщить задачу?

II. Поговорите с соседом.

III. Д. Пойа, выдающийся математик и педагог, говорит о двух направлениях обобщения: а) замене постоянной переменной; б) отбрасывании ограничений. Отбрасывание ограничений означает, что из характеристического свойства, задающего непустое множество, в результате исключения какого-либо свойства строится характеристическое свойство другого множества.

Прочтите с соседом еще раз эти слова и дайте свое понимание их.

IV. Исходя из теперешнего понимания слов «обобщение задачи», обобщите каждую из четырех перечисленных выше задач.

V. В задаче 22.26 можно вместо или 0,5 написать — или вообще а, где а — некоторое число. Можно взять не две точки, a три, да и у вектора АХ вместо точки А можно взять иную, менее определенную. Ну, например, могут быть такие обобщения 22.26:

1. Известны координаты точек А и В и АХ = а AB. Как найти координаты точки Л?

2. Известны координаты точек А, В и С и Y — центр тяжести А ABC, причем AX=AY. Как найти координаты точки X?

VI. Решите задачу 22.26 и ее обобщение.

VII. Сверьте свое решение с решением соседа.

VIII. Возможно, ваши ответы совпадут с данными:

IX. Теперь просто напишите по одному варианту обобщения задач 22.29, 22.346), 22.38.

X. Похвастайтесь соседу составленными текстами.

XI. Вот еще несколько вариантов обобщения:

22.29. Пусть точка О — начало координат, а точка Ах такова, что ОАх = (je., ух). Какие координаты имеет точка А2 такая, что АХА2 =

22.34. Из конца вектора ах выходит вектор а2, \ах\ = |я2|, который образует с вектором ах угол q>,, а угол вектора ах с осью х равен ф2. Каковы координаты вектора а2?

22.38. Как найти площадь пятиугольника (шестиугольника, л-угольника), зная координаты его вершин?

XII. Прочтите еще раз в п. III направления обобщения, указанные Д. Пойа, и решите, какие из них использованы в п. XI.

XIII. Поговорите об обобщениях п. XI с соседом.

XIV. Решите задачи 22.29, 22.34, 22.38.

Сравните ответы: А2 (х2 + х,, у2 + ух)\ а2 = (cos (ф2 — ф — — cos ф2, sin (ф2— Ф — sin ф2).

Разбейте «-угольник на треугольники, вычислите площадь каждого треугольника по формуле Герона и найдите сумму площадей всех треугольников.

XV. Просмотрите еще раз все задания работы, вспомните, как вы их выполняли, проанализируйте и задания и способ их выполнения.

§ 23. СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ

Работа 23 «Познание теории». Обычно при изучении новой темы у учеников возникает вопрос: «Зачем?» Первые пять заданий и направлены на то, чтобы ученик понял, в чем состоит значимость изучения этой темы, и только потом его внимание сосредоточивается на определении скалярного произведения и признака перпендикулярности ненулевых векторов. И сразу же вслед за этим идет задание, предлагающее применить прочитанное на практике при решении задач 23.3, 23.5. В заключении работы изучаются свойства скалярного произведения. Естественно, работа не ответит на все вопросы ученика, поэтому закономерно, что последнее задание предлагает сформулировать вопросы, которые так и остались без ответа.

Работа 24 «Познание метода». В первом задании предлагается прочитать авторское решение задачи 23.27. Часто решение задачи, помещенное в учебнике, служит образцом, которому надо лишь подражать при решении других задач. В данной же работе предлагается не только изучить авторский метод решения, но и попытаться взглянуть на него со стороны. Уже задание III помогает несколько видоизменить решение, а задание V приводит к спору с позицией автора: «А решать эту задачу удобнее всего в радиус-векторной технике» (с. 253). Задание X дает возможность применить то, что было доказано в задаче 23.27, вместо суммы AB CD + AD ВС можно вычислить произведение АС • BD .

Работа 25 «Учусь решать задачи» построена на поиске решения задачи 23.26, состоящего из нескольких пунктов. Любопытно, что сначала предлагается прочесть всю задачу и сделать рисунки к каждому ее пункту. Все три картинки делаются рядом, затем ученик должен сделать выбор самого простого для себя случая, наметить план, обсудить с соседом и реализовать его. Чтобы нейтрализовать возможные тупиковые ситуации в поиске решения, в задании IV предлагается рассмотреть один из возможных планов поиска решения п. б). После проверки решения (VI) внимание ученика направляется на рисунок к п. а). И в дальнейшем взгляд школьника все

время обращается на то, что он уже сделал, ибо анализ сделанного — хороший толчок для поиска решения следующего пункта.

Работа 26 «Вторая встреча с задачей». Хорошо, если эта работа будет выполнена не сразу после работы 25, а через несколько дней, после домашнего размышления. Задания I и II направлены на экспертную оценку сделанного учеником дома. Затем уже в задании III предлагается реализовать новую идею. Хотелось бы, чтобы ребята не читали сразу дальше текст заданий, ибо в задании IV дается следующая подсказка, но зато можно перескочить через п. IV и сверить свои результаты с теми, что даны в п. V.

Работа 23. Познание теории

I. Посмотрите текст § 23 на с. 249—251 и выпишите те задачи, которые дают умение находить скалярное произведение и знание его свойств.

II. Дополните свой список задач, прочитав список соседа.

III. Итак: 1) зная скалярное произведение и длины векторов а и b , можно найти косинус угла между ними (с. 249);

2) вычислив скалярный квадрат вектора а , можно найти его длину: а • а = | а \2 (с. 250).

IV. Теперь прочтите § 23 и выясните, какие применения в физике находит скалярное произведение и его свойства.

V. Будем выписывать с конца § 23:

1) (а + 7) • 7= 7 • 7+ 7\7 (с 251).

Если понимать векторы а и b как силы, действующие на тело, а вектор с как перемещение этого тела, то это свойство можно понимать так: работа, совершаемая результирующей силой a +й при перемещении с , равна сумме работ, совершаемых силами а и b при том же перемещении с .

2) Механическая работа А, совершаемая постоянной силой F при перемещении S тела, равна произведению: А = \ F \ • \ S \ coscp, где ф = ZF S (с. 249). (Зная определение скалярного произведения, можно написать,что А = F S .)

3) Ve = \V\ • \7\ cos9 (или Ve = V • 7).

VI. Прочтите внимательно п.23.1 со слов: «Итак, скалярным произведением двух ненулевых векторов называется...» Обратите внимание на признак перпендикулярности векторов (п. 2, с. 250).

VII. Закончите два утвержденияа затем докажите их:

1. Если два ненулевых вектора а и b перпендикулярны, то... 2. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов а и b равно нулю, то...

VIII. Расскажите доказательства соседу.

IX. Решите задачу 23.3.

Докажите, что скалярное произведение единичных векторов равно косинусу угла между ними.

Решите задачу 23.5.

Дан квадрат ABCD со стороной 1. Вычислите а) АВ • PC;

б) ÄJI • СВ; в) ЯС • Z)C; г) А? • д) АС • DC; е) АС • CD;

ж) АС • BD; з) у4АГ • >1Л/; и) (AB + AD) • (CD - СВ) (точка - середина CD, точка Л/ — середина ВС).

X. Ответы задачи 23.5 среди чисел: -1; 1; 0; 1; -1; 1; 0; 0;

XI. Сравним решения, например, пунктов з) — и):

з) \АК\ = = \АМ\, ZMAK = 2ZCAK = 2-(|- arctg±),

XII. Подумайте спокойно обо всех рассмотренных вопросах. Почитайте еще раз учебник, сделайте необходимые вам заметки.

XIII. Прочтите п. 23.3 «Свойства скалярного умножения». Это просто, вы все быстро поймете и запомните.

XTV. Сформулируйте вопрос, на который вы хотели бы получить ответ.

Работа 24. Познание метода

I. Прочтите задачу 23.27 на с. 253. Внимательно изучите ее решение.

II. Выпишите ее условие, сделайте чертеж и напишите решение. Решая, попытайтесь внести в решение некоторые, хотя бы малые, изменения.

III. Решите эту же задачу, выбрав за точку О точку А.

IV. Сверьте решение с решением соседа.

V. Пусть начало системы координат будет в точке А, ее координаты (0, 0). Ось X проходит через AB, координаты точки В (хв, 0), а координаты точек С (хс, ус), D (xD, yD). Найдите координаты векторов ÄB, CD, ÄD, ВС, АС и BD.

VI. Сверьте координаты векторов с вычислениями соседа.

VII. Вычислите скалярные произведения векторов AB • CD, AD - ВС, AC • BD в координатной форме (см. п. 23.2, с. 250).

VIII. Проверьте теперь выполняемость равенства задачи 23.27.

IX. Получилось так:

X. Решите задачу:

Дан четырехугольник ABCD. Известно, что А (0, 0), В (4, 0), С (3, 2), D (|, 2±) . Вычислите ÄB • CD + ÄD • ВС.

Работа 25. Учусь решать задачи

I. Задача 23.26.

Запишите вектор АО как линейную комбинацию векторов AB и АС, если: а) AB и АС — касательные из точки А к окружности с центром О (В и С — точки касания); б) АО — высота, опущенная из вершины прямого угла А на гипотенузу ВС прямоугольного треугольника ABC; в) точка О — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

Прочтите задачу и сделайте сразу три рисунка.

II. Рассмотрите рисунки. Подумайте, в каком из трех случаев вы легко можете наметить план для поиска а и ß в искомом равенстве АО = аАС + ßAB.

III. Обсудите с соседом. Уточните свой план и попробуйте его реализовать.

IV. Рассмотрите такой план для п. б) задачи на соответствующем рисунке б. Так как ААКО ™ ААСО, то

Аналогично можно найти AN из подобия треугольников AON и АОВ. Доведите решение до конца.

V. Попросите соседа проверить свое решение.

VI. У меня получилось, что

учитывая, что АС = Ьу AB = с.

Проверьте, верно ли представлен вектор АО в виде линейной комбинации векторов АС и AB.

VII. Посмотрите теперь на рисунок а) к п. a). ONAK — ромб, и так как AB = АС, то достаточно найти — = а = В. Попробуйте это сделать из подобных (?) ANAL и ААВО.

VIII. Сверьте результаты: AN =-, тогда, если AB = а, то

Имеем:

IX. Перед тем как приступить к решению п. в), стоит остановиться, посмотреть на все сделанное пытливым, заинтересованным взглядом, сделать выводы, которые обогатили бы ваш опыт решения задач.

X. Итак, посмотрите на рисунок в), выясните, что общего с предыдущими случаями, а в чем отличие. Подумайте, нельзя ли и в этом случае воспользоваться опытом решения, полученным ранее.

XI. Проанализируем рисунок: параллелограмм AKON, АО = АК + AN, АО = аЛС + ßÄß. Надо найти а = —, ß = —. Придумайте, как можно найти эти отношения, как для этого использовать то, что О — центр описанной окружности около ААВС, а АО — радиус.

XII. Не всякая задача решается быстро. С этой придется помучиться. Возможно, что стоит отказаться даже от приемов так хорошо работающих при решении предыдущих задач. Думайте, думайте, думайте, и обязательно к вам придет успех.

Работа 26. Вторая встреча с задачей

I. Побеседуйте с соседом по поводу решения задачи 23.26в). Если вы нашли ее решение, пусть он выступит экспертом в оценке правильности, рациональности решения. Если же нет, то обменяйтесь идеями, попытайтесь реализовать некоторые наиболее симпатичные вам.

II. Смените напарника и продолжите разговор.

III. Попробуйте теперь использовать такую идею: \АВ - ÄO\ = LÏOl, \АС - ÄO\ = \ÄO\.

Не согласны? Но посмотрите на рисунок.

IV. И еще: квадрат вектора равен двадрату его длины и пусть АО = a AB + ßy4C, пусть AB = а, АС = Ь. Тогда получится система

Разберитесь, решите систему, из нее и найдете а и ß. Дерзайте.

V. Сверим ответы:

VI. Непривычное получилось решение. Обдумайте его еще раз и обязательно запишите выводы после своих размышлений.

Работа 27. Решаю устно

Рассмотрим задачи на проекцию вектора на ось и скалярное произведение.

1) Дан треугольник ABC и длины его сторон AB = 5, ВС = 5, АС = 6. Найдите: а) cos {/-AB, АС); б) cos (Z-BA, CA); в) ABс; г) ЛС; д) ВСС; е) ЛЯ • ЛС; ж) ВС - CA.

Сверим ответы:

2) Дан правильный треугольник ABC со стороной, равной единице, проведены высоты ААХ и ВВи отмечен центр О. Вычислите:

Сверим ответы:

3) Дан правильный тетраэдр РАВС, РА = 1. Вычислите: а) (РА - PB) - ÄC; б) (СР - СО) -ВС; в) PC - (Ш - OB), где О -центр ABC.

Сверим ответы:

4) Даны точки А (—1; 1), В (2; —2); С (3 -1). Найдите: а] координаты Л/?; б) UjBI; в) координаты ВС; г) AB • АС; д) cos (АО -ВС).

Сверим ответы:

Работа 28. Самостоятельная работа по теме «Проекция вектора на ось. Скалярное умножение»

Вариант 1

1. Дан правильный треугольник abc со стороной, равной единице. Вычислите проекцию вектора: а) ab на ось АК (К — середина ВС) и на ось АС; б) АС на ось ВА.

2. Дан ромб abcd, /lbad = 60°, ab = 1. Найдите проекцию вектора: а) ab — ad на ось ad; б) СВ + \bD на ось cd.

3. Найдите: (а — b + с) - (b — с), если loi = \b I = le I = 1, угол между векторами: а) а и b равен 30°; б) а и с равен 45°; в) b и с равен 60°.

4. Все ребра пирамиды pabcd равны единице, точка 0- центр квадрата abcd, К — середина ab. Вычислите: а) pk - dc; б) pô - dc.

Вариант 2

1. Дан прямоугольный треугольник abc, ZC= 90°, \АС\ = \СВ\ = 1. Вычислите проекцию вектора: а) СВ на ось cn, где n — середина ab; б) ab на ось СВ и на ось ca.

2. Дан ромб ABCD, ABCD = 60°, AB = 1. Вычислите проекцию вектора: a) CD - СВ на ось СВ; б) -j ÄD + на ось AD.

3. Найдите (а + й - с) • (а -Ь), если zLöc = 45°, Z.ôc = 60°, ZlflT =30°, loi = ïb\ = Ici = 1.

4. Все ребра четырехугольной пирамиды PMNKD равны единице, MNKD — квадрат, L — середина DK. Вычислите: a) PL • MN; б) ÖP - DK.

§ 24. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД

Работа 29 «Изучение метода». Выполняя задания I—VIII, ребята последовательно ведут изучение п. 24.1 на с. 254—255 учебника. Но, делая эти задания, школьники, до чтения объяснений авторов самостоятельно размышляют, применяют прочитанное и только затем начинают вдумчивое чтение авторских решений. Для проверки, основательности осмысления прочитанного дается задание VIII. Ребята записывают в тетрадь решение одной из задач и опять сосредоточивают свое внимание на трех этапах векторного метода. Возможно, самый первый этап вызовет у учеников наибольшие затруднения: записать условие задачи в векторном виде без специальной тренировки трудно. Поэтому в задании IX предлагается решить задачу 24.1, а в п. XI даны ответы к этой задаче, правда, в разнобой.

В работе 30 «Изучение векторного метода» отрабатывается третий этап решения задач векторным методом, умение прочитать геометрический смысл векторных соотношений. А во второй части работы, при решении задачи 24.8 отрабатываются умения, обозначенные в этой и предыдущей работах. Причем нестрашно, если ученик решит эту задачу с ошибкой: VII—IX задания помогут ее найти и исправить.

Работа 31 «Изучение векторного метода». Если работы 26 и 27 отрабатывали умение применять линейные операции с векторами, то задания этой работы направлены на применение скалярного умножения. Первые три задания дают возможность после самостоятельной попытки познакомиться с доказательством свойств суммы квадратов диагоналей векторным методом. Задание IV направлено на выработку умения записывать геометрические утверждения в векторном виде, используя скалярное умножение векторов, а задание VIII — выполнять обратную операцию. Ученик может, работая спокойно, в своем темпе, познать основные моменты в решении задач векторным методом с применением скалярного умножения.

Работа 32 «Изучение векторного метода». Вторая работа по применению скалярного умножения. На этот раз в поле зрения учеников два хорошо известных факта: о пересечении высот треугольни-

ка и о перпендикулярности диагоналей ромба. Обратите внимание на то, что задание III показывает необходимость выделения основных этапов при чтении научной литературы для более осознанного, глубокого восприятия прочитанного.

Работа 33 «Изучение векторного метода» подводит к нахождению длины биссектрисы и медианы. Поиск плана, осмысление уже найденных идей, сравнение выбранного пути с авторским, корректировка намеченного плана и новый поиск не только учат решать конкретные задачи, но и воспитывают вкус к самому процессу поиска истины.

Основой работы 34 «Освоение новых идей» является доказательство теоремы о точке пересечения медиан треугольника векторным методом. И опять чтение этого доказательства на с. 260—261 учебника происходит лишь при выполнении задания VI, после выполнения некоторой предварительной работы самостоятельно. Задание VII требует от школьника выделения в тексте учебника новых для него идей, обращает его внимание на моменты, которые он может пропустить.

Работа 35 «Поиск идеи решения». Решение хорошей задачи 24.19, как это обычно бывает у ребят, сначала идет по уже изученному пути, никак не связанному с векторами. Когда решение найдено, то начинается поиск нового варианта с использованием векторов. Ребята имеют возможность сравнить два метода и понять, что не стоит стремиться обязательно применять тот метод, который рассматривается в данном параграфе. Рациональность решения — критерий выбора способа решения.

Работа 36 «Ответ — это не конец размышлений над задачей». Как часто именно найденный ответ является тормозом дальнейшего поиска, дальнейшего обдумывания и задачи, и найденного варианта ее решения. Ответ часто тормозит поиск логических неточностей решения, препятствует внимательному рассмотрению самого условия, выявлению наличия лишних данных и условий возможности ее решения, да и числа решений. В данной работе рассматривается задача 24.19, решенная в работе 35.

Работа 37 «От рассмотрения частных случаев к обобщению». Задача 24.21 а), данная в работе, для ребят обычно сложна. Сложность вызывает предложение автора рассмотреть сразу обобщенные ситуации, а не частные, для конкретных значений параметров. Смелости и решимости самостоятельно придать те или иные частные значения параметрам хватает не всем ученикам. Задания составлены так, чтобы помочь школьникам воспользоваться изучением частных случаев для зарождения гипотезы решения обобщенных задач.

Работа 38 «Я научусь решать задачи». Задания работы хоть и выполняют некоторую ведущую функцию, но все равно оставляют простор для размышлений, поиска, инициативы. Советы не всегда конкретны, иногда показывают лишь область поиска.

Работа 39 «Очень сложная задача. Интересно!». Действительно, задача 24.27 не простая. Прежде чем изучать ее решение, школь-

ники это осознают на собственном опыте, нужно пытаться решить ее всеми известными им методами. Подсказки в п. III работы ребятам будет предостаточно.

Работа 29. Изучение метода

Научимся решать задачи, применяя линейные операции с векторами.

I. Прочтите на с. 254 в § 24 п. 24.1 со слов «Первый этап...». Попробуйте понять смысл каждого этапа решения задач векторным методом.

II. Поговорите с соседом о сути векторного метода.

III. Попробуйте применить этот векторный метод для доказательства следующего утверждения: в любом треугольнике средняя линия параллельна одной из его сторон и равна ее половине.

IV. Поговорите с соседом, попробуйте выделить все три этапа.

V. Прочтите п. 24.2 на с. 254 со слов «Пусть точки К и L...» до знака ■.

VI. Подумайте, как применить векторный метод к решению задачи: «Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме».

VII. Дочитайте п. 24.2 до конца.

VIII. Запишите решение одной из этих задач в тетрадь, предварительно еще раз прочтите п. 24.1, выясните, в чем суть каждого из трех этапов векторного метода.

IX. Для отработки первого этапа записи условия задачи в векторном виде решите задачу 24.1.

Запишите в векторном виде:

а) точки А и В совпадают; б) прямые AB и CD параллельны; в) точка X лежит на прямой AB; г) точка X лежит на отрезке AB; д) три точки M, N и Р лежат на одной прямой; е) три точки А, В, С являются вершинами треугольника; ж) точка С — середина отрезка AB; з) точка К лежит на отрезке AB и делит его в отношении р : q.

X. Если все, что возможно было сделать, уже сделано, то поговорите с кем-нибудь из одноклассников о решении остальных задач.

XI. Ответы к задаче 24.1 даны вразнобой ниже. Вам надо установить истинное соответствие задач и их ответов.

Выполните это задание вместе с соседом.

XII. Обязательно запишите в тетрадь и сам текст каждого пункта задачи 24.1 и ответ к нему. Эта информация понадобится при дальнейшем решении задач.

Работа 30. Изучение векторного метода

I. Если первый этап решения задач векторным методом состоит в записи условия в векторном виде, то на третьем этапе надо выполнить как бы обратную операцию: дать толкование полученным векторным соотношениям. Для отработки этого умения решите самостоятельно задачу 24.3.

Каков геометрический смысл векторных соотношений:

а) ÄC = BD; б) PQ — к • ST; в) АК — X • ÄB; г) MN = \ МК; д) ЛЯ = XjJÏC; е) ÄB = -ÀC; ж) ÄB + CD + KL = 0 ; з) \ÂB + CD\ = \Ш + 1а>1?

Полезно воспользоваться решением задачи 24.1.

II. Сделайте рисунки и на них попытайтесь подтвердить свой ответ.

III. Обсудите с соседом данные вами трактовки геометрического смысла каждого векторного соотношения. Особо отметьте, чтобы потом подумать, те соотношения, в которых у вас было разногласие.

IV. Сопоставьте свои ответы с приведенными ниже, подойдите к ним критически:

а) АС II BD или АС = BD; б) PQ || ST или PQ = ST; в) К е AB; г) N — середина МК; д) В — середина АС; е) А — середина ВС; ж) из отрезковавных AB, CD и KL, можно составить треугольник; з) ÄB îî CD.

V. Запишите самостоятельно в тетрадь каждое векторное равенство и его геометрическую трактовку.

VI. Используя полученные умения при выполнении этой и предыдущей работ, решите задачу 24.8.

Дана трапеция ABCD. Точки К и L лежат на боковых сторонах AB и CD. Пусть ВК : ВА = CL : CD. Докажите, что KL || AD. Запишите в векторном виде то, что: a) KL II AD; б) ВК : ВА = CL : CD = ß.

VII. Посмотрите, как записал эти утверждения ваш сосед. Сравните эту информацию с информацией, полученной от решения задач 24.1, 24.3.

VIII. Итак: a) KL \\ AD => AD =а • KL\

б) ВК : ВА = ß => ВК = ß • ВА, CL : CD = ß => CL = ß • CD. Теперь посмотрите на рисунок, не бойтесь делать дополнительные построения.

IX. Если провести BDX || CD и предположить, что Lx = BD П KL, то легко показать, используя информацию задания VIII, что KLX îî ADX, отсюда и следует, что KL || AD.

X. Подумайте над всей работой еще некоторое время.

Работа 31. Изучение векторного метода

(Применение скалярного произведения)

I. Докажите, используя векторный метод и, в частности, скалярное умножение, утверждение: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Нарисуйте параллелограмм ABCD, пусть AB = а, AD = b, и, используя доказанное выше утверждение, что квадрат вектора равен квадрату его длины, докажите, что АС2 + BD2 = AB2 + ВС2 + CD2 + + AD2.

II. Обсудите свое решение с соседом.

III. Прочтите в п. 24.3 доказательство, предложенное авторами учебника.

IV. Решите задачу 24.2.

Используя скалярное произведение, запишите в векторном виде: а) точки А и В совпадают; б) прямые AB и CD перпендикулярны; в) A ABC > 90°, A ABC < 90°; г) точка X лежит на прямой AB.

V. Сверьте свои записи с записями кого-нибудь из одноклассников.

VI. Проверьте истинность записи этих утверждений относительно сделанной ниже:

aÄBÄB =0; б) iî? • CD = 0; в) ÄB • ВС < 0, ÄB • ВС > 0; г) \ÄX ■ ХВ\ = \ÄX\ • \ХВ\.

Объясните друг другу эти записи.

VII. Запишите в тетрадь условие задачи 24.2 и векторную запись каждого утверждения.

VIII. Решите задачу 24.4.

Каков геометрический смысл векторных соотношений: а) ÄB1 =0; б) ÄBjPQ 0; bÂBCD = \ÀÈ • |СЙ; г) ÂB • CD = = - \ÄB\ • \СЬ\\ a)ÖA-ÖB=ÖC-ÖD,\OA\= \OB\ = \OC\ = \OD\l

IX. Обсудите с соседом.

X. Проверьте соответствие утверждений, приведенных ниже, каждому пункту задачи 24.4:

а) А= В; б) AB L PQ\ в) ÄB \\ CD; г) ÄB \\ CD, д) ÖA • OB = = ОС - ÖD,

1) если \0A\ = \ОВ\ = lOCl = \OD\, то О — центр описанного круга около ABCD; 2) ÖA • OB = ОС • ÖD => ААОВ = /.COD => => \АВ\ - \CD\.

XI. Сделайте необходимые записи в тетради. Отнеситесь к этим задачам как к теоретическому материалу, чтобы впоследствии их использовать при решении других задач.

Работа 32. Изучение векторного метода

I. Прочтите в п. 24.3 доказательство теоремы о пересечении высот треугольника.

II. Перескажите соседу смысл доказательства, не называя никаких букв у приведенного там рисунка, кроме точки М.

III. Итак:

1) Записали условие того, что точка, некая точка М, лежит на одной из высот треугольника.

2) Преобразовали полученное равенство, представив вектор, определяемый вершинами треугольника, лежащими на стороне, перпендикулярной рассматриваемой высоте, в виде разности векторов, проведенных из точки М.

3) Записали равенство п. 2) как равенство двух скалярных произведений.

4) Аналогичное равенство скалярных произведений получили из условия принадлежности точки M другой высоте.

5) Предположили, что точка M принадлежит обеим этим высотам, рассмотрели полученные выше в пп. 3 и 4 равенства, и из них получилось условие принадлежности точки M и третьей высоте. Используя только этот план, запишите доказательство этой теоремы в тетрадь.

IV. Вместе с соседом по парте обсудите и решите задачу 24.13, применяя скалярное умножение.

Задача 24.13.

Докажите, что диагонали ромба перпендикулярны. Сделайте рисунок ромба ABCD, введите векторы AB и AD, запишите в векторном виде перпендикулярность диагоналей ромба и, используя свойства скалярного умножения, сделайте необходимые выкладки. Не забудьте, что (AB)2 = (AD)2.

V. Сравните свое решение с решением одноклассников.

Работа 33. Изучение векторного метода

I. Нарисуйте треугольник ABC, стороны которого а, Ь, с известны. Проведите медиану ААХ.

Нарисуйте рядом еще треугольник ABC и проведите биссектрису ААХ.

II. Применяя скалярное произведение, найдите длину: а) медианы; б) биссектрисы.

Но сначала наметьте лишь план. Помните, что (а)2 = \а\2, и обозначьте AB = а, АС = b.

III. Оцените такой план:

1) Выразить вектор ААХ как линейную комбинацию векторов AB и АС.

2) Найти квадрат вектора ААХ, а значит, и квадрат его длины.

3) Найти длину ААХ.

Можно ли реализовать этот план?

IV. Случай нахождения медианы проще, ибо ясно, в каком отношении ААХ делит ВС.

Для биссектрисы ААХ придется применить теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника.

В обоих случаях косинус угла для вычисления скалярного произведения векторов находится по теореме косинусов. Сделайте все выкладки и решите обе задачи.

V. Свой способ нахождения длины медианы сравните с данным в решении задачи 24.11 на с. 264—265 учебника.

VI. Длину биссектрисы можно вычислить, возводя в квадрат обе части равенства ААХ=АВ + ВС, где = -Сделайте это.

VII. Сверьте свой результат с результатом, полученным кем-нибудь из одноклассников.

Работа 34. Освоение новых идей

I. Нарисуйте треугольник ЛВС, медиану АР и дайте векторную запись условия принадлежности точки M медиане АР, если AB = с, ÂC = Ь.

II. Сверьте данную вами запись с записью соседа.

III. Пусть точка M принадлежит и медиане BQ. Дайте векторную запись условия принадлежности точки M медиане BQ. Условие выразите также через векторы с и Ь.

IV. Если вы испытываете затруднения в выполнении заданий I и II, то посмотрите решение задачи 24.1г) и п. 24.2 на с. 254—255.

V. Если задания I и II вы решили, то попробуйте доказать, что AM = у АР, а затем и то, что и медиана CN тоже проходит через точку М.

VI. Прочтите п. 24.6 на с. 260—261.

VII. Итак, векторным методом доказана теорема о пересечении медиан треугольника. Выделите важные для вас моменты доказательства, не забудьте отметить те идеи, которые для вас были новы. Посмотрите на равенство (13) на с. 260. Здесь авторы воспользовались единственностью разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, и именно это свойство позволило определить коэффициент a (ß).

VIII. Решите задачу 24.43.

Пусть Тх — точка пересечения медиан треугольника АХВХСХ, а точка Т2 — точка пересечения медиан треугольника А2В2С2. Выразите ТХТ2 через АХА2, ВХВ2, СХС2.

Перед поиском решения прочтите еще раз следствие к теореме 30 на с. 261.

IX. Если решение вами еще не найдено, то воспользуйтесь таким советом: возьмите произвольную точку О на плоскости и проведите из нее векторы во все вершины треугольников и в точки Тх и Т2.

X. Сверьте свое решение с решением соседа.

XI. Итак, 7\f2 = j (ÄA2 + Bi~B2 + QC2). Верно?

Работа 35. Поиск идеи решения

I. Прочтите задачу 24.19.

На двух противоположных сторонах квадрата как на гипотенузах построены два равных прямоугольных треугольника — во внешнюю сторону и так, что прямая, соединяющая вершины их прямых углов, не параллельна стороне квадрата. Докажите, что эта прямая делит пополам эти прямые углы.

Задача дана в главе, в которой изучается векторная алгебра, следовательно, автор подразумевает, что вы ее будете решать векторным способом. Сделайте хороший чертеж, вглядитесь в него, проанализируйте все данные задачи, тот результат, к которому надо прийти. Сделайте те дополнительные построения, которые вам хочется, не сдерживайте свою руку, не тормозите мысль, особенно на этапе поиска идей.

II. Что получилось? Расскажите кому-нибудь, внимательно отнеситесь и к каждой своей идее, и к идее собеседника. Иногда идея, которая при первом знакомстве кажется чудной, невероятной, оказывается ключевой.

III. Нарисуйте квадрат ABCD и два прямоугольных треугольника АЕВ и DFC и предположите, что EF — биссектриса. Изучите рисунок. Продолжите ЕА и FD до пересечения в точке L и ЕВ и FC до пересечения в точке М. Теперь рассмотрите четырехугольник LEMF. Выясните, каким он должен быть, чтобы EF являлась биссектрисой углов Е и F.

IV. Похоже, что треугольники LAD, АЕВ, ВМС и DFC все должны быть равны. Проверьте.

V. Они, действительно, оказались равны по гипотенузе и острому углу, но тогда все абсолютно ясно: EF — биссектриса. Почему?

VI. Стоп, но где же векторный метод? Да, иногда решение векторным методом более громоздко, чем привычный нам способ размышления. И все-таки набросайте хотя бы план решения этой задачи векторным методом.

VII. Проведите векторы ЕА, ЕВ, EF. Для того чтобы доказать, что EF — биссектриса, достаточно доказать, что

Осталось вычислить скалярные произведения ЕА • EF, EQ • EF и найти длины ЕА, EF, ЕВ, но длины ЕА и ЕВ даны. Пусть \ЕА\ = а,

\ЕВ\ = b. Для вычисления LSF! заметьте, что EF = ЕА + AD + DF, и вспомните, что (EF)j= \EF\2. Вычислите \EF\.

VIII. Верно, что \EF\ = 2b • (b + 0). Надо было увидеть, что Z.EA, AD = у - АЕАВ, /LAD, DF = /LEAB. Осталось вычислить скалярные произведения. Заметьте, что

ÏÏFj= ÉA+ÂD + DF,JLF =ÉB + ВС + CF.

Отсюда ËF - ÉA = a2 + ab, ÉF • ÉB = b2 + ab.

Теперь уже равенство косинусов углов очевидно.

IX. Обязательно посмотрите на все задания работы еще раз. Подумайте, над чем еще стоит поработать. Обратите внимание на способ вычисления скалярного произведения в п. VIII.

Работа 36. Ответ — это не конец размышлений над задачей

I. Нарисуйте чертеж к задаче 24.19. Расскажите соседу все ее решения, которые вам удалось найти в прошлый раз.

II. Подумайте с соседом, как можно было бы иначе доказать, что EF — биссектриса углов АЕВ и DFC.

III. Разберите такое решение:

Пусть ЕА = а, ЕВ = b. Выразим EF через а и b. Пусть

Следовательно, EF — биссектриса угла DEB.

IV. Запишите решение задачи этим методом в тетрадь. Выделите важные для вас моменты. Обратите внимание, что при этом способе решения длину EF вычислять было не надо.

Работа 37. От рассмотрения частных случаев к обобщению

I. Рассмотрите условие задачи 24.21а).

Из точки О выходят два неколлинеарных вектора OA и OB. Рассмотрим вектор ОХ = аОА + ßOB. а) Какую фигуру образуют все точки X, такие, что: 1) а > О, ß > 0; 2) а < 0, ß > 0; 3) а = 1, ß е R; 4) а > 0, ß = -1; 5) 0 < а < 1, ß = 2?

Попробуйте пересказать своими словами, что дано в задаче, и внимательно исследуйте, что требуется сделать.

И. Итак, вектор ОХ представлен в виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов, точка О закреплена, а положение точки X зависит от значений переменных а и ß. Требуется определить, нарисовать, как-то обозначить, описать фигуру, которую образуют все точки X при определенных, заданных значениях а и ß.

III. Обратите внимание на то, что в случаях 1) и 2) не дано никаких конкретных значений для а и ß. Однако поиск решения иногда легче начать с рассмотрения частных случаев, с конкретных значений переменных.

Начните решение со случая 3): а = 1, ß € R, причем задайте для начала ß значения 0, , 1, — 1.

IV. Проверьте правильность ответа, решив задачу другим способом. Вспомните, какой геометрический смысл имеет равенство ОХ =

V. Теперь установите, какие же векторы вам надо складывать, когда а = 1, ß € R.

VI. Итак, надо сложить вектор OA с вектором OY, где Y — любая точка прямой OB. Значит, от каждой точки прямой OB мы как бы откладываем вектор OA, понятно, что тогда искомый образ — прямая, проходящая через точку А и параллельная OB.

VII. Сейчас стоит взяться за решение случая 4): а > 0, ß = — 1. Определите сначала геометрический смысл равенства ОХ = аОА, а > 0.

VIII. Теперь легко решить случай 5). Он вытекает из предыдущего. Только здесь ОХ = а • OA, 0 < а < 1, не луч, как в случае 4), а...

IX. Сравните ответы с ответами соседа.

X. fla, в случае 4) получился луч с началом в точке Вх {OB = = — ОВх) и параллельный OA, в случае 5) — отрезок В2АХ, где ОВ2 = 202?!, B2Al II OA. Теперь вы легко решите и случай 1) и случай 2).

XI. В случае 1) а • 04, а > О, -луч OA, ß • OB, ß > О, -луч ОБ. Возьмите несколько пар точек (М, JV), где Af 6 [OÀ), TV € [ОБ), и постройте сумму векторов ОЛ/ и ОУУ — ответ будет очевиден. Аналогично решите и случай 2).

XII. Итак, в случае 1) — часть плоскости, ограниченная углом ЛОВ, в случае 2) — часть плоскости, ограниченная углом AOBv

XIII. Просмотрите всю работу еще раз. Обратите внимание на то, что в данном случае мы не стали решать задачи в порядке, указанном авторами, а начали исследование с частных ситуаций.

Работа 38. Я научусь решать задачи

I. Нарисуйте отрезок AB. Поставьте внутри его точку С, она разделила отрезок AB в отношении р : q, считая от А. Запишите эту информацию равенством.

II. Итак, АС : СВ = р : q. Найдите отношение АС : AB.

III. Вспомните, как записать в векторном виде, что точка С лежит на отрезке AB и делит его так, что (задача 24.1 в))

IV. Теперь, исходя из равенства АС =-у' AB, докажите, что

где О — любая точка плоскости.

Отметьте на рисунке точку О, проведите векторы OA, ОС, OB, всмотритесь в оба равенства и в рисунок. Решение получится легко. Выполните все необходимые преобразования равенства

V. Если возникли затруднения, то посмотрите еще раз на решение задачи 23.27 на с. 253.

VI. Да, достаточно было осмелиться и представить векторы АС и AB в виде разности векторов, проведенных в точки А, В, С из точки О.

VII. Обратите внимание на то, что

VIII. Решите теперь задачу 24.25.

Пусть AB и CD — два отрезка, точка К делит отрезок AB в отношении р : q, считая от точки А, а точка L делит отрезок CD в том же отношении, считая от точки С. Выразите KL через векторы ÂC и BD.

Конечно, при решении не обойтись без использования предыдущей задачи и надо осмелиться взять на плоскости произвольную точку О.

IX. Итак,

X. Подумайте над итогами работы.

Работа 39. Очень сложная задача. Интересно!

I. Задача 24.27.

Внутри стороны AB треугольника ABC взята точка К. Докажите, что КС • AB < КА • ВС + KB • АС.

Надо доказать, что произведение двух отрезков, определенных в условии задачи, меньше суммы произведений двух других пар отрезков. Без векторов эту задачу решить сложно. Подумайте, как можно применить векторный метод к решению этой задачи. Можно задать лишь направление поиска.

II. Поговорите с соседом о плане решения задачи.

III. Нарисуйте треугольник ABC, точку К на стороне AB и выделите как-нибудь отрезки КС, AB, КА, ВС, KB, АС. Обратите внимание на то, что cos АВКС = —cos ААКС, а значит, КА • (КС • KB) +КВ JKC -КА) =0. Заметьте еще, что KB = КС - ВС, КА = КС — ÂC. Используйте все это и доведите решение до конца.

IV. Если получить равенство

КС • AB = КА - ВС - cos /LKCB + KB • AC • cos Z.KCA, то, использовав, что KB - АС - cos АКСА < KB • AC, KB • ВС - cos АКСВ < < KB • ВС, легко получить требуемое равенство.

V. Задача сложная, решение необычное. Есть над чем подумать.

Работа 40. Основные задачи

I. Вместе с соседом обсудите решения следующих трех задач:

1. Для любой точки О плоскости и отрезка AB AB = OB — OA.

2. Вектор, проведенный из любой точки в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведенных в его концы.

3. Вектор, проведенный из любой точки плоскости в центр треугольника, равен одной трети суммы векторов, проведенных в его вершины.

II. Решения первой и второй задач следуют прямо из теоретического текста, а решение третьей есть на с. 261 учебника.

III. Рассмотрите решения еще двух задач:

4. Если точка С делит отрезок AB в отношении

5. Если

IV. Решение пятой задачи следует из единственности разложения вектора по двум неколлинеарным векторам.

Четвертая задача в учебнике идет под номером 24.20. Этой задачей вы занимались в работе 38.

V. Решите еще две основные задачи:

6. Если из отрезков AB, ВС, CD можно составить треугольник, то ÂB + ВС + CD = 0, и наоборот.

7. Если точка С принадлежит прямой AB, то а • АС = AB.

VI. Обратите внимание, что в задаче 6 надо доказать и прямое и обратное утверждение. Прямое утверждение доказывается просто из правила сложения векторов. Решение обратного можно посмотреть на с. 226 учебника.

Доказательство утверждения задачи 7 следует из условия коллинеарности векторов.

VII. Запомните условия всех семи задач, они будут использованы вами при решении других, более сложных.

§ 25. МЕТОД КООРДИНАТ

Работа 41 «Характерное свойство фигуры и ее уравнение». Цель работы — помочь ученику самостоятельно понять: а) в каком случае говорят, что данное уравнение задает некоторую фигуру Т; б) связь характерного свойства фигуры и ее уравнения; в) какие два утверждения требуется доказать для того, чтобы было ясно, что некоторое уравнение действительно является уравнением данной фигуры. В п. VI предлагается выполнить задачу 25.1, при решении которой ученики рисуют фигуру по заданному уравнению.

Работа 42 «Изучить — значит открыть самому». Основным объектом изучения в работе является общее уравнение прямой. Выполнение всех восьми заданий приводит к общему уравнению прямой.

Работа 43 «Поиск общего метода». Ребята будут учиться решать основные задачи по теме «Понятие об уравнении фигуры». Первые три задания держат в поле зрения учеников сразу три задачи. Идет поиск стратегии решения задач 25.2, 25.3. В это время ребята свыкаются с условием задачи, и их неуверенность, сомнения в возможности найти решение отходят на второй план. После составления плана решения задачи 25.2, как этого требует задание IV, ученики могут сопоставить его с планом, данным в п. V. В работе наряду с советами по решению даны и ответы.

Работа 44 «Стоит ли сразу браться за решение сложной задачи?». Вопрос! Не секрет, что часто школьники, не изучив основательно теорию, без попытки рассмотреть простейшие случаи ее применения сразу берутся за сложную задачу. Хорошо это или плохо? Практика показывает, что, конечно, решить ее они не в состоянии. Задания работы последовательно подводят ученика к решению сложной задачи, попутно позволяют ему оценить свои возможности на каждом этапе. Это достигается в результате самостоятельного размышления, разговора с соседом и сравнения своих ответов с ответами, данными в работе.

Работа 45 «Я сам знаю, с чего надо начинать решать задачу». Решается задача 25.14, но сначала предполагается, что п. а) уже решен, и исходя из этого организуется поиск решений п. б) и п. в). Этот ход помогает добиться психологического успеха: когда два пункта задачи решены, справиться будет легко. Работа дает простор для самостоятельного поиска различных вариантов решения.

Работа 46 «Геометрия — часть физики?». С этих слов Д. Пойа начинается первое задание. Цель его — помочь ученику активизировать использование интуиции при решении задач. Для этого нужна определенная смелость и свобода в поиске и принятии решений. В задании III школьнику предлагается дать интуитивный ответ на вопросы задачи 25.16. В задании IV к интуитивным размышлениям подключается рассмотрение рисунка. Дальнейшие советы, заключенные в заданиях работы, подводят ученика к использованию для решения задачи метода координат. В итоге получается система четырех уравнений с четырьмя неизвестными хА, ул, хв, ув. Нетрудно заметить, что она имеет решение.

Работа 47 «Я сам выберу систему координат» не содержит решения задачи 25.17а), но ее задания стимулируют поиск решения. В них в неявной форме содержатся ответы на вопросы, поставленные в предыдущих заданиях. Заканчивается работа обобщением ситуации, описанной в условии задачи. Очень важно, чтобы состоялся разговор с соседом, ибо он поможет ученику уточнить свою позицию.

Работа 48 «Учусь догадываться». Д. Пойа считает, что это — одно из умений, которым школьник должен овладеть, решая задачи на уроках математики. В задании I дан неполный текст задачи 25.37, но его достаточно, для того чтобы угадать, по какой линии движется точка К. Опять опора на интуицию. Задание II такого же плана, только относительно задачи 25.38. С такой ситуацией, когда предлагается прочесть задачу не до конца и дать ответ, ученик встречается не так часто, но в данном случае это — полезное упражнение. Задание III обращает внимание ученика к теории, а задание IV предлагает подумать над общим методом решения задач. Проверить эффективность сформулированного метода предлагается в задании VI. Завершается работа с этой задачей сравнением ответов в задании VIII. Затем поиск общего метода решения продолжается на примере задачи 25.39.

Работа учит от анализа частных ситуаций переходить к обобщению и затем подмеченные общие закономерности применять для решения конкретных задач.

Работа 49 «Зарождение идеи». Пожалуй, это самый сложный, самый важный момент в поиске решения. Что помогает? Внимательное чтение условия, рисунки. В данном случае способствует поиску идеи рассмотрение сразу трех рисунков геометрических фигур, для которых требуется решить аналогичную задачу После того как каждый из трех рисунков придет в движение, возможно, что кто-

то и увидит линию, по которой движутся интересующие нас вершины. Помогает в зарождении идеи и переформулирование требования, заложенного в задаче. Задание VI направляет внимание ученика опять на условие задачи, ибо, возможно, что, выполняя всю перечисленную выше работу, он упустил какое-либо условие задачи. Это важный тактический момент.

Работа носит обучающий характер. Помимо отработки тактики поиска идеи решения, школьник, даже если его постигнет неудача в первом случае, когда рассматривался квадрат, может отработать разобранный в работе способ решения для прямоугольника и равностороннего треугольника.

Работа 50 — зачетная по теме «Векторы и координаты». Рассчитана она примерно на 60 минут. Времени на ее выполнение может быть и больше, если ученик быстро ответит теорию. Обычно такой зачет проходит на сдвоенном уроке, где ученик отвечает на билет с теорией и решает одну из основных задач, а затем пишет контрольную работу. Последовательность устного зачета и контрольной работы может быть и иной: все зависит от того, когда учитель вызовет отвечать по билету ученика к доске.

Работа 41. Характерное свойство фигуры и ее уравнение

I. Прочтите в п. 25.1 на с. 271 строчки, выделенные жирным шрифтом: «... фигура F задается данным уравнением в прямоугольных координатах, если точка принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению».

Приведите примеры, убеждающие вас в истинности этого утверждения. Примеры можно взять и из § 25.

II. В п. 25.2 выведено уравнение окружности радиуса г с центром в точке О (я, Ь): (х — а)2 + (у - Ь)2 = г2.

Там доказано первое условие: если точка принадлежит фигуре F, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению, но не доказано второе: координаты любой точки, не принадлежащей фигуре F, не удовлетворяют данному уравнению. Докажите.

III. В п. 25.1 говорится, что утверждение: «2) если числа х, у удовлетворяют данному уравнению, то точка с такими координатами принадлежит фигуре F» — равносильно такому: «координаты любой точки, не принадлежащей фигуре F, не удовлетворяют данному уравнению». Объясните, почему они равносильны.

IV. В уравнении фигуры отражено ее характерное свойство. Сформулируйте характерные свойства фигур, заданных уравнениями:

а) X = 1; б) у = -3; в) \х\ = 1; г) \у\ = 2.

V. Обсудите с соседом составленные вами характерные свойства.

VI. Решите задачу 25.1.

Нарисуйте фигуру, которая задается условием: а) х = 1; б) у = — 3;

Работа 42. Изучить — значит открыть самому

I. Д. Пойа точно заметил, что «лучший способ изучить — это открыть самому». Вам я предлагаю открыть самим уравнение прямой. Думаю, что по этому вопросу вам уже многое известно. Запишите на листе все-все, что вы знаете об уравнении прямой.

II. Сравните свои записи с записями соседа. Попробуйте вместе вспомнить то, что не удалось вспомнить в одиночку.

III. Сформулируйте проблемы этой темы, которые вы хотели бы решить.

IV. Из уже изученного в курсе геометрии и алгебры вам известно о прямых, что:

у = кх — уравнение прямо пропорциональной зависимости.

у = кх + b — уравнение линейной зависимости.

X = а — уравнение прямой, перпендикулярной оси х.

у = b — уравнение прямой, параллельной оси х.

г (0 = а + tv — параметрическое уравнение прямой в векторной форме (§ 24).

А что же неизвестно? Общее уравнение прямой. Не доказано, что каждое уравнение в прямоугольных координатах задает на плоскости прямую. Справиться с этими проблемами помогает метод координат.

V. Нарисуйте систему координат хОу и попробуйте написать уравнение прямой, заданной:

а) точкой А (х0, у0) и направляющим ненулевым вектором v (р, q);

б) точкой А (х0, Уо) и вектором п (я, й), которому эта прямая перпендикулярна.

Не забудьте отметить точку А (х0, у0), векторы v (/?, q), п (а, Ь) и точку M (jc, у), где (х, у) — текущие координаты, точка M — любая точка прямой, а уравнение прямой и должно связать ее координаты.

VI. Обсудите с соседом свои выводы.

VII. Прочтите п. 25.4 на с. 273—275.

VIII. Итак, в п. V а) надо было воспользоваться условием коллинеарности векторов AM = (х — х0, у — у0) и v (/?, q)\ AM = av, а в п. V б) — условием перпендикулярности векторов AM = (х — jc0, у — >>0) и п(а, b): ÂM • п = 0.

а (х — х0) + b (у — у0) = 0 — общее уравнение прямой.

Работа 43. Поиск общего метода

I. Возьмем на вооружение совет Д. Пойа выискивать в задаче то, что может пригодиться при решении других задач, стремиться обнаружить общий метод. С этой целью посмотрите на задачи 25.2, 25.3 и разработайте общую стратегию их решения.

II. Общую стратегию решения поможет найти задача 25.1. Вспомните, как она решалась.

III. Итак, при решении задач 25.2а) — е), 25.3а) — д) сначала надо мысленно заменить знак неравенства в условии f(x) < а на знак равенства и нарисовать фигуру f(x) = а. И затем уже легко определить, где будут находиться точки фигуры f(x) < а. Решите эти задачи.

IV. Наметьте план решения задач 25.2ж) — р).

V. При решении этих задач надо записать иначе условие того, что произведение положительное (отрицательное), воспользоваться тем, что если:

Решите эту задачу до конца.

VI. Решите задачи 25.3а) — д). Искомые фигуры вы можете найти на рисунке.

VII. Прежде чем решать задачи 25.3ж) — м), раскройте модули в условиях задач и запишите иначе заданные условия.

VIII. Одно из условий ж) — м) можно заменить таким:

Найдите его и сравните с тем, что записали вы.

IX. Выделите то, что пригодится при решении других задач.

Работа 44. Стоит ли сразу браться за решение сложной задачи?

I. Решите задачу 25.10, но сначала оцените свое умение решать задачи 25.6, 25.7, 25.9.

II. Обсудите с соседом свои ответы к этим задачам.

III. Теперь приступайте к решению задачи 25.10. Замените все знаки неравенств на знаки равно и определите, какие фигуры заданы полученными равенствами.

IV. Ответы вы можете найти среди следующих фигур: а) пустое множество; б) окружность с центром О (0; 0) и R = 1; в) пересечение окружности с центром О (0; 0) радиуса 3 и прямой у = -х + 2; г) пересечение окружности с центром О (1; 0) радиуса 1 и окружности с центром О (0; 1) радиуса 1; д) пересечение полукруга с центром О (0; 0) радиуса 1, расположенного выше оси х, и ломаной у = —\х\ + 4; е) фигура, образованная частью параболы у = = (х — I)2, X > 0, отраженной от осей х, у и начала координат.

V. Теперь вы легко нарисуете фигуры, заданные условием задачи 25.10.

VI. Сопоставьте свои рисунки с ответом к задаче 25.10 (фигуры в ответе описаны не по порядку). Ответ: а) часть круга с центром 0 (0; 0) радиуса 2, расположенная вне круга с центром О (0; 0) радиуса 1; б) круг с центром О (0; 0) радиуса 1; в) точки вне полукруга с центром О (0; 0) радиуса 1 с положительными ординатами и внутри острого угла у = — \х\ + 4; г) часть плоскости, ограниченная кусочками четырех парабол, симметричная относительно оси х и оси у; д) внутри круга с центром О (0; 0) радиуса 3 и выше прямой у = — X + 2; е) пересечение круга с центром О (1; 0) радиуса 1 и круга с центром О (0; 1) радиуса 1.

VII. Напишите какое-нибудь условие, задающее некоторую фигуру.

VIII. Обменяйтесь с соседом заданиями.

IX. Обсудите найденные решения.

Работа 45. Я сам знаю, с чего надо начинать решать задачу

I. Прочтите условие всех трех пунктов задачи 25.14, сделав нужный рисунок. Решать ее пока не надо.

II. Посмотрите на рисунок, на условие и определите, какие пункты задачи вы легко решите, если будут известны решения остальных.

III. Обсудите свой вывод с соседом.

IV. Предположим, что РА2 + PB2 + PC2 + PD2 = х. Найдите ответы на вопросы пп. б) ив).

V. Сравните: б) ВС = Jx2-a2; в) AB2 + CD2 = 4а2. Пункт б) легко следует из п. а) и теоремы Пифагора. Решение п. в) основывается и на том, что в круге произведения отрезков хорд, проведенных через одну точку, равны и что AB2 + CD2 = (АР + РВ)2+ + (СР + PD)2. Труднее заметить, что СР • PD = (R — a)(R + а). Доработайте решения этих пунктов.

VI. Если провести прямую РО, которая пересечет окружность в точках M и N, то MP = R - я, PN = R + а. Это самое сложное место. Обдумайте.

VII. Для решения п. а) введите систему координат так, чтобы пришлось делать меньше вычислений.

VIII. Само расположение хорд подсказывает, что оси х и у надо расположить на прямых AB и CD через точку Р. Определим теперь координаты точек А (хА; 0), В (хв\ 0), С (0; ус), D (0; yD). Осталось применить формулу для вычисления квадрата расстояния между двумя точками.

IX. Итак, РА2 + PB2 + PC2 + PD2 = Ar2.

X. Подумайте еще раз над решением этой задачи. К пп. б) и в) можно было тоже применить метод координат.

Работа 46. Геометрия — часть физики?

I. «...Геометрию можно понимать как часть физики... Являясь частью физики, геометрия в то же время представляет собой область, в которой можно делать интуитивные и индуктивные открытия, а затем подкреплять их рассуждениями»1), — пишет Д. Пойа. Вдумайтесь в эти слова. Согласны ли вы с ними?

II. Прочтите задачу 25.16 целиком.

III. Прочтите еще раз и подумайте, на какие пункты вы можете дать более или менее достоверный ответ.

IV. Да, ответ на п. а) следует из п. б): ведь если бы такой треугольник не существовал, вряд ли автор потребовал бы найти его сторону. И все-таки надо выяснить существование такого равностороннего треугольника, ибо если его нет, то и п. б) решать не придется. Но все же сначала дайте ответ к п. в). Он прямо следует из хорошего рисунка.

V. Сравните свой ответ с ответом, данным соседом.

VI. Проще всего применить такую формулу площади треугольника: S = -absinC . Тогда ясно, что искомая площадь заключена от

1) Пойа Д. Математическое открытие.— М.: Наука, 1970.— С. 73.

нуля до Ä2. Правда, формула S = aha тоже быстро приведет к результату, так как О < а < 2R, а 0 < ha < R, ha — отрезок, принадлежащий оси у. Обдумайте еще раз все эти замечания.

VII. Теперь сделайте рисунок к п. б). Нарисуйте систему координат хОу, О, и 02 - центры равных окружностей — возьмите симметричными относительно оси у. Если отметить угол ЛОВ, равный 60°, и провести радиусы ОхА и 02В, то ответ ясен.

VIII. Поговорите с соседом.

IX. Итак, сторона равна R. Осталось решить п. а). Нарисуйте опять систему координат хОу, окружности с центрами Ох и 02, О € (0{; 02). Пусть А (хА\ уА), В (хв\ ув). Подумайте, в каком случае будет удовлетворительный ответ, что для этого достаточно обнаружить.

X. Треугольник АВО определяется вершинами. Значит, надо так определить координаты (хА, уА), (хв, ув), чтобы AB = ВО = OA. Задайте такие условия, составьте необходимую систему, из которой можно было бы найти координаты А и В.

XI. Обсудите с соседом.

XII. Проверьте такую систему:

Хватает ли уравнений, нет ли лишних?

XIII. Подумайте, имеет ли эта система решение.

Работа 47. Я сам выберу систему координат

I. Прочтите задачу 25.17а).

II. Сделайте рисунок окружности, квадрата и расположите удобным образом систему координат.

III. Удобнее всего систему координат расположить по диагоналям квадрата, центр квадрата — начало координат. Пусть половина диагонали квадрата равна а. Возьмите какую-нибудь точку на окружности и посчитайте устно расстояние от нее до вершин квадрата. Действительно ли эта сумма не зависит от выбора точки?

IV. Обсудите с соседом.

V. Сумма квадратов расстояний от точки круга на середине стороны квадрата равна 6а2, т. е. зависит лишь от длины диагонали. Докажите это для любой точки.

VI. Обсудите решение с соседом.

VII. Координаты вершин квадрата найти просто, а дальше осталось лишь применить формулу квадрата расстояния между двумя точками. Сделайте это.

VIII. Сформулируйте аналогичное утверждение в общем случае.

IX. Подумайте, как можно удобно расположить систему координат, если дан правильный п-угольник и в него вписана окружность.

X. Наметьте план решения.

XI. Обсудите его с соседом.

Работа 48. Учусь догадываться

I. Прочтите часть задачи 25.37.

Напишите уравнение линии, по которой движется в системе координат точка К, такая, что КА = KB, если... Попробуйте угадать, по какой линии движется точка К.

II. Прочтите часть задачи 25.38.

Напишите уравнение линии, по которой движется в системе координат точка К, такая, что КА = 2KB, если... Попробуйте угадать, по какой линии движется точка К.

III. Если надо уточнить решения п. II, то просмотрите п. 25.6 на с. 276-277.

IV. Придумайте общий метод решения каждой задачи.

V. Поговорите с соседом по всем четырем пунктам этой работы.

VI. Выберите из каждой задачи 25.37, 25.38 по одному пункту и найдите решение, используя свой метод, намеченный в п. III.

VII. Сравните свои ответы со следующими к задачам 25.37: а) х = 2; б) у = -1; в) у = -х\ г) Зх - у + 7 = 0; 25.38: а) (х + 8)2 + у2 = 32; б) х2 + {у + 13)2 = 128;

в) (х - 5)2 + (у + 4)2 = 46.

VIII. Поговорите с соседом по этим задачам.

IX. Прочтите задачу 25.39.

По какой линии движется в системе координат точка К, если она равноудалена от: а) оси х и А (0; 2); б) оси х и В (0; —2); в) оси у и С (2; 0); г) оси у и D (-2; 0)?

X. Сформулируйте ее обобщение, постарайтесь в обобщении не указывать конкретных объектов.

XI. Обсудите сформулированное вами обобщение с соседом.

XII. Итак, есть некоторая прямая у = кх + b и точка M (хм; ум). Требуется определить, по какой линии в системе координат движется точка К (хК; ук), равноудаленная и от данной прямой, и от данной точки М. Наметьте план решения.

XIII. Свяжите координаты точки К (хк; ук) равенством, исходя из условия Ifcc + * К\2 = \МК\2.

Осталось обнаружить способ нахождения квадрата расстояния от точки К до прямой у = кх + Ь. Решите эту проблему, помните, что произведение угловых коэффициентов двух перпендикулярных прямых равно (—1).

XIV. Выберите один пункт в задаче 25.39 и решите его.

XV. Сопоставьте свой ответ со следующим:

Работа 49. Зарождение идеи

I. Прочтите задачу 25.43.

Квадрат со стороной 1 движется внутри прямого угла так, что две его соседние вершины находятся на сторонах угла. По каким линиям движутся две другие его вершины? А как выглядит результат для других фигур, например прямоугольника, равностороннего треугольника?

II. Нарисуйте сразу три чертежа: для квадрата, прямоугольника, равностороннего треугольника.

III. Подвигайте на рисунках каждую фигуру, тонкими линиями нарисуйте несколько их положений и последите за движением интересующих вас вершин.

IV. Заменим требования авторов, сформулируем их так: написать уравнения, связывающие координаты двух других вершин квадрата. Выясните условия зависимости, которые позволят вам это сделать, для этого внимательно проанализируйте условие и рисунок.

V. Обсудите свои версии решения с соседом. Не торопитесь, зарождение идеи решения — самый серьезный момент, требующий создания определенной атмосферы, который позволит вычитать из задачи нужную информацию, направить мысли в нужное русло.

VI. Проверьте, использовали ли вы, что: 1) оси и сторона квадрата образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой 1; 2) стороны квадрата перпендикулярны; 3) длина стороны квадрата равна единице; 4) ордината вершины D равна сумме ординат вершин А и В, принадлежащих осям у и х.

VII. Составьте нужную систему уравнений и запишите уравнения линии, по которой движется вершина D.

VIII. Сравните свой ответ со следующим:

фигура, задаваемая уравнением Ix1 — 2ху + у2 = 1 и расположенная в 1-ом квадранте.

IX. В случае прямоугольника пусть А € у, В € х, А (0; а), В (Ь; 0), D (х; у), AD = п, AB = т. Составьте необходимую систему, из которой можно получить уравнение, связывающее х и у.

X. Проверьте:

Запишите каждое условие через координаты точек.

XI. Наметьте план нахождения нужного вам уравнения.

XII. Посмотрите теперь на третий рисунок и на условия п. X. По аналогии составьте требуемый набор условий и для этого случая.

XIII. Подумайте над этой работой, сделайте необходимые вам обобщения.

Работа 50. Зачетная работа по теме «Векторы и координаты»

Выберите один из трех вариантов.

Вариант 1. Решите задачи: 1а, IIa, Ша.

Вариант 2. Решите задачи: 16, Пб, Шб.

I. Даны векторы AB, ВС. Чему равна проекция каждого из векторов на ось, проходящую через другой вектор, если:

а) в треугольнике ABC AB = 5, ВС = 6, CA = 7;

б) в треугольнике ABC AB = 2, ВС = 3, CA = 4?

II. Дана трапеция ABCD и известны координаты ее вершин. Как найти координаты точки пересечения:

а) ее диагоналей;

б) средней линии и одной диагонали?

III. а) Суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника равны. Докажите, что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.

б) Получите формулу, выражающую длину биссектрисы 1А треугольника ABC через его стороны b и с и угол А между ними.

Вариант 3. Решите задачи из главы IV: 8а), 11а), 15.

Зачет по теме «Векторы и координаты»

Билет 1.

1. Сложение и вычитание векторов. Свойства сложения векторов (§ 19).

2. Теорема о высотах треугольника (§ 24).

Билет 2.

1. Умножение вектора на число (§ 20).

2. Теорема о точке пересечения медиан треугольника (§ 24).

Билет 3.

1. Определение и вычисление проекции вектора на ось (§ 21).

2. Уравнение окружности (п. 25.2).

Билет 4.

1. Свойства проекций векторов на ось (п. 21.4).

2. Окружность Аполлония (п. 25.6).

Билет 5.

1. Теорема о координатах вектора (§ 22).

2. Теорема о линейном уравнении (п. 25.4).

Билет 6.

1. Свойства координат векторов (п. 22.3). Формула расстояния между точками (п. 22.6).

2. Уравнение прямой (п. 25.4).

Билет 7.

1. Определение скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты (§ 23).

2. Теорема о точке пересечения медиан треугольника (§ 24).

Задачи: 19.11, 19.33, 21.20, 21.24, 22.4, 22.23, 22.31, 22.41, 23.5, 23.13, 24.1, 24.2, 24.3, 24.4, 24.12, 24.20, 24.21, 24.34, 25.1, 25.2, 25.10, 25.25, 25.37, 25.38, 25.39.

Из этих задач выбираются задачи для устного опроса по билетам.

Глава V.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

§ 26. ДВИЖЕНИЯ И РАВЕНСТВО ФИГУР

Работа 51 «Поиск своего пути изучения теории» не закончится ее выполнением, а предоставит возможность задуматься над проблемой, как отойти от привычки следовать за учителем при изучении новой темы. Работа дает ученику лишь общие указания, следуя которым он составляет план изучения п. 26.1 «Преобразования фигур» и реализует его. Любопытно, сумеет ли школьник проконтролировать глубину изучения, внесет ли он коррективы в первоначальный план? Думаю, что ребятам захочется познакомиться с планами, составленными одноклассниками. Учитель может предоставить им такую возможность. Изучая другие планы, ученик невольно будет сопоставлять их со своим, а значит, поиск его пути изучения теории будет продолжен.

Работа 52 «Еще один способ изучения нового материала с параллельным контролем усвоения» — это продолжение начатого в предыдущей работе. Кроме того, знакомясь с иным способом, ученики повторят изученное, возможно, обратят внимание на те моменты, которые от них ранее ускользнули. В этом случае они непроизвольно опять вернутся к поиску своего метода познания нового. Заканчивается работа словами Л. Фейхтвангера. Любопытно, что его слова ставят иначе акцент, он считает, что «всякое познание — только средство сформировать твою собственную сущность, отстоять себя против целого мира». Думаю, что это гораздо важнее сугубо утилитарной цели запомнить все многочисленные определения описанных в этом пункте понятий.

Работа 53 «Применение своего способа познания нового». И опять возврат к цели, которой были посвящены предыдущие работы, но теперь уже на более качественном витке. Очень важно дать все эти три работы подряд. Возможно, кто-то не захочет долго размышлять над первой из них, но вторая и третья потребуют более пристального рассмотрения вопроса, означенного в теме работы.

Работа 55 «Где применяются свойства движений?». Сам вопрос в заглавии работы определяет всю ее суть. Любопытно, что при внимательном просмотре с. 293—311 с данной целью ребята могут и не обнаружить в теории ответа на него. Это может их огорчить, но зато при решении задачи 26.11 свойства движений займут свое достойное место.

Работа 56 «Будем настойчиво трудиться...» посвящена решению задач, правда, цитата Г. С. Батищева в задании I опять в центр всего процесса ставит личность ребенка, и это для него несказанно важно.

Задание II предлагает на выбор несколько вариантов работы,

причем первый и четвертый варианты более неопределенны, чем второй и третий, в которых указаны номера задач. Из них более свободный вариант 3, где надо решать новые задачи, а вариант 2 начинается с разбора авторского решения задачи 26.4.

Думаю, что хорошо было бы в конце занятия вывесить листы с решенными ребятами задачами на стене класса. Пусть походят, посмотрят, поговорят. Пользы от хорошего общения будет много.

Работа 51. Поиск своего пути изучения теории

I. Д. Пойа считает, что каждый человек должен знать, каким путем можно изучить то, что ему необходимо. Это умение действительно несказанно важно.

Откройте учебник на с. 289. Вам надо изучить новый пункт «Преобразования фигур» (п. 26.1). Полистайте с. 289—292. Придумайте способ изучения тех многочисленных понятий, которые представлены в этом пункте.

II. На листе бумаги выпишите этапы своей работы с данным пунктом.

III. Походите по классу, познакомьтесь с планом изучения, который составили одноклассники.

IV. Внесите коррективы в свой план.

V. Приступайте к реализации своего плана познания.

VI. Придумайте способ контроля эффективности проделанной вами работы.

VII. Проконтролируйте глубину, качество своего изучения темы «Преобразования фигур».

VIII. Поговорите с соседом по этой теме. Познакомьтесь с его планом изучения нового материала и планом контроля. Подумайте о внесении изменений в свой способ познания нового.

Работа 52. Еще один способ изучения нового материала с параллельным контролем усвоения

I. Перерисуйте со с. 290 рисунок 248.

II. Напишите рядом с ним слова: фигура F получена преобразованием фигуры F; образ фигуры F; прообраз фигуры F \ X — образ точки Х\ X — прообраз точки X'.

III. Дайте объяснение всем этим словам, попросите соседа вас послушать.

IV. Выполните рисунок 249. Напишите рядом с ним слова: сжатие к оси х; растяжение.

V. Объясните эти слова.

VI. Сравните свое объяснение с тем, что дано на с. 290 в учебнике.

VII. Выполните рисунок 250. Напишите рядом с рисунком слова: композиция двух преобразований.

VIII. По рисунку объясните этот термин.

IX. Сравните свое понимание этого термина с авторским, данным на с. 290—291.

X. Выполните рисунок 251. Рядом напишите слова: неподвижная точка преобразования /; тождественное преобразование; отображение фигуры; взаимно однозначное преобразование; обратное преобразование; взаимно обратные преобразования; обратимое преобразование.

XI. Дайте толкование каждому термину.

XII. Сравните свое понимание с авторским, данным на с. 291—292.

XIII. Закройте учебник. Расположите перед собой листы с рисунками и еще раз раскройте понятия, перечисленные на этих листах. Попросите соседа вас послушать.

XIV. И наконец, подумайте над словами Л. Фейхтвангера: «...всякое познание возникает только из стремления найти доводы, оправдывающие твою индивидуальность, всякое познание — только средство сформировать твою собственную сущность, отстоять себя против целого мира. И если какое-нибудь познание не приспособлено для того, чтобы утвердить твое «я», ты будешь трудиться над ним до тех пор, пока его не приспособишь»1).

Работа 53. Применение своего способа познания нового

I. Новая тема: «Движения фигур. Свойства движений». Вспомните свой способ изучения нового и попробуйте его применить, если он вам сегодня еще нравится, к изучению пп. 26.2 и 26.3 на с. 292-294.

II. Вспомните свой способ контроля изученного и примените его, если он не нуждается в корректировке.

III. Придумайте ряд вопросов, вскрывающих глубину изучения этого материала, и напишите их на отдельном листочке.

IV. Обменяйтесь с соседом листочками и попробуйте без учебника дать на них ответ.

V. Откройте учебник и в нем найдите ответы на эти вопросы.

VI. Поговорите с соседом по вашим и его вопросам.

VII. Прочтите еще раз вдумчиво, спокойно пп. 26.2 и 26.3.

VIII. Скажите, а зачем вообще надо изучать движения фигур и свойства движений. Есть ли какой практический выход этой теории, или это просто «гимнастика ума»? Найдите ответ на этот вопрос.

Работа 54. Поиск своего способа изучения нового продолжается

I. Напишите вверху посередине листа бумаги слова: «Движения фигур».

II. Откройте с. 298 и на этом же листе ниже напишите в строчку четыре вида движений.

1) Фейхтвангер Л. Собрание сочинений.— М.: Худож. лит., 1990. — Т. 6.- С. 668.

III. Выполните под каждым названием вида движения рисунок, его характеризующий. Рисунки можно найти в тексте учебника.

IV. Ниже посередине напишите на листе: «Определение».

V. Прочтите определения каждого вида движения на с. 299, 301, 303, 305. Выделите общую структуру этих определений, выясните, как они построены.

VI. Поговорите с соседом о структуре определений движений.

VII. Итак, каждый вид движения определяется как преобразование и указывается характеристическое свойство, выделяющее этот вид из всех преобразований. Обратите внимание на то, что в определении не говорится, что указанное преобразование есть движение. Этот факт доказывается в каждом случае в соответствующей теореме. Найдите эти теоремы. Прочтите их формулировки.

VIII. Попробуйте теперь ответить на вопрос: «Зачем надо изучать тему «Движения фигур»?»

Работа 55. Где применяются свойства движений?

I. Прочтите п. 26.3 «Свойства движений».

II. Полистайте с. 293—316 учебника и бегло просмотрите, в каких вопросах теории применяются свойства движений. Назовите соответствующие утверждения.

III. Поговорите по этому вопросу с соседом, поинтересуйтесь его находками.

IV. Вместе с соседом решите задачу 26.11.

Объясните, почему в результате движения: а) окружность переходит в окружность; б) круг — в круг; в) прямая переходит в прямую; г) луч переходит в луч; д) полуплоскость — в полуплоскость; е) угол переходит в угол; ж) сохраняется параллельность прямых; з) параллелограмм переходит в параллелограмм; и) квадрат переходит в квадрат; к) правильный многоугольник — в правильный многоугольник; л) выпуклый многоугольник — в выпуклый многоугольник.

Работа 56. Будем настойчиво трудиться...

I. Прочтите цитату из статьи Г. С. Батищева (Вопросы философии.— 1995.— № 3): «Если человек не потрудится достаточно настойчиво во всех своих устремлениях и жизненных открытиях — познавательных, художественных или нравственных — разыскать и обрести самого себя более подлинного, нежели тот, кого он первоначально в себе застал, то напрасны и безуспешны все его ищущие устремления, сколь бы энергичны они ни были».

Поразмышляйте.

II. Решение задач — один из способов разыскать и обрести самого себя, ибо это тоже серьезная задача. Вам будет предложено несколько вариантов работы с задачами § 26. Выберите тот, который более соответствует вашим устремлениям.

Вариант 1. Выберите и решите несколько задач, поиск решения которых вас не затруднит.

Вариант 2. Разберите решение задачи 26.4, данное на с. 296, и дайте решение п. б).

Вариант 3. Решите задачи 26.18, 26.17, 26.16.

Вариант 4. Выберите самую трудную для вас задачу, с необычным условием, путь решения которой вами даже не ощущается. Настройтесь на длительную исследовательскую работу и насладитесь поиском.

III. Найдите одноклассника, с которым вам будет полезно поговорить о выполненной работе.

§ 27. ВИДЫ ДВИЖЕНИЙ

Работа 57 «Где следует построить мост?» — это вопрос задачи, которая разбирается в тексте учебника, после того как дана теория параллельного переноса. Очень полезно предварить этой проблемой изучение темы «Параллельный перенос». Задача интересная, житейская. Если ученики ее решат, то потом они найдут в учебнике теоретическое обоснование своего решения. Если решение так и не будет найдено, то возникнет необходимость в пополнении теоретических знаний, ибо старых явно не хватило.

В п. IX требуется дать свое доказательство того факта, что параллельный перенос — движение. И опять это задание предваряет знакомство с авторским доказательством. Последнее, XI задание учит школьника после чтения любой научной литературы выделять главное, чтобы по этим вехам затем легко было припомнить все содержание текста. В этом и состоит искусство правильно забывать.

Работу 58 «Выход в пространство» удобнее выполнять на отдельных листах. Для контроля правильности выполнения можно попросить ребят вывесить листы на классной доске.

Работа 59 «Строить всегда приятно — результат виден». Из названия ясно, что объектом внимания ребят станут именно задачи на построения. Задача 27.16, выбранная для решения, несложная, да к тому же в п. VI даны указания, которые можно использовать в крайнем случае.

Работа 60 «Отражение в прямой — какое оно?» организует изучение новой теории. Ученику предлагается рассмотреть ряд рисунков и дать им теоретическое объяснение, сформулировать необходимые определения, доказать некоторые факты. После этого, выполняя задание II, школьник прочтет авторскую трактовку всех определенных выше (задание I) понятий.

Сразу после знакомства с теорией она применяется при решении задач в заданиях III и VII. Стоит обратить внимание ребят на важность выполнения задания V, ибо, не осознав, в чем суть метода симметрии, сложно будет решить задачу 27.20.

Работа 61 «Применение свойств движений». В пятом задании предлагается решить задачу 27.58, в которой надо доказать известные ребятам ранее утверждения об элементах окружности. Но воз-

можно, что, выполняя первые задания, ученик уже сам сформулировал их и доказал. Самая прекрасная ситуация, когда он сумел расположить в окружности другие геометрические фигуры и доказать их равенство поворотом. Поэтому не стоит торопить ребят браться за выполнение пятого задания, решать задачу 27.58. Возможно, все, что произойдет до ее решения, не менее ценно для ученика. Учителю придется приложить усилия, чтобы сдержать темп движения от задания к заданию у некоторых учеников. Начиная с задания VII, всю работу можно выполнять в группе. Ребятам будет о чем поговорить, и их разговор об обратных утверждениях, о свойствах движений, используемых при доказательстве обратных утверждений, будет насыщен геометрией.

Работа 62 «Составление аналогичных задач». Хорошую задачу составить сложно, поэтому понятно скептическое отношение некоторых коллег к задачам, составленным учениками. Они правы, ибо редко среди задач, сочиненных школьниками, бывают разумные: то ситуация описана неточно, то данных не хватает, то их избыток, то требуется доказать недоказуемое, вычислить невычисляемое. И все же вряд ли кто будет спорить, что составление задач — дело полезное и достойное. Только не будем, коллега, сразу ставить перед собой несбыточные цели. Пусть сначала появятся именно аналогичные задачи, в которые по сравнению с данной внесены небольшие изменения. Потом уже можно организовать работу по их совершенствованию. Составить аналогичную задачу просто невозможно, если не проникнуть в суть данной. Поэтому работа начинается с заданий 1 — V, которые сосредоточивают внимание ребят и на анализе условия задачи 27.60 а), и на ее решении. Когда же задача, аналогичная данной, составлена, то просто необходимо кому-нибудь ее рассказать и показать. Можно попросить ребят написать свои, самостоятельно составленные задачи на отдельных листочках, а затем положить их на стол учителя. Пусть все посмотрят, что сочинил их одноклассник, выберут заинтересовавшую их задачу и решат— автору будет приятно.

Работа 63 «Опыт нуждается в корректировке». В работе речь идет об опыте решения задач, поэтому важно в начале работы вспомнить выводы, сделанные в предыдущей работе, да и вообще о том, как решаются задачи. Корректировка опыта может произойти и после анализа тех советов, поиска решения задачи, которые даны в работе. В задании III предлагается определить способы, которыми можно установить, что треугольник правильный. Расшифровка способов может помочь найти идею решения. В задании IV перечисляется еще три способа, реализация одного из них и приводит к решению.

Любопытно, какой подход к решению задачи 27.63 а) выберут ребята. Стоит организовать разговор по этому вопросу.

Работа 57. Где следует построить мост?

I. Изучение темы «Параллельный перенос» начните с размышления над решением практической задачи.

Где следует построить мост через реку, разделяющую пункты А и В, чтобы путь / = АР + PQ + QB, где точки Р и Q расположены на противоположных берегах реки, был кратчайшим?

Сделайте рисунок и поразмышляйте над решением задачи.

II. Попробуйте довериться интуиции и поставьте точки Р и Q так, чтобы путь / был наименьшим. Не забудьте, что мост вообще-то строится обычно перпендикулярно берегам реки. Поработайте над рисунком. Исследуйте, от чего зависит длина пути /.

III. Обсудите с соседом свои идеи.

IV. Прочтите на с. 299 определение параллельного переноса. Попытайтесь использовать новые знания при решении этой задачи.

V. Если все попытки найти решение исчерпаны, то прочтите на с. 300 авторское решение.

VI. Внимательно прочтите и обдумайте первый абзац п. 27.2, в котором дается основная идея метода параллельного переноса.

VII. Вернитесь к решению задачи на с. 300 и посмотрите, каким образом авторы используют метод параллельного переноса.

VIII. Поговорите о методе параллельного переноса с соседом.

IX. Попробуйте, рассматривая рисунок 257, дать свое доказательство, что параллельный перенос — движение.

X. Сравните свое доказательство с авторским на с. 299.

XI. Перечислите все, что вам известно о параллельном переносе и о методе параллельного переноса.

Работа 58. Выход в пространство

I. Нарисуйте куб ABCDAXBXCXDX. Представьте расположение образа этого куба на вектор: а) ААХ\ б) DA; в) DBX.

II. Расскажите соседу, как будет расположен образ куба в каждом случае.

III. Нарисуйте пересечение образа куба ABCDAXBXCXDX в результате переноса на вектор АО, где О — середина АСХ и самого куба ABCDAXBXCXDX.

IV. Если задача п. III не вышла, то оставьте ее на время, потом к ней вернетесь. Пока будете решать следующую задачу, решение этой придет само.

V. Нарисуйте правильный тетраэдр РАВС и его образ на вектор а. Вектор а задайте самостоятельно. Он может быть определен парой вершин тетраэдра, а можно начало или конец вектора взять в какой-либо точке грани тетраэдра. Рассмотрите несколько вариантов.

VI. Обсудите с соседом то, что сделал каждый из вас.

VII. Решите задачу 27.9.

Нарисуйте образ правильного тетраэдра РАВС в результате переноса на вектор: а) AB; б) CP; в) АК, где точка К — середина ВС; г) PQ, где точка Q — центр треугольника ABC.

Работа 59. Строить всегда приятно — результат виден

I. Вспомните, как решаются задачи на построение фигур.

II. Сегодня вы будете решать задачи на построение геометрических фигур, используя параллельный перенос. Именно в результате переноса можно получить фигуру, для построения которой достаточно данных. Подумайте над задачей 27.16.

Постройте трапецию по: а) четырем сторонам; б) основаниям и диагоналям.

III. Нарисуйте две трапеции, подпишите на рисунке данные элементы: а) а, Ъ> с, d — стороны; б) а, Ъ> dx, d2— основания и диагонали.

IV. Выполните в каждом случае такой параллельный перенос, чтобы в результате получилась фигура, которую можно построить по данным задачи.

V. Обсудите с соседом свой план решения.

VI. В п. а) легко получился треугольник со сторонами, равными а, с, d — b. В п. б) — треугольник со сторонами rf,, d2, b + а.

Обсудите с соседом решение этой задачи.

Работа 60. Отражение в прямой — какое оно?

I. Тема работы — «Отражение в прямой». Откройте с. 301 учебника и попробуйте озвучить рисунок 259, а, б, в, г.

а) Дайте определение точек, симметричных относительно прямой.

б) Скажите, какое преобразование называется отражением фигуры в прямой а.

в) Сформулируйте определение симметричной фигуры.

г) Докажите, что отражение в прямой есть движение.

II. Прочтите текст на с. 301, внесите дополнения, изменения в свою трактовку этих понятий.

III. В п. 27.4 «Метод симметрии» дано решение задачи.

Две деревни А и В находятся по одну сторону от прямого шоссе а. В какой точке С на шоссе а надо устроить остановку автобуса, чтобы сумма расстояний АС + СВ была кратчайшей?

Подумайте сначала над ее решением, не спешите читать решение в учебнике. Подсказка дана в самом названии пункта.

IV. Прочтите решение этой задачи в п. 27.4. Попробуйте выделить суть метода симметрии.

V. Запишите в тетрадь, в чем состоит метод симметрии.

VI. Сосредоточьтесь теперь на решении задачи 27.20 а). Постройте четырехугольник по четырем сторонам и двум средним линиям.

VII. Сделайте несколько рисунков к п. а), попробуйте выполнить ряд параллельных переносов и выбрать из них удачный.

VIII. Замечание: в задаче есть лишнее данное, достаточно четырех сторон а, Ьу су d и одной средней линии.

IX. Указание: соберите данные элементы четырехугольника около средней линии. «И хотя в подобных случаях трудно дать общие

предписания и каждый должен в них следовать указаниям собственного разума, я попытаюсь все же указать путь начинающим» (И. Ньютон)1).

X. Сначала можно построить параллелограмм со сторонами b и d и диагональю 21. Постройте его, осуществив пару параллельных переносов.

XI. Похвастайтесь соседу своим решением.

Работа 61. Применение свойств движеий

I. Нарисуйте окружность и задайте на ней пару геометрических фигур, равенство которых легко можно было бы доказать поворотом.

II. В качестве пар геометрических фигур возьмите пары углов, дуг, хорд, вписанных многоугольников.

III. Дайте решение составленных вами задач.

IV. Обсудите свои задачи и их решения с соседом.

V. Решите задачу 27.58.

Докажите, что в одной окружности равные хорды: а) равноудалены от центра; б) видны из центра под равными углами; в) соединяют концы равных дуг; г) отсекают от круга равные сегменты.

Не забудьте, что поворот — движение, значит, он обладает всеми свойствами движения (см. п. 26.3).

VI. При доказательстве можно воспользоваться: а) свойством 6 движения; б) свойством 5; в), г) свойствами 1, 2 и определением равенства фигур. Подумайте, так ли это.

VII. Составьте утверждения, обратные тем, о которых говорится в задаче 25.58. Можно это сделать устно.

VIII. Сравните свои обратные утверждения с вариантами, предложенными соседом.

IX. Перечислите свойства движений, опираясь на которые можно было бы доказать обратные утверждения.

X. Доказательство утверждения «В одной окружности хорды, равноудаленные от центра, равны» следует из свойств движения 2, 3, 5. Согласны?

XI. Проверьте еще раз свои доказательства обратных утверждений, нет ли там пустот, недоказанных моментов.

Работа 62. Составление аналогичных задач

I. Составление задач — дело не простое. Сегодня вам предоставляется возможность поучиться этому искусству.

II. Бегло прочтите задачу 27.60 а).

На сторонах равностороннего треугольника ЛВС взяты точки: Сх на AB, Вх на АС, Ах на ВС. При этом АСХ = ВАХ = СВХ. Вершинами какого по виду треугольника являются эти точки?

1) Всеобщая арифметика,— М., 1948.— С. 103.

III. Беглое чтение необходимо для того, чтобы понять, о чем идет речь в задаче. А теперь делайте рисунок к задаче с параллельным повторным чтением ее.

IV. Дайте интуитивный ответ. Что подсказывает ваше геометрическое чутье относительно вида треугольника АХВХС{! И. Кант утверждал: «Всякое человеческое познание начинается с созерцаний, переходит от них к понятиям и заканчивается идеями»1).

V. Теперь эту интуитивную догадку надо доказать. И тут не обойтись без подзадачи. Р. Декарт советует: «Расчлените каждую изучаемую вами задачу на столько частей, на сколько сможете и на сколько это потребуется вам, чтобы их было легко решить»2).

Подзадача. Доказать, что если треугольник может быть отображен на себя с помощью некоторого поворота, то этот треугольник правильный. Докажите это, и тогда задача 27.60 а) решится легко.

VI. Итак, из транзитивности равенства следует доказательство подзадачи. Теперь составьте аналогичную, похожую. Подумайте, что при этом можно было бы в условии изменить, что оставить неизменным, чтобы в результате получить похожую задачу.

VII. Поговорите с соседом, обсудите варианты аналогичных задач.

VIII. Можно было бы при составлении аналогичной задачи правильный треугольник заменить на квадрат или вообще на правильный многоугольник. Запишите вариант для квадрата.

IX. Покажите соседу составленную вами задачу.

X. Прочтите такой вариант:

На сторонах квадрата ABCD взяты точки: Сх на AD, Вх на CD, Ах на ВС, Dx на AB. При этом АСХ = BDX = АСХ = DBX. Вершинами какого по виду четырехугольника являются эти точки? Пусть теперь проведены отрезки ААХ, ВВХ, ССХ, DDX и точки К, L, M, N — точки пересечения этих отрезков. Вершинами какого по виду четырехугольника являются эти точки?

Если эта формулировка не вызывает у вас возражений, то решите эту задачу. Если же возражения есть, то внесите свои изменения, поговорите с соседом и решите полученную задачу.

XI. Понравилось вам сочинять задачи? Тогда сочините еще одну, аналогичную, но требующую более творческой работы.

XII. Обязательно проанализируйте свой поиск решения, свою работу с задачей.

Работа 63. Опыт нуждается в корректировке

I. Вспомните выводы, которые были сделаны вами после выполнения работы 58.

1) Кант И. Критика чистого разума: Соч.—М., 1964.—Т. 2.—С. 591.

2) Декарт Р Рассуждения о методе: Избр. произведения.—М.: Мысль, 1989.- Т. 2.- С. 272.

II. Прочтите задачу 27.61.

На отрезке AB выбрана точка С. По одну сторону от прямой AB построены равносторонние треугольники АСК и BCL. Докажите, что точка С и середины отрезков KB и LA являются вершинами равностороннего треугольника.

Обратите внимание на то, что эта задача дана в п. 27.5 «Поворот», и на то, что вам надо доказать, что некий треугольник равносторонний. Удержите эти моменты в поле своего внимания и дайте решение задачи 27.61.

III. Если задача вами еще не решена, то попробуйте установить, каким образом можно доказать, что треугольник правильный.

IV. Конечно, вы помните, что если треугольник может быть отображен на себя с помощью некоторого поворота, то этот треугольник правильный. Однако здесь за центр такого поворота нельзя взять ни одну точку, отмеченную на рисунке. Можно установить, что треугольник правильный, доказав, что: 1) он имеет три оси симметрии; 2) он имеет центр симметрии; 3) он равнобедренный с углом при вершине 60°; ... Заметьте, что ААСК = /-KCL = = ZLCВ = 60°. Продолжите поиск решения.

V. Реализовать последнюю идею, отмеченную в предыдущем пункте, можно, если осуществить поворот с центром С на угол 60°. Докажите, что при этом образом точки M является точка N.

VI. Осталось воспользоваться свойствами движения, если вами доказано, что при этом повороте А —► К, L -* В, AL —► KB, M-+N.

VII. Для проверки понимания идеи решения этой задачи решите задачу 27.63 а).

На сторонах остроугольного треугольника ABC вне его построены равносторонние треугольники АВСХ, ВСАХ, CABV а) Докажите, что ААХ = ВВХ = СС,...

Опять надо вспомнить способы доказательства равенства отрезков.

VIII. Один из них — найти поворот, при котором АА]-СС]. Найдите поворот, при котором СС{ — ВВХ, и все будет доказано. Обсудите с соседом эту проблему.

Работа 64. Контрольная работа

Вариант 1

1. С помощью осевой симметрии постройте сумму сторон ВС и АС треугольника ABC.

2. Постройте четырехугольник, если известны его четыре стороны и диагональ принадлежит биссектрисе угла.

3. Решите любую из задач: 27.58, 27.59, 27.60, 27.63.

4. Докажите, что две трапеции равны, если основания и диагонали одной из них соответственно равны основаниям и диагоналям другой.

Вариант 2

1. С помощью осевой симметрии постройте разность двух сторон AB к ВС треугольника ABC.

2. Постройте треугольник по стороне, сумме двух других сторон и углу, противолежащему одной из них.

3. Решите любую из задач: 27.58, 27.59, 27.60, 27.63.

4. Докажите, что две трапеции равны, если стороны одной из них соответственно равны сторонам другой.

§ 28. КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ

Работа 65, в которой вы изучите теорему Шаля и расскажете о ней соседу. Теорема Шаля — одна из самых серьезных теорем курса. Подразумевается, что данная работа дается на первом занятии при изучении темы «Классификация движений». Конечно, можно просто прочесть параграф с первой строки до последней, но боюсь, что за многими деталями, обсуждаемыми в этом параграфе авторами, затеряется сама теорема Шаля. Задания работы построены так, что ученику нужно прочесть то один кусочек текста, то другой, выписать в тетрадь формулировки, на которые будет опираться доказательство теоремы Шаля, рассмотреть и прокомментировать рисунки, сопровождающие текст параграфа. И только после того, как учеником проделана большая предварительная работа (задания I—IX), ему предлагается прочитать доказательство теоремы Шаля. Думаю, что ребятам легче будет выполнять эту работу в парах, и этому не стоит препятствовать.

С доказательством теорем 33, 34 знакомство происходит лишь в самом конце работы, когда суть всей темы уже ясна.

Работа 65. В которой вы изучите теорему Шаля и расскажете о ней соседу

I. Материал этого параграфа в меру сложен и поэтому прекрасен для самостоятельного изучения. Достаточно хорошо можно проверить свое умение изучать серьезные теоретические вопросы. Г. Лихтенберг считал, что то, что вы были вынуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы можете снова воспользоваться, когда в этом возникнет необходимость. Думаю, что он прав. В тексте этого параграфа, казалось бы, все написано. Тогда возникает вопрос: «Что же надо открывать?» Открывать смысл, открывать все более значительные пласты понимания. Итак, прочтите начало § 28 на с. 315 до теоремы 33 и формулировку самой теоремы.

II. Теперь прочтите формулировку теоремы 34 на с. 318.

III. Выпишите в тетрадь формулировки теорем 33 и 34, чтобы они были у вас перед глазами. Будем считать, что они доказаны.

IV. Теперь внимательно изучите п. 28.2 «Замечание о распространении движения».

V. Прочтите формулировку теоремы 35 о классификации движений на с. 318.

VI. Посмотрите рисунки 272, а и 273, я, 272, б и 273, б. Установите, каким движением в каждом случае получится красный треугольник BDXC из треугольника ABD.

VII. Теперь проделайте ту же работу, рассматривая рисунки 274, я, б, 275, я, б. Определите вид движения, отображающий ÂABD в ABDXC и AABD в AAD{B.

VIII. Таким образом, вами должны быть перечислены все пять видов движений, указанных в теореме 35.

Их перечисление можно найти и в тексте на с. 319—320.

IX. Прочтите еще раз п. 28.2 «Замечание о распространении движения» и объясните, почему в доказательстве теоремы 35 рассматривается лишь движение треугольника.

X. Изучите доказательство теоремы Шаля на с. 318—320.

XI. Перескажите основные идеи доказательства теоремы Шаля соседу.

XII. Просмотрите еще раз с. 318—320, подумайте.

XIII. Теперь, если хотите, рассмотрите доказательства теорем 33 и 34.

§ 29. СИММЕТРИЯ ФИГУР

Работа 66 «Что создает красоту снежинки?». Ответ на этот вопрос школьник может найти в § 29, посвященном рассмотрению одной из интереснейших и красивейших тем курса «Симметрия фигур». К этому моменту ребятам кажется, что по данному вопросу они уже многое знают. Это и так и не так, в этом заключается и легкость изучения «Симметрии фигур», и сложность. Важно настроить ребят на новое серьезное знакомство со старым знакомым. Работа учитывает это, и уже в задании II ученику предлагается после беглого просмотра параграфа записать новую для него информацию. А в задании IV ряд важных моментов темы перечислен так, что ни один из них ребенок не пропустит. После выполнения работы 66 беседа учителя по этой теме будет воспринята с большим пониманием.

Работа 66. Что создает красоту снежинки?

I. Полистайте страницы § 29 «Симметрия фигур». Прочтите, рассмотрите то, что зацепит ваше внимание. Известное вам пропускайте, сосредоточивайтесь на новой, любопытной для вас информации. В одной статье я прочитал любопытную фразу, в которой говорилось, что симметричные законы физики описывают наш несимметричный мир.

Итак, начните со с. 324.

II. Быстро просмотрите еще раз § 29 и кратко обозначьте на листочке новую для вас информацию.

III. Покажите соседу ваши записи, поговорите.

IV. Можно было отметить такие моменты:

а) переносная симметрия; б) всего существует 7 типов бордюров (почему семь?); в) всего существует 17 типов симметрии орнаментов; г) симметрия — соразмерность; д) что создает красоту снежинки; е) движение, обратное симметрии,— симметрия; ж) чем богаче группа симметрии фигуры, тем симметричнее, правильнее эта фигура; з) самая симметричная фигура — это вся плоскость; и) одна из могущественных особенностей математики в том, что она устанавливает сходство и единство там, где его, казалось бы, не видно. Сравните со своими записями: совпали ли какие-нибудь?

V. Изучите основательно то, что вас заинтересовало.

VI. Расскажите соседу о том, что вы изучили серьезно.

VII. Прочтите внимательно еще раз весь параграф. Обратите особое внимание на п. 29.5 «Группы преобразований фигур».

§ 30. РАВНОВЕЛИКОСТЬ И РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ

Работа 67 «Равновеликие не всегда равные, но зато всегда равносоставленные». Эта тема достаточно полно изложена в учебнике, и, хотя § 30 как бы необязательный для изучения, думаю, что полезно с ним поработать каждому ученику. Так как до этого момента ребята наверняка пользовались терминами «равные», «равновеликие», «равносоставленные», то стоит сначала узнать смысл, который каждый ребенок вкладывает в эти слова (задания I—VI). Потом после работы с рисунками (задание II), разговора с соседом (задание III), размышления над зависимостью, которая существует между равными, равновеликими и равносоставленными фигурами (задания IV—VI), школьники читают текст учебника и корректируют свои знания. Самостоятельная запись доказательства теоремы Бойяи-Гервина в тетрадь (задание XII) нужна для самоконтроля. На спокойное чтение всей теории § 30 настраивает последнее задание. Обратите внимание на работу с леммами 2, 3, 4. В п. IX идет лишь знакомство с их формулировками, а разбор их, доказательство (задание XIII) происходят после того, как теорема Бойяи-Гервина уже изучена.

Работа 67. Равновеликие не всегда равные,

но зато всегда равносоставленные

I. Напишите на листе бумаги два слова: «равновеликость» и «равносоставленность». Опираясь на свой опыт, дайте словесную трактовку этим понятиям и отразите свое понимание их смысла в рисунках.

II. Откройте учебник на с. 340, посмотрите на рисунки 295 и 297. Установите, какое из рассматриваемых вами слов вы подписали бы под каждым из этих рисунков.

III. Поговорите с соседом, посмотрите, как он выполнил эти задания.

Не было ли у него рисунка, под которым он написал сразу два слова: и «равновеликость», и «равносоставленность»?

IV. Подумайте, как взаимосвязаны эти слова.

V. Обсудите с соседом, следует ли из равновеликости фигур их равносоставленность и из равносоставленности равновеликость.

VI. Добавьте к этим двум словам еще слово «равенство». Установите теперь зависимость между этими тремя отношениями. Если возникнут проблемы, вопросы, зафиксируйте их, они обязательно найдут свое решение при дальнейшей работе.

VII. Прочтите на с. 341 свойства, которыми обладают все три отношения. Это свойства рефлексивности, симметричности, транзитивности.

Если что-либо будет неясно, ищите ответ в тексте п. 30.2, но сначала пытайтесь все объяснить самостоятельно.

VIII. Расскажите своему соседу, какими свойствами обладают изученные вами отношения.

IX. Вам, наверное, ясно, что равносоставленные фигуры равновелики. А вот обратное утверждение доказывается в теореме Бойяи-Гервина (п. 30.5, с. 344—345). Ее доказательство опирается на три леммы (2, 3, 4) на с. 343—344. Выпишите в тетрадь формулировки этих лемм и сделайте к ним рисунки.

X. Разберите доказательство теоремы Бойяи-Гервина.

XI. Обсудите ее доказательство с соседом.

XII. Если в доказательстве этой теоремы все ясно, то запишите его самостоятельно в тетрадь.

XIII. Теперь вместе с соседом разберите по учебнику доказательства лемм 2, 3, 4.

XIV. Спокойно, в своем темпе прочтите весь параграф. Зафиксируйте места, которые все же остались неясны. Можно просмотреть «Энциклопедию элементарной математики», и тогда вы поймете этот вопрос глубже.

§ 31. ПОДОБИЕ

Работа 68 «Как выбраться из леса». Такая практическая проблема решается авторами при изложении темы «Подобие». Ребята знакомятся с ней, выполняя задание II, когда разбираются с масштабом и читают об изображении земной поверхности на картах. Первое же задание выделяет круг вопросов, которые будут изучены при работе с этой темой. Ничего, что некоторые понятия, слова для них будут непонятны, главное — создание определенного творческого настроя, желания заняться этой темой.

Любопытно и задание III о линзе. Оно наверняка вызовет у ребят интерес и ряд версий ответов. Кроме своего ответа, ученик узнает в худшем случае лишь ответ своего соседа. Для установления истинного ответа дается задание V, в котором ребятам предлагается заняться изучением теории. Задание VII, данное после знакомства ученика с определением подобия, подогревает его интерес к работе с этой темой. Заканчивается исследование выяснением связи гомотетии и подобия. Работа легкая, больших хлопот у ребят вызвать не должна.

Работа 69 «Упражнения в рисовании. Свойства гомотетии» посвящена построению фигуры, гомотетичной данной. До задания VI преимущественно задействованы лишь руки, и только с задания VI начинается осмысление сделанного. Предполагается, что до этого момента свойства гомотетии еще не изучены, работа с ними и организуется здесь.

Работа 70 «Признак — это свойство, но не любое свойство — признак». Все внимание ребят сосредоточено на признаках подобия. Сначала после рисования подобных прямоугольников, ромбов, параллелограммов, трапеций они заняты составлением признаков подобия перечисленных выше фигур. И только после нескольких попыток сформулировать их признаки ребятам предлагается прочесть в учебнике формулировки признаков подобия треугольников. Потом, выполняя задание IX, они опять возвращаются к тому, чем они занимались в задании V. Задание X дано для контроля сделанного, для корректировки.

Работа 71 «Познание метода подобия». Это последний метод решения задач, с которым знакомят ребят авторы учебника. В процессе работы организуется самостоятельное познание вопроса. Ученик читает в учебнике авторскую трактовку решения задач методом гомотетии, выделяет логические этапы и пытается применить прочитанное к решению задачи. В заданиях II—IV дается некоторое руководство поиска решения, но как бы с некоторым опозданием. В задании V школьнику предлагается познакомиться с решением аналогичной задачи в параграфе. Теперь этот образец после самостоятельных проб найти решение уже можно дать. Авторское решение не затормозит мысль ученика, а, наоборот, будет способствовать ее активизации. Задания VI—VII служат реализации этой цели. Новую задачу о прямоугольном треугольнике ребята будут решать в паре. Им надо рассказать друг другу, что каждый понял, чему научился. Этот разговор обогатит каждого. Задание IX— подсказка, напоминание о теореме Фалеса, которая нужна для решения задачи.

Важно настоять и на выполнении задания XII. Вообще на каждом занятии следует предоставлять ребятам время на осмысление услышанного и прочитанного, найденного.

Работа 72 «Задачи на рисунках. Признаки и свойства подобия». Это задачи, при решении которых отрабатываются признаки и свойства подобия. Задачи не сложные, ребята будут их решать быстро, нужен лишь контроль за правильностью решения. Групповая ра-

бота, работа в парах хорошо позволяют организовать такой контроль. Задач на рисунках много, поэтому не стоит торопить ребят с выполнением этой работы. Пусть спокойно, в своем темпе подумают, все обсудят. Ведь с этими ситуациями, как с подзадачами, школьники не раз встретятся при решении более сложных задач.

Работа 68. Как выбраться из леса

I. Откройте с. 354 и прочтите вопросы, ответы на них вы сможете дать, изучив эту тему.

II. Теперь я вам предлагаю прочесть любопытную информацию в п. 31.7 на с. 352—353. Она научит вас, как выбраться из леса.

III. Интересно, сможете ли вы теперь ответить на вопросы задачи 31.12? Что значит выражение «десятикратная линза»? «десятикратный бинокль»? Пусть мы смотрим на угол, равный 1°. Каким по величине он будет видеться в такую линзу? в такой бинокль? Попробуйте проверить.

IV. А как на эти вопросы ответил ваш сосед? Поинтересуйтесь.

V. Для того чтобы выяснить истинный ответ, надо изучить теорию. Прочтите п. 31.1 «Определение подобия».

VI. Поговорите с соседом, обсудите с ним и п. 31.1 и ответ к задаче 31.12. Не надо ли его подкорректировать.

VII. Ответьте на вопрос: «Подобны ли картина и ее фотография?» (задача 31.7).

VIII. А как ответил на этот вопрос ваш сосед? Спросите.

IX. Посмотрите на рисунок 303. Можете ли вы сказать, подобна фигура красного цвета фигуре черного цвета?

X. Если же вы прочтете п. 31.2 «Гомотетия», то узнаете, что эти фигуры называются и гомотетичными. Как связаны гомотетия и подобие? Прочтите п. 31.2 и дайте ответ на этот вопрос.

XI. Вместе с соседом прочтите еще раз доказательство утверждения: подобие с коэффициентом к есть композиция гомотетии с коэффициентом к и движения.

XII. Запишите это утверждение и его доказательство в тетрадь самостоятельно, без учебника.

Работа 69. Упражнения в рисовании.

Свойства гомотетии

I. Нарисуйте треугольник ЛВС

II. Нарисуйте треугольник, ему гомотетичный, с центром Л и к = 2.

III. Сформулируйте и запишите вопросы по гомотетии, на которые в теории еще не было дано ответов.

IV. Нарисуйте куб.

V. Выберите центр гомотетии и ее коэффициент. Постройте куб, гомотетичный данному.

VI. Попробуйте осознать, все ли построения, выполненные вами, обоснованы. Сформулируйте и запишите вопросы, если это не так.

VII. На вопросы: 1) Почему гомотетия отрезок переводит в отрезок? 2) Почему гомотетия сохраняет величину угла? 3) Почему гомотетия переводит треугольник в треугольник? — вы найдете ответы в п. 31.3 «Свойства гомотетии». Но, прежде чем читать текст на с. 347—348, попробуйте вместе с соседом самостоятельно найти доказательство этих утверждений.

VIII. Запишите в тетрадь доказательство этих свойств.

IX. Сверьте свои записи с текстом учебника.

Работа 70. Признак — это свойство, но не любое свойство — признак

I. Нарисуйте два подобных прямоугольника.

II. Нарисуйте два подобных ромба.

III. Нарисуйте два подобных параллелограмма.

IV. Нарисуйте две подобные трапеции.

V. Посмотрите на все эти рисунки и попробуйте в каждом случае найти признак, по наличию которого можно утверждать о подобии: а) прямоугольников; б) ромбов; в) трапеций; г) параллелограммов.

VI. Обсудите с соседом составленные вами признаки подобия.

VII. Прочтите формулировки признаков подобия треугольников.

VIII. Сделайте рисунки и запишите символически каждый признак подобия треугольника.

IX. Вернитесь к составленным вами признакам подобия прямоугольников, ромбов, трапеций, параллелограммов. Подумайте, будут ли удовлетворять определению подобия фигур многоугольники, обладающие свойствами, перечисленными вами в признаках.

X. Из п. 31.5 вам стало ясно, что данные фигуры могут иметь несколько признаков подобия.

Вместе с соседом выясните, являются ли перечисленные ниже утверждения признаками подобия:

1. Два прямоугольника ABCD и AXBXCXDX подобны, если их стороны пропорциональны.

2. Два прямоугольника подобны, если равны углы между диагоналями.

3. Два прямоугольника подобны, если диагонали АС и АХСХ одинаково наклонены к сторонам AD и AXDX.

4. Два параллелограмма подобны, если две смежные стороны одного из них пропорциональны двум смежным сторонам другого, а углы между этими сторонами равны.

5. Два ромба подобны, если их диагонали пропорциональны и в них есть пара равных углов.

6. Две равнобокие трапеции ABCD и AXBXCXDX подобны, если две стороны и основание одной трапеции пропорциональны двум сторонам и основанию другой.

7. Две трапеции подобны, если их стороны пропорциональны.

Работа 71. Познание метода подобия

I. Авторы учебника на с. 352 так выделяют суть метода подобия: «Решая задачу методом подобия, в частности гомотетией, сначала строим фигуру, удовлетворяющую всем требованиям задачи, кроме одного. А затем с помощью подобия строим искомую фигуру».

Итак, выделите два шага, из которых, по утверждению авторов, состоит метод подобия.

II. Примените этот метод к решению такой задачи: Постройте прямоугольник так, чтобы три его вершины лежали на катетах, а четвертая — на гипотенузе прямоугольного треугольника, причем стороны этого прямоугольника относились как 2:1.

Итак, вам предстоит сначала построить прямоугольник, удовлетворяющий требованиям задачи, кроме одного. Сделайте это.

III. Теперь используйте гомотетию и постройте прямоугольник, удовлетворяющий всем требованиям условия задачи.

IV. Докажите, что построенный вами прямоугольник искомый.

V. Прочтите на с. 352 решение задачи о построении квадрата, вершины которого расположены на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника.

VI. Подумайте, надо ли внести какие-либо изменения в ваше решение задачи о прямоугольнике.

VII. Обсудите свое решение с соседом.

VIII. Решите вместе такую задачу.

Постройте прямоугольный треугольник по отношению катетов к гипотенузе.

Договоритесь, каким условиям должен отвечать прямоугольный треугольник, который вы будете сначала строить.

IX. Не забудьте о теореме Фалеса:

Если на одной стороне угла отложить отрезки а, Ъ и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие стороны угла, то на другой стороне угла получатся отрезки ах и Ьь пропорциональные отрезкам а и Ь.

X. Итак, прямоугольный треугольник АХСВХ, у которого АХС:СВХ= = а:Ь, построить просто, но гипотенуза АХВХ может быть не равна данному отрезку с. Но искомый треугольник ABC подобен треугольнику АХСВХ, и, следовательно, АХВХ:АВ = СВХ:СВ. Подумайте, как получить такой ААВС.

XI. Требовалось лишь построить два отрезка, отношения которых равнялись бы отношению АХВХ :АВ. Для этого можно было бы провести луч из точки С и на нем от точки С отложить СМХ = АХВХ и СМ = AB и через точку M провести МВ\\МХВХ. Тогда СВХ:СВ = = АХВХ:АВ. Закончите решение задачи.

XII. Подумайте, все ли вам понятно в методе подобия.

Работа 72. Задачи на рисунках. Признаки и свойства подобия

I. Выберите любой из рисунков 312 на с. 360, нарисуйте его на отдельном листе бумаги, введите обозначения, выпишите подобные треугольники.

II. Обменяйтесь с соседом листами, рассмотрите его лист и, если вы согласны, что выписанные им треугольники подобны, напишите, по какому признаку они подобны, и снова обменяйтесь листами с соседом.

III. Посмотрите на запись соседа и, если вы согласны с нею, выберите другой рисунок и повторите всю работу сначала.

IV. Работу можно закончить, если вы разобрались со всеми рисунками на с. 360.

V. Обменяйтесь своими листами с одноклассниками. Посмотрите, что сделали они. Обсудите самые сложные для вас случаи.

VI. Прочтите свойство 4 подобия на с. 349. Выберите несколько рисунков на с. 361 из рисунков 314, а — ж и вычислите площадь фигуры, выделенной красным.

VII. Обсудите с соседом полученные ответы.

VIII. Вместе обсудите решения остальных случаев.

Зачет по теме «Преобразования»

Билет 1.

1. Перенос. Определение, свойства. Докажите, что перенос — движение (п. 27.1).

2. Равновеликость и равносоставленность. Теорема Бойяи-Гервина (п. 30.5).

Билет 2.

1. Отражение в прямой. Определение, свойства. Докажите, что отражение в прямой — движение (п. 27.3).

2. Гомотетия. Основное свойство гомотетии (п. 31.2).

Билет 3.

1. Поворот. Определение, свойства. Докажите, что поворот — движение (п. 27.5).

2. Свойства гомотетии (п. 31.3).

Билет 4.

1. Центральная симметрия. Определение, свойства. Докажите, что центральная симметрия — движение (п. 27.7).

2. Первый признак подобия треугольников (п. 31.5).

Билет 5.

1. Теорема Шаля (п. 28.3).

2. Второй признак подобия треугольников (п. 31.5).

Билет 6.

1. Группа симметрии фигуры (п. 29.4).

2. Третий признак подобия треугольников (п. 31.5).

Задачи: 26.11, 27.6, 27.12, 27.16, 27.42, 27.58, 27.61, 27.77 а), 29.3, 31.31, 31.54, 31.66, 31.70, 31.84, 31.90.

Ответы к самостоятельным и контрольным работам

С-4.1

Вариант 1. 1. а) 1; б) от 0 до 3. 3.

5. На луче СО, ОХ = 0,5 Вариант 2. 1. а) 1; б) от 0 до 3. 3.

5. В точке отрезка ОС, ОС= 1.

С-4.2

Вариант 1. 2. Да. 4. Да. 5. Вариант 2. 2. Да. 4. Да. 5.

С-4.3

Вариант 1. 1. а) ЛК = | ÄB+ | ÂC; б) ÄL = 3ÄC - 2ЛВ. 2. а) Да;

б) ВХ: ХС = 1 : 3. 4. а) Да; б) нет. 5. а) 1 : 5; б) нет.

Вариант 2. 1. a) ÂK = | ЛС+ | Б; 6) ÂL = ЗАВ — 2ÄC. 2. а) Да;

б) ОТ: ЛВ = 1 : 3. 4. а) Да; б) нет. 5. а) 1 : 5; б) нет.

С-4.4

Вариант 1. 1. a) coscp; б) — sincp • tgcp; в) 0. 2. а) Нет; б) нет. 3. Нет. 4. а) Да; б) нет.

Вариант 2. 1. а) — cos(p; б) sincp • tg(p; в) 0. 2. а) Нет; б) нет.

3. Нет. 4. а) Да; б) нет.

С-4.5

Вариант 1. 1. а) (1; 0);

Вариант 2. 1.

С-4.6

Вариант 1. 1.

3. а) Первое произведение больше.

Вариант 2. 1.

3. а) Первое произведение меньше.

С-4.7

Вариант 1. 1. а) 2с(а + Ь -с); б) нет. Вариант 2. 1. а) 2с(а-Ь-с); б) да.

С-4.8

Вариант 1.1. л/5 . 2. 0°. 3. а) Они равны; б) они равны.

Вариант 2. 1. у[$ . 2. 0°. 3. а) Они равны; б) они равны.

С-4.9

Вариант 1. 1.

в) (—0,6; 0,2); г) такого нет.

Вариант 2. 1.

в) (0,6; -0,2). г) такого нет.

С - 4.10

Вариант 1. 1. 2. 2. 0. 3. ВТ= ТС. 5. От -4 до 2. Вариант 2. 1. 2. 2. 0. 3. СТ= ТВ. 5. От -4 до 2.

С-4.11

Вариант 1. 1. а) Да; б) в любом месте. 2. 4а . 3. а) Если

то К, L, M лежат на одной прямой.

Вариант 2. 1. а) Да; б) в любом месте. 2. 4а . 3. а) Если

то К, L, M лежат на одной прямой.

С - 4.12

Вариант 1. 1. Да. 2. Да. 3. Да. 4. а) Нет; б) да. Вариант 2. 1. Да. 2. Да. 3. Да. 4. а) Нет; б) да.

С - 4.13

Вариант 1. 1. б) Нет. 2. а) По прямой. Вариант 2. 1. б) Нет. 2. а) По прямой.

С-4.14

Вариант 1. 1.

Вариант 2. 1. К- 1

Вариант 1. 1. б) Да; в) нет; г) нет; д) да. 2. в) Да; г)

Вариант 2. 1. б) Да; в) нет; г) нет; д) да. 2. в) Да; г)

С - 4.15

Вариант 1. 1. а) Да; б) да; в) нет. Вариант 2. 1. а) Да; б) да; в) нет. С-4.16

Вариант 1. 1. а) и б) (1,5; 3,5); в) (3; -1) и (0; 8). 2. а) (-4; -4).

Вариант 2. 1. а) и б) (2; 3); в) (-1; 0) и (5; 6). 2. а) (4; 4).

С-4.17

Вариант 1. 1. б) Остроугольный, разносторонний; в) нет. 2. Отрезок AB.

Вариант 2. 1. б) Остроугольный, разносторонний; в) нет. 2. Отрезок AB.

С - 4.18

Вариант 1. 1. а) Да; б) да.

Вариант 2. 1. а) Да; б) да.

С - 4.19

Вариант 1. 1. а) Зх — 5у + 22 = 0; б) нет; в) у = х + 4 или

3. Одна из них

Вариант 2. 1. а) Зх — 5у — 22 = 0; б) нет; в) у = х — 4 или

у = — X — 6.

3. Одна из них

х+у-7 = 0. С - 4.20

Вариант 1. 1. а) Да. 2. Прямая. Вариант 2. 1. а) Да. 2. Прямая.

К-2

Вариант 1. 1. б) Остроугольный, равнобедренный;

Вариант 2.1. б) Остроугольный, равнобедренный; в)

С-5.1

Вариант 1. 1. а)(1; -1); б) (1; 1). 3. х = у+\, у = —х+1.

4. а) (х- 1)2 + (у+ 1)2= 1; б) 0<х<1, -1<>><0;

в) у =х — 2; г) (—2; 1). 5. а) Да; б) нет. Вариант 2. 1. а) (1; -1); б) (-1; -1). 3. х = —у—\, у = х—\.

4. a) (jc+ I)2 + (у + I)2 = 1; б) 1 <х<2, -1 <>><0;

в) у =х — 2; г) (2; —1). 5. а) Да; б) нет.

С-5.2

Вариант 1. 1. Треугольник или точка. 2. t = 0. 3. 0,25. 4. Если 0,5 </< 1, то

Вариант 2. 1. Треугольник или точка. 2. t = 0. 3. 0,25. 4. Если

0,5 </< 1, то

С-5.3

Вариант 1. 2.

Вариант 2. 2.

С-5.4

Вариант 1. 1. Вариант 2. 1.

С - 5.5

Вариант 1. 1. в) 1. 2. б) 6. Вариант 2. 1. в) 1. 2. б) 6.

К- 3

Вариант 1. 1. в) 3. 2. в) 6. 3. в) 5. 4. в)

Вариант 2. 1. С-5.7

Вариант 1. 2

Вариант 2. 2

С-5.8

Вариант 1. 1.

3. Да.

4. а) От нуля до бесконечности; б) да.

Вариант 2. 1.

3. Да.

4. а) От нуля до бесконечности; б) да.

С-5.9

Вариант 1. 1. 2 : 1 : 3. 2. а) Да; б) нет; в) да. Вариант 2. 1. 2 : 1 : 3. 2. а) Нет; б) нет; в) да.

С - 5.10

Вариант 1. 1. а) -; б) нет; в) 2. а) 4: 3 : 21; б) нет; в) не всегда.

Вариант 2. 1. а) у; б) нет; в) 2. а) 4:3:21; б) нет; в) не всегда.

С-5.11

Вариант 1. 1. Одна пара. 2. Нет таких. 3. Да. Вариант 2. 1. Одна пара. 2. Нет таких. 3. Да.

К-4

Вариант 1. 3. Да; нет. 4. 9. Вариант 2. 3. Да; нет. 4. 1.

Содержание

Предисловие.......................................... 3

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ................ 11

Самостоятельные работы.................................. —

Вариант 1 ........................................ ~~

Вариант 2 ........................................ 20

Контрольные работы .................................... 30

№ 1. Векторы ...................................... —

№ 2. Координаты................................... 31

№ 3. Движения .................................... 32

№ 4. Подобие ..................................... 33

ТВОРЧЕСКИЕ И ЗАЧЕТНЫЕ РАБОТЫ ....................... 34

Глава IV. Векторы и координаты ............................ —

§ 18. Векторы ........................................ ~

Работа 1. Познание теории ............................. 35

Работа 2. Проверю свои знания.......................... —

§ 19. Сложение векторов ................................. —

Работа 3. Проблемы, поиски их решения.................... 36

Работа 4. Я научусь складывать и вычитать векторы............. —

Работа 5. Проверю свои знания.......................... 37

Работа 6. Искусство решать задачи ........................ —

§ 20. Умножение вектора на число........................... 39

Работа 7. От частного к общему ......................... 40

Работа 8. Изучу и придумаю свое ........................ —

Работа 9. Определяю, что еще надо изучить .................. 41

§ 21. Проекция вектора на ось ............................. —

Работа 10. Познание теории ............................ 42

Работа 11. Разговор с соседом по теме «Проекция вектора на ось» ... 43

Работа 12. Решаю простые задачи ........................ —

Работа 13. Пять задач на векторы ...................... 44

Работа 14. Проекция вектора на ось в задачах ................ 46

Работа 15. Проверю свои знания ......................... 47

§ 22. Координаты вектора................................. 48

Работа 16. Координаты вектора. Нужны ли они? ............... 49

Работа 17. Познание метода ............................ —

Работа 18. Составление и решение задачи, обратной данной........ 50

Работа 19. Составление и решение задачи, обратной данной........ 52

Работа 20. Поиск обобщения ........................... 53

Работа 21. Учусь решать задачи .......................... 54

Работа 22. Я научусь строить. Обобщение задачи............... 55

§ 23. Скалярное умножение ............................... 57

Работа 23. Познание теории ............................ 58

Работа 24. Познание метода ............................ 59

Работа 25. Учусь решать задачи .......................... 60

Работа 26. Вторая встреча с задачей ....................... 61

Работа 27. Решаю устно ............................... 62

Работа 28. Самостоятельная работа по теме «Проекция вектора на ось. Скалярное умножение» ............................... —

§ 24. Векторный метод 63

Работа 29. Изучение метода ............................ 65

Работа 30. Изучение векторного метода ..................... 66

Работа 31. Изучение векторного метода (Применение скалярного произведения) ......................................... 67

Работа 32. Изучение векторного метода ..................... 68

Работа 33. Изучение векторного метода ..................... —

Работа 34. Освоение новых идей ......................... 69

Работа 35. Поиск идеи решения ......................... 70

Работа 36. Ответ — это не конец размышлений над задачей ....... 71

Работа 37. От рассмотрения частных случаев к обобщению ........ 72

Работа 38. Я научусь решать задачи ....................... 73

Работа 39. Очень сложная задача. Интересно! ................. 74

Работа 40. Основные задачи ............................ —

§ 25. Метод координат................................... 75

Работа 41. Характерное свойство фигуры и ее уравнение.......... 77

Работа 42. Изучить — значит открыть самому................. 78

Работа 43. Поиск общего метода ......................... 79

Работа 44. Стоит ли сразу браться за решение сложной задачи? ..... 80

Работа 45. Я сам знаю, с чего надо начинать решать задачу........... —

Работа 46. Геометрия — часть физики? ..................... 81

Работа 47. Я сам выберу систему координат.................. 82

Работа 48. Учусь догадываться ........................... 83

Работа 49. Зарождение идеи ............................ 84

Работа 50. Зачетная работа по теме «Векторы и координаты» ....... 85

Зачет по теме «Векторы и координаты» ..................... —

Глава V. Преобразования.................................. 86

§ 26. Движения и равенство фигур........................... —

Работа 51. Поиск своего пути изучения теории ................ 87

Работа 52. Еще один способ изучения нового материала с параллельным контролем усвоения ................................. —

Работа 53. Применение своего способа познания нового .......... 88

Работа 54. Поиск своего способа изучения нового продолжается ..... —

Работа 55. Где применяются свойства движений? ............... 89

Работа 56. Будем настойчиво трудиться....................... —

§ 27. Виды движений ................................... 90

Работа 57. Где следует построить мост? ..................... 91

Работа 58. Выход в пространство ......................... 92

Работа 59. Строить всегда приятно — результат виден ........... 93

Работа 60. Отражение в прямой — какое оно? ................ —

Работа 61. Применение свойств движений ................... 94

Работа 62. Составление аналогичных задач ................... —

Работа 63. Опыт нуждается в корректировке.................. 95

Работа 64. Контрольная работа .......................... 96

§ 28. Классификация движений ............................. 97

Работа 65. В которой вы изучите теорему Шаля и расскажете о ней соседу —

§ 29. Симметрия фигур .................................. 98

Работа 66. Что создает красоту снежинки?................... —

§ 30. Равновеликость и равносоставленность..................... 99

Работа 67. Равновеликие не всегда равные, но зато всегда равносоставленные .......................................... —

§ 31. Подобие ........................................ 100

Работа 68. Как выбраться из леса ........................ 102

Работа 69. Упражнения в рисовании. Свойства гомотетии ......... —

Работа 70. Признак — это свойство, но не любое свойство — признак 103

Работа 71. Познание метода подобия ...................... 104

Работа 72. Задачи на рисунках. Признаки и свойства подобия ...... 105

Зачет по теме «Преобразования» ............................ —

Ответы к самостоятельным и контрольным работам ................ 106

издательство

Просвещение

Мы предлагаем:

книги крупным и мелким оптом со складов издательства контейнерную отгрузку во все регионы России и стран СНГ Книгу—почтой:

127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, издательство «Просвещение», «Книга—почтой». Телефон: 289-50-26

E-mail: textbook@glasnet.ru или textbook@glas.apc.org http://www.glasnet.ru/~textbook/

Нашу литературу оптом и в розницу можно приобрести в магазине «Книги «Просвещения»

127521, Москва, ул. Октябрьская, 89 Телефоны: (095) 289-44-44, 289-60-44. Факс: (095) 289-60-26

Проезд:

ст. метро «Белорусская», далее трол. 18 до ост. «Гостиница «Северная»; авт. 12 до ост. «1-й Стрелецкий пер.»;

ст. метро «Рижская», далее трол. 18, 42, авт. 84 до ост. «Гостиница «Северная».

Торговый дом «Просвещение»: 129626, Москва, ул. Новоалексеевская, 8. Тел./факс: (095) 287 08 69

Торговый дом «Просвещение»: 193024, Санкт-Петербург,

ул. Тележная, 17, офис 3, 4. Тел.: (812) 275 35 11 Факс: (812) 275 31 12

Учебно-методический комплект для углубленного изучения геометрии в 8—9 классах включает:

• Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. ГЕОМЕТРИЯ, 8—9. Учебник

• Рыжик В. И., Окунев А. А. ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ГЕОМЕТРИИ

для 8 класса

для 9 класса

• Окунев А. А.

УГЛУБЛЕННОЕ ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ

в 8 классе

в 9 классе

Пособия для учителя

Просвещение