В.И.РЫЖИК А.А.ОКУНЕВ

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ГЕОМЕТРИИ

ПРОСВЕЩЕНИЕ

В. И.РЫЖИК А. А.ОКУHEB

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 8 КЛАССА

Москва «Просвещение» 1998

УДК 372.8 ББК 74.262.21 Р93

Рецензент заведующий кафедрой геометрии профессор РГПУ им. А. И. Герцена А. Л. Вернер

Рыжик В. И., Окунев А. А.

Р93 Дидактические материалы по геометрии для 8 класса.— М., Просвещение, 1998.—159 с: ил.— ISBN 5-09-008019-4.

Данное пособие состоит из двух частей и содержит самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 8 класса В. И. Рыжика, а также творческие самостоятельные и зачетные работы А. А. Окунева. Все эти работы написаны в соответствии с учебником А. Д. Александрова и др. «Геометрия 8—9» для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

УДК 372.8 ББК 74.262.21

© Издательство «Просвещение», 1998 © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 1998 ISBN 5-09-008019-4 Все права защищены

Знание есть творческое открытие действительности.

С.И. Гессен

ПРЕДИСЛОВИЕ

Самостоятельные и контрольные работы представлены в первой части и предназначены для тех учащихся, которые занимаются по учебнику «Геометрия для 8—9 классов» с углубленным изучением математики авторов А.Д. Александрова, А.И. Вернера и В.И. Рыжика.

Поэтому данные работы выдержаны в таком же духе, что и сам учебник. Возможно, их смогут использовать и учителя математики, преподающие и по другим учебникам геометрии.

В первую очередь подчеркнем, что геометрия видится здесь как неразрывное единство воображения и логики. Поэтому мы старались в каждой самостоятельной и контрольной работе в той или иной степени дать пищу для развития геометрического воображения.

При составлении этих работ мы попытались учесть самые разные соображения. Перечислю некоторые из них.

Каждая конкретная работа должна быть реальной для ученика. Иначе говоря, какая-то часть работы должна быть доступной для него.

Она же должна быть реальной и для учителя. Тем самым она должна быть удобной для проверки, а это значит, что не должно быть длинных доказательств, варианты должны быть схожими, почти идентичными, геометрические фигуры изначально получают фиксированные буквенные обозначения и т.д.

В большинстве случаев работа построена по принципу «стрелы заданий», идущих по нарастающей сложности, что обеспечивает дифференцированный уровень обучения. Мы постарались в каждое задание вложить чуточку неожиданности для ученика.

В целом каждая работа получилась достаточно объемной, поэтому вряд ли большинство учеников будут выполнять все задания. Тут учитель может действовать по своему разумению. Можно уменьшить число заданий, можно увеличить время, отведенное для решения (самостоятельной работе отводится 1 ч, контрольной работе — 2 ч). Жесткая система оценок вряд ли разумна, выкладки и ссылки учеников могут быть сильно свернутыми. Вообще при работе на скорость, а таковой является любая самостоятельная или контрольная работа, проводимая на уроке, ученикам стоит больше доверять своей пространственной интуиции, а учителю быть не столь придирчивым по части обоснований.

Вторую часть дидактических материалов составляют творческие и зачетные работы. Они предназначены учителям, пробующим новые методы обучения в школе. Эти работы также полностью соответствуют содержанию учебника по геометрии для 8—9 классов А.Д.Александрова и др. С точки зрения нового подхода к обучению мы приводим свои размышления, которые помогут понять полезность введения новых форм дидактических материалов.

Размышления о целях и содержании дидактических материалов

Известно, какой интерес вызывает дидактический материал. Если он опубликован в журнале, то редакция может быть уверена, что этот номер будет пользоваться успехом. Думаю, что и сама редакция об этом знает и, идя навстречу пожеланиям, часто печатает разнообразный дидактический материал. Но вы не задумывались, читатель, почему различные самостоятельные и контрольные так привлекают наше внимание? Проще взять готовую работу и предложить ее своим ученикам? (Может быть, и проще, но...) Желание сверить знания, умения своих учеников с эталоном? (Если требуют добиться этого уровня, добьемся.)

Ну, значение контрольных работ еще понятно, а какова роль различных самостоятельных, часто дублирующих контрольные? Почему их так много? Надо ли чуть ли не каждый урок проводить работы, контролирующие процесс усвоения? Если надо, то с какой целью? Не заставляет ли учитель и себя и детей выполнять ненужную работу? Может быть, мы просто привыкли к самостоятельным работам, ведь кто-то их когда-то, зачем-то выдумал? А может быть, они изначально были другие?

Вопросы, вопросы, вопросы...

Попробуем проанализировать содержание и цели, которые преследует дидактический материал, подумаем о его месте в современном образовательном процессе.

Традиционно дидактические материалы содержат набор самостоятельных и контрольных работ, позволяющих в разные временные промежутки изучения курса делать проверочные срезы и таким образом контролировать степень усвоения материала. Причем обычно самостоятельных работ в таких книгах гораздо больше, чем контрольных, и отличаются они от контрольных тем, что направлены на проверку усвоения более мелких вопросов курса.

Удивительно называются эти два типа работ: самостоятельные и контрольные. Самостоятельная подразумевает, что ученик будет выполнять все задания сам без посторонней помощи, так раскрывает смысл этого слова и толковый словарь русского языка СИ. Ожегова. А какой же смысл несут тогда слова «контрольная работа»? Разве она выполняется не самостоятельно? Да нет, любой учитель не хотел бы получить несамостоятельно выполненные контрольные работы. Думаю, что на самом деле один вид работ по сути мало чем отличается от другого. Хотя учителя иногда в случае затруднений помогают ученикам во время самостоятельных работ. На контрольной же ученики лишены такой помощи, и тогда им приходится тайно искать ее у своих товарищей.

Я уверен, что контрольных работ должно быть немного, преимущественно по крупным темам и проводить их стоит лишь тогда, когда ученику были предоставлены возможности изучать материал в своем темпе, понять взаимосвязь разных частей материала, сделать обобщения, увязать данную тему с изученными ранее. От учителя зависит выбор такого метода преподавания, который предоставит ученику условия работы, соответствующие его умственному, психическому развитию.

Одна из традиционных целей самостоятельных работ — подготовка ребят к контрольным. Цель достойная. Но как же она реализуется в школе и как должна быть реализована? Стоит ли проводить самостоятельную работу, если она дублирует контрольную и учитель так же строго оценивает ее? Учителя часто говорят, что за самостоятельные работы они плохих отметок в журнале не выставляют. Журнал! Но ученик-то знает отметку, которой оценил его знания учитель. Его двойка, даже если она и не стоит в журнале, отражает его неуспех, его плохую работу. Да, ни завуч, ни директор про нее не узнают, но он-то знает! Единственного, порой, не знает ученик: что делать в этой ситуации? Он и все домашние задания выполняет, и на все уроки ходит, а неудача одна за другой. А может быть, во всем виноват не ребенок, а наша традиция контролировать его, когда надо и не надо, чаще — когда не надо? Может быть, шквал самостоятельных и контрольных не помогает учению, не способствует приобретению желанных знаний, умений, навыков, а, наоборот, мешает, вносит нервозность в педагогический процесс, сбивает его ритм?

Известный психолог B.B. Давыдов, размышляя о дидактических принципах современного образования, предлагает заменить принцип наглядности на принцип предметности, т.е. точного указания тех специфических действий, которые необходимо произвести с предметом, чтобы, с одной стороны, выявить содержание будущего понятия, с другой — изобразить это первичное содержание в виде знакомых моделей. Сами модели могут быть материальными, графическими, буквенно-словесными (Возрастная и педагогическая психология. — М.: МГУ, 1992. — С. 116). Мне кажется, что в этих словах дано направление, в котором можно осуществлять поиск конструкции самостоятельных, исследовательских работ, позволяющих ученику приобретать знания в процессе деятельности. Задача сложная, ибо трудно выделить те конкретные действия, которые открывают содержание понятия, но выход — в заданиях широких, представляющих свободу поиска, стимулирующих инициативу ученика. Конечно, в этом случае увеличивается возможность выбора ошибочного пути, но вместе с тем увеличиваются шансы творческой деятельности и непредсказуемость результата. Задания другого типа, четко детерминирующие действия ученика, твердой рукой ведущие по определенному пути, известному учителю, к определенной цели, дают меньше простора для ошибки, но при этом суживается и пространство, в котором царит выдумка, фантазия, воображение.

Одним из направлений самостоятельных работ может стать формирование у школьников нового уровня способностей, необходимых для успешного изучения курса. К таким способностям относятся: восприятие информации, ее хранение, припоминание, исследование ситуации, постановка проблем и организация поиска их решения, переход от обобщений к конкретизации и наоборот, классификация и т.д. Таким образом, автор самостоятельных работ, организуя деятельность ребенка, должен относиться к ней не как к самоцели, а как к необходимому условию «умственного и нравственного развития ребенка, его интеллектуальной и мотивационной сферы» (Возрастная и педагогическая психология. — М.: МГУ, 1992. — С. 252).

Думаю, что нужны работы, главной целью которых является не контроль, а самостоятельная деятельность, деятельность детей, связанная с самопознанием, самосознанием, овладением основными приемами мыслительной деятельности.

Читателям будут предложены работы, состоящие из ряда заданий. При выполнении каждого задания ребенок сможет свободно идти своим, самостоятельно выбранным путем. При этом чаще всего он не будет лишен возможности проконтролировать истинность своих утверждений, ибо большинство работ подразумевает работу и в парах и в группах. Да, надо сказать, что он не остается и без под-

держки учителя, составившего эти задания так, чтобы интеллектуальных возможностей каждого ученика было достаточно для выполнения задания на своем уровне. Задания часто подключают прошлый, жизненный опыт ребенка, основой их выполнения являются имеющиеся у ребенка знания. Но процесс поиска не очень затормозится, если вдруг каких-то знаний не будет хватать, ибо работы содержат задания, обращающие школьника к тексту параграфа, способствующие обмену мыслями с одноклассниками. Конечно, поиск новых знаний, новых способов работы должен непрерывно подниматься на новый уровень. Поэтому каждая самостоятельная работа, предложенная в этой книге, требует соавторства учителя, который будет ее проводить. Очень важно включить ряд заданий, сделающих эту работу значимой именно для ребят вашего класса. Огромна роль учителя и при проведении работы.

Л.С. Выготский писал, что умственное развитие имеет два уровня: 1) уровень актуального развития, фиксируемый по некоторым завершенным его циклам, и 2) уровень зоны ближайшего развития, фиксируемый по еще незавершенным его циклам.

Поэтому при подборе задач для самостоятельной работы учитель четко определяет тот уровень задач, который посилен ребенку для самостоятельной работы, умения, необходимые для поиска и реализации решения. Но не обойтись и без задач, которые ребенок сейчас самостоятельно еще решать не может, однако решит их в сотрудничестве с одноклассниками, с учителем. Этот круг задач относится к зоне ближайшего развития и является хорошим материалом для групповой и парной работы. И тут встает вопрос об организации групповой деятельности ребят. Конечно, можно надеяться, что она стихийно найдет нужный ритм и выйдет на правильное направление поиска решения. В начале же пути нужное направление задает последовательность заданий, составленная учителем. Таким образом, ученик не остается один на один с задачами, с которыми он пока самостоятельно не может справиться, с задачами, которые находятся в зоне его ближайшего развития. Но надо заметить, что и в работах, которые имеют в этой книге название «Учимся решать задачу» или «Искусство решать задачи», ученика никто за руку не ведет, никто не загоняет к определенному решению. Задания лишь направляют его взгляд то на исследование закономерностей между данными задачи, то между данными и ее заключением, то на рассмотрение рисунка.

Иногда же ученику требуется просто остановиться, оглянуться на сделанное, оценить выбранный путь. Этой цели служит задание, предлагающее поговорить ему с соседом, с одноклассниками, просто походить по классу, посмотреть, кто что делает. Такое обучение, в про-

цессе которого предлагаются задачи, ориентированные на зону ближайшего развития ребенка, направлено не в прошлое, а в будущее, не тормозит его развитие, а, наоборот, стимулирует, приоткрывает горизонты познания, которыми стоит овладеть. А главное, если этот процесс протекает в благоприятных для ученика условиях, если он защищен от всяких оценок и в классе нет даже и повода для страха, то у него появляется уверенность в себе, вера в свои силы. Возможно, на таких работах не будет традиционного результата в виде отметки, но разве этого результата мы желаем, разве этого результата ждут ребята?

Надо сказать, что даже идеальная работа может быть провалена, если в классе отсутствует атмосфера творчества, равенства учителя и ученика, если царит культ знаний и программы, а не личности ребенка, если ребенку отказано в праве на ошибку, если не в почете трудный, но увлекательный, свободный, хотя, может быть, и не такой скорый, поиск истины. «Психологический закон гласит: прежде чем ты хочешь призвать ребенка к какой-либо деятельности, заинтересуй его ею, позаботься о том, чтобы обнаружить, что он готов к этой деятельности, что у него напряжены все силы, необходимые для нее, и что ребенок будет действовать сам, преподавателю же остается только руководить и направлять его деятельность», — писал Л.С. Выготский (Педагогическая психология. — М.: Педагогика-Пресс, 1996. — С. 84). И далее: «...Личный опыт воспитанника делается основной базой педагогической работы. Строго говоря, с научной точки зрения нельзя воспитывать другого... Ребенок в конечном счете воспитывается сам... В воспитательном процессе личный опыт ученика представляет собой все. Воспитание должно быть организовано так, чтобы не ученика воспитывали, а ученик воспитывался сам... В основу воспитательного процесса должна быть положена личная деятельность ученика» (Там же. — С. 51 ).

Из этих двух цитат ясно, какую роль Л.С. Выготский отводил личности ученика, его личному опыту в воспитательном и образовательном процессах. Учителю же досталась совсем не главная, но несказанно важная должность помощника, он должен быть буфером между ребенком и средой. Его мудрости должно хватить, как утверждал Л.С. Выготский, на то, чтобы «лепить», «кроить» и «сочетать» самым различным образом элементы социальной среды, воспитывающей ребенка.

Предлагаемое пособие для указанного учебника геометрии является первым. Мы будем признательны всем доброжелательным критикам.

Самостоятельные и контрольные работы

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОЫ

ВАРИАНТ 1

С—1.1 Ломаные и многоугольники

1. Можно ли сделать такой четырехугольник, в котором одна диагональ равна каждой из двух соседних его сторон, а другая диагональ равна каждой из двух оставшихся сторон?

2. Нарисуйте ломаную А{А2...Ап, которая идет по ребрам куба и выглядит на трех проекциях так, как показано на рисунке:

С—1.2 Площадь прямоугольника

1. Дан квадрат ABCD со стороной 2. С ним связаны еще два квадрата К{ и К2- Один из них — ANLM ( К{ ) имеет сторону, равную 1, причем его вершина N — середина АВ> вершина M — середина AD. Другой квадрат CPQT ( К2 ) имеет сторону, равную jc, причем его вершина Р лежит на луче Cß, а вершина Г-на луче CD. Пусть F — пересечение квадратов Кх и /(2, а G — их объединение. Найдите — зависимости от х.

2. а) Чему равна площадь поверхности части куба с ребром 3, три проекции которой даны на рисунке?

б) Сравните ее с площадью оставшейся части.

С—1.3 Площадь прямоугольного треугольника

Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ЛВС с катетом АС, равным 1. Из точки К на гипотенузе проводятся перпендикуляры: KL на ВС и КМ на АС. Пусть BL = jt, 5, — площадь треугольника BKL, S2 — площадь треугольника А КМ.

а) При каком значении х S, = S2 ?

б) Найдите сумму площадей 5, и S2.

в) В каких границах лежит сумма S{ и S2 ?

С—1.4 Площадь треугольника

I. В четырехугольнике A BCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О, лежащей внутри ABCD. Найдите неизвестную площадь треугольника х, если:

2. Найдите зависимость между этими площадями в общем случае, когда площади равны S,, S2, S3, S4.

С—1.5 Трапеция

Трапеция составлена из прямоугольного и равнобедренного треугольников. Большее ее основание равно 2. Чему равно другое ее основание, если:

а) три стороны трапеции равны;

б) равны только две стороны трапеции?

С—1.6 Площадь трапеции

В трапеции ABCD проведена хорда KL (К лежит на AB, L — на CD), которая параллельна основаниям трапеции и делит ее площадь, равную 6, пополам.

1. Найдите длину этого отрезка, если:

а) высота трапеции делится хордой KL на отрезки длиной 2 и 1;

б) основания трапеции 1 и 7.

2. Можно ли решить задачу 1, если площадь трапеции неизвестна, а условия а) и б) те же?

С—1.7 Свойства параллелограмма

1. Дан равносторонний треугольник ЛВС. На стороне АС находится точка К. Из нее проводятся хорды /(С, и КАХ (С, е ЛВ, Д е ВС), параллельные сторонам ВС и AB соответственно. Из точки К начинают одновременно и с одной скоростью двигаться две точки: Т\ и Т2. Точка Тх движется по ломаной КСХАКАХСК. Точка Т2 движется по ломаной КСХВАХК. Какая из них окажется быстрее в конце движения ( Тх или Т2 ), если:

а) К находится в середине Л С;

б) К находится в произвольной точке внутри Л С?

2. Решите задачу, аналогичную задаче 1, взяв точку К внутри равностороннего треугольника и проведя три хорды, параллельные его сторонам. Первый пусть идет по границам трех полученных треугольников. Второй пусть идет по границам полученных параллелограммов. Каждый из этих путей начинается и кончается в точке К.

3. Какую из задач ( 1 б ил и 2) можно решить для равнобедренного треугольника?

С—1.8 Признаки параллелограмма

Дан параллелограмм ABCD, AD = 5. На стороне AD взяты точки К и Му на стороне ВС — точки L и N, причем АК = BL = DM = CN. Отрезки ВК и AL пересекаются в точке Р, отрезки СМ и DN пересекаются в точкеQ.

1. Чему равно PQ, если: а) АК = 1; б) АК = 4; в) АК = х?

2. Пусть точки Тх и Т2 движутся по сторонам AD и ВС параллелограмма с одной скоростью и и начали движение одновременно из Л в D и из ß в С. С какой скоростью движется точка Р пересечения отрезков АТ2 и 07^?

С—1.9 Площадь параллелограмма

Дана трапеция ABCD. Проведены ее средняя линия MN (М е AB, N е CD), отрезок CK, параллельный AB, и отрезок NL, параллельный AB (точки К и L лежат на прямой AD).

1. Сравните площади S, и S2 параллелограммов АВСК wAMNLy если:

а) AD = 4, ВС = 1, высота трапеции равна 2;

б) AD = 4, ВС = 2, высота трапеции равна 2.

2. Сравните эти площади в общем случае.

С—1.10 Частные виды параллелограммов

Дан ромб ABCD. На двух его соседних сторонах построены квадраты ADKL и DCMN (ориентация вершин квадратов по часовой стрелке).

1. Существуют ли другие параллелограммы с вершинами в этих точках?

2. Какого вида эти параллелограммы (квадраты, ромбы, прямоугольники, общего вида)?

3. Есть ли среди них параллелограммы с равными площадями?

С—2.1-а Теорема Пифагора

1. В прямоугольном треугольнике ABC катет ВС равен 1, ZABC = 30° . На катете ВС находится точка /(, из которой выходит хорда треугольника КМ, параллельная Л С. Рассматривается ломаная ВКМА.

а) Выразите длину ломаной ВКМА в зависимости от*.

б) Может ли длина равняться 1; 1,5; 2?

в) При каком значении х площадь треугольника ВМК равняется половине площади треугольника ЛВС?

2. Чему равна длина пятизвенной ломаной, которая идет по поверхности единичного куба и выглядит на трех проекциях так, как показано на рисунке?

С—2.1-6 Теорема Пифагора

1. В равнобокой трапеции боковая сторона равна 3, диагональ, равная 4, ей перпендикулярна. Чему равна площадь трапеции?

2. В тетраэдре ABCD ZDCB = ZDCA = ZACB = 90°. Будет ли грань ABD прямоугольным треугольником?

С—2.2 Соотношения в прямоугольном треугольнике

Из вершин прямоугольника ABCD провели перпендикуляры ВВХ и DDX на диагональ ЛС. Точки и D, разделили диагональ на три отрезка.

1. Пусть отношение AB:ВС равно 2. Чему равно отношение большего из полученных отрезков диагонали к меньшему?

2. Решите задачу 1 в общем виде, взяв исходное отношение равным k.

3. При каком значении k отрезки диагонали равны?

4. При каком значении k отношение большего отрезка диагонали к меньшему равно 3?

5. Перпендикуляр ВВХ продолжается до пересечения в точке К со стороной прямоугольника. В каком отношении ВК делится его диагональю, когда AB:ВС = 2?

С-2.3 Формула Герона

1. В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине В прямые. BD = 1, ВА = 2, ВС = 3. Чему равна площадь треугольника ABC?

2. а) Каждая сторона треугольника увеличилась в 10 раз. Что произошло с его высотами?

б) Обобщите эту задачу.

в) Решите обратную задачу.

С—2.4 Расстояние от точки до фигуры

1. В треугольнике ABC AB = 3, ВС = 5, АС = 6. Какая вершина треугольника ближе всего к противоположной стороне?

2. Точка А удалена от сторон прямого угла с вершиной О на расстояния 1 и 2. Чему равно OA?

С—2.5 Множество точек плоскости и расстояния

1. Пусть требуется сделать равнобокую трапецию, у которой существует точка, равноудаленная от всех сторон, меньшее основание равно 1 дм, а площадь равна 5 дм2. Найдите ее большее основание и высоту.

2. Даны квадрат и прямоугольник, одна сторона которого равна стороне квадрата, а другая — в 2 раза больше. Нарисуйте множество точек, равноудаленных от этих фигур, если они имеют общую: а) сторону; б) вершину, причем все углы при этой вершине прямые.

С—2.6 Неравенство треугольника

1. Два равных равносторонних треугольника ABC и АХВХСХ со стороной 2 расположены так, что АХВХ || AB, точка С, лежит на прямой AB, СХВ = 2. Точка О равноудалена от вершин треугольника

ABC, точка О, равноудалена от вершин треугольника АХВХСХ. Не вычисляя расстояние 00,, оцените его как можно точнее.

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAlBlClDl ААХ = 2, AB = AD = 1.

а) Оцените расстояние Л С,.

б) Найдите кратчайший путь по поверхности параллелепипеда из точки А в точку С,.

С-2.7 Синус

1. В трапеции ABCD AB = CD = 2, ВС = 1, AD = 4. Проведена диагональ АС. Найдите синусы углов CADy CAB, ABC, ВСА, CDA.

2. Трапеция ABCD составлена из двух прямоугольных треугольников ACD и ABC. Острый угол при ее большем основании AD равен а. Расположите ее стороны в порядке убывания, если сх < 45°.

3. а) Докажите, что sin2°< 2sin 1°. б) Обобщите это неравенство.

С—2.8 Решение прямоугольных треугольников с помощью синуса

В тетраэдре ABCD BDIABC, CD1AC, BD = 1, AD AB = 40°, ZDCB = 50°.

1. Вычислите угол ВСА.

2. Вычислите площадь поверхности тетраэдра.

3. а) Сравните углы ADC и ABC. б) Обобщите задачу а).

С—2.9 Площадь треугольника 5 = — absiny

Дана равнобокая трапеция ABCD. Точка О удалена от каждой ее вершины на расстояние 1. Каждая из трех сторон трапеции AB, ВС, CD видна из точки О под углом а = 50°.

1. Чему равна площадь трапеции?

2. Решите задачу, когда данный угол равен а, а > 60°.

С—2.10 Теорема синусов

В равнобедренном треугольнике ЛВС AB = ВС = 1, /.ABC = 36°. На стороне ВС находится точка К, такая, что треугольник А КС равнобедренный. Чему равна длина ломаной BKA С?

С—2.11 Решение треугольников

Отрезок ВС длиной 1 лежит на плоскости a. ADla, AD = 1. De а, De (ВС). ZBAC = 31°. AB = 2

1. Сравните углы ВАС и BDC.

2. Сравните площади треугольников ЛВС и DBC.

С-2.12 Косинус

1. В трапеции ЛВСЯ AB = ВС = 3, CD = 2. ZACD = 90°. Чему равны углы трапеции?1)

2. В трапеции Л BCD диагональ BD перпендикулярна основаниям. ZBCD = ZABD = ф. Расположите стороны трапеции в порядке возрастания:

а) если ф = 50°;

б) в общем случае, когда ф > 45°.

С—2.13 Косинус и проекции

1. Через центр О прямоугольника ABCD ( AB = 1, ВС = 2 ) проходит прямая р. Она пересекает прямую AB под углом 20°.

а) Вычислите проекции всех сторон прямоугольника на прямую р.

б) Вычислите углы, которые прямая р образует с диагоналями прямоугольника.

в) Решите задачу в общем виде.

2. Вершина Л равностороннего треугольника ABC лежит на луче АК. Сторона треугольника равна 1. Луч Л С вращается вокруг точки Л.

а) Найдите проекцию каждой стороны треугольника на прямую АК, когда луч АС образует с лучом АК угол 45°.

б) Найдите проекцию каждой стороны треугольника на прямую АК, когда ZCAK = ф и при этом луч Л С при своем вращении находится с одной стороны от прямой Л К.

в) Пусть сумма квадратов проекций всех сторон треугольника на прямую АК равна а2. Чему равна такая же сумма на прямую, перпендикулярную Л Ю

1) Если в задаче ищется угол, то достаточно найти какую-либо его тригонометрическую функцию.

С—2.14 Обобщенная теорема Пифагора (теорема косинусов)

1. Стороны треугольника равны 4, 5, 6. На большую сторону проведены высота и медиана.

а) Чему равен угол между ними?

б) В каких границах лежит этот угол при изменении большей стороны?

2. а) Одно основание трапеции равно 2, а боковые стороны равны 1 и 3. Каким должно быть другое основание трапеции, чтобы ее средние линии были равны?

б) Решите задачу в общем случае.

С—2.15 Решение треугольников с помощью косинуса

В тетраэдре ABCD ребро Dß перпендикулярно плоскости ЛВС, DB = 1, ZADB = 30°, ZCDB = 60°, ZADC = 45°.

1. Вычислите угол ABC.

2. Сравните углы ABC и ADC в более общем случае.

С—2.16 Сравнение сторон и углов треугольника

1. По стороне АС от вершины А угла ВАС, равного 60°, движется точка К. AB = 1, АС = 2. Пусть АК = х.

а) При каком значении х KB < КС?

б) При каком значении х KB > КС и KB > AB?

2. ABCD — правильный тетраэдр. Точка К лежит на ребре AD, точка L лежит на ребре DC. Треугольник DKL остроугольный. Найдите наименьший угол в треугольнике BKL.

С-2.17 Тангенс и котангенс

1. Найдите наибольший из тангенсов углов треугольника со сторонами 4, 5, 7.

2. В четырехугольнике АВВ{В2 сторона AB равна 1, ВХВ1АВ, В2ВХ±АВХ, ZBXAB = ZB2ABX = ср.

а) Пусть ф = 70°. Расположите стороны четырехугольника в порядке возрастания.

б) Решите эту задачу в общем случае.

в) Треугольники ABßi+x строятся так же, как АВХВ2, т.е. BuxBilABi, ZBi+lABi = ZB^AB^, и в одном направлении. Точка ßI0 оказалась на прямой AB. На каком расстоянии от В?

С—2.18 Решение треугольников с помощью тангенса и котангенса

1. В треугольнике ABC сторона AB равна 1, /.CAB = 84°, ZCBA = 74°. Чему равна его площадь?

2. Отрезок KL, равный 1, перпендикулярен данной плоскости. Из точки А этой плоскости KL виден под углом а, из точки В этой плоскости KL виден под углом ß. AB = 2.

а) Пусть а = 24°, ß = 34°. Под каким углом Y отрезок KL виден из середины С отрезка AB?

б) Пусть а * ß. Верно ли, что угол Y меньше, чем больший из углов а и ß ?

С—3.1 Диаметр и хорда окружности

Окружность с центром О имеет радиус 1. На ней берется точка К и проводится окружность с центром К и радиусом х. Пусть AB — общая хорда этих двух окружностей, a L — точка ее пересечения с радиусом ОК.

1. Выразите AB как функцию от х.

2. В каких границах лежит AB?

3. При каком значении х хорда AB = 1?

4. Выразите отношение как функцию от х.

С—3.2 Касательная к окружности

В окружности с центром О и радиусом 4 проведен диаметр AB. На нем выбрана точка К. Некоторая точка движется по ломаной в данном круге и начинает свое движение в точке К. Дойдя до окружности, она отражается от нее под тем же углом.

1. Точка начала свое движение от середины К отрезка АО по отрезку, перпендикулярному АО. Попадет ли эта движущаяся точка в точку В после первого отражения?

2. Решите задачу, обратную задаче 1.

3. Пусть эта точка начала движение от точки К, такой, что АК = 1. Ответьте на вопрос задачи 1.

4. В случае отрицательного ответа на вопрос задачи 1 найдите угол, который составляет с прямой AB траектория точки в начале движения, чтобы после первого отражения она попала в точку В.

5. Обобщите задачу 4.

С—3.3 Вписанный угол

В окружности радиуса 1 проведена хорда AB = 1. Из точки А начала движение по ломаной некоторая точка, которая все время находится в данном круге. Дойдя до окружности, она отражается под тем же углом.

1. Какой угол должна составлять с прямой AB траектория этой точки в начале движения, чтобы после двух отражений в точках С и D она представляла собой:

а) равносторонний треугольник A CD;

б) прямоугольный треугольникЛСЛ?

2. Пусть в начале движения траектория точки составляет с прямой AB угол 45°. Нарисуйте ее после четырех отражений в точках С,, С2, С3, С4. Получилась ли у вас пятиконечная звезда с вершинами С,, С2, С3, С4, А?

3. При каком первоначальном угле получится пятиконечная звезда?

С—3.4 Зависимость между хордой и радиусом окружности—^— = 2R

1. Вершины трапеции ABCD лежат на окружности.

а) Сторона ВС видна из точки А под углом 35°. Сторона AD видна из точки С под углом 55°. Расположите стороны трапеции в порядке возрастания.

б) Решите эту задачу в общем виде.

2. а) В треугольнике ABC AB - 3, ВС = 4, BD — хорда треугольника, точка D делит сторону АС на отрезки AD и DC так, что AD.DC = 2:1. Радиус окружности, проходящей через точки Л, ß, D, равен 5. Найдите радиус окружности, проходящей через точки ß, С, D.

б) Обобщите эту задачу.

С—3.5 Сегмент

1. Нарисуйте множество точек, из которых все стороны фигуры F видны под тупым углом, если F:

а) равносторонний треугольник;

б) квадрат.

2. а) Отрезок AB длиной 1 виден из некоторой точки X под углом Ф- Найдите наибольшее расстояние СХ, где С — середина AB.

б) Обобщите эту задачу.

в) Предложите какое-либо следствие из полученного результата.

С—3.6 Окружность как множество точек, из которых отрезок виден под прямым углом

1. а) В треугольнике ABC AB = ВС = 3, АС = 5. На AB и ВС как на диаметрах построены окружности. Пусть D — их общая точка, отличная от В. Каково расстояние от D до прямой Л С?

б) Обобщите задачу а).

2. ABCD — квадрат, К — середина AD, CL — перпендикуляр на ВК. Пусть сторона квадрата равна а. Чему равно DL?

С—3.7 Окружность, описанная около треугольника (вписанный треугольник)

Окружность с центром О радиуса 1 описана около равнобедренного треугольника ABC.

1. Каким должно быть расстояние от точки О до основания ВС, чтобы треугольник являлся равносторонним?

2. Является ли условие, найденное в задаче 1, достаточным?

3. Пусть расстояние от точки О до ВС равно х. Выразите периметр треугольника через х.

4. При каком значении х периметр треугольника равен 6?

С—3.8 Окружность, описанная около многоугольника (вписанный многоугольник)

Пятиугольник ABKCD вписан в окружность радиуса 1. AB = ВК = КС = CD. BAlAD, CD1AD.

1. Докажите, что АС\\ ВК.

2. Найдите зависимость между AB и AD.

3. Найдите площадь пятиугольника.

4. Найдите периметр пятиугольника.

С—3.9 Вписанный четырехугольник

Из двух равнобедренных треугольников составляется выпуклый четырехугольник. Можно ли около полученного четырехугольника описать окружность и если да, то каков ее радиус, если:

1. Треугольники имеют общее основание, а их боковые стороны соответственно 3 и 2.

2. Треугольники имеют общую боковую сторону, равную 3, а их основания соответственно равны 2 и 1.

3. Основание первого треугольника является боковой стороной второго и равно 3, боковая сторона первого равна 2, а основание второго равно 1.

4. Какую из задач 1-3 вы можете решить в общем виде? Приведите записи этого решения.

С—3.10 Окружность, вписанная в треугольник

В равнобедренный треугольник ЛВС вписана окружность. Пусть АВ = ВС = 3, АС = 2.

1. Вычислите радиус вписанной окружности.

2. Пусть L — точка касания этой окружности со стороной ВС. Сравните LB и LC.

3. Рассмотрим окружность, которая касается стороны ВС и продолжения сторон AB и АС (вневписанную окружность). Чему равен ее радиус?

4. Пусть M — точка касания этой вневписанной окружности и ВС. Сравните Afß и MC.

5. Пусть радиус окружности, вписанной в треугольник ЛВС, равен 1, a ZB = 120°. Чему равен радиус этой вневписанной окружности?

С—3.11 Окружность, вписанная в четырехугольник

1. Дана равнобокая трапеция с основаниями 1 и 2. В ней проведена хорда, в результате чего трапеция разбилась на две трапеции. Может ли быть, что и в- исходную, и в полученные трапеции можно было вписать окружность, если эта хорда:

а) параллельна основаниям;

б) делит основания пополам;

в) соединяет две точки оснований;

г) соединяет две точки боковых сторон? Обобщите задачу.

2. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, составленный из двух прямоугольных треугольников:

а) один из которых равнобедренный;

б) равных между собой?

С-3.12 Окружность, вписанная в многоугольник

1. Каждая сторона пятиугольника ABCDF равна 2. ZA = ZF. Найдите радиус окружности, вписанной в этот пятиугольник, если:

а) ZB = ZD = 90°;

б) ZB = ZD = ф.

С—3.13 Правильные многоугольники

В окружность радиуса 1 вписан правильный восьмиугольник.

1. Сколько прямоугольных треугольников определяется вершинами данного восьмиугольника?

2. Сколько квадратов определяется вершинами данного восьмиугольника?

3. Сколько трапеций определяется вершинами данного восьмиугольника?

4. Чему равна длина самой короткой диагонали?

5. Чему равен угол между двумя такими диагоналями, выходящими из соседних вершин?

6. Чему равен периметр многоугольника, ограниченного всеми такими диагоналями?

С—3.14 Длина окружности и ее частей

Дан квадрат ABCD со стороной 2. С центрами в его вершинах проводятся равные окружности. Фигура F ограничена дугами всех этих окружностей. Вычислите периметр фигуры F, если радиус R этих окружностей равен:

1. 1. 2. 1,2. 3. 2.

С—3.15 Площадь круга и его частей

Первый круг имеет центр в точке Л, радиус 2 см, который растет со скоростью 1 см/с. Второй круг имеет центр в точке ß, радиус 1 см, который растет со скоростью 2 см/с. AB = 12 см. Какую часть (в %) составляет пересечение этих кругов от площади их объединения через:

1. 2 с. 2. 10 с. 3. 37 с.

4. Возрастает или убывает это отношение со временем?

5. Через какое время это отношение составит 1 %?

ВАРИАНТ 2

С—1.1 Ломаные и многоугольники

1. Можно ли сделать такой четырехугольник, в котором одна сторона равна каждой из двух его диагоналей, а еще три стороны равны между собой?

2. Нарисуйте ломаную ДЛ2...ЛЯ, которая идет по ребрам куба и выглядит на трех проекциях так, как показано на рисунке:

С—1.2 Площадь прямоугольника

1. Дан квадрат ABCD со стороной 4. С ним связаны еще два квадрата /(, и К2. Один из них — DNLM ( /(, ) имеет сторону, равную 2, причем его вершина N — середина DA, вершина M — середина DC. Другой квадрат BPQT (К2) имеет сторону, равную х, причем его вершина Р лежит на луче ВА, а вершина Т лежит на луче ВС.

Пусть F — пересечение квадратов Кх и К2, a G — их объединение. Найдите —7—7 в зависимости от значении х.

2. а) Чему равна площадь поверхности части куба с ребром 3, три проекции которой даны на рисунке?

б) Сравните ее с площадью оставшейся части.

С—1.3 Площадь прямоугольного треугольника

1. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ЛВС с катетом АС, равным 1. Точки К и L лежат на АС и ВС соответственно, при этом KL параллельна AB. KN и LM — перпендикуляры на AB. Пусть CK = х, S, - площадь треугольника KCL, S2 — площадь треугольника AKN.

а) При каком значении х St = 252 ?

б) Найдите сумму площадей Sj и S2.

в) В каких границах лежит сумма 5, и S2?

С—1.4 Площадь треугольника

1. В четырехугольнике ABCD диагональ BD и продолжение диагонали АС пересекаются в точке О. Найдите неизвестную площадь треугольника х, если:

2. Найдите зависимость между этими площадями в общем случае, когда площади равны S,, S2, 53, S4.

С—1.5 Трапеция

Трапеция составлена из прямоугольного и равнобедренного треугольников. Меньшее основание трапеции равно 1. Чему равно другое ее основание, если:

а) три стороны трапеции равны;

б) равны только две стороны трапеции?

С—1.6 Площадь трапеции

В трапеции ABCD проведена хорда KL (К лежит на AB, L — на CD), которая параллельна основаниям трапеции и делит ее площадь, равную 6, пополам.

1. Найдите длину этого отрезка, если:

а) высота трапеции делится хордой KL на отрезки длиной 4 и 2;

б) основания трапеции 2 и 14.

2. Можно ли решить задачу 1, если площадь трапеции неизвестна, а условия а) и б) те же?

С—1.7 Свойства параллелограмма

1. Дан равносторонний треугольник ABC. На стороне ВС находится точка L. Из нее проводятся хорды LCX и LBX (С, е AB, ß, е АС), параллельные сторонам Л С и AB соответственно. Из точки L начинают одновременно и с одной скоростью двигаться две точки: 7j и Т2. Точка Тх движется по ломаной LCXBLBXCL. Точка Т2 движется по ломаной LCXABXL. Какая из них окажется быстрее в конце движения ( Тх или Т2 ), если:

а ) L находится в середине ВС;

б) L находится в произвольной точке внутри ВС?

2. Решите задачу, аналогичную задаче 1, взяв точку L внутри равностороннего треугольника и проведя три хорды, параллельные его сторонам.

Первый путь идет по границам трех полученных треугольников. Второй путь идет по границам трех полученных параллелограммов. Каждый из этих путей начинается и кончается в точке L.

3. Какую из задач (16) или 2) можно решить для равнобедренного треугольника?

С-1.8 Признаки параллелограмма

Дан параллелограмм ABCD, AD = 4. На стороне AD взяты точки К и М, на стороне ВС взяты точки L и N, причем АК = BL = DM - CN Отрезки ВК и AL пересекаются в точке Р, отрезки СМ и DN пересекаются в точке Q.

1. Чему равно PQ, если: а) АК = 1; б) АК = 3; в) АК = х?

2. Пусть точки 7j и Т2 движутся по сторонам AD и ВС параллелограмма с одной скоростью и и начали движение одновременно из А в D и из В в С. С какой скоростью движется точка Q пересечения отрезков DT2 и СТХ ?

С—1.9 Площадь параллелограмма

Дана трапеция ABCD. Проведены ее средняя линия MN (M g AB, N g CD), отрезок CK, параллельный AB, и отрезок NL, параллельный AB (точки К и L лежат на прямой AD).

1. Сравните площади S, и S2 параллелограммов АВСК wAMNL, если:

а) AD = 5, ВС = 1, высота трапеции равна 2;

б) AD = 5, ВС = 2, высота трапеции равна 2.

2. Сравните эти площади в общем случае.

С—1.10 Частные виды параллелограммов

Дан ромб ABCD. На двух его противоположных сторонах построены квадраты ADKL и BCMN (ориентация вершин квадратов по часовой стрелке).

1. Существуют ли другие параллелограммы с вершинами в этих точках?

2. Какого вида эти параллелограммы (квадраты, ромбы, прямоугольники, общего вида)?

3. Есть ли среди них параллелограммы с равными площадями?

С—2.1-а Теорема Пифагора

1. В прямоугольном треугольнике ABC катет АС равен 1, ABAC - 30°. На катете ВС находится точка /(, из которой выходит хорда треугольника КМ, параллельная Л С. Рассматривается ломаная ВКМА.

а) Выразите длину ломаной ВКМА в зависимости от X.

б) Может ли длина равняться 1; 1,5; 2?

в) При каком значении х площадь треугольника ВМК равняется половине площади треугольника ЛВС?

2. Чему равна длина пятизвенной ломаной, которая идет по поверхности единичного куба и выглядит на трех проекциях так, как показано на рисунке?

С—2.1-6 Теорема Пифагора

1. В равнобокой трапеции основания равны 50 и 14, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Чему равна площадь трапеции?

2. В тетраэдре ABCD ZDBA = ZD ВС = /ADC = 90°. Будет ли грань ABC прямоугольным треугольником?

С—2.2 Соотношения в прямоугольном треугольнике

Из вершин прямоугольника ABCD провели перпендикуляры ВВХ и DD, на диагональ ЛС. Точки ß, и D, разделили диагональ на три отрезка.

1. Пусть отношение ВС.CD равно 2. Чему равно отношение большего из полученных отрезков диагонали к меньшему?

2. Решите задачу 1 в общем виде, взяв исходное отношение равным k.

3. При каком значении k отрезки диагонали равны?

4. При каком значении k отношение большего отрезка диагонали к меньшему равно 3?

5. Перпендикуляр ВВХ продолжается до пересечения в точке К со стороной прямоугольника. В каком отношении ВК делится его диагональю, когда BC.CD = 2?

С—2.3 Формула Герона

1. В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине Л прямые. AB = 2, AD = 4, AC = 6. Чему равна площадь треугольника BCD?

2. а) Каждая сторона треугольника уменьшилась в 5 раз. Что произошло с его высотами?

б) Обобщите эту задачу.

в) Решите обратную задачу.

С—2.4 Расстояние от точки до фигуры

1. В треугольнике ABC AB = 4, ВС = 5, АС = 7. Какая вершина треугольника дальше всего от его противоположной стороны?

2. Точка А удалена от сторон прямого угла с вершиной О на расстояния 1 и 3. Чему равно OA?

С—2.5 Множество точек плоскости и расстояния

1. Пусть требуется сделать равнобокую трапецию, у которой: существует точка, равноудаленная от всех сторон, большее основание равно 1 м, а площадь равна 1 м2. Найдите ее меньшее основание и высоту.

2. Даны квадрат и прямоугольник, одна сторона которого равна стороне квадрата, а другая — в 2 раза меньше. Нарисуйте множество точек, равноудаленных от этих фигур, если они имеют общую: а) сторону; б) вершину, причем все углы при этой вершине прямые.

С—2.6 Неравенство треугольника

1. Два равных равносторонних треугольника ABC и АХВХСХ со стороной 2 расположены так, что АХВХ || AB, точка С лежит на прямой АХВХ, СВХ - 2. Точка О равноудалена от вершин треугольника

ABC, точка О, равноудалена от сторон треугольника АХВХСХ, Не вычисляя расстояние ОхО, оцените его как можно точнее.

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXD{ AD = 2, ААХ =АВ = 1

а) Оцените расстояние АС{.

б) Найдите кратчайший путь по поверхности параллелепипеда из точки А в точку С,.

С-2.7 Синус

1. В трапеции ABCD AB = CD = 1, ВС = 0,5, AD = 2. В трапеции проведена диагональ АС. Найдите синусы углов CAD, CAB, ABC, ВСА, CDA.

2. Трапеция ABCD составлена из равнобедренного треугольника ACD и прямоугольного треугольника ABC. Острый угол при ее большем основании AD равен а. Расположите ее стороны в порядке убывания, если а > 60°.

3. а) Докажите, что sin4°< 2 sin2°. б) Обобщите это неравенство.

С—2.8 Решение прямоугольных треугольников с помощью синуса

В тетраэдре ABCD BDI ABC, СВ1АС, BD = 1, ZDAB = 20°, ZD С В = 70°.

1. Вычислите угол DCA.

2. Вычислите площадь поверхности тетраэдра.

3. а) Сравните углы ADC и ABC. б) Обобщите задачу а).

С—2.9 Площадь треугольника 5 = ^abs'my

Дана равнобокая трапеция ABCD. Точка О удалена от каждой ее вершины на расстояние 1. Каждая из трех сторон трапеции AB, ВС, CD видна из точки О под углом а = 70°.

1. Чему равна площадь трапеции?

2. Решите задачу, когда данный угол равен а, а < 60°.

С—2.10 Теорема синусов

В равнобедренном треугольнике ЛВС AB = ВС = 1, ZABC = 72°. На стороне ВС находится точка К, такая, что треугольник Л КС равнобедренный. Чему равна длина ломаной ВКАС?

С—2.11 Решение треугольников

Отрезок ВС длиной 1 лежит на плоскости a. AD±a, AD = 1. D g а, De (ВС). ZBAC = 29°. AB = 2.

1. Сравните углы ВАС и ßDC.

2. Сравните площади треугольников ЛВС и DBC.

С-2.12 Косинус

1. В трапеции ABCD CD = ВС = 3, AB = 1. ZЛßD = 90°. Чему равны углы трапеции?

2. В трапеции Л ßCD диагональ BD перпендикулярна основаниям.

ZBAD = ZBDC = ф. Расположите стороны трапеции в порядке возрастания:

а) если ф = 40°;

б) в общем случае, когда ср < 45°.

С—2.13 Косинус и проекции

1. Через центр О прямоугольника ABCD ( AB = 1, ВС = 2 ) проходит прямая р. Она пересекает прямую CD под углом 20°.

а) Вычислите проекции всех сторон прямоугольника на прямую р.

б) Вычислите углы, которые прямая р образует с диагоналями прямоугольника.

в) Решите задачу в общем виде.

2. Вершина Л острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника ABC (ZB = 90°) лежит на лучеАК. Сторона треугольника равна 1. Луч АС вращается вокруг точки Л.

а) Найдите проекцию каждой стороны треугольника на прямую АК, когда луч АС образует с лучом АК угол 45°.

б) Найдите проекцию каждой стороны треугольника на прямую АК, когда ZCAK = ф и при этом луч Л С при своем вращении находится с одной стороны от прямой Л К.

в) Пусть сумма квадратов проекций всех сторон треугольника на прямую АК равна а2. Чему равна такая же сумма на прямую, перпендикулярную А К?

С—2.14 Обобщенная теорема Пифагора (теорема косинусов)

1. Стороны треугольника равны 6, 7, 8. На большую сторону проведены высота и медиана.

а) Чему равен угол между ними?

б) В каких границах лежит этот угол при изменении большей стороны?

2. а) Одно основание трапеции равно 2, другое — 3, одна из боковых сторон равна 1. Какой должна быть другая боковая сторона трапеции, чтобы ее средние линии были равны?

б) Решите задачу в общем случае.

С—2.15 Решение треугольников с помощью косинуса

В тетраэдре ABCD ребро DB перпендукулярно плоскости ЛВС, DB = l, ZADB = 30°, ZCDB = 60°, ZABC = 45°.

1. Вычислите угол ADC.

2. Сравните углы ABC и ADC в более общем случае.

С-2.16 Сравнение сторон и углов треугольника

1. По стороне AB от вершины А угла ВАС, равного 60°, движется точка К. АС = 1, AB = 2. Пусть АК = х.

а) При каком значении* KB < КС?

б) При каком значении х KB < КС и KB < АС?

2. ABCD - правильный тетраэдр. Точка К лежит на ребре BD, точка L лежит на ребре ВС. Треугольник BKL остроугольный. Найдите наименьший угол в треугольнике AKL.

С—2.17 Тангенс и котангенс

1. Найдите наибольший из тангенсов углов треугольника со сторонами 6, 7, 11.

2. В четырехугольнике АВВХВ2 сторона AB = \, ВХВ±АВ, В2ВХ±АВХ, ZBXAB = ZB2ABX = ср

а) Пусть ф = 20°. Расположите стороны четырехугольника в порядке возрастания.

б) Решите эту задачу в общем случае.

в) Треугольники ABßM строятся так же, как АВХВ2, т.е. BMBtLABi% ZBi+lABt = Z.BiABi_x% и в одном направлении. Точка В20 оказалась на прямой AB. На каком расстоянии от В?

С—2.18 Решение треугольников с помощью тангенса и котангенса

1. В треугольнике ЛЯС сторона AB = 1, ZCAB = 72°, ZCBA = 82°. Чему равна его площадь?

2. Отрезок KL, равный 1, перпендикулярен данной плоскости. Из точки А этой плоскости KL виден под углом а, из точки В этой плоскости KL виден под углом ß. AB = 2.

а) Пусть а = 26°, ß = 36°. Под каким углом Y отрезок KL виден из середины С отрезка AB?

б) Пусть а Ф ß. Верно ли, что угол у больше, чем меньший из углов а и ß ?

С—3.1 Диаметр и хорда окружности

Окружность с центром О имеет радиус 1. На ней берется точка К и проводится окружность с центром К и радиусом г. Пусть AB — общая хорда этих двух окружностей, a L — точка ее пересечения с радиусом ОК.

1. Пусть AB = X. Выразите г как функцию от х.

2. В каких границах лежит г?

3. При каком значении х радиус г = 1?

4. Выразите отношение LÜ. как функцию от х.

С-3.2 Касательная к окружности

В окружности с центром О и радиусом 6 проведен диаметр AB. На нем выбрана точка Ä^. Некоторая точка движется по ломаной в данном круге и начинает свое движение в точке К. Дойдя до окружности, она отражается от нее под тем же углом.

1. Точка начала свое движение от середины К отрезка АО по отрезку, перпендикулярному АО. Попадет ли эта движущаяся точка в точку В после первого отражения?

2. Решите задачу, обратную задаче 1.

3. Пусть эта точка начала движение от точки К, такой, что АК = 1. Ответьте на вопрос задачи 1.

4. В случае отрицательного ответа на вопрос задачи 1 найдите угол, который должна составлять с прямой AB траектория точки в начале движения, чтобы после первого отражения она попала в точку В.

5. Обобщите задачу 4.

Примечание. При отражении от окружности равны углы до и после отражения, которые траектория движения составляет с касательной к окружности, проведенной в точке касания.

С-3.3 Вписанный угол

В окружности радиуса 2 проведена хорда AB = 2. Из точки В начала движение по ломаной некоторая точка, которая все время находится в данном круге. Дойдя до окружности, она отражается под тем же углом.

1. Какой угол должна составлять с прямой AB траектория этой точки в начале движения, чтобы после трех отражений в точках С, D и F она представляла собой:

а) квадратBCDF;

б) прямоугольный треугольник BCD?

2. Пусть в начале движения траектория точки составляет с прямой AB угол 60°. Нарисуйте ее после четырех отражений в точках С,, С2, С3, С4. Получилась ли у вас пятиконечная звезда с вершинами С,, С2, С3, С4, А?

3. При каком первоначальном угле она получится?

С—3.4 Зависимость между хордой и радиусом окружности

1. Вершины трапеции ABCD лежат на одной и той же окружности.

а) Сторона ВС видна из точки А под углом 34°. Сторона AD видна из точки С под углом 56°. Расположите стороны трапеции в порядке убывания.

б) Решите эту задачу в общем виде.

2. а) В треугольнике ABC AB = 3, ВС = 4, BD — хорда треугольника, точка D делит сторону АС на отрезки AD и DC так, что AD.DC - 1:2. Радиус окружности, проходящей через точки Л, ß, D, равен 5. Найдите радиус окружности, проходящей через точки ß, CD.

б) Обобщите эту задачу.

С—3.5 Сегмент

1. Нарисуйте множество точек, из которых все стороны фигуры F видны под острым углом, если F:

а) равносторонний треугольник;

б) квадрат.

2. а) Отрезок AB длиной 1 виден из некоторой точки X под углом ср. Найдите наименьшее расстояние СХ, где С — середина AB.

б) Обобщите эту задачу.

в) Предложите какое-либо следствие из полученного результата.

С—3.6 Окружность как множество точек, из которых отрезок виден под прямым углом

1. а) В треугольнике ABC AB = ВС = 3, АС = 4. На AB и ВС как на диаметрах построены окружности. Пусть D — их общая точка, отличная от В. Каково расстояние от D до прямой Л С?

б) Обобщите задачу а).

2. ABCD — квадрат, К — середина AD, BL — перпендикуляр на CK. Пусть/IL равна а. Чему равна сторона квадрата?

С—3.7 Окружность, описанная около треугольника (вписанный треугольник)

Окружность с центром О радиуса 1 описана около равнобедренного треугольника ABC.

1. Каким должно быть расстояние от точки О до боковой стороны ВС, чтобы треугольник являлся равносторонним?

2. Является ли условие, найденное в задаче 1, достаточным?

3. Пусть расстояние от точки О до ВС равно х. Выразите периметр треугольника через х.

4. При каком значении х периметр треугольника равен б?

С—3.8 Окружность, описанная около многоугольника (вписанный многоугольник)

Пятиугольник ABCDK вписан в окружность радиуса 1. AB = ВС = CD = DK DK-LAK, AD\\BC.

1. Докажите, что ABl. AK.

2. Найдите зависимость между AB и AD.

3. Найдите площадь пятиугольника.

4. Найдите периметр пятиугольника.

С—3.9 Вписанный четырехугольник

Из двух равнобедренных треугольников составляется выпуклый четырехугольник. Можно ли около полученного четырехугольника описать окружность и если да, то каков ее радиус, если:

1. Треугольники имеют общее основание, а их боковые стороны соответственно равны 4 и 3.

2. Треугольники имеют общую боковую сторону, равную 4, а их основания соответственно равны 3 и 2.

3. Основание первого треугольника является боковой стороной второго и равно 4, боковая сторона первого равна 3, а основание второго равно 2.

4. Какую из задач 1—3 вы можете решить в общем виде? Приведите записи этого решения.

С-3.10 Окружность, вписанная в треугольник

В равнобедренный треугольник ЛВС вписана окружность. Пусть AB = ВС = 6, АС = 4.

1. Вычислите радиус вписанной окружности.

2. Пусть L — точка касания этой окружности со стороной ВС. Сравните LB и LC.

3. Рассмотрим окружность, которая касается стороны Л В и продолжения сторон Л С и ВС (вневписанную окружность). Чему равен ее радиус?

4. Пусть M — точка касания этой вневписанной окружности и AB. Сравните MB и MC.

5. Пусть радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 2, a ZB = 120°. Чему равен радиус этой вневписанной окружности?

С—3.11 Окружность, вписанная в четырехугольник

1. Дана равнобокая трапеция с основаниями 2 и 3. В ней проведена хорда, в результате чего трапеция разбилась на две трапеции. Может ли быть, что и в исходную, и в полученные трапеции можно было вписать окружность, если эта хорда:

а)параллельна основаниям;

б) делит основания пополам;

в) соединяет две точки оснований;

г) соединяет две точки боковых сторон? Обобщите задачу.

2. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, составленный из двух прямоугольных треугольников:

а) один из которых имеет угол 30°;

б) равных между собой?

С—3.12 Окружность, вписанная в многоугольник

Каждая сторона пятиугольника ABCDF равна 2. ZA = ZF. Найдите радиус окружности, вписанной в этот пятиугольник, если: a) ZC = 90°; б) ZC = ср.

С—3.13 Правильные многоугольники

В окружность радиуса 1 вписан правильный восьмиугольник.

1. Сколько равнобедренных треугольников определяется вершинами данного восьмиугольника?

2. Сколько равносторонних треугольников определяется вершинами данного восьмиугольника?

3. Сколько прямоугольников определяется вершинами данного восьмиугольника?

4. Чему равна длина средней по величине диагонали этого многоугольника?

5. Чему равен угол между двумя такими диагоналями, выходящими из соседних вершин?

6. Чему равен периметр многоугольника, ограниченного всеми такими диагоналями?

С—3.14 Длина окружности и ее частей

Дан квадрат ABCD со стороной 4. С центрами в его вершинах проводятся равные окружности. Фигура F ограничена дугами всех этих окружностей. Вычислите периметр фигуры /\ если радиус R этих окружностей равен: 1. 2. 2. 2,4. 3. 4.

С—3.15 Площадь круга и его частей

Первый круг имеет центр в точке Л, радиус 4 см, который растет со скоростью 2 см/с. Второй круг имеет центр в точке ß, радиус 2 см, который растет со скоростью 4 см/с. AB = 24см. Какую часть (в %) составляет пересечение этих кругов от площади их объединения через: 1. 2 с. 2. 10 с. 3. 37 с.

4. Возрастает или убывает это отношение со временем?

5. Через какое время это отношение составит 1 %?

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Повторение курса 7 класса

К—1 Вариант 1

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса одного из углов равна его стороне. Является ли этот треугольник остроугольным?

2. В тетраэдре ABCD DB = АС, DA = ВС, DC = AB.

а) Какие углы в гранях тетраэдра равны углу DA С?

б) Точка X движется по ребру СВ от С к В. При каком положении точки X треугольник AXD является равнобедренным?

в) Пусть точка К — середина ВС, точка L — середина DA. Будут ли перпендикулярны прямые KL и DA? KL и ВС?

г) В гранях DAC и ВАС провели высоты из D и В. Попадут ли они в одну точку?

К-1 Вариант 2

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса одного из углов равна его стороне. Является ли этот треугольник прямоугольным?

2. В тетраэдре ABCD DB = АС, DA = ВС, DC = AB.

а) Какие углы в гранях тетраэдра равны углу DCB?

б) Точка X движется по ребру ВА от В к А. При каком положении точки А" треугольник CXD является равнобедренным?

в) Пусть точка К — середина AB, точка L — середина AD. Будут ли перпендикулярны прямые KL и DC? KL и ВА?

г) В гранях DBC и ABC провели высоты из D и А. Попадут ли они в одну точку?

Площади многоугольников

К-2 Вариант 1

1. Два квадрата DABC и DKLM (вершины расположены по часовой стрелке) имеют единственную общую точку D. Угол CD К равен 45°.

а) Докажите, что в точке D пересекаются отрезки AL и ВМ.

б) Укажите три равнобокие трапеции, вершины которых лежат в вершинах данных квадратов.

в) Пусть SABCD = S, SDCK = S,. Докажите, что S2 = 8S2.

г) Докажите, что SDCK = SDAM.

д) Какая из этих трапеций имеет самую большую площадь?

2. Какие из задач 1а), 16), 1в), 1г) вы сможете сделать, если ZCDK = Ф Ф 45°?

3. Каким должен быть угол CDK, чтобы в вершинах данных квадратов оказался четырехугольник известного вам вида, но не трапеция?

К-2 Вариант 2

1. Два квадрата DABC и DKLM (вершины расположены против часовой стрелки) имеют единственную общую точку D. Угол CDK равна 45°.

а) Докажите, что в точке D пересекаются отрезки AL и ВМ.

б) Укажите три равнобокие трапеции, вершины которых лежат в вершинах данных квадратов.

в) Пусть SABCD = S, SDCK = S{. Докажите, что S2 = 8S2.

г) Докажите, что SDCK = SDAM.

д) Какая из этих трапеций имеет самую большую площадь?

2. Какие из задач 1а), 16), 1в), 1г) вы сможете сделать, если ZCDK - ф * 45°?

3. Каким должен быть угол CDK, чтобы в вершинах данных квадратов оказался четырехугольник известного вам вида, но не трапеция?

Теорема Пифагора и ее следствия

К—3 Вариант 1

В четырехугольнике ABCD (невыпуклом) диагонали АС и BD лежат на перпендикулярных прямых, которые пересекаются в точке О.

1. Пусть AB = 1, ВС = 2, CD = 3. Чему равно DA?

2. Докажите, что в любом таком четырехугольнике выполняется равенство AB2 + CD2 = AD2 + ВС2.

3. Докажите утверждение, обратное предыдущему.

4. Пусть треугольник ABC стал вращаться вокруг прямой АС. При этом AB = 1, ZABO = 30°, /ADO = 45°.

а) Чему равно BD, когда B010D?

б) В каких границах изменяется BD?

5. Каждая из сторон четырехугольника проектируется на каждую из прямых АС и BD. Докажите, что суммы всех проекций противоположных сторон равны.

6. Вернитесь к данным в задаче 1. Существует ли в таком четырехугольнике точка, равноудаленная от всех его сторон?

7. Вернитесь к данным в задаче 1. Оцените сумму средних линий в таком четырехугольнике.

К-3 Вариант 2

В четырехугольнике ABCD (выпуклом) диагонали АС и BD лежат на перпендикулярных прямых, которые пересекаются в точке О.

1. Пусть AB = 1, ВС = 2, CD = 3. Чему равно DA?

2. Докажите, что в любом таком четырехугольнике выполняется равенство AB2 + CD2 = AD2 + ВС2.

3. Докажите утверждение, обратное предыдущему.

4. Пусть треугольник ABC стал вращаться вокруг прямой АС. При этом AB = 1, /АВО = 45°, /ADO = 30°.

а) Чему равно BD, когда BO±OD?

б) В каких границах изменяется BD?

5. Каждая из сторон четырехугольника проектируется на каждую из прямых Л С и BD. Докажите, что суммы всех проекций противоположных сторон равны.

6. Вернитесь к данным задачи 1. Существует ли в таком четырехугольнике точка, равноудаленная от всех его сторон?

7. Вернитесь к данным задачи 1. Оцените сумму средних линий в таком четырехугольнике.

Метрические соотношения в треугольнике

К—4 Вариант 1

1. Дан прямоугольник ЛБСО. AD = 12, AB = 6. Траектория движения точки лежит в прямоугольнике. Начинается она в середине К стороны AD и представляет собой ломаную KLMK. При этом точка L лежит на стороне AB, а точка M — на границе прямоугольника. Со стороной AB траектория составляет равные углы. Пусть ZAKL = а.

а) Каков должен быть угол а, чтобы M = С?

б) Для угла а, найденного в пункте а), вычислите: длину траектории; расстояние от ее наибольшего отрезка до центра прямоугольника; площадь, которую она ограничивает.

в) Каков должен быть угол а, чтобы точка M оказалась внутри отрезка CD; внутри отрезка ВС?

г) Может ли эта траектория представлять собой равнобедренный, равносторонний, прямоугольный треугольник?

2. В тетраэдре ABCD AD = 2, CD = 1, ZCDB = 90°, ZCBD = 60°, ZACB = 130°, ZCAB = 20°. Найдите площадь остроугольной его грани.

К—4 Вариант 2

1. Дан прямоугольник/lßCD. AD = 6, AB = 12. Траектория движения точки лежит в прямоугольнике. Начинается она в середине К стороны AD и представляет собой ломаную KLMK. При этом точка L лежит на стороне AB, а точка M — на границе прямоугольника. Со стороной AB траектория составляет равные углы. Пусть ZAKL = а.

а) Каков должен быть угол а, чтобы M = С?

б) Для угла а, найденного в пункте а), вычислите: длину траектории; расстояние от ее наибольшего отрезка до центра прямоугольника; площадь, которую она ограничивает.

в) Каков должен быть угол а, чтобы точка M оказалась внутри отрезка CD; внутри отрезка ВС?

г) Может ли эта траектория представлять собой равнобедренный, равносторонний, прямоугольный треугольник?

2. В тетраэдре ABCD AB = 2, СВ = 1, ZCBD = 90°, ZCDB = 60°, ZACD = 130°, ZCAD = 20°. Найдите площадь остроугольной его грани.

Многоугольники и окружности

К—5 Вариант 1

Дан ромб ABCD со стороной 1 и острым углом ф. 1. В этот ромб вписана окружность, а) Чему равен ее радиус?

б) В каких границах изменяется отношение при изменении ф?

2. Каков радиус наименьшей окружности, которая содержит этот ромб?

3. На меньшей диагонали ромба как на диаметре построена окружность. Пусть Ц — длина той ее части, которая находится в ромбе, a Lg — длина той ее части, которая находится вне его.

а) Найдите — (ф).

б) Найдите границы —.

4. В этом же ромбе расположены еще две окружности. Каждая из этих окружностей касается двух сторон ромба и вписанной окружности. При этом обе они касаются стороны Aß, первая окружность касается AD, а вторая — ВС. Пусть радиус первой а, второй Ъ.

а) Чему равно —?

б) При каком угле ф а - Ь?

в) В каких границах изменяется — при изменении ф?

г) Можно ли, зная только величины а и Ь, найти г? Попробуйте это сделать при а = 3, Ь = 1.

К—5 Вариант 2

Дан ромб ABCD со стороной 1 и тупым углом ф.

1. В этот ромб вписана окружность.

а) Чему равен ее радиус?

б) В каких границах изменяется отношение ромба при изменении ср ?

2. Каков радиус наименьшей окружности, которая содержит этот ромб?

3. На меньшей диагонали ромба как на диаметре построена окружность. Пусть Lx — длина той ее части, которая находится в ромбе, а Ц — длина той ее части, которая находится вне его.

а) Найдите — (ср).

б) Найдите границы —.

4. В этом же ромбе расположены еще две окружности. Каждая из этих окружностей касается двух сторон ромба и вписанной окружности. При этом они обе касаются стороны AB, первая окружность касается AD, а вторая — ВС. Пусть радиус первой а, второй Ь.

а) Чему равно — ?

б) При каком угле <р а - Ь?

в) В каких границах изменяется Ü при изменении <р?

г) Можно ли, зная только величины а и Ь, найти г? Попробуйте это сделать при а = 3, Ь = 1.

Творческие и зачетные работы

ПОВТОРЕНИЕ КУРСА 7 КЛАССА

Раздел содержит работы: «Исследование понятия признаки», «Познание метода решения задач на доказательство равенства углов», «Построение фигуры», «Пространственные фигуры», «Оценка своего уровня познания темы» и др. В каждой из этих работ сочетаются индивидуальные, парные и групповые способы. Но надо заметить, что ребята вольны по собственному желанию заменять индивидуальную работу на парную, групповую и т.д., ибо составителю работ сложно установить уровень знаний тех, кто будет их выполнять, настроение, да и характер.

Работа «Исследование понятия признаки», пожалуй, не требует никакого предварительного разговора с ребятами, ученики сумеют самостоятельно организовать свой труд, продвигаясь от задания к заданию. Вопрос о контроле, о том, надо сдавать на проверку какую-нибудь из работ или нет, отпадает сам собой, так как в одном из последних заданий обычно предлагается составить отчет о работе и вывесить его в классе.

Учитель обратит внимание на то, что его роль в этой, да и в последующих работах как бы не обозначена, хотя она значительна. Учитель не только создатель творческой атмосферы, но и ее хранитель. Именно поэтому так значимо вовремя сказанное ученику, группе его слово. Оно высвечивает как бы случайно, неуверенно, робко сказанное учеником, предлагает ребятам задуматься, заинтересоваться тем, что сказал одноклассник. Учитель чутко улавливает ритм работы каждой группы, следит за ее тональностью, настраивает на нужный тон. Он в курсе всех дел групп и каждого ученика. Профессионального взгляда достаточно, чтобы не только оценить сделанное ребятами, но и зафиксировать психологические, эмоциональные, организационные, логические завалы и задать направление, идя по которому школьники не только ликвидируют их, но и выведут свою работу на более значительный новый, творческий виток.

Работа 1. Исследование понятия «признаки»

"As the wind blows you must get your sail".

(Устанавливай паруса no ветру.)

(Посл.)

Работа идет в парах, а затем в четверках.

I. Прочтите в учебнике на с. 9—10 признаки параллельности прямых.

II. Выделите в каждом из них то свойство, наличие которого гарантирует параллельность прямых.

III. Перечислите другие свойства параллельных прямых. Выделите из них те, которые могли бы быть основой признака.

IV. Сформулируйте несколько новых признаков параллельности прямых.

V. Поговорите с соседом, обсудите составленные признаки.

VI. Рассмотрите задачи 2 и 3 на с. 10—11.

Попробуйте составить еще несколько признаков параллельности прямых.

Расскажите о них кому-нибудь из одноклассников.

VII. Нарисуйте какую-нибудь геометрическую фигуру. Напишите все ее свойства, которые сможете.

VIII. Поменяйтесь работами с соседом, рассмотрите его работу.

IX. Выделите из перечисленных свойств те, которые можно положить в основу признака этой фигуры (такие свойства называются характерными).

X. Сформулируйте хотя бы один признак и попробуйте его доказать или хотя бы наметьте путь доказательства.

XI. На листе бумаги оформите отчет о своей работе. Поместите в него основные выводы, рисунки, поделитесь своими находками. Отчет должен легко читаться, привлекать строгостью и четкостью оформления.

XII. Отчеты вывешиваются на стенах класса. Посмотрите и изучите их.

XIII. Снимите чей-нибудь отчет. Дома рассмотрите его и прокомментируйте работу одноклассника.

Работа 2. Познание метода решения задач на доказательство равенства углов

"Think on the end before you begin" (Обдумай цель раньше, чем начать.)

(Посл.)

I. Прочтите решение задачи 5 г) на с. 11.

II. Выясните, в чем состоит способ (метод) ее решения, перечислите основные его этапы.

III. Выберите один из пунктов задачи 5 для решения.

IV. Наметьте несколько путей, по которым может пойти решение задачи. Расскажите о них соседу по парте.

V. Исследуйте каждый из намеченных путей.

VI. Сформулируйте другими словами условие задачи, которую вы решаете.

VII. Прислушайтесь к себе, возможно, новый путь решения уже найден, осталось лишь обозначить его словами. Дайте новый способ решения.

VIII. Посмотрите еще раз свое решение, дайте строгое обоснование каждому, даже вполне очевидному утверждению.

IX. Сравните свой способ решения с тем, который выбрали авторы учебника на с. 11 для задачи 5 г).

X. Обсудите с соседом по парте решение задачи 5 г).

XI. Выберите еще один пункт задачи 5 г) и решите его самостоятельно.

XII. Поговорите с кем-нибудь, обсудите полученное решение.

XIII. Вывесите листок со своим решением в классе.

Такую же работу можно провести по задаче 9. Вы получите возможность не только познакомиться с методом непрерывности, но и применить его.

Работа 3. Построение фигуры

"If at first you don't succeed, try try again".

(Если тебе не удается, старайся, старайся еще.)

(Посл.)

I. Перечислите и нарисуйте фигуры, которые вы можете построить циркулем и линейкой.

II. Расскажите соседу об этих фигурах.

III. Походите по классу, посмотрите, какие фигуры умеют строить ваши одноклассники.

IV. Вспомните, из каких этапов состоит решение задачи на построение фигуры циркулем и линейкой.

V. Выберите одну из задач 16 а) — г) и выполните первый этап-анализ, т.е. предположите, что искомая фигура построена, нарисуйте ее, отметьте все данные ее элементы, выделите те точки, которые необходимо построить.

VI. Выясните о каждой искомой точке, результатом пересечения каких объектов она является (прямых, окружностей, прямой и окружности).

VII. Попытайтесь построить хотя бы некоторые из искомых точек. Возможно, проще будет построить некоторую фигуру (треугольник, параллелограмм), которая составляет часть искомой, или, наоборот, искомая составляет часть построенной (вспомогательной) фигуры.

VIII. Поговорите с соседом, обсудите с ним его планы решения задачи, расскажите о своих.

IX. Походите по классу, посмотрите, какой план решения своих задач придумали одноклассники.

X. Начните поиск решения своей задачи заново или продолжите начатый.

XI. Теперь, когда фигура построена, требуется доказать, что она искомая. Проведите эти рассуждения, установите, что построенная вами фигура содержит признаки искомой, что заданные в условии задачи элементы равны соответствующим элементам построенной фигуры.

XII. Послушайте, как ваш сосед построил доказательство, и расскажите ему свое.

XIII. Поговорите в четверке о решенных задачах.

XIV. Наметьте те пункты задачи 16, которые вы будете решать дома, подумайте о поиске пути их решения.

XV. Посмотрите тексты задач № 23, 24, 25. Попробуйте переформулировать их условие.

Поговорите с соседом об этом.

Работа 4. Пространственные фигуры

"Try before you treest". (Проверь, прежде чем прыгать.)

(Посл.)

I. Нарисуйте многогранники, у которых все грани — треугольники.

II. Прочтите задачу 28 на с. 16. Ответьте на все вопросы задачи для нарисованных вами многогранников.

III. Попробуйте нарисовать еще другие виды треугольных пирамид.

IV. Посмотрите, какие пирамиды нарисовали одноклассники.

V. Как вы думаете, может ли в основании пирамиды лежать: а) прямоугольный треугольник; б) тупоугольный треугольник? Обсудите с соседом.

VI. Могут ли две грани треугольной пирамиды быть: а) равными прямоугольными треугольниками; б) равными тупоугольными треугольниками?

Может ли только одна боковая грань треугольной пирамиды быть правильным треугольником?

Если да, то нарисуйте такие пирамиды и попробуйте привести убедительные рассуждения.

VII. Поговорите с соседом, обсудите свои выводы.

VIII. Выберите одну из пирамид и составьте несколько вопросов, несколько задач, которые помогут внимательнее изучить, рассмотреть пирамиду, выяснить ее свойства. Напишите их на листе и вывесите лист в классе.

XI. Выберите один лист для домашнего исследования.

Работа 5. Оценка своего уровня познания темы «Повторение курса 7 класса»

Каждый выбирает один из вариантов.

Вариант 1

I. Решите один из пунктов какой-нибудь из задач 30, 31 или 32.

II. Решите какой-нибудь пункт из задачи 16.

III. Решите одну из тех задач, которые не разбирались в классе.

IV. Решите одну из задач 27 а), 27 б).

Вариант 2

Выберите любые три задачи из § 1, характеризующие ваши знания этой темы, и решите их. Помните, что не только умение решить

задачу, но и сам выбор задачи, уровень ее необычности, трудности способствуют выявлению более полной оценки глубины изучения темы.

Вариант 3

I. Сочините и решите какую-нибудь геометрическую задачу.

II. Приведите условие и решение любой геометрической задачи, над которой вы самостоятельно, для души работали дома.

Вариант 4

I. На одном основании АС по одну его сторону построены два равнобедренных треугольника ЛВС и Л CD, а вершины их соединены отрезком BD. Рассмотрите рисунок, сформулируйте несколько утверждений и докажите их.

II. Постройте треугольник по углу, биссектрисе этого угла, высоте, опущенной на его сторону.

III. В правильном тетраэдре РА ВС АХ = PY, точка X лежит на ЛС, точка Y — на PC. Докажите, что:

а) РХ = BY;

б) XO.LPB, где О - середина PB;

в) перпендикуляры из точек В и С на XY упадут в одну точку.

г) В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) из точки D гипотенузы AB восставлен к ней перпендикуляр, пересекающий Л С в точке £, а продолжение ВС — в точке F. Можно ли подобрать точку D так, чтобы AAED = AFEC?

Глава I

ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР

§ 1. МНОГОУГОЛЬНИКИ И МНОГОУГОЛЬНЫЕ ФИГУРЫ

«Искусство ставить вопросы», «Познание метода...», «Проверь, как ты научился...», «Учимся решать задачи», «Оценка своего уровня познания...» — все эти работы направлены на становление личности не в меньшей мере, чем на получение знаний. Они помогают ребенку осмелиться быть самим собой. При их выполнении ребятам не надо стремиться угодить учителю, как это нередко бывает на традиционных уроках: сначала угадать то, что ему нужно, затем угодить и получить заслуженную оценку. Каждый погружается в сложную работу познания: познания теории через постановку вопросов, познания метода через свой личный опыт, через свои удачи и неудачи. Да и тогда, когда целью работы является обучение решению задач, главным учителем является сам ученик. Он об этом должен знать, он должен гордиться своей ролью, уважать себя за то, что он сам по своему усмотрению властен использовать «святое право мысли и суждения», как образно сказал Д.Г. Байрон.

Правда, не стоит думать, что все ребята сразу воспользуются этим правом. Им будет мешать, и, ой, как мешать, груз опыта обучения прошлых лет, особенно если от них ждали лишь разумного повторения слов учителя, изложения текста учебника, а не творчества. Да и жизнь может поставить свои препоны; многое зависит от среды, в которой живет ребенок, от его настроя.

Возможно, что работа без вознаграждения, без отметки, не сможет увлечь его.

На протяжении этих занятий школьнику дается возможность прислушаться к себе, к своим мыслям, чувствам, а значит, есть надежда, что он когда-то сумеет услышать то, что говорят другие, понять их мысли, откликнуться на их чувства.

Остальные работы направлены на овладение искусством решения задач.

В работах под названием «Познание метода...» изучается тот образец задачи, который дан в параграфе. Работы такого плана будут предложены ученикам на протяжении всего года. В конце года годовой зачет включает в себя все задачи, разобранные в текстах параграфов на протяжении всего курса геометрии восьмого класса.

Как и все работы, работа «Построение фигуры» сразу обращена к школьнику. Сначала он с ней остается один на один. На первых ее этапах пробует сам разобраться в тексте учебника, сам решить, сам выполнить построения, в общем, в начале работы идет обращение к личному опыту ребенка. Затем, когда произошло первое осмысление текста, в своем темпе, со своей скоростью, идет задание, требующее от него разговора с соседом по парте.

В книге приводятся работы под названием «Пространственные фигуры», которые в дальнейшем будут для разнообразия иметь другое название — «Выход в пространство».

Какова же причина появления этих работ? Единственная цель — оказать минимальную помощь при первом выходе в геометрическое пространство.

Работа строилась так, чтобы выход в пространство был по возможности самостоятельным.

Если вам, коллеги, некоторые задания покажутся ограничивающими свободу действий ребят, то уберите или подкорректируйте их или замените другими.

Последняя работа — «Оценка своего уровня познания...». В ней предложено на выбор четыре варианта. Привычен для учителя лишь четвертый — обычная контрольная работа со всеми страхами, наказаниями, поощрениями, соревнованиями, унижениями и возвышениями.

Первая работа — зачетная, она подводит итог тому, как ученик научился решать дома задачи, которые решались в классе. Он должен в первую очередь дать себе отчет, на какой уровень поднялись его знания.

Рассматривая второй и третий варианты, более свободные, более творческие, любой школьник может задать себе новый уровень, на котором он будет изучать следующий параграф. Ребенок учится задавать себе уровень познания и достигать его преимущественно самостоятельно. Учитель же в этой ситуации не судья, он поставщик материала, разглядывая который и изучая каждый школьник выберет то, что лучше научился делать.

Работа 6. Искусство ставить вопросы

"Step after step the ladder is ascended". (Ступень за ступенькой лестница преодолевается.)

(Посл.)

Весь класс разбит на четверки, и работа идет в таких группах.

I. Прочтите вопросы к § 1 на с. 24.

На каждый из них найдите ответы в тексте параграфа.

II. Прочтите еще раз первый параграф и составьте вопросы типа: а) В чем различие ...? б) Что такое ...? в) Будет ли если ...?

г) А почему ...? д) А что ... , если ...? — и любые другие.

Постарайтесь своими вопросами охватить понятия: ломаная линия, замкнутая ломаная, многоугольник, выпуклый многоугольник, невыпуклый многоугольник, многоугольная фигура; свойства выпуклых многоугольников.

III. Прочтите свои вопросы и попытайтесь ответить на них без учебника. После того как дан ответ на каждый вопрос, оцените его истинность. Попытайтесь, если получится, дать другой вариант ответа, отличный от первого и от того, что дан в учебнике.

IV. Выделите три самых интересных вопроса и в четверке (или в паре) обсудите ответы на них. Запишите все вновь возникшие вопросы.

V. На листочке напишите четыре вопроса от своей четверки. Листочек положите на стол учителя (банк вопросов).

VI. Возьмите вопросы другой четверки, обдумывайте на них ответ.

VII. Класс слушает вопросы и ответы каждой четверки.

Работа 7. Познание метода

Работа направлена на изучение метода получения геометрической фигуры с заданными свойствами.

I. Прочтите задачу 1.25, пункт д). Рассмотрите рисунки 33 а), б), не читая решения. Зарисуйте их в тетрадь.

II. Сформулируйте и запишите возникшие вопросы. Попробуйте найти на них ответ. Обсудите с соседом вопросы и ответы.

III. Попробуйте в паре ответить и на такие вопросы:

1. Почему на рисунке 33 нарисованы квадраты, если в задании к этому рисунку спрашивается: «Как сделать выпуклый пятиугольник?»

2. Почему на рисунке 33 отрезок KL нарисован три раза? Зачем авторам потребовалось KL два раза выделять цветом? Какой смысл в рисунке 33, б?

IV. Обсудите ответы на вопросы в паре.

V. Прочтите и обдумайте следующие советы:

1. Попробуй увидеть искомую фигуру как часть простой, хорошо известной тебе геометрической фигуры.

2. Иногда полезно предположить, что задача решена, искомая фигура получена, и проанализировать возникшую ситуацию.

3. При поиске решения не спеши доказывать, обосновывать каждый свой шаг. Опирайся на интуицию, вырабатывай у себя геометрическое видение и доверяй ему.

Используя эти советы, напишите возможные пути решения данной задачи.

VI. В четверках обсудите версии решения задачи.

VII. Прочитайте текст. Задача, в которой спрашивается, как сделать фигуру с заданными свойствами, сводится к построению этой фигуры. Построение фигуры не всегда выполняется циркулем и линейкой. Часто под построением фигуры подразумевается сведение этой задачи к ранее решенным задачам на построение фигур. Мы знаем, что через данную точку можно построить циркулем и линейкой прямую, параллельную данной; поэтому мы просто ссылаемся на эту задачу, не выполняя все этапы этого построения.

Установить существование отрезка данной длины в некоторой фигуре можно исходя из того, что длина отрезка непрерывно меняется.

Обсудите в четверках последнюю фразу и придумайте решение задачи, в основу которой можно было бы положить свойства непрерывности изменения длины отрезка.

VIII. В четверках обсудите свои варианты решения.

IX. Прочтите решение задачи 1.25 д) на с. 29, зафиксируйте метод решения задачи.

X. Выберите любой пункт этой задачи и попробуйте решить ее рассмотренным методом.

XI. Окиньте взглядом сделанное, подумайте, чем вы неудовлетворены, найдите способ, чтобы устранить неудовлетворенность.

Работа 8. Использование соображения непрерывности при решении задач

I. Выберите для работы любые три задачи.

1. У вас имеются две рейки, соединенные шарниром. Докажите, что угол между ними может быть 127°.

2. У вас имеется шарнирный ромб со стороной 10 см. Докажите, что его площадь может равняться 55 см2.

3. У вас имеется складной метр. Докажите, что его можно сложить таким образом, что расстояние между его концами будет равно 77 см.

4. Вы построили квадрат и провели его диагональ 2 см. Затем вы провели несколько отрезков, параллельных диагонали, с концами на сторонах квадрата. Докажите, что длина одного из них может равняться 1,7 см.

5. Установите, верно ли, что сумма противоположных углов четырехугольника, у которого стороны пропорциональны числам 5, 4, 3, 6, не может равняться 180°.

II. Выдвините гипотезу о методе решения этих трех задач.

III. Оцените, насколько ваша гипотеза правдоподобна.

IV. Обсудите свою гипотезу с соседом. Рассмотрите, из каких этапов состоит выбранный метод.

V. Если вы утвердились в истинности вашей гипотезы, примените ее и решите задачи.

VI. Обсудите с соседом свое решение, пусть он попытается опровергнуть вашу версию, а вы попытаетесь найти убедительные доводы.

VII. Теперь спокойно еще раз просмотрите каждый этап решения задач.

VIII. Напишите свои решения задач на отдельном листе и вывесите его в классе.

IX. Походите, посмотрите, изучите решения одноклассников.

X. Решите оставшиеся задачи.

Работа 9. Учимся решать задачу

"Не thinks not well that thinks not again". (Tom, кто не думает снова, не может думать правильно.)

(Посл.)

I. Будем учиться решать задачи, опираясь на принцип: «Научить решать задачи нельзя, а научиться — можно».

Подумайте, какой смысл содержится в этой фразе. Поговорите о смысле этой фразы со своим соседом.

II. Возьмем задачу № 23 а), б), г) на с. 15. Подумайте, с чего вы начнете ее решение.

III. Если вы выбрали для решения лишь один пункт задачи и углубились в поиск ее решения, но успеха так и не добились, то, возможно, стоит посмотреть на остальные пункты. Иногда полезно придумать общий метод, применение которого позволит решить все частные задачи. Используйте советы и продолжите поиск решения.

IV. Обычно при решении задач часть информации получается из хорошо выполненного рисунка и удачного ввода обозначений. Возможно, удачно выбранные обозначения натолкнут вас на плодотворную идею. Посмотрите на свой рисунок, выполните его поточнее, подумайте, может стоит ввести другие неизвестные.

V. Вдумайтесь в смысл слов: «Как сделать...» Что требуют от вас авторы задачи? Как можно этого добиться? Проведите хороший анализ, предположив, что сделать такой равнобедренный треугольник удалось.

VI. Поговорите с соседом, расскажите ему о результатах исследования условия задачи.

VII. Введите обозначения углов а и р: один из них — угол при основании равнобедренного треугольника, а другой — либо между высотой и одной стороной, либо между биссектрисой и стороной треугольника, либо угол при вершине треугольников. Примените теорему о сумме углов треугольника. Реализуйте эту идею, если хотите.

VIII. Сравните решения.

а) Если угол а — угол между боковой стороной треугольника и высотой, то угол между высотой и стороной основания 2а. Отсюда ясно, что а = 45°.

б) Если предположить, что биссектриса равна боковой стороне треугольника, то получим противоречие с теоремой о внешнем угле треугольника. Следовательно, медиана равна основанию и построение треугольника ясно.

в) Если угол при вершине а , тогда между биссектрисами 2а. Если угол при основании 2ß, то 2а + 2ß = 180° и 4ß +а = 180°, отсюда ß = 30°. Значит, надо строить равносторонний треугольник. Согласны? Если это решение вам не нравится, разберитесь в причинах и постарайтесь их устранить.

IX. Попробуйте видоизменить задачу 23 и составить свои задачи, делая обобщение или предлагая рассмотреть частные случаи.

X. Предложите решить составленные вами задачи своему соседу.

Работа 10. Оценка своего уровня познания темы «Многоугольники и многоугольные фигуры»

Каждый выбирает один из вариантов.

Вариант 1

1. Решите одну из задач № 1.11.

2. Решите одну из задач № 1.12.

3. Решите одну из задач № 1.33.

4. Решите одну из задач № 1.36.

5. Решите одну из задач № 1.39.

Вариант 2

Выберите любые три задачи из § 1, характеризующие ваши знания этой темы, и решите их. Помните, что не только умение решить задачу, но и сам ее выбор, уровень ее необычности, трудности способствуют более полной глубине изучения темы.

Вариант 3

1. Сочините и решите какую-нибудь задачу по этой теме.

2. Приведите условие и решение любой геометрической задачи, над которой вы самостоятельно, для души работали дома.

Вариант 4

1. Нарисуйте куб и проведите ломаную, соединяющую некоторые вершины куба. Нарисуйте, как она видна со стороны каждой из граней куба.

2. Как сделать выпуклый пятиугольник ABCDE, у которого ZA = ZE = 90°, BC = CD = 2AB = 2DE?

3. Докажите, что в пирамиде РАВС, у которой все грани — равные правильные треугольники, медианы треугольников АХВ, где Х пробегает от точки Р до точки С, заметают APYC, где Y — середина AB. Что вы еще заметили?

4. В выпуклом четырехугольнике ABCD угол между биссектрисами углов А и D равен а. Найдите сумму углов В и С.

5. Докажите, что сумма острых углов Л, В, С, D, Е пятиугольной звезды равна сумме углов треугольника А СЕ. (Пусть ADI BE = О, тогда угол О равен 180°-(ZB + ZD) = ZOAE + ZOEA .)

§ 2. ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНОЙ ФИГУРЫ

Перечислю работы этого параграфа: «Восприятие информации», «Овладение приемами концентрации внимания», «Обучение правильному запоминанию текста», «Познание метода», «Учимся решать задачу», «Оценка своего уровня познания темы...».

При создании первых трех работ использована книга Ф.Лезера1) «Тренировка памяти». Он убежден, что человека можно научить приемам правильного восприятия информации, запоминания, повторения, правильного забывания и припоминания. Приведу лишь основные приемы рационального восприятия информации, о которых он говорит на с. 60:

1. Ясно и четко формулировать познавательные цели: выбирать существенную информацию.

Приучить себя к тому, чтобы начинать деятельность (познавательный процесс) с формулировки - возможно более точной и ясной — ее цели. Найти ответ на вопрос: чего я хочу достигнуть путем восприятия информации?

Определите затем, какая информация может оказать решающее воздействие на достижение цели. Сконцентрируйте внимание на восприятии этой информации.

2. Всесторонне и интенсивно использовать анализаторы.

... При работе с текстом старайтесь не только понять его смысл, но также представить последний в образной форме... Проговорите текст вслух, стараясь придать ему эмоциональную окраску и определить ритм...

3. Создать интерес использовать имеющиеся знания. Попытайтесь сделать информацию, которую надо запомнить, максимально интересной...»

Вот некоторые выдержки из книги. Рациональное восприятие информации: как мы обучаем ему ребят? Обучаем или лишь гневаемся на их невнимание?

Помню, как я однажды вел урок по теме «Длина отрезка». Говорил увлеченно, рисовал картинки, диктовал текст, дети смотрели на меня во все глаза. Ушел с урока уверенный, что все прошло хорошо. Но на следующем занятии из десяти вызванных мною учеников ни один не мог дать определение длины. Это и понятно: говорил я, думал я, задавал вопросы я, искал на них ответы я, правда, вместе с ребятами, ну, в общем, тоже я, рисовал я и т.д. Ф. Лезер же говорит,

1) См.: Лезер Ф. Тренировка памяти. — М.: Мир, 1979.

что для концентрации внимания ребят мне надо было «развивать внимание к существенному», «не закреплять несущественную информацию», «отбрасывать несущественную информацию». Но прежде чем учить этому ребят, надо продумать все самому. Конечно, бессмысленно детям просто давать эти принципы, они должны органично войти в задания, которые будут выполнять.

По этому принципу и построена работа, которая дана в этом параграфе.

Работа 11. Восприятие информации

"Second thoughts are best". (Вторые мысли — самые лучшие.)

(Посл.)

I. Известно, что восприятие информации происходит при помощи органов чувств или анализаторов: зрительных, слуховых, осязательных, вкусовых и обонятельных ощущений. На уроках математики вы и ваши одноклассники воспринимают информацию преимущественно с помощью зрения и слуха, наиболее развитого анализатора. Чаще всего таким анализатором является зрение.

Первое задание направлено на определение, какой анализатор — зрительный или слуховой — работает у вас более интенсивно.

Для этого прочтите п. 2.1 на с. 32 с обычной для вас скоростью, затем закройте книгу и запишите всю информацию, которую удалось запомнить.

II. Сравните свой текст с текстом соседа, а затем уже с текстом учебника. Выясните и запомните те идеи, мысли, которые вы не запомнили.

III. Прочтите своему соседу из п. 2.2 первые два абзаца и дайте ему время записать все, что он запомнил.

Попросите его прочитать вам из п. 2.2 остальной текст со слов «При измерении площадей часто...», а затем запишите услышанную информацию.

IV. Сравните, в каком случае вам удалось запомнить больше. Вспомните свой предыдущий опыт работы с текстом и выясните свой доминирующий анализатор, выясните, когда вы лучше запоминаете информацию: при слушании или при самостоятельном чтении.

V. Итак, вы уже определили свой основной анализатор, играющий главную роль в эффективности запоминания. Конечно, это отнюдь

не означает, что вы не должны использовать все остальные анализаторы.

Объединитесь сейчас в пары так, чтобы у одного из вас запоминание лучше проходило со слуха, а у другого доминировало в этом процессе зрение.

Откройте п. 2.3 на с. 34, и тот, кто лучше воспринимает информацию зрительно, пусть читает, а другой слушает и следит по тексту.

Не забывайте подключать и остальные анализаторы: делайте зарисовки, необходимые записи, пометки, для фиксирования информации используйте цвет, сопоставляйте новую информацию с той, которая вам была известна ранее.

Возможно, вам захочется поменять место в классе - пожалуйста поменяйте.

Итак, читаем.

VI. Расскажите друг другу то, что вы запомнили.

VII. Объединитесь в четверки и расскажите о том, как вы читали текст: по частям, разбив текст на смысловые куски, или сосредоточились на той части текста, которая наиболее сложна для понимания, или же чтение прерывали вопросами, сопровождали примерами, а для опровержения ложной информации приводили контрпримеры.

VIII. Однако продуктивного запоминания не будет, если вы не поставили перед собой четко сформулированной цели. Отсюда следующее задание для пар:

Запишите на листе цель, с которой вы будете читать еще раз п. 2.2, и попытайтесь ее реализовать.

IX. Поговорите с соседом.

X. Запишите в тетради тему: «Площадь прямоугольника» и пишите все, что вы сумели узнать по этому вопросу.

Прочтите основные принципы рационального восприятия информации:

«Ясно и четко формулировать познавательные цели, выбирать существенную информацию».

«Всесторонне и интенсивно использовать анализаторы».

«Создайте интерес использовать имеющиеся знания, попытайтесь сделать информацию, которую надо запомнить, максимально интересной»1).

1) Лезер Ф. Тренировка памяти. — М.: Мир, 1979. — С. 60 — 61.

Работа 12. Овладение приемами концентрации внимания

...Концентрация — это направленность познавательного процесса на объект познания путем сосредоточения внимания на существенной информации и игнорирования, элиминирования несущественной. Следовательно, концентрация состоит из двух взаимосвязанных частей: внимания к существенному и отбрасывания несущественного. Ф. Лезер

I. Известно, что любая величина определяется свойствами. Выделите свойства площади.

II. Найдите в § 2 моменты, когда авторы в своих рассуждениях опираются на свойства площади, доказывая, что некоторая величина является площадью фигуры. Старайтесь быстро просмотреть параграф, направляя свое внимание на поиск требуемых моментов.

III. Поделитесь с соседом своими находками.

Слушая друг друга, следите за тем, чтобы товарищ сообщал существенную информацию.

IV. Прочтите задачу 2.1 на с. 37, подумайте, какие свойства площади помогут вам ее решить. Введите обозначения и решите ее.

V. В четверке обговорите решения задачи, подкрепляя рассуждения ссылками на рисунки фигур, их объединения и пересечения.

VI. В паре рассмотрите задачу 2.6 а) на с. 38, в каждом случае установите свойства площади, которые лежат в основе решения.

VII. Выберите из задачи 2.6 а) два пункта и решите их.

VIII. В четверке осуществите поиск решения задачи 2.6 б). Трудность ее решения заключается в отсутствии формулы площади треугольника.

Работа 13. Обучение правильному запоминанию текста

I. Посмотрите названия пунктов § 2.

II. Придумайте другие названия пунктов, отразив в них наиболее важные для вас мысли пункта.

III. Запишите название каждого пункта и сделайте рисунки, которые позволят вам восстановить их содержание (опоры).

IV. Зарисуйте цепочку опор, сопровождая их нужными вам словами, и попробуйте по рисунку восстановить содержание § 2.

V. Поменяйтесь с соседом цепочками опор и посмотрите, как соединяются опоры друг с другом, поставьте необходимые вопросы.

VI. Отложите рисунки цепочек опор и по памяти восстановите их.

VII. Прочтите еще раз § 2, посмотрите, какую информацию запомнить не удалось. Подумайте, в чем причина.

Работа 14. Познание метода

"What a fool does at last, a wise man does at first". (To, что глупый делает в конце, мудрый делает с начала.)

(Посл.)

В работе изучается метод решения задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения переменной.

I. Выпишите условие задачи 2.14 на с. 39.

II. Для того чтобы выполнить первый этап решения задачи, разобраться в ее условии, нарисуйте несколько прямоугольников с одинаковым периметром. Придумайте способ их расположения, который бы позволил вам легко сравнивать их периметры.

III. Задайте какое-нибудь значение периметру прямоугольника и попробуйте, выполнив некоторые вычисления, убедиться, что наибольшую площадь из всех прямоугольников с одинаковым периметром имеет квадрат.

IV. Теперь надо сделать обобщение: введите обозначение для периметра прямоугольника, эта величина нам известна, но для упрощения вычислений введем обозначения не для периметра, а для полупериметра, обозначьте его Р. Тогда одна сторона прямоугольника - je, а другая Р - х. Попытайтесь теперь условие задачи сформулировать иначе, используя введенные обозначения.

V. Да, задача свелась к доказательству того, что функция f(x) = x(P-x) имеет наибольшее значение при х = ~ .Осталось вспомнить из курса алгебры тему «Квадратичная функция», и задача решена. Доведите решение до конца.

VI. Выпишите основные этапы решения задач этим методом.

VII. Задайте себе серию вопросов по каждому этапу. Цель этих вопросов — проверить, насколько полно усвоен метод.

VIII. Расскажите этапы решения задач этим методом соседу. Постарайтесь во время рассказа не употреблять слова «прямоугольник» и «квадрат».

IX. Откройте учебник на с. 39. Изучите другой способ решения этой же задачи. Выпишите его основные этапы.

X. Итак, надо было исследовать на наибольшее значение некоторую величину, в данном случае это площадь. Площади двух сравниваемых фигур выразили через произведение длин отрезков, которые легко можно было бы сравнить, сравните их.

XI. Примените любой из вариантов метода решения экстремальных задач к задаче 2.15.

XII. Обсудите свое решение с кем-нибудь из одноклассников.

Работа 15. Учимся решать задачу

"Little loy little as the cat the fickle". (Маленькие удары валят большие дубы.)

(Посл.)

I. Прочтите задачу 2.25 на с. 43: «Выразите как функцию от х площадь закрашиваемой части квадрата со стороной 1 (рис. 41)».

Посмотрите на рисунок 41 учебника и на все изображенные там фигуры.

II. Отделите то, что дано, в каждом пункте задачи, от того, что требуется найти.

III. Выделите теоретические выводы, определения, теоремы, которые, возможно, будут использованы при решении задачи.

Для этого полезно будет просмотреть теоремы и определения § 2.

IV. Выясните, какие свойства площади многоугольной фигуры будут использованы при решении в каждом случае (см. рис. 41).

V. Из того, что дано, сделайте самые непосредственные выводы: это поможет вам сблизить условие с тем, что надо найти в задаче.

VI. Поставьте себе серию вопросов, ответы на которые приблизят вас к требуемому результату. Сделайте это для всех шести случаев.

VII. Выделите на рисунке фигуры площади, которые вы можете найти.

VIII. Не бойтесь делать дополнительные построения, приближающие к вычислению площади искомой фигуры или хотя бы части ее.

IX. Проведя дополнительное построение, делайте все вытекающие из него выводы. Это очень важный момент успешного решения задачи.

X. Не забывайте, что вам дан квадрат. И вообще постоянно помните, что дано в условии задачи, и в случае затруднений обращайтесь снова к условию и смотрите, не упустили ли вы чего-либо.

XI. Поговорите с соседом о ходе решения этой задачи. Походите по классу, посмотрите, на какой стадии находится поиск решения у ваших одноклассников.

XII. Проверьте себя. Установите соответствие между площадями:

— и фигурами рисунка 41.

XIII. Выделите и запишите основные этапы решения задачи.

Работа 16. Оценка своего уровня познания темы «Площадь многоугольной фигуры»

Каждый выбирает один из вариантов.

Вариант 1

1. Напишите общий план поиска решения задачи.

2. Выберите какую-нибудь часть одной из задач 2.2 — 2.4, решите ее и попробуйте описать свой поиск решения.

3. Решите одну из задач 2.25.

4. Решите одну из задач 2.27.

5. Решите любую задачу.

Вариант 2

1. Нарисуйте две равновеликие многоугольные фигуры и докажите их равновеликость.

2. Дан прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой с. На каждом катете и на гипотенузе постройте квадраты. Сравните площадь квадрата, построенного на гипотенузе, с суммой площадей квадратов, построенных на катетах.

Вариант 3

1. Приведите решение любой задачи, обсуждавшейся в классе.

2. Дайте свое решение этой задачи.

3. Попробуйте несколько изменить условие задачи и рассмотрите ее решение.

Вариант 4

1. На отрезке AD построен параллелограмм ABCD и треугольник A KD, причем точка В принадлежит отрезку KD. Докажите, что

S A KD + $ ABCD - SaKBCD + $ABD •

2. Нарисуйте три проекции куба, из которого вырезана часть, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда. Пусть ребро куба будет равно 1. Вычислите площадь поверхности заданного вами многогранника.

3. Забором 36 м требуется оградить участок прямоугольной формы наибольшей площади. Определите такой прямоугольник.

4. Данный параллелограмм разделите прямыми, исходящими из одной вершины, на три равновеликие части.

(Эта задача решается на основе задачи 2.6 б). Каждая из двух смежных сторон делится на три части, прямые, проходящие через вершину и каждую вторую точку деления, — искомые.)

§ 3. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ

Позвольте самим детям знать, в чем их благо. Они это знают не хуже вас.

Л.Н. Толстой

Еще раз подчеркну, что на этих занятиях приоритет отдается свободному общению детей друг с другом, детей с учителем. Учитель им равен, но не тождественен. Ведь и на нем не в меньшей мере, чем на ребятах, лежит ответственность за успех работы. Я написал успех работы, не стоит его путать с результатом. Возможно, на занятии ученики и не закончат выполнение всех заданий, возможно, они продолжат размышлять над ними на следующем занятии или дома. Торопить ребят не стоит, хотя временной фактор, конечно, надо учитывать. Вы заметили, коллега, отсутствие указания на время, которое следует отвести на каждую работу? Его предстоит определить вам, исходя из особенностей класса.

Этот параграф, впрочем, как и все остальные, содержит работу «Изучение теоретического текста». Иногда ее задания как прожектором высвечивают в тексте параграфа то одну, то другую идею. Задания играют роль собеседника, правда, нейтрального: либо что-то спрашивающего, либо предлагающего выполнить некоторое действие. Обычно ребенок при чтении теории лишен такого собеседника, в лучшем случае он вспоминает то, что рассказывал учитель на уроке. Задания этой работы могут выполняться и до рассказа учителя, до изложения им этой темы, хотя без слова учителя не обойтись и тогда, когда ребенок выполнил всю работу.

Еще большую потребность в собеседнике имеет ребенок при решении задач. Чаще всего решать задачи учат так же, как учат плавать, просто требуют, чтобы ученик решил то ту, то другую задачу. Хорошо, если решит, а если нет? Как вы думаете, коллега, что ребенок ощущает в тот момент, когда признается вам, что домашнюю задачу он не решил? Сегодня не решил, завтра не решил! Само собой напрашивается вопрос: «А решал ли ты ее, братец?» О, этот вопрос! Что ответить на него, если на ее решение потрачен не один вечер? «Научите меня решать задачи!» — обращается с просьбой к учителю ребенок. «А я что делаю на уроках? — удивляется учитель. — Слушать меня надо, милый мой. Работать!»

Работы «Познание метода...» и «Учимся решать задачу» содержат задания, формирующие у ребенка свой подход к исследованию и решению задачи. Каждая из них заканчивается его личными заметками о тактике решения задачи.

Работа 17. Изучение теоретического текста

"The end of fishing is not angling but catching". (Смысл рыбной ловли не в том, чтобы забрасывать удочку, а в том, чтобы поймать рыбу.) (Посл.)

Излагая теорию, авторы учебника предлагают свое понимание вопроса, свое видение проблемы. Иногда идет изложение доказательства без объявления выбранного пути. Например, фраза, написанная перед п. 3.1: «Начнем же мы с прямоугольного треугольника, а затем рассмотрим общий случай», с которой начинается рассуждение, не объясняет разумность решения авторов, не объясняет, чем оно вызвано. Нужна дополнительная работа с текстом. Попробуем ее выполнить.

I. Выясните структуру изложения темы «Площадь треугольника и трапеции».

II. Выпишите все слова предложения, которые вам не понятны, или те, с которыми вы не согласны.

III. Посмотрите, каждое ли утверждение, выдвинутое авторами, доказано. Выпишите те, которые авторы предлагают принять на веру, но об этом не сообщают читателю.

IV. Наметьте свой план изложения этой темы и попробуйте его реализовать.

V. Расскажите соседу о своих размышлениях и об их результатах.

VI. Попробуйте начать изложение этого материала с теоремы 2 о площади трапеции. Можно ли, используя находки авторов, сразу доказать эту теорему, не зная формулы площади прямоугольника?

VII. Поговорите с соседом, расскажите ему о своих находках.

VIII. Подумайте, верно ли такое доказательство теоремы 2: Пусть дана трапеция Т с основаниями а, Ь и высотой Л. Достроим ее до прямоугольника Р со сторонами h и Ь, проведя через концы большего основания прямые, перпендикулярные ему, до пересечения с прямой, на которой лежит верхнее основание трапеции. Из концов меньшего основания опустим перпендикуляры на большее. Тогда трапеция разобьется на два прямоугольных треугольника Тх и Г3 и прямоугольник Т2. Площадь прямоугольника Т2: S(T2) = а/г, a сумма площадей прямоугольных треугольников Т3 и 7j, легко видеть, равна:

Тогда

Отсюда, учитывая замечание, сделанное в конце с. 45 учебника, можно вывести и формулу площади треугольника, который получается из трапеции в случае, если а = 0: 6 = —.

Получилось гораздо короче, но верно ли? Нет ли здесь логических ошибок?

IX. Обсудите все варианты построения этого параграфа с одноклассниками.

Работа 18. Познание метода

"Do and undo, the day is longs enough". (Делай да переделывай — день-то длинный!)

(Посл.)

Сейчас мы будем работать с методом решения задач на вычисление неизвестной величины. Он заключается в следующем:

а) Напишите требуемую формулу через отрезки чертежа.

б) Найдите длину каждого отрезка и подставьте в формулу.

в) Длина отрезка чаще всего находится из треугольника, особенно из прямоугольного.

I. Попробуйте применить этот метод для решения задачи: Основания равнобокой трапеции равны а и Ь, боковая сторона образует с основанием угол 45°. Чему равна площадь трапеции?

II. Эта задача решена в учебнике, но не торопитесь пока смотреть ее решение. Сравните свой ответ с ответом автора:

III. После получения ответа автор задает вопрос: «Что же тут интересного?» Попробуйте, глядя на полученный результат, дать ответ на этот вопрос.

IV. Расскажите о своих наблюдениях соседу.

V. Прочтите на с. 50 решение задачи 3.24.

VI. Поговорите с соседом.

VII. Примените теперь этот метод к решению задачи: Основания равнобокой трапеции а и fe, а ее диагонали перпендикулярны. Вычислите площадь трапеции.

VIII. Обсудите с соседом свое решение задачи.

IX. Запишите в тетрадь то, что вы поняли о тактике и стратегии решения задач вообще.

Работа 19. Учимся решать задачу

"A wise man changes his mind, a fool never does". (Мудрый меняет свои решения, дурак никогда.) (Посл.)

Еще одна работа, выполняя которую вы будете сами себя учить решать задачи.

Выберем задачу 3.14. Почему ее? Да потому, что она просто создана для такой работы.

Посмотри: первое задание начинается со слова «Нарисуйте...» — это просто, рисовать умеют все. Потом следует предложение, начинающееся словом «Докажите». Между этими двумя словами так и просится слово «Рассмотрите...». Ведь всегда, когда вы что-то нарисовали, построили, необходимо вглядеться, то ли это, увидеть те признаки, по которым можно судить, что решена именно эта задача. Затем надо построить цепочку умозаключений, обосновывающую истинность построений, она и составит доказательство.

Почитаем следующие пункты. Три из них начинаются со слов «Будет ли...». Автор задачи показывает очень важный момент решения, который следует после доказательства, после того, когда кажется, что задача решена полностью. Этот этап называется исследованием. Он как бы раскачивает условие первой задачи. Сначала двигает основания перпендикуляров, допускает, что они попали на продолжение сторон, затем двигает точку X, берет ее не на основании, а внутри данного треугольника. И наконец, пришли в движение стороны треугольника, из равнобедренного он превратился в равносторонний.

И последнее требование: обобщить задачу, данную в пункте г). Это то, что обычно стремятся сделать математики: найти такой общий случай, рассмотреть его, а затем получать из него все частные результаты.

Итак, к задаче мы присмотрелись, теперь начнем ее решать.

I. Сделайте рисунок к п. а). Отметьте на чертеже все, что дано: равные стороны AB и ВС, прямые углы ADX и ХЕС. Выпишите сумму, которую надо исследовать. Подумайте, какой смысл несут слова «не зависит от выбора точки X».

II. Теперь очень полезно перечислить все имена, которые имеют отрезки XD и ХЕ\ отрезки, перпендикулярные, их длина — расстояние от точки X до сторон AB и ВС, катеты..., высоты..., стороны угла... Нам надо выбрать те, которые приведут к решению. Выберите из этих или придумайте новые имена.

III. Для поиска решения задачи полезно сначала рассмотреть частные или предельные случаи. Они помогут выявить идею реше-

ния. Здесь можно точку X взять сначала в точке Л, потом в точке С и затем в середине отрезка АС. Проанализируйте эти случаи или выберите С.

IV. Середина отрезка Л С, середина основания. Основание высоты треугольника, опущенной из точки В. Для каждого из этих случаев задача решается легко. На сцену выходит понятие площади треугольника. Попробуйте не упустить его при рассмотрении общего случая. Высоту из точки В обозначим через h. Выполните решение каждого случая.

V. Если из тупика выйти не удалось, то вспомните свойства площади — и все получится. Выразите сумму XD + ХЕ через отрезки, длины которых никак не зависят от точки X. Попробуйте.

VI. Сверим ответ:

Если ваш ответ не сошелся с этим, не печальтесь, возможно, ошибка не у вас, но все же проверьте свое решение.

Работа 20. Учимся решать задачу

"Try all the keys in the bunch". (Перепробуй все ключи в связке.)

(Посл.)

Это занятие проведем на основе поиска решения задачи 3.18.

I. Посмотрите на все пункты задачи. Подумайте, насколько они взаимосвязаны.

II. Сделайте рисунки. Интуитивно оцените правдоподобность утверждений каждого пункта.

III. Сосредоточьтесь на работе над пунктами а) и в). Вообще-то стоит начать решать задачу с пункта а), но можно сначала предположить, что он доказан, и воспользоваться этим результатом для решения пункта в). Однако ни при решении пункта а), ни пункта в) нельзя обойтись без приема, уже рассмотренного в предыдущей работе: дать одному и тому же объекту разные имена. Здесь таким объектом являются стороны четырехугольника, вершины которого находятся в серединах сторон данного. Попробуйте найти все имена, которые они носят.

IV. Подумайте, какие дополнительные построения стоит выполнить, вспомните, что задачи предложены на тему «Площадь треугольника и трапеции».

V. Можно попробовать хороший тактический ход — решить более простую задачу:

Середины сторон треугольника являются вершинами другого треугольника. Докажите, что его площадь составляет четвертую часть площади данного треугольника.

Решение этой задачи видно из чертежа.

VI. Поговорите с соседом, обсудите возникшие у вас идеи и решения.

VII. Итак, в пункте в) нашей задачи дан четырехугольник A BCD, К, L, M, N — середины сторон, соответственно А В, ВС, CD, AD; О — точка пересечения КМ и LN. Требуется вычислить SM0ND. Сверим решения:

Согласны? Если нет, то разберитесь в своих претензиях к решению.

VIII. В пункте б) точки К, L, M, N пришли в движение, теперь они могут занимать любое положение на сторонах данного четырехугольника, в том числе могут находиться в серединах сторон.

Нарисуйте первый чертеж, когда К, L, M, N — середины сторон AB, ВС, CD, DA, и подвигайте точки так, чтобы они примерно делили стороны в одном отношении. Соберите всю информацию от сравнений обеих ситуаций.

IX. Теперь упростим ситуацию. Пусть дан треугольник ABC и КМ его средняя линия (К е AB, M е АС), как известно, отсекающая треугольник, площадь которого — одна четвертая площади треугольника ABC. Пусть точки Р и F делят стороны AB и CA в одном и том же отношении. Доказать, что

Решите эту задачу и подумайте, как она появилась.

X. Теперь можно вернуться к задаче 3.18 б).

Обсудите с соседом проделанную работу по задаче 3.18. Подумайте: чему я научился? Запишите в тетрадь все самое главное в тактике решения задачи.

Работа 21. Оценка своего уровня познания темы «Площадь треугольника и трапеции»

Каждый выбирает один из вариантов.

Вариант 1

1. Решите задачу 3.2 в).

2. Решите одну из задач 3.5, 3.6 в), 3.18 б).

3. Составьте и решите задачу, аналогичную задаче 3.12.

4. Решите самую красивую, на ваш взгляд, задачу.

Вариант 2

1. Решите задачу 3.2 в).

2. Решите задачу 3.15 б).

3. Решите задачу 3.17 а).

4. Решите задачу 3.33 б).

В этот вариант входят задачи, которые сначала необходимо составить по аналогии или как результат обобщения, или как обратную данной.

Вариант 3

Решите задачи § 3, которые не были решены вами ни в классе, ни дома.

Вариант 4

1. В прямоугольном треугольнике ABC

АСВС = а, АС + ВС = Ь.

Вычислите высоту, опущенную на гипотенузу AB.

2. Вычислите площадь равнобокой трапеции, у которой основания равны а и ft, а диагональ равна d.

3. Какую часть площади трапеции ABCD составляет четырехугольник MKLN, где М, К, L, N — середины сторон А В, ВС, CD, DA соответственно?

4. Из некоторой точки О внутри правильного треугольника со стороной а на его стороны опущены перпендикуляры OK, OL, ОМ. Найдите сумму OK + OL + ОМ.

5. Трапеция ABCD площади S разделена своими диагоналями на четыре треугольника. О — точка пересечения ее диагоналей. SAB0 = S{. Найдите SB0C + SA0D.

§ 4. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ЕГО ПЛОЩАДЬ

Перечислим работы, приведенные в этом параграфе: «Геометрия параллелограмма», «Познание метода восстановления фигуры», «Учимся решать задачу», «Оценка своего уровня познания...», «Классификация многоугольных фигур», «Зачет по теме «Площади многоугольных фигур».

Названия работ позволят вам оценить объем теоретического материала курса, который предстоит изучить ребятам в этом параграфе.

Вопросы серьезные: свойства, признаки, площадь, геометрия прямоугольника. Это очень важно, но не самое главное. Все эти работы строились ради ребенка, ради человека, его становления, его самоопределения. Нобелевский лауреат, писатель Герман Гессе в своем романе "Демиан" пишет о том, что каждый человек — это драгоценная, единственная в своем роде попытка природы. И дальше: «Но каждый человек — это не только он сам, это еще и та единственная в своем роде, совершенно особенная, в каждом случае важная и замечательная точка, где явления мира скрещиваются именно так, что однажды и никогда больше. Поэтому история каждого человека важна, вечна, божественна, поэтому каждый человек, пока он жив и исполняет волю природы, чудесен и достоин всяческого внимания»1).

Поэтому-то на первый план, и даже на уроках математики, выходят особенности человека, геометрия его души, метод его познания и самопознания, обучение его умению ставить и решать жизненные вопросы, исследовать свои удачи и неудачи. Поэтому внутри каждого задания ребенок должен получить максимум свободы поиска, принятия решений.

В работе «Геометрия параллелограмма» предлагается не слепо зазубрить материал параграфа, а попытаться построить свою теорию параллелограмма, начиная с определения и кончая его свойствами и признаками. Работа серьезная, новая для школьника, а возможно, и для учителя, и при этом несказанно полезная. Она воспитывает уважение к печатному слову, но показывает, что в изложении материала большую роль играет воля автора, выбор способа изложения, уровня строгости. Предложенные же в этом параграфе работы дают ребенку понять, что учебник, точка зрения авторов, не истина в последней инстанции, что ученик сам на равных с авторами может познавать геометрию.

Работа 22. Геометрия параллелограмма

"If at first you don't succeed, try, try again". (Если тебе не удается, старайся, старайся еще.) (Посл.)

Будем следовать логике авторов в построении теории параллелограмма: определение, свойства, признаки, площадь, частные виды параллелограмма. И все же начнем работу с чтения теории, с п. 4.5.

I. Прочтите п. 4.5 «Характерные свойства фигур и определения».

II. Дайте несколько определений параллелограмма.

III. Пусть параллелограмм у нас определен так: «Четырехугольник, у которого диагонали в точке пересечения делятся пополам».

Исходя из этого определения, сформулируйте и докажите свойства параллелограмма.

IV. Поговорите с соседом, расскажите ему доказательства этих свойств.

V. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.

VI. Поговорите с соседом о доказательствах признаков параллелограмма.

VII. Прочтите п. 4.4, дайте свое определение прямоугольника, сформулируйте и докажите его свойства и признаки.

Договоритесь с соседом о том, что он проведет такую же работу с ромбом.

VIII. Расскажите друг другу о своих исследованиях.

IX. Поговорите с одноклассниками о проделанной вами работе.

X. На отдельном листе представьте свое исследование, геометрию прямоугольника (ромба).

XI. Лист вывесите в классе.

Работа 23. Познание метода

"An oak is not felled at one stroke". (Дуб не валится от одного удара.)

(Посл.)

В работе изучается метод восстановления фигуры (многоугольника).

Задача. Восстановите параллелограмм, если на рисунке сохранились вершина и середины двух его сторон.

I. Первый совет: решайте задачу на восстановление фигуры в предположении, что фигура как-то названа, т.е. зафиксированы положения ее вершин.

Попробуйте назвать параллелограмм и расположить в нем сохранившиеся элементы: вершину и середины двух его сторон. Нарисуйте все варианты.

II. Сколько вариантов получилось? У меня — четыре варианта. Проверьте.

III. Сосредоточьтесь на одном случае и выясните, положение каких вершин параллелограмма вам надо определить. Помните, что точка находится как пересечение двух множеств точек.

IV. Поговорите с соседом, обсудите пути поиска решения.

V. Помните, что вы умеете выполнять циркулем и линейкой следующее: а) делить отрезок пополам; б) проводить прямую, параллельную данной; в) строить угол, равный данному; г) строить биссектрису угла; д) строить перпендикуляр к прямой. Используйте эти умения в данном случае.

VI. У вас наверняка уже есть некоторые планы поиска решения, а возможно, и один из его вариантов. Теперь самое время немного отвлечься и прочесть решение задачи 4.8 б) на с. 57 учебника. Постарайтесь выделить основные, руководящие направления решения, которые предлагает автор.

VII. Сосредоточьтесь на своей задаче, примените то, что вы узнали из текста решения задачи 4.8 б).

VIII. Попробуем вместе найти решение задачи для случая, когда в параллелограмме ABCD дана вершина A, M - середина ВС, N — середина CD.

Нарисуйте такой параллелограмм и постарайтесь вытащить максимум информации из данных задачи.

IX. Сосредоточьтесь на том, что:

а) дан параллелограмм; 6)MN — отрезок, соединяющий середины двух смежных сторон ВС и CD.

Вспомните свойства параллелограмма, мысленно переберите все «имена» отрезка MN.

X. Сверьте основные выводы поиска.

Итак: a) MN — средняя линия треугольника BCD, MN\BD\ б) BD проходит через середину АС; в) точка С — пересечение прямых, на которых лежат отрезки ВС и BD, проходящие через точки M и N соответственно.

Согласны? Прочтите еще раз. Придирчиво прочтите.

XI. Иногда нужна смелость выйти за часть плоскости, ограниченной фигурой. Часто это психологически сложно сделать.

Осмелимся выйти за параллелограмм, продолжим СВ за точку В и CD за точку D. Если теперь вспомнить, что MN\BD, то сразу возникает желание провести через точку Л прямую, параллельную

BD, получим треугольник XCY. BD — средняя линия треугольника XCY. Дальше вы все сделаете сами. Сделайте.

XII. Сверим решение. У меня получилось так:

/. Через точку Л проводим прямую, параллельную MN. 2. Отмечаем на ней точки X и Y: АХ = A Y = 2MN. 3. С — пересечение ХМ и NY. 4. Строим середины ХС и XY, точки В и D соответственно. 5. ABCD — искомый параллелограмм.

Осталось лишь провести доказательство. Проведите.

XIII. Исследуйте решение, выясните, когда фигура определена данными однозначно, когда не определена вообще и восстановить ее нельзя. Поговорите с соседом.

XIV. Итак, метод восстановления фигуры (многоугольника) заключается в следующем:

1. Допустите, что фигура по данным восстановлена, и нарисуйте ее примерное положение. 2. Выясните, какие элементы фигуры (стороны, вершины) можно уже сейчас построить по данным. 3. Выясните, пересечением каких двух множеств являются неизвестные вершины. 4. Выполните построение неизвестных вершин как пересечения двух множеств. 5. Исследуйте решение. Согласны? Если нет, то внесите коррективы.

XV. Найдите решение остальных пунктов задачи 4.8.

XVI. Запишите в тетради все, что для вас важно запомнить по организации поиска решения задачи, по исследованию полученного решения.

XVII. Попросите соседа, чтобы он прочитал вам свои заметки.

Работа 24. Учимся решать задачу

"Diligence is the mother of good luck".

(Усердие — мать удачи.)

(Посл.)

Выберем задачу 4.26:

Дан ромб с острым углом 60°. Докажите, что его площадь составляет — площади равностороннего треугольника, сторона которого равна большей диагонали ромба. Как изменится результат, если угол ромба будет отличен от 60°? Как изменится результат, если вместо ромба взять параллелограмм?

Перед нами задача на доказательство с некоторым последующим исследованием.

I. Прочтите задачу еще раз. Выясните, какой нужен чертеж.

II. Нарисуйте ромб ABCD, о нем идет речь в задаче. Но так как площадь его надо сравнивать с площадью равностороннего треугольника, то для успеха решения важно нарисовать и равносторонний треугольник, назовем его AMC. Определите и обоснуйте свои предложения о расположении точки М. Обозначьте на чертеже все данные углы.

III. Задачи на сравнение площадей часто решаются вычислением. Вычисляются площади каждой из фигур, затем сравниваются. Иногда достаточно сравнить те части фигур, которые не являются общими. В данном случае такими фигурами являются треугольник ABC и четырехугольник ADCM, состоящий из двух треугольников. Сравните их. Рассмотрите внимательно треугольник Л СМ.

IV. Поговорите с соседом.

V. Сопоставьте заключительную часть рассуждений.

Очень простой кажется задача, когда ее решишь. Действительно, AMC - равносторонний треугольник, D - центр его. SADC составляет одну треть площади треугольника AMC и половину площади ромба. Простота решения была связана с тем, что по условию острый угол ромба равен 60°. Поэтому автор задает разумный вопрос: как изменится результат, если угол ромба будет отличен от 60°? То есть на чертеже предлагается подвигать точки В и D по прямой ВМ. Посмотрите, что будет, если точки В и D приблизить друг к другу по ВМ, что будет, если их удалить друг от друга по ВМ. Прислушайтесь к своей интуиции.

VI. Обсудите с соседом результат исследований.

VII. Теперь подкрепите интуитивные наблюдения убедительными рассуждениями.

VIII. Обратите внимание, что этот вопрос идет после задачи, поэтому разумно воспользоваться тем, что мы уже обнаружили при ее решении. Основой решения был треугольник ЛВС или равный ему треугольник ADC. Просто нужно сравнить SMDC и S^d'c а затем Samcd и ^amcd'» гДе D' — какая-то точка на прямой ВМ.

IX. Осталось ответить на последний вопрос: как изменится результат, если вместо ромба взять параллелограмм? Теперь нам дан параллелограмм с острым углом 60° и заданной большей диагональю. Автор обобщил ситуацию, ведь сначала мы рассматривали частный случай, когда параллелограмм был ромбом. Площадь такого ромба мы уже сравнили с площадью правильного треугольника со стороной, равной его большей диагонали. Значит, теперь нам достаточно сравнить площади параллелограмма и ромба. Если пло-

щадь параллелограмма меньше площади ромба, то тогда все ясно. Попробуем исследовать эту ситуацию.

X. Теперь на нашем рисунке в движение должны прийти диагонали. В ромбе они были под прямым углом. А если угол изменить, не меняя длины диагонали АС и величины острого угла С? Попробуйте.

XI. Итак, SpoM6a = ±dd{, SnapajlJl < 1 Af, где d и d, - диагонали ромба, a d и d' — диагонали параллелограмма, если параллелограмм не ромб, то d'< d,, поэтому 5паралл < — STpeуг. Правильно?

XII. Вернитесь к условию задачи и обязательно просмотрите весь путь поиска решения. Выясните все, что осталось неясным, постарайтесь найти ответы на все вопросы.

Возможно, при повторном изучении решения вы обнаружите другое, более простое решение. Удачи вам.

Работа 25. Оценка своего уровня познания темы «Параллелограмм и его площадь»

Каждый выбирает один из вариантов.

Вариант 1

1. Выберите и решите одну-две задачи, на которых легко продемонстрировать свойства площади.

2. Составьте и решите задачу, аналогичную задаче 4.14.

3. Решите одну из задач 4.24, 4.28.

4. Решите самую интересную для вас задачу по этой теме.

Вариант 2

1. Решите задачу 4.10.

2. Сделайте последнее задание задачи 4.22: «Найдите сами другие свойства ромба».

3. Решите задачу 4.23.

4. Составьте и решите задачу, аналогичную задаче 4.16.

Вариант 3

Составьте сами работу из задач, представляющих для вас интерес. Используйте § 4 и задачи к главе I.

Вариант 4

1. Биссектриса одного из углов параллелограмма отсекает от него треугольник площади S. Вычислите площадь параллелограмма, если известно, что у него одна сторона в два раза больше другой.

2. Постройте ромб по диагонали и углу, образованному этой диагональю и стороной ромба.

3. На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка М, через которую проведены прямые KL и NE, соответственно параллельные сторонам AB и ВС. Найдите на чертеже две пары равновеликих трапеций.

4. На боковых ребрах пирамиды PABCD, у которой в основании лежит квадрат со стороной а, а все боковые грани — правильные треугольники, от вершины Р отложены отрезки РА{ = РВ{ = РСХ = PDl = — РА. Вычислите площадь полной поверхности многогран-ника ABCDAXBXC{DX и площади многоугольников ААХСХС и BBXDXD.

Работа 26. Классификация многоугольных фигур

Работа идет в парах.

I. Перечислите многоугольники, которые изучались в I главе. Дайте их определения.

II. Выделите общее, найдите различие.

III. Нарисуйте многоугольник общего вида, трапецию, квадрат, параллелограмм, прямоугольник, ромб.

IV. Выполните классификацию всех нарисованных выше многоугольников. Выполняя классификацию, опирайтесь на определения этих фигур, учитывайте их свойства. Попробуйте, оперируя с фигурами, не называть их привычные вам «имена» (ромб, трапеция и т.д.).

V. Возможно, что работа упростится, если вы вырежете из бумаги эти фигуры. Попробуйте.

VI. В толковом словаре СИ. Ожегова сказано, что классифицировать — это значит распределить по группам. Добавим, что в основе классификации всегда берутся какие-то свойства. Подкорректируйте свою работу, исходя из этой информации.

VII. Приостановите свою работу. Посмотрите, что делают другие группы. Познакомьтесь с их идеями, узнайте, в чем заключаются их трудности. Посмотрите, со всем ли вы согласны.

VIII. Обогащенные идеями, имея информацию о трудностях, с которыми сталкиваются другие группы, посмотрите внимательным взглядом на свою работу. Используйте определения фигур.

IX. Вывесите свою работу в классе. Изучите, что общего во всех работах, чем они отличаются друг от друга. Какое основание классификации выбрала каждая группа?

X. Посмотрите на свою классификацию и, исходя из нее, дайте определение каждой фигуре. Придирчиво проследите, нет ли противоречий. Если противоречия есть, то внесите коррективы.

XI. Обменяйтесь работой с соседней группой, изучите их классификацию.

XII. Возьмите свою работу и проверьте ее при помощи шаблона: «Любой... есть...», вставляя вместо многоточия имена многоугольников, идя от частного понятия к общему.

XIII. Вывесите свою классификацию в классе.

XIV. Походите, посмотрите, поспорьте, если в этом есть необходимость.

ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ «ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР»

Зачет проводится на сдвоенном уроке. Каждый ученик отвечает устно на билет и пишет контрольную работу. Если в классе много досок, то для устного ответа на билет вызывается к доске 10—11 человек. Остальные пишут контрольную работу, текст которой заранее написан на доске. Если же в классе досок мало, то можно поставить прямоугольником четыре стола. Тогда свой ответ ребята пишут на листе, а затем разговаривают с учителем по билету. После ответа ученик садится на свое место писать контрольную работу, а на его место вызывается следующий. В конце двухчасового зачета каждому школьнику объявляется отметка за устный ответ. Хорошими помощниками учителю на зачете в VI—VIII классах являются ребята X — XI классов. Материал они знают и спрашивают строго, основательно.

Перед зачетом проводится сдвоенный урок, на котором ученики спрашивают друг друга по всем вопросам.

Приведу билеты по теме «Площади многоугольных фигур»:

Билет 1. 1. Площадь произвольного треугольника.

2. Свойства и признаки прямоугольника.

3. В задаче 2.25 выберите на рисунке 41.одну из фигур и выразите как функцию от х площадь закрашенной части квадрата со стороной 1.

Билет 2. 1. Определение площади многоугольной фигуры. Площадь прямоугольного треугольника.

2. Свойства и признаки параллелограмма.

3. В задаче 1.3 выберите один из пунктов а) — д) и решите его.

Билет 3. 1. Теорема о средней линии треугольника.

2. Площадь параллелограмма.

3. В задаче 2.4 выберите один из пунктов а) — в) и докажите его.

Билет 4. 1. Свойства прямоугольника.

2. Площадь ромба.

3. Выберите в задаче 3.6 один из пунктов б) — в) и докажите его.

Билет 5. 1. Признаки прямоугольника.

2. Площадь трапеции.

3. В задаче 3.12 на рисунке 49 выберите одну из фигур и найдите неизвестную площадь треугольника.

Для подготовки к зачету ученикам предлагается повторить следующие вопросы и рассмотреть задачи.

Вопросы.

1) Сумма углов выпуклого я-угольника (см. п. 1.3).

2) Теорема о средней линии треугольника (см. п. 1.5).

3) Площадь прямоугольного треугольника (см. п. 3.1).

4) Площадь произвольного треугольника (см. п. 3.2).

5) Площадь трапеции (см. п. 3.4).

6) Свойства и признаки параллелограмма (см. пп. 4.1, 4.2).

7) Площадь параллелограмма (см. п. 4.3).

8) Свойства и признаки прямоугольника (см. п. 4.4).

9) Свойства и признаки ромба (см. п. 4.4).

Задачи к устному зачету: 1.3, 1.11, 1.12, 1.36, 1.40, 2.2, 2.4, 2.7, 2.10, 2.25, 3.6, 3.12, 4.16.

Но можно проводить зачет и без билетов. Ребятам предлагается выбрать любые два теоретических вопроса, которые они лучше знают. Тогда учителю остается предложить лишь задачу.

Интересно, как ученики распорядятся своим правом выбора? Практика показывает, что ребята выбирают достойные вопросы. Учителю предлагается оценить знания тех вопросов теории, которые сам ученик признал для себя интересными и которые он изучил досконально. Именно на этих вопросах можно выяснить, сколь основательно он понял тему, как глубоко осознал все тонкости теории, как он думает.

В конце концов каждый из нас хотел бы предстать на любом экзамене во всеоружии, в лучшем свете блеснуть знанием тех вопросов, над которыми долго размышлял.

Любопытно, что даже если два-три человека выбрали для ответа одни и те же вопросы и друг за другом их излагают у доски, то это нисколько не мешает работе учителя на зачете.

Теперь рассмотрим пример письменной зачетной работы, выполнение которой рассчитано на 1 час, ибо подразумевает, что 1 час уходит и на устный ответ. Учитель может тут схитрить и спрашивать

сначала учеников, более уверенных в себе, в своих знаниях, тогда остальные получат больше времени на выполнение письменной работы. Хотя, конечно, надо учитывать и способность ребят владеть собой и поэтому побыстрее спросить нетерпеливых.

ЗАЧЕТНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Каждый выбирает один из вариантов.

Вариант 1

1. Найдите площадь параллелограмма по его периметру Р и двум высотам Л, и /ц.

2. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что если SA0B = 5C0D, то ßC||/4D. Верно ли обратное утверждение?

3. Вычислите неизвестную площадь треугольника X (рис. 1 ), если площадь треугольника ABC равна S.

4. Восстановите параллелограмм, если на рисунке сохранились две вершины и точка пересечения диагоналей.

5. Длины сторон прямоугольника 8 см и 18 см. Как разрезать его на две части, из которых можно сложить квадрат (рис. 2)?

Вариант 2

Все задачи этого варианта взяты из задач к главе I.

1. Решите несколько пунктов задачи 1.3.

2. Решите один из пунктов задачи 1.11.

3. Выберите и решите еще какие-нибудь две задачи из раздела «Задачи к главе I» на с. 61—62.

Вариант 3

Решите любые задачи из набора творческих задач по этой теме.

Рис. 1

Рис. 2

Глава II

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Знающим я назвать себя не смею. Я был ищущим и все еще остаюсь им...

Герман Гессе

Работы этой главы приглашают к поиску. Каждый из ребят строит свою поисковую деятельность самостоятельно и в результате учится быть ответственным за свои действия, независимым, самокритичным, ведь продвижение вперед невозможно без умения вовремя отказаться от ложно выбранного пути. Итак, сначала надо решить, каким путем вести поиск, затем уметь самому оценить сделанное, выяснить, ведет ли этот путь к цели и если нет, то выбрать другой. При этом внутренняя самооценка выходит на первый план, а оценка других становится второстепенной. Ученик приобретает свой и положительный, и отрицательный опыт работы. И это важно, ибо он у всех разный. К. Роджерс считает, что учащийся может научиться чему-либо, лишь самообучаясь, лишь в этом случае происходит значимое научение.

Каждая работа как бы сгусток проблем. Они следуют одна за другой, чередуясь с моментами, в которых происходит индивидуальное, а затем коллективное осмысление сделанного. При обсуждении звучат разные точки зрения равных между собой людей. В этой ситуации проще воспротивиться и не принять то, что ты не понимаешь, то, что по-твоему не ведет к решению проблемы. Тут уж ребята говорят друг для друга, а не для единственного слушателя, которым традиционно является учитель.

Однако проблемы ждут решения, и решение это должен найти сам ученик, причем часто возникает необходимость осмелиться сделать то, чего он никогда не делал, пойти дорогой, которой никогда не шел, увидеть ситуацию совершенно по-новому. Проблемная ситуация ждет от ученика творческого подхода, но для этого необходимо быть открытым своему опыту. Первые задания каждой работы и способствуют этому.

§ 5. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

В учебнике дается геометрическое доказательство этой теоремы. Строгий академический стиль изложения создает впечатление, что авторы предъявили самое лучшее доказательство или что другого вообще не существует.

Работа «Познание теории» имеет целью сделать ученика соавтором доказательства теоремы Пифагора. Ему предлагается в спокойном темпе внимательно рассмотреть доказываемое равенство, видоизменить его, увидеть за буквами величины, характеризующие геометрические фигуры, и только затем начать изучать доказательства в учебнике, как бы соприкасая, сопоставляя свой опыт, свой результат поиска с тем, что удалось найти авторам. Надо заметить, что если ученики и не выйдут на свой путь обоснования выдвинутой Пифагором закономерности, то все равно они иначе будут воспринимать текст учебника. Ведь ребята, как и авторы учебника, шли к той же цели, возможно, другим путем, но они шли, были в пути, а значит, им легче будет понять друг друга.

Работа 27. Познание теории

"Think on the end before you begin". (Обдумай цель, раньше чем начать.)

(Посл.)

I. Прочтите из § 5 формулировку теоремы Пифагора: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Посмотрите на рисунок 65, а и прочтите первый абзац из п. 5.2: «Пусть Т — прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с. Докажем, что с1 - а2 + Ь2 ».

Если вы будете читать этот пункт дальше, то узнаете, что авторы предлагают построить квадрат Q со стороной а + Ь.

Но вот зачем его надо строить?

Попробуйте объяснить ход мыслей авторов: почему они решили строить этот квадрат со стороной а + Ь? Изучите равенство с2 = а2 + Ь2 и попробуйте дать ответ.

II. Поговорите с соседом.

III. Посмотрите, что можно было бы сделать с равенством с2 = а2 + Ь2. Посмотрите на левую и правую части равенства, скажите словами, что там написано.

IV. Ясно, что делать что-то надо с правой частью равенства. Сумму квадратов можно дополнить до квадрата суммы либо до квадрата разности. В первом случае с2 = (а + bf - 2aby а во втором с2 = (а - Ь)2 + 2ab. Конечно, каждое из этих равенств можно написать и так:

с2 + 2ab = (а + Ь)\ с2 - 2ab = (а- Ь)\ А

что делать дальше? Продолжите самостоятельно.

V. Нарисуйте прямоугольный треугольник с катетами а, Ь и гипотенузой с. Затем рисунки, под которыми можно было бы написать формулы с2 + 2аЬ = (а + tif и с2 - 2ab = (а - bf со словом «смотри».

Авторы учебника на с. 67 как раз говорят, что «в математических трактатах Древней Индии, доказывая теорему, часто приводили только рисунок. Сопровождали его лишь одним словом: «Смотри».

VI. Попробуйте дальнейшие поиски рисунка вести в группе совместно с одноклассниками.

VII. Для проверки своих рисунков посмотрите на с. 65 и 72 учебника, среди приведенных там рисунков, возможно, есть и ваши.

VIII. Теперь, когда ясна причина возникновения квадрата Q со стороной а + ft, можно читать п. 5.2 дальше, разбираться в доказательстве теоремы. Разберитесь.

IX. Любопытно, почему теорема Пифагора посвящена именно квадрату гипотенузы. А можно ли ее прочесть так: «В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадрата гипотенузы и квадрата другого катета»? О равенстве площадей каких фигур тогда шла бы речь? Попробуйте их нарисовать. Попробуйте доказать теорему в этой формулировке.

X. Поговорите в классе об идеях доказательства, о рисунках, о поиске доказательства.

Работа 28. Познание теории

"Who understands ill, answers ill". (Кто плохо понимает, плохо отвечает.)

(Посл.)

На с. 67 авторы утверждают, что самый лучший геометрический стиль состоит в том, чтобы «посредством остроумного построения сделать неочевидное очевидным».

I. Постройте из спичек квадрат со стороной, равной трем спичкам, и квадрат со стороной, равной двум спичкам.

II. Постройте квадрат, по площади равный сумме площадей двух первых квадратов. Придумайте несколько способов.

III. Обсудите свой вариант построения с соседом, а затем в группе. Постарайтесь реализовать не только свои идеи, но и нереализованные идеи ваших товарищей.

IV. Рассмотрите рисунок 71, сложите такие же фигуры из спичек и попытайтесь найти три квадрата, такие, что сумма площадей двух из них равна площади третьего.

V. Решите задачу 5.18 на с. 72.

VI. Выберите один из вариантов задачи 5.18 и опишите подробно доказательство теоремы Пифагора.

Работа 29. Познание метода

"Where there is a will, there is a way". (Где есть желание, найдется путь.)

(Посл.)

В этой работе мы поучимся решать задачи на вычисление неизвестных отрезков.

Прочитайте задачу:

В прямоугольном треугольнике даны величины: катеты, гипотенуза, медианы ко всем сторонам. Выберите две из них и, считая их известными, укажите план нахождения остальных.

Пусть в треугольнике ABC известны две медианы, проведенные к катетам ВС и АС: АА{ = т{ и ВВХ = га2. Неизвестными величинами будут стороны треугольника.

I. Введите вспомогательные неизвестные.

II. Рассмотрите прямоугольные треугольники, сторонами которых являются данные отрезки, и те, которые требуется определить.

III. Используя теорему Пифагора, составьте систему уравнений.

IV. Решите систему, найдите неизвестные.

V. Исследуйте решение, задумайтесь над результатом.

VI. Обсудите свое решение с соседом по парте.

VII. На с. 68 учебника изучите решение этой задачи, предложенное авторами.

VIII. Ответьте вместе с соседом по парте на все поставленные вопросы. Поговорите с одноклассниками в группе об этой задаче.

IX. Составьте и запишите вопросы, которые у вас возникли при чтении решения.

X. Сравните ответы:

Конечно, они требуют введения некоторых ограничений на m, и т2. Сделайте их.

XI. Заметьте, что треугольник нам был дан, поэтому у нас не возникало вопроса о существовании объекта, описанного в задаче. А вот почему авторы задали нам именно два элемента? Почему они посчитали, что их будет достаточно для вычисления остальных?

XII. Обратите внимание на фразу в тексте решения задачи 5.4: «И в процессе решения, и при его оценке будь внимателен: можно кое-что заметить из того, что не относится прямо к вопросу задачи». Здесь имеются в виду некоторые свойства фигуры и зависимость между ее элементами. Нередко удивление полученным результатом рождает мысль, дает повод для новых исследований. Стоит над этим задуматься и запомнить.

Работа 30. Применение метода

"A fool boks to the beginning, a wiseman regards the end". (Мудрый начинает с конца, глупый кончает в начале.)

(Посл.)

Попробуйте применить приемы, описанные при решении задачи 5.4, для решения задачи 5.5. Любопытно, что если в предыдущей задаче автор просто предлагал выбрать именно две величины и по ним вычислить остальные, то здесь первый же вопрос задачи: «Сколько из взятых нами величин определяют остальные?» — требует от нас самостоятельных, обоснованных решений.

I. Попробуйте перефразировать этот вопрос, заменить другим, не меняя смысла. Заметьте, что рассматриваемые величины определяют четырехугольник, у которого два угла прямые.

II. Решите, сколько сторон этого четырехугольника ABCD надо задать, чтобы его построить.

III. Теперь ответьте на два вопроса задачи: «...достаточно ли знать две из них, чтобы найти остальные? а три?»

IV. Возьмите три величины: а) AB, BD, DC; б) AB, CD и AC; в) AB, BD, АС; г) Л С, CD, BD. Проверьте, хватит ли их для нахождения остальных.

V. Сверьте свои результаты решения с результатами, полученными соседом.

VI. В первых двух случаях: а ) АС2 = (AB-CD)2 + ßD2; б) BD2 = AC2 - (AB - CD)2. По этим трем величинам четырехугольник ABDC построить можно. А вот в случаях в), г) четырехугольник ABDC построить нельзя, нельзя и определить остальные величины по данным трем. Правильно? Выскажите сбою точку зрения.

VII. Авторы этой задачи учат проводить исследование ситуации, направляя наш взор то на одни, то на другие объекты, то видоизменяя чертежи. Сделайте новый чертеж и посмотрите, закрепляет ли положение его точек задание двух величин из AB, CD, BD, AC. Затем проделайте то же для трех величин.

VIII. Поговорите с соседом, обсудите свои ответы.

IX. Оказывается, что любых трех величин хватит для определения остальных: АС2 = BD2 + (AB + CD)2, BD2 = AC2 - (AB + CD)2, CD = JaC2 - BD2 - AB, AB = JaC2 - BD2 - CD. Проверьте, так ли это.

X. Задача усложняется. Теперь в пункте в) известны BD, АС и отношение AB : CD. Требуется найти AD.

Если сказано, что отношение AB : CD известно, то надо его задать. Пусть-= —, тогда, если использовать свойства пропорции —;— = —— или , - , легко можно найти AB - CD или AB + CD, затем CD и AD. Реализуйте этот план, если хотите.

XI. Осталось справиться с последним пунктом — пунктом г). Попробуйте задать сразу все четыре отрезка AB, AC, CD и BD и найдите расстояние DO.

XII. Применяя теорему Пифагора к треугольникам DCO и АВО, можно получить два равенства: ОС2 = OD2 + CD2, (СО + CA)2 = (OD + BD)2 + AB2. Из этих равенств и находится DO. Разберитесь.

XIII. Обсудите решение задачи в паре.

XIV. Спокойно подумайте о всех этапах решения. Пополните копилку методов решения, запишите их в тетрадь.

§ 6. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

Работа «Изучение теории» учит структурировать текст, выделять главное, составлять план прочитанного, выделять последовательность действий при применении некоторого метода. В заданиях чередуется индивидуальное размышление с мысленным диалогом с автором работы. Ученик, выполнив некоторую исследовательскую работу и получив определенный результат, сопоставляет его с выводами, наблюдениями автора. Этим он, с одной стороны, проверяет себя, вносит необходимые коррективы в выполнение своего предыдущего задания, а с другой — критическим взглядом осматривает то, что сделал автор. Размышления о своем способе изучения теории — сверхзадача всех действий ученика на этом занятии.

«Познание метода...» — метода решения задачи 6.3, который дан на страницах учебника. Первое задание опять обращает ребят к своему опыту работы с задачей, а не к опыту работы автора. Изучением его мы займемся, лишь выполняя последнее задание. До этого же идет поиск разных способов решения. Предлагается даже решить эту задачу методом приравнивания площадей, и только после этого начинается изучение анализа решения, данного авторами учебника. И это сделано не зря. Первые два задания — подготовка к внимательному, заинтересованному изучению версии авторов. Его не было бы без собственных попыток решить задачу. Трудности видны лишь после собственных мучений. Простота найденного метода, легкость восприятия его заслоняют тяжелый, порой мучительный, но в то же

время и радостный процесс поиска. Ведь каждый из нас перед новой задачей чувствует себя новичком, неумехой, до тех пор пока первое волнение уляжется, когда будет найдена первая зависимость между данными задачами и тем, что требуется выполнить, когда возникает первый, пусть плохонький, план. Про него мы никому не скажем, его мы и реализовывать-то не будем, просто он вселит в нас веру, надежду, и тогда появится другой, более разумный и т.д. При хорошем, спокойном настроении, добротной уверенности в голове появляется одна идея за другой.

В этом параграфе даны две работы под одним названием «Учимся решать задачи». Остановимся на второй из них, где описан поиск решения задачи 6.18. Сама задача на доказательство неравенств в школьном курсе геометрии встречается не так часто, поэтому она вызывает интерес. Если внимательно прочесть все три ее части и сопоставить их, то идея решения, по крайней мере первой из них, возникнет быстро. Решения пунктов б) и в) задачи требуют большей свободы действий, умелого обращения с неравенствами, смелости в их преобразовании, но все они доказываются при помощи все того же неравенства треугольника.

Две работы «Выход в пространство» посвящены решению пространственных задач по одной и той же теме «Перпендикуляр к плоскости». Цель этих работ — научить распознавать и изображать на рисунке прямые, перпендикулярные к плоскости.

В старших классах при изучении стереометрии школьники с трудом рисуют прямую, перпендикулярную к плоскости какого-либо многоугольника. Поэтому необходимо уделить время для обучения выполнения рисунков. Работа и отрабатывает это умение. Но, кроме этого, задачи 6.30, 6.27 привлекают внимание ребят к важным вопросам теории и логики. Они учатся строить обратные утверждения и оценивать их истинность, учатся делать обобщения.

Как всегда, часть заданий выполняется в паре.

Работа 31. Изучение теории

Надо уважать математические доказательства, но и относиться к ним с подозрением.

М. Клайн

I. § 6 называется «Применения теоремы Пифагора». Просмотрите его и выпишите все случаи, описанные в параграфе, в которых рассматриваются применения теоремы Пифагора.

II. Рассмотрите этот перечень: 1) признак равенства прямоугольных треугольников; 2) перпендикуляр короче наклонной, если они проведены из одной точки к некоторой прямой; 3) нахождение-высоты треугольника по его сторонам; 4) формула Герона.

Все ли здесь верно?

III. Из этих вопросов перечислите те, которые вы изучили полностью.

IV. Откройте учебник на с. 77, п. 6.7 и объясните соседу, как авторы вычисляли высоты треугольника по его сторонам.

V. Прочтите план вычисления высоты треугольника: 1) ввели обозначения для данных задачи и искомой величины; 2) ввели вспомогательную неизвестную — х\ 3) составили уравнения, приравняв две равные величины, вычисленные из прямоугольных треугольников при помощи теоремы Пифагора; 4) решили эти уравнения, нашли х; 5) выразили из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора искомую величину ha через вспомогательную переменную х\ 6) вычислили ha.

Посмотрите, все ли действия авторов учтены в плане. Нет ли искажений их действий? Нет ли чего лишнего?

VI. Положите перед собой план вычисления высоты, закройте учебник и проведите все необходимые выкладки по этому плану.

VII. Откройте учебники и сравните свой вывод формулы с выводом авторов.

VIII. Запишите все формулы площади треугольника, которые вы знаете.

Работа 32. Познание метода

Нет решенных проблем; есть только проблемы, которые более пли менее решены. Математика столь же совершенна, как и человеческие существа, а люди несовершенны.

М. Клайн

В работе изучается метод доказательства истинности некоторого равенства, связывающего элементы прямоугольного треугольника.

Задача 6.3 б). В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведен перпендикуляр CD к гипотенузе. Докажите, что АС2 = ADAB.

I. Как можно подойти к доказательству этого равенства? Перечислите с соседом по парте всевозможные способы. Записывайте все способы, которые придут на ум, даже те, о которых впоследствии вам будет ясно, что они ошибочны.

II. Изучите такие способы: 1) введение вспомогательных неизвестных (длин сторон прямоугольных треугольников), выражение через них АС2 и AD-AB и приведение каждого к одному и тому же выражению; 2) преобразование равенства, например, так: — = — и доказательство равенства этих отношений; 3) выражение площади треугольника ABC двумя способами, затем приравнивание их, возведение в квадрат, а дальше, используя теорему Пифагора, переход к равенству, содержащему лишь отрезки Л С, AD и AB. Разумны ли они? Можно ли их реализовать?

III. Попробуйте осуществить третий путь.

Запишите выкладки, по ходу записи обдумывайте их истинность.

IV. Рассмотрите решение: 2SMßC = CDAB, 2SMßC = AC-ВС, тогда

отсюда АС2 = AD- AB, что и требовалось доказать. Объясните это решение соседу.

V. Вместе с соседом по парте прочтите решение аналогичной задачи 6.3 а) на с. 79 и затем решите нашу задачу из пункта б) рассказанным там способом.

VI. Если же вы прочитаете теорему 37 на с. 350, то тогда найдите совсем простое доказательство этой формулы. Нам пришлось проделать этот большой путь, ибо мы не владеем еще теми знаниями, которые излагаются в § 31 нашего учебника. Знания освобождают человека от рутинной работы, делают его действия более рациональными. Карл Роджерс считает, что «в наше время надо гораздо больше знать и уметь, чтобы уменьшать напряженность в человеческих отношениях».

Подумайте, как же доказать эту формулу в одну строчку.

Работа 33. Учимся решать задачу

Выберем задачу 6.8, ибо она дает простор не только мысли, но и воображению и фантазии. Действительно, посмотрите, последняя фраза предлагает нам вот что: «Составьте сами задачи о медианах и биссектрисах, аналогичные задачам д) и е)».

Задача 6.8. Докажите, что в равнобедренном треугольнике равны проекции: а) боковых сторон на основание; б) боковых сторон на прямые, проходящие через другие боковые стороны; в) основания на

прямые, проходящие через боковые стороны; г) высоты к основанию на боковые стороны; д) высот к боковым сторонам на основание; е) высот к боковым сторонам на прямые, проходящие через другие боковые стороны. Составьте сами задачи о медианах и биссектрисах, аналогичные задачам д) и е).

Работу лучше вести в четверках, разбитых на две пары. Каждая пара выбирает для решения один из пунктов а) — г) задачи, решает, рассказывает решение другой паре. Если другая пара не успела еще найти решение, то учитель говорит о тех путях, которыми идет поиск. Возможно, что при этом разговоре можно быстрее найти и само решение. Но прежде чем делать выбор одного из пунктов, проделаем некоторую работу. Итак, начнем.

I. В парах прочтите условие каждого пункта а) — г), сделайте рисунок равнобедренного треугольника. Нарисуйте указанные элементы, постройте их проекции на заданные прямые. Сверьте рисунки с рисунками другой пары, сделайте нужные пояснения, доказательства. Если возникнут разногласия и так и не будут найдены окончательные решения, то стоит поговорить с одноклассниками из другой четверки.

II. В парах выберите один из пунктов, решите его, обсудите решение. Важно, чтобы были разобраны все случаи а) — г). Некоторые, особенно понравившиеся решения расскажите ребятам в классе, нарисовав чертеж на доске, сопроводив его краткими пояснениями.

III. В четверках обсудите и решите пункты д) и е). Познакомьтесь с решениями этих пунктов других четверок.

IV. В парах составьте и решите задачи, аналогичные д) и е), либо о медианах, либо о биссектрисах.

V. В четверках обсудите решения составленных задач.

VI. Осуществите обмен решениями с другой четверкой.

VII. Запишите в тетради приемы работы с задачей, подмеченные и во время решения, и во время обсуждения, и во время составления задач.

Работа 34. Учимся решать задачу

Задача 6.19. а) Точка X находится в треугольнике ЛВС. Докажите, что АХ + ХВ < АС + СВ.

б) Точка X находится в треугольнике ABC. Ее соединили отрезками с вершинами треугольника. Оцените сверху сумму ХА + ХВ + ХС. Теперь оцените эту сумму снизу.

в) Может ли внутри данного треугольника лежать треугольник с периметром, большим, чем периметр данного?

I. Сначала прочтите все пункты задачи. Вы уже знаете, что обычно такие объемные, многопунктовые задачи основаны на одной идее, которая при переходе от пункта к пункту находится в развитии, наполняется содержанием. Определите такую идею в этой задаче.

II. Пункт а) задачи подсказывает нам, что необходимо воспользоваться неравенством треугольника. Если ЛА' или ВХ продолжить за точку X и пару раз применить неравенство треугольника, то задача решается быстро. Решите ее.

III. Посмотрите внимательно на условие пункта б). Сначала сравните его с пунктом а), узнайте, чем они отличаются.

IV. При сравнении обратите внимание, что первые два слагаемых совпадают, а оценка сверху суммы вторых двух может быть легко найдена по аналогии с пунктом а). Аналогично легко можно оценить и сумму первого и третьего. Посмотрите, можно ли воспользоваться неравенством пункта а).

V. Обратите внимание, что в исследуемой сумме не хватает еще трех слагаемых ХА, ХВ и ХС, значит, их надо добавить, заменив данную сумму ей равной. Сделайте это.

VI. Итак,

Доведите решение до конца.

VII. Поговорите с соседом, сравните свои решения.

VIII. Теперь посмотрите на чертеж и найдите способ оценки этой суммы снизу:

IX. Сделайте вывод:

X. Попробуйте разобраться и с пунктом в).

XI. Сначала сделайте рисунок, потом попытайтесь выяснить свою точку зрения по этому вопросу. Определите ответ интуитивно: да или нет.

XII. Сделайте рисунок. Нарисуйте треугольник ЛВС и внутри его (общий случай) треугольник EDF. Теперь продолжите его сторону EF до пересечения в точках X и Y соответственно со сторонами А В и ВС, а сторону ED за точку D до пересечения со стороной АС. Используя все то же неравенство треугольника, рассматривая рисунок, напишите промежуточные неравенства:

AB + ВС + АС >..>...> DE л- EF + ED.

XIII. Проанализируйте все решения задачи и сделайте в своей тетради заметки по поводу поиска решения, анализа условия и самого решения. Запишите все самое важное — пригодится.

Работа 35. Выход в пространство

Этот параграф богат пространственными задачами, их целый десяток: 6.27—6.31, 6.34—6.37, 6.58. В большинстве из них говорится о перпендикуляре к плоскости, к плоскости прямоугольника, к плоскости прямоугольного треугольника, к плоскости равнобедренного треугольника. Поэтому поучимся рисовать этот перпендикуляр так, чтобы рисунок помогал решению, помогал увидеть все нужные закономерности между данными задачами, а не затруднял.

Во всех таких задачах надо сначала рисовать плоскость, прямоугольник, прямоугольный треугольник, в общем, саму фигуру, а потом уже перпендикуляр. Причем старайтесь фигуру располагать в горизонтальной плоскости, так, как это сделано на рисунке 76, a в учебнике.

Возьмите листы нелинованной бумаги и сделайте на них все рисунки, о которых идет речь ниже.

I. Нарисуйте плоскость а и перпендикуляр AB к ней (см. рис. 76, а).

II. Нарисуйте прямоугольник ЛВСО в виде параллелограмма с острым углом чуть меньше 30° и с горизонтально расположенной стороной примерно в два раза больше другой стороны. Ближнюю к нам сторону обозначим AD. Из точки В восставьте перпендикуляр к плоскости.

III. Нарисуйте прямоугольный треугольник, гипотенуза которого расположена на рисунке ближе к нам, чем вершина прямого угла. Через вершину прямого угла проведите перпендикуляр к плоскости этого треугольника.

IV. Нарисуйте равнобедренный треугольник так, чтобы было видно, что он лежит на плоскости. Для этого две равные стороны можно сделать длиннее, чем основание, и угол при вершине взять острым.

Проведите перпендикуляры к его плоскости через середину основания и через каждую из его вершин.

Дальше лучше обсуждать решения в парах, хотя полезно каждому сделать свой рисунок к задаче.

V. Решите первую часть задачи 6.30:

Перпендикуляр к плоскости прямоугольника проходит через его центр. Докажите, что любая точка этого перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника.

VI. Получилось? Сформулируйте обратное утверждение. Для этого в самом простом случае надо поменять условие и заключение задачи (теоремы) местами. Но чаще всего часть заключения (условия) делается условием (заключением).

VII. Вы доказали, что если любая точка прямой, проходящей через центр прямоугольника, равноудалена от его вершин, то она перпендикулярна плоскости.

Теперь предполагается обобщить полученные результаты. Что надо делать в этом случае? Фигуру, прямоугольник, заменить более общей, но чтобы и относительно нее выполнялся главный результат задачи. Сделайте это.

VIII. Подвергните критике те обобщения, которые вы прочтете ниже: «Перпендикуляр к плоскости правильного многоугольника проходит через его центр. Докажите, что любая точка этого перпендикуляра равноудалена от вершин многоугольника».

«Прямая перпендикулярна плоскости правильного многоугольника тогда и только тогда, когда любая точка ее равноудалена от ее вершин».

«Прямая тогда и только тогда перпендикулярна к плоскости, в которой лежит окружность, если каждая ее точка равноудалена от всех точек окружности».

IX. Все остальные задачи интересны. Не откажите себе в удовольствии решить их.

Работа 36. Выход в пространство

Работа выполняется в парах. Один читает, рассуждает вслух, решает задачу. Другой слушает и задает вопросы.

I. Прочтите задачу 6.27:

Пусть А В — перпендикуляр к плоскости а, опущенный из точки А. Докажите, что AB является перпендикуляром к любой прямой плоскости а, проходящей через точку В.

II. Нарисуйте плоскость, возьмите на ней точку ß, проведите через нее перпендикуляр А В к плоскости а и прямую а на плоскости а, проходящую через точку В. Подумайте, что вы знаете о перпендикуляре к плоскости, и проведите доказательство.

III. В п. 6.4 сказано, что перпендикуляром к плоскости а, опущенным из точки А, называется кратчайший отрезок ЛВ.

Объясните, как вы понимаете это определение. Пусть ваш сосед задаст вам серию вопросов на понимание этого определения.

IV. Поставьте карандаш перпендикулярно к плоскости стола, положите на стол несколько карандашей, перпендикулярных к первому.

V. Ответьте на вопрос: если А В — кратчайший из всех отрезков, соединяющих точку Л с точками плоскости, то будет ли он и кратчайшим из всех отрезков, соединяющих точку Л с точками прямой, проходящей через точку ß?

VI. Запишите в свою тетрадь это доказательство.

VII. Возьмите карандаш, и пусть ваш сосед приставит к одному из концов карандаша другой карандаш перпендикулярно первому.

Пусть ваш товарищ покажет на модели, где располагаются все перпендикуляры к прямой, проходящей через карандаш.

VIII. Положите на плоскость стола тетрадь. Тетрадь — модель прямоугольника. Поставьте карандаш в центр прямоугольника перпендикулярно его плоскости.

IX. Выберите какую-нибудь точку на перпендикуляре к плоскости (карандаше) и покажите отрезок, длина которого есть расстояние от выбранной точки до вершины прямоугольника.

X. Сделайте чертеж к задаче 6.30 и решите ее.

XI. Положите на стол прямоугольный треугольник. Возьмите карандаш и расположите его так, чтобы он проходил через вершину прямого угла и перпендикулярно его плоскости. Мысленно соедините с вершинами прямоугольного треугольника тот конец карандаша, который не лежит в его плоскости.

XII. Сделайте рисунок и решите задачу 6.35.

Работа 37. Построение фигуры

Рождение этой работы обязано задачам 6.50, 6.51 и 6.52, в которых предлагается построить треугольник, ромб, трапецию. Работа идет в парах.

I. Нарисуйте ромб и посмотрите, определяется ли он: одной стороной, острым углом, диагональю, высотой, высотой и диагональю, двумя диагоналями, двумя высотами, высотой и углом между двумя диагоналями.

II. На листе бумаги нарисуйте ромб, отметьте на нем данные элементы (задача 6.51, с. 86) и обсудите, при помощи каких построений вы будете искать неизвестные вершины.

III. Поговорите с другой парой, обсудите найденные решения. Не забывайте проанализировать, определяют ли заданные элементы фигуру.

IV. Самостоятельно, каждый в своей тетради, выполните построение треугольника из задачи 6.50, с. 86.

V. После обсуждения решенных задач в паре попробуйте вместе подумать над теми пунктами задачи 6.50, которые решить не удалось.

VI. Обсудите план решения задачи 6.52.

Работа 38. Оценка своего уровня изучения теоремы Пифагора и ее применения

Выберите один из вариантов.

Вариант 1

1. Решите задачу 5.2 (рассмотрите один случай на рисунках 67 и 68).

2. Решите один пункт задачи 5.7.

3. Решите задачу 6.9 (рассмотрите один случай на рисунке 80).

4. Решите задачу 6.34.

5. Решите один пункт задачи 6.44.

Вариант 2

1. Составьте и решите задачу, обратную задаче 5.8.

2. Выполните последнее задание задачи 6.17: «Обобщите эти утверждения».

3. Решите задачу 6.29.

4. Решите задачу 6.25 в).

Вариант 3

Составьте вариант сами из любых заинтересовавших вас геометрических задач.

Вариант 4

1. Постройте квадрат, площадь которого равна 10.

2. Отрезок PC — перпендикуляр к плоскости правильного треугольника ABC; АС = ВС = AB = PC = 1. Вычислите расстояние от точки Р до прямой AB.

3. Нарисуйте прямоугольный треугольник ЛВС (ZC = 90°). Опустите высоту на гипотенузу. Задайте величины некоторых отрезков, изображенных на рисунке, и вычислите остальные.

4. В четырехугольнике ABCD диагонали перпендикулярны, AD = а, ВС = Ь. Вычислите AB2 + DC2.

5. В равнобокой трапеции диагональ равна большему ее основанию. Рассмотрите рисунок, придумайте условие и решите задачу.

§ 7. СИНУС

Десятое правило Р. Декарта для руководства ума гласит: «Чтобы стать находчивым, ум должен упражняться в разыскивании тех вещей, которые уже были открыты другими, и при помощи метода обозревать даже самые незамысловатые изобретения людей, но в особенности те, которые объясняют или предполагают порядок»1).

1) Декарт Р. Сочинения. - М.: Мысль, 1989. - С. 188.

Работа «Читаем параграф вместе» учит ребят пристально вчитываться в каждое слово, выяснять его смысл. Этому способствует уже самое первое задание, предлагающее не просто прочитать текст параграфа, но и выписать все фразы, которые остановили их внимание. Потом они смогут поговорить об этих фразах: мысленный разговор с автором работы, разговор с соседом по парте и главное — дискуссия с самим собой. Как результат такого обсуждения текста — выход на новую идею доказательства теоремы 9.

Заканчивается работа возвращением к задаче 6.3, которая уже была решена ранее. Однако теперь, обогащенные новыми знаниями, мы можем решить ее проще. Несказанно важно, чтобы ребята не бросали задачу после получения ответа, чтобы они к ней возвращались, пытались найти другое, более рациональное решение. Такие действия школьников надо приветствовать.

Работа «Изучаем и применяем» относится к работам по познанию теории. Отличие ее от предыдущей в том, что здесь чередуется чтение какой-либо части параграфа с решением задачи, поиск решения которой немыслим без применения изученной теории.

Работа «Познание метода» начинается с советов решающему геометрическую задачу. Советы взяты из анализа решения задачи 7.1 учебника на с. 94—95.

В работе и рассматривается эта задача, только ученик, прежде чем изучать авторское решение и комментарии, попытается, используя эти советы, решить ее сам. Потом, при выполнении задания X, чтение решения в учебнике будет сопоставляться с его собственным опытом, и поэтому ученик более осознанно воспримет советы и комментарии авторов учебника.

Работа 39. Читаем параграф вместе

Великий математик и философ Рене Декарт (1596—1650) писал: «Когда мне приходилось, будучи молодым человеком, слышать о каких-либо искусных умозаключениях изобретательного автора, я пытался воспроизвести их самостоятельно, не читая этого автора»1).

Интересный метод работы, не правда ли?

I. Поставим перед собой цель: бегло прочитать первые два пункта § 7 и выписать все фразы, которые чем-то задели, остановили внимание. Но для начала прочтем лишь первые два пункта. Итак, читайте до п. 7.3 и выписывайте фразы.

1) Декарт Р. Сочинения. - М.: Мысль, 1989. - С. 189.

II. Прочтите те фразы, которые выписал сосед. Постарайтесь разобраться в смысле хотя бы некоторых из них,

постарайтесь уменьшить число непонятных фраз.

III. Прочтите фразы из этого параграфа.

«Все основные понятия тригонометрии выражаются через отношение отрезков». Какие это основные понятия тригонометрии? Да и что это за наука тригонометрия? Непонятно?

«Тогда отношение перпендикуляра ВС к наклонной ВА не зависит от выбора точки ß». Что значит «отношение... не зависит»?

«На стороне q выберем любую точку М. Выразим площадь S треугольника АВМ двумя способами». Зачем надо выбирать точку на стороне q? Зачем надо площадь выражать двумя способами?

Попробуйте друг другу объяснить смысл этих трех фраз.

IV. Прочтите начало доказательства теоремы 9.

V. Уж больно властной рукой ведут авторы читателя по кем-то найденной дороге доказательства. Да и слова «не зависит от выбора точки» тоже засели в голове.

Попробуйте разобраться с этими проблемами.

VI. Посмотрите на рисунок 83, е. Какую бы точку — В или Вх — на стороне р мы ни взяли, отношение будет таким же, как и т.е. -= ——-. Если это доказать, то часть теоремы будет доказана. Попробуйте.

VII. Вспомните случай, который мы уже рассматривали в одной из работ, посвященной разбору задачи 6.3. Тогда мы это равенство несколько преобразовали: ВСАВХ - ВХСХ AB. Теперь нам надо доказать равенство произведений отрезков. Подумайте, с каким понятием у нас обычно связано произведение отрезков.

VIII. На рисунке найдите или постройте два равновеликих треугольника: один — со стороной, равной А В, и высотой ВХСХ, другой — со стороной, равной АВХ, и высотой, равной ВС.

Попробуйте это сделать и продолжите доказательство.

IX. Треугольники АВХВ2 (АВ2 = AB) и АВВ3 (АВЪ = АВХ) - искомые. Их равенство, а следовательно, и равновеликость доказать просто. Докажите.

X. Второй случай, когда точка В лежит на одной стороне угла, а точка Вх — на другой, разобран на с. 88 после доказательства. Прочтите и разберитесь.

XI. Вернемся теперь к задаче 6.3. После того как доказана теорема 9, эта задача будет решена вами чрезвычайно просто, в одну строчку. Решите ее.

Работа 40. Изучаем и применяем

Сегодня мы будем читать теорию и сразу ее применять к решению задач.

I. Прочтите первый абзац п. 7.3, сосредоточьте свое внимание на формуле (3).

II. Решите задачу 7.2:

Запишите зависимость у от х по рисунку 90. Значит, вам надо выразить у как функцию от*. В ответе должна появиться запись вида у = f(x).

III. Прочтите п. 7.5 и последний абзац п. 7.4 с формулой sin(180°-a) = sina.

IV. Решите задачу 7.5.

V. Прочтите п. 7.6: первые три свойства синуса.

VI. Решите задачу 7.12.

VII. Прочтите в п. 7.6 четвертое свойство синуса: «Величина острого угла определяется синусом этого угла...» и т.д.

VIII. Решите задачу 7.13.

IX. Ответьте на вопросы, помещенные в конце параграфа на с. 93.

X. Поговорите с соседом о всей выполненной работе.

XI. Решите по выбору любую задачу к § 7.

Работа 41. Познание метода

Недостаточно во всем сомневаться, необходимо знать, почему сомневаешься.

Пуанкаре

Сначала несколько советов решающему геометрическую задачу:

1. Умей поставить себе вопрос, который поможет высветить недочеты решения.

2. Будь внимателен: данные задачи могут быть противоречивы.

3. Противоречие в данных задачи можно обнаружить, сопоставив результаты с остальными данными в условии.

4. Можно выявить противоречивость данных, подумав, какие элементы условия определяют треугольник (фигуру).

5. Противоречие может быть из-за лишних данных в условии.

6. По причине лишнего данного противоречие случается не всегда.

I. Прочтите эти советы своему соседу и попытайтесь дать свою трактовку их смысла.

II. Задача. Вычислите длину отрезка х по рисунку.

Поразмышляйте над этой задачей, периодически обращая свой взор к советам, которые даны перед работой.

III. Сейчас вам будет предложено два пути решения. Договоритесь с соседом, кто из вас каким путем будет решать задачу.

1-й путь: 1) Найти sin В из ABCD; 2) найти sin В из ААВС; 3) приравнять синусы; 4) решить полученное уравнение.

2-й путь: 1) Вычислить катет АС из ААВС; 2) из AACD найти х по теореме Пифагора.

IV. Сравните ответы, проверьте решения друг у друга. Постарайтесь установить, в чем причина возникшей проблемы. Возвратитесь к советам, данным в начале работы.

V. Проверьте, выполняется ли при найденном значении х при решении 1-м способом теорема Пифагора для треугольника ЛВС.

VI. Поразмышляйте над возникшей проблемой.

VII. Установите, определяется ли прямоугольный треугольник гипотенузой и катетом; катетом и высотой к гипотенузе.

VIII. Найдите высоту прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, если гипотенуза равна 4, а катет равен 3.

IX. Посмотрите снова на рисунок к задаче и выясните все возникшие противоречия.

X. Прочтите на с. 94—95 решение задачи 7.1.

XI. Сделайте в своей тетради необходимые пометки.

XII. Осмыслите метод вычисления неизвестного отрезка с, используя тригонометрическую функцию.

Если угол входит в два прямоугольных треугольника, то надо вычислить одну и ту же тригонометрическую функцию из разных треугольников и приравнять эти значения функции. Получим уравнение, из которого и находится неизвестный отрезок.

§ 8. ПРИМЕНЕНИЯ СИНУСА

Параграф содержит много фактов, которые надо запомнить. Ребят стоит научить приемам запоминания. Эту цель и преследует работа «Запечатление как познавательный процесс». Вот как описывает основные принципы запечатления информации Ф. Лезер, профессор Берлинского университета:

«1. Правильно выбирать познавательные связи.

2. Устанавливать разносторонние познавательные связи с целью долговременного запечатления информации.

Кратковременное и быстрое запечатление достигается с помощью структурных или ассоциативных связей. Для долговременного запечатления следует использовать смысловые связи. Запечатление будет максимально прочным, если устанавливаются возможно более разносторонние смысловые связи, а для дополнительного усиления запечатления используются ассоциативные и структурные связи»1).

Они и составили основу работы «Запечатление как познавательный процесс».

Обратите внимание, что цель этой работы сугубо психологическая. Как же объяснить ее появление на уроке математики? Во-первых, как мы уже говорили, на любом уроке для ученика самоосознание, самопознание, самоопределение важнее фактического, программного материала. Во-вторых, без приемов запоминания трудно, а порой и невозможно овладеть самим программным материалом, даже при блестящем его изложении учителем. В-третьих, у ребенка появится вера в то, что своей памятью можно управлять, используя определенные законы, определенные приемы, появится уверенность в себе.

Далее две работы «Читаем и применяем» предлагают ученику быть соавтором: прочитать утверждение и доказать его самому, посмотреть рисунок, сформулировать представленную там задачу и найти ее решение самостоятельно. Конечно, затем обязательно будет дано время для изучения авторской версии. И самое главное в этой работе даже не решение, не доказательство, а участие в поиске на равных с автором. Тогда становятся понятными многие действия авторов, которые в учебнике не объяснены, и, возможно, произойдет расставание со школярскими установками: «Вы пишете — я учу», «Вы рассказываете — я учу — рассказываю вам — вы оцениваете». Получает реализацию принцип деятельности, один из принципов нового образования, который придет на смену принципу сознательности, как об этом пишет психолог и математик В.В. Давыдов.

Последовательное чтение теории и решение задач осуществляют постепенное погружение в осмысление теории и в то же время реализуют переход от абстрактного к конкретному.

1) Лезер Ф. Возрастная и педагогическая психология. — М.: МГУ, 1992. — С. 115.

В п. 8.1 выведены и сформулированы важные для решения задач выводы: катет находят умножением гипотенузы на синус противолежащего угла; гипотенузу находят делением катета на синус противолежащего угла. Эти два вывода ребенок должен запомнить и не позволять себе ошибаться. Но как это запомнить? Один способ предложен в работе.

Работа 42. Запечатление как познавательный процесс

I. Поразмышляйте над следующими фразами: «Запечатление — это фиксирование информации в памяти на основе установления познавательных связей между вновь поступившей информацией и информацией, хранящейся в памяти», «... любая информация характеризуется тремя особенностями: смыслом (содержанием, значением), ассоциацией (связью с другой информацией) и структурой (формулой)»1).

Подумайте, перескажите смысл этих фраз своими словами, дайте свое толкование тому, что вы прочитали, приведите примеры.

II. Запишите формулу: как найти катет по гипотенузе и острому углу; как найти гипотенузу по катету и острому углу.

Таким образом нам удалось структурировать информацию. Посмотрите в п. 8.1 на с. 98—99, как это сделали авторы.

III. Известно, что с помощью структурных связей достигается быстрое и кратковременное запечатление, которое легко стирается вновь поступившей информацией. Мы же поставили перед собой задачу запомнить эти два вывода на длительное время. Зафиксируйте как-нибудь эту информацию, чтобы она не стерлась новой.

IV. Подключите смысловые связи.

Попробуйте проанализировать, почему следующие формулы в принципе не могут существовать:

(a, b — катеты, с — гипотенуза, А, В — острые углы).

V. Поговорите с соседом, обсудите эту проблему.

VI. Обратите внимание, что в этих формулах налицо противоречие с определением синуса, со свойствами синуса, который не может принимать значения, большие единицы, гипотенуза всегда больше катета, а не катет больше гипотенузы, как это следует из этих формул.

1) Лезер Ф. Тренировка памяти. — М.: Мир, 1979. — С. 74.

Итак, напишите формулы, определяющие катет через гипотенузу, гипотенузу через катет, и при этом обязательно подумайте об их смысловой нагрузке, о разумности написанного вами равенства, сравните множество значений обеих частей равенства.

VII. Запомнить помогают и мнемонические правила. Придумайте для себя такое хитрое правило, хитрый способ, облегчающий запоминание путем образования дополнительных ассоциаций, о котором вы никому и не скажете (может быть, он покажется другим смешным), но который вам поможет запомнить, что

VIII. Поговорите с соседом.

IX. Заметьте, что в алфавите после буквы «г» идет буква «Д» — гипотенуза находится Делением, а после «к» где-то далеко-далеко буква «У» — катет находится Умножением. Это то мнемоническое правило, которым можно пользоваться при запоминании этих формул.

Попробуйте применить его, пусть сосед проконтролирует.

X. Вспомните все изученные формулы, опираясь на: 1) смысловые связи; 2) структурные связи; 3) ассоциативные связи, используя мнемоническое правило.

XI. Выберите в учебнике одну из задач 8.1 — 8.10 на с. 103 — 105 и решите ее, применяя эти формулы. При использовании формулы не подсматривайте в учебник и тетрадь, старайтесь их припоминать, опираясь на изученные связи.

XII. Итак, после сегодняшней работы можно забыть все, кроме способов запоминания, информации и тех смысловых опор, ассоциаций, которые позволят вам вспомнить рассматриваемые формулы. В заключение перечислим виды памяти: моторная, эмоциональная, образная, словесно-логическая.

Работа 43. Читаем и применяем

I. Прочитайте первую фразу п. 8.2 на с. 99: «Площадь треугольника можно найти, зная две его стороны и угол между ними». Найдите площадь по этим данным.

II. Прочтите п. 8.2 на с. 99.

III. Решите задачу 8.13.

IV. Обсудите с соседом решения. Выделите основные теоретические положения, которые позволили вам решить эту задачу.

V. Посмотрите, использовали ли вы такие теоретические выводы:

синусы смежных углов равны; площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей; формулу площади треугольника S = — ab sin С

Если вдруг у вас не получился какой-либо пункт этой задачи, попытайтесь ее решить еще раз, используя указанные выше теоретические выводы.

VI. Решите задачу 8.12.

VII. Обсудите ее решение с соседом.

VIII. Посмотрите, верно ли, что 0 < 5 < ab.

IX. В паре обсудите и решите задачу 8.16: Вычислите отношение площадей по рисунку 98.

X. Выберите одну из задач 8.11—8.28 и решите ее в тетради.

XI. Расскажите кому-нибудь из одноклассников ее решение.

Работа 44. Читаем и применяем

В работе мы будем решать треугольники с помощью теоремы синусов.

I. Откройте учебник на с. 101, п. 8.5.

Рассмотрите рисунок 94, а, б и попытайтесь с соседом по парте самостоятельно, не читая текста учебника, найти расстояние до недоступного предмета. Известно, что вы умеете определять расстояния между двумя доступными точками и углы между прямыми.

II. На с. 100 найдите ту задачу, решение которой вам здесь надо применить.

III. Посмотрите на рисунок 95, а, б. Опять попытайтесь самостоятельно определить высоту недоступного предмета.

IV. Прочтите решение задачи 2 на с. 102. Доведите решение до конца и вычислите а и h.

V. Решите задачу 8.38. Если будут затруднения, возвращайтесь к чтению п. 8.4.

VI. Сверьте свои решения с соседом по парте.

Работа 45. Познание метода

... Логика просто освещает завоевание интуиции. Морис Клайн

Задача. В выпуклом четырехугольнике dx и d2 — длины его средних линий, а ф — угол между ними. Докажите, что площадь четырехугольника S вычисляется по формуле S = dxd2 sincp. Каковы следствия из нее? Как ее можно обобщить?

I. Сделайте рисунок к задаче. Отметьте на нем все данные элементы: dx и d2 — средние линии, ср — угол между ними. Не забудьте отметить равенство половинок сторон, на которые стороны делятся средними линиями.

II. Сделайте дополнительные построения. Используйте определение средней линии.

III. Рассмотрите получившийся в результате дополнительного построения четырехугольник. Соберите воедино всю известную о нем информацию.

IV. Сделайте вывод об этом четырехугольнике, опираясь на признаки известных вам четырехугольников.

V. Сделайте к задаче несколько рисунков: это действие поможет пробудить нужные мысли, успокоит, поможет иначе взглянуть на задачу.

VI. Проверьте, все ли данные задачи использованы.

VII. Используйте известные вам формулы площади из теории и из решенных ранее задач.

VIII. Прочтите решение задачи 8.14 на с. 106—107.

IX. Обдумайте с товарищем по парте путь исследования решения задачи и проведите это исследование.

X. Обсудите с другой парой исследование, которое вы провели.

Работа 46. Искусство решать задачу

Задача 8.25. Пусть а, Ь, с, d — длины четырех последовательных сторон выпуклого четырехугольника. Докажите, что его площадь S удовлетворяет таким неравенствам:

I. Работа в парах. Сделайте рисунок четырехугольника, отметьте на рисунке длины, его стороны а, Ь, с, d. Изучите все четыре случая.

Найдите сходство и различие. Подумайте, с какого случая легче начать решение задачи.

II. Обратите внимание на то, что требуется доказать некоторое неравенство относительно площади четырехугольника. Однако у нас нет формулы для вычисления площади четырехугольника. Вспомните все, что вам известно о вычислении площади четырехугольника.

III. Посмотрите на правые части неравенств, на произведения ab, cd, ad, be... Дайте свободу ассоциативному мышлению, подумайте, что напоминают эти произведения. Посмотрите на рисунок, сделайте, если нужно, дополнительные построения.

IV. Итак, мы старались восстановить в памяти сведения, относящиеся к поиску решения задачи. Проведите диагонали, которые разобьют весь четырехугольник на треугольники, в частности на треугольники со сторонами а и Ь, с и d, а и d, b и с. Кроме того, нам известна формула SABC = — ab sin С.

Используйте всю эту информацию и найдите решения пунктов а), в), г). Многое зависит от вашей смелости, свободы выдвижения идей, умения выбраковывать ненужные и сосредоточиваться на тех, которые приближают к решению.

V. Сначала решите пункт в) задачи, а именно докажите, что S<— (ab + cd) или S < — ab + — cd. Но - ab >- ab sin ß, 2 v — cd > — cd sin D. Далее все ясно. Аналогично решите и задачи пунктов а), г).

VI. Теперь попробуйте доказать случай б).

S < ~{ас + bd), S - ~ас + ~2*d. Подумайте, чем отличается этот случай от предыдущих трех. Нельзя ли и этот случай свести к предыдущим? Какие для этого надо выполнить дополнительные построения, дополнительные действия?

VII. Обычно решающий задачу очень робко выходит за ту часть плоскости, которая ограничена рисунком, и вообще редко осмеливается на то, чтобы разрезать фигуру, переложить удобным образом ее части. Помните, что действия с фигурой не регламентированы. Преобразуйте ее так, чтобы можно было воспользоваться результатом пункта в), сблизьте стороны а и с, b и d.

VIII. Послушайте соседа, обсудите возникшие идеи.

IX. Посмотрите: должен получиться четырехугольник со сторонами а, с, b, d последовательно.

Конечно, наверняка есть другие способы доказательства этого пункта, и более красивые. Поищите их.

X. Заметьте, что сначала мы посмотрели на все пункты задачи, выбрали похожие, подобрали к ним аналогичные задачи, которые решали ранее. В это время последний пункт б) был как бы нами забыт, мы от него несколько отвлеклись, но в нашем подсознании шла над ним работа. Решая пункты а), в), г), мы непроизвольно задумывались над тем, что же следует предпринять для решения в пункте б), сопоставляли его с пунктами а), в), г).

Прочтите слова известного американского математика Д. Пойа, который пишет: «Каковы бы ни были достоинства и недостатки теории подсознательной деятельности, определенно существует предел нашим сознательным размышлениям, который не следует насильственно переступать. Бывают такие моменты, когда лучше всего на некоторое время оставить задачу в покое... Однако лучше не откладывать в сторону нерешенную задачу без чувства хотя бы небольшого успеха; хоть какая-нибудь маленькая деталь должна быть улажена; нужно уяснить себе какую-нибудь сторону вопроса к моменту, когда мы прекращаем работать над решением»1).

Работа 47. Выход в пространство

I. В начале работы должен быть хотя бы маленький успех для создания хорошего настроения. Решим задачу 8.27:

В тетраэдре известны длины трех ребер, выходящих из одной его вершины, и углы между этими ребрами. Как вычислить площадь его боковой поверхности?

Задачу эту попробуйте решить без чертежа. Мысленно представьте тетраэдр и разработайте план вычисления его боковой поверхности.

II. Поговорите с кем-нибудь в классе, поделитесь своими раздумьями над этой задачей, проверьте и скорректируйте их.

III. Задача 8.28. В тетраэдре РАВС ребро РА перпендикулярно грани ABC, в которой AB = АС. Пусть известны PAf PB, ZBAC. Как вычислить площадь поверхности тетраэдра?

Сделайте рисунок. Вспомните, что следует из того, что ребро РА перпендикулярно грани ЛВС, и сделайте отметки на чертеже. Сделайте вывод из условия задачи: AB = АС. На помощь вам должны прийти задачи, решенные ранее. Если все же ничего не вспомните, примените прием, который мы уже использовали: назовите иначе отрезки AB и АС, вспомните их другие имена.

IV. В отличие от предыдущей задачи в этой требуется вычислить площадь полной поверхности пирамиды.

Вы заметили, что полная поверхность тетраэдра в данном случае состоит из двух равных прямоугольных треугольников и двух равнобедренных треугольников. Докажите это.

V. Наверное, у вас нет проблем при нахождении площадей прямоугольных треугольников. А вот для нахождения площадей равно-

1) Пойа Д. Как решать задачу. — М.: Учпедгиз, 1959.

бедренного треугольника РВС надо провести высоту из точки Р. Сделайте это и проведите вычисления до конца.

VI. Обсудите с соседом решение этой задачи.

VII. Проверьте выкладки:

VIII. Прочтите с соседом по парте задачу 8.46:

Пусть РА — перпендикуляр к плоскости треугольника ABC. Вычислите площадь поверхности тетраэдра РАВС, если: г)РА = ВС = 1, ZPCB = 45°, ZPBC = 60°; б)ЯС = 2,РВ = 3,РА = 1, ZACB = 120°.

Сделайте рисунки, отметьте все данные задачи. Обговорите план решения и пункта а), и пункта б). Пусть каждый выберет один из них и решит. При обсуждении плана решения вспомните про ранее решенные задачи.

IX. Обсудите свои решения.

X. Рассмотрите пункт а). Применение теоремы синусов позволит вычислить PC и PB. Теорема Пифагора поможет вычислить AB и АС. Осталось вспомнить известные формулы площади треугольника и вычислить площадь поверхности пирамиды.

В пункте б) применение теоремы Пифагора позволяет вычислить AB и AC. ZABC находится при помощи теоремы синусов, затем по теореме синусов находится ВС и площади ЛВС и РВС.

Работа 48. Оценка своего уровня познания темы «Синус»

Каждый выбирает один из вариантов.

Вариант 1

1. Решите один из пунктов задачи 7.1.

2. Решите задачу 7.17.

3. Решите один из пунктов задачи 8.16.

4. Решите один из пунктов задачи 8.25.

5. Решите один из пунктов задачи 8.38.

Вариант 2

1. Составьте и решите задачу, аналогичную задаче 7.1.

2. Задайте некоторые элементы прямоугольного треугольника и решите его.

3. Составьте и решите задачу, аналогичную задаче 8.46.

4. Составьте и решите задачу, аналогичную задаче 8.16.

Вариант 3

Решите несколько интересных геометрических задач.

Вариант 4

1. Нарисуйте два смежных треугольника, такие, чтобы площадь одного была в два раза больше площади другого.

2. Из некоторой точки О внутри правильного треугольника со стороной а на его стороны опущены перпендикуляры OK = b, OL = = с, ОМ = /. Основания их соединены. Найдите площадь треугольника, полученного от соединения оснований перпендикуляров.

3. Задайте некоторые элементы треугольника ЛВС и решите его.

4. В треугольной пирамиде РАВС РС±(АВС), PC = AB = ВС = = АС = 1. В треугольнике РКС (К — середина AB) вычислите расстояние от точки С до стороны PK.

§ 9. КОСИНУС

Первые две работы «Изучаем и применяем» направлены на отработку определения косинуса, его основных значений, основного тригонометрического тождества.

В работах сочетается чтение учебника с решением задач на применение прочитанного.

«Учимся правильно забывать». Не правда ли интригующее название работы? Что значит учиться забывать, да еще правильно? Каждый знает, что его память не удержит всей информации и поэтому многое из того, что он учит сегодня, забудет, причем произойдет это не по его воле.

Но вот в чем дело: есть информация, которую постоянно помнить не нужно до определенного момента. На что можно опираться при припоминании? Если правильно забыть, то гораздо больше шансов вспомнить забытое. Но, чтобы правильно забыть, надо правильно запечатлеть и повторить. О том, что такое правильно запечатлеть, мы говорили выше. Основа правильного восприятия и запоминания — цель и опора на свой основной анализатор при разумном использовании всех анализаторов, применение смысловых, структурных, ассоциативных связей. При таком запоминании не страшно забывать, ибо всегда поможет вспомнить либо словесная опора, либо смысловая, либо структурная.

Думаю, что такая работа будет полезна ребятам.

«Свойства синуса и косинуса» — обобщающая работа. Ее цель — привести в порядок свойства обеих функций в понимании ученика. Известно, что сравнение, сопоставление, структурирование и осмысление помогают более качественно изучить материал.

Хочу обратить внимание на то, что это обучающая работа и поэтому не рассчитанная на оценивание ее учителем. Просто ребенок

сам наведет порядок в своих знаниях, систематизирует их, добьется полного понимания. «Для понимания свойственно ощущение ясной внутренней связанности, организованности рассматриваемых явлений. Это может быть логическая упорядоченность...»1).

Работа 49. Изучаем и применяем

... Математику движут вперед в основном те, кто отмечен даром интуиции, а не строгого доказательства.

Герман Вейль

Цель этой работы — глубже изучить теорию, которая изложена в § 9, познакомиться еще с одной тригонометрической функцией — косинусом.

I. Прочтите последний абзац на с. 112—113 до слов «Докажем это». Вспомните определение синуса (с. 89).

II. Решите один из пунктов задачи 9.3 на с. 118:

Запишите выражения для синусов и косинусов углов, указанных на рисунке 106.

Задание простое, но требует сосредоточенности и внимания.

III. Поменяйтесь с соседом решениями и проверьте друг друга. Все споры решайте, используя теорию.

IV. Устно вместе с соседом рассмотрите задачу 9.4.

V. Прочтите п. 9.3. Запишите в тетрадь основные формулы, которые вы хотите запомнить.

VI. Решите задачу 9.10.

VII. Прочтите в п. 9.4 первые три свойства косинуса.

VIII. Решите задачу 9.24.

IX. В паре с соседом обсудите и решите задачу 9.25.

Работа 50. Изучаем и применяем

Работа посвящена основному тригонометрическому тождеству.

I. Нарисуйте прямоугольный треугольник ЛВС, его гипотенузу расположите на рисунке горизонтально. Пусть угол С будет прямым, длина гипотенузы равна 1, ZЛ = а. Из вершины С опустите перпендикуляр CK на гипотенузу AB. Вычислите ВС, АС, АК и КВ. Докажите, что sin2 а + cos2 а = 1.

II. Прочтите текст на с. 114 до слов «Итак, равенство (1) справедливо для любых углов».

1) Психология: Словарь. — М.: Политиздат, 1980. — С. 284.

III. Решите задачу 9.5:

Запишите основное тригонометрическое тождество, а) Выразите из него cos2 a, cosa, sin2 a, sina. б) Пусть cosa растет. Что происходит с sina ? в) Пусть sina убывает. Как изменяется cosa ? г) Как из этого тождества получить неравенства |sina|<l, I cosa I < 1?

Если будут затруднения при решении задани, обратитесь к тексту учебника на с. 114.

IV. Сопоставьте свое решение с решением соседа, обсудите каждый пункт задачи.

V. Прочтите п. 9.2 со слов «Используя равенство ( 1 ), мы можем показать...».

VI. Решите задачу 9.6.

Если пункты а) и б) для вас очевидны и вы можете устно объяснить решение любого из них, то решайте пункт в). Могут ли sina и cosa равняться соответственно

VII. Поговорите с соседом о решении этой задачи.

VIII. Проверьте ответы:

б) sina = -a, cosa = ±Vl - a2 (-1 < a < 0);

в) sina = a, cosa - -a — возможно, если a = 135°; sina = a, cosa - la — возможно, если a - -j=\ sina = a, cosa = — — невозможно, так как a1 + — > 2 > 1; sina = —-, cosa = —- - возможно при любом a.

Если вы не согласны с этими ответами, то постарайтесь аргументировать свои замечания.

Работа 51. Познание метода

История учит нас, что интуиция великих людей гораздо более успешна, чем их логика.

Морис Клайн

Задача. В равнобедренном треугольнике известны его высоты. Найдите его углы.

I. Нарисуйте равнобедренный треугольник. Проведите его высоты. Отметьте углы, которые надо найти.

II. Постарайтесь ответить на вопрос, определяют ли данные задачи равнобедренный треугольник, т.е. выясните, можно ли построить равнобедренный треугольник по его высотам циркулем и линейкой.

III. Попробуйте найти фигуру, часть равнобедренного треугольника, которую построить просто, зная высоты треугольника. Не забудьте, что дан равнобедренный треугольник.

IV. Рассмотрите прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — высота к основанию данного равнобедренного треугольника, один из катетов — половина его высоты, проведенной к боковой стороне, другой катет — часть боковой стороны равнобедренного треугольника.

V. Подумайте, определяется ли данными задачи треугольник однозначно, т.е. надо доказать, что не существует двух неравных между собой равнобедренных треугольников с данными высотами.

VI. Поговорите с соседом о своих рассуждениях по поводу решения задачи.

VII. Итак, если вы убедились, что данные задачи определяют фигуру, то приступите к вычислению углов равнобедренного треугольника.

VIII. Вычислите площадь треугольника различными способами и результаты приравняйте.

IX. Из данного равенства составьте пропорцию.

X. Из пропорции получите отношение, которое является какой-либо функцией угла, и по функции найдите угол.

XI. Откройте учебник на с. 120 и прочтите решение задачи 9.18.

XII. Сделайте необходимые выводы о стратегии решения и запишите в тетрадь.

Работа 52. Учимся правильно забывать

Две изученные темы «Синус» и «Косинус» дали массу информации, которую необходимо запомнить. Во-первых, формулы

во-вторых, формулы

в-третьих, значения синуса и косинуса для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°.

I. Попробуйте первые формулы запомнить, воспользовавшись ассоциативными связями. Известно, что, чем необычнее ассоциация, тем прочнее она запечатляется.

Придумайте некоторые ассоциации, которые позволят вам запомнить все написанные выше формулы.

II. Изучите ассоциации для запоминания четырех формул: sin(180°-a) = since, cos(180°-oc) = -cosa,

cos(90°-a) = sina, sin(90°-a) = cosa.

Ассоциация такая: а) сто восемьдесят градусов: синус синус, косинус ==> косинус, синус «хороший» (положительный), т.е. 180° , — смены на сходную функцию нет; б) девяносто градусов: синус => => косинус, косинус => синус, все «положительные», т.е. девяносто градусов, — замена на сходную функцию.

Для запоминания формулы sin2 a + cos2 a = 1 может служить ассоциация: гипотенуза. Вспомните одну из предыдущих работ, где мы говорили о том, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой единица и острым углом a части гипотенузы, разделенные основанием высоты, численно равны sin2 a и cos2 a.

III. Выпишите ассоциации и попробуйте восстановить информацию, используя их.

IV. Для последней формулы | cos a | = Vi - sin2 a не дана ассоциация, «обидели» ее, пусть она так и будет считаться «обиженной формулой». Кстати, это тоже ассоциация.

Итак, данные формулы мы хорошо и правильно запомнили, можем их теперь и забыть. Действительно, если мы теперь вспомним гипотенузу, значит, вспомним: sin2 a + cos2 a = 1; обиду — | cosa | = Vl - sin2 a, 180° => смены нет: sin(180°-a) = sina, cos(180°-a) = = -cosa; 90° замена: sin(90°-a) = cosa, cos(90°-a) = sina.

V. Придумайте ассоциации для запоминания формул нахождения катетов и гипотенузы.

VI. Поделитесь ассоциациями с соседом, выберите наиболее удачные.

VII. Оцените такую ассоциацию: «строчка — катет», «дробь — гипотенуза». Можно и так: «маленький — катет», «большая — гипотенуза».

Используя ассоциации, вспомните и запишите формулы для нахождения катетов и гипотенузы.

VIII. Придумайте, как проще запомнить все значения синуса и косинуса для углов, указанных в таблице. Запомните сначала таблицу и рассмотрите ее.

IX. Поговорите с соседом.

X. Можно заметить, что в таблице значений синуса 30°, 45°, 60°

во второй строке в числителях дробей стоят квадратные корни из трех последовательных чисел: 1, 2, 3, знаменатель же всех трех дробей 2.

Значения же синуса 120°, 135°, 150°:

Они являются зеркальными отображениями соответствующих значений функций углов относительно 90°.

С косинусом просто: сначала для углов в 30°, 45°, 60° идет все наоборот, т.е. значения те же, что и у синуса, но в обратном порядке, а затем зеркальное отображение сопровождается знаком «минус», и правильно, ведь cos(180°-a) = -cosot.

Теперь вы можете забыть все эти формулы.

XI. Поиграйте с соседом: сосед называет ассоциацию, а вы вспоминаете то, что надо. Потом поменяйтесь ролями.

XII. Запомните: «Научись разделять информацию, которую следует забывать, и информацию, которую забывать нельзя. Не подлежит забыванию информация, которая настолько не нужна, что ее вообще не надо запечатлевать, а сразу же после восприятия следует отбросить. Эта информация теряется навсегда... Забыванию подлежит информация, которая важна, но не используется постоянно. Чтобы правильно забыть, надо правильно запечатлеть и повторить»1). «... Забытая информация не теряется, а только оттесняется другой информацией в латентную память и там сохраняется»2).

Работа 53. Свойства синуса и косинуса

Эта работа носит обобщающий характер.

I. Возьмите большой лист бумаги и подпишите так: «Все про синус». Ваш сосед на своем листе бумаги пусть напишет: «Все про косинус». Нарисуйте прямоугольный треугольник ЛВС (ZC = 90°) с катетами a, b и гипотенузой с.

II. Начните с определения.

Дайте определение для синуса (косинуса) острого угла и тупого.

III. Напишите, чему равен синус (косинус) прямого и развернутого углов.

IV. Дайте определение синуса (косинуса) острого угла в прямоугольном треугольнике.

На протяжении всей работы вы можете обмениваться мнениями с соседом, консультировать и консультироваться. Можете пользоваться книгой.

V. Нарисуйте график синуса (косинуса) на промежутке от 0° до 180°.

VI. Напишите, какие значения может принимать синус (косинус).

VII. Напишите, как изменяется синус (косинус) при изменении угла: а) от 0°до 90°; б) от 90° до 180°.

VIII. Объясните, определяется ли величина угла синусом (косинусом) этого угла.

IX. Поменяйтесь местами с соседом, внесите изменения, дополнения, поговорите друг с другом.

X. Откройте учебник (синус — § 7, косинус — § 9). Почитайте, проверьте свое знание этой темы.

1) Лезер Ф. Тренировка памяти. — М.: Мир, 1979. — С. 106.

2) Там же (латентная память — неосознаваемая память).

XI. Переверните свой лист бумаги. Напишите сверху о той функции, о которой не писали: все о косинусе (синусе). Запишите всю информацию об этой функции.

§ 10. ПРИМЕНЕНИЯ КОСИНУСА

«Читаем и применяем...» — с этой работы начинается самостоятельное изучение обобщенной теоремы Пифагора (ОТП). Обратите внимание, что решать задачи на ОТП предлагается сразу после чтения ее формулировки и фиксирования в памяти формулы квадрата стороны треугольника.

Школьники решают простейшие задачи, обдумывают смысл ОТП, объясняют ее название, а затем с ее помощью определяют вид углов треугольника. Опять решение задач и наконец вопрос: «Верна ли ОТП?» И только после этого начинается чтение доказательства теоремы, приведенного в учебнике. Однако ребята не просто читают текст. Вопросы задания XIV предлагают им подумать о логической строгости доказательства. И тут же следует предложение придумать свое доказательство.

Хочу еще обратить ваше внимание на работу «Учимся решать задачу», которая приглашает ребят к серьезному, внимательному анализу условия, к смелости выдвижения гипотез, к умению отказываться от ложных гипотез и к смелости выдвигать новые гипотезы после анализа того, что уже удалось сделать.

Читатель, наверное, заметил, что в большинстве работ первые задания обращены к жизненному опыту ребят, к их интуиции. Логика привлекается несколько позже. Задания намеренно не тянут ученика к запланированному учителем результату, их цель — пробудить воображение ребенка, погрузить его мышление в мир геометрических образов и помочь ему рассмотреть их со всех сторон, увидеть то, что лежит на поверхности, но так тщательно скрыто от нашего взора, освободить его от всего, что мешает пробуждению его интуиции.

«Знание достигается интуитивно, и логическое изложение в лучшем случае является подчиненной и дополнительной помощью при обучении, а в худшем — решительным препятствием. С помощью интуиции учащийся должен «прилетать» к заключению «приземлиться», и только тогда он может прибегнуть к логике, чтобы обозреть общий путь, ведущий к цели. Если эта мысль правильна, то интуитивный подход должен быть первичным при введении в новый материал на всех уровнях» — так писал Морис Клайн в своей книге «Математика. Утрата определенности» (М.: Мир, 1914).

Работа 54. Читаем и применяем

I. Прочтите формулировку теоремы 11:

«В каждом треугольнике квадрат любой его стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними».

Выпишите формулу (1): с2 = а2 + Ь2 - 2abcosC.

Прикиньте, верна ли эта формула. Найдите какие-нибудь доводы, оправдывающие ее истинность.

II. Решите задачу 10.3:

Пусть в треугольнике ЛВС известны стороны а и 6, а также угол С. Составьте план вычисления стороны с. Вычислите с, если а = 2,Ь = 1, ZC = 60°.

Вычислив сторону с, поразмышляйте об истинности результата.

III. Решите задачу 10.4:

Дан треугольник ЛВС. Запишите ОТП для стороны а, стороны Ь. Какие следствия вы можете получить из этой системы равенств?

Впрочем, если трудно, то пока на последний вопрос можете и не отвечать.

IV. Скажите, в чем заключается обобщенная теорема Пифагора.

V. Почему ОТП имеет такое название?

VI. Поговорите с соседом.

VII. Как определить вид угла треугольника с помощью ОТП? Для проверки истинности вашего утверждения возьмите треугольник с углом С = 120° и сторонами а = о = —, с = 1 и вычислите величину угла С.

VIII. Если возникли затруднения, посмотрите на формулу (5) на с. 125.

IX. Решите задачу 10.1:

Две стороны треугольника постоянны, а угол между ними увеличивается. Докажите, что при этом третья сторона треугольника увеличивается.

X. Вместе с соседом подумайте над задачей 10.2 а): Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

XI. Обменяйтесь идеями решения или самим решением с другой парой.

XII. Итак, если применить ОТП к двум треугольникам, то получим, что в любом параллелограмме 2 (a2 +b2) = d? +d22.

Используйте этот результат и получите формулу для вычисления медианы треугольника по трем его сторонам.

XIII. Настал момент задуматься: а верна ли ОТП? Изучите доказательство теоремы на с. 124.

XIV. Подумайте, нет ли в авторском тексте доказательства ОТП логических ошибок. Все ли им удалось доказать? А вы можете придумать другое, более симпатичное доказательство? Придумайте.

XV. Решите задачу 10.2 б):

Используя задачу а), получите формулу для вычисления медианы треугольника по трем его сторонам.

XVI. Сверьте полученный результат с результатом, который получил ваш сосед, решая эту задачу.

XVII. У меня получилось та = ~ ^2а2 + 2Ь2 - с2. Проверьте.

Работа 55. Изучаем и применяем

Интуиция легко содействует постижению геометрических фактов, а надлежащие рисунки подсказывают методы доказательств.

М. Клайн

I. Прочтите задачу 10.17:

Стороны треугольника равны 4, 5, 6. Вычислите его наибольшую медиану и наименьшую биссектрису.

Сформулируйте проблемы, которые возникли после чтения задачи.

II. Используйте данные задачи, теорию п. 10.2, решение задачи 10.2 и найдите решения этих проблем.

III. Вы, наверное, доказали, что наибольшая медиана проведена к наименьшей стороне и длина ее равна — VTÖ6. А наименьшая из биссектрис та, которая проведена к наибольшей стороне, и длина ее равна 11 — . При вычислении биссектрисы необходимо воспользоваться тем, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Тогда легко по ОТП вычисляются все биссектрисы и из них выбирается наименьшая.

IV. Поговорите с соседом еще раз о решении этой задачи. Если вы еще не определили вид данного треугольника по углам, то определите.

V. После детального изучения п. 10.2 на отдельном листе решите задачу 10.9. Во время решения можно общаться, советоваться, консультироваться с соседом.

VI. Обменяйтесь листами с решением с соседом и проверьте его работу.

VII. Внесите, если необходимо, коррективы в свое решение. Сверьте свое решение с решением кого-нибудь из одноклассников.

Работа 56. Познание метода

Размышление — это дар, позволяющий нам сосредоточиться на своих идеях, оценивать их, видоизменять и разными способами сочетать. Оно — исходная точка суждения, оценки и т. д.

К. Вовенарг

Задача. Из вершины треугольника проведены биссектриса, высота и медиана. В каком порядке они расположены, если смотреть от меньшей из сторон при этой вершине к большей?

I. Нарисуйте треугольник ABC общего вида (AB > ВС) и постарайтесь поточнее построить биссектрису, высоту и медиану из одной вершины. Посмотрите, в каком порядке они расположены.

II. Нарисуйте треугольники другого вида. Посмотрите, в каком порядке в этих треугольниках расположены биссектриса, высота и медиана. Сформулируйте то утверждение, которое вы будете доказывать.

III. Рассмотрим такую гипотезу: сначала идет высота, потом биссектриса, а затем медиана. Изучая рисунок, выясните, от чего зависит именно такое положение этих отрезков, что закрепляет их в этом положении.

IV. Поговорите с соседом, обменяйтесь гипотезами.

V. Посмотрите на чертеж. Какие же элементы треугольника фиксируют положения интересующих нас отрезков: высота — ВН, биссектриса — BL, медиана — ВМ?

Во-первых, это углы, которые они образуют с одной из сторон угла В (допустим, с ВС). Во-вторых, отрезки, которые они отсекают от стороны Л С, считая от одной из вершин Л или С (допустим, от Л). Соберите всю информацию об указанных углах, а затем о заинтересовавших нас отрезках.

VI. Поговорите с соседом, обсудите все, что вы заметили. Попробуйте вместе завершить решение задачи, обосновав положение каждого из отрезков.

VII. Прочтите в учебнике на с.132 абзац со слов «Давайте рассуждать иначе». Читая, старайтесь отвечать на вопросы, сформулированные в тексте.

VIII. Прочтите в учебнике решение задачи 10.30 и сделайте в своих тетрадях необходимые вам заметки, но прежде постарайтесь убедить себя логическими рассуждениями, что каждый шаг решения правильный, постарайтесь уяснить себе цель этого шага.

Работа 57. Выход в пространство

Без большого напряжения нельзя надеяться решить серьезную задачу. Но от напряженного сосредоточия внимания на одном предмете у нас быстро наступает усталость. Чтобы удержать внимание, предмет, на который оно направлено, должен постоянно меняться.

Д. Пойа

I. Задача 10.23.

Пусть BD — перпендикуляр к плоскости треугольника A DC. Пусть известны BD, ZABD, ZCBD, ZABC. Как вычислить площадь поверхности тетраэдра A BCD?

Сначала бегло прочтите задачу. Уясните, о какой пирамиде идет речь, мысленно представьте ее. Прочтите, какие даны элементы, но на них не сосредоточивайте своего внимания. Выясните, что надо вычислить.

II. Вспомните, что мы уже решали задачи на вычисления площади поверхности пирамиды. Подумайте, в чем состояло их решение, на чем надо сосредоточиться здесь.

III. Сделайте рисунок, отметьте все данные величины, введите необходимые обозначения, чтобы легче было рассуждать.

IV. Суть задачи заключается в умении вычислять площадь треугольника, поэтому перечислите все известные вам формулы площади треугольника, отберите те, по которым вы будете производить вычисления.

V. Выясните, какие элементы в выбранной формуле вам надо вычислить.

VI. Две грани данной пирамиды - прямоугольные треугольники, в которых дан катет и острый угол, а в теории рассматривался вопрос решения прямоугольных треугольников. Сопоставьте эту информацию и используйте при решении задачи.

VII. Перечислите этапы решения задачи.

VIII. Обсудите с соседом свой план.

IX. Задача 10.24.

Пусть PB — перпендикуляр к плоскости треугольника ABC, АВ= = ВС, АС = 1, ZAPC = y, PB = 1. Найдите ZABC и площадь поверхности тетраэдра РАВС.

Прочтите условие, подумайте, что общего здесь с задачей 10.23, а в чем отличие.

Сделайте рисунок, подумайте, какие теоретические выводы помогут вычислить ZABC, тогда станет ясно, какие элементы тетраэдра требуется вычислить.

Посмотрите, что подойдет из плана решения задачи 10.24 для решения данной задачи. Используйте это.

X. Обсудите с соседом решение.

XI. Проверьте выкладки:

Работа 58. Учимся решать задачу

Проницательность есть способность путем догадки уловить существенные связи вещей в течение неощутимо малого времени.

Аристотель

I. Задача 10.31.

В трапеции рассматриваются углы при большем основании. Докажите, что против большего из них лежит большая диагональ трапеции.

Нарисуйте трапецию ABCD (ВС и AD — ее основания, AD — большее основание).

II. Выясните, какой же может быть данная трапеция. Подумайте и нарисуйте все виды трапеций, подходящих под условие задачи.

III. Подумайте вместе с соседом над этим вопросом.

IV. Так как углы при основании не равны, то может быть три случая: 1) оба угла острые; 2) один тупой, а другой острый; 3) один прямой, а другой острый. Если вы согласны, то выберите один вариант, который проще всего, и докажите требуемое утверждение.

V. Помните, что идея заключается в том, чтобы сблизить условие и заключение. Вот если бы интересующие нас углы и стороны свести в один треугольник, тогда можно бы было применить теорему 13 (в каждом треугольнике против большего угла лежит и большая сторона) и все было бы ясно. Попытайтесь сделать такие дополнительные построения, чтобы добиться этого результата.

VI. Поделитесь своими находками с другой парой.

VII. Пусть в трапеции ABCD угол А больше угла D и оба угла острые. Попробуем через точку С провести прямую CK \\ BD. Получили треугольник А CK, в котором АС и CK — диагонали трапеции. Кое-что удалось, но совсем непонятно, какой из углов больше: САК или CKD. Поэтому надо стремиться получить такой треугольник, две стороны которого равны диагоналям, — и углы, лежащие против них, можно было бы легко сравнить. Подумайте, верны ли эти рассуждения. Не добавили ли мы сами себе невыполнимые условия?

Помните, как это было с задачей: «Из шести спичек сложить четыре равных равносторонних треугольника»? Эта задача просто невыполнима в плоскости, а в пространстве (тетраэдр) — пожалуйста, все легко и просто.

Требовательным взглядом окиньте все предложения.

VIII. Попытаемся через точку В провести ßL||/4C, BL = АС, получим ABLD. Ситуация повторилась. Попробуйте сами получить эти треугольники. Может быть, у вас возникнут новые идеи? Посмотрите свежим взглядом на все решения в целом.

IX. Попробуйте реализовать все свои вновь возникшие идеи.

X. Когда попытки решить задачу зашли в тупик, полезно внимательно посмотреть на все, что сделано с самого начала. Вот он первый шаг: «Пусть в трапеции ABCD угол А больше угла D и оба угла острые». Стоп. Почему выбран этот случай? Какие еще есть случаи: один угол тупой, другой острый; один прямой, другой острый? Прямой и острый углы — это, пожалуй, более частный случай, чем все остальные, все-таки один из углов закреплен. Разумные идеи возникают из рассмотрения частных случаев.

Нарисуйте прямоугольную трапецию/lßCD с прямым углом Л, сравните в ней диагонали BD и АС. Подумайте над этим случаем.

XI. Удивительно: тот прием, то дополнительное построение, которое не срабатывало в предыдущем случае, здесь сразу привело к результату. Действительно, если провести СЕ\\ AB, то стороны треугольника BED: BD - диагональ трапеции, BE = АС, где АС — диагональ трапеции. В то же время BE и BD — наклонные, AB — перпендикуляр к AD. И так как АЕ < AD, то и BE < BD, т.е. АС < BD. Любопытно, что мы вначале выдвинули ложную идею:

получить треугольник с углами, равными ZA и ZD, и две стороны которого равны диагоналям трапеции.

Доказательство в этом случае найдено. Возникает вопрос: почему же в этом случае так все хорошо получилось, а в предыдущем случае не получалось? Ответьте на этот вопрос, проанализировав оба решения.

XII. Обсудите все свои находки с другой парой.

XIII. Да, в последнем случае в результате проведения отрезка С£||Л5, у нас получился прямоугольник АВСЕ, у которого диагонали равны, мы как бы отложили от вершины В отрезок BE = АС. Нельзя ли эту идею использовать и для случая, когда ZA и ZD острые? Правда, там уже прямоугольник не построить. А какой же можно построить четырехугольник, чтобы BE = Л С, точка Е лежала на стороне AD? Подумайте и, решив этот вопрос, двигайтесь дальше по дороге поиска решения.

XIV. Действительно, построение равнобокой трапеции АВСЕ, а совсем не параллелограммов (которые были построены в первом случае) приводит к решению. Нарисуйте в своей тетради рисунок к этому случаю и проведите полное доказательство.

XV. Обменяйтесь тетрадями с соседом и почитайте его доказательство.

XVI. Обсудите доказательство в третьем случае, когда один из углов при большем основании трапеции тупой.

XVII. Зафиксируйте в своей тетради выводы, которые вы сделали из пройденного пути поиска решения.

Работа 59. Оценка своего уровня познания темы «Косинус»

Каждый выбирает один из вариантов.

Вариант 1

1. Решите один из пунктов задачи 9.9.

2. Решите один из пунктов задачи 9.14.

3. Решите один из пунктов задачи 10.12.

4. Решите задачу 10.17.

5. Решите задачу 10.34.

Вариант 2

1. Сделайте рисунок, аналогичный рисунку 107, и вычислите по нему синусы и косинусы.

2. Решите один из пунктов задачи 9.15.

3. Докажите обратное утверждение утверждению задачи 10.6.

4. Составьте и проверьте обратное утверждение задачи 10.31.

Вариант 3

Решите несколько заинтересовавших вас геометрических задач.

Вариант 4

1. В ромбе ABCD угол Л равен а, диагональ АС = d. Вычислите площадь ромба.

2. В тетраэдре PABCD ABCD - прямоугольник, AB = l,AD = 2, РВ±(АВС). Вычислите площадь его боковой поверхности.

3. Основания трапеции равны 21 см и 20 см, диагонали 9 см и 40 см. Найдите угол между диагоналями.

4. Приведите несколько способов нахождения медианы треугольника, если известны все его стороны.

§ 11. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС

Работа «Читаем... и применяем...» на этот раз начинается с задания, предлагающего оценить стратегию авторов, т. е. оценить общий план изложения этой темы. И главное, понять необходимость введения новой тригонометрической функции. Подборка задач в этой работе тоже направлена на оправдание необходимости введения новой функции.

«Познание метода...» начинается с чтения и решения задачи 11.13 (решенную авторами в учебнике), а затем ребята учатся делать обобщение. В работе даны два направления обобщения, о которых говорит Д. Пойа: замена постоянной переменной, отбрасывание ограничений. Ребята пробуют применять советы Д. Пойа, составляют формулировки, которые считают обобщениями данных, критически их изучают. На суд ребят автор вынес несколько обобщений заданных ситуаций. Само умение делать обобщения — одно из основных интеллектуальных умений, которыми должен владеть любой человек, желающий грамотно строить свои рассуждения.

Приведу выписки из словарей, возможно, их тоже будет разумно использовать в этой работе.

«Обобщение, переход на более высокую ступень абстракции путем выявления общих признаков (свойств, отношений, тенденций развития и т. п.) предметов рассматриваемой области; влечет за собой появление новых научных понятий, законов, теорий» (Советский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1987).

«Обобщение — одна из основных характеристик познавательных процессов, состоящих в выделении и фиксации относительно устой-

чивых, инвариантных свойств предметов и их отношений» (Психологический словарь. — М.: Педагогика, 1983).

«Обобщение — мысленное выделение каких-нибудь свойств, принадлежащих некоторому классу предметов, и формулирование такого вывода, который распространяется на каждый отдельный предмет данного класса: переход от единичного к общему, от менее общего к более общему» (Логический словарь-справочник. — М.: Наука, 1975).

«В традиционной логике под обобщением понятия понимается переход от понятия меньшей общности к понятию большей общности путем отбрасывания признаков, принадлежащих только тем элементам, которые входят в объем обобщаемого понятия... Противоположной обобщению является операция ограничения понятия» (Краткий словарь по логике. — М.: Просвещение, 1991 ).

Работа «Применение метода...» продолжает познание обобщения. Характер остальных работ вам уже знаком из рассмотренных ранее.

И так как этот параграф последний в главе II, то он заканчивается зачетом. Вопросы к зачету можно дать на занятии, на котором начинается изучение темы «Тангенс и котангенс».

Работа 60. Читаем параграф и применяем изученную теорию

Когда мы двигаемся, это влияет на то, как мы пишем и рисуем. Когда мы пишем и рисуем, это влияет на то, как мы чувствуем и думаем.

Карл Роджерс

I. Прочтите п. 11.1. «Определение тангенса».

II. Постарайтесь определить стратегию авторов. Вы поняли, зачем надо вводить новую функцию угла? Если нет, то читайте дальше. Впрочем, если да, то тоже читайте дальше, может быть, дальнейшее чтение вызовет у вас сомнение и протест. А может быть, вы сами сумеете обосновать необходимость введения новой тригонометрической функции. Попытайтесь. Итак, читайте параграф до конца.

III. Обсудите все возникшие проблемы с соседом. Выясните, стоит ли вводить функции tga и ctga. Постарайтесь обосновать свою позицию.

IV. Решите задачу 11.9:

Как вычислить сторону АС треугольника ABC, если известны: а) высота, опущенная на сторону АС, и углы, которые эта высота образует со сторонами ВА и ВС; б) высота, опущенная на сторону АС, ZA, ZC?

V. Обсудите свое решение этой задачи с соседом.

VI. Попробуйте вместе с соседом по парте обсудить и решить еще одну задачу.

Задача 11.14.

Как сделать трапецию площадью 1, если при этом: а) ее основания равны 2 и 3; б) она равнобокая с большим основанием 2 и углом при нем 60°?

VII. Проанализируйте свой путь решения, если задача не получается, возможно, вы не использовали определение той функции (тангенс угла), о которой идет речь в задаче.

VIII. Проверьте ответы. В случае а) высота h = —, в случае Правильно?

IX. Решите еще одну задачу 11.18 б).

Пусть вы подошли к башне на расстояние 100 м, а угол, под которым вы ее видите, изменился от 16° до 16°20'. Чему равна высота башни?

X. Если задача не получается, то прочтите п. 11.4.

XI. Ответ к этой задаче: h =-—-, где а = 16°, ß = 16°20'. Проверьте.

XII. Ответьте соседу на вопросы к § 11 на с. 137.

Работа 61. Познание метода (обобщение)

Глубина — вот цель всякого размышления.

Курт Вовенарг

I. Задача 11.13.

а) Параллелограмм ABCD, в котором AB = dx, AD = d2, АС1ЛВ, перегнули по диагонали Л С. Отрезки AD и ВС пересеклись в точке К. Чему равно расстояние от К до АС? б) Обобщите задачу а).

Нарисуйте параллелограмм ABCD, в котором сторона AB перпендикулярна диагонали ЛС.

II. Покажите свой рисунок соседу.

III. Подумайте: если параллелограмм перегнуть по диагонали АС, то как будут расположены точки D, С и D, (точка, в которую перешла при перегибе точка D).

IV. Если у вас возникли затруднения, то сделайте из бумаги модель такого параллелограмма, перегните его по диагонали, проткните лист бумаги чем-нибудь острым в точке D, это будет точка D,, и посмотрите на расположение точек Dx, С, D.

V. Итак, вы нашли расстояние от К до АС, в этом случае оно равно —. Интересно получилось, что задача имеет лишнее данное: AD = d2.

VI. В пункте б) предлагается обобщить задачу. Что в этом случае требуется сделать? Что понимается под словом «обобщить»? Попробуйте с соседом ответить на эти вопросы.

VII. Д. Пойа говорит о двух направлениях обобщения: 1 ) замена постоянной переменной; 2) отбрасывание ограничений.

Обсудите то, что говорит Д. Пойа, попробуйте его понять, согласуйте свое понимание термина «обобщение» с пониманием Д. Пойа.

Посмотрите, какие ограничения можно отбросить в рассматриваемой задаче.

VIII. Обсудите свои находки с одноклассниками, да и само понятие «ограничение».

IX. Отбросить ограничения означает, что из характеристического свойства, задающего непустое множество, в результате исключения какого-либо свойства строится характеристическое свойство другого множества, содержащего данное.

Вчитайтесь в эти слова и попробуйте, например, снять ограничения с понятия «параллелограмм».

X. Обсудите найденные обобщения параллелограмма с соседом.

XI. Посмотрите теперь на данные задачи, подумайте, в каком случае там можно снять ограничения. Сформулируйте новую задачу, которая получилась из данной, в результате рассмотрения более общей фигуры, в результате перехода к рассмотрению более общей ситуации.

XII. В группе с ребятами другой пары прочтите новые формулировки, выясните, будут ли они обобщениями данной.

XIII. Приведем формулировки обобщенных ситуаций, полученных в результате снятия ограничений.

1. Параллелограмм ABCD, в котором AB = dx, AD = d2, перегнули по диагонали АС. Отрезки AD и ВС пересеклись в точке К. Чему равно расстояние от К до АС?

2. Четырехугольник ABCD, в котором AB = dx, AD = d2, перегнули по диагонали АС. Отрезки AD и ВС пересеклись в точке К. Чему равно расстояние от К до А С?

3. В невыпуклом пятиугольнике ABCDE АВ±АЕ, DELAE, AB = dx, DE = d2. Вычислите расстояние от вершины С до АЕ.

4. Дан квадрат ABCD со стороной d, к плоскости которого по одну сторону от нее проведены перпендикуляры А К, BL, CL,, DKX. Вычислите расстояние от прямой ВК до плоскости квадрата: а) длины, равной d,; б) КА = BL = d,, KXD = LXC - d2.

Если вы согласны с этими обобщениями, то установите:

а) какие ограничения сняты в каждом случае;

б) какие из этих задач будут обобщением данной.

XIV. Поговорите с ребятами, обсудите ответы на вопросы.

XV. Прочтите на с. 139 решение задачи 11.13, посмотрите, какое обобщение сделали авторы, разберите решение этого случая.

XVI. Выберите, если хотите, одну из задач, сформулированных в п. XIII, и решите ее. Однако можете решать и ту обобщенную задачу, которую составили вы сами.

XVII. Вывесите в классе листы с решениями выбранных задач.

XVIII. Походите, посмотрите, порадуйтесь за одноклассников. Подумайте над результатом: насколько он разумен, не противоречит ли он здравому смыслу и условию задачи?

XIX. Запишите в тетрадь свои наблюдения по поводу обобщения задачи.

XX. Итак, как обобщить задачу о многоугольнике: а) можно взять более общий вид многоугольника и решить для него эту задачу, т. е. вместо треугольника взять четырехугольник, пятиугольник, «-угольник и т. д.; б) можно оставить многоугольник тем же и «дать большую свободу» условиям, накладываемым на него (равные отрезки заменить неравными, прямые углы — равными острыми и т. д.).

Работа 62. Применение метода

В работе изучаются методы обобщения задачи и нахождения наибольшей величины.

I. Задача.

Из треугольника требуется вырезать прямоугольник наибольшей площади. Как это сделать, если исходный треугольник равнобедренный прямоугольный?

Сделайте рисунок к задаче: нарисуйте равнобедренный прямоугольный треугольник, а затем доверьтесь интуиции, нарисуйте в нем прямоугольник наибольшей площади.

II. Посмотрите на рисунок. Хотите что-нибудь изменить? Измените. Нарисуйте другой вариант.

III. Решать задачу пока не надо, но попробуйте сделать ряд обобщений этой задачи. Запишите их.

IV. Обсудите с соседом сделанные обобщения. Поговорите об обобщениях этой задачи с одноклассниками.

V. Прочтите на с. 141 условиезада*ш /1.21:

Из треугольника требуется вырезать прямоугольник наибольшей площади. Как это сделать, если исходный треугольник: а) равнобедренный прямоугольный; б) прямоугольный с неравными сторонами; в) равнобедренный с произвольным углом при вершине; г) произвольный? Нарисуйте картинки ко всем случаям этой задачи.

VI. Сравните их. Посмотрите то, что нарисовали одноклассники.

VII. Выберите один из случаев и объясните, как это сделать.

VIII. Подумаем теперь вместе над первым случаем, когда дан равнобедренный прямоугольный треугольник ЛВС, и пусть прямоугольник KLMN, где К е АВ% L е ВС, г M и N принадлежат ЛС, искомый.

Решение. Введем переменную: примем длину отрезка АК за х, тогда KB = а - х, причем 0 < х < а.

Легко вычислить, что тогда KN = , KL = (а - х)л/2 и, значит, S(x) = ах - x2, где 0 < х < а.

Нам надо найти наибольшее значение S(x) = ах - х1 на ]0; а [.

Понятно, что эта точка — вершина параболы у - ах - х и х = —.

Значит, наибольшую площадь имеет тот прямоугольник, который построен на средней линии.

Придирчиво вчитайтесь в каждую строчку этого решения. Все, с чем не согласны, исправьте, обдумайте, напишите так, как считаете нужным.

IX. Решите таким же методом эту задачу для произвольного треугольника.

Работа 63. Выход в пространство

Чтобы найти решение, мы должны активизировать ту часть наших знаний, пока пассивно хранящихся в памяти, которая имеет отношение к данной задаче.

Д. Пойа

I. Рассмотрите такую ситуацию:

Солнце видно под углом ср. Чему равна наибольшая площадь тени на земле от стоящих вертикально на ней объектов: а) правильного треугольника со стороной d\ б) квадрата со стороной d?

1) Нарисуйте плоскость. Это земля, вне плоскости поставьте точку — солнце и проведите от солнца луч к земле под углом ф.

2) Нарисуйте на плоскости вертикально правильный треугольник, и пусть луч солнца проходит через его вершину.

3) Нарисуйте тень треугольника.

4) Вычислите площадь тени.

5) Теперь поставьте на плоскость земли вертикально квадрат. Вычислите площадь его тени.

6) Сверьте ответы:

Вы решили задачу 11.17.

II. Задача 11.20.

Вы идете по прямой дороге. Из двух ее мест, расстояние между которыми известно, вы видите гору под углом ф,, а посредине между ними вы видите гору под углом ф2. Найдите высоту горы.

1) Так как нас интересует лишь высота горы, то изобразите ее вертикальным отрезком РА. Поэтому нарисуйте плоскость, точку Л на плоскости и отрезок РА, перпендикулярный плоскости.

2) В задаче речь идет еще о дороге, даже об отрезке дороги. Поэтому на плоскости нарисуйте еще отрезок ВС, конечно, точка А не принадлежит ВС.

3) В условии задачи говорится об углах, под которыми из трех точек дороги видна гора. Нарисуйте их: /.РВА, ZPCA и /РКА, где К — середина ВС.

4) Любопытно, что из обычной житейской ситуации мы получим задачу о пирамиде. Нам дана длина отрезка ВС, пусть ВС = а, и введите еще обозначение длины высоты.

5) Проделайте вычисления.

6) Сверьте ответ:

III. Задача 11.23.

В тетраэдре ABCD ребро AB перпендикулярно грани BCD, ZCDB = 90°, AB = 1, BD = 2, CD = 3. Вычислите углы во всех гранях этого тетраэдра.

1) Сделайте рисунок этого тетраэдра, обратите внимание, что ZCDB = 90°.

2) Отметьте все данные на рисунке, обозначьте известные углы.

3) Большинство углов, или, точнее, функций углов, грани находятся просто. Для этого достаточно знать определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Найдите их.

4) Любопытно найти величину угла ADC. В самом треугольнике ADC известна лишь сторона DC = 3 — и все. Надо вычислить другие его элементы. Но какие? Стороны или углы? Определитесь и вычислите величину угла АОС.

5) У вас получилось, что угол ADC прямой?

6) Сделайте обобщение. Для этого рассмотрим более общую ситуацию.

Дана плоскость а. Через точку В плоскости а перпендикулярно к ней проведен отрезок AB = а. На плоскости проведен отрезок BD = b и перпендикулярно ему отрезок DC = с. Доказать, что угол ADC прямой.

Нарисуйте все объекты этой задачи, отметьте на рисунке данные элементы и, обогащенные опытом решения предыдущей задачи, проведите необходимые рассуждения.

7) Думаю, что вам пришлось воспользоваться теоремой Пифагора и теоремой, обратной теореме Пифагора. Правильно?

8) AB есть перпендикуляр к плоскости a, AD — наклонная к плоскости a, BD — проекция наклонной на плоскость a, DC — прямая, лежащая в плоскости а. Используя эти термины, сформулируйте иначе последнюю задачу.

Работа 64. Как сделать трапецию, у которой...

Будем решать задачу 13 из задач к главе II:

Как сделать трапецию, у которой: а) три стороны равны, а диагональ имеет данную длину; б) две стороны равны, а диагонали перпендикулярны; в) три стороны равны, а диагональ равна большей стороне; г) боковые стороны равны, диагонали перпендикулярны, угол при основании равен 60°, а площадь равна 1; д) боковая сторона перпендикулярна основанию, диагональ является биссектрисой, а площадь равна 1; е) три стороны равны, угол между диагоналями равен ф, а площадь равна 1?

I. Обратите внимание на задание: «Как сделать трапецию...», оно несколько шире задания «Как построить...». Подумайте, в чем отличие этих заданий.

II. Все задачи разбирайте в парах. Подробной записи решения делать не надо. Придерживайтесь такого плана:

1 ) Прочитайте условие.

2) Нарисуйте трапецию.

3) Отметьте данные ее элементы.

4) Установите, какие вершины трапеции надо построить.

5) Исследуйте, возможно ли это построение на базе данных задачи. Бывают случаи, в которых данные задачи не определяют однозначно положение неизвестных вершин трапеции. Тогда задача не имеет решения.

6) Если надо, то проделайте вычисления, определяющие значения некоторых величин трапеции, играющих важную роль при построении. Обратите внимание на это. Пожалуй, этот этап не так часто встречался ранее в задачах на построение. Особенно внимание к этому моменту стоит проявить в задачах, где дана площадь фигуры. Но иногда обильная информация об углах трапеции позволяет их вычислить, и решение задачи упрощается.

Попробуйте реализовать этот план. Правда, если он вам будет неудобен, то пропускайте некоторые его этапы или вообще замените на свой.

Итак, в путь. Попробуйте разумно сочетать работу в паре и индивидуальную работу.

III. Поговорите с другой парой, расскажите им о своих результатах исследования.

IV. Походите по классу, пообщайтесь с одноклассниками, посмотрите, что сделано у них.

V. Изучите некоторые указания по отдельным пунктам этой задачи: а) в этом случае трапеция не закреплена; б) возьмите два разных прямоугольных равнобедренных треугольника и расположите их так, чтобы получились вершины равнобокой трапеции с перпендикулярными сторонами; в) угол при большем основании трапеции равен 72°, следовательно, эта трапеция — часть правильного пятиугольника; г) высота трапеции — полусумма оснований трапеции, отсюда h = л/2; д) этими данными трапеция не закреплена; е) 1 = S = 2а2 sincp sin2 —.

Попробуйте их реализовать.

VI. Выберите какие-нибудь два пункта этой задачи, самостоятельно решите на отдельных листах.

VII. Листы вывесите в классе.

VIII. Поизучайте вывешенные работы.

ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ «МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ»

Вопросы.

1) Теорема Пифагора (пп. 5.1, 5.2).

2) Характерное свойство биссектрисы угла (п. 6.5).

3) Формула Герона (п. 6.7).

4) Свойства синуса и его график (п. 7.6).

5) Решение прямоугольных треугольников (п. 8.1 ).

6) Формула площади треугольника S = -^Ьс sin А (п. 8.2).

7) Теорема синусов (п. 8.3).

8) Формула sin2 А + cos2 А = 1 (п. 9.2).

9) Свойства косинуса и его график (п. 9.4).

10) Обобщенная теорема Пифагора (п. 10.1 ). 11 ) Свойства тангенса и его график (п. 11.3).

Задачи: 5.6, 5.7, 5.18, 6.6, 6.8, 6.9, 6.43, 6.51, 7.8, 8.5, 8.16, 8.38, 9.14, 9.15, 9.25, 10.11, 11.10.

Билеты

Билет 1. 1. Теорема Пифагора.

2. Формула площади треугольника S = -^ab.

3. Задача 10.11. Определите вид треугольника, если его стороны равны а, а + 1, а + 2.

Билет 2. 1. Формула Герона.

2. Свойства тангенса и его график.

3. Задача 10.11 е). Как вычислить углы равнобокой трапеции, если известны все ее стороны?

Билет 3. 1. Характерное свойство биссектрисы угла.

2. Свойства синуса и его график.

3. Задача 5.7 д). Как вычислить площадь треугольника, зная две его стороны и высоту, опущенную на третью сторону?

Билет 4. 1. Решение прямоугольных треугольников.

2. Свойства косинуса и его график.

3. Задача 6.43 б). Какую фигуру образуют все точки, которые к одной из сторон угла ближе, чем к другой?

Билет 5. 1. Обобщенная теорема Пифагора.

2. Формула sin2 Л + cos2 А = 1.

3. Задача 8.38 г). Решите треугольник ЛВС, в котором Zß = 10°, с = 10, b = 3, угол С тупой.

Билет 6. 1. Теорема синусов.

2. Свойства тангенса и его график.

3. Задача 8.5 е). Как вычислить углы прямоугольного треугольника, если известны площадь и сумма катетов?

ЗАЧЕТНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА (1 ч)

Каждый выбирает вариант.

Вариант 1

1. Сумма углов при стороне AD выпуклого четырехугольника ABCD равна 90°. Докажите, что ВС2 + AD2 = АС2 + BD2.

2. Докажите, что треугольник ABC остроугольный, если его периметр 17 см, а длина наибольшей стороны 7 см.

3. Стороны равнобокой трапеции a, b, a, d. Найдите ее углы, задав для a, b, d числовые значения.

4. Решите треугольник ABC, в котором известны а, ZЛ, Zß, задав числовые значения для а, ZЛ, zß.

5. Дан ААВС, на стороне АС взята точка M так, что AM = 1, MC = 2. На стороне ВС взята точка N так, что BN = 1, NC = 3. На ВМ взята точка К так, что ß/( = КМ = 2. Вычислите отношение площади ABKN к площади ААВС.

Вариант 2

Составьте себе работу из задач к главе II. Работа может содержать задачи, над которыми вы размышляли дома, решали дома, но в классе они не обсуждались.

Вариант 3

Выберите и решите по одному пункту (если они там есть) из задач, выбранных из § 5—11 (не более одной задачи из параграфа).

ГЛАВА III. МНОГОУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ

Окружность может широко распространиться на плоскости, но и при этом будет продолжать гнуться дугой. И никогда ей не разогнуться, никогда не стать прямой линией из-за постоянного тяготения к центру. Ф. Кривин

Работы этой главы, как и работы предыдущих глав, направлены на то, чтобы сделать ученика не объектом, а субъектом деятельности, организуемой на уроке. Сверхзадача каждой из них — поиск школьником своего пути познания окружающего мира и самого себя. В центр учебного процесса поставлен сам ученик, а не программа. Меняется тональность занятия, его темп и ритм, который теперь определяется не учителем, а самим школьником. Его ошибочные идеи теперь не нервируют учителя, не тормозят работу всего класса. Он разбирается с ними сам. Ученика не страшит отсутствие информации по какому-либо вопросу, ибо рядом учебник и товарищ, с которым не только не запрещается говорить, а, наоборот, разговор с соседом, с одноклассниками запланирован в работах. Личность ученика окружающими и им самим воспринимается такой, как она есть.

Для успешного проведения работ должна быть изменена и роль самого учителя, изменено его слово, обращенное к ученикам. Слова, сказанные во время занятия учителем, теперь не только комментируют сделанное ребятами, но и помогают им осознать, увидеть то, что они упустили, то, над чем еще не подумали. Слово учителя, возможно, не такое быстрое, как обычно, ибо на этих занятиях не нужны привычные оценочные суждения, заставляющие, принуждающие непокорных к труду на уроке; нет и воспитывающих фраз, так щедро раздаваемых нами на традиционных занятиях. Новое образование — требовательный, придирчивый взгляд на привычные традиционные методы обучения и воспитания, постоянный поиск новой роли учителя, новой роли ученика, новых способов их взаимодействий, новый уровень трудностей, предъявляемых ученику, интеллектуальных, педагогических, психологических. Новое образование — это постоянное расставание со старым, наработанным, но не соответствующим времени и замена его новым, основанным на современных знаниях психологии, педагогики.

Предъявляя эти работы ученику, который впервые изучает курс геометрии, впервые решает такие задачи, впервые познает новые методы, приемы, учитель тоже находится в ситуации новизны. Идет как бы обоюдный поиск, и неизвестно, какой из них сложнее.

§ 12. ХОРДЫ И ДИАМЕТРЫ. КАСАТЕЛЬНЫЕ И ОПОРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Работа 65. Читаем теорию

Диаметр — это обычная хорда, впрочем, уже забывшая, что она хорда: ведь проходит-то она через центр.

Ф. Кривин

I. Прочтите п. 12.1 «Свойства хорд и диаметров».

II. Составьте серию вопросов, которая охватила бы весь теоретический материал этого пункта.

III. Посмотрите на вопросы своего соседа.

IV. Ответьте вместе с соседом на ваши вопросы.

V. Ответьте и на такой вопрос: как доказывается теорема (свойство), в формулировке которой есть слова «тогда и только тогда»? Приведите примеры из п. 12.1.

VI. Решите задачу 12.1:

В круге проведена хорда. Рассмотрим такие величины: R — радиус круга, d — длина хорды, h — расстояние от центра круга до хорды и ф — угол, под которым хорда видна из центра, а) Пусть известны R и h. Как найти d и ф ? б) Выберите любые две из этих величин и, считая их известными, найдите остальные, в) Объясните, почему с увеличением ф увеличивается d.

Задачу вы решите легко, только не забудьте обсудить ее решение с соседом. В случае в), чтобы легче было ответить на вопрос, выразите d через R и ф.

VII. Задача 12.10.

Как с помощью одной только линейки нарисовать две хорды одной окружности: а) параллельные; б) перпендикулярные?

Решите эту задачу вместе с соседом. Обратите внимание: считается, что на линейке делений нет. Когда говорится, что дана линейка, то по ней можно лишь проводить отрезки прямой.

VIII. В пункте а) построение вписанного прямоугольника позволило вам построить две параллельные хорды. Возможно, вы надолго задумались о построении двух перпендикулярных хорд. Советую вам внимательно прочитать п. 12.6 и теорему 16. А после ее изучения опять вернуться к решению задачи.

IX. Послушайте друг у друга доказательство теоремы 16, воспользуйтесь рисунками на с. 151, 152.

X. Итак, для решения задачи 12.10 б) вам не хватало знания того, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Теперь вы это знаете.

XI. Решите вместе с соседом по парте задачу 12.3 или хотя бы обговорите план ее решения.

XII. Почитайте еще раз п. 12.1 и п. 12.6.

Работа 66. Изучаем и применяем теорию

I. Прочитайте теорему 14 на с. 148. Полезно будет чтение сопровождать рисунками.

II. Составьте ряд вопросов и по прямой и обратной теоремам.

III. Поговорите с соседом, рассмотрите вопросы, попробуйте дать на них ответы.

IV. Ответьте на такие вопросы:

1) Почему первая часть теоремы называется свойством, а вторая — признаком?

2) Как будет звучать формулировка теоремы, являющейся обобщением данной?

V. Обсудите в группе эти вопросы.

VI. Прочтите только формулировку теоремы 15 и придумайте ее доказательство.

VII. Прочтите п. 12.4 до конца. Удивительно: оказалось, что теоремы 14 и 15 связывают века.

VIII. Рассмотрите с соседом рисунки 128—133. Объясните, что авторы хотели проиллюстрировать ими. Если возникнет необходимость, то обратитесь к тексту параграфа.

IX. Ответьте на вопросы к параграфу на с. 152.

Работа 67. Изучаем метод

В работе рассматривается метод выдвижения и доказательства гипотез.

I. Задача.

Пусть AB — хорда окружности. По одну сторону от нее проведены хорды АА{ и ßß,, составляющие равные углы с AB. Сделайте рисунок. Что можно доказать по этому рисунку?

Итак, проанализируйте рисунок и сформулируйте ряд утверждений. Для этого разделите лист на четыре части и подпишите в каждой из них: расположение точек и отрезков; углы; отрезки; фигуры.

В первой части сделайте рисунки, соответствующие различному расположению центра окружности, отрезка AB, хорд АА{ и ßß,.

В других частях соберите необходимую информацию о соответствующих фигурах. Рассмотрите их равенство, неравенство, параллельность и т. д.

II. Обсудите с соседом замеченные закономерности.

III. Выберите ряд утверждений, докажите их.

IV. Составьте утверждения, обратные тем, которые вы сформулировали.

V. Подумайте, все ли они верны. Выберите верные, с вашей точки зрения, и докажите.

VI. Прочтите в учебнике на с. 153 решение задачи 12.7.

VII. Запишите в тетрадь свои наблюдения о тактике решения задачи, о формулировании гипотез, о соотношении и роли интуиции и доказательства в выборе гипотезы.

Работа 68. Искусство решения задач

Задача 12.20 а).

Пусть через точку Л проведена касательная AB к данной окружности (В — точка касания). Через точку Л и центр окружности проведена также прямая, которая встречает окружность в точках С, и С2 (считая от Л). Докажите, что AB2 = Л С, ЛС2. Что отсюда следует?

I. Сделайте рисунок: окружность с центром О, AB — касательная (В — точка касания), С,С2 — диаметр. Обычно бывает полезным соединить точки на чертеже отрезками. Проведем отрезки C2ß, ВСХ и ВО. Отметим на рисунке все, что нам известно: /.OB А- 90°, OB - ОС2 = OCj = г, так и подпишем г около каждого из отрезков, чтобы не забыть.

Посмотрите на треугольники C2ßC,, OC2ß, OßC,, соберите о них всю информацию.

II. Посмотрите на углы С{ВА и ВС2Л, сравните их, внимательно вглядываясь в рисунок.

III. Введите обозначения: ZBAC2 = a, ZCXBA = ZCXC2B = = 90°-ZOBC{ = ß. Не забудьте, что мы имеем два прямоугольных треугольника С2ВС{ и ОВА. И еще небольшое, но важное замечание: отрезок Л С, = АО - г, отрезок ЛС2 = ЛО + r, может быть, и эта информация пригодится.

Внимательно рассмотрите то, что нам дано, и рисунок к задаче.

IV. Посмотрите теперь на то равенство, которое нам надо доказать: AB2 = Л С, • ЛС2. Сразу можно заметить, что все три отрезка не входят в один треугольник, и это несколько затрудняет исследование. Что же делать? Подумайте, что в этой ситуации можно сделать.

V. Поговорите с соседом.

VI. Возникает идея преобразования этого равенства таким образом, чтобы получить возможность использовать треугольники на чертеже для доказательства. Попробуйте.

VII. Подумайте, что можно делать с этим равенством.

VIII. Выберите одно из действий: делить на одну и ту же величину, отнимать каждую часть от одной и той же величины, прибавлять к каждой части одну и ту же величину или, может быть, что-нибудь еще. Попробуйте его применить для решения.

IX. Обменяйтесь идеями с одноклассниками, используйте все наблюдения, которые мы сделали в первой части работы.

X. Рассмотрите несколько преобразований равенства AB2 = Л С, • АС2 и попробуйте довести доказательство в каждом случае до конца:

XI. Посмотрите, какие идеи в реализации каждого способа используют ваши одноклассники. Не бойтесь применять известные вам теоремы, связывающие стороны и углы треугольника.

XII. Изучите такие продолжения решения каждым способом:

1-й способ.

следовательно,

2-й способ.

следовательно,

а значит,

3-й способ. Докажем, что

Применим к треугольнику АВС2 теорему синусов, тогда

Применим теперь теорему синусов к треугольнику ЛВС, тогда

Из равенств ( 1 )и (2) следует, что

4-й способ. Докажем, что

(1)

(2)

Из ( 1 ) и (2) следует, что

Проверьте, нет ли логических и вычислительных ошибок в каждом из предложенных способов доказательства.

XIII. Поговорите с одноклассниками, обсудите доказательства.

XIV. Исследуйте такой вариант доказательства: из А АВО

(1)

(2)

Перемножая (1) и (2), получим

XV. Попробуйте взглянуть на эту задачу, на то, что требуется доказать, и вы наверняка найдете еще не одно решение! Возможно, среди них и будет самое красивое.

XVI. Интересно, что эта задача дает возможность продемонстрировать утверждение: «Недостаток знаний приводит к нерациональным решениям».

Если у вас будет время, то прочтите теорему 37 на с. 350 — и вы сможете доказать это равенство: —- =- — в один момент все из тех же треугольников АВС{ и АВС2. Поистине знания делают нас свободнее, освобождают нашу мысль, наши действия от рутинных исканий. Однако без них и не было бы знания.

XVII. Доказанную формулу можно прочитать так: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. Согласны?

Работа 69. Учимся решать задачу

Задача 12.58 а).

Найдите такую точку, из которой два данных отрезка видны под углом ф.

I. Один из способов решения задачи — сведение ее уже к решенной. Посмотрите на задачу 12.56 а): Найдите множество точек на плоскости, из которых данный отрезок виден под данным углом... Как построить найденную фигуру?

Предположите, что это множество найдено, и попытайтесь решить, в каком случае задача будет иметь решение, в каком нет, в каком случае будет несколько решений.

II. Обсудите свои находки с соседом.

III. Итак, если множества точек, из которых данные отрезки видны под углом ф , не пересекаются, то решений нет; если пересечение их не пусто, то существует не менее одного решения.

Займитесь задачей 12.56 а) и докажите, что искомое множество состоит из двух дуг окружности, причем для любой точки X этой дуги отрезок AB из нее виден под углом АХВ, равным Ф , угол АХВ — вписанный угол в дугу окружности.

IV. Напомним, что центр этой окружности тоже надо найти как результат пересечения двух множеств. Выясните, на пересечении каких множеств лежит центр окружности, из части которых данный отрезок AB виден под данным углом ф.

V. Вместе с соседом проведите анализ, предположите, что такая окружность уже построена, проведите радиусы АО и OB. Рассмотрите рисунок.

VI. Рассмотрите и реализуйте такие идеи:

а) ZAOK = ос, где К - середина AB;

б) ZAOK + ZAOB = 90°- ф.

Касательная АС к окружности перпендикулярна Л О.

VII. Расскажите о том, что вы придумали, одноклассникам.

VIII. Если задача 12.56 а) решена, переходите к решению задачи 12.58 а).

Теперь вам осталось лишь рассмотреть взаимное расположение двух данных отрезков. Сделайте это.

IX. Запишите решения тех задач, которые вы хотите запомнить.

X. Запишите свои наблюдения о тактике решения задач.

Работа 70. Оценка своего уровня познания темы

«Хорды и диаметры. Касательные и опорные прямые»

Каждый выбирает один из вариантов.

Вариант 1

1. Решите один из пунктов задачи 12.3.

2. Решите один из пунктов задачи 12.14.

3. Решите один из пунктов задачи 12.20.

4. Решите один из пунктов задачи 12.39.

5. Решите один из пунктов задачи 12.52.

Вариант 2

1. Решите задачу 12.1 б).

2. Составьте и решите задачу, аналогичную задаче 12.6 а).

3. Дайте обобщение задачи 12.13.

4. Составьте и докажите утверждение, обратное утверждению задачи 12.21.

Вариант 3

Решите несколько интересных геометрических задач.

§ 13. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

Работа 71. Искусство ставить вопросы

I. Параграф называется «Выпуклые многоугольники». Но мы с этим понятием знакомы еще с самого первого параграфа. Давайте почитаем выдержки из первого параграфа, возможно, прошедшее с этого момента время выявит и новое понимание изученного, и новые вопросы. Откройте с. 19.

II. Прочитайте в п. 1.2 определение многоугольника: «Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником». Все ясно?

III. Но простая замкнутая ломаная является границей для двух частей плоскости. Одна — та, которую мы привыкли считать многоугольником, а другая, которая вне его. Она подходит под определение многоугольника?

IV. Поговорите с соседом. Если надо, почитайте другие учебники, энциклопедию, математический словарь.

V. Прочтите п. 13.1. Приведите примеры выпуклых фигур.

VI. Прочтите п. 13.2. Попытайтесь доказать, что обозначенные там фигуры подходят под определение выпуклых, до чтения авторского текста.

VII. В математике часто дается два определения одному понятию. В этом случае обязательно надо доказывать их равносильность, т.е. что фигура, названная так в смысле первого определения, является таковой и в смысле второго и наоборот.

Давайте внимательно почитаем п. 13.3, по ходу чтения будем ставить вопросы и по возможности на них отвечать.

VIII. Вот вторая фраза: «Верно и обратное: выпуклая фигура, которая является многоугольником, будет выпуклым многоугольником» (в смысле определения, данного в п. 1.3).

Посмотрите, какое там дано определение: «Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону». Вот такое определение. Попробуйте разобраться, что нам дано в этом случае.

IX. Итак, дано: выпуклая фигура. Про эту фигуру известно, что она многоугольник. Доказать: данная выпуклая фигура является выпуклым многоугольником.

Понятно? Попытайтесь доказать.

X. Читаем доказательство: «Пусть многоугольник Я является выпуклой фигурой. Докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону».

Обоснуйте, почему надо доказывать именно это.

XI. Прочитаем следующий абзац п. 13.3, который заканчивается фразами: «Следовательно, многоугольник Я содержит треугольник ABC. Точно так же он содержит и треугольник A BD».

Ответьте на вопросы: почему многоугольник Я содержит эти два треугольника? Как определено понятие: одна фигура содержит другую?

XII. Читаем далее: «Оба треугольника лежат по разные стороны от прямой А В и, значит, образуют четырехугольник, содержащийся в многоугольнике Я».

Ответьте на вопросы: всегда ли два треугольника, лежащие по разные стороны от прямой AB, образуют четырехугольник? А в этом случае? Почему если каждый из двух треугольников содержится в многоугольнике Я, то и их объединение тоже содержится в многоугольнике Я?

XIII. Следующая фраза пункта: «Внутренние точки отрезка AB лежат внутри четырехугольника ABCD, а значит, и внутри многоугольника Я».

Ответьте на вопросы: какие точки отрезка мы называем внутренними? Что значит точка лежит внутри четырехугольника ABCD? Почему внутренние точки четырехугольника ABCD будут внутренними точками многоугольника Я, а не граничными?

XIV. И последняя фраза этого абзаца: «Следовательно, отрезок AB не может быть стороной многоугольника Я».

Ответьте на вопрос: вывод о том, что AB не может быть стороной многоугольника Я, делается из утверждения, что AB состоит из внутренних точек многоугольника Я. Но почему сторона многоугольника не может содержать его внутренних точек?

XV. Сформулируйте то, что авторы доказали в п. 13.3.

XVI. Поговорите с одноклассниками. Почитайте «Энциклопедию элементарной математики» (М.: Наука, 1966. - Т.5); статью А. Савина «Кое-что о выпуклости» в журнале «Квант» (1979. — №1); статью С. Б. Гашкова «Неравенства для площади и периметра выпуклого многоугольника» в журнале «Квант» (1985. — №10). Обязательно расскажите одноклассникам о том, что вы прочитали, о своих размышлениях по этой теме. Успехов вам.

§ 14. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ

Работа 72. Познание теории

I. Начнем читать § 14 с вопросов в конце его. Окружность описана около многоугольника. Как об этом можно сказать иначе? При каком условии это возможно? Как построить такую окружность? Откуда следует единственность такой окружности?

Попробуйте дать на эти вопросы ответы самостоятельно.

II. Если подобрать ответы на эти вопросы в такой форме сложно, то замените слово «многоугольник» на слово «треугольник». Кроме того, считайте, что доказано утверждение: «Прямые, перпендикулярные пересекающимся прямым, пересекаются».

III. Расскажите соседу о всех найденных построениях и доказательствах.

IV. Прочтите теорему 18 на с.172, разберитесь в приведенном ее доказательстве. Запишите возникшие вопросы.

V. Расскажите друг другу доказательства этой теоремы.

VI. Ответьте на вопрос: что значит доказать, что около каждого треугольника можно описать окружность?

VII. Вместе с соседом дайте ответы на вопросы, сформулированные в первом пункте, но для окружности, вписанной в многоугольник.

Опять слово «многоугольник» можно заменить для начала на слово «треугольник».

VIII. Поговорите с другой парой по этим вопросам.

IX. Выпишите из параграфа доказанные там формулы площади треугольника, многоугольника и попробуйте их доказать. Помощь вам могут оказать равенство ( 1 ) на с.173, рисунки 157 и 161.

X. Прочтите на с.173 и 175 доказательства этих формул.

XI. В тетрадь выпишите формулы площади и докажите их.

XII. Ответьте на 3—5 вопросов на с.175.

Работа 73. Искусство решать задачу

Задача 14.5.

Как вычислить радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, если в трапеции известны: а) все стороны; б) два основания и диагональ; в) большее основание, боковая сторона и угол между ними; г) большее основание и угол, под которым оно видно из вершины другого основания; д) диагональ и угол, под которым она видна из противоположной вершины?

I. Решите пункт а) задачи. Дано: равнобокая трапеция ABCD, AB = а, ВС = Ь, AD = с, CD = а.

Найти: R описанной окружности. Попробуйте решить эту задачу по плану.

1) Установите положение центра окружности, описанной около трапеции, как результат пересечения двух отрезков.

2) Заключите его в подходящий треугольник.

3) Найдите удачную связку всех данных задачи, используя или теорему Пифагора, или теорему синусов, или решение прямоугольных треугольников, или определение синуса, косинуса и т. д.

4) Введите дополнительные элементы: стороны, углы, если надо.

5) Получите ряд равенств или уравнение и вычислите радиус/?. Сделайте чертеж, вглядитесь в него, выполните, если надо, дополнительные построения и осуществите план.

II. Обсудите с соседом свои действия. Постарайтесь вместе найти решение или если вы его нашли, то другое решение. Запишите свое решение или хотя бы его план.

III. Попробуйте реализовать такой план.

Вариант 1

1. Рассмотрите ДСЛШ (CM1AD), пусть ZMCD = а.

2. Рассмотрите AKNO ( KN1.0L, OL — ось симметрии трапеции). ZNKO = а.

3. Рассмотрите АОСК. Вычислите/?.

Вариант 2

IV. Теперь решим эту же задачу другим методом. Заметим, что та же окружность описана не только около трапеции ABCD, но и около АЛ CD, AABD, АВСА, ABCD. Поэтому данную задачу можно заменить другой. Замените.

V. Прочтите новую формулировку задачи соседу.

VI. Возьмите для определенности AACD. Что в нем известно? Что стоит вычислить для нахождения радиуса?

VII. Известно, что

Подумайте, как найти s'mA.

VIII. Проведите ßL|| CD, тогда в ААВК известны все стороны и легко найти s'mA.

IX. Проанализируйте оба способа решения задачи и попробуйте решить ее другие пункты.

Работа 74. Учимся решать задачу

Задача 14.38 б).

Чему равен радиус окружности, вписанной в четырехугольник и являющийся объединением двух равнобедренных треугольников с общим основанием (дельтоид), если боковые стороны этих треугольников равны а и Ь, а угол между этими сторонами с общей вершиной равен Ф ?

I. Пусть дан дельтоид ABCD, где AB = ВС = a, CD = AD = b, OKLBC, OK = r, ABCD = ф. Сделайте рисунок. Подумайте, как найти г.

II. Посмотрите лишь на половину рисунка: ABCD. В нем известны стороны ВС = a, CD = b и /.BCD = ф, ОС — биссектриса угла BCD, OKI-ВС. Как в этом треугольнике можно вычислить длину отрезка OK?

III. Важно научиться, разглядывая рисунок, составлять серию вопросов. Вот один из них: что такое OK? OK — это катет в АВОК и АКОС, КО — высота в АВОК, КО — расстояние от точки О, принадлежащей биссектрисе ОС, до стороны ВС. Не так ли? Убедитесь в этом или опровергните.

IV. Еще один вопрос: как можно найти OK?

1) Из АОКС? Но в нем, кроме /КСО = ^, не известно ни одной стороны, и, пожалуй, ни КС, ни ОС нам найти не удастся. Так?

2) Из АВОК? Но в нем пока вообще ничего не известно, кроме /ВОК - 90°. Но что такое ВО? ВО — одна из частей стороны BD, на которые делит ее биссектриса СО.

Но известно, что — = (свойство биссектрисы внутреннего угла).

Сторона BD находится из ABCD по теореме косинусов. Итак, ВО вычислим, а угол? /СВО\ Его можно найти по теореме синусов из ABCD. Ну а тогда КО - ВО sin /КВО. Попробуйте реализовать этот способ решения.

V. Даже тогда, когда кажется, что поиск решения идет удачно, полезно оценить все сделанное критическим взглядом, рассмотреть отброшенные идеи, так и не реализованные, подумать над той частью рисунка, которая до этого не была в поле зрения.

Вернемся к дельтоиду, возможно, вы зря сосредоточили свое внимание лишь на его половине. Посмотрите на него. Вспомните известные формулы для вычисления радиуса вписанной окружности.

VI. Какие нам известны формулы для вычисления радиуса вписанной окружности? г = —. Для нашего случая г =-, продолжите решение.

VII. Известно, что S = 25ßCD = abs'my, тогда г = a^sincp Вот и все? Да! Так просто? Но это надо было еще увидеть. Вернитесь к началу решения задачи, обдумайте все еще раз.

Работа 75. Оценка своего уровня познания темы «Вписанные и описанные окружности»

Вариант 1

1. Решите один из пунктов задачи 14.1.

2. Решите один из пунктов задачи 14.20.

3. Решите один из пунктов задачи 14.21.

4. Решите один из пунктов задачи 14.45.

5. Решите один из пунктов задачи 14.48.

Вариант 2

Составьте свою работу из геометрических задач, которые вы решали сверх школьной программы.

Вариант 3

1. Стороны треугольника а, Ь, с. Как найти радиус окружности, имеющей свой центр на стороне с и касающейся двух других сторон?

2. В равносторонний треугольник вписаны три равных круга так, что каждый касается двух сторон треугольника и двух других кругов. Определите радиус этих кругов, если сторона треугольника равна а.

3. Постройте равнобокую трапецию по высоте, большему основанию и углу, под которым оно видно из вершины верхнего основания.

4. В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник с основанием Q. Найдите его площадь.

§ 15. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

Работа 76. Читаем параграф вместе

I. Прочтите п. 15.1 «Определение правильного многоугольника». Рассмотрите рисунок 165.

Итак, дано определение нового понятия, после этого необходимо доказать его существование, т. е. построить правильный многоугольник циркулем и линейкой.

II. Попробуйте построить правильные многоугольники, выясните, какие из них вы строить умеете.

III. Прочтите п.15.4 на с.184-185.

IV. Теперь подумайте и обоснуйте свои выводы о правильных равных одноименных многоугольниках, из которых можно сложить паркет.

V. Сделайте из плотной бумаги правильные многоугольники, из которых, как вы считаете, можно сложить паркет, и сложите.

VI. Нарисуйте правильный пятиугольник, вписанный в окружность.

VII. Вычислите величину его угла, величину центрального угла, длину его стороны, если радиус окружности принят за 1.

Сторона правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна а = ^ *. Прочитайте на с.186, как построить этот отрезок (рис. 171).

VIII. Сделайте развертку правильного додекаэдра и склейте его модель.

Работа 77. Исследуем решение задачи

I. Задача 15.4.

Пусть сторона правильного я-угольника равна 3, а радиус вписанной окружности равен 2. Чему равен радиус описанной около него окружности?

Прочтите первый абзац решения на с.187.

II. Постарайтесь угадать дальнейшую работу автора с этой задачей. Обсудите свои предположения с соседом.

III. Прочтите второй абзац на с. 188. Подумайте, какие неожиданности вы встретили при чтении этого абзаца. Обсудите их с соседом. Постарайтесь опять продолжить решение автора.

IV. Прочтите текст до вопроса в третьем абзаце снизу до слов «...что бы изменилось?» на с. 188. Попробуйте на него ответить.

V. Сравните ход предполагаемого вами решения с тем, что вы прочитали. Отметьте все неожиданности, все, с чем вы не согласны.

VI. Дочитайте решение до конца. Составьте и запишите вопросы по всему прочитанному решению.

VII. Попытайтесь вместе с соседом ответить на ваши вопросы.

VIII. В своей тетради кратко опишите суть авторского решения этой задачи. Старайтесь не использовать никаких формул, ни обозначений отрезков, углов.

IX. Выпишите из изученного решения советы решающему геометрическую задачу.

X. Сравните то, что вы выписали, с советами, данными ниже:

1) Стремитесь всю информацию, изложенную в задаче, отразить на рисунке.

2) После того как получен ответ, еще раз обратите свое внимание на условие задачи. Подумайте, все ли данные использованы, нет ли лишних.

3) Попробуйте решить задачу другим способом. Если формула ответа отличается от ответа, полученного первым способом, то подумайте почему.

4) Помните, что иногда настоящая работа с задачей начинается после того, как найден ответ.

XI. Прочтите еще раз все советы. Возможно, вам захочется выбрать некоторые из них и продолжить размышления над задачей, тогда желаем успеха.

§ 16. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ

Работа 78. Изучаем теорию вместе

Наши предки думали, что знают, что такое дробь, непрерывность, площадь кривой поверхности, лишь мы заметили, что они этого не знали. Анри Пуанкаре

I. Прочтите лишь название параграфа «Длина окружности» и название п.16.1 «Длина кривой линии».

II. Нарисуйте какую-нибудь кривую и придумайте способ, которым вы могли бы вычислить ее длину.

III. Вспомните, какую величину мы принимаем за длину отрезка.

IV. Сформулируйте определение длины кривой и определение длины окружности. Запишите их.

V. Походите по классу, почитайте определения, которые этим понятиям дали ваши одноклассники, покажите свои варианты.

VI. Внесите коррективы в свои определения.

VII. Полистайте с.190—195 учебника, поищите определения длины кривой и длины окружности.

VIII. Выпишите формулу, по которой вычисляется длина окружности.

IX. Прочтите с соседом теорему 21 (о длине окружности). Выпишите из доказательства все фразы, над которыми вы хотели бы еще поразмышлять.

X. Подумайте и обсудите с соседом такие вопросы:

1) Что означает выражение «неограниченно увеличивать число сторон многоугольников»?

2) Что означает выражение «периметры будут сколь угодно мало отличаться от длин L{ и Ц окружностей F{ и F2»?

3) Почему — — число?

4) Что означает выражение «число будет сколь угодно мало отличаться от величины — »?

5) Что означает выражение «число — будет сколь угодно мало отличаться от числа — »? Возможно ли это?

6) Что означает выражение «числоя неограниченно увеличивается»?

XI. Сделайте в тетради необходимые заметки.

§ 17. ПЛОЩАДЬ КРУГА

Работа 79. Изучаем теорию вместе

I. Продолжите фразы: «Площадь — это...», «Площадь многоугольной фигуры — это...», «Площадь треугольника — это...», «Площадь квадрата — это...», «Площадь трапеции — это...», «Площадь круга — это...», «Площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой без самопересечений, — это...».

II. Поговорите с соседом, послушайте его продолжение фраз, прочтите свои.

III. Прочтите в учебнике нужную информацию (с. 32—37, п. 2.1— 2.3 и с. 199-200, п. 17.1).

IV. Сделайте в тетради рисунок 182 (см. с. 200) и дайте пояснения к нему.

V. Прочтите с соседом по парте теорему 22 (о площади круга). По ходу чтения выписывайте все фразы, над которыми вы хотели бы поразмышлять.

VI. Обсудите все выписанные фразы.

VII. Расскажите доказательство этой теоремы друг другу.

VIII. Попытайтесь обсудить изученное доказательство с одноклассниками.

ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ «МНОГОУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ»

Вопросы.

1) Свойства хорд и диаметров (п. 12.1).

2) Характерное свойство касательной к окружности (теорема 14).

3) Теорема о вписанном угле (теорема 16).

4) Теорема о пересечении выпуклых фигур (теорема 17).

5) Теорема о возможности описать окружность около каждого треугольника (теорема 18).

6) Теорема о возможности вписать окружность в каждый треугольник (теорема 19).

7) Теорема о длине окружности (теорема 21).

8) Теорема о площади круга (теорема 22).

Задачи: 12.4, 12.11, 12.41, 12.52, 12.63, 13.1, 13.8, 13.24, 14.21, 14.38, 14.48, 15.1, 15.9, 16.4, 17.2.

Билеты.

Билет 1. 1. Свойства хорд и диаметров.

2. Теорема о длине окружности.

3. Задача 13.1. Выпуклая фигура содержит три точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что она содержит треугольник с вершинами в этих точках.

Билет 2. 1. Характерное свойство касательных к окружности.

2. Теорема о площади круга.

3. Задача 12.63 а).Нарисуйте острый угол Л и внутри его точку В. Пусть 5, и В2 - ее проекции на стороны угла. Докажите, что отрезок ВВХ виден из точек Л и В2 под равными углами.

Билет 3. 1. Теорема о вписанном угле.

2. Теорема о возможности вписать окружность в каждый треугольник.

3. Задача 13.8 а). Даны выпуклая фигура F и точка Л вне ее. Точка Л соединяется отрезками со всеми точками F. Будет ли объединение всех этих отрезков выпуклой фигурой?

Билет 4. 1. Теорема о пересечении выпуклых фигур.

2. Теорема о возможности описать окружность около каждого треугольника.

3. Задача 14.48 д). Выразите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, через периметр и угол при основании.

ЗАЧЕТНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА (1 ч)

Каждый выбирает любой из вариантов.

Вариант 1

1. Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность.

2. АА{ и ßß, — высоты треугольника ABC. Постройте треугольник ABC по точкам Л,, ß, и прямой AB.

3. Сторона квадрата ABCD равна 8 см. Найдите длину окружности, которая проходит через точки А и В и касается стороны квадрата CD.

4. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна а. На катете как на диаметре построена окружность. Найдите площадь той части круга, которая находится внутри треугольника.

Вариант 2

Составьте работу из задач, вынесенных на зачет: 12.4, 12.11,12.41, 12.52,12.65, 13.1, 13.8, 13.24, 14.21, 14.38, 14.48, 15.1, 15.9, 16.4, 17.2.

Вариант 3

Составьте работу из задач к главе III.

Вариант 4

Расскажите решение тех задач, которые вы решали дома самостоятельно во время изучения этой темы.

ЗАЧЕТ ПО КУРСУ ГЕОМЕТРИИ 8 КЛАССА

Вопросы.

1) Свойства и признаки параллелограмма и прямоугольника.

2) Свойства, признаки и площадь ромба.

3) Формулы площади треугольника, параллелограмма и трапеции.

4) Свойства и график синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

5) Теорема синусов.

6) Обобщенная теорема Пифагора.

7) Теорема Пифагора.

8) Теорема о длине окружности и площади круга.

Задачи: 1.25 д), 2.14, 3.24, 4.8, 5.4, 6.3, 7.1, 8.14, 9.18, 10.30, 11.13, 12.7, 13.27, 14.5, 15.4, 16.13, 17.10.

Билеты.

Билет 1. 1. Обобщенная теорема Пифагора.

2. Задача 15.4. Пусть сторона правильного /г-угольника равна 3, а радиус описанной окружности равен 2. Чему равен радиус вписанной в него окружности?

Билет 2. 1. Свойства и график косинуса.

2. Задача 14.5 а). Как вычислить радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, если в трапеции известны все стороны?

Билет 3. 1. Свойства и признаки параллелограмма и прямоугольника.

2. Задача 12.7. Пусть А В — хорда окружности. По одну сторону от нее проведены хорды ААХ и ßß,, составляющие равные углы с AB. Сделайте рисунок. Что можно доказать по этому рисунку? Составьте утверждения, обратные тем, какие вы предложите. Верны ли они?

Билет 4. 1. Свойства и график синуса.

2. Задача 11.13. Параллелограмм ABCD, в котором AB = dx, AD - d2, ACAAB, перегнули по диагонали Л С. Отрезки AD и ВС пересеклись в точке К. Чему равно расстояние от К до А С? Обобщите задачу.

Билет 5. 1. Теоремы о длине окружности и площади круга.

2. Задача 10.30. Из вершины неравнобедренного треугольника проведены биссектриса, высота и медиана. В каком порядке они расположены, если смотреть от большей из сторон при этой вершине к меньшей?

Билет 6. 1. Формулы площади треугольника, параллелограмма и трапеции. 2. Задача 9.18. В равнобедренном треугольнике известны его высоты. Как найти его углы?

Билет 7. 1. Свойства и графики тангенса и котангенса.

2. Задача 8.14. В выпуклом четырехугольнике dx и d2 — длины его средних линий, а ф — угол между ними. Докажите, что его площадь5 вычисляется по формуле S = dxd2 -sincp. Каковы следствия из нее? Как ее можно обобщить?

Билет 8. 1. Теорема синусов.

2. Задача 6.3. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведен перпендикуляр CD к гипотенузе. Докажите, что: a) CD2 = ADBD б) АС2 = ADAB в) ВС2 -BDBA. Дайте формулировки этим равенствам.

Билет 9. 1. Теорема Пифагора.

2. Задача 5.4. В прямоугольном треугольнике рассмотрим такие величины: оба катета, гипотенузу, медианы ко всем сторонам. Выберите две из них и, считая их известными, укажите план нахождения остальных.

Билет 10.1. Свойства, признаки и площадь ромба.

2. Задача 4.8 б). Восстановите параллелограмм, если на рисунке сохранились три его вершины.

Ответы и указания к самостоятельным и контрольным работам

Вариант 1. 1. Необязательно. 2. а) Когда ХС = ХВ; в) да; г) нет.

Вариант 2. 1. Необязательно. 2. а) Когда ХС = ХВ; в) да; г) нет.

С—1.1

Вариант 1. 1. Да. 2. Такой нет. Вариант 2. 1. Да. 2. Такой нет.

С-1.2

Вариант 1. 1. Если х < 1, то 0; если 2. а) 46.

Вариант 2. 1. Если х < 2, то 0; если 2. а) 58.

С-1.3

Вариант 1. 1.

Вариант 2. 1.

С-1.4

Вариант 1. 1. а) 1; б) 1; в) мало данных; г) 1.

Вариант 2. 1. а) 1; б) 1; в) мало данных; г) 1.

С-1.5

Вариант 1. а) 1; б) в одном из случаев 1, в других — результата не получить.

Вариант 2. а) 2; б) в одном из случаев 2, в других — результата не получить.

С-1.6

Вариант 1. 1. а) 2,5; б) 5. 2. Можно решить только задачу из пункта б).

Вариант 2. 1. а) 1,25; б) 10. 2. Можно решить только задачу из пункта б).

С-1.7

Вариант 1. I. а) , б) Точка Т2. 2. Точка Тх. 3. Задачу 16).

Вариант 2. I. а) , б) Точка Т2. 2. Точка 7|. 3. Задачу 16).

С-1.8

Вариант 1. I. а) 4; б) 1; в) 5 - X. 2. —v.

2

Вариант 2. I. а) 3; б) 1; в) 4 - X. 2. -v.

2

С-1.9

Вариант 1. 1. a) S2 > Sjî б) S, > S2. 2. Результат зависит от сравнения отношений оснований с числом 3.

Вариант 2. 1. a) S2 > Si\ б) S{ > S2. 2. Результат зависит от сравнения отношений оснований с числом 3.

С—1.10

Вариант 1. 1. Да. 2. Результат зависит от вида исходного ромба. 3. В некоторых случаях есть.

Вариант 2. 1. Да. 2. Результат зависит от вида исходного ромба. 3. В некоторых случаях есть.

К-2

Вариант 1. 1. б) BCKL, ЛСКМ, ABLM; д) ABLM.

Вариант 2. 1. б) BCKL, АСКМ, ABLM; д) ABLM. С-2.1-а

Вариант 1. 1. а) Вариант 2. 1. а)

С-2.1-6

Вариант 1. 1. 7,68. 2. Нет.

Вариант 2. 1. 768. 2. Нет. С-2.2

Вариант 1. 1. 3. 2.

Вариант 2. 1. 3. 2.

С-2.3

Вариант 1. 1. 3,5. 2. а) Увеличились в 10 раз.

Вариант 2. 1. 7. 2. а) Уменьшились в 5 раз.

С-2.4

Вариант I. I. В. 2. ^5 или 2.

Вариант 2. 1. С. 2. Ую или 3. С-2.5

Вариант 1. 1. 4 дм и 2 дм.

Вариант 2. I. Такую трапецию не сделать.

К-3

Вариант 1. 1.

Вариант 2. 1. С-2.7

Вариант 1. 1.

А

Вариант 2. 1.

С-2.8

Вариант 1. 2. 1,55. 3. a) ZADC < Z ABC.

Вариант 2. 2. 3,27. 3. a) Z ADC < Z ABC. С-2.9

Вариант 1. I. а) 0,9; б) Вариант 2. I. а) 1,4; б)

С-2.10.

Вариант 1. I. 2,41 или 2,24.

Вариант 2. 1. 4,25 или 4,45. С—2.11

Вариант 1. 1. Z ВАС > Z BDC. 2. Площадь треугольника BDC меньше.

Вариант 2. 1. Z ВАС < ^ BDC. 2. Площадь треугольника BDC меньше. С-2.12

Вариант 1. 2. б)

Вариант 2. б)

С-2.13

Вариант 1. 2. а) 2 случая; б) 3 - а2.

Вариант 2. 2. а) 2 случая; б) 3 - а2. С-2.14

Вариант 1. 2. а)

Вариант 2. 2. а) 2>/з.

С-2.15

Вариант 1. 1. 51°.

Вариант 2. I. 42°.

С-2.16

Вариант 1. I. а) X < 1; б) таких х нет. 2. Z D.

Вариант 2. 1. а) х > 1; б) таких х нет. 2. Z/4.

С-2.17

Вариант 1.1. 0,4 Vo\ 2. а) AB < ВВ] < ВХВ2 < АВ2; в) один из ответов

Вариант 2. 1. 2. а) ВВХ < ВХВ2 < AB < АВ2\ в) один из ответов

С-2.18

Вариант I. 2. б) Да.

Вариант 2. 2. б) Да.

К-4

Вариант 1. 1.

2. Таких нет.

Вариант 2. 1.

2. Таких нет.

С-3.1

Вариант 1. 1.

не существует.

Вариант 2.

С-3.2

Вариант 1. 1. Да. 3. Нет. 4.

Вариант 2. 1. Да. 3. Нет. 4.

С-3.3

Вариант 1. 1. 30°. 2. Под любым. 4. 24°.

Вариант 2. 1. 15°. 2. Под любым. 4. 24°. С-3.4

Вариант 1. 1. а) ВС < AB = CD < AD. 2. а) 8.

Вариант 2. 1. а) ВС < AB = CD < AD. 2. а) 8. С-3.5

Вариант 1. 2. а) Вариант 2. 2. а)

С-3.6

Вариант 1. 1. 0. 2. а.

Вариант 2. 1. 0. 2. а.

С-3.7

Вариант 1. 1. 0,5. 2. Нет. 3. 2^\-х2 +^2(1 + *)). 4. Такого X нет.

Вариант 2. I. 0,5. 2. Да. 3. 4Vi-*2 (! + *)• 4. Такого л: нет.

С-3.8

Вариант 1. 2.

Вариант 2. 2. С-3.9

Вариант 1. 1. Вариант 2. 1. С-3.10

Вариант 1. 1. Вариант 2.1.

С—3.11

Вариант I. 1. Нет. 2. а) Нет; б) да.

Вариант 2. 1. Нет. 2. а) Нет; б) да. С-3.12

Вариант I. 1. а) Условие противоречиво; б) при ф = 108° и равенстве всех углов г = tg54°.

Вариант 2. I. а) Условие противоречиво; б) при ср = 108° и равенстве всех углов г = tg54°.

С-3.13

Вариант 1. 1.

Вариант 2. 1. С-3.14

Вариант 1. 1.

Вариант 2. 1. С-3.15

Вариант 1. 1.

Вариант 2. 1. К-5

Вариант 1. 1.

4.

Вариант 2. 1.

4.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.................................................................................. 3

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ................................... 9

Самостоятельные работы................................................................................................ —

Вариант 1 .................................................................................................................. —

Вариант 2.................................................................................................................. 22

Контрольные работы.............................................................................. ..................... 35

№ 1. Повторение курса 7 класса........................................................................ -

№ 2. Площади многоугольников ........................................................................ 36

№ 3. Теорема Пифагора и ее следствия........................................................... 37

№ 4. Метрические соотношения в треугольнике............................................. 38

№ 5. Многоугольники и окружности................................................................. 39

ТВОРЧЕСКИЕ И ЗАЧЕТНЫЕ РАБОТЫ............................................................. 41

Повторение курса 7 класса.......................................................................................... —

Работа 1. Исследование понятия «признаки»................................................. 42

Работа 2. Познание метода решения задач на доказательство равенства углов....................................................................................................... 43

Работа 3. Построение фигуры............................................................................. -

Работа 4. Пространственные фигуры................................................................ 45

Работа 5. Оценка своего уровня познания темы «Повторение курса 7 класса».......................................................... —

Глава I. Площади многоугольных фигур............................................................... 46

§ 1. Многоугольники и многоугольные фигуры..................................................... 46

Работа 6. Искусство ставить вопросы .............................................................. 48

Работа 7. Познание метода .................................................................................. 49

Работа 8. Использование соображения непрерывности при решении задач....................................................................................................... 50

Работа 9. Учимся решать задачу....................................................................... 51

Работа 10. Оценка своего уровня познания темы «Многоугольники и многоугольные фигуры»............................. 52

§ 2. Площадь многоугольной фигуры....................................................................... 53

Работа 11. Восприятие информации................................................................. 54

Работа 12. Овладение приемами концентрации внимания......................... 56

Работа 13. Обучение правильному запоминанию текста ............................ 56

Работа 14. Познание метода ................................................................................ 56

Работа 15. Учимся решать задачу..................................................................... 58

Работа 16. Оценка своего уровня познания темы «Площадь многоугольной фигуры»............................................... 59

§ 3. Площадь треугольника и трапеции................................................................... 60

Работа 17. Изучение теоретического текста..................................................... 61

Работа 18. Познание метода ................................................................................ 62

Работа 19. Учимся решать задачу..................................................................... 63

Работа 20. Учимся решать задачу..................................................................... 64

Работа 21. Оценка своего уровня познания темы «Площадь треугольника и трапеции»........................................... 66

§ 4. Параллелограмм и его площадь........................................................................ 67

Работа 22. Геометрия параллелограмма......................................................... 68

Работа 23. Познание метода ................................................................................ -

Работа 24. Учимся решать задачу..................................................................... 70

Работа 25. Оценка своего уровня познания темы «Параллелограмм и его площадь» ............................................... 72

Работа 26. Классификация многоугольных фигур........................................ 73

Зачет по теме «Площади многоугольных фигур».................................................. 74

Зачетная контрольная работа..................................................................................... 76

Глава II. Метрические соотношения в треугольнике............................................ 77

§ 5. Теорема Пифагора................................................................................................. —

Работа 27. Познание теории................................................................................. 78

Работа 28. Познание теории................................................................................. 79

Работа 29. Познание метода ................................................................................ 80

Работа 30. Применение метода ........................................................................... 81

§ 6. Применение теоремы Пифагора......................................................................... 82

Работа 31. Изучение теории................................................................................. 83

Работа 32. Познание метода ................................................................................ 84

Работа 33. Учимся решать задачу..................................................................... 85

Работа 34. Учимся решать задачу..................................................................... 86

Работа 35. Выход в пространство...................................................................... 88

Работа 36. Выход в пространство...................................................................... 89

Работа 37. Построение фигуры........................................................................... 90

Работа 38. Оценка своего уровня изучения теоремы Пифагора и ее применения.............................................................. 91

§ 7. Синус.......................................................................................................................... ~~

Работа 39. Читаем параграф вместе................................................................. 92

Работа 40. Изучаем и применяем ...................................................................... 94

Работа 41. Познание метода ................................................................................ —

§ 8.Применения синуса.................................................................................................. 95

Работа 42. Запечатление как познавательный процесс ............................... 97

Работа 43. Читаем и применяем......................................................................... 98

Работа 44. Читаем и применяем......................................................................... 99

Работа 45. Познание метода ................................................................................ ~~

Работа 46. Искусство решать задачу................................................................ 100

Работа 47. Выход в пространство...................................................................... 102

Работа 48. Оценка своего уровня познания темы «Синус»........................ 103

§ 9. Косинус ..................................................................................................................... 104

Работа 49. Изучаем и применяем ...................................................................... 105

Работа 50. Изучаем и применяем ...................................................................... _

Работа 51. Познание метода ................................................................................ 106

Работа 52. Учимся правильно забывать.......................................................... 107

Работа 53. Свойства синуса и косинуса............................................................ 110

§ 10. Применения косинуса.......................................................................................... 111

Работа 54. Читаем и применяем......................................................................... 112

Работа 55. Изучаем и применяем ...................................................................... 113

Работа 56. Познание метода ................................................................................ 1 14

Работа 57. Выход в пространство...................................................................... 115

Работа 58. Учимся решать задачу..................................................................... 1 16

Работа 59. Оценка своего уровня познания темы «Косинус».................... 118

§ 11. Тангенс и котангенс.............................................................................................. 1 19

Работа 60. Читаем параграф и применяем изученную теорию................. 120

Работа 61. Познание метода ................................................................................ 121

Работа 62. Применение метода ........................................................................... 123

Работа 63. Выход в пространство...................................................................... 124

Работа 64. Как сделать трапецию, у которой................................................ 126

Зачет по теме «Метрические соотношения в треугольнике»............................... 128

Зачетная контрольная работа..................................................................................... 129

Глава III. Многоугольники и окружности.............................................................. 130

§ 12. Хорды и диаметры. Касательные и опорные прямые............................... 131

Работа 65. Читаем теорию ................................................................................... —

Работа 66. Изучаем и применяем теорию....................................................... 132

Работа 67. Изучаем метод.................................................................................... ~

Работа 68. Искусство решения задач................................................................ 133

Работа 69. Учимся решать задачу..................................................................... 136

Работа 70. Оценка своего уровня познания темы «Хорды и диаметры. Касательные и опорные прямые».......... 137

§ 13. Выпуклые многоугольники................................................................................ —

Работа 71. Искусство ставить вопросы ............................................................ -

§ 14. Вписанные и описанные окружности.............................................................. 139

Работа 72. Познание теории................................................................................. _

Работа 73. Искусство решать задачу................................................................ 140

Работа 74. Учимся решать задачу..................................................................... 141

Работа 75. Оценка своего уровня познания темы «Вписанные и описанные окружности».......................................... 143

§ 15. Правильные многоугольники............................................................................ _

Работа 76. Читаем параграф вместе................................................................. _

Работа 77. Исследуем решение задачи.............................................................. 144

§ 16. Длина окружности ............................................................................................... 145

Работа 78. Изучаем теорию вместе................................................................... _

§ 17. Площадь круга ..................................................................................................... 146

Работа 79. Изучаем теорию вместе................................................................... -

Зачет по теме «Многоугольники и окружности»................................................... 147

Зачетная контрольная работа..................................................................................... 148

Зачет по курсу геометрии 8 класса........................................................................... ~~

Ответы и указания к самостоятельным и контрольным работам..................... 151

Учебное издание

Рыжик Валерий Идельевич Окунев Анатолий Арсеньевич

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 8 КЛАССА

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Т. Ю. Акимова Младший редактор Я. В. Сидельковская

Художник О. Я. Белозерский Художественный редактор Е. Р. Дашук Технический редактор Я. В. Семенова Корректор Я. Я. Новикова

Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции OK 005-93-953000. Изд. лиц. № 010001 от 10.10.96. Сдано в набор 06.06.97. Подписано к печати 13.01.98. Формат 60x90Vi6- Бумага типографская № 2. Гарнитура Литературная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 10. Усл. кр.-отт. 10,63. Уч-изд. л. 9,15. Тираж 10000 экз.

Заказ № 1921.

Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» комитета Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Ивановская областная типография Государственного комитета РФ по печати, 153628, г. Иваново, ул. Типографская, 6.

издательство

Просвещение

предлагает:

учебно-методическую, развивающую, научно-познавательную литературу по всем школьным предметам

контейнерную отгрузку во все регионы России и стран СНГ

книги крупным и мелким оптом со складов издательства

розничным покупателям — книги из нашего киоска

Телефоны: отдел реализации 289 44 44

289 60 44 отдел рекламы 289 52 84 факс отдела реализации 289 60 26

E-mail: textbook@glasnet.ru или

textbook@glas.apc.org

Наши книги оптом и в розницу можно приобрести в издательстве по адресу:

127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Проезд: ст. метро «Белорусская», далее трол. 18 до ост. «Гостиница «Северная»; ст. метро «Рижская», далее трол. 18, 42, авт. 84 до ост. «Гостиница «Северная».

Торговый дом «Просвещение»:

129626, Москва, ул. Новоалексеевская, 8. Справки по телефону: 2870869

Учебно-методический комплект

для углубленного изучения геометрии

в 8—9 классах включает:

Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. ГЕОМЕТРИЯ, 8—9. Учебник

Рыжик В. И., Окунев А. А.

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ГЕОМЕТРИИ для 8 класса для 9 класса

Окунев А. А.

УГЛУБЛЕННОЕ ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ в 8 классе в 9 классе

Пособия для учителя

ПРОСВЕЩЕНИЕ