КОМИТЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ МЭРИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАСТЕРСТВА

Центр педагогического опыта Кабинет математики

В. И. РЫЖИК

КАК СДЕЛАТЬ ЗАДАЧНИК

Санкт-Петербург 1995

КОМИТЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ МЭРИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО МАСТЕРСТВА

Центр педагогического опыта

Кабинет математики

В. И. РЫЖИК

КАК СДЕЛАТЬ ЗАДАЧНИК

Санкт-Петербург 1995

В. И. Рыжик, учитель лицея «Физико-техническая школа» при Физико техническом институте им. А. Ф. Иоффе, кандидат педагогических наук, учитель-методист, член лаборатории учителей-экспериментаторов при Центре педагогического опыта СПГУПМ

Рецензенты:

И. В. Баранова, кандидат педагогических наук, профессор РГПУ им. А. И. Герцена;

И. А. Колесникова, доктор педагогических наук, профессор СПГУПМ

Редактор Ф. В. Зарянова, методист Центра педагогического опыта СПГУПМ

В книге дается описание современной проблематики школьного геометрического образования. Автор рассказывает о методологии составления задачника в соответствии с принятым системным подходом и решении наиболее интересных методических проблем в процессе его составления. Рассматриваются самые разнообразные задачи. Анализируются разные типы задач.

Методические рекомендации представляют большой интерес для методистов и учителей математики, особенно для тех, кто работает по учебникам геометрии, авторами которых являются А. Д. Александров, А. Л. Вернер и В. И. Рыжик.

ISBN 5-7434-0154-3

© Санкт-Петербургский государственный университет педагогического мастерства, 1995

© В. И. Рыжик, 1995

ВВЕДЕНИЕ

Проблема создания полноценного учебника по любой дисциплине вряд ли перестанет быть актуальной во все времена. Даже если при существующих общественных потребностях, научной и педагогической парадигме, при наличествующих критериях, которым должна удовлетворять учебная книга и удается добиться некоторых достижений, то со временем все эти факторы меняются. Мы как раз и находимся в таком отрезке времени. И, соответственно, новым временам должны удовлетворять совсем другие учебники.

Создание учебника по геометрии для школы было и до сих пор является очень непростой задачей. Анализ учебников по геометрии в разных странах и в разные времена, анализ программ обучения по этому предмету, многочисленных статей математиков, методистов и учителей выявляет разнообразнейшие точки зрения, часто полярные, на роль геометрии в образовании подрастающего поколения. Велико разнообразие взглядов на приципиально важные для преподавания вопросы: каково содержание курса, какова его структура, на чем его основывать, какова роль тех или иных геометрических методов и т. д. Такая картина не случайна, она отражает, в частности, сложную и противоречивую природу самого предмета — геометрии. Об этом достаточно ярко и полно написал А. Д. Александров. (Его великолепная статья «О геометрии» была напечатана в журнале «Математика в школе», 1980 г., № 3). Сущность геометрии, по его мнению, состоит в неразрывной связи наглядного воображения и логики, абстрактной теории и реальной практики.

Проблема создания учебника по геометрии стала особенно острой в последнюю четверть века. Это связано, прежде всего, с двумя обстоятельствами. 1) Геометрия у нас в стране является обязательным элементом общего среднего образования. 2) Чрезвычайно сильное воздействие на математическое образование в целом оказали известные реформистские, а затем антиреформистские тенденции. Эти тенденции проявляются, коротко говоря, в принятии генетического или онтодидактического подхода при обучении геометрии. (Генетический подход предполагает такое

преподавание предмета, которое в целом соответствует историческому ходу развития самой науки. Онтодидактический подход предполагает максимально возможное использование современных осмыслений предмета. Реально же любая из этих тенденций необходимо должна учитывать еще и психологические аспекты преподавания, в первую очередь учет возрастных особенностей развития ребенка). Типичные примеры столкновения этих тенденций: обоснование курса может быть вполне традиционным в духе Евклида, но может опираться на понятие множества; движения могут быть отдельной темой курса, но могут быть и его основой.

В эти годы и содержание программы, и действующий учебник подвергались постоянной критике. При этом подвергались сомнению не только частные вопросы, но — в том-то и дело — даже исходные установки. Практический выход из положения состоял, как известно, в проведении открытого конкурса, в результате которого появилось несколько учебников вместо одного и острота ситуации спала. А в нынешние времена, когда учитель волен выбрать для работы любой подходящий ему учебник, она, кажется, и вовсе исчезла — во всяком случае теоретически, если отвлечься от возможности обеспечить этим учебником всех учеников. Вместе с тем, стоит согласиться, что в принципе не может быть создан «наилучший» учебник или даже «оптимальный» учебник. Постулирование существования единственно возможного учебника означает по сути своей признание безраздельного приоритета какой-то единственной точки зрения и на преподавание геометрии.

Основной тенденцией в деле создания учебника по геометрии становится ныне тенденция дифференциации курса в зависимости от тех, кому он предназначен. Здесь можно выделить два направления работы: 1) Специализированные физико-математические школы появились у нас в стране лет 30 назад. В последние годы число таких школ и классов резко увеличилось. Однако до недавнего времени учебника геометрии для них не было. 2) Бесспорно, геометрия является частью общекультурного багажа личности. Потребности учеников, которым геометрия достаточна только в таком ее качестве, мало учитываются в современных учебниках, а лучше сказать — не учитываются вовсе.

В любом школьном учебнике математики органической частью являются задачи. (При этом по существу чисто техническим является то обстоятельство, составляют ли теория и задачи одну книгу или существуют в виде разных книг). Но тогда проблематика школьного учебника по геометрии порождает и проблематику задачника в этом учебнике.

Задачи как таковые исследовали разные специалисты: психологи, дидакты, методисты, специалисты по искусственному интеллекту, системологи, философы, математики... и эта тема бесконечна. Я буду говорить только о геометрических задачах для школьного учебника.

Задачник для учебника имеет явно выраженную специфику по сравнению с каким-либо другим задачником по математике: конкурсным, олимпиадным, тематическим и т. п. Он накрепко привязан к конкретному теоретическому тексту, его букве и духу, к нему предъявляются довольно жесткие требования со стороны общества, совокупности педагогических наук, практики преподавания.

В начале работы над задачником к учебнику геометрии (авторами теоретического текста являются А. Д. Александров и А. Л. Вернер) мне казалось, что достаточно к каждому параграфу (к каждому пункту параграфа) подобрать, исходя просто из здравого смысла, собственного опыта и педагогической интуиции, некий набор задач, и дело будет в принципе сделано. (Некоторый опыт составления учебных задач у меня уже был. В 1968—1975 гг. я рассказывал в старших классах курс геометрии на векторной основе. А в 1975—1979 гг. я вел в старших классах физико-математической школы единый курс математики. Создание этих курсов потребовало и подбора соответствующих задач).

Увы... все вышло куда сложнее. Одно простое соображение разрушает эту наивную «концепцию» создания задачника: теория в различных учебниках элементарной геометрии практически одна и та же, а вот задачи в них отличаются порой чрезвычайно. Почему? И один контрпример: уж на что был мастер Киселев, но задачи в его знаменитом учебнике геометрии не прижились в реальном преподавании, и понадобились для работы по его учебнику сначала задачник Рыбкина, а затем и Стратилатова.

Итак, потребовалась общая концепция задачника в школьном учебнике геометрии. Она понадобилась и потому еще, что чрезвычайно разнообразны и даже противоречивы требования, лучше сказать, пожелания учителей по отношению к задачнику. Мне не один раз приходилось просить коллег описать «задачник своей мечты» по геометрии. Количество разных пожеланий доходило в иной аудитории до 50! И никогда не было уверенности, что предложенный перечень нельзя дополнить. Кроме того, было очевидно, что в нем можно навести какой-то порядок.

Далее, надо было понять, как от концепции перейти к реальной работе по составлению задачника. Для этого казалось необходимым выработать некие положения (названные затем основными), соответствующие выбранной концепции и являющиеся конкретной основой для подбора задач. И только затем возможно осмысленное создание задачника.

Точности ради скажу, что осознание такой триады действий (концепция, основные положения, реализация) пришло не сразу, в результате предварительного теоретического анализа ситуации, а в ходе практической деятельности. Именно осознание ее пришло потом, а сама она все же в каком-то виде — смутном, расплывчатом — но была. Тут же замечу, что в эту триаду добавились в процессе работы другие этапы. Например, вначале создавался

не тот или иной задачник с четким разделением на главы и параграфы, а некий банк задач, из которого в дальнейшем и отбиралось то, что нужно. Здесь необходимо учесть и то практическое обстоятельство, что теоретический текст далеко не всегда сперва такой же, как и в окончательном варианте. Поэтому слишком жесткая регламентация задач в начальный период создания задачника может привести (и приводила!) к чрезвычайной путанице.

Методологической основой создания общей концепции задачника стал системный подход, ставший общепризнанным за последние десятилетия и в педагогических исследованиях. Если задачи в учебнике рассматривать как систему, то можно воспользоваться принятыми в системном подходе понятиями и методиками для решения возникающих конкретных проблем. При этом — что очень важно — возникает и новая проблематика, далеко не очевидная вначале.

Осмыслив задачи в учебнике как систему, и при создании банка задач, а затем при отборе задач из банка в первую очередь надо учесть, как показал анализ, связи этой системы:

1) со средой (т. е. учесть современные тенденции среднего образования, как общего, так и математического, в частности геометрического) ;

2) с теоретическим текстом учебника;

3) с деятельностью учителя в процессе преподавания геометрии;

4) с деятельностью ученика при изучении геометрии.

Анализ этих связей позволил выделить методические проблемы, которые предполагается решить при составлении задачника, так как любое конкретное пожелание по его содержанию в конце концов сводится к той или иной методической проблеме. (Реально дело обстоит так. Многие учителя, например, хотят иметь в задачнике достаточное количество задач на доказательство. Надо было ясно понять, при решении какой методической проблемы это пожелание может быть реализовано.) Основные положения для составления задачника появляются вполне естественно как раз при решении поставленных методических проблем. Теперь схема составления задачника выглядит так: концепция — методические проблемы — основные положения — банк задач — задачник.

Создание и разработка концепции потребовали от меня громадной (но в итоге совершенно незаметной) работы, когда пришлось основательно разобраться в многочисленных научных трудах по философии (теория познания, образование, теория деятельности, общая теория систем, искусственный интеллект); по педагогике (воспитание через предмет); по дидактике (цели образования, содержание образования, профессиональная ориентация образования, теория учебника, теория обучения); по психологии (теория деятельности, развитие пространственного мышления, теория творчества); по системологии (применение общей теории систем в конкретных сферах человеческой деятельности, системный ана-

лиз, теория управления); по методике преподавания математики (цели математического образования, в частности геометрического, содержание математического образования, в частности геометрического, воспитание в процессе математического образования, использование тех или иных видов задач в обучении).

Далее выделю такие явные этапы работы.

1) Анализ

а) учебных программ разных стран (Франция, Япония, США, Румыния, Англия, ФРГ, Италия) по математике, в частности по геометрии, — за весь послевоенный период;

б) учебников по геометрии, в которых содержались задачи, — почти всех, изданных на русском языке в нашем веке;

в) задачников как по всему курсу геометрии, так и тематических — почти всех, изданных на русском языке в нашем веке;

г) научной и научно-популярной литературы, имеющей отношение к элементарной геометрии — за весь послевоенный период;

д) методической литературы по общим вопросам преподавания математики — за весь послевоенный период;

е) методической литературы по общим и отдельным вопросам преподавания геометрии — за весь послевоенный период;

ж) научных и научно-методических исследований по проблеме задач;

з) отдельных статей и заметок по элементарной геометрии и методике ее преподавания — за весь послевоенный период.

(Отбор для анализа литературы в первую очередь послевоенного периода обусловлен тем, что именно в эти годы были предприняты серьезные попытки реформирования школьной геометрии, отражающие новые тенденции в преподавании элементарного курса математики.)

2) Выделение

определенных методических проблем геометрического образования, в частности:

а) новых по постановке;

б) новых по способу решения.

3) Формулировка

основных положений для подбора задач и на их основе:

а) обработка известных задач,

б) конструирование новых задач.

4) Создание

банка задач, учитывающего специфику:

а) физико-математической школы,

б) массовой школы.

5) Создание

а) задачника в учебнике геометрии для физико-математической школы,

б) задачника в учебнике геометрии для массовой школы.

6) Проведение

а) авторского преподавания курса геометрии во всех классах

как физико-математической, так и массовой школы (ведется более 10 лет и продолжается в настоящее время);

6) экспериментального преподавания геометрии отдельными учителями во всех классах как физико-математической, так и массовой школы (ведется все последние годы) при научно-методической консультации автора;

в) опытного преподавания геометрии более, чем в 40 школах С.-Петербурга (Ленинграда) учителями этих школ — как массовых, так и специализированных физико-математических (велось на протяжении более, чем 10 лет);

г) семинаров под руководством автора, связанных с методикой преподавания по экспериментальным учебникам геометрии;

д) консультаций автора, связанных с методическим обеспечением отдельных тем и уроков в процессе преподавания по экспериментальным учебникам.

7) Анализ

а) собственного опыта реальной работы по экспериментальным учебникам;

б) опыта учителей, ведущих экспериментальное преподавание по этим учебникам;

в) реакции учителей, ведущих опытное преподавание по этим учебникам;

г) семинаров и консультаций, проведенных автором для учителей, ведущих экспериментальное или опытное преподавание.

8) Обсуждение

со специалистами (геометрами и методистами):

а) задач в целом,

б) отдельных задач.

9) Коррекция

а) банка задач,

б) задачника.

Основным содержанием опытно-экспериментальной работы было создание задачника, формирование методики практической работы с ним и его коррекция. Она включала такие этапы:

1) Создание банка задач.

2) Отбор задач из банка для задачника.

3) Написание учебных материалов для старших классов (теория и задачи) в препринтном и ротапринтном вариантах.

4) Авторская проверка этих материалов в реальном преподавании ученикам физико-математической школы.

5) Создание пособия для учителей по стереометрии. Из него учителя смогли ознакомиться с идейным замыслом будущего учебника и возможными способами его реализации.

6) Проверка этого пособия в авторском, экспериментальном, а затем и опытном преподавании.

7) На основе пособия для учителей создается школьный учебник по стереометрии. В дальнейшем после анализа накопленного опыта он перерабатывается.

8) Создается учебник по планиметрии для каждого из трех классов, где она изучается систематически (для 7, 8 и 9 классов). Идет авторская, экспериментальная и опытная проверка этих учебников. В опытной проверке учебников для массовой школы принимали участие учителя более 40 школ Калининского района Ленинграда.

9) С учетом накопленного опыта преподавания, анализа обсуждения учебника на учительских семинарах, замечаний специалистов (геометров и методистов) создается учебник планиметрии для 7—9 классов массовой школы и учебник стереометрии для 10—11 классов массовой школы.

10) На основе уже имеющегося опыта и с учетом специфики создается учебник по стереометрии для физико-математических школ. В то же время идет и его авторская проверка. Начиная с 1984 г. по нему работают в разных городах страны: Москве, Новосибирске, Тюмени и др.

11) С учетом двустороннего опыта работы: с одной стороны — по учебнику стереометрии для физико-математических школ и с другой стороны — по учебникам планиметрии для массовой школы создается учебник планиметрии для физико-математических школ (8 и 9 классы). В это же время идет его авторская проверка.

12) В результате авторского, экспериментального и опытного преподавания написана программа по геометрии для физико-математических школ, одним из учителей-экспериментаторов (Паповским В. М.) издано пособие для учителей по курсу стереометрии для физико-математических школ. Пособие для учителей по курсу планиметрии для физико-математических школ готовится к печати (автор — А. А. Окунев). Предложенная программа для 10—11 классов с углубленным изучением математики стала государственной.

В последние 12 лет (1982—1994 гг.) я неоднократно вел с учителями семинары, на которых обсуждались вопросы преподавания геометрии по этим учебникам, выступал перед ними в связи с конкретными вопросами преподавания. Кроме этого, результаты, полученные в процессе работы, излагались автором перед учеными-методистами педагогических институтов, в лаборатории математики НИИСиМО АПН СССР и на УМСе Министерства просвещения СССР.

Теперь, полагаю, ясна проделанная работа в целом. Впервые в нашей педагогической литературе появился учебник по геометрии, написанный одними и теми же авторами для массовой и для специализированной физико-математической школ. Эта работа продолжается и сейчас — в первую очередь мы хотим создать учебник геометрии, который учитывал бы интересы «гуманитариев», т. е. тех, кому геометрия достаточна на общекультурном уровне.

В полном объеме рассказать здесь о проделанной работе невозможно. Мне представляется наиболее важным рассказ, доста-

точно краткий, о методологии составления задачника в соответствии с принятым системным подходом, во-первых, и о решении наиболее интересных методических проблем в процессе его составления, во-вторых.

Поэтому в дальнейшем раскрываются следующие вопросы:

1) Система задач школьного учебника геометрии.

2) Методические проблемы, выделенные в исследовании.

2.1. Отражение в задачнике современных взглядов на преподавание школьной геометрии.

2.2. Пропедевтика стереометрии в курсе планиметрии.

2.3. Формирование основ исследовательской и изобретательской деятельности.

2.4. Отражение в задачнике деятельности учителя в процессе преподавания геометрии.

2.5. Отражение в задачнике деятельности ученика в процессе изучения геометрии.

2.6. Построение задачника в целях более эффективного взаимодействия с теорией.

ГЛАВНОЕ — ЭТО СИСТЕМА. НО КАКАЯ?

Системный подход к задачнику в школьном учебнике геометрии обусловлен следующими соображениями.

1. Теоретический материал каждого года обучения, каждой главы, каждого параграфа и каждого пункта в параграфе — каждой структурной единицы в учебнике — определяет только содержательную сторону задачи: тот объект, те его свойства, те его отношения, о которых идет речь в теории. Скажем так: если в параграфе говорится о сумме углов треугольника, то и задачи предлагаются на эту тему; если глава посвящена треугольникам, то среди задач к этой главе мы вряд ли встретим задачу о круге.

Иногда в теоретическом тексте учебника описан тот или иной метод, и тогда в задачах предлагается использование этого метода. Например, если в теории говорится о координатном методе, то задачи к этому тексту позволяют в какой-то степени ему научиться.

Но реальный подбор задач направляется не только содержанием определенной темы. От задачника требуется также его соответствие поставленным перед учебником целям: одно дело, когда авторы стремятся в первую очередь развить у учеников логическое мышление, но совсем другое — когда хотят воздействовать на мотивацию и всячески подкрепляют практическое использование геометрии. Чтобы убедиться в этом, достаточно прочитать некий параграф — скажем, о правильных многоугольниках в разных учебниках: французском, американском, русском... или даже в одних только русских учебниках разных авторов, изданных с интервалом в четверть века.

Пойдем, однако, далее. Задача, предлагаемая в реальном обучении, имеет адресата. Задача для младших школьников и задача для выпускников могут существенно разниться по постановке, хотя математическое содержание этих задач и не слишком отличается.

(Например: Если требуется узнать площадь кольца, то при первом знакомстве с формулой площади круга интересен и сам результат. После знакомства с понятием производной этот же результат можно использовать для известной идеи немецкого математика Г. Минковского — определять длину кривой через предел некоторого выражения, в котором участвует площадь. Эта идея приводит в случае окружности в конечном счете к тому, что длина окружности оказывается производной от площади круга. Для получения такого результата вполне достаточно формулы для площади кольца.

Конечно, есть и более простые примеры, хотя бы такой, из алгебры. Ответ на вопрос: чему равен V4 зависит от того, знает ученик комплексные числа или нет.)

И далее — задача попадает к ученику, как правило, от учителя,

но учитель бывает всякий: он может видеть в геометрии лишь поле для применения аналитических методов, но может полагать, что «чем больше аналитики, тем меньше геометрии».

Известная трактовка обучения как процесса управления естественно приводит к рассмотрению «задачной ситуации», в которую необходимо входят и учитель, и ученик. При этом весьма велико многообразие возможных вариантов деятельности учителя и достаточно сильно различаются в своей учебной деятельности ученики — вряд ли это надо специально комментировать.

Этот краткий анализ можно развернуть и продолжить, в результате чего получается, что задачник в школьном учебнике геометрии должен учитывать требования, идущие от самой геометрии как научной дисциплины, от трактовки элементарной геометрии автором теоретического текста, от современных педагогических, дидактических и методических воззрений, а также от практики ее преподавания, как она исторически сложилась.

(Написать принципиально новый учебник — пожалуйста. Но кто будет по нему работать? Любопытно также заметить, сколь различны и даже полярны подходы к преподаванию школьной геометрии в разных странах. Здесь я позволю себе утверждать, что известный во всем мире авторитет России по части преподавания математики в школе держится на весьма малом числе «китов» и один из них — хорошо поставленный и методически отработанный курс евклидовой геометрии.)

Требования к задачнику многочисленны, не упорядочены, порой противоречивы и меняются со временем. Яркий пример такой изменчивости, заметный в последние годы, — предложения в нашей педагогической печати о создании единого курса математики, в котором геометрия растворяется.

Необходимость осмысления этих требований, упорядочивания, генерализации и привела меня к системному подходу.

2. Поскольку в «задачной ситуации» необходимо участвуют люди, постольку в выбранном мною подходе использована методология мягких систем, естественная для общественных, в том числе и педагогических наук. Методология мягких систем характерна, среди прочего, и тем, что системная модель, создаваемая на ее основе, нетождественна реальной проблемной ситуации, породившей данную системную модель. (В технических же системах возможно иное.)

3. Применение системного анализа к задачнику в школьном учебнике геометрии потребовало конструирования системной модели (см. рисунок). Для ее создания было проделано следующее:

а) сформулировано понятие «система школьной геометрии», сокращенно СШГ;

б) определены границы этой системы, отделяющие ее от среды;

в) составлен список подсистем СШГ, среди которых находится и система задач;

г) построена структура СШГ;

СИСТЕМА ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

д) проведен анализ взаимосвязей системы задач со средой и другими подсистемами СШГ.

4. После того как создана системная модель, на первое место выходит анализ взаимосвязей интересующей нас подсистемы. От его полноты и зависит в конечном счете, как будет «работать» созданная системная модель. Анализ взаимосвязей системы задач со средой и другими подсистемами СШГ позволяет выделить те методические проблемы, которые порождены подбором задач. Далее, в процессе решения выделенных методических проблем, будут сформулированы основные положения, на базе которых затем предлагаются конкретные решения.

5. Удачная системная модель является эффективной не только при подборе задач, но и при анализе уже созданного задачника. Иначе говоря, не только составление задачника, но и его возможное улучшение определяется в первую очередь тем, насколько точна системная модель, насколько полно проведен анализ взаимосвязей подсистем этой модели, насколько общо выделены методические проблемы, порожденные этим анализом, насколько точно сформулированы основные положения для их решения и насколько удачно воплощены эти положения. И, напротив, глобальная неудача задачника может быть истолкована также с системных позиций, ибо причины неудачи можно установить достаточно точно: или плоха системная модель, или плох анализ взаимосвязей в рамках этой модели.

Итак, рассматривается система такого вида (см. рисунок). (Напомню, что это — абстрактная модель реальной ситуации.)

В этой исходной системе две подсистемы: одна — управляющая система, другая — исполняющая система. (Более удачная терминология будет дана ниже.) Элемент исполняющей системы —

это отдельный ученик. Управляющая система делится, как ясно из рисунка, на две подсистемы: систему «Учитель» и систему «Учебник». Элемент системы «Учитель» — это отдельно взятый учитель. И, наконец, система «Учебник» делится на две подсистемы: систему «Теория» и систему «Задачи». (Теперь проясняется, в каком смысле употребляется в тексте оборот «система задач» — это подсистема в исходной системе.)

Дадим теперь краткое описание СШГ и ее подсистем.

В среду, окружающую СШГ, входят, в частности, общество, формирующее социальный заказ на определенный тип личности; конкретная наука, основы которой изучаются; педагогическая теория (психологические основания, дидактика, общая и частная, методики преподавания); традиции в образовании как вообще, так и по данному предмету.

В среде формируются потребности, которым должна удовлетворять система, при этом потребности меняются со временем, как это ясно видно даже за последние 10 лет в нашем среднем образовании.

Среда формирует также и ограничения на систему. Как пример ограничений, можно привести программы по другим школьным предметам, в первую очередь по другим математическим дисциплинам. Так, курс планиметрии должен согласовываться с теми знаниями и тем геометрическим развитием, которые предусмотрены программой предыдущего обучения. Еще пример: курс геометрии в целом может использовать только тот аналитический аппарат, который обеспечен имеющимся курсом алгебры и анализа (хорошо известны различные способы изучения объемов в геометрии в зависимости от того, знакомы ученики или нет с понятием определенного интеграла).

Цели, отражаемые в СШГ, идут также от общества и частично зафиксированы в программных документах школы. (Не надо цели смешивать с потребностями, последние имеют более общий характер. Скажем, подготовка школьника к жизни в современном обществе — это потребность, которая может быть доведена до уровня целей. Одной из таких целей является узнавание разных геометрических фигур). Кроме них, есть еще цели, идущие от дидактики, свойств самой науки, психологии обучения, методики преподавания. И, наконец, есть цели, идущие от учителя, от ученика и от авторов учебника. Все цели относятся так или иначе к свойствам личности ученика: к его знаниям, умениям, развитию, мотивации и т. д.

Некоторые цели можно поставить диагностично. Это означает, что они допускают четкую фиксацию и формализованную оценку уровня их достижения (пятибалльная шкала). Однако некоторые цели математического, в частности, геометрического образования вряд ли могут быть поставлены диагностично в этом смысле, например, формирование научного мировоззрения. За что тут ста-

вить оценку? Такие свойства личности относят к ценностям. Структура целей и ценностей сложна. Анализ показывает, что целей и ценностей, стоящих перед геометрическим образованием, много и между ними заметны противоречия.

(Например, формирование научного мировоззрения предполагает достаточно строгое изложение теории. Однако существенно и развитие творческой фантазии детей. Одновременно «убить этих двух зайцев» часто невозможно: либо логика и строгая доказательность, либо интуиция и апелляция к наглядным представлениям. Еще пример: научная дисциплина представлена в учебном предмете как последовательно развертывающаяся теория, однако конкретные интересы детей часто проявляются совсем не в том русле).

Действия учителя, направленные на достижение поставленных целей и формирование ценностей, разнообразны и многочисленны. Нас будут интересовать те из них, которые могут быть реализованы посредством задач, но об этом ниже.

Управление в СШГ распределено между системой «Учитель» и системой «Учебник». Точнее, однако, было бы говорить об управлении, имея в виду процесс достижения целей, и употребить термин «влияние» для процесса передачи ценностей, называя управление и влияние вместе руководством.

Главное действующее лицо в СШГ — учитель. Среди многих решений, которые принимает учитель,— выбор той или иной задачи из учебника, способ ее подачи в реальном учебном процессе. (Хотелось бы заметить, что действия учителя, сориентированные на то или иное подробное методическое пособие, — не всегда лучшая стратегия, ибо такое пособие, как правило, усредняет и учеников, и учителей).

Выбор задач учителем обусловлен, среди прочего, теми ценностями, которые он считает приоритетными в работе с детьми. Ценности связаны с предметом, который он преподает (в нашем случае — с геометрией), и с образованием в целом.

Зачем нужна геометрия? Зачем нужна математика вообще в среднем образовании? Каким должно быть математическое образование? Зачем я иду на урок к детям с этой вот теоремой? Что я хочу от ребенка, когда рассказываю ему, скажем, про цилиндр? Чтобы он четко знал определение? Узнавал цилиндр в реальной жизни? Знал его разнообразные свойства? Решал про него всякие задачи? Надо бы знать ответы на эти вопросы хотя бы для себя.

(Например, известно, что у цилиндра имеются эллиптические сечения. Узнают ли об этом наши ученики, зависит не столько от программы, сколько от того, как мы понимаем свою миссию в школе.)

Далее, существенны профессиональные возможности учителя, в том числе та «легкость», с которой он ориентируется в задачах.

Деятельность учителя основана, в частности, и на предположениях самого учителя о том, как «работают» свойства СШГ

в любом конкретном случае. В эти предположения входит не только прогнозирование возможностей учеников, но и представление о собственных возможностях. Существенны также предположения о системе образования в целом, как среднего, так и высшего, о роли научного образования и других свойствах среды — в частности, о том типе личности, который в данный момент прежде всего нужен обществу, а также о том, как эти свойства среды отображаются в системе задач.

Наконец, учитель имеет свой особенный стиль в интеллектуальной деятельности. В нашем случае следует отметить, что учитель может «любить» геометрию, но может и «не любить» ее. В самой геометрии он может предпочитать планиметрию или стереометрию, аналитическую геометрию или, напротив, «бесформульную». Он может «не любить» задачи с практическим содержанием или предпочитать задачи, где решение ясно уже из рисунка. И т. д.

Такая свобода действий учителя отражается в СШГ тем, что учителю дается статус «лица, принимающего решение».

Еще одна подсистема в СШГ — система «Ученик». Для нас в ней существенно следующее: при любой организационной структуре ученики различны настолько, что можно говорить о дифференцированном подходе к ним, во-первых. Во-вторых, каждый отдельный ученик обладает потенциальной способностью развития. (Тут же замечу, что дифференцированный подход к ученику в теоретическом и в практическом аспектах с необходимостью предполагает дифференциацию учителей.)

Ясно, что подсистемы сформированной структуры как-то связаны между собой, что этих связей достаточно много и они весьма разнообразны. Следовательно, нужно провести достаточно осмысленный их анализ.

Из всего множества связей выделю только те, которые относятся к системе «Задачи», т. е. связи: со средой, системой «Учитель», системой «Ученик» и системой «Теория».

Краткая характеристика интересующих нас связей такова.

1. Связи: среда — система «Задачи»

По типу это связи порождения (генетические). То, что содержится в системе «Задачи» обусловлено, порождено тем (но не только тем), что содержится в среде: потребностями общества, имеющимися ресурсами для удовлетворения этих потребностей, состоянием разных наук.

2. Связи: система «Теория» — система «Задачи» Выделяются три типа связей. Первый тип — связи структурные, т. к. последовательность задач в учебнике определяется (прежде всего) последовательностью теоретического материала. Второй тип — связи порождения, ибо содержание задач обусловлено содержанием теории. И, наконец, третий тип — связи функционирования, т. к. обе эти подсистемы находятся в одной и той же системе, обеспечивающей руководство всем процессом.

3. Связи: система «Учитель» — система «Задачи»

Выделяются два типа связей. Первый тип — связи функционирования. Элементы этих подсистем — отдельный учитель и отдельная задача, которую он выбрал для работы, взятые вместе, выполняют функцию руководства. Второй тип — связи преобразования между этими подсистемами, т. к. учитель из всей совокупности задач выбирает те, которые считает наиболее подходящими в каждом конкретном случае. (При этом может оказаться, что нужной для него задачи в тексте нет, и тогда он пользуется другими источниками.) Связи преобразования работают и в противоположном направлении, ибо учебник воздействует определенным образом на каждого конкретного учителя.

4. Связи: система «Задачи» — система «Ученик»

Эти связи — связи руководства, наиболее существенные в СШГ. В контексте этих связей можно говорить о развитии ученика. Для практических целей достаточно понимания развития как самовозрастания имеющейся информации и в системе «Ученик», и в отдельно взятом ученике.

МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ, ВЫДЕЛЕННЫЕ В ИССЛЕДОВАНИИ

Среда, как ясно, определяет требования к учебнику.

В СШГ необходимо отразить не только эти, уже устоявшиеся требования к геометрическому образованию, но и современные тенденции в преподавании школьной геометрии, дидактике, психологии и педагогике. Отражение каждой такой тенденции приводит к содержательной методической проблеме. Из этих проблем наиболее интересными мне были те, которые достаточно новы по постановке или те, для которых можно было предложить нетрадиционное решение. Для каждой такой проблемы постулируется так называемое «основное положение», исходя из которого эта проблема будет решаться. В дальнейшем основные положения конкретизируются, после чего геометрическая задача отправляется (или не отправляется) в банк задач. При этом возможна переработка задачи.

Я расскажу теперь о некоторых методических проблемах, которые решались при составлении задачника.

Современное преподавание школьной геометрии

(методическая проблема № 1)

Современное преподавание геометрии во многом определяется современным осмыслением самой науки и традиций ее преподавания.

Выше я говорил, сколь традиционно велико разнообразие взглядов на геометрическое образование. Обозначу лишь несколько дискуссионных точек, которые полагаю наиболее интересными, да и то кратко. (Подробнее об этом можно прочитать в некоторых статьях самого общего характера, опубликованных в журнале «Математика в школе», их можно было бы назвать статьями по «философии преподавания геометрии».)

1) Дискутируется содержание геометрии как математической дисциплины, ее особенности, отличие от остальных математических дисциплин.

2) Разное значение придается геометрическому образованию как в массовой, так и в специализированной физико-математической школах.

3) Обсуждается, какую именно геометрию изучать в школе: только синтетическую (т. е. вполне традиционную), или только аналитическую вкупе с линейной алгеброй, или какую-либо комбинацию из этих разделов науки.

4) Если остановиться на синтетической геометрии, то есть разные мнения, чему посвятить основное внимание: фигурам, их преобразованиям или геометрическим структурам.

5) Специалисты расходятся в оценке роли теории множеств

для обоснования и преподавания геометрии — от полного неприятия до включения ее понятий и отношений в систему аксиом.

6) Возможны разные варианты последовательности изложения геометрии в школе. У нас в стране принят такой: сначала изучать планиметрию и только затем стереометрию. Но может быть целесообразнее одновременное их изучение, или есть еще какие-то варианты?

7) Нет единой точки зрения на то, какие методы в школьной геометрии являются наиболее важными. Можно отдать предпочтение наглядным методам, или векторным, или методу координат, или преобразованиям. А если позволительно их сочетание, то неясна расстановка акцентов.

8) Постоянно обсуждается роль дедукции в преподавании геометрии и даже ее правомерность. Дедукция здесь может быть глобальной или локальной, или локальной только вначале, но глобальной в конце курса. Не исключается, что она вообще не нужна. Ведутся дискуссии и о том, каким должен быть уровень строгости при изложении геометрии. Предельно возможным вообще или следует остановиться на некотором уровне строгости, которого постоянно придерживаться? В частности, допустимы ли пропуски при доказательствах?

Здесь хочется заметить, что все эти дискуссии не ограничиваются одними только спекулятивными рассуждениями. Каждая из указанных позиций подкреплялась (или подкрепляется) в той или иной стране соответствующей программой изучения курса геометрии, учебниками, методическими материалами, и по ним зачастую идет реальное преподавание.

В последние годы основательно и развернуто высказал по этим вопросам свои взгляды академик А. Д. Александров. В целом ряде статей, опубликованных в журнале «Математика в школе» начиная с 1980 года, они отражены достаточно полно. Задачник, о котором рассказываю, составлен для учебника, написанного в соответствии именно с его взглядами на геометрию и ее преподавание. Поэтому при создании задачника были приняты следующие соображения, ясно сформулированные А. Д. Александровым:

1. Особенность геометрии, выделяющая ее из других математических дисциплин, состоит в том, что в ней неразрывно соединены логика и наглядное воображение. Кроме того, ей присуща теснейшая связь абстрактной теории и практики. Логика, воображение и практика — вот три составляющие как самой геометрии, так и основных направлений в ее преподавании. Я так это и вижу: «вектор геометрии» разложен на три «вектора — составляющих».

2. Основной объект изучения — геометрические фигуры. Не методы (координатный, векторный, аналитический, преобразований), не структуры (аффинная, порядковая, топологическая, метрическая), но именно конкретные фигуры.

3. Основной метод в геометрии — наглядный, который и есть

собственно геометрический метод. Сторонники внедрения в школьный курс геометрии аналитических, векторных и других формализованных процедур порой забывают о том, что геометрия, образно говоря, уже есть метод — метод получения результатов на основе наглядных представлений. Поэтому очень важно не только создание наглядных представлений, но и оперирование ими, не только статика, но и динамика. В частности, в педагогических целях и при определенных условиях можно иногда жертвовать логикой ради наглядности.

Отражение этих взглядов в задачах учебника определяет серьезные методические проблемы, из которых выделю такие: 1) Как отразить в задачнике практическую составляющую геометрии? 2) Как отразить в задачнике составляющую геометрии, связанную с работой пространственного мышления?

(Что касается логической составляющей, то она разработана в нашей учебной и методической литературе достаточно полно. Можно напомнить, что именно она была положена в основу при написании многих школьных учебников по геометрии.)

Покажу, как эти две проблемы решались при составлении задачника.

Практика

Практическая составляющая может пониматься как конкретная деятельность ученика по созданию (построению) тех или иных геометрических фигур в виде рисунка на бумаге, или в виде реальной фигуры — плоской, или пространственной, или в виде модели, например, каркасной. Сюда же можно отнести преобразования фигуры, которые ученик выполняет с нарисованной или реальной фигурой. Сюда же можно причислить те или иные расчетные задания, связанные с конкретными измерениями той геометрической фигуры, которая изображена на рисунке или сделана реально. Может пониматься как перечислено, но не только так.

Практическая составляющая геометрии в учебнике выражается также в межпредметных связях, в первую очередь с физикой и черчением. Много задач с физическим содержанием (кинематика и статика) предлагается в задачнике, когда в теории излагаются векторы. Особо следует отметить задачи, связанные с ортогональными проекциями фигур. Они появляются уже в курсе планиметрии, причем сразу же, как только есть куб. Изображение в трех проекциях частей куба и обратная задача (восстановление части куба по его проекциям), как показывает практика, вполне доступны ученикам даже до начала систематического курса геометрии.

На практическую составляющую геометрии «работают» и задачи, знакомящие с некоторыми особенностями прикладной математики. Эти особенности введены в задачник посредством задач двух типов: теми, где основным содержанием является ма-

тематическое моделирование, и теми, где используются рациональные рассуждения.

Первый тип задач — прикладные задачи. Они характерны тем, что их условие описывает не идеальные математические объекты: точки, треугольники, сферы и т. д., а реальные: летящий самолет, три населенных пункта, земной шар... Это обстоятельство порождает целый ряд особенностей прикладных задач.

В первую очередь отмечу, что в решении содержательной прикладной задачи видны три явственно различимых этапа: 1 ) Составление математической модели, т. е. перевод содержания задачи с языка реального на язык математический; сюда же относится отражение существенных связей между реальными объектами на математическом языке, например, в виде соотношения между теми или иными величинами. 2) Решение модельной, т. е. чисто математической задачи, например, решение какого-либо уравнения или неравенства, полученных в результате перевода условия на математический язык. 3) Осмысление, интерпретация полученного в модели результата-«предответа» (например, корня уравнения) для данной реальной ситуации и получение ответа.

Иногда в геометрии случается, что перевод с реального языка на геометрический бывает практически незаметен (например: «Чему равен объем цистерны, имеющей форму цилиндра...»). В таких ситуациях моделируются только связи между величинами, что приводит затем к решению уравнений, неравенств или систем. Такие задачи тоже важны, но не вызывают столько же интереса, как те задачи, где перевод на геометрический язык требует некоторого интеллектуального напряжения. Основная часть такой работы — разобраться с условием, дабы довести задачу «до математики»: установить, что именно важно, а чем можно пренебречь; какими средствами для решения реальной задачи мы располагаем; что можем делать с реальными объектами для получения математической модели. (Например: «Можно ли, используя только два прибора для измерения расстояний, вычислить высоту, на которой летит самолет?»)

Отсюда прямо следует, что реальной задаче изначально присуща некоторая неопределенность. В приведенной только что задаче, к примеру, неясно, как можно располагать эти приборы, а как нельзя, есть ли еще приборы — хотя бы часы, важно ли знать скорость самолета, учитывать ли шарообразность Земли и т. д.

Отдельные элементы прикладных задач имеет смысл отрабатывать специально, создавая тем самым банк дидактических задач этого направления, но потому и в чисто геометрической задаче появляются неопределенные условия, которые еще надо уточнять для получения осмысленного результата. (Вот пример: «Найти угол между двумя произвольными ребрами некоторого правильного многогранника». Во-первых, не сказано, между какими ребрами искать угол. Во-вторых, а что дано? И то, и другое должны выбрать сами ученики.)

Это место — неопределенность в чисто геометрической задаче — часто «с трудом» проходится учителями и методистами. Мы все слишком привыкли к тому, что в такой задаче сразу дано все, что нужно: и вопрос сразу же поставлен совершенно четко, и условие сформулировано недвусмысленно, причем данных ровно столько, сколько требуется для однозначного ответа на поставленный вопрос. Поэтому задачи, в которых данных меньше или больше, чем надо, или задачи, в которых условие можно достаточно свободно дополнять по собственному разумению, вызывают некий внутренний протест — хочется думать, что такая задача неправильная или плохо составлена. Но не так все однозначно даже в нашей традиционной практике. Например, очень многие задачи о геометрических фигурах могут решаться как задачи об их частях. Скажем, вместо задачи о многограннике можно решать ее же, но уже каркасе, т. е. о совокупности всех ребер этого многогранника. (Искать радиус описанной около многогранника сферы можно и без его внутренности.) Прежде всего должен быть ясен смысл введения таких задач: они обращают внимание на такой момент — неопределенность, который совершенно органичен в прикладных задачах. Если согласиться с такой ролью «неопределенных задач», то они могут даже и понравиться.

Перейдем к задачам второго типа — задачам, в которых используются рациональные рассуждения. Под рациональными рассуждениями будем здесь понимать такие, которые строго обоснованы в математической науке, в геометрии в частности, но к моменту их использования в задачнике таких обоснований нет, а в принципе их может и вообще не быть в школьном курсе. К ним же отнесем и такие рассуждения, которые очевидны из наглядных соображений. Рациональные рассуждения играют огромную роль при решении разнообразных математических задач и в самой науке — об этом писали разные ученые, особо отмечу Д. Пойа (он их называл правдоподобными).

Методическая проблема состоит в том, какие рациональные рассуждения допустить при решении геометрических задач и в какой степени ими можно пользоваться. Основная трудность, полагаю, чисто психологическая: мы привыкли к тому, что доказательство в геометрии должно быть совершенно строгим, со ссылками чуть ли не до аксиом. Однако строгость в геометрии, как об этом ясно пишет А. Д. Александров, всего лишь инструмент для получения достоверных результатов, а потому весьма относительна. Можно не знать строгого определения многогранника, но решать про него всякие задачи, как это и происходило в самой геометрии еще в прошлом веке и как это сплошь и рядом делают наши ученики. С другой стороны, без этого определения не доказать толком, например, знаменитую теорему Эйлера о многогранниках: число вершин плюс число граней минус число ребер в многограннике (каком? что это такое?) равно 2. Еще пример. Что бы мы ни говорили и ни писали о необходимости строгости в гео-

метрии, реально все равно используем наглядную очевидность: нигде в школьном учебнике я не видел доказательства того, что две пересекающиеся прямые разбивают плоскость на 4 части — эти прямые рисуют и просто считают, сколько получилось частей, что, разумеется, не проходит с позиций ревнителей безупречной логики.

В систему «Задачи» включены четыре типа рациональных рассуждений: использование разного рода симметрий, кинематических представлений, непрерывности и рисунка.

Использование симметрий имеет доказательную силу. Иначе говоря, если при решении задачи ученик использовал тот или иной вид симметрии, то такое решение признается корректным задолго до того, как рассмотрены свойства этого вида симметрии. От ученика требуется лишь четкое указание, о каком виде симметрии идет речь. (Приведу пример. Пусть требуется доказать, что около правильной пирамиды можно описать сферу. Доказательство вполне можно начать с такой фразы: «Из соображений симметрии будем искать центр такой сферы на высоте пирамиды или на ее продолжении». О какой же симметрии идет речь? Ясно, о какой — о поворотной симметрии пирамиды. Ось такой симметрии проходит через высоту пирамиды, а угол поворота определяется тем, какой правильный многоугольник лежит в ее основании. Примеры таких решений приведены в задачнике.)

Использование кинематических представлений также допускается при доказательствах. От ученика требуется указать только, какие виды механических движений применяются. (В задачнике приведены примеры с решениями, когда некая плоскость поворачивается или движется параллельно самой себе. Используется и достаточно свободное механическое движение, например, отрезка фиксированной длины с закрепленным концом. Скажем, пусть требуется найти наибольшее значение объема тетраэдра, у которого четыре ребра равны 1. Тогда за основание тетраэдра примем равносторонний треугольник со стороной 1, а четвертое ребро пусть себе свободно «болтается» в пространстве, но одним концом закреплено за одну из вершин основания. Высота такого тетраэдра не может быть больше этого ребра и равна ему только в том случае, когда оно перпендикулярно основанию — вот и все решение. Как решать эту задачу традиционным способом решения задач на экстремумы — составлением целевой функции да еще используя производную, я не знаю.)

Идея непрерывности, обоснованная в математическом анализе, хорошо известна из истории геометрии и с успехом используется в самой геометрической науке.

Использование непрерывности продемонстрировано в задачах трех видов.

Во-первых, она реализуется в так называемом «методе малых шевелений»: если фигуру «чуть пошевелить», то сохранятся те ее свойства, которые существенны для решения. (Приведу пример.

Пусть требуется выяснить, может ли сечение правильного тетраэдра быть тупоугольным треугольником. Представьте себе правильный тетраэдр РАВС, и пусть точка К — середина ребра ВС основания ABC. Рассмотрим треугольник РВК. Очевидно, он прямоугольный. Поэтому если мы чуть сдвинемся от точки К по ребру ВС до точки L, то один из полученных на грани РВС треугольников — PBL или PCL — будет тупоугольным. Пусть таким треугольником является треугольник PCL. Теперь чуть сдвинемся по ребру CA от вершины С к вершине А и зафиксируем точку X в достаточной близости от точки С. При таком «малом шевелении» точки С мало изменится и угол PLC, бывший тупым. Значит, полученный треугольник PXL, являющийся сечением данного правильного тетраэдра и будет тупоугольным.)

Во-вторых, при решении задач используется свойство непрерывного изменения величины, которое сформулируем так. Пусть при движении точки X по некоторой линии величина V(X), зависящая от положения точки на линии, при одном положении точки X (которое мы обозначим как Xi) меньше, чем А, а при другом положении точки X (которое мы обозначим как Х2) больше, чем А. Тогда на участке этой линии от Xi до Х2 найдется такое положение (хотя бы одно) точки X (обозначение Х0), при котором величина V(X) равна А. Это свойство допускает модификацию, именно: если (в тех же обозначениях) рассматриваются две величины V,. V2 и V,(X,)<V2(X,), a V,(X2)>V2(X2), то V, (X0)=V2(X0).

Некоторые геометрические задачи, в которых используется эта идея, хорошо известны из курсов математического анализа. В задачнике она применяется как в планиметрии, так и в стереометрии. С ее помощью доказывается существование иных объектов (например, правильного тетраэдра в начале курса стереометрии), существование каких-то взаимных положений фигур (например, существование конфигурации из четырех точек с фиксированными расстояниями между ними).

Третий тип задач основан на следующем положении. Если в некотором непрерывном процессе геометрическая фигура (или величина) имеет некое свойство, то и в своем предельном состоянии она обладает тем же свойством. Это положение легко иллюстрировать хотя бы с помощью предельного луча — такого луча, к которому стремится переменный луч, иначе говоря, такого луча, с которым переменный луч составляет сколь угодно малый угол. (Вот пример решения задачи с использованием понятия предельного луча: известно, что вписанный угол измеряется половиной дуги, которую он высекает на окружности. Будем теперь устремлять к нулю угол между одной из сторон этого угла и касательной, проведенной через его вершину. В силу непрерывности свойство вписанного угла будет сохраняться и для его предельного положения, в котором одна из его сторон является частью касательной, и в результате мы получим, что угол между ка-

сательной и хордой также измеряется половиной дуги между его сторонами.)

Разумеется, среди задач встречаются и такие, где эти виды рассуждений «по непрерывности» сочетаются.

Теперь — о рисунке. Использование рисунка допустимо тогда, когда решение задачи (или его часть) столь очевидно из наглядных соображений, что любая попытка иного обоснования полученного результата будет воспринята учениками с недоумением. Яркие задачи такого вида можно привести из планиметрии (к примеру: «На сколько частей делят плоскость две пересекающиеся прямые?» Или такая задача: «Квадрат повернулся вокруг своего центра на 45°. Какую часть составляет площадь пересечения этих квадратов от площади исходного квадрата?» Кому тут придет в голову доказывать, что в пересечении получается восьмиугольник? Каждый только посчитает число сторон этого пересечения.) Сразу же следует оговорить, что такого типа обоснования дозволяются и в теории: не доказывается, например, что диагонали параллелограмма пересекаются, ибо это видно из рисунка.

Рациональные рассуждения имеют под собой здоровую основу. Во-первых, все они могут быть строго обоснованы, иногда даже в школьном курсе математики. Во-вторых, они имеют громадную эвристическую ценность, так как определяют направление поиска доказательства. И в-третьих, они связаны с оперированием пространственными образами, что имеет ценность само по себе.

В задачнике отражены и другие аспекты прикладной математики, которые невозможно отразить в теории. Достаточно упомянуть о приближенных вычислениях. (Например, требуется сделать квадрат площадью 1 кв. м. с точностью до 1 кв. дм. С какой точностью должна быть измерена сторона квадрата?)

Таким образом, основное положение при решении этой методической проблемы состоит в следующем:

Необходимо:

1) подобрать такие задачи, которые позволяют осуществлять ученикам математическое моделирование и использование рациональных рассуждений, имеющих доказательную силу;

2) подобрать такие задачи, которые имеют межпредметный характер, сюжеты для которых заимствуются в первую очередь из физики и черчения.

Воображение

Говоря о воображении в геометрии, я имею в виду пространственное мышление, в первую очередь создание пространственных образов и оперирование ими. При изложении теории ученикам обычно преподносятся готовые результаты работы воображения: готовые рисунки, готовый ход рассуждения, направляемый воображением. Поэтому основная деятельность пространственного мышления происходит при решении задач. Считается, что это делается

как бы само собой, без специального внимания, и в конце концов, прорешав положенное число задач, ученики выходят на достаточный уровень воображения. Но практика преподавания показывает, что такое «стихийное» формирование пространственного мышления далеко не эффективно и ученики даже в выпускных классах порой совершенно беспомощны в ситуациях, требующих хоть немного развитого воображения.

Методическая проблема — как в процессе преподавания геометрии формировать и развивать воображение — кажется ясной по сути, и требуется наметить только некоторые пути ее решения.

Сначала — о рисунках. Рисунки при решении задач не появляются перед учениками в готовом виде, как в теории, их еще надо сделать, и это далеко не всегда слишком просто. (Например, учителям старших классов хорошо известно, что правильная четырехугольная пирамида иной раз рисуется учениками так, что квадрат, лежащий в ее основании, квадратом же и выглядит, хотя верный рисунок — параллелограмм. Другой хорошо известный пример — рисунок сферы, ее экватора в виде эллипса и полюсов. Весьма часто полюса помечают на окружности, изображающей саму сферу, что неверно. В самом деле, если так изображать полюса, то экватор должен выглядеть отрезком, а не эллипсом. Более того, можно даже точно установить положение точек, изображающих полюса, на диаметре север — юг и построить эти точки. Я уже не говорю о гораздо более сложных рисунках комбинаций геометрических фигур.)

Надо обязательно обратить внимание ученика на эту часть решения задачи — создание правильного рисунка. Мало того, чтобы воображение «сработало», для успешного решения задачи чрезвычайно важно верно, а еще лучше — красиво изобразить результат этой работы. (Один пример: пересечение двух равных цилиндрических поверхностей с перпендикулярными осями. Его не так сложно представить — достаточно вспомнить две пересекающиеся трубы, идущие под прямым углом. Однако хорошо нарисовать эту конфигурацию весьма непросто.) Не секрет, что этот этап решения — создание рисунка — «проходится» порой быстро, небрежно и зачастую никак не способствует решению задачи, а иногда даже некрасивый и тем более неверный рисунок мешает ему. Именно поэтому в задачнике предлагаются задачи с одним только требованием: «Нарисуйте...» (Например, требуется нарисовать поверхность, отличную от плоскости, и выяснить, на сколько частей она делит пространство. Или другой пример: требуется нарисовать фигуру, которая в каждой своей точке, где имеется опорная прямая, имеет их бесконечное множество.)

Далее. Ход рассуждения, направляемый воображением, возможен только при активной работе пространственного мышления. Поэтому одна из важных методических проблем в начале курса геометрии — как можно быстрее пробудить пространственные (не только трехмерные) представления ученика, даже пожертвовав

логикой, если ученик не в состоянии доказать то, что он способен вообразить. Так в начале стереометрии появляются задачи, где результат получается только из наглядных соображений. (Приведу пример. Ученикам предлагается по сути еще до всякой теории выяснить, на сколько частей можно разбить тетраэдр двумя плоскостями, хотя они, строго говоря, не знают ни о существовании тетраэдра, ни о том, что такое «разбить фигуру на части», ни о взаимном расположении плоскостей в пространстве. Еще пример: учеников просят привести пример линии, которая пересекает любую плоскость, но ведь понятие линии вообще отсутствует в школьном курсе математики).

И в дальнейшем предусмотрена возможность для опережающего пространственного мышления, когда ученику дозволяется выдать решение в результате цепочки связанных наглядных образов, без строгого обоснования.

(Вот пример, причем опять про линию: «Точка в пространстве движется по некоторой линии так, что она все время равноудалена от двух пересекающихся плоскостей. Является ли эта линия плоской?»)

Затем, по мере продвижения в теории, доля таких задач уменьшается. Но в задачнике всегда хватает задач, которые сам учитель может предложить только для наглядного решения, коль скоро он считает это возможным. (Возьмем, к примеру, один из параграфов учебника по стереометрии для физико-математических классов, обычно не слишком выразительный, параграф, в котором выводится формула объема прямого цилиндра. Чуть ли не первая в нем задача — требуется установить, больше половины или меньше занимает налитая в цилиндрический сосуд жидкость. Через одну задачу предлагается установить, какие замеры надо сделать на проекциях многогранника, чтобы вычислить его объем, а является этот многогранник, что надо увидеть, как раз прямой призмой, т. е. частным случаем прямого цилиндра.)

Наконец, работа воображения стимулируется использованием симметрий, движений и непрерывности.

Таким образом, основное положение при решении этой методической задачи состоит в следующем:

необходим специальный подбор задач, решение которых основано на работе воображения; в него включены и такие задачи, в которых решение может быть получено только из наглядных соображений, даже если логические рассуждения не могут их подкрепить.

Пропедевтика стереометрии в курсе планиметрии

(методическая проблема № 2)

Учителям математики хорошо известны трудности, которые испытывают ученики, приступающие к изучению курса стереометрии в старших классах. Одна из причин этого — неразвитое пространственное мышление.

Мы имеем дело с каким-то глобальным недоразумением в математическом образовании. Реальный мир, окружающий школьника — мир трехмерных пространственных объектов. С ними дети знакомятся с разных точек зрения уже в начальном курсе математики, на уроках труда, изобразительного искусства, черчения, географии. Однако в средних классах школы никак не находится места систематическому изучению стереометрии. И развитие пространственного мышления, если и происходит в эти годы, то совершенно стихийно. Вся практика преподавания показывает, что в результате до конца обучения в школе многим так и не удается преодолеть трудности, обусловленные неразвитым пространственным мышлением.

Многочисленные попытки решить эту методическую проблему авторами учебников не привели к успеху и по сей день. Одна из причин такой неудачи ясна. Традиционно в нашей школе планиметрия рассказывается с достаточной строгостью, начиная с аксиоматики. Рассказывать на том же уровне строгости стереометрию в средних классах школы у нас никто не решался из-за возрастных возможностей учащихся, а другие варианты не прижились.

Была, к примеру, такая попытка: в учебнике планиметрии содержался достаточно большой объем сведений по стереометрии, но в конце курса. Тем самым позиция авторов ясна: необходимо в первую очередь вооружить учеников конкретными знаниями. Как раз эту проблему решить не так сложно. Главная проблема видится мне совсем в другом, именно: как, долго, годами, но без существенных перерывов и постепенно, не торопясь, ничего не форсируя, развивать способность мозга к созданию наглядных представлений и оперированию ими. В школе это наиболее естественно делать в курсе геометрии. Но как?

В учебниках, о которых я рассказываю, эта методическая проблема решена вполне естественно, на основе уже имеющегося опыта преподавания геометрии в российской школе.

Традиционно логика изучения геометрии в 5—7-х классах такова: в 5 и 6 классах приводится достаточно много разнообразных геометрических сведений по планиметрии, а в 7 классе начинается систематическое ее изложение. Такая же логика принята здесь: перед началом систематического курса стереометрии ученики знакомятся с довольно большим объемом сведений о пространственных фигурах. Главное отличие от традиции — геометрические факты, относящиеся к стереометрии, приводятся в задачах.

Принципы отбора стереометрического материала, принятые для курса планиметрии, таковы:

1. Знакомство с понятиями и фактами стереометрии носит не систематический, а пропедевтический характер.

Это означает, что каждое введенное в планиметрии стереометрическое понятие предлагается на уровне предварительного

ознакомления, быть может, даже и без строгого определения, которое будет дано в систематическом курсе.

Уже в первых главах курса планиметрии (как в специальной, так и в массовой школе) в задачнике появляются разные виды многогранников. Их появление обусловлено известными аналогиями между геометрическими фигурами. Первое появление многогранников происходит в материальной форме. Ученикам предлагается сначала из реального материала сделать развертку, и то, что из нее получится при склеивании, является многогранником, с которым они и знакомятся. Практика показывает, что место для конструирования многогранников из разверток выбрано достаточно точно: дети двенадцати лет занимаются им с большим интересом и способны делать самостоятельно из разверток модели довольно сложных многогранников. После этого многогранник, о котором идет речь, появляется перед учениками в материализованной форме— в виде рисунка. (Вот пример. Первое знакомство с тетраэдром в курсе планиметрии. Задача начинается так: «Нарисуйте на картоне или на плотной бумаге остроугольный треугольник. Вырежьте его. Отметьте середины трех его сторон. Проведите три отрезка, соединяющие отмеченные точки. Если вы согнете эту фигуру по проведенным отрезкам и склеите между собой половины сторон исходного треугольника, то получите фигуру, которая называется треугольной пирамидой, или иначе тетраэдром...»)

2. Основная цель этого знакомства — способствовать возникновению и развитию трехмерных пространственных представлений.

Дело не в том, чтобы ученик выучил определение, к примеру, правильной пирамиды еще в курсе планиметрии — он сможет это сделать позже, а в том, чтобы он умел верно нарисовать ее, опознать ее изображение в разных ракурсах. И еще важно, чтобы он «повозился» с нею — порешал самые простые задачи о пирамиде: проводил на ее поверхности разные отрезки и даже забрался внутрь ее — рисовал ее высоту и некоторые сечения.

(Вот пример. Рассматривается правильная треугольная пирамида РАВС. Ученикам предлагается вначале провести на ее поверхности через середину К ребра AB два перпендикуляра к этому ребру. Далее предлагается провести и другие перпендикуляры к нему же. В результате работы с учениками становится ясно, что такие перпендикуляры, лежащие в этой пирамиде, заполняют сплошь ее сечение КРС. После чего ученикам предлагается нарисовать еще хотя бы один такой перпендикуляр к AB и по-прежнему через К. В данной треугольной пирамиде для него «уже нет места», и, оказывается, необходимо выйти за ее границы.)

3. Стереометрические объекты изучения достаточно просты и, как правило, аналогичны изучаемым в данный момент планиметрическим объектам.

(Например: Если в теории речь идет о треугольнике, то в задачах появляется тетраэдр; изучению правильного треугольника сопутствует знакомство с правильным тетраэдром и правиль-

ной треугольной пирамидой; при изучении квадрата ученики знакомятся с кубом и правильной четырехугольной пирамидой; занимаясь окружностью, они естественно переходят к сфере и т. д.)

4. Весь характер сообщаемых о трехмерных объектах сведений — иллюстративный к тем теоретическим утверждениям, которые сообщаются в планиметрии. Что это значит?

Если, к примеру, ученики занимаются признаками равенства треугольников, то стереометрические задачи в этом месте заключаются в применении их к треугольникам в конкретных многогранниках.

(Вот пример. Требуется доказать, что апофемы PK и PL боковых граней РАВ и РАС правильной треугольной пирамиды РАВС равны. Их равенство следует из равенства треугольников РАК и PAL. В самом деле, равенство двух пар соответственных сторон этих треугольников очевидно, а углы между этими соответственно равными сторонами треугольников равны, так как это углы при основании в равных равнобедренных треугольниках, коими являются боковые грани правильной пирамиды.)

При этом оказывается, что выигрывает и курс планиметрии. К примеру, задачи на свойства и признаки равных треугольников становятся гораздо более разнообразными, если работать с треугольниками, являющимися сечениями (в частности, гранями) тетраэдра.

(Вот пример. На боковом ребре правильной треугольной пирамиды берется точка и соединяется отрезками с вершинами пирамиды противолежащего этому ребру ребра основания. Задание: доказать, что треугольник, образованный этими отрезками и взятым ребром основания является равнобедренным. И вопрос: а может ли он быть равносторонним?).

Многогранники, ставшие известными ученикам, используются (при первой же возможности) для иллюстрации дальнейших теоретических утверждений планиметрии. Это важно, ибо уровень развития трехмерных пространственных представлений необходимо постоянно поддерживать.

(Пример. Пусть ученики уже знают про куб. Если в теории говорится о ломаной, среди задач есть и такие, в которых ломаная идет по поверхности куба. Еще пример. Как только ученикам становятся известны метрические соотношения в треугольнике, тут же появляются задачи, где эти соотношения используются для нахождения неизвестных элементов многогранников, чаще всего пирамид.)

Итак, рассмотренная нами сейчас методическая проблема выглядит следующим образом: как в задачнике для школьного учебника геометрии осуществить пропедевтику стереометрии в процессе преподавания планиметрии?

Основное положение при решении этой методической проблемы состоит в следующем:

для пропедевтики стереометрии при изучении планиметрии

необходимо подобрать задачи, знакомящие с отдельными объектами и фактами стереометрии, а также развивающие пространственное мышление; таковыми в первую очередь являются задачи о трехмерных фигурах, имеющих аналоги на плоскости.

Формирование основ исследовательской и изобретательской деятельности

(методическая проблема № 3)

Разрыв между подготовкой выпускника средней школы и требованиями высшей школы хорошо известен. И дело не только в том, что громадное число абитуриентов регулярно проваливается на вступительном экзамене по математике. Даже если недавний выпускник школы и проходит этот рубеж, то это еще не гарантия, что он сможет успешно обучаться высшей математике — об этом неоднократно писали преподаватели вузов. И если худо-бедно с помощью подготовительных отделений, вечерних курсов или репетиторов барьер вступительных экзаменов как-то преодолевается, то проблема подготовки школьника к высшему математическому образованию давно уже висит в воздухе, и непонятно, как к ней подступиться. Непонятно — если мы остаемся в рамках учебной деятельности.

Я полагаю, что разобраться с этой проблемой можно, только выйдя на принципиально другой вид деятельности, именно — на исследовательскую деятельность. Сам феномен исследовательской деятельности хорошо известен, и результаты его изучения нашли отражение в учебном процессе высшей школы. Но не средней. Есть, правда, в дидактике понятие «исследовательского» метода, но это не более, чем совпадение терминологии.

Ясно, что термин «исследовательская деятельность» в образовательном процессе школьника не надо понимать буквально, ибо ее целью не является научное открытие. Соответствующую деятельность ученика точнее называть учебно-исследовательской деятельностью, и только для краткости, не забывая о контексте, я буду говорить «исследовательская деятельность».

Задачу, подобранную в этом направлении, естественно называть учебно-исследовательской, или, для краткости, исследовательской.

Виды учебно-исследовательских задач в системе школьной геометрии (СШГ) таковы:

1. Нахождение той или иной величины или установление зависимости между величинами.

(Например: «Пусть известны все углы треугольника. Как можно вычислить угол между двумя его биссектрисами? Необходимо ли знать все углы треугольника, чтобы решить эту задачу? Могут ли биссектрисы треугольника быть перпендикулярными?»)

2. Выявление свойств геометрического объекта. (Например: «Есть ли в треугольнике ABC такие точки К на AB и M на ВС, что АК=КМ?»)

3. Объяснение некоторого геометрического факта или отсутствия такового.

Например: «Дано п прямых на плоскости. Докажите, что существует прямая, которая пересекает каждую из них». Еще пример: «Может ли многогранник иметь ровно семь ребер?»)

4. Объяснение связи фактов или отсутствия таковой. (Например: «Может ли число вершин многоугольника не равняться числу его сторон?» Еще пример: «О многоугольнике высказаны два утверждения: 1. Около него можно описать окружность. 2. В него можно вписать окружность. Может ли быть верным только одно из этих утверждений?»)

5. Построение модели геометрической ситуации (получение уравнений, систем уравнений и т. д.).

(Например: «Могут ли высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, делить угол при этой вершине на три равные части?»)

6. Решение прикладной задачи, когда требуются некая идеализация, абстрагирование и выбор геометрической модели.

(Например: «Круглая площадка разбита дорожками на секторы. Вы находитесь на пересечении границы площадки и дорожки. А ваш товарищ в другой такой же точке. Как вам побыстрее добраться до него?»)

Формирование основ исследовательской деятельности в школе сводится к обучению умению вести исследование: теоретическое или экспериментальное. Основные черты исследовательских задач теоретического характера в СШГ таковы:

1. Постановка задачи.

Обычно условие задачи предстает перед учеником в чрезвычайно рафинированном виде, когда сохранены только такие сведения, которые необходимы и достаточны для получения результата, причем однозначного. В исследовательских задачах возможно еще доведение исходной формулировки до такой, когда появляется возможность четко ответить на вопрос.

(Например: «По окружности радиусом R катится окружность радиусом г. Сколько оборотов она сделает, пока вернется в прежнее положение?» Возникают вопросы по условию. Во-первых, каким образом она катится — снаружи или изнутри? Во-вторых, какой из этих радиусов больше? В-третьих, что такое «прежнее положение»? Все ли вопросы существенны для решения задачи? Уяснение этого порой не менее интересно, чем поиски самого решения.)

2. Формулировка гипотезы.

В традиционной учебной задаче теоретического характера ученику предлагается доказать то или иное свойство геометрической фигуры. Это свойство сформулировано в готовом виде, скажем, требуется доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются. В таком случае наблюдение, предшествующее данному результату, т. е. пересечению высот, отсутствует. Од-

нако ясно, что в реальном научном исследовании окончательные результаты никому неизвестны, их еще надо как-то «заподозрить». Как раз для этого и организуется наблюдение. В задачнике содержатся задачи, специально формулированные так, что свойство фигуры явно не указано, его еще предстоит обнаружить.

(Примеры: «Что можно доказать на этом рисунке, исходя из условия?» или: «Какая фигура может быть обнаружена на предлагаемом рисунке?» Конкретный пример: «На сторонах квадрата во внешнюю от него сторону построены четыре равносторонних треугольника. Вершинами какого четырехугольника являются те вершины треугольников, которые не лежат на сторонах квадрата?»)

Не исключено, что результат, который надо получить, не поддается непосредственному наблюдению. Скажем, требуется установить пропорциональность тех или иных четырех отрезков (например, известное утверждение о биссектрисе угла треугольника), или надо отыскать некую экстремальную конструкцию (например, треугольник наибольшей площади, вписанный в данную окружность).

Для того чтобы внимание ученика акцентировалось на предвидении возможного результата, задача на доказательство по возможности переформулируется.

(Например, требуется узнать, на какое наибольшее число частей разбивают плоскость п прямых. Именно так, а не «Докажите, что наибольшее число частей, на которое разбивают плоскость п прямых, равно...»)

Важно отметить, что действия, связанные с прогнозированием результата, существенно опираются на геометрическую интуицию. Разговор об интуиции чрезвычайно важен и интересен. Феномен интуиции загадочен, о нем написана гора сочинений, порой весьма противоречивых. Мне ясно, что ее нужно всячески культивировать в головах детей, как всякий дар природный, доставшийся нам совершенно «бесплатно». Но вместе с тем необходимо подчеркивать, что факты, добытые интуицией, требуют какого-то доказательного подкрепления, ибо эта самая интуиция у каждого своя, и обманывать она может почти всех.

(Как пример — знаменитая задача про веревку, которой обтянули экватор, а затем ее длину увеличили на 1 м и растянули по окружности. На вопрос, пролезет ли в образовавшийся зазор мышь, мало кто сходу отвечает правильно.)

3. Проверка гипотезы.

В результате некачественного наблюдения (одноразового) или заблуждения в предвидении (неверная аналогия или ошибка интуиции) возможно появление неверного предположения. Поэтому прежде, чем доказывать возникшее предполжение, имеет смысл попытаться его опровергнуть. Соответствующие действия ученика направляются специальными задачами, включающими в себя вопрос типа «Верно ли, что...», «Будет ли...?», «Может ли...?»

В задачнике такие вопросы относятся как к верным утверждениям, так и к неверным.

(Например: «Будет ли площадь одного из данных треугольников больше площади другого, если: а) периметр одного из них больше периметра другого; б) каждая сторона одного из них больше соответственной стороны другого; в) каждая сторона одного из них больше любой стороны другого?» Еще пример: «Может ли параллельная проекция равностороннего треугольника быть прямоугольным треугольником?» Еще пример: «Докажите, что в правильной п-угольной пирамиде сумма всех углов при ее вершине меньше, чем 360°. Верно ли это утверждение для других пирамид?»)

4. Выбор метода решения.

В учебной задаче метод решения как правило предопределен имеющимися знаниями, а в исследовательской ситуации диапазон методов достаточно широк. Поэтому выбор метода решения особенно существен в задачнике после того, как ученики познакомятся не только с синтетическим методом, но и с координатным, векторным, а также с методом геометрических преобразований.

(Например, задачу о построении квадрата, вершины которого находятся на сторонах данного квадрата, уместнее предлагать, когда ученики будут знать о движениях; задача о построении пятиугольника по его серединам естественнее смотрится, когда ученики знают векторы и координаты, и т. д.)

Есть еще один аспект, который несколько меняет традиционный набор задач. В самом деле, во многих задачах не так обязательно доходить до числового результата. Ответ на вопрос в учебной задаче: «Чему равна сторона треугольника?» сам по себе не существен, к тому же он может получаться только в результате утомительных выкладок. Гораздо важнее другое: план нахождения неизвестного элемента в геометрической фигуре. Такие задачи конструируются с помощью вопроса «Как найти..?» или «Как вычислить..?»

(Например: «Как найти координаты точки пересечения высот треугольника, если известны координаты его вершин?» Разумеется, можно было бы задать численно координаты вершин и предложить вычислить координаты ортоцентра. Но тогда пришлось бы либо мучить детей тяжкими выкладками, если дать вершинам треугольника координаты «с потолка», либо специально подбирать для вершин такие координаты, при которых считается легко, но подозрительно само по себе.)

И вот здесь может случиться, что несложная идея решения порождает сравнительно длинные вычисления, а короткие выкладки получаются, но только при не слишком очевидной идее, и мы опять приходим к необходимости выбора.

(Например: «Найти площадь равнобокой трапеции с основаниями а и b и углом при основании 45°». Можно провести высоту

и начать вычисления, но можно заметить, что такая трапеция ограничена контурами двух концентрических квадратов со сторонами а и Ь, в которых проведены диагонали, после чего ответ получается устно.)

5. Оценка полученного решения.

Первоначально выбранный план решения задачи может натолкнуться на большие технические или вычислительные трудности. В качестве примера можно привести некоторые экстремальные задачи. Конфигурация, соответствующая экстремальному значению некоторой величины, с трудом обнаруживается или даже вообще ненаходима в результате выкладок, но легко конструируется из наглядных соображений.

(Например: «Требуется найти наибольшее значение объема тетраэдра, у которого пять ребер равны 1». Если все делать канонически, составляя целевую функцию и т. д., то это куда как дольше, чем повертеть одну из известных граней, пока она не станет перпендикулярна другой.)

Какое бы решение не было получено, важно обращать внимание ученика, что оно может быть не самым коротким, не самым красивым, использовать другие методы и т. д. В задачнике это подчеркивается предложениями поискать другие способы решения.

(Например: Признак перпендикулярности прямой и плоскости, полученный в теории, дополняется в этом же параграфе тремя задачами, в которых описаны конструкции, позволяющие получить другие доказательства его же.)

6. Продолжение работы с полученным результатом: следствия, обобщения, интерпретация.

Сюда относятся задачи на применение факта, полученного в теории или в задаче теоретического характера в конкретной или прикладной ситуации.

(Например: В одной из задач получен такой результат: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен 4/5 от суммы квадратов его медиан, проведенных к катетам. И что же дальше, заканчивать работу над задачей? Но можно и поразмышлять над полученным соотношением и увидеть, в частности, что в прямоугольном треугольнике с фиксированной гипотенузой постоянной будет и сумма квадратов всех его медиан.)

В том случае, когда с полученным результатом имеет смысл работать дальше, в формулировках соответствующих задач появляются вопросы типа: «Как обобщить полученный результат?», «Как составить аналогичное утверждение?», «Верны ли обратные утверждения?», «Как выглядит полученный результат в частном случае?», «Как выглядит полученный результат в предельном случае?», «Как изменится результат при определенных изменениях условия?», «Какова возможная интерпретация полученного результата?», «Не появляется ли у вас каких-либо собственных предположений?», «Не можете ли вы составить собственную задачу по этому сюжету?»

Вот несколько примеров:

1. Предлагается задача о числе частей, на которые разбивают сферу три плоскости, проходящие через ее центр, но не через и тот же диаметр; сразу же предлагается решить задачу и в общем случае.

2. Предлагается задача о разбиении круга на три части диаметра меньшего, чем диаметр круга. (Напомню, что диаметр фигуры — это расстояние между наиболее удаленными ее точками.) И далее предлагается составить аналогичную задачу для шара, не решить, но составить! Дело в том, что повышение размерности фигуры на 1 увеличивает и число частей на 1, т. е. аналогичная задача состоит в том, что шар надо разбивать на 4 такие части. (Эта задача уже весьма трудна, а ее обобщение на произвольную размерность попросту неверно. Получение этих результатов было делом профессиональных математиков.)

3. Утверждение формулируется для выпуклых фигур, а затем предлагается проверить его для невыпуклых. Скажем, такая задача: «На плоскости даны четыре выпуклые фигуры. Каждые три из них имеют общую точку. Докажите, что все четыре имеют общую точку. Верно ли это утверждение для невыпуклых фигур?»

4. Такая задача: «В основании пирамиды лежит прямоугольник. Ее вершина проектируется в точку пересечения диагоналей основания. Какие ее свойства аналогичны свойствам правильной пирамиды?»

5. Такая задача: «Через внутреннюю точку выпуклого многогранника проведена плоскость. Докажите, что она разбивает его на два выпуклых многогранника. Составьте и проверьте обратное утверждение».

В системе «Задачи» отражена специфика не только теоретических задач, но и задач экспериментального исследования. Иногда решение задачи можно начать с реального эксперимента, выплняемого на листе бумаги с помощью реальных инструментов или с помощью подручных средств.

(Например: «Придумайте, как из бумажной цилиндрической трубки можно сделать правильный тетраэдр».)

В системе «Задачи» отражены также стадии исследования: как теоретического, так и экспериментального, в первую очередь мысленного эксперимента. Таковы задачи, в которых предложено показать, что изменение условий приводит к изменению получаемых результатов, с вопросом типа: «А что будет, если...»

(Например: «Можно ли отказаться в определении правильного многогранника от какого-либо из условий?» Замечу, что таких условий четыре: выпуклость; все его грани — равные между собой правильные многоугольники; в каждой вершине сходится одинаковое число граней; все двугранные углы равны.)

Чтобы четче показать некоторые черты исследовательских задач и продемонстрировать интеллектуальные действия, которые сопутствуют их решению, в задачнике приведены задачи с реше-

ниями. В них отражен в какой-то степени процесс получения нового знания, поэтому эти решения даны в эвристическом духе, в них предлагаются гипотезы, которые затем обсуждаются, критикуются, проверяются, полученные результаты оцениваются, уточняются, улучшаются и т. д. При этом какая-то часть работы не доделана и предоставляется ученикам.

(Например: Сразу же после доказательства теоремы Пифагора приводится задача с решением, в котором только с помощью теоремы Пифагора получаются известные метрические соотношения в прямоугольном треугольнике: квадрат высоты, проведенной на гипотенузу, равен произведению проекций катетов на гипотенузу; аналогичны утверждения о квадратах катетов. После того как это проделано, делается такой ход. Из полученных соотношений в тексте затем выводится и сама теорема Пифагора. Все ли корректно при осуществлении «обратного хода?» Вообще говоря, да, но при условии, что выведенные метрические соотношения получены как-то иначе, а не из теоремы Пифагора; традиционно они выводятся из подобия треугольников. Именно ради такого неформального разговора и приведена эта задача с решением.)

Еще один вид деятельности, который, наряду с исследовательской, почти никак не отражен в школьном курсе математики, — изобретательская. В изобретательских задачах, как правило, преодолевается некое противоречие. Вот отличный пример на эту тему, взятый из техники. При конструировании сопла реактивного двигателя возникла проблема: из какого материала его сделать? Ведь температура истекающих газов реактивного двигателя гораздо больше, чем температура плавления имеющихся металлов! И аналогичных задач — тысячи.

В задачник введены задачи, которые включают некоторые элементы такой деятельности, прежде всего — конструирование объектов с нужными свойствами и задачи на построение с ограничениями на список применяемых инструментов.

Вот примеры:

1. Как сделать треугольник, у которого высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на три равные части? («Сделать» — значит осуществить фактическое получение реального треугольника с указанным свойством, скажем, на листе бумаги. При этом можно использовать не только циркуль и линейку.)

2. Как разделить угол пополам, используя только двустороннюю линейку?

3. Как нарисовать диагонали четырехугольника, изображенного на листе бумаги, у которого оторвали части, содержащие две противоположные вершины?)

Мне очень бы хотелось, чтобы при изучении каждого параграфа учитель обратил внимание учеников именно на этот вид деятельности.

Таким образом, основные положения при решении методической проблемы формирования основ исследовательской и изобретательской деятельности состоят в следующем:

1) в задачнике для школьного учебника геометрии необходимо специально подобрать такие задачи, которые в той или иной степени отражают исследовательскую деятельность;

2) в задачнике для школьного учебника геометрии необходимо специально подобрать такие задачи, которые хотя бы в некоторой степени отражают изобретательскую деятельность.

* *

*

Заканчивая разговор, о связях системы задач со средой, необходимо сказать о воздействии системы «Задачи» на среду, разумеется, не сопоставимом по характеру и масштабу с обратным. Я имею в виду влияние, которое всегда имеет учебная литература вообще, общепринятый учебник, в частности, на формирование некоторой математической атмосферы среди тех, кто так или иначе профессионально связан с преподаванием математики. Достаточно вспомнить влияние на всех учителей математики учебников, написанных под редакцией А. Н. Колмогорова после реформы преподавания математики 1968 года. Еще пример: общепризнано некоторое негативное влияние, которое оказывает на преподавание в школе практика вступительных экзаменов в вузы. Довольно часто задачи в школьном учебнике математики подстраиваются под весьма специфическую тематику конкурсных задач, не всегда характерную для самой математической науки. Здесь уместно помянуть громадное число задач на модули, вписанные и описанные сферы, надуманные уравнения типа логарифмических с неизвестным основанием. Несомненно, что такие выкрутасы сказываются на вкусах учителей.

В задачнике предпринята попытка как-то противостоять чрезмерному влиянию вступительных экзаменов на характер преподавания математики в школе. В частности, лишь в небольшом количестве приведены задачи явно конкурсной направленности, например, на комбинацию сферы и многогранников, сугубо вычислительные задачи с искусственно подобранными данными и т. д. В конце концов, для этого есть специальные задачники.

На этом я заканчиваю описание современной проблематики школьного геометрического образования, разумеется, в данном контексте. Часть этих проблем сформулирована как методические и предложены пути их решения.

Задачник для разных учителей

(методическая проблема № 4)

Выше уже говорилось, что связи системы «Задачи» и системы «Учитель» двух видов: преобразования и функционирования.

Связи преобразования отражаются в том, что задачник учитывает возможность выбора учителем собственных действий, иначе говоря, задачник рассчитан на то, что учитель сам выбирает задачи для работы. (Стоит заметить, что такая возможность не вполне соответствует устоявшейся в последние десятилетия практике преподавания, когда учителю методическими сопроводиловками чуть ли не предписывалось решать указанные в них задачи в указанной последовательности.) Но прежде, чем учитель станет выбирать, ему должны быть понятны те проблемы, которые стояли перед авторами учебника, и те способы, которыми эти проблемы в той или иной степени разрешаются. Эта проблематика подчеркивается наличием (или отсутствием) задач определенного типа, их повторяемостью в каждой главе и в каждом параграфе. Так, например, подобраны задачи на развитие пространственного мышления. В самом деле, как реагировать учителю на такую задачу из § 1 учебника стереометрии: «Ученик нарисовал сечение тетраэдра плоскостью. Есть ли ошибка на приведенном рисунке?» Ведь в теории еще не было никаких сведений о тетраэдре! Если ему неясен авторский замысел, то впору объявить учебник некорректным.

С другой стороны, иногда так хочется в классе что-нибудь посчитать вместо того, чтобы очередной раз напрягать воображение, — ан нет, задач на вычисление в задачнике так мало... Почему? «Считают не математики, тем более — не геометры. Считают бухгалтеры...» — заметил как-то в частной беседе А. Д. Александров. И в самом деле, проявляется ли специфика геометрии в том, что ученик в который раз подставит в формулу известные величины и найдет тем самым величину неизвестную? Стоит задуматься, и если в конце концов заниматься подобного рода вычислениями, то необходимо точно понимать — зачем.

В целом действия учителя по образованию ученика я разбиваю на три части: просвещение, обучение и воспитание. Такое понимание образования достаточно для анализа практической работы. Просвещение — передача ученикам всяческих знаний: о некоторых понятиях и фактах, о методах решения задач и т. д. Обучение — передача ученикам реально имеющегося мастерства в деле решения задач. Воспитание — передача ученикам определенной системы ценностей.

При анализе связей преобразования необходимо учитывать, сколь разными могут быть учителя в решении образовательных задач. Важно выделить такие различия.

1. Различие индивидуальностей

Учителя по-разному относятся к новациям и могут здесь от-

личаться полярно от безусловных сторонников любых новых идей (готовых участвовать в педагогическом эксперименте) до их безусловных противников (внутреннее сопротивление таковых любым новшествам может быть столь сильным, что их конкретная, но вынужденная работа в эксперименте дискредитирует саму идею предлагаемой новации). Известен тип учителя, который хочет ежегодно иметь возможность хоть немного отойти от уже сделанного, но также и противоположный тип, когда учитель хочет как можно быстрее стабилизировать свое преподавание.

2. Отличие в педагогическом сознании

Учителя по-разному понимают цели и ценности общего, математического и геометрического образования. Здесь же отмечу различие мотиваций, стремлений, предположений и т. п. Если говорить о геометрии, то хочется выделить разные отношения к ней.

Первое: геометрия — это учебный предмет; значит, главным образом надо думать о том, как ученики его усваивают, о возможных контрольных работах, о всякого рода экзаменах; и вообще — геометрия есть нечто такое, что надо выучить и затем как можно точнее ответить.

Второе — геометрия это прекрасное достижение человеческого интеллекта; как бы довести детей до соответствующего преклонения перед ней.

Третье — в геометрии так много хороших задач, и чем больше их нарешать, добиваясь даже некоей степени виртуозности, тем больше вклад в развитие ребенка.

Четвертое — геометрия, конечно, важна, но весьма трудна. Поэтому прежде всего надо познакомить с ее результатами и при этом наиболее простым для преподавания путем.

И наверняка есть и другие отношения, и, конечно, комбинации этих в той или иной пропорции. А что же, какое именно отношение, явно или неявно, реализует конкретный учитель?

3. Различие в профессионализме

Учителя обладают и разными умениями в решении задач, и разным уровнем педагогических умений. Далее, они имеют особенности в профессиональном стиле деятельности, отбирая для своей работы то, что больше соответствует их индивидуальности. В задачнике учтены эти различия, что вызывало немалые трудности при подборе задач.

Посредством задач сделана попытка по возможности максимально вовлечь учителя в процесс внедрения учебника. Не предполагается создание развернутых методичек, где расписано все, что учителю следует делать (с указанием — что именно делать в классе, а что предлагать детям для домашней работы). Замысел задачника, в частности, в том, что — повторюсь — учитель сам выбирает соответствующее его индивидуальности, установке и личным особенностям профессиональной деятельности.

Именно возможность выбора задачи вовлекает самого учителя в творческий процесс работы с учебником. При этом имеется возможность выбрать одну из трех стратегий по отношению к деятельности ученика: либо учебную деятельность, либо учебно-исследовательскую деятельность, либо комбинировать эти варианты в тех или иных соотношениях.

Поэтому:

а) Задач в задачнике много. Практически невозможно использовать их все. Но этого как раз и не требуется.

б) Выделены как главные два типа задач (в зависимости от того, как понимает геометрию сам учитель), именно: задачи, где основная нагрузка ложится на пространственное мышлением задачи, где в первую очередь требуется работа с формулами и вычисления.

в) Предусмотрены такие задачи, которые частично снимают возможное психологическое сопротивление учителей новому учебнику. С этой целью выделяется большой класс задач, который вполне традиционен, на них несложно реализовать диагностично поставленные цели. Традиционность этого типа задач, их методическая ясность для учителя позволяют считать такие задачи основными учебными задачами. В своей практической работе учитель получает возможность сосредоточиться главным образом на них, добиваясь реальных результатов в обучении при решении именно их.

Ведущая тематика основных учебных задач — нахождение связей между геометрическими величинами. Перечислю типы таких задач:

1. Зависимость между величинами задана, и ее надо так или иначе осмыслить.

(Например: «Запишите формулу площади треугольника, если известны его стороны а и Ь, и ф — угол между ними, а) Выразите из полученной формулы sin <р. б) Пусть a = b=d. Выразите из полученной формулы sin ф. в) Пусть а и b не меняются, а угол Ф увеличивается. Что происходит с площадью треугольника? При каком значении ф она будет наибольшей?»

2. Требуется найти зависимость одной указанной величины от другой.

(Например: Дан квадрат со стороной 1. Из него вырезается прямоугольный треугольник, один катет которого — сторона квадрата, а другой равен х и лежит на другой стороне квадрата. Требуется записать формулу S (х) для площади S, оставшейся от квадрата фигуры).

3. Требуется установить характер зависимости одной величины при изменении другой.

(Например: «Пусть основание прямогульника равно d, а высота равна h. Запишите формулу его площади, а) Пусть основание увеличилось в два раза, а высота не изменилась. Что произошло с площадью? б) Пусть основание уменьшилось в 5 раз, а высота

не изменилась. Что произошло с площадью? в) Пусть основание изменяется, а высота остается неизменной. Объясните, почему зависимость между площадью и основанием является прямой пропорциональностью, г) Какой является зависимость между площадью и высотой прямоугольника при постоянном основании?

д) Пусть основание прямоугольника увеличилось в 3 раза. Что надо сделать с его высотой, чтобы площадь его не изменилась?

е) Объясните, почему при постоянной площади изменяющегося прямоугольника его основание и высота являются обратно пропорциональными величинами».)

4. Требуется установить границы изменения некоторой величины:

а) не выписывая формул, только из наглядных соображений;

б) с помощью формул, но без аппарата математического анализа;

в) используя аппарат математического анализа, в частности действуя из соображений непрерывности.

Соответствующие примеры:

а) В каких границах лежит объем параллелепипеда, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны 1?

б) Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 1. В каких границах лежит его объем?

в) В каких границах находится объем цилиндра, у которого диагональ осевого сечения равна 1?

5. Требуется найти формулу, связывающую между собой несколько указанных величин.

(Например: В шаре радиусом R провели два сечения радиусом г, плоскости которых пересекаются под углом ф. Можно ли установить связь между R, г и ф, если известно, что эти сечения имеют единственную общую точку?)

Следует заметить, что основные учебные задачи бывают достаточно объемными как по части собственно геометрической работы, так и по использованию аппарата алгебры и анализа. И этот объем легко варьируется в зависимости от локальных методических целей, поставленных учителем в конкретной ситуации.

Один из самых трудных вопросов — деление задач по сложности, ибо здесь пока можно полагаться только на собственную педагогическую интуицию. Возможно такое разделение задач по сложности. Задачи первого уровня — те, которые можно решить, действуя по алгоритмам или по известным простейшим образцам. Задачи второго уровня — те, которые решаются согласно эвристическим предписаниям. Задачи третьего уровня — те, для решения которых нужна идея или цепочка идей, не встречавшихся ранее. Отсюда, в частности, следует, что понятие сложности в системе «Задачи» не инвариантно относительно деятельности учителя. Иначе говоря, сложность задачи зависит от того, что делалось учителем раньше, это очевидно.

(Например, многие стереометрические задачи решаются су-

щественно легче, если ученикам известна так называемая «теорема косинусов для трехгранного угла». Еще пример: Ученику, натренированному на чисто вычислительных задачах геометрии, может показаться сложной задача, которая решается в первую очередь благодаря хорошему пространственному мышлению. И наоборот.)

Важную роль при решении задач имеют так называемые «ключевые» факты (задачи, теоремы). В геометрии добавляются и «ключевые» фигуры.

В решении многих учебных задач планиметрии важнейшую роль играют треугольник и метрические соотношения между его элементами. Аналогичную роль в стереометрии играет тетраэдр. Наиболее существен тетраэдр, который является частью правильной п-угольной пирамиды (его боковые ребра — высота пирамиды и два ее соседних боковых ребра). Умение выделить такой тетраэдр из геометрической конфигурации, вывести то или иное соотношение между его элементами, позволяет быстрее находить путь к решению многих учебных задач. При этом важнейшую роль играет соотношение между его углами, известное как следствие из «теоремы косинусов для трехгранного угла», но являющееся вполне самостоятельным утверждением, именно: пусть в тетраэдре РАВС основанием является равнобедренный треугольник ABC (АС=ВС) и ребро PC перпендикулярно основанию. Тогда косинус угла между РА и AB равен произведению косинусов двух других его углов — РАС и CAB.

(Например: Угол между боковым ребром правильной пирамиды и плоскостью ее основания может быть найден благодаря этой формуле путем измерений только на поверхности этой пирамиды.)

Задача всегда выигрывает, если учителю хочется решить ее самому и показать ее детям. Поэтому сделана попытка заинтересовать учителя и самим содержанием задач, и их разнообразием. Иногда даже в самых тривиальных ситуациях посредством только переформулировки вопроса задачи или методической переработкой сюжета удается сделать ее более содержательной.

(Например: «Дана четырехугольная призма. Сколько ее диагоналей должны пересечься в одной точке, чтобы эта призма оказалась параллелепипедом?» Или такая задача: «Является ли тетраэдр правильным, если у него имеются плоскости симметрии?»)

С другой стороны, подбором таких задач сделана попытка расшатать хоть в какой-то степени устоявшиеся учительские стереотипы.

Говоря о связях преобразования, необходимо отметить влияние задач на конкретного учителя. Поэтому в задачнике отражены такие тенденции:

1. Прояснить учителю общий авторский замысел учебника. Так, например, положение о том, что практика является неотъемлемой составляющей геометрии подкрепляется набором приклад-

ных задач в каждом (при малейшей возможности) параграфе.

2. Познакомить учителя с некоторыми новыми идеями в когнитивной психологии, педагогике, дидактике.

Такими задачами, например, являются «плохо определенные задачи» с не вполне четким условием, в частности избыточным, порой даже противоречивым, с не единственным ответом и т. п.

(Вот задача с противоречивыми данными: «В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза АВ=4, ВС=3 и высота CD на гипотенузу равна 1. Требуется найти AD». Два различных решения этой задачи — с помощью теоремы Пифагора и с использованием синуса угла — дают разные численные ответы. В чем же дело? А в том, что задача, как говорят, переопределена, т. е. данных больше, чем требуется для ответа на вопрос, причем эти данные противоречивы. Именно об этом противоречии и свидетельствуют разные результаты вычисления.

Еще один очень интересный пример такого же типа. Сторона правильного п-угольника равна 3, а радиус вписанной окружности равен 2. Чему равен радиус описанной около него окружности? В условии заданы не две переменные — сторона и радиус вписанной окружности — а три, ибо добавляется еще число сторон многоугольника, равное п. Но тогда в условии появляется лишнее данное, задача оказывается переопределенной и, как показывает дальнейший анализ, даже противоречивой.)

Примеров задач с неединственным ответом очень много, в геометрии это делается просто, достаточно в условии неоднозначно описать взаимное расположение объектов.

(Скажем, такая задача: «На одной из двух пересекающихся под углом ф прямых была взята точка на данном расстоянии от другой прямой. Затем точка сместилась по той прямой, где была, на некоторое фиксированное расстояние. Чему равно новое расстояние от точки до второй прямой?»)

3. Продемонстрировать учителю новые подходы к решению некоторых методических проблем — такова, например, проблема первых уроков стереометрии. При их проведении основной акцент делается не только и даже не столько на аксиоматику и получение из нее простейших следствий, сколько на появление и развитие верных пространственных представлений.

4. Показать учителю некоторые не вполне традиционные способы решения задач. Для демонстрации такого способа выбирается соответствующая задача, и ее решение приводится в тексте задачника.

(Например: Теория в учебнике построена так, что тригонометрия треугольника предшествует подобию треугольников. Но тогда многие задачи, которые обычно решались из соображений подобия, естественно решать, используя тригонометрию. Вот такая задача: «Из двух концов отрезка AB в одну сторону от него провели перпендикуляры АС и BD, затем провели отрезки DA и СВ. Эти отрезки пересеклись в точке К. Пусть известны длина

отрезка AB и длины проведенных перпендикуляров. Чему равно расстояние от К до AB?» Для решения этой задачи достаточно использовать тангенс; кроме того, оказывается, что длина отрезка AB является лишним данным в условии.)

Перейдем теперь к рассмотрению связей функционирования. И конкретный учитель, и задача из задачника — элементы системы «руководства». Задача — инструмент, с помощью которого учитель осуществляет «руководящее» воздействие.

Для удобства учителя в задачнике сделано следующее:

1. Задачи структурированы, для чего в каждом параграфе и даже в пункте они разбиты на рубрики А и Б (возможно разделение и на три рубрики: А, Б, В). Как правило, задачи раздела А более простые, нежели задачи раздела Б. Но есть исключения: они обусловлены нежеланием разорвать сюжет задачи.

(Например: Ставится вопрос о существовании треугольной призмы, отвечающей некоторому несложному условию. Серия таких задач идет в одном номере под буквами «а — д». Но вот задача под индексом «е» уже потруднее и выглядит так: существует ли треугольная призма, у которой центр вписанной сферы не совпадает с центром описанной сферы?)

Разделение задач на три рубрики идет по другому принципу. Задачи, отнесенные к разделу А — простейшие, на «общекультурном» уровне: нарисовать фигуру, опознать ее, сделать «одноходовые» умозаключения по материалу параграфа, по возможности обойтись без вычислений. Задачи раздела Б — на «инженерном» уровне. В дидактическом аспекте их можно считать в первую очередь задачами на «расширение знаний» и «применение знаний». Сюда отнесены задачи, выдающие некую новую достаточно содержательную информацию о геометрических фигурах и их свойствах, задачи на применение того или иного свойства фигуры, а также на использование какой-либо формулы; стереометрические задачи в курсе планиметрии. Задачи раздела В — на «интеллектуальном уровне». В дидактическом аспекте их можно считать задачами на «углубление знаний». Сюда отнесены задачи, в которых предлагается установить связи между свойствами известных фигур, не вошедшие в теорию; сюда же попали задачи с более искусственным содержанием. В этом разделе главное — вписать новые теоретические знания в систему старых.

Деление задач на три рубрики оказалось непростым, оно достаточно условно, очень похоже, что число рубрик должно быть увеличено хотя бы на одну. Такое деление изначально связано с интуитивным разделением задач на «простые», «средние» и «сложные», но дидактический анализ показывает, что такое разделение довольно-таки грубо. В конечном счете в каждом конкретном случае место задачи в задачнике определено в первую очередь отношением составителя к этой задаче. Можно не согласиться с таким отношением и придать задаче другое толкование.

2. Из практики преподавания известно, что для обоснования

некоторых рассуждений, встречающихся при решении задач, используются не только теоретические сведения, но и те, которые в теорию не включены. Такие сведения в задачнике выделены особо под рубрикой «основные задачи», и идут они в начале каждого параграфа.

(Например. В параграфе, посвященном пирамиде, к «основным задачам» отнесена среди прочих такая: «Докажите, что: а) около правильной пирамиды можно описать сферу; б) в правильную пирамиду можно вписать сферу».)

3. Система «Задачи» учитывает необходимость дифференцированного подхода к учащимся. Это реализовано помимо рубрикации задач также тем, что сюжет многих задач развертывается в виде последовательности вопросов по мере возрастания их сложности. (В результате можно говорить о «стреле заданий» в одной и той же задаче.)

(Например: «Восстановите параллелограмм, если на рисунке сохранились такие его элементы: а) две стороны; б) сторона и диагональ; в) диагональ и вершина, не лежащая на ней; г) сторона и точка пересечения диагоналей; д) три вершины; е) середины трех сторон».)

4. Система «Задачи» учитывает и то обстоятельство, что иногда полный ответ на поставленный вопрос требует рассмотрения нескольких однотипных, но объемных для работы случаев. Тогда задача разбивается на пункты, соответствующие этим случаям, и появляется возможность для полного решения задачи в результате одновременной работы многих учеников. (В результате можно говорить о «поле заданий» в одной и той же задаче.)

(Например: Мы хотим показать ученикам, что перекраиванием можно свести задачу вычисления площади некоторых фигур к вычислению площади прямоугольника, и в этом смысле прямоугольник — простейшая фигура. Задача так и ставится, именно: «Как, перекроив в прямоугольник, найти площади таких фигур: а) треугольника; б) трапеции; в) параллелограмма?»)

5. Для экономии времени на уроке в некоторых параграфах задачи даются на готовом рисунке.

(Например: В параграфе о подобии приведены на рисунках 33 задачи.)

6. Система «Задачи» учитывает необходимость повторения. Поэтому в задачнике имеется специальный раздел — задачи к главам. Основное содержание этого раздела — рассмотрение свойств геометрических фигур, являющихся комбинациями тех, которые изучались в разных параграфах этой главы и ранее. Здесь же находятся и те задачи, решение которых требует комбинирования методов решения, изученных в этой главе и ранее.

(Например: В параграфе о шаре условия задач содержат, как правило, только один шар. Два и больше шаров появляются среди задач к соответствующей главе.)

В каких-то моментах авторское видение задач не совпадает с

традиционным. Уже говорилось, что таковым является отношение к некоторым типам «конкурсных» задач, например, задачам на вписанные или описанные сферы, имеющим нарочито усложненный характер.

Еще один такой момент — отношение к ответам в задачах. Традиционно полагается ко всем или к большинству задач давать ответы, а то и указания по решению. В задачнике приведены ответы только к вычислительным задачам, да и то не ко всем. Ответы и указания к решению более свойственны, по моему мнению, тем задачникам, где на первое место выходит их функция как руководства для самообразования. А для учителя такого рода материал уместно помещать в специальных пособиях.

В конечном счете авторская установка видится мне в том, что делается задачник «для себя», а не для того, чтобы «осчастливить человечество».

Итак, в результате анализа взаимосвязей системы «Задачи» и системы «Учитель» была выделена такая методическая проблема: как учесть в первую очередь многообразные различия учителей — с тем, чтобы предоставить им возможность работать в соответствии с индивидуальными особенностями.

Основное положение при решении этой методической проблемы состоит в следующем:

чтобы отразить различия в индивидуальном стиле деятельности учителей, в задачнике для школьного учебника геометрии необходимо придать учителю статус «лица, принимающего решение»; при этом задач должно быть достаточно много и они должны быть достаточно разнообразны.

Ученики бывают разные

(методическая проблема № 5)

В СШГ связи между системой «Задачи» и системой «Ученик», как уже говорилось, — это связи руководства. Напомню, что под руководством я понимаю управление, если говорить о достижении поставленных целей, и влияние, если говорить о формировании ценностных ориентаций.

Связи руководства проявляются по-разному, в том числе в дифференцированном подходе к детям. Традиционно такой подход основан на различной обучаемости школьников. Обучаемость — интегральная психологическая характеристика ребенка и конкретно проявляется в интуитивно ясном делении учеников на «сильных», «средних» и «слабых». С таким разделением детей и связано традиционное деление задач по сложности, о котором я писал выше.

Для учеников с низкой обучаемостью в геометрии предлагаются традиционные задачи алгоритмического типа, задачи на готовом рисунке, а также с одним только требованием — нарисовать ту или иную конфигурацию.

(Например: В задачах параграфа, посвященного теореме Пифагора, ученики вычисляют неизвестную сторону прямоугольного треугольника по двум известным. Условия этих задач заданы текстом или рисунком. В задачах параграфа, посвященного пирамиде, ученики рисуют проекции правильных пирамид на плоскость основания.)

Для учеников с высокой обучаемостью предлагаются задачи повышенной сложности.

(Например: В том же параграфе о теореме Пифагора в учебнике для массовой школы предлагается найти диагонали равнобокой трапеции, в которой известны все стороны. В том же параграфе о пирамиде в учебнике для массовой школы предлагается найти площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды, в которой известны ребро основания и высота, плоскостью проходящей через ребро основания и перпендикулярной противоположной грани.)

Для основного контингента учеников особое внимание уделено заданиям творческого характера, когда не срабатывают уже известные алгоритмы или образцы. Причем эти задания иногда предлагаются в однотипной по формулировке серии вопросов, препятствуя тем самым формированию излишних стереотипов.

(Например: Требуется вычислить расстояние от точки до отрезка, если известны длина отрезка и расстояния от точки до его концов. Для решения задачи обычно используется формула Герона. Однако подбор чисел таков, что треугольник, из которого находится высота, может иметь тупой угол с вершиной в одном из концов данного отрезка, а тогда искомым расстоянием является уже не высота этого треугольника, а одна из его сторон.)

При этом важно заметить, что творческий характер работы ученика не обязательно связан со сложностью решаемых им задач. Уже факт выбора хотя бы из двух альтернатив (без соответствующих предписаний) — творческая процедура. Даже чуть иной рисунок, иное расположение объектов, выбор дополнительных условий для решения задачи — творческие (хотя, как правило, не слишком трудные) задания. Наиболее часто такая возможность предоставляется, когда решаются задачи к главам.

(Например: Известно, что у многогранника есть центр симметрии, центр описанной сферы, центр вписанной сферы и центр масс. Требуется установить взаимное положение этих точек между собой. Иначе говоря, какие из них обязательно совпадают, а какие могут и не совпадать?)

В задачнике сделана и другая попытка дифференцированного подхода как в массовой, так и в физико-математической школе. Хотя ученики последней и отличаются от учеников массовой школы, можно говорить об их неоднородности и в обучаемости, и по другим параметрам. Ученики-«математики» явно отличаются по сравнению с учениками-«физиками» не тем, что решают более сложные задачи, — вовсе нет! Просто у них другой склад мышле-

ния, они тяготеют к более абстрактным и даже вычурным формулировкам, им редко нравятся конкретика и практическая постановка задачи. В свою очередь, ученики-«физики» трудно работают, например, в задачах на доказательство существования, особенно в тех случаях, когда это существование очевидно из наглядных соображений.

(Например: Задача о наиболее экономичном вырезании из бесконечного прямоугольного листа жести одинаковых кругов вполне естественна для «физика». А предложение выяснить, имеет ли выпуклая фигура диаметр — вызовет некий энтузиазм только у «математика»).

Задачник содержит достаточно много задач и для того, чтобы учитель смог учесть различия в познавательной деятельности учеников.

(Вот, например, задача с чисто геометрическим, наглядно ясным решением: «Как найти ширину полосы, если известны расстояния от точки в ее плоскости до ее краев?» А вот, например, задача, где результат получается из выкладок: «Найти расстояние от точки, лежащей внутри данного угла, до его вершины, если известны расстояния от нее до его сторон».)

Учтены различия в типах мышления.

(Вот, например, задача, требующая развитого абстрактного мышления: «Даны две точки А и В. В результате некоторого движения f точка А перешла в точку В, а точка В перешла в точку А. Имеет ли неподвижные точки движение f- f?»

А примером задач, с которыми справляется практическое мышление, являются задачи на развертках, на реальных фигурах. Вот одна из них: «Как одними только сгибаниями тетрадного листа бумаги получить на нем ромб?»)

Наконец, в задачнике есть и такие задачи, которые явно воздействуют на мотивацию школьника: софизмы, задачи на историческом материале, задачи занимательного содержания.

(Например: В параграфе о площадях приводится задача о том, как Абу-ль-Вефа в X веке разрезал треугольник на две равновеликие части одним разрезом, проходящим через данную точку на стороне треугольника. В параграфе о подобии приведен ряд задач о «золотом сечении».)

Принципиальным я считаю, что в каждом параграфе, а то и в каждом пункте учебника, в «пространстве задач» заложены две возможности: 1) дать ученику то, что соответствует его уровню развития в данный момент; 2) дать ученику то, что может способствовать его развитию, причем в разных направлениях математической деятельности. Полагаю, что вышеприведенные примеры убеждают в практическом существовании обеих тенденций.

Итак, в результате анализа взаимосвязей системы «Задачи» и системы «Ученик» была выделена такая методическая проблема: как отразить в задачнике многообразные различия учеников?

Основное положение при решении этой методической проблемы выглядит так: необходимо подобрать задачи, требующие разнообразной интеллектуальной деятельности; при этом ученики должны иметь возможность работать в соответствии как с имеющимся у них уровнем развития, так и с ближайшими перспективами его повышения.

Взаимодействие задачника с теорией

(методическая проблема № 6)

Исходным положением для понимания связей системы «Задачи» и системы «Теория» является то, что ни содержание геометрии, ни ее понимание не могут быть полностью раскрыты только через теорию (и только через задачи). Для этого необходимо их взаимодействие между собой. Именно это взаимодействие и раскрывается при анализе связей этих подсистем: структурных, генетических и функциональных.

1. Структурные связи

Структура задач соответствует структуре теории. Теоретический материал разбит на главы, параграфы и пункты, и в полном соответствии то же проделано с задачным материалом. Далее, сама теория предполагает разделение сведений на обязательные, основные и дополнительные, при этом содержание курса в полном объеме отражено в основных сведениях. То же относится и к задачнику. В отдельных случаях задачи приведены и по тематике дополнительных сведений.

(Например, к дополнению «Трехгранные углы». Соотношения в трехгранном угле позволяют успешно решать многие стандартные задачи.)

2. Связи генетические (порождения)

Содержание глав, параграфов и пунктов учебника задает тематику соответствующих задач, однако появляется и другая тенденция. Это происходит тогда, когда в целях пропедевтических (или в других дидактических или педагогических) содержание задач опережает содержание теории, когда для решения задач, строго говоря, теоретических сведений не хватает.

(Самый яркий пример тому мы видим в пропедевтическом курсе стереометрии по ходу изучения планиметрии. Еще пример: свойства параллельного проектирования используются для рисования пространственных фигур раньше, чем они обоснованы.)

Важно также отметить, что иногда содержание теоретического материала определяется системой «Задачи».

(Пример: угол между векторами появляется в теории раньше, чем он требуется при изучении скалярного умножения, ибо его использование делает задачи более содержательными).

3. Связи функционирования

Выделены, как уже упоминалось, три отношения теории и задач: применение теории, расширение теории и углубление тео-

рии. (Ясно, что возможны и другие отношения, например, пропедевтика теории.) Рассмотрим каждое из них чуть подробнее.

К применению теории отнесены задачи двух видов. Одни задачи имеют явный дидактический уклон. Главное в них — способствовать усвоению теоретического положения: если доказана теорема, то в задачах показано, как она работает в разнообразных частных случаях; если выведена формула, то в задачах по этой формуле находится значение некоторой величины в конкретной ситуации. Задачи другого вида — прикладные, в которых содержание определено внематематическими объектами. О них я подробнее говорил раньше.

К расширению теории отнесены задачи, результаты которых могут использоваться в дальнейшем. Ясно, что сюда попадают «основные задачи». Кроме них, «расширяют теорию» задачи, результаты которых важны сами по себе, но они не вошли в курс основных: в принципе без них можно обойтись.

(Примеры: 1. Предлагается доказать формулу Симпсона для вычисления объемов, хотя в теории оно ведется с помощью интеграла. 2. Предлагается получить формулу Паппа—Гюльдена для вычисления объема тела вращения.)

Сюда я включаю и те случаи, когда задачи, точно соответствуя теории, маловыразительны и не вызывают интереса учеников (например, в теме «Сложение векторов».) Приходится добавлять задачи хотя бы для оживления теории.

К углублению теории отнесены задачи двух типов. В одних проводится более детальное исследование некоторого вопроса общего характера.

(Примеры: 1. Нас интересует положение центра описанной около треугольника окружности относительно этого треугольника. 2. Теорема доказана в некоторых предположениях, но что будет, если отказаться от некоторых из них?)

В других устанавливаются такие связи между объектами (или их свойствами), которые не включены в теоретический текст.

(Например, нас интересует взаимное расположение двух сфер.)

В основном именно сюда попадают задачи с нарочито подобранным условием.

(Например: Нас интересует зависимость между объемом цилиндра, площадью его поверхности и площадью его боковой поверхности. Нарочитость в том и состоит, что совершенно неясно, почему такая зависимость может интересовать.)

Итак, методическая проблема, выделенная в результате анализа взаимосвязей теоретического и задачного материала учебника, такова: как подобрать задачи, чтобы, взаимодействуя с теорией, задачник давал более полное представление о геометрии и способствовал более эффективному ее изучению?

Общее положение для решения этой методической проблемы состоит в следующем:

чтобы задачник в школьном учебнике геометрии более эффективно взаимодействовал с теорией, необходимо построить его таким образом, чтобы он, в главном зависящий от теории, был, тем не менее, достаточно автономным и не только сопутствовал изучению теории, но и выполнял более сложные функции, дополняя и даже опережая теорию.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одна из проблем при создании учебника — подбор задач для него. Я работаю над ней вот уже 15 лет и не могу сказать, что мне все здесь ясно.

В ходе теоретического анализа проблемы, практического ее решения (подбора задач к конкретному учебнику), авторского, экспериментального и опытного преподавания я пришел к следующим основным результатам:

1) Анализ разнообразных учебников математики показал, что подбор задач в них всегда в какой-то степени неполон. Этот недостаток устраним, если подбор задач в учебнике осуществлен с позиций системного подхода. В рамках такого подхода сформированы понятия: «система школьной геометрии» и ее подсистемы — «Учитель», «Учебник», «Ученик». Подсистема «Учебник» состоит, в свою очередь, из двух подсистем, одна из которых соответствует теории, а другая — задачам.

2) При исследовании системы «Задачи» оказалось, что главное — учет ее связей. Были выделены и рассмотрены ее связи со средой и с остальными подсистемами.

3) В результате анализа связей системы «Задачи» со средой выявлены те, которые отражают общий авторский замысел, а также современные педагогические и дидактические тенденции.

4) В результате анализа связей системы «Задачи» с системой «Учитель» особо учтены разнообразие учителей в профессиональном отношении и возможности для вовлечения конкретного учителя в процесс внедрения учебника.

5) В результате анализа связей системы «Задачи» с системой «Ученик» особо учтены разнообразие учеников и возможности для вовлечения конкретного ученика в творческую деятельность.

6) В результате анализа связей системы «Задачи» и системы «Теория» особое внимание уделено их взаимодействию в процессе функционирования. В частности, оказалось, что посредством задач можно решать современные методические проблемы и в том даже случае, когда их решение неясно при изложении теории.

7) На основе выработанной концепции и проведенного анализа связей в СШГ сформулированы конкретные методические проблемы, после чего выработаны основные положения для их решения в процессе создания банка задач.

8) На основе результатов исследования в целом осуществлен подбор задач в учебнике геометрии для 8—11 классов физико-математической школы и в учебнике геометрии для 7—11 классов массовой школы. В настоящее время идет работа над задачником (в составе учебника тех же авторов), который мог бы использоваться и в гуманитарной школе.

В итоге 15 лет работы созданы задачники по геометрии для

всех классов и массовой, и специализированной физико-математической школ в соответствии с современным осмыслением (предложенным А. Д. Александровым) классического курса элементарной геометрии.

Созданный задачник неоднократно оценивался и проверялся: рецензентами изданных учебных пособий; экспертами конкурсной комиссии состоявшегося конкурса учебников математики для средней школы; автором исследования — в ходе авторского преподавания, на проведенных под его руководством семинарах учителей, ведущих экспериментальное, опытное и реальное преподавание по этим учебникам.

В ходе исследования стало понятно, что:

а) разработанный системный подход может быть использован для постановки новых проблем в методике преподавания геометрии, для отбора задач к учебнику геометрии, при анализе успешности их использования в учебном процессе, а также для дальнейшего совершенствования задачника;

б) разработанная концепция системы «Задачи» в учебнике геометрии может быть распространена на другие учебники математики;

в) предлагаемая концепция системы «Задачи» для учебника позволяет разрабатывать методические пути внедрения новых теоретических идей в практику реального преподавания и прогнозировать инновационные процессы.

И несколько слов в заключение, менее формальных. В начале своей работы над задачником я думал, что собственного опыта будет достаточно. Однако довольно быстро перестал понимать что, собственно, хочу, а если что-то и прояснялось, то не всегда было ясно, как к этому прийти. Первая же мысль, пришедшая в голову: как-то все упорядочить. Но как? Главный вопрос — а почему я включаю в текст именно эту задачу? — повисал в воздухе.

По сути, все это сочинение — ответ на последний вопрос. Кому они, однако, нужны — и этот вопрос, и этот ответ? Думаю, что нужны, и эта мысль подвигала меня. Канули в лету те времена, когда авторов учебников (и задачников) знали наперечет. Более того, появляются задачники и по тем предметам, по которым их и вовсе не бывало: по биологии, истории. И хотя профессии «автор задачника» не предвидится, крупицы опыта не должны исчезать бесследно, каким бы этот опыт ни был.

И еще. Все эти 15 лет мои коллеги, учителя математики, осваивали этот учебник, привыкали к нему, мучились помаленьку... Но что-то привлекало, не отпускало... И были бесконечные беседы и споры... Памяти их, таких бесконечных дискуссий с соавторами, коллегами и всеми, кто верил в эту работу, я и посвящаю сие сочинение.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ....................... 3

Система задач школьного учебника геометрии.......... 11

Методические проблемы, выделенные в исследовании:........ 18

1. Современное преподавание школьной геометрии ....... 18

2. Пропедевтика стереометрии в курсе планиметрии....... 27

3. Формирование основ исследовательской и изобретательской деятельности ..................... 21

4. Задачник для разных учителей............. 39

5. Ученики бывают разные............... 47

6. Взаимодействие задачника с теорией........... 50

Заключение ...................... 53

Лицензия ЛР № 040331 от 17.02.92 г.

Подписано в печать 20.12.94 г. Печать офсетная. Формат 60Х90'/|б. Объем 3 п. л. Тираж 1000 экз. Заказ 31.

ГППП-3. 191104, Санкт-Петербург, Литейный пр., 55.