В. И. Рыжик

КОНТРОЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПРОФИЛЬНОГО УРОВНЯ

ГЕОМЕТРИЯ

10-11

ПРОСВЕЩЕНИЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

В. И. Рыжик

ГЕОМЕТРИЯ

КОНТРОЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПРОФИЛЬНОГО УРОВНЯ

для 10-11 классов общеобразовательных учреждений

Книга для учителя

Москва «Просвещение» 2007

УДК 372.8:514 ББК 74.262.21 Р93

Серия «Текущий контроль» основана в 2005 году Рыжик В. И.

Р93 Геометрия : контрол. измерит, материалы профил. уровня для 10—11 кл. общеобразоват. учереждений: кн. для учителя / В. И. Рыжик. — М, : Просвещение, 2007. — 96 с — (Текущий контроль). — ISBN 5-09-014887-2.

Книга содержит тесты для заключительного повторения и текущего контроля знаний по геометрии учащихся 10—11 классов; они являются частью тестов по всему курсу математики под общим названием «Тесты готовности к продолжению математического образования».

УДК 372.8:514 ББК 74.262.21

Учебное издание Серия «Текущий контроль»

Рыжик Валерий Идельевич

Геометрия. Контрольные измерительные материалы профильного уровня для 10—11 классов общеобразовательных учреждений

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Н.Б. Грызлова Младший редактор Н. В. Ноговицына Художник О. П. Богомолова Художественный редактор О. П. Богомолова Техническое редактирование и компьютерная верстка С.В. Китаевой Корректоры И.Н.Панкова, Г.Н.Смирнова

Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции OK 005-93-953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 29.08.06. Формат 60 X 90 Vi6- Бумага газетная. Гарнитура SchoolBook. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 4,92. Тираж 5000 экз. Заказ № 14316 (к-л).

Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Открытое акционерное общество «Смоленский полиграфический комбинат». 214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1.

ISBN 5-09-014887-2 ©Издательство «Просвещение», 2007

© Художественное оформление.

Издательство «Просвещение», 2007 Все права защищены

ВВЕДЕНИЕ

Зная что-либо, считай, что знаешь; не зная что-либо, считай, что не знаешь, — это и есть правильное отношение к знанию.

Конфуций

Предлагаемые тесты соответствуют курсу геометрии (стереометрии) для профильной школы, но частично могут пригодиться и в других типах школ. Они могут использоваться как для текущего контроля, так и для итогового повторения — из условия теста легко понять, где его использование наиболее уместно. В случае необходимости тест, уместный для итогового повторения, может быть использован частично для текущего контроля. Разумеется, при желании можно переставлять конкретные задания внутри каждого теста, а также составлять из приведенных заданий другие тесты.

Порядок, в котором составлена вся совокупность тестов, не привязан жестко к какому-либо учебнику геометрии (стереометрии), он больше увязан с геометрическими фигурами, их взаимным расположением и параметрами их расположения (расстояния, углы). Поэтому, например, задания, относящиеся к расположению двух прямых, можно увидеть и в начале всей совокупности тестов, и тогда, когда речь идет о конкретных фигурах, например о кубе. В отдельных местах совокупности можно увидеть порядок тестов, соответствующий учебникам А. Д. Александрова и др.: сначала идут тесты о фигурах вращения, а уж затем о многогранниках.

Использование в практике преподавания этих тестов основано на некоторых предварительных соображениях, о чем и пойдет речь далее.

Любой тест, предлагаемый ученику школы, диагностирует те или иные его свойства. Я остановился на таком интегральном свойстве (латентной переменной): готовность к продолжению математического образования. Точно не очень понятно, что это за свойство. Однако ясно, что таковая готовность предполагает нечто большее, чем владение некоторой суммой фактических знаний и умений решать более или менее типовые задачи. Но что? Я особо выделяю некоторые довольно бесспорные проявления готовности: 1) умение аргументировать или опровергнуть имеющееся высказывание; 2) умение проанализировать условие задачи на определенность (возможность получить однозначный ответ) и корректность (непротиворечивость условия); 3) умение установить наличие или отсутствие связей между данными высказываниями; 4) умение проанализировать

логическую структуру высказывания; 5) владение понятиями в общей форме; 6) умение перевести аналитическую зависимость в наглядную форму и обратно; 7) рефлексию, то есть способность отделить личное знание от незнания; 8) определенный уровень логической культуры. Не менее важно отразить в совокупности тестов основные виды математической деятельности. К таковым я отношу следующие: опознание объекта; выяснение существования объекта; установление единственности объекта (или ее отсутствия); выведение свойств объекта из его определения; выведение свойств объекта из других его свойств; выведение свойств объекта из косвенных соображений (в результате только логического рассуждения); идентификацию отношения между элементами множества (равенство, неравенство, прочее); выведение свойств объекта, полученного преобразованием из другого объекта; работу с величинами (нахождение величины, оценка величины, равенство величин) — разумеется, список не полон.

В предлагаемой совокупности тестов я постарался отразить (в той или иной степени) и каждый из перечисленных параметров готовности, и каждый вид математической деятельности из приведенного списка. Ясно: все это строится на довольно большом объеме конкретных знаний и умений, присущих нашим традициям в преподавании геометрии, а также на развитом пространственном мышлении.

Каждый тест состоит из пяти утверждений (а не вопросов). На каждое из этих утверждений ученик как-то реагирует. Форма его ответа такова: «да» (условно «+»), если он согласен с утверждением; «нет» (условно «-»), если он с ним не согласен; «не знаю» (условно «О»), если он не в состоянии определиться; «задача некорректная», когда фигуры, заданной условием, не существует (условно «!»); «задача неопределенная», когда предложенное утверждение не позволяет однозначно ни опровергнуть его, ни согласиться с ним (условно «?»).

Ответ «не знаю» позитивен, поскольку демонстрирует способность ученика к рефлексии и позволяет работать в режиме, который не провоцирует на угадывание ответа (что будет ясно из системы оценивания теста). В некорректных или неопределенных заданиях проверяется умение ученика анализировать условие задачи.

В реальных тестовых испытаниях (я их провожу по этим или аналогичным тестам около 10 лет) за верный ответ я ставил « + за неверный ответ — за ответ «не знаю» — «0». В результате суммарное число баллов, набранных конкретным учеником (в каждом тесте и в предложенной ему батарее тестов), может быть меньше числа его верных ответов. Но именно по суммарному числу баллов я выводил окончательную оценку за выполнение теста (или батареи тестов). Мораль ясна: ученику выгоднее выдавать только такие отве-

ты, в которых он абсолютно уверен. И если тем не менее среди выданных им ответов есть неверные, то это говорит о недостатках всей его системы знаний в целом. Разумеется, учитель может выбрать и другую форму оценивания, например, ставя за верный ответ больше (по модулю), чем за неверный, скажем, «+3» за верный и за неверный (как это уже делается в игре «Кенгуру» для старшеклассников).

При формулировке неопределенных заданий я встретился с заметными логическими и языковыми трудностями. Что, собственно, имеется в виду, когда задается, к примеру, такой вопрос: «Верно ли, что а2 > 1?» (Для простоты будем считать, что переменная а задана на максимально «широком» множестве — множестве всех вещественных чисел.)

Если мы спрашиваем «верно ли?» и хотим получить в ответ «да» или «нет», то имеем дело с высказыванием. Однако напрямую в нашем примере высказывания нет — есть предикат (выражение с переменной, высказывательная форма) или даже что-то еще из-за вопросительной формы задания. Чтобы превратить его в высказывание, требуется на переменную а «навесить» некий квантор — всеобщности или существования (и в какой-то момент убрать вопросительную форму). Какой же квантор — по умолчанию — «навешен» на переменную а в таком задании? Если подразумевается квантор всеобщности (верно ли для любого а...), то ответ «нет». Если подразумевается квантор существования (верно ли, что существует такое а...), то ответ «да». В любом случае ответ меня никак не устраивал. Я-то хочу, чтобы ответ был такой: «Смотря какое а», или, что равносильно, «Иногда да, иногда нет».

Подтверждение своих желаний я увидел, когда в статье известного математика Л. Д. Кудрявцева нашел такую фразу:

«Правильный ответ на тест: «Равны ли углы с взаимно перпендикулярными сторонами?» — не может быть выражен словами «да» или «нет». Правильный ответ «не всегда»...» Иначе говоря, «иногда — да, иногда — нет». К тому же это задание Л. Д. Кудрявцева имеет вид вопроса, а я хотел обойтись повествовательной формой.

В результате размышлений и долгих сомнений я решил закодировать неопределенность с помощью слова «некоторый» (такое толкование термина «некоторый» логикой допускается).

Перейду к примерам. Задание (пока в виде вопроса) таково: «Пусть а — некоторое вещественное число. Верно ли неравенство а2 > - 1?» Разумеется, ответ «да», ибо оно верно при любых а. Пусть задание таково: «Верно ли неравенство а2 < - 1?» Разумеется, ответ «нет», ибо оно неверно при любых а. Теперь такое задание: «Верно ли неравенство а2 > 1?» А теперь ответ таков: иногда — да, иногда — нет. Именно для ответа «иногда — да, иногда — нет» я использую знак «?».

Наконец, можно убрать вопросительную форму предложения и сразу дать задание в форме высказывания: «Пусть а — некоторое вещественное число. Неравенство а2 > 1 является верным».

Достаточная четкость достигнута, но можно обойтись и без знака «?». Именно в неоднозначной ситуации можно условиться ставить знак « + »; если же она однозначна, то можно ставить знак «-» независимо от того, верно это высказывание или нет. В предлагаемых здесь соответствующих тестах приведены два варианта ответа (один из них в скобках), и учитель может выбрать любую форму ответа, какая ему больше нравится. А если задания с неопределенным ответом не нравятся, то можно заменить в них термин «некоторый» на термин «любой» или «существует» с соответствующей поправкой ответа.

Теперь несколько конкретных замечаний.

1. Если в тексте написано «два» (две прямые, две плоскости, два элемента симметрии), то это именно два, а не «хотя бы два» — я не использую оборот, подобный обороту «ровно два».

2. Если точки (прямые, плоскости) обозначены по-разному, то они не совпадают.

3. Если говорится, что плоскость проходит через прямую, то это означает, что она содержит эту прямую.

4. Если на переменную не «навешен» квантор, то, как всегда, по умолчанию полагаем, что это квантор всеобщности.

5. Проекция понимается как ортогональная (если нет специальной оговорки).

Данная совокупность тестов обнародуется впервые (хотя аналогичная — по алгебре и началам анализа — была издана малым тиражом в 1998 г.). Отсюда ясно, сколько в ней может быть огрехов. И хотя многие из этих тестов проверены в реальном преподавании, я понимаю, что до безупречности весьма далеко, учитывая совершенно оригинальный их характер. Я надеюсь, что с помощью доброжелательно настроенных коллег удастся эту работу довести до безупречности и, в конце концов, противопоставить что-то осмысленное «тестированию по-американски». Более того, я полагаю, что работа по составлению разумных тестов для школьников России только начинается, а потому любой заинтересованный в такой работе может ей способствовать, в частности действуя в согласии с приведенными здесь соображениями.

Тест 1. Прямая AB

ПОНЯТИЕ

Прямая AB — это:

1) {X: ı= XÄE}, X Е r;

2) (АБС) n (ABD), если D ё (ABC);

3) {X: \АХ\ + \ХВ\ = \АВ\};

4) пересечение всех плоскостей, содержащих точки А и Б;

5) объединение всех отрезков, содержащих точки А и Б.

Тест 2. Прямая

ПРИЗНАК

Фигура есть прямая, если она является:

1) неограниченным объединением отрезков, каждый из которых содержит предыдущий;

2) множеством точек в данной плоскости, равноудаленных от двух данных точек этой плоскости;

3) линией, которая самосовмещается при зеркальной симметрии относительно плоскости, не содержащей эту линию;

4) множеством точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению x-l=y+l = z;

5) множеством точек пространства, равноудаленных от вершин треугольника.

Тест 3. Прямая

ПРИЗНАК

Прямая — это:

1) непустое пересечение двух плоскостей;

2) множество точек пространства, равноудаленных от двух данных точек;

3) множество точек пространства, равноудаленных от двух параллельных прямых;

4) множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению (х - I)2 + у2 = 0;

5) множество точек пространства, равноудаленных от сторон треугольника.

Тест 4. Прямая

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существует прямая, которая:

1) параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей;

2) перпендикулярна каждой из двух пересекающихся плоскостей;

3) находится на одинаковом (ненулевом) расстоянии от граней двугранного угла;

4) образует равные углы с ребрами трехгранного угла;

5) пересекает каждую из трех попарно скрещивающихся прямых.

Тест 5. Плоскость

ПОНЯТИЕ

Плоскость — это множество точек пространства:

1) равноудаленных от двух данных точек;

2) удаленных от каждой из двух данных параллельных плоскостей на одно и то же ненулевое расстояние;

3) равноудаленных от двух данных пересекающихся плоскостей;

4) равноудаленных от двух данных параллельных прямых;

5) равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых.

Тест 6. Плоскость

ПРИЗНАК

Фигура есть плоскость, если она:

1) образована всеми прямыми пространства, пересекающими одну из скрещивающихся прямых и параллельными другой из них;

2) образована всеми прямыми пространства, перпендикулярными данной прямой и проходящими через данную точку;

3) образована всеми прямыми, перпендикулярными данной плоскости и пересекающими данную прямую;

4) является множеством точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению ах + by + cz + d = 0;

5) переходит в себя в результате параллельного переноса.

Тест 7. Плоскость

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существует плоскость, которая:

1) параллельна трем попарно скрещивающимся прямым;

2) пересекает любое число попарно скрещивающихся прямых;

3) содержит одну из скрещивающихся прямых и перпендикулярна другой из них;

4) перпендикулярна каждой из двух пересекающихся плоскостей;

5) образует равные углы с двумя данными прямыми.

Тест 8. Пересекающиеся прямые

СВОЙСТВО

Если две прямые пересекаются, то:

1) существует такая плоскость, которая параллельна одной из данных прямых и пересекает другую;

2) любая плоскость, пересекающая одну из них, будет пересекать и другую;

3) найдутся такие две плоскости, одна из которых содержит первую прямую, а другая плоскость содержит вторую прямую, и при этом угол между этими плоскостями равен углу между данными прямыми;

4) существует такая плоскость, которая содержит одну из данных прямых и перпендикулярна другой прямой;

5) существует единственная плоскость, относительно которой они симметричны.

Тест 9. Пересекающиеся прямые

ПРИЗНАК

Две прямые пересекаются, если:

1) первая лежит в одной из двух данных пересекающихся плоскостей, а вторая — в другой из них;

2) они симметричны относительно каждой из двух данных плоскостей;

3) первая задана уравнением х = у=1, а вторая задана уравнением у = z = 2;

4) первая перпендикулярна одной грани данного куба, а вторая перпендикулярна другой грани данного куба, соседней с первой;

5) первая из них перпендикулярна одной из граней правильного тетраэдра в ее центре, а вторая расположена таким же образом по отношению к другой его грани.

Тест 10. Пересекающиеся прямые

ПРИЗНАК

Некоторые две прямые в пространстве пересекаются, если:

1) одна из них лежит в данной плоскости, а другая ее пересекает;

2) через них можно провести плоскость;

3) каждая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую;

4) существует прямая, которая пересекает каждую из них;

5) они лежат в пересекающихся плоскостях и каждая из них пересекает прямую пересечения этих плоскостей.

Тест 11. Параллельные прямые

СВОЙСТВО

Если две прямые параллельны, то:

1) прямая, скрещивающаяся с одной из них, скрещивается и с другой;

2) плоскость, не пересекающая одну из них, не пересекает и другую;

3) существует такая плоскость, которая образует с ними неравные углы;

4) найдется только одна прямая, которая равноудалена от них;

5) есть такая осевая симметрия, в результате которой каждая из них переходит в другую из них.

Тест 12. Параллельные прямые

ПРИЗНАК

Две прямые параллельны, если:

1) одна из них параллельна плоскости, в которой лежит другая;

2) каждая прямая, пересекающая одну из них, пересекает и другую;

3) они являются соответственно проекциями двух параллельных прямых на одну и ту же плоскость;

4) существует такая плоскость, что их параллельные проекции на эту плоскость не параллельны;

5) нет такой прямой, которая параллельна только одной из них.

Тест 13. Параллельные прямые

ПРИЗНАК

Две прямые параллельны, если:

1) они не лежат в одной плоскости;

2) они не пересекаются;

3) любая плоскость, которая пересекает одну из них, пересекает и другую;

4) они лежат в параллельных плоскостях;

5) есть такая плоскость, что проекция каждой из них на эту плоскость является точкой.

Тест 14. Параллельные прямые

ПРИЗНАК

Две прямые параллельны, если:

1) найдется плоскость, перпендикулярная каждой из данных прямых;

2) существует прямая, перпендикулярная каждой из них;

3) их направляющие векторы коллинеарны;

4) уравнение одной из них х = у = z - 1, уравнение другой из них X = у - 1 = z;

5) одна из них получена из другой в результате осевой симметрии.

Тест 15. Параллельные прямые

ПРИЗНАК

Две прямые параллельны, если:

1) их пересечение — пустое множество;

2) существует плоскость, параллельная каждой из них;

3) они идут на постоянном расстоянии между собой;

4) есть такие две параллельные плоскости, каждая из которых перпендикулярна одной из данных прямых;

5) существует плоскость, которая образует с ними равные углы.

Тест 16. Параллельные прямые

ПРИЗНАК

Некоторые две прямые параллельны, если:

1) они не имеют общих точек;

2) расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра;

3) одна из них зеркально симметрична другой;

4) они параллельны одной и той же прямой;

5) любая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую.

Тест 17. Скрещивающиеся прямые

СВОЙСТВО

Если две прямые скрещиваются, то:

1) найдется такая прямая, которая проходит через данную точку и пересекает каждую из данных прямых;

2) существует такая плоскость, на которую эти прямые проектируются как параллельные;

3) есть единственная прямая, которая равноудалена от данных прямых;

4) найдется прямая, которая пересекает данные прямые под заданными углами;

5) найдутся две взаимно перпендикулярные плоскости, в которых лежат данные прямые.

Тест 18. Скрещивающиеся прямые

ПРИЗНАК

Две прямые скрещиваются, если:

1) они скрещиваются с данной прямой;

2) они лежат в параллельных плоскостях;

3) первая прямая лежит в данной плоскости, а вторая прямая ее пересекает;

4) любая прямая, которая скрещивается с одной из этих прямых, скрещивается с другой из них;

5) первая прямая лежит в одной данной плоскости, а вторая прямая лежит в другой данной плоскости.

Тест 19. Скрещивающиеся прямые

ПРИЗНАК

Две прямые скрещиваются, если:

1) они имеют единственный общий перпендикуляр;

2) они пересекают одну и ту же прямую под прямым углом и не имеют общих точек;

3) их проекции на одну и ту же плоскость взаимно перпендикулярны ;

4) они образуют с данной плоскостью различные углы и не имеют общих точек;

5) уравнение одной из них х = у = г, а уравнение другой из них X = у = - 2.

Тест 20. Скрещивающиеся прямые

ПРИЗНАК

Некоторые прямые а и b скрещиваются, если:

1) они не лежат в плоскости а и не имеют общих точек;

2) не существует такой прямой, которая параллельна одной из них и не параллельна другой;

3) прямая а лежит в плоскости ß, а прямая Ъ пересекает плоскость ß;

4) a _L а, Ь _L ß, причем а _L ß;

5) прямая Ъ получена в результате поворота прямой а вокруг данной оси.

Тест 21. Скрещивающиеся прямые

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существуют скрещивающиеся прямые, которые:

1) проектируются на данную плоскость в две заданные параллельные прямые;

2) на любую плоскость проектируются в две пересекающиеся прямые;

3) параллельны (каждая из них) двум данным пересекающимся плоскостям;

4) взаимно перпендикулярны, причем первая из них лежит в одной из данных плоскостей, а вторая — в другой из данных плоскостей;

5) симметричны относительно данной плоскости.

Тест 22. Угол между прямыми

ПОНЯТИЕ

Угол между прямыми AB и CD — это:

1) угол между лучами AB и CD;

2) угол между векторами ÄE и СЗ;

3) наименьший из углов, образованных лучами, лежащими на этих прямых;

4) ^(А^), (СЛ), если (A,BX) II (AB), (CXDX) || (CD);

5) А(АгВг), (С^), если (АгВг) JL (AB), (С^г) ± (CD).

Тест 23. Перпендикулярные прямые

СВОЙСТВО

Если две прямые перпендикулярны, то:

1) они пересекаются;

2) через каждую из них проходит плоскость, перпендикулярная другой прямой;

3) есть прямая, образующая с каждой из них заданный угол;

4) найдутся две взаимно перпендикулярные плоскости, такие, что первая прямая лежит в одной из этих плоскостей, а вторая прямая — в другой из этих плоскостей;

5) найдется такая плоскость, что будут перпендикулярными между собой проекции данных прямых на эту плоскость.

Тест 24. Перпендикулярные прямые

ПРИЗНАК

Прямые взаимно перпендикулярны, если: 1) каждая из них перпендикулярна общему ребру прямого двугранного угла;

2) первая из них лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, а вторая из них лежит в другой из этих плоскостей;

3) первая из них параллельна одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, а вторая из них параллельна другой из этих плоскостей;

4) первая из них перпендикулярна одной из перпендикулярных плоскостей, а вторая перпендикулярна другой из них;

5) первая из них является наклонной к данной плоскости, а вторая из них перпендикулярна проекции первой прямой на данную плоскость.

Тест 25. Перпендикулярные прямые

ПРИЗНАК

Пусть а и Ъ — две прямые, a J_ b, если:

Тест 26. Перпендикулярные прямые

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существуют перпендикулярные прямые:

1) образующие с заданной прямой заданные острые углы;

2) первая из которых лежит в одной из двух пересекающихся плоскостей, а вторая — в другой из них;

3) первая из которых перпендикулярна одной из взаимно перпендикулярных плоскостей, а вторая не перпендикулярна другой из них;

4) перпендикулярные одной и той же прямой данной плоскости, причем первая из них лежит в данной плоскости, а вторая пересекает данную плоскость;

5) проекции которых на данную плоскость взаимно перпендикулярны.

Тест 27. Взаимное положение двух прямых

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существует, и притом единственная, прямая, которая проходит через данную точку и:

1) перпендикулярна данной прямой, не проходящей через данную точку;

2) пересекает обе данные скрещивающиеся прямые, ни одна из которых не проходит через данную точку;

3) удалена от данной прямой, не проходящей через данную точку, на данное расстояние;

4) образует с каждой из двух данных скрещивающихся прямых, не проходящих через данную точку, заданные острые углы;

5) равноудалена от двух заданных скрещивающихся прямых, ни одна из которых не проходит через данную точку.

Тест 28. Пересечение прямой и плоскости

ПРИЗНАК

Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют:

1) одну общую точку;

2) общую точку;

3) хотя бы одну общую точку;

4) не больше одной общей точки;

5) единственную общую точку.

Тест 29. Принадлежность прямой к плоскости

ПРИЗНАК

Это утверждение верно:

1. Прямая лежит в плоскости, если она имеет общую точку с каждой из двух данных прямых этой плоскости.

2. Прямая лежит в плоскости, если она совпадает со своей проекцией на эту плоскость.

3. Плоскость проходит через данную прямую, если она проходит через прямую, параллельную данной прямой, и точку на данной прямой.

4. Прямая не лежит в плоскости, если она скрещивается с любой прямой этой плоскости.

5. Прямая лежит в плоскости, если любая прямая этой плоскости либо параллельна данной прямой, либо ее пересекает.

Тест 30. Принадлежность прямой к плоскости

ПРИЗНАК

Прямая а принадлежит плоскости а (а а ос), если:

Тест 31. Принадлежность прямой к плоскости

ПРИЗНАК

Прямая принадлежит плоскости:

1) если расстояние от нее до плоскости равно нулю;

2) только тогда, когда угол между ней и плоскостью равен нулю;

3) если это такая плоскость, что прямая самосовмещается в результате симметрии относительно этой плоскости;

4) если уравнение плоскости х = у = г, а уравнение прямой X = у;

5) если она является осью симметрии данной фигуры, а данная плоскость — плоскость симметрии этой фигуры.

Тест 32. Прямая, перпендикулярная плоскости

СВОЙСТВО

Это утверждение верно:

1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она не перпендикулярна другой плоскости, пересекающей первую.

2. Если одна из данных двух прямых перпендикулярна плоскости, а другая данная прямая пересекает эту плоскость, но не перпендикулярна ей, то на данной плоскости существует прямая, которая образует с этими двумя прямыми равные углы.

3. На любой прямой, не перпендикулярной плоскости данного квадрата, есть хотя бы одна точка, равноудаленная от его вершин.

4. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она не параллельна ни одной прямой, не перпендикулярной этой плоскости.

5. Если плоскость не перпендикулярна прямой, то в ней нет ни одной прямой, которая была бы перпендикулярна данной прямой.

Тест 33. Прямая, перпендикулярная плоскости

ПРИЗНАК

Это утверждение верно:

1. Прямая а перпендикулярна плоскости а, если прямая а образует равные углы с двумя пересекающимися прямыми плоскости а.

2. Прямая а перпендикулярна плоскости а только тогда, когда она пересекает хотя бы одну прямую плоскости а.

3. Прямая а не перпендикулярна плоскости а, если она пересекает пересекающиеся плоскости а и ß и перпендикулярна плоскости ß.

4. Прямая а перпендикулярна плоскости а, если прямая а является осью симметрии плоскости а.

5. Прямая а перпендикулярна плоскости а, если уравнение прямой а:

a уравнение плоскости а:

2=1.

Тест 34. Прямая, перпендикулярная плоскости

ПРИЗНАК

Прямая а перпендикулярна плоскости а, если:

1) прямая а образует с плоскостью а прямой угол;

2) прямая а перпендикулярна двум прямым плоскости а;

3) проекция прямой а на плоскость а является точкой;

4) плоскость а самосовмещается при вращении вокруг прямой а;

5) прямая а самосовмещается при симметрии относительно плоскости а.

Тест 35. Прямая, перпендикулярная плоскости

ПРИЗНАК

Это утверждение верно:

1. Прямая не перпендикулярна плоскости, если эта прямая не перпендикулярна какой-либо прямой этой плоскости.

2. Прямая перпендикулярна плоскости тогда, когда плоскость содержит прямую, перпендикулярную данной прямой.

3. Прямая перпендикулярна плоскости только тогда, когда плоскость содержит прямую, перпендикулярную данной прямой.

4. Плоскость не перпендикулярна прямой, если эта плоскость не перпендикулярна прямой, не параллельной данной прямой.

5. Плоскость перпендикулярна прямой, если эта прямая при симметрии относительно этой плоскости самосовмещается.

Тест 36. Перпендикуляр к плоскости

ПРИЗНАК

Это утверждение верно:

Является перпендикуляром к плоскости:

1) кратчайший отрезок от точки вне плоскости до плоскости;

2) отрезок прямой, перпендикулярной плоскости;

3) расстояние от точки вне плоскости до плоскости;

4) высота точки над плоскостью;

5) отрезок, соединяющий точку А вне данной плоскости с центром окружности, описанной около треугольника, лежащего в этой плоскости, если точка А равноудалена от всех вершин этого треугольника.

Тест 37. Параллельность прямой и плоскости

СВОЙСТВО

Прямая а параллельна плоскости а. Тогда:

1) в плоскости а нет такой прямой, которая пересекает прямую а;

2) прямая, параллельная прямой а, параллельна плоскости а;

3) в плоскости а существует хотя бы одна прямая, параллельная прямой а и проходящая через данную точку плоскости а;

4) любая прямая, имеющая с плоскостью а общую точку, не параллельна прямой а;

5) другая прямая параллельна прямой а только в том случае, если она параллельна плоскости а.

Тест 39. Параллельность прямой и плоскости

ПРИЗНАК

Это утверждение верно.

1. Чтобы прямая а была параллельна плоскости а, необходимо, чтобы прямая а не принадлежала данной плоскости а.

2. Прямая а параллельна плоскости а, если прямая а параллельна своей проекции на данную плоскость а.

3. Прямая а не параллельна плоскости а, если в плоскости а нет прямой, параллельной прямой а.

4. Прямая а параллельна плоскости а, если прямая а пересекает любую плоскость, пересекающую данную плоскость а.

5. Прямая а параллельна плоскости а только тогда, когда существует прямая Ь, параллельная и прямой а, и плоскости а.

Тест 40. Параллельность прямой и плоскости

ПРИЗНАК

Прямая а параллельна плоскости а:

1) если на этой прямой есть две точки, удаленные от данной плоскости на одно и то же ненулевое расстояние;

2) если расстояние от двух любых точек плоскости а до прямой а одно и то же;

3) если в результате симметрии относительно плоскости а она перешла в прямую, ей параллельную;

4) если уравнение прямой а: х = у = z, а уравнение плоскости а: X + у + z = 1;

5) только если в плоскости а найдется прямая, с которой она скрещивается.

СВОЙСТВО

Прямая а параллельна плоскости а. Тогда:

Тест 38. Параллельность прямой и плоскости

Тест 41. Параллельность прямой и плоскости

Прямая а параллельна плоскости а, если:

1) прямая а параллельна прямой b, а прямая Ь лежит в плоскости а;

2) прямая а параллельна плоскости ß, а плоскость а параллельна плоскости ß;

3) прямая а содержит диагональ CXD грани куба ABCDAiB-fiiP^ а плоскость а содержит грань АА^Б этого куба;

4) прямая а содержит отрезок АВг куба ABCDA^B^C-J)^ а плоскость а содержит треугольник BCXD;

5) прямая а содержит отрезок B1D1 куба ABCDA^fi^D^ а плоскость а проходит через середины ребер ААг, ВВг и ССг.

Тест 42. Параллельность прямой и плоскости

ПРИЗНАК

Прямая а параллельна плоскости а, если:

1) расстояние от прямой а до плоскости а не равно 0;

2) угол между прямой а и плоскостью а равен 0°;

3) существует прямая, перпендикулярная прямой а и плоскости а;

4) существует плоскость, перпендикулярная прямой а и плоскости а;

5) прямая а пересекает любую плоскость, пересекающую плоскость а.

Тест 43. Параллельность прямой и плоскости

ПРИЗНАК

Это утверждение верно: Некоторая прямая:

1) параллельна плоскости а, если она параллельна прямой 6, а прямая Ь параллельна плоскости а;

2) параллельна прямой а, если они обе параллельны плоскости а;

3) не параллельна плоскости а, если она параллельна прямой а, которая пересекает плоскость а;

4) параллельна плоскости а, если на ней нашлись две точ-

ки, удаленные от плоскости а на одно и то же ненулевое расстояние; 5) параллельна плоскости а, если она получена поворотом вокруг прямой, лежащей в плоскости а.

Тест 44. Взаимное положение прямой и плоскости

ПРИЗНАК

Даны прямые а и Ь, а также плоскость а. Имеются три утверждения:

A) прямые а и b скрещиваются;

B) прямая а пересекает плоскость а;

C) прямая Ь параллельна плоскости а. Верны такие следования:

1) если А и В, то С;

2) если А и С, то В;

3) если С и В, то А;

4) если не А и В, то не С;

5) если А и не В, то С.

Тест 45. Взаимное положение прямой и плоскости

ПРИЗНАК

Даны три прямые а, Ь, с и плоскость а. Имеются три утверждения:

A) а параллельна Ь;

B) Ъ перпендикулярна с;

C) с перпендикулярна а. Верны такие следования:

1) если А и В, то а перпендикулярна с;

2) если В и С, то b параллельна а;

3) если С и А, то хоть одна из прямых а или Ь перпендикулярна а;

4) если не А и В, то а не перпендикулярна с;

5) если В и не С, то b не перпендикулярна а.

Тест 46. Взаимное положение прямой и плоскости

ПРИЗНАК

Даны прямая а и плоскости а и ß. Имеются три утверждения:

A) а перпендикулярна а;

B) а перпендикулярна ß;

С) а параллельна ß. Верны такие следования:

1) если А и В, то С;

2) если А и С, то В;

3) если С и В, то А;

4) если не А и В, то не С;

5) если А и не В, то С.

Тест 47. Взаимное положение прямой и плоскости

ПРИЗНАК

Даны прямые а и Ь, а также плоскость а. Имеются три утверждения:

A) а параллельна а;

B) а перпендикулярна Ь;

C) Ъ перпендикулярна а. Верны такие следования:

1) если А и В, то С;

2) если А и С, то В;

3) если С и В, то А;

4) если не А и В, то не С;

5) если А и не В, то С.

Тест 48. Угол между прямой и плоскостью

ПОНЯТИЕ

Угол между прямой а и плоскостью а — это:

1) угол между прямой а и прямой а19 которая является проекцией прямой а на плоскость а;

2) наименьший угол, который прямая а образует с прямыми плоскости а;

3) разность между прямым углом и углом, который образует с прямой а прямая, перпендикулярная плоскости а;

4) наибольший угол, который прямая а образует с прямыми плоскости а;

5) угол между прямой а и нормалью (прямой, перпендикулярной плоскости) к плоскости а.

Тест 49. Угол между прямой и плоскостью

ПРИЗНАК

Даны две прямые а и b и плоскость а. Имеются три утверждения:

А) угол между прямой а и плоскостью а равен ф (0° < ф < < 90°);

B) угол между прямой Ъ и плоскостью а равен (р (0° < ср < < 90°);

C) а параллельна Ь.

Верны такие следования:

1) если А и В, то С;

2) если А и С, то В;

3) если не С и А, то не В;

4) если не В и А, то не С;

5) если В и не С, то не А.

Тест 50. Взаимное положение прямой и плоскости

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существует, и притом единственная, плоскость, которая:

1) проходит через данную прямую и параллельна другой прямой, скрещивающейся с данной;

2) проходит через данную прямую и перпендикулярна другой прямой, скрещивающейся с данной;

3) проходит через данную прямую и удалена от другой прямой, скрещивающейся с данной, на заданное расстояние;

4) проходит через другую прямую, скрещивающуюся с данной и перпендикулярную данной прямой, и образует с данной прямой заданный острый угол;

5) удалена от двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых на равное ненулевое расстояние.

Тест 51. Перпендикулярные плоскости

СВОЙСТВО

Это утверждение верно:

1. Если плоскости а и ß взаимно перпендикулярны, то любая прямая одной из этих плоскостей перпендикулярна той прямой в другой плоскости, которая перпендикулярна их линии пересечения.

2. Если плоскости а и ß взаимно перпендикулярны, то существует прямая, которая перпендикулярна обеим плоскостям.

3. Если плоскости а и ß взаимно перпендикулярны и прямая перпендикулярна одной из этих плоскостей, то она параллельна другой плоскости.

4. Если каждая из двух плоскостей перпендикулярна третьей плоскости, то данные две плоскости взаимно перпендикулярны либо параллельны между собой.

5. Если плоскости а и ß не взаимно перпендикулярны, то нет таких взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых лежит в плоскости a, a другая — в плоскости ß.

Тест 52. Перпендикулярные плоскости

СВОЙСТВО

Пусть плоскости а и ß взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой р. Тогда:

1) если аса, Ь с ß, то а J_ b;

2) если а с ос, b с ß, а _L р, b _L p, то alb;

3) если аса, b с ß, a_L ß, то a J_ b;

4) если аса, прямая a не перпендикулярна прямой р, то в плоскости ß найдется прямая Ь, перпендикулярная прямой а;

5) если какая-либо прямая перпендикулярна прямой р, то она лежит либо в плоскости а, либо в плоскости ß.

Тест 53. Перпендикулярные плоскости

СВОЙСТВО

Перпендикулярные плоскости а и ß пересекаются по прямой р. Тогда:

1) если a — прямая в плоскости а, b — прямая в плоскости ß и только одна из них перпендикулярна прямой р, то прямые a и b не перпендикулярны между собой;

2) если a — прямая в плоскости а, b — прямая в плоскости ß и прямые a и b не перпендикулярны между собой, то ни одна из них не перпендикулярна прямой р;

3) если a — прямая в плоскости a и не перпендикулярна плоскости ß, b — прямая в плоскости ß и не перпендикулярна плоскости а, то прямые а и ft не перпендикулярны между собой;

4) если а перпендикулярна прямой р и b перпендикулярна прямой р и каждая из них не перпендикулярна ни одной из данных плоскостей, то и сами прямые а и b не перпендикулярны;

5) нет такой прямой в плоскости а, которая не была бы перпендикулярна хотя бы одной прямой плоскости ß.

Тест 54. Перпендикулярные плоскости

ПРИЗНАК

Плоскости a и ß взаимно перпендикулярны, если:

1) они делят пространство на четыре равных угла;

2) есть такая прямая в плоскости a и такая прямая в плоскости ß, которые взаимно перпендикулярны;

3) в плоскости а не существует прямой, которая не перпендикулярна плоскости ß;

4) через каждую точку плоскости а проходит перпендикуляр к плоскости ß;

5) одна из этих плоскостей самосовмещается при симметрии относительно другой плоскости.

Тест 55. Перпендикулярные плоскости

ПРИЗНАК

Плоскости а и ß взаимно перпендикулярны, если:

Тест 56. Перпендикулярные плоскости

ПРИЗНАК

Плоскости а и ß перпендикулярны, если:

1) угол между ними прямой;

2) одна из них содержит перпендикуляр к другой плоскости;

3) перпендикуляры к этим плоскостям перпендикулярны между собой;

4) существует пара перпендикулярных прямых, одна из которых лежит в плоскости a, a другая лежит в плоскости ß;

5) не существует прямой, принадлежащей плоскости а, которая не перпендикулярна плоскости ß.

Тест 57. Перпендикулярные плоскости

СВОЙСТВО И ПРИЗНАК

Это утверждение верно:

1. Если плоскости не перпендикулярны, то ни одна из них не содержит перпендикуляр к другой плоскости.

2. Если две плоскости перпендикулярны, то не существует прямой, которая перпендикулярна их общей прямой, но не лежит в данных плоскостях.

3. Две плоскости перпендикулярны тогда, когда они не параллельны.

4. Две плоскости перпендикулярны только тогда, когда они делят пространство на четыре части.

5. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда существует плоскость, перпендикулярная им обеим.

Тест 58. Перпендикулярные плоскости

СВОЙСТВО И ПРИЗНАК

Это утверждение верно:

1. Две плоскости взаимно перпендикулярны. Тогда некоторая плоскость, параллельная одной из них, перпендикулярна другой.

2. Две плоскости перпендикулярны. Тогда некоторая плоскость, перпендикулярная одной из них, параллельна другой.

3. Через некоторую прямую проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной плоскости.

4. Если две плоскости не перпендикулярны, то некоторые две пересекающиеся прямые (по одной в каждой из данных плоскостей) не перпендикулярны между собой.

5. Две плоскости взаимно перпендикулярны в том случае, когда через некоторую прямую проходит плоскость, перпендикулярная им обеим.

Тест 59. Перпендикулярные плоскости

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существуют взаимно перпендикулярные плоскости, которые:

1) проходят соответственно через две перпендикулярные прямые;

2) проходят соответственно через две параллельные прямые;

3) проходят соответственно через две пересекающиеся прямые;

4) проходят соответственно через две скрещивающиеся прямые;

5) соответственно перпендикулярны двум данным пересекающимся плоскостям.

Тест 60. Параллельные плоскости

СВОЙСТВО

Две плоскости параллельны. Из этого следует, что:

1) прямая, параллельная одной из них, будет параллельна и другой;

2) прямая, не перпендикулярная одной из них, будет не перпендикулярна и другой;

3) любая прямая, пересекающая эти плоскости, пересекает их под равными углами;

4) если плоскость не перпендикулярна одной из данных плоскостей, то она не перпендикулярна и другой из них;

5) расстояние между скрещивающимися прямыми, лежащими в этих плоскостях, одно и то же.

Тест 61. Параллельные плоскости

ПРИЗНАК

Плоскости аир параллельны, если:

1) прямая а лежит в плоскости а, прямая Ь лежит в плоскости ß и прямые а и b параллельны;

2) они параллельны одной и той же прямой;

3) существует плоскость, которая пересекает данные плоскости а и ß по параллельным прямым;

4) они перпендикулярны одной и той же плоскости;

5) каждая из них параллельна одной и той же паре скрещивающихся прямых.

Тест 62. Параллельные плоскости

ПРИЗНАК

Две плоскости параллельны, если:

1) существует плоскость, параллельная каждой из них;

2) найдется прямая, перпендикулярная каждой из них;

3) они перпендикулярны одной и той же плоскости;

4) существует плоскость, равноудаленная от них;

5) существует плоскость, которая пересекает обе данные плоскости под одним и тем же углом.

Тест 63. Параллельные плоскости

ПРИЗНАК

Плоскости аир параллельны, если:

1) существует плоскость, которая перпендикулярна двум данным плоскостям;

2) соответственные перпендикуляры к этим плоскостям параллельны между собой;

3) любая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает другую по прямой, параллельной первой прямой пересечения;

4) они удалены от третьей плоскости на одинаковое ненулевое расстояние;

5) нет такой прямой, которая перпендикулярна одной из них и не перпендикулярна другой.

Тест 64. Параллельные плоскости

ПРИЗНАК

Две плоскости параллельны, если:

1) они делят пространство на три части;

2) расстояние между ними не равно нулю;

3) угол между ними равен 0°;

4) они центрально-симметричны;

5) существует плоскость, относительно которой они симметричны.

Тест 65. Параллельные плоскости

ПРИЗНАК

Это утверждение верно:

1. Две плоскости параллельны тогда, когда существует прямая, параллельная каждой из них.

2. Две плоскости параллельны только в том случае, если есть прямая, параллельная каждой из них.

3. Две плоскости не параллельны, если ни одна из них не перпендикулярна данной прямой.

4. Две плоскости не параллельны, если нет плоскости, которая их пересекает по параллельным прямым.

5. Чтобы две плоскости были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы расстояние между ними было равно 1.

Тест 66. Параллельные плоскости

ПРИЗНАК

Две плоскости параллельны, если:

1) они пересекают данную плоскость по параллельным прямым;

2) для каждой прямой одной плоскости есть параллельная ей прямая в другой плоскости;

3) они пересекают данную прямую под равными углами;

4) каждая прямая, пересекающая одну из них, пересекает и другую;

5) их проекции на данную плоскость — параллельные прямые.

Тест 67. Параллельные плоскости

ПРИЗНАК

Это утверждение верно:

Тест 68. Параллельные плоскости

ПРИЗНАК

Некоторые плоскости а и ß параллельны, если они:

1) содержат соответственно пару параллельных прямых;

2) пересекают третью плоскость по параллельным прямым;

3) перпендикулярны одной и той же плоскости;

4) удалены от одной и той же плоскости на одно и то же ненулевое расстояние;

5) образуют равные углы с данной прямой.

Тест 69. Параллельные плоскости

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существуют две параллельные плоскости:

1) первая из которых содержит одну из двух данных скрещивающихся прямых, а вторая — другую из них;

2) первая из которых содержит одну из двух данных перпендикулярных прямых, а вторая — другую из них;

3) соответственно перпендикулярные двум данным пересекающимся прямым;

4) проекции которых на данную плоскость не являются параллельными прямыми;

5) симметричные относительно данной прямой.

Тест 70. Расстояние между параллельными плоскостями

ПОНЯТИЕ

Расстояние между двумя параллельными плоскостями — это:

1) перпендикуляр из точки одной плоскости на другую;

2) наименьшее расстояние между точками этих плоскостей;

3) расстояние от прямой одной из этих плоскостей до другой плоскости;

4) расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, из которых первая лежит в одной из данных плоскостей, а вторая — в другой из них;

5) расстояние между двумя фигурами, из которых первая лежит в одной из данных плоскостей, а вторая — в другой из них.

Тест 71. Прямая и плоскость

РАССТОЯНИЯ И УГЛЫ

В пространстве расположены три отрезка: CA, AB, BD. Длины АС и BD равны 1, длина AB равна а. При этом отрезки АС и BD перпендикулярны отрезку AB. Тогда:

1) АС параллелен BD;

2) при любом a CD > 2;

3) существует такое значение а, при котором CD перпендикулярен AB;

4) при любом значении а угол между CD и плоскостью ABD равен углу между CD и плоскостью ABC;

5) найдется такое значение CD, что плоскости АБС и DBC перпендикулярны.

Тест 72. Угол между плоскостями

ПОНЯТИЕ

Угол между пересекающимися плоскостями — это:

1) угол между прямыми, перпендикулярными их общей прямой;

2) угол между лучами с началом на их общей прямой, причем один из них лежит в первой из данных плоскостей, а другой — во второй из данных плоскостей;

3) угол между прямыми, соответственно перпендикулярными данным плоскостям;

4) угол между прямой одной из этих плоскостей и ее ортогональной проекцией на другую плоскость;

5) часть пространства, ограниченная этими плоскостями.

Тест 73. Взаимное положение двух плоскостей

ПРИЗНАК

Существует, и притом единственная, плоскость, которая:

1) параллельна данной плоскости и проходит через данную прямую, не лежащую в данной плоскости;

2) перпендикулярна данной плоскости и проходит через данную прямую, не перпендикулярную данной плоскости;

3) образует с данной плоскостью заданный угол и проходит через данную прямую;

4) перпендикулярна каждой из двух данных пересекающихся плоскостей и проходит через данную точку, не лежащую в данных плоскостях;

5) образует с каждой из двух пересекающихся плоскостей равные углы.

Тест 74. Расстояние от точки до фигуры

ПОНЯТИЕ

Расстояние от точки А до фигуры F (At F) — это:

1) наименьшее из расстояний от точки А до точек фигуры F;

2) самый короткий отрезок, соединяющий точку А с фигурой F;

3) радиус наименьшей окружности с центром в точке А, имеющей с границей фигуры F единственную общую точку;

4) радиус наименьшего шара с центром в точке А, имеющего с фигурой F общую точку;

5) длина перпендикуляра, проведенного из А на плоскость, в которой лежит фигура F, если фигура F плоская.

Тест 75. Расстояние от точки до фигуры

ПОНЯТИЕ

Расстояние АХ от точки А до фигуры F больше 1, если:

1) ЗХе F:AX> 1;

2) VX Е F: АХ = 2;

3) не существует такой точки X фигуры F, что АХ < 1;

4) круг с центром А и радиусом 1 не имеет с фигурой F общих точек;

5) шар радиусом 1 с центром в точке, принадлежащей фигуре F у не содержит точку А.

Тест 76. Расстояния

СРАВНЕНИЕ

К плоскости а провели перпендикуляры АК и BL, причем точки К и L лежат в плоскости a, a точки А и В лежат с разных сторон от а. Тогда:

1) расстояние от А до прямой BL равно расстоянию от В до прямой АК;

2) если BL > АК, то KB > AL;

3) если АК =1, BL = 2, то AB > 3;

4) если АК = 10, a BL = 20, то расстояние от середины отрезка AB до плоскости а больше 4;

5) если BL > АК, то расстояние от К до прямой AB меньше, чем расстояние от L до прямой AB.

Тест 77. Расстояния и углы

СРАВНЕНИЕ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ

Плоскости двух треугольников АБС и ABD перпендикулярны. Стороны АС, СБу BD у DA равны 1. Тогда верны такие утверждения:

1) CK = DL у где точка К — середина AD, точка L — середина ВС;

2) CA перпендикулярна AD;

3) угол между прямой АС и плоскостью ABD равен углу между прямой BD и плоскостью ABC;

4) CD> 1;

5) плоскости ACD и BCD не взаимно перпендикулярны.

Тест 78. Расстояния и углы

ЗАВИСИМОСТЬ ОТ УГЛА

ABCD и ABKL — два квадрата, не лежащие в одной плоскости. /LCBK = ос. Тогда верно следующее:

1) при любом угле a DK = CL;

2) если а — тупой угол, то ZJCAK < 90 ;

3) существует такой угол а, при котором PQ=AB, где точки Р и Q — центры данных квадратов;

4) существует такой угол а, при котором АСМК = 90°, где точка M лежит внутри отрезка AB;

5) при любом угле a PQ перпендикулярен AB, где точки Р и Q — центры данных квадратов.

Тест 79. Расстояния и углы

ЗАВИСИМОСТЬ ОТ РАССТОЯНИЯ

ABCD — квадрат со стороной 1. Точка К такая, что КА = = КВ = а > 0,5. Плоскость АКБ перпендикулярна плоскости ABC. Тогда:

1) при любом значении а КС = KD;

2) существует такое значение а, при котором угол АКС тупой;

3) при любом значении а АК и AD перпендикулярны;

4) при любом значении а угол между прямой CK и плоскостью АКБ равен углу между прямой DK и плоскостью АКБ;

5) при а= 1 угол между плоскостями CKD и АБС больше 45°.

Тест 80. Трехгранный угол

СВОЙСТВО

В трехгранном угле:

1) если есть два плоских прямых угла, то есть два прямых двугранных угла;

2) если есть прямой двугранный угол, то есть и прямой плоский угол;

3) если все плоские углы в трехгранном угле равны, то углы между биссектрисами его плоских углов острые;

4) если все плоские углы прямые, то луч, выходящий из вершины трехгранного угла, проходящий внутри этого угла и образующий углы, равные 30°, с двумя ребрами трехгранного угла, образует с третьим ребром трехгранного угла острый угол;

5) если все плоские углы прямые, то внутри его плоских углов не может быть лучей с началом в вершине трехгранного угла и взаимно перпендикулярных.

Тест 81. Шар

СВОЙСТВО

В каждом шаре:

1) для каждой параллели найдется большая параллель;

2) для каждой параллели найдется меньшая параллель;

3) найдутся на его поверхности такие пять точек, что все они равноудалены между собой;

4) из каждой точки его поверхности выходят три его равные и попарно перпендикулярные хорды;

5) можно разместить четыре равные сферы, каждая из которых касается сферы данного шара и трех остальных сфер.

Тест 82. Шар

СВОЙСТВО

Это утверждение верно:

1. Существует сечение шара, наименьшее по площади.

2. Чем дальше от центра шара находится сечение, тем оно больше.

3. Для каждого сечения шара можно найти равное ему и перпендикулярное ему.

4. Для каждой хорды шара можно найти равную ей и перпендикулярную ей.

5. На поверхности шара можно найти шесть таких точек, что 12 расстояний между точками равны.

Тест 83. Шар

СВОЙСТВО

Это утверждение верно:

1. Круговые сечения шара равны, если они равноудалены от данной точки на сфере этого шара.

2. Круговые сечения шара равны, если их плоскости образуют с плоскостью данного на этом шаре экватора равные углы.

3. Круговые сечения шара равны, если они равноудалены от данного большого круга этого шара.

4. Хорды шара равны, если из одной и той же точки на этой сфере они видны под равными углами.

5. Если данная хорда сферыо видна из данной на этой сфере точки под углом 40\ то точка, из которой эта хорда видна под углом 140° также находится на этой сфере.

Тест 84. Шар

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ К СФЕРЕ

Касательная плоскость к сфере — это:

1) плоскость, имеющая с этой сферой единственную общую точку;

2) плоскость, перпендикулярная к радиусу этой сферы в его конце;

3) плоскость, опорная к данной сфере;

4) плоскость, удаленная от центра сферы на расстояние, равное радиусу этой сферы;

5) плоскость, перпендикулярная к диаметру данной сферы.

Тест 85. Шар

СЕЧЕНИЯ

В шаре радиуса 2:

1) площадь большого круга больше чем 12;

2) площадь сечения, удаленного от центра на 1, меньше чем 10;

3) площадь сечения, составляющего с плоскостью большого круга угол 60°, больше чем 1;

4) существует сечение, площадь которого численно равна длине окружности этого сечения;

5) существуют два взаимно перпендикулярных сечения, суммарная площадь которых равна 20.

Тест 86. Шар

ПРИЗНАК

Пространственная фигура является шаром, если:

1) все ее точки равноудалены от данной точки на расстояние, меньшее чем 1;

2) она является множеством точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом;

3) она является объединением всевозможных концентрических сфер, радиус которых не больше 1;

4) она имеет центр симметрии и бесконечное множество плоскостей симметрии;

5) ее уравнение: х2 + у2 + г2 < х+ у + г.

Тест 87. Шар

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существует сфера, которая:

1) проходит через три некоторые точки;

2) касается всех граней некоторого выпуклого трехгранного угла;

3) касается всех граней некоторого выпуклого четырехгранного угла;

4) с некоторой другой сферой имеет общий диаметр;

5) касается трех некоторых сфер.

Тест 88. Шар

ОБЪЕМ

Это утверждение верно:

1. Объем шара является пределом последовательности объемов вписанных в него многогранников при стремлении числа их вершин к бесконечности.

2. Объем шара — это число, которое больше объема любого вписанного в него многогранника и меньше объема любого описанного около него многогранника.

3. Объем шара пропорционален площади его сферы.

4. Объем шара — это первообразная от его площади поверхности.

5. Объем шара — число иррациональное.

Тест 89. Шар

ОБЪЕМ

Верно, что:

1) радиус шара пропорционален кубическому корню из его объема;

2) если ребро куба больше 1, то объем описанного около него шара больше 4;

3) чем больше объем шара, тем больше объем правильного тетраэдра, вписанного в него;

4) если даны шары радиусами Rx и Д2, причем R2 = 2RX, то объем большего шара меньше семи объемов меньшего шара;

5) если даны шары радиусами Rx и R2 с объемами Vx и V2

соответственно и V2 > 2Уг, то

Тест 90. Шар

ОБЪЕМ

Объем шара больше 10, если:

1) радиус шара больше 2;

2) он описан около прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 2 и 1;

3) площадь его поверхности больше 10;

4) он задается условием х2 + y2 + z2<l;

5) он вписан в правильный тетраэдр с ребром 9.

Тест 91. Шар

ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ

Это утверждение верно:

1. Площадь сферы — это предел последовательности площадей правильных многогранников, вписанных в эту сферу, при неограниченном удвоении числа их граней.

2. Площадь сферы — это предел последовательности площадей гс-гранников, вписанных в эту сферу, при п —► оо.

3. Площадь сферы — это предел последовательности площадей правильных многогранников, описанных около этой сферы, при неограниченном увеличении числа их граней.

4. Площадь сферы — это предел последовательности площадей лг-гранников, описанных около этой сферы, при п —* оо.

5. Площадь сферы — это производная от объема ее шара по радиусу.

Тест 92. Шар

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

Это утверждение верно:

1. Если радиус шара больше 2, то объем этого шара меньше 14.

2. Существует такой шар, у которого объем численно равен площади его сферы.

3. Если объем шара больше 10, то объем вписанного в него куба больше 10.

4. Если радиус сферы больше 2, то ее хорда, удаленная от центра сферы на расстояние 1, больше чем 3.

5. Если радиус шара равен 2, то площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, расположенного в этом шаре, не больше 40.

Тест 93. Шар

ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ

Это утверждение верно:

1. Радиус сферы пропорционален квадратному корню из ее площади.

2. Площадь сферы пропорциональна ее объему.

3. Отношение квадрата объема шара к кубу площади его поверхности не зависит от радиуса шара.

4. Площадь поверхности шара в два раза больше площади поверхности полушара данного шара.

5. При увеличении площади сферы увеличивается площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, вписанной в эту сферу.

Тест 94. Шар

РАВЕНСТВО

Два шара равны, если:

1) объем первого шара равен я, площадь сферы второго шара равна 2л;

2) каждый из этих шаров касается двух противоположных граней одного и того же прямоугольного параллелепипеда;

3) одна сфера описана около правильной треугольной пирамиды, в которой ребро основания равно 1, а высота равна 2; другая сфера описана около правильной треугольной пирамиды, в которой ребро основания равно 2, а высота равна 1;

4) одна сфера вписана в правильную треугольную пирамиду, в которой ребро основания равно 1, а высота равна 2; другая сфера вписана в правильную треугольную пирамиду, в которой ребро основания равно 2, а высота равна 1;

5) одна сфера вписана в фигуру, которая задается условием X2 - 1 < 0, г/2 - 1 < О, г2 - 1 < 0; другая сфера описана около фигуры, которая задается условием

Тест 95. Цилиндр

СВОЙСТВА

Это утверждение верно:

1. Бесконечная цилиндрическая поверхность — это множество прямых, удаленных от данной прямой на данное расстояние.

2. Если оси двух бесконечных цилиндров параллельны и эти цилиндры не имеют общих точек, то существуют две плоскости, опорные к каждому из цилиндров.

3. Если дан квадрат, то найдется такой цилиндр, проекцией которого на плоскость квадрата будет этот квадрат.

4. На поверхности цилиндра вращения есть точка, из которой диаметр цилиндра (диагональ осевого сечения) виден под острым углом.

5. Цилиндр вращения без какой-либо своей точки имеет конечное число элементов симметрии.

Тест 96. Цилиндр*

СЕЧЕНИЯ

Это утверждение верно:

1. Два прямоугольных сечения цилиндра равны тогда и только тогда, когда они равно отстоят от его оси.

2. В любом цилиндре есть два равновеликих сечения, одно из которых параллельно его оси, а другое перпендикулярно ей.

3. Наибольшее по площади сечение цилиндра проходит через его центр симметрии.

4. Существует сечение цилиндра, являющееся трапецией.

5. Если осевое сечение цилиндра — квадрат, то его площадь больше площади основания цилиндра.

Тест 97. Цилиндр

СЕЧЕНИЯ

Диаметр основания цилиндра равен его образующей и равен 2. В таком цилиндре: 1) площадь осевого сечения больше чем 3;

* В дальнейшем рассматривается цилиндр вращения.

2) существует прямоугольное сечение, площадь которого равна 4;

3) площадь сечения, параллельного основанию, меньше чем 3;

4) наибольшая площадь сечения, являющегося эллипсом, больше чем 5;

5) площадь сечения, проходящего через диаметр основания и середину любой образующей его поверхности, больше чем 2.

Тест 98. Цилиндр

СВОЙСТВА

В цилиндре:

1) наибольшим по площади прямоугольным сечением является осевое;

2) существует наибольшее по площади эллиптическое сечение;

3) каждая его плоскость симметрии содержит его ось вращения;

4) существует четыре разных по виду сечения, отличные от точки и отрезка;

5) его диаметр (диагональ осевого сечения) проходит через его центр симметрии.

Тест 99. Цилиндр

ОБЪЕМ

Объем некоторого цилиндра больше 10, если:

1) радиус его основания больше 1 и его высота больше 1;

2) радиус его основания меньше 1 и его высота меньше 1;

3) его осевым сечением является квадрат со стороной 3;

4) диагональ его осевого сечения равна 4 и составляет с основанием угол, меньший чем 30°;

5) он вписан в сферу диаметром 2.

Тест 100. Цилиндр

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ

Это утверждение верно:

1) Существует цилиндр, у которого площадь боковой поверхности равна площади основания.

2) При увеличении радиуса основания цилиндра в два раза мы можем увеличить площадь его поверхности в два раза, не меняя его образующей.

3) Если первый цилиндр имеет больший объем, чем второй, то и площадь его поверхности больше.

4) Отношение площади поверхности цилиндра к площади его боковой поверхности может быть любым числом, большим чем 1.

5) Если диаметр (диагональ осевого сечения) цилиндра меньше 1, то площадь его поверхности меньше чем 5.

Тест 101. Цилиндр

ОБЪЕМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ

Это утверждение верно:

1. Если прямоугольник вращать вокруг каждой из его сторон, то большей его стороне соответствует больший объем полученного тела вращения.

2. Если известны площади двух взаимно перпендикулярных сечений цилиндра, проходящих через одну и ту же образующую его поверхности, то можно вычислить площадь его боковой поверхности.

3. Существуют два таких неравных цилиндра, что равны отношения их объемов и площадей поверхностей.

4. Зная две первые из трех величин: объем, площадь боковой поверхности, площадь поверхности, можно найти третью.

5. Если осевое сечение цилиндра — квадрат со стороной 1, то расстояние по боковой поверхности между его противоположными вершинами больше 3.

Тест 102. Призма

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существует призма, в которой:

1) 15 вершин;

2) 20 ребер;

3) 2000 граней;

4) одна плоскость симметрии;

5) совпадают центры вписанной и описанной сфер.

Тест 103. Правильная призма

СВОЙСТВО

В правильной треугольной призме:

1) есть точка, равноудаленная от всех граней;

2) существует сечение, являющееся пятиугольником;

3) диагональ боковой грани составляет равные углы с другими боковыми гранями;

4) расстояние между диагональю боковой грани и скрещивающимся с ним ребром основания может равняться боковому ребру;

5) угол между скрещивающимися диагоналями боковых граней может быть прямым.

Тест 104. Правильная призма

СВОЙСТВО

Имеется правильная четырехугольная призма. Два ребра ее основания равны 1, а боковое ребро равно а. Она является кубом, если: 1)а = 1;

2) диагональ равна V3 ;

3) объем равен 2;

4) радиус описанной сферы равен 0,5v2;

5) радиус вписанной сферы равен 0,5.

Тест 105. Правильная призма

СВОЙСТВО

В некоторой правильной призме:

1) есть тупой двугранный угол;

2) есть центр симметрии;

3) есть точка, равноудаленная от всех вершин;

4) есть точка, равноудаленная от всех граней;

5) есть точка, равноудаленная от всех ребер.

Тест 106. Правильная призма

СВОЙСТВО

В любой правильной я-угольной призме:

1) при п четном найдутся две параллельные боковые грани;

2) при п нечетном (п > 3) найдутся две перпендикулярные боковые грани;

3) существует точка, равноудаленная от всех ребер;

4) нет точки, равноудаленной от всех граней;

5) имеется п плоскостей симметрии.

Тест 107. Правильная призма

ПРИЗНАК

Призма является правильной, если:

1) она треугольная и ее перпендикулярное сечение — правильный треугольник;

2) она треугольная и все диагонали ее боковых граней равны;

3) она четырехугольная и имеет одну плоскость симметрии;

4) она четырехугольная и все диагонали ее равны;

5) все ее ребра равны.

Тест 108. Параллелепипед

СВОЙСТВО

Это утверждение верно:

1. В любом параллелепипеде диаметром является его диагональ.

2. Существует параллелепипед, у которого две плоскости симметрии.

3. Существует наклонный параллелепипед, одно из диагональных сечений которого является квадратом.

4. Из всех правильных призм только куб имеет взаимно перпендикулярные диагональные сечения.

5. Вписать сферу можно не только в такой параллелепипед, который является прямоугольным.

Тест 109. Параллелепипед

СВОЙСТВО И ПРИЗНАК

Это утверждение верно:

1. Существует наклонный параллелепипед, четыре грани которого являются прямоугольниками.

2. Существует наклонный параллелепипед, в котором проекцией одной из его диагоналей является диагональ основания.

3. Описать сферу можно не только около такого параллелепипеда, который является прямоугольным.

4. В прямом параллелепипеде все диагональные сечения — прямоугольники.

5. Наклонный параллелепипед можно разделить плоскостью на такие две части, из которых можно составить прямой параллелепипед.

Тест 110. Параллелепипед

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ

ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. Его диагонали пересекаются в точке О. Верны такие равенства:

Тест 111. Параллелепипед

ПРИЗНАК

Многогранник M является параллелепипедом, если:

1) все его грани — параллелограммы;

2) у него есть центр симметрии и для каждой грани есть ей параллельная;

3) одной плоскостью его можно разбить на два параллелепипеда;

4) он является четырехугольной призмой, в которую можно вписать сферу или около которой можно описать сферу;

5) параллельными переносами этого многогранника можно заполнить все пространство без пустот. (При этом любые два многогранника такого заполнения не имеют общих внутренних точек.)

Тест 112. Параллелепипед

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существует наклонный параллелепипед, у которого:

1) есть плоскость симметрии;

2) три грани, имеющие общую вершину параллелепипеда, есть ромбы, не равные между собой;

3) высоты, проведенные из одной и той же вершины, равны;

4) все диагональные сечения — ромбы;

5) одна пара взаимно перпендикулярных диагональных сечений.

Тест 113. Прямоугольный параллелепипед

СВОЙСТВО

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами 1, 1, 2:

1) существует сечение, являющееся трапецией;

2) есть точка, равноудаленная от середин всех ребер;

3) есть точка, равноудаленная от всех граней;

4) нет такой точки, из которой все его ребра видны одинаково;

5) найдутся взаимно перпендикулярные скрещивающиеся диагонали соседних граней.

Тест 114. Прямоугольный параллелепипед

СВОЙСТВО

ABCDA1B1C1D1 — некоторый прямоугольный параллелепипед. В нем ребро AB равно 1, ребро AD равно 1, ребро ААХ равно а.

В таком параллелепипеде:

1) сечение плоскостью ABXD является равнобедренным треугольником ;

2) сечение плоскостью CDAX является прямоугольным треугольником;

3) сечение плоскостью DAlC1 является равносторонним треугольником;

4) если диагональ равна V2 , то сечение плоскостью АВ1С1 является прямоугольником;

5) диагонали пересекаются под прямым углом.

Тест 115. Прямоугольный параллелепипед

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ

Это утверждение верно:

1. В любом прямоугольном параллелепипеде можно получить квадратное сечение.

2. В прямоугольном параллелепипеде, ребра которого различны по длине, можно получить в сечении как равнобокую трапецию, так и неравнобокую.

3. Чтобы параллелепипед был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы он имел хотя бы две плоскости симметрии.

4. Все диагонали равны только в таком параллелепипеде, который является прямоугольным.

5. Есть такой прямоугольный параллелепипед, у которого пять плоскостей симметрии.

Тест 116. Куб

БЛИЖАЙШИЕ ТОЧКИ

Точки Р и Q являются ближайшими для фигур M и N, принадлежащих данному кубу ABCDA^B^C^D^ если:

1) M — грань AAXBXB9 N — грань i)D1C1C, Р — середина ребра АгВ19 Q — середина ребра DxCl9

2) M — диагональ АВ19 N — диагональ DXC9 Р — вершина Bl9 Q — вершина Dx;

3) M — диагональ B1D1, N — диагональ АС, Р — середина BrDl9 Q — середина АС;

4) M — диагональ AB1? N — диагональ A^D, P — середина АБ1? Q — середина AXD;

5) M — диагональ AB1? N — ребро DDl9 P — середина ABX, Q — середина DDX.

Тест 117. Куб

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ и до плоскости

Для куба ABCDAlBlClDl верно утверждение:

1. Расстояние от точки С до плоскости AB1D1 больше расстояния от точки А до плоскости CBXD.

2. Расстояние от точки А до плоскости CBXD больше расстояния от точки В до прямой BtD.

3. Расстояние от точки В до прямой BXD больше расстояния от точки С до прямой A1jD1.

4. Расстояние от точки С до прямой A1D1 больше расстояния от точки Сг до прямой AXD.

5. Расстояние от точки Сх до прямой AXD больше расстояния от точки С до плоскости ABXDX.

Тест 118. Куб

РАССТОЯНИЕ ОТ ПРЯМОЙ ДО ПЛОСКОСТИ

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Расстояние от прямой а до плоскости а равно расстоянию от прямой Ъ до плоскости а, если:

Тест 119. Куб

РАССТОЯНИЕ ОТ ПРЯМОЙ ДО ПЛОСКОСТИ.

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Расстояние от прямой а до плоскости а равно расстоянию от а до плоскости В, если:

Тест 120. Куб

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Расстояние между прямыми а и Ь больше 1, если:

Тест 121. Куб

УГЛЫ

В кубе ABCDA1B1C1D1 ос> ^, если а — угол между:

1) прямыми ВгК и CD, где К — центр грани ABCD:

2) прямой KL и плоскостью CDDl9 где К — середин L — середина ВгСг;

3) прямой BDX и плоскостью ADBX\

4) плоскостями KLM и PMN, где К — середина АгВ середина ВгС19 M — середина ВВг, N — середин Р — середина ВС;

5) плоскостями DKBl и DXKB, где К — середина АА

Тест 122. Куб

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ и плоскостью

Дан куб ABCDA1B1C1D1. а > ß, если:

Тест 123. Куб

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Дан куб ABCDAiBiC.D,. а > f, если:

Тест 124. Куб

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ABCDA1B1C1D1 — куб с ребром 2.

Скалярное произведение векторов et и b больше 1, если:

Тест 125. Куб

СВОЙСТВА

В кубе с ребром 1:

1) можно уместить отрезок длиной 1,7;

2) угол между диагональю и гранью больше 30°;

3) расстояние между скрещивающимися ребрами соседних граней больше чем 0,5;

4) найдется сечение площадью, большей чем 2;

5) найдется сечение, которое является правильным пятиугольником.

Тест 126. Куб

ХАРАКТЕРНОЕ СВОЙСТВО

Утверждение «Многогранник является кубом» равносильно следующему:

1. В этом многограннике все грани — квадраты.

2. В этом параллелепипеде все диагонали равны.

3. В этот шестигранник можно вписать сферу и около него можно описать сферу.

4. Этот многогранник — параллелепипед, в котором не меньше четырех плоскостей симметрии.

5. Существуют такие три попарно перпендикулярные плоскости, на каждую из которых этот многогранник проектируется в виде квадрата.

Тест 127. Куб

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существует куб, вершины которого находятся:

1) на ребрах другого куба;

2) на поверхности цилиндра;

3) на поверхности конуса вращения;

4) на ребрах октаэдра;

5) на двух концентрических сферах.

Тест 128. Куб

СЕЧЕНИЕ

В кубе проведено некоторое сечение. Если оно:

1) содержит хотя бы три его вершины, то оно треугольник или квадрат;

2) проходит параллельно его ребру, то оно квадрат;

3) квадрат, то параллельно какому-то его ребру;

4) проходит через его центр симметрии, то оно не трапеция;

5) параллельно трем попарно скрещивающимся диагоналям его граней, то оно не квадрат.

Тест 129. Призма

ОБЪЕМ

Объем некоторой призмы больше 5, если этой призмой является:

1) куб с диагональю 3;

2) прямоугольный параллелепипед с диагональю 2, которая с боковым ребром составляет угол, больший чем 45°;

3) прямой параллелепипед, у которого каждое ребро равно 2;

4) наклонный параллелепипед, у которого все грани — равные ромбы со стороной 2;

5) правильная треугольная призма с равными ребрами, причем ребро больше чем 2, но меньше чем 3.

Тест 130. Конус*

СВОЙСТВО

Это утверждение верно:

1. Чем дальше от центра основания находится сечение конуса, тем меньше его площадь.

2. Разверткой конической поверхности является полукруг тогда и только тогда, когда его осевым сечением является равносторонний треугольник.

* В дальнейшем рассматривается конус вращения.

3. Через прямую, не имеющую с конусом общих точек, можно провести к нему опорную плоскость, проходящую через образующую его поверхности.

4. Существует единственный конус, описанный около правильного тетраэдра.

5. Конус без точки внутри его имеет конечное число элементов симметрии.

Тест 131. Конус

СВОЙСТВО

Это утверждение верно:

1. В каждом конусе есть равновеликие круговое и треугольное сечения.

2. Сечения конуса равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от центра основания.

3. Существует конус, в котором совпадают центры описанной около него сферы и вписанной в него сферы.

4. Если вершина конуса находится на ребре двугранного угла, а две образующие его поверхности лежат в гранях этого угла, то через эти образующие проходит осевое сечение этого конуса.

5. Если на плоскости находится равнобедренный треугольник, то существует конус, для которого треугольник является проекцией конуса на эту плоскость.

Тест 132. Конус

СВОЙСТВО

Диаметр основания конуса равен образующей его поверхности и равен 2. В таком конусе:

1) площадь осевого сечения больше чем 1,5;

2) существует сечение, параллельное основанию, площадь которого равна 1;

3) существует сечение, проходящее через вершину конуса, площадь которого меньше чем 0,01;

4) наибольшая площадь треугольного сечения равна 2;

5) существует сечение, площадь которого равна 4.

Тест 133. Конус

СВОЙСТВО

В конусе:

1) наибольшим по площади треугольным сечением является осевое;

2) существует наибольшее по площади эллиптическое (не круговое) сечение;

3) каждая его плоскость симметрии содержит его ось вращения;

4) существует шесть разных по виду сечений, отличных от точки и отрезка;

5) его диаметр (наибольший отрезок, который в нем находится) лежит на его поверхности.

Тест 134. Конус

ОБЪЕМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ

Рассматриваются два конуса с объемами V2 и Vv Радиусы их оснований соответственно равны R2 и Rl9 высоты — Н2 и Н19 образующие поверхности — L2 и Ll9 углы, которые они составляют с плоскостью оснований, — ф2 и фх, площади их осевых сечений — S2 и Sx. V2 > Vl9 если:

1) R2 = 2R19 H2 = 0,5Нг;

2) L2 > L\, R2 > R\\

3) S2 > Sx;

4) первый конус (с индексом 1) описан около сферы радиуса R, а второй конус описан около сферы радиуса — ;

5) L2 = Ll9 а ф2 > фх.

Тест 135. Конус

ОБЪЕМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ

Это утверждение верно:

1. Существует конус, у которого площадь боковой поверхности равна площади основания.

2. Если разверткой боковой поверхности конуса является полукруг, то площадь его поверхности в полтора раза больше площади его боковой поверхности.

3. Увеличив радиус основания в два раза и образующую поверхности конуса в два раза, мы увеличиваем площадь поверхности конуса в два раза.

4. Если первый конус имеет больший объем, чем второй, то и площадь его поверхности больше.

5. Если радиус основания конуса равен 1, то отношение площади поверхности конуса к его объему больше чем п.

Тест 136. Конус

ОБЪЕМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ

Это утверждение верно:

1. Если прямоугольный треугольник вращать около каждого из катетов, то больший объем получается при вращении около большего из катетов.

2. Чем больше угол при вершине осевого сечения конуса, тем больше площадь его поверхности (при постоянной образующей его поверхности).

3. Чем больше площадь осевого сечения конуса, тем больше его объем (при постоянной образующей его поверхности).

4. Если один конус описан около правильного тетраэдра, а другой вписан в этот тетраэдр, то отношение площади боковой поверхности первого конуса к боковой поверхности второго больше, чем соответствующее отношение их объемов.

5. Существуют два неравных конуса, у которых равны соответственно высоты, объемы и площади боковых поверхностей.

Тест 137. Усеченный конус

СВОЙСТВО

Это утверждение верно:

1. Если сечение усеченного конуса проходит через две параллельные хорды его оснований, то оно является трапецией.

2. Отношение площади боковой поверхности усеченного конуса к площади его осевого сечения может быть сколь угодно большим.

3. Если конус разбить на три части двумя плоскостями, параллельными его основанию и делящими высоту на три равные части, то площадь боковой поверхности средней части равна ~ площади боковой поверхности конуса, а объем средней части больше ^ объема конуса.

4. Если два неравных усеченных конуса имеют соответственно равные большие и меньшие основания, то отношение площадей их боковых поверхностей равно соответствующему отношению их объемов.

5. Если центр сферы, описанной около усеченного конуса, лежит на большем его основании, то в этот усеченный конус нельзя вписать сферу.

Тест 138. Пирамида

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существует пирамида, в которой:

1) 999 ребер;

2) граней больше, чем вершин;

3) самое короткое боковое ребро равно ее высоте;

4) центр описанной сферы — середина бокового ребра;

5) центр вписанной сферы не лежит в плоскости ее симметрии.

Тест 139. Пирамида

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существует пирамида:

1) треугольная, в которой больше трех прямых двугранных углов;

2) четырехугольная, в которой противоположные боковые грани (одна пара) перпендикулярны основанию;

3) шестиугольная, в которой все боковые грани — равносторонние треугольники;

4) пятиугольная, в которой есть сечение, являющееся шестиугольником;

5) в которой есть ребро основания, перпендикулярное двум ее граням.

Тест 140. Правильная треугольная пирамида

СВОЙСТВО

В правильной треугольной пирамиде ребро основания равно a, a боковое ребро равно Ь. Тогда:

1) при любых а и Ъ все двугранные углы этой пирамиды острые;

2) для любого значения а можно найти такое значение b, что боковое ребро этой пирамиды перпендикулярно той боковой ее грани, которой оно не принадлежит;

3) есть такое значение а, что при любом значении Ъ расстояние между скрещивающимися ребрами этой пирамиды меньше 1;

4) есть такие значения а и Ь, при которых разверткой поверхности этой пирамиды является равносторонний треугольник;

5) нет таких значений а и Ь, при которых проекцией этой пирамиды является квадрат.

Тест 141. Правильная треугольная пирамида

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

В правильной треугольной пирамиде РАВС все углы при вершине Р прямые. В этой пирпмиде а > 45°, если: 1) а = Z_(ABP), (СВР);

Тест 142. Правильная треугольная пирамида

ПРИЗНАК

Треугольная пирамида является правильной, если:

1) ее плоские углы равны между собой;

2) каждая ее грань — равнобедренный треугольник;

3) ее противоположные ребра попарно перпендикулярны;

4) плоскости боковых граней составляют равные углы с плоскостью основания;

5) у нее две плоскости симметрии.

Тест 143. Правильный тетраэдр

СВОЙСТВО

В правильном тетраэдре с ребром 1:

1) угол между скрещивающимися ребрами больше 60°;

2) угол между гранями больше 45°;

3) объем меньше 0,1;

4) радиус описанного шара больше чем 0,5;

5) расстояние между скрещивающимися ребрами больше чем 0,5.

Тест 144. Правильный тетраэдр

ПРИЗНАК

Правильная треугольная пирамида ABCD (основание — ABC) является правильным тетраэдром, если:

1. ADAC = 60°;

2. угол между прямыми AD и ВС прямой;

3. угол между DC и плоскостью ABC равен 45°;

4. угол между плоскостями DAC и ABC равен arccos

5. углы между ее скрещивающимися ребрами равны между собой.

Тест 145. Правильный тетраэдр

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существует правильный тетраэдр, вершины которого лежат на:

1) данной плоскости и какой-либо перпендикулярной ей прямой;

2) двух данных скрещивающихся прямых;

3) поверхности данного правильного тетраэдра;

4) поверхности данного куба;

5) двух концентрических сферах.

Тест 146. Тетраэдр

СВОЙСТВО

В тетраэдре ABCD взаимно перпендикулярны (DB) и (ABC). В этом тетраэдре может быть, что:

1) все грани — прямоугольные треугольники;

2) наименьшая по площади грань — ACD;

3) AD _L ВС;

4) есть тупой двугранный угол;

5) есть две плоскости симметрии.

Тест 147. Тетраэдр

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существует тетраэдр, в котором:

1) каждая грань является прямоугольным треугольником;

2) одно из сечений является квадратом;

3) есть ось симметрии, но он не является правильным;

4) совпадают центры вписанной и описанной сфер, но он не является правильным;

5) все высоты имеют общую точку.

Тест 148. Тетраэдр

ОПИСАННАЯ СФЕРА

Это утверждение верно:

1. Центр сферы, описанной около тетраэдра, находится в этом тетраэдре.

2. Сфера является описанной около тетраэдра, если она наименьшая из всех сфер, содержащих этот тетраэдр.

3. Сфера является описанной около куба, если она описана около правильного тетраэдра, вершины которого находятся в вершинах этого куба.

4. Сфера является описанной около правильного тетраэдра, если ее центр находится в точке пересечения биссекторов его двугранных углов.

5. Существует тетраэдр, у которого радиус описанной сферы равен каждому его ребру.

Тест 149. Тетраэдр

ВПИСАННАЯ СФЕРА

Существует тетраэдр, отличный от правильного, в котором:

1) центр вписанной в него сферы лежит на его высоте;

2) центр вписанной в него сферы проектируется в центр окружности, описанной около одной из его граней;

3) центр вписанной в него сферы лежит в середине высоты;

4) центр вписанной в него сферы ближе к какой-либо его вершине, чем к противоположной ей грани;

5) радиус вписанной сферы равен половине какого-либо его ребра.

Тест 150. Тетраэдр

ОБЪЕМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ

Это утверждение верно:

1. Существует тетраэдр, у которого площадь поверхности равна 1 км2, а объем равен 1 мм3.

2. Существует тетраэдр, у которого площадь поверхности равна 1 см2, а объем равен 1 см3.

3. Если пять ребер тетраэдра равны 1, то его наибольшая площадь поверхности достигается тогда, когда достигает наибольшего значения его объем.

4. Если вершины тетраэдра находятся в центрах масс граней другого тетраэдра, то отношение объемов этих тетраэдров равно соответственному отношению площадей их поверхностей.

5. Если три ребра тетраэдра, выходящие из одной его вершины, равны 1, то его объем не больше —, а площадь поверхности не больше чем 3,5.

Тест 151. Правильная четырехугольная пирамида

УГЛЫ

PABCD — правильная четырехугольная пирамида с вершиной Р, в которой все ребра равны. В этой пирамиде:

Тест 152. Правильная четырехугольная пирамида

РАССТОЯНИЕ

PABCD — правильная четырехугольная пирамида с вершиной Р, в которой каждое ребро равно 2. В ней:

1) больше 1 расстояние от точки А до прямой PC;

2) больше 1 расстояние от точки С до плоскости BPD;

3) больше 2 расстояние от прямой AD до плоскости РВС;

4) меньше 2 расстояние от прямой CD до прямой РХУ где точка X лежит на прямой AB;

5) больше 1 расстояние от плоскости PDC до плоскости, параллельной плоскости PDC и проходящей через центр основания.

Тест 153. Правильная четырехугольная пирамида

СУЩЕСТВОВАНИЕ

Существует правильная четырехугольная пирамида, в которой:

1) все двугранные углы равны;

2) есть пара взаимно перпендикулярных ребер;

3) есть пара взаимно перпендикулярных граней;

4) точка, равноудаленная от всех вершин, лежит на основании пирамиды;

5) есть точка, равноудаленная от всех ребер.

Тест 154. Правильная пирамида

СВОЙСТВО

Для любой правильной м-угольной пирамиды:

1) существует точка, равноудаленная от всех ее вершин;

2) существует точка, равноудаленная от всех ее ребер;

3) имеется п плоскостей симметрии;

4) найдутся такие ее боковые грани, угол между которыми является тупым;

5) одним из ее сечений является трапеция.

Тест 155. Правильная пирамида

ОПИСАННАЯ СФЕРА

Существует правильная пирамида, такая, что: 1) пирамида треугольная и ребро основания видно из центра описанной сферы под прямым углом;

2) пирамида четырехугольная и центр описанной сферы ближе к ее вершине, чем к основанию;

3) пирамида шестиугольная и центр описанной сферы находится в центре ее основания;

4) пирамида пятиугольная и ребро основания видно из вершины пирамиды и центра ее описанной сферы под равными углами;

5) ее боковое ребро видно из центра описанной сферы под углом 1°.

Тест 156. Правильная пирамида

ВПИСАННАЯ СФЕРА

Существует правильная пирамида, такая, что:

1) пирамида треугольная и ребро основания видно из центра вписанной сферы под прямым углом;

2) пирамида четырехугольная и центр вписанной сферы ближе к ее вершине, чем к основанию;

3) радиус вписанной сферы равен половине радиуса описанной сферы;

4) площадь поверхности больше 1000, а радиус вписанной сферы равен 1;

5) отношение радиуса описанной сферы к радиусу вписанной сферы меньше чем 3.

Тест 157. Правильная пирамида

ОБЪЕМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ

Это утверждение верно:

1. Чем больше угол, под которым из вершины правильной пирамиды видно ребро основания (при постоянном основании), тем меньше ее объем.

2. Чем больше угол, под которым из вершины правильной пирамиды видно ребро основания (при постоянной высоте), тем больше ее площадь поверхности.

3. Существует плоскость, параллельная основанию правильной пирамиды, такая, что площадь поверхности полученной при этом усеченной пирамиды равна площади поверхности полученной при этом пирамиды.

4. Если две правильные четырехугольные пирамиды имеют одинаковые основания и в первой из них перпендикулярны противоположные боковые ребра, а во второй перпендикулярны противоположные боковые грани, то вторая имеет больший объем.

5. Существует правильная пирамида, площадь поверхности которой равна 4л, а объем равен 5.

Тест 158. Пирамида

ОБЪЕМ

Объем пирамиды меньше 1, если этой пирамидой является:

1) правильный тетраэдр с ребром 2;

2) правильная треугольная пирамида, у которой каждое боковое ребро равно 2 и все плоские углы при вершине прямые;

3) правильная треугольная пирамида с боковым ребром, равным 10, и плоским углом при вершине, равным 1°;

4) четырехугольная пирамида, каждое ребро которой равно 2;

5) треугольная пирамида, у которой две перпендикулярные грани являются равными равнобедренными треугольниками, имеющими общее основание; каждая боковая сторона этих треугольников равна 2.

Тест 159. Многогранник

СВОЙСТВО

Многогранник является выпуклым:

1) если около него можно описать сферу;

2) только тогда, когда каждая его грань выпукла;

3) если каждая плоскость, которая его пересекает, делит его на два выпуклых многогранника;

4) если существует сфера, которая касается плоскости каждой его грани;

5) если его разверткой является выпуклый многоугольник.

Тест 160. Многогранник

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

Две прямые скрещиваются, если:

1) это прямые AD и БС, ABCD — тетраэдр;

2) это прямые АК и CL, ABCD — тетраэдр, точка К — середина ребра BD у точка L — середина ребра AD;

3) это прямые АХ и СУ, ABCD — тетраэдр, точка X — точка внутри грани BCD, точка Y — точка внутри грани ABC;

4) это прямые АВг и AXD, идущие через вершины куба ABCDAyB^Di;

5) это прямые АС и BXD, идущие через вершины куба ABCDA1B1C1D1.

Тест 161. Многогранник

ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТИ

Прямая а принадлежит плоскости а, если:

1) а = (KL)y а = (KMN), К — середина AD, L — середина ВС, M — середина АС, N — середина BD в тетраэдре ABCD;

2) ABCDA1B1ClD1 — куб, а = (DBX), а = (AxDCy,

3) ABCD — правильный тетраэдр, а = (KL), а = (DMN), К — центр грани ADC, L — центр грани BDC, M — середина АС, N — середина ВС;

Тест 162. Многогранник

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

Прямые а и Ъ скрещиваются.

4) PABCD — правильная четырехугольная пирамида с равными ребрами с вершиной Р, а = (KD), а = (AKL), К — середина PC, L — точка ребра PB;

5) а имеет с поверхностью многогранника две общие точки, а — плоскость, опорная к этому многограннику и проходит через одну из этих общих точек.

Тест 163. Многогранник

СВОЙСТВО

Длина отрезка больше 1, если этот отрезок:

1) является высотой в правильном тетраэдре с ребром 2;

2) является диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами основания 1 и 2, причем эта диагональ образует с этими ребрами основания углы 30° и 60° соответственно;

3) соединяет середины двух противоположных ребер правильной треугольной пирамиды, в которой ребро основания равно 2, а двугранный угол при основании меньше 75°;

4) является кратчайшим между скрещивающимися диагоналями соседних граней куба с ребром 2;

5) является наибольшим в правильной четырехугольной пирамиде, в которой боковое ребро равно 1, а противоположные боковые грани взаимно перпендикулярны.

Тест 164. Многогранник

СВОЙСТВО

AB > CD, если:

1) ABCD — правильная треугольная пирамида с основанием ABD;

2) ABCD — треугольная пирамида и при этом CAD и CBD — равные между собой прямоугольные равнобедренные треугольники с общей гипотенузой CD, плоскости которых взаимно перпендикулярны;

3) ADLK и CKLB — два квадрата;

4) AKCD — правильная треугольная пирамида с основанием KCD; все углы при вершине А прямые; точка В находится на прямой КС;

5) CAKBD — четырехугольная пирамида с вершиной С, в которой все ребра равны и угол АКБ тупой.

Тест 165. Многогранник

РАССТОЯНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

1. Куб с ребром 1. Б— середина ребра.

2. Правильный тетраэдр с ребром 2. А, В — середины ребер.

3. Правильная треугольная призма с ребром 2. Б — центр грани.

4. KLMNK1L1M1N1 — куб, КА = КгВ = 1, ALX = BN = 2.

5. AB — наибольшая диагональ параллелепипеда, в котором все грани — ромбы со стороной 1, причем в вершине А сходятся их острые углы, равные 60°.

Тест 166. Многогранник

СВОЙСТВО

Зависимость у от х линейная, если:

1) ABCDA1B1C1D1 — куб, AD = х, DBX = у;

2) ABCD — правильный тетраэдр, DDx=x, ВС = у, Dx — центр грани ABC;

3) PABCD — четырехугольная пирамида, в которой все ребра равны, Рг — центр основания, Q — центр боковой грани, РРХ = X, PXQ = у;

4) РАВС — тетраэдр, AB = ВС = СА = PB = х, PB J_ (АБС), KL = у, К — середина АР, L — середина ВС;

5) АВСА1В1С1 — призма, АВ = ВС = СА = х, ССХ = у, АВг = = 1, АСгСА = АСгСВ.

Тест 167. Многогранник

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

/.ab > f :

1) в правильном тетраэдре ABCD, где a = (AD), b = (BC);

2) в правильной четырехугольной пирамиде PABCD с вершиной Р с равными ребрами, где a = (AB), b = (PD);

3) в правильном тетраэдре ABCD, где a = (АС), b = (KL), К — середина AD, L — середина ВС;

4) в кубе ABCDA^C^, где a = (CXD), b = (BDx);

5) в правильной треугольной призме АВСА1В1С1 с равными ребрами, где a = (АСг), b = (СВХ).

Тест 168. Многогранник

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Угол между указанными прямыми не превосходит 60°, если это угол между:

1) скрещивающимися прямыми, проходящими соответственно через ребра правильного тетраэдра;

2) скрещивающимися прямыми, проходящими соответственно через диагонали параллельных граней куба;

3) скрещивающимися прямыми, проходящими соответственно через диагонали соседних граней куба;

4) скрещивающимися прямыми, проходящими соответственно через диагональ грани и ребро куба;

5) скрещивающимися прямыми, проходящими соответственно через диагональ грани и диагональ куба.

Тест 169. Многогранник

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Прямые а и b перпендикулярны.

1-4. ABCDA1B1C1D1 — куб. 5 — тетраэдр.

1. К — середина AxDl9 L — середина ВгСх, a = (BC), b = (KL).

2. К, L, M, N — середины ребер ААг, AB, CXDX, DDX соответственно а = (KL), b = (MN).

3. a = (AC), b = (BxD).

4.a = (BK), b = (DL), BXK = CL, К — середина АгВ19 L — середина ССг.

5. ABCD — тетраэдр, а = (AD), b = (ВС), AB =АС, DB = DC.

Тест 170. Многогранник

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Некоторые две прямые перпендикулярны, если:

1) на них существуют такие четыре точки, которые являются вершинами правильного тетраэдра;

2) они проходят через скрещивающиеся ребра правильной треугольной пирамиды;

3) они скрещиваются и каждая из них содержит ребро куба;

4) они проходят через скрещивающиеся диагонали граней куба;

5) они проходят через ребра правильной пятиугольной пирамиды.

Тест 171. Многогранник

ПРЯМАЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ

Прямая а и плоскость а взаимно перпендикулярны, если:

1) а проходит через диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды, а проходит через скрещивающиеся с ней ребра этой пирамиды;

2) ABCDA1B1C1D1 — куб, а = (CDX), а = (АОСх);

3) ABCDA1B1C1D1 — куб, а = (САХ), а = (AD^);

4) ABCD — правильный тетраэдр, а = (KL), а = (MNP), К — середина AD, L — середина ВС, M — середина АС, N — середина CD, Р — середина BD;

5) АВСА1В1С1 — правильная треугольная призма, в которой все ребра равны, а = (CK), а = (АВС^, К — середина А1В1.

Тест 172. Многогранник

ПРЯМАЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ

Прямая а перпендикулярна плоскости а, если:

1) а = (AD), а = (ВКС) в правильном тетраэдре ABCD, в котором точка К — середина AD;

2) а = (KL), а = (BBXCX) в кубе ABCDAyB^D^ в котором точка К — центр грани AA1D1Z), точка L — центр грани ВВ^С^С;

3) а = (KL), а = (ВВ^) в кубе ABCDA^CJ)^ в котором точка К — середина ААг, точка L — середина ССг;

4) а = (KL), а = (PCD) в правильной четырехугольной пирамиде с равными ребрами PABCD, в которой точка К — середина AB, точка L — центр грани PCD, Р — вершина пирамиды;

5) a = (KL), а = (BC^J в кубе АВС^А^С^, в котором точка К — точка ребра АгВ19 L — точка ребра CD, BXK=CL.

Тест 173. Многогранник

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Ааа >

1) в правильной треугольной пирамиде РАВС, в которой PB = В А = ВС и все углы при вершине В прямые; а = = (РА), а = (РВС);

2) в правильной треугольной пирамиде РАВС, в которой РА=РВ=РС=2; АВ = ВС = СА=1, а = (PB), а = (ABC);

3) в правильной треугольной призме АВСА^^^ в которой все ребра равны 2; а = (В1С), а = (ААгС^)\

4) в кубе ABCDA^^^^ а = (ССг), а = (DBXK), где К — середина ААХ;

5) в кубе ABCDA1B1C1D1, a = (DDx), а = {AXCXD).

Тест 174. Многогранник

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Лаа = Aba:

1) в правильном тетраэдре ABCD, а = (AD), Ь = (BD), а = (ABC);

2) в кубе ABCDA^fi^^ где а = (AXD), Ь = (ВСг), а = - (CZ)D1);

3) в правильном тетраэдре ABCD, а = (AD), Ь = (ВС), а = = (KLM), где К — середина AC, L — середина AD, M — середина BD;

4) в правильной четырехугольной пирамиде с равными ребрами PABCD с вершиной Р, а = (BD), Ъ = (АС), а = = (РВС);

5) в правильной треугольной призме с равными ребрами АВСА1В1С1, а = (KL), где К — середина А1В1, L — середина АС, Ъ = (СВХ), а = (ABC).

Тест 175. Многогранник

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

zlaa > Z_aß:

1) в правильном тетраэдре ABCD, а = (AD), а = (ABC), ß = = (BDC);

2) в кубе ABCDA^fi^^ а = (В^г), а = (ААгВх), ß = (CDDX);

3) в кубе ABCDA^fi^^ а = (BXD), а = (АВВХ), ß = (CDDt);

4) в правильном тетраэдре ABCD, а = (KL), где К — середина AD, L — середина ВС, а = (ABC), ß = (ADC);

5) в правильной четырехугольной пирамиде с равными ребрами PABCD с вершиной Р, а = (AD), а = (PBD), ß = (PDC).

Тест 176. Многогранник

Тест 177. Многогранник

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Плоскости а и ß перпендикулярны.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Плоскости а и ß перпендикулярны.

1. ABCDAlBlClD1 — куб, a = (AAXCX)9 ß = (CDAX).

2. ABCDA1B1C1D1 — куб, a = (АВгСх), ß = (АгВС).

3. ABCD — правильный тетраэдр, BK = КС, а = (ABC), ß = = (ADK).

4. ABCDA1B1C1D1 — куб, a = (A^CJ, ß = (BBXD).

5. ABCAjBjC, — правильная треугольная призма, a = - (АСС,), ß = (АгВгВ).

Тест 178. Многогранник

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Плоскости a и ß перпендикулярны, если:

1) РАВС — правильная треугольная пирамида, К — середина ребра АС основания АБС, a = (ВРК), ß = (АБС);

2) PABCD — правильная четырехугольная пирамида с вершиной P, a = (АРС), ß = (BPD);

3) ABCDA1B1C1D1 — куб, a = (ААХСХ), ß = (ББ^);

4) ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, AD = = DC=1, ССХ = 2, a = (АВД, ß = (A^JQ, DK = KDX;

5) ABCDAlB1C1D1 — куб, a = (A^C), ß = (BCXD).

Тест 179. Многогранник

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Это утверждение верно:

1. Если одна из двух параллельных плоскостей пересекает куб по треугольнику, то и другая, имея с кубом больше одной общей точки, пересекает его по треугольнику.

2. Если одна из двух параллельных плоскостей пересекает тетраэдр по четырехугольнику, то и другая, имея с тетраэдром больше одной общей точки, пересекает его по четырехугольнику.

3. Две плоскости параллельны, если каждая из них пересекает правильный тетраэдр по прямоугольнику.

4. Две плоскости параллельны, если они содержат соответственно противоположные грани правильной четырехугольной призмы.

5. Существуют две параллельные плоскости, содержащие соответственно две грани правильного октаэдра.

Тест 180. Многогранник

СЕЧЕНИЕ

Параллельны такие плоскости:

1) основание пирамиды и сечение ее плоскостью, проходящей через середины боковых ребер;

2) AB1D1 и BDCl в параллелепипеде ABCDA^^^D^,

3) DKL и AXBXM в правильной четырехугольной призме ABCDAlB1C1D1 притом, что точка К — середина ААг, точка L — середина ВВг, точка M — середина ССХ;

4) PKL и BDM в правильной четырехугольной пирамиде PABCD с вершиной Р притом, что точка К — середина AB, точка L — середина AD, точка M — середина PC;

5) АСМ и BXKL в треугольной призме ABCAlBlCl притом, что точка К — середина ААг, точка L — середина ССХ, точка M — середина ВВХ.

Тест 181. Многогранник

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ

Расстояние между плоскостями а и ß не больше 1:

1) в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1, а = (АСВ^, ß =

2) в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1, а = (ВКАг), ß = = (CXLD), где К — середина СгВг, L — середина AXDX;

3) в правильном тетраэдре ABCD с ребром 1, а = (ACD), ß = (C^Di), где Аг — середина Aß, Cl — середина ßC, Dx — середина BD;

4) в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с ребром AD = CD = 1, ребром СС1? равным 2, а = (ACß^, ß = (A.DCJ;

5) в правильном тетраэдре ABCD с ребром 2, а = (KLM),

Тест 182. Многогранник

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Aap > 7, если:

1) DABC — треугольная пирамида, в которой DB = ВА = = ВС и все углы при вершине В прямые; а = (ACD), ß = (BCD);

2) ABCD — правильный тетраэдр, а = (ADC), ß = (АСВ);

3) ABCDAlB1C1Dl — куб, а = (АСВг), ß = (АгВСг);

4) PABCD — правильная четырехугольная пирамида с равными ребрами с вершиной Р, а = (PAD), ß = (PCD);

5) АВСА1В1С1 — треугольная призма, в которой все ребра равны, а = (АССг), ß = (ВССг), ВВг ± АС, АВССг = 60°.

Тест 183. Многогранник

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Zaß = zlay, если:

1) РАВС — правильная треугольная пирамида с вершиной Р, a = (РАС), ß = (РВС), у = (РАВ);

2) АВСА1В1С1 — правильная треугольная призма, в которой a = (АА.С,), ß = (ААгВг), у = (BCBJ;

3) ABCDA1B1C1D1 — куб, a = (АВгСг), ß = (DCBX), у = = (BDD1);

4) ABCDA1B1ClDl — куб, a = (A1C1D), ß = (A^C^, у = = (ACD);

5) PABCD — правильная четырехугольная пирамида с вершиной Р, в которой все ребра равны, a = (PCD), ß = = (PAD), у = (ACD).

Тест 184. Многогранник

СЕЧЕНИЕ

Существует сечение многогранника М, которому принадлежат точки А, В, С, D, если:

1) M — тетраэдр, А, В, С, D — его вершины;

2) M — тетраэдр XYZT, А, В, С, D — середины его ребер XY, YZ, ZT, ТХ соответственно;

3) M — это правильный тетраэдр XYZT, YA = YB (А е XY, В е YZ), TD = ТС (De ТХ, С е TZ);

4) M — это куб XYZTX^YXZXTX, А — середина XY, В — середина ZT, С — середина YxXl9 D — середина УгТг;

5) M — это куб XYZTX^YXZXTX, В — середина YxZl9 D — середина ТХ, А = Х1, C = Z.

Тест 185. Многогранник

СЕЧЕНИЕ

Равнобедренный прямоугольный треугольник можно получить в сечении:

1) куба;

2) правильной треугольной призмы;

3) правильной треугольной пирамиды;

4) правильной четырехугольной пирамиды, у которой все ребра равны;

5) тетраэдра РАВС, в котором АВ = ВС=АС = РВ, PB _L _L (АБС).

Тест 186. Многогранник

СЕЧЕНИЕ

Правильный я-угольник можно получить в сечении, не совпадающем с гранью, для таких многогранников:

1) правильного тетраэдра, если п = 4;

2) куба, если п = 6;

3) правильной треугольной призмы с равными ребрами, если п = 5;

4) правильной четырехугольной пирамиды с равными ребрами, если п = 3;

5) тетраэдра ABCD, в котором DB _1_ (АБС), АВ = ВС= 1,5, АС = 2, DA = DC = 3, если я = 3.

Тест 187. Многогранник

СЕЧЕНИЕ

Некоторое сечение многогранника является правильным многоугольником, если оно проходит через:

1) вершину правильного тетраэдра;

2) высоту правильной четырехугольной пирамиды, у которой все ребра равны;

3) середины двух противоположных ребер правильного тетраэдра;

4) диагональ грани куба;

5) диагональ куба.

Тест 188. Многогранник

СЕЧЕНИЯ

Площадь сечения больше чем 1, если:

1) в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 проведено сечение плоскостью АХКС19 где К — середина DDX;

2) в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 проведено сечение плоскостью KLCl9 где К — середина CD, L — середина AD;

3) в правильной призме АБСА1Б1С1, у которой каждое ребро равно 1, проведено сечение плоскостью ССгК, где К — центр грани AAXBXB;

4) в правильном тетраэдре, у которого каждое ребро равно 1, проведено сечение, являющееся прямоугольником;

5) в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 проведено сечение плоскостью AKL, где К — середина ББ1? L — середина DDX.

Тест 189. Многогранник

СЕЧЕНИЕ

Наибольшая площадь сечения:

1) больше 1, если оно проведено в кубе с ребром 1 и является треугольником;

2) меньше 1, если оно проведено в правильном тетраэдре с ребром 1 и является параллелограммом;

3) меньше 1, если оно проведено в правильной треугольной призме с ребром, равным 1, и является треугольником;

4) больше 1, если оно проведено в четырехугольной пирамиде с ребром, равным 1, перпендикулярно основанию и является треугольником;

5) больше 1, если оно проведено в тетраэдре РАВС (в нем ребро PB перпендикулярно основанию ABC и AB = ВС = = CA = PB = 1) и проходит перпендикулярно АС.

Тест 190. Многогранник

ОПИСАННАЯ СФЕРА

Можно описать сферу около:

1) параллелепипеда, имеющего одну плоскость симметрии;

2) объединения двух правильных тетраэдров, пересечением которых является их общая грань;

3) четырехугольной пирамиды, имеющей две плоскости симметрии;

4) треугольной призмы, которая имеет четыре плоскости симметрии;

5) правильной шестиугольной пирамиды, у которой все ребра равны.

Тест 191. Многогранник

ОПИСАННАЯ СФЕРА

Это утверждение верно:

1. Около прямой призмы, основанием которой является правильная пятиугольная звезда, можно описать сферу.

2. В сферу можно вписать стогранник (не призму и не пирамиду).

3. Наименьшая сфера, содержащая вершины тетраэдра, является его описанной сферой.

4. Если в четырехугольную пирамиду можно вписать сферу, то около нее можно описать сферу.

5. Для любого многогранника существует не больше одной описанной сферы.

Тест 192. Многогранник

ОПИСАННАЯ СФЕРА

Это утверждение верно:

1. Около любого выпуклого многогранника можно описать сферу.

2. В сферу можно вписать многогранник с любым числом граней.

3. Многогранник является объединением двух неравных кубов. Грань одного из этих кубов лежит на грани другого, причем центры этих граней совпадают и других общих точек эти кубы не имеют. Тогда существует сфера, описанная около хотя бы одного такого многогранника.

4. Найдется такой многогранник, у которого имеют одну общую точку все плоскости серединных перпендикуляров к его ребрам, кроме одной.

5. Если многогранник является вписанным и описанным, то он является правильным.

Тест 193. Многогранник

ОПИСАННАЯ СФЕРА

Радиус описанной сферы не меньше чем 2, если эта сфера описана около:

1) прямоугольного параллелепипеда, у которого одно ребро меньше чем 1, другое больше чем 4, а третье равно 1;

2) правильного тетраэдра с ребром, большим чем 2, но меньшим чем 3;

3) четырехугольной пирамиды, основанием которой является трапеция, в которой каждая из трех сторон равна 2, а острый угол равен 60°;

4) тетраэдра с ребрами основания 4, 5, 6 и боковыми ребрами 7, 8, 9;

5) треугольной антипризмы, каждое ребро которой равно 1.

Тест 194. Многогранник

ВПИСАННАЯ СФЕРА

Это утверждение верно:

1. Существует не больше одной сферы, вписанной в многогранник.

2. Наибольшая сфера, находящаяся в выпуклом многограннике, является его вписанной сферой.

3. Около всякой сферы можно описать многогранник с любым числом граней.

4. Если сфера проходит через центры трех граней правильного многогранника, то она является вписанной в этот многогранник.

5. Зная площадь поверхности многогранника и его объем, не всегда можно найти радиус вписанной в него сферы.

Тест 195. Многогранник

ВПИСАННАЯ СФЕРА

Радиус вписанной сферы меньше 1, если сфера вписана:

1) в куб с ребром, меньшим чем 2;

2) в прямой параллелепипед высотой 1, основанием которой является ромб со стороной 2;

3) в тетраэдр, у которого все ребра меньше 2;

4) в четырехугольную пирамиду высотой 2, основанием которой является равнобокая трапеция, у которой боковая сторона меньше чем 3, а один из углов равен 60°;

5) в прямоугольный тетраэдр с попарно перпендикулярными боковыми ребрами, равными соответственно 1, 2, 3.

Тест 196. Многогранник

ВПИСАННАЯ СФЕРА

Существует сфера, вписанная в такие фигуры:

1) прямоугольный параллелепипед, в котором измерения равны 1, 2, 3;

2) фигуру, которая задается условием:

\х\ + \у\ +|г|<1 ;

3) прямую призму, в которой основанием является выпуклый шестиугольник, у которого три стороны, идущие через одну, равны 2, а каждая оставшаяся сторона равна 1; каждая сторона шестиугольника, равная 2, параллельна стороне, равной 1; каждый угол шестиугольника равен 120°; высота призмы равна 1;

4) многогранник, вершины которого являются центрами граней правильного многогранника;

5) пересечение двух равных кубов с общим центром.

Тест 197. Многогранник

ПРИЗНАК

Тело M является многогранником, если:

1) оно получено в результате удаления из куба правильного тетраэдра;

2) оно является пересечением двух многогранников;

3) его границей является многогранная поверхность;

4) оно является объединением двух многогранников;

5) M = {X: ÄX = aÄB + ßÄC + yÂD}, причем точки А, Б, С, D не лежат в одной плоскости.

Тест 198. Тела

СЕЧЕНИЕ

Площадь сечения может равняться:

1) 4, если это сечение шара радиусом 1;

2) -, если это сечение куба с ребром 1;

3) 4, если это сечение цилиндра с радиусом 1 и образующей 1;

4) 2, если это сечение конуса и проходит через его вершину, образующая поверхности конуса равна 2 и составляет с плоскостью основания угол 15°;

5) -, если это сечение правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 1 и попарно перпендикулярны между собой.

Тест 199. Тела

ОПИСАННАЯ СФЕРА

Радиус сферы больше 1, если эта сфера описана около:

1) правильной треугольной пирамиды с боковым ребром 1 и попарно перпендикулярными боковыми ребрами;

2) правильного тетраэдра с ребром 2;

3) правильной треугольной призмы, у которой все ребра равны 2;

4) правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром 3 и диагональю основания 4;

5) конуса, в котором высота равна 1, а отношение диаметра основания к образующей его поверхности равно 1,5.

Тест 200. Тела

ВПИСАННАЯ СФЕРА

Можно вписать сферу:

1) в правильную треугольную призму с равными ребрами;

2) в четырехугольную пирамиду, у которой четыре плоскости симметрии;

3) в объединение двух правильных тетраэдров, пересечением которых является их общая грань;

4) в наклонный параллелепипед, у которого одно диагональное сечение — квадрат и который имеет плоскость симметрии;

5) в усеченный конус, у которого образующая поверхности равна диаметру меньшего основания.

Тест 201. Тела

ВПИСАННАЯ СФЕРА

Радиус сферы больше 1, если эта сфера вписана:

1) в куб с диагональю 2;

2) в правильный тетраэдр с ребром 6;

3) в правильную треугольную призму с объемом 2;

4) в цилиндр с площадью боковой поверхности 20;

5) в усеченный конус с образующей поверхности 2.

Тест 202. Тела

ОПИСАННАЯ И ВПИСАННАЯ СФЕРЫ

В данное тело вписана сфера и около него описана сфера. Отношение радиуса описанной сферы к радиусу вписанной сферы больше чем 2, если данное тело:

1) прямоугольный параллелепипед;

2) правильная четырехугольная пирамида с равными ребрами;

3) правильная треугольная призма;

4) цилиндр;

5) конус, у которого осевым сечением является равносторонний треугольник.

Тест 203. Тела

ОБЪЕМ

M — некоторое тело. Его объем больше 10, если это тело: 1) прямоугольный параллелепипед, диагональ которого, равная 30, образует равные углы с гранями, имеющими с ней общую точку;

2) тетраэдр, у которого пять ребер равны 6;

3) правильная четырехугольная пирамида, у которой боковые ребра равны 2;

4) цилиндр, у которого осевое сечение имеет площадь 6;

5) конус с площадью поверхности 16.

Тест 204. Тела

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ

Площадь поверхности этого тела больше чем 10:

1) прямой треугольной призмы с объемом 16, у которой все ребра равны;

2) правильного тетраэдра с объемом 2;

3) правильной четырехугольной пирамиды с объемом 2, у которой все ребра равны;

4) цилиндра с объемом 3 и площадью осевого сечения, равной 6;

5) конуса с объемом 4 и углом при вершине в осевом сечении, равным 90°.

Тест 205. Тела вращения

ОБЪЕМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ

Прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 вращается вокруг каждого из катетов. При этом можно получить:

1) тело вращения, у которого объем меньше 0,1;

2) тело вращения, у которого объем больше 0,2;

3) тело вращения, у которого площадь поверхности меньше 1;

4) тело вращения, у которого площадь поверхности больше 6;

5) тела вращения, отношение объемов которых равно отношению их площадей поверхностей.

Тест 206. Поверхность вращения

СВОЙСТВО

При любом расположении двух поверхностей, имеющих больше одной общей точки, в их пересечении образуется окружность, если эти поверхности таковы:

1) сфера и плоскость;

2) две сферы;

3) цилиндрическая поверхность и плоскость;

4) коническая поверхность и плоскость;

5) две конические поверхности.

Тест 207. Объем

ПОНЯТИЕ

Объем — это:

1) число единичных кубиков, которые укладываются в данной фигуре;

2) интеграл;

3) предел последовательности объемов многогранников, вписанных в данную фигуру или описанных около нее;

4) величина части пространства, занимаемой данной фигурой;

5) трехмерный аналог площади.

Тест 208. Система координат

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ОБЪЕКТОВ

Это утверждение верно:

1. Плоскость а параллельна плоскости ß, если плоскость а задается уравнением

X + 2у — 3z +1 = 0,

а плоскость ß задается уравнением

- X - 2у + 3z + 1 = 0.

2. Прямые а и b пересекаются, если прямая а задается уравнением

(х-1)2 + (1/-1)2 = 0, а прямая b задается уравнением

(х-2)2 + (г-1)2 = 0.

3. Прямые а и b параллельны, если прямая а задается уравнением х1 ^ + 1 ^ 1 ~ 2 ~ 3 ' а прямая b задается системой уравнений

X = 2t - 1, у = 4t -h 1, г = 6*, t е r.

4. Прямые а и b скрещиваются, если прямая а задается уравнением

х-1 = г/ + 1 = 2г,

а прямая b задается уравнением

x+l=y-l = 2z.

5. Прямая а параллельна плоскости а, если прямая а задается уравнением

y = z = -l,

а плоскость а задается уравнением у = 2.

Тест 209. Система координат

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ФИГУРАМИ

Расстояние между фигурой M и фигурой TV больше 1, если:

1) фигура M задается уравнением

(x-l)2 + (y-l)2 + (z-l)2 = 0, а фигура N задается уравнением x + y + z- l = 0\

2) фигура M задается уравнением

X2 + у2 + (z - I)2 = О, а фигура N задается уравнением

х + 2у = 2;

3) фигура M задается уравнением

X + у + Z = 1, а фигура N задается уравнением х + г/ + 2 + 1 = 0;

4) фигура M задается системой уравнений

х + y = z = 1, а фигура N задается системой уравнений

X + г = у = 1;

5) фигура M задается системой уравнений

x = i/= 1, а фигура N задается уравнением

X + у = - 1.

Тест 210. Система координат

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ФИГУРАМИ

Расстояние между фигурой M и фигурой N больше 1, если:

1) фигура M задается уравнением

(х + I)2 + (у + I)2 + (z + + I)2 = 0, фигура ЛГ задается уравнением

(x-l)2 + 0/--l)2 + (z-l)2 = 1;

2) фигура M задается уравнением

X2 + у2 + (z-1)2 = 9, а фигура задается уравнением

(х-1)2 + у2 + г2 = 1;

3) фигура M задается уравнением

X2 + у2 + г2 = 25, а фигура N задается уравнением

X + у + г = 1;

4) фигура M задается в координатном пространстве уравнением

а фигура N задается в координатном пространстве уравнением

X2 + у2 = 1;

5) фигура M задается условием

О < 2 < я2 + у2, а фигура iV задается условием

ху г > 1.

Тест 211. Система координат

УГОЛ

Угол ф больше 45°, если ф — это угол между:

1) прямой, заданной системой уравнений

X + 2 = 1, у = О,

и прямой, заданной системой уравнений

X — 2 — 1 ;

2) прямой, заданной уравнением

и прямой, заданной уравнением

3) прямой, заданной системой уравнений

Х = у = 2,

и прямой, заданной системой уравнений

х = - у = 2;

4) прямой, заданной системой уравнений

X = 1 + t, у = -1 + + t9 2 = t, t е JK, и плоскостью, заданной уравнением X — 2у + Зз = 6;

5) плоскостью, заданной уравнением

X + у + 2 = 1, и плоскостью, заданной уравнением

-JC + i/ + 2: = l.

Тест 212. Преобразование фигуры

Соответствие является преобразованием фигуры M в фигуру N, если:

1) каждая точка фигуры N является образом хотя бы одной точки фигуры М;

2) каждой точке фигуры M соответствует хотя бы одна точка фигуры N;

3) M и N — все пространство и точке с координатами (х, у, г) соответствует точка с координатами (2х, -|, z);

4) M и N — все пространство и точке с координатами (х, у, z) соответствует точка с координатами (i, ^, i);

5) M — полусфера с центром О; фигура N — это касательная плоскость а, параллельная плоскости ее большого круга; из точки О проводится луч, пересекающий плоскость a; Y = f(X), где X — точка на полусфере, а У — точка на плоскости а.

Тест 213. Преобразование фигуры

Это утверждение верно:

1. Существует такое преобразование куба, при котором его образом является его грань.

2. Существует отображение, при котором образом шара является шар, радиус которого в два раза больше.

3. Если даны две параллельные плоскости, то существует такое преобразование пространства, при котором образом каждой из этих плоскостей является другая плоскость.

4. Существует преобразование, в результате которого образом фигуры M является фигура N, если уравнение фигуры M: X2 + у2 + z2 = 2, а уравнение фигуры N: X2 + у2 + z2 = 1.

5. Существует преобразование, в результате которого образом выпуклой фигуры является невыпуклая фигура.

Тест 214. Преобразование фигуры

Дан прямоугольный параллелепипед. Существует такое его преобразование, при котором:

1) все его размеры увеличиваются в 10 раз;

2) одна из его меньших граней преобразуется в большую;

3) каждая его грань преобразуется в противоположную;

4) этот прямоугольный параллелепипед преобразуется в куб;

5) граница этого прямоугольного параллелепипеда преобразуется в поверхность прямого кругового цилиндра.

Тест 215. Взаимно однозначное преобразование

Преобразование / фигуры M в фигуру N является взаимно-однозначным, если:

1) M — отрезок, f — параллельное проектирование, а N — это плоскость, на которую производится проектирование;

2) M — круг, / — ортогональное проектирование, а N — это другой круг в плоскости, на которую производится проектирование;

3) M и N — все пространство и точке с координатами (х, у, г) соответствует точка с координатами (х — у, у -2, 2-х);

4) M и N — все пространство и точке с координатами (х, у, 2) соответствует точка с координатами (ху, у2, 2х);

5) M и N — все пространство, в котором точка О фиксирована и каждой точке X луча с началом в О, кроме точки О, соответствует такая точка Y этого же луча,

что OY = (точке О соответствует она сама).

Тест 216. Движение

Преобразование / фигуры M является движением, если:

1) любым точкам А, В фигуры M соответствуют такие точки С, D пространства, что AD = ВС;

2) M — все пространство и образом любого шара будет шар того же радиуса;

3) M — все пространство и точке с координатами (х, у, 2) соответствует точка с координатами (х, у, 2 Л-1);

4) M — все пространство и точке с координатами (х, у, 2) соответствует точка с координатами (х, 1, 1);

5) образом выпуклой фигуры M оказалась невыпуклая фигура.

Тест 217. Движение

Преобразование / фигуры M является движением, если:

1) точкам А, В фигуры M соответствуют такие точки С, D пространства, что АС = BD;

2) дан двугранный угол, отличный от развернутого, фигура M — это грань этого угла и каждой точке X грани M поставлена в соответствие точка Y следующим образом: из точки X проводится перпендикуляр к грани M до пересечения в точке Z с биссектором данного угла, а затем из точки Z проводится перпендикуляр ZY к этому биссектору, причем точка Y лежит на другой грани данного двугранного угла;

3) M — все пространство и точке с координатами (х, у, г) соответствует точка с координатами (х + у, у + z, z + х);

4) M — все пространство и точке с координатами (х, г/, z) соответствует точка с координатами (1-х, 1 - г/, 1 - z);

5) M — все пространство и образом любого шара будет шар того же радиуса.

Тест 218. Перенос

Это утверждение верно:

Существует перенос, такой, что образом фигуры M является фигура N, если:

1) M — это грань параллелепипеда, TV — это противоположная грань этого же параллелепипеда;

2) M — это сфера, N — это другая сфера с таким же радиусом;

3) M — это неразвернутый плоский угол, N — это другой неразвернутый плоский угол; при этом стороны этих углов соответственно параллельны, но биссектрисы этих углов не параллельны между собой;

4) M и N — все пространство и точке с координатами (х, у, z) соответствует точка с координатами 1 - У. г).

5) M и N — две фигуры, полученные из одной и той же фигуры Р переносами на неколлинеарные векторы.

Тест 219. Перенос

Существует перенос, такой, что образом фигуры M является фигура N, если:

1) M — это сфера, вписанная в куб с ребром 2, N — это сфера, описанная около куба с ребром -тг;

2) M — это фигура, уравнение которой у = х2 - 2х +2, а N — это фигура, уравнение которой у = X2, + 2х +2;

3) M — это правильный тетраэдр с ребром 1, N — это другой правильный тетраэдр с ребром 1, при этом у данных тетраэдров есть одна пара параллельных граней;

4) M — это неразвернутый двугранный угол, N — это другой неразвернутый двугранный угол, грани этих углов соответственно параллельны, но биссекторы этих углов не параллельны между собой;

5) M и N — все пространство и точке с координатами (х, у, z) соответствует точка с координатами (je + 1, у-х, z).

Тест 220. Поворот

Это утверждение верно:

Существует поворот, такой, что образом фигуры M является фигура N, если:

1) M и N — две грани одного и того же правильного тетраэдра;

2) M и N — два куба с общим ребром;

3) M и N — две параллельные плоскости;

4) M — это фигура в координатном пространстве, которая задается условием у = х> b N — это фигура в координатном пространстве, которая задается условием у = -х.

5) M и N получены поворотом вокруг одной и той же оси из данной фигуры Р.

Тест 221. Поворот

Существует поворот, такой, что образом фигуры M является фигура N, если:

1) M — шар без точки на его сфере, N — тот же шар без другой точки на его сфере;

2) M — это фигура, уравнение которой z = у2, а N — это фигура, уравнение которой у = z2;

3) M и N — два куба с общим ребром;

4) M и iV — два тетраэдра с общей высотой и равными основаниями;

5) M и N — все пространство и точке с координатами (x, у, z) соответствует точка с координатами (г, у, х).

Тест 222. Осевая симметрия

Существует осевая симметрия, такая, что образом фигуры M является фигура N, если:

1) M и N — две противоположные грани куба;

2) M и N — два правильных тетраэдра с общей гранью;

3) M и N — две скрещивающиеся прямые;

4) M — это фигура, которая задается условием yz = l, а N— это фигура, которая задается условием yz = -l.

5) M и N получены осевой симметрией относительно одной и той же оси из данной фигуры Р.

Тест 223. Осевая симметрия

Существует осевая симметрия, такая, что образом фигуры M является фигура N, если:

1) M — это фигура, которая задается условием х = О, а N — это фигура, которая задается условием z = 0;

2) M и N — все пространство и точке с координатами (х, у, z) соответствует точка с координатами (х, -у, -z);

3) M — это объединение двух шаров, N — та же фигура, что и М;

4) N — это образ фигуры M в результате композиции двух осевых симметрий относительно различных прямых;

5) M — это ломаная из двух взаимно перпендикулярных звеньев, каждое из которых имеет длину 1, N— это другая такая же ломаная, имеющая с первой ломаной общее начало, звенья второй ломаной соответственно перпендикулярны звеньям первой ломаной.

Тест 224. Центральная симметрия

Существует центральная симметрия, такая, что образом фигуры M является фигура N, если:

1) M — это грань куба, iV — это противоположная грань куба;

2) M — это сфера, N — это другая сфера с тем же радиусом;

3) M — это объединение двух плоскостей, N — та же фигура, что и М.

4) M — это фигура, уравнение которой z = x + y+l9 а N — это фигура, уравнение которой z = х -f у - 1;

5) M — это объединение двух равных центрально симметричных фигур, N — та же фигура, что и М.

Тест 225. Центральная симметрия

Существует центральная симметрия, такая, что образом фигуры M является фигура N, если:

1) M — это сфера с вписанным в нее правильным тетраэдром, N — та же фигура, что и М;

2) M — это фигура, уравнение которой

2 = Х2 + у2 + 1,

a JV — это фигура, уравнение которой у = X2 + z2 + 1 ;

3) M — это объединение двух равных центрально симметричных фигур, N — та же фигура, что и М;

4) M и N — все пространство и точке с координатами (х, у, 2) соответствует точка с координатами (2 - х, - У, - 2);

5) M — это ломаная из двух взаимно перпендикулярных звеньев, каждое из которых имеет длину 1, N — это другая такая же ломаная, звенья второй ломаной соответственно параллельны звеньям первой ломаной.

Тест 226. Зеркальная симметрия

Это утверждение верно:

Существует зеркальная симметрия, такая, что образом фигуры M является фигура N, если:

1) M — это грань куба, а N — противоположная грань куба;

2) M — это правильный тетраэдр, N — это другой правильный тетраэдр, равный данному, который имеет с данным общее ребро.

3) M — это двугранный угол, N — это двугранный угол, равный данному, имеющий с данным общую грань.

4) M — это фигура, которая задается условием х > 0, а N — это фигура, которая задается условием х < 0.

5) M — это фигура, зеркально симметричная фигуре Р относительно данной плоскости, N — это другая фигура, зеркально симметричная фигуре Р относительно другой плоскости.

Тест 227. Зеркальная симметрия

Это утверждение верно:

Существует зеркальная симметрия, такая, что образом фигуры M является фигура N, если:

1) M — это фигура, которая задается условием х > О, а N — это фигура, которая задается условием г < 0;

2) M — все пространство и точке с координатами (х, г/, г) соответствует точка с координатами (jc, у — 19 z);

3) M — это объединение двух шаров, N — та же фигура, что и М;

4) M — это правильный тетраэдр, N — это другой правильный тетраэдр, равный данному, который имеет с данным общую вершину и высоту;

5) M — это двугранный угол, N — это двугранный угол, равный данному, имеющий с данным общее ребро.

Тест 228. Виды движений

Это утверждение верно:

1. Если дан куб, то существует зеркальная симметрия, в результате которой образом одной из граней является другая его грань.

2. Если дана правильная треугольная пирамида, то существует поворотная симметрия, в результате которой образом одной из ее граней является другая ее грань.

3. Если дан прямоугольный параллелепипед, то существует центральная симметрия, в результате которой образом этого параллелепипеда является он сам.

4. Если даны два равных шара, то существует переносная симметрия, в результате которой образом одного из данных шаров является другой данный шар.

5. Если дан правильный тетраэдр, то существует осевая симметрия, в результате которой его образом является он сам.

Тест 229. Симметричные фигуры

Фигура M является симметричной (имеет определенную симметрию), если M — это фигура, которая задается условием:

Тест 230. Симметричные фигуры

Множество самосовмещений фигуры M насчитывает не менее пяти элементов симметрии, если:

1) M — это сфера без двух точек, являющихся концами одного и того же диаметра;

2) M — это правильная усеченная четырехугольная пирамида;

3) M — объединение двух равных квадратов, лежащих в разных плоскостях, имеющих общий центр;

4) M имеет два центра симметрии;

5) M — пересечение двух равных цилиндров с общим центром симметрии, оси которых пересекаются под прямым углом.

Тест 231. Группа симметрии фигуры

Группа симметрии фигуры M насчитывает не менее пяти элементов симметрии, если:

1) M — это сфера без четырех точек, являющихся концами двух взаимно перпендикулярных диаметров;

2) фигура M задается условием \у\ < о;

3) M — пересечение двух равных кубов с общим центром;

4) M имеет центр симметрии и ось симметрии (центр не лежит на оси);

5) M — объединение двух равных прямых круговых цилиндров с общим центром симметрии, оси которых пересекаются под прямым углом.

Тест 232. Равенство фигур

Фигуры M и N равны, если:

1) фигура M — это трехзвенная ломаная, идущая по трем ребрам куба, фигура N — это трехзвенная ломаная, идущая по трем ребрам другого куба, равного первому;

2) каждая из них является конусом и при этом равны их осевые сечения;

3) каждая из них является цилиндром и при этом равны их осевые сечения;

4) фигура M — сферический сегмент сферы радиуса 3 и высотой 2, фигура N — сферический сегмент сферы радиуса 2 и высотой 1;

5) фигура M задается условием \х\ + \у\ + \z\ < 1, фигура N задается условием \х\ < 1, \у\ < 1, \z\ < 1.

Тест 233. Подобие

Это утверждение верно:

1. Преобразование пространства является подобием, если точке с координатами (jc, z) соответствует точка с координатами (2у9 2х> 2z).

2. Подобны два параллельных сечения правильного тетраэдра.

3. Подобны две четырехугольные пирамиды, в каждой из которых все ребра равны.

4. Подобны два сферических сегмента одной и той же сферы.

5. Две фигуры подобны, если — = — 2, где Vx и V2 — их соответственные объемы, a Sx и S2 — их соответственные площади поверхностей.

Тест 234. Подобие

Две фигуры M и N подобны, если:

1) M лежит в одной грани острого двугранного угла, а N — ортогональная проекция M на другую грань этого двугранного угла;

2) M — это правильная треугольная пирамида, вписанная в данную сферу, N — это правильная треугольная пирамида, описанная около этой же сферы;

3) M и N — два цилиндра, у которых отношение объемов равно 3, а отношение площадей поверхностей равно 2;

4) они являются эллиптическими сечениями одного и того же конуса;

5) M — это фигура, уравнение которой в координатном пространстве х = 22, а N — это фигура, уравнение которой в координатном пространстве z = х2.

Тест 235. Параллельное проектирование

При параллельном проектировании в заданном направлении на данную плоскость:

1) найдутся такие неравные отрезки, которые имеют равные проекции;

2) существует прямая, проекцией которой является отрезок;

3) две скрещивающиеся прямые проектируются в параллельные прямые;

4) существует окружность, проекцией которой является окружность, не равная данной;

5) проекцией куба является шестиугольник или параллелограмм.

Тест 236. Ортогональное проектирование

При ортогональном проектировании на данную плоскость:

1) проекцией квадрата является квадрат;

2) проекцией квадрата является отрезок или прямоугольник;

3) проекцией куба не может быть правильный шестиугольник;

4) проекцией тетраэдра является четырехугольник;

5) существует тетраэдр, проекцией которого является данный квадрат.

Ответы

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ................................................................. 3

Тесты

1-4. Прямая .................................................... 7

5-7. Плоскость ................................................. 8

8-10. Пересекающиеся прямые ........................... 9

11-16. Параллельные прямые ............................... 10

17-21. Скрещивающиеся прямые .......................... 11

22. Угол между прямыми ............................... 13

23-26. Перпендикулярные прямые ........................ —

27. Взаимное положение двух прямых ............. 14

28. Пересечение прямой и плоскости ............... 15

29-31. Принадлежность прямой к плоскости ......... —

32-35. Прямая, перпендикулярная плоскости ........ 16

36. Перпендикуляр к плоскости ...................... 18

37-43. Параллельность прямой и плоскости .......... —

44-47. Взаимное положение прямой и плоскости ... 21

48-49. Угол между прямой и плоскостью ............. 22

50. Взаимное положение прямой и плоскости ... 23

51-59. Перпендикулярные плоскости .................... —

60-69. Параллельные плоскости ........................... 26

70. Расстояние между параллельными плоскостями ....................................................... 29

71. Прямая и плоскость .................................. 30

72. Угол между плоскостями ........................... —

73. Взаимное положение двух плоскостей ........ —

74-75. Расстояние от точки до фигуры ................. 31

76. Расстояния ............................................... —

77-79. Расстояния и углы .................................... 32

80. Трехгранный угол ..................................... 33

81-94. Шар ......................................................... —

95-101. Цилиндр ................................................... 38

102. Призма ..................................................... 40

103-107. Правильная призма ................................. —

108-112. Параллелепипед ........................................ 42

113-115. Прямоугольный параллелепипед ................. 43

116-128. Куб .......................................................... 44

129. Призма ..................................................... 48

130-136. Конус ....................................................... —

137. Усеченный конус ...................................... 51

138-139. Пирамида ................................................. —

140-142. Правильная треугольная пирамида ............. 52

143-145. Правильный тетраэдр ................................ 53

146-150. Тетраэдр ................................................... 54

151-153. Правильная четырехугольная пирамида ...... 55

154-157. Правильная пирамида ............................... 56

158. Пирамида (объем) ..................................... 58

159-197. Многогранник ........................................... 58

198-204. Тела ......................................................... 73

205. Тела вращения .......................................... 75

206. Поверхность вращения .............................. —

207. Объем ....................................................... 76

208-211. Система координат .................................... —

212-214. Преобразование фигуры ............................. 79

215. Взаимно однозначное преобразование ......... 80

216-217. Движение ................................................. —

218-219. Перенос .................................................... 81

220-221. Поворот .................................................... 82

222-223. Осевая симметрия ..................................... 83

224-225. Центральная симметрия ............................ —

226-227. Зеркальная симметрия .............................. 84

228. Виды движений ........................................ 85

229-230. Симметричные фигуры .............................. —

231. Группа симметрии фигуры ........................ 86

232. Равенство фигур ....................................... —

233-234. Подобие .................................................... 87

235. Параллельное проектирование .................... —

236. Ортогональное проектирование.................... 88

Ответы ................................................................. 89

ПРОСВЕЩЕНИЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

Выпускаем

• Учебники

• Методическую литературу

• Научно-популярную литературу

• Справочную литературу

• Наглядные пособия и карты

• Учебные мультимедийные курсы

Обучаем

Интернет-школа «Просвещение.ru» www.internet-school.ru

Институт повышения квалификации работников образования

www.prosv-ipk.ru

Представляем

На сайте издательства для наших покупателей

• Каталог выпускаемой продукции

• Ежемесячные новинки издательства

• Планы печати учебной литературы

• Адреса магазинов «Просвещение» в регионах

Предлагаем

Оптовикам и книготорговым структурам

• Гибкую систему скидок

• Крупный и мелкий опт со склада издательства

• Контейнерную отгрузку во все регионы России и страны СНГ

• Внимательное отношение к каждому!

Служба «Книга—почтой»

Заказ и отправка книг по почте

102001, Москва, а/я «Почтовый Торговый Дом»

Тел.: (495) 540-6061

E-mail: prosv@post.ru, zakaz@ptdom.ru

http:// www.ptdom.ru

Фирменные магазины «Просвещение»

119311, Москва, пр-т Вернадского, 11/19 Тел.:(495)930-5050 Тел./факс: (495) 930-5040 E-mail: mag-info@prosv.ru

115304, Москва, ул. Луганская, 7 Тел.: (495) 322-2822 E-mail: mag-info@prosv.ru

Издательство « Просвещение »

127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41 Тел.: (495) 789-3040 Факс: (495) 789-3041 E-mail: prosv@prosv.ru http://www.prosv.ru

Предлагаемые тесты можно использовать во всех типах школ как при заключительном повторении, так и для текущего контроля. Они позволят проверить не только знания и умения ученика, но и его общую культуру.

Тесты апробированы в школах, а также при проведении Всероссийского конкурса «Кенгуру» для старшеклассников.

ПРОСВЕЩЕНИЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО