Решение задач в средней школе : арифметика, алгебра, геометрия : из опыта учителей математики V—X кл. / Акад. пед. наук РСФСР, Ин-т методов обучения ; под общ. ред. Н. Н. Никитина ; [сост. И. Н. Шевченко, И. А. Гибш, А. И. Фетисов, И. Л. Цветков]. — М. : Изд-во Акад. пед. наук РСФСР, 1952. — 320 с. — (Пед. чтения).

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

МОСКВА • 1952

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ

Из опыта учителей математики V-X классов

Под общей редакцией Н. Н. НИКИТИНА

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Москва—1952

Настоящий сборник, все статьи которого посвящены одному вопросу — о решении задач в курсе математики V-X классов средней школы, начинает собою ряд тематических сборников по вопросам преподавания математики, подготовляемых к печати сектором методики математики Института методов обучения Академии педагогических наук РСФСР. В эти сборники сектор методики математики стремится отбирать наиболее существенные итоги и достижения опыта учителей математики, выявляемые преимущественно в их работах, поступающих ежегодно на «Педагогические чтения» при Академии.

Статьи сборника делятся на три раздела: арифметика, алгебра, геометрия. Первый раздел составил и подготовил к печати И. Н. Шевченко, второй — И. А. Гибш и третий — А. И. Фетисов и И. Л. Цветков.

Сектор методики математики ИМО АПН просит кабинеты институтов усовершенствования учителей, а также учителей математики средней школы и лиц, работающих на математических факультетах педагогических и учительских институтов, сообщать свои критические замечания по поводу содержания сборника по адресу: Москва, 64, Лобковский пер. д. 5/16, сектор методики математики Института методов обучения АПН РСФСР.

ОТ РЕДАКТОРА

Начиная с 1945 г., ежегодно при Академии педагогических наук РСФСР проводятся „Педагогические чтения“, участниками которых являются передовые учителя школ Федерации.

Число участников „Педагогических чтений“ непрерывно растет. Ниже приводится таблица, отражающая рост количества работ, которые были представлены в АПН за 1945—1951 гг.

Годы

1945

1946

1947

1948

1949

1950

Всего

Общее число работ ......

58

258

407

1217

1408

1826

5176

Работы по математике и физике .

28

48

55

112

125

126

494

С общим ростом числа работ увеличивается и число работ по математике: так, в 1950 г. по математике было представлено 102 доклада, из которых было допущено на „Педагогические чтения“ 30.

В настоящем сборнике помешены работы учителей математики, представленные на „Педагогические чтения“ в 1949/50 уч. г. Часть из них была доложена в секции математики, часть не могла быть доложена, но была одобрена жюри „Педагогических чтений“.

Из работ по различным вопросам, представленных на „Педагогические чтения“, в сборник отобраны статьи, посвященные методике решения задач по арифметике, алгебре и геометрии.

В составлении сборника, обработке и обобщении материала принимали участие научные сотрудники сектора методики математики: И. Н. Шевченко (арифметика), И. А. Гибш (алгебра), А. И. Фетисов (геометрия) и внештатный научный сотрудник сектора методики математики И. Л. Цветков.

АРИФМЕТИКА

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ

Самый больной из всех вопросов преподавания арифметики— это вопрос о решении арифметических задач. Не случайно он постоянно поднимается на страницах методических журналов. Все книги по методике арифметики отводят специальные главы решению задач. В советской литературе есть ряд монографий, посвященных тому же вопросу; укажем книги: H. Н. Никитин „Решение арифметических задач в начальной школе“ (вышла четвертым изданием в 1950 г.); С. В. Филичев и Я. Ф. Чекмарев „Руководство к решению арифметических задач“, Учпедгиз, 1948; Г. Б. Поляк „Обучение решению задач в начальной школе“, изд. АПН РСФСР, 19501.

На предметных комиссиях преподавателей математики в школах, как правило, ставятся доклады о решении арифметических задач. На Всероссийском совещании учителей, не имеющих второгодников (август 1950 г.), был заслушан ряд докладов на ту же тему. Всё это говорит о том, насколько актуальна сегодня проблема обучения школьников решению арифметических задач.

Учитывая первостепенное значение этой темы, мы включили в сборник несколько статей, которые с разных сторон освещают этот важный для учителя советской школы вопрос.

1 Осуществление единого, всеобщего и обязательного семилетнего обучения в значительной мере стирает границы, в известной степени отделявшие до этого методическую литературу по математике для начальной школы от такой же литературы для V—VII классов. В отношении преподавания математики, как, впрочем, и других предметов, семилетнюю школу всё решительнее приходится рассматривать как единое целое. Так обстоит дело и с методикой решения задач.

Небольшая работа H. В. Каверина „Как обучать решению арифметических задач“ устанавливает важнейшие этапы решения задач. Этапы эти следующие:

1) усвоение условия задачи;

2) запись условия;

3) аналитико-синтетический разбор;

4) запись решения;

5) проверка решения;

6) работа над задачей после ее решения.

Каждый из этих этапов при серьезном, вдумчивом отношении к нему учителя улучшает процесс решения задачи и содействует лучшему ее пониманию. Остановимся на этих этапах подробнее.

1. Усвоение условия задачи должно быть сознательным. Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив себе смысла всех непонятных или незнакомых слов, которые входят в условие, не представив себе тех величин, с которыми придется оперировать при решении. Ученик должен представлять наглядно обстановку, в которой происходят явления, описанные в задаче; если эту обстановку представить трудно, то учителю нужно прибегнуть к каким-нибудь вспомогательным приемам. Самым простым из таких приемов является иллюстративный чертеж. Когда после чтения задачи целиком и по частям и применения нужных вспомогательных приемов ученик поймет и усвоит условие задачи, то он сможет уверенно приступить к ее решению.

2. Автор переходит далее к различным формам записи условия задач. Помимо обыкновенной формы записи, состоящей в переписывании всей задачи целиком, автор предлагает другие формы, более краткие, но лучше запоминающиеся и более удобные для сопоставления чисел, входящих в условие. На ряде задач он рассматривает различные формы записи, сопровождая их, где нужно, несложными иллюстративными чертежами.

3. Этот раздел посвящен разбору задачи и составлению плана ее решения. Автор очень кратко и только на одном примере рассматривает этот вопрос (впрочем, подробно освещенный в методике). Стремясь, главным образом, охарактеризовать важнейшие этапы в решении задач, автор озабочен тем, чтобы учитель не пропустил какого-нибудь важного звена в этом процессе. Что же касается деталей, то разработка их

предоставляется самому учителю. В данном разделе автор подчеркивает важность разбора задачи. Необходимо помнить, что этот разбор может быть либо аналитическим, либо синтетическим, но эти два приема почти никогда не применяются отдельно друг от друга; в школьной практике наиболее действенным, по воззрениям современных методистов, является аналитико-син-тетический разбор задач.

4. В разделе, посвященном записи решения задач, автор говорит о тех единообразных требованиях, которые следует предъявлять к оформлению задачи. Эти требования должны упорядочить процесс решения и облегчить наведение справок в тех случаях, когда нужно найти и рассмотреть задачу, решенную ранее. Решение каждой задачи на первых порах сопровождается подробным объяснением. С течением времени объяснения становятся короче. Правильное и разборчивое написание цифр постоянно находится в поле зрения учителя, применяется единообразная форма постановки наименований, для вспомогательных вычислений отводится постоянное определенное место; задачи с многозначными числами записываются по той же форме, как и задачи с небольшими числами, все же вспомогательные вычисления располагаются вне основного текста задачи.

5. В этом разделе говорится о проверке решения задач. Устанавливается, что можно различать два вида проверки. Первый состоит в обнаружении и устранении возможных вычислительных ошибок, а также в установлении соответствия между полученным результатом и числовыми данными задачи. От этой проверки нужно отличать проверку „жизненной практикой“. Последняя состоит в том, что мы ставим вопрос, реальны ли те числа., которые у нас получились при решении задачи, например, может ли быть в природе такой урожай, какой мы вычислили, может ли быть на производстве такая норма выработки, какая оказалась возможной в нашей задаче, и т. п.

6. Последний раздел касается работы над задачей после ее решения. Это существенный вопрос, и в школе не всегда ему уделяют внимание. Нельзя ограничиться одним решением задачи, необходимо поработать над ней и после решения, иначе след, оставленный задачей в сознании ученика, будет очень неглубоким. В статье

как минимум, намечаются следующие дополнительные операции над задачей: решение задачи другим способом, если это возможно, запись схемы решения, запись решения в виде числовой строчки, составление задач, аналогичных данной.

В статье А. Ф. Линника „Живая методика“ излагается опыт работы автора по арифметике в V классе. Изложение ведется в форме „заметок учителя“.

Автор сначала рассказывает о том, как он возбуждал у детей интерес к арифметике и прививал любовь к решению задач. Мы видим на живом примере, как учитель постепенно старался приучить своих учеников думать и самостоятельно выполнять заданную им работу. В статье можно видеть, как складывались отдельные этапы работы над задачей: усвоение условия задачи, составление плана решения задачи, конспективная запись главных моментов решения.

Далее автор кратко рассказывает о своем опыте организации самостоятельной работы учащихся и о некоторых видах этой работы. Интересны также те страницы, где автор говорит о том, как он учил объяснять решение задач, как дети обдумывали вопросы задачи и как рассуждали, выбирая действие для решения того или иного вопроса.

Заключительная часть статьи посвящена описанию попытки автора добиться изложения ученических решений задач и примеров в виде связного рассказа. Эта попытка, безусловно, заслуживает внимания.

Статья Л. Н. Березиной и Е. И. Беляевой „Решение арифметических задач в V классе“ знакомит с опытом ленинградских учителей, проводивших серьезную рабо-боту с детьми по усвоению ими функциональной зависимости между величинами, входящими в условие задачи. Для этой цели они практиковали составление силами учащихся „математического словаря“. Эта работа имеет серьезное педагогическое значение, так как обогащает язык наименованиями различных величин, расширяет словарный фонд, содействует развитию речи. В дальнейшем словарь используется при изучении изменений результатов действий в связи с изменением компонентов. Кроме того, авторы знакомят читателя с двумя такими оригинальными методическими приемами, как решение задач без числовых данных и устные контрольные работы

по арифметике. Ознакомление читателей с этими методическими мероприятиями представляется нам весьма полезным.

В статье Н. К. Барбалат „Решение задач в V классе с помощью составления формул“ рассматривается вопрос о том, как постепенно научить записывать решение задачи в виде числовой формулы1. Автор последовательно на ряде задач излагает свою методику. Здесь интересно то, что дети, не спеша, привыкают к формулам, конечно, на первых порах — числовым, и начинают ценить их. Почти незаметно для самих себя они знакомятся с простейшими уравнениями и арифметическими способами их решения. Предлагаемые автором упражнения полезны и интересны как пропедевтика алгебры.

П. Ф. Безматерных в статье „Арифметическое и алгебраическое решение задач с наглядными иллюстрациями“ говорит о необходимости использовать наглядные чертежи при решении задач как арифметическими способами, так и путем составления уравнения. Автор считает, что на первых порах наглядность является незаменимым средством, облегчающим и понимание содержания задачи и ее решение. Чертежи, которыми пользуется автор, очень просты. Это либо отрезки с соответствующими делениями, либо прямоугольники (окрашенные или заштрихованные).

Предлагая вниманию читателя задачу, автор последовательно рассматривает ее арифметическое и алгебраическое решения, оставляя, однако, открытым вопрос о связи между тем и другим. Возможно, что эта связь автором и не предполагается, а просто каждый вид решения, оснащенный наглядными иллюстрациями, мыслится на месте, указываемом программою, т. е. арифметическое решение в V — VI, алгебраическое — в VI —VII классах. Возможно, однако, что учащиеся VI класса, ознакомившись с решением уравнений, не без пользы для себя могут параллельно рассмотреть (может быть, даже на одном листе, разделенном на две вертикальные полосы)

1 Под понятие .формулы“ автор подводит и те случаи, когда зависимость между данными задачи и искомым выражается в неявной форме, т. е. фактически составляется уравнение, которое должно решаться на основе зависимости между компонентами и результатами арифметических действий.

оба способа решения. Записав слева арифметическое, а справа алгебраическое решение, они увидят, как с одной стороны можно формально записать известные арифметические факты, а с другой,— как можно осмыслить отдельные алгебраические операции.

Статья П. Ф. Безматерных знакомит нас с его опытом работы, не представляя собой попытки дать обзор всех возможных типов и разновидностей задач, которые решаются или должны решаться в средней школе. Автор рассматривает некоторые задачи и не ставит вопроса о том, являются ли они самыми важными и актуальными. Он желает привлечь внимание учителя и ученика к задаче как к явлению, которым стоит и интересно заниматься. Поэтому он старается дать, если можно, не один вариант решения и сравнительно долго останавливается на каждой задаче.

Подробный разбор в таком плане десятка задач, из помещаемых обычно в арифметических задачниках, может быть полезен как некоторый материал из опыта при изучении ряда вопросов, связанных с проблемой преподавания арифметики и алгебры в семилетней школе.

И. Н. Шевченко

Н. В. КАВЕРИН

учитель школы № 3, г, Кунцево, Московской обл.

КАК ОБУЧАТЬ РЕШЕНИЮ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Решение арифметических задач имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение, а потому на овладение навыками самостоятельного решения задач в школе надо обратить самое серьезное внимание. Неумение отдельных учеников самостоятельно решать задачи является нередко главной причиной низкой успеваемости и служит препятствием к получению дальнейшего образования.

Каковы же основные недочеты в решении задач и как можно их устранить?

Каждому знакома картина, нередко наблюдаемая в классе на уроках арифметики. Прослушав один раз задачу, некоторые учащиеся сразу приступают к выполнению действий и стремятся поскорее получить ответ, не понимая или забывая, что, прежде всего необходимо сознательно овладеть условием задачи и представить себе все величины, входящие в задачу, с их связями и взаимозависимостями; что, не запомнив условия задачи, не овладев ее содержанием, не продумав всех основных частей задачи,— нельзя приступать к заключительному этапу в решении, т. е. к вычислениям. Не составив плана решения, такие ученики записывают разрозненные действия на клочках бумаги, несколько раз перечеркивая свои небрежные записи, в которых иногда и сами не в состоянии разобраться; затем начинают нервничать, внушают сами себе: „Эта задача — трудная, она у меня не выйдет, мне ее не решить“ и в заключение бросают работу.

Как же надо работать над задачей? Следует обучать детей отдельным этапам работы над задачей: уменью

мобилизовать свои знания, сопоставлять старое с новым, усваивать условие задачи, читать его, слушать, записывать, представлять, понимать, запоминать; затем нужно постепенно обучать учеников устанавливать зависимости между величинами, входящими в условие задачи, и вырабатывать навыки разложения составной задачи на простые. На этих отдельных этапах работы над задачами мы и остановимся подробнее.

I. РАБОТА НАД УСЛОВИЕМ ЗАДАЧИ

Надо приучать читать условие „с чувством, с толком с расстановкой“, читать, вникая в смысл задачи; приучать читать не только подряд от начала до конца, но читать и по частям и перечитывать трудные места. Необходимо приучить так работать над условием, чтобы ученик представлял задачу динамически, а не статически, как отражение каких-то знакомых явлений, т. е. так же, как представляются известные предметы и явления, хотя их и нет перед глазами. Необходимо поставить за правило: не приступать к решению до тех пор, пока ученик не поймет и не запомнит полностью всей задачи и не составит плана своей работы.

Вот маленькая иллюстрация. Производя в ряде школ проверку навыков работы над задачей, мы наблюдали, как нелепо и с какими недопустимыми ошибками решали несложную задачу отдельные ученики всех классов с V по VII.

Приводимая ниже задача из курса IV класса не была решена не только отдельными учениками этого класса, но с этой задачей не справились от 20 до 30 процентов учеников V—VII классов. Вот текст задачи:

„Пашня занимает площадь в 120 га. Один трактор мог бы вспахать всю эту площадь в 6 дней, а другой трактор —в 12 дней. Во сколько дней могли бы вспахать ее оба трактора, работая вместе?“

Одни ученики делали ее так: к 6 дням прибавляли 12 дней, а затем делили пополам и на этом заканчивали решение, не смущаясь тем, что два трактора затрачивают на одну и ту же работу больше времени, чем один.

Другие получили подобные же нелепые ответы, хотя делали несколько иначе. Ошибка происходила по одной

простой причине: не вдумавшись в условие, не поняв его, ученики начинали искать решение.

Лучшие же ученики получили верное решение, и их процесс работы над условием задачи свелся к следующему.

„Я,— как рассказывал нам один из учеников,—внимательно прочитал первый раз условие и не все понял и запомнил. Затем прочитал второй раз, подумал и сообразил, что дело происходит так:

1) если бы в поле работал только первый трактор, то он вспахал бы 120 га в 6 дней;

2) если бы поле обрабатывал только второй трактор, то вспахал бы его в 12 дней;

3) выехали на работу одновременно оба трактора и вспахали всю площадь.

В задаче спрашивается, сколько времени надо двум тракторам, чтобы при одновременной работе вспахать 120 га.

Представив так задачу, естественно, эти ученики ее поняли и нашли верное решение.

Возьмем другую задачу, для решения которой необходимо сделать чертеж и кратко записать условие.

„Одновременно из пунктов А и В вышли навстречу один другому два автомобиля. Один шел со скоростью 50 км в час, а другой — 40 км в час. Встреча произошла на расстоянии 20 км от середины. Найти расстояние между А и Ва.

Для понимания условия этой задачи необходимо ясно представить все содержание задачи и сделать простенький чертеж.

Основное в этой задаче: гонять, какие надо знать величины, чтобы, произведя над ними определенные действия, получить ответ на главный вопрос задачи, т. е. узнать расстояние между пунктами А и В.

До решения такой задачи нужно убедиться упражнениями в решении простых устных задач на „встречу“, что ученики уяснили себе основное положение: для определения пути надо знать скорость обоих автомобилей и время движения.

Первая находится легко путем сложения скоростей автомобилей. Отыскание же времени движения труднее, поэтому на его получение и надо употребить максимум усилий.

Обращаем внимание на разность расстояний, пройденных до встречи каждым автомобилем, что составляет 20 -|- 20 = 40 (км), и на разность скоростей, что равно 50— 40= 10 (км). Отсюда легко определяется время движения автомобилей до встречи. Первый автомобиль за 1 час проходил на 10 км больше второго, а за все время он прошел больше на 40 км. Отсюда, очевидно, время движения будет равно стольким часам, сколько раз 10 содержится в 40, что дает время 4 часа.

Найдя эти величины, мы находим и все расстояние, что дает: 90-4 = 360 (км). Таким образом, мы получаем следующее решение:

1) На сколько километров первый автомобиль прошел больше, чем второй? 20 + 20 = 40 (км).

2) На сколько километров больше проходил за 1 час первый автомобиль, чем второй?

50 — 40=10 (км).

3) Сколько часов были в пути оба автомобиля?

40:10 = 4 (часа).

4) Какое расстояние проходят за 1 час оба автомобиля?

40 -f 50 = 90 (км).

5) Какое расстояние между А и Bf

90-4 = 360 (км).

Ответ: 360 км.

Очевидно, чтобы отыскать это решение, ученику нужно проделать большую работу по осознанию и пониманию условия задачи.

II. ЗАПИСЬ УСЛОВИЯ

Не останавливаясь на таких этапах работы, как повторение условия, постановка вопросов и объяснение отдельных трудных мест условия (что должно, конечно, иметь место), мы обращаем внимание на запись условия,

так как этот этап у ряда учителей, особенно у мало-, опытных, часто выпадает. Нередко приходится наблюдать что учителя учат записи решения, но совершенно игнорируют краткую запись условия.

Различным записям условия надо обучать так же, как обучают чтению, разбору условия и записи решения.

Недооценка краткой схематической записи условия вредит ясности восприятия. Значение краткой записи условия именно в том, что она содействует лучшему восприятию, осмысливанию и пониманию задачи. Нельзя требовать понимания связей между величинами, сравнения, сопоставления отдельных частей условия, когда не было первой предпосылки — восприятия.

В особенности необходима краткая запись условия трудных задач. Об этом говорит практика: лучшие ученики и даже сами учителя для решения трудных задач прибегают к краткой записи условия. Мы рекомендуем разнообразные приемы записи условия в зависимости от возраста и развития учащихся, а также от характера задачи.

Не обязательно, конечно, записывать условия всех задач. Здесь надо знать меру, применяя краткую запись условия только тех задач, где эта запись целесообразна и необходима. Понятно, если задача очень несложна и имеется в задачнике, то записи условия делать не надо, но если мы начинаем новый тип задач или даем задачу очень сложную, то здесь запись применять нужно, хотя бы это была задача из задачника.

Обращаем внимание на следующие виды записи условия:

а) краткая запись с обозначением наименований и постановкой главного вопроса;

б) запись условия в столбик или табличку с постановкой одного числа под другим с таким же наименованием. Эта запись применяется во многих задачах на пропорциональную зависимость, которой, как правило, связаны всевозможные величины, встречающиеся в задачах на движение, совместную работу и т. д.;

в) запись с иллюстрациями в виде схем или чертежей, изображающих нередко виды связи между данными и искомыми задачи, нелегко вскрываемые при простом чтении и разборе текста задачи.

Виды примерных записей

Задача. 30 учебников стоят на 14 руб. дороже, чем 40 задачников. Те же 30 учебников стоят на 14 руб. дешевле, чем 50 задачников. Сколько стоит один учебник и один задачник?

Краткая запись

Количество

Стоимость

Цена

30 учебников

на 14 руб. дороже 40 задачников

1 учебника?

30 учебников

на 14 руб. дешевле 50 задачников

1 задачника?

Иллюстрация к условию

Решение

1. На сколько задачников во втором случае больше, чем в первом?

50 — 40 = 10 задачников

2. Сколько стоят 10 задачников?

14 + 14 = 28 (руб.)

3. Сколько стоит 1 задачник?

28 руб.: 10 = 2 руб. 80 коп.

4. Сколько стоят 40 задачников?

2 руб. 80 коп..40 = 112 руб.

5. Сколько стоят 30 учебников?

112 + 14 = 126 (руб.).

6. Сколько стоит 1 учебник?

126 руб.:30 = 4 руб. 20 коп.

Ответ. 1 учебник стоит 4 руб. 20 коп.

1 задачник стоит 2 руб. 80 коп.

Задача. Один тракторист может вспахать участок в 120 га в 15 дней, другой тракторист вспашет такой же участок в 10 дней.

Во сколько времени при одновременной работе вспашут такой же участок два тракториста вместе?

Краткая запись

1-й тракторист

120 га

в 15 дней

2-й тракторист

120 га

в 10 дней

Оба вместе . .

120 га

?

Задача. На три склада доставлено некоторое количество тонн груза, причем на I и II склады доставлено 200 т, на II и III склады 150 т, а на I и III склады 220 т.

Сколько тонн груза доставлено на каждый склад в отдельности?

Краткая запись

Наименование

Количество груза

Вопросы: Сколько доставили груза

I и II склады

200 т

на I, II, III склад?

II и III склады

150 т

I и III склады

220 т

Пример более трудной задачи.

Задача. В двух кусках было одинаковое число метров ткани. После того, как от одного куска отрезали 18 м,

а от другого 25 м, в первом осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Сколько метров ткани было в каждом куске?

Решение

1. Сколько ткани осталось во втором куске?

25 — 18 = 7 (м).

2. Сколько метров ткани было в каждом куске?

25 + 7 = 32 (м).

Иллюстрация

III. РАЗБОР ЗАДАЧИ, ЕЕ ПЛАН

В процессе разбора задачи надо обращать внимание на такие вопросы: какие величины указаны в задаче, какая связь между ними, что дано, что надо найти, откуда и как; в какой последовательности мы можем подойти к решению вопроса задачи. Особенно важно использовать аналитический прием разбора. Результаты разбора записываются.

Возьмем задачу № 2168 из сборника Е. С. Березанской. Мать, дочь и сын вместе израсходовали некоторую сумму денег, причем мать и дочь вместе израсходовали 200 руб., мать и сын 220 руб., а сын и дочь 150 руб. Сколько денег израсходовал каждый из них?

Запись условия

Мать и дочь

200 руб.

Мать и сын

220 руб.

Сын и дочь

150 руб.

Иллюстрация

Обращаем внимание на главный вопрос задачи: сколько денег израсходовал каждый из членов семьи?

Можно ли это сразу узнать? Установив, что нельзя, продолжаем разбор задачи.

Вопрос. Что сказано в задаче о расходах дочери и сына?

Ответ. Дочь и сын вместе израсходовали 150 руб.

Затем наводим на мысль, что расходы дочери и сына могли быть одинаковыми, могли быть и разными. Какие же это были расходы? Обратив внимание на две первые верхние строчки, устанавливаем, что в обоих случаях расходы матери складывались один раз с расходом дочери, а затем с расходом сына. Если бы дочь и сын расходовали поровну, то, очевидно, расходы матери и дочери, матери и сына вместе были одни и те же. Этого в условии нет. Первый расход равен 200 руб., второй — 220 руб., т. е. расход матери и сына больше, чем расход матери и дочери; это же изображено и на чертеже, где второй отрезок прямой больше первого. Дальше путем наводящих вопросов устанавливаем, что для решения главного вопроса надо знать, на сколько больше израсходовал сын, чем дочь (это узнать можно).

Наконец, легко учащихся навести на мысль, что, зная сумму и разность двух слагаемых, т. е. общий расход дочери и сына и разницу в расходе, можно узнать отдельно расход дочери и сына. Узнав последние, можно определить расход матери.

Итак, устанавливаем с учениками, что для решения задачи нужен следующий план:

1. На сколько рублей расход сына был больше расхода дочери?

2. Сколько бы составлял расход дочери и сына, если бы расход сына был равен расходу дочери?

3. Сколько денег израсходовала дочь?

4. Сколько денег израсходовал сын?

5. Сколько денег израсходовала мать?

Применению аналитического приема разбора задач с самых ранних лет обучения придавали большое значение многие выдающиеся русские методисты — Беллюстин, Егоров, Эрн; этого же мнения держатся передовые учителя советской школы.

IV. ЗАПИСЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Запись решения задачи имеет большое значение, и поэтому она должна постоянно быть в поле зрения учителя. Мы не будем здесь давать ему готовых рецептов относительно того, что и как должен записать ученик при решении задачи, но советуем учителю продумать каждый пункт записи и выработать для себя единообразную форму фиксирования отдельных моментов задачи.

Решение задачи должно сопровождаться постановкой вопросов в письменной форме или объяснением тех действий, которые ученик выполняет. Только в этом случае учитель может, просматривая тетради, обнаружить речевые и смысловые ошибки своих учеников. Опыт показывает, что дети делают множество ошибок в том объяснительном тексте, который сопутствует решению задачи. Было бы недопустимым упущением со стороны преподавателя, если бы он не обращал внимания на эти ошибки, а интересовался только числовой стороной задачи. Если орфография, пунктуация и построение фразы не превлекают внимания учителя математики, то ученик невольно начинает думать, что это не имеет существенного значения и что об этом нужно думать только на уроках русского языка.

Учитель должен выработать определенные правила записи плана решения. Ему нужно решить самому, будет ли он требовать от учеников предварительной записи плана задачи, или план будет записываться вместе с решением. Повторяем, личный опыт учителя здесь подскажет ему больше, чем готовый рецепт, преподанный извне.

Необходимо следить за правильным и разборчивым написанием цифр. Ученики должны понимать, что это требование — не „придирка“ и не погоня за внешней красотой. Конечно, нужно стремиться и к изящному оформлению задач — красивое всегда лучше безобразного. Но главное основание для такого требования лежит все-

таки не в эстетике, а в существе дела. Ученики, небрежно и неряшливо записывающие решение, сами не разбирают написанных ими цифр, путают одни цифры с другими и получают неправильный результат.

Затем учитель должен выработать для детей рациональную, удобную и не громоздкую форму записи наименований при решении задач с именованными числами. Этот вопрос уже обсуждался на страницах журнала „Математика в школе“1, откуда преподаватель может почерпнуть руководящие указания.

Наконец, необходимо преподать ученикам руководящие указания относительно расположения вспомогательных вычислений и вычислений с многозначными числами. Ученики иногда выполняют эти вычисления на отдельных листках бумаги и, конечно, не сохраняют своих черновиков. Учитель может приучить своих учеников делать всякие вспомогательные и черновые вычисления в особом месте рабочей тетради; для этого можно разделить лист тетради на две части, из которых одна и будет предназначена для всяких черновых расчетов. Мы и здесь не даем учителю рецептурных указаний, но настаиваем на необходимости упорядочить ведение ученических тетрадей с тем, чтобы в любой момент в тетради можно было найти все, что требуется. Положим, ученик получил неверный результат при верном способе решения; необходимо установить, в каком месте была сделана ошибка. Если обе половины тетради (и черновая, и беловая) ведутся тщательно, то ошибку обнаружить нетрудно.

V. ПРОВЕРКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Недостаточное внимание к проверке решения задач говорит не только о нарушении одного из требований нашей советской педагогики, но и свидетельствует об игнорировании важного средства в отыскании верного приема решения. Разве можно было бы встретить при наличии проверки, при сопоставлении ответов с практикой такие нелепые ответы, какие приходится иногда видеть в тетрадях наших школьников? Вот примеры.

1 1950 г., № 3 — статьи А. Н. Барсукова, Ф. А. Горбушина Т. А. Пескова, Н. А. Принцева.

При подсчете стоимости одного трудодня у учеников V—VII классов школ одного района получилось в ответе от 287 тыс. до 1,5 млн. рублей за трудодень.

У десятиклассников в одной работе вышло, что корове на целый год достаточно 15 кг сена.

Пятиклассник насчитал однажды, что на одном кв. метре вырастет 50 центнеров пшеницы, а другой, что если на склад привезти 40 тонн, а затем того, что там было, то количество груза не увеличится, а будет меньше первоначального; у третьего — с одного улья собрали столько меда, что его не увезешь и на грузовой машине.

Если бы ученики умели проверять, умели вдумчиво относиться к условию задачи, сопоставляя свои ответы с практикой и наблюдениями, то никогда не давали бы подобных ответов. Полезно чаще обращать внимание на запас представлений и наблюдений ученика и сопоставлять их с тем, что дается в задаче; тогда будет изживаться разрыв между книгой и жизнью, а с ним и нелепые ответы. Очень важно также решать задачу не только по готовым данным, но по материалам, собранным из практики; это сделает работу более интересной, разнообразной и целенаправленной.

Если содержание решенной задачи взято из окружающей ученика жизни (уборка урожая, животноводство — в сельских местах, фабрично-заводская практика — в городах), то после получения ответа на вопрос задачи следует проверить этот ответ сопоставлением книжных данных с жизненными фактами. В случае значительного расхождения найденных результатов с жизнью нужно выяснить причины этого расхождения. Иногда дело просто в том, что в задачнике или в справочнике даны, положим, цены или нормы ошибочные, устарелые или имеющие место в каких-нибудь отдельных областях нашей страны. В этом случае, конечно, учащиеся не при чем. Но если числа, фигурирующие в условии задачи, вполне соответствуют действительности, то ошибка в результате должна указывать на неверный план решения или на какие-нибудь погрешности в вычислениях.

Если же задача заимствована из такой области, что проверка ее „практикой“ невозможна,— все же нельзя оставлять задачи без проверки, но только проверка эта будет иная. Вообще нужно принять за правило — прове-

рять решение каждой задачи, потому что в процессе вычисления неизбежны ошибки, от которых не застрахован даже опытный вычислитель. Воспитательное значение проверки состоит в том, что ученик, систематически выполняющий контроль решения своих задач, постепенно привыкает смотреть на контроль как на необходимое звено каждой работы. Что касается способов проверки, то учитель всегда укажет ученику наиболее целесообразные из них.

Например, в задаче, рассмотренной в III разделе, были даны расходы матери и дочери (200 руб.), матери и сына (220 руб.), сына и дочери (150 руб.). Решение задачи показывает, что расход матери составляет 135 руб., дочери—65 руб. и сына —85 руб. Для проверки можно сложить попарно найденные числа, и мы придем к числам, данным в условии задачи.

VI. РАБОТА НАД ЗАДАЧЕЙ ПОСЛЕ ЕЕ РЕШЕНИЯ

Надо приучать учащихся проводить над задачей определенную работу и после ее решения, а именно: кроме проверки ответов по условию задачи, необходимо практиковать:

а) решение задачи другими способами;

б) запись схемы решения или разбора условия;

в) запись решения в виде числовой формулы;

г) составление задач, аналогичных данным.

Все эти работы над задачей имеют большое воспитательное значение, учат думать, рассуждать, вызывают интерес, приучают к ответственности, плановости, систематичности в работе. Очень важно проанализировать разные приемы решения и составления учениками задач. Лучшие решения задачи надо демонстрировать перед всем классом и поощрять таких учеников. Полезно ставить отметку за эти работы. Все лучшие в решении моменты надо записать в особом журнале или в специальной тетради — дневнике. Надо уметь учитывать каждую новую мысль ученика, его творчество, его инициативу. Вот пример задачи, составленной учеником по аналогии с задачей, приведенной выше (в разделе III).

„Колхоз подарил госпиталю некоторое количество фруктов, причем число килограммов яблок и слив равнялось 1 200, число килограммов слив и груш составляет 1150, число килограммов яблок и груш составляет 1 220 кг.

Сколько килограммов яблок, груш и слив в отдельности получил госпиталь?“

Работу по составлению задач на основе числовой формулы мы видели у лучших учителей. Вот примеры такой работы.

Ученики, решив одну задачу, записали ее в виде числовой формулы так:

200:4 + 30.

Учитель предложил по этой формуле составить каждому ученику свою задачу. Поднялся лес рук. Каждый ученик предлагал свою, составленную им задачу. Один предлагал такую:

„Колхоз получил 200 ягодных кустов и посадил их поровну на 4 участка. Сколько кустов оказалось на каждом участке, если до получки на них было по 30 кустов?“

Другой ученик составил такую задачу.

„Велосипедист должен был проехать 200 км. В первый день он проехал четвертую часть всей дороги, а во второй день 30 км. Сколько километров проехал велосипедист за оба дня?“

Полезны еще и такие упражнения по составлению задач, когда ученики по заданию учителя подбирают материалы из газет, журналов, справочников, книг и по этим данным составляют свои задачи, составляют таблицы и проводят расчеты, нужные семье, классу, школе, колхозу, заводу, району, государству.

Полезно проводить практические и измерительные работы и по этим данным составлять и решать задачи (например, измерение земельных участков, овощехранилищ, зданий и т. п.).

После решения задач хорошо с учащимися классифицировать часто встречающиеся в задачах величины.

Например, найти задачи, в которых имелись бы или требовалось найти такие величины:

1. Путь, скорость, время.

2. Цена товара, его количество и стоимость.

3. Работа, число рабочих и время работы.

4. Норма выработки, время работы и полученная продукция.

5. Объем, удельный вес и вес тела и т. д.

При этом можно пользоваться таким наглядным пособием (его легко соорудить силами учащихся под руководством учителя).

Зависимость между величинами

Примечание. Внизу каждого прямоугольника имеется открытый конверт с набором цифр, пользуясь которыми, можно решать большое количество задач.

Полезно давать учащимся задания по составлению задач с прямо и обратно пропорциональными величинами, чаще проводить разбор специально подобранных задач с более трудными зависимостями величин.

Должно также решать много примеров на зависимость между компонентами действий, а также задач, где эта зависимость имеет место в скрытом виде, например:

„Утроенное число, увеличенное на 5, равно 65. Найти это число“.

Такого рода задачи должны без затруднений решаться устно, начиная со второго года обучения. У нас иногда подобные задачи отказываются решать в V и VI классах, ссылаясь на то, что их можно решать только в старших классах, где ученики будут решать их составлением уравнения.

Целесообразно давать ученикам ряд общих указаний по приемам работы над задачей, изготовлять наглядные пособия, образцы решений различных видов задач, таблицы зависимостей между величинами и т. п.; надо изучать приемы работы учащихся и подвергать их подробному обсуждению.

Этапы работы ученика над арифметической задачей

I. Сознательное овладение условием задачи.

а) подготовительная работа.

Мобилизация внимания и нужных знаний для решения данной составной задачи (иногда требуется использовать в задаче знания из другой дисциплины, например, из физики, географии, химии и т. п.; связь или аналогию задачи с другой — из пройденного раздела);

б) чтение или слушание условия.

Надо приучить учеников к выразительному, раздельному, сознательному чтению.

Виды чтения: чтение от начала до конца; чтение по частям; перечитывание трудных мест с попутным объяснением отдельных трудных слов и терминов.

II. Запись условия.

а) краткая запись в строчку, с обозначением наименований и постановкой главного вопроса задачи;

б) запись в столбик или таблицу, с постановкой в один ряд однородных величин или запись различных моментов, имеющихся в условии, в отдельные строчки;

в) запись с употреблением схем, чертежей и тому подобных иллюстраций условия задачи;

г) повторение условия.

III. Разбор условия задачи. Установить:

а) что известно в задаче;

б) что надо найти;

в) какие в задаче указаны величины и какое соотно-шение между ними. Здесь же должны быть объяснены непонятные слова и термины;

г) как разложить составную задачу на ряд простых задач (применяя при разборе задач синтетический, аналитический и аналитико-синтетический приемы);

д) как можно составить план решения задачи.

IV. Решение задачи.

V. Проверка решения.

а) проверка «практикой»;

б) проверка правильности решения путем вычислений.

VI. Работа над задачей после ее решения.

а) решение данной задачи другими, более короткими и изящными способами;

б) запись решения числовой формулой;

в) составление учениками задач, аналогичных решенной, с привлечением материала из своих наблюдений, данных газет, журналов, книг и практики социалистического строительства.

Особо важное значение мы придаем связи теории с практикой, целенаправленности в работе учашихся, использованию в задачах данных, добытых самим учеником из книг, газет, журналов, наблюдений; вообще данных, полезных в жизни.

В заключение нам хотелось еще раз подчеркнуть, что каждый педагог, обучая своих учеников основам математических наук, должен уделять максимум внимания овладению рациональными приемами самостоятельной работы.

Обучая математике, в то же время надо учить своих учеников учиться. Надо глубже знать каждого школьника, уметь во-время заметить не только его ошибку, но его мысль, все ценное, творческое в его работе и создать условия для его культурного роста. Надо в своей работе помнить, как учитель Карташевский во-время заметил большой интерес у своего лучшего ученика Лобачевского и помог юному гимназисту стать в будущем великим математиком. Учитель Карташевский много занимался с Лобачевским отдельно, много содействовал удовлетворению его далеко идущих вперед математических интересов.

А. Ф. ЛИННИК

учитель средней школы № 14, г. Электрогорск, Московской обл.

ЖИВАЯ МЕТОДИКА

(Заметки, впечатления, примерные уроки в V классе)

За последние двадцать лет своей педагогической деятельности я имел дело или со студентами педагогических высших учебных заведений, или, главным образом, с учениками старших классов средней школы.

Родилось сильное желание заниматься с учащимися младшего возраста, чтобы получить возможность в процессе работы уделить особое внимание их математическому развитию. Поэтому я был несказанно рад, когда узнал, что мне в следующем учебном году поручают вести арифметику в V классе.

Учащиеся V класса были сборные — из разных школ. Учили их разные учителя и по-разному. Для меня было ясно одно, что решать задачи они не научились: если задача подходила к знакомому им рецепту решения, то кое-как, с грехом пополам, справлялись, но чуть по-иному построишь условие задачи или поставишь „роковой“ вопрос—„почему надо так делать?“ и уже ответа не получаешь.

Спросил как-то ребят, кто какой предмет любит, кто к чему имеет склонность. Кто за географию, кто за историю, кто книжки любит читать, кто рисовать. А о математике никто и не вспоминает. Завязалась по этому поводу беседа.

— Почему это никто не сказал мне, что любит решать задачи?

— А разве можно любить решать задачи? — наивно спрашивает одна из учениц. — Это так скучно!

— Можно,— говорю,— любить решать задачи так же, как и книжки читать: вот я люблю решать задачи, особенно трудные.

— Трудные, как же это так? — удивленно смотрят на меня учащиеся.

— Да-да! Особенно трудные. Когда решишь трудную задачу, то испытываешь особое удовольствие...

Ну, что же, хотите, чтобы я научил вас получать удовольствие от решения задач?

— Да, да, хотим! — дружным хором подхватили ребята.

— Только предупреждаю, что вначале это покажется довольно трудным делом, и я потребую, чтоб вы выполняли очень важное условие — были внимательны. Без этого ничего не выйдет.

— Это, чтобы не шалить на уроках?

— Нет, не совсем то: можно и сидеть смирно, а быть невнимательным. Быть внимательным — значит слушать, что говорит учитель и товарищи, не пропускать ни одного слова, стараться отвечать на все вопросы учителя, да притом правильно отвечать, а правильно отвечать — значит думать.

— Кто из вас видел картину Богданова-Бельского, которая называется „Устный счет“ или „Трудная задача?“

Ученица Клеенкина: У меня есть открытка с этой картины.

— Принеси, покажи ребятам, побеседуем.

На следующий день она принесла эту открытку. Был урок самостоятельной работы: дети решали довольно трудную задачу. Прекращаю работу, вынимаю открытку, посылаю ее по рядам. Началась беседа.

— Обратили вы внимание на ученика, который изображен на переднем плане?

— Да.

— А что он делает?

— Он думает, как решить задачу.

— В этом-то все и дело,—говорю,—посмотрите на остальных, что каждый делает.

— Каждый думает.

— А что делает ученик, стоящий рядом с учителем?

— Вероятно, он тихо говорит учителю решение задачи.

— Почему тихо говорит?

— Чтобы другие не слыхали.

— А почему другие не должны слышать?

— Это помешает думать другим, и тогда не получится самостоятельного решения задачи.

Я подвожу итоги.

— Вы видите по картине, что все ученики думают, причем думают серьезно, об этом нам говорит фигура мальчика, стоящего ближе к нам. Думают, значит, работают самостоятельно. Так ли у нас?

— Нет, не так. Одни думают, а другие списывают,— вдруг признаются ребята.

— Я это хорошо знаю, и это одна из причин, почему одни умеют решать задачи, а другие не знают даже, как за это взяться.

— А мы и не знаем, как надо думать — не выдерживают некоторые любительницы списывать.

— Вот это уж мое дело — научить вас думать. Я все время и стараюсь это делать, да беда в том, что некоторые из вас плохо слушают.

— Расскажите, над чем надо думать, когда решаешь задачу?

— Надо прежде всего продумать условие задачи и вопрос задачи.

Помните: не надо приступать к решению задачи до тех пор, пока всего в задаче не поймешь. А вопрос задачи надо так запомнить, чтобы он все время был в голове. Ну, а дальше что нужно делать?

— Дальше надо составить план решения задачи.

— Лучше всего при этом начинать с главного вопроса.

— Хорошо! Затем мы решаем задачу. О чем надо думать, прежде чем записать действие?

Надо сначала построить рассуждение, чтобы объяснить, почему такое действие надо записать.

Дети с большим трудом понимают, что значит „рассуждать“.

— Давайте на примере покажем, что значит рассуждать. Решим такую простую задачу: В бассейне 300 ведер воды. В каждый час из бассейна выкачивают по 25 ведер. Во сколько часов выкачают всю воду?

Сначала постройте рассуждение, а потом скажите, какое действие надо сделать для решения вопроса.

Объяснение деления по содержанию дается после больших усилий. При помощи лучших учеников получаю

ответ: „В час выкачивают 25 ведер, а надо выкачать 300 ведер, значит, сколько раз 25 ведер воды содержится в 300 ведрах воды, столько часов потребуется, чтобы выкачать всю воду.“

— Какое же действие надо для этого сделать?

— Здесь надо сделать деление.

— Так, хорошо! Значит, при выборе действия сначала надо построить рассуждение. Запомним это. Какое еще условие надо соблюдать при решении?

— Надо каждый раз проверять, правильно ли делаешь действие.

— Так, дети! Это очень важно: без проверки вы можете запутаться в вычислениях, усложнить работу и не решить задачи, несмотря на то, что план решения составлен правильно.

Урок продумывания условия задачи

Уроки решения задач с объяснением обычно строю фронтальным приемом — я должен знать, как работает мысль всего класса, всех учащихся.

Как известно, при решении задачи сначала идет работа над условием задачи, которое должно быть хорошо усвоено и понято учащимися. Однако при самостоятельном решении задач учащиеся меньше всего над этим работают. Обычно, прочитав условие, они сразу берут перья и начинают строчить.

Причина в том, что учащиеся не умеют продумывать условие задачи. Поэтому время от времени я стал проводить особые уроки продумывания условия задачи. Вот один из них.

— Ребята, сегодня у нас будет не обычный урок. Вы знаете, что при решении задачи очень важно хорошо разобраться в ее условии, но я заметил, что многие из вас не умеют работать над этим. Поэтому решил научить вас этому. Сегодня наш урок носит название: „Работа над условием задачи“.

Достаньте задачники, найдите задачу № 994, прочитайте условие два-три раза и приготовьтесь отвечать на мои вопросы.

Через несколько минут спрашиваю: Все ли слова понятны в условии задачи?

— Все!

Однако Калинина встает и заявляет, что она не понимает слова „пашня“. Охотников объяснить находится-много.

— Пашней называется участок, на котором хлеб растет.

— А почему он так называется?

— Потому, что перед посевом хлеба землю пашут.

— Хорошо, я читаю, слушайте:» всей земли занято лугом“.

— Как вы понимаете это выражение?

— Да это понятно.

— Ну, а все-таки, Филатова, объясни нам это. Филатова: Вся земля разделена на 9 равных частей, а для луга отведено 4 части.

— Так. А известно ли, сколько было гектаров земли?

— Нет,, не известно. Об этом спрашивается в задаче. Куликов: Мы можем всю землю принять за единицу.

— Тогда чем измерен луг в условии задачи? Выясняем, что он измерен частью единицы.

— Читаем дальше: „у остатка занято пашней“.

— Можно ли это понять так, что под пашню отвели у всего участка?

— Нет, раньше надо узнать, какая часть осталась, а потом взять у от полученного числа.

— Это очень хорошо. Скажите, чем мы до сих пор измеряли луг и пашню?

— Частями единицы.

— Читаем дальше: „А остальные — лесом“. Ну, на этом останавливаться не будем, думаю, что это вы хорошо понимаете. Впрочем, все-таки проверим. Скажи, Антонова, как ты это понимаешь?

Антонова, одна из слабых учениц, объясняет:

— Под лесом будет столько земли, сколько остается после луга и пашни.

— Сенина, прочти вопрос задачи.

Сенина читает.

Я говорю: Вот здесь надо найти площадь пашни, луга, леса, а чем они должны быть измерены? Мы до сих пор измеряли их единицей (вся земля) и частями

единицы (луг и пашня), а какого измерения требует вопрос задачи?

Куликов: Надо измерять площадь гектарами.

— Верно, но что же поможет нам это сделать? Молчание.

— Ну, еще хорошенько всмотритесь в условие, нет ли там измерения гектарами.

— Есть, сказано — 260 га.

— Да, надо обратить особое внимание на это число. Оно является своего рода ключом к решению задачи. Поймете, что оно обозначает, и задача будет решена. Прочтите внимательно, что об этом числе сказано в условии задачи.

— Сказано, что под лугом было больше, чем под пашней, на 260 га.

— Верно, но как же это число поможет решить задачу?

— Надо узнать, скольким частям единицы равны эти 260 га, a потом уже узнаем всю площадь и т. д.,— быстро соображает Бочкова.

— Правильно! Вот мы и нашли ключ к решению задачи.

— Дети, не кажется ли вам, что, работая над условием задачи, мы уже как будто решили ее? Я уверен, что вы скажете план решения без затруднения.

— Бочкова! Попробуй рассказать план решения задачи

Бочкова отвечает:

— Надо сначала узнать, сколько частей единицы осталось после того, как отвели участка под луг, затем найдем, сколько частей было отведено под пашню, а потом найдем, какую часть участка занимал лес.

— Хорошо. Саманина, продолжай.

— После этого узнаем, скольким частям участка равны 260 га, и по найденной части найдем всю землю, а затем и площадь леса.

— Хорошо, теперь вы должны понять, как легко задача решается, если продумать ее условие.

— Прочтите задачу № 996б, вдумайтесь в условие и скажите план решения.

Дети без особого труда быстро справляются с заданием, так как задача подобна только что разобранной.

Даю задание на дом: продумать условие двух задач и наметить план решения.

На этом урок заканчивается.

Уроки составления плана решения задачи

Уметь составлять план решения задачи—это, пожалуй, самое главное. Обучаю этому самыми разнообразными приемами. Прежде всего я много упражняюсь с детьми в составлении плана решения простых задач. Сначала предлагаю такие примеры:

1) Купили 3 м материи по 12,25 руб. за метр. Какой вопрос можно поставить, зная это?

2) Что можно узнать, если известно, что поле имеет 80^- га и у этого поля засеяно пшеницей?

3) Мать дала тебе 6 руб. 80 коп. и послала в магазин за крупой. Крупа продается по 3,4 руб. за килограмм. Крупу ты купил на все деньги. Какую задачу ты решил при помощи этих данных?

Другая группа упражнений заключается в подборе данных для решения того или иного вопроса. Например:

1) надо узнать, через сколько часов встретятся путники, вышедшие из двух пунктов одновременно навстречу друг другу. Подберите данные для решения этого вопроса;

2) надо огородить участок прямоугольной формы. Требуется определить, сколько кольев потребуется для изгороди. При каких условиях это можно узнать?

Третья группа упражнений состоит в том, что учащиеся сами составляют простую задачу полностью.

На специальных уроках по составлению плана решения задачи прежде всего привлекаю внимание учащихся к вопросу, поставленному в задаче. Оказывается, не всегда его можно решить сразу по тем данным, которые имеются в задаче; эти данные дают возможность решать другие вопросы, вспомогательные. Эти последние помогают отыскать те числа, которые нужны для решения главного вопроса. Прежде всего и надо уметь наметить те вспомогательные простые задачи, при помощи которых будет решен вопрос, поставленный в самой задаче. Это и называется планом решения задачи. Для составления плана надо уметь использовать данные в условии задачи, надо помнить, что обычно все данные должны быть

охвачены планом, надо знать, что должны быть составлены такие простые задачи, которые, действительно, приведут к решению вопроса.

На одном из уроков надо было составить план решения такой задачи: „В курином яйце вес белка составляет в среднем -g- веса всего яйца, вес желтка веса белка, остальной вес яйца приходится на скорлупу. Сколько яиц, весом по 63 г каждое, было в ящике, если вес скорлупы, оставшейся от этих яиц, оказался равным 10,08 кг?"

При усвоении условия задачи внимание учащихся было обращено на то, что если вес белка составляет — веса одного яйца, то и вес белка всех яиц также равен jj- веса всех яиц. Задаю вопросы.

— Ребята, мы должны составить план решения этой задачи. Скажите, в чем будет заключаться наша работа?

— Нужно составить ряд простых задач, которые помогут решить главный вопрос.

— Какой же главный вопрос в нашей задаче?

— Сколько яиц, весом по (33 г каждое, было в ящике.

— Почему же этого нельзя решить сразу?

— Потому, что в задаче не сказано, сколько весили все яйца.

— Так, значит, наша задача, заключается в том, чтобы найти вес всех яиц. Обратимся к условию задачи. Скажите, какой вопрос можно решить, зная, что вес белка составляет ~ веса яйца, вес желтка равен ^ веса белка?

— Можно узнать, сколько весит желток.

— Ответ не совсем точен, он даже непонятен. Когда говорят „сколько“, то добавляют наименование какой-либо единицы измерения, например, сколько метров, сколько граммов и т. п. А можете ли вы здесь добавить наименование какой-либо единицы? Подумайте.

— Нет, нельзя, например, сказать: „Сколько граммов весит желток“, так как он измерен не граммами, а частями,—рассказывает отличница Ефремова.

— Верно. Как же в таком случае надо поставить вопрос?

— Сколько частей весит желток?

— Это немного лучше, чем раньше вы ответили, но непонятно, каких частей, — ведь части берутся от единицы, а от какой единицы, из вашего ответа не видно. От какой единицы мы будем брать части для желтка? Давайте, посмотрим, какой единицей измерен белок и желток в условии.

— Белок выражается в частях яйца, а желток в частях белка.

— Ну вот, очевидно, нам надо выразить вес желтка в частях веса яйца. Как же правильно надо поставить вопрос?

— Сколько частей яйца составляет желток?

— Да, но в этом случае лучше говорить так: „Какую часть веса яйца составляет вес желтка?“ Запомните. Ну, дальше будет легче. Мы знаем, какую часть яйца составляет белок, узнаем, какую часть яйца составляет желток.

— Какую простую задачу мы можем дальше решить?

— Какую часть яйца составляют белок и желток вместе.

— Для чего надо решить такой вопрос?

— Мы потом узнаем, какую часть яйца составляет по весу скорлупа.

— Хорошо! А почему нам важно знать это? Клеенкина: Мы нашли ключ задачи. В условии сказано, что скорлупа от всех яиц весит 10,08 кг. Раз мы узнаем, какую часть яйца составляет скорлупа, то по дроби узнаем вес всех яиц.

— Замечательно! Вы вспомнили, что в каждой задаче есть свой ключ. Мы узнаем, какую часть веса одного яйца составляет вес скорлупы, а 10,08 кг — это вес скорлупы от всех яиц. Как же тут быть?

— Мы сначала установили, что если скорлупа составляет какую-то часть от одного яйца, то такую же часть в среднем составляет вся скорлупа от всех яиц.

— Итак, мы кончили составлять план решения задачи. Повторим его. Начинай, Куприч.

— Сначала надо узнать, какую часть составляет желток.

— Дальше продолжай, Саманина.

— Потом узнаем, какую часть яйца составляет белок и желток вместе.

— Дальше, Пронина.

— Какую часть яйца составляет скорлупа?

— Как же дальше, Родина?

— А дальше мы узнаем вес всех яиц.

— А какой главный вопрос?

— Сколько было всего яиц в ящике, если каждое яйцо весит в среднем 63 г?

— Можем решить этот вопрос после того, как узнаем вес всех яиц?

— Да, можем.

— Значит, и план решения задачи составлен. Повтори его, Пронина, в целом.

Предлагаю учащимся записать план решения задачи в тетради с попутным решением каждого вопроса.

Изложенный прием составления плана решения задачи имеет и свои трудности для учащихся: по одним и тем же данным условия можно решать различные вопросы. Учащийся должен все время иметь в виду главный вопрос и устанавливать связь с ним в каждом вопросе, а это трудно делать в очень многих задачах. Поэтому сравнительно чаще я прибегаю к другому приему: в основу составления плана кладу анализ задачи. Дети постепенно втягиваются в этот процесс, он им начинает нравиться, они начинают любить его.

Обучая этому приему составления плана, я вначале очень много записываю, заставляю и детей записывать, а затем постепенно сокращаю работу и в конце концов ограничиваюсь быстрым устным анализом. Остановлюсь на одном из таких уроков. Замечу, что для таких уроков надо выбирать задачу средней трудности и с одним главным вопросом.

Читаю условие задачи: „На корабле открылась течь, через которую вода прибывала в среднем в час по А^куб.м. Течь обнаружили через 40 мин. после ее образования и воду стали выкачивать двумя насосами; первый насос выкачивает в час 2-j куб. м воды, второй — 3^- куб. м. Сколько времени должны действовать насосы, чтобы выкачать всю воду?“ Задача из задачника Березанской № 2228 — несколько видоизмененная.

Условие задачи кратко записывается на доске. Как обычно, вначале осмысливаем условие задачи. Дети уясняют, что во время действия насосов вода продолжала прибывать. И насосы только потому могли выкачать

набежавшую за 40 мин. воду, что они выкачивали воды в час больше, чем ее прибывало.

После предварительной беседы приступаем к составлению плана решения задачи. На доске и в тетрадях учеников заготовлена схема-таблица, куда будет записан этот план. Начинаю беседу.

— Повторите главный вопрос задачи.

— Сколько времени должны действовать насосы, чтобы выкачать всю воду?

— Какую это всю воду?

— Ту воду, которая набежала в корабль за 40 мин.

— Только ли эту воду надо было выкачать?

— Нет, надо было выкачивать и ту воду, которая прибыла во время работы насосов.

— Хорошо. Ну, теперь скажите, можно ли решить главный вопрос сразу. Если нельзя, то почему?

— Нельзя, потому что мы не знаем, сколько воды набежало за 40 мин. и сколько воды выкачивали два насоса в 1 час.

— Значит, для решения главного вопроса надо решить другие две простые задачи. Скажите, какие.

— Первая задача такая. За 1 час прибывало 4у куб. м воды. Сколько — за 40 мин.?

— Так. Скажите вторую задачу.

— Первый насос выкачивает за 1 час 2^- куб. м воды, а второй — 3 ~ куб. м. Сколько воды выкачивают вместе оба насоса в 1 час?

— Верно. Такую задачу можно решить. А вот теперь подумайте хорошенько, можно ли, решив эти две задачи, решить главный вопрос.

Дети припоминают, что вода продолжала прибывать, когда насосы начали свою работу.

— Ну вот, насосы, скажем, выкачивают за час 5-|- куб. м воды. А в корабле на столько воды убывает?

— Нет. Не на столько, а надо вычесть 4~ куб. м из куб.м.

— Почему?

— Потому что за час набегало новой воды 4~ куб.м.

— Значит, для решения главного вопроса надо знать, сколько воды набежало за 40 мин. И что еще?

— На сколько кубических метров воды убывало в корабле благодаря работе двух насосов?

Эта формулировка дается с трудом, но все же я добился ее от учащихся.

— Теперь запишем решение задачи.

Обучение самостоятельной работе

Умение учащихся самостоятельно работать имеет громадное значение.

Чтобы добиться поставленной цели, я провожу разного рода уроки самостоятельной работы: на одних даю предварительные указания, на других разрешаю обращаться в необходимых случаях за помощью ко мне, даю и уроки совершенно самостоятельной работы. Однако последние уроки отличаю от так называемых „контрольных“. Стараюсь воспитать у учеников мысль, что на уроках самостоятельной работы они продолжают учиться, тренироваться, а на „контрольных“ уроках проверяют себя, дают отчет учителю о своей работе.

Самостоятельные работы требуют обязательной проверки в кратчайший срок и оценки, причем необходим тщательный анализ ошибок и необходимы указания, как устранить замеченные недостатки.

Привожу пример урока самостоятельного решения задачи с частичным анализом ее условия.

Обращаюсь к ученикам:

— Сегодня вы будете самостоятельно решать задачу. Ключ к решению этой задачи довольно сложный. Решим сначала простую задачу: „Имеется два куска материи. Если шить пальто из материи первого куска, то останется 4* My а из материи второго куска пальто сшить нельзя, так как нехватит м материи. Какой кусок длиннее и на сколько?“

На первый вопрос учащиеся ответили быстро, а второй поставил их в затруднительное положение: дело в том, что я требую отвечать только в том случае, если умеешь объяснить сказанное.

Тогда я начертил на доске прямоугольник.

— Этот прямоугольник изображает первый кусок. Как получить из него отрез на пальто?

— Отрезать лишние полметра. Заштриховываю кончик прямоугольника.

— Второй кусок больше или меньше отреза на пальто?

— Меньше на три четверти метра.

Черчу еще раз отрез на пальто; заштриховываю лишнее.

— Теперь скажите, на сколько метров длиннее второй кусок?

Дети ответили довольно быстро: первый кусок на -J м-\-^м, всего на 1-^- м длиннее второго.

После этого предлагаю открыть задачник на 230 странице и решить самостоятельно задачу № 2284.

— Вы должны получить в результате вашей работы план решения задачи в форме вопросов и решение. Можно сначала написать план, а потом решение, а можно каждый вопрос сопровождать соответствующим решением. Ко мне за помощью не обращайтесь, решайте совершенно самостоятельно.

Желая проверить, насколько помогла подготовительная работа, я через несколько минут обращаюсь к классу с вопросом:

— Вы нашли тот ключ, при помощи которого будете решать задачу?

— Нашли, нашли — слышатся деловые возгласы.

— Расскажи, Турковская, как ты решила задачу, а то я вижу, что некоторым трудно.

Турковская: В этой задаче говорится, что надо сшить семь платьев из двух кусков; если сшить из одного куска, то останется 3,5 ж, а в меньшем нехватает 5,6 м. Можно узнать, на сколько метров первый кусок длиннее второго.

— Так! Продолжайте работать.

Через несколько минут поступает для проверки 4—5 работ. Тут же проверяю, ставлю оценки и заношу в журнал. Обычно такие работы оцениваю более щедро, чем обычно (для поощрения). Чтобы выполнившие работы не мешали другим, предлагаю решить примеры на

действия с дробями. В общем, на уроке проверил больше половины работ, тут же делал замечания и указания. Остальные работы проверил дома.

Урок самостоятельной работы учащихся

— Сегодня вы совершенно самостоятельно, без моей помощи, сделайте действия над дробями с подробным анализом— так, как мы делали на одном из предыдущих уроков. Знаете, как это делать?

— Знаем, знаем,— дружно отвечают ребята.

— Приступайте к работе. В конце урока будет общая проверка. Тот, кто раньше успеет сделать, положит свою работу на стол учителя.

Даю пример № 1629:

— Дети, помните наше условие: обращать десятичную дробь в обыкновенную или наоборот надо только в случае необходимости или же тогда, когда вам предоставляется выбор самим.

Учащиеся приступают к работе. Я хожу между рядами, проверяю ход работы. Часть учащихся быстро справляется с заданием. Другие медлят. Подхожу к наиболее слабым учащимся и путем наводящих вопросов направляю их мысль по нужному руслу. Замечаю, что кое-кто старается избежать деления десятичной дроби на десятичную, обращая их в обыкновенные.

— Что же ты, Калинина, не знаешь разве правила деления десятичной дроби на десятичную?

— Знаю.

— Скажи это правило.

Калинина отвечает, хотя с запинками, но все же правильно.

— Ну, вот и поступай по этому правилу. Зачем же ты лишнюю работу делаешь?

Хотя работа протекает самостоятельно, но я не могу оставаться немым созерцателем. Хожу, просматриваю и направляю. А между тем, уже около десятка выполненных работ на столе. Делаю беглый обзор этих работ.

Когда их набралось около половины, организую общую проверку. Раздаю обратно работы. Привлекая, главным образом, более слабых учащихся, устанавливаю следующий ход рассуждений.

1. Данное выражение представляет собой дробь, а дробь есть частное от деления числителя на знаменатель.

2. Числитель представляет собой произведение выражения в круглых скобках на 3. В круглых скобках записана сумма двух частных, уменьшенная на . Поэтому сначала находим два частных, складываем их и из суммы вычитаем уу. Го, что получится, умножаем на 3. Это будет числителем данного выражения.

Попутно один из слабых учащихся записывает на классной доске самые действия. Останавливаемся на недостатках и, когда числитель вычислен, переходим к знаменателю.

3. Знаменатель есть частное от деления суммы (l>5 + JL)Ha 18у. При выполнении сложения замечаем, что в этом случае от выбора учащихся зависит обращение 1,5 в обыкновенную или обращение в десятичную дробь, хотя первое сделать лучше, так как дальше придется делить на число 18у, которое нельзя выразить десятичной дробью.

4. Когда вычислен знаменатель, то путем деления числителя на знаменатель находим численную величину данного выражения. После фронтальной проверки забираю работы для оценки. Это я делаю дома. Даю домашнее задание. Урок окончен.

Как я учил объяснять решение задачи

Как известно, в начальных классах учащиеся пишут так называемые „вопросы“ к решению задач. Пишут их, начиная со второго класса.

Эти вопросы у некоторых учащихся часто не отражают сути действия или плохо сформулированы. Кроме того, часто ученики не могут объяснить, почему по данному вопросу выбирается то или иное действие.

Я решил проверить, насколько ученики V класса в состоянии писать развернутое объяснение решения задачи, и построил работу по следующему плану:

1) прежде всего научить составлять план решения задачи в форме вопросов, причем обратить внимание на качественную сторону этих вопросов;

2) затем научить сопровождать решение того или иного вопроса кратким рассуждением, почему для решения выбирается то или иное действие;

3) после того, как дети научатся этому, перейти к объяснению вопроса и связанного с ним рассуждения в форме рассказа о каждом отдельном действии;

4) наконец, научить объединять отдельные рассказы в один стройный рассказ о решении задачи.

Я всегда твержу учащимся, что объяснение решения задачи должно быть живым, интересным, ни в коем случае не шаблонным. Оно должно отражать особенность каждой задачи.

Надо писать так, чтобы посторонний при чтении этого рассказа-объяснения мог сказать: „Видно, что человек умеет рассуждать и обосновывать свою мысль“.

Здесь я не собираюсь рассказывать об уроках, во время которых учил писать объяснение, а остановлюсь на некоторых отдельных этапах этого процесса.

Работа над вопросами

Беру задачу, которая очень часто является деталью более сложных задач, когда по сумме и разности двух чисел надо найти эти числа, примерно, такую: „В двух кусках материи 13-^ м; один кусок на длиннее другого. Сколько метров в каждом куске?“

Ученики очень быстро рассказывают решение:

Надо сначала от 13 у м отнять 2-^-, разделить пополам и к полученному числу прибавить

По ответу заметно, что решение задачи усвоено ими механически еще в начальных классах.

— Хорошо. А какой вопрос надо поставить к первому действию?

Ученики отвечают:

— Сколько получится, если бы было поровну?

— Мне что-то не понятно,— говорю, — во-первых, ч е-го получится и в котором куске; во-вторых, почему, если так поставить вопрос, надо обязательно вычесть, а не лучше ли сразу 13уЛ/ разделить пополам, ведь получится поровну. Не правда ли?

— Да. Поровну.

— Ну, вот А вы сначала делаете вычитание. Мои замечания заставили учеников задуматься.

— Нельзя сразу делить пополам, ведь в кусках по условию не было поровну, а вот мы вычтем, тогда в большем куске станет столько же, сколько и в меньшем, т. е. станет поровну.

— Верно! Вот эту мысль и надо отразить в вопросе. Попробуйте построить вопрос так, чтобы видно было, что мы уравниваем число метров материи в обоих кусках.

— Сколько будет... Я прерываю:

— Добавляй: „метров“.

— Сколько метров материи будет в двух кусках, если большой кусок по длине станет таким же, как и меньший?

— Вот это будет верно! Чтобы больший кусок стал такой же длины, как и меньший, надо от него отрезать 2-|- м, а значит, тогда и в двух кусках станет на меньше. Припомните, когда сумма уменьшается.

— Когда одно из слагаемых или оба слагаемых уменьшим.

— Хорошо. А можно ли так поставить вопрос: „Сколько метров материи будет в двух кусках, если меньший будет таким же по длине, как и больший?“

— Можно, но тогда к сумме надо прибавить 2 м.

— Верно. Такую задачу можно решать двумя приемами— или вычитать от суммы разность, или к ней ее прибавлять. В первом случае сначала получим величину меньшего куска, а во втором — сначала большего.

Правда, в этой задаче труднее объяснить второй прием, так как из большего куска получить такой же, как и меньший, можно, а вот из меньшего сделать больший — труднее. Однако в других задачах можно легко объяснить и второй прием. Поэтому при решении таких задач при-

меняйте и тот и другой прием в зависимости от смысла задачи.

— Итак, первый вопрос будет такой: „Сколько метров материи будет в двух кусках, если больший кусок уменьшить на Какие вопросы надо поставить дальше?

Дети без труда отвечают:

1) Сколько метров материи в меньшем куске?

2) Сколько метров в большем куске?

Остановлюсь еще и на такой задаче: „Дочери теперь 8 лет, а матери 38. Через сколько лет мать будет втрое старше дочери?“ Задача такого типа довольно трудна для учащихся, так как она требует особой сообразительности, требует умения применить свойство неизменяемости разности, если к уменьшаемому и вычитаемому прибавить поровну. Поэтому я сначала провожу такую беседу:

— Скажите, что сделается с разностью, если к уменьшаемому и вычитаемому прибавить по 5.

Дети отвечают, что разность не изменится.

— Обратимся к нашей задаче. Здесь речь идет о летах матери и дочери. Если они станут старше на 6 лет, возраст их изменится, а что же не изменится?

Дети очень быстро соображают, что не изменится разность между летами матери и дочери.

— А когда мать будет в три раза старше дочери, разность в возрастах изменится?

— Нет, тоже не изменится.

— Если вы поняли, скажите план решения этой задачи по вопросам.

Составляется такой план:

1) На сколько лет мать старше дочери?

2) Скольким частям равны 30 лет, если принять возраст матери за 3 части, а дочери—1 часть (когда мать станет в три раза старше)?

3) Сколько лет будет дочери?

4) Через сколько лет мать будет втрое старше дочери?

Конечно, при составлении плана мне приходится направлять мысль учеников по правильному руслу. Так, например, четвертым вопросом некоторые поставили такой: „Сколько лет будет матери?“

Я объяснил, что этот вопрос излишний, так как главный вопрос уже можно решить после того, как узнаем, сколько лет будет дочери.

Вот еще задача: „Один землекоп может выкопать канаву за 5 дней, а другой может выкопать эту же канаву за 4 дня. Во сколько дней они выкопают канаву, если будут работать вместе?“

Подобные задачи довольно трудны на первых порах и не только для учеников V класса.

Иногда слышишь ответ: „Да это ж просто — за 9 дней“.

Другие отвечают, уже понимая, что совместная работа сокращает время выполнения, но все же не верно: они просто берут половину 9 дней, как среднее арифметическое.

Трудность задачи в том, что здесь измерение работы своеобразно, непривычно для учащихся. Здесь приходится измерять единицей и долями этой единицы, а представление о таком употреблении единицы у детей слабо развито.

— Скажите, в этой задаче измерена ли канава какими-либо принятыми мерами, ну, скажем, метром?

— Нет, не измерена.

— Как же узнать количество работы, выполненное за один день первым рабочим?

— Длину канавы мы можем принять за счетную единицу, а затем, если надо, работу можно измерять долями единицы, т. е. долями канавы.

После этого дети без труда составили план решения этой задачи. Правда, затруднения были с формулировкой вопроса. Дети составили первый вопрос так: „Сколько выкопал первый землекоп за один день?“

— А помните, что после слова „сколько“ надо ставить название „чего“. Поправились: „Сколько долей канавы“.

Говорю:

— Так не принято формулировать, лучше будет сказать: „Какую часть канавы выкопает первый рабочий за один день?“

Остальные вопросы сформулированы уже правильно.

Как надо рассуждать при выборе действия для решения того или иного вопроса

В начале работы следует выяснить разницу между понятиями „зачем“ и „почему“. Затем на ряде простых задач дети учились рассуждать. Особое внимание было обращено на действия умножения и деления.

Вот примеры:

1) В книге 240 страниц. Мною прочитано -g- всей книги. Сколько страниц прочитано?

— Мы знаем, как решить этот вопрос: надо найти -g- числа 240.

— Это так. Но каким действием вы найдете числа 240?

— Надо 240 умножить на

— Почему?

— Это называется — найти дробь числа. По правилу дробь числа находится умножением числа на дробь.

— Вот и хорошо. Давайте теперь составим рассуждение к решению вопроса задачи.

Составляется такое рассуждение: „Чтобы узнать, сколько страниц прочитано, надо найти -g- числа 240, т. е. найти дробь от числа, а дробь числа находится умножением“.

2) На базе было 250 ц муки. За неделю 75°/0 этой муки отправлено в магазины. Сколько центнеров муки отправлено за эту неделю в магазины?

— Как решить поставленный в задаче вопрос?

— Здесь надо найти дробь числа, ведь 75°/0 всей муки — это все равно, что —- запаса муки, значит, надо 250 ц умножить на —.

3) Сколько надо заплатить за 2-^- м материи ценою в 18 руб. за 1 м?

— Вспомните, как мы объясняли решение вопроса: „Сколько надо заплатить за 5 м материи по 18 руб. за 1 м7*

— За 1 м уплатили 18 руб., а за 5 ж надо заплатить не 18 руб., а в 5 раз больше, т. е. надо 18 умножить на 5.

— Если множителем является смешанное число, то рассуждение можно строить так же. Скажите, как объяснить поставленный мною вопрос.

— За 2-£- м надо заплатить не 18 руб., а в 2-^ раза больше.

4) Пешеход шел из села в город. Когда он прошел у этого пути, то ему осталось итти еще 8 км. Сколько километров от села до города?

Дети говорят мне: Ему осталось итти у всего пути. Весь путь — это единица, а он прошел у пути, зна чит, ему осталось еще у, так как в единице семь седьмых.

— Дальше надо 8 разделить на у, вот и получим все расстояние.

— Почему?

— Нам известна дробь числа: у пути составляет 8 км, а все число находится по дроби делением.

5) За пшено, ценою по 3,6 руб. за килограмм, заплатили 12 руб.

Сколько килограммов пшена было куплено?

Мои ученики еще до сих пор с трудом объясняют деление по содержанию. Оказывается, что в свое время они его не проходили, хорошо, что в настоящее время в практике школы обращают на него больше внимания.

Пришлось много поработать, пока учащиеся усвоили такого рода объяснение: 1 кг пшена стоит 3,6 руб., а за все пшено заплатили 12 руб., значит, сколько раз 3,6 руб. содержится в 12 руб., столько и килограммов пшена купили.

Это — деление по содержанию.

Я привел несколько характерных примеров, требующих довольно тонкого рассуждения при выборе того или иного действия. Надо сказать, что учащиеся довольно скоро усвоили и приемы рассуждения.

Краткие объяснения отдельных вопросов

В дальнейшем делаю переход к объяснению решения задачи. Сначала по плану записываются вопросы, сопровождаемые соответствующими решениями. Решения объясняются: указывается, почему именно выбрано то или иное действие.

Для примера привожу работу одного из моих учеников. Редакцию и запись не изменяю.

Краткое объяснение с вопросами задачи № 1007 (задачник Е. С. Березанской).

1) Сколько килограммов печенья всего купили?

Одного сорта купили Зу кг, а более дешевого 2у кг; когда найдем сумму, то и узнаем, сколько всего.

2) Сколько всего рублей заплатили за 6 кг печенья?

4-6=4'6=27(ру6)-

В среднем за 1 кг платили 4^- руб., а за 6 кг надо заплатить в 6 раз больше, а это значит — надо умножить.

3) Сколько рублей заплатили за более дорогое печенье?

За 1 л:г дорогого печенья платили 4-^- руб., а заЗуЛгг надо заплатить в 3-^- раза больше, значит, надо умножить.

4) Сколько рублей заплатили за дешевое печенье?

27-16^=101(руб).

За все печенье заплатили 27 руб., а за одно дорогое 16-^- руб., значит, остальное заплатили за дешевое, а остаток находится вычитанием.

5) Сколько рублей стоит 1 кг более дешевого печенья?

За 2-i-лгг заплатили 10у руб., а за 1 лгг надо заплатить в 2-^- раза меньше, значит, надо разделить.

Следующим этапом работы было краткое объяснение без вопросов, но с указанием, что означает результат действия и почему выбрано такое действие.

План и вопросы я предложил учащимся составлять в уме и по этим вопросам записывать действия, указывая, что означает результат каждого действия и причину выбора этого действия. Было проведено несколько пример-

ных решений в такой форме под моим руководством d соответствующими указаниями и исправлениями.

Учащиеся скоро усвоили эту форму объяснения.

Вот работа ученика К. Была предложена следующая задача (составлена мною): „Два пятых класса А и Б9 из которых класс А по количеству учеников составлял -g- класса Б, произвели в Великую Отечественную войну сбор на постройку самолетов, причем каждый ученик класса А вносил в среднем по 50,4 руб., а каждый ученик класса Б—75°/0 этой суммы. Какой класс внес больше и на сколько, если в классе А было на 3 ученика меньше, чем в классе />?“

Решение с кратким объяснением.

1)1- 1 = 1 1> 1 8 8*

На столько восьмых долей больше класс Б или столько частей составляют 3 ученика, так как класс Б больше класса А на ~, или на 3 ученика более.

2) 3:у = 24 ученика было в классе Б.

g- класса равняется 3 ученикам, а единица в 8 раз более.

Число по части находится делением.

3) 24 —3 = 21 ученик.

Столько было в классе А.

В классе Б 24 ученика, а в классе Л на 3 человека меньше.

4) ^1ж-=37'8руб-

Такую сумму вносил в среднем каждый ученик класса Б во время Великой Отечественной войны.

Один ученик класса А вносил 50,4 руб., в классе 5 — 75°/о этой суммы. Сначала надо найти 1°/0, затем 75°/0.

Столько рублей внес класс А.

Один ученик внес 50,4 руб., а 21 ученик внесут в 21 раз более.

Столько рублей внес класс Б.

Объяснение такое же, как и для класса А.

На столько рублей больше внес класс А.

Ответ: Внес больше класс А на 151 руб. 20 коп.

Рассказ решения всей задачи

Это был самый трудный этап. Прежде всего я дал 2 — 3 примерных образца, как писать объяснение-рассказ в двух формах: по одной форме сначала пишется решение задачи, а потом к нему объяснение, по другой — решение сопровождается объяснением.

Мы с учащимися пришли к такому заключению, что вторая форма, пожалуй, лучше: по первой форме можно объяснением не охватить всего решения, кое-что забудешь или пропустишь.

Затем на образцах мы увидели, что объяснение можно писать аналитическим способом, который заключается в том, что объясняется, какими путями можно решить главный вопрос, попутно произведя те действия, которые уже можно выполнить для решения главного вопроса.

Можно составить объяснение задачи и другим способом— синтетический, когда, имея в виду постоянно главный вопрос, постепенно подходят к нему, используя данные условия задачи, объясняя, что и как можно узнать при помощи этих данных.

На третьем образце я показал, что можно применять оба приема в одной и той же задаче. Далее мы установили, что объяснение-рассказ представляет собой объединение всех отдельных рассказов по каждому вопросу, причем устанавливается между ними как внутренняя, так и внешняя связь при помощи союзных слов, наречий и т. п. После этого мы вместе решили и объяснили устно решение одной задачи. Я предложил дома записать то объяснение, которое мы делали в устной форме в классе. Зная, что это довольно трудная проблема для моих учеников, я предложил следующее.

— Я пока не требую, чтобы все обязательно написали. Пусть напишет тот, кто уже понял, как писать. Если будет трудно написать полностью объяснение, то напишите решение с кратким объяснением каждого вопроса в отдельности. Но помните, что рано или поздно я потребую обязательного рассказа-объяснения.

Не успел я зайти в класс на следующий день, как уже со всех сторон посыпались возгласы:

— Мы не написали, трудно для нас, только одна Клеенкина написала!

— Что же, значит, Клеенкина — самая смелая ученица в классе, а вы струсили. Ничего, подождем. Думаю, что через некоторое время будет больше смелых.

Самое главное теперь для вас — не бояться попробовать написать объяснение: напишешь и подумай, нравится ли оно тебе самому. Если почувствуешь удовольствие оттого, что написал, значит, успех обеспечен. Послушаем, что Клеенкина написала.

Ученица написала довольно удачно для первого раза. Я объяснил всем, в чем именно заключаются достоинства этой работы, подметил также и недостатки.

Следующее задание уже выполнили 5 — 6 человек, а остальные продолжали заявлять, что им трудно. Я им снова подтвердил, что они могут писать краткие объяснения, или даже ограничиваться только одними вопросами.

В конце года имел следующие результаты: объяснение стали писать все, около половины учащихся справлялись с этой работой хорошо, у остальных имелись еще крупные недостатки.

На этом свои заметки кончаю. Это — попытка поделиться опытом своей работы с другими товарищами. Насколько она удалась, не знаю. Пусть скажут об этом другие.

Конечно, я далеко не охватил всего процесса обучения арифметике в V классе. Меня интересовали некоторые наболевшие вопросы, из которых особенно важным представляется вопрос о том, как научить ребят решать задачи.

Л. Н. БЕРЕЗИНА и Е. И. БЕЛЯЕВА

учительницы средних школ Ленинграда

РЕШЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В V КЛАССЕ

(по докладу на Всероссийском совещании учителей, не имеющих второгодников, Москва, август 1950 г.)

Известно, что педагоги испытывают большие затруднения в работе с учащимися V классов. Именно в этих классах труднее всего добиться высокой успеваемости и, пожалуй, в особенности по арифметике. Мы стремились больше активизировать работу своих пятиклассников, добиваясь хороших, прочных знаний и твердых навыков в устных и письменных вычислениях.

Очень важным и ответственным делом при обучении детей арифметике является решение задач. Дети с трудом усваивают взаимозависимости между величинами, входящими в задачи. И если педагогу удается добиться ясного понимания учащимися этих зависимостей, то можно считать, что основное сделано — дети будут решать задачи.

Математический словарь

Одним из приемов, значительно облегчающих детям усвоение функциональной зависимости различных величин, является, как мы называем ее, работа над „математическим словарем“.

Ценность математического словаря заключается в том, что он помогает учащимся установить зависимость между данными и искомыми величинами, усвоить названия величин, на которых строятся наши вычислительные задачи, помогает развитию их математической речи.

Опыт работы, о которой я говорю, преследует две цели: первая — вскрыть перед учеником и окончательно закрепить понимание зависимости между величинами, входящими в условия задачи; вторая — провести углубленную работу над речью ученика, замену часто неясной речи четкой математической речью.

Вот что это значит. Ученикам приходится десятки и сотни раз встречаться в задачах, в сущности, с одними и теми же величинами: это величины, связанные с движением, покупкой и продажей, выполнением какой-либо работы, наполнением бассейнов, транспортом, вычислением площадей, объемов и некоторые другие.

Работа со словарем не должна итти в ущерб прохождению программного материала. Программа V класса очень насыщена, каждый учебный час дорог, и надо суметь влить словарную работу в проходимый по программе материал.

На начало словарной работы, на „открытие“ словаря надо выделить один час; последующая работа в связи со словарем будет посвящена углублению материала, связанного с программой.

Запись величин и усвоение зависимостей между ними мы начинаем в первых же числах сентября в связи с первой учебной темой— „Целые числа“ (повторение).

Предварительно ученикам дается задание — разграфить дома по определенной схеме несколько страниц тетради: первая графа — величины, вторая — компоненты или результат действия при умножении и при делении.

Затем мы разбираем тему „Движение“. На доске записывается условие простой задачи: поезд шел Г2 часов по 50 км в час. Найти расстояние, которое прошел поезд.

Я спрашиваю: „Что показывает число 50? Сколько километров поезд проходит в 1 час? Это — скорость движения поезда. Что показывает число 12? Сколько времени поезд был в пути? Это —время движения поезда. Взяв 12 раз по 50 км, мы можем узнать, сколько всего километров прошел поезд: 600 км. Это — расстояние. Таким образом в этой задаче мы имеем дело с тремя связанными между собой величинами. Эти величины — скорость, время и пройденный путь (или расстояние). Названия величин записываем в словарь. Уславливаемся, что впредь будем говорить короче. Вместо того, чтобы сказать, сколько километров проходит в

час поезд, будем говорить: скорость поезда. Вместо того, чтобы сказать, сколько всего километров он прошел, будем говорить: пройденное расстояние. Далее решаем две задачи.

„Расстояние между городами—600 км. С какой скоростью шел поезд, если он прошел это расстояние за 12 час?“

„Во сколько времени поезд может пройти 600 км, если скорость его 50 км в час?“

По этим задачам дети усваивают зависимость между компонентами действий умножения и деления. Подводя итоги, я спрашиваю, какие в этих трех задачах даются компоненты или результаты действия. Скорость, время, пройденный путь. Дети уясняют, что скорость в задачах может быть либо множимым, либо делителем, либо частным. Время может быть либо множителем, либо делителем, либо частным. Пройденный путь может быть либо произведением, либо делимым.

Эти выводы и записываются в словарь.

Дальше детям предлагается составить задачки, в которых скорость явится либо множимым, либо делителем, либо частным. Они составляют. Затем я спрашиваю, каким компонентом или результатом может быть время. Дети смотрят в свои записи и говорят: „Время может быть или множителем, или делителем, или частным“. Я предлагаю им составить задачки, в которых время будет то множимым, то делителем, то частным.

Это — очень серьезная самостоятельная творческая работа учащихся. Таких упражнений надо давать им достаточное количество. Такие упражнения развивают мышление ученика и его речь.

Взаимосвязь между компонентами и результатами действия должна рассматриваться не на отвлеченном, мало интересном для учащихся, а на конкретном материале — живо, глубоко, содержательно.

На странице словаря, отведенной теме „Бассейн“, после такого же рода предварительных упражнений дети записывают, что в задачи на бассейн включаются: пропускная способность трубы, время, вместимость бассейна.

Далее в словаре следует тема о покупке и продаже. Записываются соответствующие величины: цена, количество товара и стоимость.

В теме „Транспорт“ заносятся возможные варианты1: 1) грузоподъемность машин, число рейсов, количество перевезенного груза; 2) расход горючего на единицу пути, расстояние, общий расход горючего; 3) расход горючего в единицу времени, время и общий расход израсходованного горючего.

В теме „Работа“—два варианта: 1) число рабочих часов, почасовая оплата, заработок и 2) оплата одного рабочего, число рабочих, стоимость всей работы.

В теме „Площадь прямоугольника“ записываем: длина основания прямоугольника, высота, площадь.

На опыте замечено, что обогащение учащихся этими точными терминами делает речь их более гладкой и четкой.

Следующий вид работы со словарем заключается в уяснении изменений результатов действий в связи с изменением компонентов. И здесь лучше пользоваться не сухим, отвлеченным материалом, а конкретными задачами, уяснить зависимость между компонентами и результатами действий на записанных в словаре величинах. Мы ставим перед собой ряд вопросов и даем на них ответы с объяснениями.

Первый вопрос. Скорость увеличилась в два раза. Время осталось прежнее. Как изменится пройденный путь?

Ответ. Пройденный путь увеличится в два раза.

Объяснение: скорость в этом случае является множимым, время — множителем, а пройденный путь — произведением. Если множимое увеличить в два раза, а множитель оставить без изменения, то произведение увеличится в два раза.

Второй вопрос. Число рейсов грузовой машины уменьшилось в 4 раза. Грузоподъемность машины — прежняя. Как изменится количество перевезенного груза?

Ответ. Количество перевезенного груза уменьшится в 4 раза.

Объяснение: грузоподъемность машины в этом случае является множимым, число рейсов — множителем. Он уменьшен в 4 раза. Грузоподъемность останется без изменения. Количество перевезенного груза — произведение. Оно уменьшится тоже в 4 раза. Если множитель уменьшить в несколько раз, то и произведение уменьшится во столько же раз.

Третий вопрос. Цена вещи уменьшилась в 2 раза, число купленных вещей увеличилось в 6 раз. Как изменилась стоимость всей покупки?

Ответ. Стоимость всей покупки увеличится в 3 раза.

Объяснение: цена и число вещей являются сомножителями, а стоимость всей покупки — произведением. Один из сомножителей уменьшился в два раза, но другой увеличился в 6 раз. Произведение увеличится в 3 раза.

Следует учесть, что на первых порах в этих рассуждениях лучше пользоваться вопросной формой, чем повествовательной. Работа над математическим словарем поможет учащимся правильно перейти от вопросной формы к повествовательной. Но стремиться быстрее совершить этот переход нецелесообразно: учащиеся могут допустить много искажений в формулировках, и эти искажения потом исправлять будет очень трудно. Нельзя также спешить с переходом от устных решений такого рода задач к письменным. К письменным решениям надо переходить лишь после того, как станет очевидно, что недочеты, которые допускают ученики при устном объяснении задач, не так существенны.

Решение задач в классе

При решении задач в классе мы придерживаемся такого порядка. Допустим, решается задача № 480 из стабильного задачника.

„Чтобы выкачать воду из резервуара, ставят насос, выкачивающий 30 ведер в 1 мин.; через 50 мин. ставят другой насос, выкачивающий 70 ведер в 1 мин., и действуют обоими насосами в течение 45 мин. Во сколько времени могла бы быть выкачана вода, если бы с самого начала действовали оба насоса?“

Учащиеся прежде всего находят в математическом словаре тему „Бассейн“. Учитель предлагает им внимательно прочитать условие задачи и продумать, какой величиной является каждое числовое данное в условии задачи. После того как учащиеся подготовились к ответу, учитель предлагает им назвать величины, данные в условии задачи. Вызванный ученик отвечает:

„В условии задачи даны: 1) пропускная способность первого насоса в 1 мин., 2) время действия первого насоса до начала действия второго, 3) пропускная способность второго насоса в минуту, 4) время совместного действия двух насосов. Требуется определить, сколько времени потребовалось бы для выкачивания воды из резервуара, если бы оба насоса начали действовать одновременно“.

Затем учащиеся переходят к определению искомых на основе тех зависимостей между величинами, которые они изучали, когда вносили в словарь тему „Бассейн“. Две величины —пропускная способность первого насоса и время его действия — дают возможность определить третью, еще не известную величину — количество вылившейся из резервуара воды до начала действия второго насоса. Далее, пропускная способность того и другого насоса в отдельности в 1 мин. дает возможность определить их общую пропускную способность в 1 мин.

Общая пропускная способность их и время совместного их действия дают возможность вычислить количество воды, вылившейся из резервуара при совместном действии двух насосов. Зная количество воды, вылившейся через первый насос до начала действия второго, и количество воды, вылившейся за время совместного действия насосов, мы находим вместимость резервуара. Наконец, по емкости резервуара и пропускной способности двух насосов в 1 мин. можно определить время, которое понадобилось бы для выкачивания из резервуара, если бы с самого начала действовали оба насоса.

Математическая речь учащихся формируется постепенно в процессе коллективной работы класса. Формулировка, предложенная одним учеником, обсуждается всем классом, в нее вносятся, если нужно, изменения и добавления, пока не будет найдена наиболее четкая ясная формулировка. Мы считаем это очень важным звеном в работе с учащимися; коллективное искание лучших формулировок — одно из лучших средств развития мышления.

Условие задачи, которую мы решаем, записывается разными способами. Дети пишут в условиях—„дано“, а в плане решения задачи—„нахожу“. С левой стороны в тетради записывается вопрос, с правой — выполняется

решение. В целом запись решения задачи принимает, примерно, следующий вид.

Количество воды, которое выкачал первый насос до начала действия второго:

30-50=1500 (ведер). Пропускная способность двух насосов в 1 мин.: 30 + 70=100 (ведер в 1 мин.).

Количество воды, которое выкачали два насоса при совместной работе:

100-45 = 4500 (ведер).

Общее количество воды в резервуаре:

1500 + 4500 = 6000 (ведер).

Время, необходимое для выкачивания воды из резервуара при совместном действии двух насосов:

6000:100 = 60 (минут).

Ответ. Для выкачивания воды из резервуара, если бы с самого начала действовали оба насоса, потребовался бы 1 час времени.

После такого решения и записи решения задачи детям предлагается еще записать ее решение числовой формулой:

[(30 - 50) + (30 + 70). 45)] : (30 + 70).

Обучение решению задачи в таком плане занимает довольно много времени. Но время это затем окупается; дети хорошо усваивают зависимости между величинами и поэтому научаются сознательно решать даже сложные и трудные задачи. Когда это достигнуто, можно уже не прибегать к разбору и объяснению хода решения, а записать решение задачи только числовой формулой, рассуждая примерно так: (берем задачу № 483 из стабильного задачника).

„В залитом водой помещении было 600 ведер воды. Для удаления воды из помещения поставили два насоса. Один насос за 2 часа выкачивает 96 ведер, другой за 3 часа—129 ведер. Через сколько времени выкачают

из помещения всю воду обоими насосами, если ежечасно в помещение прибывает по 16 ведер воды?"

Учащимся предлагается продумать задачу и записать ее решение числовой формулой. Они записывают так:

600 : [(96:2) + (129:3) — 16] = 8.

После того как учащиеся оформили решение задачи в таком виде в своих тетрадях, один из них записывает формулу на доске и устное объяснение хода решения задачи. Класс следит за его ответом. Ученик объясняет так: первое частное в круглых скобках — пропускная способность первого насоса в час; второе частное в круглых скобках — пропускная способность второго насоса в час. Их сумма — пропускная способность двух насосов в час. Разность в квадратных скобках показывает, какое количество воды ежечасно выкачивается двумя насосами с учетом того, что вода продолжает одновременно прибывать в помещение. Наконец, третье частное показывает время, затраченное на выкачивание воды из помещения.

Так мы работаем в классе.

Домашняя работа и ее проверка в классе

На первом этапе этой работы, соблюдая постепенность перехода от вопросной формы объяснения решения задач к повествовательной, мы подготовляем и даем домашнюю работу учащимся в письменной форме, в виде вопросов. Ученик же готовится изложить ход решения задачи устно в повествовательной форме. В классе он должен называть данные в условии задачи и искомые величины. Например, на дом была задана задача № 469.

„Имеется всего 20 кг 250 г печенья ценой по 6 руб. 14 коп. за 1 кг и по 5 руб. 60 коп. за 1 кг. Сколько имеется печенья того и другого сорта, если в среднем 1 кг печенья стоит 5 руб. 76 коп.?"

Выполняя эту задачу письменно, учащиеся для нахождения искомых ставили ряд вопросов. Вместе с тем, они готовились дать объяснение хода решения задачи, не называя числовых данных.

Такая двоякая подготовка решения задачи: в форме письменных вопросов и в форме устного повествовательного

объяснения хода ее решения, как показала практика, развивает учащихся. Вызванный на уроке ученик сдает преподавателю тетрадь с выполненной дома работой, а сам со сборником задач стоит у стола учителя. У остальных учеников тетради открыты. Ученик отвечает, имея перед собой только печатный текст задачи.

„В задаче даны: общий вес печенья двух сортов, цена 1 кг печенья первого сорта, цена 1 кг печенья второго сорта и цена 1 кг смеси. Требуется определить количество печенья того и другого сорта в отдельности“. Далее он объясняет план решения задачи, также пользуясь только ее печатным текстом. План такой:

1. Общая стоимость печенья.

2. Общая стоимость печенья при условии, что все его количество берется по цене второго сорта.

3. Разность между полученной в этом случае стоимостью и действительной стоимостью печенья.

4. Разность между ценой 1 кг печенья первого сорта и ценой 1 кг печенья второго сорта.

5. Количество печенья первого сорта.

6. Количество печенья второго сорта.

После пояснения отвечающим у стола каждого действия учитель обращается к классу, и другие ученики по его указанию называют, чему равна искомая величина и каким действием она отыскивается.

Все учащиеся внимательно следят за объяснениями отвечающих и вносят в свои тетради, если надо, необходимые поправки и уточнения.

Такая форма занятий очень нравится учащимся, она содержательна и интересна. Дети не проявляют интереса к обычной, довольно скучной процедуре проверки домашних заданий, когда один учащийся читает по тетради свою работу, а другие только слушают и механически на слух сличают результаты решений.

Устное повествовательное объяснение хода решения задачи постоянно готовит учащихся к самостоятельному письменному решению задач с объяснением.

Однако в методике обучения решению задач с письменным объяснением много еще неясностей, и, главное, трудно добиться того, чтобы письменные объяснения задач не были слишком громоздкими.

Составление плана решения задачи без числовых данных

Последний этап в обучении решению задач по применяемой нами системе заключается в составлении плана решения задачи без числовых данных, когда усвоение задачи записывается на доске без чисел. К этому мы готовимся, как видно уже из сказанного нами, с самого начала учебного года. Письменное решение задач дома при помощи вопросов и устные объяснения хода решения в повествовательной форме в классе без воспроизведения вычислений — это и есть основная подготовительная ступень к работе над условиями задач без числовых данных.

Решение задач без числовых данных имеет огромное образовательное значение. Оно не допускает со стороны учащихся случайного выбора различных операций с числами, что нередко наблюдается в практике решения задач с числовыми данными. Когда задача дается без чисел, ученику поневоле приходится мыслить о существе задачи, о зависимости между указанными в ней величинами без чисел.

Однако приступить к этому можно с учащимися лишь тогда, когда проведена указанная выше работа с математическим словарем, когда учащиеся отчетливо стали представлять функциональную зависимость между различными величинами и на основе этих знаний могут последовательно и логично объяснить ход решения задачи. Решение задач без числовых данных — высшая ступень сознательного решения задач, и, если учащиеся овладевают и этой ступенью, можно быть спокойным: они научились решать задачи.

Для составления плана решения задачи без числовых данных достаточно бывает 10—15 минут на уроке. Вначале берутся задачи таких типов, которые уже достаточно известны учащимся, уже решались ими. Затем задачи без чисел комбинируются из нескольких знакомых учащимся типов, и наконец, дается задача нового типа, но не очень сложная. На таких задачах особенно ясно выявляется умение учащихся самостоятельно вскрыть взаимную связь величин.

Вот один из конкретных примеров, показывающих, как это делается. После того как учащиеся решили ряд задач на нахождение чисел по их сумме и разности,

учитель проверяет, как понимают учащиеся решение этих задач. На доске делается такая запись:

„Дана общая стоимость сукна двух сортов, разница между стоимостью всего сукна первого и второго сорта (второй сорт был дешевле первого) и цена одного метра сукна первого и второго сорта. Определить количество сукна того и другого сорта отдельно“.

После того как дети продумают ход решения этой задачи, они объясняют его вслух учителю. Рассуждения ведут так:

„Зная общую стоимость сукна двух сортов и разность между стоимостью всего количества сукна первого сорта и второго, нахожу удвоенную стоимость сукна второго сорта.

Полученный результат дает возможность определить стоимость всего сукна второго сорта.

По стоимости сукна второго сорта и по разности между стоимостью всего количества сукна первого сорта и второго вычисляю стоимость сукна первого сорта.

Зная стоимость сукна первого сорта и цену одного метра, определяю количество сукна первого сорта.

По стоимости всего сукна второго сорта и по цене одного метра нахожу количество сукна второго сорта“.

Если учащийся дал такое объяснение, то можно быть совершенно уверенным в том, что он ясно понимает общий смысл задачи и заключающиеся в ней функциональные зависимости. Такой учащийся всегда сознательно будет подходить к решению любой задачи.

Устные контрольные работы

Время от времени мы применяем устные контрольные работы по арифметике. Такие работы сейчас начинают проводить в ленинградских школах с III класса, а один из ленинградских преподавателей, т. Тихомиров, устраивает устные контрольные работы даже в X классе по алгебре.

Устные контрольные работы по математике имеют большое образовательное значение. Как всякая самостоятельная работа учащихся, они дают учителю возможность учесть знания каждого ученика отдельно. Письменные проверочные работы, значение которых также велико, позволяют, однако, чаще всего учесть знания и навыки лишь по одному какому-либо разделу программы. Устная

же контрольная работа в течение одного урока выявляет знания учащихся не по одному, а по нескольким различным разделам программы. Она требует от учащихся знания приемов устного счета, в том числе наиболее рациональных, и умения быстро считать, ставит учащегося в строгие рамки времени, заставляет его дорожить временем. Конечно, на уроках устной контрольной работы не должно быть ни одного ученика, который не принимал бы участия в общей работе класса.

Устные контрольные работы при коллективном обсуждении приемов устного счета и решения задач дают возможность учащимся вскрыть и осознать свои ошибки. Проводимые в строгой системе в течение всего учебного года, они позволяют учителю держать в поле зрения всех учащихся класса, проверить их знания по всем разделам программы и в то же время усилить внимание к слабым учащимся и больше заниматься с ними на уроке. Наконец, устные контрольные работы приучают учащихся к большой сосредоточенной работе, развивают их внимание, активность, прививают им честное отношение к выполнению заданий учителя.

В течение последнего учебного года была проведена в V классе 21 устная контрольная работа.

В чем же именно они заключаются и как их проводить? Приводим конкретный пример. Перед уроком на доске записывается содержание четырех задач различных типов без числовых данных. Чтобы учащиеся не знакомились с ними раньше времени, можно записанное на доске закрыть бумагой. Далее, в начале урока учитель сообщает детям тему урока и порядок работы. У детей должны быть подготовлены листочки и промокательная бумага. На листочках каждый пишет свою фамилию.

Первая задача. „В кассе парохода продано 100 билетов на 499 руб.; цена одних билетов по 7 руб., цена других — по 4 руб. Сколько продано тех и других билетов?“

Вторая задача. „Турист проехал 3 часа на велосипеде и 4 часа на автомобиле, сделав всего 225 км. Скорость езды на автомобиле на 30 км в час больше, чем на велосипеде. С какой скоростью турист ехал на автомобиле и велосипеде?“

Третья задача. „Магазин продал 3 кровати и 4 матраца за 1 000 руб. Сколько стоила кровать и сколько стоил матрац, если кровать вдвое дороже матраца?“

Четвертая задача. „Сумма трех чисел 720. Первое число на 20 больше второго и в два раза меньше третьего. Найти эти числа“.

Все четыре задачи, как сказано, записываются без числовых данных. Когда дети готовы к работе, снимается бумага с доски и читается первая задача. Во время чтения вставляются числовые данные только в одной задаче и предлагается учащимся все решить в уме. Строго учитывается, сколько времени нужно для решения каждой задачи, смотря по трудности задач,— от 5 до 8 минут на каждую. Когда 5 мин. пройдут, учитель спрашивает, кто решил. Если число поднятых рук показывает, что примерно уже весь класс справился с работой, учитель предлагает записывать на листочках только один ответ с наименованием, но так, чтобы каждый писал сам свой ответ, не заглядывал к товарищам. После того, как ответ написан, он должен быть тотчас же закрыт.

Дисциплина тут, конечно, нужна образцовая. Только при хорошей дисциплине этот вид работы может принести пользу и при том большую. На запись ответа требуется всего 2 — 3 секунды. Дети знают, что они должны тотчас же закрыть ответ и убрать руки с парты. После этого учитель читает вторую задачу, проставляя в ней все числовые данные, и тоже предлагает решить. Дети решают вторую задачу и снова записывают ответ. Так же проводится решение третьей и четвертой задач.

Если кто-либо до перехода к решению следующей задачи не успел решить прежнюю, то он обязан под номером не решенной им задачи поставить минус.

Когда все задачи решены, учитель предлагает детям поменяться листочками и проверить решения. Называется правильный ответ к каждой задаче и предлагается поставить в листочках только плюс или минус, не внося никаких исправлений в ответы. Если какая-нибудь цифра в ответах будет исправлена, задача считается нерешенной.

После такой проверки дежурный по классу собирает листочки, причем подбирает отдельно листочки, в которых решены все четыре задачи, затем листочки, в которых правильно решены три задачи, листки, в которых решены две задачи, одна задача и, наконец, те, в которых не решено ни одной задачи. На это уходит 3—4 мин. Время, оставшееся на уроке свободным, учитель использует для

работы со слабыми учениками, которые не решили задач. Учитель вызывает к себе одного из таких учеников, снова читает условие задачи, которая этим учеником не решена, рассказывает, что в задаче дано, объясняет, как ее надо решать.

Ошибки в решениях учащегося могут объясняться или тем, что он не знает зависимостей между данными величинами, или тем, что неправильно сделаны вычисления. Если кто-нибудь ошибся в вычислениях, то обычно быстро решает задачу у стола учителя. Если же учащийся не знает, как надо решить задачу, то в этом случае призывается на помощь ему весь класс, и задача решается коллективно.

После того как все четыре задачи разобраны таким образом, предлагается составить числовую формулу их решений. Это также помогает слабым учащимся лучше уяснить, в чем именно они ошиблись. Наконец, объявляется, что работы на уроке будут оценены и оценки войдут в классный журнал. Кто решил четыре задачи, получил балл 5, кто решил три задачи —балл 4, кто две задачи — балл 3, кто решил одну задачу — получит 2, а кто ни одной не решил — 1.

Урок заканчивается заданием на дом. Учитель заранее в своем плане урока намечает номера четырех аналогичных задач по стабильному сборнику и предлагает детям решить их дома. Эти дополнительные задания потом обязательно проверяются.

Ценность таких уроков, отводимых на устные контрольные работы, заключается в том, что дети за урок повторяют решение четырех типовых задач и закрепляют навыки устного счета. Каждый учащийся, не справившийся с задачей, на этом же уроке сам или под руководством учителя находит свои ошибки и научается правильно решать задачи. Если такие уроки ввести в систему, то учитель в течение всего года будет иметь ясную картину, — какие разделы и какими учащимися недостаточно усвоены. А это очень важно.

Последняя устная контрольная работа, проведенная уже в конце учебного года, состояла из следующих задач.

Первая задача. „Через одну трубу бассейн наполняется в 20 мин. Через вторую вода из бассейна выливается в 30 мин. Две трубы работали одновременно 6 мин.

В бассейне оказалось 30 ведер воды. Определить вместимость бассейна“.

Вторая задача. „Какую площадь улицы покрыли асфальтом, если вал трамбовочной машины, имеющий форму цилиндра с диаметром 2 м и длиной 1,5 м, сделал 100 оборотов, трамбуя площадь?“

Третья задача. „Турист проехал на пароходе 40% всего пути, по железной дороге проехал на 25°/0 больше, чем на пароходе, а остальной путь прошел пешком, причем пешком прошел на 90 км меньше, чем проехал на пароходе. Какое расстояние проехал турист на пароходе, по железной дороге и прошел пешком?“

Четвертой задачи не было. Вместо нее был дан пример на совместные действия с дробями, с применением рациональных приемов счета.

В конце учебного года учащиеся V класса могут давать уже полные письменные объяснения к решениям задач.

К этому времени устная речь учащихся становится уже достаточно развитой. Учащиеся свободно выражают зависимости между данными величинами.

Когда в первый раз было предложено учащимся дома решить задачу с полным письменным объяснением, то оказалось, что человек 15 из класса могли дать полное письменное объяснение, а остальные 25—28 могли решать только с планом в повествовательной форме. Этим вполне можно удовлетвориться. От решения с планом в повествовательной форме постепенно можно перейти к полному письменному объяснению задачи.

Н. К. БАРБАЛАТ

учительница 29 средней, школы, Москва

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СОСТАВЛЕНИЯ ФОРМУЛ В V КЛАССЕ

Учащиеся плохо понимают условие задачи вследствие того, что не умеют разложить сложную задачу на простые.

Например, задача №1003 из стабильного задачника издания 1949 г.

„Мощный снегоочиститель отбросил с дороги сначала 412“2 m снега, затем на -^g- больше того количества снега, которое он отбросил в первый раз. Сколько всего часов работал снегоочиститель, если он отбрасывал в среднем 278-р m снега в час?“

Некоторые учащиеся делают ошибку, говоря, что во второй раз снегоочиститель отбросил ^ 412 у -|—тонн снега.

Для понимания условия задачи разбиваем сложную задачу на простые. В первый раз отброшено 412-у m снега; это количество тонн снега принято за единицу. Во второй раз отброшено на -ygg- этой единицы больше; нужно узнать, на сколько тонн снега больше было отброшено во второй раз, т. е. надо найти -щ- числа 412-у т. Значит, во второй раз было отброшено на ( 412— ^jgg-) тонн снега больше, следовательно, во второй раз отброшено: тонн снега,

а за два дня

Обязательно для лучшего понимания решения задачи ставим скобки. Для того, чтобы узнать, сколько часов работал снегоочиститель, надо количество всего отброшенного снега за два раза разделить на производительность снегоочистителя в 1 час, т. е. на 278-г.

Отсюда формула:

Однако ни в этом задачнике, ни в руководствах по методике арифметики нет никаких указаний об использовании этих упражнений-примеров как формул, представляющих собой выражение зависимости между данными в задаче величинами и искомыми, т. е. фактически — уравнений.

Я считаю, что упражнения такого рода имеют двоякую образовательную цель:

1) эти упражнения проверяют знания учащихся в установлении зависимости между компонентами действий, помогают сознательно усваивать порядок действий;

Трудно усваивают учащиеся условия многих других задач, как, например, №456, 457, 860, 961, 994,995, 1017, 1020 и др.

В целях лучшего понимания условия задачи, а следовательно, сознательного решения задач, я предлагаю ряд задач решать с помощью формул. Составление формул по условию задач, о чем я буду говорить ниже, учащихся часто не затрудняло, но нахождение неизвестного числа представляло трудности, так как учащиеся не подготовлены к этому. В стабильном задачнике для V — VI классов нет соответствующих упражнений.

В новом же задачнике по арифметике для V — VI классов Филичева и Чекмарева (издания 1949 г.) дано достаточно большое количество упражнений для нахождения неизвестного числа на основании свойств действий. Например: №1198—1201, 1479—1481 и др., типа

2) дают материал для составления формул решения некоторых задач и для составления уравнений, этого универсального способа решения задач.

Вот как я готовлю учащихся к решению задач по формулам.

Сначала проделывается несколько упражнений следующего вида:

78 + * =105 или л: + 78=105.

Такие примеры учащиеся решали еще в начальной школе и поэтому не испытывают затруднений в их решении. Усложняю пример:

(100-62)+ (^+15) = 59.

Намеренно пишу со скобками. Выясняем, что разность в первых скобках и сумму во вторых скобках можно назвать слагаемыми, а число 59 — суммой этих слагаемых.

На доске и в тетрадях учащиеся пишут (в дальнейшем, разумеется, эти записи не производятся):

(100 — 62) + (*+15) = 59.

известное не известное сумма слагаемое слагаемое

На основании свойства сложения: неизвестное слагаемое равно сумме минус известное слагаемое, пишем:

х+15 = 59-(100 — 62); *+15 = 21.

Продолжая рассуждать таким же образом, получим:

* = 21 —15; х = 6.

Примеры постепенно усложняю и довожу примерно до таких:

[127 + (53— 12).3]:(б х+10-3)=5. В этом примере рассматриваем:

[127 + (53— 12).3] как делимое; (5 х-\-10-3) как делитель; 5 — частное.

Видим, что неизвестное встречается в делителе, следовательно, считаем неизвестным делитель.

На основании свойства деления находим неизвестный делитель как результат деления известного делимого на известное частное.

5 *+10.3 = [127 + (53 — 12).3]:5; 5 * + 30 = 250:5; 5 x-f 30 = 50.

Теперь видим, что неизвестное встречается в первом слагаемом, следовательно:

Ъх = 50 — 30; 5л: = 20.

Теперь неизвестный множитель находим как частное от деления известного произведения на известный множитель, т. е,

х = 20:5; х = 4.

Путем таких разнообразных примеров проведена подготовка к решению формул, которые составляются при решении задач.

Даю несложную задачу.

Сколько заплатили за 3 тетради и 2 карандаша, если тетрадь стоит 16 коп., а карандаш 40 коп.

За 3 тетради заплатили 16-3 коп.

За 2 карандаша заплатили 40 «2 коп.

Чтобы узнать всю стоимость, нужно сложить деньги, истраченные на покупку тетрадей и карандашей:

л;= 16.3 + 40.2;*= 128. Следующая задача труднее.

Куплено 3 кг яблок по 14 руб. за I кг и 5 кг груш по 12 руб. Узнать среднюю цену 1 кг фруктов.

Для того чтобы узнать среднюю цену, надо общую стоимость всех фруктов разделить на их количество. На основании этого пишем:

Итак, средняя цена 12 руб. 75 коп. за 1 кг.

Теперь изменяю условие задачи.

Куплено 3 кг яблок по 14 руб. и 5 кг груш по неизвестной цене. Средняя цена фруктов 12^- руб. за 1 кг.

Сколько стоит 1 кг груш?

В задаче сказано, что купили 3 кг яблок по 14 руб., значит, все яблоки стоят 14-3 руб.

Дальше, куплено 5 кг груш по неизвестной цене. Следовательно, стоимость груш запишется: х-5 руб.

Средняя цена получится, когда общую стоимость разделить на количество купленного товара. Общая стоимость запишется: 14-3 -f-л>5

Средняя цена: 12— = 14'^ *'5

В этой формуле искомая величина х встречается в делимом, следовательно, делимое считаем неизвестным, откуда:

14.3 + *.5 = 12-|-.8.

И далее:

х-5 = 102 — 42; д: = 60:5; *=12.

После решения таких задач можно было приступить к более трудным, например, к задаче № 1007:

Куплено 3^- кг печенья одного сорта по 4-|- руб. за 1 кг и 2у кг более дешевого печенья. В среднем каждый килограмм печенья обошелся в 4у руб. Сколько стоил 1 кг более дешевого печенья?

Рассуждение при составлении формулы решения подобно рассуждению при решении предыдущей задачи:

Для составления формулы интересна задача № 1008:

В магазине куплено з4- кг печенья по 9-4 руб. за 1 кг, \Ь~2 кг соли ценой по руб. за 1 кг и некоторое количество килограммов крупы, кг которой стоят 2 руб. 88 коп. Зная, что за всю покупку заплатили 52^ руб., узнать, сколько килограммов крупы было куплено.

Составляем формулу следующим образом. Ученица читает:

„... куплено 3-^- кг печенья по 9у руб. за 1 кг.и

Пишем, следовательно: за Зу кг печенья заплатили 4.4 руб.

Читаем: „... 15-^- кг соли по -^- руб. за 1 кг.“

Пишем: за 3~ кг печенья и за 15у кг соли заплатили

Читаем: „... и некоторое количество килограммов крупы, -g- кг которой стоят 2 руб. 88 коп.“

Здесь не дается прямо цена крупы, а дается в виде простой задачи на определение числа по его части; значит, нужно найти цену 1 кг крупы; она равна

Следовательно, пишем: за Зу кг печенья, 15y#e соли и некоторое количество крупы заплатили:

а общая стоимость известна, т. е.

Аналогично были решены и следующие задачи.

Задача № 1002. Велосипедист за один день проехал 108 км, за второй день он проехал ^ этого расстояния, а за третий — в 1-^- раза больше, чем за второй день. В среднем скорость, с которой передвигался велосипедист, равнялась 14-^- км в час. За сколько часов велосипедист проехал весь путь?

Учащимся известно, что для того, чтобы найти пройденный путь, надо скорость движения умножить на время движения. В этой задаче нужно найти весь путь, пройденный за три дня. Записываем:

в 1-й день — во 2-й день —

в 3-й день —

Следовательно, весь путь равен:

Скорость известна — 14-у км в час, нужно найти время, составляем равенство:

в котором нужно найти неизвестный множитель.

Задача № 1013. Пошивочная мастерская купила на 20 746 руб. сукна ценой 47-^ руб. за метр. Из этого сукна сшили костюмы, а из остальной части 72 одинаковых пальто. Сколько сукна пошло на каждое пальто?

В этой задаче составляется формула следующим образом.

Пошивочная мастерская купила на 20 746 руб. сукна по 47 руб. за метр, следовательно, было куплено сукна:

Из всего сукна сшили костюмы, значит, на костюмы пошло сукна:

Количество оставшейся материи подсчитывается так: из всего количества материи надо вычесть количество материи, израсходованной на пошивку костюмов:

Из этой материи сшили 72 пальто, значит, на каждое пальто пошло в 72 раза меньше, т. е.

Задача № 1133. Пароход прошел расстояние между двумя пристанями за 3-^ часа, идя со средней скоростью 22у км в час. За сколько времени пароход сделает обратный путь против течения, если он будет двигаться в час на 4 км медленнее, чем по течению?

Пароход прошел расстояние между двумя пристанями за 3-JQ- часа, идя со скоростью 22у км в час, следовательно, расстояние между пристанями будет:

Это же расстояние пароход проходит на обратном пути (против течения), уменьшая скорость на 4 км следовательно, его скорость будет:

Обратный путь составляет:

Путь был один и тот же (это можно показать на чертеже), следовательно:

Выводы

1. Примеры на все четыре действия можно рассматривать не только как упражнения в счете; к ним можно придумывать условия задач.

* Для этой задачи, как и для задач 853, 1002 1003, нетрудно составить более простую формулу решения:

соответственно изменив рассуждения

Ред

2. Указанные выше приемы подводят учащихся к решению задач с помощью составления уравнения, т. е. к универсальному способу решения задач. В этом я вижу ценность применяемого метода.

3. Учащиеся видят пользу формулы при решении задач, сходных по своему условию.

4. Составляя формулу, учащиеся тем самым устанавливают зависимости между данными и искомыми величинами, т. е. решают задачу.

В приложении даю две задачи, решения которых с помощью составления формулы написаны самими учащимися.

Задача № 853. Сколько гектаров в 3 участках земли, если известно, что первый участок занимает 345 га, второй занимает у площади первого участка, а третий -g- площади обоих участков вместе?

Чтобы узнать, сколько гектаров в 3 участках земли вместе, нужно знать, сколько гектаров занимает каждый участок. Сколько гектаров занимает первый участок, мы знаем, — 345 га. Сколько гектаров занимает второй участок, нам неизвестно, но в условии сказано, что он занимает той площади, которую занимает первый; значит, он занимает ( 345 «у j га. Третий участок занимает -g-площади обоих участков вместе, значит, он занимает: (345 -{-345-у \ -g- га.

К количеству гектаров первого участка прибавлю количество гектаров второго участка, а потом третьего. Так я узнаю, сколько гектаров в трех участках:

первый — второй—J

третий—

Задача № 1050. Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу с двух станций. Один из поездов проходит все расстояние между станциями за Зу часа,

а другой за 2-|- часа. Какую часть пути им останется пройти до встречи, спустя часа после выхода?

Весь путь принимаем за 1. Следовательно, скорость первого поезда ^1:3-^ пути, а скорость второго^ 1:2«g-J пути. Дальше мы узнаем, на какую часть пути приближаются оба поезда за час: ^ 1:3-^ ^ 1: 2-j^. Затем мы умножаем на ly, так как поезда двигались 1-^ часа:

Теперь мы сможем узнать, какую часть пути им осталось пройти до встречи:

П. Ф. БЕЗМАТЕРНЫХ

учитель средней школы, Читинская обл.

АРИФМЕТИЧЕСКОЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С НАГЛЯДНЫМИ ИЛЛЮСТРАЦИЯМИ

Учащиеся прочнее овладевают основами наук тогда, когда теоретическое изучение материала подкрепляется0 наглядностью.

Математическое мышление учащихся V — VII классов еще недостаточно развито, но практика показывает, что достаточно решения нескольких задач с применением наглядных приемов, чтобы сущность решения задач данного типа сознательно (не механически) усваивалась. В дальнейшем такие задачи уже без затруднений решаются с помощью рассуждения. При обучении составлению уравнений следует обратить внимание на подбор задач, систематизируя их по способам решения и располагая в порядке постепенного нарастания трудности.

Задача 1. Два человека, работая вместе, выполнили работу в 4 дня; первый, работая один, может выполнить эту работу в 12 дней. Во сколько дней выполнит эту работу второй, работая один?

Наглядное решение

Примем всю работу за единицу и изобразим ее в виде прямоугольника, длина которого 12 см (кратна числам условия задачи).

Пусть на чертеже верхняя полоса изображает работу, выполненную двумя рабочими за 4 дня, а вторая— одним первым рабочим за 12 дней; тогда на долю второго рабочего (третья полоса) приходится выполнение в день части, равной двум частям первого.

Разделив весь прямоугольник на части, равные доле работы за 1 день, получаем ответ на вопрос задачи — 6 дней.

Арифметическое решение

1. Какую часть работы выполняют оба рабочих, работая одновременно, за 1 день?

1:4 = y (показать на чертеже).

2. Какую часть работы выполняет первый рабочий за 1 день, работая один?

1 • 12— — 1 . 1z —12.

3. Какую часть работы выполняет второй рабочий за 1 день?

4. Во сколько дней выполнит работу второй рабочий?

,:1 = 6.

Алгебраическое решение

1. Примем всю работу за 1.

2. Обозначим число дней, затрачиваемых вторым рабочим на выполнение всей работы, через х.

3. Тогда второй рабочий выполнит за 1 день работы.

4. Какую часть работы выполнит первый рабочий за 1 день, если всю работу он выполняет за 12 дней?

1:12=1.

5. Какую часть работы выполняют за 1 день оба, работая одновременно?

Второй рабочий

Число дней работы

X

Выработка за 1 день

1

X

Первый рабочий

Число дней работы

12

Выработка за 1 день

1

12

Оба вместе

Число дней работы

4

Выработка за 1 день

1 4

6. Из таблицы видно, что оба рабочих за 1 день выполняют -~ часть работы, а всю работу — за 4 дня; поэтому имеем уравнение:

1+Ï2=T' откуда х = 6'

Задача 2. Два насоса наполняют чан. Первый, действуя один, наполняет его в 3 часа, а второй — в 6 часов. Во сколько времени наполнится чан при одновременном действии обоих насосов?

Наглядное решение

1. Примем объем (емкость) чана за 1 и изобразим его в виде прямоугольника, длина которого выражается числом 6 см, кратным числам условия задачи.

2. Пусть первый насос наполняет чан (прямоугольник M 1 на чертеже) в 3 часа. Разделим прямоугольник на три равные части, тогда каждая часть будет наглядно изображать количество воды, нагнетаемой первым насосом за 1 час.

Затем поочередно строим таких же размеров прямоугольники M 2 и M 3; M 2, разделим на шесть равных частей; каждое деление будет давать наглядное представление о работе второго насоса за 1 час. Складывая количества воды, налитые двумя насосами за 1 час, получаем в прямоугольнике M 3 столбик AB. Но AB = MN-{-DC, и мы наглядно убеждаемся, что работа двух насосов в 1 час дает воды половину чана, следовательно, чан будет наполнен ими в 2 часа.

Арифметическое решение

1. Какую часть чана наполнит первый насос в час, если он наполняет чан в 3 часа?

2. Какую часть чана наполнит второй насос в 1 час, если он наполняет чан в 6 часов?

3. Какую часть чана наполнят оба насоса в 1 час, работая одновременно?

4. Во сколько времени наполнят чан оба насоса, работая одновременно?

Ответ. Оба насоса при одновременной работе наполняют чан в 2 часа.

Алгебраическое решение

1. Допустим, что чан наполняется двумя насосами при одновременном их действии в х часов.

Время наполнения

Работа в час

Два насоса

X часов

1

— чана

Один первый

3 часа

1

3я •

Один второй

6 часов

1

6 “ •

2. Так как — чана представляет собой количество воды, налитой двумя насосами за 1 час их совместной работы, то имеем уравнение:

Проверка.

Ответ. Оба насоса при одновременном действии наполняют чан в 2 часа.

Задача 3. Когда первый насос проработал 4 часа, ему на помощь поставили второй насос. После 2 часов совместной работы первый был выключен, и тогда второй закончил работу в 4 часа. Во сколько времени мог бы выполнить всю работу один второй насос, если первый выполняет ее в 24 часа?

Наглядное решение

1. Изобразим объем работы в виде прямоугольника, длины численно кратной числам условия задачи, т. е. в 24 клетки длины.

2. Разделим его на 24 равные части. Каждое деление будет наглядно изображать работу первого насоса, выполненную за 1 час.

3. Первый насос работал один 4 часа и вместе со вторым 2 часа, а всего 6 часов; он сделал работу, изображенную столбиком 0-6, составляющему 6 делений из 24, т. е. одну четверть всей работы.

4. Второй насос работал также 6 часов (2 часа вместе с первым и 4 часа один) и выполнил оставшуюся часть работы, т. е. три четверти ее. Она изображена столбиком BD = BF-\-FD, где BF наглядно представляет его работу за 2 часа одновременно с первым, a FD — работу за 4 часа в одиночку.

5. За 4 часа работы в одиночку второй насос выполнит половину всей работы, так как в столбике FB 12 клеток, а за 1 час заполняется 3. Значит, вся работа вторым насосом будет выполнена в 24:3 = 8 часов (или 4-2 = 8).

Арифметическое решение

1. Какую часть работы выполняет первый насос за 1 час, если всю работу он выполняет за 24 часа?

2. Какую часть работы выполнит первый насос за 6 часов?

3. Какая часть работы останется второму насосу?

4. Какую часть работы выполняет второй насос за 1 час, если оставшуюся часть он выполнил за 6 часов?

5. Во сколько времени выполнит всю работу второй насос?

Ответ. Второй насос выполнит всю работу в 8 часов.

Алгебраическое решение

1. Пусть второй насос всю работу выполняет за л часов.

2. Тогда он выполнит за 1 час -^-работы.

3. Первый насос за 1 час выполняет работы.

4. Оба вместе за 1 час выполняют:

5. Оба вместе за 6 часов выполняют всю раб сту Следовательно, имеем уравнение:

Ответ. Второй насос выполнит всю работу за 8 часов.

Задача 4. Из пунктов А и В вышли одновременно навстречу друг другу два автомобиля со скоростями 40 км в час и 30 км в час. Когда и на каком расстоянии от А и В они встретятся, если АВ=210 км!

Наглядное решение

1. Представим расстояние AB = 210 км в виде отрезка длиной в 21 клеточку, следовательно, 1 клеточка изображает 10 км.

2. Пусть автомобиль со скоростью 40 км/час выходит из Л, а второй из В. Расстояния, пробегаемые каждым автомобилем в час, изобразятся отрезками: Аах\ ВЬХ\ а{а2; ЬгЬ2; а2ав; b2bs.

3. Таким образом, получаем ответ: автомобили встретятся через 3 часа в точке С. АС = 40- 3 = 120; ВС — = 30-3 = 90.

Примечание. Если расстояние не кратно сумме скоростей за 1 час, то остаток расстояния надо делить пропорционально отношению скоростей. Например: AB — 245 км, тогда после пятого и шестого отложений (а2а3 и b2b3) будет остаток, равный 35 км; эти 35 км надо разделить в отношении 30:40 = 3:4; 3 + 4 = 7.

Арифметическое решение

Примем длину пути в 210 км за 1.

1. Какую часть пути проходил за 1 час первый автомобиль, скорость которого 40 км/час?

2. Какую часть пути проходил за 1 час второй автомобиль, скорость которого 30 км J час}

3. Какую часть пути проходят оба автомобиля вместе за 1 час?

4. Во сколько часов оба автомобиля вместе пройдут весь путь, т. е. через сколько часов они встретятся?

Проверка. 1) За 1 час автомобили проходят путь:

40 + 30 = 70 (км).

2) За 3 часа автомобили пройдут

70-3 = 210 (км).

Ответ. 1) Через 3 часа; 2) На расстоянии 120 км от Л и 90 км от В.

Другой способ решения

1. Какое расстояние проходят оба автомобиля вместе за 1 час?

40 + 30 = 70 (км).

2. Так как при встрече они пробегут путь длиной 210 км, то на это понадобится

210:70 = 3 (часа).

3. Расстояния до встречи будут:

1) от А 40-3= 120 (км),

2) от В 30-3= 00 (км).

Алгебраическое решение

1. Обозначим время встречи в какой-нибудь точке С через X (часов).

2. Тогда автомобиль / пройдет расстояние АС до встречи 40* (км).

3. Автомобиль // пройдет расстояние ВС до встречи 30 л: (км).

4. Так как сумма расстояний, пройденных до встречи (АС-{-ВС=АВ)у равна 210 км, то получаем уравнение:

40л; + 30л; = 210; х — 3.

Проверка. Автомобиль / прошел до встречи расстояние 40-3 = 120 (км), а автомобиль // прошел 30-3= 90 (км); 120 + 90 = 210 (км).

Ответ. 1. Встреча произошла через 3 часа.

2. Автомобили встретились на расстоянии от А — 120 км; от В — 90 км.

Задача 5. Из пункта А вышел груженый катер и идет равномерно со средней скоростью 4 км в час. Через 8 часов после отхода катера из того же пункта А и по тому же направлению вышел пароход и идет со средней скоростью 12 км в час. Через сколько часов и на каком расстоянии от А он догонит катер?

Наглядное решение

1. Для наглядности изобразим длину пути отрезком АБС с пунктирным перерывом в промежутке ВС, который равен длине пути, пройденного катером с момента выхода парохода из Л и до прихода обоих в точку С.

2. К моменту выхода парохода из пункта А катер будет проходить точку В, и расстояние между ними будет 32 км. Каждый последующий час пароход будет проходить на 12 — 4 — (S)km больше катера. Значит, через 1 час расстояние между ними будет 32 — S = 24 (км), еще через час — 24 — 8 = 16(/ш); отсюда видно, что пароход догонит катер через столько часов, сколько раз содержится 8 в 32; т. е. 32:8 = 4.

Арифметическое решение

1. Какой путь пройдет катер до выхода парохода из пункта Л?

4-8 = 32 (км).

2. На сколько километров уменьшится первоначальное расстояние между ними через 1 час?

12 — 4 = 8 (км).

3. Через сколько часов пароход догонит катер?

32:8 = 4 (часа).

4. На каком расстоянии от А пароход догонит катер?

12-4 = 48 (км) (для парохода), или 4-12 = 48 (км) (для катера).

Алгебраическое решение. (Первый способ)

1. Длину пути до встречи изобразим отрезком прямой ABC. Отрезок AB пусть будет равен длине пути, пройденного катером за 8 часов, т. е. 32 км. С —место встречи.

2. В то время, когда катер проходит пункт В, пароход выходит из А. Обозначим расстояние ВС через х км; тогда длина пути парохода будет АС = (32 х) км, а катер за это время пройдет путь, равный отрезку ВС = =х км.

3. На прохождение ВС катер затратит (часов).

4. Пароход же на прохождение пути АС затратит времени

5. Так как они затрачивают одинаковое количество времени на прохождение своих путей, то и имеем уравнение:

Тогда искомое расстояние АС=32 -f-16 = 48 (км). Это расстояние пароход проходит за 48:12 = 4 (часа).

Алгебраическое решение. (Второй способ)

1. Изобразим длину пути, пройденную катером за 8 часов, отрезком AB.

2. Пусть встреча произойдет в некоторой точке С через X часов после одновременного прохождения пароходом — пункта А и катером — J5.

3. Длина пути, пройденного катером за х (часов), будет равна 4 х км.

4. Длина пути, пройденного пароходом за х часов, будет 12 X км; но за х часов пароход прошел больше катера на 32 км.

5. Уравнение:

12л: —4л: = 32; л: = 4.

6. Расстояние 5С=4-4 = 16 (км),

АС= 32 + 16 = 48 (км).

Начиная с третьего пункта, полезно дать и такой вариант решения (правый чертеж).

3°. Длина пути, пройденного пароходом за х часов»

12л:=ЛС.

4°. Длина пути, пройденного катером за 8+л: часов, (8 + х)4.

5°. Так как пути равны (АС=АС), то имеем уравнение: (8 + л:)= 12л:; откуда л: = 4 и т. д.

Задача 6. Число 80 разделить на две неравные части так, чтобы половина большей части была на 10 больше меньшей части. Чему равна каждая часть?

Наглядное решение

1. Изобразим данное число в виде отрезка прямой AB длиной 8 см (на классной доске 8 дм), тогда в 1 см (в 1 дм) будет содержаться 10 единиц числа.

2. Если одна половина большего числа больше меньшего числа на 10, то и другая половина также больше меньшего числа на 10, а обе на 10 «2 = 20.

3. Отнимаем от отрезка AB избыток двух половин большего числа, равный 2 единицам масштаба, получим остаток CD, равный 6 единицам.

4. Теперь отрезок CD содержит три равные между собой части, каждая из которых равна меньшему иско-

мому числу; поэтому разделим CD на три равные части и получим 2 единицы масштаба в каждой; значит, меньшее искомое число равно 2-10 = 20 и выражается наглядно отрезком EF.

5. Отнимая от AB отрезок EF, находим наглядное изображение большего искомого числа — отрезок KL: 8 — 2 = 6 (единиц масштаба) или

6-10 = 60.

Арифметическое решение. (Первый способ)

1. Число 80 можно рассматривать как сумму двух слагаемых, из которых половина одного больше другого на 10.

2. Значит, первое целое слагаемое будет больше удвоенного второго на 10-2 = 20.

3. Отняв от 80 избыток 20, получим 80 — 20 = 60, что равно утроенному меньшему из искомых чисел. Следовательно, меньшее искомое будет:

60:3 = 20.

4. Большее искомое число будет:

80-20 = 60.

Арифметическое решение. (Второй способ)

1. Примем число 80 за сумму двух чисел, из которых половина одного на 10 больше другого.

2. Если от обеих половин большего числа отнять по 10, то каждая из них будет равна меньшему числу.

3. Но тогда и сумма уменьшится на 10-2 =20 и станет равной

80-20 = 60.

4. Полученное число 60 представляет собой сумму трех равных между собой чисел, из которых каждое равно меньшему искомому числу.

5. Разделив 60 на 3, находим меньшее искомое число:

60:3 = 20 и т. д. Арифметическое решение. (Третий способ.)

1. Число 80 — сумма двух слагаемых, из которых половина большего больше меньшего на 10.

2. Если к меньшему слагаемому прибавим 10, то оно сделается равным половине большего слагаемого.

3. Но, увеличив одно из слагаемых на 10, мы увеличиваем и сумму на 10, и она станет 80+10=90, а эта сумма равна трем равным между собой слагаемым, из которых каждое равно половине большего числа.

4. Разделив 90 на 3, получаем половину большего числа, удвоение которого дает большее искомое число:

(90:3).2 = 60

и т. д.

Алгебраическое решение. (Первый способ, черт. I)

1. Обозначим меньшее искомое число через х.

2. Тогда половина большего числа будет л;+10, а целое большее число будет:

2(л; + 10) или 2х + 20.

3. На черт. 10, / видно, что

х + 2х + 20 = 80,

откуда Зх = 60 и х = 20.

Большее число будет:

2{х +10) = 2. (20 +10) = 60.

Алгебраическое решение. (Второй способ, черт. 11)

Если обозначить большее число через х, то:

1. Меньшее будет равно у — 10.

2. По черт. 10, // видно, что сумма хА- — 10^ равна 80, следовательно, получаем уравнение:

— ю) =80, откуда * = 60.

3. Меньшее число будет:

Задача 7. Сумма двух чисел равна 12, а частное от деления их равно 2. Найти эти числа.

Наглядное решение

Изобразим сумму искомых чисел в виде отрезка прямой AB, длиною 12 см (на классной доске — 12 дм).

Если частное от деления двух чисел равно 2, то это означает, что большее число содержит 2 таких части числа 12, каких меньшее содержит одну.

Следовательно, число 12 содержит 3 равные части, из которых каждая равна меньшему числу. Поэтому разделим отрезок AB на три равные части и одну из них отделим; она будет наглядно показывать меньшее число и численно равна 12:3 = 4. Большее число будет изображено отрезком CZ) = 8.

Арифметическое решение

1. Так как 12 делится на такие два числа, из которых одно больше другого в 2 раза, то это означает, что 12 содержит в себе 3 равные части: одна часть составляет большее число и две части — меньшие.

2. Разделив 12 на 3, найдем меньшее из чисел: 12:3 = 4.

3. Большее число будет: 12 — 4 = 8, или 4-2 = 8. Ответ: 4 и 8.

Алгебраическое решение

1. Обозначим меньшее искомое число через х.

2. Тогда большее будет 12 — х (или 2-х).

3. Уравнение: —— =2; х = 4

(или 2х-\-х=\2\ х = 4).

Задача 8. Разделить число 11 на такие две части, чтобы при делении большей части на меньшую в частном было 2 и в остатке 2.

Наглядное решение

1. Изобразим число 11 отрезком AB, длиною 11 см (на классной доске 11 дм), тогда каждый сантиметр (дециметр) будет изображать единицу (черт. /).

2. Данное число 11 можно рассматривать как сумму двух неравных между собой чисел.

3. По условию при делении большего числа на меньшее должен получиться остаток 2. Значит, если уменьшить делимое на 2, это деление будет без остатка. Но тогда и сумма уменьшится на 2. Уменьшим поэтому прямую AB на 2 см.

4. Остаток Л С, равный 9 единицам, теперь содержит два отрезка, из которых больший в два раза больше мень-

шего, значит, меньший в Л С содержится 3 раза; разделив АС на 3 равные части: AD, ED и ЕС, получаем ответ: 3 и 8.

5. На черт. / наглядно видно, что меньшее число, выраженное отрезком AD, содержится в большем DB 2 раза (DE и ЕС), и еще остается отрезок СВ, равный двум единицам масштаба.

Арифметическое решение

Если при делении двух чисел получается остаток, то, отняв его от делимого, получим деление без остатка. (Делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток, что следует напомнить учащимся).

1. Так как в частном должно получиться 2, то это означает, что делитель содержит одну такую часть, каких делимое — две.

2. Поэтому в разности: 11—2 = 9 содержатся 3 равные между собою части, из которых каждая равна меньшему искомому числу.

3. Разделив 9 на 3, получаем меньшее искомое число:

9:3 = 3.

4. Большее число будет: 11 — 3 = 8. Проверка. 1) 8 + 3= 11; 2)8: 3 = 2+^-. Ответ. Числа будут 3 и 8.

Алгебраическое решение

1. Изобразим данное в условии задачи число 11 в виде отрезка прямой AB (черт. II).

2. Обозначим меньшее искомое число через х; пусть это будет отрезок AD.

3. Тогда большее число будет 11 — х (отрезок DB).

4. Если при делении большего числа на меньшее в частном получается 2 и в остатке 2, то, уменьшив большее число на 2, достигнем того, что оно будет делиться без остатка и будет равно:

5. Уравнение —— =2, откуда х = 3.

6. Большее число: 11—3 = 8.

Проверка:

Ответ: 3 и 8.

После п. 3 можно провести также следующие рассуждения:

4°. Делимое (11 — х) равно делителю х, умноженному на частное -f- остаток.

5°. Уравнение: 11 — л: = 2л:-|-2, откуда х = 3, и т. д.

Полезно указать и такое решение (черт. ///).

3°. Обозначим меньшее искомое через х (ED), тогда большее будет по условию в 2 раза больше (2х) да еще на 2 единицы, т. е. оно будет 2х 2.

4°. Сумма же искомых чисел 11.

5°. Уравнение: х-\-2х-{-2 = 11; х = 3 и т. д.

Задача 9. В двух бригадах вместе 36 человек. Когда из большей бригады перевели в меньшую двух человек, то людей в обеих бригадах стало поровну. Сколько человек было в каждой бригаде?

Наглядное решение

1. Изобразим количество людей в обеих бригадах вместе в виде прямоугольника AB длиной в 9 см, тогда в 1 см будет содержаться 36:9 = 4 единицы масштаба.

2. После перевода двух человек из одной бригады в другую общее количество людей (36) не изменилось, поэтому разделим AB пополам, получим два равных между собою отрезка АС и ВС, показывающие равное количество людей в обеих бригадах.

3. Для большей ясности начертим их отдельно (МН и HD).

4. Один из отрезков, например HD, имеет 2 единицы, присоединенные от другого, поэтому для наглядного сравнения возвратим 2 единицы отрезку МН. Если в 1 см содержится 4 единицы, то в двух единицах будет у см.

5. После присоединения и изъятия отрезки будут ME и НК\ МЕ = Ъ см, а НК=\ см. Значит, в первой бригаде будет:

5-4 = 20 человек, а во второй 4-4=16 человек.

Арифметическое решение

1. Число 36 есть сумма двух слагаемых.

2. Если одно слагаемое уменьшить, а другое увеличить на 2, то сумма не изменится, но она после этого станет суммой двух равных между собою слагаемых; поэтому каждое из них равно 36 : 2 = 18.

3. Однако одно из этих слагаемых должно быть меньше на 2, а другое больше на 2. Значит, меньшее будет 18 — 2=16, а большее 18 + 2 = 20.

Проверка: 1)20 +16 = 36; 2) 20 — 2 = 16 +2 = 18.

Ответ. В одной бригаде 20 человек, в другой 16 чело-

Алгебраическое решение

1. Выразим число 36 наглядно в виде отрезка AB.

2. Обозначим количество людей в меньшей бригаде через л.

3. Тогда в большей будет 36—х людей.

4. Когда из большей бригады перевели в меньшую 2 человек, то в них соответственно стало людей:

36 — х-2 и л;+ 2, а эти выражения по условию равны. Имеем уравнение:

36 — х- 2 = * +2, откуда х= 16.

5. В большей бригаде будет 36—16 = 20 человек.

6. Проверка. 20+16 = 36; 20 — 2 = 16 + 2 = 18.

7. Ответ. 16 и 20.

Задача 10. Ученик имеет в руках несколько карандашей. Если он переложит один карандаш из правой руки в левую, то в обеих руках будет поровну; если же из левой переложить в правую 2 карандаша, то в правой будет в два раза больше, чем в левой. Сколько карандашей в каждой руке?

1. После переложения одного карандаша из правой руки в левую, в обеих руках стало поровну.

2. Изобразим числа карандашей в каждой руке в виде двух равных между собой прямоугольников:

AB — в правой, CD — в левой руке.

3. AB = CD. Отнимаем от CD единицу (один карандаш). Пусть это будет отрезок ED = 1 см. Затем эту единицу прибавим к AB (BK)- Теперь мы имеем наглядное сравнение количеств карандашей в обеих руках до переложения одного карандаша из правой руки в левую.

4. Из сравнения полосок СЕ и АК видим, что в левой руке на 2 карандаша меньше, чем в правой.

5. По второму условию надо переложить из левой руки в правую 2 карандаша. Сделав это, получим: в левой останется полоска CM {ME, равная двум единицам, переложена), а в правой будет полоска АН.

6. Согласно условию, теперь в правой руке стало вдвое более, чем в левой: АН—2 см; сравнивая полоски, видим, что СМ = АМЬ а поэтому и МХН= СМ. Но МгН=6> следовательно, и СЖ = 6. Значит, меньшее число будет:

СМ + МЕ = 6 + 2 = 8, а большее А К= 6 + 4 = 10.

Решение арифметическое следует делать одновременно с наглядным.

Алгебраическое решение

1. Обозначим число карандашей в правой руке через х.

2. Если из левой руки переложить 2 карандаша в правую, то в правой будет (х-\-2) карандашей.

3. Теперь в правой в 2 раза больше, чем в левой, следовательно, в левой будет —— карандашей.

4. До изъятия же двух карандашей в левой руке было ——- + 2 карандаша.

5. После переложения одного карандаша из правой руки в левую в правой осталось х— 1, а в левой было

По условию эти числа равны.

6. Уравнение: ïi^-\-3 = x — 1, откуда л;=10.

7. В правой руке было 10 карандашей, а в левой на 2 менее:

Ю~2 = 8.

Проверка. 1) 10—1= 9; 8+1 =9; 2) 8 — 2 = = (10 + 2):2 = 6.

Ответ. 10 и 8.

Алгебраическое решение при помощи системы двух уравнений с двумя неизвестными

1. Обозначим число карандашей в правой руке через X, а в левой — через у.

2. После переложения одного карандаша из правой в левую, в правой осталось х — 1 карандашей, а в левой стало у-\-1 карандашей.

3. Изобразим наглядно наличность карандашей в обеих руках после переложения одного карандаша из правой руки в левую в виде двух равных между собою полосок: АВ = х—1 и CD=y-\-l. По условию AB = CD имеем уравнение:

1) X — 1 =у -f 1 (черт. /—//).

4. Когда переложили 2 карандаша из левой руки в правую, то в правой стало х-\-2 карандашей,а в ле-

вой осталось у — й карандашей (черт. ///), причем в левой руке теперь в два раза меньше, чем в правой.

Поэтому можно составить второе уравнение: 2) х + 2 = 2 СУ —2).

5. Имеем систему:

АЛГЕБРА

ОТ СОСТАВИТЕЛЯ

1. В настоящем сборнике статей, составленных преподавателями математики на основании своего опыта, рассматриваются два вопроса, относящиеся к области преподавания алгебры в средней школе: 1) о составлении уравнений по условиям задач; 2) об исследовании решений уравнений, составленных по условиям задач с буквенными данными (параметрами).

Эти вопросы имеют между собою внутреннюю связь, так как исследование решения уравнения, составленного по условию задачи с буквенными данными, является естественным завершением процесса решения этой задачи, его органической частью.

Найденные путем решения составленного уравнения или составленной системы уравнений значения неизвестных могут рассматриваться как ответ на вопрос задачи только при определенных соотношениях между входящими в эти значения параметрами, а разыскать эти соотношения можно только путем надлежаще проведенного исследования; без указания этих соотношений задача не может считаться решенной, и выполненная по решению уравнений работа не достигает поставленной цели. Таким образом, два указанные вопроса составляют, в сущности, один: вопрос о составлении уравнений и исследовании их решений.

1. О составлении уравнений по условиям задач

2. Эта проблема представляет значительные затруднения для преподавателей, главным образом, потому, что едва ли может быть создано какое-либо общее правило (алгорифм), которое можно было бы положить в основу процесса составления уравнений по условиям задач.

В литературе имеется немало предложений относительно наиболее рационального построения методики составления уравнений. Однако они, повидимому, не окончательно решают проблему, так как преподаватели настойчиво продолжают искать ее решение. Мы помещаем две статьи по этому вопросу. Они принадлежат преподавателям с большим педагогическим стажем, проверившим свои предложения на опыте. Авторы считают, что этот опыт оказался вполне удовлетворительным и заслуживающим перенесения в другие школы.

3. Методика составления уравнений по условиям задач, предлагаемая автором первой статьи И. Г. Польским, состоит, по существу, в следующем. Автор классифицирует все задачи, в первую очередь, по их содержанию. В каждой задаче ее содержанию соответствует определенная группа величин, находящихся между собою в функциональной зависимости. Рассматриваемые в школьной практике задачи обычно приводят к группе трех величин а, и, V, связанных между собою одним из двух равенств:

u = av (1), wo —а (2),

указывающих, что при фиксированном (определенном, заданном) значении а одной величины две другие находятся между собою в прямой или обратной пропорциональной зависимости.

Таковы, например, равенства:

1) стоимость товара равна его цене, умноженной на количество товара;

2) s = vt (формула равномерного движения);

3) s = bh (формула площади прямоугольника);

4) A=pt (зависимость между выполненной работой, временем ее выполнения и мощностью, или производительностью, т. е. работой, выполняемой в единицу времени);

5) p = vd (зависимость между весом, удельным весом и объемом тела);

6) р = ~ (р — давление, производимое силой Р на единицу площади 5).

Затем, пользуясь равенством, связывающим три величины той группы, которая соответствует содержанию рассматриваемой задачи, автор по каждому данному

значению одной из этих величин и выраженному, например, через X значению другой величины той же группы выражает через х значение третьей величины, находящейся в известной функциональной зависимости от двух первых величин. Эта операция повторяется столько раз, сколько нужно для того, чтобы исчерпать все факты, составляющие содержание условия.

Найдя этим путем выражения для «третьей величины», как ее называет автор, составляют искомое уравнение на основании явной связи, существующей либо между значениями одной и той же третьей величины, либо между значениями этой третьей величины и одним из неиспользованных данных значений той же величины.

Это общее описание методики составления уравнений по условиям задач, предлагаемой И. Г. Польским, станет вполне ясным после ознакомления с приведенными в его статье решениями задач, что мы и предлагаем сделать читателю.

Однако мы попытаемся сейчас внести еще большую определенность и, может быть, отчетливость в ход рассуждений, который должен сопровождать процесс составления уравнений по условиям задачи.

Каждая задача относительно величин облекается в форму разветвленного вопросительного предложения, называемого ее условием. Если внимательно разобраться в условии, то окажется, что его можно расчленить на ряд предложений, выражающих утверждение, 1) что некоторые величины, о которых идет речь в условии задачи, имеют данные в условии значения и 2) что между значениями какой-либо величины существует данная в условии зависимость.

Так, например, условие 1-й задачи (стр. 115) может быть так расчленено на утверждения (факты):

1) поезд идет из А в ß со скоростью 30 км в час;

2) поезд идет из В в А со скоростью 28 км в час;

3) весь проезд туда и обратно поезд делает в 14-^- часов.

Два первых предложения указывают значения скорости движения поезда в двух направлениях; третье же предложение указывает, какая зависимость существует между двумя промежутками времени: их сумма равна данному в условии числу.

Мы подробно рассмотрели процесс составления уравнения по условию 2-й задачи с целью обратить внимание читателя на то, что:

Обозначив искомое расстояние AB через х, мы на основании формулы s = vt тотчас же соответственно получаем, что

1) время пробега пути AB равно ^ часам;

2) время пробега пути ВА равно ~ часам;

3) 30 ~Ь 28“ = 14т*

Условие 2-й задачи (стр. 116) может быть так расчленено на утверждения (факты):

1) двое рабочих вместе кончают работу за часа;

2) первый может ее исполнить в 6 часов.

Автор для решения этой задачи прибегает к формуле: A=pt (объем работы равен производительности выполняющего ее, умноженной на время ее выполнения). Конечно, всего удобнее, как обыкновенно и делают, принять работу за единицу, т. е. измерять производительность, мощность, работу в час в долях работы: если для выполнения некоторой работы потребовалось t часов, то за 1 час была выполнена часть работы, выражаемая числом -р

Пользуясь этим соотношением, мы можем утверждения 1 и 2 заменить такими:

1) двое рабочих вместе выполняют за час ^ работы;

2) первый может исполнить за час ~ работы.

Обозначив теперь число часов, в течение которого второй рабочий сделает ту же работу, через t, мы точно так же отсюда заключаем, что за 1 час он выполняет -у работы.

Но утверждение 1 указывает, какая зависимость существует между числами -jr и у. Выражая ее в математической форме, мы приходим к уравнению:

1) при решении задач на работу (бассейны и т. п.) целесообразно предварительно заменить время выполнения работы производительностью выполняющего ее, выраженной в долях объема работы, и лишь затем составлять уравнение;

2) в задачах этого (и, возможно, аналогичного) содержания переход от данных числовых значений какой-либо величины к выражениям, содержащим неизвестную, возможен только после перехода от числовых значений этой величины к соответствующим числовым значениям некоторой другой величины, находящейся от первой в функциональной зависимости.

Вообще же (т. е. в большинстве случаев) возможен непосредственный переход от данных числовых значений к выражениям, зависящим от х, как это имело место в 1-й задаче.

Условие 6-й задачи (стр. 119) может быть так расчленено на утверждения:

1) два разносчика имели вместе 100 яблок;

2) они получили при продаже их одинаковые суммы;

3) если бы первый продал столько, сколько второй, то получил бы 18 рублей;

4) если бы второй продал столько, сколько первый, то получил бы 8 рублей.

Предложения 1 и 2 представляют собою зависимости соответственно: 1) между числами яблок, имевшимися у того и другого разносчика, 2) между вырученными ими суммами. Предложения 3 и 4 указывают, какие суммы выручили бы первый и второй разносчики, если бы каждый из них продал столько яблок, сколько имелось у другого.

Обозначив число яблок, имевшихся у первого разносчика, через ху мы тотчас же в силу зависимости 1 имеем возможность обозначить число яблок, имевшихся у второго разносчика, через 100—х.

Предложения 3 и 4, как уже указано, не представляют собою зависимостей, но они указывают значение одной из трех величин (числа яблок п, цены яблока р и вырученной от их продажи суммы s), находящихся между собою в функциональной зависимости:

$ = пр.

Поэтому мы имеем возможность, пользуясь указанной зависимостью, найти, что первый разносчик продавал 1 яблоко за 1QQ_^ рублей, а второй — за —рублей.

Остается использовать зависимость 2. Она, естественно, приводит нас к уравнению:

4. Обратимся к статье М. Ф. Добрыниной. Автор этой статьи предлагает свою методику составления уравнений по условиям задач, но основывает ее на оригинальной экспериментальной работе, специально задуманной и проведенной по заранее выработанному плану. Эта работа, как видно из заглавия статьи, была посвящена изучению тех мыслительных процессов, которые происходят в уме учащегося, размышляющего над тем, как составить уравнение по условию задачи. Этот, насколько нам известно, необычный в школьной практике эксперимент, предпринятый по инициативе автора, должен быть отмечен как заслуживающее подражания и продолжения начинание; привлечение логики и психологии для изучения мыслительных процессов, совершающихся в уме учащегося при осознании им математических понятий и идей и при проведении им связанных с усвоением математики рассуждений, может благотворно повлиять на выработку обоснованной методики преподавания этой дисциплины.

Статья, без сомнения, вызовет у читателей живой интерес. К сожалению, стремясь несколько сократить объем статьи, мы вынуждены были опустить ряд записанных автором высказываний вслух, которыми учащиеся сопровождали свои размышления при решении предложенных им в порядке эксперимента задач. Выполненное автором с большой обстоятельностью описание постановки и хода эксперимента едва ли нуждается в каких-либо пояснениях.

Поэтому ограничимся только кратким рассмотрением предлагаемой М. ф. Добрыниной методики составления уравнений по условиям задачи.

Эта методика отличается от той, которая разработана И. Г. Польским, и, как нам кажется, может быть особенно рекомендована в начале и на первой стадии

изучения темы о составлении уравнений по условиям задач. Должно быть, мы поможем внедрению мыслей автора в практику, если несколько уточним их на примерах.

Рассмотрим задачу, помещенную на стр. 126.

Ее условие может быть расчленено на следующие утверждения (факты):

1) молотилка обмолачивает за рабочий день 18 копен ржи;

2) молотилка обмолачивает за рабочий день 20 копен яровых культур;

3) за 9 дней было обмолочено 172 копны ржи и яровых культур.

Из этих утверждений только третье выражает зависимость: данное число 172 есть сумма чисел обмолоченных копен ржи и яровых культур.

Вот на эту зависимость прежде всего обращает внимание учащийся; он рассматривает ее как словесное выражение уравнения. Затем он стремится облечь это выражение в математическую форму; для этого он вводит обозначения х и 9 — х для искомых величин и выражает каждое из слагаемых через х: \8х и 20(9 — х). Наконец, он составляет уравнение: 18л;-f-20(9 — х)=172.

Рассмотрим еще один пример.

Условие задачи на стр. 132 может быть расчленено так:

1) конница была послана через 30 минут после начала отхода пехоты противника;

2) конница отстояла от пехоты на 2 км;

3) скорость движения пехоты равна 4 км в час;

4) скорость движения конницы равна 12 км в час.

Учащийся видит, что предложения 1 и 2 представляют собою зависимости. Сделав чертеж, относящийся к задаче, он, по соображениям наглядности, скорее остановится на зависимости 2, которой он придаст такую словесную формулировку: путь конницы на 2 км длиннее пути пехоты; это предложение и составит искомое им словесное уравнение.

Для облечения этого уравнения в математическую форму он обозначит время движения конницы в часах через X и, пользуясь относящейся к этой задаче функциональной зависимостью s = vt, найдет последовательно:

из предложения 1, что время движения пехоты равно

часам;

из предложения 3, что пехота прошла 4(^х + — J км;

из предложения 4, что конница прошла 12* км. После этого словесное уравнение получит математическую форму:

5. Мы видим, что эта методика отличается от предложенной И. Г. Польским тем, что она не отодвигает решающий этап составления уравнения, над которым собственно и приходится размышлять учащемуся, на последнее место, рассматривая его как заключительный шаг всего рассуждения, а, напротив, делает этот этап исходным пунктом рассуждения, ставит его на первое место: учащийся должен, поразмыслив, в первую очередь выделить ту зависимость, которая, будучи выражена в словесной форме, представляет собою содержание составляемого уравнения. Таким образом, методикам. Ф.Добрыниной сразу апеллирует к сознательному и активному отношению учащихся к решению вопроса о том, как облечь условие задачи в форму уравнения или уравнений.

Описывая свою методику, М. Ф. Добрынина недостаточно ясно указывает, как ее учащиеся привлекают соответствующую задаче функциональную зависимость при выражении неизвестных величин, зависящих от х, через X. Повидимому, это должно делаться так же, как и при пользовании методикой И. Г. Польского, т. е. на основании равенств, выражающих рассматриваемую в задаче функциональную зависимость. Но эти равенства не должны обязательно записываться; учащиеся могут ограничиваться их словесной формулировкой.

Все уравнения, которые могут быть составлены по условиям задач, по наблюдению М. Ф. Добрыниной, приводятся к одному из следующих четырех видов:

где a, by с — данные в условии задачи значения величин. При этом в первых двух уравнениях левые и правые части выражают значения одной и той же величины; в третьем уравнении левая часть есть отношение значений одной и той же величины; в четвертом уравнении обе части также выражают значения одной и той же

величины. К этому выводу автор, возможно, пришел индуктивным путем: все задачи, относящиеся к школьному курсу алгебры, приводят к уравнениям только этого вида. Но и логически вполне г.онятно, что иных видов не может быть: если левая часть уравнения есть дробная рациональная функция, то она имеет вид ^j; если же она есть целая рациональная функция, то она есть алгебраическая сумма целых рациональных функций. К произведениям же f\{x)-f2{x) мы прийти не можем, так как /,(.*) и f2(x) суть обычно значения одной и той же величины.

Таким образом, автор, исходя из рассмотрения возможных смыслов, которые может иметь уравнение как равенство величин, пришел к заключению о возможных видах уравнений и вместе с тем к своеобразному, но вполне оправданному распределению задач на четыре группы.

Весьма поучительным и всемерно заслуживающим внедрения в практику преподавания темы о составлении уравнений является тот шаг в методике М. Ф. Добрыниной, который состоит в решении почти каждой задачи двумя способами. Это решение учащиеся основывают на том — ими самими подмеченном — интересном для них и важном факте, что величина, которую они обозначили через х, и величина, равные значения которой выражаются левой и правой частями уравнения, находятся между собою в такой зависимости, что, если обозначить через х именно эту последнюю величину и составить уравнение в соответствии с этим новым обозначением, то части нового уравнения будут выражать равные между собою значения той величины, которая в первый раз была обозначена через X.

Так, если в задаче о молотилке (стр. 126) мы обозначим через X и 172—х числа обмолоченных копен ржи и яровых культур, то составим уравнение:

обе части которого представляют собою значения той величины (промежутка времени), которая при решении задачи первым способом принималась за неизвестную.

Это объясняется тем, что две величины, о которых только что шла речь, определяются из равенств 1—6 на стр. 100, в каждом из которых третья величина сохра-

няет постоянное значение. Очевидно, что если при равномерном движении за неизвестную величину принято время движения, то обе части уравнения будут выражать пройденный путь; точно так же, если при неизменяющемся объеме работы за неизвестную величину примем время ее выполнения, то обе части уравнения будут выражать производительность выполняющего ее; но если мы за неизвестную величину примем в первом примере пройденный путь, а во втором — производительность выполняющего работу, то обе части составленных уравнений будут выражать соответственно время движения и время выполнения работы. Учащиеся должны понять, что установленная ими закономерность вполне естественно вытекает из существа дела.

Очевидно, что сба автора, решая проблему о составлении уравнений по условиям задач, руководились одной и той же внутренней логикой.

Что же касается методического оформления, то о преимуществах той или другой или какой-либо третьей методики, например, очерченной нами выше (стр. 101 —103), свое веское слово скажет учитель, к которому мы и обращаемся с просьбой поделиться с нами своим заключением о предлагаемых его вниманию работах, а также своим опытом в рассматриваемой области.

II. Об исследовании решений уравнений, составленных по условиям задач

6. Автор предлагаемой статьи И. И. Смирнов начинает ее с „Предварительных упражнений“ (гл. I), в которых содержится 20 примеров на установление области допустимых значений параметров и переменных-Привлечение внимания преподавателей к этому понятию, своевременно и полезно.

Вслед за этим автор счел целесообразным выделить „Упражнения на неравенства“ (гл. II). Имея в виду, что теория неравенств недостаточно освещена в учебнике, мы сохранили эту главу статьи, сопроводив ее текст редакционными примечаниями. Однако надо иметь в виду, что к основному вопросу статьи автора имеют отношение не доказательства неравенств, а их решение, как это выяснено в редакционном примечании на стр. 177.

Глава III содержит „Упражнения на исследование буквенных (параметрических) уравнений и систем уравнений

первой степени“. Автор на примерах указывает рекомендуемый им ход исследования. При этом он вскрывает допускаемую в практике школы и допущенную в стабильном задачнике ошибку, состоящую в том, что при решении уравнения, которое имеет дробные члены, содержащие в знаменателе неизвестную, найденный корень не проверяется путем подстановки его вместо неизвестной в каждый из знаменателей.

Глава IV, носящая заглавие „Решение задач на составление уравнений“, составляет основное содержание статьи. В этой главе автор сперва подробно формулирует постановку вопроса, а затем последовательно рассматривает исследование решений уравнений и систем уравнений первой степени и уравнений второй степени, составленных по условиям задач. При изложении этой главы автор точно следует выработанному им порядку исследования решений уравнения, который, вообще говоря, представляется нам правильным; в отдельных случаях мы оговариваем в сноске наше мнение относительно порядка рассуждений автора. Предлагаемое автором изложение хода нахождения решения составленного по условию задачи уравнения и исследования этого решения предназначается им для школы; оно должно быть признано удовлетворительным и заслуживающим внимания в школьной практике.

В некоторых местах мы сопровождали изложение автора подстрочными замечаниями, которые имеют целью необходимые, на наш взгляд, разъяснения, уточнения или усовершенствования. В частности, мы желали обратить внимание читателя на возможность в ряде случаев заменить подчас тягостную для учащегося проверку подчинения найденного решения уравнения наложенным на него ограничениям (часто требующую решения иррационального неравенства), непосредственным рассмотрением самого уравнения (см. сноски на стр. 184, 190, 207, 209, 211, 212, 220, 222).

И. А. Гибш

И. Г. ПОЛЬСКИЙ

учитель 425-й средней школы, Москва

СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЯМ ЗАДАЧ

I. РОЛЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО МЫШЛЕНИЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ СОСТАВЛЕНИЮ УРАВНЕНИЙ

1, Одной из важнейших целей обучения математике является развитие функциональных представлений с тем, чтобы постепенно в умах учащихся слагалось ясное и прочное понятие о функции. Для этой цели должны быть использованы все разделы математики. В весьма большой мере это требование относится к разделу „Составление уравнений по условиям задач“. Этот раздел не может быть усвоен учащимися без наличия у них необходимых сведений о функциональной зависимости между величинами. Все трудности, испытываемые учащимися при составлении уравнений, обусловлены как раз недостаточной степенью развития у учащихся „функционального мышления“.

2. Только систематическая, начинающаяся уже с первого года обучения работа по внедрению и укреплению идеи функциональной зависимости между величинами может устранить трудности, с которыми сталкивается учащийся, когда он приступает в VII классе к систематическому изучению раздела „Составление уравнений“.

Переходя от решения некоторого вида задач с числами первого десятка к числам первой сотни, затем к числам первой тысячи и т. д., от целых чисел к дробным, преподаватель должен каждый раз подчеркивать, что один и тот же вопрос задачи должен решаться одним и тем же действием независимо от числовых данных. Тем самым преподаватель подготовляет почву к таким словесным формулам, как, например: цена одного килограмма товара равна стоимости всего товара, деленной на его

вес в килограммах, и т. п. Так постепенно создается представление, а затем и понятие о функциональной зависимости между величинами.

Изучая тему „пропорциональные величины“, следует обратить внимание учащихся на то, что один и тот же вид функциональной зависимости существует между различными группами величин, например, между путем, скоростью и временем при равномерном движении, между весом товара, его стоимостью и ценой, между площадью прямоугольника и его длиной при одной и той же ширине. Таким образом, учащийся все ближе подводится к понятию о функции (которое, конечно, к этому времени еще не определяется). Такого рода указания должны повторяться и подчеркиваться в каждом удобном случае с тем, чтобы идея функциональной зависимости постепенно все больше входила в сознание учащегося.

Установлению понятия о функции в большой мере содействует вычерчивание диаграмм и графиков, которые одновременно дают понятие как о соответствии между значениями величин, так и об изменяемости величин. Очень полезно приурочить начало вычерчивания диаграмм и графиков к моменту, когда начинают изучать округление чисел.

3. Как известно, одно из больших затруднений, возникающих у учащихся при составлении уравнений, состоит в том, что они не умеют записывать значения величин в виде алгебраических выражений. В этом отношении большую помощь учащимся может оказать решение задач по арифметике с составлением ответов в виде арифметических формул. Для получения такого выражения учащийся, отвечая на каждый вопрос задачи, только обозначает действия, но самих действий не выполняет. С каждым следующим вопросом ответ на него усложняется по форме, появляется необходимость введения скобок. Окончательный ответ получается в виде рационального числового выражения*.

4. Одними мероприятиями в области арифметики нельзя устранить все трудности, с которыми сталкивается учащийся при составлении уравнений. Остается еще не-

* Кстати, пользуясь распределительным законом умножения относительно суммы, можно было бы выносить в числителе и знаменателе такого выражения общие множители за скобки и сокращать его.

умение оперировать с буквами и составлять из них и числовых данных необходимые для составления уравнения буквенные выражения. В VI и VII классах следует уделять систематически много внимания упражнениям на составление алгебраических выражений. Об этом подробно (хотя несколько разбросанно) рассказано в книге А. Н. Барсукова: „Уравнения первой степени“ (Учпедгиз, 1944 или 1948), см. также его статью в сборнике „Математика в школе“, 1943 г.

5. При составлении уравнения учащийся встречается еще с одной специфической трудностью: он не может сообразить, что чему приравнивать. О том, как преодолевать эту трудность, было высказано в педагогической литературе несколько различных предложений. Ниже читатель убедится, что ее можно преодолеть почти без усилий.

6. Большую роль в деле облегчения обучения составлению уравнений сыграла бы рациональная классификация задач, по условиям которых составляются уравнения.

В упомянутой выше книге А. Н. Барсукова приводятся несколько вариантов классификаций, в том числе излагается и собственная классификация автора. Все эти варианты основаны на одном и том же принципе — разбивать задачи на группы по виду уравнений, которые получаются при их составлении. Однако следует иметь в виду, что задачи, приводящие к уравнению одного и того же вида, но различного содержания, требуют дифференцированного подхода к себе и специфической подготовительной работы. Задачи на встречное равномерное движение имеют особенности, отличные от особенностей задач на движение в одном и том же направлении; те и другие разнятся от задач на движение, где приходится находить сумму и разность скоростей (задач на движение по течению и против него). Задачи на движение, в свою очередь, отличаются от задач на нахождение числа по соотношениям между его цифрами и т. д. Это различие существенно определяется разнообразием рассматриваемых в задачах групп величин, связанных между собою функциональной зависимостью. Каждый конкретный процесс, о котором идет речь в задачах, требует выяснения той специфической зависимости между величинами, которая характеризует этот процесс, что влечет за собой неодинаковый подход при записи выражений, необходимых для составления уравнения. Поэтому нам представляется наиболее

целесообразным раньше всего классифицировать задачи по их содержанию, а затем уже внутри каждого раздела задач, полученного в результате такой классификации, произвести вторичную группировку по степени трудности составления уравнения или по виду уравнений, к которым такие задачи приводят.

На первый взгляд может показаться, что проще всего классифицировать задачи по виду функциональной зависимости, связывающей величины задачи. Но дело в том, что почти все задачи на составление уравнений, имеющиеся в изданных у нас сборниках, в том числе и задачи, приводящие к уравнениям второй степени, содержат только величины, связанные между собой пропорциональной и изредка линейной зависимостью, так что в этом отношении все задачи, за отдельными исключениями, образуют единственный класс.

II. ПРИЕМЫ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

1. Прежде, чем приступить к систематическому прохождению с учащимися раздела составления уравнений по условиям задач, преподаватель должен составить себе классификацию задач, причем единственным критерием этой классификации должно служить их содержание, как это было выяснено выше; затем внутри каждого класса задач они разбиваются на подгруппы по степени их трудности.

Решение каждой подгруппы задач на составление уравнений начинается с выяснения функциональной зависимости между величинами, определяемой содержанием задач этой подгруппы. Эта функциональная зависимость фиксируется в виде равенства, причем величины лучше всего обозначать общепринятыми в науках буквами. Так, например, путь обозначается буквой s, время — буквой t, скорость — буквой V, натуральное число — буквой п и т. д.

После того, как равенство записано и усвоено, преподаватель должен заняться упражнениями на составление тех специфических буквенных выражений, которые в дальнейшем понадобятся для составления уравнений в задачах данного типа.

Проделав всю эту подготовительную работу, преподаватель переходит к непосредственному решению задач

путем составления уравнений. Само составление уравнения расгадается на две части: на составление плана решения задачи и на запись самого уравнения.

2. Составление плана решения задачи. Подобно тому, как при решении арифметических задач каждая задача расчленяется на ряд элементарных задач (так называемых „вопросов“), точно так же и при решении алгебраических задач на составление уравнений учащийся должен уметь расчленять каждую задачу на ее составные части. Если мы требуем от ученика, решающего арифметическую задачу, чтобы он в первую очередь составил план решения задачи, тотем более мы должны предъявить к учащемуся, приступающему к решению задачи на составление уравнения, требование, чтобы он умел перечислять, из каких элементарных задач должна состоять решаемая им задача. Так, например, если в задаче говорится о нескольких движениях, о работе нескольких лиц и т. п., учащийся должен в первую очередь перечислить все отдельные движения, выполняемые работы и т. п.

Расчленив задачу на ее составные части, учащийся должен указать для каждой части, каким равенством связаны между собою величины, о которых в ней идет речь.

На первых порах следует требовать от учащихся составления письменного плана; в дальнейшем можно ограничиться устным составлением.

3. Запись уравнения. Первый шаг состоит в выборе основной неизвестной величины, которую обозначают некоторой буквой, и в выборе единиц измерения для всех рассматриваемых величин. Как правило, лучше всего принять за основную неизвестную величину одну из искомых в задаче величин. Но нередко встречаются и исключения из этого общего правила.

Вторым шагом — наиболее ответственным — является запись числовых и буквенных значений величин для каждой расчлененной части задачи. Сперва мы записываем выражение для неизвестной величины, затем записываем числовое значение известной величины и, в последнюю очередь, составляем буквенное выражение для оставшейся величины, зависящей от первых двух величин (известной и неизвестней). Последнее буквенное выражение мы будем ниже называть „третьей величиной“.

После того, как мы произведем все указанные выше записи, сама запись нужного нам уравнения явится уже актом, логически вытекающим из проведенного разбора и сделанных записей, и выполняется почти механически. А именно, после упомянутых выше записей обыкновенно остается одна неиспользованная числовая данная, однородная с величинами, названными выше „третьими“. Вот эту-то оставшуюся числовую данную мы помещаем в правой части уравнения; в левой же части пишем выражение, составленное из третьих величин и равное правой части.

Если же все числовые данные оказались использованными для выражения величин, рассматриваемых в задаче, то для составления уравнения надо соответствующим образом связать „третьи величины“.

4. Примеры составления уравнений. Все изложенное будет лучше уяснено после рассмотрения конкретных примеров составления уравнений.

Пример 1-й. Поезд идет из А в В со скоростью 30 км\час, возвращается из В в А со скоростью 28 км\час. Весь проезд туда и обратно он сделает в 14-^ час. Сколько километров от А до В1

(Шапошников и Вальцов, Сборник алгебраических задач, ч. I, гл. VI, № 409).

В задаче речь идет о равномерном движении поезда от А до В и о таком же движении от В до А. Величины, характеризующие равномерное движение, суть: путь s, скорость V и время t. Они связаны между собою равенством:

s = vt.

Составление уравнения. Обозначим неизвестную длину пути в километрах через s. Рассмотрим оба движения:

1) при первом движении:

путь s км; скорость 30 км\час; время ^ час;

2) при втором движении:

путь s км; скорость 28 км\час; время ~ час.

Осталось неиспользованным одно данное значение — 14 час. Составляем уравнение: в левой части пишем

сумму ôtt + ôr, a в правой части — число 14^-:

Пример 2-й. Двое рабочих вместе кончают работу в 3 час. 36 мин.; первый может ее выполнить в 6 час. Во сколько часов сделает ту же работу второй? (Там же, № 406).

В задаче речь идет о работе первого рабочего в отдельности, о работе второго рабочего в отдельности и о совместной работе обоих рабочих. Процесс работы характеризуется тремя величинами: временем t, объемом работы А и ее производительностью /?. Они связаны равенством A—pt.

Составление уравнения. Число часов, в течение которого второй рабочий может выполнить всю работу, обозначим через t.

Работа первого рабочего характеризуется следующими значениями величин: время 6 час, объем работы принимается за 1, производительность g всей работы в час; работа второго рабочего — следующими: время t час, объем работы 1, производительность |.

Совместная работа — следующими: время 3- час, объем работы 1, производительность —

В данной задаче не осталось ни одного неиспользованного данного значения. Составляем из третьих величин очевидное уравнение:

Пример 3-й. Долг в 820 рублей уплачен банку в два годичных срока, причем в конце каждого года платили по 441 руб. По скольку процентов был сделан заем? (Там же, глава VIII, № 80).

В задаче речь идет о двух уплатах долга: об уплате в конце первого года и об уплате в конце второго года.

Приходится оперировать с тремя величинами: суммой а первоначального долга, числом процентов р или

„биномом наращения“ (l+îoô) и суммой А образовавшегося к концу года долга.

Зависимость между этими величинами выражается равенством:

Составление уравнения. Обозначим через р искомое число процентов.

При первой уплате первоначальный долг был 820 руб.;

бином наращения ^1 + щ^; наросший долг 820^1-)-^^== = (820 + 8,2/7^) руб.

При второй уплате начальный долг был 820+ 8,2 р — — 441 = (379 -J— 8,2 р) руб.; бином наращения ^ наросший долг (379 4-8,2 р) ^1 -f^J руб. Составляем уравнение:

Пользование биномом наращения упрощает выкладки и имеет вместе с тем самостоятельное значение при изучении математики и других точных наук.

Пример 4-й. Из чана, наполненного спиртом, вылили часть спирта и долили водой, потом вылили столько же, сколько прежде, литров смеси и снова долили водой. Тогда в чане осталось 49 л чистого спирта. Вместимость чана — 64 л. Сколько вылили спирта в первый и второй раз? (Бляшов и Чичигин, „Дополнительный сборник алгебраических задач“, ч. II, § 11, № 164).

В задаче речь идет о двукратном отливании жидкости. Этот процесс характеризуется следующими величинами: начальным объемом спирта V, количеством отлитой жидкости V, или биномом наращения* ^1—и остатком

спирта R. Зависимость между ними выражается следующим равенством:

* В данном случае, конечно, отрицательного.

Составление уравнения. Обозначим искомое число литров через v. Тогда бином наращения будет иметь вид ^1—gj^. В первый раз величины имели следующие значения: количество спирта 64 л\ количество отлитой жидкости V л\ бином наращения ^1 —остаток спирта 64 ^1—^ л.

Во второй раз — следующие значения: количество спирта 64 ^1—^ л, бином наращения ^1— окончательное количество спирта 64 ^1——

Осталось неиспользованным числовое значение 49. Составляем уравнение:

Решаем уравнение путем извлечения квадратного корня из обеих частей его:

Берем перед числом 7 знак -f-, так как, по условию,

Пример 5-й. Два поезда Т и V отправляются одно временно из А в В и из В в А; скорость поезда Т на 10 км/час больше скорости Т. Место встречи обоих поездов расположено в 28 км от середины AB. Если бы поезд Т отправился через 45 мин. после поезда Т'9 то оба поезда встретились бы на середине расстояния AB. Вычислить расстояние AB и скорость обоих поездов.

(Обер и Папелье, Упражнения по элементарной алгебре, кн. V, задача № 25).

В задаче говорится о двух фактических и двух предполагаемых движениях поездов Т и 7“. Каждое из этих движений характеризуется тремя величинами: путем s, скоростью V и временем t, которые связаны между собою равенством:

s — vt.

Пусть неизвестное расстояние А В будет 2s км, а скорость поезда Т — v км/час.

При фактическом движении поезда Т до встречи: путь (s-j-28) км, скорость (v-\-lQ) км/час, времяпри фактическом движении поезда Г' до встречи: путь (s — 28) км, скорость v км/час, время --час.

Ввиду того, что поезда Г и 7' отправились одновременно, составляем уравнение:

(1)

Аналогично, рассматривая те же величины для предполагаемых движений поездов, составляем второе уравнение:

(2)

Примечание. Хотя принципиально безразлично, которую из двух неизвестных величин выбрать за основную, чтобы обозначить ее какой-нибудь буквой, но практически очень часто проще обозначить буквой ту из неизвестных величин, которая заведомо меньше. Так, например, вторе е значение неизвестной v в этой задаче есть отрицательное число — ~, что сразу обнаруживает его непригодность. Если же, по примеру авторов, обозначить через v скорость поезда Г, то потребуется вычисление скорости второго поезда, чтобы обнаружить непригодность одного из корней. Преимущество обозначения буквой меньшей неизвестной величины особенно ясно обнаруживается при решении задач с буквен-ными данными.

Пример 6-й. Два разносчика, имея вместе 100 яблок продавали их по разной цене и получили при продаже одинаковые суммы. Если бы первый продал столько, сколько второй, то получил бы 18 руб., а если бы второй продал столько, сколько первый, то получил бы 8 руб. Сколько яблок было у каждого разносчика?

(П. А. Ларичев, Сборник задач по алгебре, изд. 1949 г., ч. II, § 22, № 193).

В этой задаче речь идет о двух фактических и о двух предполагаемых продажах, произведенных двумя разносчиками. Число яблок п, вырученная сумма s

и цена одного яблока р связаны между собою равенством:

s = пр.

Составление уравнения. Обозначим число яблок первого разносчика через п.

При первой предполагаемой продаже: число яблок было (100 —/г), вырученная сумма 18 руб., цена одного яблока руб-

При второй предполагаемой продаже: число яблок п, вырученная сумма 8 руб., цена одного яблока — руб.

При первой фактической продаже: число яблок п, цена яблока т_п руб., вырученная сумма т_п руб.

При второй фактической продаже: число яблок (100—п); цена яблока — руб., вырученная сумма ~———- руб.

В соответствии с условием задачи составляем уравнение:

Так же, как в примере 4-м, решаем уравнение извлечением квадратного корня из обеих частей; получаем:

3/1 = 2(100 —л).

Знака минус в правой части не берем, так как п — натуральное число*.

Решение квадратного уравнения путем извлечения квадратного корня из обеих частей следует применить и в задаче № 91 из „Сборника алгебраических задач“

* Если бы мы составили систему:

двух уравнений с двумя неизвестными, то, сведя ее к системе:

мы могли бы найти х и у с помощью двукратного составления производной пропорции. Ред.

Шапошникова и Вальцова, ч. I, гл. VIII и во многих однотипных задачах других сборников. Такое решение облегчает и вычисления, и исследование, на что надо обратить внимание учащихся.

Пример 7-й. Смешав 8 Г жидкости с 6 Г жидкости меньшей плотности, получили смесь с удельным весом О, 7 Г /см3. Найти удельный вес каждой жидкости, если удельный вес одной из них на 0,2 больше удельного веса другой (там же, № 199).

В задаче речь идет о трех жидкостях: первой — более тяжелой, второй и смеси. Вес р, удельный вес d и объем V жидкости связаны между собой равенством:

p — vd.

Составление уравнения. Пусть удельный вес более легкой жидкости (второй) равен d Г\см3. Тогда удельный вес первой жидкости (d-\-0,2) Гjcms, ее вес 8 Г, ее объем dj^02 см3

Удельный вес второй жидкости d Г\см3, ее вес 6 Г, ее объем 4- см3

Удельный вес смеси 0,7 Г\см3, ее вес (8 -\-6) Г, ее объем ~ см3, т. е. 20 см3.

Так как объем смеси предполагается равным сумме объемов жидкостей, взятых для смеси, то получаем уравнение:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Некоторые авторы учебников по алгебре высказывали мнение, что нельзя указать общих правил для составления уравнений. Однако в педагогической литературе появляются время от времени попытки* во что бы то ни стало решить положительно вопрос об установлении общих правил или своего рода „алгорифма“ для составления уравнений.

* История таких попыток с XVII века (Ньютон) по настоящее время изложена в указанной выше книге А. Н. Барсукова. См. также журнал „Математика в школе“, 1940, № 2.

Конечно, можно придумать такие задачи на составление уравнений, которые не будут подчиняться никаким правилам. Но все же для подавляющего большинства обычных задач такие общие правила установить можно.

Мой личный опыт и опыт других преподавателей позволяет утверждать, что вышеизложенные правила достаточно эффективны.

Правда, учащихся несколько обременяет в этих случаях необходимость обстоятельных записей. Но можно достигнуть некоторого сокращения записи, если при составлении выражений для величин каждой простой задачи воспользоваться таблицей. Так, например, для 1-го примера можно было бы провести запись в виде такой двойной таблицы:

I-е движение

II-е движение

путь в км s

s

скорость в км\час 30

28

время в час ^

s

28

Такого рода записи обладают серьезными преимуществами: они короче и обозримее, и их следует внедрять в школьную практику*.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Примерная классификация задач на составление уравнений по признаку их содержания

Указанные в скобках номера задач взяты из „Сборника алгебраических задач“ Шапошникова и Вальцов а, ч. I, гл. VI.

Раздел I. Задачи на применение основных арифметических терминов, свойств действий и зависимостей между компонентами действий.

1. Задачи на применение терминов „больше на“, „меньше на“ и суммы и разности двух чисел (№ 371, 373, 378, 384, 424, 430, 446).

* Табличную запись следует рекомендовать для любого из приведенных автором примеров. Ред.

2. Задачи на применение терминов „больше или меньше в несколько раз“ (№ 372, 374, 375, 331, 394, 396).

3. Задачи на пропорциональное деление (№ 376, 417, 425).

4. Задачи на применение понятия о частном (№ 377, 380).

5. Задачи на применение понятия о частном и остатке (№ 332, 383, 411, 412, 428).

6. Смешанные задачи вышеперечисленных видов (№ 379, 385, 393, 395, 439, 472).

7. Задачи на прибыль и убыток (№ 418).

8. Задачи на увеличение одной величины при одновременном уменьшении другой величины, связанной с первой (№ 386, 387, 392, 478).

9. Задачи на нахождение членов дроби (№ 423, 431, 433).

10. Задачи на нахождение процентов и дроби числа (№ 389, 402, 403, 419, 421, 426, 435, 436, 447, 466).

Раздел II. Задачи физического содержания.

1. Сложение скоростей (№ 456, 457).

2. Закон Архимеда (№ 441, 442).

3. Рычаг (№ 454, 455, 458, 459, 462, 469, 470, 471) (см. раздел VIII).

4. Температура смеси (№ 464).

5. Удельный вес (№ 391, 463, 467, 468).

Раздел III. Задачи на смешение, родственные с задачами 4 и 5 раздела II (№ 388, 474).

Раздел IV. Разные задачи на прямую пропорциональность величин.

1. Покупка и продажа (№ 390, 397, 398, 413, 414, 453).

2. Выработка, время и производительность труда (№ 440, 460).

3. Заработок, время и повременная оплата (№ 437).

4. Равномерное поступательное или вращательное движение:

а) встречное движение (№ 399, 410);

б) движение в одном и том же направлении (№ 400, 401, 452);

в) движение по окружности (№ 432);

г) смешанные виды движения (№ 409, 451, 476);

д) смешанные задачи (№ 420, 429, 461, 480, 488, 489, 490, 491, 492, 495, 497, 499).

Раздел V. Задачи на совместную работу (включая задачи на бассейны) (№ 404, 405, 406, 407, 408).

Раздел VI. Задачи на нахождение числа по соотношениям его цифр (№ 415, 416).

Раздел VII. Задачи геометрического содержания (№ 422, 444, 445, 448, 449, 450).

Желательно значительно увеличить число таких задач, заимствовав их из сборников задач по геометрии.

Раздел VIII. Задачи на обратную пропорциональность (№ 473, 475) (см. также раздел II, группа 3).

Предлагаемая классификация, разумеется, не претендует на то, чтобы исчерпать всевозможные виды задач на составление уравнений. Она преследует лишь цель облегчить труд учителя, приступающего к разделу „Составление уравнений“ и пользующегося существующими сборниками алгебраических задач.

М. Ф. ДОБРЫНИНА

учительница 585-й средней школы, Москва

МЫСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ

I. В ОСНОВЕ МЕТОДИКИ ДОЛЖЕН ЛЕЖАТЬ ПСИХОЛОГИЧЕСКИЙ ФУНДАМЕНТ

Решение алгебраических задач составлением уравнений является основным разделом курса алгебры VII класса. Но нередки случаи, когда подростки, оканчивающие семь классов, не только не справляются самостоятельно с решением задачи, но подчас даже не знают, как к нему приступить.

Для того чтобы вскрыть причины трудности, надо попытаться проанализировать с достаточной тщательностью те мыслительные операции, которые протекают у подростка в течение всего процесса решения задачи, начиная от чтения ее условия и кончая получением ответа. Лишь та методика, которая основана на данных психологического исследования, может дать действенные результаты.

В большинстве случаев составление уравнения по условию задачи проводится при помощи анализа ее условия, т. е. разбора, исходящего от вопроса задачи. Этапы анализа следующие:

1) введение буквенных обозначений для неизвестных величин;

2) получение алгебраических выражений на основе зависимости между данными в задаче величинами и

3) составление уравнения, т. е. соединение знаком равенства двух выражений, обозначающих одну и ту же величину.

Рассмотрим, как обычно проводится этот анализ при решении задачи.

Условие задачи: „Колхозом за 9 дней было обмолочено двуконной молотилкой 172 копны вязаной ржи и яровых культур. Молотилка обмолачивает за рабочий день 18 копен ржи или 20 копен яровых культур. Сколько дней было затрачено на обмолот ржи и яровых культур отдельно?“

Первый этап заключается в выборе неизвестного. Большей частью буквенное обозначение вводится для величины, о которой идет речь в вопросе задачи. Неизвестно число дней, потраченное на обмслот ржи; оно обозначается через х. Исходя из тех положений (посылок), что на обмолот обеих культур пошло 9 дней, а на обмолот ржи х дней, делается вывод (умозаключение): на обмолот яровых пошло (9 — х) дней.

Второй этап. На основе зависимости между числом копен, обмолоченных за день, числом дней обмолота и числом копен, обмолоченных за все время, привлекаются данные величины: если за день обмолачивают 18 копен ржи, а всего на ее обмолот потратили х дней (посылки), то всего обмолотили 18л: копен ржи (умозаключение); точно так же находится число копен обмолоченных яровых.

Третий этап — составление уравнения. Если ржи обмолотили за все время 18л: копен, а яровых 20(9—х) копен (посылки), то всего обмолотили \Ъх-\-20 (9 — х) копен (умозаключение), что составляет 172 копны. Только в том случае, когда положения, взятые для посылок, будут верны, анализ приведет к правильным умозаключениям, и уравнение будет составлено верно.

Примерно так протекают мыслительные процессы у учителя, решающего эту задачу впервые, но им предшествуют еще другие важные моменты мыслительной деятельности. На основе опыта и привычки к логическому мышлению учитель сразу улавливает, что в обеих частях уравнения должно быть именно общее число обмолоченных копен; надо так использовать имеющиеся данные и буквенные обозначения, чтобы составить алгебраические выражения, имеющие наименования именно этой величины. Анализ должен привести к уже заранее намеченной цели. Однако в большинстве случаев именно этого важного момента нахождения основной связи между данными в задаче величинами учитель не ставит перед учащимися.

Помимо основного соотношения, могут быть и другие, второстепенные соотношения между данными, ненужные для составления уравнения и приводящие к составлению неправильного уравнения в результате умозаключений, полученных из неверных посылок. Для иллюстрации последнего положения приведем несколько случаев неверных умозаключений, сделанных учащимися в связи с решением ими приведенной задачи.

Прочитав задачу, учащийся усматривает в ее вопросе, что неизвестным является число дней, потраченных на обмолот ржи и яровых, и обозначает то и другое число через х. В результате он получает уравнение:

18^ + 20^=172.

Но может случиться и так, что, обозначив число дней, потраченных на обмолот ржи, через х, он остановится на второстепенном соотношении: сравнении числа обмолоченных копен ржи и яровых за 1 день. Видя, что ржи за 1 день обмолачивается 18 копен, а яровых 20 копен, он приходит к заключению, что ржи в 1 день обмолачивают на 2 копны меньше; отсюда делает новое „умозаключение“: если яровых в 1 день обмолачивают на 2 копны больше, то дней на обмолот яровых пошло меньше; на рожь пошло х дней, а на яровые (х — 2) дня (!). Такие рассуждения могут привести к уравнению: 18л: -f- 20 (х — 2) =172.

Привлечение соотношения между числами копен каждой культуры, обмолачиваемых за 1 день, может привести к обозначению числа копен ржи, обмолоченных за 1 день, через х, а числа копен яровых — через х-\-2. На втором этапе решения задачи этот учащийся приходит к следующим „умозаключениям“: за один день обмолочено ржи х копен, яровых (х-\-2) копен, а за 9 дней в 9 раз больше, т. е. + + 2)] • 9 копен. В результате он составляет уравнение:

[^ + (х + 2)].9=172.

В приведенных примерах1 мы видим, что умозаключения, сделаны на основе неверно взятых посылок; в одних случаях к ошибочному обозначению через х числа дней,

1 Примеры взяты из фактического материала решения данной задачи учащимися VII класса в конце учебного года.

потраченных на обмолот обеих культур, привело то, что задача имела двойной вопрос; в других случаях причиной послужило также привлечение ненужного соотношения между числами копен обеих культур, обмолоченных за 1 день.

Начиная анализ задачи с ее вопроса, учащийся легко может перейти к второстепенным соотношениям, что неизбежно повлечет за собой ряд случайных, ошибочных проб в составлении уравнения. Для того, чтобы подобный анализ задачи привел учащегося к составлению правильного уравнения, надо, чтобы он владел достаточно развитым логическим мышлением или чтобы учитель тем или иным способом облегчил этот процесс.

По пути такого облегчения в проведении анализа идут некоторые авторы методических статей. Данное облегчение они видят во введении схем как для записи условия задачи, так и для получаемых алгебраических выражений в процессе анализа. В основу схемы кладется зависимость между данными в задаче величинами1.

Придавая наибольшее значение последнему этапу— составлению самого уравнения и имея в виду те трудности, которые возникают у учащегося в этот период решения задачи, ряд методистов предлагает различные приемы для облегчения их2. Одним из таких приемов является „метод взвешивания“, изложенный Макаревичем3.

Кроме таких непосредственных методических указаний, касающихся самого процесса решения задачи, есть ряд методических указаний по классификации задач. Одни авторы считают, что при решении задач их следует распределять в зависимости от содержания условия (задачи на проценты, на смешение, на движение и т. д.)4.

1 Жураховский, „Составление уравнений по условию задач“. „Математика в школе“, 1940, № 2.

Сердобольский, „Методика составления уравнения“. „Математика в школе“, 1940, № 2.

2 Петров, „О составлении уравнений из условий задач“. „Математика в школе“, 1940, № 2.

3 Макаревич, „Методические соображения к практике составления уравнений по условию задач (метод взвешивания)“. „Математика в школе“, 1940, № 2.

4 Альтшулер, „К вопросу о методике обучения составлению уравнений“, „Математика в школе“, 1940, № 2.

Другие — в зависимости от вида получаемого уравнения.

Значительно распространено в настоящее время то мнение, что подготовка к составлению уравнений должна проводиться задолго до основного прохождения этого раздела алгебры. Еще в VI классе составлению уравнения должно быть уделено достаточное внимание. Это положение подробно разработано А. Н. Барсуковым1. Все авторы указанных я других статей и руководств придерживаются общепринятой методики анализа задачи, исходящего от ее вопроса и приводящего к „уравниванию“ алгебраических выражений при составлении уравнения.

Не так давно вышла методика С. С. Бронштейна2, которой надо коснуться отдельно. Согласно этой методике, первым этапом после прочтения условия задачи является выделение из него основного соотношения, которое устанавливает связь между данными и искомыми задачи. На основании этого соотношения составляется в дальнейшем уравнение. Выбор и обозначение неизвестного уже не является исходным моментом разбора задачи, а проводится на основе выделенного соотношения, составляя второй этап. Третьим этапом является выражение величин, входящих в основное соотношение, через буквенное обозначение и имеющиеся числовые данные задачи. Четвертый этап — составление уравнения; оно заключается в том, что выделенное — первоначально словесное — соотношение оформляется при помощи математических символов в результате проведенных первых этапов. Как видно из этого краткого изложения, исходный момент методики С. С. Бронштейна отличен от общераспространенной в преподавании методики анализа, исходящего от вопроса задачи. Однако при составлении уравнения (четвертый этап) С. С. Бронштейн в ряде случаев приближается к общепринятому приему „уравнивания“ алгебраических выражений.

Так, в приводимом им примере составления уравнения из условия задачи прежде всего выделяется такое соотношение: неизвестная величина больше другой на

1 А. Н. Барсуков, „Уравнения 1-й степени в средней школе". Учпедгиз, 1944.

2 С. С. Бронштейн, „Алгебра и ее преподавание в семилетней школе“. Учпедгиз, 1946, стр. 211.

данное число. В последнем этапе — составлении уравнения — словесно выраженное соотношение должно быть оформлено при помощи математических символов. Это соотношение имеет первоначально общий вид такой: ах— Ьх = с. Для составления уравнения С. С. Бронштейн берет соотношение, вытекающее из данного: меньшая величина, увеличенная на данную разность, равна большей величине, т. е. уравнение получает в общем виде следующее выражение:

Ьх-\-с = ах.

В таком „уравнивании“ алгебраических выражений при составлении самого уравнения С. С. Бронштейн стоит на той же позиции, что и остальные методисты. Однако в методике С. С. Бронштейна мы наблюдаем нечто новое по сравнению с остальными методическими руководствами: мыслительный процесс начинается с выделения основного соотношения между данными в задаче величинами и искомой.

В широкой практике и теперь преобладает анализ, исходящий от вопроса задачи. Как мы старались показать выше, он достаточно труден для учащегося.

Отсутствие в литературе психологических исследований, вскрывающих течение мыслительных процессов у подростка, решающего алгебраическую задачу, побудило нас попытаться хотя бы частично выявить их закономерность. С этой целью нами проведен был ряд наблюдений над решением учащимися VII класса алгебраических задач с помощью составления уравнений.

Чтобы выявить последовательность мыслительных операций у учащихся, справляющихся самостоятельно с решением алгебраических задач, нами была проведена следующая первая исследовательская работа.

В третьей четверти учебного года, когда раздел составления уравнений первой степени с одним неизвестным в VII классе уже пройден, было выделено 11 человек учащихся из трех седьмых классов, преимущественно из хорошо и средне справляющихся с решением задач. Каждому из них индивидуально давались задачи для самостоятельного решения; испытуемым поставлено было условие — по возможности „думать вслух“. Все, что они говорили, делали, все их сооб-

ражения по ходу решения задачи заносились в протокол наблюдений. Те же задачи даны были для решения нескольким взрослым — психологам, что могло служить дополнением к материалам наблюдений над учащимися. Было это сделано потому, что при поставленном для испытуемых условии „думать вслух“ большую роль играло самонаблюдение, более доступное для взрослого, чем для подростка.

У испытуемых, которые самостоятельно правильно составляли уравнения по ряду предложенных задач, наблюдались особые последовательности их мыслительных операций. В результате проведенных наблюдений удалось выявить три различных типа таких последовательностей при правильном составлении уравнения по условию задачи.

I тип мыслительных операций был такой. Непосредственно после прочтения условия задачи создавалось представление как той величины, которая будет выражена частями уравнения, так и того математического действия, которое надо произвести над неизвестными величинами, чтобы получить эту величину. Это представление мы назвали и в дальнейшем будем называть представлением словесного содержания уравнения или, сокращенно, словесным уравнением. И действительно, это не есть еще алгебраическое уравнение, но в нем словами дается название тех величин, которые должны войти, допустим, в левую часть уравнения, и указание на то, какое действие надо над ними произвести, чтобы получить некоторую величину, которая в данном случае войдет в правую его часть. После этого для получения каждой из неизвестных величин испытуемый вводит буквенные обозначения и привлекает соответствующие им известные данные, а затем, путем соединения этих величин знаками действий, составляет два выражения для одной и той же величины, что и приводит к составляемому уравнению. При такой последовательности мыслительных процессов наиболее трудный этап — составление самого уравнения — фактически отпадает. Составление уравнения заключается в переводе на алгебраический язык словесного уравнения.

Такова последовательность мыслительных операций,

соответствующих I типу, при составлении уравнения по условию следующей задачи.

„Через 30 мин. после начала отхода пехоты противника была послана для ее преследования конница из пункта, отстоящего на 2 км от того места, с которого начала отходить пехота противника. Через сколько времени конница настигнет пехоту, если скорость пехоты 4 км в час, а конницы—12 км в час?“

Сделанный чертеж расположения конницы и пехоты помогает представить словесное уравнение в такой форме: если от расстояния, пройденного конницей, вычесть расстояние, пройденное пехотой, то останется разность пройденных ими расстояний, т. е. 2 км.

У испытуемого есть представление о той величине, которая должна быть выражена частями уравнения: разность расстояний, пройденных конницей и пехотой, есть представление того действия, которое надо произвести над другими неизвестными величинами: из расстояния, пройденного конницей, надо вычесть расстояние, пройденное пехотой. На основе понимания зависимости между скоростью, временем и пройденным расстоянием он выражает эти неизвестные величины математически. В результате перевода словесного уравнения на алгебраический язык он получает уравнение:

Путь конницы. Путь пехоты. Разность.

При такой последовательности мыслительных операций в основе их лежит представление словесного содержания уравнения в том значении, которое было нами дано выше.

II тип мыслительных процессов, приводивший также в большинстве случаев к правильному составлению уравнения, отличался от I типа. У некоторых испытуемых после прочтения задачи создавалось представление лишь о наименовании той величины, которая войдет в части уравнения. Такое представление величины ставило испытуемого на правильный путь, состоявший в разыскании им алгебраического выражения именно для этой величины. Это свидетельствовало о том, что испытуемый уловил основные связи между данными задачи. Поэтому такая последовательность мыслитель-

ных операций предупреждала испытуемого от опасного пути случайных проб, когда привлекаются второстепенные, ненужные соотношения между величинами. Но после получения алгебраических выражений на основе зависимости между имеющимися в задаче величинами перед испытуемым вставал вопрос, какими математическими действиями надо их соединить, чтобы составить уравнение. Если при I типе мыслительных процессов составление самого уравнения являлось результатом математического перевода словесного уравнения, то при II типе составление уравнения было отдельным этапом мыслительных операций.

II тип мыслительных процессов можно определить следующим образом: после прочтения условия задачи у испытуемого возникает представление лишь о той величине, которая будет выражена частями уравнения; введенные после этого буквенные обозначения соединяются математическими действиями с соответствующими им числовыми данными с целью получения из составленных выражений именно этой величины; в результате разыскания связи между полученными алгебраическими выражениями создается „словесное“ уравнение, которое тут же заменяется алгебраическим.

Проследим этот путь при решении приведенной нами задачи. После прочтения условия задачи у испытуемого создается представление того, что в уравнение войдет путь. Выразив алгебраически каждое из пройденных конницей и пехотой расстояний, испытуемый ищет связь для составления уравнения. У него создается сперва словесное уравнение, которое с помощью привлечения полученных алгебраических выражений непосредственно заменяется алгебраическим.

Наконец, у некоторых испытуемых, правильно составлявших уравнения, мы наблюдали новую последовательность мыслительных процессов, названную нами III типом. У испытуемого после прочтения задачи не создавалось представления ни о той величине, которая будет представлена частями уравнения, ни о словесном его содержании. Он начинает с обычного приема — буквенного обозначения неизвестной величины, большей частью той, которая называется в вопросе задачи. Найдя в условии соответствующее введенному обозначению данное значение другой величины, он объединяет их посредством матема-

тического действия. Каким действием надо их объединить, он догадывается, зная зависимость между этими величинами. Он получает „звено“ уравнения, т. е. алгебраическое выражение, означающее одну из неизвестных величин и имеющее наименование именно той величины, которая будет выражена частями уравнения. Смысл „звена“ вскрывает для испытуемого третью величину, как „производную“ двух взятых. Понимание значения этой третьей величины (смысл „звена“) в данной задаче создает представление словесного содержания уравнения. Уже на основе этого последнего выражаются алгебраически другие „звенья“ уравнения и возникшее словесное уравнение переводится на математический язык, т. е. составляется уравнение.

III тип мыслительных процессов при составлении уравнения можно определить так: словесное содержание уравнения создается на основе смыслового значения полученного „звена“ его; после этого мыслительные процессы протекают в той же последовательности, как и при I типе.

При решении данной задачи испытуемый начинает с обозначения через х времени движения конницы. Привлечение скорости движения (12 км/час) приводит к получению „звена“ 12х. Смысл, который имеет полученное „звено“, выражающийся в том, что 12х— это путь, пройденный конницей, создает представление о том, что, если от него отнять путь пехоты, останется 2 км. Или если от него отнять 2 км, то останется путь, пройденный пехотой. Дальнейшие действия уже вполне целена-правлены: надо выразить алгебраически путь пехоты и вычесть его из пути конницы, разность их равна числу 2; получается уравнение.

Данные проведенной работы показали, что у учащихся, самостоятельно и правильно решавших задачи, наблюдалась совсем не та последовательность мыслительных процессов, которая им указывалась учителем на уроке. I тип мыслительных операций в наибольшей степени устраняет возможность случайных решений и облегчает процесс составления уравнения.

II. ЗАДАЧИ И МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МЫСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ У СРЕДНЕГО ШКОЛЬНИКА

(Вторая исследовательская работа)

Придавая существенное значение полученным выводам, мы решили проверить, насколько описанная выше последовательность мыслительных процессов I типа свойственна среднему по успеваемости школьнику.

Задача настоящей работы заключалась в следующем: 1) проверить приведенные выше выводы первой работы с помощью наблюдений за процессом решения задач учащимися средними и не вполне средними по успеваемости, 2) выяснить, насколько доступен и эффективен при самостоятельном решении задачи средним учащимся процесс представления словесного содержания уравнения как исходный в остальных мыслительных процессах.

Работа проводилась в конце третьей четверти учебного года в трех седьмых классах женской школы в Москве. К этому времени у учащихся уже был достаточный опыт в составлении уравнений с одним неизвестным, так как решение алгебраических задач началось со второй четверти учебного года. Методика, применявшаяся перед тем учителем седьмых классов, заключалась в анализе задачи, исходящем от ее вопроса. Составление уравнения производилось приемом „уравнивания“ алгебраических выражений.

При подборе испытуемых для нашей работы упор был сделан на некоторую длительность упражнений для каждого испытуемого. Чтобы получить наиболее полный материал, для наблюдения подбирались учащиеся наименее застенчивые, которые, не затрудняясь, могли бы рассказать о том, что они думают в течение всего процесса решения задачи.

Поставлены были три серии работы. Задача первой серии заключалась в том, чтобы подобрать более или менее равносильные группы — экспериментальную и контрольную — на основе составления ими уравнений по условиям двух задач и выполнения упражнений в понимании зависимости между группами величин.

Состав обеих групп после проведения первой серии был однороден по подготовке, и каждая из них включала в себя четырех учениц.

Вторая серия работы была основной. Через нее были проведены 4 человека экспериментальной группы. Задача ее совпадала с задачей излагаемой нами работы. Она включала в себя ряд упражнений в самостоятельном решении 9 задач. До этого на решении одной „инструктивной“ задачи каждому испытуемому излагалась такая последовательность мыслительных операций, которая отличалась от проводимой учителем на уроке.

На несложном содержании этой задачи, в которой была известна сумма двух неизвестных величин, испытуемому было дано объяснение ее решения. Объяснение имело целью показать испытуемому, что, как уже видно из условия задачи, данная величина включает в себя сумму двух неизвестных величин; еще до обозначения неизвестного можно представить себе, что в левой части уравнения будут два слагаемых, а в правой их сумма, известная из условия.

После этого, введя обозначение неизвестного и использовав числовые данные задачи, получаем первое слагаемое, потом второе, и то, что первоначально было сказано словами, уже будет иметь вид уравнения. Решение этой задачи приводило к составлению уравнения вида:

х-\-(х-\-а) = Ь.

Мы считаем, что наиболее доступным для понимания действием является сложение. Поэтому для инструктивной задачи была взята такая, в которой словесным содержанием уравнения было сложение двух величин, давших в сумме числовое данное, известное из условия задачи.

Задачи № 1, 2 и 3 основаны были также на сложении и приводили к составлению уравнений такого вида:

х-\-ах-\-Ъх=с (1); ах-{-с (b — x) = d (2 и 3).

Содержание уравнения при решении задачи № 1 было усложнено по сравнению с инструктивной введением третьего слагаемого. В задачах № 2 и № 3 уравнение получалось в результате сложения двух слагаемых, но для получения первого надо было найти произведение аХу а для получения второго, кроме того, еще выразить второе неизвестное через первое, т. е. написать (Ь — х).

Начиная со второй задачи, вводилось дополнительное задание для испытуемого. Заключалось оно в том, что по окончании решения задачи испытуемому предлагалось

составить для той же задачи новое уравнение, введя буквенное обозначение для другой неизвестной величины. Так, при решении задачи о коннице (стр. 132) испытуемый представляет себе словесное содержание уравнения как разность расстояний, пройденных конницей и пехотой, равную 2 км. В этом случае он вводит буквенное обозначение для времени движения конницы или пехоты. После решения задачи ему предлагается решить ее еще раз, введя буквенное обозначение для другой неизвестной величины. В этом втором случае словесным содержанием уравнения будет уже разность во времени движения пехоты и конницы, равная часа. При втором решении буквенное обозначение будет дано не времени, а пройденному конницей или пехотой расстоянию. Составление такого нового уравнения нами названо „вторым способом“ решения задачи. Таким образом, под вторым способом решения задачи мы понимаем составление нового уравнения, в котором буквенное обозначение вводится для той величины, которая при первом способе решения выражалась частями уравнения. В практике школьной работы данный „второй способ“ решения обычно не применяется, поэтому он введен был нами не с первой, а только со второй задачи. Целью его введения было пронаблюдать, как испытуемый переключается с одного представления словесного содержания уравнения на другое.

В остальных задачах словесным содержанием уравнения были: разность двух величин, равная известному из условия числу, данное отношение двух величин и равенство двух величин.

Ниже приводятся тексты 9 задач второй серии, а также таблица 1, содержащая группировки задач по словесному и математическому содержанию (в общем виде) соответствующих уравнений.

Задачи для испытуемых

№ 1. За зеркало, диван и кресло уплачено 975 рублей. Сколько уплачено за каждую вещь, если за диван уплачено вчетверо дороже, чем за кресло, а за зеркало вдвое дороже, чем за диван?

№ 2. За 30 метров материи двух сортов заплатили всего 512 руб. Метр 1-го сорта стоил 18 руб., метр

2-го сорта—16 руб. Сколько куплено метров материи того и другого сорта?

№ 3. При постройке здания было 50 рабочих, каменщиков и плотников. Потом пришлось число каменщиков увеличить в 2 раза, а плотников в 3 раза, и всех рабочих стало 120 человек. Сколько было плотников и каменщиков отдельно?

№ 4. В механическом цехе завода 30 слесарей низшего и высшего разрядов. Слесарь высшего разряда зарабатывает за смену 20 рублей, а слесарь низшего разряда—15 рублей. Сколько слесарей каждого разряда в цехе, если за смену все слесари низшего разряда зарабатывают на 100 рублей больше, чем все слесари высшего разряда.

№ 5. В двух ящиках было кофе поровну; когда из первого было продано 6 лгг, а из второго—19 кг. то в первом осталось вдвое больше, чем во втором. Сколько килограммов кофе было в каждом ящике?

№ 6. На одном и том же расстоянии одно колесо делает 240 оборотов, другое, окружность которого на 0,6 м больше, 180 оборотов. Вычислить длины окружностей обоих колес.

№ 7. По окончании спектакля все зрители разъехались в 18 вагонах трамвая, причем в каждый вагон садилось на 5 человек больше, чем было в нем мест. Если бы вагонов было на 3 больше, то вся публика разместилась бы и в последнем вагоне осталось бы 6 свободных мест. Сколько зрителей было в театре?

№ 8. Пешеход и велосипедист отправились одновременно по одной и той же дороге. Пешеход в каждый час проходил по 5 км, велосипедист в каждый час проезжал по 8 км. По дороге велосипедист остановился на ~- часа и все-таки прибыл к месту назначения на 1 час раньше, чем пешеход, прибывший к тому же месту. Как велик путь, пройденный ими?

№ 9. Между двумя городами А и В проходят две автомобильные дороги, из которых одна длиннее другой на 7 км. Из города А одновременно вышли к городу В два автомобиля: один по более длинной дороге, другой по более короткой. Средняя скорость движения первого автомобиля была 50 км/час, второго — 48 км/час. Первый автомобиль пришел в город В на 3 минуты позже вто-

рого автомобиля. Определить длину обеих автомобильных дорог.

Примечание. Задачи давались для решения в порядке нумерации; каждая задача решалась сперва одним способом, потом вторым (за исключением первой).

В каждой задаче в уравнение входят на табл. 1 под одинаковыми буквами одни и те же величины.

Как видно из данной таблицы, наибольшее число решений (6) приходится на получение в уравнении суммы двух или нескольких величин; эти задачи идут в первую очередь, постепенно усложняясь. Что касается остальных задач, то, кроме задачи № 5, составляющей группу III, их одинаковое число в каждой группе (по 5). Последовательность в решении соблюдена только при переходе от одной группы задач к другой. Так, в задаче № 4 при решении ее первым способом испытуемый встречает новое словесное содержание — разность двух величин; при решении ее вторым способом — уже знакомое из первых задач (сумму двух величин). В задаче № 5 и при первом, и при втором способе — новое содержание словесного уравнения. В задаче № 6—уже знакомые: разность и равенство двух величин. Условия последних задач усложнялись введением одной величины в разных наименованиях (например, часы и минуты) и некоторыми другими данными, что видно из условия задач.

В отличие от обычного порядка решения задачи каждому испытуемому предлагалось предварять все записи устным рассказом. Эта особенность методики заключалась в следующем. Испытуемый, после прочтения условия задачи не меньше двух раз, без всякой записи, но сделав чертеж (в том случае, когда это помогало пониманию условия), рассказывал, как он представляет себе словесное содержание будущего уравнения, какую величину примет за неизвестную, как выразит алгебраически каждую величину, входящую в уравнение, а затем и самое уравнение. После этого испытуемый делал все необходимые записи и решал полученное уравнение. При такой устной передаче легче было проследить последовательность мыслительных операций испытуемого.

В процессе решения испытуемым задачи ему иногда ставились вопросы. Одни вопросы задавались тогда, когда сказанное испытуемым недостаточно вскрывало его мыслительные процессы. Другие вопросы напоминали

Таблица 1

Группировка уравнений в задачах второй серии

Группа задач

Словесное содержание уравнения

№ задач но порядку решения

Уравнение в общем виде

при первом способе

при втором способе

I

Сумма нескольких величин равна известному числу

1

2 3 4

X -f- ах-\-Ьх = с ах-\- c(b—x) = d ах -\-с (b— x) = d

У+d-y_b

а с

У +d-y__b

а с

У+y-d_b

а с

II

Разность двух величин равна известному числу

4 8 9 6

ах—с (Ь — x)~d

а b х-\~а X _^

by— с (y—d) = а a b

b с

III

Частное от деления одной величины на другую равно известному числу

5

X — b

IV

Одна величина равна другой величине

6 7 5 8

а(х-\- c) = bx а(х -{-)Ь = cx—d

у — b_у -f- d

а с у + a = dy -f- b

ау = Ь(у — с)

ему о той последовательности мыслительных операций, которая была дана при решении инструктивной задачи. Третьи — ставились в тех случаях, когда испытуемый упускал те условия задачи, которые имели значение для ее решения. Если испытуемый не представлял себе словесного содержания уравнения в начале решения, ему предлагалось сперва ввести обозначение неизвестного.

Третья серия нашей работы была контрольной, и через нее были проведены все 8 человек экспериментальной и контрольной групп. Содержанием ее было решение двух задач, более трудных, чем те, которые включены были в первую серию. Решение задачи проходило совершенно самостоятельно и должно было быть выполнено одним способом; при этом соблюдалось прежнее условие „думать вслух“. Сравнением приемов, примененных испытуемыми экспериментальной и контрольной групп, и результатов решения задач выявлялась эффективность упражнений второй серии нашей работы.

III. МЫСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ СРЕДНЕГО ШКОЛЬНИКА ПРИ РЕШЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Первая серия работы была проведена, во-первых, для того, чтобы подобрать две равносильные группы и, во-вторых, чтобы выявить приемы, которыми пользуются средние учащиеся при самостоятельном решении задач.

Чтобы выяснить, имеется ли у испытуемых понимание зависимости между тремя величинами, из которых одна равна произведению двух других, им дано было несколько числовых примеров. В эти примеры были включены такие группы величин: цена единицы товара, его количество и стоимость; скорость, время и пройденный путь; производительность выполняющего работу, время ее выполнения и объем выполненной работы. Наблюдение показало, что у всех испытуемых имеется понимание зависимости между этими величинами.

Чтобы установить, какие приемы применяются испытуемыми при решении алгебраической задачи, каждому из них были предложены две задачи: об обмолоте и о коннице (стр. 126 и 132). Первую задачу оказались в состоянии решить самостоятельно 4 ученицы, остальные или совсем не решили, или решили при помощи наводящих

вопросов. Из решивших самостоятельно одна ученица пришла к составлению уравнения путем правильного анализа, исходящего из обозначения через х неизвестной величины, содержащейся в вопросе задачи; 3 других после нахождения алгебраического выражения для числа копен обмолоченной ржи (18л;) уже представили себе словесно будущее уравнение. Так, Женя С, после обозначения неизвестных величин, сказала: „Теперь надо узнать, сколько за 9 дней они обмолачивают ржи, х умножить на 18. Я представила себе, что 172 копны всего обмолочено. Надо 9 — х умножить на 20 и прибавить 18 л:; это будет равно 172й. Получив произведение 18 л:, Женя уже представила себе 172 как общее число обмолоченных копен ржи и яровых культур. Остальные 4 ученицы, не найдя нужных связей между данными задачи, шли путем случайных проб.

Одна из испытуемых, как и трое других, обозначив через X число дней обмолота и ржи, и яровых, отказалась позднее от этого обозначения. Она перешла к новой пробе, проводя сравнение между числами копен каждой культуры, обмолоченных за день. „Яровых культур обмолачивали больше, чем ржи. Если количество дней на обмолот яровых обозначить через х, то на рожь будет х-\-2и (Тава К.). Испытуемая сперва не улавливает того, что на обмолот каждой культуры потрачено различное число дней, и для нее х— время вообще. Увидев, при помощи экспериментатора, свою ошибку, она останавливается на второстепенной связи: если ржи в день обмолочено меньше, чем яровых, то дней на ее обмолот пошло больше; результат разностного сравнения 20 копен и 18 копен в день, равный 2, она прибавляет к числу х дней, потраченных на яровые. Ею не найдена основная связь между данными величинами, заключающаяся в определении всего числа обмолоченных копен; она ищет ненужные для решения связи, что и приводит ее ко второй случайной пробе.

Во второй задаче о коннице и пехоте (стр. 132) представления словесного содержания уравнения не было ни у кого. Самостоятельно решить задачу не мог никто. Из 7 испытуемых 4 не нашли нужных соотношений и после обозначения через х неизвестной величины, содержащейся в вопросе задачи, перешли к случайным пробам. В качестве примера такого решения можно привести вы-

держку из протокола наблюдений одной из испытуемых.

„То время, через которое конница настигнет пехоту, х\ л—время. А если скорость пехоты 4 км, то будет 4д:,— она пройдет 4х км. Я думаю, как узнать, сколько километров конница пройдет за все время. Если отнять от Ах, то конница 4л;—12“. После паузы: „Думаю, что это неправильно“. Обозначив через х неизвестную величину, содержавшуюся в вопросе задачи, испытуемая, видимо, не отождествляет ее с временем движения конницы; х для нее сперва время вообще, а потом время движения пехоты. Соединение х со скоростью пехоты в произведение создает для испытуемой представление о расстоянии, пройденном пехотой. Затем, объединив в виде разности весь путь пехоты и путь конницы за 1 час, она сама находит это неверным, что заставляет нас предполагать случайность данного объединения. После нескольких поставленных вопросов, имевших целью сосредоточить внимание испытуемой на имеющихся данных, относящихся к времени движения конницы, она обозначает это время через *+-^- (часа) (вместо х--!>- ) и переходит к другой пробе. „Время пехоты — х, время конницы y -\- X. Я думаю, сколько времени они прошли вместе, я к х прибавлю тр“—это они пройдут вместе“

(Светлана Г.). В этой пробе испытуемая как бы изолирует время движения конницы и пехоты от остальных условий задачи и, сообразив это, находит полученную сумму ненужной, а такой путь решения ошибочным, и больше не обращает внимания на сделанную запись. Переход от одной пробы к другой объясняется тем, что испытуемая не уловила основной связи в условии задачи, заключающейся в нахождении пройденных расстояний, и получает алгебраические выражения, оторванные друг от друга. Такими приемами она не может придти самостоятельно к составлению уравнения. Подобные случайные пробы часто встречаются у учащихся при решении задач.

При решении той же задачи три испытуемых нашли в задаче основную связь между данными условия: через имеющиеся числовые данные и буквенные обозначения

они выразили именно путь, а не другие величины. Но, выразив алгебраически как путь конницы, так и путь пехоты правильно, они все же уравнение сами составить не могли, так как не могли „уравнять“ эти выражения. Сделав правильно чертеж расположения конницы и пехоты, испытуемая несколько раз перечитывает условие и говорит: пх часов шла конница, тогда пехота шла на 30 минут больше, она шла на -у часа больше; значит, она шла часа“. Вслед за обозначением неизвестных испытуемая начинает выделять соответствующие им данные другой величины. „Конница проходила 12 км в час, а пехота — 4 км в час. Мы знаем время, скорость, а еще путь надо. Конница прошла 12 х км, а пехота шла x-f--^- и 4 км в час; 12 х отнять 2 км. Теперь есть время каждой, скорость, путь. (12 х — 2)—это путь, который прошла пехота до того, как ее настигла конница. Тут надо уравнение составить, а я не могу, я не знаю, как их приравнять“. На поставленный вопрос о том, как определять путь конницы и путь пехоты, испытуемая отвечает: „Скорость умножить на время. А тут путь пехоты так определяется: из всего расстояния надо отнять 2 км, а если я скорость пехоты умножу на время, то получу это же“. На вопрос, почему же она не составляет уравнения, испытуемая отвечает: „Так ведь надо приравнять, нас так учат; 12 х и (12 х — 2) и еще что-то, о чем мы говорили“ (Стася М.). При помощи чертежа, дающего зрительное представление условия задачи, и имеющегося в сознании понимания зависимости между данными величинами испытуемая определяет как путь конницы, так и путь пехоты через время и скорость; при наличии разности пройденных расстояний она выражает путь пехоты также через путь конницы и данную разность в 2 км. Она видит, что (12 л: — 2) — это путь, пройденный пехотой. В то же время, зная соотношение между тремя данными величинами, она представляет путь пехоты как произведение скорости на время, т. е. в виде 4 (х -f--!r). В то и другое выражение вложено одинаковое содержание, но это не вызывает у нее представления о том, что, имея одинаковый смысл, эти выражения могут

быть соединены знаком равенства. Ей мешает то правило, которому „учат“, что что-то надо к чему-то приравнять. Это „приравнивание“ алгебраических выражений для нее является абстрактным, оно не основано на смысловом значении полученных выражений и не может быть применено ею вполне осознанно. Вот почему, получив выражения, тождественные по содержанию, она не видит их равными и поэтому не делает их частями уравнения.

Подводя итоги первой серии нашей работы, можно сказать следующее: 1) понимание зависимости между тремя функционально связанными между собой величинами, в основном, у учащихся имеется; 2) обозначенное буквой неизвестное в большинстве случаев воспринимается наравне с числовыми данными задачи, а не как что-то неопределенное, расплывчатое; 3) при решении задач, в которых можно получить сумму некоторых слагаемых, известную из условия, у ряда учащихся возникает представление словесного содержания уравнения, что планирует их действия для алгебраического выражения этого уравнения; 4) не находя основных связей между данными задачи, очень часто учащийся идет по пути случайных проб и в результате самостоятельно не может правильно составить уравнение; 5) но и тогда, когда полученные алгебраические выражения имеют наименование одной и той же величины, возникает новое затруднение при составлении самого уравнения путем уравнивания этих выражений.

V. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛОВЕСНОГО СОДЕРЖАНИЯ УРАВНЕНИЯ КАК ОСНОВА МЫСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ

Данные первой серии настоящей второй работы показали, что во многих случаях при решении задачи средними по успеваемости учащимися их приемами являются пробы, приводящие часто к ошибкам. Наряду с этим, результаты, полученные в первой проведенной работе (стр.131—134), и некоторые данные первой серии настоящей работы говорили о том, что наличие представления словесного содержания будущего уравнения приводит к правильному составлению его.

Задачей второй серии работы было выяснить, насколько доступна средним учащимся такая последовательность мыслительных процессов, которая соответствует I типу

их. С этой целью каждому испытуемому экспериментальной группы, после объяснения решения на инструктивной задаче, было дано для самостоятельного решения 9 задач. Все задачи, за исключением 1-й, решались двумя способами.

Таким образом, фактически каждая из испытуемых решила не 9 задач, а 17, за исключением одной, которая задачу № 2 решала только первым способом (из-за пропуска занятий по болезни). Это дало материал для установления того, изменилась ли последовательность мыслительных операций по сравнению с той, какая имела место до проведения второй серии, и, если изменилась, то как именно.

В результате проведенных наблюдений мы получили подтверждение тех выводов, которые дала упоминавшаяся выше первая работа (стр. 131 —134).

Число случаев, в которых представление словесного содержания уравнения возникало у испытуемых в начале мыслительных процессов, т. е. в которых имел место I тип их, оказалось наибольшим; но были случаи, относившиеся как ко II, так и к III типу.

Всех составленных 4 испытуемыми уравнений было 67, из которых на первый способ решения приходилось 36, на второй способ — 31.

Примечания: А. I тип решения — представление словесного содержания уравнения в начале мыслительных процессов.

II тип решения — представление величины, которая выражена частями уравнения.

III тип решения — представление словесного содержания уравнений после получения „звена“ уравнения.

Б. В решении задачи № 2 вторым способом не принимала участия одна испытуемая вследствие ее болезни, поэтому решений не 12 по трем задачам, а 11.

I тип мыслительных процессов наблюдался в 45 случаях, II — в 5 и III — в 17. При решении инструктивной задачи испытуемым была показана последовательность мыслительных процессов, соответствовавшая I типу. Но в отдельных случаях у испытуемых наблюдались II и III типы. Кроме того, одновременно с проведением данной экспериментальной работы учащиеся решали задачи в классе, где ход их мыслительных процессов направлялся учителем иначе.

В дальнейшем изложении мы остановимся на каждом типе мыслительных процессов в порядке частоты

Таблица 2

Мыслительные процессы по типам их последовательности при выполнении заданий второй серии работы

Числовые показатели

Группа задач

Характер уравнения

№ задач

Способ решения

Число решений

Типы мыслительных процессов

I

II

III

I

Сумма нескольких выражений равна известному числу

1, 2, 3

2, 3, 4

Всего

1

2

1 и 2

12

и

23

11

5

16

1

6

7

II

Разность двух выражений равна известному числу

4, 8, 9 6, 9

1

2

12 8

7 7

2

3 I

Всего

1 и 2

20

14

2

4

III

Частное от деления одного выражения на другое равно известному числу

5

1

4

4

Всего

1

4

4

IV

Одно выражение равно другому

6, 7 5, 7, 8

1

2

8 12

2 9

2 1

4 2

Всего

1 и 2

20

11

3

6

ИТОГО . . .9 задач

1

36

24

4

8

2

31

21

1

9

Всего . .

1 и 2

67

45

5

17

наблюдавшихся случаев, т. е. сперва на I, потом на III и, наконец, на II типе. Мы попытаемся провести анализ каждого из них в зависимости от содержания задач по группам, на которые они нами были распределены.

А. I тип мыслительных процессов

Задачи I группы (сумма нескольких величин равна известному числу) давались учащимся последовательно одна за другой. При решении их первым способом в 11 случаях из 12 наблюдался I тип мыслительных процессов; при решении той же группы задач вторым способом I тип имел место всего в 5 случаях из 11. Такое различие в показателях решения первым и вторым способами следует объяснить как необычностью для испытуемых второго способа решения, так и некоторой трудностью в переключении с одного представления на другое. При решении последующих задач преобладание I типа над двумя другими наблюдалось не только при первом способе решения, но и при втором. Исключение представляло решение задач № 6 и 7 первым способом; о причинах этого будет сказано ниже.

Чтобы лучше ознакомиться с тем, как протекали мыслительные процессы испытуемых, мы приведем несколько данных наблюдения с их анализом.

По прочтении задачи № 2 (стр. 137) одна испытуемая сразу уловила основную мысль задачи, понимая, что в уравнение войдет стоимость каждого из сортов материи. В величину 512 руб. она вложила вполне определенное содержание: это сумма стоимостей 1-го и 2-го сорта материи. Испытуемую в это время не интересовало то, что неизвестно число метров каждого сорта материи; она уловила, что за каждый сорт материи заплатили сумму, равную произведению его цены на количество; что, сложив эти суммы, получим 512 руб.

Выделив из условия задачи цену каждого сорта, она отчетливо представила себе, как будет найдено каждое слагаемое. Словесное содержание уравнения явилось для испытуемой вполне определенным планом дальнейших операций; ей осталось только перевести его на алгебраический язык. Самый процесс составления уравнения по существу уже выполнен, так как содержание каждого „звена“ уже намечено. Осталось только ввести обозначение неизвестных и

получить данные произведения, сумма которых составит левую часть уравнения.

Другая ученица также сразу восприняла 512 руб. как сумму, состоящую из двух сумм, уплаченных за каждый сорт материи. Увидя в задаче цену 1-го и 2-го сортов материи, она, прежде всего, усмотрела то, что общая стоимость складывается из двух частей (1-го и 2-го сорта), являясь их суммой; это вызвало у нее представление о содержании того, что в дальнейшем оформилось как уравнение: если стоимость материи 1-го и 2-го сортов соединить вместе (сложить), то получается данная в условии сумма 512 рублей. Еще не обозначив неизвестного, испытуемая представила себе содержание будущего уравнения; сумма стоимостей 1-го и 2-го сортов материи должна оказаться равной 512 руб. После этого, в отличие от первой ученицы, она переходит ко второму этапу. В числе известных данных есть стоимость 1 метра каждого сорта. Под слагаемыми испытуемая подразумевала стоимость каждого сорта. Чтобы получить эту стоимость, надо знать, кроме известной цены, еще число купленных метров, т. е. то, что спрашивается в задаче. Обозначив число метров 1-го сорта через х, она вычитанием находит, что число метров 2-го сорта равно 30—х. Обозначение неизвестных введено для того, чтобы выразить словесное содержание уравнения алгебраически; при этом получение каждого слагаемого произведено на основе имеющегося понимания соотношения между данными величинами.

Если понятие суммы легко воспринимается учащимися, то понятие разности—труднее. Представление словесного содержания уравнения в виде разности затруднялось для наших испытуемых также и тем, что они в процессе классной работы приобрели навык „уравнивания“ двух алгебраических выражений. У них сделалось уже привычным приемом правило: „при наличии двух неравных алгебраических выражений надо одно из них увеличить или уменьшить на имеющуюся разность“. Известное из арифметики соотношение: „если одно число больше другого на несколько единиц, то, вычтя из большего числа меньшее, получим их разность“, в процессе составления уравнения ими не применялось. Взамен этого у учащихся был воспитан другой прием: „чтобы получить большее число, надо к меньшему прибавить разность“ или, наоборот, „уменьшение большего на разность дает меньшее число“. Что при

таком уравнивании меньшее число, увеличенное разностью до большего числа, получает то же значение, что и большее число, в большинстве случаев учащиеся не осознают. Именно поэтому они очень часто не знают, к какому из данных алгебраических выражений надо прибавить данную разность, что приводит их на путь случайных проб при составлении уравнения.

Как видно из приведенной таблицы, задачи, в которых словесное содержание уравнения требовало нахождения разности двух величин, не решались испытуемыми одна за другой: при первом способе решения такой задачей была № 4 и две последние; при втором способе — № 6 и последняя.

Данные второй серии работы показали, что из 20 случаев получения в уравнении разности двух величин в 14 случаях представление словесного уравнения было первой мыслительной операцией в процессе решения задачи. Этот I тип мыслительных процессов наблюдался в 7 случаях из 12 при первом способе решения и в 7 случаях из 8 — при втором способе решения.

Задача № 4 была первой из тех, в которых в словесном уравнении была получена разность двух величин. Затруднения, о которых мы только что упоминали, привели к тому, что при решении данной задачи первым способом I тип мыслительных процессов наблюдался лишь у двух испытуемых.

Рассмотрим, как происходил при I типе мыслительных операций переход от предыдущих задач к этой первой на разность двух величин.

По характеру уравнения задача №4 сходна с предшествующей и отличается от нее только тем, что вместо суммы двух величин нам известна их разность. Но это, казалось бы, небольшое изменение влияет на ход мыслительных процессов ряда учащихся. В подобных задачах требуется осознать более трудное понятие—„разность“. Одна испытуемая при чтении слов „слесарь высшего разряда“ ставит карандаш в одно место стола, а слов „низшего разряда“—в другое место стола. Она как бы распределяет этим заработки каждого разряда слесарей отдельно друг от друга. При распределении в разные места заработка слесарей каждого разряда испытуемая как бы представила себе эти две суммы денег отдельно одну от другой. После этого, по примеру предшествующих

задач, где было данное, представлявшее собою сумму, у неё явилось желание соединить их вместе, но это соединение, естественно, дало представление о сумме всех денег. Не находя этой суммы в условии задачи, испытуемая останавливается. Данное число, 100 рублей, показывает, на сколько рублей низший разряд слесарей зарабатывает за смену больше, чем высший; 100 рублей приобретает значение разности. Увидя это, испытуемая представляет себе уравнение как разность между заработками за смену слесарей низшего и высшего разрядов, равную 100 руб.

Представление условия, говорящего о заработках двух категорий рабочих, выделило на первый план одну величину — общий заработок. Это уже дало представление о той величине, которая должна быть выражена обеими частями уравнения, — о заработке за смену. Наличие в условии разности между заработками обеих категорий слесарей уточнило представление, придав ему характер словесного содержания будущего уравнения: разность между заработками слесарей низшего и высшего разрядов равна 100 руб. Чтобы составить уравнение, надо его выразить алгебраически. В силу этого внимание сосредоточивается сперва на заработке низшего разряда слесарей за смену, а потом — на заработке высшего. Испытуемой надо получить заработок слесарей низшего разряда. В задаче известен заработок одного слесаря — 15 руб. Чтобы получить заработок всех слесарей этого разряда, нехватает их числа. Испытуемая вводит недостающее данное обозначением его через х. Получив заработок всех слесарей низшего разряда 15л;, она переходит к заработку слесарей высшего разряда. Обозначение числа слесарей у нее не встречает затруднения, так как известно как их общее число 30 чел., так и число слесарей низшего разряда х чел. Вторая сумма денег находится так же, как и первая. Исходя из содержания, которое вложено в словесное выражение будущего уравнения, она смысл его частей, как разность заработков за смену слесарей разных категорий, переводит на математический язык, используя имеющееся понимание зависимости между данными величинами.

Приведенный случай мало отличается от предыдущих при решении первой задачи. Тут так же, как и в первых случаях, представление словесного содержания будущего

уравнения возникает после того, как условие задачи понято. Только это представление возникает медленнее первого.

Как видно из приведенного решения задачи, испытуемая не сразу усмотрела в задаче тот факт, что в уравнении будет находиться не сумма двух величин, а их разность. Перед решением данной задачи не было дано такого объяснения, которое предшествовало решению задач на сложение нескольких слагаемых. В дальнейшем при чтении задачи № 9 трое испытуемых сразу выделили из условия то число, которое являлось разностью двух неизвестных величин. В результате такого выделения создалось представление словесного уравнения.

В числе задач второй серии нашей работы была одна (№ 5, первый способ), в которой уравнение являлось результатом кратного сравнения двух величин. У всех испытуемых наблюдался I тип мыслительных процессов. В таких задачах прием „уравнивания“ более доступен, чем при разностном сравнении. Поэтому испытуемые получали уравнение не в результате приравнивания частного от деления одной величины на другую их данному отношению, а на том основании, что меньшую величину надо увеличить в данное число раз, чтобы получить большую. Видя, что составление уравнения в задачах такого типа не представило для испытуемых особого затруднения, мы ограничились решением только одной задачи.

Б. III тип мыслительных процессов

В 17 случаях из 67 у наших испытуемых наблюдался III тип мыслительных процессов. Особенность его заключалась в том, что словесное содержание уравнения не возникало после прочтения условия задачи. Не видя основного соотношения между величинами, которое может быть взято для словесного уравнения, испытуемый не может произвести также и осмысленного выбора между величинами для буквенного обозначения. Тогда он останавливается на той величине, которая стоит в вопросе задачи.

В качестве примера III типа мыслительных процессов приведем случай решения задачи №4 вторым способом.

В этой задаче, кроме 100 руб., являющихся разностью заработков двух разрядов слесарей, есть еще значение другой величины — 30 человек; 30 человек есть сумма

чисел слесарей двух разрядов, что дает возможность представления словесного уравнения также в виде суммы чисел слесарей низшего и высшего разрядов. После составления уравнения на основе выражения разности заработков за смену испытуемой было предложено представить себе уравнение по-другому. Ввиду того, что первое представление было достаточно ясным, у нее не возникает сразу новый образ и число 30 не воспринимается как сумма двух слагаемых. Для того, чтобы найти ту величину, которую ей надо обозначить через х, она перебирает все величины, входящие в условие задачи. После того, как неизвестные величины обозначены, она сосредоточивает свое внимание только на той величине, которая будет выражена частями уравнения, — на числе слесарей. Но это не создает представления словесного содержания уравнения. Число слесарей находится делением. Самый процесс действия деления менее доступен для понимания, чем, например, сложение и умножение. Получение числа слесарей делением всего заработка на заработок одного человека поглощает все внимание испытуемой, в силу чего наличие всех слесарей в числе 30 человек не только не воспринимается ею в данный момент как сумма, но и вообще выпадает из сознания. Обозначив через X заработок за смену всех слесарей высшего разряда, испытуемая еще не представляет того, какое применение это будет иметь; если сочетание заработка одного слесаря и числа всех слесарей уже как бы определяет общий заработок путем перемножения этих чисел, то наличие общего заработка и заработка одного слесаря не сразу вызывает представление о числе всех людей. Потребовался еще один момент для осознания того, что можно получить, имея эти соответствующие значения двух величин. Имеющееся в сознании понимание зависимости между данными величинами приводит ее к этому умозаключению. Лишь тогда, когда она ясно представила себе, что частное означает число слесарей, вся картина последующих действий для нее стала понятной. Представление словесного содержания уравнения сразу возникло в сознании, и число 30 получило уже определенное значение суммы чисел слесарей двух разрядов. Смысл будущего уравнения для испытуемой стал ясен, а выражение этого смысла в алгебраической форме не составило труда.

Лишь тогда, когда получено „звено“ уравнения и осознан его смысл (число слесарей высшего разряда), создалось представление о том, что сумма чисел слесарей низшего и высшего разрядов равна 30 человекам.

Итак, III тип мыслительных процессов характеризуется тем, что после обозначения неизвестной величины следует объединение этого обозначения с соответствующим ему числовым данным другой величины; смысл полученного „звена“ уже вызывает представление словесного содержания уравнения.

Такую последовательность мыслительных операций при решении первых задач, где задавалась сумма некоторых величин, мы встретили, главным образом, при решении их вторым способом; из 23 решений I группы задач на них пришлось 6 случаев второго способа решения и 1 случай первого способа (см. табл. 2). Наибольшее число случаев применения этого приема пришлось также на решение задачи №6; в ней встретилась зависимость между такими величинами, понимания которой у всех испытуемых не было и которое формировалось лишь в процессе решения данной задачи (зависимость между длиной окружности, числом оборотов и пройденным расстоянием). При решении же II и III групп задач первым способом и последних задач обоими способами III тип мыслительных процессов встречался в единичных случаях. Ни об одном испытуемом нельзя сказать, что при решении всех задач он представлял себе содержание, которое могло быть вложено в обе части уравнения, лишь после получения первого „звена“ части уравнения.

В. II тип мыслительных процессов

Наконец, II тип мыслительных процессов имел место у наших испытуемых лишь в 5 случаях из 67. Характерной особенностью этого типа является то, что учащийся представляет себе только ту величину, которая выражена частями уравнения.

В качестве примера II типа мыслительных операций можно привести решение задачи № 8. Вопрос задачи по привычке, выработавшейся в классной работе, наталкивает испытуемую на обозначение через х числа километров пути. Непосредственно за этим создается пред-

ставление о том, что части уравнения будут выражать время, 1 час и у часа в сумме составляют разность затрат времени велосипедиста и пешехода, но испытуемая не воспринимает это так. Она только представляет ту величину, которая будет выражена частями уравнения, и то, что велосипедист приехал на 1 час раньше. Словесного уравнения у нее не создается. Прибавив ~- часа к времени велосипедиста (-£г + у)> она понимает под этой суммой то время, которое велосипедист затратил на дорогу. Теперь у испытуемой есть время, затраченное велосипедистом + и пешеходом [ip)- Дальше происходит характерная при „уравнивании“ ошибка: к времени пешехода, которое больше, еще прибавляется 1 час. Объяснение этой ошибки может быть таким: велосипедист уже приехал, а пешеход еще 1 час в пути; поэтому, чтобы получить все время пешехода, этот час надо прибавить к его времени. Представление только величины, которая выражена частями уравнения, не дало ясного представления того, какой смысл может быть вложен в каждую часть уравнения.

Как видно из приведенного примера, представление только той величины, которая выражена частями уравнения, без учета смысла каждой из этих частей приводит к ошибкам при соединении знаком равенства имеющихся алгебраических выражений.

Результаты второй серии

В итоге, проведенная работа подтвердила наличие у испытуемых трех типов мыслительных процессов при решении задач. Составление ошибочного уравнения не наблюдалось тогда, когда у испытуемых создавалось вначале правильное словесное уравнение. В этом состоит преимущество I типа мыслительных процессов. Данные второй серии работы выявили его преобладание (45 случаев) над III типом (17 случаев) и II типом (5 случаев). Но тот факт, что у испытуемых все же наблюдались II и III типы, ставит вопрос о причинах возникновения такой последовательности мыслительных процессов.

Попытаемся разрешить этот вопрос, рассмотрев, в каких случаях у испытуемых наблюдался II или III тип мыслительных процессов (см. табл. 3).

В приводимой таблице мы разбили все задачи второй серии на 4 группы, указав, у какого числа испытуемых наблюдался каждый тип мыслительных операций при решении всех задач как первым, так и вторым способом. В первой группе задач (получение суммы нескольких величин) при решении задач № 2 и 4 вторым способом лишь у одного человека наблюдался I тип мыслительных процессов, у остальных -р III тип. В данном случае причиной этого явилась необычность составления нового уравнения по уже решенной задаче; испытуемые не могли сразу найти ни величину, выраженную частями уравнения, ни ту, которой можно дать буквенное обозначение.

В IV группе задач, где словесное уравнение выражалось в виде равенства двух величин, мы наблюдаем наименьшее число случаев I типа мыслительных процессов при решении трех первых задач, втором способе решения задачи № 5 и первом способе решения задач № 6 и № 7. При решении задач первых трех групп словесное уравнение облегчало испытуемым анализ тем, что разбивало условие задачи на несколько стоящих в нем вопросов. В результате ответов на эти вопросы, выраженных математическими знаками, составлялось уравнение. В задачах IV группы словесное уравнение могло указать лишь на равенство тех величин, которые составят части уравнения. Для получения каждой из этих величин необходимо было провести более сложное рассуждение, чем при решении первых трех групп задач. Подойдя к первым задачам IV группы, испытуемые из опыта прежних задач искали в условии ту величину, которая включала бы в себя сумму или разность некоторых величин. В задачах IV группы такой величины не было, и учащиеся не улавливали того, что одна и та же величина, при разных описанных в задаче условиях, может быть выражена каждой частью уравнения. Не найдя этого, иные испытуемые представляли только те величины, которые выражены частями уравнения, без понимания того, что они равны. Другие же и этого не представляли и начинали с анализа задачи, исходя от ее вопроса. Поэтому при решении первых задач IV группы наблюдалось меньше случаев I типа (11 из 20).

Таблица 3

Количественные данные типов мыслительных процессов при решении задач второй серии1

Групп задача

I тип мыслительных процессов

II тип мыслительных процессов

III тип мыслительных процессов

№ задач и способ решения

№ задач и способ решения

№ задач и способ решения

I

1-я задача

2-я задача

3-я задача

4-я задача

1-я задача

i 2-я задача

3-я задача

4-я задача

1-я задача

2-я задача

3-я задача

4-я задача

1 СП.

1 СП.

2 сп.

1 СП.

2 сп.

2 СП.

1 СП.

1 СП.

2 сп.

1 СП.

2 сп.

2 СП.

1 СП.

1 СП.

2 сп.

1 СП.

2 сп.

2 СП.

4 чел.

3 чел.

1 чел.

4 чел.

3 чел.

1 чел.

1 чел.

2 чел.

1 чел.

3 чел.

II

№ задач и способ решения

№ задач и способ решения

№ задач и способ решения

4-я задача

16-я задача

18-я задача

9-я задача

4-я задача

6-я задача

8-я задача

9-я задача

4-я задача

6-я задача

8-я задача

9-я задача

1 СП.

2 сп.

1 сп.

1 сп.

1 2 сп.

1 сп. 2 сп.

1 СП.

1 СП.

2 сп.

1 СП.

2 СП.

1 СП.

1 СП.

2 сп.

2 чел.

3 чел.

2 чел.

3 чел.

4 чел.

1 чел.

1 чел.

2 чел.

1 чел.

1 чел.

1 1

III

№ задач и способ решения

5-я задача, 1-й способ

4 человека

IV

№ задач и способ решения

№ задач и способ решения

№ задач и способ решения

5-я задача

6-я задача

7-я задача

8-я задача

5-я задача

6-я задача

7-я задача

8-я задача

5-я задача

6-я задача

7-я задача

8-я задача

2 СП.

1 СП. 1

1 СП.

2 сп.

2 сп.

2 СП.

1 СП.

1 СП.

2 сп.

2 СП.

2 СП.

1 СП.

1 СП.

2 сп.

2 СП.

2 чел. 1 чел. 1 чел.

4 чел.

3 чел.

1 чел.

2 чел.

1 чел.

3 чел.

1 чел.

1 чел.

1 Группы задач те же, которые указаны в таблицах 1 и 2.

Не безынтересно еще посмотреть, при решении каких задач наблюдается тот или иной тип мыслительных процессов у каждой из испытуемых (табл. 4).

Таблица 4

Типы мыслительных процессов при решении задач второй серии каждым испытуемым экспериментальной группы

Имя испытуемого

Способы решения

I тип

II т и п

III тип

№ задач

Всего

задач

Всего

№ задач

Всего

Стася М.

1

2

1,2, 3, 4, 5, 8, 9 2, 3,4,5, 6,7,8,9

7

8

6,7

2

Итого

17

15

2

Валя Ф.

1

2

1,2, 3,5,6, 9, 3, 5, 6,7,9

6 5

7

1

4,8 2,4,8

2 3

Итого

17

11

1

5

Светлана Г.

1

2

1, 3,4,5,7, 8 3, 6, 7, 8, 9,

6 5

9 5

1 1

2,6 4

2 1

Итого

16

11

2

3

Сара Р.

1

2

1,2, 3, 5,9 7, 8,9

5 3

7,8

2

4,6 2,8, 4, 5,6

2 5

Итого

17

8

2

7

Всего

67

45

5

17

Так, у Стаси М. из 17 составленных уравнений в 15 случаях имеет место I тип. Она сразу овладела этим приемом мышления. Лишь при решении двух задач первым способом последовательность мыслительных процессов соответствовала 111 типу. В одном из этих двух случаев у нее не было понимания зависимости между данными величинами (задача № 6). При решении задач первое время для Стаси имела большое значение деятельность воображения — она представляла себе то, что описано в задаче. При решении же последней задачи на движение ей даже не понадобился чертеж; представление словесного уравнения как разности двух величин было результатом логического мышления. Выделение основного соотношения между величинами сперва происходило при помощи образов, а потом путем логических умозаключений.

У двух других испытуемых (Вали Ф. и Светланы Г.) преобладает I тип; III тип, в основном, падает на решение задач № 2 и 4, о которых говорилось выше.

Наконец, у четвертой испытуемой, Сары Р., из 17 составленных уравнений лишь в 8 случаях наблюдался I тип, в 7 случаях — III и в 2 случаях — II тип. Если в первых задачах, где уравнение составлялось на основе нахождения суммы нескольких слагаемых, Сара Р. представляла словесное уравнение сразу, то в остальных задачах ей надо было сперва получить „звено“ уравнения. Лишь в последней задаче представление словесного уравнения в виде разности легло в основу мыслительных процессов. В отличие от остальных испытуемых у нее только при решении 7-й задачи второй способ решения не встретил затруднения. Сара Р. долго не могла уяснить того, что в каждой задаче есть две основные неизвестные величины, из которых для одной вводится буквенное обозначением другая выражена частями уравнения. Добавление к имеющимся данным буквенного обозначения величины, стоящей в вопросе задачи, помогло ей найти величину, которая выражена частями уравнения, лишь после получения „звена“ уравнения. По той же причине при втором способе решения она не могла представить себе сразу ту величину, которая выразится частями уравнения. Для того чтобы притти к этому умозаключению, ей надо было решить 6 задач второй серии нашей работы.

Кроме вопросов, поставленных для разрешения в данной работе, нам удалось сделать еще немаловажный вывод

о влиянии нашего эксперимента на развитие логического мышления испытуемых. Если вначале некоторые испытуемые для нахождения основных связей задачи опирались на воображение и наглядность для них имела большое значение, то к концу второй серии это не играло для них существенной роли. Испытуемые уже находили в условии задачи те величины, которые могли быть использованы как для выражения содержания уравнения, так и для буквенного обозначения. Такие заключения испытуемых создались в результате развития их логического мышления, чему содействовали сделанные ими наблюдения в процессе решения задач. Понимание функциональной зависимости между величинами формируется у учащихся очень медленно. Сделанные учащимися наблюдения о зависимости между той величиной, которая выражена частями уравнения, и той, которой придано буквенное обозначение, немаловажны в деле понимания функциональной зависимости между величинами.

V. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛОВЕСНОГО СОДЕРЖАНИЯ УРАВНЕНИЯ ПРЕДУПРЕЖДАЕТ УЧАЩЕГОСЯ ОТ ПУТИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОБ

После проведения второй серии нашей работы, уже в начале четвертой четверти учебного года, была поставлена третья серия работы. Задача ее заключалась в сравнении особенностей мыслительных процессов у испытуемых экспериментальной и контрольной групп и эффективности применяемых ими приемов. Каждая из испытуемых решила по две задачи. Первая задача была характера II группы задач второй серии, вторая задача — IV группы (табл. 1). Для всех 8 испытуемых условия были одинаковы: каждая задача решалась письменно, одним способом, самостоятельно.

Задачи третьей серии работы

Задача № 1. Велосипедист проехал некоторое расстояние со скоростью 8 км/час. Возвращался он другой дорогой, которая была на 9 км длиннее первой. И хотя он, возвращаясь, ехал со скоростью 10 км/час, он потратил на обратную дорогу на 30 минут больше. Какой длины была каждая дорога?

Задача № 2. Группу детей надо посадить на скамейки. Если на каждую скамейку посадить по 6 человек, то на

одной скамейке будет 2 свободных места; а если на каждую скамейку посадить по 5 человек, то 4 человека останутся без места. Сколько детей в группе?

Таблица 5

Результаты третьей серии работы Характер мыслительных процессов у испытуемых экспериментальной и контрольной групп

№ задач

Содержание уравнения

Название группы

'исло испытуемых по характеру мыслительных процессов

Число испытуемых, правильно составивших у1авнсние

I тип

II тип

III тип

Случайные пробы

1

Разность двух величин равна величине, известной из условия задачи.

Вид уравнения:

X -f- CL х

Эскспериментальная группа

4

4

Контрольная группа

2

1

1

2

2

Одна величина равна другой. Вид уравнения:

Экспериментальная группа

4

4

Контрольная группа

2

2

2

Примечания: 1) 1, II и III типы имеют то же значение что и в таблице 2.

2) Буквами а% Ьу с обозначены числовые данные, известные в условии задачи: значение их в каждой из двух разновидностей уравнения то же: буквами х,у обозначены неизвестные величины (х — для первого способа решения, у — для второго).

При решении обеих задач у всех испытуемых экспериментальной группы наблюдался I тип мыслительных процессов и все они правильно решили обе задачи. При

решении, первой задачи двое испытуемых (Валя Ф. и Светлана Г.) сперва представили себе ту величину, которая выражена частями уравнения, и то, что одну надо „приравнять“ другой; после ошибочного применения „уравнивания“, заключавшегося в увеличении на имеющуюся разность не меньшей, а большей величины, каждая из них представила себе словесное уравнение в виде разности данных величин, что привело к правильному составлению уравнения. Двое других испытуемых (Стася М. и Сара Р.) сразу представили словесное уравнение как разность двух величин. Решая вторую задачу, двое испытуемых (Валя Ф. и Сара Р.), правильно представив словесное уравнение, не сумели выразить алгебраически его части; тогда у них создалось представление второго уравнения, части которого выражены были той величиной, которая в первом случае имела буквенное обозначение; перевод на алгебраический язык в этом случае не встретил затруднения. Саре Р. помогло еще зрительное представление условий задачи. Обе они правильно составили уравнение. Получение второго словесного уравнения было результатом логического заключения: „Неизвестное — число скамеек, значит, в частях уравнения будет число детей“ (Валя Ф.). В первом случае она представляла себе в каждой части уравнения число детей. Тот факт, что после первой неудачи они не перешли на путь случайных проб, свидетельствует об уверенности в правильности словесного уравнения и об умении выделить в задаче величины, связанные функциональной зависимостью. Применяемый в классе прием „уравнивания“ побудил двух испытуемых при решении первой задачи воспользоваться им. Очень быстро они отказались от него, легко перейдя к получению разности.

У двух других испытуемых (Стаси М. и Светланы Г.) уравнение второй задачи соответствовало первоначальному словесному уравнению.

Данные третьей серии работы говорят об изменении характера мыслительных операций у испытуемых, прошедших через вторую серию упражнений. Если в первой серии ни у одного человека не наблюдалось I типа и у двух человек (Стаси М. и Светланы Г.) только при решении одной задачи создался III тип, то в третьей серии у всех четырех испытуемых при решении обеих задач в основе лежало представление словесного содержания уравнения (I тип). Можно сказать, что такая

последовательность мыслительных операций установила д^я наших испытуемых более легкий и верный путь самостоятельного решения задач.

Несколько иную картину мы видим в решении задач третьей серии испытуемыми контрольной группы. При решении обеих задач у одних и тех же двух испытуемых возникло представление словесного уравнения; при решении 1-й задачи было представление того, что по получении меньшей величины ее надо увеличить на имеющуюся разность. Одна из этих испытуемых правильно составила и решила уравнение в обеих задачах; другая при решении 1-й задачи составила уравнение, допустив одну ошибку по невнимательности: ко времени, выраженному в часах, прибавила время, выраженное в минутах. Это привело ее к ошибочному уравнению, которое она так и не исправила сама, так какие видела допущенной ошибки. У нее же при решении первой задачи первой серии наблюдался III тип мыслительных процессов. У одной испытуемой при решении первой задачи наблюдалось представление только величины, которая выражена частями уравнения (II тип); уже при составлении уравнения перед ней стал вопрос об увеличении одной из величин на имеющуюся разность. Уравнение 1-й задачи было составлено ею правильно. При решении же второй задачи она не нашла основных связей, перешла на путь случайных проб и совсем не сумела составить уравнение.

Четвертая испытуемая не сразу установила ту величину, которая выражена частями уравнения в первой задаче, но и после ее выделения она продолжала идти путем проб при „уравнивании“ алгебраических выражений. Такой же путь у нее наблюдался и при решении второй задачи. В первой серии при решении обеих задач эта испытуемая шла тоже путем случайных проб.

В результате из четырех испытуемых контрольной группы правильно составили уравнение для первой задачи две ученицы; по той же задаче у одной ученицы было бы тоже правильное уравнение, если бы не была допущена ошибка (выражение времени в разных наименованиях). По второй задаче правильно составили уравнение тоже две ученицы.

Интересно отметить, что у двух испытуемых контрольной группы при решении обеих задач третьей серии наблюдался I тип мыслительных операций. Можно с до-

статочной уверенностью предположить, что в процессе самостоятельного решения задач у них уже стал создаваться определенный прием мышления. Он заключался в выделении величины, которая будет выражена частями уравнения, и далее в представлении того, что одну из них надо увеличить на имеющуюся разность или в несколько раз в том случае, если они не равны. В подтверждение данного предположения этим двум испытуемым по окончании эксперимента был поставлен вопрос для выяснения того, думали ли они вначале о том, что будет выражать каждая часть уравнения. Обе они ответили, что в этом именно и заключался их прием решения.

Итак, при решении задач третьей серии у испытуемых экспериментальной группы наблюдался только I тип мыслительных процессов, приведший к правильному составлению уравнения. Даже в тех случаях, когда у иных встретились затруднения, они не стали на путь случайных проб, имевший место в трех случаях у контрольной группы. Как это, так и то, что все испытуемые экспериментальной группы самостоятельно решили обе задачи, говорит об эффективности применявшихся ими приемов.

VI. ДАННЫЕ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ КАК ОСНОВА УЛУЧШЕНИЯ МЕТОДИКИ

Данные, полученные в результате проведенной работы позволяют сделать ряд выводов.

1. Начиная решение задачи с представления словесного содержания уравнения, учащийся вплотную становится перед вопросом отыскания основной связи между величинами, входящими в задачу. Представление как той величины, так и тех математических действий, посредством которых можно получить эту величину, делает его последующие действия вполне осознанными.

2. Представление словесного содержания уравнения облегчает учащемуся путь планирования решения: задача разбивается на несколько более простых задач, число которых зависит от числа смысловых „звеньев“, составляющих данное словесное уравнение.

3. Перевод словесного уравнения на алгебраический язык на основе рассуждения и знания зависимости между величинами, входящими в задачу, приводит к получению уравнения. Тем самым процесс составления уравнения

как самостоятельной мыслительной операции при решении алгебраической задачи вообще отпадает.

4. В том случае, когда в начале мыслительных процессов лежит правильное представление словесного содержания уравнения (I тип), учащийся уже не может идти по пути опасных случайных проб при составлении самого уравнения.

5. Данные экспериментальной работы показали, что при предварительном объяснении решения ряда задач, приводящем к составлению уравнения одного и того же вида (например, по данной сумме нескольких величин), представление словесного уравнения, вообще говоря, легко возникает у учащегося1. Для того, чтобы у учащихся создавался I тип мыслительных процессов как наиболее эффективный при решении задач, целесообразно классифицировать их по виду получаемого уравнения.

Последовательное решение задач от группы к группе, с постепенным усложнением их внутри каждой группы, должно содействовать установлению у учащихся той последовательности мыслительных операций, которая соответствует I типу их.

Конечно, проведенная работа не вскрыла всех вопросов, касающихся мыслительных процессов, имеющих место при решении задачи. Испытуемыми при выполнении данной работы были учащиеся, привыкшие в условиях классной работы к иной последовательности мыслительных операций, начинавшихся с введения буквенного обозначения и заканчивавшихся уравниванием алгебраических выражений. Это не могло не сказаться на течении их мыслительных процессов при выполнении заданий нашей экспериментальной работы. Отчасти этим можно объяснить наличие, наряду с I типом, также II и III типов при решении задач второй серии настоящей работы. Но данное исследование вскрыло преобладание I типа во второй серии работы и отсутствие II и III типов мыслительных операций в заключительной третьей серии. Это дает основание полагать, что такая последовательность мыслительных процессов вполне доступна для любого учащегося.

1 См. данные о решении испытуемыми I группы задач, предла-гавшихся последовательно одна за другой (табл. 2).

ПРЕДЛАГАЕМЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ

На основе проведенных работ по изучению мыслительных процессов, протекающих у учащегося во время решения задач с помощью составления уравнений, мною намечены были существенные изменения, которые я сочла необходимым внести в общепринятую методику. Сущность приемов этой методики и отдельных ее этапов я и попытаюсь вкратце изложить.

Начинать раздел программы „Составление уравнений по условиям задач“ следует после того, когда учащиеся уже научились решать уравнения. В 1-ю группу решаемых задач должны войти те, в условии которых дана сумма некоторых неизвестных величин. Лучше начинать с задачи, условие которой включает конкретный жизненный материал. Например: „В одном из седьмых классов 38 человек учащихся, которые сидят на трех рядах парт. Во втором ряду сидит на 3 человека меньше, чем в первом, а в третьем — на 2 человека больше, чем в первом. Сколько человек сидит в каждом ряду?“ Надо подчеркнуто обратить внимание учащихся на то, что 38 человек получается в результате сложения числа учащихся первого, второго и третьего рядов, после чего сделать запись: число учащихся первого ряда -f- число учащихся второго ряда -f- число учащихся третьего ряда = 38 человек. Вслед за этим первым этапом следует второй: введение буквенных обозначений для каждого „звена“ — слагаемого — левой части уравнения. Зная по опыту решения уравнений, что неизвестная величина обычно обозначается одной из последних букв алфавита, учащиеся легко справляются с этим, обозначив число учащихся первого ряда через х, а второго и третьего — через х и числовые данные условия задачи. Третий этап заключается в замене записанного вначале словесного уравнения введенными буквенными обозначениями. В результате получается уравнение.

Первоначально решаются задачи, приводящие к составлению уравнений приведенного вида, а также вида:

ах-\-(х±:Ь) = с*.

К этим задачам относятся, например: № 371—375, 3.99 из задачника Шапошникова и Вальцова, ч. I, гл. VI; № 751,

* Начальными буквами алфавита обозначены данные значения величин.

859—861 из задачника Полозовой и № 115, 124, 127—129 из задачника Ларичева, изд. 1950 г., ч. I, гл. VII.

После этого следует перейти к решению более сложных задач, в которых также дана сумма неизвестных слагаемых, но каждое слагаемое получается на основе функциональной зависимости между входящими в условие задачи величинами, а второе слагаемое выражается через первое и известную в условии сумму (разность) их. Получаемое уравнение будет иметь один из следующих видов:

и аналогичные. К таким уравнениям мы придем в результате решения следующих задач: из задачника Шапошникова и Вальцова, ч. I: № 397, 409, 404, 40), 426, 460, 439 и др.; из задачника Ларичева, ч. I, гл. VII: № 102, 114—118, 126—128 и др.; из задачника Полозовой № 864—865 и др.

При решении указанных задач можно применять второй способ решения в тех случаях, когда это решение приводит к составлению уравнения того же вида, т. е. к сумме, известной из условия. Решение вторым способом дает возможность проверить первое решение составлением нового уравнения. Целесообразно практиковать придумывание учащимися задач по предложенным учителем уравнениям.

После того, как учащиеся научатся составлять сперва словесные уравнения, а затем, с помощью введенных обозначений, алгебраические уравнения, можно перейти к следующей группе задач, в условии которых известна разность некоторых величин. Первая задача опять должна быть наиболее понятной по содержанию; например: „Куплено 9 тетрадей, из которых одни стоят по 40 коп., другие — по 16 коп. За более дорогие тетради заплачено на 80 коп. больше, чем за более дешевые. Сколько куплено тех и других тетрадей отдельно?“ Прежде, чем решать эту задачу, надо обратить внимание учащихся на то, что в условии задачи дана не стоимость всех тетрадей, а разность стоимостей, которая находится с помощью вычитания. Левая часть уравнения будет представлять собой разность стоимостей, а правая — известную

из условия разность, равную 80 коп. Так же, как и при решении I группы задач, первым этапом будет составление словесного уравнения, которое можно записать так: стоимость дорогих тетрадей минус стоимость дешевых тетрадей равна 80 коп. В этих задачах, которые являются наиболее трудными для учащихся, следует особенно следить за тем, чтобы после введенных обозначений (второй этап) учащиеся записывали уравнение одновременно с чтением составленного ими словесного уравнения. Решение задач этой группы надо начать с тех, которые приводят к получению уравнений вида:

ах— Ъх=с; ах — с(х — b) = d,

а потом следует перейти к более сложным задачам вида:

и аналогичных. Материалом для работы могут быть следующие задачи: из задачника Шапошникова и Валь-цова, ч. I: № 400, 390, 401, 403, 405, 410, 416, 432, 438-451 и др.; из задачника Ларичева, ч. I, гл. VII: № 101-104, 106, 119, 121, 148, 210 и др.; из задачника Поло-зовой № 1586, 1588, 1879, 1895—1896, 1898, 1901 и др.

Решая задачи подобного содержания, надо чередовать их с более сложными задачами I группы и использовать в качестве проверки решение их вторым способом тогда, когда он приводит к составлению уравнения I или II группы. В этот период работы можно ввести уже не только придумывание учащимися условий задач по предложенным уравнениям, но и самостоятельное составление задач. В это время надо уже обратить внимание учащихся на существование функциональной зависимости между данными в задаче величинами. Понимание этой зависимости облегчается тем, что одна из величин выражается частями уравнения, а для другой вводится буквенное обозначение. Например, в приведенной задаче II группы разность стоимостей тетрадей выражена частями уравнения, а для получения стоимости каждого сорта тетрадей надо известную из условия цену умножить на неизвестное число тетрадей.

Следующую группу задач составляют те, в условии которых дано отношение двух величин. Соответствующие

этим задачам уравнения имеют один из видов:

и аналогичные виды.

В качестве примера задач этой группы можно привести такую: „Два ученика купили тетради; один из них купил на 2 тетради больше второго; отношение чисел купленных ими тетрадей равно 3:2. Сколько тетрадей купил каждый?“ Данное в подобных задачах отношение двух величин может быть и целым числом, т. е. может быть просто указано, во сколько раз одна из данных величин больше (меньше) другой.

Все этапы решения подобных задач остаются теми же, что и при решении задач двух первых групп. К 3-й группе относятся задачи: из задачника Шапошникова и Вальцова (ч. I) № 425, 431, 394 — 396, 392, 418, 427, 437 и другие; из задачника Ларичева (ч. I, гл. VII) № 139, 146, 147, 134 и другие; из задачника Полозовой № 1880—1883, 1872—1875, 1910 и другие.

IV группу составляют задачи, приводящие к составлению уравнений, в которых одна из величин равна другой. Уравнения этой группы задач имеют один из следующих видов:

и аналогичные.

При решении задачи № 418 (Шапошников и Вальцов, ч. I), относящейся к третьей группе, учащиеся выражают словесное уравнение так: убыток =5. При решении этой же задачи вторым способом учащиеся составляют словесное уравнение по-другому: стоимость проданного с убытком товара -f- убыток = стоимости проданного с прибылью товара — прибыль; обе части уравнения выражают одну и ту же величину, т. е. себестоимость товара. Обозначив через х полученный убыток и через Ъх полученную прибыль, учащиеся заполняют записанное словесное уравнение: 420 -f- х = 570 — Ъх. Определив, что убыток составил 25 руб., учащиеся находят себестоимость товара (420 + 25 = 445 руб.).

Кроме ряда предшествующих задач, которые могут быть решены вторым способом, материалом для данной группы могут служить следующие задачи: из задачника Шапошникова и Вальцова, ч. I: № 386, 387, 478, 420, 429, 456 и подобные им; из задачника Ларичева, ч. I, гл. VII: № 103—105, 109—111, 120, 124, 125, 132, 153, 160 и подобные им; из задачника Полозовой № 1876, 1877, 1903—1905, 2006, 2023 и подобные.

Этими четырьмя группами задач исчерпываются все возможные задачи, так как каждая задача может быть отнесена к одной из указанных четырех групп, определяемых тем, что в уравнении надо получить сумму, разность, отношение или равенство величин. Составляя словесное уравнение, учащийся выделяет основное действие, посредством которого выражает ту или другую величину.

После того, как учащиеся овладели процессом составления уравнения на материале приведенных групп задач, следует уделить время на решение задач, в которых основная трудность состоит в математическом выражении отдельных „звеньев“ левой или правой частей уравнения. К таким задачам могут, например, относиться те, которые приводят к составлению уравнения вида:

таковы задачи: из задачника Шапошникова и Вальцова, ч. I: № 419, 436; из задачника Ларичева, ч. I, гл. VII: № 212, 218, 227.

Как видно из практикуемых мною методических приемов, я стремлюсь привить учащимся ту последовательность мыслительных процессов, которая соответствует I типу их, рассмотренному в данной работе. Эта последовательность, как отмечено было выше, предупреждает учащегося от возможных ошибок при составлении уравнения. При решении 1-й из указанных групп задач учащийся не встречает затруднения при составлении уравнения; благодаря этому в дальнейшем у него устанавливается навык в подходе к задаче, умение схватить основную мысль и дальше перейти к алгебраическому выражению ее. Анализ облегчается тем, что он разбивается на несколько этапов. Логическое мышление учащегося постепенно развивается и совершенствуется.

И. И. СМИРНОВ

учитель 188-й средней школы, Москва

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ С БУКВЕННЫМИ ДАННЫМИ

В школьном курсе тема „Исследование уравнений“ ограничивается рассмотрением видов решений уравнений (положительное, отрицательное, нулевое, неопределенное, случай отсутствия решения), условий, при которых они получаются, пригодности решений уравнения в качестве ответа на вопрос задачи; изучение этой темы дает основу для решения задач с буквенными данными (параметрами).

При исследовании уравнения, составленного по условию задачи, в общем случае приходится устанавливать:

а) область допустимых значений параметров и те соотношения между ними, при которых задача имеет решение;

б) область допустимых значений неизвестного или неизвестных;

в) возможные виды полученного решения уравнения в соответствии с установленными значениями параметров: положительное, отрицательное, нулевое решение, отсутствие решения, бесчисленное множество решений;

г) решения уравнения или системы уравнений, которые могут рассматриваться как ответ на вопрос задачи.

Этот круг вопросов исследования представляет для учащихся значительные трудности; содействовать преодолению этих трудностей и ставит своей задачей настоящее изложение опыта работы по этой теме, начатое в 1940 г., когда был опубликован первый опыт („Математика в школе“, 1940, № 1).

I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ

В начале работы большим затруднением для учащихся является установление по условиям задачи области допустимых значений параметров и неизвестного. Поэтому целесообразно ввести предварительные упражнения, материал для которых может быть взят из различных разделов математики и с которыми впервые следует знакомить учащихся при изучений этих разделов. Приводим примеры таких упражнений.

В области каких вещественных чисел верны следующие равенства:

При каких вещественных значениях параметров нижеследующие уравнения имеют решения?

При каких вещественных значениях параметров нижеследующие уравнения не имеют решений?

Приводим несколько мотивированных ответов.

№ 4. — 1 < л ^ 1, так как абсолютное значение синуса угла не может превышать 1.

№ 5. X — любое число, отличное от 0, так как при лг = 0 левая часть равенства не имеет числового смысла.

№ 19. а = — 3, а = 5, a также а = 2, так как при а = 2 правая часть уравнения теряет числовой смысл.

К правильному и исчерпывающе мотивированному решению и должны сводиться предварительные упражнения.

Приводим ответы к остальным упражнениям.

1. X — любое число.

2. х>0.

3. х^>0у но хф 1.

6. л: — натуральное число, большее, чем 3.

7. а — любое число, отличное от—1.

8. 0<а< 1.

9. а — любое число.

10. а>0, но а ф 1.

11. а—любое число, отличное от числа 2.

12. а — любое неотрицательное число.

13. а-=п(п—1) (п — 2), где п — натуральное число, не меньшее, чем 3.

14. а — любое число, отличное от чисел 0 и± 1 •

15. —2<а<2.

16. т = 0.

17. а = 2.

18. а = — 3, а = 2. 20. а = —3, а=—

II. УПРАЖНЕНИЯ НА НЕРАВЕНСТВА

При работе по теме „Неравенства“, входящей в программу X класса, следует иметь в виду ее приложение к исследованию уравнений. В частности, в разделе о неравенствах учащиеся пользуются понятием о числовой области: неравенство решается только в определенной области вещественных чисел; это решение состоит в разыскании границ числового промежутка, содержащего все те и только те числа, которые удовлетворяют неравенству.

При исследовании уравнений часто приходится выполнять доказательство неравенств или устанавливать соотношения между параметрами, при которых выполняется данное неравенство.

Следует заметить, что существуют различные методы доказательства неравенств (см. Г. Л. Невяжский, „Неравенства“, Учпедгиз, 1947); в ограниченное учебное время учащиеся должны овладеть теми из них, которые являются наиболее общими.

В последующем изложении неравенство, справедливость которого в данной числовой области требуется доказать, последовательно заменяется другими, ему эквивалентными*, и в конце концов приводится к очевидному неравенству, из справедливости которого следует, что будет верно и исходное неравенство.

Употребление этого приема не исключает ознакомления учащихся с другими приемами доказательства, особенно в тех случаях, когда их можно дать на одном примере, как в упражнении 2°, см. ниже.

Приводим примеры упражнений на неравенства.

1°. При каких положительных значениях букв т и п неравенство ~^г~{~~^^>т^_п будет верно?

Решение.

Квадрат любого вещественного числа, отличного от нуля, есть положительное число. Поэтому последнее неравенство имеет место при тфп\ исходное неравенство, как эквивалентное ему, будет выполняться при тех же условиях.

Ответ. Неравенство верно при любых неравных положительных значениях букв m и п.

2°. Доказать, что сумма квадратов двух положительных чисел больше их произведения.

Доказательство можно провести разными способами.

1) Пусть а>0, *>0.

Если верно неравенство

a2 + é2>a£,

то верно и следующее:

а2 + *2 — 2а6> — ab,

или

_ (а — Ь) 2> — ab.

* Два неравенства называются эквивалентными, если не только второе неравенство есть следствие первого, но и первое есть следствие второго, т. е. если оба неравенства имеют место при одних и тех же значениях входящих в них букв. Ред.

Справедливость полученного неравенства очевидна, так как, если а^>0 и Ь^>0, то (а — Ь)2^0, тогда как — ab <^ 0; исходное неравенство эквивалентно последнему и будет также верным при а^> 0 и 0.

2) При а^> 0, 0 последовательно находим:

что и требовалось доказать.

3) Чтобы доказать, что a2-{-b2^>ab, достаточно доказать, что a2-\-b2 — ab^>0.

В левой части неравенства имеем квадратный трехчлен; исследуя его как квадратную функцию от переменной а при b > 0, получим, что при любом вещественном значении переменной а трехчлен будет иметь положительное значение (дискриминант — ЗЬ2 есть число отрицательное); тот же результат получим, рассматривая трехчлен, как функцию от переменной b при а^>0.

4) Будем рассматривать числа а и b как длины сторон прямоугольника. На черт. 1 а^> Ь, но аналогичные рассуждения можно применять и в случаях а^Ь.

Сравним сумму площадей двух квадратов — со стороной а и стороной равную аг-\-Ьг, с площадью прямоугольника со сторонами а и Ь, равною ab. Так как площадь одного квадрата со стороной а будет больше площади прямоугольника, то и подавно сумма площадей двух квадратов будет больше площади прямоугольника, т. е.

а* + ь*>аЪ

при любых положительных значениях а и Ь*.

Черт. 1

* Проще всего, не нарушая общности доказательства, принять а^Ь\ тогда из очевидных неравенств a2-f-£2>a2 и a2^ab вытекает, что а2 -{- b2 > ab. Ред.

3°. Доказать, что при т^>0, л>0, £>0 имеет место неравенство:

Последовательно получаем:

Знак разности в правой части неравенства (2) неизвестен; поэтому рассматриваем три возможные ее значения.

1. m—л <С 0. Неравенство верно, так как положительное число У (т — 2k — nf -f- 4mk больше отрицательного числа.

2. m — п = 0. Справедливость неравенства очевидна.

3. m — п^>0.

Тогда

откуда, перенося первый член левой части направо и раскрывая скобки, легко приходим к очевидному неравенству.

Таким образом, неравенство (2) верно при любом значении разности m — п; исходное неравенство (1), как эквивалентное ему, также будет верно.

4°. Стоимость насоса равна а рублям, а стоимость капитального ремонта eFO — г рублям. Установлено, что насос может работать без ремонта п лет, а с ремонтом m лет. При каких соотношениях между а, г, тип затрата на ремонт оправдывает себя?

Решение. Стоимость употребления насоса в течение одного года без ремонта равна — рублям, а с ремонтом

îàzL рублям. Ремонт будет оправдывать себя в том случае, если стоимость употребления насоса в течение од-

* Так как m — я>0, то это неравенство эквивалентно неравенству (2).

ного года при ремонте будет не больше стоимости употребления его без ремонта, т. е. если будет иметь место неравенство:

оно может быть последовательно заменено неравенствами

Ответ. Ремонт будет оправдывать себя, если его стоимость будет не больше произведения стоимости годового употребления насоса без ремонта на дополнительное число лет употребления его в случае ремонта.

II. УПРАЖНЕНИЯ НА ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С БУКВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Упражнения на исследование таких уравнений при заданной области допустимых значений неизвестного являются подготовительными к исследованию решений задач с буквенными (параметрическими) данными. Примеры упражнений на уравнения первой степени с одним неизвестным и на системы уравнений первой степени с двумя неизвестными имеются в задачнике Шапошникова и Вальцова. Однако решение таких примеров не разработано, на что указывает наличие неточных ответов в задачниках. Приводим решение упражнения № 6 (ч. II, гл. XXIII) по Шапошникову и Вальцову:

1°. Определить, при каких значениях параметра а уравнение

имеет отрицательные решения.

* Речь идет уже не о доказательстве неравенства, а о разыскании того соотношения между параметрами, при котором это неравенство имеет место, т. е., в сущности, о решении его по отношению к одному из параметров. Ред.

Решение. Налагаем на неизвестную х ограничения:

Ах— аФО, ах — 5^0*.

Последовательно находим:

3(ах — 5) = 2(4х — а); Зах—1Ь = 8х — 2а; (За — 8) х= 15 — 2а.

При За—8=^=0, аф2^

__15-2д

* — за-8е

Исследование. Найденное решение является посторонним для данного уравнения при значениях параметра а, удовлетворяющих равенствам 4х — а=0 и

CL 5

ах — 5 = 0, т. е. при х = -^ или х = —.

Соответствующие значения параметра а находим, решая уравнение

15 — 2а_а_

За — 8 4 4

60 — 8а = За2 — 8а; а2 = 20; а = ± 2 V 5.

Действительно, легко убедиться, что при а — — 2УЪ знаменатель 4х — а дроби в исходном уравнении после подстановки найденного значения х обращается в нуль и уравнение теряет смысл; то же будет при a = 2V5. Те же значения а = ±2 V 5 мы найдем и при х = -^ . Итак,

принимаем, что аф2 Уъ, аф — 2]/1э, аф^.

Дробь зд~3_2з будет отрицательной (л; < 0), если числитель и знаменатель дроби имеют разные знаки; отсюда получаем две системы неравенств:

m I 15-2а>0, ,оч / 15-2а<0, i1) \ за—8 <0 и w ^ За— 8>0.

Система (1) дает а<22/8; система (2) —а>7,5.

Ответ: 1) а>7,5 и 2) а<22/8, но не а=—2/5.

* Т. е. мы заранее оговариваем, что, если для неизвестной х будут найдены значения, не подчиняющиеся требованиям Ах—а^0 и ах — 5 Ф 0, то эти значения необходимо будет отбросить. Ред.

В задачнике Шапошникова и Вальцова приводится ответ: а<22/8, или а^>7,5. Неточность ответа — результат отсутствия той части исследования, которая состоит в нахождении недопустимых значений параметра. Такие неточности встречаются в ответах и к другим упражнениям в задачнике Шапошникова и Вальцова, а также в „Дополнительном сборнике“, изданном под редакцией проф. Гребенча (гл. XXIII, № 6).

При упражнениях на исследование системы уравнений первой степени с двумя неизвестными удобно пользоваться общим видом выводных уравнений.

Решая систему

получаем систему выводных уравнений:

Подставляя в нее вместо параметров я, а', Ь, Ъ\ с, с значения, которые они имеют в заданной системе, будем иметь систему выводных уравнений, что сократит работу ученика. Можно указать прием, позволяющий быстро воспроизвести общий вид выводных уравнений.

Коэффициенты при х и у (они одинаковы) составляются так:

1) пишем перестановки ab и Ьа;

2) берем их разность ab — Ьа;

3) ставим знак ' у вторых сомножителей: ab' — a'b; свободные члены получаем заменой в разности ab' — a'b коэффициентов определяемого неизвестного соответствующими свободными членами*.

* Система выводных уравнений вообще неравносильна данной системе.

В основу исследования надо положить следующее:

1) если ab' — a'b Ф О, то единственное решение выводной системы есть вместе с тем единственное решение данной системы;

2) если ab' — a'b = 0, но cb' — с'Ь^О или ас' — а'с Ф 0, то обе системы не имеют решений;

3) если ab' — a'b— 0, cb' = c'b — 0, ас' — а'с = 0, но один, по крайней мере, из коэффициентов данной системы отличен от нуля, то данная система сводится к одному из ее уравнений и имеет поэтому бесконечное множество зависящих одно от другого значений неизвестных. Ред.

Приводим примеры упражнений.

2°. Определить значения параметра а, при которых система

имеет отрицательные решения.

Решение. Находим систему выводных уравнений:

При 3-f-2афО, т. е. аф —1,5, получаем:

Дробь, выражающая значение неизвестного х, будет отрицательной, если ее знаменатель будет отрицательным числом:

2а + 3<0. (1)

Следовательно, дробь, выражающая значение неизвестного у> может быть отрицательной только при положительном значении числителя:

24 — 5а >0. (2)

Решая систему неравенств (1) и (2), находим, что а<—1,5.

3°. Определить значения параметра а, при которых система

имеет решение, нулевое относительно х и превышающее число — 3 относительно у.

Решение. Находим систему выводных уравнений:

При а ф.— ^имеем:

Исследование. Согласно требованию:

Дробь будет положительной, если числитель и знаменатель дроби будут иметь одинаковые знаки; получаем две системы неравенств:

Из системы (1): а^> — Vj9f из системы (2): а< — 28/ö. Мы пришли к двум выводам:

1) а— — 0,4 и а^> — I1/,, откуда а — — 0,4;

2) а — — 0,4 и а<^ — 28/9, что невозможно.

Ответ: а = — 0,4.

4°. При каких значениях параметра m система

не имеет решения?

Решение. Находим систему выводных уравнений:

(4 + Зт)х = 6-]-Ът; (4 + 3m)j/=l.

Система не будет иметь решения, если 4-\-Зт = 0, т. е. при т — — 1г1щш Ответ: т = —Р/з-

IV. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Прежде всего укажем положения, на основе которых должно проводиться исследование уравнения, составленного по условию задачи.

Основными из них являются следующие.

1. Решить задачу—значит дать ответ на вопрос задачи в точном соответствии с формулировкой ее условия; исследование найденных значений неизвестных является составной частью решения задачи.

2. Данные величины, обозначенные буквами (параметры), рассматриваются как ненаправленные, так что

областью допустимых значений параметров является область положительных чисел.

Поясним положения 1-е и 2-е на примере.

В приводимом ниже решении задачи 3° (стр. 186) условие „в каждый час в первый резервуар вливается по m ведер, а во второй пег п ведер“ обозначает, что /и)>0 и л>0; другие допущения не рассматриваются; допущение m ^> 0, п<^0 обозначало бы, что в первый резервуар вливается по m ведер, а из второго вытекает по п ведер.

3. Неизвестные величины могут рассматриваться как направленные, когда это возможно по смыслу задачи; областью допустимых значений неизвестной величины при этом будет область вещественных чисел.

Таким допущением отрицательному решению уравнения дается определенное толкование: его абсолютная величина дает ответ на вопрос, противоположный по смыслу поставленному в задаче. В отдельных случаях, как при определении температуры смеси, отрицательное решение дает прямой ответ на вопрос задачи (—3°С).

Примером может служить решение задачи 2° (стр. 184), в которой требуется ответить на вопрос: „Через сколько лет отец будет старше сына в k раз, если в данное время отцу а лет и сыну b лет?“ Решение начинается с допущения, что отец будет старше сына в k раз через х лет. Это допущение можно рассматривать как соглашение, по которому за начало отсчета времени принимается данный момент; время, отсчитываемое от этого момента вперед, считается положительным, а время, отсчитываемое от этого момента назад, — отрицательным. При таком соглашении нулевое или положительное значение х дает ответ на вопрос задачи; отрицательное же решение показывает, что при у < k поставленный в задаче вопрос не имеет ответа, так как заданное соотношение возрастов уже было в прошлом, и что задача будет иметь решение, если изменить вопрос на противоположный по смыслу: „Сколько лет тому назад отец был старше сына в k раз?“ Абсолютная величина отрицательного решения дает ответ на такой измененный вопрос.

4. Соотношения между параметрами и ограничения области допустимых значений параметров и искомой величины, определяющие возможность решения задачи, устанавливаются по смыслу задачи.

В качестве примера укажем на приводимые ниже (задача 2°, стр. 184) условия, при которых задача имеет смысл: 1) а ^> Ь, так как отец всегда старше сына; 2) k ^> 1, потому что k выражает отношение большего положительного числа (возраст отца) к меньшему (возраст сына); 3) — b (b лет тому назад не было еще сына, и при л:^—b задача не имеет решения*).

5. В процессе исследования найденного решения уравнения могут быть установлены дополнительные соотношения между параметрами, определяющие либо вид решения уравнения (задачи 2°, 3°), либо условия возможности решения задачи (3°, 4°, 5°).

На основе приведенных положений намечается такой план решения задачи на составление уравнения.

1. Составление и решение уравнения.

2. Исследование решения уравнения:

а) определение по условию задачи области допустимых значений параметров и соотношений между ними, при которых задача имеет решение;

б) определение области допустимых значений искомой величины, удовлетворяющих условию задачи;

в) установление возможных случаев решения уравнения и их смысла;

г) отбор решений уравнения, дающих определенный ответ на вопрос задачи.

А. Уравнение первой степени с одним неизвестным

1°. Переднее колесо повозки имеет в окружности а метров, заднее b метров. Как велик путь, на котором переднее колесо сделает одним оборотом больше заднего? (Шапошников, ч. И, гл. XXIII, № 20).

Решение. Пусть искомый путь будет х метров;

тогда заднее колесо сделает у оборотов, а переднее — оборотов, и мы составим уравнение:

При b—а ф 0 оно имеет решение

* См. ниже примечание редакции к решению задачи 2°, стр. 185.

Исследование. По смыслу задачи 0<а<Ь, так как окружность заднего колеса больше: на одинаковом расстоянии это колесо делает одним оборотом меньше; х^>а, потому что переднее колесо делает более одного оборота.

При а<^Ь разность b— а^>0, так что корень уравнения есть положительное число. Проверяем его по условию х^>а*:

ab v. Ь — а ^ 9

так как Ъ — а^>0, то ab^>ab— а2; 0>— а2.

Справедливость полученного неравенства очевидна; эквивалентное ему исходное неравенство будет верно, и корень уравнения удовлетворяет условию задачи.

Ответ. Искомый путь равен -^Га км.

2°. Отцу а лет, сыну Ъ лет. Через сколько лет отец будет в k раз старше сына? (Там же, № 18).

Решение. Допустим, что отец будет в k раз старше сына через х лет; в этот момент отцу будет (a -f- х) лет, a сыну (b -f- х) лет. Получаем уравнение:

a + x = k(b + x). (1)

При k—1=£0 оно имеет решение:

а — kb

Исследование. По смыслу задачи а^Ь^О (отец старше сына); 1, так как k выражает отношение большего положительного числа к меньшему; b -f- х ^> 0 (возраст сына выражается положительным числом).

* Тот факт, что X > а, непосредственно следует из уравнения

так как при х > 0, & >0 имеем — >1. В этом можно также убедиться, заметив, что г-= я-т-, где z-> I.

Замечание. Если бы учащийся не усмотрел этого неравенства непосредственно из уравнения, то он обязан был бы выполнить ту проверку, которая приведена автором в тексте. Это замечание относится ко всем аналогичным случаям, которые встретятся в дальнейшем тексте. Ред.

Положительное решение. Так как k — 1 > О, то числитель а — kb также должен иметь положительное значение: а — £ft]>0, у]>£.

Последнее соотношение у^>£ показывает, что отец будет старше сына по прошествии нескольких лет, если отношение возрастов в данное время больше А: от прибавления к числителю и знаменателю неправильной дроби равных чисел дробь уменьшается.

Нулевое решение. Так как кф\, то х = 0 при а — kb = 0, т. е. при y = ^J это значит, что требуемое соотношение имеется в данный момент.

Отрицательное решение*. При k —0решение будет отрицательным при условии а — kb<^0, т. е. при условии j <[ k.

Следовательно, отрицательное решение получается в том случае, если отношение возрастов в данное время меньше заданного и, следовательно, требуемое соотношение уже было ранее: при вычитании из числителя и знаменателя неправильной дроби равных чисел дробь увеличивается.

Проверяем отрицательное решение по условию Ь + хуО.

так как k—1^>0, то kb — b-\-a— kb^>0; а — b^>0.

* Приведенная в тексте форма исследования, которую автор рекомендует в качестве образца, вызывает возражение. Дело в том, что уравнение было составлено в точном соответствии с условием задачи („отец будет старше сына“). Поэтому мы не имеем права при исследовании безоговорочно исходить из решения этого уравнения, составленного для случая „будет“. Для того, чтобы мы приобрели право отнести это решение и к случаю „был“, мы до'лжны, составив уравнение

а — x = k(b — х), (2)

соответствующее случаю „был“, предварительно убедиться в том, что это уравнение получается из уравнения (1), соответствующего случаю „будет“, путем замены в последнем неизвестной х на —х\ наличие этого факта свидетельствует о том, что, трактуя величину х как направленную, мы можем ограничиться уравнением (1), имея в виду, что его решение есть теперь значение направленной величины, которую мы можем понимать в двух противоположных смыслах. Ред.

Справедливость неравенства очевидна.

Ответ.

1. При у > k отец будет старше сына в k раз через a — kb т=т лет-

2. При -j=k отец в данное время в k раз старше сына.

3. При у <^k отец был старше сына в k раз у£у лет назад.

Замечание. Исследование условий, при которых уравнение не имеет решения или имеет бесчисленное множество решений, отпадает в силу условия k > 1.

Зэ. В одном резервуаре а ведер, а в другом b ведер воды. В каждый час в первый резервуар прибавляется по m ведер, а во второй по п ведер. Через сколько часов количество ведер воды в обоих резервуарах сравняется? (Там же, № 17).

Решение. Допустим, что количества воды в обоих резервуарах сравняются через х часов. Тогда в первом резервуаре будет (а-\-тх) ведер, а во втором (Ь-{-пх) ведер воды. Получаем уравнение:

a -f- тх = Ь-\-пх

и приводим его к виду:

(т — п)х = Ь — а. (1)

При m—п 0 находим

Исследование. По смыслу задачи а^>0, Ь^>0 m^>0, /г>0; кроме того, или х^> — часов тому — часов назад не было воды во втором бассейне J; или

* Два последние условия можно представить в более простой форме: а-{-тх>0, £-f-/uc>0, что соответствует смыслу величин а-\-тх, b-j-nx. Ред.

Положительное решение возможно в двух случаях:

1) Ь — я>0 и m — /г>0.

Отсюда Ь^>а и т^>п9 т. е. в данное время во втором резервуаре воды больше и поступает в него за каждый час меньше, почему количество воды в резервуарах может сравняться по прошествии нескольких часов.

2) Ъ — я<0 и т — /г<0.

Теперь Ь<[ а и т<^п: в данное время во втором резервуаре воды меньше, а за каждый час в него поступает больше, и опять количество воды в обоих резервуарах может сравняться в будущем.

Нулевое решение имеет место при условии:

m — п=£0, Ь — а = 0.

Если тфп и Ь = а, т. е. если за каждый час в резервуары, содержащие равное количество воды, поступает разное количество воды, то равное количество воды может быть только в данный момент.

Отрицательное решение возможно в двух случаях*:

1) Ь — я>0 и /гс —л<0.

Тогда Ь^>а и т<^п, т. е. при меньшем количестве воды в первом резервуаре в данный момент и при меньшем поступлении в него воды за каждый час равное количество воды в обоих резервуарах могло быть только раньше.

Так как в данное время во втором резервуаре воды больше и за каждый час в него поступает большее количество воды, то равное количество воды в обоих резервуарах могло быть в какой-либо предшествующий момент лишь в том случае, если наполнение второго резервуара начинается позднее: отсюда —<^— или — — ——.

Проверяем решение по условию —— :

* См. подстрочное примечание редакции на стр. 185.

так как

откуда

Последнее неравенство выражает соотношение между параметрами, при котором момент выравнивания количества воды в резервуарах мог наступить; отрицательное решение уравнения (при b— а^>0 и т— /г<0) дает решение задачи.

2) Ь — а<0 и т — пуО.

Теперь имеем: &<[а и т^>п; это значит, что в данное время воды больше в первом резервуаре и за каждый час поступает в него воды больше, чем во второй; поэтому опять равное количество воды могло быть в обоих резервуарах только раньше данного момента.

При Ь<^а и т^> п момент выравнивания количества воды в резервуарах мог наступить при

Проверяем решение по условию

так как

Последнее неравенство выражает соотношение между параметрами, при котором отрицательное решение уравнения (Ь — а<^0 и т — п^О) удовлетворяет решению задачи**.

* Тот же вывод можно получить, разыскивая условия, при которых выполняются требования а-\-тх>0, Ь-{-пх>0. Именно:

так как

вывод тот же. Ред.

Бесчисленное множество решений. Если m — п = 0 и b — а = 0, т. е. т = п и Ь=а, то оно будет удовлетворяться любым значением х. Соотношение т — п выражает, что в каждый резервуар за час прибывает равное количество воды; соотношение Ь = а указывает, что в резервуарах в данный момент имеется одинаковое количество воды. Очевидно, что при этих условиях равное количество воды в резервуарах будет в любой момент.

Уравнение не имеет решения. При m — п = О и Ь — а Ф О уравнение не имеет решения. Соотношения т — п и Ьф а выражают условия, при которых выравнивание количества воды в резервуарах не может наступить.

Ответ.

1. При Ь^>а и т^>п и при Ь<^а и т<^п равное количество воды в резервуарах будет через •^_а час.

2. При Ь = а ътфп равное количество воды в резервуарах имеется в данный момент.

3. При *>а, т<^п и ^<^- и при Ь<^а, т^> п и -Jj- > -JJJ- равное количество воды в резервуарах было час. назад.

Два куска латуни весят а кг. В первом куске чистой меди содержится /?°/0, во втором д°10; при этом в первом куске чистой меди на b кг больше, чем во втором. Сколько весит каждый кусок латуни?

Решение. Предположим, что первый кусок весил X кг; тогда второй весил (а —х) кг. В первом куске чистой меди будет -щ кг, во вторОхм/^ кг. По условию в первом куске на b кг чистой меди больше, что и выражаем уравнением:

Оно имеет решение:

Исследование. По смыслу задачи:

Уравнение имеет положительное решение. Проверяем его по условию х<^а:

Полученное неравенство указывает условие, при котором задача имеет решение: разность содержания чистой меди в двух кусках должна быть меньше ее содержания в первом куске и, подавно, меньше содержания чистой меди в обоих кусках при том же числе (р) процентов.

Проверяем решение по условию х^>Ь:

Полученное неравенство верно, так как а^> b и р < 100 (латунь). Решение удовлетворяет условию х^>Ь*.

Ответ.

При b< первый кусок весит ад^™и кг, второй —— кг. г р+я

5°. Найти условия, при которых в треугольник с основанием а и высотой h можно вписать прямоугольник, периметр которого равен 2р, так, чтобы две вершины прямоугольника лежали на основании треугольника, а две другие — на его боковых сторонах.

Решение. Допустим (черт. 2), что АС=а, BD=h, MK+MN=p. Чтобы вписать прямоугольник, достаточно, как видно из чертежа, определить его сторону МК\ тогда, отложив на высоте треугольника от его основания отрезок, равный МК, и проведя прямую, параллельную

Черт. 2

* Впрочем, при 0 < л: < а и /? < 100 неравенство х > b вытекает из уравнения, таккак J~L^>£, Ред.

основанию до пересечения с боковыми сторонами треугольника, получим вершины прямоугольника, лежащие на боковых сторонах треугольника; далее, опустив перпендикуляры из полученных вершин на основание, будем иметь требуемый прямоугольник.

Обозначим длину стороны МК через х; тогда длина стороны MN будет р — х.

Из подобия Д ABC и Д MBN имеем:

Отсюда:

При h — афЪ

Исследование.

1) По смыслу задачи или 0<^х<Ср.

Получаем:

Оба неравенства одновременно выполняются при соотношениях:

(1)

(2)

Проверка по условию x<^h:

(3)

Справедливость полученного неравенства следует из каждого из соотношений (1) и (2).

Проверка по условию х<^р:

Полученное неравенство выполняется при каждом из соотношений (I) и (2).

Следовательно, и неравенства (3) и (4), эквивалентные полученным, выполняются при каждом из соотношений (1) и (2); поэтому эти соотношения и определяют условия, при которых прямоугольник может быть вписан в треугольник.

2) Пусть теперь h — a = 0.

При h — а —0 и р — афО задача не имеет решения, при р — а = О уравнение удовлетворяется любым значением л. Имеем: h—p = a.

Ответ. При каждом из условий h <^р <(аиа <^р <С h можно вписать только один прямоугольник.

При h=p = a можно вписать бесчисленное множество прямоугольников.

В заключение приводим ряд задач на составление, решение и исследование решения уравнения первой степени с одним неизвестным*. Мы полагаем, что было бы целесообразно предварительно на ряде этих задач, не решая их, провести устные упражнения на установление областей допустимых значений параметров и неизвестных.

21. За несколько метров сукна заплачено а рублей; если бы купили сукна на b м более, то нужно было бы заплатить с рублей. Сколько метров куплено?

Ответ: -м.

22. Два автомобиля выезжают одновременно из двух городов А и В и едут по одному направлению от города А к городу В и далее. Первый проезжает в час а км, второй b км. Расстояние AB равно d км.

* Задачи 21, 22, 24, 25, 26, 28 взяты из сборника Шапошникова и Вальцова, ч. I, гл. VI.

Когда и на каком расстоянии от А первый автомобиль догонит второй?

Ответ: через-г час.-г км.

23. Два тела движутся по окружности. Если они движутся в одном направлении, то встречаются через каждые а сек., если же движутся навстречу друг другу, то встречаются через каждые Ь сек. За сколько секунд каждое тело пробегает окружность?

Ответ: —j—г-сек.;-г сек.

24. Переднее колесо экипажа имеет окружность a My окружность заднего Ь м. Какое расстояние должен проехать экипаж, чтобы переднее колесо сделало на п оборотов больше заднего?

Ответ: -т- м.

25. Из двух сортов товара ценою в а рублей и в b рублей за килограмм составлено d кг смеси. При продаже этой смеси по m рублей за килограмм получено s рублей убытка. Сколько килограммов того и другого сорта пошло на составление смеси?

Ответ: 1 a__b кг; - [ a__/b- кг (при а^>Ь).

26. В бак, вмещающий m ведер, проведены два насоса. Первый вливает в бак а ведер в час. Второй выливает весь бак в b час. Во сколько часов наполнится бак при одновременном действии обоих насосов?

Ответ: —г- час.

27. Сосуд наполнен водным раствором спирта, содержащим р °/0 чистого спирта. Такой смеси отлили а л и сосуд дополнили чистой водой. Получившаяся новая смесь содержала q °/0 чистого спирта. Определить емкость сосуда.

Ответ: ар л. Р — Я

28. Два тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находящихся на расстоянии d м. Первое движется со скоростью V м\сек. С какой скоростью должно

двигаться второе тело, если оно вышло на h сек. позднее первого и должно идти до встречи п сек.?

Ответ: -1 1 7 м сек.

29. Если из раствора соды отлить а л, то оставшаяся часть будет содержать в растворе р г соды, если же отлить b л, то в оставшемся растворе окажется q г соды. Сколько соды содержится во всем растворе?

Ответ: г (при а^>Ь ид^>р или при а<^Ь и q<p).

30. Два автомобиля движутся по направлению от пункта А к пункту В, причем скорость первого а км\час, скорость второго b км\час. Первый в некоторый момент проехал через пункт А, а второй на m час. позднее через пункт В, отстоящий от А на d км. На каком расстоянии и в какую сторону от пункта В один из автомобилей нагонит другой? Истолковать возможные решения.

Ответ: I. На расстоянии а__ь км за пунктом В при а]> b и am или при а<^Ь и d <^ат.

2. За -~~а^ км до пункта В при а^>Ьи d<^am или при а<^Ь и d^>am.

3. В пункте В при d = am и а~/=Ь.

4. При афат и а = Ь ни один автомобиль не нагонит другого (задача не имеет решения).

5. При d = am и а = Ь оба автомобиля постоянно будут ехать рядом (бесконечное множество решений).

Б. Система уравнений первой степени с двумя неизвестными

Исследование решения системы уравнений первой степени, составленной по условию задачи, не вносит ничего принципиально нового. Поэтому ограничимся рассмотрением решения одной задачи.

Задача. Два аэроплана летят в одном и том же направлении. Первый аэроплан, имеющий скорость V км!час, проходит пункт А на £час. раньше, чем второй, имеющий скорость vx км/час, проходит последующий

пункт В9 отстоящий от пункта A m m км. Когда и на каком расстоянии от пункта В встретятся аэропланы?

Решение. Обозначим время в часах, протекшее с момента пролета второго аэроплана над пунктом В, через х, а расстояние в километрах от пункта В до места встречи — через у. Первый аэроплан за (t-{-x) час. до момента встречи пройдет v (t-\-x) км; но, с другой стороны, это расстояние равно (м-\-у) км; ввиду этого получаем уравнение:

v (/ + х) = т+у. (1)

Второй аэроплан пройдет за х час. до момента встречи vxx KMy но это расстояние равно у км; ввиду этого имеем другое уравнение:

vxx=y.

Получаем систему уравнений*:

vx — у=т — vty v{x—у = 0. (1)

Составляем систему выводных уравнений:

(v — Vi) х = т — vt и (v — vï)y = v1 (m — vt). (2)

I. Определенное решение. При v — vx Ф О

Исследование. По смыслу задачи v^>0, vx^>0y m^>0y t^>0; если х^-0, у^09 то встреча произойдет в пункте В или далее за этим пунктом; если 0> х ^ — t, У<^0у то аэропланы встретятся над пунктом А или хмежду пунктами А и В; если х <^ — tt у <^ О, то встреча произойдет до пункта А.

1. Положительное решение, а) Условия:

v — Vi^>0y m — vt^>0.

* Здесь автор допускает ту же неполноту рассуждения, сущность которой выяснена в примечании на стр. 185. Именно, следовало составить еще две системы уравнений для случаев, когда точка встречи аэропланов расположена между точками А и В и влево от точки А и показать, что, если величины х и у рассматривать, как направленные, то составленная автором первая система охватывает и две другие системы. Ред.

В этом случае v > vu т. е. скорость первого аэроплана больше; vt<^m, т. е. за t часов первый аэроплан не покроет расстояния, от А до В и, следовательно, второй аэроплан будет над пунктом В раньше первого, который, идя с большей скоростью, нагонит второй аэроплан за пунктом В.

б) Условия:

v — t>i<0> m — vt<^0.

В этом случае v <^vu т. е. скорость второго аэроплана больше; vt^>m> т. е. за t часов первый аэроплан пролетает расстояние, большее, чем AB, и будет над В раньше второго, который, имея большую скорость, нагонит первый за пунктом В.

2. Отрицательное решение.

а) Условия:

В этом случае v <^vu т. е. скорость второго аэроплана больше; vt <^ ту т. е. первый аэроплан будет над пунктом В после второго, который ввиду его большей скорости может нагнать первый только перед пунктом В. При этом возможны три случая:

1) Встреча произойдет между пунктами А и В, если 0^> х^> — t, т. е. при условии:

v — ох ^

Так как v — vx <^ О, то m — vt<^ — vt-\- vxt; vxt^>m. Но при vxf^> m^>vt второй аэроплан за t часов покрывает расстояние, большее, чем AB, а первый — меньшее, чем AB; поэтому второй аэроплан появляется над А позднее первого, а над В раньше первого. Встреча может произойти только между А и В.

2) Встреча произойдет над пунктом Л, если

т. е. если vxt = m.

При m — vxt встреча, очевидно, произойдет над Л, где второй аэроплан нагонит первый и затем уйдет вперед (vt>v).

3) Встреча произойдет перед пунктом Л, если X <] — t, т. е. при условии

Так как v — ^ <0, то m — vty — vt + vxt; vxt<m. Но при vxt <^т второй аэроплан за t часов проходит расстояние, меньшее, чем AB; поэтому он появляется над А раньше первого и в дальнейшем уходит вперед (vx^>v); встреча может произойти только перед А.

б) Условия:

v — г>!>0, m — vt<lO.

В этом случае v^>vXy т. е. скорость первого аэроплана больше; vt^> m, т. е. первый аэроплан будет дальше пункта В в тот момент, когда над последним появится второй, и в дальнейшем при большей сксрости будет только удаляться от второго; встреча может произойти только перед пунктом В, где первый аэроплан нагонит второй.

При этом возможны три случая:

1) Встреча произойдет между пунктами А и В, если 0У> х*> — t, т. е. при условии:

Так как v— ^i^>0, то m — vt^>— vt-\-vxt\ vxt<^m. Но при vxt<^m<^ vt второй аэроплан проходит пункт А раньше первого, который нагонит второй между А и В и раньше пройдет над В.

2) Встреча произойдет над гунктом А, если

т. е. если vxt = m.

По предыдущему встреча произойдет над Л, где первый аэроплан нагонит второй и затем уйдет вперед (v^> vx).

3) Встреча произойдет перед гунктом Л, если х < — t, т. е. при условии

Так как v — vx ^> 0, то m — vt<^ — vt-\-vxt; vxt^> т. Но при vxt^> m над пунктом Л позднее проходит второй

аэроплан, и, следовательно, идущий при этом с большей скоростью первый аэроплан может обогнать второй только перед пунктом А.

3. Нулевое решение: х=у = 0.

Условия:

v — vx^=09 m — vt = 0.

В этом случае v=£vi9 т. е. скорости аэропланов различны; vt = m, т. е. первый аэроплан появится над пунктом В одновременно со вторым, в дальнейшем, как и раньше, не встречаясь, так как скорости аэропланов различны.

II. Отсутствие решения

Рассматривая выводные уравнения (v— vx)x = m —vt и (v—Vi)y = Vi(m — vf), находим, что при v — vl = 0 и m — vt-фО ни первое, ни второе уравнения не имеют решений, т. е. система не имеет решения.

В этом случае v= vv т. е. скорости аэропланов равны; vxt = vt^= т, т. е. как над пунктом А, так и над пунктом В аэропланы появятся в разное время; то же самое будет иметь место над любым другим пунктом пути (скорости равны); встречи не произойдет, задача не имеет решения.

III. Бесчисленное множество решений

При v — v{ = 0 и m — vt = 0 обращаемся к исходной системе уравнений (1); она сводится к одному уравнению vxx—у = 0; следовательно, в этом случае система имеет бесчисленное множество решений. В самом деле, v=vu т. е. скорости равны; m = vty ~~ =t> т. е. аэропланы одновременно будут над пунктом В и, при равных скоростях, над любым другим пунктом пути.

Ответ.

Первый аэроплан нагонит второй в v _ v км за через v — v час* после пролета второго аэроплана над В.

Второй аэроплан нагонит первый через -—— час. после пролета над В.

Встреча произойдет над В.

Второй аэроплан нагонит первый перед Виза | v__v^ час. перед пролетом над В.

Первый аэроплан нагонит второй между А и В перед В и за v_v^ час. перед пролетом второго аэроплана над В.

Второй аэроплан нагонит первый над пунктом А

Первый аэроплан нагонит второй над пунктом А 8. i>*.

Второй аэроплан нагонит первый перед А и за I v__v^ час. до пролета над В.

Первый аэроплан нагонит второй перед А до ß и за час. до пролета второго аэроплана над В.

При составлении системы уравнений можно было также исходить из допущения, что встреча произойдет через X часов после пролета первого аэроплана над пунктом А и в у километрах за пунктом В.

Для упражнений можно взять те из задач 21—30, в которых имеются две искомые величины.

В. Квадратное уравнение

В программу по алгебре для средней школы входит тема «Исследование корней квадратного уравнения по его дискриминанту и коэффициентам». Для этого исследования может служить следующая схема.

Так как в любом квадратном уравнении

ax2-]-bx-\-c = 0

коэффициент а при х2 может быть сделан положительным числом, то как здесь, так и в последующем изложении предполагается, что первый коэффициент а квадратного уравнения есть положительное число.

Схема исследования корней полного квадратного уравнения

Знак свободного члена

Знак дискриминанта

Знак коэффициента b

Вывод относительно корней уравнения

1. с>0

Ь2 — 4ас < 0

Ь>0

Корни уравнения — мнимые числа

Корни уравнения — равные отрицательные числа

Ь2 — Лас = 0

Ь<0 Ь>0

Корни уравнения—равные положительные числа

Корни уравнения — неравные вещественные числа, оба отрицательные

Ь2 — 4ас > 0

Ь<0

Корни уравнения — неравные вещественные числа, оба положительные

2. с < 0**

Ь>0 Ь<0

Корни уравнения — неравные вещественные числа с разными знаками; большее абсолютное значение имеет отрицательный корень

Корни уравнения — неравные вещественные числа с разными знаками; большее абсолютное значение имеет положительный корень

* Если Ь = 0, то неравенство Ь2 — 4ас < 0 есть следствие неравенства с > 0.

** Так как а > 0, с < 0, то — 4ас > 0 и Ь2 —4ас > 0; поэтому при * <0 дискриминанта можно не находить.

Кроме того, непосредственным решением неполных квадратных уравнений, или из рассмотрения общей формулы, устанавливается:

При Ь = 0:

Корни уравнения равны по абсолютному значению и противоположны по знаку. При с = 0:

Один корень уравнения равен нулю. При Ь = 0 и с = 0:

ах2 = 0; х1 = х2 = 0.

Оба корня уравнения равны нулю.

В задачнике Шапошникова почти отсутствуют упражнения на определение значений коэффициентов квадратного уравнения. Приводим примеры таких упражнений для закрепления теории.

1. При каких значениях буквы (параметра) п только один из корней нижеследующих уравнений равен нулю?

31. 2х2-\-ЗхА-4п — 8 = 0. Ответ: я = 2.

32. 2х2-\-(п — 3)х-\-п — 5 = 0. Ответ: п = 5:

33. х2 + {с — п)хЛ-п — £ = 0. Ответ: такого значения нет.

2. При каких значениях буквы m нижеследующие уравнения имеют корни, равные по абсолютному значению и противоположные по знаку?

34. X2 — тх 4- Зх — 5т = 0. Ответ: т = 3.

35. х2-\-(т + 2)х-\-т — 1 = 0. Ответ: т = — 2.

3. При каких значениях буквы п оба корня нижеследующих уравнений равны нулю?

36. х2 + 2Х + ПХ — 2 — л = 0.

Ответ: п = — 2.

Ответ: такого значения нет.

4. При каких значениях буквы /г нижеследующие уравнения имеют мнимые корни* ?

38. л2+1Си + л = 0. Ответ: п^> 25.

39. х2-\-2пх-f 4 = 0. Ответ: — 2</г<2.

40. х2 + (я — 4)jc — 2л/ 4- 13 = 0. Ответ: —6<^/г<^6.

5. При каких вещественных значениях буквы m нижеследующие уравнения имеют равные корни?

41. х2-\-(т — 2)х + т-\-1=0. Ответ: 1) т = 0; 2) л/? = 8.

42. ;с2 + (2/гс —\)х-\-т— 1=0. Ответ: таких значений нет.

43. m л2 -4- 2тх — х — 2 -J- m = 0.

Ответ: т=--Г.

6. При каких значениях буквы m нижеследующие уравнения имеют целые корни?

44. х2-\-4х-\-т = 0. Ответ: m = 4 — А2**.

45. Зх2 — 6х-\-2т = 0. Ответ: m=6k (1 — k).

46. л2 — Зх//2 = 0. Ответ: /га = £ (3 —А).

7. При каких значениях буквы л нижеследующие уравнения имеют целый положительный корень?

47. 2*1 + 10*—л = 0.

Ответ: n = 2k(k-\-b)y где или А <^ — 5.

48. 2х2-\-Ах + п = 0.

Ответ: n = — 2k(k-\-2\ где /г>0 или А < — 2.

* Или „не имеют корней“, если упражнение дается до ознакомления с мнимыми числами. Ред.

** В ответах на зад. 44— 48 буква k обозначает любое целое число.

Решение задач

Переходя теперь к вопросу об исследовании решений квадратных уравнений, составленных по условиям задач, отметим, что общей основой во всех случаях будет исследование по дискриминанту и коэффициентам. В отдельных случаях, когда это представляется возможным, можно идти по пути упрощения исследования; пути упрощения разнообразны, почему к исследованию может быть предъявлено одно требование: оно должно проводиться обоснованно, его выводы должны быть доказательны; наиболее простые варианты должны поощряться.

В приводимых ниже примерах решения задач даны возможные (не исчерпывающие) варианты исследования, причем для иллюстрации эти варианты разобраны при решении одной и той же задачи 1°, стр. 203—205.

В целях сокращения объема исследования в задачах с двумя искомыми величинами за неизвестную рациональнее принимать меньшую из них, когда это можно установить; тогда, определив значение меньшей искомой величины, удовлетворяющее решению задачи, не приходится исследовать значение второй, получаемое прибавлением положительного числа, если это значение по смыслу задачи должно выражаться положительным числом без ограничения области положительных чисел; в противном случае при вычитании необходимо было бы исследовать возможное значение полученной разности (см. задачу 1°).

Переходим к рассмотрению решений ряда задач.

I. Дискриминант — сумма*

1°. Два автомобиля выезжают одновременно из места Л в место В. Один из них проходит в час на m км больше, чем другой, и потому приходит в место В на п часов раньше другого. Расстояние между А я В равно р км. Сколько километров в час проходит каждый автомобиль? (Шапошников, ч. II, гл. XI, № 130).

* Автор различает случаи, когда дискриминант есть сумма положительных чисел, т. е. заведомо положительное число, и когда он есть разность положительных чисел, способная иметь положительное значение только при некотором условии. Ред.

Решение. Пусть автомобиль, движущийся с меньшей скоростью, проходит в час х км и весь путь за £ час; тогда второй автомобиль за один час проходит (х-\-т) км, а весь путь — за х^_т час. Так как автомобиль, движущийся с меньшей скоростью, на весь путь затрачивает на п час. больше, то составляем уравнение:

(1)

Исследование. По смыслу задачи /тг]>0, п^>0 р>0, х>0.

Дискриминант т2п2 -f- 4тпр — число положительное, как сумма положительных чисел; поэтому корни уравнения— вещественные и неравные числа*.

Свободный член—рт отрицателен; следовательно, корни уравнения — числа с разными знаками.

Возможны следующие варианты исследования:

а) Второй коэффициент тп — положительное число; поэтому сумма корней выражается отрицательным числом и положительный корень имеет меньшее абсолютное значение. При равных знаменателях абсолютно меньшим будет корень хи в числителе которого сумма чисел с противоположными знаками. Этот корень и выражается положительным числом. Он удовлетворяет и исходному уравне-

* Как правильно указывает автор в варианте „г“, из условий а > О и с < 0 уже следует, что оба корня уравнения ах2-\-Ьх+с—О вещественны, так что обращение к дискриминанту в данном случае ненужно. Ред.

Значения неизвестной ограничены условиями: х=£0 хф — т, так как при значениях х = 0 или х = — m члены уравнения теряют числовой смысл и уравнение не имеет решений.

Преобразовывая уравнение (1), получаем:

нию (1) (х^О, хф — т) и представляет собою решение задачи.

б) Второй корень х2 — число явно отрицательное, так как числитель дроби — отрицательное число, как сумма двух отрицательных чисел, а знаменатель — число положительное (2/г>0), почему вся дробь—отрицательное число. Тогда первый корень хх должен быть положительным числом, так как из двух корней, как это установлено по свободному члену, один — положительное число.

Этот вариант, как показывает опыт, наиболее легко воспринимается учащимися.

в) Положительный корень больше отрицательного, так как любое положительное число больше отрицательного. При равных знаменателях (2/г) числитель первого корня хх больше числителя второго х2, потому что в числителе первой дроби к числу — тп прибавляется положительное число Y т2п2 -f - 4/г/тг/?, а в числителе второй дроби из того же числа — тп вычитается то же положительное число V т2п2-\-\nuip и, следовательно, число — тп в первом случае увеличивается, во втором — уменьшается. Поскольку дробь, выражающая первый корень Х\$ больше, то этот корень и будет положительным числом.

г) Свободный член — рт уравнения есть число отрицательное, поэтому дискриминант будет положительным числом; один корень — положительное число, другой — отрицательное.

Второй корень х2 — число отрицательное, так как числитель дроби — отрицательное число, как сумма отрицательных чисел, а знаменатель дроби — положительное число. Поэтому положительным числом, будет первый корень хх*.

Ответ. Автомобиль, движущийся с меньшей скоростью, проходит в час - 2п - км* автомобиль, движущийся с большей скоростью, проходит в час

* Этот вариант, как самый простой, автор сам преимущественно применяет при решении дальнейших задач. Ред.

Примечание. Если бы через х мы обозначили расстояние, которое пройдет за. один час автомобиль, движущийся с большей скоростью, то, выделив исследованием потта/* А~ Ут2п* -4- 4тпр ложительныи корень -——-- для определения расстояния, проходимого за час автомобилем, движущимся с меньшей скоростью, пришлось бы дополнительно исследовать знак разности ——-- — я, что нерационально.

2°. Из города А в город В отправился турист. Расстояние AB равно d км. Через час после него из города А в город В отправился другой турист, скорость которого на b км/нас больше скорости первого. Второй турист, обогнав первого и дойдя до города В, возвращается обратно в Л и приходит туда в тот момент, когда первый турист приходит в город В. Определить скорость первого туриста.

Решение. Первый турист шел со скоростью х км/час и прошел расстояние d км за — час. Второй турист двигался со скоростью (х-\-Ь) км/час и прошел расстояние от А до В и обратно за ^^_ь час. По условию задачи второй турист затратил на прохождение своего пути на час меньше первого. На этом основании можно написать уравнение:

(1)

Значения неизвестного ограничены условиями: хф§> хф — b, так как при х = 0 или х = — b члены уравнения теряют числовой смысл.

Решаем уравнение:

(2)

Исследование решения уравнения. По смыслу задачи, b, d, х— числа положительные; кроме того, x<^d, так как d — весь путь, а х — часть пути, которую первый турист прошел за 1 час.

Свободный член — bd есть число отрицательное; поэтому дискриминант уравнения—положительное число и корни уравнения — вещественные числа с разными знаками, т. е. один корень — число положительное, другой — число отрицательное.

Отрицательным числом является второй корень, так как числитель его — число отрицательное, а знаменатель— число положительное. Если второй корень — число отрицательное, то, следовательно, первый корень — число положительное.

Этот корень удовлетворяет наложенным условиям xl=jé=0 и х1^— Ь. Второй корень непригоден для ответа на вопрос задачи, потому что скорость по смыслу данной задачи не может иметь отрицательного значения.

Проверим корень хг по условию x<^d*:

Поступая, как в примере 3°, стр. 176, случай 3, легко убеждаемся, что неравенство верно.

Корень Х\ удовлетворяет требованию 0<^x<^d. Ответ. Первый турист шел со скоростью

3°. Колонна войск протяжением в d км движется по шоссе походным маршем со скоростью v км/час. Конный вестовой выезжает из конца колонны в ее начало, передает приказание и тотчас же отправляется обратно в конец колонны. На проезд туда и обратно вестовой затратил t минут. Определить скорость вестового, если она на всем протяжении была одинакова.

* Что д:<^ при X > 0, вытекает непосредственно из уравнения (1). Ред.

Решение. Пусть скорость конного вестового равна X км в час. Двигаясь к голове колонны, вестовой за каждый час приближается к ней на (л: — v) км, а двигаясь обратно по направлению к концу колонны, он за каждый час приближается к нему на \x-\-v) км. При этом на путь к началу колонны вестовой затратил часов, а на путь в обратном направлении j^^j часов. Принимая во внимание, что весь путь, вестовой про-ходит за t минут, т. е. за ^ часов, составляем уравнение:

(1)

Неизвестное не может принимать значений х = v или х = — v, при которых члены уравнения теряют числовой смысл.

Решаем уравнение:

(2)

Исследование. По смыслу задачи d, t, v, х — по ложительные числа; кроме того, x^>v, так как в противном случае вестовой не мог бы добраться до начала ко лонны.

Свободный член — tv2 есть число отрицательное. Отсюда следует, что корни уравнения — вещественные числа с разными знаками.

Корень л;]—явно положительное число. Поэтому второй корень — отрицательное число; он не удовлетворяет требованию х^>0.

Проверим положительный корень по условию: х >t>*:

(3)

(4)

Рассмотрим три случая:

1) Если tv— 6(И<^0, то неравенство верно, так как положительное число больше отрицательного.

2) Если tv— 60д?=0, то неравенство также будет верно: положительное число больше нуля.

3) Если tv— 60д? > 0, то возвышаем в квадрат обе части неравенства, после чего легко приходим к очевидному неравенству.

Итак, неравенство (4) верно при любых допустимых значениях букв t, v, d; следовательно, эквивалентное ему исходное неравенство (3) также верно; положительный корень удовлетворяет всем требованиям (х Ф v, x^v)

Ответ. Скорость конного вестового равна

4°. На уборке всего урожая два комбайна работали вместе а дней, и, кроме того, один первый работал еще b дней. За сколько дней каждым комбайном в отдельности можно было убрать весь урожай, если одним вторым всю уборку можно провести на с дней скорее, чем одним первым?

Решение. Допустим, что одним вторым комбайном весь урожай можно убрать за х дней. Тогда одним первым весь урожай можно убрать за (х-\-с) дней. За один день первым комбайном убирается всего урожая, одним вторым — урожая. За а дней вторым комбайном было выполнено —• всей работы, а за {а-\-Ь) дней пер-

* Неравенство х > v можно вывести при х > 0 непосредственно из уравнения ^ _ ^ ^ ^ = щ , которое получится из уравнения (1) после выполнения в его левой части сложения. Ред.

вым сделано всей работы по уборке урожая; вместе же они при этих условиях выполнили всю работу по уборке урожая, принятую нами за единицу. Отсюда имеем уравнение:

(1)

Значения неизвестной ограничены условиями хфО, хф—с, так как при значениях х = 0 и х = — £ составленное уравнение (1) не имеет решения. Решаем уравнение

(2)

Исследование. По смыслу задачи а^>0, Ь^>0, с^>09 х^>0. Кроме того:

1) х^>а, так как на уборку всего урожая второму комбайну потребуется больше времени, чем на уборку совместно с первым части урожая (а дней);

2) х <^2а-\-Ь: действительно, если бы на уборке всего урожая комбайны работали последовательно, т. е. сначала один второй работал бы а дней, а затем один первый (а-\-Ь) дней, то всего было бы затрачено (2а -j- Ь) дней; если же часть работы, выполненную за (а-\-Ь) дней первым комбайном, работающим менее производительно, выполнить вторым комбайном, то времени для этого потребуется меньше, чем (а-\-Ь) дней; но тогда весь урожай будет убран вторым комбайном за срок, меньший, чем (а -\-а + &), т. е. чем (2а-\-Ь) дней.

Свободный член — ас уравнения (2) —число отрицательное; следовательно, сба корня — вещественны, причем один корень положителен, а другой отрицателен.

Очевидно, что положительное значение имеет корень хи так как хх ^> хг\ корень же х2, имеющий отрицательное значение, не может служить ответом на вопрос задачи.

Корень A'i удовлетворяет исходному уравнению (хг Ф О, хгф — с) и условию л:^>0.

Проверим его по условию х^>а*:

(3) (4)

Так как знак разности £ — b неизвестен, то рассмотрим три возможные случая:

а) с — Ь<^0; неравенство (4) верно, так как положительное число больше отрицательного;

б) с — Ь = 0; неравенство (4) опять верно: положительное число больше нуля;

в) с — Ьу>0; в этом случае обе части неравенства можно возвести в квадрат, не меняя знака неравенства:

что легко сводится к очевидному неравенству.

Оказалось, что при любых возможных значениях разности с — b неравенство (4) верно; следовательно, будет верно и эквивалентное ему исходное неравенство (3). Положительный корень уравнения хх удовлетворяет условию х^>а.

Проверим теперь этот корень по условию х<^2а-\-Ь:

Последнее неравенство легко сводится к очевидному; следовательно, будет верно и эквивалентное ему исходное неравенство.

Таким образом, положительный корень удовлетворяет условиям а<^х<^2а-\-Ь и дает решение задачи.

Ответ. Одним вторым комбайном можно было убрать весь урожаи за -—!- з—- - дней, а одним первым —за —— 2— — дней.

* Неравенство х > а вытекает при лс>0 непосредственно из уравнения (1), так как > ®' ^е^'

5°. Почтальон должен был пройти а км за определенное время. Пройдя b км, он отдыхал 15 мин. и, чтобы придти во-время, увеличил скорость на с км/час. Найти первоначальную скорость движения почтальона.

Решение. Пусть первоначальная скорость почтальона будет X км/час; тогда его скорость после отдыха будет равна (х-\*с) км\час.

Остаток пути, равный (а — Ь) км, почтальон прошел за °^-c часов; при этом он потратил на него на */4 часа меньше времени, чем ему требовалось бы, если бы он прошел этот остаток пути с первоначальной скоростью, т. е. чем *Z2l часов. Составляем уравнение:

(1)

Значения неизвестного ограничены условиями: хФО, х=^ — с.

Решаем уравнение:

(2)

Исследование. По смыслу задачи а^>0, b>О, 0, л;^> О, а^>Ь;~ <^а—Ь,так как на остаток пути, равный (а — Ь) км, почтальон должен был, идя с первоначальной скоростью, затратить более */4 часа.

Свободный член — 4 (а — Ь) с уравнения (2) есть отрицательное число; поэтому корни уравнения — вещественные числа с разными знаками.

Второй корень х2 — явно отрицательное число; поэтому другой корень хх—положительное число. Этот положительный корень уравнения удовлетворяет исходному уравнению (1) [х^О, х^ — с).

Проверяем его по условию х<^4(а— fr)*:

* Это неравенство вытекает непосредственно из уравнения (1), так как а , - > 0. Ред.

Поскольку обе части неравенства положительны, легко убеждаемся, возводя их в квадрат, что данное неравенство верно. Таким образом, корень хи удовлетворяя условиям 0<^л;<^4(а — ft), дает ответ на вопрос задачи.

Ответ. Первоначальная скорость почтальона была

6°. За выгрузку товара уплачено а рублей. Так как рабочих явилось на 3 человека меньше, то каждый из них получил на 3 рубля больше предположенного. Сколько рабочих было намечено на выгрузку?

Решение. Допустим, что рабочих на выгрузку было намечено х человек; тогда число явившихся равное — 3.

Предполагалось каждому уплатить руб., уплатили же каждому из явившихся -^—3 руб. По условию задачи каждый явившийся рабочий получил на 3 руб. больше предположенного; на этом основании составляем уравнение:

(1)

Очевидно, что неизвестная ограничена условиями: хфО, хфЗ, так как при х = 0 или х = 3 один из членов уравнения (1) теряет смысл.

Приведя уравнение (1) к виду:

решаем его:

Исследование. По смыслу задачи а^>0, х целое, х>3.

Так как а>0, то 9 + 4а>9, |/“9^4а> 3. Следовательно,

* Проще рассуждать, как в задаче 5°: из того, что — а < О, следует, что уравнение имеет два действительных корня разных знаков; так как хл > 0, то лг2<0. Ред.

Корень Xi при а>0 удовлетворяет условию ху>3; кроме того, этот корень должен выражаться целым числом, что, очевидно, зависит от значений а; определим последние.

Допустим, что ——2 — = k, где k есть целое число, большее, чем 3. Тогда

Отсюда k = 4; 5; 6,...; а = 4; 10; 18, ...; х = 4;5; 6,...

Ответ. Рабочих на выгрузку было намечено —-^—--- человек, где k — целое число, большее, чем 3.

II. Дискриминант — разность

7°. Два лица одновременно вышли из мест А и В навстречу один другому. При встрече оказалось, что первый прошел на а км больше, чем второй. Продолжая движение, первый приходит в В через b час, а второй в А через с час. после встречи. Как велико расстояние от А до ß?

Решение. Пусть расстояние от Л до В равно X км. Тогда оказывается, что первое лицо до встречи прошло х~а км, а второе *~^а км\ скорость первого равна х~ьа км\час, а скорость второго х~^с а км\час.

Первый шел до встречи ^—J-час, а второй ;

По условию задачи оба лица вышли из пунктов А я В одновременно; следовательно, время, затраченное каждым из них до встречи, одинаково:

* Обратно, из последнего равенства при k > 3 следует первое. Ред.

Число X ограничено условиями х^>0, хфа. Решаем уравнение:

(2) (3)

По смыслу задачи скорость второго лица меньше, так как за одинаковое время он прошел на а км меньше; поэтому большее расстояние х^а км после встречи он проходит за большее время, т. е. с^>Ь.

Первый коэффициент в уравнении (3) — отрицательное число; поэтому меняем знаки членов уравнения на противоположные:

Решаем уравнение:

Исследование. По смыслу задачи а, Ь9 с, х — положительные числа; с^>Ь; х^>а, так какалгл* составляет только часть всего пути.

Так как с^>Ь, то оба корня — положительные числа.

Проверяем полученные корни по условию: х^>а^>0:

Так как левая часть полученного неравенства есть неправильная дробь, то неравенство верно; следовательно, корень Х\ пригоден для ответа на задачу.

Так как левая часть последнего неравенства есть правильная дробь, то неравенство неверно, и корень х2 непригоден для ответа на задачу.

Ответ. Расстояние между А и В равно

Проф. Я. С. Дубнов («Математика в школе», 1947, № 6) предлагает следующий вариант решения задачи*. Уравнение (2) распадается на два:

(4) (5)

Но при X ^> а, уравнение (5) не имеет решения, а уравнение (4) имеет единственное решение:

Полученное решение, очевидно, удовлетворяет условию х^>а.

8°, Расстояние между двумя городами А и В равно а км. Два автомобиля, выехав навстречу друг другу, встретятся на половине пути, если первый выедет на t час раньше другого. Если же они выедут одновременно навстречу друг другу, то встреча произойдет через 2t час Сколько километров в час проезжает каждый автомобиль?

Решение. Первый автомобиль идет со скоростью X км\час. Время, которое он затратит на прохождение половины пути в км с этой скоростью до встречи со вторым автомобилем, составляет ^ час Второй автомобиль выехал из пункта В на tnac. позднее первого; значит, время, затраченное им на прохождение половины пути в -у км, составит ( ^— t ), или—^— час-> а скорость, с которой он шел, равна 2(a — 2txy или a — 2tx км1час.

За 2t часов первый автомобиль, двигаясь со ско-

* При решении уравнения этого типа, к которому сводится, например, уравнение задачи о двух источниках света („Алгебра“ А. П. Киселева, изд. 1950 г., ч. II, § 136), автор, следуя учебнику, излагает прием решения и исследования, ведущий к ненужным выкладкам и напрасно осложняющий исследование. Следует определенно предпочесть прием, рекомендуемый проф. Я. С. Дубновым, уже вошедший в широкую школьную практику; он указан, в частности, И. Г. Польским в статье, помещенной в настоящем сборнике (примеры 4 и б, стр. 117 и 119). Ред.

ростью X км, до встречи со вторым проходит 2tx км. Второй автомобиль за 2t часов до встречи с первым проходит расстояние в a2—2tx КМщ Автомобили встречаются; значит, за 2t часов они вместе проходят а км. Составляем уравнение:

Значения х ограничены условием л:г^=—, так как при х = J- член уравнения теряет числовой смысл и уравнение не имеет решений. Решаем уравнение:

Полученные корни удовлетворяют исходному уравнению, так как хф^.

Исследование. По смыслу задачи a, t, х — числа положительные. Рассмотрим получившиеся корни:

Оба корня — положительные числа. Пусть скорость первого автомобиля равна в час. Тогда скорость второго автомобиля будет выражаться отрицательным числом. Но его скорость в данной задаче отрицательной быть не может; значит, значение хх не дает решения задачи*.

* О непригодности корня хх можно было заключить из того, что первый автомобиль за время £ прошел только часть расстояния а, т. е.

xt < я, откуда *<-р , а между тем хг = —--—> Ред.

Если скорость первого автомобиля равна то скорость второго автомобиля равна

В данном случае скорости обоих автомобилей выражаются положительными числами. Следовательно, значение х2 неизвестной х есть ответ на задачу.

Ответ. Первый автомобиль проезжает в час а ^~~$Г~^ км> а вт0Р°й автомобиль а ^^—^ км*.

9°. При совместной работе двух тракторов разной мощности колхозное поле было вспахано в t дней. Если одну половину поля вспахать первым трактором, а другую

* Проще составить для решения этой задачи систему двух уравнений. Обозначив скорости первого и второго автомобилей соответственно через X и у, составляем систему уравнений:

Приведя уравнения к виду:

а(у — х) = 2txy, 2t (х -{-у) = а и перемножив их, придем к однородному уравнению: X2 + ху —у2 = 0.

Разделив все члены его на у2 и обозначая отношение — через и, получим уравнение: и2-\-и —1=0, имеющее корни

Так как, по смыслу величин хну они могут иметь лишь положительные значения, то

Следовательно,

Если зависимость между двумя неизвестными величинами не видна ясно из условия задачи, то вообще целесообразнее прибегать к составлению системы уравнений. Ред.

половину вторым, то вся работа будет окончена в k дней. Во сколько дней можно вспахать все поле каждым трактором в отдельности?

Решение. Допустим, что трактором большей мощности все поле можно вспахать за х дней и, следовательно, за 1 день поля, а за t дней поля. Половину поля трактором большей мощности можно вспахать за %г дней, а трактором меньшей мощности за k — , или —2— дней; все же поле последним трактором можно вспахать за (2k — х) дней.

Принимая теперь во вшшание, что за один день трактором меньшей мощности можно вспахать -к^-— поля, за t дней 2k —X поля» и что за t дней совместной работы обоих тракторов будет вспахано все поле (единица работы), получаем уравнение:

(1)

Имея в виду условия хфО, x=^=2k, решаем уравнение:

Исследование. По смыслу задачи t^>0, k^>0f х^>0; кроме того:

1) x^>t, так как одному трактору на вспашку всего поля требуется больше времени, чем двум при совместной работе;

2)x<^k, так как трактору с большей мощностью на вспашку всего поля требуется меньше времени, чем двум при последовательной вспашке по половине поля.

Для того, чтобы составленное уравнение имело вещественные корни, должно выполняться неравенство k ^5 2t. Но при k = 2t мы имели бы равенство хх — х2 = k, противоречащее требованию x<^k; поэтому остается требование k^>2t.

Действительно, если вместо совместной работы в течение t дней каждый трактор вспашет соответствующую часть поля, работая один после другого, то на вспашку всего поля потребуется 2t дней, причем трактором большей мощности за одинаковое время (t дней) будет вспахано больше половины поля. Если бы избыток пашни над половиной поля, выполненный трактором большей мощности, был вспахан трактором меньшей мощности, то на вспашку поля всего было бы потрачено больше 2t дней. Но тогда затраченное время будет к дней, так как каждым трактором будет вспахано по половине поля. Таким образом, k > 2t.

При этом условии корни — положительные числа, ибо 2Ä£^>0, 2£^>0; оба корня, очевидно, удовлетворяют исходному уравнению (х=^0, хф2к).

Проверим корни по условию t<^x<^k.

Первый корень k + Vk(fc — 2t) не удовлетворяет условию х<^к, так как k-\-Vk(k — 2t)^>k. Второй корень k — Vk [k — 2t) удовлетворяет условию x<^k; проверим его по условию x^t:

В обеих частях полученного неравенства положительные числа (ky2tyt); поэтому

Справедливость неравенства очевидна*. Таким образом, второй корень удовлетворяет обоим условиям: t<^x<^k.

Ответ. Трактором большей мощности можно вспахать все поле за k — Yk (k — 2t) дней, трактором меньшей мощности за 2k —[k — Yk (k — Щ] =k-\- Y k{k — 2t) дней.

10°. Из прямоугольного куска жести, измерения которого равны а и Ь, требуется сделать открытую ко-

* Справедливость неравенства -у> 1 вытекает непосредственно из уравнения (1), так как при х2 < k < 2k член ^ * . — положительное число.

Эту задачу так же, как и предыдущую, удобнее было бы решать с помощью системы

где через х и у обозначены соответственно числа дней, в течение которых первый и второй трактор в отдельности могли бы вспахать все поле. Ред.

робку так, чтобы площадь стенок равнялась площади дна.

Определить высоту стенок коробки.

Решение. Обозначим высоту каждой стенки через х. Площадь дна будет равна (а — 2х) (Ь — 2х) кв. ед., а площадь стенок 2х(Ь — 2х)-\-2х(а — 2х) кв. ед. Составляем уравнение:

(а — 2х) (Ь — 2х) = 2х (а — 2х) + 2х (Ь — 2х). (1)

Решаем его:

Исследование. Мы вправе считать, что b обозначает меньшее из чисел а и Ь, так что а ^ b (кусок может быть и квадратным). По смыслу задачи а“>0, £“>0, X <^ у • Однако, должно быть даже х <^ так как при х = ^ площадь только двух стенок была бы уже равна площади дна. Дискриминант a2 -f- b2 — ab^>0 (см. пример 2°, стр. 174), так что корни х{ и х2 вещественны; оба корня положительны, так как ab^>0 и 4(а + Ь)^>0. Проверим, дают ли хх и х2 решение задачи при условии

Неравенства

легко преобразуются в эквивалентные:

* Неравенство х < — непосредственно вытекает из уравнения (1), представленного в виде:

Выражение b— 2а всегда отрицательно вследствие условия а^ Ь; следовательно, хх не дает решения задачи, а х2 дает решение при допустимых значениях а и Ь.

Ответ. Высота стенок коробки равна

Из рассмотрения решения задач, в которых дискриминант — разность, видно, что либо удается путем преобразования установить, какой знак имеет дискриминант при ограничениях, которым подчинены параметры, либо приходится ввести дополнительное условие, определяющее возможность существования вещественных корней уравнения.

Одной из больших трудностей для учащихся, по нашим наблюдениям, является в некоторых случаях установление по условию задачи допустимых значений параметров и возможных соотношений между ними и допустимых значений неизвестной величины; поэтому требования к учащимся не должны выходить за пределы положений, установленных выше на стр. 181—183.

В заключение приводим задачи на исследование, решения квадратного уравнения, составленного по условию задачи с параметрическими данными.

49. Из точек А и В навстречу друг другу начали двигаться два тела и через а минут пришли в точку N. Расстояние BN на b метров меньше расстояния AN. Определить расстояние AN, если известно, что одно тело тратит на прохождение каждого метра одной минутой больше, чем другое.

Ответ: - 2 - м'

50. Водоем снабжен двумя каналами. Через первый вода выливается, через второй вливается. Узнать, за сколько часов через первый канал пройдет п ведер воды, если известно, что через второй канал вольется в 2 раза больше, когда он будет открыт а часами меньше первого. Если оба канала открыты сразу, то в каждый час в водоеме прибывает а ведер воды.

Ответ:

51. Из точки А начало двигаться тело по направлению к точке В. Спустя t час. из этой же точки А двинулось другое тело, которое, догнав первое, тотчас приняло обратное направление и возвратилось в точку А в тот момент, когда первое достигло точки В.

Определить скорость первого тела, когда известно, что скорость второго равна v км\час и расстояние AB равно d км.

Ответ: -« + «*Y£ + + + » щчас.

52. Из двух точек M и N, расстояние между которыми d метров, одновременно начали двигаться навстречу друг другу два тела; встреча произошла в тот момент, когда первое тело, вышедшее из М, прошло а метров. Определить скорость каждого тела, зная, что число метров, выражающее разность между скоростями первого и второго тел, равно числу секунд, прошедших от начала движения до встречи.

Ответ: , “ м\сек и v ^0 а - м/сек.

53. Из сосуда, вмещающего а литров и наполненного спиртом, отлили некоторую часть и вместо спирта долили водой; потом из сосуда отлили такую же часть, после чего в сосуде осталось b литров спирта. По сколько литров жидкости отливали из сосуда каждый раз?

Ответ: а — Väb л.

54. Два прокатных стана могут прокатать а тонн железа, если проработают одновременно Т часов и, сверх того, один второй будет еще работать t часов. Во сколько часов может прокатать а тонн железа один второй стан, если первому на эту работу требуется на с часов меньше? _

Ответ: α2I±1±£ (c-tf + 4T{T+t) ^

55. Два куска латуни вместе весят а кг. В первом куске чистой меди содержалось b кг, во втором с кг. Сколько процентов меди содержит второй кусок латуни, если первый содержит меди на 5 % больше?

Ответ:

56. Из пункта А по направлению к пункту В вышел пешеход. Через а час. после того из В навстречу пешеходу выехал велосипедист и через b час. после своего выезда встретил пешехода. Сколько времени надо велосипедисту и сколько пешеходу, чтобы пройти весь путь AB, если велосипедисту на это требуется с часами меньше, чем пешеходу? (МГПИ, 1948.)

Ответ. Велосипедисту:

57. Две колхозницы, имея вместе а л молока, получили при продаже его по разной цене одинаковые суммы. Если бы первая продала столько, сколько вторая, то получила бы m руб., а если бы вторая продала столько, сколько первая, то получила бы п руб. Сколько литров молока было у каждой? (МГПИ, 1949.)

Ответ: 1)

ГЕОМЕТРИЯ

ОТ СОСТАВИТЕЛЕЙ

Одним из главных недостатков в постановке преподавания геометрии в средней школе является весьма неудовлетворительный подбор задач, даваемых учащимся в качестве упражнений. Как известно, задачи, предлагаемые для решения в классе, дома и на контрольных работах, являются по преимуществу задачами вычислительными. Эти задачи, сосредоточивая внимание учащихся на получении определенных числовых результатов, дают очень мало материала для развития творческого пространственного воображения учащихся. Этим самым в значительной мере обесценивается и роль таких задач, как упражнений по геометрии, так как основная работа учащихся при решении таких задач сводится, главным образом, к алгебраическим преобразованиям и арифметическим вычислениям.

Рассматриваемые работы указывают пути для устранения этого недостатка и предлагают такой материал для упражнений учащихся, который в равной мере помогает как развитию логических способностей, так и пространственного воображения.

Работа Л. В. Кривлевой интересна в том отношении, что она в качестве исходного материала для упражнений берет обычные задачи, предлагаемые для решения в VIII—X классах средней школы. Это —всем известные задачи на применение тригонометрии к решению геометрических вопросов. Хотя это — типичные задачи на вычисление, но автор так сумел построить методику их решения, что в результате на этом материале оказалось возможным дать прекрасные упражнения и для развития

логического мышления, и для развития пространственного воображения.

Эту довольно трудную задачу автор разрешает весьма оригинально, делая центром внимания в процессе решения задачи исследование этого решения в зависимости от изменения некоторых параметров в условии. Благодаря этому, фигура, данная в условии, приобретает подвижность, становится динамичной и вся задача приобретает новый, подчас неожиданный смысл.

Указанный прием автора мы считаем чрезвычайно ценным, так как он вносит в геометрию идею движения, преобразования, что в сильной степени способствует более глубокому пониманию учащимися важнейшей идеи современной математики — идеи функциональной зависимости.

Учитель, прочитавший работу Л. В. Кривлевой, получит в ней чрезвычайно полезный для себя материал, который он может с успехом использовать в своей непосредственной работе в классе.

Работа Н. П. Ирошникова посвящена также решению стереометрических задач, но со стороны правильного построения изображений. Эта работа является естественным продолжением статьи Н. П. Ирошникова, опубликованной в сборнике «Из опыта передовых преподавателей математики». Но в то время, как в первой статье Н. П. Ирошникова были разобраны задачи исключительно позиционные, в настоящей статье рассматриваются решения метрических задач.

Нужно сказать, что решение метрических задач вызывает особенно большие затруднения, так что преподаватели зачастую отказываются от точного выполнения проекционного чертежа, считая невозможным тратить очень много времени на выполнение сложных и запутанных конструкций.

Работа Н. П. Ирошникова показывает, как можно во многих случаях подойти к возможно простому решению метрической конструктивной задачи.

Первая часть работы посвящена решению метрических задач на проекционном чертеже при условии, что фигуры лежат в одной и той же плоскости. Во второй части даны примеры решения тех же задач в пространстве.

Преподаватель, внимательно прочитавший обе работы Н. П. Ирошникова, найдет в них разрешение многих во-

просов, связанных с практическим осуществлением проекционных чертежей в процессе классной работы.

В заключение необходимо отметить, что особенная ценность обеих работ, включенных в сборник, заключается в том, что они являются результатом непосредственного живого опыта авторов и воочию показывают, как можно разрешить практически довольно трудные методические проблемы.

А. И. Фетисов и И. Л. Цветков

Л. В. КРИВЛЕВА

б. методист Института усовершенствования учителей, учительница средней школы г. Печоры, Псковской обл.

ПРИЛОЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К РЕШЕНИЮ И ИССЛЕДОВАНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Как правило, до X класса вычислительные задачи по геометрии решаются без приложения тригонометрии, без всякого исследования решений. Научиться пользоваться тригонометрией в таких задачах учащиеся X класса должны за один учебный год. Естественно, что за такой короткий срок освоить это трудно.

Необходимо начинать решать задачи с приложением тригонометрии уже в VIII классе. Разумеется, начинать надо с легких задач, постепенно их усложняя. При этом необходимо систематически с самого начала проводить исследование полученных формул и сделанные выводы проверять геометрически.

В сущности, подготовлять учащихся к исследованию при решении задач следует понемногу уже в семилетке с V класса, выполняя, например, такие упражнения:

„Дана окружность. Радиус ее равен 10 см. Уменьшим радиус в 2 раза и проследим, как изменилась от этого длина окружности“.

Подобные упражнения полезно иллюстрировать чертежами и наглядными моделями.

В VI и VII классах исследование является необходимою составною частью решения задач на построение. Преподаватель должен вести эту работу с учащимися особенно тщательно.

В некоторых школах при прохождении курса геометрии в VI и VII классах преподаватели пользуются подвижными

наглядными пособиями. Эти пособия с успехом можно использовать для исследовательской работы. Например, имеем подвижную модель прямоугольного треугольника. Вершина прямого угла скреплена наглухо. Один из катетов не меняется. Изменить можно острый угол, прилежащий к неподвижному катету; в связи с этим будут меняться остальные элементы треугольника: второй острый угол, второй катет, гипотенуза. В VII классе полезно иметь шарнирную модель параллелограмма. Меняя его углы, можно образовать множество параллелограммов и выделить из них особый — прямоугольник.

В предлагаемой работе будет разобран ряд геометрических задач, требуют их приложения тригонометрии для VIII, IX и X классов с исследованием формул решений, с одной стороны, и изменения геометрических форм, связанного с изменением углового параметра задачи — с другой.

ПЛАНИМЕТРИЯ

VIII —IX классы

Задача 1. Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а. Найти катеты а и b (черт. 1 ). Решение.

а = с sin a; b = c cos а.

Исследование. Допустимые значения угла а заключены в промежутке:

0°<а<90°.

Пусть с остается постоянным. Если а увеличивается от О до 90°, то катет а увеличивается от 0 до с, а катет b уменьшается от с до 0.

Полагая с = 100 единицам длины, заполнить таблицу:

с

at

sin а

cos et

а = с sin а

b = c cos a

100

20°

100

45°

100

60°

100

80°

100

90°

Черт. 1

Как изменяются с увеличением угла а от 0 до 90е sin а и cos а? Записать границы области изменения sin а и cos а в виде двойных неравенств.

Если угол а увеличивается вдвое, то увеличивается ли sin а также вдвое? Пропорциональны ли а и sin а?

Задача 2. Дан прямоугольный треугольник, катет которого равен b, а прилежащий к нему острый угол равен а. Найти катет а (черт. 2).

Решение.

а — Ь tg а.

Исследование. Пусть катет Ъ постоянен.

С увеличением угла а от 0 до 90°, катет а от 0 возрастает неограниченно. (Записывается: а—*оо.)

Записать промежутки изменения катета а и tg а:

0<а<оо; 0<tga< сю*.

Полагая £=100 единицам длины, заполнить таблицу:

ь

01

tga

а = Ь tg ot

100

20°

100

45°

100

60°

100

80°

100

->90°

Черт. 2

Пропорциональны ли a и tga?

Задача 3. Основание треугольника равно а, одна из боковых сторон — Ь, угол между ними С. Найти площадь треугольника, если угол С — острый (черт. 3).

* Эти неравенства следует читать так: „а (tg a) равно любому положительному числу“. Запись па оо“ читается: „а неограниченно возрастает“ (или „бесконечно возрастает“). Выражения „стремится к бесконечности“ лучше избегать.

Решение. Пусть AD = h; h = bsinC; S — ^ab sinC площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними).

Черт. 3

Исследование. Пусть а и b постоянны. Допустимые по условию значения угла С: 0°<С<90°. Если угол С увеличивается от 0 до 90°, то высота возрастает от 0 до Ь. Вместе с этим возрастает и площадь треугольника от 0 до (проверить по формуле и на чертеже).

Черт. 4

Задача 4. Стороны параллелограмма a ub. Острый угол а. Найти площадь параллелограмма S (черт. 4).

Решение. 5 = ab sin а (площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними).

Исследование. Если а я b постоянны, то при возрастании а от 0 до 90° форма и площадь параллелограмма меняются, высота возрастает; следовательно, площадь возрастает тоже (ср. формулу и черт. 5).

Вывод. При возрастании острого угла параллелограма от 0 до 90° его площадь, возрастая, приближается

как угодно близко к площади прямоугольника с теми же длинами смежных сторон.

Примечание. Таким же способом можно решить и исследовать задачу о вычислении площади трапеции по ее основаниям а и Ь, боковой стороне с и острому углу ß между ней и основанием; S=^ (a-\-b)c sin ß.

Задача 5. Найти площадь 5 прямоугольника, диагональ которого d образует с основанием его угол а (черт. 6). Решение. S = d2 sin a cos а.

Черт. 5

Черт. 6

Черт. 7

Исследование. При постоянной длине d угол а может изменяться в границах: 0°<а<90°.

При а = 0 и при а = 90° площадь прямоугольника обращается в нуль, что видно из формулы и из чертежа.

Вывод. Если угол, образованный постоянной диагональю прямоугольника с основанием, изменяется, то в связи с изменением положения диагонали изменяется длина сторон прямоугольника, форма его и площадь (черт. 7).

Перед решением этой задачи полезно показать, что sin 45° = cos 45° = ~- , применяя теорему Пифагора к равнобедренному прямоугольному треугольнику.

При а = 45° прямоугольник становится квадратом с площадью о = .

Примечание. В задаче 3 была выведена формула площади треугольника: S& = -^ab sin С. Имея это в виду, задачу 5 можно решить еще иначе, а именно: данный прямоугольник разрезом по диагонали превратить в треугольник (черт. 8), затем вычислить его площадь:

S = ±d2 sin2a.

Эта вторая формула показывает, что из всех прямоугольников с одной и той же. длиной диагонали наибольшую площадь имеет квадрат (при а = 45°).

При достаточном уровне развития учащихся можно, сравнивая две формулы одной и той же площади прямоугольника, уже в VIII классе вывести тригонометрическое тождество: 2 sin a cos а = sin 2а (удвоенное произведение синуса угла на его косинус дает синус удвоенного угла).

Полезно также заполнить таблицу:

а

sin а

cos а

2sina cosa

sin 2 at

10° 25° 37° 45°

Черт. 8

Задача 6. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен а, основание — а. Найти боковую сторону b и площадь 5 (черт. 9).

Решение. Пусть AD = h;

Можно эту задачу решить иначе: 5 = ^Ь* sin а (задача 3), откуда S=a . « '

Легко убедиться, что обе формулы тождественны. Для этого достаточно доказать, что

Исследование (первой формулы для 5). При постоянном основании а угол а изменяется в промежутке 0° < а < 180° или О°<-|-<900.

Если а = 90°, то 5=^- а2. С увеличением а от 0 до 180° &-> , А и 5 уменьшаются, приближаясь к нулю (черт. 10).

Черт. 9

Черт. 10

Задача 7. Основание равнобедренного треугольника равно а, угол при основании а. Найти периметр треугольника Р.

Решение. АС=Ь; Р=2Ь + а = а (1 +^-7); ответ, которым в восьмом классе надо ограничиться.

Исследование. При а постоянном а может измениться в промежутке 0°<^а<^90о; с увеличением а от 0 до 90°, cos а будет уменьшаться, стремясь к нулю, а обратное число —---неограниченно увеличиваться.

Следовательно, с увеличением а периметр будет неограниченно возрастать (гроверить го формуле).

Задача 8. Острый угол параллелограмма равен а. Расстояния от точки О пересечения диагоналей до сторон равны а и b (черт. 11). Найти площадь параллелограмма S.

Решение. MN= 2b; DK— 2а; DC=-^~; S=-i^--

Исследование. Пусть а и b постоянны. Возможные Значения а заключены в промежутке: 0°< а < 90°. С изменением угла а от 0 до 90° площадь параллелограмма уменьшается, приближаясь как угодно близко к площади прямоугольника со сторонами 2а и 2Ь. Проверить это, рассмотрев формулу.

Черт. 11

Черт. 12

Задача 9. Около круга радиуса г описан ромб с острым углом а. Найти площадь ромба S (черт. 12).

Решение. S=——.

Исследование. По условию задачи 0°<]а<С90о. При постоянном г с увеличением а площадь ромба уменьшается, приближаясь к площади квадрата со стороною 2г.

Задача 10. Большая диагональ ромба равна d. Острый угол а.

Найти сторону ромба а и площадь S (черт. 13).

Черт. 13

Решение.

Можно показать тождественность ответов 1-й и 2-й строк.

Исследование. По условию задачи 0°<^а<^90° (считаем d постоянным). При а = 90° ромб становится квадратом, формула остается верной, а площадь будет наибольшая (показать).

Черт. 14

Задача 11. В прямоугольнике диагональ равна d. Острый угол между диагоналями равен а. Найти площадь S прямоугольника (черт. 14).

Решение. Пусть CD = a; AD = b\ S = ab.

2) Прямоугольник составлен из четырех равновеликих треугольников. Площадь одного из них равна ^d2sma (задача 3), следовательно, S = -^d2 sin а.

Исследование. При постоянном d угол а может принимать любое значение в промежутке 0°<[а<^90о. Если а увеличивается от 0 до 90°, то увеличивается и площадь. Наибольшая площадь будет, когда прямоугольник обратится в квадрат (см. формулу и черт. 15).

Черт. 15

Чтобы показать это на чертеже, надо рассмотреть треугольники: ВОС, ВгОСи В2ОС2 и треугольники COD, CtODu C2OD2y применив к вычислению их площадей формулу:

5Д ==у aft sin С

и имея в виду, что

^АОС=^ВОС=90°.

Вывод. При постоянной длине диагонали прямоугольника с увеличением угла между диагоналями от 0 до 90° площадь прямоугольника возрастает от 0 до yd2.

Задача 12. В прямоугольном треугольнике медиана m гипотенузы образует с гипотенузою угол а. Найти площадь треугольника S (черт. 16).

Решение.

1) Из равнобедренных треугольников АОС и ВОС находим:

Черт, 16

2) Угол Л£С= (вписанный угол, опирающийся на ту же дугу АС, что и центральный а); ВС=2mcos~

Исследование. При постоянной длине m границы изменения а: 0°<а<180°. Если а = 90°, то треугольник— равнобедренный (черт. 17).

Черт. 17

Если имеется множество прямоугольных треугольников, гипотенузы которых равны, то наибольшая площадь

будет у равнобедренного треугольника, так как т2 sin а < т2 sin 90°.

Заполнить табличку, полагая т = 10 ед. длины.

а

20°

40°

80°

90°

100°

120°

160°

sin at

S = m2 sin at

Задача 13. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, равна А. Один из острых углов — а. Найти катеты a, Ь, гипотенузу с и площадь S треугольника (черт. 18а).

Вычисление катетов:

Вычисление гипотенузы:

Вычисление площади:

Исследование (черт. 186). Пусть h постоянно, а угол а изменяется в границах: 0° <^а <]90э. С увеличением угла а от 0 до 90° при неизменной высоте стороны а, о, с изменяются по-разному: катет а неограниченно возрастает (проверить по формуле и на чертеже), а катет b может быть сделан как угодно близким по длине к А.

Если а увеличивается от 0 до 45°, то с и 5 убывают. При а = 45°, c = 2huS = h2 (треугольник — равнобедренный). Когда a увеличивается от 45 до 90°, то и с и S бесконечно возрастают (проверить по формуле и на чертеже).

Задача 14. В окружность радиуса R вписан остроугольный треугольник, два угла которого аир даны. Определить стороны, лежащие против этих углов (черт. 19).

Черт. 18

Решение.

Исследование. Границы изменения углов:

Черт. 19 Черт. 20

Возьмем любой из данных углов, например, а. При постоянном R с увеличением а от 0 до 90° увеличивается и

противолежащая сторона ВС. Допустим, что при увеличении угла а его сторона AB остается в покое (черт. 20). Тогда остается без изменения по величине и угол С, лежащий против стороны AB, но вершина этого угла скользит по окружности. Сторона АС уменьшается, угол В уменьшается. Следовательно, с увеличением угла а увеличивается сторона ВС, уменьшается сторона АС и уменьшается угол ß.

Перед решением этой задачи полезно напомнить учащимся положение центра окружности, описанной около остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников.

Задача 15. В две окружности равных радиусов вписаны правильные /г-угольники. Показать при помощи тригонометрии, что стороны этих /г-угольников А В и AxBt (черт. 21) относятся, как радиусы R и г (или как апофемы).

Черт. 21

Решение. Из треугольников АОС и АхОхСи где

находим:

Решение этой задачи можно связать с доказательством соответствующей геометрической теоремы.

Задача 16. а) В круг радиуса R вписан правильный я-угольник. Найти его периметр рп.

б) Около круга радиуса R описан правильный я-уголь-ник. Найти его периметр Рп (черт. 22).

Решение.

Исследование. Центральный угол ап = —-; если п бесконечно возрастает, то последовательность значений ап имеет пределом нуль, последовательность длин сторон ап и Ьп также имеет пределом нуль, т. е. при бесконечном возрастании п ап—► ();

Что касается последовательностей периметров рп и РЛ, то при п —► оо обе они стремятся к одному и тому же пределу*. Наглядное представление о характере изменения обоих периметров и их отношения к постоянному диаметру круга можно получить, заполняя следующую таблицу.

Черт. 22

п

3

6

18

20

30

60

90

ап 180° 2 п

60°

30°

10°

Рп . 180°

2R 6 п

* В самом деле,

и очевидно, что при

п неограниченно возрастающем —так как cos-

Если брать значения тангенса и синуса из натуральных четырехзначных таблиц, то при л = 90 оба отношения равны с точностью до 0,0001*.

Задача 17. а) Вычислить площадь sn правильного л-угольника, вписанного в круг радиуса R.

б) Вычислить площадь Sn правильного л-угольника, описанного около круга радиуса R (черт. 22).

Решение.

Исследование.

Составляя таблицу отношений ^ и ^ подобно тому, как делалось в задаче 16, увидим, что при возрастании п оба отношения стремятся к одному и тому же числу.

Задача 18. Угол а, вписанный в окружность, опирается на хорду, длина которой а. Найти радиус круга R (черт. 23).

Решение. Из /\ODK имеем: R = <fï^-Исследование. Границы изменения а : 0°<а<180°.

Если а = 90°, то #=-f- (хорда стала диаметром). Пусть хорда BD = a постоянна; с увеличением угла а от 0 до 90° радиус уменьшается. Наименьшая его длина , когда а = 90°; с уменьшением а от 90 до 0°, а также с увеличением от 90 до 180° радиус увеличивается неограниченно (проверить по формуле и на черт. 24).

Выводы. Если0°<а<90°,т000>/?>-|.

* Расчеты, связанные с заполнением таблицы, могут служить хорошей подготовкой на наглядных примерах к изучению понятия последовательности и ее предела, имеющему место на уроках алгебры одновременно с изучением правильных многоугольников на уроках геометрии. Тем же способом может быть изучено поведение последовательности kn = R cos — j— (апофема) и других последовательностей, связанных с правильными многоугольниками.

Если 90°<а<180°, то |-</?<оо.

Если а = 30° или 150°, то R — a, т. е. а — сторона правильного вписанного шестиугольника.

Черт. 23 Черт. 24

Если а = 60° или 120°, то R = а — сторона правильного вписанного треугольника.

СТЕРЕОМЕТРИЯ

IX—X классы

При исследовании решений многих стереометрических задач полезно знать следующие соотношения* между углами в пространстве и их проекциями на плоскость.

1. Проекция острого угла, одна сторона которого (и только одна) параллельна плоскости проекций или лежит в ней, меньше самого угла.

2. Проекция тупого угла, одна (и только одна) сторона которого параллельна плоскости проекций или лежит в ней, больше самого угла.

3. Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций или лежит в ней, то проекция прямого угла также прямой угол.

Черт. 25

* Все эти соотношения легко вывести, проектируя равнобедренный треугольник на некоторую плоскость Я, проходящую через его основание (черт. 25). Вращая треугольник ABC вокруг его основания АС, до статочно рассмотреть два его положения: 1) совмещение треугольника с плоскостью Р (д ADC)\ 2) какое-нибудь положение АВ'С, когда плоскость треугольника составляет с плоскостью Р острый угол, измеряемый линейным углом B'OD. В этом положении проекцией треугольника АВ'С будет треугольник АО\С.

1. В треугольнике АОВ' угол В'АО всегда острый; его проекция, угол ОхАО, меньше, чем угол DAO, а, следовательно, меньше угла В'АО.

4. Если из внешней точки на плоскость проекций проведены равные наклонные, то угол между ними меньше угла между их проекциями на плоскость.

Задача 19. Через основание наклонной, образующей с плоскостью угол а, проведена в плоскости прямая под углом ß(ß<90°) к проекции наклонной. Определить угол <р, образуемый этой прямой с наклонной (черт. 26).

Черт. 26. Черт. 27

Решение.

Исследование. При постоянном а, 0° ^ ß < 90° при ß->-0, ср-^а (прямая АС сливается с проекцией наклонной); при ß -+ 90°, <р -> 90°, т. е. тригонометрически подтверждается теорэма о трех перпендикулярах.

2. Внешний угол при основании треугольника АЭВ', т. е. угол В'АЕ, — всегда тупой; его проекция, угол ОхАЕ, больше угла DAE и, следовательно, больше угла BfAE.

3. Прямой угол АОВ' имеет своей проекцией прямой угол АООь

4. Угол АВ'С между двумя равными наклонными меньше, чем угол АО{С между их проекциями. Действительно,

/ АВ'С = £ ADC = / ADO + £ ODC; /_ АОлС = £ АОуО + ^ ООхС.

Но / АОхО > / ADO как внешний угол треугольника AOxD и /mOO]C>J/ODC как внешний угол треугольника COxD; следовательно, АВ'С < £ АОгС.

Легко показать, что соотношения 1—4 не изменятся, если основание треугольника не будет лежать в плоскости Р, а только будет ей параллельно.

Задача 20. На крыше, имеющей наклон а к горизонту, проведена прямая АС под углом ß к линии наибольшего ската* крыши (черт. 27). Найти угол ср наклона прямой АС к горизонту.

Решение.

Исследование. При постоянном а, 0°<ß<90°. При ß = 0 прямая АС будет линией наибольшего ската; при ß = 90° АС — горизонтальна.

Задача 21. Отрезок, длина которого равна а, лежит в плоскости Р. Из одного конца его проведена наклонная под углом а к плоскости. Найти расстояние BD между другим концом отрезка и наклонной, если расстояние этого конца от проекции наклонной равно b (черт. 28).

Решение. АВ = а — данный отрезок: AD — наклонная; ВС = Ь — расстояние точки В от А С; BD\_AD. Соединим точки D и С; ВС\_АС по построению и, следовательно, BC_[_DC по теореме о трех перпендикулярах, так что ВС — перпендикуляр к плоскости ADC. Отсюда AD_l_BC и (по построению) AD_]_DB; следовательно, AD — перпендикуляр к плоскости BDC, и угол ADC — прямой. Далее, АС = Уа? — Ъг (из ДЛ5С); DC =

Черт. 28

* Линией наибольшего ската называют прямую, лежащую в плоскости крыши перпендикулярно ее горизонтальному коньку.

=Va2 — b2 sin а (ДЛДС) и из треугольника BCD находим:

BD2 = (а2 — Ь2) sin2 а + b2 = a2 sin2 а + ft2 cos2 а,

откуда BD = Va2 sin2 a-j- ô2 cos2 a.

Исследование. Угол a может изменяться в промежутке 0 < a < 90°. При a 0, /Ш & (точка Z) сливается с С и BD с £С). При a 90°, ߣ) а (наклонная AD становится перпендикуляром к Р, а отрезок BD — сливается с AB). Из равенства BD2 = (a2 — b2)sm2a-\-b2 видно, что при а<90° имеем: b2<^BD2<Ca2 (так как 0<sina<l), т. е. ö<ßZ)<a. При а = 45°,

Задача 22. Два круга радиусов Rur лежат в двух параллельных плоскостях. Центры их соединены прямой, перпендикулярной плоскостям обоих кругов. Концы параллельных диаметров соединены прямой, образующей с плоскостью большего круга угол а. Найти расстояние между кругами (черт. 29).

Решение. Н= (R—r) tg у.

Исследование. Пусть R и г постоянны и /?>г; (Х<р<90°. При <р = 0, Н=0 (параллельные плоскости сливаются в одну). Если а = 45°, то H=R — г. При ср 90° расстояние между кругами бесконечно возрастает.

Задача 23. В основании правильной пирамиды лежит //-угольник, сторона которого равна Ь\ плоский угол при вершине равен а. Найти площадь S боковой поверхности пирамиды (черт. 30).

Черт. 29

Исследование. Пусть п и b постоянны, а угол а изменяется. Рассмотрим чертеж: SA=SB, т. е. угол а образован двумя равными наклонными. Проекция этого угла на плоскость основания равна . Известно, что проекция угла, образуемогосравными наклонными, больше самого угла, следовательно, раницы изменения угла: 0о<а<360!>

1) Пусть а->0; тогда S -+ оо, т. е. S бесконечно возрастает.

2) Если а то 5, уменьшаясь, стремится к площади основания пирамиды.

Полезно заполнить таблицу (Ь равно единице длины, п=Щ.

b

Qt

5

1

2'

18.859,5 = 15 471

1

18-14,32 =

1

10°

18-2,86 =

1

20°

18-1,418 = 25,524

Черт. 30

Задача 24 (устно). Плоский угол при вершине правильной /г-угольной пирамиды равен а, боковое ребро равно а. Найти площадь S боковой поверхности этой пирамиды. Указать, в каких границах может изменяться угол а.

Решение. 1) 5 = у a2 sin а.

2) Стороны угла а — равные наклонные. Проекция этого угла на плоскость равна -, следовательно,

a<C~— • Или: таких плоских углов при вершине пирамиды всего п; сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранного угла меньше 360°, а каждый из них меньше —-.

Задача 25 (устно). Основание прямоугольного параллелепипеда— квадрат со стороною а. Диагонали двух смежных боковых граней, выходящие из одной вершины верхнего основания, составляют угол а, а с диагональю нижнего основания образуют треугольник. Вычислить площадь S этого треугольника. В каких границах изменяется угол а при изменении высоты тела?

Черт. 31 Черт. 32

Решение.

5-^оо;при а •+ 90°, 5 у (объяснить геометрически).

Задача 26. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а. Диагонали боковых граней, выходящие из одной и той же вершины этой призмы, образуют между собою угол а. Через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость. Найти площадь S полученного сечения (черт. 31).

Решение.

Исследование. Пусть а постоянно. Границы изменения а: О < а < 60° (объяснить, почему). При а 0 вершина угла скользит по ребру С£, уходя в бесконечность. Площадь сечения бесконечно возрастает. При а -^60°, 5 -» д21— (т. е. к площади основания).

Задача 27. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро составляет с плоскостью основания угол ср, сторона основания равна а. Найти: 1) площадь Q сечения, проведенного через диагональ основания перпендикулярно боковому ребру, 2) двугранный угол а между боковыми гранями (черт. 32).

Решение. 1) Q = ~a2sincp; 2) tgy = ^i_.

Исследование. Пусть а — постоянно. Границы изменения ср и а: 0<ср<90°; 0<Q<-|2. При ср-90°, и а->90°.

Разберемся в этом геометрически. Квадрат в основании не изменяется. При ср 90° высота пирамиды и боковые ребра неограниченно удлиняются. Вершина сечения BMD (точка М) скользит по ребру SC, стремясь слиться с вершиной С, а треугольник BMD стремится совпасть с треугольником BCD ^пл. BCD = ip)-

При ср-^0, Q + 0 и а-* 180°; отрезок ОМ стремится слиться с высотой пирамиды, длина ОМ=^^- sincp-^0;

пирамида «вырождается» в квадрат, угол а приближается к развернутому. Границы изменения а оказываются следующие: 90°<^а<^ 180°, т. е. угол а — тупой, что можно видеть и из формулы. Это ясно и геометрически: угол BMD должен быть больше прямого угла BCD между равными наклонными к плоскости перпендикулярного сечения MBD.

Задача 28. Сторона меньшего основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна боковому ребру длины /. Острый угол боковой грани равен а. Найти площадь S сечения, проведенного через два противоположных боковых ребра (черт. 33).

Исследование. Пусть / постоянно; границы изменения а: 45°<а<90° (иначе формула не дает решения).

Черт. 33

Чтобы проверить то же геометрически, рассмотрим плоские углы трехгранного угла с вершиной А; 90°<2а или 45° < а, так как один плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других углов а + а. При а -+45°, 5 0, т. е. углы а сливаются с их проекциями, а пирамида превращается в квадрат ее основания. При а 90°, 5 /2 ]/2 (площадь диагонального сечения куба). Трапеция, лежащая в сечении, при а = 90° обратилась бы в прямоугольник, пирамида превратилась бы в куб.

Задача 29. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а и составляет с боковым ребром угол а. Найти площадь Q сечения, проведенного через боковое ребро и высоту пирамиды (черт. 34).

Черт. 34

Исследование. Пусть а — постоянно. По формуле находим: 30° < а < 150^. Рассмотрение трехгранного угла С показывает, что 2а]>60° и а]>30° (сумма двух плоских углов всякого трехгранного угла бсльше третьего его плоского угла).

Верхняя граница а, однако, не 150°, как позволяет заключить формула, а только 90°; угол а — острый, как угол при основании равнобедренного треугольника. Итак промежуток возможных значений а будет: 30°<а<90° С увеличением угла а от 30 до 90° числитель дроби уве личивается, знаменатель уменьшается. Дробь возрастает, т. е. возрастает площадь сечения.

Рассмотрим черт. 34. При а ->90° боковые ребра пирамиды удлиняются неограниченно (см. формулу для SB). Вершина пирамиды уходит в бесконечность. Высота пирамиды (и треугольника ASB) неограниченно возрастает, а вместе с ней иплощадь сечения.

Пусть а уменьшается от 90 до 30°; числитель дроби уменьшается, а знаменатель увеличивается, отчего уменьшается вся дробь, т. е. уменьшается площадь сечения. Уменьшаясь, угол а будет как угодно близко приближаться к своей проекции; пирамида при а -^30° превращается в собственное основание, a S 0.

Черт. 35

Задача 30. Высота H правильной четырехугольной пирамиды образует с боковым ребром угол а. Найти пло-

* Для исследования формулы безразлично, будет или не будет она приведена к виду, удобному для логарифмирования. Такое приведение вообще целесообразно лишь постольку, поскольку леи гарифмирование действительно ведет к упрощению вычисления искомой величины при заданных значениях букв. Ред.

щадь сечения пирамиды плоскостью, проведенной из вершины основания перпендикулярно противоположному ребру (черт. 35).

Решение. Искомое сечение проходит через перпендикуляр AM к ребру .SC и прямую PN\\BD, проходящую через точку К пересечения AM и SO. По построению SC_\_AM и, кроме того, SCj_BD, как к прямой, перпендикулярной проекции SC (отрезку ОС), следовательно, SC_[_PN, т. е. ребро .SC перпендикулярно плоскости AN MP.

Исследование. Пусть //постоянно. Формула указывает границы возможного изменения угла: 0<^а<^45°. Геометрические соображения подтверждают то же.

Черт. 36

Рассмотрим сечение ASC. Если 2а = 90°, то перпендикуляр из точки А на ребро .SC совпадает с ребром SA и сечения нет, т. е. при а = 45°, Q = 0, что видно и из формулы.

Задача 31. В основании наклонного параллелепипеда лежит прямоугольник со сторонами а и Ь. Боковое ребро / образует с каждым из ребер а и b острый угол а. Найти объем V параллелепипеда (черт. 36).

Исследование. Пусть a, b, I постоянны. Формула объема дает решение при условии 90° < 2а < 270° или 45° < а < 135°. Но по условию задачи а<^90°, поэтому границы изменения этого угла: 45°<а<90°. При а + 45°, V -+ 0; (при а = 45° угол а совпадает с его проекцией); боковые грани параллелепипеда располагаются в плоскости основания. При а -+ 90°, V-+abl, т. е. наклонный параллелепипед обращается в прямоугольный, объем которого равен произведению трех его измерений.

Задача 32. В правильной треугольной призме две вершины верхнего основания соединены с серединами противоположных им сторон нижнего основания. Угол между полученными прямыми, обращенный отверстием к плоскости основания, равен а. Сторона основания равна а. Найти объем призмы V (черт. 37).

Решение. V= -t<i2YS*H (H—высота призмы).

Отрезки CXD и ВХК, соединяющие концы параллельных отрезков DK и В{С\, лежат в одной плоскости.

Высота MR равнобедренной трапеции KDBXCX служит гипотенузой треугольника MNR, а искомая высота H=NR — катетом; другой катет MN= 4 . Так как стороны треугольника ВгОСг вдвое больше сторон треугольника DOK, то OR = 2MO и MR = 3MO. Длину

Черт. 37

находим из треугольника DÖM. Теперь

Исследование. При постоянном угле а объем V пропорционален Я. Исследуя поведение Я как функции а, видим, что угол а может изменяться в границах 0 < а <120° (иначе под радикалом отрицательное число и задача не имеет решения). При а—► 120, Я—0 и т. е. Я и V неограниченно убывают при возрастании угла а; при а—*0, наоборот, Я и I/ бесконечно возрастают. Все это легко уяснить и на чертеже, представляя себе, как меняется Я в зависимости от а. На черт. 38 изображена трапеция KCBD — проекция трапеции KC&D (черт. 37) на плоскость основания призмы. Легко видеть, что угол KOxD есть проекция угла а, так что a</COuZ). Но из черт. 38 видно, что £KOxD = £BOxC= 180° — — (30° + 30°) =120° (АВОгС), т. е. геометрические соображения дают то же, что и формула.

Задача 33. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Радиус круга, описанного около боковой грани, равен г. Найти объем V пирамиды (черт. 39).

Черт. 38

* Для вычисления объема при заданных значениях букв приведение формулы к логарифмическому виду не обязательно; можно найти значение котангенса по натуральным таблицам, его квадрата — по таблице квадратов и, найдя число под радикалом, логарифмировать полученное выражение. Ред.

Решение. Сторона основания пирамиды а = 2r sin а, площадь основания Q = r2 V 3 sin2 a; SB=b — —-— ;

Исследование. Пусть г постоянно. Формула для V сама указывает границы изменения а:0<^а<^ 120° (иначе 4sin2y^3). При а —0 и а-*120°, V—*0 (в первом случае пирамида вырождается в отрезок длины 2г, как показыьают формулы для Q и SO; во втором — в равносторонний треугольник, вписуемый в круг радиуса г). Границы изменения а можно установить также, учитывая: 1) что а не может быть больше своей проекции на плоскость основания; 2) что сумма трех плоских углов трехгранного угла SABC меньше 360°, и, следовательно, каждый из них меньше 120°.

Черт. 39

* При вычислении проще всего вычислить сначала подкоренное выражение при помощи натуральных тригонометрических таблиц, а затем логарифмировать. Ред.

Задача 34. Основание пирамиды — равносторонний треугольник, сторона которого равна а. Два боковых ребра пирамиды составляют с плоскостью основания углы, равные <р, а грань, заключенная между ними, наклонена к основанию под углом а. Найти объем пирамиды V (черт. 40).

Решение. Высота пирамиды SO=AOig<f=DO tga, как общий катет треугольников ASO и DSO. Кроме того, A02 — D02=^; отсюда:

Исследование. Пусть a постоянно. Формулы высоты и объема показывают, что задача не имеет решения при а^ср. Геометрически легко установить, что угол а, как проекция угла ср на плоскость S DC 9 не может быть меньше ср. Приа = <р решения также нет; при а—><р V неограниченно возрастает. Границы изменения:

для а: 0°<а<90°; для tfi 0°О<90°.

Углы а и ср возрастают одновременно: при а = 0 и ср = 0 пирамида вырождается в треугольник основания. (Что будет при a = 90° и <р = 90°?)

Задача 35. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде боковое ребро а равно стороне большего основания и составляет с ней угол а. Центр большого основания служит вершиной полной пирамиды, основание которой совпадает с меньшим основанием усеченной. Найти разность объемов: усеченной пирамиды Vx и полной пирамиды V2 (черт. 41а).

Черт. 40

Решение.

(H — высота пирамиды, b — сторона меньшего основания).

Неизвестные b и//найдем из прямоугольных треугольников на черт. 416 (А101=Н; АХК—высота боковой грани, АОг — проекция ребра AAV делящая пополам угол DAB).

Исследование. По условию задачи cos2а<^0. В самом деле, а—угол между основанием а и боковой стороной трапеции ААХВХВ. Чтоубы b было положительным, необходимо cosa<[y, т. е. а^>60° и 2а > 120°, так что cos 2а <0; с другой стороны, а<90°.

При изменении а в промежутке 60° <^ а < 90°, b изменяется в промежутке 0<^ô<^a; H—в промежутке 0<//<а; разность объемов — в промежутке

Черт. 41

Геометрически ясно, что при а = 60°, усеченная пирамида превращается в полную, боковая грань — в правильный треугольник, объем V2 — 0 (b = 0) и объем Vx = . При а = 90° усеченная пирамида превращается в куб.

Задача 36. В треугольной пирамиде все боковые ребра и две стороны основания имеют одну и ту же длину /. Угол между равными сторонами основания равен а. Найти объем пирамиды V (черт. 42).

Решение.

Исследование. Пусть/ постоянно; границы изменения угла: 0<[а<^120°, иначе в формуле для Сбудет 1 4-2 cos а <0, и задача не имеет решения.

Рассмотрение чертежа показывает то же. Плоские углы трехгранного угла с вершиной В равны: 60°, 60°, а. Во всяком трехгранном угле плоский угол меньше суммы двух других плоских углов, т. е. а < 120° (или: /_ S ВС = = Z SB А = 60°, следовательно, угол а, равный сумме их проекций на плоскость ABC, меньше 120°).

Боковые стороны треугольника ABC при увеличении угла а раздвигаются (см. чертеж), отчего площадь основания сначала возрастает до величины-^- (при а = 90°), а затем уменьшается до / ^ 6 (при а = 120°). Углы ABS и CBS совмещаются при а =120° с их проекциями на плоскость основания, а пирамида вырождается в треугольник, т. е. в ее основание. Высота SO при а—► 120° уменьшается, стремясь к нулю, как и объем V. При а—»-0 стороны AB и АС сближаются, треугольник ABC вырождается в отрезок длины /, а пирамида — в равносторонний треугольник; высота SO становится высотой этого

Черт. 42

* См. сноску к задаче 33. Ред.

треугольника, что легко проверить по формуле для SO. Можно проверить сказанное, выполнив два предельных перехода в формуле для V (или SO) при а —► 0 и а—► 120°.

Задача 37. В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а образующая / наклонена к плоскости большего основания под углом а. Найти объем конуса V (черт. 43).

Решение V = *-£(R2+

+ Rr-\-r2)', из треугольника АВК имеем: H=l sin а; из треугольника DKB:

DK=R + r=lsina; KA=R—r=lcosa.

Возводя в квадрат и складывая два последних равенства, получим:

а вычитая второе из первого: откуда:

Черт. 43

Исследование. Формула дает положительное значение для любого значения а в промежутке 0°<^а<90° (будем считать для определенности, что верхнее основание конуса меньше нижнего). Однако диагонали осевого сечения могут быть перпендикулярны только при а ]>45°*. Поэтому границы допустимых значений а будут: 45°<а<90°.

Задача 38. Высота конуса равна //, угол между высотой и образующей равен р. Найти площадь Q сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен а (черт. 44).

* Что будет при d = 450 и et = 90°?

Исследование. Пусть И постоянно. Рассмотрим два варианта изменения Q, как функции того или другого угла.

1. При постоянном а границы изменения ß:

При ß —> 90° стороны треугольника сечения и его площадь будут бесконечно возрастать; при ß—* -|-, Q —* И2 tg-^-(минимально возможная площадь сечения при заданном а).

Черт. 44 Черт. 45

2. При постоянном ß границы изменения а: 0<a<2ß.

При а —* 0, Q —> 0; при а —*2ß, Q —* Я2 tg ß (максимально возможная площадь сечения в заданном конусе, равная площади осевого сечения CSB).

Задача 39. В конус, радиус основания которого /?, вписана треугольная пирамида, основание которой — прямоугольный треугольник с острым углом a, a боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом ß. Найти объем V пирамиды (черт. 45).

Решение.

Исследование. Пусть /? постоянно, а а и ß—углы, изменяющиеся независимо друг от друга. Границы их допустимого изменения одинаковы: от 0 до 90°.

1. При постоянном а с возрастанием ß возрастают неограниченно высота SO и объем V. При ß —> 0 конус вырождается в круг основания, а пирамида — во вписанный прямоугольный треугольник.

2. При постоянном ß высота пирамиды постоянна; если а возрастает в промежутке 0<а<^45°, то площадь треугольника ABC возрастает, а в промежутке 45о<^а<^90° убывает, стремясь к нулю. Наибольшая площадь ABC — при а = 45°, ей соответствует Vmax = l/?3tgß. При а-*0 и а-+90°, V—*0; пирамида вырождается в осевое сечение ABS.

Задача 40. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, а угол, образованный двумя боковыми гранями, равен а. Найти объем V конуса, описанного вокруг пирамиды (черт. 46).

Решение. V = \ яа2Н{Н— высота к^нлса и пирамиды, не изображенная на чертеже).

Определение высоты H=Uy^ сводится к определению \gx (х — угол наклона ребер пирамиды к плоскости основания). Но из Д С KD видно, что

откуда

Черт. 46

Исследование. Пусть а постоянно. Границы изменения а (из формулы): 60о<а<] 180°. Геометрическим местом вершин D треугольников ADB будет ребро SC, перпендикулярное плоскости треугольника ADB, который можно считать проекцией Д A CB, а угол ADB — проекцией угла АСВ на плоскость ADB. Но проекция угла, образованного равными наклонными, больше самого угла, т. е. а^>60°. С увеличением угла а высота DK треугольника ADB уменьшается и DK—>0', боковые стороны AD и BD тоже уменьшаются, приближаясь к у. Угол а может быть сделан как угодно близким к 180°, следовательно, геометрические соображения подтверждают границы изменения а. При а-+60°, V-+oo; при а-+180°, вместе с Н\ конус вырождается в круг основания.

Задача 41. В треугольнике даны стороны a, b и угол а между ними. Найти объем V тела, полученного вращением треугольника около оси, проходящей через вершину угла а перпендикулярно стороне а.

Решение.

где H—высота тела, г—радиус верхнего основания.

Исследование. Пусть а и b постоянны; 0<jz<^90°. При а—>90° усеченный конус превращается в полный,

Задача 42. Плоская ломаная состоит из п равных отрезков, длиной а каждый, соединенных в виде зигзага под углом а друг к другу. Найти площадь поверхности S, образуемой вращением ломаной около оси, проходящей через один из ее концов параллельно биссектрисе угла а (черт. 47).

Решение. Первый отрезок, имеющий с осью вращения общую точку, описывает боковую поверхность полного конуса Sv а все остальные — боковые поверхности

усеченных конусов (S2, 58, ... Sn)

Исследование. При а и п постоянных 0°<jz<480°; при а—+ 0, S —>0; при а —► 180°, 5—>тг (/m)2; поверхность вращения превращается в круг радиуса па.

Черт. 47

Задача 43. Основание пирамиды — ромб со стороною а и острым углом а; каждый из двугранных углов при основании равен ср. Найти радиус R шара, вписанного в пирамиду (черт. 48).

Решение. Вершина пирамиды проектируется в центр круга, вписанного в основание. Треугольник KS M равнобедренный, SK и SM— высоты боковых граней. Вписанный шар коснется граней в 5 точках: одна — в точке пересечения диагоналей ромба и четыре — на высотах боковых граней. Радиус шара найдется из Д OOiK- Зная, что 0{К=^а sin а, находим: # = -i-asinatg-|.

Исследование. Пусть а постоянно, границы значений углов: 0°<а<90°; 0°<<р<90°. При

(ромб превращается в квадрат). При

Черт. 48

ер—*90° или ~—► 45° Д 00iK становится равнобедренным и /?—y sin a. Наконец, при а -^90° и у —* 90°, /?—- -j (пирамида превращается в призматическую трубу с квадратным сечением).

Задача 44. Угол в осевом сечении конуса равен 2а. В конус вписан шар и через линию касания проведена плоскость. Найти отношение объема v отсеченного конуса к объему данного конуса V (черт. 49).

Черт. 49

Решение. Отношение объемов в общем виде:

Пусть р—радиус вписанного шара. Из Д/ЖО находим

* Еще проще получить этот результат, построив CF\\SK\ из треугольника BtC\ sin а = = — =1 — , т. е. ^- = 1 — sin ct.

Исследование. Границы допустимых значений а 0<а<90°. При а—^0, v—► V, т. е. срезанный конус стремится сравняться с данным; вписанный шар отрезает ничтожную его часть. При а —>90°, -^г—*0; данный конус сильно расплюснут, и диаметр вписанного шара почти равен высоте конуса (черт. 49).

Задача 45. Около шара описан конус. Найти отношение площади поверхности шара 5 к площади полной поверхности конуса 7\ зная, что образующая конуса L видна из центра шара под углом а (черт. 50).

Решение.

Исследование. Перед дробью стоит знак минус, следовательно, один из множителей числителя отрицателен. Но отрицательным может быть только cos 2а, если 90° < 2а < 270°. Однако угол а может быть только тупым, как смежный угол заведомо острого угла АОМ. Это определяет область изменения а: 90°<а<135°. Примечание. Углы AOS, АОМ и О AM зависят друг от друга, и изменение одного влечет за собой изменение двух остальных.

Полезно установить границы изменения<ЛОМ и <СОАМ:

Черт. 50

При а—»90° отношение у—>0; радиус вписанного шара ничтожен по сравнению с радиусом основания конуса

/•=#tg(a— 9ÛÔ, т. е. при a, близком к 90°, мало отличается от нуля). При a—► 135° отношение у опять-таки стремится к нулю вместе с cos 2a; из этого можно заключить, что при некотором значении а, заключенном между 90° и 135°, указанное отношение принимает наибольшее из возможных значений.

Для упражнения полезно найти, например, значение отношения у при a =120°.

Задача 46. Радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, равен г. Двугранный угол, образуемый двумя боковыми гранями, равен а. Найти объем V пирамиды, имеющей вершину в центре шара, а вершины основания—в четырех точках касания шара с боковыми гранями большой пирамиды (черт. 51).

Решение. Шар, вписанный в данную пирамиду, касается ее в пяти точках; одна из них — центр основания Еу четыре другие лежат на апофемах боковых граней пирамиды в точках /С, L, M, N пересечения с апофемами перпендикуляров, опущенных из центра шара О на боковые грани. Соединяя последовательно точки касания пря -мыми, получим основание меньшей пирамиды.

Легко доказать, что основание это — квадрат, т. е. ромб с равными диагоналями. Чтобы найти его сторону, надо найти угол MOM. Плоскость, проходящая через ОМ и ON, перпендикулярна ребру SA большой пирамиды*

Черт. 51

* Если из произвольной точки О внутри двугранного угла (черт. 52) опущены на его грани перпендикуляры ОМ и ON, то плоскость, проходящая через ОМ и ON, пересекает обе грани по прямым MP и NP, перпендикулярным его ребру SA.

и в сечении с гранями последней дает линейный угол данного двугранного угла а. В плоском четырехугольнике OMPN (черт. 52) ОМ±МР, ON±_NP, следовательно, /тМОЫ=Ш° — а.

Из треугольника MCW(чepт. 51) найдем: MN=2rcos^, откуда площадь основания меньшей пирамиды

Меньшая пирамида — правильная: ее основание — квадрат; боковые ребра равны, как радиусы шара; высота ее проектируется в центр основания. Высота пирамиды:

Исследование. Пусть г постоянно. Формула для V дает решение, если 90° < а < 270°. Геометрические соображения подтверждают, что а ^> 90°, так как £ MON = = 180°— а — плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды — не может быть ни тупым, ни прямым. Верхняя граница а, однако, не может быть больше 180°; а — двугранный угол между смежными гранями правильной пирамиды. Итак, границы угла: 90° < а <[ 180°.

При а—► 180° угол между ребрами меньшей пирамиды (равный 180° — а) уменьшается, стремясь к 0°, т. е. боковые ребра меньшей пирамиды, оставаясь по длине неизменными, сближаются. Площадь основания пирамиды, сохраняя свою квадратную форму, уменьшается, стремясь к нулю, высота же возрастает от 0 до г. При а = 180° высота пирамиды стала бы равной радиусу шара, ребра слились бы с высотой, основание меньшей пирамиды сжалось бы в точку, а сама пирамида превратилась бы в ра-

Черт. 52

диус шара. Остался бы неизменным лишь сам шар (радиус его, по условию, постоянен). Большая пирамида при этом превратилась бы в два плоскости: одна — плоскость бывшего ее основания, другая — параллельная ей; обе плоскости касались бы шара в концах его диаметра (черт. 53).

При убывании а от 180° до 90°, угол (180° —а) увеличивается от 0° до 90°. Ребра меньшей пирамиды раздвигаются, сохраняя свою длину. Площадь ее квадратного основания увеличивается. Высота ее уменьшается от г до 0. При а = 90° боковые ребра пирамиды совместились бы с радиусами большого круга, параллельного основанию большой пирамиды; сама меньшая пирамида обратилась бы в квадрат, равный основанию большой пирамиды; грани угла а расположились бы параллельно сторонам квадрата, лежащего в основании большей пирамиды. Вместо большей пирамиды перед нами оказалась бы бесконечная труба с квадратным сечением; на дне ее шар, касающийся дна и стенок (черт. 54), в горизонтальный большой круг которого вписан квадрат (бывшая меньшая пирамида) (черт. 55).

Вычисляя по формуле пределы V при а—>180° и а—+90°, найдем, что в обоих случаях V стремится к нулю. Однако при а =180° высота меньшей пирамиды FO = г У — cos а

Черт. 53

Черт. 54

Черт. 55

обращается в л а сторона основания AfiV=2rcos— в нуль. При а = 90°, наоборот, высота FO исчезает, а сторона основания MN делается равной rV% площадь же основания обращается в 2г2 (черт. 55). Таким образом, выводы, которые можно сделать на основании анализа формулы и предельного перехода, совершенно совпадают с выводами, установленными при помощи геометрических соображений.

ОТ РЕДАКЦИИ

Статья Л. В. Кривлевой, премированная жюри „Педагогических чтений“ 1949/50 учебного года, уже издана особой брошюрой. Для настоящего сборника текст тщательно пересмотрен и, в частности, исправлены ошибки и недосмотры, допущенные (не по вине автора) в отдельном издании.

Кроме исправлений, данных в самой брошюре на вкладном листке, отмечается следующее:

В задаче 18 была неправильно указана область изменения угла: 0° < а < 90° (вместо 180°), в связи с чем выводы об изменении R были неполны. В задаче 29 знаменатель формулы для Q должен начинаться множителем 8, а не 12. В задаче 32:// = -^ |^3(3ctg2f__Л.

В задачах 36 и 46 перевернуты знаки неравенства, указывающие границу угла а, что, впрочем, ясно по смыслу текста. В задаче 42 в заключительной формуле для 5 вместо л2 напечатано Л2.

В задаче 31 при а=45° все восемь вершин параллелепипеда располагаются в плоскости основания, образуя шестиугольник с попарно равными и параллельными сторонами, длины которых равны соответственно а, Ъ, I.

Н. П. ИРОШНИКОВ

учитель средней школы № 2 г. Электросталь

ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ В КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ

1. Одним из важных и трудных моментов в процессе преподавания геометрии в средней школе является обучение учащихся правильному изображению геометрических тел. Однако очень часто он совершенно упускается в педагогической практике или в процессе его проведения допускаются серьезные ошибки. Такие ошибки, прежде всего, допускает сам учитель. С одной стороны, нередко к чертежу учащихся предъявляются необоснованные требования. Так, например, приходилось наблюдать, когда при выполнении чертежа правильной пирамиды, у которой сторона основания, 4 му а высота 16 ж, учитель требовал, чтобы отрезок, изображающий высоту, был обязательно ровно в 4 раза больше отрезка, изображающего сторону основания и чтобы куб изображался только в „кабинетной“ проекции. С другой стороны, учитель сплошь и рядом мирится с заведомо неверным изображением тел, описанных около шара и вписанных в него. Хуже всего то, что неверные чертежи часто встречаются и в учебниках. Учащийся, выполняя чертеж, не представляет себе того геометрического тела, которое он должен изобразить, а копирует чертеж учителя, механически повторяя заученные правила, иногда неверные. Что касается ошибок, зависящих от самих учащихся, то достаточно характерна, например, такая: при изображении конуса, в который вписан куб, вершины основания куба изображаются расположенными на эллипсе, изображающем основание конуса. Очевидно, подобных ошибок можно избежать, если приучать учащихся представлять себе

изображаемое тело и объяснять им, как связаны изображаемое тело и его изображение.

2. Недопустимое пренебрежение к чертежу приводит к тому, что:

1) чертеж не используется учителем как средство развития пространственных представлений учащихся, даже, более того, способствует развитию неправильных представлений;

2) при обучении изображению тел в высшей школе приходится переучивать учащихся;

3) не используются богатые возможности сообщить учащимся ряд общих положений, которые помогут им при изучении некоторых дисциплин в вузе: например, начертательной геометрии, проективной геометрии и т. д. В самом деле, знакомя учащихся со свойствами параллельной проекции и применяя их к изображению тел, мы тем самым непосредственно подводили бы учащихся к порогу этих дисциплин.

3. Многие думают, что вопрос об изображении тел, в силу ряда трудностей, не следует ставить на уроках геометрии. Как показал наш опыт работы в школе, разрешение этого вопроса, в основной его части, вполне возможно в средней школе. Учащиеся без особого труда овладевали методами изображения тел.

Мы не ставили решение задач на построение изображений самоцелью. В практике школьного преподавания чертеж является почти всегда необходимым спутником решения задачи на вычисление и выступает как необходимое средство, помогающее ее решению. Поэтому наша задача заключается только в том, чтобы правильно строить чертежи к задачам на вычисление. Исходя из этого:

1. Из двух задач на построение чертежа одной и той же пространственной фигуры, различных с точки зрения выполнения построений, выбиралась та, решение которой было наиболее простым. Например, если в задаче на вычисление сказало, что в пирамиду вписан шар, то для выполнения чертежа данной пространственной фигуры требуется решение задачи на построение: „в пирамиду вписать шар“. Однако решение задачи „около шара описать пирамиду“ значительно проще. Хотя это — две различные задачи, но в результате их решения мы получаем чертеж одной и той же пространственной фигуры.

Поэтому, подчеркнув учащимся принципиальное различие этих задач, мы допускали в обоих случаях одно построение: „около шара описать пирамиду“.

2. В зависимости от характера задачи изображение давалось в косоугольной или ортогональной проекции.

3. Не рассматривались общие случаи изображения тел, мало встречающиеся в школьной практике, например, задача о построении в ортогональной проекции изображения неправильной пирамиды, описанной около шара.

4. При решении задач по геометрии, и в особенности по геометрии с применением тригонометрии, ученик решает задачу в общем виде. Таким образом, фактические размеры изображаемого тела ученику не известны. Очень часто они получаются лишь в результате решения задачи. Поэтому чертеж и должен сохранять лишь основные особенности формы данного тела, но не особенности соотношения его частей и размеров. При решении задачи:

„Около конуса, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом ß и радиус основания г, описана треугольная пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с острым углом а. Определить объем пирамиды, вычислить его при г=5,25 дм, а = 49° 20', ß = 72°20'e, от ученика требовалось, чтобы его чертеж представлял изображение конуса с произвольным наклоном образующей и пирамиды, имеющей основанием прямоугольный треугольник также произвольной формы, что для решения в общем виде безразлично. Построение требуемого изображения этим значительно упрощалось.

4. К изображению предмета предъявлялись два требования, особенно важные в условиях преподавания; изображение должно быть, во-первых, верным, т. е. быть одной из проекций изображаемого предмета („оригинала“); во-вторых, наглядным, т. е. вызывать пространственное представление предмета*.

Когда мы смотрим на предмет, то на сетчатке глаза по законам геометрической оптики получается изображение предмета. Если при этом из оптического центра глаза проектировать предмет с помощью центральной проекции на плоскость, то полученный чертеж даст на сетчатке

* Н. Ф. Четверухин, Проблема изображения пространственных фигур в условиях преподавания. Известия „Академии педагогических наук РСФСР“, 1946, № 4, стр. 98.

то же изображение, что и сам предмет, если он рассматривается из центра проектирования, совпадающего, как указано, с оптическим центром глаза. Такое изображение и дает наиболее естественное представление о предмете.

В школьной практике изображение, начерченное на доске, рассматривается из различных точек. Чтобы такое изображение все же давало наиболее естественное представление о предмете, необходимо, чтобы оно было проекцией изображаемого предмета из бесконечно удаленной точки или, иначе говоря, являлось бы параллельной проекцией изображаемого тела. В этом случае незначительная разница в расстояниях при рассматривании чертежа не меняет его изображения на сетчатке, и всем, находящимся в классе, он будет представляться одинаковым.

Итак, чтобы изображение давало наиболее естественное представление о предмете, оно должно быть параллельной проекцией изображаемого тела или ему подобного („с точностью до подобия“).

Следовательно, чтобы ознакомить учащихся с методом изображения тел, необходимо ознакомить их с параллельным проектированием.

Черт. 1

Параллельное проектирование

Знакомство учащихся с параллельной проекцией можно начать с определения параллельной проекции и выяснения ее свойств. Однако для облегчения понимания учащимися изложения рассматриваемых вопросов мы предлагаем учителю пользоваться соответствующими моделями, на которых проводятся все необходимые доказательства. Использование чертежа было бы затруднительно: построение чертежа, на котором даны как проекции точек (изображение точки — точка А, черт. 1), так и их вторичные проекции (изображение проекции точки—точка Аи черт. 1), потребовало бы соответствующих разъяснений для учащихся. В данной же статье нам придется пользоваться чертежами, которые будут вместе с тем и чертежами моделей, о которых говорилось выше.

В пространстве вне плоскости а дана точка А. Выбрав произвольное направление / (не параллельное плоскости а), называемое направлением проектирования, проведем через точку А прямую, параллельную выбранному направлению, и отметим точку Аг пересечения этой прямой с плоскостью а. Точка Ах называется проекцией точки Л на плоскость а; плоскость а — плоскостью проекции, прямая ААХ—проектирующей прямой; всякая плоскость, параллельная проектирующей прямой, — проектирующей плоскостью. Ясно, что всякая плоскость, проходящая через проектирующую прямую, будет проектирующей.

Из определения параллельной проекции точки следует, что проекция точки есть точка.

Проекцией какой-либо линии в пространстве на плоскость называется геометрическое место проекций всех ее точек на эту плоскость.

Теорема 1. Проекция прямой линии есть прямая*.

Пусть Ах и Вх — проекции двух точек Ли В прямой AB (черт. 2). Докажем, что проекция точки С, принадлежащей AB, лежит на прямой АХВХ. Предположим противное. Пусть проекция точки С — точка С2 не лежит на прямой АХВХ. Тогда проектирующая прямая СС2, параллельная ААХ, лежит вне плоскости АХАВВХ. Поэтому в

* Исключение представляет случай, когда данная прямая параллельна направлению проектирования. В этом случае ее проекцией является точка.

плоскости АХАВВХ мы могли бы провести прямую, параллельную ААи и тогда через точку С проходили бы две прямые, параллельные ААХ: прямая СС2, не лежащая в плоскости ААХВХВ, и прямая ССХ9 лежащая в плоскости ААХВХВ9 что противоречит аксиоме параллельности. Следовательно, проекция точки С лежит на прямой АХВХ.

Так как точка С быт выбрана на прямой AB произвольно, то, следовательно, проекции всех точек прямой AB лежат на АХВХ.

Черт. 2

Следствие. Для нахождения проекции прямой достаточно найти проекции двух ее точек.

Теорема 2. Проекции параллельных прямых параллельны между собою.

Прямые AB и CD параллельны (черт. 3). Выберем направление проектирования и проведем проектирующие прямые AAU ВВХ9 ССХ9 DDX. Проектирующие плоскости АХАВВХ и CXCDDX параллельны, как содержащие углы с параллельными сторонами (AB |[ CD; ААХ \\ ССХ). Параллельные плоскости АХАВВХ и CXCDDX пересекаются плоскостью проекции а по параллельным прямым АХВХ и CXDX9 которые являются соответственно проекциями AB и CD.

Теорема 3. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению длин их проекций.

Отрезки AB и CD (черт. 4), расположенные на прямой AD, имеют своими гроекциями соответственно отрезки АХВХ и CXDX. Рассмотрим проектирующую плоскость AXADDX. В проектирующей плоскости пара пересекающихся прямых AD и AXDX пересечена параллельными прямыми ААи ВВХ, ССХ и DDX. Как известно, из планиметрии, = _ т.е.^^^.

Черт. 3

Черт. 4

Из последнего равенства имеем qq^-q-^ > что и требовалось доказать.

Если прямые AD и A1D1 параллельны, то легко видеть, что АВ = А1В1, CD = CXDU и в этом случае АВ_Л1в1

5. Воздерживаясь от решительных суждений насчет возможности сообщения учащимся причин выбора метода параллельного проектирования в качестве основного инструмента для изображения тел и предоставляя учителю самому решить этот вопрос, мы, однако, считаем, что необходимо провести с учащимися демонстрацию опыта, с помощью которого можно было бы установить наглядно связь, существующую между правилами, по которым выполняются изображения, и свойствами параллельной проекции.

Взяв проволочный каркас какого-нибудь геометрического тела, например, правильной четырехугольной пирамиды, освещают его пучком параллельных лучей и на экране получают изображение этого тела (его параллельную проекцию).

Геометрическая оптика дает следующее объяснение этому явлению. Через каждую точку изображаемого тела проходит определенный луч света (проектирующая прямая); все лучи параллельны между собой; точка пересечения луча, проходящего через некоторую точку изображаемого тела, с плоскостью изображения, является изображением этой точки (ее проекцией); проекция линии состоит из проекций всех ее точек. Для получения изображения тела достаточно найти проекции характерных точек и линий, определяющих форму этого тела. Например, для построения изображения пирамиды необходимо найти изображения ее вершин, которые определяют изображения ее ребер, а следовательно, и форму пирамиды.

Меняя направление проектирования, мы будем получать различные изображения, но, сравнивая их, мы установим следующие свойства всех изображений:

1) если точка принадлежит линии, то ее изображение принадлежит изображению той же линии;

2) прямая линия изображается прямою линией;

3) параллельные прямые изображаются параллельяыми прямыми;

4) отношение отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению соответствующих отрезков изображения.

Помня, что изображение является параллельной проекцией изображаемого тела, легко видеть, что эти наглядно установленные нами свойства являются ранее доказанными свойствами параллельной проекции. Нарушение какого-либо из них приводит к неправильному чертежу. Это первый основной факт, на который мы должны обратить особое внимание учащихся.

Далее, возьмем проволочные модели квадрата, окружности и равностороннего треугольника. Будем их поочередно освещать пучком параллельных лучей. Нетрудно показать, что, меняя направление проектирования, можно получить изображение квадрата в виде параллелограмма произвольной формы, окружности — в виде эллипса произвольной формы, равностороннего треугольника — в виде треугольника произвольной формы.

Указанные свойства изображения могут быть выведены как следствие из теоремы:

„Всякий четырехугольник вместе с его диагоналями, у которого не все четыре вершины лежат на одной прямой *, можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра любой наперед заданной формы“2.

Эту теорему учащимся можно сообщить значительно позже, а в данный момент следует добиться понимания только что отмеченных следствий, играющих первостепенную роль при построении изображений.

В заключение следует рассказать учащимся о видах параллельной проекции: косоугольной и ортогональной (прямоугольной). В случае косоугольной проекции проектирующий луч наклонен к плоскости изображения, в случае ортогональной — перпендикулярен. Направляя пучок параллельных лучей так, чтобы он был перпендикулярен к плоскости доски, мы получим ортогональную проекцию пирамиды; во всех остальных случаях будем иметь косоугольную проекцию.

1 Такой четырехугольник (он не обязательно должен быть выпуклым) называется полным невырождающимся четырехугольником.

2 Теорема Польке-Шварца (доказательство см. в книге проф. Четверухина Н. Ф. „Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии“, Учпедгиз, 1946, § 9).

6. Итак, мы установили с учащимися, что верное изображение с необходимостью удовлетворяет условиям 1—4 (стр. 280). Условия 1—4 налагают ряд ограничений на свободу в выполнении изображений. Другими словами, изображение пространственной фигуры выполняется по определенным правилам. С этими правилами мы и должны ознакомить учащихся.

Для достижения поставленной цели можно пойти следующим путем:

1. Научить учащихся изображать фигуры, расположенные в пространстве в одной плоскости, не совпадающей с плоскостью изображения.

2. Научить изображать геометрические тела.

Черт. 5

Вопрос об изображении фигур, расположенных в одной плоскости, не параллельной плоскости изображения, рассматривается ниже в пп. 7 — 12; в пп. 13 — 21 рассматриваются элементы теории построения изображений геометрических тел и примеры построений.

Прежде, чем приступить к дальнейшему изложению, условимся пространственную фигуру, изображение которой требуется выполнить, называть оригиналом, отличая тем самым ее от изображения.

7. Допустим, что в плоскости, расположенной в пространстве, находится квадрат и точка М. На черт. 5 слева изображена эта плоскость, когда она совпадает с плоскостью изображения или параллельна ей. Если же указанная плоскость не параллельна плоскости изображения, то, как мы установили выше в п. 5, параллелограмм AXBXCXDX произвольной формы (черт. 5), можно принять за изоб-

ражение квадрата. Спрашивается: после того, как этот выбор сделан, можно ли произвольную точку плоскости изображения принять за изображение точки Mï Для того чтобы ответить на этот вопрос, прежде всего, соединим точку M с вершиной квадрата А прямой. Прямая AM пересечет сторону квадрата ВС в точке N. Изображение является одной из возможных проекций данной фигуры или ей подобной. В любой проекции отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков. Поэтому, разделив отрезок ВХСХ точкой так, чтобы BXNX : NtCt= BN: NC, и проведя прямую AXNX, выберем на последней точку Мх так, чтобы AXNX\NXMX=AN:NM. Точка Мх и является изображением точки М.

Решив таким образом вопрос о построении изображения точки, мы тем самым подошли к решению вопроса о построении изображения какой угодно фигуры, расположенной в одной плоскости с квадратом: ее изображе-

Черт. 6а

Черт. 6б

ние, после того как выбрана форма параллелограмма, являющегося изображением квадрата, не может быть выполнено произвольно, а строится путем изображения необходимых точек только что указанным способом.

Полученный вывод следует подкрепить рассмотрением следующих примеров на построение изображений.

1. В пространстве даны квадрат и треугольник, расположенные в одной плоскости. Построить их изображение на плоскости, не совпадающей и не параллельной с плоскостью квадрата. Приняв произвольный параллелограмм K\ExLiFx (черт. 66), расположенный в плоскости изображения, за изображение квадрата KELF (черт. 6а), мы находим изображение вершин треугольника — точек А, В, С только что указанным способом. Треугольник А1В1С1 является изсб-ражением треугольника ABC.

Черт. 7а

Черт. 76

2. В пространстве дан квадрат с вписанным в него кругом. Построить их изображение.

Примем параллелограмм A1B1C1D1 произвольной формы (черт. 76) за изображение квадрата ABCD (черт. 7а) и построим изображение средних линий квадрата. Чтобы построить изображение окружности, достаточно построить

изображение ряда ее точек; в практике школьного преподавания можно ограничиться построением 6 — 8 точек. Четыре точки (точка EXLXFXNX), принадлежащие изображению искомой окружности, находятся как точки пересечения сторон параллелограмма с изображением средних линий квадрата. Укажем способ построения остальных точек. Рассмотрим квадрат ABCD с вписанным в него кругом (черт. 7а). Соединим точки А и L и через точки M пересечения AL с окружностью проведем отрезок NK Из легко доказуемого подобия прямоугольных треугольников AKN и ALN видно, чт0^=^=у» т. е. точка К делит АЕ пополам.

Изображение точки Ж, в силу свойств 1—4 (стр. 280), определится как пересечение прямых AXLX с K\NX, где точка К\ — середина отрезка АХЕХ (черт. 76).

Таким же способом мы определим еще 3 точки. Соединив полученные 8 точек плавной кривой, мы получим изображение окружности — параллельную проекцию окружности на плоскость изображения. Как известно из геометрии, полученная кривая называется эллипсом.

3. В пространстве дан круг, около которого описан квадрат. Построить их изображение.

Примем произвольный эллипс за изображение заданной окружности.

Проведем в эллипсе параллельно произвольно взятому диаметру MN (черт. 8) хорду EF и разделим ее пополам (точка К); через точку К проведем диаметр ST. Легко убеждаемся в том, что диаметры MN и ST представляют собой изображение двух взаимноперпендикулярных диаметров окружности (такие диаметры эллипса называются взаимно сопряженными), так как каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому*.

Проведя через точки S и 7 прямые AB\\MN и CD\\MN и через точки M и N прямые AD\\ST и BC\\ST, мы получаем параллелограмм ABCDf являющийся изображением квадрата, описанного около окружности, изображением которой является данный эллипс.

* Этот вывод непосредственно получается, если мы воспользуемся свойствами 1—4 проекции, свойством диаметра окружности, делящего хорду пополам, и равенством углов со взаимно параллельными и одинаково направленными сторонами.

Доказательство. Из того, что AB и CD параллельны MN, AD и ВС параллельны ST, a MN и 5Г — сопряженные диаметры, следует:

1) что AB у ВС, CD и AD являются касательными к эллипсу;

2) что углы ABC, BCD, CDA, DAB являются изображением прямых углов.

Черт. 8

Следовательно, параллелограмм, описанный около эллипса, является изображением описанного около круга прямоугольника. Как известно, таким прямоугольником может быть только квадрат.

Примечание 1. В проективной геометрии доказывается, что пять точек вполне определяют эллипс. Там же дается способ построения эллипса по пяти точкам. Таким образом, зная лишь пять точек, принадлежащих эллипсу, мы могли бы найти любое число его точек. Однако в практике школьного преподавания для определения формы эллипса достаточно нахождения б — 8 точек способом, указанным выше.

Примечание 2. В геометрии доказывается, что эллипс определяется парою взаимно сопряженных диаметров. Из решения примеров 2 и 3, стр. 284 и 285, вытекает способ построения точек эллипса, когда известны его сопряженные диаметры. Приняв взаимно сопряженные диаметры эллипса за средние линии параллелограмма, построив его по ним и выполнив построения, рассмотренные в указанных примерах, мы получим требуемое изображение.

8. Рассмотрение примеров предыдущего параграфа завершается следующими обобщениями.

1. Если в плоскости фигуры, расположенной в пространстве, содержится квадрат и мы должны ее изобразить на плоскости, не параллельной плоскости квадрата*, то за изображение квадрата мы можем принять произвольный параллелограмм, а уже после этого в изображении фигуры не допускаются произвольные построения.

2. Если в плоскости фигуры, расположенной в пространстве, содержится окружность, то за изображение окружности можно принять эллигс произвольной формы. В дальнейшем произвольные построения изображений не допускаются. В самом деле, изображение окружности определяет изображение квадрата, описанного около этой окружности (стр. 286). Изображение квадрата, в свою очередь, определяет изображение люЗой другой фигуры, расположенной в плоскости этого квадрата (стр. 283). Следовательно, изображение окружности также определяет изображение фигур, расположенных в плоскости окружности.

Итак, если мы строим изображение точек и фигур оригинала, расположенных в одной плоскости, причем среди этих фигур содержится квадрат, или окружность, то изображение квадрата или окружности может быть выполнено в виде параллелограмма или эллипса произвольной формы. После этого построение изображений точек оригинала, не принадлежащих указанным фигурам, уже не может быть выполнено произвольно.

Перед нами пример так. называемого метрически определенного изображения. Условимся говорить, что в рассмотренных примерах изображением квадрата, или окружности, задана метрика изображения, так как изображение одной из указанных фигур определяет собою построение изображений всех других фигур, лежащих с ней в одной плоскости.

Нужно особо подчеркнуть, что для того, чтобы изображение было метрически определенным, нет необходимости ни в том, чтобы все фигуры оригинала были

* В дальнейшем, при построении изображения фигур, расположенных в одной плоскости, мы будем предполагать, что эта плоскость не параллельна плоскости изображения и не совпадает с нею.

расположены в одной плоскости, ни в том, чтобы метрика была задана именно посредством изображения квадрата или окружности. Для нас существенно важна лишь невозможность произвольного построения ни одной из точек оригинала.

Важнейшее свойство метрически определенного изображения, принимаемое иногда за его определение, заключается в том, что мы всегда можем с точностью до подобия восстановить оригинал. В самом деле, если метрика определена изображением квадрата, то, построив квадрат и выполняя построения, обратные построениям, выполненным в задаче о нахождении изображения точки (п. 7, стр. 283), мы и восстановим оригинал с точностью до подобия.

Метрическая определенность изображения разрешает вопрос о построении изображений точек плоской фигуры: пока изображение метрически не определено, построение выполняется лишь с учетом условий 1—4 и следствий теоремы, указанной в п. 5. После того, как изображение становится метрически определенным, ни одно из изображений точек оригинала не может быть выполнено произвольно, а определяется заданной метрикой. Закрепить полученные выводы следует путем решения задач на построение изображений плоских фигур.

9. Прежде чем приступить к решению задачи на построение метрически определенных изображений, скажем несколько слов по поводу разбора условия задачи. При разборе условия задачи с учащимися следует отчетливо выделить геометрические фигуры, которые содержит оригинал, и геометрические фигуры, которые содержат изображение, а также фигуру, изображение которой определяет метрику.

Для примера разберем условия следующих задач.

„На чертеже эллипс является изображением окружности, в плоскости которой даны также точка и прямая, на изображении обозначенные соответственно буквами Р и MN (черт. 9). Требуется построить изображение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую“. (Задача 1, см. ниже, стр. 290).

В условии данной задачи говорится о том, что оригинал содержит окружность, в плоскости которой находятся точка и прямая. Из точки на прямую опущен перпендикуляр.

Изображение содержит: эллипс, являющийся изображением окружности, изображение точки и изображение прямой. Изображение перпендикуляра требуется построить.

Окружность играет как бы вспомогательную роль: она необходима лишь для того, чтобы дать возможность задать ее изображение в виде произвольного эллипса и тем самым определить метрику.

„На чертеже эллипс является изображением окружности, в плоскости которой дан также треугольник, на изображении обозначенный буквами ABC. Построить изображение окружности, описанной около этого треугольника“. (Задача 7, черт. 13, см. стр. 295).

В оригинале имеем окружность и треугольник. Около треугольника также описана окружность.

На чертеже имеем изображение треугольника и изображение окружности, не связанной с треугольником. Требуется построить изображение окружности, описанной около треугольника.

Данным изображением окружности определяется метрика изображения.

Следует отметить, что в обеих задачах построение требуемого изображения вовсе не зависит от того, имеется ли в оригинале изображаемый объект или имеются только условия, его определяющие. Так, например, построение изображения перпендикуляра может быть выполнено независимо от того, проведен ли перпендикуляр в оригинале или нет. Для построения изображения важ-

Черт. 9

но лишь, что в оригинале даны элементы, его определяющие, а на плоскости изображения — их изображение.

10. Решение задач на построение изображений плоских геометрических фигур при условии, если заданы изображения элементов, их определяющих, и метрика, может быть сведено к решению следующих четырех задач.

Задача 1. На чертеже эллипс является изображением окружности, в плоскости которой даны также точка и прямая, на изображении обозначенные соответственно буквами Р и MN (черт. 9). Требуется построить изображение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Проведем диаметр эллипса AB, параллельный MN, и найдем ему сопряженный диаметр CD (стр. 285). Прямая PR, проведенная из точки Р параллельно CD, и является изображением искомого перпендикуляра. В самом деле: (1) углы СОВ и PRN представляют изображение углов (в оригинале) с взаимнопараллельными и одинаково направленными сторонами, 2) так как диаметр AB и CD взаимно сопряженные, то угол СОВ представляет изображение прямого угла, 3) из предыдущего и вследствие того, что углы с взаимно параллельными и одинаково направленными сторонами равны, следует, что угол PRN представляет изображение прямого угла и PR представляет изображение перпендикуляра, опущенного из точки Р на прямую MN.

Задача 2. На чертеже эллипс является изображением окружности, в плоскости которой дан также угол, на изображении обозначенный ВАС (черт. 10). Требуется построить изображение биссектрисы угла, данного в оригинале.

Из центра эллипса проведем два луча ОВх и ОСх, параллельные AB и АС. Точки Вх и С, пересечения их с эллипсом соединим хордой ВХСХ, которую разделим пополам в точке Nx. Прямая AN, параллельная ON и

Черт. 10

есть изображение биссектрисы данного в оригинале угла.

В самом деле, ONx представляет изображение биссектрисы угла, на изображении обозначенного углом ВхОСх: в оригинале диаметр круга, делящий хорду пополам, делит пополам и стягиваемую ею дугу. Кроме того, Z_BxONx = /_BANk/_NxOCx = £NAC, как углы с параллельными и одинаково направленными сторонами. Аналогичные равенства имеют место и для соответствующих углов в оригинале.

Задача 3. На чертеже эллипс является изображением окружности, в плоскости которой дан также угол, на изображении обозначенный ABC (черт. 11), и прямая, изображенная на чертеже прямой MN. Требуется построить изображение угла, равного данному, причем одна из его сторон должна совпадать с прямой MN> а вершина — с точкой М.

Из произвольной точки К*, взятой на эллипсе, проведем два луча KL и /CS, параллельные AB и ВС; точки L и 5 — точки пересечения этих лучей с эллипсом. Через точку S** проведем прямую TS, параллельную MN.

Черт. 11

* Вообще говоря, утверждение, что построение не зависит от выбора точки К* требует доказательства, которое предоставляется читателю.

** Точка S выбрана не произвольно: из двух точек L и 5 мы выбирали точку таким образом, чтобы полученный угол STL опирался на дугу, ту же, что и угол SKL (а не на дополнительную к окружности).

Соединив прямой точку Т ее пересечения с эллипсом с точкой L, проведем через точку M прямую MR\\LT. Угол RMN представляет искомое изображение. В самом деле, углы LKS и- LTS являются изображением равных углов (изображаемые углы равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу). Углы LKS и ABC также изображают равные углы (изображаемые углы равны как углы с параллельными и одинаково направленными сторонами). По той же причине углы LTS и RMN изображают равные углы. Из сравнения этих соотношений следует, что углы ABC и RMN изображают равные углы.

Задача 4. На чертеже эллипс является изображением окружности, в плоскости которой дан также отрезок, изображенный на чертеже отрезком AB (черт. 12), и прямая, изображенная на чертеже прямой MN. Требуется построить изображение отрезка, равного данному в оригинале и принадлежащего данной прямой.

Проведем через центр эллипса О прямые OK и OR, соответственно параллельные AB и MN, и на OK отложим отрезок ОР = АВ. Точки /Си R пересечения OK и OR с эллипсом соединим хордой. Тогда треугольник KOR будет изображением равнобедренного треугольника. Проведя РТ параллельно KR* мы получим треугольник ТОР, который является также изображением равнобедренного треугольника (в силу его подобия треугольнику ROK), причем ОР и ОТ изображают равные отрезки. Так как при проектировании отношение отрезков параллельных прямых сохраняется, то, отложив на MN отрезок CD, равный ОТ, мы выполним требуемое построение.

11. При решении задач 1—4 учителю следует все время стремиться к тому, чтобы вызвать у учащихся пространственные представления тех геометрических объектов, изображать которые они берутся. В этом случае

Черт. 12

все приводимые доказательства становятся более естественными, с другой стороны, само проведение доказательств вызывает пространственные представления.

Таким образом, связывая уже не с помощью чертежа, а с помощью пространственных представлений изображаемые объекты с их изображением, учащиеся в значительной степени развивают пространственные представления.

При решении задач 3 и 4 следует обратить внимание учащихся на то, что размеры углов и отрезков полученных изображений зависят от положения изображаемых фигур в пространстве по отношению к плоскости изображения. Равные отрезки и равные углы могут изображаться неравными отрезками и неравными углами — факт, с которым учащиеся уже встречались при изображении квадрата. Задачи 3 и 4 дают общий метод построения равных углов и равных отрезков, когда задана метрика изображения.

12. Можно установить три типа задач на построение изображений после того, как задана их метрика. Хотя такое деление чисто условно, но оно позволяет, во-первых, концентрировать внимание учителя и учащихся каждый раз в определенном направлении и, во-вторых, в зависимости от тех целей, которые ставятся при решении задач каждого типа, позволяет учителю определить затрату времени на их решение. Нам кажется удобным установить такие типы.

Первый тип. Задачи на построение изображений, в которых одна из фигур оригинала играет как бы вспомогательную роль: ее изображение задается лишь с целью установления метрики изображения. К этому типу задач относятся задачи 1—4 и задачи на построение изображений треугольников, прямоугольников, параллелограммов, когда заданы изображения элементов, их определяющих, и метрика изображения. Основная цель, которую мы преследуем при решении задач этого типа, заключается в том, чтобы выработать у учащихся твердые навыки выполнения метрически определенных изображений.

Второй тип. Задачи, устанавливающие равноценность некоторых фигур, как фигур, определяющих метрику изображений. Решая задачи этого типа, мы стремимся выработать у учащихся способность отличить метрически

определенное изображение от изображения метрически неопределенного. К задачам этого типа относятся пример 3 п. 7 (стр. 291) и следующая далее задача 9 (стр. 296).

Третий тип. Задачи на построение метрически определенных изображений, в которых фигура, определяющая метрику, является составной частью выполняемого изображения. К таким задачам относятся задачи на построение изображений вписанных и описанных фигур, причем одна из этих фигур определяет метрику изображения. Решение задач этого типа не составляет особого труда для учащихся, если ими усвоено решение задач первого типа.

Задачи третьего типа являются составной частью задач на построение изображений геометрических тел, поэтому очень важно, чтобы учащиеся легко и быстро умели их решать. Так как, во-первых, эти задачи непосредственно примыкают к задачам на построение изображений тел и, во-вторых, от учащихся требуется более или менее самостоятельное их выполнение, то мы решали их в школе после задач первого и второго типов.

Задачи всех трех типов способствуют развитию пространственных представлений учащихся.

Далее даются примеры задач каждого типа. Учитель, по мере надобности, легко сам продолжит указанный список. Следует также предлагать учащимся дома самостоятельное составление задач. Как показывает опыт, эта работа вызывает живой интерес учащихся.

Примеры задач первого типа

Задача 5. На чертеже эллипс является изображением окружности, в плоскости которой дан треугольник, на изображении обозначенный буквами ABC. Требуется построить изображения биссектрис, высот и медиан указанного треугольника.

Построения изображений биссектрис и высот целиком повторяют построения, рассмотренные соответственно в задачах 2 и 1. Построение изображений медиан выполняется непосредственно; так как отношение отрезков прямой при проектировании не изменяется, то медиана

изображения треугольника является изображением медианы треугольника оригинала.

Задача 6. На чертеже эллипс является изображением окружности, в плоскости которой даны два отрезка и угол, изображение которых нам также известно. Требуется найти изображение треугольника, определяемого этими элементами.

Решение задачи сводится к тому, чтобы на сторонах угла, данного в изображении, отложить от его вершины отрезки, изображающие отрезки, равные данным в оригинале, т. е. к решению задачи 4. Выполнив указанные построения и соединив концы полученных отрезков прямой, мы получим изображение искомого треугольника;

Задача 7. На чертеже эллипс является изображением окружности^ в плоскости которой дан также треугольник, на изображении обозначенный буквами ABC (черт. 13). Построить изображение окружности, описанной около этого треугольника.

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных к серединам сторон треугольника. Следовательно, центр эллипса, являющегося изображением этой окружности, лежит на пересечении изображений перпендикуляров, восстановленных к серединам сторон данного в оригинале треугольника. Проведя диаметры эллипса ВхСг и АХС\, параллельные сторонам треугольника АБС {ВгСг \\ ВС и АХС'Х\\АС) и найдя им сопряженные (ОхК\ и OxLx), мы получим изображение центра окружности (точка О), описанной около треугольника (в оригинале), как точку пересечения прямых OK и OL, проведенных через середины сторон треугольника ABC и соответственно параллельных ОхК\ и OxLx. Проведем прямую АО и отложим на ней от точки О отрезок OD=OA. Полученная таким об-

Черт. 13

разом точка D является изображением точки, принадлежащей окружности, описанной около треугольника (OA — изображение радиуса этой окружности). Точно таким же способом можно найти еще две точки Е и F(OE = ОС9 OF=OB), принадлежащие искомому эллипсу. Построение эллипса по шести точкам можно выполнить „от руки“,

Примечание. Можно построить требуемый эллипс по паре его сопряженных диаметров. В самом деле, так как изображение метрически определено, легко найти направление диаметра, сопряженного диаметру AD (стр. 285). Далее на полученной прямой по обе стороны от точки О следует построить отрезки, равные отрезку, изображением которого является отрезок OD (задача 4). Зная пару сопряженных диаметров строим эллипс, как указано в примечании 2 к п. 7.

Задача 8. На чертеже эллипс является изображением окружности, в плоскости которой дан треугольник с вписанной в него окружностью. Требуется построить изображение окружности, вписанной в этот треугольник, если изображение треугольника дано.

Предоставляем читателю самому выполнить требуемые построения.

Пример задачи второго типа

Задача 9. На чертеже (черт. 14) треугольник ABC является изображением равностороннего треугольника.

Требуется построить изображение окружности, описанной около этого треугольника.

Проведем медианы AM, BN и CL, которые являются в то же время изображением высот равностороннего треугольника. На продолжении медианы AM отложим отрезок MD=OM, на продолжении медианы BN — отрезок NF=ON и на продолжении медианы CL — отрезок TL = OL. Через точки А, F, С, D, В, Т, принадлежащие изображению окружности, описанной около треугольника, от руки проводим эллипс (см. также примечание 1 на стр. 286).

Черт. 14

Решая задачу 9, мы подчеркнули учащимся, что за изображение равностороннего треугольника можно принять треугольник произвольной формы. После того, как этот выбор сделан, изображение окружности, описанной около этого треугольника, вполне определено. Связав полученный вывод с ранее сделанным выводом о том, что изображение окружности определяет метрику изображения, мы заключаем, что и изображение равностороннего треугольника также определяет собою метрику изображения.

Далее мы проводим некоторые другие признаки (не все), позволяющие судить о метрической определенности изображения*.

1. Если условия устанавливают отношения истинных длин трех любых (попарно не параллельных) отрезков изображения, то изображение метрически определено.

2. Условие сопряженности двух пар направлений (ортогональность их в оригинале) делает изображение метрически определенным.

3. Если условия устанавливают, что две данные прямые являются изображением биссектрис двух углов, то изображение метрически определено.

4. Если условиями устанавливаются истинные величины двух каких-либо углов изображения, то изображение является метрически определенным.

5. Если на изображении дано отношение истинных длин двух каких-либо отрезков и, кроме того, известна истинная величина какого-либо угла, то изображение метрически определено.

Примеры задач третьего типа

Задача 10. На чертеже (черт. 15) эллипс является изображением окружности. Требуется построить изображение правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

Черт. 15

* См. книгу проф. Н. Ф. Четверухина, названную в п. 5,

Проведем диаметр эллипса AB и разделим отрезок АО пополам (точка N). Через точку N проведем хорду CD, параллельную диаметру KL> сопряженному AB. Соединив точки С и D с точкой В, получим треугольник BCD, являющийся изображением правильного треугольника. В самом деле, треугольник BCD является изображением вписанного треугольника, высота которого делится центром описанной окружности в отношении 2:1, т. е. правильного треугольника.

Черт. 16

Просмотрев вновь решение задачи 9, нетрудно видеть, что точки А, T, В, D9 С, F (черт. 14) являются изображениями вершин правильного шестиугольника, вписанного в окружность. Отсюда вытекает способ построения изображения правильного шестиугольника, вписанного в окружность, если изображение этой окружности в виде эллипса известно. Строим, как указано в задаче 10, изображение правильного треугольника, вписанного в окружность. Проведя его медианы, определим точки пересечения их продолжения с эллипсом. Соединив последовательно полученные шесть точек (три вершины треугольника и три найденные точки), получим требуемое изображение.

Задача 11. На чертеже (черт. 16) эллипс является изображением окружности. Построить на чертеже изображение прямоугольного треугольника, описанного около этой окружности.

Первый способ. Проведем произвольно диаметр эллипса MN и найдем ему сопряженный KL. Через точки К и M проводим касательные к эллипсу*, которые

* Точка В — точка пересечения этих касательных.

будут параллельны сопряженным диаметрам MN и KL* и поэтому будут изображать две взаимно перпендикулярные прямые. Проведя третью касательную и определив точки Л и С ее пересечения с двумя ранее проведенными касательными, мы получим требуемое изображение треугольника ABC.

Второй способ (черт. 17). Произвольную точку С на эллипсе соединим с концами произвольного диаметра AB. Угол АСВ является изображением прямого угла. Проведем касательные к эллипсу, параллельные СВ и АС. Угол, составленный этими касательными, является изображением прямого угла.

Проведя третью касательную, их пересекающую, мы и получим треугольник LMN, являющийся изображением прямоугольного треугольника.

Задача 12. На чертеже эллипс является изображением окружности. Требуется построить изображение равнобедренного треугольника, описанного около этой окружности.

Проведем произвольный диаметр эллипса MN (черт. 18). Из произвольной точки Л, взятой на продолжении диаметра MN, проведем касательные к эллипсу. Проведя третью касательную через точку M и определив точки В и С ее пересечения с двумя ранее проведенными касательными, мы получим треугольник ABC, являющийся требуемым изображением. Доказательство читатель выполнит сам.

Черт. 17

* AВ, будучи касательной к эллипсу, является изображением касательной к окружности. Указанная касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, изображением которого является отрезок МО. К тому же радиусу перпендикулярен и диаметр, изображенный на чертеже диаметром /(L. Касательная и диаметр, будучи перпендикулярны к одному и тому же отрезку, параллельны между собой. Их параллельность сохраняется и на изображении. Точно так же доказывается и параллельность ВС и MN,

13. После того, как учащиеся усвоили правила изображения фигур, расположенных в одной плоскости, следует перейти к рассмотрению правил изображения геометрических тел и фигур, расположенных в разных плоскостях.

Допустим, что мы беремся изображать тело F на плоскости а (черт. 19).

Выбрав направле-н ие проектирования, проводим касательные к поверхности тела, параллельные проектирующему лучу, и, таким образом, получаем цилиндр, касательный к поверхности тела. Этот цилиндр носит название проектирующего цилиндра. Линия касания проектирующего цилиндра с поверхностью тела называется видимым контуром изображаемого тела. Линия пересечения контурного цилиндра с плоскостью изображения является изображением контура и иногда называется очертанием тела.

Черт. 18

Черт. 19

Контур предмета, как это следует из его определения, отделяет видимую часть предмета от невидимой. Поэтому при изображении предметов прежде всего должен быть выделен контур предмета.

Отметим без доказательства одну важную теорему: „Если кривая G на поверхности тела пересекает видимый контур тела в некоторой точке М, то ее ивображение G' касается очертания этого тела на плоскости изображения в точке М', изображающей М. При этом точка M является точкой раздела видимой части линии G от ее невидимой части“.

Так, например, допустим, что мы беремся изображать прямой круговой конус в ортогональной проекции. Плоскость изображения вертикальна. Основание конуса наклонено к плоскости изображения так, что вершина конуса находится дальше от плоскости изображения, чем центр основания конуса. Линия пересечения плоскости изображения с плоскостью основания конуса остается горизонтальной. В этом случае изображение контура показано на черт. 20. (В этом мождо убедиться, если рассмотреть контурный цилиндр.) Часть окружности основания конуса совпадает с контуром. Поэтому часть эллипса (часть ACDB на черт. 21), изображающего основание конуса, будет являться и изображением части контура. Часть эллипса, являющаяся изображением части контура, не равна другой части эллипса, изображенной на черт. 21 пунктиром.

Черт. 20 Черт. 21

В точках А и В, отделяющих первую часть от второй, эллипс касается изображения контурных образующих, так как в точках оригинала, соответствующих А и В, окружность основания конуса пересекает контурные образующие.

Произвол в построении изображений многогранников и круглых тел определяется и следующей теоремой*: „Всякий невырождающийся полный четырехугольник можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра любой наперед заданной формы“.

Другими словами, нарисованный нами произвольный полный невырождающийся четырехугольник ABCD (черт. 22) можно принять за изображение треугольной пирамиды любой формы, например, правильной, или пирамиды, у которой три ребра, исходящие из какой-нибудь вершины, составляют друг с другом прямые углы и равны между собой.

С другой стороны, полные невырождающиеся четырехугольники различной формы мы можем принимать за изображение тетраэдра данной формы, например, правильной треугольной пирамиды.

Разъяснить учащимся эту теорему можно на следующем опыте. Взяв модель проволочного каркаса тетраэдра, у которой три ребра, выходящие из одной вершины, взаимноперпендикулярны и равны, освещают ее пучком параллельных лучей. Меняя направление проектирования, мы будем получать ее тень (изображение) в виде полных невырождаю-щихся четырехугольников различной формы. С другой стороны, отметив мелом какой-либо из них, мы можем, взяв проволочный каркас правильной треугольной пирамиды, подобрать направление проектирующего пучка лучей так, чтобы его тенью являлся четырехугольник, подобный выбранному.

Черт. 22

* Уже приведенной на стр. 281.

Следствием этой теоремы является возможность произвольного выполнения изображений куба, параллелепипеда, конуса, цилиндра. Конечно, эта произвольность относительна; она ни в какой мере не должна нарушать ни основных свойств проекции, ни первой теоремы данного параграфа. Произвольность здесь понимается как свобода выбора величины и направления отрезков, изображающих ребра куба, исходящие из одной вершины, или как свобода выбора формы эллипса, изображающего основание конуса, и т. п. и является следствием того, что изображение выполнено в параллельной проекции, но направление проектирования не определено.

Вопрос об изображении многогранников не вызывает обычно затруднений ни у учителя, ни у учащихся. Однако следует помнить, что в некоторых случаях изображение основания многогранника не может быть вычерчено произвольно. Так, например, при изображении основания правильной шестиугольной пирамиды мы можем произвольный треугольник принять за изображение равностороннего треугольника и, далее, по нему построить изображение правильного шестиугольника (см. задачу 10).

Большие затруднения вызывают построения изображений вписанных и описанных тел. Некоторые из этих задач мы сейчас рассмотрим.

Задача 13. В конус* вписана правильная шестиугольная пирамида. Построить изображение.

Вполне произвольно строим эллипс (черт. 23), изображающий основание конуса; точка О — его центр. Отрезок OS примем за изображение высоты конуса. Касательные из точки 5 к эллипсу являются изображением контурных образующих. Далее, как было указано в задаче 10, находим изображение правильного шестиугольника, впи-

Черт. 23

* В этой задаче, как и в следующих, мы будем рассматривать прямой круговой конус.

санного в основание конуса (шестиугольник ABCDEF). Так как вершины конуса и пирамиды совпадают, то, соединив прямыми точку 5 с точками Л, В, С, D, Е, F, мы и получаем требуемое изображение.

Черт. 24

Задача 14. Около конуса писана пирамида, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Построить изображение.

Вычерчиваем, как и в предыдущей задаче, изображение конуса (черт. 24) и находим изображение прямоугольного треугольника, описанного около основания (задача 11). Соединив прямыми вершины полученного треугольника ABC с точкой S, получаем требуемое изображение.

Задача 15. В конус вписана правильная треугольная призма. Построить изображение.

Вычерчиваем изображение конуса (черт. 25). Проведем через произвольную точку высоты плоскость, параллельную основанию, и построим изображение сечения

Черт. 25

этой плоскости с боковой поверхностью конуса. Сечение изобразится эллипсом, подобным и подобно расположенным с эллипсом, изображающим нижнее основание конуса*. Приняв плоскость полученного сечения за плоскость верхнего основания призмы, легко начертить его изображение. Для этого следует только, как указано в задаче 10, построить изображение правильного треугольника, вписанного в окружность, изображение которой в виде эллипса дано на чертеже.

Выполнив указанные построения, приступим к изображению нижнего основания призмы. Укажем построение одной из вершин треугольника, изображающего нижнее основание, например, построение вершины А. Проведем через высоту конуса и соответствующую вершину верхнего основания призмы плоскость, часть которой изображена на чертеже (треугольник SNO). Ребро призмы, проходящее через вершину, определяющую указанную плоскость сечения, будучи параллельно высоте конуса, принадлежит этой плоскости. Поэтому, проведя из точки Аг прямую, параллельную SO, и найдя точку ее пересечения с ON, мы получим изображение вершины нижнего основания призмы (точка А) и этого ребра призмы [ААг). Дальнейшие построения очевидны.

Задача 16. Около цилиндра** описана треугольная пирамида, основанием которой служит равнобедренный треугольник. Построить изображение.

Вычерчиваем изображение цилиндра (черт. 26). Произвольный эллипс принимаем за изображение нижнего основания цилиндра. Точка О — его центр. Отрезок ООх примем за изображение оси цилиндра; точка Ох— центр эллипса, изображающего верхнее основание цилиндра. Этот эллипс равен эллипсу, изображающему нижнее основание цилиндра, и подобно с ним расположен. Вычертив его и проведя общие касательные, параллельные ООх, к указанным эллипсам, мы получим изображение цилиндра.

* Для построения этого эллипса необходимо найти достаточное количество точек, ему принадлежащих. Точка искомого эллипса, например, на образующей SM определится как точка пересечения SM с ВгОъ причем В}Ох\\ОМ. Точно так же определятся точки и на других образующих.

** Во всех задачах на построение изображений мы рассматриваем прямой круговой цилиндр.

Далее, как указано в задаче 12, находим изображение равнобедренного треугольника, описанного около верхнего основания цилиндра. Отметим произвольно на изображении продолжения оси цилиндра точку 6' и примем ее за изображение вершины пирамиды. Точки Л, В и С пересечения прямых ИАи SBU SCi с прямыми, проходящими через точку О и соответственно параллельными прямым 0,Л„ 0,5„ 0,С,*, являются изображениями вершин нижнего основания пирамиды.

Соединив изображения вершин пирамиды прямыми, мы и получим требуемое изображение.

14. Давая в качестве примеров построения изображений задачи 13—16, мы хотели обратить внимания учителя на те моменты, которые играют существенную роль при их выполнении. С этой точки зрения, для нас важно было выяснить характер тех изображений, которые не могут быть выполнены произвольно. Ясно, что любое изображение должно строиться с учетом положений, рассмотренных в п. п. 4 и 13. Но, кроме того, непосредственным следствием свойств проекции является невозможность произвольного выполнения изображений фигур, расположенных в одной плоскости с окружностью или расположенных в плоскостях, параллельных той, в которой расположена окружность, когда изображение окружности в виде эллипса выполнено или может быть выполнено. Например: изображение правильного шестиугольника, вписанного в основание конуса (задача 13), и изображение прямоугольного треугольника, описанного около основания конуса (задача 14), не могут быть выполнены произвольно.

Черт. 26

* Для доказательства следует рассмотреть сечения, проходящие через боковые ребра и высоту пирамиды.

Сказанное об окружности, несомненно, относится и к другим фигурам, равноценным окружности в смысле определения метрики изображения.

Кроме того, следует отметить, что изображение пересечений прямых и плоскостей в ряде случаев не может быть выполнено произвольно. В рассмотр<.няых нами примерах эти случаи связаны с нахождением изображения проекции точки на некоторую плоскость*.

Так, например, в задаче 15 нам следовало определить изображение параллельной проекции вершины верхнего основания призмы на плоскость основания конуса, в задаче 16 — изображение центральной проекции вершины треугольника, описанного около верхнего основания цилиндра, на плоскость его нижнего основания. Если учащиеся были предварительно знакомы с проекционным чертежом, то эти изображения могут быть выполнены как изображения проекции точек при центральном или параллельном проектировании. Мы же, не опираясь на свойства проекционного чертежа, строили дополнительные сечения для их определения. Например, в задаче 15 мы строили изображение дополнительного сечения, чтобы определить изображение точки пересечения ребра призмы с нижним основанием конуса.

15. Наибольшие трудности при построении чертежей пространственных фигур падают на построение изображений шара и комбинаций тел, содержащих тар. Дело в том, что в косоугольной проекции изображение контура шара (очертание) не является окружностью, а представляет собою эллипс. В самом деле, контурный цилиндр, описанный около шара, является цилиндром вращения. Если плоскость изображения пересекает контурный цилиндр под острым углом к его образующей (косоугольная проекция, черт. 27), то очертание будет эллипсом. Если плоскость изображения пересекает контурный цилиндр под прямым углом к его образующей (ортогональная проекция, черт. 28), то очертание шара — окружность.

Эти выводы непосредственно следуют из доказываемых в геометрии фактов, утверждающих, что сечение цилиндра плоскостью, не перпендикулярной к образующей, есть эллипс, а сечение плоскостью, перпендикулярной к

* Вообще же говоря, вопрос об изображениях пересечений связан с вопросом „полноты“ изображений, см. названную в п. 5 книгу проф. Н. Ф. Четверухина.

образующей, — окружность. Учащимся следует сообщить этот факт без доказательства, разъяснив его на моделях, выполненных по чертежам 27 — 28. Но так как очертание шара в виде эллипса не является наглядным, то рекомендуется давать изображение шара только в ортогональной проекции. Однако изображение в ортогональной проекции в связи с тем, что направление проектирования определено, не отличается такой произвольностью, как изображение в косоугольной проекции, с неопределенным направлением проектирования. Далее мы рассмотрим вопрос об изображении шара в ортогональной проекции.

16. Прежде всего дадим необходимые для дальнейшего определения.

Проведем вертикальный диаметр шара и назовем его осью, а точки пересечения оси шара с его поверхностью— полюсами. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной оси шара и проходящей через центр шара, называется экватором, сечение шара плоскостью, проходящей через его ось, называется меридианом, сечение шара плоскостью, параллельной экватору, называется параллелью.

Черт. 27

С учащимися прежде всего необходимо выяснить, что в том случае, ког,са экватор изобразится на чертеже в виде эллипса, изображение полюсов шара не будет находиться на очертании шара, что, к сожалению,“ нередко наблюдается на чертежах в учебниках.

Если изображение полюсов оказывается на очертании шара, т. е. в точках С и D на черт. 29а, то это значит, что проектирующие лучи параллельны плоскости экватора, так что изображением последнего будет не эллипс, а диаметр MR очертания шара. Чтобы изображение экватора представилось эллипсом, нужно, сохраняя ортогональность проектирования, повернуть ось шара на некоторый угол в плоскости, перпендикулярной плоскости изображения и проходящей через ось шара. Тогда изображения полюсов должны будут, очевидно, переместиться в точки N и S, расположенные на диаметре CD симметрично относительно центра, так что ON=OS\ экватор изобразится эллипсом MPR. При этом большая полуось эллипса равна радиусу шара, а длина малой полуоси ОР очень просто связана с расстоянием ON= OS.

Черт. 28

Чтобы установить эту связь, представим себе сечение шара той плоскостью, в которой мы повернули ось.

Это сечение изображено на черт. 296; CXDX — первоначальное положение оси, — положение после поворота; AB — первоначальное положенье (до поворота оси) диаметра экватора, перпендикулярного диаметру, изображением которого является диаметр MR; FF—положение того же диаметра после поворота оси. Отрезок 0\LX — проекция 0,Л;, на CxDù ОхК — проекция OxF на диаметр AB. Ясно, что OxLx = ON, а отрезок KF дает величину малой полуоси эллипса, изображающего экватор. Кроме того, из равенства треугольников LxOxNx и OxKF следует, что OxLx = 0\K. Это дает простой способ изображения шара в ортогональной проекции.

Построим очертание шара в виде окружности с центром О и на диаметре CD, изображающем ось шара, выберем точки N и 5, изображающие полюсы, произвольно, но так, чтобы ON=OS.

На диаметре MR, перпендикулярном CD, отложим отрезок OQ = О Ли из точки Q восставим перпендикуляр к MR. Отрезок QT от MR до пересечения перпендикуляра с очертанием шара даст длину малой полуоси эллипса, изображающего экватор.

Черт. 29а Черт. 296

Можно, наоборот, выбрать произвольно длину малой полуоси эллипса, изображающего экватор; тогда изображения полюсов найдутся построениями, обратными указанным.

17. После того как учитель убедился, что учащиеся умеют правильно изображать полюсы и экватор шара, следует показать изображение меридиана и параллели.

Построение изображения меридиана. Предполагая, что изображение экватора и полюсов шара выполнено (черт. 30), свяжем изображение меридиана с произвольным диаметром эллипса, например AB, изображающего экватор. Отрезки AB и NS представляют собою пару взаимно-сопряженных диаметров эллипса, изображающего меридиан. По паре сопряженных диаметров обычным способом (стр. 286) строим эллипс. Полученный эллипс касается очертания шара в точках, лежащих на концах большой оси эллипса (большая ось эллипса, изображающего сечение шара плоскостью, проходящей через центр, равна диаметру очертания шара).

Построение изображения параллели. Построим изображение меридиана, проходящего через диаметр шара, изображением которого является большая ось AB эллипса, изображающего экватор (черт. 31).

Черт. 30

Черт. 31

Предположим, что плоскость искомого сечения проходит через точку, изображением которой на чертеже является точка Ох. Эллипс, изображающий сечение шара этой плоскостью, подобен и подобно расположен с эллипсом, являющимся изображением экватора, причем его бЬльшая ось Ах Вх проходит через точку Ох параллельно большой оси AB эллипса, изображающего экватор, и концы ее Ах и Вх лежат на изображении построенного меридиана. Зная, таким образом, большую ось эллипса, изображающего параллель, и построив, из условия его подобия экватору, малую (для этого достаточно из точки Вх провести прямую ВХСХ\\ВС и найти ее пересечение с NS; отрезок ОхСх является малой полуосью), мы по двум сопряженным диаметрам обычным способом строим эллипс.

При построении изображения параллели обычно трудно бывает установить, как расположена большая ось параллели.

Рассмотрим это. Так как параллель и экватор расположены в параллельных плоскостях, то они изобразятся подобными и подобно расположенными эллипсами. Меридиан, изображением которого является эллипс ANBS, пересекает параллель и экватор по параллельным диаметрам. Так как при этом указанный диаметр экватора изобразится большой осью AB эллипса, изображающего экватор, то, очевидно, что соответствующий диаметр параллельного круга также изобразится большой осью Ах Вх эллипса, изображающего параллельный круг.

Так как в оригинале концы диаметров экватора и параллельного круга принадлежат меридиану, то и в изображении концы осей эллипсов, изображающих экватор и параллель, должны принадлежать изображению меридиана.

18. При построении в принятом нами плане изображений вписанных и описанных тел, мы встречаемся с трудностью: чтобы выполнить изображение данной пространственной фигуры, необходимо знать законы ее построения. Так, например, для выполнения изображения правильной четырехугольной пирамиды, описанной около шара, предварительно следует установить, что плоскость квадрата, являющегося основанием пирамиды, касается полюса шара в центре этого квадрата, что точки касания поверхности шара с боковыми гранями пирамиды лежат на апофемах этих боковых граней, что высота пирамиды

проходит через центр шара. При построении изображения прямой треугольной призмы, вписанной в шар, следует показать, что, определив положение вершин верхнего основания на окружности параллельного круга, мы тем самым определим положение вершин ее нижнего основания: вершины нижнего основания будут симметричны относительно экватора соответствующим вершинам верхнего основания, и т. д. Все приведенные факты, несомненно, нуждаются в доказательстве. Однако в процессе такого доказательства мы не можем пользоваться • чертежом как наглядным пособием, ибо построение чертежа требует знания закона построения данной геометрической фигуры. Другими словами, чертеж является позднее, как следствие применения проектирующего аппарата к требуемой пространственной фигуре. Проведение доказательства без помощи чертежа встречает, однако, в ряде случаев затруднения у учащихся, ибо требует от них большого напряжения пространственного воображения. Привлекая в этих случаях в процессе доказательства в качестве наглядного материала каркасные или прозрачные модели вписанных и описанных тел, мы преодолеваем эти затруднения. Однако в то же время мы должны стремиться перейти к исключительно логическому доказательству. Такое проведение доказательства способствует развитию пространственного представления и воображения учащегося: в процессе доказательства учащийся должен отчетливо представлять себе требуемую пространственную фигуру. В исключительных случаях возможно также догматическое сообщение закона построения с последующим доказательством этого закона (доказательством, в процессе которого в качестве наглядного материала будет использован чертеж). Здесь следует выяснить с учащимися возможность пользоваться чертежом как опорой в пространственных представлениях учащихся при доказательстве теорем. Эта возможность основывается на том, что процесс проектирования не нарушает тех свойств, на которых основано доказательство тех или иных теорем.

Построение изображений тел, вписанных в шар

19. Задача 17. В шар вписан конус. Построить изображение.

Предположим, что изображение шара его очертанием дано (черт. 32). Дополним его изображением экватора и

полюсов. За основание конуса примем сечение шара плоскостью, параллельной экватору. Построив, как указано в п. 17, изображение основания конуса (изображение параллели — эллипс с осью DC), определим изображение его вершины. Как нетрудно видеть, изображение одного из полюсов шара (N) является и изображением вершины конуса. В самом деле, плоскость основания конуса, будучи параллельной плоскости экватора, перпендикулярна оси шара. Так как ось шара проходит через центр окружности, являющейся основанием конуса, то высота конуса совпадает с частью оси шара, а соответствующий полюс шара является вершиной конуса. Зная изображение основания и вершины конуса, строим обычным способом изображение.

Задача 18. В шар вписана прямая треугольная призма. Построить изображение.

Предположим, что изображение шара в виде его очертания дано. Построим изображения экватора и полюсов, а также сечение шара плоскостью, параллельной экватору (черт 33). Треугольник ЛВС произвольной формы, вписанный в эллипс, изображающий параллель, примем за изображение верхнего основания призмы. Проведя из точек Л, В, С прямые, параллельные оси шара, и отложив на них отрезки AAl=BBl = CCl= =200и мы получим точки Аи Ви Сг, являющиеся изобра-

Черт. 32

Черт. 33.

жением вершин треугольника, служащего нижним основанием призмы. Построив этот треугольник, мы и получим требуемое изображение.

Черт. 34

Построение изображений тел. описанных около шара

20. Задача 19. Около шара описана треугольная призма, основанием которой служит прямоугольный треугольник. Построить изображение.

Предположим, что изображение шара в виде его очертания дано (черт. 34). Дополним его изображением экватора и полюсов. Построим изображение прямоугольного треугольника, описанного около экватора (задача 11). Проведем через точки А, В, С прямые АХА2 II ВХВ2 \\ СХС2 || SM и отложим на них от точек Л, В и С отрезки ААХ = АА2 — ВВХ = ВВ2 = ССХ = z=iCC2 = ON. Точки Ах, Ви Сх, как не трудно видеть, являются изображением вершин треугольника, служащего верхним основанием призмы, а точки А2, В2, С2 являются изображением вершин треугольника, служащего нижним основанием призмы. Построив эти треугольники, мы и получим требуемое изображение. Точки Р, Q, R касания сторон треугольника ABC с эллипсом, изображающим экватор, являются изображением точек касания поверхности шара и боковых граней призмы. Точки N и S являются изображением точек касания шара оснований призмы.

Задача 20. Около шара описана правильная четырехугольная пирамида. Построить изображение.

Предположим, что изображение шара в виде его очертания дано (черт. 35). Дополним его изображением экватора и полюсов. Плоскость квадрата, являющегося основанием пирамиды, касается полюса шара в центре этого квадрата. Чтобы построить его изображение, найдем

изображение квадрата, вписанного в экватор — параллелограмм Ах Вх С, Dx. Параллелограмм, являющийся изображением основания пирамиды, выберем подобным и подобно расположенным с параллелограммом AXBXCXDX. Принимая во внимание, что точка пересечения его диагоналей и их направление известно, мы его легко построим.

Изображение вершины пирамиды определим следующим образом. Построим изображение меридиана, проходящего через диаметр экватора, параллельный средней линии основания пирамиды. Проведем касательную к эллипсу, изображающему меридиан, из точки М, изображающей точку пересечения указанной средней линии со стороной квадрата. Точка S пересечения полученной касательной MR (R — точка касания) с прямой OxN и является изображением вершины пирамиды. Зная изображение вершины и основания пирамиды, легко построить ее изображение.

Заметим, что точка R является одной из точек касания боковой грани пирамиды с поверхностью шара.

Задача 21. Около шара описан конус. Построить изображение.

Предположим, что изображение шара в виде его очертания дано (черт. 36). Дополним его изображением полюсов и экватора. Далее проведем плоскость через ось шара и построим изображение сечения шара этой плоскостью. Эта плоскость пересечет шар по меридиану, на чертеже изображенному элипсом ANBOXy а экватор и плоскость основания конуса — по параллельным прямым, которые изобразятся на чертеже прямыми OB и ОхМ.

Выберем на продолжении оси шара произвольную точку .S и примем ее за изображение вершины конуса. Проведя

Черт. 35

из точки .S касательную к меридиану и найдя точку ее пересечения с ОхМ, мы получим точку Вг, являющуюся изображением точки пересечения образующей конуса с плоскостью основания. Эллипс, являющийся изображением основания конуса, проходит через полученную точку, подобен и подобно расположен с элипсом, изображающим экватор. Этими условиями он и определяется. Зная изображение вершины конуса и его основания, легко построить и изображение конуса. Линия касания поверхности шара с боковой поверхностью конуса (на чертеже не изображена) изобразилась бы эллипсом подобным и подобно расположенным с эллипсом, изображающим экватор и проходящим через точку В2.

21. При решении задач 17—21 учителю следует обратить внимание на дальнейшее раскрытие тех положений, о которых говорилось в п. 14.

Во-первых, эллипс, являющийся изображением экватора или параллельного круга, определяет построение изображений фигур, расположенных в плоскости экватора, параллельного круга или всякой другой плоскости, им параллельной. Например, в задаче 20 плоскость основания пирамиды параллельна плоскости экватора, поэтому квадрат, являющийся основанием пирамиды, не может быть изображен параллелограммом произвольной формы после того, как на чертеже выполнено изображение экватора.

Во-вторых, изображение некоторых пересечений также не может быть произвольным; например, в задаче 21 изображение тючки пересечения образующей с плоскостью основания конуса,. Для построения изображений этих пе-

Черт. 36.

ресечений мы пользовались тем же приемом построения изображений дополнительных сечений, что и в п. 14.

При построении изображений призмы и цилиндра, вписанных и описанных около шара, следует учесть, что плоскость экватора является плоскостью симметрии этих тел.

Следует также обратить особое внимание учащихся на умение, исходя из рассмотрения оригинала, определять те элементы, которые могут быть изображены произвольно. Так, например, при решении задачи 21 учащиеся, представляя щар, видят, что произвольный выбор на оси шара вершин конуса определит конус; конус также может быть вполне определен выбором параллели, по которой происходит касание шара с конусом.

Определяя, таким образом, произвольные элементы построения, учащиеся представляют изображаемые тела. Это в значительной степени способствует развитию их пространственных представлений.

22. Результаты проведенной работы свелись к следующему:

1. У учащихся развились пространственные представления и, прежде всего, — представление о формах важнейших геометрических тел. Элементы конструктивизма в рассмотренных задачах способствовали развитию пространственного воображения учащихся.

2. Четкие, последовательные объяснения, даваемые учащимися при решении задач, способствовали развитию их логического мышления.

3. Учащимися были усвоены положения, имеющие пргнципиальное значение для усвоения начертательной геометрии, технического машиностроения, деталей машин и других дисциплин, являющихся ведущими в технических институтах.

4. У учащихся повысился интерес к геометрии, а в связи с этим и успеваемость по геометрии.

СОДЕРЖАНИЕ

От редактора....................... 3

Арифметика

От составителя ...................... 4

Н. В. Каверин — Как обучать решению арифметических задач. 10

А, Ф. Линник—Живая методика ..............27

Л. Н. Березина и Е. И. Беляева — Решение арифметических задач в V классе....................52

Н. К. Барбалат — Решение задач с помощью составления формул.........................67

П Ф. Безматерних — Арифметическое и алгебраическое решение задач с наглядными иллюстрациями........77

Алгебра

От составителя ......................99

И. Г. Польский — Составление уравнений по условиям задач . 110

М. Ф. Добрынина — Мыслительные процессы при составлении уравнений........................125

И, И. Смирнов — Исследование решений задач с буквенными данными ........................171

Геометрия

От составителей.....................225

Л. В. Кривлева — Приложение тригонометрии к решению и исследованию геометрических задач.............228

Н. П. Ирошников — Построение изображений в курсе стереометрии .........................273

Редактор И. Л. Цветков Техн. редактор Г. Я. Мухина

А00093. Сдано в произв. 10/Х 1951 г.

Подписано к печати 4/Ш 1952 г. Бумага 84Х1081/32=5 бум. л. 16,4 п. л. 13,77 Уч.-изд. л. Тираж 15000 Цена 6 р. 50 к. Заказ 2987

* * *

Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова

Главполиграфиздата при Совете Министров СССР.

Москва, Валовая, 28.

* * *

Отпечатано в тип. Металлургиздата. Зак. 1543 А 00093 — 4/Ш — 52 г.