ГОРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. ГОРЬКОГО

В. В. РЕПЬЕВ

Кандидат педагогических наук, доцент Горьковского государственного педагогического института

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ (В ПОМОЩЬ ШКОЛЕ)

ГОРЬКИЙ 1941

ГОРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. ГОРЬКОГО

В. В. РЕПЬЕВ

Кандидат педагогических наук, доцент Горьковского государственного педагогического института

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ (В ПОМОЩЬ ШКОЛЕ)

г. ГОРЬКИЙ 1941 год.

Отв. редактор проф. И. Р. БРАЙЦЕВ, доктор физико-математических наук. Техн. ред. Ф. И. КУРАГИН.

Издание первое. Сдано в набор 20/11-41 г., подп. к печ. 7/IV-41 г. Формат бумаги 59/84. Печ. листов 4V4. Зн. в печ. листе 49188. Тираж 500. МЦ-29.

Полиграф, г. Горький, ул. Фигнер, 32. Зак. № 8278.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель настоящей работы — помочь учителю математики неполной средней и средней школы в обучении учащихся одному из труднейших разделов курса элементарной алгебры — решению задач путем составления уравнений или систем уравнений. Методика решения задач с помощью уравнений в отдельных своих деталях имеет в советской методической литературе ценные достижения, но пока нет работ, дающих полное освещение этой проблемы, а по отдельным деталям ее имеются противоречивые высказывания. В этой работе автор старался дать возможность всестороннее освещение проблемы о решении задач путем составления уравнений или систем уравнений. В работе прежде всего вскрывается воспитательно-образовательное значение решения задач, далее анализируются те трудности, которые приходится преодолевать учащимся в процессе этого решения и намечается система подготовительных упражнений, которые позволяют в значительной мере преодолеть эти трудности, затем дается методика составления уравнений и освещается тот общий метод, который используется при решении задач.

В этой работе автор использует те высказывания о решении задач с помощью составления уравнений, которые имеются в литературе, и в значительной мере базируются на опыте своей работы в школе. А автор будет глубоко удовлетворен, если его работа поможет учителю математики и добиться более высоких, и основательных результатов в решении задач учащимися. Все отзывы и критические замечания об этой работе автор просит направлять по адресу: г. Горький, ул. Ульянова, д. № 1, Физмат Пединститута.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ.

ГЛАВА ПЕРВАЯ

Воспитательно-образовательное значение решения задач с помощью уравнений.

По содержанию школьный курс алгебры представляет довольно пеструю дисциплину: в ней продолжает развиваться начатое в арифметике учение о числе, значительное место уделяется тождественным преобразованиям над рациональными и иррациональными выражениями, видную роль играет учение об уравнениях, чаще всего связанное с изучением алгебраических функций, наконец, в нем имеется серия так называемых „дополнительных“ глав (соединения, бином Ньютона). Однако учение об уравнениях и связанное с ним развитие понятия о числе безусловно являются основным материалом курса алгебры средней школы. Около центрального предмета алгебры — уравнений — группируются другие отделы и главы, или подготовляющие решение уравнений, или дающие материал для приложений уравнений.

А в этом центральном предмете алгебры следует выделить итоговый, конечный этап—решение задач с помощью уравнений. Это решение имеет особое значение в свете общих задач советской школы. Отметим основное, в чем заключается ценность задач на составление уравнений.

а) При составлении уравнений или систем уравнений по условиям задач необходим довольно разносторонний мыслительный процесс. При решении задачи ученик должен уяснить условия задачи и ее требования, должен ввести обозначения неизвестных, затем расчленить сложную задачу на ряд простых и, решая их, найти выражения для других величин через неизвестные и данные, и потом приравнять величины, выраженные различными способами. Конечно, при этом ученик должен подметить те функциональные зависимости, которые обусловливаются сюжетом задачи, в этом мыслительном процессе преобладает анализ в его своеобразной форме, обусловленной алгебраической символикой и использованием уравнений, но

в нем имеет место и синтез (приравнивание двояко выраженных величин). Решив уравнение или систему уравнений, ученик должен проверить корни, затем исследовать пригодность корней к данному условию задачи, в иных случаях исследовать решение при некоторых частных значениях данных.

Весь мыслительный процесс отличается тем, что он требует инициативы, активности, некоторых элементов творчества, понимания функциональных зависимостей и умения переложить их на язык алгебраических выражений и уравнений.

И прав Симон, когда он пишет: „Теперь, как и раньше, я утверждаю, что для упражнения в самостоятельном мышлении нет ничего более подходящего, чем задачи на построение и составление уравнений“*. Задачи на составление уравнений или систем уравнений в значительно большей мере, чем какой-либо другой материал элементарной алгебры, способствуют развитию математического мышления учащихся, а, значит, и тех форм мышления, которые являются схожими с математическим и которые находят широчайшее применение во многих научных дисциплинах.

В частности составление уравнений приучает учащихся к тому своеобразному аналитическому мышлению, которое использует алгебраическую символику и уравнения и которое имеет громадное практическое значение,

б) Конкретные практические проблемы, требующие математической обработки, часто приводят к уравнениям. Поставленные „живой жизнью“ проблемы о решении уравнений развиваются в алгебре в стройные абстрактные теории, в которых освещаются и пути решения уравнений или систем уравнений и пути исследования корней. И когда эти теории сообщены учащимся, необходимо научиться применять их в практике, т. е. в решении конкретных практических задач. Без этого этапа весь процесс изучения уравнений был бы методологически искривлен, не закончен и не приемлем с точки зрения советской школы. От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике,— таков диалектический путь развития учения об уравнениях и таков путь изучения уравнений. Составление уравнений по условиям задач и является последним заключительным звеном изучения уравнений в школе. Составление уравнений — тот канал, которым алгебра связывается с жизнью и становится орудием познания действительности .

в) Многие дисциплины и многие школьные предметы, разрешая свои частные задачи, вынуждены пользоваться уравнениями, составлять уравнения применительно к своим частным

* М. Симон. „Дидактика и методика математики“, 1922 г. (стр. 48).

задачам. К числу таких предметов относятся прежде всего математические: геометрия, тригонометрия, аналитическая геометрия, анализ бесконечно малых. Из числа других предметов, широко пользующихся уравнениями, надо назвать в первую очередь механику, астрономию, физику и химию.

Таким образом алгебра путем решения задач составлением уравнений оказывает помощь многим другим дисциплинам, она обслуживает своими методами эти дисциплины, помогает им разрешать их частные проблемы. А это значит, что практическая значимость уравнений в процессе обучения прежде всего будет продемонстрирована на применении их к решению частных проблем школьных математических предметов и других школьных предметов, которые пользуются методами математики (физика, химия, астрономия).

г) С точки зрения советской школы следует особо отметить использование уравнений при разрешении многочисленных вопросов и проблем техники. Технические проблемы нередко приводят к решению уравнений или систем уравнений весьма различной сложности. Простейшие из них могут решаться методами элементарной алгебры. Наша школа, имея в виду принцип политехнического образования, особо ревниво должна относиться к применению уравнений к решению простейших технических задач.

Проблемы технических дисциплин, а также проблемы других научных дисциплин чаще всего приводят к сложным уравнениям или системам уравнений, в частности к диференциальным уравнениям. Но это не умаляет значения элементарной алгебры: составление уравнений по условиям задач является своеобразной пропедевтикой к аналогичному использованию более сложных видов уравнений, а в частности и диференциальных уравнений.

д) Алгебраический способ решения задач требует от учащихся критического отношения к полученным результатам: необходимо проверить полученные числа по отношению уравнения, необходимо выяснить пригодность полученных результатов для условий задачи, необходимо, наконец, в иных случаях изучить решения в зависимости от частных значений известных или от особых соотношений между ними, выяснить условия решаемости задачи, подметить особые частные случаи при решении. Все это воспитывает у учащихся критическое отношение к работе, прививает осторожность в использовании результатов алгебраических расчетов.

е) Применение уравнений к решению задач является завершением изучения того или другого раздела алгебры: оно оправдывает в сознании ученика сложную, кропотливую работу с тождественными преобразованиями, с решением уравне-

нии; оно показывает, что тот или другой раздел тождественных преобразований и сопутствующие виды уравнений являются практически нужными и полезными.

ж) Следует, наконец, отметить, что алгебра дает значительно более совершенные методы решения задач, чем арифметика. И как раз там, где методы арифметики оказываются мало удобными или несостоятельными, методы алгебры оказываются особо эффективными и удобными. Конечно, эта мысль должна быть достаточно обстоятельно и ярко на конкретных задачах продемонстрирована учащимся, чтобы они осознали все преимущества уравнений и систем уравнений в решении задач.

Итак, решение задач алгебраическим способом имеет многогранную воспитательно-образовательную ценность: оно является прекрасной школой для развития математического мышления; оно приучает к контролю и критическому отношению к результатам решения уравнений; оно является тем этапом изучения алгебры, который с особой силой показывает практическую полезность и применимость этой дисциплины, а в частности ее применимость к решению теоретических и практических вопросов других предметов элементарной математики и также других дисциплин; оно является тем этапом изучения алгебры, когда можно показать полезность ее в решении технических задач, а в результате этого в представлении учащихся находит оправдание и весь кропотливый процесс изучения алгебры.

Эта многогранная воспитательно-образовательная ценность рассматриваемого вопроса делает его с методической точки зрения интересным и придает ему особую значимость.

ГЛАВА ВТОРАЯ

Трудности, которые приходится преодолевать в процессе решения задач.

Каждый учитель математики, работающий в неполной средней или средней школе, знает, что решение задач с помощью составления уравнений является в методическом отношении довольно трудным материалом. Наблюдения за классами показывают, что составление уравнений вызывает значительные затруднения у многих учащихся, что такие затруднения можно видеть не только в VII классе, где учащиеся впервые встречаются с этим вопросом, но и в старших классах до X включительно; нередко юноша кончает среднюю школу и направляется в высшее учебное заведение, не научившись составлять уравнения. Профессорско-преподавательский состав высших учебных заведений, в которых изучается математика и которые обычно укомплектовываются молодежью наиболее полноценно

подготовленной по математическим предметам, хорошо знает, что одним из узких мест в подготовке абитуриентов высшей школы является решение задач с помощью составления уравнений.

Вместе с тем наша методическая литература бедна конкретными указаниями по интересующему нас вопросу, эти указания разбросаны в различных источниках, не систематизированы, а это мешает использованию их, а в условиях работы провинциальных школ часто бывает совершенно невозможно найти необходимую литературу. Такое положение нередко затрудняет учителя математики.

В этой работе мы пытаемся дать возможно полное решение методической проблемы о составлении уравнений по условиям задач. С этой целью мы суммируем тот ценный опыт школ, который нашел отображение в нашей литературе, как методической, так и учебной. Вместе с тем мы намечаем и новые пути в преодолении трудностей рассматриваемого методического вопроса, разрабатывая их в деталях.

Как при решении многих методических вопросов, и в нашем случае полезно ясно осознать те трудности, которые мешают продуктивному решению задач с помощью уравнений. Знание этих трудностей позволит наметить целесообразные пути их преодоления. Итак, в чем же заключаются трудности алгебраического способа решения задач?

1) В общем плане обучения математике в школе решению задач с помощью составления уравнений предшествует довольно длительный период обучения решению задач в курсе арифметики. Повидимому, дать безупречную классификацию задач на арифметические и алгебраические крайне трудно, а, может быть, и невозможно. Приведем одну из классификаций, практически достаточно удобную. Пусть а, Ь, k — данные в задаче числа, а х искомое число; если решение задачи приводится к уравнению x=f(a, b, ... k), то такая задача может быть названа арифметической; если же решение задачи приводится к уравнению F(x, а, Ь, ... k) = 0, то задача будет алгебраическая. Эта классификация не является безупречной, но практически она достаточно удобна*.

Рекомендуется уже при изучении арифметики решать задачи алгебраического характера. Конечно, методы их решения в курсе арифметики существенно отличны от методов решения в курсе алгебры. Но все же решение задач в курсе арифметики вообще и алгебраических в частности является хорошей подготовкой для решения задач с помощью составления уравнений.

* О классификации задач смотрите книгу Е. С. Березанской „Методика арифметики“, Учпедгиз, 1934 г.

И нередко те трудности, которые испытывают ученики при составлении уравнений по условиям задач, зависят от того, что учащиеся имеют недостаточные умения и навыки в решении арифметических задач. Это учителю необходимо помнить. А отсюда первое требование— учитель математики должен всемерно поднять уровень знании, умений и навыков по решению арифметических задач.

Как поднять эти умения и навыки? Очевидно, обсуждение этого вопроса выходит за пределы нашей темы.

Ограничимся одним указанием, имеющим непосредственный интерес с точки зрения нашей темы. При решении задач с помощью уравнений, как правило, приходится составлять формулы. Составление формул есть обязательная часть вопроса о составлении уравнений. Но составлению буквенных формул должно предшествовать составление числовых формул по условиям задач. Дать некоторые навыки в составлении числовых формул по условиям арифметических задач целесообразно при изучении арифметики: это облегчит впоследствии составление уравнений. Составление числовых формул полезно и в курсе алгебры, как подготовка к составлению буквенных формул и к составлению уравнений, о чем будет речь еще в дальнейшем.

2) Иногда ученики не могут составить уравнение по условию задачи или составляют неверное уравнение в силу того, что они не понимают условия задачи, вкладывают неверный смысл в это условие. Автору этой работы пришлось наблюдать, как некоторые ученики VI класса неправильно истолковывали выражения „больше в 2 раза“, „больше на 2 единицы“, „меньше в 3 раза“, „меньше на 3 единицы“, несмотря на то, что в V классе ученики многократно пользовались такими выражениями.

Совершенно аналогичные затруднения вызывает иногда непонимание смысла фраз, употребляющихся при чтении алгебраических выражений. Например, выражения ЪсС-Ъ, а2 + 62 ученики приучаются читать так: „три а квадрат 6“, „а квадрат плюс b квадрат“, а поэтому их может затруднить, если в формулировке условия задачи будет сказано: „утроенное произведение квадрата числа а на число Ьи> „сумма квадратов чисел а и Ьи. Разрыв между чтением выражений, которое преобладает при классной работе, и тем языком, на котором формулируются алгебраические правила и условия задач, вызывает существенные затруднения в изучении алгебры вообще и в частности в составлении уравнений.

В отношении затруднений в понимании учащимися условий задачи интересные экспериментальные факты приводит М. Змие-

ва*, например, в задаче: „Курьерский поезд вышел на 1 час позже пассажирского и догнал его через 3,5 часа. Сколько времени шел пассажирский поезд?“—учащиеся VII класса не поняли слова „позже“: „ ... чтобы узнать, сколько времени шел пассажирский поезд, 20% учеников вычитали один час\ В другой задаче: „Два велосипедиста выехали одновременно из двух городов и едут навстречу один другому. Одинаковое ли число часов каждый из них проедет до встречи?“—учащиеся не понимали смысла слова „одновременно“ и 58% из них связывали время со скоростью и расстоянием и давали неверные ответы: „одинаковое при одинаковой скорости“, „неодинаковое, а может быть одинаковое, потому что мы не знаем, на одинаковом ли расстоянии были они друг от друга“(!), и т. д.

Итак, непонимание условий задачи является одним из препятствий, мешающих решению задач на составление уравнений. Как изжить непонимание условий задач?

Между окончанием решения арифметических задач и началом решения задач на составление уравнений имеется довольно значительный промежуток времени. Надо этот промежуток сделать возможно короче, а этого можно добиться, во-первых, введением в занятия задач с самого начала обучения алгебры, хотя бы решение их и было арифметическое, во-вторых, более ранним введением решения задач с помощью уравнений. В дальнейшем будут указаны и другие пути преодоления трудности, связанной с пониманием условия задачи.

3) В основе сюжета каждой математической задачи лежит та или другая функциональная зависимость, иногда несколько функциональных зависимостей. Пусть, например, имеем такую задачу: „Скорый поезд в три часа прошел 126 км. В какое время этот поезд пройдет 441 км, если будет идти с тою же средней скоростью?“ При решении этой задачи пользуемся тем, что путь, проходимый равномерно движущимся телом, прямо пропорционален скорости и прямо пропорционален времени движения. Такова та функциональная зависимость, которая лежит в основе задачи и которая позволяет решить эту задачу.

Какова бы ни была алгебраическая задача, в ее основе необходимо лежат одна или несколько каких-либо функциональных зависимостей. Наличие этих функциональных зависимостей и дает ключ к ее решению. Незнание необходимых функциональных зависимостей явится препятствием к решению задачи.

* М. Змиева. „Опыт подготовки учащихся к составлению уравнений первой степени“, в ж. „Математика и физика в средней школе“, № 5 за 1935 г.

Учащиеся часто не знают тех функциональных зависимостей, которые лежат в основе задач на составление уравнений. И это является одной из главнейших причин слабой эффективности решения задач алгебраическим способом.

Нам пришлось наблюдать такой факт, когда многим учащимся одного в общем не плохого X класса не удавалось составлять уравнения для тех задач, в которых шла речь о равномерном движении. Учитель находился в затруднении, пока не понял, что корень неудачи кроется в незнании многими учащимися формулы s = vt, в неумении пользоваться этой формулой в условиях конкретной задачи. При этом особые затруднения вызывали те операции, когда приходилось определять скорость или время движения.

Очевидно, чтобы преодолеть затруднения, которые вызываются незнанием тех функциональных зависимостей, которые нужны для решения задач, необходимо изучить эти зависимости. Может показаться, что число этих зависимостей очень велико, и что фактически невозможно охватить все могущие встретиться зависимости. Верно, зависимостей, которые могут лежать в основе задачи, много. Однако практически наши задачники по алгебре оперируют весьма ограниченным количеством таких зависимостей.

Возьмем, например, „Сборник алгебраических задач“ Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцева*). Изучая те задачи, которые решаются с помощью составления одного уравнения первой степени с одним неизвестным и систем линейных уравнений, мы приходим к заключению, что число разнообразных функциональных зависимостей весьма невелико.

В дальнейшем укажем те функциональные зависимости, которые встречаются наиболее часто и охватывают, примерно, 80% всех из указанных выше задач. Заметим, что мы здесь подходим к подразделению этих функциональных зависимостей не с точки зрения их математической сущности, а с точки зрения осмысливания учащимися сюжета задачи, с точки зрения освоения учащимися смысла задачи. Кроме того, во избежание недоразумений надо отметить, что указываемые ниже функциональные зависимости ни в каком случае не являются критериями для классификации алгебраических задач.

а) Имеется многочисленная группа задач, сюжет которых строится на том, что над двумя или несколькими числами выполняются те или другие арифметические действия, а по их результатам и некоторым из этих чисел определяются другие числа. Чаще всего встречается разностное или кратное отношение чисел.

*) Изд. 1934 г.

б) К указанной группе примыкает довольно распространенная группа задач, которая внешне характеризуется тем, что производится „перекладывание“ вещей из одной совокупности в другую, „переливание“ жидкости из одного сосуда в другой и по соотношению между результатами этой операции требуется найти первоначальные количества.

в) В сюжетах задач следующей группы лежит изменение результатов действий в зависимости от изменения компонент.

г) Следующая группа имеет сюжетом куплю-продажу.

д) Встречаются задачи, использующие структуру чисел в десятичной системе счисления.

е) Далее надо отметить задачи, в которых используется структура обыкновенной дроби и изменение ее с изменением числителя или знаменателя или того и другого одновременно.

ж) Затем надо указать группу задач на бассейны.

з) К ним примыкает группа задач, в сюжетах которых лежит работа (количество рабочей силы и время выполнения).

и) Широко распространенной темой задач является равномерное движение.

к) Встречаются задачи, в сюжетах которых лежит рычаг 1-го и реже 2-го рода.

л) Имеется немногочисленная группа задач, в которых речь идет об удельном весе.

м) Наконец, отметим задачи с геометрическими сюжетами, чаще всего в них речь идет о площадях фигур.

Для успешного решения задач необходимо добиться, чтобы учащиеся хорошо знали те функциональные зависимости, которые лежат в основе задач, чтобы они могли использовать эти зависимости в конкретных условиях. А отсюда встает проблема вести преподавание алгебры так, чтобы эти функциональные зависимости были известны учащимся.

4) Задача, решаемая с помощью составления уравнения или системы уравнений, представляет собой ряд суждений на определенную тему, выраженных на родном языке учащихся. В процессе составления уравнения или системы уравнений требуется эти суждения выразить с помощью алгебраических формул. Каждая алгебраическая формула есть суждение или ряд суждений, выраженных особым символическим языком алгебры. При составлении уравнений и приходится суждения с родного языка учащихся переводить на язык алгебраических символов. Вот этот-то перевод по признанию многих методистов и учителей и является одной из значительных трудностей. Если учитель хочет, чтобы учащиеся хорошо составляли уравнения и системы уравнений, то он должен научить

учащихся переводить с их родного языка на язык алгебраических символов и наоборот. Такой перевод представляет существенное значение не только с точки зрения рассматриваемого вопроса, а имеет более широкое значение.

Интересны по этому вопросу высказывания Дж. В. А. Юнга. Он пишет*:

„Символика алгебры, да и вообще всей математики, представляет собой разновидность скорописи, а потому одинаково необходимо уметь переводить, как с обыкновенного родного языка на язык этой скорописи, так и обратно — с языка скорописи на родной язык. Только при условии постоянного выполнения учениками подобных переводов учитель может рассчитывать на то, что дети действительно в состоянии правильно истолковывать каждый из применяемых ими символов. Следует постоянно пересказывать формулы обыкновенным языком, а также прилагать их к различным частным случаям“...

В другом месте Юнг пишет:

„Все учителя знают по опыту, что ученикам стоит большого труда научиться переводить на язык уравнений условия, выраженные словами. Но уменье выполнить этот процесс относится к числу наиболее важных и ценных результатов занятий по алгебре; развитие способности мыслить в этом направлении является одним из наиболее полезных следствий работы в этой области математики, и не следует допускать такого положения дела, при котором ученики кончали бы изучение алгебры, не достигнув в достаточной мере успеха в такого рода переводах“**.

5) В учебно-методической литературе по алгебре и среди учителей-практиков распространен взгляд, что нельзя указать общих приемов, общих путей для составления уравнения или системы уравнений по условиям задач. Примером учебника с таким взглядом на этот вопрос может служить „Начальная алгебра“ А. Давидова, широко распространенная как учебник средней школы в конце прошлого столетия и в первом десятилетии текущего столетия. Во II главе отделения второго читаем: „Что касается до составления уравнения, то оно представляет гораздо больше затруднений, потому что, вследствие чрезвычайного разнообразия вопросов, нельзя дать общих правил для составления уравнения; только ясным пониманием основных действий и частым упражнением можно приобрести навык в этом“***.

* Дж. В. А. Юнг. «Как преподавать математику?“ 1916 г., (стр. 343).

** Та же книга, (стр. 352).

*** А. Давидов: „Начальная алгебра“, изд. 13, 1897 г., стр. 114.

Такая точка зрения встречается и до сих пор. Например, И. И. Чистяков неоднократно повторяет, что „определенных правил для составления уравнений из условий задач нет“, что „общего правила для составления уравнений, пригодного для всех случаев, дать невозможно“*.

Конечно, такое положение, когда ни учебник, ни учитель не могут указать общих правил, общих приемов составления уравнения, и не только не могут, но глубоко уверены в том, что таких приемов не существует,— такое положение не может способствовать успешному развитию педагогического процесса в интересующем нас направлении.

Но правильно ли утверждение, что нельзя указать общих путей при составлении уравнений?

С. С. Бронштейн** решительно восстает против утверждения, что нельзя указать единого способа составления уравнения. Он пишет: „Неверно, что нет единого принципа составления уравнений. Общий принцип, которым руководствуются при составлении уравнений, можно сформулировать так: надо проанализировать, какие величины, находящиеся во взаимной зависимости, равны между собой. Соединив такие два выражения знаком равенства, составляют уравнение“.

Как видно, С. С .Бронштейн занимает совершенно другую позицию в вопросе об общем приеме составления уравнений. Не вдаваясь в рассмотрение существа того метода решения, который рекомендует Бронштейн, заметим, что за последние годы в ряде методических статей прямо или косвенно признается, что общий прием, общий метод решения задач с помощью уравнений существует. Мы думаем, что правы те, которые утверждают, что можно указать общий метод алгебраического способа решения задач, что таким методом является особая форма алгебраического анализа. Это положение развивается ниже, в главе VI настоящей работы. Очевидно, что эта вторая точка зрения на общий метод решения задач коренным образом меняет педагогический процесс, она вносит в него глубокие улучшения: методическая проблема сводится к тому, чтобы вооружить учащихся этим общим методом решения задач. Но, очевидно, что одна возможность дискуссии о существовании общего метода решения задач свидетельствует о том, что этот вопрос отличается существенными трудностями и для учителя и для ученика.

* И. И. Чистяков. „Методика алгебры“, Учпедгиз, 1934 г. (стр. 95-97).

** С. С. Бронштейн. „Методика алгебры“, Учпедгиз, изд. 1935 г. (стр 110 и 111).

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

Подготовительные упражнения к решению задач с помощью уравнений.

Оставив пока без разрешения вопрос об общем методе составления уравнений, легко видеть, что все другие трудности могут быть изжиты заблаговременно путем введения предварительных, систематически проводимых упражнений. Основные цели этих упражнений, как непосредственно следует из изложенного, таковы: а) они должны помочь учащимся правильно понимать, вкладывать верный смысл в те выражения и понятия, которые входят в условия задачи; б) они должны научить составлять по условиям задачи арифметические и главным образом алгебраические выражения, т. е. научить переводить с родного языка учащихся на язык алгебраический и наоборот; в) в процессе их выполнения учащиеся должны освоиться с наиболее распространенными функциональными зависимостями, научиться правильно их понимать и умело ими пользоваться.

Основные цели этих упражнений таковы, что они независимо от задач на составление уравнений имеют определенную значимость вообще при изучении элементов алгебры. Поэтому неизбежная затрата времени на них не является нецелесообразной расточительностью, а служит общему подъему алгебраических знаний, умений и навыков учащихся. Такие упражнения должны вводиться с первых шагов изучения алгебры, они должны систематически проводиться на протяжении VI и VII классов, а в случае надобности они должны частично найти место и в VIII классе.

Первая глава, с которой обычно начинается изучение алгебры, „Буквенные обозначения“, по своему существу такова, что в ней вполне уместны упражнения, удовлетворяющие намеченным выше требованиям. Этому в известной мере способствует и стабильный задачник, дающий примеры таких упражнений, хотя и в недостаточном количестве*.

Последующие главы VI и VII классов надо изучать так, чтобы интересующие нас уменья и навыки продолжали развиваться, углубляться и совершенствоваться.

В известной мере эти упражнения можно разработать так, чтобы они не были материалом, совершенно не связанным с изучаемой главой курса, а помогали бы учащимся осознавать теорию этих глав и давали материал для применения теории к практике. Например, приступая к изучению умножения многочлена на одночлен и желая напомнить учащимся в нагляд-

* Шапошников и Вальцев, „Сборник алгебраических задач“, ч. 1, гл. I №№ 1-40.

ной форме дистрибутивный закон, учитель может предложить такие задачи: 1) Одна сторона прямоугольника равна а, другая Ь. Как выразить площадь прямоугольника? 2) Одна сторона прямоугольника равна а+Ь, другая с. Найти выражение площади прямоугольника. Составить чертеж. 3) Как решить ту же задачу другим способом? Пояснить решение на чертеже. 4) Какое заключение можно сделать о тех выражениях, которые получились в результате первого и второго решения задачи? Какой закон выражает полученное равенство? 5) Проверить справедливость равенства для: а) а = 5, 6 = 4, с = 3) б) а = — 10, Ь = — 7, с = + 4.

Иногда такие упражнения могут занимать значительную часть урока, в таком случае они могут являться центральным, основным этапом урока, но чаще всего такие упражнения удобно проводить в начале или в конце урока алгебры в отводимые на них 7—10 минут. Можно установить, как правило, что в VI и VII классах на каждом уроке алгебры отводится 7—10 минут для таких упражнений и устных занятий. Конечно, в случае надобности они могут быть усилены за 1—2 месяца до начала составления уравнений.

Для конкретизации и иллюстрации развиваемых положений приведем конспекты таких упражнений на тему: „Зависимость между временем и числом рабочих для выполнения определенной работы“. В конспекте приводим вопросы и реплики учителя, а также даем необходимые для понимания организации работы указания.

1-е занятие.

— Откройте странички в конце тетрадей, где мы упражняемся в записи выражений.

— Сегодня мы начнем новый вид упражнений. Сделайте заголовок: „Зависимость между временем и рабочей силой для выполнения определенной работы“.

— Один рабочий может закончить некоторую работу в 24 дня.

Во сколько дней закончат ту же работу 2 рабочих? 3 рабочих? 4 рабочих?

— Запишем это в виде таблички.

Число рабочих

1 2

3

4

Число дней

24 12

8

6

— Вспомните, как называются две величины, связанные таким соотношением, как в предыдущей задаче.

— Придумайте сами примеры обратно пропорциональных величин.

Учитель с классом рассматривает еще 2—3 примера обратно пропорциональных величин, фиксируя их в виде табличек.

— Рабочий может закончить работу в х дней, а сколько дней надо для окончания той же работы 2 рабочим? 5 рабочим? а рабочим?

— Рабочий может окончить некоторую работу в с дней. Какую часть работы он может выполнить в 1 день? вЗ дня? в 5 дней? в п дней?

— Один рабочий оканчивает работу в 10 дней, а другой — в 15 дней. Какую часть работы, работая вместе, они выполнят в один день?

— Один рабочий окончил работу в а дней, а другой — вЬ дней. Какую часть работы, работая вместе, они выполнят в 1 день? в 2 дня? в с дней?

2-е занятие.

— Одна машинистка может перепечатать рукопись в m часов, другая — в п часов. Какую часть рукописи они могут перепечатать, работая вместе р часов?

— Придумайте сами по одной задачке, похожей на эту или на те, какие мы решали в прошлый урок.

Учитель и класс заслушивают 2—3 таких задачи и дают их решения.

— Один тракторист может вспахать озимое поле в а дней, a другой — в b дней. Что можно определить по этим данным, и как это сделать?

— Один маляр может окрасить 50 кв. м полов в а дней, другой — в Ь дней. Что можно определить, используя все данные, и как это сделать?

3-е занятие.

— Один рабочий может выполнить некоторую работу в 5 часов, другой — в 6 часов, а оба вместе — в 2^- часа. Как записать эти условия в виде равенства?

— Один колхозник может засеять поле в а дней, а другой — в b дней, а оба вместе — в с дней. Как записать эти условия в виде равенства?

— Один колхозник может засеять поле в а дней, а другому надо на 2 дня больше. Оба же вместе выполняют эту работу в с дней. Как записать эти условия в виде равенства?

— Придумайте задачи, похожие на предыдущие, где участвовало бы не два севца, а три.

4-е занятие.

— Одна машинистка может перепечатать рукопись в некоторое число часов, а другой необходимо для той же работы на 2 часа меньше. Какую часть рукописи они, работая вместе, перепечатают в 1 час? в 3 часа? в п часов?

— Первая машинистка может перепечатать рукопись в а листов в некоторое число часов, а другой необходимо для той же работы на 3 часа больше. На сколько листов первая машинистка может выполнить в 1 час больше, чем вторая?

— Один комбайнер может убрать поле в некоторое число дней, а другому надо ^ этого числа дней. Какую часть поля они уберут вместе в 3 дня?

— Первый комбайнер может убрать поле на 5 дней скорее, чем второй, а второй на 3 дня скорее, чем третий. Какую часть поля они уберут вместе в 1 день?

Приведем те указания, которыми целесообразно руководствоваться при проведении предварительных упражнений.

1) Упражнения, проводимые в один прием, целесообразно группировать или по сюжетам задач, как это сделано в только что приведенном примере, или по тем математическим операциям, которые необходимо выполнить для решения задачи, например, упражнения на кратное и разностное отношение чисел.

Приступив к упражнениям того или другого типа, следует добиться, чтобы все учащиеся научились решать задачи этого типа. После этого можно перейти к упражнениям другого типа и т. д. Однако в дальнейшем через некоторые промежутки времени надо возвращаться к уже освоенным упражнениям, добиваясь возможно безупречного и быстрого их выполнения. При таких повторных занятиях уместно предлагать упражнения смешанные — различных типов.

2) Для понимания смысла задач и для лучшего осмысливания буквенных обозначений весьма полезно прибегать к примерным задачам из арифметики с числовыми данными, полезно составлять арифметические выражения по условиям задач. Такие задачи дают необходимое направление мышлению учащихся, когда последние оказываются бессильными дать решение на языке алгебраических символов. Например, среди учеников всегда находится некоторая часть, которая на вопрос задачи: „Один рабочий может выполнить некоторую работу в m дней, а другой — в п дней. Сколько нужно дней, чтобы оба рабочих, работая вместе, могли закончить ту же работу?“—легкомысленно отвечают: (т+п) дней. Если же поставить задачу так: „Один рабочий может выполнить некоторую работу в 8 дней, а другой — в 10 дней. Сколько нужно дней, чтобы оба рабочих,

работая вместе, могли окончить ту же работу?“, то учащиеся сейчас же увидят несостоятельность своего первого утверждения и скорее наметят верный способ решения задачи.

3) В качестве первых упражнений какого-либо типа надо рекомендовать задачи, данные которых выражены явно*. Эти задачи отличаются от других тем, что они не требуют введения обозначений и с этой точки зрения проще, так как напоминают учащимся арифметические задачи. Кроме того, на этих задачах во многих случаях легче наблюдать функциональную зависимость, лежащую в основе задачи.

Примеры таких задач даны в занятии первом в разработанном выше примере о зависимости между временем и рабочей силой.

4) В некоторых методических статьях о составлении уравнений (Н. Островский) рекомендуется применять задачи без формулированного вопроса.

Примеры: 1) Скорость одного аэроплана v км в час, а другого vx км в час. Что можно определить и как, используя все данные задачи? 2) Каждый из двух аэропланов пролетел 5 км. Один летел t часов, а другой tx часов. Что можно определить и как определить, используя все данные задачи?

Значение этого вида задач — в том, что они развивают гибкость в постановке вопросов, что они приучают учащихся в нужных случаях ставить тот вопрос, который окажется существенным и решающим для задачи на составление уравнений.

5) Задачи с обозначенными данными, но требующие составления равенства (а не только выражения — ответа), представляют значительный интерес, так как являются прекрасной подготовкой к приравниванию двух величин, различно выраженных, что непременно всегда приходится выполнять при составлении уравнений.

Примеры: а) Числитель дроби a, a знаменатель Ь. Разность между этой дробью и обратной дробью равна —. Записать это условие с помощью равенства, б) Делимое равно а, делитель Ь, частное р и остаток г. Написать равенство, выражающее зависимость между этими числами.

Примеры таких задач даны и в примерном конспекте (см. занятие третье).

6) Следующий вид упражнений — задачи, требующие для решения введения обозначений известных величин, не обозначенных в условии задачи.

* Целесообразно разработанные указания о системе подготовительных упражнений дает Н. Островский в статье „Метод составления уравнений первой степени с одним неизвестным“ в ж. „Математика и физика в средней школе“, № 3 за 1934 г. Соображения тов. Островского частично использованы в предлагаемой методике подготовительных упражнений.

Примеры: а) Определить сумму площадей двух квадратов, стороны которых известны, б) Определить площадь ромба, диагонали которого известны. (Смотрите также примерный конспект — занятие четвертое).

Такие задачи представляют интерес в том отношении, что учащиеся получают первые навыки во введении обозначений величин, с которыми имеет дело условие задачи, они далее производят необходимые операции над этими величинами и находят требуемые ответы на вопросы задачи.

7) Очень полезны упражнения, для решения которых учащиеся должны ввести обозначения неизвестных и, производя над ними действия, составить выражение или равенство, удовлетворяющее требованиям задачи. Например: 1) Написать двузначное число, в котором число единиц на 5 больше числа десятков; 2) Одна из сторон треугольника на 3 см меньше другой и в 3 раза больше третьей; периметр треугольника равен 48 см\ написать равенство, выражающее соотношение между сторонами треугольника и его периметром.

При выполнении упражнений этого вида учащиеся будут получать уравнения, хотя понятие об уравнении им может быть и неизвестно.

8) Параллельно с указанными видами упражнений полезно использовать такие упражнения: передавать словами, суждениями на родном языке учащихся, содержание суждений, данных формулами. Эти упражнения высоко полезны не только как подготовительные к составлению уравнений, но и с точки зрения развития речи учащихся.

Примеры: а) Что выражает формула v = ~ , если s —путь, пройденный равномерно и прямолинейно движущимся телом, a t—время движения? б) Что означает выражение s0+vt, если 50 есть расстояние равномерно и прямолинейно движущегося тела от определенного пункта до начала движения, v скорость и t время движения?

9) С того времени, как учащиеся познакомились с составлением уравнений по условиям задач, следует ввести особый вид устных упражнений по составлению уравнений.

Примеры: 1) Один из двух смежных углов на 20° меньше другого. Составьте уравнение для вычисления углов. 2) Углы треугольника относятся, как 1 :2:3. Составьте уравнение для вычисления углов.

10) Наконец, уместен следующий вид упражнений—составление задач по данным уравнениям. Например, составить текст задачи для следующего уравнения: х+ 2х + (^ + 20) =180. Очевидно, что задач можно составить очень много. Таким образом эти упражнения, кроме их непосредственной цели —

способствовать развитию навыков и умений переводить с родного языка учащихся на язык алгебраических символов и обратно — дают широкий простор находчивости, развивают фантазию и приучают видеть в уравнении конкретные условия задачи.

11) Значение подготовительных упражнений весьма велико, как с точки зрения алгебраического способа решения задач, так и с других точек зрения изучения алгебры. Поэтому уменья и навыки по выполнению таких упражнений необходимо учитывать и проверять. Основными наиболее удобными способами учета могут служить: а) наблюдение за работой ученика у доски, б) наблюдения за работой учеников на местах в тетрадях, и в) специальные контрольные работы. Задания для контрольной работы удобнее давать в 6—8 вариантах, а с этой целью задания для каждого ученика записываются на отдельном билете (листочке). Работа рассчитывается на 10—12 минут. Она может быть проведена как с предупреждением, так и без предупреждения учащихся. Задачи контрольной работы даются на несколько типов упражнений.

Несколько особое место занимают упражнения в записи и чтении, например, таких выражений: a2z^zb2y (aztô)2.

Как уже отмечалось, преподавание начал алгебраической символики иногда ведется так, что дети не умеют переводить на язык алгебраических символов такие математические выражения: „квадрат суммы двух чисел“, „разность квадратов двух чисел“, „удвоенное произведение первого числа на квадрат второго, и т.д. Иногда преподавание ведется так, что дети не приобретают умений и навыков читать алгебраические формулы и выражения тем языком, который употребляется при словесном чтении алгебраических формул, при формулировках условий задач. Например, выражение хъ+уъ читают: „икс в кубе плюс игрек в кубе“, и не умеют прочитать так: „сумма кубов икса и игрека“ или „сумма кубов двух чисел“. Таким образом у учащихся получается разрыв между языком и алгебраической символикой, у них не устанавливаются ассоциации между словесным выражением формул и их символическим изображением. А отсутствие этих ассоциаций крайне затрудняет изучение формул сокращенного умножения и деления, мешает изучению формул решения квадратного уравнения, затрудняет чтение законов, выраженных формулами, в других дисциплинах (например, в физике) и, наконец, что с точки зрения нашей работы особенно важно, затрудняет решение алгебраическим способом задач, в условии которых встречается формулировка того или другого алгебраического выражения.

Путь устранения трудностей лежит в установлении прочных ассоциаций между алгебраическими формулами и словесным

чтением этих формул. С этой целью с первых же шагов введения буквенных обозначений и на протяжении всего курса изучения алгебры следует культивировать уменья и навыки писать алгебраические выражения и формулы под диктовку и читать их, пользуясь тем языком, который применяется в алгебраических правилах. В VI классе следует включить в занятия по алгебре специальные упражнения, направленные к развитию указанных умений и навыков. Место этих упражнений— перед изучением формул сокращенного умножения.

Приводим примеры таких упражнений:

Учитель записывает на доске число а и предлагает детям в тетрадях записывать те выражения, которые он диктует.

— Запишите квадрат числа а.

Преподаватель, обходя учащихся, просматривает их записи.

— Леня Чесноков! Запишите на доске: квадрат числа а. Запись на доске служит контролем для всех учащихся.

— Запишите куб данного числа.

— Удвоенное число а.

— Утроенное число а.

— Четвертую степень числа а.

— Сумму квадрата числа а и удвоенного числа а.

— Разность между кубом данного числа и утроенным данным числом.

— Сумму квадрата и куба числа а.

В тетрадях и на доске появляется таким образом серия выражений:

Затем упражнения видоизменяются. Учитель предлагает читать выражения и читать так, как он их диктовал. Преподаватель, показывая выражение указкой, предлагает вспомнить, как читается, например, четвертое выражение. Учащиеся поднимают руки. Преподаватель спрашивает 2-3 человека. Затем переходит к другому выражению и т. д. Чтение выражений полезно провести в другом порядке, чем они записаны. К тем выражениям, которые затрудняют детей, надо вернуться еще раз, а иногда, и несколько раз.

Когда простейшие выражения с одним буквенным числом будут изучены, надо ввести чтение и запись выражений, в которые входят два числа, обозначенные буквами.

Преподаватель записывает на доске:

I число II число

— Напишите сумму этих чисел.

— Сумму квадратов данных чисел.

— Разность между квадратом первого числа и квадратом второго числа.

— Квадрат суммы двух чисел.

— Квадрат разности двух чисел.

— Удвоенное произведение этих чисел.

— Произведение квадрата первого числа на второе.

— Произведение первого числа на квадрат второго.

А затем опять записанные выражения читаются учащимися тем языком, каким они диктовались.

Постепенно упражнения с двумя буквенными числами усложняются. Их уместно закончить почленной диктовкой таких выражений:

— Квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

— Куб первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе минус куб второго числа.

Возможно в упражнения описанного типа включить и три числа.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.

Примерные подготовительные упражнения.

В этой главе приведем предварительные упражнения, подразделенные по различным типам задач и по отдельным занятиям. Конечно, как содержание упражнений, так и их последовательность может меняться в зависимости от класса и конкретных условий его занятий. Поэтому на приводимые ниже упражнения надо смотреть, как на примерные.

Разностное и кратное отношение чисел.

В сюжетах задач или как основное соотношение между числами, или как некоторое вспомогательное условие часто встречаются разностное и кратное отношения. Отношения известны учащимся из курса арифметики, поэтому уместно начать с упражнений, в которых эти отношения будут повторяться, но над числами, выраженными с помощью букв.

1-е занятие.

1) В первый раз куплено а кг хлеба, а во второй раз на 2 кг больше. Сколько куплено во 2-й раз?

2) Куплено ржаного хлеба а кг, а пшеничного на 3 кг меньше. Сколько куплено пшеничного хлеба?

3) Ручка стоит а коп., а карандаш в 2 раза дороже. Сколько стоит карандаш?

4) Пенал стоит b коп., а линейка в 3 раза дешевле. Сколько стоит линейка?

5) Второе число больше первого на 4 единицы. Записать выражения для чисел, обозначив первое число через х.

6) Второе число меньше первого на 5 единиц. Записать выражения для чисел, введя обозначение.

7) Второе число больше первого в 4 раза. Записать выражения для чисел.

8) Второе число меньше первого в п раз. Записать выражения для чисел.

Указание. Результаты решения упражнений можно фиксировать в следующей таблице:

Условие

I число

II число

1) В первый раз куплено а кг хлеба, во второй на 2 кг больше . . .

2) Куплено ржаного хлеба а кг, а пшеничного на 3 кг меньше . .

3) ................

а кг а кг

(а + 2) кг (а — 3) кг

Аналогичные таблички можно использовать и при следующих занятиях в решении упражнений на отношение чисел. Однако запись может быть сокращена и упрощена: достаточно сохранить только 2 и 3 столбики. Упрощение фиксации позволит экономить время и увеличить число упражнений.

2-е занятие.

1) Первое число больше второго в 2~ раза. Обозначить числа.

2) Первое число больше второго на 2у. Обозначить числа.

3) Записать числа, если второе меньше первого в 3^- раза.

4) Записать числа, если второе меньше первого на 3~.

5) Первое число меньше второго на а единиц. Составить выражения для чисел.

6) Одно число меньше другого в а раз. Составить выражения для чисел.

7) Второе число больше первого на с. Записать числа.

8) Второе число больше первого в с раз. Записать числа.

3-е занятие.

1) Записать три числа, из которых первое равно а, второе на 2 единицы больше, а третье на 5 единиц меньше первого.

2) Записать выражения для трех чисел, из которых первое равно а, второе в 3 раза больше, а третье в 4 раза больше первого.

3) Составить выражения для трех чисел, из которых первое равно а, второе на 6 единиц больше первого, а третье в 6 раз меньше первого.

4) Первое число а, второе в 10 раз больше первого, а третье на 2 единицы меньше второга. Записать выражения для этих чисел.

5) Первое число с, второе в m раз меньше первого, а третье на п больше второго. Записать выражения для чисел.

6) Первое число в р раз больше второго, а третье на q меньше второго. Записать выражения для чисел.

Указание. Результаты фиксируются в табличке:

I число

II число

III число

1

а

а + 2

а-5

2

а

4-е занятие.

1) Число а больше числа b на 5 единиц. Выразить это соотношение между числами с помощью равенства.

2) Число с меньше числа d на 3-. Записать это с помощью равенства.

3) Число m больше числа п в 4 раза. Выразить это с помощью равенства.

4) Число р меньше числа q в 6 раз. Записать это с помощью равенства.

5) Записать с помощью равенства: число а больше числа b на число т.

6) Первое число больше второго на 4 единицы, а сумма этих чисел равна 20. Записать это с помощью равенства, обозначив первое число через х.

7) Первое число больше второго в 4 раза, а сумма этих чисел равна 25. Выразить это соотношение с помощью равенства.

8) Второе число больше первого на а единиц, а сумма этих чисел равна s. Выразить это соотношение с помощью равенства.

Указание. Упражнения 6, 7 и 8 приводят к уравнениям. Но ко времени выполнения этих упражнений учащиеся могут не иметь понятия об уравнении. Поэтому в этих упражнениях, а также и в более поздних упражнениях ставится требование написать равенство.

5-е занятие.

1) Отношение цены карандаша к цене ручки равно 2. Написать выражения цены карандаша, приняв цену ручки за у.

2) Цена наугольника относится к цене линейки, как 4:3.

Написать выражения для цены этих приборов.

3) Первое число составляет — второго. Написать числа.

4) Первое число составляет -у второго. Написать числа.

5) Отношение трех чисел равно 1 :2:3. Написать числа.

6) Первое число относится ко второму, как 3:5, а сумма этих чисел равна 40. Записать это соотношение между числами с помощью равенства.

7) Первое число составляет — второго, а сумма их равна 30. Выразить это с помощью равенства.

Указания, а) Упражнения на кратное и разностное отношение даны по преимуществу на отвлеченные числа. Конечно, часть этих упражнений можно предложить в примерах с именованными числами.

б) Отношение чисел может быть дано в процентах. Однако упражнения с процентными расчетами несколько сложнее и, кроме того, они в некоторых своих разновидностях выходят за пределы кратного отношения, а поэтому целесообразно дать их позднее.

6-е занятие.

1) Какое число называется четным? нечетным?

2) Написать общее выражение для четного числа.

3) При каком условии выражение 2п является четным числом?

4) Написать общее выражение для нечетного числа.

5) При каком условии выражение 2п + 1 является нечетным числом?

6) Написать общее выражение числа, кратного 3.

7) При каком условии выражение Зп кратно 3?

8) Написать общее выражение числа, кратного 5.

9) Написать несколько чисел вида Ъп.

Зависимость между компонентами и результатами действий.

К упражнениям на разностное и кратное отношение примыкают упражнения на зависимость между компонентами и результатами четырех действий.

1-е занятие.

1) Слагаемые равны а и b, а сумма равна s. Записать соотношение между числами с помощью равенства.

2) Сумма двух чисел равна a, a одно из слагаемых равно Ь. Чему равно другое слагаемое?

3) Уменьшаемое, вычитаемое и разность соответственно равны af b и г. Записать это соотношение с помощью равенства.

4) Уменьшаемое равно a, a разность равна г. Чему равно вычитаемое?

5) Вычитаемое равно m, а разность q. Чему равно уменьшаемое?

6) Одно слагаемое больше другого на 2 единицы, а сумма равна s. Написать равенство, обозначив меньшее слагаемое через х.

7) Одно слагаемое меньше другого на /г, а сумма равна 5. Написать равенство.

8) Одно слагаемое больше другого в 4 раза и еще на 4 единицы, а сумма равна s. Написать равенство.

2-е занятие.

1) Уменьшаемое равно m, а разность 5. Чему равно вычитаемое?

2) Вычитаемое равно п, а разность 2,7. Чему равно уменьшаемое?

3) Сомножители равны а и ô, а произведение р. Записать соотношение между этими числами с помощью равенства.

4) Множимое равно с, а произведение р. Чему равен множитель?

5) Множитель равен л, а произведение р. Чему равно множимое?

6) Множимое больше множителя на 3 единицы. Написать произведение, обозначив меньший сомножитель через г.

7) Множитель меньше множимого на k. Написать произведение.

8) Один из сомножителей больше числа а на 5, а другой меньше этого числа на 4. Как записать выражение для произведения?

3-е занятие.

1) Делимое равно d, делитель е, а частное q. Записать соотношение между этими числами с помощью равенства.

2) Делимое равно d, а частное д. Чему равен делитель?

3) Делитель равен е, а частное и. Чему равно делимое?

4) Делимое равно 100, делитель 3, частное 33 и остаток 1. Записать соотношение между числами с помощью равенства.

5) Делимое равно х, делитель 4, частное 50 и остаток 2. Написать равенство.

6) Делимое равно 1000, делитель у, частное 58 и остаток 14. Написать равенство.

7) Делимое равно х, делитель 7, частное у и остаток 3. Написать равенство.

4-е занятие.

1) Делимое равно 57, частное больше делителя на 10, а остаток равен 1. Написать равенство, выражающее соотношение между числами, приняв делитель за х.

2) Делимое больше делителя на 53, частное равно 14 и остаток 1. Написать равенство.

3) Делимое больше делителя на 59, частное равно 6 и остаток 9. Написать равенство.

4) Делимое равно 73, частное больше делителя на 3 единицы, а остаток равен 3. Написать равенство.

5) Делимое равно а, частное меньше делителя на 2 единицы, а остаток равен Ь. Написать равенство.

5-е занятие.

1) Сумма двух чисел равна 5, первое слагаемое т. Что можно определить по этим данным и как это сделать?

2) Разность чисел равна г, уменьшаемое к. Что можно определить по этим данным? Как определить?

3) Разность чисел равна г, вычитаемое /. Что можно узнать по этим данным? Как узнать?

4) Произведение двух чисел равно р, а первый сомножитель равен а. Что можно определить по этим данным и как определить?

5) Делитель равен Ь, частное q и остаток г. Что можно определить по этим данным и как определить?

6-е занятие.

1) Написать общее выражение числа, кратного 3.

2) При каких значениях п выражение Ъп кратно 3?

3) Написать общее выражение числа, дающего при делении на 3 в остатке 1.

4) Написать несколько чисел вида З/г+l.

5) Написать выражение числа, дающего при делении на 3 остаток 2.

6) Написать выражение числа, которое при делении на 5 дает остаток 3.

7) Написать выражение числа, которое при делении на 10 дает остаток 5.

Изменение результатов действий в зависимости от изменения компонент.

В упражнениях этого вида все числа, обозначенные буквами, будем считать положительными.

1-е занятие.

1) Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить на 9, а другое—на 7?

2) Если одно слагаемое увеличить на а, другое на 6, то как изменится сумма?

3) Одно слагаемое увеличено на 10^, другое уменьшено на 7с. Как изменится сумма?

4) Одно слагаемое уменьшено на 2с, другое увеличено на с. Как изменится сумма?

5) Слагаемые уменьшены: одно на ci, другое на 3d. Как изменится сумма?

6) Одно слагаемое увеличено на 2а, другое увеличено на Ъ, а третье уменьшено на а. Как изменится сумма?

7) Придумайте сами примеры на изменение суммы в зависимости от изменения слагаемых.

2-е занятие.

1) Уменьшаемое увеличено на т. Как изменится разность?

2) Вычитаемое увеличено на и. Как изменится разность?

3) Как изменится разность, если уменьшаемое увеличить на 2/7, а вычитаемое на р?

4) Как изменится разность, если уменьшаемое уменьшить на у, а вычитаемое уменьшить на Зу?

5) Уменьшаемое уменьшено на z, а вычитаемое увеличено на 4z. Как изменится остаток?

6) Придумайте примеры на изменение остатка, похожие на те, которые мы решили.

7) Как прочитать правила, выражаемые равенствами:

а) a+b = s в) а — b = г

(a + Ä) + o = s + Ä? (a +k) — b = r+kï

б) а+ b = s г) а — b = r

a + {b — k) = s — kl a — (b + k) = r—k?

3-е занятие.

1) Один из сомножителей увеличился в 2 раза, а другой в 3 раза. Как изменится произведение?

2) Сомножители увеличены: один в а раз, другой в b раз. Как изменится произведение?

3) Сомножители уменьшены: один в п раз, другой в m раз. Как изменится произведение?

4) Один сомножитель увеличен в 10т раз, другой уменьшен в 2т раз. Как изменится произведение?

5) Как изменится произведение, если один множитель уменьшен в 4с раз, а другой увеличен в 2с раз?

6) Придумайте упражнения на изменение произведения, аналогичные решенным.

4-е занятие.

1) Как изменится частное, если: а) делимое увеличить в 4 раза? б) делимое уменьшить в 3 раза? в) делитель увеличить в 5 раз? г) делитель уменьшить в 2 раза?

2) Как изменится частное, если делимое увеличить в а раз, а делитель уменьшить в b раз?

3) Как изменится частное, если делимое уменьшить в m раз, а делитель увеличить в п раз?

4) Делимое увеличено в 4/7 раз, а делитель увеличен в 2р раз. Как изменится частное?

5) Делимое уменьшено в 12а раз, а делитель увеличен в 5а раз. Что произойдет с частным?

6) Придумайте упражнения на изменение частного, аналогичные решенным.

7) Прочитать правила, выраженные равенствами:

а) а. Ь = с б) a\b — q в) a:b = q

(а. k). b = с. k\ (a.k)ib = q.k\ а : (bk) = +.

5-е занятие.

1) Сумма увеличилась на и, а первое слагаемое увеличено на 5. Что можно определить по этим данным? Как определить? (и > 5).

2) Разность увеличилась на v, а уменьшаемое было увеличено на 2. Что можно узнать по этим данным? Как узнать? (v > 2).

3) Один сомножитель увеличен в 2с раз, а произведение увеличилось в 12с раз. Что можно определить по этим данным и как определить?

4) Частное увеличилось в 20 раз, а делимое было увеличено в а раз. Что можно определить по этим данным и как определить?

Купля-продажа.

1-е занятие.

1) Ручка стоит 10 коп. Сколько надо заплатить за 7 ручек? за а ручек?

2) Килограмм яблок стоит а коп. Сколько надо заплатить за 5 кг? за m кг?

3) За 7 кг хлеба заплачено Ъ руб. Узнать цену одного килограмма. Какова цена килограмма в копейках?

4) Заплачено с рублей за k учебников. Узнать цену одного учебника.

5) За кусок сукна заплачено а руб., а метр стоит с руб. Сколько метров в куске?

6) За несколько линеек заплачено m руб., одна линейка стоит п коп. Сколько куплено линеек?

7) Прочитать правила, выраженные следующими формулами:

где с — цена товара, k— количество его, a s—стоимость.

2-е занятие.

1) Куплено а карандашей по 20 коп. и b ручек по 12 коп. Сколько заплачено за все карандаши и ручки?

2) Куплено m тетрадей по а коп. и п блокнотов по b коп. за штуку. Сколько заплачено за все тетради и блокноты? Определить стоимость в рублях.

3) Первый раз куплено а задачников, а второй раз—на 5 задачников больше. Сколько всего заплачено за купленные задачники, если цена задачника k коп.?

4) Первый раз куплено р кг картофеля по m коп. за килограмм, второй раз куплено на q кг меньше по п коп. за килограмм. Сколько заплачено за весь картофель?

5) Имелось а кг товара. Из них b кг продано по г руб., а остальное — по q руб. за килограмм. Сколько всего денег выручено от продажи?

3-е занятие.

1) Цена куб. м дров а руб. Куплено m куб. м и заплачено всего с руб. Записать соотношение между данными величинами в виде равенства.

2) За 5 куб. м березовых и 8 куб. м сосновых дров заплачено р руб. Цена 1 куб. м березовых дров m руб., а сосновых п руб. Написать равенство, выражающее соотношение между всеми данными величинами.

3) Первый раз куплено m кг конфет по а руб. за килограмм, а второй раз куплено п кг по b руб. за килограмм; первый раз заплачено на с руб. больше. Написать равенство, выражающее соотношение между всеми данными величинами.

4) Первый раз куплено m кг конфет по а руб. за килограмм, второй раз куплено на 4 кг меньше, а килограмм стоил на 3

руб. дороже. Всего в оба раза заплатили р руб. Написать равенство, выражающее соотношение между всеми данными величинами.

4-е занятие.

1) Вначале купили m тетрадей по а коп. за тетрадь, затем купили по той же цене еще некоторое количество тетрадей. Всего за тетради заплатили с руб. Написать равенство, связывающее все величины задачи, введя для этого необходимое обозначение.

2) Куплено в первый раз некоторое количество тетрадей по а коп. за тетрадь, во второй раз по той же цене куплено на 3 тетради больше. Всего за все тетради заплатили г руб. Написать равенство, связывающее все величины задачи.

3) Первый раз куплено р, во второй раз q тетрадей. При первой покупке платили за тетрадь на 10 коп. дороже, чем во второй. Всего же за все тетради заплатили с руб. Составить равенство, связывающее все величины задачи.

Процентные расчеты.

1-е занятие.

1) Что называется процентом?

2) В классе 40 учащихся. 35% из них — мальчики. Сколько в классе мальчиков? (Составить арифметическое выражение).

3) В классе а учащихся. 40% из них—девочки. Сколько в классе девочек?

4) Ученик имел 10 руб. Он истратил р% своих денег. Сколько рублей он истратил?

5) Ученик имел а руб. Он истратил р% своих денег. Сколько рублей истратил ученик?

6) Сберегательная касса по бессрочным вкладам платит 3% годовых. Сколько процентных денег она выплатит через год, если в кассу положили m руб.?

7) Сберегательная касса по срочным вкладам платит 5% годовых. Сколько процентных денег она выплатит через год на капитал в а руб.?

8) Как прочитать в виде правила формулу: А = ^, если а—число, р—проценты, А—наращение.

2-е занятие.

1) В классе а учащихся, из них р%—пионеры. Сколько в классе пионеров?

2) Придумайте задачи в общем виде (на буквах), которые решаются путем отыскания процента от числа. (Заслушиваются и решаются 2-3 таких задачи).

3) Девочка израсходовала 30 коп., что составляет 15% ее денег. Сколько денег было у девочки? (Составить арифметическое выражение).

4) Девочка израсходовала п руб., что составляет 10% имевшихся у ней денег. Сколько рублей имела девочка?

5) р% числа составляют 20. Чему равно число?

6) q% числа равны а. Чему равно число?

7) Как прочитать правило для формулы: а=^у-, если а — число, р — проценты, h — наращение.

3-е занятие.

1) Магазин продал подержанный учебник за а коп., что сосвляет 75% цены нового учебника. Сколько стоит новый учебник?

2) Придумайте задачи, которые решались бы путем отыскания по проценту числа.

3) В классе 10 мальчиков и 30 девочек. Сколько процентов в классе мальчиков? (Составить арифметическое выражение.)

4) В классе m мальчиков и п девочек. Сколько процентов в классе мальчиков?

5) В школе с учащихся, из этого числа d человек — комсомольцы. Сколько процентов составляют комсомольцы?

6) Придумайте задачи на процентное отношение.

4-е занятие.

1) В сберегательную кассу положили а руб. на год по 3°/о годовых. Что можно определить по этим данным и как это сделать?

2) В классе 10 чел. отличников, что составляет р% всего числа учащихся класса. Что можно определить по этим данным и как это сделать?

3) В библиотеке 400 книг, из них а книг французских. Что можно определить по этим данным и как определить?

4) Школа выпустила 10% всего числа учащихся. Сколько учащихся выпустила школа? (Ввести обозначение для всего числа учащихся)

5) Школа выпустила 40 чел. Сколько процентов всего числа учащихся выпустила школа?

5-е занятие.

1) Учебник стоит а руб:, пенал на 30% дешевле. Цена пенала 1,4 руб. Написать равенство, выражающее соотношение между данными числами.

2) Учебник стоит 1,5 руб., а пенал на р% дешевле. Цена пенала 1,2 руб. Написать равенство, выражающее соотношение между этими числами.

3) В сберкассу положено 400 руб. по р°/о годовых. Через год получено 12 рублей процентных денег. Написать равенство, выражающее связь между данными числами.

4) В сберкассу положено а руб. по 5% годовых. Через год получено 20 руб. процентных денег. Написать равенство, выражающее зависимость между этими числами.

Дроби.

1-е занятие.

1) Числитель дроби равен р, а знаменатель на 2 единицы больше числителя. Написать дробь.

2) Знаменатель дроби равен q, а числитель на 5 меньше знаменателя. Написать дробь.

3) Знаменатель дроби равен и2, а числитель на 2-^ больше знаменателя. Написать выражение для дроби.

4) Записать выражение для дроби, если числитель ее на 1 меньше числа a, a знаменатель на 1 больше того же числа.

5) Найти выражение для дроби, если числитель на 2 больше числа а знаменатель в 2 раза больше того же числа.

6) Числитель дроби на 5 меньше квадрата числа a, a знаменатель на 4 больше куба того же числа. Написать выражение для дроби.

2-е занятие.

1) Написать дробь, обратную дроби у.

2) Числитель дроби равен 5, а знаменатель на k больше числителя. Написать: а) эту дробь, б) обратную дробь.

3) Знаменатель дроби равен 20, а числитель на m меньше знаменателя. Написать сумму этой дроби и обратной ей.

4) Числитель дроби на 2 больше числа a, a знаменатель на 2 меньше того же числа. Найти разность между этой дробью и обратной дробью.

5) Числитель дроби равен х, а знаменатель в 3 раза да еще на 2 больше числителя. Написать сумму этой дроби и обратной ей.

3-е занятие.

1) Дана дробь — , из нее получена другая дробь путем увеличения числителя на 2. Которая из этих двух дробей больше? На сколько больше?

2) Из дроби j получена другая дробь путем увеличения знаменателя дроби на 1. Какая из этих двух дробей больше? На сколько больше?

3) Дана дробь ^, другая дробь получена из данной, путем увеличения числителя и знаменателя на 1. Какая из этих дробей больше? На сколько больше? (u<v)

4) Числитель дроби на 4 меньше знаменателя. Написать выражение для дроби, обозначив знаменатель через у.

5) Числитель дроби на s больше знаменателя. Написать сумму этой дроби с обратной дробью.

6) Знаменатель дроби на 6 меньше числителя. Написать разность между этой и обратной дробью.

4-е занятие.

1) Числитель дроби на 2 меньше знаменателя. Если числитель дроби увеличить на 1, то получится дробь ~. Записать это соотношение в виде равенства, обозначив знаменатель первоначальной дроби через х.

2) Числитель дроби на 1 меньше знаменателя, а сумма этой и обратной дроби равна 2~. Записать это соотношение в виде равенства, введя обозначение.

3) Числитель дроби на 1 больше знаменателя, а разность между этой и обратной дробью равна • Записать это соотношение в виде равенства.

Целое число в десятичной системе счисления.

1-е занятие.

1) Напишите число, имеющее 7 десятков и а единиц.

Указание. При весьма вероятном затруднении учащихся, целесообразно поставить такие вопросы: а) сколько единиц содержит десяток? б) сколько единиц в 7 десятках? в) сколько единиц в числе? Аналогичные вопросы уместны и в последующих упражнениях, когда учащиеся при решении встретятся с затруднениями.

2) Напишите число, состоящее из а десятков и 5 единиц.

3) Число содержит а десятков и b единиц. Как записать это число?

4) Напишите число, имеющее х десятков.

5) Напишите число, содержащее х десятков и у единиц.

6) Число имеет р единиц и q десятков. Как написать это число?

2-е занятие.

1) Число имеет m десятков и 9 единиц. Запишите это число.

2) Запишите число, содержащее а сотен.

3) Запишите число, имеющее а сотен и с единиц.

4) Число содержит а сотен и b десятков. Как записать это число?

5) В числе X сотен, у десятков и z единиц. Написать выражение для этого числа.

6) В числе а десятков и b единиц. Написать выражение для этого числа и для суммы чисел, выраженных цифрами этого числа.

7) В числе m сотен, п десятков и р единиц. Запишите это число и найдите сумму чисел, выраженных его цифрами.

3-е занятие.

1) Возьмем какое-либо двухзначное число, например, 75. Переставим цифры этого числа. Получим 57. Говорят, что число 57 имеет обратный порядок цифр по сравнению с числом 75.

2) Дано число 79. Напишите число с обратным порядком цифр.

3) Дано число \0a+b. Запишите число с обратным порядком цифр.

4) Дано число 100а+ \0b+ с. Напишите число с обратным порядком цифр.

5) В числе X десятков и у единиц. Запишите это число. Запишите число с обратным порядком цифр.

6) В числе m сотен, п десятков и р единиц. Запишите: а) это число, б) число с обратным порядком цифр.

7) Число имеет х сотен и z единиц. Запишите: а) число с обратным порядком цифр, б) сумму цифр этого числа.

4-е занятие.

1) В числе m десятков и п единиц. Найдите частное от деления этого числа на сумму его цифр.

2) В числе р десятков и q единиц. Напишите произведение этого числа на число с обратным порядком цифр.

3) В числе а сотен, b десятков и с единиц. Напишите сумму этого числа с числом, которое имеет обратный порядок цифр.

4) Число содержит х сотен, у десятков и z единиц. Найдите разность между этим числом и суммою его цифр.

5) В двузначном числе единиц на 2 больше числа десятков. Напишите это число, обозначив число десятков через х.

6) В двузначном числе единиц на 3 меньше, чем число десятков. Напишите это число.

5-е занятие.

1) В двузначном числе число десятков на 1 больше числа единиц. Частное от деления этого числа на сумму его цифр

равно 6. Записать это в виде равенства, обозначив число десятков через х.

2) В двузначном числе число единиц на 3 больше числа десятков. Частное от деления этого числа на сумму его цифр равно 4. Записать это в виде равенства.

3) В двузначном числе число десятков на 2 больше числа единиц. Сумма этого числа с числом, имеющим обратный порядок цифр, равна 44. Выразить это условие с помощью равенства.

4) Произведение двузначного числа, у которого число единиц на 1 меньше числа десятков, на число с обратным порядком цифр равно 252. Записать это условие в виде равенства.

Равномерное движение*.

1-е занятие.

1) Определить длину пути, который прошел пароход, если он шел t час. по 20 км в час.

2) Узнать длину пути парохода, если он шел 8 час. по v км в час.

3) Велосипедист ехал t минут со скоростью b м в минуту. Определить пройденный им путь.

4) Велосипедист ехал 12 мин. Он проехал путь длиною s м. С какой скоростью он ехал?

5) Аэроплан пролетел s км в t час. С какой скоростью он летел?

6) Аэроплан летел со скоростью 5 км в минуту и всего пролетел а км. Сколько времени он находился в полете?

7) Определить, сколько времени тело находилось в движении, если оно, двигаясь равномерно и прямолинейно, сделало путь в а см в течение b сек.

8) Если 5 — путь, время, v — скорость, то как прочитать в виде правил следующие формулы:

2-е занятие.

1) Пешеход шел t часов со скоростью 5 км в час, он прошел всего а км. Написать равенство, устанавливающее связь между всеми данными величинами.

2) Тело прошло путь b s m и двигалось (£+2) сек. по с м в секунду. Написать равенство, связывающее данные величины.

* В предлагаемых ниже упражнениях не делается указаний о равномерно-прямолинейном движении. Приступая к решению этих упражнений с учащимися, надо указать, что в них без особых указаний идет речь о равномерно-прямолинейном движении.

3) Тело прошло путь в а км и двигалось (t — 3) час. по (с + 5) км в час. Написать равенство, связывающее данные величины.

4) Турист часть пути между двумя городами шел пешком со скоростью 5 км в час в течение t час, а остальную часть он ехал на велосипеде со скоростью 10 км в час в течение г часов. Расстояние между городами 80 км. Написать равенство, связывающее все данные величины.

3-е занятие.

1) Расстояние между двумя городами равно s км. Товарный поезд проходит его в 14 час, а почтовый — в 10 час Какой поезд имеет большую скорость? На сколько скорость одного поезда больше скорости другого?

2) Расстояние между двумя пунктами а км. Мотоциклист проходит его в с час, а велосипедист — на 2 часа дольше. На сколько скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста?

3) Расстояние между городами равно 5 км. Почтовый поезд идет со средней скоростью в 45 км, а скорый — в 55 км в час. Какому поезду потребуется больше времени, чтобы пройти путь между городами? На сколько больше?

4) Расстояние между двумя станциями 100 км. Скорость почтового поезда на 12 км в час меньше скорости скорого поезда. Какой из поездов затратит меньше времени на пробег расстояния между этими станциями? На сколько меньше? (Ввести целесообразное обозначение).

5) Через сколько часов встретятся поезда, идущие навстречу друг другу, если известно растояние между станциями и скорость движения поездов?

Бассейны.

1-е занятие.

1) Бассейн для плавания наполняется одной трубой в 10 час. Какая часть бассейна наполняется в 1 час? в 3 часа?

2) Бассейн одной трубой может быть наполнен в а часов. Какая часть бассейна наполняется в 1 час? в t час?

3) Наполненный бассейн может опорожниться с помощью одной трубы в х час Какая часть бассейна опорожнится в 2 часа? в 5 час?

4) Через один кран бак наполняется в а мин., а через другой — в b мин. Какая часть бака наполнится в одну минуту при одновременном действии обоих кранов?

5) Через один кран бак наполняется в m мин., а через другой наполненный бак опорожнивается в п мин. Какая часть ба-

ка наполняется в 1 мин. при одновременном действии обоих кранов? ( т<п ).

2-е занятие.

1) Первая труба наполняет бассейн в а час, а вторая — на 2 часа скорее, чем первая. Которая труба в течение часа дает воды больше? На сколько больше?

2) Первая труба наполняет бассейн в t час, а вторая — на 3 часа дольше, чем первая. Какую часть бассейна наполнят обе трубы в 1 час?

3) Чан с помощью одного крана опорожнивается в 5 час, а с помощью другого — на t час. скорее по сравнению с первым. Во сколько часов опорожнится чан при одновременном действии обоих кранов?

4) Первый кран может наполнить бассейн в t час, а второму крану надо на 3 часа больше, чтобы опорожнить наполненный бассейн. В какое время бассейн наполнится при одновременном действии обоих кранов?

3-е занятие.

1) Первый кран наполняет аквариум в 7 мин., второй — в t мин., а, действуя вместе, они могут наполнить аквариум в 4 мин. Написать равенство, связывающее все данные величины.

2) Через первый кран бак опорожнивается в t мин,, а через второй—на 2 мин. дольше; при одновременном действии двух кранов опорожнивается в 7 мин. Написать равенство, связывающее все данные величины.

3) Первая труба наполняет бассейн на 1 час скорее, чем одна вторая, а обе вместе наполняют его в 5 час. Написать равенство, связывающее все данные величины. (Ввести обозначения).

4) Первая труба наполняет бассейн на а час. дольше, чем вторая труба, а обе вместе наполняют его в 9 час. Написать равенство, устанавливающее зависимость между всеми данными величинами.

4-е занятие.

1) Один насос может выкачать воду из чана в х мин., а другому потребуется у мин. Что можно определить по этим данным и как это сделать?

2) Один кран может наполнить бак в m мин., а другому надо на 2 минуты больше. Что можно узнать по этим данным и как узнать?

3) Первая труба наполняет бассейн на 3 часа скорее, чем вторая, а вторая наполняет в t час. Что можно определить по этим данным? Как это сделать?

Указание. К упражнениям последних четырех занятий примыкают упражнения на зависимость между рабочей силой и временем, необходимым для выполнения определенной работы. Эти упражнения предложены выше (глава III).

Рычаги.

1-е занятие.

1) На концах горизонтального стержня длиною в 30 см, находящегося в равновесии, висят гири в 9 кг и 6 кг. В какой точке стержень подперт? (Стержень считается невесомым).

2) Какого рода рычаг представляет этот стержень? Какое условие должно соблюдаться для равновесия рычага 1-го рода?

3) Какие рычаги первого рода вам известны?

4) Плечи рычага 1-го рода равны 8 см и 6 см. На большем плече висит груз в а кг. Какой груз надо повесить на другое плечо для равновесия?

5) На концах находящегося в равновесии рычага 1-го рода висят грузы а и Ь. Плечо с грузом а равно m единиц длины. Сколько таких единиц имеет плечо с грузом Ъ?

6) Если р и р1 — плечи рычага 1-го рода, a q и qx соответственно приложенные силы, то как прочитать в виде правил формулы:

2-е занятие.

1) Плечи рычага 1-го рода равны р и q единицам. Ко второму плечу привешен груз Q. Определить груз, который надо привесить для равновесия к первому плечу.

2) Приведите примеры рычага 2-го рода. Какое условие должно соблюдаться для равновесия рычага 2-го рода?

3) У рычага 2-го рода длинное плечо равно 12 дм, а короткое 4 дм. К длинному плечу приложена сила в 20 кг. Какую силу надо приложить к короткому плечу для равновесия рычага?

4) Длинное плечо рычага 2-го рода равно р, к нему приложена сила в 24 кг. Вычислить длину малого плеча, если к нему для равновесия приложена сила в 4 кг?

5) Рычаг 2-го рода имеет длинное плечо р и короткое q. К короткому приложена сила Q. Определить силу, которую надо приложить для равновесия к длинному плечу.

6) Если р и рх — плечи рычага 2-го рода, a q и qx — соответственно силы, то как прочитать формулы:

3-е занятие.

1) На концах плеч рычага 1-го рода уравновешены грузы 8 кг и 12 кг. Одно из плеч на 2 дм больше другого. Написать равенство, выражающее условие равновесия рычага, приняв меньшее плечо за х.

2) На концах плеч рычага 1-го рода уравновешены грузы, один из которых на 3 кг больше другого. Плечи рычага 3 дм и 4 дм. Написать равенство, выражающее условие равновесия рычага.

3) Одно из плеч рычага 2-го рода на 8 см больше другого. К рычагу приложены уравновешивающие силы в 20 г и 30 г. Написать условие равновесия рычага.

4) Рычаг 2-го рода имеет плечи р и q(p>q). К концам плеч приложены уравновешивающие силы, одна из которых на а больше другой. Написать условие равновесия рычага.

ГЛАВА ПЯТАЯ

Методика составления уравнений.

В журнальных статьях и в практике школ за последнее десятилетие наметились две точки зрения в отношении подхода к решению первых задач на составление уравнений: одни авторы и учителя-практики рекомендуют предложить учащимся арифметическую задачу, решить ее известным учащимся арифметическим способом, а затем уже дать решение этой задачи новым для учащихся способом — путем составления уравнения; другие авторы и учителя-практики рекомендуют предложить учащимся такую арифметическую задачу, которую учащиеся не смогут решить арифметическим способом, а после этого показать возможность решения задачи с помощью составления уравнения. Эти две точки зрения в отношении подхода к решению первых задач алгебраическим способом не являются такими, которые кладут яркий отпечаток на все дальнейшее изучение интересующего нас вопроса: ни та, ни другая из них не дает коренных методических сдвигов. Однако нам кажется целесообразнее встать на вторую точку зрения по следующим соображениям: а) предварительное решение задачи арифметическим путем не способствует лучшему пониманию алгебраического способа решения, а значит с этой точки зрения оно бесполезно; б) при наличии предварительного арифметического решения у учащихся может возникнуть мысль, что алгебра не вносит никаких усовершенствований в дело решения задач, что решение задач с помощью уравнений интересный, но ненужный „трюк“, так как задача уже решена арифметическим способом; в) вторая точка зрения полезнее прежде всего тем, что она вскрывает перед учащимися преимущества алгебры

перед арифметикой в решении задач, она показывает, что уравнения являются более совершенным и общим методом решения, и практически оправдывает изучение алгебраической символики во всем ее многообразии; г) учителю, вставшему в занятиях с классом на первую точку зрения, рано или поздно придется перейти и на вторую точку зрения для того, чтобы показать практически преимущества алгебраического способа решения.

Развитые соображения показывают, что вторая точка зрения в методическом отношении удобнее, а потому она и заслуживает предпочтения в практике работы учителя.

Рассмотрим решение первой задачи на составление уравнений. Как уже следует из изложенного, задача не должна быть особо простой. Она должна быть достаточно демонстративной, чтобы вскрыть и общий план решения алгебраическим способом и показать преимущества этого способа, но вместе с тем сюжет ее должен быть таким, чтобы не вызвать особых затруднений у учащихся, чтобы эти особые затруднения, специфические для некоторого типа задач, не заслонили общий путь решения. Одним из наиболее удобных сюжетов для первых задач является купля-продажа, так как учащиеся из своей повседневной практики хорошо знают ту функциональную зависимость, которая лежит в основе таких задач.

Задача № 1. Куплены груши и яблоки, причем яблок куплено на 5 штук менее, чем груш. За грушу платили 20 коп., а за яблоко — 15 коп. Всего же заплатили 9 руб. 75 к. Сколько куплено груш и сколько яблок?

Первую задачу уместно записать полностью, так как она послужит образцом для решения последующих задач и может быть нужна учащимся для справок в дальнейшей классной и домашней работе. Предложив задачу, учитель дает возможность учащимся решить ее арифметическим способом. В хорошо подготовленном классе, конечно, найдутся учащиеся, которые дадут арифметическое решение, но поскольку задачи такого типа уже давно не встречались, то масса учащихся не сможет дать решения. Арифметическое решение вызовет массовое затруднение. Тогда учитель сообщит, что сейчас он покажет алгебраический способ решения задачи. А предложенный учащимися арифметический способ можно использовать для сравнения с новым алгебраическим способом.

I. Как и при решении всякой задачи, учащиеся прежде всего должны хорошо уяснить, что в предложенной задаче известно. Это можно сделать в порядке беседы.

— Что известно о количестве купленных яблок?

— Сколько стоит одна груша?

— А одно яблоко?

— Сколько заплачено за все купленные фрукты?

Результаты анализа данной задачи уместно зафиксировать. В задаче известно, что:

1) яблок куплено на 5 штук менее, чем груш,

2) груша стоит 20 коп,

3) яблоко стоит 15 коп,

4) за все фрукты заплачено 9 руб. 75 коп.

II. Затем надо выяснить, что в задаче требуется узнать. Надо определить:

1) сколько куплено груш,

2) сколько куплено яблок.

III. Далее следуют пояснения учителя, которые переходят в беседу.

— Для решения задачи составим уравнение. С этой целью выделим одно из данных чисел и будем его приберегать, чтобы сделать правой частью уравнения. В этой задаче удобнее выделить стоимость всех купленных фруктов. Итак, пока оставим стоимость фруктов 9 руб. 75 к. и пользоваться этим числом не будем.

— Для составления уравнения одно из неизвестных обозначим какой-либо буквой, например, х. Какое неизвестное в нашей задаче можно обозначить через х?

— Обозначим количество купленных груш через х. Запишем это: куплено х груш.

— Теперь, пользуясь х-м, как бы известным числом, введем обозначения для всех величин, которые необходимы, чтобы подсчитать стоимость всех купленных фруктов.

— Если куплено х груш, то как обозначить число купленных яблок?

— Их куплено на 5 штук меньше, т. е. (л—5) яблок.

— А сколько стоит одна груша?

— Груша стоит 20 коп.

— Как выразить стоимость х груш?

— Стоимость всех груш равна 20л: коп.

— Сколько стоит одно яблоко?

— Как выразить стоимость (х—5) яблок?

— Стоимость всех яблок выражается так: 15 (х—5) кои.

— Итак, груши стоят 20л: коп., а яблоки 15(л:—5) коп. Как же выразить стоимость всех купленных фруктов, пользуясь полученными выражениями?

— Фрукты стоят [20л: + 15 (л:—5)] коп.

IV. — Теперь вспомним то число, которое мы оставили неиспользованным. Сколько стоят все фрукты по условию задачи?

— Сколько копеек в 9 руб. 75 коп.?

— А сколько стоят фрукты в наших обозначениях?

— Как же составить уравнение?

— Получаем уравнение:

— В уравнении наименования величин не пишутся.

V. В результате нашей работы мы получим уравнение. На время забудем задачу и займемся решением уравнения.

— Нина Молина, идите к доске и решите уравнение.

Выполняется проверка решения уравнения: 4.30 + 3.25=120 + 75=195.

VI. — А что мы обозначили через х?

— Сколько же куплено груш?

— А сколько яблок?

— Запишем:

Ответы: 1) Куплено 30 груш, 2) Куплено 25 яблок.

VII. Теперь надо выяснить, правильно ли мы решили задачу, годятся ли полученные ответы для нашей задачи. Такое выяснение будем называть исследованием.

20 коп.-30 = 6 руб., 15 коп.-25 = 3 руб. 75 коп., 6 руб. + З руб. 75 коп. =9 руб. 75 коп. Исследование показало, что задача решена верно. Новизна приема решения требует, чтобы весь ход решения с подчеркиванием отдельных его этапов был повторен. Затем уместно решить аналогичную задачу с подчеркиванием основных этапов в рассуждении.

В результате подробного решения первых задач необходимо наметить и зафиксировать общий план решения задач алгебраическим способом.

I. Выяснить, какие величины известны.

II. Какие величины требуется определить.

III. Обдумать, какие величины удобно приравнять при составлении уравнения. (При решении первых задач—выделить число, которое явится правой частью уравнения). Обозначить неизвестное и выразить через него и данные другие величины, необходимые для составления уравнения.

IV. Составить уравнение.

V. Решить уравнение и проверить корень.

VI. Выписать ответы.

VII. Исследовать полученное решение по отношению к условию задачи.

Этот план при решении задач фиксируется на доске и в тетрадях кратко так:

I. Дано.

II. Определить.

III. Что приравнять? Обозначения.

IV. Уравнение.

V. Решение.

VI. Ответы.

VII. Исследование*.

Рассмотрим еще одну задачу и покажем на ней, как целесообразно производить фиксацию решения.

Задача № 2. Куплено 10 карандашей и 15 ручек. Карандаш стоит на 7 коп. дороже ручки. За всю покупку заплатили 1 р. 95 коп. Сколько стоит карандаш и ск. стоит ручка?

I. Дано: 1) куплено 10 карандашей,

2) куплено 15 ручек,

3) карандаш стоит на 7 коп. дороже ручки,

4) вся покупка стоит 1 руб. 95 коп.

II. Определить: 1) сколько стоит карандаш,

2) сколько стоит ручка.

III. Для правой части уравнения оставим число 1 руб. 95 коп. Обозначения:

1) карандаш стоит х коп.,

2) ручка стоит (х— 7) коп.,

3) за 10 карандашей заплачено 10* коп.,

4) за 15 ручек заплачено [(х — 7)-15] коп.,

5) за всю покупку заплачено [Юх + (х—7)« 15] коп.

IV. Уравнение:

V. Решение:

Поверка: 10-12+ (12 — 7). 15= 120 + 75= 195.

VI. Ответы: 1) карандаш стоит 12 коп.,

2) ручка стоит 5 коп.

VII. Исследование: 12 коп.-10=1 руб. 20 коп.,

5 коп.-15 = 75 коп.,

1 руб. 20 коп.+75 коп.= 1 руб. 95 коп.

* Когда учащиеся приобретут некоторые навыки в решении задач с помощью уравнений, то приведенный план можно упростить: не фиксировать, что дано и что определить.

При решении этой задачи для составления уравнения сохранено число 1 руб. 95 коп. Сохранение этого числа дает простейшее уравнение и наиболее простой путь рассуждения.

Но для составления уравнения можно сохранить и другое число, например, 7 коп. Тогдо обозначения будут уже иные:

Обозначения:

1) цена карандаша х коп.,

2) стоимость 10 карандашей 10х коп.,

3) стоимость 15 ручек (195 — 10х) коп.,

4) цена ручки

Уравнение:

Если для составления уравнения сохранить число 15 ручек, то обозначения будут таковы:

1) цена карандаша х коп.,

2) цена ручки (х — 7) коп.,

3) стоимость 10 карандашей 10х коп.,

4) стоимость всех ручек (195—10х) коп.,

5) число купленных ручек

Уравнение:

Всякая задача содержит числа двоякого рода: данные и неизвестные. Если одно из неизвестных чисел сделать известным, и в то же время одно из данных принять за неизвестное, то получится новая задача, которая по отношению к первоначальной называется обратной. Очевидно, что из всякой задачи можно получить несколько обратных. Иногда некоторые из обратных задач решаются проще первоначальной; в этом случае решение первоначальной задачи удобно выполняется путем составления уравнения и определения его корней. Таким образом, составление уравнения представляет решение обратной задачи по отношению к данной. Обратных задач может быть по отношению к данной несколько, а поэтому и уравнение для решения задачи может быть составлено разными способами. Сохранение для правой части различных данных чисел равносильно составлению обратных задач, в которых неизвестное первоначальной задачи принято равным х и считается известным. Так как трудность решения различных обратных задач не одинакова, то и трудность составления уравнения получается различная в зависимости от того, какое из данных сохранено для правой части уравнения.

На одной-двух задачах полезно показать учащимся, что при решении задачи можно сохранять для составления урав-

нения различные числа, что при этом меняются обозначения, меняется вид уравнения, но ответы получаются те же. Надо обратить внимание учащихся, что в процессе обозначения мы стремимся получить то число, которое сохранено для составления уравнения. Это указание весьма существенно, так как оно придает целенаправленность обозначениям и избавляет учащихся от ненужных обозначений, которые всегда появляются, если нет этой целенаправленности. Сделаем несколько общих указаний.

1) Первые задачи, решаемые алгебраическим способом, следует выполнять фронтально всем классом. Беседа эвристического характера будет служить наиболее целесообразным методом такого решения. Такого же рода беседы уместны и впоследствии при первом решении задач какого-либо нового типа (например, первые задачи „на бассейны“, на структуру десятичного числа).

После создания некоторого навыка в составлении уравнений можно использовать такой прием: учащиеся получают задание решить задачу, начинают самостоятельное решение, а затем через 3-5 минут вызывается ученик к доске для выполнения решения задачи. Такой прием предоставляет больше инициативы учащимся, способствует выработке навыков, а вместе с тем он оказывает помощь тем учащимся, которые не смогут самостоятельно осилить задачу. Решение на доске можно проводить с объяснением, когда учитель обнаружит надобность в этом, но можно проводить молча, когда учащиеся класса не нуждаются в этом.

Когда учитель убедится, что в решении задач того или другого типа создан настолько достаточный навык, что учащиеся смогут решать задачи самостоятельно, то уместна на уроке организация самостоятельного индивидуального решения задач.

2) При решении арифметических задач учащиеся привыкли ставить вопросы, этим следует воспользоваться и при решении задач с помощью составления уравнений. Иные методисты и преподаватели рекомендуют даже в начале при решении задач алгебраическим способом вопросы записывать, как это делается при решении арифметических задач, а позднее перейти к такой записи, какая дана при решении задачи № 2. Нам кажется, вопросы надо использовать в устном объяснении, а фиксировать их не следует: фиксация вызовет излишние записи и громоздкое оформление решения, что всегда запугивает учащихся. Фиксируются только ответы на те вопросы, которые ставятся устно. При этом фиксация должна быть возможно краткой, но точной. Учитель должен привить учащимся стремление и навык к такой точной и крат-

кой фиксации. В VII и VIII классах фиксация, подобная той, какая дана при решении задачи № 2, должна считаться обязательной. У учащихся довольно часто наблюдается тенденция сократить фиксацию, особенно в пункте III плана („обозначения“). С этим приходится бороться, так как такое сокращение, иногда безболезненно проходящее в нетрудных задачах, впоследствии, при решении трудных задач, может привести к тому, что задача совершенно не будет решена.

3) При фиксации обозначений необходимо требовать, чтобы учащиеся ставили наименования тех величин, значения которых обозначены неизвестными или выражениями, содержащими неизвестные. При составлении уравнений учащиеся часто приравнивают величины неоднородные или выраженные в различных мерах (например, рубли приравнивают к копейкам, метры — к километрам и т. д.), в результате чего получаются неверные уравнения. Ошибка эта очень распространена, медленно изживается, встречается даже в старших классах. Постановка наименований в обозначениях в известной мере предохраняет от этой ошибки, она побуждает учащихся осторожнее оперировать с выражениями.

Полезно привить навык учащимся, чтобы они величины одного и того же рода при решении задачи выражали в одних и тех же единицах.

Кроме того, отсутствие наименований иногда вызывает затруднения при написании ответа задачи (пункт V плана): пока ученик решает уравнение, он забывает, что обозначено х, и, вычислив X, не знает, что же он определил. Приходится вновь читать задачу и вспоминать, что обозначено через х и в каких мерах введено это обозначение. Очевидно, что этого не произойдет, если учащиеся приучатся ставить наименования.

4) При решении некоторых задач может значительную помощь оказать чертеж, который внесет наглядность в соотношения величин, употребляющихся или в качестве данных, или в качестве искомых, или в их взаимной связи. К числу таких задач относятся, например, задачи на движение, задачи с геометрическими сюжетами, а также и такие, в которых имеет место разностное или кратное отношение и другие. Чертеж помогает нагляднее осознать данные, яснее представить искомые, он способствует более конкретному представлению других величин и чисел, которые появляются в процессе обозначения, он же помогает и составить уравнение. Таким образом роль чертежа в методическом отношении значительна, а поэтому надо приучить учащихся иллюстрировать задачи чертежами, где это полезно и удобно.

5) Пункт VI плана может показаться неопытным преподавателям излишним. Но учителя-практики хорошо знают, что

учащиеся часто в этом пункте допускают недоделки: если задача требует определения нескольких чисел, то записывается одно—корень уравнения, а другие забываются; если задача требует именованного числа, забывается наименование; если решается система уравнений, то, определив одно неизвестное, забывают найти другое. Чтобы избежать этих неприятных недоделок, полезно требовать записи ответов в отдельном пункте плана.

6) Исследование решений задачи часто производится неправильно. Учащиеся, решая уравнения, приучаются производить проверку корней, путем подстановки их в уравнение вместо неизвестного. Но такая проверка позволяет сделать заключение только о том, верно или неверно решено уравнение. Судить же по ней о правильности решения задачи нельзя: может случиться, что уравнение составлено неверно, а решено верно, тогда корни уравнения не будут являться решениями задачи; может случиться, что уравнение составлено и решено правильно, однако корни его могут не удовлетворять требованиям задачи. Вот эти соображения на конкретных задачах и надо развить перед учащимися и показать им, что единственно целесообразный и надежный путь выяснения пригодности корней для задачи заключается в выполнении вычислений по условию задачи. Такую проверку называют исследованием решений. Это исследование в задачах с числовыми данными носит весьма несложный характер, а в задачах с буквенными данными требует значительного напряжения мышления и специальной теоретической подготовки.

7) Излюбленным обозначением неизвестного является х, а позднее х и у. Такое засилье этих букв является для некоторых учащихся вредным: если при решении какой-либо геометрической или физической задачи неизвестное окажется обозначенным другой буквой, то учащиеся теряются, пытаются ввести без всякой пользы для дела х. Чтобы избежать такого явления, надо наряду с х и у использовать для обозначения неизвестного и другие буквы. Например, если неизвестной является скорость, то обозначить ее v; если неизвестно время, обозначить его t и т. д.

Это создаст большую гибкость в использовании символики и улучшит применение уравнений к разрешению задач из других предметов.

8) Для более глубокого понимания содержания изучаемого математического материала, как правило, полезно давать учащимся в порядке домашних заданий составить примеры или задачи и затем проверить путем решения, правильно ли они составлены. Эта работа, систематически проводимая, очень полезна: она развивает инициативу, способствует развитию

творчества, она вскрывает правильность и глубину понимания, она срывает с математических задач тот ореол таинственности, которым они иногда окружаются учащимися.

Для более глубокого и полного понимания типичной задачи на составление уравнений также бывает полезно давать учащимся домашние задания составить задачу и затем проверить ее путем решения. Конечно, в классе надо показать на 1-2 примерных задачах, как составляются такие задачи. Поясним на примере. „Первый рабочий может выполнить некоторую работу в 8 час, а второй может выполнить ту же работу в 12 час Если они будут выполнять ту же работу вместе, то им потребуется j^l + час, т. е. 4у часа“. В этом расчете все известно, а значит нет и задачи. Сделаем неизвестным время, в течение которого второй рабочий один может выполнить всю работу. Тогда получим такую задачу: „Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторую работу в 4-g- часа. Один первый может выполнить эту работу в 8 час Вычислить, в какое время может выполнить ту же работу один второй рабочий“.

Если сделать неизвестным время,в течение которого первый рабочий может выполнить один всю работу, то получим задачу, аналогичную только что формулированной. Можно получить несколько более сложную задачу: „Двое рабочих могут выполнить, работая вместе, некоторую работу в 4 ч. 48 мин., а один первый может выполнить ту же работу на 4 часа быстрее, чем один второй. В какое время может выполнить ту же работу каждый рабочий отдельно?“ Эта задача уже требует использования квадратного уравнения.

Опыт показывает, что учащиеся очень охотно составляют задачи, любят зачитывать их в классе, интересуются решением своих задач. Конечно, нет возможности прорешать в классе все задачи, составленные учащимися дома. Возможно поступить так: учитель читает эти задачи дома, выбирает из них наиболее оригинальные, интересные и удачные и использует их в классной работе; вместе с тем он разбирает задачи неудачные, вскрывая основные их дефекты и указывая пути исправления.

9) Как один из способов составления задач, можно показать учащимся получение задач путем перефразировки, путем вложения в одни и те же соотношения между числами различного конкретного содержания. Этот путь составления задач надо показать в классе. Пусть дана такая задача:

„Число 74 разделить на три части, чтобы вторая была в 3 раза более первой, а третья на 4 единицы более второй“.

После того как задача будет решена, она перефразируется, например, так:

„Магазин имел сукно в 3-х кусках, всего 74 м. Во втором куске было в 3 раза более, чем в первом, а в третьем — на 4 м более, чем во втором. Сколько метров содержит каждый кусок ?„

„74 кг мороженого распределены на три киоска. Второй киоск получил втрое более, чем первый, а третий — на 4 кг более второго. Сколько мороженого получил каждый киоск?“

„Трое рабочих за выполнение некоторой работы получили 740 руб. Этот заработок они поделили пропорционально числу рабочих дней, затраченных каждым из них; при этом оказалось, что второй работал втрое более, чем первый, а третий — на 4 дня более второго. Сколько получил каждый рабочий?“

Получение задач с помощью такой перефразировки покажет ученикам, что составить задачи уже не так трудно; они перестанут пугаться количества задач, так как увидят, что при всем видимом разнообразии задач они сводятся к сравнительно небольшому числу основных задач, которые можно и составить и решить.

Особенно интересно показать учащимся, что задачи о бассейнах, курьерах, поездах, наращении капиталов и о работе по существу сводятся к задачам о работе. Приведем пример перефразировки одной задачи с двумя неизвестными:

„Некоторая работа может быть закончена двумя рабочими в 18 дней. После трехдневной совместной работы первый рабочий был снят и второй окончил оставшуюся часть в 25 дней. Во сколько дней каждый из них отдельно мог бы выполнить работу?"

„Бассейн при одновременном действии двух труб может быть наполнен в 18 час. По истечении трехчасового действия двух труб первая труба была закрыта и вторая наполнила оставшуюся часть бассейна в 25 час. Во сколько часов каждая труба отдельно могла бы наполнить бассейн?“

„Два поезда, идущие навстречу один другому и вышедшие из двух станций А и В одновременно, должны встретиться через 18 час. после отправления. Но первый поезд через три часа после выхода со станции был задержан и второй встретился с первым только через 28 ч. после выхода со станции. Во сколько часов каждый поезд прошел бы расстояние между станциями А и В?“

ГЛАВА ШЕСТАЯ.

Об общем методе решения задач составлением уравнений.

Перейдем к рассмотрению вопроса об общем методе решения задач составлением уравнений или систем уравнений, а также о последовательности задач. Как уже указано ранее, в

методической литературе последнего времени в той или другой форме твердо признается, что такой общий метод имеется. Наблюдаются только некоторые различия в истолковании этого общего метода: одни считают, что его сущность заключается в расчленении задачи на ряд простых задач, другие видят его сущность в приравнивании двух различным способом выраженных величин, третьи — в обозначении неизвестного и оперировании с этим символом, как с известным, с целью получить уравнение. Все указанные точки зрения — отмечают правильно какую либо одну сторону, одно звено общего метода, но не вскрывают его полностью и в целом.

Как идет мыслительный процесс при решении задачи?

Установив неизвестные величины, их обозначают какими либо буквами, затем эти неизвестные связывают на основании условий задачи с данными величинами; в этом процессе существенную роль играет приравнивание двух величин в случае одного уравнения и многократное приравнивание величин в случае системы уравнений; в результате получается или одно уравнение или система уравнений, решение которых и дает ответ на вопросы задачи.

Весь этот мыслительный процесс является типичным анализом. Анализ, как метод отыскания путей и способов доказательства теорем и решения задач, был известен древним грекам. Осознанное применение анализа приписывается философу Платону; Евклид также пользуется анализом. Характерные черты анализа древних таковы: мыслительный процесс отправляется от неизвестного и искомого к известному, от одного неизвестного переходят к другому, которое определить легче, от этого другого к третьему и т. д. до тех пор, пока не придут к известному; в этом мыслительном процессе сложная теорема или задача сводится к ряду более простых теорем и задач. Анализ древних дает план доказательства предложения или план решения задачи. Он не пользуется алгебраической символикой: он является одной из форм того аналитического метода, который применяется математикой.

Анализ, применяющийся при решении задач на составление уравнений, является другой формой аналитического метода. Его характерные черты таковы: 1) он также отправляется от неизвестного и стремится установить связь его с известным; 2) он расчленяет задачу на ряд более простых задач; 3) он использует алгебраическую символику; 4) он имеет дело с уравнением или системой уравнений. Алгебраическая символика и в частности уравнение или система уравнений придает этой форме анализа большую гибкость, делает его особо плодотворным и мощным. Эта форма анализа носит название алгебраического анализа.

Анализ древних неизменно нуждается в последующем синтезе. Алгебраический анализ также сопровождается синтезом, но этот синтез своеобразен: он сводится к проверке (исследованию) правильности решения по условию задачи.

С точки зрения общего метода решения задач с помощью уравнений, с точки зрения алгебраического анализа, оказываются частично правы те, которые сущность алгебраического способа решения задач видят в введении обозначений неизвестных. Действительно для алгебраического анализа характерно, что решение задачи начинается с неизвестных, с обозначения этих неизвестных. Но, очевидно, что это только первое звено в работе, только начало анализа.

Оказываются частично правы и те, которые видят сущность алгебраического способа решения задач в расчленении задачи на более простые задачи. С помощью введенных обозначений неизвестных составляются алгебраические выражения для других величин; эти выражения по существу и являются решениями простых задач, на которые расчленяется сложная задача. Но, очевидно, что и это расчленение задачи на простые задачи является только одним из этапов алгебраического анализа.

Оказываются частично правы и те, которые видят сущность алгебраического способа решения задач в соединении двух выражений знаком равенства, в приравнивании двух величин, различно выраженных. Действительно, при составлении уравнений такое приравнивание величин играет существенное значение; на нем покоится получение уравнения или системы уравнений. Но опять, очевидно, что это приравнивание является только особым звеном при решении задачи, особым этапом алгебраического анализа.

Таким образом, та форма анализа, которая применяется при решении задач и которая носит название алгебраического анализа, объединяет в себе, как составные части, те существенные черты этого метода, которые различными авторами принимаются за общий метод решения задач.

При изучении геометрии учащиеся в начале VII класса уже знакомятся с анализом древних, эту форму анализа они осваивают в ее практическом применении к решению геометрических задач на построение, к отысканию путей доказательства теорем, им известны и характерные черты этой формы аналитического мышления.

Поэтому, приступая к алгебраическому решению задач, целесообразно сообщить учащимся, что алгебраический способ решения задач носит название алгебраического анализа. Надо, пользуясь конкретными задачами, разъяснить основные, характерные особенности алгебраического анализа, может быть даже кратко зафиксировать их в тетрадях, примерно, в такой редакции.

Алгебраический анализ при решении задач имеет следующие характерные признаки: 1) в нем мыслительный процесс идет от неизвестного к известному, поэтому после уяснения, что дано и что требуется определить, неизвестные обозначаются с помощью букв и далее с ними оперируют, как бы с известными; 2) задача расчленяется на ряд простых задач, ответы на которые даются в процессе выражения величин задачи через неизвестные и данные; 3) в нем путем приравнивания двух величин, представленных различными выражениями, составляется уравнение (позднее система уравнений), которое является ключом для решения задачи.

Сообщение общего плана алгебраического способа решения задач, выяснение на примерных задачах сущности алгебраического анализа, неоднократное подчеркивание этой сущности в различных концентрах решения задач (VII, VIII, X классы) приведет к тому, что учащиеся хорошо овладеют алгебраическим анализом, осознают его сущность и значение. Надо заметить, что в процессе обучения всегда в конкретной форме и достаточно популярно следует вскрывать общие методы математики. Методология математики, поскольку она может быть выяснена при изучении элементарной математики, должна сделаться неотъемлемой частью математического образования в средней школе.

В дальнейшем, когда часть учащихся будет продолжать образование в вузах, когда они будут изучать другие математические дисциплины, они познакомятся с другими формами современного анализа, а алгебраический анализ, с которым они хорошо освоились в школе, послужит хорошей пропедевтикой в этом деле.

Известно, что существуют многочисленные попытки классификаций арифметических задач, однако, в разрешении этого вопроса до сих пор не достигнуты удовлетворительные результаты. Конечно, практически ценная классификация алгебраических задач представляет еще более трудную проблему. И нам кажется, что такая классификация вряд ли осуществима. Однако это не должно препятствовать использованию при обучении подразделения задач по типам. Такое подразделение не носит характера логически безупречной классификации, но удобно по ряду методических соображений, а поэтому в случае надобности может быть использовано.

В отношении группировки задач по типам при обучении встречаются два мнения: одни считают такую группировку нецелесообразной, так как она предопределяет подход ученика к задаче, указание типа задач направляет его мышление в определенное русло, что мешает развитию инициативы и творчества, столь ценных при решении задач; другие считают, что

такое подразделение задач по типам уместно и необходимо, так как оно позволяет в методическом отношении планомерно изучить решения различных типов задач, обеспечивает навыки в решении каждого типа, а в результате обеспечивает и максимальную инициативу и творчество при решении задач.

Думается, что эти две крайние точки зрения обе верны и обе неверны. Чтобы научить учащихся решать задачи какого-либо типа, конечно, недостаточно решения одной-двух задач и дальнейшее решение таких задач от случая к случаю. Чтобы учащиеся овладели решением задач какого-либо типа, надо дать такое число задач этого типа, какое необходимо для выработки умения и навыка в решении всеми учащимися. Адрианов В. В. пишет: „Работа будет продуктивнее, если ее сосредоточить на к.-н. определенном типе и переходить к задачам другого типа только после удовлетворительных результатов для большинства учащихся по решению задач первого типа“*. Отсюда мы делаем вывод, что расположение задач по типам целесообразно и необходимо. Однако, оно недостаточно: вслед за решением задач, расположенных по типам, надо приступить к решению задач из смешанного отдела, который содержит задачи всех рассмотренных типов и, кроме них, задачи всевозможных других типов.

Конечно, внутри одного типа задачи могут быть весьма различной трудности, поэтому расположить типы по трудности входящих в них задач — дело вообще невозможное. Такую работу, можно выполнить только применительно к данному задачнику. Однако типы задач надо прорабатывать в известной последовательности: при чем эта последовательность будет определяться родством задач различных типов. Например, задачи на „бассейны“ напоминают задачи на „работу“: эти типы должны решаться в непосредственной близости друг от друга.

В некоторых статьях последнего времени намечается классификация приемов решения задач на составление уравнений. Нам кажется, наиболее приемлемое методическое подразделение приемов дано В. В. Адриановым в указанной выше статье. На подразделение В. В. Адрианова нельзя смотреть, как на логически безупречную классификацию, ее значение не в этом, а в том, что она намечает целесообразные последовательные этапы в подходе к задачам постепенно нарастающей трудности.

Приемы составления уравнений подразделяются по трем признакам: во-первых, что обозначено через неизвестное, то ли число, о котором поставлен вопрос в задаче, или какое-либо другое вспомогательное число; во-вторых, по характеру

* Статья В. В. Адрианова „Составление уравнений“ в ж. „Горьковский просвещенец“, №№ 7—8 за 1933 год.

приравнивания величин; в третьих, по характеру выражения тех функциональных зависимостей, которые лежат в сюжете задачи.

Первый прием отличается тем, что х-ом обозначается то число, о котором поставлен вопрос в задаче, и что одно данное число сохранено для составления уравнения. Задачи № 1 и № 2 нашей работы решены первым приемом. В задаче № 1 спрашивается, сколько куплено груш и сколько яблок; в ее решении х-ом и обозначено одно из неизвестных, а именно число купленных груш; стоимость всех купленных фруктов сохранена для составления уравнения. В задаче № 2 спрашивается, сколько стоит карандаш и сколько стоит ручка; х-ом обозначена стоимость карандаша, а стоимость всех купленных предметов сохранена для составления уравнения. Рассматриваемый прием употребляется в первом концентре решения задач алгебраическим способом (VII класс) чаще других; он проще других. Для составления уравнения, вообще говоря, можно оставлять любое число, как это показано при решении задачи № 2.

Однако имеются задачи, в которых иногда удобнее, а иногда и необходимо обозначать х-ом не то число, о котором ставится вопрос задачи, а другое вспомогательное и связанное с первым. Второй прием составления уравнений отличается от первого тем, что отступают от одной особенности первого приема, от обозначения через х числа, о котором ставится вопрос в задаче; в нем х-ом обозначается вспомогательное число, связанное с искомым.

Задача № 3. Найти двузначное число, в котором число, выраженное цифрой единиц, больше числа, выраженного цифрой десятков, на 3 и которое будучи сложено с числом, имеющим обратный порядок цифр, дает 77.

I. Дано: 1) число единиц в двузначном числе на 3 больше числа десятков, 2) сумма искомого числа с числом, имеющим обратный порядок цифр, равна 77.

II. Определить: двузначное число.

III. Что приравнять? Для составления уравнения сохраним число 77, которое сделаем правой частью уравнения.

Обозначения:

1) число десятков двузначного числа х,

2) число единиц его х-ЬЗ,

3) искомое двузначное число

4) число с обратным порядком цифр

5) сумма чисел

IV. Уравнение.

V. Решение.

Проверка. 11.2 + 3 + 10.5 + 2 = 77.

VI. Ответ. Искомое число имеет 2 десятка и 5 единиц, т. е. = 25.

VII. Исследование. 5 — 2 = 3, 25 + 52 = 77.

В этой задаче требуется определить двузначное число, однако не оно обозначается х-ом, а х-ом обозначаются его десятки (могут быть обозначены и единицы). При этом такое обозначение необходимо: обозначение неизвестного числа одной буквой не дало бы возможности составить уравнения и решить задачу.

Задача № 4. Разделить 360 на три части пропорционально числам 2:3:4.

При решении этой задачи можно было бы х-ом обозначить, например, первую часть, тогда вторая и третья соответственно получат обозначения у* и 2х. Значив эта задача может быть решена первым приемом, но удобнее обозначить х-ом не первую или какую-либо другую часть числа, а одну долю, тогда получим для частей соответственно обозначения 2х, Зх и Ах и уравнение 2л: + Зл: + 4л; = 360. Таким образом, обозначение в этой задаче доли не является необходимым, но оно полезно, так как упрощает последующие обозначения, рассуждение и уравнение. Задачи, в которых применяется, пропорциональное деление, часто встречаются среди геометрических задач, поэтому приучать учащихся обозначать х-ом одну долю вполне уместно.

Задача № 5. Найти дробь, если известно, что знаменатель ее на единицу больше числителя, а если к числителю прибавить 5, а от знаменателя отнять 1, то получится дробь, равная у.

Дано: 1) знаменатель дроби на 1 больше числителя,

2) к числителю прибавляется 5,

3) от знаменателя отнимается 1,

4) получается дробь, равная у.

II. Определить дробь.

III. Что приравнять? Правой частью уравнения сделаем у.

Обозначения:

1) числитель искомой дроби =х,

2) знаменатель ее =л;+1,

3) числитель полученной дроби =л: + 5,

4) знаменатель ее =х9

5) полученная дробь =

IV. Уравнение:

V. Решение:

Проверка:

VI. Ответ: числитель =10, знаменатель =11, а искомая дробь :

VII. Исследование:

В этой задаче требуется найти дробь, однако обозначение ее через х не дало бы возможности составить уравнение. Необходимо обозначить или числитель дроби, как это сделано при решении задачи, или ее знаменатель, т. е. обозначение вводится опять не для искомого числа, а для числа, связанного с искомым, по которому искомое легко определяется.

К третьему, четвертому и пятому приемам решения В. В. Адрианов относит такие задачи, в которых обе части уравнения выражены функциями неизвестных. При этом „при составлении уравнений по третьему приему равенство обеих частей устанавливается на основе одного из условий задачи, явно выраженного числом, данным в задании“. Четвертый прием отличается от третьего тем, что основою приравнивания является условие, выраженное не числом, а словами или вытекающее из общего смысла задачи. Особенность пятого приема заключается в том, что приравнивание обеих частей уравнения обусловливается функциональной зависимостью, которая дается условием задачи. Надо заметить, что отличить третий, четвертый и пятый прием друг от друга довольно трудно, в силу этого их различие не следует подчеркивать перед учащимися. Однако педагог при подборе и постепенном усложнении задач эти особенности может учитывать.

Задача № 6. В одном районе 49 школ, а в другом 55 школ. В первом ежегодно открывают по 7 новых школ, во втором — по 5. Через сколько лет число школ в обоих районах уравняется?

I. Дано: 1) в I районе 49 шк.; 2) во II районе 55 шк.; 3) в I районе ежегодно открывают 7 шк., а во II районе— 5 шк.

II. Найти, через сколько лет число школ уравняется.

III. Что приравнять? Задача подсказывает, что удобно приравнять число школ в районах по прошествии неизвестного числа лет.

Обозначения:

1) число школ уравняется через х лет,

2) тогда в I районе увеличится на 7х шк.,

3) во II районе увеличится на Ъх шк.,

4) в I районе будет (49 + 7х) шк.,

5) во II районе будет (55+ 5л:) шк.

IV. Уравнение:

V. Решение:

Проверка:

VI. Ответ: через 3 года.

VII. Исследование: через 3 года в I районе откроется 21 шк. и будет 49 шк.+ 21 шк. = 70 шк., во II районе откроется 15 шк. и будет 55 шк.+ 15 шк. = 70 шк.

Прием составления уравнения в этой задаче является примером третьего приема: в нем обе части уравнения являются функциями неизвестного, а для получения уравнения послужило то, что число школ уравнивается. Конечно, для решения этой задачи можно составить уравнение по первому приему. Однако, пользуясь такой задачей, можно показать учащимся, что получается уравнение, которое содержит неизвестное в обеих своих частях. Задачи, относящиеся по решению к этому третьему приему, явятся подготовительными к решению тех задач, в которых появление и в той и в другой части уравнения функций неизвестного будет необходимо.

Задача № 7. Найти два числа, если известно, что сумма их равна 54 и что учетверенное меньшее число равно разности этих чисел, увеличенной в 25 раз.

I. Дано: 1) сумма двух чисел равна 54, 2) учетверенное меньшее число = разности этих чисел, умноженной на 25.

II. Найти: 1) меньшее число, 2) большее число.

III. Приравняем учетверенное меньшее число и увеличенную в 25 раз разность искомых чисел.

Обозначения:

1) меньшее число =х,

2) большее число = 54 — х,

3) учетверенное меньшее число = 4х,

4) разность между большим и меньшим числом =

5) произведение разности чисел на 25 равно

IV. Уравнение:

V. Решение:

Проверка:

VI. Ответы: 1) меньшее число = 25; 2) большее число =29.

VII. Исследование: 1) 25 + 29 = 54; 2) 25.4=100; 3) (29 —25).25 = 100.

При решении этой задачи, если и возможно избежать такого уравнения, в котором неизвестное содержится в обеих частях, то делать это неудобно; задача почти необходимо приводит к уравнению, обе части которого—функции неизвестного.

При решении задач третьим приемом надо обратить внимание учащихся, что нет надобности сохранять число для составления уравнения, что при решении надо наметить, какие величины предполагается приравнять, а затем и получить выражение этих величин через неизвестные и данные. Своевременное в процессе решения выяснение, какие величины удобно приравнять, представляется очень существенным, так как это придает целенаправленность всей последовательности обозначений, какие вводятся в III пункте плана решения задачи, и избавит от лишних и непригодных для решения обозначений.

Задача № 8. По окружности круга навстречу двигаются две точки: одна со скоростью v см в секунду, другая vx см в секунду. Через какие промежутки пути происходят их встречи, если длина окружности равна с см (v>v{).

I. Дано: 1) скорость первой точки v см в сек.,

2) „ второй я vx п „ „,

3) длина окружности с см.

II. Определить, через какие промежутки пути происходят встречи точек.

III. Что приравнять? Возможно приравнять время движения I точки времени движения II точки между двумя очередными встречами.

Обозначения:

1) Точки встречаются через х см. (Длина меньшей дуги).

2) Первая точка пройдет путь, равный (с — х) см.

3) Время движения первой точки

4) Время движения второй точки

IV. Уравнение:

V. Решение:

Проверка:

VI. Ответ: точки встречаются через

считая по пути движения второй, точки (с меньшей скоростью).

VII. Исследование.

Решение задачи № 8 является примером четвертого приема. В нем, как и в третьем, обе части уравнения являются функциями неизвестного, но он отличается от третьего приема тем, что приравнение выполняется по смыслу задачи, как в задаче № 8, или по условию, выраженному словами. Конечно, прежде чем решать такую задачу с учащимися в общем виде, уместно решить ее с числовыми значениями величин, положив, например, г> = 10 см в сек., vx — 8 см в сек., С = 378 см.

Задача № 9. Периметр равнобедренного треугольника равен 2/7, а боковая высота относится к высоте треугольника, как т:п. Определить стороны треугольника.

I. Дано:1) периметр = 2/?, 2) АЕ:ВД-.т:п, 3) АВ = ВС.

IL Определить: 1) АС, AB или ВС.

III. Что приравнять? Отношение двух сторон треугольника равно обратному отношению соответственных высот, проведенных на эти стороны.

Обозначения:

IV. Уравнение:

V. Решение:

Проверка:

Левая часть Правая часть

VI. Ответы:

VII. Исследование:

Решение задачи № 9 является примером пятого приема. В нем опять обе части уравнения являются фунциями неизвестного, а приравнивание обеих частей уравнения основывается на функциональной зависимости: отношение двух сторон треугольника обратно пропорционально отношению соответственных высот.

ГЛАВА СЕДЬМАЯ.

Обзор особенностей решения задач по концентрам.

Решение задач с помощью составления одного уравнения первой степени с одним неизвестным фактически является первым (1) концентром алгебраического способа решения задач. Последующие концентры таковы: 2) составление системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными; 3) составление нескольких уравнений первой степени с таким же числом неизвестных; 4) составление квадратного уравнения с одним неизвестным; 5) составление системы двух или нескольких уравнений соответственно с двумя или несколькими неизвестными, приводящейся к квадратному уравнению; 6) составление уравнений или систем уравнений, решаемых способами элементарной алгебры, по преимуществу таких, в которых данные буквенные, с последующим исследованием в X классе. Первый

концентр в методическом отношении является самым трудным, а вместе с тем и решающим в этой части обучения алгебре. Успешная работа класса в этом концентре в значительной мере обеспечивает успешную работу в последующих концентрах, и недоработка в первом концентре неизменно вызывает затруднения в дальнейших концентрах. Дело в том, что при решении задач в последующих концентрах применяются те же приемы и методы, тот же план (с незначительными поправками), что и при составлении одного уравнения первой степени. Поэтому нет надобности подробно останавливаться на остальных концентрах, а возможно ограничиться несколькими краткими замечаниями.

а) Если по каким-либо причинам подготовительные упражнения к составлению уравнений использованы в первом концентре недостаточно полно, если педагог убедится в полезности таких упражнений и в дальнейшем, то следует их вести на подступах и во время проработки 2, 3 и даже 4 концентров. Конечно эти упражнения несколько видоизменяются: появится возможность использовать два и три неизвестных, с развитием учащихся появится возможность давать несколько более сложные упражнения. Упражнения могут обогатиться новыми функциональными зависимостями, а значит и новыми сюжетами задач.

б) Для первого ознакомления с составлением системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными может быть использована одна из задач, которая уже решалась ранее, например, в нашей работе, задачи №№ 1 и 2. Можно решить одну из таких задач с помощью одного уравнения, а затем дать решение той же задачи с помощью системы уравнений. Надо обратить внимание учащихся, что второе решение легче: в нем меньше затруднений в выполнении III и IV пунктов плана, которые, вообще говоря, являются наиболее трудными для учащихся. Решение системы, конечно, несколько сложнее решения соответствующего уравнения с одним неизвестным, но эти трудности таковы, что с ними ученики уже научились справляться ранее — в процессе решения систем. Затем надо предложить задачи, которые уже не могут быть решены с помощью одного уравнения, а обязательно требуют использования системы двух уравнений. Таким образом учащиеся убеждаются в практической полезности решения систем, они убеждаются в том, что количество задач, доступных им, увеличивается.

в) Когда учащиеся приобретут умения и навыки в составлении системы с двумя неизвестными, не следует стеснять их в выборе способа решения задач, допускающих использование и одного уравнения и системы двух уравнений: и тот и дру-

гой путь одинаково допустимы. Не следует требовать, как это иногда приходится наблюдать, обязательного применения одного уравнения, когда задача допускает использование и одного уравнения и системы двух уравнений. Наоборот, надо поощрять решение задачи с помощью системы, так как такое решение удобнее и практичнее. Аналогично с этим надо поощрять решение задачи с помощью системы с тремя неизвестными, когда задача допускает использование и системы с двумя и системы с тремя неизвестными.

г) Решение задач с буквенными данными требует от учащихся еще большего напряжения мышления, а значит и является прекрасным материалом для развития мышления. С точки зрения математики задачи с буквенными данными не требуют каких-либо новых знаний, но с методической точки зрения они отличаются тем, что требуют более абстрактного мышления. А это абстрактное мышление только тогда будет доступно учащимся, когда оно будет опираться на конкретный базис. Таким базисом, очевидно, будут служить задачи с числовыми данными. В силу этого является сомнительным такое подразделение задач в процессе решения, что раньше занимаются решением задач только с числовыми данными, а затем переключаются на задачи с буквенными данными: при таком порядке абстрактное отрывается от конкретного. Задачи с буквенными данными надо вводить постепенно: как только педагог заметит, что в решении того или другого типа задач с числовыми данными учащиеся сделали значительные успехи, уместно ввести задачи этого же типа с буквенными данными. В этом случае более абстрактное мышление, необходимое для решения буквенных задач, будет опираться на конкретное мышление, которым учащиеся уже овладели при решении числовых задач того же типа. Первые задачи с буквенными данными, по крайней мере, некоторых типов, должны найти место уже в VII классе, а в дальнейшем число таких задач должно постепенно нарастать с тем, чтобы в X классе оно значительно превышало задачи с числовыми данными.

д) При использовании для решения задач квадратного уравнения и системы, приводящей к квадратному уравнению, несколько усложняется исследование решения. Наличие двух корней или двух пар корней требует изучения пригодности для задачи каждого корня и каждой пары корней отдельно. Мнимые корни обычно свидетельствуют о нерешимости задачи. Пригодность иррациональных корней определится по смыслу задачи. То же самое надо отметить об отрицательных корнях, например, в геометрических задачах отрицательные корни часто приходится отбрасывать, как непригодные для задач. Усложнение исследования требует, чтобы преподаватель уделил

ему достаточное внимание, использовав для этого серию целесообразно подобранных задач. Конечно, исследование усложняется, когда решаются буквенные задачи.

е) В программе IX класса нет специальных указаний об алгебраическом способе решения задач. Однако некоторые главы курса алгебры—арифметическая и геометрическая прогрессия, сложные проценты — дают материал для составления уравнений. Уравнения используются и при решении геометрических задач. В этих случаях алгебраический анализ выступает как метод изучения и решения математических вопросов в других дисциплинах.

ж) В программе X класса также нет специальных указаний об алгебраическом способе решения задач. Однако имеются косвенные указания: программа требует повторения главнейших разделов курса математики. В алгебре к числу таких разделов относится и решение задач с помощью уравнений. В программе имеется глава об исследовании уравнений и систем уравнений, а это приводит к исследованию задач, решаемых алгебраическим способом, а значит требует составления уравнений или систем уравнений по условиям задач. Таковы косвенные указания о необходимости алгебраического способа решения задач. Кроме того, учитель будет учитывать, что часть учащихся средней школы направится в высшие учебные заведения, где часто на приемных испытаниях предлагают задачу на составление уравнений. В целях лучшей подготовки молодежи для поступления в ВУЗ'ы, уместно уделить достаточное внимание алгебраическому способу решения задач. Как уже указывалось ранее, в X классе наибольшее внимание надо уделить задачам с буквенными данными. Только в этом случае задача может представлять значительный интерес с точки зрения исследования ее решения.

ЛИТЕРАТУРА О СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЮ ЗАДАЧ.

1) Свешников. П. „Заметки о составлении уравнений для решения задач“, ж. „Педагогический сборник“, 1893г., апрель м.

2) Конокотин. Р. „О задачах на составление уравнений“, статья в ж. „Русская школа“, № 4 за 1896 г.

3) Дж. В. А. Юнг. „Как преподавать математику?“, 1916 г.

4) Симон. М. .Дидактика и методика математики“, 1922 г.

5) Адрианов, В. В. „Составление уравнений“, статья в ж. „Горьковский просвещенец“, №.№ 7-8 за 1933 г.

6) Чистяков. П. И. „Методика алгебры“, учпедгиз, 1934 г.

7) Скрутковский. С. Э. „О методике составления и решения уравнений первой степени с одним неизвестным“, статья в ж. „Просвещение Сибири“, 11 — 12 за 1934 г.

8) Мосин. В. М. „Уравнения 1-й степени с одним неизвестным и составление уравнений из условий задачи“, ж. „Северо-Кавказский учитель“, № 1 за 1935 г.

9) Дмитриев. А. Д. .Приемы решения и составления уравнений первой степени“, ж. „Северо-кавказский учитель“, № 6 за 1935 г.

10) Нестеров. Н. „Составление уравнений по условиям задач“, статья в ж. „В помощь учителю“, № 2 за 1935 г. (Метод, журнал ЛООНО).

11) Дятлов. М. „Составление и решение буквенных выражений, как первый шаг к алгебраическому способу решения задач“, статья в ж. „Методический путеводитель“, № 4 за 1935 г. (Куйбыш. Крайоно).

12) Змиева. М. „Опыт подготовки учащихся к составлению уравнений первой степени“, статья в ж. „Математика и физика в средней школе“, № 5 за 1935 г.

13) Костина. З. „Первоначальные упражнения на составление уравнений“, статья в том же номере, что и предыдущая.

14) Черняев. М. П. „К методике решения уравнений первой степени“, статья в ж. „Математика и физика в школе“, № 5 за 1936 г.

15) Маергойз. Д. „К методике составлений уравнений по условиям задач“, статья в том же номере, что и предыдущая.

16) Браун. И. К. „О составлении уравнений“, статья в том же номере.

17) Германов. А. „О составлении уравнений с одним неизвестным“, статья в том же номере.

18) Ричко. Е. „К методике составления уравнений по условиям задач“, статья из опыта в том же номере.

19) Рудницкий. „Уравнения — больное место в преподавании алгебры“, статья из опыта в том же номере.

20) Бронштейн. С. С. „Методика алгебры“, учпедгиз, 1937 г.

21) Березанская. Е. „О составлении уравнений из условий задач“, статья в журнале „Математика в школе“, № 2 за 1940 г.

22) Петров. С. „О составлении уравнений из условий задач“, статья в том же номере.

23) Сердобольский. П. „Методика составления уравнений“, статья в том же номере.

24) Макаревич. И. „Методические соображения к практике составления уравнений по условию задач“ (метод взвешивания), статья в том же номере.

25) Лебедев. А. „Решение задач на составление уравнений 1 степени с одним неизвестным“, статья в том же номере.

26) Козьмин. Н. „Составление уравнений с одним неизвестным в VII классе“, статья в том же номере.

27) Горский. А. „К вопросу методики решения задач на составление уравнений“, статья в том же номере.

28) Дирекчияни. О. „О составлении уравнений“, статья в том же номере.

29) Альтшулер. Н. „К вопросу о методике обучения составлению уравнений“, статья в том же номере.

30) Жураховский. Г. „Составление уравнений по условию задач“, статья в том же номере.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Предисловие............................ 3

Глава первая. Воспитательно-образовательное значение решения задач с помощью уравнений...................... 5

Глаза вторая. Трудности, которые приходится преодолевать в процессе решения задач........................ 8

Глава третья. Подготовительные упражнения к решению задач с помощью уравнений.........................16

Глава четвертая. Примерные подготовительные упражнения. . 24

Глава пятая. Методика составления уравнений.........42

Глава шестая. Об общем методе решения задач составлением уравнений...............................52

Глава седьмая. Обзор особенностей решения задач по концентрам ..................................62

Литература о составлении уравнений по условиям задач ......66